E. Martinelli ( E d.)
Funzioni e varietà complesse Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Varenna (Como), Italy, June 25-July 5, 19633
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected]
ISBN 978-3-642-11008-5 e-ISBN: 978-3-642-11009-2 DOI:10.1007/978-3-642-11009-2 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 Reprint of the 1st ed. C.I.M.E., Ed. Cremonese, Roma, 1963 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E)
Reprint of the 1st ed.- Varenna, Italy, June 25-July 5, 1963
FUNZIONI E VARIETÀ COMPLESSE
H. Cartan:
Faisceaux analytiques coherents...........................................
1
P. Lelong:
Fonctions plurisousharmoniques et formes différentielles positives ........................................................ 91
E. Vesentini:
Coomologia sulle varietà complesse, I ................................ 231
A. Andreotti:
Coomologia sulle varietà complesse, II................................ 265
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO ( C.l. M.E. )
HENRICARTAN
FAISCEAUX ANALYTIQUES COHERENTS
ROMA - Istituto Matematico dell'Universita
1
FAISCEAUX ANALYTIQUES COHERENTS par Henri Cartan
1. -
Th~oreme
des syzygies pour l'anneau des
s~ries
convergentes
a. n variables. Soit K un .:orps (commutatif)
valu~
l' anneau des
complet, non discret. On
s~ries
entieres convergentes
a. n variables x , ••. , x ,c'est-a.-dire des s~ries qui convergent au I n vOisinage de l'origine. C'est un anneau integre et noetherien; de plus, c'est un anneau local: l'unique id~al maximal 'YYt
A
t
=K
xl' ...
,Xn
1
(A ) de
se compose des series dont Ie terme con-
stant est nul, c'est-a.-dire des ~l~ments non-inversibles de
d~al
,~,
A
est engendre par Xl' .•. ,xn' et l'on a la
'rf'r; (A)
(Pn)-si J k xl' •••
l'anneau
alors, pour 0
z~ro dans l' anne au (En effet,
(pour O:! k
.d~signe ~
k
~
~
n) l'ideal
L "1-
propri~te:
engendr~
par
n-l, xk+1 n'est pas diviseur de
A /Jk ' A. /J k s'identifie
a. K
f \+1' ... ,xn J
,qui
est un anneau integre). Pour tout anneau d'un
form~e
.A
de
A
,on a. la notion de r~solution libre
-module M : c'est une suite exacte (infinie
.It
-modules et d'applications
3
A
a gauche)
-lineaires, les X.
1
- 2 H, Cartan
A
etant des
-modules libres, 11 existe toujours de telles resolutions
(pour un M donne); en effet, M est quotient d'un module libre, donc on a une suite exacte
o
---+Y1~Xo~ M~O,
puis on a une suite exacte
o~
Y2---+ Xl ~ Y 1 ----+ 0,
et ainsi de suite; en mettant bout
a bout
ces suites exactes, on obtient
la suite (I, I), On dit que la resolution 0,1) est de longueur X
n
= 0 pour n
Si
>p , A est
noetherien,
~
p si
et si M est un module de type fini,
il existe une resolution libre de type fini, c'est-a-dire dans laquelle les modules libres X. ont chacun une base finie: en effet on peut choisir pour 1
Xo un module libre de base finie, et alors Y1 est de type fini (car tout sous-module d'un module de type fini est
lui-m~me
de type fini quand
l' anneau est noetherien), On peut en suite choisir pour Xl un module libre
de base finie, et ainsi de suite, On se propose de montrer les deux theoremes: Theoreme 1,1 - Soit faisant a la condition (P ), Tout n
A
un anneau local noetherien satis-
A
-module de type fini possede une
resolution libre, de type fini. et de longueur
$
n, Plus precisement.
pour toute suite exacte
X
f n-1
Xn- 2 ~'"
4
~Xo~
M~O,
- 3 H. Cartan
ou les X. sont libres de base finie, Ie noyau de f est un module libre (de
--
1
-
[LorSqUe n= 1, f designe l' application Xo
base finie).
Theor~me 1.2. - Soit
A
A
~
p, alors, pour toute suite exacte
X
p-1
.
un anneau comme dans Ie theor~me
,!. Si un ~
~ M]
-module M de type fini poss~de une resolution libre de lon-
-----'~~
X 2 p-
----+ . •. -+ Xo
~
M~0,
ou les X. sont libres de base finie, Ie noya:u de f est libre •
--
1
-
Ces
theor~mes s'appliqueront notamment ~ l'anneu K
\ J . ainsi qu'a l'anneau des series formelles K lC
xl' ••• '
demontre, en fait, que les anneaux locaux pour. lesquels Ie
1Xl' .•• xn~
theor~me
• On 1
est vrai (pour un n convenable) sont les anneaux locaux reguliers, c'est-adire dont Ie complete est isomorphe a un anneau de series formelles (cf.
[15] ). On va donner, des se les foncteurs T or~
0/'n (A, B) est,
1 et 2, une demonstration qui utili-
(A, B), ou A et B designent deux
[5] ).
et n un entier ~ O. (cf. que T
theor~mes
On a seulement besoin de savoir ici
pour chaque n, un
de A et B; que TorA (A, B)=O lorsque n n
dules A et Best libre; que
A
-module, foncteur covariant
~ 1 et que l'un au moins des mo-
Tor!" (A, B) n'est autre que le produit tenso-
riel A ®,A B; que, pour toute suite exacte de
0.2)
A -modules,
I
O~ A -~A
A
-modules:
~ A"~ 0,
on a des applications lineaires
5
,
- 4 H. Cartan
bn :Toll.n (A",B) ~Tor.An- I (I': ,B) qui
d~pendent
fonctoriellement de la suite exacte (2); et que la suite illi-
mit~e
.••
~
A ( , Tor A ,B) n
fn
A,B --+TorA (AII ,B)--+ n
.A ( )
~Tor
n
-.Tor An-l (A' ,B ) ~ ••• ~TorA I (AI I,B) ~ A1f!1\ ~A B~
est une suite exacte. B, et qu'on
consid~re
Propri~t~
analogue lorsqu'on travaille sur la variable
une suite exacte
I O~B ~B
La
d~monstration
des
--+B
th~or~mes
II
~O.
I et 2 va alors
r~sulter
de
plusieurs lemmes: Lemme I ("lemme de Nakayama"). - Soit
d'id~al
maximal
d~r~ comme
.A
iW'(.
,et soit K=
A
/'WC
-module. Soit M un
M
®,A
A
Ie corps
un anneau local,
r~siduel,
consi-
A -module de type fini; si
K = M/'frr.. M
est nul, alors M=O • Par l'absurde: soit (xl' ••• ,xk ) un syst~me minimal de g~n~ra teurs du
A
-module M; puisque M=
6
~. M, on a
- 5 -
H. Cartan k
, ~,x,' x = ~ 11 1 i= 1 k
d'ou
~
(1 -
)x
1 1
2-
=
~,x, 1
i=2
1
•
~ 1 a un inverse dans l'anneau local A ,done xl est combinaison lineaire de x 2' ••• ' \ ' contrairement a I'hypothese de minimalite.
Or 1-
Corollaire du lemme 1. -
Soient xi €: M des elements en nom-
Ji dans l'espace K-vectoriel M ®,ft. K=MI 'n'(.M
bre fini, dont les images
A-module M est de type fini,
engendrent cet espace vectoriel, Si Ie
les
x, l'engendrent. 1
En effet, soit M' Ie sous-module de M engendre par les x,; on 1
a une suite exacte
M
I
®.A,
f
K ~ M
®,A.
K ~ (M/M') ~ K ~ 0 ,
et puisque f est surjective par hypothese, on a (MIM') ®,A. KeO, donc
MIM' =0 d'apres Ie lemme 1, puisque MIMI est de type fini. Lemme 2 - Soit.A un anneau local, de corps residuel K. Pour qu'un
A-
module Y, de type fini, soit libre, il faut et 11 suffit que Tor~ (y, K)=O. La condition est evidemment necessaire. Pour '{oir qu'elle est suffisante, on choisit des Yi £ Y dont les images
'~t €
Y
®,A K forment
une base de cet espace vectoriel; les y, sont en nombre Hni, et engendrent --
1
A
Y (corollaire du lemme 1). Soit X Ie
-module libre ayant pour base
des elements x, en correspondance bijective avec les y,; on a done une ap1
plication lineaire surjective X duit un isomorphisme
X
~
1
Y, qui par passage aux quotients in-
®Jl K ~ 7
Y
®,A
K . Soit N Ie noyau de f •
- 6 H. Cartan
La suite exacte des foncteurs Tor donne ici:
Puisque g est un isomorphisme, et que TO~ (y, K)=O par hypoth~8e, on obtient N QP", K=O, donc (lemme 1) N=O; par suite, f:X -
Y est un isomor-
phisme, et puisque X est libre, Y est libre.
C.Q.F.D. Lemme 3. -
Soit
A
Alors on a, pour tout
un anneau local satisfaisant
.It. -module M,
°a la condition (P n)
•
pour i) k,
0.3)
et en particulier, pour k=n,(J = n
'We. (
A ) ):
A Tor n+l (M,K) = O.
0.4)
En effet,
consid~rons,
pour chaque entier k tel que 1 $r kEn,
la suite exacte
0.5)
A /J k _1 sur son quotient A/J k ,
OU vk est l'application canonique de et Uk
la multiplication par xk ' qui par hypoth~se est une injection. La suite exacte des Tor noils donne ici des suites exactes d~signe
8
- 7 H. Cartan
0.6)
On va alors prouver (3) par recurrence sur k: c'est trivial si k=O, car
Tor~1 (M,A
)=0 pour i
> O.
8i 0.3) est vrai pour k-l (k
~
1), et si i :> k,
les deux termes extr@mes de la suite exacte 0.6) sont nuls, done Ie terme median est nUl. C.Q.F.D. Nous pouvons maintenant demontrer Ie par
hypoth~se,
0-... y
o
A
n-
1.1. Nous avons,
des suites exaetes
o --... y 1 -+ Xo --+ M
oil X , ••• , X
theor~me
n
-+-X
n-
0
~1 Y ~1 0
n-
1 sont libres de base finie.
A
~
A
On en deduit des suites exactes
A
Tor +1 (X , K) ~ Tor 1 (M, K) ~ Tor (Yl' K) -+ Tor (X ,K) 0 n+ n n • n A J.. .}.. A. Tor n (X 1,K) ~Tor n (Y 1,K) ~ Tor n_l(Y 2 ,K) ~Tor n-l (X 1,K)
Dans ehacune de ces lignes, les termes extr@mes sont nuls, puisque les X, sont des modules libres; on obtient done 1
9
- 8 H. Cartan
Or,
J.
Ie Iemme 3, Tor
d'apr~s
n+
I (M,K)=O. Done
A Tor .. (y ,K) ,;a
n
= 0,
et eomme Y est de type fini, eeci entrafne que Y est libre (lemme 2). n
Ceci
n
d~montre
D~montrons
Ie
th~or~me
enfin Ie
1.
tMor~me
1.2. Supposons l'existenee de
suites exaetes
0-+ BI ---'Ao--+ M ~ 0 0-+B2~Al~BI~ 0
o ~B P~A p-~I oj) A , .. ., A I et B sont libres (non o p_ p -raisonnant eomme ei-dessus, on trouve
B
p-
-""PI
0,
n~eessairement
...
~
de type fini). En
.A
Tor 1 (B ,K) ='0 • p
Done Tor J,. 1 (M, K) = 0 • Soit maintenant une suite exaete eomme dans
p+
l'~none~
du
tMor~me
2 (les X., pour i 1
~
p-l,
~tant
libres de base finie),
et soit Y Ie noyau de X 1 ~ X 2 (resp. de X p
m~me
p-
p-
•
raisonnement que ei-dessus montre que
10
M si p=l) • Le
- 9 H. Cartan .A
.A
:::s Tor 1 (Yp,K) ,
Tor p+l (M,K) .A
et par suite Tor 1 (Yp,K) = 0; d'apr~s Ie lemme 2, Yp est libra, et Ie th~or~me
2.
1. 2 est
Pr~faisceaux,
d~montr6.
faisceaux et espaces
~tal~s.
On rappelle ici lIuccinctement les notions essentielles; pour plus de d~tails on renvofe au livre de Godement T
d~signe
un espace topologique,
Un prMaisceau G de greupes
donn~
[7] . une fois pour toutes.
sur T, est
ab~liens,
pour chaque ouvert U C T, d'un groupe
ab~lien
d~fini
W
'f wu
eve u,
~
Ifwv
0
donn~e,
G(U), et pour tout cou-
ple d' ouverts (V, U) tel que V C U, d'un homomorphisme G(U) - . G(V); on suppose que
par la
~ VU:
est l'identit~, et que, pour
4' vu
t,
simplement un foncteur contravariant de la
Un prMaisceau G est donc cat~gorie
des ouverts de
T (les morphismes ~tant les inclusions) dans la cat~gorie des groupes ab~l1ens.
SiG et G) Bent deux prMaisceaux, un morphisme f:G ~ est
d~fini
par la
f(U) : G(U) --+
donn~e,
c' (U),
0'
pour chaque ouvert U, d'un homomorphisme de telle mani~re que, si V C U, Ie diagram-
me G(U)
If
f(U) ~
0'(U)
f(V)
0' (V)
vu
G(V)
~
11
1~;u
- 10 H. Cartan
soit commutatif; fest donc un morphisme du foncteur contravariant G dans Ie foncteur contravariant G I. Ces definitions s' appliquent aussi bien
a d' autres
categories
que celles des groupes abeliens; on peut notamment considerer des
~
faisceaux d' anneaux (a element unite), etant entendu que, dans la categorie des anneaux, les homomorphismes d'anneaux doivent transformer l' element unite en l' element unite. L'image d'un x ! souvent x
I V,
tf VV : G(V)'" G(V)
G(V) par
et s'appelle la restriction de x
se note
a v.
Vn faisceau de groupes abeliens (resp. d' anneaux, etc".) sur l' espace T est, par definition un prefaisceau G qui satisfait
a la
condition suivante: (F) Si un ouvert Vest reunion d'ouverts V., et si l:on se 1
donne, pour chaque i, un x. ~ GW.) de fa<;on que 1
x.1 1
v.1 r'I.
V. = x.1 J J
1
v.1 "v.J
quels que soient
et j,
alors il existe un x E G(V) et un seul, leI que
=x
i
pour tout i .
Les faisceaux sur T forment une sous-categorie pleine de la categorie des prefaisceaux: si Get G1 sont deux faisceaux, les morphismes G - G', dans la categorie des faisceaux, sont les
m~mes
que dans la categorie des prefaisceaux,
Les fonctions numeriques differentiables. sur une variete differentiable T, donnent un exemple de faisceau d'anneaux: pour chaque ouvert V, GW) est I' anne au des fonctions differentiables dans V; la condition (F) est sa-
tisfaite. De m~me, sur une variete analytique complexe, on a Ie faisceau des fonctions holomorphes , note souvent Definition:
rJ : c'est un faisceau d'anneaux,
on appelle espace etale sur T un couple (F p) Oll I
12
I
- 11 -
H. Cartan
F est un espace topologique, et p: F
~
T une application continue qui
est localement un hom~omorphisme (i. e.: chaque point x " un voisipage ouvert U tel que la restriction de p
aU
soit un
F possede hom~o
morphisme de U sur un voisinage ouvert de p(x) ) • L'espace T
les espaces
~tant donn~,
~tal~s
sont les objets
d'une cat~gorie dont les morphismes (F, p) ~ (F I ,pi) sont les applications continues f: F --.. F I rendant commutatif Ie diagramme f
F
~F
,
'\ f' T
p
(autrement dit, f doit appliquer la fibre F t , -1 =p (t),quel que soit t E T). Le produit fibr~
-1
I
(t) dans la fibre F = t
de deux espaces ~tales (F, p) et (F', p' )
est l'espace (F", pill. ou F" d~signe Ie sous-espace du produit F x F' form~ des couples (x, x') tels que p(x)=p'(x'), et ou pIt est dMinie par
p"(x,x') = p(x) = p'(x').
Une section d'un espace
~tal~
p: F
~T
est, par
d~finition,
une application s : T - . F telle que p ~ s soit l' identit~ de T. Si s est continue, c'est un
hom~omorphisme
de T sur l'espace image s(T)
DMinition: on appelle espace
~tal~
en groupes
ab~liens
c:. (sur
T) un espace ~tal~ (F, p) dans lequel chaque fibre F test munie d'une structure de groupe
ab~lien (not~
additivement), de fa90n que soient
v~rifi~es les deux conditions suivantes :
13
F.
- 12 H. Cartan
(i) l' application F xT F -+ F, definie par la loi de composition dans chaque fibre, est continue (c'est donc un morphisme d'espaces etales) ; (ii) la section zero (qui
a chaque
t E T associe l' element
neutre du groupe F t) est continue, On definit de
m~me
un espace etale en anneaux (a element
unite) : chaque fibre F t a une structure d'anneau, 1'addition et la multiplication definissent deux applications continues F xT F ...... F, la section zero et la section un sont des sections continues, Les espaces etales en groupes abeliens (resp, en anneaux) sur T sont les objets d'une categorie, dont les morphismes sont les applications f: F ~ F' qui sont des morphismes d'espaces etales, et induisent en outre, pour chaque t E T, un homomorphisme de I
groupes abeliens (resp, d' anneaux) F t -+ Ft' On va definir deux foncteurs covariants teur
r
P
et L : Ie fonc-
fait passer de la categorie des espaces etales sur T
a celle
des faisceaux sur T, Ie foncteur L fait passer de la categorie des prefaisceaux sur T Le foncteur en anneaux semble
r
r
a celle des espaces etales sur T, soit (F, p) un espace etale en groupes abeliens (resp.
a element unite) sur T; pour chaque ouvert U , T,
l' en-
(U, F) des sections continues U ...... Fest muni d'une struc-
ture de groupe abeIien (resp, d'anneau
a element unite); pour V c:. U,
on a un homomorphisme de restriction
f(U,F)..--.. l(V,F), D'ou
un prefaisceau note
r(
,F), ou simplement
r (F),
II est imme-
diat que c'est un faisceau, De plus, si f: F --. FI est un morphisme d'espaces etales en groupes abeliens (resp, en anneaux), f induit, pour chaque ouvert U, un homomorphisme
14
r
(U,F) ~ fW,F') (a sa-
- 13 H. Cartan
a chaque
voir celui qui,
section continue s : U -+ F, associe la sec[' (F) ~
tion f. s : U ...... F '), donc dMinit un morphisme
r .
On a ainsi d~fini un foncteur Le foncteur L: b~1iens
soit G = (G(U),
r (F').
un pr~faisceau de groupes a-
(resp. d' anneaux). Pour chaque t
~
T, soit F Ie groupe t
ab~-
lien (resp. d' anneau)
lim~ G (U), U~
t
limite inductive des G(U) associ~s aux voisinages ouverts U de t, relativement aux homomorphismes
IfVU
p : F -. T la projection
• Soient F Ill. r~union des F t (t ~ T), et On va dMinir sur F une topologie
~vidente.
qui fera de (F, p) un espace
en groupes
~tal~
neaux). Pour chaque ouvert U
c::
ab~liens
(resp. en an-
r E G(U),
T, et chaque
soit
U ---. F
l'application qui,
a chaque
limite inductive F t ;
Sy
t E U, associe l'image de }
dans la
est une section de F au-dessus de U. DMi-
nissons, sur F, la topologie la plus fine rend ant ces sections continues; pour cette topologte, les sr tal d'ouverts
de F, et on
v~rifie
(U) forment
un
syst~me
fondamen-
que (F, p) est alors un espace
~tal~
en groupes ab~liens (resp. anneaux): Soit maintenant G ~ G I un morphisme de prMaisceaux; les homomorphismes F --. F' t
passage paces
a la
~tal~s
t
obtenus par
limite inductive dMinissent un morphisme F --.. F I d'esen groupes
ab~liens
(resp. en anneaux). Ceci
15
ach~ve
de
- 14 H. Cartan
d~finir
Ie foncteur L • Avec les notations pr~c~dentes, l' application
!_
s rest
un homomorphisme du groupe (resp. anneau) G(U) dans Ie groupe (resp. anneau) des sections continues du faisceau F au-dessus de V :
G(V) --+
r
(V, L(G) ) •
Quand V varie, ces homomorphismes definissent un morphisme de faisceaux: ceau
associ~
G
~
pr~
r L(G) • Le faisceau r L (G) s'appelle Ie fais-
a. G •
Soit maintenant F un espace
etal~
quelconque en groupes
ab~
liens (resp. anneaux). Si f: L (G) -+- F est un morphisme d' espaces ~tal~s
en groupes
ab~liens
G
(resp. anneaux), Ie morphisme
--+
rL(G)
compos~
f(f)
est un morphisme de prefaisceaux; d'oil une application
(2. 1)
Hom~t. (L (G), F) ~ Hom pref . (G,
elle est naturelle vis-a.-vis des morphismes G -+ v~rifie
r
c' et
(F) ) ;
F ~F'. On
aussitOt que l' application (2.1) est une bijection. Elle fait donc
des foncteurs L et
r
particulier, prenons G =
des foncteurs adjoints au sens de Kan. En
r
(F) dans (2.1); au second membre, on a
un ~1~ment privil~gie de Hom (
r (F), .r (F)),
a. savoir Ie morphis-
me identique; alors (2.1) lui associe un morphisme
16
- 15 -
H. Cartan (2.2)
L
d~fini
r
(F) - . F,
naturellement pour tout espace
~tal~
que (2.2) est un isomorphisme d'espaces G est un faisceau, Ie morphisme G ~
F. On prouve facilement
~tal~s.
D'autre part, lorsque
r L (G) est un isomorphisme
de faisceaux. De tout ceci il teur de la l~s,
cat~gorie
que si on considere L comme un fonc-
r~sulte
des faisceaux dans la
r
les foncteurs I et
de
cat~gories
r
L avec
entre la
d' anneaux) sur T, et la
des espaces
sont inverses l'un de l'autre
a un isomorphisme naturel de L r phisme naturel de
cat~gorie
avec
l'identit~).
~ta
(i. e. : on
et un isomor-
l'identit~,
Ceci definit une,
~quivalence
des faisceaux de groupes aMliens (resp.
cat~gorie cat~gorie
des espaces
~tal~s
en groupes aM-
liens (resp. en anneaux) sur T. D~sormais, par abus de langage, on dira "faisceau" au lieu
d' "espace ~tal~lI. TantOt Ie point de vile des faisceaux est plus commode, tantOt c'est Ie point de vue des espaces
~tal~s.
Par exemple,
si Test une vari~t~ analytique complexe, on confondra Ie faisceau (j des fonctions holomorphes, avec l'espace ~tal~ en anneaux ~tant
l' anne au des germes
~ ( crt
de fonctions holomorphes au point t , T).
Faisceau constant: soit g un groupe
ab~lien.
On va
d~finir
Ie faisceau
constant de groupe g, sur l' espace topologique T, en adoptant par exempIe Ie point de vue des espaces
~tal~s:
on munit g de la topologie dis ..
crete, on prend pour F l'espace topologique produit T x g, pour p la premiere projection T x g ~ T ; chaque fibre s'identifie
a g,
ce qui
definit la structure de groupe aMlien des fibres. On note aussi g Ie faisceau constant defini par g. On definit de meme Ie faisceau constant
17
- 16 -
H, Cartan
associe
a un anne au, On dit qu'un faisceau sur T est trivial s'll est isomorphe
a un faisceau constant, 3, Faisceau de modules sur un faisceau d'anneaux • Desormais, on se donne un espace topologique T et un faisceau d'anneaux
A (il s'agit d'anneaux commutatifs
a element unite).
On adopte Ie point de vue des espaces etales, bien qu'on emploie Ie mot "faisceau". D~finition:
on appelle faisceau de A-modules un faisceau
de groupes abeliens F, muni de la donnee, pour chaque t E T, d'une structure de A -module sur la fibre Ft ; ces donnees sont assujetties t . a la condition suivante : l' application
definie par la multiplication, dans chaque fibre F t' par les scalaires de At' est continue, Si F et F' sont deux faisceaux de A-modules, on appelle morphisme f: F ~ F I un morphisme de faisceaux tel que, pour chaque t €
T, l' application f : F ~ F' soit A -lineaire. t t t t Les faisceaux de A-modules forment ainsi une categorie. El-
Ie possMe un element privilegie: Ie faisceau A lui-meme, considere com me faisceau de A-modules (chaque anneau A etant considere comme t
At -module au moyen de la loi de multiplication). La theorie des faisceaux de A-modules contient, comme cas particulier, celle des faisceaux de groupes abeliens : elle correspond au cas 18
- 17 -
H. Cartan ou A est Ie faisceau constant Z (anneau des entiers). Soit F un faisceau de A-modules (on adopte iei Ie point de vue des espaces etales); un sous-faisceau F' est un sous-espace ouvert
P)ll T, tel que, pour chaque t ~ T, la
de 1'espace etale F
fibre F ~
soit un sous- module du A( module Ft' Alors l' application
A xT F ~ F definit, par restriction, une application A xT F'~ F' qui fait de F' un faisceau de A-modules. Soient F un faisceau de A-modules, et F' un sous-faisceau comme ci-dessus. Le faisceau-quotient F IF I est defini comme suit: sa fibre au-dessus de t est Ie At-module quotient F /F: ' et sa topologie est la topologie-quotient de celie de F, pour l' application canonique F - - .
F/F'.
F/F'
On verifie que
est bien un faisceau de A-mo-
dules, et que la propriete suivante a lieu: pour tout t e T, et toute section continue s : U ~ F/F' au-dessus d'un ouvert U contenant t, il existe un ouvert V tel que t EVe U, et une section continue tr:
V ~ F , telle que la section composee V...!...... F ---+ F IF' soit egale
a la
restriction de s
a v.
En revanche, il n'existe pas neces-
sairement de section continue U ~ F telle que la composee U - . F --+ F IF' soit egale
a s.
Noyau, image, conoyau:
soit u: F
~
G un morphisme de
faisceaux de A-modules (sur 1'espace T). Pour chaque t f T, soit Ker ut C F t Ie noyau de 1'application:oI\-lineaire ut : Ft ~ Gt • On verifie que les Ker ut ' quand t parcourt T, forment un sous-faisceau de F; on l' appelle Ie noyau du morphisme u, et on Ie note Ker u. De mame, la collection des 1m ut C Gt est un sous-faisceau de G, appele 1'image du morphisme u, et note 1m u. Enfin, Ie faisceau quotient G/lm u s'appelle Ie conoyau de u, et se note Coker u •
19
- 18 H. Cartan
Soit F
~
G
~
H une suite de faisceaux de A- mo-
dules et de morphismes. On dit que c'est une suite exacte si
1m u
= Ker v.
Ceci exprime que, pour chaque t € T, la suite de A - modules et d' apt
plication At -lineaires
est exacte, Si u : F
~
G est un morphisme, on a les deux suites exactes
o ---. o --+-
Ker u -+ F 1m u
~
--+- 1m u
_
0,
G ---. Cokei' u
-+ 0 ,
qui fournissent la decomposition canonique du morphisme u, Enfin, soit (F.J.
111
I une famille de faisceaux de A-modules,
On appelle somme directe de cette famille, et on note faisceau dont chaque fibre est la somme directe
$ i EI
d'une topologie evidente,
EB
F., Ie iE I 1 (F)., muni t
1
Exemples de faisceaux de A-modules et de morphismes. Exemple 1 : soit Tune variete differentiable Coo; soit
It Ie
faisceau constant defini sur T par l'anneau (corps) des nombres reels, et soit, pour chaque entier n
~ 0,
n n Ie faisceau des formes
dif-
ferentielles (reelles) de degre n, et de classe Coo, On definit la suite de morphismes
20
- 19 H. Cartan
(3. 1)
o~ lR
~
1"'\0
--~.l.
d rll --+ ~L
rl n
--i" ••• ~ .U.
d
--+-~
nn+l
-+ ... ,
ou d est induit par l'operation de differentiation exterieure des formes differentielles, et i est l'inclusion (qui, a. tout element c € JR, associe Ie germe de fonction constant egale exacte, en vertu du
theor~me
toute forme differentielle
w
a c).
La suite (3.1) est une suite
classique de Poincare qui affirme que de degre n} 1, dans un ouvert U, telle
que d w = 0, est, au voisinage de chaque point de U, egale
a la
dif-
ferentielle exterieui e d 'une forme de de gre n-l, Exemple 2:
T designe une variete analytique complexe,
if
Ie faisceau des fonctions holomorphes; soit.fl p, q Ie faisceau des formes differentielles (complexes) de type (p, q), c'est-a.-dire qui, avec des coordonnees locales complexes z 1" .. , zn' s' expriment comme sommes de formes f(z) dz. A ... 11
"
dz. A dz. A ... "dz. . Ip J1 lq
,
f etant de classe Coo. Soit d" l'operateur de differeritiation exterieure parHelle (note aussi souvent
0 ) qui, a chaque
forme
associe la composante de type (p, q+1) de dw •
w
orr a
de type (p, q),
la suite de fais-
ceaux
(3.2)
0 ---.
....
rr ~ ~,o ~ st' 1 __d_".~ ••• ~
/"lO,n
..JL
d"
f"'I0,n+1
--~~~..JL
~
..•
Le morphisme jest defini par !'inclusion de l' anne au des fonctions ho-
21
- 20 H, Cartan
lomorphes dans 1'anneau des fonctions complexes de classe COO; on sait que si fest une fonction complexe de clas se COO dans un ouvert U, la condition d"f=O exprime que fest holomorphe. La suite 1"'10,0 d" "'" f"'\~, 1 v -------.-- J'T -1 'est done exacte, De plus, si on
/r'.-L........
considere tous les faisceaux de la suite (3,2) comme des faisceaux de
cr
-modules, les morphismes d" sont des morphismes dans la cate-
if -modules,
gorie des faisceaux de
puisque d"f = 0 pour une fonc-
tion holomorphe f, Enfin, la suite (3,2) est une suite exacte,
en ver-
tu du theoreme de Grothendieck-Dolbeault, qui. est pour d" l' analogue du theoreme de Poincare pour d: si une forme differentielle w type (p,q) (q~ 1), dans un ouvert U, satisfait
a d"w
= 0, alors,au
voisinage de chaque point de U, il existe une forme differentielle de type (p,q-l), telle que d"
W
de
W
W,
Il n' est pas possible de donner ici la demonstration de ce resultat; mais, en raison de son importance, on va enoncer deux theoremes precis, dont il resulte : Theoreme 3.1. -
Considerons, dans 1'espace t
n
= (;x ... xt,
Ie produit K = K 1 x .•• x Kn de n compacts K\. (un dans chaque espace facteur f:). Soit
GO
de classe Ck (n-q
une forme differentielle de type (P, q) (q
~
1)
~
< k ~ + (0) au voisinage de K, Si d" co = 0 au voi-
sinage de K, il existe, dans un voisinage de K (eventuellement plus petit), une forme differentielle Ck-(n-q) , t e 11e que d" Co
= I. .......\
~
I
de type (p, q-l) et de classe
• • de K • au vOlsmage
Ce theoreme se prouve, par un procede de recurrence,
a
partir du lemme suivant : Lemme, - Soit f(z) une fonction d'une variable complexe z, k
bornee et de classe C
(k ~ 1) dans un ouvert borne D C
22
«:.
Alors
- 21 -
H. Cartan
l'int~gra1e
ff
1
211"i
f(t) dt " dt t - z
= g(z)
D
a un sens, la fonction g(z) est
born~e
k
dans D, de classe C , et on a
d"g = f(z)d! • Si en outre f est fonction' de c1asse Ch de certains parametres
r~els
(resp. est fonction holomprphe de certains parametres
complexes), il en est de mGme de g.
Th~oreme 3.2, -
Consid~rons, dans l'espace tn, Ie produit
U = U1 x , " x Un de n ouverts Ui (un dans chaque facteur t), Soit
(J,)
une forme diff~rentielle de type (p,q) (q ~ 1) et de classe COO dans U, telle que d" CAl Ie
w
= 0, Alors il existe, dans U, une forme diff~rentiel
,~(p,q-l) et de c1asse Coo, telle que d"e;, =W
dans
U,
Ce
th~oreme
ee
d~duit
du tMoreme 3, 1 en appUquant ce der-
nier A des produits de compacts Ki CUi' puis en faisant un passage A la limite qui utilise des
th~oremes
d' approximation pour les fonctions
holomorphes, S i on ne veut pas utiliser Ie tMoreme d'approximation de Runge dans Ie cas Ie plus Ie
th~oreme
g~n~ra1,
on peut se borner A prouver
3, 2 dans Ie cas ou les Ui sont des disques ouverts de t ;
ce cas suffit pour la suite, et les tMoremes A et B (voir ci-dessous) permettront ensuite de
r~cup~rer
4, Faisceaux
•
coh~rents
Ie tMoreme 3,2 dans Ie cas
g~n~ra1.
Comme au nt. 3, on considere, sur l'espace T, des faisceaux
23
- 22 -
H. Cartan
de A-modules, A etant un faisceau coherent d'anneaux. Si F est un tel faisceau, un morphisme f : A section continue f; u peut
~tre
u £
r
~
Fest defini par la donnee de la
(T, F), image de la section-unite de A par
choisie arbitrairement, et definit, pour chaque t '" T,
l' application ft : At - . F t par A( linearite.
Designons, pour p entier
> 0,
par AP Ie faisceau de A-mo-
dules, somme directe de p faisceaux isomorphes a A. Un morphisme AP~ Fest defini par la donnee de p sections continues de F. Pour que f:
AP ~ F soit surjectif, c'est-a-dire de co-
noyau 0, il faut et il suffit que les p sections sl' ••• ' sp
e
r
(X,F)
qui definissent f jouissent de la propriete 8uivante: pour tout t £ T, tout element de F test combinaison lineaire, a coefficients dans At' de s I' ••• , s p (ou, plus exactement, des images de s l' .•• , s p par l' application canonique
r
(X, F) ~ F ) . t
Dans ce qui suit, nous suivons Ie mode d'exposition dO a Serre [1~ . Definition:
un faisceau F de A-modules est de type fini
si tout point t € T possede un voisinage ouvert U jouissant de la propriete suivante: il existe un entier p et un morphisme surjectif (A I
ul ~
FI U (FI U designe la restriction du faisceau F au sous-
espace U C T : de m~me pour AI U). La propriete, pour un faisceau de A-modules,
d'~tre
de type
fini, a donc un caractere local. Definition:
un faisceau F de A-modules est dit coherent
s'il est de type fini, et s'il satisfait en outre a la condition (a) pour tout ouvert U C T, et tout morphisme (AI U)p ~ FI U, Ie noyau de ce morphisme est un faisceau de type fini (dans U).
24
- 23 -
H. Cartan La ract~re
propri~t~J
pour un faisceau, d'etre coherent, a un ca-
local. Tout sous-faisceau de type fini d'un faisceau coherent est
coherent:
c' est trivial, d' apr~s la condition (a), Toute extension d'un faisceau coherent par un faisceau co-
herent est un faisceau coherent:
cela signifie que si on a une suite
eXacte
I " ~O, 0-7'F~F---'rF
et si F I et F" sont coherents, F est coherent. En particulier, la somme directe de deux faisceaux coherents (done d'un nombre fini de faisceaux coherents) est un faisceau coherent. Soit u : F -+ G un morphisme, F Alors l(er u, 1m u
~
~
G etant coMrents,
Coker u sont des faisceaux coherents.
Toutes ces proprletes se prouvent sans difficulte (cr,
[13J ).
Elies permettent de travailler avec les faisceaux coherents: en fait, 11s forment une "categorie abelienne", L'interet de la notion de faisceau coherent est que ceux-ci permettent de passer
d~
proprietes ponctuelles
a des proprietes locales.
Par exemple :
u v Proposition 4, 1, - Soit F ---+ G --+ H une suite de faisceaux coherents et de morphismes. Si, en un point t, la suite Ft
Ut
~
Gt
Vt
:> Ht est exacte, 11 en est de me me en tous les
points suffisamment voisins, En effet, Ie faisceau Ker (v 0 u) est un faisceau coherent M; c'est un sous-faisceau de F; Ie faisceau coherent F/M est nul au point
25
- 24 -
H. Cartan
t par hypothese, donc il est nul en tout point t I assez voisin de t
(parce qu'il est de type fini). Cela signifie que vt'o Uti
= 0 pour t'
assez voisin de t, donc que 1m u C Ker v dans un voisinage de t. Dans ce voisinage, Ker v/1m u est un faisceau
coh~rent
; ce
f~isceau
est nul au point t, donc nul dans un voisinage de t. C.Q.F.D. Jusqu' a .pr~sent, rien ne gar ant it l' existence de faisceaux coherents, .en dehors du faisceau nUl. Mais supposons que Ie faisceau A soit
coh~rent
(co:.nme faisceau de A-modules). Alors, pour tout
entier p> 0, AP est
coh~rent; Ie conoyau de tout homomorphisme
Aq ~ AP est donc un faisceau coh~rent. On obtient de cette maniere tous
les faisceaux
coh~rents,
au moins localement (et
phisme pres). Autrement dit, si F est
coh~rent,
a un
isomor-
tout t E. T possede un
voisinage ouvert U dans lequel il existe une suite exacte'
cela r~sulte des dMinitions, et c'est vrai m~me sans supposer que A soit
coh~rent.
Explicitons la condition: "A est coh~rent". Cela exprime
a la
que A satisfait
condition (a) (car A est
~videmment
de type fini) :
quel que soit I ouvert U C T, et quelles que soient les sections conI
tinues sl"'" sp E
r W, A) en nombre fini,
Ie fais.ceau des relations
entre sl"'" sp est de type fini dans U. [on appelle "faisceau des relations" Ie sous-faisceau NeAP tel que, en chaque point t E U, Nt se compose des (c 1, ••• , c ) € P
(A)P t
satisfaisant
a ..E... c. s. = 0 .2..... 1 1 i =1
26
- 25 H, Cartan
dans I' anneau At] , THEOREME D'OKA, - Si
rr
est Ie faisceau des fonctions
holomorphes sur une variete analytique complexe,
rY
est un faisceau
coherent d' anneaux, Comme la question est locale, on peut se borner a un ouvert de (;n , 11 suffit donc de montrer que, dans (;n,
(J'
est un faisceau
coherent, Or ceci est vrai, plus generalement, si on remplace Q:: par un corps value complet, non discret, K: dans Kn , Ie faisceau des germes de fonctions holomorphes (c'est-a-dire des germes de fonctions developpables en series entieres convergentes) est un
faisceau cohe-
rent, La demonstration est trop longue pour par ex,
[1]
[4] );
et
~tre
donnee ici (voir
elle utilise Ie theoreme de preparation de
Weierstrass, Quand on parler a de faisceaux coherents sur une variete analytique complexe, il sera toujours sous-entendu qu'il s' agit de faisceaux coherents de
if -modules, if
designant Ie faisceau des fonc-
tions holomorphes, Corollaire du theoreme d'Oka, - Soit F un faisceau coherent sur une variete analytique complexe T, Soit t E T, et supposons que Ie
()t
module F t admette une resolution libre de type fini et de longueur ~
p , Alors t possede un voisinage ouvert U dans lequel i1 existe une
resolution libre, de type fini, de longueur :( p, du faisceau
(4, 1)
o -"?-
Xp
~ Xp_ 1~'" ~ Xl~
X0 - .
FI U :
FI u --+ 0
,
Cela signifie que chaque faisceau X. est isomorphe a un fais1
27
- 26 H. Cartan
ceau (:'IU)Pi, et que la suite (4.1) est exacte, D~monstration:
par
hypoth~se,
on a une suite exacte de
a:-modules:
Le
th~or~me
d'Oka entratne
imm~diatement
qu'il existe un voisinage ou-
vert V de t dans laquelle cette suite se prolonge en une suite de morphismes de faiscea1..x
Comme, par
la suite est exacte au point t, elle est exacte
hypoth~se,
aux points t' assez voisins de t, par application r~p~t~e (finie) de la proposition 4. 1. Si donc U est un ouvert assez petit contenant t (et contenu dans V), on aura une suite exacte de faisceaux
ce qui
~tablit
Ie corollaire.
Compte tenu du applicable pour p=n, n
th~or~me
d~signant
1. I, Ie corollaire
la dimension (complexe) de la
analytique complexe T, Donc tout faisceau sinage de tout point, une ~
n, On
d~montrera
pr~c~dent
r~solution
coh~rent
est vari~t~
F admet, au voi-
libre, de type fini, et de longueur
plus loin (n: 6) l'existence glob ale d'une telle
r~solution au voisinage de tout cube compact de q:n (c'est-~-dire d'un produit de 2n intervalles compacts de m2n
28
identifi~ ~ (:n ),
- 27 H. Cartan
5. Cohomologie
a coefficients
On se borne ici
[7J . Soit Xun
dans un faisceau de groupes
a un
bref rappel; pour plus de
ab~liens
voir
d~tails,
donn~ une fois pour toutes.
espace topologique,
•
A
chaque faisceau F de groupes aMliens, sur X, associons Ie groupe
.r (X, F)
ab~lien
des sections continue~ de F au-dessus de X; et
a
chaque morphisme F --. F/:, l'homomorphisme qu'il dMinit. On dMinit ainsi un foncteur covariant de la
cat~gorie
des faisceaux (de groupes ab~liens) dans la cat~gorie des groupes aCe foncteur est exact
b~liens.
o~ F
I
~
F
~
F"
est exacte
r (X,F / )
dans Ie sens suivant : si
-+ 0 est une suite exacte de faisceaux,
la suite des homomorphismes
o~
a gauche, associ~s
--.. f(X,F)
(v~rification imm~diate).
En revanche, g n'est pas
sairement surjectifj et c' est ce fait qui conduit
a introduire
n~ces
les "fonc-
teurs d~riv~s" du foncteur "section", qui sont pr~cis~ment les groupes de cohomologie Hn (X, F) • En voici une
caract~risation axioma-
tique : Pour chaque entier n ~ 0, Ie groupe aMlien Hn (X, F) est un foncteur covariant (additif) du faisceau F ; pour chaque suite exacte
(5.1)
o ___
F'
~
F
~
F"
~
on suppose donn~s des "homomorphismes de connexion"
29
0
- 28 -
H. Cartan
n
qui
d~pendent
donn~,
~
0,
fonctoriellement de la suite (5. 1). Enfin, on suppose
pour chaque faisceau F, un isomorphisme HO (X,F) ~
fonctoriel en F. Les
r
(X,F) ,
dOM~es pr~cMentes
sont assujetties
a deux con-
ditions : (i) pour toute Buite exacte (5.1), la suite
...
~
Hn(X,F I
)
~
Hn(X,F)--,," Hn( X,F ")
sn
~
Hn+l( X,F I ) -+ ...
est exacte ("suite exacte de cohomologie"); (ii) si F est un faisceau flasque (ce qui signifie que, pour
tout ouvert U ex, l'homomorphisme de restriction r(X,F)~nU,F) est surjectif), on a .
pour q :,. 1 • On d~montre qu' il existe de tels foncteurs Hn(X, F); et que si on a deux solutions du probl~me, il existe un unique "isomorphisme" de l'une des solutioris sur l'autre. On peut donc, pour utiliser les groupes de cohomologie Hn(X, F), se contenter de connartre les propri~t~s ci-dessus.
30
- 29 H. Cartan
Pour les "calculer", il est important de connattre Ie theor~me
suivant : Theoreme 5.1. -
Soit une suite exacte (illimitee
a droite)
de faisceaux (de groupes abeliens) (5.2 )
0 --> F
~
Lo
~
L
1
~
.•• _
L
n
~
.•• ,
et considerons la suite de groupes abeliens qu' elle definit
(Cette suite n' est pas necessairement exacte).
Le compose de deux
homomorphismes consecutifs de la suite (5.3) etant zero, cette. suite definit un groupe differentiel gradue
*
*'
J.I I (X. L ) (ou Lest la somme
directe des Ln), dont l'operateur differentiel est de degre +1 • Alors on a des isomorphismes canoniques (dependant fonctoriellement de la suite (5.2) ) :
(5.4)
jouissant de la propriete suivante : si Hq(X, L n)
=0
pour q ~ 1 ~ n 9 0,
les homomorphismes (5.4) sont des isomorphismes. Ce
theor~me,
qui generalise Ie
theoreme classique de De
Rham (voir ci-dessous) se prouve comme suit: decoupons la suite" exacte (5.2) en petites suites exactes :
31
- 30 H~
Cartan
o F -----+ L
o~
etc, " On a
~(r(x. L-)
(5, 6)
= Ker ( r(X. Ln)
-+
r(X. Ln+l) )jIm(r}X. Ln- 1)-+
~r(X.Ln))
~ f(x.z n)).!.
= Coker (f(X.Ln - 1) S· 1 n-l 8 1 ~ H2(X, zn-2 ) ~ --. H (X, Z )
.. ,
sn-l
~
n H (X, F) ,
ce qui d~finit l'homomorphisme (5,4), Si Hq(X, Ln)=O pour q ~ 1 et n ~ 0, la "suite exacte de cohomologie", appliqu~e aux petite.s suites exactes (5,5). montre que dans (5,6) toutes les Ceci
ach~ve
la
Remarque ,-
fl~ches
sont des isomorphismes,
d~monstration,
Tout faisceau de groupes aMliens F
lution du type (5,2), Mais il y a souvent
0,)
poss~de
une
r~so
les Li sont des faisceaux flasques (cf, [7]
int~rat ~
utiliser d' autres
r~solutions,
),
En voici
deux exemples : Exemple 1 ,-
Soit X une vari~t~ dlff~rentiable de classe Coo.
paracompacte (par exemple, quons Ie
r~union d~nombrable
tMor~me pr~cMent ~
de compacts), Appli-
la suite exacte (3,1), On obtient des ho-
momorphismes (5,7)
32
- 31 -
H. Cartan
r (X, 1l~) n'est autre que Ie groupedifferentiel gradue des formes differentielles (reelles) de classe CCO, muni de 1'operateur de differentiation exterieure, De plus on a
pour q
parce que Ie faisceau
e
7J ; Ie fait que
.Jln
..I2.nest
~
1, n
~
0 ,
est ~ et que X est paracompact (d,
a l' existence
mou tient
des partitions dif-
ferentiables de 1'unite), Donc les applications (5,7) sont des isomorphismes
(theor~me
de De Rham),
Exemple 2 • - Soit X une variete analytique complexe, paracompacte,
Appliquons Ie
theor~me
5.1
a Ia suite exacte (3.2). On ob-
tient des homomorphismes
(5.8) ici, ...Q 0,1t
.r(X, SLo ,*
= q~
) est
la somme directe
0
des espaces de formes differentielles de type (0, q), muni de l'operateur d" ; Hn (
r (X, .n..0,I/t) ) est donc ce qu'on appelle Ia d"-cohomologie de
type (0, n). De plus, on a
pour q;:' 1, n
car Ie faisceau
.Il' nest
~
0,
mou, et Ia variete X paracompacte.
II s'ensuit que Ies applications (5.8) sont des isomorphismes
(theor~me
de Dolbeault).
[En fait, Ie
33
theor~me
de Dolbeault donne,
- 32 H. Cartan
plus g~n~ralement, un isomorphisme de la dll-cohomologie de type (p, q)
(J' p,
avec H9 (X, (j p,o),
f~rentielles
°
d~signant Ie faisceau des formes dif-
holomorphes de type (p,OD .
Cons~quence: soit X une vai'i~t~ dont la dll - cohomologie
~
(r (X,
..fLO,. ) ) est nulle pour tout n ~ 1. Alors ~ (X,
cr ) = 0
1. Ceci s'appUque notamment dans Ie cas ou X est un polyk disque de (t , en vertu du th~or~me 3.2. pour n
~
Remarque: les isomorphismes (5.8) de l'exemple 2 sont encore valables, si, au lieu de X, on prend par exemple un compact K ex; on
.1l.0 ' q
consid~re
les faisceaux induits, sur K, par les faisceaux
et ~ de l'espace ambient, et on leur applique encore Ie
th~or~me
5. 1. Corollaire • - Soit, dans l'espace (tn, un compact K. =
= Kl x••• x Kn' produit de compacts Ki dans chacun des espaces fac-
t-eurs. On a
(En effet, d'apr~s Ie tMor~me 3.1, Ia dll-cohomologie de K
•
est nulle pour Ie type (p, q), dh que q 6..
R~solution
d'un faisceau
coh~rent
~ 1) •
n
au voisinage. d'un cube de C •
On va s'inspirer du mode d'exposition dll On se propose de prouver Ie
r~sultat
Th~or~me 6.1. - Soit F un faisceau
a Gunning [8].
fondamental :
(J' -coMrent au voi-
sinage d'un cube compact peen, Alors F possMe, dans un voisinage de P, une
r~solution
libre de type fini, et de longueur ,.;; n: 34
- 33 -
H. Cartan
Tirons tout de suite quelques consequences de ce theoreme. Theoreme A pour un cube compact ,-
Pour tout point x E P, et tout
faisceau coherent F au voisinage de P, !'image de
r(p,F)~ F
x
engendre F pour sa structure de (J -module, x x ----Ceci decoule simplement du fait qu'on a un morphisme surjectif de faisceaux sur P :
compte tenu de l'interpretation de la surjectivite (cf, Ie debut du Theoreme B pour un cube compact. -
n~
Pour tout faisceau coherent F
au voisinage de P, on a
Hq (P, F)
En effet,
decoupons
=0
pour tout entier
(6,2)
o ----->o~
Y 1 ----+ Xo ~ F
Y2
q
~
1 .
la resolution (6, 1) en petites suites
exactes
o~ o ---?
-.~
Y n-l
Xl
--')00
.-+
0
Yl ~ 0
X· ~ Y ~ 0 n-2 n-2
Xn-~ Xn_l~ Yn_l~O
35
4),
- 34 H. Cartan
On a r H (P, X.) 1
=0
pour r
parce que chaque X. est isomorphe 1
isomorphes
a (f ,
et que Hr (P,
~
a une
1
(i=O, ... ,n),
sommeqirecte de faisceaux
rr )= 0 pour r ::,. 1 (cf.
fin du
n~ 5,
corollaire). Alors les suites exactes de cohomologie relatives aux suites exactes (6.2) donnent successivement, pour q
;r.
1,
q( q+l() q+2( ) _. _. q+n )_ H P,F) ~ H P'Y l ~ H P'Y 2 ~ ... ~H (P,Xn -0, ce qui demontre Ie theoreme. Proposition 6.2. - Si on applique Ie foncteur F ~
r (P, F)
~
la suite exacte (6. l), la suite que l' on obtient
est exacte
[on obtient donc un "theoreme des syzygies" pour Ie modu-
r (P, F) sur l' anne au r (P, if ) des fonctions holomorphes sur l~ cube compact P J
le
Demonstration: on applique Ie foncteur-section aux petites suites exactes (6.2); on obtient des suites O~
(6.3)
I
f(p,y l ) ~ r(p,X o ) ---. f(P,F)
~O
0---. r(p'Y2) ~r(p,Xl) --+f(p,y 1 )---.. 0
.. .......... . ... . ..... ... .. 36
- 35 H. Cartan
qui sont exactes, parce que
HI (P, X ) = 0 n en vertu du
theor~me
B ci-dessus. En composant les suites exactes
(6.3), on obtient la proposition 6.2. On va maintenant prouver Ie
theor~me
theoreme suivant, qui depend d'un entier p . ) Theor~me \6.3 • -
cr
un faisceau pOint x
e
~
6. 1. II result era du
0.
n Soient P un cube compact de ([ , et F
p
--
-
-coherent au voisinage de P; Supposons que, en chaque
rfx -module
P, Ie
F x admette une resolution libre de type
fini et de longueur ~ p (cf. n~
1). Alors Ie faisceau F poss~de, dans
un voisin age de P, une resolution libre de type fini et de longueur Admettons pour un istant ce 1.1, Ie module F
x
theor~me.
theor~me
theor~me
p. Donc Ie
theor~me (6.3)
6. 1. II nous reste donc seulement
p
a chaque
fini, de longueur ~ p, du
U
theor~me
a prouver
n Ie
(6.3) , pour chaque p. Attachons
du
Ie
theor~me
point x E P une resolution libre de type
ifx-module
d'Oka, chaque point x E P
F
x
. 0' apr~s Ie corollaire
poss~de
un voisinage ouvert
dans lequel existe une resolution libre de type fini, de longueur
~ p, du faisceau F
Iv.
Vn raisonnement de compacite et un quadril-
lage convenable du cube montre alors que Ie theor~me (6.3)
p
sera de-
montre si nous savons resoudre Ie probl~me elementaire de "recollement" que voici : Probl~me
p.
admet une resolution libre de type fini et de longueur
~ n, et ceci quel que soit Ie point x E
entrafne Ie
D'apr~s
~
(p) . -
Consicterons, dans IR
37
2n
= lR x IR
2n-l
,deux
- 36 H, Cartan
cubes P " = I x Q et P "=" I x Q,
.\ OU
. I I et I " d~t'slgnent deux segments con-
tigus de JR, et Q un cube compact de lR 2n-1; soit P = pi U p" = I x Q , avec I = I' U I" (P est donc un cube compact, et I' () I" est r~duit
1a 1
un point ~, de sorte que pi ("\ p" est un cube
x Q), Soit F un
faisceau coherent au voisinage de P, Supposons :.onnue une libre, de type fini et de longueur
~
~
r~solution
p, du faisceau F dans un voisina-
ge de p' ; et de m~me dans un voisinage de p", dans un voisinage de P, une
a
r~solution
n s'agit
de constuire,
libre, de type fini et de longueur
p, du faisceau F, On va prouver, par
est soluble, La
r~currence
r~currence
sur p,
commence avec p
probleme (0) n'est nullement
~vidente.
= 0;
que Ie probleme (p) mais la solution du
Dire que Ie probleme (0) est so-
luble, c' est dire que tout faisceau coh~rent F dont la restriction et la restriction
a p"
a pi
sont des faisceaux libres, est lui-m~me un fais-
ceau libre au voisinage de p, La solution du probleme (0), puis la
d~monstration
de la
r~-
currence, utilisent Ie : Lemme sur les matrices holomorphes inversibles, les notations
pr~c~dentes,
soit M une matrice
carr~e (a
Avec
q lignes et q
colonnes) holomorphe au voisinage de p' ("\ p", et inversible (i, e, dont Ie d~terminant est
f
0 en tout point de pi" p", donc en tout point d'un
voisinage), Alors il existe une matrice M' (a q lignes et q colonnes) holomorphe et inversible au voisin age de pI, et une matrice M" (a q lignes et q colonnes) holomorphe et inversible au voisinage de p", telles que l' on ait
M = M"
0
M' -1
dans un voisinage convenable de p'" p",
38
- 37 H, Cartan
Nous ne d{!montrons pas ce lemme ici, et renvoyons a [3] ' ainsi qu'a un livre annonc{! de Gravert -Remmert, qui contient une d{!monstration simplifi{!e de ce lemme, On va maintenant r{!soudre Ie probleme (0), Soit
If': dql~F un isomorphisme de faisceaux au voisinage de pI, et soit
If "
/'f'q"
V
---9>'
F
un isomorphisme de faisceaux au voisinage de p", Dans un voisinage convenable de p',.. pI!, on peut consid{!rer l'isomorphisme
L'existence d'un tel isomorphisme implique d'abord ql =q"; soit q leur
Cf ,,-1 0 'P':
valeur commune, Alors sections continues de
(fq
-dq
est dMini par q
(Jq au voisinage de pI f"I p", c'est-a-dire par
une matrice holomorphe M (a q lignes et q colonnes) au voisinage de P I,.. p",Comme
ID,,-I ... ,. ..
lDI T
"lsomorp h"lsme, M es t"mv e rSl"ble , estun
D'apres Ie Iemme pr{!cMent, on a M = M"
(0" "f
0
M" --
lD' ... M' 1"
0
(j q -+ 39
,d'ou
" " de pi" au vOlsmage , 1 p"
Or Ie premier membre est un isomorphisme pI, et Ie second un isomorphisme
1-1
M
if q ~ F
,
au voisinage de
F au voisinage de p",
- 38 H. Cartan
Puisque ces deux isomorphismes coincident au vOlsmage de p' f'I pI!, ils dMinissent, dans un voisinage convenable de P
(J q -+ F, Ceci resout Ie probleme
morphisme
Soit maintenant p
= pi U pI!, un iso(0).
1, et supposons que Ie probleme (p-l) soit
~
resoluble pour tout faisc eau coherent F au voisinage de P
= pI V pI!,
On va montrer que Ie probleme (p) est resoluble, Par hypothese, on a deux suites exactes de faisceaux:
(6,3)
j ° ~ Nt ° Nil ~
c.p'
~
o-ql --'--"""''''
F
-'---t-)o
rJ ql! _-=----+,. c.p"
F ~
11" If 1/
-+0 au
voisinage de pI,
°au voisinage de pI!,
et Ie faisceau N' possede une resolution libre de type fini, de longueur ~ p-l, au voisinage de pI, tandis que NI! possede une resolution libre,
de type fini, de. longueur ~ p-l, au voisinage de pI!, Passant aux sections continues au-dessus de p' () pI!, on obtient deux applications surjectives
(cf, proposition 6,2) f' pI! , 0' qI ) ~ r(p' f'I P",F)
pI! , (J ql!)
II existe donc une application
g:
telle que fl!
0
r (p' "
pI!,
-4 r (pJ"
r (pi 0" q
I
fl
)~
pl!,F) ,
if )-lineaire
pI!,
r (P n I
pI!,
if q
I!
)
g. = f' ; une telle g est definie par les images des q' ele-
ql ), ments de base (1,0, ... ,0), (0,1,0, ... ), .. ,,(0, .. ,,0,1) de r(p'(,,\ pI!, I! qui sont q' sections de ()' q au-dessus de p'" pI! (donc au-dessus d'un
cr
40
- 39 H. Cartan
voisinage de pi" pll). Ces ql sections definissent un morphisme de faisceaux
t '1 es t 'Imm","'d'lat que dans un VOl'sl'nage de p'" • lpll, eI
If"o'A ='f'
(6.4)
au voisinage de p' () pll.
Pour la m@me raison il existe, au voisinage de p' f'\ pll, un morphisme
tel que
If' 0 f
(6.5)
\f"
=
au voisinage de pI" pll.
Des suites exactes (6.3) on deduit les suites exactes
O~N'$ (J'q (6.6)
o~ (} q'•
II
N
II
(
I
1)
I
If,~ (J~e (/q
(1, ",")
I'q'
> V
II
(..,'
,
0)
~F-+OauvoisinagedeP:
. .-tI" (0, 'l' ") ,, II $ (, ,. F -'" 0 au vOlsmage de P • II
Observons que, au vblsinage de pI, Ie faisceau N'. (/q solution libre de type fini, de longueur ceau
d qI ~
~
p-l; de
m~me
admet une repour Ie fais-
Nil au voisinage de p".
J e dis que, au voisinage de pI" pll, il existe un isomor-
41
- 40 H. Cartan
tel que
(0. lp ") 0 J)
(6.7)
Pour dMinir
= (
'P' .0) au voisinage de
)) • il suffit de dire comment il I
(x' • x") de sections de
(/ q et
(J q
pI" p".
op~re
sur les couples
II
; posons
V(x'.x") = (x'- IAx". '>.x'+x"- Afx ll ). ou ~
et
ont ~t~ d~finis plus haut. On v~rifie aussitllt (6,7) en uti-
fA"
lisant (6,4) et (6.5); et on prouve que exhibant l'isomorphisme
r~ciproque
(x'.x")-... (x'+ D'apr~s
vest un isomorphisme. en
fA x"- f-A x'. x"-
'),x/).
Ie lemme sur les matrices holomorphes inversibles. on a
v = Mil
0
M
1-1
au voisinage de p'" pll.
ou M I (resp. Mil) est une matrice holomorphe inversible (fl. q lignes et q colonnes. q=q' +q") au voisinage de pI (resp. pll). La relation (6,7) donne alors
(0.
'P")
0
Mil = (0.
'P')
0
42
M' au voisinage de p'
n p".
- 41H. Cartan
II existe done, dans un vOlsmage de p=p I U pll, un morphisme
oq-+
t.p ")
F, qui coincide avec (0,
avec (0,1/' )
0
M' au voisinage de
pl.
Mil au voisinage de pll, et
0
Ce morphisme
If
tif; soit N son noyau. Au voisinage de pI, Nest isomorphe au voisinage de pll, Nest isomorphe
aN
la solution du
probl~me
If:
,
a (Jq e
est surjec-
aq;
a N' $
Nil. Appliquons alors
(p-1):. on voH que N admet, au voisinage de
P, une resolution libre de type fini et de longueur p-l. La suite exacte
o
O'q ---+
-+- N ~
F
---+
0
fournit alors une resolution de F au voisin age de P, resolution qui est Hbre, de type fini et de longueur
~
p.
Nous avons ainsi demontre Ie en particulier Ie
7.
Theor~mes
theor~me
(6.3)
p
pour tout p;
6.1 est etabE,
theor~me
A et B : passage
a
la'limit.e •
Au numero precedent, nous avons etabli deux
theor~mes,
de-
signes sous Ie nom de l'theor~me A" et de "theor~me B", pour les cubes compacts de tn, On se propose d'etablir des theor~mes analogues dans d'autres cas. Nous adopterons Ie langage suivant: nous dirons que les
theor~mes
A et B sont vrais pour un ouvert U (d'une variete analy-
tique complexe X) et un faisceau coherent F sur U, si Ies assertions suivantes sont vraies: (a) l'image de F , quel que soit x
x
(£
r
(U, F)
-~ F engendre Ie x
{/' - module
x
U;
(b) Hq (U, F) = 0 pour q ~ 1 • Proposition 7.1 -
Si U est un polydisque relativement compact
43
- 42 H. Cartan
de (];n, et si F est un faisceau coherent au voisinage de I' adherence U, les theoremes A ~ B sont vrais pour U ~ En effet, on sait que Hr (U, ()' )
FI U •
= 0 pour r ~ 1 (cf. la fin
du n~ 5), Par ailleurs, tout voisinage V de U contient un produit de disques ouverts U1 x.•• x Un contenant U; par une transformation conforme sur chacune des variables complexes, on se ramene au cas ou U1" " , Un sont des carres ouverts; il existe donc un cube compact P
-
contenu dans V et contenant U • Si F est un faisceau coherent au voisinage de U, F est COherent dans un V, donc au voisinage d'un cube compact P contenant U, D'apres Ie tMoreme 6.1, il existe, au voisinage de P (donc au voisinage de et de longueur
~
'IT)
une resolution libre de F, de type fini
n, ·On peut la restreindre
Ie theoreme A est vrai pour U et phisme surjectif de faisceaux (
a l' ouvert
11 U parce
U, Cela etant,
que, dans U, on a un mor-
d IU)p --+ FI U,
Quant au theoreme B,
il se demontre comme dans Ie cas du cube (cf. n~ 6), compte tenu du
fait que HZ(U,
if) = 0 pour
r ~ I,
La proposition 7,1 n' a qu'un
inter~t
transitoire. On verra en
effet plus loin que les theoremes A et B sont vrais pour tout polydisques ouvert U (non necessairement borne) et tout faisceau coherent F sur U, Mais, pour Ie demontrer, il reste celle du passage
a la
a surmonter
une nouvelle difficulte:
limite, D'une fa<;on precise, on se propose de
prouver Ie theoreme suivant: Theoreme 7.2, - Soit X une variete analytique complexe, reu.nion d'une suite croissante. d'ouverts U.• relativement compacts, tels que 1
~ C Ui+1' Supposons que:
(i) pour tout i, 1'image de 1'homomorphisme de restriction
44
- 43 -
H. Cartan
r
r1 ) ~
(X,
r
(U., 1
if )
soit dense (pour la topologie classique de l' espace des fonctions holomorphes dans D. : celle de la convergence uniforme sur les compacts 1
de D.) ; 1
(ii) pour tout i, les theoremes A
~
B soient vrais pour D.
1
et pour tout faisceau coherent F au voisinage de D.• 1
Alors les theoremes A et B sont vrais pour X et pour tout faisceau coherent F sur X • Avant de pouvoir prouver ce theoreme,' quelques preliminaires topologiques sont indispensables. Ils font l'objet des numeros 8 et 9. Auparavant, signalons tout de suite une premiere consequence du theoreme 7.2 : Corollaire. - Les theoremes A et B sont vrais pour tout polydisque ouvert D C. I{:n, et tout faisceau coherent F sur D. En effet, D est reunion d'une suite croissante de polydisques concentriques D. tels que U. C D. 1 ; les theoremes A et B sont vrais 1
1
1+
pour D. parce que F est coherent au voisinage de 1
U.1
(cf. prop. 7.0,
On applique alors Ie. theoreme 7.2 •
8. Topologie des modules de type fini sur l' anne au des series convergentes
an
variables.
Dans ce numero,
A
designe l' anneau K
I
Xl' ••• , xn ~ , ou
K est un corps value complet, non discret. Par module, on entend un
A -module
de type fini.
On se propose de munir chaque module d'ur.e
topologie tres faible. D' abord, on munit
J"-
de la topologie de la convergence
45
- 44 H, Cartan
A
simple des coefficients: un ~h~ment de vergente)
an
est une s~rie entiere (con-
variables; donc est defini par les coefficients de cette
rie; ceci identifie
A a une
s~
f
partie de K1, avec I = Nn (N= 0,1,2""
et 1'on munit KI de la topologie-produit
(chaque facteur K
A
de la topologie dHinie par la valeur absolue), et
~tant
1);
muni
de la topologie
induite, Pour cette topologie, l' addition et la multiplication sont des applications continues
.A x A
~.A.
,
Soit M un module; choisissons une application
tive
A p ~ M,
ql.4! identifie M
a un
lin~aire
A p ; on
quotient de
surjec-
munit M
de la topologie quotient, On montre qu'elle est independante de la maniere dont M a application tion
AxM
~t~ ~crit
A
com me quotient d'un module libre, et que toute
-lin~aire M ~ M' est continue, De plus, l' applica-
--. M (qui definit la structure de
A
continue. Enfin,. si M ~ M' est une application jective, la topologie de M' Le seul
r~sultat
-module de M) est
A
-lin~aire sur-
est la topologie quotient de celle de M, non trivial est celui-ci:
Proposition 8.1. -
La topologie de tout module M est
On Ie prouve en mont rant que si on a une application
lin~aire surjective f: aire continue
Ap~
g: M ~
A ),
A-
M, il existe une application K-lin~
A p telle
stence d'une telle g se demontre par riables de I' anneau
s~par~e,
que fog soit l'identit~. L'exir~currence
sur n (nombre des va-
en utilisant Ie th~oreme de pr~paration de
Weierstrass. Corollaire • -
Si N est un sous-module de M, N est
da.'1s M. (En effet, la topologie de MIN e$t
46
s~par~e).
ferm~
- 45 H. Cartan
r
9. Topologie de 1'espace vectoriel
(X,F) des sections d'un fais-
ceau coMrent • X
ici une
d~signe
vari~t~
analytique complexe,
nombrable de compacts. 11 en est alors de
r~union d~
de tout ouvert U de
m~me
X • On se propose de dMinir, pour tout faisceau
coh~rent
et tout ouvert U C X, une topologie d'espace de
Fr~chet
r (U, F),
espace vectoriel
F sur X, sur Ie
c: -
de fa~on a satisfaire aux conditions sui-
vantes : (a) lorsque F = ()
r (U,
topologie de
(faisceau des fonctions holomorphes), la
()' ) est la topologie classique: celle de la con-
vergence uniforme sur les compacts de U ; (b) si Vest un ouvert
r (D,F)
~
r
(V,F) est continue (lin~aire);
(c) lorsque rents, l' application
C U, l'application de restriction
F
~ F' est un morphisme de faisceaux coM-
lin~aire
r (U, F/) induite par ce
r (D, F)
~
probl~me
a une solution et une seule, La
morphisme est continue. On topologie de
d~montre
r
que ce
(U, F) est dMinie comme suit: on examine d'abord Ie
cas d'un "ouvert privil~gi~" U, c'est-a-dire tel qu'il existe, dans un voisinage de U
suppos~
compact, un
syst~me
zl' .... zn pour lequel U est dMini par suite U est dMini par
de
coordonn~es
IZil ~ 1 ( 1 ~ i ~ n), et par
-
1. Au voisinage de U, on
~crit
me quotient d'un faisceau libre, ce qui donne une suite exacte
o~
N ----.+ (fP ~ F --~ 0
47
locales
F com-
- 46 H. Cartan
de faisceaux on a HI
coh~rents
-
au voisinage de U. D' apres la proposition 7. I,
W, N) = 0, donc ,la suite
r (U,
est exacte. L' espace vectoriel
(/p)
=(
r
muni de la topologie classique : c'est un espace de que x
e U,
l' application naturelle
,.
Ox
tinue, lorsque
r w, (J
(U, ()) )p est
'Px ~ ( (Jx )p
p)
dans un voisina-
uniform~ment
ge de x, entratne la convergence de chacune de leurs
J.
Les ~l~ments de 1'image de f sont les G"61' W, (fp) dont 1'ix
x
ferm~ dans (
ge r~ciproque par
,x
~ U. Or
'
(/)p (corollaire de la proposition 8.11; son ima-
x
to
1 x
r
est donc ferm~e dans
'
l'image de fest une intersection de sous-espaces c'est donc un sous-espace
ferm~.
L' application
ce sous-espace
ferm~;
W, (Jp). Ainsi
r W, cr P):
ferm~s de
lin~aire
exacte (9.2) dMinit un isomorphisme du quotient de
g de la suite
r W,
CfP) par
munissons ce quotient de la topologie quotient,
qui est une topologie d'espace de Fr~chet, et transportons-Ia On obtient ainsi une topologie d' 'espace de Fr~chet sur On montre facilement qu'elle ne
r~solution (9.1) au voisinage de est dMinie pour tout ouvert un ouvert
r
au point
deriv~es
mage dans ( if)p appartient aN, et ceci quel que soit x N est
est con-
est- muni de la topologie dMinie au n~ 8 [car la
convergence des fonctions holomorphes,
x
Pour cha-
Fr~chet.
privil~gi~
U.
d~pend
U; on
r w, F).
(U, F).
pas du choix de la
Ainsi la topologie de
privil~gie
r
a
r
v~rifie ais~ment
(U;F) que si
Vest contenu dans U, l' application de restriction
(V,F) ~ r(V,F) est continue. Soit maintenant U un ouvert quelconque; on peut Ie recouvrir
48
- 47 H. Cartan
par une famille denombrable d'ouverts privilegies U.; considerons l'ap1
plication lineaire
c.p qui
a chaque
~n rm.,F) 1
f(U,F)
i €I
section de F au-dessus de U, associe ses restrIctions
1( r (Ui,F) de la topologie-produit,
aux Ur Munissons
qui est une
topologie d'espace de Frechet puisqu'il s'agit d'un produit denombrable. L'image de
lp est l'intersection des noyaux de toutes les applications (ou x € U, j et k etant deux indices tels que x
lJJ. k T J, ,x
e U. f\ u.l J
J
definies par :
6j(x) - ~(x)
UI. k applique lineairement I J, ,x
IT r
m.,
F) dans F et est conti. I 1 x if: nue, donc son noyau est ferme; par suite l'image de est un sous-
'f
espace ferme de
IT r
.
i~
I
(D" F), La topologie induite sur ce sous1
espace est une topologie d'espace de Frechet: on la transporte
l' (U, F)
sur
au moyen de
If .
a
II est aise de montrer que cette topologie
r (U, F) ne depend pas du choix du recouvrement de U par une
famille denombrable d'ouverts privilegies (pour comparer deux recouvrements, on les compare tous deux
a un
troisieme, plus fin que cha-
cun d'eux), nest
alors facile de prouver les assertions (a), (b), (c) ci-
dessus, et Ie probleme est donc resolu. On Iaisse au lecteur Ie soL,
49
- 48 H. Cartan
de verifier qu'il n'a pas d'autre solution, Bien entendu, on obtient notamment une topologie d'espace de Frechet sur
e
Proposition 9. 1. - Si x
r
(9. 3)
(X,F) -->F
x
r (X, F)
est continue, lorsqu' on munit Frechet ci-dessus iefinies et F les
X, l' application naturelle
(Jx -modules de type fini.
de la topologie d' espace de
de la topologie definie au
x
n~
8 pour
En effet, soit U un ouvert privilegie contenant x. L'application (9,3) se factorise en
r
f' (X,F) --+ la
premi~re
h
(U,F)
~F
est continue (propriete (b) ); il reste
x
;
a demontrer
que h
est continue, Pour cela, nous utilisons la resolution (9,1) de F au voisinage de U; on trouve un diagramme commutatif
1(U,
a
P)
1
,
~>
g h
ou g est surjective, Comme la topologie de
tinuite de hog
r (U, ap),
x
1
g'
j' (U, F)
quotient de celle de'
( if)p
')v
F
r
x
(U, F) est la topologie
la continuite de h equivaut
a la
con-
= g' 0 h'; or h est continue (on l' a vu plus haut), 50
- 49 H. Cartan
ifx-lin~aire
et g' est continue puisque toute application
de
{/ -mox
dules de type fini est continue (cf. n~ 8). C.Q.F.D. Corollaire. - Si F' est un sous-faisceau coMrent d'un faisceau coMrent F, l'injection naturelle f:
de
°
f(X,F') sur un sous-espace ferm~ de l'espace
l'espace de Frechet de Fr~chet
r (X, F' )..... nX, OF) est un isomorphismeo
[' (X, F) •
En effet, pn vertu du "th~oreme du graphe ferm~", il suffit de montrer que l'image de f est
ferm~e;
or c'est l'intersection des
noyaux des applications lin~aires compos~es
r (X, F) -+ F x -+ F xIF'x
quand x parcourt X •
10.
D~monstration
du
th~oreme
7. 2.
Nous sommes maintenant en mesure de prouver Ie
7.2. Nous conservons les notations de son
~nonc~.
th~oreme
On va prouver suc-
cessivement les assertions suivantes : (1) Hq (X, F) = 0 pour q 4 2, et pour tout faisceau coh~rent F •
On sait
d~ja
que Hq (U., F) = 0 et Hq - 1 (U.,F) = 0 pour tout i; en fait, 1
1
on va montrer que tout faisceau de groupes aMliens qui satisfait aces hypothese satisfait aussi a Hq(x, F) = O. Rappelons (cf.
[7 J ) qu'il
existe une suite exacte
O--.,..F~
ou les faisceaux
Lo
1
~L~
•••
Lq sont flasques pour q ~
on a
51
~
Lq
~
••• ,
O. D'apres Ie tMoreme 5.1,
- 50 -
H; Cartan
til.
et tout revient Ii prouver que si
~ ~
il existe
e r (X, Lq)
r (X, Lq-1) tel que d ~
= 0{
est tel que d 0( = 0,
.
9
La restriction de 0{ Ii Ui est de la forme d i ou ~ i E f' Lq-1), puisque HqWi~F) = 0 par hypoth~8e: on a ainsi:
w,
01. De m~me,
0(
=d
=d
I
~i
~ i+1 sur Ui +1 : et par suite
Or Hq - 1Wi ,F) = 0 par
hypoth~se:
donc il existe
(i E
1"" (Ui, Lq-2)
tel que
et puisque Lq-2 est un faisceau flasque, \Y, est la restriction d'un ~l~2 Di ment de Wi +1' Lq- ), qu'on notera encore ( i ' Alors ~ i+1 + r,1 q-1 +d i = HI € Wi +1' L ), et on a
r
r
r
1""
I .
d..
R~crivons
maintenant
= d
~ if1 dans Uif1 ·
pi+1 au lieu de
~' HI:
alors
~
i+1 prolonge
~ i' En proc~dant ainsi de proche en proche, on trouve une suite de
sections continues
Ji' j3 i+1'....
52
de Lq-1, qui se prolongent mu-
- 51 H. Cartan
tueUement. Elles
a
~ =d
J.
d~finissent
un
JE r
~l~ment
(X, Lq-1) qui satisfait
C.Q.F.D. (2) L'image de l' application de restriction
est dense, quel que soit Ie faisceau F En vertu du
th~or~me
A
coh~rent
dans X.
a U.1+2' il existe, (f p ~ F, d'ou un
appliqu~
nage de iJ."""1' un morphisme surjectif 1+
au
V01S1-
diagramme
commutatif
I.., (Ui +1, (/p )
!
g,.,
P (J )
~.J (Ui ,
li+1
h rmi+1' F) L'application f. est surjective 1
h contient l'image de h c~
du
th~or~me
0
(th~or~me
f. 1 = f. 1+
~
1
g.
0
appliqu~
D'apr~s
a U.l. 1
L'image de
1'hypotMse (i) de
1'~non-
7.10, 1'image de g est dense; puisque f. est continue et 1
surjective, l'image de f.o g est dense; 1
se, ce qui
B
ach~ve
la
a fortiori
l'image de h est den-
d~monstration.
(3) L'image de l' application de restriction
r (X,F) ~ est dense, quel que soit Ie faisceau
f(U.,F)
coh~rent
53
1
F sur X •
- 52 H, Cartan
Ceci se dMuit de (2) par approximations successives, au moyen d'un raisonnement classique sur leE espaces topologiques
m~tri
sables, (4) Le th~or~me A est vrai pour X et tout faisceau coMrent F,
On doft montrer que si x G X, 1'image de l'application natu-
r (X, F) ~ F x engendre F x pour sa structure de crx-mo-
relle
dule, Choisissons un U, qui' contienne x; l' application se factorise 1
II (X,F) Puisque Ie F
x
comme
t.p
~
r
appartient
tout
~l~ment
F
X
•
ferm~
x
dans F
x
x
x
~l~ment
engendr~
'f
engendre
s'~crit
de l'image de h,
est continue, on voit que tout
Or G est
x'
de F
a l'adMrence
du sous-module G de F ,
=F
1
1
d'~I~ments
x
~
(X, U,)
A est vrai pour U, et F, l'image de
rJ'x-module:
~k
Or chaque comme
tMor~me
h
de F
x
d'apr~s
(3);
est limite
,
par l'image de
c.p
h•
C)
(corollaire de la proposition 8,1); donc G =
et I' assertion (4) est (5) On a H 1(X,F)
x
d~montr~e.
= 0 pour tout faisceau coherent
Pour Ie montrer, on reprend Ie
d~but
de la
F
~
d~monstration
l' assertion (1) : on a
0( = d
54
P
i+l
X,
dans
Ui +1
de
- 53 H. Cartan
et d(
9itl) = 0 dans Ui , Comme
~(
r~.1 - r(),.1+ 1
entratne
r (U.,1 F).
€
J3 ( J3 itl
€
r
(U i , ~ ) , ceci
Le faisceau F n' etant pas flasque,
Ie'. raisonnement devient ici plus difficile, On utilise l' assertion (3) ci-
~ i - ~ itl par Ia restric-
dessus: on peut approcher arbitrairement
v--:
tion d'un element
f1 (X, F).
E
D'une fal)!on precise, soit d. une
O i l
distance definissant Ia topologie de
I' (Uitl,F) lPi ...
r (U.,F) ; puisque l'application 1
f(Ui,F) est continue, on peut supposer que Ia
suite des d. satisfait A 1
sur
Choisissons
(i E
f
en notant
~ . 1+ J~
i:
'Y.~ 1 (
r
r (X,F) de fa90n que (X,F)
~r(Ui,F).
suite de Cauchy dans 11 est immediat que
r1
ils
qui
1
r (U.,F), 1
(0
((1 i 1 +
definissent un element
ach~ve
i+l par
'Pi ( ~ i+n) - ~ i (quand n varie) est une
Ti r + sont des sections de
S.
~
(.) ; pour ce nouveau (>,. l' on a donc 1 r~
Pour chaque i, la suite des
(). . +
Remplal)!ons
qui est complet; soit
g.
1
S.1+1) = )'R.1 + b1. ; done
sa limite, les
C' qui se prolongent mutuellement; ~ E. JI (X, LO), et l' on a 01. = d ce
J'
la demonstration,
Avec les assertions 0), (4), (5L on a prouve que les tMo-
55
- 54 H. Cartan
rl!mes A et B sont vrais pour tout faisceau coherent F sur X. Et Ie theorl!me 7. 2 est enfin etabli.
11. Quelques exemples d' applications des theorl!mes A et B • Sans attendre d'avoir demontre les theorl!mes A et B en toute: generalite (c' est-a-dire pour les "espaces de Stein"; d. ci-dessous, n~
13), nous allons donner
quelques exemples qui mont rent a quoi ils
peuvent servir. Exemple 1. - Soit.y un sous-espace analytique d'une variete analytique complexe X; on appelle ainsi un sous-ensemble ferme de X tel que tout
Xo
E Y possl!de un voisinage ouvert U dans lequel il exi-
ste un systl!me fini de fonctions holomorphes f l' ••• ,fk, de manil!re que (x E U ('\ Y)
<.
;> (x E U et f, (x) 1
=0
pour 1 ~ i
~
k) •
f.
c if que void: si x Y, x x on pose I = {/ ; si x E Y, I est l'iMal des germes de fonctions hox x x lomorphes qui s'annulent identiquement sur Y • Il est immediat que la Pour chaque x I! X, dMinissons l'ideal I
collection des I , quand x parcourt X, est un sous-faisceau I du faisceau
x
(/ (faisceau d'ideaux). De plus, ce sous-faisceau est coherent: mais ceci est plus difficile a prouver; pour une demonstration, nous renvoyons a [ 2 ] . Dans Ie cas ou Y est une sous-variete analytique complexe, il est elementaire de voir que I est
coh~rent.
Ecrivons la suite exacte
56
- 55 H. Cartan
puisque I est
coh~rent,
1
r.p
H (X, 1) = 0 : donc section continue de striction
a Y est
Ie
th~or~me
B
est surjectif.
vrai pour X) dit que
(suppos~
Interpr~tons
ce
r~sultat
: une
(f/I est ~videmment nulle en dehors de Y ; sa re-
une section continue du faisceau indilit par
Y, et on voit facilement que,
ct/I sur
toute section continue de
r~ciproquement,
(f/I au-dessus de Y se prolonge en une section continue de a/I sur X (nulle hors de Y); ~ ce sujet, voir plus loin, n~ 12. Ainsi r{X, (f/I) s'identifie
a l'espace vectoriel des fonctions holomorphes sur Y, en ap-
pelant fonction holor.orphe toute fonction sur Y qui, au voisinage de chaque point y € Y, peut
~tre
induite par une fonction holomorphe dans
[Si ,Y est une sous-vari~t~, on retrouve bien
X au voisinage de y.
ainsi la notion de fonction holomorphe, sur Ia Y
J . On a prouv~ Ia surjectivit~ de Th~or~me
Si Ie
th~or~me
restriction
11.1 • -
vari~t~
analytique complexe
If ; d'ou :
Soit Y un sous-espace analytique de X.
B vaut pour X, toute fonction holomorphe sur Y est la
a Y d'au moins une fonction holomorphe sur X.
En particulier, supposons que Y soit un sous-ensemble discret de X (c'est-A-dire se compose de points Y est alors une
sous-vari~t~
me 11.1 s'applique: si Ie
isol~s
sans point d'accumulation):
analytique de dimension
th~or~me
z~ro,
et Ie
th~or~
B vaut pour X, il existe une fonc-
tion f holomorphe dans X qui prend des valeurs arbitrairement
donn~es
aux points d'un ensemble discret. On verrait facilement qu'on peut
m~me
en chacun des points de Y, un developpement
se donner arbitrairement,
limit~
de la fonction holo-
morphe f inconnue. Revenons au cas Appliquo!'ls Ie
theor~me
g~n~ral
d'un sous-espace analytique Y de X.
A au faisceau
57
coh~rent
I {en Sllpposant, bien en-
- 56 H. Cartan tendu, qu'll soit vrai): les ~l~ments de
r
(X, Il, c'est-A-dire les fonc-
tions holomorphes dans X qui s' annulent identiquement sur Y, engendrent l'iMal I en chaque point x e. X, En particulier, si x
--
x
(f ;
gendrent
f.
Y, elles en -
cela signifie qu'il existe une f E r (X, I) qui ne s' an-
x
nule pas au point x, Autrement dit, les fonctions holomorphes dans X qui s'annulent sur Y n'ont aucun une analyse plus
pouss~e
z~ro
montrerait que, lorsque X est
brable de compacts et satisfait aux analytique Y peut phes dans X (n
~t:,e
r~union d~nom
A et B, tout sous-espace
th~oremes
la dimension complexe de la Soit F un faisceau
analytique complexe X satisfaisant au steme fini (sl'"'' sp)
En fait,
dMini par l'annulation de n+l fonctions holomor-
d~signant
Exemple 2, -
commun en dehors de Y.
B.
f1 (X, Fl;
d'~Iements de
tout x E X, les images des s, dans F 1
X
sur une
coh~rent
th~oreme
Xl, vari~t~
Consid~rons
un sy-
et supposons que, pour
engendrent Ie
Cela signifie que Ie morphisme de faisceaux
varh~t~
If:
0
(/ -module F • X
p ~ F dMini
x
par les p sections s, est surjectif. (d, n~ 4). On a donc une suite 1
exacte
F
ou Nest coMrent; puis que HI (X,Nl cation
= 0 en vertu du th~oreme
lin~aire
r (X, (/ p) ~ r(X, Fl
Mfinie par
tp
~O,
est surjective. Or elle envoie
58
B, l'appli-
- 57 H, Cartan
p
dans
L
c,
1
i= 1
€ r(X,F), D'ou:
S,
1
TMor~me
ment de
11. 2, -
Sous les hypotheses
pr~c~dentes,
tout
~l~
r (X, F) est combinaison lin~aire de s I' .. , , s p a coefficients
holomorphes dans X, Autrement dit: s , ••• , s
r (X, a ). 1
comme module sur I' anne au
Par exemple, prenons F =
th~oreme
(X, F)
(J . L'hypothese signifie que
sl' .•• ,sp sont des fonctions holomorphes dans X, sans La conclusion du
r
engendrent
P
dit qu'il existe une
z~ro
commun.
identit~
p
=L..
c, s, , 1
1
i=1
a coefficients
c, holomorphes dans X. 1
Exemple 3. complexe X, Ie faisceau
Definissons d' abod, sur une
J1,
des "fonctions
vari~t~
m~romorphes"
analytique
(en toute, ri-
gueur, ce ne sont pas des fonctions, puisqu'elles peuvent admettre des points d'ind~termination). Pour chaque x, X,
J.,tx son
gre; soit
(f . x
Sur
corps des fractions,
eft = U
xe X
un faisceau de
J(, x ,
0 -modules
rr
consid~r~
x
est un anneau intecomme module sur
on peut Mfinir une topologie qui en fait
. Mais il est aussi commode de
proc~der
autrement; on dHinit d'abord Ie prefaisceau G que voici: pour tout ouvert, U, GW) est Ie
(J (D)-module
des quotients
%., g
ou f et g sont holomor-
phes dans U, g n' ~tant identiquement nulle dans aucune composante connexe de U; alors, par definitiorl, rifie que tiOJ'lR
de
Jt x'
vLt
est le faisceau aSGccie
[on
v~
limite inductive des GWl, est bien Ie corp!) des frac-
(/x ] . Par dHinition, une "frmction meromorp:le" dans X er.t un ~l~-
59
- 58 H, Cartan
r (X, Jt); tout point de x possede donc un voisinage ouvert
ment h €.
U dans lequel h peut s' ecrire comme un element de G(U). Le morphisme naturel
r (X, J1 )-4 r (X,
lineaire
~~
J.t/[r induit une application
Jt /0 ).
r (X, ,){ / (J
Un element de
est, par definition, un systeme de parties principales dans X; socie
a toute
'f
as-
fonction meromorphe son systeme de parties principales,
Le probleme de Cousin consiste, etant donne dans X un systeme de parties principales,
a chercher
s'il existe une fonction meromorphe dans
X qui admette ce sisteme de parties principales. Theoreme 11. 3, plus generalement, si Hl(X, peut
~tre
Si X satisfait au theoreme B, et
d)
m~ine,
= 0, tout systeme de parties principales
defini par une fonction meromorphe. En effet, la suite exacte de cohomologie
montre que si Hl(X,
cr ) = 0, If
Theoreme 11,4, -
est surjectif,
Si X satisfait au theoreme A, toute fonc-
Hon holomorphe dans X peut s' ecrire comme quotient
f
de deux fonc-
Hons holomorphes dans X, f n' etant identiquement nulle dans aucune composante connexe de X, Pour la demonstration, il suffit de considerer Ie cas Oll X est cormexe. Soit hEr (X,
Jt );
en chaque point x E X, soit I
x
l'ideal de
forme des f E telles que h f e (f . Il est immediat que I x x x x est un ideal principal, et que si une fonction holomorphe au voisinage
if
(J
de
Xo
engendre I
Donc les I
x
Xo
, elle engendre aussi I
x
pour x assez voisin de xI) ,
forment un sous-faisceau coherent I de
60
C! ,
Choisissons
- 59 H~
un point a E X; d'apres Ie th~oreme A, les ~lements de
r
Cartan
(X, I)
(c'est-a.-dire les f hQlomorphes dans X telles que hf soit holomorphe)
if .
engendrent l'ideal I de l'anneau II existe donc une telle f qui a a n'est pas identiquement nulle au voisinage de a, c'est-a-dire qui n'est pas identiquement nulle dans X (suppose connexe). On a
hf
d'ou h =
t,
.r (X, (f) ,
=g €
commt: annonce.
Remarque:
rien ne garantit que, en tout point x E X, f et g
sont premieres entre elles, c'est-a-dire sans diviseur commun autre
if.x
que 0 ou un element inversible de
Toutefois, lorsqu'on sait r~-
soudre Ie "deuxieme probleme de Cousin", il est possible d'ecrire h
1, f et g etant premieres entre elles en tout point; pour
sous la forme
cela il suffit que l'espace X verifie certaines conditions topologiques, a savoir H2(X, Z)
= 0 (71 designant Ie faisceau constant du groupe abelien
addltif des entiers); voir
12. Faisceaux
coh~rents
[12J
•
sur un sous-espace analytique.
La question a d'abord un aspect purement topologique: soit X un espace topologique, et Y un sous-espace
ferm~
faisceau F (de groupes abeliens, resp. d'anneaux) sa restriction
FI Y a l'espace
sur X, associons
Y. Pour les sections continues, on a un
hoinomorphisme de restriction
p:
de X. A chaque
r(X,F) ~ r CY, Fly);
\
61
- 60 H. Cartan
c'est-A-dire si F x = 0 pour x; Y,
de plus, si Fest concentr~ sur Y. fest une bijection. Inversement, soit
donn~
un faisceau G sur Y; cherchons un
faisceau F sur X, qui soit concentr~ sur Y, et tel que FI Y soit isomorphe A G. On voit facilement que ce
probl~me
a une solution, et que
la solJition est "unique A un isomorphisme pr~s". On notera GX la so-
e
I
lution, G ~tant identiM A GX Y. Alors
r
(X,G X)
sques de G
~
r
( cf.
(Y,G). De plus, la
['i J)
est un isomorphisme
consid~ration des r~solutions fla-
montre facilement que
pour tout n
~
0•
Abordons maintenant l' aspect analytique de la question. On suppose
d~sormais
que X est une
analytique complexe. et Y un
vari~t~
sous-espace analytique. Soit I Ie faisceau Y (cf.
n~
coh~rent d'id~aux
dMini par
11, exemple 1). Soit A Ie faisceau d'anneaux, sur Y, dMini
par
A =(
II est clair que AX s'identifie A
(J II)
I
Cf/1.
Le faisceau A est, par dMini-
Y.
Hon. Ie faisceau des fonctions holomorphes sur Y. Soit maintenant. sur Y, un faisceau F de A-modules;
prolong~
par 0 en dehors de Y, il don-
ne un faisceau F X, qu'on peut consid~rer com me faisceau de AX-modules, c'est-A-dire de ( (/II)-modules, donc aussi comme faisceau de (/ -modules. Nous admettons Ie Th~or~me
12.1. - Avec les notations
62
pr~c~dentcs,
si Fest
- 61 -
H. Cartan
A-coh~rent
F X est
(c'est-a.-dire
coh~rent
com me faisceau de A-modules). alors
(/ -coh~r'ent. , Pour la d~monstration, voir [13] ; elle n' a rien a. voir avec
les fonctions holomorphes, et s'appUque chaque fois que (f est un faisceau d'anneaux. I est sous-faisceau de (/ qui est de type fini, et
(//1
est tel que
soit nul en dehors du sous-espace ferm~ y.
Corollaire. - A est un faisceau coMrent d'anneaux sur Y. (En effet, se Ie
(J /1 = AX est un faisceau th~oreme
(/ -coh~rent
sur X). Ceci g~n~ra1i
d'Oka, On pourra donc travailler avec Ie faisceau A sur
Y de la m~me maniere qu'on a pu travailler avec Ie faisceau ~ sur X, Cependant i1 n'y a plus, en
g~n~ra1,
de
th~oreme
des syzygies, car
l'anneau local A = (j /1 n'est plus n~cessairement "r~gulier", x x x On a vu que, pour tout faisceau F de groupes ab~liens sur Y, on a
D'ou: Th~oreme
12,2, -
Si la
variet~
analytique X satisfait aux.
B, tout sous-espace analytique Y de X satisfait aux
th~oremes
A
th~oremes
A et B (i1 s'agit alors des faisceaux
~
coh~rents
sur Y., com-
me faisceau de modules sur Ie faisceau d' anneaux des fonctions holomorphes sur V). Le
th~oreme
12, 1 se complete par la proposition suivante :
Proposition 12,3, - Si G est un faisceau
(T -coh~rent
sur
X, Ie faisceau F induit par G sur Y ~ A-coh~r~nt, (demonstration facile),
63
- 62 H. Cartan
13. Espaces analytiquesj espaces de Stein • D~finition.
- On appelle espace analytique
if
gique s~par~ X, mun! d'un faisceau
un espace topolo-
d'anneaux de germes de fonc-
tions continues cl valeurs complexes, et qui satisfait cl la condition suivante : (AN) tout point x € X possede un voisinage ouvert U qui, muni du faisceau
d J U,
est isomorphe
cl un sous-espace analytique Y
d'un ouvert d'un espace num~rique (N, Y ~tant ni au n~
muni du faisceau Mfi-
pr~c~dent.
Dans l' ~nonc~ de la condition (AN) intervient la notion d'isomorphisme
de deux espaces
annul~s
faisceau d'anneaux); la Mfinition est Le faisceau
if donn~
(c'est-cl-dire muni chacun d'un
~vidente.
sur X s'appelle Ie faisceau structu-
ral de l'espace analytique. Pour tout ouvert U C X, les
r (U, rf)
de
sont des fonctions continues dans U : par d~finition, ce sont
ifx est l' anne au des
les fonctions holomorphes dans U. L' anne au germes
~Iements
de fonctions holomorphes au point x. II r~sulte du corollaire du tMoreme 12,1 que Ie faisceau
est un faisceau
coh~rent
(f
d'anneaux.
Etant donn~s deux espaces analytiques X et X', munis de leurs faisceaux structuraux
if et
(f~
une application f: X -
X'
est dite holomorphe si elle est continue, et si, popr chaque x E X et chaque
la
compos~e tf 0
continue au point x) appartient cl
f (qui est un germe de fonction
if.x
DHinition d'un espace de Stein. espace analytique X,
r~union d~nombrale
64
Un espace de Stein est un
de compacts, qui satisfait aux
- 63 H. Cartan
trois conditions suivantes ; (i) les fonctions holomorphes dans X separent les points de
X [cela veut dire que si x et x I existe une f
E l' (X,
if)
sont des points distincts de X, il
telle que f(x)! f(x')J ;
(ii) les fonctions holomorphes dans X fournissent des reali-
sations locales pour tous les points de X
[cela veut dire que, pour
tout x, il existe un systeme fini (f l' ... ,fN) de fonctions holomorphes dans X tout entier, et dont la restriction x definit un
isomo~phisme
a un
voisinagc ouvert U de
de l'espace analytique U
SUI'
un sous-espa-
ce analytique d'un ouvert de (;N ] ; (iii) X est holomorphiquement convexe [ cela veut dire que, /\
pour tout compact K C X, l'enveloppe holomorphe K; definie par
~xEX
"
x€ K
et
est compacted Remarques: . (1) lorsque X est une variete analytique complexe, la condition (ii) exprime que, pour tout x E. X, il existe un systeme de coordonnees locales, dans un voisin age de x, forme de foncHons holomorphes dans tout
x.
(2) Grauert a demontre que les conditions (i) et (iii) entrafnent (ii); mais la demonstration est difficile et sort du cadre de ces exposes, (3) on peut remplacer la condition (iii) par une condition plus faible : (iii') pour tout compact K, il existe un oUV(,l't V CO'1tenant K, tel que
V"
A.
K soit compact.
Theoreme 13. 1
(theoreme fonda:_1
65
- 64 H. Cartan
A et B sont vrais pour tout espace de Stein X et tout faisceau
coh~rent
~ X.
Pour la d~monstration (dont on va seulement indiquer les grandes lignes), on utilise les conditions (i), (ii) Serre a
d~montr~
~2
J
et (iii '). Or, inversement,
th~or~me
que si Ie
Best vrai pour un espa-
ce analytique X (r~union d~nombrable de compacts), X satisfait
a (i),
(ii) et (iii), autrement dit X est un espace de Stein; pour la demonstration, il suffit de supposer que 1 H (X, I)
=0
pour tout faisceau coh~rent d'id~aux.
La demonstration est d'ailleurs facile. Ce ce
r~sultat
entratne
l'~quivalen
des conditions (iii) et (iii'), lorsque 0) et (ii) sont satisfaites. Pour prouver Ie
theor~me
13.1, on
~tablit
d'abord un lemme :
Lemme 1 - Pour tout compact K C X. il existe un ouvert relativement compact U ::> K, et un syst~me (f l' ••• ,fk ) de fi € dont les restrictions
aU
dMinissent un
r (X, cJ),
isomorphisme de l'espace ana-
~ U sur un sous-espace analytique d'un polydisque born~ P C ~k. La
d~monstration
du lemme est relativement facile. En utili-
sant (iii'), on d~montre d'abord qu'il existe un ouvert relativement compact U ;) K, et un syst~me fini (gl"'" gp) de fonctions holomorphes dans X, dont les restrictions
aU
d~finissent
une application propre de
U dans un polydisque borne P' C ~p. Puis, en utilisant les conditions (i) et (ii), on montre qu'il existe un syst~me fini (hI"'" hql de fonc-
tions holomorphes dans X, qui s~pare les points de
if et
fournissent,
au voisinage de chaque x e U, une r~alisation de X. Soit P" C (1;q un polydisque
born~,
assez grand pour contenir l'image de U par l' applica-
66
- 65 H. Cartan
tion definie par (hI"'" hq ). Alors Ie systeme (gl"'" gp' hI'"'' hq ) dMinit une application holomorphe et propre de U dans P = p' x- p" C (:p x Cq = = ([
k
(k=p+q)' et realise globalement U comme sous-espace analytique
(ferme) de p. C.Q. F. D. Puisque, grAce au lemme, U est isomorphe
a un sous-espace
analytique de P, et puisque les theoremes A et B sont vrais pour P (corollaire du theoreme 7.2), ils sont vrais pour U (theoreme 12.2). On va voir que l'on se trouve dans les conditions d'application du theoreme 7.2. Mais auparavant, nous observons
que Ie theoreme 7.2 n' a ete
formule et demontre que pour les varietes analytiques, alors qu'ici X est seulement un espace analytique • II est donc necessaire de generaliser d' abord Ie theoreme 7.2 au cas des espaces analytiques. Or la demonstration du tMoreme 7.2 reposait notamment sur la consideration d'une topologie d'espace de Frechet sur
r (X, F),
sque F est un faisceau coherent sur une variete analytique X (cf. On va montrer maintenant comment on dMinit la topologie de
n~
lor9).
r (X, F)
dans Ie cas ou X est un espace analytique, en general. Rappelons d'abord que, lorsque X est une variete, cette topologie a ete caracterisee par les proprietes (a), (b), (c) enoncees au
n~
9; d'autre part on voit
facilement qu'eUe possede la propriete suivante : (d) si la variete analytique complexe X est plongee comme sous-variete (fermee) d'une variete analytique complexe Y, si F est un faisceau coherent sur Y, et si G designe Ie faisccau induit par F sur X (G est
o'(X)-coherent d'apres la prop. 12.3), alors l'application de
restriction
67
- 66 H. Cartan
r
(Y, F)
---+-
1" (X, G)
est une application continue d'espaces de Frechet. Pour definir une topologie d'espace de Frechet sur l'(X,F) dans Ie cas des espaces analytiques, on va imposer les conditions (b), (e), (d) en les formulant pour les espaces analytiques (et non plus seu-
lement pour les varietes), et en formulant en outre (a) dans Ie cas Oll U est un ouvert d'une variete • 11 est facile de voir (en utilisant des realisations locales d'un espace analytique comme sous-espace analytique d'une variete) que Ie probleme ainsi pose admet une solution et une seule : Ie raisonnement est analogue a celui fait dans Ie cas des varie tes. En particulier, si analytique X,
(/ est Ie faisceau structural d'un espace
r (X, rf) se trouve muni d'une topologie d'espace de
Frechet. Mais il n'est pas evident que cE!tte topologie soit justement, celle de la convergence, uniforme sur tout compact, des fonctions holomorphes. C'est d'ailleurs vrai (autrement dit la condition (a) est satisfaite aussi pour les espaces analytiques); mais il s' agit la d'un theoreme assez profond, dO a Granert et Remmert. Nous n'en aurons pas besoin, Maintenant qu'on dispose de la topologie des espaces vectoriels
r (X, F), on peut recopier,
dans Ie cas des espaces analytiques, la de-
monstration du theoreme 7.2 donnee au numero 10: il n'y a rien a y changer, Revenons enfin a la demonstration du theoreme 13,1. Nous avons deja prouve que l'espace de Stein X est reunion d'une suite croissante d'ouverts U., relativement compacts, tels que U. C U. l' et que 1
1
68
1+
- 67 H. Cartan
les
theor~mes
A et B sont vrais pour chaque V. (et tout faisceau cohe1
rent). 11 reste donc simplement, pour pouvoir appliquer Ie 7.2,
a montrer
que l'hypothese (i) du
theor~me
theor~me
7. 1 est verifiee iei.
C' est ce que dit Ie Lemme 2 - Sf l'ouvert V, relativement compact, de X est, comme au lemme 1, realis~ comme sous':'espace analytique d'un polydisque ouvert et borne P C q:k. alors !'image de I' application de re striction
est dense dans
l' (v, d),
(il s' agit de la topologie de
.r (v, (1)
qu'on vient de definir ci-dessu~ En effet, considerons, dans Ie polydisque P, l'application de restriction
r
(13.1)
(P, if(p) ) ~
f' (V,
c:1 (V)
),
qui est une application continue d' espaces de Frechet (propriete (d) ). D'apr~s
Ie
jective
(cf. theor~me 11.
enti~re
theor~meB
applique au polydisque ouvert P, elle est sur-
O.
Or Ie classique developpement en serie
des fonctions holomorphes dans un polydisque P nous dit que
tout element de cet espace) de
1"" (P, d (P) polyn~mes
) est limite (au sens de la topologie de k
sur l'espace C • Or Ie plongement
a ete defini par k .fonctions (f l' ••• ,fk ) holomorphes dans X tout entier
69
.
- H~
(c!. lemme 1). Il en r6sulte que tlUt 616Ql,Rt de
(au sens de la topologie de
r
(0,
Cartan
r (u, (/ ) elt limite
ff) ) de tanctions in~it81 Iur
U par
des polynOmea par rapport aux f i, done d. tonction. induitu aur U par des tonctiona holomorphea dana X. tit I'I ..enUel du th6or&me
[c.ot
d'approlimation de Oka-wen] • Et 1. leram.
a 88t
d6montr6.
En meme tempI, la d6mpitraUoil du th6or&me 13.1 e.t ache-
v6e. 14. Quelques
exemp~es
d'ea,.c,a d, Stein •
Noul mentionnonl lia,ll.ent iei, pour 1Il6moire, quelquee taits bien connul. Le produ1t d. d,,,x .a'lc,a ft Stein eat un espaee de Stein (c' est 6vident aur la
d6t1n~t1oll).
Tout sous-elpaee ant!Y!l!ut (ferm6) d'un eapace de Stein eat un espaee de Stein (meme ab.ervation). Toute vari6t6 de Stein de dimenlir n eat r61Ulable (,lobalemant) comme sous-vlr16t' de l'tlp.c.
t: 2n'"
(th'or&me de Remmert et
Narasimhan [10J ). Le ell d.a tI,aclI de Stein 81t plua compllqu6. Tout ouvert U C .: eat de Stein (cela r61ulte enenUeUement du th6or&me d'approximatil" de Run" : toutt foncUon holomorphe dans U peut 8tre arbitrairement approch6.,
IU
Hnl de 11 convertence unifor-
me sur les compacts de 11, per de. fonctiOlll rationneUea dont lea pOles appartlennent aux compoaantes connu.. compactes de .: ~ U). Done: Tout "polycylindrt" "t c: n (i, e, I ,rodu1t U1 x, •• x Un de n n ouverts situ6s resptctivement dlDl II. n flcteurl c: de ( ) est une VIri6t6 de Stein.
n
Les ouverts de G! ,u1 slnt de Stein sont exactement lea 70
~-
- 69 H. Cartan
verts d'holomorphie.
15. Structure d'un faisceau coherent (l). On se place sur un espace analytique X, muni de son faisceau structural
if.
Soit F un faisceau coherent
sur X. En un point x
e
X,
est un module de type fini sur l'anneau local if; on definit Ie x x rang du module F , note rg (F ): c'est la dimension du ~-espace vecx x toriel F
F
F
x
x
/'WL x ·F x
,
designe l'ideal maximal de l'anneau (/ (cf. n~ 1; ici, C x x est Ie corps residuel m ). Puisque F est de type fini, l'espaou
IW(,
rfx/
ce vectoriel F
.'\
®"...
Vx
x
x
It est de dimension finie : rg (F x) est fini. .
On a rg (F x ) = 0 si et seulement si F x = 0: c'est Ie lemme de Nakayama (n~ 1, lemme 1). Plus generalement, Ie corollaire du lemme 1
(n~ 1) montre qu'il existe un systeme de generateurs du
Ie F
x
ifx-modu-
en nombre egal a rg (F ). D'une fac;:on precise: rg (F ) est Ie x
x
nombre d' elements de tout systeme minimal de generateurs de F • x
Puisque F, qui est coherent par hypothese, est de type fini, on voit que si rg (F ) = p, il €xiste, dans un voisinage de x, un morx (JP ~ F, et par suite rg (F ) , p pour tout point phis me surjectif y
y assez voisin de x. Autrement dit, l'ensemble des x € X tels que
(1) Les questions trait€>es dans ce numero ont deja fait I' objet d'une con-
ference de G. Scheja i Oberwolfach. Voir aussi
71
OJ].
- 70 H. CaMan
rg (F x)
pest ouvert. On a un resultat plus precis:
~
Theoreme 15.1. - L'ensemble
E (x
I
rg (F ) x
>
m)
est un sous-ensemble analytique (ferme) de X. Comme la question est locale, on se place au voisinage d'un x, € X, et on ecrit, dans ce voisinage, un debut de resolution libre (de type fini) du faidceau coherent F
f
05.1)
~
(fP
g)o
F ~ 0
En chaque point x voisin de xo ' on peut tensoriser par suite exacte de
x
x
(parce que Ie produit tensoriel est un fonc-
a droite") : ~x
05.2) et
f/!>(J 4: la
(( -modules:
on obtient une suite exacte teur "exact
(suite exacte) •
--~> F
If x s'interprete comme suit :
h~
x
morphisme f de (15) est defini
par q sections continues fl, ••• , fq de (j P, c' est- a-dire par q fonc1 q P tions holomorphes f , ••• , f a valeurs dans (f: • Alors la valeur de t.p x sur Ie i-ieme
~ecteur
de la base canonique de 4: q est egale
a i(x) :
valeur, au point x, de la fonction holomorphe fi. Ainsi, f1, ••• , f q de-
72
- 71 H. Cartan
finissent une matrice holomorphe M (x) a. p lignes et q colonnes; et la matrice de l' application
lin~aire
'f' x est
la valeur. au point x. de
cette matrice. Cela dit. l'exactitude de la suite (15.2) donne, en comptant les dimensions des espaces vectoriels :
(15.3)
>m
Les points x 011 rg (F x)
<:
dimension
syst~me
de
p-m. "'est-a.-dire 011 tous les mineurs d'ordre p-m de la
matrice M{x) sont nuls. On obtient donc ces points x en un
'P x est
sont donc ceux 011 l'image de
~galant
a.
z~ro
fini de fonctions holomorphes au voisinage de xo. C.Q.F.D.
Corollaire du
th~or~me
15.1. - Le support de F (ensemble
des x tels que F
; 0) est un sous-espace analytique. x Etude de l'ensemble des points x 011 F x est Proposition 15.2. -
0:
-libre.
L'ensemble des x 011 F
est libre est x un ouvert U. et rg (F ) est localement constant dans U. R~ciproquement. x si rg (F x) est constant au voisinage de xo' F est libre. Xo
Supposons que F
soit libre. et soit rg (F
x.
au voisinage de xo' une suite exacte de faisceaux
Ie noyau N est
coh~rent.
et N
Xo
x.
) = p. 11 existe.
= 0; done N = 0 pour x assez voisin x
de Xo ' et fest donc un isomorphisme de faisceaux au voisinage de x" ; il s'ensuit que Fest libre de rang p pour tout x assez voisLn de x... R~ciproquement.
x supposons rg (F ) = p au voisinage de xo. et x 73
~crivons.
- 72 -
H. Cartan
au voisinage de xo ' un debut de resolution 05.1); la relation 05.3), compte tertii du fait que rg (F ) = p, dit que 1m
x
l.1)
1x
= 0 pour x assez
voisin de xo ; donc Ie morphisme f de 05.1) est nul, et g:
cr p-+ F
est un isomorphisme de faisceaux au voisinage de xo. Remarque:
Ie cas ou Fest libre n'exclut pas que F soit x x reduit a 0; c'est Ie cas ou rg F = O. x Soit toujours F un faisceau coherent sur X. Soit m Ie minimum de rg (F ) quand x parcourt X. D'apres Ie theoreme 15.1, l'enx semble des x tels que rg (F ) > m est un sous -ensemble analytique Y x distinct de X. Si X est irreductible (c'est-a-dire si X n'est pas reunion de deux sous-espaces analytiques Xl et X" tous deux distincts de X), l'ouvert X - Y est dense dans X. Dans Ie cas general (ou X n'est plus necessairement irreductible), un raisonnement facile montre que l'on a encore Ie resultat suivant : Theoreme 15.3. - L'ensemble des points x ~ X
~F x n'est
pas libre est un sous-espace analytique, dont Ie complementaire est un ouvert D partout dense.
Le rang de F • aux points x E D. est constant x
si X est irreducible. Supposons maintenant que X soit une variete analytique complexe de dimension n. Alors Ie theoreme des syzygies (theoreme 1.1) s'applique au
ifx-module
F
• x Definition: on appelle dimension hoinologique de F x' et on
note dh (F x), Ie plus petit des entiers m tels que F x possede une resolution libre, de type fini, et de longueur m (cf. n2 1). On con'ient que si F x = 0, dh (F x) = -00; sinon, dh (F x) est un entier
~
0 et
~
n;
dh (F ) = 0 si et seulement si Fest libre et! 0 • x x -Si FrO, Ie theoreme 1.2 donne Ie critere suivant : choisisx 74
- 73 -
H. Cartan
sons arbitrairement une suite exacte
et soit N Ie noyau de f
x
[Si m = 0, la suite se compose uniquement
x
de F -+ 0, et N = F ; si m = I, f d~signe ( (J )PO ~ F ] x x x x x x ~ dh (F ) .. m, il faut et il suffit que N soit libre.
x
x
Th~oreme ri~te
' Pour
15.4, -
Soit F un faisceau coherent sur une va-
analytique X. L'ensemble des x E X tels que
dh (F ) x
'>
m
est un sous-espace analytique de X. En effet, c'est vrai si m des x tels que F
x
f
<.
0 : il s'agit alors de 1'ensemble
0 (d. corollaire du theoreme 15.1). Si m ~ 0, on
applique Ie critere precedent: on trouve l' ensemble des points ou N
x
n'est pas libre, ensemble auquel on applique Ie theoreme 15,3, On peut demontrer qt1e 1'ensemble
E
~
I
dh (F x)
est, dans X, de codimension (complexe) Dans Ie cas
g~neral
'>
m)
> m.
ou 1'espace analytique X n'est plus
nec~s
sairement une variete, on introduit une notion autre que celle de dimension homologique (celle-ci pourrait
~tre
X comme sous-espace a.'lalytique d'une F est un faisceau
infinit:), variet~
(f (X)-cohCrer.t, llo~ons ~ Ie
"
ir.duit F sur X et est nul hers de X; F doit
75
Realisons localement Y de dimer,sion N; si faisceau, sur Y, qui
~trc c(Jl'sideI'~
comme fais-
- 74 H. Cartan
rr (Y)-coh~rent.
ceau
On a, pour x e X,
(f'x) ~
dh
[ dh
(F'x)est
N
consid~r~ comme module x (Y), et non comme module
la dimension homologique de F
sur l'anneau de
s~ries
sur l' anne au quotient
ifx
convergentes
0:
• On montre que la
(X) ]
diff~rence
;...
N-dh(F) x ne
pas du choix du plongement de X (au voisinage de x) dans
d~pend
une vari~t~. Cet entier
S' appelle
la profondeur du
{/ -module F , x
x
et se note
prof (F ). x
II est ~gal
a + 00
Le
si
Fx = 0;
th~or~me
Flo. x
15.4 a pour : Soit F un faisceau coMrent sur un espace ana-
Corollaire. ~
il est fini et ~ 0 si
X. L' ensemble des x tels que prof (F ) <. k x
(k entier,
~ventuellement
+ 00)
est un sous-espace analytique. Si on admet Ie dimension de E
~
I
compl~ment
dh (F x)
corollaire est de dimension
au
tMor~me
15.4, relatif
a la
co-
>
m), on voit que I' espace analytique du
<.
k.
76
- 75 H~
J. p. Serre
[}.5]
Cartan
a prouv~ que la profondeur de F x est ~gale
a la longueur de toutes .Jes F -suites maximales: une F -suite est x
x
0:,
une suite (u 1' ••• , u ) d'~l~ments de l'id~al maximal 'WI:. C. telles p x x que, si J k (pour 0 E: k < p) d~signe l'id~al de (Ix engendr~ par
0)
u1' .. "uk' l' ~l~ment uk+1 G J k ne soit pas diviseur de z~ro pour Ie ( (J. / Jk)-module F / J k • F • On observera que la condition (P ) x x x n du n~ 1 exprime que l' anneau K xl"'" Xn consid~r~ comme modu-
1'
f
le sur
lui-m~me,
est de profondeur n.
{/ lui-m~x me (nous sommes en un point x d'un espace analytique X). Si x ,est un Appliquonf' la notion de profondeur
point
r~gulier,
c'est-a.-dire si X est une
a l' anne au
analytique au voisina-
vari~t~
ge de x, on a prof { (/ ) = dim X x
d'apres ce qui
pr~cede
x
(Ie second membre
d~signe
la dimension comple-
xe de X au point x). Soit maintenant ,x un point singulier (c'est-a.-dire non
de X; on sait que si dim X =n, il existe des points r~x X, arbitrairement voisins de x, et tels que dim (X) = n •
r~gulier)
guliers y ~
y
11 s'ensuit que prof (
(15.4)
(J)x ~
puisque 1'ensemble des y tels que prof ( (corollaire du theoreme 15.4).
dim X, x
ify ) ~
prof ( (/) est ouvert
x
Lentier prof { (/ ) corrige en quelque sorte la notion de di -
.
x
mension aw.r points x singuliers de X; 1'entier dim X - t1rof ( x 77
if)x ~
0
- 76 H. Cartan
donne une mesure de la
singularit~
du point x, Par exemple, en un
point x au voisinage duquel X peut se dans une
pl~te
vari~t~
soit dMini, dans Y, en
r~aliser
comme intersection com-
Y (c'est-a-dire de fa90n que Ie sous-espace X ~galant
~gal a la codimension de
un nombre de fonctions holomorphes
X dans Y), la profondeur de
(j
x
est
~gale
a dim X.
x
16, La cohomologie locale de Grothendieck •
Voici d'abrd des
A un sous-ensemble
ferm~
consid~rations
purement topologiques, Soit
d'un espace topologique (quelconque) X. On
va dMinir les groupes de cohomologie de X, a coefficients dans un .' faisceau de groupes
ab~liens
F, et
a supports
dans A:
c'est un cas
particulier de la cohomologie a supports dans une famille ~
m~s (cf.
(7J ). Tout d' abord, Ie support
est
un!erm~.
groupe
de fer-
d'une section continue s ~
r (X, F)
Les s dont Ie support est contenu dans A forment un sous-
1~ (X, F) de
l' (X, F);
alors
F ~ ~ (XjF)
est un foncteur covariant de la des groupes
ab~liens,
cat~gorie
des faisceaux dans la
11 est exact a gauche:
la suite
78
cat~gorie
pour toute suite exacte
- 77 H. Cartan
r:
o ~fl (X,F') ~
(X,F)
est exacte. Les "groupes de cohomologie
n HA (X,F)
sont les "foncteurs d~riv~s On peut en donner une
~ ~ (X,F") a supports dans A" :
(n entier
a droite"
~
0)
de ce foncteur exact
caract~risation
axiomatique,
a gauche.
calqu~e
sur celle
donn~e au n~ 5 pour les Hn (X,F). En particulier, on a un isomorphisme fonctoriel
H: (X,F)
~ ~ (X,F) ,
n
et les HA (X, F); pour n ~ 1, sont nuls lorsque Fest flasque. Comme n au n2 5, les HA (X, F) peuvent se calculer avec une r~solution flasque de F (cf. la suite exacte (5.2) du Soit
j'(X, F) ~
tion; son noyau est (n
1- 0)
~videmment
th~oreme
5.1).
r (X-A, F) l'homomorphisme de restric~ (X,F). Dans Ie cas ou F
= Ln
est flasque, la suite
est exacte, car toute section continue de Ln au -dessus de l'ouvert X-A peut se prolonger en une section continue au-des sus de X, puisque n
Lest flasque. On a donc une suite exacte de groupes
diff~rentiels
dues
o ~ l'A(X,L-I\' ') ~ r(X,L) " 79
--~
r (X-A,L)•
.... -~ 0,
gra-
- 78 H. Cartan
et celle-ci donne naissance
a savoir
pes de cohomologie,
(16,1)
-+
0_
a une
suite exacte
-+
pour les grou-
:
~(X,F)~nX,F)
1 . H (X, .F) ~ • ,,'
illimit~e
-+f(X-A,F)
n n HA (X,F) ~ H (X,F) -+- ,., ~ H
n+l
~ H~ (X,F)
-+-
n H (X-A,F)
-+
(X,F)~ ....
A
d~pend pas du choix de la r~solution nasque J!), L'apHn(X, F) --+ Hn(X_A, F) de cette suite s'appelle l'homomor-
(Cette suite ne plication
phisme de restriction pour la cohomologie, n
Par Ie moyen de cette suite exacte, les groupes HA(X, F) donnent aes informations sur les homomorphismes de restriction, Par i exemple, supposons que HA (X, F) = 0 pour 0 ~ i ~ r ; alors
Hi(X, F) ----. Hi(X_A, F)
est bijectif pour i
,
Hr(X,F) ~ Hr(X_A,F) est injectif,
Remarque: soit U un ouvert de X tel que U , A. Il est clair que I' homomorphisme de restriction
est bijectif, Donc on a des isomorphismes
H~ (X, F) ~ H~
(U, F) , Les
groupes H~ (X, F) ne d~pendent donc que des propri~t~s de X (et de F) au voisin age de A.
D' ou Ie nom de cohomologie locale (sous-entendu:
locale au sens de A),
80
- 79 -
H. Cartan
Soit maintenant U un ouvert ne contenant plus necessairement A. On a des homomorphismes de restriction
definis abus
a partir
de
~(X, L~) ~
G'f'I U(U; L~),
On ecrira, par
de Iangage, H~(U,F) au lieu de . -H~" U(U;F), 11 s'ensuit que,
Iorsque U parcourt l' ensemble des ouverts de forment un prMaiscl'au Soit
n
X, les groupes HA(U, F)
de groupes abeliens: on Ie notera H~ (F).
U = (U.l. I un 1 IE
recouvrement ouvert de X. On peut
considerer les groupes de cohomologie de
U a valeurs
dans Ie pre-
faisceau H~(F), soit
(Pour la notion de groupes de cohomologie d'un recouvrement, voir par exemple [13
J ).
Par la methode habituelle on demontre l'existence
d'une "suite spectrale de Leray" : il existe une suite spectrale, dont Ie terme E2 est dMini par
EB
rI~ (X,F) 0 Des raisonnements classiques de suite spcctrale donnent alors: ~
et qui converge vers Ie groupe gradue HA(X, F)
=
n~
Proposition 16.1. -
Soit F un faisceau de
l'espace X, et soit A un ferme de X. Soit
81
group~s
'U:: (U.l. II€:
I
abeliens sur
un recouvrcment
- 80 H; Cartan
ouvert de X, et soit r
0 un entier. Supposons que, pour toute inter-
~
section finie
= d'ouverts de
U ,
soient nuls pour q
U.
10
() ...
.
"u.
1
P
les groupes de cohomologie locale ~
HqA (U. 1 D
r • Alors on a HqA (X, F) = 0
pour
. , F)
••• 1
P
q <. ... r •
Allons un peu plus loin. Supposons que l'on sache
d~ja
que,
pour tout ouvert V C X, on a
H~ (V,F) ~ 0 pour q < r ; supposons en outre que tout point x E X possede un voisinage ouvert U
x
tel que H~ (U, F) = O. Recouvrons X par de tels ouvetts Ux' et consid~ r
rons la suite spectrale de ce recouvrement : elle montre que HA (X, F)=O. Si on fait la m@me chose pour un ouvert V <: X, on trouve de m@me que r
HA (V,F) = O. Ces
consid~rations, appliqu~es
par
r~currence,
conduisent
finalement a la: Proposition 16.2. l'espace X, et soit A un
ferm~
Soit F un faisceau de groupes aMliens sur de X. Soit r un entier
~
O. Supposons
que chaque point x ~ X possede un voisinage ouvert U tel que H~ (U, F) = 0 pour
q~
r. Alors, pour tout ouvert
vex.
82
on a
- 81 -
K Cartan La conclusion notamment pour X lui-meme: ainsi, on a pu "globaliser" la nullit~ des groupes H! (X, F) pour q ~ r, en supposant leur
nullit~
au voisinage de chaque point.
On va appliquer ceci a un exemple
d~ja trait~
par G. Schja
[11] • Soit X une vari~t~ analytique complexe de dimension n. Soit A un sous-ensemble
ferm~,
de dimension complexe $ p en chacun
de ses points keci signifie que pour tout x
~
A il
exi~te
un ouvert U
contenant x et un solils-ensemble analytique M de U, de dimension 6 p,
[6J
tel que A" U eM). Un raisonnement dft a Frenkel
[lJ,
par Scheja. ainsi que par Andreotti et Grauert
et repris
montre ceci:
tout x E X possede un voisinage ouvert U tel que
H~ W, (J) = 0
pour
r
< n-p •
pour
r
D'apres la proposition 16.2, on a donc
H~ (X,d)
=0
Mieux: soit F un faisceau coherent localement libre ouvert assez petit, on a H~ (V,F) pr~c~dent.
06.2)
= 0 pour r< n-p, d'apres Ie r~sultat
D'oll finalement: r
HA (X,F)
=0
pour r< n-p, si Fest localement libre.
Soit maintenant Fun faisceau ri~t~
une
sur X; pour V
coh~rent
quelconque sur la va-
X • Tout xo € X possede un voisinage couvert U dans lequel on a
r~solution
libre de type fini:
83
- 82 H~
O
(f Pk
~
OPk-l~
~
... Op· ~
~
Cartan
F ----.. 0 ,
en supposant dh (F ) ~ k pour x voisin de x • La suite exacte de coho0 x mologie donne alors, par r~currence sur k a partir du cas k = 0 : r
pour r
HA (U,F) = 0
< n-k-p ,
Donc, si db (F ) ~ k pour tout x e X, on a, par application de la propox sition 16,2 : r
06,3)
HA (X,F)
=0
Enfin, examinons Ie cas que, A
~tant
un sous-espace
ferm~
pour r
g~n~ra1
vari~t~
ou X est un espace
de dimension complexe ,
voisinage de chaque point de X, on peut d'une
<: n-k-p •
r~aliser
analytip. Au
X comme sous-espace
Y; soit n la dimension de Y; alors, dans la formule 06,3), A
n-k est la profondeur de F
(si k est la dimension homologique de F ). x x Par une nouvelle application de la proposition 16. 2, on trouve finalement : TMor~me
sion complexe
~
16.3, -
Soit A un sous-ensemble
ferm~,
de dimen-
p, d'un espace analytique X. Soit F un faisceau
rent sur X; supposons que
prof (F x) ~
e
pour tout x EX.
Alors on a r
HA (X,F) = 0
pour r
84
< \
-p.
coh~
- 83 H. Cartan
Par exemple, si on a
prof (F ) x
~
p+2
en tout point x eX,
D 1 alors HA (X,F) et HA (X,F) sont nuls; donc l'homomorphisme de restriction
r(X,F)
est bijectif:
~
r(X-A,F)
toute section continue de F dans X-A se prolonge d'une
seule maniere en une section continue dans X. Ce resultat s'applique notamment au faisceau structural de l'espace X: si la profondeur de
rJ.x est
.?
p+2 en tout point x E X (ce qui exige que dim X ~ p+2, x mais exige davant age en certains points singuliers de Xl. alors toute fonction holomoTphe dans X-A se prolonge d'une seule maniere en une fonction holomorphe dans X. Lorsque X est une variete de: dimension n, et A un sous-espace analytique de dimension
~
n-2, c'est un re-
sultat classique dO a Hartoys.
17. La cohomologie locale
(Suite).
Nous allons donner un autre exemple de "cohomologie locale". Soit" dans une variete analytique X de dimension n, un compact de Stein
A (par la nous entendons que Ie compact A possede un systeme
fondamental de voisinages ouverts U qui sont des varietes de Stein) • On peut alors demontrer que
(17.1)
H~ (X, F) = 0 pour
1
rf
n, si Fest localement libre .
85
- 84 H, Cartan
La demonstration ne sera pas donnee ici; elle utilise la dualite des espaces vectoriels topologiques, car on a besoin du resultat de Serre
[121 : si U est un ouvert de Stein, et F un faisceau localement libre, r
alors H (U, F) = 0 pour r c gie a supports compacts,
r
I n,
en notant HIE's groupes de cohomoloc
Mais ici, ce resultat ne se localise pas on ne peut affirmer que H~ (V, F)
= 0 pour r <: n,
a tout
ouvert V Co X:
F etant suppose 10 -
calement libre, On ne peut donc pas utiliser la proposition 16,2, comme dans l'exemple ;Jrecedent. Pour traiter Ie cas ou F est un faisceau coherent (qu'on ne suppose plus localement libre), on ne peut plus utiliser des resolutions locales de F, puis que la proposition 16,2 ne s'applique pas, Heuresement, on peut utiliser une resolution globale : si U est un ouvert de Stein contenant A, on peut appliquer au faisceau F (sur U) Ie "theoreme A" ; il s'ensuit qu'il existe un systeme fini d'elements de qui engendrent Ie
ifx-module
.r
(U,F),
en chaque point x du compact A • x On a donc, dans un voisinage de A, un morphisme surjectif () Po ~ F, et on peut recommencer Ie
F
m~me
raisonnement sur Ie noyau de ce
morphisme. Supposons alors que
(I7.2)
dh (F )
x
~
k
pour tout x , A ,
On aura, dans un voisinage ouvert convenable V de A, une suite exacte
et Ie faisceau N sera localement libre
86
(a condition de changer V au
- 85 H. Cartan besoin). Comme H~ (X,F)
= H~ (V,F) , une application repetee de la
suite exacte de cohomologie fournit Ie resultat suivant :
H~ (X,F) = 0
07.3)
pour r
Envisageons maintenant Ie cas plus general ou X est un espace analytique, A etant toujours un compact de Stein. D'apres un theo-
[1OJ '
reme de Narasimhan
il existe un voisinage ouvert V de A,
relativement compact, qui admet une realisation comme sous-espace analytique d'une variete Y; soit n la dimension de Y. En raisonnant alors comme
a la
fin du n~ 16, on obtient :
Theoreme 17. 1. -
Soit A un compact de Stein dans un espa-
ce analytique X, et soit F un faisceau coherent sur X. On a r
HA (X,F) = 0
pour r
<
e'
pourvu que
pour tout x EA.
prof (F x) ~ \
H~
Par exemple, si prof (F ) ~ 2 en tout point x~ A, on a x (X, F) = 0, H~ (X, F) = 0; donc l'homomorphisme de restriction
est bijectif.
if,
Ce resulte s'applique notamment au faisceau structu]'al
et donne un theoreme de prolongement des fonctions
87
holomu~t:'hes,
- 86 H. Cartan
dont Ie premier exemple est dO. holomorphe
donn~e
a Hartogs (prolongement d'une fonction n
a l'ext~rieur d'une boule de t , lorsque n ~ 2) •
Pour terminer, je voudrais signaler que les p~s
par Andreotti au cours de ses le90ns durant la
(voir aussi [1]
donn~e
pr~sente
session
) rendent vraisemblable Ie th~oreme suivant :
Soit X une de la
r~sultats d~velop
anal)'!ique complexe de dimension n, munie
vari~t~
00
d'une fonction P. de classe C •
a valeurs '} O. fortement
q-pseudoconvexe, et telle que les ensembles de la forme
e~
o< ~s,;.;oi;..;;e..;.;n~t. . ;;c;.;:,o. ;.;m;Ap;.;;a;,,;;c..;.;ts;.:,._. .:;;S.;;,::oit
Ac Ie
<
<
+ 00
ferm~ d~fini
par
p (x)
p (x)
~
c
c.
Alors on a
pour r
< k-q ,
des que
dh (F ) x
(Comparer
~
k
a la proposition 25 de
pour tout x eA. c
[11 ).
J'ignore comment on peut traiter Ie cas d'un espace analytique.
88
- 87 H~ Cartan
BIBLIOG RAPHIE
A. ANDREOTTI et H. GRAUERT,
Th~orl!mes
de finitude
pour la cohomologie des espaces complexes (Bull. Soc. M. de France, 90, 1962, P. 193-260). H.Ct\RTAN,
S~minaire
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Expos~s
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[8J
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Princeton 1960). C. HOUZEL,
Expos~s
(1960-61).
89
18
a 21 du
S~minaire
H. Cartan
- 88 H. Cartan
[1OJ
R.NARASIMHAN, Imbedding of holomorphically complete complex spaces (Amer.J. Math. ,82, 1960 P. 917-934).
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[13J
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[14]
Faisceaux
alg~briques coh~rents
(Annals
Series 2, 61, 1955, P. 197-278).
J. p. SERRE, Un
th~or~me
de
dualit~
(Commentarii. Math.
Helv., 29, 1955, p. 9-26).
[15J
J. P, SERRE, Sur la dimension homologique des anneaux et des modules
noeth~riens
1956, p. 176.190).
90
(Symposium Tokyo-Nikko,
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.I\1.E. )
P. L E LON G
FONCTIONS PLURISOUSHARMONIQUES ET FORMES DIFFERENTIELLES POSITIVES
Roma - I3tituto Matematico dell'Universita
91
FONCTIONS PLURISOUSHARMONIQUES ET FORMES DIFFERENTIELLES POSITIVES
Int roduction
Le present cours resume huit exposes que nous avons donnes la session d' ete de la CIME
a Varenna
a
en 1963. Ils ont ete faits dans des
conditions exceptionelles que connaissent bien tous ceux qui ont eu la bonne fortune d' apporter leur contribution aux Seminaires de la CIME. Nous exprimons ici tous nos remerciements aux membres eminents de l'Ecole mathematique italienne qui par leur presence et leur participation active on fait pour nous de ce sejour une periode de travail extr~mement
interessante.
Les exposes qui suivent concernent, au fond, des notions qui se rattachent
a la
"convexite complexe",
dans ses rapports avec l' etude
des fonctions analytiques de plusieurs variables complexes. On y trouvera une etude des fonctions plurisousharmoniques, qui, depuis nos Notes de
1~42
et un Memoire (1945) paru aux Annales de l'Ecole Normale.Su-
perieure, sont devenues un instrument classique. Sur ce point Ie present cours complete l' expose, vieux maintenant d'une ditaine d' annees, donne au Colloque sur les fonctions de plusieurs variables de Bruxelles (Centre beIge de Recherche Mathematique, 1953, Masson, Paris, ed.). En ce qui concerne Ie theoreme de K. OKA, fondamental en cette matiere, on a suivi ici un travail recent de R. Narasimhan (1962) qui,
a
par-
tir d'une definition appropriee des fonctions nll'risousharmoniques sur un espace analytique X, etablit qu'un domaine 0 C C X, strictement convexe par rapport aux fonctions plurisollsharmoniques, est holomorphiquement
93
- 2convexe, Une autre partie de ce cours concerne la notion d' element positi! dans une
alg~bre
est liee, elle aussi,
exterieure complexe avec involution, Cette notion
a la
convexite complexe et
a I' etude
de certains
. probl~mes concernant les fonctions analytiques de plusieurs variables complexes, Si Vest plurisousharmonique, Ie "courant" id
d- Vest
z z
"positif" de type 0,0, O'autre part on sait que l'integration sur un sous-ensemble analytique complexe de dimension p est un courant positif ferme de type (p, p), L'etude des elements positifs est faite dans Ie dernier chapitre de ce cours; la dMinition et quelques uns des enonces donnes remontent
a une
note parue en 1957 (Proc, Nat, Acad, of Sc, USA).
La bibliographie est donnee
a la
succincte, On trouvera des references plus
fin de chaque chapitre et compl~tes
dans les volumes
du seminaire d' Analyse (Inst. Poincare, Paris), vol. I 1958, vol. IV 1962, et notamment, en ce qui concerne Ie l' expose n. 6 de ce dernier volume,
94
probl~me
de Levi, dans
- 3-
P. Lelong
Chapitre I Dans ce Chapitre, on rappellera brevement tions utiles concernant les
quelques dMini-
appeles distributions et
op~rateurs lin~aires
courants, puis on donnera un complement au theoreme de Stokes-de Rham,
a obtenir
de maniere
par un courant de
une condition de prolongement d'un courant ferme
m~me
nature sur une variete differentiab1e X: Ie re-
sultat sera utilise par la suite pour definir l'integration sur un ensemble analytique complexe.
1. Distributions - Courants On notera (Cp), (Coo) la classe des fonctions respectivement p fois continument derivables, respectivement indefiniment derivables; D(Cl<)cp , ou (0( )=( <:(1''''' c(m), designe la derivee partielle de la fonction
cp ;
10( I
son ordre total est
= 0(1+'" + 0( m ; G etant un ouvert
de X, D (G) est l'espace vectoriel des fonctions support
[note S(
f )]
dont Ie
est compact dans G. L'espace D(G) est muni
Cf1'Y\.___ 0 si l'on a
de la pseudo-topologie suivante: a) les supports S( b) sup x J D
f ' (Coo),
(~)
f ,\,\) demeurent ,
cr"" (x)
a la
fois :
dans un compact .K CG (0(.)
= mn
~ 0 quand
tn,. ~
+00,
ceci quel que soit l'indice de derivation (0( ) donne. Une distribution T est, par definition un operateur T(
f ) sur
D(G) pour lequel on a T(
Cf 'I.) --+ 0 quand 'P,,,
lin~aire
~ O. Elle
est dite continue d'ordre p si elle a la propriete particuliere que T(
f IV)
~ 0 pour toute suite
b)
p. les indices ( CI(
sup )
x
I D(
verifiant
0(. ) r:f)
I 'tv
/0(/
verifiant a) et
I=
(x)
it p.
95
m(d.)_
"r'\.
0, quand
'\1..
~ + 00,
pour
- 4p. Lelong
Si T est continue d'ordre p fini, T se prolonge des fonctions
a 1'espace DP(G)
a support compact dans G, de classe (Cp), car D(G) est
dense dans DP(G) muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact pour les
jusqu' a l' ordre P.
d~riv~es
En particulier une distribution continue d'ordre z~r9 s'identifie
a une
me sure de Radon. D~finition:
a
Un
op~rateur
lin hire l( cp
)
sera dit positif si l' on
1('1' ) ~ 0 pour cp ~ O. Proposition 1.
Un
op~rateur lin~aire
positif l(
f ) sur un sous-
espace vectoriel L de DO(G) dense sur DO (G) est une me sure positive si l' on suppose que, pour tout compact K, L contient une fonction positive
majorant la fonction
caract~ristique
En effet, soit
f
€
de K.
ste 01 (x) E L majorant la constante 1 sur
-II cp 1/ ou
/I cp 1/
= sup
f ) ~tant compact, S( f)' et l'on a
L; son support S(
0( (x)
~
cp
(x)
~"rll
il exi-
0( (x)
Icp (x) I .
On en dMuit, l(
f ) ~tant
-II
fl'
positif :
1(<<)
~ Hf) ~11'f11 l(~).
D'ou
(I)
qui
~tablit
que 1 "est un
op~rateur
continu d'ordre
z~ro
sur L et par suite
sur D' (G), L ~tant dense lSur DO (G). En particulier une distribution po96
- 5p. Lelong
sitive s'identifie a une mesure PQsitive. On d~signe par
cp ~
G l' adh~rence
D(X) pour leequellee S(
f )C G.
d'une distribution T d~finit dans G, ouvert
n" G (CC:
de G, par D(G) l' espace des Rappelonl qlole la riMl"iet ... 'fA
[c'est-a-dire Sur DW)
J'l
si_fie d'adh~rence compacM dans G :
11 ,
_
0'
eat ue distribution contimle d'ordre fini sur D(.n), car ul'le bWi de votlinages de des
r
E
z~ro dans D( 11
) est
constitu~ par les V(p, E. ) ensemble
D(.n) v~rifiant un nombre fint de conditions :
10<.\"
(2) La
Qontinuit~
p.
de T sur D(G) entraine alors que pour Ie sous-
••,ace D(.11 ) on peut sathfUre
'F ~
quand
V (p,
~
); T
~tant
linhire, (3) entraine 1'existeJlee d'uJI A
fini tel qu'on ait
x t pour
f
~ D(
n ),
1i ,
I 0(1"
p
et cette derni~re majoration ~quivaut A ~.l ..
0<1 D' P est l' espace des distributions continues d' ordre p. Le support
de T est Ie plus petit ensemble ferm~ () tel que
la reltriction de T A G-
cr
soit nulle : si Ie support S(T) est compact, 97
-6P, Lelong
T est continue d'ordre fini : La
d'une distribution est dMinie par dualitl!; on pose
d~riv~e
~ T ";) x
k
qui montre que
'VT
() xk
("P)
est une distribution; elle est continue en gl!nl!ral
d'ordre p+l si T est continue d'ordre p. Une distribution continue d'ordre ,
p, a. suppdrt compact K
peut @tre reprl!sentl!e comme une somme finie de
d~riv~es
d'ordre ,
p
de mesures dont les supports peuvent atre pris dans un voisinage arbi .. traire U de K, En effet la majoration (3 b ) fait apparaitre T( une fonctiom\el1e linl!aire ayant la continulte teurs
A
= {
cp , ... , f?d. cp
J,
10(1
f ) comme
d' ordre zl!ro sur les vec-
°
~ p, a. N composantes. Mais A
est un sous espace vectoriel de (Oc)N : d'apres Ie thl!oreme de HalenBanach, T s"l!tend en une fonctionnelle continue sur (D·)N c'est-a.-dire qu'on
~:
T(
CP) =
et les mesures
f" j
e:xisterait une fonction p compris, sur
sont nulles sur tout compact K' ~tranger a. K sinonil ~
nulle ainsi que ses dl!rivl!es, jusqu'a. l'ordre
K pour laquelle
Courants,
l'l!galit~
prl!cMente serait en dMaut,
Un courant est un opl!rateur linl!aire dMini sur l'e-
space des formes diffl!rentielles a. support compact, a. coefficients indMiniment dl!rivables. On: supposera X, orientable dl!nombrable a. l'infini, de dio
mension m et (Coo); on appellera courant sur X un opl!rateur linl!aire t(
98
- 7p. Lelong
continu sur l'espace O(X) des formes (Coo) a support compact sur X,
cp~ --.,
muni de la pseudo-topologie:
0 si les supports S( f ,~)) de-
meurent dans un compact fixe KC X et si pour chaque coefficient
Cf ,,~, (1)
de
f'(l~ ,
d~rivation
et tout indice de
(Ol), O( 0( )
'f 1'4., (1:) ~ 0
uniform~ment sur Ie support S( 1'~.
On dit, comme plus haut, que t( f t(
(fj
T~
~
)
0 sous les conditions a) et b)
d~composer
t =
\' l_ O~k~
~tant
un courant
homog~nes
ments
continu d'ordre p si
pour les coefficients des
p'
11 est commode de
tk
) est
homog~ne
de degr~ k
homog~nes
f
de
degr~
m
CZ)A.. •. '
T.~
un courant sous la forme
tk
k, c'est-a-dire nul sur les formes
m-k: on obtient tk en d~composant
cp-
en ~l~
:
et dMinissant
Tant comme une distribution un courant test connu sur X [c'esta-dire sur O(X)]
s'il est connu sur les ouverts
l Ui ~ d'un recouvrement
de X. Soit Q( .(x) une partition de l'unit~ avec S(O( .) 1
0( i(x) de classe (Coo) ; on a
1
~videmment t( cP ) = ~ t( 1
99
c:
U., ~ 0( .(x)=l , 1
0( if); 0( i
1
f e O(Ui )·
- 8p. Lelong
Exemples. degr~
1) Soit
0(
une forme diff~rentielle homog~ne de
s, A coefficients continus •
Jot.Af est un courant de
degr~
= 0(
UP)
s.
On appelle dimension d'un courant
homog~ne
de
degr~
s,
dim t = m-s. 2) Soit W C.le
e
de X,orientable et
r~guli~rement
dans X pour la structure de X, c'est-A-dire telle que tout point
plong~e
x.
sous-vari~t~
W ait un volsinage Ui dans lequel W solt
taines des
coordonn~es
la restriction de
f
locales A Ui
j
s+1 = O. ••
exprim~e
d~finie
j
en annulant cer-
m = O. On notera
au moyen des variables
cP
i
j . A-
lors
(4)
o~
f c D(X).
est un courant qu'on calculera en
~crivant
(4)
[ 0( i(x) = s vrement de a la
cP
~tant
t i! U
i = c( i
conUnuit~
Cf
une partition de
l'unit~.
i
00
(C ).
subordonn~e
-
A un recou-
de X, et (f) • la lIestriction -T 1 A W. On remarque que (4) dMinit alors un courant qui
de W par des ouverts U
d'ordre
z~ro.
Le formalisme des courants combine les avantages des distribu-
100
- 9. p. Lelong
ext~rieur.
tions et ceux du calcul
On dMinit Ie produit t I = t /\ ~ , d'un
courant t par une forme 0( , (Coo), non n~cessairement
a support com-
pact, en posant
(5) Cette gr~
op~ration
s, comme une forme
des courants de degrt!
OU
permet
E. ( ) d~signe
diff~rentielle
z~ro d~finis
un courant t,
homog~ne
dont les coefficients t.
par
continuit~
.
8
sont
[1, •• mJ
. = t(.) sont des courants 1,,1s 1 d'ordre ~ p si t lui-meme est suppos~
parenth~ses.
(6) et ant la
de de-
11".1
la signature de la permutation des nombres
qui est mise entre d'apr~s
d'~crire
Les \
continu d'ordre p, Alors, d'aprh (5) et (6) on a
ce qui conduit
a ~crire
(7)
t =
[ (1)
Si l'on pose pl~mentaires
[dx]
C
dX/\ •• /I. dx m , on aura encore, (i) et (j) ~tant com-
:
101
- 10 -
p. Lelong
(8)
par analogie avec Ie cas (exemple 1) Remarque. associ~
1ndiqu~
A un courant t de
plus haut.
degr~
est canoniquement
z~ro
une distributil"n T
T(f) = t
(9)
pour f f
D(X),
rapport au
j
mais il est clair que (9) : t ... T n'a de sens que par
syst~me
par contre un
[f(dx)
de
v~ritable
coordonn~es
locales
employ~
sur X. On
isomorphisme canonique quand on aura
d~f1nira pr~cis~
sur X une forme (Coo) invariante, de degr~ maximum m; soit "-J
m
cette
forme; on posen alors :
T(f)
= t(f W ) = m
j
tf W
m
.
Il en sera ainsi en particulier quand X aura une m~trique (Coo) permettant de d~finir une forme "~l~ment de volume" sur X. Les distributions sur X portent sur des fonctions f, c'est-a-dire sur les formes de
degr~
mum.
on dira improprement qu'un courant est une forme dif-
N~ammoins
f~rentielle
nul et s'identifient aux courants de
degr~
dont les coefficients sont des distributions (au lieu de
distributions). Une mesure, en particulier, est
102
exprim~e
maxi-
densit~s-
par une forme'
- 11 P. Leiong
de
degr~
maximum.
bt
Oiff~rentielle et bord d 'un courant. On d~finit Ie bord d'un courant t par
A partir de la
dualit~
diff~rentielle ext~rieure
d'une
forme ~ :
~t
(f )= t (d f ).
On notera qu'il permute avec Ie changement de variable puisqu'il en est ainsi de la diff~renti£lle
c.; 8i t est homog~ne de degr~ s,
btest
homog~ne de degr~ s+l: l'op~rateur t ... ~ t est un homomorphisme de
l' espace vectoriel 0 I des courants de degr~ s dans 0 I 1 et n' agrandit s s+ pas Ie support du courant; par contre si test continu d'ordre P, ~t I
est continu d'ordre ,
p+l, en
g~n~ral.
En particulier quand t, forme
0{
I
c'est-A-dire
de
degr~
(e cx'), (c!. l'exemple 1), on a , pour
bel =(_OS+1 d «. .
aux courants en coordonn~e
homog~ne
d~finissant
locale \
la
11 est commode
d~riv~e
f
s, se rMuit l une
t
O(X)
d'~tendre
la
d~rivation
d'un courant t par rapport A la
:
ce qui revient A dHinir
I()t
,.,'\Jxk
comme Ie courant dont les coefficients
dans la repr~8entation (8) sont associ~s aux d~riv~es par rapport A xk
103
- 12 P. Lelong
des distributions
aux coefficients de t. De
associ~es
m~me
la
diff~rentiel
Ie dt sera dHinie par
'0
~ t dt( ~ ) = Lk It) x d~ k Le formalisme si t est
homog~ne
de
(f )
dUf~rentiel s'~tend
degr~
s
dt
(10)
alors aux courants et 1'on a,
= (_1)s+1
.: t •
Image d'un courant t par une application: Soit W -+ V une application f d'une (C
vari~t~
W sur une
vari~t~
V, V et W sont
suppos~es
ro
ro
) Iocalement compactes toutes deux. On suppose f de classe (C ) ",j -1 et propre; pour tout compact l\(V, f (I{) est compact dans W. On dMinit alors sur V un courant ft, image de t par f, en posant pour
f
£- D(V):
(11)
ou ftll
cp
a celles f-CP
r~sulte de
f
par substitution de s coordonn~es locales x de W
x' qui expriment
= ( 1 [S(
f )J
Cf
sur V, selon x ,= f(x). Le support de
est compact et Ie second membre de (11) a donc
un sens. Proposition 2.
t - .. ft permute avec l' op~ration bordo
En effet, puisque ftfd = df pour les formes
104
- 13 -
P, Leiong
Theorl!me de Stokes - de Rham.
'f
est dMinie comme duale de realisation de
bt
~
d
La correspondance t ... bt
f; Ie theorl!me de Stokes donne une
dans des cas particuliers en supposant que t soit l'in-
tegration sur une variete W et que la fronti~re topologique, notee
a des
satisfasse
6W
conditions de regularite. Alors Ie t se realise comme
un courant continu d'ordre zero,
dont Ie support est w'II, Independam-
ment des hypothl!ses de rllgularHe sur W-, Ie fait que W a une struc· ture de variete sur laquelle existe une partition (Coo) de l'unite montre : si t(
) est
defini par
(12)
alors
bt
b t)
a son support S(
qui ne contient !lucun point de W, En
effet [ Q( i(x) = 1 etant une partition de l'unite, (Coo), subordonnee aux U., domaines de coordonnees locales sur W, on a 1
(13)
b tlf)
~
J
W
d'l'
~
L 1
J
0( i d'l'
car 0( i cP
dlo(
1
-lJ do(.A'f i
Dans la
J
~ L.
premi~re
somme chaque terme
1
J
d(
ti
i~)-
= O. ..
if) est nul
= 0 sur Ui au voisinage de la frontil!re de Ui ; la seconde
somme est nulle car
L
«.(x) = 1 donne 1
E,.do(.=o. 1 Ainsi S( btl
n
W =
P, 105
- 14 P, Lelong
En dehors de cette remarque, il est evident que ron ne pourra etablir un rapport entre 1'operation topologique
W
--.W"
et l'operation
t --+bt, definie comme duale d'une differentiation que dans des cas tres speciaux. Le tMoreme de Stokes elementaire, pour un l'espace euclidien R m definit precisement tegration de
cp
bt
pave
P de
comme 1'operateur d'in-
sur la somme des faces frontieres de P, convenablement
orientees; on passe ensuite sans difficulte
a l'image
P' = f(P) par une ap-
a une
plication f, (Coo), de P, f etant definie sur P, puis
reunion de
p~ , 1
images (Coo), de P, qui sont des paves de R m : si test I'integration sur W = UP,' 1
,
if
1
on a defini sur W par l'application f, un courant qui est Ie
bord du courant t defini par (12), Regularisation d'un courant ou d'une distribution dans Rm! Nous utiliserons systematiquement des approximations de la me sure de Dirac (mesure +1
a l' origine)
0( 1(x) est une fonction COO sur Rm , de support Ia boule depend que de la distance
1/ x 1/
d~
J
1/
x 1/ ~ 1, ne
et verifie :
j
0( l(x) ~ 0, ou
O(e. (xl" ,x m ):
do~nees par une me sure de densite
0( 1(x) d
~
=
1
m
est l'element de volume dx 1"dxm de R , et ron pose:
de sorte que Ie support de O(e,(x) d
v
0(
e est la boule
II
= 1.
Ces conditions entrainent que la mesure
106
x
II ( e,
et qu' on a
- 15 -
P. Lelong
converge vers T
e.
~ [~J
d'une distribution
qui a un sens, a
e.
li~ ~o
donn~e
~tant
Or Ie crochet tend vers on a donc
cp (0) quand
=
Te. (f) = T( 'f).
~
e.
eat defini par
compact. On a encore:
dans D(G) si
Cf
est une fonction de D(G) :
D'autre part on a
JT.[OIe,(W -ui) f
[u "e.} 'f') en posant
0, Le produit de convolution
T par la me sure a
a support
f
e~
(W)d
t
(w)
=u+v, et
est une fonction (Coo) dont Ie support S [T
e.,]
a ses points
a distance
e.
au plus de S(T). Ainsi: Une distribution T peut
~tre approch~e
par des mesures
a den-
sit~ C Q'), dont Ie support est arbitrairement voisin du support de T. Les distributions T noyaux
~~.
En
proc~dant
e.,
seront dites
selon la
r~guHlris~es
m~me m~thode
107
de T par les
pour un courant t,
- 16 p. Lelong
On appellera t I:: par
L (1)
A.. Adx.
tie. . dX i 1,,1s 1
1S
S( cp
et si B est un ensemble born~
Ie courant
ou tie. . est la fonction (Coo) 1,,1s
Si B est un ensemble
ensemble
O{e.
de t par Ie noyau
r~gularis~
born~
)C
born~
f
de formes
I
K,
(0/) If')
r
D
(j)
dans D dMini par
I(
... M( 0( )(j)
de courants, c'est-a-dire
born~
sur tout
de D, l'approximation
pour
est uniforme pour t
~
B et
pour les distributions et Courants m~
donn~e
fEB: la
r~sulte
ferm~s
propri~t~
~
-., 0
est en effet
imm~diate
de (4),
et homologues a
z~ro.
Un courant test dit fer-
si l'on a
Les courants ferm~s forment en sous espace, vectoriel de D' (X). Un courant test dit homologue a
108
z~ro
sur X, ou exact, s'il exi-
- 17 p. Lelong
ste un courant t I tel qu' on ait
6t On a alors
bHf) = t(d f ) =
=t t I (d f
) = t'
(dd
f ) = O.
Les courants
homologues a zero sont fermes.
2. Prolongement d'un courant continu d'ordre zero - Complement au theoreme de Stokes - de Rham. Soit X une variete a structure reelle differentiable (C P) (p ~ 1), de dimension m; on considere un courant t defini sur un ouvert Definition. les
'f
€ D(fC)]
les formes
'f e
Un courant
i (f ) defini
sur X,
sera dit un prolongement de t si
n ex.
[c'est-a-dire sur
t (f ) = t
(
f)
sur
D(J1.).
Nous supposerons ici t continu d'ordre zero, donc defini sur
• en ) des
I' espace D
dans
n.
formes
f
a coefficients continus, a support compact
Soit G un ouvert de X, non necessairement continu dans
nous dMinirons la norme
II t II
11 :
G de t dans G par
(15)
sur les formes
f!
D
(.n n G)
pour lesquelles on a "
f"
= sup/
f
(i) (x)
On designe par D'o l'espace des courants continus d'ordre nul, Probleme.
On cherche des conditions pour que 1 ) t "
ait un prolongement 1', D" (X) -
,..
D'~ Il)
2 ) t etant de plus suppose ferme, il
existe un prolongement t ferme.
109
I~ 1.
- 18 -
p. Lelong
Les conditions obtenues concerneront la norme de t au voisinage d'un point x ou d'un compact de la frontiere E
a x et
sont
On posera E
~videmment
de
fl
relativement
des conditions locales au voisinage de x
~
EM- •
= X- It , Pour que t ~ D'D ( !l) ait un prolongement
Proposition 3.
-t
*
6 D" (XL il faut et il suffit que
II t 1/ G
soit fini pour tout domaine
G d' adh~rence compacte sur X. On notera que, d'apres (15) la norme des formes
f
II
til G est calcul~e sur
dont Ie support est quelconque dans
*
n ()
G, donc ar-
*
bitrairement proche de E , quand. G La condition ge t, on a
n~cessaire
contient un compact de E , .., ,t> est ~vidente, car si tED (X) prolon-
-
pour
t (f)=t(CP)
f
~ D(
n nG)
ce qui entraine
Pour la
r~ciproque,
Banach, en remarquant que,
on peut faire appel au pr~cis~ment,
n G)
est born~ sur Ie sous-espace D(n
th~oreme
de Halen-
cette condition exprime que t
C D(G), avec la topologie de
D(G), Il est toutefois utile d'obtenir plus qu'un on construira un prolongement particulier. qui sera nul sur Ie
compl~mentaire
de
f1
appel~
th~oreme
d'existence :
extension simple de t.
et caracterise par Ie fait
qu'il n'augmente pas la norme du courant, On peut. pour expUciter la
110
- 19 -
p. Lelong "'oJ
construction de ce prolongement to ' se placer sur un domaine G relativement compact sur X, contenant des points frontieres de cedera nee
a partir
a un
on pro-
subordon-
n par des ouverts U. d'adherence com-
pacte dans
Il . Soit
a definir
D(G)
a support
compact S(
fi
r ;-1 ~ .(x) = 1, (Coo),
d'une partition de l'unite
recouvrement de G ()
/1 ;
to
l'extension
f )C
1
de t sur une forme
G. On considerera:
N
i' N = ~ 'f ~j Y' N a un support compact dans Jl n G,
de sorte que test defini sur
N
=
t(f N)
L
t (
cP
p
j)
1
est defini pour tout N. La serie 00
L1 rp FJ~.l
(16)
t(
converge. En effet, en supposant d' abord t(
'f ) a valeurs
reelles, si
est la somme des termes d'indices j' ~ N qui sont positifs dans (16), SI~ etant la somme des termes negatifs, on a
o ~ S~ = t ( ~, r:p J
o ~ - SN"
= -t
(L
.11
((J
Pi
~
1/
til G /lcpll
~,") ~ 1/ t 1/ G /I fll
T ) ~ J
J
111
S~
f'
- 20 -
p. Lelong
et l'on rappeUe que la norme "t /I G est calcul~e sur les
f
6 D(fl
n G),
On a alors : (17)
qui
ou
2
~tablit
"t
lit"G-117'11
la convergence de (17); si t(f ) est
1 " G(
II til G' II t211 G ," til G '
suIte de la convergence pour \
a valeurs complexes, on a
r~
et la convergence de (17)
et t 2• On posera alors pour
fe
DW):
(18)
Le premier membre ne depend pas de la partition de choisie, car si l'on opere
a partir d'une partition
l'unit~
r t s (x) = 1,
= .fo j (x) (s (x) est une partition de l'unit~, et l' on a
Donnons des
-
1 ) to ( ..v
propriet~s
f ) est
to est dMini sur D(X),
de
l'op~rateur
to
(Cf ) dMini
JS
(x)=
par (I8)
un courant continu d'ordre nul sur X: en effet lin~aire
et l'on a N
(19)
-
~:
=
lim )
L
t(
1
112
Cf
~ jd ,/I
t"
G
.1/ cp "
- 21 P, Lelong
ou G est un domaine de X,
-
If' (:
2 ) to prolonge t car pour
la somme ~tant finie puisque S( 3 ) 1/
D(
n)
r )est compact dans 11
t, /1 G = /I til G
pacte sur X: c'est u".e
compacte contenant Ie support
d'adh~rence
pour tout domaine G d' adMrence com-
cons~quence
de (19),
Extension simple d'un courant continu d'ordre
fronti~re de
voisinage de la
tion suivante, visiblement op~r~
et de la partition de t
D~finition
n
ti~re E~ de
n.
Ce qui
ind~pendante
z~ro born~
au
pr~c~de conduit A la dMini-
du domaine G dans lequel on a
choisie :
l'unit~
~tant born~
au voisinage de tout point de la fron-
sur X c'est-A-dire satisfaisant A la condition
(20)
pour tout domaine G de!l.
d'adh~rence
compacte, on appelle extension simple
A X du courant t Ie courant
to E.
Remarques . 1°) Les fonctions valent 1 sur G consid~rer
les
0(
ot. (x), r
d~pendant
(X)
N(x)
nE et sont d~croissantes en N.
des fonctions
propri~t~s
D~
=1-
par (9).
r:1 rA.J (x) N
11 revient au ~me de
du parametre r
>
0, avec
:
1) 0( (x) est COO en x sur X, on a 0 , r 2) On a
3)
d~fini
ot. r(x)
0(. (x) r
= 1 sur un ouvert
W
r
c:I( (x) '" 1. r .
contenant E •
d~croit quand r d~croit et on a lim
113
0{ r(x)
=
f
(x)
- 22 -
p. Lelong
fonction
de E.
caract~ristique
Alors si l'on
consid~re
I (x);: n si
une suite r
rj.
rn
(x) - 0(,
n
d~croissante
r n+1
(x)
b (x) est une fonction COO valant 1 sur Ie support S(
j3 j
compact on pourra l choisir la partition
et
f)
et
a support
en posant
b (x) l.(x) J et ron aura
= lim /"oJ
(21 )
t
o
= lim
t(1-o(
r=O
r
)
qui definit encore l'extension simpleS: partir d'une famille Fr de noyaux oL r(x) ayant les
propri~t~s indiqu~es.
2 ) On a une
propri~t~ caract~ristique
Proposition 4.
Pour que
t
Eo
Do'
de l' extension simple:
(X) qui prolonge t
~
D: en)
en soit l'extension simple, il faut et il suffit qu'on ait sur tout do maine
Gee X: (22)
114
- 23 -
p. Lelong
c'est-a-dire que t On a suffisante, soit On va
~
#oJ
t n'augmente pas la norme.
la condition
~tabli
t€
-
donn~
~tant donn~ positif,il existe
(.
Pour
~tablir
la condition
DO (X) prolongeant t et v~rifiant (22) pour tout _G C" X.
que t est bien
~tablir
n~cessaire.
par (21), donc
f e DCn) telle
coincid~ra
qu'on ait
avec t D
lilt' II'
1 et
(23)
Soit
cp a:
D(X~
nant Ie 'Support S(f ) noyaux
et G un domaine d'adMrence compacte conte-
suppos~
non vide. On
0( r (x) relative a E 1 =
G- ( n r)
consid~re
G), et on choisit
petit pour que Ie support S( 0( r) ne coupe pas S( et
~r
cp
une fa mille F r de
r)
ont alors des supports disjoints. On
pour r
consid~re
r,
<.
> 0 assez f
r e:
pour r
< r0
les deux formes
On all t(
cp 111
'1,
'f 1 €-
f ) a valeurs r~elles.
D(X). Supposons de plus dans ce qui suit
On a
On choisit Ie signe a prendre devant Ie second terme de re qu'il ait marne signe que t(
r).
On a alors
115
mani~
- 24 -
P, Lelong
ce qui,
d'apr~s
(23) donne
et montre qu' on a N
lim t ( t/( r r=O
(24)
f )=
0
On a alors
t
et montre
l'unicit~
= lim
,.J
r=O
t( 1- 0(
r
)
= t,
sous la condition de non augmentation de la norme,
n.
Dans la suite on dira que t est born~ dans tion (20) est
v~rifi~e,
Cas d'un courant ferm~, Si l'on part de tED et ferm~, on aura de plus Cherchons alors
m~. Soit
f
~
b t( cP ) = t(d
si la condi-
,0
f ) = 0 sur toute,
(.n); born~
r'
D(
n),
queUe condition l'extension simple est un courant fer-
t DO (X), F une famille de noyaux
0( r relatifs
On aura, en consid~rant la forme diff~rentielle d 0(
t (d 0( r /I. = t(d
cp ) = t
f '), - t
[d( q r
[d 0- 0( r)
116
cP
~]
r
e D(n):
a E = x-ll ,
U - t( Q( r d f - t(
ar
r)
)
- 25 -
P. Lelong
Le second terme au second membre est nul car on a (1-
ar) f '
D(!l).
I1 reste
roJ
S1 maintenant test l'extension simple to ' on a
On remarquera que Ie courant tIl), do( r appartient ~
bt ~ On a ainsi Th~or~me
dre z~ro sur
= lim
a D"
d'apr~s (24)
(12). On a
r=O
:
~tabli
1. Pour qu'un courant t
ferm~,
born~,
continu d'or-
n c X ait pour extension simple a X un courant ferm~,
11
faut et 11 suffit que I' on ait
lim
(25)
r=O
pour une famille F de noyaux
0(
tA d ri.. r r
relatives
Remarques. 1) Lorsque E = X vide, on pent d'abord prolonger t
a E", fronti~re pris relatifs a E*'.
en suite etre
de
n
=0
o
aE
-.n.
117
.n .
0
a un int~rieur E
non
pour Ie courant nul et prolonger
relativement
2) Si t est l'int~gration de ~
aE=X-
sur
aX:
les noyaux
n,
0(
on a ainsi un
r
peuvent
compl~-
- 26 -
p. Lelong
ment au
th~oreme
de Stokes donnant une condition
Pour 1'application
a la
definition du courant
un ensemble analytique complex (cf. chap. IV ) en faisant intervenir une majoration de
/I t II
d'int~gration
pr~cisons
s
0( 1(x"), COO, 0' a( ,
/I x ' 1/ ~ t . On
s+
la condition (25)
s+
1='" =x =OJ m
. 1""'x ), et on consld~rera
m
I, de support 1/ x" 1/ it 1 et valant 1 sur
pose
Si L majore les
d~riv~es
I 'do( I, '0 xk
Lr
En notant
sur
au voisinage de E*, en
d'abord Ie cas ou E est un sous espace RS [x
d e Rm • On posera x 1_( - x 1' ... ,x ), x"_( - X
un noyau
et suffisan-
b t = O.
te pour que
consid~rant
n~cessaire
on aura
-1
, on ob-
la nor me de t dans
tient Corollaire 1.
....,
s
Dans Ie cas ou E = R , 0 ~ s 'm-l, pour que
1'extension simple to soit
ferm~,
t
~tant ferm~
et
born~,
il suffit qu'on
ait
lim
(26 )
r=O
r
-1
II til
r G
=0
s
Toujours dans Ie cas E = R , on a l' ~nonc~ Corollaire 2. ~tant ferm~
et
born~,
....,
Pour que l'extension simple to soit
il suffit que
a tout 118
ferm~e,
t
do maine G relativement compact
- 27 -
p. Lelong
dans R
m
on puisse associer k(G) positif fini tel qu' on ait dans toute
I
boule B C. G
" t/IB'
(27)
k(G)
J
avec ~ > s+ 1 r ~tant Ie rayon de B. I
II suffit en effet de recouvrir Rm par un pavage dont les ~l~ ments sont des cubes de
cot~
r, l'origine
~tant
sommet du pavage; un
domaine
est recouvert par un nombre N(r)
< Ar -s
et (26) montre que la condition
Y>
pav~s;
alors (27) entraine
s+1 est suffisante pour que l'on
,v
b to = O.
ait
Remarques. 1) L'hypotMse que X soit une COO peut @tre
remplac~e
par celIe que X soit
o de remplacer D(X) par D (X) et de prendre 2) Dans Ie cas ou E = X ,-
11
vari~t~
a structure
a structure C1;
il suffira 1
0<. (x) de classe C •
a une fronti~re E-
a ;hilque
point de laquelle on peut associer un voisinage U et un Itom~omorphis x m me LL appUquant U sur un ouvert de R avc JA- [Elf (') U ] C RS ,
r-
O~ s~
cation
I
x
m-1, l'image
jN
)JJ t
v~rifiant
" x (26) ou (27), on obtiendra par l'appli-
des conditions suffisantes permettant d' affirmer que I' exten-
sion simple de t de
Il
a X est encore un courant ferm~. 119
- 28 -
p. Lelong
Bibliographie
[1)
L. Schwartz ': Thl10rie des distributions, Vol. I, Hermann Paris.
(2 J e3]
G. de Rham - Vari~t~s d1ff~rentiables.
Hermann Paris.
P •. Lelong - Int~grat1on sur un ensemble analytique complexe, Bull. Soc. Math. de France, t. 85, 1957 p. 239-362.
121
- 29 -
p. Lelong Chapitre II
LES FONCTIONS PLURISOUSHARMONIQUES, 1,
Propri~t~s ~l~mentaires.
pos~e
Soit D un domaine de crt,: nous dirons qu'une fonction V. sup2 de cla9se (C ), est plurisousharmonique dans D 8i en tout point
la forme hermitienne
dz
(1)
est
caract~rise
dz
q
-
= L (V)
positive,
semi-d~finie
Cette condition
qui
p
pr~sente
une analogie avec la condition
les fonctions convexes de classe C2 dans un Rm, Toute-
fois la condition (2) n'a pas une signification invaii.ante sur une si les x sont des p
ments de
coordonn~es
coordonn~es
locales, sauf Ie cas ou les seuls change-
permis sont linbires et l'on revient alors au cas
d'un espace vectoriel comme domaine de dMinition, Une g~n~ralisation
duit de deux
est
donn~e
vari~t~s,
si l'espace de
x' = ""
k
d~finition
les changements de
type
(3)
vari~t~
(x'lr
I k 1'"
x't) p
123
posf!libilit~
de
Z = X:X Y est Ie pro-
coordonn~es
locales
~tant
de
- 30 p. Lelong
Alors dxd V = Y
"()~p~ YqV
I
dx dy est invariant par (3) comme forme P q
bi1in~aire.
Daps Ie cas d'ime vari~t~ Wn analytique complexe, on aura sur chaque carte des coordonn~es :Ilk'
Zk
et les changements
-
-'f k (zl,···,zn) -
(4)
sont du type (3), les
't' k ~tant L (V)
forme
bilin~aire
des fonctions holomorphes
=d
z
d V·
r
est invariante par (4) et la condition L (V)
~
0 est
ind~
pendante des coordonn~es locales choisies sur Wn • On a une classe de fonctions dMinie sur des
vari~t~s
analytiques complexes et non plus seule-
ment sur des espaces vectoriels complexes. Nous en donnerons maintenant plusieurs dMinitions CelIe dont nous partons est n~e (en 1945),
cr.
(3d
diff~rente
~quivalentes.
de la dMinition primitivement don-
J ' elle est commode quand on utilise les
courants
et les distributions. DMinition 1. Une fonction V dMinie dans un domaine D de Cn sera dUe plurisousharmonique si 1a ) Elle est mable,
d'int~grale
~
valeurs
r~elIes,
-00 ~
V~
+00
..
et localement som-
finie sur les ouverts d'adMrence compacte dans D.
1b ) La distribution T (V,
~
1. ) d~pendant
du vecteur
... ,A n )
~p "-q
(5)
124
A.
=(
AI"
- 31 p. Lelong
est une distribution positive (done une me sure positive) quelque soit Ie vecteur
y~
1c ) En xED, appelons V (x) la borne inferieure des lesquels
E[
V(y)
>j]
m
J
pour
est de mesure nulle dans un voisinage de x.
On doit avoir :
V(x) = V (x) m
pour tout x S D. Vm (x) est encore la limite de sup U V(y), .. suivant une suite de voisinage U n'ayant que x comme point commun, Ie sup etant pris en mesure, Si Vest differentiable (C 2 ), la condition (5) exprime que la ":'J
fonction continue T(V, '" ) est positive. ce qui equivaut
a (1).
De la definition 1 resulte : la plurisousharmonicite est une propriete locale; si Vest plurisousharmonique dans Dr et D2 • V l'est dans
Dl U D2 • Definition R
m
et
1'.
Une fonction V definie dans un do maine de
y est dite sousharmonique si elle satisfait aux proprietes 1 • 1
a
a Id ) La distribution laplacien Remarque.
c
~ Vest positive.
Dans C 1 les definitions 1 et l'
coincident; il Y' a
identite entre fonctions C1_ plurisousharmoniques et fonctions R2 - sousharmoniques. Proposition 1.
Une fonction Cn plurisousharmonique estR 2n -
sousharmonique. En erfet Ib entraine que chacune des distributions
125
- 32 -
p. Lelong
soit positive et l'on a alors
Plus
pr~cis~ment
Th~or~me
I.
on a :
Pour que V soit plurisousharmonique dans un
domaine D de en il faut et 11 suffit que V soit R2n - sousharmonique et Ie demeure au voisinage de I' origine pal' rapport aux variables z~ ,
apr~s toute transformation z ..... A(z') z -z
k
ou :es
1\ ~
~
o=
, z
k
o
E. D
sont des constantes quelconques assujetties
II = UAll
I
a la condition
O.
La condition est
n~cessaire
car Ie laplacien par rapport aux
aj ii j = p q
(6)
p,q
d'apr~s
(5), de sorte que
V·'
[z IJ
=V
r ] A(z)
est R2n -sousharmo-
nique, les conditions Ia), Ie) demeurant v~rifi~es pour La condition est suffisante:
V'.
il suffit d' ~tablir que (6) vral
pour toute matriee A r~guli~re entraine (5) pour tout vecteur
126
~
X . On
- 33 p. Lelong
choisit les valeurs
J
(7)
l
a
1 = p
A- p
= «1 p
l'p,n.
aj = G"" or. j p p
1 ~ p' n
j.} 2 ,
IIeX Jp' 1\
etant un nombre variable qu'on fera tendre vers zero et les 0(. j etant choisis de maniere que la matrice carree , il en est de m~me des matrices "a~ pour
II
tr f
p
soit reguliere;
O. On ecrit (6)
pour les valeurs (7); ce qui donne
T (V,
Si
~ ) + I CS"
n
~
/2
T (V.
j =2
fest une fonction positive (C~)
a support
~ j) ~
O.
compact dans 0, on a
donc
T (V.
~)
(f)
~
n
-
I tf I 2
r:
T (V, : j) ( cp
)~ -e
j= 2
pour
Irr I ~
ce qui etablit (5) et l'enonce.
Le theoreme 1 est commode pour etablir des proprietes des fonctions plurisousharmoniques
a partir
de proprietes connues des fonc-
R2n -sous harmomques. ' ' tlOns 2
Proprietes des fonctions de classe (C ). daps 0 une application analytique :
127
1) Sil'on considere
- 34 p. Lelong
les
\fI k ~tant
cP est
l'image de V dans vari~t~
z
holomorphes, L(V) = dz d V = dt
analytiquement
'1 v ~ 0 montre que
plurisousharmonique. La trace de V sur une (p
plong~e
est plurisousharmonique, et en
particulier sur une droite complexe,
2
est une fonction R -sousharmonique. 2) Si l'on r~me
l;ansid~re
tMo~
de Stokes donne :
J '()
FB ou d
V sousharmonique de classe (C 2), Ie
V ':>n
d~
~ est 1'~I~ment de volume,
=
J';)
V (0
ur
...
x +t~) r
2n-l
dW2n _1(o()
ot
B une boule de rayon r, et
un
vecteur unitaire. En appelant I (V, 'X,', r) la moyenne de V sur la sphere
I x_xo I = r,
et posant :
( ) \
I
2-m
m> 2
= +log r
m=2
h (r) = -r m
h2 (r)
pour la fonction de la distance qui est Ie noyau du potential newtonien dans R m :
(m-2)
J
Jud"C
B
128
=
?
0
- 35 -
p. Lelong
(on remplace m-2 par 1 si m=2). On en dMuit, pour une fonction V de 2
classe (C ) et pour des boules ou des polycercles contenus dans Ie domaine de dMinition : Proposition 2. a) pour une fonction Rm -sousharmonique l(V, xO, r) est croissante et convexe de h
m
(r),
b) pour une fonction plurisousharmonique, la moyenne sur l'arete d'un polycercle zk -z: = r k e i 9Jc
est croissante, convexe des variables Uk = log r k • La
d~monstration
se fait en remarquant que si on lasse zr"
zn_l constants, Vest une fonction R2 sousharmonique de zn dont la moyenne sur un cercle est convexe de u , n
c) La moyenne sur Ie polycercle lui-mame soit A(V,zO,r 1, .. r n ) possede la mame,
propri~t~,
d) La moyenne sph~rique l(V, zo, r) d'une fonction plurisousharmonique sur la sphere
/I
z_zo" =r est fonction croissante, convexe de
log r, Elle s'obtient en effet ~ partir des moyennes'(v,zo,rr 1, ... ,rrn ) par
L r~ De
= 1. l~ r~sulte
TMoreme 2:
: Une fonction sousharmonique (respectivement
plurisousharmonique) est limite d'une suite 2 meme nature, de classe (C ) ,
d~croissante
de fonctions de
En effet si Vest plurisousharmonique, Ie produit de convolu-
129
- 36 P, Lelong
C(e,
tion avec la famille de noyau r~gularisant
d~finie par homoth~tie
au Chapitre I donne
v~
= V
* O(eo, 1/
OCe,(t) ne d~pendant que de
de classe (Coo) ; de plus
t
1/ = u,
on
a :
Ve.. (x)
(8)
Ve,
=
J
e
l (x) = Wm _1 0 l(v,x,
u) 0{ (u) u
e.
qui montre que Ve.. (x) est fonction decroissante de fonction
m-l
du
si V(x) est une
d~rivable,
Cette propri~t~ s'~tend au cas d'une fonction Rm -sousharmonique non
e, >
car pour r> 0,
d~rivable,
V r,
e.,
=
V*'« *~ = V fit r'""
lim qui montre que V
r,
en est de meme de Ceci
e.
= V
Ve.. '
pos~,
r
'* oL~
0, on a
r=O
~tant
V r,
e. =0
130
=
V.
Ve. , r
=V
e..
fonction croissante de
montrons
V = lim
e.,
0(0 ~c( ~ r
e. ' il
- 37 P. Lelong It
Tout d' abord V = lim
V
existe et est une fonction semi-conti-
eo. =0 e,
nue sup~rieurement. En effet,
E.
> 0 ~tant donn~,
pour
e.
suffisam-
ment petit on a en un point x :
V (x)
m
ce qui donne,
+
e
1 c
d'apr~s
(9 )
De plus on a V(x) = lim
e. =0
v: (x)
moyenne A(V,x,e.,) sur la boule
II
a-dire presque part out
tMor~me
gration pour partie, (8)
Ve, (x) (on d~signe par
unit~ dans R m).
"C
m
d'apr~s s'~crit
=
Ie
J
m-l
tout point x ot) la
xI-xII = ~
tend vers V(x), c'est-
de Lebesgue. Par une
int~
en effet
r m o1
,W
en
!,
A(V, x,
e.
m
d~
u) u (-~) du
les mesures de la boule et de la sph~re
On a donc V = V" presque partout, et en prenant en chaque point Ie maximum en mesure et observant que V* est semi-continue sup~rieurement,
on obtient pour tout x :
V(x) = V (x) ,
(0)
Alors (9) et (0)
m
~tablissent
pour tout x:
131
V* (x)
- 38 -
p. Lelong
V(x)
(11)
= V". (x) = lim Ve.. (x)
Remarque: On a
aussi
~tabli
V(x) =liro
(12)
e =0
A [V, x,
e.J
en tout point x. On retrouve alors les definitions bien connues : Theoreme J. Pour qu'une fonction V(z) soit plurisousharmonique dans D, il faut et 11 suffit qu'elle y possede les proprietes suivantes 2a) On a
-00
~V
< +00
en tout point; V
¢
-00
dans D
2b) Vest semi-continue superieurement 2c) La restriction de V
est localement la constante plan L
1
-00,
a une
droite complexe L 1
. .
ou une fonction sousharmonique dans Ie
de la variable u. Remarque.
Pr~cisons
2c) : D () L 1 est la somme d'ouverts
connexes di et l'on exige que vi(u), restriction de V harmonique dans d. - ou, sinon, la constante
lit~
1
-00.
a di
soit R2 -sous-
On notera la possihi-
de construire Ie do maine d'holomorphie D d'une fonction f, et L 1
de maniere de L 1() D comporte des dk dans lesquels on a fk!! 0 pour certains k, f . • 0 pour d' autres, fj . etant la restriction ad. de f : J J V = log f.1 est plurisousharmonique dans d .• J J En ce qui concerne Ie cas sousharmonique, on a
I
Theoreme 3 I.
Pour qu'une fonction V(x) soit R m- sousharmoni-
132
- 39 P. Lelong
que dans D'C,R~ il faut et il suffit qu'elle soit semi-continue sup~rieure ment,
v~rifie
(3)
V(x)
On exclut la constante
[v,x,
e.J
-00.
D~monstration de 3 et 3':
Pour 3', on a vu que la defini-
tion l' entrainait la semi-continult~ sup~rieure et aussi V ; part pour les fonctions de classe (C 2), on a vu que A [V, x, croissant; alors V(x) = lim
r~O
= lim
r=O
[ A, V r
,e J
V r
entraine que A [v,x,
soit croissant de
-00.
eJ
D'autl'e est
eJ =
e, ; enfin la Remarque
pr~c~-
dente entraine (12). En sens inverse, il est classique que les hypotheses
3'
entrainent que A [V, x,
ce qui
eJ
ait une valeur finie pour tout
e.)o 0,
a 1 ; de plus (12) et la semi-continuit~ sup~rieure entraia nent V(x) = V (x), c'est-a-dire 1 en tout point; enfin (12) entraine m c 2 la croissance pour les fonctions de classe (C ) des moyennes HV, x, ~quivaut
e.. ),
A(V, x, ~), car eUe entraine
fl
V ~ 0; la croissance de A(V, x,
e, )
et la semi-continuit~ entrainent (12). Dans ces conditions Ve. = Vft o(t., tend en d~croissant vers V quand a
6 V = lim iJ.
e, -+ 0 et pour la distribution
fl
V on
Ve. ~ 0, ce qui ~tablit 1c •
On notera en passant que 3' entraine: une suite d~croissiUlte de fonctions R m -sousharmoniques dans un domaine a pour 1imite soit une fonction sousharmonique, soit la constante
-00,
Pour 3 : La definition 1 entraine 1', donc, ainsi qu' on vient de Ie voir, 2 , et 2b ; si I' on considere les restrictions aL I I ce sont des a 2 . fonctions R - sousharmoniquet si Vest plurisousharmonique
133
- 40 p. Lelong
donc Ol)entraine 2c sur chaque dk , puisque V~ o(e, = VQ.,
d~ri1rable;
est plurisousharmonique, derivable et croissant en
e.,
En sens inverse: 2 entraine que l' on ait c
Ie second membre designant la moyenne de V sur l' ar~te du polycercle
I z~ - \ I
= r k ; 2c entraine d' autre part qu' elle soit fonction croissan-
te des r k ; il en r~sulte pour la moyenne spherique sur " z' -z V(z) " qui entraine les ditions du th~or~me
hypoth~ses
theor~me ~tant
/I
=r
l(V, z, r)
3' ; Vest R2n - sousharmonique, et les con-
invariantes dans les conditions
I, I' application de celui-ci acheve la
~nonc~es
d~monstration
des
au th~o
r~mes 3 et 3'.
Remarques: 1 ) II est
ais~
de voir que dans la
d~finition
I,
si 1'on veut obtenir la classe des fonctions plurisousharmoniques (avec les la
propri~t~s indiqu~es
au
semi-continuit~ sup~rieure
dite faible qu'on
~noncera
3). on ne peut remplacer 1 ni par c (2 b ) ni par la semi-continuit~ sup~rieure
theor~me
:
2 ~ : il existe pour tout qu' on ait V(z~)
< V(z) + £
e.
, et tout x un voisin age U , tel
x
presque part out pour z, E U .
z
En effet soit E{D un ensemble parfait de R 2n -:mesure nulle, et V(z) une foncHon plurisousharmonique. Soit V'(z) = V(z) si z E D-E, V'(z) = V(z) +1 si z E E. Il est clair que V' satisfait la' lb' et les deux conditions 2b , 2'b sans ~tre une fonction plurisousharmonique (en
134
- 41 p. Lelong
particulier(11) n'est pas verifie).
,
Les enonces 3 et 3 enoncent que : dans la classe des fonctions V' presque partout egales la condition lc) jointe ne une
a 6.
a une
fonction V localement sommable,
V ~ 0 (au sens des distributions) determi-
fonction de la classe qui est semi-continue superieurement. 2 ) D' apres Ie theoreme 2, les proprietes des moyennes enon-
cees d' abord pour les fonctions derivables, valent sans cette restriction. En particulier (cf. [3 d
J ) la
semi-continuite superieure pour
V~ -00, et la propriete de la moyenne sur I' ar~te d'un polycercle
rr,
e
de centre z , de rayons r k
si elle est vrai pour tout
> 0,
rr , de centre z~,
dHini par rapport
a des
axes orthonormes quelconques, entraine que V soit plurisousharmonique. 3 ) La limite d'une famille ctecroissante de fonctions plurisousharmoniques est de
m~me
nature
ou la constante -00; cela resulte du
theoreme 3. 4 ) 5i V(X, t) est une famille sousharmonique (respectivement plurisousharmonique), finie, et si l' on a
V·
sommable en t,
IV(X, t) I < 'P (x), f W(x) =
V etnnt une mesure positive sommable localement,
J
V(X, t) d)) (t)
est encore semi-continue superieurement et, par suite, sousharmonique (plurisousharmonique) . Demonstration en considerant les moyennes spheriques
135
- 42 -
p. Leiong
A [V(X, t) I
x, rJ
=V
r
(x, t)
r
Elles forment une famille egalement continue en x; V (x, t) -+ V(x, t),
e
en decroissant quand
~
O. On a donc
W(x) = lim
J
Vr(x, t) d ')) (t)
r=O
l'integrale est continue en x; W(x) est donc semi continue et verifie (13). Dans Ie cas pl.!risousharmonique, on utilise Ie theor~me 1 pour
etablir que l'integrale est plurisousharmonique.
5 ) De la Remarque 4 on deduit une demonstration simple de l' enonce suivant : Theoreme 4. Dans l'enonce du
theor~me
3, 2b) peut
~tre
rem-
place par 2d)
vIz l' ••• ,z n) bornee superieurement sur tout compact.
Pour l'etablir on posera: Definition 2. Une fonction V(X, y)
= V(x 1' .... xp' YI" .. ,Yq)
sera ditp doublement sousharmonique ou de classe S dans un domaine xy D = D'X D" , DIe RP, D" C Rq , si elle verifie 2d , est a valeurs reelles
-00
~ V
< +00,
V;
-00,
et quand on fixe l'un des groupes de varia-
bles, est localement fonction sousharmonique ou la constant - 00 par rapport
a l'autre
(cette classe S est definie dans r3 Jet xy ~ g
Ii]).
l'
On a Proposition 3.
Si Vest doublement sousharmonique (au sens
de la dMinition 2), Vest semi-continue superieurement. Soient
(xl"'" x), (\ (y , .•• , y ) deux approximations, p)"t 1 q (Coo) des mesures de Dirac, +1 a l'origine, dans RP(x), Rq(y) respecti0(
r
136
- 43 P, Lelong
vement, Alors si VA = sup (V, -A), VA faite
ay
'* o(r'
OU la convolution est
constant, est (Coo) de x, et est sousharmonique de y d'apres
la Remarque 4 , Formons
Elle est fonction (C r
~
de
00
) de (x,y); elle tend en d~croissant vers VA quand
0, t -to 0, Donc VA est semi-continue
m~me
de V = lim
sup~rieurement
et il en est
VA' quand A -++00 ,
On en deduit Ie theoreme 4, par pour n-l, on pose x = (zl"'" z
n-
: s'iI est vrai
r~currence
I)' y = (z ) et on applique la Proposin
tion 3, Exemples - Fonctions plurisousharmoniques parttculieres :
1~) Si f(z 1" , , , zn) est holomorphe dans D, a
> 0,
a log , f
I
est plurisousharmonique dans D, 2t)Les fonctions plurisousharmoniques de C
i
sont les fonctions
, h armomques, . R 2-sous 3~)
Les fonctions plurisousharmoniques V qui ne
d~pendent
que
des ~ = RZ k sont les fonctions convexes de l'ensemble des (xk ), On a l' ~nonc~ plus
pr~cis,
Proposition 4. SI V (x, x') est plurisousharmonique dans un domaine D =
(x,
d,
Ix'/
<.
aJ ' et si V(X,X') ,
est fonction convexe de x, D~monstrat!on:
=
~2 I':)
si V est
V
x~/)xj
d~rivable,
on a
V(x) alors V(x) ~V
~ (I
xk
= 0 pour
= 0 pour x= 0, Alors pour dZ k = dxk=dZk ,
137
- 44 P. Lelong
a
L(V) se reduit
d
1
L(V)
2V ~x ~x
4
p
,
dx dx p
q
.). 0 q
sur x = 0 • Si Vest dans D independant de x', on considere, comme pre-
= V it o(e.
cedemment Ve.
rivable, iildependante de x' V(x) = lim
t=o
sur un compact KC D; c' est une fonction de-
I
I
donc Ve.. (x) est une fonction convexe et
V (x) l'est aussi.
e..
'
On passe au cas general en considerant Ie pave P:
Ix'l ~ A.
~.(.
I
a, et
W~ (x,x') = sup V(x+y,
Proposition 5,
= lim W'l iI=o' ,..
V
e-
xl +y') pour (y,y')
W).. est plurisousharmonique. independante de x I pour
xEd ~ • done convexe de x ;
Ix I ~ ~
Ix '/<.
I
p.
A•
a-
est donc convexe de x.
Si V(z1, ... ,zn) est plurisousharmonique et
zk = ~k (t 1, .. ,,\) une application holomorphe W(t) = V [z(tl] est plurisousharmonique ou
-00,
En partieulier si M est une sous variete ana-
n
lytique de C • la restriction de V
aM
est plurisousharmonique ou la
eonstante - 00. Demonstration evidente; si Vest (Coo) on a Lt (W) Ii L:lI (V); on passe ensuite
a la
limite d'une suite deeroissante V '-. V, n
n
4°)
I z I 2 = L1
5°) U
=
log
z. z. 1
IzI
2
v·n
etant
est plurisousharmonique :dans Cn •
1
n
= log ~ '"
z.
1
Z.1
est pluriso.usharmoni-
1
que : on peut remarquer que U = sup
~I I '"
=1.
138
~
pour
- 45 -
p. Lelong
6°) Si V(zi"'"
Z )
Pn n> p, V l'est aussi dans e •
o
est plurisousharmonique dans e P C en,
.
7 ) Si des F. (zl"'" 1
1 , i ~ N,
~ F .F. et log 1 1
n
Z )
E.
n
sont holomorphes dans Dee,
F .F. sont plurisousharmoniques dans 1 1
D. R~sulte de 40 , 50 et de la Proposition 5.
2. Les familles
born~es sup~rieurement
localement.
Nous appellerons famille F une famille
born~e sup~rieurement
sur toilt compact. Les familles F de fonctions plurisousharmoniql1es possedent des
propri~t~s
simples bien connues. Remarquons d' abord que
si VIet V2 sont plurisousharmoniques, il en est de meme de sup (VI' V2), et de aV l + b V2, a> 0,
b
>o.
Des lors la recherche de sup V , V n
n
~
F dans un domaine
D, se ramene 8, celIe de la limite d'une suite croissante
F'.
Dans Ie cas sousharmonique cette- limite n'est une fonction sousharmonique que si elle est semi-continue. Toutefois on a : TMoreme 5. Si Vt est une famille F de fonctions sousharmoniques (respectivement plurisousharmoniques), W = sup Vt petite majorante semi continue
sup~rieurement
a pour plus it
une fonction W qui est
sousharmonique (respectivement plurisousharmonique). Definition:
On appellera
plus petite majorante semi-continue La pr~sentation
d~monstration
potentielle.
r~gularis~e sup~rieure (not~e sup~rieurement
directe du
a partir
des
th~oreme propri~t~s
d'une fonction W.
5 sans passer par la redes moyennes est clas-
sique (cf •. T.Rado: Subharmonic functions, Etg.der Math. dans Ie cas SDusharn'lonique. (cf. [4]),
E. ,n.1,
19'37)
Dans Ie cas plurisoushatmonique
on remarque alors que Ie passage
139
It
W ) la
a
Ia limite et
- 46 p. Lelong
la regularisation , W --+ W" permutent avec les changements Uneaires de variables utilises au theoreme 1 : celu1-ci permet donc d' affirmer que s1
Vest plurisousharmonique, W~ l'est aussi.
t
.
On peut d' ailleurs se ramEmer au cas un lemme de Choquet (cf. Lemme: nombrable d' ouverts, les sur E.
n existe
d'une suite V d' apres n
[2J):
Soit E un espace topologique, ayant une base de-
fy-
i (: I une fa mille de fonctions
a valeurs
reel-
une sous-famille denombrable 10 C I, telle que si
g(x) est semi continue inferieurement et verifie
g(x) ' fr (x)
•
= inf.
f. (x),
i
l'
e
10
on ait aussi
g(x) ~ fI (x) = inf. f.(x)
~ I
1
Demonstration:
Au besoin en posant
supposer -1 ~ f ~ +1. On utilise une suite
f = ~ 1 1+ft,
WI' .... W p''''
de E formant une base des ouverts sur E, chaque
on peut d'ouverts
W k etant repete dans
la suite une infinite de fois, Alors pour chaque on, 11 existe i ' I , sahsn
faisant
inf
(14)
f. n
On posera g ~ fi
[in~ = I~, ~n
In
1 fr(y)(n'
(y) - inf n
montrant que pour g(x) semi continue,
' pour tout ix, entraine g.( fr La semi-continuite de g entraine n
140
- 47 P, Lelong
que pour tout x
E-
E. et
c> o.
g(y)
done un
wp CU.x
avee
il
existe un voisinage U tel qu'on ait
x
e. > g(x) - -2
.L<~
y E U
x
ou 1'on a
2
p
•
£
in! g(y) ~ g(x) - -2Wp (15)
£
g(y) ~ -2-
g(x) - inf
Yf Wp D'autre part on a :
(16)
inf g(y) - inf fi (y)' 0 Y€ Wp y GWp p
En prenant dans (11) la valeur x = P. on a. les inf dans
(17)
W: p inf fi (y) - inf fr (x) p
< .Lp < ~
et en additionnant (17). (16). (15)
g(x) - inf fr (y)" Wp done
141
E.
~tant
pris
- 48 -
P', Lelong
g(x) ~ fJ (x) •
Cons~quences.
8i W = SUPt Vt , Vt
de W* = reg. sup W,( on pourra extraire V
n
E F,
E-
pour la recherche
F ,pos'e'r' W'1 = sup V • n
On a alors :
(I8)
WH> = W* 1 '
et
donc
W ( W (. W* 1~ 1
= W*
et
Etude des suites croissantes - Cas sousharmonique.
V p =
Soit
e F(D),
Jl::l
lim V = W J, W*, On voit que la mesure U. (cO) = p r"p I Vp d -e = fj VP au sens des distributions converge vague-
f
ment car si
lim f'p
r
(f )
1 ~ ~ (D), Cf I '
lim
on a
Jb.
Vp,/, d'J: 'lim
Or West mesl1rable; si l'on pose sur les
€- ~ (D)
f" (
et par suite sur les
=
J
J~
Di : ( D,
142
~
~
Llf d't'
W
sitive tend vaguement vers . , mesure positive Si sur un compact
VP
f d ~',
J Llf w
/,-p
-+ ~
donc la mesure po-
.
frontiere
r~ guliere,
n
on opere
- 49 -
P. Lelong la
d~composition
de Riesz, par les fonctions sousharmoniques V : p
V (x) p
=H
(x) p
J
d
~
/P
(a) g(a, x)
ou g est la fonction de Green, les fonctions harmoniques H convergent p
vers une fonction harmonique H(x),
D1, et l'on a d'autre part, d'aprl!B la
11m in. p
~
CD
Si l'on pose WI (x) = H(x) -
J fI' J d
sur tout compact de
uniform~ment
semi-continuit~
J
du noyau g:
p (a) g(a, x) ). dr'a) g(a, x)
dr-(a) g(a, x), il vient
lim VP (x)
= W(x) " WI (x)
D'autre part, Proposition 6.
J
L'ensemble ~ (W
compart porteur d'une me sure =
< W*)
ne peut contenir un
lJ> o. dont Ie potentiel GII =
#(a) g(a, x) soit continuo En eUet la convergence vague
JG~d f
p
J
1" p ....
~ d~(a) g(a,x) dfp (x) -
qui entraine :
On a alors
143
~
donne
J ~J Mdfp
Gf dli
- 50 p. Lelong
d'ou
qui montre que telle que
G~
~
<WI)
(w
est de }J - me sure nulle pour toute 1.»
t
soit continue. En particulier
nir un ouvert; on a 'lonc WI
(w
-<
0
WI) ne peut conte-
= W~, ce qui etablit l'enonce,
La propriete pour un ensemble E de ne contenir aucun compact K susceptible de porter une me sure ),' G~)
> 0,
tellt que Ie potentiel
soit une fonction continue caracterise les ensembles de capacite in-
terieure nulle , On rappelle que la capacite d'un compact K est Ie sup des jA.(K) pour les
G)k"
f' > 0,
portees par K, verifiant
Gf'5:.
1 sur K (et donc
1 partout); la capacite interieure de E est Ie sup des capacites
des compacts K C. E;. Proprietes de l'ensemble W nique:
On considerera Definition,
leurs reelles,
-00 ~
[cf,
< W* dans
3d et 3i ]
Ie cas plurisousharmo-
la clas se suivante de fonctions :
On designe par (Me,) une classe de fonctions V
< +00,
a va-
comprenant les fonctions plurisousharmoni-
ques et fermees pour les operations suivantes, effectuees une infinite denombrable de fois dans Ie domaine de
d~finition:
a) Construction de sup V , V € (M O )' les V etant une suite p p p localement . bornee superieurement dans
/J. ,
b) Construction de lim V = w, (W , p
croissante,
144
- (0) pour une suite de-
- 51 P, Lelong Si We (M ~).
w· = reg. sup. West
plurisousharmonique, On
peut passer de W Ii W"par des "r~gularisationsll successives.
W L'ensemble
coup~
~k
=
~
=W (W k
0"
W1 ~ ". "W n
< Wk+l ) est
de
= Wt't
R2n_capacit~
nulle et est
par les plans e I(Zk+l) suivant une section de R 2.capacit~ nulle,
D'oll :
~
Proposition 7,
= U"'lk '
(W <. W*)
Uk' n
k
IYl, k
ayant les propri~t~s indiqu~es, n 2n n SoH R C R = e Ie sous- espace
des zk' On a alors comme Proposition 8,
a)
cons~quence
t
(W
de
< W·)
r~el,
des parties
r~elles
la Proposition 7 : ne peut contenir un ensemble
e (Rn si e est de Rn.-mesure positive. b) SoH x, Rn
n!J. : on peut "r~gulariser" W au point x en
n'utilisant que les valeurs sur R
n
:
W'*'(x) = lim sup W (y) ,
Disons qU'un ensemble e
C.
y-+x,
en est en -.effil~
existe une fonction plurisousharmonique V avec V(x)
lim sup V (y) = -1,
n
y ER ,
en x ~
e
si il
= 0 et
y .... x,
y fe,
eomme on a W(y) " Wito(y). la partie (b) . de la proposition pr~
c~dente contient Ie corollaire : un ouvert de Rn (au sens de la Rn -topologie) n'est en -effil~ (en = R2n) en aucun de ses points,
145
- 52 -
p. Lelong
La proposition 8 permet d'etablir un "theoreme de Hartogs reel" pour lequel nous renvoyons
a
La question de savoir si
[3, iJ . t. (w < W") c /J.
appartient aux
infinis negatifs d'une certaine fonction V plurisousharmonique d!lns
/:J.
n' est resolue (par l' affirmative) que dans des cas particuliers. On ne sait meme pas si, localement,
la propriete est toujours vraie.
Si l' on decompose une fonction plurisousharmonique dans un domaine D de frontiere reguliere, de noyau de Green g(x, a), on aura
v et
r
ou
t
a la valeur (cf, Chapitre 4 pour les notations) :
=i
r.-{
2 ') dz z· z P p. q
A dzq
= i d d_ Vest un courant, "positif" z z
.
et ferme. On se trouve donc dans Ie cas plurisousharmonique en presence d'une classe particuliere
A
de mesures positives:
elle pos-
r &A
(D 2) appar-
sMe les proprietes suivantes : a)
tient
a
J\. b)
alors si
A
Si Dl (( D2,
la restriction
a D1
de
(D 1)' Si "I,) est positive
fv c A (D 2)'
a support
S(
1> ) compact assez petit,
Ie produit de convolution oJ "" ~ appartient
a
(D 1).
Definition.
On dira qu'une me sure 1,) positive,
SO) ) compact, est regularisante pour la classe
146
A
a support
(D 2), D2 '
R P, et
- 53 p. Lelong Ie noyau g de la th~orie du potentiel, dans RP, si pour toute famille p cp de mesures ~ (D 2), born~es uniform~ment sur tout compact
1" 1\
K C. D2' Ie produit de convolution
soit
fv ~ (~x)
fonctions
associ~
~galement
a la
'f
famille
de mesures une famille de
continues dans DI •
On suppose S( \J) assez petit pour que Ie produit de convolution soit defini dans D I; si )) est
r~gularisante,
))' dMuit de lJ par
homothetie l' est aussi. Proposition 9. L' ensemble W
< w*",
oli W = lim)' V , V
P
P
plurisousharmonique dans D2, ne peut contenir dans DI Ie support (compact) d'une mesure
r~gularisante
pour la classe P(D2) des fonctions
plurisousharmoniques. En effet dans DI' pour S()) ) assez petit, les forment une suite croissante de fonctions
Hmp
J
~
d lila) V pIx+a}
J
la derniere ~galit~ r~sultant de la definition de W*
G)h'
donn~e
> 0,
~
J~ d
a partir
la} W"I.+.} du potentiel
plus haut.
Comme ~
d)) (a)V p(x+a)
continues, et· Ton a
~galement
d" lo} WIx+a}
J
a support
cons~quence
de la definition
pr~c~dente,
on dira que
S( ~) compact est une mesure r~gularisante pour. la
classe Sxy (D), D = dlX d2, z=(x,y), dIE R.n, d2 £. Rq si V ~
....Sd ~ (a) V(z+a) transforme
toute famille }'
de fonctions : V, Sxy(D),
localement born~e sup~rieurement et minor~e par une fonction
147
't (z),
- 54 -
P. Lelong
locaknent sommable, en une fa mille egalement continue dans ,
n'
=
I
I
=d l Xd 2 , d1 (e d l , d 2 ((d 2 • On peut construire, par des produits tensoriels, des mesures regularisantes. On a en effet.
'V 1
Proposition 10. Soient santes,
)) 1 l'etant dans Rn,
et
}/2 deux mesures regulari-
)) 2 dans Rq pour les noyaux gp et
g respectivement et toutes les mesures positives. Alors q
est regularisant pour la classe S
<.
xy
dans RP+q •
r (x,yO l soit d'integrale
En effet il existe (x,ll tel que
finie sur
Alors si V
E.F' ,
on a
J
V(x,y
0
l d 1: (xl>
et il
-00;
en resulte que
est continue, et m~me egalement 'continue pour x Alors pour x
e dl ' I
et y G k
I
E d2 ,
c
I dl , V
la mesure
eF .
)k 2(xl
posi-
tive qui figure dans la decomposition de Riesz de V1 ' (considere,
a
x constant, comme une fonction sousharmonique de yl est majoree, independamment de x, et de V t y
€: d~
C, d~ ,
.F .11
en resulte que pour x
"
E d1 (( d1, '
si l' on pose
que V ..... V I transforme
r
en une famille egalement continue en Y.'
148
- 55 p. Lelong
Le
m~me
argument vaut par rapport a x=(x 1' .... xp) et l'{monce est
etabU. Quand la classe
J\. .contient toutes ~
(donc aussi la me sure de Dirac) les j) ment celles dont Ie potentiel
G»
les mesures positives
regularisantes sont exacte-
est continuo Mais dans Ie cas de
la classe plurisouharmonique P(D), i1 n'en est plus ainsi, et la proposition 10 permet de former des ))
> 0 dans
en, dont Ie support est de
R2n _capacite nulle et qui sont regularisantes pour la classe P(D): i1 ,; = )) 1.' ~ 2
suffit par exemple ae prendre
t ...
,y n'
les ~ k
R2 -sousharmoniques dans les
etant regularisantes pour les fonctions 1 plans coordonnes e (zk)'
3. Les lsingularites impropres. On supposera que D est un domaine d'une variete analytique complexe Wn, E une partie fermee de D ayant la propriete : (A). - L'ouvert
!l
= D - E est un domaine connexe.
En fait les proprietes etudiees ici pour les fonctions holomorppes ou plurisousharmoniques seront des proprietes locales et l'on pourra se limiter au cas Oll D est un do maine de en ; l'ensemble E sera toujours un ensemble ferme polaire (donc un ensemble ferme de capa2n cite nulle) dans l'espace reel R ; un tel ensemble a la propriete (A). Prolongement - Exemples. Soit L(D) une classe de fonctions verifiant dans Dune propriete locale. Prolonger f E Un) aD, c'est trouver restriction a
Jl
soit f. Si tout f
e.
149
L(
n)
r€
UD) dont la
est prolongeable
a D, et
- 56 p. Lelong -.I
si Ie prolongement f
est unique, on dira que E est un ensemble singulier
impropre pour la classe L dans On
~tudiera
phes ou celle
.<1 .
Ie cas ou Lest
la classe des fonctions holomor-
des fonctions plurisousharmoniques.
Exemples.
1° f(z} est holomorphe et uniforme dans O( \zl a : lim zf (z)
=0
< ret
pour z -+ 0; fest alors la restriction d'une
I z I < r.
morphe dans
2° V(z} est sousharmonique et uniforme dans 0 et V +
L
log r
-+
-00
Vest Ia restriction de 3
de en
o
quand r ~ 0, pour tout
V sousharmonique
€.
f
holo-
< \z \ <
r
donn~ positif :
I z I <.
dans
-
l'on
r .
.
f(z 1 •••• , z n) est holomorphe et umforme dans Ie do maine
d~fini
par
[l;
= (zl
, ... , zn_l) cd,
0 '" /znl< r
J
et l'on a
lim z
pour zn - . 0 et pour
~
fix~
n
f(
l; , z)n
0
pris dans un
ensemble e C. d; on sup-
pose que e n'est pas une partie d'un vrai sous-ensemble analytique de d. Alors f se prolonge, et d'une dans D =
[~G
utilise Ia
s~rie
d,
I zn 1<
mani~re
r] • La
~
unique, par f holomorphe
d~monstration,
comme pour 1 ~ ,
de Laurent en z • n
z
les A
m
~tant
-m
n
holomorphes dans d ; s'ils s'annulent sur e, ils s'annulent
150
- 57 p. Lelong
identiquement, et f se reduit
a fI
-.J
= f , serie procedant selon les seules
puissances positives de z .
o
n
n
f(zl"'" zn),. pour n ~ 2 est holomorphe dans =D - E ou E est un ensemble analytique de dimension complexe p' n - 2 ; f 4
,..,;
est la restriction d'une f (unique) holomorphe dans D. Il est inutile de supposer f uniforme, Ie complementaire de E dans tout domaine simplement connexe etant alors un domaine simplement connexe. L' enonce classique ainsi obtenu sera generalise plus loin. 2. Classe d'ensembles • Nous disiinguerons les classes suivantes d'ensembles dans un domaine D de Cn = R2n • (C I ). - Les ensembles analytiques:
E est dit localement
analytique dans D si tout point a E E appartient tel que E
"W
a holomorphes dans
a un
soit l'ensemble des zeros communs
W
a
domaine
a des
Wa
fonctions
(on peut les supposer en nombre fini); E est
un ensemble analytique dans D si de plus il est ferme (relativement
a D). (C 2 ). - Les ensembles polaires complexes: E sera dit polaire complexe dans D (ou sur une variete Wn complexe) si tout point a appartient
a tin
do maine W· tel que (E'()W ) ( a a
EE
t CVa."zl' .•• ,z n) -.,.co _ ~'
V etant plurisousharmonique dans W (~[ J Msigne l'ensema a ••. ble des points defini par la propriete entre crochets) • Un ensemble 10calement analytique est un ensemble polaire complexe. (C 3 ) • - Les ensembles polaires:
E est dit polaire dans D
(Rm-polaire
si D est un domaine de Rm) si tout point a " E possede
un voisinage
W , domaine dans lequel existe une fonction sousharmoa
151
- 58 -
p. Lelong
nique Stelle que a
Rappelons que si D est un domaine de R m , il existe alors une fonction S(x) sousharmonique dans tout I' espace R m, telle qu' on ait E C.
f:. [S(x) = .. ooJ
• De plus une reunion denombrable de tels en-
sembles est encore Rm-polaire (cf.
[1 J l.
On obtient comme consequence directe des definitions l'inclusion Proposition 1 • -
(C 1 "
(C 2 )
C.
entre les classes
(C 3 '
definies plus haut. De plus : P roposl't'lOn 2 • de
D
C
Cn
,f'L
Sinon D-
= D - E est connexe.
f'L l'
11 1 contiendrait
valant
-00
dans D -
Sl' E es t une pa rt'Ie f ermt:e .( et R 2n -JJOIalre '
etant une composante connexe de l' ouvert
un ouvert. Soit V une fonction sousharmonique
sur E. Definissons V
fl1 ; Vm est
te de m. On a
V
= lim
m
= sup (V, -ml dans
2n
Jl l'
V
m
=-in
fonction sousharmonique dans D et decroissanVm dans
n l'
donc U
- polaire et ne peut contenir aucun ouvert
~ -00 est D - III C [U = -00
= lim
une fonction sousharmonique dans D , et par suite,: est R
.rt ,
Vm
t
J
d' ou contradiction.
11 en resulte qu'un ensemble analytique ou un ensemble polaire complexe ferme E possedent la propriete indiquee. En remarquant qu'une image analytique F multiplie la distance de deux points pris sur un compact par un nombre qui demeure borne, on obtient :
152
- 59 -
P, Lelong
Theor~me 2 ,-
1°
L'image e I
= F(e) d'un ensemble ferme
' ~ ~ est R2n R2n -poI' aJ.re par une t rans f ormat'Ion anaIytlque F non d~t:gt:nert:e -polaire, laire, 3.
Theor~mes
de prolongement,
On rattachera les enonces qui suivent
a la
des fonctions sousharmoniques (cf. par exemple
propriete classique
(11
et
J):
[5
Theor~me 3a ,- §j. E est une partie fermee, Rm- polaire , d'un domaine D de Rm, L (n). la classe des fonctions sousharmoniques uniformes dans
n =D - E ,
sinage de tout point de
bornees superieurement sur toute
E,
VEL(
fl
au v'oi-
n ) a un prolongement V
unique sousharmonique dans D , Autrement dit : un tel ensemble E est une singularite impropre des fonctions sousharmoniques bornees superieurement, On peut construire V par 1'un ou l' autre des deux pro cedes suivants
v
(A)
(P) = lim sup V(M) ,
M
~ PEE,
= a fini arbitraire pour PEE; V!(P) (B)
= lim
r=O
A [V I' P, r ]
A
M,.n
= V(P), si PEn
[V.1' P, r]
etant la moyenne de VI sur une boule B(P, r) , de centre
P, de rayon r. Theor~me
3b . - Le resultat demeure .. si, au lieu de supposer
V borne superieurement au voisinage de chaque point de E, on suppose 153
- 60 -
p. Lelong
seulement l'existence d'une fonction U(M) sousharmonique dans D telle que; pour tout
£. > 0, W (, (M) = V(M) + ~ U(M)
tende vers
-00
quand
MEn
tend vers un point P quelconque de E •
On pourra choisir en particulier U(M) potentiel d'une mesure portee par E, On etablit
a partir
TMoreme 4 , -
de la propriete precedente etdu theoreme 1 : Avec les hypotheses des_ theoremes .3 a Q!! 3b ,
de plus V est plurisousharmonique; il en est de
m~me
~i
de V obtenu par Ie§. pro-
cedes (A) ou (B), La demonstration se fait Remarque, -
a partir
du tMoreme 1 •
D' autre part on etablit aisement en consider ant
la suite
Vq = sup [V. -q
J
que si V, est sousharmonique (ou plurisousharmonique) en tout point de D ou V
f
-co. Vest sousharmonique (ou plurisousharmonique) dans D , Theoreme 5 ,-
-
Si fest holomorphe et uniforme dans
n
=
= D - E, o~ E est une partie fermee, R2n _polaire, de D. f se prolonge par continuite en f holomorphe dans D, En effet on prolonge les parties reelles et imaginaires de f, et l'on observe que les relations de Cauchy sont verifiees dans tout D , Les ensembles R 2n -polaires fermes sont 'ainsi des sirtgularites impropres des fonctions holomorphes bornees,
154
- 61 P, Lelong
Th~or~me
de Rado, -
holomorphe en tout point oil f m~me
! 0.
ne supposer au lieu de la
If I
sup~rieure de
Si ff est
d~finie
et continue dans D •
f est holomorphe dans D. On peut
continuit~
de f que la
dans D , En effet, ou bien f .
semi-continuit~
°
dans 0 , ou bien
I f I est plurisousharmonique dans 0 (cf, Remarque pr~c~dente), Alors t [f=OJ est R 2n -polaire et de plus ferm~ comme compl~mentaire log
de I' ouvert f 4.
!
°;
on applique en suite Ie th~or~me 5,
G~n~ralisa~ Ions Th~or~me
6• -
• Si f est
d~finie
et continue dans D • holomor-
phe en tout point oil la valeur prise f n' appartient pas ferm~
a un
ensemble
plan polaire e, Lest holomorphe dans O. Le graphe G de w = f(z1, .. "zn) dans l'espace C
est ferm~ au-dessus de tout compact de
n +1
1 n = Cw)(C
D, On va supposer que
f
a
est holomorphe en tout point z , D pour lequel (z, w) n' appartient pas un ensemble E
ferm~,
Cn +1 _polaire (au sens de
Cn +1 ). Au voisinage de (zO , wO) ,
complexe polaire dans
G, E appartient aux infinis
n~ga
tifs d'une fonction U(z l' . , • , z n' w) plurisousharmonique, et alors ou
=
bien on a U(z "",z , f) = ...., (z , •• "z ) -00 au voisinage de zO, 1 n I 1 n ou bien est plurisousharmonique. Dans ce dernier cas, l'ensemble
'f
f
=
-00
de D oil
est R 2n -polaire
't'
!
-00 ,
ferm~
et comme fest holomorphe aux points
°
Ie th~or~me 5 montre que fest holomorphe en z ,
0' autre part si E se projctte sur C~
selon un ensemble ne contenant
aucun continu (c'est Ie cas si e est R 2 -polaire), et si sinage de zO, on a f
f
=
-00
au voi-
==
wO pour z voisin de zO , n+1 . En remplac;ant l'hypoth~se que E est C -polalre par l'hypo-
th~se plus pr~cise que E est un ensemble localement analytique dans Ie
155
- 62 p. Lelong
domaine D XC I , on obtient w TMoreme 7 • -
8i f est definie et continue dans D
phe sauf peut-Nre aux points z , D pour lesquels Ie point (z graphe G appartient
a un
I
I
holomorW
= f)
ensemble localement analytique E, alors f
hOlomorphe dans D • La demonstration du tMoreme 7 (d. que que l'une au moins des equations F =
du ~
r
5] ) part de la remar-
°qui dMinissent
E au voisi-
nage de (zO, wO) peut se mettre sous la forme w = g(z), g holomorphe, sauf pour les z appartenant
a un
ensemble R2n - polaire au voisin age de
zOo On etudie ensuite comme plus haut les deux cas ou, au voisinage de zO
I
'f
(zl' .... zn)
= F(zl, ... ,zn'
f) vaut identiquement zero, ou est
une fonction holomorphe ne s' annulant que sur un sous-ensemble analytique ; on conclut en appliquant Ie theoreme 5 •
Remarque. -
Les .resultats precedents etant locaux sont va-
lables sur une variete Wn : on appellera ensemble polaire sur Wn un ensemble qui sur chaque carte locale a pour restriction un ensemble polaire (relativement aux coordonnees locales). Un ensemble ferme qui appartient
a l'intersection
de deux cartes et possede cette propriete sur
l'une d'elles la possede aussi sur l'autre (d. Ie theoreme 2). Le cas de Ia classe 8 est
II est evident qu'une fonction P. s.h.
xy
de classe 8
de plusieures manieres possibles •. Or par celle~ci xy on a l'enonce suivant si x E R P, Y € Rq, f ~ 8 (R P+q ) : xy TMoreme 8 • -
8i E est RP+q-polaire et ferme et si Vest
de classe 8xy dans D - E) D = d 1 X d2, d 1 f: RP, d2 E Rq, si E verifie Ie s conditions
156
- 63 P, Lelong
a) la projection n'est
'yt
de E sur d2 a un complementaire qui
Rq-effile en aucun point de b) la section
Nt.
E () [Y =yo]
= e(yO ) est d'adMrence compac-
te dans d1, Arors. E est singularite impropre de la c1asse des fonctions plurisousharmoniques dans D, On peut remplarer b) par la cor..dition qu'il existe un domaine • 0 d 1 pour cpaque y
I
d 1 ( (d 1 dont la frontiere soit arbitrairement voi-
sine de celle de d 1 et ne porte pas de point de e(y 0 se si l'on a p
):
ceci sera reali-
= 2, et si l'on remplace b) par la condition que e(y D )
soit de R2 -capacite nulle, La condition sera quant
a elle
verifiee si l'on suppose
'Y}, de
Rq capacite nulle. On est alors conduit a definir une classe d'ensembles qui sont des singularites impropres dans un domaine de en ou sur une variete Wn •
On definira des classes d'ensembles fermes L .
n
(sur en),
An
(sur c~ ou sur WO), cette derniere invariante par les homeomorphismes analytiqbes complexes. La classe L , par contre, est definie relativement
a un
n
systeme d'axes precise de en (y compris l'ordre des variables
zl"'" zn)' Les ensembles E des classes Ln ' An' sont des ensembles fermes, polaires, mais particulierement minces; ils sont des singularites impropres des fonctions analytiques et plurisousharmoniques 't-sans hypothese relative au comportement de la fonction au voisinagede E); Us possedent la propriete topologique suivante; si D est simplement connexe, Ie complementaire
n=
Definition 1 ,-
D - E est encore simplement connexe, . D de en Une partie fermee E d'un domame
157
- 64 P, Lelong est dite
de classe L si: n
Pour n = 1,
E est vide
selon un ensemble e qui est R2 -polaire; la section de E par un plan C1(z2) est soit vide, soit R2-polaire, Pour n
.> 2 : pour
D et dMini par des
tout polycercle P d' adMrence compacte dans
in~galit~s
P = la projection e de E () P sur Cn- 1 (z I' , " , zn_l) est R2n- 2- polaire; la section de Ie disque
Ell P
par un plan C1(zn) est soit vide, soit R 2-polaire, soit
Izn - z~ 1<: r n entier,
cette derni~re ~ventualit~ n' ayant lieu
que pour un ensemble de ces plans proj~t~ sur Cn- 1 (z I' , , , , zn_l) un ensemble e 1 C e, e 1
~tant
selon
de classe Ln _1 dans Ie polycercle
projection de P , La dMinition cas
g~n~ral,
L ,
donn~e
par n = 2 n'est que la particularisation du
On notera L (D) l' ensemble des parties de D, de classe n
n
Si D' CD, et si E
CLn (D),
alors E
C Ln(D
I). I, Si D
D ,
on a E 'L (D') si et seulement si E est encore une partie ferm~e de n
158
- 65 -
P, Lelong D. Pour que E,
dans D, appartienne a Ln(D), il faut et il suf-
ferm~
fit qu'il existe un recouvrement de D par des Di CD, avec Ei = la = E (\ D.1 E Ln (D.); 1
propri~t~ est alors v~rifi~e pour tout recouvre-
ment de D, par des domaines Di , D • Pour obtenir une classe invariante on
~noncera
Definition 2 , 10 Une partie ferm~e E
CD
est de classe
A
n
,si pour
tout recouvrement de D par des domaines Die D, les ensembles Ei =
= E" Di sont de Ln(L i ) et s1 pour toute i'mage analytique biuriivoque Ti l'ensembl€ T.("E;) est dans la classe L .[ T(D ..) ] ; 1 ! n 1 o r ' 2 Une partie ferm~e E d'une varl~t~ Wn analytique complexe est dite de classe
si, D C wn ~tant un domaine poss~dant des
locales qui
~tablissent
r\ D) est de classe
A n dans
coordonn~es
F(E
An
Les classes L
n
Th~or~me
9 ,-
,A n
n
,
F(D) ,
sont form~es d'ensembles polaires,
Un ensemble analytique A de dimension p' n-2
sur une vari~t~ Wn est de classe se Ln(D) dans tout do maine D de r~me
une application F de D dans e
An.
On montre qu'il est de
coordonn~es
locales en utilisant Ie
clasth~o-
de plongement de Remmert-Stein. TMor~me
10, - Un ensemble ferm~ dans un domaine D de en,
r~union d~nombrable d'ensembles de classe Ln (ou classe Ln (ou La
l\. n)
dans D est de
J\. n) , d~monstration,
pour la classe L , se fait a partir des pron
des ensembles polaires et de la definition 1 , Si E appartient a L (D), E est R2n _polaire, ferm~; =D - E est connexe. Mais on a
n
pri~t~s
n
de plus: Th~or~me
11 ,-
Si D est simplement connexe et E une partie
159
- 66 -
p. Lelong
ferm~e
de c1asse L (ou n
-
n
1\ n ) de- D,
= D - E est un domaine sim-
plement connexe. II suffit de propri~t~
~aire
la demonstration D
= I, n = 2) se
(immMiate pour n
un polycercle P : la
~tant
par
d~montre
r~currence
sur
n. On remarque : 1 D un lacet est
~quivalent
y
(Ugne polygon ale
(parhomotopie) dans
n
Il
ferm~e) dans
r' situ~
a un lacet
= P - E () P
dans la
base p et ne contenant aucun point de l'ensemble e • 2
•
I
d'apres Ie th~oreme, admis pour h - 1, rest homotope
nul dans p - e 1 • 3(I
cette
r~duction
de ( '
d'un nombre fini de lacets
(i
M de E non
poss~dant
proj~t~
sur e,
a z~ro peut se faire par addition
homotopes
a z~ro
dans
n , tout point
un voisinage (pour lequel on prend
un polycerc1e P(M) de centre M } dans lequel P(M} - P(M}
n
nu simplement connexe (en procMant comme dans Ie cas n ment '(
est homotope nul dans Une
cons~quence
E est recon-
= 2). Finale-
11. .
de l' ~nonc~
pr~c~dent
est : si fest holomor-
phe (ou V plurisousharmonique) dans D - E , uniforme ou non, et si EeL (D), on pourra n
~tudier
Ie prolongement de chaque determination
de f (ou de V) dans un polycerc1e P (d' adherence compacte dans D), en consid~rant
cette
d~termination
comme une fonction uniforme. Or
l'~tude
d'une fonction plurisousharmonique au voisinage de EeL (D) montre n qU'une telle fonction est n~cessairement born~e sup~rieurement sur
fl
= D - E au voisinage de tout point de E. De Th~oreme 12 • -
I'
1a
Un ensemble EEL
n
d~coule
:
C (D).
011 D est
--
un do maine de en. est un ensemble singulier impropre des fonctions analytiques et des fonctions plurisousharmoniques dMinies dans D - E (') D •
160
- 67 -
p. Lelong 2 o Un ensemble E de classe /\
n
sur une variete Wn, ana-
lytique complexe est un ensemble singulier impropre de ces meme foncHons dHinies dans
n
= Wn - E •
,..,
,..,
nest entendu que les prolongements f (de f analytique) et V
(pour V plurisousharmonique) se font, pour f par continuite sur E (pour chaque determination) et pour V , par les procedes (A) ou (B) indiques plus haut, chaque determination etant, au voisinage d'un point de E , une fonction uniforme sur
n.
En comparant avec les enonces plus haut (theoremes 9 et 10), on voit en particulier que pour les fonctions analytiques et les fonctions plurisousharmoniques, un ensemble analytique E de dimension p , n-2 est une singularite impropre sur Wn (resultat donne dans
(3)
pour
les fonctions plurisousharmoniques) et qu'il en est encore de meme de toute partie fermee de Wn, obtenue comme reunion denombrable de tels ensembles E
q
definis sur Wn .
Bibliographie
[1]
V, Avanissian - Fonctions plurisousharmoniques et fonctions doublement sousharmoniques,
Ann, Ec, Norm, Sup,
Paris (1961). [2]
M. Brelot - Lectures on potential theory, Tata Institute, Bombay, 196 O.
161
- 68 p. Lelong
[3 ]
p. Lelong - a) DMinition des fonctions plurisousharmonigues • (C. R. Ac._ Sc., t, 215, p, 398, 1942) b) Sur les suites de fonctions plurisousharmoniques, (C. R. Ac. Sc., t. 215 p. 454, 1942) c) Sur une
propri~te
de la frontiere d'un domaine
d'holomorphie.(Ibidem, t. 216, p.167, 1943) d) Les fonctions plurisousharmoniques. (Ann. Ec. Norm. Sup, t, 62, p. 301,..338, 1945) e)
Propri~t~s m~trigu~s
des
vari~t~s
complexes definies par une
analytiques
~guation,
(Ann. Ec.
Norm. Sup, t, 67, p. 393-419, 1956) f) La convexit~ et les fonctions analytiques de
plusieurs variables complexes, (J. de Math. t. 31, p. 191-219, 1952) g) Ensembles singuliers impropres des fonctions plurisousharmoni.ques, (J. de Math. t. 36, p. 263-303, 1957) h) Sur une classe de
singularit~s
impropres, (Ar-
chiv der Math. 9, 3, p.161-166, 1958) i) Fonctions plurisousharmoniques et fonctions analytigues
r~elles,
(Annales de l'Institut Fourier
t. 12, 1962). [4]
J. Deny et p. Lelong - Etude des fonctions sousharmonigues dans un cylindre ou dans un
c~ne
, ( Bull, Soc, Math.
France ..t. 75, p. 89-112, 1947). [5 ]
H. Grauert et R. Remmert - Plurisubharmonische Funktionen in komplexen RMumen, (Math. Z"
162
t. 65, 1956, p. 175-194}.
- 69 p. Lelong
Chapitre III
LES FONCTIONS PLURISOUSHARMONIQUES ET LE PROBLEME DE LEVI.
1. - La convexit~ dans Cn par rapport aux fonctions plurisousharmoniques. L'essentiel de ce Chapitre est Ie
r~sultat
: un domaine convexe
par rapport aux fonctions plurisousharmoniques est aussi convexe par rapport aux fonctions holomorphes. S'il s'agit d'un domaine de Cn , Ie
r~sultat
est dtl a
n quelconque, la t~grales.
Les
K.
Oka [5a
j
pour n = 2, a F, Norguet'
d~monstration ~tant
m~thodes
obtenue par des
[4bJ
pour
repr~sentations
in-
actuelles utili!'lent la cohpmologie et notamment
la d~monstration pr~alable que Hq (D, :y) est de dimension finie pour q ~ I,
(J ~tant Ie faisceau des germes de fonctions holomorphes, dans
un domaine D strictement convexe par rapport aux fonctions .plurisousharmoniques. Sous. cette forme Ie
[3a]
et
r~sultat s'~tend
aux espaces analytiques,
[3bJ .
-. Nous rappellerons d'abord les
r~sultats
d'une
~tude
eleinentaire
[2b] faite pour les domaines D de Cn, qui montre l'~quivalence, sans utiliser Ie
tMor~me
de K.·Oka, de
diff~rentes propriet~s
classiques ex-
primant toutes la convexite de D par rapport aux fonctions plurisousharmoniques. On designera par P(D) la classe des fonctions plurisousharmoniques dans D.
163
- 70 -
p. Lelong
P -
a la
convexit~.
Nous dirom; que D est convexe par rapport
classe P(D) des fonctions plurisousharmoniqul's definies dans D
a
(par abr~viation P-convexe) si.
tout compact k ~ D. on peut faire
correspondre un ensemble E(k). avec E(k)(CD. tel que dans tout ouvert D-
E (k)
existe un point z du moins pour lequel on a
V(z)
> sup k V
pour une fonction V E P(D), La classe (Co) de domaines ainsi obtenue est invariante par les applications analytiques complexes biunivoques, Classes
(r ).
D' autre parl nous dirons que D est de classe
([' ) s'il existe une fonction V
E
P(D) qui tend vers +00 quand on s'ap-
proche de la frontiere bD de D •
L' ~tude de la
s~rie
de Taylor en u pour une fonction F ayant
un domaine d'holomorphie D :
montre que la distance l~lement
a ~a •
oC' (z 0'" • a)
du point z
~
= (z 0 ) C D a bD paralk
est telle que
- log
S
(z.
est plurisousharmonique. 11 en est de
~
m~me
alors pour
'1/ 164
=
- 71 -
p. Lelong
Soit
(r ") et (r ') les
classes de domaines D
caract~ris~s
par
ces propri~tl§s dans Cn . On a
( 1)
et il est clair que ces classes sont fermees par
a passer a la
l'op~ration
qui consiste
limite croissante d'une suite de domaines.
Classes (C).
Nous dirons que D est de classe
relativement compact et s'il existe dans un voisinage U de
(C~ ) s'il est
i5'
une fonc-
tion V de classe (Coo) ctefinissant V comme composante connexe de l'ensemble
[x t: U
I
V(x)
<
OJ.
Nous dirons que D est de classe
(C 1 ) s'il est obtenu comme limite d'une suite croissante D , D n n On I§tablit (cf [2b
j ):
Proposition 1. - Soit V EP(D) et E ~
E
Ie noyau ouvert de E; si
telle que
l.
/j
= [x ~
D
C (C d1 ) •
I V(x) ,
0, ~
est une composante ouverte de E ,
soit compacte dans D, alors
6
est de classe (C 1)'
On a alors l'inclusion :
(2)
Definition. - On appellera famille de disques dans D l'image f(t) de
Iu I, 1,
par
(3 }
les
f k I§tant analytiques de la variable complexe u
que soit t
fix~
et de plus continues de (h
165
X t)
pour
pour
I u I~
Iu I" 1 quel1,
0'
t " 1•
- 72 -
p. Lelong
On suppose que pour t
f k n'est pas
au moins un des
fix~,
constant,
Un domaine D sera dit de classe (C 2) s'U possede la "propri~ t~
du disque", c'est-a-dire si pour toute fa mille de disques (3),
pour O~ t
<. 1,
bQ (t)
CD
signe l'image par (2) de La
propri~te
pour O-'t~ 1 entraine ,
I
Q
(1),
Q (t) C. D
D; b Q
d~-
=1 •
lUi
du disque se conserve par pa'ssage a la limite
d'une suite croissante de domaines. On a alors :
(4)
Condition de Levi. - Nous dirons que V E P(D) est strictement plurisousharmonique au point Z 0 si la forme L (V) =
'..
G) 2 V
est dMinie positive, les d~rivees Vp , q
= ~ Z "';) z p
r
vpq dZpdzq
etant calculees
q
•
en Z • On a alors
L(V)
>0( I dz I 2
D'autre part on a:
ou R designe la partie r~elle. Si au point zO nous attachons la surface du 2e
degre S(Z· ) definie par
i:.
Vi (z. - z?) + 1
1
r
..
0
Q
V1J(zi-zi)(Zj-Zj,) =0
1
o ou les deriv~es de V sont calcul~es en Z , elle est un ensemble analytique ne
pen~trant
pas dans l' ensemble V <.. 0 au vOlsmage Z • . .
166
0
- 73 p. Lelong
Soit
(C~)
la classe des domaines D tels que tout x ~
e bD, a
un voisinage U(x o ) dans lequel existe une fonction strictement plurisousharmonique V, (COO), telle que
[x, U(x o )
I V(x) <:.. oJ
= U(x o )
nD ;
on a, en remarquant qu'on peut approcher sur un compact de Cn une fonction (COO) plurisousharmonique V par une fonction Vi strictement plurisousharmonique.
l'inclusion :
ou, en passant aux limites de suite croissant de domaines, et
Proposition. - Nous dirons qu'une fonction
'f
fonction plurisousharmonique V s'il existe U(x) V =U
f
cp ,
d~rivable
z0
a une
(en particulier, V et
to
ont les
est
~quivalente
d~finissant
dans D
a une
> 0 dans D telle qu'on ait
m~mes z~ros).
Alors pour que
au voisin age de xo ' soit ~quivalente dans un voisinage de
fonction strictement plurisousharmonique d~rivable' V, il faut et
il suffit que soient satisfaites les conditions de Levi-Kroszka :
ucp»o
:-+ pour tout dz ,v~rifiant
167
f
1
dZ i =
r
-i dzi=O
- 74 p. Lelong
La
d~monstration
est classique : on peut prendre pour U Ie
polynome
les
cp i
~tant calcul~es en z
•
> 0,
; 0(
Al est Ie coefficient du d~velop-
pement
On a
' i
.
pos~ d cp = cP dZ i ' d" cP = cp 1 dZi • On obtient ainsi une autre definition de la classe
ment on a
~tabli
(C~).
Finale-
:
(5 )
(r ") ;
On a d'autre part (C 3)C on l'~tablit a partir de la notion suivante. On appellera agr~gat (de dimension n-l dans Cn) une r~u nion d'ensembles
'U1! n e~1 = e., 1
ferm~s
e., dont chacun est 1
constitu~
par l'intersection
~tant un ensemble analytique de dimension homo gene n-l d~fini dans un domaine U. et U. C U. un domaine compact dans U. ; 1 1 1 1 e.' 1
on appellera point int~rieur
sur e. , un point x E U.' () e! • 11 est clair 1
1
1
qu'a partir des ensembles analytiques not~s plus haut S(zo), attach~s a chaque point zO sont pas
€.
bD, D C (C~), on construit un agr~gat (les e i ne
suppos~s d~nombrables) et que la distance
6(z ,7) de
z € D
a b D paralielement a ~t est la distance de z a l'agr~gat. On a alors (cf.
[2bJ ) Proposition. - Si E = Je., 1
168
i
E (I)
I
est un agr~gat de di-
- 75 p. Lelong
mension n-1, D un domaine tel que D () E
z, qui est point interieur pour l'un des e.,
existe sur E un point que
t,
OU
S(z, t)
= ~, si pour tout z Eo D,
-7 = t £(z , t), -t
tel
1
vecteur unitaire, alors
est la distance de z
~
D
a l'agregat
-log
S (z, "t)
E parallelement
a
-r.
est une fonction plurisousharmonique dans D • Seule la classe (C 2) definie par la propriete du disque n'est pas incluse dans la suite (5). On etablit (C 2)C (("'!II) directement (cf. r1a]
et [2bJ) en s'appuyant sur la propriete du maximum pour les
fonctions sousharmoniques. On enoncera Theoreme. -
Les classes de domaines dans Cn considerees
successivement et fermees par Ie passage
a la
limite d'une suite crois-
sante de domaines sont identiques. Passage du local au global pour la P-convexite dans Cn • - On dira que D , do maine de Cn est localement P-convexe couvrement de D par des D.,
eux-m~mes
1
s'n existe un re-
P-convexes, de maniere que
D () Di ait ses composantes P-convexes. Soit Xo ~ bD; i1 existe alors une boule de centre x santes P-convexes.
, soit B de maniere que B () D ait ses compo-
• Supposons
D borne: il existe alors un recouvrement
de bD par des boules B l' ••• ,BN satisfaisant existe a
>0 tel que les boules B~)
a la
condition enoncee ; il
B~ concentrique a Bk ayant un
rayon r ~
= r k - a, recouvrent encore bD. Soit 1 Ie minimum de
pour z E
lJ B~
, et 11
distance de z, D
a
= inf
bD, et
(1,
~
frontiere de cet ensemble, on a
Sk(Z)
8 (z) eta~t la z E Bk n D a la ,-
) ; il est _ci,ir que,
~k (z) la distance de
a
(z)
169
8(z) ,
- 76 p. Lelong
des qu'on a nique pour
8(z) < 11 ; autrement dit :-log $ (z) est plurisousharmo8(z) < 11 ' des lors V(z) = sup [ - log 8(z), -log \ J
est une fonction V £ P (D) qui tend vers too quand z -+bD : Ie domaine
S(z) est plurisousharmonique
D est P-convexe ; en particulier -log dans D.
Le passage du local au global se fait donc sans toutes les
propri~t~s ~nonc~es
plus haut,
propri~t~s
difficult~
pour
qui expriment la
convexit~ de D, Cn ;par' rapport a. la classe P(D) des fonctions plurisousharmoniques.
2. Le probleme de Levi pour les espaces analytiques • Rappelons que si M est un sous ensemble analytique d'un domaine D d'un cn, une fonction f dMinie sur M est dite analytique (respectivement (Coo), respectivement plurisousharmonique) sur M si tout point xo ~ M a un voisinage U dans Cn suI lequel est dMinie une fonction monique, respectivement]
(c'est-a.-dire dans l'espace ambient)
r analytique
[(Coo) - plurisoushar-
et telle que la restriction de
7
a. M soit f.
En particulier une application holomorphe d'un ensemble ana.
I
,
lyhque M dans un M CDC C m est la application
'f',
donn~e
x 0 £ M ~f(x 0) E. M'
pour tout Xo
~
M d'une
d~finie et holomorphe sur
un U(x o ) de l'espace ambiant Cn • Les espaces qui suivent seront ni. Un espace analytique X pst un espace a un voisinage U(x) tel que U(x)
suppos~s annel~
denomQrables a. l'infi-
dont chaque point x E X
n X soit isomorphe a. un sous-ensemble
analytique coIhplexe M mum du faiscea.'u d'anneaux des germes de fonctions holdmorphes: plus pr~ci's~ment il existe un recouvrement
170
- 77 -
p. Lelong
de X par des ouverts U., et des isomorphismes (f). [U.] = M., M. 1 TIl 1 1 ~tant dMini comme sous ensemble analytique d'un certain Cni ; la con-
If
"" Ui fi Uj f 'f' i 0 ~ j -1 . est un isomorphisme d'ensembles analytiques appliquant (/) . [ u. () U.1 C M. I J 1 J J sur CD .W. () U.) C M .• r 1 1 J 1 Une fonction R sera dite analytique (respectivement (COO), plu-
dition de compatibilit~ s'~nonce
Sl.
:
risousharmonique) sur un domaine 0
C X,
X ~tant un espace analytique,
si l'on a
,..., f = f.
1
sur U.
1
n 0, f.~tant analytique
ment]
crJ. T1
0
[(Coo), plurisousharmonique respective-
1
sur M., c'est-a.-dire restriction a. M. de telles fonctions dMi1
1
nies dans un ouvert de Cni • On v~rifie: l'invarlance de cette d~finition par rapport a. la "r~alisation" M., qui constitue la carte de U. 1
1
ex.
On a en effet : Proposition. X et Y
~tant
Soit f une application analytique de X dans Y ,
des espaces analytiques; si pest plurisousharmonique sur
Y, alors po f' est plurisousharmonique sur X • En effet soit x. ~ X ; il existe un isomorphisme analytique
1': V ~ M d'un voisinage V de f(x o ) sur un ensemble analytique M 0 CN • II existe aussi un isomorphisme 'f' d'un voisinage U de Xo
.
sur un ensemble analyt1que
M, ,
G
CCm ,ou
'f
0 et G ont des do-
If
maines de CN et Cm respectivement. Alors 0 f 0 -1 est une application holomorphe de A dans CN et (quitte a. restreindre G) cette application F est d~finie dans G : G --. CN • Par ailleurs p
0
f
-1
est la' restriction d'une fonction plurisousharmonique P dMinie dans 0
171
- 78 -
p. Lelong
(en restreignant ~ventuellement D). Finalement Po Fest une exten-1 m sion de (p 0 f) 0 ~ a un voisinage de (x,,) dans e • ce qui
r
~tablit
la proposition. En particulier
dMinition des fonctions plurisous-
l~
harmoniques donn~e ne d~pend pas du .. plongement X f'\
u.1 -+ M.1 (
Fonctions strictement piurisousharmoniques • -
'f .
X.
d~finie sur un espace analytique
Une fonction
est dite strictement plurisous~
a valeurs
harmonique, si pour toute fonction h.
eni,
port compact dans X, il existe un nombre r~el
r~elles. (Coo), et
e>
a sup-
0 tel que
r:p+£h
-e<£ <
soit plurisousharmonique pour
Montrons que la notion ainsi
d~finie
e.. est bien
ind~pendante
la"r~alisation" de X . Faisons les remarques suivantes : si
strictement plurisousharmonique dans D restriction
a une
sous
vari~t~
en) ; r~ciproquement si
cp
C en
analytique W
de est
il en est de m~me de sa
(r~gulierement plong~e
dans
est strictement plurisousharmonique sur une
telle W , elle a une extension strictement plurisousharmoniquE! dans un ouvert de en ; la question ~tant locale, il suffit de considerer Ie cas ou West un sous espace e P , p alors
f
=
f
r: z: n
+
z,
p+1
• dMini par \
= 0,
pH' k " n ;
donne bien l'extension cherchee,
J J
Dans ces conditions si x
ex.
et si M est
l'id~al
maximal
de 0' , c'est-a-dire celui des fonctions analytiques en x sur X, qui
x
s'annulent en x, soit d
= dim
(M 1M2) - il s'agira toujours, .sauf indi-
cation contraire de dimension complexe, Alors d est Ie plus petit entier M tel qu'il existe un voisinage U(x o ) dans X qui soit isomorphe
172
a un
- 79 -
P, Lelong ensemble analytique dans un ouvert de Cm • Cet ~nonc~ (dtl est une
cons~quence
du
th~oreme
des fonctions implicites
a Andreotti)
appliqu~
au
systeme
ou. les s. sont des germes de fonctions holomorphes en x dans l'espace 1 N 2 k ambiant C qui engendrent M/ M , a ides constantes ; les fk appartiennent
a !'ideal
des fonctions nulles sur X au voisinage de x et les
gk s'annulent en x
a l'ordre
~ 2; les zk sont les N coordonnees
dans CN , Le systeme des d fk est de rang N - d et fk
= 0 ,1, k , N - d,
avec une numeration convenable des fk , definit une variete Y de dimension d en x dans laquelle l'image de X sera un sous ensemble analytique de
Ifk = 0 J
qui est
une
vari~te W de· dimension
d, Par un isomor-
phisine local on peut appliquer W sur un sous espace soit Cd de dimension d. Alors si p(x) est fortement plurisousharmonique au voisinage de x sur X, son image sur la variete analytique W l'est ausst et d'apres la seconde remarque faite plus haut, elle s' etend en une fonction plurisousharmonique dans tout espace ou. West regulierement plongee, ce qui etablit l'invariance de la qotion "fortement plurisousharmpnique 11 par rapport
a la realisation de la "carte", On indiquera ici brevement les resultats de
J
[3a
la methode cohomologique avait ete employe par R •. Grauert dans Ie cas des varietes, On trouvera dans
et de [3bJ:
[0' )]
[ 4d] une bibliographie
et un'expose tres complet des resultats recents. On
d~signera
par I(X) l'algebre des fonctions holomorphes sur
X. Rappelons alors quelques definitions : 173
- 80 -
P, Lelong
Definitions, A
1) Si K est un compact de X,
~ (X)
= [x ~
K (X) designe la H-enveloppe
I f(x) I .f, sup
X ,
I f(y) I
y~
J
pour les f E I(X)
k
""
2) X est dit holomorphe convexe si et seulement si, K (X)
(qui est ferme) est compact dans X pour tout compact K 3) Si X est holomorphe convexe et holomorphiquement separa-
ble (si x f y, il existe f' I (X) avec f(x)
f
f(y) , X est dit espace de
Stein • On rappelle que si X est ,espace de Stein, tout x E. X a un voisinage Ux qui se realise, grace a des fonctions F
= [ fk e
I(X)
1
com-
me sous ensembles analytique M d'un certain eN , 4) y
'"K (X) "y
C X est dit domaine de Runge (dans X) si pour tout k ( Y,
est un compact, Alors d'apr~s Ie theor~me d'Oka-Weil, Y
est de Runge dans X si et seulement si Y est de Stein et toute f E I(y) est approchable par des fonctions de I(X) uniformement sur tout compact de Y, Rappelons encore ceci : A
Si X est de Stein, K compact dans X, K (X) a un
syst~me
fon-
damental de voisinages qui Bont de Runge dans. X , A
I1 suffit de considerer K CUe ( X et de remarquer que pour tout x, bU, il existe une f. x.
1
e
bU,
I f.(y) 1< 1
1
e I(X)
telle qu'on ait
I f.(x,) I > 1 1
1
en
1 sur K ; puisque bU est compact on trouve un
nombre fini de telles f. • On defiilira alors : 1
Y
=
l
x
eUI 174
sup
I fi (y) I ~
1
j
- 81 P, Lelong
""
Y sera de Runge, et l'on aura Key
CU.
Si X est un espace de Stein, Yk ( Yk+1 nes de Runge dans X, lim Yk Enfin, suppos~
r~sultat
=Y
est encore de
qui remonte
un espace analytique, les Yk
a K.. Stein ~tant
une suite de domaim~me
nature,
: Si X est seulement
de Stein et Yk
~tant
do-
maine de Runge dans Yk+1 ' X est un espace de Stein. Les r~sultats de Narasimhan, Les principaux ~nonc~s ~tablis dans [3a] et [ 3b
J sont: Th~or~me
I ,-
Si D est un ouvert relativement compact dans
X, D, eX, X espace analytique et si tout x.
e bD
a un voisinage U
dans lequel existe une fonction p(x) strictement plurisousharmonique avec
D r'I U = (x, U
I
<0
p(x)
j
alors D est holomorphe convexe, contient un ensemble analytique compact (~ventuellement
vide) maximal de dimension
> 0,
et est une modifica-
tion propre d'un espace de Stein. TMoreme II, -
Soit X un lespace analytique : pour qu'il soit
de Stein, il faut et i1 suffit qu'il existe 1") une fonction p(x) continue plurisousharmonique sur X avec
XCI(
=
[x E X
I
p(x)(
«J
'eX
pour tout
o(~ 0
o
et 2 ) une fonction continue q(x) strictement plurisousharmonique sur X -
~ventuellement
q
=p
si p a cette
derni~re propri~t~.·
De plus si X est de Stein, la fonction p peut tement plurisousharmonique et analytique
175
r~elle,
~tre
choisie stric-
- 82 -
p. Lelong
L' ~nonc~ suivant est utile pour l'obtention du Oka
(jth~oreme
de K.
IV). Si X est un espace de Stein, D (C X, si
Theoreme III. -
Dt' 0' t ' 1 est une famille ~ontinue avec D.
O~
r~sultat
t" tf' , Dl = X ,
= D , UlDtoC Dt
D.((X, de maniere que Kt
=
n
t O t > to
pour Dt - Dt o
ait un voisinage U dans lequel existe pix) continue p. s. h. avec pix) ( 0 sur U () Dt II et p(x) = 0 sur Kt • ' alors D est un do maine de Runge dans X (donc un esp..Ice de Sfeiil). Theoreme IV • (.de K. Oka) -
Si D est un do maine de en tel
que -log d(z) est p. s. h., D est domaine d'holomorphie. En effet -log d(z) est contlnue ; p(z) ment p. s. h, dans D et et Ie
th~oreme
L I zk I 2]
= sup [-log d(z),
{z E D
I p(z),s c( 1 = DC(
est forte-
est compact
IT entraine que D est de Stein, c'est-a-dire domaine d'ho-
lomorphie, La
d~monstration
s' ~tend au
th~oreme
analytique de K. Oka
concernant les .domaines non ramifi~s au dessus de en .. Ehfin on obtient une caracterisation des espaces holomorphiquement convexes qui r~sultent d'espaces de Stein par des "~clatements" ponctuels. Theoreme V • n~cessaire
Soit X un espace analytique : une condition
et suffisante poJir qu' on ait dim Hq (X, S)
pour q
>0 et tout
faisceau analytique
holomorphiquement convexe et obtenu
<
00
coh~rent
a partir
176
S sur X est que X soit d'un espace de Stein par
- 83 p. Lelong
eclatement en un nombre fini de points • S'il en est ainsi. si A est l' ensemble analytique compact maximal de X. A
~
X induit des isomor"-
phismes :
pour q
Notes sur la demonstration.
>0
Certaines difficultes techniques
apparaissent pour passer d'une definition de D CC X • defini localement comme domaine P-CO"1VeXe au voisinage de chaque point de bD. A une definition globale dans un voisinage V de bD du type : D
=
f
x &V
I
p(x) (
0
nV =
1. p(x) etant plurisousharmonique.
definie sur
V (donc sur tout Ie bprd de D). Cette difficulte est resolue par Partie 1 • x
€
Si D
CC
X. D ouvert est defini dans U(x o ) •
bD par
U(x o ) (\ D =
(1)
[x
C U(x 4
)
I
p(x)
<:. 0
1
p(x) etant :lepschizienne et plurisousharmonique et si (1) est donne [avec une p(x) qui depend de U(xo )]
pour tout point Xo
€
bD. alors il existe
une fonction strictement p. s. h. q(x) dans tout un voisinage V de bD I de mani~re
que
V f) D
= {x E V
I
q (x)
c:.
0}
La methode de demonstration utilise I' approximation par les foncHons derivables : il est voisible que si p(x) est lipschizienne dans un do-
177
- 84 -
p. Lelong
r~gularis~es
ont leurs d~rivees partielles p bornees d'ordre I • De plus (remarque faite posterieurement par Grauert), maine d'un CN , les
p if- 0(
si {Ui J est un recouvrement de bD, hi une partition (Coo) de l'unite
subordonn~e, et si P.(x) , (Coo), p. s. h. , definit D dans U., on peut 1
1
prendre
s
p(x)
LI
h.
1
p. (h. 1
1
+
A.
1
p.) 1
>
pour definir globalement D dans un voisinage de bD ; on a Up)
>
on a U~ .) 0 et T1 struction faite dans
~.
~
positifs assez grands, ce qui simplifie la con-
1
[2bJ . Si D ceX est defini localement au voisinage de
Partie 2. chaque x II
0 si
bD par
U(x o ) Oll P = sup {PI"'" Pk
nD =
[x
€ U(xo)
I
p(x) ,
0
J
j , les Pj etant un nombre fini de fonctions
strictement p. s. h., de classe (C 2) dans U(xo), alors D est holomorphiquement convexe. On sait (Partie 1) qu' on peut definir globalement bD ; la pseudoconvexit~
les Dq
stricte permet alors d' operer une extension de D par une suite
~tant
strictement P-convexes, et l'extension Dr+1 etant
appropri~e
a un recouvrement de D par des ouverts U . de: Stein: en utilisant r
n,l
178
- 85 p. Lelong
pour q
>
[I'] ,
. ,(1) = 0 r,l 0, (theoremes A et B), que Hq(D t , (J) ~ Hq (0, IJ ) est
Ia methode de Grauert
surjectif. Il en resulte
(cf.
on deduit du fait que Hq(U
4a
et 4c et 4d
l
en utilisant un proce-
de en voie de devenir classique que
dim Hq (0
,C1 ) <:
<Xl
pour q ) O. On va se servir de (1) pour resoudre un probleme additif de Cousin,
a 1'exterieur
Iaquelle Hq(O r ,
de 0, en utilisant une extension 0' de 0 pour
(j) a une dimension d finie, pour q =1 •
On a vu que par Xo 6 bO, il passe un germe analytique defini et exterieur
a0
G'" d'ensemble
dans un voisinage U de x 0
•
On prend
I'extension 0' assez proche de 0 (elle est definie globalement en ~cri vant p(x)
<.
h(x) , h(x)
> 0, a derivees 'petites)
pour que (l" = r:S' (\ 0 l
soit ferme dans 0 I • Solt U Ie. (U , un voisinage de U de maniere que
G" () (U - U ')
n 0 I = ¢ . Alors
si f(x)' = 0 est l' equation qui definit 0"
dans U
1 f (xl
est holomorphe dans (U -
IT I ) f'\
0 I et
o
dans U ,
est une donnee P
r
de Cousin de
des germes holomorphes dans 0
p~les I,
dans 0
dans
0'
I
Si
-, - U
,y
est Ie faisceau
M Ie faisceau (additif) des germes de
179
- 86 -
p. Lelong
fonctions
P Ie faisceau quotient, on a evidemment la
m~romorphes,
suite exacte :
o ~ rY --+
M --. P
= M/ 0'-+
ce qui donne la suite de cohomologie dans D
A chaque
donn~e
P , r r
,
= 1,2, •••
image g dans Hl(D/, (J ) ; si dim Hl( D r
0
faisons correspondre son
Ul = d.t:.
constantes c , ••• , c , p ~ d+l , telles que l'on ait 1 p P qui revient a dire qu'il existe une donn~e ge nulle dans Hl(D
r
,0).
dans Dr telle que g(x) - [
L
0) il existera des p c k gk = 0 , ce 1
L
ckCk(x) qui a une ima-
1 Alors il existe une fonction g(x) meromorphe
ck f-k(x)
soit holomorphe dans U tandis
que g est holomorphe dans D - U • La restriction de gaD est alors une fonction holomorphe dans D telle que Comme ceci peut
~tre
I g(x) /-+ +0)
quand x ... x o'
fait quel que soit xoc:. bD, et que Dec X, D
est holomorphiquement convexe. De plus si l'on fait Ie quotient R(X) = X/R, R ~tant la relation d'equivalence f(x) = f(y) pour toute f E I(X), R(X) est un espace de Stein et les fibres
j'C -1 n' (x) de
rr : X -+X/ R,
L' ensemble des x qui ne sont pas isoles dans
sont connexes.
~ -1 ~ (x) est un en-
semble analytique M (dim M> 0, si M n' est pas vide) ; il est compact et par suite ne peut pen~trer dans les U. ou D est defini par p(x) ~ 0, 1
p(x) etant strictement plurisousharmonique, car p(x) devrait ~tre con-
180
- 87 p. Lelong
stante sur M, ce qui contradit Ie caract~re strictement
r plurisoushar-
monique. Le quotient R(D) est alors duisant
a un
un espace de Stein obtenu en re-
point les composantes (en nombre fini) de M qui 'Sont dans
D. Partie 3 • du
theor~me
I
am~nent
terieur par des D
e
II faut· montrer que les hypotheses plus faibles les resultats
On approche D par l'in-
pr~cedents.
croissants, ce qui correspond
a l'approximation
des p.(x) par des p: (x) ~ Pl'(x) obtenues par regularisation. Les D' = 1 1 e = R(D ) forment une suite de Runge .
e
Le theor~me III revient
a etablir
""
K ( D, en montrant que K ne coupe pasK d'un
probl~me
A.
que KeD pour tout' compact to
,gra.ce
a la
resolution
de Cousin.
11 en resulte que si X est de Stein et p continue et plurisousharmonique sur X, pour tout
0(
=
reel, XC( (p)
[x
~
X
I p(x) <0(
J
est de Runge dans X. Les conditions du
theor~me
II excluent l'existence de l'ensem-
ble analytique M: alors D = R(D) , et de plus cedent Xo( C X
P.
,Q(
<J
'
d'apr~s
Ie Corollaire pre-
forment une paire de Runge.
D'autre part, en sens inverse, si X est un espace de Stein , on peut construire une fonction strictement plurisousharmonique, analytique reelle sur X, de la forme
~ fk (x) fk (x) ,
fk ~ I(X)'; on a 'vu
qu'une telle somme finie, est plurisqusharmonique. On a Proposition:
Si X est un espace de Stein, il eiiste p(x) ana-
lytique reelle sur X, fortement P. s. h. telle que soit relativement compact dans X pour tout 0(
181
reel.
[x E X
I p(x) < 0(. J
- 88 -
p. Lelong
Demonstration: On
une suite croissante strictement
consid~re
'"
de compacts K """ X avec K = K , A chaque K on fait corresponp p p 2 P-1 dre des f 1" • f k € I(X) avec If. 6 k sur K, p ; P, P, P p,l P P I
, max i I f p,l
I> p
I <:
sur Kp+ 2 - Kp+ l '
cp P, 1 ....
De plus on peut trouver une application Ie polycercle Z
, p
I
(f)
T P, P
f
I(X) donnant
if P biunivoque et pro pre d'un voisinage Gp de K dans I P unite d'un C p • On suppose G C K +1 et on pose: p
gp =
r; I I
2
fpI i
+
1
p
E.
~J
I'f P, I
-TLp
2
j
CD
l(x)
L
=
On a g p
gp(x).
1
<.
2
£. p
sur K p
I
g P
>p
sur K - K p+2 p+1
convergence sur tout compact de X si sera.
f f(x).( m J C
De plus Enfin pour chaque p
I
cp p (G p)
morphe sur
OU MF = sup analytique
IF I
00
.
I
C~
cp telle que a Z~ verifie
ce qu'on
suppo-
Km+1 est relativement compact,
on peut trouver un polycercle Zp
interieur au polycercle unite de Il existe une constante
i: £. p <
ce qui assure la
I
I
de
mani~re
que
I zi 1<' p <. 1 [zp ncp p(Gp)J ') Kp' I
I
l' extension F d'une fonction
dans Zp et mf = sup
If I
sur Ie sous ensemble
f p (Gp ) C Zp . Alors gq pour q >pest la l
182
f holo-
.
re~triction
a
- 89 .. p. Lelong
Cf)
Tp
(G) d'une somme
, p
dans Zp
F
~ ,q( c:; ) est
c.; ,
g
q
~tant
les F )), q
E. q c
et la somme born~e par 2
!: F ',), q(z) 'pour z =
LlJ IF )I, q I 2,
p
sur Z • On en d~duit que p
holomorphe de z et est analytique
holomorphes
r~elle
~
dans Z x Z ;
P
A
sur K et elle est p
strictement plurisousharmonique car g est la restriction d'une fonction de la forme
L
I
a
P
~
CD (G )
p I p z., 2 + L 2 oJ) a> 0, oJ)
I't'j I
I la premi~re somme contient toutes les coordonn~es zi du C P utilis~ ,
ce qui assure que
d~j~
1
g est strictement plurisousharmonique sur G • P P
L' ~nonc~ de K. Oka,
(th~or~me
IV) est une
cons~quence
m~diate du tMor~me II : si D est P-convexe dans en, -log plurisousharmonique dans D, et est continue: p(z)
~ I zk I 2 J est bien telle que n
i
zED
compact dans C et ferm~ dans D;
n
L
= sup
S(z)
[-log
est
S(z) ,
i p(z) ~ oL J = Do( I zk I 2
im-
soit
est strictement plu-
1
risousharmonique, donc
(tMor~me
II), D est de Stein, donc un domaine
d'holomorphie.
3. - Les fonctions plurisousharmoniques, enveloppes tions du type a(f) log
sup~rieures
de fonc-
I f I , f holomorphe •
1. Nous indiquerons iei quelques
cons~quences
du
th~or~me
de
K. Oka, en nous pla9ant dans un domaine D de en, convexe par rapport aux fonctions plurisousharmoniques (donc aussi holomorphiquement convexe d' apr~s Ie
th~or~me
de K. Oka).
183
- 90 p. Lelong
Si V'(z) est une fonetion plurisosharmonique dans un tel domaine, Ie domaine
/j
dMini dans Cn+1 par
est aussi P-eonvexe car S est plurisousharmonique dans DXC 1(Zn+t1 Done en
fj
est Ie domaine d'holomorphie d'une fonetion F(zl .... 'zn+l);
~erivant
Ie
d~veloppement
de Hartoga ,
Ap (zl""'z n )
.'".
o
on eonstate ,que:
v = ~ p
p!
.
log
I AP (z) I
est une famille F de fonetions plurisousharmo-
niques dans D. Si l'on construit W = lim W
= reg
p
sup
V (z), on a (en posant p
sup W , cf. Chapitre 2)
ii
W (z) = V(z)
I
zeD
On en dMuit : Proposition 1 • -
Dans un domaine P- convexe de Cn , toute
fonetion plurisousharmonique Vest la lim. sup, regularisee d'une suite de fonetions plurisousharmoniques de Ia classe restrei,nte
V = a(f) log
184
I f(z)J
- 91 -
P. Lelong
f(z) etant holomorphe dans D et a(f)
> o.
2. II est clair que si D n'est pas un .do maine d'holomorphie, une fonction construite par Ie procede precedent
a.
partir d'une suite
se proiongera (par Ie procede) dans I'enveloppe d'holomorphie H(D) de D, les fk s'y prolongeant, ainsi que les Vk qui forment encore une famille
F
dans H(D) • Par
c~ntre
si dans Rn { Xl,..XnJ espace des parties reelles
(xk ) des (zk)' on se donne un domaine d non convexe
et une fonction
V (xl"'" xn) convexe, mais non prolongeable com me fonction convexe dans l'enveloppe de convexite d , V(x) est une fonction plurisousharmoc nique dans Ie tube T dMini par (de R
= partie
reelle) •
L'enveloppe d'holomorphie de Test T(d ), et si V etadt susceptible
c
d' ~tre construite selon la Proposition 1 dans T(d), elle se prolongerait en une fonction plurisousharmonique V(z) bornee superieurement sur tout tube T (d I), d I (: (d
• Alors V' (z) = sup V(z+ii) realiserait un prolonc t gement convexe de V(x) dans d , contrairement a. l'hypothese : un exemc pIe particulier d'une telle construction a ete donne dans [lb
1.
3. Supposons V(z) plurisousharmonique et continue maine d'holomorphie de en. Sur un compact KeD tif precedent
185
dans un do-
Ie procede construc-
- 92 p. Lelong
f
W (z)
= lim sup Vn ( z)
l
w*(z)
= V(z)
V (z) n
= a log n
I fn I ,
a ') 0 n
nous fournit un resultat particulier par application d'un theoreme enonce
£ > 0 etant n >N •
au Chapitre 2: pour
Z'
e K,
donne, on aura
Vn(z)
< W:£
= V +E
it
D'autre part on a W = W sur un ensemble part out dense et
*
en un point z ou W(z) = W (z) = V(z), il existe une fonction V telle n
qu'on ait
£.
/
~
V(z) - -2- (.. Vn(z) ~ V(z) + 2
11 existe alors un voisinage ouvert U de z dans lequel on a encore pour z 'E. U
et l' on peut recrouvrir K avec un nombre fini de tels ouverts U. ; chacun d'eux on aura fait correspondre une fonction V ni Finalement on aura: Proposition 2 . -
1
a
I f.1 1
Si V(z) est plurisousharmonique et continue
dans un domaine D, P-convexe, correspond un ensemble fini
= a. log
1
a tout
[ ai
> 0,
compact KeD et f i } ,.
a tout e.
>0
fi holomorphe dans D ,
tel qu'on ait
I
I
JI<(,
V(z) - sup i [ai log fi (z) I
186
)
z f K •
- 93 p. Lelong
Il est equivalent de dire que : pour une telle fonction V(z) il existe,
'f (z)
[> 0 et KeD etant donne, une fonction i
:: sup i
l
I
a: log f;(z)
IJ
= 1 ... N, telle qu'on ait pour z , K, V(z) -
""
",...
Enveloppes KH (0) et Kp(D).
E.
~ f(z)
<: V(z)
Si K est un compact dans un domaine 0
du type precedent (on suppose que D est P-convexe, c' est-a-dire aussi holomorphiquement convexe), constrilisons
~H(D) ~
:::
(D) 'P
II f(x)1 "
x'" 0 \.'
={ x
et enfin niques
1
-.
~C
If(y)/
sup
,
pour toute f. holomorphe dans D
Y' K
~ D IV(x) ~ (D) ou l'on
sup
YE- k
consid~re
K(y) , pour toute V p. s. h. dans D
J
seulement les fonctions plurisousharmo-
co~tinues dans D. On a, puisque log I f(x)
I
est une fonction p. s. h.
continue, si fest holomorphe :
(1) ,A
Mais la Proposition 2 appliquee au compact KH CD entraine
(2 ) ".....
D'autre part KH(D) etant compact dans D, il existe un ouvert
,...
U tel qu'on ait : ~(D)CUCCD
et en operant comme au
§
2 precedent,
on construit au moyen d'un nombre fini de f.(x) holomorphes dans D, un J
187
l
J
- 94 p. Lelong
n
I
J;
I
a pa'::ir de = {x E D sup f/x)/<:. 1 'I f.(x 4 ) I > I en un point Xo E bU et au voisinage de Xo • a une co~posante connexe Die U CC D qui est un domaine de Runge. On a alors:
domaine D C( D, de Runge,
n
(3 )
Enfin toute fonction V plurisousharmonique peut dans D I par les Ve, on a V(x) pour
e. <: e,.
*
= V O(e.
+ E.
assez petit; si
approchee
sup
yE K
sur un voisinage ouvert U(K) , donc Ve. (x)
Donc sup
Dans ces conditions,
e
pour
~tre
x/,
V" (x) tend vers sUPk V(x) quand
~ (D)
K.
entraine xl'
(D I )
PC
CK
e-.
V(y) = A,
A+
E.
0•
KpC (D'). On a donc
(D) .
P
Finalement on a KH (D I
"'"
) ="K"
PC
(D' )
A C....... K (D) C KH(D)
'.P
et (3) entraine
et l' ert.ci ric e : Proposition 3 • -
Si K est un compact dans un do maine P-con-
ve.xe (c'est-a-dire, aussi holomorphiquement convexe) de en, ses enveloppes de convexite par rapport aux fop-ctions holomorphes et aux fonctions
188
- 95 P. Lelong plurisousharmoniques dans D sont les m@mes.
Bibliographie
fl.)
H.J. Bremermann - a) Die Charaltterisierung von Regtilaridl.tsTMse MUnster 1951 ,
gebiet~n,
b) On the conjecture of the equivalence of the plurisubharmonic functions and the Hartogs functions, Math. Annalen, t. 131, (956). [2.)
P. Lelong - a) La
convexit~:
et les fonctions analytiques de
plusleurs variables, Journal de Math. t.31, 1951, p. 191·219, b) Domaines convexes par rapport aux fonctions plurisousharmoniques, Journal d' Analyse de
J~rusalem,
1952, t. II, p. 178·208. [3.]
R. Narasimhan - a) The Levi's problem for complex spaces, I. Math. Annalen t. 142 (961), P. 355-365, b) II Ibidem t. 146, (962) p. 355-365.
[4.
J
F. Norguet - a)
Probl~me
analytiques
r~elles,
de
L~vi
S~m.
et plongement des
vari~t~s
Bourbaki n. 173 1958-1959.,
b) Sur les domaines d'holomorphie, Bull. Soc. Matp. de France t. 82, 1954 P. 137-159., c) Un
th~or~me
189
de finitude pour la cohomologie
- 96 p. Lelong
des faisceaux, Atti Ace. Naz. dei Lincei 8, t. 31, 1961, p. 222, d) Seminaire d'Analyse, 1962, Insitut Henri Poincare, Expose n. 6 •
[5.)
K. Oka - a) Sur leg fonctions analytiques de plusieurs variables, VI, Tohoku Math. J. t. 49. 1942, h) IX - Domaines finis sans point critique interieur,
Japal'J. J. Math. t. 23, 1953, p. 97-155. [ 6.]
H. Grauert - On Levi's problem, Ann. of Math. t. 68, 1958,
190
- 97 p. Lelong
Chapitre IV
1. ELEMENTS POSITIFS D'UNE ALGEBRE EXTERIEURE
COMPLEXE AVEC INVOLUTION
1. Introduction. des fonctions analytiques de n
L'~tude
plus
homog~nes
t
(1)
:r
avec la condition
1
complexes,
celle des structures complexes, fait intervenir des
g~n~ralement
formes
>1 variables
du type (1,1) :
[ t dz" p,q p,q p
dz
q
p,q=l. ... ,n
,
r t p,q hp hq > 0,
pour tout vecteur
t = (hk)
complexe. Rappelons qu'A ~~e fonctlon V (A valeurs r~elles) plurisousharmonlque est attacMe une mesure
(2)
.
positive pour tout 1i • On me idz
ext~rieure
1\
p
-
h h P q
pr~f~rera interpr~ter
t correspondante, obtenue en
la condition sur la for-
rempla~ant
•
h h par p q
dz • Elle s'~crit t = id d.. V, et est dans ce cas une forme q z z
g6nAralis6e (ou courant, au Bans de G. de Rham). On est conduit ainsi 191
- 98 P, Lelong
a la
notion de forme positive
de degre I relativement
rieure E 2n (dz ,dz), La notion s'etend
a l' algebre
exte-
au degre p, 0, p, n, Les
formes positives de degre p sont de type (p, p) et forment un
c~ne
con-
vexe E~, D'autre part, les coefficients peuvent Nre pris dans un espace vectoriel (cas des courants) ou dans un anneau (par exemple celui des fonctions continues), Dans ce dernier cas, un
mon~me,
produit (exterieur)
de q formes positives de degre I , est encore une forme positive; on obtiendra un
c~ne
positif dont les elements sont multipliables,
2, Elements positifs, Plac;ons-nous d'abord dans Ie cas d'une algebre exterieure complexe E 2n sur Ie corps K des constantes complexes, avec l'involution a ....
a
qui se ramene
a la
base autoconjuguee (WI"'"
,
,_'
(WI' .... W n' WI'"
OJ
conjugaison sur
Wn ,
K , On considerera une
WI' ....
CJ n ) ; les bases
-/ W n ) dectuites de la premiere par une tran-
sformation (T)
(3 )
qui permute avec la conjugaison, seront dites permises; les transformations (T) forment un groupe G, Par definition les elements positifs de E 2n ' de degre zero, sont les constantes reelles positives a
e R+ ,
considerera de plus une forme fondamentale
- ) avec c ' R + (i W 1\ W
(4)
n
192
n
On
- 99 p. Lelong
Le passage
par c
I
a toute
I -I
autre base permise (W, W ) remplace c I ofdans (4), et l'on a encore c ~ R • On appelle lin~aire pour tout
~l~ment
':l(
~ E2n qui s' ~crit )( = DMinition • -
Un
r.
~l~ment
~k W k' ak E K.
E2n sera dit positif, de
degr~
p, 0 {a P "n, si a. il est homog~ne de type (p, p), b. pour tout sy8t~me L n-p = ( 0( I' ••• , 0( n~aires
n-p
) d' ~lements li-
purs, on a
f 1\ (i 0( I ,,« I) 1\ ... 1\ (i 0( n "
(5)
f
0; n ) = f ( ,L n- p) '" n
p
avec
e (f '
L n- p )
e
Con8~quences
p
R +. :
I'J L'ensemble E~ des ~l~ments positifs de degr~ p est un cOne convexe s aill ant , car hI) 0 , h2
>0
entraine, si
fIE
f2~ E~:
On a
a~ R
On pose
n E+
193
=[
o
E~
•
t
•
E~,
et
- 100 -
p. Lelong
20
'f
Pour que
appartienne
a E~ il faut et il suffit qu'il
f
existe une base permise ( W, (;j ) dans laqueUe q
f
(6 )
I)
3
,
=
s.
'1
J
W.I\ W., J
1 ( q ~ n, s.
J
J
on obtient une fonctirln d'un 2(n-p)-vecteur
(5) pour un ensemble
A
=
lL~-P
a la
O(k
,s
d'un L
,s
= r.~k,S w.J
1
Cf)
est fixe,
n-p , 0( 1'···'
de systemes de
-
T (i) ,(j)
base ( W, {;j l. si
Si l' on explicite les elements 'Xk
+•
R
ex n-p)
On Ie voit en ecrivant
, .•• , L;P
etant Ie nombre de coefficients
l' ecriture par rapport
ex
£:
Ln-p , autoconjugue, notee
e(1' , Ln- p) ; cette application est injective. n
f
Pour la suite, remarquons que si dans (5)
et si 1'on fait varier Ie systeme Ln - p (c( 1' ... '
N = (C P)2
s'exprime par
f
f
L~-P
,
dans
est de type (p, pl.
n-p s
k = 1, ••. , n-p;
s = l, .... N •
On determine les coefficients par Ie systeme des equations (5)
a condition que Ie systeme soit regu-
lier. Considerons d' abord Ie determinant
(./) = II'a,J II .
h J S
k, S
'
j
e (j' ) ,
k = 1. .... n-p
(j I ) designant la combinaison complementiare de (j) • Le systeme qui
determine les
cP
(i), (j)
est regulier si 194
11 F a OU /j
est Ie deter-
,
- 101 -
p. Lelong
minant d'ordre N :
UII.X(j')
(7)
s = 1, •• "N (i I ) et (j' ) parcourant les combinaisons Cn - p ; I est la signature de n
la permutation
[ (i) , (il)]
par rapport
~
[ 1, ••• In]
• Si l' on
explicite les parties r~elles et imaginaires des aj k.s = a.,j + ia"j j \, s k. S k. s
on obtient pour ~ Ie produit par une constante non nulle d'un polyr Ij ] ~ coefficients r~els, non identiquement nul. nOme P Lak,s' a"j k,s Si 1'on pose
N = N(n-p)n • 1 a"j) dans 1'espace R2N 1 des (a I j ' k k ,s ,s ensembles
A
les points
r~sulte
que dans tout ouvert de R2N 1 •
il Y a des points repr6sentatifs de systllmes
r6sultat est utilis6 dans ~
'f'
des
non r~guliers forment une vari~t~ a1g~brique de dimen-
sion 2N 1 - 1 , soit W • II en
relatifs
repr~sentat'if s
A
non d6g6n6r6s; ce
[ 4] . Si l'on considllre les
et aux Ln-p s
d'un systllme r6gulier
J\ _ [n-p -
Ll
195
n-p , , ••• , LN
J'
e(
- 102 -
P. Lelong
f (f,
les N nombres complexes
ces N nombres sont positifs. II en Proposition 1 • -
Tout
positif est
En effet dans (5) si l'on pense aux
D'ou
fEf ,A
~tant
choisi
f
q:; I E E p+ ,
autoconjugu~.
on aura
conjugu~s,
, Ln- p) pour tout Ln-p EA. s
s
r~gulier.
m
f k e E~
Proposition 2 • -. Si
si
:
r~sulte
~l~ment
e (([)r , Ln-s p) = e (a;T
f
L~-P ) d~terminent
et s1
~
'P k = 0 on a
k = 0 pour tout k •
En effet pour tout Ln-p 6 s
A
Multiplication. -
fAr
=
r Af
La
Si
II suffit d' apr~s (2 0 lin~aire
0( 1
=W
du
degr~
.entre ~l~ments positifs.
Proposition 3. me
parit~
pure; comme
, 0( 2 , ••• , 0(
)
f n-p
ou Ln-p-l = { 0( 2 , ... , 0( n-p
d~composable
De plus:
'f e E~, 'f G E~. de l' ~tablir pour est positive,
r=
on a iW
~crivons (5)
rp 1\ r
II W,
G EP+1•
W
for-
en choisissant
quelconques, 1in~aires purs. On a
J.
EMments positifs d~composables. sera dit
total entraine
s'il est de la forme
196
Un ~l~ment positif
- 103 p. Lelong
(8)
(i 0(
Si
1
!\ d. 1 )1\ ... /\ (i cI. P 1\ ~ P),
Ok lineaires purs •
est decomposable, il en est de m~me de c'f'
' c
constante positive. Les elements decomposables de degre p engendrent un cOne positif saillant pP
E E~
pP
a partir des monOmes produits de
p
est aussi Ie cl)ne engendre
elements de Et. Le cOne
n
p = [
pP
o
e2 "":;
et si
admet une structure d' algebre commutative; si
P Ii , un a
P
p+q
•
(p+q" n) .
Signalons ici deux problemes : A.peE+
est-il un vrai sous-ensemble de l'ensemble E+des elements
positifs de E 2n ? Autrement dit, existe-t-il des elements tifs de degre
~
f~rme
(8)? On a vu qu'on a
= E1
+' B. Le produit
q
(posi-
p ~ 2), qui ne sont pas des combinaisons lineaires finies,
a coefficients positifs de monl)mes de la p1
f
n, peut-il
que si PIE
+
~tre
r ' ou
un element non positif? La question n'est
a chercher
, puisque pour deux elements respectivement de pP et
de pq, Ie produit appartient
a pP
+
q
Remarquons qu'a un element pondre un espace vectoriel E(
f e E~
f ) autoconjugue,
il suffit d' exprimer
197
on peut faire corres-
d'une maniere unique;
- 104 P. Lelong
les gk ~tant ind~pendants. E( cp E
(f ) est
de dimension 2q, q
q:>q+1 = 0, ment
cp q f
Division. base (W k ,
Wk )
(8' )
Soit
; si l'on a
a:> ,
II en
r~sulte
divisible par les
~l~ments
b'
que si i W1
degr~
'P
par les conditions
E (CP ) . On dira que
vectoriel E
(f ) .
un
de E P
~l~ment
+'
~crit
l'~l~-
dans une
A W1)+b A W 1+b';\ W1+c
W 1 ,ni
W 1 ' a et c sont des ~l~ments
Si de plus on a c = 0 , alors on a aussi b = b l = O.
f
E~ v~rifie
€
AWl
f 1\ i W 1 " W1 = 0, ep
et Ie quotient peut
positifs ont ainsi des
Proposition 4. de
d~termine
= a A (i w 1
ou a, b, c ne contiennent ni positifs. On a b=
q
sous-tendu par les gk et les gk ;
~tant d~termin~
a l'espace
appartient
f
f
0;
) est
Si
propriet~s
f 1' ••• ' f P
~tre de
choisi dans
divisibilit~
E~ 1
est ;
particulieres.
sont des ~l~ments positifs
1, pour que l'on ait
(9)
il faut et il suffit qu'il existe q, 1 ~ q ~ p, de maniere que q elements
'f k appartiennent gendr~
a un
m~me
espace, de dimension complexe q -1, en-
par des formes lineaires pures et leurs conjuguees
198
- 105 p. Lelong
La condition suffisante tablit la condition
n~cessaire.
p =1
~tant ~vident,
/\ CD
I
I i p-l
tence d'un
~tant ~vidente,
On
proc~de
par
a montrer
et tout revient
0 pour tout groupe de p - 1
indiquons comment
r~currence
que si
~Mments,
1
1\ (/), 1\ ... T 12
(9) entraine l'exis-
f 1'" ., f p .
On partira des
repr~sentations
s~
cP k
sur p, Ie cas
syst~me
dans lequel s'expriment
des
cP i
s'~
>0,
' les gkj· ~tant lin~aires pures. Si l' on uprime alors
cP 1 A .,. 1\ 'f p
=0
a partir
de (9 I
)
on obtient au premier membre une somme de monOmes dont chacun appartient
a E~ ; chaque terme de la somme est donc nul, ce qui donne
A g., PJ pour tout (j) = (j1' ... ,j ), p 1 On a 1 I 0, donc sl
cp
base pour laquelle
W
1
= g
11
I
0, gl1
I
P
0 et l'on peut choisir une
,On aura alors :
199
= 0
- 106 p. Lelong 1 = iS l
-
:. 'fH. k+
'f'k
II
l'ensemble des termes contenant au moins WI 1 1 I 1 . k £ E+. Alors en exprlmant WI' On a alors cP 1 E E+,
en d~~gnant par ou
f
I
W 1!\W1 +Cf1
k
f
(9), 11 vient
Chacun des deux crochets est un ~l~ment de E~, donc e~t nul, ce qui entraine
cp ~ e
On a
E1 , 2 ~ k
~ p,
et Ie
y
th~or~me
admis pour p-1 entraine
'-I(2'"'' -I} Yp-1' rp-1 per2' k ~ P • Les ¥I k sont ind~pendantes
t { '2 .... , l'existence d'un syst~me mettant d' exprimer les sinon on aurait n~aires
pures
~
2
f I k'
A ... 1\
d~terminant
~
p = 0, et les
r Ik
sont des formes li-
un espace E(p-2) de dimension complexe p-2.
W, v', .. " QlI' p-l Jl,
Dans ces conditions, Eo (p-1) = [ mension p-l et contient les E(
f
tID 1
est de di-
k)' 2 ~ k ~ P •
Choisissons alors dans E(
cP 2) ••• ,
f
p) des ~l~ments lin~aires
lin~airement ind~pendants, d~terminant E,,(p-l), ce qui est possible, si non on aurait
g~l, ... ,g~l
E(
200
- 107 -
p. Lelong
La
nullit~
des produits
G, J
= g1,A ... J.
pour tout j montre alors que tout la
1\
gp'l
~l~ment lin~aire
pur qui intervient dans
repr~sentation
a Eo
appartient
(p-1). Ainsi E(
if 1)
Interpr~tation g~om~trique.
de l' adjointe et la dualM. On note
C E" (p-1) ce qui
~tablit la proposition
Il est commode d'utiliser les calculs
W
= dz et on fait jouer un rOle p p particulier aux transformations unit aires de G <: G . qui conservent la u "forme fondamentale"
ru
inA dz 1 dz-" 1
:; ('2)
. •11\\dz u
Adz u
(On rappelle que Ie calcul de l'adjointe s'opere selon des formules classiques en g~om~trie diff~rentielle r~elle, par rapport aux "parametres"dr ~ k:;
dZk
dz
{2n
I
d
~ k+n = {2
ds 2 = [ gpq d ~ p d ou g pq
=0
sauf si p-q est congru
an 201
Sq '
;
on
~crit
1 , P {2n, 1
~
q
~
2n,
modulo 2n, auquel cas on a g =1). pq
- 108 p. Lelong
On pose
pest une forme positive; il en est de m~me de = !n! r1\ n . d6fini par
(10 a)
A un sous-espace vectoriel L P ,
Z
s
=
p p ; on a
ap
t
n
=
dimension complexes,
t
1
on associe des param~tres plUck6riens complexes
D(zs , ••• , z l'
s
) P
j=l" •• ,p
s
e (9)
les h(s) seront dits unitaires si Uo a) se prolonge en une transformation unitaire de Cn(u) dans Cn(z) • A LP on associe la forme
't' (L P) dMinie
par
[
h(s) -h(t) dz 1\ ... s1 (s), (t)
A dz A sp
d-Zt
1
/\ dZt p
avec h(s) = h(s) • L'application L P -+t'(L P) est bien
202
d~termin~e
: un chan-
- 109 p. Lelong
gement unitaire zk -.
z~
commute avec elle et l'on obtient
1:' {L P) en
substituant les z~ aux zk dans 1'expression obtenue, O'autre part si Ln-p est Ie sous-espace orthogonal. on a
en d~signant par un
op~rateur
*f
1i n
~
f ' On
l' adjoint de air e.
d
~
fin i
rappelle que l' adjonction est
par rapport
permutable avec les ;ransformations unitaires) et
.
1
= 't
n
a la
m~trique
(donc
v~rifiant
•
Pour un monOme
on a
-tt
f = 2P+q- n in (_d+J +np dz.lq+l1\ ... /\ dz.In/\
dans la
m~trique
euclidienne. On a
not~
I la
dz. 1\ Ip+l
parit~
... /\ dz.
de [i1 ..... i p• ip+1" .. ,iJ
On n'utilise ici que des propri~t~s alg~briques de l'op~rateur faire intervenir la
a une
m~trique
diff~rentiation.
In
tp ~ltf'
sans
de sorte qu' on peut toujours se ramener
du type
203
- 110 -
p. Lelong
Proposition 5 • En effet
*f
p E t ' on
* En-p aft + .
est bien du type (n-p, n-p) ; de plus soit
C!=iCX
les 0(
f~
Si
1
Aa
lA ... l\io(
p
Aa p ,
etant lineaires purs et independants; soit Bn - p Ie sous-espace
defini par 0( k = ~ k = 0, 1" k" p, et soit AP Ie sous-espace orthogonal; on a
ou
8
est Ie determinant des 0(
par rapport
a des
coordonnees uni-
taires dans AP• I1 en resulte, si L P est Ie systeme (0( l' ••• , 0( p) :
qui etablit
Remarque. - A une forme
on fera correspondre
(comme dans Ie cas p=l) un espace vectoriel
les 0( k ~tant des formes lineaires pures telles que fonction des
0( k'
Q( k' et que s soit minimum. Si 204
s'exprime en
- 111 -
p. Lelong
dim E(f )
2s
I
on pourra trouver une base ( 0( 1"'"
<
2n
I
0(-'l' .•• ,
0( n'
_I
0(
n) deduite par
une transformation unitaire de (W , c:;j ), et telle que
, 1 , .. "
0(
'f 1 ne contient que les
0(
(
0(
, s'
I
~ 1"
.. ,
-' s
0(
l
J
= E(f),
Alors on a
ou
proquement. E(
,
-I
et 0(
d'indices s au plus, et reci-
f ) est donc encore I'orthogonal du plus
grand espace
autoconjugue (O('k' a'k) tel que la divisibilite(10 b) ait lieu, Division, -
Pour l' etude de la div'ision, on utilisera I' algo-
rithme donne par l'adjonction : Proposition 6. q 1 Ul T +
sance
Si
f~ E~
f e. E~ ,
et
= 0, et si 1'on a
r
m
,1 ~ m ~
avec
cp /\A 'f = 0, alors 'f' ainsi que q, divise cp , et l' on a l'identite
lf q !
0,
toute puis-
(11)
On a
cP 1 = Cf
= 0 si q
>p •
Le quotient
'P 1 est bien determine
par (11) sous la condition que les espaces vectoriels E(? 1) , E(
If)
n'aient pas d'element (non nul) en communi ou ce qui revient au
m~me,
que 1'on aU
"ff 1II If = 0,
ou encore
205
* CP1 1\
h = 0 pour toute forme
- 112 -
p. Lelong
r
lin~aire pure v~rifiant h 1\ q = 0 ; Ie quotient appartient
a E~-q Indiq1.!ons
les gk appartimant
s~uIement
a une
'f I
ici Ie principe de la
ainsi
d~termin~
d~monstration
base ti nit air e de Cn(dz) • Alors
: soit
fA r= 0
entraine
I~ k ~q
On remarque alors que si
f
est
~crit
dans une base a laquelle appar-
tiennent gI' ••• ' gq , sous la forme (12) t3 ne contenant plus ni gi ' ni gI' alors on a t3 = 0; mais Ie fait que
f
est positive entraine dans (12) que l'on ait tl
e
E P'; I , t2
=t~
;
t3 = 0 entraine d'autre part t2 = t~ = 0, [SUbst:tuer a gi l'expression hg i et remarquer que l'expression obtenue en h, h donne un r~sultat positif dans toute ('f ,Ln- p) . Finalement ~ A = 0 entraine
r
e
On divisibi1it~ de
op~re
f
alors de proche en proche de par les produits (igk A gk) •
206
mani~re
a obtenir la
- 113 -
p. Lelong
Soit
on a
oil A q est Ie sous-espace vectoriel de en associ~ a tient (11) oil
'P 1 est
d~termin~
r,
et 1'on ob-
par
3. Formes positives a coefficients continus; courants positifs.· - On obtient
encore une
les formes dont les coefficients sont pri~ dans l' anne au des fonctions continues sur une vari~t~ wn a structure alg~bre
si l'on
consid~re
analytique complexe; mais avec quelques
pr~cautions ~videntes,
les resul-
tats s'etendent aux formes generalisees (courants). Definition. ve, de
degr~
1
g~bre
o
Une forme differentieIle sur Wn sera dite positi-
p, sl : eIle est
homog~ne
de type (p ,p) ,
2' ses coefficients sont des fonctions continues sur Wn ; 3 0 en tout point zO (: Wn , eIle est une forme positive de l' alexterieure E 2n (dz , dZ ), c'est-a-dire verifie la condition (5) pour k
k
tout syst~me Ln - p de formes lin~aires pures
207
0(
1' ... ' Q(
n-p
- 114 -
p. Lelong
Remarques. 1 0 Si l' on a sur Wn une met rique donnee par une forme hermitienne definie positive ~ g
~
pq
dz
p
dz-
q
= ds 2
des coordonnees locales dz k , dZk ' et si I' on pose
f2 =.! [g 2
pq
on peut dans la condition (5) remplacer
n l!1 n. I
dz /\ P
1;'
n
dzq par "1'element de volume"
•
2
o
La classe des formes positives, de degre p, soit
est independante des coordonnees locales choisies sur W • 3 J On remarque qu'on a deux possibilites d'exprimer qU'une forme
'f' ' acoefficients
l'une est d' ecrire neaires pures
e ( cp
continus, de type (p ,p) appartient
; 0( 1"'"
a coefficients
a cP ~ :
0( n-p) .) 0 , les 0( k etant li- .
constants (ou plus generalement continus);
il suffit alors d' ecrire les conditions
en chaque point pour tous les plans complexes Bn - p • p
On peut aussi exprimer qu'en chaque point la forme. duit sur chaque sous-espace
AP
tangent
208
a W,
soit dZ k
=
cP
L a~ dUj
in,
- 115 p. Lelong
1 .£ j
~
avec c(
p, une forme
f ,j,p)
~ O. Pour I'expression de ces conditions, il sera indif-
ferent d'utiliser, dans l' espace tangent, Ia met rique induite pour celle de Wn , ou celle de 1'espace euclidien en (dz). Definition. -
Un courant t(
'P ) sera. dit
positif, de de gre p,
de dimension (complexe) n-p sur Wn si a. il est
de qegre (p ,p) ; n-p _ . b. pour. tout syst~me L - (0( 1' ••• '
a coefficients
homog~ne
~
VI
n-p
)
de formes pures
constants, on a
A (i 0(1" ~
t
1)1\ ... 11 (i0(
n-p
Ai,
n-p
) = T(t,Ln- p)
ou T(L n- p ) est une distributi'on positive (donc une mesure positive). Il revient au m~me d'exprimer que pour toute f , ~ (W) avec f ,) 0, on a
j
tA(fio(lA«"l)A ...
Aio( n-p A~
n-p
~O.
Remarques. Q
1
Pour qu'un courant soit positif, il faut et il suffit qu'il Ie
soit Iocalement. o
2
Soient
AP
n n-p un sous-espace de e (d\) et B Ie sous-espace
complementaire :
209
- 116 p. Lelong
B n - p une mesure positive; J\ n-p n-p n-p tout systeme non d~g~n~r~ I ~ de B ,soit B 1 •..~ .• B en N n'ombre N, donne la possibilit~ de calculer'les coefficients de est une application qui associe
t = .[ t(.)(.)dZ i " , 1 J 1
a t et a tout
00'
1\
Adz. Adz. lp J1
00'
1\
dz. Jp
sous la forme
les
c~i)(j) ~tant des constantes complexes; les T(t, ~-p) sont des mesu ...
res, done: Proposition 7. -
Un courant positif test continu d'ordre z~ro:
Ie s distributions
associ~es
a ses
coefficients sont des mesures de Radon complexes; et
l'on a
Il en
a coefficients
r~sulte
continus
qu'on pourra multiplier un courant par une forme
a support
compact.
210
- 117 P, Lelong
0' autre part les
d~finitions
entrainent :
Les classes ~ ~ ,T~
Proposition 8, -
(formes positives
et courants positifs) sont invariantes par un homeomorphisme analytique complexe. Dans la suite on se bornera
a l'~tude
de formes et de courants
positifs dans des domaines de Cn . On peut envisager pour un courant t 6
T~ diff~rentes normes dans un domaine 0 •
I t( f )I '
l' N1(t) = sup cp dans 0, indMiniment
2 ~ N2(t) mesures complexes
f
pour les
a support
compact
d~rivables, v~rifiant
= sup 1/ T(i)(j) associ~es
II ,
les TU)(j)
aux coefficients
~tant les normes des
t(i)(j) du courant t.
3 0 N(t, J\ ) = sup T(t, Bn-P ), pour les Bn- p d'un systeme s s s n-p n-p B1 ' .. " BN r~ gulier donn~. Ces trois normes sont Proposition 9, -
~quivalentes.
Si t est un courant positif de degre 1 ,
=i les mesures complexes T
De plus on a :
p,q
[tpq dz P A d~q
associ~es
(13)
211
aux coefficients t
pq
v~rifient
- 118 p. Lelong
En effet, soit f une fonction positive, indMiniment derivable a support compact dans D :
....
L.
T
~,q
vecteur h, d' ou, les Tkk
p,q
(f) h h p q
etant des mesures positives:
II Tpq 1/ ~ Tpp + Tqq Il en resulte que NI(t) ~ Regularisa+ion. -
est positif pour tout
, [ . Tkk • k
r )Tp,q
~ 2n
Plac;ons-nous dans en
suite de noyaux continus, positifs, a'support la boule p Alors, si t G T+ ' Ie courant
t
m
=n~O(
r
T pp •
soit 0(
I z/
m
~
(z) une m- I .
m
obtenu en regularisant par composition chacun des coefficients de t, appartient aussi a T t , et l' on a p
sur toute forme continue a support compact
r.
Par regularisation a partir des enonces precedents, on etablit alors TMor?!me I : a. Le produit d'une forme A
est un courant t "
f
appartenant a
b. Le produit d'une forme est un courant de
T~+1
cp ~ ~ ~ p+1 T+ . f f: i ~
•
212
f
T~
par un courant t €
T~
par un courant t
- 119 -
p. Lelong
Plus
un monOme
g~h~ralement,
1
est un courant positif se les deux conditions suivantes sont 0(
•
tout les
.} • tout les Le
th~or~me
TMor~me
sont des courants positifs et si les
v~rifi~es
:
1 ' sauf l'un d'eux au plus,
l ' sauf l'un d'eux (au plus), de division
s'~tend
2. - Soient un courant positif de
rang q, de degrcA. 1 ,avec
LU T q.~r 0,
If
UJ T q+1 -:
I.f ' ainsi que toute puissance 'f m ,
et l'on a
sont de degr~ 1 •
:
sur une vari~t~ analytique complexe Wn , et
Alors
sont des formes,
degr~
p, 1" p' n,
une forme positive de 0, v~rifiant
tAr = 0 .
1 ~ m ~ q , divise t ,
l'identit~
t=t
(4)
De plus \
1
1\
Ulq I
.
est unique sous la condition
d'~tre
positif et de
v~ri
fier la condition
=0 • Si q l P
~,
on a t v~ TP- q . on a t = t I 1 t ' 1
par
(5)
213
o si
q> p; enfin t1 est donne
- 120 p. Lelong
Il suffit d' ~tablir Ie
localement, c' est- a-dire dans
th~or~me
un doma1ne D de en ; on dM1nit tl par (15) qui a bien un sens, car S(z)
> 0 dans D ; de plus tIE
Tr
q
s1 q ~ p , I' adjoint d' un courant
t € T+' appartenant a T" ; si pc::: q, on a Iftl = O. P n-p On ~tablit (14) a partir de (15), s1 test une forme, en appliquant la proposition 6 en chaque point. Pour passer aux courants on
proc~de par r~gularisation ; on a ~videmment en appelant RO( t =0( Ie
r~gularis~
Soit
de t au moyen du noyau
~
m
*t
0(
I,m
= 0(
m
t et
m
= S-2(z) ~ql\ ,
*t m
On a alors, d'aprh (14) et (5), puisqu'il n'intervient que des formes a coefficients continus
t
D' autre part
'f q
m
=t
I,m
Al,Jlq 1
~tant a coefficients continus,
t = lim m=oo D'apr~s
t
une suite de noyaux r~gular1sants, continus, tendant
vers la mesure de Dirac. Soit t
(6)
*
(16) lim tl,m=t 1 ex1ste et v~rifie
214
- 121 P. Lelong
et l'on a
t
Pour
l'unicit~,
et si t 1 est positif,
*\
= (lim
t
) 1\ q = t A UI q • 1, m I l
'¥
si ron a
l' est aussi et 11 existe alors t2 ' tel que
l'on ait
D'ou
t2 = S-2 (z)
et d' apr~s (17)
on retrouve ainsi l'expression (15).
215
*t
- 122 -
p. Lelong
Image d'un courant positif. -
Soit z J = f(z) une application
propre et analytique complexe d'une variete Wn analytique complexe dans une variete W' n analytique complexe. Soit t un courant positif sur Wn• Son image t I = ft est definie par
011 f 1
'f
resulte de
de z et dz ; t'
'P
par remplacement de z /
et dz I
en. fonction
est un courant positif.
On notera que si l'on considere deux ouverts U et U
I
en cor-
respondance biunivoque par f, et deux compacts K C u, K' Co u', avec K' = f(K) , il existe deux constantes a, b (dependant de' K) telles que
Applications. Cas des courants positifs fermes. 10
Si Vest une fonction plurisousharmonique, t = id
z
d- V
z
est un courant positif ferme. Reciproquement si Vest une fonction 10calement sommable ( tion 1c
-0)
~
de la Definition 1
V < +00 en tout point), si V verifie la condi-
,§
1 du Chapitre 2, et si id z dz V
'T~
Vest plurisousharmonique. De plus, si l'on se donne un courant t positif ferme de degre 1, l' equation
t
id
d_ V
z z
admet localement une solution V plurisousharmonique.
216
,
- 123 -
p. Lelong
2
/)
8i l'on consid~re en particulier la fonction V = log I f(z) I
associ~ t = i .1t -1 d d_ log
ou fest holomorphe, Ie courant
z z
If I
l'op~rateur d'int~gration
sur Ie diviseur f = 0 et la me sure positive
(1 B)
0"
t
=
,
est
Ap n-1 (n-l)!
= 0, On pose
est l'aire de l'ensemble analytique f
0(
Le
i = "2 dz d
r~sultat
[3
Courants positirs
e T~-P
1 -..r E T;.
\ log '- zk z k
n dans C - 0 .
a H.
(pour la formulation
(1B) remonte
actuelle, voir Kodaira
degr~ n-p, t
z
Poincar~
J ). ferm~s,
-
A un courant t positif,
de
, associons les courants de degr~ maximum
..; = Jt'
-p t "
0( p
fop p!
mentale
ferm~
est la forme fonda-
"~l~ment de volume" de la dimension complexe p. La forme
est la forme positive dMinie par
217
0(
- 124 p~
Lelong
(19)
Elle est positive car on a vu que V = log II z 1\ est plurisousharmonique, Elle est
d~finie
cr
plication
sauf pour z = 0 , Alors d'aprh Ie
et
th~or~me
de multi-
sont des mesures positives si t est un courant
)J
positif de type (P, p) , Utilisons maintenant l'hypotMse que t est en supposant d'abord que t soit une forme Ions
/lull B -B
en supposant t d~fini dans
11<. r 1,
" z
B2-B 1 ,
1)
est
d~fini.
et a une
a coefficients continus, Calcu-
II z II < r 2 '
o~ B2 est la boule
2 1
II z 1/ <.
densit~
B1 la boule
R, r 1 < r 2 <. R, Dans
continue, Mais on peut ecrire
o <.
d'apr~s
ferm~,
~ 1
dt = O. et la nullite du groupe d'homologie correspondant de
B2 - B1 ' On a alors
I(r
I
r ) = 1t' -p
1 2
La d
derni~re egalit~
0(
J
d
B -B
2
~
"0(
P =
1
provient de ce qu'on ado(
= O.
p = 0, On a al
218
qui entraine
<: R,
- 125 -
I(r r) = S'C - P l' 2
(20)
S1 et S2 d'apr~s
~tant
les
1eAd..
sph~res
p. Lelong
1
9 1\ 0( p'
p - 1t' -p
S2
SI
/I Z 1/
= r l'
1/
Z
/I
= r 2 • D' autre part
(19), on a
(21)
Sur SI et S2' n
~ zkdZk 1
n
Ai:
zkdZk
1
r
zk zk
est constant de sorte que
= 0 • On d~duit alors de (20) et (21) :
On a, en posant
G'
(r) =
1/
,
JaZ 1/
<: r
= -1
p!
f eAft S 2
p
1
(22)
Plusieurs r~sultats Mcoulent de (22) : Proposition 10. 10
~(t) t -2p est fonction croissante de t, 0 ~ t < R • 219
- 126 -
p. Lelong
2
,
.
V (0) = 11m
.Jt'
-p
t=O 3J
(i' (t)
p! - t 2p
=
L'int~grale
converge et veut O
-
Alors
2
)) (0)
On posera pour 0 < r
)) (r)
existe et est positif.
=
~ (0)
+ V ~ = Jr -p p.I CS"(r) 2 r p
)) (r) est Ie quotient de
rayonr I de la dimension Remarque. -
r~elle
<:r (r) par Ie volume de la boule de 2p •
La mesure
C3" attacMe
a test
une norme
pour t en ce sens qu'il existe deux constantes A et B positives Unctependantes de t) telles qu' on ait
B
/I 0" II
D
II t II
~
D
~
A
110"' 1/ D
En effet
l> -
(1)
en introduisant les distributions
t
i 1" ip i 1" Tp
associ~es
220
l
(p-1) p-(-2i)P(-1) 2 l'
aux t(i)(i) • Les distributions
n
• 127 •
p. Lelong
sont positives et l' on a
~
I
T (i)(i)
=
"C'
J
T (i), (i) Mais T (:)(1) = t /\
11' .
J
t' [Lri)
~tant la forme fondamentale t' attach~e au sous-espace
Lri)
ep (z .... z1
cr',
) •
P
D' autre part
0'"
est 1nvariante par les changements unitaires
sur les dZ k ; on a donc pour tout L P ,
I
T(t LP)I; ,
I
D
<
:I(i'
En particulier en prenant un systeme
D
r~gulier {L~ J
permet-
tant Ie cal cuI des coefficients de t, on aura une majoration lIt IID~ Aii ,~IID' La majoration dans l'autre sens est ~vidente d'apres lit;; D pour 1/
cp i) ~
1 et l'on a B
= 2P
= sup i t(
f )I
.
La remarque qu'on vient de faire s'applique sans qu'on suppose t
ferm~.
2. APPLICATIONS. INTEGRATION SUR UN ENSEMBLE ANALYTIQUE. On dit qu'une partie A d'un domaine D de en est un ensemble
221
- 128 P. Lelong
analytique complexe si A est ferme et si tout x f A a un voisinage U
x
a un
dans lequel A est defini comme 1'ensemble des zeros communs
ensemble de fonctions holomorphes;' on peut supposer Ie nombre d' equations fini, l' anneau (Y
x
etant noetherien.
On prendra la definition suivante de la dimension d en x E: A : c'est· Ie membre minimum d'equations lineaires
x
de A
a ajouter
aux equations F ° (z) = 0 qui definissent A dans U , pour obtenir z = x J x comme solution isolee. Si x est l'origine, et d = P et si Cn-p(z +1 .... ,z ) x p n coupe A a 1'origine, point isole, on sait qu'on peut plonger A dans un ensemble A1 defini au voisinage de 0 en annul ant n-p pseudo-polynomes, ou z 1 •• ; z p sont les variables ordinaires : I\j-1
f
+2:
°
p+J
0,
o
L'ensemble A, est une intersection complete au voisinage de 0 , definie par un nomb,e d'equations egal
,C
a sa
codimension.
, ferme est de dimension complexe
D'autre part on rappelle que A est une variete, sauf sur un ensemble analytique A x € A - A'
A, A
,
nira sans peine l'integration sur A d'une forme un recouvrement ouvert de D-A
Lf
'P
0( i
p-1 ;
est dit point ordinaire .
Dans ces conditions, en operant comme au Chapitre I,
D-A' , et
~
ex
°
1
les U°
1
une partition de l'unite /0
et~t
cp E CJ) (D-A'
); soit
(Coo), subordonnee
a {u
°
1
JI
a l'integration
c'est un c'ourant posit if de type
222
luJ
d' adherence compacte dans
se ramene par un isomorphisme analytique
sur un sous espace analytique
on defi-
,
de
- 129 -
p. Lelong
(n-p, n-p) si A est de dimension complexe p en tout point, ce que nous supposerons ici (on sait en effet que dans D, A se analytiques Pour Ie cas
irr~ductibles
d~compose
en une somme d' ensembles
dans D, chacun d'eux etant homo gene en dimension).
d'un ensemble non homogene en dimension, on renvoie
g~n~ral,
d~composition ~tablie dans
[2bJ
a la
•
D'autre part on a vu au Chapitre I que t(
(2)
qui est defini pour
{f
f )=
cp E (D-A 1 ) a un bord nul.
On va montrer
SU
sur
Th~oreme 3. - L'extension simple a Dim) de t(CP ), ctefini par
0)'
(D-AI) est pos~ible et est un courant ferm~ positif.
D~signons en effet par la topologie
~vidente:
(2)
z,
1
= Z,1I +
n n, p l'espace des vari~t~s lin~aires Ln-p avec n-p
rapportons les
L
'" a,k Uk L.
1,
1
'
a des
coordonn~es
Uk unitaires
k ~ n-p ,
, k_s r . ,n-p L ai a i = 0 k, s ; on obtient un voisinage ouvert cP ( E.., E. ) de L 0 = n-p k ] n-p , k =L zi ,(ai)" dans cette topologie en consid~rant les L (zi' a i ) qui
[,0
I ' ,0 I <. E.'
v~rifient
Z,-Z.
1
Le
th~oreme
3 est alors une
gement des courants continus d'ordre suivant qui donne la majoration
1
cons~quence
z~rb donn~es
ad~quate
des
propri~t~s
de prolon-
au Chapitre I et de
l'~nonc~
:
Proposition 11. Soit A un ensemble analytique defini dans un do maine n
de C' , et de dimension complexe homo gene p; soit m un point de A. Il existe un voisinage U de m, relativement compact dans D, et un ensemble ouvert dans n-p € L
n n, p tels que l'intersection A nUn Ln-p soit, pour toute vari~t~ .
constituee d'un nombre fini de points, ce nombre etant de plus n-p born~ quand L parcourt '
A selon un ensemble dont m est point isole,
223
d'un vOiilinage
f ( E.., E.' )
- 130 P, Lelong
de L
n-p
,defini comme plus haut, et d'un nombre
L Iuk 12.<
e.,2.
e. > 0 tels que pour
les Ln-p definis par (2) et (2)' ne coupent A qu'en des
points isoles dont Ie nombre ne depasse pas la multiplicite du point m defini par \
= 0,
1"-
k" P dans L~-Pn A.
n-p Supposons que pour L (> , passant par Ie point m, de coordonnees
zf' , on
r
terminent uk = O. Soient f
/I
ait la situation evoquee: dans p+j
(z~ ,a~,
u
II ~ ~ ,
(1) et (2) de-
uk) ce que deviennent les
. par (2) • Alors on a p+J
\" IIJ.I. (z. , a.,k uk) I 2~ 'P+J I
L
pour
- I uk 12 I
'-..
sont continues,
=
1
e, 2
1
k a.
k (a. )
. Puisque les JI
.
1 p+J
1 ~
1
a) 0
on a encore
r>~>o
I a~
pour
1
a-dire quand Ln-p parcourt Ie voisinage
-(a\1 1
cP ( l., £/ ) de
ces conditions Ie nombre de racines du systeme comptee avec sa multiplicite, a l'interieur de
UJ
/I
.
T p+J u /I <.
1<. £. ,
c'est-
L ~-p . Dans
=0
e
en u chacune n'a pas vade,
il peut ~tre calcule par l'indice de Kronecker et a la valeur N qu'il ~ .pour n-p L0 ; ses racines sont comptees avec un indice positif; on a donc au plus N points d'intersection, D' autre part choisissons r verifiant
224
- 131 -
p. Lelong
o< r <
inf
((. I,
~
et r de plus assez petit pour que dans la boule B(m, r) de centre m, de rayon r les equations (1) definissent A, et qu'on ait A C A1 ; alors si l' on choisit
e~
assez petit pour que Ie polycercle
soit interieur
a la
sphere B(m, r), tou's les Ln-p E
I z,' - I< E.: Z ,0
cP
1
1,
(c., l. 1) coupant B(m, r) en des points pour lesquels les parametres u, (sur Ln- p) satisfont
a [
IUk I 2 < e. 2 ; l'intersection Ln - p
1
n A1 n B(m,r)
est donc constUuee de points isoles en nombre au plus N. Pour Ln-p ~
'f (c, e'l) ,
on a donc en posant B ;: B(m,r)
(3 )
t 2 (1) r 2p
etant Ie volume de la sphere de rayon r, section de B(m, r) p n-p par Ie LPo qui est orthogonal a L et passe par m : en effet dans chaque Ln-p passant par un point a E L~ , on trouve au plus N points de l'intersection Ln - p
nAn
B(m,r)
puisqu'on a A C A1 ' et la me sure (3) n'est autre que la projection de l'aire de (A -A' ) () B(m, r) sur L~, Elle est donc bornee selon (3), L n- p ] regulier de L n-p , Prenons alors un systeme '2 t s s p 2 ' 1 ~ s ~ (C) ,D'apres Ie :; 1 on obtient pour tune majoration .,;
A ;: r
n
225
- 132 -
p. Lelong
'k (
I t IB
(4)
I\. ) r 2p
La majoration (4) est de plus valable. avec Ie m~me k( pour toute boule B
Ie
A ).
B • de rayon r' :
It I
<
k( /\ ) r,2p
B"
Si maintenant G est, un do maine G (( D.
G f'1 A
peut ~tre
recouvert par un nor.-.bre fini de boules relativement compactes dans D • pour lesquelles on aura la d~duit
m~me
conclusion que pour B(m. r) ; on en
: Proposition 12. -
Si A est un ensemble analytique complexe
dans D. de dimension homo gene P. a tout domaine G "
D. correspond
k(G) fini tel qu'on ait
It I
(5)
B
k(G) r 2p
,
pour toute boule BeG. de rayon r • t sur A - A /
~tant
Ie courant
[c'est-a-dire sur l'espace de formes
d'int~gration
~ (D - A )] .
Dans ces conditions si x est un point de A I • qui est ordinaire sur A' • il existe une application analytique biunivoque f de U(x) (I AI sur un ouvert d'un sous-espace Cq avec q ~ p -1 et l'image ft de test encore un courant positrf
ferm~ v~rifiant
une majoration du type (4),
Reportons-nous a la condition (27) du Chapitre I, On a ici :
'( = 2p
>s+l.
oil
226
s , 2p-2 •
- 133 -
P. Lelong
~ 1 , est v~rifi~e; t se prolonge par
la condition (27) du Chapltre I, extension simple en un courant la
propri~t6 ~nonc6
au Chapitre I, en
de A" , ••• .A(s).... (a .. 1)
de A
A(s)
, on achl!ve
Par application successive de
ferm~.
~tant
d'~tablir
consld~rant
les points ordinaires
l'ensemble des points non ordinaires que 1'extenalon simple
longe t en un courant ferm~ l tout
CJ)
-.
t
de t pro-
(0). Le th~orl!me 3 est ainsi
6tabli: 11 d6tlnlt l'op6rateur d'int6graUon sur un aous-ensemble analytique irr~duct1ble dana 0 'pour une forme
r1, bJ
au cas g~n~ral (ct.
fi
~ (D). On passe de U
).
On remarquera que 1'on peut 6tabl1r la
ce
~ 0 (G) des formes
f
proprW~
pour l'espa-
A coefficients continus et d~finies au
voisinage de A dans 0 • Remargues. I' ) Supposons l'orig1ne contenue dans l'ensemble analytique
alors les propri6t6s de la me sure "
l'e~pace projectif p n- l des droites
nous indiquent que la mesure dans complexes
issues
de
0 a une
valeur !inie
~ (r) pour toutes les
droites qui rencontrent A en un point int6rieur A = lim
t .. O
V
(t) est la mesure dans pn-l du cone
en ( A l'ensemble A. La croissance de
V (r)
-~
~
..
~
227
}) (t) donne en particulier
~ (0)
~ (r) ~ ~
I z I <: r; V (0) Po des tangentes
r
(0)
>0
=
- 134 -
p. Lelong
qui
: l'aire
s'~nonce
par la mesure de on a
))
=0
dans 0<
Le cone sion
r;
( j (r) est au moins ~gale au Eroduit de
dans p n - 1
I z I <.
r.
est
ro
a la
(~m).
.
ct A se
m
~
A. m -...
n~e par ~ et m m -')~.
pour
ro
au cone
r,
~ga1it~
r~duit
fois Ie cone des tangentes
et celui des droites tangentes
r~elle
point ~ (on ~tablit qu'on obtient I'
S'il y a
r;
a une
~ 2p (r)
a
> o.
1 dimen-
dimension complexe au
soit en consid~rant les limites de
~, I'(~. m) ~tant
la droite de R 2m Mtermi-
soit en consiMrant les limites de
L (l.. m). meA,
L' (~. mJ ~tant la droite complexe de en Mtermin~e par
~ et m. Ainsi: Ie cone tangent
C (x)
en tout x ~ A
minore. au point
de vue de l'aire l'ensemble analytique A au voisinage de x . 2
j
) Soit W un ensemble analytique dans un domaine D de e
n
;
la classe de cohomologie de D repr~sent~e par t(W) , courant associ~
a W.
est la classe duale de la classe d'homologie de D
par W et r~duite en coefficients r~els
(cf.
[1] ).
repr~sent~e
Faisons les hy-
potheses suivantes a) WI et W2 sont des ensembles analytiques irr~ductibles dans D. b) W = WI () W2 est irr~ductible dans D et il existe x t W • point ordinaire sur WI et W2' fn lequel WI et W2 se coupent trasversalement et en lequel on a
(6 )
cod
x
W
cod x WI + cod x W2 •
Alors on peut dans quelques cas particuliers donner un sens
a l' ~galit~
attendue en matiere d'intersection
228
- 135 -
p. Lelong
en proc~dant par limite et r~gularisation sur t 1 = t(W 1)' t2 = t(W 2) • points y f W ou WI et W2 ne se coupent pas trasver-
Les
salement, ou qui ne sont pas points ordinaires sur WI ou sur W2 forment un sous ensemble contenu dans un ensemble analytique I
W € W • avec dim W
I
<
Pr
sur l' espace ambiant. soit
f3 r (x)
x E Wi.
fo r (x)
d~m
= 0 en tout x
W • On
r=O
d'apr~s
f
la
du
d~monstration
r'
Pr
(x) = 1 pour
a distance sup~rieure a r
caract~ristique de W I t = lim
un noyau continu
• 0 ~ } r" 1.
est suppos~ croissant de r • et lim
est la fonction
de
consid~re
0
to-
th~or~me
~ r (x)
de W •
pour r ~ 0
Alors on a :
~
r
)•
3. D'autre part hors du support
(6 I ) a un sens et se calcule par
r~gularisation
(do
[4J)
car l'intersection W ne comporte que des points au voisinage desquels on se
ram~ne
morphismes
a l'intersection analytiques
o
Si
de sous-espaces
Re
lin~aires
par des
(x) est une fa mille de noyaux
risants (pour lesquels on pourra prendre les on aura alors
d'ou:
t = lim r=O
229
hom~o
r~gula-
OCe, du Chapitre
I) •
- 136 p. Lelong
Remarquons qu'il parait difficile d'(khapper
a la
restriction
(6) si l'on veut obtenir une expression du type (6 ') sans terme comple-
mentaire.
Bibliographie
[lJ
A. Borel et A. Haefliger - La classe d'homologie fondamentale d'un espace analytique,
Bull. Soc. Math. de
France, t. 89, 1961, p. 461-513. [2]
p. Lelong - a) Integration of a differential form on an ana-
lytic complex subvariety, Proceedings Nat. Ac. of Science 43, p. 246-248, 1957. - b) Integration sur un ensemble analytique complexe, Bull. Soc. Math. France, t. 85, 19$7. p. 239-262. - c) Seminaire d'Analyse, t. 4. 1962, expose n. 1 : Elements positifs d'une algebre exterieure complexe avec involution, p. 1-22.
[3]
G. De Rham et K. Kodaira - Harmonic integrals,
Princeton,
Institute for advanced Study, 1953.
[4 J
G. De Rham - Varietes differentiables, Herrmann, Paris.
230
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I. M.E. )
EDOARDO VESENTINI
COOMOLOGIA SULLE VARIETAl COMPLESSE, I.
ROM A - Istituto Matematico delllUniversitA
231
COOMOLOGIA SULLE VARIETAl COMPLESSE, 1. Edoardo Ve$entini
Queste lezioni, insieme a queUe di Andreotti ( Coomologia sulle variet~
complesse, II), traggono spunto da un lavoro in comune, attualmente
in via di pubblicazione. In esso vengono stabiliti dei criteri per l'annullamen .. to della coomologia a valori in un fascio analitico Iocalmente libero, sopra una
variet~
complessa ( paracompatta ). Tali criteri sono di due tipi. 11 pri-
mo - che pub dirsi un "teorema di annullamento debole" - conceI'lne l'annUllamento dell'immagine della coomologia a logia a supporh chiusi. 11
s~condo ~
~upporti
c,mpatti nella coomo-
un vero e proprio teorema d'annullamen-
to della coomologia a supporti compatti. In queste lezioni svolgeremo Ie considerazioni preliminari che ci condurranno al teorema di annullamento debole. Poggiando su di esse, Andreotti stabilira il teorema di annullamento per la coomologia a supporti compatti. Nel
§
1 si considera un fibrato vettoriale olomorfo E su una
variet~
complessa X ,e si introducono in E e su X delle strutture hermitiane. I ~
!
2 e 3 sono qedicati alla teoria del potenziale per Ie forme dif-
ferenziali a valori in E. Nel Nel
§ 2 si introduce
§ 3 si stabilisce una disuguaglianza,
la nozione di W-ellitticit~.
dovuta a G. Stampacchia - valida
nell'ipotesi che la metrica hermitiana di X sia completa - dimostrata in [1 ] nel caso in cui E sia un fibrato lineare; da essa e dai risultati del ~ 2 discende il teorema di annullamento debole della coomologia. Infine, nei ~
§
4 e 5 viene stabilita una condizione sufficiente per
la W-ellitticit~: condizione di tipo locale che - qualora X sia compatta e kllhleriana - fornisce un classico "vanishing theorem" di Kodaira [ 4] .
233
- 2E. Vesentini
§1-
Preliminari a) Sia E un fibrato vettoriale olomorfo sulla varieta complessa pam
e la fibra
racompatta X, di dimensione complessa n. Se C si il range del fibrato E. Sia 1\ : E Il fibrato E
e definito,
-~
di E, m dice-
X la proiezione canonic a di E su X.
rispetto ad un opportuno ricoprimento
U =iUi~ ie:I
di X mediante aperti coordinati U" da un sistema1e, ,ldi funzioni di trans i1 l IJI zione olomorfe e .. : U, n U,~ GL(m, C) IJ 1 J
tali che
u,
e .. e 'k e k : = identita su IJ J 1
1
nu,J nUk
.
Sia TP il fibrato vettoriale olomorfo delle (p, 0) - forme differenziali scalari di classe COO su X. Una (p, q) - forma differenziale di classe COO su X, a valori nel fibrato E, E ® TP ~
U
I,
T'l.
e una
sezione di classe COO del fibrato
Una sezione siffatta
e definita
- rispetto al ricoprimento
= U,l, I - da un sistema ( (D ,l, I di vettori
L] d
1 j lE
Ie:
i cui elementi sono forme differenziali scalari (p, q) e classe COO su U,' tali che su U, 1
1
f ~ (r=l, .•... , m),
di tipo
nu,J risulti
'j\ = e ij \.fj Sia
cP' q(X, E)
10 spazio vettoriale complesso delle (p, q) - forme dif-
234
- 3E. Vesentini ferenziali di classe COO su X, ed a valori in E. Sia
J) p, q(X, E) C Cp, q(X, E)
il sottospazio delle forme a supporto compatto. Poich~
Ie funzioni di transizione sono olomorfe, l'operatore di dif-
ferenziazione esterna rispetto alle coniugate delle coordinate locali complesse definisce un omomorfismo
per il quale risulta
a(2)
p, q(X, E) ) C ~ p, q+I(X, E) .
_ _
Poich~
d ()
rl
= 0', risulta definita su
cP (X, E) =E&
una struttura di complesso, con differenziale 0
.
q=o
Cp , q(X, E)
Sl'a HP, q(X, E)
il q-esimo gruppo di coomologia di questo complesso.
Sia OP(E) il fascia dei germi di p-forme olomorfe su X a valori in
E. EBiste un isomorfismo canonico, detto "isomorfismo di Dolbeault"
H~' q(X, E) ~ H:(X, np(E) ) ove la famiglia dei Bupporti,
cp , ~
la famiglia dei chiusi
0
dei compatti
di X. Fissiamo una metrica sulle fibre di E,
cio~
assegnamo, per ogni 00
punto x e: X un prodotto scalare hermitiano h(u, v), funzione di classe C del punto x, operante sulle coppie di vettori u e v appartenenti alIa fibra
em = 7r -l(x) x
Se
•
Si e
~ i sono Ie coordinate-fibra di u e v, rispetto alIa carta
locale U, 3 x, risulta 1
h(u, v) = trl" h, 1
1
~,
1
h, essendo una matrice hermitiana definita positiva, di classe COO su U, • 1
1
235
- 4E. Vesentini
Si ha su
u, nU, 1
J
Pertanto risulta t
h,=e .. h,e.. 1 Jl J Jl
suU,nu, 1 J
Consideriamo la (1,0) - forma differenziale vettoriale
~=
fei lieI
definita localmente dalla
e, = h~1 ~ h,
(1)
1
1
1
Essa definisce, nel fibrato principale associato ad E, una connessione, la cui forma di curvatura ~ definita dalla forma s = {sJ ieI s, =
(2)
1
ae,
1
Sia E'" il fibrato duale di E. Esso ~ un fibrato vettoriale olomorfo di rango m su X, definito, rispetto al ricoprimento ' 'd'1 translZlOne " f UnZlOnl
{t-e ijq5
U
=
t UJiEI' dalle
La metrica h(u, v) sulle fibre di E definisce un antisomorfismo di ogni fibra di E sulla corrispondente fibra di E* . Questa applicazione si prolunga in modo naturale in un antiisomorfismo
definito localmente da
b) Fissiamo una metrica hermitiana, definita positiva, di classe Coo, sulla varieta complessa X (0 meglio, sulle fibre del fibrato olomorfo tangente a X). Sia
236
- 5 E. Vesentini
ds 2 = 2g _ dzai
a/(3
dz~
l'espressione locale di tale metrica. Essa definisce un isomorfismo
* :C!'
q(X, E) ~ Cn - q , n-p (X, E)
tale che per ogni
f '''f
Per ogni coppia di'forme
di
~ una (n, n) - forma ~calare di classe C«l A
(If 'If ) d X~
0
con AE(.~ , 1f I
la metrica hermitiana su X; A(
~
) d X, ,
If ) ~
na, positiva, non degenere. Daremo a A(
'of E
C!' q(X, E) •
C!' q(X, E) la forma t'f /I. *"#'ljI Sll X, che indicheremo con
ave d X ~ l'elemento di volume deluna forma sesquilineare hermitia-
'f ' If)~
il nome di lunghezza di!f.
II Jx
~, 'f ) d X I,,+ txl J
Introducijimo 10 spazio
oep' q(X, E) ={ 'f delle forme di
E
C!' q(X, E)
A(
C!' q(X, E), (la cui lunghezza ~) di quadrato sommabile.
Dalla disuguaglianza di Schwarz discende che, se
f'"'t E £p, q(X, E),
risulta
Pertanto su
cf P' q(X, E) ~ definita la forma sesquilineare hermitia-
na, positiva, non degenere
(f ' "f ) =
f
X A(
f '1f ) d X ,
oE p, q(X, E) una struttura di spazio prehilbertiano comSia II ~ II = ( f' 'f )1 ( ~ E 1/' q(X, E) ) la norma definita in
la quale determina su plesso.
r£ p, q(X, E) dal prodotto scalare c;]) p, q(X, E) C .BP' q(X, E)
(
), Ovviamente risulta
.
237
- 6E. Vesentini
Consideriamo l'omomorfismo
9 =-
(3)
*
:#-'1;; :#
*: cP' q(X, E) ~
Risulta 99 =0 e 9(J)P, q(X, E) ) C 2),;,~' q-l(X, E). Si verifica che se -
t)
'f E cP' q(X, E), 't
t:
cP' q+l (X, E),
~
'f II ~ # If - f II * # 9 'f
t = d(
risulta
'f A*".# -y.; ).
Dalla formula di Stokes segue pertanto che, se
f e: 2J p, q(X, E)
e
\j'E2)P,q+l(X,E), vale la formula,d'aggiunzione (4)
Osservazione. Se
~
te lipschitziana, Poich~
f
f ' anzich~ cliclasse Coo,
~ una forma localmen-
esiste quasi dappertutto, per il teorema di Lebesgue.
la formula di Stokes vale anche nel caso lipschitziano, la
(4) sussiste anche se Ie
'f e y sono forme (non necessariamente Coo,
rna
soltanto) localmente lipschitziane. Consideriamo l'operatore differenziale del secondo ordine
definito da
Se
i
1e
f2 sono due qualsiansi elementi di £lJ p, q(X, E) risulta,
per la (4), (5)
238
- 7E. Vesentini
§2 - La W - ellitticita Introduciamo in ~P. q(X. E) Ie forme sesquilineari hermitiane positive. non degeneri ( a(
f.1' ) e
a . a'f )+ (3 f . B"jJ ).
f . If ) = ( I.f. 1 ) + ( ~
(I.f. If E:L) P. q(x. E)) • Siano
(If E ~P. q(X. E)) Ie norme definite in
'JJ P. q(X. E) dai prodotti scalari (
)e a (
).
Siano LP• q(X. E) e Wp • q(X. E) gli spazi hilbertiani complessi ottenuti completando
Q) P. q(x. E) rispetto alle norme II 'i
r:£ P. q(X. E) e un sottospazio ovunque denso di
eN. Osserviamo che L P• q(X. E).
Consideriamo l'applicazione identic a i: ~ P. q(x. E) --7
':J)
P. q(X. E)
come un'applicazione continua di un sottoinsieme ovunque denso di Wp • q(X. E) in un sottoinsieme di LP• q(X. E). Poiche per ogni
II f II
~ N(
f ).
'f E Wp • q(X. E) si ha
i si estende ~n uno ed un solo modo) ad una applicazione con-
tinua. i. di Wp • q(X. E) in LP• q(X. E) • Questa applicazione e una iniezione continua di Wp • q(X. E) in LP• q(X. E). Infatti)sia
'f E Wp• q(X. E) tale che i( 'f) = O.
} (Y = 1.2 •.•... ) ( lfv E '] P. q(X. E)) una successione di Cauchy convergente a 'f in Wp • q(X. E). Dalla Sia { p~
N(
f - ~\))
-ry
0
segue che
II mentre
{a If.,,}
e {8
i(
j) - p~1I = 1/ Pf' /I ~
0 •
'f., J sono succesioni di Cauchy per la norma 239
II
1/ .
- 8 -
E. Vesentini
Siano
'f' E L P, q+\X, E)
e
fc LP, q-\X, E) i loro Emiti; si ha: I D:f~ -1f"li ~
Per dimostrare che i Per una qualsiasi u E:
e iniettiva basta provare che If
~P,q+;l(X, E)
0 •
I
'f
= 0,
II
=0.
si ha
e quindi
Poiche cio accade per ogni
UE;}) p, q+\X, E),
In modo analogo si dimostra che
si conclude
~' = O.
p" = O.
Riassumendo i risultati sin qui ottenuti possiamo enunciare la Proposizione.Llapplicazione identica i:
~P, q(X, E) ~2'lP, q(X, E) si esten-
de in una iniezione continua di Wp , q(X, E) in L P , q(X, E) • Tale estensione e unica (una volta fissate Ie metriche su X e sulle fibre di E). Nel seguito identificheremo - per semplicita di notazione - 10 spazio Wp , q(X, E) con la sua immagine i(W P , q(X, E)); Consideriamo cioe Wp , q(X, E) come un sottospazio di L P, q(X, E); gli elementi di L P , q(X, E) che appartengono a Wp , q(X, E) possono caratterizzarsi come quegli elementi
~
di L P , q(X, E) i quali ammettono I Isimultaneamentel I un
ed un 8 II
a~
PE LP , q-\X, E) generalizzati in senso forte di K. O.
E LP , q+l(x, E)
Friedrichs;
s imultaneamente II significa che esiste una successione di Cauchy
f
':f~} (IjIvE: c:JJ p, q(X, E))
I f -'fv
1/
-->
in L P , q(X, E) tale che
0,
Le applicazioni lineari
a:w
P ' q(X, E)
-7>
L P , q+l(X, E) e
8: Wp , q(X, E) - 7 L P , q-\X, E) cosl definite, sono continue.
240
- 9E. Vesentini Consideriamo in Wp , q(X, E) la forma sesquilineare hermitiana b(
'f ,'If ) = (~ f ' a"f ) + (9 If ,9 "f)
(f' "r
E
wp, q(X, E)).
Essa definisce in Wp , q(X, E) una seminorma che in generale non
e una norma.
b( 'f
) = b( I.f' If )t,
Questa induce in WP' q(X, E) una struttu-
ra di spazio vettoriale topologico complesso localmente convesso. Quand' e che questa struttura coincide con la struttura definita in Wp , q(X, E) della norma N ? Se Ie strutture corncidono, Wp , q(X, E) - con la struttura definita
't ) - deve essere separato, onde segue che b( f ) e una e la struttura definita da b( 'f ) in Wp , q(X, El e una struttura di spa-
dalla seminorma b( norma,
zio normato. L'applicazione idElntica di Wp , q(X, E) , con la norma N, in Wp , q(X, E) con la norma b,
e una applicazione lineare
continua se, e soltanto se, esi-
ste una costante positiva k tale che per ogni
f
E Wp , q(X, E) ,
ossia esiste una costante positiva c, tale che per ogni Definizione. Diremo che E
e W-
'f E
Wp, q(X, E).
ellittico nel grado (p, q),
0
bre-
vemente, Wp , q - ellittico, rispetto alle metriGhe fissate su X e sulle fibre di E, se - per tale scelta delle metriche;- esiste una costante c»' 0 tale che, per ogni
f
E Wp , q(X, E) risulti 1/
f
2 11
(-
2
f c iI/ Q \f 1/ +
II 9
fll
2
Possiamo dunque rispondere aHa domanda fatta dinanzi, con la Proposizione. La struttura di spazio vettoriale complesso localmente convesso definita in Wp , q(X, E) dalla seminorma b( ) coincide con quella defini-
241
- 10 E. Vesentini ta da N se, e soltanto se,
E.!.. Wp , q-ellittico.
Teorema. Se E
e
una ed una sola
x C W~, q(X, E)
WP, q,..ellittico per ogni forma
(f, ~ )
f E LP, q(X, E)
tale che, per.ogni
= ( a x, 0
~
) + (ex, e 'f)
esiste
':f E: Wp, q(X, E)
risulti
.
Dimostrazione. 11 funzionale antilineare
F(f) = (f, ~ )
e continuo in Wp , q(X, E),
os~ia - per la proposizione precedente -
e conti-
~
)I. Pertanto, per il teorema della rappre-
nuo rispetto alla norma b(
sentazione esiste una ed una sola xEWP , q(X, E) tale che
(f, ~ ) = b(x, per ogni
f
EO:
f)
wp , q(X, E). Q.E.D.
Se
~ x~} (xp E:D p, q(X, E))
e una successione di
Cauchy conver-
gente a x in Wp , q(X, E), risulta, per ogni uE;}J p, q(X, E), (f, u)=(ax,
~u)+(ex,eu)=lim
[(Cixll,au)+ (eXy,eu)]=
y~+1>0
=lim (x~,Ou);: (x, Du) .~-+b()
e una soluzione LP, q(X, E)n C!' q(X, E),
Dunque, nelle ipotesi del teorema precedente, x debole dell'equazione
0 x = f . Se f
e Coo,
ossia se f ~
i teoremi di regolarizzaione delle equazioni differenziali di tipo ellittico, permettono di concludere che x pub essere assunto di classe Coo, ossia che x E: Wp , q(X, E)
n C!' q(X, E),
e che risulta
o x =f •
242
- 11 -
E. Vesentini
~ 3 - La metrica completa a) Supponiamo che la metrica hermitiana fissata in X sia una metrica completa. Fissiamo un punto geodetica del punto x da
0
0
X e sia
r (x) = d(o. x)
la distanza
Sia
•
B(r) =
il disco di centro
o"~
f x E X If(x) < r 1
e raggio r • Per ogni r
> Q..
B(r)
relativamente com-
~
patto.
f ~ localmente lipschitziana. f .risulta
Lemma; La funzione cui esistono Ie derivate di
i'
a
d.P
0
o~gJ...::...L.. 2J xi
dx j
~2n
Nei punti in
(n = dime X)
Ie xi essendo coordinate locali reali e Ie gij Ie componenti controvarianti reali del tens ore della metrica. un punto di X . Scegliamo in un intorno di o x • per la metrica riemanniana (g .. ). coordinate tali che g .. (x ) = o lJ lJ 0 lJ Per ogni E> D. possiamo determinare un intorno U di x tale che Dimostrazione. Sia x
6 ...
I I g"i<
. lJ
o
0(
. . - 1....... 2n ).m U P' .. +'-~ (l.J. erogmpunto y-- (y 1...... y 2n)_-
lJ
2
=(x o + hy) (hy eRn) di
IJiO (xo+yh ) -
p (x )
)
0
I~
U si ha, posto h
d(x. y) <. 0
Pertanto
Si conclude che
f>
-
1l1
o
2
i 2
=2 (h ) •
~
. i . - '2 g .. (x + th)h hJ dt lJ 0
I
~
(1
+ 2n f)h .
-
~ una funzione localmente lipschitziana. e che.
se nel punto Xo esistono Ie derivate di
CJp
0 )
•
risulta (~) 0
x.
1
X. 0
~ 1 •
Q.E.D. 243
- 12 E. Vesentini
Con un calcolo diretto si verifica che Lemma 2; Esiste una costante c
o
~
0 , dipendente soltanto dalla
dimensione di X , tale che,in ogni punto x EX, comunque si scelgano la forma scalare u e la forma v a valori nel fibrato E , risulta in x
A (u 1\ v, u 1\ v) ~ c
o
I u/ 2
A (v, v) ,
ove u denota la lunghezza in x d~lla forma scalare -. 11 . . !p . dx II ••••• 1'\ dx , espressa dalla u . u. lp
1......
I II /2 = U.
.
b) Sia
)J... (t)
il .... ·i
U
1.... ·1p
JR , tale che
una funzione COO su tutto
1)
P
1
O~fL(t).f.
2)
P.(t)
=1
per
t.61
3)
fA- (t) = 0
per
t
~
2
Fissati comunque due numeri reali R / r (x) + R - 2r
':>0,
la funzione
f'
R-r
w(x)=w(~(x))=fl( ~
)
tale che
o~ w (x) ~ 1,
w (x)
= 1 se
x E B (r) ,
w (x) = 0
se x
Da11a prima di queste relazioni risulta che per ogni ed in ogni punto x EX, si ha (6)
f ) ~ A ( 'P ' 'P ) M = Sup 1-3-f:-1 ' risulta A (w
Posto
f'
/
w
dW
/(
M
"dj)'R-r 244
f
B(R).
fE
cr, q(X, E)
- 13 E. Vesentini
onde segue che
Ow < Idw12_-gijjw --, --, " Cxl
"xJ
M2 (R - r)
2
2'
n
Da quest 'ultima disuguaglianza e dal lemma 2 discende che .per ogni
'f E c!' q(X. E)
e in ogni punto x E X valgono Ie seguenti disuguaglianze che
ci saranno utili pit avanti: (7)
A(
-
a w II f.
:s:-
0
w t\
<..
f )..
2n
Co
2
M
2
(R - r)
2 2n c M _....;...0......,-
(8)
(R - r)
2
A( f'~)
.
C) Proposizione. Esiste una costante A> 0 • tale che per ogni for-
~
f E c!' q(X. E)
e per ogni scelta dei numeri positivi fS. R.
r.~R>r.
risulta
Dimostrazione. Sia c( una forma lipschitziana. a valori in E • il cui supporto sia contenuto in B(R) . Dalla formula d'aggiunzione. avuto riguardo all'osservazione del ~ 1 b). segue che
-
-
(Of. ClIX )
+(9f.9o<)
B(R)
Posto
2-
~
= w2
=(0\.f.o() B(R)
B(R)
f . risulta quasi dappertutto
-
2
= w () f + 2w;' wII ~. 9 f = w 9 P - ~ (2w d w /I ~ Sostituendo.otteniamo la disuguaglianza (9)
2 II waf'
B(R)
+llw9lfll 2
B(R)
I
~ (0'P' w2 '5»
245
B(R)
'f )
I
+
- 14 -
E. Visentini
+
I (a ~,
2w
a
w1\
'f )
B(R)
I I +
(9
~
*.(2 w Q W"
,
'If
'f ))
B(R)
Dalla disuguaglianza di Schwartz discendono, per ogni \'S >
I· 0,
Ie
seguenti disugaglianze: \(0
w2
'f,
f)
B(R)
I~
f 1. II
-t
I( ~'f, 2waw"·~)·1 f . B(R) 1(9f,*"(2w?Wtd~~))
wl
( f:1
-tf
B(R)
~ 112
+ 6'
B(R)
Ilwa~112
B(R)
/I 0 f 1/ 2
I,
B(R) )
+41Ia w t\\f112 }, B(R)
1~-t{llw9\f112
B(R)
+~lowt\~~,2
Sostituendo nella (9) si ottiene
Ilwa~112
+ +l/w9\f'112 ~6110f1\2 +J..llw\pI1 2 B(R) B(R) B(R) r5 B(R) + 411
-
0 w II ~ I
2
2 + 4/1 0 w A jI. if Ii B(R) - B(R)
Ma dalle (6), (7) e (8) conseguono Ie disuguaglianze Ilw
1\
\fll
2
w"1112 ~ B(R)
w
II ~ 1/ 2
B(R) 2 2n Co M
a
II d wA * jJ Poich~
~
B(R)
II
2 B(R)
(R - r)
II \f ~
2 2
b 2n Co M (R - r)
2
1\
2 B(R)
'f 1/ 2
B(R)
= 1 su B(r) , si conclude pertanto con la disuguaglianza
246
I.
B(R)
- 15 -
E. Vesentini che dimostra la proposizione, ove si ponga A=16n c M2 o
Q.E.D. Corollario.Se
f
E cP' q(X, E)
nLP, q(X, E),
e se 0
'f
= 0 risulta
al.f=0,9'f=0. Dimostrazione. Posto R = 2r e facendo tendere e- era +00, dalla proposizione precedente segue immediatamente l'asserto. Teorema. ~ E.!. Wp, q - ellittico rispetto ad una mettica sulle fibre di E e rispetto ad una metrica hermitiana cQmpleta sulla base X , ogni forma
f
E cP' q(X, E)
nLP, q(X, E)
lfC cP,q-1(X,E) nLP,q-1(X,E)
tale che
ap= 0,
~
esiste una forma
per,la quale risulta
f=a"f Dimostrazione. In base al teorema ed alle considerazioni fin ali del
§ 2,
esiste una forma x E cP' q(X, E)
nWp, q(X, E)
tale che
o x = If PoicM
oax=
ODX=O~ =0,
applicando il corolla rio precedente alla forma
a
x E cP' q+1(X, E)
nLP, q+1(X, E)
si conclude che
9ax=0. Pertanto
ove si ponga
'If = ex. Q.E.D.
Poich~
')J
p, q(X, E) C LP, q(X, E)
n cP' q(X, E) ,
nelle ipotesi del
teorema precedente, ogni (p, q) - forma a supporto compatto, 247
d - chiusa
- 16 -
E. Vesentini
~
il
a
di una (p,q-l) - forma di classe COO appartenente a LP,q-l(X,E).
Ne consegue, in base all'isomorfismo di Dolbeault, il Teorema. Se E 1. Wp , q - ellittico rispetto ad una metrica sulle fibre di E e rispetto ad una metrica hermitiana completa su X , l'omomorfismo naturale
della coomologia a supporti co.mpatti nella coomologia a supporti chiusi,
~
l'omomorfismo nullo. In particola.e,sa X ~ compatta e se E ~ Wp , qellittico, risulta
Nei due paragrafi successivi stabiliremo un criterio sufficiente per la Wp , q-ellitticita . d) Ora vogliamo dedurre dalla proposizione stabilita in questo paragrafo una conseguenza che sara utile in seguito. Supponiamo che E sia Wp , q-ellittico rispet'to ad u.na metrica sulle fibre di E e ad una metrica hermitiana completa su X. In virtu del teorema stabilito alIa fine del paragrafo precedente, per
C!' q(X, E) nLP, q(X, E) esiste uno ed uno solo C!' q (X, E) nWp , q(X, E) tale che
ogni f E >: E:
Ox = f •
(on
Vogliamo provare che esiste una costante c 1 > 0 tale che, per ogni f E:
C!' q(X, E) nLP, q(X, E)
e per la forma x E
C!' q(X, E) nWp, q(X, E)
determinata univocamente dalla (eX), risulta
({?l )
\I x II ~ c 1 II f II , II
ax 1/ ~ c
1 /I f!I
II
(Jx
Ii ~ c
1" f il
Infatti,dalla proposizione stabilita dianzi si ha che, per ogni coppia
248
- 17 E. Vesentini
di numeri positivi R e r, tali che R >r, e per ogni 0"
>0 ,
risulta
Posto R :: 2r e facendo tendere r a +00 , si ha
\laxI12+ll ex I/2 ~ ~ Ilx112+
(0)
6'
IIfII2.
D'altra parte, poich~ E ~ Wp , q-ellittico, esiste una costante c> 0 tale che, per ogni
f
E Wp , q(X, E) riSulta
11'f 112
~
c
{II a'f 112 + II e'f 112 J
Ponendo in quest'ultima disuguaglianza la
(~)
r::J
~
= x, ed assumendo nel-
= 2c, si ottiene
I
x II ~ 2cll f II
e quindi, sostituendo nella ( 0') si ha
per ogni
tQ
> O.
Ponendo in quest'ultima disuguaglianza 6':: 2c, si otten2
gono Ie (~), con c 1 = 4c.
249
- 18 -
E. Vsentiili
4 - Alcune
identit~
di geometria differenziale.
In questo paragrafo faremo variare gli indici greci fra 1 e n =dim X,
-
-
C
e gli indici latini fra I, •••••.•• , n, I, •••••..• , n. a) La metricQ. hermitiana ds 2 = 2g _ dzC)/
-.((1
dz~
definisce su X, intesa come variet~ differenziabile C«l , orientabile, una metrica riemanniana definita positiva, di classe C«l • Questa, a sua volta definisce una connessione riemannJana Ie cui componenti locali, rispetto al-;' 1 n -1 1 Ie coordinate (z , •••••• , z , z , •.•••••• , z ), sono
101 J=+ l ~~ ~=
til
g
0
Ie altre deducendosi da queste per coniugio ed autoaggiunzope. La forma di curvatura ha Ie componenti
+[s
~{i
j kJ
(i, j, k,
te
f
e = 1, .•...•.• ,n,
b) Preso un elemento
s
{ eJ1 - JS)(i j.e ~ ~s k J
i, ..... , -;:;-).
'f E cP' q(X, E),
rappresenteremo Iocalmen::'
nel modo seguente
f
=
f
p! Iq!
f:
if
d/ A dz
250
B
(a
= I, ..•• ,
m)
- 19 E. Vesentini
ove A e B sono bloc chi di p e q indici compresi· fra 1 e n A=(O
e dz
A
1
= dz " •..•.•
II dz
P
dz
B
1
q
= dz II ,.... II dz .
Secondo l'uso, indicheremo con un ";" l'operazione di derivazione covariante rispetto alla connessione riemanniana introdotta in a}. Indicando conS i1 fibrato vettoriale olomorfo tangente a X , definiamo ora un omomodismo
ehe alla forma
~
E:
C?' q(X, E}
assoeia la forma
V'f
espressa loealmente
dalla a (\7~) _
_
o(~
AB - g
a
'fAB; ~
.!.
Per semplicita indieheremo aneora con A( za di
ij 'f
Qualora
\J 'f
V~, ~ 1f}2
(ehe, piu propriamente dovrebbe indiearsi con A
e) indicheremo con 1/ fj ~II
V'f E £p, q (X, Eg
la lunghez-
(V f' V:p )2}.
E Wnorma di
' espressa dalla II V ~ 112 c) Sia \0
J
=
Ix
'f E Co, q(X, E) =
1 L
0
V~ , ~ ~ ) dX
espresso localmente da 1.0 a )
_,I q.
Le componenti di
A (
B
'f
dz B (
)
~ Co, qt1(X, E}
dalle
251
(a
.!.
= 1, ...... , m)
sono espresse loealmente
- 20 E. Vesentini
Per calcolare Ie compoflenti 10cali di 9
f
mo anzitutto con 10 stesso simbolo
I.P )
=1. ~a q! ,
E Co, q-l (X, E), indichia-
la q-forma dz
,
11, .. 1
f
iIi " ..• II dz q
. q
i cui coefficienti sono tutti nulli, ad eccezzione di Dalla (3) segue che
ove 1
~
la forma 1 = (1 a
b~
dz
p.. )
( a, b = I, ••..•. , m; ~ = I, ...• , n)
espressa dalla (1). Un calcol0 diretto mostra allora che (se q ;. 0) (11 ) ove B'
(9 ~
f)~
B'
=_
f
ar
_ la
b~ Y'
8 ;r 1
un blocco di q-l indici, ed ove si
~
a~
8' posto
Applicando una dopo l'altra la (11) e la (10) 8i ottiene che (12)
(" 9
a
'f L
B
~ q
= - L.. i=1 (-1)
i~1
ar a ( i,,() _ _+ sb·(; J B' i''r', ,3-1 ) i
252
b
f2.>
r
fA
p.,
Br
i
+
- 21 -
E. Vesentini
r
dove B = ( ~ l' ....... ,
B~
q) ,
1
a
s ~
= (sb~d. ~
1\
(~; ., •••• ,
i
1
(.l.. \'"
q
dZ"l)
la espressione locale della forma espressa dalla (2). Per
di Ricci risulta
llidentit~
'S" q (_l)i-l L·1=1
1 -=L~~1= 1 (_d- 1J""J -a~
f ar-
B!.·r;.~.
1
~
7.~
_ f ..
(_l)j-l
ove B IJ!i
= (~1' .... ,
1
R; _ f.> _
~j ~i f ~
a_ BI!.
(J..
,-
Jl
1-
-
'R.-1
1-1'1~
J (f
1\
A
{2, J"
+ R~
-
B!;~ .. (.l..
-
. ...
J
~
"
= (~1"""'" ,-
J3i
••.•• , B, i ' •.••. , ('l, ), e R ,}-q
=R
il tens ore di Ricci, Quindi, sostituendo nella (12), si ottiene
(13) 2;=1 (_I)i-l
f a~
B! ; 1
") q
- L i=1
_ ~
1-
=.; r
(a 8 'f)~ B
1
(_1)i-l 1a \!) b~ b (l.. J 1-
BI. ; (J.. . 1
ove si
~
posto
i, j
.Indicheremo con
253
1-
1
+ ()( ~)~ B
r['!> r~i
)
e
- 22 E. Vesentini
I 'endomorfismo di Co, q(X, E) che trasforma la forma
':f (;
Co, q(X, E) nel-
la forma Ie lfE Co, q(X, E) espressa localmente dalla dz B d) Ad ogni forma
~ = .~ (
f)
f
J
(a=l, ... , m)
E Co, q(X, E) (q /,0) associamo il vettore
di componenti
( 14)
La divergenza di
ar
+-:\'
B '. ; 1
rr
S ~ espressa dalla
a f->
bB 0 ;
'-1
r
f
+
'f'
.
B '0
1
~\-1 f
;
hB
0
~
;1-~ J
ossia, per la (13),
ove i B' sono blocchi di q-l indici. Proviamo la seguente identitA (16)
[5 J
~A(a'f,~tp)+qhbafa~ _ _ J)btB'_=A(~~,~'f). B';~
q
J
;0
Se
C = ( '( l' ••••• , '( q-1) ~
un qualsiasi bloc co di q-l indici, e se indichiamo con C'. il blocco A
C\=( 01' .... '
yi' .... ' 254
t q-1)
1
(i=1, .... ,q-1),
- 23 E. Vesentini
si ha, per la (10),
Pertanto il primo membro della (16) diviene 1 q-+T
=h ba
~
A( :;
i-
e la (16)
f . ~ 'f )+ q h Sa
1 -((q+l) q+1\'
~
0
a f-l" C; -y
I.P J
a~ _ _ B ; '6
J)
J
b ~BI
_
; I~
=
b~C;v+
U)
J
dimostrata.
In base a quest lultima identitA la (15) assume la forma definitiva (17)
1 1 7"div't: =- - A(081J) 1 0 ) - - - A(Jf 010)+ .) q ), J q(q + 1) 'J
+
qi
1 A(V 1', 'V ~) +
q
A(1C~, ~}.
255
- 24 E, Vesentini
e) Sia Ie,
G*-P
il fibrato olomorfo tangente a X,
8¥r- il fibrato dua-
rBi",
la p-esima potenza esterna di
La forma di eonnessione definita dalla metrica g ~~ ~ espressa dalla (1) che ora diviene
8
di
G
sulle fibre
con La forma di curvatura 01
L~
-
~ 0 dz
b
dz"6 =d
1\
e data 0(
( ~~
dana (2) ossia dane dz
Cl [fl.'" J ~ ) = ;;l Z{~ dz "dz '0
Le matrici hermitiane locali (gel ~) definiseono una metrica su la eui forma di curvatura
~
~6
r
dz 0 1\ dz J
1 E cP' q(X, E)
puc essere eonsiderata come una
(0, q) - forma a valori nel fibrato E ~ e~P ste un isomorfismo naturale di
1= I
P
p! lq!
~~B
cP' q(X, E)
dz A 1\ dz B
J
E
, e viceversa, su Co, q(X, E
IV
{Iq!
a
~ A~
If} dz
Si verifiea che
e che.fissata suG *p la metrica indotta da AE ®
e~p(~' .:p) = AE ( 'f
''f )
(go(~), si ha
ed inoltre -v
~
C7E
'f
= (-1)P9 E ® ::j"" 256
In altre parole esi® e*p) ehe alla forma
cP' q(X, E) associa la forma
E Co, q(X, E @ (9. p) espressa loealmente dana
~ =
~
espressa dana
L 0( _ Ogni forma
e
F
f
- 25 E. Vesentini
onde segue che
Estendiamo ad ogni p ~ 0 la definizione dell'endomorfismo -)(: c;Pq(X, E) ~
Cpq(X, E), introdotto nel
.§ 4
c) per p= 0, ponendo
Dalla (17) segue allora la (17')
div
~ (~) = ~ A(~ e f ''f ) - q(q~l) + : A(
a~ ,~ f
)+ ~
A(
'f' 'f ) e sempre reale.
257
aIf ' af
)+
7 ~ , VP) + ~ A(X.f'
Osserviamo che l'endomorfismo X A(X
A(
e hermitiano,
'f)
nel senso che
- 26 E. Vesentini
§5-
Condizioni sufficienti per la W-ellitticita .
In questo paragrafo supporremo che la metrica hermitiana fissata
in X sia completa. Riprendendo Ie notazioni e Ie argomentazioni del ~ 3 a) consideriamo in particolare la funzione w = w(x) introdotta nel
§3
e
b),
b), e
proviamo il seguente Lemma. Se la metrica su X e completa,esiste una costante positi-
cP' q(X, E)
~ c '> 0 tale che, per ogni forma ~ e
(q'> 0)
e per ogni cop-
pia di numeri positivi R;> r ;> 0 , risulta
+
c (R - r)
Dimostrazione.
w2
I ~ II 2
2
- 2()( w
B(R)
f ' w f)
.
B(R)
Consideriamo il vettore localmente lipschitziano
S = w2 t (f) . Poiche
il supporto di w2
5
e contenuto in B(R) , dalla
formula di Green. segue che gradw 2 X
(
(18)
JB(R)
SdX = 0
Dalla (17) si ha pertanto che (19)
IIwVfl/2 +()(w'f,w'f) B(R) B(R)
+\
f.
q/ (gradW 2"SdX/+ JB(R)
(a 8 f ' 2 f )B(R) I + -hII a\f 112 q B(R) w
w
Poiche la forma lipschitziana B(R) , risulta per la (4)
258
wf2
e nulla sulla frontiera di
- 27 E. Vesentini
2
ove (J w
'f
~
espresso quasi dappertutto dalla
(J w2
= w2 (J
f
f - * (a
w2 " ..
P) .
Pertanto, per la disuguaglianza di Schwarz, risulta
(~(Jf'W2~)
B(R)
1=/((J'f,aw 2
I
~ II w (J i' 112
+ ((J
B(R)
~ II
(J~1I2
w
(J
I
B(R)
f ' ~ (0 w2" *" ~ ))
+.!...II~~112BR
B(R)
~ til
P)
2
If 112
+
B(R)
( )
f- II d
W
II OW 2A*fII 2B(R)
+t
2/HHf
I
B(R)
112
B(R)
e quindi, per la (8) ,
(20)
I
(
~ (J f ' rJ
2 w u:> ) ) B(R)
I ~ 2"3 // (J f II 2
B(R)
+
4 n Co M2 (R _ )2
II If 1/2
B(R)
r
Occupiamoci ora del secondo addendo della (18), il cui integrando
grad w2
l(;
=.1.
(w 2)
h
;f>
q
1) a
\0 a ) A
~
H'; 0
'f
b
A 0'
B'
La (0, q - 1) - forma rappresentata localmente dalle (w 2);~
appartiene a
a ~ i( 'f A"B'
cP,q-~(X, E ~
--:--W-d z
8
®
( a1 = , ••••• , m; yD = 1, •••• , n )
(3
* p) • Si verifica che essa puO scri-
versi come
259
- 28 E. Vesentini
ove la costante numerica M1 e la scelta del segno ~ dipendono soltanto da p, q ,e n.
Per la diseguaglianza di Schwarz e per illemma 2 del ~ 3, si ha
~
2
R~
1:11 q
\1
Vf
w
r
I
II B(R)
f
II
B(R)
per ogni C > 0 . Sostituendo quest'ultima disuguaglianza e la (20) nella (19) si ottiena per ogni E.:> 0 , (1 - Eo M M 1)
II
w
Vf I 2
6.
B(R)
onde, ponendo
1 .
E. =
1 q
+1
e
II
w
a\f I 2
+
B(R)
f I eIf II
2 B(R)
M E
c = 2M (_1 + 2 n Co M), segue
la disuguaglianza che volevamo dimostrare. Ponendo R = 2r e facendo tendere r -?>
+ 00
,
dallemma pre-
cedente si ottiene la Proposizione 1. Se la metrica hermitiana scelta su X trica completa, ogni forma
f
E
C!' q(X, E)
260
~
(q > 0) tale che
una me-
+
- 29 -
E. Vesentini
II
'f \1 < +
00
•
soddisfa alIa disuguaglianza (21)
Supponiamo che in ogni punto x E X risulti
f E c!' q(X. E).
per ogni
Nelle ipotesi della proposizione precedente. dalla (21) segue che lim sup (ltW f .r ->+ oc e 1/ ~
If I
.W f )
B(2r)
sono limitati. Inoltre. per la (22) e poich~
W
= 1 su B(r)
ri-
sulta
Pertanto (>C'f.
If) =lim r
~
(it-If'
+ 00
f)
(ho.
B(r)
e quindi vale la Proposizione 2. Se la metrica hermitiana scelta in X
una me-
~
trica hermitiana completa e se in ogni punto x E: X e per ogni
~ E
c!' q(X. E)
(q"7 0) si ha A(i('
allora. per tutte Ie forme (22)
pc ~'f )..!.
\I
0
\f E: c!' q(X. E)
\fll<+ 0 0 .
II fj ~ 1\
\f. If ) ~
/I a'Pll<+ 00
(q:;. 0) tali che •
sono finiti. ed inoltre
261
q 9~1/ < +00
•
- 30 -
E. Vesentini
Corollario. Se la metrica hermitiana scelta in X
~
una metrica
hermitiana completa, e se esiste una costante positiva k tale che per ogni
'f E cP' q(X, E)
(q ~ 0) ed in ogni punta x E X risulti A()c
aHora per tutte Ie forme
2k
~ k A(
'f E cP' q(X, E)
I If 1/2
In particolare E
If )
e
+
f' f ) , per Ie quaE valgano Ie (22) si ha
II V~1I2 ~
q!l I ~\f1l2 + 31181jJ112
Wp , q - ellittico .
262
- 31 E. Vesentini
BIBLIOG:ftAFIA
tq
A. ANDREOTTI-E. VESENTINI, Sopra un teorema di Kodaira, Annali Scuola Normale Superiore, Pisa, (3) 15 (1961), 283 - 308.
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Ehresmann, 1962.
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[ 5] K. YANO-S. BOCHNER,
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263
CENTRO INTERNAZIONALE-MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E.)
ALDO ANDRE OTT 1
COOMOLOGIA SULLE VARIETAl COMPLESSE, II.
ROMA - Istituto Matematico
265
delllUniversit~
COOMOLOGIA SULLE VARIETA' COMPLESSE, II Aldo Andreotti
~
1
n teorema di annullamento
1-
forte
• Sia X una varieta cornples-
sa paracompatta e di dimensione complessa n ; sia E un fibrato olomorfo su X ed h una metrica hermitiana sulle fibre di E. Sia g: X_ R una funzione differenziabile su X tale che
v x e: X allora g h
una nuova metrica hermitiana sulle fibre di E.
~
Supponiamo di aver fissato una metric a hermitiana ds
2
sulla va-
rieta X ed una metrica h sulle fibre di E; supponiamo inoltre che esista una funzione differenziabile p: X --t R soddisfacente alle seguenti condizioni in ogni punto di X
i)
p
ii)
per ogni funzione ~\(I:) convessa, crescente e COO suI semiasse rea-
Ie 0 ~ t
~O
< 00,
il fibrato E sia Wr , s -ellittico rispetto alla metrica ds 2 sul-
la base ed alla metrica leA (P)h fridipendente da "
(f, 'f),. l'indice
).
,a. e. V'f ~
c
sulle fibre la costante d'ellitt,icita essendo
e: $) r, s (X, E)
si abbia
t (d 'f, ~ f),,+ (D,!{ ,9:?)A l
indicando la dipendenza del prodotto scalare dalla scelta di
c > 0 indipendente da
A.,
A).
Si ha allora il
cnr
s
Teorema : nelle ipotesi specificate per ogni f e:: aU ' (X, E) tale che
;; (1
f = 0 e per ogni l:. > 0 si puo trovare una forma
l ~ ~
"'j
tale che
i) ii)
a~ = f supp
1 c {x €
X
I
p(x)
267
~
Maxp +£ supp(f)
1
Cr , S-l(X, E)
- 2-
A. Andreotti
Osservazione . Se alle ipotesi specificate sulla funzione p si aggiunge la seguente: per ogni
iii)
i
c
e
R l'insieme
xE X \
pix)
e relativamente compatto in H~ s
< c }
X allora risulta (X, E)
=0
Dimostrazione del teorema . C() Abbiamo osservato che cambiando la metrica sulle fibre di E il prodotto scalare ('f,
A =0
cambia; se per
si ha
('f ' '1') per
If)
A qualsiasi risulta
(y , 'I' )~
<
Ix
A(
fx ~
<
f ,'I' ) d X
A(p) A(
f ' 'Y )d x,
In generale indicheremo con un indice .\ la dipendenza di un oggetto dalla scelta di
:=,)
A.
Per ogni scelta di
A in virt))
della supposta Wr , S -ellitticitA sap-
piamo che esiste x~ € W~' s (X, E) tale che
(mentre
CJ
.v~
J- xA
= 0).
Poniamo t
~ =\~ x~ Poiche f e
COO x~
e pure
COO e percib
't'? ~ Cr , S-l(X, E) n L r , S-l(X, E) • 268
- 3A, Andreotti
Per la disuguaglianza di Stampacchia si ha, per ogni (1)
(~~,~x~+(~X~,Qx)) ~ ~ (f,f)~+O'(x~,x~)~ Ma
?oich~ x~ E: W:' s(X, E) si ha anche
(x~, x~)~ ~
(2) con c
IS" >0;
f (dX~ ,~x~)/ (5) x~, .~x~)~
c
)
> 0 indipendente da ~, 1 cr = -2c
Dalle (1) e (2) per
Ri ottiene
~x ~ ,~x~~) + ($~i x ,i{ x,) ~ 4 c ~
(f,
f)~
It
ed in particolare la cilsuguaglianza
a)
La disuguaglianza (3) ~ una disuguaglianza del tipo di Carle-
mann, In forma piu esplicita si scrive:
(4)
( e A(P) A('f ' l{,' )dX ,X )\ A Sia
Co = Ma'x
scente tale che
p
cr (t)
e sia
lx
4c
e A(P) A(f, f)dX •
una funzione COO convessa cre-
supp(f)
cr (t)=O
per
O'(t»O
per
Poniamo
~
A(I: ) = m
(j (
t)
can m intero
Risulta dalla (4) (posto ~~
AI 't'm'
=
y;fII.,) :
l'm 1dX {4'
f p
D I altra parte em 6' (p)
~ 1 onde
269
>0 •
AI!, DdX,
- 4A. Andreotti
Quindi la successione
\
~m ~
m
~
>0
contenuta nella palla uni-
ta dello spazio L r, s-1 (X, E). In virti'l della compattezza debole della palla o
unit a d'uno spazio di Hilbert estrarre dalla successione
(cr.
Kolmogorov-Fomin vol. I, pag. 94)
{r m J una sottosuccessione
r s-1 mente convergente ad un elemento 't"~ L' (X, E).
lli'm'i
l
sipu~
debol-
Nel senso delle distribuzioni risulta
~o/ = f
~ €: g) r, s (X, E) si fla ~ 'f1 AkJ = ~ 0/) = tv".., (.8.u; 'f.,,:)=
[ infatti per
(.u., f )
'=
= f [.u-J
Infine si ha :
J
e mC7IP )Alljlm·4'm)dX
~ Clf)
fJ ~ Co +E.
(ove elf)
~
\ "
P> ., c0
una costante indipendente da m) e quindi
A( If'm' Ij' m)dX
~
e -m <5" (c o+I4) C(f)
+~".. ,
Per ~ ~
suPP.'f C ~)
risulta che il 20 membro tende a 0 e quindi
00
J x EX!
p(x) ~ Co
+ E.h
l .
)
Abbiamo quindi risolto il problema propostoci in dist.ribuzioni.
Ingrandendo leggermente il supporto si puo allora trovare una COO analoga a
'f
cio~
,~=\/ + 'J~ )J- distribuzione e supp ,
-::: { x E X
I p(x) ~ Co + 270
Co }
'7..
- 5A. Andreotti
Osservazione • Si pub dimostrare che nelle stesse ipotesi il gruppo
H~' S+l(X. E)
chiuso in
na topologia separata
(cio~
10 spatio
5) r. st1(X. E)~
L Varieta q-pseudo-convesse e q-compJete ta complessa e p: X _
R una funzione
a:±)
r. s(X. E)
~
a) Sia X una varie-
C~ . Sia xo e: X e s,iano zl"
I
zn
coordinate locali olomor fe nelle vicinanze di xo. Consideriamo la forma hermitiana
i
= [/ p i ~z.. dZ~ (forma di E. E. Levi della funzione p nel punto xo )' Un cambiamento olomo,rfo di ,coordinate non cambia la segnatura ' della forma di Levi. Diremo che la funzione P.
~
fortemente q-pseudo-convessa se in
ogni punto Xo E: X la forma di Levi di p ha n-q-valori propri funzione fortemente O-convessa
~
> O. Una
una funzione forte mente plurisubarmoni-
ca. Una funzione C~ convessa e strettamente crescente d 'una funzione fortemente q-pseudoconvessa
~
ancora tale.
Direql.o che la varieta X X una funzione p: X_ R. per ogni
'C
~
una varieta q-completa se esiste su
~
C • fortemente q-pseudoconvessa e tale che
E R l'insieme
Bc = ( x e: X
p(x) < c
J
sia relativamente compatto in X. Diremp che X una funzione p: X _
~
una varieta q-pseudoconvessa se esiste in X
R • Coo. ed un compatto K
271
tali che
- 6A. Andreotti
i)
ii)
P sia fortemente q-pseudoconvessa su X- K
gli insiemi B
c
p(x)
=
c€ R
sono relativamente compatti in X. b) Esempi : 1. Lo spazio ('" ~ una varieU, O-completa basta prendere p::
L. za(
zCI(
2: La palla
I L Z,1.<
i ZE: (~ ~
una varieta O-completa. Infatti
~ A(~)
0~ t
A(i: Zo/ ~ de all'infinito al bordo" (es. A=
)
< 1 ~ una funzione COO
~, > 0) e tale che
convessa e strettamente crescente (AI') 0 per t _1 aHora p::
1 }
A(t)-> +00
~ fortemente plurisubarmonica e "ten-
-h ).
3. Sia f una funzioneolomorfa 110n identicamente nulla su
x = { z E: (n
I
e sia
J
f(x) =1= 0
La varieta X ~ O-completa; p
11: n
=L
Zo(
4. Pit! in generale siano f l' ..•. ft
Zo( - log ff •
n-k funzioni olomorfe su {, n
e non identicamente'nulle. Sia e sia X = Allora X p
= r: z"
~
una varieta k - 1 completa (si prenda
z. - log L f,1 f.1
~ \ a c:::dlogL-f, f,
1 1
If n - y
_ )-
e s1 osservi che 1
'L -, 2 ( f i f ). i
'-II
L'<:'
J
1
fi df
i
esiste quindi in ogni punto uno spazio lineare di dimensione n - k + 1 suI quale la forma di Levi di -log
r:
fi fi
~ nulla).
272
- 7A. Andrec)tt:
5. 11 prodotto
Xl x X2 d'una varieta ql-completa
varieta q2-completa
e
Xl
per \Ina
(QI+q2)-completo.
6. Sia
t= (t I' ..... ,t n ) essendo coordinate omogenee in L'applicazione 1t ; (z, t)~ z fa al di fuori dell'origine
10 spazio proiettivo tfn In \.L
supponga che re la funzione
P
n-
W!!...
di
0 E (n
~ Y;
([n.
l(r[).
sia poi
p! = 1l."p
e olomorfa e lJ;oIOIllOl'S = n:-- 1(0) e isomorfo al-
mentre
si consi deri i1 sottoinsieme 0
P n-l ({ ).
che
Y
di cui all'esempio -t, e si
X= 't'41((n -Y). Su X si pub considet'a-
e ivi
COO
e tale che Ie parti {:
e inoltre fortementc
sono relativamente compatte. Su X .. S
p
(n - k + I )-pseudoconvessa ma non su S. X
e una
varieta (k - I )-psf>\ldncon-
vessa ma non (k - I )-completa. 2. I teoremi di annullamento e finitezza per la coomologia a)Si d:lllUstra che ogni varieta O-completa
e una varieta
di Stein e viceversa.
]Jpl'
Ie varieta di Stein H. Cartan e J. p. Serre hanno dimostrato il segUl:,lltp tl")rema Teorema Per una varieta di Stein X ,di dimensione complpss:i
Il,
e per ogni fibrato olomorfo E su X si ha
H~' s (X, E)
se
=0
s
In generale per una varieta X q-completa si dimostra il se:,!:" Teorema. Se X
~q-completa
per ogni fibrato olomorfo E
.k
S Ll
X si ha
H~' s (X, E) = 0
per
s
b) Per una varieta O-pseudoconvessa, H. Grauert ha dimostratn il 273
- 8A. Andreotti
seguente Teorema. Se X.!. O-pseudoconvessa aHora per ogni fibrato
010-
morfoE su X si ha dim (;
H~' s (X, E)
per
<00
s
In generale per una varietA q-pseudoconvessa si ha il
Teorema.
~
X
1.. q-pseudocOnVeS8iB allora per ogni fibrato 010-
morfo E su X si ha Hr , s(X. E) k
dim ct
< 00
per
s
3. Dimostrazione del teorema di annullamento. a) Sia X q-comple00
ta p: X--.R
C
e forte mente q-pseudoconvessa.
Sia
.1-
IMx=o .L(~~~I -c
~
dz.dz~
)
1a forma di Levi di p • Sia
una metrica hermitiana su X. Calcoliamo i valori propri di
! (p)
rispetto al ds 2 •
QuesH sono Ie soluzioni dell'equaziqne det t
\: C3z d old zl'
ove H=l
P
) .
(H - "G) = 0
e
Siano essi C1(x) ~
Le
E2(X)~ ...... ~
~_q(X) ~ ...... ~
En(x)
E.(x) sono funzioni continue su X e dipendono daUa sceltade1 1
274
- 9+
A. Andreotti ds 2 e dalla sc elta della funzione p In ogni caso se p gli
~
fc:irtemente q-pseudoconvessa i primi n-q de-
f. sono ovunque > O. 1
Vale illemma seguente di facile dimostrazione Lemma. Siano c 1 > 0, c 2 > 0 due costanti positive; sia g: X-.R una funzione continua. Si puo alJora scegliere su X una metric a completa
2
.'.
.
e trovare una funzione 0': R ...... R tale che per ogni fun-
hermitiana ds
COO, conven•. crescente e verificante
~(f)~ ~(e) dt
J (A(p))
i valori propri di
"
rispl!tt{) al ds 2 verificano ovunque la disugua-
glianza c
1
£.
n-q
(x) - c 2 SUP~,-
.
E. n(x) > g(x).
La dimostrazione si fa facendo vedere dapprima che esiste una metrica hermitiana ds 2 su X per cui i valori propri di cC.(P) rispetto al ds 2 verificano c
E
1 n-q
(x) - c 2 sup(O, - Co (x) > 0 n
Moltiplicando la metrica per una funzione f(x) > 0 COO la si puo rendere completa Infine sfruttando l'ipoteei che gli insiemi Bc = { p
J
sooo rela-
tivamente compatti si puo determinaJ'e la funzione 0' di cui sopra. 4. Consideriamo l'anti is'Omorf.i'smo
definito da
275
- 10 -
A. Andreotti
Si verifica che
'fll
\I
II ~IP \\ 11&6 If' II
= II t. ~II =
I SEll "C fll
=
II ~ "C 1(11
Applicando la disuguaglianza di Kodaira a "c: lim sup r---.QO
(K(''C.~), "C.t )B(r) ~
c
f
(n - s > 0)
si ha
J (~~, ~ f) + (9~, Ep) 1
1
)
con c indipendente dalla metrica suUe fibre. In virttl d 'Un criterio stabilito in "Coomologia Bulle
variet~
comples-
se n, 1. di iIi:. Vesentini, ba8ter~ stabilireche rispetto aHa metrica e )'(P)h sulle fibre (per A(
A del lemma) si ha ~
(t
t )'.'t ~ ) >
con c indipendente da
c A( ,{, ~ )
A.
Ora un calcolo semplice ·dimostra che se
s < n-q
esistono 2 co-
c 1' c 2 > 0 universali ed una funzione f(x) continua su X e dipendente solo dal ds 2 tali che (si riducono nel punta x ds 2 e h a forstanti
ma diagonale)
Scegliendo g(x) = f(x)
+ 1 ne risulta la tesi.
276
- 11 -
~
A. Andreotti
3 a) Sia X una varietA complessa e B
1. Il lemma dei foruncoli un aperto a frontiera 0 B =
dB
U di
tr-
B
compatta; supponiamo che in un intorno
esista una funzione p: U ~ R
crxJ
fortemente q~pseudocon
vessa e tale che
Sia~l_ =
I
Ui
I
B nU =
f x e:
1 ~i~t
un ricoprimento finito, di
U
p(x)
<0 }
a
B con palle
coordinate Ui C U ~ • Scegliamo supp
funzioni C«l
Pi per 1~i~t tali che
Vx
0 ·CCU J1
1
di un intorno di
Pi ~O.
27 B.
Consideriamo Ie funzioni
ove
€ l' •. • •• €s sono scelti > 0 rna
delle funzioni p
s Poniamo
COSl
piccoli di modo.che ciascuna
sia fortemente q-pseudoconvessa in U •
Siccome per risulta
o 1 2 t B=B ::JB ::JB ::J •••••••• ::JB Siccome
risulta per 0 ~ s ~ t-l .
277
- 12 A. Andreotti
Siccome '\"
L
e·1
per
O. (x) >0 )1
x€
dB
risulta
b) Un aperto BQ:X neUe condizioni specificate sopra si dira un aperto a frontiera fortemente q-pseudoconvessa. Abbiamo percib dimostrato il seguente lemma Lemma 1 • iJato un aperto Bo:, X a frontiera fortemente q-pseu-
11= { Ui 11 ~ i" t
doconvessa ed un ricoprimento finito ~
Ui
cu.
con paHe cObrdi-
Esiste aHora una successione decrescente di aperti a frontie-
rafortementeq-pseudoconvessa
Bd
~
o~~t
(i)
B = B°:> B1 :> ...... :> Bt
(ii)
BS
_
tali che
Bs+1CC U
s+1
(iii)
2. Consideriamo su di una varieta X un aperto Q
CC X della for-
rna
Q = [x € X ove p,
~
00
sono funzioni C
,p
I ~
sup (p,
\.f ) < 0 }
fortemente q-pseudoconvessa e
fortemente O-pseudoconvessa. Lemma 2. Nelle ipotesi specificate esiste una successione di aperti A:)Cc. { AI " ry:1,2, .. ~.
Q
i)
ii)
278
tali che
'f
- 13 A. Andreotti
iii)
~ A~
Prova
una variet~ q-completa .
~
b=1in If
posto a = ~ p
p::~1
e
Ia I
2/ P~
1
A~ = x E
basta porre
th:: T
+
\f +.\ bl Ibl
Py < 1 - ~ J
Corollario. NeJ.nlestesse ipotesi
H~' s (.Q ,E) :: 0
se
s
In particolare si pu~ p~ndere! per con una palla coordinata U
52
l'intersezione di BS
C 11 •
r d) Avremo infine bisogno del seguente Lemma 3. Sia X '\ina
variet~
q-completa e p: X -+ R una funzio-
ne C«l fortemente q-pseudoconvessa tale che gli aperti Bc
= { xE
X
I
p(x) < c )
c
e: R
siano relativamente compatti. Sia
Y uno di questi aperti y
= \
x
e:
X
I
p(x)
< Co
J
AHora l'applicazione naturale Hr , n-q (Y E)
k
.,
e iniettiva. sta
1~
Prova. Sia
~ E;:
Hr , n-q (X E)
~ k
'
9J r , n-q(y,:&) a'f =0
e supponiamo che esi-
~r, n- q -l(X, E) tale che su X. Dobbiamo provare che esiste una
279
p e: $ r, n- q-l(y, E)
tale che
- 14 • A. Andreotti
Ora colle stesse notazioni usate in ' 'Coomologia sulle varietA complesse" 1. di E. Vesentini, sipub scrivere
onde
Posto
LP~ =S~ ~ x" d ~ =\f ' -8~ ~ = 0
risulta
e daUa disuguaglianza di W, -ellitticitA (1) si ottie-
ne
('¥,' %)~~c (If' con c
> 0 indipendente da
'f)~
:l. .
Quindi una disuguaglianza di tipo Carle mann e percit> si pub trovare
? C'"tale che
e ,supp
pc. [ x e: X
,P(X)
~ supp
p supp ..,
+" j ,.
Quindi la tesi prendendo 0 <~ < Co _ supp p
Esempio. Sia
U=
t
zE
en \L
.z_ ~
< I}
supp
'P
e sia
~una funzione
fortemente q-pseudoconvessa definita su un intorno di U • Sia V=
t~ z
1l
I
p
<0
J . Allora
Hr , n-q (V' E) Hr , n-q (U E) k ,-+ k '
II iniettivo; in particolare, se q) 1 280
H~' n-q (V, E) = 0
C«J
- 15 -
A. Andreotti
Prova. Sia
'f una forma a -chiusa
Sia r
V a supporto compatto.
BU
= raggio della pit! pictola palla contenente il supporto di
0
Certo r
0
< 1. Sia Auna funz\one
c«J
definita in 0
f
~ t < 1 conves-
sa crescente tale che per
A (t)~
0
~ (t)-t + 00 AHora p' su U tale che {p
=
A([' ~ z. . ) ~
< costJ cc
per
t~
1.
una funzione plul'isubarmonica ). 0
u.
Consideriamo Is funzione gapl+p. Essa
~
«J
C
,~
fortemente
q-pseudoconvessa,
\ g< co,,
J c 1p' < co,, -oP PJ cc u,
e inoltre
1g
sup g :: sup p supp~
J
< 0 dal lemma precedente risulta che
supp~
f = d 1. co~ Supp "l c tale che f = a p x
{ P'(O
U aHora esiste
p
con supp
pC
[ p
J
1) (Nota pag. 14) Collo stesso metodo usato per la disuguaglianza di StallJpacchia si dimostra che se E ~ Wr , s(X, E)ellittico per ogni e: Cr, S(X, E) si ha (usando Ie stessi notazioni)~
'f
(1-
(R~r)2) (~, f)B(r) ~2c
{
(af)d~)B(R) 281
+Wf,9tp)B(R)
- 16 -
A, Andreotti
I, La successione di Mayer .. Vietoris . Sia X uno spazio topologico,X1, X2, due parti aperte di X tali che X=X 1UX 2, Sia X12=X 1nx2, Sia di
j
un fascia di gruppi abeliani su X e sia
d che ~ ugua1e a j-
au
~
j,..
il sottofascio
e nullo su X-,. f.JA = I, 2,12).- Si ha 1a suc-
cessione esatta di fasci 0-.>
J12~ 11 0j2~ J --
ove: oUo)= 0' 63 0', ~ (e'~ (t) Sia
0
cr 2) = 0'1- 0'2
cp 1a famiglia dei chiusi su
X allora si ha 1a successione
esatta(di Mayer- Vietoris)
....." H~ (X 12 '
~)~
.....
p.P' Ua famiglia dei chiusi di X contenuti in X""' \,J,
ove
2, Sia X una variet~ comp1essa e p:X~ R una funzione CII)
fortemente q-pseudoconvessa tale che X
E
,e
= {x E
sia re1ativamente compatto per ogni
X \
E.
E.
>0, c >0.
I
p(x)
J
Poniamo
Bc = { x e: X
J
Proposizione. Per ogni c>o esiste un
to >0
~
c - £0>0
~
Ie che per 0 <E < £0 risu1ta E) "V Hr , s(B E) Hr, s B ~ ( C-£' -.,. ~ c'
s
se ~
o() Colle notazioni del lemma dei foruncoli posto B = Bc
282
- 17 A. Andreotti
cominciamo a dimostrare che per s
V
= B nUl di modo che B = B 1 UV.
Dalla successione di Mayer- Vi etoris risulta per
••.. _
s HI\, (B
In V, JIi )~ H~(B s 1 , :::J) \of
j
=
rt
(E)
fD s Ii s \of Ij} HE. (V, :r)~ H4'(B, '1)~
s+ 1 1 I.f S+ 1 1 !I.{ ~ s+ 1 /.j ---;HI!, (B nV,'1)~H~ (B ,:r)~Ht (V,,)~ ....... Ma per illemma 2
H~ (V, 1) = 0
n ~ ) =0
H; (B 1 V,
e analogamente
se
Ii
se
s
e per illemma 3 anche che
~
iniettivo onde la tesi
13 ) Iterando
il procedimento si ottiene che
sempre con Ie notazioni del lemma dei foruncoli.
-0) n lemma dei foruncoli permette percH) , dato un aperto Bt , c CC B
c
Be' di costruire
tale che
(1)
Sostituendo nel ragionamento Ie funzioni Ps con Ie funzioni Ps+£.. se 0 ~
t.
da B c- t
~
£ con 0
~0
conveniente il ragionamento rimane valida e aHora
si othene un aperto Bt , C-i. tale che
283
- 18 -
A. Andreotti
Ovviamente Bt , C-E,. C Bt , C C B
C B
C-l.
se
€-o
C
piccolo.
~sufficientemente
Consideriamo il diagramma di restrizioni:
H~' s(B t , C-t, E)
~
~
"'-'
(
~
Hr ,6(B ~
Dall 'essere iniettivo; dallies sere di ~
--
H~ S (B~/C. ,E)
Hr,s(B
"'"'-
--;.
~
J ,E) ~ c-£,.
"0 &
un isomorfismo segue che
c'
E)
~ surjettivo e
0(.
p
un isomorfismo segue essere ~ surjettivo, Quin-
~ un isomorfismo e percib 0<
~ anche iniettivo.
3. Vogliamo ora dimostrare il seguente Teorema
y Ia famiglia dei chiusi di
Detta
X contenuti in qual-
che B aHora si ha c
s < n-q .
se
Prova. Si pub trovare una successione <j,>cl >c 2 >.... c~ cti
>0 tale che Ie applicazioni Hr , s(B ~
c~'
siano isomorfismi per Sia
j
E)
~
Hr , s(B
P
v = 1,2, '"
= S2(E)
o---;. 'j
c"rl,'
E)
.. , .
e -.:;>
C 0 ~ Cl
Una risoluzione fiacca (flasque) di
284
L
'j
C2_
su X.
~ 0
- 19 A. Andreotti
tale che con
'I'
o0
E
r
/111 (B ~
Co
s-1 ,C )
Analogamente con Cos! di seguito si ha
~o = ~,/ 6(00+ 01+ ...... +f¥) e supp'
to di
~B
supp"" C B 0-1 c., La -serie ~ converge poich~ ~ localmente finita e i1 suppor-
)"
~0 -
Co;)
[;
,
co
(I. f.,,)
C
f.,
¢
nBc09 =
onde
~o = b L 0-.' come volevasi. Per s = 0 i1 teorema
~
ovvio.
4. Dimostrazione del Teorema di Finitezza. Sia X una varieta q-pseudoconvessa vogliamo dimostrare che se
s < n-q.
Dal teorema del n. precedente risulta che ogni forma
~ E ~r, s(X, E) patto fisso n se
~ "p = 0 ~
omologaad una col supporto in un com-
s < n-q.
Indichiamo con
c.' r, s(X. E)
10 spazio delle forme a coefficienti distribuzioni
porto ccimpatto e: di tipo
r. s . 285
a sup-
- 20 -
A. Andreotti
,
Z,r,s(X,E)=
{ TE: I tr,s(X,E) I OT=O}
rs00 Z ' (0, E) 10 spazio delle forme C
d
-
chiuse a supporto in 0 e di ti-
po r, s. Da quanto precede risulta che l'appIicazione E"r, S-l(X, E)
<±> zr, sin, E) ~
definita suI primo addenda come ~
z I, r. SIX. E)
0 e suI secondo come iniezione naturale
8ur,jettiva se s < n-q. Ma gIi spazi considerati sono spazi wrttbr.iali topologici di Montel
l'applicazione i
~
compatta per il teorema di Ascoli. Per un teorema di
Schwartz(l) risulta aHora che l'immagine del
a=(~ +
i) -i
~
un sottospa-
zio chiuso di dimensione finita di Z I. r. s (X. E) e quindi che il gruppo
H~' S (X, E) ~ di dimensione finita.
sert.
1) Si osservi che il duale di Zr. E) ~ uno spado LF tale che ogni sottospazio chiuso ~ ancora di tipo LF.
286
