C. Cattaneo ( E d.)
Relatività generale Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Salice d´ Ulzio (Torino), Italy, July 16-25, 1964
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected]
ISBN 978-3-642-11020-7 e-ISBN: 978-3-642-11021-4 DOI:10.1007/978-3-642-11021-4 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 Reprint of the 1st ed. C.I.M.E., Ed. Cremonese, Roma, 1965 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E)
Reprint of the 1st ed.- Salice d´ Ulzio, Italy, July 16-25, 1964
RELATIVITÀ GENERALE
J. Ehlers:
Gravitational waves................................................................
3
L. Bel:
Sur trois problemes physiques relatifs au ds2 de Schwarzschild.................................................................... 65
G. Ferrarese:
Proprietà di secondo ordine di un generico riferimento fisico in relatività generale .................................. 171
L. Mariot:
Interpretations physiques du quinzième potentiel en théorie pentadimensionnelle .............................................. 191
G. Caricato:
Sul problema di Cauchy per le equazioni gravitazionali nel vuoto .......................................................... 207
PREFACE
The following lectures were intended to serve as an introduction to the theory of gravitational waves, mainly for mathematicians not specialized in the field of general relativity. Accordingly, basic concepts and motivations an the purely local, differential geometrical" pure" radiation theory have been put in the foreground, and conceptually and computationally more complicated recent advances have indica ted only briefly. The references and footnotes should be considered an essential part of the course; I hope that some of them serve to clarify points raised in discussions which followed the lectures.
1
GRA VIT ATIONAL WAVES
by Jurgen Ehlers
1. Introduction: The Basis of the ,General Theory of Relativity From a physicist's point of view the general theory of relativity is of basic importance, despite of its very poor experimental or observational verification, for two reasons: a) It is the most convincing field theory of gravitation which is locally compatible with the experimentally well-established Lorentzian structure of the space-time metric, and b) it is the most impOJ'tant example of a physical theory in which the metric structure of space-time is treated not as given a priori, but dependent on and interrelated to other physical variables describing processes in spacetime. Although b) is not independent of
a) it is worthwhile to stress the auto-
nomousimportance of aspect b):So far, every physical theory, whether nonrelativistic or relativistic, classical or quantum, whether a particle -or a field theory, requires for the formulation of its basic laws as well as for its interpretation a metric and, associated with it, an affine connection which serves to formulate laws relating quantities with directional properties at different space-time points or "events". This implies that in all physical theories the metric has a strong influence on other physical quantities - I need only mention the law of inertia so fundamental not only for classical mechanics but also for, say, the quantum theory of scattering. N.evertheless this metric structure is not reinfluenced
by these physical quantities except in the general
theory of relativity and its generalizations. This strongly suggests the idea that the pre-Einsteinian theories may well be considered as approximate theories
3
- 3 -
J. Ehlers
which describe situations in which the metric field can be treated as an external field which has, under the special circumstances considered, always the same structure, whereas in more general cases or in a more precise description the metric is a field variable like, say, the electromagnetic field. It is certainly more convincing to have a theory where all quantities which are used to interpret the observed phenomena are interrelated ("principle of omnipresence of all state variables", to use a phrase from the modern theory of irreversible processes in continuous media) than the assign some of these quantities a priori and prescribe "laws" only for the remaining ones. If this point of view is accepted, then the gravitational field - if it is iden-
tified with the metric field - acquires, despite of its extreme weakness even in comparison with so called "weak" interactions, a fundamental role in physics since it is coupled to all other fields, due to the role of the metric stressed above.
There is a very good reason for this identication, namely the uni-
versal proportionality of inertial and ("passive ") gravitational mass of bodies substantiated with a precision of 10
-11
1
by the Eotvos-Dicke experiment.
Let us, then, accept this idea of the metric as a physical field, and formulate the first basic assumption of the Einsteinian theory, motivated by the special theory of relativity: (G) Riemannian assumption: The space-time manifold
V4
=
V
carries a
normal-hyperbolic Riemannian metric with the fundamental quadratic form (in an arbitrary local coordinate-system)
G
cab gab (x )dx dx
(1
~
a, b, .... <;;4)
(We take the signature to be +++-. ) Since
is supposed to describe the gravitational field well-known
considerations of Einstein (which contain some weak points which are still not
4
- 4 J. Ehlers
clarified completely) lead to the assumption that the source of the
gab-
field is the stress-energy-momentum tensor of all the matter populating V ; we formulate the second assumption: (T) The mechanical properties of matter are described by a symmetric tensor field
Tab
depending on the state-variables of matter.
Finally, Newtonian theory (Poisson's equation), simplicity-requirements (quasi-linearity, second differentiation order for the
gab'S) and energy-
2
momentum conservation suggest the most specific assumption of Einstein's 1915-theory: (GT) The metric tum distribution
G T
of space time is related to the stress energy momenin
V
by the field equation
o
(1)
Here the Einstein tensor
Gab = Rab -
the contracted curvature tensor, and that
9
c = 1
2
R
gab R
occurs where
Rab
is
its trace. (We choose units such
and (Newton's constant of gravity) =
8~
• )
The gravitational field equation (1) is, of course, not sufficient as a basis for a theory of the interaction between matter and the gravitational field. It is necessary to add assumptions about the structure of matter, i. e. to specify
the dependence of
Tab
on the basic matter (or field) variables, and to sta-
te the non-gravitational equations of motion which these variables are supposed to obey. Since, however, the interaction between matter and gravitational waves has so far not been investigated in the full, non-linear theory, we need not specify such assumptions here. In empty space, where (1) reduces to (2)
or
0,
5
o
J. Ehlers
no further assumptions are needed in order to calculate the time-development of a field from given initial data. The gravitational field equation implies the "mechanical law"
o
(3)
which is the general-relativistic analogue of the balance-equations for energy and momentum for continuous media. For isolated bodies of appropriate internal structure one can "approximately deduce" from (3) equations of motion for the center of mass world line and for multipole moments describing the structure of the body such as spin, quadruple moment etc. We adopt here4 as equations of motion of an approximately rigid, spherically symmetrical test parti cle with internal angular momentum per proper mass
u
Sa
a
o
o s
denotes the proper time,
ua
the 4-velocity,
u u
a
a
-1,
\lu a ds
is
the 4-acceleration, and
Rl> abcd
R ab 2
11 efcd ef l
is the "right-dual" of the Riemann curvature tensor. The metric quantities are those of the external field.
6
- 6 -
J. Ehlers
A nonspinning test particle has, according to (4)1 ' a geodesic world line. For a pair of neighbouring nonspinning test particles the relative acceleration is a linear transform of the relative position vector
xa , u
a
bx a
= 0 ;
a b d (" c R bcdu u ox
(5)
These equations of motion for test particles give direct operational meaning to the metric
gab
since the set of all timelike geodesics determines a nor~
mal hyperbolic metric uniquely up to a constant factor. Moreover, (3)1 and (4) give a precise meaning to the statement that "the curvature tensor descri-
bes the strength and the directional properties of a gravitational field similarly to the way in which the field strength tensor describes an electromagnetic field. Finally, we observe that (4)2 gives a physical meaning to the Fermi propagation of vectors along curves. Since we may take the spin as small as we like" for a given mass, we can, to any desired degree of accuracy, realise a geodesic with a vector parallely propagated along it and orthogonal to the curve. Taking two such
test-gyroscopes near one another, we can supple-
ment (5) by the statementif-; The difference
~ Sa
between tha angular momentum of the first particle
and that of the second particle parallel displaced along the connection vector
6x a
and projected into the local space orthogonal to the 4-velocity
of the first part icle,
b.L Sa
-
,obeys the law
V ~.1.Sa ds
....S
-
x H
where R- a
b d r
bcd u u
Ox
7
c
ua
- 7 J. Ehlers
Here
Ha
belong to the 3-space orthogonal to
u
a
,and
(6)1 is written as a 3-vector relation containing the usual exterior product. Rewritten in this notation,
(5) assumes the form
E
a b d c a R bcdu u ox The equations (6) and (5') exhibit that, for a given "observer" (spatial) vectorfields
...E
and
... H
u
a
,the
defined in the infinitesimal neighbouhood
of the observer's world line playa similar role for a gravitational field as the electric and magnetic vectors relative to an inertial frame for an electromagnetic field. A null-geodesic also has a physical interpretation: It represents the world line of a particle of vanishing rest mass or, more classically, a light ray in the sense of geometrical optics. In this case, the statement can be "approximately deduced" by starting with the general relativistic form of Maxwell's equations and going over to the limit of "locally plane waves of infinitely small wave-length ,,3. As long as we do not have a description of the interaction of matter with gravitational fields, especially gravitational waves, the preceding remarks on test-body motions are a useful preliminary tool for the physical interpretation of algebraic and anlytic properties of vacuum gravitational fields and, especially, their curvature tensors. One should keep in mind, however, that this description of the action of gravitational fields on matter is very incomplete since the reaction of the particles on the fields is completely neglected.
8
- 8 J. Ehlers
2. The linear approximation. Survey of problems In order to get a survey over the problems with which we are faced let us at first drastically eliminate the mathematical complications due to the nonlinearity of eqs. (1) :
fl ab
Let us denote by
the orthonormal components of the flat space
time metric, and let us assume that the quantities
(7)
t') =g lab ab
-fl ab
satisfy the "weak field conditions"
where
r ~c
are the Christoffel symbols associated with the
gab
. Then
the field equation (1) reduces, in the sense of a formal approximation in which small quantities are neglected, to the linearised field equation
(9)
o 0/ ab
-
2\1}
1 (a, b)
+11 ab
WC T 'c
-2T
ab
here
(10)
and the D'Alembert-operator refer to the flat metric
0
and the raising and lowering of indices
II ab
9
- 9 J. Ehlers
A "small" coordinate change
(11)
x
a'
x
a
+
Ea
5
induces the transformation
r
a'b'
U)
Tab
-2~
J(a, b)
+A a bE) , c C
~ a' of the field variables
\lJ Tab One may now forget the "derivation" of (9) and (12) from the rigorous
theory and consider (9) as a gravitational field equation in flat space-time, formaRly very similar to electrodynamics. Then (12) can be considered not as induced by a coordinate transformation bur as a gage-transformation; in fact, the substitution (12) (with unchanged independent variables x a! ) leaves the left hand side of eq. (9) unchanged. It also follows from (9) that
(13)
o
But this equation clearly shows this linear theory of gravitation being physically wrong: According to (13), the gravitational field
\iJ 1 ab
would have
no influence on the energy and momentum bnlances of matter. Although the field is determined by its source
Tab
only up to gage transformations the
linearised equation of motion of a test particle is not gage invariant; this is a second inconsistency'3.
10
- 10 -
J. Ehlers
We therefore have to consider (9) at best as the first step in a sequence 16
of successive approximations", Let us nevertheless apply the flat-space interpretation of (9),
(12) in the following and state some mathematical pro-
perties of this theory rigorously, as a motivation for the analysis of the full theory. Let us consider a spatially bounded source
at rest in some iner-
tial frame. Then the retarded integral
(14 )
lJ'ab (x)
exists and satisfies, if (13) holds, the Einstein convention
o
(15)
~a
and the field equation (9). (dK
is the Lorentz-invariant measure on the past
light cone past,
C
of x.) If Tab and its first derivatives are bounded in the x (14) satisfies the boundary conditions
~ab, c
Xab k c
~a r
r
6- > 0 .
denotes the spatial distance of the argument of
ight line contained in the source region, and
+ It (2.)
ka
t..
from a time like stra-
is a null vector field poin-
ting away from the source and into the future, normalised according to
11
- 11 J. Ehlers ka u
= -1 if u a is the 4-velocity of the line mentioned above. a We now state the
theorem 11 : For a given source
exists up to gage transformations
til of (9) which satisfies the "outgoing radiaTab tion condition" (16). Among these, precisely one satisfies the Einstein conone and only one solution
vention (15) . To prove uniqueness, we apply the Kirchhoff integral representation lt (known in physics from the theory of diffraction)
41t· ~ ab (x)
(17)
-iC _0
rab dK
x
to the difference of two solutions of (9) both satisfying (16). The surface integrals in the general Kirchhoff-representation can and have been shifted to (past) infinity in
Cx
and then give zero because of (16)1,2,3' From (9)
and (17) we obtain for this difference
41'(
r
ab(x)
= - ,~_
which can be written, on account of (16)4' in the form with
~a(x) = ~~ ~ a
dK
x
(2
r
(a, b) -
-2 E + ') (a, b)
l1 ab
11 ab
f
Ec
') ,c
,and is, consequently, gage-equivalent to zero.
The existence has already been shown. A motivation for the name "outgoing radiation condition" for (16) can be seen in the fact that the change
at large distances from the source is smallest for displacements within the hypersurfaces of constant phase,
k dx a = 0 .
a
12
C ,
c)d
- 12 -
J. Ehlers
Because of this theorem, it is no loss of generality for problems involving bounded sources only to impose generally the condition (15), i. e. b
( 18)
o .
~ a; b
Then (9) simplifies to
-2T
( 19)
ab
Outside of the sources, we have
o
0,
(20)
and we define, in the linear approximation, "free" gravitational waves as gage-equivalente classes of solutions of (20). The
"free" classical field theory defined by (20) can be used to construct
a corresponding special relativistic quantum theory of a "graviton field" . For this purpose one hase to define, on a suitably chosen subset of the solutions of (20), a Hilbert space structure with a scalar product that is invariant under (inhomogeneous) Lorentz transformations. You obtain thus an irreducible unitary representation of the inhomogeneous Lorentz group in a Hilbert space of solutions of (20) which is to be interpreted physically as the space of one - graviton states. According to the group theoretic classification of fundamental particles (or fields), one then finds the linearised free graviton field belonging to particles with vanishing rest mass and spin 2. (The spaces of n-particle states and, finally, the total (Fock-) space of the free graviton field can be constructed by standard procedures from the space of oneparticle states, )
13
- 13 J. Ehlers
The metric corresponding to the general solution of (20) which represents a plane wave travelling in the z-direction can be written in the form
G
(21 )
with two arbitrary functions
G
o
+ A(dx 2
A, B
dy2)
+ 2B dxdy
of the "phase"
u = z-t. G o
denotes the
Minkowskian metric. Since the coefficients of (21) depend on
u
only, the curvature tensor
(and all intrinsic characteristics of the metric field) are propagated without change along the rays (x, y, u) = const. which form a congruence of null geodesics, i. e. a plane gravitational wave propagates without distortion with fundamental velocity. (21) is in Gauss'normal form with respect to
,and thus the geodesics
(x, y, z) = const. may bethought of as world lines of test particles. It follows from (21) that a cloud of such particles undergoes a volume-preserving deformation which is restricted to directions orthogonal to the direction of propagation of the wave; the magnitude of this deformation depends on the amplitudes
A, B .
In order to characterize the wave (21 )independently of a special set of test particles we use the linearized curvature tensor. It has the form
where
(22)2
..
" mabmcd - mabmcd
R abcd
(22) 1
mab
is a singular bivector,
mab m
ab
0
14
~
mab m
ab
0
- 14 J. Ehlers
Consequently there exists a null vector
ka
such that
0).
(->
The quantities
mab' k
a
The 'interpretation of
are determined by mab' k a
R abcd
up to their signs.
follows from eq. (5) : Let
ua
be the
4-velocity of an arbitrary nonspinning test particle or "observer" . Then
p
(23)1
a
-
a b m bU -k u
c
c
.. a b a =- m bU q c -k u c
form an orthogonal pair of (with respect to this observer) purely spatial vectors, and (22) may be rewritten as
The accelerations of nearby test particles relative to our observer are, according to (5) and (23) , given by
(24)
These formulae show: The acceleration of a test particle relative to a freely falling observer vanishes if and only if its position vector to the projection
k~
of
ka
li x a
is parallel
into the observers 3-space. (k a u a )2 is equal
to the ratio (magnitude of relative acceleration / distance) for arbitrary nearby
15
- 15 J. Ehlers
test particles. The acceleration is parallel to parallel if
b
0( xa
if
'xa 0
Apa
, anti-
x a = A, qa . ka
For the wave (21)
is given by
(25)
and the propagation of the wave along the rays is expressed by
m
ab;c
o
kC
which implies, by (22) ,
R
abcd;e
ke
o
0,
A freely falling observer, however, will notice changes of the field; the strength (k U a )2 will be a function of this proper time, and the directions a a a a kJ. ,p ,q will rotate relative to spatial axes which are parallely propagated along his world line. These changes may be used to define, with respect to an observer, monochromatic waves and, among them, linearly, circularly etc. polarized waves quite similar to electrodynamics. We finally remark that vacuum curvature tensors of the algebraic type (22) can be characterized by the existence of a vector
(27)
Rabcd k
d
o
(~
ka
such that
0)
this remark suggests a way of defining pure radiation fields in the rigorous theory.
16
- 16 J. Ehlers
Let us now return to the inhomogeneous equation (19) and its retarded solution (14). If we choose an inertial frame in which the source is at rest and located near the origin of the space-coordinates we may write
(28)
CZ' l denote 3-vectors). If we are interested in the radiation field at large distances from the source, we will, as usual, write =
of
I
t - I~ + ( 12f r
-1
and develop
I - j 2f - :iP
__1___ /:!f -
, obtaining
N b(U, w)
a
\lJ ab (x, t) =
T
where we have written
-
u
+
r
II
~
,r
J
= I~ I
I~I
- I ~ - II
in powers
1 e (------z) r
for the retarded time
rection given by the unit vector
t-i!-ll
and
t - I~I
w
for the di-
' and x. X r
3
T b(y, u + --- ) d Y
From (29) it follows that
a
-
.
~ ab;c
-N ab k
r
c
+
e(~) r
..
N
~ ab;cd
~k
k + red
e(+) r
here the dot indicates a partial derivative with respect to the retarded time for fixed
w ,and
ka
is chosen as in (16) . Since the Einstein convention
17
17 -
~
J. Ehlers
(15) is satisfied in consequence of (13) we also have
iTab k b (30)2,3
= a(..!..)
r
give for the linearized curvature tensor the expression
{ (23)2 + a( :2)}
(31)
with
iab = (2r)
-1" (Nab
This result proves : The
1 2
Aa bNc c )
..!.. - part
+ a (+) r
of the curvature tensor which belongs
r . 10 the retarded radiation field of a bounded source has the same algebraic
structure as that of a plane wave. can of course be carried on fur-1 ther; the coefficients of the higher powers of r will be functions of (u, w) The development indicated before (29) 1
which can be represented by integrals like (29)2 with Tab replaced by its 2 2S. .;£. • We shall time derivatives, multiplied by polynomials in;t and r
return to this result in the rigorous theory. If the changes within the source are sufficiently slow it is useful to develop the integrand of (29)2 in powers of
1l!Jf. ; this leads to a multipole expansion of the radiation field. Becaur
se of the energy-momentum conservation law (13) the lowest order radiation is of the quadrupole type. We may finally ask: What is the energy carried away from a source by gravitational radiation? If we accept the gravitational energy tensor 20
(32)
tab =
-4l. (
i' cd, a Y cd , b-.!.2 ~"
a
'I' , b- .!.2 ~ ab
18
III
Tcd,e
llJ cd, e
T
1
- -2
If,c If ' c
)
- 18 J. Ehlers
which arises by linearisation of the Einstein energy-momentum affine tensor of the full theory and adding a term the divergence of which vanishes in consequence of (15) (and which can also be constructed by means of the Lagrangean formulation of the linear theory), we obtain from (15) and (16)
(33)
The factor of
ka kb
is never negative.
This expression (33) in conjunction with the expansion above can be and often has been used to calculate the gravitational energy loss of a spinning rod or double star etc. It can be used to estimate the radiation damping and the mass loss of such systems. In particular, one can specialize (28) to the case of a moving mass point (
b-like
source along a world line) and treat the
gravitational analogue of the Lienard- Wiechert potentials and fields well known in electrodynamics and then proceed to systems of a few mass points by superposition (simple quadrupoles etc). In view of the inconsistency of the linearized theory mentioned in the beginning of this section these considerations must be regarded with scepticism, however. A more satisfactory treatement has to include higher approximations such that the reaction of the field on the sources is accounted for. We shall not deal with this difficult question here. The problems we want to consider in the rigorous theory are those of existence, propagation properties, action on test particles of free gravitational waves, and waves emitted by bounded sources, and we shall use the results of the linear theory as a guide.
19
- 19 -
J. Ehlers
3. The Petrov-classification of conformal curvature tensors In section 1 we have seen that the quantity characterizing a gravitational field locally is the curvature tensor, and in section 2, that it is possible, at least in the linearized theory, to find a simple algebraic property, which holds rigourously for plane waves and asymptotically for waves emitted by a bounded source, namely eq. (27). It seems, therefore, useful to perform an algebraic classification of curvature tensors, try to define more or less "pure" radiation fields by weakening the condition (27) and then to look whether the different types of fields obey, rigorously or asymptotically for suitable boundary conditions, propagation laws generalizing eqs. (26) and (31), respectively. This idea has been originally put forward by Pirani and has been developed by Lichnerowicz, Bel, Sachs, Robinson, Trau tman, Bondi, Penrose, Newman Unti, Tamburino, Kundt, myself, and others. It has proven to be very fruitful, at least if the differential-geometrical, strictly classical point of view towards general relativity is adopted, as I do in these lectures. Let us now discuss the algebraic classification of curvature tensors of 4-dim., normal hyperbolic Riemannian manifolds. The curvature tensor has the symmetry properties
(34)
R abcd
=
R [cd} ab'
R [abcd]
= 0
a tensor obeying (34) , given at a point of a manifold, can always be realized as curvature tensor of a suitably chosen metric on this manifold. The linear space of tensors satisfying (34) is an irreducible representation space of the full linear group
GL(R,4).
With respect to the (homogeneous) Lorentz group this representation decomposes according to the formula
20
- 20 J. Ehlers
R abcd
= C abcd +
12 R
gabcd + Sabcd
here
( 36)
is the "bivector metric", and the tensors on the right hand side of (35)1 are characterized by the symmetry properties (34) together with (35) 1 and their "dual symmetries"
"S* = S,
- C
where we have omitted the indices.
R
We arrive at (35) by interpreting bivector space
t
C .. .. +
g .. ..
1 R 1'2
is the curvature scalar as before. R ab cd
as a linear mapping of the
v Cd } into itself and decomposing this mapping into that part, 'h t h e duality w h ic h commutes Wlt
V
~
'* V,
and
that part which anticommutes with it, which is called
S··
Finally, one
decomposes the first mapping into a trace-free part,
C· .
and a sca-
lar multiplication,
12 g R
Explicit representations of
(37)
( 38)
(39)
cab
R ab
cd
R
and
cd
S
are
2 ~ [a
[c
e - gabe (cSdj
Sabcd
Sab
C
ab
-
R 4
21
gab
R bJ d]
R
+ -
b
~ab cd
- 21 J, Ehlers
The tensors on the right hand side of (35)1 have dent components, respectively,
10, 1, 9
linearly indepen-
is algebrically equivalent to Sab' a C bcd is Weyl's conformal cure"
the trace-free part of the Ricci tensor,
vature tensor, briefly called conform-tensor in th following, for which we will give a geometrical interpretation in the next section, According to (35)1 an algebraic classification of curvature tensors is obtained by first classifying Ricci tensors and conform tensors separately, and then taking the joint classification of both, Since we are mainly interested in vacuum fields where R"", Rab
reduces to
C",
and since, moreover
within matter is explici tely given if the stress energy momentum ten-
sor is specified, we concentrate on the classification of conformtensors. (A'l analogous classification of
Rab
I
s has been given by Churchill).
The most elegant way to arrive at this classification, the Petrov-classification,
makes use of the spinor calculus, as pointed out by Penrose. We shall
follow his method since the spinor calculus is a very useful tool for the following investigations, too. Let us remember the main definitions and relations of spinoI' algebra: Let
S
be a complex, ternating scalar product
2-dimensional vector space with a bilinear, all . Its element are called
d ' l' J
2-contraspinors. The term "basis" shall be used only for pairs elements satisfying
_'"
'l' J
The components of
spect to such bases are written
f
A'
etc.
X, /"
of
with re-
as in tensor calculus; a
change of the basis induces a unimodular transformation of the components. (We have a "symplectic geometry" .) We write
(40)
,
"AB
d,
'1
22
A d,1 B 'l'
- 22 J. Ehlers
The components of the "metric spinor" are always given by
f,
(41)
- 0
(AB) -
,
tr12
s·
We can now construct the dual space 2-cospinors and written and its dual
s·
=
~A
s
of
; its elements are called
S i ~ A}
; the complex-conjugate space
{rA1 .The metric allows
to identify
=
S
and
S,.
we write
1
A
(42)
f,AB
E. AB
and similar relations hold for
Sand
S..
~B
,written with dotted indices, whe-
re
f. ..
(43)
AB
f-AB
numerically if
A
A,
.
B
B
Obviously we can now introduce spinors with more indices and use the usual rules of tensor calculus. Care must be taken, however, with index-shiftings since
is skew; we have, e. g.,
WAA
I
= -
f AA
We use the antilinear mapping
(44)
of
S
onto
S
The order of indices of a different kind is immaterial, e. g. (0 1
AB __
.D 1 BA.
The usefulness of this calculus for Minkowskian geometry is due to the following fact: Consider the vector spaces
23
- 23 J. Ehlers
~
(45 )
11
- \ LIJ
v =
AB 1
5
and the scalar product
(46)
which is real-valued over
(47)
"K:A
\
l1\
V x V • Take a basis
fA
A
A
,r- A J(
of
S
= 1
and define
m
(48)
AB
-~
A -
"..
B
and (we omit indices) 1 e. - f2
(t
1 1 - i f2
+ t)
-
(t - t)
( 49) e " 3
Then
1\ t, t, k, m I - )
1 If (k + m)
is a basis of
e
4
=k
•k e a
= m. m = t
1
p
(k _ m)
VI: 1 a basis of V,
~
products are, according to (46), (47), (48),
t
=
.k
=t
e = /:,. b ab
24
.m
and (49),
= 0,
t·
t =k . m = 1 ,
and the scalar
- 24 -
J.Ehlers
The metric (46)1 in
V
V
has, accordingly, the signature +++-
is a
Minkowski- space. We can describe the elements of nents
V
-
(or V) by means of their compo-
~a
instead of using
with respect to an arbitrary basis of V (V) (gAB the IIspinor" components" 1 ,and then write
a
(52)
!;
.
(0 AB AB 1
of the basis of
A change ces, via (49), a Lorentz-transformation in homomorphism of the unimodular group
V
S
indu-
,and one can prove that this
SL(C, 2) =<
~
Lorentz group is, in fact, a covering homomorphism of
into the homogeneous ,
onto
L~
,the
proper, orthochronous part (identity component) of that group. The kernel and -1 only:
of this homomorphism consists of
(53)
is simply connected (in contradistinction from
Since
bly connected),
~
which is dou-
is the universal covering group of
The construction given above is nothing than a geometrical disguise of the algebraic relation (53) : An oriented and time-oriented Minkowski (vector) space
V
may be considered as constructed by means of a spin-space
S
as described above; (48), (49) establish a two to one-relationship
(54)
between the (unimodular) bases of me
oriented bases of
S
and the orthonormal, oriented and ti-
V.
25
- 25 -
J. Ehlers
It is now obvious that we may identify the tensors associated with
V with certain spinors associated with S, the components being related by formulae like (52);<'1"',"
may be considered as a connecting quantity in the se~
se of Schouten. We shall write, e. g. (55)
F ab~ F ACBD = F ab:=- a AC s- b BD '
i. e. the "kernel" F is left unchanged in passing from tensor to spinor comp.!::
nents and vice versa.
Algebraic relations can easily be translated from
te~
sor to spinor notation; each contraction over a pair of tensor indices gives rises, according to (52), to a factor -1 in front of the contraction over the corresponding pair of spinor indices. (This is done in order to have the signature +++-, and not ---+). One of the main reason for the usefulness of the spinor calculus is the fact that the irreducible representation of ,: are given by spinors completely symmetric in the undotted and the dotted indices,
The decomposition 26 into irreducible parts can be performed according to the following scheme :
o 1, CD D t. AB 1 D
i. e.
(56)
't'
(ABC)
2""'
1 =:3 ('f A(BC) +,T B(CA) +
!
=
t A(BC)
=
if ABC - "2c':
+ 1.
3"
('fB(CA) - ,L'A( CB)) + I.j,
BC i AD
D
26
1
+
3" (,' AB'i
D
1
3" (',
C(AB) -
(DC) + cAc'i
D
if
A(CB))
(DB))'
- 26 J. Ehlers
~(ABC)
(57) i. e.
which is the desired
+
~ ABC
decomposition of
into irreducibile parts cor-
responding to the Clebsch-Gordan-formula
(D
I
+ D ) 0
X
D, Y2
= D
+ 2D,;.
~2
2
We recognize: Any spinor can be written as a sum of terms consisting of E.-factors and totally symmetric spinors, the latter arising from the former by taking symmetric parts and traces. ka
A (real) vector
corresponds to a Hermitian spinor
kAB
,and a
future-pointing null vector, in particular, to a spinor of the form k
AB
'VA;;:
"'''
B
as is obvious from the identity
?l: A K
A
0
and the tran-
sitivity of the Lorentz group with respect to the nulle cone. A direction on the light cone is given by a "spinray"
o t).,
E: C,
i. e.
by a complex number
2
{A% A 1 ,
~ (0() being admitted). Lorentz ~
transformations of these null directions correspond in a one to one way to az + b transformations z _ cz + d of the "Argand" or "Riemann" sphere of these numbers, which is another way of stating the local isomorphism (53) . From this correspondence we infer that
L~
acts on the set of null directions in
a threefold transitive way. The basis transformations
(58)
''ll:
A
= A X.
A
represent space like rotations if
A-I ""A
IAI
AE: C
, time-like rotations if
The transformations
27
A E: R.
- 27 -
J. Ehlers
(59)
BEC
are called null rotations. Real bivectors
F ab
may be decomposed, according to the scheme (56),
as (60)
~BA cI> AB
i. e. they are represented by "bispinors"
If the "translation" (55) is applied to the curvature tensor, a spinor
RAE BF CG
DH
is obtained. It may be decomposed into irreducibile parts
by the method described above; then the spinor analogue of (35) 1 results. I only write down the decomposition of the conform tensor: 1
(62)
2
here "h. c.
n
denotes the Hermitian conjugate as in (60).
The converse of (62) is given by
(63)
rABCD
1
=
2"
.
E
.
G
CAEB CGD
The complicated symmetry-and duality properties of
Cabcd
with the statement that a representation (62) holds and formspinor, is totally symmetric. Now it is easy to classify the
C' s by classifying the
are equivalent
r ABCD
,the con-
r's , to obtain
normal forms, and to give geometrical interpretations of the results.
28
- 28 -
J. Ehlers
According to the fundamental theorem of algebra the binary quartic A B C .D ~ AB CD ~ is a product of linear factors. That
sst,
r ( ):: r
means there exist spinors
(64)
1(, A
such that
'ABCD
the corresponding null directions being determined by
o
(65)
Naturally one may assign multiplicities to'these "pr'incipal null directions" of
C ... Let us write
two simple p. n. d.,
C: 2, 1, 1
to express that
C
has one 2fold and
etc. Then we may define the Petrov-types conformtensors
(-spinors) by the following table:
I: 1,1,1,1;
II: 2,1,1;
D: 2,2;
(66)
III: 3, 1; The last type,
0
N: 4;
0: ---
, consists of the zero conform tensor only; this type be-
longs, as is well-konwn, to conformally flat spaces. The symbols are to be used as names of the types and also as kernel letters of of
r.. 's
1, ... ,0 C ... 's
belonging to these types.
This classification is not only invariant under Lorentz-transformations but also under "duality rotations" given by
or, tensorially, by
29
- 29 -
J. Ehlers
C. ..
cos 17 C... + sin (}- .. C ...
_
and under moltiplications with real scalars. One can now use the fact that triples of null directions can be transformed into arbitrary positions on the Argand sphere (see above) in order to obtain normal forms for the "special" types, i. e. those admitting at least one degenerate null direction. Such normal forms are
(68)
(69)
III ABCD
(70)
D ABCD = -
A((,
"'(A I""B) lC(C
r D) -
t
A(C E. D)B)
o,
- 1 (4
~ (A I.\\ B)
l\
(C
I
1\
D)
+
Ie
A
)C
B f' C I"" D
(71)
+
r A /" B
lC C )( D) + 4 K A )\ B " C
1;;
D'
1
f
here is always
1 .
(72)
In the cases II and III the "eigenbasis" te ambiguity, in case
N
(1) A'
rA 1
is fixed up to a fini-
up to null rotations, and in case
D
up to rotations
(58).
A non-special conformspinor can be written (in three different ways) as
30
0 ,
- 30 -
J. Ehlers
(73)
+
r ( )(
A K B )( C )\: D +
rArB r C r D) t
0
where again (72) holds. These normal forms can, of course, be written in tensor form, but the resulting formulae are complicated, and we shall not need them. We want to mention, however, the equations which characterize a spinor
11:
A
down the corresponding tensor equations for f(;
A
c d
A
C abcd
'
and we also write a A - B and k ~')<; 'IC
simple:
~ k [a C b ] cd [ekfJ k k X
r ABeD
as a simple, double, etc. eigenspinor of
twofold:
o
rABCD y;;B",C'KD=O (74)
Ie
A
threefold:
rABCD
r. c" D
o
d
o
~ Cbcd [ekfJ k ')(
A
fourfold:
rABCD 1C D ~Cabcdk
d
- 0 0
We shall not present the proofs since these formulae are almost immediate consequences of the definitions involved.
31
- 31 J. Ehlers
We now see, however, that the null type is identical with the pure radiation type to which we were led in the linear approximation. We may arrange the types in the Penrose-diagramm
I
/\ (75)
II ----
III
I \ ---;;a.
N
D
~
___
0
in which arrows denote specialisations in an obvious way. We will conjecture, therefore, that the types
N, III, D, II
in this orther will describe less
and less "pure" gravitational waves, i. e. waves far away from matter, and therefore next ask whether these types have propagation properties. We finally remember that the algebraic structure of R abcd
C...
,that is of
in empty space, admits an interpretation in terms of test body beha-
viour which
we have described explicitely in section II for - as we may now
say - the null type.
4. Spinor-differential-calculus Before studying the propagation of curvature tensors let us extend the spinor calculus to include analysis. I shall develop the spinor analysis as an exterior differential calculus here analogously to the well-known Cartan-calculus since this seems to be the most compact and effective formalism available. The calculus to be presented is due to K. Bichteler. As a preliminary. I review very briefly the Cartan procedure. One writes for the general infinitesimal displacement
32
- 32 J. Ehlers
dx
(76)
where
f)
a_ e a
l a 1J is an arbitrary tetrad field on the space time manifold W.
~ -e
The Pfaffians
fla
form what is called a vector 1-form; the metric is given
by ...... 2 dx
(77)
gab
f)
a b fI
Next, one introduces a covariant differential
D
defined on the set of tensor-
r-forms (i. e. tensor-valued alternating differential forms of degree r ) :
(78)
c
d ATab c d
c
W
satisfying the usual rules. The connection is required to have vanishing torsion,
o
(79)
and to be metrical,
o
(80)
and is therefore uniquely fixed by the metric. The curvature form
11
is introduced through
(81 )
and the curvature tensor is introduced through the development
33
- 33 -
J. Ehlers
a
a 2 R bcd
~ b
(82)
Ra
o
b(cd)
How can this be imitated for spinors ? First, one introduces a spin- structure on a manifold by associating with each point
x
a spin space
constructs, according to the last section, from
Sx
the space
nally, identifies
W
at
Vx
connecting quantity
with the tangent space of G a AB (x)
x
S
x
Vx
; one and, fi-
such that the
is differentiable. The latter requirement can
always be satisfied if the manifold is orientable and time-orientable; the following formalism can therefore be used locally without restriction of generality. Let, then, (JAB
t
11;
r(X)}
(x),
be a basis of
be the spinor components of
S
x
and let the Pfaffian forms
dx,
(83)
(JAB
is an example of a spinor-l-form. The metric is then expressed by
ch2
= _ (J
• (JAB AB
in line with (46) • We introduce a bispinor-2-form by
(84)
and a real scalar-4-form
(85)
(J
by
e
. . . .
~ APBQCRDS
34
34
~
~
J. Ehlers
From the
spinor~representation
of
~
.•.. ,
(86)
follow the relations
o,
(87)
8
Next, we define a r~forms,
3
e
A 8
AB
AB
spin~affine~connection
or covariant differential for spinor
e. g.
(88)
is a matrix of Pfaffians, the "connection form" .
Here
This mapping
D
satisfies the usual rules of a derivation:
(Leibniz) product rule, commutativity with contractions, scalars
~
D
~
Sum~and
=d ~
for
,and "reality" , i. e. commutativity with the conjugation ope-
ration (44) To relate the
D-operator to the Riemannian metric, we require vani-
shing torsion,
(89)
D 9 AP = 0
(~
DSAB
0)
and the validity of the "Ricci lemma" for the spin-metric,
35
- 35 -
J. Ehlers
D
(90)
A
The connection
A
the Pfaffians d
(91 )
W W
B
B
f,
AB
=0
r
(~ W _AB' !.l
= 0)
.
is uniquely determined by the last two requirements; can be calculated from
A A e CB e AB +wC
e AC = 0,
+ Wc B /I
A w A
o
which is just a restatement of the two preceding equations. Just as in the tensorial formulation, the operator
gives rise to the
D2
introduction of a curvature 2-form, e.g. D 2 /hA T B
=
n
A
C
A
,h C
'Y
C
,h A
A
B - n B!I 'f
n
c' "
A A
o,
here A
dw B +
Let us app 1y the operator We obtain
D3
~
A
D
= DnA B ~
A
W
C
CAw B
to t h e "R icci i d entity" B + n A BII D
~
D2 )E A -_ "nAB 5~ B.
B = D2(D SA) = n A BA D
sB
,
consequently
(93)
o .
This is the Bianchi-identity, written in terms of the spincurvature-form. According to the definition (83) the components of
e AS A e CD
form a basis of the set of 2-forms. Due to the bivector decomposition (60) AB ;<. AB the same is true for the components of together with 1:;1 • We may
e
36
- 36 J. Ehlers
therefore develop the curvature form:
(94)
QAB = -
The spinors
rABCD
~(
r... , S...
-
~
tA(C f.D)B)
and the scalar
R
e CD
-
~
SABPQ
e
PQ
which appear as coefficients
are, in fact, the conformspinor, the spinor corresponding to the reduced Ricci tensor, and the curvature scalar, respectively. This can be seen as follows: D 2 k a = Qabkb
According to (81) we have
2 AE A D k "(Q B
ka
",AE • kBF d D 2kAE -_ _ " B F ' 0 n t h e ot h er h an,
In spinor notation t h is rea d s (92)1 gives
for an arbitrary vector
~E
A BE F + Q- EF ~ B) k
.
Comparison yields
(95)
Finally, (82) gives 1 - -2 R
AE
BE' = ~ R 2
AE
•••
BECGDH
. e CG, f\ e DH
(96) 1
- 4" R
AE
BECGDH(
e CD
f,
GH + E. CD
e GH)
and if we put equal the coefficients in (94) and (96) the resulting relations are identical with those used in the algebraic decomposition of the Riemannspinor. From (93), (94) and (89) the Bianchi identities in terms of the spinors
rABCD'
S ABeD'
and
R
can be obtained. We write down the Bianchi-
identity for a vacuum field only; it is
37
- 37 J, Ehlers
rABCD; DE
(97)
o,
The covariant derivative is defined, of course, by
D
r ABCD;' - r:ABCD;EFP EF r,
If the Ricci-identity is written explicitely in terms of components of
D2 E ') A,
"nAB
etc. we obtain, among other relations, in the vacuum case
The connection form A
(99)
W
B
A W
can also be developed:
B
r
A
,n CP
Since the components of the basis-spinors
e, g.
D Jot A
=-
1C
• A;CP
e CP = _
(100)
,r
B CP \7
WB
A
')<;
1C B
A
A
o.
A CP
f" A
r
are constar;ts, we have, X B CP ABCP , i. e,
.
e
.
~
A;CP
and a similar realtion for
f' A
•
The star indicates that components with respect to used. The twelve complex quantities
r...
are to be
are the spinor-analogues of the
24 real Ricci rotation coefficients. Following Newman and Penrose we call them spin-coefficients. These spin-coefficients satisfy a system of 18 first order differential equations which are useful for the study of the propagation of gravitational waves. They are obtained by inserting (99) into the formula (92)2
to
for the curvaty;-e form, developing the resulting expression with respect
eAB
and
e
AB , and equating it to the right hand side of eq, (94),
38
- 38 -
J. Ehlers
r,s, defined by
During this calculation the Pfaffian derivatives of the
(101 )
d
r
ABCD
are introduced. According to the definition of
( 102)
I
ABCD; Ii
which is the derivative in the ray direction
we have, e.g.
rABCD,. a ka
ka
. The
, "propagation equations"
derived in this way relate differences of directional derivatives of the spin coefficients to bilinear expressions in the spincoefficients and their complex conjugates, and to components of the curvature spinor.
5. Congruences of null-geodesics The considerations on plane waves and waves from bounded sources in the linear approximation and also the existence of preferred null vector fields - given by the principal null directions of the conformtensor
~
in a general
space time suggest to investigate congruences of null-lines, in particular geodesics. Let
x a = xa(yOC ,v)
null lines,
yr:J.
be a parameter representation of a congruence of
being parameters distinguishing the curves and
v
being
an arbitrary parameter along each curve. We then have
( 103)
In order to study geometrical properties of this congruence we introduce a spinor basis
such that
39
- 39 J. Ehlers
(104)
~
)<; ,/"')
define via eqs. (48), (49)
tt, 1, k, m J
a quasi-orthogonal
and an orthonormal frame { ~)
tetrad field
. These frames are determi-
ned by the congruence only up to transformations (58), (59). The lines of the congruence are geodesics if and only if
c
k [a k bJ ; c k = O.
In spinor language this condition reads
o.
(105 )
In the geodesic case we may choose v to be an affine parameter, b A ka'bk = 0 . We may then take X. to be parallely propagated along the
,
rays, too:
(106)
Let us restrict the following considerations to geodesic null congruences and take
v
as an affine parameter always.
The connection vector
( 107)
of two neighbouring "rays" is Lie-propagated along the initial ray,
( 108)
This equation follows immediately from
40
if a geodesic
- 40 -
J. Ehlers
coordinate system is used. is constant along a ray. Let us call
Eq. (108) implies that
o'x a
"transverse" if
o .
(109 )
This property is independent of the parameterisation since it is not changed under the a substitution
bx a
bx a
_
+ Aka
, and it is propagated along
the rays according to the remark preceding eq. (109). We may therefore speak of transversely connected adjacent rays. The scalar product
hx a
~ 'x
of two connection vectors satisfying (109) a is independent of the parameterisation. It is, therefore, meaningful to speak of distances between transversely connected neighbouring rays andof angles beJ. tween directions pointing from a ray
L
L"
. These geometrical quantities will chan-
transversely connected with
ge along
L
L
to two neighbouring rays
L'
,and these changes are the geometrical properties we want to
study. For this purpose we use the bases introduced above and write
,a 01 x
=x
Ia
a
+ Y2
=
11::-
-a R( ~ t )
~2
x + iy ~ ~ .
b xa
into the
I
a
~a -plane which is tran-
sverse in the sense of (109) and may be visualised as a screen which is traversed by the rays. Let us momentarily choose
such that (106) and
41
- 41
~
J. Ehlers
.x.Bj(C
A.i.
(111)
o
rA;BC
hold; then
t, k, m,
~
are all constant along the rays. We can now calculate,
by means of (108), the change of
~
defined in (110) for a connection vector
satisfying (109). The result is
~
( 112)
dv
here
z ::;
( 113)
a
are two complex numbers characterising the transverse derivatives of
k .
Eq. (112) describes the mapping of a "screen" at
v + dv
produced by the rays ;
S is the
v
onto a screen at
"position vector" in the first,
~ + d~
the one ine the second screen. Let us write z = 8+ iw
(114)
Then we may interprete (112) : The infinitesimal transformation consists of a rotation through the angle expansion of magnitude tude
I~ I
e dv
wdv
,an isotropic
,and an area-preserving deformation of magni-
the principal axes of which are determined by the real and imagina-
ry parts of that vector
ta
for which
be satisfied by a spatial rotation
t _
~
is real. (This latter condition can
e
is
t.)
According to our remarks above the differentials
42
- 42 -
J. Ehlers z
dv,
kl dv
are invariants of the congruence, i. e. independent of the parameterisation, and z and t
a;
bk
b
G"
may be calculated from (113) whether or not the condition
= 0 holds.
We call Q the expansion, w the twist, and
5
the shear of the congruen-
ce with respect to v. In spinor notation, (113) read (115) z
=)( A;BD}(
A
fA.
B-D X
,
6"
=n
From (105) and (115) we see: A null congruence is geodesic and shear free (6"' = 0) if and only if (in an arbitrary parameterisation)
x
(116)
• )(A)( B = 0 A;BC
If this condition is satisfied we may choose
x A such that the stronger
condition (117)
)(
.
"
A;BDI"'
(whiclJ. implies (106) ) holds Comparing (115) with (100) we see that z and coefficients associated with the spin basis
S"
are certain spin
{K. )r- J adapted to the congruence.
We have, in fact, (118)
It is possible to give
6' =
l'
1112.
geometrical interpretations of further spin coefficients
43
- 43 J. Ehlers
in terms of the congruence given by
X
A
, but we shall not discuss them
here.
6. Geometry of principal null congruences of vacuum fields We have now assembled the tools necessary for studying the null congruences defined by the principal null directions of the conformtensor of a vacuum field. The first interesting theorem states that the congruence determined by a multiple principal null direction of a vacuum field is geodesic and shearfree. To prove this theorem we use the equation (74)2 which characterises XA
to be a multiple p. n. d. ,and the vacuum Bhianchi-identity (97) . Ac-
cording to these equations we have = _ 3
X
A
B lG
r
ABCD
X C;DE
we have, according to (74),
r
If
0 =
" A
ABCD
J(.
A ')(. B
x.- C
r
ABCD;
DE
is a twofold principal null direction
JG A J< B =
0(
~
C
~
with
D
0
"'..1
I." T
,
consequentlyeq. (114) is satisfied, and the proof is finished. If, however, X
A
has multiplicity 3 ,we use analogously
0= X B xC
r:J,
4:
r ABCD; DE 0
=
,and similar-
ly in the case of a fourfold null direction. Golberg and Sachs have shown that the converse is also true: If a vacuum field admits a shearfree, geodesic null congruence, its curvature tensor is algebraically special, the tangent of the congruence being a multiple principal null direction of it. The proof of this theorem can be given, with the formalism presented here, by combining some of the Bianchi-identities (97) with some of the "propagation equations" described at the end of section 4, namely those which contain the relevant components only. We shall not carry out this proof here.
44
r A 111
of the conformspinor
~
44 J. Ehlers
The two preceding theorems give a differential geometrical interpretation of the multiple p. n. d. of special Einstein spaces, and they also support the idea that these space times represent pure radiation since they define "rays" which have properties analogous to those studied in geometrical optics.
7. Propagation of curvature tensors along null con&,ruences Let us assume that we have a vacuum null field. We may then write, according to the preceding considerations,
(1l9)
1,
( 120)
~A
o.
The dot indicates the covariant derivative in the ray direction From these equations and the Bianchi identity we obtain
0= r-A r-B
(121 )
r C rABCD; DE X.E
if we use the gage (115) of A
pansion
Since Rab = 0
of the
Z
Z
X
xA
and the formula (115) for the complex ex-
-congruence.
is one of the spin coefficients - see (116) - and
ft
= 0
, one of the propagation equations reduces to the simple form
o .
( 122)
45
and
- 45 -
J. Ehlers
The last two equations imply: Along a ray, either or
z ,#=0
and
z
=0
: = const. Because of (119), (120),
and
=
)i
rABCD
const.,
is either con-
stant along a ray or differs from the constant null conformspinor ')(,A X B
~C
JG D
by a factor const. z
only. This behaviour has a simple
meaning: Let us define a "luminosity-distance"
e = --;-~
.
meamng that
r
2
and a "twist angle"
r
along the rays by
behaves like the cross section of a bundle rays,
by
w
=~
such that
z
= (log
r + if)'. Then the
solution of (122) can be written
z = r
( 123)
-1 -idl e 1
and we see that if the congruence expands,
e +0
,the magnitude of the con-
formtensor is inversely proportional to the luminosity distance, and the directional properties of this tensor change according to a duality rotation the angular velocity of which is equal to the twist velocity of the rays. The preceding considerations can be generalized without much difficulty to all algebraically special vacuum fields. If we take, e. g.,
a II-conformspinor, we may start with the "algebraic
normal form" (71). Since may again replace along the rays,
XA
X
determines a geodesic null congruence, we
and take the new A )(, A = 0 • By a null rotation fA -
may introduce a new
fAA
by
A
0( 'J(,
with
A
X, A
II'
A
to be constant A we +B X
fA = 0 . Then the "algebraic normal
form" goes over into the "analytic normal form"
II =
( 124)
where
000
D, III, N
\.0 I\,
(D - 3 f III) +
0
\l N
denote conformspinors of the appropriate type which are
46
- 46 J. Ehlers
constant along the rays. The advantage of this transformation is, of course, that the dependence of
Il ABCD
A,
the complex scalar factors
v
on f,
along a ray is completely given by Using the Bianchi identity and some
Y
of the propagation equations we can obtain propagation equations which can easily be integrated with the result
(if
e *0)
(125)
The index
0
indicates constancy along the rays. Again (123) is valid, the dif-
ferent terms have, therefore, a (luminosity-) distance dependence of the form -1 -5 r , .... , r ,repsectively, and undergo duality rotations with angular velocities
w, ••• , 5w
where
w
is the twist angular velocity of the congruen-
ceo
Obviously this decomposition of the curvature tensor is "intrinsic", i. e. independent of coordinate system, tetrad and parameterisation of the congruenceo
This result (125) has been generalized .by R. K. Sachs to vacuum fields of type I which contain a geodesic congruence the tangent of which is a principal null direction of the conformtensor. In this case the first three terms in (125) re40 main unchanged whereas the fourth term has to be replaced by z I ; moreover, the power series in
z
does not break off as in the algebraically spe-
cial cases but is, in general, infinite. The results described so far are the main results of the propagation theory of "pure" gravitational waves apart from the important investigations concerning the explicit determination of the metrics of these fields. They support the conjectures which we have gained within the linear approximation and they give, even if it is granted that these "pure" fields are only approximate models
47
- 47 J. Ehlers
for actual gravitational waves, valid asymptotically at large distances from the sources, a good insight into the kinematics of a gravitational wave. Moreover, they served as a starting point for the more involved investigations which we can only indicate in the last section.
9. Remarks on further investigations concerning gravitational waves. A. Rigorous solutions The explicit determination of vacuum metrics describing gravitational waves requires the calculation of the three Pfaffians
eAB
; the fundamen-
tal form is then
The exterior differentials of these forms can be expressed, according to (89) and (99) ,as
( 126)
de AB
by means of the spin coefficients and the forms themselves. The vacuum field equations are equivalent to the propagation equations for the spin coefficients described at the end of section replaced by
4, if the quantities
Rand
S ABeD
are
0
If fields with an algebraically special conform tensor are to bi constructed,
the spin basis
5lX, fA' J
and the
eAB
can be adapted to the cbngruence
as described in section 5 . Then some of the spin coefficients vanish (section 6) or can be made to vanish by transformations (58), (59). Accordingly, the equations (126) are simplified. The procedure for choosing preferred coordinates, cultivated mainly by Robinson and Trautman, can essentially be de-
48
- 48 J. Ehlers
scribed as a repeated application of the theorem of Frobenius, combined with frame-transformations (58), (59). This theorem states: r on a =
_..11
V
are locally linearly dependent on
as k dxk (s, k
=
1, ...
r)
,if and only if
d
r
functions
gSA
e1A ...
Pfaffians s "s x, .'::J II gr
=
es
0 .
If coordinates have been chosen the field equations can either be set up
directly in terms of the holonomic
gab's, or the, equations (126) , written
explicitely in terms of the coefficients of the
eAB , s
, can be combined
with the Bianchi-identities and the propagation equations to yield a system of 34 differential equations for the components of the ficients, and the
rAECD
e AB1s
,the spin coef-
. This system of equations can then be solved
successively by laborious calculations, we refer to the papers of Newman, Dnti, Tamburino, and Kerr . Especially the analogoues of th plane waves have been determined and extensively discussed. Locally, they behave precisely as was to be expected from the linear approximation. Globally, however, it seems to be
ir~"possible
to satisfy the weak field conditions of section I. An important global property of the plane waves shall be mentioned: Their space-times are affinely complete, i. e. all their geodesics have infinite affine lengths in both directions. This property can perhaps be interpreted by considering these waves as completely "free" waves; all the other known exact wave solutions contain singularities which have to be interpreted as some kind of sources.
B. Radiation from bounded sources, asymptotic behaviour. The determination of the radiation field of a bounded source has been attacked mainly by Bondi, Sachs and collaborators. Since it is hopeless to determine the interior and exterior metric precisely, the approach of these authors has been to assume that space time is, outside of a time like cylinder, free of matter (T ab =0) , topologically like a corresponding region in Minkow-
49
- 49 J. Ehlers
skian space time, and asymptotically flat in a certain sense. A coordinate system consisting of retarded time rays
ka
=
analytic in
u' a
r skian values if
,and two angles for fixed r
~ 00
u, •
e,
u, a luminosity distance
1
e,
r
along the
is assumed such that the
are
and approach the corresponding Minkow-
~
The field equations are then used to obtain infor-
at large di's and the ab stances. A decomposition of the kind (125) is again obtained. Moreover, it mation about the leading terms of the
g
is shown that if the field is static except in a certain retarded time interval (wave pulse) the mass of the source is smaller afterwards by an amount determined by the far field amplitudes (of the
N
l
,or -;::-' part of
R ... )
during the radiation interval. Moreover, these authors, in particular R. K. Sachs, have investigated the group of coordinate transformations preserving their boundary condition. These important investigations confirm the picture to which we have been led by the linear approximation and the "pure" radiation fields. The problem of existence of such Bondi-Sachs space times, however, and the interaction with the source are still open (and very difficult) questions. We mention only that Penrose has reformulated the boundary condition by introducing ideal, infinite elements of the space time manifold.
C. Experimental verification So far, no experimental or observational proof for the existence of gravitational radiation has been given. This is not surprising if we remember that, e. g., the gravitational radiation power emitted by the solar system, estimated with the linear approximation, is smaller by a factor
10 24
than
the emitted photon radiation. The most serious effort to detect gravitational waves has been made by J. Weber. His apparatus consists of a 1, 5 tons aluminium cylinder, the support of which is constructed such that mechanical disturbances (vibrations)
50
- 50 -
J. Ehlers
are reduced as far as possible. Gravitational waves would excite normal vibrations of this cylinder, and corresponding piezoelectric voltages, highly amplified, could possibly be used to measure the absorbed radiation. So far, however, no positive result has been reported. Some methods to produce gravitational waves have also been discussed. On the theoretical side, L. Halpern has calculated, with ordinary quantum number mechanics and the linear approximation of the gravitational theory, various transition probabilities for graviton-transitions in nuclei, atoms and molecules in order to find out whether their are cases which lead to measurable Gm 2 - - the prospect of finding such cases e2 is not large. For numerical values we refer to the cited paper.
effects. Due to the smallness of
51
- 51 J. Ehlers
References and Footnotes
1. See, e.g., R.H.Dicke, ScLAm., 205,No.6, p.84 (1961), orB. Bertotti, D. Brill; . R. Krotkov, ch. 1 in Gravitation: An Introduction to Current Research, Ed. L. Witten, New York 1962. 2. Since eq. (3) of the text is not an ordinary conservation law it is necessary to have a physically reasonable argument for its validity which is independent of the field equation (1), if (3) is to be used as a restriction on admissable field equations. Such an argument has been given by J. L. Synge: If matter is treated as a gas the particles of which move along geodesics of the" macroscopic" metric gab except during collisions at which fourmomentum is conserved then the statistical energy-momentum tensor satisfies (3). SeeJ. L. Synge, Relativity: The General Theory, Amsterdam 1960, pp. 165 - 167. 3. A more geometrical formulation of the contents of eq. (1) has been pointed out by J. A. Wheeler: Let
I
be an arbitrary space like hypersurfa-
ce, u a its unit normal
(uau a = - 1), d.M~ its second fundamental tensor,
g}'p its induced metric,
R
and
IN
the scalar curvature determined by gl"v
= Tabua u b the energy density with respect to
if postulated for arbitrary
L's,
I. .
,
Then
is equivalent to (1).
See J. A. Wheeler, ch.4 in Gravitation and Relativity, ed by H. - Y. Chiu and W.F.Hoffmann,
New York 1964.
4. To obtain equations of motion of test particles we follow the method of A. Papapetrou (Proc. Roy. Soc. 209, 248 (1951)) as modified by B. and
53
- 52 J. Ehlers
W. Tulczyjew (Recent Developments in General Relativity, 1962,
p. 465). Instead of working with a
° pre f er to use t h e con d ltwns o
New York
"dipole particle" , however, we
0 t abc UbUc = 0 on u [a t b•1 c Uc =,
° covariant moments t ab , t abc p's d e fOlUlhons 0
0
f t h e center
0
'1' u 1cZYJew ° I s
f mass wor ld
line with four velocity u a , and then evaluate the equations for the moments of orders zero and one approximately by neglecting those terms which are under the assumptions stated in the text numerically small in comparison with the leading terms. The resulting equations (4) do not differ sensibly from those derived for a pole-dipole particle by Papapetrou and by the Tulczyjews. 5 a.
In this connection it seems worthwhile to point out that the curvature
tensor is a
"state variable" of the gravitational field, i. e it is
"algebrai-
cally" determined by the initial data on a space like hypersurface. In fact, the first and second fundamental forms of a hypersurface and their derivatives within this hypersurface determine, according to the generalized GauSS- Codazzi equations, some of the components of the space-time curvature tensor. The remaining components can be calculated algebraically from these and the energy momentum tensor if the symmetry properties of R.
° ••
and the field equations are used. The corresponding formulae
can be said to express the
"field-gradient" Rabcd in terms of "canoni-
cal" variables. 5
The set of all
time~like
geodesics determines the projective structu-
re and, since it fixes the nUllMcone as boundary of the set of time like
geo~
desics passing through one event, the conformal structure, too. These data determine the metric up to a constant factor according to H. Weyl, Mathematische Analyse des Raumproblems, Berlin 1923, 1. und 3. Vorlesung. Test particle experiments which can, at least in principle, be
54
- 53 J. Ehlers
used to measure space time intervals without use of standard clocks or rods have been devised independently by W. Kundt and B. Hoffmann (Recent Developments ... , see ref. 4, p.303 ) and by R. Marzke (Princeton Senior thesis, 1959). The simple interpretation of the curvature tensor stated in the text in connection with eq. (5) is due to F. A. E. Pirani (Acta PhYs. Polon ., 15, 389 (1956)). 6. We think of a macroscopic test particle such as an artificial satellite. 7. R.K.Sachs, Z.Physik 157, 462 (1960), Appendix. 8. Put F ab = Aab P(u) and assume that Aab varies slowly in comparison with the phase factor P(u). Maxwell's equations then give (approximately) F[ab u, c] = #"bu , b = 0, i. e. F ab is (nearly) a null field with propagation vector u' a. Null fields propagate along null geodesics. Papers on electromagnetic null fields which contain also earlier results of Bel and Lichnerowicz are: J. Robinson, Journ. Math. Phys.
,~,
290 (1961)
J. Ehlers and R.K.Sachs, Akad. Wiss. Lit. Mainz Abh. Math.-Nat. Kl. Jahrg. 1961, Nr.1, Kap.3, 9.
3.
The linear approximation, its difficulties and generalizations can be used
to motivate general relativity and to connect it with special relativistic field theories. Relevant papers are briefly reviewed and references are given by L. Halpern, BUll. Acad. Roy. Belgique ser. 5, 49, 225 (1963). 10. See, e. g., V. Fock, The Theory of Space, Time, and Gravitation, London 1959. 11.
A. Trautman, Bull. Acad. Polon. Sci.
~
(1958). The final paper was not
available to me; in the preprint the theorem was stated without proof in a form slightly stronger than stated here, namely with 0 in place of I do not know a proof of the stronger version.
55
f. (> 0).
- 54 J. Ehlers
12.Kirchhoff's formula and an application of it which is similar to the one given in the text can be found, e. g., in Fock's book (ref. 10), ~ 92. 13. Though we are not concerned with the quantum theory of gravitation in these lectures, I should like to describe the construction of the Hilbert space of "physical" one-graviton states because this deepens the analogy with electrodynamics and also adds to the understanding of the classical waves like (21), Consider the set E" of (real) solutions of (20) which admit a Fourier transform,
i~ab(k)eik.xdK
1ab(x)= ~
'IjIabk
b
(C:k
2
= 0),
(A. 1)
= 0,
(A.2)
Wab(-k) = tab(k).
(A.3)
The restriction
,t,
"Yab
4
~ab to C .. (k .::: 0) therefore determines (and is
of
determined by) 'Vab uniquely. A !;{age-transformation which preserves (20) and whose generator sformation
..t
-
Sa admits a Fourier transform +
~
+ i(
6. ab
z
r
a induces the tran-
~
~ ck
- 2
E k ) (A.4) lab c }(a b) . "'Yab Consequently it is no loss of generality to impose the additional gage-condi-
tion =O,or
~aa
let E' be the corresponding subset of E". tions are given by +
..
+
"Pab - -
~ab
-
the integral
<
~ab)
2 i
(A.5)
=0;
The remaining gage transforma_ ~
t:. (a k b)'
t1
fa ka = O.
)
~
(A.6)
ab 1ab' ab dK (A.7) defines a Lorents-invariant Hermitean form on the subset E of E' for which
56
- 55 J. Ehlers
the (because of (A. 2) and (A. 5) non negative) functional
't'ab>
.t
is finite. Because of the correspondence 'l/'ab ..... "I'ab' E is in a natural way a complex vector space. The subspace N of E where
<"/'ab'
''l'ab) = 0
consists precisely of the fields which are gage-equivalent to 0; the (completed) quotient space E/ N is the required Hilbert space H of one graviton states. Eqs. (A. 1) ,
(A.3), and (A.7) show: Orthochronous (antichronous) Lorentz-
transformations induce in H unitary (antiunitary) mappings.
The semi-uni-
tary representation of the (inhomogeneous) Lorentz group thus constructed is irreducible; it belongs to mass 0 and spin 2
in the Wigner classification
as can be seen from the invariants of the representation of the Lie algebra. If we introduce along C (in k-space) a quasi-orthonormal tetrad
{ t, t, k, m} as defined by eqs.
(50)1 the general element of E can be re-
presented as +
~ab
~
ta tb
+
1 t a\
+ k(aPb )'
kapa =0,
(A.8)
with two complex functions ~, ~ defined on C.,.. Because of (A. 6) the last term 2can be gaged away. From (A.7) we obtain + I~I
)dK.
<"Yab'
"l'ab)
H therefore consists of two orthogonal subspaces
Sc (11f +
=
H+, H_ which
are both invariant under proper transformations, but are interchanged under improper transformations (such as P and T.) H+ contains the states with positive helicity, H_ those with negative helicity . Plane
waves may be considered as improper elements of H. A mo-
nochromatic plane wave
with positive (negative) helicity propagating in the
z-direction is given, according to (A. 1) and (A.8), by
,Ill b(x) :a
=
A Y.l 1-)(-) i (t t e y2 a b
~'n,
IAl
(z-t)
A real)
)
(A.9)
which leads to a metric of the form (21), namely, G
+ A«dx 2
dy2) cos IN(Z-t)
57
~) 2
dxdy sinc.>(z-t)).
(A.I0)
- 56 J. Ehlers
In analogy with electrodynamics such a wave should be called left (right) circularly polarized. The intuitive interpretation of these as well as linear polarisation states in terms of test body behaviour follows from the discussion on pages 13 and 14 and the formula R ab
cd
"2'111[a Ib] I [cl dl
= _'/';2 Y'"
A '.0 (IJ-l[akb} t-l k iW(z-t) (A.11) uL t t [c d]e )
for the linearised curvature tensor associated with (A.9). (The preceding considerations are formally similar to those in part VI of Lichnerowicz, Annli di Matematica ser. 4, 50, 1 (1960), though Lichnerowicz is concerned neither with the explicit construcion of the Filbert space nor with that of the field operators but with the deduction of the form of the commutatioorules.
The actual construction of the Fock space
and the field operator-distributions can be performed by using Wightman's improved version of the Gupta-Bleuler formalism. ) 14.
This metric results by superposing monoc,hromatic plane waves (A. 10)
of both helicities travelling in the same direction. 15.
The normal forms (22),
(23) have been established by Bel, Lichnero-
wicz, and Pirani in their papers which marked the biginning of pure radiation theory; see the references in Pirani's article in the book "Gravitation" cited in 1. - Test body motion in exact plane waves has been studied in H. Bondi,
F. A. E. Pirani,
J. Robinson,
Proc. Roy. Soc.
A~,
519
(1959) and J. Ehlers and W. Kundt, ch.2 in Gravitation, see ref.
16.
1.
The definition of polarisation states by means of the curvature tensor
has been given in 13. in connection with (A. 11). That definition can be used, mutatis mutandis, in the full theory if Rabcd (s) is Fourier-analysed along
58
- 57 J. Ehlers
the world line of an observer. 17.
This approach to gravitational radiation theory has been initiated by
F.A. E. Pirani (Phys. Rev. 105,1089 (1957)) andA. Lichnerowicz
(C.R.
Acad. Sc. Paris 246, 893 (1958)). 18.
A. Trautman, see 11. -
The expression (31) does not have the form
(23)3' but introducing a quasiorthonormal tetrad as defined in eqs. (50)1 and taking into account (30)3 and the vacuum field equation we may write ( c ( d iab = 0 a icd 0b = O(r
-2
=
c (k rna +
) + k(arb) + r
c c--c m ka + t ta + t tal i cd (' .. )
.. -c-d . 2uL (Ncdt t t a \).
-1 t1
may therefore be expressed as iab =
2
~
r 't
The
(23)2 with
r
curvature tensor
,.c-d (N cd t t ta t b ) which has the required form. The complex function ..
,. a-b Nabt t of u, W fully determines the far-field curvature tensor. 19.
See R. K. Sachs, Proc. Roy. Soc. A 264, 309 (1961), sec.2 and appendix
B. 20.
A careful discussion of the energy problem is given by A. Trautman,
ch.5 in the book "Relativity" cited in 1. 21. J. Weber, General Relativity and Gravitational Waves, Intersc., New York 1961, sec.7.3. J. Boardman and P.G.Bergmann, Phys.rev. and P.G.Bergmann, Phys. Rev. 22.
~,
~,
1318 (1959) R.K.Sachs
674 (1958)
References can be found in Pirani's article mentioned in 15.and in R.
K. Sach's contribution to "Relativity, Groups, And Topology," Breech, New York 1964.
59
Gordon and
- 58 J. Ehlers
23.
The decomposition (35) is due to J. Geheniau and R.Debever (Bull.
Acad, Roy. Belg., Cl. des Sc., 42 (1956). The classification of conformtensors has been carried out by A. S. Petrov (Sci. Not. Kazan State University niau (C. R.
Paris~,
ill,
55 (1954)) and independently by J. Gehe-
723 (1957)). The finer classification presented here
has been given by L. Bel (These, Paris 1960). Our presentation follows R. Penrose (Ann.Phys.10, 171 (1960)). More details are given in P.Jordan, J. Ehlers, R. K. Sachs (Akad.Wiss. Mainz
!..'
1 (1961)) For a corresponding
classification of "Ricci" tensors see R. V. Churchill, Trans. Am. Math. Soc. 34, 784 (1932). 24.
See, e.g., W.L. Bade and H.Jehle,
Rev.Mod.Phys.~,
714(1953).
Some conventions used here differ from those in that paper. For spinors in General Relativity, see Penrose, loco cit. 23, and Jordan, Ehlers, Sachs loco cit. 23. 25.
H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics, London 1931
(reprinted by Dover Publ.), ch. III, sec.8. J. L. Synge, Relativity: The Special Theory, Amsterdam 1956, ch. IV, sects. 11,12. 26.
This method of decomposition is taken from a preliminary draft of a
comprehensive book on spinors which is being written by R. Penrose and W. Rindler. 27.
Cf. L.Witten, Phys.Rev.!...!.2, 357(1959),
R. Penrose loco cit 23. 28.
L. Bel (degenerate cases, cf.loc. cit. 23,
R. Debever, Bull. Soc. Math.
Belgique 10 (1959) (general case)
R. P.enrose,(loc. cit. 23;spinor treatment).
60
- 59 J. Ehlers
29.
P.Jordan, J.Ehlers, R.K.Sachs, loc.cit.23.
30.
K. Bichteler,
1,:
Cartanformalisus fi:!r Spinoren, Preprint, Hamburg 1962;
Z. Physik 178, 488 (1964). A similar calculus, based on the isomorphism between
and the complex orthogonal
group in three dimensions in
place of (53) , has been developed by R. Debever, M. Cahen and L. Defrise; cf. R. Debever, Le Rayonnement Gravitationnel, preprint, Brussels 1964, chap. III. 31.
E. Newman and R; Penrose, Journ. Math. Physics,2., 566 (1962)
32.
R.K.Sachs" Proc.Roy.Soc.A 264, 309 (1961), sec.4; P.Jordan, J.Eh-
lers, R.K.Sachs, loc.cit.23. 33. Cf. references 31. and 32. 34.
This theorem emerged out of the work of L. Mariot, A. Lichnerowicz,
L.Bel, J.Robinson, A.Trautman, R.Debever, R.K.Sachs; for references, see R. K. Sachs, loco cit. 32. 35.
J.N.GoldbergandR.K.Sachs, ActaPhys. Polon. 22,13, (1962),E.
Newman and R.Penrose, loc.cit.31. 36.
A conformally invariant generalisation of the Goldberg -Sachs theorem
has been proven by W. Kundt and A. Thompson (C. R. 254, No. and by J. Robinson and A. Schild (Journ. 37.
This and other
~5
(1962))
Math. Phys.i, 484 (1963)).
"distances" are discussed by R.K.Sachs in Recent de-
velopments in general relativity, Warsaw 1962, p.395 38.
These theorems on the propagation of algebraically special vasuum cur-
vature tensors have been obtained by R. K. Sachs; full proofs are given in P. Jordan, J. Ehlers, R. K. Sachs, loc. cit. 23. For the special case of twist-free
61
- 60 J. Ehlers
congruences somewhat stronger statements have been obtained by J. Robinson aI}d A. Trautman (Proc. Roy. Soc. A 265, 463 (1962». 39.
R. K. Sachs, loco cit.32, sec.6.
40.
J.RobinsonandA.Trautman, 10c.cit38. SeealsoW.Kundt, Z.Physik
163, 77 (1961), W. Kundt, and M. Trumpe.r; Akad. Wiss. Mainz Nr. 12, 1962. 41.
Cf., e. g., A. Lichnerowicz, Theorie globale des Connexions et des
groupes d'Holonomie, Paris 1955. The observation that this theorem is a natural tool for introducing preferred coordinates has been pointed out by K. Bichteler, cf. the references 30. 42. E. Newman and T. Unti, J. Math. Phys. A.Tamburino, J.Math.Phys.b
.!..!.'
~,
896 (1962), E. Newman and L.
667 (1961), R.P.Kerr, Phys. Rev Letters
237 (1963).
43.
Cf. the last two of the references 15.
44.
H. Bondi, M. van der Burg, A. Metzner, Proc. Roy. Soc. A 269,21 (1962)
R. K. Sachs, Proc. Roy. Soc. A 270, 103 (1962) 45. R. K. Sachs, Asymptotic Symmetries in Gravitational Theory, USASRDL, 1962. 46.
R. Penrose, Phys. Rev. Letters
!.£'
66 (1963),
R. Penrose, Conformal Treatment of Infinity, contribution to Relativity, Groups, and Topolo&y cited in 22. 47. Cf., e.g., ref 10, p.404 48.
See, e. g. J. Weber, General Relativity and Gravitational Waves, New
York 1961,
and the contribution of this author to "Relativity, Groups, and
62
- 61 J. Ehlers
Topology" cited in 22. 49.
L. Halpern and B. Laurent, Nuovo Cimento, 1964.
63
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO ( C. I. M. E. )
L.
BEL
SUR TROIS PROBLEMES PHYSIQUES RELATIFS AU ds 2 DE SCHWARZSCHILD
65
SUR TROIS PROBLEMES PHYSIQUES RELATIFS AU ds 2 DE SCHWARZSCHILD
par L. BEL
INTRODUCTION GENERALE Ce cours est consacre
a I 'etude
de trois problemes relatifs au contenu
physique du ds 2 de Schwarzschild. Ces trois problemes sont successivement traites aux chapitres II, III et IV pour les quels nous avons choisi respectivement les titres suivants ; Quantification des etats lies gravitationriels. Ondes planes
a l'infini.
Deux aspects de la generalisation du groupe de Lorentz inhomogene. Les resultats du premier chapitre concernant Ie probeme de la quantificn-tion des etats lies :gravitationnels resultent'de I 'applicatio~ au ds 2. de Schwarzschild de deux methodes de quantification differentes. La premiere est la methode de Bohr pour la quantification des orbites circulaires. Elle confirme les resultats que l'on obtient dans l'etude des etats lies des particules d'epreuve soumises
a un
potentiel central newtonnien. La deuxieme methode est la metho--
de du type mecanique ondulatoire. Elle confirmerait les resultats precedents sauf qu'elle prevoit I'existence d'une etat supplementaire, qu'on peut appeler super-lie, pour Iequell'energie de liaison est d'un ordre de grandeur bien plus important que celle qui correspond aux etats du spectre prevu par la methode de Bohr. Le chapitre III vise
a la
generalisation de Ia notion d'onde plane, familie-
re en Relativite Restreinte. Acette notion se rattachent au moins deux problemes physiques. Le probleme de la diffusion des particules d 'epreuve dans un champ de Schwarzchild, des deux points de vue; classique et quantique. Et Ie
67
- II -
L. Bel
probleme de la caracterisation du rayonnement emis par objects a distance infinie, d'ou l'utilite des resultats obtenus pour l'etude des phenomenes de l'aberration et l'effet Doppler. Nous obtenons au chapitre IV des formules de transformation qui generalisent les formules de transformation qui definissent Ie groupe de Lorentz inhomogene. Plus precisement, ces formules de transformation sont fonction de la masse centrale qui cree Ie champ de Schwarz schild et se reduisent aux formules de Lorentz si on fait tendre la masse centrale vers zero. L'interpretation cinematique est conservee par cette generalisation. Le chapitre I est un chapitre de Rappels, auquel nous aurions pu inclure les trois appendices qui terminent ces Notes. Les rappels du chapitre I ont un caractere tres general et peuvent €\tre utiles pour la lecture des trois chapitrss qui suivent, tandis que les trois appendices se rapportent uniquement a la section II du chapitre II. Ces rappels, a'.1ssi que les appendices, ne pretendent pas ~tre
un resume equilibre des questions traitees car nous avons mis l'accent
sur les aspects auxquels nous devions par la suite nous referer. N ous avons redige pour chaque chapitre des introductions plus detaillees auxquelles peut utilement se rapporter Ie ledeur qui desirerait avoir une vue d'ensemble plus complete de ces Notes avant d'en enterprendre la lecture. Je remercie tres sincerement Ie Centro Internazionale Matematico Estivo et particulierement M. Ie Professeur C. Cattaneo de m'avoir invite a faire un cours sur ces sujets ala Sauze d'Oulx en ete 1964.
68
- I -
L. Bel CHAPITRE I : RAPPELS SECTION I
QUELQUES RAPPELS DE MECANIQUE ANALYTIQUE
1. - Definitions generales et principaux resultats. a. - Du point de vue de la mecanique analytique un systeme mecanique holonome
a
n degres de liberte peut etre considere defini par sa fonction de La-
grange i i L(q ,q ,t)
qui est une fonction des n variables q
i
choisis pour decrire la configuration
du systeme, des derivees qi de ces variables par rapport au temps t, et dans Ie cas general du temps
lui-m~me.
On dit que l'espace des variables (qi) est l'espace de configuration, et on peut aussi dire que llespace des·variables .(qi,t)
est Fespace
de configu,ratlion
des evenements. i
Les moments conjugues des variables q sont par definition
(JL
i=I,2, ... ,n
Ces n definitions peuvent etre considerees comme un systeme d'equations sur o
i
les q. Le systeme mecanique est regulier, ce qui est suppose ici, si ce systeme d 'equations peut etre resolu. Dans ce cas nous pouvons obtenir les fonctions OJ·
oJ·
i
q=q(q,p.,t)
(I, 1)
1
L'action du systeme Ie long d'un chemin donne d'equations q rigine (I,2)
q~
= q\t ) et d'extremite 0
s
q~
= qi(t 1 ), est par definition
";'1 L(qi, qi, t)dt
to
69
•
i
i
q (t),
0-
- 2 L. Bel
l'integrale etant calculee Ie long du chemin envisage. Les equations du mouvement du systeme sont les equations d 'Euler des extremales de l'integrale ci-dessus, c'est-a-dire : d r,)L d"tPi - (Jqi
(1,3)
=
°
i= 1,2, ... ,n
Une fonction p(qi, qi, t) est dite €!tre une integrale premiere des equations precedentes si
~ = 0 P + fJ P • i + n P dt
Il est clair quesi ment conjugue p. J
n
n qi
t
q
.oi (.) qi q
=
'J ~ = 0, c'est-a-dire si la es~ une integrale premiere.
()J
°
variable qj est cyclique, Ie mo-
b. - Il existe trois methodes pour obtenir les solutions du systeme de n equations du deuxieme ordre (1,3) correspondant a des conditions initiales doni i. i •i nees : q (to) = qo; q (to) = qo· La premiere consiste evidemment dans l'approche direct du systeme d'equations precedent et ne fait intervenir de ce fait aucune autre grandeur nouvelle. La deuxieme methode consiste a ramener les equations (1,3) a un syste:me de 2n equations du premier ordre, ce qui peut se faire de plusieurs manieres. La methoder des equations c'anoniques
de Hamilton en est une. En voici
les deux etapes principales. Le Hamiltonien du systeme est par definition: , i H = Pi q - L
C 'est une fonction des qi,
qi et
t mais qui compte tenu de (1,1) peut €!_
tre considere aussi comme une fonction des qi, p. et t, et €!tre ainsi designe 1
par:
i
H(q , Pi' t)
70
- 3 -
L. Bel
Si Ie lagrangien ne depend pas explicit,ement du temps, il est une integrale premiere de (I, 3). Les equations canoniques de Hamilton sont Ie systeme de
2n equations:
.i q
(I,4)
systeme d'equations qui est equivalent
a (I,
i 3) dans ce sens que si q (t) et
P.(t) est la solution de (I, 4) correspondant aux conditions initiales qi 1
.
et p. 10
= .
lesq~
0
=
q\t ) 0
P.(t ), ql(t) est la solution de (I, 3) correspondant aux conditions initia1
0
= qi(to)
i
qo
.'
= ql(qb,
Pio' to) et reciproquement.
Enfin la troisieme methode, celIe qu'il nous interesse particulierement de rappeler, est la mlHhode de l'integrale complete de l'equation de HamiltonJacobi. L'equation de Hamilton-Jacobi est l'equation en derivees partielles du premier ordre
"ds
(I,5)
I()t
-H( q i ,
~ ., r;)
ql
t)
'Us
obtenue en rempla«ant dans l'Hamiltonien Pi par et egalant I' expression b ,f.l S I/) qi o tenue a -n~ . Suivant la terminologie de la theorie des equations en derivees partielles du premier ordre on appelle integrale complete une solution de (I, 5) contenant n+ 1 constantes d'integration independantes. II est clair que la fonction S n' apparaissant dans (I, 5) que par ces derivees partielles, une de ces constantes est toujours une constante additive. Soit S(qi, tip.) une telle integrale complete, ou P. sont les n constan1
1
tes d'integration autres que la constante additive. Les n constantes Pi sont independantes si (I,6)
f,) S
i
0
71
- 4 L. Bel
On peut done resoudre Ie systeme d'equations sur les Pi
~S
Pj
i
tJqj
(q, t
Pi)
Les' fonctions Pl' ainsi obtenues
s~nt,
=
P.(qj,P.,t) 1 J
comme on peut Ie voir, des integrales premieres du sy-
sterne d'equations (I, 3). Posons S(qi,t Ip.) o
0
1
Pour obtenir la solution de (I, 3) correspondant aux conditions initiales qi o
qi(t)'
p.
= p.(t ) = P.(qj ,qj ,t )
a partir
de l'integrale complete S(qi, tip.),
i il suffit de resoudre Ie systeme d'equations sur les q : 0
10
1
0
1
0
0
0
1
I
I) S . k . r'\p (qJ,t P.(q ,Pk ,t )1 qJ ,t ) = 0 '0.) i 1 0 0 0 0 0
qui est encore resoluble d'apres (I,6). Les fonctions
donnent la solution desiree. Pour des valeurs des Pi fixes les equations
-
_ i j. j p. - p.lq ,p.(q ,q ,t),t
(r, 7)
1
1
1
J
definissent un systeme d'equations du premier ordre. Les fonctions
Pi etant
des integrales premieres du systeme (r, 3), les solutions de (r, 7) sont des
so-
lutions de (1,3). Nous appellerons l'ensemble de ces solutions Ie faisceau associe aux p. fixes choisis. 1
c. - Rappelons aussi la definition de variete transversale. Toute extremale de (I, 2) peut
~tre
representee dans l'espace de configu-
72
- 5 -
L. Bel
ration des eVEmements par un arc de courbe d 'equations q i
En un point ql' t I
i
~
i q (t)
t
~
t
de cette extremale nous pouvons calculer par consequent
H et Pi'
Definition. -
Une surface de l'espace de configuration d'equation locale
S(qi, t) ~ cte: , est dite @tre une variete transversale
a une
extremale de (I,2)
si au point (qi,t l ) d'intersection de l'extremale avec la surface on a;
tJS
-"-H
t1 t
Avec cette definition on peut enoncer Ie resultat suivant ; .
Si S(qi, t {P,} est une integrale complete de (I, 5), chacune des surfaces
S(ql, tip,} ~ 1
1
cte. pour p. fixes est une variete transversale I
a chacune
des e-
xtremales des faisceaux associe aux p .. I
Enfin, Ie dernier resultat qu'il nous convient de rappeler est Ie theori?me suivant ;
I
Theoreme. - Si S(qi, t Pi) est une integrale complete de (I, 5) et (q;, to)' i (ql' t l ) sont les deux points extr@mes d'un arc d'extremale du faisceau associe aux P., on a ; 1
S(qi, \
Ip·1 qi, t ) ~ 1
0
0
J
tl
t
L(qi, qi, t)dt
o l'integrale etant calcu.lee Ie long de l'extremale envisagee. Autrement dit
S(q1l' ,tIl p.1 qi, t ) est l'action du systeme Ie long de l'arc d'extremale consi1
0
0
deree.
73
- 6 L. Bel
SECTION II
LE ds 2 DE SCHWARZSCHILD
2. - Le systeme mecanique associe au ds
a. - Le ds
2
tation d 'une masse
2
de Schwarzschild.
de Schwarz schild est Ie ds
a symetrie
2
decrivant Ie champ de gravi-
spherique. Il est de ce fait la generalisation re-
lativiste du potentiel newtonnien de cette masse. Nous ecrivons Ie ds 2 de Schwarzschild sous sa forme habituelle en coordonnees polaires ds
(I,8)
2
avec (1,9) k
r
etant la constante de la gravitation,
la masse du corps qui cree Ie champ
M
et c la vitesse de la lumiere dans Ie vide. Quant ceci sera plus commode nous poserons 1
~t
=r
,:3
2
=
e ,!
3
et: 0,1,2,3
Les potentiels sont done : (I,10)
f5c.(
p=
si c::.( de
f
0
r
m~me
(I,11)
g
c
00
r et (I, 12)
75
2
2
g
33
tf si C\.
=
f
0
f
- 7 L. Bel
b. - Au ds 2 ci-dessus correspond Ie systeme mecanique defini par Ie Lagrangien : L = _ ou m
mc2~
est la masse de la particule d'epreuve soumise au champs de gravita-
tion de M et ou :
~ == -\/ G
(1, 13)
L..-.,
;.2 r2 - -- - c2
• 2
(8
c2
+ sin
2' 2
e i:f )
Les trois moments conjugues sont : mr2 Pe=~'
(1, 14)
2 2 • mr sin 8'{J
P:e
L:
Le systeme mecanique est regulier car les equations precedentes peuvent
e
.'
resolues pour r,
• csE r=--p
(1, 15)
m
et
,.
Sf' .
En effet nous pouvons ecrire tout d 'abord
g
,Cf}
=~p
e
mr2
z:
~
.'-+
r
et utilisant ces expressions dans la definition de
z:
p~
(I, 13) il vient
2 1 (P9 + - ;-2-
sm
d'ol! on tire l'expression de
~tre
Z
e
2 R,!,'
en fonction des p
,-1
Avec cette expression pour ~ les formules (1, 15) donnent Ie resultat desire. L'action de la particule de masse m Ie long d'un chemin dont les points extr~mes
(1,16)
correspondent aux valeurs to et tl est
I
S =
tl to -
meL 2
dt
l'integrale etant calculee Ie long du chemin envisage.
76
L. Bel
c. - Les equations du mouvement de m
sont les equations d'Euler des
extremales de 1 'integrale ci-dessus qui correspondent
a
r:
reel positif. El-
les s'ecrivent compte tenu de (1,13) et (1,14) : d dt
(mr) mc 2 V-}:... + 21:
dO- _ ~ (~2 . 2 e t'n 2)) I lr( 1 + ~) c 2U- 2 dr c2 + sm J 2 •
2 mr sin
~(mr @)
(1, 17)
L
dt
• ~ ( mr 2sin 2 9!P)
dt
...... ~
0
:t;;
\7
e cos 9!2·2
0
L..
= 0
La derniere de cas equations exprime evidemment que 1 'expression entre parentheses est une integra1e premiere. Nous poserons (1,18)
n
est clair que par un choix convenab1e de l'axe polaire nous pouvons faire dE.
sorte que
p• o = C:£• (t
0
)
=0
et par consequence M /I
dit dans ces circonstances que
cp
= O.
= o.
L'equation (1,18) nous .
Autrement dit que ~
= 'cte
et que par
consequent 1es trajectoires des particu1es d 'epreuve sont contenues dans
UI:
plan. d. - Des trois methodes rappelees dans la section precedente pour
reso~
dre les equations (1,17), nous allons appliquer celIe de 1'integrale complete de l'equation de Hamilton-Jacobi. Construisons tout d'abord l'Hamiltonien correspondant. De (1,14) il vient:
cr::-
m [';'2 2' 2 2 +r + sin H =~
(e
e i?• 2 )]
+ mc
2
2:::
etde(I,13) (1,19)
H=
2
mc()
L:
H est une integrale premiere puis que L De depend pas explicitement du temps.
77
- 9 -
L. Bel
C'est l'integrale de l'energie. Nous poserons EoH
On remarquera que H, et done E, est toujours positif.
deLt
~
D'apres l'expression eobi est ')S ~- = -me
!J t
2.r::= VV
-0
1 +
en termes des p, l'equation de Hamilton.-Ja-
1 e 2m 2
~~-
{~~S2 + -1 .l-'()S2 + -1PS2J~j - (--) j \J (~-)
~ r
(~-)
f'i)f1
r2
sin 29 'V~
Apres elevation au carre cette equation peut s' ecrire : (I,20)
/\
2
'"
~ S= ~~()S) _ 2r-(_(.J_S) .w 1 - Ct c v r, 'v
2
22 r. +_l_(_U_S) 2 r.'I{'\ • 2 (() rn r ' VI7 Sln :t'
-~l(()S)
r
e-
j-
=
24 m c
e. - On peut trouver une integrale complete de cette equation par la methode habituelle. Prenons comme fonction d'essai une fonction S de la forme: S = -Et + W(r) + Q(9-) + ou E
et M
Mp
sont deux constantes. La substitution de cette fonction d'essai
dans l'equation (I, 20) donne: (I, 21)
Posons encore
ou Pest une nouvelle eonstante. L'equation (I, 21) devient
De ces deux dernieres equations on tire dW dr
E II
E
cC-
78
2 =
+1
- 10 -
L. Bel
ou (1,22) et :
62..=
+1
N ous avons ainsi obtenu 1'integrale complete que voici (1,23)
S
= -
EJ a=-
Et + -
..0..dr
c
+
aJ11V
2 P 2 - -M .-2-' de- + M sm 9
P-
f. - Pour obtenir l'interpretation des constantes M et P noils procedons comme i1 a ete indique dans la section precedente. Il vient tout d 'abord d'apres (1,14') :
M est donc 1 'integrale premiere (I, 18) deja trouvee.
De la definition de P et de l'expression ci-dessus de M
i1 vient ensui-
te : P
2
'0s
2
M2
2
M2
m 2r 4
•2
= (r" a.) + -.-2- = Pe + - - = - - (8 + V 17
sm
9
sin2e
L.,
2
sin
2' 2
e~ )
Enfin pour E, puis que
'?J S
= -E
0t
E n'est autre que l'Hamiltonien du systeme, c'est-a-dire l'energie de la particule. D'autre part de
L
.n..
_ J S _ dW _ Pr - (J r - ~ - cOet de (I, 15), i1 vient
79
,,
1 1
-
-
L. Bel
r
S et
a
'".
Q, \
cm
.
sont donc respectivement
(;)
r~~1
I 19- r
et
g. - N ous allons poursuivre la resolution du probleme de l'integration du systeme d'equations (I, 17) nous bornant aux particules pour lesquelles M
=
ce qui revient comme nous l' avons vu a un choix particulier de l' axe polaire, Avec les notations de la section precedente la fonction
S($i,t/E,pI5~,to)
est dans ces conditions:
(1,24) et les equations du mouvement sont par consequent d'apres (1,22) et (1,24)
"Us
= -
(jE
(t-t )
o
I:
(1,25) 'tJS 0p
= -
+
£ c
Jr
E ~1"2-
l'
dr
=
0
()
-0
dr
[cP
r2Sl.
+
9-9-
0 0
0
La premiere de ces equations permet d' obtenir la fonction r(t;r ,t ,E,P);
I'
o
a
la deuxieme est 1 'equation de la trajectoire dans le plan
C£
cte
qui de-
pend evidemment des conditions initiales. Nous terminerons ces rappels par deux remarques. Remarque I. 11 est clair par inspection de (I, ]1) et (I, 20) que cette derniere n'est autre que l'equation
4
S _ 1
-=
g'"
~ 2~_ 'J~_ "JS><'
(;)3~
2 4 m c
c' est pour cette raison que nous avions deja utilise la notation 1::::,.:j. qui est la notation habituelle pour Ie premier parametre differentiel de Beltrami. C eci
80
0
- 12 -
L. Bel
n'est pas particulier au ds
2
de Schwarz schild. On peut voir, en effet, par
une methode intrinseque directe que ce resultat subsiste pour tout Lagrangien ds d s2e a 't nt une me't rlque . . . de la forme L = - mc 2 ill' rlemannlenne. Nous avons employe les methodes c1assiques de la mecanique analytique plutot que des methodes geometriques intrinseques parce quI elles s 'adaptent mieux aux interpretations physiques. Remarque II. Soient r, point (r, Soit S(r,
19 ''f ' t) ~ ,1£ ,t)
e,'£
les compos antes de la vitesse en un
d 'une particule decrivant une extremale G de (I, 16). =cte
une surface de l'espace de configuration des evene-
ments coupant l'extremale section precedente S
G au point considere. D'apres la definition de la
cte est une variete transversale a. I I extremale G si
=
au point d'intersection :
'JS rut
(1,26)
= -
."'J
,,";) S -
M
) ~ - Pr
S
'()9
En termes de geometrie riemannienne G est une geodesique de (1,8). Le vec-'- . 2. teur tangent, norm" a mc , a cette geodesique est Ie vecteur de composantes contravariantes u
0
mc
2
-2:...
u
2.
I
mc r
u
X-
2
mc
2 •
2 •
9
u
L-.
3 = mc q?
L-
Ies ·composantes covariantes etant u
mc 2() r-
0
L
U
1
=
.
mr
u2
'TL
c'est-a.-dire, d'apres (1,14) et (1,19) u
0
=
M
u2
u 1 = - Pr
mr
2 •
e
.e..- p
9
On peut donc traduire les formules (1,26) par:
rus
0j%
- u
«.
81
u3
..
. ~ mr 2 Sln "'--
u3
- P
P
'£
- 13 -
L. Bel
et dire que la surface S
=
cte
est une variete transversale ala geodesique G
si elle est orthogonale a cette geodesique au sens de la metrique envisagee. Ce resultat est aussi valable pour tout Lagrangien de la forme L = -mc 2
82
~:
.
- 14 L. Bel
CHAPITRE II
QUANTIFICATION DES ETATS LIES
Introduction. N ous abordons ici Ie probleme de la quantification des etats lies d' origine purement gravitationnel. L'energie potentielle d'une masse m
dans Ie champ de gravitation new-
tonnien d'une masse M ne differe de l'energie potentielle d'une charge
-e
dans Ie champ de Coulomb d'une charge e que par les valeurs numeriques de ces quantites et des constantes caracteristiques. Les m€lmes regles de quantification peuvent donc €ltre appliquees pour determiner les etats lies de deux masses on de deux charges de signes opposes. On obtient ainsi les formules suivants pour Iesenergies des etats lies de deux masses W
n
2 _ 1\/2~ 2n2
n=1,2, ....
ou Cette constante qui correspond it
A.
0-
est la constante qui au point de vue quantique joue Ie role e2 = 11 c dans Ie cas de l'interaction de deux charges +e et
-e. Pour des masses M et m
de l'ordre de la masse du nucleon, disons,
)... est de l'ordre de 10- 40 et par consequent l'energie de liaison correspondante est toujours tout it fait negligeable. C e simple resultat numerique expliquerait pourquoi les effets gravitationnels newtonniens seraient indetectables dans Ie domaine microscopique. L'object du present chapitre est d'examiner Ie m€lme probleme it la lumiere des methodes de quantification plus ou moins raffinees qu'on peut appliquer it la theorie du ds 2 de Schwarz schild.
83
- 15 L. Bel
La premiere de ces methodes sera la methode de Bohr pour la quantification des orbites circulaires. Cette methode confirme qualitativement, m~me
quantitativement
a un tres
et
haut degre d' approximation, les resultats is-
sus de la theorie de Newton et rappeles ci-dessus. La deuxieme methode est la methode du type mecanique ondulatoire. Nous avons choisi comme fonction d'onde l'equation m 2c 4
(62+~)1'=0
.6 2
etant Ie laplacien intrinseque sur les fonctions pour Ie ds 2 de Schwarz-
schild. L'etude des solutions correspondant aux fonction d'etat des etats lies, avec un principe de quantification approprie, conduit
a ranger
ceux-ci en deux
groupes. Le premier groupe, qui comporte un nombre infini denombrable d'etats, correspond au spectre obtenll precedemment et,
d'~tre
seul, confirme-
rait les resultats connus. Le deuxieme groupe comporte un seul etat dont l'energie de liaison est de l'ordre de 0, 3mc 2 et serait donc tres importante, mi"me pour des masses de l'ordre de grandeur envisage ci-dessus.
84
- 16 L;Bel
SECTION I : QUANTIFICATION DES ORBITES CIRCULAIRES
1. - Les orbites circu1aires.
a. - Considerons une extrema1e de (I, 16) dont 1a trajectoire soit un cerc1e de rayon a
>
O. On sait que ceci existe et nous nous proposons de carac-
teriser ces solutions particulieres des equations du mouvement par une relation entre les deux constantes du mouvement E et P. Nous supposons, bien entendu·, ce cerc1e contenu dans un plan
p
= cte.
Posons : 1
u =r
Si r
a
e-
=a,
u
= 1.. a
;0
d.. et par consequent toutes 1es derivees de u par rapport
doivent ~tre nulles. Or de (I, 25) il vient du
(II, 1)
n
2
(II,2)
de-
,£.il.
cP
etant d'apres (I, 22) et (I, 9) : .[}.2
=
2j'1X 2u 3 _
X 2u 2 + 2f
ou nous avons pose
x:
=cp
Nous devons par consequent avoir (II,3)
D'autre part par definition de (II, 1) il vient
Soit
85
m
2 4
c u-
- 17 -
L. Bel
et cette expression devant @tre nulle pour u
- d D.. 2 (0()
(II,4)
du
=
=
d....
0
Reciproquement il est facile de voir que (II, 3) et (II, 4) entra:tnent
u = <:A.. ,
Elles caracterisent donc les orbites circulaires. Les conditions (II, 3) et (II, 4) expriment comme on sait que u = oZ.
est
une racine double de l'equation :
b. - Nous obtiendrons par consequent la caracterisation desiree des orbites circulaires si nous obtenons la relation entre E polynome
qui fait que Ie
f t 2 est de la forme:
..a 2 (u)
r
et P
=
'Y 2 2 2J11\. (u -cO (u
-(3)
etant la troisieme racine. Le developpement de l'expression ci-dessus est: r.2
.!o.L.
(u)
=
'\12 3 2fA. u -
2)J'X- 2 (201..
+)-')u
2
De l'identification de l'expression precedente
+
2)
a (II, 2)
il vient :
(II,5)
11 s'agit maintenant d'eliminer 0\ la relation entre
3'
et
X
et
r
entre ces trois relations pour obtenir
et par consequent entre E
tout d' abord 1
2tt
- 2
puis, I' equation pour 0(
86
ol.
et P. Nous obtenons
- 18 L. Bel
dont les deux solutions sont
eX. Les valeurs de
ol
et
f
6~ (I+E lf
=
ainsi obtenues substituees dans la derniere des re-
lations (II, 5) nous donnent la formule desiree 2 .;
1-
r
2
2. 33? 2
L
-1 + 3 2 . 2m 2 c 4
X2
;U~
_ C (1 _ 12m 2 c 4)-1 2) 3/2
X2
-
1
2. - Quantification. a. - Introduisons maintenant Ie postulat de qualification. Nous poserons d'apres la methode de Bohr P=n1t,. et conviendrons que les seules valeurs possibles pour P spondent
a
n entier positif.
h..
=
2
rr1;.
sont ceux qui corre-
est la constante de Planck.
Compte tenu du fait que
ou
J.
est la constante sans dimensions : kMm
'(C
nous pouvons ecrire : (II,6)
me
01..
=
61iX
S
et l'expression correspondante pour 2 2 4 2 = n -1 2. 33 2
.3
12 ~ 2 2 n
(I+SVI 2
meL + A
est:
33. 2 ,(2 2 n
87
) _ E (1
_
1::
2)
3/2J
- 19 L. Bel
b. - A chaque valeur de n, la formule precedente fait correspondre une valeur En de l'energie dont nous allons obtenir une expression plus simple en developpant Ie terme entre crochets par rapport au parametre X. que -40 nous supposerons beaucoup plus petit que 1 . De l'ordre de 10 si l'on veut. De :
i1 vient :
2
[-1
2 4
n m c
2.33). 2
E.
Pour
~
-1
[, (1 -
+
2
~ n
2
3
A2 + ~A 4 + O( A6 )) 4 n
nous obtenons 2 4 2 ~ ~~ 2 + 0(,,( 4) ;
.g
(II, 7)
n
et pour
C
~
+1
(II, 8)
c. - Si nous nous interessons uniquement aux etats lies au sens stricte, c.'est-a-dire ceux pour lesquels on a :
S2
il est clair que seul
:s
e
2 4
~mc
2 -E>O
doit ~tre retenu. En effet
~ -1
S
~ +1
conduit a
2 .:: O. Bornons-nous pour l'instant aux etats lies au sens stricte.
De (II, 7) i1 vient a l'approximation envisage mc 2
En
VI -
"zn: '
d' ou finalement : (II, 9)
E
n
~
mc
2
88
- 20 -
L. Bel
Autrement dit les energies de liaison des differents etats sont 2 _ W = 2 mc n 2n2
A
et cOIncident avec les energies correspondantes du cas newtonnien. Nous obtenons les rayons des orbites correspondant n a partir de (II, 6) en posant 3 /... pres est:
E"
-1. Le resultat
a des
a chaque
valeur de
termes de I' ordre de
tX. n donc
resultat qui coincide encore avec Ie resultat newtonnien. d. - Les resultats precedents peuvent ceci qu'ils confirment
a un tres
~tre
consideres satisfaisants dans
haut degre d'approximation les resultats d'u-
ne theorie, la theorie de Newton, que l'on sait
~tre
une excellente theorie du
champ de gravitation. Toutefois nous croyons qu'il ne serait pas justifie de pretendre que la question des energies de liaison des etats lies gravitationnels est tranchee. 11 convient de se rappeler que nou,; n'avons quaritifie que les··orbite'; circulaires et que la ccindition d'cirbite circulaire elimine l'essentiel des corrections relativistes. M~me
s'il faut se mefier de tirer des conclusions trop generales de l'e-
tude que nous venons de faire, il nous semble qu'elle a ete utile. 11 a ete en effet conjecture [3] que dans Ie probleme qui nous occupe il n'y aurait pas d'etats lies quantifies. Les resultats que nous avons exposes semblent prouver Ie contraire et on ne voit pas tres bien pourquoi la methode de quantification de Bohr,
m~me
en la sachant incomplete, serait inadequate dans notre cas
alors qu'elle a tres bien reussi ailleurs.
89
- 21 -
L. Bel
e. - Nous avons exclu l'expression (II, 8) de ~ [, = +1
pan:!e qu Ielle entrafhait
~
2
qui correspondait
a
2<. 0 et il ne s Iagirait plus d letats lies
au sens stricte. II est clair pourtant que s'agissant toujours d'orbites circulaires, les etats envisages sont des etats lies dans ce sens que la trajectoire nla pas de branches
a l'infini.
11 slagit donc d'etats lies virtuels instables. Qua-
litativement ce resultat est curieux mais quantitativement il nlest pas interessanto On peut voir, en effet, par (II, 8) que les energies correspondantes sont de l'ordre de
~
-lmc 2 et par consequent enormes pour des valeurs de /...
physiquement raisonnables.
SECTION II
METHODE GENERALE
3. - L'equation d'onde. Pour appliquer les methodes de la mecanique ondulatoire au probleme de la quantification des etats lies gravitationnels Ie premier probleme qui se pose est de choisir convenablement une equation d'onde. II est conforme
a II esprit
de la Relativite Generale de considerer comme
libre toute particule d Iepreuve sur laquelle n Iagit d Iautre force que Ie champ de gravitation. Si en outre la particule d Iepreuve que I Ion
consider~
a un
spin
zero, l'equation d'onde qu'il convient de choisir doit Nre la generalisation naturelle de l'equation d'onde des particules libres et spin zero de la Relativite Restreinte. Cette
gen~ralisation
(II,10)
(Ll
naturelle est: 2 4
2
+ ~ ) rrJ {\2
'[
A
=
0
L.l2 etant Ie laplacien intrinseque sur les fonctions pour Ie ds precisement :
90
2
. envlsage. Plus
- 22 L. Bel
tJ
(r;:::: «P'
~
'f')
.:\"1' - Vfg"l \):50(. ~V Ig I g ~;:,P _
(II,11)
1
,.:5 2 =19,
:;o=t,S'='t
.s3=f
Si Ie ds 2 envisage etait Ie ds 2 de Minkowski l'equation (II, 10) serait l'equation de Klein-Gordon. En portant dans (II, 11) les potentiels de gravitation (I, 11) correspondant au ds 2 de Schwarzschild on obtient, tous calculs faits, pour l'equation (II, 10) I' expression: (II,12)
(G
ou P
_ _1r;)2 22 C 2 j\2 m 2c 4 -2-+ c p( ) +-:z_1((J (0) +-2-)'1:' - 0
r
(J t
r
r.;]
- n 2 _ - ~r.2(T = \ JJ- - + ( - +P- ) - ' (r) /"'\ 2 r 2 0 r 2
'J r
et ou
.J\ ~ e , p)
iv
,J:
est, au facteur
,
-h' 2 pres,
tique : -
l-
1
-
(J = 1- 2}4:: 1_2r
r
l'operateur carre du moment cine-
'J
.
~ 1\79-
- - - - - (Slll~ - )
sinS
r
ro@
rJ2J-
1 ---+-
sin 2
e-Up2
4. - Separation des variables angulaires et temporelle. Equation radiale. Nous allons nous interesser aux solutions de l'equation (II, 10) qui sont en
m~me
temps fonctions propres des operateurs energie et carre du moment
cinetique, c'est-a-dire solutions de =
E
L2"1'
et L etant des constantes dont la premiere doH €ltre identifiee a I' energie
de la particule d' epreuve. La premiere de ces equations entrafne que €ltre de la forme :
91
l'
doH
- 23 -
L. Bel
1:'
~
, E. 1:
rV I\. (r.i
@,
l£' )e - t , .1i-
Quant a la deuxieme, si on impose en outre 1'uniformite de la fonction par rapport aux variables
e-
et
r.£
-r
elle entrafne :
L 2 ~ .../--"2 I'"\. 1(1+1)
'- 0 avec l' entier:;7
et
Y1 etant une harmonique spherique associee a la valeur de 1 choisie. La foncHon
1:' doit donc @tre finalement de la forme /lJj
.r
(II,13)
~ R(r)Yle
- ~
:
E 1:
~
ou il ne reste qu'a determiner la fonction R(r). La substitution de l'expression (II, 13) dans (II, 12) donne, compte tenu des resultats precedents, l'equation radiale suivante pour R : (II,14)
d 2 R + 2r-p ~ + _6'f2 r 3+ 'fr 2 -l(l+I)(r-p) R dr 2 r(r-p) dr r(r_p)2
o
ou nous avons pose (II, 15) Nous nous bornerons a considerer des etats lies au sens stricte, c'est-adire ceux pour lesquels :
et pour fixer les idees nous poserons :
~~+ V~ 5. - Forme limite de l'equation radiale pour c -) oC Avant de proceder a l'etude systematique de l'equation (II, 14) nous nous
92
- 24 -
L. Bel
proposons d I etablir la forme limite de cette equation quand c tend vers infini. Le principe de ce calcul est base sur I'identification de Ia constante E avec I'integrale premiere de I'energie (1, 19) des equations des extremales de (1,16) :
2 me J"
E
, • 2
2
(e + sin 8
'f? 2 )
Les comportements, limites suivants sont evidents d I apres les definitions correspondantes lim p = 0 c ->(JP
(II,16)
lim () c~
1
...
D'autre part q ne depend pas en fait de c (II,17)
q =
2kMm2
t;2
11 ne nous reste done quia etablir Ie comportement limite de .}f 2. Or :
2 2 me
~2
(J 2
(J - - - 2 -
. <JC
Ou encore
2 2 m c
=
c
mc 2
2
rl
1
'f? )
et d'apres (1,1)
2 2 me
93
C
~2
2.2 2·2 2·2 = r +r + sin 9
(e
2
]
• 2 . 2 (t) +sm
2 (j v r 1 (J--+-(1--) c2 c2 (T
OU:
v
r2
-j
.. 2
e'f' )
- 25 -
L. Bel
Par consequent : E2 2 2 - -2- = lim m c c c~tP
1-1
L
- (1
Donc: lim,}\' 2 c -)<)"
(II, 18)
2m 1:\'2 W
ou w
= ~mv2 _ kMm
- 2
r
serait l'energie totale newtonnienne d'une particule de masse m
dans Ie champ
de gravitation de M. En substituant (II, 16), (II, 17) et (II, 18) dans (II, 14) nous obtenons pour c tendant vers infini la forme limite:
qui n'est autre que la partie radiale de l'equation de Schrodinger pour Ie potentiel newtonnien (Voir App. B). On sait que la theorie du ds
2
de Schwarzschild se reduit
a la
theorie de
Newton du potentiel central quand c tend vers infini. D'apres Ie resultat precedent nous voyons qu'il en va egalement de
m~me
pour l'aspect ondulatoire
envisage ici. Ce qui d'ailleurs ajoute une justification supplementaire au fait d'avoir considere l'equation (II, 10) comme fonction d'onde des particules d'epreuve de spin zero dans un champ de Schwarz schild.
6. - Forme canonique de l'equation radiale. Potentiel effectif. Toute equation differentielle lineaire du second ordre peut toujours ramenee
a una
~tre
forme canonique dans laquelle la derivee premiere de la fonc-
tion inconnue n'y figure pas. Dans Ie cas de l'equation (II, 14) nous arrivons la forme canonique en posant (Voir App. A):
94
a
- 26 -
L. Bel
R
et nous obtenons pour F
F
( r(r-p)'
l'equation: 2 d F dr 2
+t- - df
2 + U(
df ,
1, r) ]
F
=
0
ou (II, 19)
U(
ri ,
1, r).:
(-2p~
2
3 [ 2 2] 2 1 2 +q)r + l(l+l)-p ~ r +l(l+l)pr +4 p
2
r (r-p)
2
L'equation precedente se presente eomme la partie radiale d 'une equation de Schr8dinger, disons, pour laquelle Ie potentiel effectif s erait U . A
a signaler
propos de ce potentiel deux faits sont (C,4)
J:
a part
a) Le potentiel effect if depend,
[Comparer avec (B,4) et
de 1 et de r, de ~ et done de
E
b) Le comportement
a l'infini
est en r
-1
sauf si
_2PJ1 2 + q = 0
auquel cas Ie comportement est en r La valeur de E
-2
.
qui satisfait l'equation precedente est 1
E =
{2'
me
2
N ous retrouverons plus tard cette valeur de E possible d'un etat super-lie. Cet etat,
comme valeur de l'energie
s'il existait vraiment, n'auraitpas d'a-
nalogue dans la theorie quantique de l'interaction newtonnienne.
95
- 27 -
L. Bel
7. - Les points singuliers a distance finie. (1)
a.- Ecrivons l'equation (II, 14) sous la forme
(II; 20)
P
d 2R + P ~ + P R 1 dr 2 o dr2
0
=
avec: P
=
r(r-p)
o -
P := 2
2
PI ~ (2r-p)(r-p) 2 3
- d1
r
+ qr
2
- 1(I+l)(r-p)
Les points singuliers a distance finie de l'equation (II, 20) c'est-a-dire les racines de Po
=
0, sont par consequent
r
=0
r
et
=p
b. - Posons
et ecrivons les polynomes Q i (i = 1, 2, 3) sous la forme
~Q. L"I,
Q. = I
h..= 0
Nous aurons (II, 21)
hrh
Q
= 0,0
p2
Q
En particulier, puis que Q
1,0
0,0
f
=p
2
Q
0,0
+ sQ1
,0
+ Q 2, ,0
en ce point est d'apres (II,21):
s
2
=0
0 nous voyons que Ie point r
un point singulier regulier. L'equation indicielle s(s-l)Q
2,0
0
(1) V Olr . A pp. A .
96
=
0
0 est
- 28 -
L. Bel
Nous sommes dans Ie cas ou l'equation indicielle a une racine double et par consequent au voisinage de r
0 il n'existe qu'une seule solution
~
-
reguIH~
re au sens stricte, c 'est-a.-dire ne contenant pas de logaritmes. C ette solution reguliere sera de la forme (II,22)
~
L
R =
ahr
h
4~"
a
o
etant arbitraire mais different de zero et les autres coefficients devant
~
tre calcules par les formules (A,7). La serie (II, 22) sera convergente dans Ie cercle de centre r = 0 et rayon p . c. - Les polynomes Pi peuvent Nre consideres comme des polynomes en (r-p), ce que nous indiquerons en les designant dans ce cas par
P .. 1
Posons (r-p)
_2
'V
P
(r-p)
o
_1/\/
PI
et
Nous aurons
Q
'V
Q
-v
Puis que Q
0,0
i
0,0
p
1,0
0 , Ie point r
Q
2
2 2 -d-\p +qp=O
ou encore, compte tenu des definitions (II, 15.) s
2,0
=-~p+qp
p est lui aussi un point singulier regulier.
L 'equation indicielle est: s
232
~
p
2
dont les deux racines sont :
97
- 29 -
L. Bel
sl-s2 n'etant pas un entier. l'equation (II, 20) admet par consequent au voisinage de r = p , un sisteme fondamenta1 de deux solutions regulieres au sens stricte,
E = +1 on si lIon veut de la forme: E. ':EI"log(r-p) R=e c;1\.
T
n
o
f
0
a (r_p)n
L
n
n= Les coefficients a
a
0
se calculent par les formules correspondantes
a (A, 7).
La serie ainsi construite ne sera en general convergente que dans Ie cercle de centre r = p et rayon p. D'apres les resultats des App. B et C on aurait pu esperer que on bien Ie comportement de la solution reguliere au point r = 0, ou bien au point r = p dependrait de I. Les resultats ci-dessus prouvent qu'il
n'~nest
rien.
8. - Solutions au voisinage de l'infini. (1)
a. - Revenons aux polynomes Qi' Les degres de ces polynomes sont dig Q o
=
2
dig Q 1
2
=
dig Q 2 = 4
Donc Q
0,4
= 0
et par consequent l'equation indicielle
a l'infini
ou \):=. max dig Q i
=
4
(1)V··A OIr pp. A .
98
:
- 30 L. Bel
n'a pas de solutions. Autrem€nt dit, Ie point de l'infini est un point singulier irregulier et par consequent il n'existe pas de solutions regulieres au voisinage de l'infini. Par contre il peut exister des solutions normales comme nous allons Ie voir (Comparer avec App. B et C). b. - Pour r
tendant vers l'infini l'equation (II, 14) devient
qui admet les solutions R = AeE.l'\ r
)i
E=:I':l
A : const
£ doit <:ltre -1 si l'on veut que R soit nulle
etant positif
a l'infini.
Ceci suggere done de chercher des solutions de la forme R=V(r)e-}fr
(II, 23)
Apres ce changement de variable l'equation pour Vest (II, 24)
P
2
~+
o dr2
P
dV + 1 dr
P
2
V =0
avec: P
o
=:
r(r-p)
2
-2a-\'r
3
+ 2(1+2)of p)r
2
- p(3+2)-J'p)r + p
2
(II, 25) P2 -
(q-2}S
-2p~ 2)r2 +[p2~
2+ 3p41 -l(l+l)]r + P[l(l+l) - diP]
Posons (II, 26)
Nous avons maintenant
v
=
max dig Q i = 3
Ecrivons les polynomes Q i sous la forme:
99
- 31 L. Bel
Qi
"
De (II, 25) et (II, 26) il vient :
Q
0,3
=
Q
0
2,3
=q-2~
-2p}l
2
QO,3 etant nul et Q1,3 non nul, Ie point r = c:P est un point quasi-reguIier de l'equation (II, 24). L 'equation indicielle est maintenant
-2~f+q-2K
(II,27)
- 2p 4'\
2
= 0
dont 1a solution est q-2p "~ 2 4'\
(,:) c. - Supposons ~
connu.
F
2
- 1
est done connu, et s'il existe une solution
reguliere au voisinage de l'infini, elle sera de la forme 00
(II,28)
tO~'
V=r'L bmr
-m
botO
w=-o
Si cette solution existe, (II, 23) sera une solution normale de l'equation (II, 20). Les coefficients b m
doivent
~tre
calcules par les formules (A, 10) et la solu-
tion reguliere V existera si ces coefficients conduisent convergent pour r
> p.
a un
developpement
Autrement la formule (II, 28) manque de signification
fonctionnelle. Toutefois d'apres un theoreme de Poincare [2 Jrelatif
a la
methode de La-
place pour la resolution d'equations differentielles lineaires dont les coefficients sont des polynomes, on peut affirmer qu'il existe toujours une solution au voisinage de l'infini qui coincide avec (II, 28) si cette derniere existe et dans Ie cas contraire a pour developpement asymptotique Ie deuxieme membre de (II, 28).
Nous ne savons pas
a l'heure
actuelle si Ie developpement (II, 28) est
convergent ou pas, mais donnons quand-ml:'me Ie relation de ricurrence pour
100
- 32 L. Bel
Ie calcul des coefficients b m puisque nous savons, d'apres Ie theoreme precedent, que de toutes fa<;:ons ce developpement a une signification. La formule de recurrence pour m
0 est:
~
o ou: f3
(f ,m)E
2~m+q-2~(f
-2)-2p~
2
(f -2)(P
2 2 2 -1+4 ~p)+ p r\ + 3djp-l(1+1) f 2 (j,m) ~ m - (2f -3+4~ p)m + fl(f,m);:
2
-2pm +p(4f -3+2d'\'p)m-p(F -1)(2f -1+2:Xp)+pl(1+1)- d-Sp
2
Elle doit @tre coropletee par les deux relations suivantes qui donnent b 1 et b 2 ' b 0 etant arbitraire :
~(F -1)+q-2~ -2Prl12 +b o [ f (f
b 1[ -2
h{
-2 d«( + b
f~-2)+q-2~ -2P~2J oL
-2 P
J(f
-1) -
+b{
(F
-1)+2f
-1)(1
pi(3+2~'p)
(1+2~p)+p2~ 2+3p ):S -1(1+11
=
0
-2)+2(f~I)(1+2~P+p2<1i 2+3Pr1_1(1+1~+
+ 1(1+1) -
p2~-'
=
0
9; - Le postulat de quantification. a. - Si dans l'equation indicielle (II,27) 2
(f + 1)
(II,29)
2p ~
nous supposons \
connu, elle devient une equation en
+ 2 ai
- q
=
0
'A
et par consequent en
E. Dans les cas consideres aux App. B et C n'
~
f
est determine a un entier
0 pres par les conditions imposees ala fonction R d'Nre normale a l'in-
fini et reguliere au sens stricte a 1 'origine. Le raccordement de la solution normale a 1 'infini a la solution reguliere a 1 'origine ne presente pas de diffi-
101
- 33 L. Bel culte. lci Ie probleme de raccordement de la solution au voisinage de 1 'infini aux solutions regulieres aux points r = 0 et r
=
p se presente sous une forme
autrement plus compliquee et nous ne savons pas a l'heure actuelle comment ce probleme doit
~tre
resolu. Nous sommes donc obliges, si nous voulons poursui-
vre cet etude des etats lies, de postuler les valeurs possibles de N ous postulons que
l
?.
doit ~tre entier.
11 y a deux justifications initiales a ce postulat.
a) 11 est exactement satisfait dans Ie probleme considere aI' Appendice
B. b) nest tres approximativement satisfait dans Ie probleme considere l' Appendice C . En effet, dans ce cas, les valeurs possibles de
?
a
ne different
de valeurs entieres que par des termes qui sont au maximum de l'ordre de y 2 1 2 <J ~(137)' Donc tres petits. Or i~ suffit de comparer (C,13) a (II, 9) ou (B, 12) pour se rendu compte que dans Ie probleme qui nous occupe c'est la con-
A.
stante
qui joue Ie role de la constante de structure finie ([. Pour des va-
leurs de J-.. suffisamment petites, on peut donc esperer que Ie postulat enonce se trouvera Nre tres proche du resultat correct. 11 existe une troisieme justification de laquelle no:us parlerons au para-
graphe suivant. b. - De l'equation (II, 29) il vient : (II, 30) Nous n'avons retenu que Ie signe + de la racine carree car autrement;;tf rait negatif contrairement a ce que nous avons suppose. De :
ct,
102
se-
- 34 L. Bel
il resulte
f~
-1-
J..
ou
Les valeurs possibles de ~ compatibles avec Ie postulat de quantification et avec la definition de ~
f:
sont donc finalement
-1, 0, 1, 2, ...
10. - Les etats newtonniens. La troisieme justification du postulat de quantification adopte nous la ti-
f
rons de la valeur de l'energie qui correspond aux valeurs de autres que 2 -1 . Energie qui a la constante additive mc pres, comme il se doit, n'est autre que 1 'energie des niveaux newtonniens, ou, autrement dit, 1 'energie des etats lies- de l'equation (B, 2). Posons :
n
=
f
f : 0,
+1
1, ...
n
1, 2, ....
Ecrivons l'equation (II, 30) sous la forme,--'-: _ _~-.
,(m 2 c4 _E2'
A des termes de 1 'ordre de
V
nmc 2 4)..
A3
I m 2 c 4 -E 2' =
et par consequent
a des
'I +
('\
V:
8 /... 2 •_ 1) n2
pres nous avons
i>
mc 2
---
n
termes de 1 'ordre de
A4
pres
m2c4,< 2 n
d'ou il vient finalement
a des
2
termes de l'ordre de
103
;( 3 pr.es
- 35 -
L. Bel E = mc 2 _
2
~
2
~ 2n2
ce qui etablit Ie resultat enonce puisqu'il coincide au terme additif mc 2 pres avec (B, 12). Le postulat de quantification que nous avons adopte conduit done, pour ?~O,
a des
resultats tout-a-fait satisfaisants.
11. - L'etat super-lie. Pour
J
=
-1 un fait nouveau se presente qui n'a pas d'analogue dans
la theorie du potentiel central de Newton. En effet pour
f
= -1
l'equation
(II, 24) donne
Soit, compte tenu des definitions respectives 1
E
V2"
mc
2
Cette valeur de E est la valeur de l'energie qui entra1nait un comportement a l'infini en r -2 pour Ie potentiel effectif (II, 19). Nous devons faire deux remarques au sujet de cet etat qu'on peut appeller super-lie. a) La valeur de E correspondante ne depend pas de bablement dfi au fait que les va1eurs de
f
~
. Ceci est pro-
precises, que l'on deduirait de la
solution correcte du probleme de raccordement des solutions aux voisinages des points singuliers, ne seraient pas entieres mais differeraient des entiers pas des termes de I' ordre de
A.
2. C' est ce qui arrive dans Ie probleme de
l'App. C pour lequel il existe aussi un etat super-lie dont l'origine est similaire
a l'origine
de ce1ui que nous discutons ici.
b) L'energie de liaison qui est
104
- 36 L. Bel
L
mc 2 -E
mc
2
~
0,3 mc
2
est d 'un
ordre de grandeur bien superieur a. celui qui correspond aux etats J 2 mc 2 newtonniens qui est de I' ordre de " 2 . On retrouve encore un decalage similaire dans l'ordre de grandeur des energies de liaison des etats lies correspondant au probleme de l'App. C.
Conclusion. Au point de vue physique ce chapitre comporte essentiellement deux resultats. Un resultat attendu : l'existence d'une serie discrete d'etats lies dont l'energie de liaison est celle que l'on deduit de la theorie du potentiel central newtonnien. Et un resultat inattendu : l'existence d'un etat super-lie. Nous tenons a. dire que les dontes qu'on puisse avancer sur l'existence de cet etat nous paral'ssent tout-a.-fait legitimes, beaucoup de travail formel restant a. faire pour pouvoir etablir son existence sur des bases plus solides. Cependant nous croyons qu'il y a deux arguments de plausibilite qui inclinent a. croire a. son existence. Premierement, I 'analogie formelle entre Ie probleme que nous avons envisage et celui de l'App. C pour lequel, formellement au moins, l'existence d'un etat super-lie est hors de doute. Deuxiemement, parce qu'il serait vraiment surprenant que deux theories, celle de Schwarz schild et celle de Newton, dont les previsions theoriques classiques peuvent differer enormement pour des conditions initiales convenablement cnoisies, fussent tout a. fait equivalentes du point de vue quanti que.
105
- 37 -
L. Bel
CHAPITRE III
ONDES PLANES A L'INFINI
Introduction Nous abordons dans ce chapitre Ie probleme de la generalization, au ds 2 de Schwarzschild, de la notion d'onde plane familiere, et combien utile, en Relativite Restreinte. Ce probleme est equivalent, dans un sens, au probleme de la caracterization des faisceaux de particules d'epreuve
a energie
et impulsion lineaire
definies. Nous proposons des definitions pour la notion d'onde plane
a l'infini
au
sens geometrique d'abord et au sens physique ensuite. Nous e1ablissons les etapes d'un programme qui devrait permettre, en principe, la construction d'ondes planes me
a une
a 1 'infini
au sens geometrique et realisons effectivement ce program-
approximation qui sera precisee. A cette approximation nous obte-
nons aussi des ondes planes
a 1 'infini
au sens physique.
Les resultats ici obtenus ont des rapports avec au mains deux problemes physiques precis. D'une part, Ie probleme de la diffusion de deux particules
a interaction
purement gravitationnelle. Dans ce sens ce chapitre peut €ltre considere comme une prolongation du precedent. D'autre part, avec Ie probleme de la formulation du phenomene de l'Aberration et de l'effet Dl:lppler dans l'espace-temps de Schwarz schild.
1. - Les ondes planes en Relativite Restreinte. Une famille complete d'ondes planes en Relativite Restreinte est definie par la fonction (III,l)
-Et-t
107
P.x i 1
- 38 -
L. Bel
dependant de quatre parametres E restreindre aux cas
et Pi que nous supposerons, pour nous
physique plus immediat, astreints' a satisfidre
d'inter~t
les conditions E2
- c
2 \"
L
2 Pi ~ 0
E '7 0
i
L'object de ce chapitre est de generaliser la famille de fonctions 8 tout en conservant
a la
generalisation les proprietes qui font l'importance de la
n
notion d'onde plane.
importe donc de savoir qu'elles sont ces proprietes aus-
si bien au point de vue formel, ce qui nous donnera des indices sur la definition generalisee qu'il conviendra de retenir, qu'au point de vue de l'interpretation physique, ce qui precisera Ie domaine d'application des resultats ici obtenus. Considerons Ie point de vue formel d'abord. En Relativite Restreinte l'integrale d'action d'une particule de masse m
est 8
=J: -
mc 2
V-:~ ~dt
o L'equation de Hamilton-Jacobi associee au systeme dynamique defini par l'integrand ci-dessus est: A 8 = (08)2 '-', - tft -
(III, 2)
c
2,
L
et on constate que si E2
-c
2 ~
~
p2 _
2 4
i-mc
la fonction 8 (III, 1) est une integrale complete de (III, 2). Dne deuxieme constatation est que: (III, 3)
42 8 = (I() t 2
l) 28
2 \" ) - c
De (III, 2) et (III, 3) il vient
108
'U 28
L Q ><
,7..
=
0
- 39 L. Bel
ou encore, si l' on veut
o
(III,4)
avec
Af
(III, 5)
e
=
Ces deux constatations formelles se rapportent aux deux aspects physiques de la notion d'onde plane que nous voulions degager. Premierement, la fond ion (III, 1) est une integrale complete de (III, 2) certes, mais aussi une integrale complete tres particuliere. En effet les constantes d'integration E et Pi sont respectivement l'energie et les composantes du moment lineaire. Elle decrit, donc, un faisceau de particules d'epreuve de masse m
a energie
et impulsion lineaire definies.
Deuxiemement la fonction
i
(III, 5), etant solution de (III, 4) est la fonc-
tian d'onde, au sens de la mecanique ondulatoire, du faisceau de particules decrit par la fonction S .
2. - Definition d'onde plane a l'infini au sens
geome~rique.
Considerons une congruence de courbes
rCm paralleles a un vecteur unitaire ri la congruence asymptotique
r -)
de)\
A
(~) et la famille de droites
donne. N ous dirons que
'\ (fi) est
-)
(n) S1:
-,
a) on peut etablir une correspondance biunivoque entre les elements de
(n) et
A
~
(n) de sorte que les droites de
r
(n) soient des asymptotes
tangentes de leurs images par cette correspondance. b) Ie point de tangence asymptotique pour chaque paire d'elements homo--I
logues est situe du mil me cote par rapport au plan orthogonal an.
109
L. Bel
a l'infini
DefinitlOn, - Une onde monochromatique et plane metrique, ou pour abreger, onde plane
a l'lrlfini,
pour Ie ds
2
au sens geode Schwarz-
schild est toute fonction S(g J, t) satisfalsant aux trois propril~t(~ sllivantes: 1) est solution de l'equation ,-. 2 2 . S, 6 1 S::_ ---1 (-Ti - c (III, 6)
2
S 2 ) r
2
+
sin 2
(--)
m
2 4
c
2)
S
------
t
,-
E2
-I';
~) 11 existe un vecteur
E
n' tal que 1a congruence
i thogonales Ii la famille de surfaces S ( . ,t)
gruence de
2 4
m c
0
(n) de trajeetoires
cte pour
variable ait la co;'
(n) pour congruence asymptotique
droite:~
Solt S une fonction satisfaisant aux conditions de la definition precedent':' et SOlent
-),.
1
les composantes du vecteur ;
correspondant. La premiere
condition exprime que la fonction S est une solution de l'equation de Hamillon-Jacobi (T, 20)
La deUXleme que Ie faisceau de particules d'epreuve decrit
par S est un faisceau de particules de mE-me enorgle E
Enfill la troisiemc
condition expnme quo chaque particulc du faisceau a, au pomt dc l'infmi ou la tangonce avec l'element correspondant de neaire
p
i
=
/'--2--2--41
:::;< i
--IE-me
c
'
(;'i) a heu, une Impulsion li-
y(
=
~l
i=1,2,3
On peut done dlre d'une teIle fonction S, si elle existe, qu'elle decrit un faisceau de particules de meme rnasse Ii energie-impulsion lineaire definie. N ous supposerons par la suite
=
+1
avec quoi il s' agira d 'un faiseeau in--'>
eident, la direction et Ie sens de l'incidenee 6tant eeux du veeteur n.
110
- 41 -
L. Bel
3, - Programme pour la construction effective.
a. - Nous avons deja rencontre des solutions de l'equation (III, 6) au chap. 1. En effet nous avons vu que quelles que soient les constantes E, M et P pour m
qu'elles conduisent a des expressions reelles la fonction
[,In
(1,23) (III,7)
S
-Et + - c
- - dr +
U
oii (III,8)
est une solution de (III, 6). N ous allons nous en servir pour obtenir une nouvelle fonction S particuliere satisfaisant aux conditions de la definition d'onde plane a l'infini avec quoi la preuve de l'existence sera faite. Posons M
0
et supposons E 2 _ m 2 c 4 .... ~
o
La differentielle de la fonction (III, 7) compte tenu de M (III,9)
dS = -E dt +
~ n c(j
dr + P d
0 est
8
L'integrale generale de cette equation decrit maintenant un faisceau de particules dont chacune des trajectoires est contenue dans un plan et a pour equation dans ce plan (Voir Ch. I Sec. II)
e- 8
0 =
S
cpJ
r
ro
111
r2~
Cf'
= cte
- 42 -
L. Bel
b. - Considerons Ie faisceau de droites paralleles a l'axe z,
e
r sin
r (~)
s
lfo et faisons correspondre a chaque valeur de s la valeur de P (m,10)
~
P = _
\jE2 _
m 2c 4 '
Faisons maintenant correspondre a chaque paire de valeurs (s, l?o)' c' est-
r(~
a-dire! chaque droite du faisceau preuve d'equations au voisinage de
e - ¥iT
(III, 11)
= -cp
j
r
eP
P
la trajectoire de la particule d'e-
9 = :+: II
est:
dr _ ( ) -2-=fr,P,E r
.n..
ayant au deuxieme membre la valeur (III, 10) et
0
etant Ie signe de s .
Nous obtenons ainsi une congruence de courbes qui sont les trajectoires d'un faisceau de particules d'epreuve de masse m, energie E nage de
:+: 17
et ayant au voisi-
une vitesse radiale negative. 11 est clair d'ailleurs que la cor-
respondence envisagee peut Chaque element de
~tre
_Il. (-;{)
rendue biunivoque-. a un point
a 1'infini
pour
e-
=
<11'1
equations des asymptotes en ces points sont : r sin
8
lim r2 r _)"""
Or de (III, 11) i1 vient
et puisque, d'apres (III, 8) et (1,9) r
limn -)0"
112
d8 dr
'f!=cpo
Les
- 43 -
L. Bel
nous pouvons ecrire les equations des asymptotes
e
r sin
sous la forme
cP
ou encore d'apres (III, 10) r sin
e
C£ =
= s
'j? o
A -)
r (~)
Ainsi chaque element de .t 1 (n) a pour asymptote I 'element homologue de
il y a
par la correspondance Mablie. En fait comme il est facile de le voir m~me
tangence asymptotique.
c. - Soit P(r,
f1
,E) la fonction implicite definie par la formule (III,11):
e - 011 ou r
est suppose
~tre
=
f(r,P,E)
plus grand que la plus grande racine de
La valeur de cette racine depend evidemment de
P
et par conequent de s.
Considerons maintenant de nouveau l' equation (III, 9) (III,12)
dS
=
-Edt __1_ c(J'
n
dr + Pdf?'
mais supposons ici que Pest la fonction P(r,
17
,E) que nous venons de
definir. Cette equation est encore completement integrable. En effet, d'apres la definition de la fonction P
ses derivees par rapport
seront telles que:
o ')
d' au il vient en eliminant 'I
~
ou encore d' apres la definition de f:
113
a
r
et
a 9-
- 44 -L. Bel r;) P
ru
cp
_
r;) P
- r2--'.:L Cl9-'
r
ce qui compte tenu de :
est la condition necessaire et suffisante pour que 1 'equation (III, 12) soit completement integrable. Soit (III,13)
S
=
-Et + W{r,
g/
E)
l'integrale generale de (III, 12). Elle satisfait toutes les conditions de 1a definition d'onde plane
a l'infini.
En effet d'apres (III, 12) les conditions 1) et 2)
sont satisfaites; la condition 3) aussi puisque la congruence de trajectoires orthogona1es n'est autre que 1a congruence
j\.
(n~ et que celle-ci satisfait
aux conditions requises par construction. Physiquement la fonction (III, 13) decrit un faisceau incident de particules d'epreuve de masse m
energie E
o 4. - Famille
a quatre
et impulsion
V E2_m 2c 4 '
o
c
parametres d'ondes planes
Nous nous proposons de montrer comment on pourrait obtenir une famille
a 1 'incidence
a quatre
a l'infini.
a partir
de la fonction (III, 13)
parametres d'ondes planes.
Supposons que nous effectuons Ie changement de coordonnees (III,14)
r
=
VX/2 +y 2+z 2' ,
Q U =
,/~
Vx +y arc tn ------"z
, cp = arc tn L, x
et puis Ie changement de coordonnees (III,15)
xi
=
i j' R.,x
J
t' = t
x'
114
x
y
z
t =t
- 45 L. Bel i
R., etant une matrice orthogonale quelconque. J Posons 3 R., J
C\,
Nous aurons donc (III, 16)
D'autre part
~i;·2------·-'2'
v~2~l
arc tn
z
arctn ____~(x~)__-~(~~j-,x-J~)0( 'xj' j'
z
et par consequent apres les changements de coordonnees envisages, la fonction (III, 13) sera de la forme (III,17)
S
=
-E't' + W(x i '/ p.,) 1
OU:
(III, 18)
P
i'
=
0( i'
V~~4-1
E'
C
E
II est clair d'apres la signification geometrique des changements de coordonnees effectues que la fonction (III, 17) est une onde plane ction d'incidence est celle du vecteur
1i
a l'infini
dont la dire-
qui a pour composantes
N ous pouvons considerer Ie systeme de coordonnees fixe et les arbitraires, mais satisfaisant la condition (III, 16). Ou m€'me,
,-,J
Y'li' nous pouvons
considerer E' et Pi' arbitraires, mais satisfaisant la condition E,2 _
2 \" p2 i' ~ c I...-..;
0
et dans ce cas chacune des fonctions (III, 17) sera solution de l'equation
115
- 46 -
L. Bel 2 4 me
fI,E ou maintenant m
n'est pas un parametre donne d'avance mais qui sera tel
que 2 4 m c
=
E
,2
- c
2,-
L-
p2 i'
C 'est dans ce sens que nous dirons que (III, 17) definit une famille parametres d'ondes planes
a quatre
a l'infini.
5. - Construction effective approchee. a. - Les paragraphes precedents ne contiennent en fait que la preuve de
a l'infini
l'existence d'ondes planes
et les etapes d'un programme qui devrait
en principe en permettre la construction effective. La realisation de ce programme s'avere cependant difficile, ou
m~me
peut-Nre impossible, pour
des raisons de calcul. Nous nous proposons ici de suivre pas decrit, nous bornant
a un
a pas
les etapes du programme
certain ordre d'approximation. D'une maniere plus
precise: nous developperons en serie systematiquement toute les fonctions qui dependent de
M = kM2 I·
c termes d'ordre superieur
par rapP'Ort
a }1 .
a ce
parametre et negligerons les
Nous pouvrions done considerer les resul-
tats obtenus comme corrects pour M suffisamment petit. Mais c 'est une autre interpretation qui nous interesse surtout. Nous pouvons toujours ecrire
f1::: Lr r et considerer Lr comme vient a multiplier par r Ie coefficient
l'infiniment petit principal ce qui redu developpement. Dans ce cas les
resultats obtenus pourront Nre consideres corrects pour r grand. b. - Po sons u
-, r
o
X=Cp,::s2
116
suffisamment
- 47 -
L. Bel
L'equation (III, 11) peut s'ecrire : du -Cl...
Le developpement de
S2. -1 a des
termes de I' ordre de
l' 2 pres,
compte
tenu de (III, 8), et :
CT = 1 -
(III,19)
2~
u
est
ce qui donne apres integration:
9 -0'11 =
. ux. ;U arc sm + 'Y
"5
L- ~ E2
E2
~) 2 2 2'
(.. . ;) v's
-u
X
et d'ou, en prenant Ie sinus des deux membres, on tire au m€!me ordre d'approximation : -sin
e
u
=
3"
X-
+ AliI _ u 2
.'1- V'
-x. 2
'5 2
et de m€!me en prenant Ie cosinus : - cos
17
=
Par consequent nous pouvons ecrire : sin (9
= _
~/- + ~ [ E2;s 9- + ~2. +
)' cos
D'ou i1 vient en multipliant 1es deux membres par termes :
4
')
sin8
1_
117
E2
9
ux.. :3'
+
~~"-.-~--u=-2-,-x.~21
et en groupant les
(~+ l)(cos t9-
u
2)( 2j-
+1) - ~
- 48 L. Bel
Posons
!9-
- sin
;l on superieurs.
et negligeons les termes de l'ordre de -sin
2
e
+
f'R
sin
e
, 2 -sm
=
e
U?L; -
2)A.
+
jJ R
+
R sin
f7
+
Nous obtenons:
2
-
2 +l)(cosS
+1)-Sin~
et par consequent :
R = - - ,u-
sm L9
et finalement "- = -
~ sin u
[E2 (~+l)(cos 5"2
'S
P=
c
+1)-sin
r
sin
8-
'5'
c
sin 19
t
9)
2 -
-
"S - 2 e - ~[ (;2 +l)(cos 8
ou: (III, 20)
e
,2B_ +l)-sm
2
(E +
'5'
2
c. - Les deux premiers termes du developpement de
)(cos
..a. c-
I
e +l)-sin 2ISJsont, compte
tenu de (III, 8), (III, 19) et l'expression de P ci-dessus ..Q. = _ '1-
(III,21)
o-.J
cos
8-
+
~
rS
(E 2 +
'5
2)
La substitution de (III, 20) et (III, 21) dans (III, 12) donne dS
= -
Edt +
-[¥
L-~ c
cos
8' - ~ cr:s
(E 2 +
:s
2))- dr +
eL,,2+ ~ 2)(eoe e +1) - 'in2eJ}d~
'in9 + e;iO
et 1 'integrale generale de cette equation est: (III,22)
S
=
-Et +
~ r c
cos
&
.U
-'~
2 2 2B (E + ~ )Log(r sin 2) + cos
8'
= cte.
Elle correspond a l'approximation envisage ala fonction (III, 13). Negligeant les termes d'ordre superieur a
JA
118
elle est solution de
- 49 -
L. Bel
(III,23)
Ce n'est pas tout-a.-fait evident du fait que l'operateur me des termes en)A-
mais peut
~tre
..6
1 contient lui-m~
verifie directement.
d. - Faisons les changements de coordonnees (III, 14) et (III, 15). Nous avons r cos [} .2 r sm
= z = eX.
9:2
j'
)'
r{1-cos = 2
cos
8')
=
e
r-z 2
j'
eX. "x =~ =_J_
r' =
r'
r
.! -;::
VL
·i' 2'
(x )
.,
=
r'-O(j,x J 2
et par consequent I' expression de la fonction (III; 17) avec les notations (III, 18) est
I~E2 + '2- 2)Log~ (r' _ ~P.
S = -E't' + P. xj' _ ,M J' c '! _
...)
'S
2
J'
xj') +_c_ P. J'
sr'
'/-1 _
ou on reconnaft dans la partie principale l'expression en coordonnees rectilignes des fonctions des ondes planes incidentes dont Ie direction de propagation ~
est celle du vecteur n de composantes n., J
0(. ,.
=
J
6. - Definition d'onde plane a. l'infini au sens physique. N ous proposons la definition suivante : Definition. - Une onde monochromatique et plane a. l'infini au sens physique est toute fonction 1)
r' ,6
solution de I 'equation 2
+ m 2c 4 ) 2
':l:
=
0
de la forme 2)
S etant une onde monochromatique plane a. l'infini au sens geometrique. est Ie laplacien intrinseque sur les fonctions.
119
..d
2
- 50 -
L. Bel
Dans ce qui suit nous prouvons que si : A = 1
et S est la fonction (III, 17), la fonction
!If
correspondante satisfait,
a l'or-
dre d'approximation envisage au paragraphe precedent, aux conditions de la
a la
definition ci-dessus. Elle satisfait evidemment
a la
ver qu'elle satisfait
condition 2) et pour prou-
condition 1) il suffit de Ie prouver pour la fonction
8 (III, 13).
De
A
2
tf
,
=
jj
2
-~ 1 (e"'l;. ) = - ( -
. ' j,
~ 1 8 + ~ ..6 28)
1:,. 2 . ,
s
- (.-
e
1;"
et de (III, 23), il resulte que :
2 4
(III,24)
(.6
C alculons
.d 28.
+~),~IJ 2 ~2 :t.
De
Ll
2
8 =
~ 'J ("-," Alp
Viii' ';) !~
r g
g
"0,s
tUjt3
)
'
de (I,ll) et de (III, 22) il vient':
Ll
28 =
J
-c 'i) L'" r 2 sin l1 2. --;;:;.:17 rsme-l'L/r
-~ fin e ('> "in e
+
(1-
~ )(:;J~ r
cos
8 -
"t)"
:'!n e ((E'+ '> ')(00'"
+1)
et il suffit de developper et negliger les termes en )"'2 pour obtenir ximation envisagee
ce qui entrafhe d'apres (III,24) 2 4 (III,25) ( ~ 2 + C2
11.
)
':l
=
120
0
avec
~
0
-)-I - ( E 2 +:J 2 ))
-.in' 9
)1j
a l'appro-
- 51 -
L. Bel
comme nous avions annonce. Remarque 1. - Les resultats que nous avons exposes iei ont ete utilises pour formuler correctement les phenomenes de I' Aberration et I' effet nl:lppler par A. Montserrat a qui est dO. d'ailleurs l'essentiel des calculs approches, L'utilite de ces resultats pour etudier les phenomenes mentionnes tient au fait qu'ils permettent de caracteriser avec precision Ie rayonnement emis par un object lumineux situe
a l'infini.
Plus preeisement, ce rayonnement est decrit
dans Ie travail de A. Montserrat par une onde monochromatique et plane a l'infini correspondant
a.
m = O.
Remarque II. - En ce qui concerne Ie probleme d.e la diffusion des particules d'epreuve dans un champ de Schwarz schild et les resultats de ce chapitre, Ie rapport s 'etablit evidemment
a travers 1'equation (III, 25) qui est t'equation
d'onde que nous avons deja utilisee au chapitre II pour etudier 1es etats lj.es. La forme de 1a fonction
1!
(III, 25) et Ie fait de satisfaire a I'approximation
envisagee a l'equation (III, 25) en font 1a partie principale a l'infini incident d'un probleme de diffusion correspondant
a.
une energie et direction d'ineidence
bien definies. Analoguement a ce qui arrive pour un potentiel newtonnien I 'onde ineidente est distorsionnee. Cette distorsion dans notre cas est Ie terme enf de Ia formule (III,22).
121
- 52 -
L, Bel
CHAPITRE IV : DEUX ASPECTS PARTIELS DE LA GENERALISATION DU GROUPE DE LORENTZ INHOMOGENE.,
Introduction. Ce chapitre s'inspire de la conviction qu' en Relativite Generale, dans tout domaine exterieur, tout comme en Relativite Restreinte, il convient d'introduire deux notions fondamentales. Premierement la notion d'observateur privilegie. Deuxiement la notion d'ensemble de transformation definissant la correspondance entre les coordonnees d'un
m~me
evenement par rapport
a
deux observateurs privilegies. La trajectoire de tout observateur pouvant
~tre
identifiee
a une
trajectoi-
re spatio-temporelle orientee dans Ie temps, Ie premier probleme revient donc
a distinguer
dans tout domaine exterieur des trajectoires temporelles
particulieres. Le premier point de vue adopte ici est que toute geodesique orientee dans Ie temps peut
~tre
identifiee
a la
trajectoire d 'un observateur privilegie qui
generalise la notion d'observateur galileen de la Relativite Restreinte. Cen'est pas un point de vue nouveau. Il a ete souvent exprime, surtout dans Ie passe, mais sans beaucoup de conviction semble-il puisque seul article
a notre
connaissance un
[5] a ete cons acre aux exigences qu 'un tel point de vue comporte.
Le deuxieme point de vue est que dans les cas particuliers OU la metri.que admet un groupe d'isometries
a un
a trajectoires orientees dans identifiee a la trajectoire d 'un
parametre
Ie temps, chaque trajectoire du groupe peut Nre
observateur privilegie qui est immobile par rapport aux sources. Ceci est, croyons-nous, couramment admis. Le cas qui nous interesse ici est Ie cas du ds
123
2
de Schwarzschild,
qui
- 53 -
L. Bel
est un ds
2
.
statlque admettant par consequent un groupe d'isometries a un pa-
rametre a trajectoires orientees dans Ie temps. Nous distinguerons donc deux grandes classes d'observateurs privilegies. Ceux que nous designerons par 0, dont la trajectoire est une trajectoire du groupe indique, et ceux que nous designerons par 0', dont la trajectoire est une geodesique orientee dans Ie temps. Nous parlerons aussi d'un observateur C
que nous supposerons i2tre a'
-
l'origine des coordonnees polaires. Ce n'est que la convention habituelle pour nous referer a la classe
..
° dans son ensemble,. etant entendu que si
a est Ie
vecteur position d'un observateur de la classe 0 et (r, t) sont les coordonnees d'un evenement P
par rapport a l'origine, les coordonnees de P
a 0 sont par definition
(7-1:
par rapport
t).
Les problemes que nous abordons ici ne sont en fait que deux aspects partiels du probleme general de definir la correspondance entre les coordonnees d'un mi2me evenement par rapport a deux observateurs privilegies. Dans la premiere section no us nous bornons a considerer des observateurs de la classe 0' dont les trajectoires d'espace sont radiales et des evenements qui ont lieu sur Ie rayon de la trajectoire correspondante. Les resultats sont donnes sous forme d' algoritme permettant de calculer les fonctions de transformation des coordonnees d'un evenement P refere a un observateur de la sous-classe de 0' envisagee, et refere a C . Dans la deuxieme section nous considerons l'ensemble de la classe 0' ainsi que C mais par contre nous nous limitons au premier ordre d'approximation dans un sens qui sera precise. Il est clair qu'ayant les formules de transformation entre C
et un ob-
servateur quelconque 0' nous pourrions en principe obtenir les formules de transformation entre un couple quelconque d'observateurs 0' par elimination, entre les formules deja obtenues, des coordonnees relatives a C . C 'est dans ce sens que strictement parlant les resultats ici obtenus sont un premier pas
124
- 54 L. Bel
vers la generalisation du groupe de Lorentz inhomogEme. Mais, tout en continuant
a nous
referer uniquement aux transformations entre C et 0', il est un
autre sens dans lequel il est legitime de parler de generalisation du groupe de Lorentz inhomogene. En effet, ces fonctions de transformation entre C et 0' que nous obtenons se reduisent aux transformations definissant Ie groupe de ·Lorentz inhomogene si dans elle nous supposons que la masse centrale M est nulle. C 'etait evidemment une condition necessaire. Nous definissons, dans la premiere section, ce qu'on pourrait appeler "transformations speciales de Newton" qui avec les transformations que nous obtenons plus tard et qu'on pourrait appeler "transformations speciales de Schwarz schild" permettent de presenter nos resultats sous la forme du diagramme complet : Lorentz
1
Schwarzschild
Galilee
--+
t
Newton
ou une fleche horizontale veut dire que dans les formules de transformation correspondantes on a fait tendre c vers infini, et ou une fleche verticale veut dire qu'on a fait tendre la constante de gravitation k, on ce que revient au m1lme M, vers zero. Les resultats de la deuxieme section realisent aussi ce mais
a l'approximation
diagramme
envisage ce n'est qu'un resultat trivial et nous n'en re-
parlerons plus.
125
- 55 -
L. Bel
SECTION I : GENERALISATION DU GROUPE DE LORENTZ INHOMOGENE SPECIAL A LA REDUCTION UNIDIMENSIONELLE RADIALE DU ds 2 DE SCHWARZSCHILD
1. - "Les transformations speciales de Newton" . Considerons une masse M a. l'origine r=O et une particule d'epreuve de masse m, soumise uniquement au champ de gravitation newtonnien de M, que nous identifierons a. un observateur 0' en chute libre. Nous supposons la trajectoire de 0' radiale et par consequent, abstraction faite, ce que nous fairons dans la suite de cette section, des coordonnees
e !f, et
l'equation
differentielle du mouvement de 0' est
Plus precisement la trajectoire de 0', et par consequent l'observateur 0' lui-m~me,
sera caracterisee par la solution de cette equation correspondant
aux conditions initiales r ,t o
0
et W,
r 0 etant la position initiale de 0' a.
l'instant to et W etant l'integrale premiere W = 21
~ 2 _ kM r
c 'est-a.-dire l'energie au facteur m
=
~ ~ 2 _ kM 2 0 ro
pres. Nous ecrirons symboliquement
O'(P ,W) pour designer l'observateur correspondant. o Soient r et tIes coordonnees d'un eVEmement P, suffisamment proche de Po
par rapport a. C , observateur fixe a. r=O. Nous nous proposons
de determiner les fonctions de transformation donnant les coordonnees r' et t' de ce
evenement par rapport a. O'(P ,W). o Il est conforme au caract ere absolu du temps dans la theorie de Newton m~me
126
- 56 -
L. Bel
de poser t'-t' = t-t
(IV, 1)
o
0
t' etant Ie temps pour 0' correspondant au temps t de C. Et il est cono 0 forme au caract ere absolu de l'espace de poser, si on suppose que les directions r
croissante et r' croissante coincident
(IV, 2)
r' = r-r 1
ou: r1
=
r(t-t , r , W) 0
o
r(t-t , r , W) etant la solution de l'equation differentielle du mouvement coro
0
respondant aux conditions initiales qui caracterisent O'(P , W). Cette fonction o est donnee, comme on sait, sous forme implicite par l'equation : t-to
=
tJr
c=-rIr I
dr
1
ro En developpant Ie deuxieme membre en serie jusqu'au terme en (r 1 -r 0)2 il vient t-t
(r 1 - ro) +
o
e. -=-,rO:-----J:::;--:3,-/;2r2 2(W+ 2 kM
o
kM)
ro
En inversant cette serie nous obtenons jusqu'au terme en (t-t )2 o r1-r
v.
kM kM = (;. 2(W+-)(t-t) - 2 (t-t ) 2 o r o 2 0 o ro
Or (IV, 2) peut s' ecrire r' = r - r
o
- (r -r ) 1
0
et, par consequent, nous obtenons pour r'
127
a l'approximation
envisagee
- 57 -
L. Bel
(IV, 3)
r'
r-r
=
o
-E;.
V
kM ro
2(W+~)(t-t) 0
+kM2 2 ro
(t-t )
2
0
Cette formule de tranSformation est une generalisation de la formule de transformation spatiale du groupe de Galilee
a laquelle
elle se reduit si
a l'approximation envisagee, par inspection de la forc 'est vrai aussi a tous les ordres par construction, comme
kM = O. Ceci est vrai, mule (IV, 3), mais
on peut Ie constater facilement.
2. - Le groupe de Lorentz special inhomogene. a. - Considerons les deux fonctions de transformation, relatives
a deux
observateurs galileens 0 et 0', definissant Ie groupe de Lorentz special inhomogEme t-t (IV,4a)
t' -t'
(IV,4b)
r'
o
=
o
r-r
-vi c 2(r-r 0 )
o
- v(t-t ) 0
L'interpretation de ces formules est fournie par l'interpretation des differents arguments qui y figurent. Ainsi si r ment P par rapport
a
0, et r 0
qui a une vitesse v par rapport evenement par rapport
a
et t sont les coordonnees d'un evene-
est la position initiale
a
a l'instant
to de 0,
0, r' et t' sont les coordonnees du
0'. Cette interpretation suppose en outre que
m~me
t~
est
Ie temps pour 0' qui correspond au temps to de 0 et que les directions positives des axes r
et r' coincident.
Nous nous proposons pour l'instant d'etablir un certain nombre de resultats concernant les formules (IV,4) aussi bien au point de vue formel qu'au
128
- 58 -
L. Bel
point de vue de certaines interpretations dont elles sont susceptibles. Ces resultats nous suggereront dans que I sens il convient de tenter la generalisation 2 . au cas de la reduction unidimensionnelle radiale du ds de Schwarzschlld. b. - Posons -1
E
d' ou i1 vient
v=~
(IV, 5)
E
e. = Ivl ~
VE2_1
et :
Avec ces notations nous pouvons ecrire les formules (IV, 4) sous la forme (IV,6a)
't(PIE Ip) o
'5
t'-t' = -E(t-t) 0
~
VE2_1 (r-r)
0'"
0
(IV,6b)
ou encore pour cette derniere d{(P/N/P) == r'
(IV,7)
o
=
-N(t-t ) + 10
c
V
N 2 +c 2 (r-r) 0
Considerons les deux integrales definissant respectivem'ent Ie temps pro-
1:: f V v~
pre et la distance propre t (IV,8a,b)
1
o
=
1
to
1-
c
dt
J(P 1
f E~ t
P
=
2
2
dt
dr dt
u = -
•
tl
E. de la deuxieme integrale correspondra dans les considerations qui vent a la convention adoptee suivant laquelle les directions positives de r Le
129
suiet
59 L. Bel
r' coincident. Ces deux integrales definissent des problemes variationnels pour lesquels les equations de Hamilton-Jacobi respectives sont : (IV, 9a, b)
(~~)2 _ C2(~::-)2
=
1
On verifie immediatement que (IV, 6a) et (IV, 7) sont respectivement des integrales completes des equations precedentes. En outre de ;
t;) 1"'
~
il resulte que E
(P \ E \ P ) = -E 0
IJJ( (P/N/P) 'dt
=-N
0
et N sont precisement les Hamiltoniens respectifs asso2 . pres, l'energle d'une par-
cies aux integrales (IV, 8). E est, au facteur -me ticule de masse m .
Les transformations du groupe de Lorentz special sont donc des integrales completes des equations de Hamilton-Jacobi associees aux integrales definissant Ie temps propre et la distance propre, les constantes d'integration etant les Hamiltoniens respectifs. c. - Ecrivons symboliquement l'equation de l'extremale de (IV, 8a) correspondant aux conditions initiales Po' E sous la forme
A
etant Ie point variable sur l'extremale. D'apres Ie resultat ci-dessus et
les resultats classiques de mecanique analytique il y a donc equivalence entre les deux relations
I I Po)
(IV, 10)
G(A E
= 0 ¢:>
~i
(A / E
I Po)
=
= 0
a
t de
Y --.l V.t;
- Ev
Calculons d'autre part la derivee totale par rapport long de G(A/ E
I Po)
O. De (IV, 6b) il vient ;
~ dt (A I E I P 0 )
= -
130
c
C \
X
(AI E
I Po)
Ie
- 60 -
L. Bel
soit d'apres (IV, 5)
~(AIEIP) dt 0
0
Comme on a aussi :
il resulte qu'il y a donc equivalence entre les deux relations (IV, 11) Evidemment (IV, 10) et (IV, 11) donnent dans les deux cas G(A I E
IP o) =
0 (=) r - r
0
- v(t-t ) 0
=
0
Les deux fonctions de transformation (IV, 6) definissent donc
a travers
(IV, 10)
et (IV, 11) deux expressions equivalentes de 1 'integrale generale des equations differentielles des extremales de (IV, Sa). Soit G(A IE/ P ) o
=
0 l' equation de la trajectoire d 'un observateur galileen
O'(P 0' E). Pour bien comprendre
l'int~ret
des resultats ci-dessus il convient
d'insister sur Ie fait que, alors que dans (IV, 6) r
et t sont les coordonnees
d'un evenement quelconque, dans (IV, 10) et (IV, 11) rest la position de 0' par rapport
a
0
a l'instant
t. Cette ambivalence d'interpretations des formu-
les (IV, 6) vient de l'ambivalence d'interpretations de l'integrale (IV, Sa) qui est aussi bien l'integrale de temps propre d 'un observateur galileen que 1'inte.
grale d'achon, au facteur -mc d. - Soit P
1: (A I E I Po)
=
?:
2
pres, des particules libres.
un evenement quelconque et considerons la variete (P I E
(IV, ga) correspondant
I Po). Cette variete etant a la constante E elle est
l'extremale G(AIE/P o )
=
une integrale complete de une variete tranversale
a
O. Soit PI Ie point d'intersection des deux. PI e-
tant sur la variete transversale nous aurons
131
7::' (P 1\E/P o )
=
'C' (PIElp 0 )
et
- 61 L. Bel
P
1
et P
0
etant sur la
m~me
extremaIe, d'apres (IV, Ga) et Ie theoreme du
ch. 1. Sect. I, il vient : (IV, 12a)
t'-t' = o
L
1 PI = It VI _ v 2 dt P 2 o to c
l'integrale etant caIcuIee Ie long de G(AIE/P ) = O. o
En inversant les r(''lles des integrales (IV, 8a) et (IV, 8b) un raisonnement identique permet d'obtenir Ie resultat correspondant : r'=X P PI
(IV,12b)
=(tc.\~ ) tl V
l'integrale etant calculee Ie long de
u
'T
-
dt
\;
(AlE Ip ) = o
1:' (piE \p 0 ).
Note. - D'apres la remarque II de la fin de Chap. I, sect. II, on peut resumer les resultats precedents en termes des metriques d't"'2 = dt 2 _
-T c
dr 2
de la maniere suivante : les varietes
di(,2 = dr 2 _ c 2 dt 2
?: (A/E/P o )
= cte sont d'une part des
varietes orthogonales ala famille de geodesiques G(AIEIP ) = 0 , d'autre 2 0 part des geodesiques de ddt . (IV, 12) montrent donc que t'-t' et r' sont o les coordonnees geodesiques de P par rapport a 0'.
3. - Generalisation du groupe de Lorentz special inhomogene
Considerons la reduction unidimensionnelle radiale du ds 2 de Schwarzschild:
'0=
(IV, 13)
~ r
1 -
Les integrales de temps propre et distance propre correspondantes sont (IV,14a,b)
,:1 = o
elV~ )t o
2 v 2dt , O'c
e
d(~ Jt CV~2 =
1
132
l
_c 25 dt,
u=·~~, t=I~1
- 62 -
L. Bel
Soit G(AIElp ) = 0 l'equation de l'extremale de (IV, 14a) correspondant aux o conditions initiales (P , E), E etant I'Hamiltonien o
E
(IV, 15)
qui est une integrale premiere des equations differentielles des extremales de
l:"
) = cte la famille de transversales correspondant o ala milme constante E. Considerons un point quelconque P et la transver(IV, l4a). Et soit
(AlE IP
sale de la famille precedente qui passe par P. Son equation est 'L(AIE\P ) = 1:"'(PIElp ). Elle coupera l'extremale G(A\Elp) o
0
0 en un
0
point PI' Nous nous proposons de resoudre Ie probleme suivant Determiner les fonctions (IV, 16a, b)
P = It PI -
r'
la premiere integrale etant calculee Ie long de G(AIE/p ) long de
o
l' (AlE Ip o ) = 1;' (piE Ip 0 ).
0, la seconde Ie
Si O'(P , E) est l'observateur de 0' dont la trajectoire est G(AIEIP) o 0 nous dirons, par analogie avec les resultats du paragraphe precedent, que
0
t'-t' et r' sont les coordonnees de P par rapport a O'(P , E), et en detero 0 minant ces fonctions en termes de P, E et Po nous obtiendrons les formules de transformation de coordonnees entre C , observateur fixe a r
=
0, et la
classe d'observateurs en chute libre 0'.
4. - Determination de la fonction t' -t' . o La resolution de la premiere partie du probleme est presque immediate. En effet la fonction
L
(AIElp ), pour definir une famille de transversales, o
doit iltre une integraIe complete de I' equation de Hamilton-Jacobi associee a (IV, 14a) qui est
133
- 63 -
L. Bel
D'autre part, la constante d'integration devant 1;tre I'Hamiltonien, ?;,,(A\E\P 0) doit 1;tre de la forme : ?;,(A\Elp ) = -E(t-t ) + W(r, r ,E) 0 0 0
d' ou en obtient facilement (IV,17) '7:(AIEIP ) o
=
-E(t-t ) - -.e.Jr 0
c
ro
.!l 6'"
dr
.0.=
VE2- 6'
Si PI est Ie point d'intersection de la variete ~ (AIEIP ) = ?;"(PIEIP ) o 0 avec l'extremale, G(AIElp )= 0, pour 1;tre sur.la variete" nous aurbns o
1:;'(P 1/E/P o ) = 'ti(PjE/Po ) et pour 1;tre sur l'extremale
d'apres Ie theoreme du Chap. I, Sect. I:
t'(P 11Elp ) = o
't' Pp1 0
et par consequent no.us, obtenons finalement
r.
t'-t' = -E(t-t ) - £ D dr o 0 c ro G" La methode de Hamilton-Jacobi permet ainsi de resoudre facilement un pro(lV,18)
bleme d'apparence complique et qui Ie serait m1;me reellement si on essayant d'appliquer directement la definition de Ia fonction t'-t' . o
5. - Determination de Ia fonction r'. a. - Resolvons maintenant la deuxieme partie. Comenc;ons par constater que la methode de Hamilton-Jacobi n'est pas dans ce cas directement applicable. En effet, nous pourrions appliquer cette methode si la variete 'C(AIE\P) o (IV, 19)
"t (P)E)P ) etait une extremale de 0
~ ~1 = )
t
f.
V~ -
c 2( j
t1
t
dt;s
f
t1
134
L dt
- 64 -
L. Bel et si G(AIE Ip
1:' (AlE Ip o ) =
o
)=
0 etait une variete transversale aux extremales
cte. Or il n'en estrien. En effet, les equations differentielles
E
des extremales de (IV, 19) sont
0, OU :
=
c:=~0L_gL -
Or
o
L
dt
() u
i() r
eu
_
~-~\f,~2~=
(5V~ et puis que sur
-c 2 (5"
"Z'(AIEIPo)
(IV, 20)
u
=
cte, d'apres (IV, 17), nous avons:
=
- ,EcEe"
n
par un calcul facile nous obtenons
~L _
(IV,21)
1) u
E
- -
0
Ensuite, de d dt
il vient finalement
cc6"'
c..~_- -
(IV, 22)
2il
ce qui prouve que les varietes
f
0
T(AIE IP ) = cte ne sont pas des extremales o
de (IV, 19). b .. - Pour resoudre (IV, 23)
OU
A. (r, t, E)
eJt11\
c~s
dt ==
difficultes nous introduisons 1 'integrale
eJt1
[L +
A (E
+
~ ~ u~
dt
est une fonction auxiliaire. D'apres (IV, 20), Ie long de
135
- 65 L. Bel
1:'(AIE Ip o ) =
cte
E+~nu=O c
6"
et par consequent la fonction r'(IV, 16b) peut tout aussi bien (IV,24)
r' =
X~
=
1
Imposons a 1)
A
(t / \ dt
o les deux conditions suivantes
A est telle que les
definie par
Jtl
1:' (AlE Ip ) =
l'integrale etant calculee Ie long de
~tre
' ( (PIE IP ). 0
varietes (;,(AIEIP ) = cte sont des extremales de o
(IV, 23). 2) l'extremale G(A/E/P ) = 0 de (IV, 14a) est une variete transversale o ala famille d'extremales (,"(A\EIP ) = cte. o
A existe nous
Si une telle fonction
pouvons appliquer la methode de Ha-
milton-Jacobi pour calculer la fonction r' . c. - Les varietes 1:'(A/E/P ) o
=
cte seront des extremales de (IV, 23) si
Ie long de ces varietes
g=~ 01\ -
dt
~ u
-
'dl\ dr
Or:
d' ou il vient
qui compte tenu de (IV, 20) devient :
tLa condition 1) imposee a
=
"+ ~S- dA
C;
c
dt
=
0
~ est donc, compte tenu de (IV, 22)
136
- 66 L. Bel
dA
(IV, 25)
dt
avec u donne par (IV, 20). Cette equation determine
~
sur chaque variete
'(:'"(AIE Ip ) = de si on se donne sur chacune de ces varietes la valeur de o
it
en un point. Nous allons voir que c'est precisement la condition 2) qui fixe ces conditions initiales. d. - Une fonction K(AIE) mille d'extremales
'C'
=
cte sera une variete transversale ala fa-
(AIElp ) = de de (IV, 23) si et seulement si (Voir Dei.
o
Chap. I, Sect. I):
(IV, 26)
Mais compte tenu de (IV, 20) :
L=~
n
et d'apres (IV, 21) nous pouvons ecrire les conditions (IV, 26) sous la forme
fJJl
rr
(IV, 27)
fJJ.(,_
7Jt - -
E
S
+~A.Q
c
t cll
+
fi
AE
Ceci nous donne un systeme d'equations en derivees partielles pour determiner
J(,
si nous connaissons
A . Car
si
A satisfait la condition 1),
donc (IV, 25),
ce systeme d'equations est completement integrable. En effet : (IV, 28)
0 J.t
0
2 J( 2 ~-tC)r0t
=
~ n ~A c
Mais d'apres (IV,17):
137
s7(Jt
+
tc 0il.
I()r-
E
0~ .
lOr
- 67 -
L. Bel
(IV, 29) et d'apres (IV, 25) et (IV, 20)
d'ou, par substitution de cette derniere et de (IV, 29) dans (IV, 28) on obtient:
Ce (:lu'il fallait demontrer • e. - Supposons
,A
connue et soit J..(, (AlE) = cte l'integrale generale de
(IV,27). Calculons sa derivee totale par rapport au temps Ie long de G(AIEiPo)=O. De (IV, 15) il vient : (IV, 30)
v = _
6'n
f: c
E
ce qui avec (IV, 27) conduit au resultat suivant (IV,31)
d K _fdJ-t di-1)t
+
0,).1 _ j\ 6" "i)rv- E
Posons: j{(AIE; P ) = o
J! (A/E)
- J{.(P IE) . 0
Avec cette notation l' equation de la variete transversale de la famille J(,(AIE) = cte qui passe par Pest:
o
Jt(AIE; P ) o
=
0
de sorte que en particulier nous avons J{.(P IE; P ) = 0 o 0
Ainsi, la condition necessaire et suffisante pour que l'extremale G(AIEIPo)=O de (IV, 14a) coincide avec
i(.(AIE; P ) = 0, et la condition 2) soit satisfaite, o
138
- 68 -
L. Bel
est que: (IV,32) Ie long de G(AIE; P } ~ O. Autrement dit, d'apres (IV,3l), que sur G(AIEIP } ~ o
II
soit zero o O. Cette condition avec (IV, 25) determine completement la
fonction,lt et par consequent aussi l'integrale generale de (IV,26) J-((AIE} ~ ~
cte. f. - Considerons maintenant, P etant un evenement quelconque, la fonc-
tion :
J(. (pIE;
P ) ~ JUpIE} o
J((P , E} 0
et soit PI Ie point d'intersection de l'extremale [;'(AIElp } ~ 1:"'(PIE/P } o 0 avec la variete transversale: J{(AIE; P } ~ 0 <2'=> G(AjEIP } ~ 0
o
0
PI etant sur la m~me transversale que Po' d'apres (IV,32), nous avons :
et PI et P
etant sur la m(',me extremale, d'apres Ie theoreme du Chap. I,
Sect. I :
Soit finalement, compte tenu de (IV, 24) :
r'
~
)( ~
1
~ Jl (piE;
Po)
et la deuxieme partie du probleme est resolue.
139
- 69 L. Bel
6. - C alcul explicite approche de la fonction r
I.
Nous no us proposons de calculer explicitement la fonction r'
jusqulau
deuxieme ordre d'approximation. A cet ordre nous avons :
Or manifestement : d-tp=p
o
= 0
Ap=p = 0 :
et de (IV, 27) il vient, puis que
o
_
~Jtl t;)t p=p
E
- 6'
- -
~ cp
,
o
les deuxiemes membres etant calcules bien entendu au point Po' Nous suppriinerons l'indication p=p 0
quand il n'y aura pas de confusion
a
craindre
De (IV,27) ilvient
1d2J(, /")
'or (IV, 33)
2
~:~
I -~ p=p
0
- ""'2
Ip=po =
v
6'
,+ E:.
t;l';1 \
c I()r
~ ~~ I
P=Po
1,2~Clp=p = ~~ !p=p t o o
p=p
0
.
n
f)
f
E
IJ
Nous avons done besoin de connaftre (IV, 25) il vient (IV, 34)
140
~; /P=Po
et
~~ Ip=po .
Or de
- 70 -
L. Bel D'autre part, puisque ~ est zero sur G(A/E
Ip 0)
0 nous aurons Ie long de
G(AIElp 0) = 0 :
ce qui compte tenu de (IV, 30) nous donne en particulier au point P
o
(IV, 35)
De (IV, 34) et (IV, 35) on tire les resultats suivants ~cEG"
2 G'
.n.
La substitution de ces resultats dans (IV, 33) donne:
iU 2rf(,
fUr 2
= E\)I
/ P =P o
2\,2
Et nous pouvons finalement ecrire la fondion r',
a I' approximation
envisagee,
sous la forme : r'
Jt (PIE; P) o
-
E..
c
(IV, 36) 2
.n. (t-t
0
) - (:: (r-r ) ,
0
~ .~ EO" 2 C' () '(t-t )(r-r ) + - - 2 (r-r 0) o 0 0 2 (5
7, - Formes limite des fonctions de transformation.
a. - Que les transformations (IV, 18) et (IV, 36) se reduisent aux transformations (IV, 6) quand kM = 0, resulte des definitions (IV, 16) et des resultats (IV, 12) que nous avons prouves au sujet du groupe de Lorentz. b. - Demontrons qu' elles se reduisent
a (IV, 1)
et (IV, 3) quand on fait ten-
dre c vers infini. De (IV, 13), (IV, 15) et (IV, 17) il vient (IV, 37)
lim r?r
=
1
lim E
c->- ..
141
=
-1
lim .. U
o
•
- 71 L. Bel
Par consequent pour c tendant vers infini (IV, 17) devient t'-t' o
t-t
=
0
Pour la transformation d'espace les choses sont plus delicates. Nous esquissons iei seulement la demonstration. Nous pouvons ecrire (IV, 19) sous la forme r' =
Jt
~
r;;
'V
u 2_ -2 -cO
(5
~ t1
Mais d'apres (IV, 20) 2,-
~
u
2
et par consequent de (IV, 37) lim
c 2(5
2
c.".(j(I
et
0
U
r
(IV, 38)
r'
dr
qui est (IV, 2). Que les arguments de (IV, 38) et (IV, 2) sont les m€lmes resulte du fait bien connu que pour c -> uO
les equations du mouvement dans Ie cas du
ds 2 de Schwarz schild se reduisent a. celles de la theorie de Newton. Remarque. - Il convient de remarquer que les resultats de ce chapitre sont purement locaux, c 'est-a.-dire supposent P Ceci venant essentiellement du fait que
t
suffisamment voisin de Po'
peut changer de signe. Ceci pose
des ambiguites que nous ne discuterons pas ici. Signalons tout -de -m€lme que si P n 'est pas suffisamment voisin de Po Ie calcul des fonctions t' -t ~ et r' doit se faire en deux etapes successives.
142
- 72 -
L. Bel
SECTION II : PARTIE PRINCIPALE DE LA GENERALISATION DU GROUPE DE LORENTZ INHOMOGENE
1. - Le groupe de Lorentz inhomogene. Soit 0' un observateur galileen qui par rapport
a un
a l'instant
to occupe la position
second observateur galileen 0 , et a par rapport
a lui
i
x~
une vi-
tesse dont les composantes sont vi. Supposons 0 et 0' munis de tri-repe-
.,
S et S' et soit RI la matrice du groupe orthogonal qui J definit l'orientation relative du tri-repere S' par rapport as. Symbolique-
res orthonormes
ment S' = RS . Dans ces conditions les formules de transformation des coordonnees entre 0 et 0'
sont les suivantes : P
o
eo
+ p. 1
e
i
(IV, 39)
ou
0
(IV, 40)
eO
,
y
-1
P
P.
1 _ v2 c2
e
i'
= t'-t~
1
=
x
i'
v c
eo =
i P
2
0
e= i
t-t 0
L'interpretation cinematique de ces formules est la suivante sont les coordonnees d'un evenement quelconque A par rapport sont Ies coordonnees du m€lme evenement A par rapport de 0' qui correspond
a
to.
143
a
a
i i x -x 0
si (xi, t) 0, (xi', t')
0'. t ~ est Ie temps
- 73 -
L. Bel
Les formules (IV, 39) sont les formules rle transformation definissant Ie groupe de Lorentz inhomogEme. D'apres les definitions des
P
o
et P. il vient 1
(IV, 41)
.,
ce qui entraf'ne, comme on sait, queUe que soit Rl
:2
I (eO )2 -
j
z;.
(~;l)2 = (8 )2 - ~ 0
du groupe orthogonal
? (fl)2
Encore convient-il d'insister sur Ie fait, qui nous servira plus tard, que Ie resultat precedent est purement algebrique. II ne depend que de (IV, 41) et nullement de l'interpretation des
e
qui peut Mre celle de (IV, 40) ou toute autre.
Par differentiation les formules (IV, 39) restent manifestement inchangees
a condition
(IV, 42)
eo'
=
de poser:
e
i'
dt'
= qx i'
Considerons les ds 2 de Minkowski ds 2
=
dt 2 __1_ c2
Z;
(dxi)2
dt et dx i definissent en chaque point un corepere orthonorme. Les formules (IV, 39) avec (IV, 42) et compte tenu de (IV, 41) definissent sur ce corepere
une transformation du groupe de Lorentz homogene. Reciproquement, tir des formules (IV, 39) et l'interpretation de
e
a par-
de (IV, 42) on obtient trivia-
lement les formules (IV, 39) avec l'interpretation des
e
donnee par (IV, 40),
par integration de quatre differentieUes exactes.
2. - Partie principale de la generalisation du groupe de Lorentz inhomogene. a. - Soit C
un observateur fixe
a
r
=
0 et soit 0' un observateur en
chute libre decrivant une,extremalede (1,16) ou, ce qui revient au m{\me, une extremale de
144
- 74 -
L. Bel
(IV, 42)
=
Jt L
r2 2 c
dt
to qui est l'integrale de temps propre. L'observateur 0' sa position initiale (I' , o
e' 0
(tJ ) 10
pour t = t
des trois integrales premieres E, au Chap. I, Sect. II, conformer
a cette
a (IV, 42).
' 2 (e• 2 + sin 2 'B 0/ )
sera caracterise par
et pour des valeurs fixes
0
et M
P
definies I pour se c2 dans la suite de
differenc"€ pres qu'il faut poser m
Il faudra d'ailleurs en faire de
cette section chaque fois que nous nous refererons pour lequel nous avions suppose m
m~me
a un
resultat precedent
arbitraire. Nous ecrirons symboliquement
O'(A , E, P, M). o
Nous utiliserons par la suite des coordonnees polaires pour nous referer
a
C et des coordonnees rectilignes pour nous referer
par Ie fait que,
a cause
a
0' . Ceci s'impose
de la symetrie spherique du champ considere, les co-
ordonnees polaires sont plus commodes pour decrire certains aspects du probleme que nous traitons ici, et que,
a cause
de la simplicite des formules de
transformation du groupe de Lorentz en coordonnees rectilignes, ces dernieres sont plus commodes pour d'autres aspects. Soit A un eVEmement de coordonnees ( ordonnees de ce
m~me
t, i,
evenement par rapport
t) par rapport
a O'(A o ,
a
C. Les co-
E, P, M) seront dom-
nees par des formules de la forme (IV, 43)
t'-t'
o
=
?::'
(A/E, P, MIA)
x
0
t ~ etant Ie temps pour 0' qui correspond
a
i'
to
Evidemment nous devons a-
voir: (:,(A IE, P, MIA) = 0 0 o
J{\A IE, P, MIA) o 0
Si l'evenement A est suffisamment proche de A premier ordre d'approximation :
145
o
0
nous pourrons ecI'ire au
- 75 -
L. Bel
formules qui sont la partie principale des transformations (IV, 43). D'une maniere equivalente, nous pouvons nous referer
a cette
partie principale en po-
sant
dt'
=
d'l:'
etant entendu qu'il s'agit de formules pour A=Ao et que par consequent ces formules n'expriment pas que dt' fonctions des
1; i
et dx i ' sont des differentielles exactes de
et t.
Notre but dans cette section est d'imposer des conditions
a
dt'
et dx i '
et de les determiner en identifiant chacune des grandeurs qui apparaisse dans les resultats. b. - N ous designerons dans la suite le point A par A + dA Nous imposons 1) Si
ciA
a
o
.
dt' les deux conditions suivantes
est tangent
a l'extremale
Gi(AIE,P, Mlp) o
0, trajectoire
de 0', au point Ao
-
dt' =
Z
dt
2) Si dA est une direction transversale dt' = d~
a cette
extremale
=0
Considerons l'integrale complete (I, 23) de l'equation de Hamilton-Jaco·bi (I, 20), ou plutot sa differentielle
- Mdt{
146
- 76 -
L. Bel
Nous avons ecrit (:;" au lieu de S pour rappeler que m =
2 . Cependant
nous avons deja tenu compte de cette modification en ce qui cgncerne les signes de sorte que nous continuons a avoir
.
;y_
t = I~I
e
M
lMT
- leI
=}L ftpl
Nous supposons
.Q
(IV, 44)
"0 I
M2
V
P2
sin 2
ef0
au point A o. Les resultats qui suivent seront valables independamment de ces restrictions mais la methode que nous allons exposer, dans Ie cas ou nous n' aurions pas (IV, 44), devrait etre convenablement adaptee. On obtiendrait les equations de la trajectoire de O'(A o ' E, P, M) par la methode habituelle rappelee au Chap. I. Ces equations, sous forme differentielIe, sont :
oU:
~
dA(dt, dr,
de,
D'autre part
.... dA
d
-
sera tangent a l'extremale envisagee si
. F1(dA)
=
0
sera transversale a cette extremale si
147
- 77 -
L. Bel
Les quatre formes de Pfaff FGlC" (
0, 1, 2, 3)
0(
sont lineairement indepen ...
dantes. En effet si nous posons
nous avons
t-
0
et fini
d'apres (IV, 44). Par consequent dt' sera une combinaison lineaire des F<>I"
Or d'apres la condition 1) no us devons avoir dt'
Z
=
dt
mais d'apres Ie theoreme du Chap. I, Sect. I :
donc
'Ao = 1 D'autre part d'apres la condition 2) no us devons avoir dt'
(IV, 45)
=
I\.Fi
=
si d 7:'
0
1
Si
d'l"
o
nous avons
e .n.
"l.J - dt = - ~- dr + >L c Eo E
V
P2-
=
0
M2 sin2e
~~
de
Nous pouvons par consequent ecrire (IV, 45) sous la forme (IV, 46)
dt'
=
'1\ 1.F i '
=
0
ou
148
- 78 -
L. Bel
F
I'
V
n
P 2 - -M2 -de sin2e
f. - E (l;- - - - ) dr +q-' c E6' c Q"!l; E F
3'
=
F
3
Les formes de Pfaff F i ' ne dependent que de dr, de, et d arbitraires puis que nous avons deja tenu compte de d
7:
=
tf
qui sont
0, et elles sont li-
neairement independantes. En effet det
IF~' j
--,ve~~=p-M~2-
= ---
cE.Q. (IV, 46) entrafne done
A.
=
P
-~ SIn
(7
0
1
-+
et par consequent nous aurons que 1 que soit dA dt'
- E dt -
-zen 7$'-
dr -
Jl
V
P2
-Md/f'
Remarque. - L'expression ci-dessus est evidemment completement integrable. Cependant il serait tout-a-fait inexact de pretendre que l'integrale generale de cette equation serait la generalisation de la transformation temporelle du groupe de Lorentz inhomogene. Ceci vient du fait que P
et M
ne
sont pas les bonnes constantes d'integration pour Ie probleme. Mais tant qu'on reste a la partie principale Ie choix des constantes d'integration est sans importance. c. - En accord avec ce qu' on peut appeler Ie principe de validite locale
.,
de la Relativite Restreinte la condition pour determiner les dx I vante : nous supposons que les dx
i'
sont tels que:
(IV, 47)
149
est la sui-
- 79 -
L. Bel
ou nous avons pose
ltf
=
~dt
W
J
dr
.jl =
W
dt.t .
r sine
Or si nous posons Q
=~
Q
01(6=-
2
= _
2
d" ~p2_~
M
.o2e
r
r sine
Sln
nous avons dt' = - Q
o
CJ
+ Q.
0
1
£Vi
D'autre part, d'apres la definition des QI)( Q2 _ c 2
o
Lt
Q~
=
il vient
1
1
et par consequent d'apres la remarque que nous avons faite au paragraphe 1 , la solution generale pour les dxi' dx
i'
=
">' j
~
satisfaisant
a la
condition (IV, 47) est
i' { [ \ 2 QjQk] k Rj 0jk + c l-Q o W
-
c
2
Q j U)
0
R~' etant une matrice quelconque du groupe orthogonal qui peut ~tre interpreJ tee comme definissant l'orientation relative du trirepere de 0' par rapport au tri-repere orthonorme adapte aux coordonnees polaires all point A
150
=
A o.
- 80 -
L. Bel APPENDICE A
[1 J, [2 ]
Rappels sur les equations differentielles lineaires au deuxieme ordre. a. - Considerons l'equation differentielle lineaire du deuxieme ordre d 2R + M dR dr2 dr
(A,1)
+ NR = 0
ou M et N sont des fonctions de r. Par un changement de fonction inconnue toute equation de ce type peut
~tre
a une
ramenee
forme canonique ou la deri-
vee premiere n'y figure pas. En effet, si nous posons R = F exp[-
~ JMdr
J
la nouvelle equation pour Fest :
o
+ JF ou
1 dM _ ~ M2 2 dr 4
N
J
b. - Nous nous bornerons dans ces rappels au cas ou M et N sont des fonctions rationnelles. Dans ce cas I' equation peut toujours s 'ecrire sous la forme: (A,2)
P
2
~+P ~+PR
o dr2
1 dr
2
ou Pi (i = 0,1,2) sont des polynomes en r Les points singuliers
a distance
0
sans diviseur commun.
finie de l'equation (A, 2) sont les raci-
nes de l'equation Po = O. Tout autre point est dit ordinaire. Au voisinage de tout point ordinaire r
=
a i1 existe une et une seule solution telle que: R(a)
=
a
dR --- (a) = a dr 1
o
151
- 81 -
L. Bel
a 0 et a 1 etant deux constantes arbitraires. II nous interesse surtout ici quelques definitions et resultats concernant
les points singuliers. Nous supposerons que r = 0 est un point singulier. L'etude qui suit s' appliquera evidemment
a tout
autre point singulier r = p puis-
que on se ramene trivialement au cas precedent par Ie changement de variable x = r-p. Posons i=O,1,2 011
)) (P.) designe la valuation du polynome correspondant. 1
(...oJ.
1
est l'ordre
de multiplicite de la racine r = 0 pour chacune des equations Pi = O.
r =0
etant un point singulier nous avons :
Soit
d.
un entier tel que
l'egalite etant atteinte au moins une fois. Recrivons l'equation (A, 2) sous la forme:
011 nous avons pose :
Q =r
0\.
-2
o
P
C>I.
0
Q1 = r
-1
PI
Nous avons : ) ) (Q ) =
o
0\
-2+
[J 0
>0
l'egalite precedent Ie zeroetant atteinte au moins une fois. Ecrivons les polynomes Q i sous la forme:
152
- 82 -
L. Bel
(A,3)
ou
D'apres les definitions precedentes nous savons que Q.
1,0
r0
i,
pour au moins une valeur de
Q.)...J,
ainsi que
r0
pour au moins une valeur de j . c. - Nous nous proposons de savoir sous quelles conditions l'equation (A, 2) admet au voisinage de r= 0 des solutions dont Ie developpement en se-
rie dans ce voisinage est de la forme
=L 00
(A,4)
R
n=o
s
a r s+n
n
a
o
r0
etant une constante. De telles solutions si elles existent sont dites regulie-
res. Elles ne sont pas les seules
a porter
ce nom, ce pourquoi nous les ap-
pellerons plus precisement solutions regulieres au sens stricte. Calculons D(r m ). Nous obtenons facilement (A,5)
Q Q1 + QJ
D(r m ) = rm [ m(m-l) o + m
Pour que Ie developpement presume de R soit Ie developpement d'une solution de D(R) i1 faut que: 0&'
L
D(R) = '"' anD(r s+n .) n=o
0
ce que nous pouvons ecrire, d'apres (A, 5) et (A, 3), sous la forme:
153
- 83 -
L. Bel
~
D(R) = ~ anr
s+nj_(s+n)(s+n-l)
ou encore
~I h6
oP
=L
~
(A,6)
D(R)
p=s
ou c
~
P
=?-, h=o
a \(s+n)(s+n-l)Q + (s+n)Ql + Q2 ] nL 0, p-s-n , p-s-n ,p-s-n
avec p >,,- s. (A, 6) entrafne c
(A,7)
p
=
En particulier pour p c
=a
s
et puisque a
o
f
0
p ~ s.
0 =
s
on obtient
\s(s-l)Q ~
0,0
+ sQ·l
+ Q
2 0 -,OJ
j- =
0
0
s(s-l)Q
(A,8)
0,0
+ sQ
1,0
+ Q
2,0
0
Cette equation est dite 1 'equation indicielle,. Elle exprime une condition necessaire que s doit satisfaire pour que (A,4) puisse I!!tre une solution de (A, 2). d. - Nous nous proposons maintenant de caracteriser la nature du point singulier par une etude de l' equation indicielle et rappeler quelques resultats sur 1 'existence de solutions regulieres. 1) Si Q
0,0
f
0 l'equation indicielle admet deux racines distinctes ou u-
ne racine double. Le point singulier est dit I!!tre un point singulier regulier. En termes des
Soient sl
c..v.1
ce cas est caracterise par:
et s2 les deux racines de (A,8). Deux cas sont
154
a distinguer
- 84 L. Bel
a) Si sl -s2 n'est pas un entier il existe pour chacune des racines sl et s2 une solution reguliere au sens stricte de 1a forme (A,4). b) Si sl-s2 '::> 0 est un entier il n'existe en general qu'une seule solution reguliere au sens stricte. Elle est associee
a
Sl et on la determine com-
me dans Ie cas precedent. Si sl =s2 il ne peut exister evidemment qu'une seule solution reguliere au sens stricte et elle existe reellement, 2) Si Q
0,0
= 0 ,Q1
,0
to,
ce qui entrafhe
l'equation indicielle n'admet qu'une seule racine. Nous dirons dans ce cas que r = 0 est un point quasi-regulier. La solution reguliere associee
a cette
raci-
ne peut exister ou peut ne pas exister. Dans tous les cas ou la solution reguliere au sens stricte peut exister les coefficients an se calculent
a partir
des equations (A, 7) pour p
"> s
qui
constituent une relation de recurrence pour ces coefficients contenant au maximum, comme on peut Ie voir facilement,),i +1 coefficients. Le developpement ainsi obtenu converge dans les cas 1) pour sl et s2 si sl-s2 n'est pas un entier, converge pour sl
si sl-s2 est un entier positif et converge aussi pour
sl =s2· Dans Ie cas 2) la solution reguliere existe ou pas suivant que Ie developpement obtenu converge ou pas. Us existent des exemp1es pour lesquels l'une ou l'autre de ces circonstances se produit. Dans tous les cas ou Ie developpement obtenu est convergent Ie domaine de convergence n'est en general que Ie cercle de centre r=O et rayon p,
p etant Ie module du point singu-
lier Ie plus proche de r = O. 3) Enfin si Q
0,0
= 0, Q 1
,0
= 0 alors necessairement Q 2
,0
t-
0 et 1'02-
quation indicielle n'a pas de solutions et par consequent l'equation (A, 2) n'admet pas de solutions regulieres au voisinage de r = O. Le point r = 0 est dit
155
- 85 -
L. Bel
~tre
un point singulier irregulier. On peut caracteriser aussi ce cas par
e. - Pour connaftre la nature de l'infini r = 00
=~ .
gement de variable r u
u
La nature de r
= -:L
il suffit de faire Ie chan-
est alors la nature du point
i:i7
0 pour I 'equation transformee. Tout ce que nous venons de dire s 'applique
=
done apres ce changement de variable. 11 peut toutefois
~tre
plus commode
d'avoir la caracterisation du point de l'infini d'une maniere directe. Pour cela il n'y a quIa suivre pas
a pas
ce que nous avons fait pour Ie point r
=
0 en
partant cependant cette fois de la definition suivante : Dne solution de (A, 2) est dite reguliere au sens stricte au voisinage de l'infini si elle est de Ia forme R
ou
f'
~
=
L..., n... =0
bnr
p-
b
r1.,.
o
f
0
est une constante. L' equation indicielle pour) est:
o
(A,9)
r0
I) Si Q j; 0,
, Ie point de l'infini est soit un point ordinaire, soit un
point singulier regulier. 11 est ordinaire si et seulement si deg Po 2) Si Q
o,j.I
=
=
2 deg(2rP o - r PI)
0 et Q I /, ,.I'
r0 ,
r
=
. 4 deg r P 2
= ~
est un point singulier quasi-regu-
lier. 3) Si Q
0,
1/ =
QI
I ,1/
= 0 , necessairement Q 2 ,
v
r 0,
Le point r
00
est·dans ce cas un point singulier irregulier. Au sujet de I 'existence de solutions regulieres au sens stricte les
m~mes
resultats que nous avons rappeles pour Ie point r =.0 s 'appliquent ici avec u-
156
- 86 -
L. Bel
f
ne seule modification. Quand 1 'equation indicielle admet deux racines
J
f
2 qui different par un entier
f
1 -
tion reguliere au sens stricte associee
2
aJ
>0
1 et
seule l'existence de la solu-
2 est assuree.
Dans tous les cas ou la solution reguliere au sens stricte existe, ou peut exister, la suite d'equations qui permet de calculer les coefficients b n. de proche en proche est:
c
(A,10)
ou
0
p
Ptf1 v
~
c p ::
L\b n ~(J -n)( JP-n-1)Q
0,
n-
f
((.) -n)Q1 ,n- p+}
r
p -) -p + Q 2 ,n--p )
~~o
ou encore en posant n
=
m+
r:- /
-
p+q = m
11 <:;-
cm-p=L· J
-
bm+~[(f-m-G)(F-m-(j-1)Q 0, ?;-+(f-m-(;)Q 1,1; +Q 2, 7;-'1I -
~:O
pour m~
-)I +1.
f. - Quand Ie point de l'infini est un point singulier irregulier il n'existe
pas de solutions regulieres au voisinage de l'infini. Mais par contre il peut exister des solutions normales. Une solution de (A, 2) est dite normale si elle est de la forme (A,l1)
R
=
V e
.Q..
V etant une solution reguliere au sens stricte de I 'equation transformee et
n
etant un polynome en r. Pour trouver les solutions normales
a l'infini
il
faut donc determiner les formes possibles de .Cl telles qu'apres Ie changement de fonction inconnue (A, 11) Ie point de l'infini soit au moins un point quasi-regulier. La theorie generale pour determiner.n
existe mais nous n'aurons pas
besoin de I' appliquer. En effet les equations du type (A, 1) auxquelles nous au-
157
- 87 L. Bel
rons besoin d'appliquer la transformation (A, 11) sont telles que la forme limite des coefficients M et N pour r tendant vers infini suggere immedia:' tement la forme du polynome
11 . APPENDICE B
Les etats lies dans Un potentiel newtonnien. a. - N ous rappelons ici tres rapidement les principales etapes de la resolution de l'equation de Schri::ldinger non relativiste pour un potentiel newtonnien. Il va sans dire que, du point de vue mathematique, la substitution du potentiel newtonnien au potentiel coulombien n'entrafne qu'une substitution des constantes qui figurent dans I' equation. L' equation de Schri::ldinger pour un potentiel newtonnien est
- ~~!."'f
(B,l)
=
wi;
0~ t
- P)
~
avec: P =- kMm
Les solutions
~
r de l'equation (B, 1) qui sont en
m~me
temps fonctions
propres des operateurs : energie et carre du moment cinetique :
d; ~; =~W:t; t; 2 l~~ e, t'f')1' = -h 21(1+1) 1'; t ou
r1
- - - -~ - (sin Lsin 8'
ue
'J 9' --)
r:J 9
.'entier
~
0
1e- iJ2J~2
+ - - - --. si n2
'i)
sont de la forme
Y l etant une harmonique spherique et R etant une solution de l'equation radiale :
158
- 88 -
L. Bel d 2R
(B,2)
2 dR ,~2 + 2kMm +- r dr + [2r
2
1;
dr 2
- 1(1+l)jR r2
0
ou 2mW
}~ 2
(B,3)
-t1
2
Pour les etats lies, que nous nous bornons ici
a considerer,
W L
consequent X est reel. Pour fixer les idees nous supposons
1C
0
>-
et par 0 .
b. - Par Ie changement d'inconnue R
on ramene I 'equation (B, 2) 2
d F dr 2
~
=
a la
r
forme canonique
l' ,
+ -
()'i
21
+ U(r,ljF
=
0
ou U(r,I), qu'on peut appeler Ie potentiel effectif, est 1(1+ 1)
U(r, 1)
(B,4)
r
C e potentiel effectif qui ne depend que de r
2
et de 1 tend toujour
a 1 'infini
comme r-~
c. - Ecrivons l'equation (B, 2) sous la forme: d 2R + 2r dR r2- + 1- dr2 dr_ On constate facilement que r
I
2 2 2kMm2 \ ',. r + 1:; 2 r - 1(1+1j R = 0 =
0 est un point singulier regulier et que r
est un point singulier irregulier. Pour r (B,5)
= ,;'"
la forme limite de l'equation (B, 2) est d 2R
dr 2
2
- )( R = 0
159
= ",'
- 89 -
L. Bel
qui admet des solutions de la forme
t. 2
=
+1
A : eonst
Ceci suggere done de ealeuler des solutions normales (B,6)
Seul
R
=
Ve
a l'infini
de la forme
-;Xi:
[= -1 a ete retenu pour assurer l'annulation de
R pour r
="""
A-
pres Ie ehangement d'ineonnue (B, 6), l'equation pour Vest: (B,7)
r
2 d 2V dV r~ kMm2 dr 2 + 2(1- f)j' r)r ct;- + L(~
L'equation indicielle au point r (B,8)
~f _(kM~
2
I-I
fH)r - 1(1+1)J V
0
est maintenant
= "'"
-0>
-
)=0
Le point r = GI
?
V
=
l..,
brrf- n
bo
r0
Q
etant la solution de (B, 8).
d. - L'equation indicielle au point r
=
0 , qui est encore un point singu-
lier regulier est: s(s+l) - 1(1+1)
0
dont les deux solutions sont s2
-(1+1)
ainsi
et il existe eertainement au voisinage de r stricte de la forme :
160
=
0 une solution reguliere au sens
- 90 -
L. Bel
Lf - e
v
(B,10)
a r
l+n
n
"=-o Si la solution ayant Ie developpement (B, 9) existe Ie domaine de convergence de 1a serie (B, 9) sera tout Ie plan complexe de la variable r , sauf peut-t"tre aux points r
= ¢&?
= O.
et r
De mt"me Ie developpement (B, 10) est
convergent dans tout Ie plan complexe sauf peut-t"tre pour r =00 xigeons
a la
. Si nous e-
function V solution de (B, 7) d't"tre reguliere au sens stricte
la fois au voisinage de r
= 00
=0
et r
(B,10) doivent coincider et par consequent V
f-e
V
(B,l1)
V
L,
=
a rl+n n
a
, les deux developpements (B,9) et doit €ltre de la forme: a
o
r0
" .. 0
d I ou il s' en suit en particulier que
J = I + n' avec n ' ~ 0 . Ceci est une condition necessaire. En fait, on peut demontrer facilement que solution V
f
entier.>,.. I est aussi une condition suffisante pour que la
de la forme (B, 11) existe. On sait que les polynomes ainsi obte-
nus sont les polynomes de Laguerre.
e. - Posons n ~
f
+1
De (B, 8) et (B, 3) il vient (B,12)
W
n=1,2, ...
n
OU:
Insistons sur Ie resultat que nous venons de rappeler.
161
- 91 L. Bel
Les solutions de l'equation radiale de l'equation de Schr8dinger pour un potentiel newtonnien, correspondant aux differentes valeurs de 1 'energie de la suite discrete d 'etats lies, sont des solutions normales au sens stricte
f
(resp.
a 1 'origine
a 1'infini
appartenant dans les deux cas
a des
et regulieres
exposants entiers
et 1).
APPENDICE C
Etats lies relativistes pour un potentiel coulombien. a. - En Relativite Restreinte 1'integrale d' action d'une particule de masse m M "') m
et charge -e , dans Ie champ electrique d'une particule de masse
et charge +e, est: I
2J- dt
+ -;-
quand Ie repere est un repere galileen d'origine M. Les moments conjugues aux variables x mv
et I'Hamiltonien H , ou E
i
sont
i
si nous nous referons
est (C,l)
H=E
mc
V
2
2' 1 - ~
H
E
c2
est une constante du mouvement. Des definitions de Pi et E il vient
162
e2 r
a une
valeur particuliere,
- 92 -
L. Bel e2 2 (E+-)
=
r
2 4 m c
Si nous posons
'I)
ot
E
I 'equation precedente devient l' equation de Hamilton-Jacobi
0s e2)2 (-rut + -;-
- c
2~('lS)2_
L IJ0 - m 24c
Et si nous appliquons Ie principe de correspondance :
nous obtenons l'equation de Schr1::ldinger relativiste pour Ie systeme dynamique envisage: 2 A ( _ 'J.2c 11 ~
2 4
+ m c Vf
qui est I 'equation d' onde relativiste qu'il convient de considerer quand la particule de masse m
et change -e a un spin zero.
La separation des variables temporelle et angulaires se fait d'une maniere identique
a celle
'\f de la forme : R devant (C,2)
~tre
du probleme de l' App. B. On arrive ainsi
a des
una solution de 1 'equation radiale d 2R dr 2
+~ r
dR dr
+rL'
1'112 +--'l + 11"2_ 1 (1+1) lR
n
r
r2
j
ou _ 2E
(C,3)
q-~
163
Y
(=
;c
2
fonctions
- 93 -
L. Bel
b. - Par Ie changement d'inconnue F R =-
r
on ramEme l'equation(C, 2) d 2F dr 2
a la
1-
+ - ~
forme canonique 2
,1
+ U(r,I,E)J F
°
ou cette fois Ie potentiel effectif est:
~+ ~-l(l+l) r2
U(r I E) = , , r
(C,4)
On remarquera deux particularites de ce potentiel effectif. a) Il depend de q et par consequent de l'energie E
E
°,
a l'infini
est en r- 1 sauf si q = 0, et par consequent -2 auquel cas Ie comportement est en r .
b) Son comportement
c. - Pour les etats lies ~ est reel. Nous supposerons
H;:.o.
Ecrivons l'equation (C, 2) sous la forme: 2 r2 d R dr 2
(C,5)
+ 2r dR dr
+L--~ 2r2 + qr +(( 2
-1(1+1)/ R =
J
°
On constate facilement que r=O est un point singulier regulier et que r=f" est un point singulier irregulier. Pour r=
c,O
la forme limite de l'equation (C, 2) est encore l'equation
(B,5). Nous sommes donc amenes pour les
a nous
m~mes
raisons que dans l'App. B
interesser aux solutions normales de l' equation (C, 5) de la forme: R(r) = V(r)e
- }fr
L'equation pour Vest: (C,6)
164
- 94 -
L. Bel
r =
est pour cette equation un point singulier quasi-regulier auquel corre-
spond l'equation indicielle :
211'
(C,7)
f
+ 2 'Jf
-
q
=
0
L'equation (C, 6) peut donc admettre une solution de la forme
?
b r n
etant la solution de (C, 7).
f
-n
Li:: '"
d. - L'equation indicielle au point r
0 qui est encore un point singu-
lier regulier est S2 + s +
(f
2 - 1(1+1)
0
qui admet les deux solutions: sA = -
(C,8)
~
+
t.
E
021 +1 ) 2 - 4
r
2
i
AI, 2
E1
Nous avons sl - s2
qui si 4
y2 n'est pas un entier,
=
,\/(21+1)2 -
40 2 '
comme c'est le cas si -e est la charge de
l'electron" ne peut certainement pas
un entier. L'equation (C, 6) admet
~tre
donc au voisinage de 1 'origine deux solutions regulieres au sens stricte de la forme
v s
etant s1
s+n
on s2.
Toutefois pour 1 spondant
a r n
a cette
>0
on a
s2< -1 et il faut exclure la solution corre-
racine si l' on veut, par exemple que
rigine. Pour 1=0 par contre on a
165
I~
21r 2 soit fini
a 1 '0-
- 95 -
L. Bel
done -1
< s 1 (1
= 0)
<:
0
mais aussi[4J:
et par consequent
Aux deux racines sA (1 =0) correspondent des solutions regulieres aus sens stricte qui sont parfaitement acceptables. Le
m~me
la fonction V
raisonnement de l' App. B permet de conclure que si on exige d'~tre
reguliere au voisinage de l'infini, reguliere au voisina2
ge de zero, et telle que r V ment de la forme V
=
L
~
~
a l'origine,
soit fini
j=>-.s
(C,9)
a
anr
elle doit
~tre
necessaire-
s+n
:..<'
O. On tire en particulier
OU S = s 1 s i 1» 0 et s = s 1 ou s
de ce resultat que (C,10)
f = s + n'
avec n' entier
~
0
Ceci est encore une condition necessaire seulement. Mais on demontrerait aussi tres facilement qu 'etant donne
f
satisfaisant
te la solution de la forme (C, 9) existe.
e. - Posons (C,l1)
v
f
+1
166
a la
condition preceden-
- 96 -
L. Bel
Nous pouvons ecrire, compte tenu de (C, 3), apres elevation au carre l'equation (C, 7) sous la forme:
d' ou i1 vient (C,12)
E
mc
2
V 1 +IJ'- 2-2 '
)I
)I
Seule la determination positive est solution de (C, 7). En effet
K
est par
definition positif et d'apres (C, 10) et s> -1, I \,+1 est aussi positif, d'ou q et par consequent E positifs. Il convient encore de completer ce resultat par une discussion plus detaillee portant sur les valeurs possibles de V. De (C, 11), (C,10), (C, 8) et la discussion qui a ete faite sur les valeurs possibles de A , i1 vient )I
'>
pour 1
0, et pour 1
~
~ n' + 1 +
-' 21 ( V(21+ 1) 2-24 -Q- - -- 1)
0 quand I' exposant
a I' origine
est s 1. Si nous de-
veloppons en serie la racine carree (si -e est la charge de l'electron 1
O~ 137 ) nous obtenons :
D'autre part pour 1
~
0 , quand l'exposant ).I
~
n' + 1 -
~
(
a l'origine
VI - 4 ~
et en developpant la racine carree
\..I
~ n' +
Ainsi les valeurs possibles de)/
0 2 + O(
sont:
167
2
0" )
est s2' nous avons
2 '+ 1)
- 97 -
L. Bel
).I :
0+
r o ,1 + !J l' ... ,
n+
~n
n entier )!. 0
'x' 2. sont des quantites qui sont au maximum de 1 'ordre de V n Supposons n ~ 1 . Si nous negligeons 1es termes d' ordre superieur a
ou les
12 dans (C, 12) nous obtenons
\j
(C,13)
et nous retrouvons au terme me
2
pres, comme il se devrait, les energies
non relativistes des etats lies.
f. - Par contre si nous supposons n
,. d ' or d re superIeur a'X" U 2 nous E
=
0 et negligeons encore les termes
0 b tenons
o
Cet etat n'a pas d'analogue dans Ie cas non relativiste. On peut dire qu'il est un etat super -lie. Remarquons enfin que si nous avions suppose carrement a-dire V
=0
et par consequent E
o
f=
=
~
o
o,
c'est-
-1, nous aurions obtenu
0
qui comme nous 1 'avons vu, quand nous avons considere les particularites du potentiel effectif (C, 4), etait la seule valeur de 1 'energie qui entrafnait -2 pour ce potentiel.
un comportement a l'infini en r
168
- 98 -
L. Bel
BIBLIOGRAPHIE
Wittaker & Watson : A course of Modern Analysis. Fourth edition. A. R. Forsyth
: Theory of differential equations. Dover publications.
A. Peres
: Phys. Rev. 120 (1960).
R. M. Lauger eN. Rosen: Phys. Rev. 37 (1931)
Singh & Pandey
: Proc. Nat. Inst. Sci. India, A vol. 26 n. 6(1960).
169
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C 1. M, E, )
G, FERRARESE
PROPRIETA' DI SECONDO ORDINE DI UN GENERICO RIFERIMENTO FISICO IN RELATIVITA' GENERALE,
171
PROPRIETA' Dl SECONDO ORDINE Dl UN GENERICO RIFERIMENTO FISICO IN RELATIVITA' GENERALE,
In questo seminario vengono estese ad un generico riferimento fisico della relativita generale alcune proprieta di secondo or dine recentcmente sta' 'd a (1) , P er b reVl't'a, b 1'l't 1 e per una congruenza rlgl
"h C10 c e
non menoma 1a ge-
neralita, si fa usa della tecnica delle proiezioni in coordinate adattate al riferimento fisico (2); tecnica che viene rielaborata nella prima parte aHa Iuee dei metodi dei riferimenti anolonomi (3), L'estensione si consegue utilizzando la deeomposizione naturale del tensore di curvatura (4), deeomposizione che qui viene ritrovata direttamente partire da una espressione intrinseca generale del tens ore di Riemann. Partieolarmente significativa
e una
relazione in termini finiti tra il ten-
sore vortice spaziale del riferimento, i1 tens ore di deformazione e i due tensori di curvatura spazio-temporale e spaziale rispettivamente [cfr, (41)]
]a
quale sembra particolarmente adatta a riconoscere la possibilita di eventuali moti rigidi in una V"
curva, (Negli spazi piatti vale, come
e noto,
il teore-
rna di Herglotz-Noether secondo cui Ie congruenze rigide sono tutte e sole quelle definenti un gruppo di isometrie ad un parametro. Tale teorema viene qui ritrovato come conseguenza quasi immediata della relazione sopra citata),
(1) Cfr, Pirani, F, A. E. e Williams, G., Rigid motion in a gravitational field, Seminaire Janet, 5e annee n. 8-9 (1961="62). Proiezioni naturali e derivazione trasversa.in una va(2) Cfr. Cattaneo, C" rieta riemanniana a metrica iperbolica normale, Annali. di Matern. (IV), V. 48, P:-361(1959}~.~
(3) Cfr. ad es. Schouten, J. A., Ricci calculus, 2 a ed. Springer- Verlag, BerlinGottingen-Heidelberg (1954). (4) Cfr. Cattaneo Gasparini, 'I., Projections naturelles des tenseurs de courbure d'une variete Vn+1 a metriquellYPerbolique normale, C. R. Acad. Sc, Paris, t. 252, p. 3722(1961).
173
- 2
G. Ferrarese
La medesima relazione vale anche a ritrovare rapidamente alcune notevoli proprieta dei moti rigidi in uno spazio di
~iinkowskL
1. Coordinamento di alcune nozioni sui riferimenti anolonomi. Siano:
V"
una
varieta differenziabile di classe sufficientemente elevata, riferita a coordinate locali (xi) (i
=
led e i €t~t
0,1,2,3);
rispettivamente la bas,:: e la cobase
naturali (1 )
(i, h
J
~v
0,1,2,3);
quattro forme lineari indipendenti assegnate IC
I"(.
•
A~ ~. (J"
(2)
v-
I
'A ~i1 reciproco di II.
"t
A-
(3)
~
(1' = 0,1,2,3 indice ordinale); It
[,.v
1,;
'A
5
Le qerantita numeriche
~,:
r
/'f...
'AI.-= ~"c. 5
lit)! ~II:
nella matrice
,
f l\.
t)" ='7.
v,
h
, ove l'indiee in basso Eo ordinale e l'indice in
to i Eo tensoriale (5), inJl,vidwfho la base duale di
[~},
2,
generalmente ane-
lonoma, costituita dai quattro vettori contravarianti >!
(1' = 0,1,2,3)
(2')
(tetrade generica). Per un generico vettore spazio tangente
!11.
~
V"
(0 pili generalmente per un tensore) della
si chiamano inirinseche Ie componenti secondo la base
Esse vengono contrassegnate con un indice in alto (-J-.), per distin-
guerle dalle componenti natural~ (11~) che figurano nella decomposizione secondo-la base si
It
1r
5 e.}
!\ ~. ~ =' /I' V'" ~
. 11 passaggio dalle une
aIle altre
. .." V· """ 1 V"".
e inversamente
Oltre ana base (2'), Ie quantita
A'".
e immediato,
avendo-
~
definiscono i quattro operatori dif-
~
(5) Si conviene di porre in basso tensorialL
0
in alto gli indici ordinali e a lato gli indici
174
G. Ferrarese
ferenziali (lineari omogenei) indipendenti (r, i
(4)
=
0,1,2,3) ,
Ie derivate pfaffiane secondo i vettori covarianti (2'). Introdotte Ie corrispondenti parentesi di Poisson
r fJ] '" J!;,
si puo scrivere
:/7;,) l'f'J , '~:.>
~ t
DaD'ultima espressione del sistema tripl0 considerato appare evidente che I<
A
a) ~ singole quantita ma soltanto dalle
non dipe!1dono dal sistema di coordinate adottatc"
form;Scons-~::~~~-e-(~-~;~)~e
(r
=
"/'d~"
" annu 11 ana ClOe se e solo se Ie forme differenziali
It..
~ i.
d.)(.. ..
A definiscono pertanto in modo intrinseco un tensore triil cosidetto t:~sore di anolonomia della base ~ ~ l: A=A~®~@A "i:~" " K ~
I(
(6')
,antisimmetri·
0,1,2,3) sono integrabili.
Le quantita pIo,
f..
{!
'Z ed S . si annullano se e solo se esistono quattro , ~ _~v~ :A. -.'~, con che
che rispetto agli indici
funzioni "J"'(~) (r = 0,1,2,3) tali che sia
~'l:. =- tdJ"'" I;) ; Sl.
quan!.i:ta
.!o
"-
~
Tale tens ore caratterizza, col suo annullarsi, Ie basi naturali. Le quantita
K
}\
ts
ta di antisimmetria (7)
sono naturalmente subordinate, oltre che alle proprie-
AI.<
K
A
=-
to
,
alle identitii. di Jacobi
~'"
l:-[iC\ tJL ~J r [[00], tJ]to +[['()'l1/ /J],0] -= 0 'Z 5 "(. ~).....
I'n.
~
che, avuto riguardo alla (5), si scrivono I(
(7')
'(!
11. 'Z~
k
K
A +'d,1i
'" ',,):
T
'Z' A = ~ 'Yl'l.
m K
~
K
A A + AA +A A ZS m\ 11.'10> 'mil;
175
'I'fl,
!)'l\.
K
'11\.~
4
G. Ferrarese
Se la varieta
'i
e dotata di metrica
cLs~= ~i;~ d)(;~d,,~(q~indi
connessione riemanniana) e si adoUa un riferimento anolonomo
~~
di
f'
in luogo dell' abituale riferimento naturale, intervengono naturalmente ( 6 ) Ie componenti intrinseche del tens ore metdco
,
ovvero
(8)
nonche il sistema multiplo (di cui si richiama appresso il significato) (9)
ove
Cl
(10)
"1
M:,
)
"h'r. #<'"
Le quantita
['l-~,~,.J
sono del tutto analoghe ai simboli di Christof-
fel di 1 a specie, salvo la sostituzione delle
f) L
ne ordinaria
.
"/0?t"
ffi-t
con Ie
con la derivazione pfaffiana
metrica (rispetto ai primi due indici) di
(i(;
e
/\
. (J
i ~~ ;
e della derivazi( e la parte antisim-
A't.
k.sr. (11)
Cia posto, la derivazione intrinseca riemanniana di un tensoreT tiene, come
e noto,
si ot-
sostituendo, nell'espressione della derivata covariante
ordinaria, alle componenti naturaE del tens ore Ie componenti intrinseche, alIa derivazione parziale ordinaria la derivazione pfaffiana e ai simboli di Christoffel i coefficienti )il; ·t.~tv) (9')
I~ '~;,
:::::.
()
,
%:J
,>
Per quanta riguarda il tens ore di curvatura basta osservare che anche in forma intrinseca, 1 'identita di Ricci 8i scrive al modo usuale :
(6) Cfr. ad es. G. Ferrarese, Sulle equazioni di moto di un sistema soggetto a unvincolo anolonomo mobile, Rend. di Matern., Vol. XXII, 3-4 (1963), n. 1,2,3,4.
176
- b
G. Ferrarese 'In
VV Vn. ::: VII 1)- -1J~ R
(12) ove
'V
'l:
'" It
:,'1>.,.
1ll..
11t'l. ~
indica la derivazione covariante intrinseca K
~
\1-v- -::/J 7/ - (J(V"'
(13)
t
It 'I'll
111>
1l.
k
Esplicitando il 1 0 membra della (12) si ritrova facilmente, pel'
n
tenso-
re di Riemann, l'espressione generale (7) m ''IIl. K ,tfl, .'l:Y>,
12.11"~~ =IJ~ -t-rX (k JJ(~ 5 ,(;1~ h. "K "~b-n..
(14)
ave l'ultilno termine, non c1assil'o, e diretta conseguenza della anolonomia "' '- (8) . d e I 1'1' fe1'lmen,o
2. Riferimenti anolonomi
naJ.1:lr~lmente
associati ad un campo di faccette (9).
Particolarmente interessante per la relativita generale e i1 caso in cui in
~i
dotata della sola struttura di varieta diffcrenziabile, sia fissato un campo di faccette
L
31.
,cioe una sola forma line are
~
tore di proporzionalita. (Se La varieta norma1e, il campo di faccette
L", '
di '
definita a meno di un fat-
e dotata di metric a iperbolica
pu1'che del genere spazio, definisce un
riferimento fisico, per aUra rappresentato, in tal caso,anche dalla congruenza dei vettori normali aIle
V
Supposto (15)
o tf~ ::\ "
to,
=-v, e~ Oi..",
2.X
).
conviene fissare l'attenzione suI riferimento
«
~ .s.
)...
e..(
...
(eX
~
1,2,3)(10),
(7) Cfr. lac. cit. (2), p. 172 e, per connessioni lineari generiche, A. Lichnerowicz, Theorie globale des comwxions et des groupes d'holonomie, Roma, Cremonese (1955), p. 87. (8) Si noti che il tensore di anolonomia compare nella (14) anche per il tramite dei coefficienti [efr. (9') e (9)] .
rJt
(9) Per il cas a di
u~~
varieta riemanniana si confronti (1).
(10) Si conviene che gli lndici greci varina da 1 a 3, quelli Iatini da 0 a 3.
177
G. Ferrarese
(generalmente anolonomo e dipendente, oltre che dal campo di faccette
Lx,
dal sistema di coordinate prescelto) nonche sulla base duale che risulta definita dai vettori contravarianti (15')
)
Viene cosi' realizzata in ogni punto di
, tanto per 10 spazio tangente, quan-
to per il suo duale, una decomposizione nel prodotto di uno spazio unidimensionale per uno spazio tridimensionale. Precisamente dello spazio
(c1.
=
6))(.
dei vettori tangenti alle linee
A
'X~'
costituisce una base =
1,2,3) una base per i vettori appartenenti alla faccetta
.
.s ~
per i vettori
,
che soddisfano alla condizione
S" y~ :::- 0
finisce pertanto una decomposizione dello spazio tangente di
var.
t)x.
)t.'
7;<.
spazio duale di
'T~
,,~
cioe
. La (15') denella somm,'
1,),::(":,,1-":',,)(,; la (15) una decomposizione analoga per 10
, e cosi' via per gli spazi tensoriali associati.
Ad esempio per un vettore trinseca secondo la base (15')
r) A =~~~
~ L,x
~
:~'
11-'
e
e la terna
V ' ove si consideri la rappresentazione in·· V"::::-V ~ , si ha la decomposizione, V = '!.
nelle due parti
(16)
,
0('1
::: 7)-' ~
'x oX /,\ ~ v~ =- /1 i if :::-
Per un tensore doppio contravariante zione
r:;:; 7; 7Z +r, f ~ l'
U
0(
( ~l(
T:::- 7§.' ~ @ ~,; ~
nelle quattro parti
178
1,2,3)
.
si ha la decomposi-
- 7 -
G. Ferrarese
(17)
(decomposizione naturale) ecc. ecc. Passando a calcolare Ie componenti non nulle del tensore di anolonomia della base (15) si trova, in base aHa (6) (18)
ove (19)
~;~ <>
r;
.~
=- f.,! "()')fd
)
ViI,
-
::-
~ <)t)(.,~:
l~ ~
;}~'Q
(derivata longitudinale c trasvers,a rispettivamente). Nel seguito si pone (eonservando, sia pure con significato diverso, Ie notazioni abituali per il tens ore vortice spaziale e per il vettore di curvatura del caso riemanniano) .: (20)
Si noti esplicitamente che una trasformazione di coordinate del tipo (21)
(interna alla congruenza
1("
=
var. ) lascia invariata la base anolonoma
(15), ovvero (15 ' ), S1 che essa conserva (salvo l'aggiunta di un apice) Ie espressioni (18) delle singole quantita
.Ii u"f
179
e
Cg( . Disponendo
della
- 8 -
G. Ferrarese
'If (%) non sarebbe pertanto restrittivo (fissate che siano il campo
funzione
di faccette
2- ~
e la congruenza
;:t..o' purche non nulla.
pio, funzione assegnata delle r>(
N
I due tensori
Ie di
.
'/
v
V
e
C;;: Co<' ~ II
J1,
ad esem-
";-~"*
~
I"
n$~e ~)@r:) v
Q(," = vax. ) supporre
, appartenenti a L
(dua-
...
) godono, come nel caso di una varieta riemanniana, di espressive
proprieta'" geometriche.
L'annullarsi di entrambi, quindi del tens ore di anolo-
nomia, e condizione necessaria e sufficiente perche il riferimento (15) sia lonomo, ovvero integrabile la forma differenziale del solo tens ore
JJ.. \of
dei campi di faccette
(che dipende dai rapporti
~
2.;'k.
Ji W~; ~/lu
. L' annullarsi
) e caratteristico
raccordabili su ipersuperficie.
C
te
0-
Per quanta riguarda (il quale dipende, oltre che dal campo di faccet~ \of I~ L-.", , dalla congruenza -:t' ~ = var. ) la condizione = grad W;r __:, ,I ,..
con
Cf= 'f(:k
'>'
~ o. ...
G If
'1)),
1t.f
J
'(1A::"'"
\0
~x.)e necessaria e sufficiente perche il campo di faccette
sia stazionario :
=0 01(.0
Se si ha insieme
1.: r;I%~
·ff
=
0 ,
0
-.,I.
~ g;ad~;::: ~ If
8 0(:
la forma differenziale
ammette un fattore integrante.
Per quanta riguarda la (5) essa da luogo, in base alIa (20), alle due formule di commutazione (22)
mentre l'identita di Jacobi (7') si traduce in
~l'r' : : C f2['t f (ro..(;j) + (- 12."'F ( (JrCI;"' -"'Jb~~ =- ~_(l?'b
J~;, fL[G- -f·~f f\-iJ (23)
f
180
!
G. Ferrarese
3. Caso riemanniano. Qui e nei seguito si suppone che la varieta V 4 ' finora semplicemente differenziabile, sia dotata di una metric a ,
d $1..= ij.~ &/'" ':'iK'~.:/
bolico normale (-+++) e che Ie linee
var.
(/of) <'()
)("
=
di tipo iper-
siano del genere tempo
). La metrica pub essere introdotta assegnando Ie componenti intrin-
seche (24)
secondo il riferimento anolonomo (15') naturalmente associato al campo di faccette
Z':JI. .
A:'~
Si suppone altresi che Ie linee
=
~
var., tangenti a
I)
siano
~ ,quindi ~. ~.:" () e che insieme risulti (di£-,')<J "IX sponendo del fattore di proporzionalita per f~ inessenziale per i vettori ortogonali in ogni punta a
1 :!
ma disponibile per
, ~) ~ • ~:_ i '\,1\, . Per fissare (1
completamente la me-
1)
..
:'.~::= ~/ix.) (O(,f
trica non resta che assegnare i prodotti
naturalmente con la condizione che la forma ternaria
}J-
=
1,2,3),
~o( 1t,fo
sia
definita positiva. Si avra allora (24')
~
:.---:1
00
~ =0
IN
~ =:-d
,7
1)0(
'=
0 )
rolf" e il reciproco di ~f lo.(f rf'f::: ~Id.
ove
Dalle formule
(~f::JIJ/)
r= ro(~
10(/ p:: ~ J) , )
0(('
nonche, per gli elementi reciproci, (24")
j = ;p~(>
J
00(
II ]!.tt»1
nella matrice di terzo or dine
o
in cui, come dalla (15),
181
~~:= -J:;
,
- 10 -
G. Ferrarese
b",
a(
~L.
segue poi, per Ie componenti naturali del tens ore metri-
co, (25)
nonche
aO()=
(25')
I
J.. 11']1, yo(B) qOot __ l!(.lQ';'(J~(J ~1 '(/ --
tri6 '1i~~
"j{rT
qol~_ '1Iui/~
'~-q"
Specificata cosf la metrica, dalla (9') si trae, avuto riguardo alle (9) e (18), che i soli coefficienti non nulli della connessione riemanniana secondo
ove si e posto (27)
Come il tensore di anolonomia del riferimento (15) si riassume nei due
,...
tensori
~o
S1.rA.f->
(vortice spazial!=) e
= var. ): cosf la parte
boli di Christoffel
Col
Jvettore di curvatura delle linee
['l~ "YJ.] della connessione (9) si esaurisce nei sim-
~azi~li (<1(7f)::i{'i~f/J~(fol""!~r'!1
e nel tensore
di deformazione
~~:'1Jj:t(J;'" Si noti anzi esplicitamente che nella (26) i due
tensori spaziali
KcA.'b {
e .J1q«(~
attraverso la .combinazione
.
non vi compaiono singolarmente rna solo {....
-).
f;o(f.> =,j; ( K""f!> +.Q..,~
Con la determinazione.dei coefficienti della connessione risulta immediata la decomposizione naturale del derivato covariante di un vettore
0
tens ore
qualunque. Ad esempio, per un vettore covariante di componenti intrinseche
182
- 1i -
G. Ferrarese
V- ( ~
v;, , J'~
'Ii::- - J. 0
V"= 11: - ~ 11":) da
"7<"
0(
'(
V "II,::0)'7 V-a ~!> ,.~ &
automaticamente Ie quatfro proiezioni naturali
\!-U== f t;;
\
(28)
\l'v- ~.r fer"
'))
\!vg .. -f§v- ~ ~11 .. ro f rr
'f~
:. f
\I-v: ~1,:- g r t!' - c'" \l 'I!' =/() 1)' r;(j'~ Q.o) 00 -
1lS"'
V
ove
0
"-/ '" ,Zv-~ "It _
f G"
sussiste I'identita
y
p '!If''''
f
-
~
'"
Jd l V (fS' J ;)
4'it.
spazia~::, cioe appartenente a y1l:: V'i e, per Ie rimanenti
Per un vettore
,6""
1/
~
C
0 b0 I0 d 'I derlvaZlone " . t e trasversa (11) : e, 101 slm covarlan
(29)
\7
si traggono
I(
f,
generalmente non nune, si ha
(12)
(f:: 0 )
;= 1C )
componenti del tensore
!,)
(30) N aturalmente il teorema di Ricci ~~
nalogo per il tensore metrico spaziale
V!:: 0
PC;'1j.
(,0(1'
'
da luogo ad un teorema a-
come risulta dalla (24') :
\lj :: ~k~:=O
(31)
f
6"i>
I
4. Decomposizione naturale del tens ore di curvatura. Identita del Bianchi.
Per quanta riguarda il tensore di curvatura, dalla espressione generale (14), avuto riguardo alle (20) e (26), seguono Ie componenti significative
(11) (12)
.
Cfr.loc.
CIt.
Cfr.1oc.
CIt.
.
(1), p.371. (1), p.384.
183
'J
- 12 -
G. Ferrarese
- 7,J R \. -
/"
"tIS'
~....,
+
£:
{.p "oW
W
(;
::;fO> 0"" - ':?"~'" ":::.If
;..,
fo
(\
... ':'l..f S'
"f r; " R~: ~ SPj.> - \?'f ~G""V +.rJ.fr' C",
a
lifO"'
(32)
~
-i""W
~".w
':;1-'
.......,
I
'>
. oR :: t(, + (", C., - -D ~~'~jJ r ,;",.. f ~G"'f'
\.
1'06'"
l)'"
'
ove Ie quantita
~
7""""'
.r'jJfop ::~)-J::} + If:}f~} ~1f 1~} - i~~Hfil
(33)
J
definiscono un tens ore spaziale del tutto analogo ad un tens ore di Riemann co-
-;{:xl::'
struito con 1 'impiego della metrica spaziale
e della derivazione tra-
sversa. In forma totalmente covariante, concordemente alle proiezioni calcolate per via divers a da 1. Cattaneo Gasparini (13), si ha
(fit '" lJc ':J
(32 ')
+
~: f)~ - g~"
""
gfl' • Dr ,"-;'
'\ L~,~ ':- \7/j ~~ + ~~ ~~v - D.fr'C~ i( f:vG"'"::' J ~
fp
V':>(),J -
',"
f7
I'"
r;~/ ~~I;"f - v... r..~ -
/'.,
l. t;" (.101
essendo naturalmente (33')
p }L(S" ==
"- -- -~f- (f)~/')+1 ~r[ (G""~; .......".--..... ~) . . . . . )i1 !;t'S bI~fr:-='()c-(f~l") 1t0 aj-lf))/· (?I}' '1-
Si noti tuttavia che il tens ore
'Pf""
non gode generalmente di tutte Ie pro-
.tl j)
prieta algebriche di un tensore di curvatura. Si ha infatti dalla (33')
(13) Cfr.loc. cit. (3), rilevando la diversa convenzione di segno qui assunta per il tens ore di Riemann.
184
- I
G. Ferrarese
(34)
do che suggedsce di assumere eeHlF, tensore di curvatura spaziale il seguen-
te :
i)
~t)
I';n'~
I")';
-"
-no~"J"t I<
+K" ' "
"f-/'( .",~'M/f"!J. Q ;''';f!; i"r~ ~, .it" h Iff'" r,-fJ /~rr ""f f'v::::
(35)
'p
che, a differenza di
I"
~,
~ f~
sore eli curvatura,
'v
r.><
+i",
i}'I.I
,)'-.
V
--~---
r\t
1a seguente forma, ovvia generaliz"dzione di una espressione classica :
"'iaturalmente neppure il t"nsore (35), cosi come per
.~
K..(/" ::: i.l
0vvero
"r'~
gode di tutte 1e proprieta algebriche di un tel)-
If
riguardo alIa (33 1 e alla (22) si riconosce per
~
k'v)
~L ~f"
::' (,
r ,_
.il 1,'[
(cui si riduce
"'»f-
) verifica 11identita di
Bianchi.
Precisamente, posta ehC' s1 ha
VR
~
~ Ji."tt:'
dalla identita
Vi,Ui-tt:' r: - ~<:/' F; - ~';. ,1;:
_. ,~( f( -. ~ J?
,F,t.l~fr.:f p",;
5 •\?;:.; fl
=::;
V ,
'1"
•
rr)(I·'t')
)
(lve S indica 1a somma dei tre termini ot-
J;,"I)
tenuti permutando circ'olarmcEte gli indici
i, J/
;;
si trae agevo1men-
ie, avuto riguardo alle (32 1) e (23)1' (36)
L),
Hpp
T,I
" II",!II:_'('("
J/
,,!1itj)
''-'1..
D )' :; : .. J ;;" tl,n" (/15'""{I.,, J> ,d'~., A'~Ui'u/\,.'! '" '\'71 I? ( i~(/'I ~ f =1., J1 ~ ) ;',,:" '
,,'
,~
'
I
185
/
II.i. "
./
/-.
...
»
1.M,' /
\
\~'( /
G, Ferrarese
nonche
S ~..~ =-ls4,,(~A;.r+C"~(-~"J:-~R~)'"
~;~ :o~:)',~~,:~o :;t:::~:~~(~::~~;q.;;:tr~··;V, Nel pnmc caso perche Ia (:3:3) d,c:in,sce 11 IEnsore dl. cu, vatura dl liEa
riferlla aIle cGo:i'djna,e
2'."' ~
=8
var.)
~h metnca
t::!:za ~~';
-:r!'
(var'.et,} quc-zlerp.e di
i""1! ...~,6 (?t.;')['.,; "J(i)
~
rispetto
an"
>nee
,Nel secondo caso perct 2,
t il te['sore di CUTva:ura dene varieia norm ali aUa
';ar.
Per quanto /""i.glJarda
dj due
teas (14: se Eo agevole riconoscere diret.tamente. ovvero per il tramite della (12) " . . (15 che per 1Jn qual1,:nq-,.;2 vett..ur-e ,~I:.~_::_~~:-:-~~" '51 ha 11'jnF~r3ic,ne
derivazion~ covariant~
y--:"t>
~~r- ~~r :fi r,?1- .tt~
(37)
5 ~ ,f\.lcune conseguenze
de'~le t~~l>_
';::::aEo d: una varieta plaita.
Tenuto conts della p (lslzi,one (35 ' - 'f' 3 '] 16) I'love I e d (2J -.2:rnlale ptato:anE"
e, per la (32')2' della identita possono essere sostituite dalla de-
rivazione
3"
scr:ivono al modo seguente :
(14) Bastatener conto d8ila (32), e deJJ'ldentlta., valida per
Y=fJ ,
171"iI "- ~ 1(: - ~Yr-t:N ¥Y·~ ~v-~(~r-~ip~ ~~'r' PrG~EzlOnj de~
(15) Cfr. L Cattaneo Casea~'inL varie-1:a riemannlana a meL~~2.:~ Vol.XXfl, 1-2 (1963L J:, 1 4 5. (16) Si
:::,~+.:::·"c
~perbc,ti~:;a
',:1
brlche de.l tens·,'_"::
E
d.; ,- -i) r-:-!an,:. ,-. d
186
tensorl dl curvatura di una rormale., Rend. di Matern.:.
l'i -
(38)
D'altra pa::'te,
app~kando
d
l'cperazicmE
ai due memb:::,i della
32';
,,~~
2:
otti2ne
cia
CL:l
(39)
ave S1
e posta
(40)
Nella (38)1 gli inelid~,
che' degli ultimi tre
~t?Tmini.
~,
uno s:i
f '
ar~EuJ.la
Ii". variando da 1 a 3, e
d·!.H::~
si Bornman.;;
~n
.~~~L9_~~
1:nodo
eli fatto Ia (38)1 risulta equi·,;alente a -
(41)
·····_··--·1
]F =.EF+; (~.f(sr-R..~ ;(,/") +tfi"rD,.. I· i
In quest 'ultima forma essa ben ce spaziale medIante
jj
tensore
S l
!~i RJenl~lnn
( 42)
187
di
- 16 G. Ferrarese
La (41) generalizza una relazione analoga ottenuta recentemente da Pirani- Williams nel caso di una congruenza rigida (17). Essa permette di rica_.N
Yare, in particolare, ()
11f '. 'I,
N
rL.i ,,\,"'" ' ...r.",:.-
mediante
(J
e il tens ore di curva-
'i
tura; si che in definitiva Ie (38)3 e (39) vengono complessivamente ad esprime-
;,>"
re tutte Ie derivate prime del vettore di curvatura delle linee diante
Cr
stesso,
XC
Se Ie linee ovvero
1
1) '-r""~'" f'~
'1',\
v~r,
0
costituiscono una congruenza rigida
it .. '= rt~(~:i 'U) J(~)1
var. me-
0
e 1'1 tensore dl' Rl'emann. (18)
rF?ff" ~
0
Ie formule precedenti si semplificano note-
volmente. In particolare Ie (39) e (42);), si scrivono rispettivamente tenutoanche conto della (22)2'
=- [~ (Fin -?J R ifiiv7JC~ ~ F") ,.,. /; (~r<7-t'::r) ~
(43)
sv )
)
~
-t- Cp
>r»))fll)
....
ove i simboli di Christoffel spaziali, nonche la variabile
?C~; 37j(n)"':.:_/.~ l{~, ~j"fi
Se in pili la varieta
r
~
~Hlr;-rCIl ~nf'(,l fT" , J
,~::
R,
sono indipendenti dal-
)11"''-
e minkowskiana, ovvero
()
dalle (43) segue nell'ordine, almena per fL;,..·]t(44)
/(
':e;
(19)
l.''I'rJIo
J
cia che basta, per la (23)2' ad assicurare l'esistenza di una funzione delle sole coordinate spaziali
',t 0/"
A:: /
'}( 'I
:
Lf' 'eV:,'
/
I
,),;~, ;1(;")
','
tale che sia
~
(45)
(17)
Cfr, loc. cit. (4), p, 10.
(18) Per il caso rigido cfr.loc, cit. (4), p. 12.
~ 9)
.~ $.::~
Meno restrittivamente, per la validita della (44) basta che sia C,; =() (V, ,61,2,3), condizioni largamente soddisfatte nel caso di uno'rfpazio 'piatto,
'0 &
f
0
188
- 17 G. Ferrarese
D'altra parte perche una congruenza definisca un gruppo di isometrie ad un parametro e necessario e sufficiente che essa sia rigida e il vettore di cur· · d a un po t · 1e (20) . vat ura d erlVl enZla
Si ritrova cosl il teorema di Herglotz-Noether(21) : in uno spazio piatto ogni congruenza rigid a definisce un gruppo di isometrie ad un pare,metro. Nelle stesse ipotesi si ha, come dalla (41), (46) mentre Ie (38)2 3 si riducono a
(47)
(' V.'" nf~ :.- - c.. nr-r" of" {.f no-~ + (rr 0 ~f'
\
l 76'" Cv
=-
t
I
'
N
nr-t ill) r- (fj (j
Le equazioni scritte (47) sono illimitatamente integrabili, come risulta app:jcando la (37), ne I'identita del Bianchi
~ ~ .pI'!r R, - 0
implica, in base aHa
(46), ulteriori limitazioni per il tensore vortice spaziale. Si rilevi, per finire, che, mentre c1assicamente in ogni n:toto rigido Ia velocita angolare (relativa) e indipendente dal posto, in relativita ristretta la velocita angolare (as sol uta) e, per ogni moto rigido secondo Born, costante solo Iungo Ie linee del:; congruenza (cioe nel tempo). In base alla (47)1 l'indipendenza dal posto,
~ n('b =a
za geodetic a), ovvero
.fit' =0
si ha Elolo nei due casi
C~:: 0
(congruen-
(congruenza normale). In quest'ultimo ca-
(20) Cfr. ad es. Cattaneo, C., Introduzione aHa teoria einsteiniana pella gravitazione, Vol. II, Roma, Veschi (1961). (21) Cfr. Herglotz, G., Uber den yom Standpunkt des Relativitlhs-prinzips aus als starr zu bezeichnenden Ki:lrper, Annalen der Physik, t.31, p. 393 (1910), nonche Noether, F., Zur Kinematik des starren Ki:lrpers in der Relativitlitstheorie, Annalen der Physik, t.31, p.919(1910).
189
- 18 -
G. Ferrarese
so
e nullo,
?to
come dalla (46), i1 tens ore di curvatura spaziale e la congruenza
= var. viene ad ammettere come varieta normali una semplice infinita di
iperpiani ecc.
190
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO ( C. 1. M. E. )
L.
MAR lOT
INTERPRET A TIONS PHYSIQUES DU QUINZIEME POTENTIEL EN THEORIE PENTADIMENSIONNELLE
191
INTERPRETATIONS PHYSIQUES DU QUINZIEME POTENTIEL EN THEORIE PENT ADIMENSIONNELLE par
L. Mariot
I - La theorie de Jordan-Thiry
1. - La variete riemannienne V 5 : V 5 est une variete differentiable analogue Ii V 4 :
1) Dans 1 'intersection de 2 .... 1
coordonnees x
syst~mes
de coordonnees admissibles, les
d 'un point x de V 5 dans 1 'un des
syst~mes
sont des
fonctions 2 fois continument differentiables Ii jacobien non nul des coordonnees x~ du m~me point dans 1 'autre syst~me. 2) Sur V 5 est definie une metrique riemannienne partout de type hyperbolique normal. Dans un (1) les
d0'2 =
~{!J
d~
dxo(
syst~me
de coordonnees admissible, on aura:
dx~
()(,(3
= 0,1,2,3,4
seront de c1asse C 1 ce sont les potentiels pour Ie
syst~me
de co-
ordonnees envisage. En chaque point de V 5 on a : d(12 = _ (4)0)2 + (t.J4)2 _ (~1)2 _ ((.J2)2 _ (CJ3)2 ou les Le
W-
sont un syst~me de formes de Pfaff lineairement independantes.
rep~re (x, ;; =
e:c) wot~
associe est dit orthonorme dans V 5 et l'on a :
t, -:,8
si
= 0
-+2
(e) u
193
=-1
r:),
f~
(u=O,l,2,3)
- 2 -
L. Mariot
V 5 admet un groupe connexe
a trajectoires
Z
a1
parametre d'isometries globales de V 5 '
orientees de fa<;on
a rendre
d
6' 2 <:
0 , ne laissant inva-
riant aucun point de V 5 (qui se trouve ainsi engendree par l'ensemble des trajectoires). En outre no us supposons que: a) les trajectoires sont homeomorphes
a un
cercle Tl
b) On peut trouver une variete differentiable V 4 satisfaisant aux
m~mes
conditions de differentiabilite que V 5 ' telle qu'i! existe un homeomorphisme differentiable de classe C 2 de V 5 sur Ie produit topologique V 4 x Tl lequel les V4
=
Z
dans
s' appUquent sur les cercles facteurs.
Variete quotient de V 5 par la relation d'equivalence definie par
Ie groupe d'isometries. On est conduit
a identifier
cette variete quotient avec l'espace - temps
de la Relativite generale. Consequence: Il existe dans V 5 des coordonnees locales dite adaptees au groupe telles que: a) Les (xi) constituent un systeme de coordonnees locales de V 4' Les varietes x 0 = C te sont definies dans V 5 et b) Les
~I~
sont independants de
I
xO
homeomor~es a
Ie vecteur
g
V4 .
generateur infini-
tesimal du groupe d'isometries admet pour composantes contravariantes :
(2)
c) Ces coordonnees sont definies modulo les relations: (3)
Les varietes
x
i'
XO =
Cte d'un systeme de coordonnees adapte sont les sections
de V 5 associees au systeme. Les sections sont conservees par:
194
- 3 -
L. Mariot
(4)
x
i'
= ~f
i'
j
x
(x)
'0
x
0
Nous appellerons changement du systeme des sections (changement de jauge) Ie c'langement de coordonnees adaptees : x
(5)
i'
=
x
i
x
'0 =
x
0
+
r
J'
(x)
- Soit W 4 une section de V 5' Sur W 4 se trouvent definis des tenseurs qui se transforment selon la loi tens orielle dans Ie changement (4) scalaire vecteur covariant tenseur symetrique - Par
c~ntre
si un tenseur de W 4 demeure invariant par changement de jau-
ge (5) il est dit intrinsequement defini sur la variete quotient V 4 . Ex :
1)
Yoo
= -
€2
scalaire
(W 4)2 _ ( (,) 1)2 _ ( (,~i)2 _
ds2
(U) 3)2
scalaire
roi :foj
(f 00
J).-U. 1,1 oJ 01
})oo gij tenseur symetrique
o
a
3)si V.=P.(j).-J
(3
01
(,.;
) 1
00
constante numerique dont la valeur sera fixee ulterieurement. Les
r
i dans un changement de jauge se modifient d'un vecteur gradient,
done
J.
1
cP.) J
est intrinsequement dMini sur V 4 .
195
- 4 -
L. Mariot
ler stade de l'interpretation : L'espace quotient V 4 muni de la metrique ds fie
a liE
- T
i j g .. dx dx IJ
est identi-
de la relativite generale. gij
est Ie tenseur gravitationnel
fi
est Ie potentiel vecteur
F..
Ie tenseur electromagnetique.
IJ
11 restera
2
a interpreter
Ie quinzieme potentiel
2. - Les equations de champ dans V 5 . On generalise formellement les equations de la relativite generale et on pose:
Si en un point de V 5 ' il n'y a ni charge, ni masse
@o(~
unitaire exterieurJ. Evidemment il existe alors un champ e. m
=
0
[cas
et un champ
gravitationnel. Si en V 5 existent de: charges et des masses, mieux cette repartition.
Lcas
@cI~
devra decrire au
unitaire interieur] .
Nous ne reviendrolls pas sur les raisons .du choix de
. Nous po-
serons :
o Les equations du cas unitaire exterieur s 'ecrivent alors (6)
=0
S 'il existe de la matiere pure on ecrira
(7)
=
C
Yo(
vI>
,
196
- 5 -
L. Mariot Il est fondamental d'ecrire les composantes de So(f;
en fonction des tenseurs
definis intrinsequement sur V 4 pour donner une interpretation physique de la theorie pentadimensionnelle. On obtient : _ '" ~ 2 &2 [1 kl k ] 1 [ A f'\ k a).S,,-S"---2- -4 g .. FklF -F. F'k -~ IJ IJ IJ 1 J 5 J 1 F2 = 1.. F Fkl 2 kl b) S. = 10 2~ J S 1
/\ ~J \J.d·es-gIJ.. 6s
~2
(8)
c) S
= 00
1.. 2
i
V.( ~ 3F~)
+ ~ P, 2 4
r
g 2 F2
Approfondissons l'interpretation physique deja amorcee precedemment, en nous astreignant au cas unitaire exterieur = 0
entraine
S.
=0
I 'existence de
~3
(9)
10
donc invite a preciser les grandeurs electromagnetiques du vi-
de F.. sera Ie tenseur Induction Magnetique champ elect rique verifiant IJ
H
\1.1*
3 ~ F.. sera Ie tenseur champ Magnetique - induction electrique IJ
=
5
ij verifiant
\1.1 H ij Donc
S.~~ 3
..
FIJ = 0
=
c
'" 0
=
0
joue Ie role de constante dielectrique du vide variable.
Alors Ie tenseur impulsion-energie electromagnetique associe au champ est (10)
1: IJ..I
1
= -4 g .. HkIF IJ
kl
1 k k g3 - -2 (H. F' k + H·kF. ) = ~ .. 1 J J 1 IJ
197
•
- 6 -
L, Mariot
Les equations S .. = 0 conduisent Ii 1J A
(11 )
_
S ij -
~ 2~
00
1 "
(12)
2R
~
7j A
(
';) i ~
A
=~= ;(0 2 ~ i;
o
donne:
'V
On est amene Ii poser Enfin l'equation S
+ 1
"Y' L ij
facteur de gravitation variable.
+
Finalement les 4 equations (9) sont les equations de Maxwell • les 10 equations (11) sont les equations d'Einstein dans V 4 :
~ ij = X
['£ 'ij + ....• ]
•
Malheureusement Ie second terme ne re«oit pas ici d'interpretation physique valable. La quinzieme equation de champ (12) determine les variations de interprete comme constante dielectrique du vide.
198
S~
3
- 7 -
L. Mariot
II - La metrique conforme
1. - Origine : Mme Hennequin(2) a montre que les potentiels g .. associes ala metrilJ que induite sur V 4 ne peuvent (',tre assimiles aux potentiels relativistes en 1 ere approximation. Elle trouve : gAB (13)
bAB + -c;
= -
bAB(o(
00
- U) +
O(~) c
A, B
=
1, 2, 3
{
g
44
=
c
2
- 2U - 20(
00
1 c2
+ 0(-)
U est Ie potentiel newtonien, e2 tive I n
Q
est un potentiel relatif a une densite fic-
Or les potentiels corrects (de Levi-Civita) sont obtenus a la seule condition d'effacer
0(
00
,c'est a dire de poser
~
= 1, ce qui revient ala theo-
rie de Kaluza Klein qui consiste a effacer aussi Ie 15e equation de champ. La difficulte a ete resolue par Mme Hennequin qui a utilise dans V 4 une met rique conforme en posant : ds;)(- 2
=
r I
k ij t
g .. dx i dx lJ ij _ 1 g -
*
f.!
IS gij
'*
~ ds 2
oS
i(~ k dj g: ~ i ~
T
+ (' k c) j
M
199
~
- 8 -
L. Mar).ot
Les potentiels conformes coincident en lere approximation avec les potentiels de Levi-Civita.
2. - Ecriture des equations de champ en metrique conforme. On admet que F .. sont des donnees intrinseques physiques et qu'elles 1J doivent rester invariantes par changement de metrique, donc
On avait
.g 3
"'"' I
( ij
Tij
11 viendra :
,.,..'lI _
~3
L ij - '5
(1.-
1F" F*kl ) 4 15ij kl - .
=
f> 3 1 ~
5
Un calcul classique donne: A
_"
*'
8 ij - 8 ij +
Or
3
4
{32
gijg
pq
~q~ T0P ~ .-r
=X .
2 0 Donc on a, dans Ie cas unitaire exterieur : 15a)
200
1
( 4 l5 gi{ kl ~ F
kl
... )
- 9 L. Mariot
De nouveaux avantages de la metrique conforme apparaissent : 1) Le coefficient de gravitation )( 0 ne depend plus du 150", potentiel, il est maintenant constant et peut
~tre
identifie au coefficient classique.
2) Les dix premieres equations de champ (15a) ne font plus intervenir les derivees secondes du 15 e potentiel. Pigeaud dans sa these (3), a repris les calculs des potentiels en 2e approximation et a montre que seul les potentiels conformes etaient corrects. Il a pu retrouver les equations de mouvement correctes dans une etude tres fine en exigeant que la trajectoire pentadimensionnelle d'une particule soit geodesique de la met rique conforme sur V 5' Nous n'aborderons pas cette etude. Par contre, il reste dans l'equation 15a) les termes 3
-4
'I/-
g
il
*pq
dn~ fJq~
3
di~ dj~
TT+2TT
qui ne re<;oivent pas d'interpretation energetique mais dont la contribution est negligeable en 2e approximation.
201
- 10 -
L. Mariot
III - Le champ mesonique en theorie de Jordan-Thiry
En utilisant Ie principe variationnel classique i1 va @tre possible de donner une interpretation physique nouvelle du l5e potentiel
~
*pq
11'
- 4 gil
1. - Extension
9p # ~
fdq~
+
~
g et des termes
~ ~ i~ ~j t 2
-y
~
du principe variationnel au cas interieur.
Etant donne dans V 4 une chafne differentiable de dimension 4, consi-
~ g.' des potentiels telles que sur la frontiere de C ,
derons les variations
IJ
ces variations s' annulent ainsi que celles de leurs derivees premieres. L'integrale ( 1= )c
(16)
(y'-g- Rijg ij )dx 1 A
2 3 4 dx 1\ dx A dx
subit alors la variation:
6' I
(16')
r
2.
1
R IJ ..
=
~ q ij dx 1 /\
dx 2 1\ dx 31\ dx 4 qij =
C
I
=
conduisent aux equations de
0 quels que soient les variations
champ R .. IJ
=
'Fi i j
0 du cas exterieur.
On envisage l'extension au cas interieur de la maniere suivante : soit
'fr( une expression representant les sources, les equations de champ rec;oivent a priori la forme variationnelle
b[ (~
(17)
gi j R .. IJ
Ytc )d} 1\
dx 2 II. dx 3 II. dx 4 = 0
.,c
Si
mne depend que des potentiels et non de leurs derivees premieres, (17)
1 d';
s 'ecrit :
c (R ij -
I)'l'Y <111"-
("
•.
1
2
3
qi;l) c) qlJ dx ,'\ dx /\ dx "
202
dx
4
= 0
- 11 L. Mariot
Soit (18)
ou
S. 1J
=
\:-:
1- g
~CI 1(L ;t T 1J.. . glJ =
2. - Cas du champ mesonique scalaire - (4)
En relativite restreinte, Ie meson scalaire
rn:o
est represente
a l'ai-
de du Lagrangien : (18) En relativite generale, nous choisirons : (19) Il vient donc
En tenant compte de l' identite
il vient :
~~ X V-i['d.I.O. 'J.(O glJ 1 J. J ) =
(j
d'ol! (20)
Tij='diif· 'djLf-
~ gijgPq~pf.'Uq1f+~2
Il est interessant de noter au passage que
.
\j i \71~
+
2
\1. T Ji '" 0
conduit
Cf 2gij a
1
W ~ = 0 l'equation de Klein-Gordon.
3. - Cas de la theorie de J ordan- Thiry. Il est tres instructif de comparer l'equation (15a) et l'equation (20). En
203
- 12 L. Mariot
effet, en posant (21) on a
et T.. donne par (20) s 'ecrit IJ
T ij (22)
=_3_ 2 0
X
0i~ 'dj~ ~
~
3_g*g*Pq~ tdq~
__ 4
X
~ fJ i ~ 'd j ~
'V T = /I. 0 ij 2
t
~
_
0
!
ij
~
+termesdemasses
~ 4
A ce moment l'equation (15a) s'echt en l'absence de termes de masse (23)
~~ = X 1: lj + T lj] _~ 9i ~ I() j i ~ if pq 1; p ~ 0 [
T'
ij - 2
t
~
-4
,If'
gijg
~
Ainsi Ie 15e potentiel ~ s'interprete ici comme Ie champ mesonique et la 15e equation de champ
L1 (log ~ est
a comparer a une
)+
'X if..F "* ij IJ
=0
equation de Klein-Gordon.
Evidemment les termes de masse se mettent dans les seconds membres des equations de champ.
(1) A. Lichnerowicz - Theories de la gravitation et de l'electromagnetisme -
Masson, Paris. (2) F. Hennequin
- Etude Mathematique des approximations en relativite generale et en theorie unitaire de J ordan- Thiry, BUll. Scient. Commisso Trav. hist. et scient. t. 1. 1956 2e partie, p. 73 - 154 - Paris, Gauthier-Villars.
204
- 13 L. Mariot
(3) P. Pigeaud
- Generalisation des schemas matiere pure et fluide parfait en theorie pentadimensionnelle de Jordan-Thiry. Annales de 1 'Institut Fourier - Grenoble, 1963.
(4) L. Mariot - P. Pigeaud - CR - Ac. Sc. 1963 t. 257 p. 621-623.
205
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C. 1. M. E.)
G. CARICA TO
SUL PROBLEMA DI CAUCHY PER LE EQUAZIONI GRAVIT AZIONALI NEL V(TOTO
207
SUL PROBLEMA Dr CAUCHY PER LE EQUAZIONI GRA VIT AZIONALI NEL VUOTO
G.
CARICATO
Nello studio del problema
(li
Cauchy per Ie equazioni gravitazionali
nel vuoto., un primo teorema di unic',ta, con semplici ipotesi di di:ferenziabilitii. per i dati di Cauchy, e dovuto a K. Stellmacher (1). Successivamente A. Lichnerowicz (2) mostrb che il problema si spezza, in modo naturale, in un problema concernente i dati iniziali (che devono soddisfare a certe condizioni di compatibilitii.) e nel problema di evoluzione vera e proprio; e stabill teoremi di esistenza e unicitii. nell'ipotesi che i dati di Cauchy fossero analitici. Y. Bruhat confermb i suddetti teoremi (3) supponendo i dati di Cauchy semplicemente differenziabili, e dette forma invariantiva aIle condizioni di compatibilitii. (4). Benche perfettamente esaurienti da un punto di vista matematico, Ie trattazioni suddette, nel complesso meccanismo delle equazioni gravitazionali e della indeterminazione che la libera scelta delle coordinate induce sulle derivate seconde dei potenziali gravitazionali, lasciano un poco in ombra il significato intrinseco del problema e delle successive fasi della sua risoluzione.
(1) K. Stellmacher, Zum Anfangswertproblem del' Gravitationsgleichungen, Mathematische Annalen . _!_1:_~, Bedin 1938 K. Stellmacher, Ausbreitungsgesetze fiir charakteristiche Sing u] aritaten del' Gravitationsgleichungen, Mathematische Annalen~, Berlin 1938 (2) A. Lichnerowicz, Problemes globaux en mecanique relativiste. Actualites Scientifiques Industrielles, Paris 1939. (3)y. Foures-Bruhat, Theoreme d'existence pour certains systemes d'equations aux derivees partielles non lineaires, Acta Mathematica 88,1952
-
~)
: Y. Foures-Bruhat,Surl'integrationdes equations de laRelativite GeneraIe, Journal 01 x·al1onal In2chanics and analysis, vol. 5,1956.
209
- 2 G. Caricato
Mediante 1 'uso sistematico della tecnica delle proiezioni (5) ho cercato di chiarire tale
S
ignificato intrinseco ritrovando, concordemente a
M. me Bruhat, quali siano gli oggetti geometrici che costituiscono i dati di Cauchy, e precisando inoltre quali siano gli oggetti geometrici che Ie equazioni di evoluzione valgono a determinare (6) . 1.
Equazioni gravitazionali in forma relativa a un determinato
riferimento fisico. Assegnato in uno spaziotempo einsteiniano V 4
un sistema di
coordinate locali xi fisicamente ammissibili, e quindi un determinato riferimento fisico
S, si considerinG Ie proiezioni naturali del tens ore di cur-
vatura contratto R. Jm
(7)
(5) C. Cattaneo, Proiezioni naturali e derivazione trasversa in una variets. riemanniana a metrica iperbolica normale, Annali di Matematica pura ed applicata (IV) Vol. XLVIII, 1959. (6) G. Caricato, SuI problema di Cauchy per Ie equazioni gravitazionali nel vuoto, Rendiconti di Matematica (3-4) Vol. 22, 1963. (7) Ida Cattaneo Gasparini, Projections naturelles des tenseurs de courbure d'une variete V n+1 a metrique hyperbolique normale,Comptes rendus Academie des Sciences, t.252, 1961.
210
- 3 G. Caricato
(1 )
In virtu
delle (1) 10 scalare di curvatura
assume la forma (8) (2)
R
~ R:*+ ±[(K~)2 + KijKi / ?2 ij ?2 jj
+ 04'd 4(K) - 2 (
V: C + CiC i
i)
con
(p*
4r
(3)
=
0 ~
K4r ~
r2
4r
)
Cib posto, si prendano m esame Ie equazioni gravitazionali (4)
G. : R· - 1. Rg = 0, Jm Jm 2 jm e se ne eseguano Ie proiezioni naturali.
(8) La convenzione che si adottera per gli indici e la seguente: Ie lettere greche rappresenteranno gli indici variabili da 1 a 3, quelle latine gli indid variablli da 1 a 4.
211
- 4 G. Caricato
Se si pone Sjm =
(5)
~~(Rjm)
(s4. J
S~ ~[ V: (i(~) =
I =
P. )~e(RJm)
= 0),
-.V -h -h] h (K" + nIX)
i [(K:)2 - Kt<~ -
K,,~ + 3
-~~ n
= S.
4
~-
+ C n~1l<
Vm
1 ij
(S 4 = 0)
-1
n~~J
Ie (4) equivalgono al seguente sistema di tre equazioni tensoriali:
(6)
SII.
=0 =0
•
In modo analogo, poiche si ha (7)
G~ = ( if!" L + ~ e + ~r + ~ Ii Ie identita differenziali cui soddisfa il tensore gravitazionale G. k 1
(8)
\/. G j J m
~ 0,
possono tradursi nelle seguenti:
212
,
- 5 -
G. Caricato
h
~
l~.
+ Il hm S + 2"(R + I )C m
(8) I
~(VGj )S: '!:'(K'.·t + 72. )sjt_.!:. R~1j + o J m 2 J Jt 4 + 2.
1
'2 0.
~. f; 4 (R
4_,
v· J
:= 0 ,
sj + 2CS j +.!:.
I- I)
J
4
~~'
(R'+I) +
== 0
Altra forma delle equazioni gravitazionali nel vuoto CornIe noto, Ie (4) sono equivalenti alle equazioni
(9)
R,
~
0 •
Jm Si pub verificare perb facilmente che Ie (9) equivalgono anche
al sistema di equazioni tensoriali
(10)
3.
Formulazione intrinseca del problema di evoluzione.
11 problema di evoluzione per Ie equazioni gravitazionali nelle regioni vuote della spaziotempo pub avere la seguente formulazione intrinseca: a) In una variets. differenziabile V
_
ficie regolare
4 sia assegnata una porzione di ipersuper-
l .
b) Si scelga un arbitrario campo ausiliario di vettori controvarianti
'6 i (x)
definiti in tutto un intorno 4-dimensionale di
213
-
I,
dotati di derivate
- 6 G. Caricato
parziali fino al 4° ordine, continue, limitate e lipschitziane, con l'unica condizione che, nei punti di
I,
Z.
essi non siano tangenti aHa
c) Si introduca anche un campo ausiliario di vettori covarianti
medesima. ~i(X)
dotati di derivate parziali fino al 4° ordine, continue, limitate e lips chitziane, legati ovunque al precedente campo O'\X) daHa condizione (1l)
e tali da soddisfare su
l
aHa relazione
~i ~ i = 0
(12)
,
~ i essendo un generico vettore controvariante tangente a (Cia significa che nei punti di risultano tangenti aHa
f
1 ).
d) Si adotti un sistema di coordinate superficie iniziale
l. ,
f
le giaciture individuate dai vettori ~i
"adattate" al campo '6(x) e aHa iper-
cioe tali che linee del campo
0i abbiano equazioni
"~ " e 1'"lpersuper f"lCle L. equazlone x 4 = O. C on tale scelta fI. -4risulta 0 = 0 ovunque e ! = 0 su Z .
x lit = cost., x 4 = var.,
e) Si suppongano assegnati, nei punti di
j ik
I ,
due tensori doppi simmetrici
' ~ ik dotati di derivate parziali fino agli ordini rispettivamente 5° e
4° , continue, limitate e lipschitziane, verificanti ivi, in coordinate adatta-
te, Ie condizioni 0,
- -·-f oa~~ t >0 (su
(13)
o
214
Z
- 7 -
G. Caricato
none he Ie relazioni differenziali (9)
campo di tensori doppi simmetrici
~ij
ivi soggetti aHa condizione Oi4 =0,
tali da soddisfare in W il sistema differenziale
(10) (equazioni di evoluzio-
ne) 2s", :'(
r ~4)2l)4~4ntl.f - '
+11j)~0414'(~1; -~t04)4tQ(~ (15)
_([4~dGa
+
)]+
- d~")~1\tl-C' -;..
'\
- ')1' J 40"
~~G' rttl- ~4(d~
() 4 ¥C;G' -
"l
\ '"'4 '"
J~U4 K~G)+ y/,K\()" 4!)~~ --cl<:~)
4 X\ .
(9) Ovunque si ripresentino enti e formule gia incontrate nelle pagine pre c~. denti, nei quali interveniva il campo di vettori covarianti 6i(x), si intende eseguita,d'ora in poi, Ia sostituzione di tale campo col campo di vettori covarianti {i(X) introdotto poc'anzi. (10) Nel sistema (15) Ie h ... > rappresentano fllnzioni razionali ben determinate r·
1
rna qui non esplicitate, • di ~i' ll, 'Clr1i' dsl '{)sdr~i Le funzioni ~'. sono definite dalle equazioni I'~~
o
~~t ~
(~
b
or
215
'h'1J ,d.~ o. 1. 1J
- 8 -
G. Caricato
e su
l..
Ie condizioni iniziali = Oij
-
------------------~
~ ij
4. Analisi delle equazioni di evoluzione Si mostrera ora che ogni soluzione del problema di evoluzione soddisfa pure, nel medesimo intorno W di
I , Ie equazioni che si ottengono
dalle (10)2' (10)3 sostituendo in esse al campo di vettoricovarianti (i(x)il campo' i(x) (17)
o o
---------------- W
Infatti, ammessa l'esistenza di una soluzione delle equazioni di evoluzione (15), che su
I
soddisfi Ie (16), si ha per una tale soluzione,
(18)
Dalla (18), in virtu delle (2), (5).
e dell'identita facilmente verifi-
cabile (19)
si trae
R
(20)
= - (R· +
I) .
Si prendano inoltre in esame Ie identita (8)'. Sostituendo in esse, al generico tensore
0' ik la soluzione poe 'anzi scelta e
varianti ~i(X) il campo 1i(X),
si ha
216
al campo di vettori co-
- 9 G. Caricato
(21 )
Le (21), interpretate come equazioni aIle derivate parziali nelle
R'" + I,
funzioni incognite SOl'
possono assumere la seguente forma norma-
le rlspetto alla variabile x 4
(21) ,
con H",(x)= N(x) = -
h
1
~..
"2 0rt (R + I) -"2 ~~ ~ 1otS~ +
D(x) = -
'6
(/.~
1-
~f
~
K~ Sit. + st~hS
~l* 0~~ \tl1.~.l S~
h
'"
- 2C", S
~
- (R'
1
-"2
+ I)Co(,
~ ot ~~ K", (R
+ I);
~
~",Hj} + N(x)
rl~1(/, 1~
Le (21)' ammettono ovviamente, neIl'intorno W di
Z,
la soluzione
nulla (22) SO( = 0 e d'altra parte questa
'R*+
e l'unica
I =0 ----------------------W che si annulli suIl'ipersuperficie f
se i
coefficienti delle (21)' sono dotati di derivate prime continue(ll).
(11) J. Schauder Lwbw, Cauchy'sches Problem fUr partielle differential-II gheichungen erster ordnung. Anwendung einiger sich auf die Absolutbetra ge der L8sungen bezichenden Absch!!tzungen, Commentarii MathematiCi Helvetici, vol. 9 MCMXXXVI/VII.
217
- 10 G. Caricato
Pertanto ogni soluzione del problema di evoluzione rappresenta una soluzione dell'intero sistema (10), nel quale al campo
'6 i sia stato sostitui-
to il campo ~i. Se si ricorda che il campo ausiliario di vettori covarianti sfa su
i
~i
soddi-
la condizione (2), ossia, in coordinate adattate, =0
si riconosce crie Ie equazioni (17), valutate su
f ,
forniscono due relazio-
ni differenziali invariantive tra i dati tensoriali di Cauchy, e si identificano con Ie condizioni di compatibilita (14) . Esplicando la dipendenza degli operatori che in esse compaiono dagli stessi dati di Cauchy, Ie (14) possono scriversi nel seguente modo:
+
con
~.(~
forme quadratiche in 'OJ" 1~G'
11 sistema (15), poiche risulta per ipotesi ~4
f
0, pub assumere
la seguente forma normale rispetto aHa variabile x4 : (15 )'
() 4CJ 4
Le funzioni
!~G'
n~(; = !<;G' + Q~~ sono polinomi lineari in Cf>,...'0
rt"v
e
Q~C"
sono
polinomi quadratici in d, ~~". Limitandosi a supporre analitici tutti i dati del problema, il sistema (15)', in virtu del teorema di Cauchy -Kowalesky ammette un'unica soluzio-
218
