Funktionalanalysis 010

Funktionalanalysis I Wintersemester 2001/2002 Skript zur Vorlesung von Prof. E. Zehnder

Christian Frei D-MATH [email protected] Version Februar 2006

i

INHALTSVERZEICHNIS

Inhaltsverzeichnis 1 Metrische R¨ aume, Baire Kategorie 1.1 Definitionen, Notation . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Die Begriffe offen, abgeschlossen, konvergent, . . . 1.3 Kompaktheit in metrischen R¨ aumen . . . . . . . 1.4 Die Baire-Kategorie . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Erste Anwendungen von Baire . . . . . . . . . . 1.6 Vervollst¨ andigung . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 3 6 9 13 15

2 Normierte R¨ aume 2.1 Definitionen und erste Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 L(X, Y ), zur Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Quotientenr¨ aume und Produktr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 18 23 28

3 Prinzipien der Funktionalanalysis 3.1 Prinzip der gleichm¨ assigen Beschr¨ anktheit . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Prinzip der offenen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Abschliessbare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 30 31 37

4 Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach 4.1 Der Satz von Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Folgerungen aus dem Fortsetzungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . .

40 40 43

5 Sobolev-R¨ aume 5.1 Der Gl¨ attungsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ◦ 5.2 Die Funktionenr¨ aume W m,p (Ω), H m,p (Ω) und H m,p (Ω) . . . . . . . 5.3 Dirichlet-Problem und schwache L¨ osung . . . . . . . . . . . . . . . .

47 47 51 59

6 Reflexive R¨ aume und schwache Konvergenz 6.1 Separable R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Reflexive R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Beispiele von Dualr¨ aumen . . . . . . . . . . . . 6.4 Schwache Konvergenz und Variationsprobleme

. . . .

63 63 64 66 69

7 Spektrum und Resolvente 7.1 Adjungierte Operatoren im Hilbert-Raum . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Spektrum und Resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76 76 79

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8 Halbgruppen 8.1 Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen im Banach-Raum 8.2 Spezialfall: Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . 8.3 Problemstellung: Das Cauchy-Anfangswert-Problem . 8.4 Kontraktionshalbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Unit¨ are Gruppen auf H . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Kontraktionshalbgruppen in Hilbertr¨ aumen . . . . . .

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86 . 86 . 86 . 87 . 87 . 99 . 104

9 Beispiele von Kontraktionshalbgruppen 9.1 Fl¨ usse von Vektorfeldern . . . . . . . . . 9.2 Unit¨ are Gruppen auf L2 (Rn ) . . . . . . 9.3 W¨ armeleitungsgleichung . . . . . . . . . 9.4 Freie Schr¨ odinger-Gleichung . . . . . . .

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A Das Riemann-Integral

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106 106 110 112 115 116

¨ 1 METRISCHE RAUME, BAIRE KATEGORIE

1

1

Metrische R¨ aume, Baire Kategorie

In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Grundbegriffe eingef¨ uhrt, die uns in der Funktionalanalysis immer wieder begegnen werden. Viele davon werden dem Leser schon bekannt sein, sollen aber zur Erinnerung nochmals aufgef¨ uhrt werden.

1.1

Definitionen, Notation

Definition 1.1. (metrischer Raum, Metrik) Ein metrischer Raum ist ein Paar (M, d), wobei M eine Menge und d eine auf M definierte Funktion d : M × M → R ist, so dass f¨ ur alle x, y, z ∈ M gilt: i) d(x, y) ≥ 0 und d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y; ii) d(x, y) = d(y, x) und iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). Eine solche Funktion d auf M heisst Metrik oder Abstandsfunktion. Folgerung: Die Metrik ist stetig, denn es gilt |d(x, y) − d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v). Bemerkungen: 1) Sei (M, d) ein metrischer Raum, A ⊂ M . Dann ist (A, d) ebenfalls ein metrischer Raum. 2) Jede Menge ist metrisierbar mit der diskreten Metrik ( 1 x 6= y d(x, y) = . 0 sonst Beispiel. Wir betrachten einige metrische R¨ aume: 1. M = R, d(x, y) = |x − y|. 2. Der Raum S aller Folgen {x : N → R} = {x = (xj )j |xj ∈ R}: sei x = (xj ) und y = (yj ) ∈ S. Definiere die Funktion d(x, y) =

∞ X 1 X 1 |xj − yj | ≤ = 1. j 2 1 + |xj − yj | 2j j=1 j≥1

Behauptung: Die so definierte Funktion d ist eine Metrik auf S. Beweis. i) d(x, y) ≥ 0 folgt auf Grund der Definition, und es ist leicht zu sehen, dass d(x, y) = 0 ⇐⇒ xj = yj ∀j ≥ 1 ⇐⇒ x = y; ii) d(x, y) = d(y, x) ist klar;

t f¨ ur t ≥ 0. F¨ ur diese Funktion gilt iii) Wir definieren die Funktion ϕ(t) = 1+t 1 0 ϕ(0) = 0 und ϕ (t) = (1+t)2 > 0. Das heisst, ϕ ist monoton steigend. Aus der Dreiecksungleichung |a + b| ≤ |a| + |b| folgt dann

|a + b| |a| + |b| |a| |b| ≤ ≤ + und 1 + |a + b| 1 + |a| + |b| 1 + |a| 1 + |b|

N N N X X X 1 |xj − zj | 1 |zj − yj | 1 |xj − yj | ≤ + . j 1 + |x − y | j 1 + |x − z | j 1 + |z − y | 2 2 2 j j j j j j j=1 j=1 j=1

Mit limN →∞ bekommen wir d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) f¨ ur alle x, y, z in S, wie behauptet.

¨ 1 METRISCHE RAUME, BAIRE KATEGORIE

2

3. Wir verwenden denselben Trick wie oben f¨ ur den Raum C ∞ (Ω), wobei die n Menge Ω ⊂ R offen ist. DazuSnehmen wir eine Folge von kompakten Mengen Kj mit Kj ⊂ Kj+1 ⊂ . . . ⊂ j≥1 Kj =: Ω und definieren eine Metrik d f¨ ur f, g ∈ C ∞ (Ω): d(f, g) =

∞ X 1 pj (f − g) , wobei 2j 1 + pj (f − g) j=1

pj (f − g) = kf − gkC j (Kj ) =

max

x∈Kj , 0≤|α|≤j

|∂ α f (x) − ∂ α g(x)| und

α = (α1 , . . . , αn ), ∂ α = ∂1α1 ∂2α2 . . . ∂nαn ,

∂j =

∂ , ∂xj

|α| = α1 + α2 + . . . + αn . Es ist unsere Konvention, dass ∂ 0 f (x) − ∂ 0 g(x) = f (x) − g(x). Dass d(f, g) wirklich eine Metrik ist, l¨ asst sich wie im vorhergehenden Beispiel zeigen. 4. Die R¨ aume `p , 1 ≤ p ≤ ∞.

Der Raum `∞ = {x = (xj )j |xj ∈ R und supj≥1 |xj | < ∞} hat noch mehr Struktur als ein metrischer Raum; er ist sogar ein Vektorraum, es gilt also f¨ ur x = (xj ), y = (yj ) die Beziehung x + y = (xj + yj )j ∈ `∞ . Wir definieren auf `∞ die Metrik d∞ (x, y) := sup |xj − yj | < ∞. j≥1

Die Metrik ist wohldefiniert, und die Eigenschaften i) und ii) folgen sofort. F¨ ur iii) gilt f¨ ur alle j: |xj − yj | = |xj − zj + zj − yj | ≤ |xj − zj | + |zj − yj |

≤ sup |xj − zj | + sup |zj − yj | = d(x, z) + d(z, y). j≥1

j≥1

¨ Machen wir auf der linken Seite den Ubergang ins Supremum, so ergibt sich d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). P Auch die R¨ aume `p = {x = (xj )j | j≥1 |xj |p < ∞} mit 1 ≤ p < ∞ sind Vektorr¨ aume, es gilt also auch hier f¨ ur x = (xj ), y = (yj ) aus `p die Vektoraddition (x + y) = (xj + yj )j ∈ `p . Wegen der Minkowski-Ungleichung ist  1/p  1/p  1/p N N N X X X  |xj + yj |p  ≤ |xj |p  +  |yj |p  . j=1

j=1

j=1

Mit dem Grenz¨ ubergang N → ∞ wird daraus

 1/p  1/p  1/p ∞ ∞ ∞ X X X  |xj + yj |p  ≤ |xj |p  +  |yj |p  . j=1

Dass die Funktion

j=1



dp (x, y) = 

∞ X j=1

j=1

1/p

|xj − yj |p 

eine Metrik auf `p definiert, beweist man wie vorher mit der MinkowskiUngleichung.

¨ 1 METRISCHE RAUME, BAIRE KATEGORIE

1.2

3

Die Begriffe offen, abgeschlossen, konvergent, . . .

Im Folgenden sei ein metrischer Raum (M, d) vorgegeben. Definition 1.2. (offen, Durchmesser, konvergente Folge, Grenzwert) • Eine offene Kugel mit Zentrum a ∈ M und Radius r > 0 ist die Menge B(a, r) = Br (a) = {x ∈ M |d(x, a) < r}; • Eine Menge U ⊂ M heisst offen, falls f¨ ur jedes x ∈ U ein r > 0 existiert, so dass Br (x) ⊂ U ; • Der Durchmesser δ einer Teilmenge A ⊂ M ist definiert durch δ(A) = sup{d(x, y)|x, y ∈ A}. • Eine Folge (xj ) ⊂ M heisst konvergent, falls ein x ∈ M existiert, so dass limn→∞ d(xn , x) = 0, das heisst, zu jedem ε > 0 gibt es ein N = Nε , so dass d(xn , x) < ε f¨ ur alle n ≥ N . Der Punkt x heisst der Grenzwert der Folge (xn ). Wir verwenden die Notationen lim xn = x oder xn → x in (M, d).

n→∞

Der Grenzwert einer Folge – sofern er existiert – ist eindeutig, denn mit xn → x, xn → y folgt 0 ≤ d(x, y) ≤ d(x, xn ) + d(xn , y) → 0 (n → ∞), also d(x, y) = 0 und, nach Definition der Metrik, endlich x = y. An dieser Stelle stellt sich nun die Frage: Was bedeutet die Konvergenz in den einzelnen R¨ aumen? Dazu betrachten wir die Konvergenz einer Folge von Folgen in (S, d) und `∞ : Konvergenz im Raume (S, d). Wir betrachten die Folge x(n) von Folgen in S, (n) also x(n) = (xj )j mit dem Grenzwert x = (xj ). Nach dem vorangehenden Beispiel 2 ist (n) ∞ X 1 |xj − xj | (n) . d(x , x) = 2j 1 + |x(n) − xj | j=1 j

(n)

Somit schliessen wir, dass limn→∞ x = x genau dann, wenn f¨ ur jedes einzelne (n) j ≥ 1 gilt limn→∞ |xj − xj | = 0, das heisst, wenn die Funktionen x(n) : N → R auf N punktweise gegen eine Funktion x : N → R konvergieren. (n) Im Gegensatz dazu gilt f¨ ur x(n) = (xj ), x = (xj ) in `∞   (n) (n) lim x = x in `∞ ⇐⇒ lim sup |xj − xj | = 0. n→∞

n→∞

j≥1

In anderen Worten: die Funktionen x(n) : N → R konvergieren gleichm¨ assig auf N gegen die Funktion x : N → R. Um diesen Unterschied noch etwas zu verdeutlichen betrachten wir folgende Aufgabe: Konvergiert die Folge x(n) = (1, 1, . . . , 1, 0, . . .) mit ( 1 j ≤ n) (n) . xj = 0 sonst gegen die Folge x = (1, 1, . . .)? Die Antwort lautet ja in (S, d), aber nein in `∞ , denn es ist offensichtlich d∞ (x(n) , x) ≡ 1 f¨ ur alle n.

¨ 1 METRISCHE RAUME, BAIRE KATEGORIE

4

Definition 1.3. (Abschluss, abgeschlossene Menge) Der Abschluss A¯ einer Teilmenge A ⊂ M ist die Menge

A¯ = {x ∈ M |x = lim xn , xn ∈ A ∀n}. n→∞

¯ Nehme f¨ Offensichtlich ist A ⊂ A: ur alle x ∈ A xn = x. Bemerkung: der Abschluss einer Menge kann viel gr¨ osser sein als die Menge selber, siehe untenstehendes Beispiel 1. Eine Teilmenge A ⊂ M heisst abgeschlossen in M , falls A¯ = A. Beispiel. Abgeschlossene Mengen: ¯ = R. 1. Q

2. Es sei (M, d) = (C[0, 1], d∞ ), d∞ (x, y) = max0≤t≤1 |x(t) − y(t)| < ∞, der metrische Raum der auf dem abgeschlossenen Intervall [0, 1] stetigen Funktionen, und A = {P olynome} ⊂ C[0, 1]. Dann ist nach dem Satz von Weierstrass A¯ = C[0, 1]. Die zur Metrik geh¨ orende Konvergenz ist die gleichm¨ assige Konvergenz. Definition 1.4. (dichte Menge, kompakte Menge, Cauchy-Folge) • A ⊂ M heisst dicht in M , falls A¯ = M , das heisst, zu jedem x ∈ M und jedem r > 0 existiert ein a ∈ A mit a ∈ Br (x). • A ⊂ M heisst (folgen-)kompakt im metrischen Raum M , falls jede Folge (xj ) in A eine in A konvergente Teilfolge (xjk )k besitzt: lim xjk = x ∈ A.

k→∞

Insbesondere sind kompakte Mengen abgeschlossen. In den einzelnen metrischen R¨ aumen (M, d) gibt es im Allgemeinen Kompaktheitskriterien, so zum Beispiel in (Rn , k · k2 ): Nach Heine-Borel ist A genau dann kompakt, wenn A abgeschlossen und beschr¨ ankt ist. • Eine Folge (xn ) ⊂ M heisst eine Cauchy-Folge, falls es zu jedem ε > 0 ein N = ¨ Nε gibt, so dass d(xn , xm ) < ε f¨ ur alle n, m ≥ N . Aquivalente Formulierung: Sei Xn = {xj |j ≥ n} ⊂ M, Xn ⊃ Xn+1 . Die Folge (xj ) ist eine Cauchy-Folge, falls δ(Xn ) → 0 (n → ∞).

Bemerkung: Cauchy-Folge ist kein topologischer Begriff. Eine stetige Abbildung bildet konvergente Folgen auf konvergente Folgen ab, aber nicht notwendigerweise Cauchy-Folgen auf Cauchy-Folgen. Hingegen bilden gleichm¨ assig stetige Abbildungen Cauchy-Folgen auf Cauchy-Folgen ab. Nicht jede Cauchy-Folge ist konvergent. Betrachten wir zum Beispiel den Raum Z 1 (M, d) = (C[0, 1], d1 ), d1 (x, y) = |x(t) − y(t)|dt ≤ d∞ (x, y). 0

Die Folge

  0 ≤ t ≤ 1/2 0 xn (t) = n(t − 1/2) 1/2 ≤ t ≤ 1/2 + 1/n   1 1/2 + 1/n ≤ t ≤ 1

1 ist eine Cauchy-Folge in (M, d1 ), denn d1 (xn , xm ) ≤ n1 + m . Die Folge xn konvergiert 1 punktweise und in L ([0, 1]) gegen ( 0 0 ≤ t ≤ 1/2 x(t) = 1 1/2 < t ≤ 1.

Aber x liegt nicht mehr in C([0, 1]). Das heisst, die Folge konvergiert nicht in (M, d1 ).

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Definition 1.5. (vollst¨ andiger (metrischer) Raum) Ein metrischer Raum (M, d) heisst vollst¨andig, falls jede Cauchy-Folge in M konvergiert. In vollst¨ andigen (metrischen) R¨ aumen gilt daher das bekannte CauchyKriterium. Satz 1.1 (Zusammenhang vollst¨ andig - abgeschlossen). Sei (M, d) ein metrischer Raum, A ⊂ M eine Teilmenge von M . Dann gelten folgende Aussagen: i) Ist (M, d) vollst¨andig und A¯ = A, so ist auch (A, d) vollst¨andig; ¯ ii) Ist (A, d) vollst¨andig, so gilt A = A. Beweis. i) Sei (xn ) eine Cauchy-Folge in A. Dann ist (xn ) auch eine Cauchy-Folge in M . Weil M vollst¨ andig ist, existiert der Grenzwert x = limj→∞ xj in M mit xj ∈ A. Daher ist x im Abschluss A¯ von A und, da A abgeschlossen ist, liegt x in A selber. Das heisst, jede Cauchy-Folge konvergiert in A, und somit ist (A, d) vollst¨ andig. ¯ Nach Definition des Abschlusses einer Menge ist x der Grenzwert ii) Sei x ∈ A. einer Folge in A, also x = limj→∞ xj , xj ∈ A. Daher ist (xj ) eine Cauchy-Folge in A. A ist jedoch vollst¨ andig, also existiert ein y in A mit y = limj→∞ xj . Da der Grenzwert einer Folge eindeutig ist, folgt x = y ∈ A. Theorem 1.1 (Prinzip der Intervallschachtelung). Wir beweisen: Ein metrischer Raum (M, d) ist genau dann vollst¨andig, wenn f¨ ur jede Folge Aj ⊂ M von Teilmengen mit i) Aj = A¯j , ii) Aj ⊃ Aj+1 ⊃ . . ., iii) δ(Aj ) → 0 (j → ∞) T gilt, dass j≥1 Aj = {x∗ } genau ein Punkt x∗ ∈ M ist.

Bemerkung: In diesem Satz sind die Voraussetzungen besonders wichtig! Betrachten wir folgende Beispiele mit M = R: T • F¨ ur An = {0 < x < 1/n} gilt n≥1 An = ∅. Die Voraussetzungen An ⊃ An+1 ⊃ . . . und δ(An ) → 0 sind zwar erf¨ ullt, aber die An sind nicht abgeschlossen. Also ist der Satz hier nicht anwendbar. T • Es gilt n≥1 {x ≥ n} = ∅. Auch hier ist der Satz nicht anwendbar. Zwar sind die Mengen An = {x ≥ n} abgeschlossen und absteigend (An ⊃ An+1 ⊃ . . .), aber es ist δ(An ) = ∞ f¨ ur alle n. Beweis. (⇒) Wir w¨ ahlen xj ∈ Aj , j ≥ 1. Dann definieren wir die Mengen Ej = {xj , xj+1 , xj+2 , . . .} ⊂ Aj . Es gilt offenbar δ(Ej ) → 0 (j → ∞). Daher ist (xj ) eine Cauchy-Folge und, weil M vollst¨ andig, konvergent: es existiert ein x ∈ M mit x = limj→∞ xj .TWegen ii) ist x ∈ A¯j f¨ ur j ≥ T 1 und wegen i) folgt x ∈ Aj (j ≥ 1), das heisst x ∈ j≥1 Aj . Sei nun auch y ∈ j≥1 Aj . Dann sind x, y ∈ Aj f¨ ur alle j ≥ 1 und es folgt 0 ≤ d(x, y) ≤ δ(Aj ) → 0, (j → ∞), also ist x = y. (⇐) Sei (xj ) eine Cauchy-Folge. Es gen¨ ugt, die Konvergenz einer Teilfolge zu zeigen. Wir definieren den Abschluss Aj = {xj , xj+1 , xj+2 , . . .} ⊂ M.

¨ 1 METRISCHE RAUME, BAIRE KATEGORIE

6

¨ Dann gilt δ(Aj ) → 0 (j → ∞), weil (xj ) eine Cauchy-Folge ist. Uberdies ist Aj ⊃ Aj+1 , das heisst, (Aj ) erf¨ ullt i) − iii). Nach Voraussetzung existiert ein x ∈ M mit T x ∈ j≥1 Aj . Weil x ∈ {xj , xj+1 , . . .} f¨ ur jedes j ≥ 1, so finden wir nach Definition des Abschlusses eine Teilfolge (xjk )k mit x = lim xjk , k→∞

und, da (xj ) eine Cauchy-Folge ist, x = limj→∞ xj .

1.3

Kompaktheit in metrischen R¨ aumen

Definition 1.6. Sei (M, d) ein metrischer Raum. • Eine Teilmenge K ⊂ M heisst u ur jede (nicht ¨ berdeckungskompakt, falls es f¨ ¨ notwendigerweise abz¨ a hlbare) offene Uberdeckung {U } , das heisst K ⊂ i i∈I S U , eine endliche Teil¨ u berdeckung {U , . . . , U } gibt, das heisst K ⊂ i1 in i∈I i Ui1 ∪ · · · ∪ U in . • Eine Teilmenge K ⊂ M heisst folgenkompakt, wenn jede Folge in K eine Teilfolge hat welche gegen einen Punkt aus K konvergiert. Dies kann auch folgendermassen gesagt werden: Jede Folge in K hat einen H¨ aufungspunkt in K. • Eine Teilmenge K ⊂ M heisst total beschr¨ankt, wenn sie f¨ ur jedes ε > 0 mit endlich vielen B¨ allen vom Radius ε u ¨berdeckt werden kann. Man kann annehmen, dass die Mittelpunkte der B¨ alle in K liegen, denn ist K ⊂ Bε (x1 )∪ · · · ∪ Bε (xn ), so gilt f¨ ur yi ∈ Bε (xi ) ∩ K, dass K ⊂ B2ε (y1 ) ∪ · · · ∪ B2ε (yn ). ¯ kompakt • Eine Teilmenge R ⊂ X heisst relativ kompakt, falls ihr Abschluss R ist. Satz 1.2. F¨ ur eine Teilmenge K eines metrischen Raums (M, d) sind ¨aquivalent: i) K ist u ¨berdeckungskompakt, ii) K ist folgenkompakt, iii) K ist total beschr¨ankt und vollst¨andig. Beweis. “i) ⇒ ii)”: Sei {xn }n∈N ⊂ K eine Folge ohne H¨ aufungspunkt in K. F¨ ur jedes y ∈ K gibt es einen Radius ry > 0, so dass der Ball Bry (y) nur endlich viele ¨ von K, so dass Folgenglieder enth¨ alt. Die {Bry (y)}y∈K sind eine offene Uberdeckung es y1 , . . . , yn ∈ K gibt mit K ⊂ Bry1 (y1 ) ∪ · · · ∪ Bryn (yn ). Da die Folge {xn }n∈N keinen H¨ aufungspunkt in K hat, besteht sie aus unendlich vielen verschiedenen Folgengliedern (sonst m¨ usste ein Folgenglied unendlich oft auftreten und w¨ are damit ein H¨ aufungspunkt), die alle in mindestens einem der B¨ alle Bryi (yi ) liegen, einer davon enth¨ alt also unendlich viele Folgenglieder, im Widerspruch zur Wahl von ry . Es gibt also keine Folge ohne H¨ aufungspunkt in K. “ii) ⇒ iii)”: Sei {xn }n∈N eine Cauchy-Folge in K. Nach Annahme besitzt die Folge einen H¨ aufungspunkt x ∈ K. Da Cauchy-Folgen h¨ ochstens einen H¨ aufungspunkt besitzen, konvergiert die Folge gegen x ∈ K, und K ist vollst¨ andig. W¨ are K nicht total beschr¨ ankt, g¨ abe es ein ε > 0, f¨ ur das es keine endliche ¨ Uberdeckung von K mit B¨ allen vom Radius ε gibt. W¨ ahle x1 ∈ K beliebig. Nach Annahme gibt es ein x2 ∈ K \ Bε (x1 ). Sind x1 , . . . , xn ∈ K schon konstruiert, so w¨ ahle xn+1 in K \ (Bε (x1 ) ∪ · · · ∪ Bε (xn )), was nach Annahme m¨ oglich ist. Aufgrund der Konstruktion ist d(xi , xj ) > ε, die Folge {xn }n∈N besitzt somit keinen H¨ aufungspunkt. Deswegen muss K total beschr¨ ankt sein.

¨ 1 METRISCHE RAUME, BAIRE KATEGORIE

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¨ “iii) ⇒ i)”: Sei {Ui }i∈I eine Uberdeckung von K mit offenen Mengen, die keine endliche Teil¨ uberdeckung hat. Sei εn = 2−n . Aufgrund der totalen Beschr¨ anktheit wird K von endlich vielen Bε1 (xi ) u ¨berdeckt. Da die {Ui }i∈I keine endliche Teil¨ uberdeckung besitzen, wird eines der K ∩ Bε1 (xi ) auch von keiner endlichen Teil¨ uberdeckung u ¨berdeckt. Sei y1 = xi . Die Menge K ∩ Bε1 (y1 ) ist als Teilmenge von K total beschr¨ ankt, wird also von endlich vielen Bε2 (x0j ) u ¨berdeckt. Eines die0 ser Bε2 (xj ) wird von keiner endlichen Teil¨ uberdeckung von {Ui }i∈I u ¨berdeckt. Sei y2 = x0j . Durch dieses Verfahren wird induktiv eine Folge {yn }n∈N definiert. F¨ ur n ≤ m ist d(yn , ym ) ≤ εn + · · · + εm ≤ 2−n+1 , daher sind die {yn }n∈N eine Cauchy-Folge und konvergieren gegen ein y ∈ K, da K ¨ vollst¨ andig ist. Dieses y ist in einem Ui der Uberdeckung enthalten. Da jenes offen ist, enth¨ alt es einen Ball Bδ (y) f¨ ur δ > 0. W¨ ahle n so gross, dass d(y, yn ) ≤ δ2 und εn ≤ δ2 . Die Inklusionen Bεn (yn )∩K ⊂ Bδ (y)∩K ⊂ Ui widersprechen der Wahl von Bεn (yn ), da dieses nicht von endlich vielen Mengen {Ui }i∈I u ¨berdeckt wird. Bemerkung: In topologischen R¨ aumen gilt weder i) ⇒ ii) noch ii) ⇒ i). Das Konzept der Totalbeschr¨ anktheit besitzt kein Analogon in topologischen R¨ aumen. Satz 1.3. Eine total beschr¨ankte Menge in einem vollst¨andigen metrischen Raum ist relativ kompakt. Beweis. Da eine abgeschlossene Teilmenge eines vollst¨ andigen metrischen Raumes ist vollst¨ andig ist, gen¨ ugt es zu zeigen, dass der Abschluss einer totalbeschr¨ ankten Menge total beschr¨ ankt ist. Sei K total beschr¨ ankt und ε > 0. Es gibt x1 , . . . , xn , so dass K ⊂ B 2ε (x1 ) ∪ · · · ∪ B ε2 (xn ). Weiter gilt ¯ ε (xn ) ⊂ Bε (x1 ) ∪ · · · ∪ Bε (xn ), ¯ ⊂B ¯ ε (x1 ) ∪ · · · ∪ B K 2 2 was zu zeigen war. Satz 1.4 (Heine-Borel). Eine Teilmenge des Rn (versehen mit der euklidischen Metrik) ist genau dann kompakt, wenn sie beschr¨ankt und abgeschlossen ist. Beweis. Eine kompakte Menge ist beschr¨ ankt (¨ uberdecke K mit {Bn (0)}n∈N ) und abgeschlossen (aus xn → x folgt, dass x als einziger H¨ aufungspunkt der Folge {xn }n∈N selbst in K liegen muss). Jede beschr¨ ankte Teilmenge des Rn ist total beschr¨ ankt: Nach Annahme ist sie in einem Ball und daher auch in einem W¨ urfel enthalten. Dieser W¨ urfel kann in endlich viele W¨ urfel beliebig kleiner Seitenl¨ a nge ε zerlegt werden. Diese kleinen √ W¨ urfel liegen je in einer Kugel mit Radius nε, d.h. jede beschr¨ ankte Teilmenge des Rn ist total beschr¨ ankt. Da Rn vollst¨ andig ist, ist es auch jede abgeschlossene Teilmenge, insbesondere ist jede beschr¨ ankte abgeschlossene Menge total beschr¨ ankt und vollst¨ andig, also kompakt. x y Bemerkung: Bez¨ uglich der Metrik d(x, y) = √1+x2 − √ 2 ist R beschr¨ ankt 1+y

und abgeschlossen, aber nicht kompakt, denn die Folge {n}n∈N hat keinen H¨ aufungspunkt in (R, d). Ein anderes Beispiel einer nicht kompakten aber beschr¨ ankten und abgeschlossenen Menge ist die Einheitssph¨ are in `p (betrachte die Standardbasis als Folge). Allgemeiner folgt aus einem Satz von Riesz (wird sp¨ ater in der Vorlesung behandelt), dass nur in endlichdimensionalen normierten Vektorr¨ aumen alle beschr¨ ankten und abgeschlossenen Mengen kompakt sind. Satz 1.5. In einem kompakten metrischen Raum gibt es eine abz¨ahlbare dichte Teilmenge, d.h. ein kompakter metrischer Raum ist separabel.

¨ 1 METRISCHE RAUME, BAIRE KATEGORIE

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Beweis. Sei (K, d) ein kompakter metrischer Raum. F¨ ur jedes n ∈ N gibt es Punkte (n) (n) x1 , . . . , xmn ∈ K, mit (n)

K ⊂ B n1 (x1 ) ∪ · · · ∪ B n1 (x(n) mn ). Es ist einfach zu sehen, dass D = menge von K ist.

S

(n) (n) n {x1 , . . . , xmn }

eine abz¨ ahlbare dichte Teil-

Definition 1.7. Seien (X, dX ) und (Y, dY ) metrische R¨ aume, weiter sei X kompakt. Eine Familie F ⊂ C(X, Y ) heisst gleichgradig stetig, wenn es f¨ ur jedes ε > 0 ein δ = δ(ε) > 0 gibt, so dass dX (x, x0 ) < δ ⇒ dY (f (x), f (x0 )) < ε ∀ x, x0 ∈ X, ∀ f ∈ F. Beachte, dass jede Funktion in einer gleichgradig stetigen Familie gleichm¨ assig stetig ist. Bemerkung: Der Raum C(X, Y ) wird mit der Metrik d∞ (f, g) = sup dY (f (x), g(x)) x∈X

zu einem vollst¨ andigen metrischen Raum. Satz 1.6 (Arzel` a–Ascoli). Sei (X, dX ) ein kompakter metrischer Raum und (Y, dY ) ein vollst¨andiger metrischer Raum. Eine Familie F von stetigen Funktionen ist genau dann relativ kompakt in (C (X, Y ) , d∞ ), wenn die Famile F gleichgradig stetig ist und f¨ ur jedes x ∈ X die Menge F (x) := {f (x) | f ∈ F} relativ kompakt in (Y, dY ) ist. Beweis. =⇒: Sei der Abschluss F¯ von F kompakt. Da die Abbildung evx : (C (X, Y ) , d∞ ) −→ (Y, dY ) f 7→ f (x)

f¨ ur jedes x ∈ X stetig ist, folgt, dass die Menge F¯ (x) als Bild der kompakten Menge ¯ F kompakt ist, somit deren Teilmenge F (x) relativ kompakt ist. Sei ε > 0 gew¨ ahlt. Da F¯ als kompakte Menge in (C (X, Y ) , d∞ ) nach Satz 1.2 totalbeschr¨ ankt ist, existieren f1 , . . . , fn ∈ F mit [ ankt ist, somit auch F totalbeschr¨ Bε (fi ), also gibt es f¨ ur jedes f ∈ F ein 1 ≤ if ≤ n mit F⊂ 1≤i≤n


d∞ f, fif ≤ ε.

Weiter existiert, weil stetige Funktionen auf kompakten R¨ aumen gleichm¨ assig stetig sind, ein δ > 0 mit dY (fi (x) , fi (y)) ≤ ε f¨ ur alle x, y ∈ X mit dX (x, y) ≤ δ und alle 1 ≤ i ≤ n. F¨ ur f ∈ F gilt insgesamt


dY (f (x) , f (y)) ≤ dY f (x) , fif (x) +dY fif (x) , fif (y) +dY fif (y) , f (y) ≤ 3ε

f¨ ur alle x, y ∈ X mit dX (x, y) ≤ δ, somit ist F gleichgradig stetig. ⇐=: Sei zun¨ achst eine Folge fn von Funktionen aus F gegeben. Um eine in (C (X, Y ) , d∞ ) konvergente Teilfolge zu konstruieren, w¨ ahle zuerst eine abz¨ ahlbare, dichte Teilmenge (xn )n∈N des kompakten Raumes (X, dX ). Da F (x1 ) nach Voraussetzung relativ kompakt ist, existiert eine Teilfolge fn1,j sodass fn1,j (x1 ) konvergiert. Induktiv kann analog f¨ ur alle k ∈ N eine Teilfolge fnk+1,j von fnk,j erhalten werden so, dass fnk+1,j (xk+1 ) konvergiert. Die Diagonalfolge gk := fnk,k konvergiert somit auf allen Punkten (xn )n∈N . Weil (C (X, Y ) , d∞ ) volls¨ andig ist, gen¨ ugt es zu

¨ 1 METRISCHE RAUME, BAIRE KATEGORIE

9

zeigen, dass die Folge gk eine Cauchyfolge ist. Sei ε > 0 und w¨ ahle δ > 0 mit der gleichgradigen Stetigkeit von F. Da (X, dX ) kompakt ist und (xn )n∈N dicht liegt, [ existiert ein n0 so, dass X = Bδ (xi ) gilt. Also gibt es f¨ ur jedes x ∈ X ein 1≤i≤n0

1 ≤ ix ≤ n0 mit

Weiter existiert ein N ∈ N mit

dX (x, xix ) ≤ δ.

dY (gl (xi ) , gm (xi )) ≤ ε f¨ ur alle l, m ≥ N und alle 1 ≤ i ≤ n0 , da gk auf allen Punkten (xn )n∈N konvergiert. F¨ ur alle x ∈ X und l, m ≥ N gilt insgesamt dY (gl (x) , gm (x)) ≤ dY (gl (x) , gl (xix )) + dY (gl (xix ) , gm (xix )) + dY (gm (xix ) , gm (x)) ≤ 3ε, also ist gk eine Cauchyfolge im vollst¨ andigen Raum (C (X, Y ) , d∞ ) und somit konvergent. Sei nun allgemein hk eine Folge von Funktionen aus dem Abschluss F¯ von F. Nach Definiton des Abschlusses kann eine Folge fn von Funktionen aus F mit ahlt werden, welche nach dem soeben Bewiesenen eine kond∞ (fn , hn ) ≤ n1 gew¨ vergente Teilfolge fnk besitzt, deren Limes f aufgrund der Abgeschlossenheit in F¯ liegt. Insgesamt konvergiert jedoch auch hnk gegen f ∈ F¯ und die Kompaktheit von F¯ ist gezeigt. Satz 1.7. Sei (X, dX ) ein kompakter metrischer Raum. Eine Familie F von stetigen, reel- oder komplexwertigen Funktionen ist genau dann relativ kompakt in (C (X) , k·k∞ ), wenn die Famile F gleichgradig stetig und beschr¨ankt ist. Beweis. Falls F beschr¨ ankt ist in (C (X) , k·k∞ ) ist auch F (x) f¨ ur jedes x ∈ X beschr¨ ankt und also nach Heine-Borel relativ kompakt. Somit kann Satz 1.6 angewendet werden. Da kompakte Mengen in Normierten R¨ aumen beschr¨ ankt sind, ergibt sich auch die andere Implikation aus Satz 1.6.

1.4

Die Baire-Kategorie

Der historische Ursprung des Begriffes Baire-Kategorie war folgende Frage: Angenommen, f¨ ur eine gegebene Folge fn : [0, 1] → R von stetigen Funktionen existiere der Grenzwert lim fn (x) = f (x) n→∞

f¨ ur jedes x ∈ [0, 1], das heisst, die Folge konvergiere punktweise. Ist nun die Menge A der Punkte x in [0, 1], in denen f (x) nicht stetig ist gross“ oder klein“? Die ” ” Antwort dazu gab Baire: er sagte, die Menge A sei von erster Kategorie – Kat(A) = 1 – oder die Menge sei mager. Zun¨ achst betrachten wir noch eine Folgerung aus der Vollst¨ andigkeit eines metrischen Raumes. Theorem 1.2. Der metrische Raum (M, d) sei vollst¨andig. Dann gelten folgende Aussagen: T i) Die Mengen Uj ⊂ M seien offen und dicht f¨ ur j ≥ 1. Dann ist j≥1 Uj dicht in M; S ii) Sei M von der Form M = j≥1 Aj mit Aj = A¯j f¨ ur j ≥ 1. Dann gibt es (mindestens) ein j, so dass Aj eine in M offene Kugel von M enth¨alt.

¨ 1 METRISCHE RAUME, BAIRE KATEGORIE

10

Bemerkung: In diesem Theorem ist es wichtig, dass M vollst¨ andig ist und die Folgen (Uj ), (Aj ) abz¨ ahlbar sind: S alt aber keine • Sei M = R = x∈R {x}. {x} ist jeweils abgeschlossen in R, enth¨ offene Kugel in R. Denn die Vereinigung ist nicht abz¨ ahlbar. S ¨ • Ahnlich ist es mit M = Q = q∈Q {q}. {q} ist abgeschlossen, enth¨ alt aber wiederum keine offene Kugel in Q. Diesmal ist die Vereinigung abz¨ ahlbar, doch: Q ist nicht vollst¨ andig. Beweis. Wir benutzen dazu die Vollst¨ andigkeit von M und Theorem 1.1: i) Wir wollen zeigen: eine offene Kugel B = Br (x) sei gegeben mit r > 0. Dann existiert ein x∗ ∈ M mit \ x∗ ∈ B ∩ Uj . j≥1

Da B offen und U1 dicht ist, schliessen wir, dass B ∩ U1 6= ∅. Weil U1 offen ist, ist auch B ∩ U1 offen. Folglich existiert ein x1 ∈ B, so dass es eine abgeschlossene ¯r1 (x1 ) ⊂ B ∩ U1 gibt mit 0 < r1 < 1 . Da Br1 (x1 ) und U2 wiederum offen Kugel B 2 ¯2 = M , existiert ein x2 ∈ Br1 (x1 ), so dass sind und U ¯r2 (x2 ) ⊂ Br1 (x1 ) ∩ U2 B

0 < r2 <

1 . 22

Induktiv finden wir nun f¨ ur jedes j ≥ 1 ein xj ∈ Br1 (x1 ), so dass ¯rj (xj ) ⊂ Brj−1 (xj−1 ) ∩ Uj B

0 < rj <

1 . 2j

¯rj (xj ), so erhalten wir die absteigende Folge von Mengen Definieren wir Aj := B B ⊃ A1 ⊃ A2 ⊃ . . . aus abgeschlossenen Aj , f¨ ur die zudem gilt δ(Aj ) → 0, wenn j → ∞. Nach unseren Voraussetzungen ist M vollst¨ andig, und wir k¨ onnen nun Theorem 1.1Tanwenden. Demnach gibt es genau einen Punkt x∗ ∈ M , f¨ ur welchen ¯r1 (x1 ) ∩ Uj f¨ ur alle gilt {x∗ } = j≥1 Aj . Daraus schliessen wir, dass x∗ ∈ Aj ⊂ B j ≥ 1. Nach unserer obigen Konstruktion heisst das aber, dass \ x∗ ∈ B ∩ Uj , j≥1

wie gew¨ unscht. Aus i) folgt ii): wir nehmen an, die abgeschlossenen Aj = A¯j enthalten keine offene Kugel von M f¨ ur alle j.SDann sind die Mengen Uj = M \ Aj offen und dicht in M f¨ ur alle j ≥ 1. Mit A = j≥1 Aj ergibt sich M \A =M \

[

Aj =

j≥1

\

j≥1

(M \ Aj ) =

\

j≥1

Uj 6= ∅,

und M \ A ist nach i) sogar dicht in M . Also ist A 6= M , im Widerspruch zur Annahme. Definition 1.8. (nirgends dichte Menge) Eine Teilmenge A ⊂ M heisst nirgends dicht in M , falls A¯ keine offene Kugel von ¨ M enth¨ alt. Aquivalent dazu ist folgende Formulierung: A ⊂ M ist nirgends dicht, falls M \ A¯ dicht in M ist. Beispiel. Z ⊂ R ist nirgends dicht in R. Definition 1.9. (Baire-Kategorie, residuelle Menge)

¨ 1 METRISCHE RAUME, BAIRE KATEGORIE

11

i) Eine Teilmenge A ⊂ M heisst von 1. Kategorie oder mager, falls A von der S Form A = j≥1 Aj ist und die Aj nirgends dicht sind. Notation: Kat(A) = 1;

ii) A ⊂ M heisst von 2. Kategorie, falls A nicht von erster Kategorie ist. Wir schreiben analog Kat(A) = 2;

iii) Das Komplement einer Menge A mit Kat(A) = 1 heisst residuell, in Formeln: R = M \ A, Kat(A) = 1. Bemerkungen: 1. Eine Teilmenge einer Menge 1. Kategorie ist wieder von 1. Kategorie. Die abz¨ ahlbare Vereinigung von Mengen 1. Kategorie ist ebenfalls von 1. Kategorie. Umgekehrt ist die Obermenge einer Menge 2. Kategorie selbst eine Menge von 2. Kategorie. 2. Eine Menge 1. Kategorie kann dicht sein in M . Ein Beispiel: S Betrachte M = R und die abz¨ ahlbaren Vereinigung Q = q∈Q {q}. Es ist ¯ = R. Kat(Q) = 1 und Q Andererseits gilt: Kat(R \ Q) = 2, denn R ist vollst¨ andig. Beweis. Angenommen, es sei Kat(R \ Q) = 1. Dann ist [ [ R = Q ∪ (R \ Q) = {q} ∪ Aj , q∈Q

j≥1

wobei die Aj nirgends dicht sind. Offensichtlich enth¨ alt keine der abz¨ ahlbar vielen Mengen auf der rechten Seite eine offene Kugel in R, im Widerspruch zu Theorem 1.2. T Lemma 1.1. Eine Teilmenge R ⊂ M ist residuell genau dann, wenn R ⊃ j≥1 Uj mit offenen und in M dichten Uj f¨ ur alle j ≥ 1. S S ur Aj nirgends dicht. Beweis. (=⇒) Es ist R = M \ A mit A = j≥1 Aj ⊂ j≥1 A¯j f¨ Dann ist [ [ \ \ R=M\ Aj ⊃ M \ A¯j = (M \ A¯j ) = Uj j≥1

j≥1

j≥1

j≥1

¯ f¨ ur Uj := M \ A Tj offen und dicht in M. (⇐=) Sei R ⊃ j≥1 Uj mit offenen und dichten Uj . Dann ist M \R ⊂M \

\

Uj =

j≥1

[

j≥1

(M \ Uj ) =

[

Aj ,

j≥1

wobei die Aj nirgends dicht sind. Somit ist M \ R enthalten in einer Menge 1. Kategorie, also selbst von 1. Kategorie. Theorem 1.3 (Baire). Sei (M, d) ein vollst¨andiger Raum. Dann ist i) Kat(M ) = 2; ii) Kat(A) = 1 ⇒ Kat(M \ A) = 2 und M \ A ist dicht in M ; iii) ∅ 6= U ist offen ⇒ Kat(U ) = 2.

¨ 1 METRISCHE RAUME, BAIRE KATEGORIE

12

Beweis. i) Dies ist die Aussage von Theorem 1.2. ii) Sei also A von erster Kategorie. Wenn nun Kat(M \ A) = 1 gilt, so ist Kat(M ) = Kat(A ∪ (M \ A)) = 1, im Widerspruch zu i). Also muss (M \ A) von T zweiter Kategorie sein. Weil dann M \ A ⊃ j≥1 Uj f¨ ur offene und dichte Uj , folgt M \ A = M mit Theorem 1.2.i). iii) F¨ ur ein offenes U 6= ∅ ist M \ U nicht dicht in M . Daher ist Kat(U ) 6= 1 wegen ii), also Kat(U ) = 2. Definition 1.10. (innerer Punkt, Inneres einer Menge) Ein Punkt x ∈ A einer Teilmenge A ⊂ M heisst innerer Punkt von A, falls in M eine offene Kugel Br (x) mit r > 0 existiert, so dass Br (x) noch ganz in A enthalten ◦ ist, also Br (x) ⊂ A. Das Innere von A, int(A) ≡ A, ist die Menge aller inneren Punkte von A. Nach dieser Definition ist A genau dann nirgends dicht, falls das Innere seines Abschlusses leer ist: ¯ = ∅. A nirgends dicht ⇐⇒ int(A) Satz 1.8. In einem metrischen Raum (M, d) sind die folgenden vier Aussagen ¨aquivalent: i) Falls A ⊂ M von 1. Kategorie, so ist M \A =: Ac dicht in M , das Komplement jeder mageren Menge ist also dicht in M ; S ii) Falls A = j≥1 Aj f¨ ur abgeschlossene Aj mit int(Aj ) = ∅ f¨ ur alle j ≥ 1, so ist int(A) = ∅: Das Innere jeder mageren Menge ist leer; iii) Falls U 6= ∅ offen ist, so ist U von 2. Kategorie, die leere Menge ist also die einzige offene und magere Teilmenge; T ur offene und in M dichte Uj , so ist auch U dicht: iv) Falls U = j≥1 Uj f¨ abz¨ahlbare Durchschnitte offener und dichter Mengen sin dicht in M .

¨ Beweis. Man beweist leicht die Reihenfolge i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ iv) ⇒ i) (Ubungsaufgabe). Wenn wir nun die vorangehenden Erkenntnisse zusammenfassen, dann ergibt sich Theorem 1.4 (Baire). In einem vollst¨andigen metrischen Raum (M, d) gelten die Aussagen i)–iv) des Satzes 1.8. Beweis. Das Theorem ist eine direkte Folge aus Theorem 1.2 und Satz 1.8. Bemerkung: Die Nullmenge ist eine mengentheoretisch v¨ ollig andere Vorstellung einer mageren Menge: Satz 1.9. Sei M = R, dann existiert eine Teilmenge A ⊂ R von erster Kategorie so, dass R = A ∪ (R \ A) mit Kat(R \ A) = 2 und R \ A eine Lebesgue-Nullmenge. Beweis. Wir benutzen, dass R vollst¨ andig ist: Wir nehmen eine abz¨ ahlbare, dichte Menge {a1 , a2 , . . .} in R, zum Beispiel Q, und definieren die offenen Intervalle Iij := {x ∈ R| |x − ai | < 2−(i+j+1) } f¨ ur i, j ≥ 1. T S ur jedes j offen und dicht, und U = j≥1 Uj ist eine Dann ist Uj := i≥1 Iij f¨ Lebesgue-Nullmenge, also m(U ) = 0, denn aus S der Monotonie und der Subadditivit¨ at des Lebesgue-Masses ist (mit U ⊂ Uj = i≥1 Iij ) X X 0 ≤ m(U ) ≤ m(Uj ) ≤ m(Iij ) = 2−(i+j) = 2−j i≥1

i≥1

¨ 1 METRISCHE RAUME, BAIRE KATEGORIE

13

f¨ ur jedes feste j ≥ 1. Also ist m(U ) = 0. Wir definieren nun [ [ Aj , (R \ Uj ) = A=R\U = | {z } j≥1 j≥1 :=Aj

wobei die Aj nirgends dicht sind, das heisst Kat(A) = 1. Weil R vollst¨ andig ist, folgt Kat(R \ A) = Kat(U ) = 2.

1.5

Erste Anwendungen von Baire

Wir stellen uns die Frage: Gibt es stetige Funktionen, die nirgends differenzierbar sind? Die Antwort ist: Ja, im Sinne der Kategorie sind sie sogar der typische Fall! Satz 1.10 (Banach, 1931). Sei R die Menge der auf [0, 1] stetigen und nirgends differenzierbaren Funktionen. Dann ist R residuell im vollst¨andigen metrischen Raum (C[0, 1], d∞ ), also insbesondere dicht. Beweis. Zum Beweis des Satzes benutzen wir die Vollst¨ andigkeit von C[0, 1] und Theorem 1.2: Wir setzen die stetige Funktion f : [0, 1] → R durch Konstanten stetig fort, so dass f auf ganz R definiert ist. F¨ ur n ≥ 1 setzen wir ) ( x(t + h) − x(t) > n ∀ t ∈ [0, 1] , Un = x ∈ C[0, 1] sup h 0<|h|≤1 \ Un ⊂ R. U= n≥1

Ein x ∈ U ist demnach in keinem Punkt von [0, 1] differenzierbar. Wir zeigen: die Un sind offen und dicht. Dann folgt, dass R residuell und dicht ist (Lemma 1.1 bzw. Theorem 1.2). i) Un ist offen: Sei x ∈ Un . Dann gibt es (nach der Definition des Supremums) zu jedem t ∈ [0, 1] ein δt > 0 und ein ht mit 0 < |ht | ≤ 1 so, dass x(t + ht ) − x(t) > n + δt . ht Weil x stetig ist, existiert ein offenes Intervall It 3 t, so dass f¨ ur alle s ∈ It gilt x(s + ht ) − x(s) > n + δt . ht

Weil [0, 1] kompakt ist, gibt es endlich viele solcher Intervalle It1 , . . . , ItN , welche [0, 1] u onnen wir ¨berdecken. Somit k¨ δ = min{δt1 , . . . , δtN } > 0,

h = min{|ht1 |, . . . , |htN |} > 0 definieren. Wir nehmen nun ein y ∈ C[0, 1] und ein t ∈ [0, 1]. Also ist t ∈ Itj f¨ ur ein j ∈ {1, . . . , N }. Damit folgt |x(t + htj ) − x(t)| ≤ |x(t + htj ) − y(t + htj )| + |y(t + htj ) − y(t)| + |y(t) − x(t)| ≤ 2kx − yk∞ + |y(t + htj ) − y(t)|.

¨ 1 METRISCHE RAUME, BAIRE KATEGORIE

14

Sei kx − yk∞ < ε, dann ist y(t + htj ) − y(t) x(t + htj ) − x(t) 2kx − yk∞ ≥ − htj htj |htj | 2ε > n, ≥n+δ− h falls ε hinreichend klein ist. Dies gilt jedoch f¨ ur jedes t ∈ [0, 1], und so ist y ∈ Un . ii) Un ist dicht (nach Weierstrass): Sei Bε (y) ⊂ C[0, 1] eine offene Kugel. Wir werden zeigen: es existiert ein x ∈ Bε (y) ∩ Un . Nach Weierstrass existiert ein Polynom p, so dass ky − pk∞ < ε/2. Wir suchen nun ein x ∈ Un mit kx − pk∞ < ε/2. Dazu definieren wir eine stetige, periodische Zick-Zack-Funktion z. Offenbar ist z(t) stetig und pez(t) riodisch, mit |z(t)| ≤ 1 f¨ ur alle 6 1 t ∈ R. Wir definieren f¨ ur λ > 0 @ @ @ die Funktion @ @ @ @ @ @ -t xλ (t) = p(t) + zλ (t), 0 -2 -1 1 2 mit zλ (t) = λ z(t/λ2 ). Mit den obigen Definitionen ist dann |zλ (t)| ≤ λ, |Steigung zλ (t)| = 1/λ und kxλ − pk∞ = λ. Es gilt dann xλ (t + h) − xλ (t) zλ (t + h) − zλ (t) p(t + h) − p(t) ≥ − . h h h Wenn wir |h| klein genug w¨ ahlen, folgt mit dem Mittelwertsatz

xλ (t + h) − xλ (t) 1 d ≥ − p > n, λ dt h ∞

falls λ hinreichend klein ist. Dies gilt f¨ ur alle t, also ist x ∈ Bε (y) ∩ Un f¨ ur kleine λ, was zu beweisen war. An dieser Stelle beweisen wir noch ein Theorem, welches sp¨ ater f¨ ur uns wichtig sein wird: Theorem 1.5 (Prinzip der gleichm¨ assigen Beschr¨ anktheit). Sei (M, d) ein vollst¨andiger, metrischer Raum, fλ : M → R, λ ∈ Λ, eine Familie von stetigen Funktionen. Falls die Familie punktweise beschr¨ ankt ist, das heisst, sup |fλ (x)| < ∞

λ∈Λ

∀ x ∈ M,

dann gibt es eine offene Kugel B ⊂ M , so dass sup λ∈Λ,x∈B

|fλ (x)| < ∞,

das heisst, die Familie ist gleichm¨ assig beschr¨ ankt auf B. Beweis. Wir benutzen dazu Theorem 1.2 sowie die Stetigkeit der fλ : F¨ ur jedes λ ∈ Λ und n ≥ 1 definieren wir An,λ := {x ∈ M | |fλ (x)| ≤ n}. Jedes An,λ ist abgeschlossen, da fλ stetig ist. Wir bilden dann die Menge \ An := An,λ = {x ∈ M | |fλ (x)| ≤ n ∀ λ ∈ Λ}. λ∈Λ

¨ 1 METRISCHE RAUME, BAIRE KATEGORIE

15

Insbesondere ist An abgeschlossen. Nach ur jedes x ∈ M S Voraussetzung existiert f¨ andig ist, gibt es ein j, so dass x ∈ Aj , also ist M = j≥1 Aj . Weil nun M vollst¨ nach Theorem 1.2 ein j und eine offene Kugel B ⊆ Aj , das heisst |fλ (x)| ≤ j

∀ λ ∈ Λ, ∀ x ∈ B.

Satz 1.11 (Baire). Sei (M, d) ein vollst¨andiger metrischer Raum, fn eine Folge von stetigen Funktionen fn : M → R, n ≥ 1 und es existiere der Grenzwert lim fn (x) =: f (x) ∈ R

n→∞

f¨ ur jedes x ∈ M . Dann ist R = {x ∈ M |f stetig in x} eine residuelle Menge, also insbesondere dicht in M. ¨ Beweis. Ubungsaufgabe

1.6

Vervollst¨ andigung

Definition 1.11. (Isometrie) Eine Abbildung ϕ : (M1 , d1 ) → (M2 , d2 ) heisst eine Isometrie, falls d2 (ϕ(x), ϕ(y)) = d1 (x, y)

∀ x, y ∈ M1 .

Sie ist gleichm¨ assig stetig auf M1 und injektiv, aber nicht notwendigerweise auch surjektiv. F¨ ur den Beweis des n¨ achsten Theorems beweisen wir zun¨ achst die beiden nachfolgenden Hilfss¨ atze: Lemma 1.2. Sei (M, d) ein metrischer Raum und es bezeichne B(M, R) den Raum der beschr¨ankten Funktionen B(M, R) := {f : M −→ R| sup |f (x)| < ∞}. x∈M

Dann existiert eine Isometrie ϕ : (M, d) −→ (B(M, R), d∞ ). Beweis. Wir fixieren ein x∗ ∈ M und definieren f¨ ur x ∈ M die Funktion fx : M −→ R durch y 7−→ fx (y) := d(x, y) − d(x∗ , y) y ∈ M. Aus |d(x, y) − d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v) folgt dann |fx (y)| ≤ d(x, x∗ )

∀ y ∈ M.

Folglich liegt fx in B(M, R). Es ist dann d∞ (fx , fz ) = sup |fx (y) − fz (y)| = sup |d(x, y) − d(z, y)| y∈M

y∈M

≤ d(x, z). Das Supremum in der obigen Gleichungsfolge wird angenommen f¨ ur y = z, daher folgt d∞ (fx , fz ) = d(x, z). Die Abbildung ϕ : M → B(M, R); x 7→ ϕ(x) =: fx ist die gesuchte Isometrie, weil d∞ (ϕ(x), ϕ(z)) = d(x, z) f¨ ur alle x, z ∈ M .

¨ 1 METRISCHE RAUME, BAIRE KATEGORIE

16

Lemma 1.3 (Eindeutigkeit der Vervollst¨ andigung). Seien (M1 , d1 ) und (M2 , d2 ) zwei vollst¨andige R¨aume, A1 ⊂ M1 , A2 ⊂ M2 Teilmengen mit A¯1 = M1 und A¯2 = M2 sowie ϕ : A1 → A2 eine surjektive Isometrie von A1 auf A2 . Dann existiert genau eine surjektive Isometrie ϕ∗ : M1 → M2 von M1 auf M2 , so dass ϕ∗ (x) = ϕ(x) f¨ ur alle x ∈ A1 . ¨ Beweis. Ubungsaufgabe Nun kommen wir zum eigentlichen Theorem 1.6. Sei (M, d) ein metrischer Raum. Dann gibt es einen metrischen Raum (M ∗ , d∗ ), so dass i) (M ∗ , d∗ ) vollst¨andig ist und ii) es eine Isometrie ϕ : (M, d) → (M ∗ , d∗ ) gibt mit ϕ(M ) = M ∗ . (M ∗ , d∗ ) heisst Vervollst¨ andigung von (M, d). Sind (M1∗ , d∗1 ) und (M2∗ , d∗2 ) zwei Vervollst¨andigungen von (M, d), dann gibt es eine Isometrie von (M1∗ , d∗1 ) auf (M2∗ , d∗2 ). Beweis. Sei M 6= ∅ eine Menge. Dann ist der Raum B(M, R) der beschr¨ ankten Funktionen B(M, R) := {f : M → R| sup |f (x)| < ∞} x∈M

mit der Metrik d∞ (f, g) := supx∈M |f (x)−g(x)| ein vollst¨ andiger, metrischer Raum, weil R vollst¨ andig ist. Mit Lemma 1.2 folgt dann, dass wie gew¨ unscht eine Isometrie ϕ : (M, d) → (B(M, R), d∞ ) existiert. Weil B(M, R) vollst¨ andig ist, ist der Abschluss (ϕ(M ), d∞ ) ein vollst¨ andiger Raum nach Satz 1.1. Wir w¨ ahlen daher (M ∗ , d∗ ) = (ϕ(M ), d∞ ). Damit folgen die Aussagen i), ii) von Theorem 1.6. Die Eindeutigkeit der Vervollst¨ andigung wurde in Lemma 1.3 bewiesen. Wie wir gesehen haben, k¨ onnen wir abstrakt jeden metrischen Raum sofort vervollst¨ andigen. Eine Frage bleibt: l¨ asst sich die Vervollst¨ andigung wieder konkret darstellen? Dazu hier ein Beispiel. Sei Ω ⊂ Rn offen, Cc∞ (Ω) die Menge der C ∞ (Ω)-Funktionen mit kompaktem Tr¨ ager supp(f ) in Ω, wobei supp(f ) = {x ∈ Ω|f (x) 6= 0}. Wir definieren eine Metrik auf Cc∞ (Ω) =: M durch das Riemann’sche Integral d(f, g) =

Z

I

|f (x) − g(x)|p dx

 p1

,

wobei I ein kompaktes Intervall ist mit I ⊃ supp(f ), supp(g). Die Vervollst¨ andigung ¨ des metrischen Raumes (Cc∞ (Ω), d) ist Lp (Ω), also der Raum der Aquivalenzklassen der Lebesgue-messbaren Funktionen f : Ω → R, so dass |f |p Lebesgue-integrabel ist. Dies folgt aus i) Lp (Ω) ist vollst¨ andig; ii) Cc∞ (Ω) ⊂ Lp (Ω) ist dicht in der Lp -Metrik;

¨ 1 METRISCHE RAUME, BAIRE KATEGORIE

17

iii) In Cc∞ (Ω) ist Lebesgue-integrabel gleich Riemann-integrabel, und wir haben die Isometrie Z Z |f − g|p dµ = |f (x) − g(x)|p dx . | Ω {z } |I {z } Lebesgue-Integral

Riemann-Integral

¨ 2 NORMIERTE RAUME

2

18

Normierte R¨ aume

2.1

Definitionen und erste Folgerungen

Definition 2.1. (normierter Raum, Norm, Banach-Raum) Ein normierter Raum ist ein Paar (X, ρ), wobei X ein Vektorraum und ρ : X → R eine Norm, das heisst, eine Funktion ρ(x) := kxk ist mit den Eigenschaften i) kxk ≥ 0 und kxk = 0 ⇐⇒ x = 0, ii) kλxk = |λ|kxk, iii) kx + yk ≤ kxk + kyk f¨ ur alle λ ∈ C, x, y ∈ X. Die zur Norm assoziierte Metrik ist gegeben durch d(x, y) := kx − yk. Der normierte Raum (X, ρ) heisst Banach-Raum, falls (X, d) vollst¨ andig ist. Aus obigen Definitionen k¨ onnen wir schon erste Folgerungen ziehen: Satz 2.1 (Stetigkeitseigenschaften). In einem normierten Raum (X, k k) gilt i) Die Norm ρ : X → R ist stetig, das heisst: kxk − kyk ≤ kx − yk = d(x, y).

ii) Vektorraumoperationen sind stetig:

{x, y} 7→ x + y : X × X {λ, y} 7→ λy : C×X

→ X, → X.

Beweis. i) Schreibe x = (x − y) + y. Dann folgt aus der Dreiecksungleichung kxk ≤ kx − yk + kyk, und, formen wir um, kxk − kyk ≤ kx − yk. Durch Vertauschung von x und y erhalten wir kyk − kxk ≤ ky − xk = k(−1)(x − y)k = kx − yk. ii) F¨ ur die Addition gilt: k(x + y) − (x∗ + y ∗ )k ≤ kx − x∗ k + ky − y ∗ k, und f¨ ur die skalare Multiplikation ist kλx − λ∗ x∗ k = kλ(x − x∗ ) + (λ − λ∗ )x∗ k ≤ |λ| kx − x∗ k + |λ − λ∗ |kx∗ k. Beispiel (Der Raum der beschr¨ ankten Funktionen). Sei M eine Menge, (X, k k) ein normierter Raum. Wir bezeichnen mit B(M, X) := {f : M → X| sup kf (t)k < ∞} t∈M

den Raum der beschr¨ ankten Funktionen f von M nach X. Damit u agt sich ¨bertr¨ die Vektorraum-Struktur von X auf B(M, X), denn es ist f +g : λf : −f : 0:

(f + g)(t) (λf )(t) (−f )(t) 0(t)

:= := := :=

f (t) + g(t), λf (t), −f (t), 0 ∈ X ∀ t ∈ M.

¨ 2 NORMIERTE RAUME

19

Mit der Norm kf k := supt∈M kf (t)k wird B(M, X) zu einem normierten Raum. Dass dies auch wirklich eine Norm ist, zeigt man so: i) sei kf k = 0. Dann ist nach Definition kf (t)k = 0 f¨ ur alle t ∈ M und folglich f (t) = 0. Das ist genau dann der Fall, falls f = 0 ∈ X. ii) folgt direkt aus den Definitionen der Norm und des Supremums. iii) Dreiecksungleichung: k(f + g)(t)k = kf (t) + g(t)k

≤ kf (t)k + kg(t)k ≤ sup kf (t)k + sup kg(t)k t∈M

t∈M

= kf k + kgk. ¨ Mit dem Ubergang ins Supremum u ¨ber t auf der linken Seite folgt dann, wie gew¨ unscht, kf + gk ≤ kf k + kgk. Zu B(M, X) beweisen wir noch folgenden Satz 2.2. Ist X ein Banach-Raum, so ist auch B(M, X) wieder ein Banach-Raum. Beweis. Sei fn eine Cauchy-Folge in B(M, X). Wir wollen zeigen, dass die Folge in B(M, X) konvergiert. Wir geben uns also ein beliebiges ε > 0 vor. Dann gibt es ein Nε , so dass kfn − fm k < ε f¨ ur alle n, m ≥ Nε . Nach Definition der Norm ist dann kfn (t) − fm (t)k < ε ∀ n, m ≥ Nε , ∀ t ∈ M.

(2.1)

Das bedeutet aber nichts anderes, als dass fn (t) f¨ ur jedes t eine Cauchy-Folge in X ist. Nach Voraussetzung ist X ein Banach-Raum, also insbesondere vollst¨ andig, und es existiert der punktweise Grenzwert f (t) := lim fn (t) n→∞

∈X

f¨ ur alle t in M . Aus (2.1) folgt mit m → ∞ und der Stetigkeit der Norm, dass kfn (t) − f (t)k = lim kfn (t) − fm (t)k ≤ ε m→∞

(2.2)

f¨ ur alle n ≥ Nε und f¨ ur alle t in M . Wenden wir die Dreiecksungleichung an, so erhalten wir kf (t)k ≤ kfn (t) − f (t)k + kfn (t)k ≤ ε + kfn k < ∞. Somit liegt f wieder in B(M, X). Nehmen wir in der mit (2.2) gekennzeichneten Gleichung das Supremum u ¨ber alle t, so erhalten wir kfn − f k := sup kfn (t) − f (t)k ≤ ε ∀ n ≥ Nε . t∈M

Dies gilt f¨ ur alle ε > 0. Somit strebt die Folge fn nach der Definition der Konvergenz in B(M, X) gegen die Funktion f ∈ B(M, X). Damit konvergiert jede Cauchy-Folge in B(M, X), und der Satz ist bewiesen. Definition 2.2. (¨ aquivalente Normen) Zwei Normen ρ1 , ρ2 auf dem Vektorraum X heissen ¨aquivalent, falls zwei Zahlen m, M existieren mit 0 < m < M , so dass f¨ ur alle x 6= 0 gilt m≤

ρ1 (x) ≤ M. ρ2 (x)

¨ 2 NORMIERTE RAUME

20

Gleichbedeutend ist die Formulierung f¨ ur die assoziierte Metrik: es ist dann m≤

ρ1 (x − y) ≤M ρ2 (x − y)

f¨ ur alle x 6= y. Zum Vergleich: Zwei Metriken d1 , d2 auf X heissen ¨aquivalent, falls eine Folge genau dann bez¨ uglich d1 konvergiert, wenn sie auch bez¨ uglich d2 konvergiert. ¨ Aquivalente Normen auf einem Vektorraum definieren ein und dieselbe Topologie und dieselben Cauchyfolgen. Satz 2.3. Auf dem endlich-dimensionalen Vektorraum X = Cn sind alle Normen ¨aquivalent. Beweis. Wir benutzen, dass in einem endlich-dimensionalen Vektorraum die Einheitskugel kompakt ist (dass dies f¨ ur unendlich-dimensionale Vektorr¨ aume nicht der Fall ist, werden wir sp¨ ater sehen). Es gen¨ ugt zu zeigen, dass alle Normen zu einer einzigen ¨ aquivalent ist. Wir beweisen dies f¨ ur die bekannte Euklidische Norm d2 (x, y) = kx − yk2 . Sei ρ : Cn → R eine Norm. Dann ist ρ : (Cn , d2 ) → R stetig:   n X |ρ(x) − ρ(y)| ≤ ρ(x − y) = ρ  (xj − yj )ej  j=1

≤

n X j=1

|xj − yj |ρ(ej ) ≤ kx − yk∞

n X

ρ(ej )

j=1

| {z } =:c

≤ ckx − yk2 .

Die Funktion ρ : S = {x ∈ Cn | kxk2 = 1} → R ist stetig und es ist ρ(x) > 0 f¨ ur alle x in S. Weil S kompakt ist, nimmt ρ ihr Minimum und Maximum an, also 0 < m = ρ(x∗ ) ≤ ρ(x) ≤ ρ(x∗ ) = M, und daher gilt m≤ρ



x kxk2



=

ρ(x) ≤ M. kxk2

Folglich ist ρ ¨ aquivalent zur Euklidischen Norm. Da ρ beliebig war, folgt die Behauptung. Folgerungen: In einem endlich-dimensionalen Vektorraum X sind alle Normen aquivalent: Sei (X, k k) e in n-dimensionaler Vektorraum. Wir w¨ ahlen eine Basis ¨ e1 , . . . , en in X und definieren die Abbildung ϕ : Cn → X durch ϕ(x) =

n X

∈ X.

xj e j

j=1

Das so definierte ϕ ist ein linearer Isomorphismus, und somit ist kϕ(x)k eine neue Norm auf Cn . Nach Satz 2.3 gibt es m, M derart, dass 0<m≤ f¨ ur alle x 6= 0 in Cn . Dann ist aber m≤

ϕ(x) ≤M kxk2

kyk

kϕ−1 (y)k

2

≤M

¨ 2 NORMIERTE RAUME

21

f¨ ur y 6= 0 in X. Dies gilt jedoch f¨ ur jede Norm k k, also ist die Aussage bewiesen. Da Cn auch vollst¨ andig ist, folgt sofort Satz 2.4. Sei (X, k k) ein endlich-dimensionaler normierter Raum. In diesem Falle ist (X, k k) ein Banach-Raum. Folgerung: Sei (Y, k k) ein normierter Raum, X ⊂ Y ein linearer Teilraum endlicher Dimension. Dann ist (X, k k) vollst¨ andig und nach Satz 1.1 deshalb eine in Y abgeschlossene Menge. Sind X und Y zwei beliebige Vektorr¨ aume und A : X → Y eine Abbildung, so heisst A linear , falls A(x + y) = A(x) + A(y) und A(λx) = λA(x) f¨ ur alle x, y ∈ X. Das heisst, die Abbildung A ist mit der Vektorraum-Stuktur in Y vertr¨ aglich (analog erhalten Gruppenhomomorphismen ϕ : G → F die Gruppenstruktur in F ). Es ist allgemein gebr¨ auchlich, dass eine lineare Abbildung auch als Operator bezeichnet wird. Satz 2.5. Seien X, Y zwei normierte R¨aume und A : X → Y eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: i) A ist stetig im Punkt 0 ∈ X; ii) A ist stetig in jeden Punkt x ∈ X; iii) A ist gleichm¨assig stetig auf X; iv) Es existiert ein c ≥ 0, so dass kA(x)k ≤ ckxk f¨ ur alle x ∈ X; v) A ist beschr¨ankt auf der Einheitskugel: supkxk≤1 kA(x)k < ∞. Beweis. Wir beweisen die Reihenfolge i) ⇒ v) ⇒ iv) ⇒ iii) ⇒ ii) ⇒ i). i) ⇒ v): Angenommen, A sei nicht beschr¨ ankt auf der Einheitskugel, dann existiert eine Folge xj ∈ X, so dass kxj k ≤ 1 und kA(xj )k ≥ j f¨ ur j ≥ 1. Es folgt somit, dass die Folge yj := xj /j gegen 0 konvergiert, weil kxj /jk ≤ 1/j. F¨ ur die yj folgt dann 1 kA(yj )k = kA(xj )k ≥ 1 j f¨ ur alle j ≥ 1. Weil aber A(0) = 0 ist, kann A in 0 nicht stetig sein, im Widerspruch zu unserer Annahme. v) ⇒ iv): Sei c := supkxk≤1 kA(x)k < ∞. Dann ist f¨ ur x 6= 0

 

x

≤ c ⇐⇒ 1 kA(x)k ≤ c.

A

kxk kxk

Also haben wir unsere Konstante c gefunden. iv) ⇒ iii): Aus der Linearit¨ at und iv) folgt

kA(x) − A(y)k = kA(x − y)k ≤ ckx − yk. A ist demnach gleichm¨ assig stetig auf X. Die Schritte iii) ⇒ ii) ⇒ i) sind offensichtlich. Anders ausgedr¨ uckt: eine lineare Abbildung A : X → Y von normierten Vektorr¨ aumen ist genau dann stetig, wenn sie (auf der Einheitskugel) beschr¨ ankt ist. Wir zeigen an dieser Stelle noch eine u ¨berraschende Eigenschaft von unendlichdimensionalen Vektorr¨ aumen: Lemma 2.1. Sei (X, k k) ein unendlich-dimensionaler Vektorraum. Dann existiert eine lineare, nicht-stetige Funktion A : X → R.

¨ 2 NORMIERTE RAUME

22

Beweis. Da X ein Vektorraum ist, besitzt X eine algebraische Basis , das heisst, es gibt eine (eventuell unendliche) Familie eλ , λ ∈ Λ, so dass jedes x ∈ X eine eindeutige Darstellung der Form X x= αλ (x)eλ λ∈Λ

besitzt, mit Koeffizienten αλ ∈ R, wobei nur endlich viele der αλ von Null verschieden sind. Die Koeffizienten αλ (x) sind zudem linear in x. Da dim(X) = ∞, k¨ onnen wir eine abz¨ ahlbare Familie λ1 , λ2 , . . . ∈ Λ ausw¨ ahlen und schreiben zur Vereinfachung ej := eλj , αj (x) := αλj (x). Nun definieren wir eine lineare Abbildung A : X → R durch A(x) :=

∞ X j=1

jkej kαj (x)

∈ R.

Diese Summe ist f¨ ur jedes x endlich. Mit dieser Definition ist jetzt   X  X  ∞ ∞ es es kej k αj (es ) = s A = jkej kαj = j kes k ke k ke s sk j=1 j=1

are f¨ ur alle s ≥ 1, da αj (es ) = δjs . Weil gilt k keess k k = 1, ist A auf der Einheitssph¨ nicht beschr¨ ankt, und daher auch nicht stetig. Das f¨ uhrt uns zum Theorem 2.1. In einem normierten Raum (X, k k) sind ¨ aquivalent: i) Der Vektorraum ist endlich (dim(X) < ∞);

ii) Alle Normen sind ¨aquivalent; iii) Alle linearen Abbildungen A : X → Y in einen normierten Raum Y sind stetig; iv) Jede beschr¨ankte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge; v) Die Einheitssph¨are S = {x ∈ X| kxk = 1} ist kompakt.

Speziell gilt in endlich-dimensionalen Vektorr¨ aumen, dass aus der algebraischen Eigenschaft linear“ die topologische Eigenschaft stetig“ folgt. ” ” Beweis. i) ⇒ ii) folgt aus Satz 2.3, i) ⇒ iv) aus dem Satz von Bolzano-Weierstrass und i) ⇒ v) aus dem Satz von Heine-Borel. i) ⇒ iii) Wir betrachten einen endlich-dimensionalen Vektorraum X, eine lineare Abbildung A : X → Y und definieren eine neue Norm auf X durch kxkA := kxk + kA(x)k. Nach Satz 2.3 ist kxkA ≤ M kxk f¨ ur ein geeignetes (endliches) M . Das heisst, kA(x)k ≤ kxkA ≤ M kxk, sprich, A ist beschr¨ ankt und nach Satz 2.5 also stetig. iii) ⇒ i) folgt aus dem obigen Lemma 2.1. ii) ⇒ i) Sei dim(X) = ∞. Wir definieren auf X wieder eine neue Norm kxkA = kxk + |A(x)| f¨ ur die lineare Funktion A aus Lemma 2.1. Dann ist kxkA nicht a quivalent zu k k, da ¨ kxkA x 6= 0 kxk nicht beschr¨ ankt ist. iv) ⇒ i) folgt aus den nachfolgenden Lemmata 2.2 und 2.3.

¨ 2 NORMIERTE RAUME

23

Lemma 2.2 (Franz Riesz). Sei (X, k k) ein normierter Raum und Y ⊂ X ein abgeschlossener linearer Teilraum mit X 6= Y . Dann gibt es zu jedem ε ∈ (0, 1) ein x = xε mit (1) kxk = 1 und (2) d(x, Y ) = inf y∈Y kx − yk > 1 − ε.

Beweis. Da Y 6= X ist, k¨ onnen wir ein x∗ ∈ X \ Y w¨ ahlen. Weil Y¯ = Y, ist der ∗ Abstand von x zu Y echt positiv, also d := inf |x∗ − y| = d(x∗ , Y ) > 0. y∈Y

Sei nun ein ε mit 0 < ε < 1 vorgegeben. Dann existiert nach der Definition des d Infimums ein y ∗ ∈ Y mit d ≤ kx∗ − y ∗ k < 1−ε . Wir definieren nun xε = x =

x∗ − y ∗ , kx∗ − y ∗ k

also ist kxk = 1. Es gilt auch (2), denn f¨ ur ein beliebiges y ∈ Y ist

∗

x − y∗

kx − yk = − y

kx∗ − y ∗ k

1 = ∗ kx∗ − (y ∗ + kx∗ − y ∗ ky) k {z } | kx − y ∗ k d ≥ ∗ > 1 − ε. kx − y ∗ k

∈Y

Lemma 2.3. In einem unendlich-dimensionalen normierten Raum (X, k k) gibt es eine Folge xj ∈ X mit kxj k = 1, welche keine konvergente Teilfolge besitzt. Beweis. Wir w¨ ahlen ein x1 ∈ X mit kx1 k = 1 und definieren den linearen Unterraum Y1 := hx1 i ⊂ X. Nach Satz 2.4 ist Y1 ein Banach-Raum, also insbesondere abgeschlossen in X. Nach Lemma 2.2 existiert daher ein x2 ∈ X \ Y1 mit kx2 k = 1 und kx2 − x1 k > 21 . Nun definieren wir Y2 = hx1 , x2 i, dim(Y2 ) = 2. Wiederum ist Y2 nach Satz 2.4 abgeschlossen in X, und nach Lemma 2.2 existiert ein x3 ∈ X \ Y2 mit kx3 k = 1 und kx3 − x1 k > 21 , kx3 − x2 k > 21 . Induktiv finden wir so eine Folge xj ∈ X, denn dim(X) = ∞, mit kxj k = 1 ur alle i 6= j. Daraus schliessen wir, dass xj keine konvergente und kxi − xj k > 12 f¨ Teilfolge besitzt. In anderen Worten: Einheitskugeln in unendlich-dimensionalen Vektorr¨ aumen sind gross“. ”

2.2

L(X, Y ), zur Erinnerung

In diesem Abschnitt betrachten wir eine bestimmte Menge von Funktionen. Dazu nehmen wir zwei normierte R¨ aume X, Y und definieren L(X, Y ) := {A : X → Y |A ist linear und stetig}. Wir sehen leicht, dass L(X, Y ) ein Vektorraum ist, denn die lineare Struktur ist durch die Linearit¨ at der Abbildungen gegeben, und wir k¨ onnen in diesem Vektorraum eine Norm kA(x)k <∞ kAk := sup kA(x)k = sup kxk x6=0 kxk≤1

¨ 2 NORMIERTE RAUME

24

festlegen. Falls der Raum X von unendlicher Dimension ist, dann braucht das Supremum nicht angenommen zu werden, weil dann die Einheitskugel nicht mehr kompakt ist (zur Erinnerung: auf kompakten Mengen nimmt eine reellwertige und stetige Funktion immer ihr Supremum und Infimum an). Satz 2.6. Mit den obigen Definitionen gilt: i) Ist A ∈ L(X, Y ), B ∈ L(Y, Z), so ist BA ∈ L(X, Z) und BA erf¨ ullt die Ungleichung kBAk ≤ kBk kAk.

Insbesondere ist f¨ ur X = Y die j-te Potenz Aj = AA . . . A wohldefiniert und j es ist kA k ≤ kAkj f¨ ur j ≥ 1.

ii) Die obige Abbildung (Verkettung) L(X, Y ) × L(Y, Z) −→ L(X, Z), {A, B} 7−→ BA ist stetig. Beweis. F¨ ur die Normen in den R¨ aumen X, Y, Z gilt k(BA)(x)k = kB(Ax)k ≤ kBk kA(x)k ≤ kBk kAk kxk und somit folgt i). Um die Stetigkeit zu beweisen, schreiben wir B1 A1 − BA = B1 (A1 − A) + (B1 − B)A. Dann folgt mit dem Teil i) kB1 A1 − BAk ≤ kB1 k kA1 − Ak + kB1 − Bk kAk. Satz 2.7. Ist der Bildraum Y ein Banach-Raum, so ist auch der Raum L(X, Y ) ein Banach-Raum Beweis. Wir wollen zeigen, dass eine Cauchy-Folge in L(X, Y ) konvergiert. Darum nehmen wir eine solche Cauchy-Folge An und geben uns ein beliebiges, aber festes ε > 0 vor. Dann existiert nach Definition der Cauchy-Folge ein Nε =: N , so dass kAn − Am k < ε f¨ ur alle n, m > N . Dann folgt kAn (x) − Am (x)k ≤ εkxk ∀ n, m > N,

(2.3)

das heisst, An (x) ist f¨ ur jedes x ∈ X eine Cauchy-Folge in Y . Nach Voraussetzung ist Y ein Banach-Raum, daher existiert der (punktweise) Grenzwert lim An (x) = A(x) ∈ Y

n→∞

f¨ ur jedes x ∈ X. Weil die Addition in normierten R¨ aumen stetig ist, ist auch A wiederum linear. Mit m → ∞ folgt aus (2.3) kAn (x) − A(x)k ≤ εkxk ∀ n > N. Zusammen mit der Dreiecksungleichung f¨ uhrt dies zu kA(x)k ≤ kA(x) − An (x)k + kAn (x)k ≤ (ε + kAn k)kxk,

¨ 2 NORMIERTE RAUME

25

das heisst, A ist wieder in L(X, Y ). Andererseits ist f¨ ur x 6= 0 kAn (x) − A(x)k ≤ ε ∀ n > N. kxk Nehmen wir auf der linken Seite das Supremum u ¨ber alle x 6= 0, so erhalten wir, dass kAn − Ak ≤ ε f¨ ur alle n > Nε und dies gilt f¨ ur alle ε > 0. Nach der Definition der Konvergenz in L(X, Y ) folgt also, dass An in L(X, Y ) gegen A konvergiert. Ganz analog zum bekannten Raum R definieren wir auch in L(X, Y ) Folgen und Reihen: Ist Aj ∈ L(X, Y ) eine Folge f¨ ur j ≥ 0, so legen wir eine weitere Folge (N-te Partialsumme) N X Aj ∈ L(X, Y ) SN := j=0

fest. Falls die Folge SN in L(X, Y ) konvergiert, so schreiben w ir f¨ ur den Grenzwert lim SN :=

N →∞

∞ X

∈ L(X, Y ).

Aj

j=0

Wie wir bereits gesehen haben, ist L(X, Y ) vollst¨ andig, wenn Y vollst¨ andig ist. Als Folge gilt dann auch in L(X, Y ) das Cauchy-Kriterium: SN konvergiert genau dann, wenn SN eine Cauchy-Folge in L(X, Y ) ist. Satz 2.8. Sei nun Y ein Banach-Raum und Aj , j ≥ 0, eine Folge in L(X, Y ). Falls ∞ X j=0

kAj k < ∞,

dann existiert der Grenzwert lim SN =

N →∞

in L(X, Y ), und k

P

j≥0

Aj k ≤

P

j≥0

X

Aj

j≥0

kAj k

Beweis. Wir wenden das Cauchy-Kriterium an: Nach Voraussetzung existiert X j≥0

kAj k = lim

N →∞

N X j=0

kAj k =: lim sN

| {z }

N →∞

∈ R.

=:sN

WegenP dem Cauchy-Kriterium ist sN eine Cauchy-Folge in R. Dann ist aber auch N SN = j=0 Aj eine Cauchy-Folge in L(X, Y ), denn



NX N +k X

+k

kAj k = |sN +k − sN |. ≤ Aj kSN +k − SN k =

j=N +1 j=N +1 Weil L(X, Y ) vollst¨ andig ist, konvergiert SN in L(X, Y ).

Wurzelkriterium:P Wir k¨ onnen ein Resultat der Analysis auf unser Problem anwenden: Die Reihe j≥1 kAj k konvergiert, wenn lim supj→∞ kAj k1/j < 1. Wir betrachten im Folgenden den Spezialfall X = Y und schreiben zur Abk¨ urzung L(X, X) =: L(X). Insbesondere nehmen wir an, dass X ein Banach-Raum ist. Damit wird L(X) wegen Satz 2.7 zu einem vollst¨ andigen Raum.

¨ 2 NORMIERTE RAUME

26

Sei jetzt f (z) eine Potenzreihe im komplexen Raum C, also X f (z) = aj z j j≥0

f¨ ur z ∈ C. Dann besitzt die Potenzreihe einen wohldefinierten Konvergenzradius R ≥ 0. Nehme an R > 0. Dann ist auch f¨ ur A ∈ L(X) mit kAk < R die Reihe X aj Aj f (A) = j≥0

in L(X) konvergent, denn es gilt X X |aj | kAkj kaj Aj k ≤ j≥0

j≥0

und wir haben vorausgesetzt, dass kAk < R. Um diese Idee noch etwas zu illustrieren, hier noch zwei Beispiele: P j 1. Exponentialreihe: f (z) = j≥0 zj! =: ez ∈ C. Diese Reihe besitzt den Konvergenzradius R = ∞, also konvergiert die Reihe eA :=

X Aj j≥0

j!

f¨ ur alle A ∈ L(X), falls X ein Banach-Raum ist. 2. Geometrische Reihe: In C konvergiert die Reihe f (z) =

∞ X

zj

j=0

f¨ ur alle z mit |z| < 1 und es ist dann f (z) = (1 − z)−1 . Das Selbe gilt f¨ ur A ∈ L(X), falls X vollst¨ andig ist: Theorem 2.2 (Neumann’sche Reihe). Sei X ein Banach-Raum, A ∈ L(X) mit P∞ kAk < 1. Dann konvergiert die Reihe j=0 Aj in L(X) und es gilt ∞ X

Aj = (1 − A)−1

j=0

∈ L(X).

Beweis. Die oben definierte Folge konvergiert in L(X), denn wegen Satz 2.8 ist f¨ ur kAk < 1 ∞ X kAkj = (1 − kAk)−1 < ∞. j=0

Definieren wir wieder die N -te Partialsumme durch SN =

N X j=0

Aj

∈ L(X),

so ist (1 − A)SN = SN (1 − A) = 1 − AN +1 . Mit der Stetigkeit des Produkts in L(X) folgern wir dann lim (1 − A)SN = (1 − A) lim SN = ( lim SN )(1 − A) = 1 − lim AN +1 = 1.

N →∞

N →∞

N →∞

N →∞

¨ 2 NORMIERTE RAUME

27

Wir verallgemeinern das Resultat von Theorem 2.2 wie folgt: Sei X ein BanachRaum und A eine lineare, stetige Abbildung wie in Theorem 2.2, also A ∈ L(X), f¨ ur welche gilt kAj k ≤ cϑj f¨ ur ein ϑ ∈ (0, 1), f¨ ur alle j ≥ 1 und f¨ ur eine Konstante c > 0. Dann konvergiert die Reihe ∞ X j=0

Aj = (1 − A)−1

in L(X). Dies folgt aus dem Wurzelkriterium und Satz 2.8, denn es ist 1

lim sup kAj k j ≤ ϑ < 1. j→∞

Satz 2.9 (Spektralradius rA ). Sei A ∈ L(X). Dann existiert der Grenzwert 1

1

rA := lim kAn k n = inf kAn k n ≤ kAk. n→∞

n≥1

rA heisst der Spektralradius von A. 1

Beweis. Wir setzen α = inf n≥1 kAn k n ∈ R und geben uns ein ε > 0 vor. Nach 1 Definition des Infimums gibt es nun ein m ≥ 1, so dass α ≤ kAm k m < α + ε. Damit k¨ onnen wir M := max{1, kAk, kA2k, . . . , kAm−1 k} definieren und f¨ ur jedes n > 0 k¨ onnen wir schreiben: n = kn m + ln , wobei 0 ≤ ln ≤ m − 1 sein soll. Es folgt dann 1

1

1

1

kAn k n = kAkn m Aln k n ≤ kAln k n (kAm kkn ) n 1

≤ M n kAm k

kn n

1

≤ M n (α + ε)

kn n

m

1

ln

= M n (α + ε)1− n .

Der Limes auf der rechten Seite f¨ ur n → ∞ ist gerade (α + ε). Daher existiert ein N , so dass 1 α ≤ kAn k n < α + 2ε

f¨ ur alle n ≥ N . Dies gilt wiederum f¨ ur alle ε > 0, also folgt die Behauptung des Satzes. Ist A ∈ L(X), so h¨ angt die Operatornorm kAk von der Wahl der jeweiligen Norm im Vektorraum X ab. Der Spektralradius rA ∈ R jedoch ist unabh¨angig von ¨ der Wahl einer Norm in einer Aquivalenzklasse von Normen auf X. Satz 2.10. Sei X ein Banach-Raum und A ∈ L(X) mit rA < 1. Dann konvergiert die Neumann-Reihe in L(X) und es ist ∞ X j=0

Aj = (1 − A)−1

∈ L(X).

Beweis. Der Satz folgt sofort aus Satz 2.8 (Wurzelkriterium): 1

rA := lim kAj k j < 1. j→∞

An dieser Stelle soll auch noch eine Anwendung dieses Satzes gegeben werden: Wir betrachten wieder einen Banach-Raum X und eine Abbildung A ∈ L(X) mit einem Spektralradius rA < 1. Dann hat die lineare Gleichung x − Ax = y

∈X

f¨ ur jedes vorgegebene y ∈ X eine eindeutige L¨ osung x = (1 − A)−1 (y) =

∞ X

Aj (y).

j=0

Die L¨ osung x h¨ angt stetig von y ab, da kxk ≤ k(1 − A)−1 k kyk.

¨ 2 NORMIERTE RAUME

2.3

28

Quotientenr¨ aume und Produktr¨ aume

Aus der Linearen Algebra k¨ onnen wir Folgendes u ¨bernehmen: Ist X ein Vektorraum und Y ⊂ X ein linearer Teilraum von X, so ist der Quotientenraum X/Y der Vektorraum, dessen Elemente aus den Restklassen x ˆ := x + Y = {x + y|y ∈ Y },

x∈X

¨ bez¨ uglich der Aquivalenzrelation x ∼ ξ ⇐⇒ x − ξ ∈ Y bestehen. Die VektorraumStruktur ist gegeben durch x ˆ + yˆ := x[ + y, c λˆ x := λx, ˆ 0 := 0

x ∈ xˆ, y ∈ yˆ

x∈x ˆ, λ ∈ C

Ist (X, k k) ein normierter Raum, so k¨ onnen wir auf X/Y die Funktion kˆ xk = inf kxk = inf kx − yk = d(x, Y ) y∈Y

x∈ˆ x

definieren. Wenn Y abgeschlossen ist, so ist kˆ xk eine Norm auf X/Y . Um das zu beweisen, u ufen wir die drei Kriterien f¨ ur eine Norm: ¨berpr¨ i) Es ist

kˆ xk = 0 ⇐⇒ d(x, Y ) = 0 ⇐⇒ x ∈ Y¯ = Y ⇐⇒ xˆ = ˆ 0;

ii) Folgt aus der Definition und der Linearit¨ at des Vektorraumes; iii) Seien x ˆ1 , x ˆ2 ∈ X/Y und ε > 0 vorgegeben. Dann gibt es nach der Definition des Infimums zwei Elemente y1 , y2 ∈ Y , so dass kxj −yj k ≤ kˆ xj k+ε (j = 1, 2). Es folgt dann kˆ x1 + x ˆ2 k = kx\ 1 + x2 k ≤ k(x1 + x2 ) − (y1 + y2 ) k | {z } ∈Y

≤ kx1 − y1 k + kx2 − y2 k ≤ kˆ x1 k + ε + kˆ x2 k + ε.

Dies gilt f¨ ur jedes ε > 0 und daher ist kˆ x1 + xˆ2 k ≤ kˆ x1 k + kˆ x2 k. Satz 2.11. Sei X ein normierter Raum, Y ⊂ X ein abgeschlossener linearer Teilraum. Dann ist der Vektorraum X/Y mit kˆ xk := d(x, Y ),

x∈x ˆ ∈ X/Y

ein normierter Raum, und es gilt i) Die lineare Abbildung p : X −→ X/Y ; x 7−→ x ˆ ist stetig, surjektiv und bildet offene Mengen auf offene Mengen ab. p heisst auch Projektion. ii) Ist X ein Banach-Raum, so ist auch X/Y ein Banach-Raum. ¨ Beweis. Ubungsaufgabe. Analog wie in einem endlich-dimensionalen Raum k¨ onnen wir ganz allgemein Produktr¨aume definieren:

¨ 2 NORMIERTE RAUME

29

Gegeben seien die endliche Familie (Xj , k kj ), (j = 1, . . . , n), von Vektorr¨ aumen. Dann definieren wir die Menge X := X1 × X2 × · · · × Xn der Elemente x = (x1 , x2 , . . . , xn ) mit xj ∈ Xj , wobei die Vektorraum-Struktur komponentenweise gegeben ist. Auf diesem Produktraum gibt es viele Vektornormen, zum Beispiel n X kxk1 := kxj kj j=1

oder dazu a ¨quivalente Normen kxk∞ := max kxj kj oder 1≤j≤n



kxkp := 

n X j=1

 p1

kxj kpj  .

Der Produktraum X ist genau dann ein Banach-Raum, wenn jeder Faktor Xj ein Banach-Raum ist.

30

3 PRINZIPIEN DER FUNKTIONALANALYSIS

3

Prinzipien der Funktionalanalysis

3.1

Prinzip der gleichm¨ assigen Beschr¨ anktheit

Zum Anfang ziehen wir weitere Folgerungen aus dem Theorem 1.5 von Baire: Theorem 3.1. Sei X ein Banach-Raum und Aj ∈ L(X, Y ) eine Folge von linearen und stetigen Abbildungen. Wir nehmen zus¨atzlich an, dass f¨ ur jedes x ∈ X gilt: sup kAj (x)k < ∞. j≥1

Dann ist supj≥1 kAj k < ∞.

Beweis. Wir definieren die stetigen Funktionen fj (x) := kAj (x)k : X → R. Weil X vollst¨ andig ist, folgt aus Theorem 1.5, dass ein x∗ ∈ X, eine Kugel K, K := {x ∈ X| kx − x∗ k ≤ r},

r > 0,

und ein γ > 0 existieren, so dass kAj (x)k ≤ γ,

x ∈ K, j ≥ 1.

Sei nun ein y ∈ X vorgegeben mit kyk ≤ 1. Dann liegt x := x∗ + ry in der Kugel K und es folgt somit

 

x − x∗

≤ 1 kAj (x)k + 1 kAj (x∗ )k ≤ 2 γ kAj (y)k = Aj

r r r r

f¨ ur alle y ∈ X mit kyk ≤ 1 und alle j ≥ 1. Das heisst, es ist kAj k ≤

2 γ r

f¨ ur alle j ≥ 1. Daraus folgt Satz 3.1. Sei wieder X ein Banach-Raum und Aj ∈ L(X, Y ), j ≥ 1 und es existiere in Y der punktweise Grenzwert lim Aj (x) =: A(x)

j→∞

f¨ ur alle x ∈ X. Dann ist A ∈ L(X, Y ), zudem gilt sup kAj k < ∞ und kAk ≤ lim inf kAj k. j→∞

j≥1

In Worten: der punktweise Grenzwert von linearen und stetigen Funktionen ist wieder linear und stetig, falls X vollst¨andig ist. Beweis. Nach Voraussetzung konvergiert die Folge Aj (x), also ist sup kAj (x)k < ∞ j≥1

f¨ ur alle x ∈ X und daher gilt, nach Theorem 3.1, dass auch supj≥1 kAj k < ∞ ist. Weil die Normen stetig sind, ist kA(x)k = lim kAj (x)k = lim inf kAj (x)k ≤ (lim inf kAj k)kxk j→∞

j→∞

f¨ ur alle x ∈ X, das heisst, es gilt kAk ≤ lim inf kAj k j→∞

nach der Definition der Norm kAk.

j→∞

3 PRINZIPIEN DER FUNKTIONALANALYSIS

31

Vorsicht: Der obige Satz ist falsch, falls X nicht vollst¨ andig ist! Dazu betrachten wir den Raum X := {x ∈ `∞ |x = (xi )i≥1 , xi 6= 0 f¨ ur nur endlich viele i} mit der Norm kxk := supj≥1 kxj k < ∞. Der so definierte Raum X ist nicht vollst¨ andig. Wir definieren die linearen Funktionen A, An auf X durch An (x) = (x1 , 2x2 , . . . , nxn , 0, . . .), A(x) = (x1 , 2x2 , . . . , nxn , (n + 1)xn+1 , . . .) = (jxj )j≥1 . ¨ F¨ ur jedes n ist An stetig und kAn k = n. Uberdies, A(x) = limn→∞ An (x) f¨ ur alle x ∈ X. A ist offensichtlich aber nicht beschr¨ ankt und somit sicherlich auch nicht stetig. Wir k¨ onnen die Aussage von Satz 3.1 noch versch¨ arfen, wenn wir voraussetzen, dass auch Y vollst¨ andig ist: Theorem 3.2 (Banach-Steinhaus). Es seien X, Y zwei Banach-R¨aume und die Aj ∈ L(X, Y ) eine Folge von stetigen und linearen Abbildungen. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: i) limj→∞ Aj (x) = A(x) existiert in Y f¨ ur jedes x in X (aus Satz 3.1 folgt, dass A ∈ L(X, Y )); ii) (a) Es ist supj≥1 kAj k < ∞ und (b) es gibt eine dichte Menge D ⊂ X, so dass lim Aj (x) =: A(x)

j→∞

existiert f¨ ur alle x ∈ D. Beweis. i) ⇒ ii) Dies ist gerade die Aussage von Satz 3.1. Also beweisen wir noch ii) ⇒ i): Wir w¨ ahlen ein x ∈ X. Weil Y ein Banach-Raum ist, gen¨ ugt es zu zeigen, dass Aj (x) eine Cauchy-Folge in Y ist. Mit der Dreiecksungleichung k¨ onnen wir schreiben: kAn (x) − Am (x)k ≤ kAn (x) − An (y)k + kAn (y) − Am (y)k + kAm (y) − Am (x)k ≤ kAn (y) − Am (y)k + 2 sup kAj k kx − yk. j≥1

Sei ein ε > 0 beliebig vorgegeben. Nach (a) ist supj≥1 kAj k < ∞ und wir k¨ onnen nach (b) ein y ∈ D w¨ ahlen, so dass der zweite Term in der obigen Gleichung kleiner ur alle n, m ≥ als 2ε ist. Nach (b) folgt zudem, dass der erste Term kleiner als 2ε ist f¨ N (ε), und somit ist An (x) eine Cauchy-Folge f¨ ur jedes x ∈ X.

3.2

Prinzip der offenen Abbildung

F¨ ur lineare und stetige Abbildung zwischen Banach-R¨ aumen gilt das folgende Theorem. Theorem 3.3 (Prinzip der offenen Abbildung). Seien X und Y Banach-R¨aume, A ∈ L(X, Y ) eine surjektive, stetige und lineare Abbildung. Dann existiert ein c > 0, so dass f¨ ur die offenen Kugeln B1 (0) ⊂ X und Bc (0) ⊂ Y gilt A(B1 (0)) ⊃ Bc (0).

32

3 PRINZIPIEN DER FUNKTIONALANALYSIS

Beweis. Wir schreiben zur Abk¨ urzung B := B 21 (0) ⊂ X und benutzen zuerst, dass der Raum Y vollst¨ andigSist: X l¨ asst sich darstellen als abz¨ ahlbare Vereinigung von B¨ allen B, n¨ amlich X = j≥1 jB. Da die Abbildung A surjektiv ist, folgt Y = A(X) =

[

jA(B) =

j≥1

[

A(jB) =

j≥1

[

A(jB).

j≥1

Weil Y ein Banach-Raum ist, existiert nach Theorem 1.2 ein j0 , so dass A(j0 B) eine offene Kugel enth¨ alt. Wegen der Linearit¨ at von A gibt es ein y ∗ ∈ Y und ein r > 0, so dass Br (y ∗ ) ⊂ A(B) ⊂ Y ist. Dann folgt auch, dass Br (0) = Br (y ∗ ) − y ∗ ⊂ A(B) − y ∗ ⊂ A(B) − A(B) ⊂ A(2B) ⊂ Y und schliesslich Br (0) ⊂ A(B1 (0)) ⊂ Y. | {z } ⊂X

Wir zeigen nun, dass in Y gilt B r2 (0) ⊂ A(B1 (0)). Das heisst, zu gegebenem y ∈ Y mit kyk < 2r existiert ein x ∈ X mit kxk < 1, so dass y = A(x). Dazu setzen wir Bj := B2−j (0) ⊂ X f¨ ur j ≥ 1. Wir wissen schon, dass Br2−j (0) ⊂ A(Bj ) ⊂ Y,

j≥1

ist. Sei nun ein y ∈ Y mit kyk < r2 gegeben. Wir konstruieren jetzt eine Folge (xj ), deren Partialsummen gegen ein x konvergieren, welches die Behauptung erf¨ ullt. • j = 1 : Nach Definition des Abschlusses gibt es ein x1 ∈ B1 , so dass ky − A(x1 )k < r2−2 . • j = 2 : Wir betrachten die Menge y − A(x1 ) ⊂ Br2−2 (0) ⊂ A(B2 ). Wiederum gibt es nach Definition des Abschlusses ein x2 ∈ B2 , so dass k(y − A(x1 )) − A(x2 )k < r2−3 . Iterativ finden wir f¨ ur jedes j ≥ 1 ein xj mit den Eigenschaften i) xj ∈ Bj und kxj k < 2−j sowie ii) ky − A(x1 + x2 + . . . + xj )k < r2−(j+1) . P Aus i) folgt, dass die Summe j kxj k konvergiert mit X j

kxj k <

X

2−j = 1

j

und weil X als vollst¨ andig vorausgesetzt war, existiert der Limes x := lim

N →∞

N X

xj

j=1

in X wegen dem Cauchy-Kriterium. Aus ii) und der Stetigkeit von A schliessen wir, dass A(x) = y. Folgerung: A bildet offene Mengen auf offene Mengen ab.

3 PRINZIPIEN DER FUNKTIONALANALYSIS

33

Beweis. Sei U ⊂ X offen. Wir m¨ ussen zeigen, dass A(U ) ⊂ Y ebenfalls offen ist. Sei y0 ∈ A(U ), das heisst, y0 = A(x0 ) f¨ ur ein x0 ∈ U . Wir w¨ ahlen nun r > 0 so, dass Br (x0 ) ⊂ U (⊂ X). Daraus schliessen wir, dass auch x0 + Br (0) ⊂ U gilt. Da A linear ist, folgt A(x0 ) + A(Br (0)) ⊂ A(U ). Nach Theorem 3.3 ist Brc (0) ⊂ A(Br (0)) ⊂ Y , und somit k¨ onnen wir aus obiger Gleichung folgern, dass A(x0 ) + Brc (0) = Brc (y0 ) ⊂ A(U ) gilt f¨ ur rc > 0. Mit anderen Worten: A(U ) ist offen. Dies f¨ uhrt uns zum Theorem 3.4 (Prinzip der stetigen Inversen). Seien X, Y zwei Banach-R¨aume und A ∈ L(X, Y ) injektiv und surjektiv (also bijektiv). Dann liegt die zu A inverse Abbildung A−1 in L(Y, X). Beweis. Wir benutzen obiges Theorem 3.3: Demnach gibt es in Y eine offene Kugel Bc (0), so dass gilt Bc (0) ⊂ A(B1 (0)) f¨ ur c > 0. Dann folgt in X mittels der Inversen A−1 A−1 (Bc (0)) ⊂ B1 (0) ⊂ X.

Sei nun y ∈ Y mit kyk ≤ 1 gegeben. Dann folgt wegen der Linearit¨ at von A−1 f¨ ur die Norm

 c  c

−1

y = kA−1 (y)k ≤ 1.

A 2 2

ur jedes y mit kyk ≤ 1, und somit ist A−1 beDas heisst, es ist kA−1 (y)k ≤ 2c f¨ schr¨ ankt auf der Einheitskugel, also ist A−1 nach Satz 2.5 stetig.

Neben diesen allgemeinen Eigenschaften k¨ onnen wir f¨ ur sogenannte abgeschlossene Operatoren noch weitere Folgerungen ziehen. Dazu f¨ uhren wir noch einige neue Begriffe ein: F¨ ur eine lineare Abbildung A : DA ⊂ X → Y , die auf dem linearen Teilraum DA – dem Definitionsbereich von A – von X operiert, definieren wir den linearen Teilraum WA := A(DA ) = {y ∈ Y |y = A(x) f¨ ur ein x ∈ DA }, der Wertebereich oder Bildbereich von A. Einem linearen Operator kann man einen Graphen im Raume X × Y zuordnen. Sind X und Y normiert, so ist X × Y auch ein normierter Raum mit der Norm k{x, y}k := kxkX + kykY ,

{x, y} ∈ X × Y.

Definition 3.1. (Graph) Sei A : DA ⊂ X → Y linear. Dann heisst die Menge ΓA in X × Y , definiert durch ΓA := { {x, y} ⊂ X × Y |y = A(x), x ∈ DA } der Graph von A in X × Y . Dies ist ein linearer Teilraum. Definition 3.2. (abgeschlossener Operator) Ein linearer Operator A : DA ⊂ X → Y heisst abgeschlossen, falls ΓA in X × Y abgeschlossen ist. Satz 3.2. Sei A : DA ⊂ X → Y linear und stetig. Dann gelten: ¯ A folgt, dass A abgeschlossen ist. i) Aus DA = D ¯ A. ii) Ist A abgeschlossen und Y vollst¨andig, so ist DA = D

34

3 PRINZIPIEN DER FUNKTIONALANALYSIS

¯ A und {x, y} ∈ Γ ¯ A , das heisst, es existiert eine Folge Beweis. i) Es sei DA = D {xn , A(xn )} ∈ ΓA mit {xn , A(xn )} → {x, y} in X × Y . Nach der Definition der Norm in X × Y heisst das, dass xn → x in X und A(xn ) → y in Y . Weil nun DA abgeschlossen ist, folgt x ∈ DA , und weil A stetig ist, A(xn ) → A(x) in Y . Das wiederum bedeutet, dass A(x) = y, also ist {x, y} ∈ ΓA . Folglich ist ΓA abgeschlossen. ¯ A . Dann l¨ ii) Sei A abgeschlossen und stetig und x ∈ D asst sich x schreiben als Limes einer Folge xn in DA , also x = limn→∞ xn . Weil kA(xn ) − A(xm )k ≤ kAk kxn − xm k, ist A(xn ) eine Cauchy-Folge in Y und, nach Vorgabe (Y ist vollst¨ andig), konvergent. Nach der Definition der Norm in X×Y konvergiert die Folge {xn , A(xn )} dann gegen ¯ A = ΓA , das heisst, y = A(x) f¨ {x, y} ∈ X × Y . Daher ist {x, y} ∈ Γ ur ein x ∈ DA . Insbesondere folgt dann, dass DA abgeschlossen ist. Folgerung: Ist A ∈ L(X, Y ) auf ganz X definiert, so ist A abgeschlossen! Also: ein stetiger Operator auf einem abgeschlossenen Definitionsbereich ist abgeschlossen. Aber es gibt auch abgeschlossene Operatoren, die nicht stetig sind: d auf dem Raum X = C[0, 1]. Es ist Wir betrachten den Differentialoperator dt hier X = Y und wir w¨ ahlen DA = C 1 [0, 1] ⊂ X. F¨ ur ein x ∈ DA schreiben wir A(x)(t) =

d x(t). dt

Es gilt: (a) A : DA ⊂ X → Y ist nicht stetig und (b) A ist abgeschlossen.

(a) Wir betrachten die Folge xn (t) = tn , die f¨ ur 0 ≤ t ≤ 1 definiert ist und auch in C 1 [0, 1] liegt. F¨ ur jedes nat¨ urliche n gilt kxn k = sup |xn (t)| = sup |tn | = 1. t∈[0,1]

und

t∈[0,1]

d n kA(xn )k = sup |A(xn )(t)| = sup t = sup |ntn−1 | = n. dt t∈[0,1]

t∈[0,1]

t∈[0,1]

Also ist A auf der Einheitskugel in DA ∩ C([0, 1]) nicht beschr¨ ankt und somit auch nicht stetig. ¯ A und es existiert eine Folge {xn , A(xn )} in ΓA , (b) Wir w¨ ahlen ein {x, y} ∈ Γ die in X × Y gegen {x, y} konvergiert. Nach der Definition der Norm im Produktraum X × Y heisst das, dass xn in X gegen x und A(xn ) gegen y in Y konvergiert. Konvergenz in der Supremumsnorm k k∞ ist jedoch die gleichm¨ assige Konvergenz auf dem Intervall [0, 1], also folgt aus Z t d xn (t) − xn (0) = xn (s)ds dt 0 f¨ ur n → ∞ die Gleichung x(t) − x(0) =

Z

t

y(s)ds. 0

Damit erhalten wir die Identit¨ at d x(t) = y(t) dt f¨ ur 0 ≤ t ≤ 1. Daher ist x ∈ C 1 [0, 1] = DA und es ist y = A(x). Demnach ¯ A = ΓA . liegt {x, y} in ΓA , und daher ist Γ 2

35

3 PRINZIPIEN DER FUNKTIONALANALYSIS

Theorem 3.5 (Satz vom abgeschlossenen Graphen). Es seien X und Y zwei Banach-R¨aume und A : X → Y eine lineare Abbildung. Dann ist A genau dann stetig, wenn A abgeschlossen ist. Beweis. Dass aus der Stetigkeit die Abgeschlossenheit folgt, ist die Aussage von Satz 3.2. Umgekehrt sei ΓA ⊂ X × Y abgeschlossen. Weil unter unseren Voraussetzungen der Produktraum vollst¨ andig ist (Kapitel 2), ist auch (ΓA , k k) ein Banach-Raum. Wir definieren die Abbildung P : ΓA → X :

{x, A(x)} 7→ x

in X.

Dann ist P ∈ L(ΓA , X) surjektiv und injektiv. Nach Theorem 3.4 liegt die Inverse P −1 in L(X, ΓA ). Daher folgt aus der Konvergenz xn → x in X P −1 (xn ) = {xn , A(xn )} → P −1 (x) = {x, A(x)} in X × Y. Nach der Definition der Norm in X × Y folgt dann: xn → x und A(xn ) → A(x), also ist A stetig in x. Bemerkungen: 1. In Theorem 3.5 war DA = X. Der Satz gilt allgemeiner f¨ ur A : DA ⊂ X → Y , falls der Definitionsbereich DA abgeschlossen ist, weil dann der Raum (DA , k k) ein Banach-Raum ist. 2. Sind X, Y zwei Banach-R¨ aume und A : DA ⊂ X → Y linear und abgeschlossen aber nicht stetig, so ist DA nicht abgeschlossen. Insbesondere ist DA 6= X. 3. Was gewinnen wir durch Theorem 3.5? Antwort: Wir m¨ ussen weniger Eigenschaften des Operators u berpr¨ u fen. Um dies zu erl¨ a utern, untersuchen wir den ¨ Unterschied zwischen abgeschlossen und stetig: • Stetigkeit: Hier m¨ ussen wir zeigen, dass aus der Aussage xn → x die zwei Aussagen  A(xn ) → y (n → ∞) A(x) = y folgen. • Abgeschlossenheit: Wir m¨ ussen zeigen, dass aus den zwei Aussagen  xn → x (n → ∞) A(xn ) → y (n → ∞) ¯ A m¨ die eine Aussage A(x) = y folgt, das heisst, aus (x, y) ∈ Γ ussen wir (x, y) ∈ ΓA folgern. Satz 3.3 (Hellinger-Toeplitz). Sei H ein Hilbert-Raum mit Skalarprodukt ( , ) und A : H → H eine lineare und symmetrische Abbildung, das heisst, es gilt (A(x), y) = (x, A(y)) f¨ ur alle x, y in H. Dann liegt A in L(H) (es soll hier DA = H sein). Beweis. Wir m¨ ussen zeigen, dass ΓA in H ×H abgeschlossen ist. Sei also ein Element ¯ A vorgegeben. Dann existiert eine Folge xn in H, so dass {xn , A(xn )} in {x, y} ∈ Γ H × H gegen {x, y} konvergiert. Da A symmetrisch ist, folgt f¨ ur jedes z in H (A(xn ), z) = (xn , A(z)) ↓ ↓ (n→∞)

(y, z) = (x, A(z)) = (A(x), z)

36

3 PRINZIPIEN DER FUNKTIONALANALYSIS

Mit der Linearit¨ at des Skalarproduktes folgt dann, dass (y − A(x), z) = 0 f¨ ur alle z in H. Insbesondere ist dann (y − A(x), y − A(x)) = ky − A(x)k2 = 0.

Die bedeutet aber, dass y = A(x) sein muss und daher liegt {x, y} in ΓA . Damit haben wir bewiesen, dass ΓA abgeschlossen ist und deshalb ist A nach Theorem 3.5 stetig. Satz 3.4. Es sei A : DA ⊂ X → Y eine injektive Abbildung. Dann ist A genau dann abgeschlossen, wenn die zu A inverse Abbildung A−1 : DA−1 ⊂ Y → X, definiert auf dem Wertebereich WA = DA−1 von A, abgeschlossen ist. Beweis. Nach Definition des Graphs gilt ΓA = { {x, A(x)}|x ∈ DA } −1

ΓA−1 = { {y, A (y)}|y ∈ WA } = { {A(x), x}|x ∈ DA }.

⊂ X × Y,

⊂Y ×X

Wir definieren eine Bijektion I : X × Y → Y × X durch {x, y} 7→ {y, x}. I ist eine surjektive Isometrie, denn es gilt kI({x, y})k = k{y, x}k = kyk + kxk = k{x, y}k. Wir schliessen daraus, dass I(ΓA ) = ΓA−1 sein muss. Da eine Isometrie abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen abbildet, folgt sofort die Behauptung des Satzes. Mit diesem Satz k¨ onnen wir die Voraussetzung stetig“ in Theorem 3.4 durch ab” ” geschlossen“ ersetzen: Theorem 3.6 (Satz von der stetigen Inversen). Es seien X, Y zwei Banach-R¨aume und A : DA ⊂ X → Y eine abgeschlossene, injektive und surjektive Abbildung. Dann gilt A−1 ∈ L(Y, X).

Beweis. Da A abgeschlossen ist, ist nach Satz 3.4 auch A−1 abgeschlossen. Nach Voraussetzung ist DA−1 = WA = Y , daher ist A−1 : Y → X linear und abgeschlossen. Somit ist nach Theorem 3.5 A−1 stetig.

Als Anwendung der obigen Theorie zeigen wir noch einen Zusammenhang zwischen der Algebra und der Topologie: Satz 3.5. Sei X ein Banach-Raum. Wir nehmen an, es existierten zwei lineare Teilr¨aume X1 , X2 von X, f¨ ur welche gelte X1 + X 2 = X

und

X1 ∩ X2 = {0},

(3.1)

mit anderen Worten, X1 ⊕X2 = X ist die algebraische direkte Summe. Falls X1 , X2 abgeschlossen sind, dann definiert A : X1 × X2 → X,

{x1 , x2 } 7→ x1 + x2 = A({x1 , x2 })

einen stetigen Isomorphismus mit stetiger Inversen A−1 .

Also: In Banach-R¨ aumen ist die algebraische direkte Summe von abgeschlossenen linearen R¨ aumen eine topologische direkte Summe! Beweis. Nach Voraussetzung sind X, Y = X1 × X2 Banach-R¨ aume, und es gilt kA({x1 , x2 })k = kx1 + x2 k ≤ kx1 k + kx2 k = k{x1 , x2 }k.

Daher ist A : X1 × X2 → X linear und stetig. Wegen (3.1) ist A surjektiv und injektiv. Mit Theorem 3.4 folgt somit, dass A−1 stetig ist.

37

3 PRINZIPIEN DER FUNKTIONALANALYSIS

3.3

Abschliessbare Operatoren

Es seien X, Y zwei normierte R¨ aume. Ein linearer Teilraum Γ ⊂ X × Y heisst ein linearer Graph, falls gilt: Y Γ  {x, y} ∈ Γ 6 0 ⇒ y = y {x, y 0 } ∈ Γ oder ¨ aquivalent dazu

y

{0, y} ∈ Γ ⇒ y = 0,

r {x,y}

x

-X

denn Γ ist ja linear. Ein Graph Γ ⊂ X × Y definiert immer einen linearen Operator A : DA ⊂ X → Y durch DA := {x ∈ X|∃ y ∈ Y mit {x, y} ∈ Γ} A(x) = y f¨ ur x ∈ DA (⇔ {x, y} ∈ Γ) Es gilt dann Γ = ΓA . Definition 3.3. (abschliessbarer Operator) Ein linearer Operator A : DA ⊂ X → Y heisst abschliessbar, falls der Abschluss des ¯ A ⊂ X × Y , wieder ein Graph in X × Y ist ( Γ ¯ A ist ein linearer Graphen von A, Γ ¯ Teilraum in X × Y ). Mit anderen Worten: falls {0, y} ∈ ΓA , dann ist y = 0, oder explizit, falls {xn , A(xn )} gegen {0, y} konvergiert f¨ ur xn ∈ DA , dann ist y = 0. Zum Beispiel ist jeder stetige Operator A : DA ⊂ X → Y abschliessbar: Es sei xn ∈ DA eine Folge, so dass {xn , A(xn )} in X × Y gegen {0, y} konvergiert. Dann folgt nach der Definition der Norm im Produktraum, dass xn in X gegen 0 und A(xn ) in Y gegen y konvergiert. Weil gilt: kA(xn )k ≤ kAk kxn k → 0 (n → ∞), folgt A(xn ) → 0, also ist y = 0. Definition 3.4. (Abschluss eines Operators) Sei A : DA ⊂ X → Y ein abschliessbarer Operator. Dann ist der Abschluss A¯ von ¯ A definierte Operator, so dass A der durch den Graphen Γ ¯ A = ΓA¯ . Γ Explizit ausgedr¨ uckt: es ist A¯ : DA¯ ⊂ X → Y mit ¯A} DA¯ = {x ∈ X| ∃y ∈ Y, so dass {x, y} ∈ Γ = {x ∈ X| ∃xn ∈ DA mit {xn , A(xn )} → {x, y} in X × Y }, und

¯ A(x) = y,

x ∈ DA¯ .

Der so definierte Operator A¯ ist abgeschlossen und die kleinste abgeschlossene ¯ Erweiterung von A. Es gilt A¯ ⊃ A ⇐⇒ DA¯ ⊃ DA und A(x) = A(x) f¨ ur x ∈ DA . Beispiele: 1. Sei A : DA ⊂ X → Y ein stetiger Operator auf den zwei Banach-R¨ aumen X, Y . Dann ist A abschliessbar (siehe obiges Beispiel) und A¯ : DA¯ ⊂ X → Y ¯ A. ist die stetige Erweiterung von A in DA auf DA¯ = D 2. Differentialoperatoren sind abschliessbar (siehe nachfolgenden Satz 3.6).

38

3 PRINZIPIEN DER FUNKTIONALANALYSIS

Definition 3.5. (Differentialoperator) Es sei Ω ⊂ Rn offen und zusammenh¨ angend. Wir definieren f¨ ur α ∈ Nn formal den Differentialoperator A durch X aα (x)Dα , A := |α|≤N

wobei wir folgende Notation verwenden: Dα = D1α1 · · · Dnαn , ∂ , Dj = ∂xj

aα ∈ C N (Ω), α = (α1 , . . . , αn ), |α| = α1 + · · · + αn .

Sei DA = Cc∞ (Ω) die Menge der glatten Funktionen von Ω nach R mit kompaktem Tr¨ ager in Ω. Dann ist der Operator A : DA ⊂ Lp (Ω) → Lp (Ω) f¨ ur p ≥ 1 definiert durch X aα (x)Dα f (x), f ∈ DA , x ∈ Ω. (Af )(x) := |α|≤N

Es ist klar, dass Cc∞ (Ω) ⊂ Lp (Ω) und f¨ ur eine Funktion f ∈ Cc∞ (Ω) ist Af stetig mit kompaktem Tr¨ ager, also liegt Af wieder in Lp (Ω) Satz 3.6. Der Differentialoperator ist abschliessbar. Beweis. Wir m¨ ussen zeigen, dass f¨ ur eine Folge fn ∈ Cc∞ (Ω), die in Lp (Ω) gegen 0 p konvergiert, mit A(fn ) → g in L (Ω), folgt, dass g = 0 in Lp (Ω). Es sei ein ϕ ∈ Cc∞ (Ω) beliebig vorgegeben, dann folgt mit dem Satz von Fubini und partieller Integration (die Randterme verschwinden jeweils wegen dem kompakten Tr¨ ager) Z Z X fn (−1)|α| Dα (aα ϕ) dx A(fn )ϕ dx = Ω

Ω

Z

↓ gϕ dx = Ω

Z

|α|≤N

↓

|

{z

g ∗ ∈Lp (Ω) n→∞

}

0 g ∗ dx, Ω

older ist denn ϕ liegt in Lq (Ω) mit p1 + 1q = 1 und nach H¨ Z Z Z
A(fn )ϕ dx − A(fn ) − g ϕ dx gϕ dx = Ω Ω ZΩ ≤ | A(fn ) − g | |ϕ| dx {z } Ω | ∈Lp (Ω)

R

≤ kA(fn ) − gkLp (Ω) kϕkLq (Ω) . | {z } →0

Cc∞ (Ω).

ur alle ϕ ∈ Dann ist, wie wir sp¨ ater sehen Das heisst, es ist Ω gϕ dx = 0 f¨ werden, g(x) = 0 f¨ ur fast alle x ∈ Ω, das heisst, es ist g = 0 in Lp (Ω). Was ist nun der Abschluss des Differentialoperators A? Nach Definition ist (wegen der Vollst¨ andigkeit von Lp (Ω)) der Definitionsbereich DA¯ die Menge aller Funkp tionen f ∈ L (Ω), so dass eine Folge ϕn ∈ Cc∞ (Ω) existiert, die in Lp (Ω) gegen f konvergiert, und A(ϕn ) eine Cauchy-Folge in Lp (Ω) ist.

3 PRINZIPIEN DER FUNKTIONALANALYSIS

39

Sei f ∈ DA¯ , dann ist ¯ ) = lim A(ϕn ) in Lp (Ω). A(f n→∞

DA¯ enth¨ alt Elemente aus Lp (Ω), die nicht mehr differenzierbar zu sein brauchen. Das f¨ uhrt uns sp¨ ater zu den sogenannten Sobolev-R¨ aumen. Zudem ist auch nicht jeder Operator abschliessbar. Wir betrachten zum Beispiel die R¨ aume X = L2 (R) und Y = R und setzen DA := {x ∈ L2 |x ≡ 0 ausserhalb eines kompakten Intervalls} ⊂ L2 (R) ∩ L1 (R). Wir definieren f¨ ur x ∈ DA den Operator A durch Z ∞ A(x) = x(t) dt. −∞

Die Folge xn mit xn (t) =

(

1/n |t| ≤ n 0 |t| > n

liegt in DA und es ist A(xn ) = 2 f¨ ur alle n. Es gilt Z ∞ 2 2 kxn kL2 (R) = x2n (t) dt = → 0. n −∞ ¯A. Also konvergiert xn in L2 (R) gegen 0 und A(xn ) in R gegen 2. Also ist {0, 2} ∈ Γ ¯ A kein Graph in L2 (R) × R sein. Dann aber kann Γ

4 DER FORTSETZUNGSSATZ VON HAHN-BANACH

4

40

Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach

In diesem Abschnitt wollen wir den Fortsetzungssatz f¨ ur lineare Abbildungen von Hahn und Banach beweisen. Der Satz gibt uns die M¨ oglichkeit, eine lineare Funktion f : M ⊂ X → R (C), welche auf dem linearen Teilraum M eines Vektorraumes X definiert ist, unter Einhaltung einer gewissen Absch¨ atzung, auf ganz X fortzusetzen.

4.1

Der Satz von Hahn-Banach

Wir unterscheiden zwischen reellem und komplexem Fall und beweisen den Satz f¨ ur die beiden F¨ alle getrennt. F¨ ur den Beweis des Fortsetzungssatzes ben¨ otigen wir das Lemma von Zorn, welches wir allerdings nicht beweisen werden: Definition 4.1. (bin¨ are Relation, Halbordnung) Es sei P eine Menge. Eine bin¨are Relation in P ist eine Teilmenge R von P × P . Anstelle von (a, b) ∈ R schreibt man auch aRb. Ist die bin¨ are Relation R zus¨ atzlich reflexiv, antisymmetrisch und transitiv, das heisst, f¨ ur alle a, b, c ∈ P besitzt R die Eigenschaften aRa :⇐⇒ R ist reflexiv, aRb ∧ bRa ⇒ a = b :⇐⇒ R ist antisymmetrisch, aRb ∧ bRc ⇒ aRc :⇐⇒ R ist transitiv, so bezeichnet man R auch als Halbordnung in P und schreibt a < b statt aRb. Definition 4.2. (linear bzw. total geordnete Menge) Eine Teilmenge P0 ⊂ P heisst linear (oder total ) geordnet, falls f¨ ur je zwei Elemente h, g ∈ P0 gilt, dass h < g oder h > g. Lemma 4.1 (Zorn’sches Lemma). Es sei (P, <) eine nicht-leere, halbgeordnete Menge, so dass jede linear geordnete Teilmenge eine obere Schranke besitzt. Dann existiert ein maximales Element h∗ in P , das heisst, es gilt: Ist h∗ < h f¨ ur ein h ∈ P , so ist h∗ = h. Bemerkung: Das Zorn’sche Lemma ist ¨ aquivalent zum Auswahlaxiom. Nun kommen wir zum Theorem 4.1 (Hahn-Banach, reell). Gegeben seien ein reeller Vektorraum X, eine reellwertige Funktion p : X → R, so dass f¨ ur alle x, y in X gilt p(x + y) ≤ p(x) + p(y) p(tx) = t p(x)

und

f¨ ur t ≥ 0,

sowie ein linearer Teilraum M ⊂ X und eine lineare Funktion f : M → R, mit der Eigenschaft f (x) ≤ p(x) ∀ x ∈ M. Dann existiert eine lineare Funktion F : X → R mit F (x) = f (x) F (x) ≤ p(x)

∀ x ∈ M und

∀ x ∈ X.

Beweis. Wir d¨ urfen annehmen, dass M 6= X ist (sonst g¨ abe es nichts zu beweisen). Daher gibt es ein x1 , welches nicht in M liegt. Somit k¨ onnen wir die Menge M1 := {x + tx1 |x ∈ M, t ∈ R} definieren, welche M enth¨ alt (setze t = 0). Wir suchen nun eine lineare Funktion f1 : M1 → R mit den Eigenschaften f1 (x) = f (x) auf M und f1 (x) ≤ p(x) auf M1 .

4 DER FORTSETZUNGSSATZ VON HAHN-BANACH

41

Weil f1 linear sein soll, gilt nach obiger Definition auf M1 f1 (x + tx1 ) = f1 (x) + f1 (tx1 ) = f (x) + t f1 (x1 ). Gesucht ist nun eine Konstante c = f1 (x1 ), so dass f¨ ur alle z ∈ M1 giltf1 (z) ≤ p(z). Nach Voraussetzung gilt f¨ ur alle x, y ∈ M f (x) + f (y) = f (x + y) ≤ p(x + y) = p(x − x1 + y + x1 ) ≤ p(x − x1 ) + p(y + x1 ). Schreiben wir obige Gleichung um, so folgt f (x) − p(x − x1 ) ≤ p(y + x1 ) − f (y) ∀ x, y ∈ M. Wir legen c nun fest als
c := sup f (x) − p(x − x1 ) ≤ p(y + x1 ) − f (y) ∀ y ∈ M. x∈M

Daraus folgt



f (x) − c ≤ p(x − x1 ) ∀ x ∈ M . f (y) + c ≤ p(y + x1 ) ∀ y ∈ M

(4.1)

Damit k¨ onnen wir nun f1 definieren durch f1 (x+tx1 ) = f (x)+tc. F¨ ur diese Funktion gilt f1 (z) ≤ p(z) auf M1 , denn: Aus (4.1) folgt, nach der Multiplikation mit t > 0 und der Ersetzung von x durch xt :

 t f xt
− tc ≤ t p xt − x1
t f yt + tc ≤ t p yt + x1 . Mit der Linearit¨ at von f und den Eigenschaften von p folgt  f1 (x − tx1 ) = f (x) − tc ≤ p(x − tx1 ) f1 (y + tx1 ) = f (y) + tc ≤ p(y + tx1 )

f¨ ur alle x, y ∈ M und t > 0. Wir hatten vorausgesetzt, dass auf M gilt f (x) ≤ p(x), und so folgt f1 (x + tx1 ) ≤ p(x + tx1 ) f¨ ur alle x ∈ M und t ∈ R, das heisst, es ist f1 (z) ≤ p(z) auf ganz M1 . Jetzt f¨ uhren wir eine transfinite Induktion (nach Zorn) durch. Es bezeichne P die Menge aller linearen Abbildungen h : Dh ⊃ M → R, definiert auf einem linearen Teilraum Dh ⊂ X, mit den Eigenschaften 1) h : Dh → R,

2) 3)

M ⊂ Dh ⊂ X,

h(x) = f (x) x ∈ M h(x) ≤ p(x) x ∈ Dh

Die Menge P ist sicher nicht leer (sie enth¨ alt f ), und wir definieren die Halbordnung < auf P: h1 < h2 ⇐⇒ Dh1 ⊂ Dh2 und h1 = h2 auf Dh1 . Die Axiome f¨ ur eine Halbordnung lassen sich schnell u ufen: ¨berpr¨ 1. h < h f¨ ur alle h ∈ P; 2. Aus h1 < h2 und h2 < h1 folgt h1 = h2 ; 3. Gilt h1 < h2 und h2 < h3 , so ist auch h1 < h3 .

4 DER FORTSETZUNGSSATZ VON HAHN-BANACH

42

Also ist P eine halb-geordnete Menge. Als n¨ achstes zeigen wir, dass jede linear geordnete Teilmenge P0 ⊂ P eine obere Schranke h0 besitzt: Wir definieren h0 auf [ D h0 = Dh ⊂ X h∈P0

durch h0 (x) = h(x) x ∈ Dh . Es ist dann h0 ∈ P und h < h0 f¨ ur alle h ∈ P0 . Nun k¨ onnen wir das Lemma von Zorn anwenden: wir w¨ ahlen ein maximales Element h∗ ∈ P. Dann ist  ∗ h (x) = f (x) ∀ x ∈ M nach Konstruktion von P h∗ (x) ≤ p(x) ∀ x ∈ Dh∗ und es ist Dh∗ = X. Denn w¨ are dies nicht der Fall, so w¨ urde, nach dem ersten Beweisschritt, eine von h∗ verschiedene Abbildung h ∈ P mit h∗ < h existieren, im Widerspruch zur Maximalit¨ at von h∗ . Wir sehen, dass h∗ die gesuchte Abbildung F ist. Theorem 4.2 (Hahn-Banach, komplex). Analog zum obigen reellen Fall seien ein komplexer Vektorraum X und eine reellwertige Funktion p : X → R mit den Eigenschaften p(x + y) ≤ p(x) + p(y), p(αx) = |α|p(x), p(x) ≥ 0

f¨ ur alle x, y aus X und f¨ ur alle α ∈ C gegeben, sowie ein komplexer linearer Teilraum M ⊂ X und eine C-lineare Abbildung f : M → C, mit |f (x)| ≤ p(x)

x ∈ M,

gegeben. Dann existiert eine C-lineare Funktion F : X → C mit F (x) = f (x) |F (x)| ≤ p(x)

x ∈ M,

x ∈ X.

Beweis. Wir f¨ uhren den Beweis auf den reellen Fall zur¨ uck. Dazu betrachten wir die Funktion f einmal etwas genauer. Diese Funktion l¨ asst sich schreiben als f (x) = Re f (x) + i Im f (x) = f1 (x) + i f2 (x). In dieser Zerlegung sind f1 , f2 R-linear und, weil f C-linear ist, f (ix) = i f (x) ⇐⇒ f1 (ix) + i f2 (ix) = i f1 (x) − f2 (x) ⇒ f2 (x) = −f1 (ix). Das heisst, f ist von der Form f (x) = f1 (x) − i f1 (ix).

(4.2)

Unserer Annahme zu Folge ist f1 (x) ≤ |f1 (x)| ≤ |f (x)| ≤ p(x)

x ∈ M,

4 DER FORTSETZUNGSSATZ VON HAHN-BANACH

43

es existiert daher nach Theorem 4.1 eine R-lineare Abbildung F1 : X → R, so dass gilt x ∈ M,

F1 (x) = f1 (x) F1 (x) ≤ p(x)

x ∈ X.

Zudem folgt aus den Eigenschaften von p, dass mit −F1 (x) = F1 (−x) ≤ p(−x) = p(x)

x∈X

f¨ ur alle x aus X gilt |F1 (x)| ≤ p(x). Wir definieren auf X nun die Abbildung F (x) = F1 (x) − i F1 (ix). Damit ist wegen (4.2) f¨ ur alle x ∈ M F (x) = f (x) und wir zeigen: i) F : X → C ist C-linear und ii) es gilt: |F (x)| ≤ p(x) f¨ ur alle x aus X. F¨ ur den ersten Teil gen¨ ugt es zu zeigen, dass F (ix) = i F (x), also F (ix) = F1 (ix) − i F1 (−x) = F1 (ix) + i F1 (x) = i(F1 (x) − i F1 (ix)) = i F (x). F¨ ur den zweiten Teil setzen wir F (x) = re−iϑ f¨ ur ein ϑ in R. Dann ist r = |F (x)| = eiϑ F (x) = F (eiϑ x) ≥ 0, insbesondere ist F (eiϑ x) reell und nicht negativ, also ist 0 ≤ |F (x)| = F (eiϑ x) = F1 (eiϑ x) = |F1 (eiϑ x)| ≤ p(eiϑ x) = |eiϑ |p(x) = p(x).

4.2

Folgerungen aus dem Fortsetzungssatz

Definition 4.3. (Dualraum) Der Dualraum X 0 (auch X ∗ ) eines normierten Raumes X ist der normierte Raum X 0 = L(X, C) beziehungsweise X 0 = L(X, R) mit der Norm kf k := sup |f (x)|, kxk≤1

f ∈ X 0.

Bemerkung: Solche Dualr¨ aume sind immer auch Banach-R¨ aume, weil C beziehungsweise R vollst¨ andig sind (siehe dazu Satz 2.7). Satz 4.1. Ist X ein normierter Raum, M ein linearer Teilraum von X und f ∈ M 0 , so existiert ein F ∈ X 0 mit den Eigenschaften F (x) = f (x),

x∈M

und

kF k = kf k.

Beweis. Wir definieren die Funktion p : X → R durch p(x) := kf k kxk f¨ ur alle x aus X. Da f ein Element aus L(M, C) ist, folgt |f (x)| ≤ kf k kxk = p(x)

∀ x ∈ M.

Nach Theorem 4.2 existiert eine Abbildung F : X → C, welche auf M mit f identisch ist und f¨ ur die auf ganz X gilt |F (x)| ≤ p(x) = kf k kxk. Das heisst, F ist ein Element von L(X, C) = X 0 und es ist kF k ≤ kf k. Weil F ≡ f auf M gilt, so folgt kF k ≥ kf k und der Satz ist bewiesen.

4 DER FORTSETZUNGSSATZ VON HAHN-BANACH

44

Satz 4.2. Sei X ein normierter Raum, 0 6= x∗ ∈ X. Dann existiert eine Abbildung f ∈ X 0 mit f (x∗ ) = kx∗ k > 0 und kf k = 1. Beweis. Wir benutzen obigen Satz 4.1. Dazu definieren wir die Menge M := {αx∗ |α ∈ C} ⊂ X. M ist ein linearer Teilraum von X. Nun betrachten wir die Funktion ϕ ∈ M 0 , die durch ϕ(αx∗ ) = αkx∗ k definiert ist. Es ist offensichtlich ϕ(x∗ ) = kx∗ k und

|ϕ(αx∗ )| = |α| kx∗ k = kαx∗ k, und daher |ϕ(x)| = kxk f¨ ur alle x in M . Also ist kϕk = 1. Die gesuchte Abbildung f findet man jetzt nach Satz 4.1. Daraus k¨ onnen wir nun Folgendes schliessen 1. Ist ein x0 in X gegeben und ist f (x0 ) = 0 f¨ ur alle f aus X 0 , so ist x0 = 0. 2. Sind x 6= y in X, dann existiert eine lineare Abbildung f ∈ X 0 , f¨ ur welche gilt: f (x) 6= f (y) und kf k = 1, denn nach Satz 4.2 gibt es eine Funktion f ∈ X 0 mit f (x − y) = kx − yk > 0 und kf k = 1. Mit anderen Worten: wir k¨ onnen zwei verschiedene Punkte in X durch eine lineare Funktion f ∈ X 0 voneinander trennen.

Doch wir k¨ onnen noch mehr erreichen: Satz 4.3. Es seien X ein normierter Raum, M ein linearer Teilraum von X und ¯ , das heisst, x∗ 6∈ M d = dist(x∗ , M ) = inf kx∗ − xk > 0. x∈M

Dann existiert eine Abbildung F ∈ X 0 , rx∗ so dass PP   PP  d  ur x ∈ M PP  F (x) = 0 f¨  r PP  M PP P F (x) = d f¨ ur x = x∗ .  PP     P  PP kF k = 1  PP

¯ und einen Mit anderen Worten: wir k¨onnen einen abgeschlossenen Teilraum M ∗ 0 ¯ Punkt x 6∈ M durch eine Abbildung f in X voneinander trennen. Beweis. Wir definieren den linearen Teilraum M1 := {x + tx∗ |x ∈ M, t ∈ R} ⊂ X und die lineare Abbildung f : M1 → C f (x + tx∗ ) := td, wobei d = dist(x∗ , M ) sei. Mit dieser Definition ist f (x) = 0 f¨ ur alle x aus M (t = 0) und f (x∗ ) = d (t = 1). Wir zeigen nun, dass kf k = 1 gilt, und dann folgt Satz 4.3 aus Satz 4.1:

4 DER FORTSETZUNGSSATZ VON HAHN-BANACH

45

Jedes y ∈ M1 l¨ asst sich schreiben als y = x + tx∗ , wobei x ∈ M ist. Sei nun t 6= 0. Dann ist nach Definition des Infimums

 

1

1 ∗ ∗ ∗

x + x = |t| x + x ≥ |t|d = |f (y)|, kyk = kx + tx k = t t t

da 1t x wieder in M liegt. Somit ist |f (y)| ≤ kyk und daher kf k ≤ 1. Um die andere Richtung zu zeigen, geben wir uns ein beliebiges ε > 0 vor. Nach der Definition des Infimums existiert ein x ∈ M mit kx−x∗ k ≤ d+ε. Wir definieren y := mit kyk = 1. Es folgt

x − x∗ ∈ M1 , kx − x∗ k

kf k ≥ |f (y)| =

−1 d d≥ . kx − x∗ k d+ε

Dies gilt f¨ ur jedes ε > 0, also ist kf k ≥ 1.

Dieses Resultat wollen wir nun in der Approximationstheorie anwenden: gesucht sind Absch¨ atzungen von inf kx∗ − xk = dist(x∗ , M ).

x∈M

Dazu ben¨ otigen wir folgende Definition: Definition 4.4. (Annihilator) Sei A ⊂ X eine Teilmenge von X. Der Annihilator von A ist die Menge A⊥ := {f ∈ X 0 |f (x) = 0 ∀ x ∈ A} ⊂ X 0 . Theorem 4.3. Es sei M ein abgeschlossener, linearer Teilraum von X und x ∗ 6∈ M . Dann existiert eine Abbildung f ∗ ∈ X 0 mit f ∗ ∈ M ⊥ und kf ∗ k = 1, so dass d(x∗ , M ) = f ∗ (x∗ ) = sup |f (x∗ )|. kf k=1 f ∈M ⊥

Beweis. Nach Satz 4.3 existiert ein f ∗ in X 0 mit kf ∗ k = 1 und f ∗ ∈ M ⊥ , so dass d(x∗ , M ) = f ∗ (x∗ ). Es bleibt noch zu zeigen, dass f ∗ ein Maximum ist. Es sei f ∈ M ⊥ mit kf k = 1 und m ∈ M . Es ist f (m) = 0 und es folgt |f (x∗ )| = |f (x∗ − m)| ≤ kf k kx∗ − mk = kx∗ − mk. Daher gilt sup |f (x∗ )| ≤ kx∗ − mk,

kf k=1 f ∈M ⊥

und zwar f¨ ur alle m ∈ M , also ist sup |f (x∗ )| ≤ inf kx∗ − mk = d(x∗ , M ) = f ∗ (x∗ ).

kf k=1 f ∈M ⊥

m∈M

4 DER FORTSETZUNGSSATZ VON HAHN-BANACH

46

Bemerkung: In der Gleichung inf kx∗ − mk = d(x∗ , M ) = sup |f (x∗ )|

m∈M

kf k=1 f ∈M ⊥

wird das Infimum auf der linken Seite nicht immer angenommen (falls X nicht reflexiv ist, dazu sp¨ ater mehr). Das Supremum rechts wird hingegen immer angenommen, das heisst, es existiert ein Maximum. Satz 4.4. Es sei A eine Teilmenge von X und hAi die lineare H¨ ulle von A. Dann sind ¨aquivalent: i) x∗ ∈ hAi; ii) f (x∗ ) = 0 f¨ ur alle f ∈ A⊥ . Beweis. i) ⇒ ii) Sei x∗ ∈ hAi. Daher ist x∗ = limn→∞ xn f¨ ur eine Folge xn ∈ hAi. Dann gilt f¨ ur jedes f ∈ A⊥ , dass f (xn ) = 0 ist f¨ ur alle n. Da f stetig ist, folgt 0 = lim f (xn ) = f (x∗ ). n→∞

ii) ⇒ i) Es sei x∗ 6∈ hAi =: M . Dann existiert nach Theorem 4.3 ein f ∈ M ⊥ ⊂ A⊥ , so dass f (x∗ ) = dist(x∗ , M ) > 0. F¨ ur das Paar X 0 , X von normierten R¨ aumen erhalten wir die kanonische Bilinearform X 0 × X −→ C,

{f, x} 7−→ f (x)

=:

hf, xi.

Die Bilinearform ist stetig, denn nach der Definition der Norm in X 0 ist |hf, xi| ≤ kf k kxk. Satz 4.5. Sei X ein normierter Raum. Dann ist i) f ∈ X 0 :

kf k =

ii) x ∈ X :

kxk =

sup x∈X,kxk≤1

|hf, xi|;

sup f ∈X 0 ,kf k≤1

|hf, xi|.

Beweis. i) ist die Definition der Norm f¨ ur f ∈ X 0 . 0 ii) Wir nehmen ein f ∈ X mit kf k ≤ 1. Dann ist |hf, xi| ≤ kf k kxk ≤ kxk, also sup f ∈X 0 ,kf k≤1

|hf, xi| ≤ kxk.

Umgekehrt sei x 6= 0 ∈ X, dann existiert nach Satz 4.2 eine Abbildung f ∈ X 0 mit kf k = 1 und f (x) = kxk, das heisst, mit hf, xi = kxk. Also ist sup f ∈X 0 ,kf k=1

|hf, xi| ≥ kxk.

¨ 5 SOBOLEV-RAUME

5

47

Sobolev-R¨ aume

In diesem Abschnitt betrachten wir Sobolev-R¨ aume, das sind Funktionenr¨ aume, in welchen integrable und gleichzeitig differenzierbare Eigenschaften von Funktionen kontrolliert werden.

5.1

Der Gl¨ attungsoperator

Die Faltung zweier Funktionen f, g : Rn → C (R) ist, zun¨ achst formal, die Funktion f ∗ g : Rn → C (R), definiert durch Z f ∗ g(x) = f (x − y)g(y)dy x ∈ Rn n ZR = f (ξ)g(x − ξ)dξ (ξ = x − y) Rn

= g ∗ f (x).

Wann aber existiert dieses Faltungsprodukt? Dazu zitieren wir einen Satz aus der Integrationstheorie. Satz 5.1 (Faltung). Sei f ∈ L1 (Rn ) und g ∈ Lp (Rn ) f¨ ur ein p ≥ 1. Dann ist, f¨ ur fast alle x ∈ Rn , die Funktion y 7−→ f (x − y)g(y) auf Rn integrabel und es ist f ∗ g ∈ Lp (Rn ) und kf ∗ gkLp ≤ kf kL1 kgkLp . Beweis. Der Beweis wird durch die S¨ atze von Tonelli und Fubini gef¨ uhrt und kann zum Beispiel dem Buch Analyse fonctionelle von H. Brezis entnommen werden. In Anlehnung zur Masstheorie definieren wir ¨ Lp (Rn ) := {Aquivalenzklassen von f : Rn → C/R|f messbar und |f |p ∈ L1 (Rn )}, das heisst,

Z

Rn n

|f (x)|p dx < ∞.

Wir k¨ onnen, etwas allgemeiner, R durch eine beliebige messbare Teilmenge Ω von Rn ersetzen: Es ist dann Lp (Ω) := {f : Ω → C/R|f messbar und χΩ ◦ f ∈ Lp (Rn )}. Auf dem so definierten Funktionenraum k¨ onnen wir f¨ ur p ≥ 1 eine Norm festsetzen: kf kLp(Ω) := kf kp =

Z

Ω

|f (x)|p dx

 p1

.

Damit wird Lp (Ω) zu einem Banach-Raum. Wir betrachten nun eine Klasse von ganz speziellen Funktionen: es sei ρ : Rn → R mit den Eigenschaften i) ρ ∈ C ∞ (Rn ); ii) ρ(x) ≥ 0 f¨ ur alle x und ρ(x) = 0 f¨ ur alle x mit |x| ≥ 1; R iii) Rn ρ dµ = 1.

¨ 5 SOBOLEV-RAUME

48

Zum Beispiel k¨ onnen wir ρ w¨ ahlen als ( 1 ce |x|2 −1 ρ(x) = 0

|x| < 1 , |x| ≥ 1

wobei c > 0 so gew¨ ahlt ist, dass ρ die Bedingung iii) erf¨ ullt. Definition 5.1. (Dirac-Folge) Eine Dirac-Folge zu ρ ist die Familie von Funktionen ρλ ∈ C ∞ (Rn ), λ > 0, mit ρλ (x) = Es gilt:

1 x ρ λn λ

x ∈ Rn . 6

i) ρλ ∈ C ∞ (Rn ); ii) ρλ (x) ≥ 0 f¨ ur alle x und ρλ (x) = 0 f¨ ur alle x mit |x| ≥ λ; R iii) Rn ρλ dµ = 1.

ρλ ρ −1

−λ

λ

1

Lemma 5.1 (Gl¨ attung). Sei u ∈ L1loc (Rn ), das heisst lokal integrabel f¨ ur alle kompakten Teilmengen K ⊂ Rn ( ⇐⇒ χK ◦ u ∈ L1 (K)). Dann ist ρλ ∗ u ∈ C ∞ (Rn ). Beweis. Wir betrachten ρλ ∗ u(x) =

Z

Rn

ρλ (x − y)u(y) dy.

Das Integral existiert, weil nur u ¨ber ein kompaktes Intervall integriert wird, denn es ist ja ρλ (x − y) = 0, falls |x − y| ≥ λ. Wir schreiben daher Z ρλ ∗ u(x) = ρλ (x − y)u(y) dy |x−y|≤λ

und 1 (ρλ ∗ u(x + hej ) − ρλ ∗ u(x)) = h

Z

Rn

1 (ρλ (x + hej − y) − ρλ (x − y)) u(y) dy. h

Die rechte Seite konvergiert nach dem Lebesgue-Majorantensatz mit h → 0 gegen Z Dj ρλ (x − y)u(y) dy. Rn

Das heisst, es ist (mit Dj =

∂ ∂xj )

Dj (ρλ ∗ u) = (Dj ρλ ) ∗ u. Wir k¨ onnen dieses Vorgehen wiederholt anwenden und erhalten so, mit der Notation von Definition von Seite 38, Dα (ρλ ∗ u)(x) = (Dα ρλ ) ∗ u(x). Da ρλ glatt (also in C ∞ (Rn )) ist, folgt die Behauptung.

¨ 5 SOBOLEV-RAUME

49

Wir f¨ uhren noch folgende Notation ein: f¨ ur A ⊂ Rn ist Aε := {x ∈ Rn |dist(x, A) ≤ ε}. Lemma 5.2. Es sei u ∈ L1loc (Rn ) mit kompaktem Tr¨ager supp(u). Dann ist ρλ ∗ u ∈ Cc∞ (Rn ) und
supp(ρλ ∗ u) ⊂ supp(u) λ f¨ ur alle λ > 0.

Beweis. Es ist ρλ (x − y)u(y) = 0, falls y 6∈ supp(u) oder falls |x − y| ≥ λ. Daher ist ρλ ∗ u(x) = 0, falls dist(x, supp(u)) ≥ λ. Lemma 5.3 (Approximation). Es sei u ∈ Cc (Rn ) Dann gilt λ→0

sup |ρλ ∗ u(x) − u(x)| = kρλ ∗ u − uk∞ −−−→ 0.

x∈Rn

Beweis. Wegen der Eigenschaft iii) von ρλ folgt Z
|ρλ ∗ u(x) − u(x)| = ρλ (x − y) u(y) − u(x) dy Rn Z ≤ ρλ (x − y)|u(y) − u(x)|dy |x−y|≤λ Z ρλ (x − y)dy . ≤ sup |u(y) − u(x)| n |x−y|≤λ |R {z } =1

Weil der Tr¨ ager supp(u) von u kompakt ist, ist u gleichm¨ assig stetig auf Rn , das heisst, das Supremum in der letzten Zeile konvergiert f¨ ur alle x ∈ Rn gleichm¨ assig gegen 0, falls λ gegen 0 geht. In der Folge gilt sogar: mit den Voraussetzungen von Lemma 5.3 gilt kρλ ∗ u − ukp −→ 0

(λ → 0).

Denn w¨ ahlen wir eine kompakte Menge K gross genug, so ist Z Z p p p kρλ ∗ u − ukp = |ρλ ∗ u(x) − u(x)| dx ≤ kρλ ∗ u − uk∞ 1 dx , K | K{z } =m(K)<∞

und die rechte Seite konvergiert gem¨ ass Lemma 5.3 gegen 0, wenn λ gegen 0 strebt. Theorem 5.1. Es seien Ω ⊂ Rn offen und u ∈ Lp (Ω) f¨ ur ein p ≥ 1 (wir setzen u(x) = 0 f¨ ur alle x 6∈ Ω). Dann ist i) ρλ ∗ u ∈ C ∞ (Ω) ∩ Lp (Ω); ii) kρλ ∗ ukLp(Ω) ≤ kukLp(Ω) ; iii) kρλ ∗ u − ukLp(Ω) −→ 0 f¨ ur λ → 0. Beweis. Zuerst zeigen wir, dass u in L1loc (Ω) liegt: Zu gegebenem p w¨ ahlen wir ein q, so dass p1 + 1q = 1. Zudem sei K ⊂ Ω kompakt. Dann gilt χK ◦ u = χK ◦ (χK ◦ u) |{z} | {z } ∈Lq

∈Lp

∈ L1 (K),

¨ 5 SOBOLEV-RAUME

50

das heisst, u ist ein Element von L1loc (Ω) (siehe dazu auch Lemma 5.1). Weil kρλ kL1 (Ω) = 1, so folgen die Aussagen i) und ii) aus Satz 5.1 und Lemma 5.1. F¨ ur den Beweis von iii) sei v ∈ Cc (Ω). Wir bekommen dann mit der Dreiecksungleichung (zweimal angewendet) ku − ρλ ∗ ukLp(Ω) ≤ ku − vkLp (Ω) + kv − ρλ ∗ vkLp (Ω) + kρλ ∗ v − ρλ ∗ ukLp(Ω) {z } | =kρλ ∗(v−u)kLp (Ω)

≤ 2ku − vkLp (Ω) + kv − ρλ ∗ vkLp (Ω) .

Wir benutzen, dass Cc (Ω) in Lp (Ω) f¨ ur jedes p ≥ 1 dicht liegt. So existiert n¨ amlich zu jedem ε > 0 ein v ∈ Cc (Ω) mit ku−vkLp(Ω) < ε. Zudem k¨ onnen wir nach Lemma 5.3 λ so klein w¨ ahlen, dass kv − ρλ ∗ vkLp (Ω) < ε wird. Damit erhalten wir ku − ρλ ∗ ukLp (Ω) < 3ε. Eine Folgerung aus obigem Theorem werden wir jetzt formulieren: Theorem 5.2. Der Raum Cc∞ (Ω) liegt dicht in Lp (Ω) f¨ ur alle p ≥ 1. Beweis. Es sei u ∈ Lp (Ω) und v ∈ Cc (Ω). Dann ist nach den Lemmata 5.1 und 5.2 ρλ ∗ v ∈ Cc∞ (Ω) f¨ ur kleine λ. Mit der Dreiecksungleichung folgt: ku − ρλ ∗ vkLp (Ω) ≤ ku − vkLp (Ω) + kv − ρλ ∗ vkLp (Ω) . Zu kleinem ε > 0 w¨ ahlen wir ein v ∈ Cc (Ω), so dass ku−vkLp(Ω) < ε. Nach Lemma 5.3 existiert ein λ > 0, klein genug, dass kv − ρλ ∗ vkLp (Ω) < ε ist.

Ω

supp(ϕ) 



Somit w¨ are das Theorem bewiesen.

Theorem 5.3. Es sei Ω ⊂ Rn offen und es gelte f ∈ L1loc (Ω) und f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω). Dann ist f = 0 fast ¨ uberall in Ω.

R

Ω

f ϕ dµ = 0

Beweis. Wir f¨ uhren den Beweis auf den trivialen Fall zur¨ uck, wo f stetig ist: Zu x0 ¯2r ⊂ Ω. in Ω w¨ ahlen wir eine offene Kugel Br mit Zentrum x0 , so dass x0 ∈ Br ⊂ B Es gen¨ ugt nun zu zeigen, dass kf kL1 (Br ) = 0. Dazu definieren wir die Funktion ( ¯ ˆ = f (x) x ∈ B2r . f(x) 0 sonst Da f nach Voraussetzung in L1loc (Rn ) liegt, ist fˆ ∈ L1 (Rn ) und f¨ ur kleines λ gilt ρλ ∗ f (x) = ρλ ∗ fˆ(x),

¯r . x∈B

Es sei nun ϕ ∈ Cc∞ (Br ) beliebig. Es folgt nach Lemma 5.2 ρλ ∗ ϕ ∈ Cc∞ (B2r ) ⊂ Cc∞ (Ω), falls λ klein genug ist. Nach Voraussetzung ist nun Z Z Z 0= f (ρλ ∗ ϕ)dµ = f (ρλ ∗ ϕ)dµ = fˆ (ρλ ∗ ϕ)dµ Ω B2r B2r Z Z ∗ ˆ = (ρλ ∗ f) ϕ dµ = (ρλ ∗ fˆ) ϕ dµ Rn

Ω

¨ 5 SOBOLEV-RAUME

51

(∗: wegen dem Satz von Fubini) f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Br ). Weil ρλ ∗ fˆ stetig ist, muss ˆ (ρλ ∗ f )(x) = 0 sein f¨ ur alle x ∈ Br . Es folgt nun λ→0

ˆ L1 (B ) ≤ kfˆ − ρλ ∗ fˆkL1 (B ) + kρλ ∗ fˆkL1 (B ) −−−→ 0 kf kL1 (Br ) = kfk r r r | {z } =0

nach Theorem 5.1. Also ist

kf kL1 (Br ) = 0, wie behauptet.

5.2

◦

Die Funktionenr¨ aume W m,p (Ω), H m,p (Ω) und H m,p (Ω)

Wir beginnen diesen Abschnitt mit einer Vorbemerkung u ¨ber die partielle Integration: Ist Ω ⊂ Rn offen, u ∈ C 1 (Ω) und ϕ ∈ Cc∞ (Ω), ϕ hat also einen kompakten Tr¨ ager supp(ϕ) ⊂ Ω. Dann folgt Z Z ∂ ∂ u(x) u(x)ϕ(x) dx = ϕ(x) dx. (−1) ∂x ∂x j j Ω Ω Um dies einzusehen, wenden wir den Satz von Fubini an, nachdem wir u ¨ber die j-te Variable partiell integriert haben. Die bei der Integration auftretenden Randterme verschwinden, da ϕ kompakten Tr¨ ager hat und daher auf ∂Ω verschwindet. Falls nun u ∈ C |α| (Ω) liegt, so k¨ onnen wir dieses Argument |α|-mal wiederholen und erhalten so die Gleichung Z Z Dα u(x)ϕ(x) dx = u(x)Dα ϕ(x) dx. (−1)|α| Ω

Ω

Dabei ist die rechte Seite definiert f¨ ur alle Funktionen u in L1loc (Ω). Definition 5.2. (schwache Ableitung) Es sei u in L1loc (Ω). Wir nehmen an, es g¨ abe eine Funktion v ∈ L1loc (Ω) und ein ∞ α = (α1 , . . . , αn ), so dass f¨ ur alle ϕ ∈ Cc (Ω) gilt Z Z |α| (−1) v(x)ϕ(x) dx = u(x)Dα ϕ(x) dx. Ω

Ω

Dann heisst v die schwache α-Ableitung von u und man schreibt daf¨ ur v = Dα u

(schwach).

Bemerkungen 1. Die schwache Ableitung von u, sofern sie u ¨berhaupt existiert, ist wegen Theorem 5.3 eindeutig. Denn: sind v1 , v2 ∈ L1loc (Ω) mit v1 = Dα u und v2 = Dα u, so folgt Z (v1 − v2 )ϕ dµ = 0 ∀ϕ ∈ Cc∞ (Ω), Ω

also ist v1 = v2 fast u ¨berall auf Ω, nach Theorem 5.3.

2. Die schwache Ableitung hat zun¨ achst nichts mit dem Differentialquotienten der (klassischen) Ableitung zu tun. Falls aber u ∈ C |α| (Ω) ist, so folgt aus der Eindeutigkeit der Ableitung, dass v = D α u ist im u ¨blichen Sinn.

¨ 5 SOBOLEV-RAUME

52

Definition 5.3. (Sobolev-Raum W m,p ) Wir definieren den Sobolev-Raum W m,p (Ω) f¨ ur ganze m als Teilraum von Lp (Ω) p dadurch, dass f¨ ur u ∈ L (Ω) alle schwachen Ableitungen D α u in Lp (Ω) existieren f¨ ur 0 ≤ |α| ≤ m, in Formeln   es existieren alle schwachen Ableitungen D α u und W m,p (Ω) := u ∈ Lp (Ω) α D u ∈ Lp (Ω) f¨ ur 0 ≤ |α| ≤ m Auf dieser Menge legen wir auch eine Norm fest durch X kDα ukLp (Ω) . |u|m,p := kukW m,p (Ω) := 0≤|α|≤m

Eine zweite (¨ aquivalente) Definition des Raumes W m,p (Ω) folgt sp¨ ater mittels Approximationseigenschaften mit glatten Funktionen. Um diese abstrakte Definition etwas zu veranschaulichen, hier noch zwei Beispiele 1. Als erstes betrachten wir die Menge Ω = (−1, 1) ⊂ R und die Funktion u(x) = 21 (|x| + x). Wir behaupten, dass u f¨ ur p ≥ 1 in W 1,p (Ω) liegt. Um dies zu beweisen, testen wir mit einer Funktion ϕ ∈ Cc∞ (Ω): Z

1

u Dϕ dx = −1

Z

1 0

=−

Z

1 x ϕ0 dx = (x ϕ) − | {z }0 =0

Z

y 16

v(x) =

-x

1

ϕ dx 0

−1

1

1

y 16

v ϕ dx

−1

mit (

u

−1

0 −1 < x < 0 1 0<x<1

v -x

1

Es ist offensichtlich v ∈ Lp (Ω) und aus obiger Gleichung folgt Z Z v ϕ dµ u Dϕ dµ = − Ω

Ω

Cc∞ (Ω).

f¨ ur alle ϕ aus Somit ist v nach unserer Definition die schwache Ableitung v = Du, also liegt u in W 1,p (Ω). Wir haben gezeigt, dass eine – im klassischen Sinne – nicht differenzierbare Funktion schwach differenzierbar sein kann. 2. Nun zeigen wir, dass die so gefundene schwache Ableitung v f¨ ur kein p ≥ 1 in W 1,p (Ω) liegt, und daraus k¨ onnen wir dann schliessen, dass u 6∈ W 2,p (Ω).

Es gen¨ ugt zu zeigen, dass v keine schwache Ableitung in L1loc (Ω) und somit auch keine in Lp (Ω) hat. Dazu nehmen wir an, es g¨ abe ein w ∈ L1loc (Ω) mit Z 1 Z 1 v Dϕ dx = − w ϕ dx ∀ ϕ ∈ Cc∞ (Ω). −1

−1

Die linke Seite oben stehender Gleichung k¨ onnen wir ausrechnen, und wegen ϕ(1) = 0 ist Z 1 Z 1 v Dϕ dx = ϕ0 dx = ϕ(1) − ϕ(0) = −ϕ(0). −1

0

¨ 5 SOBOLEV-RAUME

53

Die schwache Ableitung w erf¨ ullt daher Z w ϕ dµ = ϕ(0)

∀ ϕ ∈ Cc∞ (Ω).

Ω

(5.1)

Da ϕ ∈ Cc∞ (Ω \ {0}) kompakten Tr¨ ager auf Ω \ {0} hat, gilt Z w ϕ dµ = 0 ∀ ϕ ∈ Cc∞ (Ω \ {0}). Ω

Nach Theorem 5.3 ist dann aber w = 0 fast u ¨berall auf Ω \ {0}. Folglich ist auch w = 0 fast u ¨berall auf ganz Ω und daher ist Z w ϕ dµ = 0 ∀ ϕ ∈ Cc∞ (Ω), Ω

was im Widerspruch steht zu (5.1), denn wir k¨ onnen ein ϕ ∈ Cc∞ (Ω) w¨ ahlen mit ϕ(0) 6= 0.

Satz 5.2. Der Raum W m,p (Ω) ist vollst¨andig.

Beweis. Als Grundlage dieses Beweises dient die Vollst¨ andigkeit der R¨ aume Lp (Ω). m,p Es sei nun also uj eine Cauchy-Folge in W (Ω), das heisst, es gibt f¨ ur jedes ε > 0 eine Schranke N = Nε so, dass |uj − uk |m,p ≤ ε

∀ j, k ≥ N.

(5.2)

Nach der Definition der Norm auf W m,p (Ω) gilt dann kDα uj − Dα uk kLp (Ω) ≤ ε

∀ j, k ≥ N, ∀ 0 ≤ |α| ≤ m.

In Worten: f¨ ur jedes α ist (Dα uj ) eine Cauchy-Folge in Lp (Ω). Nun ist Lp (Ω) vollst¨ andig, also existieren Funktionen f α in Lp (Ω) so, dass Dα uj −→ f α

in Lp (Ω) ∀ 0 ≤ |α| ≤ m.

Wir definieren nun f := f 0 , und wollen zeigen, dass f α = Dα f (schwach) f¨ ur alle 0 ≤ |α| ≤ m und somit dann auch f ∈ W m,p (Ω) gilt. Wir testen also mit einer Funktion ϕ ∈ Cc∞ (Ω) und erhalten Folgendes: R R α |α| α ∞ Ω uj D ϕ dµ = (−1) Ω D uj ϕ dµ ∀ϕ ∈ Cc (Ω) ↓(i) ↓R(ii) , R α |α| α ∞ f D ϕ dµ = (−1) f ϕ dµ ∀ ϕ ∈ C (Ω) c Ω Ω da nach dem oben Gesagten gilt: (i) uj → f in Lp (Ω) und (ii) Dα uj → f α in Lp (Ω). Mit der H¨ older’schen Ungleichung und p1 + q1 = 1 folgt Z Z Z α uj Dα ϕ dµ − |uj − f | |Dα ϕ| dµ f D ϕ dµ ≤ Ω

Ω

Ω

≤ kuj − f kLp(Ω) kDα ϕkLq (Ω) , | {z } j→∞ −−−→0

woraus die obige Konvergenz (im Diagramm) folgt. Nach der Definition der schwachen Ableitung folgt aus der zweiten Zeile des Diagrammes, dass f α = Dα f . Nun haben wir einen Kandidaten in Lp (Ω) f¨ ur den Limes von uj , n¨ amlich f . Aus (5.2) folgt, mit k → ∞, |uj − f |m,p ≤ ε

∀ j ≥ N,

dies gilt f¨ ur alle ε > 0, also ist tats¨ achlich uj → f in W m,p (Ω).

¨ 5 SOBOLEV-RAUME

54

Bemerkung: Ist u ∈ C ∞ (Ω) und die gew¨ ohnlichen Ableitungen D α u ∈ Lp (Ω) f¨ ur alle 0 ≤ |α| ≤ m, dann ist nach Definition u ∈ W m,p (Ω) ∩ C ∞ (Ω) und X |u|m,p = kDα ukLp(Ω) < ∞. 0≤|α|≤m

Definition 5.4. (H m,p (Ω)) Wir definieren den Raum H m,p (Ω) als Abschluss in W m,p (Ω) der Menge {u ∈ C ∞ (Ω)| |u|m,p < ∞}. Dies l¨ asst sich auch schreiben als: H m,p (Ω) := C ∞ (Ω) ∩ W m,p (Ω)

W m,p

.

Das heisst, H m,p (Ω) ist ein abgeschlossener linearer Teilraum des vollst¨ andigen Raumes W m,p (Ω) und daher selber ein Banach-Raum. Mit dem folgenden Satz k¨ onnen wir dann H m,p (Ω) mit W m,p (Ω) identifizieren: Satz 5.3 (Meyers-Serrin). Sei Ω ⊂ Rn offen. Dann ist C ∞ (Ω) ∩ W m,p (Ω) dicht in W m,p (Ω), das heisst, f¨ ur alle u ∈ W m,p (Ω) existiert eine Funktionenfolge uj in ∞ m,p C (Ω) ∩ W (Ω), so dass |u − uj |m,p → 0, falls j → ∞. Beweis. Wir werden den Beweis nicht durchf¨ uhren. Er beruht auf der Zerlegung der Eins und Gl¨ attungsoperatoren. F¨ ur Details wird an dieser Stelle auf die B¨ ucher von H. W. Alt, Seite 108, und von Adams, Seite 52, verwiesen. Folgerung: Nach Satz 5.3 folgt nun, dass H m,p (Ω) = W m,p (Ω) und wir haben die zur ersten Definition 5.3 ¨ aquivalente Definition des Sobolev-Raumes W m,p (Ω) gefunden: Definition 5.5. (W m,p (Ω) = H m,p (Ω)) Wir charakterisieren den Raum W m,p (Ω) mittels Approximationseigenschaften glatter Funktionen:   ∃ uj ∈ C ∞ (Ω) mit Dα uj ∈ Lp (Ω), 0 ≤ |α| ≤ m   W m,p (Ω) := . u ∈ Lp (Ω) so dass uj → u in Lp (Ω),   Dα uj ist Cauchy-Folge in Lp (Ω), 0 ≤ |α| ≤ m

Bemerkung: Da der Raum Lp (Ω) vollst¨ andig ist, existiert der in der Definition 5.5 auftretende Limes in Lp (Ω): lim Dα uj =: uα

j→∞

∈ Lp (Ω), 0 ≤ |α| ≤ m.

Genau wie im Beweis von Satz 5.2 folgt, dass uα = Dα u (schwach). Die Norm in W m,p (Ω) ist dann definiert durch X kDα ukLp (Ω) . |u|m,p := 0≤|α|≤m

Es gilt immer: Cc∞ (Ω) ⊂ H m,p (Ω).

¨ 5 SOBOLEV-RAUME

55

◦

Definition 5.6. (Hm,p (Ω)) ◦ Es sei Hm,p (Ω) der Abschluss von Cc∞ (Ω) in der H m,p (Ω)-Norm: ◦

Hm,p (Ω) := Cc∞ (Ω)

H m,p (Ω)

⊂ H m,p (Ω).

◦

Mit dieser Definition ist Hm,p (Ω) ein abgeschlossener Teilraum von H m,p (Ω), also ◦ selber wieder ein Banach-Raum. Im Allgemeinen ist Hm,p (Ω) 6= H m,p (Ω). Zur Illustration werden wird nun zeigen, dass f¨ ur I = (0, 1) ⊂ R die beiden ◦ m,p m,p R¨ aume H (I) und H (I) nicht identisch sind: Dazu betrachten wir eine Funktion ϕ ∈ Cc∞ (I). Es gilt Z x ϕ ϕ0 (t) dt ϕ(x) − ϕ(0) = 16 0

mit ϕ(0) = 0. Also ist |ϕ(x)| ≤

Z

0

1 0

I

|ϕ|dµ ≤

1

0

|ϕ (t)| dt ϕ0 16

und somit auch Z

-t

Z

I

|ϕ0 |dµ. 0

-t 1

Es bezeichne 1 die konstante Funktion 1(x) = 1. Es ist 1 ≤ |ϕ(x)| + |1 − ϕ(x)|. Integrieren wir nun u ¨ber das Intervall I, so erhalten wir Z Z Z Z 1 ≤ |ϕ|dµ + |1 − ϕ|dµ ≤ |ϕ0 |dµ + |(1 − ϕ)|dµ I I I ZI Z = |(1 − ϕ)0 |dµ + |(1 − ϕ)|dµ. I

I

Aus der letzten Gleichung schliessen wir, dass |1 − ϕ|1,1 ≥ 1

∀ ϕ ∈ Cc∞ (I),

in Worten: 1 ∈ H 1,1 (I) kann nicht durch eine Folge ϕn ∈ Cc∞ (I) angen¨ ahert werden, ◦ also liegt 1 nicht in H1,1 (I). ◦

Satz 5.4. Es gilt Hm,p (Rn ) = H m,p (Rn ). Beweis. Wir schreiben zur Abk¨ urzung Rn =: Ω. Wir m¨ ussen f¨ ur den Beweis zeigen, ∞ m,p dass Cc (Ω) in H (Ω) dicht liegt. Wir spalten den Beweis in zwei Teile auf: zuerst zeigen wir, dass C ∞ (Ω) ∩ H m,p (Ω) dicht in H m,p (Ω) liegt, und dann n¨ ahern wir u ∈ C ∞ (Ω) ∩ H m,p (Ω) durch Cc∞ (Ω) in H m,p (Ω) an. 1. Schritt: Es sei nun u ∈ H m,p (Ω). Dann ist Dα (ρλ ∗ u) = ρλ ∗ (Dα u)

(0 ≤ |α| ≤ m)

nach Definition der schwachen Ableitung, da f¨ ur jedes feste x y 7→ ρλ (x − y) ∈ Cc∞ (Ω). Mit Theorem 5.1 folgt dann, dass ρλ ∗ u ∈ C ∞ (Ω) ∩ Lp (Ω).

¨ 5 SOBOLEV-RAUME

56

Es gilt weiter |Dα (ρλ ∗ u)|Lp (Ω) ≤ |Dα u|Lp (Ω) und

λ→0

|Dα (u − ρλ ∗ u)|Lp (Ω) = |Dα u − ρλ ∗ (Dα u)|Lp (Ω) −−−→ 0

∀ 0 ≤ |α| ≤ m.

Wir haben nun also gezeigt, dass ρλ ∗ u ∈ C ∞ (Ω) ∩ H m,p (Ω) und λ→0

|u − ρλ ∗ u|m,p −−−→ 0. 2.Schritt: Wir nehmen die “Abschneidefunktion“ η ∈ Cc∞ (Ω), so dass η(x) = 1 f¨ ur alle x mit |x| ≤ 1 und η(x) = 0, falls |x| ≥ 2. Nun definieren wir die Funktionenfolge   x uj (x) := η u(x) ∈ Cc∞ (Ω). j Nach Leibnitz folgt nun, dass f¨ ur 0 ≤ |α| ≤ m gilt X |Dα uj (x)| ≤ cα |Dβ u(x)|. 0≤|β|≤m

Demnach ist Dα uj ∈ Lp (Ω) und somit ist Z Z |Dα (u − uj )|p dµ |Dα (u − uj )|p dµ = |x|≥j Ω Z p ≤2 (|Dα u|p + |Dα uj |p ) dµ |x|≥j X Z j→∞ ≤K |Dα u|p dµ −−−→ 0 0≤|α|≤m

|x|≥j

nach dem Lebesgue’schen Monotonie-Satz, denn es ist |D α u|p ∈ L1 (Ω). Dies gilt f¨ ur alle 0 ≤ |α| ≤ m, also ist |u − uj |m,p → 0 j → ∞. ¨ Ein Element u ∈ W m,p (Rn ) ist eine Aquivalenzklasse von Lp -Funktionen mit den von uns geforderten zus¨ atzlichen Eigenschaften. Nun stellt sich die Frage: k¨ onnen wir noch mehr haben? Gibt es einen Repr¨ asentanten jeder Klasse, der stetig, differenzierbar oder beschr¨ ankt ist? Theorem 5.4 (Morrey-Sobolev). Falls p > n, so hat jedes u ∈ W 1,p (Rn ) einen stetigen und beschr¨ankten Repr¨asentanten, den wir wiederum mit u bezeichnen. Man schreibt in diesem Sinne W 1,p (Rn ) ⊂ Cb (Rn ).

Es gibt, genauer gesagt, eine Konstante M > 0, so dass f¨ ur jedes u ∈ W 1,p (Rn ) ein Repr¨asentant existiert mit i)

ii)

n

|u(x) − u(y)| ≤ M |x − y|1− p |u(x)| ≤ M kukLp(Rn ) +

n X j=1

n X j=1

kDj ukLp(Rn ) ;

kDj ukLp (Rn )

!

= M |u|1,p .

f¨ ur alle x, y ∈ Rn . Es ist M = 4(1 − n/p)−1 und der Exponent 1 − n/p liegt nach Voraussetzung im offenen Intervall (0, 1).

¨ 5 SOBOLEV-RAUME

57

Beweis. Wir benutzen die zweite Definition von W 1,p (Rn ). Zuerst werden wir den Satz f¨ ur eine Funktion u ∈ C ∞ (Rn ) ∩ W 1,p (Rn ) zeigen. Es sei u ∈ C ∞ (Rn ) und Il ⊂ Rn ein achsenparalleler W¨ urfel mit Kantenl¨ ange l. Wir definieren den Mittelwert von u in Il mittels Z 1 [u]Il := u(x) dx, |Il | = vol(Il ) = ln . |Il | Il Zu i): es seien x, y ∈ Rn . Wir w¨ ahlen einen W¨ urfel Il ⊂ Rn , der x und y enth¨ alt. Mit dem nachfolgenden Lemma von Morrey ergibt sich dann |u(x) − u(y)| ≤ |u(x) − [u]Il | + [u]Il − u(y) n X 1− n p kDj ukLp (Rn ) . ≤ 2cl j=1

W¨ ahlen wir speziell einen W¨ urfel mit l = 2|x − y| f¨ ur die Kantenl¨ ange, so folgt die Aussage i) mit M = 4c. Zu ii): W¨ ahlen wir l = 1 und x ∈ I1 , so ist vol(I1 ) = 1 und |u(x)| ≤ |[u]I1 − u(x)| + |[u]I1 |. Der zweite Term auf der rechten Seite l¨ asst sich durch die H¨ older’sche Ungleichung absch¨ atzen: Es ist dann  p1 Z Z Z p [u]I1 ≤ |u| dx χI1 |u| dx ≤ ≤ kukLp(Rn ) . |u| dx = I1

I1

I1

Mit dem Lemma folgt dann ii). Nun kommen wir zu u ∈ W 1,p (Rn ). Wir approximieren mit dem Satz 5.4 oder Meyers-Serrin die Funktion u durch eine Folge uj , so dass uj ∈ C ∞ (Rn ) ∩ W 1,p (Rn ),

uj → u in W 1,p (Rn ).

Aus der Ungleichung ii) f¨ ur die uj , j ≥ 1, folgt dann, dass uj eine Cauchy-Folge in Cb (Rn ), der Menge der stetigen und beschr¨ ankten Funktionen auf Rn , ist. Weil n nun Cb (R ) mit der Supremums-Norm vollst¨ andig ist, existiert ein u ˜ ∈ Cb (Rn ) mit n uj → u ˜ in Cb (R ). Die Konvergenz ist gleichm¨ assig, also auch punktweise. Es folgt nun, dass i) und ii) gelten, wobei links an Stelle von u nun u ˜ steht. Auf der rechten Seite steht immer noch u. Weil die Folge uj in Lp (Rn ) gegen u konvergiert existiert eine Teilfolge ujk , so dass lim ujk (x) = u(x) k→∞

f¨ ur fast jedes feste x ∈ Rn . Weil nun auch ˜(x) lim ujk (x) = u

k→∞

f¨ ur alle x ∈ Rn , ist u ˜ = u fast u ˜ der von uns gesuchte ¨berall auf Rn , also ist u Repr¨ asentant. Nun zum erw¨ ahnten Lemma: Lemma 5.4 (Morrey). Es sei p > n. Dann gilt f¨ ur c = (1 − n/p)−1 : n X [u]Il − u(x) ≤ cl(1−n/p) kDj ukLp (Il ) j=1

n

f¨ ur alle l, alle x ∈ Il , alle W¨ urfel Il ⊂ R der Kantenl¨ange l und alle u ∈ C ∞ (Rn ).

¨ 5 SOBOLEV-RAUME

58

Beweis. Es gen¨ ugt wegen der Translationsinvarianz, das Lemma f¨ ur x = 0 zu beweisen. Es sei also u ∈ C ∞ (Rn ). Es ist nach Definition dann Z
1 u(x) − u(0) dx. [u]Il − u(0) = |Il | Il F¨ ur x ∈ Il ist

Z Z n 1 d 1X |u(x) − u(0)| = Dj u(tx) xj dt u(tx) dt = 0 dt 0 j=1 Z 1X n |Dj u(tx)| dt, ≤l 0 j=1

wobei wir benutzt haben, dass |xj | ≤ l ist. Setzen wir die beiden Formeln zusammen, so erhalten wir Z 1 X n Z [u]I − u(x) ≤ l |Dj u(tx)| dx dt l |Il | 0 j=1 Il

und mit der Substitution y = tx wird die rechte Seite Z 1 X n Z l dy = |Dj u(y)| n . dt |Il | 0 t j=1 t Il

Mit der H¨ older’schen Ungleichung k¨ onnen wir das Integral u atzen: Es ¨ber y absch¨ ist Z  q1 Z  p1 Z Z p |Dj u| dµ = χt Il |Dj u| dµ ≤ χt Il dµ |Dj u| dµ t Il

tIl

≤ vol(t Il )1/q

Z

t Il

Il

|Dj u|p dµ

 p1

t Il

f¨ ur 1/p + 1/q = 1. Zusammen erhalten wir nun also n n/q Z 1 X −n(1−1/q) [u]Il − u(x) ≤ l l kDj ukLp(Il ) . t dt ln |0 {z } j=1 (∗)

Das mit (∗) bezeichnete Integral ist endlich, denn mit p > n ist auch das Integral R 1 −n/p t dt endlich. Wir erhalten schliesslich 0 n 1−n/p X [u]I − u(x) ≤ l kDj ukLp(Il ) , l 1 − n/p j=1

was zu beweisen war.

Definition 5.7. (C m,β (Ω)) Es sei m ≥ 0 eine ganze Zahl, 0 < β < 1 und Ω ⊂ Rn offen. Dann sei C m,β (Ω) := {u ∈ C m (Ω) |u|m,β < ∞},

wobei | |m,β definiert ist durch |u|m,β := β

sup x∈Ω 0≤|α|≤m

Wir schreiben auch C f¨ ur C

|Dα u(x) − Dα u(y)| . |x − y|β |α|=m

|Dα u(x)| + sup

0,β

x6=y

.

¨ 5 SOBOLEV-RAUME

59

Theorem 5.4 (umformuliert). Sei p > n, β = 1 − n/p. Dann ist W 1,p (Rn ) ,→ C β (Rn ) stetig eingebettet, das heisst, es gibt eine Konstante M ≥ 0, so dass jedes Element u ∈ W 1,p (Rn ) einen Repr¨asentanten in C β (Rn ) hat mit |u|C β (Rn ) ≤ M kukW 1,p (Rn ) . Genau gleich beweist man f¨ ur eine offene Teilmenge Ω ⊂ Rn , m ≥ 1, β = 1−n/p und p > n ◦ ¯ Hm,p (Ω) ,→ C m−1,β (Ω) stetig eingebettet ist. Hierzu wendet man das Lemma von Morrey auf eine Funktion u ∈ Cc∞ (Ω) und auf Dα u, 0 ≤ |α| ≤ m, an und benutzt, dass ◦

Cc∞ (Ω) = Hm,p (Ω). Es folgt somit, dass \

◦

¯ Hm,p (Ω) = C ∞ (Ω)

m≥1

f¨ ur Ω ⊂ Rn offen.

Theorem 5.5 (Sobolev-Einbettungstheorem). Es sei Ω ⊂ Rn offen, m ≥ 1 eine ganze Zahl und p ≥ 1. Wir nehmen an, dass m − n/p = k + β f¨ ur eine ganze Zahl k ≥ 0 und 0 < β < 1. Dann ist ◦

¯ Hm,p (Ω) ,→ C k,β (Ω) stetig eingebettet. Beweis. Es wird auf die schon erw¨ ahnten B¨ ucher von H. Brezis oder H. W. Alt verwiesen. Folgerung: F¨ ur Ω ⊂ Rn und p ≥ 1 ist \ ◦ ¯ Hm,p (Ω) = C ∞ (Ω). m≥1

5.3

Dirichlet-Problem und schwache Lo ¨sung ◦

Die R¨ aume H m,p (Ω) und Hm,p (Ω) sind f¨ ur p = 2 ausgezeichnete R¨ aume: es sind Hilbert-R¨ aume, versehen mit dem Skalarprodukt X (u, v) = (Dα u, Dα v)L2 (Ω) u, v ∈ H m,p (Ω) 0≤|α|≤m

mit (f, g)L2 (Ω) =

Z

f g¯ dµ Ω

f, g ∈ L2 (Ω).

Es sei Ω ⊂ Rn offen und beschr¨ ankt. Wir betrachten das Dirichlet-Randwertprob¯ → R, so dass lem: gegeben sei f : Ω → R, und gesucht ist u : Ω  −∆u(x) = f (x) x ∈ Ω , (5.3) u(x) = 0 x ∈ ∂Ω wobei ∆ den Laplace-Operator ∆u =

Pn

∂2u j=1 ∂x2j

bezeichnet.

¨ 5 SOBOLEV-RAUME

60

¯ eine klassische L¨ ¯ das Es sei u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) osung von (5.3) f¨ ur f ∈ C(Ω), 2 heisst, (5.3) gilt punktweise. Wir nehmen nun an, dass ∇u ∈ L (Ω). Dann folgt aus Z Z − ∆u ϕ dµ = f ϕ dµ ϕ ∈ Cc∞ (Ω) Ω

Ω

mittels partieller Integration (weil die Randterme verschwinden): Z Z X n ∂u ∂ϕ f ϕ dµ ϕ ∈ Cc∞ (Ω). dµ = Ω Ω j=1 ∂xj ∂xj Anders geschrieben, es ist Z Z h∇u, ∇ϕi dµ = f ϕ dµ Ω

Weil nun

Cc∞ (Ω)

◦

ϕ ∈ Cc∞ (Ω).

Ω

1,2

in H (Ω) dicht liegt, folgt Z Z f v dµ h∇u, ∇vi dµ =

◦

v ∈ H1,2 (Ω).

Ω

Ω

Somit haben wir folgenden Begriff motiviert:

Definition 5.8. (schwache L¨ osung) ◦ Eine Funktion u ∈ H1,2 (Ω) heisst eine schwache L¨osung des Dirichlet-Randwertproblems f¨ ur ein gegebenes f ∈ L2 (Ω), falls Z Z f v dµ h∇u, ∇vi dµ = Ω

Ω

◦

1,2

f¨ ur alle v ∈ H

(Ω).

Bemerkung: Falls u ∈ Cc∞ (Ω), so ist u = 0 auf ∂Ω. Deshalb sagt man, dass ◦ u ∈ H1,2 (Ω) verallgemeinerte Nullrandwerte auf ∂Ω hat. Man kann tats¨ achlich zeigen (siehe H. Brezis, s. 171): f¨ ur ∂Ω aus der Klasse C 1 ¯ gilt und f¨ ur u ∈ H 1,2 (Ω) ∩ C(Ω) ◦

u = 0 auf ∂Ω ⇐⇒ u ∈ H1,2 (Ω). Im Folgenden seien alle beteiligten R¨ aume reell, auch wenn dies nicht explizit erw¨ ahnt wird. Es gilt nun, die Existenz und Eindeutigkeit der schwachen L¨ osungen des Dirichlet-Randwertproblems zu zeigen. ◦ Zuvor definieren wir noch ein Skalarprodukt auf H1,2 (Ω) durch Z Z ◦ u, v ∈ H1,2 (Ω). u v dµ + h∇u, ∇vi dµ (u, v)H := Ω

Ω

◦

1,2

Lemma 5.5. Es sei u, v ∈ H

(Ω). Dann definiert Z a(u, v) := h∇u, ∇vi dµ Ω

◦

ein zu (u, v)H ¨aquivalentes Skalarprodukt auf dem Hilbert-Raum H1,2 (Ω), das heisst, es gilt mit der Notation

dass es ein C > 0 gibt, so dass

(u, v)∗ := a(u, v), p kuk∗ = (u, u)∗ ,

1 ≤ kuk∗ ≤ Ckuk ◦1,2 kuk ◦1,2 H (Ω) H (Ω) C ◦

f¨ ur alle u ∈ H1,2 (Ω) f¨ ur offenes und beschr¨anktes Ω.

¨ 5 SOBOLEV-RAUME

61

Das Lemma 5.5 folgt sofort aus Lemma 5.6 (Poincar´e-Ungleichung). Es sei Ω ⊂ Rn offen und in einer Richtung, ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit in x1 -Richtung, beschr¨ankt, also Ω ⊂ {x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn |x1 | ≤ d}. Dann ist X kDα uk2L2 (Ω) kuk2L2 (Ω) ≤ (2d)2 |α|=1

beziehungsweise Z

Ω

|u|2 dµ ≤ (2d)2

Z

Ω

|∇u|2 dµ

◦

f¨ ur alle u ∈ H1,2 (Ω). Beweis. Es gen¨ ugt, die Ungleichung f¨ ur u ∈ Cc∞ (Ω) zu zeigen, da Cc∞ (Ω) dicht in ◦ 1,2 H (Ω) liegt. Mit dem Satz von Fubini und partieller Integration in x1 – wobei die Randterme verschwinden, da u kompakten Tr¨ ager in Ω hat – folgt Z Z Z ∂ x1 1 |u|2 dµ = − |u|2 dµ = kuk2L2(Ω) = |u|2 dµ ∂x 1 Ω  Ω  Z ZΩ ∂ ∂ = −2 x1 u, u dµ ≤ 2d u dµ |u| ∂x1 ∂x1 Ω Ω

∂

≤ 2dkukL2(Ω)

∂x1 u 2 . L (Ω)

Die letzte Ungleichung folgt mit der H¨ older’schen Ungleichung. Dividieren wir obiges Resultat durch kukL2(Ω) und quadrieren anschliessend, so erhalten wir kuk2L2 (Ω)



∂ 2

u ≤ (2d) ∂x1 2 2

L (Ω)

n X

∂ 2

≤ (2d)

∂xj u 2 2

j=1

.

L (Ω)

Nun kommen wir zu dem vorher angek¨ undigten Theorem: Theorem 5.6 (Dirichlet, Riemann, Hilbert). Es sei Ω ⊂ Rn eine offene und beschr¨ankte Teilmenge, f ∈ L2 (Ω). Dann gibt es genau eine schwache L¨osung ◦ u ∈ H1,2 (Ω) des Dirichlet-Problems. Diese L¨osung ist ¨ uberdies die eindeutige L¨osung des Variationsproblems  Z  Z 1 2 min |∇v| dµ − f v dµ . ◦ 2 Ω Ω v∈H1,2 (Ω) Beweis. Wir verwenden hierzu das obige Lemma 5.5 und den Darstellungssatz von Riesz, wobei wir den Beweis in drei Schritte zerlegen. ◦ 1. Schritt: In Lemma 5.5 haben wir bereits bewiesen, dass H1,2 (Ω) mit dem Skalarprodukt (·, ·)∗ ein Hilbert-Raum ist, den wir im Folgenden H∗ nennen wollen. 2. Schritt: Wir wenden den Darstellungssatz von Riesz an: Dazu definieren wir Z ◦ ϕ(u) := f u dµ u ∈ H1,2 (Ω). Ω

Somit liegt ϕ im Dualraum

H∗0 ,

denn nach Lemma 5.5 ist

|ϕ(u)| ≤ |f |L2 (Ω) |u|L2 (Ω) ≤ |f |L2 (Ω) kuk∗,

¨ 5 SOBOLEV-RAUME

62

das heisst, ϕ : H∗ → R ist stetig und linear. Nach dem Riesz’schen Darstellungssatz existiert genau ein u0 ∈ H∗ , so dass (u, u0 )∗ = ϕ(u)

∀ u ∈ H∗ .

Dies ist nach Definition des Skalarproduktes in H∗ gerade ¨ aquivalent dazu, dass ◦ u0 ∈ H1,2 (Ω) die schwache L¨ osung des Dirichlet-Problemes ist. 3. Schritt: Das Variationsproblem. Wir definieren das zu minimierende Funk◦ tional F : H1,2 (Ω) → R durch Z Z 1 1 f u dµ = kuk2∗ − ϕ(u) |∇u|2 dµ − F (u) := 2 Ω 2 Ω ◦

◦

f¨ ur alle u ∈ H1,2 (Ω). Es sei nun u0 ∈ H1,2 (Ω) die eindeutige L¨ osung des Dirichlet◦ Problemes aus Schritt 2, das heisst, (u, u0 )∗ = ϕ(u) f¨ ur alle u ∈ H1,2 (Ω). Dann k¨ onnen wir nachrechnen: F (u) − F (u0 ) =

1 ku − u0 k2∗ > 0, 2

u 6= u0 .

Das heisst, es ist min ◦

F (u) = F (u0 ),

u∈H1,2 (Ω)

also gibt es genau ein Minimum, n¨ amlich u0 . Nun haben wir zwar die Existenz und Eindeutigkeit der schwachen L¨ osung des Dirichlet-Problems gefunden, aber es stellen sich hier die folgenden Fragen: 1. Wie finden wir die (eindeutige) schwache L¨ osung? Wir werden dazu die Antwort sp¨ ater geben k¨ onnen (mittels einer minimierenden Folge des Variationsfunktionals). 2. Wann ist die schwache L¨ osung auch eine klassische L¨ osung? Die Antwort dazu liefern die Regularit¨ atstheorie und elliptische partielle Differentialgleichungen (siehe zum Beispiel H. Brezis, H. W. Alt). Ohne dies zu beweisen: Nehmen wir in Theorem 5.6 zus¨ atzlich an, dass ∂Ω ¯ ist, so ist u0 ∈ H◦1,2 (Ω) ∩ C ∞ (Ω) ¯ aus der Klasse C ∞ (glatt) und f ∈ C ∞ (Ω) und damit eine klassische L¨ osung.

¨ 6 REFLEXIVE RAUME UND SCHWACHE KONVERGENZ

6

63

Reflexive R¨ aume und schwache Konvergenz

6.1

Separable R¨ aume

Definition 6.1. (separabler Raum) Ein metrischer Raum (M, d) heisst separabel, falls es eine abz¨ ahlbare und dichte Teilmenge D ⊂ M gibt. Satz 6.1. Jede Teilmenge A ⊂ M eines separablen Raumes ist separabel. Beweis. Ist M separabel, so existiert eine abz¨ ahlbare Menge D = {x1 , x2 , . . .} ⊂ M ¯ = M . Es sei nun A ⊂ M , dann gibt es zu jedem k ≥ 1 und n ≥ 1 ein akn ∈ A mit D so, dass 1 d(xk , akn ) < d(xk , A) + , n nach Definition der Distanzfunktion d. Wir wollen nun zeigen, dass die Teilmenge ¯ A = A. DA := {akn }k,n≥1 ⊂ A dicht in A liegt, also dass D ¯ = M , so gibt es ein xk ∈ D derart, Dazu seien a ∈ A und ε > 0 gegeben. Weil D dass d(xk , a) < ε. Wir w¨ ahlen nun n so, dass n1 < ε. Dann gilt nach dem oben Gesagten f¨ ur das zugeh¨ orige akn : d(a, akn ) ≤ d(a, xk ) + d(xk , akn ) < ε + d(xk , A) + ≤ ε + d(xk , a) +

1 n

1 ≤ 3ε. n

Da ε > 0 beliebig war, folgt die Behauptung. Zur Illustration geben wir hier noch einige Beispiele: 1. Rn ist separabel, denn die rationalen Zahlen liegen dicht in R. Daraus folgt: jeder endlich-dimensionale metrische Raum ist separabel. 2. Die R¨ aume `p sind separabel, falls 1 ≤ p < ∞. Der Raum `∞ hingegen ist nicht separabel. Beweis. Zuerst beweisen wir, dass `p , 1 ≤ p < ∞ separabel ist: Nach Definition ist X n o lp := x = (xj )j |xj |p < ∞ . j≥1

Wir betrachten die Mengen

DN := {a ∈ `p |a = (aj ), aj rational, aj = 0 j ≥ N + 1}. und bezeichnen mit D die abz¨ ahlbare Vereinigung all dieser Mengen DN : [ D= DN . N ≥1

¯ = `p . D ist eine abz¨ ahlbare Menge und wir behaupten, es gelte D Es sei x = (xj ) ∈ `p und ε > 0 vorgegeben. Wir suchen ein a ∈ D so, dass d(a, x) < ε. Dazu w¨ ahlen wir N so gross, dass X |xj |p < ε. j≥N +1

¨ 6 REFLEXIVE RAUME UND SCHWACHE KONVERGENZ

64

Dann w¨ ahlen wir ein a ∈ DN so, dass N X j=1

|xj − aj |p < ε.

Zusammen erhalten wir also ∞ X j=1

|xj − aj |p =

N X j=1

|xj − aj |p +

X

j≥N +1

|xj |p < 2ε.

Es ist also d(a, x) < 2ε.

2

Nun zu l∞ . Es sei x = (xj ) mit kxk∞ = supj≥1 |xj |. Wir nehmen eine abz¨ ahlbare Folge x(n) ∈ l∞ , also eine Folge von Folgen (n)


x(n) = xj

,

n = 1, 2, . . .

Jetzt definieren wir eine neue Folge y = (yj )j durch ( (j) 1 falls xj ≤ 0 yj = . (j) −1 falls xj > 0 Dann ist nach Konstruktion y ∈ l∞ mit kyk∞ = 1 und es gilt: ky − x(n) k∞ ≥ |yn − x(n) n | ≥1

∀ n = 1, 2, . . .

Die Folge x(n) ist somit nicht dicht in `∞ . Dies gilt f¨ ur jede Folge (x(n) )n , daher ist l∞ nicht separabel. 3. C[0, 1] mit der Supremums-Norm ist separabel, denn die Menge der Polynome mit rationalen Koeffizienten liegt dicht in C[0, 1], nach dem Satz von Weierstrass. 4. Der Raum Cb (0, 1) der beschr¨ ankten, stetigen Funktionen auf (0, 1) mit der Supremums-Norm ist nicht separabel. 5. Jeder kompakte metrische Raum ist separabel. 6. Die R¨ aume Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞ sind separabel, L∞ (Ω) hingegen nicht. Zum Beweis benutzt man, dass Cc (Ω) dicht in Lp (Ω) liegt sowie den Satz von Weierstrass.

6.2

Reflexive R¨ aume

In diesem Abschnitt betrachten wir eine wichtige Klasse von Banach-R¨ aumen. Es sei X ein normierter Raum, so ist sein Dualraum X 0 definiert durch X 0 ≡ X ∗ = L(X, C) mit der Norm kf k = sup |f (x)|, kxk≤1

f ∈ X ∗.

Wie wir bereits wissen ist X ∗ ein Banach-Raum. Wiederholen wir die Konstruktion, so erhalten wir den Bi-Dualraum (X ∗ )∗ := X ∗∗ .

¨ 6 REFLEXIVE RAUME UND SCHWACHE KONVERGENZ

65

Definition 6.2. (kanonische Einbettung) Die kanonische Einbettung X → X ∗∗ , I : X −→ (X ∗ )∗

x 7−→ I(x) ∈ L(X ∗ , C)

ist definiert durch I(x) (f ) = f (x),

f ∈ X ∗ = L(X, C).

Satz 6.2. Die kanonische Einbettung I : X → X ∗∗ ist linear und isometrisch. Beweis. Nach Konstruktion ist I linear, da f ∈ L(X, C) linear ist. Mit dem Satz 4.5 (Hahn-Banach) folgt: kI(x)k = sup |I(x) (f )| = sup |f (x)| = kxk. f ∈X ∗ kf k≤1

f ∈X ∗ kf k≤1

Es kann vorkommen, dass I(X) 6= X ∗∗ , das heisst, das Bild dieser linearen Isometrie I(X) ⊂ X ∗∗ braucht nicht der ganze Raum zu sein. Definition 6.3. (reflexiver Raum) Ein Banach-Raum heisst reflexiv, falls die kanonische Einbettung I : X → X ∗∗ surjektiv ist, das heisst, wenn gilt I(X) = X ∗∗ . Achtung: Diese Definition bezieht sich immer auf die kanonische Einbettung, nicht irgend eine beliebige surjektive Einbettung X → X ∗∗ ! Satz 6.3. Ein Hilbert-Raum H ist immer reflexiv. Beweis. Nach dem Satz von Riesz gibt es eine konjugiert lineare Isometrie von H auf H ∗ , definiert durch ϕ : H −→ H ∗ y 7−→ ϕ(y) mit ϕ(y) (x) = (x, y) f¨ ur alle x ∈ H und mit kϕ(y)k = kyk f¨ ur alle y ∈ H. F¨ ur die kanonische Isometrie I : H → H ∗∗ gilt
I(x) ϕ(y) = ϕ(y) (x) = (x, y) f¨ ur alle ϕ(y) ∈ H ∗ . Wir betrachten f¨ ur α ∈ (H ∗ )∗ die Komposition

y 7→ α(ϕ(y)) ∈ H ∗ . Es existiert nach Riesz ein x0 ∈ H, so dass f¨ ur alle y ∈ H gilt


α(ϕ(y)) = (x0 , y) = ϕ(y) (x0 ) = I(x0 ) ϕ(y) .

Weil ϕ auf H ∗ surjektiv ist, gilt α(f ) = I(x0 ) (f ) f¨ ur alle f ∈ H ∗ , also α = I(x0 ). Es folgen nun zwei n¨ utzliche Strukturs¨ atze: Satz 6.4. Es sei X ein Banach-Raum. Dann gilt: i) X ist reflexiv ⇒ jeder abgeschlossene Teilraum von X ist reflexiv. ii) X ist reflexiv ⇐⇒ X ∗ ist reflexiv.

¨ 6 REFLEXIVE RAUME UND SCHWACHE KONVERGENZ

66

¨ Beweis. Ubungsaufgabe (Hinweis: Fortsetzungssatz von Hahn-Banach). Satz 6.5. Sei X ein Banach-Raum. Dann gelten folgende Aussagen: i) Ist X ∗ separabel, dann ist auch X separabel. ii) Ist X separabel und reflexiv, so ist X ∗ separabel. Beweis. i) Ist X ∗ separabel, dann existiert eine in X ∗ dichte und abz¨ ahlbare Teilmenge D∗ = {f1 , f2 , . . .}.

Nach Definition der Norm im Raum X ∗ gibt es zu jedem j ein xj ∈ X mit kxj k ≤ 1 und

1 kfj k ≤ |fj (xj )|, 2

j ∈ N.

Wir bezeichnen mit D die Menge aller (endlichen) Linearkombinationen von (xj ) mit rationalen Koeffizienten. D ist somit abz¨ ahlbar. Wir wollen nun zeigen, dass D dicht in X liegt. ¯ liegt. Nach Satz 4.4 gen¨ Es sei also x ∈ X. Zu zeigen ist, dass x ∈ D ugt es zu ⊥ zeigen, dass f (x) = 0 f¨ ur alle f ∈ D . Daher sei nun f ∈ D⊥ und ε > 0 beliebig. Weil D∗ in X ∗ dicht liegt, existiert eine Funktion fn ∈ D∗ mit kf − fn k < ε. Nach unserer Definition von D (und weil f ∈ D ⊥ ) ist daher 1 kfn k ≤ |fn (xn )| = |fn (xn ) − f (xn ) | ≤ kfn − f k kxn k ≤ kfn − f k < ε. | {z } 2 =0

Also ist kfn k < 2ε und mit der Dreiecksungleichung folgt dann kf k ≤ kfn − f k + kfn k < 3ε

∀ ε > 0.

Also ist kf k = 0 und damit ist f = 0 in X ∗ , mit anderen Worten, es ist f (x) = 0 f¨ ur alle x aus X. ii) folgt direkt aus i): Da X separabel und reflexiv ist, ist I(X) = (X ∗ )∗ separabel, denn I ist eine Isometrie auf (X ∗ )∗ . Es folgt aus i), dass X ∗ separabel ist.

6.3

Beispiele von Dualr¨ aumen

Als erstes betrachten wir die Folgenr¨ aume `p , zuallererst den Raum `1 . Es sei y = (yj ) ∈ `∞ , kyk∞ = supj≥1 |yj | < ∞. Wir ordnen dieser Folge y ein Funktional ϕ(y) aus `∗1 zu mittels X ϕ(y) (x) = y j xj ∀ x = (xj ) ∈ `1 . j≥1

Wir behaupten, es sei ϕ(y) ∈ `∗1 und kϕ(y)k`∗1 ≤ kyk∞ . Es gilt f¨ ur alle x ∈ `1 : kϕ(y) (x)k ≤

X j≥1

|yj | |xj | ≤ sup |yj | j≥1

X j≥1

|xj | = kyk∞ kxk`1 .

Daher ist kϕ(y)k`∗1 ≤ kyk∞ . Es gilt sogar: Mit dieser einfachen Konstruktion haben wir schon alle Funktionen f ∈ `∗1 gefunden!

¨ 6 REFLEXIVE RAUME UND SCHWACHE KONVERGENZ

67

Satz 6.6. Die oben konstruierte Funktion ϕ : `∞ → `∗1 ist eine surjektive Isometrie, das heisst, es ist kϕ(y)k`∗1 = kyk∞ ∀ y ∈ `∞ . Zusatz: Der Raum `1 ist nicht reflexiv.

Beweis. Es seien f ∈ `∗1 = L(`1 , C), x eine Folge (xj ) = (x1 , x2 , . . .) ∈ `1 und ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .) der i-te Einheitsvektor in `1 . Dann ist x = lim

N →∞

=

X

N X

xj e j

in `1

j=1

xj e j

in `1 .

j≥1

Weil f linear und stetig ist, folgt f (x) = lim f N →∞

N X

xj e j

j=1

!

= lim

N →∞

N X

xj f (ej ).

j=1

Wir definieren die Zahlenfolge y = (yj ) durch yj = f (ej ) und zeigen, dass y ∈ `∞ und kyk∞ ≤ kf k: Es gilt n¨ amlich |yj | = |f (ej )| ≤ kf k kej k`1 ≤ kf k

∀ j ≥ 1.

Also ist kyk∞ = sup |yj | ≤ kf k j≥1

und es folgt somit f (x) = lim

N →∞

N X

xj y j =

j=1

X

∀ x ∈ `1 .

xj yj = ϕ(y) (x)

j≥1

Daher ist f = ϕ(y). Weil kyk∞ ≤ kϕ(y)k ist und nach Vorbemerkung kϕ(y)k ≤ kyk∞ ist, folgt kϕ(y)k = kyk∞ . Daher ist ϕ : `∞ → `∗1 eine surjektive Isometrie. Und nun zum Zusatz: Wir nehmen an, dass `1 reflexiv ist. Weil `1 separabel ist, folgt mit Satz 6.5, dass `∗1 separabel ist. Nun ist `∗1 isometrisch isomorph zu `∞ , also ist auch `∞ separabel. Dies ist jedoch falsch, demnach ist `1 nicht reflexiv. Nun kommen wir zu `p f¨ ur p > 1. Es sei q ∈ R so, dass das Funktional

1 p

+ 1q = 1. Wir definieren

ϕ : `q −→ `∗p

y 7−→ ϕ(y)

durch ϕ(y) (x) =

X j≥1

xj y j

∀ x = (xj ) ∈ `p .

Die Funktion ϕ(y) liegt in `∗p , und mit der H¨ older’schen Ungleichung folgt ⇒

|ϕ(y) (x)| ≤ kxkp kykq kϕ(y)k ≤ kykq .

Wieder haben wir schon alle stetigen Funktionale auf `p gefunden.

¨ 6 REFLEXIVE RAUME UND SCHWACHE KONVERGENZ

68

Satz 6.7. Es sei 1 < p < ∞ und p1 + 1q = 1. Dann ist ϕ : `q → `∗p eine surjektive ur f ∈ `∗p gibt es eine Darstellung Isometrie, das heisst, es ist kϕ(y)k`∗p = kyk`q . F¨ der Form X f (x) = ϕ(y) (x) = xj y j x = (xj ) ∈ `p j≥1

f¨ ur ein eindeutiges y = (yj ) ∈ `q . Zusatz: `p ist reflexiv f¨ ur 1 < p < ∞. Beweis. Wir werden nur den Zusatz beweisen: dazu m¨ ussen wir zeigen, dass I : `p → (`∗p )∗ surjektiv ist. Nach Satz 6.7 existieren zwei surjektive Isometrien ϕ : `q −→ `∗p ,

ψ : `p −→ `∗q .
Es sei nun α ∈ (`∗p )∗ . Dann ist y 7→ α ϕ(y) ∈ `∗q . Daher existiert nach Satz 6.7 ein x ∈ `p so, dass f¨ ur alle y ∈ `q gilt X

α ϕ(y) = ψ(y) (x) = yj xj = ϕ(x) (y) = I(x) ϕ(y) . j≥1

Da ϕ : `q → `∗p surjektiv ist, gilt α(f ) = I(x) (f ) f¨ ur alle f ∈ `∗p , also ist α = I(x). Als n¨ achstes betrachten wir die R¨ aume Lp (Ω) f¨ ur ein offenes Ω ⊂ Rn . Bei genauerer Betrachtung f¨ allt auf, dass das nachfolgende Theorem, der Darstellungssatz von Riesz, gerade den Aussagen der S¨ atze 6.6 und 6.7 entspricht, nur diesmal f¨ ur Lp (Ω) an Stelle von `p . Wir beginnen wieder mit p = 1: Wir definieren das Funktional ϕ : L∞ (Ω) −→ L1 (Ω)∗ y 7−→ ϕ(y) durch ϕ(y) (x) =

Z

x ∈ L1 (Ω).

xy dµ Ω

Das Funktional ϕ(y) liegt in L1 (Ω)∗ , denn es gilt Z |x| dµ = kyk∞ kxkL1 (Ω) , |ϕ(y) (x)| ≤ kyk∞ Ω

also ist kϕ(y)k ≤ kyk∞ . Es seien nun p, q ∈ R so, dass p > 1 und das Funktional

1 p

+

1 q

= 1. Wieder konstruieren wir

ϕ : Lq (Ω) −→ Lp (Ω)∗ y 7−→ ϕ(y) durch ϕ(y) (x) =

Z

xy dµ Ω

x ∈ Lp (Ω).

Wegen der H¨ older’schen Ungleichung ist ϕ(y) ∈ Lp (Ω)∗ , denn es gilt |ϕ(y) (x)| ≤ kxkLp(Ω) kykLq (Ω) . Wiederum haben wir so alle stetigen Funktionen gefunden:

¨ 6 REFLEXIVE RAUME UND SCHWACHE KONVERGENZ

69

Theorem 6.1 (Darstellungssatz von Riesz). Mit obigen Definitionen gilt: i) Das Funktional ϕ : L∞ (Ω) → L1 (Ω)∗ ist eine surjektive Isometrie; es gilt L1 (Ω)∗ ∼ = L∞ (Ω). ii) Das Funktional ϕ : Lq (Ω) → Lp (Ω)∗ , p1 + q1 = 1, p > 1, ist eine surjektive Isometrie: Lp (Ω)∗ ∼ = Lq (Ω). Zusatz: Die R¨aume Lp (Ω) sind f¨ ur 1 < p < ∞ reflexiv, die R¨aume L1 (Ω) und ∞ L (Ω) sind es nicht. Beweis. Das Theorem zeigt man mittels Integrationstheorie.

6.4

Schwache Konvergenz und Variationsprobleme

Es bezeichne X einen normierten Raum und X ∗ = L(X, C). F¨ ur eine Funktion f ∈ X ∗ gilt wegen der Stetigkeit: Konvergiert eine Folge (xj ) in X gegen x, so konvergiert f (xj ) mit j → ∞ in C gegen f (x). Die Umkehrung muss aber nicht gelten. Das motiviert folgende Definition: Definition 6.4. (schwach konvergente Folge) Eine Folge xj ∈ X konvergiert schwach gegen x ∈ X, falls gilt lim f (xj ) = f (x)

j→∞

f¨ ur alle f ∈ X ∗ . Wir schreiben dann xj * x. Als Beispiel betrachten wir X = Lp (Ω) mit p > 1 und p1 + xj in X schwach gegen x, so ist Z Z lim xj y dµ = xy dµ ∀ y ∈ Lq (Ω). j→∞

Ω

1 q

= 1. Konvergiert

Ω

Bemerkungen: 1. Der schwache Limes ist eindeutig: xj xj

* x * y

⇐⇒ ⇐⇒

f (xj ) f (xj )

→ f (x) → f (y)



∀ f ∈ X ∗.

Dann ist f (x) = f (y) f¨ ur alle f ∈ X ∗ , nach Satz 4.2 also x = y. 2. Es gilt xj → x

⇒

xj * x,

xj * x

⇒

xj → x,

die Umkehrung, also gilt im Allgemeinen hingegen nicht: ahlen Folgen Es sei X = `p , 1 < p < ∞, p1 + q1 = 1 und X ∗ = `∗q . Wir w¨ (n)
(n) x ∈ `p mit xj = (δjn ). Dann ist kx(n) − x(m) kp`p = 2

n 6= m,

¨ 6 REFLEXIVE RAUME UND SCHWACHE KONVERGENZ

70

also ist x(n) keine Cauchy-Folge in `p . Es gilt jedoch x(n) * 0 in `p , denn nehmen wir ϕ : `q → `∗p , so ist
X (n) yj xj = yn → 0 (n → ∞), ϕ(y) x(n) = j≥1

weil

P

j≥1

|yj |q < ∞ f¨ ur alle y ∈ `q .

Nun ist ϕ surjektiv, also folgt f (x(n) ) → 0 f¨ ur alle f ∈ `∗p , mit anderen Worten, (n) es gilt x * 0. Betrachten wir den Dualraum X ∗ einmal etwas genauer, so stellen wir fest, dass es drei Konvergenzbegriffe in X ∗ gibt: i) Norm-Konvergenz: Die u ¨bliche“ Form der Konvergenz, wir schreiben ” fj → f in X ∗ . ii) schwache Konvergenz: wie oben definiert: es ist fj * f

in X ∗ ⇐⇒ α(fj ) → α(f )

∀ α ∈ (X ∗ )∗ .

iii) schwache-∗-Konvergenz: Wir schreiben ∗

fj * f ⇐⇒ α(fj ) → α(f )

∀ α ∈ I(X) ⊂ (X ∗ )∗ ,

wobei I : X → (X ∗ )∗ die kanonische Injektion mit I(x) (f ) := f (x)

f ∈ X ∗, x ∈ X

bezeichnet Definition 6.5. (schwache-∗-Konvergenz) Es gilt ∗ fj * f in X ∗ ⇐⇒ fj (x) → f (x)

∀x ∈ X,

das heisst, f konvergiert punktweise.

In der obigen Aufz¨ ahlung der Konvergenzbegriffe gilt: i) ⇒ ii) ⇒ iii), wobei ii) und iii) a quivalent sind, falls X reflexiv ist, weil dann I(X) = (X ∗ )∗ ist. ¨ Theorem 6.2. Die Folge xj konvergiere schwach in X, das heisst, es sei xj * x. Dann gilt i) sup kxj k < ∞, j≥1

ii) kxk ≤ lim inf kxj k. j→∞

Das heisst, schwach konvergente Folgen sind beschr¨ankt und wir k¨onnen den schwachen Limes absch¨atzen. Beweis. Nach Voraussetzung ist f (xj ) → f (x) f¨ ur alle f aus dem Dualraum X ∗ . F¨ ur die Folge von linearen Operatoren I(xj ) ∈ L(X ∗ , C), I(xj ) (f ) = f (xj ) gilt daher I(xj ) (f ) → I(x) (f ) ∀ f ∈ X ∗.

Weil X ∗ ein Banach-Raum ist, folgt aus den S¨ atzen 3.1 und 6.2 sup kxj k = sup kI(xj )k < ∞ j≥1

j≥1

und kxk = kI(x)k ≤ lim inf kI(xj )k = lim inf kxj k. j→∞

j→∞

¨ 6 REFLEXIVE RAUME UND SCHWACHE KONVERGENZ

71

Satz 6.8. Folgende Aussagen sind ¨aquivalent: i) Die Folge xj konvergiert in X schwach gegen x: xj * x; ii) Die Folge xj erf¨ ullt (1)

sup kxj k < ∞, j≥1

(2)

lim f (xj ) = f (x)

j→∞

¯ = X ∗. ∀ f ∈ D mit D

Beweis. i) ⇒ ii) entspricht gerade der Aussage von Theorem 6.2. Also m¨ ussen wir noch den umgekehrten Weg zeigen. Es sei g ∈ X ∗ gegeben. Es ist zu zeigen, dass limj→∞ g(xj ) = g(x). Dazu nehmen wir ein f ∈ X ∗ , dann ist |g(xj ) − g(x)| ≤ |g(xj ) − f (xj )| + |f (xj ) − f (x)| + |f (x) − g(x)| ≤ kg − f k kxj k + kf − gk kxk + |f (xj ) − f (x)|. Nach Voraussetzung ii) existiert eine Konstante C > 0 so, dass kxj k ≤ C und kxk ≤ C, also ist |g(xj ) − g(x)| ≤ Ckf − gk + |f (xj ) − f (x)|

∀ j ≥ 1.

(6.1)

es sei ε > 0. Da wir f frei gew¨ ahlt haben, sei f ∈ D nach (2) so, dass der erste Term der Gleichung (6.1) < ε/2. Nun w¨ ahlen wir f¨ ur dieses f ein j0 (ε), so dass der zweite Term in (6.1) < ε/2 f¨ ur alle j > j0 . Damit folgt die Behauptung. Bisher haben wir zwar mit dem Begriff der schwachen Konvergenz gearbeitet, doch: was bedeutet schwache Konvergenz in den spezifischen R¨ aumen? Um diese Frage zu beantworten brauchen wir die Darstellungss¨ atze. Wir werden einen solchen f¨ ur X = `p f¨ ur p > 1 beweisen. Wie gewohnt schreiben wir (n)
x(n) = xj j ∈ `p , x = (xj )j ∈ `p

f¨ ur eine Folge (x(n) ) von Elementen (also Folgen) in `p beziehungsweise f¨ ur ein Element x in `p . Satz 6.9. Es ist x(n) eine in `p schwach gegen x konvergierende Folge (p > 1) genau dann, wenn (1)

sup kx(n) k < ∞, n≥1

(2)

(n) n→∞

xj

−→ xj

∀ j,

das heisst, x(n) konvergiert koordinatenweise. Beweis. Zuerst beweisen wir ⇒. (1) folgt sofort aus Theorem 6.2. F¨ ur (2) definieren wir eine Folge fj ∈ `∗p durch fj (x) = xj , x = (xj ) ∈ `p . Dann gilt f¨ ur alle j (n)

xj

= fj (x(n) ) → fj (x) = xj

n→∞

nach Voraussetzung. Nun zu ⇐: Wir machen obige Schritte einfach r¨ uckw¨ arts: also definieren wir die ¯ = `∗ , also folgt xj * x aus (1) und Menge D = hf1 , f2 . . .i ⊂ `∗p . Ist p > 1, so ist D p (2) mit Hilfe von Satz 6.8. Doch wozu besch¨ aftigen wir uns u ¨berhaupt mit der schwachen Konvergenz? Eine Anwendung ist eine schwache Form des Satzes von Heine-Borel:

¨ 6 REFLEXIVE RAUME UND SCHWACHE KONVERGENZ

72

Theorem 6.3. Es sei X ein reflexiver Raum, xj ∈ X eine beschr¨ankte Folge, kxj k ≤ M , j ≥ 1. Dann existiert ein x ∈ X und eine Teilfolge xjk , so dass in X, (k → ∞).

xj k * x Aus Theorem 6.2 folgt kxk ≤ M .

Bemerkung: In einem reflexiven Raum hat jede beschr¨ ankte Folge eine schwach konvergente Teilfolge. Diese Eigenschaft charakterisiert die Reflexivit¨ at eines Raumˇ es (Satz von Eberlein-Smulyan, siehe Yosida, Seite 149ff). Definition 6.6. (schwach abgeschlossene Menge) Eine Teilmenge A ⊂ X heisst schwach (folgen-)abgeschlossen, falls  xj ∈ A ⇒ x ∈ A. xj * x Lemma 6.1. Ist A schwach abgeschlossen, so ist A¯ = A. ¯ dann existiert eine Folge xj ∈ A mit xj → x. Also ist auch Beweis. Es sei x ∈ A, xj * x, nach Voraussetzung ist dann x ∈ A, folglich ist A¯ = A. ¨ Beispiel: ur p > 1 ist der schwache Abschluss der Menge A = (Ubungsaufgabe) F¨ {x ∈ `p kxkp = 1} die abgeschlossene Kugel K = {x ∈ `p kxkp ≤ 1}. Lemma 6.2. Die folgenden Mengen A ⊂ X sind schwach abgeschlossen: i) A ist abgeschlossen und linear; ii) Die abgeschlossene Kugel A = {x kxk ≤ R};

iii) A konvex und abgeschlossen.

Beweis. Wir benutzen den Satz von Hahn-Banach. i): Es sei xj ∈ A und xj * x. Dann ist f (xj ) → f (x) f¨ ur alle f ∈ X ∗ . Wir ⊥ nehmen speziell eine Funktion f ∈ A , denn somit ist f (xj ) = 0 f¨ ur alle j ≥ 1. ¯ Weil A Demnach ist f (x) = 0 f¨ ur alle solche f ∈ A⊥ . Daher ist mit Satz 4.4 x ∈ A. abgeschlossen ist, liegt x in A. ii) Sei kxj k ≤ R und xj * x. Dann folgt mit Theorem 6.2 kxk ≤ lim inf kxj k ≤ R. j→∞

F¨ ur den Beweis von iii) siehe H. W. Alt. Theorem 6.4 (Approximationstheorem). Es sei X reflexiv, M ⊂ X abgeschlossen und linear, x∗ ∈ X. Dann existiert ein m∗ ∈ M so, dass d(x∗ , M ) = inf kx∗ − xk = kx∗ − m∗ k, x∈M

mit anderen Worten, das Minimum existiert. Beweis. Dazu ben¨ otigen wir die Theoreme 6.2 und 6.3: Nach der Definition des Infimums existiert eine Minimalfolge mj ∈ M mit kx∗ − mj k −→ inf kx∗ − mk =: α. m∈M

Das heisst, die Folge mj ist beschr¨ ankt. Weil X reflexiv ist, existiert nach Theorem 6.3 ein Element m∗ ∈ X und eine Teilfolge mjk so, dass mit k → ∞ die Teilfolge in X schwach gegen m∗ konvergiert, also mj k * m ∗

in X.

¨ 6 REFLEXIVE RAUME UND SCHWACHE KONVERGENZ

73

Weil M abgeschlossen ist, so ist M schwach abgeschlossen (Lemma 6.2), und daher ist m∗ ∈ M . Mit Theorem 6.2 folgt dann α ≤ kx∗ − m∗ k ≤ lim inf kx∗ − mjk k = lim kx∗ − mjk k = α. k→∞

k→∞

Folglich ist kx∗ − m∗ k = α. Wir wollen nun noch etwas allgemeiner werden: Definition 6.7. (schwach-folgen-unterhalb-stetige Funktion) Es sei A ⊂ X eine Teilmenge. Eine Funktion F : A → 6 R heisst im Punkt x ∈ A schwach-folgen-unterhalbstetig (kurz: s.f.u.s.), falls f¨ ur jede Folge xj ∈ A mit F (x) xj * x gilt

b r

F (x) ≤ lim inf F (xj ). j→∞

x

-

Dazu m¨ ochten wir einige Beispiele geben: 1. Die Norm F (x) = kxk, F : X → R ist s.f.u.s. wegen Theorem 6.2. 2. Allgemeiner: sei F : A ⊂ X → R stetig und konvex, A abgeschlossen und konvex. Dann ist F s.f.u.s. auf A. Denn: Die Menge Ar := {x ∈ A|F (x) ≤ r}, r ∈ R, ist abgeschlossen und konvex. Falls die Aussage falsch ist, so existiert x ∈ A und eine Folge xj * x so, dass F (x) > lim inf F (xj ). j→∞

Es existiert ein r < F (x) und eine Teilfolge xjk ∈ Ar , so dass F (xjk ) ≤ r f¨ ur k ≥ 1. Weil Ar nach Lemma 6.2.iii) schwach abgeschlossen ist, folgt aus xjk * x, dass x ∈ Ar , das heisst, es ist F (x) ≤ r, im Widerspruch zu F (x) > r. Theorem 6.5 (Variationsprinzip). Es sei X reflexiv, A ⊂ X eine beschr¨ankte und schwach abgeschlossene Teilmenge und F : A → R s.f.u.s. auf A. Dann existiert ein x∗ ∈ A mit F (x∗ ) = inf F (x) ∈ R, x∈A

das heisst, es existiert ein Minimum. Beweis. Zuerst zeigen wir, dass inf A F > −∞ ist. Sei inf A F = −∞. Dann existiert xj ∈ A, so dass F (xj ) < −j. Weil X reflexiv und A beschr¨ ankt ist, existiert nach Theorem 6.3 ein x∗ ∈ X so, dass eine Teilfolge xjk schwach gegen x∗ konvergiert. Weil nun A schwach abgeschlossen ist, ist x∗ ∈ A. Da F s.f.u.s. in x∗ ist, folgt −∞ < F (x∗ ) ≤ lim inf F (xjk ) = −∞, k→∞

was offenbar ein Widerspruch ist. Nun sei inf A F = α ∈ R. Wir nehmen eine minimierende Folge xj , das heisst, es ist F (xj ) → α. Nach unserer Annahme ist A beschr¨ ankt und schwach abgeschlossen, daher existiert – wiederum nach Theorem 6.3 – ein x∗ ∈ A so, dass es eine Teilfoge xjk gibt, die schwach gegen x∗ ∈ A konvergiert. Da F s.f.u.s. in x∗ ist, ergibt sich α ≤ F (x∗ ) ≤ lim inf F (xjk ) = lim F (xjk ) = α. k→∞

∗

Also ist F (x ) = α.

k→∞

¨ 6 REFLEXIVE RAUME UND SCHWACHE KONVERGENZ

74

Bemerkung: Die Eindeutigkeit des Minimums erfordert zus¨ atzliche Bedingungen an die Funktion F , Theorem 6.5 garantiert nur die Existenz des Minimums. Zum Beispiel gen¨ ugt es anzunehmen, dass F strikt konvex und A konvex ist, das heisst, f¨ ur x1 , x2 ∈ X mit x1 6= x2 und 0 < λ < 1 gilt F (λx1 + (1 − λ)x2 ) < λF (x1 ) + (1 − λ)F (x2 ). Das Minimum ist eindeutig, denn mit x1 6= x2 und F (x1 ) = F (x2 ) < F (x) f¨ ur alle x folgt f¨ ur 0 < λ < 1 F (x1 ) ≤ F (λx1 + (1 − λ)x2 ) < λF (x1 ) + (1 − λ)F (x2 ) = F (x1 ), was offensichtlich ein Widerspruch ist. In Theorem 6.4 ist das Minimum eindeutig, falls, zum Beispiel, die Norm eine strikte Norm ist, das heisst, wenn gilt x, y 6= 0 und

kx + yk = kxk + kyk

⇒ x = λy,

λ > 0.

Als Beispiel betrachten wir wieder das Dirichlet-Problem (siehe (5.3), Seite 59): ◦ Es sei F : H1,2 (Ω) → R, Ω ⊂ Rn offen und beschr¨ ankt, f ∈ L2 (Ω) mit Z Z ◦ 1 F (x) = f x dµ x ∈ H1,2 (Ω). |∇x|2 dµ − 2 Ω Ω Dieses F ist strikt konvex und s.f.u.s. Da wir das Theorem 6.3 noch nicht bewiesen haben, wollen wir das jetzt noch nachholen. Als Vorbereitung folgt jetzt ein Satz u ¨ber den Dualraum X ∗ eines separablen Raumes X: Die abgeschlossene Einheitskugel in X ∗ ist schwach-∗-folgenkompakt. Satz 6.10 (Alaoglu-Banach). Es sei X separabel, fj ∈ X ∗ eine beschr¨ankte Folge, kfj k ≤ M f¨ ur j ≥ 1. Dann existiert ein f ∈ X ∗ und eine Teilfolge fjk so, dass kf k ≤ M und ∀ x ∈ X, lim fjk (x) = f (x) k→∞

also konvergiert die Teilfolge punktweise gegen f ∈ L(X, C) = X ∗ . Beweis. Wir benutzen den Satz von Heine-Borel und den bekannten Diagonal-Trick: ¯ = X. Weil X separabel ist, existiert eine dichte Folge D = {x1 , x2 , . . .} ⊂ X mit D Nach Voraussetzung ist sup |fj (xn )| ≤ M kxn k < ∞ j≥1

f¨ ur jedes feste n.
Die beschr¨ ankte Zahlenfolge fj (xn ) j hat nach Heine-Borel eine konvergente Teilfolge, und zwar f¨ ur jedes feste n = 1, 2, . . .. Nach dem Diagonalverfahren finden wir eine Teilfolge fjk so, dass lim fjk (xn )

k→∞

existiert f¨ ur jedes n. Wir definieren die lineare H¨ ulle Y = hx1 , x2 , . . .i = hDi ⊂ X. Dann folgt, dass lim fjk (y) =: ϕ(y)

k→∞

y∈Y

¨ 6 REFLEXIVE RAUME UND SCHWACHE KONVERGENZ

75

existiert und ϕ : Y → C linear und stetig ist, denn es gilt |ϕ(y)| = lim |fjk (y)| ≤ M kyk k→∞

und somit kϕk ≤ M . Nach Voraussetzung ist Y¯ = X, daher existiert eine eindeutige stetige Fortsetzung von ϕ auf X, wir nennen sie f ∈ X ∗ . Es gilt kf k = kϕk ≤ M . ¯ = X, so folgt Weil f (x) = ϕ(x) f¨ ur alle x ∈ D und weil D lim fjk (x) = f (x)

k→∞

∀ x ∈ X.

Als letztes beweisen wir nun das Theorem 6.3: Beweis. Es sei X reflexiv und eine beschr¨ ankte Folge xj ∈ X mit kxj k ≤ M gegeben. Wir definieren die abgeschlossene Menge Y = hx1 , x2 , . . .i ⊂ X. Weil X reflexiv ist, gilt dies wegen Satz 6.4 auch f¨ ur Y . Nach Konstruktion ist Y separabel und mit Satz 6.5 folgt, dass auch Y ∗ separabel ist. Nun wenden wir Satz 6.10 auf Y ∗ an. Betrachten wir die Folge I(xj ) ∈ (Y ∗ )∗ , xj ∈ Y im Dualraum von Y ∗ . Sie ist nach Voraussetzung beschr¨ ankt, da kI(xj )k = kxj k ≤ M. Nach Satz 6.10 existiert daher ein y ∗∗ ∈ (Y ∗ )∗ mit ky ∗∗ k ≤ M und eine Teilfolge xjk so, dass k→∞

I(xjk ) (y ∗ ) −−−− → y ∗∗ (y ∗ )

f¨ ur jedes y ∗ ∈ Y ∗ . Da Y reflexiv ist, existiert x ∈ Y mit y ∗∗ = I(x). Daher ist nach Definition von I : Y → (Y ∗ )∗ y ∗ (xjk ) = I(xjk ) (y ∗ ) → I(x) (y ∗ ) = y ∗ (x) f¨ ur jedes y ∗ ∈ Y ∗ . Es sei nun x∗ ∈ X ∗ = L(X, C), dann ist die Restriktion x∗ |Y ∈ Y ∗ und deshalb x∗ (xjk ) → x∗ (x)

⇐⇒ xjk * x in X. ¨ Uberdies ist kxk = kI(x)k = ky ∗∗ k ≤ M .

∀ x∗ ∈ X ∗

76

7 SPEKTRUM UND RESOLVENTE

7

Spektrum und Resolvente

Als einleitendende Bemerkungen wollen wir einige Begiffe wiederholen, denen wir in diesem Abschnitt des ¨ ofteren begegnen werden: Definition 7.1. (Skalarprodukt) Ein Skalarprodukt auf dem Vektorraum X ist eine zweiparametrige Funktion (·, ·) : X × X → K, wobei K ein K¨ orper ist, mit den Eigenschaften i) (x1 + x2 , y) = (x1 , y) + (x2 , y); ii) (λx, y) = λ(x, y); iii) (x, y) = (y, x); iv) (x, x) ≥ 0; v) (x, x) = 0 ⇔ x = 0. Aus den Eigenschaften i) − iii) folgt automatisch, dass (x, y1 + y2 ) = (x, y1 ) + (x, y2 )

und

¯ y). (x, λy) = λ(x,

Aus der Linearen Algebra entnehmen wir folgendes Resultat, ohne es zu beweisen: Lemma 7.1 (Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung). F¨ ur ein Skalarprodukt (·, ·) auf dem Vektorraum X gilt |(x, y)|2 ≤ (x, x) (y, y)

∀x, y ∈ X.

Definition 7.2. (Hilbert-Raum) Ein Hilbert-Raum ist ein vollst¨ andiger normierter Raum (H, k k) mit einem Skalarprodukt (·, ·), so dass 1 ∀x ∈ X. (x, x) 2 = kxk

7.1

Adjungierte Operatoren im Hilbert-Raum

Es sei H ein Hilbert-Raum. Dann erf¨ ullt das Skalarprodukt (·, ·) die Ungleichung |(x, y)| ≤ kxk kyk und es ist linear im ersten Argument, anti-linear im zweiten. Beispiel: Z H = L2 (Ω), (f, g) = f g¯ dµ. Ω

Definition 7.3. (formal adjungierter Operator) Es sei A : DA ⊂ H → H. Dann heisst ein Operator B : DB ⊂ H → H formal adjungiert zu A, falls (Ax, y) = (x, By)

x ∈ D A , y ∈ DB .

d w¨ ahlen wir DA = Cc∞ (R). Mittels partieller Beispiel. Mit H = L2 (Ω) und A = i dt Integration folgt, dass

(Ax, y) = (x, Ay) das heisst, A ist formal selbstadjungiert .

∀ x, y ∈ DA ,

77

7 SPEKTRUM UND RESOLVENTE

Ein Operator kann sehr viele formal adjungierte Operatoren besitzen. Ist jedoch ¯ A = H, so gibt es darunter einen ausgezeichneten, den zu A adjungierten Operator D A∗ : Definition 7.4. (adjungierter Operator) ¯ A = H. Dann ist Es sei A : DA ⊂ H → H dicht definiert auf H, das heisst, es sei D sein adjungierter Operator A ∗ : DA ∗ ⊂ H → H wie folgt definiert:   die lineare Abbildung DA → C, gegeben durch ∗ DA := y ∈ H x 7→ (Ax, y) ist stetig

¯ A = H, so existiert f¨ Weil D ur y ∈ DA∗ eine eindeutige stetige Fortsetzung von x 7→ (Ax, y) zu einer stetigen, linearen Abbildung f ∈ H ∗ = L(H, C). Nach dem Satz von Riesz existiert ein eindeutiges y ∗ ∈ H so, dass f (x) = (x, y ∗ ) f¨ ur alle x ∈ H. Daher ist (Ax, y) = (x, y ∗ ) ∀ x ∈ DA . Damit k¨ onnen wir schreiben

DA∗ = {y ∈ H| ∃y ∗ : (Ax, y) = (x, y ∗ ) ∀ x ∈ DA }.

Dieses y ∗ ∈ H ist eindeutig, und man definiert damit A∗ y = y ∗

y ∈ D A∗ .

Es folgt dann (Ax, y) = (x, A∗ y) ∗

∀x ∈ DA , y ∈ DA∗ ,

das heisst, A ist ein zu A formal adjungierter Operator. Es gilt sogar: A∗ ist der maximale zu A formal adjungierte Operator. ¯ A = H. Dann hat A∗ folgende Eigenschaften: Satz 7.1. Es sei A : DA ⊂ H → H, D i) A∗ ist der maximale zu A formal adjungierte Operator;

ii) A∗ ist abgeschlossen; iii) Ist A ⊂ B, so folgt B ∗ ⊂ A∗ .

Zur Notation: Wir schreiben A ⊂ B und meinen dabei DA ⊂ DB und Ax = Bx f¨ ur alle x ∈ DA .

Beweis. i) Es sei B : DB ⊂ H → H ein zu A formal adjungierter Operator, das heisst, es gelte (Ax, y) = (x, By) f¨ ur alle x ∈ DA , y ∈ DB . Wir betrachten ein festes y ∈ DB . Das lineare Funktional (x, By) ist stetig in x ∈ DA . Nach Definition der Adjungierten A∗ liegt y in DA∗ und es ist A∗ y = By, also ist B ⊂ A∗ . ii) Sei {yj , A∗ yj } eine Folge in H ⊕H mit yj ∈ DA∗ , die gegen {y, z} konvergiert. Dann ist (Ax, yj ) = (x, A∗ yj ) x ∈ DA ↓ ↓ (Ax, y) = (x, z) x ∈ DA . Das Funktional auf der rechten Seite ist stetig in x ∈ DA , und nach der Definition der Adjungierten A∗ heisst das, dass y in DA∗ liegt und dass A∗ y = z ist. Folglich ist A∗ abgeschlossen. iii) Es sei y ∈ DB ∗ , dann gilt f¨ ur alle x ∈ DA ⊂ DB (Ax, y) = (Bx, y) = (x, B ∗ y).

Auf der rechten Seite steht ein in x ∈ DA stetiges Funktional (also auch auf der linken). Nach Definition von A∗ gilt dann aber: y ∈ DA∗ und A∗ y = B ∗ y, das heisst, es ist B ∗ ⊂ A∗ .

78

7 SPEKTRUM UND RESOLVENTE

Definition 7.5. (symmetrischer, selbstadjungierter Operator) ¯ A = H heisst symmetrisch, falls A ⊂ A∗ . Ein Operator A : DA ⊂ H → H mit D ¨ Aquivalent dazu ist (Ax, y) = (x, Ay) f¨ ur alle x, y ∈ DA . Der Operator heisst selbstadjungiert, falls A = A∗ , das heisst, wenn A ⊂ A∗ und DA∗ = DA . Bemerkungen: 1. Falls der Operator A stetig ist, also A ∈ L(H), so ist symmetrisch gleichbedeutend wie selbstadjungiert. 2. In der ¨ alteren Literatur werden selbstadjungierte Operatoren auch maximal symmetrische Operatoren genannt. Dies hat folgende Motivation: Es sei A = A∗ , A ⊂ B mit B ⊂ B ∗ , das heisst, B ist eine symmetrische Erweiterung von A. Nach Satz 7.1.iii) ist dann A = A∗ ⊃ B ∗ ⊃ B also A ⊃ B, und daher ist A = B.

Zur Illustration betrachten wir ein Beispiel: Es sei H = L2 (0, 1) mit komplexwertigen Funktionen mit dem Skalarprodukt Z 1 (f, g) = f g¯ dµ. 0

Die Operatoren seien gegeben durch Ak := i

d : DAk ⊂ L2 (0, 1) → L2 (0, 1). dt

Sie unterscheiden sich nur durch den Definitionsbereich. Wichtig: der Operator wirkt als schwache Ableitung! Als Definitionsbereiche untersuchen wir DA1 := H 1,2 (0, 1) DA2 := H

1,2

DA3 := H

1,2

d dt

maximaler Definitionsbereich

(0, 1) ∩ {x(0) − x(1) = 0}

(0, 1) ∩ {x(0) = 0 = x(1)}

periodische Randbedingungen Dirichlet-Randbedingungen

Zur Erinnerung: es ist H 1,2 (0, 1) ⊂ C[0, 1]. Da Cc∞ (0, 1) in L2 (0, 1) dicht liegt und ur k = 1, 2, 3, sind die Operatoren dicht definiert. Zudem sind Cc∞ (0, 1) ⊂ DAk f¨ alle Operatoren (nach Sobolev) abgeschlossen. Daher existieren alle Adjungierten A∗k und mit DA3 ⊂ DA2 ⊂ DA1 folgt A3 ⊂ A 2 ⊂ A 1

⇒ A∗1 ⊂ A∗2 ⊂ A∗3 .

Satz 7.2. Es gilt A∗3 = A1 , A∗2 = A2 , A∗1 = A3 . ¨ Beweis. Ubungsaufgabe (mittels partieller Integration). Folgerungen: 1. A3 ist symmetrisch, aber nicht selbstadjungiert (der Definitionsbereich ist zu klein): A3 ⊂ A2 = A∗2 ⊂ A∗3 ⇒ A3 ⊂ A∗3 . Also:

A∗3 = A1 % A3 . 2. A2 ist eine selbstadjungierte Erweiterung des symmetrischen Operators A3 . 3. A1 ist eine echte Erweiterung des selbstadjungierten Operators A2 , kann daher also nicht symmetrisch sein: A∗1 = A3 $ A1 .

79

7 SPEKTRUM UND RESOLVENTE

7.2

Spektrum und Resolvente

Definition 7.6. (Resolventenmenge) Es sei X ein komplexer Banach-Raum und A : DA ⊂ X → X ein linearer Operator des Raumes in sich selbst. Wir definieren die Resolventenmenge ρ von A durch ρ(A) := {λ ∈ C|(λ1 − A) : DA → X ist bijektiv mit (λ1 − A)−1 ∈ L(X)} ⊂ C. Bemerkungen: 1. Es sei ρ(A) 6= ∅ und λ ∈ ρ(A), also ist (λ1−A)−1 in L(X). Dann ist (λ1−A)−1 abgeschlossen. Daraus folgt aus Satz 3.4, dass auch (λ1 − A) abgeschlossen ist und schliesslich muss auch A abgeschlossen sein. Umgekehrt k¨ onnen wir sagen: ist A nicht abgeschlossen, so ist ρ(A) = ∅. 2. Ist A abgeschlossen, (λ1 − A) injektiv und surjektiv, so ist (λ1 − A)−1 ∈ L(X) wegen Theorem 3.6. Definition 7.7. (Resolvente) Die Resolvente von A ist eine operatorwertige Funktion ρ(A) → L(X)

λ 7→ (λ1 − A)−1

=:

Rλ

=

Rλ (A).

Bemerkung: Ist λ ∈ ρ(A), dann ist Rλ (A) : X → DA bijektiv und (λ1−A)Rλ = 1 auf X sowie Rλ (λ1 − A) = 1 auf DA . Satz 7.3. Es gelten folgende algebraische Eigenschaften f¨ ur die Resolvente, falls λ, µ ∈ ρ(A): i) Rλ A ⊂ ARλ ; ii) ARλ = λRλ − 1 ∈ L(X); iii) Rλ − Rµ = (µ − λ)Rλ Rµ ; iv) Rλ Rµ = Rµ Rλ . Beweis. Aus λ ∈ ρ(A) folgt f¨ ur alle x ∈ X x = (λ1 − A)Rλ x = λRλ x − ARλ x, woraus wir sofort ii) ablesen k¨ onnen. Mit x ∈ DA schliessen wir, dass x = Rλ (λ1 − A)x = λRλ x − Rλ Ax, also ist ARλ x = Rλ Ax f¨ ur x ∈ DA . Dies ist die Aussage von i). Zudem ist Rλ = Rλ 1 = Rλ (µ1 − A)Rµ = Rλ (µ1 − λ1 + λ1 − A)Rµ = (µ − λ)Rλ Rµ + Rλ (λ1 − A) Rµ | {z } =1DA

Damit ist iii) bewiesen und iv) folgt unmittelbar aus iii)

Definition 7.8. (Spektrum) Das Spektrum eines linearen Operators A : DA ⊂ X → X ist die Menge σ(A) := C \ ρ(A).

80

7 SPEKTRUM UND RESOLVENTE

Bemerkung: σ(A) enth¨ alt die Eigenwerte von A, sofern es solche gibt: Sei λ ∈ C ein Eigenwert von A. Dies ist genau dann der Fall, wenn λ1 − A nicht injektiv ist, d.h. es gibt ein 0 6= x ∈ X mit (λ1 − A)x = 0 oder, anders geschrieben, Ax = λx. Die Menge der Eigenwerte heisst Punktspektrum von A: σp (A) := {λ ∈ C|λ Eigenwert von A} ⊂ σ(A). Falls X ein Hilbert-Raum ist und A ⊂ A∗ , dann ist σp (A) ⊂ R, denn mit Ax = λx folgt (Ax, x) = λkxk2

und

(Ax, x) = (x, Ax) = (x, Ax).

Wir wollen nun den Unterschied zwischen unendlich-dimensionalen und endlichdimensionalen R¨ aumen betrachten. Als erstes sei X ein komplexer Raum mit dimX < ∞ und A ∈ L(X). W¨ ahlen wir eine Basis von X, so l¨ asst sich A als quadratische Matrix darstellen. Es gilt λ1 − A ist injektiv ⇐⇒ λ1 − A ist surjektiv ⇐⇒ det(λ1 − A) 6= 0. Nach Definition ist σ(A) = {λ ∈ C | det(λ1 − A) = 0} = σp (A) und aus der linearen Algebra wissen wir, dass σp (A) h¨ ochstens dim(X) Punkte enth¨ alt. Weil ρ(A) = C \ σp (A) ist ρ(A) sicher nicht leer. Dass dies in unendlichdimensionalen R¨ aumen nicht der Fall zu sein braucht, zeigt uns folgendes Beispiel: Wir betrachen den Raum X = L2 (0, 1) von komplexwertigen Funktionen und die Operatoren d Ak = i : DAk ⊂ L2 (0, 1) → L2 (0, 1), dt welche als schwache Ableitungen auf L2 (0, 1) wirken. Als Definitionsbereiche nehmen wir DA1 := H 1,2 (0, 1) DA2 := H

1,2

DA3 := H

1,2

DA4 := H

1,2

(0, 1) ∩ {x(0) − x(1) = 0}

(0, 1) ∩ {x(0) = 0 = x(1)}

maximaler Definitionsbereich periodische Randbedingungen Dirichlet-Randbedingungen

(0, 1) ∩ {x(0) = 0}

Satz 7.4. Im obigen Beispiel gilt (1)

σ(A1 ) = σp (A1 ) = C

(2) (3)

σ(A2 ) = σp (A2 ) = 2πZ σ(A3 ) = C, σp (A3 ) = ∅

(4)

σ(A4 ) = ∅

ρ(A1 ) = ∅

ρ(A2 ) 6= ∅ ρ(A3 ) = ∅

ρ(A4 ) = C

Bemerkung: Die Operatoren sind dicht definiert, abgeschlossen, A ∗2 = A2 ist selbstadjungiert und A3 ⊂ A∗3 ist symmetrisch. ¨ Beweis. Ubungsaufgabe Zur Notation: Von nun an schreiben wir (λ − A) statt (λ1 − A). Satz 7.5. Sei X ein Banach-Raum, A : DA ⊂ X → X und z0 ∈ ρ(A) 6= ∅. Dann enth¨alt ρ(A) die offene Kreisscheibe D = {z |z − z0 | < k(z0 − A)−1 k−1 }

81

7 SPEKTRUM UND RESOLVENTE

auf der die Resolvente darstellbar ist durch die in L(X) konvergente Reihe X (z − A)−1 = (z0 − z)n Rz0 (A)n+1 z∈D n≥0

mit Rz0 (A) = (z0 − A)−1 ∈ L(X). Beweis. Auf dem Definitionsbereich DA gilt
z − A = (z0 − A) − (z0 − z) = 1 − (z0 − z)(z0 − A)−1 (z0 − A).

Weil X ein Banach-Raum ist, so ist f¨ ur k(z0 − z)(z0 − A)−1 k < 1 der Operator
1 − (z0 − z)(z0 − A)−1

in L(X) ein stetiger Isomorphismus von X und hat die durch die geometrische Reihe dargestellte stetige Inverse. Daher ist z − A injektiv und surjektiv; es ist X
n (z − A)−1 = (z0 − z)(z0 − A)−1 (z0 − A)−1 , n≥0

wobei die Reihe in L(X) f¨ ur jedes z ∈ D konvergiert. Eine direkte Folgerung aus Satz 7.5 ist folgender Satz: Satz 7.6. Sei X ein Banach-Raum und A : DA ⊂ X → X. Dann ist ρ(A) offen und σ(A) abgeschlossen in C. Die Resolventenfunktion z 7→ (z − A)−1 ∈ L(X) ist eine auf ρ(A) analytische Funktion mit Werten in L(X), zudem gilt f¨ ur z ∈ ρ(A) k(z − A)−1 k ≥

1 . dist(z, σ(A))

Einen Spezialfall stellen die beschr¨ ankten Operatoren A ∈ L(X) dar: Sie besitzen den Spektralradius 1

rA := lim kAn k n n→∞

≤ kAk.

Theorem 7.1. Es sei X ein Banach-Raum und A ∈ L(X) Dann ist ρ(A) 6= ∅ und σ(A) 6= ∅. Genauer gilt i) |z| > rA

⇒

ii) z ∈ σ(A)

z ∈ ρ(A);

⇒

|z| ≤ rA ;

iii) rA = sup |z|; z∈σ(A)

iv) (z − A)−1 = v)

1 X An konvergiert in L(X) f¨ ur |z| > rA ; z zn n≥0

lim k(z − A)−1 k = 0.

|z|→∞

Beweis. Zum Beweis verwenden wir Theorem 2.2 u ¨ber die Neumann’sche Reihe, die Cauchy-Formel f¨ ur holomorphe Funktionen und den Satz von Liouville: Es sei |z| > kAk. Dann konvergiert die Reihe (z − A)−1 =

1 1 X An A −1 = 1− z z z zn n≥0

(7.1)

82

7 SPEKTRUM UND RESOLVENTE

in L(X) und es gilt k(z − A)−1 k ≤

1 1 1 |z|→∞ = −→ 0. kAk |z| 1 − |z| − kAk |z|

Nach dem Wurzelkriterium und der Definition von rA konvergiert obige Reihe f¨ ur |z| > rA in L(X). Durch Multiplikation der Reihe mit (z − A) von links und von rechts erhalten wir die Identit¨ at, so dass die Formel (7.1) gilt f¨ ur |z| > rA , das heisst, z ∈ ρ(A), und es folgt rA ≥ σ0 := sup |z|. z∈σ(A)

Zu zeigen ist, dass rA ≤ σ0 . Es sei |z| > rA . Dann ist, wie wir bereits wissen, (z − A)−1 =

1 X An = z −1 1 + z −2 A + z −3 A2 + z −4 A3 + . . . z zn n≥0

konvergent in L(X). Termweise Integration u ¨ber den Kreis Kr (0) mit Radius r > rA und Zentrum 0 liefert mit der Cauchy-Formel f¨ ur holomorphe Funktionen Z 1 z n (z − A)−1 dz n = 1, 2, . . . . (7.2) An = 2πi Kr (0) Weil (z − A)−1 holomorph ist, gilt die Formel (7.2) auch f¨ ur r > σ0 . Wir definieren f¨ ur r > σ0 M (r) = max kf (reiϑ )k f (z) = (z − A)−1 . ϑ

Dann folgt aus (7.2) und somit

kAn k ≤ rn+1 M (r) 1

rA = lim kAn k n ≤ r. n→∞

Dies gilt f¨ ur alle r > σ0 , daher ist rA ≤ σ0 . Zusammen ist also rA = σ0 . Wir nehmen an, es sei σ(A) = ∅. Dann ist z 7→ (z − A)−1 ∈ L(X) analytisch auf C. Nehmen wir f ∈ X ∗ und x ∈ X, so ist z 7→ f (Rz x) : C → C analytisch auf ganz C und es gilt lim f (Rz x) = 0.

|z|→∞

Nach dem Satz von Liouville ist die Funktion konstant und daher ist f (Rz x) = 0 f¨ ur alle z ∈ C und alle x ∈ X. Dies wiederum gilt f¨ ur alle f ∈ X ∗ . Mit dem Satz von Hahn-Banach folgt nun, dass Rz x = 0 f¨ ur alle z ∈ C und f¨ ur alle x ∈ X, im Widerspruch zu (z − A)Rz x = x ∀ |z| > kAk. Lemma 7.2. Es sei A ⊂ A∗ ein symmetrischer Operator auf dem Hilbert-Raum H. Dann gilt k(z − A)uk ≥ |Im(z)| kuk u ∈ DA . Ist Im(z) 6= 0, so ist (z − A) injektiv; ist zus¨atzlich (z − A) surjektiv, so folgt k(z − A)−1 k ≤

1 . |Im(z)|

83

7 SPEKTRUM UND RESOLVENTE Beweis. Es gilt: A ⊂ A∗ ⇐⇒ (Au, u) = (u, Au) f¨ ur u ∈ DA . Daher ist (u, Au) = (Au, u) = (u, Au) ∈ R und es gilt

|Im(z)| kuk2 = Im u, (z − A)u ≤ u, (z − A)u ≤ kuk k(z − A)uk

f¨ ur u ∈ DA .

Theorem 7.2 (Kriterium f¨ ur Selbstadjungiertheit). Es sei H ein Hilbert-Raum, A dicht definiert und symmetrisch, das heisst, A ⊂ A∗ . Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: i) A = A∗ (A ist selbstadjungiert); ii) σ(A) ⊂ R; iii) Wz−A = H f¨ ur je ein z in Im(z) > 0 und Im(z) < 0; iv) A ist abgeschlossen und es ist kern(z − A∗ ) = {0} f¨ ur je ein z in Im(z) > 0 und Im(z) < 0. Bemerkung: Ist A selbstadjungiert, so ist σ(A) nicht leer, wie wir sp¨ ater noch sehen werden. Beweis. Wir beweisen die Reihenfolge iii) ⇒ ii) ⇒ i) ⇒ iii) ⇔ iv). 1. Teil Sei Wz0 −A = H f¨ ur ein z0 in Im(z) > 0. 6 Dann folgt aus Lemma 7.2, dass z0 − A : DA → H '$ bijektiv ist, und  p D z0p z1 1 1 −1 k(z0 − A) k ≤ = .  &% |Im(z )| Im(z ) 0

0

Daher ist z0 ∈ ρ(A) und, nach Satz 7.5, enth¨ alt ρ(A) die offene Kreisscheibe D = {z ∈ C |z − z0 | < Im(z0 )}.

Wir wiederholen dieses Argument in jedem Punkt von D (in der Skizze durch z1 angedeutet) und schliessen so fortlaufend, dass ρ(A) die ganze obere Halbebene Im(z) > 0 enth¨ alt. Analog verfahren wir mit der unteren Halbebene Im(z) < 0. Damit erhalten wir σ(A) = C \ ρ(A) ⊂ {z ∈ C|Im(z) = 0} = R. 2. Teil Sei σ(A) ⊂ R und A ⊂ A∗ . Zu zeigen ist DA∗ = DA . Also nehmen wir ein u ∈ DA∗ . Nach Annahme ist ±i ∈ ρ(A), daher ist WA−i = H = WA+i . Deshalb existiert ein v ∈ DA so, dass (A∗ − i)u = (A − i)v = (A∗ − i)v, letztere Gleichung wegen A ⊂ A∗ . Also ist (A∗ − i)(u − v) = 0 und deshalb gilt f¨ ur alle w ∈ DA

(A + i)w, u − v = w, (A∗ − i)(u − v) = 0.

Weil WA+i = H, folgt u − v = 0 und damit u = v ∈ DA . 3. Teil Es sei A = A∗ . Zu zeigen ist Wz−A = H f¨ ur Im(z) 6= 0. Zuerst zeigen wir: Ist Im(z) 6= 0, so ist Wz−A ⊂ H abgeschlossen. Es sei also v ∈ W z−A , das heisst, es gibt eine Folge un ∈ DA mit limn→∞ (z − A)un = v. Weil Im(z) 6= 0

84

7 SPEKTRUM UND RESOLVENTE

folgt aus Lemma 7.2, dass un eine Cauchy-Folge ist, also un in H gegen ein u ∈ H konvergiert. Weil A = A∗ abgeschlossen ist (Satz 7.1), schliessen wir u ∈ DA und (z − A)u = v. Also ist v ∈ Wz−A . Nun beweisen wir, dass f¨ ur Im(z) 6= 0 der Wertebereich Wz−A in H dicht liegt.
⊥ Wir nehmen ein v ∈ Wz−A . Dann ist v, (z − A)u = 0 f¨ ur alle u ∈ DA . Das heisst, das Funktional f (u) = (Au, v) = (u, z¯v) ist stetig (es handelt sich um ein Skalarprodukt) in u ∈ DA . Nach Definition der Adjungierten ist v ∈ DA∗ und A∗ v = z¯v. Weil A selbstadjungiert ist, folgt (¯ z − A)v = 0. Da Im(z) 6= 0, folgt aus ⊥ Lemma 7.2, dass v = 0. Wir haben gezeigt, dass Wz−A = {0}. Folglich ist Wz−A abgeschlossen und dicht in H und es folgt Wz−A = H. ¨ 4. Teil Der Beweis iii) ⇐⇒ iv) wird dem Leser als Ubung u ¨berlassen. Selbstadjungiertheit ist stabil unter St¨ orungen, wie wir als n¨ achstes zeigen werden. Lemma 7.3. Sei A ⊂ A∗ , z ∈ ρ(A), z 6= 0 und z + z¯ = 0. Zudem bezeichne Rz = (z − A)−1 . Dann ist kA Rz uk ≤ kuk, 1 kuk kRz uk ≤ |z|

∀ u ∈ H.

Beweis. Es ist u = (z − A)Rz u = z Rz u − ARz u f¨ ur alle u ∈ H. Es folgt kuk2 = (u, u) = (z Rz u − ARz u, z Rz u − ARz u)

= |z|2 kRz uk2 − (z + z¯)(ARz u, Rz u) + kARz uk2 , | {z } =0

das zweite Gleichheitszeichen gilt wegen A ⊂ A∗ . Damit folgt die Behauptung. Theorem 7.3 (Stabilit¨ atssatz von Kato-Rellich). Sei A = A∗ ein selbstadjungierter ∗ und B ⊂ B ein symmetrischer Operator mit DA ⊂ DB . Wir nehmen an, B sei klein bez¨ uglich A im Sinne von kBuk ≤ akAuk + bkuk

u ∈ DA

mit 0 ≤ a < 1 und b ≥ 0. Dann ist der Operator A + B mit DA+B = DA selbstadjungiert. Spezialfall: Ist A = A∗ und B = B ∗ ∈ L(X), so ist A + B auf DA selbstadjungiert. Wir w¨ ahlen a = 0 und b = kBk. Beweis. Wir benutzen Theorem 7.2 und die Eigenschaften der Neumann’schen Reihe. Nach Voraussetzung ist A + B auf DA symmetrisch. Nach Theorem 7.2 ist zu zeigen, dass Wz−(A+B) = H f¨ ur je ein z in Im(z) > 0 und Im(z) < 0. Weil A selbstadjungiert ist, gilt nach Theorem 7.2 f¨ ur z mit Im(z) 6= 0, dass z ∈ ρ(A) und (z − A)−1 (H) = DA ⊂ DB . Auf DA gilt ausserdem
z − (A + B) = 1 − B(z − A)−1 (z − A).


Weil (z − A) surjektiv ist, gen¨ ugt es zu zeigen, dass 1 − B(z − A)−1 ein stetiger Isomorphismus von H ist f¨ ur z = iµ, µ ∈ R und |µ| gross. Nach Neumann gen¨ ugt es nun zu zeigen, dass f¨ ur ein solches z kB(z − A)−1 k < 1.

7 SPEKTRUM UND RESOLVENTE

85

Aus den Voraussetzungen folgt f¨ ur alle u ∈ H kB(z − A)−1 uk ≤ akA(z − A)−1 uk + bk(z − A)−1 uk. Mit Lemma 7.3 ist nun  b b  kuk. kuk = a + |µ| |µ|
b = α < 1. F¨ ur diese Weil a < 1 ist, k¨ onnen wir µ so gross w¨ ahlen, dass a + |µ| z = iµ folgt dann kB(z − A)−1 k ≤ α < 1. kB(z − A)−1 uk ≤ akuk +

Somit ist das Theorem bewiesen.

86

8 HALBGRUPPEN

8 8.1

Halbgruppen Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen im Banach-Raum

Wir betrachten ein lipschitzstetiges Vektorfeld f : X → X auf einem Banach-Raum X; d.h. kf (x) − f (y)k ≤ Lkx − yk f¨ ur alle x, y ∈ X und eine Konstante L > 0. Dann gibt es zu jedem vorgegebenen x ∈ X genau eine Kurve R → X, t 7→ x(t), welche in jedem t ∈ R in dem Sinne differenzierbar ist, dass der Limes x(t + h) − x(t) d =: x(t) =: x0 (t) ∈ X h→0 h dt lim

in X existiert, und welche die Gleichungen d x(t) = f (x(t)) , t ∈ R dt x(0) = x, erf¨ ullt. Das Cauchy-Anfangswert-Problem in X ist also eindeutig l¨ osbar f¨ ur jede Anfangsbedingung x ∈ X, und die L¨ osung existiert f¨ ur alle Zeiten. Dies ist der Satz von Cauchy-Picard-Lindel¨off . F¨ ur die eindeutige L¨ osungskurve x(t) durch x, schreibt man gew¨ ohnlich ϕt (x) = x(t) , ϕ0 (x) = x, die Abbildung t 7→ ϕt nennt man L¨osungsfluss. Aus der Eindeutigkeit der L¨ osung des Cauchy-Anfangswert-Problems folgt sofort

ur alle t, s ∈ R und alle x ∈ X. ϕt+s (x) = ϕt ϕs (x) = ϕs ϕt (x) f¨ Wir k¨ onnen eine einparametrige Familie ϕt von stetigen Abbildungen ϕt : X → X, x 7→ ϕt (x), t ∈ R definieren. Diese Familie ist eine einparametrige Gruppe von (Lipschitz-)Hom¨ oomorphismen von X ϕt+s = ϕt ◦ ϕs ,

8.2

(ϕt )−1 = ϕ−t ,

ϕ0 = 1.

Spezialfall: Lineare Gleichungen

Sei f (x) = Ax, mit A ∈ L(X). Dann ist A ein lipschitzstetiges Vektorfeld, da ja kf (x)−f (y)k = kA(x−y)k ≤ kAk kx−yk. Der L¨osungsfluss ϕt (x) ist explizit durch die Exponentialfunktion gegeben ϕt (x) = P t (x) , P t ∈ L(X) ∞ n X t n A ∈ L(X) P t := exp(tA) = n! j=0 mit Konvergenz in L(X). Nach den Eigenschaften der Exponentialfunktion bildet ¨ die Familie P t ∈ L(X) eine Gruppe, P 0 = 1 , P t P s = P t+s = P s P t . Uberdies existiert der Limes
d t 1 t+h P := lim P − P t in L(X), h→0 dt h

und erf¨ ullt f¨ ur alle t ∈ R

d t P = P t A = AP t . dt

87

8 HALBGRUPPEN

Insbesondere ist also die sogenannte Erzeugende A der Gruppe P t gegeben durch d A = Pt . dt t=0

Umgekehrt, falls P t eine einparametrige Gruppe von beschr¨ ankten Operatoren ist, welche in dem Sinne gleichm¨ assig stetig ist, dass

lim P t − 1 = 0 in L(X), t→0

dann ist P t = etA , mit einem beschr¨ ankten Operator A ∈ L(X), siehe Satz 8.3. Dies ist f¨ ur uns zu einschr¨ ankend! F¨ ur unbeschr¨ ankte Operatoren versagt die L¨ osungsmethode mit der Exponentialfunktion.

8.3

Problemstellung: Das Cauchy-Anfangswert-Problem

Sei A : DA ⊂ X → X ein linearer, nicht notwendigerweise stetiger Operator. Gibt es zu vorgegebenem x ∈ X eine stetige Kurve t 7→ x(t), t ∈ R, welche f¨ ur t > 0 differenzierbar ist mit x(t) ∈ DA , so, dass d x(t) = Ax(t) , t > 0 dt x(0) = x ? F¨ ur welche Operatoren A und f¨ ur welche Anfangsbedingungen x existiert die L¨ osung f¨ ur alle Zeiten? Ist sie eindeutig? H¨ angt sie stetig ab von den Anfangsbedingungen? In welchem Sinne ur den Schr¨ odingeroperator
gibt es zum Beispiel eine Dynamik f¨ in X = L2 Rn ,

8.4


1 d u(t) = ∆ − V (x) u(t) , t ∈ R i dt
u(0) = u ∈ L2 Rn ?

Kontraktionshalbgruppen

Um zur Klasse der unbeschr¨ ankten Operatoren A : DA ⊂ X → X zu gelangen, f¨ ur welche Existenz und Eindeutigkeit des Cauchy-Anfangswert-Problems gilt, starten wir mit den L¨ osungen! Definition 8.1. (Halbgruppe) Eine Halbgruppe auf dem Banach-Raum X ist eine Familie P t ∈ L(X), t ≥ 0, von beschr¨ ankten Operatoren, so, dass P 0 = 1,

P s P t = P t P s = P t+s f¨ ur t, s ≥ 0 und

lim P t (x) = x f¨ ur jedes x ∈ X.

t→0

t→0

Achtung! Wir fordern nicht, dass kP t − 1k −−−→ 0 in L(X) gilt. Dies w¨ urde zu P t = etA und A ∈ L(X) f¨ uhren, also zu nichts neuem, siehe auch Satz 8.3! Beispiel (Translationsgruppe P t in X = L2 (R)). Sei

P t u(x) = u(x + t) , u ∈ L2 (R). Es ist dann lim P t (u) = u f¨ ur jedes u ∈ L2 (R). Denn t→0

t

P (u) − u 2 =

Z

+∞ −∞

2 t→0 u(x + t) − u(x) dx −−−→ 0.

88

8 HALBGRUPPEN

2

2 Aber P t − 1 = supkuk≤1 P t (u) − u = 2 f¨ ur t > 0, sodass die Gruppe P t nicht stetig in L(X) ist. Die Erzeugende A der Gruppe ist die (schwache) Ableitung d A = dt in L2 (R), wie wir sehen werden. Satz 8.1. Sei P t , t ≥ 0, eine Halbgruppe auf X. Dann gibt es zwei Konstanten ¨ a ≥ 1 und b > 0, sodass kP t k ≤ aebt , t ≥ 0. Uberdies gilt f¨ ur alle t ≥ 0, dass lim P s (x) = P t (x) f¨ ur jedes x ∈ X. s→t

Beweis. Es gibt ein ε > 0, sodass kP t k ≤ a f¨ ur ein a ≥ 1 auf dem Intervall 0 ≤ t ≤ ε. Denn sonst g¨ abe es eine Folge tn → 0 mit kP tn k → ∞, was wegen des Prinzips der gleichm¨ assigen Beschr¨ anktheit (Theorem 3.1) ein Widerspruch ist zur Stetigkeitseigenschaft lim P tn (x) = x f¨ ur jedes x ∈ X.

n→∞

Jedes t ≥ 0 ist von der Form t = nε + δ mit n ganz und 0 ≤ δ < ε. Mit a ≥ 1 folgt aus den Gruppenstrukturen
n t kP t k = kP nε P δ k ≤ k P ε k kP δ k ≤ aan ≤ aa ε = aebt .

Nach Definition gilt lims→0 P s (x) = x f¨ ur jedes x ∈ X. Sei 0 < s < t, dann folgt mit der Gruppenstruktur, dass

t






P − P s (x) = P s 1 − P t−s (x) ≤ aebs 1 − P t−s (x) .

Die rechte Seite konvergiert gegen 0 f¨ ur (t − s) → 0. Analog argumentiert man f¨ ur (s − t) → 0. Man hat also Stetigkeit im Punkt t = s! Folgerung: Die Halbgruppe Qt := P t e−bt mit t ≥ 0 ist beschr¨ ankt, da kQt k ≤ a. s Definiere eine neue Norm durch kuk∗ := sups≥0 kQ (u)k, u ∈ X. Diese ist wegen kuk ≤ kuk∗ ≤ akuk ¨ aquivalent zur alten Norm, und kQt uk∗ = sup kQs Qt uk = sup kQs+t uk s≥0

s≥0

= sup kQs uk ≤ sup kQs uk = kuk∗ s≥t

s≥0

f¨ ur alle t ≥ 0, sodass kQt uk∗ ≤ kuk∗ . Ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit fordern wir deshalb im Folgenden kP t k ≤ 1. Definition 8.2. (Kontraktionshalbgruppe) Eine Kontraktionshalbgruppe auf X ist eine Familie P t ∈ X, t ≥ 0, mit 1. P 0 = 1 , P s P t = P t P s = P t+s f¨ ur alle t, s ≥ 0;

2. kP t k ≤ 1 f¨ ur alle t ≥ 0; 3. lim P t (x) = x f¨ ur alle x ∈ X. t→0

Bei der Exponentialfunktion in X = C ist P t x = eat x, x ∈ C, a ∈ C. Dies bedeutet, dass Re(a) ≤ 0 sein muss, weil dann eat = eRe(a) t ≤ 1 f¨ ur t ≥ 0. Die “Erzeugende” einer Kontraktionshalbgruppe ist formal die Ableitung in t an der Stelle t = 0. Definition 8.3. (Erzeugende einer Kontraktionshalbgruppe) Die Erzeugende A einer Kontraktionshalbgruppe P t ist der (lineare) Operator A : DA ⊂ X → X, definiert durch 
1 h DA : = x ∈ X : der Limes lim P (x) − x in X existiert . h→0 h
1 h P (x) − x ∈ X, x ∈ DA . Ax = lim h→0 h

89

8 HALBGRUPPEN

Sicher ist 0 ∈ DA und DA ist ein linearer Unterraum von X. Es ist sogar ein dichter Unterraum, wie wir sp¨ ater (Theorem 8.1) zeigen werden. Beispiel (Translationsgruppe). Sei X = Lp (0, ∞), p ≥ 1. Definiere P t ∈ L(X) durch P t u(x) := u(x + t) , t ≥ 0.

Sei k · kp die p-Norm in Lp (0, ∞). Dann konvergiert Z ∞ Z ∞

t p t→∞ p p

P u = |u(x + t)| dx = |u(s)| ds −−−→ 0 p 0

t

nach Lebesgue. Es folgt die Kontraktionseigenschaft f¨ ur t ≥ 0 Z ∞

t p

p p

P u ≤ |u(s)| ds = u . p 0

Durch punktweises Ableiten nach t in t = 0 erhalten wir formal A = gende. Genauer:

d dx

als Erzeu-

Lemma 8.1 (Erzeugende von P t ). F¨ ur die Erzeugende A der Translationsgruppe gilt: 1. DA = H 1, p (0, ∞) ⊂ Lp (0, ∞); 2. Au =

d u, u ∈ DA (schwache Ableitung). dx

Beweis. Zun¨ achst zeigen wir DA ⊂ H 1,p (0, ∞). Sei u ∈ DA . Dann existiert nach Definition von DA der Grenzwert
1 t P u − u =: Au in Lp (0, ∞). t→0 t lim

Dies bedeutet f¨ ur u ∈ Lp (0, ∞) das Folgende: Sei ϕ ∈ Cc∞ (0, ∞). Dann folgt f¨ ur t > 0, dass Z ∞ Z ∞

1 1 u(x + t) − u(x) ϕ(x) dx = u(x) ϕ(x − t) − ϕ(x) dx. t t 0 0 Im Limes t → 0 folgt mit H¨ older links und Lebesgue rechts Z ∞ Z ∞ d Au(x) ϕ(x) dx = − u(x) ϕ(x) dx, ϕ ∈ Cc∞ (R). dx 0 0

Nach Voraussetzung sind u und Au in Lp (0, ∞). Nach Definition des Sobolevd u die schwache Ableitung von u und u Raumes H 1,p (0, ∞) ist deshalb Au = dx 1, p liegt in H (0, ∞). Das Lemma folgt, sobald H 1, p (0, ∞) ⊂ DA gezeigt ist. Sei u ∈ H 1, p (0, ∞), d k¨ urze ab u0 := dx u ∈ Lp (0, ∞) f¨ ur die schwache Ableitung, und benutze Z x u(x) − u(0) = u0 (y) dy. 0

Mit H¨ older ist h Z th i i 1 0 0 u(x + t) − u(t) − u0 (x) = 1 u (x + y) − u (x) dy t t 0  p1 Z t 1 p −p 0 0 |u (x + y) − u (x)| dy . ≤t 0

90

8 HALBGRUPPEN

Deshalb ist

p Z

1




P t (u) − u − u0 =

t

p 1 [u(x + t) − u0 (x)] − u0 (x) dx t 0 Z tZ ∞ 1 p ≤ |u0 (x + y) − u0 (x)| dx dy t 0 0 Z ∞ t→0 p ≤ max |u0 (x + y) − u0 (x)| dx −−−→ 0. ∞

0≤y≤t

limt→0 1t

0

t

(P (u) − u) = u0 in Lp (o, ∞) existiert, ist u ∈ DA und Weil der Limes 0 Au = u . Insgesamt also DA = H 1, p (0, ∞) und A(u) = u0 ist die schwache Ableitung. Theorem 8.1 (Hille-Yosida). Sei X ein Banach-Raum und P t , t ≥ 0, eine Kontraktionshalbgruppe mit Erzeugender A. Dann gilt i) DA = X, und A ist abgeschlossen.



ii) P t (DA ) ⊂ DA f¨ ur t ≥ 0, und AP t u = P t A u, u ∈ DA .

iii) F¨ ur u ∈ DA ist t 7→ P t (u) ∈ X differenzierbar und




d P t u = A P t u = P t Au , t ≥ 0 . dt

iv) ρ(A) ⊃ {z ∈ C : Re(z) > 0}, und f¨ ur Re(z) > 0 gilt Z ∞ −1 e−tz P t u dt, u ∈ X, Rz (u) = (z − A) (u) = 0

(uneigentliches Riemann-Integral f¨ ur stetige Funktionen), und kRz k ≤

1 . Re(z)

v) Die Kontraktionshalbgruppe P t ist durch A eindeutig bestimmt. Bemerkung: In Analogie zu den Eigenschaften der Exponentialfunktion schreibt man oft symbolisch P t = etA f¨ ur die Kontraktionshalbgruppe P t mit der Erzeugenden A. Bevor wir Theorem 8.1 beweisen, verwenden wir es, um das Cauchy-Anfangswert-Problem zu l¨ osen: Theorem 8.2 (Cauchy-Anfangswert-Problem). Sei A : DA ⊂ X → X Erzeugende einer Kontraktionshalbgruppe P t ∈ L(X), t ≥ 0 und u ∈ DA gegeben. Dann existiert genau eine differenzierbare Kurve t 7→ x(t) ∈ X f¨ ur alle t ≥ 0 mit x(t) ∈ DA , d t x(t) = Ax(t), t ≥ 0 und x(0) = u. Es ist x(t) = P u. dt Die stetige Abh¨angigkeit der L¨osungen folgt aus kP t u − P t vk ≤ kP t k ku − vk ≤ ku − vk f¨ ur alle t ≥ 0. Beweis. 1. Existenz. F¨ ur u ∈ DA ist die Funktion t 7→ P t (u) =: u(t) ∈ X in t ≥ 0 stetig differenzierbar und l¨ ost das Cauchy-Anfangswert-Problem d u = Au, u(0) = u ∈ DA . dt Dies folgt aus Theorem 8.1 ii) und iii).

91

8 HALBGRUPPEN

2. Eindeutigkeit. Sei t 7→ x(t) ∈ X, t ≥ 0, eine L¨ osung des Cauchy-AnfangswertProblems mit Anfangsbedingung x(0) = u, d.h. x(t) ist stetig f¨ ur t ≥ 0 und differenzierbar f¨ ur t > 0, x(t) ∈ DA und d x(t) = Ax(t), t > 0 dt x(0) = u ∈ DA . Dann ist x(t) = P t (u), wie wir gleich zeigen werden. Sei nun x(t), t ≥ 0 eine L¨ osung des Anfangswertproblems mit x(0) = u ∈ DA . Sei t > 0 fest. Definiere f¨ ur 0 ≤ s ≤ t die Funktion s 7−→ P t−s x(s) ∈ X. Wegen x(s) ∈ DA und P t A = AP t auf DA nach Theorem 8.1 erhalten wir durch Differentiation in s  
d d d t−s t−s x(s) + P t−s x(s) P x(s) = P ds ds ds = −AP t−s x(s) + P t−s Ax(s) = 0.

Nach dem nachfolgenden Lemma 8.2 ist daher P t−s x(s) = c f¨ ur alle 0 ≤ s ≤ t. Evaluation in s = 0 einerseits liefert c = P t x(0) = P t u, Evaluation in s = t andererseits ergibt c = P 0 u(t) = x(t), sodass x(t) = P t u wie behauptet. Lemma 8.2. Sei x : [a, b] → X, x 7→ x(t), stetig und Dann ist x(t) = x(a) f¨ ur a ≤ t ≤ b, d.h. konstant.

d dt x(t)

= 0 f¨ ur a < t < b.

Beweis. Sei x(τ ) 6= x(a) f¨ ur ein τ . Nach Hahn-Banach existiert ein λ ∈ X ∗ mit

λ x(τ ) 6= λ x(a) (8.1)
Die Funktion f : [a, b] → C , f (t) = λ x(t) ist stetig, und
d d f (t) = λ x(t) = λ(0) = 0 f¨ ur alle a < t < b. dt dt

Mit dem Mittelwertsatz folgt also f (t) = f (a) f¨ ur alle t, im Widerspruch zu (8.1). Beweis von Theorem 8.2. Beweis von ii) und iii). F¨ ur u ∈ X und s > 0 gilt wegen der Gruppenstruktur
1 1 1 P t+s − P t u = (P s − 1) P t u = P t (P s − 1) u. s s s

F¨ ur u ∈ DA konvergiert nach Definition von A der letzte Term gegen P t Au f¨ ur s → 0. Daher konvergiert auch der mittlere Term und deshalb ist P t u ∈ DA und AP t u = P t Au. Damit ist die Existenz der rechtsseitigen Ableitung von P t u gezeigt. Analog zeigt man, dass f¨ ur t > 0 die linksseitige Ableitung von P t u existiert und gleich P t Au ist, indem man − betrachtet.


1 1 P t−s − P t u = P t−s (P s − 1) u s s

92

8 HALBGRUPPEN

Beweis von iv). Sei Re(z) > 0. Definiere Qz ∈ L(X) als das uneigentliche Riemann-Integral Qz (u) := lim

N →∞

Z

N

e

−zt

t

P u dt =

0

Z

∞

e−zt P t u dt

0

f¨ ur u ∈ X. Der Limes existiert nach dem Cauchy-Kriterium, und Z ∞ Z ∞

−zt t 1

e P u dt ≤ kQz (u)k ≤ e−t Re(z) dt kuk = kuk. Re(z) 0 0 Es folgt kQz k ≤

1 Re(z) .

Wie man leicht verifiziert, gilt die folgende Identit¨ at:

 Z ∞  1 1 s 1 s e−zt P t (P s − 1)u dt (P − 1) Qz (u) = Qz (P − 1) u = s s s 0 Z Z 1 ∞ −zt t s 1 ∞ −zt t = e P P u dt − e P u dt s 0 s 0

(mit den Substitutionen s + t → τ im ersten und t → τ im zweiten Integral) Z Z 1 zs ∞ −zτ τ 1 ∞ −zτ τ e e P u dτ − e P u dτ s s 0 s Z ∞ Z 1 s −zτ τ 1 e−zτ P τ u dτ − ezs e P u dτ = (ezs − 1) s s 0 0 Z 1 1 s −zt t = (ezs − 1) Qz (u) − ezs e P u dt. s s 0

=

F¨ ur u ∈ X konvergiert die letzte Zeile f¨ ur s → 0 gegen zQz (u)−u. Daher konvergiert auch der erste Term f¨ ur s → 0. Deshalb gilt nach Definition von A, dass Qz (u) ∈ DA und AQz (u) = zQz (u) − u. Wir haben bewiesen, dass (z − A) Qz (u) = u, u ∈ X. Sei nun u ∈ DA . Dann konvergiert nach Definition von DA der zweite Term f¨ ur s → 0 gegen Qz (Au), sodass Qz (Au) = zQz (u) − u und somit
Qz (z − A)(u) = u , u ∈ DA . −1

Insgesamt ist also Qz = (z − A) = Rz f¨ ur Re(z) > 0, und iv) ist bewiesen. Beweis von i). Wegen iv) ist ρ(A) 6= ∅ und A = A¯ ein abgeschlossener Operator. Wir zeigen DA = X und benutzen dazu folgendes Lemma: Lemma 8.3. F¨ ur u ∈ X und t ≥ 0 gilt Z 1 t+ε s lim P u ds = P t u. ε→0 ε t Beweis. Es gilt

Z t+ε

Z t+ε

1

1
s t s t

P u − P u ds P u ds − P u =

ε ε t t


ε→0 ≤ max P s − P t u −−−→ 0, t≤s≤t+ε

was zu zeigen war.

93

8 HALBGRUPPEN

Wegen P 0 u = u gen¨ ugt es wegen Lemma 8.3 zu zeigen, dass f¨ ur jedes u ∈ X und ε > 0 Z ε P t u dt uε := 0

ein Element von DA ist. Sei ε > 0 und 0 < h < ε. Dann gilt Z Z 1 h 1 h s 1 ε+h s P u ds − P u ds. (P − 1)uε = h h ε h 0

Mit Lemma 8.3 konvergiert die rechte Seite f¨ ur h → 0 in X gegen P ε u − u. Nach Definition von DA und A ist daher uε ∈ DA und Auε = P ε u − u. Zusammenfassend:
Rε Lemma 8.4. F¨ ur u ∈ X und ε > 0 gilt A 0 P t u dt = P ε u − u. 2 F¨ ur u ∈ DA ist P t u stetig differenzierbar und deshalb Z ε Z ε
d t ε AP t u dt, P u dt = P u−u= 0 0 dt

sodass mit Lemma 8.3 die folgende Formel gilt: Z ε  Z ε Z t A AP t u dt = P u dt = 0

0

ε 0

P t Au dt , u ∈ DA .

Beweis von v). F¨ ur zwei Kontraktionshalbgruppen P t und Qt mit derselben Erzeugenden A zeigen wir P t = Qt . Sei t > 0 und u ∈ DA , dann ist die Funktion s 7→ P t−s Qs u , 0 ≤ s ≤ t differenzierbar in s, nach Lemma 8.2 daher konstant. Evaluation der Funktion an der Stelle s = 0 und s = t liefert P t Q0 u = P t u = P 0 Qt u = Q t u , u ∈ DA . Wegen DA = X folgt P t u = Qt u f¨ ur alle u ∈ X und P t = Qt , t ≥ 0. Damit ist der Beweis von Theorem 8.1 fertig. Bemerkung: Wir haben uns bisher auf Kontraktionshalbgruppen beschr¨ ankt, das heisst, es galt jeweils kP t k ≤ 1. Wir k¨ onnen die Theoreme 8.1 und 8.2 auf allgemeine Halbgruppen verallgemeinern: Es sei P t eine Halbgruppe mit Erzeuender A, dann ist nach Satz 8.1 kP t k ≤ aebt f¨ ur t ≥ 0, a ≥ 1 und b ≥ 0. Es gelten dieselben ¨ Aussagen wie in den Theoremen 8.1 und 8.2 mit den folgenden Anderungen: ρ(A) ⊃ {z ∈ C|Re(z) > b} und, falls Re(z) > b Z ∞ Rz u = e−zt P t u dt, u ∈ X und 0

n

kRz k ≤

a (Re(z) − b)n

Der folgende Satz macht die Bedeutung der Halbgruppen f¨ ur das Cauchy-Anfangswert-Problem deutlich. Theorem 8.3 (Hille,1952). Sei A : DA ⊂ X → X ein linearer Operator auf dem Banach-Raum X mit D A = X, und ρ(A) 6= ∅. Das Cauchy-Anfangswert-Problem u(t) ˙ = Au(t) , u(0) = x ∈ DA , hat genau dann eine eindeutige L¨osung u(t) ∈ DA , t ≥ 0, welche stetig differenzierbar ist auf [0, ∞) f¨ ur jede Anfangsbedingung x ∈ DA , falls A Erzeugende einer Halbgruppe P t ∈ L(X), t ≥ 0 ist. Die L¨osung ist dann u(t) = P t (x).

94

8 HALBGRUPPEN

Beweis. Siehe in A. Pazy:“Semigroups of linear operators and applications to PDE”, Springer 1983, p.102. Bisher k¨ onnen wir schon einiges u ¨ber Halbgruppe und deren Erzeugende aussagen, doch: Woran erkennen wir, dass ein Operator A : DA ⊂ X → X Erzeugende einer Halbgruppe ist? Und wie l¨ asst sich aus der Erzeugenden die Halbgruppe konstruieren? Die Antwort dazu liefern die nachfolgenden Theoreme 8.4 bis 8.6 Theorem 8.4 (Hille-Yosida). F¨ ur A : DA ⊂ X → X in einem Banach-Raum X sind ¨aquivalent 1. A ist Erzeugende einer Kontraktionshalbgruppe. 2. DA ist dicht und es gibt eine Folge λn ∈ ρ(A), λn > 0, λn → ∞, sodass −1

k(λn − A)k

≤

1 . λn

Beweis. i) ⇒ ii) folgt unmittelbar aus Theorem 8.1, ii) ⇒ i) beweisen wir in vier Schritten: 1. Approximiere A durch An ∈ L(X). 2. Definiere P t als Limes von etAn . 3. Zeige, dass P t , t ≥ 0 eine Kontraktionshalbgruppe ist. 4. Zeige, dass A die Erzeugende von P t ist. Schritt 1. Sei λn ∈ ρ(A) wie in Theorem 8.4.ii). Definiere An ∈ L(X) durch An := λn A(λn − A)

−1

= λn 2 (λn − A)

−1

− λn .

Lemma 8.5. Mit den obigen Bezeichnungen ist lim An u = Au, u ∈ DA . n→∞

Beweis von Lemma 8.5. Weil die Resolvente mit dem Operator A auf DA ver−1 tauscht (Satz 7.3), gilt f¨ ur u ∈ DA , dass An u = λn (λn − A) Au. Es gen¨ ugt daher zu zeigen, dass −1 lim λn (λn − A) v = v, v ∈ X. n→∞

F¨ ur v ∈ DA folgt dies aus v = (λn − A)

−1

(λn − A) v = λn (λn − A)

−1

v − (λn − A)

−1

Av

weil der letzte Term wegen



(λn − A)−1 Av ≤ (λn − A)−1 kAvk ≤ 1 kAvk λn

f¨ ur n → ∞ nach 0 konvergiert (Annahme an λn ). Da nach Voraussetzung DA ⊂ X −1 dicht ist, und da kλn (λn − A) k ≤ 1, so folgt die Behauptung f¨ ur jedes v ∈ X und der Beweis von Lemma 8.5 ist fertig. Schritt 2. Definiere mittels der Exponentialreihe f¨ ur beschr¨ ankte Operatoren die Familie Pnt ∈ L(X) durch 2

−1

Pnt := etAn = etλn (λn −A) e−tλn .

95

8 HALBGRUPPEN

Wegen (λn − A)−1 ≤

1 λn

gilt 2

kPnt k ≤ e−tλn eλn tk(λn −A)

−1

k

≤ e−tλn etλn = 1.

F¨ ur jedes n ∈ N ist Pnt eine stark stetige Kontraktionshalbgruppe mit der Erzeugenden An ∈ L(X). Die Resolventen kommutieren, daher auch die Operatoren An und deshalb auch Pnt und Am . Somit gilt t t Pnt Pm = etAn etAm = etAn +tAm = etAm etAn = Pm Pnt ,

und daher ist Z t
d t−s s t−s s Pm Pn u ds = Pm Pn (An − Am ) u ds. 0 0 ds

t Wegen kPnt k ≤ 1 folgt (Pnt − Pm )u ≤ t k(An − Am ) uk. Wir schliessen, dass f¨ ur u ∈ DA der Grenzwert P t u := lim Pnt u ∈ X
t u= Pnt − Pm

Z

t

n→∞

gleichm¨ assig in t auf beschr¨ ankten Intervallen existiert. Weil D A = X und kPnt k ≤ 1 ist, gilt dies auch f¨ ur alle u ∈ X, und es folgt: Lemma 8.6. Der Grenzwert P t u := limn→∞ Pnt u, u ∈ X existiert gleichm¨assig in t auf beschr¨ankten Intervallen. 2

Schritt 3. Es ist P t , t ≥ 0, eine Kontraktionshalbgruppe. Die Gruppeneigenschaften und die Kontraktionseigenschaften folgen aus denjenigen f¨ ur Pnt im Limes n → ∞. t Ebenso folgt die Stetigkeitseigenschaft limn→0 P u = u f¨ ur alle u ∈ X aus der gleichm¨ assigen Konvergenz auf beschr¨ ankten Intervallen. Schritt 4. Wir zeigen zuerst, dass A die Erzeugende von P t ist. F¨ ur u ∈ DA ist Z t Z t d Pnt u − u = (Pns u) ds = Pns An u ds 0 ds 0 Z t = (Pns Au + Pns (An − A) u) ds. 0

Mit n → ∞ folgt aus der gleichm¨ assigen Konvergenz auf beschr¨ ankten Zeitintervallen und Lemma 8.5 die Formel Z t P tu − u = P s Au ds , u ∈ DA , 0

und daher f¨ ur u ∈ DA
1 1 P t u − u = lim t→0 t t→0 t lim

Z

t

P s Au ds = P 0 Au = Au.

Sei nun B die Erzeugende der Kontraktionshalbgruppe P t . Dann ist, wie schon bewiesen, DA ⊂ DB und Au = Bu f¨ ur u ∈ DA , das heisst, A ⊂ B. W¨ ahle λ = λn f¨ ur ein n. Dann folgt aus den Voraussetzungen f¨ ur A und aus den Eigenschaften von B in Theorem 8.1, dass λ ∈ ρ(A) ∩ ρ(B). Insbesondere sind die Operatoren (λ − A) und (λ − B) beide injektiv und surjektiv und aus A ⊂ B folgt deshalb A = B. Der Beweis von Theorem 8.4 ist fertig. Ganz analog wie in Theorem 8.4 beweist man das Kriterium f¨ ur stark stetige Halbgruppen:

96

8 HALBGRUPPEN

Theorem 8.5 (Hille-Yosida). Die Abbildung A : DA ⊂ X → X auf dem BanachRaum X ist Erzeugende einer stark stetigen Halbgruppe P t ∈ L(X), t ≥ 0 mit kP t k ≤ aebt , t ≥ 0 genau dann, falls 1. DA in X dicht ist und 2. ρ(A) ⊃ {λ ∈ R|λ > b} und, f¨ ur λ > b kRλ n k = k (λ − A)−1


n

k≤

a , n = 1, 2, . . . (λ − b)n

Im Beweis von Theorem 8.4 ist die folgende Konstruktion der Halbgruppe aus ihrer Erzeugenden gezeigt worden. Theorem 8.6 (Konstruktion der Erzeugenden). Die Kontraktionshalbgruppe P t , t ≥ 0 im Banach-Raum X habe die Erzeugende A. Definiere f¨ ur 0 < λ, λ ∈ ρ(A) −1 ¯ den beschr¨ankten Operator Aλ = λA(λ − A) . Dann gilt limλ→∞ Aλ u = u f¨ ur u ∈ DA , und P t u = limλ→∞ etAλ u, u ∈ X, wobei der Limes gleichm¨assig in t auf beschr¨ankten Zeitintervallen ist. Es gibt auch noch andere Exponentialformeln f¨ ur Kontraktionshalbgruppen mit Erzeugender A (zum Beweis siehe zum Beispiel im oben erw¨ ahnten Buch von A. Pazy, Seiten 82ff.): Definiere Ah ∈ L(X) durch Ah :=

Ph − 1 ∈ L(X), h > 0. h

Dann ist der Grenz¨ ubergang P t x = lim etAh x, x ∈ X h&0

gleichm¨ assig in t auf abgeschlossenen Intervallen [0, T ], T > 0. Wie sich leicht zeigen
−n , und analog folgt f¨ ur x ∈ X l¨ asst, ist eta = lim 1 − ta n n→∞ t

P x = lim

n→∞



tA 1− n

−n

x = lim

n→∞



−1 n n −A t t

n

,

ur grosse n. Der Limes ist gleichm¨ assig in t auf denn f¨ ur t > 0 ist nt ∈ ρ(A) f¨ abgeschlossenen Intervallen. Praktisch n¨ utzlich ist die Feststellung, dass die Erzeugende oft durch kleine Definitionsbereiche schon v¨ ollig bestimmt ist. Theorem 8.7 (E. Nelson). Sei A : DA ⊂ X → X die Erzeugende der Kontraktionshalbgruppe P t , t ≥ 0. Ist D ⊂ X ein dichter Teilraum mit D ⊂ DA und P t (D) ⊂ D f¨ ur alle t ≥ 0, so ist A = A|D . Beweis. K¨ urze ab, A0 := A|D , sodass A0 ⊂ A. Weil A = A¯ abgeschlossen ist, ist A0 abschliessbar und A¯0 ⊂ A. Es gen¨ ugt zu zeigen, dass λ ∈ ρ(A¯0 ) f¨ ur λ > 0. Denn ¯ dann ist nach Theorem 8.1 λ ∈ ρ(A0 ) ∩ ρ(A) und die Operatoren (λ − A¯0 ) und (λ − A) sind beide injektiv und surjektiv. Wegen A¯0 ⊂ A folgt somit A¯0 = A. 1. Behauptung: Es ist (8.2) Wλ−A0 = X f¨ ur λ > 0. Wir beweisen dies indirekt und nehmen an, dass Wλ−A0 6= X. Nach einer Folgerung von Hahn-Banach (Satz 4.3) existiert ein ϕ ∈ X ∗ , ϕ 6= 0, sodass ϕ(x) = 0

97

8 HALBGRUPPEN

f¨ ur alle x = (λ − A0 )u, u ∈ D. Wegen P t (D) ⊂ D folgt somit ϕ ((λ − A0 ) P t u) = 0 f¨ ur alle u ∈ D und t ≥ 0. Da ϕ linear und stetig ist und D ⊂ DA , folgt mit den Eigenschaften von P t in Theorem 8.1, dass λ ϕ(P t u) = ϕ(λP t u) = ϕ(A0 P t u) = ϕ(AP t u) = ϕ( =

d t P u) dt

d ϕ(P t u). dt

F¨ ur t = 0 ist ϕ(P 0 u) = ϕ(u). Da die L¨ osung des Cauchy-Anfangswert-Problemes f¨ ur gew¨ ohnliche Differentialgleichungen eindeutig ist, schliessen wir ϕ(P t u) = eλt ϕ(u) , t ≥ 0. Aus |ϕ(P t u)| ≤ kϕk kP t uk ≤ kϕk kuk und λ > 0 folgt ϕ(u) = 0. Dies gilt f¨ ur alle u ∈ D, und weil D = X ist, erhalten wir ϕ(u) = 0 f¨ ur alle u ∈ X, im Widerspruch zu ϕ 6= 0. Damit ist die Gleichung (8.2) bewiesen. 2. Behauptung: Es gilt Wλ−A¯0 = X , λ > 0 : (8.3) F¨ ur x ∈ X existiert nach (8.2) eine Folge un ∈ D mit x = lim (λ − A0 )un . Nach n→∞

Theorem 8.1 ist λ ∈ ρ(A) und

k(λ − A) uk ≥ λkuk , u ∈ DA . Wegen A0 ⊂ A folgt, dass un eine Cauchy-Folge ist, sodass un → u in X. Weil auch (λ − A0 )un → x, erhalten wir u ∈ Dλ−A¯0 und (λ − A¯0 )u = x, nach Definition des Abschlusses eines abschliessbaren Operators. Dies gilt f¨ ur jedes x ∈ X, und (8.3) ist bewiesen.


Nach (8.3) ist (λ − A¯0 ) surjektiv. Wegen λ − A¯0 u ≥ λkuk, u ∈ DA¯0 ist der Operator (λ − A¯0 ) auch injektiv und somit λ ∈ ρ(A¯0 ), wie gew¨ unscht.

Beispiel (Translationsgruppe). Die Translationsgruppe P t u(x) = u(x + t), t ≥ 0 in X = Lp (0, ∞), p ≥ 1 hat die Erzeugende A=

d , DA = H 1, p (0, ∞). dx

Sei D = Cc∞ (0, ∞) ∩ Lp (0, ∞). Dann ist D ⊂ DA , D = X und P t (D) ⊂ D, und deshalb folgt aus Theorem 8.7 d A= . dx D Wir kommen zu einer n¨ utzlichen Verallgemeinerung der Charakterisierung einer Erzeugenden einer Kontraktionshalbgruppe. Zur Erinnerung zuerst ein einfacher Satz. Satz 8.2. ¯ so ist 1. Ist A : DA ⊂ X → Y abschliessbar mit injektivem Abschluss A, ¯ (A)

−1

= A−1 .

2. Sei A injektiv und seien A und A−1 beide abschliessbar, dann ist A¯ injektiv ¯ −1 = A−1 nach i). und somit (A)

98

8 HALBGRUPPEN

¯ daher ist A injektiv und A−1 ⊂ (A) ¯ −1 . Beweis. Beweis von i). Es ist A ⊂ A, ¯ −1 abgeschlossen und daher A−1 abschliessbar und A−1 ⊂ Nach Satz 3.4 ist (A) −1 ¯ . Sei y ∈ D ¯ −1 , dann ist y = A(x) ¯ (A) f¨ ur ein x ∈ DA¯ . Nach der Definition des (A) Abschlusses von A ist x = lim xn und y = lim Axn f¨ ur eine Folge xn ∈ DA . Daher: A−1 (Axn ) = xn → x und Axn → y und somit, nach Definition des Abschlusses von A−1 , y ∈ DA−1 und A−1 (y) = x. Wir haben bewiesen, dass DA−1 = D(A) ¯ −1 . ¯ = 0, dann existiert eine Folge xn ∈ DA mit x = Beweis von ii). Sei Ax limn→∞ xn und 0 = lim Axn . Deshalb A−1 (Axn ) = xn → x und somit (0, x) ∈ ΓA−1 . Weil A−1 abschliessbar ist, folgt x = 0, und A¯ ist injektiv. Theorem 8.8. Sei X ein Banach-Raum. F¨ ur A : DA ⊂ X → X sind die folgenden Aussagen ¨aquivalent: 1. A¯ existiert und ist Erzeugende einer Kontraktionshalbgruppe. 2. DA ist dicht, und f¨ ur alle λ > 0 ist Wλ−A dicht in X und k(λ − A)uk ≥ λkuk , u ∈ DA . Beweis. i) ⇒ ii) folgt aus Theorem 8.1. ii) ⇒ i). Sei λ > 0. Aus der Absch¨

atzung in ii)

folgt, dass (A − λ) eine bijektive ur u ∈ Wλ−A . Daher ist Abbildung DA → Wλ−A ist, und (λ − A)−1 u ≤ λ1 kuk f¨ −1 (λ − A) : Wλ−A ⊂ X → X stetig, und weil nach Voraussetzungen Wλ−A dicht in X ist, gibt es eine stetige Erweiterung (λ − 1)

−1

1

−1

(λ − A) u ≤ kuk, λ

∈ L(X), und es gilt: u ∈ X.

(8.4)

¯ injektiv ist und daher ist nach Falls auch A¯ existiert, so folgt aus ii) dass (λ − A)


−1 −1 ¯ −1 u ≤ 1 kuk f¨ Satz 8.2 λ − A¯ = (λ − A) , und somit λ − (A) ur alle u ∈ X. λ ¯ und A¯ ist nach Theorem 8.4 Erzeugende einer KontraktiDeshalb ist λ ∈ ρ(A) onshalbgruppe. Es bleibt also noch zu zeigen, dass A abschliessbar ist. Wir zeigen zuerst, dass
ur alle u ∈ X. (8.5) lim λ λ − A−1 u = u , f¨ λ→∞

Zum Beweis sei zun¨ achst u ∈ DA . Dann gilt u = (λ − A)

−1

(λ − A)u = λ (λ − A)

−1


u − (λ − A)

−1

Au

−1 und (8.5) folgt aus (8.4) f¨ ur u ∈ DA . Weil λ (λ − A) ≤ 1 nach (8.4), und weil DA dicht ist, folgt (8.5) f¨ ur alle u ∈ X. Sei nun un ∈ DA mit limn→∞ un = 0 und limn→∞ Aun = v. Wir haben zu zeigen, dass v = 0 ist. Nehme λn > 0 mit λn → ∞ und w¨ ahle eine Teilfolge unk , sodass limk→∞ (λk unk ) = 0 ist. Dann ist −1 limk→∞ ((λk − A) unk + v) = 0 und wegen kλk (λk − A) k ≤ 1 folgt mit (8.5)   −1 0 = lim λk (λk − A) (λk − A)unk + v k→∞   = lim λk unk + λk (λk − A)−1 v = lim λk (λk − A)−1 v = v. k→∞

k→∞

Also ist v = 0, und A ist abschliessbar.

Zum Abschluss dieses Abschnittes beweisen wir noch die Behauptung, die wir ganz zu Beginn als Motivation f¨ ur die Einf¨ uhrung der stark stetigen Halbgruppen angef¨ uhrt hatten:

99

8 HALBGRUPPEN

Satz 8.3 (uniform stetige Halbgruppe). Sei P t ∈ L(X), t ≥ 0 eine Halbgruppe im Banach-Raum X mit lim kP t − 1k = 0. (8.6) t&0

Dann existiert ein A ∈ L(X) so, dass P t = etA =

X (tA)n , n!

n≥0

wobei die Reihe in L(X) konvergiert. Beweis. Mit den Eigenschaften von Halbgruppe folgt aus der Stetigkeit (8.6), dass t 7→ P t (x) stetig ist f¨ ur alle t ≥ 0, genau wie im Beweis von Satz 8.1. Dann ist t 7→ P t (x) ∈ L(X) Riemann-integrabel und

Z

Z τ

1 τ

s s

1 − 1 (1 − P ) ds P ds =

τ 0 τ Z τ0 1 ≤ k1 − P s k ds τ 0 ≤ max k1 − P s k −→ 0, τ → 0. 0≤s≤τ

Rτ Wir k¨ onnen daher τ > 0 so klein w¨ ahlen, dass 1 − τ1 0 P s ds < 1. Dann ist mit Theorem 2.2   Z Z 1 τ s 1 τ s 1− 1− P ds = P ds τ 0 τ 0 ein stetiger Isomorphismus und daher auch Z τ B := P s ds. 0

Es folgt 1 1 h (P − 1)B = h h = =

1 h 1 h

Z Z

τ

P

s+t

0 τ +h

h Z τ +h τ

1 ds − h

P t dt −

1 h

P t dt −

1 h

Z

Z Z

τ

P s ds und mit s + h = t

0 τ

P t dt

0 h 0

h→0

P t dt −−−→ P τ − 1 ∈ L(X),

0

mit P = 1. Daraus folgt, dass lim

h&0

1 h (P − 1) = (P τ − 1)B −1 =: A ∈ L(X). h

Das heisst, die Erzeugende von P t ist A ∈ L(X). Andererseits hat auch etA die Erzeugende A, und wegen der Eindeutigkeit der Erzeugenden (Theorem 8.1) ist somit P t = etA f¨ ur t ≥ 0.

8.5

Unit¨ are Gruppen auf H

Sei H ein Hilbertraum, dann kann man die zu einer Kontraktionshalbgruppe konjugierte Gruppe ebenfalls in H definieren.

100

8 HALBGRUPPEN

Satz 8.4. Sei A der Erzeuger der Kontraktionshalbgruppe P t , t ≥ 0 im Hilbertraum ∗ H. Dann ist (P t ) , t ≥ 0 eine Kontraktionshalbgruppe in H mit Erzeuger A∗ . Formal:
∗ ∗ etA = etA , t ≥ 0. Zuerst eine Bemerkung.

Lemma 8.7. Sei H ein Hilbertraum. Dann gilt A ∈ L (H) =⇒ A∗ ∈ L (H) und kAk = kA∗ k . ¨ Beweis. Ubungsaufgabe. ∗

Beweis von Satz 8.4. (P t ) ist eine Kontraktionshalbgruppe in H, denn


∗
∗

P 0 = 1∗ = 1 und P t = P t ≤ 1

f¨ ur alle t ≥ 0 (Lemma 8.7) und die Gruppenstruktur ist klar. Die Stetigkeit folgt aus

2 


∗
∗

t
∗ u − u = P t u − u, P t u − u

P

  
∗
∗
∗ 

2 2 = P t u + kuk − P t u, u − u, P t u


∗



2 2 = P t u + kuk − u, P t u − P t u, u

2 2 ≤ kuk + kuk − u, P t u − P t u, u

= − u, P t u − u − P t u − u, u

≤ 2 kuk P t u − u −→ 0 f¨ ur t & 0. ∗

Somit ist (P t ) stark stetig in t = 0 und deshalb f¨ ur alle t ≥ 0 (Satz 8.1). ∗ Sei A der Erzeuger von P t und B der Erzeuger von (P t ) , somit bleibt B = A∗ zu zeigen. 1. B ⊂ A∗ :

Sei u ∈ DA und v ∈ DB , dann gilt


1 P tu − u , v t&0 t   1  t
∗ = lim u, P v−v t&0 t

(Au, v) = lim



= (u, Bv) .

Nach Definition der Adjungierten, weil (Au, v) stetig in u ∈ DA ist, folgt v ∈ DA∗ und A∗ v = Bv, somit B ⊂ A∗ . 2. A∗ ⊂ B:

101

8 HALBGRUPPEN

Sei u ∈ DA und v ∈ DA∗ , dann gilt   
∗

u, P t v − v = P tu − u , v =

Zt

=

Zt

d Hille-Yosida (P s u, v) ds = ds

0

0



Zt

(AP s u, v) ds

0


∗ u, (P s ) A∗ v ds

= u,

Zt 0



∗

(P s ) A∗ v ds .

Da dies f¨ ur alle u ∈ DA gilt und DA = H, so folgt  1 1  t
∗ P v−v = t t

Zt

∗

(P s ) A∗ v ds

0


∗ f¨ ur alle t > 0. Die rechte Seite konvergiert f¨ ur t & 0 gegen A∗ v, da P 0 = 1. ∗ Nach Definition des Erzeugers von (P t ) , folgt daher v ∈ DB und Bv = A∗ v, somit A∗ ⊂ B. Insgesamt deshalb A∗ = B. Definition 8.4. (Unit¨ ar) Sei H ein Hilbertraum. Ein U ∈ L (H) heisst unit¨ar, falls U ∗U = 1 = U U ∗, gilt, oder ¨ aquivalent, U ∈ L (H) bijektiv ist und U −1 = U ∗ gilt. Folgerung: Ein unit¨ arer Operator U ist eine surjektive Isometrie, denn es gilt (U x, U y) = (x, U ∗ U y) = (x, y) f¨ ur alle x, y ∈ H, daher auch,

kU xk = kxk

f¨ ur alle x ∈ H. Definition 8.5. (Unit¨ are Gruppe) Eine 1-parametrige unit¨are Gruppe in H ist eine Familie U t ∈ L (H), t ∈ R sodass 1. U 0 = 1, U t U s = U t+s f¨ ur alle t,s ∈ R 2. U t ist unit¨ ar 3. limt7→0 U t x = x, f¨ ur jedes x ∈ H.

102

8 HALBGRUPPEN

Folgerung:

t

U x = kxk , f¨ ur t ∈ R, x ∈ H

t

U = 1
∗
−1 Ut = Ut = U −t , f¨ ur t ∈ R.

Erzeuger: Der Erzeuger A einer 1-parametrige unit¨ aren Gruppe U t , t ∈ R ist wie fr¨ uher definiert, n¨ amlich
1 U t u − u , u ∈ DA Au = lim t→0 t  
1 DA = u ∈ H lim U t u − u existiert . t→0 t

Theorem 8.9 (Stone). F¨ ur einen Operator A : DA ⊂ H −→ H, DA = H im Hilbertraum H sind ¨aquivalent: 1. A ist Erzeuger einer 1-parametrige unit¨aren Gruppe U t , t ∈ R. 2. A∗ = −A. 3. S = S ∗ , wobei A = iS. Erzeuger: Es gibt einen 1-1 deutigen Zusammenhang zwischen selbstadjungierten Operatoren S im Hilbertraum H und unit¨ aren Gruppen U t , t ∈ R, man schreibt oft formal: U t = eitS , S = S ∗ . ∗

Beweis. 2.) ⇐⇒ 3.): (iS) = −iS ∗ . 1.) =⇒ 2.): (Satz 8.4) Sei U t eine unit¨ are Gruppe. Dann ist Ut deshalb f¨ ur u ∈ H, t ∈ R, −


∗

= Ut


−1

= U −t ,


1 1  t
∗ U −t − 1 u = U − 1 u. −t t

Nach Satz 8.4 (f¨ ur Gruppen) ist A Erzeuger von U t genau dann, wenn A∗ Erzeuger t ∗ ist von (U ) . Daher folgt f¨ ur t → 0 u ∈ D A ⇔ u ∈ D A∗ und −Au = A∗ u, f¨ ur u ∈ DA = DA∗ ,

insgesamt A∗ = −A. 2.) =⇒ 1.): (Theorem 7.1, Lemma 7.1, Theorem 8.4) Sei A∗ = −A. Definiere S durch A = iS,

dann ist S ∗ = S selbstadjungiert. Wir wissen aus Theorem 7.1, dass σ (S) reel ist, daher σ (A) = σ (iS) = iσ (S) ⊂ iR und σ (−A) = σ (−iS) = −iσ (S) ⊂ iR.

103

8 HALBGRUPPEN Aus S ∗ = S folgt mit Theorem 7.1 und Lemma 7.1, dass

1

−1

(z − S) ≤ |Im z|

f¨ ur alle Im z 6= 0. Daher, f¨ ur alle Re z 6= 0,

−1

(z ± A) ≤

1 . |Re z|

Es folgt daher aus Hille-Yosida (Theorem 8.4), dass A und −A Erzeuger sind von Kontraktionshalbgruppen. Sei P t , t ≥ 0 die Kontraktionshalbgruppe mit Erzeuger A

Qt , t ≥ 0 die Kontraktionshalbgruppe mit Erzeuger − A. Definiere U t , t ∈ R durch



Ut =

P t , f¨ ur t ≥ 0 , Q , f¨ ur − t ≥ 0 −t

dann ist U t stark stetig in t = 0. Beh: U t , t ∈ R ist unit¨ ar. Bew: Sei u ∈ DA , dann ist die Ableitung der Funktion t 7→ P t Qt u, t ≥ 0 nach Hille-Yosida (Theorem 8.4),
d P t Qt u = AP t Qt u + P t − AQt u = 0, dt

also gleich null, und deshalb (Lemma 8.3) die Funktion konstant in t. F¨ ur t = 0 ist sie die Identit¨ at somit, weil DA = H, P t Qt = 1, t ≥ 0,

(*)

Qt P t = 1, t ≥ 0.

(*)

und ebenso t

t

Weil kP k ≤ 1 und kQ k ≤ 1 f¨ ur t ≥ 0 (Hille-Yosida, Theorem 8.4) folgt



kuk = P t Qt u ≤ Qt u ≤ kuk ,

sodass kuk = kQt uk und ebenso kuk = kP t uk f¨ ur t ≥ 0. Die Operatoren P t , Qt sind isometrisch und wegen (∗) auch surjektiv. Mit der Polarisationsidentit¨ at f¨ ur das Skalarprodukt folgt f¨ ur U t , t ≥ 0 

∗ (x, y) = U t x, U t y = x, U t U t y ∗

f¨ ur alle x, y ∈ H. Folglich (U t ) U t = 1, sodass U t ein unit¨ arer Operator ist. Die Gruppenstruktur von U t folgt aus der Halbgruppenstruktur von P t , Qt , t ≥ 0 und (∗). Der Erzeuger von U t ist offenbar A = iS.

Dynamische Bedeutung von selbstadjungierten Operatoren: Sei S = S ∗ im Hilbertraum. Dann existiert eine eindeutige L¨ osung des C.A.W.P  u˙ (t) = iSu (t) , t ∈ R u (0) = u ∈ DS

104

8 HALBGRUPPEN

in H f¨ ur alle Zeiten t ∈ R. Die L¨ osung t 7→ u (t) : R −→ H ist stetig differenziertbar und u (t) ∈ DA f¨ ur alle t ∈ R. Diese L¨ osung ist gegeben durch die von iS erzeugte unit¨ are Gruppe u (t) = U t u = eitS u, t ∈ R. Zudem gilt der Erhaltungssatz

ku (t)k = U t u = ku (0)k , t ∈ R

und die L¨ osung h¨ angt stetig ab von den Anfangsbedingungen u ∈ DA . Problem mit Zukunft und Vergangenheit! Wie die Gruppe U t aussieht h¨ angt ab von den linearen Invarianten des Erzeugers iS, d.h. von der Spektralzerlegung des Operators S = S ∗ , ¨ ahnlich wie in endlichen Dimensionen, wo man die Jordan-Normalform zur Verf¨ ugung hat. Beispiel. Sei λ ∈ σp (S), dann ist λ reel und es gibt ein u ∈ DS mit Su = λu. Es folgt dann (wie in Hille-Yosida) d t U u = U t (iS) u = iλU t u. dt Andererseits ist auch u (t) = eitλ u eine L¨ osung desselben C.A.W.P, aus der Eindeutigkeit folgt daher U t u = eitλ u und wir erhalten eine periodische L¨ osung.

8.6

Kontraktionshalbgruppen in Hilbertr¨ aumen t

Sei P , t ≥ 0 eine Kontraktionshalbgruppe im Hilbertraum H, dann gilt

t
P u, u ≤ P t u kuk ≤ kuk2 = (u, u) f¨ ur t ≥ 0 und u ∈ H. Daher

sodass



Re P t u − u, u = Re P t u, u − (u, u)
≤ P t u, u − (u, u) ≤ 0 Re




1 P tu − u , u ≤ 0 t

gilt f¨ ur t > 0, u ∈ H. Sei A der Erzeuger von P t , so folgt f¨ ur t → 0 Re (Au, u) ≤ 0 f¨ ur u ∈ DA . Definition 8.6. Ein Operator A : DA ⊂ H −→ H heisst dissipativ, falls Re (Au, u) ≤ 0 f¨ ur alle u ∈ H.

105

8 HALBGRUPPEN Beispiel (Multiplikationsoperatoren in L2 (Ω) ). Sei Au := au f¨ ur a : Ω −→ C messbar und

 DA := u ∈ L2 (Ω) | au ∈ L2 (Ω) .

F¨ ur Re a ≤ 0 ist der Operator A ist dissipativ, denn dann gilt Z Z Re (au, u) = Re au¯ u = Re a |u|2 ≤ 0. Ω

Ω

Satz 8.5. F¨ ur einen dissipativen Operator A : DA ⊂ H −→ H gilt. 1. k(z − A) uk ≥ Re z kuk f¨ ur u ∈ DA , z ∈ C. 2. Falls es ein z0 in {Re z > 0} mit Wz0 −A = H gibt, so geh¨ort die ganze offene Halbebene {Re z > 0} zur Resolventenmenge ρ (A) und es gilt dort:

Beweis. 1.):



−1

(z − A) u ≤

1 . Re z

k(z − A) uk kuk ≥ |((z − A) u, u)|

≥ Re ((z − A) u, u) = Re z (u, u) − Re (Au, u) | {z } 2

≤0

≥ Re z kuk

2.): Folgt aus 1.) genau so wie im Beweis von Theorem 7.2 Aus Satz 8.5 und Theorem 8.4 (Hille-Yosida) folgt unmittelbar. Theorem 8.10 (Lumer-Phillips). F¨ ur einen Operator A : DA ⊂ H −→ H im Hilbertraum H sind ¨aquivalent: 1. A ist Erzeuger einer Kontraktionshalbgruppe. 2. A ist ein dicht definierter, dissipativer Operator, und es gibt ein z0 in {Re z > 0} mit Wz0 −A = H.

9 BEISPIELE VON KONTRAKTIONSHALBGRUPPEN

9

106

Beispiele von Kontraktionshalbgruppen

9.1

Flu ¨sse von Vektorfeldern

Es sei V : R → R ein C 1 -Vektorfeld, dann existiert ein lokaler Fluss. Wir nehmen nun an, das Vektorfeld erzeuge einen globalen Fluss (dies ist der Fall, wenn zum Beispiel |V (x)| ≤ α + β|x| ∀x ∈ Rn , das heisst, die L¨ osungen x(t) = ϕt (x) des Cauchy-Anfangswert-Problems
d t ϕ (x) = V ϕt (x) dt ϕ0 (x) = x

t∈R

existieren f¨ ur alle t ∈ R und alle Anfangsbedingungen x ∈ Rn . Wird t festgehalten, dann ist die Abbildung ϕt : Rn −→ Rn ,

x 7−→ ϕt (x)

ein C ∞ -Diffeomorphismus von Rn auf sich selbst. Weil das Vektorfeld V nicht zeitabh¨ angig ist, folgt aus der Eindeutigkeit der L¨ osungen des Cauchy-AnfangswertProblems die Gruppeneigenschaft

ϕt ϕs (x) = ϕs+t (x) = ϕs ϕt (x)

f¨ ur alle s, t ∈ R und alle x ∈ Rn . Mit anderen Worten, die Familie {ϕt }t∈R von C ∞ Diffeomorphismen bilden zusammen eine Gruppe unter der Komposition ϕs ◦ ϕt = ϕt ◦ ϕs = ϕs+t , s, t ∈ R mit Neutralelement ϕ0 = id und der Inversen (ϕt )−1 = ϕ−t . Diese Gruppe induziert eine 1-parametrige Gruppe P t , t ∈ R, von linearen Abbildungen im Vektorraum F := {u : Rn → R}, Pt : F → F
(P t u)(x) = u ϕt (x) u ∈ F, x ∈ Rn

Wir wollen nun die folgende Frage beantworten: Wann ist P t eine Kontraktionshalbgruppe in Lp (Rn )? Definition 9.1. (Divergenz) Die Divergenz eines Vektorfeldes V = (V1 , . . . , Vn ) ist der Operator div, definiert durch n X ∂ Vj (x) ∈ R. div V (x) = ∂x j j=1 F¨ ur die Ableitung von ϕt : Rn → Rn schreiben wir dϕt (x) =

∂ t ϕ (x) ∂x

∈ L(X).

dϕt (x) heisst Jacobi-Matrix von ϕt an der Stelle x ∈ Rn .
Satz 9.1 (Liouville). Es sei ω(t) = det dϕt (x) f¨ ur x ∈ Rn fest. Dann ist
ω(t) ˙ = div V ϕt (x) ω(t), ω(0) = 1, und deshalb


det dϕt (x) = exp

Z

t 0


div V ϕs (x) ds .

9 BEISPIELE VON KONTRAKTIONSHALBGRUPPEN

107


d t Beweis. Wir leiten dt ϕ (x) = V ϕt (x) nach x ab unter der Benutzung der Kettenregel und beachten, dass ϕ0 (x) = x ist. Es ist damit
d dϕt (x) = dV ϕt (x) dϕt (x) dt dϕ0 (x) = 1 Halten wir urzung X(t) := dϕt (x) und A(t) :=
nun x fest und schreiben zur Abk¨ t dV ϕ (x) , dann ist ( ˙ X(t) = A(t) X(t) t ∈ R X(0) = 1 und wir k¨ onnen mit Taylor schreiben ˙ X(t + h) = X(t) + hX(t) + o(h) = X(t) + hA(t)X(t) + o(h)
= 1 + hA(t) X(t) + o(h),

wobei o(h) eine Funktion in L(Rn ) ist mit ω(t) = det(X(t))

1 h o(h)

→ 0 f¨ ur h → 0. Es folgt nun f¨ ur


ω(t + h) = det 1 + hA(t) det X(t) + o(h)
= 1 + h[tr A(t)] ω(t) + o(h)

und nach Umformung

1 ω(t + h) − ω(t) = [tr A(t)] ω(t) + o(h) h h und, mit h → 0, ω(t) ˙ = [tr A(t)] ω(t)

∈ R.

Dies ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung f¨ ur ω, deren L¨ osung wir sofort angeben k¨ onnen:  Z t tr A(s) ds ω(0). ω(t) = exp 0

Mit ω(0) = det X(0) = det(1) = 1 und

tr A(t) = tr dV ϕt (x) = div V ϕt (x)

folgt die Behauptung des Satzes.

Der Satz liefert uns auch eine Interpretation von div V . Es ist
d div V (x) = det dϕt (x) . dt t=0

Daraus wiederum folgen die beiden Beziehungen

div V (x) ≥ 0 ∀x ∈ Rn ⇐⇒ det dϕt (x) ≥ 1 ∀x ∈ Rn , t ≥ 0,

div V (x) = 0 ∀x ∈ Rn ⇐⇒ det dϕt (x) = 1 ∀x ∈ Rn , t ∈ R, deren Bedeutung im folgenden Satz klarer wird. Satz 9.2. Es sei V : Rn → Rn ein C 1 -Vektorfeld.

9 BEISPIELE VON KONTRAKTIONSHALBGRUPPEN

108

i) Sei div V (x) ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ Rn , dann ist P t : Lp (Rn ) → Lp (Rn ),

t≥0

eine stark stetige Kontraktionshalbgruppe f¨ ur alle p ≥ 1. ii) Ist div V (x) = 0 f¨ ur alle x ∈ Rn , so ist P t : Lp (Rn ) → Lp (Rn ),

t∈R

eine stark stetige Gruppe von Isometrien f¨ ur p ≥ 1. Beweis. Wir beweisen nur die Aussage i). Mit den Transformationsformeln der Integralrechnung folgt f¨ ur t ≥ 0 Z Z

u ϕt (x) p det dϕt (x) dx kukpLp = |u(x)|p dx = {z } | Rn Rn ≥

Z

Rn

≥1


u ϕt (x) p dx = kP t ukp p , L

u ∈ Lp (Rn ).

Es ist daher f¨ ur alle u ∈ Lp (Rn ) und t ≥ 0

kP t ukLp ≤ kukLp . Auf der dichten Teilmenge Cc∞ (Rn ) ⊂ Lp (Rn ) gilt nach dem Majorantensatz von Lebesgue Z
t→0 u ϕt (x) − u(x) p dx − −−→ 0, kP t u − ukpLp = Rn

weil der Integrand punktweise gegen 0 konvergiert und eine L1 -Majorante existiert. Da kP t k ≤ 1 f¨ ur t ≥ 0 und Cc∞ (Rn ) = Lp (Rn ), so folgt lim P t u = u in Lp (Rn )

t&0

f¨ ur alle u ∈ Lp (Rn ), das heisst, P t ist eine stark stetige Kontraktionshalbgruppe. Beispiel (Lineare Vektorfelder). Wir betrachten Vektorfelder der Form V (x) = ax f¨ ur a ∈ L(Rn ). Wir erhalten dann ϕt (x) = eta , t

P (u) = u e

ta

div V (x) = tr a.




,

t∈R

x ∈ Rn

Daraus folgt, dass det dϕt (x) = et tr(a) unabh¨ angig von x ist. In diesem Spezialfall erhalten wir eine stark stetige Gruppe P t ∈ L(Lp (Rn )) f¨ ur alle p ≥ 1 und alle t ∈ R. F¨ ur die Norm von P t u gilt dann t

kP t ukLp = e− p tr(a) kukLp ,

t ∈ R.

Ist tr(a) ≥ 0, so ist P t eine Kontraktionshalbgruppe f¨ ur t ≥ 0, ist tr(a) = 0, so ist P t f¨ ur alle t ∈ R eine Isometrie. t 1 n Wie sieht die Erzeugende
der Halbgruppe P aus? Nehmen wir ein u ∈ Cc (R ), t dann k¨ onnen wir u ϕ (x) f¨ ur festes x punktweise in t differenzieren:

d t

d u ϕt (x) = du ϕt (x) ϕ (x) = du ϕt (x) V ϕt (x) dt dt



 = ∇u ϕt (x) , V ϕt (x) ,

9 BEISPIELE VON KONTRAKTIONSHALBGRUPPEN

109

wobei ∇ den Gradienten und h , i das Euklidische Skalarprodukt auf Rn bezeichnet. Evaluation der letzten Gleichung in t = 0 ergibt
d t u ϕ (x) = h∇u(x), V (x)i. dt t=0 Daraus folgt



1 1 t→0 u ϕt (x) − u(x) − h∇u(x), V (x)i = o(t) −−−→ 0. t t

(9.1)

Nun definieren wir A0 als Differentialoperator erster Ordnung mit variablen Koeffizienten auf D0 = Cc1 (Rn ) ⊂ Lp (Rn ) durch A0 : D0 ⊂ Lp (Rn ) −→ Lp (Rn ) n X
∂ u(x), x ∈ Rn , u ∈ D0 . A0 u (x) = Vj (x) ∂x j j=1 Dann ist A0 u ∈ Cc0 (Rn ). Es sei A : DA ⊂ Lp (Rn ) → Lp (Rn ) die Erzeugende von P t , t ≥ 0. Dann gilt, nach der Definiton der Erzeugenden, f¨ ur u ∈ DA



1 t t&0

(P u − u) − Au −

p −−→ 0.

t L Andererseits folgt aus (9.1) f¨ ur u ∈ D0 nach Lebesgue

1 t

t&0

(P u − u) − A0 u −

t

p −−→ 0. L

Nach Definiton der Erzeugenden folgt, dass u ∈ DA und Au = A0 u, also A|D0 = A0 . Weil D0 = Lp (Rn ) und Cc∞ (Rn ) ⊂ Cc1 (Rn ), ist P t (D0 ) ⊂ D0

f¨ ur alle t ≥ 0.

Aus Theorem 8.7 folgt A = A|D0 Bemerkung: Es ist daher   es gibt eine Folge uj ∈ D0 = Cc1 (Rn )   DA = u ∈ Lp (Rn ) mit u = limj→∞ uj in Lp (Rn )   und A0 uj ist eine Cauchy-Folge in Lp (Rn )

sowie Au = lim A0 uj ∈ Lp (Rn ). j→∞

Wir haben soeben bewiesen:

Theorem 9.1. Es sei V : Rn → Rn ein C 1 -Vektorfeld mit globalem Fluss ϕt (x), t ∈ R und x ∈ Rn , mit div V (x) ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ Rn . Wir definieren
P t u(x) := u ϕt (x) , x ∈ Rn , t ≥ 0. Dann ist P t ∈ L(Lp (Rn )), t ≥ 0, eine stark stetige Kontraktionshalbgruppe mit der Erzeugenden A = A|D0 , wobei D0 = Cc1 (Rn ) und A|D0 =

n X j=1

Vj (x)

∂ ∂xj

die Ableitung in Richtung des Vektorfeldes V ist.

9 BEISPIELE VON KONTRAKTIONSHALBGRUPPEN

110

Bemerkung: Ist in Theorem 9.1 das Vektorfeld aus C ∞ , so sind die ϕt alle C ∞ Diffeomorphismen und wir k¨ onnen D0 ersetzen durch Cc∞ (Rn ) ⊂ Cc1 (Rn ). Beispiel (Lineare Vektorfelder, Forts.). Wie wir bereits gesehen haben, ist P t = eat f¨ ur V (x) = ax mit a ∈ L(Rn ) und tr(a) ≥ 0 eine Kontraktionshalbgruppe in Lp (Rn ) mit Erzeugender n X ∂ A= (ax)j ∂xj ∞ n Cc (R )

j=1

nach Theorem 9.1.

9.2

Unit¨ are Gruppen auf L2 (Rn )

Wir betrachten nun den Hilbertraum L2 (Rn ). Falls V : Rn −→ Rn ein C ∞ Vektorfeld mit div V = 0 ist, dessen Fluss ϕt (x) f¨ ur alle x ∈ Rn und alle t ∈ R
t 2 n existiert, so ist U ∈ L L (R ) , t ∈ R, definiert durch

U t u (x) = u ϕt (x) , t ∈ R f¨ ur u ∈ L2 (Rn ), eine stark stetige, 1-parametrige unit¨ are Gruppe und es folgt die zu Theorem 9.1 analoge Aussage.

Theorem 9.2 (Selbstadjungierte Operatoren). Sei V : Rn −→ Rn ein C ∞ -Vektorfeld mit globalem Fluss und div V = 0. Dann definiert

U t u (x) = u ϕt (x) , t ∈ R f¨ ur u ∈ L2 (Rn ) eine stark stetige, 1-parametrige unit¨are Gruppe U t im Hilbertraum L2 (Rn ) mit Erzeuger A = A|D ,

wobei D = Cc∞ (Rn ) und A|D =

n X

Vj (x)

j=1

∂ , ∂xj

mit V (x) = (V1 (x) , . . . , Vn (x)). Nach dem Satz von Stone (Theorem 8.9) ist der Operator 1 S= A i selbstadjungiert im Hilbertraum L2 (Rn ). Beispiele: Translation und Impulsoperator: Sei V (x) = e ∈ Rn ein konstantes Vektorfeld auf Rn . Dann ist div V = 0 und der Fluss von V ist explizit gegeben durch die Formel ϕt (x) = x + te, t ∈ R, x ∈ Rn .

Der Erzeuger der unit¨ aren Gruppe (U t u) (x) = u (x + te), t ∈ R im Hilbertraum 2 n L (R ) ist gegeben durch A = A|D , wobei D = Cc∞ (Rn ) und A|D =

n X j=1

ej

∂ . ∂xj

Der Operator S = 1i A ist selbstadjungiert im Hilbertraum L2 (Rn ). Er heisst der zur Translationsgruppe x 7→ x + te geh¨ orige quantenmechanische Impulsoperator in Richtung e.

9 BEISPIELE VON KONTRAKTIONSHALBGRUPPEN

111

Drehungen und Drehimpulsoperator: Sei V (x) = ax ein lineares Vektorfeld auf Rn mit der reellen Matrix a ∈ L (Rn ). Dann ist der Fluss von V explizit gegeben durch die Exponentialfunktion ϕt (x) = eta x, t ∈ R, x ∈ Rn . Nehme nun an, dass a schiefsymmetrisch ist, d.h. aT = −a, dann ist div V = 0 und eta eine orthogonale 1-parametrige Gruppe, d.h. eine Drehgruppe. Denn
T
−1 T eta = eta = e−ta = eta .

F¨ ur den Erzeuger A der unit¨ aren Gruppe (U t u) (x) = u (eta x), t ∈ R im Hilbertraum 2 n L (R ) gilt A = A|D , wobei D = Cc∞ (Rn ) und A|D =



∂ ax, ∂x



=

n X

aij xj

i,j=1

∂ . ∂xi

 ∂ ist selbstadjungiert in L2 (Rn ) . Er heisst der zur Der Operator 1i A = 1i ax, ∂x |D ta Drehgruppe e geh¨ orige quantenmechanische Drehimpulsoperator. Sei zum Beispiel    0 1 0  a =  −1 0 0 0(n−2)×(n−2) und x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , dann folgt ax = (x2 , −x1 , 0, . . . , 0) und somit    cos t sin t 0 . eta =  − sin t cos t 0 1(n−2)×(n−2)


∂ ∂ − x1 ∂x2 ist selbstadjungiert in L2 (Rn ) . Die dazugeh¨ orige Der Operator 1i x2 ∂x1 |D t 2 n unit¨ are Gruppe U in L (R ) ist periodisch, U t+2π = U t , t ∈ R. Hamiltonsche Vektorfelder: Zu einer C ∞ -Funktion h : R2n −→ R geh¨ ort das sogenannte Hamiltonsche Vektorfeld V (x) = J∇h (x) , x ∈ R2n mit dem Euklidischen Gradienten ∇h (x) ∈ R2n , wobei J die schiefsymmetrische Matrix  
0 1n J= ∈ L R2n −1n 0

ist. Es folgt div V = 0. Nehme wiederum an, dass V einenglobalen Fluss ϕt erzeugt. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn alle Energiefl¨ achen x ∈ R2n | h (x) = const kompakt sind. Dann ist

U t u (x) = u ϕt (x) , t ∈ R

f¨ ur u ∈ L2 (Rn ) eine stark stetige, 1-parametrige unit¨ are Gruppe U t im Hilbertraum 2 n ∞ n L (R ) mit Erzeuger A = A|D , wobei D = Cc (R ) und   ∂ A|D = J∇h (x) , , ∂x
Wiederum ist der Operator 1i A selbstadjungiert im Hilbertraum L2 R2n .

9 BEISPIELE VON KONTRAKTIONSHALBGRUPPEN

9.3

112

W¨ armeleitungsgleichung

Gesucht sind L¨ osungen u in Lp (Rn ), p ≥ 1 f¨ ur t ≥ 0 der W¨ armeleitungsgleichung  ∂ t>0 ∂t u(t, x) = ∆u(x, t), (9.2) u(0, x) = u(x), t=0 bei vorgegebenen Anfangsbedingungen u(x) in Lp (Rn ). Wir suchen spezielle L¨ osungen der partiellen Differentialgleichung, n¨ amlich solche in einem vorgegebenen Banach-Raum.
Pn ∂ 2 Der Operator ∆ = hat konstante Koeffizienten. Wir betrachten i=i ∂xj 2 n daher zuerst p = 2, das heisst L (R ) und benutzen Fouriertransformation, um zu den L¨ osungen zu gelangen. Fouriertransformation: Wir arbeiten auf dem Schwartz-Raum S , welcher wie folgt definiert ist: S (Rn ) := {u ∈ C ∞ (Rn )| sup |xα Dβ u(x)| < ∞ ∀α, β}, x∈Rn

mit Cc∞ (Rn ) ⊂ S (Rn ) ⊂ L2 (Rn ), wobei wir folgende Notation verwenden: αn 1 α2 xα = x α 1 x2 . . . x n

α = (α1 , . . . , αn ) x = (x1 , . . . xn ) Dβ = D1β1 D2β2 . . . Dnβn

Dj =

∂ ∂xj

Die Fouriertransformation F : S (Rn ) → S (Rn ) ist definiert als die lineare Abbildung Z 1 fˆ(ξ) := F [f ] (ξ) = e−ihx,ξi f (x) dx. (9.3) (2π)n/2 Rn

Die Fouriertransformation ist eine Bijektion von S (R n ) auf S (Rn ) mit der Inversen Z 1 ˆ (x) f (x) = F −1 [f] eihx,ξi fˆ(ξ) dξ. (2π)n/2 Rn Dies folgt aus den Formeln Dα fˆ(ξ) = F [(−ix)α f ] (ξ), (iξ)α fˆ(ξ) = F [Dα f ] (ξ). Nach dem Satz von Plancherel ist kˆ ukL2 = kukL2 f¨ ur u ∈ S (Rn ), das heisst, die 2 Fouriertransformation F ist eine Isometrie in der L -Norm von S (Rn ) auf S (Rn ). Weil S (Rn ) ⊂ L2 (Rn ) dicht ist, existiert eine eindeutige stetige Fortsetzung von F zu einer Isometrie von L2 (Rn ) auf sich. Diese Fortsetzung wird wieder mit F bezeichnet, obwohl die Integralformel (9.3) nicht gilt f¨ ur f 6∈ L1 (Rn ). F¨ uhren wir die Fouriertransformation der partiellen Differentialgleichung (9.2) in der Variablen x mit Parameter t und ut (x) := u(t, x) durch, so ergibt sich formal wegen i2 = −1: d u ˆt (ξ) = −|ξ|2 u ˆt (ξ) t ≥ 0 dt u ˆ0 (ξ) = u ˆ(ξ). Halten wir ξ fest, so ist dies eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung in t, deren L¨ osung 2

u ˆt (ξ) = e−t|ξ| u ˆ(ξ) lautet. Dies f¨ uhrt zu

t≥0

113

9 BEISPIELE VON KONTRAKTIONSHALBGRUPPEN Definition 9.2. (Kontraktionshalbgruppe Pˆ t ) Es bezeichne 2 Pˆ t u(ξ) = e−t|ξ| u(ξ)

f¨ ur ξ ∈ Rn , t ≥ 0 und u ∈ L2 (Rn ). Aus Lebesgue folgt, dass dies eine stark stetige Kontraktionshalbgruppe in L2 (Rn ) ist f¨ ur t ≥ 0. Diese Kontraktionshalbgruppe kann auf L2 (Rn ) nicht f¨ ur t < 0 fortgesetzt werden! Lemma 9.1. Die Erzeugende A : DA ⊂ L2 (Rn ) → L2 (Rn ) der Kontraktionshalbgruppe Pˆ t ist der Multiplikationsoperator Au(ξ) = −|ξ|2 u(ξ) ξ ∈ Rn definiert auf DA := {u ∈ L2 (Rn ) |ξ|2 u ∈ L2 (Rn )}.

Beweis. Es sei zuerst u ∈ DA . Dann gilt nach Definition der Erzeugenden  1  ˆt t&0 P u − u −−−→ Au in L2 (Rn ). t Es folgt f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Rn ) Z  1  ˆt P − 1 uϕ dξ Rn t Z

=

↓

Auϕ dξ Rn

=

Z Z

u Rn

 1  −t|ξ|2 e − 1 ϕ dξ t ↓

u(−|ξ|2 )ϕ dξ Rn

f¨ ur n → 0 wegen H¨ older und Lebesgue. Dies gilt f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Rn ). Daher ist nach Theorem 5.3 −|ξ|2 u = Au ∈ L2 (Rn ),

und darum A ⊂ −|ξ|2 . Sei nun u ∈ L2 (Rn ) so, dass |ξ|2 u ∈ L2 (Rn ). Dann gilt punktweise  1  ˆt P u(ξ) − u(ξ) + |ξ|2 u(ξ) = |ξ|2 u(ξ) t

Z

1 0



1 − e−ts|ξ|

2



t&0

ds −−− → 0,

und deshalb, mit dem Satz von Lebesgue,

 

1 t&0 ˆ t u − u − (−|ξ 2 |)u

P

2 n −−−→ 0.

t L (R )

Nach unserer Defintion der Erzeugenden ist daher u ∈ DA und Au = −|ξ|2 u. Somit ist −|ξ|2 ⊂ A. Insgesamt ist also −|ξ|2 = A. Nach dem Theorem von Nelson (oder auch direkt) folgt A = −|ξ|2 S (Rn ) . R¨ ucktransformation der Gruppe Pˆ t , t ≥ 0: Wir definieren eine stark steti¨ ge Kontraktionshalbgruppe L2 (Rn ) → L2 (Rn ) durch die unit¨ are Aquivalenz der Fouriertransformation
 2  P t u = F −1 Pˆ t F u = F −1 e−t|ξ| u ˆ

114

9 BEISPIELE VON KONTRAKTIONSHALBGRUPPEN

f¨ ur u ∈ L2 (Rn ). Dies ist eine Kontraktionshalbgruppe im x-Raum. Doch: wie sieht sie aus? F¨ ur die Fouriertransformation der Faltung gilt auf S (Rn ) ˆ u(ξ) f[ ∗ u(ξ) = (2π)n/2 f(ξ)ˆ und f¨ ur die Exponentialfunktion gilt die Formel g(x) =

2 1 e|x| /(4a) n/2 (2a)

gˆ(ξ) = e−a|ξ|

2

2 d t u(ξ) = e−t|ξ| u f¨ ur alle a > 0. Wenden wir dies an auf P ˆ(ξ), so erhalten wir

P t u(x) = pt ∗ u(x) t>0 2 1 pt (x) = e−|x| /(4t) (4πt)n/2

Wir definieren nun P t : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) durch Z 2 1 P t u(x) = e|x−y| /(4t) u(y) dy n/2 (4πt) Rn P 0 u(x) = u(x)

t>0

(9.4)

t = 0.

Dies ist eine stark stetige Kontraktionshalbgruppe in L2 (Rn ), symbolisch schreiben wir P t = et∆“. ” F¨ ur die Erzeugende erhalten wir
A = ∆ = F −1 − |ξ|2 F DA = H 2,2 (Rn ),

¨ wobei f¨ ur Sobolev-R¨ aume gilt (Ubungsaufgabe)
 F H 2,2 (Rn ) = u ˆ ∈ L2 (Rn )|(1 + |ξ|2 )ˆ u ∈ L2 (Rn ) = D|ξ|2 .

Zudem gilt ∆ = ∆|S (Rn ) . Aus Theorem 9.1 folgt, dass zu jeder Anfangsbedingung u ∈ H 2,2 (Rn ) genau eine Funktion t 7→ u(t) ∈ L2 (Rn ), t ≥ 0, existiert, sodass  d dt u(t) = ∆u(t) t ≥ 0 . u(0) = u Es ist dann u(t) = P t u, t ≥ 0. Aus der Formel (9.4) erhalten wir zus¨ atzliche Eigenschaften: u ≥ 0 =⇒ P t u ≥ 0 ∀t ≥ 0,

u ∈ L2 (Rn ) =⇒ P t u ∈ L2 (Rn ) ∩ C ∞ (Rn ),

0 6= u ∈ L2 (Rn ), u ≥ 0 =⇒ supp(P t u) = Rn , t ≥ 0.

Insbesondere ist u(t, x) = P t u(x) f¨ ur t > 0, u ∈ L2 (Rn ), eine klassische L¨ osung der partiellen Differentialgleichung ∂ u(t, x) = ∆u(t, x). ∂t Es gibt auch andere klassische L¨ osungen, zum Beispiel sogenannte Nulll¨ osungen. Diese sind nicht in L2 (Rn ) f¨ ur alle t ≥ 0.

9 BEISPIELE VON KONTRAKTIONSHALBGRUPPEN

115

Die Formel (9.4) f¨ ur P t definiert eine Kontraktionshalbgruppe in jedem Lp (Rn ) mit p ≥ 1, nicht nur f¨ ur p = 2. Die Eigenschaft der Kontraktion folgt aus dem Faltungssatz 5.1 und aus Z kpt kL1 = pt (x) dx = pˆt (0) = 1 Rn

f¨ ur t > 0. Die starke Stetigkeit von P t in t = 0, das heisst, lim P t u = u in Lp (Rn ),

t&0

folgt analog zu Theorem 5.1

9.4

Freie Schr¨ odinger-Gleichung

Wir suchen L¨ osungen u ∈ L2 (Rn ) der freien Schr¨odinger-Gleichung  ∂ ∂t u(t, x) = i∆u(t, x) t ∈ R u(0, x) = u(x)

(9.5)

Die Fouriertransformation liefert in diesem Fall d u ˆt (ξ) = −i|ξ|2 u ˆt (ξ). dt Die L¨ osungen (in t) dieser gew¨ ohnlichen Differentialgleichung f¨ uhren zur unit¨ aren ˆ t ∈ L2 (Rn ), t ∈ R, mit Gruppe U ˆ t u(ξ) = e−it|ξ|2 u(ξ) ∀ t ∈ R, u ∈ L2 (Rn ). U

Es gilt offensichtlich

t

U ˆ u

L2 (Rn )

= kukL2 (Rn )

t ∈ R, u ∈ L2 (Rn ).

Die Erzeugende A der aren Gruppe lautet A = −i|ξ|2 und ist definiert auf 2unit¨ 2 n DA = {u ∈ L (R ) |ξ| u ∈ L2 (Rn )}. Die R¨ ucktransformation liefert die unit¨ are Gruppe   2 U t u = F −1 e−it|ξ| F [u] t∈R

U t ∈ L(L2 (Rn ))
mit der Erzeugenden i∆ = F −1 − i|ξ|2 F (u) auf dem Definitonsbereich Di∆ = H 2,2 (Rn ), es gilt zudem i∆ = i∆ S (Rn ) .

F¨ ur spezielle Anfangsbedingungen u erhalten wir eine spezielle L¨ osungsformel f¨ ur U t u: Es sei u ∈ S (Rn ), dann ist Z   2 2 1 U t u(x) =: u(t, x) = F −1 e−it|ξ| F (u) = eihx,ξi e−it|ξ| u ˆ(ξ) dξ. (2π)n/2 Rn

Es ist u(t, ·) ∈ S (Rn ) eine klassische L¨ osung der partiellen Differentialgleichung (9.5). Nach Theorem 9.1 existiert zu jeder Anfangsbedingung u ∈ H 2,2 (Rn ) genau eine stetig differenzierbare Funktion R → L2 (Rn ), t 7→ u(t) ∈ L2 (Rn ), welche die Schr¨ odingergleichung  1∂ t∈R i ∂t u(t, x) = ∆u(t, x), u(0, x) = u(x) ∈ H 2,2 (Rn ), t = 0 l¨ ost. Es gilt

t

ku(t)kL2 (Rn ) = ku(0)kL2 (Rn )

und es ist u(t) = P u, t ∈ R.

t∈R

116

A DAS RIEMANN-INTEGRAL

A

Das Riemann-Integral

Wir definieren das Riemann-Integral f¨ ur stetige Funktionen auf kompakten Intervallen mit Werten in Banach-R¨ aumen. Sei [a, b] ein kompaktes Intervall, und X ein Banach-Raum. Sei B = B ([a, b], X) der Banach-Raum aller beschr¨ ankten Funktionen f : [a, b] → X, mit der Supremumsnorm kf k := sup kf (t)k a≤t≤b

Eine Stufenfunktion ϕ : [a, b] → X ist eine Funktion, f¨ ur die eine Partition P : a0 = a < a1 < · · · < an = b des Intervalles existiert, und Elemente u1 , u2 , . . . , un ∈ X, sodass ϕ(t) = uj f¨ ur aj−1 < t < aj und j = 1, 2, . . . , n. Sind ϕ und ψ zwei Stufenfunktionen, so existiert eine gemeinsame Verfeinerung P ihrer Partitionen, sodass ϕ und ψ Stufenfunktionen bez¨ uglich der Partition P sind. Die Menge S aller Stufenfunktionen auf [a, b] ist daher ein linearer Teilraum von B. Das Integral einer Stufenfunktion ϕ : [a, b] → X mit Partition P ist das Element von X definiert durch IP (ϕ) :=

n X j=1

(aj − aj−1 ) uj ∈ X.

Das Integral ist unabh¨ angig von der Wahl der Partition, und man schreibt daf¨ ur I(ϕ) := IP (ϕ) =

Z

b

ϕ ∈ S.

ϕ, a

Die Abbildung I : S → X ist linear und stetig wegen kI(ϕ)k ≤ (b − a)kϕk. Wir k¨ onnen deshalb die lineare Abbildung I : S → X eindeutig stetig auf den Abschluss S von S im Banach-Raum erweitern. Diese Erweiterung bezeichnen wir ebenfalls mit I. Man nennt die Funktionen in S, welche also gleichm¨ assige Limites von Stufenfunktionen sind, Regelfunktionen . Weil eine stetige Funktion f : [a, b] → X gleichm¨ assig stetig ist, folgt C ([a, b], X) ⊂ S, und wir haben das Integral I insbesondere f¨ ur stetige Funktionen definiert. Die u ur ¨blichen Eigenschaften des Riemann-Integrals I folgen aus denjenigen f¨ Stufenfunktionen durch Limesbildung bez¨ uglich der Supremumsnorm. Speziell gelten f¨ ur stetige Funktionen f ∈ C([a, b], X) die folgenden Aussagen: 1. I : C([a, b]) → X ist stetig.

R R b

b 2. a f ≤ a kf (t)k dt ≤ (b − a)kf k.

Rb Rc Rb 3. a < c < b ⇒ a f = a f + c f . Rt d f (s) ds = f (t) ∈ X. 4. dt a

5. Mit Lemma 8.3 und 4.) folgt f¨ ur t 7→ u(t) ∈ X stetig differenzierbar u(b) − u(a) =

Z

b a

d u(t) dt . dt

6. Seien X und Y Banach-R¨ aume. Dann gilt f¨ ur A ∈ L(X, Y ), dass ! Z Z b

b

f (t) dt

A

a

A f (t) dt .

=

a

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A DAS RIEMANN-INTEGRAL

7. Das uneigentliche Riemann-Integral f¨ ur eine stetige Funktion f : [a, ∞] → X ist wie u ¨blich definiert als Z ∞ Z N f (t) dt := lim f (t) dt ∈ X , a

N →∞

falls der Limes rechts in X existiert.

a

Index C m,β , 58 H m,p (Ω), 54 Lp (Ω), 47 W m,p (Ω), 52, 54 ◦ Hm,p (Ω), 55

Gl¨attung, 48 gleichgradig stetig, 8 Graph, 33 linearer, 37 Grenzwert, 3

Abbildung lineare, 21 Ableitung schwache, 51 Abschluss, 4 eines Operators, 37 Annihilator, 45 Approximation, 49 Approximationstheorem, 72

Halbgruppe, 87 Halbordnung, 40 Hamiltonsche Vektorfelder, 111 Hilbert-Raum, 76

Baire-Kategorie, 10 Banach-Raum, 18 Basis algebraische, 22 beschr¨ ankt gleichm¨ assig, 14 punktweise, 14 Bi-Dualraum, 64 Bildbereich, 33 Cauchy-Anfangswert-Problem, 90 Cauchy-Folge, 4 Definitionsbereich, 33 dicht definiert, 77 Differentialoperator, 38 Dirac-Folge, 48 Dirichlet-Randwertproblem, 59 Divergenz, 106 Drehimpulsoperator, 111 Dualraum, 43, 64 Durchmesser, 3 Eigenwert, 80 Einbettung kanonische, 65 Element maximales, 40 Erhaltungssatz, 104 Erzeugende, 87 Kontraktionshalbgruppe, 88 Faltung, 47 Satz von der, 47 Fl¨ usse von Vektorfeldern, 106 Fouriertransformation, 112

Impulsoperator, 110 Isometrie, 15 Jacobi-Matrix, 106 Kompakt u ¨berdeckungs, 6 folgen, 6 relativ, 6 konjugierte Gruppen, 100 Kontraktionshalbgruppe, 88 konvergent, 3 punktweise, 70 schwach, 69 schwach-∗-, 70 Kriterium f¨ ur Selbstadjungiertheit, 83 Kugel offene, 3 L¨ osungsfluss, 86 Lemma von Riesz, 23 Morrey, 57 Zorn, 40 Menge abgeschlossene, 4 dichte, 4 Inneres einer, 12 kompakte, 4 linear geordnete, 40 magere, 10 nirgends dichte, 10 offene, 3 residuelle, 10 schwach (folgen-) abgeschlossene, 72 total geordnete, 40 Metrik, 1 assoziierte, 18 diskrete, 1 Multiplikationsoperator, 113 118

119

INDEX

Neumann’sche Reihe, 26 Norm, 18 Normen aquivalente, 19 ¨ Operator, 21 abgeschlossener, 33 abschliessbarer, 37 Abschluss eines, 37 adjungierter, 77 dissipativer, 104 formal adjungierter, 76 formal selbstadjungierter, 76 maximaler formal adj., 77 selbstadjungierter, 78 symmetrischer, 78 unit¨ arer, 101 Partition, 116 Poincar´e-Ungleichung, 61 Prinzip der gleichm. Beschr¨anktheit, 14 Prinzip der Intervallschachtelung, 5 Prinzip der stetigen Inversen, 33 Produktraum, 28 Projektion, 28 Punkt innerer, 12 Quotientenraum, 28 Raum metrischer, 1 normierter, 18 reflexiver, 65 separabler, 63 vollst¨ andiger, 5 Regelfunktion, 116 Relation, bin¨ are, 40 Resolvente, 79 Resolventenmenge, 79 Riemann-Integral uneigentliches, 117 Satz vom abgeschl. Graphen, 35 Satz von Alaoglu-Banach, 74 Arzel` a–Ascoli, 8 Baire, 11, 12, 15 Banach, 13 Banach-Steinhaus, 31 Cauchy-Picard-Lindeloff, 86 Dirichlet, Riemann, Hilbert, 61 Hahn-Banach, komplex, 42 Hahn-Banach, reell, 40 Heine-Borel, 7

Hellinger-Toeplitz, 35 Hille, 93 Hille-Yosida, 94 Kato-Rellich, 84 Liouville, 106 Meyers-Serrin, 54 Morrey-Sobolev, 56 Plancherel, 112 Riesz (Darstellungssatz), 69 Satz von der stetigen Inversen, 36 Schr¨ odingergleichung, 115 schwach (folgen-) abgeschlossen, 72 schwach folgen unterhalb stetig, 73 schwach konvergent, 69 schwache L¨ osung, 60 Schwartz-Raum, 112 Skalarprodukt, 76 Sobolev-Einbettungstheorem, 59 Sobolev-Raum, 52 Spektralradius, 27 Spektrum, 79 Stabilit¨atssatz, 84 Stufenfunktion, 116 Theorem von Hille-Yosida, 90 Lumer-Phillips, 105 Nelson, 96 Stone, 102 total beschr¨ ankt, 6 Uniform stetige Halbgruppe, 99 Unit¨ are Gruppe, 101 Variationsprinzip, 73 Vervollst¨ andigung, 16 W¨ armeleitungsgleichung, 112 Wertebereich, 33