Finanzmathematik

Kirsten Wüst Finanzmathematik

Kirsten Wüst

Finanzmathematik Vom klassischen Sparbuch zum modernen Zinsderivat

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Dr. Kirsten Wüst ist Professorin für Wirtschaftsmathematik und Statistik an der Hochschule Pforzheim, Hochschule für Gestaltung, Technik, Wirtschaft und Recht.

1. Auflage 1976 .

1. Auflage September 2006 Alle Rechte vorbehalten © Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006 Lektorat: Katrin Alisch Der Gabler Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.gabler.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heusenstamm Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN-10 3-8349-0270-5 ISBN-13 978-3-8349-0270-2

Vorwort

Vorwort

Dieȱ Finanzmathematikȱ stelltȱ eineȱ derȱ wenigenȱ mathematischenȱ Disziplinenȱ dar,ȱ dieȱ fürȱjedenȱimȱAlltagȱrelevantȱist.ȱFastȱjederȱbesitztȱheuteȱeinȱSparbuchȱoderȱeinȱTagesȬ geldkonto,ȱaufȱdemȱerȱseineȱüberschüssigenȱGeldreservenȱanlegt.ȱAndererseitsȱbenötiȬ genȱvieleȱMenschenȱimȱLaufeȱdesȱLebensȱirgendwannȱeinmalȱauchȱfremdeȱMittel,ȱetwaȱ zurȱFinanzierungȱeinerȱAnschaffungȱoderȱeinesȱBauprojektsȱundȱnehmenȱeinenȱKreditȱ auf.ȱAngesichtsȱderȱVielzahlȱvonȱMöglichkeitenȱzurȱGeldanlageȱundȱKreditaufnahmeȱ beiȱ denȱ verschiedenenȱ Bankenȱ undȱ Institutionen,ȱ istȱ esȱ dabeiȱ fürȱ denȱ Verbraucherȱ durchausȱvonȱInteresse,ȱeinȱAngebotȱprüfenȱundȱbewertenȱsowieȱverschiedeneȱAngeȬ boteȱvergleichenȱzuȱkönnen.ȱZielȱeinerȱfinanzmathematischenȱAusbildungȱistȱesȱdaher,ȱ demȱLernendenȱalsȱpotentiellemȱBankkundenȱdasȱWissen,ȱvorȱallemȱaberȱdasȱmethoȬ discheȱ Vorgehenȱ zurȱ Bewertungȱ undȱ kritischenȱ Prüfungȱ vonȱ Finanzproduktenȱ zuȱ vermitteln.ȱ Dasȱ vorliegendeȱ Buchȱ folgtȱ einemȱ weitgehendȱ klassischenȱ Aufbauȱ derȱ finanzmatheȬ matischenȱ Themen,ȱ derȱ umȱ einenȱ genauerenȱ Blickȱ aufȱ dieȱ zurȱ Verfügungȱ stehendenȱ Finanzinstrumenteȱergänztȱist.ȱZunächstȱwirdȱinȱdieȱProduktpaletteȱvonȱFinanzinstituȬ tenȱ undȱ dieȱ Grundbegriffeȱ derȱ Finanzinstrumenteȱ eingeführt.ȱ Nachȱ einerȱ BereitstelȬ lungȱderȱbenötigtenȱmathematischenȱGrundlagenȱerfolgtȱeineȱEinführungȱinȱdieȱZinsȬ rechnungȱ sowieȱ dieȱ Betrachtungȱ desȱ zentralenȱ Konzeptsȱ derȱ Barwertberechnung.ȱ Anwendungenȱ inȱ derȱ InvestitionsȬ,ȱ RentenȬ,ȱ TilgungsȬȱ sowieȱ KursȬȱ undȱ RenditerechȬ nungȱwerdenȱdiskutiert.ȱDenȱAbschlussȱbildetȱeinȱKapitelȱüberȱmoderneȱZinsderivate.ȱ DerivativeȱGeschäfteȱwerdenȱzurȱAbsicherungȱundȱSpekulationȱheuteȱvonȱvielenȱUnȬ ternehmen,ȱ aberȱ auchȱ bereitsȱ vonȱ Privatkundenȱ getätigt.ȱ Derȱ Leserȱ erhältȱ soȱ einenȱ Überblickȱ überȱ einȱ sehrȱ modernesȱ undȱ zunehmendȱ bedeutenderesȱ Marktsegment.ȱ WegenȱderȱGesamtausrichtungȱdesȱBuchesȱaufȱZinsinstrumente,ȱwirdȱdieȱEinführungȱ inȱDerivateȱamȱBeispielȱvonȱZinsderivatenȱvorgenommen.ȱȱ Dieȱ einzelnenȱ Kapitelȱ hängenȱ wieȱ inȱ Abbildungȱ 0Ȭ1ȱ dargestelltȱ miteinanderȱ zusamȬ men.ȱȱ DidaktischȱfolgtȱdasȱBuchȱweitgehendȱeinemȱinduktivenȱAufbau.ȱÜberȱBeispieleȱwirdȱ zurȱTheorieȱübergeleitet.ȱEinȱBeispielȱistȱfürȱvieleȱLernendeȱleichterȱnachzuvollziehenȱ alsȱeineȱtheoretischeȱEinführung.ȱDurchȱdenȱ„AhaȬEffekt“ȱimȱBeispielȱistȱderȱLeserȱaufȱ dieȱtheoretischenȱHintergründeȱvorbereitetȱundȱwirdȱfürȱ dieseȱsehrȱvielȱaufnahmefäȬ higer.ȱ Dieȱ angeführtenȱ Beispieleȱ könnenȱ beiȱ einerȱ Verwendungȱ desȱ Buchesȱ zumȱ Selbststudiumȱ auchȱ alsȱ Übungsaufgabenȱ genutztȱ werden.ȱ Esȱ istȱ daherȱ sinnvoll,ȱ zuȬ nächstȱzuȱversuchen,ȱdieȱBeispieleȱselbstständigȱzuȱlösen.ȱErstȱdannȱsollteȱdieȱLösungȱ herangezogenȱ werden.ȱ Derȱ Lerneffektȱ wirdȱ dadurchȱ wesentlichȱ erhöht.ȱ Einȱ solchesȱ Vorgehenȱistȱimmerȱdannȱzuȱempfehlen,ȱwennȱdasȱvorgestellteȱBeispielȱinȱAufgabenȬ ȱ

V

Vorwort

textȱundȱLösungȱaufgeteiltȱist.ȱZurȱbesserenȱTrennungȱvomȱweiterenȱTextȱwerdenȱdieȱ BeispieleȱmitȱeinemȱkleinenȱQuadratȱ(Ƒ) abgeschlossen.ȱ JedemȱKapitelȱsindȱLernzieleȱvorangestellt.ȱDerȱLeserȱerhältȱsoȱeinenȱerstenȱEindruckȱ vonȱdemȱzuȱlernendenȱStoffȱundȱkannȱsichȱspäterȱselbstȱhinsichtlichȱderȱZielerreichungȱ kontrollieren.ȱDieȱKapitelȱwerdenȱmitȱÜbungenȱundȱPartnerinterviewsȱabgeschlossen.ȱ Zielȱ einesȱ Partnerinterviewsȱ istȱ es,ȱ mitȱ eigenenȱ Wortenȱ dasȱ Gelernteȱ nochȱ einmalȱ zuȱ erläuternȱundȱsoȱbesserȱzuȱverinnerlichen.ȱLernpsychologischeȱUntersuchungenȱbestäȬ tigen,ȱ dassȱ hierdurchȱ eineȱ stärkereȱ Auseinandersetzungȱ mitȱ demȱ Gelerntenȱ undȱ daȬ durchȱ einȱ besseresȱ Verständnisȱ gefördertȱ wird.ȱ Dieȱ Vorgehensweiseȱ istȱ beimȱ erstenȱ Partnerinterviewȱerläutert.ȱ DasȱvorliegendeȱBuchȱistȱausȱeinerȱVorlesungȱanȱderȱHochschuleȱPforzheimȱhervorgeȬ gangen.ȱDurchȱdenȱdidaktischenȱAufbauȱistȱesȱaberȱsoȱkonzipiert,ȱdassȱdieȱInhalteȱimȱ Selbststudiumȱ erarbeitetȱ werdenȱ können.ȱ Esȱ eignetȱ sichȱ somitȱ sowohlȱ vorlesungsbeȬ gleitendȱ fürȱ dieȱ Lehreȱ anȱ Universitäten,ȱ Fachhochschulenȱ undȱ Berufsakademien,ȱ wieȱ auchȱ fürȱ dieȱ Ausbildungȱ imȱ Finanzsektorȱ undȱ fürȱ dasȱ Selbststudiumȱ interessierterȱ Bankkunden.ȱ MeinȱDankȱgiltȱdemȱGablerȬVerlagȱfürȱdieȱAufnahmeȱdesȱTitelsȱinsȱVerlagsprogrammȱ undȱinsbesondereȱFrauȱKatrinȱAlischȱfürȱdieȱfreundlicheȱUnterstützung.ȱȱ IchȱdankeȱmeinenȱKollegen,ȱengagiertenȱStudierendenȱundȱFreundenȱfürȱKorrekturenȱ undȱ Anregungenȱ zuȱ Verbesserungenȱ undȱ besondersȱ meinemȱ Mannȱ Volkerȱ fürȱ seineȱ UnterstützungȱsowieȱmeinerȱTochterȱAnnȬSophieȱfürȱihrȱLachen.ȱ

Abbildungȱ0Ȭ1:ȱ

InhaltlicherȱZusammenhangȱderȱeinzelnenȱKapitelȱ Kap. 2: Math. Grundlagen

Kap. 1: Zinsfinanzinstrumente

Kap. 9: Zinsderivate

VI

ȱ

Kap. 3: Zinsrechnung

Kap. 4: Barwertprinzip

Kap. 5: Investitionsrechnung

Kap. 6: Rentenrechnung

Kap. 8: Kurs-/ Renditerechnung

Kap. 7: Tilgungsrechnung

ȱ

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

VORWORT ...................................................................................................................V INHALTSVERZEICHNIS.............................................................................................VII ABBILDUNGSVERZEICHNIS ................................................................................... XV TABELLENVERZEICHNIS ..................................................................................... XVII

1

ZINSFINANZINSTRUMENTE ............................................................................ 1

1.1

Lernziele .....................................................................................................................1

1.2

Klassifikation von Finanzinstrumenten ...................................................................1 1.2.1 Kapitalanlage oder Kapitalaufnahme .......................................................................2 1.2.2 Laufzeit....................................................................................................................3 1.2.3 Handelbarkeit...........................................................................................................4 1.2.4 Behandlung von Zinszahlungen...............................................................................5 1.2.4.1 Gutschrift von Zinszahlungen ..........................................................................5 1.2.4.2 Auszahlung von Zinsen....................................................................................6 1.2.5 Art der Verzinsung ...................................................................................................7

1.3

Finanzinstrumente zur Geldanlage ........................................................................10 1.3.1 Kontoanlagen.........................................................................................................10 1.3.1.1 Girokonto ....................................................................................................... 11 1.3.1.2 Sparbuch ........................................................................................................ 11 1.3.1.3 Tagesgeldkonto .............................................................................................. 11 1.3.1.4 Festgelder.......................................................................................................12 1.3.1.5 Sparbriefe.......................................................................................................12 1.3.2 Wertpapiere............................................................................................................13

1.4 1.4.1 ȱ

Finanzinstrumente zur Geldaufnahme ..................................................................14 Laufzeit und Verzinsung ........................................................................................15 VII

Inhaltsverzeichnis

1.4.2 Kreditnehmer .........................................................................................................15 1.4.3 Tilgung...................................................................................................................16 1.4.4 Sicherheiten ...........................................................................................................16 1.4.4.1 Personalsicherheiten.......................................................................................16 1.4.4.2 Realsicherheiten.............................................................................................17 1.4.5 Kreditprodukte .......................................................................................................17 1.4.5.1 Dispositionskredit ..........................................................................................17 1.4.5.2 Konsumentenkredit ........................................................................................17 1.4.5.3 Baufinanzierungskredit ..................................................................................17 1.4.5.4 Kontokorrentkredit.........................................................................................18 1.4.5.5 Betriebsmittelkredit........................................................................................18 1.4.5.6 Investitionskredit............................................................................................18

1.5

2

Partnerinterview ......................................................................................................19

MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN ................................................................ 21

2.1

Lernziele ...................................................................................................................21

2.2

Potenzen und Logarithmen .....................................................................................22 2.2.1 Potenzfunktion.......................................................................................................22 2.2.2 Potenzgesetze.........................................................................................................22 2.2.3 Addition und Subtraktion von Potenzen ................................................................24 2.2.4 Potenzieren von Summen oder Differenzen...........................................................25 2.2.5 Wurzelfunktion ......................................................................................................25 2.2.6 Lösung von Potenzgleichungen .............................................................................26 2.2.6.1 Lösung der Potenzgleichung x n c .............................................................26 2.2.6.2 Quadratische Gleichungen .............................................................................27 2.2.7 Exponentialfunktion...............................................................................................28 2.2.8 Logarithmusfunktion..............................................................................................29 2.2.9 Logarithmusgesetze ...............................................................................................30 2.2.10 Lösung von Exponential- und Logarithmusgleichungen........................................32

2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5

VIII ȱ

Summen und Produkte............................................................................................33 Summensymbol .....................................................................................................33 Rechenregeln für Summen.....................................................................................34 Spezielle Summen..................................................................................................35 Produktsymbol .......................................................................................................37 Rechenregeln für Produkte.....................................................................................37

Inhaltsverzeichnis

2.4

Folgen und Reihen ...................................................................................................38 2.4.1 Eigenschaften von Folgen......................................................................................39 2.4.1.1 Monotonie......................................................................................................39 2.4.1.2 Beschränktheit ...............................................................................................41 2.4.1.3 Konvergenz ....................................................................................................42 2.4.1.4 Rekursive vs. explizite Definition..................................................................45 2.4.2 Spezielle Folgen.....................................................................................................46 2.4.2.1 Arithmetische Folge.......................................................................................46 2.4.2.2 Geometrische Folge .......................................................................................48 2.4.3 Reihen....................................................................................................................50

2.5

Partnerinterview ......................................................................................................54

2.6

Übungen....................................................................................................................55

3

ZINSRECHNUNG............................................................................................. 57

3.1

Lernziele ...................................................................................................................57

3.2

Einführung ...............................................................................................................58

3.3

Begriffe .....................................................................................................................59

3.4

Verzinsung über eine Periode..................................................................................60

3.5

Verzinsung über mehrere Perioden ........................................................................61 3.5.1 Notationen..............................................................................................................61 3.5.2 Geometrische Verzinsung ......................................................................................62 3.5.2.1 Endwertberechnung bei konstantem Zinssatz ................................................62 3.5.2.2 Barwertberechung bei konstantem Zinssatz...................................................64 3.5.2.3 Endwertberechnung bei unterschiedlichen Zinssätzen pro Periode................64 3.5.2.4 Barwertberechung bei unterschiedlichen Zinssätzen pro Periode ..................66 3.5.3 Lineare (einfache) Verzinsung ...............................................................................66 3.5.3.1 Lineare Verzinsung über n Perioden ..............................................................67 3.5.3.2 Verzinsung innerhalb einer Zinsperiode.........................................................68 3.5.3.3 Zinstagemethoden ..........................................................................................69 3.5.4 Konforme Zinssätze ...............................................................................................71 3.5.4.1 Linear proportionaler Zinssatz .......................................................................71

ȱ

IX

Inhaltsverzeichnis

3.5.4.2 Lineare Verzinsung ........................................................................................72 3.5.4.3 Geometrische Verzinsung...............................................................................73 3.5.4.4 Geometrisch proportionaler Zinssatz .............................................................75 3.5.5 Effektivzinssatz......................................................................................................76 3.5.6 Übersicht: Zinskonventionen .................................................................................79 3.5.7 Gemischte Verzinsung............................................................................................80

3.6

Stetige Verzinsung ....................................................................................................81

3.7

Partnerinterview ......................................................................................................83

3.8

Übungen....................................................................................................................84

4

BARWERTPRINZIP ......................................................................................... 87

4.1

Lernziele ...................................................................................................................87

4.2

Vergleich zweier Zahlungen ....................................................................................87

4.3

Zahlungsströme........................................................................................................90

4.4

Preise von Finanzinstrumenten ..............................................................................92

4.5

Partnerinterview ......................................................................................................93

4.6

Übungen....................................................................................................................93

5

INVESTITIONSRECHNUNG ............................................................................ 95

5.1

Lernziele ...................................................................................................................95

5.2

Einführung ...............................................................................................................95

5.3

Notationen und Begriffe ..........................................................................................97

X

ȱ

Inhaltsverzeichnis

5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3

5.5 5.5.1 5.5.2

5.6 5.6.1 5.6.2

Barwertmethode.......................................................................................................99 Beurteilung eines einzelnen Investitionsprojektes .................................................99 Zur Wahl des Kalkulationszinssatzes ...................................................................100 Vergleich mehrerer Investitionsalternativen.........................................................102 Innerer Zinssatz .....................................................................................................103 Beurteilung eines einzelnen Investitionsprojektes ...............................................103 Vergleich mehrerer Investitionsalternativen.........................................................106 Amortisationsdauer ...............................................................................................106 Beurteilung eines einzelnen Investitionsprojektes ...............................................106 Vergleich mehrerer Investitionsalternativen.........................................................107

5.7

Partnerinterview ....................................................................................................108

5.8

Übungen..................................................................................................................109

6

RENTENRECHNUNG .....................................................................................111

6.1

Lernziele ................................................................................................................. 111

6.2

Einführung ............................................................................................................. 111

6.3

Endliche Renten ..................................................................................................... 113 6.3.1 Übereinstimmung von Zins- und Rentenperiode ................................................. 113 6.3.1.1 Nachschüssige Rente.................................................................................... 113 6.3.1.2 Vorschüssige Rente ...................................................................................... 117 6.3.2 Nichtübereinstimmung von Zins- und Rentenperiode......................................... 119 6.3.2.1 Unterjährige Rentenzahlungen bei jährlicher Zinszahlung ..........................120 6.3.2.2 Unterjährige Zinstermine bei jährlichen Rentenzahlungen ..........................122

6.4

Kapitalaufbau und -verzehr..................................................................................124

6.5

Variierende Raten oder Zinssätze.........................................................................127

6.6

Ewige Renten..........................................................................................................127

ȱ

XI

Inhaltsverzeichnis

6.7

Partnerinterview ....................................................................................................129

6.8

Übungen..................................................................................................................129

7

TILGUNGSRECHNUNG ................................................................................ 133

7.1

Lernziele .................................................................................................................133

7.2

Einführung .............................................................................................................133

7.3

Notationen und Begriffe ........................................................................................134

7.4

Tilgungsarten .........................................................................................................134 7.4.1 Endfällige Schuld.................................................................................................134 7.4.2 Ratentilgung.........................................................................................................135 7.4.3 Annuitätentilgung ................................................................................................139 7.4.3.1 Annuität bei vorgegebener Gesamtlaufzeit ..................................................144 7.4.3.2 Annuitätentilgung bei vorgegebenem anfänglichem Tilgungssatz ...............145 7.4.3.3 Sondertilgungen, tilgungsfreie Perioden, Kreditgebühren ...........................146 7.4.4 Unterjährige Tilgung............................................................................................147 7.4.4.1 Unterjährige Ratentilgung............................................................................148 7.4.4.2 Unterjährige Annuitätentilgung....................................................................149

7.5

Zusammenfassung .................................................................................................150

7.6

Partnerinterview ....................................................................................................151

7.7

Übungen..................................................................................................................152

8

KURS- UND RENDITERECHNUNG .............................................................. 155

8.1

Lernziele .................................................................................................................155

8.2

Einführung .............................................................................................................155

XII ȱ

Inhaltsverzeichnis

8.3

Kurs ........................................................................................................................157

8.4

Rendite....................................................................................................................159

8.5

Partnerinterview ....................................................................................................163

8.6

Übungen..................................................................................................................163

9

ZINSDERIVATE.............................................................................................. 165

9.1

Lernziele .................................................................................................................165

9.2

Wiederholung .........................................................................................................166

9.3

Zinsbegrenzungsverträge ......................................................................................169 9.3.1 Floor-Floater und Cap-Floater .............................................................................169 9.3.2 Floor.....................................................................................................................172 9.3.3 Cap.......................................................................................................................175 9.3.4 Die Rolle des Stillhalters......................................................................................178 9.3.5 Prämien von Floor und Cap .................................................................................178 9.3.5.1 Prämie beim Floor........................................................................................178 9.3.5.2 Prämie beim Cap..........................................................................................180

9.4 9.4.1 9.4.2 9.4.3

Weitere Zinsderivate..............................................................................................181 Collar ...................................................................................................................181 Forward Rate Agreement .....................................................................................181 Zinsswap ..............................................................................................................183

9.5

Allgemeines zu Derivaten ......................................................................................185 9.5.1 Einteilung von Derivaten .....................................................................................186 9.5.1.1 Einteilung nach Underlying .........................................................................186 9.5.1.2 Einteilung nach dem Grad der Verpflichtung ...............................................188 9.5.1.3 Einteilung nach Lieferung............................................................................188 9.5.1.4 Einteilung nach Handelbarkeit .....................................................................188 9.5.2 Ziele beim Abschluss von Derivaten....................................................................189 9.5.2.1 Sicherheit .....................................................................................................189 9.5.2.2 Spekulation ..................................................................................................190 9.5.2.3 Arbitrage ......................................................................................................190 ȱ

XIII

Inhaltsverzeichnis

9.6

Partnerinterview ....................................................................................................190

9.7

Übungen..................................................................................................................191

LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGEN ............................................................................ 195 Kapitel 2: Mathematische Grundlagen ................................................................................195 Kapitel 3: Zinsrechnung ......................................................................................................196 Kapitel 4: Barwertprinzip ....................................................................................................196 Kapitel 5: Investitionsrechung .............................................................................................197 Kapitel 6: Rentenrechnung ..................................................................................................197 Kapitel 7: Tilgungsrechnung................................................................................................198 Kapitel 8: Kurs- und Renditerechnung ................................................................................200 Kapitel 9: Zinsderivate ........................................................................................................200 LITERATUR .............................................................................................................. 203 ABKÜRZUNGEN ...................................................................................................... 205 STICHWORTVERZEICHNIS .................................................................................... 207

XIV ȱ

Abbildungsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildungȱ0Ȭ1:

InhaltlicherȱZusammenhangȱderȱeinzelnenȱKapitel ........................VI

Abbildungȱ1Ȭ1:

Mindmap:ȱKlassifikationȱvonȱZinsfinanzinstrumenten .................... 2

Abbildungȱ1Ȭ2:

ZinsstrukturkurvenȱausȱdenȱRenditenȱdeutscherȱ StaatsanleihenȱmitȱLaufzeitenȱvonȱ1ȱbisȱ10ȱJahrenȱ(inverseȱ Zinsstrukturkurveȱvomȱ30.12.1991ȱundȱnormaleȱ Zinsstrukturkurveȱvomȱ10.4.2006) ....................................................... 4

Abbildungȱ1Ȭ3:

EntwicklungȱdesȱKontostandesȱbeiȱeinmaligerȱEinzahlungȱ vonȱ1.000ȱ€ȱundȱȱeinemȱJahreszinssatzȱvonȱ10%ȱbeiȱGutschriftȱ derȱZinsen................................................................................................ 6

Abbildungȱ1Ȭ4:

EntwicklungȱdesȱinȱeinemȱWertpapierȱangelegtenȱKapitalsȱ beiȱEinzahlungȱvonȱ1.000ȱ€ȱundȱeinemȱJahreszinssatzȱvonȱ 10%ȱbeiȱAuszahlungȱderȱZinsen........................................................... 7

Abbildungȱ1Ȭ5:

RenditeentwicklungȱzehnjährigerȱdeutscherȱStaatsanleihenȱ (Januarȱ1990ȱȱbisȱMärzȱ2006) ................................................................. 8

Abbildungȱ2Ȭ1:

BeispieleȱfürȱFunktionenȱ y

x n  c ȱfürȱgeradesȱundȱ

ungeradesȱn........................................................................................... 26

3x undȱ g( x)

(1 / 3)x ................................................................. 29

Abbildungȱ2Ȭ2:

f ( x)

Abbildungȱ2Ȭ3:

Folgeȱ (a n )

Abbildungȱ2Ȭ4:

Folgeȱ1ȱ,1,ȱ2,ȱ2,ȱ3,ȱ3,ȱ... ........................................................................... 40

Abbildungȱ2Ȭ5:

AlternierendeȱFolgeȱ (a n )

Abbildungȱ2Ȭ6:

Folgeȱ (a n )

2  1 / n ........................................................................... 42

Abbildungȱ2Ȭ7:

Folgeȱ (a n )

( 1)n 1 / n ........................................................................ 43

Abbildungȱ2Ȭ8:

Folgeȱ (a n )

( 2 n ) .................................................................................. 43

Abbildungȱ2Ȭ9:

Folgeȱ (a n )

(( 2)n ) .............................................................................. 44

1 / n ................................................................................ 39

Abbildungȱ2Ȭ10: ArithmetischeȱFolgeȱ a1

 1 ..................................................... 40 n

2, d

a n 1  a n

3 .................................. 47

Abbildungȱ2Ȭ11: GeometrischeȱFolgeȱaȱ=ȱ3,ȱqȱ=ȱ1,5........................................................ 49

ȱ

XV

Abbildungsverzeichnis

Abbildungȱ2Ȭ12: GeometrischeȱFolgeȱaȱ=ȱ3,ȱqȱ=ȱ0,5........................................................ 49 Abbildungȱ4Ȭ1:

VergleichȱderȱBarwerteȱzweierȱZahlungenȱzuȱ unterschiedlichenȱZeitpunkten........................................................... 88

Abbildungȱ5Ȭ1:

ZahlungsstromȱeinesȱImmobiliengeschäftsȱ(Beispielȱ5.1) ............... 96

Abbildungȱ5Ȭ2:

AbhängigkeitȱdesȱNettobarwertsȱvomȱKalkulationszinssatz ....... 104

Abbildungȱ6Ȭ1:

GrafischeȱDarstellung:ȱNachschüssigeȱRente ................................. 114

Abbildungȱ6Ȭ2:

GrafischeȱDarstellung:ȱVorschüssigeȱRente .................................... 117

Abbildungȱ6Ȭ3:

GrafischeȱDarstellung:ȱJährlicheȱRenteȱbeiȱunterjährigenȱ Zinszahlungsterminen....................................................................... 122

Abbildungȱ7Ȭ1:

EntwicklungȱderȱRestschuldȱeinesȱRatendarlehens....................... 138

Abbildungȱ7Ȭ2:

EntwicklungȱderȱRestschuldȱeinesȱAnnuitätendarlehens ............. 143

Abbildungȱ7Ȭ3:

Mindmap:ȱTilgung ............................................................................. 151

Abbildungȱ9Ȭ1:

12ȬMonatsȬEuriborȱSeptemberȱ1999ȱbisȱSeptemberȱ2003 .............. 167

Abbildungȱ9Ȭ2:

12ȬMonatsȬEuriborȱundȱgezahlterȱZinssatzȱ(Beispielȱ9.1) ............. 168

Abbildungȱ9Ȭ3:

GezahlteȱZinssätzeȱbeimȱFloorȬFloaterȱȱ (Mindestzinssatz:ȱ3,5%ȱp.a.).............................................................. 170

Abbildungȱ9Ȭ4:

GezahlteȱZinssätzeȱbeimȱCapȬFloaterȱȱ (Höchstzinssatz:ȱ4%ȱp.a.)................................................................... 172

Abbildungȱ9Ȭ5:

ZahlungenȱbeimȱKaufȱeinesȱFloaterȱundȱeinesȱzusätzlichenȱ Floor ..................................................................................................... 174

Abbildungȱ9Ȭ6:

ZahlungenȱbeimȱVerkaufȱeinesȱFloaterȱundȱeinesȱ zusätzlichenȱCap ................................................................................ 177

Abbildungȱ9Ȭ7:

FloorȬSätzeȱderȱHessischenȱLandesbankȱamȱ2.7.2006.................... 179

Abbildungȱ9Ȭ8:

CapȬSätzeȱderȱHessischenȱLandesbankȱamȱ2.7.2006...................... 181

Abbildungȱ9Ȭ9:

ZinszahlungenȱbeimȱZinsswapȱ(Beispielȱ9.10) ............................... 184

Abbildungȱ9Ȭ10: ResultierendeȱZinszahlungenȱausȱSwapȱundȱFloaterȱȱ (Beispielȱ9.10) ...................................................................................... 184 Abbildungȱ9Ȭ11: ZinszahlungenȱbeimȱZinsswap......................................................... 185 Abbildungȱ9Ȭ12: Mindmap:ȱKlassifikationȱvonȱDerivaten ......................................... 187

XVI ȱ

Tabellenverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Tabelleȱ1Ȭ1:

Zinsfestsetzungstermin,ȱBeginnȱderȱZinsperiode,ȱ ZinszahlungsterminȱundȱrelevanterȱZinssatzȱ(Beispielȱ1.4) .................. 9

Tabelleȱ1Ȭ2:

ZinssätzeȱbeiȱunterschiedlichenȱSpreadsȱ(Beispielȱ1.5) ........................ 10

Tabelleȱ2Ȭ1:

Wertetabelleȱfürȱ f( x)

Tabelleȱ2Ȭ2:

WertetabelleȱderȱFolgeȱ 1  1 / n n ......................................................... 45

Tabelleȱ3Ȭ1:

KapitalentwicklungȱbeiȱEinzahlungȱvonȱ1.000ȱ€ȱ(iȱ=ȱ3%ȱp.a.)ȱaufȱ einemȱFestgeldkonto................................................................................. 63

Tabelleȱ3Ȭ2:

Verzinsungȱüberȱ3ȱJahreȱbeiȱunterschiedlichenȱZinssätzen ................. 65

Tabelleȱ3Ȭ3:

TagesberechnungȱundȱZinszahlungenȱbeiȱverschiedenenȱ Zinstagemethoden .................................................................................... 71

Tabelleȱ3Ȭ4:

KapitalwertentwicklungȱbeiȱquartalsweiserȱZinszahlungsweise ....... 77

Tabelleȱ3Ȭ5:

ÜbersichtȱüberȱVerzinsungȱundȱverwendetenȱZinssatzȱbeiȱ unterschiedlichenȱZeiträumen ................................................................ 79

Tabelleȱ3Ȭ6:

EndwertȱeinesȱKapitalsȱinȱAbhängigkeitȱvonȱderȱAnzahlȱmȱderȱ ZinsperiodenȱproȱJahr .............................................................................. 82

Tabelleȱ5Ȭ1:

Einzahlungen,ȱAuszahlungenȱundȱPeriodenüberschüsseȱeinerȱ Investition .................................................................................................. 97

Tabelleȱ5Ȭ2:

Einzahlungen,ȱAuszahlungenȱundȱPeriodenüberschüsseȱ (Beispielȱ5.1)............................................................................................... 98

Tabelleȱ5Ȭ3:

PeriodenüberschüsseȱzweierȱverschiedenerȱInvestitionen ................ 102

Tabelleȱ5Ȭ4:

BeispielȱzurȱAmortisationsdauerȱeinesȱInvestitionsprojektes ........... 107

Tabelleȱ5Ȭ5:

BeispielȱzurȱAmortisationsdauerȱzweierȱverschiedenerȱ Investitionen ............................................................................................ 108

Tabelleȱ5Ȭ6:

EinȬȱundȱAuszahlungenȱeinerȱInvestition ............................................ 109

Tabelleȱ5Ȭ7:

PeriodenüberschüsseȱeinerȱInvestition................................................. 109

Tabelleȱ6Ȭ1:

EinzelbeiträgeȱderȱRatenzahlungenȱzumȱRentenendwertȱ(5Ȭ jährigeȱRente)........................................................................................... 115

ȱ

3x undȱ g( x)



(1 / 3)x ......................................... 28



XVII

Tabellenverzeichnis

Tabelleȱ6Ȭ2:

EinzelbeiträgeȱderȱRatenzahlungenȱzumȱRentenbarwertȱ(5Ȭ jährigeȱRente)........................................................................................... 116

Tabelleȱ6Ȭ3:

VerzinsungȱmonatlicherȱRatenȱbeiȱjährlichenȱ Zinszahlungsterminen............................................................................ 120

Tabelleȱ7Ȭ1:

ErsterȱTilgungsplan,ȱ1.ȱSchritt ............................................................... 136

Tabelleȱ7Ȭ2:

ErsterȱTilgungsplan,ȱ2.ȱSchritt ............................................................... 136

Tabelleȱ7Ȭ3:

ErsterȱTilgungsplan,ȱ3.ȱSchritt ............................................................... 137

Tabelleȱ7Ȭ4:

TilgungsplanȱbeiȱderȱRatentilgung ....................................................... 138

Tabelleȱ7Ȭ5:

TilgungȱbeimȱAnnuitätendarlehen,ȱSchritteȱ1ȱundȱ2ȱ(Beispielȱ 7.4)............................................................................................................. 140

Tabelleȱ7Ȭ6:

TilgungȱbeimȱAnnuitätendarlehen,ȱSchritteȱ3Ȭ5ȱ(Beispielȱ7.4)........... 140

Tabelleȱ7Ȭ7:

TilgungȱbeimȱAnnuitätendarlehenȱ(Beispielȱ7.4) ................................ 141

Tabelleȱ7Ȭ8:

TilgungȱbeimȱAnnuitätendarlehenȱ(FortführungȱvonȱBeispielȱ 7.4)............................................................................................................. 142

Tabelleȱ7Ȭ9:

TilgungsplanȱbeiȱderȱAnnuitätentilgung ............................................. 142

Tabelleȱ7Ȭ10:

TilgungsplanȱmitȱtilgungsfreienȱPerioden,ȱSondertilgungenȱundȱ Gebühren.................................................................................................. 147

Tabelleȱ7Ȭ11:

UnterjährigeȱRatentilgungȱ(Beispielȱ7.9) .............................................. 148

Tabelleȱ7Ȭ12:

UnterjährigeȱAnnuitätentilgungȱ(Beispielȱ7.10) .................................. 149

Tabelleȱ9Ȭ1:

12ȬMonatsȬEuriborȱundȱZinszahlungenȱ(Beispielȱ9.1)........................ 168

Tabelleȱ9Ȭ2:

ZinszahlungenȱbeimȱFloorȬFloaterȱ(Mindestzinssatz:ȱ3,5%ȱp.a.) ...... 170

Tabelleȱ9Ȭ3:

ZinszahlungenȱbeimȱCapȬFloaterȱ(Höchstzinssatz:ȱ4%ȱp.a.)............. 171

Tabelleȱ9Ȭ4:

ZinszahlungenȱbeimȱKaufȱeinesȱFloaterȱundȱeinesȱzusätzlichenȱ Floor.......................................................................................................... 175

Tabelleȱ9Ȭ5:

ZinszahlungenȱbeimȱVerkaufȱeinesȱFloaterȱundȱKaufȱeinesȱ zusätzlichenȱCap ..................................................................................... 177

Tabelleȱ9Ȭ6:

FaktorenȱderȱPrämieȱbeimȱFloor ........................................................... 179

Tabelleȱ9Ȭ7:

FaktorenȱderȱPrämieȱbeimȱCap ............................................................. 180

Tabelleȱ9Ȭ8:

6ȬMonatsȬEuriborȱJanuarȱ2003ȱbisȱJuliȱ2005......................................... 192

XVIII ȱ

Lernziele

1

1.1

Zinsfinanzinstrumente

Lernziele

DiesesȱKapitelȱdientȱderȱVorstellungȱderȱwichtigstenȱZinsfinanzinstrumente.ȱEinȱVerȬ ständnisȱ derȱ vorgestelltenȱ Produkteȱ istȱ vorȱ derȱ mathematischenȱ Bewertungȱ unerlässȬ lich.ȱNachȱBearbeitungȱdesȱKapitelsȱsollteȱderȱLeserȱinȱderȱLageȱsein,ȱ

„ zuȱverstehen,ȱdassȱdieȱKlassifikationȱalsȱGeldanlageȱoderȱȬaufnahmeȱvonȱderȱPerȬ spektiveȱabhängt,ȱ

„ zuȱerklären,ȱwasȱeineȱZinsstrukturȱistȱundȱdieȱUnterschiedeȱverschiedenerȱFormenȱ vonȱZinsstrukturkurvenȱzuȱerläutern,ȱ

„ zwischenȱ Gutschriftȱ derȱ Zinsenȱ undȱAusbezahlungȱ derȱ Zinsenȱ beiȱ verschiedenenȱ Produktenȱzuȱunterscheiden,ȱ

„ BeispieleȱfürȱfestverzinslicheȱundȱvariabelȱverzinslicheȱProdukteȱzuȱnennen,ȱ „ zuȱerklären,ȱwasȱeinȱReferenzzinssatzȱist,ȱ „ verschiedeneȱAnlageformenȱnachȱderȱvorgestelltenȱKlassifikationȱeinzuteilen,ȱ „ unterschiedlicheȱKreditformenȱzuȱbeschreiben.ȱ

1.2

Klassifikation von Finanzinstrumenten

Aufgrundȱ derȱ starkenȱ Wettbewerbssituationȱ bietenȱ dieȱ Finanzinstituteȱ ihrenȱ Kundenȱ heuteȱeineȱVielzahlȱunterschiedlicherȱAnlageȬȱundȱKreditformenȱan.ȱDemȱKundenȱfälltȱ dieȱEntscheidungȱdaherȱnichtȱimmerȱleicht.ȱInȱdiesemȱKapitelȱwerdenȱzumȱeinenȱdieȱ Kriterienȱ erläutert,ȱ nachȱ denenȱ Finanzinstrumenteȱ unterschiedenȱ werden,ȱ sowieȱ verȬ schiedeneȱ Finanzprodukteȱ zurȱ Geldanlageȱ undȱ Ȭaufnahmeȱ ȱ undȱ ihreȱ Charakteristikaȱ dargestellt.ȱ DasȱMindmapȱinȱAbbildungȱ1Ȭ1ȱgibtȱeineȱÜbersichtȱüberȱdieȱKlassifikationskriterien.ȱ

1

1.1

1

Zinsfinanzinstrumente

Abbildungȱ1Ȭ1:ȱ

Mindmap:ȱKlassifikationȱvonȱZinsfinanzinstrumentenȱ Kapitalanlage

Perspektive

Kapitalaufnahme

Kurzfristig

Laufzeit

Mittelfristig Langfristig

Zinsfinanzinstrumente

< 1 Jahr 1 bis 5 Jahre > 5 Jahre

An der Börse handelbar

Handelbarkeit

OTC-Produkte Nicht handelbar

Behandlung von Zinszahlungen

Verzinsung

1.2.1

Auszahlung Gutschrift

Fest Variabel

ȱ

Kapitalanlage oder Kapitalaufnahme

ZinsfinanzinstrumenteȱsindȱVerträgeȱzwischenȱzweiȱPersonen.ȱBeiȱdenȱinȱdiesemȱKapiȬ telȱ zuȱ diskutierendenȱ klassischenȱ Zinsfinanzproduktenȱ stelltȱ dieȱ eineȱ Person,ȱ derȱ Gläubiger,ȱ derȱ anderenȱ Person,ȱ demȱ Schuldner,ȱ einȱ Kapitalȱ inȱ Formȱ vonȱ Geldȱ zurȱ Verfügung.1ȱ Fürȱ dieȱ Überlassungȱ desȱ Kapitalsȱ fürȱ eineȱ bestimmteȱ Zeitdauerȱ fordertȱ derȱGläubigerȱvomȱSchuldnerȱeineȱZinszahlung.ȱȱ Einȱ solcherȱ Vertragȱ einesȱ Zinsfinanzinstrumentsȱ kannȱ immerȱ ausȱ zweiȱ Perspektivenȱ betrachtetȱ werden.ȱ Derȱ Gläubigerȱ legtȱ seinȱ Geldȱ an,ȱ derȱ Schuldnerȱ nimmtȱ Geldȱ auf.ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 1ȱȱ Beiȱ denȱ derivativenȱ Zinsfinanzproduktenȱ istȱ derȱ Austauschȱ desȱ Kapitalsȱ nichtȱ mehrȱ zwinȬ

gendȱnötigȱ(s.ȱKapitelȱ9ȱ„Zinsderivate“).ȱ

2

ȱ

Klassifikation von Finanzinstrumenten

Jedesȱ Produktȱ istȱ demnachȱ fürȱ denȱ einenȱ Partnerȱ eineȱ Geldanlage,ȱ fürȱ denȱ anderenȱ PartnerȱeinȱKredit,ȱd.h.ȱeineȱGeldaufnahme.ȱLegtȱeineȱPrivatpersonȱihrȱGeldȱzumȱBeiȬ spielȱaufȱeinemȱSparbuchȱbeiȱeinerȱBankȱan,ȱsoȱbedeutetȱdieses,ȱdassȱdieȱPrivatpersonȱ derȱ Bankȱ Geldȱ überlässt,ȱ dieȱ Bankȱ alsoȱ derȱ Schuldnerȱ istȱ undȱ dieȱ Privatpersonȱ derȱ Gläubiger.ȱDieȱBankȱnimmtȱbeiȱdemȱSparbuchanlegerȱsozusagenȱeinenȱKreditȱauf.ȱWirȱ wollenȱinȱdiesemȱBuchȱFinanzprodukteȱaberȱausȱderȱSichtȱdesȱBankkundenȱklassifizieȬ ren.ȱFürȱdenȱLeserȱstehtȱimȱVordergrund,ȱdassȱerȱseinȱGeldȱanlegt,ȱwennȱerȱeinȱSparȬ buchȱ eröffnet;ȱ einȱ Sparbuchȱ bezeichnenȱ wirȱ alsoȱ alsȱ Geldanlage.ȱ Dennochȱ sollteȱ manȱ sichȱ derȱ gleichzeitigenȱ Bedeutungȱ vonȱ Geldanlagenȱ undȱ Geldaufnahmenȱ bewusstȱ sein.ȱ LegtȱeinȱKundeȱbeiȱeinemȱFinanzinstitutȱGeldȱan,ȱsoȱbekommtȱerȱdafürȱZinszahlungen,ȱ dieȱ durchȱ denȱ Guthabenzinssatzȱ bestimmtȱ werden.ȱ Nimmtȱ derȱ Kundeȱ Geldȱ auf,ȱ soȱ entrichtetȱ erȱ Zinszahlungen.ȱ Denȱ zugehörigenȱ Zinssatzȱ nenntȱ manȱ denȱ Sollzinssatz.ȱ DerȱGuthabenzinssatzȱistȱdabeiȱinȱderȱRegelȱbeiȱgleicherȱLaufzeitȱ(s.ȱAbschnittȱ„LaufȬ zeit“)ȱniedrigerȱalsȱderȱSollzinssatz.ȱWirȱwerdenȱdennochȱinȱdiesemȱBuchȱausȱVereinȬ fachungsgründenȱmeistȱvonȱgleichȱhohenȱGuthabenȬȱundȱSollzinssätzenȱausgehen.ȱ

1.2.2

Laufzeit

EinȱwichtigesȱKriteriumȱzurȱ WahlȱeinesȱFinanzinstrumentsȱstelltȱfürȱdenȱKundenȱdieȱ LaufzeitȱdesȱInstrumentsȱdar.ȱDieȱLaufzeitȱgibtȱdieȱZeitȱan,ȱfürȱdieȱdasȱKapitalȱgebunȬ denȱ ist.ȱ Beiȱ einerȱAnlageȱ entsprichtȱ dieȱ Laufzeitȱ derȱ Zeit,ȱ abȱ derȱ derȱAnlegerȱ wiederȱ überȱseineȱGeldmittelȱverfügenȱkann.ȱBeiȱeinerȱGeldaufnahmeȱerteiltȱdieȱLaufzeitȱAusȬ kunftȱdarüber,ȱwannȱdasȱKapitalȱzurückgezahltȱwerdenȱmuss.ȱInȱderȱRegelȱbezeichnetȱ manȱdabeiȱFinanzprodukteȱmitȱeinerȱLaufzeitȱbisȱzuȱeinemȱJahrȱalsȱkurzfristig,ȱsolcheȱ mitȱLaufzeitenȱvonȱeinemȱbisȱzuȱ5ȱJahrenȱalsȱ mittelfristigȱundȱFinanzinstrumenteȱmitȱ einerȱLaufzeit,ȱdieȱlängerȱalsȱ5ȱJahreȱist,ȱalsȱlangfristigeȱGeldanlagenȱbzw.ȱȬaufnahmen.ȱ Üblicherweiseȱ wirdȱ einȱ Anleger2,ȱ derȱ seinȱ Geldȱ fürȱ einenȱ längerenȱ Zeitraumȱ anlegt,ȱ einenȱ höherenȱ Zinssatzȱ fürȱ seinȱ Kapitalȱ erhalten,ȱ alsȱ einȱ Anleger,ȱ derȱ seinȱ Geldȱ nurȱ kurzfristigȱ anlegt.ȱ DieseȱAbhängigkeitȱ derȱ Höheȱ desȱ Zinssatzesȱ vonȱ derȱ Laufzeitȱ derȱ Anlageȱ bezeichnetȱ manȱ alsȱ Zinsstruktur,ȱ ihreȱ grafischeȱ Veranschaulichungȱ alsȱ ZinsȬ strukturkurve.ȱEineȱZinsstrukturkurve,ȱdieȱsteigendȱist,ȱbeiȱderȱderȱZinssatzȱalsoȱmitȱ derȱ Laufzeitȱ wächst,ȱ wirdȱ normaleȱ Zinsstrukturkurveȱ genannt.ȱ Istȱ derȱ Zinssatzȱ fürȱ alleȱmöglichenȱLaufzeitenȱkonstant,ȱsprichtȱmanȱvonȱeinerȱflachenȱZinsstrukturkurve.ȱ FlacheȱZinsstrukturkurvenȱtretenȱinȱderȱPraxisȱeigentlichȱnieȱinȱReinformȱauf.ȱEsȱkannȱ aberȱ durchausȱ vorkommen,ȱ dassȱ dieȱ Zinssätzeȱ sichȱ fürȱ dieȱ verschiedenenȱ Laufzeitenȱ nurȱwenigȱunterscheiden.ȱErhältȱderȱAnlegerȱfürȱeineȱAnlageȱmitȱkurzerȱLaufzeitȱmehrȱ Zinsenȱ alsȱ fürȱ eineȱ langfristigeȱ Anlage,ȱ soȱ liegtȱ eineȱ inverseȱ Zinsstrukturkurveȱ vor.ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 2ȱȱ Derȱ leichterenȱ Sprechweiseȱ wegenȱ beziehenȱ wirȱ unsȱ hierȱ aufȱ Anleger.ȱ Dieȱ Ausführungenȱ

geltenȱanalogȱauchȱfürȱdieȱAufnahmeȱvonȱKapital.ȱ

3

1.2

1

Zinsfinanzinstrumente

Inverseȱ Zinsstrukturenȱ könnenȱ z.B.ȱ dannȱ auftreten,ȱ wennȱ dieȱ Anlegerȱ mitȱ fallendenȱ ZinssätzenȱrechnenȱundȱdaherȱlangfristigeȱAnlagenȱtätigen.ȱDurchȱdieȱhoheȱNachfrageȱ nachȱ langfristigenȱ Anlagenȱ sinkenȱ soȱ dieȱ Zinssätzeȱ fürȱ langeȱ Laufzeiten,ȱ durchȱ dieȱ niedrigeȱ Nachfrageȱ nachȱ kurzfristigenȱAnlagenȱ steigenȱ dieȱ Zinssätzeȱ fürȱ kurzeȱ LaufȬ zeiten.ȱDieȱZinsstrukturkurveȱ„drehtȱsichȱalsoȱum“,ȱsieȱwirdȱinvers.ȱInverseȱZinsstrukȬ turkurvenȱgeltenȱalsȱIndikatorȱfürȱbevorstehendeȱRezessionen.ȱ

Abbildungȱ1Ȭ2:ȱ

ZinsstrukturkurvenȱausȱdenȱRenditenȱdeutscherȱStaatsanleihenȱmitȱLaufȬ zeitenȱvonȱ1ȱbisȱ10ȱJahrenȱ(inverseȱZinsstrukturkurveȱvomȱ30.12.1991ȱundȱ normaleȱZinsstrukturkurveȱvomȱ10.4.2006)ȱ

10,00% 9,00% 8,00% 7,00% 6,00% 10.04.2006

5,00%

30.12.1991

4,00% 3,00% 2,00% 1,00% 0,00% 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ȱ

1.2.3

Handelbarkeit

EinȱklassischesȱUnterscheidungsmerkmalȱvonȱFinanzproduktenȱistȱdasȱihrerȱ HandelȬ barkeit.ȱ Dieȱ Handelbarkeitȱ drücktȱ aus,ȱ obȱ einȱ Produktȱ anȱ einenȱ anderenȱ Gläubigerȱ veräußertȱ werdenȱ kann.ȱ Produkteȱ mitȱ einerȱ starkenȱ Standardisierung,ȱ wieȱ z.B.ȱ beȬ stimmteȱWertpapiere,ȱetwaȱBundesanleihen,ȱsindȱdabeiȱanȱderȱBörseȱhandelbar.ȱȱ Wenigerȱ standardisierteȱ Produkte,ȱ wieȱ z.B.ȱ Wertpapiereȱ vonȱ kleinerenȱ Unternehmenȱ oderȱ Wertpapiereȱ mitȱ besonderenȱ Auszahlungsmodalitäten,ȱ werdenȱ nurȱ individuellȱ zwischenȱ denȱ Vertragspartnernȱ gehandelt.ȱ Manȱ nenntȱ dieseȱ auchȱ OTCȬProdukteȱȱ (OverȬtheȬcounterȬProdukte).ȱ „OverȬtheȬcounter“ȱ drücktȱ aus,ȱ dassȱ derȱ Vertragȱ vomȱ

4

ȱ

Klassifikation von Finanzinstrumenten

Verkäuferȱ zumȱ Käuferȱ wieȱ inȱ einemȱ TanteȬEmmaȬLadenȱ „hinübergegebenȱ wird“.ȱ Durchȱ eineȱ individuelleȱ Vertragsgestaltungȱ kannȱ soȱ denȱ speziellenȱ Bedürfnissenȱ derȱ Kontrahentenȱ entsprochenȱ werdenȱ (s.ȱ auchȱ Kapitelȱ 9ȱ „Zinsderivate“).ȱ Dabeiȱ werdenȱ inzwischenȱ imȱ OTCȬHandelȱ sehrȱ hoheȱ Umsätzeȱ getätigt.ȱ Dasȱ Volumenȱ desȱ Handelsȱ mitȱOTCȬProduktenȱbetrugȱz.B.ȱimȱJahreȱ2004ȱmehrȱalsȱdasȱVierfacheȱdesȱVolumensȱimȱ Börsenhandel.ȱ3ȱ Tagesgeldkontenȱ oderȱ Sparbücherȱ sindȱ Beispieleȱ fürȱ Produkte,ȱ dieȱ nichtȱ handelbarȱ sind.ȱ

1.2.4

Behandlung von Zinszahlungen

Dieȱ Zeitpunkte,ȱ anȱ denenȱ dieȱ Zinsenȱ einesȱ Zinsfinanzinstrumentsȱ gezahltȱ werden,ȱ heißenȱZinszahlungstermineȱoderȱZinstermine,ȱderȱZeitraumȱzwischenȱzweiȱZinszahȬ lungsterminenȱ istȱ dieȱ Zinsperiode.ȱ Dieȱ Zinsenȱ werdenȱ alsoȱ amȱ Zinszahlungsterminȱ fürȱeineȱZinsperiodeȱentrichtet.ȱInȱdiesemȱBuchȱwerdenȱwirȱnurȱnachschüssigeȱZinsenȱ betrachten,ȱd.h.ȱZinsen,ȱdieȱamȱEndeȱderȱZinsperiodeȱgezahltȱwerden.ȱDiesesȱistȱdieȱimȱ FinanzsektorȱgängigeȱVorgehensweise.ȱ FürȱdieȱfinanzmathematischeȱBetrachtungsweiseȱistȱesȱinteressant,ȱnachȱderȱ ZinszahȬ lungsweiseȱzuȱunterscheiden.ȱȱ

1.2.4.1

Gutschrift von Zinszahlungen

Beiȱ Anlageformenȱ wieȱ demȱ Sparbuchȱ oderȱ demȱ Tagesgeldkontoȱ werdenȱ dieȱ Zinsenȱ demȱKontostandȱaufȱdemȱSparbuchȱbzw.ȱdemȱTagesgeldkontoȱamȱZinszahlungsterminȱ gutgeschrieben.ȱManȱbezeichnetȱdiesesȱauchȱalsȱZinsansammlung.ȱBeiȱeinerȱGutschriftȱ derȱ Zinsenȱ aufȱ demȱ Kontoȱ erhöhtȱ sichȱ dasȱGuthabenȱ fürȱ dieȱ nächsteȱPeriode.ȱInȱ denȱ daraufȱfolgendenȱPeriodenȱwirdȱnichtȱnurȱderȱzuȱBeginnȱeingezahlteȱBetrag,ȱsondernȱ esȱwerdenȱauchȱdieȱinȱvorherigenȱPeriodenȱentstandenenȱZinsenȱweiterȱverzinst.ȱDasȱ Kapitalȱwächstȱexponentiellȱ(s.ȱKapitelȱ3ȱ„Zinsrechnung“).ȱ Beispielȱ1.1:ȱSieȱlegenȱ1.000ȱ€ȱzuȱeinemȱJahreszinssatzȱvonȱ10%4ȱan.ȱNachȱdemȱerstenȱ JahrȱerhaltenȱSieȱ100ȱ€ȱZinsen,ȱdieȱIhremȱKontoȱgutgeschriebenȱwerden.ȱAmȱEndeȱdesȱ zweitenȱJahresȱwerdenȱbereitsȱdieseȱ1.100ȱ€ȱverzinst,ȱSieȱerhaltenȱ110ȱ€ȱZinsen.ȱAbbilȬ dungȱ1Ȭ3ȱveranschaulichtȱdieȱEntwicklungȱIhresȱKontostandes.ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 3ȱȱ S.ȱHull,ȱ2006,ȱS.25.ȱ 4ȱȱ Derȱ hoheȱ Jahreszinssatzȱ vonȱ 10%ȱ dientȱ hierȱ derȱ besserenȱ grafischenȱ Veranschaulichung.ȱ

Aktuellȱ(Maiȱ2006)ȱliegenȱdieȱGuthabenzinssätzeȱeherȱimȱBereichȱvonȱ2%ȱbisȱ4%ȱproȱJahr.ȱ

5

1.2

1

Zinsfinanzinstrumente

Abbildungȱ1Ȭ3:ȱ

EntwicklungȱdesȱKontostandesȱbeiȱeinmaligerȱEinzahlungȱvonȱ1.000ȱ€ȱundȱȱ einemȱJahreszinssatzȱvonȱ10%ȱbeiȱGutschriftȱderȱZinsenȱ

€ 3.000 2.500 2.000 1.500

Zinsen und Zinseszinsen

1.000

eingezahltes Kapital

500 0 0

ȱ

ȱ

1.2.4.2

ȱ

1

2

ȱ

3

4

5

6

ȱ

7

8

ȱ

9 10

ȱ

Zeit

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Auszahlung von Zinsen

NebenȱderȱGutschriftȱderȱZinsenȱaufȱdemselbenȱFinanzinstrumentȱkönnenȱdieȱȱZinsenȱ auchȱ nachȱ jederȱ Periodeȱ anȱ denȱ Anlegerȱ ausbezahltȱ werdenȱ oderȱ einemȱ getrenntenȱ Konto,ȱ etwaȱ einemȱ Girokonto,ȱ gutgeschriebenȱ werden.ȱ DerȱAnlegerȱ kannȱ dieȱ ausgeȬ zahltenȱZinsenȱdannȱkonsumierenȱoderȱerneutȱanlegen.ȱDerȱvomȱSchuldnerȱgestundeȬ teȱBetragȱbehältȱkonstantȱdieȱHöheȱdesȱzunächstȱausgeliehenenȱBetrages.ȱAmȱEndeȱderȱ Laufzeitȱ bekommtȱ derȱAnlegerȱ soȱ nurȱ denȱ angelegtenȱ Betragȱ undȱ dieȱ Zinsenȱ fürȱ dieȱ letzteȱPeriodeȱausbezahlt.ȱȱ Beispielȱ 1.2:ȱ Sieȱ kaufenȱ einȱ Wertpapierȱ mitȱ einemȱ Nominalbetragȱ vonȱ 1.000ȱ €,ȱ einerȱ Laufzeitȱ vonȱ 10ȱ Jahrenȱ undȱ einemȱ konstantenȱ Jahreszinssatzȱ vonȱ 10%,ȱ zahlbarȱ amȱ Endeȱ einesȱ Jahres.ȱ Jedesȱ Jahrȱ werdenȱ Ihnenȱ 100ȱ €ȱ ausbezahlt.ȱAmȱ Endeȱ derȱ Laufzeitȱ erhaltenȱSieȱIhrenȱeingezahltenȱBetragȱvonȱ1.000ȱ€ȱzurückȱsowieȱdieȱZinsenȱvonȱ100ȱ€ȱ fürȱdasȱletzteȱJahr.ȱȱ

Abbildungȱ 1Ȭ4ȱ verdeutlichtȱ dieȱ konstanteȱ Höheȱ desȱ angelegtenȱ Kapitalsȱ sowieȱ dieȱ ausgezahltenȱZinsen,ȱderenȱHöheȱstetsȱgleichȱbleibt.ȱȱ

6

ȱ

Klassifikation von Finanzinstrumenten

Abbildungȱ1Ȭ4:ȱ

EntwicklungȱdesȱinȱeinemȱWertpapierȱangelegtenȱKapitalsȱbeiȱEinzahlungȱ vonȱ1.000ȱ€ȱundȱeinemȱJahreszinssatzȱvonȱ10%ȱbeiȱAuszahlungȱderȱZinsenȱȱȱ

€ 3.000 2.500 2.000 1.500

ausgezahlte Zinsen

1.000

Kapital

500 0 0

-500

ȱ

ȱ

1.2.5

ȱ

1

2

ȱ

3

4

5

6

ȱ

7

8

9 10

ȱ

ȱ

Zeit

ȱȱȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

Art der Verzinsung

InȱBezugȱaufȱdieȱVerzinsungȱlässtȱsichȱauchȱdanachȱunterscheiden,ȱobȱderȱZinssatzȱfestȱ oderȱvariabelȱist.ȱȱ Zinssätzeȱ ändernȱ sichȱ imȱ Zeitverlauf.ȱ Abbildungȱ 1Ȭ5ȱ gibtȱ denȱ Verlaufȱ desȱ 10ȬJahresȬ SatzesȱfürȱdeutscheȱStaatsanleihenȱfürȱdieȱZeitȱvonȱJanuarȱ1990ȱbisȱMärzȱ20065ȱan.ȱȱ BeiȱvielenȱFinanzproduktenȱwirdȱjedochȱeinȱfesterȱZinssatzȱvereinbart.ȱInȱdiesemȱFallȱ hatȱ derȱ Schuldnerȱ anȱ denȱ Zinszahlungsterminenȱ denȱ fixiertenȱ Zinssatzȱ zuȱ zahlen,ȱ unabhängigȱ davon,ȱ wieȱ sichȱ dieȱ Zinssätzeȱ amȱ Marktȱ inȱ derȱ Zwischenzeitȱ entwickeltȱ haben.ȱȱ Beispielȱ1.3:ȱSieȱkaufenȱeinȱ WertpapierȱmitȱeinemȱNominalbetragȱvonȱ 10.000ȱ€,ȱeinerȱ Laufzeitȱ vonȱ 5ȱ Jahrenȱ undȱ einemȱ nachschüssigenȱ Jahreszinssatzȱ vonȱ 5%.ȱ Sieȱ bekomȬ menȱalsoȱjeweilsȱamȱEndeȱeinesȱJahresȱ500ȱ€ȱZinsenȱausbezahlt.ȱSinktȱjetztȱdurchȱZinsȬ schwankungenȱdasȱMarktniveauȱfürȱvergleichbareȱWertpapiereȱmitȱgleicherȱRestlaufȬ zeitȱz.B.ȱaufȱ4%ȱproȱJahr,ȱsoȱprofitierenȱSieȱvonȱderȱVereinbarungȱeinesȱfestenȱZinssatȬ zes.ȱ Sieȱ erhaltenȱ weiterhinȱ 500ȱ €ȱ ausȱ Ihremȱ Wertpapier,ȱ währendȱ Sieȱ beiȱ einerȱ vergleichbarenȱAnlageȱ zumȱ aktuellenȱ Zinsniveauȱ nurȱ 400ȱ €ȱ erhaltenȱ würden.ȱ Erhöhtȱ sichȱ allerdingsȱ dasȱ allgemeineȱ Zinsniveauȱ aufȱ 6%ȱ proȱ Jahr,ȱ soȱ erweistȱ sichȱ Ihrȱ festerȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 5ȱȱ Dieȱ Datenȱ stammenȱ vonȱ Eurostatȱ http://epp.eurostat.cec.eu.int.ȱ Monatlichȱ ausgewieseneȱ

Zinssätzeȱwurdenȱinterpoliert,ȱd.h.ȱlinearȱverbunden.ȱ

7

1.2

1

Zinsfinanzinstrumente

Zinssatzȱalsȱnachteilig.ȱSieȱbekommenȱweiterhinȱnurȱ500ȱ€,ȱhättenȱaberȱbeiȱeinerȱAnlaȬ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ geȱzumȱaktuellenȱZinssatzȱ600ȱ€ȱerhaltenȱkönnen.ȱ6ȱ ȱ

Abbildungȱ1Ȭ5:ȱ

RenditeentwicklungȱzehnjährigerȱdeutscherȱStaatsanleihenȱ(Januarȱ1990ȱȱ bisȱMärzȱ2006)ȱ

12,00% 10,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% 0,00% 1990

1995

2000

2005

ȱ

Wirdȱ beiȱ einemȱ Finanzproduktȱ hingegenȱ einȱ variablerȱ Zinssatzȱ vereinbart,ȱ soȱ orienȬ tiertȱ sichȱ dieserȱ anȱ einemȱ soȱ genanntenȱ Referenzzinssatzȱ undȱ variiertȱ imȱ Zeitablauf.ȱ EinȱbesondersȱhäufigȱverwendeterȱReferenzzinssatzȱistȱderȱ Euribor.ȱEuriborȱstehtȱfürȱ Europeanȱ Interbankȱ Offeredȱ Rate.ȱ Derȱ Nameȱ reflektiertȱ dieȱ Berechnungȱ desȱ ZinssatȬ zes.ȱDerȱEuriborȱistȱderȱZinssatz,ȱzuȱdemȱsichȱBankenȱuntereinanderȱGeldȱanbieten.ȱErȱ wirdȱtäglichȱüberȱeinenȱDurchschnittȱausȱdenȱZinssätzenȱvonȱca.ȱ60ȱBankenȱimȱEurofiȬ nanzraumȱ gebildet,ȱ denȱ dieseȱ Bankenȱ fordern,ȱ wennȱ sieȱ anderenȱ Bankenȱ ähnlicherȱ GüteȱGeldȱausleihen.ȱEuriborȬSätzeȱexistierenȱfürȱdieȱLaufzeitȱvonȱeinerȱWocheȱsowieȱ fürȱalleȱmonatlichenȱLaufzeitenȱvonȱeinemȱMonatȱbisȱzuȱeinemȱJahr.ȱDieȱamȱhäufigstenȱ verwendetenȱ Referenzzinssätzeȱ sindȱ aberȱ diejenigenȱ mitȱ einerȱ Laufzeitȱ vonȱ 3,ȱ 6ȱ oderȱ 12ȱ Monaten.ȱ Weitereȱ wichtigeȱ Referenzzinssätzeȱ sindȱ derȱ Liborȱ (Londonȱ Interbankȱ Offeredȱ Rate)ȱ undȱ derȱ EONIAȱ (Euroȱ Overnightȱ Indexȱ Average).ȱ Derȱ EONIAȱ istȱ einȱ durchschnittlicherȱ Zinssatz,ȱ derȱ fürȱ eineȱ eintägigeȱ Geldaufnahmeȱ imȱ InterbankengeȬ schäftȱ berechnetȱ wird.ȱ Dieȱ täglichȱ neuȱ ermitteltenȱ (manȱ sprichtȱ vonȱ „quotierten“)ȱ ZinssätzeȱwerdenȱauchȱimȱInternet7ȱaufȱverschiedenenȱSeitenȱveröffentlicht,ȱsoȱdassȱsieȱ vonȱjedemȱeingesehenȱwerdenȱkönnen.ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 6ȱȱ Durchȱ dieȱ Änderungȱ desȱ Zinsniveausȱ variierenȱbeiȱ festverzinslichenȱ Wertpapierenȱ auchȱ dieȱ

KurseȱderȱPapiereȱ(s.ȱKapitelȱ8ȱ„KursȬȱundȱRenditerechnung“).ȱ 7ȱȱ Z.B.ȱhttp://www.euribor.org.ȱ

8

ȱ

Klassifikation von Finanzinstrumenten

Dieȱ Zinszahlungȱ erfolgt,ȱ wieȱ beiȱ festverzinslichenȱ Wertpapierenȱ auch,ȱ meistȱ nachȬ schüssigȱ amȱ Endeȱ einerȱ Zinsperiode.ȱ Esȱ wirdȱ allerdingsȱ derȱ Zinssatzȱ verwendet,ȱ derȱ zuȱ Beginnȱ derȱ Zinsperiodeȱ aktuellȱ war.ȱ Manȱ sprichtȱ vonȱ einerȱ Zinsfestsetzungȱ oderȱ vonȱ derȱ Fixierungȱ desȱ Zinssatzes.ȱ Derȱ Referenzzinssatzȱ wirdȱ standardmäßigȱ 2ȱ BankȬ arbeitstageȱvorȱBeginnȱderȱZinsperiodeȱfixiert.8ȱ Beispielȱ1.4:ȱStellenȱSieȱsichȱvor,ȱesȱwäreȱderȱ15.8.1999ȱundȱSieȱentscheidenȱsichȱdafür,ȱ einȱvariabelȱverzinslichesȱWertpapierȱmitȱeinemȱNominalbetragȱvonȱ10.000ȱ€ȱundȱdemȱ 12ȬMonatsȬEuriborȱalsȱZinssatzȱzuȱkaufen.ȱDasȱPapierȱhatȱeineȱfünfjährigeȱLaufzeit,ȱdieȱ amȱ1.9.1999ȱbeginnt.ȱZweiȱBankarbeitstageȱvorȱderȱerstenȱZinsperiodeȱvomȱ1.9.1999ȱbisȱ zumȱ 31.8.2000,ȱ d.h.ȱ amȱ 30.8.1999ȱ wirdȱ derȱ 12ȬMonatsȬEuriborȱ fürȱ dieȱ ersteȱ Periodeȱ fixiert.ȱ Dieserȱ entsprachȱ amȱ 30.8.1999ȱ 3,255%.ȱ Amȱ Endeȱ derȱ Zinsperiode,ȱ d.h.ȱ amȱ 31.8.2000ȱ wirdȱ Ihnenȱ dieserȱ Zinssatzȱ ausbezahlt,ȱ d.h.ȱ beiȱ einemȱ Nominalbetragȱ vonȱ 10.000ȱ€ȱbekommenȱSieȱ325,50ȱ€ȱZinsen9.ȱDerȱamȱ30.8.2000ȱgültigeȱ12ȬMonatsȬEuriborȱ vonȱ5,324%ȱwirdȱdannȱderȱZinssatzȱfürȱdieȱzweiteȱZinsperiodeȱvomȱ1.9.2000ȱbisȱzumȱ 31.8.2001,ȱ usw.ȱ Tabelleȱ 1Ȭ1ȱ zeigtȱ dieȱ währendȱ derȱ Laufzeitȱgezahltenȱ Zinssätze.ȱ Dieseȱ Zinssätzeȱ sindȱ natürlichȱ zumȱ Zeitpunktȱ derȱAnlageȱ nochȱ nichtȱ bekanntȱ gewesen.ȱ Sieȱ ergebenȱsichȱwährendȱderȱLaufzeit.ȱ

Tabelleȱ1Ȭ1:ȱ

Zinsfestsetzungstermin,ȱBeginnȱderȱZinsperiode,ȱZinszahlungstermin10ȱ undȱrelevanterȱZinssatzȱ(Beispielȱ1.4)ȱ

Zinsfestsetzungstermin

Beginn der Zinsperiode

Zinszahlungstermin

Relevanter Zinssatz

30.8.99

1.9.99

31.8.00

3,255%

30.8.00

1.9.00

31.8.01

5,324%

30.8.01

1.9.01

30.8.02

4,043%

29.8.02

1.9.02

29.8.03

3,414%

28.8.03

1.9.03

ȱ

31.8.04

ȱ

ȱ

2,337%

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 8ȱȱ Dieȱ Erläuterungenȱ zumȱ Zeitpunktȱ derȱ Festsetzungȱ desȱ Zinssatzesȱ dienenȱ inȱ diesemȱ Kapitelȱ

demȱ Verständnisȱ fürȱ dasȱ Vorgehenȱ inȱ derȱ Praxis.ȱ Inȱ späterenȱ Kapitelnȱ werdenȱ wirȱ derȱ EinȬ fachheitȱhalberȱdenȱZinsfestsetzungsterminȱmitȱdemȱBeginnȱderȱZinsperiodeȱübereinstimmenȱ lassenȱsowieȱdieȱMöglichkeit,ȱdassȱeinȱZinszahlungsȬȱoderȱZinsfestsetzungsterminȱaufȱeinenȱ SonnȬȱoderȱFeiertagȱfällt,ȱaußerȱachtȱlassenȱ(s.ȱKapitelȱ9ȱ„Zinsderivate“).ȱ 9ȱȱ DerȱZinsbetragȱwurdeȱausȱEinfachheitsgründenȱmitȱderȱ30/360ȬMethodeȱberechnetȱ(s.ȱKapitelȱ 3ȱ„Zinsrechnung“).ȱ 10ȱȱ Derȱ Zinszahlungsterminȱ variiertȱ abhängigȱ davon,ȱ obȱ dasȱ Endeȱ derȱ Zinsperiodeȱ aufȱ einenȱ Bankarbeitstagȱfälltȱoderȱnicht.ȱFälltȱdasȱEndeȱderȱZinsperiodeȱaufȱeinȱWochenendeȱoderȱeiȬ nenȱFeiertag,ȱwerdenȱdieȱZinsenȱamȱvorhergehendenȱBankarbeitstagȱvergütet.ȱ

9

1.2

1

Zinsfinanzinstrumente

HäufigȱwirdȱderȱvereinbarteȱReferenzzinssatzȱnochȱmitȱeinemȱSpread,ȱd.h.ȱeinemȱAufȬȱ oderȱAbschlagȱdesȱZinssatzes,ȱversehen.ȱDieserȱwirdȱinȱBasispunktenȱ(bp)ȱangegeben.ȱ Einȱ Basispunktȱ entsprichtȱ dabeiȱ 0,01ȱ Prozentpunkten,ȱ d.h.ȱ 1ȱ bpȱ =ȱ 0,01%.ȱ Durchȱ denȱ SpreadȱkannȱderȱZinssatzȱanȱdieȱKreditwürdigkeitȱdesȱSchuldnersȱangepasstȱwerden.ȱȱ Beispielȱ 1.5:ȱ Sieȱ bevorzugenȱ sichereȱ Geldanlagenȱ undȱ möchtenȱ beiȱ einerȱ Bankȱ sehrȱ guterȱKreditwürdigkeitȱeineȱvariabelȱverzinslicheȱAnlageȱtätigen.ȱDieȱBankȱzahltȱIhnenȱ denȱ 12ȬMonatsȬEuriborȱ abzüglichȱ 20ȱ Basispunkten.ȱ Ihrȱ Freundȱ kauftȱ hingegenȱ eineȱ Anleiheȱ einesȱ mittelgroßenȱ Industrieunternehmens,ȱ dieȱ alsȱ Zinssatzȱ denȱ 12ȬMonatsȬ Euriborȱ zuzüglichȱ 30ȱ Basispunkteȱ erbringt.ȱ Beideȱ Anlagenȱ habenȱ eineȱ Laufzeitȱ vomȱ 1.9.1999ȱbisȱzumȱ31.8.2001.ȱWelcheȱZinssätzeȱergebenȱsichȱbeiȱdenȱbeidenȱAnlagen?ȱ Lösung:ȱ Derȱhistorischeȱ12ȬMonatsȬEuriborȱistȱTabelleȱ1Ȭ1ȱzuȱentnehmen.ȱIhrȱZinssatzȱ errechnetȱ sichȱ darausȱ jeweilsȱdurchȱAbzugȱ vonȱ 0,2ȱ Prozentpunkten,ȱ derȱ Ihresȱ FreunȬ desȱdurchȱAdditionȱvonȱ0,3ȱProzentpunkten.ȱTabelleȱ1Ȭ2ȱstelltȱdieȱresultierendenȱZinsȬ sätzeȱdar.ȱ

Tabelleȱ1Ȭ2:ȱ

ZinssätzeȱbeiȱunterschiedlichenȱSpreadsȱ(Beispielȱ1.5)ȱ

Zinszahlungstermin

12-Monats-Euribor

Ihr Zinssatz

Zinssatz Ihres Freundes

31.8.00

3,255%

3,055%

3,555%

31.8.01

5,324%

5,124%

5,624%

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ

1.3

Finanzinstrumente zur Geldanlage

DieȱwichtigstenȱFinanzinstrumenteȱzurȱGeldanlageȱsollenȱnunȱentsprechendȱderȱvorȬ gestelltenȱKlassifikationskriterienȱeingeordnetȱwerden.ȱWeitereȱMerkmaleȱderȱAnlagenȱ werdenȱkurzȱvorgestellt.ȱ

1.3.1

Kontoanlagen

Kontoanlagenȱistȱgemeinsam,ȱdassȱsieȱnichtȱhandelbarȱsind.ȱȱ ȱ

10

ȱ

Finanzinstrumente zur Geldanlage

1.3.1.1

Girokonto

EinȱGirokontoȱbesitztȱheuteȱfastȱjeder.ȱEsȱistȱinsbesondereȱfürȱdieȱAbwicklungȱwiederȬ kehrenderȱ Zahlungenȱ wieȱ GehaltsȬȱ oderȱ Mietzahlungenȱ unersetzlich.ȱ Dasȱ Girokontoȱ bietetȱ demȱ Inhaberȱ denȱ Vorteil,ȱ dassȱ erȱ jederzeitȱ überȱ seinȱ Kontoguthabenȱ verfügenȱ kann.ȱDerȱAnlegerȱistȱsoȱbeiȱkurzfristigemȱGeldbedarfȱliquide.ȱAlleȱTransaktionenȱdesȱ ZahlungsverkehrsȱkönnenȱbeiȱdenȱmeistenȱBankenȱauchȱüberȱdasȱInternetȱimȱOnlineȬ Bankingȱabgewickeltȱwerden.ȱȱ Dasȱ Girokontoȱ hatȱ allerdingsȱ denȱ Nachteil,ȱ dassȱ keineȱ oderȱ nurȱ sehrȱ geringeȱ GuthaȬ benzinsenȱgezahltȱwerden.ȱDieȱeventuellenȱGuthabenzinsenȱsindȱnichtȱanȱeinemȱRefeȬ renzzinssatzȱ orientiert,ȱ sondernȱ werdenȱ nachȱ marketingtechnischenȱAspektenȱ festgeȬ legt.ȱAnfallendeȱ Zinszahlungenȱ werdenȱ demȱ Kontoȱ meistȱ quartalsweise,ȱ d.h.ȱ viertelȬ jährlichȱgutgeschrieben.ȱ

1.3.1.2

Sparbuch

Auchȱ inȱ derȱ heutigenȱ Zeitȱ habenȱ dieȱ meistenȱ Menschenȱ nochȱ einȱ klassischesȱ SparȬ buch.ȱDieȱZinszahlungenȱ werdenȱauchȱhierȱnichtȱausgezahlt,ȱsondernȱdemȱSparbuchȱ gutgeschrieben.ȱ Dieȱ Gutschriftȱ derȱ Zinsenȱ erfolgtȱ beimȱ Sparbuchȱ einmalȱ jährlichȱ amȱ EndeȱdesȱJahres.ȱDerȱZinssatzȱistȱnichtȱfest,ȱsondernȱkannȱinȱunregelmäßigenȱAbstänȬ denȱvonȱderȱBankȱangepasstȱwerden.ȱErȱistȱallerdingsȱrelativȱstarrȱundȱnichtȱdirektȱanȱ dieȱEntwicklungȱdesȱZinsniveausȱgebunden.ȱBeimȱSparbuchȱgiltȱeinȱHöchstbetragȱvonȱ 2.000ȱ€,ȱderȱimȱMonatȱohneȱZinsverlustȱabgehobenȱwerdenȱkann,ȱwelchesȱdenȱflexibȬ lenȱ Gebrauchȱ einschränkt.ȱ Fürȱ dieȱ Verfügungȱ überȱ dieȱ gesamtenȱ Ersparnisseȱ besitztȱ dasȱ Sparbuchȱ eineȱ dreimonatigeȱ Kündigungsfrist.ȱ Zudemȱ mussȱ einȱ Sparbuchȱ beimȱ Abhebenȱ derȱ gewünschtenȱ Geldbeträgeȱ derȱ Bankȱ vorgelegtȱ werden.ȱ Inȱ Zeitenȱ desȱ InternetȬBankingȱistȱdiesesȱeinȱNachteil.ȱȱ Nebenȱ demȱ klassischenȱ Sparbuchȱ existierenȱ eineȱ Vielzahlȱ vonȱ Sparverträgenȱ unterȱ verschiedenenȱ Namen,ȱ wieȱ z.B.ȱ dasȱ Bonussparenȱ oderȱ Sparpläneȱ mitȱ ansteigendemȱ Zinssatz.ȱDieseȱSparformenȱbietenȱinȱderȱRegelȱeineȱhöhereȱVerzinsungȱalsȱdasȱklassiȬ scheȱSparbuch.ȱOftȱistȱdieȱVerfügbarkeitȱüberȱdieȱSparbeträgeȱaberȱeingeschränkt,ȱz.B.ȱ durchȱ eineȱ nurȱ einmaligeȱ Kündbarkeitȱ währendȱ derȱ Laufzeitȱ oderȱ sogarȱ eineȱ festeȱ AnlageȱderȱBeträgeȱbisȱzumȱEndeȱderȱLaufzeit.ȱȱ

1.3.1.3

Tagesgeldkonto

DieȱmodernereȱFormȱdesȱSparbuchsȱistȱdasȱTagesgeldkonto.ȱÜberȱdasȱTagesgeldkontoȱ kannȱtäglich,ȱsoweitȱesȱdasȱGuthabenȱerlaubt,ȱinȱbeliebigemȱUmfangȱverfügtȱwerden.ȱ Kontoüberträgeȱ aufȱ undȱ vonȱ einemȱ Referenzkontoȱ könnenȱ beimȱ Tagesgeldkontoȱ perȱ OnlineȬBankingȱ ausgeführtȱ werden.ȱ Transaktionenȱ desȱ Zahlungsverkehrs,ȱ wieȱ z.B.ȱ Überweisungen,ȱDaueraufträgeȱundȱLastschrifteinzügeȱkönnenȱaberȱnurȱseltenȱdurchȬ geführtȱwerden.ȱ 11

1.3

1

Zinsfinanzinstrumente

AuchȱbeimȱTagesgeldkontoȱerfolgtȱeineȱGutschriftȱderȱZinsenȱnachȱjederȱZinsperiode.ȱ DieȱGuthabenzinsenȱsindȱvariabel,ȱsieȱsindȱaberȱebenfallsȱnichtȱdirektȱanȱdieȱEntwickȬ lungȱ einesȱ Referenzzinssatzesȱ gebunden.ȱ Dieȱ Guthabenzinsenȱ werdenȱ jeȱ nachȱ Bankȱ monatlich,ȱ quartalsweiseȱ oderȱ wieȱ beimȱ Sparbuchȱ jährlichȱ gutgeschrieben.ȱ Dieȱ aufȱ Tagesgeldkontenȱ erzielbarenȱ Zinssätzeȱ sindȱ zurȱ Zeitȱ deutlichȱ höherȱ alsȱ dieȱ durchȬ schnittlichȱaufȱeinemȱSparbuchȱerzielbarenȱZinssätze.ȱ

1.3.1.4

Festgelder

Sparbuchȱ undȱ Tagesgeldkontoȱ habenȱ denȱ Vorteil,ȱ dassȱ dasȱ Geldȱ beiȱ Bedarfȱ jederzeitȱ zurȱVerfügungȱsteht.ȱDerȱPreisȱfürȱdieȱVerfügbarkeitȱliegtȱinȱrelativȱniedrigenȱZinsen.ȱ DieȱZinsenȱsindȱzudemȱvariabel.ȱSieȱkönnenȱinȱNiedrigzinsphasenȱvonȱderȱBankȱherȬ untergesetztȱ werden.ȱ Möglichkeitenȱ zurȱ Fixierungȱ einesȱ festenȱ Zinssatzesȱ beiȱ einerȱ BankanlageȱbietenȱFestgelder.ȱ BeimȱFestgeldȱwirdȱeinȱbestimmterȱBetragȱaufȱeinemȱKontoȱfürȱeineȱLaufzeitȱvonȱ1,ȱ2,ȱ 3,ȱ6,ȱ9ȱoderȱ12ȱMonaten11ȱfestȱangelegt.ȱInnerhalbȱderȱvereinbartenȱLaufzeitȱkannȱderȱ Anlegerȱ überȱ seinȱ Geldȱ nichtȱ verfügen.ȱ Dafürȱ hatȱ erȱ einenȱ Zinssatzȱ fixiert,ȱ derȱ ihmȱ sicherȱist.ȱAuchȱwennȱdasȱZinsniveauȱfällt,ȱstehtȱdemȱAnlegerȱderȱvereinbarteȱZinssatzȱ zu.ȱMeistȱexistiertȱeinȱMindestbetragȱfürȱdieȱAnlageȱeinesȱFestgeldes,ȱvonȱz.B.ȱ5.000ȱ€.ȱ DieȱHöheȱdesȱzuȱerzielendenȱGuthabenzinssatzesȱistȱdabeiȱauchȱvonȱdemȱangelegtenȱ Betragȱ abhängig.ȱ Aktuellȱ (Maiȱ 2006)ȱ erbringenȱ Festgeldanlagenȱ jedochȱ keineȱ oderȱ kaumȱhöhereȱRenditenȱalsȱdieȱtäglichȱverfügbarenȱTagesgeldkonten.ȱ ȱ

1.3.1.5

Sparbriefe

Sparbriefeȱ sindȱ Wertpapiere,ȱ dieȱ Forderungenȱ gegenüberȱ derȱ ausstellendenȱ Bankȱ verbriefen.ȱ Sparbriefeȱ habenȱdabeiȱLaufzeitenȱ vonȱ 2ȱ bisȱ 10ȱ Jahren.ȱ DerȱZinssatzȱ wirdȱ fürȱ dieȱ gesamteȱ Laufzeitȱ fixiertȱ undȱ istȱ höherȱ alsȱ derȱ Zinssatzȱ desȱ klassischenȱ SparȬ buchs.ȱ Beimȱ Vergleichȱ vonȱ Tagesgeldzinssatzȱ undȱ Sparbriefsätzenȱ einȱ undȱ derselbenȱ BankȱsindȱdieȱZinssätzeȱfürȱSparbriefeȱinȱderȱRegelȱebenfallsȱhöher.ȱ Fürȱ dieȱ Verzinsungȱ bestehtȱ dieȱ Möglichkeit,ȱ dieȱ Zinsenȱ entwederȱ ausgezahltȱ zuȱ beȬ kommenȱoderȱeinenȱ„abgezinsten“ȱSparbriefȱzuȱerwerben,ȱbeiȱdemȱnurȱdieȱAnlageȱdesȱ NennwertesȱabzüglichȱderȱwährendȱderȱLaufzeitȱanfallendenȱZinsenȱerfolgt.ȱAmȱEndeȱ derȱLaufzeitȱwirdȱderȱgesamteȱNennwertȱzurückgezahlt.ȱSparbriefeȱsindȱnichtȱhandelȬ bar.ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 11ȱȱ BeiȱeinerȱlängerȱgewünschtenȱAnlageȱvonȱGeldbeträgenȱbeiȱeinerȱBankȱkannȱderȱKundeȱsichȱ

fürȱSparbriefeȱ(s.u.)ȱentscheiden.ȱ

12

ȱ

Finanzinstrumente zur Geldanlage

1.3.2

Wertpapiere

Wertpapiereȱ sindȱ verbriefteȱ Rechte,ȱ d.h.ȱ überȱ dieȱ erworbenenȱ Rechte,ȱ etwaȱ aufȱ denȱ Empfangȱ bestimmterȱ Zahlungen,ȱ wirdȱ eineȱ Urkundeȱ ausgestellt.ȱ Fürȱ dieȱ Ausübungȱ desȱRechtsȱistȱderȱBesitzȱderȱUrkundeȱerforderlich.ȱȱ Wertpapiereȱ kannȱ manȱ zunächstȱ nachȱ derȱArtȱ desȱ verbrieftenȱ Rechtsȱ klassifizieren.12ȱ SoȱgibtȱesȱverbriefteȱMitgliedschaftsrechte,ȱwieȱz.B.ȱbeiȱAktien,ȱRechteȱanȱSachen,ȱz.B.ȱ beiȱHypothekenȬȱoderȱGrundschuldbriefenȱundȱforderungsrechtlicheȱWertpapiere.ȱ Bestehtȱ dasȱ verbriefteȱ Rechtȱ ausȱ demȱ Rechtȱ aufȱ Rückerstattungȱ einesȱ ausgeliehenenȱ BetragsȱundȱdieȱZahlungȱvonȱZinsen,ȱsoȱsprichtȱmanȱvonȱ Anleihen,ȱ SchuldverschreiȬ bungenȱoderȱObligationen.ȱ Derȱ Begriffȱ „Anleihe“ȱ resultiertȱ ausȱ derȱ Sichtȱ desjenigen,ȱ derȱ dieȱ Anleiheȱ aufȱ denȱ Marktȱbringt,ȱd.h.ȱausȱderȱSichtȱdesȱSchuldnersȱoderȱKreditnehmers.ȱAusȱseinerȱSichtȱ leihtȱ erȱ sichȱ überȱ dieȱAnleiheȱ Geld,ȱ dasȱ erȱ dannȱ amȱ Endeȱ derȱ Laufzeitȱ zurückzahlenȱ muss.ȱManȱsprichtȱdavon,ȱdassȱerȱeineȱAnleiheȱ„begibt“,ȱbzw.ȱ„emittiert“,ȱd.h.ȱvonȱderȱ Emissionȱ einerȱ Anleihe.ȱ Derjenige,ȱ derȱ dieȱ Anleiheȱ begibt,ȱ heißtȱ derȱ Emittent.ȱ WähȬ rendȱderȱLaufzeitȱderȱAnleiheȱmussȱerȱdenȱKäufernȱderȱAnleiheanteileȱZinsenȱbezahȬ len,ȱamȱEndeȱderȱLaufzeitȱzahltȱerȱdemȱKäuferȱdenȱNominalbetragȱderȱAnleiheȱzurück.ȱ EineȱAnleiheȱistȱdamitȱausȱSichtȱdesȱEmittentenȱeinȱverbriefterȱKredit.ȱȱ AmȱKapitalmarktȱhandelbareȱ(fungible)ȱWertpapiere,ȱdieȱvertretbar,ȱd.h.ȱgegeneinanȬ derȱaustauschbarȱundȱgleichwertigȱzuȱbeschaffenȱsind,ȱheißenȱauchȱEffekte.ȱȱ Bezüglichȱ derȱ Laufzeitȱ hatȱ derȱ Anlegerȱ dieȱ freieȱ Auswahl.ȱ Esȱ könnenȱ kurzȬ,ȱ mittelȬȱ undȱlangfristigeȱWertpapiereȱgekauftȱwerden.ȱDaȱdieȱWertpapiereȱvonȱdenȱEmittentenȱ jeȱ nachȱ Kapitalbedarfȱ zuȱ denȱ unterschiedlichstenȱ Zeitpunktenȱ begebenȱ werden,ȱ funȬ gibleȱ Wertpapiereȱ durchȱ ihreȱ Handelbarkeitȱ aberȱ auchȱ vorȱ demȱ Endeȱ derȱ Laufzeitȱ verkauftȱ werdenȱ können,ȱ existierenȱ zumȱ Zeitpunktȱ einerȱ Anlageentscheidungȱ imȱ PrinzipȱWertpapiereȱmitȱbeliebigenȱRestlaufzeiten.ȱȱ Vieleȱ Wertpapiereȱ tragenȱ einenȱ festenȱ Zinssatz,ȱ derȱ sichȱ nachȱ derȱ Laufzeitȱ undȱ demȱ Schuldnerȱ(s.u.)ȱrichtet.ȱDenȱfürȱdasȱWertpapierȱfestgelegtenȱZinssatzȱbezeichnetȱmanȱ auchȱ alsȱ Nominalzinssatzȱ oderȱ Kuponzinssatz,ȱ dieȱ entsprechendenȱ Zinszahlungenȱ alsȱKuponzinsen.ȱȱ AufȱderȱanderenȱSeiteȱstehenȱdieȱ FloatingȱRateȱNotesȱ(auch:ȱ Floater),ȱderenȱZinssätzeȱ variabelȱsindȱundȱsichȱanȱeinenȱReferenzzinssatzȱanlehnen.ȱDurchȱdieȱOrientierungȱanȱ einemȱ Referenzzinssatzȱ partizipiertȱ derȱ Anlegerȱ anȱ einemȱ steigendenȱ Zinsniveau,ȱ nimmtȱ aberȱ auchȱ niedrigereȱ Zinsenȱ beiȱ einemȱ fallendenȱ Zinsniveauȱ inȱ Kauf.ȱ Floaterȱ existierenȱ allerdingsȱ heuteȱ inȱ denȱ verschiedenstenȱAusstattungen.ȱ Soȱ kannȱ z.B.ȱ beimȱ CapȬFloaterȱeinȱHöchstzinssatzȱoderȱbeimȱFloorȬFloaterȱeinȱMindestzinssatzȱvereinbartȱ werdenȱ(s.ȱKapitelȱ9ȱ„Zinsderivate“).ȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 12ȱȱ ZurȱKlassifikationȱvonȱWertpapierenȱs.ȱBestmann,ȱ1997,ȱS.ȱ682ȱff.ȱ

13

1.3

1

Zinsfinanzinstrumente

Dieȱ Zinszahlungenȱ erfolgenȱ beiȱ Wertpapierenȱ meistȱ aufȱ einȱ getrenntesȱ Konto.ȱ Dieȱ ThesaurierungȱvonȱZinserträgen,ȱd.h.ȱdieȱWiederanlageȱderȱZinserträgeȱinȱdemselbenȱ WertpapierȱistȱnurȱbeiȱspeziellenȱWertpapieren,ȱwieȱz.B.ȱdemȱBundesschatzbriefȱTypȱB,ȱ beiȱdemȱderȱangelegteȱBetragȱmitȱZinsenȱundȱZinseszinsenȱamȱEndeȱderȱLaufzeitȱzuȬ rückgezahltȱwird,ȱüblich.ȱEinenȱSpezialfallȱstellenȱdieȱNullkuponanleihen13ȱdar,ȱderenȱ Kuponzinssatzȱ0ȱProzentȱbeträgt.ȱDerȱZinsertragȱstecktȱhierȱinȱderȱDifferenzȱausȱRückȬ zahlungskursȱ undȱ davonȱ verschiedenemȱ Emissionskurs.ȱ Nullkuponanleihenȱ kannȱ manȱ daherȱ ebenfallsȱ alsȱAnlagenȱ bezeichnen,ȱ beiȱ denenȱ dieȱ Zinszahlung,ȱ zumindestȱ gedanklich,ȱaufȱdemselbenȱWertpapierȱerfolgt.ȱDieȱZinsenȱverzinsenȱsichȱsoȱwährendȱ derȱLaufzeitȱweiter.ȱȱ Wertpapiereȱ lassenȱ sichȱ zusätzlichȱ auchȱ nachȱ demȱ Schuldnerȱ klassifizieren.ȱ Papiereȱ derȱ öffentlichenȱ Hand,ȱ d.h.ȱ z.B.ȱ StaatsȬȱ undȱ Kommunalanleihenȱ geltenȱ dabeiȱ inȱ Deutschlandȱ alsȱ sicherȱ undȱ erbringenȱ daherȱ relativȱ geringeȱ Zinsen.ȱ Beiȱ BankschuldȬ verschreibungen,ȱ Unternehmensanleihenȱ undȱ Staatsanleihenȱ andererȱ Staatenȱ richtetȱ sichȱ derȱ Zinssatzȱ nachȱ derȱ Kreditwürdigkeitȱ desȱ Schuldners.ȱ Soȱ tragenȱ z.B.ȱ risikoreiȬ chereȱUnternehmensanleihenȱoderȱauchȱStaatsanleihenȱrisikoträchtigererȱStaatenȱeinenȱ höherenȱ Nominalzinssatz.ȱ Darinȱ spiegeltȱ sichȱ dieȱ Unsicherheitȱ wieder,ȱ dassȱ dasȱ UnȬ ternehmenȱ oderȱ derȱ Staat,ȱ vonȱ demȱ dieȱ Anleiheȱ erworbenȱ wurde,ȱ zahlungsunfähigȱ werdenȱ könnteȱ undȱ dieȱ Besitzerȱ derȱ Anleiheȱ ihrȱ eingezahltesȱ Kapitalȱ nichtȱ zurückȱ erhalten.ȱ Dieȱ Emittentenȱ vonȱ Wertpapierenȱ werdenȱ dabeiȱvonȱ soȱ genanntenȱ RatingaȬ genturenȱbewertet.ȱEinȱbesseresȱRatingȱbedeutetȱeineȱgeringereȱWahrscheinlichkeitȱfürȱ eineȱ Zahlungsunfähigkeitȱ desȱ Schuldners.ȱ Jeȱ schlechterȱ dasȱ Ratingȱ ist,ȱ destoȱ höherȱ wirdȱdieȱWahrscheinlichkeitȱeinerȱZahlungsunfähigkeitȱbewertetȱundȱdestoȱhöherȱsindȱ demnachȱ auchȱ dieȱ Zinsen,ȱ dieȱ fürȱ Anleihenȱ dieserȱ Schuldnerȱ gezahltȱ werden.ȱ Dieȱ höherenȱZinsenȱvergütenȱdieȱerhöhteȱRisikobereitschaftȱdesȱAnlegers.ȱ

1.4

Finanzinstrumente zur Geldaufnahme

Dieȱ Aufnahmeȱ vonȱ Geldmittelnȱ fürȱ eineȱ bestimmteȱ Zeitȱ bezeichnetȱ manȱ alsȱ Kredit,ȱ wobeiȱdasȱKreditgeschäftȱinȱrechtlicherȱHinsichtȱaufȱdenȱBestimmungenȱdesȱBürgerliȬ chenȱGesetzbuchesȱüberȱdasȱDarlehenȱ(§§ȱ607ȱȬȱ609ȱBGB)ȱberuht.ȱ EinigeȱKlassifikationskriterienȱvonȱFinanzinstrumentenȱseienȱspeziellȱfürȱKrediteȱnochȱ einmalȱdargestellt.ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 13ȱȱ S.ȱauchȱKapitelȱ8ȱ„KursȬȱundȱRenditerechnung“.ȱ

14

ȱ

Finanzinstrumente zur Geldaufnahme

1.4.1

Laufzeit und Verzinsung

Dieȱ Einteilungȱ nachȱ derȱ Laufzeitȱ inȱ kurzȬ,ȱ mittelȬȱ undȱ langfristigeȱ Krediteȱ giltȱ wieȱ obenȱaufgeführtȱweiter.ȱȱ Dieȱ Verzinsungȱ kannȱ mitȱ einemȱ festenȱ Zinssatzȱ fürȱ dieȱ gesamteȱ Laufzeitȱ erfolgen.ȱ Besondereȱ Beachtungȱ findenȱ dabeiȱ dieȱ langfristigenȱ Kredite.ȱ Früherȱ warenȱ beiȱ RealȬ krediten,ȱd.h.ȱdurchȱGrundpfandrechteȱgesichertenȱKrediten,ȱLaufzeitenȱvonȱ30ȱJahrenȱ durchausȱüblich.ȱHeuteȱsindȱZinsbindungenȱüberȱ15ȱJahrenȱeherȱdieȱAusnahme,ȱhäuȬ figeȱZinsbindungsfristenȱliegenȱbeiȱ5,ȱ8,ȱ10ȱundȱ15ȱJahren.ȱInȱvielenȱFällenȱistȱdieȱTilȬ gungȱ daherȱ aberȱ nachȱ derȱ Zinsbindungsfristȱ nochȱ nichtȱ abgeschlossen.ȱ NachȱAblaufȱ derȱZinsbindungȱverbleibtȱdannȱeineȱRestschuld.ȱDieseȱkannȱinȱeinemȱBetragȱzurückȬ gezahltȱ werden.ȱ Inȱ derȱ Regelȱ wirdȱ derȱ Kreditȱ aberȱ verlängertȱ undȱ derȱ Zinssatzȱ entȬ sprechendȱdemȱdannȱgeltendenȱZinsniveauȱangepasst.ȱEineȱkurzeȱZinsbindungȱbeinȬ haltetȱalsoȱeinȱgewissesȱZinsrisikoȱaufȱdenȱnachȱderȱZinsbindungsphaseȱausstehendenȱ Restbetrag.ȱOftȱwerdenȱdaherȱinȱNiedrigzinsphasen,ȱinȱdenenȱfürȱdieȱkommendeȱZeitȱ eineȱZinserhöhungȱerwartetȱwird,ȱlangeȱZinsbindungen,ȱz.B.ȱvonȱ15ȱJahren,ȱbevorzugt.ȱ InȱHochzinsphasenȱkannȱderȱSchuldnerȱaufȱeineȱallgemeineȱZinssenkungȱhoffenȱundȱ zunächstȱdenȱZinssatzȱnurȱfürȱeineȱkurzeȱLaufzeitȱvonȱz.B.ȱ5ȱJahrenȱfixieren.ȱ Nebenȱ derȱ Zinsanpassung,ȱ dieȱ eineȱ gewisseȱ Variabilitätȱ desȱ Zinssatzesȱ überȱ dieȱ geȬ samteȱLaufzeitȱdarstellt,ȱexistierenȱauchȱvariabelȱverzinslicheȱKredite.ȱDieȱVerzinsungȱ passtȱsichȱhierȱanȱeinenȱReferenzzinssatz,ȱz.B.ȱdenȱEuribor,ȱan.ȱDieȱBankȱberechnetȱfürȱ dieȱBereitstellungȱdesȱKreditsȱinȱderȱRegelȱeinenȱAufschlag.ȱ Beispielȱ1.6:ȱEsȱwirdȱeinȱvariabelȱverzinslicherȱKreditȱüberȱ5ȱJahreȱvergeben,ȱfürȱdenȱ alsȱZinssatzȱjährlichȱderȱ12ȬMonatsȬEuriborȱ+ȱ1%ȱberechnetȱwird.ȱZinsfestsetzungsterȬ mineȱsindȱjeweilsȱamȱ1.10.ȱeinesȱJahres.ȱLiegtȱderȱ12ȬMonatsȬEuriborȱamȱ1.10.2009ȱz.B.ȱ beiȱ2,8%,ȱsoȱbeträgtȱderȱKreditzinssatzȱfürȱdieȱPeriodeȱvomȱ1.10.2009ȱbisȱzumȱ30.9.2010ȱ 3,8%.ȱAmȱ1.10.2010ȱerfolgtȱdannȱeineȱerneuteȱZinsanpassung.ȱȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

1.4.2

Kreditnehmer

Soȱ wieȱ beiȱ denȱAnlageproduktenȱ kannȱ manȱ auchȱ beiȱ Kreditenȱ nachȱ demȱ Schuldner,ȱ d.h.ȱdemȱKreditnehmer,ȱklassifizieren.ȱEsȱmachtȱeinenȱUnterschied,ȱobȱeinȱKreditȱeinerȱ Privatperson,ȱ einemȱ Unternehmen,ȱ einerȱ Bankȱ oderȱ einerȱ Körperschaftȱ desȱ öffentliȬ chenȱ Rechtesȱ gewährtȱ wird.ȱ Dieseȱ Unterscheidungȱ betrifftȱ insbesondereȱ dieȱ KreditȬ würdigkeitȱdesȱKreditnehmers.ȱBundesländerȱundȱKommunenȱalsȱKörperschaftenȱdesȱ öffentlichenȱRechtesȱgeltenȱz.B.ȱalsȱkreditwürdiger,ȱdaȱsieȱmitȱihrenȱSteuereinnahmenȱ haften.ȱDieȱEinteilungȱinȱRisikogruppenȱvonȱUnternehmen,ȱBankenȱundȱPrivatpersoȬ nenȱ resultiertȱ inȱ speziellenȱ Kreditkonditionen,ȱ wieȱ z.B.ȱ Zinsaufschlägenȱ fürȱ risikoreiȬ cheȱ Kreditengagements.ȱ Auchȱ dasȱ Volumen,ȱ d.h.ȱ dieȱ Höheȱ desȱ gewährtenȱ Kredits,ȱ variiertȱzwischenȱdenȱKreditnehmern.ȱPrivatpersonenȱwirdȱsoȱinȱderȱRegelȱeinȱgerinȬ

15

1.4

1

Zinsfinanzinstrumente

geresȱ Kreditvolumenȱ gewährtȱ alsȱ Unternehmen,ȱ Bankenȱ oderȱ Körperschaftenȱ desȱ öffentlichenȱRechtes.ȱȱ

1.4.3

Tilgung

DasȱzurȱVerfügungȱgestellteȱKreditvolumenȱkannȱaufȱunterschiedlicheȱArtȱundȱWeiseȱ zurückgezahltȱwerden.ȱȱ WirdȱderȱKreditbetragȱinȱeinerȱSummeȱamȱEndeȱderȱLaufzeitȱzurückgezahlt,ȱsoȱsprichtȱ manȱvonȱeinerȱ endfälligenȱTilgung.ȱÜblicherweiseȱwerdenȱhierȱdieȱproȱPeriodeȱanfalȬ lendenȱZinsenȱaberȱzeitgleichȱgezahlt.ȱWerdenȱhingegenȱwährendȱderȱLaufzeitȱwederȱ Tilgungenȱ vorgenommenȱ nochȱ Zinszahlungenȱ erbracht,ȱ soȱ werdenȱ dieȱ Zinsenȱ demȱ Kreditkontoȱ belastetȱ undȱ dieȱ Tilgungȱ erfolgtȱ endfälligȱ mitsamtȱ denȱ aufgelaufenenȱ Zinsen.ȱDemgegenüberȱkannȱbeiȱeinemȱ RatenkreditȱzusätzlichȱzuȱdenȱZinszahlungenȱ auchȱ eineȱ konstanteȱ Tilgungȱ proȱ Periodeȱ vereinbartȱ werdenȱ oderȱ beiȱ einerȱ AnnuitäȬ tentilgungȱdieȱmonatlicheȱBelastungȱalsȱSummeȱvonȱTilgungsȬȱundȱZinszahlungȱkonȬ stantȱgewähltȱwerdenȱ(s.ȱKapitelȱ7ȱ„Tilgung“).ȱȱ Danebenȱ könnenȱ auchȱ individuelleȱ vertraglicheȱ Vereinbarungenȱ zwischenȱ Gläubigerȱ undȱSchuldnerȱgetroffenȱwerden,ȱdieȱdemȱSchuldnerȱeineȱgewisseȱFlexibilitätȱbeiȱderȱ TilgungȱdesȱKreditsȱerlauben.ȱEineȱhäufigȱgewählteȱFormȱsindȱdieȱsoȱgenanntenȱ SonȬ dertilgungen,ȱbeiȱdenenȱderȱSchuldnerȱz.B.ȱproȱJahrȱ5ȱoderȱ10%ȱderȱKreditsummeȱinȱ einemȱoderȱmehrerenȱBeträgenȱzusätzlichȱzuȱdenȱregulärȱanfallendenȱRückzahlungenȱ tilgenȱ kann.ȱ Derȱ Schuldnerȱ kannȱ soȱ unregelmäßigeȱ oderȱ unvorhergeseheneȱ EinnahȬ menȱzurȱRückzahlungȱseinesȱKreditsȱverwenden.ȱ

1.4.4

Sicherheiten

Eineȱ zusätzlicheȱ Einteilungȱ kannȱ beiȱ Kreditenȱ nachȱ derȱBesicherungȱ desȱKreditsȱ vorȬ genommenȱwerden.ȱEsȱlassenȱsichȱPersonalȬȱundȱRealsicherheitenȱunterscheiden.ȱ14ȱ

1.4.4.1

Personalsicherheiten

BeiȱdenȱPersonalsicherheitenȱentstehtȱdieȱSicherheitȱfürȱdenȱKreditgeberȱdadurch,ȱdassȱ nebenȱ demȱ Kreditnehmerȱ nochȱ eineȱ dritteȱ Personȱ fürȱ denȱ Kreditȱ haftet.ȱ Hierunterȱ zählenȱz.B.ȱdieȱBürgschaftȱundȱdieȱGarantie.ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 14ȱȱ ZuȱderȱEinteilungȱnachȱSicherheitenȱs.ȱauchȱOlfert/Reichel,ȱ2005,ȱS.ȱ82ȱff..ȱDieȱEinteilungȱnachȱ

Sicherheitenȱ wirdȱ hierȱ nurȱ kurzȱ angeschnitten,ȱ daȱ sieȱ fürȱ dieȱ finanzmathematischeȱ BehandȬ lungȱvonȱFinanzinstrumentenȱnichtȱrelevantȱist.ȱ

16

ȱ

Finanzinstrumente zur Geldaufnahme

1.4.4.2

Realsicherheiten

RealsicherheitenȱsindȱSachwerteȱoderȱRechte,ȱdieȱdemȱKreditgeberȱzurȱSicherungȱdesȱ Kreditsȱbereitȱgestelltȱwerden.ȱ Zuȱ denȱ Realsicherheitenȱ gehörenȱ Grundpfandrechte,ȱ wieȱ dieȱ Hypothekȱ undȱ dieȱ GrundschuldȱsowieȱRechteȱanȱbeweglichemȱVermögenȱwieȱPfandrechte,ȱForderungsȬ abtretungen,ȱSicherungsübereignungenȱundȱderȱEigentumsvorbehalt.ȱȱ ȱ

1.4.5

Kreditprodukte

Krediteȱ werdenȱ häufigȱ sehrȱ individuellȱ ausgestaltetȱ undȱ anȱ dieȱ Bedürfnisseȱ derȱ VerȬ tragspartnerȱangepasst.ȱDennochȱseienȱimȱFolgendenȱeinigeȱhäufigȱauftretendeȱKreditȬ formenȱkurzȱerläutert.ȱ

1.4.5.1

Dispositionskredit

Derȱ Dispositionskreditȱ istȱ einȱ kurzfristigerȱ Kreditȱ anȱ Privatpersonen,ȱ beiȱ demȱ eineȱ Kreditlinieȱeingeräumtȱwird.ȱDerȱKreditnehmerȱkannȱdenȱKreditȱbisȱzuȱderȱKreditlinieȱ variabelȱinȱAnspruchȱnehmen.ȱDieȱTilgungȱerfolgtȱindividuell,ȱmeistȱdurchȱeingehendeȱ Gehaltszahlungen.ȱEineȱbesondereȱBesicherungȱwirdȱinȱderȱRegelȱnichtȱgefordert.ȱȱ

1.4.5.2

Konsumentenkredit

Zuȱ denȱ Konsumentenkreditenȱ werdenȱ Krediteȱ fürȱ größereȱAnschaffungen,ȱ wieȱ etwaȱ einesȱ Pkw,ȱ gezählt.ȱ Konsumentenkrediteȱ werdenȱ meistȱ inȱ konstantenȱ Ratenȱ getilgt.ȱ Fürȱ denȱ Kreditrahmenȱ bestehenȱ gewisseȱ MindestȬȱ undȱ Höchstvolumina,ȱ z.B.ȱ vonȱ mindestensȱ1.000ȱ€ȱundȱhöchstensȱ50.000ȱ€.ȱVoraussetzungȱfürȱdieȱVergabeȱeinesȱKonȬ sumentenkreditsȱistȱdieȱKreditwürdigkeitȱdesȱKreditnehmers,ȱfürȱdieȱu.a.ȱregelmäßigeȱ Einnahmenȱnachzuweisenȱsind.ȱ

1.4.5.3

Baufinanzierungskredit

Baufinanzierungskrediteȱ dienenȱ derȱ Finanzierungȱ desȱ Erwerbsȱ oderȱ Bausȱ einerȱ ImȬ mobilie.ȱ Esȱ handeltȱ sichȱ umȱ mitȱ Grundpfandrechtenȱ besicherteȱ langfristigeȱ Kredite.ȱ FrüherȱwarenȱhierȱLaufzeitenȱvonȱ30ȱJahrenȱdurchausȱüblich.ȱHeuteȱhingegenȱliegtȱdieȱ höchsteȱ Zinsbindungȱ inȱ derȱ Regelȱ beiȱ 15ȱ Jahrenȱ (s.ȱ Abschnittȱ „Laufzeitȱ undȱ VerzinȬ sung“).ȱBaufinanzierungskrediteȱwerdenȱmeistȱmitȱeinerȱAnnuitätentilgung,ȱd.h.ȱeinerȱ konstantenȱBelastungȱausȱTilgungȱundȱZins,ȱausgestattet.ȱ

17

1.4

1

Zinsfinanzinstrumente

1.4.5.4

Kontokorrentkredit

DerȱKontokorrentkreditȱistȱeinȱkurzfristigerȱKreditȱinȱFormȱeinerȱeingeräumtenȱKreditȬ linie,ȱ derȱ vonȱ einerȱ Bankȱ anȱ Unternehmenȱ oderȱ auchȱ zwischenȱ zweiȱ Unternehmenȱ vergebenȱ wird.ȱ Erȱ entsprichtȱ demȱ Dispositionskreditȱ anȱ Privatkunden.ȱ Derȱ KreditȬ nehmerȱ kannȱ denȱ Kreditȱ bisȱ zurȱ Kreditlinieȱ variabelȱ inȱAnspruchȱ nehmen.ȱAuchȱ dieȱ Tilgungȱ erfolgtȱ individuellȱ nachȱ denȱ Wünschenȱ desȱ Kreditnehmers.ȱ Dieȱ Verzinsungȱ richtetȱsichȱnachȱdemȱMarktniveau.ȱ Beiȱ Überschreitenȱ derȱ Kreditlinieȱ entstehtȱ einȱ Überziehungskredit,ȱ dessenȱ Sollzinsenȱ überȱdieȱdesȱKontokorrentkreditsȱhinausgehen.ȱ

1.4.5.5

Betriebsmittelkredit

Betriebsmittelkrediteȱ werdenȱ anȱ Unternehmenȱ vergebenȱ undȱ stellenȱ eineȱ kurzfristigȱ eingeräumteȱKreditlinieȱdar,ȱdieȱzurȱFinanzierungȱvonȱlaufendenȱAusgaben,ȱwieȱdemȱ Kaufȱ vonȱ Rohstoffenȱ undȱ anderenȱ Waren,ȱ dient.ȱ Derȱ Betriebsmittelkreditȱ istȱ damitȱ eineȱ Formȱ desȱ Kontokorrentkredits.ȱ Dieȱ Rückzahlungȱ desȱ Kreditsȱ erfolgtȱ individuellȱ ausȱdenȱlaufendenȱEinnahmen.ȱ

1.4.5.6

Investitionskredit

EinȱInvestitionskreditȱdientȱderȱBeschaffungȱvonȱAnlagevermögen,ȱwieȱz.B.ȱGebäuden,ȱ Maschinenȱ undȱ Fahrzeugen.ȱ Dieȱ Laufzeitȱ richtetȱ sichȱ nachȱ derȱ Nutzungsdauerȱ desȱ Investitionsobjektsȱundȱistȱdaherȱmeistȱlangfristig.ȱEinȱInvestitionskreditȱwirdȱmeistȱalsȱ Ratendarlehenȱ vergeben.ȱ Soȱ wieȱ dasȱ Investitionsgutȱ konstantȱ abgeschriebenȱ wird,ȱ wirdȱ auchȱ derȱ Kreditȱ inȱ konstantenȱ Ratenȱ getilgt,ȱ soȱ dassȱ dieȱ Kredithöheȱ anȱ denȱ Buchwertȱ desȱ Investitionsobjektsȱ angelehntȱ ist.ȱ Investitionskrediteȱ werdenȱ naturgeȬ mäßȱeherȱvonȱUnternehmenȱinȱAnspruchȱgenommen.ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

18

ȱ

Partnerinterview

1.5

Partnerinterview

Dasȱ Zielȱ einesȱ Partnerinterviews15ȱ istȱ dieȱ Wiederholungȱ undȱ Einübungȱ desȱ Stoffesȱ durchȱ dasȱ Formulierenȱ desȱ Gelerntenȱ mitȱ eigenenȱ Worten.ȱ Zuȱ diesemȱ Zweckȱ bildenȱ Sieȱ mitȱ einerȱ weiterenȱ Personȱ eineȱ Zweiergruppe,ȱ einȱ Partnerȱ übernimmtȱ jeweilsȱ dieȱ Rolleȱ vonȱ A,ȱ derȱ andereȱ dieȱ Rolleȱ vonȱ B.ȱ Beiȱ jederȱ Frageȱ erläutertȱ Aȱ dieȱ „AȬFrage“ȱ seinemȱPartner,ȱanschließendȱerläutertȱBȱdieȱ„BȬFrage“.ȱDieȱFragenȱbeziehenȱsichȱimȬ merȱ aufȱ einenȱ Themenkomplexȱ undȱ wechselnȱ imȱ Schwierigkeitsgradȱ ab.ȱ Zurȱ BeantȬ wortungȱ derȱ Fragenȱ dürfenȱ Sieȱ alleȱ Hilfsmittelȱ benutzen,ȱ z.B.ȱ nochȱ einmalȱ imȱ Textȱ nachlesen.ȱWichtigȱistȱallein,ȱdassȱSieȱdenȱStoffȱnochȱeinmalȱselbstȱlautȱinȱIhrenȱWortenȱ ausdrücken.ȱ Lernpsychologischeȱ Untersuchungenȱ bestätigen,ȱ dassȱ hierdurchȱ eineȱ stärkereȱAuseinandersetzungȱmitȱdemȱGelerntenȱundȱdadurchȱeinȱbesseresȱVerständȬ nisȱgefördertȱwird.ȱEineȱAntwortȱderȱFragenȱwirdȱnichtȱangegeben,ȱumȱeinȱzuȱschnelȬ lesȱNachschauenȱinȱderȱ„Musterlösung“ȱzuȱverhindern.ȱAlleȱAntwortenȱlassenȱsichȱausȱ demȱLehrbuchtextȱerschließen.ȱ Wirdȱ derȱ Stoffȱ imȱ Selbststudiumȱ erarbeitet,ȱ istȱ esȱ nachȱ denȱ obenȱ stehendenȱ ErläuteȬ rungenȱ ebenfallsȱ ratsam,ȱ dieȱ Fragenȱ lautȱ zuȱ beantworten,ȱ alsȱ würdeȱ manȱ sieȱ einemȱ Partnerȱerklären.ȱInȱdiesemȱFallȱsolltenȱjeweilsȱbeideȱFragenȱbearbeitetȱwerden.ȱ 1. A:ȱBeschreibenȱSieȱbeiȱeinemȱklassischenȱAnlageproduktȱIhrerȱWahl,ȱwarumȱdiesesȱ auchȱalsȱGeldaufnahmeȱbezeichnetȱwerdenȱkann?ȱ B:ȱWasȱbedeutenȱGuthabenȬȱundȱSollzinssatz?ȱWieȱverhaltenȱsieȱsichȱzueinander?ȱ 2. A:ȱWasȱistȱeineȱZinsstruktur?ȱWieȱsiehtȱeineȱnormaleȱZinsstrukturkurveȱaus?ȱ B:ȱWieȱsiehtȱeineȱinverseȱZinsstrukturkurveȱaus?ȱWieȱkannȱsieȱentstehen?ȱȱ 3. A:ȱWasȱsindȱOTCȬProdukte?ȱ B:ȱWannȱsindȱFinanzinstrumenteȱanȱderȱBörseȱhandelbar?ȱ 4. A:ȱBeschreibenȱSieȱeineȱGeldanlageȱmitȱAuszahlungȱderȱanfallendenȱZinsen!ȱ B:ȱBeschreibenȱSieȱeineȱGeldanlageȱmitȱGutschriftȱderȱanfallendenȱZinsen!ȱ 5. A:ȱWasȱistȱeinȱReferenzzinssatz?ȱBeschreibenȱSieȱeineȱAnlage,ȱbeiȱderȱeinȱvariablerȱ Zinssatzȱgezahltȱwird.ȱ B:ȱ Beschreibenȱ Sieȱ eineȱAnlage,ȱ beiȱ derȱ einȱ festerȱ Zinssatzȱ gezahltȱ wird.ȱ Wannȱ istȱ diesesȱfürȱdenȱAnlegerȱvorteilhaft,ȱwannȱvonȱNachteil?ȱ 6. A:ȱKlassifizierenȱSieȱdreiȱIhnenȱbekannteȱAnlageprodukte!ȱ B:ȱNennenȱSieȱdreiȱIhnenȱbekannteȱKreditformenȱundȱordnenȱSieȱdieseȱein!ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 15ȱȱ S.ȱz.B.ȱWahl,ȱ1995,ȱS.ȱ194.ȱ

19

1.5

Lernziele

2

2.1

Mathematische Grundlagen

Lernziele

Zurȱ Vermittlungȱ derȱ Ideenȱ undȱ Gebieteȱ derȱ Finanzmathematikȱ wirdȱ nurȱ einȱ verȬ gleichsweiseȱ geringerȱ Anteilȱ mathematischerȱ Theorieȱ undȱ Methodenȱ benötigt.ȱ Dieȱ guteȱBeherrschungȱderȱverwendetenȱmathematischenȱHilfsmittelȱistȱfürȱdasȱVerständȬ nisȱderȱfinanzmathematischenȱAnwendungenȱaberȱumȱsoȱwichtiger.ȱHierzuȱgehörtȱdieȱ Kenntnisȱ symbolischerȱ Schreibweisenȱ wieȱ beiȱ SummenȬȱ undȱ Produktdarstellungenȱ ebensoȱ wieȱ derȱ sichereȱ Umgangȱ mitȱ Potenzenȱ undȱ Logarithmenȱ sowieȱ dieȱ Fähigkeitȱ zurȱBeschreibungȱvonȱFolgenȱundȱderȱBerechungȱderȱinȱderȱFinanzmathematikȱhäufigȱ auftretendenȱ geometrischenȱ Reihe.ȱ Dasȱ folgendeȱ Kapitelȱ stelltȱ dieseȱ Hilfsmittelȱ zuȬ sammen.ȱNachȱBearbeitungȱdesȱKapitelsȱsollteȱderȱLeserȱinȱderȱLageȱsein,ȱȱ

„ dieȱPotenzȬȱundȱLogarithmusgesetzeȱanzuwenden,ȱ „ Exponentialgleichungenȱaufzulösen,ȱ „ dieȱ Schreibweiseȱ einerȱ Summeȱ undȱ einesȱ Produktesȱ zuȱ kennenȱ sowieȱ einfacheȱ SummenȱundȱProdukteȱzuȱberechnen,ȱ

„ dieȱspezielleȱSummeȱüberȱdieȱnatürlichenȱZahlenȱzuȱbestimmen,ȱ „ eineȱFolgeȱalsȱZuordnungȱderȱnatürlichenȱzuȱdenȱreellenȱZahlenȱzuȱverstehen,ȱ „ BeispieleȱfürȱFolgenȱnennenȱzuȱkönnen,ȱ „ EigenschaftenȱeinerȱFolgeȱwieȱMonotonieȱundȱBeschränktheitȱzuȱuntersuchen,ȱ „ beiȱ einerȱ einfachenȱ Folgeȱ zuȱ erkennen,ȱ obȱ sieȱ konvergiertȱ oderȱ (bestimmtȱ oderȱ unbestimmt)ȱdivergiert,ȱ

„ arithmetischeȱ undȱ geometrischeȱ Folgenȱ zuȱ definierenȱ undȱ ihrȱ KonvergenzverhalȬ tenȱzuȱerläutern,ȱ

„ eineȱReiheȱalsȱspezielleȱFolgeȱzuȱverstehen,ȱ „ dieȱPartialsummeȱeinerȱgeometrischenȱReiheȱzuȱberechnen,ȱ „ denȱWertȱeinerȱunendlichenȱgeometrischenȱReiheȱzuȱbestimmen.ȱ ȱ 21

2.1

2

Mathematische Grundlagen

2.2

Potenzen und Logarithmen

2.2.1

Potenzfunktion

Definition:ȱDieȱFunktionȱ f( x)

xa ȱheißtȱPotenzfunktion.ȱDenȱUrsprungswertȱxȱnenntȱ

manȱdieȱBasis,ȱaȱdenȱExponentenȱderȱPotenz.ȱ DabeiȱistȱaȱeinȱParameter.ȱȱ 1. Istȱ aȱ eineȱ natürlicheȱ Zahl,ȱ d.h.ȱ giltȱ a

x n , ȱ dassȱ xȱ nȬ

n , n  N , ȱ soȱ bedeutetȱ f( x)

malȱmitȱsichȱselbstȱmultipliziertȱwird,ȱd.h.ȱȱ f ( x)

xn

x x ˜ x ˜  ˜ x , n  N. ȱȱ  ˜

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(2.1)ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(2.2)ȱ

n  mal

2. Fürȱaȱ=ȱ0ȱundȱ x z 0 ȱgiltȱspeziellȱȱ f ( x)

x0 : 1. ȱȱ

ȱ

ȱ

3. FürȱeinenȱnegativenȱExponentenȱ a f ( x)

1 xn

xn

n , n  N giltȱfür x z 0 ȱȱ

1 , n  N. ȱ ȱ  x ˜ x ˜ x ˜x

˜ 

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(2.3)ȱ

n  mal

Beispielȱ2.1:ȱ 2 4 Beispielȱ2.2:ȱ 5 2

2.2.2

16. ȱ

2˜2˜2˜2

1 5˜5

1 .ȱ 25

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(2.4)ȱ

Potenzgesetze

EsȱgeltenȱdieȱfolgendenȱallgemeinenȱPotenzgesetze:ȱ 1.

xa ˜ y a

( x ˜ y)a ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ZweiȱPotenzenȱmitȱunterschiedlicherȱBasisȱundȱgleichemȱExponentenȱwerdenȱmulȬ tipliziert,ȱindemȱmanȱdieȱBasenȱmultipliziertȱundȱdenȱExponentenȱbeibehält.ȱ Beispielȱ2.3:ȱ 2 3 ˜ 53

8 ˜ 125

1.000

10 3

( 2 ˜ 5)3 . ȱȱ

Stattȱ dieȱ gegebenenȱ Potenzenȱ 2 3 ȱ undȱ 53 ȱ zuȱ berechnen,ȱ kannȱ manȱ zunächstȱ dieȱ Basenȱ 2ȱ undȱ 5ȱ multiplizieren.ȱ Dieȱ soȱ entstehendeȱ Potenzȱ vonȱ 10ȱ lässtȱ sichȱ dannȱ leichterȱberechnen.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ 22

ȱ

Potenzen und Logarithmen

DiesesȱGesetzȱlässtȱsichȱleichtȱauchȱallgemeingültigȱbeweisen.ȱȱ NachȱderȱDefinitionȱeinerȱPotenzȱgiltȱ xa ˜ y a

x x ˜ x ˜  ˜ x ˜y ˜ y ˜ y ˜  ˜ y. ȱ ˜  a  mal

a  mal

Daȱ dasȱ Ergebnisȱ einerȱ Multiplikationȱ (aufgrundȱ desȱ Kommutativgesetzes)ȱ unabȬ hängigȱvonȱderȱReihenfolgeȱist,ȱinȱderȱmultipliziertȱwird,ȱkönnenȱwirȱschreibenȱ xa ˜ y a

 x x ˜ x ˜  ˜ x˜ y ˜ y ˜ y ˜  ˜ y ˜

 a  mal

( x ˜ y ) ˜ ( x ˜ y) ˜ ( x ˜ y) ˜  ˜ ( x ˜ y) 

a  mal

( x ˜ y )a . ȱ

a  mal

ȱ 2.

xa ya

a

§x· ¨ ¸ .ȱ ȱ ¨y¸ © ¹

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(2.5)ȱ

Zweiȱ Potenzenȱ mitȱ unterschiedlicherȱ Basisȱ undȱ gleichemȱ Exponentenȱ werdenȱ diȬ vidiert,ȱindemȱmanȱdieȱBasenȱdividiertȱundȱdenȱExponentenȱbeibehält.ȱ DerȱBeweisȱerfolgtȱanalogȱzumȱBeweisȱdesȱerstenȱGesetzesȱderȱMultiplikationȱvonȱ PotenzenȱmitȱgleichemȱExponenten:ȱȱ xa ya

x x ˜ x ˜   ˜x ˜

§x· §x· §x· §x· ¨ ¸ ˜ ¨ ¸ ˜ ¨ ¸ ˜˜ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨y¸ ¨y¸ ¨y¸ © ¹ © y¹ © ¹

© ¹

a  mal

y ˜ y ˜ y ˜ ˜ y  a  mal

Beispielȱ2.4:ȱ

3.

xa ˜ x b

45 25

a

§x· ¨ ¸ .ȱ ¨y¸ © ¹

a  mal

§4· ¨ ¸ ©2¹

xa  b .ȱȱ

5

32. ȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(2.6)ȱ

ȱ

ZweiȱPotenzenȱmitȱgleicherȱBasisȱundȱunterschiedlichemȱExponentenȱwerdenȱmulȬ tipliziert,ȱindemȱmanȱdieȱBasenȱbeibehältȱundȱdieȱExponentenȱaddiert.ȱ DiesenȱZusammenhangȱsiehtȱmanȱamȱeinfachstenȱamȱBeispiel.ȱ Beispielȱ2.5:ȱ 52 ˜ 53

5 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 5 5 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 5 ˜ 5 55 52  3 3.125. ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

AberȱauchȱderȱallgemeineȱBeweisȱistȱeinfachȱzuȱführen:ȱ Esȱgiltȱ xa ˜ x b

x x ˜ x ˜   ˜x˜x x ˜ x ˜   ˜x ˜

˜

a  mal

b  mal

x x ˜ x ˜   ˜x ˜

xa  b . ȱ

a  b  mal

Wennȱ manȱ zunächstȱ aȬmalȱ undȱ dannȱ nochȱ einmalȱ bȬmalȱ mitȱ demselbenȱ Faktorȱ multipliziert,ȱhatȱmanȱinsgesamtȱ(a+b)ȱgleicheȱFaktoren.ȱ

23

2.2

2

Mathematische Grundlagen

xa xb

4.

xa  b .ȱȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(2.7)ȱ

Zweiȱ Potenzenȱ mitȱ gleicherȱ Basisȱ undȱ unterschiedlichemȱ Exponentenȱ werdenȱ diȬ vidiert,ȱindemȱmanȱdieȱBasenȱbeibehältȱundȱdieȱExponentenȱsubtrahiert.ȱ DerȱBeweisȱergibtȱsichȱdirektȱausȱ3.,ȱdaȱnachȱDefinitionȱeinerȱnegativenȱPotenzȱgiltȱ xa xb

xa ˜ x  b

Beispielȱ2.6:ȱ

xa  (  b ) 75 73

xa  b . ȱ

7 5 ˜ 7 3

72

49. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(2.8)ȱ

ȱ 5.

x

a b

xa ˜b .ȱ ȱ

ȱ

EineȱPotenzȱwirdȱpotenziert,ȱindemȱmanȱdieȱExponentenȱmultipliziert.ȱȱ DerȱUnterschiedȱzuȱdemȱdrittenȱPotenzgesetzȱbestehtȱdarin,ȱdassȱhierȱdieȱgesamteȱ Potenzȱ xa ȱmitȱdemȱExponentenȱbȱpotenziertȱwird.ȱDieȱPotenzȱ xa ȱwirdȱalsoȱbȬmalȱ mitȱsichȱselbstȱmultipliziert.ȱEsȱlässtȱsichȱschreibenȱ

x

a b

a a x ˜ x ˜

xa ˜ xa ˜ 

x

 a  a 

a  a b  mal

xa ˜ b . ȱ

b  mal



Beispielȱ2.7:ȱ 2 2

2.2.3

3

22 ˜ 22 ˜ 22

22  2 2

2 3˜ 2

2 6. ȱȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

Addition und Subtraktion von Potenzen

BeiȱderȱMultiplikationȱundȱDivisionȱvonȱPotenzenȱkönnenȱPotenzenȱdannȱzusammenȬ gefasstȱwerden,ȱwennȱentwederȱdieȱBasisȱoderȱderȱExponentȱderȱPotenzenȱgleichȱist.ȱȱ Potenzenȱ könnenȱ aberȱ nurȱ dannȱ addiertȱ oderȱ subtrahiertȱ werden,ȱ wennȱ Basisȱ undȱ Exponentȱgleichȱsind.ȱSieȱwerdenȱaddiertȱ(bzw.ȱsubtrahiert),ȱindemȱihreȱKoeffizientenȱ addiertȱ(bzw.ȱsubtrahiert)ȱwerden.ȱ Beispielȱ2.8:ȱȱ 3x 2  5x 2

8x 2 ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Beispielȱ2.9:ȱȱ 7 y 4  2 y 4

5y 4 ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

24

ȱ

Potenzen und Logarithmen

2.2.4

Potenzieren von Summen oder Differenzen

Beispielȱ2.10:ȱȱ (7  y)2

(7  y) ˜ (7  y)

49  7 y  7 y  y 2

49  14 y  y 2 ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

PotenzenȱvonȱSummenȱoderȱDifferenzenȱwerdenȱberechnet,ȱindemȱmanȱdieȱPotenzȱalsȱ Produktȱschreibtȱundȱdiesesȱausmultipliziert.ȱȱ ȱ Wichtig:ȱAufȱkeinenȱFallȱdarfȱdieȱPotenzȱeinfachȱinȱdieȱSummeȱhineingezogenȱwerden!ȱ Beispielȱ2.11:ȱȱ (a  b)2 z a 2  b 2 ȱ(!)ȱ ȱ

2.2.5

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

Wurzelfunktion

Definition:ȱDieȱnȬteȱWurzelȱausȱeinerȱZahlȱxȱtȱ0ȱistȱdiejenigeȱZahl,ȱderenȱnȬteȱPotenzȱxȱ ergibt:ȱ f ( x)

n

y

x Ÿ x

yn ,

x t 0ȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(2.9)ȱ

DabeiȱnenntȱmanȱxȱdenȱRadikand,ȱnȱdenȱWurzelexponenten.ȱ Dasȱ„ZiehenȱderȱnȬtenȱWurzel“ȱstelltȱalsoȱdieȱUmkehrungȱdesȱPotenzierensȱdar.ȱ ȱ Beispielȱ 2.12:ȱ ȱ Suchtȱ manȱ dieȱ dritteȱ Wurzelȱ ausȱ 8,ȱ d.h. y

3

8 , ȱ dannȱ istȱ dieȱ Zahlȱ geȬ

sucht,ȱ die,ȱ wennȱ manȱ sieȱ mitȱ 3ȱ potenziert,ȱ 8ȱ ergibt.ȱ Gesuchtȱ istȱ alsoȱ dasȱ y,ȱ fürȱ das y 3

8. Esȱgiltȱhierȱnatürlichȱyȱ=ȱ2,ȱdenn 2 3

8. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ

ȱȱ(2.10)ȱ

ȱ DieȱnȬteȱWurzelȱkannȱmanȱalsȱPotenzȱmitȱrationalemȱExponentenȱalsȱ 1 n

x

xn ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

schreiben.ȱ DiesesȱergibtȱsichȱausȱdenȱPotenzgesetzen.ȱPotenziertȱmanȱdieȱnȬteȱWurzelȱausȱxȱmitȱn,ȱ sollȱ sichȱ nachȱ derȱ Definitionȱ derȱ Wurzelȱ wiederumȱ xȱ ergeben.ȱ Mitȱ derȱ eingeführtenȱ SchreibweiseȱresultiertȱdiesesȱausȱdenȱPotenzgesetzen:ȱ 1

( n x )n

( x n )n

x. ȱ

25

2.2

2

Mathematische Grundlagen

2.2.6

Lösung von Potenzgleichungen

DieȱBeherrschungȱderȱPotenzgesetzeȱistȱzumȱVereinfachenȱvonȱPotenzausdrückenȱsehrȱ wichtig.ȱFürȱvieleȱAnwendungenȱistȱesȱaberȱnochȱentscheidender,ȱdassȱGleichungen,ȱinȱ denenȱPotenzfunktionenȱauftreten,ȱnachȱderȱUnbekanntenȱaufgelöstȱwerdenȱkönnen.ȱȱ WirȱwerdenȱzweiȱbesondersȱhäufigȱauftretendeȱSpezialfälleȱbehandeln.ȱ

2.2.6.1

Lösung der Potenzgleichung x n

Abbildungȱ2Ȭ1:ȱ

BeispieleȱfürȱFunktionenȱ y

c

x n  c ȱfürȱgeradesȱundȱungeradesȱnȱ

y

n gerade x

n ungerade

ȱ

DieȱAnzahlȱderȱLösungenȱderȱGleichungȱ x n rechtenȱSeiteȱcȱab.ȱDaȱ x

n

n

c ȱauchȱzuȱ x  c

c ȱhängtȱsowohlȱvonȱnȱalsȱauchȱvonȱderȱ 0 ȱumgeformtȱwerdenȱkann,ȱstimmtȱdieȱ

Lösungsmengeȱ derȱ Gleichungȱ mitȱ denȱ Nullstellenȱ derȱ Funktionȱ y

x n  c ȱ (s.ȱAbbilȬ

dungȱ2Ȭ1)ȱüberein.ȱ 1. nȱgerade:ȱDieȱFunktionȱ y a)

Fürȱ cȱ >ȱ 0ȱ schneidetȱ dieȱ Funktionȱ y Gleichungȱ x n

b)

x n  c ȱistȱvonȱderȱFormȱeinerȱParabel.ȱ x n  c ȱ dieȱ yȬAchseȱ imȱ Negativen.ȱ Dieȱ

c ȱhatȱdaherȱgenauȱzweiȱreelleȱLösungenȱ x1 / 2

Fürȱ cȱ =ȱ 0ȱ berührtȱ dieȱ Funktionȱ y

rn c . ȱ

x n  c ȱ dieȱ yȬAchseȱ imȱ KoordinatenurȬ

sprung.ȱZweiȱNullstellenȱfallenȱhierȱzusammen.ȱDieȱGleichungȱ x n nurȱeineȱreelleȱLösungȱ x 0. ȱ

26

ȱ

0 ȱhatȱalsoȱ

Potenzen und Logarithmen

c)

x n  c ȱ oberhalbȱ derȱ xȬAchse.ȱ Dieȱ Gleichungȱ

Fürȱ cȱ <ȱ 0ȱ liegtȱ dieȱ Funktionȱ y xn

c ȱhatȱkeineȱreelleȱLösung.ȱ

x n  c ȱgenauȱeineȱNullstelleȱundȱ

2. nȱungerade:ȱFürȱungeradesȱnȱhatȱdieȱFunktionȱ y demnachȱdieȱGleichungȱ x n

c ȱgenauȱeineȱLösung.ȱFürȱ c t 0 ȱerhältȱmanȱ x

n c . ȱ

Fürȱcȱ<ȱ0ȱerhältȱmanȱdieȱnegativeȱLösungȱ x  n | c |. DaȱdieȱWurzelȱnurȱfürȱpositiveȱ Radikandenȱ definiertȱ ist,ȱ mussȱ vorȱ Anwendungȱ derȱ Wurzelȱ zunächstȱ derȱ Betragȱ gebildetȱwerden.ȱ Beispielȱ2.13:ȱȱ x 3

2.2.6.2

27 Ÿ x

 3 27

2



27. ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ

ȱȱ(2.11)ȱ

Quadratische Gleichungen

DieȱquadratischeȱGleichungȱ x 2  px  q x1 / 2

3, ȱȱdaȱ ( 3)3

p §p· r ¨ ¸ q 2 ©2¹



p r 2

0 hatȱdieȱLösungenȱ

p2  q. ȱ 4

ȱ

ȱ

ȱ

Dabeiȱ nenntȱ manȱ denȱ Ausdruckȱ unterȱ derȱ Wurzelȱ D

p2 / 4  q dieȱ Diskriminante.ȱ

DieȱArtȱderȱLösungenȱderȱquadratischenȱGleichungȱhängtȱvonȱderȱDiskriminanteȱab.ȱ IstȱdieȱDiskriminanteȱDȱ>ȱ0,ȱsoȱhatȱdieȱquadratischeȱGleichungȱzweiȱverschiedeneȱreelȬ leȱLösungen.ȱGiltȱDȱ=ȱ0,ȱsoȱfallenȱzweiȱLösungenȱzusammen.ȱIstȱDȱ<ȱ0,ȱsoȱexistiertȱkeineȱ reelleȱLösung.ȱȱ Beispielȱ2.14:ȱ x 2  6 x  8

Ÿ

x1 / 2

( 3) r ( 3)2  8 

Ÿ x1

2,

x2

4 ȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

1

Beispielȱ2.15:ȱ x 2  4 x  4

Ÿ

x1 / 2

2 r 2 2

4

Ÿ x1 / 2

2. ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

0

Beispielȱ2.16:ȱ x 2  6 x  10

Ÿ

x1 / 2

( 3) r ( 3)2  10 

ȱ

1

DaȱdieȱDiskriminanteȱnegativȱist,ȱȱexistiertȱkeineȱreelleȱLösung.ȱȱ

Bemerkung:ȱ Istȱ dieȱ quadratischeȱ Gleichungȱ inȱ derȱ allgemeinerenȱ Formȱ ax 2  bx  c x2 

b c x a a

0 ȱgegeben,ȱsoȱlässtȱsieȱsichȱdurchȱDivisionȱdurchȱaȱaufȱdieȱobigeȱFormȱ 0ȱ

27

2.2

2

Mathematische Grundlagen

bringen.ȱ Setztȱ manȱ pȱ =ȱ b/aȱ undȱ qȱ =ȱ c/a,ȱ lässtȱ sichȱ Formelȱ (2.11)ȱ anwendenȱ undȱ manȱ erhältȱdieȱLösungenȱȱ 2



x1 / 2

b c § b · r ¨ ¸  2a 2 a a © ¹

 b r b 2  4ac ȱȱ 2a

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.12)ȱ

Diesesȱistȱauchȱalsȱ„Mitternachtsformel“ȱbekannt.ȱ

2.2.7

Exponentialfunktion

Definition:ȱDieȱFunktionȱ f( x)

a x , a ! 0 ȱheißtȱExponentialfunktion.ȱȱ

DerȱUnterschiedȱzurȱPotenzfunktionȱliegtȱinȱderȱVertauschungȱderȱRolleȱvonȱBasisȱundȱ Exponent.ȱBeiȱderȱExponentialfunktionȱstehtȱderȱUrwertȱimȱExponenten,ȱderȱParameȬ terȱaȱbildetȱdieȱBasis.ȱȱ EinenȱEindruckȱvonȱderȱExponentialfunktionȱkannȱmanȱz.B.ȱerhalten,ȱindemȱmanȱeineȱ WertetabelleȱaufstelltȱoderȱdieȱFunktionȱzeichnet.ȱ ȱ Beispielȱ2.17:ȱ InȱTabelleȱ2Ȭ1ȱsindȱdieȱFunktionenȱ f( x)

3x ȱundȱ g( x)

(1 / 3)x ȱinȱFormȱ

einerȱWertetabelleȱdargestellt.ȱȱ

Tabelleȱ2Ȭ1:ȱ

3x undȱ g( x)

Wertetabelleȱfürȱ f( x)

(1 / 3)x ȱ

x

-20

-10

-1

0

1

10

20

f(x)

0,00

0,00

0,33

1,00

3,00

59.049,00

3.486.784.401,00

g(x)

3.486.784.401,00

59.049,00

3,00

1,00

0,33

0,00

0,00

ȱ InȱAbbildungȱ2Ȭ2ȱwerdenȱdieȱFunktionenȱ f( x)

3x ȱundȱ g( x)

Bereichȱ[Ȭ3,3]ȱnochȱeinmalȱgrafischȱdargestellt.ȱ

ȱ

(1 / 3)x ȱfürȱxȬWerteȱimȱ ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ JedeȱExponentialfunktionȱschneidetȱdieȱyȬAchseȱ(xȱ=ȱ0)ȱbeiȱyȱ=ȱ1.ȱDasȱweitereȱVerhaltenȱ derȱFunktionȱhängtȱvonȱderȱBasisȱaȱab.ȱIstȱaȱ>ȱ1,ȱsoȱstrebtȱdieȱFunktionȱfürȱnegativeȱxȬ Werteȱgegenȱ0ȱundȱwächstȱfürȱpositiveȱxȬWerteȱstarkȱan.ȱFürȱaȱ=ȱ1,ȱliegtȱdieȱkonstanteȱ Funktionȱ f(x)ȱ =ȱ 1ȱ vor.ȱ Giltȱ aȱ <ȱ 1,ȱ soȱ wächstȱ dieȱ Funktionȱ fürȱ negativeȱ xȬWerteȱ an,ȱ fürȱ positiveȱxȬWerteȱstrebtȱsieȱgegenȱ0.ȱ ȱ

28

ȱ

Potenzen und Logarithmen

Abbildungȱ2Ȭ2:ȱ

f ( x)

3x undȱ g( x)

(1 / 3)x ȱ

30

20 f(x) g(x) 10

0 -3

-2

-1

0

1

2

DieȱwichtigsteȱExponentialfunktionȱistȱdieȱeȬFunktionȱ f( x)

3

ȱ

e x ,ȱwelcheȱdieȱnatürlicheȱ

ZahlȱeȱalsȱBasisȱhat.ȱDieȱZahlȱeȱistȱderȱGrenzwertȱeinerȱFolgeȱ(s.ȱAbschnittȱ„Folgen“),ȱ d.h.ȱ n

e

1· § lim ¨ 1  ¸ | 2 ,7182. ȱ n o f© n¹

Dieȱ Bedeutungȱ derȱ eȬFunktionȱ ergibtȱ sichȱ daraus,ȱ dassȱ vieleȱ inȱ derȱ Naturȱ gegebeneȱ Wachstumsprozesse,ȱwieȱz.B.ȱdasȱBevölkerungswachstum,ȱdieȱVermehrungȱvonȱBakteȬ rien,ȱ radioaktiverȱ Zerfall,ȱ etc.ȱ durchȱ eȬFunktionenȱ beschriebenȱ werdenȱ können.ȱAuchȱ inȱ derȱ Finanzmathematikȱ spieltȱ dieȱ eȬFunktionȱ eineȱ wichtigeȱ Rolle.ȱ Sieȱ kommtȱ beiȱ einerȱ stetigenȱ Zeitbetrachtung,ȱ wieȱ z.B.ȱ beiȱ derȱ stetigenȱ Verzinsungȱ zumȱ Tragenȱ (s.ȱ Kapitelȱ3ȱ„Zinsrechnung“).ȱ

2.2.8

Logarithmusfunktion

DieȱLogarithmusfunktionȱistȱdieȱUmkehrfunktionȱderȱExponentialfunktion.ȱ Beispielȱ 2.18:ȱ Suchtȱ manȱ denȱ Logarithmusȱ ausȱ 8ȱ zurȱ Basisȱ 2,ȱ dannȱ istȱ derȱ Exponentȱ gesucht,ȱmitȱdemȱmanȱ2ȱpotenzierenȱmuss,ȱdamitȱsichȱalsȱErgebnisȱ8ȱergibt.ȱDemnachȱ istȱȱ y

log 2 8

3 , ȱdennȱ 2 3

8. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ

29

2.2

2

Mathematische Grundlagen

Definition:ȱDerȱLogarithmusȱeinerȱZahlȱxȱ>ȱ0ȱzuȱeinerȱBasisȱaȱ>ȱ0ȱmitȱaȱzȱ1ȱistȱdiejenigeȱ Zahl,ȱmitȱderȱmanȱaȱpotenzierenȱmuss,ȱumȱxȱzuȱerhalten:ȱ y

log a x

Ÿ

x

ay ,

x ! 0 , a ! 0 , a z 1. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.13)ȱ

FürȱdenȱAusdruckȱ log a x ȱgiltȱdieȱSprechweiseȱ„LogarithmusȱvonȱxȱzurȱBasisȱa“.ȱ Beispielȱ2.19:ȱ log 2 32 Beispielȱ2.20:ȱ log 3

1 9

Beispielȱ2.21:ȱ log a a x Beispielȱ2.22:ȱ log a 1

5 , ȱdennȱ 2 5

32. ȱ

2 , ȱdennȱ 3 2

1 32

x , ȱdennȱ a x 0 , ȱdennȱ a 0

ax . ȱ 1. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

1 .ȱ 9

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ AufgrundȱderȱWichtigkeitȱmancherȱBasenȱhabenȱdieȱzugehörigenȱLogarithmusfunktiȬ onenȱ spezielleȱ Bezeichnungen.ȱ Soȱ nenntȱ manȱ denȱ Logarithmusȱ zurȱ Basisȱ aȱ =ȱ 10ȱ denȱ dekadischenȱLogarithmusȱundȱschreibtȱoftȱȱ lg( x)

log 10 ( x). ȱ

DerȱLogarithmusȱzurȱBasisȱaȱ=ȱ2ȱwirdȱauchȱ binärerȱLogarithmusȱgenanntȱundȱinȱderȱ Literaturȱalsȱȱ ld( x)

log 2 ( x) ȱȱ

notiert.ȱDenȱLogarithmusȱzurȱBasisȱaȱ=ȱeȱbezeichnetȱmanȱalsȱ natürlichenȱLogarithmusȱ undȱschreibtȱȱ ln( x)

log e ( x). ȱ

WirȱwerdenȱhierȱnurȱdieȱSchreibweiseȱfürȱdenȱnatürlichenȱLogarithmusȱln(x)ȱaufnehȬ men.ȱ Aufgrundȱ derȱ Häufigkeitȱ seinesȱ Auftretensȱ istȱ eineȱ abkürzendeȱ Schreibweiseȱ sinnvoll.ȱ Beiȱ denȱ anderenȱ Logarithmenȱ gehenȱ wirȱ davonȱ aus,ȱ dassȱ dasȱ „Mitführen“ȱ derȱBasisȱdieȱLesbarkeitȱderȱLogarithmenȱerhöht.

2.2.9

Logarithmusgesetze

AusȱdenȱPotenzgesetzenȱlassenȱsichȱeineȱReiheȱvonȱLogarithmusgesetzenȱableiten:ȱȱ 1.

log a ( x ˜ y)

30

ȱ

log a ( x)  log a ( y) ȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.14)ȱ

Potenzen und Logarithmen

Derȱ Logarithmusȱ einesȱ Produktesȱ lässtȱ sichȱ alsȱ Summeȱ derȱ Logarithmenȱ derȱ einȬ zelnenȱFaktorenȱschreiben.ȱAmȱeinfachstenȱsiehtȱmanȱdiesenȱZusammenhangȱwieȬ derȱamȱBeispiel.ȱ Beispielȱ2.23:ȱ log 2 (64) 

log 2 ( 2 ˜ 32)

log 2 ( 2)  log 2 ( 32)

1 5

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

6. ȱ ȱ

6

Dasȱ ersteȱ Logarithmusgesetzȱ lässtȱ sichȱ aberȱ auchȱ formalȱ beweisen,ȱ indemȱ manȱ einmalȱaȱzurȱPotenzȱderȱlinkenȱSeiteȱerhebtȱundȱdannȱzurȱPotenzȱderȱrechtenȱSeite.ȱ Beidesȱ mussȱ gleichȱ sein,ȱ wennȱ dieȱ ursprüngliche,ȱ d.h.ȱ dieȱ zuȱ beweisendeȱ GleiȬ chung,ȱstimmt.ȱȱ log a ( x ˜ y)

log a ( x)  log a ( y)

log a ( x ˜ y ) a 

œ

a log a ( x )  log a ( y )

x˜y

log a ( x ) log a ( y ) a

 ˜ a  ȱ x

y

Esȱergibtȱsichȱschließlichȱxy=xy,ȱwelchesȱeineȱwahreȱAussageȱist.ȱDemnachȱgiltȱauchȱ dieȱAusgangsgleichung,ȱdasȱersteȱLogarithmusgesetz. Wichtig:ȱDerȱLogarithmusȱeinesȱProduktesȱentsprichtȱ nichtȱdemȱProduktȱderȱLoȬ garithmen!ȱAnȱBeispielȱ2.23ȱsiehtȱman,ȱdassȱȱ 6

2.

log 2 (64) z log 2 ( 2) ˜ log 2 ( 32)

§x· log a ¨¨ ¸¸ ©y¹

log a ( x)  log a ( y) ȱȱ

1˜ 5

5. ȱ(!)ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.15)ȱ

Derȱ Logarithmusȱ einesȱ Quotientenȱ lässtȱ sichȱ alsȱ Differenzȱ derȱ Logarithmenȱ vonȱ DividendȱundȱDivisorȱschreiben.ȱ Dasȱ zweiteȱ Logarithmusgesetzȱ lässtȱ sichȱ analogȱ zumȱ erstenȱ Logarithmusgesetzȱ herleiten.ȱ Beispielȱ2.24:ȱ log 2 16  4

3.



log a x n

n ˜ log a x ȱȱ ȱ

§ 64 · log 2 ¨ ¸ © 4 ¹

log 2 ( 64)  log 2 ( 4)

ȱ

ȱ

ȱ

62

ȱ

4. ȱ ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ

ȱȱ(2.16)ȱ

BeimȱLogarithmusȱeinerȱPotenzȱkannȱderȱExponentȱ„nachȱvorneȱgezogenȱwerden“.ȱ Beispielȱ2.25: log 2 ( 2 3 ) 

3 ˜ log 2 ( 2)

3 ˜1

3. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

3

Dasȱ dritteȱ Logarithmusgesetzȱ kannȱ manȱ wiederumȱ leichtȱ allgemeinȱ nachweisen,ȱ indemȱmanȱaȱmitȱbeidenȱSeitenȱderȱGleichungȱpotenziert.ȱ

31

2.2

2

Mathematische Grundlagen

2.2.10

Lösung von Exponential- und Logarithmusgleichungen

DieȱLogarithmusgesetzeȱdienenȱzurȱVereinfachungȱvonȱlogarithmischenȱAusdrücken.ȱ Fürȱ dieȱ Anwendungȱ istȱ esȱ aberȱ wiederumȱ entscheidender,ȱ ExponentialȬȱ oderȱ LogaȬ rithmusgleichungenȱnachȱeinerȱUnbekanntenȱauflösenȱzuȱkönnen.ȱWirȱübenȱdiesesȱanȱ denȱfolgendenȱBeispielen.ȱȱ Beispielȱ2.26:ȱLösenȱSieȱfolgendeȱGleichungȱnachȱxȱauf:ȱ e 3 x

15 ȱ

Lösung:ȱUmȱdasȱxȱ„ausȱdemȱExponentenȱzuȱbekommen“,ȱkannȱmanȱdieȱGleichungȱaufȱ beidenȱSeitenȱlogarithmieren.ȱManȱerhältȱdannȱȱ ln(e 3 x )

œ

ln(15)

3x

œ

ln(15)

x

ln(15) .ȱ 3

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

InȱBeispielȱ2.26ȱerhältȱmanȱdurchȱLogarithmierenȱaufȱderȱlinkenȱSeiteȱsofortȱdenȱExpoȬ nenten,ȱ daȱ derȱ natürlicheȱ Logarithmusȱ dieȱ Umkehrfunktionȱ derȱ eȬFunktionȱ istȱȱ (ln(e)ȱ =ȱ 1).ȱ Manȱ kannȱ denȱ natürlichenȱ Logarithmusȱ aberȱ auchȱ anwenden,ȱ umȱ beiȱ PoȬ tenzenȱmitȱeinerȱvonȱeȱverschiedenenȱBasisȱnachȱdemȱExponentenȱaufzulösen.ȱ Beispielȱ2.27:ȱLösenȱSieȱfolgendeȱGleichungȱnachȱxȱauf:ȱ 2 x

2

7ȱ

Lösung:ȱWirȱwerdenȱzweiȱLösungswegeȱbeschreiten.ȱ

a)ȱ Analogȱ zuȱ Beispielȱ 2.26ȱ kannȱ manȱ hierȱ denȱ Logarithmusȱ zurȱ gegebenenȱ Basisȱ 2ȱ anwenden,ȱumȱzunächstȱnachȱ x 2 ȱaufzulösen.ȱȱ 2x

2

7

2

log 2 ( 2 x )

œ

log 2 (7 )

x2

œ

log 2 (7 )

œ

r log 2 (7 ). ȱ

x

ȱDerȱ Nachteilȱ dieserȱ Lösungsmöglichkeitȱ bestehtȱ darin,ȱ dassȱ dieȱ meistenȱ TaschenȬ rechnerȱdenȱLogarithmusȱzurȱBasisȱ2ȱnichtȱintegriertȱhabenȱundȱmanȱsoȱdasȱErgebȬ nisȱnichtȱalsȱDezimalzahlȱberechnenȱkann.ȱȱ b)ȱMöchteȱmanȱalsȱErgebnisȱeineȱDezimalzahlȱerhalten,ȱbietetȱesȱsichȱan,ȱauchȱdannȱ denȱnatürlichenȱLogarithmusȱzuȱverwenden,ȱwennȱdieȱBasisȱdesȱPotenzausdruckesȱ vonȱ eȱ verschiedenȱ ist.ȱ Nachȱ demȱ Logarithmierenȱ kannȱ manȱ denȱ Exponentenȱ aufȬ grundȱdesȱdrittenȱLogarithmusgesetzesȱ„vorȱdenȱLogarithmusȱziehen“.ȱ 2x ȱȱ

32

ȱ

2

7 ȱ

2

ln( 2 x )

œ ȱ

œ

ln(7 ) ȱ

ȱ

x 2 ˜ ln( 2) ȱ

ln(7 ) ȱ

œ ȱ

x

r

ln(7 ) ln( 2)

r1,676.

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

Summen und Produkte

2.3

2.3.1

Summen und Produkte

Summensymbol

BeiȱvielenȱAnwendungenȱliegtȱdieȱSituationȱvor,ȱdassȱmanȱmehrereȱAusdrückeȱaddieȬ renȱ möchte,ȱ dieȱ alleȱ eineȱ „ähnlicheȱ Struktur“ȱ besitzen.ȱ Fürȱ dieseȱ Fälleȱ istȱ esȱ günstig,ȱ eineȱallgemeineȱSchreibweiseȱfürȱSummenȱzuȱverwenden.ȱ Beispielȱ2.28:ȱ SieȱmöchtenȱdieȱnatürlichenȱZahlenȱvonȱ1ȱbisȱ10ȱaddieren.ȱDiesesȱkannȱ manȱnatürlichȱalsȱ1ȱ+ȱ2ȱ+ȱ3ȱ+ȱ4ȱ+ȱ5ȱ+ȱ6ȱ+ȱ7ȱ+ȱ8ȱ+ȱ9ȱ+ȱ10ȱschreiben.ȱWollenȱSieȱaberȱbereitsȱ dieȱZahlenȱvonȱ1ȱbisȱ100ȱaddieren,ȱistȱdieseȱSchreibweiseȱnichtȱmehrȱangemessen.ȱManȱ könnteȱ sichȱ helfen,ȱ inȱ demȱ manȱ schreibtȱ 1ȱ +ȱ 2ȱ +ȱ 3ȱ +ȱ ...ȱ +ȱ 100,ȱ d.h.ȱdasȱ allgemeineȱ BilȬ dungsgesetzȱ„andeutet“.ȱȱ 100

UnterȱVerwendungȱeinesȱSummensymbolsȱkannȱmanȱhierȱschreiben:ȱ ¦ j. ȱ j 1

DasȱallgemeineȱBildungsgesetz,ȱnachȱdemȱmanȱüberȱdieȱnatürlichenȱZahlenȱvonȱ1ȱbisȱ 100ȱundȱnurȱüberȱdieseȱsummierenȱmöchte,ȱwirdȱhierȱklarȱdargestellt.ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ ȱ Definition:ȱDieȱSummeȱvonȱnȱTermenȱ a1 ȱbisȱ an ȱlässtȱsichȱschreibenȱalsȱ n

¦ a j a1  a 2  ...  a n . ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.17)ȱ

j 1

Dabeiȱistȱdasȱgriechischeȱ6ȱ(sprich:ȱSigma,ȱgriech:ȱ„S“)ȱdasȱSummensymbol,ȱjȱheißtȱderȱ Summationsindex.ȱ1ȱistȱdieȱuntere,ȱnȱdieȱobereȱSummationsgrenze.ȱ DerȱSummandȱ aj ȱistȱdabeiȱeinȱvonȱjȱabhängigerȱAusdruck,ȱderȱmitȱdemȱSummationsȬ indexȱ jȱ seinenȱ Wertȱ verändert.ȱ Sukzessiveȱ wirdȱ jȱ inȱ denȱAusdruckȱ aj ȱ eingesetzt.ȱ Giltȱ z.B.ȱ aj j ,ȱ soȱ wirdȱ dieȱ Summeȱ überȱ dieȱ natürlichenȱ Zahlenȱ innerhalbȱ derȱ SummatiȬ onsgrenzenȱgebildet.ȱBeliebigeȱandereȱFunktionenȱvonȱjȱsindȱfürȱ aj ȱebenfallsȱmöglich.ȱ ȱ 5

Beispielȱ2.29:ȱ ¦ j

1 2  3  4  5

15. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

14. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

j 1 3

Beispielȱ2.30:ȱ ¦ j2

12  2 2  32

1 4  9

j 1

ȱ DieȱSummeȱmussȱnichtȱbeiȱjȱ=ȱ1ȱbeginnen.ȱVerallgemeinertȱgiltȱdieȱSchreibweiseȱ 33

2.3

2

Mathematische Grundlagen

­a m  a m 1  ...  a n , n ! m ° am an , n m ° 0 , nm ¯

n

¦ aj ®

j m

.ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.18)ȱ

IstȱdieȱuntereȱGrenzeȱgrößerȱalsȱdieȱobereȱGrenze,ȱsoȱistȱdieȱSummeȱ„leer“ȱundȱwirdȱ alsȱ0ȱdefiniert.ȱ 5

Beispielȱ2.31:ȱ ¦ j2

32  4 2  52

9  16  25

50. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.19)ȱ

j 3

2.3.2

Rechenregeln für Summen

EsȱgeltenȱfolgendeȱRegeln:16ȱ 1.

m

n

n

j 1

j m 1

j 1

¦ a j  ¦ a j ¦ a j . ȱȱ ȱ

ȱ

n



c  ... c n ˜ c. ȱ ¦ c c  c j 1

3

5

5

j 1

j 4

j 1

¦ j  ¦ j ¦ j 1  2  3  4  5 15. ȱ

Beispielȱ2.32: (1  2  3)  ( 4  5)

2.

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱȱ(2.20)ȱ

n  mal

Wennȱ manȱ überȱ eineȱ Konstanteȱ summiert,ȱ dieȱ nichtȱ vomȱ Summationsindexȱ jȱ abȬ hängt,ȱ soȱ wirdȱ dieseȱ Konstanteȱ soȱ oftȱ addiert,ȱ wieȱ dieȱAnzahlȱ nȱ derȱ Summandenȱ angibt.ȱ 5

Beispielȱ2.33:ȱȱ ¦ 3

33333

5˜3

15. ȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.21)ȱ

j 1

3.

n

n

n

j 1

j 1

j 1

¦ (c ˜ a j  d ˜ b j ) c ˜ ¦ a j  d ˜ ¦ b j ȱ

ȱ

Konstanteȱ Faktorenȱ (wieȱ hierȱ cȱ undȱ d)ȱ könnenȱ ausgeklammertȱ werden,ȱ alsoȱ „vorȱ dieȱ Summeȱ gezogenȱ werden“.ȱ Eineȱ Summeȱ überȱ Termeȱ dieȱ ihrerseitsȱ Summenȱ sind,ȱkannȱinȱeinzelneȱSummenȱzerlegtȱwerden.ȱUmgekehrtȱkönnenȱEinzelsummenȱ mitȱgleichenȱSummationsgrenzenȱzusammengefasstȱwerden.ȱ Beispielȱ2.34:ȱ

4

4

4

j 1

j 1

j 1

¦ ( 2 ˜ j  j2 ) 2 ˜ ¦ j  ¦ j2 . ȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 16ȱȱ FürȱeineȱeinfachereȱLesbarkeitȱwerdenȱdieȱRechenregelnȱfürȱSummenȱformuliert,ȱdieȱmitȱdemȱ

Indexȱ 1ȱ beginnen.ȱ Dieȱ Verallgemeinerungȱ zuȱ Summen,ȱ dieȱ mitȱ einemȱ vonȱ 1ȱ verschiedenenȱ Indexȱbeginnen,ȱistȱdannȱleichtȱherzuleiten.ȱ

34

ȱ

Summen und Produkte

4.

n

nk

j m

i mk

¦ aj

¦ ai k . ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.22)ȱ

DieseȱRegelȱeröffnetȱdieȱMöglichkeit,ȱdieȱGrenzenȱeinerȱSummeȱzuȱwechseln,ȱohneȱ etwasȱ amȱ Wertȱ derȱ Summeȱ zuȱ ändern.ȱ Manȱ bezeichnetȱ diesesȱ alsȱ IndexverschieȬ bung.ȱWennȱmanȱdieȱuntereȱ Grenzeȱumȱkȱ Einheitenȱnachȱuntenȱverschiebt,ȱmussȱ manȱdenȱIndexȱumȱkȱEinheitenȱerhöhen,ȱumȱtrotzdemȱdenselbenȱSummandenȱzuȱ bezeichnen.ȱȱ AmȱeinfachstenȱsiehtȱmanȱdiesenȱZusammenhangȱamȱBeispiel.ȱ 3

Beispielȱ2.35:ȱȱ ¦ ( j  1)

0 1 2

j 1

2

¦ j. ȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

j 0

DieȱersteȱSummeȱläuftȱvonȱjȱ=ȱ1ȱbisȱjȱ=ȱ3.ȱSetztȱmanȱjȱ=ȱ1ȱinȱdenȱSummandenȱ(jȬ1)ȱ ein,ȱsoȱerhältȱmanȱalsȱerstenȱSummandenȱ0.ȱUmȱdiesesȱauchȱbeiȱeinerȱSumme,ȱdieȱ mitȱjȱ=ȱ0ȱbeginnt,ȱzuȱerhalten,ȱsummiertȱmanȱstattȱüberȱ(jȬ1)ȱüberȱj.ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

2.3.3

Spezielle Summen

Dieȱ Summenformelȱ istȱ eineȱ abkürzendeȱ Schreibweise.ȱ Sieȱ erleichtertȱ demȱAnwenderȱ aberȱnichtȱdieȱtermweiseȱBerechnungȱdesȱWertesȱderȱSumme.ȱFürȱvieleȱSummenȱlassenȱ sichȱ allerdingsȱ geschlosseneȱ Formelnȱ fürȱ denȱ Wertȱ derȱ Summeȱ herleiten.ȱ Wirȱ wollenȱ diesesȱhierȱnurȱanȱeinigenȱfürȱdieȱAnwendungȱwichtigenȱSonderfällenȱzeigen.ȱ DieȱvielleichtȱwichtigsteȱSummeȱistȱdiejenigeȱüberȱdieȱnatürlichenȱZahlen.ȱ Möchteȱmanȱz.B.ȱdieȱnatürlichenȱZahlenȱvonȱ1ȱbisȱ100ȱaddieren17,ȱsoȱkannȱmanȱnatürȬ lichȱrechnenȱ„1ȱplusȱ2ȱergibtȱ3,ȱplusȱ3ȱergibtȱ6,ȱusw.“.ȱEsȱgehtȱaberȱauchȱeinfacher.ȱAdȬ diertȱmanȱnämlichȱdieȱersteȱundȱdieȱletzteȱZahl,ȱd.h.ȱdieȱ1ȱundȱdieȱ100,ȱsoȱerhältȱmanȱ 101.ȱ Ebensoȱ kannȱ manȱ dieȱ zweiteȱ undȱ dieȱ vorletzteȱ Zahl,ȱ dieȱ 2ȱ undȱ dieȱ 99,ȱ addierenȱ undȱ erhältȱ ebenfallsȱ 101.ȱ „Inȱ derȱ Mitte“ȱ hatȱ manȱ dannȱ dieȱ 50ȱ undȱ dieȱ 51ȱ zuȱ 101ȱ zuȱ addieren.ȱInsgesamtȱgibtȱesȱ50ȱsolcherȱPaare,ȱd.h.ȱdieȱHälfteȱderȱAnzahlȱanȱZahlen,ȱdieȱ manȱaddiert.ȱDeshalbȱerhältȱmanȱschnellȱȱ 1  2  ...  50  51  ...  99  100

101

 101



50 ˜ 101

5.050. ȱ

101

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 17ȱȱ AlsȱderȱberühmteȱMathematikerȱCarlȱFriedrichȱGaußȱ8ȱJahreȱaltȱwar,ȱwollteȱsichȱseinȱVolksȬ

schullehrerȱeineȱPauseȱverschaffenȱundȱgabȱseinenȱSchülernȱdieȱAufgabe,ȱdieȱZahlenȱvonȱ1ȱbisȱ 100ȱzuȱaddieren.ȱGaußȱpräsentierteȱdemȱverblüfftenȱLehrerȱdasȱrichtigeȱErgebnisȱnachȱweniȬ genȱMinutenȱ(z.B.ȱKehlmann,ȱ2005,ȱS.ȱ55ȱff.).ȱ

35

2.3

2

Mathematische Grundlagen

Diesesȱ lässtȱ sichȱ dannȱ leichtȱaufȱ dieȱAdditionȱ derȱ erstenȱnȱ natürlichenȱ Zahlenȱ verallȬ gemeinern.ȱEsȱergebenȱsichȱn/2ȱZahlenpaare,ȱvonȱdenenȱdieȱSummeȱjeweilsȱ(n+1)ȱbeȬ trägt.ȱDaherȱgiltȱ n

n ˜ ( n  1) .ȱ ȱ 2

¦j j 1

5

Beispielȱ2.36:ȱ ¦ j

ȱ

ȱ

1 2  3  4  5

ȱ 5˜6 ȱ 2

15

j 1

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.23)ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ NichtȱimmerȱbeginntȱdieȱAdditionȱbeiȱderȱZahlȱ1.ȱBeiȱeinemȱanderenȱunterenȱSummaȬ tionsindexȱ könnteȱ manȱ eineȱ ähnlicheȱ Formelȱ herleiten,ȱ manȱ kannȱ sichȱ aberȱ auchȱ dieȱ bereitsȱhergeleiteteȱFormelȱzunutzeȱmachen.ȱ Beispielȱ2.37:ȱ

100

100

50

j 51

j 1

j 1

100 ˜ 101 50 ˜ 51  2 2

¦j ¦j ¦j

5.050  1.275

3.775 ȱ

Wennȱ manȱ dieȱ natürlichenȱ Zahlenȱ vonȱ 51ȱ bisȱ 100ȱ addierenȱ möchte,ȱ kannȱ manȱ auchȱ zunächstȱalleȱnatürlichenȱZahlenȱvonȱ1ȱbisȱ100ȱaddierenȱundȱdannȱdieȱZahlenȱvonȱ1ȱbisȱ 50,ȱdieȱ„zuvielȱaddiertȱwurden“,ȱwiederȱabziehen.ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Ausȱ derȱ Summeȱ überȱ alleȱ natürlichenȱ Zahlenȱ lassenȱ sichȱ nunȱ leichtȱ Summenformelnȱ fürȱdieȱgeradenȱbzw.ȱdieȱungeradenȱZahlenȱableiten.ȱFürȱdieȱgeradenȱZahlenȱgiltȱ n

n

j 1

j 1

¦ ( 2 ˜ j) 2 ˜ ¦ j 2 ˜

n ˜ ( n  1) 2

n ˜ ( n  1). ȱ

Beispielȱ2.38: 2  4  6  8  10  12  14

ȱ

ȱ

7

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.24)ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

n2  n  n

n 2 . ȱȱ

ȱȱ(2.25)ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

¦ ( 2 ˜ j) 7 ˜ 8 56. ȱ j 1

FürȱdieȱungeradenȱZahlenȱerhältȱmanȱ n

n

n

j 1

j 1

j 1

¦ ( 2 ˜ j  1) 2 ˜ ¦ j  ¦ 1 2 ˜

n ˜ ( n  1) n 2

Beispielȱ2.39:ȱ 1  3  5  7

¦ ( 2 ˜ j  1) 4 2 16. ȱ

4

n ˜ ( n  1)  n

ȱ

j 1

ȱ Eineȱ weitereȱ wichtigeȱ Summenformelȱ werdenȱ wirȱ inȱ demȱ Abschnittȱ „Geometrischeȱ Reihe“ȱkennenȱlernen.ȱ

36

ȱ

Summen und Produkte

2.3.4

Produktsymbol

AuchȱdasȱProduktȱüberȱmehrereȱgleichȱgearteteȱTermeȱkannȱzusammenfassendȱnotiertȱ werden.ȱ DasȱProduktȱvonȱnȱFaktorenȱ a1 bisȱ an ȱlässtȱsichȱschreibenȱalsȱ n

– a j a1 ˜ a 2 ˜ ... ˜ a n . ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.26)ȱ

j 1

Dasȱ griechischeȱ 3ȱ (sprich:ȱ Pi,ȱ griech:ȱ „P“)ȱ istȱ dabeiȱ dasȱ Produktsymbol,ȱ jȱ hierȱ derȱ Multiplikationsindex.ȱ1ȱistȱdieȱuntere,ȱnȱdieȱobereȱMultiplikationsgrenze.ȱDerȱFaktorȱ aj ȱistȱdabeiȱwiederȱeinȱbeliebigerȱvonȱjȱabhängigerȱAusdruck.ȱ 3

Beispielȱ2.40:ȱ – j

1˜ 2 ˜ 3

6. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.27)ȱ

j 1

ȱ Verallgemeinertȱgiltȱ ­a m ˜ a m 1 ˜ ... ˜ a n , n ! m ° am an , n m ° 1, nm ¯

n

–aj ®

j m

DasȱleereȱProdukt,ȱbeiȱdemȱdieȱuntereȱGrenzeȱgrößerȱalsȱdieȱobereȱGrenzeȱist,ȱwirdȱalsȱ 1ȱdefiniert.ȱ 5

Beispielȱ2.41:ȱ – 2 ˜ j

( 2 ˜ 3) ˜ ( 2 ˜ 4) ˜ ( 2 ˜ 5)

6 ˜ 8 ˜ 10

480. ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.28)ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.29)ȱ

j 3

2.3.5

Rechenregeln für Produkte

EsȱgeltenȱfolgendeȱRegeln:ȱ 1.

m

n

n

j 1

j m 1

j 1

– a j ˜ – a j – a j. ȱ

ȱ

Beispielȱ2.42:ȱȱ (1 ˜ 2) ˜ ( 3 ˜ 4) n

2.

– c cn . ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

2

4

4

j 1

j 3

j 1

ȱ

– j ˜ – j – j (1 ˜ 2 ˜ 3 ˜ 4 ) ȱ ȱ

ȱ

ȱ

j 1

37

2.3

2

Mathematische Grundlagen

Wennȱ manȱ eineȱ Konstanteȱ nȬmalȱ mitȱ sichȱselbstȱ multipliziert,ȱ erhältȱ manȱ dieȱ nȬteȱ PotenzȱdieserȱKonstanten.ȱDiesesȱwarȱdieȱDefinitionȱderȱPotenz.ȱ 4

Beispielȱ2.43:ȱȱ – 3

3˜3˜3˜3

34

81 ȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.30)ȱ

j 1

3.

n

n

n

j 1

j 1

j 1

– a j ˜ – b j – a j ˜ b j. ȱ ȱ

ȱ

Derȱ Wertȱ einesȱ Produktesȱ istȱvonȱ derȱ Reihenfolgeȱ derȱ Multiplikationȱ unabhängigȱ (Kommutativgesetz).ȱ Beispielȱ2.44:ȱȱ (1 ˜ 2 ˜ 3) ˜ (1 ˜ 4 ˜ 9)

2.4

3

3

n

j 1

j 1

j 1

– j ˜ – j2 – j ˜ j2 (1 ˜ 1) ˜ ( 2 ˜ 4) ˜ ( 3 ˜ 9) ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Folgen und Reihen

Definition:ȱ Eineȱ reelleȱ Zahlenfolgeȱ (kurz:ȱ Folge)ȱ istȱ definiertȱ alsȱ eineȱ Abbildungȱȱ a:ȱNoR,ȱdieȱjederȱnatürlichenȱZahlȱnNȱeineȱreelleȱZahlȱ an ȱzuordnet.ȱ

AlsȱSchreibweisenȱfürȱeineȱFolgeȱexistieren:ȱȱ (a n )

(a n ) n

1, 2 ,...

(a n )nN ȱoderȱauchȱ {a n }

{a n }n

1, 2 ,...

{a n }nN .ȱȱ

ȱ

ȱȱ(2.31)ȱ

WirȱwählenȱimȱFolgendenȱdieȱersteȱAlternative.ȱ ȱ UmȱvonȱeinerȱgegebenenȱFolgeȱeinenȱerstenȱEindruckȱzuȱgewinnen,ȱistȱesȱsinnvoll,ȱdieȱ erstenȱFolgengliederȱauszuschreibenȱoderȱinȱeinerȱTabelle,ȱz.B.ȱinȱExcel,ȱdarzustellen.ȱȱ Beispielȱ2.46: (a n )

§1· ¨ ¸ ©n¹

Beispielȱ2.47: (a n )

 1

Beispielȱ2.48: (a n )

2

1, n

n

1 1 1 , , , .... ȱȱ ȱ 2 3 4

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

1, 1, 1, 1, ... ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱȱ

2 , 4 , 8 , 16 , ... ȱȱ

ȱ

EinenȱweiterenȱEindruckȱerhältȱman,ȱindemȱmanȱdieȱWerteȱinȱeinemȱKoordinatensysȬ temȱabträgt.ȱFürȱdieȱFolgeȱinȱBeispielȱ2.46ȱergibtȱsichȱdannȱz.B.ȱAbbildungȱ2Ȭ3.ȱ

38

ȱ

Folgen und Reihen

Abbildungȱ2Ȭ3:ȱ

Folgeȱ (a n )

1 / n ȱ

1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 0

2.4.1

2

4

6

8

10

12

ȱ

Eigenschaften von Folgen

Wirȱ wollenȱ zunächstȱ einigeȱ Eigenschaften,ȱ mitȱ denenȱ manȱ Folgenȱ charakterisierenȱ kann,ȱkennenȱlernen.ȱ

2.4.1.1

Monotonie

Definition:ȱEineȱFolgeȱ (an ) ȱheißtȱ monotonȱwachsend,ȱwennȱdasȱjeweilsȱnächsteȱFolȬ

gengliedȱ mindestensȱ soȱ großȱ wieȱ dasȱ aktuelleȱ Folgengliedȱ ist,ȱ d.h.ȱ an  1 t an ȱ fürȱ alleȱȱȱȱȱ nN.ȱ Beispielȱ2.49:ȱDieȱFolgeȱ1,ȱ1,ȱ2,ȱ2,ȱ3,ȱ3,ȱ...ȱistȱmonotonȱwachsendȱ(s.ȱAbbildungȱ2Ȭ4).ȱȱȱȱȱȱƑ Definition:ȱEineȱFolgeȱ (an ) ȱheißtȱ strengȱmonotonȱwachsend,ȱwennȱdasȱjeweilsȱnächsȬ

teȱ Folgengliedȱ striktȱ größerȱ istȱ alsȱ dasȱ aktuelleȱ Folgenglied,ȱ d.h.ȱ an  1 ! an ȱ fürȱ alleȱ nN.ȱ Beispielȱ2.50:ȱDieȱFolgeȱ1,ȱ2,ȱ3,ȱ4,ȱ5,ȱ...,ȱd.h.ȱ (an )

( n) ȱistȱstrengȱmonotonȱwachsend.ȱȱȱȱƑȱ

Ausȱ derȱ strengenȱ Monotonieȱ folgtȱ auchȱ dieȱ einfacheȱ Monotonie.ȱ Dieȱ Folgeȱ 1,ȱ 2,ȱ 3,ȱ ...ȱ ausȱ Beispielȱ 2.50ȱ istȱ sowohlȱ strengȱ monotonȱ wachsendȱ alsȱ auchȱ nurȱ monotonȱ wachȬ send.ȱUmgekehrtȱfolgtȱausȱderȱMonotonieȱnochȱnichtȱdieȱstrengeȱMonotonie.ȱDieȱFolgeȱ 1,ȱ1,ȱ2,ȱ2,ȱ3,ȱ3,ȱ...ȱausȱBeispielȱ2.49ȱistȱzwarȱmonotonȱwachsend,ȱnichtȱaberȱstrengȱmonoȬ tonȱwachsend.ȱ

39

2.4

2

Mathematische Grundlagen

Abbildungȱ2Ȭ4:ȱ

Folgeȱ1ȱ,1,ȱ2,ȱ2,ȱ3,ȱ3,ȱ...ȱ

5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 0

2

4

6

8

10

12

ȱ

Definition:ȱEineȱFolgeȱ (an ) ȱheißtȱ monotonȱfallend,ȱwennȱdasȱjeweilsȱnächsteȱFolgenȬ

gliedȱhöchstensȱsoȱgroßȱwieȱdasȱaktuelleȱFolgengliedȱist,ȱd.h.ȱ an  1 d an ȱfürȱalleȱnN.ȱȱ Beispielȱ2.51:ȱDieȱFolgeȱ (an )

1 / n ,ȱd.h.ȱ1,ȱ1/2,ȱ1/3,ȱ1/4,ȱ...ȱistȱmonotonȱfallend.ȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

Definition:ȱ Eineȱ Folgeȱ (an ) ȱ heißtȱ strengȱ monotonȱ fallend,ȱ wennȱ dasȱ jeweilsȱ nächsteȱ

FolgengliedȱstriktȱkleinerȱistȱalsȱdasȱaktuelleȱFolgenglied,ȱd.h.ȱ an  1  an ȱfürȱalleȱnN.ȱ Beispielȱ 2.52:ȱ Dieȱ Folgeȱ (an )

monotonȱfallend.ȱȱȱ

ȱ

1 / n ,ȱ d.h.ȱ 1,ȱ 1/2,ȱ 1/3,ȱ 1/4,ȱ ...ȱ istȱ natürlichȱ auchȱ strengȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

Definition:ȱEineȱFolgeȱ (an ) ȱheißtȱ alternierend,ȱwennȱdasȱVorzeichenȱvonȱFolgengliedȱ

zuȱFolgengliedȱwechselt.ȱ

Abbildungȱ2Ȭ5:ȱ

AlternierendeȱFolgeȱ (a n )

 1 ȱ n

2,00 1,00 0,00 0

2

4

6

8

10

12

-1,00 -2,00

ȱ

40

ȱ

Folgen und Reihen

Zweiȱ aufeinanderȱ folgendeȱ Folgengliederȱ habenȱ dannȱ jeweilsȱ unterschiedlichesȱ VorȬ zeichen,ȱd.h.ȱeinmalȱeinȱnegatives,ȱeinmalȱeinȱpositivesȱVorzeichen.ȱBeiȱeinerȱalternieȬ rendenȱFolgeȱgiltȱdemnachȱ an ˜ an  1 d 0 .ȱȱ Beispielȱ 2.53:ȱ Dieȱ Folgeȱ (an )

Abbildungȱ2Ȭ5).ȱ ȱ

(( 1)n ), ȱ d.h.ȱ Ȭ1,ȱ +1,ȱ Ȭ1,ȱ +1,ȱ Ȭ1,ȱ +1,ȱ ...ȱ istȱ alternierendȱ (s.ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Bemerkung:ȱ Eineȱ alternierendeȱ Folgeȱ stelltȱ einenȱ Spezialfallȱ fürȱ eineȱ Folgeȱ dar,ȱ dieȱ nichtȱmonotonȱist.ȱEsȱgibtȱaberȱauchȱFolgen,ȱdieȱwederȱmonotonȱsind,ȱnochȱalternieren.ȱ Beispielȱ2.54:ȱDieȱFolgeȱ1,ȱ2,ȱȬ3,ȱȬ4,ȱ5,ȱ6,ȱȬ7,ȱȬ8,ȱ...ȱistȱwederȱmonotonȱnochȱalternierend.Ƒȱȱ

2.4.1.2

Beschränktheit

Definition:ȱEineȱFolgeȱ (an ) ȱheißtȱ nachȱuntenȱbeschränkt,ȱwennȱesȱeineȱZahlȱsRȱgibt,ȱ

dieȱvonȱdenȱFolgengliedernȱnichtȱunterschrittenȱwird,ȱd.h.ȱ an t s ȱfürȱalleȱnN.ȱsȱheißtȱ dannȱuntereȱSchranke.ȱ Definition:ȱEineȱFolgeȱ (an ) ȱheißtȱ nachȱobenȱbeschränkt,ȱwennȱesȱeineȱZahlȱSRȱgibt,ȱ

dieȱvonȱdenȱFolgengliedernȱnichtȱüberschrittenȱwird,ȱd.h.ȱ an d S ȱfürȱalleȱnN.ȱSȱheißtȱ dannȱobereȱSchranke.ȱ Definition:ȱ Eineȱ Folgeȱ (an ) ȱ heißtȱ beschränkt,ȱ wennȱ sieȱ eineȱ untereȱ undȱ eineȱ obereȱ

Schrankeȱbesitzt,ȱd.h.ȱwennȱsieȱnachȱuntenȱundȱnachȱobenȱbeschränktȱist.ȱ Bemerkung:ȱEineȱFolgeȱkannȱmehrereȱuntereȱoderȱobereȱSchrankenȱbesitzen.ȱMeistȱistȱ esȱallerdingsȱvonȱInteresse,ȱwelcheȱdieȱ größteȱuntereȱSchrankeȱbzw.ȱdieȱ kleinsteȱobeȬ reȱSchrankeȱeinerȱFolgeȱist.ȱ Beispielȱ2.55:ȱDieȱFolgeȱ (an )

n ,ȱd.h.ȱ1,ȱ2,ȱ3,ȱ4,ȱ...ȱistȱnachȱuntenȱdurchȱ1ȱbeschränkt.ȱ

Natürlichȱ istȱ sieȱ auchȱ durchȱ –1ȱ oderȱ –2ȱ nachȱ untenȱ beschränkt.ȱ 1ȱ istȱ aberȱ dieȱ größteȱ untereȱSchranke.ȱHierȱbestehtȱdieȱuntereȱSchrankeȱausȱdemȱerstenȱFolgenglied.ȱDaȱdieȱ Folgeȱmonotonȱwachsendȱist,ȱwirdȱkeinȱFolgengliedȱkleinerȱalsȱdasȱersteȱFolgengliedȱ sein.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ Beispielȱ 2.56:ȱ Dieȱ Folgeȱ (an )

2  1 / n ,ȱ d.h.ȱ 1,ȱ 3/2,ȱ 5/3,ȱ 7/4,ȱ ...ȱ istȱ nachȱ obenȱ durchȱ 2ȱ

beschränkt.ȱ Sieȱ istȱ nachȱ obenȱ auchȱ durchȱ 3ȱ oderȱ 4ȱ beschränkt.ȱ 2ȱ istȱ aberȱ dieȱ kleinsteȱ obereȱSchrankeȱ(s.ȱAbbildungȱ2Ȭ6).ȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

41

2.4

2

Mathematische Grundlagen

Abbildungȱ2Ȭ6:ȱ

Folgeȱ (a n )

2  1 / n ȱ

2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 0

2

Beispielȱ2.57:ȱDieȱFolgeȱ (an )

4

6

8

10

12

ȱ

1 / n ,ȱd.h.ȱ1,ȱ1/2,ȱ1/3,ȱ1/4,ȱ...ȱistȱnachȱuntenȱdurchȱ0ȱbeȬ

schränkt.ȱ Daȱ sieȱ monotonȱ fallendȱ ist,ȱ istȱ sieȱ nachȱ obenȱ durchȱ dasȱ ersteȱ Folgengliedȱ a1 1 ȱbeschränkt.ȱDieȱFolgeȱistȱalsoȱbeschränkt.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

2.4.1.3

Konvergenz

MonotonieȱundȱBeschränktheitȱsindȱbereitsȱfürȱsichȱgenommenȱwichtigeȱCharakterisȬ tikaȱeinerȱFolgeȱundȱhelfen,ȱeineȱFolgeȱzuȱbeschreiben.ȱZusätzlichȱgiltȱallerdingsȱnochȱ eineȱwichtigeȱGesetzmäßigkeit:ȱ EineȱmonotoneȱundȱbeschränkteȱFolgeȱistȱkonvergent.ȱ

Wasȱ bedeutetȱ dieȱ Konvergenzȱ einerȱ Folge?ȱ Etwasȱ „unmathematisch“ȱ gesprochenȱ beȬ deutetȱdieȱKonvergenzȱeinerȱFolgeȱ (an ), ȱdassȱesȱeineȱZahlȱaȱgibt,ȱderȱsichȱdieȱFolgenȬ gliederȱ mitȱ wachsendemȱ Indexȱ immerȱ mehrȱ annähern.ȱ Dieseȱ Zahlȱ nenntȱ manȱ denȱ GrenzwertȱderȱFolgeȱundȱschreibt:ȱ a

lim a n ȱoderȱ a n o a .ȱ ȱ

n of

n of

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.32)ȱ

Eineȱgegenȱ0ȱkonvergenteȱFolgeȱheißtȱeineȱNullfolge.ȱ Beispielȱ2.58:ȱDieȱFolgengliederȱderȱFolgeȱ (an )

1 / n ,ȱd.h.ȱ1,ȱ1/2,ȱ1/3,ȱ1/4,ȱ...ȱwerdenȱ

mitȱzunehmendemȱnȱimmerȱkleiner,ȱsieȱnähernȱsichȱimmerȱstärkerȱderȱ0.ȱDieȱFolgeȱistȱ eineȱNullfolge.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ Beispielȱ2.59:ȱDieȱFolgeȱ (an )

2  1 / n , d.h.ȱ1,ȱ3/2,ȱ5/3,ȱ7/4,ȱ...ȱistȱbeschränktȱundȱmonoȬ

tonȱ (wachsend).ȱ Sieȱ istȱ damitȱ konvergent.ȱ Daȱ dieȱ Folgeȱ sichȱ immerȱ stärkerȱ derȱ 2ȱ näȬ hert,ȱkonvergiertȱsieȱgegenȱ2ȱ(s.ȱAbbildungȱ2Ȭ6).ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

42

ȱ

Folgen und Reihen

Abbildungȱ2Ȭ7:ȱ

( 1)n 1 / n ȱ

Folgeȱ (a n )

1,00 0,50 0,00 -0,50

0

2

4

6

8

10

12

-1,00 -1,50

ȱ

EsȱgibtȱallerdingsȱauchȱFolgen,ȱdieȱnichtȱmonotonȱsindȱundȱdennochȱkonvergieren.ȱ Beispielȱ2.60:ȱDieȱFolgeȱ (an )

( 1)n 1 / n ,ȱd.h.ȱȬ1,ȱ1/2,ȱȬ1/3,ȱ1/4,ȱ...ȱistȱzwarȱalternierendȱ

undȱdamitȱnichtȱmonoton.ȱSieȱkonvergiertȱaberȱdennochȱgegenȱ0ȱundȱistȱsomitȱebenȬ fallsȱeineȱNullfolgeȱ(s.ȱAbbildungȱ2Ȭ7).ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ ȱ Definition:ȱEineȱFolgeȱ (an ) ȱheißtȱdivergent,ȱwennȱkeinȱGrenzwertȱexistiert.ȱ

Dabeiȱheißtȱsieȱbestimmtȱdivergent,ȱwennȱȱ a n o f ȱoderȱ a n o  f .ȱ ȱ n of

ȱ

n of

Abbildungȱ2Ȭ8:ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.33)ȱ

(2n ) ȱ

Folgeȱ (a n )

1.500,00 1.000,00 500,00 0,00 -500,00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-1.000,00

ȱ

43

2.4

2

Mathematische Grundlagen

( 2 n ), ȱd.h.ȱ2,ȱ4,ȱ8,ȱ16,ȱ...ȱstrebtȱmitȱgrößerȱwerdendemȱnȱ

Beispielȱ2.61:ȱDieȱFolgeȱ (an )

gegenȱ+ f .ȱDieȱFolgeȱistȱalsoȱbestimmtȱdivergentȱ(s.ȱAbbildungȱ2Ȭ8).ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ

ȱ Eineȱ Folgeȱ heißtȱ unbestimmtȱ divergent,ȱ wennȱ einȱ solchesȱ Verhaltenȱ nichtȱ erkennbarȱ ist.ȱ ( 2)n d.h.ȱ Ȭ2,ȱ 4,ȱ Ȭ8,ȱ 16,ȱ ...ȱ konvergiertȱ nichtȱ undȱ strebtȱ

Beispielȱ 2.62:ȱ Dieȱ Folgeȱ (an )

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

auchȱnichtȱgegenȱ+ f ȱoderȱȬ f .ȱDieȱFolgeȱistȱalsoȱunbestimmtȱdivergent.ȱ

Abbildungȱ2Ȭ9:ȱ

Folgeȱ (a n )

(( 2)n ) ȱ

1.500,00 1.000,00 500,00 0,00 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

-500,00 -1.000,00

ȱ

Bemerkung:ȱ Dieȱ Verbindungslinienȱdienenȱnurȱ derȱ Visualisierung.ȱ Dieȱ Folgeȱ bestehtȱ nurȱausȱdenȱdurchȱdieȱQuadrateȱgekennzeichnetenȱWertenȱanȱdenȱnatürlichenȱZahlen.ȱ

ȱ WichtigeȱGrenzwerteȱ

WirȱwollenȱhierȱnurȱzweiȱbesondersȱwichtigeȱGrenzwerteȱnäherȱbetrachten:ȱ 1.

Fürȱjedesȱreelleȱcȱ>ȱ0ȱgiltȱ

1 o 0. ȱȱ ȱ n c n of

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.34)ȱ

Fürȱcȱ=ȱ1ȱistȱdiesesȱdieȱbereitsȱdiskutierteȱNullfolgeȱ(1/n)ȱ=ȱ1,ȱ1/2,ȱ1/3,ȱ....ȱAberȱ auchȱfürȱvonȱ1ȱverschiedeneȱWerteȱkonvergiertȱdieȱFolgeȱgegenȱ0.ȱȱ Fürȱcȱ>ȱ1ȱkonvergiertȱsieȱschnellerȱgegenȱ0.ȱ Beispielȱ 2.63:ȱ Dieȱ Folgeȱ (an )

(1 / n 2 ), ȱ d.h.ȱ 1,ȱ 1/4,ȱ 1/9,ȱ 1/16,ȱ ...ȱ konvergiertȱ

schnellerȱgegenȱ0ȱalsȱ(1/n)=1,ȱ1/2,ȱ1/3,ȱ....ȱ

44

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Folgen und Reihen

(1 / n c ) ȱzwarȱlangsamerȱgegenȱ0ȱalsȱ(1/n),ȱdieȱ

Fürȱ0ȱ<ȱcȱ<ȱ1ȱkonvergiertȱ (an )

FolgeȱstelltȱaberȱdennochȱeineȱNullfolgeȱdar.ȱ Beispielȱ 2.64:ȱ Dieȱ Folgeȱ (an )

giertȱebenfallsȱgegenȱ0.ȱ

(1 / n ), ȱ d.h.ȱ 1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 2 ,... ȱ konverȬ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.35)ȱ

n

x· § Esȱgilt:ȱ ¨ 1  ¸ o e x . ȱ n © ¹ n of

2.

Dieserȱ Grenzwertȱ istȱ nichtȱ sofortȱ intuitivȱ verständlich.ȱ Fälschlicherweiseȱ denktȱmanȱalsȱerstes,ȱdassȱdieȱKlammerȱfürȱnȱgegenȱunendlichȱgegenȱ1ȱstrebtȱ undȱ 1ȱ mitȱ einerȱ beliebigȱ hohenȱ Zahlȱ potenziertȱ wiederȱ 1ȱ bleibt.ȱ Manȱ mussȱ hierȱ aberȱ beachten,ȱ dassȱ dieȱ Grenzübergängeȱ nichtȱ getrenntȱ durchgeführtȱ werdenȱdürfen.ȱInȱBasisȱundȱExponentȱwirdȱnȱgleichläufigȱgrößer.ȱȱ Amȱ einfachstenȱ siehtȱ man,ȱ dassȱ dieȱ Folgeȱ gegenȱ einenȱ vonȱ 1ȱ verschiedenenȱ Grenzwertȱkonvergiert,ȱwennȱmanȱeineȱWertetabelleȱaufstellt.ȱȱ Beispielȱ2.65:ȱȱWirȱstellenȱeineȱWertetabelleȱderȱFolgeȱ 1  x / n n ȱfürȱdenȱSpeȬ zialfallȱxȱ=ȱ1ȱdar,ȱd.h.ȱ

Tabelleȱ2Ȭ2:ȱ





WertetabelleȱderȱFolgeȱ 1  1 / n n ȱ

1

10

100

1.000

10.000

100.000

2,00

2,59

2,70

2,7169

2,7181

2,71827

ȱ Fürȱ sehrȱ großeȱ nȱ ändertȱ sichȱ derȱ Folgenwertȱ nurȱ nochȱ minimal.ȱ Dieȱ Folgeȱ strebtȱalsoȱgegenȱeinenȱGrenzwert,ȱderȱungefährȱ2,718ȱbeträgt.ȱDerȱGrenzwertȱ stelltȱdieȱEulerscheȱZahlȱeȱdar,ȱd.h.ȱ n

e

1· § lim ¨ 1  ¸ .ȱ ȱ n o f© n¹

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

AufȱdieȱmathematischeȱHerleitungȱderȱKonvergenzȱwirdȱhierȱverzichtet.ȱ

2.4.1.4

Rekursive vs. explizite Definition

DieȱbisherȱinȱdenȱBeispielenȱvorgestelltenȱFolgenȱwarenȱ explizitȱdefiniert.ȱEsȱgabȱeineȱ vonȱ nȱ abhängigeȱ Bildungsvorschrift.ȱ Inȱ dieseȱ warȱ derȱ Indexȱ einzusetzen,ȱ umȱ einȱ geȬ wünschtesȱ Folgengliedȱ zuȱ erhalten.ȱ Soȱ istȱ etwaȱ dasȱ zehnteȱ Folgengliedȱ derȱ Folgeȱ (an ) (1 / n) ȱ nachȱ Einsetzenȱ a10 1 / 10 .ȱ Diesesȱ Vorgehenȱ istȱ meistȱ sehrȱ praktisch,ȱ daȱ manȱ dieȱ vorhergehendenȱ Folgengliederȱ nichtȱ kennenȱ muss,ȱ umȱ dasȱ zehnteȱ oderȱ allȬ

45

2.4

2

Mathematische Grundlagen

gemeinȱdasȱnȬteȱFolgengliedȱzuȱberechnen.ȱDieȱBeziehungȱzwischenȱzweiȱFolgenglieȬ dernȱwirdȱdadurchȱaberȱnichtȱdeutlich.ȱ Eineȱ andereȱ Möglichkeitȱ derȱ Darstellungȱ istȱ dieȱ rekursiveȱ Darstellung.ȱ Einȱ FolgenȬ gliedȱwirdȱinȱBezugȱaufȱdieȱvorhergehendenȱberechnet.ȱ Beispielȱ2.66: a1

2 ˜ a n  1.

1, a n 1

ȱ

AusgeschriebenȱergibtȱdieseȱFolgeȱȱ a1

1, a 2

2 ˜1 1

2˜31

3, a 3

2˜7  1

7 , a4

15, ... ȱ ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

DerȱVorteilȱderȱrekursivenȱDefinitionȱeinerȱFolgeȱliegtȱdarin,ȱdassȱdieȱBeziehungȱzwiȬ schenȱdenȱFolgengliedernȱvielȱoffensichtlicherȱistȱalsȱbeiȱderȱexplizitenȱDefinition.ȱDerȱ Nachteilȱ bestehtȱ allerdingsȱ darin,ȱ dassȱ man,ȱ umȱ dasȱ nȬteȱ Folgengliedȱ zuȱ berechnen,ȱ erstȱdieȱ(nȬ1)ȱvorhergehendenȱFolgengliederȱkennenȱmuss.ȱUmȱzumȱBeispielȱdasȱzehnȬ teȱFolgengliedȱzuȱberechnen,ȱmussȱmanȱalsoȱerstȱdieȱerstenȱ9ȱFolgengliederȱerrechnetȱ haben.ȱ

2.4.2

Spezielle Folgen

Wirȱ wollenȱ nunȱ zweiȱ inȱ derȱ Finanzmathematikȱ besondersȱ wichtigeȱ Folgenȱ kennenȱ lernen.ȱ

2.4.2.1

Arithmetische Folge

Definition:ȱ Beiȱ einerȱ arithmetischenȱ Folgeȱ istȱ dieȱ Differenzȱ dȱ zweierȱ benachbarterȱ Folgengliederȱkonstant,ȱd.h.ȱ a n 1  a n

d .ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.36)ȱ

DurchȱUmformungȱerhältȱmanȱdieȱrekursiveȱDefinitionȱderȱarithmetischenȱFolge:ȱȱ a n  d. ȱ

a n 1

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.37)ȱ

ManȱkommtȱbeiȱeinerȱarithmetischenȱFolgeȱalsoȱjeweilsȱvonȱeinemȱzumȱnächstenȱFolȬ genglied,ȱindemȱmanȱimmerȱdenselbenȱkonstantenȱBetragȱhinzuaddiert.ȱȱ Beispielȱ2.67:ȱDieȱFolgeȱ4,ȱ8,ȱ12,ȱ16,ȱ…ȱistȱeineȱarithmetischeȱFolge,ȱbeiȱderȱdieȱDiffeȬ renzȱdȱzweierȱFolgengliederȱjeweilsȱ4ȱbeträgt.ȱ ȱ ȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ ȱ Beispielȱ2.68:ȱBeiȱwelcherȱFolgeȱistȱdieȱDifferenzȱzwischenȱzweiȱFolgengliedernȱjeweilsȱ 3?ȱ

46

ȱ

Folgen und Reihen

Lösung:ȱManȱdenktȱmeistȱzuerstȱanȱdieȱFolgeȱ3;ȱ6;ȱ9;ȱ12,ȱ....ȱTatsächlichȱgibtȱesȱaberȱjaȱ auchȱandereȱFolgen,ȱbeiȱdenenȱdieȱDifferenzȱzweierȱFolgengliederȱjeweilsȱ3ȱist,ȱz.B.ȱ1;ȱ 4;ȱ7;ȱ10;ȱ...ȱoderȱ2;ȱ5;ȱ8;ȱ11;ȱ...ȱaberȱnatürlichȱauchȱ1,5;ȱ4,5;ȱ7,5,ȱ...ȱetc.ȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

EineȱarithmetischeȱFolgeȱistȱalsoȱnichtȱdurchȱdieȱalleinigeȱAngabeȱderȱkonstantenȱDifȬ ferenzȱ bestimmt.ȱ Zusätzlichȱ istȱ esȱ notwendig,ȱ dassȱ dasȱ ersteȱ Folgengliedȱ angegebenȱ wird.ȱ Mitȱ Angabeȱ desȱ erstenȱ Folgengliedesȱ undȱ derȱ Differenzȱ istȱ dieȱ arithmetischeȱ Folgeȱdannȱvollständigȱdefiniert.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ FortführungȱvonȱBeispielȱ2.68:ȱDieȱDefinitionȱderȱarithmetischenȱFolgeȱȱ a1

2, d

3ȱ

a n 1  a n

ȱ

ergibtȱdieȱFolgeȱ2,ȱ5,ȱ8,ȱ11,ȱ...ȱ(s.ȱAbbildungȱ2Ȭ10).ȱ

Abbildungȱ2Ȭ10:ȱ ArithmetischeȱFolgeȱ a1

2, d

ȱ

a n 1  a n

3ȱ

8

10

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

30,00

20,00 10,00

0,00 0

2

4

6

12

ȱ

UnterȱdenȱFunktionenȱentsprichtȱeinerȱarithmetischenȱFolgeȱeineȱlineareȱFunktion,ȱd.h.ȱ eineȱ Gerade.ȱ Sieȱ nimmtȱ mitȱ konstanterȱ Steigungȱ immerȱ höhereȱ (dȱ >ȱ 0)ȱ oderȱ immerȱ niedrigereȱ (dȱ <ȱ 0)ȱ Werteȱ an.ȱ Dieȱ arithmetischeȱ Folgeȱ konvergiertȱ demnachȱ außerȱ inȱ demȱSpezialfallȱeinerȱkonstantenȱFolgeȱ(dȱ=ȱ0)ȱnicht.ȱ BezeichnetȱmanȱallgemeinȱdasȱersteȱFolgengliedȱmitȱ a1 a ,ȱd.h.ȱbeginntȱmanȱmitȱderȱ Indizierungȱ beiȱ 1,ȱ soȱ istȱ dasȱ zweiteȱ Folgengliedȱ demnachȱ a 2 a  d , ȱ dasȱ dritteȱ a 3 a  2d , ȱdasȱvierteȱ a 4 a  3d , ȱetc.ȱ Dieȱ expliziteȱ Definitionȱ derȱ arithmetischenȱ Folgeȱ lautetȱ demnachȱ beiȱ Beginnȱ derȱ Indizierungȱmitȱ1:ȱ a1

a ,ȱ a n

a  ( n  1) ˜ d. ȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

StartetȱmanȱdieȱIndizierungȱbeiȱ0,ȱsoȱhatȱmanȱ a 0 a , a1 gemeinȱgiltȱfürȱdasȱnȬteȱFolgengliedȱ an a  n ˜ d. ȱ

ȱ a  d, ȱ a2

ȱ

ȱȱ(2.38)ȱ

a  2d , ȱusw.ȱAllȬ

47

2.4

2

Mathematische Grundlagen

Dieȱ expliziteȱDefinitionȱderȱarithmetischenȱFolgeȱlautetȱalsoȱbeiȱ BeginnȱderȱIndizieȬ rungȱmitȱ0:ȱ a0

a ,ȱ a n

a  n ˜ d. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.39)ȱ

ObȱmanȱdieȱIndizierungȱmitȱ0ȱoderȱmitȱ1ȱbeginnt,ȱhängtȱvomȱsachlichenȱKontextȱab.ȱ Beispielȱ 2.69:ȱ Einȱ Unternehmenȱ machtȱ momentanȱ einenȱ Umsatzȱ vonȱ 200ȱ Mio.ȱ €ȱ imȱ Jahr.ȱ Esȱ willȱ seinenȱ Umsatzȱ inȱ denȱ nächstenȱ 10ȱ Jahrenȱ umȱ jeweilsȱ 30ȱMio.ȱ €ȱsteigern.ȱ WieȱhochȱistȱderȱUmsatzȱimȱzehntenȱJahrȱ?ȱ Lösung:ȱDenȱjetzigenȱUmsatzȱbezeichnetȱmanȱamȱgeschicktestenȱmitȱ a 0 ,ȱdannȱistȱderȱ Umsatzȱ imȱ erstenȱ Jahrȱ a1 ȱ undȱ derȱ Umsatzȱ imȱ zehntenȱ Jahrȱ a10. ȱImȱ zehntenȱ Jahrȱ hatȱ dasȱUnternehmenȱalsoȱeinenȱUmsatzȱvonȱ an a  n ˜ d , ȱd.h.ȱvonȱ

200 Mio. €  10 ˜ 30 Mio. €

a10

500 Mio. €. ȱȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ

2.4.2.2

Geometrische Folge

Definition:ȱ Beiȱ einerȱ geometrischenȱ Folgeȱ istȱ derȱ Quotientȱ qȱ zweierȱ benachbarterȱ Folgengliederȱkonstant,ȱd.h.ȱ

a n 1 an

ȱ

q .ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.40)ȱ

DurchȱUmformenȱerhältȱmanȱdieȱrekursiveȱDefinitionȱderȱgeometrischenȱFolge:ȱ a n ˜ q .ȱ

a n 1

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.41)ȱ

Beiȱ derȱ geometrischenȱ Folgeȱ kommtȱ manȱ alsoȱ jeweilsȱ vonȱ einemȱ zumȱ nächstenȱ FolȬ genglied,ȱindemȱmanȱimmerȱmitȱdemselbenȱkonstantenȱFaktorȱqȱmultipliziert.ȱ BezeichnetȱmanȱallgemeinȱdasȱersteȱFolgengliedȱmitȱ a1 Indizierungȱbeiȱ1,ȱsoȱistȱdasȱzweiteȱFolgengliedȱ a 2

a ,ȱd.h.ȱbeginntȱmanȱmitȱderȱ a ˜ q 2 ,ȱetc.ȱȱ

a ˜ q , ȱdasȱdritteȱ a 3

Dieȱ expliziteȱ Definitionȱ derȱ geometrischenȱ Folgeȱ lautetȱ demnachȱ beiȱ Beginnȱ derȱ Indizierungȱmitȱ1:ȱ a1

a ,ȱ a n

a ˜ q n 1 . ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

StartetȱmanȱdieȱIndizierungȱbeiȱ0,ȱsoȱhatȱmanȱ a 0

ȱ a , a1

ȱ a ˜ q, ȱ a2

ȱ

ȱȱ(2.42)ȱ

a ˜ q 2 , ȱusw.ȱȱ

Dieȱ expliziteȱ Definitionȱ derȱ arithmetischenȱ Folgeȱ lautetȱ somitȱ beiȱ Beginnȱ derȱ IndiȬ zierungȱmitȱ0:ȱ a ,ȱ a n

a0

48

ȱ

a ˜ qn . ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.43)ȱ

Folgen und Reihen

Dasȱ KonvergenzverhaltenȱderȱgeometrischenȱFolgeȱhängtȱvomȱFaktorȱqȱab,ȱderȱzweiȱ aufeinanderȱfolgendeȱFolgengliederȱunterscheidet:ȱȱ Multipliziertȱ manȱ jeweilsȱ mitȱ einemȱ Faktor,ȱ derȱ größerȱ alsȱ 1ȱ ist,ȱ wirdȱ derȱ Wertȱ desȱ nächstenȱFolgengliedesȱimmerȱgrößerȱalsȱderȱWertȱdesȱjetzigenȱFolgengliedesȱsein.ȱDieȱ Folgeȱdivergiertȱalsoȱ(s.ȱAbbildungȱ2Ȭ11).ȱ

Abbildungȱ2Ȭ11:ȱ GeometrischeȱFolgeȱaȱ=ȱ3,ȱqȱ=ȱ1,5ȱ 120,00 90,00 60,00 30,00 0,00 0

2

4

6

8

10

12

ȱ

IstȱderȱFaktorȱkleinerȱalsȱ–1,ȱwirdȱderȱBetragȱdesȱnächstenȱFolgengliedesȱimmerȱgrößerȱ alsȱderȱBetragȱdesȱjetzigenȱFolgengliedes,ȱdieȱFolgeȱalterniertȱaberȱ(s.ȱAbbildungȱ2Ȭ9).ȱ DieȱFolgeȱdivergiertȱdemnachȱunbestimmt.ȱȱ IstȱderȱBetragȱdesȱFaktorsȱqȱkleinerȱalsȱ1,ȱwirdȱderȱBetragȱdesȱnächstenȱFolgengliedesȱ immerȱ kleinerȱ seinȱ alsȱ derȱ Betragȱ desȱ aktuellenȱ Folgengliedes.ȱ Dieȱ Folgeȱ konvergiertȱ demnachȱgegenȱ0ȱ(s.ȱAbbildungȱ2Ȭ12).ȱ

Abbildungȱ2Ȭ12:ȱ GeometrischeȱFolgeȱaȱ=ȱ3,ȱqȱ=ȱ0,5ȱ 3,00

2,00 1,00

0,00 0

2

4

6

8

10

12

ȱ

49

2.4

2

Mathematische Grundlagen

Istȱqȱgenauȱ1,ȱhatȱmanȱeineȱkonstanteȱFolge,ȱbeiȱderȱjedesȱFolgengliedȱsoȱgroßȱwieȱdasȱ ersteȱFolgengliedȱist.ȱIstȱqȱ=ȱȬ1,ȱalterniertȱdieȱFolgeȱzwischenȱdemȱerstenȱundȱdemȱNeȬ gativenȱdesȱerstenȱFolgengliedes.ȱ ZusammenfassendȱkannȱmanȱdasȱKonvergenzverhaltenȱderȱgeometrischenȱFolgeȱwieȱ folgtȱbeschreiben:ȱ ­0 , ° °a , ° a ˜ q n o ®a , a , a , a ,... n of ° °f , °ex. nicht , ¯

|q|  1 q 1 q 1 q!1 q  1

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

(2.44)ȱ

Beispielȱ 2.70ȱ (Fortführungȱ vonȱ Beispielȱ 2.69):ȱ Dasȱ obenȱ betrachteteȱ Unternehmenȱ machtȱweiterhinȱeinenȱUmsatzȱvonȱmomentanȱ200ȱMio.ȱ€ȱimȱJahr.ȱEsȱwillȱseinenȱUmȬ satzȱ nunȱ aberȱ inȱ denȱ nächstenȱ 10ȱ Jahrenȱ umȱ jeweilsȱ 15%ȱ steigern.ȱ Wieȱ hochȱ istȱ derȱ UmsatzȱimȱzehntenȱJahr?ȱ Lösung:ȱWiederȱbezeichnenȱwirȱdenȱjetzigenȱUmsatzȱmitȱ a 0 ,ȱdenȱUmsatzȱimȱzehntenȱ Jahrȱmitȱ a10. ȱImȱerstenȱJahrȱmachtȱdasȱUnternehmenȱeinenȱUmsatzȱvonȱȱ

a1

200 Mio. €  200 Mio. € ˜ 0 ,15

200 Mio. € ˜ 1,15

230 Mio. €. ȱ

qȱistȱalsoȱ1,15.ȱImȱerstenȱJahrȱstimmtȱderȱUmsatzȱnochȱmitȱdemȱUmsatzȱbeiȱderȱjährliȬ chenȱSteigerungȱumȱ30ȱMio.ȱ€ȱüberein.ȱImȱzweitenȱJahrȱfindetȱaberȱeineȱerneuteȱUmȬ satzsteigerungȱumȱ15%ȱaufȱdieȱdannȱaktuellenȱ230ȱMio.ȱ€ȱstatt.ȱEsȱgiltȱȱ 230 Mio. € ˜ 1,15

a2

264 ,50 Mio. €. ȱȱ

DemnachȱmachtȱdasȱUnternehmenȱimȱzehntenȱJahrȱeinenȱUmsatzȱvonȱ a ˜ q n ,ȱd.h.ȱ a10

an

200 Mio. € ˜ 1,1510

809 ,11 Mio. €. ȱ

DerȱresultierendeȱUmsatzȱnachȱ10ȱJahrenȱȱistȱwesentlichȱhöherȱalsȱbeiȱderȱUmsatzsteiȬ gerungȱumȱeinenȱkonstantenȱBetragȱproȱJahr.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

2.4.3

Reihen

Beispielȱ 2.71:ȱ Betrachtenȱ wirȱ nochȱ einmalȱ dieȱ Folgeȱ (an )

( n). ȱ Wirȱ habenȱ alsoȱ

a1 1, a 2 2 , a 3 3 , ȱ usw.ȱ Ausȱ dieserȱ ursprünglichenȱ Folgeȱ könnenȱ wirȱ leichtȱ auchȱ eineȱ weitereȱ Folgeȱ erzeugen.ȱ Wirȱ nennenȱ dieȱ neueȱ Folgeȱ (Sn ). ȱ Nunȱ sagenȱ wir,ȱ dassȱ S1

a1

50

ȱ

1, ȱȱ

Folgen und Reihen

alsoȱ gleichȱ demȱ erstenȱ Folgengliedȱ derȱ Ausgangsfolgeȱ seinȱ soll.ȱ S 2 ȱ ordnenȱ wirȱ dieȱ SummeȱderȱerstenȱbeidenȱFolgengliederȱderȱaltenȱFolgeȱzu.ȱAlsoȱgiltȱȱ S2

a1  a 2

1 2

3. ȱȱ

DasȱdritteȱFolgengliedȱderȱneuenȱFolgeȱȱ S3

a1  a 2  a 3

1 2  3

6 ȱȱ

bestehtȱausȱderȱSummeȱderȱerstenȱ3ȱFolgengliederȱderȱAusgangsfolge.ȱSoȱentstehtȱalsoȱ dasȱnȬteȱFolgengliedȱderȱneuenȱFolgeȱ (Sn ) ȱausȱderȱSummeȱderȱerstenȱnȱFolgengliederȱ derȱAusgangsfolge,ȱd.h.ȱ n

Sn

¦ a j .ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

j 1

DiesesȱVerfahrenȱkannȱfürȱjedeȱbeliebigeȱAusgangsfolgeȱ (an ) ȱangewandtȱwerden.ȱAufȱ dieseȱWeiseȱerzeugenȱwirȱeineȱneueȱFolge.ȱDasȱeinzelneȱFolgengliedȱ Sn ȱheißtȱdieȱ ParȬ tialsumme,ȱd.h.ȱTeilsummeȱderȱursprünglichenȱFolge.ȱDieȱsoȱentstandeneȱFolgeȱ (Sn ) ȱ heißtȱ FolgeȱderȱPartialsummenȱoderȱ (unendliche)ȱReihe.ȱDieseȱFolgeȱkannȱnatürlichȱ wieȱ jedeȱ Folgeȱ wiederȱ aufȱ Monotonie,ȱ Beschränktheitȱ undȱ Konvergenzȱ untersuchtȱ werden.ȱȱ ȱ Fallsȱ derȱ Grenzwertȱ Sȱ derȱ Folgeȱ derȱ Partialsummenȱ existiert,ȱ soȱ bezeichnenȱ wirȱ dieȱ unendlicheȱReiheȱalsȱkonvergentȱundȱschreiben:ȱ f

S

¦ a j .ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.45)ȱ

j 1

FortführungȱvonȱBeispielȱ2.71:ȱDieȱFolgeȱderȱPartialsummen,ȱdieȱausȱ (an )

( n) gebilȬ

detȱwurden,ȱd.h.ȱdieȱFolgeȱȱ n

Sn

¦ j ȱȱ j 1

divergiert.ȱDiesesȱistȱsofortȱklar,ȱdaȱbereitsȱdieȱAusgangsfolgeȱ (an ) diesemȱFallȱexistiertȱkeinȱGrenzwertȱS.ȱȱ

ȱ

ȱ

ȱ

( n) ȱdivergiert.ȱInȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ Ohneȱ dieȱ Konvergenzȱ oderȱ Divergenzȱ herzuleiten,ȱ wollenȱ wirȱ wichtigeȱ Beispieleȱ fürȱ Reihenȱkennenȱlernen.ȱ Beispielȱ2.72:ȱDieȱharmonischeȱReiheȱȱ n

Sn

1 1 j

¦ j

1

1 1 1   ...  ȱ 2 3 n

51

2.4

2

Mathematische Grundlagen

ȱ

divergiert.ȱȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

Beispielȱ2.73:ȱDieȱalternierendeȱharmonischeȱReiheȱȱ n

¦ ( 1) j1

Sn

j 1

1 j

1

1 1 1   ..... ȱ 2 3 4

ȱ

konvergiert.ȱȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ EineȱfürȱdieȱAnwendungȱinȱderȱFinanzmathematikȱundȱinȱanderenȱGebietenȱbesondersȱ wichtigeȱ Reiheȱ istȱ dieȱ geometrischeȱ Reihe.ȱ Dieȱ geometrischeȱ Reiheȱ entsteht,ȱ indemȱ manȱdieȱPartialsummenȱderȱgeometrischenȱFolgeȱ (q n ) ȱbildetȱundȱdenȱGrenzübergangȱ fürȱ n o f ȱbetrachtet.ȱ ȱ WirȱwollenȱzunächstȱdenȱWertȱderȱendlichenȱPartialsumme,ȱd.h.ȱderȱSummeȱderȱerstenȱ nȱFolgengliederȱderȱgeometrischenȱReiheȱbestimmen.ȱDabeiȱschließenȱwirȱdasȱFolgenȬ gliedȱ q 0

1 ȱinȱdieȱSummeȱmitȱein,ȱsoȱdassȱdieȱSummeȱderȱerstenȱnȱFolgengliederȱvonȱ

0ȱbisȱnȬ1ȱläuft:ȱ n 1

¦ q j 1  q  q 2  ...  q n  2  q n 1 .ȱ

Sn

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.46)ȱ

j 0

UmȱdieseȱPartialsummeȱberechnenȱzuȱkönnen,ȱwendenȱwirȱeinenȱ„Trick“ȱanȱundȱzieȬ henȱdasȱqȬfacheȱderȱPartialsummeȱȱ q ˜ Sn

n 1

q ˜ ¦qj

q  q 2  ...q n 1  q n ȱ

j 0

vonȱderȱerstenȱGleichungȱab.ȱWirȱerhaltenȱdannȱȱ Sn  q ˜ Sn

(1  q  q 2  ...  q n 1 )  (q  q 2  ...  q n 1  q n )

1  qn . ȱ

ȱ SchreibtȱmanȱdieȱSummeȱaus,ȱfallenȱalleȱSummandenȱbisȱaufȱdenȱerstenȱderȱursprüngȬ lichenȱPartialsummeȱundȱdenȱletztenȱderȱmitȱqȱmultipliziertenȱPartialsummeȱweg.ȱJetztȱ könnenȱwirȱnachȱdemȱgesuchtenȱWertȱ Sn ȱauflösenȱundȱerhaltenȱ S n ˜ (1  q )

1  qn

œ

Sn

1  qn , 1 q

q z 1.

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.47)ȱ

UmȱeineȱDivisionȱdurchȱ0ȱzuȱvermeiden,ȱkannȱdieȱletzteȱUmformungȱnurȱvorgenomȬ menȱwerden,ȱwennȱ q z 1 ist.ȱȱ ȱ

52

ȱ

Folgen und Reihen

Beispielȱ2.74:ȱManȱbestimmeȱ 2

§1· 0© 2 ¹

j

¦¨ ¸ . ȱ

j

Lösung:ȱFürȱdieȱSummeȱvonȱ3ȱFolgengliedernȱlässtȱsichȱdiesesȱnochȱeinfachȱ„zuȱFuß“ȱ berechnen,ȱ indemȱ manȱ einfachȱ alleȱ 3ȱ Folgengliederȱ hintereinanderȱ aufaddiert.ȱ Manȱ erhältȱ ȱ 1

S3

1 1  2 4

3 1 .ȱ 4

Durchȱ Anwendungȱ derȱ hergeleitetenȱ Formelȱ lässtȱ sichȱ dieserȱ Wertȱ bestätigen,ȱ dennȱ §1· 1¨ ¸ ©2¹ 1 1 2

n

1 q 1 q

S3

3

7 8 1 2

2˜

7 8

7 4

1

3 .ȱ 4

DaȱdieȱSummeȱvonȱ0ȱbisȱ2ȱläuft,ȱistȱhierȱalsoȱnȬ1ȱ=ȱ2.ȱDarausȱergibtȱsich,ȱdassȱnȱ=ȱ3ȱinȱ derȱFormelȱzuȱverwendenȱist.ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ ȱ Hatȱ manȱ dieȱ Formelȱ fürȱ dieȱ Partialsummeȱ hergeleitet,ȱ kannȱ manȱ leichtȱ denȱ Wertȱ derȱ unendlichenȱReiheȱbestimmen,ȱindemȱmanȱeinenȱGrenzübergangȱderȱFolgeȱderȱPartiȬ alsummenȱdurchführt.ȱȱ S

1  qn n of 1  q

lim S n

1 , 1 q

lim

n of

| q |  1. ȱȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(2.48)ȱ

DieȱFolgeȱderȱPartialsummenȱkonvergiertȱfürȱ|q|ȱ<ȱ1,ȱdaȱinȱdiesemȱFallȱderȱAusdruckȱ q n ȱgegenȱ0ȱkonvergiert.ȱȱ ȱ Beispielȱ 2.75ȱ (Fortführungȱ vonȱ Beispielȱ 2.74):ȱ Daȱ 1/2ȱ <ȱ 1ȱ ist,ȱ beträgtȱ fürȱ qȱ =ȱ 1/2ȱ derȱ WertȱderȱunendlichenȱgeometrischenȱReiheȱȱ f

S

§1· 0© 2 ¹

j

1 1 q

¦¨ ¸

j

1 1

1 2

2. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Beispielȱ2.76:ȱManȱbestimmeȱ 9

§1· ©2¹

¦ 100 ˜ ¨ ¸

j 0

j

2

100  100 ˜

9

1 §1· §1·  100 ˜ ¨ ¸  ...  100 ˜ ¨ ¸ . ȱ 2 ©2¹ ©2¹

53

2.4

2

Mathematische Grundlagen

Lösung:ȱ Umȱ dieȱ hergeleiteteȱ Formelȱ (2.47)ȱ fürȱ denȱ Wertȱ einerȱ geometrischenȱ Reiheȱ anwendenȱ zuȱ können,ȱ mussȱ zunächstȱ derȱ konstanteȱ Faktorȱ 100ȱ ausgeklammertȱ werȬ den.ȱDannȱerhältȱmanȱ 9

§1· ©2¹

¦ 100 ˜ ¨ ¸

j 0

2.5

j

9 1 § · 100 ˜ ¦ ¨ ¸ j 0© 2 ¹

j

§1· 1¨ ¸ ©2¹ 100 ˜ 1 1 2

10

100 ˜ 1,99804

199 ,804. ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Partnerinterview

1. A:ȱWannȱkönnenȱPotenzenȱaddiertȱwerden?ȱ B:ȱWieȱwerdenȱSummenȱpotenziert?ȱNennenȱSieȱeinȱBeispiel!ȱ 2. A:ȱWannȱhatȱeineȱquadratischeȱGleichungȱgenauȱeineȱLösung?ȱ B:ȱWannȱhatȱeineȱquadratischeȱGleichungȱkeineȱreelleȱLösung?ȱWieȱkannȱmanȱdieȬ sesȱgeometrischȱinterpretieren?ȱ 3. A:ȱErklärenȱSieȱmitȱBeispiel,ȱwieȱderȱLogarithmusȱeinesȱBruchsȱaufgelöstȱwird!ȱ B:ȱErklärenȱSieȱmitȱBeispiel,ȱwieȱderȱLogarithmusȱeinerȱPotenzȱaufgelöstȱwird!ȱ 4. A:ȱGebenȱSieȱeinȱBeispielȱfürȱeineȱSumme,ȱdieȱnichtȱimȱTextȱgenanntȱwurde!ȱ B:ȱErklärenȱSie,ȱwieȱmanȱdieȱerstenȱ60ȱnatürlichenȱZahlenȱaddierenȱkann!ȱ 5. A:ȱ Wieȱ kannȱ manȱ eineȱ Potenzȱ (mitȱ einemȱ natürlichenȱ Exponenten)ȱ alsȱ Produktȱ schreiben?ȱ B:ȱGebenȱSieȱeinȱBeispielȱfürȱeineȱIndexverschiebungȱbeiȱderȱSummenberechnungȱ an!ȱ 6. A:ȱ Nennenȱ Sieȱ einȱ Beispielȱ fürȱ eineȱ konvergenteȱ Folge,ȱ dasȱ nochȱ nichtȱ imȱ Textȱ genanntȱwurde!ȱ B:ȱ Nennenȱ Sieȱ einȱ Beispielȱ fürȱ eineȱ divergenteȱ Folge,ȱ dasȱ nochȱ nichtȱ imȱ Textȱ geȬ nanntȱwurde!ȱ 7. A:ȱNennenȱSieȱeinȱBeispielȱfürȱeineȱdivergierendeȱalternierendeȱFolge!ȱ B:ȱNennenȱSieȱeinȱBeispielȱfürȱeineȱkonvergierendeȱalternierendeȱFolge!ȱ 8. A:ȱWasȱistȱeineȱgeometrischeȱFolge?ȱWannȱkonvergiertȱsie?ȱNennenȱSieȱeinȱBeispiel!ȱ B:ȱWasȱistȱeineȱarithmetischeȱFolge?ȱNennenȱSieȱeinȱBeispiel!ȱErläuternȱSieȱdasȱKonȬ vergenzverhalten!ȱ

54

ȱ

Übungen

9. A:ȱNennenȱSieȱeinȱBeispielȱfürȱeineȱReihe,ȱdieȱkeineȱgeometrischeȱReiheȱist!ȱ B:ȱWasȱistȱeineȱgeometrischeȱReihe?ȱNennenȱSieȱeinȱBeispiel!ȱWannȱkonvergiertȱsie?ȱ GegenȱwelchenȱWertȱkonvergiertȱSie?ȱȱ

2.6

Übungen

1. VereinfachenȱSieȱfolgendeȱAusdrückeȱsoȱweitȱwieȱmöglich:ȱ a)ȱ 16ab 3  20a 2 b  8ab 3  12a 2 b  3ab 2 ȱȱ b)ȱ 4 x 3 y ˜ 6 x 2 y 2 ȱ ȱ ȱȱc)ȱ ( 2 x  3a 2 )2 ȱ

§ e15 · 2. ȱa)ȱ ln(e x ) ȱȱȱȱb)ȱ ln(e 2 ) ȱȱȱc)ȱln(1)ȱȱȱȱd) ln( 2e 2 ) ȱȱȱȱe) ln¨¨ 7 ¸¸ ȱȱȱȱf) ln (e 2 )n ȱ ©e ¹





3. LösenȱSieȱdieȱfolgendenȱLogarithmustermeȱmitȱHilfeȱderȱLogarithmusgesetzeȱauf:ȱ

§ b3 ˜ c · ¸ ȱȱ a)ȱ log a ¨ ¨ d5 ˜ e3 ¸ © ¹

§ 3u ˜ v b)ȱ log a ¨ ¨ w2 ©

· ¸ȱ ¸ ¹

4. LösenȱSieȱfolgendeȱGleichungenȱnachȱxȱauf:ȱ a)ȱ ln2 x  3

§1· b)ȱ ¨ ¸ ©4¹

1 ȱȱ 2

2x3

§2· ¨ ¸ ©3¹

3x 4

ȱ

5. BerechnenȱSieȱdenȱWertȱderȱfolgendenȱSummen:ȱ 5

4

20

1 ȱ 3 j1

a)ȱ ¦ ( j2  1) ȱ b)ȱ ¦ j 1

j

c)ȱ ¦ 3 j ȱȱ j 1

6. BerechnenȱSieȱdenȱWertȱderȱfolgendenȱProdukte:ȱ 4

a)ȱ – ( j  1) ȱ j 2

5

7

ȱb)ȱ – ( 1) j ȱ

ȱc)ȱ – ( j  3)2 ȱ

j 1

j 5

7. BeschreibenȱSieȱdieȱgegebenenȱFolgenȱmitȱdenȱIhnenȱbekanntenȱBegriffen:ȱȱ § 2n  1 · a)ȱ ¨ ȱ ¸ © 2 n ¹nN d)ȱ a1

1, a 2





ȱb)ȱ 2 n  1 nN ȱ 2 , a n 1

ȱc)ȱ a1

4 , a n 1

an  3 ȱ

a n ˜ a n 1 . ȱ

55

2.6

2

Mathematische Grundlagen

8. BestimmenȱSieȱBildungsvorschriftenȱfürȱdieȱgegebenenȱFolgen:ȱ a)ȱ14,ȱ17,ȱ20,ȱ23,ȱ...ȱ

b)ȱ2,ȱ6,ȱ18,ȱ54,ȱ...ȱ ...c)ȱ1,ȱ

1 1 1 1 , ... ȱ , , , 3 9 27 81

9. GegebenȱseiȱeineȱgeometrischeȱFolgeȱmitȱdemȱAnfangsfolgengliedȱ a 0 5 ȱundȱdemȱ konstantenȱQuotientenȱqȱ=ȱ3.ȱWelchenȱWertȱhatȱ a 3 ?ȱWelchenȱWertȱhatȱdieȱgeometȬ rischeȱReiheȱbeiȱnȱ=ȱ4?ȱ(BerechnenȱSieȱdieȱReiheȱaufȱzweiȱverschiedeneȱArten!)ȱ 10. BerechnenȱSieȱdieȱWerteȱderȱfolgendenȱPartialsummenȱundȱunendlichenȱReihen:ȱ j

f 1 § · a)ȱ ¦ ¨ ¸ ȱ j o© 3 ¹

j

f 3 § · b)ȱ ¦ ¨ ¸ ȱ j o© 5 ¹

j

5 1 § · c)ȱ ¦ ¨ ¸ .ȱ j o© 2 ¹

11. DenkenȱSieȱsichȱzurȱEinübungȱdesȱGelerntenȱauchȱeigeneȱAufgabenȱaus!ȱ

56

ȱ

Lernziele

3

3.1

Zinsrechnung

Lernziele

DiesesȱKapitelȱführtȱinȱdieȱgrundlegendenȱModelleȱundȱMethodenȱderȱZinsrechnungȱ ein.ȱNachȱBearbeitungȱdesȱKapitelsȱsollteȱderȱLeserȱinȱderȱLageȱsein,ȱ

„ denȱEndwertȱeinesȱKapitalsȱbeiȱeinerȱVerzinsungȱüberȱeineȱPeriodeȱzuȱbestimmen,ȱ „ denȱ Barwertȱ beiȱ einerȱ Verzinsungȱ überȱ eineȱ Periodeȱ zuȱ berechnenȱ undȱ seineȱ BeȬ deutungȱzuȱerklären,ȱ

„ zuȱerläutern,ȱwasȱmanȱunterȱAufȬȱundȱAbzinsenȱversteht,ȱ „ dieȱbeidenȱZinsmodelleȱderȱlinearenȱundȱderȱgeometrischenȱVerzinsungȱbeiȱmehreȬ renȱPeriodenȱzuȱerklären,ȱ

„ zuȱ erläutern,ȱ inȱ welchenȱ Fällenȱ dieȱ geometrischeȱ undȱ dieȱ lineareȱ Verzinsungȱ verȬ wendetȱwerden,ȱ

„ beiȱderȱgeometrischenȱundȱderȱlinearenȱVerzinsungȱEndȬȱundȱBarwertȱzuȱbestimȬ men,ȱ

„ unterschiedlicheȱZinstagemethodenȱanzuwenden,ȱ „ zuȱdefinieren,ȱwasȱkonformeȱZinssätzeȱsind,ȱ „ zuȱerklären,ȱwarumȱderȱlinearȱproportionaleȱZinssatzȱbeiȱlinearerȱVerzinsungȱkonȬ formȱzumȱJahreszinssatzȱist,ȱ

„ zuȱ erläutern,ȱ warumȱ derȱ linearȱ proportionaleȱ Zinssatzȱ beiȱ geometrischerȱ VerzinȬ sungȱnichtȱkonformȱzumȱJahreszinssatzȱist,ȱ

„ denȱgeometrischȱproportionalenȱZinssatzȱzuȱbestimmen,ȱ „ zuȱdefinieren,ȱwasȱeinȱEffektivzinssatzȱistȱundȱdenȱUnterschiedȱzumȱNominalzinsȬ satzȱzuȱerläutern,ȱ

„ denȱEffektivzinssatzȱüberȱeineȱExcelkalkulationȱundȱformalȱzuȱbestimmen,ȱ „ dasȱKonzeptȱderȱstetigenȱVerzinsungȱzuȱerklären,ȱ „ denȱEndwertȱeinesȱKapitalsȱbeiȱstetigerȱVerzinsungȱzuȱberechnen.ȱ 57

3.1

3

Zinsrechnung

3.2

Einführung

Beispielȱ3.1:ȱSieȱwollenȱinȱ50ȱJahrenȱüberȱ100.000ȱ€ȱverfügen.ȱIhnenȱistȱesȱgelungen,ȱbeiȱ einerȱAnlageȱ aufȱ einemȱ Sparbuchȱ einenȱ Jahreszinssatzȱ vonȱ 6%ȱ fürȱ dieȱ gesamteȱ ZeitȬ spanneȱzuȱfixieren.ȱDieȱZinsenȱwerdenȱjeweilsȱamȱEndeȱdesȱJahresȱgezahlt.ȱȱ

„ Schätzenȱ Sieȱ einmal!ȱ Welchenȱ Betragȱ müssenȱ Sieȱ wohlȱ heuteȱ anlegen,ȱ umȱ inȱ 50ȱ Jahrenȱüberȱ100.000ȱ€ȱzuȱverfügen?ȱ

„ WennȱSieȱ100ȱJahreȱwartenȱkönnten,ȱwelchenȱBetragȱmüsstenȱSieȱdannȱheuteȱanleȬ gen?ȱ

„ WieȱsäheȱdieȱSituationȱbeiȱeinemȱJahreszinssatzȱvonȱ3%ȱaus?ȱ Lösung:ȱ100.000ȱ€ȱsindȱeinȱhoherȱBetrag.ȱWennȱwirȱschätzenȱsollen,ȱwieȱvielȱGeldȱanȬ gelegtȱwerdenȱmuss,ȱumȱdiesenȱEndbetragȱinȱ50ȱJahrenȱzuȱerzielen,ȱtunȱwirȱdasȱmeistȱ völligȱ unabhängigȱ vomȱ Zinssatz.ȱ Wirȱ setzenȱ denȱ Betragȱ relativȱ hochȱ an,ȱ z.B.ȱ beiȱȱ 25.000ȱ€ȱoderȱsogarȱbeiȱ50.000ȱ€.ȱDiesesȱresultiertȱeinmalȱdaraus,ȱdassȱwirȱkeinȱGefühlȱ fürȱ langeȱ Zeiträumeȱ haben,ȱ daȱ unsereȱ Erfahrungenȱ sichȱ aufȱ kürzereȱ Zeitspannenȱ beȬ ziehen.ȱ Zumȱ anderenȱ könnenȱ wirȱ denȱ Zinseszinseffekt,ȱ derȱ sichȱ beiȱ derȱ Anlageȱ aufȱ SparbüchernȱoderȱähnlichenȱAnlageformenȱergibt,ȱnichtȱgutȱeinschätzen.ȱȱ

„ Tatsächlichȱmussȱmanȱnurȱ5.428,84ȱ€ȱanlegen,ȱumȱnachȱ50ȱJahrenȱbeiȱeinerȱVerzinȬ sungȱzuȱ6%ȱJahreszinsenȱinklusiveȱderȱZinseszinsenȱ100.000ȱ€ȱzuȱerhalten.ȱ ȱ

„ Umȱ beiȱ einerȱ Laufzeitȱ vonȱ 100ȱ Jahrenȱ undȱ einemȱ Zinssatzȱ vonȱ 6%ȱ proȱ Jahrȱȱȱȱ 100.000ȱ€ȱzuȱerzielen,ȱmüssteȱmanȱheuteȱsogarȱnurȱ294,72ȱ€ȱanlegen.ȱȱ

ȱ

„ Bekommenȱ Sieȱ fürȱ Ihreȱ Sparanlageȱ nurȱ 3%ȱ Zinsenȱ imȱ Jahr,ȱ d.h.ȱ nurȱ denȱ halbenȱ Zinssatz,ȱ siehtȱ dieȱ Situationȱ etwasȱ andersȱ aus.ȱ Beiȱ einerȱ Laufzeitȱ vonȱ 50ȱ Jahrenȱ müsstenȱ Sieȱ 22.810,71ȱ €ȱ anlegen,ȱ umȱ schließlichȱ überȱ 100.000ȱ €ȱ zuȱ verfügen,ȱ alsoȱ gutȱdasȱVierfacheȱdesȱBetrages,ȱdenȱSieȱbeiȱeinemȱJahreszinssatzȱvonȱ6%ȱanlegen.ȱ

„ Beiȱ einemȱ Jahreszinssatzȱ vonȱ 3%ȱ undȱ einerȱ Laufzeitȱ vonȱ 100ȱ Jahren,ȱ müssenȱ Sieȱ immerhinȱ5.203,28ȱ€ȱanlegen,ȱd.h.ȱmehrȱalsȱdasȱSiebzehnfacheȱdesȱBetrages,ȱdenȱSieȱ beimȱdoppeltenȱZinssatzȱzurȱErzielungȱdesȱgleichenȱEndwertesȱvonȱ100.000ȱ€ȱeinȬ zahlenȱmüssen.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ DasȱBeispielȱzeigtȱzweiȱAspekte:ȱ 1. DerȱanzulegendeȱBetragȱzurȱErreichungȱeinesȱgewünschtenȱZielkapitalsȱhängtȱsehrȱ starkȱvonȱdemȱZinssatzȱab,ȱderȱfürȱdieȱAnlageȱgewährtȱwird.ȱ 2. BeiȱderȱRechnungȱmitȱZinseszinsenȱistȱdasȱ„ÜberschlagenȱimȱKopf“ȱrelativȱschwieȬ rig.ȱDaherȱistȱesȱumȱsoȱwichtiger,ȱzuȱwissen,ȱwieȱmanȱdieȱKapitalentwicklungȱimȱ Laufeȱ derȱ Zeitȱ rechnerischȱ bestimmenȱ kann.ȱ Dieȱ dazuȱ erforderlichenȱ Methodenȱ wollenȱwirȱimȱFolgendenȱkennenȱlernen.ȱ

58

ȱ

Begriffe

3.3

Begriffe

Wennȱ einȱ Geldgeberȱ (Gläubiger)ȱ einemȱ Geldnehmerȱ (Schuldner)ȱ einȱ Kapitalȱ ausȬ leiht,ȱsoȱerwartetȱerȱnatürlichȱeinerseits,ȱdassȱseinȱKapitalȱnachȱeinerȱbestimmtenȱLaufȬ zeitȱzurückgezahltȱwird.ȱZumȱanderenȱfordertȱerȱfürȱdieȱÜberlassungȱdesȱKapitalsȱeinȱ Entgelt,ȱ eineȱ Artȱ Nutzungsgebührȱ (ähnlichȱ einerȱ Miete),ȱ fürȱ dasȱ Kapital.ȱ Dieseȱ NutȬ zungsgebührȱnenntȱmanȱdieȱZinsenȱaufȱdasȱKapital.ȱȱ DieȱZeitpunkte,ȱanȱdenenȱdieȱZinsenȱfälligȱwerden,ȱheißenȱ Zinszahlungstermineȱ oderȱ einfachȱnurȱZinstermine18.ȱ ZwischenȱzweiȱZinszahlungsterminenȱliegtȱeineȱ ZinsperiȬ ode.ȱDieȱLängeȱderȱZinsperiodeȱvariiertȱvonȱFinanzproduktȱzuȱFinanzprodukt.ȱWähȬ rendȱ beimȱ traditionellenȱ Sparbuchȱ dieȱ Zinsperiodeȱ üblicherweiseȱ einȱ Jahrȱ langȱ ist,ȱ beträgtȱ sieȱ beiȱ Tagesgeldkontenȱ jeȱ nachȱ Bankȱ einenȱ Monat,ȱ einȱ Vierteljahr,ȱ d.h.ȱ einȱ Quartalȱ oderȱebenfallsȱeinȱJahr.ȱBeiȱ BaufinanzierungskreditenȱwerdenȱmeistȱZinspeȬ riodenȱvonȱeinemȱMonatȱLängeȱvereinbart.ȱ Sindȱ dieȱ Zinsenȱ amȱ Endeȱ einerȱ Zinsperiodeȱ fällig,ȱ soȱ handeltȱ esȱ sichȱ umȱ eineȱ nachȬ schüssigeȱVerzinsung,ȱsindȱsieȱamȱAnfangȱderȱZinsperiodeȱfällig,ȱumȱeineȱvorschüssiȬ geȱ Verzinsung.ȱ Wirȱ werdenȱ hierȱ nurȱ dieȱ nachschüssigeȱ Verzinsungȱ betrachten,ȱ dieȱ auchȱinȱderȱPraxisȱimȱFinanzbereichȱdieȱgrößteȱRolleȱspielt.ȱ Desȱweiterenȱgehenȱwirȱdavonȱaus,ȱdassȱeingezahltesȱoderȱausbezahltesȱKapitalȱsofortȱ zinswirksamȱ wird.ȱ Inȱ derȱ Praxisȱ istȱ diesesȱ nichtȱ unbedingtȱ derȱ Fall.ȱ Dieȱ Valutierung,ȱ d.h.ȱdieȱWertstellung,ȱerfolgtȱinȱderȱRegelȱspäter.ȱBeiȱWertpapierenȱerfolgtȱdieȱValutieȬ rungȱz.B.ȱmeistȱzweiȱBankarbeitstageȱnachȱAbschlussȱdesȱGeschäfts.ȱDieseȱeherȱtechniȬ schenȱ Regelungenȱ sindȱ fürȱ dasȱ allgemeineȱ Verständnisȱ aberȱ nichtȱ relevant.ȱȱ Ebensoȱ achtenȱwirȱ nichtȱ darauf,ȱ obȱ einȱ Zinszahlungsterminȱ aufȱ einenȱ Bankarbeitstagȱ oderȱ einenȱ Feiertagȱ oderȱ einȱ Wochenendeȱ fällt.ȱ Zinszahlungstermineȱ betrachtenȱ wirȱ immerȱȱalsȱamȱkalendermäßigenȱEndeȱeinerȱPeriodeȱliegend,ȱsoȱz.B.ȱamȱ31.12.ȱbeiȱjährȬ licherȱZinszahlung,ȱetc.ȱ Zinsenȱ werdenȱ üblicherweiseȱ alsȱ Jahreszinsenȱ mitȱ derȱ Spezifizierungȱ „p.a.“ȱ (perȱ anȬ num)ȱ angegeben.ȱ Weitere,ȱ aberȱ seltenȱ verwendeteȱ Bezeichnungen,ȱ sindȱ „p.Q.“ȱ (proȱ Quartal)ȱundȱ„p.M.“ȱ(proȱMonat).19ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 18ȱȱ Inȱ derȱ finanzmathematischenȱ Literaturȱ wirdȱ bisweilenȱ auchȱ derȱ Begriffȱ „ZinszuschlagsterȬ

min“ȱ verwendet.ȱ Dieȱ Begriffeȱ „Zinszahlungstermin“ȱ undȱ „Zinstermin“ȱ sindȱ inȱ derȱ praktiȬ schenȱAnwendungȱaberȱgeläufiger.ȱȱ 19ȱȱ S.ȱMartin,ȱ2003,ȱS.ȱ29.ȱ

59

3.3

3

Zinsrechnung

3.4

Verzinsung über eine Periode

Wirȱ bezeichnenȱ dasȱ Kapitalȱ alsȱ K.ȱ Derȱ Zeitpunkt,ȱ zuȱ demȱ derȱ Wertȱ desȱ Kapitalsȱ beȬ trachtetȱwird,ȱwirdȱmitȱeinemȱIndexȱjȱnotiert.ȱSomitȱstehtȱ K 0 fürȱdasȱKapitalȱzumȱZeitȬ punktȱ 0,ȱ d.h.ȱ zumȱ Beginnȱ derȱ Verzinsung.ȱ Denȱ Endwertȱ desȱ Kapitals,ȱ d.h.ȱ denȱ Wertȱ desȱKapitalsȱ nachȱAblaufȱeinerȱZinsperiode,ȱnennenȱwirȱ K 1 .ȱDerȱZinssatzȱwirdȱmitȱi,ȱ vomȱenglischenȱ„interestȱrate“,ȱbezeichnet.ȱȱ Inȱ Textdarstellungenȱ wirdȱ meistȱ einȱ Prozentsatzȱ zurȱ Berechnungȱ derȱ Zinsenȱ angegeȬ ben,ȱz.B.ȱeinȱJahreszinssatzȱvonȱ5%.ȱDiesesȱbezeichnetȱmanȱinȱderȱLiteraturȱhäufigȱalsȱ Zinsfuß.ȱDemȱZinsfußȱvonȱ5%ȱentsprichtȱdannȱeinȱZinssatzȱvonȱ0,05.ȱWirȱwerdenȱhierȱ aberȱdurchgehendȱvonȱ„Zinssatz“ȱsprechenȱundȱimȱTextȱvorwiegendȱdieȱProzentdarȬ stellung,ȱ inȱAbkürzungenȱ undȱ inȱ Rechnungenȱ dieȱ Schreibweiseȱ alsȱ Dezimalzahlȱ verȬ wenden.ȱ ȱ Beispielȱ3.2:ȱSieȱlegenȱheuteȱ1.000ȱ€ȱzuȱeinemȱZinssatzȱvonȱ5%ȱp.a.ȱaufȱeinemȱSparbuchȱ an.ȱÜberȱwelchenȱBetragȱverfügenȱSieȱnachȱeinemȱJahr?ȱ Lösung:ȱNachȱeinemȱJahrȱerhaltenȱSieȱ50ȱ€ȱZinsen,ȱd.h.ȱ5%ȱp.a.ȱvonȱ1.000ȱ€.ȱZusätzlichȱȱ erhaltenȱSieȱIhrȱKapitalȱzurück.ȱInsgesamtȱhabenȱSieȱnachȱeinemȱJahrȱalsoȱȱ K 1 = 1.000 €  0 ,05 ˜ 1.000 €

aufȱIhremȱSparbuch.ȱȱ

1.000 €  50 € ȱ

ȱ

1.000 € ˜ 1,05 ȱ

ȱ

1.050 € ȱȱ ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ Allgemeinȱ erzieltȱ manȱ beiȱAnlageȱ einesȱ Kapitalsȱ K 0 ȱ beiȱ einemȱ Jahreszinssatzȱ iȱ nachȱ einemȱJahrȱalsoȱ K1 = K 0  i ˜ K 0

K 0 ˜ (1  i) .ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(3.1)ȱ

DerȱFaktorȱ(1+i)ȱheißtȱ Aufzinsungsfaktor.ȱBeiȱMultiplikationȱdesȱKapitalsȱmitȱdiesemȱ Faktor,ȱd.h.ȱbeiȱVerzinsungȱdesȱKapitalsȱfürȱeineȱPeriode,ȱerhältȱmanȱdenȱ Endwertȱ K 1 ȱ desȱKapitals.ȱDerȱAufzinsungsfaktorȱ(1+i)ȱwirdȱauchȱmitȱqȱbezeichnet,ȱd.h.ȱqȱ=ȱ1+i.ȱ ȱ Beispielȱ3.3:ȱ(FortführungȱvonȱBeispielȱ3.2):ȱ SieȱbekommenȱweiterhinȱeinenȱZinssatzȱ vonȱ 5%ȱ p.a.ȱ aufȱ Ihremȱ Sparbuch.ȱ Inȱ einemȱ Jahrȱ möchtenȱ Sieȱ überȱ 2.100ȱ €ȱ verfügen.ȱ WelchenȱBetragȱmüssenȱSieȱheuteȱanlegen?ȱ Lösung:ȱ Dieȱ Situationȱ hatȱ sichȱ jetztȱ umgekehrt.ȱ Sieȱ kennenȱ denȱ Endwertȱ K 1 ȱ Ihresȱ Kapitalsȱ undȱ wollenȱ denȱ heutigenȱ Wertȱ K 0 ȱ bestimmen.ȱ Diesesȱ nenntȱ manȱ denȱ BarȬ wertȱderȱ2.100ȱ€,ȱdieȱSieȱinȱeinemȱJahrȱerhalten.ȱEsȱgilt:ȱ

60

ȱ

Verzinsung über mehrere Perioden

K1

K 0 ˜ 1,05

Ÿ

2.100 €

2.100 €

K0

2.000 € .ȱ

1,05

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

IndemȱmanȱdurchȱdenȱAufzinsungsfaktorȱdividiert,ȱerhältȱmanȱdenȱWertȱdesȱKapitalsȱ zumȱBeginnȱderȱVerzinsung,ȱdenȱ Barwert.ȱDiesenȱVorgangȱbezeichnetȱmanȱalsȱ AbzinȬ senȱoderȱDiskontieren.ȱDerȱFaktorȱȱ d

1 1,05

0 ,9523 ȱ

ȱ

heißtȱDiskontfaktor.ȱȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

AllgemeinȱerrechnetȱsichȱderȱBarwertȱausȱdemȱEndwertȱnachȱeinerȱPeriodeȱüberȱ K 0 ˜ (1  i)

K1

Ÿ

K1 (1  i)

K0

K1 q

K 1 ˜ d .ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(3.2)ȱ

DabeiȱistȱderȱDiskontfaktorȱdȱderȱKehrwertȱdesȱAufzinsungsfaktorsȱq,ȱd.h.ȱȱ d

1 .ȱ ȱ q

3.5

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(3.3)ȱ

Verzinsung über mehrere Perioden

Betrachtetȱ manȱ dieȱ Verzinsungȱ überȱ mehrȱ alsȱ eineȱ Periode,ȱ soȱ hängtȱ derȱ Verlaufȱ derȱ Kapitalwerteȱdavonȱab,ȱinȱwelcherȱFormȱdieȱZinsenȱgezahltȱwerden.ȱManȱunterscheiȬ detȱ zwischenȱ zweiȱ verschiedenenȱ Zinsmodellen,ȱ derȱ linearenȱ (einfachen)ȱ undȱ derȱ geometrischenȱVerzinsung.ȱȱ Wirȱ beginnenȱ hierȱ mitȱ derȱ geometrischenȱ Verzinsung,ȱ daȱsieȱdenȱ meistenȱ Lesernȱ ausȱ eigenenȱErfahrungenȱmitȱFinanzprodukten,ȱwieȱz.B.ȱdemȱSparbuch,ȱeherȱbekanntȱist.ȱ

3.5.1

Notationen

Derȱ Wertȱ desȱ Kapitalsȱ zuȱ Beginnȱ derȱ Verzinsungȱ seiȱ weiterhinȱ K 0. ȱ NachȱAblaufȱ derȱȱ jȬtenȱZinsperiodeȱhatȱdasȱKapitalȱdenȱKapitalwertȱ Kj ȱangenommen.ȱDerȱZinssatzȱderȱȱ jȬtenȱPeriodeȱwerdeȱmitȱ ij , ȱdieȱinȱderȱjȬtenȱPeriodeȱgezahltenȱZinsenȱmitȱ Zj ȱbezeichnet.ȱ IstȱderȱZinssatzȱfürȱalleȱbetrachtetenȱPeriodenȱkonstant,ȱsoȱgiltȱ ij ȱ=ȱiȱfürȱalleȱZinsperioȬ denȱundȱderȱIndexȱjȱwirdȱnichtȱmitgeführt.ȱȱ DieȱVerzinsungȱerfolgtȱüberȱeineȱLaufzeitȱvonȱnȱPerioden.ȱDieȱhäufigsteȱPeriodenlängeȱ beträgtȱeinȱJahr,ȱnȱbezeichnetȱdemnachȱmeistȱdieȱAnzahlȱderȱJahre,ȱfürȱdieȱeinȱKapitalȱ

61

3.5

3

Zinsrechnung

angelegtȱ oderȱ aufgenommenȱ wird.ȱ Oftȱ mussȱ manȱ jedochȱ auchȱ kürzereȱ Zinsperiodenȱ betrachten.ȱManȱsprichtȱdannȱvonȱeinemȱ verfeinertenȱZinsmodell20.ȱInȱeinemȱsolchenȱ verfeinertenȱZinsmodellȱwirdȱeineȱZinsperiodeȱvonȱmȱfeinerenȱZinsperiodenȱgebildet.ȱ ManȱerhältȱdannȱeinȱnmȬPeriodenmodell.ȱ Beispielȱ 3.4:ȱ Beiȱ Tagesgeldkontenȱ derȱ ABCȬBankȱ werdenȱ quartalsweiseȱ Zinsenȱ geȬ zahlt.ȱ Sabineȱ legtȱ ihrȱ Geldȱ fürȱ 3ȱ Jahreȱ an.ȱ Esȱ werdenȱ hierȱ alsoȱ nȱ =ȱ 3ȱ Jahreȱ betrachtet.ȱ Jedesȱ Jahrȱ hatȱ mȱ =ȱ 4ȱ Quartale.ȱ Insgesamtȱ erhältȱ sieȱ eineȱ Verzinsungȱ überȱ n ˜ m 3 ˜ 4 12 Perioden.ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

InȱdiesemȱLehrbuchȱwerdenȱdieȱmeistenȱFormelnȱfürȱganzjährigeȱLaufzeitenȱnȱhergeȬ leitet.ȱDieseȱkönnenȱaberȱleichtȱauchȱfürȱverfeinerteȱModelleȱumgestelltȱwerden.ȱ

3.5.2

Geometrische Verzinsung

BeiȱvielenȱklassischenȱFinanzanlagenȱerfolgtȱdieȱGutschriftȱderȱZinsenȱjeweilsȱamȱEndeȱ einerȱZinsperiode,ȱz.B.ȱaufȱeinemȱSparbuchȱamȱEndeȱdesȱJahresȱoderȱbeiȱȱeinemȱTagesȬ geldkontoȱ jeȱ nachȱ Bankȱ amȱ Endeȱ jedesȱ Quartalsȱ oderȱ amȱ Endeȱ jedesȱ Monats.ȱ Dieȱ soȱ gutgeschriebenenȱZinsenȱerbringenȱinȱderȱnächstenȱZinsperiodeȱwiederȱZinsen,ȱdieȱsoȱ genanntenȱ Zinseszinsen,ȱ usw.ȱ DieseȱArtȱ derȱ Verzinsungȱ bezeichnetȱ manȱ alsȱ VerzinȬ sungȱ mitȱ Zinseszinsen,ȱ exponentielleȱ oderȱ geometrischeȱ Verzinsung.ȱ Wirȱ werdenȱ sehen,ȱdassȱdasȱKapitalȱinȱFormȱeinerȱgeometrischenȱFolgeȱanwächst.ȱ Lernhinweis:ȱZurȱWiederholungȱderȱgeometrischenȱFolgeȱsieheȱKapitelȱ2ȱ„MathemaȬ tischeȱGrundlagen“.ȱ

3.5.2.1

Endwertberechnung bei konstantem Zinssatz

Beispielȱ 3.5:ȱ Sieȱ habenȱ amȱ 1.1.2002ȱ einenȱ Betragȱ vonȱ 1.000ȱ €ȱ aufȱ einȱ Festgeldkontoȱ eingezahlt.ȱAufȱdemȱKontoȱgaltȱfürȱ3ȱJahreȱeinȱZinssatzȱvonȱ3%ȱp.a.ȱWieȱhatȱsichȱIhrȱ Kapitalȱentwickelt?ȱ Lösung:ȱNachȱeinemȱJahrȱhabenȱSieȱ3%ȱZinsenȱfürȱIhrȱAnfangskapitalȱerhalten.ȱDiesesȱ erhöhteȱsichȱsoȱaufȱ1.030ȱ€.ȱNachȱdemȱzweitenȱJahrȱbekamenȱSieȱalsoȱbereitsȱZinsenȱfürȱ 1.030ȱ€.ȱDieseȱmachtenȱ30,90ȱ€ȱaus,ȱd.h.ȱdieȱZinsenȱaufȱdieȱZinsenȱdesȱVorjahres,ȱdieȱsoȱ genanntenȱZinseszinsen,ȱbetrugenȱ90ȱCent.ȱȱ

Amȱ Endeȱ derȱ 3ȱ Jahreȱ hattenȱ Sieȱ 1.092,73ȱ €ȱ zurȱ Verfügung.ȱ Ohneȱ Zinseszinsenȱ hättenȱ SieȱproȱPeriodeȱ30ȱ€,ȱalsoȱinsgesamtȱ90ȱ€ȱbekommen.ȱBeiȱderȱBerechnungȱvonȱZinsesȬ zinsenȱhabenȱSieȱ2,73ȱ€ȱmehrȱerhalten.ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 20ȱZ.B.ȱMartin,ȱ2003,ȱS.ȱ31ȱff.ȱ

62

ȱ

Verzinsung über mehrere Perioden

Tabelleȱ3Ȭ1:ȱ

KapitalentwicklungȱbeiȱEinzahlungȱvonȱ1.000ȱ€ȱ(iȱ=ȱ3%ȱp.a.)ȱaufȱeinemȱ Festgeldkontoȱ Datum

Kapital

01.01.2002

1.000,00 €

31.12.2002

1.030,00 €

31.12.2003

1.060,90 €

31.12.2004

1.092,73 €

Ƒȱ

ȱ LegtȱmanȱallgemeinȱzuȱBeginnȱderȱLaufzeitȱeinȱKapitalȱ K 0 ȱan,ȱsoȱbekommtȱmanȱnachȱ einerȱPeriodeȱ Z1 K 0 ˜ i ȱZinsen.ȱDiesesȱwirdȱdemȱKapitalȱgutgeschrieben,ȱsoȱdassȱsichȱ derȱKontostandȱaufȱȱ K1

K 0  Z1

K0  K0 ˜ i

K 0 ˜ (1  i)

K0 ˜ q ȱ

beläuft.ȱDasȱKapitalȱwurdeȱalsoȱmitȱdemȱFaktorȱqȱ=ȱ(1+i)ȱaufgezinst.ȱ Inȱ derȱ zweitenȱ Periodeȱ wirdȱ nunȱ K 1

K 0 ˜ (1  i )

K 0 ˜ q weiterȱ verzinst.ȱ Diesesȱ wirdȱ

wiederumȱmitȱqȱ=ȱ(1+i)ȱaufgezinst,ȱsoȱdassȱsichȱnachȱderȱzweitenȱPeriodeȱderȱKontoȬ standȱdurchȱEinsetzenȱalsȱ K2

K1  Z 2

K1  K1 ˜ i

K 1 ˜ (1  i)

K 0 ˜ (1  i) ˜ (1  i)

K 0 ˜ (1  i ) 2

K0 ˜ q2 ȱ

ergibt.ȱDasȱAufzinsenȱüberȱzweiȱPeriodenȱentsprichtȱalsoȱdemȱMultiplizierenȱmitȱdemȱ QuadratȱdesȱAufzinsungsfaktorsȱq.ȱ AufȱdieseȱWeiseȱlässtȱsichȱdieȱEntwicklungȱdesȱKapitalwertesȱweiterȱverfolgenȱbisȱnachȱ nȱPeriodenȱderȱKapitalwertȱaufȱ Kn

K n 1  Z n

K n  1 ˜ (1  i )

K 0 ˜ (1  i)n 1 ˜ (1  i)

K 0 ˜ (1  i)n

K 0 ˜ q n ȱȱ

ȱȱȱȱ(3.4)ȱ

angewachsenȱ ist.ȱ Dieȱ Kapitalwerteȱ K 0 , K 1, K 2 , ... ȱ stellenȱ alsoȱ eineȱ geometrischeȱ Folgeȱ dar.ȱ ȱ Beispielȱ 3.6ȱ (Fortführungȱ vonȱ Beispielȱ 3.5):ȱ Inȱ Beispielȱ 3.5ȱ hattenȱ Sieȱ 1.000ȱ €ȱ fürȱ 3ȱ JahreȱzuȱeinemȱZinssatzȱvonȱ3%ȱp.a.ȱangelegt.ȱDerȱEndwertȱkannȱhierȱauchȱberechnetȱ werden,ȱ ohneȱ denȱ Wertȱ nachȱ demȱ erstenȱ undȱ demȱ zweitenȱ Jahrȱ aufzulisten.ȱ Manȱ erȬ hältȱdannȱȱ K3

K 0 ˜ (1  i)3

1.000 € ˜ 1,033

1.092,73ȱ€.ȱȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

63

3.5

3

Zinsrechnung

3.5.2.2

Barwertberechung bei konstantem Zinssatz

Hatȱ manȱ umgekehrtȱ denȱ Endwertȱ nachȱ nȱ Periodenȱ bereitsȱ gegebenȱ undȱ interessiertȱ sichȱ fürȱ denȱ Barwert,ȱ d.h.ȱ dasȱ Kapital,ȱ dasȱ angelegtȱ werdenȱ muss,ȱ umȱ denȱ Endwertȱȱ nachȱnȱPeriodenȱzuȱerzielen,ȱsoȱergibtȱsichȱdieserȱdurchȱUmformungȱausȱȱȱ K 0 ˜ q n ȱȱ

Kn

zuȱȱ

K0

Kn .ȱ qn

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(3.5)ȱ

DerȱBarwertȱentstehtȱausȱdemȱEndwertȱdurchȱAbzinsungȱmitȱdemȱFaktorȱ1/ q n .ȱ ȱ Beispielȱ3.7:ȱ SieȱwollenȱzumȱBeginnȱihrerȱBerufslaufbahnȱinȱ4ȱJahrenȱeinenȱPkwȱkauȬ fenȱ undȱ sindȱ bereit,ȱ dafürȱ 20.000ȱ €ȱ zuȱ investieren.ȱ Welchenȱ Betragȱ müssenȱ Sieȱ heuteȱ anlegen,ȱ wennȱ Sieȱ fürȱ 4ȱ Jahreȱ einenȱ konstantenȱ Zinssatzȱ vonȱ 3,5%ȱ p.a.ȱ vonȱ derȱ Bankȱ erhalten?ȱ Lösung:ȱ EsȱistȱderȱBarwertȱderȱ20.000ȱ€,ȱdieȱSieȱinȱ4ȱJahrenȱbenötigen,ȱȱzuȱbestimmen.ȱ Dieserȱbeläuftȱsichȱaufȱ

K4 q4

K0

20.000 € 1,0354

17.428,85 €. ȱ

Sieȱmüsstenȱheuteȱeinmaligȱ 17.428,85 ȱ€ȱanlegen.ȱȱ Lernhinweis:ȱ Wennȱ Sieȱ diesenȱ Betragȱ nichtȱ einmaligȱ anlegenȱ können,ȱ lesenȱ Sieȱ imȱ Kapitelȱ6ȱ„Rentenrechnung“ȱnach,ȱwelchenȱBetragȱSieȱüberȱmehrereȱPeriodenȱanlegenȱ müssen,ȱumȱnachȱ4ȱJahrenȱ20.000ȱ€ȱzurȱVerfügungȱzuȱhaben.ȱȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

3.5.2.3

Endwertberechnung bei unterschiedlichen Zinssätzen pro Periode

Inȱ derȱ Praxisȱ schwankenȱ dieȱ Zinsenȱ imȱ Zeitablauf.ȱ Jeȱ nachȱAnlageȬȱ oderȱ Kreditformȱ wirdȱdieseȱVariationȱderȱZinsenȱanȱdenȱBankkundenȱweitergegeben.ȱȱ Beispielȱ 3.8ȱ (Fortführungȱ vonȱ Beispielȱ 3.5):ȱ Einȱ Freundȱ vonȱ Ihnenȱ hatȱ amȱ 1.1.2002ȱ einenȱ Betragȱ vonȱ ebenfallsȱ 1.000ȱ €ȱ aufȱ einemȱ Tagesgeldkontoȱ mitȱ jährlichenȱ ZinszahȬ lungsterminenȱangelegt.ȱDieȱBankȱzahltȱalsȱZinssatzȱdenȱ12ȬMonatsȬEuribor.ȱAmȱZinsȬ festsetzungsterminȱfürȱdasȱJahrȱ2002ȱbetrugȱdieserȱ3,63%,ȱfürȱdasȱJahrȱ2003ȱ2,73%,ȱzuȱ Beginnȱ desȱ Jahresȱ 2004ȱ beliefȱ erȱ sichȱ aufȱ 2,28%.ȱ Überȱ welchenȱ Betragȱ hatȱ Ihrȱ Freundȱ amȱEndeȱdesȱdrittenȱJahresȱverfügt?ȱ Lösung:ȱ Überȱ eineȱ Exceltabelleȱ kannȱ manȱ leichtȱ denȱ Endwertȱ nachȱ 3ȱ Jahrenȱ bestimȬ men.ȱ

64

ȱ

Verzinsung über mehrere Perioden

Tabelleȱ3Ȭ2:ȱ

Verzinsungȱüberȱ3ȱJahreȱbeiȱunterschiedlichenȱZinssätzenȱȱ

Datum

Relevanter Zinssatz

Kapital

01.01.2002

-

1.000,00 €

31.12.2002

3,63%

1.036,30 €

31.12.2003

2,73%

1.064,59 €

31.12.2004

2,28%

1.088,86 €

ȱ Dieȱ angelegtenȱ 1.000ȱ €ȱ habenȱ sichȱ imȱ erstenȱ Jahrȱ mitȱ einemȱ Zinssatzȱ vonȱ 3,63%ȱ zuȱ 1036,30ȱ €ȱ verzinst.ȱ Dieserȱ Betragȱ wurdeȱ dannȱ imȱ zweitenȱ Jahrȱ mitȱ 2,73%ȱ verzinst,ȱ soȱ dassȱ Ihrȱ Freundȱ amȱ Endeȱ desȱ zweitenȱ Jahresȱ 1.036 ,30 € ˜ 1,0273 1.064 ,59 € aufȱ demȱ Kontoȱhatte.ȱNachȱeinerȱweiterenȱVerzinsungȱmitȱ2,28%ȱhatȱIhrȱFreundȱamȱEndeȱdesȱ drittenȱJahresȱüberȱ1.088,86ȱ€ȱverfügt.ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ ȱ AllgemeinȱerhältȱmanȱbeiȱAnlageȱeinesȱKapitalsȱ K 0 ȱzuȱBeginnȱderȱLaufzeitȱnachȱeinerȱ Periodeȱ Z1 K 0 ˜ i1 ȱZinsen,ȱsoȱdassȱsichȱderȱKontostandȱaufȱȱ K1

K 0 ˜ (1  i1 )

K 0 ˜ q1 ȱ

erhöht.ȱ InȱderȱzweitenȱPeriodeȱwirdȱ K 1 aberȱ mitȱ q 2

K 0 ˜ (1  i1)

K 0 ˜ q 1 ȱweiterȱverzinst.ȱDiesesȱwirdȱnunȱ

(1  i 2) ȱ verzinst.ȱ Nachȱ derȱ zweitenȱ Periodeȱ hatȱ manȱ alsoȱ einenȱ KapitalȬ

wertȱvonȱ K2

K1  Z 2

K1  K1 ˜ i2

K 1 ˜ (1  i 2 )

K 0 ˜ (1  i1 ) ˜ (1  i 2 )

DerȱAufzinsungsfaktorȱfürȱ2ȱPeriodenȱbeträgtȱdaherȱ q( 2 )

K 0 ˜ q1 ˜ q 2 .ȱ

q1 ˜ q 2

(1  i1) ˜ (1  i 2 ) .ȱȱ

NachȱnȱPeriodenȱistȱderȱKapitalwertȱschließlichȱaufȱ Kn

K n 1  Z n

K n 1 ˜ (1  i n )

K 0 ˜ q1 ˜ q 2 ˜ ... ˜ q n ȱȱȱȱ(3.6)ȱ

K 0 ˜ (1  i 1 ) ˜ (1  i 2 ) ˜  ˜ (1  i n )

angewachsen.ȱ DerȱallgemeineȱAufzinsungsfaktorȱ q( n ) ȱfürȱnȱPeriodenȱbeiȱunterschiedlichenȱZinssätȬ zenȱproȱPeriodeȱbeträgtȱsoȱ q( n )

q1 ˜ q 2 ˜ ... ˜ q n

(1  i1 ) ˜ (1  i 2 ) ˜  ˜ (1  i n ) .ȱ

SindȱalleȱZinssätzeȱkonstant,ȱgiltȱalsoȱ i1 derȱ

i2

...

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(3.7)ȱ

in ,ȱsoȱergibtȱsichȱalsȱSpezialfallȱwieȬ

65

3.5

3

Zinsrechnung

(1  i) ˜ (1  i) ˜  ˜ (1  i)

q( n )

(1  i)n

q n .ȱȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(3.8)ȱ

ȱ Beispielȱ3.9ȱ(FortführungȱvonȱBeispielȱ3.8):ȱDerȱEndwertȱderȱaufȱdemȱTagesgeldkontoȱ angelegtenȱ1.000ȱ€ȱnachȱ3ȱJahrenȱkannȱauchȱohneȱExcelȬTabelleȱberechnetȱwerden.ȱManȱ erhältȱȱ

K 0 ˜ (1  i1 ) ˜ (1  i 2 ) ˜ (1  i 3 )

K3

3.5.2.4

1.000 € ˜ 1,0363 ˜ 1,0273 ˜ 1,0228

1.088 ,86 €. ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Barwertberechung bei unterschiedlichen Zinssätzen pro Periode

WiederumȱkannȱmanȱdurchȱUmkehrungȱderȱOperationenȱauchȱdenȱBarwertȱ K 0 einesȱ gegebenenȱEndwertsȱ Kn berechnen.ȱDieserȱergibtȱsichȱbeiȱunterschiedlichenȱZinssätzenȱ proȱPeriodeȱzuȱȱ Kn (1  i 1 ) ˜ (1  i 2 ) ˜  ˜ (1  i n )

K0

Kn q1 ˜ q 2 ˜ ... ˜ q n

Kn .ȱ q( n )

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(3.9)ȱ

ȱ Beispielȱ 3.10:ȱ Sieȱ gehenȱ amȱ 1.1.2005ȱ einenȱ Sparplanȱ mitȱ einerȱ Laufzeitȱ vonȱ 6ȱ Jahrenȱ undȱeinemȱaufsteigendenȱZinssatzȱein.ȱFürȱdasȱersteȱJahrȱbekommenȱSieȱ2,7%ȱp.a.ȱAlleȱ 2ȱJahreȱerhöhtȱsichȱderȱZinssatzȱumȱeinenȱhalbenȱProzentpunkt.ȱAmȱEndeȱderȱLaufzeitȱ wollenȱSieȱüberȱ5.000ȱ€ȱverfügen.ȱWelchenȱBetragȱmüssenȱSieȱheuteȱanlegen?ȱ Lösung:ȱ DerȱBarwertȱdesȱgegebenenȱEndwertsȱvonȱ5.000ȱ€ȱbeträgtȱunterȱBerücksichtiȬ gungȱderȱunterschiedlichenȱZinssätzeȱvonȱ2,7%ȱp.a.ȱimȱerstenȱundȱzweiten,ȱ3,2%ȱp.a.ȱȱ imȱdrittenȱundȱviertenȱundȱ3,7%ȱp.a.ȱimȱfünftenȱundȱsechstenȱJahrȱȱ

Kn (1  i1 ) ˜ (1  i 2 ) ˜ ... ˜ (1  i 6 )

K0

5.000 € 2

1,027 ˜ 1,032 2 ˜ 1,037 2

4.139,16 €. ȱ

Sieȱmüsstenȱalsoȱheuteȱ4.139,16ȱ€ȱanlegen,ȱumȱnachȱ6ȱJahrenȱ5.000ȱ€ȱangespartȱzuȱhaȬ ben.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

3.5.3

Lineare (einfache) Verzinsung

Lineareȱ oderȱ einfacheȱ Verzinsungȱ liegtȱ dannȱ vor,ȱ wennȱ proȱ Periodeȱ nurȱ aufȱ dasȱ zuȱ BeginnȱeingezahlteȱKapitalȱZinsenȱberechnetȱwerden,ȱnichtȱaberȱaufȱdieȱbereitsȱerhalȬ tenenȱZinsen.ȱDieseȱVerzinsungȱistȱfürȱeinenȱBankkundenȱinȱderȱPraxisȱbeiȱmehrerenȱ Zinszahlungsterminenȱnichtȱrelevant,ȱdaȱesȱüblichȱist,ȱZinseszinsenȱaufȱbereitsȱaufgeȬ laufeneȱZinsenȱzuȱberechnen.ȱȱ

66

ȱ

Verzinsung über mehrere Perioden

Inȱ derȱ Literaturȱ werdenȱ alsȱ Beispieleȱ fürȱ dieȱ einfacheȱ Verzinsungȱ Wertpapiereȱ angeȬ führt,ȱbeiȱdenenȱdieȱZinsenȱnichtȱdemȱKapitalȱzugefügtȱwerden,ȱsondernȱanȱdenȱInhaȬ berȱ desȱ Wertpapiers,ȱ denȱ Gläubiger,ȱ ausgezahltȱ werden,ȱ soȱ dassȱ derȱ demȱ Schuldnerȱ zurȱVerfügungȱstehendeȱBetragȱjeweilsȱgleichȱhochȱbleibt.ȱȱ Beispielȱ 3.11:ȱ Herrȱ Schmidtȱ kauftȱ eineȱ Unternehmensanleiheȱ mitȱ einemȱ NominalbeȬ tragȱvonȱ10.000ȱ€,ȱ5ȱJahrenȱLaufzeitȱundȱeinemȱNominalzinssatzȱvonȱ4%ȱp.a.ȱIhmȱwerȬ denȱ nunȱ jährlichȱ dieȱ Zinsenȱ inȱ Höheȱ vonȱ Z 10.000 € ˜ 0 ,04 400 € ausgezahlt.ȱ Amȱ

Endeȱderȱ5ȱJahreȱbekommtȱerȱdieȱinvestiertenȱ10.000ȱ€ȱsowieȱdieȱZinsenȱfürȱdasȱletzteȱ Jahrȱ ausgezahlt,ȱ d.h.ȱ imȱ fünftenȱ Jahrȱ erhältȱ erȱ 10.400ȱ €.ȱ Herrȱ Schmidtȱ bekommtȱ alsoȱ insgesamtȱ 400 €  400 €  400 €  400 €  10.400 €

10.000 €  5 ˜ 400 €

12.000 €. ȱ

DieȱArgumentationȱlautetȱnun,ȱdassȱHerrnȱSchmidtsȱKapitalȱsichȱlinearȱverzinst,ȱdaȱerȱ proȱJahrȱnurȱZinsenȱfürȱdieȱinvestiertenȱ10.000ȱ€ȱerhält,ȱaberȱkeineȱZinsenȱaufȱdieȱzuȬ vorȱerhaltenenȱZinsen.ȱȱ Anȱ dieserȱ Stelleȱ istȱ allerdingsȱ daraufȱ hinzuweisen,ȱ dassȱ dieȱ 400ȱ €,ȱ dieȱ Herrȱ Schmidtȱ nachȱdemȱerstenȱJahrȱerhält,ȱwiederȱangelegtȱwerdenȱundȱsoȱamȱEndeȱderȱ5ȱJahreȱauchȱ mehrȱalsȱ400ȱ€ȱwertȱseinȱkönnten.ȱGenausoȱkannȱmitȱdenȱanderenȱZahlungenȱwährendȱ derȱLaufzeitȱverfahrenȱwerdenȱ(s.ȱauchȱKapitelȱ4ȱ„Barwertprinzip“).ȱ ManȱerhältȱdannȱȱeinȱBeispielȱfürȱdieȱlineareȱVerzinsung,ȱwennȱHerrȱSchmidtȱdasȱGeld,ȱ dasȱ erȱ währendȱ derȱ Laufzeitȱ vonȱ denȱ erhaltenenȱ Zinsenȱ bekommt,ȱ zuȱ Hauseȱ untersȱ KopfkissenȱlegtȱoderȱaufȱeinemȱKontoȱmitȱ0%ȱp.a.ȱVerzinsungȱanlegt.ȱDannȱhatȱerȱnachȱ 5ȱJahrenȱtatsächlichȱ12.000ȱ€ȱzurȱVerfügung.ȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ ȱ DiesesȱVerhaltenȱvonȱHerrnȱSchmidtȱwäreȱzwarȱnichtȱsehrȱrational,ȱkommtȱaberȱnatürȬ lichȱvorȱundȱstelltȱeineȱpraktischeȱAnwendungȱfürȱdieȱlineareȱVerzinsungȱüberȱmehreȬ reȱJahreȱdar.ȱWirȱwollenȱesȱimȱHinterkopfȱbehalten,ȱwennȱwirȱbeiȱderȱEinführungȱderȱ linearenȱVerzinsungȱzunächstȱebenfallsȱvonȱeinerȱVerzinsungȱausgehen,ȱdieȱsichȱüberȱ mehrereȱZinsperiodenȱerstreckt.ȱDiesesȱerfolgtȱausȱdidaktischenȱGründen.ȱȱ DieȱeigentlicheȱAnwendungȱderȱlinearenȱVerzinsungȱliegtȱaberȱinȱderȱVerzinsungȱüberȱ BruchteileȱvonȱZinsperioden,ȱz.B.ȱderȱVerzinsungȱfürȱBruchteileȱvonȱJahrenȱbeiȱjährliȬ chenȱZinszahlungsterminen,ȱderȱsoȱgenanntenȱunterjährigenȱVerzinsung.ȱWirȱwerdenȱ späterȱ daraufȱ zurückȱ kommen.ȱ Wirȱ beginnenȱ mitȱ derȱ linearenȱ Verzinsungȱ überȱ nȱ Zinsperioden.ȱ

3.5.3.1

Lineare Verzinsung über n Perioden

WirȱgehenȱzunächstȱvonȱeinemȱkonstantenȱZinssatzȱiȱfürȱnȱZinsperiodenȱaus.ȱLegtȱmanȱ einȱ Kapitalȱ K 0 ȱ fürȱ nȱ Periodenȱ an,ȱ soȱ bekommtȱ manȱ beiȱ derȱ linearenȱ Verzinsungȱ dieȱ 67

3.5

3

Zinsrechnung

Zinsenȱ proȱ Periodeȱ ausbezahlt.ȱ Daȱ dieseȱ denȱ Kapitalwertȱ nichtȱ erhöhenȱ undȱ sieȱ soȱ keineȱZinseszinsenȱerwirtschaften,ȱerzieltȱmanȱalsoȱnachȱnȱJahrenȱeinenȱEndwertȱvonȱȱ n

n

j 1

j 1

K0  ¦ Z K0  ¦ K0 ˜ i

Kn

K 0 ˜ (1  n ˜ i).

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(3.10)ȱ

Beiȱ unterschiedlichenȱ Zinssätzenȱ ij ȱ proȱ Periodeȱ istȱ derȱ Zinsertragȱ Zj ȱ proȱ Periodeȱ verschiedenȱhochȱundȱmanȱerhältȱ n

K0  ¦ Z j

Kn

j 1

n

K0  ¦ K0 ˜ i j

K 0 ˜ (1  i1  ...  i n ).

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(3.11)ȱ

j 1

ȱ Beispielȱ 3.12:ȱ Frauȱ Meierȱ legtȱ 2.000ȱ €ȱ fürȱ 4ȱJahreȱ an.ȱ DasȱKapitalȱ verzinstȱ sichȱ linear.ȱ Dabeiȱ erhältȱ sieȱ imȱ erstenȱ Jahrȱ 3%ȱ p.a.,ȱ imȱ zweitenȱ undȱ drittenȱ Jahrȱ 4%ȱ p.a.ȱ undȱ imȱ viertenȱJahrȱ3,5%ȱp.a.ȱWelchenȱBetragȱhatȱsieȱnachȱ4ȱJahrenȱangespart?ȱ Lösung:ȱNachȱ4ȱJahrenȱverfügtȱFrauȱMeierȱüberȱȱ

K 0 ˜ (1  i 1  i 2  i 3  i 4 )

K4

3.5.3.2

2.000 € ˜ (1  0 ,03  2 ˜ 0 ,04  0 ,035)

2.290 €.

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

Verzinsung innerhalb einer Zinsperiode

Dieȱ eigentlicheȱ Praxisrelevanzȱ erreichtȱ dieȱ lineareȱ Verzinsung,ȱ wennȱ dasȱ Kapitalȱ fürȱ einenȱBruchteilȱeinerȱZinsperiodeȱverzinstȱwird.ȱDiesesȱtrittȱein,ȱwennȱdasȱKapitalȱanȱ einemȱ Terminȱ einȬȱ oderȱ ȱ ausgezahltȱ wird,ȱ derȱ keinȱ Zinszahlungsterminȱ ist.ȱ Dieȱ Zeitȱ vonȱ derȱ Einzahlungȱ bisȱ zumȱ Zinszahlungsterminȱ oderȱ vomȱ Zinszahlungsterminȱ bisȱ zurȱAuszahlungȱentsprichtȱsoȱkeinerȱganzen,ȱsondernȱnurȱeinemȱBruchteilȱeinerȱZinsȬ periode.ȱEsȱistȱdannȱüblich,ȱdasȱKapitalȱlinearȱfürȱdenȱentsprechendenȱAnteilȱderȱPeriȬ odeȱzuȱverzinsen.ȱȱ ImȱPrinzipȱistȱesȱmöglich,ȱdieȱFormelȱ(3.10)ȱȱ K 0 ˜ (1  n ˜ i), ȱ

Kn

zuȱverwendenȱundȱfürȱnȱeinȱBruchteilȱeinesȱJahresȱeinzusetzen.ȱDaȱnȱaberȱinȱderȱRegelȱ fürȱdieȱnatürlichenȱZahlenȱsteht,ȱwählenȱwirȱhierȱdieȱVerallgemeinerungȱȱ K 0 ˜ (1  t ˜ i), ȱ

Kt

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(3.12)ȱ

wobeiȱ tȱ eineȱ beliebigeȱ reelleȱ Zahlȱ ist,ȱ dieȱ dieȱ Zeitȱ ausdrückt.ȱ Setztȱ manȱ fürȱ tȱ ganzeȱ Jahreȱein,ȱerhältȱmanȱwiederȱdieȱursprünglicheȱFormel.ȱ Beispielȱ3.13:ȱ HerrȱMüllerȱlegtȱ1.000ȱ€ȱfürȱeinȱVierteljahrȱ(1.4.ȱ–ȱ30.6.)ȱzuȱeinemȱZinsȬ satzȱvonȱ3%ȱp.a.ȱaufȱeinemȱSparbuchȱan,ȱbeiȱdemȱdieȱZinszahlungstermineȱamȱ31.12.ȱ liegen.ȱÜberȱwelchenȱBetragȱverfügtȱerȱamȱEndeȱdesȱVierteljahres?ȱ

68

ȱ

Verzinsung über mehrere Perioden

Lösung:ȱHerrȱMüllerȱverfügtȱnachȱeinemȱVierteljahrȱüberȱ

K 0 ,25

1.000 € ˜ (1  0 ,25 ˜ 0 ,03)

1.007 ,50 €. ȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ManȱsprichtȱmeistȱvonȱunterjährigerȱVerzinsung,ȱdaȱoftmalsȱdieȱZinszahlungstermineȱ jährlichȱsindȱundȱdieȱVerzinsungȱfürȱdenȱBruchteilȱeinesȱJahresȱsoȱfürȱeinenȱTeilȱ„kleiȬ nerȱalsȱeinemȱJahr“,ȱalsoȱunterjährigȱerfolgt.ȱȱ Korrekterweiseȱ müssteȱ manȱ vonȱ unterperiodigerȱ Verzinsungȱ sprechen.ȱ Liegenȱ dieȱ Zinszahlungstermineȱz.B.ȱanȱdenȱQuartalsenden,ȱwürdeȱbeiȱeinerȱAnlageȱvomȱ1.3.ȱbisȱ zumȱ 30.6.ȱ nachȱ demȱ erstenȱ Monat,ȱ alsoȱ einemȱ Bruchteilȱ einesȱ Quartalsȱ eineȱ lineareȱ Zinszahlungȱ unterperiodigȱ erfolgen,ȱ fürȱ dasȱ zweiteȱ volleȱ Quartalȱ vonȱ Aprilȱ bisȱ Juniȱ würdeȱsichȱdasȱsoȱentstandeneȱKapitalȱaberȱgeometrischȱweiterȱverzinsen.ȱȱ WirȱwerdenȱimȱFolgendenȱjedochȱauchȱmeistȱvonȱunterjährigerȱVerzinsungȱsprechen,ȱ umȱ denȱ Unterschiedȱ zwischenȱ „gröberen“ȱ Jahresperiodenȱ undȱ „feineren“ȱ Periodenȱ ausdrückenȱzuȱkönnen.ȱDieȱÜbertragungȱaufȱandereȱ„grobe“ȱZinsperioden,ȱdieȱkürzerȱ alsȱeinȱJahrȱsind,ȱistȱdannȱnichtȱschwierig.ȱ

3.5.3.3

Zinstagemethoden

Beispielȱ3.14:ȱ EinȱKapitalȱvonȱ1.000ȱ€ȱwirdȱ5ȱMonateȱlangȱ(innerhalbȱeinesȱJahres)ȱzuȱ 5,5%ȱp.a.ȱaufȱeinemȱSparbuchȱmitȱjährlichenȱZinszahlungsterminenȱangelegt.ȱWelchenȱ KapitalwertȱhatȱesȱamȱEndeȱderȱ5ȱMonate?ȱ Lösung:ȱIntuitivȱwürdenȱdieȱmeistenȱLeuteȱ5ȱMonateȱalsȱ5/12ȱeinesȱJahresȱansehenȱundȱ daraufȱ kommen,ȱ dassȱ dannȱ auchȱ 5/12ȱ derȱ Zinsenȱ einesȱ Jahresȱ gezahltȱ werden.ȱ Dasȱ Kapitalȱhätteȱnachȱ5ȱMonatenȱalsoȱdenȱWertȱȱ

K5

Monate

K0  Z

K 0 ˜ (1  t ˜ i )

5 § · 1.000 € ˜ ¨ 1  ˜ 0 ,055 ¸ 12 © ¹

1.022 ,92 €. ȱ ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

VielleichtȱfragtȱmanȱsichȱimȱzweitenȱSchritt,ȱumȱwelcheȱ5ȱMonateȱesȱeigentlichȱgehenȱ soll.ȱ Beiȱ 5ȱ Monatenȱ mittelnȱ sichȱ dieȱ Unterschiedeȱ zwischenȱ denȱ Kalendermonatenȱ zwarȱwiederȱeinȱwenigȱheraus.ȱWürdeȱmanȱdasȱGeldȱnurȱfürȱeinenȱMonatȱanlegen,ȱistȱ esȱaberȱschonȱvonȱgrößeremȱInteresse,ȱobȱdiesesȱderȱFebruarȱmitȱnurȱ28ȱTagenȱoderȱderȱ Juliȱ oderȱ Dezemberȱ mitȱ 31ȱ Tagenȱ ist.ȱ Sollteȱ manȱ fürȱ einenȱ kürzerenȱ Monatȱ genausoȱ 1/12ȱderȱJahreszinsenȱbekommenȱwieȱfürȱeinenȱlängerenȱMonat?ȱ DieseȱProblematikȱwirdȱvonȱdenȱsoȱgenanntenȱZinstagemethodenȱberücksichtigt.21ȱ

„ Methodeȱ 30/360:ȱ Derȱ imȱ obigenȱ Beispielȱ gewählteȱ Ansatz,ȱ jedenȱ Monatȱ alsȱ 1/12ȱ einesȱJahresȱzuȱbetrachten,ȱistȱeinȱBeispielȱfürȱdieȱ30/360ȬMethodeȱ(sprich:ȱdreißigȱ dreihundertsechzigȬMethode).ȱ Jederȱ Monatȱ wirdȱ mitȱ 30ȱ Tagen,ȱ dasȱ Jahrȱ mitȱ 360ȱ Tagenȱgerechnet.ȱBeiȱeinemȱMonatȱhätteȱmanȱdannȱ30ȱTageȱdesȱMonatsȱgegenüberȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 21ȱȱ Vgl.ȱz.B.ȱwww.zinsmethoden.de.ȱ

69

3.5

3

Zinsrechnung

360ȱTagenȱeinesȱJahres,ȱalsoȱeinȱZwölftelȱdesȱJahres.ȱDabeiȱistȱderȱZählerȱunabhänȬ gigȱ davon,ȱ wieȱ vieleȱ Tageȱ derȱ Monatȱ lautȱ demȱ Kalenderȱ tatsächlichȱ enthält.ȱ Einȱ Monat,ȱderȱregulärȱ30ȱTageȱhat,ȱwieȱderȱAprilȱoderȱderȱNovemberȱwirdȱmitȱ30ȱTaȬ genȱberechnet.ȱGenausoȱwerdenȱaberȱauchȱderȱJanuar,ȱderȱJuliȱoderȱderȱDezember,ȱ dieȱlautȱKalenderȱ31ȱTageȱbesitzen,ȱjeweilsȱmitȱ30ȱZinstagenȱangesetzt,ȱebensoȱwieȱ derȱFebruar,ȱderȱjaȱeigentlichȱnurȱ28ȱoderȱimȱSchaltjahrȱ29ȱTageȱhat.ȱEinȱVorteilȱdieȬ serȱMethodeȱist,ȱdassȱdieȱBerechnungȱsehrȱeinfachȱwird.ȱManȱerspartȱsichȱdasȱAbȬ zählenȱ derȱ Tageȱ proȱ Monat.ȱ Dieȱ Berechnungsmethodeȱ wurdeȱ inȱ Ermangelungȱ schnellerȱRechenmaschinenȱeingeführtȱundȱwirdȱauchȱalsȱMethodeȱdesȱkaufmänȬ nischenȱ Rechnensȱ bezeichnet.ȱ Inȱ Deutschlandȱ wirdȱ sieȱ heuteȱ nochȱ hauptsächlichȱ angewendet,ȱwieȱz.B.ȱbeiȱSparbüchern,ȱTermineinlagen,ȱKontokorrentkreditenȱundȱ denȱmeistenȱDarlehen.ȱ

„ Methodeȱactual/360:ȱBeiȱdieserȱMethodeȱwerdenȱdieȱTage,ȱfürȱdieȱdasȱKapitalȱverȬ zinstȱ wird,ȱ genauȱ abgezählt.ȱ Imȱ Januarȱ werdenȱ hierȱ alsoȱ Zinsenȱ fürȱ 31ȱ Tageȱ beȬ rechnet,ȱimȱFebruarȱfürȱ28ȱTage,ȱbzw.ȱfürȱ29ȱTageȱimȱSchaltjahr,ȱimȱMärzȱwiederȱfürȱ 31ȱTage,ȱusw.ȱDasȱJahrȱwirdȱweiterhinȱmitȱ360ȱTagenȱangesetzt.ȱDieȱMethodeȱwirdȱ z.B.ȱbeiȱGeldmarktgeschäftenȱundȱimȱInterbankenhandelȱverwendet.ȱSieȱwirdȱauchȱ alsȱEurozinsȬȱoderȱfranzösischeȱZinsmethodeȱbezeichnet.ȱ

„ Methodeȱ actual/365:ȱ Dieseȱ Methode,ȱ dieȱ auchȱ englischeȱ Zinsmethodeȱ genanntȱ wird,ȱzähltȱdieȱTageȱnachȱdemȱKalender,ȱdasȱJahrȱwirdȱaberȱimmerȱmitȱ365ȱTagenȱ angesetzt.ȱSieȱwirdȱinȱderȱPraxisȱseltenȱangewandt.ȱȱ

„ Methodeȱ actual/actual:ȱ Beiȱ dieserȱ Zinstagemethodeȱ werdenȱ sowohlȱ dieȱ Tageȱ imȱ ZählerȱalsȱauchȱdasȱJahrȱimȱNennerȱmitȱihrerȱtatsächlichenȱAnzahlȱvonȱTagenȱbeȬ rechnet.ȱDasȱJahrȱwirdȱalsoȱimȱNormalfallȱmitȱ365ȱTagen,ȱinȱeinemȱSchaltjahrȱmitȱ 366ȱTagenȱangesetzt.ȱDieȱMethodeȱwirdȱauchȱ ISMA22ȬMethodeȱgenannt.ȱSieȱwirdȱ inȱDeutschlandȱz.B.ȱbeiȱBundesanleihenȱmitȱfestemȱZinssatzȱverwendet.ȱ ȱ

Nebenȱ denȱ Zinstagemethodenȱ existierenȱ auchȱ unterschiedlicheȱ Konventionen,ȱ nachȱ denenȱderȱersteȱundȱderȱletzteȱTagȱderȱGeldanlageȱbzw.ȱȬaufnahmeȱbehandeltȱwerden.ȱ Soȱwirdȱz.B.ȱbeiȱeinemȱSparbuchȱinȱDeutschlandȱderȱersteȱTagȱmitverzinst,ȱderȱletzteȱ Tagȱnicht,ȱwährendȱesȱbeiȱeinemȱTermingeldȱgenauȱumgekehrtȱist.ȱWirȱwerdenȱinȱdenȱ Beispielenȱdavonȱausgehen,ȱdassȱderȱersteȱTagȱnicht,ȱderȱletzteȱTagȱjedochȱmitverzinstȱ wird.ȱ Beispielȱ3.15:ȱEinȱKapitalȱvonȱ1.000ȱ€ȱseiȱvomȱ15.ȱJuliȱ2005ȱbisȱzumȱ20.ȱSeptemberȱ2005ȱ angelegt.ȱ Derȱ Zinssatzȱ betrageȱ 4%ȱ p.a.ȱ Wieȱ vieleȱ Zinsenȱ werdenȱ beiȱ denȱ Methodenȱ 30/360,ȱactual/360ȱbzw.ȱactual/actualȱausgezahlt?ȱȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 22ȱȱ ISMAȱstehtȱfürȱInternationalȱSecuritiesȱMarketȱAssociation.ȱAusȱihrȱistȱdieȱheutigeȱAssociationȱ

ofȱInternationalȱBondȱDealersȱ(AIBD)ȱhervorgegangen.ȱ

70

ȱ

Verzinsung über mehrere Perioden

Lösung:ȱDerȱersteȱSchrittȱbestehtȱdarin,ȱdieȱAnzahlȱderȱTage,ȱfürȱdieȱdieȱZinsenȱgezahltȱ werden,ȱzuȱbestimmen.ȱ

DiesesȱsindȱimȱJuliȱbeiȱderȱ30/360ȬMethodeȱ15ȱTage,ȱdaȱhierȱdieȱTageȱnurȱbisȱzumȱ30.ȱ Juliȱberechnetȱwerden.ȱImȱAugustȱsindȱesȱnachȱdieserȱMethodeȱ30ȱTage,ȱimȱSeptemberȱ kommenȱ nochȱ einmalȱ 20ȱ dazu.ȱ Insgesamtȱ habenȱ wirȱ 65ȱ Tage.ȱ Beiȱ denȱ Methoden,ȱ beiȱ denenȱdieȱTage,ȱfürȱdieȱdasȱGeldȱanliegt,ȱgenauȱabgezähltȱwerden,ȱergebenȱsichȱimȱJuliȱ 16ȱTage,ȱimȱAugustȱ31ȱTageȱundȱimȱSeptemberȱnochȱeinmalȱ20ȱTage.ȱȱ FolgendeȱTabelleȱfasstȱdieȱErgebnisseȱnochȱeinmalȱzusammen:ȱ

Tabelleȱ3Ȭ3:ȱ

TagesberechnungȱundȱZinszahlungenȱbeiȱverschiedenenȱZinstagemethodenȱ 15.7– 31.7.

1.8.31.8.

1.9.– 20.9.

Gesamt Jahr

Zinsen

30/360

15

30

20

65

360

65 ˜ 0 ,04 ˜ 1.000 € 360

7 ,22 €

actual/360

16

31

20

67

360

67 ˜ 0 ,04 ˜ 1.000 € 360

7 ,44 €

actual/actual

16

31

20

67

365

67 ˜ 0 ,04 ˜ 1.000 € 365

7 ,34 €

ȱ Beiȱderȱactual/360ȬMethodeȱerhältȱmanȱhierȱdieȱhöchsteȱZinszahlung.ȱInȱderȱBankpraȬ xisȱ werdenȱ Zinstagemethodeȱ undȱ Zinssatzȱ aberȱ gemeinsamȱ verhandelt.ȱ Durchȱ eineȱ Verringerungȱ desȱ Jahreszinssatzesȱ kannȱ beiȱ Verwendungȱ derȱ actual/360ȬMethodeȱ derselbeȱZinsertragȱresultierenȱwieȱbeiȱanderenȱZinstagemethoden.ȱ ȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

3.5.4

Konforme Zinssätze

3.5.4.1

Linear proportionaler Zinssatz

Wieȱ bereitsȱ obenȱ erwähnt,ȱ erfolgenȱ beiȱ vielenȱ Finanzproduktenȱ dieȱ Zinszahlungenȱ nichtȱ amȱ Endeȱ einesȱ Jahres,ȱ sondernȱ zuȱ verschiedenenȱ anderenȱ Zeitpunktenȱ imȱ Jahr,ȱ etwaȱjeweilsȱamȱEndeȱeinesȱMonatsȱoderȱamȱEndeȱeinesȱQuartalsȱ(31.3.,ȱ30.6.,ȱ30.9ȱundȱ 31.12.).ȱ Beispielȱ3.16:ȱ SieȱverfügenȱüberȱeinenȱBetragȱvonȱ10.000ȱ€,ȱdenȱSieȱfürȱeinȱJahrȱ(vomȱ 1.1.ȱbisȱzumȱ31.12.)ȱzuȱeinemȱJahreszinssatzȱvonȱ5%ȱp.a.ȱaufȱeinemȱBankkontoȱanlegen.ȱ

71

3.5

3

Zinsrechnung

DieȱZinszahlungȱerfolgtȱquartalsweise,ȱZinszahlungstermineȱsindȱalsoȱjeweilsȱamȱEndeȱ einesȱVierteljahres.ȱ DerȱJahreszinssatzȱbeträgtȱ5%.ȱDieseȱ5%ȱbekommenȱSieȱnatürlichȱnichtȱinȱjedemȱQuarȬ tal,ȱsonstȱhättenȱSieȱinsgesamtȱviermalȱdenȱJahreszinssatzȱerhalten.ȱStattdessenȱerhalȬ tenȱ Sieȱ beiȱ derȱ Bankȱ inȱ jedemȱ Quartalȱ einȱ Viertelȱ desȱ Jahreszinssatzes,ȱ d.h.ȱ iQuartal iJahr / 4 0 ,05 / 4 0 ,0125. ȱ Diesenȱ Zinssatzȱ nenntȱ manȱ denȱ linearȱ proportionaȬ lenȱZinssatzȱvonȱ1,25%ȱp.Q.ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Definition:ȱ Gegebenȱ seiȱ derȱ nominelleȱ Jahreszinssatzȱ iJahr 23.ȱ Existierenȱ proȱ Jahrȱ mȱ Zinsperioden,ȱ d.h.ȱ auchȱ mȱ Zinszahlungstermine,ȱ soȱ beträgtȱ derȱ linearȱ proportionaleȱ ZinssatzȱproȱZinsperiodeȱȱ i Jahr

im

m

.ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(3.13)ȱ

Beispielȱ 3.17:ȱ Beiȱ einemȱ Jahreszinssatzȱ vonȱ 6%ȱ p.a.ȱ undȱ monatlichenȱ Zinszahlungenȱ beträgtȱderȱlinearȱproportionaleȱZinssatzȱproȱMonatȱȱ i Jahr

0 ,06 12

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

d.h.ȱmanȱerhältȱeinenȱZinssatzȱvonȱ0,5%ȱp.M.ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

i Monat

i12

3.5.4.2

12

0 ,005, ȱ ȱ

Lineare Verzinsung

Beispielȱ3.18:ȱSteffenȱlegtȱeinȱGuthabenȱvonȱ15.000ȱ€ȱfürȱ3ȱJahreȱzuȱeinemȱZinssatzȱvonȱ 3,5%ȱp.a.ȱbeiȱlinearerȱVerzinsungȱan.ȱVergleichenȱSieȱdieȱEndwerteȱbeiȱjährlicherȱVerȬ zinsungȱ undȱ beiȱ quartalsweiserȱ Verzinsung!ȱ Beiȱ derȱ quartalsweisenȱ Verzinsungȱ wirdȱ derȱȱlinearȱproportionaleȱZinssatzȱverwendet.ȱ Lösung:ȱ Daȱ dieȱ Zinsenȱ linearȱ berechnetȱ werden,ȱ erhältȱ Steffenȱ beiȱ jährlicherȱ VerzinȬ sungȱ

K 0 ˜ (1  i Jahr ˜ n )

Kn

15.000 € ˜ (1  0 ,035 ˜ 3)

16.575 €. ȱȱ

Beiȱ quartalsweiserȱ Verzinsungȱ wirdȱ proȱ Quartalȱ nurȱ einȱ Viertelȱ desȱ Jahreszinssatzes,ȱ alsoȱ iQuartal 0 ,035 / 4 0 ,00875 ȱfürȱdieȱZinszahlungȱherangezogen.ȱDafürȱwerdenȱaberȱ viermalȱimȱJahrȱZinsenȱgezahlt.ȱSteffenȱhatȱsoȱalsoȱnachȱ3ȱJahrenȱ i Jahr § · ˜ m ˜ n ¸¸ K 0 ˜ ¨¨ 1  m © ¹

Kn

0 ,035 § · 15.000 € ˜ ¨ 1  ˜ 4 ˜ 3¸ 4 © ¹

16.575 € ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 23ȱȱ ZurȱbesserenȱUnterscheidungȱseiȱderȱNominalzinssatzȱiȱimȱAbschnittȱ„KonformeȱZinssätze“ȱ

mitȱ iJahr ȱbezeichnet.ȱ

72

ȱ

Verzinsung über mehrere Perioden

aufȱ demȱ Konto.ȱ Derȱ Endbetrag,ȱ überȱ denȱ Steffenȱ nachȱ 3ȱ Jahrenȱ beiȱ quartalsweiserȱ Verzinsungȱ mitȱ demȱ linearȱ proportionalenȱ Zinssatzȱ verfügenȱ kann,ȱ istȱ alsoȱ genauȱ soȱ hochȱwieȱderȱEndbetragȱbeiȱjährlicherȱVerzinsung.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ ȱ AusȱderȱallgemeinenȱFormelȱfürȱdieȱunterjährigeȱVerzinsungȱwirdȱklar,ȱdassȱdiesesȱbeiȱ derȱlinearenȱVerzinsungȱimmerȱderȱFallȱseinȱmuss.ȱErhältȱmanȱbeiȱmȱZinsperiodenȱproȱ JahrȱproȱunterjährigerȱPeriodeȱdenȱlinearȱproportionalenȱZinssatzȱ im iJahr / m , soȱkürztȱ sichȱdieȱAnzahlȱmȱderȱPeriodenȱproȱJahrȱherausȱundȱmanȱerhältȱdenȱEndwertȱ Kn

i Jahr § · ˜ m ˜ n ¸¸ K 0 ˜ ¨¨ 1  m © ¹





K 0 ˜ 1  i Jahr ˜ n . ȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(3.14)ȱ

Beiȱ linearerȱ Verzinsungȱ ergibtȱ sichȱ beiȱ jährlicherȱ undȱ unterjährigerȱ Verzinsungȱ mitȱ demȱ linearȱ proportionalenȱ Zinssatzȱ alsoȱ derselbeȱ Endwert.ȱ Denȱ Jahreszinssatzȱ iJahr undȱ denȱ unterjährigenȱ Zinssatzȱ im iJahr / m bezeichnetȱ manȱ daherȱ alsȱ konformȱ beiȱlinearerȱVerzinsung.ȱ ȱ Definition:ȱHatȱmanȱeinenȱJahreszinssatzȱ iJahr ȱsowieȱmȱZinszahlungstermineȱproȱJahrȱ gegeben,ȱ soȱ heißtȱ einȱ Zinssatzȱ im ,ȱ derȱ proȱ unterjährigerȱ Zinsperiodeȱ gezahltȱ wird,ȱ konformȱ zumȱ Jahreszinssatzȱ iJahr ,ȱ wennȱ derȱ Endwertȱ desȱ angelegtenȱ Kapitalsȱ unabȬ hängigȱdavonȱist,ȱobȱdiesesȱeinȱJahrȱlangȱmitȱ iJahr ȱoderȱmȱPeriodenȱlangȱmitȱ im ȱverzinstȱ wird.ȱ

ȱ

3.5.4.3

Geometrische Verzinsung

Beispielȱ3.19ȱ(FortführungȱvonȱBeispielȱ3.18):ȱDasȱGuthabenȱvonȱSteffenȱinȱHöheȱvonȱ 15.000ȱ €ȱ wirdȱ jetztȱ geometrischȱ verzinst.ȱ Derȱ Zinssatzȱ betrageȱ wiederȱ 3,5%ȱ p.a.,ȱ dieȱ Laufzeitȱ 3ȱ Jahre.ȱ Vergleichenȱ Sieȱ wiederumȱ dieȱ Endwerteȱ beiȱ jährlicherȱ Verzinsungȱ undȱ beiȱ quartalsweiserȱ Verzinsung!ȱ Verwendenȱ Sieȱ auchȱ hierȱ fürȱ dieȱ unterjährigeȱ ZinsberechnungȱdenȱlinearȱproportionalenȱZinssatz.ȱ

BeiȱgeometrischerȱVerzinsungȱerhältȱmanȱbeiȱjährlicherȱVerzinsungȱȱ Kn

K 0 ˜ (1  i Jahr )3

15.000 € ˜ (1  0 ,035)3

16.630 ,77 €, ȱȱ

etwasȱ mehrȱ alsȱ beiȱ derȱ linearenȱ Verzinsung.ȱ Diesenȱ Zinseszinseffektȱ habenȱ wirȱ unsȱ bereitsȱveranschaulicht.ȱ Derȱ linearȱ proportionaleȱ Zinssatzȱ proȱ Quartalȱ beträgtȱ weiterhinȱ iQuartal 0 ,035 / 4 0 ,00875. ȱDieȱZinsenȱwerdenȱdemȱKapitalȱnachȱjederȱPeriodeȱgutgeȬ

73

3.5

3

Zinsrechnung

schriebenȱundȱverzinsenȱsichȱinȱdenȱfolgendenȱQuartalenȱmit.ȱInsgesamtȱwirdȱüberȱ12ȱ Perioden,ȱd.h.ȱ12ȱQuartaleȱverzinst.ȱSteffenȱerhältȱnachȱ3ȱJahrenȱalsoȱȱ i · § K 0 ˜ ¨¨ 1  Jahr ¸¸ m ¹ ©

Kn

m ˜n

0 ,035 · § 15.000 € ˜ ¨ 1  ¸ 4 ¹ ©

4˜ 3

16.653 ,05 €, ȱ

d.h.ȱ22,28ȱ€ȱmehrȱalsȱbeiȱjährlicherȱVerzinsung.ȱȱ Dieȱ Endwerteȱ beiȱ jährlicherȱ Verzinsungȱ sowieȱ quartalsweiserȱ Verzinsungȱ mitȱ demȱ linearȱ proportionalenȱ Zinssatzȱ sindȱ nichtȱ gleichȱ hoch.ȱ Derȱ linearȱ proportionaleȱ ZinsȬ satzȱvonȱ0,875%ȱp.Q.ȱistȱbeiȱderȱgeometrischenȱVerzinsungȱalsoȱnichtȱzumȱJahreszinsȬ satzȱvonȱ3,5%ȱp.a.ȱkonform!ȱ ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ ȱ AllgemeinȱgiltȱbeiȱgeometrischerȱVerzinsungȱimȱverfeinertenȱZinsmodellȱmitȱmȱZinsȬ periodenȱ proȱ Jahrȱ undȱ Verwendungȱ desȱ linearȱ proportionalenȱ Zinssatzesȱ beiȱ einerȱ LaufzeitȱvonȱnȱJahrenȱfürȱdenȱEndwertȱ i § · K 0 ˜ ¨¨ 1  Jahr ¸¸ m © ¹

Kn

m ˜n

.ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(3.15)ȱ

HierȱkannȱderȱZinssatzȱnichtȱgegenȱdieȱAnzahlȱderȱPeriodenȱgekürztȱwerden.ȱ ȱ Wieȱ ausȱ demȱ Beispielȱ ersichtlichȱ sindȱ derȱ linearȱ proportionaleȱ Zinssatzȱ undȱ derȱ JahȬ reszinssatzȱ beiȱ geometrischerȱ Verzinsungȱ nichtȱ konform.ȱ Diesesȱ liegtȱ daran,ȱ dassȱ beiȱ einmaligerȱ Zahlungȱ desȱ Jahreszinssatzesȱ dieseȱ Zinszahlungȱ amȱ Endeȱ desȱ Jahresȱ erȬ folgt.ȱBeiȱmehrerenȱZinszahlungsterminenȱproȱJahrȱwerdenȱbereitsȱfrüherȱZinszahlunȬ genȱgeleistet,ȱdieȱdannȱinȱdenȱdaraufȱfolgendenȱPeriodenȱbereitsȱmitverzinstȱwerden.ȱ Dadurchȱ wirdȱ derȱ Endwertȱ desȱ Kapitalsȱ größerȱ alsȱ beiȱ einmaligerȱ Zinszahlungȱ proȱ Jahr.ȱ ȱ ȱ ManȱhatȱjetztȱzweiȱMöglichkeitenȱmitȱderȱSituationȱumzugehen:ȱ 1. Zunächstȱkannȱmanȱsichȱfragen,ȱwelchenȱZinssatzȱmanȱdennȱwirklichȱ(effektiv)ȱimȱ Jahrȱ erhält,ȱ wennȱ manȱ proȱ unterjährigerȱ Periodeȱ denȱ linearȱ proportionalenȱ ZinsȬ satzȱverwendet.ȱDiesenȱZinssatzȱnenntȱmanȱdenȱ Effektivzinssatz,ȱderȱangegebeneȱ JahreszinssatzȱwirdȱzurȱUnterscheidungȱ nominalerȱ Jahreszinssatzȱoderȱ NominalȬ zinssatzȱgenannt.ȱDa,ȱwieȱwirȱimȱBeispielȱ3.19ȱgesehenȱhaben,ȱderȱEndwertȱbeiȱunȬ terjährigerȱVerzinsungȱmitȱdemȱlinearȱproportionalenȱZinssatzȱgrößerȱwirdȱalsȱbeiȱ einmaligerȱVerzinsungȱmitȱdemȱangegebenenȱNominalzinssatz,ȱwirdȱderȱEffektivȬ

74

ȱ

Verzinsung über mehrere Perioden

zinssatzȱ beiȱ unterjährigerȱ Verzinsungȱ alsoȱ immerȱ größerȱ alsȱ derȱ Nominalzinssatzȱ sein.ȱ 2. Manȱkannȱsichȱaberȱauchȱandersrumȱfragen,ȱwelchenȱZinssatzȱmanȱproȱunterjähriȬ gerȱPeriodeȱheranziehenȱmüsste,ȱdamitȱderȱEndwertȱgenausoȱhochȱwieȱbeiȱderȱVerȬ zinsungȱ mitȱ demȱ nominellenȱ Jahreszinssatzȱ ist.ȱ Manȱ suchtȱ alsoȱ denȱ zumȱ JahresȬ zinssatzȱ konformenȱ unterjährigenȱ Periodenzinssatz.ȱ Dieserȱ Zinssatzȱ wirdȱ kleinerȱ seinȱalsȱderȱlinearȱproportionaleȱZinssatz.ȱȱ ȱ AufȱdieȱersteȱAlternative,ȱdieȱBerechnungȱdesȱEffektivzinssatzes,ȱwerdenȱwirȱinȱeinemȱ eigenenȱAbschnittȱeingehen.ȱWirȱsuchenȱhierȱzunächstȱdenȱbeiȱgeometrischerȱVerzinȬ sungȱzumȱJahreszinssatzȱkonformenȱZinssatz.ȱ

3.5.4.4

Geometrisch proportionaler Zinssatz

Umȱ beiȱ geometrischerȱ Verzinsungȱ einesȱAnfangskapitalsȱ K 0 beiȱ mehrerenȱ ZinsperioȬ denȱproȱJahrȱaufȱdenȱgleichenȱEndwertȱ Kn wieȱbeiȱeinmaligerȱVerzinsungȱproȱJahrȱzuȱ kommen,ȱmussȱfürȱeinenȱzumȱJahreszinssatzȱ iJahr ȱkonformenȱZinssatzȱ im geltenȱ K 0 ˜ (1  i m )m

Kn

K 0 ˜ (1  i Jahr ). ȱ

HierausȱfolgtȱdurchȱUmstellenȱsofortȱ im

m

1  i Jahr  1. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(3.16)ȱ

DiesenȱZinssatzȱnenntȱmanȱdenȱgeometrischȱproportionalenȱZinssatz.ȱ ȱ Beispielȱ 3.20ȱ (Fortführungȱ vonȱ Beispielȱ 3.17):ȱ Beiȱ einemȱ nominellenȱ Jahreszinssatzȱ vonȱ 6%ȱ p.a.ȱ undȱ monatlichenȱ Zinszahlungenȱ beträgtȱ derȱ geometrischȱ proportionaleȱ ZinssatzȱproȱMonatȱȱ

i Monat

i12

12

1  0 ,06  1

0 ,004868. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

d.h.ȱ 0,4868%ȱ p.M.ȱ Erȱ istȱ etwasȱ kleinerȱ alsȱ derȱ linearȱ proportionaleȱ Zinssatzȱ vonȱ 0,5%ȱ p.M.ȱWürdeȱmanȱnunȱmonatlichȱZinsenȱinȱHöheȱvonȱ0,4868%ȱerhalten,ȱhätteȱmanȱnachȱ einemȱJahrȱdasselbeȱKapitalȱwieȱbeiȱeinmaligerȱZinszahlungȱvonȱ6%ȱp.a.ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ ȱ AuchȱbeiȱLaufzeiten,ȱdieȱgrößerȱalsȱeinȱJahrȱsind,ȱerhältȱmanȱbeiȱVerwendungȱdesȱobenȱ berechnetenȱ geometrischȱ proportionalenȱ Zinssatzesȱ denȱ gleichenȱ Endwertȱ wieȱ beiȱ jährlicherȱVerzinsung,ȱdaȱsichȱausȱȱ Kn

K 0 ˜ (1  i m ) n ˜ m

K 0 ˜ (1  i Jahr )n ȱ

75

3.5

3

Zinsrechnung

derȱ Exponentȱ n,ȱ derȱ dieȱ Laufzeitȱ angibt,ȱ überȱAnwendungȱ derȱ nȬtenȱ Wurzelȱ herausȬ hebt.ȱSoȱergibtȱsichȱwiederumȱȱ im

m

1  i Jahr  1. ȱ

ȱ Beispielȱ3.21ȱ(FortführungȱvonȱBeispielȱ3.19):ȱ BerechnenȱSieȱdenȱgeometrischȱproporȬ tionalenȱZinssatzȱproȱQuartal,ȱderȱzumȱJahreszinssatzȱvonȱ3,5%ȱp.a.ȱkonformȱist.ȱȱ Lösung:ȱDerȱgeometrischȱproportionaleȱQuartalszinssatzȱbeträgtȱ

i4

4

4

1  i Jahr  1

d.h.ȱ0,8637%.ȱ

1  0 ,035  1

0 ,008637 , ȱ

ȱ

Verzinstȱ Steffenȱ T.ȱ seinȱ Kapitalȱ 3ȱ Jahre,ȱ d.h.ȱ 12ȱ Quartaleȱ langȱ mitȱ demȱ geometrischȱ proportionalenȱQuartalszinssatz,ȱsoȱerhältȱerȱnachȱdieserȱZeitȱȱ K 0 (1  i m )n ˜m

Kn

15.000 € ˜ (1  0 ,008637 )4˜3

16.630 ,68 €. ȱ ȱ

ȱ

ȱ

Dieȱ Differenzȱ zuȱ 16.630,77ȱ €,ȱ dieȱ beiȱ jährlicherȱ Verzinsungȱ erzieltȱ werden,ȱ entstehtȱ aufgrundȱderȱRundungȱdesȱgeometrischȱproportionalenȱQuartalszinssatzes.ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Bemerkung:ȱ DerȱgeometrischȱproportionaleȱZinssatzȱistȱderȱ„eigentlich“ȱzumȱJahresȬ zinssatzȱpassendeȱunterjährigeȱZinssatzȱbeiȱVerzinsungȱmitȱZinseszinsen.ȱDennochȱistȱ esȱinȱDeutschlandȱgängigeȱPraxis,ȱdenȱlinearȱproportionalenȱZinssatzȱfürȱdieȱunterjähȬ rigeȱVerzinsungȱheranzuziehen.ȱDiesesȱhatȱdieȱbereitsȱdiskutierteȱFolge,ȱdassȱdieȱeffekȬ tivȱgezahltenȱZinsenȱhöherȱsindȱalsȱderȱNominalzinssatzȱvermutenȱlässt.ȱ

ȱ

3.5.5

Effektivzinssatz

Beispielȱ3.22:ȱ SieȱnehmenȱfürȱeinȱJahrȱ10.000ȱ€ȱzuȱeinemȱNominalzinssatzȱvonȱ5%ȱp.a.ȱ auf.ȱ Dieȱ Zinszahlungenȱ werdenȱ aberȱ quartalsweiseȱ nachschüssigȱ fälligȱ undȱ Ihremȱ Kontoȱ belastet.ȱ Hierbeiȱ wirdȱ derȱ linearȱ proportionaleȱ Zinssatzȱ verwendet.ȱ Sieȱ zahlenȱ denȱKreditbetragȱsowieȱdieȱangefallenenȱZinsenȱamȱEndeȱdesȱJahresȱzurück.ȱȱ

StellenȱSieȱIhreȱZahlungsverpflichtungenȱinȱExcelȱdar!ȱWieȱgroßȱistȱderȱZinsanteilȱIhrerȱ RückzahlungȱamȱEndeȱdesȱJahres?ȱWelchenȱZinssatzȱhabenȱSieȱalsoȱeffektivȱaufȱȱdenȱ ausgeliehenenȱBetragȱvonȱ10.000ȱ€ȱbezahlt?ȱ ȱ

76

ȱ

Verzinsung über mehrere Perioden

Lösung:ȱ Dieȱ Entwicklungȱ desȱ Kapitalwertesȱ überȱ dieȱ 4ȱ Quartaleȱ lässtȱ sichȱ wieȱ folgtȱ darstellen:ȱ

Tabelleȱ3Ȭ4:ȱ

KapitalwertentwicklungȱbeiȱquartalsweiserȱZinszahlungsweiseȱ

Quartal

Kapital zu Beginn des Quartals

Zinszahlung

Kapital am Ende des Quartals

Januar-März

10.000,00 €

125,00 €

10.125,00 €

April-Juni

10.125,00 €

126,56 €

10.251,56 €

Juli-September

10.251,56 €

128,14 €

10.379,71 €

Oktober-Dezember

10.379,71 €

129,75 €

10.509,45 €

ȱ Derȱ linearȱ proportionaleȱ Zinssatzȱ beträgtȱ iQuartal 0 ,05 / 4 0 ,0125. ȱ Wennȱ Sieȱ Ihrenȱ Kontostandȱ undȱ dieȱ aufgelaufenenȱ Zinsenȱ inȱ Excelȱ darstellen,ȱ werdenȱ Ihnenȱ dieseȱ 1,25%ȱ p.Q.ȱ imȱ erstenȱ Quartalȱ aufȱ 10.000ȱ €ȱ berechnet.ȱ Ihrȱ Kontoȱ wirdȱ damitȱ belastetȱ undȱ Ihreȱ Schuldȱ erhöhtȱ sichȱ umȱ 125ȱ €.ȱ Imȱ zweitenȱ Quartalȱ beträgtȱ Ihreȱ Schuldȱ demȬ nachȱschonȱ10.125ȱ€.ȱ1,25%ȱvonȱ10.125ȱ€ȱsindȱdannȱbereitsȱ126,56ȱ€.ȱȱ Amȱ Endeȱ desȱ Jahresȱ hatȱ Ihrȱ Kontoȱ einenȱ Sollstandȱ vonȱ 10.509,45ȱ €.ȱ Davonȱ entfallenȱ 10.000ȱ€ȱaufȱdenȱausgeliehenenȱBetrag,ȱ509,45ȱ€ȱsindȱderȱZinsanteil.ȱSieȱhabenȱeffektivȱ 5,0945%ȱZinsenȱbezahlt.ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ ȱ Definition:ȱDerȱEffektivzinssatzȱstelltȱdenȱZinssatzȱdar,ȱderȱzuȱzahlen,ȱbzw.ȱzuȱerhalȬ tenȱwäre,ȱwennȱeinmalȱimȱJahrȱeinȱkonstanterȱZinssatzȱfälligȱwäre,ȱsoȱdassȱderȱEndȬ betragȱderselbeȱwieȱbeiȱderȱgegebenenȱVerzinsungsweiseȱist.ȱȱ

ȱ ImȱBeispielȱistȱderȱEffektivzinssatzȱ5,0945%.ȱWürdeȱnurȱeinmalȱimȱJahrȱeineȱZinszahȬ lungȱanfallen,ȱsoȱmüssteȱderȱZinssatzȱnämlichȱbeiȱ5,0945%ȱliegen,ȱumȱzuȱdemȱgleichenȱ Endbetragȱ vonȱ 10.509,45ȱ €ȱ zuȱ kommenȱ wieȱ beiȱ quartalsweiserȱ Verzinsungȱ mitȱ einemȱ Nominalzinssatzȱvonȱ5%ȱp.a.ȱ DerȱEffektivzinssatzȱistȱimȱBeispielȱdeshalbȱhöherȱalsȱderȱnominaleȱZinssatz,ȱdaȱfürȱdieȱ unterjährigenȱZinsperiodenȱderȱlinearȱproportionaleȱZinssatzȱverwendetȱwird.ȱDiesesȱ istȱ inȱ Deutschlandȱ aberȱ dasȱ üblicheȱ Vorgehen.ȱ Sindȱ dieȱ Zinsperiodenȱ kleinerȱ alsȱ einȱ Jahr,ȱverwendetȱmanȱzurȱVerzinsungȱnichtȱdenȱzumȱJahreszinssatzȱeigentlichȱkonforȬ menȱ geometrischȱ proportionalenȱ Zinssatz,ȱ sondernȱ denȱ einfacherȱ zuȱ berechnendenȱ linearenȱZinssatz.ȱDieȱFolgeȱist,ȱdassȱderȱeffektiveȱZinssatzȱhöherȱwird,ȱdaȱdieȱfrühenȱ Zinszahlungenȱbereitsȱmitverzinstȱwerden.ȱ

77

3.5

3

Zinsrechnung

Ohneȱ Verwendungȱ einerȱ Exceltabelleȱ lässtȱ sichȱ derȱ Effektivzinssatzȱ ieff dadurchȱ beȬ rechnen,ȱdassȱsichȱbeiȱeinmaligerȱZahlungȱvonȱ ieff ȱproȱJahrȱderselbeȱEndwertȱwieȱbeiȱ mȬmaligerȱZahlungȱdesȱlinearȱproportionalenȱZinssatzesȱi/mȱergebenȱmuss,ȱd.h.ȱ K 0 ˜ (1  i eff )n

Kn

i · § K0 ˜ ¨1  ¸ m¹ ©

m ˜n

.ȱ

Demnachȱerhältȱmanȱ m

i · § ¨ 1  ¸  1. ȱ m¹ ©

i eff

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(3.17)ȱ

ȱ DerȱBegriffȱderȱEffektivverzinsungȱkommtȱhauptsächlichȱbeiȱderȱschonȱbeschriebenenȱ unterjährigenȱVerzinsungȱzumȱTragen.ȱȱ ZweiȱweitereȱVerwendungenȱdesȱBegriffesȱsollenȱhierȱkurzȱbeschriebenȱwerden:ȱ 1. Beiȱ manchenȱ Finanzproduktenȱ liegenȱ proȱ Periodeȱ unterschiedlicheȱ Zinssätzeȱ vor.ȱ Einȱ Beispielȱ sindȱ Sparpläne,ȱ beiȱ denenȱ ansteigendeȱ Zinssätzeȱ angebotenȱ werden.ȱ DerȱEffektivzinssatzȱgibtȱdannȱdenȱkonstantenȱZinssatzȱan,ȱmitȱdemȱdieȱSpareinlaȬ geȱverzinstȱwerdenȱmüsste,ȱumȱdenȱgleichenȱEndbetragȱzuȱergebenȱwieȱbeiȱderȱgeȬ gebenenȱVerzinsung.ȱ Beispielȱ 3.23:ȱ Beiȱ einemȱ dreijährigenȱ Sparplanȱ werdenȱ imȱ erstenȱ Jahrȱ 2%ȱ p.a.,ȱ imȱ zweitenȱJahrȱ4%ȱp.a.ȱundȱimȱdrittenȱJahrȱ6%ȱp.a.ȱgezahlt.ȱWieȱhochȱistȱderȱEffektivȬ zinssatz,ȱ d.h.ȱ beiȱ welchemȱ konstantenȱ Zinssatzȱ würdeȱ manȱ amȱ Endeȱ desȱ drittenȱ JahresȱüberȱdenȱgleichenȱBetragȱverfügen?ȱ

Zurȱ Veranschaulichungȱ kannȱ manȱ einenȱ Betragȱ vonȱ 1.000ȱ €ȱ annehmen,ȱ derȱ aufȱ demȱSparbuchȱangelegtȱwirdȱ(tatsächlichȱistȱderȱEffektivzinssatzȱaberȱunabhängigȱ vomȱangelegtenȱBetrag).ȱDerȱAnlegerȱerhältȱdannȱnachȱ3ȱJahrenȱ 1.000 € ˜ 1,02 ˜ 1,04 ˜ 1,06

1.124 ,45 €. ȱ

DenselbenȱBetragȱhätteȱerȱnatürlichȱauchȱmitȱdemȱkonstantenȱZinssatzȱ ieff erzielenȱ können,ȱwennȱ 1.000 € ˜ (1  i eff )3

1.124 ,45 € ȱ

angenommenȱwürde.ȱ DemnachȱergibtȱsichȱderȱEffektivzinssatzȱalsȱ i eff

1.124 ,45 € 3

1.000 €

alsoȱ3,99%.ȱȱ ȱ 78

ȱ

1

0 ,03987 , ȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

Verzinsung über mehrere Perioden

ȱ AllgemeinȱerrechnetȱsichȱalsoȱbeiȱVerzinsungȱeinesȱKapitalsȱüberȱnȱJahreȱ mitȱdenȱ Zinssätzenȱ i1, i 2 , ..., in ȱderȱEffektivzinssatzȱausȱ K 0 ˜ (1  i eff )n

K 0 ˜ (1  i1 ) ˜ (1  i 2 ) ˜  ˜ (1  i n ) ȱ

zuȱȱ i eff

n

(1  i1 ) ˜ (1  i 2 ) ˜  ˜ (1  i n )  1. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(3.18)ȱ

ȱ 2. Oftmalsȱ werdenȱ beiȱ einerȱ Kreditvergabeȱ auchȱ einmaligeȱ Gebühren,ȱ z.B.ȱ fürȱ dieȱ Bewertungȱ einerȱ Immobilie,ȱetc.ȱ fällig.ȱ Dieseȱ Gebührenȱ tragenȱ nebenȱ denȱ zuȱ zahȬ lendenȱ Zinsenȱ ebenfallsȱ zurȱ Belastungȱ desȱ Kreditnehmersȱ beiȱ undȱ könnenȱ daherȱ auchȱinȱdenȱEffektivzinssatzȱeingerechnetȱwerden.ȱȱ

3.5.6

Übersicht: Zinskonventionen

ZusammenfassendȱsollȱhierȱnochȱeinmalȱdieȱinȱDeutschlandȱgängigeȱVerzinsungȱundȱ derȱ verwendeteȱ Zinssatzȱ inȱAbhängigkeitȱ vonȱ derȱ Längeȱ derȱ Zinsperiodeȱ dargestelltȱ werden.ȱ

Tabelleȱ3Ȭ5:ȱ

ÜbersichtȱüberȱVerzinsungȱundȱverwendetenȱZinssatzȱbeiȱunterschiedlichenȱ Zeiträumenȱ Volle Jahre

Volle Zinsperioden < 1 Jahr

Bruchteile von Zinsperioden

Verzinsung

geometrisch

geometrisch

linear

Zinssatz

Jahreszinssatz

Linear proportionaler Zinssatz

Linear proportionaler Zinssatz

ȱ WirdȱeinȱKapitalȱfürȱeineȱvolleȱAnzahlȱvonȱJahrenȱverzinst,ȱsoȱwird,ȱwennȱnichtȱausȬ drücklichȱ eineȱ andereȱ Vereinbarungȱ getroffenȱ wurde,ȱ dieȱ geometrischeȱ Verzinsungȱ mitȱdemȱangegebenenȱJahreszinssatzȱgewählt.ȱ Sindȱ dieȱ Zinsperiodenȱ kleinerȱ alsȱ einȱ Jahr,ȱ soȱ wirdȱ üblicherweiseȱ ebenfallsȱ aufȱ eineȱ Verzinsungȱ mitȱ Zinseszinsen,ȱ d.h.ȱ dieȱ geometrischeȱ Verzinsung,ȱ zurückgegriffen.ȱ Allerdingsȱ wirdȱ inȱ jederȱ unterjährigenȱ Zinsperiodeȱ jeweilsȱ derȱ linearȱ proportionaleȱ Zinssatzȱverwendet,ȱauchȱwennȱdieser,ȱwieȱwirȱobenȱgesehenȱhaben,ȱnichtȱzurȱgeometȬ rischenȱVerzinsungȱpasst.ȱȱ

79

3.5

3

Zinsrechnung

Beiȱ einerȱ Verzinsungȱ fürȱ Bruchteileȱ vonȱ Zinsperiodenȱ wirdȱ dieȱ lineareȱ Verzinsungȱ nachȱFormelȱ(3.12)ȱangewandt.ȱAuchȱhierȱrechnetȱmanȱmitȱdemȱlinearȱproportionalenȱ Zinssatz.ȱȱ Dieseȱ Konventionenȱ werdenȱ wirȱ imȱ weiterenȱ ebenfallsȱ treffen,ȱ insbesondereȱ giltȱ beiȱ einerȱVerzinsungȱüberȱmehrereȱJahre,ȱsoweitȱnichtsȱanderesȱangegebenȱist,ȱdieȱgeometȬ rischeȱVerzinsung.ȱ

3.5.7

Gemischte Verzinsung

DaȱEinȬȱundȱAuszahlungenȱvonȱGeldbeträgenȱmeistȱnichtȱgenauȱanȱdenȱZinszahlungsȬ terminenȱ stattfinden,ȱ liegtȱ inȱ derȱ Praxisȱ oftȱ eineȱ Verzinsungȱ überȱ volleȱ Zinsperiodenȱ zuzüglichȱzusätzlicherȱBruchteileȱvonȱZinsperiodenȱvor.ȱȱ Beispielȱ 3.24:ȱ Sieȱ zahlenȱ amȱ 30.4.2006ȱ einenȱ Betragȱ vonȱ 5.000ȱ €ȱ aufȱ einȱ mitȱ 2,5%ȱ p.a.ȱ verzinstesȱTagesgeldkontoȱein.ȱZinszahlungstermineȱseienȱjeweilsȱamȱEndeȱdesȱJahres.ȱȱ Esȱwirdȱdieȱ30/360ȬMethodeȱverwendet.ȱSieȱlassenȱIhrȱGeldȱbisȱzumȱ31.3.2009ȱaufȱdemȱ Konto.ȱDerȱZinssatzȱbleibtȱwährendȱdieserȱZeitȱkonstant.ȱÜberȱwelchenȱBetragȱverfüȬ genȱSieȱamȱ31.3.2009?ȱ Lösung:ȱ Daȱ jährlicheȱ Zinszahlungstermineȱ existieren,ȱ findetȱ fürȱ dieȱ Monateȱ Maiȱ bisȱ DezemberȱdesȱJahresȱ2006ȱeineȱlineareȱVerzinsungȱstatt.ȱSieȱbekommenȱalsoȱamȱ31.12.ȱ 2006ȱfürȱ8ȱMonateȱZinsen,ȱsoȱdassȱIhrȱKontostandȱaufȱ 5.000 € ˜ (1 

240 0 ,025) 360

5.083,33 ȱ € ȱ

anwächst.ȱ Vomȱ 31.12.2006ȱ bisȱ zumȱ 31.12.2008ȱ verbleibtȱ Ihrȱ Geldȱ fürȱ zweiȱ volleȱ Jahre,ȱ d.h.ȱ volleȱ ZinsperiodenȱaufȱdemȱKontoȱundȱverzinstȱsichȱsoȱgeometrisch.ȱAmȱ31.12.2008ȱbeträgtȱ IhrȱKontostandȱalsoȱ 5.083,33 ȱ € ˜ (1  0 ,025)2

5.340,68 ȱ €. ȱ

ImȱJahrȱ2009ȱwirdȱIhrȱGeldȱnochȱfür3ȱMonateȱlinearȱverzinst,ȱsoȱdassȱSieȱamȱ31.3.2009ȱ überȱ 5.340 ,68 € ˜ (1 

verfügen.ȱ

90 0 ,025) 360

ȱ

5374,06 € ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ Dasȱ Beispielȱ illustriertȱ dasȱ Prinzipȱ derȱ gemischtenȱ Verzinsung.ȱ Vomȱ Beginnȱ derȱ VerȬ zinsungȱ bisȱ zumȱ erstenȱ Zinszahlungsterminȱ findetȱ eineȱ lineareȱ Verzinsungȱ statt.ȱ Fürȱ

80

ȱ

Stetige Verzinsung

denȱBruchteilȱdesȱJahresȱvomȱletztenȱZinszahlungsterminȱwährendȱderȱAnlageȱbisȱzurȱ Auszahlungȱ desȱ Betragesȱ wirdȱ ebenfallsȱ linearȱ verzinst.ȱ Fürȱ dieȱ vollenȱ Zinsperiodenȱ „inȱderȱMitte“ȱderȱAnlagedauerȱfindetȱeineȱgeometrischeȱVerzinsungȱstatt.ȱ ȱ BezeichnetȱmanȱallgemeinȱdenȱBruchteilȱderȱPeriodeȱbisȱzumȱerstenȱZinszahlungsterȬ minȱ mitȱ t 1 ,ȱ dieȱAnzahlȱ derȱ vollenȱ Zinsperiodenȱ mitȱ nȱ undȱ denȱ Bruchteilȱ derȱ letztenȱ Zinsperiodeȱmitȱ t 2 ,ȱsoȱergibtȱsichȱderȱEndwertȱeinesȱangelegtenȱKapitalsȱ K 0 zuȱ K t 1 ,n ,t 2

K 0 ˜ (1  t1 ˜ i) ˜ (1  i)n ˜ (1  t 2 ˜ i). ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(3.19)ȱ

ȱ Fortführungȱ vonȱ Beispielȱ 3.24:ȱ Sieȱ könnenȱ denȱ Betrag,ȱ überȱ denȱ Sieȱ amȱ 31.3.2009ȱ verfügenȱ auchȱ direktȱ überȱ Formelȱ (3.19)ȱ berechnen,ȱ ohneȱ dieȱ Zwischenergebnisseȱ anȱ denȱZinszahlungsterminenȱzuȱermitteln.ȱEsȱergibtȱsichȱ 5.000 € ˜ (1 

3.6

240 90 ˜ 0 ,025) ˜ (1  0 ,025)2 ˜ (1  ˜ 0 ,025) 360 360

5374,06 €. ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

Stetige Verzinsung

Beiȱ derȱ Betrachtungȱ derȱ geometrischenȱ Verzinsungȱ imȱ verfeinertenȱ Zinsmodellȱ undȱ VerwendungȱdesȱlinearȱproportionalenȱZinssatzesȱinȱGleichungȱ(3.15)ȱhabenȱwirȱgeseȬ hen,ȱ dassȱ derȱ Endwertȱ beiȱ unterjährigerȱ Verzinsungȱ höherȱ istȱ alsȱ beiȱ einmaligerȱ VerȬ zinsungȱproȱJahr.ȱȱ BetrachtetȱmanȱnunȱimmerȱmehrȱZinsperiodenȱproȱJahr,ȱd.h.ȱlässtȱmanȱdieȱAnzahlȱmȱ derȱZinsperiodenȱimmerȱgrößerȱwerdenȱ(monatliche,ȱtägliche,ȱstündliche,ȱsekündlicheȱ Verzinsung,ȱ etc.),ȱ soȱ wirdȱ derȱ Endwertȱ desȱ Kapitalsȱ entsprechendȱ immerȱ größer.ȱ Esȱ stelltȱ sichȱ dieȱ Frage,ȱ obȱ derȱ Endwertȱ überȱ alleȱ Schrankenȱ wächstȱ oderȱ obȱ erȱ gegenȱ einenȱGrenzwertȱkonvergiert.ȱ ȱ Beispielȱ3.25:ȱ EinȱKapitalȱvonȱ1.000ȱ€ȱwirdȱbeiȱeinemȱZinssatzȱvonȱ10%ȱp.a.ȱangelegt.ȱ WieȱverhältȱsichȱderȱEndwertȱamȱEndeȱeinesȱJahresȱinȱAbhängigkeitȱvonȱderȱAnzahlȱmȱ derȱZinsperiodenȱproȱJahr?ȱȱ Lösung:ȱTabelleȱ3Ȭ6ȱzeigt,ȱwieȱsichȱderȱEndwertȱeinesȱKapitalsȱinȱAbhängigkeitȱvonȱderȱ proȱJahrȱangesetztenȱAnzahlȱmȱderȱZinsperiodenȱverhält.ȱ ȱ

81

3.6

3

Zinsrechnung

Tabelleȱ3Ȭ6:ȱ

EndwertȱeinesȱKapitalsȱinȱAbhängigkeitȱvonȱderȱAnzahlȱmȱderȱZinsperioȬ denȱproȱJahrȱ

m

Verzinsung pro

1

Jahr

12

Monat

360

Endwert

K1

0 ,1 · § K 0 .¨ 1  ¸ 12 ¹ ©

K 360

0 ,1 · § K 0 .¨ 1  ¸ 360 © ¹

Stunde

Sekunde

K 31.104.000

1.102,50 € 360

1.104,71 €

0 ,1 · § K 0 .¨ 1  ¸ 518.400 ¹ ©

K 518.400 31.104.000

12

K 12 Tag

518.400

K 0 .1  0 ,1 1.100,00 €

518.400

0 ,1 § · K 0 .¨ 1  ¸ 31.104.000 ¹ ©

1.105,17 € 31.104.000

1.105,17 €

ȱ Zwarȱ wirdȱ derȱ Endwertȱ mitȱ zunehmenderȱAnzahlȱ mȱ vonȱ Zinsperiodenȱ proȱ Jahrȱ imȬ merȱgrößer,ȱderȱUnterschiedȱzwischenȱtäglicherȱundȱstündlicherȱVerzinsungȱliegtȱaberȱ bereitsȱ nurȱ beiȱ einerȱ Differenzȱ vonȱ 46ȱ Cent.ȱ Zwischenȱ stündlicherȱ undȱ sekündlicherȱ Verzinsungȱ istȱ dieȱ Differenzȱ derȱ Endwerteȱ bereitsȱ kleinerȱ alsȱ 1ȱ Cent.ȱ Derȱ Endwertȱ scheintȱalsoȱzuȱkonvergieren.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

BetrachtetȱmanȱformalȱdenȱGrenzwertȱdesȱEndwertesȱfürȱ m o f , soȱerhältȱmanȱ

i · § lim K 0 ˜ ¨ 1  ¸ mof m¹ ©

m˜n

m § i · · § K 0 ˜ ¨ lim ¨ 1  ¸ ¸ ¨ m o f© m ¹ ¸¹ ©

n



K0 ˜ ei

n

K 0 ˜ ei˜n . ȱ ȱ

ȱȱ(3.20)ȱ

Diesesȱnenntȱmanȱdieȱ stetigeȱVerzinsungȱdesȱAnfangskapitals.ȱInȱjedemȱinfinitesimalȱ kleinenȱZeitabschnittȱwerdenȱhierȱZinsenȱgezahlt.ȱȱ InȱderȱFormelȱstehtȱnȱfürȱeineȱvolleȱAnzahlȱanȱJahren,ȱsieȱlässtȱsichȱaberȱfürȱeineȱbelieȬ bigeȱZeitȱtȱderȱVerzinsungȱzuȱ K 0 ˜ ei˜t . ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(3.21)ȱ

verallgemeinern.ȱ ȱ Beispielȱ 3.26ȱ (Fortführungȱ vonȱ Beispielȱ 3.25):ȱ Welchenȱ Endwertȱ hatȱ einȱ Kapitalȱ vonȱ 1.000ȱ€ȱbeiȱstetigerȱVerzinsungȱmitȱeinemȱZinssatzȱvonȱ10%ȱp.a.ȱamȱEndeȱeinesȱJahres?ȱȱ

82

ȱ

Partnerinterview

FürȱdenȱEndwertȱamȱEndeȱeinesȱJahresȱgiltȱbeiȱstetigerȱVerzinsungȱȱ K 0 ˜ ei˜n

1.000 € ˜ e 0 ,1 ˜ 1

1.105 ,17 €. ȱȱ

Beiȱ Rundungȱ aufȱ 2ȱ Nachkommastellenȱ istȱ keinȱ Unterschiedȱ zurȱ stündlichenȱ oderȱ seȬ kündlichenȱVerzinsungȱerkennbar.ȱBeiȱgenauererȱBetrachtungȱergibtȱsichȱbeiȱsekündliȬ cherȱVerzinsungȱeinȱEndwertȱvonȱ1.105,170914ȱ€,ȱwährendȱsichȱderȱGrenzwertȱbeiȱderȱ stetigenȱVerzinsungȱzuȱ1.105,170918ȱ€ȱergibt.ȱDerȱUnterschiedȱistȱalsoȱerstȱinȱderȱsechsȬ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ tenȱNachkommastelleȱfestzustellen.ȱȱ ȱ Dieȱ stetigeȱ Verzinsungȱ istȱ hierȱ alsȱAnwendungȱ derȱ Theorieȱ derȱ Grenzwerteȱ vonȱ eherȱ theoretischemȱ Interesse.ȱ Sieȱ spieltȱ allerdingsȱ beiȱ derȱ Bewertungȱ vonȱ Finanzderivatenȱ eineȱgroßeȱRolle.ȱ

3.7

Partnerinterview

1. A:ȱWasȱcharakterisiertȱdieȱgeometrischeȱVerzinsung?ȱ B:ȱWasȱbedeutetȱ„lineareȱVerzinsung“?ȱInȱwelchenȱFällenȱwirdȱsieȱangewendet?ȱ 2. A:ȱErklärenȱSie,ȱwasȱeinȱBarwertȱist!ȱ B:ȱErklärenȱSie,ȱwasȱderȱEndwertȱeinesȱKapitalsȱist!ȱ 3. A:ȱWasȱverstehtȱmanȱunterȱDiskontieren?ȱ B:ȱWelchenȱZinssatzȱwähltȱmanȱfürȱdieȱunterjährigeȱVerzinsung?ȱ 4. A:ȱErläuternȱSieȱdieȱactual/actualȬMethode?ȱGebenȱSieȱeinȱBeispiel!ȱ B:ȱErläuternȱSieȱdieȱ30/360ȬMethode?ȱGebenȱSieȱeinȱBeispiel!ȱ 5. A:ȱWasȱsindȱkonformeȱZinssätze?ȱWelcherȱZinssatzȱistȱbeiȱderȱlinearenȱVerzinsungȱ konformȱzumȱJahreszinssatz?ȱ B:ȱWelcherȱZinssatzȱistȱbeiȱderȱgeometrischenȱVerzinsungȱkonformȱzumȱJahreszinsȬ satz?ȱ 6. A:ȱWieȱberechnetȱmanȱdenȱEffektivzinssatzȱbeiȱmonatlicherȱVerzinsung?ȱWieȱverȬ hältȱerȱsichȱzumȱNominalzinssatz?ȱ B:ȱWasȱbedeutetȱstetigeȱVerzinsung?ȱErläuternȱSieȱdieȱFormelȱfürȱdenȱEndwertȱeiȬ nesȱKapitalsȱbeiȱstetigerȱVerzinsung!ȱ

83

3.7

3

Zinsrechnung

3.8

Übungen

1. EinȱKapitalȱvonȱ3.000ȱ€ȱwirdȱzuȱ4%ȱp.a.ȱangelegt.ȱWieȱhochȱistȱdasȱGuthabenȱȱ a)ȱȱȱȱnachȱAblaufȱeinesȱJahres?ȱ b)

nachȱ3ȱJahren?ȱ

c)

nachȱ52ȱTagenȱ(nachȱderȱactual/360ȬMethode)?ȱ

2. SieȱbekommenȱaufȱeinemȱSparbuchȱZinsenȱvonȱ2,5%ȱp.a.ȱInȱeinemȱJahrȱwollenȱSieȱ überȱ2.200ȱ€ȱverfügen.ȱWelchenȱBetragȱmüssenȱSieȱheuteȱanlegen?ȱ 3. Derȱ Zinssatzȱ betrageȱ 7%ȱ p.a.ȱ Bestimmenȱ Sieȱ denȱAufzinsungsȬȱ undȱ denȱ DiskontȬ faktorȱfürȱeinȱJahr!ȱ 4. Inȱ sechsȱ Jahrenȱ wirdȱ Anneȱ 22.000ȱ €ȱ aufȱ demȱ Sparkontoȱ haben.ȱ Wieȱ großȱ istȱ derȱ WertȱIhresȱGuthabensȱinȱzweiȱJahren?ȱDerȱvereinbarteȱZinssatzȱbetrageȱ5,5%ȱp.a.ȱ 5. Sieȱ entscheidenȱ sichȱ fürȱ einenȱ Sparplanȱ mitȱ aufsteigendemȱ Zinssatzȱ undȱ einerȱ Laufzeitȱvonȱ6ȱJahren.ȱDerȱZinssatzȱbeträgtȱimȱerstenȱJahrȱ2,5%ȱp.a.ȱundȱerhöhtȱsichȱ alleȱzweiȱJahreȱumȱ0,5%ȱp.a.ȱSieȱlegenȱ5.000ȱ€ȱan.ȱ a)

ÜberȱwelchenȱBetragȱverfügenȱSieȱamȱEndeȱdesȱ6.ȱJahres?ȱȱ

b)

Zuȱ welchemȱ jährlichenȱ Effektivzinssatzȱ warȱ dasȱ Kapitalȱ überȱ denȱ Zeitraumȱ vonȱsechsȱJahrenȱangelegt?ȱ

6. WelcheȱLaufzeitȱhatȱeineȱSpareinlage,ȱdieȱbeiȱjährlicherȱnachschüssigerȱVerzinsungȱ zuȱ4%ȱp.a.ȱeinȱKapitalȱvonȱ10.000ȱ€ȱaufȱ14.233,12ȱ€ȱanwachsenȱlässt?ȱ 7. BeiȱwelchemȱZinssatzȱverdreifachtȱsichȱeinȱKapitalȱinnerhalbȱvonȱ15ȱJahren?ȱ 8. DieȱglücklichenȱGroßelternȱzahlenȱzurȱGeburtȱihresȱEnkelsȱamȱ31.12.ȱaufȱeinȱSparȬ buch,ȱdasȱmitȱ3%ȱp.a.ȱverzinstȱwird,ȱ3.000ȱ€ȱein.ȱAmȱzweitenȱGeburtstagȱdesȱKindesȱ zahlenȱ sieȱ nochȱ einmalȱ 2.000ȱ €,ȱ amȱ 10.ȱ Geburtstagȱ 2.500ȱ €ȱ ein.ȱ Wieȱ großȱ istȱ dasȱ Guthabenȱamȱ15.ȱGeburtstagȱdesȱEnkels?ȱDerȱZinssatzȱbleibtȱwährendȱderȱganzenȱ Zeitȱkonstant.ȱ 9. Einȱ Kreditnehmerȱ hatȱ folgendeȱ Rückzahlungsvereinbarungenȱ getroffen:ȱ 5.000ȱ €ȱ nachȱ4ȱJahren,ȱ12.000ȱ€ȱnachȱ6ȱJahrenȱundȱ7.250ȱ€ȱnachȱ10ȱJahren.ȱDerȱKreditzinsȬ satzȱbeträgtȱkonstantȱ6%ȱp.a.ȱWelchenȱeinmaligenȱBetragȱmüssteȱderȱKreditnehmerȱ heuteȱzahlen,ȱumȱseineȱSchuldȱzuȱbegleichen?ȱ 10. Derȱ Effektivzinssatzȱ einerȱAnlage,ȱ dieȱ quartalsweiseȱ verzinstȱ wird,ȱ beträgtȱ 6,14%ȱ p.a.ȱWieȱhochȱistȱderȱnominelleȱJahreszinssatz?ȱ 11. Aufȱ welchenȱ Wertȱ wächstȱ einȱ Kapitalȱ vonȱ 4.000ȱ €ȱ beiȱ stetigerȱ Verzinsungȱ undȱ eiȬ nemȱNominalzinssatzȱvonȱ4%ȱp.a.ȱinȱ3ȱJahrenȱan?ȱBerechnenȱSieȱzusätzlichȱdenȱUnȬ terschiedȱzurȱmonatlichenȱVerzinsungȱdesȱKapitals!ȱ 84

ȱ

Übungen

12. Sieȱhabenȱamȱ31.10.2004ȱeinenȱBetragȱvonȱ2.000ȱ€ȱaufȱeinemȱmitȱ1,5%ȱp.a.ȱverzinsȬ tenȱ Sparbuchȱ angelegt.ȱ Esȱ liegenȱ jährlicheȱ Zinszahlungstermineȱ vor.ȱ Welchenȱ GeldbetragȱkönnenȱSieȱamȱ15.2.2008ȱabheben?ȱ

85

3.8

Lernziele

4

4.1

Barwertprinzip

Lernziele

AufgrundȱderȱWichtigkeitȱdesȱKonzeptesȱwirdȱdemȱBarwertprinzipȱeinȱeigenesȱKapiȬ telȱgewidmet.ȱNachȱDurcharbeitungȱdesȱKapitelsȱsollteȱderȱLeserȱinȱderȱLageȱsein,ȱ

„ zweiȱ Zahlungenȱ mitȱ unterschiedlichenȱ Zahlungsterminenȱ bezüglichȱ ihresȱ Wertesȱ zuȱvergleichen,ȱ

„ zuȱdefinieren,ȱwasȱeinȱZahlungsstromȱist,ȱundȱdiesenȱzuȱbewerten,ȱ „ zweiȱoderȱmehrȱZahlungsströmeȱhinsichtlichȱihresȱWertesȱgegenüberȱzuȱstellen,ȱ „ zuȱ begründen,ȱ warumȱ dieȱ nominaleȱ Summeȱ einesȱ Zahlungsstromsȱ keineȱ ausreiȬ chendeȱAussageȱüberȱihrenȱWertȱliefert,ȱ

„ zuȱdefinieren,ȱwasȱeinȱ„fairesȱGeschäft“ȱist.ȱ

4.2

Vergleich zweier Zahlungen

Beispielȱ4.1:ȱSieȱhabenȱdieȱWahl.ȱSieȱkönnenȱentwederȱ220ȱ€ȱinȱ3ȱJahrenȱoderȱ200ȱ€ȱinȱ2ȱ Jahrenȱerhalten.ȱDerȱZinssatzȱamȱMarktȱbeträgtȱfürȱbeliebigeȱLaufzeitenȱ5%ȱp.a.ȱWelȬ cheȱZahlungȱwählenȱSie?ȱȱ Lösung:ȱEsȱgibtȱverschiedeneȱAnsichtenȱbeiȱeinerȱsolchenȱAlternative.ȱMancheȱPersoȬ nenȱsindȱderȱMeinung,ȱdassȱesȱaufȱjedenȱFallȱbesserȱsei,ȱfrühȱanȱGeldȱzuȱkommenȱundȱ würdenȱdieȱ200ȱ€ȱinȱ2ȱJahrenȱvorziehen.ȱȱ

Andereȱüberlegen,ȱdassȱesȱdaraufȱankäme,ȱ obȱmanȱdasȱGeldȱbrauchtȱoderȱnicht.ȱTatȬ sächlichȱaberȱhängtȱesȱnichtȱvonȱderȱpersönlichenȱSituationȱab,ȱwieȱmanȱsichȱentscheiȬ denȱsollte.ȱEsȱgibtȱeinȱobjektivesȱKriteriumȱzumȱVergleichȱvonȱZahlungen,ȱdieȱzuȱunȬ terschiedlichenȱTerminenȱerfolgen.ȱȱ Umȱ dieȱ gegebenenȱ Zahlungenȱ vergleichenȱ zuȱ können,ȱ sindȱ sieȱ aufȱ einenȱ gemeinsaȬ menȱ Zeitpunktȱ zuȱ beziehen.ȱ Manȱ kannȱ sichȱ z.B.ȱ fragen,ȱ wieȱ vielȱ Geldȱ manȱ jeweilsȱ anlegenȱ müsste,ȱ umȱ nachȱ 2ȱ Jahrenȱ 200ȱ €,ȱ bzw.ȱ nachȱ 3ȱ Jahrenȱ 220ȱ €ȱ zuȱ erhalten.ȱ DaȬ 87

4.1

4

Barwertprinzip

durchȱ kommtȱ manȱ zuȱ einemȱ Vergleichȱ derȱ Barwerte,ȱ d.h.ȱ derȱ Werteȱ derȱ gegebenenȱ GeldbeträgeȱzurȱZeitȱderȱAnlageȱ(tȱ=ȱ0).ȱ DieȱZahlungȱvonȱ200ȱ€ȱinȱ2ȱJahrenȱhatȱeinenȱBarwertȱvonȱȱ 200 €

K 0 ( 200 € in 2 Jahren )

181,41 €. ȱ

1,052

DerȱBarwertȱderȱZahlungȱderȱ220ȱ€ȱinȱ3ȱJahrenȱbeträgtȱ 220 €

K 0 ( 220 € in 3 Jahren )

Abbildungȱ4Ȭ1:ȱ

190,04 €. ȱ

1,053

VergleichȱderȱBarwerteȱzweierȱZahlungenȱzuȱunterschiedlichenȱZeitpunktenȱ

: q3 :q

2

200 €

190,04 €

181,41 €

t=0

1

2

220 €

3

t

ȱ

DieȱspätereȱZahlungȱvonȱ220ȱ€ȱistȱalsoȱvorzuziehen,ȱdaȱihrȱBarwert,ȱd.h.ȱihrȱheutigerȱ Wertȱ zumȱ Zeitpunktȱ tȱ =ȱ 0,ȱ größerȱ istȱ alsȱ derȱ Barwertȱ derȱ 200ȱ €,ȱ dieȱ manȱ inȱ 2ȱ Jahrenȱ erhaltenȱkann.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ FortführungȱvonȱBeispielȱ4.1:ȱ WannȱwärenȱdieȱZahlungenȱvonȱ200ȱ€ȱinȱ2ȱJahrenȱbzw.ȱ 220ȱ€ȱinȱ3ȱJahrenȱgenauȱgleichȱvielȱwert?ȱ Lösung:ȱ Dieȱ Beantwortungȱ derȱ Frageȱ hängtȱ vomȱ Zinssatzȱ ab.ȱ Esȱ mussȱ derȱ Zinssatzȱ gefundenȱwerden,ȱbeiȱdemȱdieȱBarwerteȱderȱZahlungenȱgleichȱgroßȱsind.ȱDaherȱmussȱ geltenȱ

220 €

200 €

3

(1  i)2

(1  i)

.ȱ

AufgelöstȱnachȱdemȱZinssatzȱiȱergibtȱdiesesȱ ȱ 220 €

88

ȱ

200 € ˜ (1  i)

œ 20 €

200 € ˜ i

œ i

20 € 200 €

0 ,1. ȱ

Vergleich zweier Zahlungen

BeiȱeinemȱZinssatzȱvonȱ10%ȱp.a.ȱsindȱ200ȱ€,ȱdieȱmanȱnachȱ2ȱJahrenȱerhält,ȱgenausoȱvielȱ wertȱwieȱ220ȱ€,ȱdieȱmanȱnachȱ3ȱJahrenȱerhält.ȱDiesesȱliegtȱdaran,ȱdassȱmanȱfürȱ200ȱ€,ȱ dieȱ manȱ nachȱ demȱ zweitenȱ Jahrȱ zuȱ einemȱ Zinssatzȱ vonȱ 10%ȱ p.a.ȱ anlegt,ȱ fürȱ einȱ Jahrȱ 20ȱ€ȱanȱZinsenȱerhält.ȱNachȱdemȱdrittenȱJahrȱhatȱmanȱsoȱ220ȱ€ȱzurȱVerfügung.ȱ FürȱZinssätzeȱunterȱ10%ȱp.a.ȱist,ȱwieȱwirȱobenȱgezeigtȱhaben,ȱdieȱspätereȱZahlungȱvonȱ 220ȱ€ȱnachȱ3ȱJahrenȱvorzuziehen,ȱfürȱZinssätzeȱüberȱ10%ȱp.a.ȱwerdenȱ200ȱ€ȱinȱ2ȱJahrenȱ bevorzugt.ȱ Beiȱ einemȱ Zinssatz,ȱ derȱ größerȱ istȱ alsȱ 10%ȱ p.a.,ȱ erhältȱ manȱ mehrȱ alsȱ 20ȱ €ȱ ZinsenȱimȱJahr,ȱsoȱdassȱmanȱnachȱ3ȱJahrenȱschließlichȱeinenȱBetragȱzurȱVerfügungȱhat,ȱ derȱgrößerȱalsȱ220ȱ€ȱist.ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ ȱ BemerkungȱundȱDefinition:ȱZweiȱZahlungenȱ Z1 ȱundȱ Z 2 24,ȱdieȱzuȱunterschiedlichenȱ Zeitpunktenȱerfolgen,ȱsindȱgleichȱvielȱwert,ȱwennȱihreȱBarwerteȱgleichȱhochȱsind.ȱManȱ nenntȱsieȱdannȱauchȱäquivalent.ȱȱ

Entsprechendȱ istȱ eineȱ Zahlungȱ dannȱ mehrȱ wertȱ alsȱ eineȱ andereȱ Zahlungȱ zuȱ einemȱ eventuellȱ anderenȱ Zeitpunkt,ȱ wennȱ sieȱ einenȱ höherenȱ Barwertȱ hat.ȱ Eineȱ Zahlungȱ istȱ wenigerȱwertȱalsȱeineȱandereȱZahlung,ȱwennȱihrȱBarwertȱniedrigerȱalsȱderȱderȱanderenȱ Zahlungȱist.ȱ ȱ Bemerkung:ȱDieȱZahlungenȱkönntenȱzumȱVergleichȱauchȱaufȱeinenȱanderenȱZeitpunktȱ alsȱdenȱZeitpunktȱtȱ=ȱ0ȱbezogenȱwerden.ȱSindȱdieȱKapitalwerteȱzweierȱZahlungenȱzuȱ einemȱbeliebigenȱgemeinsamenȱZeitpunktȱtȱgleichȱgroß,ȱsoȱsindȱdieȱZahlungenȱebenȬ fallsȱäquivalent.ȱ FortführungȱvonȱBeispielȱ4.1:ȱStattȱdieȱZahlungenȱvonȱ200ȱ€ȱinȱ2ȱJahrenȱbzw.ȱ220ȱ€ȱinȱ3ȱ Jahrenȱzuȱvergleichen,ȱinȱdemȱmanȱbeideȱaufȱdenȱZeitpunktȱtȱ=ȱ0ȱabzinst,ȱkannȱmanȱalsȱ gemeinsamenȱVergleichszeitpunktȱz.B.ȱauchȱdenȱZeitpunktȱinȱ3ȱJahren,ȱd.h.ȱtȱ=ȱ3ȱwähȬ len.ȱDieȱ220ȱ€,ȱdieȱmanȱinȱ3ȱJahrenȱerhält,ȱhabenȱzuȱdiesemȱZeitpunktȱnatürlichȱeinenȱ Kapitalwertȱ vonȱ 220ȱ €.ȱ Dieȱ 200ȱ €,ȱ dieȱ manȱ inȱ 2ȱ Jahrenȱ erhält,ȱ müssenȱ nochȱ einȱ Jahrȱ aufgezinstȱwerden.ȱBeimȱvorgegebenenȱZinssatzȱvonȱ5%ȱp.a.ȱhabenȱsieȱzumȱZeitpunktȱ tȱ=ȱ3ȱeinenȱWertȱvonȱ

K 3 ( 200 €)

200 € ˜ 1,05

210 €. ȱ

Sieȱ sindȱ alsoȱ wenigerȱ alsȱ 220ȱ €ȱ wert.ȱ Auchȱ beiȱ einemȱ anderenȱ Vergleichszeitpunktȱ entscheidetȱmanȱsichȱalsoȱdafür,ȱinȱ3ȱJahrenȱ220ȱ€ȱzuȱerhalten.ȱȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ Inȱ denȱ meistenȱ Fällenȱ wirdȱ esȱ allerdingsȱ amȱ sinnvollstenȱ sein,ȱ alsȱ gemeinsamenȱ VerȬ gleichszeitpunktȱt=0ȱzuȱwählenȱundȱdamitȱdieȱBarwerteȱderȱZahlungenȱzuȱvergleichen.ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 24ȱȱ WirȱbezeichnenȱallgemeineȱZahlungenȱhierȱmitȱZ.ȱDieȱNotationȱkannȱnatürlichȱanȱdieȱjeweiliȬ

geȱBedeutungȱderȱZahlungȱangepasstȱwerden.ȱ

89

4.2

4

Barwertprinzip

4.3

Zahlungsströme

SoȱwieȱmanȱzweiȱeinzelneȱZahlungenȱvergleichenȱkann,ȱkönnenȱauchȱunterschiedlicheȱ ZahlungsströmeȱmitȱjeweilsȱmehrerenȱZahlungenȱverglichenȱwerden.ȱ Definition:ȱ Einȱ Zahlungsstromȱ (engl.:ȱ cashȱ flow)ȱ istȱ eineȱ Mengeȱ vonȱ Zahlungenȱ ( Z 0 , Z1, Z 2 , ..., Zn ). ȱ Bemerkung:ȱ Einȱ Zahlungsstromȱ kannȱ auchȱ eineȱ unendlicheȱ Folgeȱ ( Zn ) ȱ vonȱ ZahlunȬ

genȱsein.ȱInȱderȱMehrzahlȱderȱFälleȱwerdenȱwirȱunsȱaberȱmitȱendlichenȱZahlungsströȬ menȱbeschäftigen.25ȱȱ ȱ Beispielȱ4.2:ȱSieȱhabenȱdieȱWahl.ȱSieȱkönnenȱentwederȱheuteȱ1.000ȱ€ȱundȱinȱeinemȱJahrȱ 900ȱ€ȱerhaltenȱoderȱ4ȱJahreȱlangȱnachschüssigȱ500ȱ€ȱbekommen.ȱDerȱZinssatzȱbeträgtȱ wiederȱkonstantȱ5%ȱp.a.ȱFürȱwelcheȱAlternativeȱentscheidenȱSieȱsich?ȱ Lösung:ȱFürȱdenȱBarwertȱdesȱerstenȱZahlungsstromsȱ ( Z 0

K 10

1.000 € 

900 €

500 € 1,05



500 € 1,052



900 €) ȱgiltȱȱȱ

1.857,14 €. ȱ

1,05

DerȱZahlungsstromȱ ( Z 0 K 02

1.000 €, Z1

0 €, Z1

500 € 1,053



Z2

500 € 1,054

Z3

Z4

500 €) ȱbesitztȱeinenȱBarwertȱvonȱ

1.772,98 €. ȱ

Sieȱ entscheidenȱ sichȱ alsoȱ fürȱ dieȱ ersteȱ Alternative,ȱ beiȱ derȱ Sieȱ heuteȱ 1.000ȱ €ȱ undȱ inȱ einemȱJahrȱ900ȱ€ȱerhalten,ȱdaȱihnenȱ„barwertig“ȱbeiȱdieserȱAlternativeȱmehrȱGeldȱzurȱ Verfügungȱsteht.ȱȱ EineȱInterpretationsmöglichkeitȱistȱdieȱfolgende:ȱWennȱSieȱdenȱBarwertȱvonȱ1.857,14ȱ€ȱ derȱerstenȱAlternativeȱheuteȱzurȱVerfügungȱhabenȱundȱzuȱ5%ȱp.a.ȱanlegen,ȱkönntenȱSieȱ einmalȱ heuteȱ 1.000ȱ €ȱ konsumierenȱ undȱ hättenȱ inȱ einemȱ Jahrȱ nachȱ Verzinsungȱ derȱ verbleibendenȱ857,14ȱ€ȱnochȱgenauȱ900ȱ€ȱübrig.ȱSieȱkönnenȱaberȱauchȱdieȱAuszahlungȱ derȱ zweitenȱ Alternativeȱ wählenȱ undȱ lassenȱ sichȱ 4ȱ Jahreȱ langȱ vonȱ denȱ angelegtenȱ 1857,14ȱ€ȱnachschüssigȱ500ȱ€ȱauszahlen.ȱAmȱEndeȱdesȱviertenȱJahresȱbleibtȱIhnenȱdannȱ sogarȱnochȱeinȱBetrag,ȱderȱüberȱdieȱletztenȱabgehobenenȱ500ȱ€ȱhinausgeht,ȱübrig.ȱDieȱ WahlȱderȱerstenȱAlternativeȱzahltȱsichȱalsoȱaus.ȱȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ ȱ Bemerkung:ȱ Aufȱ keinenȱ Fallȱ eignenȱ sichȱ zumȱ Vergleichȱ vonȱ Zahlungsströmenȱ dieȱ nominalenȱSummenȱderȱBeträgeȱohneȱBeachtungȱderȱZeitpunkteȱderȱZahlung!ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 25ȱȱ EineȱAusnahmeȱbildenȱdieȱ„unendlichenȱRenten“ȱ(s.ȱKapitelȱ6ȱ„Rentenrechnung“).ȱ

90

ȱ

Zahlungsströme

FortsetzungȱvonȱBeispielȱ4.2:ȱWennȱSieȱnurȱdieȱSummenȱderȱZahlungsströmeȱbetrachȬ ten,ȱ erhaltenȱ Sieȱ imȱ erstenȱ Zahlungsstromȱ ( Z 0 1.000 €, Z1 900 €) ȱ insgesamtȱ alsȱ

Summeȱ 1.900ȱ €,ȱ imȱ zweitenȱ Zahlungsstromȱ ( Z 0

0 €, Z1

Z2

Z3

Z4

500 €) ȱ aberȱ

inȱ derȱ Summeȱ 2.000ȱ €.ȱ Trotzdemȱ istȱ derȱ ersteȱ Zahlungsstrom,ȱ wieȱ inȱ Beispielȱ 4.2.ȱ geȬ zeigt,ȱbeiȱdemȱgegebenenȱZinssatzȱmehrȱwert.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ ȱ DieȱTatsache,ȱdassȱdieȱreineȱSummeȱderȱZahlungenȱzumȱVergleichȱvonȱZahlungsströȬ menȱnichtȱsinnvollȱist,ȱlässtȱsichȱamȱbestenȱanȱeinerȱeinzelnenȱZahlungȱzuȱunterschiedȬ lichenȱZeitpunktenȱerkennen.ȱ Beispielȱ 4.3:ȱ Sieȱ habenȱ dieȱ Wahl.ȱ Sieȱ könnenȱ entwederȱ inȱ einemȱ oderȱ inȱ zweiȱ Jahrenȱ 500ȱ€ȱerhalten.ȱDerȱZinssatzȱbeträgtȱkonstantȱ4%ȱp.a.ȱFürȱwelcheȱZahlungȱentscheidenȱ Sieȱsich?ȱ Lösung:ȱ Wirȱhabenȱbereitsȱgelernt,ȱdassȱmanȱzumȱVergleichȱdieȱBarwerteȱderȱgegebeȬ nenȱZahlungenȱheranzieht.ȱDaȱ

500 € 1,04

480,77 € ! 462,28 €

500 € 1,04 2

ȱ

ist,ȱentscheidenȱSieȱsichȱdafür,ȱschonȱnachȱeinemȱJahrȱdenȱBetragȱvonȱ500ȱ€ȱzuȱerhalten.ȱ Inȱ diesemȱ Beispielȱ lässtȱ sichȱ dieȱ Lösungȱ aberȱ eleganterȱ ohneȱ Berechnungȱ finden.ȱ Daȱ derȱ Zinssatzȱ größerȱ alsȱ 0%ȱ p.a.ȱ ist,ȱ istȱ dieȱ frühereȱ Zahlungȱ vonȱ 500ȱ €ȱ natürlichȱ mehrȱ wertȱ alsȱ dieȱ spätereȱ Zahlungȱ desȱ gleichenȱ Betrags.ȱ Wennȱ Sieȱ nachȱ einemȱ Jahrȱ 500ȱ €ȱ erhalten,ȱ könnenȱ Sieȱ dieseȱ zuȱ demȱ gegebenenȱ Zinssatzȱ anlegenȱ undȱ verfügenȱ nachȱ 2ȱ Jahrenȱ überȱ einenȱ Betrag,ȱ derȱ größerȱ alsȱ 500ȱ €ȱ ist.ȱ Würdeȱ manȱ nurȱ dieȱ Summeȱ derȱ Zahlungenȱ vergleichen,ȱ d.h.ȱ inȱ diesemȱ Fallȱ nurȱ dieȱ Zahlungenȱ vonȱ 500ȱ €ȱ selbst,ȱ soȱ würdeȱmanȱschließen,ȱdassȱesȱaufgrundȱderȱgleichenȱHöheȱderȱZahlungenȱegalȱist,ȱfürȱ welcheȱAlternativeȱmanȱsichȱentscheidet.ȱDasȱistȱoffensichtlichȱfalsch.ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ FrühereȱZahlungenȱeinesȱBetragsȱhabenȱalsoȱimmerȱeinenȱhöherenȱBarwertȱalsȱspätereȱ ZahlungenȱdesgleichenȱBetrags.ȱDiesesȱresultiertȱausȱderȱTatsache,ȱdassȱmanȱdieȱfrüherȱ erhaltenenȱBeträgeȱanlegenȱkönnteȱundȱdieseȱsoȱZinsenȱtragen.ȱȱ NurȱinȱdemȱSpezialfall,ȱdassȱderȱZinssatzȱ0%ȱp.a.ȱbeträgt,ȱsindȱZahlungenȱdesȱgleichenȱ BetragsȱzuȱunterschiedlichenȱZeitpunktenȱauchȱgleichȱvielȱwert.ȱȱ Fortführungȱ vonȱ Beispielȱ 4.3:ȱ Wennȱ Sieȱ wiederumȱ entwederȱ inȱ einemȱ oderȱ inȱ zweiȱ Jahrenȱ500ȱ€ȱerhaltenȱkönnen,ȱderȱZinssatzȱfürȱalleȱLaufzeitenȱaberȱ0%ȱp.a.ȱbeträgt,ȱistȱ esȱegal,ȱwelcheȱZahlungȱSieȱwählen.ȱBeideȱZahlungenȱsindȱgleichȱvielȱwert,ȱdennȱ

500 €

500 €

(1  0)

(1  0)2

500 €. ȱ ȱ

ȱ

ȱ

IhrȱBarwertȱbeträgtȱjeweilsȱebenfallsȱ500ȱ€.ȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ 91

4.3

4

Barwertprinzip

4.4

Preise von Finanzinstrumenten

ÜberȱdasȱBarwertprinzipȱlässtȱsichȱauchȱderȱPreisȱvielerȱFinanzinstrumenteȱableiten.ȱ Beispielȱ4.4:ȱ SieȱkaufenȱeinȱWertpapierȱmitȱeinerȱLaufzeitȱvonȱ4ȱJahrenȱundȱjährlichenȱ Kuponzahlungenȱ vonȱ 5%ȱ p.a.ȱ Dieȱ amȱ Marktȱ üblichenȱ Zinsenȱ betragenȱ ebenfallsȱ fürȱ alleȱAnlagezeiträumeȱkonstantȱ5%ȱp.a.ȱAmȱEndeȱderȱLaufzeitȱwirdȱderȱNennwertȱdesȱ Papiersȱ inȱ Höheȱ vonȱ 10.000ȱ €ȱ zurückgezahlt.ȱ Welchenȱ Barwertȱ hatȱ dasȱ Wertpapierȱ heute?ȱWelchenȱPreisȱsindȱSieȱdemnachȱbereitȱzuȱzahlen?ȱ Lösung:ȱAusȱdemȱWertpapierȱresultierenȱdieȱzukünftigenȱZinszahlungenȱinȱHöheȱvonȱ 500ȱ€ȱinȱdenȱnächstenȱ3ȱJahren,ȱsowieȱdieȱRückzahlungȱdesȱNennwertesȱzuzüglichȱderȱ ZinszahlungȱfürȱdasȱletzteȱJahrȱvonȱinsgesamtȱ10.500ȱ€ȱamȱEndeȱderȱLaufzeit.ȱEsȱergibtȱ sichȱ alsoȱ einȱ Zahlungsstromȱ Z1 Z 2 Z 3 500 €, Z 4 10.500 €. ȱ Dieseȱ Zahlungenȱ

habenȱheute,ȱzuȱBeginnȱderȱLaufzeit,ȱeinenȱWertȱvonȱȱ 500 € 1,05



500 € 1,05

2



500 € 1,05

3



10.500 € 1,054

10.000 €. ȱ

Derȱ Barwertȱ derȱ zukünftigenȱ Zahlungenȱ entsprichtȱ alsoȱ demȱ Nennwertȱ desȱ WertpaȬ piersȱ inȱHöheȱvonȱ 10.000ȱ €.ȱDiesesȱ istȱ demnachȱ derȱ Preis,ȱ denȱ Sieȱ bereitȱ sindȱ zuȱ entȬ richten.ȱ DaȱSieȱdenȱKaufpreisȱentrichten,ȱkönnenȱSieȱihnȱmitȱeinemȱnegativenȱVorzeichenȱbeȬ trachtenȱ undȱ zumȱ Zahlungsstromȱ hinzufügen,ȱ soȱ dassȱ Sieȱ nunȱ denȱ Zahlungsstromȱ Z 0 10.000 €, Z1 Z 2 Z 3 500 €, Z 4 10.500 € ȱerhalten.ȱFürȱdenȱBarwertȱgilt:ȱ  10.000 € 

500 € 1,05



500 € 1,052



500 € 1,053



10.500 € 1,054

0. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

Diesesȱistȱdasȱ„Kennzeichen“ȱeinesȱ„fairenȱGeschäfts“.ȱDerȱentrichteteȱPreisȱentsprichtȱ demȱBarwertȱderȱzukünftigenȱZahlungen.ȱDerȱBarwertȱdesȱgesamtenȱZahlungsstromsȱ istȱdaherȱgleichȱ0.ȱ ImȱLaufeȱderȱZeitȱverändernȱsichȱdieȱZinsenȱamȱMarkt,ȱwährendȱdieȱKuponzahlungenȱ ausȱdemȱWertpapierȱfürȱdieȱgesamteȱLaufzeitȱvonȱ4ȱJahrenȱfeststehen.ȱSoȱgewinntȱoderȱ verliertȱdasȱPapierȱabhängigȱ vonȱderȱRichtungȱderȱZinsänderungȱanȱWert.ȱDerȱ„faireȱ Preis“ȱdesȱ Wertpapiersȱ weichtȱ soȱ vonȱ demȱ ursprünglichȱ entrichtetenȱ Zahlungsbetragȱ undȱdamitȱvomȱNennwertȱab.ȱ Lernhinweis:ȱ Dieȱ Änderungȱ derȱ Preise,ȱ d.h.ȱ derȱ Kurseȱ vonȱ Wertpapieren,ȱ währendȱ derȱLaufzeitȱwirdȱimȱKapitelȱ8ȱ„KursȬȱundȱRenditeberechnung“ȱbehandelt.ȱ

92

ȱ

Partnerinterview

4.5

Partnerinterview

1. A:ȱWieȱkannȱmanȱzweiȱZahlungen,ȱdieȱzuȱunterschiedlichenȱZeitpunktenȱerfolgen,ȱ vergleichen?ȱWelcheȱistȱmehrȱwert?ȱ B:ȱWannȱsindȱzweiȱZahlungenȱäquivalent?ȱ 2. A:ȱWasȱverstehtȱmanȱunterȱeinemȱZahlungsstrom?ȱ B:ȱGebenȱSieȱdenȱZahlungsstromȱeinesȱfestverzinslichenȱWertpapiersȱmitȱ3ȱJahrenȱ Laufzeit,ȱ einemȱ Nominalbetragȱ vonȱ 1.000ȱ €ȱ undȱ einemȱ Kuponzinssatzȱ vonȱ 4,5%ȱȱ p.a.ȱan!ȱ 3. A:ȱ Warumȱ eignenȱ sichȱ dieȱ nominalenȱ Summenȱ nichtȱ zumȱ Vergleichȱ zweierȱ ZahȬ lungsströme?ȱ B:ȱWieȱkannȱmanȱzweiȱZahlungsströmeȱvergleichen?ȱ 4. A:ȱWannȱistȱeinȱFinanzgeschäftȱ„fair“?ȱ B:ȱNennenȱSieȱeinȱBeispielȱfürȱeinȱ„faires“ȱFinanzgeschäft!ȱ

4.6

Übungen

1. DieȱamȱMarktȱherrschendenȱZinsenȱfürȱAnlagenȱundȱKrediteȱliegenȱfürȱalleȱLaufȬ zeitenȱ beiȱ 4%ȱ p.a.ȱ Sieȱ brauchenȱ kurzfristigȱ 1.000ȱ €.ȱ Einȱ Bekannterȱ leihtȱ Ihnenȱ dasȱ GeldȱundȱstelltȱIhnenȱfrei,ȱnachȱ3ȱJahrenȱ1.150ȱ€ȱoderȱnachȱ5ȱJahrenȱ1.225ȱ€ȱzurückȬ zuzahlen.ȱFürȱwelcheȱRückzahlungȱentscheidenȱSieȱsich?ȱ 2. BeiȱwelchemȱZinssatzȱhabenȱ300ȱ€,ȱdieȱSieȱinȱ4ȱJahrenȱerhalten,ȱdenȱgleichenȱWertȱ wieȱ250ȱ€,ȱdieȱSieȱnachȱ2ȱJahrenȱerhalten?ȱ 3. EsȱgelteȱeinȱZinssatzȱvonȱ5%ȱp.a.ȱSieȱkönnenȱzwischenȱzweiȱAnlageformenȱwählen.ȱ Sieȱ zahlenȱ jeweilsȱ 9.000ȱ €.ȱ Beiȱ derȱ erstenȱ Anlageȱ erhaltenȱ Sieȱ 3ȱ Jahreȱ langȱ nachȬ schüssigȱ800ȱ€ȱundȱnachȱdemȱviertenȱJahrȱ8.500ȱ€.ȱBeiȱderȱzweitenȱAnlageȱerhaltenȱ Sieȱ4ȱJahreȱlangȱnachschüssigȱ600ȱ€ȱundȱnachȱdemȱfünftenȱJahrȱ8.700ȱ€.ȱȱ a)

StellenȱSieȱdieȱZahlungsströmeȱdar!ȱ

b)

WelcheȱAnlageformȱwählenȱSie?ȱ

c)

Würdenȱ Sieȱ dieȱ andereȱAnlageformȱ dannȱ wählen,ȱ wennȱ dieȱ rentablereȱ nichtȱ zurȱAuswahlȱstünde?ȱ

4. Sieȱzahlenȱheuteȱ100ȱ€ȱundȱerhaltenȱamȱEndeȱdesȱerstenȱJahresȱ50ȱ€,ȱamȱEndeȱdesȱ zweitenȱJahresȱ60ȱ€.ȱBeiȱwelchemȱZinssatzȱhandeltȱesȱsichȱumȱeinȱfairesȱGeschäft?ȱ

93

4.5

Lernziele

5

5.1

Investitionsrechnung

Lernziele

DiesesȱKapitelȱgibtȱeineȱEinführungȱinȱdieȱInvestitionsrechung.ȱNachȱBearbeitungȱdesȱ KapitelsȱsollteȱderȱLeserȱinȱderȱLageȱsein,ȱȱ

„ eineȱInvestitionȱformalȱzuȱbeschreiben,ȱ „ zuȱerklären,ȱwasȱeineȱNormalinvestitionȱist,ȱ „ zuȱerläutern,ȱmitȱwelchenȱMethodenȱmanȱeineȱeinzelneȱInvestitionȱaufȱRentabilitätȱ prüft,ȱ

„ überȱdasȱBarwertprinzipȱdieȱRentabilitätȱeinerȱInvestitionȱzuȱbeurteilen,ȱ „ überȱ denȱ innerenȱ Zinssatzȱ zuȱ entscheiden,ȱ obȱ sichȱ dieȱ Tätigungȱ einerȱ Investitionȱ lohnt,ȱ

„ dieȱAmortisationsdauerȱeinerȱInvestitionȱzuȱberechnen,ȱ „ zuȱ entscheiden,ȱ welchesȱ Verfahrenȱ sichȱ fürȱ denȱ Vergleichȱ vonȱ zweiȱ oderȱ mehrȱ InvestitionsalternativenȱeignetȱundȱwelcheȱVerfahrenȱfürȱdenȱVergleichȱvonȱInvesȬ titionenȱnichtȱgeeignetȱsind.ȱ

5.2

Einführung

Beispielȱ 5.1:ȱ Eineȱ Immobilienfirmaȱ überlegt,ȱ einȱ Zweifamilienhausȱ fürȱ 300.000ȱ €ȱ zuȱ kaufen.ȱ Dieȱ monatlichenȱ Mieteinnahmenȱ fürȱ beideȱ Wohnungenȱ setztȱ dieȱ Firmaȱ mitȱ 1.500ȱ €ȱ an.ȱ Derȱ Einfachheitȱ halberȱ seiȱ davonȱ ausgegangen,ȱ dassȱ dieȱ Mieteinnahmenȱ jeweilsȱamȱEndeȱeinesȱJahresȱfürȱdasȱgesamteȱJahrȱeingezahltȱwerden.ȱDieȱImmobilienȬ firmaȱmöchteȱinȱdenȱerstenȱbeidenȱJahrenȱnochȱRenovierungsarbeitenȱinȱHöheȱvonȱjeȱ 5.000ȱ€,ȱzahlbarȱjeweilsȱamȱEndeȱdesȱJahres,ȱvornehmen.ȱAmȱEndeȱdesȱfünftenȱJahresȱ erwartetȱsie,ȱdasȱHausȱfürȱ340.000ȱ€ȱwiederȱverkaufenȱzuȱkönnen.ȱȱ

ÜberȱdieȱMieteinnahmenȱerzieltȱdieȱFirmaȱjährlichȱEinnahmenȱvonȱ18.000ȱ€.ȱAbzüglichȱ derȱAusgabenȱderȱerstenȱbeidenȱJahreȱhatȱsieȱsoȱÜberschüsseȱvonȱ13.000ȱ€ȱinȱdenȱersȬ 95

5.1

5

Investitionsrechnung

tenȱ beidenȱ Jahren.ȱ Imȱ drittenȱ undȱ viertenȱ Jahrȱ liegenȱ nurȱ dieȱ Mieteinnahmenȱ vonȱ 18.000ȱ €ȱ vor,ȱ imȱ fünftenȱ Jahrȱ ergibtȱ sichȱ mitȱ demȱ Erlösȱ desȱ verkauftenȱ Hausesȱ einȱȱ Überschussȱvonȱ358.000ȱ€.ȱȱ

Abbildungȱ5Ȭ1:ȱ

ZahlungsstromȱeinesȱImmobiliengeschäftsȱ(Beispielȱ5.1)ȱ 358.000 €

18.000 € 18.000 € 13.000 € 13.000 €

t=0

1

2

3

4

5

t

-300.000 €

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Dasȱ Beispielȱ illustriertȱ dieȱ charakteristischenȱ Merkmaleȱ vonȱ Investitionen.ȱ Aufȱ eineȱ anfänglicheȱ Auszahlungȱ folgen,ȱ nebenȱ eventuellenȱ weiterenȱ Auszahlungenȱ inȱ denȱ nachfolgendenȱ Jahren,ȱ Rückflüsse,ȱ d.h.ȱ Einzahlungenȱ ausȱ demȱ Investitionsprojekt.ȱ AusȬȱundȱEinzahlungenȱsindȱzeitlichȱstarkȱversetzt.ȱWieȱwirȱinȱKapitelȱ4ȱ„BarwertprinȬ zip“ȱ gesehenȱ haben,ȱ kannȱ daherȱ dieȱ zeitlicheȱ Komponenteȱ nichtȱ außerȱ achtȱ gelassenȱ werden.ȱ Desȱweiterenȱwirdȱdeutlich,ȱdassȱzurȱInvestitionȱgehörendeȱZahlungsreihenȱvonȱAusȬȱ undȱEinzahlungenȱnurȱaufȱSchätzungenȱundȱErwartungenȱberuhen.ȱZwarȱerwartetȱdieȱ beschriebeneȱ Firmaȱ Mieteinnahmenȱ vonȱ 18.000ȱ €ȱ proȱ Jahr.ȱ EventuelleȱAusfälleȱ durchȱ zeitweiseȱ leerȱ stehendeȱ Wohnungen,ȱ etc.ȱ werdenȱ aberȱ nichtȱ berücksichtigt.ȱ Ebensoȱ wirdȱ einȱ Verkaufserlösȱ vonȱ 340.000ȱ €ȱ erhofft.ȱ Obȱ sichȱ fürȱ diesenȱ Preisȱ aberȱ wirklichȱ termingerechtȱ einȱ Käuferȱ findet,ȱ stehtȱ nochȱ nichtȱ fest.ȱ Diesesȱ „Problem“ȱ haftetȱ allenȱ Investitionenȱan,ȱdaȱhierȱinȱderȱZukunftȱanfallendeȱundȱalsoȱmitȱUnsicherheitȱbehafteteȱ Zahlungenȱ auftreten.ȱAlsȱ Lösungȱ kannȱ manȱ versuchen,ȱ dieȱ erwartetenȱ Zahlungenȱ soȱ genauȱ wieȱ möglichȱ zuȱ schätzenȱ undȱ derȱ Unsicherheitȱ durchȱ Berechnungȱ alternativerȱ Szenarien,ȱwieȱetwaȱeinesȱ„worstȬcaseȬFalles“,ȱRechnungȱzuȱtragen.ȱȱ ZielȱderȱInvestitionstheorieȱistȱes,ȱzuȱentscheiden,ȱobȱsichȱeineȱInvestition,ȱwieȱhierȱderȱ KaufȱeinerȱImmobilie,ȱlohnt.ȱ

96

ȱ

Notationen und Begriffe

5.3

Notationen und Begriffe

Wirȱ wollenȱ imȱ Folgendenȱ voraussetzen,ȱ dassȱ zuȱ Beginnȱ desȱ erstenȱ Jahres,ȱ d.h.ȱ zumȱ Zeitpunktȱtȱ=ȱ0,ȱeineȱ Anfangsauszahlungȱ A0 ȱerfolgt.ȱErstȱinȱdenȱfolgendenȱPeriodenȱ werdenȱnebenȱeventuellenȱweiterenȱ Auszahlungenȱ Aj ȱauchȱ Einzahlungenȱ Ej ȱerzielt.ȱ Dieseȱ Zahlungenȱ erfolgenȱ jeweilsȱ amȱ Endeȱ einesȱ Jahres.ȱ Fürȱ denȱ Investorȱ istȱ hauptȬ sächlichȱderȱresultierendeȱPeriodenüberschussȱ Pj Aj  Ej ȱalsȱDifferenzȱvonȱAusȬȱundȱ EinzahlungenȱvonȱInteresse.ȱTabelleȱ5Ȭ1ȱstelltȱdieȱZusammenhängeȱnochȱeinmalȱdar.ȱȱ

Tabelleȱ5Ȭ1:ȱ

Einzahlungen,ȱAuszahlungenȱundȱPeriodenüberschüsseȱeinerȱInvestitionȱ ...

Zeit

t=0

t=1

t=2

Einzahlungen

-

E1

E2

En

Auszahlungenȱ

A0

A1

A2

An

Periodenüberschüsseȱ

P0

A0

P1

E1  A 1

P2

E2  A2

t=n

Pn

En  An

ȱ Bemerkung:ȱ Wirȱ werdenȱ inȱ diesemȱ Kapitelȱ vonȱ einemȱ konstantenȱ Zinssatzȱ iȱ fürȱ alleȱ Laufzeitenȱausgehen.ȱȱ

ȱ WirȱbetrachtenȱimȱFolgendenȱnurȱsoȱgenannteȱNormalinvestitionen.ȱ Definition:ȱEineȱNormalinvestition26ȱȱ

1. beginntȱmitȱeinerȱAnfangsauszahlung,ȱ 2. besitztȱnurȱeinenȱVorzeichenwechselȱderȱPeriodenüberschüsseȱundȱ 3. erfülltȱ dasȱ Deckungskriterium,ȱ d.h.ȱ dieȱ (nominale)ȱ Summeȱ derȱ Einzahlungenȱ istȱ größerȱalsȱdieȱSummeȱderȱAuszahlungen.ȱ Bemerkungen:ȱȱ

Zuȱ 1.:ȱ Denȱ Beginnȱ einerȱ Investitionȱ mitȱ einerȱ Anfangsauszahlungȱ hattenȱ wirȱ inȱ derȱ obigenȱBeschreibungȱundȱinȱTabelleȱ5Ȭ1ȱbereitsȱvorausgesetzt.ȱȱ Zuȱ 2.:ȱ Daȱ dieȱ Investitionȱ mitȱeinerȱAuszahlung,ȱ d.h.ȱ einemȱ negativenȱ Vorzeichenȱ derȱ Periodenüberschüsseȱ beginnt,ȱ trittȱ einȱ einzigerȱ Vorzeichenwechselȱ derȱ PeriodenüberȬ schüsseȱz.B.ȱdannȱauf,ȱwennȱnachȱderȱAnfangsauszahlungȱnurȱnochȱpositiveȱPeriodenȬ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 26ȱȱ S.ȱz.B.ȱTietze,ȱ2003,ȱS.ȱ396.ȱȱ

97

5.3

5

Investitionsrechnung

überschüsseȱvorliegenȱ(Ȭȱ+ȱ+ȱ...ȱ+)ȱoderȱwennȱnachȱeinigenȱJahrenȱvonȱnegativenȱPerioȬ denüberschüssenȱnurȱnochȱpositiveȱPeriodenüberschüsseȱfolgenȱ(ȬȱȬȱ...ȱȬȱ+ȱ+ȱ+ȱ...ȱ+).ȱ Zuȱ3.:ȱEineȱInvestitionȱ,ȱbeiȱderȱdieȱ(nominale)ȱSummeȱderȱEinzahlungenȱkleinerȱalsȱdieȱ Summeȱ derȱAuszahlungenȱ ist,ȱ kannȱ sichȱ fürȱ denȱ Investorȱ nichtȱ lohnen.ȱ Unabhängigȱ vomȱ Zinssatzȱ wirdȱ erȱ einenȱ zurȱ Finanzierungȱ derȱ Auszahlungenȱ aufgenommenenȱ KreditȱdurchȱdieȱeingehendenȱZahlungenȱnichtȱzurückzahlenȱkönnen.ȱȱ IstȱdieȱSummeȱderȱEinzahlungenȱhingegenȱgrößerȱalsȱdieȱSummeȱderȱAuszahlungen,ȱ kannȱ manȱ nochȱ nichtȱ entscheiden,ȱ obȱ sichȱ dieȱ Investitionȱ auchȱ rentiert.ȱ Dieȱ zeitlicheȱ Verzögerungȱ derȱ Einzahlungenȱ gegenüberȱ denȱ Auszahlungenȱ mussȱ berücksichtigtȱ werden.ȱ FortführungȱvonȱBeispielȱ5.1:ȱ BeiȱdemȱinȱBeispielȱ5.1ȱbetrachtetenȱInvestitionsvorhaȬ benȱhandeltȱesȱsichȱumȱeineȱNormalinvestition.ȱEsȱentstehenȱdieȱfolgendenȱZahlungenȱ undȱPeriodenüberschüsse:ȱ

Tabelleȱ5Ȭ2:ȱ

Einzahlungen,ȱAuszahlungenȱundȱPeriodenüberschüsseȱ(Beispielȱ5.1)ȱ

Zeit

t=0

t=1

t=2

t=3ȱ

t=4ȱ

t=5

EinzahlunȬ gen

-

18.000ȱ€

18.000ȱ€

18.000ȱ€ȱ

18.000ȱ€ȱ

358.000ȱ€

AuszahlunȬ genȱ

300.000ȱ€ȱ

5.000ȱ€

5.000ȱ€

-

-

-

PeriodenȬ Ȭ300.000ȱ€ überschüsseȱ

13.000ȱ€

13.000ȱ€

18.000ȱ€ȱ

18.000ȱ€ȱ

358.000ȱ€

ȱ ZunächstȱwirdȱeineȱAnfangsauszahlungȱinȱHöheȱvonȱ300.000ȱ€ȱgetätigt.ȱAbȱdemȱEndeȱ desȱerstenȱJahresȱfolgenȱnurȱnochȱPeriodenüberschüsse.ȱZudemȱistȱdasȱDeckungskriteȬ riumȱ erfüllt,ȱ daȱ dieȱ nominaleȱ Summeȱ derȱ zukünftigenȱ Einzahlungenȱ mitȱ 430.000ȱ €ȱ deutlichȱgrößerȱistȱalsȱdieȱSummeȱderȱAuszahlungenȱvonȱ310.000ȱ€.ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ BeiȱdenȱmeistenȱrealistischenȱBeispielenȱfürȱInvestitionenȱhandeltȱesȱsichȱumȱNormalȬ investitionen.27ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 27ȱȱ ZuȱInvestitionen,ȱdieȱkeineȱNormalinvestitionenȱdarstellen,ȱs.ȱz.B.ȱTietze,ȱ2003,ȱS.ȱ410ȱff.ȱ

98

ȱ

Barwertmethode

5.4

Barwertmethode

Dieȱ Investitionstheorieȱ stelltȱ einesȱ derȱ wichtigstenȱ praktischenȱ Anwendungsgebieteȱ desȱBarwertprinzipsȱdar.ȱÜberȱdasȱBarwertprinzipȱerhältȱderȱInvestorȱdieȱMöglichkeitȱ zuȱentscheiden,ȱobȱsichȱeineȱgeplanteȱInvestitionȱfürȱihnȱlohntȱoderȱnicht.ȱ

5.4.1

Beurteilung eines einzelnen Investitionsprojektes

FortführungȱvonȱBeispielȱ5.1:ȱ WirȱbetrachtenȱnunȱdenȱinȱBeispielȱ5.1ȱgeplantenȱKaufȱ einesȱZweifamilienhausesȱgenauer.ȱBeiȱihrerȱHausbankȱerhältȱdieȱImmobilienfirmaȱfürȱ AnlagenȱwieȱfürȱKrediteȱeinenȱZinssatzȱvonȱ6%ȱp.a.ȱLohntȱsichȱdieȱInvestitionȱfürȱdieȱ Firma?ȱ

DerȱBarwertȱderȱinȱderȱZukunftȱ(abȱtȱ=ȱ1)ȱliegendenȱPeriodenüberschüsseȱ(s.ȱTabelleȱ5Ȭ 2)ȱbeträgtȱȱ 13.000 13.000 18.000 18.000 358.000     (1  0 ,06) (1  0 ,06)2 (1  0 ,06)3 (1  0 ,06)4 (1  0 ,06)5

320.723,36 €. ȱ

Demȱ stehtȱ dieȱAnfangsauszahlungȱ vonȱ 300.000ȱ €ȱ gegenüber.ȱ Daȱ derȱ Barwertȱ derȱ zuȬ künftigenȱEinzahlungenȱhöherȱistȱalsȱdieȱAnfangsauszahlung,ȱlohntȱsichȱdieȱInvestitiȬ onȱfürȱdieȱImmobilienfirma.ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ ȱ Dasȱ Barwertprinzipȱ liefertȱ eineȱ allgemeineȱ Entscheidungsregelȱ überȱ dieȱ Rentabilitätȱ einerȱInvestition.ȱDerȱBarwertȱderȱzukünftigenȱPeriodenüberschüsseȱbeträgtȱdabeiȱ Kȇ0

n

¦

Pj

j 1 (1  i )

j

n

Ej  Aj

j 1

(1  i) j

¦

.ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(5.1)ȱ

ErȱstelltȱdieȱaufȱdenȱBeginnȱderȱInvestitionȱabgezinstenȱErträgeȱausȱdemȱInvestitionsȬ projektȱdar.ȱ

„ DieȱInvestitionȱlohntȱsichȱdannȱfürȱdenȱInvestor,ȱwennȱderȱBarwertȱ Kȇ0 ȱderȱzukünfȬ tigenȱ Periodenüberschüsseȱ größerȱ alsȱ dieȱ Anfangsauszahlungȱ A 0 ȱ ist,ȱ d.h.ȱ Kȇ0 ! A0 .ȱSieȱlohntȱsichȱumȱsoȱmehr,ȱjeȱgrößerȱ Kȇ0 ȱist.ȱ

„ DerȱInvestorȱmachtȱwederȱGewinneȱnochȱVerluste,ȱwennȱderȱBarwertȱderȱzukünfȬ tigenȱPeriodenüberschüsseȱderȱAnfangsinvestitionȱentspricht,ȱd.h.ȱ Kȇ0

A0 .ȱ

„ DieȱInvestitionȱstelltȱfürȱdenȱInvestorȱeinenȱVerlustȱdar,ȱwennȱ Kȇ0  A0 ȱist.ȱȱ ȱ

99

5.4

5

Investitionsrechnung

Derȱ Barwertȱ derȱ zukünftigenȱ Periodenüberschüsseȱ undȱ dieȱAnfangsauszahlungȱ könȬ nenȱ auchȱ zusammengefasstȱ werdenȱ undȱ liefernȱ denȱ Nettobarwertȱ derȱ Investitionȱ K 0 Kȇ0  A 0 ,ȱd.h.ȱ n

¦

K0

j

Pj

j 1 (1  i )

 A0 . ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(5.2)ȱ

Dieȱ Entscheidungȱ überȱ dieȱ Rentabilitätȱ derȱ Investitionȱ kannȱ dadurchȱ nachȱ demȱ VorȬ zeichenȱdesȱNettobarwertesȱvorgenommenȱwerden.ȱ

„ DieȱInvestitionȱlohntȱsichȱfürȱdenȱInvestor,ȱwennȱderȱNettobarwertȱgrößerȱalsȱȱ0ȱist,ȱ d.h.ȱ K 0 ! 0 .ȱSieȱlohntȱsichȱumȱsoȱmehr,ȱjeȱgrößerȱ K 0 ȱist.ȱ

„ DerȱInvestorȱmachtȱwederȱGewinneȱnochȱVerluste,ȱwennȱ K 0 0 ȱist.ȱ „ DieȱInvestitionȱbedeutetȱhingegenȱeinenȱVerlustȱfürȱdenȱInvestor,ȱwennȱ K 0  0 ȱist.ȱȱ ȱ Fortführungȱ vonȱ Beispielȱ 5.1:ȱ Beiȱ derȱ Investitionȱ „Kaufȱ einesȱ Zweifamilienhauses“ȱ stehtȱderȱAnfangsauszahlungȱvonȱ300.000ȱ€ȱeinȱBarwertȱderȱerwartetenȱPeriodenüberȬ schüsseȱ vonȱ 320.723,36ȱ €ȱ gegenüber.ȱ Dasȱ Projektȱ hatȱ alsoȱ einenȱ ȱ Nettobarwertȱ vonȱ 320.723,36ȱ€ȱȬȱ300.000ȱ€ȱ=ȱ20.723,36ȱ€,ȱdenȱ(barwertigen)ȱGewinnȱderȱImmobilienfirma.ȱ

NimmtȱmanȱheuteȱeinenȱKreditȱüberȱ300.000ȱ€ȱbeiȱeinemȱZinssatzȱvonȱ6%ȱp.a.ȱauf,ȱsoȱ kannȱmanȱdurchȱdieȱzukünftigenȱErträgeȱausȱderȱInvestitionȱdenȱKreditȱnachȱundȱnachȱ tilgen.ȱAmȱ Endeȱ desȱ fünftenȱ Jahresȱ istȱ derȱ Kreditȱ dannȱ nichtȱ nurȱ vollständigȱ getilgt,ȱ sondernȱesȱverbleibtȱeinȱpositiverȱRestbetragȱinȱHöheȱvonȱ27.732,54ȱ€,ȱderȱgeradeȱeinenȱ Barwertȱvonȱ20.723,36ȱ€ȱbesitzt.ȱBeiȱeinerȱAnlageȱvonȱ20.723,36ȱ€ȱ(dieȱmanȱallerdingsȱ nichtȱ besessenȱ hat!)ȱ hätteȱ manȱ alsoȱ denȱ gleichenȱ Betragȱ erwirtschaftetȱ wieȱ überȱ dieȱ Investition.ȱDerȱNettobarwertȱvonȱ20.723,36ȱ€ȱentsprichtȱdaherȱdemȱGewinnȱderȱInvesȬ tition.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

5.4.2

Zur Wahl des Kalkulationszinssatzes

DenȱinȱderȱInvestitionsrechnungȱverwendetenȱZinssatzȱbezeichnetȱmanȱalsȱ KalkulatiȬ onszinssatz.ȱDieȱInterpretationȱundȱdamitȱdieȱFestlegungȱeinesȱangemessenenȱKalkuȬ lationszinssatzesȱausȱdenȱMarktdatenȱhängtȱvonȱdemȱbetrachtetenȱInvestitionsproblemȱ ab.ȱIstȱdasȱProjektȱvollständigȱ eigenfinanziert,ȱd.h.ȱbesitztȱmanȱdieȱfinanziellenȱMittelȱ zurȱTätigungȱallerȱAusgabenȱderȱInvestition,ȱsoȱlässtȱsichȱalsȱKalkulationszinssatzȱeinȱ GuthabenzinssatzȱeinerȱalternativenȱGeldanlageȱȱ(Sparbuch,ȱWertpapiere,ȱetc.)ȱwählen.ȱ Dieȱ Investitionȱ lohntȱ sichȱ dannȱ fürȱ denȱ Investor,ȱ wennȱ sieȱ eineȱ bessereȱ Verzinsungȱ gewährtȱ alsȱ dieȱ alternativeȱ Geldanlage.ȱ Daȱ dasȱ Risikoȱ einerȱ Investitionȱ aberȱ meistȱ höherȱistȱalsȱdasȱRisikoȱeinerȱAnlageȱinȱWertpapierenȱoderȱaufȱeinemȱKonto,ȱwirdȱinȱ derȱLiteraturȱoftȱeinȱRisikozuschlagȱhinzugerechnet.ȱDadurchȱresultiertȱz.B.ȱausȱeinemȱ 100 ȱ

Barwertmethode

Habenzinssatzȱvonȱ5%ȱp.a.ȱbeiȱBerücksichtigungȱeinesȱRisikozuschlagsȱvonȱ2%ȱp.a.ȱeinȱ Kalkulationszinssatzȱ vonȱ 7%ȱ p.a.ȱ Hinzuȱ kommt,ȱ dassȱ Investitionenȱ meistȱ mitȱ mehrȱ ArbeitȱverbundenȱsindȱalsȱdieȱreineȱGeldanlage.ȱObȱsichȱeineȱInvestitionȱbereitsȱlohnt,ȱ wennȱdieȱBarwerteȱderȱRückzahlungenȱbeiȱAnsatzȱdesȱHabenzinssatzesȱzurȱAbzinsungȱ dieȱ Anfangsauszahlungȱ einȱ wenigȱ überschreiten,ȱ istȱ fraglich.ȱ Auchȱ hierȱ könnteȱ manȱ einenȱZuschlagȱzumȱZinssatzȱwählen,ȱumȱzuȱeinemȱZinssatzȱzuȱkommen,ȱdenȱmanȱaufȱ jedenȱFallȱerwirtschaftenȱmöchte,ȱdamitȱsichȱdieȱInvestitionȱsubjektivȱlohnt.ȱȱ BesitztȱmanȱdieȱMittelȱfürȱdieȱInvestitionȱnicht,ȱd.h.ȱmussȱdieȱInvestitionȱ fremdfinanȬ ziertȱ werden,ȱ soȱ mussȱ fürȱ denȱ Kalkulationszinssatzȱ zumindestȱ derȱ Kreditzinssatzȱ angesetztȱwerden.ȱDieȱRückzahlungenȱausȱderȱInvestitionȱtilgenȱdannȱdenȱKredit,ȱderȱ ausstehendeȱ Betragȱ verursachtȱ nochȱ Zinskostenȱ inȱ Höheȱ desȱ Kalkulationszinssatzes.ȱ AuchȱhierȱkannȱeinȱRisikozuschlagȱhinzugerechnetȱwerden.ȱȱ BeiȱInvestitionen,ȱbeiȱdenenȱzumȱTeilȱMittelȱaufgenommenȱwerdenȱmüssen,ȱzumȱTeilȱ Erträgeȱ angelegtȱ werden,ȱ kannȱ dieȱ Berechnungȱ derȱ Vorteilhaftigkeitȱ derȱ Investitionȱ unterȱVerwendungȱunterschiedlicherȱSollȬȱundȱHabenzinssätzeȱerfolgen.ȱDieȱVerwenȬ dungȱeinesȱeinheitlichenȱSollȬȱundȱHabenzinssatzesȱistȱnichtȱzwingendȱnotwendig.ȱWirȱ nehmenȱinȱderȱFolgeȱzurȱVereinfachungȱderȱBerechnungȱjedochȱeinheitlicheȱSollȬȱundȱ Habenzinssätzeȱan.28ȱ ȱ FortführungȱvonȱBeispielȱ5.1:ȱ WirȱbetrachtenȱnochȱeinmalȱdenȱinȱBeispielȱ5.1ȱgeplanȬ tenȱ Kaufȱ einesȱ Zweifamilienhauses.ȱ Dieȱ Immobilienfirmaȱ möchteȱ dieȱ Investitionȱ nurȱ dannȱ tätigen,ȱ wennȱ dieȱ Investitionȱ wegenȱ desȱ entstehendenȱ Risikosȱ undȱ dieȱ mitȱ ihrȱ verbundeneȱ Arbeitȱ einenȱ 3%ȱ p.a.ȱ höherenȱ Zinssatzȱ alsȱ eineȱ risikoarmeȱ Geldanlageȱ erbringt.ȱ Derȱ Bankzinssatzȱ fürȱAnlagenȱ undȱ Krediteȱseiȱ weiterhinȱ 6%ȱ p.a.ȱ Lohntȱ sichȱ dieȱInvestitionȱauchȱbeiȱdiesemȱAnsatz?ȱ Lösung:ȱ Derȱ Kalkulationszinssatzȱ derȱ Firmaȱ beträgtȱ nunȱ 6%ȱ p.a.ȱ +ȱ 3%ȱ p.a.ȱ =ȱ 9%ȱ p.a.ȱ AusȱdemȱNettobarwertȱvonȱ

 300.000 € 

13.000 € 1,09



13.000 € 1,09

2



18.000 € 1,09

3



18.000 € 1,09

4



358.000 € 1,09 5

Ȭ17.805,16 € ȱ

ergibtȱsich,ȱdassȱsichȱderȱKaufȱdesȱHausesȱfürȱdieȱFirmaȱnichtȱlohnt,ȱdaȱsieȱdieȱgegenȬ überȱ einerȱ sicherenȱ Geldanlageȱ gefordertenȱ zusätzlichenȱ 3%ȱ p.a.ȱ nichtȱ erwirtschaftenȱ kann.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 28ȱȱ Zuȱ demȱ Problemȱ desȱ Kalkulationszinssatzesȱ vgl.ȱ auchȱ Kobelt/Schulte,ȱ 1999,ȱ S.ȱ 72ȱ ff.,ȱ OlȬ

fert/Reichel,ȱ2003,ȱS.ȱ64,ȱff.ȱundȱDäumler,ȱ2003,ȱS.ȱ30ȱff.ȱ

101

5.4

5

Investitionsrechnung

5.4.3

Vergleich mehrerer Investitionsalternativen

Dieȱ Barwertmethodeȱ eignetȱ sichȱ auchȱ zurȱ Entscheidungȱ darüber,ȱ welcheȱ vonȱ zweiȱ oderȱmehrȱInvestitionsalternativenȱgewähltȱwerdenȱsollte,ȱumȱdenȱGewinnȱdesȱInvesȬ torsȱzuȱmaximieren.ȱ Beispielȱ 5.2:ȱ Hugoȱ Schmidtȱ möchteȱ sichȱ fürȱ einȱ paarȱ Jahreȱ selbstständigȱ machen.ȱ Erȱ überlegt,ȱobȱerȱeinenȱKioskȱfürȱ50.000ȱ€ȱerwerbenȱsoll,ȱausȱdemȱerȱinȱdenȱerstenȱbeidenȱ Jahrenȱ Periodenüberschüsseȱ inȱ Höheȱ vonȱ jeȱ 5.000ȱ €ȱ undȱ imȱ drittenȱ Jahrȱ vonȱ 10.000ȱ €ȱ erwartenȱ kann.ȱ Imȱ viertenȱ Jahrȱ plantȱ erȱ durchȱ denȱ Verkaufȱ desȱ Kiosksȱ undȱ dieȱ EinȬ nahmenȱ desȱ laufendenȱ Jahresȱ einenȱ Periodenüberschussȱ vonȱ 55.000ȱ €ȱ zuȱ erzielen.ȱ AlternativȱkönnteȱerȱeinȱTaxiȱfürȱ25.000ȱ€ȱerwerben,ȱbeiȱdemȱerȱ3ȱJahreȱlangȱmitȱEinȬ nahmenȱvonȱ7.500ȱ€ȱproȱJahrȱrechnet.ȱAmȱEndeȱdesȱdrittenȱJahresȱwürdeȱerȱdasȱTaxiȱ fürȱ15.000ȱ€ȱwiederȱverkaufen.ȱȱ

DenȱKalkulationszinssatzȱsetztȱHugoȱSchmidtȱmitȱ8%ȱp.a.ȱan.ȱ

Tabelleȱ5Ȭ3:ȱ

PeriodenüberschüsseȱzweierȱverschiedenerȱInvestitionenȱ Zeit

Kiosk

Taxi

t=0

-50.000 €

-25.000 €

t=1

5.000 €

7.500 €

t=2

5.000 €

7.500 €

t=3

10.000 €

22.500 €

t=4

55.000 €

-

ȱ Tabelleȱ 5Ȭ4ȱ zeigtȱ dieȱ Periodenüberschüsseȱ beiderȱ Investitionsalternativen.ȱ Beurteiltȱ manȱ dieȱ Alternativenȱ getrennt,ȱ soȱ siehtȱ man,ȱ dassȱ sichȱ dieȱ Investitionȱ inȱ denȱ Kioskȱ rentiert,ȱdaȱsieȱmitȱȱ  50.000 € 

5.000 € 1,08



5.000 € 1,08 2



10.000 € 1,08 3



55.000 € 1,08 4

7.281,29 € ȱ

einenȱpositivenȱNettobarwertȱbesitzt.ȱDieȱInvestitionȱinȱeinȱTaxiȱwürdeȱsichȱwegenȱȱ  25.000 € 

7.500 € 1,08



7.500 € 1,08 2



22.500 € 1,08 3

6.235,71 € ȱ

ebenfallsȱlohnen.ȱȱ AufgrundȱdesȱhöherenȱerwartetenȱNettobarwertesȱistȱdieȱInvestitionȱinȱdenȱKioskȱaberȱ rentablerȱalsȱdieȱInvestitionȱinȱeinȱTaxi.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

102 ȱ

Innerer Zinssatz

Beiȱ derȱ Entscheidungȱ fürȱ eineȱ vonȱ mehrerenȱ alternativenȱ Investitionsvorhabenȱ wähltȱ manȱdiejenigeȱAlternative,ȱdieȱdenȱhöchstenȱNettobarwertȱaufweist.ȱZusätzlichȱistȱzuȱ prüfen,ȱobȱderȱNettobarwertȱdesȱausgewähltenȱInvestitionsvorhabensȱpositivȱist.ȱManȱ wirdȱsichȱnurȱfürȱeinȱProjektȱentscheiden,ȱwennȱesȱfürȱsichȱgenommenȱrentabelȱist.ȱȱ ȱ

5.5

Innerer Zinssatz

5.5.1

Beurteilung eines einzelnen Investitionsprojektes

Beispielȱ5.3ȱ(FortführungȱvonȱBeispielȱ5.1):ȱ ImȱvorigenȱAbschnittȱhabenȱwirȱgesehen,ȱ dassȱsichȱdieȱInvestitionȱinȱeinȱZweifamilienhausȱbeiȱeinemȱBankzinssatzȱvonȱ6%ȱp.a.ȱ undȱeinemȱRisikozuschlagȱvonȱ3%ȱp.a.ȱnichtȱlohnt.ȱNachdemȱdieȱImmobilienfirmaȱdasȱ ProjektȱeineȱWeileȱaufȱEisȱgelegtȱhat,ȱsinktȱderȱBankzinssatzȱaufȱ4%ȱp.a.,ȱdieȱerwartetenȱ Auszahlungenȱ undȱ Einzahlungen,ȱ sowieȱ derȱ Ansatzȱ einesȱ Risikozuschlagsȱ inȱ Höheȱ vonȱ3%ȱp.a.ȱbleibenȱbestehen.ȱLohntȱsichȱderȱKaufȱdesȱHausesȱnun?ȱ Lösung:ȱ Mitȱ demȱ gesunkenenȱ Bankzinssatzȱ ergibtȱ sichȱ einȱ Kalkulationszinssatzȱ vonȱ 4%ȱp.a.ȱ+ȱ3%ȱp.a.ȱ=ȱ7%ȱp.a.ȱDamitȱerhältȱmanȱeinenȱNettobarwertȱderȱInvestitionȱvonȱȱ

 300.000 € 

13.000 € 1,07



13.000 € 1,07 2



18.000 € 1,07 3



18.000 € 1,07 4



358.000 € 1,07 5

7.178,76 €. ȱ

DieȱInvestitionȱwürdeȱsichȱinȱderȱgeändertenȱSituationȱalsoȱlohnen,ȱdaȱderȱNettobarȬ wertȱpositivȱist.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ ȱ ImȱBeispielȱlohntȱsichȱdieȱInvestitionȱbeiȱeinemȱKalkulationszinssatzȱvonȱ9%ȱp.a.ȱnicht.ȱ Wirdȱ derȱ Kalkulationszinssatzȱ mitȱ 7%ȱ p.a.ȱangesetzt,ȱ lohntȱ sieȱ sich.ȱ Würdeȱ derȱ ZinsȬ satzȱ nochȱ niedrigerȱ angesetztȱ werdenȱ können,ȱ würdeȱ sichȱ dieȱ Investitionȱ erstȱ rechtȱ lohnen.ȱZwischenȱ7%ȱp.a.ȱundȱ9%ȱp.a.ȱwirdȱeinȱZinssatzȱliegen,ȱbeiȱdemȱsichȱdieȱInvesȬ titionȱ geradeȱ wederȱ lohntȱ nochȱ manȱ einenȱ Verlustȱ machenȱ würde,ȱ d.h.ȱ beiȱ demȱ derȱ Nettobarwertȱ 0ȱ ist.ȱ Diesenȱ Zinssatzȱ bezeichnetȱ manȱ alsȱ innerenȱ Zinssatzȱ iinn ȱ derȱ InȬ vestition.ȱ Dieȱ allgemeineȱ Abhängigkeitȱ desȱ Nettobarwertsȱ vomȱ Kalkulationszinssatzȱ wirdȱdurchȱAbbildungȱ5Ȭ2ȱillustriert.ȱ ȱ

103

5.5

5

Investitionsrechnung

Abbildungȱ5Ȭ2:ȱ

AbhängigkeitȱdesȱNettobarwertsȱvomȱKalkulationszinssatzȱ

K0

i

iinn A0

ȱ

FürȱdenȱinnerenȱZinssatzȱwirdȱderȱNettobarwertȱderȱInvestitionȱ0,ȱd.h.ȱesȱgiltȱȱ  A0 

P1 P2 P3 Pn    ...  (1  i inn ) (1  i inn )2 (1  i inn )3 (1  i inn )n

0. ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(5.3)ȱ

WieȱlässtȱsichȱderȱinnereȱZinssatzȱ iinn ȱbestimmen?ȱEsȱistȱderȱZinssatzȱ iinn ȱzuȱermitteln,ȱ fürȱdenȱderȱNettobarwertȱ0ȱergibt,ȱd.h.ȱdieȱobigeȱGleichungȱistȱnachȱdemȱinnerenȱZinsȬ satzȱ aufzulösen.ȱ Diesesȱ istȱ inȱ manchenȱ Fällenȱ analytisch,ȱ d.h.ȱ durchȱ expliziteȱ BereȬ chungȱ möglich,ȱ etwaȱ wennȱ dieȱ Investitionȱ nurȱ eineȱ Laufzeitȱ vonȱ 1ȱ oderȱ 2ȱ Jahrenȱ hatȱ oderȱwennȱdieȱzukünftigenȱPeriodenüberschüsseȱkonstantȱsind.ȱInȱdenȱmeistenȱFällenȱ istȱeineȱexpliziteȱLösungȱaberȱnichtȱmöglich.ȱInȱdiesemȱFallȱmussȱmanȱaufȱNäherungsȬ lösungenȱ zurückgreifen.ȱ Hierfürȱ existierenȱ diverseȱ Verfahren,ȱ wieȱ z.B.ȱ dasȱ NewtonȬ Verfahrenȱoderȱdieȱ„RegulaȱFalsi“29.ȱWirȱbegnügenȱunsȱhierȱmitȱeinerȱeinfachenȱ InterȬ vallschachtelung.ȱ Beispielȱ5.4ȱ(FortführungȱvonȱBeispielȱ5.1):ȱDamitȱsichȱdieȱInvestitionȱinȱdasȱZweifaȬ milienhausȱgeradeȱwederȱlohnt,ȱnochȱderȱInvestorȱVerlusteȱmacht,ȱmussȱgeltenȱȱ

 300.000 € 

13.000 € (1  i inn )



13.000 € (1  i inn )

2



18.000 € (1  i inn )

3



18.000 € (1  i inn )

4



358.000 € (1  i inn )5

0. ȱ

ImȱBeispielȱhabenȱwirȱesȱmitȱeinemȱPolynomȱhöhererȱalsȱvierterȱOrdnungȱzuȱtun.ȱFürȱ dieseȱArtȱ vonȱ Polynomgleichungenȱ existierenȱ imȱ allgemeinenȱ keineȱ analytischenȱ LöȬ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 29ȱȱ S.ȱz.B.ȱTietze,ȱ2003,ȱS.ȱ233.ȱ

104 ȱ

Innerer Zinssatz

sungen.ȱ Manȱ kannȱ sieȱ nichtȱ explizitȱ nachȱ derȱ Unbekanntenȱ auflösen.30ȱ Denȱ innerenȱ ZinssatzȱbestimmenȱwirȱdurchȱIntervallschachtelung.ȱȱ Wirȱ wissenȱ bereits,ȱ dassȱ derȱ innereȱ Zinssatzȱ zwischenȱ 7%ȱ p.a.ȱ undȱ 9%ȱ p.a.ȱ liegt.ȱ Soȱȱ könnenȱ wirȱ nunȱ z.B.ȱ einenȱ Zinssatzȱ vonȱ 8%ȱ p.a.ȱ „ausprobieren“ȱ undȱ erhaltenȱ einenȱ Nettobarwertȱvonȱȱ K 0 (8%)

300.000 € 

13.000 € 1,08



13.000 € 1,08

2



18.000 € 1,08

3



18.000 € 1,08

4



358.000 € 1,08 5

ȱ

Ȭȱ5.649,26 €. Daȱ derȱ Nettobarwertȱ beiȱ einemȱ Zinssatzȱ vonȱ 7%ȱ p.a.ȱ positiv,ȱ beiȱ einemȱ Zinssatzȱ vonȱ 8%ȱp.a.ȱaberȱnegativȱist,ȱmussȱderȱinnereȱZinssatzȱzwischenȱ7%ȱp.a.ȱundȱ8%ȱp.a.ȱliegen.ȱ Fürȱ 7,5%ȱ p.a.ȱ erhältȱ manȱ K 0(7 ,5%) 678 ,04 €,ȱ derȱ Nettobarwertȱ liegtȱ demnachȱ zwiȬ schenȱ 7,5%ȱ p.a.ȱ undȱ 8%ȱ p.a.ȱ Durchȱ weiteresȱAusprobierenȱ könnenȱ wirȱ schließlichȱ eiȬ nenȱinnerenȱZinssatzȱvonȱ7,56%ȱp.a.ȱ(gerundetȱaufȱ2ȱStellen)ȱermitteln.ȱ DieȱInvestitionȱ„Zweifamilienhaus“ȱbesitztȱeinenȱinnerenȱZinssatzȱvonȱ7,56%ȱp.a.ȱDieȱ Investitionȱlohntȱsichȱalsoȱnurȱdann,ȱwennȱderȱKalkulationszinssatzȱkleinerȱalsȱ7,56%ȱ p.a.ȱist.ȱȱ ȱ Interpretation:ȱ Interpretierenȱ wirȱ denȱ Kalkulationszinssatzȱ einmalȱ alsȱ Habenzinssatzȱ einerȱSparanlageȱundȱgehenȱdavonȱaus,ȱdassȱdieȱImmobilienfirmaȱüberȱ300.000ȱ€ȱverȬ fügt.ȱDieȱFirmaȱerwirtschaftetȱdannȱdurchȱdieȱInvestitionȱmehrȱalsȱbeiȱeinerȱGeldanlaȬ geȱdesȱBetragsȱvonȱ300.000ȱ€ȱbeiȱeinerȱBank,ȱwennȱderȱHabenzinssatzȱkleinerȱalsȱ7,56%ȱ p.a.ȱist.ȱIstȱderȱHabenzinssatzȱgrößerȱalsȱ7,56%ȱp.a.,ȱsoȱkönnteȱdieȱFirmaȱihrȱGeldȱbesȬ serȱ aufȱ einemȱ Sparbuchȱ anlegenȱ undȱ hätteȱ nachȱ 5ȱ Jahrenȱ einenȱ höherenȱ Betragȱ zurȱ Verfügungȱ alsȱ beiȱ derȱ Investitionȱ inȱ dasȱ Haus.ȱ Denȱ innerenȱ Zinssatzȱ kannȱ manȱ auchȱ alsȱRenditeȱderȱInvestitionȱbezeichnen.ȱ

NimmtȱdieȱFirmaȱzurȱFinanzierungȱderȱInvestitionȱeinenȱKreditȱauf,ȱerfolgtȱdieȱInterȬ pretationȱ ähnlich.ȱ Beiȱ einemȱ Kreditzinssatz,ȱ derȱ größerȱ alsȱ 7,56%ȱ p.a.ȱ ist,ȱ kannȱ dieȱ InvestitionȱdieȱentstehendenȱZinskostenȱnichtȱerwirtschaften.ȱDieȱImmobilienfirmaȱhatȱ ihrenȱKreditȱnachȱ5ȱJahrenȱdannȱnochȱnichtȱvollständigȱzurückgezahlt.ȱDieȱInvestitionȱ lohntȱsichȱalsoȱnurȱbisȱzuȱeinemȱSollzinssatzȱvonȱ7,56%ȱp.a.,ȱdemȱinnerenȱZinssatz.ȱȱȱȱȱƑ ȱ Allgemeinȱgiltȱalsoȱanalog:ȱ HatȱmanȱdenȱinnerenȱZinssatzȱeinerȱInvestitionȱgegeben,ȱkannȱmanȱüberȱdieȱRentabiȬ litätȱderȱInvestitionȱentscheiden:ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 30ȱȱ S.ȱauchȱKöhler,ȱ1992,ȱS.ȱ79.ȱ

105

5.5

5

Investitionsrechnung

„ Istȱ derȱ innereȱ Zinssatzȱ iinn ȱ größerȱ alsȱ derȱ Kalkulationszinssatz,ȱ soȱ lohntȱ sichȱ dieȱ InvestitionȱfürȱdenȱInvestorȱundȱzwarȱumȱsoȱmehr,ȱjeȱhöherȱderȱinnereȱZinssatzȱist.ȱȱ

„ DieȱInvestitionȱbedeutetȱwederȱeinenȱGewinnȱnochȱeinenȱVerlustȱfürȱdenȱInvestor,ȱ wennȱderȱinnereȱZinssatzȱgenauȱdemȱKalkulationszinssatzȱentspricht.ȱ

„ IstȱderȱKalkulationszinssatzȱgrößerȱalsȱderȱinnereȱZinssatzȱ iinn , ȱsoȱmachtȱderȱInvesȬ torȱeinenȱVerlust.ȱȱ

5.5.2

Vergleich mehrerer Investitionsalternativen

Derȱ innereȱ Zinssatzȱ istȱ keinȱ geeignetesȱ Kriterium,ȱ umȱ 2ȱ oderȱ mehrȱ Investitionenȱ zuȱ vergleichen.ȱ Beispielȱ 5.5ȱ (Fortführungȱ vonȱ Beispielȱ 5.2):ȱ Wirȱ betrachtenȱ nochȱ einmalȱ dieȱ beidenȱ Investitionsalternativenȱ vonȱ Hugoȱ Schmidt.ȱ Inȱ Beispielȱ 5.2.ȱ hattenȱ wirȱ gesehen,ȱ dassȱ sichȱdieȱInvestitionȱinȱdenȱKioskȱfürȱHugoȱSchmidtȱstärkerȱlohntȱalsȱdieȱInvestitionȱinȱ dasȱTaxi.ȱBerechnetȱmanȱallerdingsȱdieȱinnerenȱZinssätzeȱderȱInvestition,ȱsoȱergibtȱsichȱ fürȱ dasȱ Kioskprojektȱ einȱ innererȱ Zinssatzȱ vonȱ 12,34%ȱ p.a.,ȱ fürȱ dasȱ Taxiȱ einȱ innererȱ Zinssatzȱvonȱ19,0%ȱp.a.ȱDieȱInvestitionȱinȱdenȱKioskȱwürdeȱsichȱbisȱzuȱeinemȱKalkulaȬ tionszinssatzȱvonȱ12,34%ȱp.a.,ȱdieȱinȱdasȱTaxiȱbisȱ19,0%ȱp.a.ȱlohnen.ȱDennochȱistȱbeimȱ gegebenenȱ Kalkulationszinssatzȱ vonȱ 8%ȱ p.a.ȱ derȱ Nettobarwertȱ desȱ Kioskprojektsȱ größer.ȱ Alleinȱ diesesȱ Kriteriumȱ istȱ fürȱ dieȱ Entscheidungȱ zwischenȱ denȱ Investitionenȱ ausschlaggebend.31ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

5.6

Amortisationsdauer

Definition:ȱAlsȱAmortisationsdauerȱbezeichnetȱmanȱdieȱZeit,ȱdieȱvergeht,ȱbisȱsichȱeineȱ Investitionȱ rentiert,ȱ d.h.ȱ bisȱ dieȱ Erträgeȱ derȱ Investitionȱ unterȱ Berücksichtigungȱ derȱ zeitlichenȱVerzögerungȱdieȱgetroffenenȱAusgabenȱüberwiegen.ȱȱ

5.6.1

Beurteilung eines einzelnen Investitionsprojektes

Beispielȱ5.6:ȱ EineȱInvestitionȱinȱeineȱmobileȱWürstchenbudeȱseiȱdurchȱfolgendeȱPerioȬ denüberschüsseȱgekennzeichnet:ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 31ȱȱ ZumȱinnerenȱZinssatzȱbeiȱmehrerenȱInvestitionsalternativenȱs.ȱz.B.ȱauchȱTietze,ȱ2003,ȱS.ȱ409.ȱ

106 ȱ

Amortisationsdauer

Tabelleȱ5Ȭ4:ȱ

BeispielȱzurȱAmortisationsdauerȱeinesȱInvestitionsprojektesȱ Zeit

Periodenüberschuss

t=0

-10.000 €

t=1

5.000 €

t=2

4.000 €

t=3

4.000 €

t=4

2.000 €

ȱ EsȱwirdȱeinȱKalkulationszinssatzȱvonȱ5%ȱp.a.ȱangesetzt.ȱȱ NachȱdemȱBarwertprinzipȱkannȱmanȱermitteln,ȱdassȱsichȱdieȱgesamteȱInvestitionȱlohnt,ȱ daȱȱ  10.000 € 

5.000 € 1,05



4.000 € 1,05

2



4.000 € 1,05

3



2.000 € 1,054

3.490,78 € ! 0 ȱ

ist.ȱ Tatsächlichȱ hatȱ sieȱ sichȱ aberȱ bereitsȱ nachȱ demȱ drittenȱ Jahrȱ rentiert,ȱ dennȱ fürȱ denȱ BarwertȱderȱPeriodenüberschüsseȱderȱerstenȱ3ȱJahreȱgiltȱ  10.000 € 

5.000 € 1,05



4.000 € 1,05

2



4.000 € 1,053

1.845,37 € ! 0. ȱȱ

Nachȱ2ȱJahrenȱhätteȱsichȱdieȱInvestitionȱaberȱnochȱnichtȱgelohnt,ȱdaȱ  10.000 € 

5.000 € 1,05



4.000 € 1,052

Ȭ1.609,98 €  0. ȱȱ

DieȱAmortisationsdauerȱbeträgtȱdemnachȱ3ȱJahre.ȱȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ Alsȱ Entscheidungsregelȱ lässtȱ sichȱ alsoȱ festhalten:ȱ Istȱ dieȱAmortisationsdauerȱ kleinerȱ alsȱ dieȱ geplanteȱ Laufzeitȱ derȱ Investitionȱ oderȱ entsprichtȱ sieȱ genauȱ derȱ Laufzeit,ȱ soȱ lohntȱsichȱdieȱInvestition.ȱIstȱdieȱAmortisationsdauerȱgrößerȱalsȱdieȱLaufzeitȱderȱInvesȬ tition,ȱsoȱistȱdieȱInvestitionȱunrentabel.ȱ

5.6.2

Vergleich mehrerer Investitionsalternativen

ÜberȱdieȱAmortisationsdauerȱlässtȱsichȱnurȱeineȱeinzelneȱInvestitionȱbeurteilen.ȱSieȱistȱ keinȱgeeignetesȱKriterium,ȱumȱherauszufinden,ȱwelcheȱvonȱzweiȱoderȱmehrȱInvestitioȬ nenȱdieȱbessereȱist.ȱ

107

5.6

5

Investitionsrechnung

Beispielȱ5.7:ȱ DerȱKalkulationszinssatzȱseiȱ5%ȱp.a.ȱGegebenȱseienȱdieȱfolgendenȱPerioȬ denüberschüsseȱderȱbeidenȱInvestitionenȱAȱundȱB:ȱ

Tabelleȱ5Ȭ5:ȱ

BeispielȱzurȱAmortisationsdauerȱzweierȱverschiedenerȱInvestitionenȱ Zeit

Investition A

Investition B

t=0

-1.000 €

-1.000 €

t=1

1.100 €

0€

t=2

0€

10.000 €

ȱ InvestitionȱAȱhatȱsichȱbereitsȱnachȱeinemȱJahrȱamortisiert,ȱdaȱȱ  1.000 € 

1.100 € 1,05

47,62 €. ȱ

ObwohlȱInvestitionȱBȱeineȱlängereȱAmortisationsdauerȱvonȱ2ȱJahrenȱhat,ȱistȱsieȱjedochȱ dieȱrentablereȱAlternative,ȱdaȱsieȱmitȱ  1.000 € 

10.000 € 1,052

9117,91 € ȱȱ

einenȱwesentlichȱhöherenȱBarwertȱalsȱInvestitionȱAȱhat.ȱȱ

5.7

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

Partnerinterview

1. A:ȱWasȱistȱeineȱNormalinvestition?ȱNennenȱSieȱeinȱBeispiel!ȱ B:ȱNennenȱSieȱeinȱBeispielȱfürȱeineȱInvestition,ȱdieȱkeineȱNormalinvestitionȱist!ȱ 2. A:ȱ Wieȱ entscheidetȱ manȱ nachȱ derȱ Barwertmethodeȱ überȱ dieȱ Rentabilitätȱ einerȱ InȬ vestition?ȱ B:ȱWasȱistȱderȱNettobarwertȱeinerȱInvestition?ȱWieȱwirdȱdieȱEntscheidungȱüberȱdieȱ RentabilitätȱeinerȱInvestitionȱüberȱdenȱNettobarwert,ȱwieȱüberȱdenȱBarwertȱderȱzuȬ künftigenȱPeriodenüberschüsseȱgetroffen?ȱErläuternȱSieȱdenȱZusammenhang!ȱ 3. A:ȱWasȱistȱderȱinnereȱZinssatzȱeinerȱInvestition?ȱ B:ȱWieȱkannȱmanȱdenȱinnerenȱZinssatzȱeinerȱInvestitionȱbestimmen?ȱ 4. A:ȱEignetȱsichȱderȱinnereȱZinssatzȱfürȱdenȱVergleichȱzweierȱInvestitionen?ȱ

108 ȱ

Übungen

B:ȱWieȱentscheidetȱman,ȱwelcheȱvonȱ2ȱoderȱmehrȱInvestitionsalternativenȱdieȱrenȬ tabelsteȱist?ȱ 5. A:ȱ Wasȱ istȱ dieȱ Amortisationsdauer?ȱ Gebenȱ Sieȱ einȱ Beispielȱ fürȱ Ihreȱ Berechnung?ȱ WannȱlohntȱsichȱnachȱdemȱKriteriumȱderȱAmortisationsdauerȱeineȱInvestition?ȱ 6. B:ȱWarumȱeignetȱsichȱdieȱAmortisationsdauerȱnichtȱzumȱVergleichȱzweierȱInvestiȬ tionen?ȱNennenȱSieȱeinȱeigenesȱBeispiel!ȱȱ

5.8

Übungen

1. EinȱUnternehmerȱplantȱdenȱBauȱeinesȱFreizeitparksȱfürȱ6ȱMio.ȱ€.ȱFürȱdieȱnächstenȱ3ȱ JahreȱwerdenȱfolgendeȱEinȬȱundȱAuszahlungenȱprognostiziert:ȱ

Tabelleȱ5Ȭ6:ȱ

EinȬȱundȱAuszahlungenȱeinerȱInvestitionȱ t=1

t=2

t=3

Einzahlungen

1 Mio. €

4 Mio. €

6 Mio. €

Auszahlungen

0,5 Mio. €

1 Mio. €

2 Mio. €

ȱ a)

HandeltȱesȱsichȱumȱeineȱNormalinvestition?ȱ

b)

Lohntȱ sichȱ dieȱ Investitionȱ fürȱ denȱ Unternehmerȱ beiȱ einemȱ KalkulationszinsȬ satzȱvonȱ9%ȱp.a.,ȱbzw.ȱvonȱ10%ȱp.a.?ȱ

c)

ErmittelnȱSieȱdenȱinnerenȱZinssatzȱaufȱeineȱNachkommastelleȱgenau!ȱ

2. Maxȱinvestiertȱ20.000ȱ€ȱinȱeinȱTaxi.ȱImȱerstenȱJahrȱerzieltȱerȱeinenȱÜberschussȱvonȱ 12.000ȱ€,ȱimȱzweitenȱvonȱ11.000ȱ€.ȱDerȱKalkulationszinssatzȱbeträgtȱ8%ȱp.a.ȱErmitȬ telnȱSieȱüberȱdenȱinnerenȱZinssatz,ȱobȱsichȱdieseȱInvestitionȱfürȱMaxȱgelohntȱhat.ȱȱ 3. Dieȱ folgendeȱ Tabelleȱ 5Ȭ7ȱ gibtȱ dieȱ Periodenüberschüsseȱ einerȱ Investitionȱ inȱ Mio.ȱ €ȱ an.ȱErmittelnȱSieȱdieȱAmortisationsdauer!ȱLohntȱsichȱdieȱInvestitionȱbeiȱeinemȱKalȬ kulationszinssatzȱvonȱ6%ȱp.a.?ȱ

Tabelleȱ5Ȭ7:ȱ

PeriodenüberschüsseȱeinerȱInvestitionȱ

Periodenüberschüsse

t=0

t=1

t=2

t=3

t=4

t=5

-30

9

6

20

5

5

109

5.8

Lernziele

6

Rentenrechnung

6.1

Lernziele

NachȱDurcharbeitungȱdesȱKapitelsȱsollteȱderȱLeserȱinȱderȱLageȱsein,ȱ

„ denȱBegriffȱderȱRenteȱimȱfinanzmathematischenȱVerständnisȱzuȱdefinieren,ȱ „ verschiedeneȱ Artenȱ derȱ Rentenzahlungȱ (vorȬȱ undȱ nachschüssig)ȱ gegeneinanderȱ abzugrenzen,ȱ

„ eineȱRenteȱgrafischȱaufȱeinerȱZeitachseȱdarzustellen,ȱ „ denȱEndwertȱundȱdenȱBarwertȱvonȱvorȬȱundȱnachschüssigenȱRentenȱzuȱberechnenȱ undȱzuȱinterpretieren,ȱ

„ praktischeȱZahlungsreihenȱinȱverschiedeneȱRentenȱundȱEinmalzahlungenȱzuȱzerleȬ gen,ȱ

„ dieȱ Dauer,ȱ bzw.ȱ Rateȱ einerȱ ausȱ einerȱ Einmalzahlungȱ zuȱ erhaltendenȱ Renteȱ zuȱ beȬ rechnen,ȱȱ

„ denȱBegriffȱderȱewigenȱRenteȱzuȱdefinieren,ȱ „ denȱBarwertȱundȱdieȱRateȱeinerȱewigenȱRenteȱzuȱberechnenȱundȱzuȱinterpretieren,ȱ „ beiȱ Nichtübereinstimmungȱ vonȱ RentenȬȱ undȱ Zinsperiodeȱ dasȱ Vorgehenȱ zurȱ BeȬ rechnungȱvonȱEndȬȱundȱBarwertȱzuȱerläutern.ȱ

6.2

Einführung

Jederȱhatȱeineȱ bestimmteȱVorstellungȱdavon,ȱwasȱmanȱ unterȱeinerȱRenteȱ versteht.ȱImȱ AlltagȱverstehenȱwirȱdarunterȱdieȱmeistȱmonatlicheȱZahlung,ȱdieȱmanȱnachȱdemȱAusȬ scheidenȱ ausȱ demȱ Berufslebenȱ inȱ mehrȱ oderȱ wenigerȱ konstanterȱ Höheȱ bisȱ zumȱ Todȱ erhält.ȱȱ Inȱ derȱ Finanzmathematikȱ istȱ derȱ Begriffȱ einerseitsȱ etwasȱ weiterȱ gefasst,ȱ unterliegtȱ andererseitsȱaberȱauchȱEinschränkungenȱgegenüberȱderȱAlltagsdefinition.ȱ 111

6.1

6

Rentenrechnung

Definition:ȱAlsȱRenteȱbezeichnetȱmanȱinȱderȱFinanzmathematikȱjedenȱendlichenȱ(oderȱ unendlichen)ȱ Zahlungsstromȱ mitȱ konstantenȱ Zahlungen,ȱ dieȱ inȱ periodischenȱAbstänȬ denȱ erfolgen.ȱ Dieȱ einzelnenȱ Zahlungenȱ derȱ Renteȱ heißenȱ Raten,ȱ denȱ Zeitraumȱ zwiȬ schenȱzweiȱRatenzahlungenȱnenntȱmanȱdieȱRentenperiode.ȱȱ

KonstanteȱmonatlicheȱBezüge,ȱdieȱmanȱfürȱeineȱfestgelegteȱZeitȱimȱRuhestandȱerhält,ȱ fallenȱ unterȱ dieseȱ Definition.ȱ Hierunterȱ könnenȱ aberȱ ebensoȱ alleȱ weiterenȱ ZahlungsȬ strömeȱmitȱkonstantenȱZahlungenȱeingeordnetȱwerden,ȱdieȱmitȱeinerȱAltersrenteȱnichtsȱ zuȱtunȱhabenȱmüssen.ȱSoȱistȱeineȱmonatlicheȱkonstanteȱGehaltszahlungȱwährendȱeinerȱ Zeitȱvonȱ5ȱJahrenȱebensoȱeineȱRenteȱwieȱdieȱkonstantenȱZinszahlungenȱeinesȱWertpaȬ piers.ȱWertpapiereȱmitȱfestemȱZinssatzȱnenntȱmanȱoftȱauchȱ„Rentenpapiere“.ȱ ȱ Beispielȱ 6.1:ȱ Sieȱ möchtenȱ abȱ Ihremȱ 65.ȱ Geburtstagȱ zusätzlichȱ zuȱ Ihrerȱ gesetzlichenȱ Renteȱ ausȱ einerȱ privatenȱ Rentenversicherungȱ 500ȱ €ȱ proȱ Monatȱ zurȱ Verfügungȱ haben.ȱ ÜberȱdiesenȱBetragȱwollenȱSieȱ20ȱJahreȱlangȱverfügen.ȱWelchenȱBetragȱmüssenȱSieȱanȱ Ihremȱ65.ȱGeburtstagȱangespartȱhaben?ȱȱ

Nehmenȱwirȱan,ȱSieȱsindȱjetztȱ25ȱJahreȱalt.ȱWieȱvielȱGeldȱmüssenȱSieȱvonȱnunȱan,ȱbisȱzuȱ Ihremȱ65.ȱGeburtstagȱmonatlichȱzurücklegen,ȱdamitȱSieȱimȱAlterȱdieȱobenȱbeschriebeȬ nenȱBeträgeȱzurȱVerfügungȱhaben?ȱȱ Dieȱ monatlicheȱ Rentenzahlungȱ vonȱ 500ȱ €ȱ überȱ 20ȱ Jahreȱ imȱ erstenȱ Teilȱ desȱ Beispielsȱ stelltȱeineȱRenteȱdar.ȱInȱdiesemȱFallȱstimmtȱderȱBegriffȱfastȱmitȱdemȱBegriffȱderȱRente,ȱ wieȱerȱimȱAlltagȱverwendetȱwird,ȱüberein.ȱEineȱRenteȱistȱaberȱauchȱderȱZahlungsstromȱ derȱ Beträgeȱ imȱ zweitenȱ Teilȱ desȱ Beispiels,ȱ dieȱ manȱ überȱ 40ȱ Jahreȱ bisȱ zumȱ 65.ȱ GeȬ burtstagȱ anspart,ȱ umȱ dannȱ dasȱ resultierendeȱ Endvermögenȱ verbrauchenȱ zuȱ können.ȱ AuchȱhierȱwerdenȱmonatlichȱZahlungenȱinȱkonstanterȱHöheȱvorgenommen.32ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ ȱ Dieȱ Verzinsungȱ ȱ erfolgt,ȱ wieȱ bisher,ȱ nachschüssig.ȱ Dieȱ Rentenzahlungenȱ hingegenȱ könnenȱ sowohlȱ amȱ Anfang,ȱ d.h.ȱ vorschüssig,ȱ alsȱ auchȱ amȱ Endeȱ einerȱ Periode,ȱ d.h.ȱ nachschüssig,ȱgezahltȱwerden.ȱ Wirȱ werdenȱ hauptsächlichȱ endlicheȱ Rentenȱ undȱ inȱ einemȱ kurzenȱ Abschnittȱ ewigeȱ Rentenȱbetrachten.ȱȱ AusȱdemȱAlltagȱbekannteȱRenten,ȱdie,ȱwieȱzuȱBeginnȱdesȱAbschnittsȱbeschrieben,ȱbisȱ zumȱ Todȱ gezahltȱ werden,ȱ behandelnȱ wirȱ hingegenȱ nicht.ȱ Hierȱ istȱ dasȱ Auftretenȱ derȱ Zahlungenȱstochastisch,ȱalsoȱvonȱeinemȱzufälligenȱEreignis,ȱdemȱTodȱdesȱRentenempȬ fängers,ȱabhängig.ȱRentenȱmitȱzufälligerȱLaufzeitȱwerdenȱinȱderȱVersicherungsmatheȬ matikȱbehandelt.ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 32ȱȱ ZurȱprivatenȱRentenvorsorgeȱs.ȱauchȱÜbungȱ4ȱmitȱLösung!ȱ

112 ȱ

Endliche Renten

6.3

Endliche Renten

WirȱbetrachtenȱvorerstȱRentenȱüberȱeineȱendlicheȱLaufzeitȱvonȱnȱPerioden.ȱDesȱweiteȬ renȱsetzenȱwirȱzunächstȱvoraus,ȱdassȱderȱZinssatzȱiȱfürȱalleȱnȱPeriodenȱkonstantȱist.ȱ Definition:ȱ Beiȱ einerȱ nachschüssigenȱ Renteȱ erfolgenȱ dieȱ Ratenzahlungenȱ jeweilsȱ amȱ Endeȱ einerȱ Rentenperiode,ȱ beiȱ einerȱ vorschüssigenȱ Renteȱ jeweilsȱ zuȱ Beginnȱ derȱ RenȬ tenperiode.ȱ Schätzaufgabe:ȱ Eineȱ überȱ 7ȱ Jahreȱ laufendeȱ monatlicheȱ Rentenzahlungȱ vonȱ 1.000ȱ €ȱ wirdȱ Frauȱ Fröhlichȱ vorschüssig,ȱ Herrnȱ Mürrischȱ nachschüssigȱ ausbezahlt.ȱ Derȱ ZinsȬ satzȱ betrageȱ konstantȱ 5%ȱ p.a.ȱ (Unterjährigȱ wirdȱ mitȱ linearȱ proportionalemȱ Zinssatzȱ gerechnet,ȱ esȱ existierenȱ monatlicheȱ Zinstermine).ȱAngenommenȱ dasȱ Geldȱ wirdȱ nichtȱ verbraucht:ȱWerȱhatȱamȱEndeȱderȱ7ȱJahreȱeinenȱhöherenȱBetragȱaufȱdemȱKonto?ȱSchätȬ zenȱSieȱeinmal,ȱwieȱhochȱdieȱDifferenzȱist!ȱȱ

Frauȱ Fröhlichȱ wirdȱ nachȱ 7ȱ Jahrenȱ überȱ einenȱ höherenȱ Betragȱ verfügen,ȱ daȱ sichȱ ihreȱ ZahlungenȱjeweilsȱeinenȱMonatȱlängerȱverzinsen.ȱWirȱwerdenȱspäterȱsehen,ȱwieȱhochȱ dieȱDifferenzȱist.ȱȱ

6.3.1

Übereinstimmung von Zins- und Rentenperiode

Wirȱsetzenȱzunächstȱvoraus,ȱdassȱdieȱZinsȬȱundȱRentenperiodeȱgenauȱgleichȱgroßȱsind.ȱ DiesesȱistȱetwaȱdannȱderȱFall,ȱwennȱjährlicheȱZinstermineȱvorliegen,ȱwieȱz.B.ȱaufȱeinemȱ Sparbuch,ȱundȱmanȱjeweilsȱamȱEndeȱoderȱgenauȱzuȱBeginnȱeinerȱRentenperiodeȱeineȱ konstanteȱRateȱeinzahlt.ȱ

6.3.1.1

Nachschüssige Rente

Beiȱ derȱ nachschüssigenȱ Renteȱ wirdȱ jeweilsȱ amȱ Endeȱ derȱ Rentenperiodeȱ dieȱ Rateȱ rȱ angelegt.33ȱ Denȱ Betrag,ȱ derȱ sichȱ nachȱ nȱ Rentenperiodenȱ ergibt,ȱ nenntȱ manȱ denȱ RenȬ tenendwert.ȱ Wirȱ bezeichnenȱ ihnȱ mitȱ Rnach , n ,ȱ umȱ auszudrücken,ȱ dassȱ esȱ sichȱ umȱ denȱ EndwertȱeinerȱnachschüssigenȱRenteȱhandelt.ȱȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 33ȱȱ WieȱobenȱerläutertȱsprichtȱmanȱauchȱbeiȱkonstantenȱausgezahltenȱBeträgenȱvonȱeinerȱRente.ȱ

WirȱwerdenȱhierȱzurȱsprachlichenȱVereinfachungȱaberȱzunächstȱvonȱderȱPerspektiveȱdesȱAnȬ legersȱausgehen,ȱderȱüberȱkonstanteȱAnlagebeträgeȱeinȱKapitalȱaufbaut.ȱȱ

113

6.3

6

Rentenrechnung

Abbildungȱ6Ȭ1:ȱ

0

GrafischeȱDarstellung:ȱNachschüssigeȱRenteȱ

r

r

r

r

r

r

1

2

3

4

n-1

n

t

ȱ

Manȱ kannȱ nunȱ fürȱ jedeȱ einzelneȱ Rateȱ berechnen,ȱ wieȱ vielȱ sieȱ zumȱ Endwertȱ aufȱ demȱ Kontoȱbeiträgt.ȱDieȱersteȱRate,ȱdieȱamȱEndeȱderȱerstenȱZinsperiodeȱgezahltȱwird,ȱverȬ bleibtȱ (nȬ1)ȱ Jahreȱ aufȱ demȱ Konto.ȱ Zumȱ Zeitpunktȱ nȱ hatȱ sieȱ alsoȱ einenȱ Wertȱ vonȱ r ˜ (1  i)n 1 .ȱDieȱZahlungȱrȱnachȱ2ȱJahrenȱverbleibtȱnochȱ(nȬ2)ȱJahreȱaufȱdemȱKonto,ȱsieȱ istȱ alsoȱ amȱ Endeȱ derȱ Betrachtungȱ r ˜ (1  i)n  2 wert.ȱ Dieȱ Zahlungȱ zumȱ Zeitpunktȱ (nȬ1)ȱ wirdȱnurȱnochȱfürȱeineȱPeriodeȱverzinst,ȱsoȱdassȱsichȱamȱEndeȱderȱLaufzeitȱfürȱsieȱeinȱ Wertȱ vonȱ r ˜ (1  i) ergibt.ȱ Dieȱ letzteȱ Ratenzahlungȱ wirdȱ garȱ nichtȱ mehrȱ verzinstȱ undȱ nurȱnochȱzumȱbisȱzumȱZeitpunktȱnȱentstandenenȱKontostandȱaddiert.ȱȱ Insgesamtȱerhältȱmanȱsoȱȱ R nach ,n

r ˜ (1  i)n 1  r ˜ (1  i)n  2  ...  r ˜ (1  i)  r

r ˜ q n 1  r ˜ q n  2  ...  r ˜ q  r. ȱ

KlammertȱmanȱdieȱkonstanteȱRateȱrȱausȱundȱsortiertȱdieȱSummandenȱum,ȱsoȱhatȱmanȱȱ R nach , n

r ˜ (1  q  ...  q n  2  q n 1 )

r˜

qn  1 q 1

r˜

qn  1 .ȱ i

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(6.1)ȱ

DieȱvorletzteȱUmformungȱergibtȱsichȱdaraus,ȱdassȱdieȱFaktorenȱ1,ȱq,ȱ q 2 , .... ȱeineȱgeoȬ metrischeȱFolgeȱbilden.ȱDieȱzugehörigeȱPartialsummeȱhattenȱwirȱinȱKapitelȱ2ȱ„MatheȬ matischeȱGrundlagen“ȱberechnet.ȱȱ ÜberȱdieȱhergeleiteteȱFormelȱkönnenȱwirȱdenȱWertȱeinerȱbeliebigenȱAnzahlȱvonȱRatenȬ zahlungenȱ zuȱ einemȱ Endterminȱ schnellȱ bestimmen,ȱ ohneȱ fürȱ jedeȱ Zahlungȱ einenȱ geȬ trenntenȱEndwertȱberechnenȱzuȱmüssen.ȱ ȱ Beispielȱ6.2:ȱSieȱsparenȱjährlichȱ1.000ȱ€,ȱdieȱSieȱjeweilsȱamȱEndeȱdesȱJahresȱaufȱeinemȱ Sparbuchȱ anlegen.ȱ Aufȱ demȱ Sparbuchȱ erhaltenȱ Sieȱ einenȱ Zinssatzȱ vonȱ 4%ȱ p.a.ȱ Überȱ welchenȱBetragȱkönnenȱSieȱnachȱ5ȱJahrenȱverfügen?ȱ Lösung:ȱNachȱ5ȱJahrenȱerhaltenȱSieȱȱ

R nach , 5

114 ȱ

r˜

qn  1 i

1.000 € ˜

1,04 n  1 0 ,04

5.416 ,32 €. ȱ

Endliche Renten

AlternativȱhättenȱSieȱnatürlichȱauchȱdieȱBeiträgeȱallerȱ5ȱZahlungenȱberechnenȱkönnen.ȱ Dieȱerstenȱ1.000ȱ€ȱverzinsenȱsichȱnochȱ4ȱJahreȱundȱtragenȱ1.169,86ȱ€ȱzumȱEndwertȱbei,ȱ etc.ȱEineȱÜbersichtȱliefertȱdieȱTabelle.ȱ

Tabelleȱ6Ȭ1:ȱ

EinzelbeiträgeȱderȱRatenzahlungenȱzumȱRentenendwertȱ(5ȬjährigeȱRente)ȱ

ZahlungȱamȱEndeȱ JahreȱderȱVerzinȬ vonȱJahrȱ sungȱ

Rateȱ

Endwertȱ

1ȱ

4ȱ

1.000,00ȱ€ 1.000 € ˜ 1,04 4

1.169,86ȱ€ȱ

2ȱ

3ȱ

1.000,00ȱ€ 1.000 € ˜ 1,04 3

1.124,86ȱ€ȱ

3ȱ

2ȱ

1.000,00ȱ€ 1.000 € ˜ 1,04 2

1.081,60ȱ€ȱ

4ȱ

1ȱ

1.000,00ȱ€

1.000 € ˜ 1,04

1.040,00ȱ€ȱ

5ȱ

0ȱ

1.000,00ȱ€

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

1.000,00ȱ€ȱ ȱ

Summe

5.416,32ȱ€ȱ

ȱ Esȱ ergibtȱ sichȱderselbeȱ Endwertȱ Rnach , n ,ȱdieȱ Berechnungȱ überȱ dieȱ hergeleiteteȱFormelȱ istȱaberȱnatürlichȱwesentlichȱeinfacher.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ ȱ StattȱdasȱGeldȱinȱRatenȱanzulegen,ȱkönnteȱ manȱauchȱeinmaligȱeinenȱgrößerenȱBetragȱ anlegen,ȱderȱamȱEndeȱderȱLaufzeitȱdenselbenȱEndwertȱergibtȱwieȱdieȱbetrachteteȱRenȬ te.ȱDiesesȱistȱderȱ Rentenbarwert.ȱErȱergibtȱsichȱdurchȱAbzinsenȱderȱnȱRatenzahlungenȱ aufȱdenȱZeitpunktȱtȱ=ȱ0.ȱBeiȱderȱnachschüssigenȱRenteȱbezeichnenȱwirȱdenȱRentenbarȬ wertȱmitȱ Rnach ,0 .ȱ ZurȱBerechnungȱkannȱmanȱdieȱeinzelnenȱZahlungenȱaufȱdenȱZeitpunktȱtȱ=ȱ0ȱabzinsen.ȱ DurchȱUmformungȱerhältȱmanȱdannȱ R nach ,0

r r r   ...  n q q2 q

r ˜ (q n 1  q n  2  ...  q  1) qn

r qn  1 ˜ qn q  1

r qn  1 ˜ . ȱȱȱ(6.2)ȱ qn i

ȱ AlternativȱlässtȱsichȱauchȱvomȱRentenendwertȱzumȱZeitpunktȱtȱ=ȱnȱausgehen,ȱdenȱmanȱ perȱDivisionȱdurchȱ q n ȱaufȱdenȱZeitpunktȱtȱ=ȱ0ȱabzinst.ȱManȱerhältȱ

115

6.3

6

Rentenrechnung

r qn  1 ˜ .ȱ qn i

R nach ,0

EsȱergibtȱsichȱdieȱgleicheȱFormel.ȱȱ DerȱRentenbarwertȱistȱalsoȱdieȱSummeȱderȱBarwerteȱallerȱRaten.ȱAlternativȱkannȱmanȱ ihnȱ alsȱ denȱ Betragȱ interpretieren,ȱ denȱ manȱ anlegenȱ muss,ȱ umȱ amȱ Endeȱ derȱ Laufzeitȱ denselbenȱ Kontostandȱ zuȱ erzielenȱ wieȱ beiȱ regelmäßigenȱ Einzahlungenȱ derȱ Raten.ȱ Erȱ gibtȱan,ȱwelchenȱWertȱdieȱgesamteȱRenteȱzumȱAnlageterminȱhat.ȱ ȱ Beispielȱ 6.3ȱ (Fortführungȱ vonȱ Beispielȱ 6.2):ȱ Wirȱ betrachtenȱ weiterhinȱ dieȱ jährlichȱ angespartenȱ1.000ȱ€,ȱdieȱSieȱjeweilsȱamȱEndeȱdesȱJahresȱaufȱeinemȱSparbuchȱzuȱȱeinemȱ Zinssatzȱ vonȱ 4%ȱ p.a.ȱ anlegen.ȱ Welchenȱ Betragȱ könntenȱ Sieȱ alternativȱ amȱ Beginnȱ desȱ erstenȱJahresȱanlegen,ȱumȱnachȱ5ȱJahrenȱdenselbenȱEndwertȱzuȱerzielen?ȱȱ Lösung:ȱ Derȱ Endwertȱ derȱ beschriebenenȱ Renteȱ warȱ bereitsȱ zuȱ 5.416,32ȱ €ȱ bestimmtȱ worden.ȱAlternativȱkönntenȱSieȱheuteȱdenȱBarwertȱdiesesȱBetragesȱanlegen,ȱd.h.ȱ

5.416 ,32 €

R nach ,0

(1,04)5

4.451,82 €. ȱ

ÜberȱTabelleȱ6Ȭ2ȱsehenȱwir,ȱwelchenȱBeitragȱdieȱeinzelnenȱEinzahlungenȱzumȱBarwertȱ liefern.ȱ

Tabelleȱ6Ȭ2:ȱ

EinzelbeiträgeȱderȱRatenzahlungenȱzumȱRentenbarwertȱ(5ȬjährigeȱRente)ȱ

ZahlungȱamȱEndeȱvonȱJahrȱ

Rateȱ

1ȱ

1.000,00ȱ€

961,54ȱ€ȱ

2ȱ

1.000,00ȱ€

924,56ȱ€ȱ

3ȱ

1.000,00ȱ€

889,00ȱ€ȱ

4ȱ

1.000,00ȱ€

854,80ȱ€ȱ

5ȱ

1.000,00ȱ€

821,93ȱ€ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ ȱ ȱ

116 ȱ

ȱ

Barwertȱ

Summe ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

4.451,82ȱ€ȱ ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Endliche Renten

6.3.1.2

Vorschüssige Rente

Beiȱ derȱ vorschüssigenȱ Renteȱ wirdȱ dieȱ Rateȱ rȱ jeweilsȱ amȱ Beginnȱ einerȱ Rentenperiodeȱ angelegtȱbzw.ȱausbezahlt.ȱHierȱbezeichnenȱwirȱdenȱRentenendwertȱderȱvorschüssigenȱ Rente,ȱderȱsichȱamȱEndeȱderȱnȬtenȱRentenperiodeȱergibt,ȱalsȱ Rvor , n .ȱ

Abbildungȱ6Ȭ2:ȱ

GrafischeȱDarstellung:ȱVorschüssigeȱRenteȱ

r

r

r

r

r

r

0

1

2

3

4

n-1

n

t

ȱ

Imȱ Falleȱ derȱ vorschüssigenȱ Renteȱ wirdȱ jedeȱ Rateȱ eineȱ Periodeȱ längerȱ verzinst,ȱ daȱ sieȱ bereitsȱ zuȱ Beginnȱ derȱ Periodeȱ angelegtȱ wurde.ȱ Dieȱ ersteȱ Rateȱ wirdȱ soȱ fürȱ denȱ vollenȱ Zeitraum,ȱ d.h.ȱ fürȱ nȱ Periodenȱ verzinstȱ undȱ istȱ amȱ Endeȱ derȱ nȬtenȱ Zinsperiodeȱ r ˜ (1  i)n ȱwert.ȱDieȱzweiteȱRateȱwirdȱzumȱBeginnȱderȱzweitenȱZinsperiodeȱeingezahlt.ȱ Sieȱ verbleibtȱ soȱ nochȱ (nȬ1)ȱ Periodenȱ aufȱ demȱ Konto.ȱ Zumȱ Zeitpunktȱ nȱ hatȱ sieȱ einenȱ Wertȱvonȱ r ˜ (1  i)n 1 .ȱDieȱletzteȱRatenzahlungȱwirdȱimȱFalleȱderȱvorschüssigenȱRenteȱ nochȱeinȱJahrȱlangȱverzinstȱundȱistȱamȱEndeȱdesȱnȬtenȱJahresȱ r ˜ (1  i) wert.ȱȱ AufaddiertȱerhältȱmanȱsoȱalsȱWertȱderȱnȱRatenzahlungenȱbeiȱderȱvorschüssigenȱRenteȱȱ R vor ,n

r ˜ (1  i)n  r ˜ (1  i)n 1  ...  r ˜ (1  i)

r ˜ q n  r ˜ q n 1  ...  r ˜ q. ȱ

Wirȱwollenȱwiederȱsoȱausklammern,ȱdassȱsichȱinȱderȱKlammerȱeineȱPartialsummeȱȱderȱ geometrischenȱ Reiheȱ ergibt.ȱ Dazuȱ müssenȱ dieȱ Rateȱ rȱ undȱ einȱ Aufzinsungsfaktorȱ qȱ ausgeklammertȱwerden:ȱȱ R vor ,n

r ˜ q ˜ (1  q  ...  q n  2  q n 1 )

r˜q˜

qn  1 q 1

r˜q˜

qn  1 .ȱ i

ȱ

ȱȱȱȱ(6.3)ȱ

WennȱwirȱdieȱhergeleiteteȱFormelȱdesȱvorschüssigenȱRentenendwertsȱmitȱderȱFormelȱ fürȱdenȱEndwertȱeinerȱnachschüssigenȱRenteȱvergleichen,ȱsoȱfälltȱauf,ȱdassȱbeideȱForȬ melnȱsichȱnurȱumȱdenȱFaktorȱqȱunterscheiden,ȱd.h.ȱ Rvor , n q ˜ Rnach , n .ȱ Diesesȱ kannȱ manȱ leichtȱ nachvollziehen,ȱ daȱ beiȱ derȱ vorschüssigenȱ Renteȱ jederȱ Betragȱ eineȱ Periodeȱ längerȱ verzinstȱ wird.ȱ Diesesȱ entsprichtȱ einerȱ Verzinsungȱ desȱ gesamtenȱ RentenendwertsȱfürȱeineȱPeriode.ȱȱ

117

6.3

6

Rentenrechnung

Beispielȱ6.4ȱ(FortführungȱvonȱBeispielȱ6.2):ȱ Sieȱsparenȱwiederumȱjährlichȱ1.000ȱ€,ȱdieȱ SieȱjeweilsȱamȱBeginnȱeinesȱJahresȱaufȱeinemȱSparbuchȱzuȱ4%ȱp.a.ȱanlegen.ȱÜberȱwelȬ chenȱBetragȱkönnenȱSieȱnunȱnachȱ5ȱJahrenȱverfügen?ȱ Lösung:ȱNachȱ5ȱJahrenȱerhaltenȱSieȱȱ

R vor , 5

r˜q˜

qn  1 i

1.000 € ˜ 1,04 ˜

1,04 n  1 0 ,04

5.632 ,98 €. ȱ

EinȱVergleichȱmitȱdemȱEndwertȱbeiȱEinzahlungȱzumȱEndeȱjedenȱJahresȱergibtȱ 5.632 ,98 €

R vor ,5

q ˜ R nach , 5

1,04 ˜ 5.416 ,32 €. ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ Suchtȱ manȱ denȱ Rentenbarwertȱ derȱ vorschüssigenȱ Rente,ȱd.h.ȱdenȱ zurȱ Renteȱ äquivaȬ lentenȱGeldbetrag,ȱdenȱmanȱzuȱBeginnȱderȱLaufzeitȱhätteȱeinzahlenȱkönnen,ȱumȱnachȱnȱ PeriodenȱdenselbenȱEndwertȱzuȱerhalten,ȱsoȱergibtȱsichȱdurchȱAbzinsenȱdesȱEndwertesȱ Rvor , n mitȱ q n ȱ

R vor ,0

R vor , n

qn  1 i qn

r˜q˜

qn

r ˜ q qn  1 ˜ qn i

r q n 1

qn  1 .ȱ i

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(6.4)ȱ

WiederumȱkannȱmanȱdiesenȱBarwertȱmitȱdemȱBarwertȱderȱnachschüssigenȱRenteȱverȬ gleichen.ȱEsȱgiltȱ R vor ,0

r ˜ q qn  1 ˜ qn i

q˜

r qn  1 ˜ qn i

q ˜ R nach ,0 . ȱ

DaȱbeiȱderȱvorschüssigenȱRenteȱdieȱRatenȱjeweilsȱeineȱPeriodeȱlängerȱverzinstȱwerden,ȱ mussȱ manȱ zuȱ Beginnȱ auchȱ einenȱ umȱ eineȱ Periodeȱ aufgezinstenȱ Betragȱ anlegen,ȱ umȱ nachȱ nȬjährigerȱ Verzinsungȱ denselbenȱ Endwertȱ wieȱ beiȱ derȱ nachschüssigenȱ Renteȱ zuȱ erhalten.ȱ ȱ Beispielȱ 6.5ȱ (Fortführungȱ vonȱ Beispielȱ 6.4):ȱ Welchenȱ Betragȱ kannȱ manȱ einmaligȱ zuȱ BeginnȱderȱLaufzeitȱderȱinȱBeispielȱ6.4ȱbeschriebenenȱvorschüssigenȱRenteȱ(5ȱJahresraȬ tenȱzuȱ1.000ȱ€,ȱi=0,04)ȱȱanlegen,ȱumȱdenselbenȱRentenendwertȱzuȱerhaltenȱwieȱbeiȱperiȬ odischerȱZahlungȱderȱRaten?ȱȱ Lösung:ȱDerȱBarwertȱderȱvorschüssigenȱRenteȱbeträgtȱ R vor ,0

118 ȱ

r q

n 1

˜

qn  1 i

1.000 € 1,04 n  1 ˜ 1,04 n 1 0 ,04

4.629 ,90 €. ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Endliche Renten

LösungȱderȱSchätzaufgabe:ȱSchauenȱwirȱunsȱnunȱnochȱeinmalȱdieȱzuȱBeginnȱbetrachȬ teteȱSchätzaufgabeȱan.ȱ

Esȱ liegenȱ monatlicheȱ Rentenzahlungenȱ überȱ 7ȱ Jahreȱ vor.ȱ Demnachȱ werdenȱ 7 ˜ 12 84 Rentenperiodenȱbetrachtet,ȱdieȱwegenȱderȱmonatlichenȱZinstermineȱmitȱdenȱ Zinsperiodenȱübereinstimmen.ȱȱ DerȱlinearȱproportionaleȱZinssatzȱbeträgtȱi/12ȱ=ȱ0,05/12ȱ=ȱ0,004166.ȱȱ FürȱHerrnȱMürrischȱergibtȱsichȱderȱWertȱderȱnachschüssigenȱRenteȱzuȱȱ 7 ˜12

n

R nach ,0

r q 1 ˜ qn i

1.000 € 0 ,05 · § ¨1  ¸ 12 ¹ ©

7 ˜12

0 ,05 · § ¨1  ¸ 12 ¹ ˜© 0 ,05 12

1 100.328,65 €. ȱ

FrauȱFröhlichȱhatȱnachȱ7ȱJahrenȱeinenȱRentenendwertȱvonȱȱ 7 ˜12

R vor ,0

r q n 1

˜

qn  1 i

1.000 € 0 ,05 · § ¨1  ¸ 12 ¹ ©

7 ˜12 1

0 ,05 · § ¨1  ¸ 12 ¹ © ˜ 0 ,05 12

1 100.746,69 € ȱ

aufȱ demȱ Konto.ȱ Dieȱ Differenzȱ derȱ Rentenendwerteȱ vonȱ 418,04ȱ €ȱ istȱ zwarȱ nichtȱ sehrȱ hoch,ȱ esȱ liegtȱ hierȱ aberȱ auchȱ nurȱ eineȱ siebenjährigeȱ Renteȱ vor.ȱ Dieȱ Differenzȱ entstehtȱ alleinȱdurchȱdieȱVerschiebungȱderȱZahlungȱumȱnurȱeinenȱMonat.ȱWennȱmanȱzusätzlichȱ dieȱgroßeȱAnzahlȱanȱRentnernȱbeachtet,ȱmachtȱesȱfürȱdiejenigen,ȱdieȱdieȱRenteȱzahlen,ȱ z.B.ȱ denȱ Staatȱ oderȱ einzelneȱ Unternehmen,ȱ einenȱ bedeutendenȱ Unterschied,ȱ obȱ eineȱ vorȬȱoderȱnachschüssigeȱZahlungsweiseȱbesteht.

6.3.2

Nichtübereinstimmung von Zins- und Rentenperiode

InȱvielenȱFällenȱstimmenȱRentenȬȱundȱZinsperiodeȱnichtȱvollständigȱüberein.ȱWirȱwolȬ lenȱhierȱdieȱSpezialfälleȱbetrachten,ȱdassȱdieȱZinsperiodeȱeinȱVielfachesȱderȱRentenpeȬ riodeȱ ist,ȱ sowieȱ umgekehrt,ȱ dieȱ Rentenperiodeȱ einȱ Vielfachesȱ derȱ Zinsperiode.ȱ Derȱ besserenȱLesbarkeitȱwegenȱbetrachtenȱwirȱdieȱgrößereȱPeriodeȱalsȱeinȱJahr.ȱDieȱVerallȬ gemeinerungȱaufȱandereȱPeriodenlängenȱistȱbeiȱBedarfȱdannȱnichtȱschwierig.ȱȱ EbensoȱbeschränkenȱwirȱunsȱinȱdiesemȱAbschnittȱaufȱnachschüssigeȱRenten.ȱȱ ȱ ȱ

119

6.3

6

Rentenrechnung

6.3.2.1

Unterjährige Rentenzahlungen bei jährlicher Zinszahlung

EinȱinȱderȱPraxisȱhäufigerȱFall,ȱinȱdemȱdieȱZinsperiodeȱeinȱVielfachesȱderȱRentenperiȬ odeȱ ist,ȱ findetȱ manȱ z.B.ȱ beiȱ monatlichenȱ Einzahlungenȱ einesȱ Geldbetrages,ȱ z.B.ȱ einesȱ GehaltesȱoderȱeinesȱSparbetragesȱaufȱeinȱKonto,ȱdasȱaberȱnurȱjährlicheȱZinszahlungsȬ termineȱhat.ȱ Beispielȱ6.6:ȱSieȱentschließenȱsichȱ50ȱ€ȱimȱMonatȱanzusparenȱundȱzahlenȱdiesenȱBetragȱ amȱEndeȱjedenȱMonatsȱaufȱeinȱSparbuchȱmitȱeinemȱZinssatzȱvonȱ5%ȱp.a.ȱein.ȱZinsterȬ minȱistȱjeweilsȱderȱ31.12.ȱeinesȱJahres.ȱWelchenȱBetragȱhabenȱSieȱnachȱeinemȱZeitraumȱ vonȱ5ȱJahrenȱangespart?ȱ ȱ Lösung:ȱWieȱwirȱbereitsȱdiskutiertȱhaben,ȱ werdenȱinȱDeutschlandȱBeträge,ȱdieȱinnerȬ halbȱeinerȱZinsperiodeȱeingezahltȱwerden,ȱlinearȱverzinst.ȱȱ

Tabelleȱ6Ȭ3:ȱ

VerzinsungȱmonatlicherȱRatenȱbeiȱjährlichenȱZinszahlungsterminenȱ

Datum der Einzahlung

Rate

Wert am Ende des Jahres

31.ȱJanȱ

50ȱ€ 50 € ˜ (1  11 / 12 ˜ 0 ,05)

52 ,29 €

28.ȱFebȱ

50ȱ€ 50 € ˜ (1  10 / 12 ˜ 0 ,05)

52 ,08 €

31.ȱMrzȱ

50ȱ€

50 € ˜ (1  9 / 12 ˜ 0 ,05)

51,88 €

30.ȱAprȱ

50ȱ€

50 € ˜ (1  8 / 12 ˜ 0 ,05)

51,67 €

31.ȱMaiȱ

50ȱ€

50 € ˜ (1  7 / 12 ˜ 0 ,05)

51,46 €

30.ȱJunȱ

50ȱ€

50 € ˜ (1  6 / 12 ˜ 0 ,05)

51,25 €

31.ȱJulȱ

50ȱ€

50 € ˜ (1  5 / 12 ˜ 0 ,05)

51,04 €

31.ȱAugȱ

50ȱ€

50 € ˜ (1  4 / 12 ˜ 0 ,05)

50 ,83 €

30.ȱSepȱ

50ȱ€

31.ȱOktȱ

50ȱ€

50 € ˜ (1  2 / 12 ˜ 0 ,05)

50 ,42 €

30.ȱNovȱ

50ȱ€

50 € ˜ (1  1 / 12 ˜ 0 ,05)

50 ,21 €

31.ȱDezȱ

50ȱ€

50 € ˜ (1  0 / 12 ˜ 0 ,05)

50 ,00 €

50 € ˜ (1  3 / 12 ˜ 0 ,05)

5063 €

ȱ ȱ

120 ȱ

Summe

613,75ȱ€ȱ

Endliche Renten

Dieȱ 50ȱ €,ȱ dieȱ Endeȱ Januarȱ eingezahltȱ werden,ȱ werdenȱ soȱ nochȱ fürȱ 11ȱ Monateȱ linearȱ verzinstȱundȱsindȱamȱEndeȱdesȱJahresȱ52,29ȱ€ȱwert,ȱetc.ȱDieȱ50ȱ€,ȱdieȱEndeȱNovemberȱ eingezahltȱwerden,ȱverzinsenȱsichȱnochȱ30ȱTageȱundȱsindȱamȱEndeȱdesȱJahresȱ50,21ȱ€ȱ wert.ȱ Tabelleȱ6Ȭ3ȱzeigt,ȱwieȱsichȱdieȱBeiträgeȱinnerhalbȱeinesȱJahresȱȱverzinsenȱundȱzuȱeinemȱ WertȱamȱEndeȱdesȱJahresȱaddieren.ȱ SieȱhabenȱalsoȱamȱEndeȱdesȱJahresȱ 11 1 0 § · § · § · 50 € ˜ ¨ 1  ˜ 0 ,05 ¸  50 € ˜ ¨ 1  ˜ 0 ,05 ¸ ˜ 0 ,05 ¸  ...  50 € ˜ ¨ 1  12 12 12 © ¹ © ¹ © ¹ 1 ȱ 50 € ˜ (1  ...  1)  50 € ˜ ˜ 0  1  ...  11 ˜ 0 ,05 12 1 11 ˜ 12 50 € ˜ 12  50 € ˜ ˜ ˜ 0 ,05 613 ,75 € 12 2

angespart.ȱDieȱletzteȱUmformungȱergibtȱsichȱausȱderȱFormelȱfürȱdieȱSummeȱderȱerstenȱ nȱnatürlichenȱZahlen.ȱȱ DiesesȱGuthabenȱvonȱ613,75ȱ€ȱverzinstȱsichȱinȱdenȱfolgendenȱJahrenȱgeometrischȱweiȬ ter.ȱȱ ImȱnächstenȱJahrȱsparenȱSieȱwiederumȱ12Ȭmalȱ50ȱ€,ȱdieȱsichȱunterjährigȱaberȱnurȱlinearȱ verzinsen.ȱAmȱEndeȱdesȱJahresȱsindȱaberȱwiederumȱ613,75ȱ€ȱzusammengekommen.ȱ Sieȱ könnenȱ sichȱ denȱ Prozessȱ auchȱ soȱ vorstellen,ȱ dassȱ Sieȱ währendȱ desȱ Jahresȱ jeweilsȱ aufȱ einemȱ separatenȱ Sparbuchȱ Einzahlungenȱ tätigen.ȱ Dieȱ angespartenȱ 613,75ȱ €ȱ überȬ weisenȱSieȱamȱEndeȱjedenȱJahresȱaufȱeinȱweiteresȱKonto,ȱdasȱmitȱdemselbenȱZinssatzȱ vonȱ5%ȱp.a.ȱverzinstȱwird.ȱDadurchȱzahlenȱSieȱ5ȱJahreȱlangȱ613,75ȱ€ȱein.ȱEsȱliegtȱdannȱ eineȱjährlichȱnachschüssigeȱRenteȱvor,ȱbeiȱderȱdieȱRentenperiodeȱundȱdieȱZinsperiodeȱ gleichȱgroßȱ(1ȱJahr)ȱsind.ȱȱ DerȱWertȱIhrerȱEinzahlungenȱ(50ȱ€ȱmonatlichȱüberȱ5ȱJahre)ȱbeträgtȱdamitȱȱ R nach , 5

r˜

qn  1 i

613,75 € ˜

1,055  1 0 ,05

3.391,36 €. ȱ

Dasȱ amȱ Endeȱ einesȱ Jahresȱ mitȱ linearerȱ Verzinsungȱ aufgelaufeneȱ Guthaben,ȱ hierȱ dieȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ 613,75ȱ€,ȱnenntȱmanȱdieȱkonformeȱErsatzrate.ȱWirȱbezeichnenȱsieȱmitȱ re .ȱ ȱ Esȱ fälltȱ nunȱ nichtȱ schwer,ȱ dieȱ imȱ Beispielȱ vorgestellteȱ Methodeȱ aufȱ denȱ allgemeinenȱ Fallȱvonȱ m ȱRentenzahlungenȱproȱJahrȱzuȱübertragen.ȱDieȱRatenzahlungenȱ r erfolgenȱ überȱ n ȱJahreȱmȬmalȱproȱJahr,ȱderȱZinssatzȱbeträgtȱ i .ȱ InȱeinemȱerstenȱSchrittȱerrechnenȱwirȱdieȱkonformeȱErsatzrateȱ re ,ȱdieȱproȱJahrȱaufläuft.ȱ DieȱersteȱRateȱwirdȱ(mȬ1)ȱunterjährigeȱPeriodenȱlangȱlinearȱverzinst,ȱdieȱzweiteȱ(mȬ2)ȱ 121

6.3

6

Rentenrechnung

Perioden,ȱ usw.ȱ Dieȱ vorletzteȱ Rateȱ wirdȱ schließlichȱ nochȱ eineȱ Periodeȱ langȱ linearȱ verȬ zinst,ȱdieȱletzteȱwirdȱgenauȱamȱZinsterminȱgezahltȱundȱdadurchȱnichtȱmehrȱverzinst.ȱ InsgesamtȱergibtȱsichȱdieȱkonformeȱErsatzrateȱ re ȱzuȱȱ re

( m  1) · 1 · 0 · § § § r ˜ ¨1  ˜ i ¸  ...  r ˜ ¨ 1  ˜ i ¸  r ˜ ¨ 1  ˜ i ¸ m m ¹ m ¹ © ¹ © © ( m  1) · § r ˜¨m  i ˜ ¸. 2 ¹ ©

r˜m r˜

1 ( m  1) ˜ m ˜i m 2

ȱȱȱ(6.5)ȱ

DieseȱErsatzrateȱwirdȱnunȱ n ȱJahreȱlangȱangespart,ȱsoȱdassȱmanȱsieȱinȱderȱFormelȱfürȱ denȱ Endwertȱ einerȱ nachschüssigenȱ Renteȱ überȱ n ȱ Jahreȱ anstelleȱ derȱ Rateȱ einsetzenȱ kannȱundȱalsȱRentenendwertȱ R nach ,n

re ˜

qn  1 ȱ q 1

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(6.6)ȱ

erhält.ȱ

6.3.2.2

Unterjährige Zinstermine bei jährlichen Rentenzahlungen

Esȱ kannȱ auchȱ derȱ umgekehrteȱ Fallȱ vorliegen,ȱ dassȱ mehrȱ Zinstermineȱ existierenȱ alsȱ Rentenzahlungenȱstattfinden.ȱȱ Beispielȱ 6.7:ȱ Sieȱ besitzenȱ einȱ Tagesgeldkontoȱ mitȱ halbjährlichenȱ Zinsterminenȱ (i=0,025).ȱLeiderȱ schaffenȱ Sieȱesȱ aberȱ innerhalbȱ desȱ Jahresȱnichtȱ Geldȱ anzusparen.ȱ Sieȱ zahlenȱ soȱ nurȱ amȱ Endeȱ jedesȱ Jahresȱ Ihrȱ Weihnachtsgeldȱ inȱ Höheȱ vonȱ 500ȱ €ȱ aufȱ Ihrȱ Kontoȱein.ȱWelchenȱBetragȱhabenȱSieȱnachȱ5ȱJahrenȱangespart?ȱ Lösung:ȱ

Abbildungȱ6Ȭ3:ȱ

GrafischeȱDarstellung:ȱJährlicheȱRenteȱbeiȱunterjährigenȱZinszahlungsterȬ minenȱ r

0

1/2

1

r

1 1/2

r

2

r

n

t

ȱ

Manȱ kannȱ denȱ Kapitalverlaufȱ wiederȱ sukzessiveȱ herleiten.ȱ Nachȱ einemȱ Jahrȱ bestehtȱ derȱKapitalwertȱausȱderȱRateȱrȱvonȱ500ȱ€.ȱNachȱ2ȱJahrenȱwurdeȱdieȱersteȱRateȱ2ȱHalbȬ jahreȱ langȱ verzinstȱ undȱ istȱ soȱ 500 € ˜ (1  0 ,025 / 2)2

122 ȱ

512,58 € wert.ȱ Hinzuȱ kommtȱ dieȱ

Endliche Renten

zweiteȱRate.ȱSoȱwirdȱmitȱderȱEntwicklungȱdesȱKapitalwertesȱfortȱgefahren.ȱDieȱletzteȱ Rateȱwirdȱnichtȱweiterȱverzinst.ȱȱ Gegenüberȱ jährlichenȱ Zinsterminenȱ wirdȱ beiȱ halbjährlicherȱ Zinszahlungȱ zweimalȱ imȱ Jahrȱ verzinst,ȱ wobeiȱ aberȱ jeweilsȱ derȱ linearȱ proportionaleȱ Zinssatz,ȱ d.h.ȱ inȱ unseremȱ Beispielȱ derȱ halbeȱ Zinssatz,ȱ verwendetȱ wird.ȱ Derȱ Faktorȱ qȱ =ȱ (1+0,025)ȱ beiȱ ÜbereinȬ stimmungȱ vonȱ ZinsȬȱ undȱ Rentenperiodeȱ istȱ durchȱ denȱ Ersatzaufzinsungsfaktorȱ (1  0 ,025 / 2)2 ȱzuȱersetzen.ȱNachȱ5ȱJahrenȱhabenȱSieȱsoȱȱ 8

2

0 ,025 · 0 ,025 · § § 500 € ˜ ¨ 1  ¸  500 € ¸  ...  500 € ˜ ¨ 1  2 ¹ 2 ¹ © © 2 4 § 0 ,025 · ·¸ § 500 € ˜ ¦ ¨ ¨ 1  ¸ ¨ 2 ¹ ¸¹ j 0© ©

j

ȱ

2˜ 5

0 ,025 · § 1  ¨1  ¸ 2 ¹ © 500 € ˜ 2 0 ,025 · § 1  ¨1  ¸ 2 ¹ © 2.628,99 € aufȱdemȱKonto.ȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

BeiȱderȱVerallgemeinerungȱaufȱmȱZinsperiodenȱproȱJahrȱstellenȱwirȱfest,ȱdassȱsichȱdieȱ RatenȱinnerhalbȱeinesȱJahresȱmȱPeriodenȱlangȱgeometrischȱmitȱdemȱlinearȱproportionaȬ lenȱ Zinssatzȱ i/mȱ verzinsen.ȱ Vonȱ Ratenzahlungȱ zuȱ Ratenzahlungȱ verzinsenȱ sichȱ dieȱ RatenȱsoȱmitȱdemȱErsatzaufzinsungsfaktorȱȱ m

qe

i · § ¨ 1  ¸ .ȱ ȱ m¹ ©

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(6.7)ȱ

SetztȱmanȱdiesenȱinȱdieȱFormelȱfürȱdenȱEndwertȱeinerȱnachschüssigenȱRenteȱein,ȱerhältȱ manȱdenȱEndwertȱeinerȱnachschüssigenȱRenteȱmitȱunterjährigenȱZinsterminenȱalsȱ m˜n

R nach , m ˜n

r˜

q en  1 qe  1

i · § 1 ¨1  ¸ m¹ © .ȱ r˜ m i · § 1 1   ¨ ¸ m¹ ©

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(6.8)ȱ

123

6.3

6

Rentenrechnung

6.4

Kapitalaufbau und -verzehr

Beispielȱ6.8:ȱ Sieȱlegenȱamȱ1.1.2007ȱeinenȱBetragȱvonȱ10.000ȱ€ȱaufȱeinemȱmitȱ2,5%ȱp.a.ȱ verzinstenȱTagesgeldkontoȱan.ȱZinszahlungstermineȱsindȱjährlichȱamȱ31.12.ȱdesȱJahres.ȱ Inȱ denȱ folgendenȱ 5ȱ Jahrenȱ sparenȱ Sieȱ proȱ Jahrȱ 1.000ȱ €,ȱ dieȱ Sieȱ amȱ Endeȱ jedesȱ Jahres,ȱ beginnendȱmitȱdemȱ31.12.2007,ȱanlegen.ȱWelchenȱBetragȱhabenȱSieȱamȱ31.12.2011ȱanȬ gespart?ȱ Lösung:ȱIhreȱSparbeträgeȱteilenȱsichȱinȱeinenȱkonstantenȱEinmalbetrag,ȱderȱsichȱ5ȱJahreȱ langȱaufȱdemȱKontoȱverzinst,ȱundȱeineȱ5ȬjährigeȱnachschüssigeȱRenteȱmitȱkonstantenȱ jährlichenȱRatenȱauf.ȱȱ

Nachȱ5ȱJahrenȱhabenȱSieȱalsoȱ K0 ˜ q5  r ˜

q5  1 i

1,0255  1 10.000 € ˜ 1,0255  1.000 € ˜  0 , 025  11.314,08ȱ€

16.570,41 € ȱ

5.256,33ȱ€

aufȱ demȱ Konto.ȱ Ihreȱ 10.000ȱ €ȱ habenȱ sichȱ zuȱ 11.314,08ȱ €ȱ verzinst,ȱ derȱ Wertȱ derȱȱ 5Ȭjährigenȱ Renteȱ beträgtȱ 5.256,33ȱ €.ȱ Insgesamtȱ istȱ Ihrȱ Kontostandȱ alsoȱ aufȱ 16.570,41ȱ €ȱ angewachsen.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Beispielȱ6.9ȱ(FortführungȱvonȱBeispielȱ6.8):ȱ IhreȱSchwesterȱlegtȱamȱ1.1.2007ȱebenfallsȱ einenȱBetragȱvonȱ10.000ȱ€ȱaufȱeinemȱmitȱ2,5%ȱp.a.ȱverzinstenȱTagesgeldkontoȱanȱ(ZinsȬ zahlungstermineȱjährlichȱamȱ31.12.ȱdesȱJahres).ȱInȱdenȱfolgendenȱ5ȱJahrenȱbenötigtȱsieȱ aberȱproȱJahrȱ1.000ȱ€,ȱdieȱsieȱjeweilsȱamȱEndeȱjedesȱJahresȱabhebt.ȱWelchenȱBetragȱhatȱ sieȱamȱ31.12.2011ȱnochȱaufȱdemȱKonto?ȱ Lösung:ȱ Dasȱ Beispielȱ ähneltȱ demȱ vorhergehenden.ȱ Einȱ Einmalbetragȱ verzinstȱ sichȱ 5ȱ Jahreȱ langȱ aufȱ demȱ Kontoȱ undȱ würdeȱ nachȱ 5ȱ Jahrenȱ aufȱ einenȱ Kontostandȱ vonȱ 11.314,08ȱ €ȱ angewachsenȱ sein.ȱ Jährlichȱ werdenȱ nunȱ aberȱ Beträgeȱ abgehoben,ȱ soȱ dassȱ sichȱeineȱȱRenteȱmitȱnegativemȱVorzeichenȱundȱkonstantenȱjährlichenȱRatenȱergibt.ȱ

Nachȱ5ȱJahrenȱhatȱIhreȱSchwesterȱnochȱ K0 ˜ q5  r ˜

q5  1 i

1,0255  1 10.000 € ˜ 1,0255  1.000 € ˜  0 , 025  11.314,08ȱ€

6.057,75 € ȱ

5.256,33ȱ€

aufȱdemȱKonto.ȱDiesesȱentsprichtȱderȱDifferenzȱzwischenȱdemȱverzinstenȱAnfangsbeȬ tragȱundȱderȱabgehobenenȱRente.ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Dieȱ Beispieleȱ illustrierenȱ wichtigeȱ Anwendungenȱ ausȱ demȱ Bereichȱ derȱ RentenrechȬ nung.ȱEsȱkommtȱoftȱvor,ȱdassȱeinȱbestimmterȱBetragȱeinmaligȱaufȱeinemȱKontoȱangeȬ 124 ȱ

Kapitalaufbau und -verzehr

legtȱwird,ȱetwaȱbeiȱderȱEröffnungȱdesȱKontos,ȱundȱinȱderȱdaraufȱfolgendenȱZeitȱdannȱ entwederȱweitereȱRatenȱeingezahltȱ(Kapitalaufbau)ȱoderȱregelmäßigȱbestimmteȱSumȬ menȱabgehobenȱ(Kapitalverzehr)ȱwerden.ȱ Gedanklichȱ kannȱ manȱ diesenȱ Vorgangȱ inȱ zweiȱ Einzelvorgängeȱ zerlegen:ȱ dieȱ VerzinȬ sungȱdesȱeinmaligȱangelegtenȱBetragesȱundȱdieȱRente.ȱBeiȱdemȱRentenanteilȱkannȱmanȱ selbstverständlichȱ wiederȱ nachȱ vorȬȱ undȱ nachschüssigerȱ Renteȱ unterscheiden.ȱ Wirȱ werdenȱalleȱHerleitungenȱfürȱdieȱnachschüssigeȱRenteȱvornehmen.ȱDieȱHerleitungȱfürȱ dieȱvorschüssigeȱRenteȱkannȱderȱLeserȱalsȱÜbungsaufgabeȱanalogȱnachvollziehen.ȱ BeimȱKapitalaufbauȱentstehtȱderȱEndwertȱnachȱnȱnachschüssigenȱRatenzahlungenȱzuȱ Kn

K0 ˜ qn  r ˜

qn  1 .ȱ i

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(6.9)ȱ

WirdȱperiodischȱnachschüssigȱeineȱRateȱabgehoben,ȱhandeltȱesȱsichȱumȱeinenȱȱKapitalȬ verzehr.34ȱDerȱEndwertȱnachȱnȱPeriodenȱbeträgtȱ Kn

K0 ˜ qn  r ˜

qn  1 .ȱ i

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(6.10)ȱ

ȱ DerȱKapitalverzehrȱwirftȱdieȱinteressanterenȱFragestellungenȱauf.ȱȱ Beispielȱ 6.10:ȱ Sieȱ legenȱ 20.000ȱ €ȱ aufȱ einemȱ mitȱ 3%ȱ p.a.ȱ verzinstenȱ Kontoȱ an.ȱ Inȱ denȱ folgendenȱ5ȱJahrenȱwollenȱSieȱjährlichȱnachschüssigȱkonstanteȱBeträgeȱabheben.ȱWelȬ cheȱHöheȱdürfenȱdieseȱBeträgeȱhaben?ȱ Lösung:ȱ Amȱ Endeȱ desȱ 5.ȱ Jahresȱ dürfenȱ Sieȱ Ihrȱ Ausgangskapitalȱ vollständigȱ aufgeȬ brauchtȱ haben,ȱ d.h.ȱ Ihrȱ Kontostandȱ beträgtȱ amȱ Endeȱ desȱ fünftenȱ Jahresȱ 0.ȱ Demnachȱ könnenȱSieȱnachȱderȱRateȱauflösenȱundȱesȱergibtȱsichȱ

20.000 € ˜ 1,035  r ˜

1,035  1 ! 0 ,03 0 Ÿ r 20.000 € ˜ 1,035 ˜ 0 ,03 1,035  1

Sieȱkönnenȱalsoȱ5ȱJahreȱlangȱ4.367,09ȱ€ȱproȱJahrȱabheben.ȱȱ

ȱ

4.367,09 €. ȱ ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ Allgemeinȱ ergibtȱ sichȱ fürȱ dieȱ Rate,ȱ dieȱ eineȱ gegebeneȱAnzahlȱ vonȱ Periodenȱ maximalȱ entnommenȱwerdenȱkann,ȱdurchȱNullsetzenȱderȱFormelȱvomȱKapitalverzehrȱȱ Kn

K0 ˜ qn  r ˜

qn  1 ! 0 i

Ÿ

r

K0 ˜ qn ˜

i .ȱȱ q 1 n

ȱ

ȱ

ȱȱ(6.11)ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 34ȱȱ Beideȱ Formelnȱ könntenȱ auchȱ zusammengefasstȱ werden.ȱ Wirȱ verzichtenȱ hierȱ darauf,ȱ daȱ dasȱ

SubtrahierenȱderȱabgehobenenȱRenteȱfürȱdieȱmeistenȱLeserȱverständlicherȱist.ȱ

125

6.4

6

Rentenrechnung

Beispielȱ6.11:ȱWiederumȱlegenȱSieȱ20.000ȱ€ȱaufȱeinemȱmitȱ3%ȱp.a.ȱverzinstenȱKontoȱan.ȱ Sieȱwollenȱnunȱaberȱjährlichȱnachschüssigȱnurȱjeweilsȱ2.000ȱ€ȱabhebenȱundȱfragenȱsich,ȱ wieȱlangeȱIhrȱKapitalȱreicht.ȱ Lösung:ȱSieȱhebenȱauchȱhierȱsoȱlangeȱGeldȱab,ȱbisȱIhrȱKontostandȱaufȱ0ȱgesunkenȱist.ȱ InȱdiesemȱFallȱistȱaberȱdieȱRateȱbekannt.ȱEsȱistȱhingegenȱnachȱderȱLaufzeitȱnȱaufzulöȬ sen.ȱȱ

20.000 € ˜ 1,03n  2.000 € ˜

1,03n  1 ! 0 œ 20.000 € ˜ 1,03n ˜ 0 ,03  2.000 € ˜ (1,03n  1) 0 ,03 œ 1,03n ( 20.000 € ˜ 0 ,03  2.000 €) œ 1,03n

2.000 €

 2.000 € 20.000 € ˜ 0 ,03  2.000 €

œ ln(1,03n )  n ˜ln( 1,03 )

œn

0

· §  2.000 € ¸ ln¨ ¨ 20.000 € ˜ 0 ,03  2.000 € ¸ ¹ ©

· § 2.000 € ¸ ln¨ ¨ 2.000 €  20.000 € ˜ 0 ,03 ¸ ¹ © ln(1,03)

12 ,07.

Sieȱkönnenȱ12ȱJahreȱlangȱdenȱBetragȱvonȱ2.000ȱ€ȱabheben.ȱEsȱverbleibtȱdannȱnochȱeinȱ (kleiner)ȱRestbetragȱaufȱdemȱKonto.ȱDiesenȱkönntenȱSieȱinȱeinemȱzweitenȱSchrittȱnochȱ genauerȱbestimmen.ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

AllgemeinȱlässtȱsichȱbeiȱbekannterȱRateȱnachȱderȱLaufzeitȱwieȱfolgtȱumformen:ȱ Kn

K0 ˜ qn  r ˜

qn  1 ! 0 i

œ œ

K 0 ˜ q n ˜ i  r ˜ (q n  1) r K0 ˜ i  r

qn

œ ln(q n )  n ˜ln( q )

œ

n

0

r r  K0 ˜ i

§ · r ¸ ln¨¨ ¸ © r  K0 ˜ i ¹

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱ(6.12)ȱ

§ · r ¸ ln¨¨ ¸ r K i  ˜ 0 © ¹. ln(q )

ȱ Bemerkung:ȱ Esȱ istȱ wichtig,ȱ sichȱ klarȱ zuȱ machen,ȱ dassȱ dasȱ regelmäßigeȱAbhebenȱ vonȱ konstantenȱRaten,ȱnichtȱinȱjedemȱFallȱzumȱKapitalverzehrȱführt.ȱWirdȱproȱPeriodeȱeinȱ geringererȱBetragȱalsȱdieȱanfallendenȱZinsenȱabgehoben,ȱsoȱwächstȱdasȱKapitalȱumȱdenȱ 126 ȱ

Variierende Raten oder Zinssätze

Differenzbetragȱ an.ȱ Werdenȱ jeweilsȱ genauȱ dieȱ Zinsenȱ aufȱ dasȱ bestehendeȱ Kapitalȱ abȬ gehoben,ȱsoȱbleibtȱdasȱKapitalȱkonstantȱundȱesȱergibtȱsichȱeineȱ„ewigeȱRente“ȱ(s.ȱAbȬ schnittȱ„EwigeȱRenten“).ȱErstȱwennȱproȱPeriodeȱeinȱBetragȱabgehobenȱwird,ȱderȱhöherȱ alsȱdieȱerhaltenenȱZinsenȱaufȱdasȱaktuelleȱKapitalȱist,ȱfindetȱeinȱKapitalverzehrȱstatt.ȱ

6.5

Variierende Raten oder Zinssätze

BeiȱderȱHerleitungȱderȱFormelnȱfürȱdenȱEndȬȱundȱBarwertȱderȱbetrachtetenȱRentenȱwarȱ esȱ bisherȱ Voraussetzung,ȱ dassȱ dieȱ Ratenȱ undȱ dieȱ Zinssätzeȱ konstantȱ sind.ȱ Natürlichȱ kannȱesȱauchȱvorkommen,ȱdassȱsichȱeinȱZinssatzȱnachȱeinerȱgewissenȱZeitȱändertȱoderȱ dassȱdieȱRateȱvariiert.ȱInȱdiesemȱFallȱsindȱdieȱgesamtenȱZahlungenȱinȱunterschiedlicheȱ Rentenȱaufzuteilen.ȱ Beispielȱ6.12:ȱSabineȱbeginntȱwährendȱihrerȱStudienzeitȱjährlichȱnachschüssigȱ1.000ȱ€ȱ aufȱeinemȱSparbuchȱzuȱ3%ȱp.a.ȱanzusparen.ȱNachȱBeendigungȱihresȱStudiumsȱnachȱ3ȱ JahrenȱerhältȱsieȱvonȱihrenȱGroßelternȱ3.000ȱ€,ȱdieȱsieȱebenfallsȱanlegt.ȱGleichzeitigȱfälltȱ derȱZinssatzȱaufȱdemȱSparbuchȱaufȱ2%ȱp.a.ȱWährendȱderȱnächstenȱ5ȱJahreȱhatȱsieȱeineȱ FestanstellungȱundȱkannȱsichȱgrößereȱSparbeträgeȱleisten.ȱSieȱzahltȱnunȱjährlichȱnachȬ schüssigȱ5.000ȱ€ȱein.ȱWelchenȱBetragȱhatȱsieȱnachȱinsgesamtȱ8ȱJahrenȱangespart?ȱ Lösung:ȱDieȱSituationȱlässtȱsichȱinȱzweiȱunterschiedlicheȱRentenȱundȱeineȱEinmalzahȬ lungȱ aufteilen.ȱ Eineȱ dreijährigeȱ Renteȱ mitȱ rȱ =ȱ 1.000ȱ €ȱ undȱ iȱ =ȱ 0,03ȱ verzinstȱ sichȱ nachȱ ihrerȱ Laufzeitȱ nochȱ weitereȱ 5ȱ Jahreȱ zuȱ demȱ dannȱ herrschendenȱ Zinssatzȱ vonȱ 2%ȱ p.a.ȱ Hinzuȱ kommtȱ eineȱ fünfjährigeȱ Renteȱ mitȱ einerȱ Rateȱ vonȱ 5.000ȱ €ȱ beiȱ 2%ȱ p.a.ȱ Dieȱ EinȬ malzahlungȱnachȱ3ȱJahrenȱinȱHöheȱvonȱ3.000ȱ€ȱverzinstȱsichȱ5ȱJahreȱlangȱmitȱebenfallsȱ 2%ȱp.a.ȱInsgesamtȱerhältȱmanȱalsȱEndwertȱȱ

1.000 € ˜

6.6

1,033  1 1,02 5  1 ˜ 1,02 5  3.000 € ˜ 1,02 5  ˜5.000 € ˜ 0 ,03 0 ,02

32.745,05 €. ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

Ewige Renten

Definition:ȱ Bestehtȱ dieȱ Renteȱ ausȱ unendlichȱ vielenȱ Raten,ȱ soȱ sprichtȱ manȱ vonȱ einerȱ ewigenȱRente.ȱȱ Beispielȱ6.13:ȱ SieȱwollenȱaufȱewigeȱZeit,ȱd.h.ȱunendlichȱoft,ȱvonȱeinemȱKontoȱjährlichȱ nachschüssigȱ1.000ȱ€ȱabheben.ȱDerȱZinssatzȱistȱfürȱunendlicheȱZeitȱaufȱ5%ȱp.a.ȱfestgeȬ setztȱworden.ȱ

127

6.5

6

Rentenrechnung

DerȱEndwertȱderȱabgehobenenȱRenteȱexistiertȱnicht.ȱSieȱhabenȱnachȱunendlichȱlangerȱ Zeitȱ einenȱ unendlichenȱ Betragȱ abgehoben.ȱ Sieȱ könnenȱ sichȱ aberȱ fragenȱ ,ȱ welchenȱ BeȬ tragȱ Sieȱ heuteȱ anlegenȱ müssen,ȱ damitȱ Sieȱ ewigȱ 1.000ȱ €ȱ abhebenȱ können.ȱ Diesesȱ entȬ sprichtȱdemȱBarwertȱderȱRente.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ ȱ DerȱBarwertȱeinerȱewigenȱnachschüssigenȱRenteȱergibtȱsichȱalsȱGrenzwertȱdesȱBarwerȬ tesȱderȱnachschüssigenȱRente,ȱwennȱdieȱLaufzeitȱnȱgegenȱunendlichȱgeht,ȱd.h.ȱȱ R ewig nach , 0

lim R nach ,0

n of

r qn  1 ˜ n of q n i lim

r qn  1 lim ˜ nof i qn

r § 1 · lim ˜ ¨¨ 1  n ¸¸ n of i © q ¹

r .ȱ i

ȱȱ(6.13)ȱ

o1

Daȱ q n ȱ fürȱ qȱ >ȱ 1ȱ gegenȱ unendlichȱ strebt,ȱ konvergiertȱ dieȱ gesamteȱ Klammerȱ 1  1 / q n ȱ alsoȱgegenȱ1ȱundȱderȱBarwertȱderȱewigenȱRenteȱbeträgtȱr/i.ȱȱ R ewig nach , 0 ˜ i. ȱ

UmgestelltȱerhältȱmanȱfürȱdieȱRateȱderȱewigenȱnachschüssigenȱRenteȱ r DieȱRateȱentsprichtȱalsoȱdemȱZinsȱaufȱdenȱBarwertȱderȱewigenȱRente.ȱȱ ȱ

FortführungȱvonȱBeispielȱ6.13:ȱ WennȱSieȱunendlichȱoftȱ1.000ȱ€ȱvonȱeinemȱKonto,ȱdasȱ fürȱewigeȱZeitȱmitȱ5%ȱp.a.ȱverzinstȱwird,ȱabheben,ȱbrauchenȱSieȱzuȱBeginnȱ

R ewig nach ,0

r i

1.000 € 0 ,05

20.000 €. ȱ

Dieȱ jährlichȱ abgehobenenȱ 1.000ȱ €ȱ entsprechenȱ genauȱ denȱ Zinsen,ȱ dieȱ Sieȱ beiȱ einemȱ Zinssatzȱvonȱ5%ȱp.a.ȱjedesȱJahrȱausȱ20.000ȱ€ȱerhalten.ȱWennȱSieȱjedesȱJahrȱnurȱgenauȱ dieȱerhaltenenȱZinsenȱabhebenȱwollen,ȱkönnenȱSieȱdiesesȱunendlichȱoftȱtun.ȱIhrȱKontoȬ standȱbleibtȱstetsȱkonstant.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ ȱ Derȱ Barwertȱ einerȱ ewigenȱ vorschüssigenȱ Renteȱ errechnetȱ sichȱ entsprechendȱ alsȱ GrenzwertȱdesȱBarwertesȱderȱvorschüssigenȱRenteȱzuȱȱ R ewig vor ,0

lim

n of

r q

n 1

qn  1 q 1

r§ 1 · lim ¨¨ q  n 1 ¸¸ i© q ¹

n of

r ˜ q. ȱ i

ȱ

DieȱRateȱeinerȱewigenȱvorschüssigenȱRenteȱentsprichtȱsoȱ r

ȱ

ȱ

R ewig vor ,0 ˜ i q

ȱȱ(6.14)ȱ

.ȱ

EineȱAnwendungȱvonȱewigenȱRentenȱfindetȱmanȱbeiȱStiftungen,ȱdieȱeinȱgewissesȱStifȬ tungskapitalȱeinzahlenȱundȱdieȱZinsenȱjährlichȱfürȱeinenȱbestimmtenȱZweckȱausschütȬ ten.ȱAnȱdieȱGrenzenȱderȱpraktischenȱAnwendungȱeinerȱewigenȱRenteȱstößtȱmanȱdageȬ 128 ȱ

Partnerinterview

genȱ beimȱ zugrundeȱ liegendenȱ Zinssatz.ȱ Damitȱ ausȱ einemȱ gegebenenȱ Kapitalȱ tatsächȬ lichȱunendlichȱoftȱeineȱkonstanteȱRateȱinȱFormȱdesȱZinsesȱaufȱdasȱKapitalȱausbezahltȱ werdenȱkann,ȱmussȱderȱZinssatzȱfürȱunendlicheȱZeitȱfestgeschriebenȱsein.ȱInȱderȱPraxisȱ wirdȱmanȱZinssätzeȱaberȱmaximalȱfürȱ30ȱJahreȱfestschreibenȱkönnen,ȱdanachȱwirdȱderȱ ZinssatzȱanȱdasȱdannȱherrschendeȱZinsniveauȱangepasst.ȱInȱdiesemȱFalleȱmüssteȱsichȱ dannȱdieȱRateȱderȱewigenȱRenteȱändern.ȱ

6.7

Partnerinterview

1. A:ȱZeichnenȱSieȱeineȱjährlichȱnachschüssigeȱRenteȱmitȱeinerȱLaufzeitȱvonȱ5ȱJahrenȱ undȱvergleichenȱSieȱdieseȱmitȱeinerȱvorschüssigenȱRente!ȱ B:ȱWieȱerrechnetȱsichȱderȱEndwertȱeinerȱnachschüssigenȱRente?ȱ 2. A:ȱWieȱermitteltȱmanȱdenȱBarwertȱeinerȱvorschüssigenȱRente?ȱ B:ȱInterpretierenȱSieȱdenȱBarwertȱeinerȱRente!ȱ 3. A:ȱ Wieȱ hängenȱ EndȬȱ oderȱ Barwertȱ einerȱ vorȬȱ undȱ nachschüssigenȱ Renteȱ zusamȬ men?ȱ B:ȱ Welcheȱ Fälleȱ vonȱ nichtȱ übereinstimmendenȱ ZinsȬȱ undȱ Rentenperiodenȱ kannȱ esȱ geben?ȱ 4. A:ȱWasȱistȱeineȱkonformeȱErsatzrente?ȱWieȱbestimmtȱsieȱsich?ȱȱ B:ȱZeigenȱSieȱauf,ȱwieȱmanȱvorgeht,ȱwennȱesȱunterjährigeȱZinsperiodenȱundȱjährliȬ cheȱRentenzahlungenȱgibt?ȱ 5. A:ȱWieȱlässtȱsichȱdieȱRateȱbestimmen,ȱdieȱmanȱnȱJahreȱlangȱvonȱeinemȱeinmalȱeinȬ gezahltenȱBetragȱabhebenȱkann?ȱ B:ȱWieȱlässtȱsichȱdieȱLaufzeitȱbestimmen,ȱüberȱdieȱmanȱeineȱkonstanteȱRateȱȱvonȱeiȬ nemȱeinmalȱeingezahltenȱBetragȱabhebenȱkann?ȱ 6. A:ȱWieȱkannȱmanȱdieȱRateȱeinerȱewigenȱRenteȱinterpretieren?ȱ B:ȱBestimmenȱundȱinterpretierenȱSieȱdenȱBarwertȱeinerȱewigenȱRente!ȱ

6.8

Übungen

1. EineȱRenteȱvonȱ4.000ȱ€ȱwirdȱ10ȱJahreȱlangȱjährlichȱȱ a)ȱamȱEndeȱdesȱJahresȱ 129

6.7

6

Rentenrechnung

b)ȱzuȱBeginnȱdesȱJahresȱ eingezahlt.ȱ Berechnenȱ Sieȱ jeweilsȱ beiȱ einemȱ Zinssatzȱ vonȱ 4,25%ȱ p.a.ȱ denȱ RentenȬ endwertȱundȱerklärenȱSieȱdenȱsichȱergebendenȱUnterschied.ȱ 2. Ihreȱ Elternȱ zahlenȱ zuȱ Ihrerȱ Unterstützungȱ 20.000ȱ €ȱ aufȱ einȱ Kontoȱ zuȱ 4%ȱ p.a.ȱ ein,ȱ vonȱ demȱ Sieȱ sichȱ 4ȱ Jahreȱ lang,ȱ jeweilsȱ amȱ Endeȱ desȱ Jahres,ȱ eineȱ Renteȱ abhebenȱ können.ȱWelcheȱRenteȱkönnenȱSieȱjährlichȱabheben?ȱ 3. ErstellenȱSieȱfürȱBeispielȱ6.4ȱinȱExcelȱeineȱzuȱTabelleȱ6Ȭ1ȱanalogeȱTabelle,ȱinȱderȱSieȱ dieȱBeiträgeȱjederȱRatenzahlungȱzumȱEndwertȱderȱvorschüssigenȱRenteȱaufführen.ȱȱ 4. SieȱmöchtenȱeineȱprivateȱAltersvorsorgeȱtreffenȱundȱentscheidenȱsichȱjedesȱJahrȱamȱ EndeȱdesȱJahresȱ1.000ȱ€ȱaufȱeinemȱSparbuchȱanzulegen.ȱEsȱistȱIhnenȱgelungen,ȱfürȱ dieȱgesamteȱLaufzeitȱeinenȱZinssatzȱvonȱkonstantȱ4%ȱp.a.ȱzuȱvereinbaren.ȱNachȱ35ȱ JahrenȱmöchtenȱSieȱ„inȱRenteȱgehen“ȱundȱvonȱIhrenȱErsparnissenȱleben.ȱ a)

ÜberȱwelchenȱBetragȱverfügenȱSieȱamȱEndeȱdesȱ35.ȱJahres?ȱ

b)

Nachdemȱ Sieȱ 35ȱ Jahreȱ langȱ gespartȱ haben,ȱ möchtenȱ Sieȱ nunȱ jährlichȱ 6.000ȱ €ȱ abheben.ȱWieȱlangeȱreichtȱIhrȱangesparterȱBetragȱaus?ȱ

5. Sieȱ richtenȱ einenȱ Dauerauftragȱ zurȱ Anlageȱ vonȱ vierteljährlichȱ 100ȱ €ȱ (zahlbarȱ amȱ EndeȱdesȱQuartals)ȱaufȱeinȱmitȱ3%ȱp.a.ȱverzinslichesȱTagesgeldkontoȱein,ȱdasȱjährliȬ cheȱZinszahlungstermineȱhat.ȱAufȱwelchenȱEndwertȱkommenȱSieȱnachȱ6ȱJahren?ȱ 6. Antjeȱ hatȱ aufȱ Ihremȱ Kontoȱ monatlicheȱ Zinsgutschriftenȱ beiȱ einemȱ Zinssatzȱ vonȱȱ 3%ȱp.a.ȱSieȱzahltȱaberȱnurȱjeweilsȱamȱEndeȱdesȱJahresȱüberȱ8ȱJahreȱhinwegȱ1.500ȱ€ȱ ein.ȱÜberȱwelchenȱBetragȱverfügtȱsieȱnachȱdieserȱZeit?ȱ 7. Sieȱlegenȱ150.000ȱ€ȱzuȱ8%ȱp.a.ȱanȱundȱhebenȱjährlichȱ4.500ȱ€ȱab.ȱIhrȱStudienkollegeȱ willȱfürȱSieȱmitȱHilfeȱderȱFormelȱfürȱdenȱKapitalverzehrȱdieȱLaufzeitȱnȱausrechnen,ȱ umȱzuȱsehen,ȱwieȱlangeȱdasȱGeldȱausreicht.ȱDerȱTaschenrechnerȱliefertȱaberȱjeweilsȱ einȱȇȇErrorȇȇȱ.ȱWieȱkönnenȱSieȱihmȱdasȱerklären?ȱ 8. Leitenȱ Sieȱ dieȱ Formelnȱ fürȱ denȱ Kapitalaufbauȱ undȱ denȱ Kapitalverzehrȱ fürȱ vorȬ schüssigeȱRentenȱher!ȱ 9. Sieȱ eröffnenȱ amȱ 1.1.2007ȱ einȱ Tagesgeldkontoȱ mitȱ einemȱ Betragȱ vonȱ 3.000ȱ €ȱ (i=0,0275).ȱ Inȱ denȱ folgendenȱ 4ȱ Jahrenȱ (beginnendȱ mitȱ 2007)ȱ wollenȱ Sieȱ jeweilsȱ amȱ EndeȱdesȱJahresȱ1.000ȱ€ȱaufȱIhrȱKontoȱeinzahlen.ȱÜberȱwelchenȱBetragȱverfügenȱSieȱ amȱ31.12.2010?ȱ 10. Sieȱerbenȱ40.000ȱ€ȱundȱzahlenȱdieseȱaufȱeinȱmitȱ4,5%ȱp.a.ȱverzinstesȱKontoȱein.ȱSieȱ wollenȱ denȱ Betragȱ überȱ 20ȱ Jahreȱ verbrauchen.ȱ Welchenȱ Betragȱ könnenȱ Sieȱ jeweilsȱ amȱEndeȱdesȱJahresȱabheben?ȱ

130 ȱ

Übungen

11. FrauȱFröhlichȱerbtȱ50.000ȱ€ȱundȱlegtȱdenȱBetragȱamȱ1.1.2004ȱzuȱ4,75%ȱp.a.ȱaufȱeinemȱ Kontoȱ an.ȱ Sieȱentnimmtȱ jeweilsȱ amȱ Endeȱdesȱ Jahresȱ 5.000ȱ€ȱ alsȱ Sondertilgungȱ fürȱ einȱbereitsȱbestehendesȱDarlehen.ȱWieȱlangeȱreichtȱihrȱGuthaben?ȱ 12. Manuelȱzahltȱseitȱdemȱ31.12.2001ȱjährlichȱnachschüssigȱ2.000ȱ€ȱaufȱeinȱmitȱ3,5%ȱp.a.ȱ verzinstesȱKontoȱein.ȱAmȱ31.12.2004ȱleistetȱerȱeineȱEinmalzahlungȱvonȱ6.000ȱ€.ȱDaȱ erȱsichȱeinȱAutoȱanschafft,ȱsinkenȱseineȱEinzahlungenȱabȱdemȱ31.12.2006ȱaufȱ500ȱ€ȱ proȱJahr.ȱÜberȱwelchenȱBetragȱverfügtȱerȱamȱ31.12.2008?ȱ 13. Eineȱ Stiftungȱ möchteȱ aufȱ ewigeȱ Zeitȱ zumȱ Endeȱ jedenȱ Jahresȱ einenȱ Betragȱ vonȱ 50.000ȱ €ȱ ausschütten.ȱ Derȱ Zinssatzȱ betrageȱ unendlichȱ langȱ konstantȱ 4%ȱ p.a.ȱ WelȬ chesȱStiftungskapitalȱmussȱzuȱBeginnȱdesȱerstenȱJahresȱangelegtȱwerden?ȱȱ

131

6.8

Lernziele

7

7.1

Tilgungsrechnung

Lernziele

NachȱDurcharbeitungȱdiesesȱKapitelsȱsollteȱderȱLeserȱinȱderȱLageȱsein,ȱ

„ dieȱBegriffeȱTilgungȱundȱAnnuitätȱzuȱdefinierenȱundȱanzuwenden,ȱ „ zwischenȱ einemȱ endfälligen,ȱ einemȱ RatenȬȱ undȱ einemȱ Annuitätendarlehenȱ zuȱ unterscheidenȱundȱdieȱCharakteristikaȱderȱeinzelnenȱKreditformenȱanzugeben,ȱ

„ denȱ qualitativenȱ Verlaufȱ derȱ Restschuld,ȱ derȱAnnuitätȱ undȱ derȱ Tilgungsratenȱ beiȱ denȱdreiȱKreditformenȱzuȱbeschreiben,ȱ

„ zuȱerläutern,ȱwieȱeinȱTilgungsplanȱaufgebautȱist,ȱ „ beiȱ vorgegebenerȱ gewünschterȱ Annuitätȱ einȱ Annuitätendarlehenȱ überȱ einenȱ TilȬ gungsplanȱzuȱberechnen,ȱ

„ beiȱ vorgegebenerȱ gewünschterȱ Gesamtlaufzeitȱ dieȱ konstanteȱAnnuitätȱ zuȱ berechȬ nen,ȱȱ

„ SondertilgungenȱundȱtilgungsfreieȱPeriodenȱinȱdenȱTilgungsplanȱaufzunehmen,ȱ „ fürȱunterjährigeȱTilgungen,ȱTilgungspläneȱzuȱerstellen.ȱ

7.2

Einführung

WennȱSieȱbeiȱeinerȱBankȱeinenȱKreditȱaufnehmen,ȱmüssenȱSieȱdiesenȱeinschließlichȱderȱ anfallendenȱ Zinsenȱ undȱ eventuellerȱ Gebührenȱ auchȱ wiederȱ zurückzahlen.ȱ Diesenȱ ProzessȱbezeichnetȱmanȱalsȱTilgungȱdesȱKredits.ȱȱ ȱ Wieȱschonȱinȱ Kapitelȱ1ȱ„Zinsfinanzinstrumente“ȱerläutert,ȱistȱeineȱGeldanlageȱimmerȱ auchȱeineȱKreditaufnahmeȱfürȱdenȱVertragspartnerȱundȱumgekehrt.ȱ ȱ Beispielȱ7.1:ȱ WennȱSieȱalsȱPrivatkundeȱ5.000ȱ€ȱzuȱeinemȱ Zinssatzȱvonȱ3%ȱp.a.ȱaufȱeiȬ nemȱ Sparbuchȱ beiȱ einerȱ Bankȱ anlegen,ȱ soȱ tätigenȱ Sieȱ eineȱ Geldanlage.ȱ Fürȱ dieȱ Bankȱ 133

7.1

7

Tilgungsrechnung

bedeutetȱIhreȱSparanlageȱaberȱeineȱKreditaufnahme.ȱSieȱwirdȱdiesenȱKreditȱaufȱIhrenȱ WunschȱendfälligȱmitȱZinseszinsenȱzurückzahlen.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ NeuȱistȱinȱdiesemȱKapitel,ȱdassȱwirȱdieȱSichtweiseȱdesȱKreditnehmersȱeinnehmen.ȱ

7.3

Notationen und Begriffe

AufgrundȱderȱinhaltlichenȱNäheȱeinesȱKreditsȱzuȱeinerȱGeldanlageȱgeltenȱdieȱmeistenȱ bisherigenȱ Notationenȱ weiter.ȱ Dieȱ inhaltlicheȱ Interpretationȱ istȱ aberȱ derȱ Perspektiveȱ desȱSchuldnersȱangepasst.ȱWirȱbezeichnenȱdenȱzuȱBeginnȱderȱerstenȱPeriodeȱderȱKreȬ ditlaufzeit,ȱ d.h.ȱ denȱ zumȱ Zeitpunktȱ tȱ =ȱ 0ȱ aufgenommenȱ Kreditbetragȱ mitȱ K 0. ȱ Dieserȱ BetragȱstelltȱdieȱAnfangsschuldȱdar.ȱȱ DieȱTilgungȱistȱderȱGeldbetrag,ȱderȱdazuȱbeiträgt,ȱdassȱsichȱdieȱaktuelleȱSchuld,ȱdieȱsoȱ genannteȱ Restschuld,ȱ verringert.ȱ Denȱ inȱ einerȱ Periodeȱ jȱ erbrachtenȱ Tilgungsbetragȱ nennenȱ wirȱ Tj. ȱ Durchȱ dieȱ Tilgungȱ verringertȱ sichȱ dieȱ Restschuldȱ Kj ȱ desȱ Schuldners.ȱ DerȱSchuldnerȱmussȱjedochȱnichtȱnurȱdieȱTilgungȱ Tj ȱproȱPeriodeȱentrichten,ȱsondernȱ auchȱ dieȱ Zinsleistungȱ Zj ȱ erbringen.ȱ Dieȱ Zinsenȱ werdenȱ aufȱ dieȱ jeweiligeȱ Restschuldȱ berechnet.ȱ Dieȱ Summeȱ ausȱ Tilgungȱ undȱ Zinsenȱ bezeichnetȱ manȱ alsȱ dieȱ Annuitätȱ Aj Tj  Zj. ȱSieȱstelltȱdieȱeigentlicheȱBelastungȱdesȱSchuldnersȱdar.ȱ Dieȱ Verzinsungȱ erfolgtȱ geometrischȱ undȱ nachschüssig.ȱ Fürȱ dieȱAnnuitätenzahlungenȱ sindȱ ähnlichȱ wieȱ beiȱ derȱ Rentenrechnungȱ eineȱ vorschüssigeȱ undȱ eineȱ nachschüssigeȱ Zahlungsweiseȱ möglich.ȱ Wirȱ behandelnȱ hierȱ nurȱ nachschüssigȱ geleisteteȱAnnuitätenȬ zahlungen.ȱȱ

7.4

Tilgungsarten

Beiȱ derȱAufnahmeȱ einesȱ Kreditsȱ könnenȱ verschiedeneȱ Rückzahlungsmodalitätenȱ verȬ einbartȱwerden.ȱȱ

7.4.1

Endfällige Schuld

Prinzipiellȱ istȱ esȱ möglichȱ dieȱ gesamteȱ Schuldȱ inȱ einemȱ Betrag,ȱ amȱ Endeȱ derȱ Laufzeitȱ zurückzuzahlen.ȱManȱnenntȱdiesesȱeineȱ endfälligeȱSchuld.ȱDabeiȱkannȱdanachȱunterȬ schiedenȱwerden,ȱwieȱdieȱproȱPeriodeȱanfallendenȱZinsenȱgezahltȱwerden:ȱ

134 ȱ

Tilgungsarten

1.

ZumȱeinenȱkönnenȱdieȱZinsenȱbereitsȱwährendȱderȱLaufzeitȱgezahltȱwerden.ȱ DieȱausstehendeȱRestschuldȱbleibtȱdannȱwährendȱderȱLaufzeitȱkonstant.ȱProȱ PeriodeȱsindȱkonstanteȱZinsenȱzuȱentrichten,ȱamȱEndeȱderȱletztenȱZinsperioȬ deȱ erfolgtȱ dieȱ Tilgungȱ derȱ aufgenommenenȱ Kreditschuldȱ undȱ dieȱ ZinszahȬ lungȱfürȱdieȱletzteȱPeriode.ȱ

2.

AlternativȱkönnenȱdieȱZinsleistungenȱwährendȱderȱLaufzeitȱauchȱausgesetztȱ werden.ȱDieȱRestschuldȱerhöhtȱsichȱsoȱvonȱPeriodeȱzuȱPeriodeȱumȱdieȱZinsenȱ undȱ Zinseszinsen.ȱ Amȱ Endeȱ derȱ Laufzeitȱ wirdȱ dieȱ Kreditschuldȱ mitȱ angeȬ sammeltenȱZinsenȱzurückgezahlt.ȱȱ

DieseȱArtenȱ derȱ Tilgung,ȱ dieȱ z.B.ȱ beiȱ Wertpapierenȱ oderȱ Sparkontenȱ erfolgen,ȱ habenȱ wirȱausȱdemȱBlickwinkelȱdesȱAnlegersȱbereitsȱimȱKapitelȱ3ȱ„Zinsrechnung“ȱdiskutiert.ȱȱ ȱ Beispielȱ7.2ȱ(FortführungȱvonȱBeispielȱ7.1):ȱ DaȱIhrȱFreundȱinȱfinanziellenȱSchwierigȬ keitenȱist,ȱverzichtenȱSieȱaufȱdieȱAnlageȱIhrerȱ5.000ȱ€ȱaufȱdemȱSparbuchȱundȱgebenȱihmȱ einenȱKredit.ȱAlsȱZinssatzȱwählenȱSieȱdieȱ3%ȱp.a.,ȱdieȱIhnenȱgegenüberȱderȱAnlageȱaufȱ demȱSparbuchȱentgehen.ȱIhrȱFreundȱverspricht,ȱIhnenȱdasȱGeldȱinȱ3ȱJahrenȱzurückzuȬ zahlen.ȱȱ

Fürȱ Sieȱ bedeutetȱ dieȱ Überlassungȱ derȱ 5.000ȱ €ȱ eineȱ Geldanlage,ȱ fürȱ Ihrenȱ Freundȱ dieȱ AufnahmeȱeinesȱKredits.ȱNachȱ3ȱJahrenȱhatȱsichȱderȱWertȱdesȱKapitalsȱzuȱ K3

K 0 ˜ (1  i)3

5.000 € ˜ 1,033

5.463,64 € ȱ

entwickelt,ȱ dieȱ Ihrȱ Freundȱ endfälligȱ mitȱ angesammeltenȱ Zinsenȱ zurückzahlt.ȱ Davonȱ entfallenȱ 5.000ȱ €ȱ aufȱ dieȱ Tilgungȱ derȱ Kreditsumme,ȱ 463,64ȱ €ȱ entsprechenȱ denȱ Zinsenȱ undȱZinseszinsen.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ ȱ Nimmtȱ einȱ Privatkundeȱ beiȱ einerȱ Bankȱ einenȱ Kreditȱ auf,ȱ erfolgtȱ dieȱ Tilgungȱ inȱ denȱ meistenȱFällenȱinȱmehrerenȱTeilbeträgen.ȱWirȱwerdenȱhierȱdieȱRatenȬȱundȱdieȱAnnuitäȬ tentilgungȱbetrachten.ȱ

7.4.2

Ratentilgung

Beispielȱ7.3:ȱ SieȱnehmenȱeinenȱKreditȱzumȱKaufȱeinesȱPkwȱinȱHöheȱvonȱ30.000ȱ€ȱauf.ȱ Dieserȱwirdȱmitȱ10%ȱp.a.ȱverzinst.ȱJedesȱJahrȱwollenȱSieȱ10.000ȱ€ȱtilgen.ȱGebenȱSieȱdieȱ KontoständeȱsowieȱdieȱAnnuitätenȱproȱJahrȱbisȱzurȱvollständigenȱTilgungȱdesȱKreditsȱ an!ȱȱ Lösung:ȱ Zurȱ Darstellungȱ derȱ Kontostände,ȱ etc.ȱ istȱ esȱ sinnvoll,ȱ inȱ Excelȱ oderȱ aufȱ demȱ Papierȱ einenȱ soȱ genanntenȱ Tilgungsplanȱ anzufertigen.ȱ Inȱ diesenȱ Tilgungsplanȱ fügtȱ

135

7.4

7

Tilgungsrechnung

manȱproȱZinsperiodeȱeineȱZeileȱeinȱundȱnotiertȱjeweilsȱdieȱRestschuldȱzuȱBeginnȱderȱ Periode,ȱ dieȱ fürȱ dieȱ Periodeȱ gezahltenȱ Zinsen,ȱ dieȱ entrichteteȱ Tilgung,ȱ dieȱ gesamteȱ Annuität,ȱsowieȱdieȱRestschuldȱamȱEndeȱderȱPeriode.ȱ EineȱandereȱAnordnungȱdesȱTilgungsplansȱistȱnatürlichȱebenfallsȱmöglich.ȱEsȱistȱauchȱ denkbar,ȱdieȱRestschuldȱnurȱzuȱBeginnȱoderȱzumȱEndeȱderȱPeriodeȱaufzuführen.ȱDieȱ vorgeschlageneȱ Methodeȱ garantiertȱ aberȱ eineȱ größereȱ Übersichtlichkeit.ȱ Wirȱ werdenȱ späterȱ sehen,ȱ dassȱ derȱ Tilgungsplanȱ leichtȱ umȱ weitereȱ Komponentenȱ einesȱ Kreditsȱ erweitertȱwerdenȱkann.ȱ WirȱgehenȱzunächstȱinȱeinzelnenȱSchrittenȱvor:ȱ 1.

Dieȱ Restschuldȱ zuȱ Beginnȱ desȱ erstenȱ Jahresȱ entsprichtȱ derȱ aufgenommenenȱ Kreditsummeȱ vonȱ 30.000ȱ €.ȱ Sieȱ kannȱ sofortȱ inȱ denȱ Tilgungsplanȱ eingefügtȱ werden.ȱ

Tabelleȱ7Ȭ1:ȱ

ErsterȱTilgungsplan,ȱ1.ȱSchrittȱ

Jahr Restschuld zu Beginn des Jahres 1

Zins

Tilgung

Annuität

Restschuld am Ende des Jahres

30.000,00 €

2 3

ȱ 2.

Dieȱ gewünschteȱ Tilgungȱ istȱ mitȱ 10.000ȱ €ȱ proȱ Jahrȱ angegeben.ȱ DieseȱAngabeȱ kannȱinȱdenȱgesamtenȱTilgungsplanȱübernommenȱwerden.ȱȱ

3.

DadurchȱergibtȱsichȱauchȱbereitsȱderȱVerlaufȱderȱRestschuld.ȱ

Tabelleȱ7Ȭ2:ȱ

ErsterȱTilgungsplan,ȱ2.ȱSchrittȱ

Jahr Restschuld zu Beginn des Jahres

Zins

Tilgung

Annuität

Restschuld am Ende des Jahres

1

30.000,00 €

10.000,00 €

20.000,00 €

2

20.000,00 €

10.000,00 €

10.000,00 €

3

10.000,00 €

10.000,00 €

0,00 €

ȱ 4.

136 ȱ

DieȱZinsenȱwerdenȱjeweilsȱaufȱdieȱRestschuldȱbezahlt.ȱImȱerstenȱJahrȱsindȱdaȬ herȱ10%ȱvonȱ30.000ȱ€,ȱd.h.ȱ3.000ȱ€ȱfällig,ȱimȱzweitenȱJahrȱsindȱesȱ2.000ȱ€,ȱusw.ȱ

Tilgungsarten

5.

Alsȱ letztesȱ lassenȱ sichȱ dieȱ jährlichenȱ Belastungen,ȱ d.h.ȱ dieȱ Annuitätenȱ alsȱ Summeȱ ausȱ Zinsȱ undȱ Tilgungȱ berechnen,ȱ soȱ z.B.ȱ imȱ erstenȱ Jahrȱ 3.000ȱ €ȱ +ȱ 10.000ȱ€ȱ=ȱ13.000ȱ€ȱetc.ȱ

Tabelleȱ7Ȭ3:ȱ Jahr

ErsterȱTilgungsplan,ȱ3.ȱSchrittȱ

Restschuld zu Beginn des Jahres

Zins

Tilgung

Annuität

Restschuld am Ende des Jahres

1

30.000,00 €

3.000,00 €

10.000,00 €

13.000,00 €

20.000,00 €

2

20.000,00 €

2.000,00 €

10.000,00 €

12.000,00 €

10.000,00 €

3

10.000,00 €

1.000,00 €

10.000,00 €

11.000,00 €

0,00 €

ȱ Derȱ Tilgungsplanȱ lässtȱ sichȱ soȱ nachȱ undȱ nachȱ vervollständigen.ȱ Inȱ diesemȱ Beispielȱ lassenȱ sichȱ durchȱ dieȱ konstantenȱ Tilgungenȱ dieȱ Restschuldenȱ bereitsȱ frühȱ fürȱ dieȱ geȬ samteȱLaufzeitȱangeben.ȱManȱkannȱdenȱTilgungsplanȱaberȱauchȱZeileȱfürȱZeileȱausfülȬ len,ȱalsoȱjeweilsȱvonȱeinerȱPeriodeȱzurȱnächstenȱfortschreiten.ȱDiesesȱVorgehenȱistȱbeiȱ allenȱTilgungsvorgängenȱmöglich.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ ȱ DasȱBeispielȱillustriertȱfolgendeȱSachverhalte:ȱȱ 1. DieȱTilgungȱistȱ(wieȱinȱderȱAufgabenstellungȱvorgegeben)ȱproȱJahrȱkonstant.ȱDiesesȱ istȱdasȱCharakteristikumȱeinesȱRatendarlehens.ȱȱ 2. DerȱZinsȱwirdȱjeweilsȱaufȱdieȱRestschuldȱberechnet.ȱDaȱdieȱRestschuldȱvonȱPeriodeȱ zuȱ Periodeȱ geringerȱ wird,ȱ werdenȱ auchȱ dieȱ zuȱ zahlendenȱ Zinsenȱ vonȱ Periodeȱ zuȱ Periodeȱgeringer.ȱ 3. DaȱdieȱTilgungȱkonstantȱistȱundȱdieȱzuȱzahlendenȱZinsenȱvonȱPeriodeȱzuȱPeriodeȱ geringerȱwerden,ȱnimmtȱdieȱAnnuitätȱalsȱSummeȱvonȱZinsenȱundȱTilgungȱvonȱPeȬ riodeȱzuȱPeriodeȱab.ȱ Definition:ȱ Beiȱ einerȱ Ratentilgungȱ wirdȱ derȱ Kreditbetragȱ inȱ konstantenȱ Beträgenȱ getilgt.ȱȱ

AllgemeinȱbeträgtȱdieȱTilgungsrateȱdemnachȱbeiȱeinerȱLaufzeitȱdesȱKreditsȱvonȱnȱJahȬ renȱ T

Tj

K0 .ȱ n

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(7.1)ȱ

Fortführungȱ vonȱ Beispielȱ 7.3:ȱ Imȱ Beispielȱ wirdȱ derȱ Kreditbetragȱ vonȱ 30.000ȱ €ȱ inȱ 3ȱ JahrenȱinȱTilgungsratenȱvonȱ30.000ȱ€/3ȱ=ȱ10.000ȱ€ȱproȱJahrȱgetilgt.ȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

137

7.4

7

Tilgungsrechnung

ȱ ErstelltȱmanȱdenȱTilgungsplanȱvonȱPeriodeȱzuȱPeriode,ȱsoȱgiltȱallgemein:ȱ

Tabelleȱ7Ȭ4:ȱ

TilgungsplanȱbeiȱderȱRatentilgungȱȱ

Periode

Restschuld zu Beginn der Periode

Zins

Tilgung

Annuität

Restschuld am Ende der Periode

j-1

...

...

...

...

K j1

j

K j1

Zj

K j1 ˜ i j

T

K0 / n

Aj

T  Zj

Kj

K j1  T

ȱ 1.

Dieȱ Restschuldȱ amȱ Endeȱ derȱ vorherigenȱ Periodeȱ wirdȱ alsȱ Restschuldȱ zuȱ BeȬ ginnȱderȱaktuellenȱPeriodeȱübernommen.ȱ

2.

DieȱZinsenȱwerdenȱaufȱdieȱRestschuldȱzuȱBeginnȱderȱPeriodeȱberechnet.ȱ

3.

DerȱkonstanteȱTilgungsbetragȱwirdȱaufgeführt.ȱ

4.

DieȱAnnuitätȱkannȱalsȱSummeȱausȱTilgungȱundȱZinsenȱberechnetȱwerden.ȱ

5.

DieȱRestschuldȱamȱEndeȱdesȱJahresȱergibtȱsichȱausȱderȱRestschuldȱzuȱBeginnȱ desȱJahresȱabzüglichȱderȱkonstantenȱTilgung.ȱ ȱ

Abbildungȱ7Ȭ1:ȱ

EntwicklungȱderȱRestschuldȱeinesȱRatendarlehensȱ

Restschuld 20.000,00 €

15.000,00 €

10.000,00 €

5.000,00 €

0,00 € 0

2

4

6

8

10 t

138 ȱ

12

14

16

18

20

ȱ

Tilgungsarten

Daȱ dieȱ Restschuldȱ proȱ Periodeȱ umȱ einenȱ konstantenȱ Betragȱ verringertȱ wird,ȱ bautȱ sieȱ sichȱlinearȱ ab.ȱDiesesȱ hatȱ denȱ Vorteil,ȱdassȱdasȱ Ratendarlehenȱ leichtȱ zuȱ berechnenȱ istȱ undȱsichȱmeistȱ„glatteȱBeträge“ȱfürȱdieȱRestschuldȱergeben.ȱ Abbildungȱ7Ȭ1ȱzeigtȱbeispielhaftȱdenȱVerlaufȱderȱRestschuldȱeinesȱRatendarlehensȱüberȱ 20.000ȱ€ȱmitȱeinerȱLaufzeitȱvonȱ20ȱJahren.ȱProȱJahrȱwerdenȱ1.000ȱ€ȱgetilgt.ȱȱ DaȱdieȱTilgungȱkonstantȱist,ȱderȱzuȱzahlendeȱZinsbetragȱaberȱvonȱPeriodeȱzuȱPeriodeȱ kleinerȱwird,ȱfälltȱdamitȱdieȱinsgesamtȱzuȱentrichtendeȱAnnuitätȱ Aj T  Zj. ȱ IstȱesȱfürȱdenȱBankkundenȱgünstig,ȱwennȱdieȱAnnuitätȱwährendȱderȱLaufzeitȱdesȱKreȬ ditsȱabnimmt?ȱ DieȱBeantwortungȱderȱFrageȱhängtȱsicherlichȱvonȱderȱpersönlichenȱSituationȱab.ȱManȱ könnteȱ natürlichȱ argumentieren,ȱ dassȱ esȱ vorteilhaftȱ ist,ȱ wennȱ manȱ mitȱ zunehmenderȱ Zeitȱ immerȱ wenigerȱ zahlenȱ muss.ȱ Andererseitsȱ bedeutetȱ diesesȱ aberȱ auch,ȱ dassȱ dieȱ Belastungȱ amȱ Beginnȱ derȱ Laufzeitȱ eherȱ hochȱ ist.ȱ Inȱ Beispielȱ 7.3ȱ zahltȱ manȱ imȱ erstenȱ Jahrȱ13.000ȱ€,ȱimȱletztenȱJahrȱhingegenȱnurȱnochȱ11.000ȱ€.ȱMeistȱsindȱdieȱfürȱdieȱKreditȬ tilgungȱzurȱVerfügungȱstehendenȱMittelȱimȱZeitablaufȱaberȱkonstantȱoderȱderȱKundeȱ hatȱ inȱ späterenȱ Jahrenȱ aufgrundȱ vonȱ möglichenȱ Gehaltserhöhungen,ȱ etc.ȱ eventuellȱ sogarȱmehrȱGeldȱzurȱVerfügung.ȱȱ Beiȱ denȱ vonȱ Privatkundenȱ häufigȱ inȱAnspruchȱ genommenenȱ BaufinanzierungskrediȬ tenȱkommtȱhinzu,ȱdassȱbeimȱEinzugȱinȱeineȱImmobilieȱzuȱBeginnȱoftȱaußergewöhnliȬ cheȱ Ausgabenȱ fürȱ denȱ Kreditnehmerȱ entstehen.ȱ Soȱ wirdȱ z.B.ȱ eineȱ neueȱ Einrichtungȱ gekauft,ȱesȱwirdȱGeldȱfürȱdieȱAnlageȱeinesȱGartensȱbenötigt,ȱbeimȱKaufȱeinesȱälterenȱ Hausesȱ sindȱ eventuellȱ Instandsetzungsmaßnahmenȱ nötig.ȱ Istȱ dannȱ dieȱ Annuitätȱ ausȱ demȱKreditȱzuȱBeginnȱderȱLaufzeitȱbesondersȱhoch,ȱsoȱbedeutetȱdiesesȱeineȱdoppelteȱ BelastungȱfürȱdenȱKreditnehmer.ȱFürȱdenȱBankkunden,ȱderȱeinȱBaufinanzierungsdarȬ lehenȱaufnimmt,ȱistȱdaherȱinȱvielenȱFällenȱeineȱkonstanteȱAnnuitätȱvorteilhafter.ȱDiesesȱ leistetȱeinȱAnnuitätendarlehen.ȱȱ ȱ

7.4.3

Annuitätentilgung

Beispielȱ 7.4:ȱ Zurȱ Finanzierungȱ einerȱ Altbauwohnungȱ nimmtȱ Familieȱ Schmidtȱ einenȱ Kreditȱüberȱ100.000ȱ€ȱbeiȱeinemȱJahreszinssatzȱvonȱ4%ȱp.a.ȱundȱeinerȱLaufzeitȱvonȱ10ȱ Jahrenȱauf.ȱSchmidtsȱkönnenȱjährlichȱ10.000ȱ€ȱfürȱdieȱBedienungȱdesȱKreditsȱ(Tilgungȱ undȱ Zinsen)ȱ aufbringen.ȱ Sieȱ möchtenȱ dieseȱ Rückzahlungȱ jeweilsȱ amȱ Endeȱ desȱ Jahresȱ leisten.ȱWieȱsiehtȱihrȱTilgungsplanȱaus?ȱȱ

139

7.4

7

Tilgungsrechnung

Lösung:ȱWirȱgehenȱwiederȱinȱeinzelnenȱSchrittenȱvor.ȱ

1. Alsȱ erstesȱ lassenȱ sichȱ dieȱ Anfangsschuldȱ undȱ dieȱ vorgegebeneȱ Annuitätȱ vonȱȱ 10.000ȱ€ȱinȱdenȱTilgungsplanȱeintragen.ȱDieȱAnnuitätȱkannȱmanȱbereitsȱinȱdenȱgeȬ samtenȱ Tilgungsplanȱ einfügen.ȱ Wirȱ gehenȱ hierȱ aberȱ Zeileȱ fürȱ Zeileȱ vor,ȱ schreitenȱ alsoȱvonȱJahrȱzuȱJahrȱvoran.ȱȱ 2. WeiterhinȱbeträgtȱdieȱZinszahlungȱinȱderȱerstenȱPeriodeȱ4%ȱderȱAnfangsschuldȱvonȱ 100.000ȱ€,ȱd.h.ȱalsoȱ4.000ȱ€.ȱ

Tabelleȱ7Ȭ5:ȱ

TilgungȱbeimȱAnnuitätendarlehen,ȱSchritteȱ1ȱundȱ2ȱ(Beispielȱ7.4)ȱ

Jahr Restschuld zu Beginn des Jahres 1

100.000,00 €

Zins

Tilgung

4.000,00 €

Annuität

Restschuld am Ende des Jahres

10.000,00 €

ȱ 3. Nunȱ wirdȱ dieȱ Tilgungȱ berechnet.ȱ Daȱ dieȱ Annuitätȱ dieȱ Summeȱ ausȱ Tilgungȱ undȱ Zinsenȱdarstellt,ȱbeträgtȱdieȱTilgungȱimȱerstenȱJahrȱ10.000ȱ€ȱȬȱ4.000ȱ€ȱ=ȱ6.000ȱȱ€.ȱȱ 4. DieȱRestschuldȱamȱEndeȱdesȱerstenȱJahresȱergibtȱsichȱdannȱausȱderȱRestschuldȱzuȱ BeginnȱdesȱJahresȱabzüglichȱderȱTilgung,ȱd.h.ȱ100.000ȱ€ȱȬȱ6.000ȱ€ȱ=ȱ94.000ȱ€.ȱ 5. Dieȱ Restschuldȱ zuȱ Beginnȱ desȱ zweitenȱ Jahresȱ entsprichtȱ derȱ Restschuldȱ amȱ Endeȱ desȱerstenȱJahres,ȱalsoȱ94.000ȱ€.ȱ

Tabelleȱ7Ȭ6:ȱ

TilgungȱbeimȱAnnuitätendarlehen,ȱSchritteȱ3Ȭ5ȱ(Beispielȱ7.4)ȱ

Jahr Restschuld zu Beginn des Jahres 1

100.000,00 €

2

94.000,00 €

Zins 4.000,00 €

Tilgung

Annuität

6.000,00 € 10.000,00 €

Restschuld am Ende des Jahres 94.000,00 €

ȱ ȱ Dieseȱ 5ȱ Schritteȱ werdenȱ fürȱ jedesȱ Jahrȱ derȱ Laufzeitȱ desȱ Darlehensȱ durchgeführt,ȱ soȱ dassȱsichȱschließlichȱderȱTilgungsplanȱfürȱdieȱgesamtenȱ10ȱJahreȱergibt.ȱ ȱ

140 ȱ

Tilgungsarten

Tabelleȱ7Ȭ7:ȱ

TilgungȱbeimȱAnnuitätendarlehenȱ(Beispielȱ7.4)ȱ

Jahr Restschuld zu Beginn des Jahres

Zins

Tilgung

Annuität

Restschuld am Ende des Jahres

1

100.000,00 €

4.000,00 €

6.000,00 € 10.000,00 €

94.000,00 €

2

94.000,00 €

3.760,00 €

6.240,00 € 10.000,00 €

87.760,00 €

3

87.760,00 €

3.510,40 €

6.489,60 € 10.000,00 €

81.270,40 €

4

81.270,40 €

3.250,82 €

6.749,18 € 10.000,00 €

74.521,22 €

5

74.521,22 €

2.980,85 €

7.019,15 € 10.000,00 €

67.502,06 €

6

67.502,06 €

2.700,08 €

7.299,92 € 10.000,00 €

60.202,15 €

7

60.202,15 €

2.408,09 €

7.591,91 € 10.000,00 €

52.610,23 €

8

52.610,23 €

2.104,41 €

7.895,59 € 10.000,00 €

44.714,64 €

9

44.714,64 €

1.788,59 €

8.211,41 € 10.000,00 €

36.503,23 €

10

36.503,23 €

1.460,13 €

8.539,87 e 10.000,00 €

27.963,36 €

ȱ AmȱvorliegendenȱTilgungsplanȱlassenȱsichȱfolgendeȱBeobachtungenȱmachen:ȱ 1. Dieȱ Annuitätȱ istȱ inȱ jedemȱ Jahrȱ gleichȱ hoch.ȱ Esȱ warȱ derȱ Wunschȱ vonȱ Familieȱ SchmidtȱeineȱkonstanteȱjährlicheȱBelastungȱzuȱhaben.ȱȱ 2. Daȱ dieȱ Restschuldȱ abnimmt,ȱ verringertȱ sichȱ derȱ zuȱ entrichtendeȱ Zinsbetragȱ imȱ Zeitverlauf.ȱȱ 3. DaȱderȱZinsanteilȱabnimmt,ȱdieȱAnnuitätȱalsȱSummeȱausȱZinsenȱundȱTilgungȱaberȱ konstantȱist,ȱwächstȱderȱTilgungsanteilȱvonȱJahrȱzuȱJahr.ȱ 4. Amȱ Endeȱ derȱ Kreditlaufzeitȱ vonȱ 10ȱ Jahrenȱ istȱ derȱ Kreditȱ nochȱ nichtȱ vollständigȱ getilgt.ȱDiesesȱistȱinȱderȱPraxisȱderȱRegelfall.ȱSchmidtsȱhabenȱnunȱdieȱMöglichkeit,ȱ dieȱRestschuldȱvonȱ27.963,36ȱ€ȱinȱeinemȱBetragȱzurückzuzahlenȱoderȱdasȱDarlehenȱ zuȱverlängern.ȱBeiȱeinemȱFolgedarlehenȱfindetȱaberȱeineȱZinsanpassungȱanȱdasȱakȬ tuelleȱZinsniveauȱstatt.ȱSindȱdieȱZinsenȱgestiegen,ȱmüssenȱSchmidtsȱeinenȱhöherenȱ KreditzinssatzȱinȱKaufȱnehmen.ȱSindȱdieȱZinsenȱgefallen,ȱprofitierenȱSchmidtsȱvonȱ demȱniedrigerenȱZinsniveau.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ ȱ FortführungȱvonȱBeispielȱ7.4:ȱSchmidtsȱerhaltenȱeinȱFolgedarlehenȱzuȱdenselbenȱKonȬ ditionen,ȱ d.h.ȱ zuȱ einemȱ Jahreszinssatzȱ vonȱ 4%ȱ p.a.ȱ Derȱ Tilgungsplanȱ gestaltetȱ sichȱ dannȱinȱdenȱkommendenȱJahrenȱwieȱfolgt:ȱ

141

7.4

7

Tilgungsrechnung

Tabelleȱ7Ȭ8:ȱ

TilgungȱbeimȱAnnuitätendarlehenȱ(FortführungȱvonȱBeispielȱ7.4)ȱ

Jahr Restschuld zu Beginn des Jahres

Zins

Tilgung

Annuität

Restschuld am Ende des Jahres

10

36.503,23 €

1.460,13 €

8.539,87 € 10.000,00 €

27.963,36 €

11

27.963,36 €

1.118,53 €

8.881,47 € 10.000,00 €

19.081,89 €

12

19.081,89 €

763,28 €

9.236,72 € 10.000,00 €

9.845,17 €

13

9.845,17 €

393,81 €

9.606,19 € 10.000,00 €

238,97 €

ȱ Amȱ Endeȱ desȱ insgesamtȱ 13.ȱ Jahresȱ nachȱ derȱ Aufnahmeȱ desȱ erstenȱ Kreditsȱ verbleibtȱ eineȱRestschuldȱvonȱ238,97ȱ€,ȱdieȱinȱdiesemȱFallȱwohlȱzusammenȱmitȱderȱletztenȱAnnuȬ itätȱ erbrachtȱ würde,ȱ soȱ dassȱ dieȱ Annuitätȱ imȱ 13.ȱ Jahrȱ 10.238,97ȱ €ȱ beträgt.ȱ Alternativȱ könnteȱderȱRestbetragȱnatürlichȱauchȱnochȱeinȱweiteresȱJahrȱalsȱSchuldȱbestehenȱbleiȬ benȱundȱmitȱdenȱanfallendenȱZinsenȱamȱEndeȱdesȱ14.ȱJahresȱbeglichenȱwerden.ȱDieseȱ EntscheidungȱwirdȱmanȱinȱAnhängigkeitȱvonȱderȱHöheȱdesȱRestbetragesȱfällen.ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ ȱ Definition:ȱBeiȱeinerȱ AnnuitätentilgungȱistȱdieȱAnnuitätȱalsȱSummeȱausȱTilgungȱundȱ Zinsenȱkonstant.ȱȱ

ȱ Dieȱ Annuitätentilgungȱ kannȱ wieȱ dieȱ Ratentilgungȱ immerȱ überȱ einenȱ Tilgungsplanȱ dargestelltȱ werden.ȱ Aufȱ dieseȱ Weiseȱ kannȱ manȱ sichȱ z.B.ȱ denȱ Kapitalverlaufȱ undȱ dieȱ RestschuldȱamȱEndeȱderȱZinsbindungsdauerȱveranschaulichen.ȱ Wirȱ wollenȱ auchȱ hierȱ dasȱ allgemeineȱ Vorgehenȱ beimȱ Erstellenȱ einesȱ Tilgungsplansȱ beschreiben.ȱ

Tabelleȱ7Ȭ9:ȱ

TilgungsplanȱbeiȱderȱAnnuitätentilgungȱȱ

Periode

Restschuld zu Beginn der Periode

Zins

Tilgung

Annuität

Restschuld am Ende der Periode

j-1

...

...

...

...

K j1

j

K j1

A  Zj

A

Kj

Zj

K j1 ˜ i j

Tj

ȱ 1.

DieȱRestschuldȱderȱvorherigenȱPeriodeȱwirdȱalsȱRestschuldȱzuȱBeginnȱderȱakȬ tuellenȱPeriodeȱübernommen.ȱ

2.

DieȱZinsenȱwerdenȱaufȱdieȱRestschuldȱzuȱBeginnȱderȱPeriodeȱberechnet.ȱ

142 ȱ

Tilgungsarten

3.

DieȱkonstanteȱAnnuitätȱwirdȱinȱdenȱTilgungsplanȱeingetragen.ȱ

4.

DerȱTilgungsanteilȱderȱPeriodeȱberechnetȱsichȱausȱderȱAnnuitätȱabzüglichȱderȱ Zinsen.ȱ

5.

DieȱRestschuldȱamȱEndeȱdesȱJahresȱergibtȱsichȱausȱderȱRestschuldȱzuȱBeginnȱ derȱPeriodeȱabzüglichȱderȱTilgung.ȱȱ

ȱ DerȱTilgungsplanȱunterscheidetȱsichȱvonȱderȱRatentilgungȱnurȱimȱdrittenȱundȱviertenȱ Punkt.ȱWährendȱbeimȱRatendarlehenȱderȱkonstanteȱTilgungsbetragȱeingetragenȱwird,ȱ ausȱ demȱ manȱ dannȱ dieȱ Annuitätȱ errechnet,ȱ wirdȱ beimȱ Annuitätendarlehenȱ dieȱ konȬ stanteȱAnnuitätȱeingetragenȱundȱdieȱTilgungȱderȱaktuellenȱPeriodeȱberechnet.ȱ DerȱVerlaufȱderȱTilgungsbeträgeȱundȱderȱRestschuldȱistȱvonȱdemjenigenȱderȱRatentilȬ gungȱjedochȱsehrȱverschieden.ȱ 1. Daȱ dieȱ Annuitätȱ konstantȱ ist,ȱ dieȱ Zinsenȱ aber,ȱ aufgrundȱ derȱ kleinerȱ werdendenȱ Restschuld,ȱimȱLaufeȱderȱZeitȱabnehmen,ȱwirdȱderȱfürȱdieȱTilgungȱzurȱVerfügungȱ stehendeȱBetragȱ Tj A  Zj ȱvonȱPeriodeȱzuȱPeriodeȱgrößer.ȱ 2. WirdȱderȱTilgungsanteilȱimȱLaufeȱderȱZeitȱgrößer,ȱsoȱverringertȱsichȱdieȱRestschuldȱ zuȱBeginnȱwenigerȱstarkȱalsȱgegenȱEndeȱderȱLaufzeit.ȱDieȱRestschuldȱnimmtȱalsoȱ nichtȱmehrȱlinear,ȱsondernȱprogressivȱab.ȱ

Abbildungȱ7Ȭ2:ȱ

EntwicklungȱderȱRestschuldȱeinesȱAnnuitätendarlehensȱ

Restschuld 20.000,00 €

15.000,00 €

10.000,00 €

5.000,00 €

0,00 € 0

2

4

6

8

10 t

12

14

16

18

20

ȱ

143

7.4

7

Tilgungsrechnung

Abbildungȱ7Ȭ2ȱzeigtȱdieȱEntwicklungȱderȱRestschuldȱeinesȱAnnuitätendarlehensȱüberȱ 20.000ȱ€ȱbeiȱeinerȱLaufzeitȱvonȱ20ȱJahren.ȱ

7.4.3.1

Annuität bei vorgegebener Gesamtlaufzeit

InȱderȱPraxisȱwirdȱderȱKreditnehmerȱmeistȱdieȱAnnuitätȱvorgeben,ȱdieȱerȱproȱPeriodeȱ entrichtenȱ kann.ȱ Mitȱ dieserȱ Angabeȱ istȱ dannȱ derȱ gesamteȱ Tilgungsplanȱ undȱ unterȱ anderemȱauchȱdieȱLaufzeitȱdesȱKreditsȱbestimmtȱ(s.ȱBeispielȱ7.4).ȱ Inȱ derȱ finanzmathematischenȱ Literaturȱ wirdȱ meistȱ einȱ andererȱ Wegȱ beschritten.ȱ Esȱ wirdȱnachȱderȱkonstantenȱAnnuitätȱgesucht,ȱdieȱsichȱbeiȱeinerȱvorgegebenenȱGesamtȬ laufzeitȱdesȱKreditsȱbeiȱvollständigerȱTilgungȱergibt.ȱObwohlȱdieserȱWegȱinȱderȱPraxisȱ unüblichȱist,ȱdiskutierenȱwirȱdasȱVorgehenȱkurz.ȱZumȱeinenȱlässtȱsichȱdaranȱdieȱAnaȬ logieȱ einerȱAnnuitätentilgungȱ zurȱ Rentenrechnungȱ erkennen.ȱ Zumȱ anderenȱ kannȱ dieȱ hergeleiteteȱFormelȱnachträglichȱzurȱBerechnungȱderȱLaufzeitȱeinesȱKreditsȱbeiȱvorgeȬ gebenerȱAnnuitätȱverwendetȱwerden.ȱ IstȱdieȱLaufzeitȱnȱdesȱKreditsȱvorgegeben,ȱd.h.ȱsollȱderȱKreditȱnachȱgenauȱnȱPeriodenȱ durchȱZahlungȱvonȱkonstantenȱAnnuitätenȱvollständigȱgetilgtȱsein,ȱsoȱgiltȱfürȱdieȱRestȬ schuldȱnachȱnȱPeriodenȱ Kn 0. ȱEsȱliegtȱeineȱausȱderȱRentenrechnungȱbekannteȱSituaȬ tionȱvor.ȱInȱderȱRentenrechnungȱhattenȱwirȱdasȱSzenarioȱbetrachtet,ȱdassȱeinȱangelegȬ tesȱKapitalȱdurchȱAbhebenȱvonȱnȱkonstantenȱRatenȱverbrauchtȱwird.ȱDiesesȱbezeichneȬ tenȱ wirȱ alsȱ Kapitalverzehrȱ (Gleichungȱ (6.10).ȱ Hatȱ manȱ einȱ Kapitalȱ alsȱ Kreditȱ aufgenommen,ȱ denȱ manȱ durchȱ nȱ konstanteȱ Annuitätenȱ tilgenȱ möchte,ȱ liegtȱ dieselbeȱ SituationȱmitȱumgekehrterȱBetrachtungsweiseȱvor.ȱStattȱderȱRateȱr,ȱwirdȱnunȱalsoȱdieȱ AnnuitätȱAȱgesucht,ȱdieȱnachȱnȱJahrenȱzurȱvollständigenȱTilgungȱdesȱKreditsȱführt.ȱSieȱ kannȱausȱderȱFormelȱfürȱdenȱKapitalverzehrȱbestimmtȱwerden.ȱȱ Ausȱ K0 ˜ qn  A ˜

Kn

qn  1 i

0ȱ

ergibtȱsichȱdurchȱUmformenȱȱ A

K0 ˜ qn ˜

i .ȱ qn  1

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(7.2)ȱ

ȱ Beispielȱ 7.5:ȱ Familieȱ Müllerȱ nimmtȱ zurȱ Finanzierungȱ einesȱ Einfamilienhausesȱ einȱ Darlehenȱüberȱ125.000ȱ€ȱbeiȱeinemȱZinssatzȱvonȱ4,5%ȱp.a.ȱauf.ȱDasȱDarlehenȱsollȱinȱ15ȱ Jahrenȱgetilgtȱsein.ȱWieȱhochȱistȱdieȱjährlicheȱAnnuität?ȱ

ȱ ȱ

144 ȱ

Tilgungsarten

Lösung:ȱMüllersȱmüssenȱjährlichȱ

A

K0 ˜ qn ˜

i qn  1

125.000 € ˜ 1,04515 ˜

fürȱTilgungȱundȱZinsenȱaufbringen.ȱȱ

0 ,045 1,04515  1

11.639,23 € ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Beiȱ vorgegebenerȱ Annuitätȱ kannȱ ausȱ Formelȱ (7.2)ȱ dieȱ Laufzeitȱ desȱ Kreditsȱ bestimmtȱ werden.ȱ Beispielȱ 7.6:ȱ Familieȱ Zimmermannȱ nimmtȱ zurȱ Finanzierungȱ einerȱ Doppelhaushälfteȱ einenȱKreditȱüberȱ135.000ȱ€ȱbeiȱeinemȱZinssatzȱvonȱ5%ȱp.a.ȱauf.ȱZimmermannsȱkönnenȱ sichȱeineȱjährlicheȱAnnuitätȱvonȱ9.000ȱ€ȱleisten.ȱWieȱlangeȱdauertȱesȱbisȱzurȱvollständiȬ genȱTilgungȱdesȱKredits?ȱ Lösung:ȱEsȱmussȱzunächstȱnachȱderȱLaufzeitȱaufgelöstȱwerdenȱ

A

K0 ˜ qn ˜

i qn  1

œ

œ

n

A ˜ qn  A  K0 ˜ qn ˜ i

· § A ¸ ln¨¨ ¸ A  K ˜ i 0 ¹ © ln(q )

0

œ

qn

A A  K0 ˜ i

§ · 9.000 € ¸ ln¨ ¨ 9.000 €  135.000 € ˜ 0 ,05 ¸ © ¹ ln(1,05)

28 ,41.ȱȱȱ

ȱ(7.3)

ȱ BeiȱeinerȱjährlichenȱAnnuitätȱvonȱ9.000ȱ€ȱdauertȱesȱ28,41ȱJahreȱbisȱderȱKreditȱvollstänȬ digȱgetilgtȱist.ȱ ȱ ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

7.4.3.2

Annuitätentilgung bei vorgegebenem anfänglichem Tilgungssatz

BeiȱderȱVergabeȱeinesȱKreditsȱschreibenȱvieleȱBankenȱeineȱanfänglicheȱMindesttilgungȱ inȱProzentpunktenȱvonȱderȱKreditsummeȱvor.ȱHierausȱlässtȱsichȱnatürlichȱsofortȱwieȬ derȱdieȱabsoluteȱHöheȱderȱAnnuitätȱberechnen.ȱȱ Beispielȱ7.7:ȱ FamilieȱBergȱbeantragtȱeinenȱKreditȱüberȱ150.000ȱ€.ȱEsȱwirdȱeinȱZinssatzȱ vonȱ5,5%ȱp.a.ȱgewährt.ȱDieȱBankȱfordertȱeineȱanfänglicheȱTilgungȱvonȱmindestensȱ1%ȱ p.a.ȱ derȱ Kreditsumme.ȱ Wieȱ hochȱ istȱ dieȱ jährlicheȱ Annuitätȱ beiȱ diesemȱ anfänglichenȱ Tilgungssatzȱvonȱ1%ȱp.a.?ȱ Lösung:ȱ Dieȱ Tilgungȱ imȱ erstenȱ Jahrȱ beträgtȱ 1%ȱ vonȱ 150.000ȱ €,ȱ d.h.ȱ 1.500ȱ €.ȱ Hinzuȱ kommenȱZinsenȱinȱHöheȱvonȱ5,5%ȱvonȱ150.000ȱ€,ȱd.h.ȱ8.250ȱ€.ȱDieȱjährlicheȱAnnuitätȱ beträgtȱalsoȱ9.750ȱ€.ȱMitȱdieserȱAnnuitätȱkannȱderȱTilgungsplanȱweiterȱberechnetȱwerȬ den.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ 145

7.4

7

Tilgungsrechnung

Bemerkung:ȱ Derȱ Tilgungssatzȱ ändertȱ sichȱ inȱ denȱ folgendenȱ Perioden.ȱ Daȱ derȱ TilȬ gungsanteilȱ beimȱ Annuitätendarlehenȱ immerȱ größerȱ wirdȱ undȱ gleichzeitigȱ dieȱ RestȬ schuldȱabnimmt,ȱwirdȱderȱTilgungssatzȱ Tj / Kj  1 ȱaufȱdenȱausstehendenȱBetragȱȱimmerȱ größer.ȱȱ

7.4.3.3

Sondertilgungen, tilgungsfreie Perioden, Kreditgebühren

ÜberȱdenȱbeschriebenenȱTilgungsplanȱkönnenȱnunȱauchȱweitere,ȱzumȱTeilȱindividuelleȱ StrukturenȱeinesȱKreditsȱinȱdieȱBerechnungȱaufgenommenȱwerden.ȱȱ 1. EineȱtypischeȱVereinbarungȱstelltȱdieȱGewährungȱvonȱ tilgungsfreienȱPeriodenȱzuȱ Beginnȱ derȱ Laufzeitȱ dar.ȱ Diesesȱ Verfahrenȱ wirdȱ z.B.ȱ beiȱ Zwischenfinanzierungenȱ vonȱ Baufinanzierungsdarlehenȱ angewandt.ȱ Hierbeiȱ kannȱ danachȱ unterschiedenȱ werden,ȱ obȱ dieȱ anfallendenȱ Zinsenȱ zeitgleichȱ bezahltȱ werden,ȱ soȱ dassȱ dieȱ RestȬ schuldȱinȱdenȱtilgungsfreienȱPeriodenȱkonstantȱbleibt,ȱoderȱobȱdieȱZinszahlungenȱ ebenfallsȱ ausgesetztȱ werdenȱ undȱ sichȱ dieȱ Restschuldȱ währendȱ derȱ tilgungsfreienȱ Zeitȱsomitȱerhöht.ȱ 2. HäufigȱwirdȱbeiȱKreditverträgenȱdasȱRechtȱaufȱ Sondertilgungenȱeingeräumt.ȱDerȱ SchuldnerȱkannȱjeȱnachȱVereinbarungȱeinmalȱimȱJahr,ȱmehrmalsȱimȱJahrȱoderȱauchȱ beliebigȱ oft,ȱ zusätzlicheȱ Tilgungenȱ inȱ Höheȱ vonȱ meistȱ maximalȱ 5%ȱ bisȱ 10%ȱ derȱ KreditsummeȱoderȱeventuellȱauchȱinȱbeliebigerȱHöheȱvornehmen.ȱSondertilgungenȱ bietenȱ demȱ Schuldnerȱ eineȱ gewisseȱ Flexibilität.ȱ Erȱ kannȱ soȱ unvorhergeseheneȱ Geldeingänge,ȱ wieȱ z.B.ȱ Erbschaften,ȱ Steuerrückzahlungen,ȱ Gewinne,ȱ etc.ȱ fürȱ dieȱ RückzahlungȱdesȱKreditsȱeinsetzen.ȱ 3. OftȱfallenȱbeiȱderȱKreditaufnahmeȱGebühren,ȱwieȱetwaȱfürȱdieȱKreditbearbeitung,ȱ etc.ȱan.ȱSieȱkönnenȱderȱSchuldȱzugeschlagenȱwerden,ȱsoȱdassȱsieȱdieȱRestschuldȱzuȱ BeginnȱderȱLaufzeitȱerhöhen.ȱEineȱandereȱMöglichkeitȱbestehtȱdarin,ȱdieȱGebührenȱ vonȱdemȱausgezahltenȱKapitalȱabzuziehen.ȱDerȱKundeȱbekommtȱsoȱeinenȱgeringeȬ renȱ Betragȱ alsȱ dieȱ Kreditsummeȱ ausbezahlt,ȱ dieȱ anfänglicheȱ Zinszahlungȱ erfolgtȱ aberȱaufȱdenȱvereinbartenȱKreditbetrag.35ȱ Beispielȱ7.8:ȱ FamilieȱEderȱnimmtȱeinenȱBaufinanzierungskreditȱinȱHöheȱvonȱ100.000ȱ€ȱ zuȱeinemȱZinssatzȱvonȱ4%ȱp.a.ȱauf.ȱDieȱBankȱberechnetȱeinmaligeȱBearbeitungsgebühȬ renȱinȱHöheȱvonȱ1%ȱderȱKreditsumme,ȱdieȱvomȱausgezahltenȱBetragȱabgezogenȱwerȬ den.ȱEsȱwirdȱeineȱjährlichȱnachschüssigeȱAnnuitätȱinȱHöheȱvonȱ12.000ȱ€ȱvereinbart.ȱInȱ denȱerstenȱbeidenȱJahrenȱwirdȱdasȱDarlehenȱtilgungsfreiȱgestellt,ȱdieȱanfallendenȱZinȬ senȱ sindȱ aberȱ zuȱ begleichen.ȱ Sondertilgungenȱ könnenȱ inȱ beliebigerȱ Höheȱ amȱ Endeȱ jedenȱJahresȱvorgenommenȱwerden.ȱȱ

EdersȱerwartenȱamȱEndeȱdesȱviertenȱJahresȱ6.000ȱ€ȱundȱamȱEndeȱdesȱsechstenȱJahresȱ 3.000ȱ€ȱfürȱeineȱSondertilgungȱaufbringenȱzuȱkönnen.ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 35ȱȱ S.ȱz.B.ȱKobelt/Schulte,ȱ1999,ȱS.183ȱff.ȱ

146 ȱ

Tilgungsarten

StellenȱSieȱdenȱVerlaufȱderȱRestschuldȱbisȱzumȱEndeȱderȱZinsbindungȱnachȱ10ȱJahrenȱȱ inȱeinemȱTilgungsplanȱdar!ȱȱ Lösung:ȱ Daȱ dieȱ Bankȱ 1%ȱ Bearbeitungsgebührenȱ berechnet,ȱ bekommenȱ Edersȱ nurȱ 99.000ȱ€ȱausgezahlt.ȱEsȱmüssenȱaberȱdennochȱ100.000ȱ€ȱgetilgtȱwerden.ȱEsȱergibtȱsichȱ folgenderȱTilgungsplan:ȱ

Tabelleȱ7Ȭ10:ȱ

TilgungsplanȱmitȱtilgungsfreienȱPerioden,ȱSondertilgungenȱundȱGebührenȱȱ

Jahr Restschuld zu Zins Beginn des Jahres

Tilgung

Annuität

Sondertilgung

Restschuld am Ende des Jahres

1

100.000,00 €

4.000,00 €

-

4.000,00 €

-

100.000,00 €

2

100.000,00 €

4.000,00 €

-

4.000,00 €

-

100.000,00 €

3

100.000,00 €

4.000,00 €

8.000,00 €

12.000,00 €

-

92.000,00 €

4

92.000,00 €

3.680,00 €

8.320,00 €

12.000,00 €

6.000,00 €

77.680,00 €

5

77.680,00 €

3.107,20 €

8.892,80 €

12.000,00 €

-

68.787,20 €

6

68.787,20 €

2.751,49 €

9.248,51 €

12.000,00 €

3.000,00 €

56.538,69 €

7

56.538,69 €

2.261,55 €

9.738,45 €

12.000,00 €

-

46.800,24 €

8

46.800,24 €

1.872,01 €

10.127,99 €

12.000,00 €

-

36.672,24 €

9

36.672,24 €

1.466,89 €

10.533,11 €

12.000,00 €

-

26.139,13 €

10

26.139,13 €

1.045,57 €

10.954,43 €

12.000,00 €

-

15.184,70 €

ȱ Daȱ dieȱ erstenȱ beidenȱ Jahreȱ tilgungsfreiȱ bleiben,ȱ sindȱ nurȱ dieȱ Zinsenȱ inȱ Höheȱ vonȱȱ 4%ȱp.a.ȱaufȱ100.000ȱ€,ȱd.h.ȱ4.000ȱ€ȱzuȱzahlen.ȱDieȱRestschuldȱvonȱ100.000ȱ€ȱbleibtȱbesteȬ hen.ȱȱ Imȱ drittenȱ Jahrȱ verringertȱ sichȱ dieȱ Restschuldȱ regulärȱ umȱ denȱ Tilgungsanteilȱ vonȱ 12.000ȱ €ȱ Ȭȱ 4.000ȱ €ȱ =ȱ 8.000ȱ €ȱ aufȱ 92.000ȱ €.ȱ Imȱ viertenȱ Jahrȱ wirdȱ zusätzlichȱ zuȱ demȱ TilȬ gungsanteilȱnochȱdieȱSondertilgungȱabgezogen,ȱsoȱdassȱsichȱamȱEndeȱdesȱJahresȱeineȱ Restschuldȱvonȱ92.000ȱ€ȱȬȱ8.320ȱ€ȱȬȱ6.000ȱ€ȱ=ȱ77.680ȱ€ȱergibt.ȱSoȱfährtȱmanȱbisȱzumȱEndeȱ desȱzehntenȱJahresȱfort.ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

7.4.4

Unterjährige Tilgung

AuchȱunterjährigeȱZahlungsvereinbarungenȱkönnenȱleichtȱinȱdenȱTilgungsplanȱintegȬ riertȱwerden.ȱHierbeiȱistȱzuȱbeachten,ȱdassȱderȱZinssatzȱangepasstȱwird.ȱWirȱverwenȬ den,ȱwieȱbeiȱderȱunterjährigenȱVerzinsungȱüblich,ȱdenȱlinearȱproportionalenȱZinssatz.ȱ 147

7.4

7

Tilgungsrechnung

7.4.4.1

Unterjährige Ratentilgung

EinȱRatendarlehenȱzeichnetȱsichȱdurchȱkonstanteȱRatenȱwährendȱderȱLaufzeitȱaus.ȱSollȱ dieȱ Tilgungȱ überȱ mȱ unterjährigeȱ Periodenȱ inȱ nȱ Jahrenȱ erfolgen,ȱ soȱ hatȱ manȱ alsoȱ nmȱ PeriodenȱundȱderȱTilgungsbetragȱerrechnetȱsichȱzuȱ T

Tj

K0 .ȱ n˜m

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(7.4)ȱ

ȱ Beispielȱ7.9:ȱFamilieȱHummelȱnimmtȱzumȱKaufȱeinerȱneuenȱKücheȱeinenȱKreditȱüberȱ 5.000ȱ€ȱauf.ȱDieserȱwirdȱmitȱ9%ȱp.a.ȱverzinst.ȱDerȱKreditȱsollȱinȱmonatlichenȱRatenȱüberȱ 4ȱJahreȱzurückgezahltȱwerden.ȱWieȱhochȱsindȱdieȱmonatlichenȱRaten?ȱȱ Lösung:ȱ Beiȱ einerȱ Laufzeitȱ desȱ Kreditsȱ vonȱ 4ȱ Jahrenȱ undȱ monatlicherȱ Zahlungsweiseȱ liegenȱ 4 ˜ 12 48 ȱZinsperiodenȱvor.ȱDieȱTilgungȱbeläuftȱsichȱimȱMonatȱaufȱ T

Tj

5.000 € 4 ˜ 12

104,17 €. ȱ

Fürȱ dieȱ monatlichenȱ Zinszahlungenȱ wirdȱ derȱ linearȱ proportionaleȱ Zinssatzȱ vonȱ 0,09/12ȱ=ȱ0,0075ȱverwendet.ȱ Tabelleȱ7Ȭ11ȱzeigtȱAnfangȱundȱEndeȱdesȱzugehörigenȱTilgungsplans.ȱȱ

Tabelleȱ7Ȭ11:ȱ Jahr Monat

1

UnterjährigeȱRatentilgungȱ(Beispielȱ7.9)ȱ Restschuld zu Beginn des Monats

Zins

Tilgung

Annuität

Restschuld am Ende des Monats

1

5.000,00 €

37,50 €

104,17 €

141,67 €

4.895,83 €

2

4.895,83 €

36,72 €

104,17 €

140,89 €

4.791,67 €

3

4.791,67 €

35,94 €

104,17 €

140,10 €

4.687,50 €

4

4.687,50 €

35,16 €

104,17 €

139,32 €

4.583,33 €

...

...

...

...

...

...

...

4

10

312,50 €

2,34 €

104,17 €

106,51 €

208,33 €

11

208,33 €

1,56 €

104,17 €

105,73 €

104,17 €

12

104,17 €

0,78 €

104,17 €

104,95 €

0,00 €

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ

148 ȱ

ȱ

ȱ

Tilgungsarten

7.4.4.2

Unterjährige Annuitätentilgung

Gibtȱ derȱ Schuldnerȱ dieȱ Höheȱ derȱAnnuitätȱan,ȱ dieȱ erȱ aufbringenȱ möchte,ȱ soȱ bietetȱ esȱ sichȱ auchȱ beiȱ derȱ unterjährigenȱ Annuitätentilgungȱ an,ȱ dieȱ Berechnungȱ überȱ einenȱ Tilgungsplanȱ vorzunehmen.ȱAuchȱ hierȱ istȱ zuȱ beachten,ȱ dassȱ derȱ unterjährigeȱ lineareȱ Zinssatzȱverwendetȱwird.ȱDerȱTilgungsplanȱwirdȱdannȱanalogȱzuȱjährlichenȱAnnuitäȬ tenzahlungenȱaufgestellt.ȱ ȱ Beispielȱ7.10:ȱ KlausȱnimmtȱfürȱdieȱAnschaffungȱeinesȱPkwȱeinenȱKreditȱinȱHöheȱvonȱ 15.000ȱ€ȱzuȱeinemȱZinssatzȱvonȱ8%ȱp.a.ȱauf.ȱDerȱKreditvertragȱsiehtȱeineȱLaufzeitȱvonȱ2ȱ JahrenȱundȱquartalsweiseȱAnnuitätenzahlungenȱinȱHöheȱvonȱ2.000ȱ€ȱvor.ȱWieȱsiehtȱderȱ VerlaufȱderȱRestschuldȱinnerhalbȱdieserȱ2ȱJahreȱaus?ȱȱ

ȱ Lösung:ȱ Daȱ Klausȱ eineȱ vierteljährlicheȱ Zahlungsweiseȱ vereinbartȱ hat,ȱ mussȱ erȱ amȱ EndeȱjedesȱQuartalsȱ8%/4ȱ=ȱ2%ȱZinsenȱzahlen.ȱDiesesȱsindȱbeiȱeinerȱanfänglichenȱRestȬ schuldȱ vonȱ 15.000ȱ €ȱ zuȱ Beginnȱ derȱ Kreditlaufzeitȱ 300ȱ €.ȱ Esȱ verbleibenȱ 1.700ȱ €ȱ fürȱ dieȱ Tilgung.ȱInsgesamtȱergibtȱsichȱfolgenderȱTilgungsplan:ȱ

Tabelleȱ7Ȭ12:ȱ

UnterjährigeȱAnnuitätentilgungȱ(Beispielȱ7.10)ȱ

Jahr Quartal Restschuld zu Beginn des Quartals 1

2

Zins

Tilgung

Annuität

Restschuld am Ende des Quartals

1

15.000,00 €

300,00 €

1.700,00 €

2.000,00 €

13.300,00 €

2

13.300,00 €

266,00 €

1.734,00 €

2.000,00 €

11.566,00 €

3

11.566,00 €

231,32 €

1.768,68 €

2.000,00 €

9.797,32 €

4

9.797,32 €

195,95 €

1.804,05 €

2.000,00 €

7.993,27 €

5

7.993,27 €

159,87 €

1.840,13 €

2.000,00 €

6.153,13 €

6

6.153,13 €

123,06 €

1.876,94 €

2.000,00 €

4.276,19 €

7

4.276,19 €

85,52 €

1.914,48 €

2.000,00 €

2.361,72 €

8

2.361,72 €

47,23 €

1.952,77 €

2.000,00 €

408,95 €

ȱ AmȱEndeȱdesȱzweitenȱJahresȱbestehtȱnochȱeinȱRestschuldȱvonȱ408,95ȱ€,ȱdieȱzusammenȱ mitȱderȱletztenȱAnnuitätȱvonȱ2.000ȱ€ȱbeglichenȱwerdenȱkann.ȱȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ ȱ

149

7.4

7

Tilgungsrechnung

WirdȱhingegenȱeineȱGesamtlaufzeitȱvonȱnȱJahrenȱbeiȱmȱunterjährigenȱPeriodenȱvorgeȬ geben,ȱ soȱ berechnetȱ sichȱ inȱ Verallgemeinerungȱ vonȱ Gleichungȱ (7.2)ȱ dieȱ unterjährigeȱ Annuitätȱausȱȱȱ K 0 ˜ q n ˜m  A ˜

q n ˜m  1 q 1

0ȱ

zuȱȱ A

K 0 ˜ q n˜m ˜

q 1 .ȱ q n ˜m  1

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(7.5)ȱ

ȱ Beispielȱ 7.11ȱ (Fortführungȱ vonȱ Beispielȱ 7.5):ȱ Familieȱ Müllerȱ hatteȱ zurȱ Finanzierungȱ ihresȱEinfamilienhausesȱeinȱDarlehenȱüberȱ125.000ȱ€ȱbeiȱeinemȱZinssatzȱvonȱ4,5%ȱp.a.ȱ aufgenommenȱ(Laufzeit:ȱ15ȱJahre).ȱSieȱentscheidetȱsichȱnun,ȱstattȱeinerȱjährlichenȱeineȱ monatlicheȱAnnuitätȱzuȱerbringen.ȱWieȱhochȱistȱdieȱmonatlicheȱAnnuität?ȱ

ȱ Lösung:ȱMüllersȱmüssenȱmonatlichȱ

A

K 0 ˜ q n ˜m ˜

q 1 q n ˜m  1

125.000 € ˜ 1,04515˜12 ˜

1,045  1 q15˜12  1

956,24 € ȱ

aufbringen.ȱ

7.5

Zusammenfassung

DasȱfolgendeȱMindmapȱinȱAbbildungȱ7Ȭ3ȱstelltȱdieȱCharakteristikaȱderȱeinzelnenȱTilȬ gungsartenȱzusammenfassendȱnochȱeinmalȱgrafischȱdar.ȱ

150 ȱ

Partnerinterview

Abbildungȱ7Ȭ3:ȱ

Mindmap:ȱTilgungȱ Tilgung am Ende der Laufzeit Zeitgleiche Zahlung der Zinsen

Endfällige Schuld

Konstante Restschuld

Zinsansammlung

Zunehmende Restschuld

Konstante Tilgungsbeträge Linear fallende Restschuld

Ratentilgung

Abnehmende Zinszahlungen Abnehmende Annuität

Annuität zu Beginn der Laufzeit hoch

Tilgung Konstante Annuität

Annuitätentilgung

Abnehmende Zinszahlungen Zunehmende Tilgungsanteile Progressiv fallende Restschuld

Annuität meist vorgegeben

Praxis

Laufzeit ergibt sich

Tilgungsfreie Perioden Sondertilgungen Kreditgebühren

7.6

ȱ

Partnerinterview

1. A:ȱWasȱverstehtȱmanȱunterȱderȱTilgungȱeinerȱSchuld?ȱ B:ȱWasȱistȱeineȱAnnuität?ȱ 2. A:ȱWelcheȱFormenȱvonȱendfälligenȱSchuldenȱgibtȱes?ȱGebenȱSieȱBeispiele!ȱ B:ȱWieȱistȱeinȱTilgungsplanȱaufgebaut?ȱ 3. A:ȱWieȱtilgtȱsichȱeineȱSchuldȱbeiȱderȱAnnuitätentilgung?ȱWasȱistȱeinȱVorteilȱdieserȱ Tilgungsart?ȱ

151

7.6

7

Tilgungsrechnung

B:ȱWieȱtilgtȱsichȱeineȱSchuldȱbeiȱderȱRatentilgung?ȱ 4. A:ȱWieȱwerdenȱinȱderȱPraxisȱAnnuitätȱundȱTilgungȱbestimmt?ȱ B:ȱ Wieȱ kannȱ manȱ dieȱ Annuitätȱ beiȱ vorgegebenerȱ Gesamtlaufzeitȱ desȱ Kreditsȱ bestimmen?ȱ 5. A:ȱWasȱsindȱSondertilgungen?ȱWieȱgehenȱsieȱinȱdenȱTilgungsplanȱein?ȱ B:ȱ Welcheȱ Formenȱ vonȱ tilgungsfreienȱ Periodenȱ gibtȱ es?ȱ Wieȱ gehenȱ sieȱ inȱ denȱ TilȬ gungsplanȱein?ȱ 6. A:ȱWieȱkannȱmanȱGebührenȱinȱdenȱTilgungsplanȱintegrieren?ȱ B:ȱWieȱgehtȱmanȱbeiȱunterjährigerȱTilgungȱvor?ȱ

7.7

Übungen

1. EinȱKreditȱüberȱ20.000ȱ€ȱsollȱzuȱ6%ȱp.a.ȱverzinstȱwerdenȱundȱüberȱ4ȱJahreȱinȱgleichȱ hohenȱRatenȱgetilgtȱwerden.ȱStellenȱSieȱdenȱTilgungsplanȱauf!ȱȱ Derȱ Kreditȱ sollȱ nunȱ inȱ konstantenȱ Annuitätenȱ zurückbezahltȱ werden.ȱ Stellenȱ Sieȱ denȱ sichȱ ergebendenȱ Tilgungsplanȱ demȱ Tilgungsplanȱ desȱ Ratendarlehensȱ gegenȬ über.ȱ 2. Einȱ Kreditȱ überȱ 150.000ȱ €ȱ sollȱ beiȱ einemȱ Zinssatzȱ vonȱ konstantȱ 4%ȱ p.a.ȱ undȱ einerȱ anfänglichenȱTilgungȱvonȱ2%ȱp.a.ȱdurchȱkonstanteȱjährlicheȱAnnuitätenȱvollständigȱ getilgtȱwerden.ȱBestimmenȱSieȱ a)

dieȱHöheȱderȱkonstantenȱjährlichenȱAnnuitätȱ

b)

dieȱLaufzeitȱdesȱKredits.ȱ

StellenȱSieȱzusätzlichȱeinenȱTilgungsplanȱauf!ȱ 3. Familieȱ Müllerȱ möchteȱ zurȱ Finanzierungȱ ihresȱ Eigenheimsȱ einȱ Darlehenȱ aufnehȬ men.ȱDieȱjährlicheȱBelastungȱdarfȱ12.000ȱ€ȱnichtȱüberschreiten.ȱDerȱZinssatzȱbeträgtȱ 7,5%ȱp.a.ȱInȱ25ȱJahrenȱsollȱdasȱDarlehenȱvollständigȱgetilgtȱsein.ȱWelcheȱHöheȱdarfȱ dasȱDarlehenȱhaben?ȱȱ Wieȱ säheȱ dieȱ Situationȱ beiȱ einemȱ Zinssatzȱ vonȱ 4%ȱ p.a.ȱ aus.ȱ Wieȱ hochȱ dürfteȱ derȱ aufzunehmendeȱBetragȱdannȱsein?ȱ 4. FührenȱSieȱmitȱeinemȱStudienkollegenȱeinȱFinanzierungsgesprächȱfürȱeineȱbeliebiȬ geȱAnschaffung.ȱErmittelnȱSieȱdieȱbenötigteȱKredithöhe,ȱdieȱerforderlicheȱLaufzeitȱ sowieȱdieȱgewünschtenȱZahlungsmodalitätenȱ(Annuität,ȱmonatlicheȱoderȱjährlicheȱ Rückzahlung,ȱSondertilgungen,ȱtilgungsfreieȱPerioden).ȱVersuchenȱSieȱfürȱdieȱKreȬ

152 ȱ

Übungen

ditgewährungȱeinenȱzumȱKreditȱpassendenȱ(ArtȱdesȱKredits,ȱLaufzeit,ȱetc.)ȱaktuelȬ lenȱZinssatzȱzuȱermitteln.ȱErstellenȱSieȱfürȱIhrenȱKollegenȱeinenȱTilgungsplan!ȱ 5. Familieȱ Großȱ benötigtȱ zurȱ Finanzierungȱ einesȱ Eigenheimsȱ einenȱ Kreditȱ inȱ Höheȱ vonȱ140.000ȱ€.ȱDieȱBankȱgewährtȱeinenȱZinssatzȱvonȱ3,95%ȱp.a.ȱGroßȱmöchtenȱmoȬ natlichȱ 800ȱ €ȱ fürȱ dieȱ Bedienungȱ (Annuität)ȱ desȱ Kreditsȱ aufbringen.ȱ Esȱ wirdȱ dasȱ Rechtȱ aufȱ Sondertilgungenȱ inȱ Höheȱ vonȱ maximalȱ 5%ȱ derȱ Kreditsummeȱ proȱ Jahrȱ eingeräumt.ȱDieȱFamilieȱerwartetȱinȱdenȱerstenȱ3ȱJahrenȱjeweilsȱamȱEndeȱdesȱJahresȱ denȱvollenȱSondertilgungsbetragȱaufbringenȱzuȱkönnen.ȱȱ StellenȱSieȱdenȱTilgungsplanȱinȱExcelȱdar!ȱ ȱ

153

7.7

Lernziele

8

8.1

Kurs- und Renditerechnung

Lernziele

DiesesȱKapitelȱführtȱinȱdieȱgrundlegendenȱIdeenȱderȱKursȬȱundȱRenditerechnungȱein.ȱ NachȱDurcharbeitungȱdesȱKapitelsȱsollteȱderȱLeserȱinȱderȱLageȱsein,ȱ

„ zwischenȱRealȬȱundȱNominalzinssätzenȱzuȱunterscheiden,ȱȱ „ GründeȱfürȱdivergierendeȱRealȬȱundȱNominalzinssätzeȱanzugeben,ȱ „ zuȱ erklären,ȱ warumȱ sichȱ derȱ Kursȱ vonȱ Wertpapierenȱ mitȱ denȱ Realzinssätzenȱ änȬ dert,ȱȱ

„ zuȱerläutern,ȱinȱwelcherȱRichtungȱsichȱderȱKursȱeinesȱWertpapiersȱbeiȱsteigenden,ȱ bzw.ȱbeiȱfallendenȱZinssätzenȱbewegt,ȱ

„ denȱKursȱeinesȱZahlungsstromsȱanzugeben,ȱ „ denȱBegriffȱderȱRenditeȱzuȱdefinieren,ȱ „ dieȱRenditeȱeinesȱbeliebigenȱZahlungsstromsȱnäherungsweiseȱzuȱbestimmen,ȱ „ dieȱRenditeȱeinerȱendfälligenȱSchuldȱmitȱZinsansammlungȱexaktȱzuȱberechnen.ȱ

8.2

Einführung

Beispielȱ8.1:ȱ HerrȱSteinȱhatȱvorȱ2ȱJahrenȱeineȱUnternehmensanleiheȱmitȱeinerȱLaufzeitȱ vonȱ5ȱJahrenȱundȱeinemȱNominalbetragȱvonȱ10.000ȱ€ȱgekauft.ȱDieȱZinszahlungȱfürȱdasȱȱ zweiteȱ Jahrȱ hatȱ erȱ soebenȱ erhalten.ȱ Dieȱ Anleiheȱ trägtȱ einenȱ Nominalzinssatzȱ vonȱȱ 6%ȱp.a.ȱHerrȱSteinȱmöchteȱdieȱAnleiheȱnunȱzurȱFinanzierungȱeinerȱgrößerenȱAnschafȬ fungȱveräußern.ȱMittlerweileȱistȱdasȱZinsniveauȱallerdingsȱgesunken.ȱDerȱZinssatzȱfürȱ vergleichbareȱUnternehmensanleihenȱmitȱeinerȱRestlaufzeitȱvonȱ3ȱJahrenȱliegtȱnunȱnurȱ nochȱbeiȱ4%ȱp.a.ȱWelchenȱPreisȱkannȱHerrȱSteinȱfürȱseineȱAnleiheȱerzielen?ȱ Lösung:ȱ DaȱdieȱAnleiheȱ einenȱ Nominalzinssatzȱ vonȱ 6%ȱ p.a.ȱ hat,ȱ wirdȱ derȱ potentielleȱ Käuferȱ amȱ Endeȱ desȱ erstenȱ undȱ zweitenȱ Jahresȱ 6%ȱ vonȱ 10.000ȱ €,ȱ alsoȱ 600ȱ €ȱ erhalten.ȱ

155

8.1

8

Kurs- und Renditerechnung

AmȱEndeȱderȱRestlaufzeitȱvonȱ3ȱJahrenȱbekommtȱerȱdenȱNominalbetragȱundȱdieȱZinȬ senȱdesȱletztenȱJahres,ȱd.h.ȱinsgesamtȱ10.600ȱ€ȱausbezahlt.ȱDaȱdasȱZinsniveauȱmittlerȬ weileȱgesunkenȱist,ȱkannȱderȱKäuferȱGeldbeträgeȱnurȱnochȱzumȱaktuellenȱZinssatzȱvonȱ 4%ȱp.a.ȱanlegen.ȱDieȱvonȱihmȱempfangenenȱBeträgeȱhabenȱsoȱnochȱeinenȱBarwertȱvonȱȱ 600 € 1,04



600 € 1,04 2



10.600 € 1,04 3

10.555,02 €. ȱ

HerrȱSteinȱkannȱdemnachȱfürȱseineȱAnleiheȱ10.555,02ȱ€ȱverlangen.ȱDerȱvonȱihmȱgeforȬ derteȱPreisȱkannȱdeshalbȱhöherȱalsȱderȱNominalbetragȱderȱAnleiheȱsein,ȱweilȱderȱKäuȬ ferȱseinerȱAnleiheȱwesentlichȱhöhereȱZinsen,ȱnämlichȱinȱHöheȱvonȱ6%ȱp.a.,ȱerhältȱalsȱesȱ momentanȱ amȱ Marktȱ üblichȱ ist.ȱ Würdeȱ derȱ Käuferȱ sichȱ fürȱ eineȱ alternativeȱ Anlageȱ entscheiden,ȱerhielteȱerȱnurȱeineȱVerzinsungȱvonȱ4%ȱp.a.ȱ DieȱAnleiheȱvonȱHerrnȱSteinȱbesitztȱsoȱheuteȱeinenȱKursȱvonȱȱȱ C

10.555,02 € 10.000 €

1,0555, ȱ

d.h.ȱ vonȱ 105,5%.ȱ Daȱ dieȱ Zinsenȱ inȱ denȱ 2ȱ Jahrenȱ seitȱ demȱ Kaufȱ derȱ Anleiheȱ gefallenȱ sind,ȱistȱderȱKursȱderȱAnleiheȱgestiegen.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ ȱ Fortführungȱ vonȱ Beispielȱ 8.1:ȱ Wieȱ säheȱ dieȱ Situationȱ aus,ȱ wennȱ dasȱ Zinsniveauȱ seitȱ demȱKaufȱderȱAnleiheȱvonȱ6%ȱp.a.ȱaufȱ8%ȱp.a.ȱgestiegenȱwäre?ȱ Lösung:ȱ WäreȱdasȱZinsniveauȱgestiegen,ȱwäreȱdieȱAnleiheȱfürȱdieȱpotentiellenȱKäuferȱ nichtȱmehrȱsoȱattraktiv.ȱAlsȱZinsenȱderȱAnleiheȱwürdeȱderȱKäuferȱdannȱproȱJahrȱweiȬ terhinȱ600ȱ€ȱerhalten,ȱsowieȱdenȱangelegtenȱNominalbetrag,ȱderȱamȱEndeȱdesȱdrittenȱ Jahresȱ ausgezahltȱ wird.ȱ Beiȱ einerȱ alternativenȱ Anlageȱ zuȱ denȱ aktuellenȱ Marktzinsenȱ würdeȱ einȱ Anlegerȱ hingegenȱ 800ȱ €ȱ Zinsenȱ proȱ Jahrȱ erhalten.ȱ Derȱ Wertȱ derȱ Anleiheȱ entsprichtȱdemȱBarwertȱbeimȱaktuellenȱZinssatzȱvonȱ8%ȱp.a.ȱinȱHöheȱvonȱ

600 € 1,08



600 € 1,08 2



10.600 € 1,08 3

9.484,58 €. ȱ

Diesesȱ istȱ derȱ „faire“ȱ Preis,ȱ denȱ Herrȱ Steinȱ fürȱ dieȱAnleiheȱ nochȱ fordernȱ könnte.ȱ Dieȱ AnleiheȱhätteȱalsoȱnurȱnochȱeinenȱKursȱvonȱȱ C

9.484,58 € 10.000 €

0 ,9484 , ȱ

d.h.ȱ vonȱ 94,84%.ȱ Daȱ dieȱ Zinsenȱ gestiegenȱ sind,ȱ istȱ derȱ Kursȱ derȱ Anleiheȱ unterȱ denȱ Nennwertȱvonȱ100%ȱgefallen.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

156 ȱ

Kurs

8.3

Kurs

Jedesȱ Finanzproduktȱ besitztȱ einenȱ Nominalwertȱ oderȱ Nennwert.ȱ Beiȱ einemȱ WertpaȬ pierȱistȱdiesesȱz.B.ȱderȱBetrag,ȱderȱaufȱdemȱWertpapierȱnotiertȱist.ȱBeiȱeinemȱDarlehenȱ bestehtȱderȱNominalwertȱinȱderȱausgehandeltenȱDarlehenssumme.ȱDenȱNominalwertȱ bezeichnenȱwirȱmitȱ K 0. ȱ Aufgrundȱ verschiedenerȱ Faktorenȱ weichtȱ derȱ Preisȱ einesȱ Finanzprodukts,ȱ denȱ wirȱ Realwertȱ Kȇ0 ȱnennen,ȱinȱvielenȱFällenȱvomȱNominalwertȱab.ȱȱ Derȱ Hauptgrundȱ fürȱ voneinanderȱ abweichendeȱ NominalȬȱ undȱ Realwerteȱ liegtȱ inȱ diȬ vergierendenȱ Zinssätzen.ȱ Einȱ Wertpapierȱ trägtȱ einenȱ Nominalzinssatz.ȱ Diesesȱ istȱderȱ Zinssatz,ȱ derȱ zwischenȱ Käuferȱ undȱ Verkäuferȱ desȱ Wertpapiersȱ fürȱ dieȱ Laufzeitȱ desȱ Papiersȱ fixiertȱ wurde.ȱ Amȱ Marktȱ herrschenȱ aberȱ oftȱ davonȱ abweichendeȱ Zinssätze.ȱ DadurchȱunterscheidenȱsichȱderȱNominalzinssatzȱiȱundȱderȱ Marktzinssatzȱoderȱ RealȬ zinssatzȱi’.ȱDiesesȱkannȱverschiedeneȱUrsachenȱhaben:ȱ 1. WieȱbereitsȱimȱBeispielȱangedeutet,ȱkannȱsichȱdasȱZinsniveauȱseitȱBeginnȱderȱLaufȬ zeitȱdesȱWertpapiersȱverändertȱhaben.ȱDerȱNominalzinssatzȱiȱbleibtȱfürȱdieȱLaufzeitȱ desȱPapiersȱkonstant,ȱderȱRealzinssatzȱi’ȱkannȱinzwischenȱhöherȱundȱniedrigerȱalsȱ zuȱBeginnȱderȱLaufzeitȱsein.ȱ 2. Dieȱ Bonität,ȱ d.h.ȱ dieȱ Kreditwürdigkeit,ȱ desȱ Schuldnersȱ beeinflusstȱ denȱ NominalȬ zinssatzȱ einerȱ Anlageȱ bzw.ȱ Geldaufnahme.ȱ Eineȱ Privatpersonȱ ohneȱ Sicherheitenȱ wirdȱfürȱeinenȱKreditȱeinenȱhöherenȱnominalenȱZinssatzȱiȱzahlenȱmüssenȱalsȱeineȱ alsȱsehrȱkreditwürdigȱeingestufteȱGeschäftsbank,ȱdieȱbeiȱeinerȱanderenȱBankȱGeldȱ ausleiht.ȱDerȱNominalzinssatzȱiȱdesȱKreditsȱderȱPrivatpersonȱohneȱSicherheitenȱistȱ dannȱhöherȱalsȱderȱamȱKapitalmarktȱüblicheȱRealzinssatzȱi’.ȱ DerȱRealzinssatzȱi’ȱkannȱauchȱalsȱEffektivzinssatzȱbezeichnetȱwerden.ȱ ȱ Wirȱ wollenȱ voraussetzen,ȱ dassȱ einȱ Schuldnerȱ sichȱ zumȱ Zeitpunktȱ tȱ =ȱ 0ȱ einmaligȱ einȱ Kapitalȱ K 0 ȱvomȱGläubigerȱausleiht.ȱInȱderȱFolgeȱerfolgtȱderȱRückflussȱdesȱKapitalsȱinȱ Formȱ desȱ Zahlungsstromsȱ Z1, Z 2 , ..., Zn ȱ vomȱ Schuldnerȱ anȱ denȱ Gläubiger.ȱ Dabeiȱ sollenȱ zukünftigȱ nurȱ positiveȱ Zahlungseingängeȱ fürȱ denȱ Gläubigerȱ vorliegen.ȱ Weiterȱ gehenȱwirȱhierȱdavonȱaus,ȱdassȱalleȱZahlungseingängeȱmitȱdenȱZinszahlungsterminenȱ zusammenfallen.36ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 36ȱȱ Inȱ derȱ Praxisȱ wirdȱ diesesȱ natürlichȱ nichtȱ immerȱ derȱ Fallȱ sein.ȱ Einȱ Wertpapierȱ kannȱ auchȱ

zwischenȱ zweiȱ Zinszahlungsterminenȱ veräußertȱ werden.ȱ Derȱ Käuferȱ erhältȱ dannȱ fürȱ denȱ BruchteilȱderȱerstenȱZinsperiodeȱdennochȱdenȱvollenȱKupon.ȱDerȱAusgleichȱerfolgtȱüberȱdieȱ ZahlungȱvonȱsoȱgenanntenȱStückzinsenȱanȱdenȱVerkäufer.ȱȱ

157

8.3

8

Kurs- und Renditerechnung

Definition:ȱ DerȱRealwertȱerrechnetȱsichȱalsȱBarwertȱdesȱgegebenenȱzukünftigenȱZahȬ lungsstromsȱ Z1, Z 2 , ..., Zn ȱbeiȱdemȱamȱMarktȱherrschendenȱRealzinssatzȱi’ȱzuȱ

Z1 Z2 Zn .ȱ   ...  (1  iȇ ) (1  iȇ )2 (1  iȇ )n

K ȇ0

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(8.1)ȱ

Definition:ȱ Derȱ Kursȱ einesȱ Zahlungsstromsȱ Z1, Z 2 , ..., Zn ȱ istȱ dasȱ Verhältnisȱ desȱ ReȬ

alwertesȱ Kȇ0 ȱzumȱNominalwertȱ K 0 ȱ C

K ȇ0 .ȱ K0

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(8.2)ȱ

Giltȱ C 1, ȱ d.h.ȱ entsprichtȱ derȱ Realwertȱ demȱ Nennwert,ȱ soȱ sagtȱ manȱ dasȱ FinanzproȬ duktȱnotiertȱ„zuȱpari“.ȱIstȱderȱRealwertȱkleinerȱalsȱderȱNennwert,ȱd.h.ȱistȱ C  1, ȱnotiertȱ dasȱProduktȱ„unterȱpari“.ȱBeiȱeinemȱRealwertȱgrößerȱalsȱdemȱNennwertȱ C ! 1, ȱwirdȱ dasȱFinanzproduktȱ„überȱpari“ȱgehandelt.ȱȱ ȱ Steigenȱ nunȱ dieȱ Zinsenȱ amȱ Markt,ȱ d.h.ȱ dieȱ Realzinssätze,ȱ soȱ wirdȱ derȱ Realwertȱ desȱ ZahlungsstromsȱgeringerȱundȱderȱKursȱfällt.ȱAmȱbestenȱkannȱmanȱsichȱdiesesȱwieȱinȱ Beispielȱ8.1ȱanȱWertpapierenȱveranschaulichen.ȱKauftȱeinȱAnlegerȱeinȱWertpapierȱmitȱ einemȱfestenȱNominalzinssatzȱundȱsteigenȱdieȱMarktzinsen,ȱsoȱwürdeȱderȱAnlegerȱamȱ MarktȱimȱLaufeȱderȱZeitȱhöhereȱZinsenȱerzielenȱkönnenȱalsȱmitȱdemȱbereitsȱgekauftenȱ Papier.ȱDaherȱfälltȱderȱKursȱseinesȱWertpapiers.ȱ FallenȱdieȱZinsen,ȱerhöhtȱsichȱderȱRealwertȱdesȱZahlungsstromsȱundȱderȱKursȱsteigt.ȱ Fortführungȱ vonȱ Beispielȱ 8.1:ȱ Inȱ Beispielȱ 8.1ȱ bestandȱ derȱ zukünftigeȱ Zahlungsstromȱ ausȱ denȱ Zinszahlungenȱ vonȱ Z1 Z 2 600 €ȱ inȱ denȱ erstenȱ 2ȱ Jahrenȱ undȱ derȱ Zahlungȱ vonȱ Z 3 10.600 €ȱ amȱ Endeȱ desȱ drittenȱ Jahres.ȱ Diesesȱ ergabȱ beimȱ Realzinssatzȱ i’=0,04ȱ einenȱRealwertȱvonȱ

600 € 1,04



600 € 1,04

2



10.600 € 1,04 3

10.555,02 € ȱ

undȱeinenȱKursȱvonȱ105,55%.ȱDasȱWertpapierȱnotiertȱ„überȱpari“.ȱȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ Beispielȱ8.2:ȱ DieȱChaosȱKGȱistȱinȱfinanziellenȱSchwierigkeiten.ȱZurȱSanierungȱmöchteȱ Sieȱ beiȱ derȱ ABCȬBankȱ einenȱ Kreditȱ mitȱ einerȱ 2Ȭjährigenȱ Laufzeitȱ überȱ 100.000ȱ €ȱ aufȬ nehmen.ȱDerȱRealzinssatzȱamȱKapitalmarktȱfürȱ2ȱJahreȱbeträgtȱzurȱZeitȱdesȱKreditanȬ tragsȱ 3%ȱ p.a.ȱ Aufgrundȱ derȱ sehrȱ schlechtenȱ Kreditwürdigkeitȱ derȱ Chaosȱ KGȱ istȱ dieȱ Bankȱ nurȱ bereit,ȱ denȱ Kreditȱ zuȱ einemȱ Nominalzinssatzȱ vonȱ 6,5%ȱ p.a.ȱ zuȱ vergeben.ȱ WelchenȱKursȱhatȱderȱKreditȱfürȱdieȱBank?ȱ

158 ȱ

Rendite

Lösung:ȱ DieȱChaosȱKGȱmussȱnachȱeinemȱJahrȱ6.500ȱ€,ȱnachȱ2ȱJahrenȱ106.500ȱ€ȱzahlen.ȱ DieseȱZahlungenȱhabenȱheuteȱeinenȱBarwertȱvonȱ

6.500 € 1,03



106.500 € 1,032

106.697,14 €. ȱ

Diesesȱ entsprichtȱ demȱ Realwertȱ desȱ Kredits.ȱ Dieȱ Bankȱ überlässtȱ derȱ Chaosȱ KGȱ aberȱ nurȱdenȱNennwertȱvonȱ100.000ȱ€.ȱDerȱKursȱdesȱGeschäftsȱbeträgtȱdemnachȱ C

106.697,14 € 100.000 €

1,067. ȱ

DaȱderȱKreditȱeigentlichȱeinenȱKursȱvonȱ106,7%ȱhat,ȱd.h.ȱ„überȱpari“ȱnotiert,ȱdieȱBankȱ aberȱnurȱ100%ȱderȱKreditsummeȱauszahlt,ȱmachtȱdieȱBankȱeinȱ„gutesȱGeschäft“.ȱDafürȱ trägtȱsieȱallerdingsȱauchȱdasȱRisikoȱderȱInsolvenzȱderȱChaosȱKG.ȱDiesesȱRisikoȱlässtȱsieȱ sichȱ überȱ einenȱ höherenȱ Nominalzinssatz,ȱ d.h.ȱ einenȱ Risikoaufschlagȱ aufȱ denȱ RealȬ zinssatz,ȱbezahlen.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ ȱ Bemerkung:ȱ Derȱ Kursȱ einesȱ beliebigenȱ Zahlungsstromsȱ kannȱ alsoȱ immerȱ durchȱ AbȬ zinsenȱ derȱ zukünftigenȱ Zahlungenȱ mitȱ demȱ Realzinssatzȱ aufȱ denȱ Beginnȱ derȱ VerzinȬ sungȱ undȱ Bezugȱ aufȱ denȱ Nennwertȱ K 0 ȱ ermitteltȱ werden.ȱ Fürȱ einigeȱ spezielleȱ TilȬ gungsprozesseȱ(z.B.ȱendfälligeȱSchuldȱmitȱoderȱohneȱZinsansammlung,ȱRatentilgung,ȱ Annuitätentilgung)ȱ lassenȱ sichȱ geschlosseneȱ Formelnȱ fürȱ denȱ Kursȱ herleiten.37ȱ Unsȱ reichtȱanȱdieserȱStelleȱzuȱbemerken,ȱdassȱdasȱvorgestellteȱallgemeineȱKonzeptȱfürȱjedenȱ Zahlungsstromȱ angewandtȱ werdenȱ kann.ȱ Beiȱ großenȱ Anzahlenȱ vonȱ Zahlungen,ȱ z.B.ȱ aufgrundȱ langerȱ Laufzeitenȱ oderȱ unterjährigerȱ Zahlungsweiseȱ wirdȱ dieȱ Rechnungȱ aufwändig.ȱ Manȱ kannȱ sichȱ hierȱ aberȱ mitȱ einemȱ Tabellenkalkulationsprogrammȱ wieȱ z.B.ȱExcelȱbehelfen.ȱ

8.4

Rendite

VomȱNennwertȱabweichendeȱKurseȱspielenȱaufȱdemȱFinanzmarktȱinsbesondereȱdannȱ eineȱRolle,ȱwennȱFinanzprodukteȱbereitsȱvorȱEndeȱderȱLaufzeitȱveräußertȱoderȱVerträȬ geȱ beendetȱ werden.ȱ Diesesȱ trifftȱ insbesondereȱ aufȱ denȱ Handelȱ mitȱ Wertpapierenȱ zu.ȱ Eineȱ weitereȱAnwendungȱ stellenȱ aberȱ auchȱ Kündigungenȱ vonȱ Kreditvereinbarungenȱ oderȱsonstigenȱVerträgenȱdar.ȱȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 37ȱȱ S.ȱ z.B.ȱ Martin,ȱ 2003,ȱ S.ȱ 159,ȱ ff.,ȱ Köhler,ȱ 1992,ȱ S.ȱ 224,ȱ ff.,ȱ Kobelt/Schulte,ȱ 1999,ȱ S.ȱ 194ȱ ff.,ȱ Renger,ȱ

2003,ȱS.ȱ59ȱff.ȱ

159

8.4

8

Kurs- und Renditerechnung

WirdȱeinȱFinanzproduktȱvorȱEndeȱderȱLaufzeitȱveräußertȱoderȱeinȱVertragȱbeendet,ȱsoȱ hatȱsichȱimȱLaufeȱderȱZeitȱdieȱMarktsituationȱverändert.ȱInsbesondereȱistȱinȱdenȱmeisȬ tenȱ Fällen,ȱ wieȱ obenȱ bereitsȱ erörtert,ȱ dasȱ Zinsniveauȱ nichtȱ mehrȱ dasselbeȱ wieȱ zuȱ BeȬ ginnȱderȱLaufzeit.ȱDieȱProdukteȱmüssenȱneuȱbewertetȱwerden.ȱ DerȱzukünftigeȱZahlungsstromȱdesȱFinanzproduktsȱistȱbekannt.ȱBeiȱeinemȱWertpapierȱ bestehtȱerȱz.B.ȱausȱdenȱKuponzahlungenȱwährendȱderȱLaufzeitȱundȱderȱRückzahlungȱ desȱNennwertesȱamȱEndeȱderȱLaufzeit.ȱBeiȱgegebenemȱRealzinssatzȱkönnteȱsoȱausȱdemȱ zukünftigenȱ Zahlungsstromȱ desȱ Finanzproduktsȱ derȱ Kursȱ berechnetȱ werden.ȱ Geradeȱ beimȱ Handelȱ mitȱ Wertpapierenȱ istȱ esȱ aberȱ so,ȱ dassȱ oftȱ nichtȱ der,ȱ fürȱ einȱ gegebenesȱ Wertpapierȱ„faire“ȱRealzinssatzȱbekanntȱsind,ȱsondernȱnurȱderȱKursȱdesȱWertpapiers.ȱ DerȱzugehörigeȱRealzinssatz,ȱd.h.ȱdieȱtatsächlicheȱoderȱeffektiveȱVerzinsungȱdesȱeingeȬ setztenȱKapitals,ȱmussȱdannȱausȱdemȱKursȱermitteltȱwerden.ȱ Geradeȱ imȱ Zusammenhangȱ mitȱ Wertpapierenȱ wirdȱ beimȱ EffektivȬȱ oderȱ Realzinssatzȱ auchȱvonȱderȱRenditeȱgesprochen.ȱ Beispielȱ 8.3:ȱ Herrȱ Sanderȱ interessiertȱ sichȱ fürȱ eineȱ Unternehmensanleiheȱ derȱ Firmaȱ Blueȱ Moonȱ mitȱ einerȱ Restlaufzeitȱ vonȱ einemȱ Jahr.ȱ Dieȱ Anleiheȱ trägtȱ einenȱ NominalȬ zinssatzȱvonȱ4,5%ȱp.a.ȱDerȱKursȱderȱAnleiheȱwirdȱmitȱ97,5%ȱnotiert.ȱWelcherȱeffektiveȱ Jahreszinssatz,ȱd.h.ȱwelcheȱRendite,ȱergibtȱsichȱfürȱHerrnȱSander?ȱ Lösung:ȱ Dieȱ Renditeȱistȱ unabhängigȱ vomȱ Nominalbetragȱ derȱ gekauftenȱAnleihe.ȱ Wirȱ führenȱdieȱRechnung,ȱwieȱbeiȱderȱKursȬȱundȱRenditerechnungȱmeistȱüblich,ȱfürȱeinenȱ Betragȱ vonȱ 100ȱ €ȱ durch.ȱ Herrȱ Sanderȱ mussȱ heuteȱ nurȱ 97,5ȱ €ȱ zahlen,ȱ bekommtȱ aberȱ nachȱeinemȱJahrȱ104,5ȱ€ȱ(NennwertȱplusȱZinsen)ȱzurück.ȱDerȱeingezahlteȱBetragȱmussȱ demȱBarwertȱderȱRückzahlungȱbeimȱgeltendenȱRealzinssatzȱi’ȱentsprechen,ȱd.h.ȱ

104 ,5 € 1  iȇ

97 , 5 €

œ 104 ,5 €

97 ,5 €  97 ,5 € ˜ iȇ

œ iȇ

104 ,5 €  97 ,5 € 97 ,5 €

0,0718.

ȱ EntscheidetȱsichȱHerrȱSanderȱfürȱdieȱAnleiheȱderȱFirmaȱBlueȱMoonȱerhältȱerȱeineȱRenȬ diteȱvonȱ7,18%ȱp.a.ȱ ȱ ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ Unterȱ denȱ gegebenenȱ Voraussetzungenȱ einerȱ einmaligenȱ Auszahlungȱ beiȱ positivenȱ RückflüssenȱexistiertȱzuȱjedemȱKursȱgenauȱeinȱRealzinssatzȱi’38,ȱsoȱdassȱȱ

C

K ȇ0 K0

Z1 Z2 Zn   ...  (1  iȇ ) (1  iȇ )2 (1  iȇ )n ȱ K0

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

gilt.ȱDieserȱRealzinssatzȱistȱdieȱRenditeȱdesȱZahlungsstromsȱ Z1, Z 2 , ..., Zn. ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 38ȱȱ S.ȱMartin,ȱ2003,ȱS.ȱ158,ȱff.ȱ

160 ȱ

ȱȱȱȱ(8.3)ȱ

Rendite

DieȱRenditeȱkannȱsoȱbeiȱgegebenemȱZahlungsstromȱundȱgegebenemȱKursȱdurchȱAufȬ lösenȱ vonȱ (8.3)ȱ nachȱ demȱ Realzinssatzȱ i’ȱ ermitteltȱ werden.ȱ Nichtȱ immerȱ istȱ diesesȱ soȱ einfachȱwieȱinȱBeispielȱ8.3.ȱȱ ȱ

Wieȱ bereitsȱ inȱ Kapitelȱ 5ȱ „Investitionsrechnung“ȱ erörtert,ȱ existierenȱ fürȱ polynomialeȱ Gleichungenȱ höhererȱ alsȱ vierterȱ Ordnungȱ keineȱ geschlossenenȱ Lösungsformeln.ȱ Dieȱ Lösungȱ kannȱ aberȱ analogȱ zuȱ derȱ Bestimmungȱ desȱ innerenȱ Zinssatzesȱ inȱ derȱ InvestitionsrechnungȱimmerȱüberȱNäherungsverfahrenȱerfolgen.ȱȱ Beispielȱ8.4:ȱ EineȱAnleiheȱderȱSunnyȱAGȱmitȱeinemȱNennwertȱvonȱ100ȱ€,ȱeinerȱRestȬ laufzeitȱvonȱ5ȱJahrenȱundȱeinemȱNominalzinssatzȱvonȱ8%ȱp.a.ȱnotiertȱheuteȱzuȱeinemȱ Kursȱvonȱ112,3%.ȱWelcheȱRenditeȱkannȱdurchȱdenȱKaufȱderȱAnleiheȱerzieltȱwerden?ȱ Lösung:ȱFürȱdieȱAnleiheȱmüssenȱheuteȱ112,30ȱ€ȱbezahltȱwerden.ȱFürȱdieȱRenditeȱmussȱ dannȱgeltenȱ

8€ (1  iȇ )

112 ,30 €



8€ (1  iȇ )



2

8€



3

(1  iȇ ) 100 €

8€ (1  iȇ )

4



108 € (1  iȇ )5

,ȱ

bzw.ȱ 8€ (1  iȇ )



8€ (1  iȇ )

2



8€ 3

(1  iȇ ) 100 €



8€ (1  iȇ )

4



108 € (1  iȇ )5

 112 ,30 €

0. ȱ

DurchȱEinsetzenȱerhältȱmanȱfürȱi’ȱ=ȱ0,05ȱȱ 8€ (1  0 ,05)



8€ (1  0 ,05)2



8€ (1  0 ,05)3 100 €



8€ (1  0 ,05)4



108 € (1  0 ,05)5

 112 ,30 €

0,99 €. ȱ

 112 ,30 €

Ȭ3,58 €. ȱ

ȱ Fürȱi’ȱ=ȱ0,06ȱgiltȱbereitsȱȱ 8€ (1  0 ,06)



8€ (1  0 ,06)

2



8€ (1  0 ,06) 100 €

3



8€ (1  0 ,06)

4



108 € (1  0 ,06)5

Dieȱ Renditeȱ liegtȱ alsoȱ zwischenȱ 5%ȱ p.a.ȱ undȱ 6%ȱ p.a.ȱ Durchȱ Intervallschachtelungȱ beȬ stimmtȱmanȱdieȱRenditeȱsukzessiveȱzuȱ5,21%ȱp.a.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

161

8.4

8

Kurs- und Renditerechnung

Mitȱ derȱ Vorstellungȱ einesȱ weiterenȱ Finanzproduktsȱ betrachtenȱ wirȱ einenȱ Spezialfallȱ derȱKursȬȱundȱRenditerechnung.ȱ Definition:ȱEineȱ Nullkuponanleiheȱ(engl.:ȱzeroȱbond)ȱistȱeinȱProdukt,ȱbeiȱdemȱwähȬ rendȱderȱLaufzeitȱkeineȱZinszahlungenȱerfolgen.ȱAmȱEndeȱderȱLaufzeitȱwirdȱderȱNoȬ minalbetragȱzurückgezahlt.ȱȱ Beispielȱ8.5:ȱSieȱkaufenȱheuteȱeineȱNullkuponanleihe.ȱAusȱdiesemȱWertpapierȱerhaltenȱ Sieȱ inȱ 5ȱ Jahrenȱ 1.000ȱ €.ȱ Währendȱ derȱLaufzeitȱ werdenȱ keineȱ Zinsenȱ gezahlt.ȱ Welchenȱ PreisȱmüssenȱSieȱbezahlen,ȱwennȱSieȱeinenȱRealzinssatzȱvonȱ4%ȱp.a.ȱansetzen?ȱ Lösung:ȱ DaȱwährendȱderȱLaufzeitȱkeineȱZinsenȱgezahltȱwerden,ȱbestehtȱderȱzukünftiȬ geȱ Zahlungsstromȱ nurȱ ausȱ derȱ Zahlungȱ Z 5 1.000 €ȱ nachȱ 5ȱ Jahren.ȱ Demnachȱ beträgtȱ derȱKursȱȱ 1.000 € C

(1  0 ,04)5 1.000 €

0 ,821927. ȱ

SieȱmüssenȱdemnachȱheuteȱeinenȱPreisȱvonȱ821,93ȱ€ȱfürȱdenȱZeroȱBondȱbezahlen.ȱȱȱȱȱȱȱȱƑ ȱ FortführungȱvonȱBeispielȱ8.5:ȱ DerȱKursȱderȱinȱBeispielȱ8.5ȱbetrachtetenȱNullkuponanȬ leiheȱwerdeȱamȱMarktȱaberȱzuȱ87,4%ȱnotiert.ȱWieȱhochȱistȱIhreȱRendite?ȱ Lösung:ȱEsȱistȱnachȱderȱRenditeȱaufzulösen:ȱ 1.000 € (1  iȇ )5 1.000 €

0 ,874

œ (1  iȇ )5

1 0 ,874

œ iȇ

5

1 1 0 ,874

0 ,0273. ȱ

DaȱSieȱeinenȱhöherenȱPreisȱalsȱinȱBeispielȱ8.5ȱbezahlenȱmüssen,ȱistȱIhreȱjetzigeȱRenditeȱ ausȱdemȱKaufȱdesȱWertpapiersȱzuȱ87,4%ȱmitȱ2,73%ȱp.a.ȱauchȱgeringerȱalsȱdieȱRenditeȱ vonȱ4%ȱp.a.,ȱdieȱbeiȱeinemȱKursȱvonȱ82,19%ȱerzieltȱwordenȱwäre.ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

Allgemeinȱ erzieltȱ manȱ alsoȱ beiȱ einerȱ Nullkuponanleihe,ȱ beiȱ derȱ nachȱ einerȱ Laufzeitȱ vonȱ nȱ Jahrenȱ derȱ Nennwertȱ K 0 ȱ ausbezahltȱ wirdȱ undȱ dieȱ zumȱ Zeitpunktȱ desȱ Kaufsȱ einenȱKursȱCȱhat,ȱdieȱRenditeȱȱ K0 (1  iȇ )n K0

162 ȱ

C

œ (1  iȇ )n

1 C

œ iȇ

n

1  1. ȱ ȱ C

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(8.4)ȱ

Partnerinterview

8.5

Partnerinterview

1. A:ȱDefinierenȱSieȱdenȱNominalȬȱundȱdenȱRealzinssatzȱundȱerklärenȱSieȱdenȱUnterȬ schied!ȱ B:ȱNennenȱSieȱGründeȱfürȱvoneinanderȱabweichendeȱNominalȬȱundȱRealzinssätze!ȱ 2. A:ȱWasȱverstehtȱmanȱunterȱdemȱKursȱ(z.B.ȱeinesȱWertpapiers)?ȱ B:ȱ Wieȱ verhältȱ sichȱ derȱ Kursȱ einesȱ Wertpapiers,ȱ wennȱ derȱ Realzinssatzȱ zunimmtȱ (bzw.ȱabnimmt)?ȱ 3. A:ȱWasȱverstehtȱmanȱunterȱderȱRendite?ȱȱ B:ȱWieȱkannȱdieȱRenditeȱimmerȱberechnetȱwerden?ȱNennenȱSieȱeinȱBeispiel!ȱ 4. A:ȱWasȱistȱeineȱNullkuponanleihe?ȱBestimmenȱSieȱdieȱRenditeȱeinerȱNullkuponanȬ leiheȱbeiȱbekanntemȱKurs!ȱGebenȱSieȱeinȱBeispiel!ȱ B:ȱ Bestimmenȱ Sieȱ denȱ Kursȱ einerȱ Nullkuponanleiheȱ beiȱ bekanntemȱ Realzinssatz!ȱ GebenȱSieȱeinȱBeispiel!ȱ

8.6

Übungen

1. Sieȱhabenȱvorȱ6ȱJahrenȱeinȱWertpapierȱmitȱeinemȱNominalbetragȱvonȱ5.000ȱ€,ȱeinerȱ 10ȬjährigenȱLaufzeitȱundȱeinemȱNominalzinssatzȱvonȱ7,5%ȱp.a.ȱgekauft.ȱSieȱwollenȱ dasȱPapier,ȱdasȱheuteȱeineȱRestlaufzeitȱvonȱgenauȱ4ȱJahrenȱbesitzt,ȱverkaufen.ȱDerȱ Zinssatzȱfürȱ4ȬjährigeȱvergleichbareȱWertpapiereȱliegtȱinzwischenȱbeiȱ3,5%ȱp.a.ȱStelȬ lenȱSieȱdenȱZahlungsstromȱdesȱWertpapiersȱdar!ȱWelchenȱPreisȱkönnenȱSieȱverlanȬ gen?ȱ 2. Einȱ Freundȱ vonȱ Ihnenȱ brauchtȱ dringendȱ Geldȱ undȱ möchteȱ Ihnenȱ einȱ Wertpapierȱ mitȱeinerȱRestlaufzeitȱvonȱzweiȱJahrenȱundȱeinemȱNominalzinssatzȱvonȱ10%ȱp.a.ȱzuȱ einemȱKursȱvonȱ90%ȱverkaufen.ȱWelcheȱRenditeȱerzielenȱSie?ȱ 3. SieȱkaufenȱeineȱNullkuponanleihe,ȱbeiȱderȱSieȱinȱ3ȱJahrenȱ10.000ȱ€ȱerhalten.ȱȱ a)

SieȱwollenȱeineȱRenditeȱvonȱ4,3%ȱp.a.ȱerzielen.ȱWelchenȱPreisȱdarfȱdieȱAnleiheȱ haben?ȱ

b)ȱȱȱDieȱAnleiheȱwirdȱzumȱKursȱvonȱ84%ȱangeboten.ȱWelcheȱRenditeȱerzielenȱSie?ȱ ȱ

163

8.5

Lernziele

9

9.1

Zinsderivate

Lernziele

DiesesȱKapitelȱdientȱalsȱEinführungȱinȱdieȱFunktionsweiseȱundȱZieleȱmodernerȱZinsȬ derivate.ȱNachȱBearbeitungȱdesȱKapitelsȱsollteȱderȱLeserȱinȱderȱLageȱsein,ȱ

„ ChancenȱundȱRisikenȱvariabelȱverzinslicherȱWertpapiereȱzuȱbenennen,ȱ „ dieȱZielsetzungȱeinerȱZinsbegrenzungȱzuȱverstehen,ȱ „ zuȱerklären,ȱwieȱeineȱCapȬȱbzw.ȱFloorȬAnleiheȱgestaltetȱist,ȱ „ zuȱerläutern,ȱinȱwelcherȱWeiseȱeinȱCapȱbzw.ȱeinȱFloorȱalsȱEinzelgeschäftȱwirken,ȱ „ zuȱentscheiden,ȱinȱwelchenȱSituationenȱeinȱCapȱbzw.ȱeinȱFloorȱgekauftȱwerden,ȱ „ zuȱverstehen,ȱdassȱdieȱZinsbegrenzungȱeinȱeinseitigesȱRechtȱist,ȱdasȱdenȱKäuferȱdieȱ ZahlungȱeinerȱPrämieȱkostet,ȱ

„ zuȱerläutern,ȱwelcheȱFaktorenȱdieȱPrämienȱvonȱCapsȱundȱFloorsȱinȱwelcherȱWeiseȱ beeinflussen,ȱ

„ dieȱRolleȱdesȱStillhaltersȱeinesȱZinsbegrenzungsvertragsȱzuȱdefinieren,ȱ „ dieȱFunktionsweiseȱweitererȱZinsderivateȱ(Collar,ȱForwardȱRateȱAgreement,ȱSwap)ȱ zuȱerklären,ȱ

„ eineȱallgemeineȱEinteilungȱvonȱDerivatenȱvorzunehmen,ȱ „ ZinsderivateȱbezüglichȱderȱallgemeinenȱEinteilungȱvonȱDerivatenȱzuȱklassifizieren,ȱ „ dieȱ Motiveȱ vonȱ Hedgingȱ undȱ Spekulationȱ fürȱ Derivateȱ zuȱ unterscheidenȱ undȱ fürȱ verschiedeneȱZinsderivateȱBeispieleȱfürȱihrenȱEinsatzȱanzugeben.ȱ ȱ ȱ

165

9.1

9

Zinsderivate

9.2

Wiederholung

Inȱ Kapitelȱ 1ȱ „Zinsfinanzinstrumente“ȱ habenȱ wirȱ unsȱ bereitsȱ mitȱ unterschiedlichenȱ KreditȬȱ undȱAnlageformenȱ beschäftigt.ȱ Einȱ Unterscheidungsmerkmalȱ beiȱ derȱAnlageȱ inȱ Formȱ vonȱ Wertpapierenȱ oderȱ derȱAufnahmeȱ vonȱ Geldȱ warȱ diejenigeȱ nachȱ derȱArtȱ derȱVerzinsung.ȱZwischenȱKäuferȱundȱVerkäuferȱeinesȱFinanzproduktsȱkannȱeinerseitsȱ einȱfesterȱZinssatzȱverhandeltȱwerden,ȱderȱwährendȱderȱLaufzeitȱkonstantȱistȱundȱamȱ Endeȱ jederȱ Zinsperiodeȱ zurȱ Berechnungȱ herangezogenȱ wird.ȱAndererseitsȱ kannȱ manȱ sichȱauchȱaufȱeineȱvariableȱVerzinsungȱeinigen,ȱbeiȱderȱsichȱderȱZinssatzȱimȱZeitverlaufȱ ändert.ȱ Beispielȱ9.1:ȱSieȱkaufenȱeinȱ WertpapierȱmitȱeinemȱNominalbetragȱvonȱ 10.000ȱ€,ȱeinerȱ Laufzeitȱvonȱ5ȱJahrenȱundȱeinemȱZinssatzȱvonȱ5%ȱp.a.,ȱderȱnachschüssigȱgezahltȱwird.ȱ Sieȱ bekommenȱ alsoȱ jeweilsȱ amȱ Endeȱ einesȱ Jahresȱ 500ȱ €ȱ Zinsenȱ ausbezahlt.ȱ Sinktȱ jetztȱ durchȱZinsschwankungenȱdasȱMarktniveauȱfürȱvergleichbareȱWertpapiereȱmitȱgleicherȱ Restlaufzeitȱz.B.ȱaufȱ4%ȱp.a.,ȱsoȱprofitierenȱSieȱvonȱderȱVereinbarungȱeinesȱfestenȱZinsȬ satzes.ȱSieȱerhaltenȱweiterhinȱ500ȱ€ȱausȱIhremȱWertpapier,ȱwährendȱSieȱbeiȱeinerȱverȬ gleichbarenȱAnlageȱzumȱaktuellenȱZinsniveauȱnurȱ400ȱ€ȱerhaltenȱwürden.ȱErhöhtȱsichȱ allerdingsȱdasȱallgemeineȱZinsniveauȱaufȱ6%ȱp.a.,ȱsoȱerweistȱsichȱIhrȱfesterȱZinssatzȱalsȱ nachteilig.ȱSieȱbekommenȱweiterhinȱnurȱ500ȱ€,ȱhättenȱaberȱbeiȱeinerȱAnlageȱzumȱaktuȬ ellenȱZinssatzȱ600ȱ€ȱerhaltenȱkönnen.39ȱ

Vielleichtȱ möchtenȱ Sieȱ diesesȱ Zinsrisikoȱ umgehen.ȱ Stattȱ einȱ festverzinslichesȱ WertpaȬ pierȱzuȱkaufen,ȱkaufenȱSieȱnunȱeinȱvariabelȱverzinslichesȱWertpapier,ȱeinenȱFloater.ȱSieȱ entscheidenȱsichȱfürȱeinenȱFloaterȱdesȱSunnyTimeȬKonzernsȱmitȱeinemȱNominalbetragȱ vonȱ10.000ȱ€,ȱfürȱdenȱeineȱjährlicheȱZinszahlungȱinȱHöheȱdesȱ12ȬMonatsȬEuriborsȱzuȬ züglichȱ50ȱBasispunktenȱerfolgt.ȱDieȱLaufzeitȱdesȱFloaterȱbeträgtȱ5ȱJahre.ȱDerȱZinsfestȬ setzungsterminȱliegtȱjeweilsȱamȱ1.9.ȱeinesȱJahres.ȱEsȱwirdȱdieȱ30/360ȬZinstagemethodeȱ verwendet.ȱȱ InȱderȱFolgeȱkommtȱesȱnunȱnatürlichȱdaraufȱan,ȱwieȱsichȱderȱ12ȬMonatsȬEuriborȱentwiȬ ckelt.ȱWirȱbetrachtenȱeinmalȱeinȱhistorischesȱBeispiel.ȱNehmenȱwirȱan,ȱSieȱhabenȱIhrenȱ Floaterȱamȱ1.9.1999ȱgekauft,ȱsoȱlässtȱsichȱdieȱZinsentwicklungȱanȱdenȱZinsfestsetzungsȬ terminenȱwährendȱderȱ5ȬjährigenȱLaufzeitȱanȱAbbildungȱ9Ȭ1ȱablesen:ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 39ȱȱ Dieseȱ Thematikȱ habenȱ wirȱ auchȱ imȱ Kapitelȱ 8ȱ „KursȬȱ undȱ Renditerechnung“ȱ diskutiert.ȱ Beiȱ

einemȱ vorzeitigenȱ Verkaufȱ einesȱ Wertpapiersȱ ändertȱ sichȱ mitȱ denȱ Zinssätzenȱ auchȱ derȱ Kursȱ desȱWertpapiers.ȱWirȱwollenȱhierȱdenȱFokusȱdaraufȱlegen,ȱdassȱdasȱWertpapierȱbisȱzumȱEndeȱ derȱLaufzeitȱgehaltenȱwird,ȱundȱnurȱdasȱZinsrisikoȱbetrachten.ȱ

166 ȱ

Wiederholung

Abbildungȱ9Ȭ1:ȱ

12ȬMonatsȬEuriborȱSeptemberȱ1999ȱbisȱSeptemberȱ2003ȱ

[%] 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00

12-Monats-Euribor

2,00 1,00 0,00 1.9.99 1.9.00 1.9.01 1.9.02 1.9.03 1.9.04

ȱ

Dieȱ Zinszahlungȱ erfolgt,ȱ wieȱ beiȱ festverzinslichenȱ Wertpapierenȱ auch,ȱ meistȱ nachȬ schüssig.ȱ Esȱ wirdȱ derȱ Zinssatzȱ verwendet,ȱ derȱ amȱAnfangȱ derȱ Zinsperiodeȱ amȱ ZinsȬ festsetzungsterminȱfixiertȱwurde.ȱDerȱReferenzzinssatzȱwirdȱstandardmäßigȱ2ȱBankarȬ beitstageȱ vorȱ Beginnȱ derȱ Zinsperiodeȱ fixiert.ȱ Wirȱ werdenȱ inȱ diesemȱ Kapitelȱ aberȱ zurȱ besserenȱLesbarkeitȱderȱBeschreibungenȱundȱTabellenȱdenȱZinsfestsetzungsterminȱundȱ denȱBeginnȱderȱZinsperiodeȱaufȱeinenȱTerminȱfallenȱlassen.ȱ40ȱ Auchȱ dasȱ Datumȱ derȱ Zinszahlungȱ variiertȱ abhängigȱ davon,ȱ obȱ derȱ 31.8.ȱ einesȱ Jahresȱ einȱ Bankarbeitstagȱ istȱ oderȱ nicht.ȱ Hierȱ existierenȱ unterschiedlicheȱ Vorgehensweisenȱ zurȱ Bestimmungȱ desȱ Zinszahlungstermins.ȱ Wieȱ schonȱ anȱ frühererȱ Stelleȱ erläutert,ȱ ignorierenȱwirȱdieseȱtechnischenȱDetailsȱundȱgehenȱimmerȱdavonȱaus,ȱdassȱderȱZinsȬ zahlungsterminȱaufȱdenȱletztenȱTagȱderȱZinsperiodeȱfällt,ȱinȱdiesemȱFallȱaufȱdenȱ31.8.ȱ jedenȱJahres.ȱȱ Tabelleȱ9Ȭ1ȱführtȱnochȱeinmalȱdenȱ12ȬMonatsȬEuriborȱanȱdenȱZinsfestsetzungsterminenȱ sowieȱdieȱdarausȱresultierendenȱZahlungenȱauf:ȱ ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 40ȱȱ Liegtȱ dieȱ Zinsperiodeȱ etwaȱ vomȱ 1.9.ȱ einesȱ Jahresȱ bisȱ zumȱ 31.8.ȱ desȱ Folgejahres,ȱ würdeȱ dasȱ

eigentlicheȱ Fixingȱ desȱ Referenzzinssatzesȱ z.B.ȱ amȱ 30.8.ȱ desȱ jetzigenȱ Jahresȱ stattfinden.ȱ Wirȱ werdenȱstattdessenȱdenȱZinssatzȱdesȱ1.9.ȱverwenden.ȱZusätzlichȱvernachlässigenȱwirȱdieȱTatȬ sache,ȱdassȱeinȱZinssatzȱanȱeinemȱWochenendeȱoderȱFeiertagȱnichtȱfixiertȱwerdenȱkann.ȱFürȱ dieȱ Beispieleȱ wurdenȱ historischeȱ Datenȱ verwendet.ȱ Fälltȱ derȱ Beginnȱ derȱ Zinsperiodeȱ aufȱ eiȬ nenȱNichtbankarbeitstag,ȱwirdȱderȱZinssatzȱdesȱfolgendenȱBankarbeitstagsȱausgewiesen.ȱ

167

9.2

9

Zinsderivate

Tabelleȱ9Ȭ1:ȱ

12ȬMonatsȬEuriborȱundȱZinszahlungenȱ(Beispielȱ9.1)ȱ

Datum

12-MonatsEuribor

Datum der Zinszahlung

Zinssatz

Zinszahlung

1.9.1999

3,284%

31.8.2000

3,784%

378,40 €

1.9.2000

5,261%

31.8.2001

5,761%

576,10 €

1.9.2001

3,976%

31.8.2002

4,476%

447,60 €

1.9.2002

3,365%

31.8.2003

3,865%

386,50 €

1.9.2003

2,314%

31.8.2004

2,814%

281,40 €

ȱ Durchȱ dieȱ Zinszahlungȱ amȱ Endeȱ derȱ Zinsperiodeȱ verschiebtȱ sichȱ dieȱ Zinskurveȱ derȱ gezahltenȱ Zinsenȱ zeitlichȱ gegenüberȱ derȱ EuriborȬKurveȱ nachȱ rechts.ȱ Daȱ dieȱ AusstatȬ tungȱ desȱ Floaterȱ alsȱ Zinssatzȱ denȱ 12ȬMonatsȬEuriborȱ zuzüglichȱ 50ȱ Basispunktenȱ vorȬ sieht,ȱverschiebtȱsichȱdieȱKurveȱderȱgezahltenȱZinsenȱentsprechendȱumȱ50ȱBasispunkteȱ nachȱoben.ȱDieȱfolgendeȱGrafikȱveranschaulichtȱdiesenȱZusammenhang.ȱ

Abbildungȱ9Ȭ2:ȱ

12ȬMonatsȬEuriborȱundȱgezahlterȱZinssatzȱ(Beispielȱ9.1)ȱȱ

[%] 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 1.9.99 1.9.00 1.9.01 1.9.02 1.9.03 1.9.04

12-Monats-Euribor gezahlter Zinssatz

ȱ

DurchȱdieȱWahlȱeinesȱvariabelȱverzinslichenȱWertpapiersȱprofitierenȱSieȱvonȱZinserhöȬ hungen.ȱFälltȱderȱReferenzzinssatz,ȱsoȱnehmenȱSieȱallerdings,ȱwieȱbeiȱdemȱbetrachteȬ tenȱBeispiel,ȱauchȱanȱdieserȱZinsentwicklungȱteilȱundȱbekommenȱgeringereȱZinsenȱausȱ Ihremȱ Wertpapierȱ ausgezahlt.ȱ Eventuellȱ nehmenȱ Sieȱ diesesȱ Risikoȱ zumȱ Teilȱ inȱ Kauf.ȱ Vielleichtȱ habenȱ Sieȱ sichȱ aberȱ einenȱ gewissenȱ Mindestzinssatz,ȱ z.B.ȱ vonȱ mindestensȱ 3,5%ȱp.a.,ȱfürȱIhreȱAnlageȱerhofft.ȱȱ VersetzenȱSieȱsichȱeinmalȱinȱdieȱLageȱdesȱEmittentenȱIhresȱWertpapiers,ȱdenȱSunnyTiȬ meȬKonzern.ȱFürȱihnȱistȱdieȱSituationȱgeradeȱumgekehrt.ȱFallenȱdieȱZinsenȱundȱsomitȱ 168 ȱ

Zinsbegrenzungsverträge

auchȱderȱ12ȬMonatsȬEuribor,ȱistȱdiesesȱfürȱdenȱEmittentenȱgünstig,ȱdaȱerȱnichtȱsoȱhoheȱ Zinsenȱzahlenȱmuss.ȱSteigtȱderȱ12ȬMonatsȬEuriborȱaber,ȱsoȱmussȱderȱEmittentȱentspreȬ chendȱhöhereȱZinsenȱzahlen.ȱErȱkönnteȱsichȱeinenȱHöchstzinssatzȱwünschen,ȱderȱeineȱ ObergrenzeȱfürȱdieȱvonȱihmȱzuȱzahlendenȱZinsenȱdarstellt.ȱȱ EsȱistȱdasȱZielȱvonȱZinsbegrenzungsverträgen,ȱdieseȱunterschiedlichenȱWünscheȱnachȱ MindestȬȱundȱHöchstzinssätzenȱzuȱbefriedigen.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

9.3

Zinsbegrenzungsverträge

9.3.1

Floor-Floater und Cap-Floater

Beiȱ FloorȬFloaternȱ undȱ CapȬFloaternȱ istȱ dieȱ Zinsbegrenzungȱ bereitsȱ imȱ Wertpapierȱ integriert.ȱFloorȬFloaterȱbegrenzenȱdenȱZinssatzȱnachȱunten,ȱsieȱgarantierenȱdemȱAnȬ legerȱeinenȱMindestzinssatz.ȱCapȬFloaterȱbegrenzenȱdenȱZinssatzȱnachȱoben,ȱsieȱgaranȬ tierenȱdemȱSchuldnerȱeinenȱHöchstzinssatz.ȱ ȱ Beispielȱ 9.2ȱ (Fortführungȱ vonȱ Beispielȱ 9.1):ȱ Betrachtenȱ wirȱ nochȱ einmalȱ dasȱ inȱ derȱ WiederholungȱaufgeführteȱBeispiel.ȱ

WennȱSieȱamȱ1.9.1999ȱeinenȱ5ȬjährigenȱFloaterȱgekauftȱhaben,ȱkonntenȱSieȱnatürlichȱdieȱ ZinsentwicklungȱinȱdenȱfolgendenȱJahrenȱnichtȱvorhersehen.ȱVielleichtȱwarenȱSieȱsichȱ sehrȱ sicher,ȱ dassȱ dieȱ Zinsenȱ steigenȱ würdenȱ undȱ habenȱ sichȱ deshalbȱ fürȱ denȱ Floaterȱ entschieden.ȱȱ VielleichtȱwarenȱSieȱsichȱaberȱnichtȱsoȱsicher.ȱSieȱwolltenȱzwarȱanȱdenȱZinserhöhungenȱ teilnehmen,ȱ wünschtenȱ sichȱ aberȱ fürȱ Ihreȱ 10.000ȱ €ȱ eineȱ Mindestverzinsungȱ vonȱȱ 3,5%ȱp.a.ȱSieȱwarenȱbereit,ȱ„nachȱunten“ȱSchwankungenȱdesȱZinssatzesȱbisȱ3,5%ȱp.a.ȱinȱ Kaufȱzuȱnehmen.ȱȱ Umȱ dieseȱ Vorstellungenȱ zuȱ erfüllen,ȱ habenȱ Sieȱ eineȱ Anleiheȱ mitȱ einerȱ FloorȬ Komponente,ȱd.h.ȱeinerȱgarantiertenȱMindestverzinsungȱgekauft.ȱManȱsprichtȱhierbeiȱ auchȱvonȱeinemȱFloorȬFloaterȱ oderȱeinerȱFloorȬAnleihe.ȱDieȱBezeichnungȱFloorȱ(engl.:ȱ Boden)ȱdrücktȱaus,ȱdassȱderȱZinssatzȱunterȱeinenȱgewissenȱWert,ȱdenȱ„Boden“,ȱnichtȱ sinkenȱkann.ȱDerȱFloorȬZinssatzȱstelltȱdieȱMindestverzinsungȱdar.ȱȱ AufgrundȱIhrerȱZiele,ȱhabenȱSieȱeineȱAnleiheȱmitȱeinemȱMindestzinssatzȱvonȱ3,5%ȱp.a.ȱ gewählt.ȱInȱderȱFolgeȱwurdeȱIhnenȱdannȱjedesȱMal,ȱwennȱderȱ12ȬMonatsȬEuriborȱzuȬ züglichȱ denȱ imȱ Wertpapierȱ gezahltenȱ 50ȱ Basispunktenȱ kleinerȱ alsȱ 3,5%ȱ p.a.ȱ blieb,ȱ dieȱ Mindestverzinsungȱvonȱ3,5%ȱp.a.ȱgewährt.ȱȱ 169

9.3

9

Zinsderivate

IhreȱZinszahlungenȱwärenȱinȱdiesemȱFallȱalsoȱdieȱfolgendenȱgewesen:ȱȱ

Tabelleȱ9Ȭ2:ȱ

ZinszahlungenȱbeimȱFloorȬFloaterȱ(Mindestzinssatz:ȱ3,5%ȱp.a.)ȱ

Datum

12-MonatsEuribor

Datum der Zinszahlung

Zinssatz

Zinszahlung

1.9.1999

3,284%

31.8.2000

3,784%

378,40 €

1.9.2000

5,261%

31.8.2001

5,761%

576,10 €

1.9.2001

3,976%

31.8.2002

4,476%

447,60 €

1.9.2002

3,365%

31.8.2003

3,865%

386,50 €

1.9.2003

2,314%

31.8.2004

3,500%

350,00 €

ȱ Inȱ derȱ letztenȱ Zinsperiodeȱ hätteȱ derȱ Nominalzinssatzȱ desȱ „ungefloorten“ȱ Floaterȱȱ (12ȬMonatsȬEuriborȱ +ȱ 50ȱ Basispunkte)ȱ 2,814%ȱ p.a.ȱ betragen.ȱ Inȱ demȱ Floater,ȱ derȱ mitȱ demȱFloorȱausgestattetȱist,ȱbekommenȱSieȱaberȱdieȱMindestverzinsungȱvonȱ3,5%ȱp.a.ȱ

Abbildungȱ9Ȭ3:ȱ

GezahlteȱZinssätzeȱbeimȱFloorȬFloaterȱ(Mindestzinssatz:ȱ3,5%ȱp.a.)ȱ

[%] 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00

12-Monats-Euribor gezahlter Zinssatz Floor-Zinssatz

2,00 1,00 0,00 1.9.99 1.9.00 1.9.01 1.9.02 1.9.03 1.9.04

ȱ

DurchȱdenȱKaufȱeinesȱFloorȱpartizipierenȱSieȱanȱdenȱsteigendenȱZinsen,ȱhabenȱaberȱdieȱ SicherheitȱeinesȱMindestzinssatzes.ȱDieseȱSicherheit,ȱeinenȱMindestzinssatzȱausgezahltȱ zuȱ bekommen,ȱ kostetȱ Sieȱ allerdingsȱ einenȱ Preis.ȱ Dieȱ Kostenȱ könntenȱ inȱ Formȱ einerȱȱ einmaligenȱZahlungȱanȱdenȱEmittentenȱerfolgen.ȱBeiȱAnleihenȱmitȱintegriertenȱFloorȬ KomponentenȱwirdȱallerdingsȱmeistȱeineȱandereȱVorgehensweiseȱgewählt.ȱDieȱKostenȱ fürȱdenȱimȱWertpapierȱenthaltenenȱMindestzinssatzȱwerdenȱüblicherweiseȱdurchȱeineȱ geringereȱGrundverzinsungȱverrechnet.ȱInȱdiesemȱFallȱkönnteȱdiesesȱsoȱaussehen,ȱdassȱ 170 ȱ

Zinsbegrenzungsverträge

Sieȱ stattȱ desȱ 12ȬMonatsȬEuriborȱ +ȱ 50ȱ Basispunkteȱ nurȱ 12ȬMonatsȬEuriborȱ+ȱ45ȱBasispunkteȱalsȱGrundverzinsungȱerlangen.ȱȱ ȱ

nochȱ denȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ Beispielȱ9.3ȱ(FortführungȱvonȱBeispielȱ9.1):ȱ BetrachtenȱSieȱnunȱumgekehrtȱdenȱEmitȬ tentenȱ desȱ Wertpapiers.ȱ Erȱ erhofftȱ sichȱ fallendeȱ Zinsen,ȱ soȱ dassȱ seineȱ zuȱ leistendenȱ Zinszahlungenȱnichtȱsoȱhochȱsind.ȱErȱistȱbereit,ȱsteigendeȱZinsenȱinȱKaufȱzuȱnehmen,ȱ möchteȱaberȱhöchstensȱeinenȱZinssatzȱvonȱ4%ȱp.a.ȱzahlen.ȱȱ

ErȱkannȱnunȱeineȱCapȬAnleiheȱemittieren.ȱDerȱBegriffȱ„Cap“ȱ(engl.:ȱDeckel)ȱzeigtȱan,ȱ dassȱ derȱ zuȱ zahlendeȱ Zinssatzȱ nachȱ obenȱ durchȱ einenȱ „Deckel“ȱ beschränktȱ ist.ȱ Derȱ EmittentȱhabeȱalsoȱeineȱAnleiheȱbegeben,ȱdieȱdenȱ12ȬMonatsȬEuriborȱ+ȱ50ȱBasispunkteȱ zahlt,ȱsolangeȱdieserȱZinssatzȱkleinerȱalsȱ4%ȱp.a.ȱbleibt.ȱSteigtȱderȱsoȱerrechneteȱZinsȬ satzȱ überȱ 4%ȱ p.a.,ȱ zahltȱ derȱ Emittentȱ demȱ Gläubigerȱ nurȱ denȱ Höchstzinssatzȱ vonȱȱ 4%ȱp.a.ȱDieȱAnleiheȱhatȱwiederumȱeineȱLaufzeitȱvomȱ1.9.1999ȱbisȱzumȱ31.8.2004.ȱȱ Tabelleȱ9Ȭ3ȱundȱAbbildungȱ9Ȭ4ȱstellenȱdieȱZinsleistungenȱdesȱEmittentenȱdar.ȱDieȱabsoȬ luteȱZinszahlungȱinȱTabelleȱ9Ȭ3ȱistȱwiederȱaufȱeinenȱNominalbetragȱvonȱ10.000ȱ€ȱbezoȬ gen.ȱȱ

Tabelleȱ9Ȭ3:ȱ

ZinszahlungenȱbeimȱCapȬFloaterȱ(Höchstzinssatz:ȱ4%ȱp.a.)ȱ

Datum

12-MonatsEuribor

Datum der Zinszahlung

Zinssatz

Zinszahlung

1.9.1999

3,284%

31.8.2000

3,784%

378,40 €

1.9.2000

5,261%

31.8.2001

4,000%

400,00 €

1.9.2001

3,976%

31.8.2002

4,000%

400,00 €

1.9.2002

3,365%

31.8.2003

3,865%

386,50 €

1.9.2003

2,314%

31.8.2004

2,814%

281,40 €

ȱ Imȱ Floaterȱ ohneȱ CapȬKomponenteȱ wäreȱ amȱ 31.8.2001ȱ eineȱ Zinszahlungȱ vonȱ 5,761%ȱ p.a.ȱfällig.ȱHierȱgreiftȱderȱCapȱdesȱFloater,ȱderȱeineȱZinsobergrenzeȱvonȱ4%ȱp.a.ȱgaranȬ tiert.ȱAuchȱ eineȱ Periodeȱ späterȱ wirdȱ nurȱ derȱ Höchstzinssatzȱ vonȱ 4%ȱ p.a.ȱ gezahlt,ȱ imȱ FloaterȱohneȱCapȱwäreȱeinȱZinssatzȱvonȱ4,476%ȱp.a.ȱzurȱGeltungȱgekommen.ȱ Auchȱ hierȱ kostetȱ dieȱ Vereinbarungȱ einesȱ Höchstzinssatzesȱ denȱ Emittentenȱ desȱ WertȬ papiersȱeinenȱPreis.ȱTheoretischȱwäreȱesȱmöglich,ȱdassȱerȱdiesenȱPreisȱanȱdenȱKäuferȱ desȱ Wertpapiersȱ zahlt.ȱ Esȱ istȱ aberȱ nichtȱ üblich,ȱ dassȱ Emittentenȱ vonȱ Wertpapierenȱ zunächstȱAusgleichszahlungenȱ anȱ dieȱ Käuferȱ derȱ Papiereȱ zahlen.ȱ Damitȱ dasȱ WertpaȬ pierȱ dennochȱ gekauftȱ wird,ȱ obwohlȱ esȱ imȱ Falleȱ steigenderȱ Zinsenȱ durchȱ dieȱ CapȬ KomponenteȱgeringereȱZinsenȱalsȱeinȱ„ungecappter“ȱFloaterȱerbringt,ȱmussȱderȱEmitȬ

171

9.3

9

Zinsderivate

tentȱdieȱAnleiheȱfürȱdenȱKäuferȱinȱandererȱHinsichtȱattraktivȱmachen.ȱErȱwirdȱdiesesȱ z.B.ȱdurchȱeineȱhöhereȱGrundverzinsungȱversuchen.ȱImȱBeispielȱkönnteȱderȱVerkäuferȱ z.B.ȱdenȱ12ȬMonatsȬEuriborȱ+ȱ60ȱBasispunkteȱbieten,ȱsolangeȱdieserȱZinssatzȱdieȱZinsȬ obergrenzeȱvonȱ4%ȱp.a.ȱnichtȱüberschreitet.ȱ

Abbildungȱ9Ȭ4:ȱ

GezahlteȱZinssätzeȱbeimȱCapȬFloaterȱ(Höchstzinssatz:ȱ4%ȱp.a.)ȱ

[%] 7,00 6,00

12-Monats-Euribor

5,00

Gezahlter Zinssatz

4,00

Cap-Zinssatz

3,00 2,00 1,00 0,00 1.9.99 1.9.00 1.9.01 1.9.02 1.9.03 1.9.04

ȱ

9.3.2

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

Floor

DieȱKomponenteȱdesȱVertrags,ȱdieȱbeimȱFloorȬFloaterȱzuȱeinemȱMindestzinssatzȱführt,ȱ lässtȱsichȱalsȱ FloorȱauchȱalsȱeigenständigesȱProduktȱkaufen.ȱSomitȱistȱesȱfürȱdenȱAnleȬ gerȱmöglich,ȱjedesȱvariabelȱverzinslicheȱWertpapierȱmitȱeinemȱMindestzinssatzȱauszuȬ statten.ȱDasȱeigentlicheȱWertpapierȱundȱderȱFloor,ȱderȱdenȱMindestzinssatzȱgarantiert,ȱ könnenȱvonȱunterschiedlichenȱKontrahentenȱerworbenȱwerden.ȱ Definition:ȱEinȱFloorȱistȱeinȱVertragȱzwischenȱzweiȱParteien,ȱderȱdemȱKäuferȱdesȱFloorȱ dasȱRechtȱeinbringt,ȱdannȱeineȱAusgleichszahlungȱvomȱVerkäuferȱzuȱverlangen,ȱwennȱ einȱ Referenzzinssatzȱ anȱ einemȱ Zinsfestsetzungsterminȱ eineȱ bestimmteȱ ZinsunterȬ grenzeȱ (genannt:ȱ Strikeȱ oderȱ FloorȬZinssatz)ȱ unterschreitet.ȱ Dieȱ Ausgleichszahlungȱ wirdȱ fürȱ dieȱ Zinsperiode,ȱ fürȱ dieȱ dieȱUnterschreitungȱ stattgefundenȱ hat,ȱaufȱ einȱ ausȬ gemachtesȱ Volumenȱ gezahlt.ȱ Fürȱ dieȱ Gewährungȱ diesesȱ Rechtsȱ erhältȱ derȱ Verkäuferȱ eineȱPrämie.ȱ

Unterschreitetȱ derȱ Referenzzinssatzȱ amȱ Zinsfestsetzungsterminȱ dieȱ Zinsuntergrenze,ȱ erhältȱderȱKäuferȱdesȱFloorȱeineȱAusgleichszahlungȱinȱHöheȱvonȱ

172 ȱ

Zinsbegrenzungsverträge

(FloorȬZinssatzȱ–ȱReferenzzinssatz) ˜

Tage ˜ Volumen .ȱȱ 360

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(9.1)ȱ

DieȱBerechnungȱderȱTageȱrichtetȱsichȱnachȱderȱZinstagemethodeȱdesȱReferenzzinssatȬ zes.ȱ Beiȱ Verwendungȱ desȱ Euriborsȱ alsȱ Referenzzinssatzȱ wirdȱ z.B.ȱ standardmäßigȱ dieȱ act/360ȬZinstagemethodeȱ zurȱ Berechnungȱ derȱ Zinstageȱ verwendet.ȱ Andereȱ ZinstageȬ methodenȱkönnenȱzwischenȱdenȱVertragspartnernȱaberȱverhandeltȱwerden.ȱDerȱFaktorȱ Tage/360ȱ istȱ beiȱ derȱ Verwendungȱ einerȱ anderenȱ Zinstagemethodeȱ inȱ derȱ Berechnungȱ derȱAusgleichszahlungȱentsprechendȱzuȱersetzen.ȱ Beispielȱ9.4:ȱ Sieȱkaufenȱamȱ1.3.2008ȱvonȱderȱABCȬBankȱeinenȱFloorȱmitȱeinerȱLaufzeitȱ vonȱ4ȱJahren,ȱderȱdannȱeineȱAusgleichszahlungȱerbringt,ȱwennȱderȱ6ȬMonatsȬEuriborȱ (Referenzzinssatz)ȱamȱ1.3.ȱoderȱamȱ1.9.ȱ(Zinsfestsetzungstermine)ȱdieȱZinsuntergrenzeȱ vonȱ 3%ȱ p.a.ȱ (Strike)ȱ unterschreitet.ȱ Dasȱ Volumen,ȱ dasȱ demȱ Floorȱ zugrundeȱ liegt,ȱ sollȱ 100.000ȱ€ȱbetragen.ȱȱ

Vomȱ 1.3.ȱ bisȱ zumȱ 31.8.ȱ einesȱ Jahresȱ sindȱ esȱ 184ȱ Tage.ȱ Liegtȱ derȱ 6ȬMonatsȬEuriborȱ amȱ 1.3.2009ȱz.B.ȱbeiȱ2,5%ȱp.a.41ȱerhaltenȱSieȱ (0 ,03  0 ,025) ˜

184 ˜ 100.000 € 360

255 ,56 € .ȱ

DieseȱZahlungȱerfolgtȱamȱEndeȱderȱZinsperiode,ȱd.h.ȱamȱ31.8.2009.42ȱ Liegtȱ derȱ 6ȬMonatsȬEuriborȱ amȱ 1.3.2009ȱ aberȱ beiȱ 3,5%ȱ p.a.,ȱ erhaltenȱ Sieȱ keineȱ AusȬ gleichszahlung.ȱIhrȱRechtȱaufȱeineȱAusgleichszahlungȱbeiȱUnterschreitungȱderȱ3%ȱp.a.ȱ verfälltȱfürȱdieȱZinsperiodeȱvomȱ1.3.ȱbisȱzumȱ31.8.2009ȱwertlos.ȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ ȱ Bemerkung:ȱ DerȱerhalteneȱAusgleichȱlässtȱsichȱauchȱüberȱdieȱreinenȱZinssätzeȱformuȬ lieren.ȱ Unterschreitetȱ derȱ Referenzzinssatzȱ amȱ Zinsfestsetzungsterminȱ dieȱ ZinsunterȬ grenze,ȱ erhältȱ derȱ Käuferȱ desȱ Floorȱ einenȱ Ausgleichszinssatzȱ inȱ Höheȱ derȱ Differenzȱ vonȱFloorȬZinssatzȱundȱReferenzzinssatz.ȱȱ

ȱ Fortführungȱ vonȱ Beispielȱ 9.4:ȱ Liegtȱ derȱ 6ȬMonatsȬEuriborȱ amȱ 1.3.2009ȱ z.B.ȱ beiȱ 2,5%ȱ p.a.,ȱsoȱerhaltenȱSieȱalsȱKäuferȱdesȱFloorȱeinenȱAusgleichszinssatzȱvonȱ3%ȱp.a.ȱabzügȬ lichȱ 2,5%ȱ p.a.,ȱ d.h.ȱ 0,5%ȱ p.a.ȱ Wennȱ Sieȱ diesenȱ Zinssatzȱ aufȱ dieȱ Zinsperiodeȱ undȱ dasȱ ausgemachteȱVolumenȱanrechnen,ȱerhaltenȱSieȱwiederȱdenȱWertȱIhrerȱAusgleichszahȬ lungȱinȱHöheȱvonȱ255,56ȱ€.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 41ȱȱ BeiȱErscheinenȱdesȱBuchesȱwarenȱdieȱZinssätzeȱinȱderȱbetrachtetenȱZeitȱnochȱnichtȱbekannt.ȱ

EsȱliegenȱfiktiveȱDatenȱvor.ȱ 42ȱȱ InȱderȱPraxisȱwirdȱdieȱAusgleichszahlungȱinȱdenȱmeistenȱFällenȱabgezinstȱundȱzuȱBeginnȱderȱ

Zinsperiodeȱentrichtet.ȱ

173

9.3

9

Zinsderivate

FürȱdasȱRechtȱbeiȱUnterschreitungȱdesȱFloorȬZinssatzesȱvomȱVerkäuferȱdesȱFloorȱeineȱ Ausgleichszahlungȱ zuȱ empfangen,ȱ mussȱ derȱ Käuferȱ eineȱ Prämie,ȱ d.h.ȱ einenȱ Preis,ȱ zahlen.ȱ Derȱ Preisȱ wirdȱ inȱ Basispunktenȱ bemessenȱ undȱ aufȱ denȱ Nominalbetragȱ angeȬ rechnet.ȱErȱwirdȱmeistȱ„upfront“,ȱd.h.ȱzuȱBeginnȱderȱLaufzeitȱ(s.ȱAbschnittȱ„Prämienȱ vonȱFloorȱundȱCap“)ȱgezahlt.ȱȱ Fortführungȱ vonȱ Beispielȱ 9.4:ȱ Liegtȱ derȱ Preisȱ fürȱ denȱ 4Ȭjährigenȱ Floorȱ mitȱ Strikeȱȱ 3%ȱp.a.ȱzurȱZeitȱbeiȱ90ȱBasispunkten,ȱsoȱzahlenȱSieȱzuȱBeginnȱderȱLaufzeitȱ

0 ,9% ˜ 100.000 €

900 € .ȱ ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

ȱ Derȱ Käuferȱ hatȱ sichȱ dannȱ fürȱ dieȱ gesamteȱ Laufzeitȱ desȱ Floorȱ einenȱ Mindestzinssatzȱ gesichert.ȱ Inȱ manchenȱ Zinsperiodenȱ kannȱ esȱ zuȱ Unterschreitungenȱ desȱ MindestzinsȬ satzesȱkommenȱundȱderȱKäuferȱerhältȱeineȱAusgleichszahlung.ȱInȱanderenȱZinsperioȬ denȱ verfälltȱ derȱ Floorȱ eventuellȱ wertlos.ȱ Einȱ Floorȱ bestehtȱ soȱ ausȱ einemȱ Bündelȱ vonȱ RechtenȱwährendȱderȱeinzelnenȱZinsperioden.ȱFürȱdasȱeinzelneȱRechtȱwährendȱeinerȱ ZinsperiodeȱsprichtȱmanȱauchȱvonȱeinemȱFloorlet.ȱ ȱ Beispielȱ 9.5ȱ (Fortführungȱ vonȱ Beispielȱ 9.2):ȱ Wirȱ nehmenȱ dasȱ obigeȱ Beispielȱ wiederȱ auf,ȱinȱdemȱSieȱsichȱbeiȱeinemȱ5ȬjährigenȱWertpapierȱmitȱjährlicherȱZinszahlungȱeinenȱ Mindestzinssatzȱ vonȱ 3,5%ȱ p.a.ȱ sichernȱ wollen.ȱ Sieȱ entscheidenȱ sichȱ amȱ 1.9.1999ȱ fürȱ einenȱ Floaterȱ mitȱ einemȱ Nominalbetragȱ vonȱ 10.000ȱ €ȱ desȱ SunnyTimeȬKonzerns.ȱ SunȬ nyTimeȱ emittiertȱ aberȱ keineȱ FloorȬAnleihen.ȱ Dieȱ Zinszahlungȱ erfolgtȱ jährlichȱ ohneȱ Zinsbegrenzungȱ inȱ Höheȱ desȱ 12ȬMonatsȬEuriborsȱ zuzüglichȱ 50ȱ Basispunkten.ȱ ZinsȬ festsetzungsterminȱ istȱ jeweilsȱ amȱ 1.9.ȱ einesȱ Jahres.ȱ Esȱ wirdȱ dieȱ 30/360ȬMethodeȱ verȬ wendet.ȱ

Abbildungȱ9Ȭ5:ȱ

ZahlungenȱbeimȱKaufȱeinesȱFloaterȱundȱeinesȱzusätzlichenȱFloorȱ

SunnyTime

12-M-Euribor + 0,5%

ABC-Bank

174 ȱ

3% – 12-M-Euribor, wenn 12-M-Euribor < 3 %

Besitzer des Floater + Floor

ȱ

Zinsbegrenzungsverträge

DaȱSunnyTimeȱkeineȱFloorȬFloaterȱbegibt,ȱmussȱdieȱSicherungȱdesȱMindestzinssatzesȱ überȱ einȱ zusätzlichesȱ Geschäftȱ erfolgen.ȱ Sieȱ kaufenȱ daherȱ beiȱ derȱ ABCȬBankȱ einenȱ Floor,ȱ derȱ genauȱ „zuȱ IhrerȱAnleiheȱ passt“,ȱ d.h.ȱ Sieȱ wählenȱ einenȱ Floorȱ mitȱ 5Ȭjährigerȱ LaufzeitȱundȱeinemȱVolumenȱvonȱ10.000ȱ€ȱsowieȱeinemȱStrikeȱvonȱ3%ȱp.a.ȱDieserȱerȬ bringtȱdannȱeineȱAusgleichszahlung,ȱwennȱderȱ12ȬMonatsȬEuriborȱunterȱ3%ȱp.a.ȱfällt.ȱ Daȱ derȱ Emittentȱ desȱ Floaterȱ denȱ 12ȬMonatsȬEuriborȱ zuzüglichȱ 50ȱ Basispunkteȱ zahlt,ȱ habenȱSieȱsichȱsoȱeinenȱMindestzinssatzȱvonȱ3,5%ȱp.a.ȱgesichert.ȱ Abbildungȱ 9Ȭ5ȱ veranschaulichtȱ dieseȱ Zusammenhängeȱ schematisch.ȱ Fürȱ dieȱ historiȬ schenȱDatenȱdesȱBeispielsȱzeigtȱTabelleȱ9Ȭ4ȱdieȱZinssätze,ȱdieȱSieȱvomȱEmittentenȱSunȬ nyTimeȱsowieȱvonȱderȱABCȬBank,ȱdemȱVerkäuferȱIhresȱFloor,ȱerhalten:ȱȱ

Tabelleȱ9Ȭ4:ȱ

ZinszahlungenȱbeimȱKaufȱeinesȱFloaterȱundȱeinesȱzusätzlichenȱFloorȱ

Datum

12-MonatsEuribor

Datum der Zinszahlung

Vom Emitten- Von der Bank ten empfanerhaltener gener ZinsZinssatz satz

Resultierender Zinssatz

1.9.1999

3,284%

31.8.2000

3,784%

-

3,784%

1.9.2000

5,261%

31.8.2001

5,761%

-

5,761%

3.9.2001

3,976%

30.8.2002

4,476%

-

4,476%

2.9.2002

3,365%

29.8.2003

3,865%

-

3,865%

1.9.2003

2,314%

31.8.2004

2,814%

0,686%

3,500%

ȱ Inȱ derȱ letztenȱ Zinsperiodeȱ erhaltenȱ Sieȱ vomȱ Emittentenȱ desȱ Floaterȱ nurȱ 2,814%ȱ p.a.,ȱ ausȱ demȱ zusätzlichȱ abgeschlossenenȱ Floorȱ mitȱ derȱ Bankȱ aberȱ 3%ȱ p.aȱ abzüglichȱȱ 2,314%ȱ p.a.,ȱ d.h.ȱ 0,686%ȱ p.a.ȱ Zusammenȱ ergibtȱ sichȱ fürȱ Sieȱ alsoȱ wieȱ erwünschtȱ eineȱ Zinszahlungȱvonȱ3,5%ȱp.a.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑ

9.3.3

Cap

DurchȱdenȱAbschlussȱeinesȱCapȱlässtȱsichȱeinȱHöchstzinssatzȱauchȱüberȱeinȱeigenstänȬ diges,ȱvomȱFloaterȱlosgelöstesȱProduktȱerzielen.ȱSomitȱistȱesȱfürȱdenȱEmittentenȱmögȬ lich,ȱfürȱjedeȱvariabelȱverzinslicheȱAnleiheȱeinenȱHöchstzinssatzȱzuȱdefinieren.ȱErȱkannȱ diesesȱunabhängigȱvonȱderȱNachfrageȱfürȱCapȬFloaterȱerreichen.ȱDenȱCapȱkannȱerȱzuȱ diesemȱZweckȱmitȱeinemȱanderenȱVertragspartnerȱabschließen.ȱ Definition:ȱ Einȱ Capȱ istȱ einȱ Vertrag,ȱ derȱ demȱ Käuferȱ dasȱ Rechtȱ einbringt,ȱ dannȱ eineȱ Ausgleichszahlungȱ vomȱ Verkäuferȱ zuȱ verlangen,ȱ wennȱ einȱ Referenzzinssatzȱ anȱ eiȬ nemȱ Zinsfestsetzungsterminȱ eineȱ bestimmteȱ Zinsobergrenzeȱ (Strikeȱ oderȱ CapȬ 175

9.3

9

Zinsderivate

Zinssatz)ȱ überschreitet.ȱ Dieȱ Ausgleichszahlungȱ wirdȱ fürȱ dieȱ Zinsperiode,ȱ anȱ derenȱ BeginnȱdieȱÜberschreitungȱstattgefundenȱhat,ȱaufȱeinȱausgemachtesȱVolumenȱgezahlt.ȱ FürȱdieȱGewährungȱdiesesȱRechtsȱerhältȱderȱVerkäuferȱeineȱPrämie.ȱ

Überschreitetȱ derȱ Referenzzinssatzȱ amȱ Zinsfestsetzungsterminȱ dieȱ Zinsobergrenze,ȱ erhältȱderȱKäuferȱdesȱCapȱeineȱAusgleichszahlungȱinȱHöheȱvonȱ (Referenzzinssatzȱ–ȱCapȬZinssatz) ˜

Tage ˜ Volumen .ȱȱȱ 360

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(9.2)ȱ

DieȱBerechnungȱderȱTageȱrichtetȱsichȱwiederumȱnachȱderȱZinstagemethodeȱdesȱRefeȬ renzzinssatzesȱ bzw.ȱ derȱ individuellenȱ Vereinbarungȱ derȱ Vertragspartner.ȱ Derȱ Faktorȱ Tage/360ȱistȱderȱverwendetenȱZinstagemethodeȱanzupassen.ȱȱ Derȱ Käuferȱ erhältȱ alsoȱ einenȱAusgleichszinssatzȱ inȱ Höheȱderȱ Differenzȱausȱ ReferenzȬ zinssatzȱundȱCapȬZinssatz.ȱDerȱAusgleichszinssatzȱwirdȱaufȱdieȱZinsperiodeȱundȱdasȱ zugrundeȱliegendeȱVolumenȱangerechnet.ȱ Beispielȱ9.6ȱ(FortführungȱvonȱBeispielȱ9.4):ȱSieȱkaufenȱamȱ1.3.2008ȱvonȱderȱABCȬBankȱ einenȱCap,ȱderȱdannȱeineȱAusgleichszahlungȱerbringt,ȱwennȱderȱ6ȬMonatsȬEuriborȱamȱ 1.3.ȱoderȱamȱ1.9.ȱdieȱZinsobergrenzeȱvonȱ5%ȱp.a.ȱüberschreitet.ȱDasȱVolumen,ȱdasȱdemȱ Capȱzugrundeȱliegt,ȱsollȱ100.000ȱ€ȱbetragen.ȱȱ

Liegtȱderȱ6ȬMonatsȬEuriborȱamȱ1.3.2009ȱbeiȱ5,5%ȱp.a.ȱerhaltenȱSieȱeineȱAusgleichszahȬ lungȱvonȱ0,5%ȱp.a.,ȱd.h.ȱ (0 ,055  0 ,05) ˜

184 ˜ 100.000 € 360

255 ,56 € .ȱ

DieseȱZahlungȱerfolgtȱamȱ31.8.2009.ȱ Liegtȱ derȱ 6ȬMonatsȬEuriborȱ allerdingsȱ amȱ 1.3.2009ȱ beiȱ 4,5%ȱ p.a.,ȱ verfälltȱ derȱ Capȱ fürȱ dieȱZinsperiodeȱvomȱ1.3.ȱbisȱzumȱ31.8.2009ȱwertlos.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ ȱ AuchȱeinȱCapȱbestehtȱausȱeinemȱBündelȱvonȱRechtenȱinȱdenȱverschiedenenȱZinsperioȬ den.ȱFürȱdasȱeinzelneȱRechtȱwährendȱeinerȱZinsperiodeȱsprichtȱmanȱauchȱvonȱeinemȱ Caplet.ȱ ȱ Beispielȱ9.7ȱ(Fortführungȱvonȱ Beispielȱ9.1):ȱ ImȱobigenȱBeispielȱversetzenȱwirȱunsȱnunȱ wiederȱinȱdieȱLageȱdesȱEmittentenȱdesȱ5ȬjährigenȱFloater,ȱdenȱSunnyTimeȬKonzern.ȱErȱ möchteȱ einenȱ ȱ maximalenȱ Zinssatzȱ vonȱ 4%ȱ p.a.ȱ leisten.ȱ Beiȱ denȱ potentiellenȱ Käufernȱ seinerȱWertpapiereȱsiehtȱerȱaberȱkeinenȱBedarfȱfürȱFloater,ȱdieȱmitȱeinemȱHöchstzinsȬ satzȱausgestattetȱsind.ȱErȱemittiertȱdenȱFloaterȱdaherȱohneȱCapȬKomponenteȱmitȱeinerȱ jährlichenȱZinsleistungȱinȱHöheȱdesȱ12ȬMonatsȬEuriborsȱ+ȱ50ȱBasispunkte.ȱZinsfestsetȬ zungsterminȱistȱwiederȱderȱ1.9.ȱeinesȱjedenȱJahres.ȱȱ

176 ȱ

Zinsbegrenzungsverträge

DieȱSicherungȱ desȱHöchstzinssatzesȱerfolgtȱnunȱüberȱeinenȱzusätzlichenȱVertrag.ȱDerȱ Emittentȱ kauftȱ beiȱ derȱABCȬBankȱ einenȱ Cap,ȱ derȱ „zuȱ seinerȱAnleiheȱ passt“.ȱ Erȱ wähltȱ einenȱ Capȱ mitȱ 5Ȭjährigerȱ Laufzeit,ȱ derȱ dannȱ eineȱ Ausgleichszahlungȱ erbringt,ȱ wennȱ derȱ12ȬMonatsȬEuriborȱüberȱ3,5%ȱp.a.ȱsteigt.ȱDaȱerȱjeweilsȱdenȱ12ȬMonatsȬEuriborȱ+ȱ50ȱ Basispunkteȱzuȱzahlenȱhat,ȱhatȱerȱsichȱsoȱeinenȱmaximalenȱZinssatzȱvonȱ4%ȱp.a.ȱgesiȬ chert.ȱInȱAbbildungȱ9Ȭ6ȱwerdenȱdieȱZusammenhängeȱnochȱeinmalȱschematischȱdargeȬ stellt.ȱ

Abbildungȱ9Ȭ6:ȱ

ZahlungenȱbeimȱVerkaufȱeinesȱFloaterȱundȱeinesȱzusätzlichenȱCapȱ 12-M-Euribor – 3,5% , wenn 12-M-Euribor > 3,5% ABC-Bank

SunnyTime (Käufer des Cap)

12-M-Euribor + 0,5%

Besitzer des Floater

ȱ

Tabelleȱ 9Ȭ5ȱ zeigtȱ fürȱ dieȱ historischenȱ Datenȱ desȱ Beispielsȱ dieȱ zuȱ zahlendenȱ undȱ ausȱ demȱCapȱerhaltenenȱZinssätze.ȱȱ

Tabelleȱ9Ȭ5:ȱ

ZinszahlungenȱbeimȱVerkaufȱeinesȱFloaterȱundȱKaufȱeinesȱzusätzlichenȱCapȱ

Datum

12-MonatsEuribor

Datum der Zinszahlung

An Käufer zu zahlender Zinssatz

Von der Bank erhaltener Zinssatz

Resultierender Zinssatz

1.9.1999

3,284%

31.8.2000

3,784%

-

3,784%

1.9.2000

5,261%

31.8.2001

5,761%

1,761%

4,000%

1.9.2001

3,976%

31.8.2002

4,476%

0,476%

4,000%

1.9.2002

3,365%

31.8.2003

3,865%

-

3,865%

1.9.2003

2,314%

31.8.2004

2,814%

-

2,814%

177

9.3

9

Zinsderivate

9.3.4

Die Rolle des Stillhalters

DieȱvorgestelltenȱZinsbegrenzungsverträgeȱgewährenȱdemȱKäuferȱdasȱRecht,ȱbeiȱUnȬ terschreitungȱoderȱÜberschreitungȱeinesȱgewissenȱZinssatzesȱeineȱAusgleichszahlungȱ zuȱ empfangen.ȱ Diesesȱ Rechtȱ istȱ einseitig,ȱ esȱ istȱ alleinȱ aufȱ denȱ Käuferȱ beschränkt.ȱ NimmtȱderȱKäuferȱseinȱRechtȱinȱAnspruch,ȱmussȱderȱVerkäuferȱdesȱZinsbegrenzungsȬ vertragsȱdieȱgeforderteȱAusgleichszahlungȱleisten.ȱManȱbezeichnetȱihnȱauchȱalsȱ StillȬ halter.ȱ FürȱseinȱVersprechenȱbeiȱUnterȬȱoderȱÜberschreitungȱderȱZinsgrenzenȱAusgleichszahȬ lungenȱzuȱerbringen,ȱbekommtȱderȱStillhalterȱeineȱ Prämieȱ (s.ȱAbschnittȱ„Prämienȱvonȱ FloorȱundȱCap“).ȱWirdȱdieȱZinsgrenzeȱunterȬȱbzw.ȱüberschritten,ȱsoȱkannȱdieȱzuȱleisȬ tendeȱAusgleichszahlungȱdieȱempfangeneȱPrämieȱaberȱumȱeinȱVielfachesȱübersteigen.ȱ Derȱ Stillhalterȱ profitiertȱ hingegenȱ immerȱ dannȱ vonȱ demȱ eingegangenenȱ ZinsbegrenȬ zungsvertrag,ȱwennȱderȱReferenzzinssatzȱinnerhalbȱderȱZinsgrenzenȱbleibt.ȱInȱdiesemȱ FallȱwirdȱkeineȱAusgleichszahlungȱfällig,ȱderȱStillhalterȱhatȱjedochȱdennochȱdieȱPrämieȱ erhalten.ȱ

9.3.5

Prämien von Floor und Cap

Fürȱ dasȱ Rechtȱ imȱ Falleȱ derȱ Unterschreitungȱ einerȱ Zinsuntergrenzeȱ beimȱ Floor,ȱ bzw.ȱ derȱÜberschreitungȱeinerȱZinsobergrenzeȱbeimȱCap,ȱAusgleichszahlungenȱzuȱerhalten,ȱ mussȱderȱKäuferȱeinenȱPreis,ȱdieȱsoȱgenannteȱPrämie,ȱbezahlen.ȱȱ BeiȱCapsȱundȱFloors,ȱdieȱalsȱEinzelgeschäfteȱabgeschlossenȱwerden,ȱistȱdiesesȱinȱFormȱ einerȱ Einmalzahlungȱ anȱ denȱ Verkäuferȱ derȱ Zinsderivateȱ üblich.ȱ Dieȱ Prämieȱ wirdȱ inȱ Basispunktenȱ bemessenȱ undȱ aufȱ dasȱ vereinbarteȱ Volumenȱ berechnet.ȱ Sieȱ wirdȱ meistȱ „upfront“,ȱ d.h.ȱ zuȱ Beginnȱ derȱ Laufzeitȱ desȱ Zinsderivatsȱ gezahlt.ȱ Esȱ kannȱ aberȱ auchȱ vereinbartȱwerden,ȱdieȱzuȱzahlendeȱPrämieȱaufȱdieȱZinsperiodenȱzuȱverteilen.ȱȱ Dieȱ Berechnungȱ derȱ Prämieȱ erfolgtȱ mitȱ optionspreistheoretischenȱ Methoden43ȱ undȱ gehtȱ überȱ dieȱ Zielsetzungȱ diesesȱ Buchesȱ hinaus.ȱ Wirȱ werdenȱ unsȱ hierȱ nurȱ bewusstȱ machen,ȱvonȱwelchenȱFaktorenȱdieȱPrämieȱinȱwelcherȱWeiseȱbeeinflusstȱwird.ȱ ȱ

9.3.5.1

Prämie beim Floor

EinigeȱBankenȱweisenȱihreȱCapȬȱundȱFloorȬSätzeȱheuteȱbereitsȱimȱInternetȱaus,ȱsoȱz.B.ȱ dieȱ Hessischeȱ Landesbank.ȱ Abbildungȱ 9Ȭ7ȱ zeigtȱ dieȱ FloorȬSätzeȱ derȱ Hessischenȱ LanȬ desbankȱamȱ2.7.2006:ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 43ȱȱ S.ȱz.B.ȱHull,ȱ2006,ȱS.ȱ732ȱff.ȱ

178 ȱ

Zinsbegrenzungsverträge

Abbildungȱ9Ȭ7:ȱ

FloorȬSätzeȱderȱHessischenȱLandesbankȱamȱ2.7.2006ȱ

ȱ

Quelle:ȱwww.helaba.deȱ

Beispielȱ 9.8:ȱ Fürȱ einenȱ Floorȱ mitȱ 4Ȭjährigerȱ Laufzeitȱ undȱ einemȱ FloorȬZinssatzȱ vonȱȱ 3%ȱp.a.ȱsindȱalsȱPrämieȱzwischenȱ12ȱundȱ15ȱBasispunkteȱzuȱzahlen.ȱBeiȱeinemȱFloorvoȬ lumenȱvonȱ100.000ȱ€ȱbeträgtȱdieȱPrämieȱdaherȱjeȱnachȱKontrahentȱzwischenȱ120ȱ€ȱundȱ 150ȱ€.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

DieȱPrämieȱeinesȱFloorȱhängtȱvonȱverschiedenenȱFaktorenȱab,ȱderenȱWirkungsweiseȱȱinȱ derȱfolgendenȱÜbersichtȱerläutertȱwird:ȱ

Tabelleȱ9Ȭ6:ȱ

FaktorenȱderȱPrämieȱbeimȱFloorȱ

Faktor

Wirkungsweise

Laufzeit

Je höher die Laufzeit ist, desto höher ist auch die Prämie, da in einer größeren Anzahl von Zinsperioden eine Absicherung des Zinssatzes erfolgt.

Strike

Je höher der Mindestzinssatz ist, der gesichert werden soll, desto höher ist auch der zu entrichtende Preis. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Mindestzinssatz unterschritten wird, wird größer, je höher dieser ist.

Aktuelles Zinsniveau

Je niedriger das aktuelle Zinsniveau ist, desto höher wird die zu zahlende Prämie sein. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Referenzzinssatz den Mindestzinssatz unterschreitet, steigt bei niedrigem Zinsniveau an.

Zinsvolatilität

Je höher die Zinsschwankung ist, desto höher ist auch der Preis eines Floor. Wiederum steigt die Wahrscheinlichkeit für ein Unterschreiten des Strikes am Zinsfestsetzungstermin.

179

9.3

9

Zinsderivate

DieȱAbhängigkeitȱderȱPrämieȱvonȱLaufzeitȱundȱStrikeȱistȱausȱdemȱBeispielȱderȱFloorȬ Sätzeȱ derȱ Hessischenȱ Landesbankȱ vomȱ 2.7.2006ȱ inȱAbbildungȱ 9Ȭ7ȱ gutȱ ersichtlich.ȱ Mitȱ steigenderȱLaufzeitȱundȱsteigendemȱMindestzinssatzȱsteigenȱdieȱPreise.ȱ Dieȱ Zinsvolatilitätȱdrücktȱaus,ȱwieȱstarkȱdieȱZinsenȱvariieren.ȱBeiȱeinerȱhohenȱVariabiȬ litätȱ derȱ Zinsenȱ sindȱ sowohlȱ Ausschlägeȱ nachȱ obenȱ alsȱ auchȱ nachȱ unten,ȱ undȱ damitȱ auchȱ Unterschreitungenȱ einesȱ bestimmtenȱ FloorȬZinssatzesȱ anȱ einemȱ vorgegebenenȱ Termin,ȱvielȱwahrscheinlicherȱalsȱbeiȱeinerȱgeringenȱSchwankung.ȱImȱExtremfallȱkannȱ manȱsichȱeineȱgeringeȱSchwankungȱoderȱVolatilitätȱderȱZinssätzeȱalsȱkonstantenȱZinsȬ satzȱvorstellen.ȱEinȱkonstanterȱZinssatzȱwirdȱaber,ȱwennȱerȱnichtȱbereitsȱzuȱBeginnȱderȱ Laufzeitȱ denȱ FloorȬZinssatzȱ unterschrittenȱ hatte,ȱ diesenȱ auchȱ währendȱ derȱ Laufzeitȱ nichtȱ unterschreiten.ȱ Beiȱ einerȱ kleinenȱ Volatilitätȱ wirdȱ dieȱ Prämieȱ daherȱ niedrig,ȱ beiȱ einerȱgroßenȱVolatilitätȱwirdȱsieȱhochȱsein.ȱ

9.3.5.2

Prämie beim Cap

ImȱFolgendenȱsindȱdieȱFaktorenȱaufgeführt,ȱdieȱdenȱPreisȱeinesȱCapȱbeeinflussen.ȱ

Tabelleȱ9Ȭ7:ȱ

FaktorenȱderȱPrämieȱbeimȱCapȱ

Faktor

Wirkungsweise

Laufzeit

Je höher die Laufzeit ist, desto höher ist die Prämie.

Strike

Je höher der Höchstzinssatz ist, der gesichert werden soll, desto niedriger ist die zu entrichtende Prämie. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Höchstzinssatz überschritten wird, wird kleiner, je höher dieser ist.

Aktuelles Zinsniveau

Je höher das aktuelle Zinsniveau ist, desto höher wird die zu zahlende Prämie sein. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Referenzzinssatz den Höchstzinssatz überschreitet, steigt bei hohem Zinsniveau an.

Zinsvolatilität

Je höher die Zinsschwankung ist, desto höher ist auch der Preis eines Cap. Auch hier steigt die Wahrscheinlichkeit für ein Überschreiten des Strikes am Zinsfestsetzungstermin.

ȱ DieȱAbhängigkeitȱderȱPrämieȱvonȱLaufzeitȱundȱStrikeȱistȱauchȱausȱdenȱCapȬSätzenȱderȱ HessischenȱLandesbankȱvomȱ2.7.2006ȱinȱAbbildungȱ9Ȭ8ȱersichtlich.ȱ

180 ȱ

Weitere Zinsderivate

Abbildungȱ9Ȭ8:ȱ

9.4

CapȬSätzeȱderȱHessischenȱLandesbankȱamȱ2.7.2006ȱ

ȱ

9.4

Weitere Zinsderivate

Imȱ Folgendenȱ sollȱ einȱ kurzerȱAusblickȱ aufȱ einigeȱ weitereȱ Zinsderivateȱ gegebenȱ werȬ den.ȱ

9.4.1

Collar

EinȱCapȱundȱeinȱFloorȱkönnenȱsichȱauchȱinȱeinemȱFinanzinstrumentȱverbindenȱlassen,ȱ soȱ dassȱ derȱ Käuferȱ beiȱ Verlassenȱ einesȱ bestimmtenȱ Zinsbereiches,ȱ d.h.ȱ beimȱ UnterȬ schreitenȱeinesȱMindestzinssatzesȱundȱbeimȱÜberschreitenȱeinesȱHöchstzinssatzesȱeineȱ Ausgleichszahlungȱ erhält.ȱ Eineȱ solcheȱ Strukturȱ nenntȱ manȱ einenȱ Collar.ȱ Derȱ Käuferȱ rechnetȱmitȱstarkenȱÄnderungenȱdesȱReferenzzinssatzes,ȱwährendȱderȱStillhalterȱeinenȱ Collarȱ beiȱ einerȱ Erwartungȱ vonȱ geringenȱ Schwankungenȱ desȱ Referenzzinssatzesȱ verȬ kauft.ȱ

9.4.2

Forward Rate Agreement

Zinsbegrenzungsverträgeȱ sichernȱ einenȱ MindestȬȱ oderȱ Höchstzinssatz.ȱ Wieȱ bereitsȱ diskutiert,ȱkostetȱdasȱsoȱverhandelteȱeinseitigeȱRecht,ȱbeiȱUnterschreitenȱdesȱMindestȬ 181

9

Zinsderivate

zinssatzesȱ oderȱ Überschreitenȱ desȱ Höchstzinssatzesȱ Zahlungenȱ zuȱ empfangen,ȱ denȱ KäuferȱeineȱPrämie.ȱ Beimȱ Forwardȱ Rateȱ Agreementȱ (FRA)ȱ einigenȱ sichȱ Käuferȱ undȱ Verkäuferȱ aufȱ einenȱ Zinssatzȱ fürȱ eineȱ inȱ derȱ Zukunftȱ liegendeȱ Zinsperiode.ȱ Dieserȱ Zinssatzȱ wirdȱ alsȱ dieȱ ForwardȱRateȱbezeichnet.ȱWirdȱdieȱvereinbarteȱForwardȱRateȱüberschritten,ȱmussȱderȱ Verkäuferȱ demȱ Käuferȱ eineȱ Ausgleichszahlungȱ erbringen,ȱ wirdȱ sieȱ unterschritten,ȱ leistetȱ derȱ Käuferȱ ȱ eineȱ Ausgleichszahlungȱ anȱ denȱ Verkäufer.ȱ Chancenȱ undȱ Risikenȱ sindȱhierȱausgewogen,ȱsoȱdassȱeineȱzusätzlicheȱPrämieȱnichtȱanfällt.ȱ Beispielȱ 9.9:ȱ Derȱ Chefhändlerȱ derȱ BuyȬNowȬBankȱ (Käufer)ȱ schließtȱ mitȱ demȱ JuniorȬ händlerȱ derȱ SellȬLaterȬBankȱ (Verkäufer)ȱ einȱ Forwardȱ RateȱAgreementȱ überȱ 100.000ȱ €ȱ ab,ȱ dasȱ inȱ 3ȱ Monatenȱ beginnenȱ sollȱ undȱ fürȱ eineȱ Zinsperiodeȱ vonȱ 6ȱ Monatenȱ währt.ȱ EinenȱsolchenȱFRAȱnenntȱmanȱ3ȱgegenȱ9ȱMonateȬFRA,ȱdaȱerȱnachȱeinerȱVorlaufzeitȱvonȱ 3ȱ Monatenȱ beginntȱ undȱ nachȱ insgesamtȱ 9ȱ Monatenȱ beendetȱ ist.ȱ Referenzzinssatzȱ istȱ derȱ 6ȬMonatsȬEuribor.ȱ Dieȱ Forwardȱ Rateȱ wirdȱ mitȱ 2,98%ȱ p.a.ȱ vereinbart.ȱ Esȱ wirdȱ dieȱ 30/360ȬMethodeȱverwendet.ȱ

Liegtȱderȱ6ȬMonatsȬEuriborȱamȱZinsfestsetzungsterminȱinȱ3ȱMonatenȱbeiȱ3,2%ȱp.a.,ȱsoȱ mussȱderȱJuniorhändlerȱderȱSellȬLaterȬBankȱfürȱdieȱfolgendeȱZinsperiodeȱvonȱ6ȱMonaȬ tenȱdieȱDifferenzȱvonȱ0,22%ȱp.a.ȱanȱdenȱChefhändlerȱderȱBuyȬNowȬBankȱzahlen,ȱd.h.ȱ (0,032ȱ–ȱ0,0298) ˜

180 ˜ 100.000 € 360

110ȱ€.ȱ

Liegtȱhingegenȱderȱ6ȬMonatsȬEuriborȱinȱ3ȱMonatenȱz.B.ȱnurȱbeiȱ2,8%ȱp.a.,ȱd.h.ȱunterȬ halbȱderȱvereinbartenȱForwardȱRate,ȱsoȱmussȱderȱChefhändlerȱalsȱKäuferȱdemȱJuniorȬ händlerȱalsȱVerkäuferȱdieȱDifferenzȱvonȱ2,98%ȱp.a.ȱȬȱ2,8%ȱp.a.ȱfürȱ6ȱMonateȱausbezahȬ len,ȱd.h.ȱderȱJuniorhändlerȱerhältȱ (0,0298ȱ–ȱ0,028) ˜

180 ˜ 100.000 € 360

90ȱ€.ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

ȱ Allgemeinȱlässtȱsichȱalsoȱfeststellen:ȱ Beiȱ Überschreitenȱ derȱ vereinbartenȱ Forwardȱ Rateȱ durchȱ denȱ Referenzzinssatzȱ zuȱ BeȬ ginnȱderȱZinsperiodeȱerhältȱderȱKäuferȱvomȱVerkäuferȱeineȱAusgleichszahlungȱfürȱdieȱ vereinbarteȱZinsperiodeȱinȱHöheȱderȱDifferenzȱderȱZinssätze:ȱȱ (Referenzzinssatzȱ–ȱForwardȱRate) ˜

Tage ˜ Volumen .ȱȱȱ 360

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(9.3)ȱ

Wirdȱ dieȱ Forwardȱ Rateȱ aberȱ vomȱ Referenzzinssatzȱ unterschritten,ȱ soȱ hatȱ derȱ Käuferȱ umgekehrtȱdemȱVerkäuferȱeineȱAusgleichszahlungȱinȱHöheȱvonȱ (ForwardȱRateȱ–ȱReferenzzinssatz) ˜

182 ȱ

Tage ˜ Volumen ȱȱȱ 360

ȱ

ȱ

ȱȱȱȱ(9.4)ȱ

Weitere Zinsderivate

zuȱerbringen.ȱ DieȱsoȱermitteltenȱDifferenzzahlungenȱsindȱamȱEndeȱderȱZinsperiodeȱfällig.44ȱ Rechteȱ undȱ Verpflichtungenȱ sindȱ somitȱ symmetrisch.ȱ Esȱ wirdȱ keineȱ Prämieȱ gezahlt,ȱ dieȱ Bezeichnungenȱ „Käufer“ȱ undȱ „Verkäufer“ȱ sindȱ inȱ diesemȱ Sinneȱ soȱ auchȱ irrefühȬ rend.ȱDurchȱdieȱBenennungȱwirdȱbeimȱForwardȱRateȱAgreementȱalleinȱfestgelegt,ȱwerȱ welcheȱPositionȱdesȱGeschäftsȱeinnimmt.ȱȱ Dieȱ Situationȱ istȱ aberȱ nurȱ dannȱ fürȱ beideȱ Vertragspartnerȱ symmetrisch,ȱ wennȱ dieȱ Chancenȱ undȱ Risiken,ȱ dassȱ dieȱ Forwardȱ Rateȱ überȬȱ oderȱ unterschrittenȱ wird,ȱ gleichȱ hochȱ sind.ȱ Esȱ mussȱ alsoȱ Zielȱ beiderȱ Vertragspartnerȱ sein,ȱ einenȱ „fairen“ȱ Zinssatzȱ alsȱ Forwardȱ Rateȱ zuȱ finden.ȱ Dieȱ Forwardȱ Rateȱ drücktȱ dieȱ Erwartungenȱ beiderȱ VertragsȬ partnerȱanȱdenȱzuȱBeginnȱderȱZinsperiode,ȱfürȱdieȱdasȱForwardȱRateȱAgreementȱabgeȬ schlossenȱwird,ȱherrschendenȱZinssatzȱaus.ȱ

9.4.3

Zinsswap

Beispielȱ9.10:ȱStellenȱSieȱsichȱvor,ȱSieȱhättenȱalsȱManagerȱderȱKultȱGmbHȱvorȱ5ȱJahrenȱ fürȱ100.000ȱ€ȱeinenȱFloaterȱdesȱUnternehmensȱStarȱAGȱmitȱeinerȱLaufzeitȱvonȱ15ȱJahrenȱ gekauft,ȱderȱhalbjährlichȱdenȱ6ȬMonatsȬEuriborȱabzüglichȱ20ȱBasispunkteȱzahlt.ȱHeuteȱ bereuenȱSieȱdieȱAnlageȱinȱeinȱvariabelȱverzinslichesȱWertpapierȱundȱSieȱwürdenȱlieberȱ einenȱfestenȱZinssatzȱerhalten.ȱȱ

Sieȱ könnenȱ nunȱ dieȱ variablenȱ Zinsenȱ ausȱ Ihremȱ Floaterȱ gegenȱ festeȱ Zinsenȱ „eintauȬ schen“.ȱDazuȱgehenȱSieȱmitȱeinemȱVertragspartner,ȱderȱvariableȱZinszahlungenȱempȬ fangenȱ möchte,ȱ einenȱ Swapȱ (engl.:ȱ Tausch)ȱ ein.ȱ Anȱ denȱ vereinbartenȱ Zinsterminenȱ zahlenȱ Sieȱ Ihremȱ Vertragspartnerȱ dieȱ variablenȱ Zinsenȱ ausȱ Ihremȱ Floater,ȱ d.h.ȱ denȱ 6Ȭ MonatsȬEuribor.ȱ Alsȱ Gegenleistungȱ erhaltenȱ Sieȱ vonȱ ihmȱ einenȱ heuteȱ vereinbartenȱ festenȱZinssatz,ȱunabhängigȱvonȱderȱzukünftigenȱEntwicklungȱdesȱ6ȬMonatsȬEuribors.ȱ Sieȱ tauschenȱ nurȱ dieȱ Zinsbeträge,ȱ nichtȱ aberȱ dasȱ zugrundeȱ liegendeȱ Volumenȱ vonȱ 100.000ȱ€ȱaus.ȱȱ Nehmenȱ wirȱ an,ȱ derȱ Swapsatzȱ fürȱ 10Ȭjährigeȱ Swapsȱ gegenȱ denȱ 6ȬMonatsȬEuriborȱ beȬ trägtȱ zuȱ demȱ Zeitpunktȱ Ihresȱ Vertragesȱ 4,2%ȱ p.a.ȱ beiȱ halbjährlicherȱ Zinszahlungȱ desȱ festenȱ Zinssatzes.ȱ Sieȱ schließenȱ denȱ Swapȱ mitȱ derȱ OrangeȬBankȱ ab.ȱ Aufgrundȱ derȱ Bonitätȱ derȱ Kultȱ GmbHȱ fordertȱ dieȱ Bankȱ nochȱ einenȱ Risikozuschlagȱ inȱ Formȱ einesȱ Spreads,ȱd.h.ȱeinesȱZuschlagsȱaufȱdenȱvariablenȱZinssatz.ȱDieserȱbetrageȱ50ȱBasispunkȬ te,ȱalsoȱ0,5%ȱp.a.ȱSchematischȱsehenȱdieȱZinsflüsseȱinȱderȱZukunftȱdannȱwieȱfolgtȱaus:ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 44ȱȱ Inȱ derȱ Praxisȱ werdenȱ dieȱ Differenzzahlungenȱ jedochȱ meistȱ abgezinstȱ undȱ bereitsȱ zuȱ Beginnȱ

derȱZinsperiodeȱgezahlt.ȱ

183

9.4

9

Zinsderivate

Abbildungȱ9Ȭ9:ȱ

ZinszahlungenȱbeimȱZinsswapȱ(Beispielȱ9.10)ȱ 4,2% Orange-Bank

Kult GmbH 6-Monats-Euribor + 0,5%

ȱ

AusȱSichtȱderȱKultȱGmbHȱmüssenȱdieȱZinszahlungenȱausȱdemȱSwapȱnatürlichȱinȱVerȬ bindungȱmitȱdenȱeingehendenȱZinszahlungenȱausȱdemȱFloaterȱgesehenȱwerden.ȱȱ

Abbildungȱ9Ȭ10:ȱ ResultierendeȱZinszahlungenȱausȱSwapȱundȱFloaterȱ(Beispielȱ9.10)ȱ

Star AG

6-Monats-Euribor - 0,2%

4,2% Orange-Bank

Kult GmbH 6-Monats-Euribor + 0,5%

ȱ

FürȱdieȱKultȱGmbHȱverbleibenȱdemnachȱ 6ȬMonatsȬEuriborȱ–ȱ0,2%ȱȬȱ(6ȬMonatsȬEuriborȱ+ȱ0,5%)ȱ+ȱ4,2%ȱ=ȱ3,5%ȱ anȱfestenȱZinsen45,ȱdieȱsieȱausȱderȱKombinationȱdesȱFloaterȱmitȱdemȱZinsswapȱfürȱdieȱ nächstenȱ10ȱJahreȱerhält.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ ȱ Einȱ Zinsswapȱ istȱ alsoȱ einȱ Finanzinstrument,ȱ beiȱ demȱ Zinszahlungenȱ gegeneinanderȱ ausgetauschtȱ werden.ȱ Derȱ Vertragspartner,ȱ derȱ dieȱ festenȱ Zinszahlungenȱ erbringt,ȱȱ wirdȱ alsȱ Payerȱ bezeichnet.ȱ Derȱ andereȱ Vertragspartnerȱ empfängtȱ dieȱ festenȱ ZinszahȬ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 45ȱȱ BeiȱdemȱberechnetenȱZinssatzȱhandeltȱesȱsichȱumȱeinenȱJahreszinssatz.ȱFürȱdieȱhalbjährlichenȱ

ZinszahlungenȱwirdȱentsprechendȱderȱzugehörigeȱlinearȱproportionaleȱZinssatzȱverwendet.ȱ

184 ȱ

Allgemeines zu Derivaten

lungenȱundȱheißtȱdaherȱ Receiver.ȱErȱerbringtȱimȱAusgleichȱdieȱvariablenȱZinszahlunȬ gen.ȱ Derȱ allgemeineȱ Zinsflussȱ istȱ schematischȱ nochȱ einmalȱ inȱ Abbildungȱ 9Ȭ11ȱ illustȬ riert.ȱ DieȱHöheȱderȱvariablenȱZinszahlungȱrichtetȱsichȱnachȱeinemȱReferenzzinssatz,ȱzuȱdemȱ einȱ gewisserȱAufȬȱ oderȱAbschlagȱ (Spread)ȱ inȱ Formȱ vonȱ Basispunktenȱ hinzukommenȱ kann.ȱDerȱSpreadȱhängtȱu.a.ȱvonȱderȱBonitätȱdesȱKontrahentenȱab.ȱȱ

Abbildungȱ9Ȭ11:ȱ ZinszahlungenȱbeimȱZinsswapȱ

fester Zinssatz Payer

Receiver variabler Zinssatz

9.5

ȱ

Allgemeines zu Derivaten

Mitȱ Caps,ȱ Floors,ȱ Collars,ȱ FRAsȱ undȱ Swapsȱ habenȱ wirȱ dieȱ gängigstenȱ Zinsderivateȱ kennenȱgelernt.ȱDerivate46ȱsindȱdabeiȱFinanzinstrumente,ȱdieȱvonȱanderenȱInstrumenȬ tenȱ abgeleitetȱsindȱ(lat.ȱ„derivativ“:ȱabgeleitet).ȱSieȱunterscheidenȱsichȱdamitȱvonȱdenȱ originärenȱ (lat.ȱ „originär“:ȱ ursprünglich)ȱ Instrumenten.ȱ Imȱ Bereichȱ derȱ ZinsfinanzȬ produkteȱ betrachtetȱ manȱ z.B.ȱ Wertpapiereȱ mitȱ festemȱ oderȱ variablemȱ Zinssatzȱ alsȱ originäreȱ Instrumente.ȱ Caps,ȱ dieȱ eineȱ Absicherungȱ desȱ Zinssatzesȱ garantierenȱ oderȱ aberȱFRAs,ȱdieȱeinenȱZinssatzȱfestlegen,ȱsindȱBeispieleȱfürȱDerivate.ȱ DasȱKWG47ȱdefiniertȱDerivateȱwieȱfolgt:ȱ Definition:ȱ Derivateȱ sindȱ alsȱ Festgeschäfteȱ oderȱ Optionsgeschäfteȱ ausgestalteteȱ TerȬ mingeschäfte,ȱderenȱPreisȱunmittelbarȱoderȱmittelbarȱabhängtȱvonȱ

1. demȱBörsenȬȱoderȱMarktpreisȱvonȱWertpapieren,ȱ 2. demȱBörsenȬȱoderȱMarktpreisȱvonȱGeldmarktinstrumenten,ȱ 3. demȱKursȱvonȱDevisenȱoderȱRechnungseinheiten,ȱ 4. ZinssätzenȱoderȱanderenȱErträgenȱoderȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 46ȱȱ ZuȱallgemeinenȱBemerkungenȱzuȱDerivatenȱsieheȱz.B.ȱauchȱBeicke,ȱR.,ȱBarckow,ȱA.,ȱ2002,ȱS.ȱ1ȱff.ȱ 47ȱȱ S.ȱKWG,ȱ1998,ȱ§1ȱAbsatzȱ11ȱSatzȱ4.ȱ

185

9.5

9

Zinsderivate

5. demȱBörsenȬȱoderȱMarktpreisȱvonȱWarenȱoderȱEdelmetallen.ȱ ȱ Derivateȱ sindȱ alsoȱ Termingeschäfte,ȱ derenȱ Zahlungenȱ inȱ derȱ Zukunftȱ abhängigȱ vonȱ einemȱ dannȱ eingetretenenȱ Zustandȱ erfolgen.ȱ Inȱ Abgrenzungȱ hierzuȱ sprichtȱ manȱ beiȱ Zahlungen,ȱdieȱzumȱVertragsabschlussȱerfolgen,ȱwieȱz.B.ȱbeimȱKaufȱeinesȱWertpapiersȱ oderȱeinerȱAktie,ȱvonȱKassageschäften.ȱ BeimȱKäuferȱeinesȱDerivatsȱsagtȱman,ȱdassȱerȱeineȱLongȬPositionȱeingeht,ȱderȱVerkäuȬ ferȱhatȱeineȱ ShortȬPosition.ȱDieȱChancenȱundȱRisikenȱfürȱKäuferȱundȱVerkäuferȱsind,ȱ wieȱwirȱgesehenȱhaben,ȱnichtȱzwangsläufigȱsymmetrisch.ȱ

9.5.1

Einteilung von Derivaten

Inȱ derȱ Definitionȱ vonȱ Derivatenȱ klingenȱ verschiedeneȱ Gesichtspunkteȱ an,ȱ dieȱimȱ FolȬ gendenȱ durchȱ dieȱ verschiedenenȱ möglichenȱ Einteilungenȱ vonȱ Derivatenȱ erläutertȱ werden.ȱDieȱBeispieleȱgehenȱzwarȱüberȱZinsprodukteȱhinaus,ȱerleichternȱaberȱauchȱdieȱ EinordnungȱderȱbehandeltenȱZinsderivate.ȱDasȱMindmapȱinȱAbbildungȱ9Ȭ12ȱstelltȱdieȱ Klassifikationȱnochȱeinmalȱgrafischȱdar.ȱ

9.5.1.1

Einteilung nach Underlying

ZunächstȱkannȱmanȱDerivateȱnachȱdemȱzugrundeȱliegendenȱWert,ȱdemȱsoȱgenanntenȱ UnderlyingȱoderȱBasiswert,ȱeinteilen.ȱ InnerhalbȱderȱFinanzprodukteȱkannȱmanȱalsȱUnderlyingsȱ Aktienkurse,ȱIndizes,ȱZinsȬ sätzeȱundȱWechselkurseȱunterscheiden.ȱ Termingeschäfteȱ könnenȱ aberȱ auchȱ aufȱ Güterȱ erfolgen.ȱ Beispielsweiseȱ könnenȱ zweiȱ Geschäftspartnerȱ denȱ Preisȱ fürȱ eineȱ bestimmteȱ Mengeȱ anȱ Weizen,ȱ dieȱ zuȱ einemȱ zuȬ künftigenȱZeitpunktȱübergebenȱwird,ȱbereitsȱheuteȱvereinbaren.ȱUnabhängigȱvonȱderȱ HöheȱdesȱWeizenpreisesȱamȱvereinbartenȱZeitpunkt,ȱhabenȱsichȱbeideȱVertragspartnerȱ anȱdenȱheuteȱvereinbartenȱPreisȱzuȱhalten.ȱȱ WeitereȱGüter,ȱdieȱalsȱUnderlyingȱfürȱDerivateȱinȱFrageȱkommen,ȱsindȱRohöl,ȱMetalle,ȱ insbesondereȱEdelmetalle,ȱBaumwolle,ȱetc.ȱȱ Seitȱ derȱ Öffnungȱ derȱ Strommärkteȱ gewinnenȱ Stromderivateȱ immerȱ mehrȱ anȱ BedeuȬ tung.ȱMitȱdiesenȱkönnenȱKäuferȱundȱVerkäuferȱz.B.ȱweitȱvorȱderȱaktuellenȱLieferungȱ einenȱ Preisȱ fürȱ denȱ zuȱ lieferndenȱ Stromȱ vereinbaren.ȱ Eineȱ weitereȱ aktuelleȱ EntwickȬ lungȱ stellenȱ dieȱ soȱ genanntenȱ Wetterderivateȱ dar.ȱ Dieȱ Käuferȱ könnenȱ sichȱ z.B.ȱ AusȬ gleichszahlungenȱ fürȱ denȱ Eintrittȱ bestimmterȱ Wetterereignisseȱ sichern,ȱ wieȱ etwaȱ lanȬ gerȱ RegenȬȱ oderȱ auchȱ langerȱ Hitzeperioden.ȱ Soȱ könnenȱ aufgrundȱ desȱ Wettersȱ eintreȬ tendeȱmöglicheȱwirtschaftlicheȱSchädenȱabgesichertȱwerden.ȱ 186 ȱ

Allgemeines zu Derivaten

9.5

Abbildungȱ9Ȭ12:ȱ Mindmap:ȱKlassifikationȱvonȱDerivatenȱ Getreide

Landwirtschaftliche Erzeugnisse

Schweine Baumwolle

Güter Öl Metalle

Gold Call

Optionen

Put

Aktien Terminkäufe

Underlying

Terminverkäufe Aktienindizes Caps Zinsen

Floors Swaps

Zinsprodukte Wertpapiere Währungen

Terminkäufe Terminverkäufe

FX-Optionen

Derivate Fixgeschäfte

Unbedingt

Verpflichtung Bedingt

Optionsgeschäfte

FRA Future Cap Floor

Güter Physical settlement

Aktien Devisen

Lieferung

Zinssätze Cash settlement

Cap

Indizes

Börsengehandelt

Handel

Nicht börsengehandelt

Future OTC-Produkte

Cap FRA

ȱ

187

9

Zinsderivate

9.5.1.2

Einteilung nach dem Grad der Verpflichtung

Beiȱ denȱ bereitsȱ vorgestelltenȱ FRAsȱ kommtȱ esȱ inȱ jedemȱ Fallȱ zuȱ einemȱAustauschȱ vonȱ ZahlungenȱzwischenȱKäuferȱundȱVerkäufer.ȱManȱnenntȱeinȱsolchesȱGeschäftȱeinȱunbeȬ dingtesȱGeschäft.ȱȱ BeiȱeinemȱCapȱhingegenȱhatȱderȱKäuferȱdasȱRecht,ȱeineȱAusgleichszahlungȱvomȱVerȬ käuferȱeinzufordern,ȱwennȱeinȱfestgelegterȱHöchstzinssatzȱüberschrittenȱwird.ȱDiesesȱ Rechtȱistȱeineȱ Option.ȱDerȱKäuferȱkannȱentscheiden,ȱobȱerȱsieȱwahrnimmtȱoderȱnicht.ȱ Einȱ solchesȱ Geschäftȱ wirdȱ daherȱ bedingtȱ genannt,ȱ esȱ kommtȱ unterȱ derȱ Bedingungȱ zustande,ȱdassȱderȱKäuferȱseinȱRechtȱwahrnimmt.ȱDerȱVerkäuferȱderȱOption,ȱderȱStillȬ halter,ȱȱmussȱsichȱderȱWahlȱdesȱKäufersȱfügen.ȱ

9.5.1.3

Einteilung nach Lieferung

Kauftȱ manȱ einȱ Wertpapierȱ aufȱ Termin,ȱ soȱ kannȱ dasȱ Wertpapierȱ beiȱ Erreichenȱ diesesȱ TerminsȱdemȱKäuferȱeffektivȱgeliefertȱwerden,ȱderȱVerkäuferȱerhältȱdenȱausgemachtenȱ Geldbetrag.ȱDieseȱArtȱderȱErfüllungȱdesȱGeschäftsȱnenntȱmanȱ„physicalȱsettlement“,ȱ dieȱ gekauftenȱ Objekteȱ werdenȱ physischȱ übergeben.ȱ Einȱ „physicalȱ settlement“ȱ istȱ z.B.ȱ beiȱAktien,ȱverzinslichenȱWertpapieren,ȱDevisenȱundȱnatürlichȱbeiȱGüternȱmöglich.ȱȱ EsȱexistierenȱaberȱauchȱUnderlyings,ȱbeiȱdenenȱeinȱphysischesȱAustauschenȱdesȱBasisȬ wertesȱ gegenȱ eineȱ Geldzahlungȱ nichtȱ möglichȱ ist,ȱ wieȱ z.B.ȱ beiȱ Zinssätzenȱ oderȱ beiȱ Aktienindizes.ȱ Auchȱ wennȱ einȱ Zinssatzȱ vonȱ z.B.ȱ 2,5%ȱ p.a.ȱ vereinbartȱ wurde,ȱ kannȱ dieserȱ nichtȱ effektivȱ geliefertȱ werden.ȱ Inȱ diesemȱ Fallȱ bestehtȱ dieȱ Lieferungȱ inȱ einemȱ Barausgleich,ȱdemȱsoȱgenanntenȱ„cashȱsettlement“.ȱEinȱ„cashȱsettlement“ȱkannȱauchȱ gewähltȱwerden,ȱwennȱeineȱphysischeȱLieferungȱeigentlichȱmöglichȱwäre.ȱWirȱwollenȱ denȱUnterschiedȱamȱBeispielȱdesȱKaufsȱeinerȱAktieȱveranschaulichen.ȱ Beispielȱ9.11:ȱAmȱ15.ȱJuniȱvereinbartȱHerrȱBeiȱamȱ15.ȱDezemberȱdesselbenȱJahresȱeineȱ Aktieȱ derȱ StarȱAGȱ zumȱ Preisȱ vonȱ 250ȱ €ȱ vonȱ Herrnȱ Sellȱ zuȱkaufen.ȱAmȱ 15.ȱ Dezemberȱ liegtȱderȱKursȱderȱAktieȱbeiȱ275ȱ€.ȱWieȱsiehtȱdieȱLieferungȱaus?ȱ Lösung:ȱBeimȱ„physicalȱsettlement“ȱliefertȱderȱVerkäuferȱHerrȱSellȱdemȱKäuferȱHerrnȱ BeiȱdieȱAktie,ȱHerrȱBeiȱbezahltȱdafürȱ250ȱ€.ȱHerrȱBeiȱkönnteȱnunȱdieȱAktieȱamȱMarktȱ fürȱ275ȱ€ȱverkaufenȱundȱhätteȱdemnachȱeinenȱGewinnȱvonȱ25ȱ€ȱgemacht.ȱȱ

WollenȱbeideȱdasȱGeschäftȱdurchȱ„cashȱsettlement“ȱerfüllen,ȱsoȱzahltȱHerrȱSellȱHerrnȱ Beiȱ denȱ Differenzbetragȱ vonȱ 25ȱ €,ȱ derȱ zwischenȱ demȱ Marktwertȱ derȱAktieȱ vonȱ 275ȱ €ȱ undȱdemȱausgemachtenȱPreisȱvonȱ250ȱ€ȱbesteht.ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ

9.5.1.4

Einteilung nach Handelbarkeit

Derivateȱkannȱmanȱauchȱdanachȱklassifizieren,ȱobȱsieȱanȱderȱBörseȱgehandeltȱwerdenȱ oderȱ OTCȬProdukteȱ („Overȱ theȱ counter“ȬProdukte)ȱ sind.ȱ Börsengehandelteȱ Derivateȱ

188 ȱ

Allgemeines zu Derivaten

sindȱwieȱandereȱanȱderȱBörseȱgehandelteȱProdukteȱsehrȱstandardisiert.ȱDieȱStandardiȬ sierungȱumfasstȱvorȱallemȱdasȱVolumen,ȱdieȱZahlungstermineȱsowieȱdasȱUnderlying.ȱȱ ImȱZinsbereichȱwerdenȱvorȱallemȱFuturesȱanȱderȱBörseȱgehandelt.ȱEinȱFutureȱkannȱalsȱȱ standardisiertesȱ Forwardȱ Rateȱ Agreementȱ bezeichnetȱ werden,ȱ wobeiȱ sichȱ dieȱ NotieȬ rungȱ vonȱ derjenigenȱ desȱ FRAȱ unterscheidet.ȱAufȱ Futuresȱ werdenȱ wirȱ hierȱ aberȱ nichtȱ eingehen.ȱ KäuferȱundȱVerkäuferȱvonȱbörsengehandeltenȱProduktenȱtretenȱnichtȱdirektȱmiteinanȬ derȱ inȱ Verbindung,ȱ zwischenȱ sieȱ trittȱ dieȱ Clearingstelleȱ derȱ Börse.ȱ Dieȱ Börseȱ trägtȱ soȱ dasȱ Risiko,ȱ dassȱ einȱ Vertragspartnerȱ seinenȱ Verpflichtungenȱ derȱ Lieferungȱ bzw.ȱ ZahȬ lungȱnichtȱnachkommt.ȱȱ DerȱBörsenhandelȱunterliegtȱderȱBörsenaufsicht.ȱ OTCȬProdukteȱ werdenȱ zwischenȱ zweiȱ Vertragspartnernȱ individuellȱ ausgehandelt.ȱ „Overȱtheȱcounter“ȱsignalisiert,ȱdassȱderȱVertragȱwieȱimȱTanteȬEmmaȬLadenȱvomȱVerȬ käuferȱzumȱKäuferȱhinüberȱgeschobenȱwird.ȱSoȱkönnenȱalleȱBedürfnisseȱderȱVertragsȬ partnerȱ inȱ demȱ Derivatȱ individuellȱ berücksichtigtȱ werden.ȱ Diesesȱ kannȱ denȱ Betragȱ betreffen,ȱ derȱz.B.ȱ aufȱ einȱ Volumenȱ vonȱ 123.500ȱ €ȱ lautenȱ kann,ȱ denȱ Referenzzinssatz,ȱ etwaȱ denȱ nichtȱ soȱ gebräuchlichenȱ 2ȬMonatsȬEuribor,ȱ dieȱ Laufzeit,ȱ dieȱ keineȱ vollenȱ Periodenȱ umfassenȱ muss,ȱ dieȱ Zinszahlungstermine,ȱ sowieȱ weitereȱ spezielleȱ AusstatȬ tungen.ȱDaȱdieȱGeschäftspartnerȱeinenȱdirektenȱVertragȱmiteinanderȱeingehen,ȱtragenȱ sieȱ jeweilsȱ dasȱ Risiko,ȱ dassȱ derȱ Vertragspartnerȱ seinenȱ Verpflichtungenȱ nichtȱ nachȬ kommt.ȱ

9.5.2

Ziele beim Abschluss von Derivaten

9.5.2.1

Sicherheit

WirȱhabenȱdieȱZinsbegrenzungsverträgeȱinȱdiesemȱKapitelȱalsȱMöglichkeitȱeingeführt,ȱ sichȱeinenȱMindestȬȱoderȱeinenȱHöchstzinssatzȱzuȱsichern.ȱDieȱSicherungȱgewünschterȱ KonditionenȱistȱeinȱhäufigesȱMotivȱzumȱAbschlussȱvonȱDerivaten.ȱȱ Beispielȱ 9.12:ȱ Erhältȱ einȱ Unternehmenȱ z.B.ȱ Zahlungenȱ inȱ fremderȱ Währungȱ inȱ derȱ Zukunft,ȱsoȱkannȱesȱdieȱdannȱherrschendenȱWechselkurseȱnichtȱvorhersehen.ȱEsȱkannȱ einȱInteresseȱdaranȱhaben,ȱsichȱdieseȱbereitsȱvorȱErhaltȱderȱZahlungenȱzuȱsichern.ȱ

Einȱ deutschesȱ Unternehmenȱ erwartetȱ inȱ einemȱ Monatȱ einenȱ Zahlungseingangȱ vonȱ 250.000ȱbritischenȱPfund.ȱDaȱdasȱUnternehmenȱansonstenȱinȱEuroȱhandelt,ȱmussȱesȱdieȱ eingehendenȱ britischenȱ Pfundȱ inȱ einemȱ Monatȱ inȱ Euroȱ tauschen.ȱ Wennȱ dasȱ UnterȬ nehmenȱeinenȱfallendenȱKursȱdesȱPfundsȱfürchtet,ȱwirdȱesȱeventuellȱbereitsȱheuteȱeinȱ TermingeschäftȱzumȱVerkaufȱderȱbritischenȱPfundȱeingehenȱwollenȱundȱsichȱsoȱbereitsȱ heuteȱeinenȱVerkaufskursȱsichern.ȱDasȱUnternehmenȱhatȱsoȱzuȱseinerȱAbsicherungȱeinȱ 189

9.5

9

Zinsderivate

Geschäftȱ mitȱ Zahlungenȱ abgeschlossen,ȱ dieȱ denȱ eingehendenȱ Zahlungenȱ ausȱ demȱ Grundgeschäftȱ (Eingangȱ vonȱ 250.000ȱ britischenȱ Pfund)ȱ entgegengesetztȱ sind.ȱ Manȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱƑȱ nenntȱeinȱsolchesȱVorgehenȱauchȱHedging.ȱȱ ȱ

9.5.2.2

Spekulation

Demȱ Zielȱ derȱ Sicherungȱ andererȱ Geschäfteȱ diametralȱ entgegengesetztȱ istȱ derȱ Handelȱ mitȱDerivatenȱzurȱ Spekulation.ȱBeiȱdieserȱZielsetzungȱwerdenȱDerivateȱalsȱEinzelgeȬ schäfteȱgekauft.ȱ Soȱ lässtȱ sichȱ einȱ Cap,ȱ wennȱ manȱ aufȱ steigendeȱ Zinssätzeȱ setzt,ȱ auchȱ ohneȱ zugrundeȱ liegendenȱ Floaterȱ kaufen.ȱ Derȱ Käuferȱ erhältȱ beiȱ Überschreitenȱ desȱ Höchstzinssatzesȱ Ausgleichszahlungen.ȱ Dasȱ Spekulationsgeschäftȱ hatȱ sichȱ dannȱ gelohnt,ȱ wennȱ dieȱ SummeȱderȱAusgleichszahlungenȱdieȱzuȱBeginnȱgezahlteȱPrämieȱübersteigt.ȱ Auchȱ derȱ Stillhalterȱ derȱ Optionȱ kannȱ ausȱ Spekulationszweckenȱ handeln.ȱ Erȱ verkauftȱ eventuellȱgeradeȱdeshalbȱeinenȱCap,ȱweilȱerȱaufȱfallendeȱZinsenȱsetzt.ȱWennȱdieȱZinsenȱ tatsächlichȱ fallenȱ undȱ denȱ CapȬZinssatzȱ nichtȱ überschreiten,ȱ verfälltȱ derȱ Capȱ fürȱ denȱ Käuferȱwertlos.ȱDerȱVerkäuferȱhatȱsoȱdieȱgesamteȱPrämieȱverdient.ȱ

9.5.2.3

Arbitrage

Arbitrageȱ erfolgtȱ dann,ȱ wennȱ esȱ Preisunterschiedeȱ zwischenȱ Terminproduktenȱ undȱ Kassaproduktenȱ gibt,ȱ dieȱ durchȱ geschicktesȱ Eingehenȱ vonȱ Positionenȱ ohneȱ Risikoȱ gewinnbringendȱ ausgenutztȱ werdenȱ können.ȱ Arbitragemöglichkeitenȱ existierenȱ nurȱ kurzfristig,ȱdaȱderȱMarktȱsichȱnachȱkurzerȱZeitȱwiederȱselbstȱreguliert.ȱȱ

WirȱwollenȱaufȱArbitrageȱhierȱnichtȱnäherȱeingehen.ȱ

9.6

Partnerinterview

1. A:ȱAusȱ welchemȱ Grundȱ würdeȱ einȱ Unternehmenȱ einȱ variabelȱ verzinslichesȱ WertȬ papierȱemittieren?ȱ B:ȱAusȱwelchemȱGrundȱwürdenȱSieȱalsȱAnlegerȱeinȱvariabelȱverzinslichesȱWertpaȬ pierȱkaufen?ȱ 2. A:ȱWieȱfunktioniertȱeinȱFloorȬFloater?ȱNennenȱSieȱeinȱBeispiel!ȱȱ B:ȱWieȱkönnenȱSieȱsichȱeinenȱMindestzinssatzȱsichern,ȱwennȱderȱEmittent,ȱvonȱdemȱ SieȱeinȱWertpapierȱerwerbenȱwollen,ȱnurȱFloaterȱohneȱMindestzinssatzȱemittiert?ȱ

190 ȱ

Übungen

3. A:ȱWieȱändertȱsichȱdieȱPrämieȱeinesȱCap,ȱwennȱderȱHöchstzinssatzȱbeiȱ5%ȱp.a.ȱstattȱ beiȱ4%ȱp.a.ȱgewähltȱwird?ȱ B:ȱ Wieȱ ändertȱ sichȱ dieȱ Prämieȱ einesȱ Floor,ȱ wennȱ derȱ Mindestzinssatzȱ beiȱ 4%ȱ p.a.ȱ stattȱbeiȱ3%ȱp.a.ȱgewähltȱwird?ȱ 4. A:ȱWelchenȱEffektȱhatȱdasȱaktuelleȱZinsniveauȱaufȱdieȱPrämieȱeinesȱFloor?ȱ B:ȱWelchenȱEffektȱhatȱdasȱaktuelleȱZinsniveauȱaufȱdieȱPrämieȱeinesȱCap?ȱ 5. A:ȱ Welchenȱ Effektȱ hatȱ dieȱ Volatilitätȱ aufȱ dieȱ Prämieȱ vonȱ ZinsbegrenzungsverträȬ gen?ȱ B:ȱWelchenȱEffektȱhatȱdieȱLaufzeitȱaufȱdieȱPrämieȱvonȱZinsbegrenzungsverträgen?ȱ 6. A:ȱSieȱrechnenȱmitȱsteigendenȱZinsenȱundȱwollenȱmitȱHilfeȱeinesȱFRAȱspekulieren.ȱ WelcheȱPositionȱnehmenȱSieȱein?ȱ B:ȱErläuternȱSie,ȱwasȱeinȱ6ȱgegenȱ12ȬMonateȬFRAȱist!ȱ 7. A:ȱErläuternȱSieȱdasȱZielȱderȱSpekulation,ȱdasȱmitȱdemȱHandelȱvonȱDerivatenȱverȬ bundenȱseinȱkann!ȱErklärenȱSieȱspekulativesȱVerhaltenȱspeziellȱamȱKaufȱundȱVerȬ kaufȱvonȱCaps!ȱ B:ȱ Erläuternȱ Sieȱ dasȱ Zielȱ derȱ Sicherheit,ȱ dasȱ mitȱ demȱ Handelȱ vonȱ Derivatenȱ verȬ bundenȱseinȱkann!ȱErklärenȱSieȱdiesesȱZielȱspeziellȱamȱHandelȱvonȱCaps!ȱ 8. A:ȱWieȱkannȱmanȱeinenȱCapȱaufȱdenȱ4ȬMonatsȬEuriborȱmitȱeinemȱHöchstzinssatzȱ vonȱ3,49%ȱundȱeinerȱLaufzeitȱvonȱ3,5ȱJahrenȱbezüglichȱUnderlying,ȱVerpflichtung,ȱ LieferbarkeitȱundȱHandelbarkeitȱeinteilen?ȱ B:ȱNennenȱSieȱeinȱBeispielȱfürȱeinȱ„physicalȱsettlement“!ȱ

9.7

Übungen

1. ȱSieȱ möchtenȱ amȱ 15.1.2003ȱ einenȱ Betragȱ vonȱ 10.000ȱ €ȱ fürȱ 3ȱ Jahreȱ anlegen.ȱ Derȱ 6Ȭ MonatsȬEuriborȱstehtȱamȱ15.1.2003ȱbeiȱ2,757%ȱp.a.ȱAufgrundȱdesȱbereitsȱniedrigenȱ ZinsniveausȱerhoffenȱSieȱsichȱsteigendeȱZinsenȱundȱmöchtenȱeinȱvariabelȱverzinsliȬ chesȱ Wertpapierȱ mitȱ halbjährlicherȱ Zinszahlungȱ kaufen.ȱ Dasȱ IndustrieunternehȬ menȱ FuntimeȬAGȱ bietetȱ Floaterȱ ohneȱ FloorȬKomponenteȱ mitȱ Zinssatzȱ 6ȬMonatsȬ Euriborȱ +ȱ 27ȱ Basispunkteȱ undȱ einenȱ Floaterȱ mitȱ einerȱ Verzinsungȱ mitȱ demȱ 6Ȭ MonatsȬEuriborȱ +ȱ 25ȱ Basispunkteȱ beiȱ einemȱ Mindestzinssatzȱ vonȱ 2,45%ȱ p.a.ȱ an.ȱ Zinsfestsetzungstermineȱsindȱderȱ15.1.ȱundȱderȱ15.7.ȱeinesȱJahres.ȱ a)

Sieȱ rechnenȱ festȱ mitȱ steigendenȱ Zinsen.ȱ Fürȱ welchesȱ Wertpapierȱ entscheidenȱ sieȱsich?ȱWarum?ȱ

191

9.7

9

Zinsderivate

b)

EinȱFreundȱvonȱIhnenȱbevorzugtȱeherȱsichereȱGeldanlagen.ȱFürȱwelchesȱWertȬ papierȱderȱFuntimeȬAGȱwürdeȱerȱsichȱentscheiden?ȱ

c)

DieȱfolgendeȱTabelleȱgibtȱdieȱZinsentwicklungȱderȱJahreȱ2003ȱbisȱ2005ȱwieder.ȱ Bekommenȱ Sieȱ oderȱ Ihrȱ Freundȱ einenȱ höherenȱ Zinsertragȱ ausȱ demȱ Floater?ȱ VervollständigenȱSieȱdieȱTabelle.ȱBerechnenȱSieȱdieȱZinsenȱzurȱVereinfachungȱ mitȱderȱ30/360ȬMethode.ȱ

Tabelleȱ9Ȭ8:ȱ

6ȬMonatsȬEuriborȱJanuarȱ2003ȱbisȱJuliȱ2005ȱ

Datum

6-MonatsEuribor

Datum der Zinszahlung

15.1.2003

2,757%

14.7.2003

15.7.2003

2,073%

14.1.2004

15.1.2004

2,123%

14.7.2004

15.7.2004

2,205%

14.1.2005

17.1.2005

2,196%

14.7.2005

15.7.2005

2,146%

14.1.2006

Ihr Zinssatz

Ihr Zinsertrag

Zinssatz Ihres Freundes

Zinsertrag Ihres Freundes

ȱ 2. SieȱarbeitenȱinȱderȱTreasuryȬAbteilungȱdesȱUnternehmensȱHappyȱDay.ȱDasȱUnterȬ nehmenȱmöchteȱfürȱInvestitionszweckeȱGeldȱaufnehmen.ȱEsȱerwartetȱinȱderȱnächsȬ tenȱZeitȱfallendeȱZinssätze.ȱDennochȱmöchteȱesȱnichtȱriskieren,ȱdassȱderȱzuȱzahlenȬ deȱZinssatzȱ5,5%ȱp.a.ȱüberschreitet.ȱWelcheȱFormȱvonȱWertpapierȱwirdȱesȱemittieȬ ren?ȱ 3. Sieȱkaufenȱamȱ1.9.2000ȱeinenȱFloaterȱmitȱeinerȱLaufzeitȱvonȱ4ȱJahren,ȱdessenȱZinsȬ periodenȱ jeweilsȱ vomȱ 1.9.ȱ einesȱ Jahresȱ bisȱ zumȱ 31.8.ȱ desȱ Folgejahresȱ liegen.ȱ Dieȱ Zinsfestsetzungstermineȱ seienȱ derȱ Einfachheitȱ halberȱ auchȱ amȱ 1.9.ȱ jedenȱ Jahres.ȱ AusȱdemȱFloaterȱerhaltenȱSieȱdenȱ12ȬMonatsȬEuriborȱ+ȱ30ȱBasispunkte.ȱSieȱhoffenȱ aufȱZinserhöhungen,ȱmöchtenȱaberȱeinenȱMindestzinssatzȱvonȱ4,2%ȱp.a.ȱsichern.ȱȱ a)

WelchesȱProduktȱerwerbenȱSieȱzusätzlichȱzuȱIhremȱFloater?ȱȱ

b)

Welcheȱ Zinssätzeȱ bekommenȱ Sieȱ währendȱ derȱ Laufzeitȱ ausȱ Ihrenȱ beidenȱ FiȬ nanzprodukten?ȱ Dieȱ Zinsentwicklungȱ desȱ 12ȬMonatsȬEuriborsȱ istȱ Tabelleȱ 9Ȭ2ȱ zuȱentnehmen.ȱ

4. Derȱ Juniorhändlerȱ derȱ Sunnyȱ GmbHȱ möchteȱ sichȱ profilieren.ȱ Erȱ rechnetȱ festȱ mitȱ steigendenȱ Zinssätzen.ȱ Erȱ möchteȱ daraufȱ überȱ einenȱ Handelȱ mitȱ Zinsderivatenȱ spekulieren.ȱ Denȱ Kaufȱ einesȱ Capȱ verwirftȱ erȱ nachȱ kurzemȱ Überlegen,ȱ daȱ erȱ ausȱ demȱCapȱbeiȱeinemȱtatsächlichenȱZinsanstiegȱzwarȱAusgleichszahlungenȱbekäme,ȱ 192 ȱ

Übungen

seinȱ Gewinnȱ aberȱ durchȱ dieȱ zuȱ zahlendeȱ Prämieȱ geschmälertȱ würde.ȱ Stattdessenȱ ziehtȱerȱFRAsȱmitȱeinemȱVolumenȱvonȱ500.000ȱ€ȱinȱBetracht.ȱȱ a)

WelcheȱPositionȱgehtȱerȱmitȱdemȱFRAȱein?ȱ

b)

Nehmenȱ Sieȱ an,ȱ derȱ 6ȬMonatsȬEuriborȱ (Referenzzinssatzȱ desȱ FRA)ȱ liegtȱ amȱ Beginnȱ derȱ Zinsperiodeȱ umȱ 0,5%ȱ p.a.ȱ unterȱ derȱ Forwardȱ Rate.ȱ WelcheȱAusȬ wirkungȱhatȱdieseȱEntwicklungȱfürȱdenȱJuniorhändler?ȱ

ȱ

193

9.7

Lösungen zu den Übungen

Lösungen zu den Übungen

Kapitel 2: Mathematische Grundlagen 1. ȱa) 8ab 3  32a 2 b  3ab 2 ȱȱȱȱb)ȱ 24 x 5 y 3 ȱȱȱc)ȱ 4 x 2  12 xa 2  9a 4 ȱ 2. ȱa)ȱ x ȱȱȱȱb)ȱ 2 ȱȱȱc)ȱ0ȱȱȱȱd)ȱ 2  ln( 2) ȱȱȱȱe)ȱ8ȱȱȱȱf)ȱ2nȱȱ 3. ȱa)ȱ 3 ˜ log a b 

1 3 log a c  5 ˜ log a d  log a e ȱȱ 2 2

ȱb)ȱ log a 3  log a u 

4. ȱa)ȱ x

1 · 1 §¨ 3  e2 ¸ ¸ 2 ¨© ¹

5. ȱa)ȱ50ȱȱȱȱȱȱb)ȱ

1 log a v  2 log a w ȱ 2

2 ,324. ȱȱ

b)ȱ x

§1· §2· 4 ln¨ ¸  3 ln¨ ¸ ©4¹ ©3¹ §2· §1· 2 ln¨ ¸  3 ln¨ ¸ ©3¹ ©4¹

1,63 ȱ

5 ȱ ȱȱȱȱc)ȱ 630 ȱȱ 6

6. ȱa)ȱ60ȱȱȱȱȱb)ȱȬ1ȱ ȱc)ȱ576ȱ 7. ȱa)ȱ (streng)ȱ monotonȱ wachsend,ȱ nachȱ untenȱ durchȱ 1/2,ȱ nachȱ obenȱ durchȱ 1ȱ beȬ schränkt,ȱkonvergiertȱgegenȱ1ȱ b)ȱ(streng)ȱmonotonȱwachsend,ȱnichtȱbeschränkt,ȱbestimmtȱdivergentȱ c)ȱ (streng)ȱ monotonȱ wachsend,ȱ nichtȱ beschränkt,ȱ bestimmtȱ divergent,ȱ arithmetiȬ scheȱFolgeȱ ȱd)ȱnichtȱmonoton,ȱnichtȱbeschränkt,ȱalternierend,ȱunbestimmtȱdivergentȱ 2 ˜ 3n ȱbeiȱStartȱderȱIndizierungȱmitȱ0ȱ

8. ȱa)ȱ a1

14 , a n 1

ȱȱȱȱȱȱȱc)ȱ a n

§1· ¨ ¸ ȱbeiȱStartȱderȱIndizierungȱmitȱ0ȱ ©3¹

a n  3 ȱȱȱb)ȱ a n

n

9. ȱ a 3

3

135 ,ȱ S 4

5 ˜ ¦ 3j

200 ȱ

j 0

ȱ

195

Lösungen zu den Übungen

10. ȱa)ȱ

63 3 5 ȱ ȱȱȱȱb)ȱ ȱ ȱȱȱȱc)ȱ 2 2 32

11. Ȭȱ

Kapitel 3: Zinsrechnung 1. a)ȱ3.120ȱ€ȱȱȱb)ȱ3.374,59ȱ€ȱȱc)ȱ3.017,33ȱ€ȱȱ 2. 2.146,34ȱ€ȱ 3. qȱ=ȱ1,07,ȱdȱ=ȱ0,935ȱ 4. 17.758,77ȱ€ȱ 5. a)ȱ5.969,98ȱ€ȱȱȱb)ȱ i eff

0,029991ȱ

6. 9ȱJahreȱ 7. 7,59%ȱp.a.ȱ 8. 10.509,15ȱ€ȱ 9. 16.468,37ȱ€ȱȱ 10. 6%ȱp.a.ȱ 11. 4.509,99ȱ€,ȱDifferenz:ȱ0,90ȱ€ȱ 12. 2.100,52ȱ€ȱ

Kapitel 4: Barwertprinzip 1. 1.225ȱ€ȱnachȱ5ȱJahrenȱ 2. 9,544%ȱp.a.ȱ 3. a)ȱErsteȱAnlage:ȱ Z 0 ȱȱȱȱZweiteȱAnlage:ȱ Z 0

9.000 €, Z1 9.000 €, Z1

Z2 Z2

Z3 Z3

800 €, Z 4 Z4

8.500 € ȱȱȱ

600 €, Z 5

8.700 € ȱȱȱ

ȱȱȱȱȱȱȱb)ȱFürȱdieȱersteȱAnlageȱ ȱȱȱȱȱȱȱc)ȱNein,ȱdaȱSieȱmehrȱzahlen,ȱalsȱSieȱzukünftigȱbarwertigȱzurückȱerhalten.ȱ 4. 6,394%ȱp.a.ȱ

196 ȱ

Lösungen zu den Übungen

Kapitel 5: Investitionsrechung 1. a)ȱ Jaȱ ȱ b)ȱ beiȱ 9%ȱ p.a.ȱ (K 0 (K 0

0 ,0725 Mio. €) ȱ lohntȱ sieȱ sich,ȱ beiȱ 10%ȱ p.a.ȱ nichtȱ

0 ,0609 Mio. €) ȱȱc)ȱ9,5%ȱp.a.ȱ

2. InnererȱZinssatz:ȱ10%ȱp.a.ȱDaȱderȱinnereȱZinssatzȱgrößerȱalsȱderȱKalkulationszinsȬ satzȱist,ȱlohntȱsichȱdieȱInvestition.ȱ 3. DieȱInvestitionȱlohntȱsich,ȱsieȱhatȱsichȱbereitsȱnachȱ3ȱJahrenȱamortisiert.ȱ

Kapitel 6: Rentenrechnung 1. a)ȱ48.584,89ȱ€ȱȱȱȱb)ȱ50.649,75ȱ€ȱȱȱȱȱ 2. 5.509,80ȱ€ȱ 3. DieȱEinzelbeiträgeȱderȱRatenzahlungenȱzumȱRentenendwertȱsindȱinȱderȱfolgendenȱ Tabelleȱdargestellt.ȱ

EinzelbeiträgeȱderȱRatenzahlungenȱzumȱRentenendwertȱeinerȱvorschüssigenȱRenteȱ Zahlung am Beginn von Jahr

Rate

Jahre der Verzinsung

Beitrag

1

1.000,00 €

5

1.216,65 €

2

1.000,00 €

4

1.169,86 €

3

1.000,00 €

3

1.124,86 €

4

1.000,00 €

2

1.081,60 €

5

1.000,00 €

1

1.040,00 €

Summe

5.632,98 €

ȱ 4. a)ȱ73.652,22ȱ€ȱȱȱȱb)ȱ17,22ȱJahreȱ 5. 2.616,47ȱ€ȱ 6. 13.358,21ȱ€ȱ 7. Daȱdieȱabgehobenenȱ4.500ȱ€ȱwenigerȱalsȱdieȱZinsenȱvonȱ12.000ȱ€ȱ(8%ȱvonȱ150.000)ȱ ausmachen,ȱliegtȱkeinȱKapitalverzehr,ȱsondernȱeinȱKapitalaufbauȱvor.ȱ 8. Kapitalaufbau:ȱ K n

ȱ

K0 ˜ qn  r ˜ q ˜

qn  1 . ȱȱȱ i 197

Lösungen zu den Übungen

Kapitalverzehr:ȱ K n

K0 ˜ qn  r ˜ q ˜

qn  1 . ȱȱȱ i

9. 7.511,91ȱ€ȱ 10. 3.075,05ȱ€ȱ 11. 13,89ȱJahreȱ 12. Dieȱ 5Ȭjährigeȱ Renteȱ überȱ 2.000ȱ €ȱ proȱ Jahrȱ hatȱ amȱ 31.12.2005ȱ einenȱ Wertȱ vonȱ 10.724,93ȱ€,ȱderȱdannȱnochȱ3ȱJahreȱverzinstȱwird.ȱDieȱEinmalzahlungȱwirdȱ4ȱweitereȱ Jahreȱverzinst,ȱesȱkommtȱeineȱ3ȬjährigeȱRenteȱüberȱ500ȱ€ȱproȱJahrȱhinzu.ȱ 10.724 ,93 € ˜ 1,0353  6.000 € ˜ 1,0354  1.553,11 €

20.329,17ȱ€ȱ

13. 1.250.000ȱ€ȱ

Kapitel 7: Tilgungsrechnung 1. Dieȱ folgendenȱ Tilgungspläneȱ zeigenȱ dieȱ Entwicklungȱ derȱ Restschulden,ȱ etc.ȱ beimȱ RatenȬȱundȱAnnuitätendarlehen.ȱ

ȱ

Ratendarlehenȱ Jahr

Restschuld zu Beginn des Jahres

Zins

Tilgung

Annuität

Restschuld am Ende des Jahres

1

20.000,00 €

1.200,00 €

5.000,00 €

6.200,00 €

15.000,00 €

2

15.000,00 €

900,00 €

5.000,00 €

5.900,00 €

10.000,00 €

3

10.000,00 €

600,00 €

5.000,00 €

5.600,00 €

5.000,00 €

4

5.000,00 €

300,00 €

5.000,00 €

5.300,00 €

0,00 €

Zins

Tilgung

Annuität

ȱ

Annuitätendarlehenȱ Jahr

Restschuld zu Beginn des Jahres

Restschuld am Ende des Jahres

1

20.000,00 €

1.200,00 €

4.571,83 €

5.771,83 €

15.428,17 €

2

15.428,17 €

925,69 €

4.846,14 €

5.771,83 €

10.582,03 €

3

10.582,03 €

634,92 €

5.136,91 €

5.771,83 €

5.445,12 €

4

5.445,12 €

326,71 €

5.445,12 €

5.771,83 €

0,00 €

ȱ 198 ȱ

Lösungen zu den Übungen

2. ȱa)ȱ A

ZT

ȱ

Tilgungsplanȱ Jahr

150.000 € ˜ ( 0 ,04  0 ,02)

Restschuld zu Beginn des Jahres

Zins

9.000 € ȱȱȱȱb)ȱ28,01ȱJahreȱ

Tilgung

Annuität

Restschuld am Ende des Jahres

1

150.000,00 €

6.000,00 €

3.000,00 €

9.000,00 €

147.000,00 €

2

147.000,00 €

5.880,00 €

3.120,00 €

9.000,00 €

143.880,00 €

3

143.880,00 €

5.755,20 €

3.244,80 €

9.000,00 €

140.635,20 €

4

140.635,20 €

5.625,41 €

3.374,59 €

9.000,00 €

137.260,61 €

5

137.260,61 €

5.490,42 €

3.509,58 €

9.000,00 €

133.751,03 €

6

133.751,03 €

5.350,04 €

3.649,96 €

9.000,00 €

130.101,07 €

...

...

...

...

...

...

27

17.064,77 €

682,59 €

8.317,41 €

9.000,00 €

8.747,36 €

28

8.747,36 €

349,89 €

8.650,11 €

9.000,00 €

97,25 €

ȱ 3. Beiȱ7,5%ȱp.a.:ȱ133.763,35ȱ€;ȱbeiȱ4%ȱp.a.:ȱ187.464,96ȱ€.ȱ 4. –ȱ 5. EsȱwirdȱnurȱeinȱAusschnittȱausȱdemȱTilgungsplanȱdargestellt:ȱ

ȱ

Tilgungsplanȱ Jahr

Monat

1

1

140.000,00 €

460,83 € 339,17 €

800,00 €

-

139.660,83 €

2

139.660,83 €

459,72 € 340,28 €

800,00 €

-

139.320,55 €

3

139.320,55 €

458,60 € 341,40 €

800,00 €

-

138.979,15 €

4

138.979,15 €

457,47 € 342,53 €

800,00 €

-

138.636,62 €

5

138.636,62 €

456,35 € 343,65 €

800,00 €

-

138.292,97 €

6

138.292,97 €

455,21 € 344,79 €

800,00 €

-

137.948,18 €

7

137.948,18 €

454,08 € 345,92 €

800,00 €

-

137.602,26 €

8

137.602,26 €

452,94 € 347,06 €

800,00 €

-

137.255,20 €

ȱ

Restschuld zu Beginn des Monats

Zins

Tilgung

Annuität

Sondertilgung

Restschuld am Ende des Monats

199

Lösungen zu den Übungen

9

137.255,20 €

451,80 € 348,20 €

800,00 €

-

136.907,00 €

10

136.907,00 €

450,65 € 349,35 €

800,00 €

-

136.557,65 €

11

136.557,65 €

449,50 € 350,50 €

800,00 €

-

136.207,15 €

12

136.207,15 €

448,35 € 351,65 €

800,00 € 7.000,00 €

128.855,50 €

2

1

128.855,50 €

424,15 € 375,85 €

800,00 €

-

128.479,65 €

...

...

...

...

...

...

...

...

Kapitel 8: Kurs- und Renditerechnung 1. Zahlungsstrom:ȱ Z1

Z2

Z3

375 €, Z 4

5.375 €, ȱPreis:ȱ5.734,62ȱ€ȱ

2. EineȱRenditeȱvonȱ16,25%ȱp.a.,ȱdennȱȱ 10 €



110 €

(1  iȇ ) (1  iȇ )2 100 € 3. a)ȱ8.813,47ȱ€,ȱdennȱ

0 ,90

œ iȇ1 / 2

10.000 €

1,043 3

2 · 1 §¨ § 1 · 11 ¸ r  1 ¨ ¸ 18 ¨¨ 9 ¸¸ © 18 ¹ © ¹

0 ,1625 ȱ

8.813,47 € ȱȱȱb)ȱ5,98%ȱp.a.ȱ

Kapitel 9: Zinsderivate 1. ȱIhrȱFreundȱundȱSieȱtreffenȱfolgendeȱEntscheidungen:ȱ a)ȱ ȱSieȱentscheidenȱsichȱfürȱdenȱFloaterȱohneȱFloorȬKomponente,ȱdaȱSieȱbeiȱtatȬ sächlichȱ steigendenȱ Zinsenȱ hierȱ dieȱ bessereȱ Basisverzinsungȱ erhaltenȱ (6Ȭ MonatsȬEuriborȱ+ȱ27ȱBasispunkteȱstattȱ+ȱ25ȱBasispunkte).ȱ b)ȱȱ IhrȱFreundȱentscheidetȱsichȱfürȱdenȱFloorȬFloater,ȱdaȱdieserȱeineȱsichereȱVerȬ zinsungȱvonȱ2,45%ȱerbringt.ȱ c)

ȱ

200 ȱ

Imȱ Nachhineinȱ (beiȱ Kenntnisȱ derȱ Zinssätze)ȱhatȱ sichȱ dieȱ Entscheidungȱ Ihresȱ Freundesȱ fürȱ dieȱ sichereȱ Verzinsungȱ gelohnt.ȱ Erȱ bekommtȱ i.a.ȱ höhereȱ ZinsȬ zahlungen,ȱauchȱderȱBarwertȱderȱZinszahlungenȱistȱhöher.ȱ

Lösungen zu den Übungen

ZinserträgeȱausȱFloaterȱohneȱundȱmitȱMindestverzinsungȱ Datum

6-MonatsEuribor

Ihr Zinssatz

Ihr Zinsertrag

Zinssatz Ihres Freundes

Zinsertrag Ihres Freundes

15.1.2003

2,757%

3,027%

151,35 €

3,007%

150,35 €

15.7.2003

2,073%

2,343%

117,15 €

2,45%

122,50 €

15.1.2004

2,123%

2,393%

119,65 €

2,45%

122,50 €

15.7.2004

2,205%

2,475%

123,75 €

2,455%

122,75 €

17.1.2005

2,196%

2,466%

123,30 €

2,45%

122,50 €

15.7.2005

2,146%

2,41%6

120,80 €

2,45%

122,50 €

ȱ 2. CapȬFloaterȱmitȱCapȬZinssatzȱvonȱ5,5%ȱp.a.ȱ 3. a)ȱFloorȱmitȱFloorȬZinssatzȱvonȱ3,9%ȱp.a.ȱ b)ȱDieȱfolgendeȱTabelleȱzeigtȱdieȱZinszahlungenȱbeimȱKaufȱeinesȱFloaterȱundȱeinesȱ zusätzlichenȱFloorȱ

ZinszahlungenȱbeimȱKaufȱeinesȱFloaterȱundȱeinesȱzusätzlichenȱFloorȱ Datum

12-MonatsEuribor

Datum der Zinszahlung

Vom Emitten- Von der Bank ten empfanerhaltener gener ZinsZinssatz satz

Resultierender Zinssatz

1.9.2000

5,261%

31.8.2001

5,561%

-

5,561%

3.9.2001

3,976%

30.8.2002

4,276%

-

4,276%

2.9.2002

3,365%

29.8.2003

3,665%

0,535%

4,200%

1.9.2003

2,314%

31.8.2004

2,614%

1,586%

4,200%

ȱ 4. a)ȱKäuferȱdesȱFRAȱȱȱb)ȱErȱmussȱ0,5%ȱ

180 ˜ 500.000 € 360

1.250ȱ€ȱzahlen.ȱ

ȱ

ȱ

201

Literatur

Literatur

BürgerlichesȱGesetzbuchȱ(BGB),ȱFassungȱvomȱ26.11.2001.ȱ Beike,ȱR.,ȱBarckow,ȱA.:ȱRiskȬManagementȱmitȱFinanzderivaten,ȱ3.ȱA.,ȱMünchen,ȱ2002.ȱ Bestmann,ȱU.:ȱFinanzȬȱundȱBörsenlexikon,ȱ3.ȱA.,ȱMünchen,ȱ1997.ȱ Däumler,ȱ K.:ȱ Grundlagenȱ derȱ InvestitionsȬȱ undȱ Wirtschaftlichkeitsrechnung,ȱ 11.ȱ A.,ȱ Herne/Berlin,ȱ2003.ȱ Jahrmann,ȱF.:ȱFinanzierung,ȱ5.ȱA.,ȱBerlin,ȱ2003.ȱ Kehlmann,ȱD.:ȱDieȱVermessungȱderȱWelt,ȱHamburg,ȱ2005.ȱ Kobelt,ȱH.,ȱSchulte,ȱP.:ȱFinanzmathematik,ȱ7.ȱA.,ȱHerne/Berlin,ȱ1999.ȱ Köhler,ȱH.:ȱFinanzmathematik,ȱ3.ȱA.,ȱMünchen/Wien,ȱ1992.ȱ Hull,ȱJ.:ȱOptionen,ȱFuturesȱundȱandereȱDerivate,ȱMünchen,ȱ2006.ȱ Kreditwesengesetzȱ(KWG),ȱFassungȱvomȱ9.9.1998.ȱȱ Martin,ȱT.:ȱFinanzmathematik,ȱMünchen/Wien,ȱ2003.ȱ Olfert,ȱK.:ȱInvestition,ȱ3.A.,ȱLudwigshafen,ȱ2003.ȱ Olfert,ȱK.,ȱReichel,ȱC.:ȱFinanzierung,ȱ5.A.,ȱLudwigshafen,ȱ2005.ȱ Renger,ȱK.:ȱFinanzmathematikȱmitȱExcel,ȱWiesbaden,ȱ2003.ȱ Tietze,ȱJ.:ȱEinführungȱinȱdieȱFinanzmathematik,ȱ6.ȱA.,ȱWiesbaden,ȱ2003.ȱ Wahl,ȱ D.ȱ [Hrsg.]:ȱ Erwachsenenbildungȱ konkret:ȱ mehrphasigesȱ Dozententraining;ȱ eineȱ neueȱFormȱerwachsenendidaktischerȱAusbildungȱvonȱReferentenȱundȱDozenten,ȱ4.ȱA.,ȱ Weinheim,ȱ1995.ȱ

ȱ

203

Abkürzungen

Abkürzungen

NotationenȱundȱAbkürzungenȱ Aj

Annuität der j-ten Periode/ Auszahlungen in der j-ten Periode (Investitionsrechnung)

bp

Basispunkt, 1 bp = 0,01%

C

Kurs

d

Diskontierungsfaktor, d=1/q

Ej

Einzahlungen in der j-ten Periode

i

Zinssatz (bei konstanten Zinssätzen)

ij

Zinssatz der j-ten Periode

im

Zinssatz bei m Zinsperioden pro Jahr

i eff

Effektivzinssatz

i inn Innerer Zinssatz (Investitionsrechnung) iȇ

Realzinssatz

Kj

Kapitalwert zum Zeitpunkt j

K0

Barwert (allgemein)/ Nettobarwert (Investitionsrechnung)/ Nennwert (Kurs- und Renditerechnung)

K ȇ0

Barwert der zukünftigen Periodenüberschüsse (Investitionsrechnung), Realbarwert (Kursund Renditerechnung)

m

Anzahl der Zinsperioden pro Jahr

N

Menge der natürlichen Zahlen

n

Laufzeit, Anzahl der Jahre/Zinsperioden

Pj

Periodenüberschüsse der j-ten Periode

p.a. Per annum (pro Jahr) p.Q. Pro Quartal p.M. Pro Monat

q

Aufzinsungsfaktor (bei konstanten Zinssätzen), q =1+i

qj

Aufzinsungsfaktor für die j-te Periode

ȱ

205

Abkürzungen

q( n ) Aufzinsungsfaktor für die Gesamtheit von n Perioden R

Menge der reellen Zahlen

t

Index für die Zeit

Tj

Tilgung der j-ten Periode

Zj

Zinsen der j-ten Periode

ȱ

206 ȱ

Stichwortverzeichnis

Stichwortverzeichnis

Abzinsen.............................................. 61ȱ

arithmetische ...................................46ȱ

Amortisationsdauer......................... 106ȱ

beschränkte ......................................41ȱ

Anleihe ................................................ 13ȱ

divergente ........................................43ȱ

Annuität............................................. 134ȱ

geometrische....................................48ȱ

Annuitätentilgung ........................... 139ȱ

konvergente .....................................42ȱ

äquivalenteȱZahlungen..................... 89ȱ

monotonȱfallende ............................40ȱ

Arbitrage............................................ 190ȱ

monotonȱwachsende .......................39ȱ

Aufzinsungsfaktor............................. 60ȱ

ForwardȱRate.....................................182ȱ

Barwert......................... 60,ȱ61,ȱ66,ȱ88,ȱ99ȱ

ForwardȱRateȱAgreementȱ(FRA) ....182ȱ

Basis ..................................................... 22ȱ

GrenzwertȱeinerȱFolge.......................42ȱ

Beschränktheit.................................... 41ȱ

Hedging .............................................190ȱ

Collar.................................................. 181ȱ

Indexverschiebung ............................35ȱ

Diskontfaktor ..................................... 61ȱ

Intervallschachtelung......................104ȱ

Diskontieren ....................................... 61ȱ

Investition ...........................................95ȱ

Diskriminante .................................... 27ȱ

ISMAȬMethode...................................70ȱ

Effektivzinssatz.................................. 74ȱ

Kalkulationszinssatz .......................100ȱ

endfälligeȱSchuld............................. 134ȱ

Kapitalaufbau ...................................125ȱ

Endwert.................................... 60,ȱ62,ȱ64ȱ

Kapitalverzehr ..................................125ȱ

Ersatzaufzinsungsfaktor................. 123ȱ

konformeȱErsatzrate.........................121ȱ

Exponent.............................................. 22ȱ

konformeȱZinssätze ...........................73ȱ

Floater ......... SieheȱȱFloatingȱRateȱNoteȱ

Konvergenz .........................................42ȱ

FloatingȱRateȱNote ............................. 13ȱ

KonvergenzȱeinerȱFolge ....................42ȱ

Floor ................................................... 172ȱ

Kuponzinssatz ....................................13ȱ

Folgeȱ

Marktzinssatz ...................................157ȱ

alternierende.................................... 40ȱ

ȱ

207

Stichwortverzeichnis

Methodeȱ desȱ kaufmännischenȱ Rechnens ......................................... 70ȱ Mitternachtsformel............................ 28ȱ nachschüssigeȱVerzinsung ............... 59ȱ Näherungslösungen ........................ 104ȱ Nettobarwert..................................... 100ȱ Nominalwert..................................... 157ȱ Nominalzinssatz .................. 13,ȱ74,ȱ157ȱ Normalinvestition.............................. 97ȱ Nullkuponanleihe ..................... 14,ȱ162ȱ Option................................................ 188ȱ Partialsumme...................................... 51ȱ Periodenüberschuss .......................... 97ȱ Prämie ................................ 172,ȱ176,ȱ178ȱ Produkt ................................................ 37ȱ Quartal ................................................. 59ȱ Radikand ............................................. 25ȱ Raten .................................................. 112ȱ Ratentilgung ..................................... 135ȱ Realwert............................................. 157ȱ Realzinssatz ...................................... 157ȱ Referenzzinssatz .............................. 172ȱ Reiheȱ

geometrische.................................... 52ȱ harmonische .................................... 51ȱ harmonischeȱalternierende ............ 52ȱ Rendite............................................... 160ȱ Rente .................................................. 112ȱ

ewige .............................................. 127ȱ

208 ȱ

nachschüssige ................................113ȱ vorschüssige...................................117ȱ Rentenbarwert ..........................115,ȱ118ȱ Rentenendwert .........................113,ȱ117ȱ Rentenperiode ..................................112ȱ Restschuld .........................................134ȱ Sondertilgungen...............................146ȱ Spekulation .......................................190ȱ Spread ..........................................10,ȱ185ȱ Stillhalter...........................................178ȱ Strike ..........................................172,ȱ175ȱ Summe .................................................33ȱ Swap ...................................................183ȱ Tilgung...............................................133ȱ tilgungsfreieȱPerioden.....................146ȱ Tilgungsplan.....................................135ȱ Underlying ........................................186ȱ unterjährig.....................................67,ȱ69ȱ unterjährigeȱRentenzahlungen......120ȱ unterperiodig ......................................69ȱ verfeinertesȱZinsmodell....................62ȱ Verzinsungȱ

einfache.............................................66ȱ geometrischeȱ(exponentielle).........62ȱ lineare ...............................................66ȱ stetige................................................81ȱ Volatilität ...........................................180ȱ vorschüssigeȱVerzinsung ..................59ȱ Wurzelexponent .................................25ȱ

Stichwortverzeichnis

Zahlungsstrom ................................... 90ȱ

linearȱproportionaler ......................72ȱ

zeroȱbond..... SieheȱNullkuponanleiheȱ

nominaler .........................................74ȱ

Zinsen .................................................. 59ȱ

Zinsstrukturkurve................................3ȱ

Zinsobergrenze................................. 175ȱ

Zinstagemethoden .............................69ȱ

Zinssatzȱ

Zinstermin...........................................59ȱ

geometrischȱproportionaler........... 75ȱ

Zinsuntergrenze ...............................172ȱ

innerer ............................................ 103ȱ

Zinszahlungstermin ......................5,ȱ59ȱ

ȱ

ȱ

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