Estimation d'un modèle DSGE sur Dynare

OOO FTL LAREQ Publication

E STIMATION

D ’ UN MODELE DSGE SUR D YNARE Auteur(s) : Jean – Paul K. Tsasa Vangu Source : Laboratoire d’analyse – recherche en économie quantitative Publié par : LAREQ Publication Volume : Série alpha-I, numéro 13 [pp. 111 – 136] Web : http://www.lareq.com Courriel : [email protected] Soumission : Juillet 26, 2013 Publication : Janvier 25, 2014

Le LAREQ Publication collabore avec Makroeconomica Review dans la production et la diffusion de la série des fiches techniques Lareq (FTL). MAKROECONOMICA REVIEW Web : http://www.makroeconomica.org

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Résumé1 Cette   série   de   fiches   techniques   (alpha–I)   propose   une   introduction   à   la   modélisation   DSGE   et   une   initiation   à   la   plateforme   logiciel   Dynare   et   aux   logiciels   Dynare++   et   MatLab.   L’ensemble   de   publications   dans   le   cadre   de   cette   série,   une   fois   complété,   sera   publié   dans   un   document   unique   sous   forme   d’un   manuel  d’initiation.     Dans   cette   fiche,   nous   abordons   la   partie   consacrée   à   l’estimation   des   modèles   DSGE  sur  la  plateforme  Dynare.

I. Introduction Pour estimer certains ou tous les paramètres d’un modèle DSGE sur Dynare, l’utilisateur devra disposer de quelques observations sur les variables endogènes de son modèle

                                                                                                                1

L’utilisateur désirant accéder au manuel de référence Dynare, peut se diriger au site internet suivant : http://www.dynare.org.

d’analyse. La méthode du maximum de vraisemblance (cf. Irlande, 2004) et les techniques bayésiennes (cf. Rabanal et Rubio – Ramirez, 2003 ; Schorfheide, 2000 ; Smets et Wouters, 2003 ; Fernandez-Villaverde, 2010) sont disponibles. En utilisant les méthodes bayésiennes, il est possible d'estimer les modèles DSGE, les modèles VAR, et même une combinaison des deux techniques appelées DSGE – VAR. Toutefois, il sied de noter que pour éviter la singularité stochastique, l’utilisateur devra avoir au moins autant de chocs ou d’erreurs de mesure dans son modèle que des variables observées. In fine, il sied de noter que l'estimation utilisant une approximation du premier ordre, sous l’environnement Dynare, peut naturellement bénéficier du bloc décomposition du modèle tel que décrit dans la FTL 6 (FTL, série alpha–I, num. 6).

II. Les préalables La première étape dans l’estimation d’un modèle DSGE consiste à identifier les variables endogènes concernées par l’exercice en cause. Ainsi, la commande Dynare varobs permet d’afficher le nom des variables endogènes observées pour la procédure d'estimation. Cependant, il convient de remarquer que ces variables doivent être disponibles dans le fichier des données.

varobs VARIABLE_NAME. . .;

[Commande]

Ainsi, la commande varobs affiche le nom des variables endogènes observées pour la procédure d'estimation. Par ailleurs, la commande varobs peut également être utilisée, en conjonction avec l'option partial_information de la commande stoch_simul, pour déclarer l'ensemble de variables observées lors de la résolution du modèle en cas d’hypothèse d’information partielle. Une seule instance de varobs est autorisée dans un fichier du modèle. Si on en a besoin pour déclarer les variables observées dans une boucle, le macro-processeur peut être utilisé comme indiqué dans l’exemple ci – dessous.

Exemple : varobs @#for co in countries; GDP_@{co} @#endfor ;

112

Jean-Paul K. Tsasa Estimation d’un modèle DSGE sur Dynare

observation_trends;

[Bloc]

Ce bloc indique les tendances linéaires des variables observées, ainsi que les fonctions des paramètres du modèle. Chaque ligne à l'intérieur du bloc doit être de la forme: VARIABLE_NAME (EXPRESSION); Dans la plupart des cas, les variables ne doivent pas être centrées quand l’instruction observation_trends est utilisée.

Exemple : Observation_trends; T (eta); P (mu/eta); end;

estimated_params;

[Bloc]

Ce bloc répertorie tous les paramètres à estimer et précise les limites et a priori comme nécessaires. Chaque ligne dans ce bloc correspond à un paramètre estimé. Dans une estimation du maximum de vraisemblance, chaque ligne suit la syntaxe ci – après : stderr VARIABLE_NAME | corr VARIABLE_NAME_1, VARIABLE_NAME_2 | PARAMETER_NAME , INITIAL_VALUE [, LOWER_BOUND, UPPER_BOUND ]; Dans une estimation bayésienne, chaque ligne suit la syntaxe ci – après : stderr VARIABLE_NAME | corr VARIABLE_NAME_1, VARIABLE_NAME_2 | PARAMETER_NAME | DSGE_PRIOR_WEIGHT [, INITIAL_VALUE [, LOWER_BOUND, UPPER_BOUND]], PRIOR_SHAPE, PRIOR_MEAN, PRIOR_STANDARD_ERROR [, PRIOR_3RD_PARAMETER [, PRIOR_4TH_PARAMETER [, SCALE_PARAMETER ] ] ]; La première partie de la ligne est constituée d'une des trois possibilités suivantes :

stderr VARIABLE_NAME Indique que l'écart – type de la variable exogène VARIABLE_NAME, ou de l’observation des erreurs/erreurs de mesure associées aux endogènes observée VARIABLE_NAME doit être estimé.

Fiche technique Laréq, Série alpha–I, Num. 13, pp. 111 – 136 Jean-Paul K. Tsasa

113

corr VARIABLE_NAME1, VARIABLE_NAME2 Indique que la corrélation entre la variable exogène VARIABLE_NAME1 et l’autre exogène VARIABLE_NAME2, ou la corrélation des erreurs/erreurs de mesure associées

aux

variables

endogènes

observées

VARIABLE_NAME1

et

VARIABLE_NAME2, doit être estimée. Il sied de noter que les corrélations établies précédemment par les blocs shocks ou les commandes estimation sont maintenues à leur valeur définie avant l'estimation, si par la suite elles ne sont pas estimer à nouveau.. Ainsi, le traitement reste le même que dans le cas plus compliqué des paramètres non estimés, définis pendant l'étalonnage (calibration) du modèle.

PARAMETER_NAME Indique le nom du modèle qui doit être estimé. DSGE_PRIOR_WEIGHT ... Le reste de la ligne est constitué des champs suivants :

INITIAL_VALUE Indique une valeur de départ pour l'estimation par le maximum de Vraisemblance.

LOWER_BOUND Spécifie une limite inférieure pour la valeur de paramètre dans l'estimation du maximum de vraisemblance.

UPPER_BOUND Spécifie une limite supérieure pour la valeur de paramètre dans l'estimation du maximum de vraisemblance.

PRIOR_SHAPE Mot–clé spécifiant la forme de la densité a priori. Les valeurs possibles sont : beta_pdf

gamma_pdf

normal_pdf

uniform_pdf

inv_gamma_pdf

inv_gamma1_pdf

inv_gamma2_pdf Par

ailleurs,

il

sied

de

noter

que

inv_gamma1_pdf.

114

Jean-Paul K. Tsasa Estimation d’un modèle DSGE sur Dynare

inv_gamma_pdf

est

équivalente

à

PRIOR_MEAN La moyenne de la distribution a priori.

PRIOR_STANDARD_ERROR L'écart type de la distribution a priori.

PRIOR_3RD_PARAMETER Un troisième paramètre du prior utilisé pour les distributions beta généralisée, gamma généralisée et uniforme. La valeur par défaut est : 0.

PRIOR_4TH_PARAMETER Un quatrième paramètre du prior utilisé pour la distribution beta généralisée et pour la distribution uniforme. La valeur par défaut est : 1.

SCALE_PARAMETER Le paramètre d'échelle à utiliser pour la distribution de saut de l'algorithme de Metropolis–Hastings. Il sied de noter que INITIAL_VALUE, LOWER_BOUND, UPPER_BOUND, PRIOR_MEAN, PRIOR_STANDARD_ERROR,

PRIOR_3RD_PARAMETER,

PRIOR_4TH_PARAMETER

et

SCALE_PARAMETER peut être n'importe quelle EXPRESSION valide. Certains d'entre eux peuvent être vides. Dans lequel cas, Dynare choisira une valeur par défaut en fonction du contexte et de la forme du prior. Etant donné qu’on utilise plus d'options à la fin de la liste, toutes les options précédentes doivent être remplies. Par exemple, si l’utilisateur souhaite spécifier SCALE_PARAMETER,

il

doit

spécifier

PRIOR_3RD_PARAMETER

et

PRIOR_4TH_PARAMETER. Utilisez les valeurs vides, si ces paramètres ne s'appliquent pas.

Exemple La ligne suivante : corr eps_1, eps_2, 0,5, , , beta_pdf, 0, 0.3, -1, 1; définit un prior bêta généralisée pour la corrélation entre eps_1 et eps_1 de moyenne 0

et

de

variance

0.3.

En

fixant

PRIOR_3RD_PARAMETER

à

-1

et

PRIOR_4TH_PARAMETER à 1, la distribution beta standard avec support [0,1] est remplacée par une beta généralisée avec support [-1,1]. Il sied de noter qu’en laissant LOWER_BOUND et UPPER_BOUND vides, les valeurs par défaut seront respectivement -1 et 1. La valeur initiale est fixée à 0.5.

Fiche technique Laréq, Série alpha–I, Num. 13, pp. 111 – 136 Jean-Paul K. Tsasa

115

De même, la ligne suivante : corr eps_1, eps_2, 0.5, -0.5, 1, beta_pdf , 0, 0,3 , -1, 1; définit la même distribution beta généralisée comme avant, mais tronque maintenant cette distribution à [-0.5,1], grâce à l'utilisation de LOWER_BOUND et UPPER_BOUND.

III. Paramétrisation et fixation des bornes Parfois, il est souhaitable d'estimer une transformation d'un paramètre qui apparaît dans le modèle, plutôt que le paramètre lui-même. Il est bien entendu possible de remplacer le paramètre d'origine par une fonction du paramètre estimé, mais il est souvent peu pratique. Dans un tel cas, il est possible de déclarer le paramètre à estimer dans l’instruction parameters et de définir la transformation, en utilisant un signe dièse « # » (cf. FTL alpha–I.6).

Exemple : parameters bet; model; # sig = 1/bet; c = sig*c(+1)*mpk; end; estimated_params; bet, normal_pdf, 1, 0.05; end;

estimated_params_init;

[Bloc]

Ce bloc déclare les valeurs initiales numériques pour l'optimiseur lorsque ces dernières sont différentes de la moyenne a prior. Chaque ligne a la syntaxe suivante : stderr VARIABLE_NAME | corr VARIABLE_NAME_1, VARIABLE_NAME_2 | PARAMETER_NAME, INITIAL_VALUE; Cf. FTL alpha–I.14 pour l’explication et la syntaxe de différentes composantes du bloc en cause.

116

Jean-Paul K. Tsasa Estimation d’un modèle DSGE sur Dynare

estimated_params_bounds;

[Bloc]

Ce bloc déclare les bornes inférieure et supérieure pour les paramètres dans l'estimation par le maximum de vraisemblance. Chaque ligne a la syntaxe suivante : stderr VARIABLE_NAME | corr VARIABLE_NAME_1, VARIABLE_NAME_2 | PARAMETER_NAME, LOWER_BOUND, UPPER_BOUND; Cf. FTL alpha–I.14 pour l’explication et la syntaxe de différentes composantes du bloc en cause.

IV. Estimations des modèles DSGE sur Dynare La commande Dynare estimation exécute l'estimation soit par les techniques bayésiennes, soit par la méthode bayésienne.

estimation [VARIABLE_NAME. . .];

[Bloc]

estimation (OPTION) [VARIABLE_NAME. . .];

[Bloc]

Les informations suivantes seront affichées par Dynare après exécution de la commande :

⎯

les résultats de l'optimisation a posteriori (également pour le maximum de vraisemblance) ;

⎯

la densité log – marginale ;

⎯

la moyenne et le plus petit intervalle de confiance de la simulation a posteriori ;

⎯

les graphiques de convergence de Metropolis – Hastings (à documenter) ;

⎯

les graphiques avec les prior, posterior et mode ;

⎯

les graphiques de chocs après lissage, des erreurs d’observations après lissage de variables historiques et des variables lissées.

V. Revue des options Dynare d’estimation d’un modèle DSGE La plateforme Dynare compte environ soixante cinq options principales qui permettent à ses utilisateurs de manager les exercices d’estimations des modèles DSGE. Ci – après, nous décrivons les options susceptibles d’être utilisées lors de l’estimation sur Dynare.

Fiche technique Laréq, Série alpha–I, Num. 13, pp. 111 – 136 Jean-Paul K. Tsasa

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datafile = INTEGER à Le fichier des données : un fichier « .m » ; un fichier « .mat » ; un fichier « .xls » ou « .xlsx ». Le format .xls/.xlsx est supporté sous Octave si les packages io et java de OctaveForge

sont

installés,

avec

un

environnement

d'exécution

Java,

cf.

www.java.com/fr/download).

xls_sheet = NAME à Le nom de la feuille avec les données dans un fichier Excel.

xls_range = RANGE à L’alignement avec les données dans un fichier Excel.

nobs = INTEGER à Le nombre d’observations à utiliser? La valeur par défaut est : Toutes les observations dans les fichiers.

nobs = [INTEGER1:INTEGER2] à Exécute une estimation récursive et une prévision pour les échantillons de taille allant de INTEGER1 à INTEGER2. L’option forecast doit également être spécifié.

first_obs = INTEGER à Le nombre de la première observation à utiliser. La valeur par défaut : 1.

prefilter = INTEGER à Une valeur de 1 signifie que la procédure d’estimation réduira les données. La valeur par défaut est : 0, c’est – à – dire sans pré-filtrage.

presample = INTEGER à Le nombre d'observations à sauter avant d'évaluer la probabilité. La valeur par défaut : 0.

loglinear à Calcule une approximation log-linéaire du modèle au lieu d'une approximation linéaire. Les données doivent correspondre à la définition des variables utilisées dans le modèle. Par défaut : calculer une approximation linéaire.

plot_priors = INTEGER à Contrôler la visualisation graphique de priors : 0 1

118

Pas de figures illustratives de priors La densité du prior (densité a priori) pour chaque paramètre estimé est dessinée. Jean-Paul K. Tsasa Estimation d’un modèle DSGE sur Dynare

Il est important de vérifier que la forme réelle de densités a priori correspond à ce que l’on a à l'esprit. Les valeurs choisies pour la densité standard a priori peut entraîner des densités a priori absurdes La valeur par défaut est : 1.

nograph à Cf. FTL alpha–I.12.

nodisplay à Cf. FTL alpha–I.12.

graph_format = FORMAT

graph_format = ( FORMAT, FORMAT ) à Cf. FTL alpha–I.12.

lik_init = INTEGER à Initialisation du filtre de Kalman : 1

Pour les modèles stationnaires, la matrice initiale de la variance de l'erreur de prévision est établie comme étant égale à la variance inconditionnelle des variables d'état

2

Pour les modèles non stationnaires, un large prior est utilisé avec une matrice initiale de la variance de l'erreur de prévision avec 10 sur la diagonale

3

Pour les modèles non stationnaires, utiliser un propagation (utilisez plutôt l’option diffuse_filter)

filtre

de

4 Le filtre est initialisé avec le point fixe de l'équation de Riccati La valeur par défaut est 1.

lik_algo = INTEGER à Uniquement pour un usage interne et le tests.

conf_sig = DOUBLE à Niveau de signification de l’intervalle de confiance. La valeur par défaut est 0.90.

mh_replic = INTEGER à Nombre de réplications pour l'algorithme de Metropolis-Hastings. Pour ce faire, mh_replic doit être plus grand que 1200. La valeur par défaut est : 20000.

sub_draws = INTEGER à Nombre de tirages à partir des itérations de Metropolis qui sont utilisés pour calculer la distribution a posteriori de divers objets (variable lissée, chocs après

Fiche technique Laréq, Série alpha–I, Num. 13, pp. 111 – 136 Jean-Paul K. Tsasa

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lissage, prévisions, moments, IRF). La valeur de l’option sub_draws devrait être plus petite que le nombre total de tirage de Metropolis disponible. Par défaut : min(1200,0.25* Nombre total de tirages).

mh_nblocks = INTEGER à Nombre de chaînes parallèles de l'algorithme de Metropolis-Hastings. La valeur par défaut est : 2.

mh_drop = DOUBLE à La fraction de vecteurs de paramètres générés initialement à supprimer avant l'utilisation des simulations a posteriori. La valeur par défaut est : 0.5.

mh_jscale = DOUBLE à L'échelle à utiliser pour la distribution de saut dans l'algorithme de MetropolisHastings. La valeur par défaut est rarement satisfaisante. Cette option doit être réglée pour obtenir, dans l'idéal, un taux d'acceptation de 25% dans l'algorithme de MetropolisHastings. La valeur par défaut est : 0.2.

mh_init_scale = DOUBLE à L'échelle doit être utilisé pour l'établissement de la valeur initiale de la chaîne de Metropolis-Hastings. La valeur par défaut est : 2*mh_scale.

mh_recover à Tente de récupérer une simulation de Metropolis-Hastings qui s'est écrasée prématurément. Cette option ne doit pas être utilisée avec load_mh_file.

mh_mode = INTEGER ...

mode_file = FILENAME à Nom du fichier contenant la valeur antérieure pour le mode. Lors du calcul de la mode, Dynare stocke le mode (xparam1) et la hessienne (hh, uniquement si cova_compute=1) dans un fichier appelé 'MODEL_FILENAME_mode.mat'.

mode_compute = INTEGER | FUNCTION_NAME à Spécifie l’optimiseur pour le calcul du mode : 0

120

Le mode n'est pas calculé. Lorsque l'option mode_file est spécifiée, le mode est tout simplement lu à partir de ce fichier. Lorsque l'option mode_file n'est pas spécifiée, Dynare indique la valeur de la log posterior (log-vraisemblance) évaluée à la valeur initiale des paramètres. Lorsque l'option mode_file n'est pas spécifiée et qu’il n'y a pas de Jean-Paul K. Tsasa Estimation d’un modèle DSGE sur Dynare

bloc estimated_params, mais que l'option smoother est utilisée, c’est un moyen détourné pour calculer la valeur lissée des variables d'un modèle avec des paramètres calibrés 1

Utilise la routine d’optimisation fmincon (disponible sous MatLab si la boîte à outils d'optimisation est installée ; non disponible sous Octave)

2

Cette valeur n’est plus utilisée

3

Utilise la routine d’optimisation fminunc (disponible sous MatLab si la boîte à outils d'optimisation est installée ; disponible sous Octave si le package optim de Octave-Forge est installé ; Cf. http://octave.sourceforge.net/optim).

4

Utilise l’optimiseur csminwel de Chris Sims Cf. http://sims.princeton.edu/yftp/optimize

5

Utilise l’optimiseur newrat de Marco Ratto. Cette valeur n'est pas compatible avec les filtres non linéaires ou les modèles DSGE-VAR

6

Utilise une routine d'optimisation de type Monte-Carlo (se rapport à Dynare wiki pour plus de détails ; Cf. http://www.dynare.org/DynareWiki/MonteCarloOptimization)

7

Utilise fminsearch, une routine d'optimisation de type simplex (disponible sous MatLab si la boîte à outils d'optimisation est installée ; disponible sous Octave si le paquet optim de OctaveForge est installé ; Cf. http://octave.sourceforge.net/optim)

8

Utilise l’implémentation Dynare de la routine d’optimisation basée sur le simplex Nelder-Mead (généralement plus efficace que la mise en œuvre MatLab ou Octave disponible avec mode_compute = 7)

9

Utilise l’algorithme CMA-ES (Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy), un algorithme évolutionnaire pour le difficulté d’optimisation non-convexe non-linéaire

FUNCTION_NAME à Il est également possible de donner un FUNCTION_NAME à cette option, à la place d'un entier. Dans ce cas, Dynare prend la valeur de retour de cette fonction en tant que mode a posteriori. La valeur par défaut est : 4.

mode_check à Instruit Dynare de tracer la densité a posteriori pour les valeurs autour du mode calculée pour chaque paramètre estimé. Cette option est utile pour diagnostiquer les problèmes avec l'optimiseur.

prior_trunc = DOUBLE

Fiche technique Laréq, Série alpha–I, Num. 13, pp. 111 – 136 Jean-Paul K. Tsasa

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à Probabilité des valeurs extrêmes de la densité a priori qui est ignoré dans le calcul de limites pour les paramètres. La valeur par défaut est : 1e-32.

load_mh_file à Indique Dynare à ajouter à des simulations précédentes de Metropolis-Hastings, au lieu de partir de zéro. Cette option ne doit pas être utilisé avec mh_recover.

optim = (fmincon options) Cette option peut être utilisée pour définir les options pou fmincon, la fonction d'optimisation de la boîte à outil MatLab. Utilisez la syntaxe MatLab pour ces options. La valeur par défaut est : (’display’,’iter’,’LargeScale’,’off’,’MaxFunEvals’,100000,’TolFun’,1e-8,’TolX’,1e-6).

nodiagnostic à Ne pas calculer les diagnostics de convergence de Metropolis-Hastings. Par défaut: les diagnostics sont calculées et affichées.

bayesian_irf à Déclenche le calcul de la distribution a posteriori de IRFs. La longueur des IFRs est contrôlé par l'option irf. Les résultats sont stockés dans oo_.PosteriorIRF.dsge (cf. ci-dessous pour une description de cette variable).

dsge_var à Déclenche l'estimation d'un modèle DSGE-VAR, où le poids du prior DSGE du modèle VAR sera estimé. Le prior sur le poids du prior DSGE, dsge_prior_weight, doit être défini dans la section estimated_params. NOTE

:

La

méthode

précédente

déclarant

dsge_prior_weight

comme

un

paramètre et ensuite le plaçant dans estimated_params est maintenant obsolète et sera supprimée dans une version ultérieure de Dynare.

dsge_var = DOUBLE à Déclenche l'estimation d'un modèle DSGE-VAR, où le poids du prior DSGE du modèle VAR est calibré à la valeur passée. NOTE

: La méthode précédente de déclarant dsge_prior_weight comme un

paramètre, puis le calibrant, est maintenant obsolète et sera supprimée dans une version ultérieure de Dynare.

dsge_varlag = INTEGER à Le nombre de retards utilisé pour estimer un modèle DSGE-VAR. La valeur par défaut est : 4.

122

Jean-Paul K. Tsasa Estimation d’un modèle DSGE sur Dynare

moments_varendo à Déclenche le calcul de la distribution a posteriori des moments théoriques des variables

endogènes.

Les

résultats

sont

stockés

dans

oo_.PosteriorTheoreticalMoments (voir ci-dessous pour une description de cette variable).

conditional_variance_decomposition = INTEGER à Voir ci-dessous.

conditional_variance_decomposition = [INTEGER1:INTEGER2] à Voir ci-dessous.

conditional_variance_decomposition = [INTEGER1 INTEGER2 ...] à

Calcule

la

distribution

a

posteriori de

la

décomposition

de

la

variance

conditionnelle pour la (les) période(s) indiquée(s). Les périodes doivent être strictement positives. Les variances conditionnelles sont données par 𝑣𝑎𝑟 𝑦!!! 𝑡 . Pour la période 1, la décomposition de la variance conditionnelle permet la décomposition de l'effet des chocs lors de l'impact. Les résultats sont stockés dans : oo_.PosteriorTheoreticalMoments.dsge.ConditionalVarianceDecomposition, mais actuellement, il n'existe d’output. Il sied de noter l’option moments_varendo doit être précisée.

filtered_vars à Déclenche le calcul de la distribution a posteriori des variables endogènes filtrées/ en une seule étape avant les prévisions, c’est – à – dire 𝔼! 𝑦!!! . Les résultats sont stockés dans oo_.FilteredVariables (voir ci-dessous pour une description de cette variable).

smoother à Cette option déclenche le calcul de la distribution a posteriori des variables et des chocs endogènes dont les valeurs attendues tiennent compte des renseignements disponibles dans toutes les observations jusqu'à la date finale 𝔼! 𝑦! . Les résultats sont stockés dans oo_.SmoothedVariables, oo_.SmoothedShocks et oo_.SmoothedMeasurementErrors. Cette option déclenche aussi le calcul de oo_.UpdatedVariables, qui contient l'estimation de la valeur attendue de variables compte tenu des informations disponibles à la date courante 𝔼! 𝑦! . Voir ci-dessous pour une description de toutes ces variables.

forecast = INTEGER à Calcule la distribution a posteriori d'une prévision sur INTEGER périodes après la fin de l'échantillon utilisé dans l'estimation. Si aucune simulation Metropolis-Hastings n’était calculée, le résultat sera stocké dans oo_.forecast variable et correspond Fiche technique Laréq, Série alpha–I, Num. 13, pp. 111 – 136 Jean-Paul K. Tsasa

123

aux prévisions à la mode postérieure. Si une simulation Metropolis-Hastings est calculée,

la

distribution

de

prévisions

est

stockée

dans

les

variables

oo_.PointForecast et oo_.MeanForecast. Cf. FTL, série alpha–I.14 pour une description de ces variables.

tex à Demande l'impression des résultats et des graphiques dans les tableaux et graphiques de TeX. Ultérieurement, ces derniers peuvent être directement inclus dans des fichiers LaTeX (pas encore implémenté).

kalman_algo = INTEGER ...

kalman_tol = DOUBLE ...

filter_covariance à Enregistre la série d’une étape avant l’erreur de prévision des matrices de covariance.

filter_step_ahead = [INTEGER1:INTEGER2] à Déclenche le calcul de 𝑘 − é𝑡𝑎𝑝𝑒 des valeurs filtrées avant. Les

résultats

sont

stockés

dans

oo_.FilteredVariablesKStepAhead

et

oo_.FilteredVariablesKStepAheadVariances.

filter_decomposition à Déclenche le calcul de la décomposition de choc au dessus de 𝑘 − é𝑡𝑎𝑝𝑒 avant les valeurs filtrées.

constant . . .

noconstant ...

diffuse_filter à Utilise le filtre de Kalman étendu, [cf. Durbin et Koopman (2001, 2003)] pour estimer les modèles avec des variables observées non stationnaires. Lorsque diffused_filter est utilisé, l'option de lik_init de estimation n'a pas d'effet. Quand il y a des variables non stationnaires dans un modèle, il n'y a pas un unique

état

d'équilibre

déterministe.

L'utilisateur

doit

fournir

une

fonction

MatLab/Octave qui calcule les valeurs des variables en état stationnaire dans le modèle et retourne des valeurs nominales pour ceux non stationnaires. La fonction

124

Jean-Paul K. Tsasa Estimation d’un modèle DSGE sur Dynare

doit être appelé avec le nom du fichier « .mod » suivi par « _steadystate ». Cf. « fs2000_steadystate.m » dans le répertoire « examples » pour un exemple. Notez que les variables non stationnaires dans le modèle doivent être des processus intégrés (leur première différence ou k–différence doivent être stationnaires).

selected_variables_only à Exécuter le lissage uniquement sur les variables énumérées juste après la commande estimation. Par défaut: exécuter le lissage sur toutes les variables endogènes déclarées.

cova_compute = INTEGER à Quand la valeur est 0, la matrice de covariance des paramètres estimés n'est pas calculé après le calcul du mode a posteriori (ou du maximum de vraisemblance). Ceci augmente la vitesse de calcul dans les grands modèles au cours du développement, lorsque cette information n'est pas nécessaire. Bien entendu, cela va briser tous les calculs successifs qui nécessiteraient cette matrice de covariance. En parallèle, si cette option est égale à 1, la matrice de covariance est calculée et stockée dans la variable hh de ‘MODEL_FILENAME_mode.mat’. La valeur par défaut est 1.

solve_algo = INTEGER à Cf. [solve_algo], FTL alpha–I.9.

order = INTEGER à Ordre d'approximation, soit 1, soit 2. Lorsque c'est égal à 2, la vraisemblance est évaluée avec un filtre à particules basé sur une approximation du second ordre du modèle (cf. Fernandez-Villaverde et Rubio-Ramirez, 2005). La valeur par défaut est : 1, c'est – à – dire la vraisemblance du modèle linéarisé est évaluée en utilisant un filtre de Kalman standard.

irf = INTEGER à Cf. Option [ irf ], FTL alpha–I.12. Cette option est utilisée uniquement si l’option bayesian_irf, (cf. FTL alpha–I.14) a été exécutée.

irf_shocks = ( VARIABLE_NAME [[,] VARIABLE_NAME ...] ) à Cf. Option [ irf_shocks ], FTL alpha–I.12. Cette option est utilisée uniquement si l’option bayesian_irf, (cf. FTL alpha–I.14) a été exécutée, et ne peut – être utilisée avec l’option dsge_var, (cf. FTL alpha–I.14).

aim_solver à Cf. Option [ aim_solver ], FTL alpha–I.12.

Fiche technique Laréq, Série alpha–I, Num. 13, pp. 111 – 136 Jean-Paul K. Tsasa

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sylvester = OPTION à Cf. Option [ sylvester ], FTL alpha–I.12.

sylvester_fixed_point_tol = DOUBLE à Cf. Option [ sylvester_fixed_point_tol ], FTL alpha–I.12.

lyapunov = OPTION à Détermine l'algorithme utilisé pour résoudre l'équation de Lyapunov pour initialiser la matrice de variance-covariance du filtre de Kalman utilisant la valeur à l'état stationnaire des variables d'état. Les valeurs possibles pour cette option sont : default

utilise le solveur par défaut pour les équations de Lyapunov basés sur l'algorithme de BartelsStewart

fixed_point

Utilise un algorithme de point fixe pour résoudre l'équation de Lyapunov. Cette méthode est plus rapide que default pour les modèles de grande taille, mais elle peut nécessiter une grande quantité d'itérations

doubling

Utilise un algorithme de doublement pour résoudre l'équation de Lyapunov (disclyap_rapide). Cette méthode est plus rapide que les deux précédentes pour les modèles de grande taille

square_root_solver

Utilise un solveur de racine carrée pour les équations de Lyapunov (dlyapchol). Cette méthode est rapide pour les modèles de grande taille (disponible sous MATLAB si la boîte à outils du système de contrôle est installé ; disponible sous Octave si le package control de OctaveForge est installé) Cf. http://octave.sourceforge.net/control La valeur par défaut est : default.

lyapunov_fixed_point_tol = DOUBLE à C'est le critère de convergence utilisé dans la résolution de l’équation de Lyapunov par la méthode de point fixe. Sa valeur par défaut est : 1e − 10.

lyapunov_doubling_tol = DOUBLE à C'est le critère de convergence utilisé dans la résolution de l’équation de Lyapunov par l’algorithme de dédoublement. Sa valeur par défaut est : 1e − 16.

analytic_derivation à Déclenche l'estimation de gradient analytique. La Hessienne finale est également calculé analytiquement. Ne fonctionne que pour les modèles stationnaires sans observations manquantes.

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Jean-Paul K. Tsasa Estimation d’un modèle DSGE sur Dynare

NOTE Si aucun paramètre de mh_jscale n’est utilisé dans estimated_params, la procédure utilise mh_jscale pour tous les paramètres. Si l'option mh_jscale n'est pas définie, la procédure utilise 0.2 pour tous les paramètres.. Output Après l'exécution estimation, les paramètres M_.params et la matrice de variance des chocs M_.Sigma_e sont définis au mode pour l'estimation du maximum de vraisemblance ou au calcul du mode a posteriori sans les itérations Metropolis. Après estimation sans itérations de Metropolis (option mh_replic > 0 ou option load_mh_file), les paramètres M_.params et la matrice de variance des chocs M_.Sigma_e sont définies à la moyenne a posteriori. Selon les options, estimation stocke les résultats dans divers domaines de la variable oo_ structure, décrite dans les lignes qui suivent.

VI. Variables définies par la commande Dynare estimation Dans la description des variables qui suivent, les raccourcis suivants seront adoptés pour les noms de champs spécifiques: MOMENT_NAME Ce champ peut prendre les valeurs suivantes : HPDinf

:

Borne inférieure de l’intervalle de HPD de 90% Cf. option [conf_sig] pour changer la taille de l’intervalle HPD. Cette option est décrite ci – dessous

HPDsup

:

Borne supérieure de l’intervalle de HPD de 90%

Mean

:

Moyenne de la distribution a posteriori

Median

:

Médiane de la distribution a posteriori

Std

:

Ecart-type de la distribution a posteriori

deciles

:

Déciles de la distribution

density

:

Estimation non paramétrique de la densité a posteriori. La première colonne et la seconde colonne sont respectivement les coordonnées d’abscisse et d'ordonnée

ESTIMATED_OBJECT Ce champ peut prendre les valeurs suivantes : measurement_errors_corr Corrélation entre deux erreurs de mesure measurement_errors_std Ecart-type des erreurs de mesure

Fiche technique Laréq, Série alpha–I, Num. 13, pp. 111 – 136 Jean-Paul K. Tsasa

127

paremeters Paramètres shocks_corr Corrélation entre les chocs structurels shocks_std Ecart-type des chocs structurels

oo_.MarginalDensity.LaplaceApproximation [Variable MatLab/Octave] Cette variable est définie par la commande estimation.

oo_.MarginalDensity.ModifiedHarmonicMean [Variable MatLab/Octave] Cette variable est définie par la commande estimation, et si elle est avec mh_replic > 0 ou avec l’option load_mh_file.

oo_.FilteredVariables [Variable MatLab/Octave] Cette variable est définie par la commande estimation, et si elle est utilisée avec l'option filtered_vars. Les champs sont de la forme : oo_.FilteredVariables.VARIABLE_NAME

oo_.FilteredVariablesKStepAhead [Variable MatLab/Octave] Cette variable est définie par la commande estimation, et si elle est utilisée avec l'option filtered_step_ahead.

oo_.FilteredVariablesKStepAheadVariances [Variable MatLab/Octave] Cette variable est définie par la commande estimation, et si elle est utilisée avec l'option filtered_step_ahead.

oo_.PosteriorIRF.dsge [Variable MatLab/Octave] Cette variable est définie par la commande estimation, et si elle est utilisée avec l'option bayesian_irf. Les champs sont de la forme : oo_.PosteriorIRF.dsge.MOMENT_NAME.VARIABLE_NAME_SHOCK_NAME. VARIABLE_NAME

oo_.SmoothedMeasurementErrors [Variable MatLab/Octave] Cette variable est définie par la commande estimation, et si elle est utilisée avec l'option smoother. Les champs sont de la forme : oo_.SmoothedMeasurementErrors.VARIABLE_NAME

oo_.SmoothedShocks [Variable MatLab/Octave] Cette variable est définie par la commande estimation, et si elle est utilisée avec l'option smoother. Les champs sont de la forme : oo_.SmoothedShocks.VARIABLE_NAME

128

Jean-Paul K. Tsasa Estimation d’un modèle DSGE sur Dynare

oo_.SmoothedVariables [Variable MatLab/Octave] Cette variable est définie par la commande estimation, et si elle est utilisée avec l'option smoother. Les champs sont de la forme : oo_.SmoothedVariables.VARIABLE_NAME

oo_.UpdatedVariables [Variable MatLab/Octave] Cette variable est définie par la commande estimation, et si elle est utilisée avec l'option smoother. Elle contient l'estimation de la valeur espérée de certaines variables donnant l’information disponible à la période courante. Les champs sont de la forme : oo_.UpdatedVariables.VARIABLE_NAME

oo_.PosteriorTheoreticalMoments [Variable MatLab/Octave] Cette variable est définie par la commande estimation, et si elle est utilisée avec l'option moments_varendo. Les champs sont de la forme : oo_.PosteriorTheoreticalMoments.dsge.THEORETICAL_MOMENT.ESTIMA TED_OBJECT.MOMENT_NAME.VARIABLE_NAME où THEORETICAL_MOMENT est l’un des objets suivants : covariance Variance-covariance des variables endogènes correlation Autocorrélation et corrélation croisée entre variables endogènes. Les champs sont des vecteurs de corrélations de 1 à l'ordre options_.ar VarianceDecomposition Décomposition de la variance NOTE : Lorsque les chocs sont corrélés, c'est la décomposition des chocs orthogonalisés via la décomposition de Cholesky suivant l'ordre de déclaration des chocs (Cf. FTL alpha–I.5). ConditionalVarianceDecomposition Uniquement si l’option conditional_variance_decomposition a été spécifiée.

oo_.posterior_density [Variable MatLab/Octave] Cette variable est définie par la commande estimation, et si elle est utilisée avec mh_replic > 0 ou avec l’option load_mh_file. Les champs sont de la forme : oo_.posterior_density.PARAMETER_NAME

oo_.posterior_hpdinf [Variable MatLab/Octave] Cette variable est définie par la commande estimation, et si elle est utilisée avec mh_replic > 0 ou avec l’option load_mh_file. Les champs sont de la forme : oo_.posterior_hpdinf.ESTIMATED_OBJECT.VARIABLE_NAME

Fiche technique Laréq, Série alpha–I, Num. 13, pp. 111 – 136 Jean-Paul K. Tsasa

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oo_.posterior_hpdsup [Variable MatLab/Octave] Cette variable est définie par la commande estimation, et si elle est utilisée avec mh_replic > 0 ou avec l’option load_mh_file. Les champs sont de la forme : oo_.posterior_hpdsup.ESTIMATED_OBJECT.VARIABLE_NAME

oo_.posterior_mean [Variable MatLab/Octave] Cette variable est définie par la commande estimation, et si elle est utilisée avec mh_replic > 0 ou avec l’option load_mh_file. Les champs sont de la forme : oo_.posterior_mean.ESTIMATED_OBJECT.VARIABLE_NAME

oo_.posterior_mode [Variable MatLab/Octave] Cette variable est définie par la commande estimation, et si elle est utilisée avec mh_replic > 0 ou avec l’option load_mh_file. Les champs sont de la forme : oo_.posterior_mode.ESTIMATED_OBJECT.VARIABLE_NAME

oo_.posterior_std [Variable MatLab/Octave] Cette variable est définie par la commande estimation, et si elle est utilisée avec mh_replic > 0 ou avec l’option load_mh_file. Les champs sont de la forme : oo_.posterior_std.ESTIMATED_OBJECT.VARIABLE_NAME Ci-après quelques exemples de variables générées : oo_.posterior_mode.parameters.alp oo_.posterior_mean.shocks_std.ex oo_.posterior_hpdsup.measurement_errors_corr.gdp_conso

model_comparison FILENAME[(DOUBLE)]. . .;

model_comparison (marginal density = laplace modifiedharmonicmean) FILENAME[(DOUBLE)]. . .;

[Commande]

|

[Commande]

Cette commande calcule les rapports des cotes (odds ratio) et d'estimer une densité a posteriori sur une collection de modèles. Les priors sur les modèles peuvent être spécifiés comme les valeurs DOUBLE, sinon un prior uniforme sera supposé. Exemple model_comparison my_model(0.7) alt_model(0.3); Cet exemple attribue un prior de 70% sur my_model et de 30% sur alt_model. 130

Jean-Paul K. Tsasa Estimation d’un modèle DSGE sur Dynare

NOTE : Odds ratio L’odds ratio, ou encore rapport des cotes, rapport des chances, ou risque relatif rapproché, est un indicateur statistique généralement utilisé en inférence bayésienne

et

en

régression, afin

de

mesurer

notamment

le

degré

de

dépendance entre les variables aléatoires qualitatives et l'effet d'un facteur. Soit 𝑝 la probabilité de survenance d’un événement E dans un groupe G, et 𝑞 la probabilité de survenance du même événement dans un autre groupe H. Alors, le ratio des cotes est donné par la formule suivante : 𝑝 1−𝑝 𝛐= 𝑞 , 1−𝑞 tel que 𝛐 ≥ 0.

VII. Autres commandes Ci – après, nous décrivons deux commandes supplémentaires dans le cadre de l’estimation des modèles dynamiques sur Dynare.

shock_decomposition [VARIABLE_NAME]. . .;

[Commande]

shock_decomposition (OPTIONS. . .)[VARIABLE_NAME]. . .;

[Commande]

Cette commande calcule et affiche la décomposition de choc en fonction du modèle pour un échantillon donné. Par ailleurs, il sied de noter que cette commande doit venir après l’instruction estimation (en cas d'un modèle estimé) ou stoch_simul (en cas d'un modèle calibré). Options

parameter_set = PARAMETER_SET à Spécifiez l'ensemble de paramètres à utiliser pour l'exécution du lissage. Le PARAMETER_SET peut prendre l'une des cinq valeurs suivantes : calibration,

prior_mode,

prior_mean,

posterior_mode,

posterior_mean,

posterior_median. La valeur par défaut est : posterior_mean si l’algorithme Metropolis a été exécuté ; posterior_mode dans le cas contraire.

Fiche technique Laréq, Série alpha–I, Num. 13, pp. 111 – 136 Jean-Paul K. Tsasa

131

shocks

=

(VARIABLE_NAME

[VARIABLE_NAME...]

[

;

VARIABLE_NAME

[VARIABLE_NAME ...]...] ) ... labels = ( VARIABLE_NAME [VARIABLE_NAME ...] ) ... datafile = FILENAME à Cf. [datafile], FTL alpha–I.14. Cette commande est utile lors du calcul de la décomposition de choc sur un modèle calibré.

unit_root_vars VARIABLE_NAME. . .; [Commande] Cette commande est obsolète. Utilisez l'option diffuse_filter de la commande estimation à la place d’estimer un modèle avec variables observées non stationnaires ou l'option nocheck de la commande steady pour vérifier l’état stationnaire renvoyé par le fichier d'état stationnaire de l’utilisateur.

VIII. Estimations des modèles VAR bayésiens et Lissage des modèles calibrés sur Dynare Le logiciel Dynare possède également la capacité d'estimer les modèles VAR bayésien. A l’effet de procéder à une telle estimation, la commande suivante est requise.

bvar_density; [Commande] Calcule la densité marginale d'un modèle BVAR estimé, en utilisant les lois a priori Minnesota. Voir le fichier « bvar-a-la-sims.pdf », dans Dynare, pour plus d'informations sur cette commande. Par ailleurs, il est également possible d’exécuter le lissage d’un modèle calibré sur la plateforme Dynare. Pour ce faire, on se sert des commandes suivantes :

calib_smoother [VARIABLE_NAME]. . .;

[Commande]

calib_smoother (OPTIONS. . . ) [VARIABLE_NAME]. . .; [Commande] Cette commande calcule les variables lissées (et éventuellement des variables filtrées) sur un modèle calibré (calibrated). Un fichier doit être fourni à cet effet, et les variables observables déclarées avec varobs. La lissage est basée sur une approximation de premier ordre du modèle. Par défaut, la commande calcule les variables et chocs lissés, stocke les résultats respectivement dans oo_.SmoothedVariables et oo_.SmoothedShocks. Il remplit également la variable oo_.UpdatedVariables.

132

Jean-Paul K. Tsasa Estimation d’un modèle DSGE sur Dynare

Options

datafile = FILENAME à Cf. FTL alpha–I.14.

filtered_vars à Déclenche le calcul des variables filtrées. Cf. FTL alpha–I.14 pour plus de détails.

filter_step_ahead = [INTEGER1:INTEGER2] à Cf. FTL alpha–I.14. In fine, avant de procéder à l’analyse de prévision dans une fiche ultérieure, comme dans le cas des simulations stochastiques, la présente fiche sera renforcée par un exemple élaboré, illustrant la mise en œuvre de l’estimation d’un modèle DSGE sur Dynare, en retenant essentiellement les principales étapes à suivre.

Fiche technique Laréq, Série alpha–I, Num. 13, pp. 111 – 136 Jean-Paul K. Tsasa

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