Cours D'analyse de L'École Royale Polytechnique (Cambridge Library Collection - Mathematics)

(v—u).

Si, de plus, on appelle n le nombre des variables .r,y, z ... u, v; n— 1 sera evidemment le nombre des differences qui renferment une meme variable: et par suite, dans chaque terme de la fonction Cf> developpee et mise sous la forme d'un polynome } I'exposant dune variable quelconque ne pourra surpasser n—1. Enfin, comme dans un meme terme les differentes variables devront etre affectees d'exposans differens, il est clair que ces divers exposans seront respectivement egaux aux nombres n—i

Chaque terme, abstraction faite du signe et du coefficient numerique, sera done equivalent au produit des diverses variables rangecs dans un ordre quel(onque, et respectivement elevees aux puissances marquees par les nombres o, 1, 2, 3 , . . . n-r-\. On doit

I / 1 PARTIE. CHAP. III.

77

ajouter que chaque produit de cette espece se trouvera compris une seule fois, tan tot avec le signe -+•, tantot avec le signe —, dans le developpement de la fonction
x yl z

un v7>

ne pourra etre forme que par la multiplication des premieres lettres des facteurs binomes qui composent le second membre de {'equation (3). A i'aide des principes que nous venons d'etablir, il est facile de construire en entier le developpcment de la fonction cp, et de demontrer ses diverses proprietes [ voyez a ce sujet la note IV ]. Nous allons maintenant faire voir comment on se trouve conduit, par la consideration d'un semblable developpement, a la resolution des equations generates du premier degre a plusieurs variables. Soient

at x-\- bt y -J-C, z -H . . . ~^glu-+-hlv

= ki ,

&c

n equations lineaires entre les n variables ou inconnues x,

et Ics constantes

y,

z

. . , u,

v,

78

COURS D'ANALYSE.

a.,

bo,

co,

&c

£•„, A o , £ . •

a,,

b,,

ctJ

&c. . . . £*,, h , , /£,,

ax,

bx,

c,y

Sic

g>, K,

ki}

&c «„-. i £«-.» c « - . , &c... ^ . , , £„_, , ^«_. , choisies arbitrairement. Representons, en outre, par P ce que devient la fonction Cp lorsqu'on y remplace les variables

x, y, z ... u, v par les lettres

a, b, c ... g,

h

considerees comme autant de nouvelles quantites; en sorte qu'on ait

(5) {I—a)

P =

x ( c — a ) ( c — * ) x . . . x (A—a) (A—b) (A—c)

(A—^).

Le produit P sera la fonction alternee la plus simple des quantites a, b, c . . . g, h; et, si Ton developpe cette fonction par la multiplication algebrique de ses facteurs binomes, chaque terme du developpement sera equivalent, au signe pres, au produit de ces memes quantites rangees dans un certain ordre, et respectivement elevees a des puissances marquees par les exposans o, i, 2, 3, ...w—i. Cela pose, concevons que dans chaque terme on remplace les exposans des lettres par des indices, en ecrivant, par exemple,

l."E PARTIE. CHAP. III.

79

au lieu du terme a° b1 c%

gn~z hn'1 ;

ct designons par D ce que devient alors le developpement du produit P. La quantite D aura evidemment, tout comme le produit P, la propriete de changer de signe , lorsqu'on echangera entre elles deux des lettres donnees , par exemple, les deux lettres a et b. II est aise d'en conciure que la valeur de D sera reduite a zero, si Ton ecrit dans tous ses termes la Iettre b a la place de la lettre a, sans ecrire en meme temps a a la place de b. II en serait de meme si Ton ecrivait par-tout a la place de la lettre a Tune des lettres c .... g, h. Par suite, si f dans le polynome D, on designe la somme des termes qui ont ao pour facteur commun par Aoao, la somme des termes qui renferment le facteur ax par Axaiy &c ; enfin la somme des termes qui ont pour facteur anmml par An_lanmml, en sorte que la valeur de D soit donnee par fequation (6)

D=AQaQ+Alal-*-Axax-irtoLC...-irAn_lan_l,

on trouvcra, en ecrivant successivement dans le second membre de cette equation les lettres b, c... g, h, a la place de la lettre a, o = Aoc0-+-Atcs-*-Axcx-i-...

(7) o =

80

COURS D'ANALYSE.

Supposons maintenant qu'on ajoute membre a membre les equations (4), apres avoir multiplie la premiere par Ao, la seconde par A,, la troisieme par.4 2 ... la deiniere par An^. On verra, dans cette addition, les coefFiciens des inconnues i/; z ... u, v disparaitre d'eux-memes en vcrtu des fonnules (7), et Ton obtiendra definitivemeni I'equation Dv

= A

o

k

o

- t - A

x

k

l

A

k

de laquelle on conclura „_ X—

Aoko^A'lkl

2>

>

Comme d'ailleurs des deux quantitcs M.

D et Ank0-h-A1ks-^Ax/iz-^

-\-An_tkM

la premiere est ce que devient Ie dcveloppement du produit (b—a)x(c—a) c—b) x... x {Ji—d)[h—b){h—c)...(h—g),

lorsque dans ce developpement on remplace les exposans des Jetties par des indices, et la seconde, ce que devient la quantite D, equivalente au second membre de la formule (6), lorsqu'on v substitue la lettre k a la lettre a; il en resulte que la valeur de x peut etre censee determinee par 1'equation (9) J

& ^ ) ( (b—a)x{c—a)

^ = A — k c — b)x...x

) ( h—b ) (h^cX-^ {h—a; Ji—b)(h —

h—g) c)...(h^g

pourvu que Ton convienne de developper les deux

l.*E P A R T I E .

CHAP.

III.

81

termes de la fraction qui forme ie second membre, €t de remplacer dans chaque deveioppement les exposans des lettrcs par des indices. La valeur que {'equation (9) prise a la lettre semble fournir pour rincounuc x} n'etant pas exacte et nc pouvant ie devenir que par suite des modifications enoneees, €st ce que nous nommerons unc valeur symbolique de cette inconnue. La methode qui nous a conduits a la valeur symbolique de x fournirait egalement celles des autrcs inconnues. Pour montivr une application de cette methode , supposons qu'il s'agissc dc resoudre les Equations lineaires ao x H - i o y + co z = kQ (10)

a, x -+- bty

-\- cxz = kk

axx -f- bxy

-H

cxz = kx.

On trouvera dans cette hypothcse, pour la valeur symbolique de i'inconnue x, r—

(h-k)(c-k){v-b) b) (b — a)(c — a)(c— k°blcz—

k°bzcl-h

klb2co— klb°c*-+- k2b°cx— k2b'c° rb°cl— a2bJc° >

et par suite, la valeur veritable de la meme inconnue sera /

\

^

"'•

K^tc2—'kQb2cl aobtc

z

— a o b , ? , ,

o

L

o

z

z

^k

x

x o

Nofa. Lorsque, dans les equations (4), on remplacc les indices des Icttres a,b, c ... g\ h, k par des TOM. 1.

t

82

COURS D'ANALYSE.

exposans, la valeur symbolique de x donnee par fequation (9) devient evidemment la valeur veri* table, et coincide, comme on devait s'y attendre, avec celle que fournit la formule (3) du $. 1 .er

5. 3.* Des Fonciions homogenes.

Une fonction de plusieurs variables x, y, z . . . est homogene, lorsque, t designant une nouvelle variable independante des premieres, Ie changement de x en tjc, de y en ty, de z en tz ... fait varier cette fonction dans le rapport de funite a une puissance determinee de t; et Texposant de cette puissance est ce qu'on nomme le degre de la fonction bomogene. En d'autres termes,

sera une fonction homogeno du dcgre a par rapport aux variables x, y, z ..., si Ton a, quci que soit t, (1)

/('•*,

ty>

tz..

Ainsi, par exemple,

sont trois fonctions homogenes des variables x et y, la premiere du second degre, la deuxieme du premier degre, et la troisieme d'ua degre nul. Une fonction entiere des variables x, y, z ... composee de termes tellement choisis, que la somine dei ex-

I.RE P A R T I E .

CHAP.

III.

83

posans des diverses variables soit la meme dans tous les tennes, est evideinment homogene. Si, dans la formule (i), on fait £= —, on en conclura . i...).

Cette derniere equation etablit une propriete des fonctions homogenes qu'on peut enoncer de la maniere suivante : Lorsquune fonction de plusieurs variables x, y,z.%.. est homogene, elle equivaut au produit de Vune quclconque des variables elevee a une certainepuissance par une fonction des rapports entre ces memes variables combinees deux a deux. On peut ajouter que cette propriete appartient exclusivement aux fonctions homogenes. E t , en effet, supposons y ( x , y, z ) equivalente au produit de xf par une fonction des rapports entre les variables x, y, z .... combinees deux a deux. Corame on pourra exprimer tous ces rapports au moyen de ceux qui ont x pour denominateur, en ecrivant par exemple, au lieu de —,

il en resulte que la valeur de f(x, y, z ...) sera donnee par une equation de la forme F*

B4

COURS D'ANALYSE.

Cette equation devra subsister, quelles que soient les valeurs de x, y, z ...; et, si Ton y remplace x par tx, y par / y , z par ^^ .. • F elle deviendra f{tx,

ty,tz...)

= t*.x*Q(?L, ± . . . ) .

Par suite, on aura , quel que soit t, dans I'hypothese admise, f{tx,

ty, tz ...)=it*f(x,

y, z . . . ) ;

ou, en d'autres termes,

sera une fonction homogene du degre a par rapport aux variables x; y, z

I." PARTIE. CHAP. IV.

85

CHAPITRE IV. Determination des Fonctions entieres, d'aprcs tin certain nombre de valeurs particuiieres supposees connues. Applications. 5- l. er Recherche des Fonctions entieres d'unc settle variable , pour lesqucllcs on commit un certain nombre de valeurs parliculicrcs. DETERMINER une fonction d'apres un certain

nombre de valeurs particuiieres supposees connues y e'est ce qu'011 appelle interpoler. Lorsqu'il s'agit d'une fonction d'une ou de deux variables , cette fonction peut etre consideree commc 1'ordonnee d'une courbe ou d'une surface; et le problemc de Xinterpolation consiste a fixer la valcur generate de cette ordonnee, d'aprcs un certain nombre de valeurs particuiieres , e'est - a - dire , a faire passer la courbe ou la surface par un certain nombre de points. Cette question pcut etre resolue d'une infinite de manieres ; et en general le probleme de I'lnterpolation est indeterminc. Toutefois Findetermination cessera, si a la connaissancc des valeurs particuiieres de la fonction cherchee on ajoute la condition expresse que cette fonction soit entiere t et d'un degre tel que le nombre de ses teimes devienne pivcisement egal au nombre des valeurs particuiieres donnees.

86

COURS

D'ANALYSE.

Supposons, pour fixer les idees, que Ton considere d'abord les fonctions entieres d'une seulc variable x. On etablira facilement a leur egard les propositions suivantes. 1 .cr THEOUEME. Si une fonction entiere de la variable x sevanouitpour une valeurparticuliere de cette variable, par exemple, pour x = x0, elle sera divisible algebriquement par x—xo. 2. e THEOREME. Si une fonction entiere de la variable x s'evanouit pour chacune des valeurs de x comprises dans la suite

n designant nn nombre entier quelconque, elle sera necessairernent divisible par le produit Soient maintenant Cp(.r) et 4 / ( r ) deux fonctions entieres de la variable x, Tune et Fautre du degre n— i , et qui deviennent egales entre elles pour chacune des n valeurs particulieres de x comprises dans la suite xo, xx, x% . . . xn_x. Je dis que ces deux fonctions seront identiquement egales, e'esta-dire, qu'on aura, quel que soit xy

4 et en efFet, si cette egalite n'avait pas lieu, on troudans la difference

nn polynome entier dont le degre ne surpasserait

I.*E PARTIE. CHAP. IV.

87

pas 7i— i , mais qui, s'evanouissant pour chacune des valeurs de x ci-dessus mentionnees, serait pourtant divisible par le produit (x—xQ) (.r—xx) [x—xx) ... ( # — x ^ ) , cTest-a-dire, par un polynome du degre n; ce qur est absurde. On strait assure a fortiori de Tegalite absoiue des deux fonctions Cp(.r) et -^(.r), si Ton: savait qu'elles deviennent egalcs entre elles pour un nombre de valeurs de x superieur a n. On pent done enoncer Ie theoreme suivant. 3. e THEOREME. Si deux fonctions entieres de la variable x deviennent egales pour un nombre de valeurs de cette variable superieur au degre de chacune des deux fonctions, elles seront identiquement egales, quel que soit x. On en deduit comme corollaire cet autre theo* rerae : 4.c THEOREME. Deux fonctions entieres de la variable x sont identiqucmeni egales toutes lesfois qu elles deviennent egales jiour des valeurs entieres quelconques de cette variable, ou memepour toutes les valeurs entieres qui surpassent une limite donnee. Dans ce cas, en effet, Ie nombre des valeurs de x, pour lesquelles les deux fonctions deviennent egales, est indefinL II suit du theoreme j . e qu'une fonction entiere u du degre n— i sera completement determinee y si Ton connait ses valeurs particulieres

88

COURS D'ANALYSE. tio,

itt ,

ux . . . un^

corresponclantes aux valeurs O '

1

*

2.

tt—T

de la variable a\ Cherchons clans cette hypothese la valour generate de la fonction u. Si \on suppose d'abord que les valeurs paiticulieres uo, ui .-wff_x se reduisent toutesa zero, a I'exception de la premiere no, la fonction w, devantalors s'cvanouirpour^=.r r , pour ,r = .r z , &c. . . . enfm pour jc=j?ttmmy , sera divisible par le produit

et sera par consequent de la forme « = /•(•*-.*•,)

(.r-.r,)...(.r-.r_),

k no pennant etre' qu'uno quantite constante. De ]>his, u (h'vant se rcduire a /^o pour .v=
et par suite (.r —

T ,

) r.r — . r

) ... fx — r

)

])c memo, si les valeurs partieulieres ua, 7^ , 7/ ... un__ sc reduisent toutcs a zero, a Texception de la 5CCon(ic /ts, on trouvera tl

=Z It. (

^—: )

i-( )

"-'•' •

I." PARTIE. CHAP. IV.

89

Enfin, si elles se reduisent toutes a zero , a 1'exception de la derniere uni, on trouyera

En reunissant les diverses valeurs de u correspondantes aux diverses hypotheses qu'on vient de faire, on obtiendra pour somnic un polvnome en x d\\ degre n— i , qui aura evidemment la propriete de se rcduire a nCi pour .r=«r o , a ui pour *v=.rtJ &c a un_ti pour . r = . r . Ce polynome sera done la valeur generale de u qui resout la question proposce, en sorte que cette valeur generate se trouvera determinee par la formule u = uo

( • « • „ -

•To

u

(

• ' ,

» ) ( • « • .

)

(

'

(

X

' r

,-)

X

.-.)

(x

) ( • • -

*•* <

•rn

X 2. )

>i" : J • • • • '

-•r,)

(X

—r

On pourrait deduire directcment la meme formule de h inethode que nous a\rons employee ci-dessus (chap, i l l , C. i ) pour resoudre dans un cas particular des equations lineaires a plusieurs variable^; [vovcz a ce sujet la note V ] . Si, en designant par a une quantite constante, on reinplace dans la formule (i) la fonction u par la fonction u—a, qui sera evidemment de meme degve , et k s valours particulieres de u par les valeius pariieuiicTes uc it—a, on obtiendra Tequation

90

COURS ©'ANALYSE. u-a=(u.-a)

(;^H^)

\

(xo—xl)(xo—xz).

°

J

&c

et, en comparant cette equation a la formule ( I ) , on trouvera la suivante

-H &C

Cctte (ferniere equation est identique , et subsiste quel que soit x. Les equations (i) et (2) peuvent scrvir Tune et Tautre a resoudre, pour les functions entieres, le probleme de rinterpolation ; mais il convient en general de preferer pour cet objet 1'equation (2), attendu qu'on peut y faire disparaitre Fun des termeS du second membre, en prenant la constante # equivalente a Tune des quantites u0 , u t , u% . . . . u n i . Supposons, par exemple, qu'il sagisse de faire passer une droitc par deux points donnes. Designons par x0 , yo les coordonnees rectangulafres du premier point, par xt% y f celles du second, et

I."* PARTIE. CHAP. IV.

91

par y Tordonnec variable de la droite. En remplacant dans la formule (2) la lettre u par la lettre y, puis faisant n = 1 , et tf=yo, on trouvera pour I'equation de la droite

y-y. =

(4)

Supposons, en second lieu, qu'il s'aglsse de faire passer par trois points donnes une parabole dont Taxe soit parallele a i'axe des y. Nommons xx et yx ,

x% et y% ,

.r3 et y3

les coordonnees rectangulaires des trois points. Soit de plus y Tordonnee variable de la parabole. En remplacant toujours, dans la formule (2), la lettre u par la lettre y, puis faisant n = z, et # = y i , on trouvera pour 1'equation de la parabole

\ X

X

Cl

J ^ X

,V T j

GU, ce qui revient au meme,

Lorsque dans Fcquation (1) on prend u = xm , [m designant un nombre entier inferieur a n ) , les valeurs particulieres de u representees par u0,

Mj

se reduisent cvidemment a 1

>

•• c a

92

COURS D'ANALYSE.

On a done, pour Ies valeurs entieres de m qui ne surpasses t pas n— i ,

1

Cotte derniere formule eomprend comme cas particulier requation (3). De plus, si Ton observe que chaque puissance de x ; et en particulier la puissance Z" 1 , doit necessairement avoir le meme coefficient dans Ies deux membres de la formule (7), on trouvera, i.° En supposant m
(^o—

H-

X2)

(Xo—

Xnmml)

^ -

•

(xl—jr0 ) (xl — x2). . . ( > ! — x n . J -H

&C

2.ft En supposant mzzzn— i , (9)

V - * \ ) ( * o —-rO. •-Oo— *n-i (x, — xo)(xx

—^ ) . . . ( i , -

xnmtl

I." PARTIE. CHAP. IV.

93

II est bon de remarquer que la formule (8) subsiste dans le cas meme ou Ton suppose w = o, et devient alors (10)

o=

-

&c

5* 2. c Determination des Fonctions entieres deplusieurs variables , d'apres tin certain nombre de valeurs particulieres supposees connues.

Les methodes par lesquelles on determine les fonctions d'une seule variable, d'apres un certain nombre de valeurs particulieres supposees connues, peuvent etre facilement etendues, comme on va le voir, aux fonctions de plusieurs variables. Considerons d'abord, pour fixer les idces, des fonctions de deux variables x et y. Soient cp (x, y), A/(x, ?/), deux sembfables fonctions, runeet I'autre du degre n— i par rapport a chacune des variables, et qui deviennent egales entre elles, toutes les fois qu'en attribuant a la variable x une des valeurs particulieres xo1

x t , xz

xn_t

on attribue en meme temps a la variable y Tune suivantes

94

COURS D'ANALYSE.

Cj)^ o , y)y \(#o, y) seront deux fonttions de la seule variable y; qui deviendront egaies entre elles pour n valeurs particulieres de cette variable. Par suite, (en vertu du 3 / theoreme, §. 1 . c r ), ces deux functions seront constamment egales, quel que soit y. On aura done identiquement

y) = 4(-r«> y). On trouvera de meme

> y) = - l

D'ailleurs, les premiers membres des ?? equations prccedentes sont autant de valeurs particulieres de la fonction Cp(.r, y) dans le cas oil Ton y considere x seul comme variable ; et les seconds membres representent les valeurs particulieres corrcspondantes de la fonction ^ ( ^ y). Les deux fonctions lorsqu'on y attribue a y une valeur constante choisie arbitrairement, deviennent done egales pour n valeurs particulieres de x; et, comme elles sont toutes deux du degre n — \ par rapport a x, il en resulte quelles resteront egales, non-seulement pour une valeur quelconque attribute a la variable y, mass encore pour une valeur quelconque de x. On serait assure; a fortiori, de Fegalite absolue des

I." PARTIE. CHAP. IV.

9o

d e u x fonctions <${x, y ) , %[/(.#, # ) > s* ^ o n s a v a ^ qu'elles deviennent egales toutes les fois que les valeurs des variables x et y sont respectiveinent prises dans deux suites composees chacune de plus de n termes differens. On peut done enoncer ia proposition suivante. l.cr THEOREME. Si deux fonctions entieres des variables x et y deviennent egales toutes les fois que les valeurs de ces deux variables sont respeciivement prises dans deux suites qui renferment Vune et Voutre un nombre de termes superieur aux exposans les plus eleves de x et de y dans ces memes fonctions, elles seront identiquement egales. On en deduit, comme corollaire, cet autre theoreme : 2.c THEOREME. Deux fonctions entieres des variables x et y sont identiquement egales} toutes les fois qu elles deviennent egales pour des valeurs entieres quelconques de ces variables, on rneme pour toutes les valeurs entieres qui surpassent une limite donnee. Dans ce cas, en effet, le nombre des valeurs de x et de y pour lesquelles les deux fonctions deviennent egaies est indefini. II suit du theoreme 1 .er que, si la fonction <$(jr,y) est siipposee entiere et du degre n— i par rapport a chacune des variables x et y; cette fonction sera complement determinee, des que Ton con-naitra les vaieurs particulieres qu'elle recoit, lorsqu'en prenant pour valeur de x Tune des quantites

96

COURS

D'ANALYSE.

on prend en meme temps pour valeur de y Tune des suivantes yo, y,> y, ••• yn^ Dans fa meme hypothese, la valeur generale de la fonction pourra etre facilement deduite de la formule(i) du paragraphe precedent. En diet, si Ton remplace dans cette formule u par Cp(a^ y), on en tirera

et 1'on aura de plus, en designant par m un des n ombres en tiers i ,

2 ,

3

. . . .

y—y°)(y—yJ

n —

i ,

(y—?/,—)

(y—y<0(y—yQ--.-(y—y,.,)

On conclura immediatcment des deux equations qui precedent la valeur generale de Cp(.r, ?/). On trouvcra, par cxcmple, en supposant n = 2 ,

I.* PARTIE. CHAP. IV.

97

(3)

Si Ton considerait des fonctions de trois ou d'un plus 'grand nombre de variables, on obtiendrait des resultats entierement semblables a ceux auxquels on vient tfe parvenir pour des fonctions de deux variables seulement. On trouverait, par exemple, a la place du 2.e theoreme, la proposition suivante : 3.c THEOREME. Deux fonctions entieres de plusieurs variables x, y, z sont identiquernent eg ales, toutes les fois quelles deviennent egales pour des valeurs entieres quelconqiies de ces variables , ou meme pour toutes les valeurs entieres qui, surpassent tine limite donnee. 5- 3.e Applications. Pour appliquer les principes etablis dans les paragraphes precedens, considerons en particulier des produits formes par la multiplication de facteurs successifs dont chacuu surpasse le suivant d'une unite, le premier facteur etant Tune des variables x, y, z ...; et cherchons a exprimer, au moyen de ces sortes de produits, le produit tout seinblable TOM. 1.

G

98

COLRS DIAKA

qu'on obtiendrait en prenant pour premier facteur la somrue des variables donnecs, savoir, Si Ton reduit toutes les variables a deux, le probleme qu'il s'agit de resoudre pourra s'enoncer comme il suit. l.er PROBLEME. Exprimer le produit (i)

[X^rtj) (-r-H-y— I) (.*-*-y— 2)...(07H-y—fl-4-l)f

dans lequel n designe un nombre entier quelconque, par le moyen des produits sulvans x[x— i) (x— 2 ^f de tons ceux quon pent en deduire} en chartgeant settlement la valeur de n. SOLUTION. Pour resoudre plus faeilement la question precedente, supposons d'abord que x et y soient des nombres entiers egaux ou superieurs a n. Alors le produit(i) ne sera autre chose que le numerateur de la fraction qui exprime le nombre des combinaisons possil)les de x-+-y Iettres prises n k n, puisque ce nombre est precisement < x + y ) («y + y — O ( j + y - a ) . . . ( x -+-y — n+

1)

I .2. :

Cela pose, concevons que, les lettres a,

b,

c , . . . p,

q,

r

...

etant en nombre egal a x>+-y, on les divise en deux

I." 1PARTIE. CHAP. IV.

99

groupes, de telle ttianiere que les lettres a, b; c ... du premier groupe soient en nombre egal a x, et les lettres JP, q, r . . . du second groupe en nombre egal a y. Parmi les combinaisons formees avec ces difFerehtes lettres, les unes renfermeront seulement des lettres prises dans le premier groupe. Le nombre des combinaisons de cette espece sera x (x

— \ ) ( j? — 2 ) . . . ( a? — i . 2 . 3 . . .?&

D'autres renfermeront n— i lettres prises dans le premier groupe, et une lettre prise dans le second. On determinera facilement le nombre des combinaisons de cette seconde espece, et Ton verra qu'il est egal a x [x~

i ) ( j — 2 ) . . . ( x — n •+• 2 )

y

.71-— I

On trouvera de meme pour le nombre des combinaisons qui renfcrment n— 2 lettres prises dans le premier groupe, et deux lettres prises dans le second, I .2.3 . . . .(W— 2 )

"

1.2

&c...; enfin, pour ie nombre des combinaisons qui renferment sculement des lettres prises dans Ie dernier gronpe, y(y—

T

) (y — 2 ) — ( y - « + i ) , 1.2.3...

^

La somme des nombres des combinaisons de chaque espece devant reproduire Ie nombre total des combinaisons des X-Y- y lettres donnees prises n a n, on en conclura

100

COURS D ANALYSE. (* + y)

O-t-y-

•)....

x(x-.).

J:(X—i)...(x—ft-H2)

y

1 . 2 . 3 . . .(ft—1)

1

1.2, >) 'J

I . 2• 3 . . . ( n - a )

I "

y (xi — 1 ) y KJ

0

1-

1 .2

etc"

I . 2 . 3 . . .ft

I .. 2 . 3 . . . ( « - ! ) f

L'equation precedente, etant ainsi demontree pour le cas ou les variables x et y obtiennent des raleurs entieres superieures a n, subsistera, en vertu du 2.e theoreme [§. 2], ppur des valeurs quelconques de ces variables; et la valeur du produit (1) tiree de la meme equation sera JF.H-y— 0

(jr + H

x(x~\)

y -

# (4?—1)... .

( # — ft-t-3).y (y— 1) 4-&c...

1.2 ft

i/r ' Si dans Tequation ( 2 ) on remplace ^7.par —.r et y par —y, on obtiendra la suivante COROLLAIRE

f g + y-f T)

( j •+• y ^ w — T )

1 • 2 .3 . . . . H .g (^r+t). . .(g-Hfr-Q

(4)

1.2.3...ft

. 2 . 3 . . .(ft—2)

. 2 . 3 . . .(ft—0

^ ^ + 1 ) . . .(#•+•«— 2) _

1 . 2 . ^ . . . ( f t — f)

1.2

*~r

•+• &C. . . . 1.2.3...»

l.*E PARTIE. CHAP. IV.

101

2/ Si dans Tequation (2) on remplace x par -^- et y par —•, on trouvera GOROLLAIRE

y)

(x + y~

2)

2.4.6.

_

X(X— 2)../j?— 2W+l)

(j.|.y^ . . . ( 2 * )

t

2.4.6...(in)

J(X—2)...(J—2W+4) 2 . 4 . 6 . . .(2/1— 2)

_y_ * *

H- & C . . . .

2

2 . 4 . 6 . . . ( 2 n—2 )

2.4.6...(27l)

j . e En developpant les deux membres de Tequation (2), et ne conservant de part et d'autre que les termes dans lesquels !a somme des exposans des.variables est egale a n, on obtiendra la formule COROLLAIRE

. 2 , \ . . . ( W— 2 )

1.2

La valeur de {x-*-y)n tiree de cette derniere formule est precisement celle que fournit le binome de Newton. Les formules qu'on vient d'obtenir peuvent etre facilement etendues au cas on Ton considere plus de deux variables; et la methode qui nous a conduits a la solution du premier probleme se trouve egalement applicable a la question suivante : 2.e PROBLEME. X, y, z ... designant des variables en nombre quelconque, exprimer le produit

102

COURS D'ANALYSE.

(jr-t-y-t-s ...) (x+y+z ... - 1 ) {x+y+z ... —2)... {x+y+* . •. —*M-1}

cn fonction des siiivans x (x — 1) (.r — 2) . . . (x — ^ -+- 1) ,

&c fe tousceux qiionpeuten deduire; en changeant la valenr de n. On commencera par resoudre le probleme dans \e cas ou .?, y, z . . . designent des nombres entiers superieurs a n, en partant de ce principe, que la fraction (x+y+z ...) [x+y+z ... — 1) {z+y+z ... - 2)... (x-hy-f-^ ... —w+ >) I . 2 . 3 . . . .71

est egale an nombre des combinaisons que Ton pent former avec jc-t-y-t-z . . . lettres prises n a ;?. Puis, on passera au cas ou les variables x, y, z . . . deviennent des quantites quefconques, en s'appuyant sur le 3- e theoreme du §. 2. Lorsquci'on aura ainsi demontre la formuie qui resout la question proposee, on en deduira sans peine la valour de la puissance

On y parviendra, en cffet, en developpant les deux membres de la formuie trouvee, et ne conservant de part et d'autre que les termes dans Iesquels les exposans reunis des variables x9 y, z . . ; forraent une somme egale a n,

I." PARTIE. CHAP. V.

103

CHAPITRE V. Determination des Fonctions continues d'nne seule variable propres a verifier certaines conditions.

§• l.Cf Recherche d'une Fonction continue formee de telle maniere que deux semblables Fonctions de quantites variables, etant ajoutees ou multipliees enire elles} donnent pour somme ou pour produit une Fonction semblable de la somme ou du produit de ces variables. LORSQUE, au lieu de fonctions entieres, on con-

sidere des fonctions quelconques, dont on Iaisse la forme entierement arbitraire, on ne peut plusreussir a les determiner d'apres un certain nombre de valeurs particulieres, quelque grand que soit ce meme nombre; mais on y parvient quelquefois dans le cas ou Ton suppose connues certaines proprietes generales de ces fonctions. Par exemple, une fonction continue de x, represented par Cp(.r), peut etre completement determinee, lorsqu'elle est assujettie a verifier, pour toutes les valeurs possibles des variables x et y, Tune des equations (1)

Cp(*-+-y) = q>(^)-4-<

(2)

Cp(.r-f-y) =
ou bien, pour toutes les valeurs reelles et positives

104

COURS D'ANALYSE.

des memes variables, I'une des equations suivantes (3)

(4) La resolution de ces quatre equations presente quatre problemes difFerens que nous aflons traiter fun apres Fautre. l.cr PROBLEME. Determiner lafonction ?(*), «fe murdere quelle reste continue entre deux Unities reelles quelconques de la variable x, et que Yon ait pour touies les valeurs reelles des variables x et y (1)

<

Si dans Fequation (1) on remplace successivement y par y-^z,z par z-+-z/; &c. . . . , on en tirera SOLUTION.

quel que soit le nombre des variables x, y} z, u} &c.: si, de plus, on designe par m ce menie nombre, par cc une constante positive, et que Fon fasse x = y — z — u ....

=

CL y

la formule que Fon vient de trouver deviendra Cp (m

CL) =

m cp (ct).

Pour etendre cette derniere equation au cas 011 Ie nombre cntier m se trouve remplace par un nombre

I.RE PARTIE. CHAP. V.

105

tVactionnaire ^-, ou meme par un nombre quelconque JM,, on fera, en premier lieu, m n

m et n designant deux nombres entiers; et Ton en conclura n & = m oc , =

OT.Cp(ct),

puis, en supposant quc la fraction — varie Je maniere a converger vers un nombre quelconque ,a, et passant aux limites, on trouvera

Si maintenant on prend c t = i , on aura, pourtoutes ies valeurs positives de f/,,

"(^) = ^ < P ( I ) »

(5)

et par suite, en faisant converger fA, vers la limite zero, Cp(o) = o. D'ailleurs , si dans Fequation (1) on pose x = ft, y = — /x, on en tii era q>(-

^

= q> (o) - q > ( » = - /^cp (i).

L'eqttation (5) subsistera done, lorsqu'on y chan-

106

COCRS

D'ANALYSE.

gera f& en —/^. En d'autres termes , on aura, pour des valeurs quelconques positives ou negatives de ia variable x, (6)

d>(07) =

JTCp(l).

II suit de la formule (6) que toute fonction Cp(.r), qui, demeiu ant continue entre des limites quelconques de la variable, verifie 1'equation (i), est necessairement de Ia forme

(7)

^ M = ax >

a designant une quantite constante. J'ajoute que la fonction ax jouira des proprietes enoncees , quelle que soit la valeur de la constante a. En effet, le produit ax est, entre des limites quelconques de la variable x, fonction continue de cette variable; et, de plus, la supposition
I.RE PARTIE. CHAP. V.

(2)

107


II est d'abord facile de s'assnrer que ia fonction Cp(.r), assujettie a verifier I'equation (2), n'admet que des valeurs positives : et en t (Vet, si dans I'equation (2) on fait y = o/, on trouvera. SOLUTION.

puis on en conclura, en ecrivant ^x au lieu de x,

La fonction

quel que soit le nombre des variables x,y, z,u . . , Si, de plus, on designe par m cememe nombre, par •ct une constante positive, et que Ton fasse

la formule que Ion vient de trouver devieadra

Pour etendre cette deraiere formule au cas ou le nombre eatier m se trouve remplace par un nombre fractionnaire —, ou meme par un nombre quelconque jXy on fera, en premier lieu,

108

COURS D'ANALYSE.

£

*

m et n designant deux nombres entiers; et Fon en conclura n £ = ?n CL ,

puis, en supposant que la fraction — varie de manieiv a converger vers un nombre quelconque /x, et passant aux limites, on trouvera

Si maintenant on prend
et par suite, en faisant converger /A vers la limite zero,
i.

D'ailleurs , si dans fequation (2) on pose 07 = /^, y = — / x , , on en conclura

L'equation (8) subsistei a done, lorsqu'on y changera /A en —/x. En d'autres tennes, on aura pour^des valeurs quelconques positives ou negatives de la variable x

I." PARTIE. CHAP. V.

109

II suit de 1'equation (9) que toute fonction Cf> (x) propre a resoudre le second probleme est necessairement de la forme (10)

Cp'(.r) =

A*,

A designant une constante positive. J'ajoute qu'on peut attribuer a cette constante une valeur quelconque entre les limites o et 00 En effet, pour toute valeur positive de A} la fonction A* reste continue depuis ^ = — 00 jusqu'a .r = -H 00 , et Fequation Ax+? = Ax.

Ay

est identique. La quantite A est done une constante arbitraire qui.n'admet.que des valenrs positives. Noia. On pourrait arriver ti-es-simplement a Inequation (9), de la maniere suivante. Si Ton prend les logarithmes des deux membres de 1'equation (2) dans un systeme quelconque, on trouvera ez le 1 .el probleme] et Yon en^concldra [voyez

L q* (#) = oc . L
110

COURS D'ANALYSE.

positives quelconques de la variable x f et que Von ait, pour toutes les valeurs positives des variables x et y, (3)

9 (-*y) =

-
II serait facile d'appliquer a la solution du 3 . probleme une methode semblable a celle que nous avons employee pour resoudre le premier; mais on arrive plus promptement a la solution cherchee, en mettant {'equation (3), ainsi qu'on va le faire, sous une forme analogue a celle de Pequation (1). Si Ton designe par A un nombre quelconque, et par L la caracteristique des logarithmes dans le systeme dont la base est A, on aura , pour toutes les valeurs positives des variables x et y} SOLUTION. e

ALX

x—A

SLy

,

y=A

,

en sorte que Tcquation (3) devieiidra (

A

Lx + Ly \

/

in

f

Ly


On en conclura [voyez le i .er probleme, equat. (6)]

I." PARTIE. CHAP. V.

Ill

et par suite

<> | [ALx)

=q>(A).Lx,

ou, ce qui revient au meme, (n)

Q(jr) =
II suit de la formule ( n ) , que toute fonction , propre a resoudre le 3 / probleme, est necessairement de la forme (12)

a designant une constantc. II est d'ailleurs aise de s'assurer, 1.° que la constante a demci:re entierement arbitrairc, 2.0 qu'cn choisis::nnt convenablement Ie nombre A, qui est Iui-ineme arbitraire , on peut la reduire a 1'unite. 4.e PROBLEME. Determiner la fonction

(4)

9(^y) = cP(^)- ^(y)-

II serait facile d'appliquer a la solution du 4. probleme une meihode semblable a celle que nous avons employee pour resoudre le second. ^lais on arrivera plus promptement a la solution cherchee, si Ton observe qu'en designant par L ia caracteristique des logarithmes dans le systeme dont Ia base est A, on peut mettre Tequation (4) sous Ia forme SOLUTION. e

112

COURS ©'ANALYSE.

Comme, Jans cette derniere equation, les quantities variables LLv), L(y), admettront des valeurs quclconqucs positives on negatives, il en resulte qu'on aura, pour toutes les valeurs reelles possibles des variables .r et y}

On en conciura [voy. le 2. e probleme, equat. < et par suite,

ou, ce qui revient au merae,

II resulte de 1'equatioii (13) que toute fonction ) , propre a resoudre le 4- e probleme, est necessairement de la forme

04) a designant ime constante. II est d'ailleurs aise de s'assurer que cette constante doit demeurer entierement arbitraire.. Les quatre valeurs de Q(J?) qui satisfont respectivement aux equations (1), (2), (3), (4), savoir, ax, A*,, aLx, xa , ont cela de comraun, que chacuue d'elles renferme

I.*1 PARTIE. CHAP. V.

113

une constante arbitraire a on A. On doit en conclure qu'ii y a une grande difference entre les questions ou il s'agit de calculer les valeurs inconnues de certaines quantites, et les questions dans lesquelles on se propose de decouvrir la nature inconnue de certaines fonctions d'apres des proprietes donnees. En effet, dans le premier cas, les valeurs des quantites inconnues se trouvent finalement exprimees par le moyen d'autres quantites cormues et determinees, tandis que dans le second cas les fonctions inconnues peuvent, comme on le voit ici, admettre daiis leur expression des constantes arbitraires. $. 2.e Recherche d'une Fonclion continue formee de telle maniere quen multipliant deux semblables Fonctions de quantites variables} et doublant le produtt, on trouve un resullat egal a celui quon obtiendrait en ajoutant les Fonctions semblables de la somme et de la difference de ces variables.

Dans chacun des problemes du paragraphe precedent , Tequation a resoudre renfermait, avec la fonction inconnue Cp (.r), deux autres fonctions semblables, savoir, ty(j/) ^ ty{x~hy) o u ^(xy). Nous allons maintenant nous proposer un nouveau probleme du meme genre, inais dans lequel Tequation de condition, que la fonction
H

114

COURS D'ANALYSE.

Determiner la fonction

SOLUTION.

Si dans Fequation (i) on fait x—o,

on en tirera C p ( o ) = I. La fonction (ct) sera comprise entre les limites o et i , ou cette valeur sera superieure a Funite. Nous allons examiner successivement ces deux hypotheses. Concevons d'abord que cp(ct) ait une valeur comprise entre les limites o e t i. On pourra representer cette valeur par le cosinus d'un certain arc 9 renfermc entre les limites o, -^-; et poser en consequence

I . " PARTIE. CHAP. V. Cp (
115

cos. 0.

D e plus, si, dans l'equation ( i ) mise sous la forme Ch ( 7/-4— I

\i/

T* l

' O ft)

/

1

I 'H \

ft) /

(^

( II \ — - <"h I 9/ \%f

1^ \wr

/

i f1 i /

'

on fait successivement •As

OU j

x =

db ,

&C

ij

y =

OU y

2 oc,

,

on en deduira Tune apies I'autre les formules Cp (2 di) =

2 cos/ 0 — I = cos. 2 0 ,

Cp (3 ct) =

2 cos. 0 . cos. 2 0 — cos. 0 = cos. 2 0 .

C^ (A. ct\ =

2 cos. 0 , cos. 2 0 — cos. 2 0 = cos. 4 0 1

et en general, m designant un nombre entier quelconque, Cp(/?£olj = 2COS.0. cos.\in— Ip—cos.fon—2j0^= cos.7/20.

J'ajoute que la formule Cp (met) = cos. m0 subsistera encore, si 1'on y remplace le nombre entier m par une fraction, ou meme par un nombre quelconque {A. Cest ce que Ton prouvera facilement, ainsi qu'il suit. Si dans l'equation (1) on fait X = ^CL> y = ±cL, on en tirei a

116

COIRS 7ct}j

=

• K)

D'ANALYSE. =

;

puis , en extrayant les racines positives des deux membres, et observant que les deux fonctions Cp(V;T cos.x restent positives, la premiere entre les limites x = o, x =
y = ^0,

on en tirera ?*)]

1

i-f-cos.ffl

;

=[cos. ? «j ;

puis, en extrayant de part et d'autre les racines positives, Par des raisonnemens semblables, on obtiendra sueecssivement les formules

&C. . . . ,

et en general, n designant un nombre entier quelconque,

Si Ton opere sur la valeur precedente de

I." PARTIE. CHAP. V.

pour en deduire celle de cp (~ct\,

117

comme on a

opere sur la valeur de cf> (
puis, en supposant que la fraction ^- varie de maniere a s'approcher indefiniment du nombre /m, et passant aux limites, on obtiendra 1'equation (2)

Cp ( fX dU ) = cos. /UL 9 .

De plus, si dans la formule (1) on fait X =

[ACL,

7/ =

O,

on en conclura Cp(—/aot)=[ L'equation (2) subsistera done, lorsqu'on y remplacera /apar — /UL. En d'autres termes, on aura, pour des valeurs quelconqiies positives ou negatives de la variable x, (3)

^ i&x) — cos.9.T.

Si dans cette derniere formule on change x en ^-, elle donnera (4)

Cp (x) = cos.-^- x = cos. (

x x\

La valeur precedente de
118

COURS D'ANALYSL.

limites o et i. Supposons maintenant cette memc quantite superieure a I'unite. II est facile devoir que, dans cette seconde hypothese, on pourra satisfaire par une valeur positive de /• a {'equation

II suflira, en effet, de prendre

Cela pose, si dans {'equation (1) on fait successivement X ^m cL ,

tj m^ CL y

x — CL,

y = 2 ct,

x = CL ,

y = 3 ct,

ds:c.,.. ,

on en deduira Tune apres Tautre Ies formules

&c

,

et en general, m designant un nombre entier qucleonque,

i." PARTIF. CHAP. v.

119

J ajoute que la formule

subsisiera encore, si Ton y remplace le nombre entier m par une fraction, on meme par un noinbre qiiriconque /x.C'cstcc que Ton prouvera j^rilcment, kihvM qu'il suit. Si dans fequation (l) on fait .v=^~ct, y = ^cL, on en tirera

puis, en extrayant les racines positives des uiembres, et observant que la fonction Cp (.-*') reste positive entre les limites ^ r = o , ^ = o t , on trouvera

De meme , si dans {'equation (i) on fait

on en tirera

120

COURS D'ASALYSE.

puis, en extrayant de part et d'autre Jes racines positr.es

Par des raisonnemens semblables , on obtiendra successivement les formules

&c. . . . , et en general, n designant un nombre entier quelconque.

Si Ton opere sur la vaieur precedente de

puis, en supposant que la fraction — varie de maniere a s'approcher indefiniment du nombre /*, et passant aux limites, on obtiendra I'equation

I." PARTIE CHAP. V.

151

De plus, si dans la formule (i) on fait x — fxct,

y = o

on en conclura

*\

Si dans cette derniere formule on change x en -^elle donnera

<

(7)

X

4

Lorsqu'on fait, dans {'equation (4), =±= — —a, et, dans ['equation (7), r * ±= A, ces equations prennent respectivement les formes suivantes (8)

ty{&)

— cos. ax ,

Si done Ton designe par a une quantite constante f et par ^4 un nombre constant, toute fonction cp(,r) qui, demeurant continue entre des limites quelconques de la variable, verifiera Tequation (1), sera necessairement comprise sous Tune des deux formes

122

COURS D'ANALYJSJE.

qu'on vient de rapporter. H est d'ailleurs facile de s'assurer que les valeurs de Cp(-r) fourmes par les equations (8) et (9) resolvent la question proposee, quelles que soient les valeurs attributes a la quantite a et au nombre A. Ce nombre et cette quantite sont done deux constantes arbitrages , dont Tune ne peut admettre que des valeurs positives. D'apres ce qu'on vient de dire, les deux fonctions cos. ax,

\(AX

-+- A~x),

ont la propriete commune de satisfaire a Fequatioh (i), ce qui etablit entre elles une analogic remarquable. L'une et I'autre de ces deux fonctions se reduisent encore a Funite pour x=o. Mais une difference essentielle entre la premiere et la seconde, e'est que la valeur numerique de la premiere est constamment au-dessous de la limite i , iorsqu'elle n'atteint pas cette limite; tandis que, dans la merae hypothese, la valeur numerique de la seconde est constamment au-dessus.

I.RE PARTIE. CHAP. Vi.

123

CHAPITRE VI. Des Series convergentes et divergentes. Regies sur la convergence des Series. Sommation de quelques Series convergentes.

§. l. cr Considerations generates sur les Series. ON appellc serie une suite indefmio de quantites uOJ

u

s

,u

x 7

u

3

, & c . . ..

qui dement Ir s lines des autres suivant une loi determinee. Ces quantites elles-memes sontles differens termes de la seric que Ton considere. Soit

la somme des n premiers termes, n designant un nombre entier quelconque. Si> pour des valeurs de n toujours croissantes, la somme sn s'approche indefiniment d'une certaine limite s, la serie sera dite convergent^?; et la limite en question s'a])pellera la somme de la serie. Au contraire, si, tandis que n croit indefiniment, la somme sn ne s'approche d'aucune limite fixe, la serie sera divergentc, et n'aura plus de somme. Dans Tun et Taiitre cas, Ie terme qui correspond a 1'indice rc, savoir un, sera ce qu'on nomme Ie tewne general. II sufiit que Ton donne ce

124

COURS D'ANALYSE.

terme general en fonction de 1'indicc n, pour que la serie soit completement determines L'une des series les plus simples est la progression geometrique qui a pour terme general xn, c'est-a-dire, la puissance n.me de la quantite x. Si dans cette serie on fait la somme des n premiers termes, on trouvera -4- Xn

et, comme pour des valeurs croissantes de n la valeur numerique de la fraction —3— converge vers la limite zero, ou croit au - dela de toute limite, suivant qu'on suppose la valeur numerique de x inferieure ou superieure a l'unite , on doit conclure que dans la premiere hypothese la progression w

y

•**

est une serie convergente qui a pour somme ^ , tandis que dans la seconde hypothese la meme progression est une serie divergente qui n'a plus de somme. D'apres les principes ci-dessus etablis, pour que la serie (1)

wo, u t , u x . . . u n , un+1J

&c....

soit convergente, il est necessaire et il suffit que des valeurs croissantes de n fassent converger indefiniment la somme

I." PARTIE. CHAP. VI. Sn — Uo -H Ul -+- Ux -H &C

-H

125 ltff_t

vers une limite fixe s: en d'autres termes, il est necessaire et il suffit que, pour des valeurs infiniment grandes du nombre ?i, les sommes

different de la limites, et par consequent entre eiies, de quantites infiniment petites. D'ailleurs, ies differences successives entre la premiere somme sn ot chacune des suivantes sont respectivement deterniinees par les equations S

U

n

— Sn

n>

=

&C

Done, pour que la serie (i) soit convergente, il est d'abord necessaire que ie terme general un decroisse indefiniment, tandis que n augmente ; mais cette condition ne suffit pas, et il faut encore que, pour des valeurs croissantes de n, Ies differentes sonunes

&c e'est-a-dire, Ies sommes des quantites

126

COURS

D'ANALYSE.

prises, a partir de la premiere, en tel nombre que Ton voudra, finissent par obtenir constamment des vaieurs iuinv;riques inferieures a toute limite assignable. Reciproquement, Iorsqne ces diverses conditions sont remplies, la convergence de la serie est assume. Prenons pour exemple la progression geometrique (2)

1 , x,

x\

x3,

&c

Si la valeur numerique de x est superieure a I'unite, celle du terme general x11 croitra iiKlefiniment avec ?i, et cette seule remarque suffira pour constater la divergence de la serie. La serie sera encore divergente, si Ton suppose x = ± 1 , parce qu'alors la valeur numerique du terme general x11, se reduisant a I'unite, ne dccroitra pas indefiniment pour des valeurs croissantcs de n. Mais, si la valeur numerique de J' est siipenei i
X

-Y- X

- i - X"'n~

=

.I'7'

'•—%

&c.... tni-uvant toutes comprises entre les limites

chi.'Or.r/- dVH^s-deviendra infinimeiit petite pour des

I.*? PARTIE. CHAP. VI.

127

valeurs de n infimwent grandes; et par suite ia serie sera convergente, ce que Ton savait deja. Prenons pour second exemple la serie numerique

Le terme general de cette serie, savoir, —\— decroit indefiniment a mesure que n augmente, et cependant 1^. serie n'est pas convergente; car la somme faite du terme - ~ — et de ceux qui le suivent jusqu'au terme — — inclusivement, savoir, t

n-\-

t

. . . .

t

2

m

—

1

2 n

reste constamment superieure, quel que soit np au produit 1

n x

1

= —: z n

2

7

et par suite, cette somme ne decroit pas indefiniment poiir des valeurs croissantes de n; ainsi que cela aurait.Iieu si la serie etait convergente. Ajoutons que, si Ton designe par sn la somnie des n premiers termes de la serie (3), et par zm la plus haute puissance de 2 renfermee dans n + 1 , on trouvera n n

2 . 3

et a fortiori.

n-\-

1

128

COURS D'ANALYSE.

On en conclura que la somme sff croit indefiniment avec le nombrc entier m, et par consequent avec n, ce qui est une nouvelle preuve de la divergence de la serie. Considerons encore la serie numerique, V4J

* > T ' 777'

r.2.3 ' —

c

1.2.3...n'

-

Les termes de cette serie qui occupent un rang superieur a n, savoir,

seront respectivement inferieurs aux termes conespondans de la progression gcometrique i . 2 . 3 . . •rc?

i . 2 . 3 .. .« * n '

i . 2 . 3 . . . n * n*

'

Par suite, fa somme des premiers termes pi is en tel nombre que Ton voudra sera toujours inferieure a la somme des termes correspondans de la progression geometrique, qui est une serie convergente, ct a plus forte raison, a la somme de cette progression, c'est-a-dire, a 1.2.3...»

,_.L

1.a.3...(n-i)

' n~i

*

Comme cette dcrniere somme decroit indefiniment a mesure que n augmente^il en resulte que fa serie (4) est eHe-meme convergente. On est convenu

I.RE PARTIE. CHAP. VI.

129

de designer par la lettre e la somme de cette serie. En ajoutant les n premiers termes , on obtiendra pour valeur approchee du nombre e i

I H

1 1.2

I

et, d'apres ce qu'on vient de dire, TeiTeur commise sera inferieure au produit du n.me terme par —-—. Ainsi, par'exemple> si Ton suppose w = n , on trouvera pour la valeur approchee de e (5)

£= 2.7182818

....;

et f erreur commise dans cette hypothese sera inferieure au produit de la fraction —,—s 1

1.1.^.4.5.6.7.8.9.10

par -—> cest-A-dire, a }6l8\ooo , en sorte qu'elle n'alterera pas la j . c decimale. Le nombre e, determine comme on vient de le dire, sera souvent employe dans la sommation des suites et dans le calcul infinitesimaL Les logarithmes pris dans le systeme qui a ce nombre pour base s'appellent Neperiens, du nomde Neper,inventeur des logarithmes, ou hyperboliques, parce qu'ils servent a mesurer les diverses parties de 1'aire comprise entre Thyperbole equilatere et ses asymptotes. On indique generalement la somme d'une serie convergente par la somme de ses premiers termes suivie d'un &c Ainsi, lorsque la serie "o,

TOM. I-

Ui,

u*,

u3

I

130 c o i n s D'ANVLYSE. est convergente, la somme de cette serie est repr© sentee par Z(o -+- II, -+- Uz -+- ll3 -r- & C

En vertu de cette convention , la valeur du nomfrre e se trouvera determinee par requation I

/S\

(6) \

e=

n

/

I

1 I

I

I

1 1.2

1 I.2.3

c

:•+- &c... : I.2.3.4

et, si Ton considere la progression geometrique

on aura, pour des valeurs iiumeriques de x infe*rieures a lunite, I -+- & -+- oCX -+-X? -+• &C

(7)

=

•

.

La serie u0,

uiy

uZJ uv

&c

etant supposee convergente, si Ton designesa somme par s, et par sn la somme de ses n premiers termes, on trouvera s = uo+ U et par suite s

— *n — *'« -*- w,+, -+- &c. • . .

De cette derniere equation il resulte que les quantites

I.RE PARTIE. CHAP. VI.

131

formeront une nouvelle serie convergente dont la somme sera equivalente a s —s n . Si Ton represente cette meme somme par rn, on aura rn

et rn sera ce qu'on appelle le reste de la serie (i) a partir du n.me terme. Lorsque, les termes de la serie (i) renfermant une meme variable x, cette serie est convergente, et ses differens termes fonctions continues de x, dans le voisinage d'une valeur particuliere attribute a cette variable ; sn,

rn et s

sont encore trois fonctions de la variable x, dont ia premiere est evidemmeni continue par rapport a x dans le voisinage de la valeur particuliere dont il s'agit. Cela pose , considerons les acci oissemens que recoivcnt ces trois fonctions, lorsqu'on fait croitre x d'une quantite inlininient petite ct. L'accroissement de sn sera, pour toutes les valeurs possibles de n, une quantite infiniment petite; et ceiiji de rn deviendra insensible ea meme temps que rn, si Ton attribue a n une valeur tres-considerable. Par suite, i'accroissement de la fonction $ ne pourm etre cu'unp quantite infiniment petite. De cctte remarquc on deduii ia.mediatement la proposition suivante. 1 .er THEOREME. Lorsque les differens iermes de la serie(i) *o?it des fonciions d9une meme variable v,

r

132

COURS D* ANALYSE.

continues par rapport a cette variable da?is le voisinage d'une valeur particuliere pour laquelle la serie est convergentc, la somme s de la serie est tiussi, dans le voisinage de cette valeur particuliere, fonclioa continue de x. En vertu de ce theoreme, la somme de la serie (2) devra 1 ester fonction continue de la variable x, entre les Iimites JC = — 1 , x = i ; ce qu'on peut verifier a rinspcction de la valeur de s donnee par l'equation

v. 2.° Dcs Scries do)tt tons les termes sont posiiifs.

Lorsque la serie (1)

uo ,

uSJ

uz

un,

&c. . . .

a tous ses termes positifs , on peut ordinairement decider si elle est convergente ou divergente , ii 1'aide du theoreme suivant. l.er THEOREME. Cherchez lalimite ou les Iimites vers lesquelles converge, tandis que n croit indefiniment, Vexpression {11 ^*; et designezpar k la plus grande de ces Iimites, ou, en d'autres termes, In limilv des plus grandes valeurs de Vexpression dont il s'agit. La serie (1) sera convergente, si I'on a k < 1 , et divergente, si I'on a k > 1. DEMONSTRATION. Supposons d'abord k < 1, et choisissons a volonte entre les deux nombres 1 et k un troisieme nombre U, en sorte qu'on ait

I." PART1K. CHAP. VI.

13o

£ < U < I. n venant a eroitre au-dela de toute limite assignable, i

Ies plus grandes valeurs de {unY n e pourront s'approcher indefiniment de la limite k, sans finir par etre constamment inferieures a U. Par suite , il sera possible d'attribuer au nombre entier n une valeur assez considerable, pour que, n obtenant cette memo valeur ou une valeur plus grande encore , on ait constamment ( « „ ) * < J7,

um
II en resulte que Ies termes.de la serie uo,

ux,

u z ...

tin+iy

un^,

&c....

finiront par etre toujours inferieurs aux termes correspondans de la progression geometrique i , U, U\

... U\

U"*\

U*+\

&c...;

e t , comme cette progression est convergente (a cause de U< 1), on peut de la remarque precedente conclure a fortiori la convergence de la serie (i). Supposons, en second lieu , k > i ; ei placons encore entre Ies deux nombres i et k un troisieme nombre U, en sorte qu'on ait k>U>

i.

Si n vient a croitre au-dela de toute limite, Ies plus grandes valeurs de [un)n , en s'approchant ii^definiment de k, fniiront par devenir superieures a U

134

COURS D'ANALYSE.

On pourra done satisfaire a la condition

ou , ce qui revient au meme, a la suivante un

par des Vaieurs de n aussi considerables quc fon voudra; et par suite, oil trouvera dans laserie uo,

ul,

uz,

..

un}

un^ , unJrZ,

&c

un nombre indefini de termes superieurs aux termes con espondans de la progression geometrique i, U, U\ ... U*, Un+\ U**\

&c...

Comme cette progression est divergente (a cause de U> I), et qu'en consequence ses differens termes croissent a rinfini, la remarque que Ton vient de faire suffira pour etablir la divergence de la serie (i). Dans un grand nombre dc circonstances, on peut determiner la valeur de la quantite k, a I'aide du theoreme 4-e [ c ^ a P- ^ , §. 3 / ]. En effet, en vertu de ce theoreme, toutes les fois que le rapport Jii±l convergera vers une Iimitc fixe, cette limite sera precisement la valeur de k. On peut done enoncer la proposition suivante. 2.e THEOREME. Si, pour des valeurs croissantes de n, le rapport

converge

vcrs tine limite fixe k, laserie

( i ) sera

I.RE PARTIE. CHAP. VI.

135

convergente toutes les fois que Von aura k < i , et divergente toutes les fois que Von aura k > i. Concevons, parexemple, que Ton considere la serie fsLC i . 2 . 3 . . .n

j

VAV

• • •

•

on trouvera . ..n ^n

i . 2 . 3 . . . n (71-h-i)

n-i-i

'

CO

'

et par consequent la serie sera convergent?, ce que Ton savait deja. Le premier des deux theoremes qu'on vient d'etablir ne laisse d'incertitude sur fa convergence ou la divergence d'une serie dont tous les termes sont positifs, que dans le cas particulier ou la quantite representee par k de\ lent egale a I'unite. Dans ce cas particulier, il n'est pas toujours facile de decider la question. Toutefois, nous allons demontrer ici deux nouvelles propositions a 1'aide desqueiles on peut souvent y parvenir. 3 e . THEOREME. Lorsque dans la serie ( i ) terme est inferieur a celui qui le precede, serie et la suivante (2)

no,

2W, 4 u 5 ,

8 u7 , 16 usS,

chaque cette

&c...

sont en meme temps convergentes ou divergentes. DEMONSTRATION. Supposons d'abord la seri<^ (1) convcrgente, et designons sa somme par s. Ou aura

136

COURS D'ANALYSE.

4
-h 2U3 ,

8 IK < 2 U < -\- 2 U< -h 2 U, -*- 2 tty ,

&c.. . . ;

et par suite, la somme des termes de la serie (2), pris en tel nombre que 1'on voudra, sera inferieure a

II en resulte que la serie (2) sera convergente. Supposons , en second lieu, la serie (1) divergente. La somme de ses termes pris en tres-grand nombre finir-a par surpasser toute limite assignable; et, coinme on aura Uo =

Uo

%

2Ut>Ut-h

llz ,

8 U? >U?-h

ll% - f ^ - t - UIO -H Uu -H Us% H- U13 -+- U^ ,

&C

,

on devra conclure que la somme des quantites uo,

2iix , 4 W 3 > 8w 7 , &c

prises en tres-grand nombre finit elle-meme par devenir superieure a toute quantite donnee. La serie (2) sera done alors divergente , conformement au theoreme enonce.

I." PARTIK. CHAP. VI. CCROLLAIRE.

Io7

Si pour la serie (1) on prend la

siii v ante i 1

i

i

> T~ > T ~ '

c

&c-

T>

4"

• • •?

//, designant une qiiantite quelconque, la serie ( 2 ) deviendra i , 2I~/\

4 I " /X ,

S1^,

&c

Cette derniere est une progression geometrique , convergente lorsqu'on suppose /UL> I , et divergente dans le cas contraire. Par suite, la serie (3) sera cHc-meme convergente, si /A est un nombre superieur a Funite; et divergeate , si Ton a {A = 1 ou fA < 1. Par exemple, des trois series

(4)

1 , -'.-, - V , -^V, & c . . . . ,

\5)

I

(6)

1 , — r , - V , - V , &c

» "7~» ~Y~' ~ 4 ~ ' &c. . . . ,

2

.

3Z

V

ia premiere sera convergente, et les deux autres divergentes. 4. c THEOREME. Supposons que Von designe par L la caracteristique des logarithmes dans un sys* tkrne quelconque, et que, pour des valours croissantes de n, le rapport

138

COORS D ANALYSE.

converge vers une limite fmie h. La serie (i) sera convergente, si Ton a h > i , et divergente, si Ton a U < i.

Supposons d'abord h> i , et choisissons a volonte entre les deux quantites i et h une troisieme quantite a, en sorte qu'on ait DEMONSTRATION.

h > a > i. T

^

L\un)

,

,

Le rapport —-—^—, ou son egai

L (n )

finira par etre, pour de tres-grandes valeurs de ;?, coiistamment superieur a la quantite a. End'autres termes, n venant a croitre au-dela d'une certaine limite, on aura toujours

ou

revient au meme,

et par suite T

> < II en resulte que les termes de la serie (i) finiront par etre constamment inferieurs aux termes corres-

I.R* PARTIE. CHAP. VI.

139

pond ins de la suivante

et, comme cette derniere sera convergente (a cause de rt>i), on pourra de la remarque precedente conclure a fortiori la convergence de la serie (i). Supposons, en second lieu , h< i : et placons encore entre Ies quantites I et h line troisieme quantite a, en sorte qu'on ait h < a < i. On finira par avoir coiistamment, pour de trcsgrandes valeurs de n ,

'(•t)

: <
L(n)

>

ou, ce qui revient au meme ,

et par suite

na

II en resulte que les termes de la serie ( 0 finiront par etre coiistamment superieurs aux termcs correspondans de la suivante

et, cotnme cette derniere sera divergente (a cause

140

COURS D'AXALYSE.

de a < i), on pourra de la remarque qu'on vient de faire conclure a fortiori la divergence de la serie ( i ) .

Etant donnees deux series convergentes donttous les termes sont positifs , on peut, en ajoutant ou multipliant ces memes termes, former une nouvelie serie dont la somme resulte de 1'addition ou de la multiplication des sommes des deux premieres. Nous etablirons a ce su jet les deux theoremes suivans : 5. e THEOREME. Soient

o

, vs , vt . . . vn n

deux series convergentes rqui, imiqiiement composees de termes positifs, aient respectivementpour sommes s et s : (8)

uQ+vo, u+v^

u^-vx , ... ur-*-vrt, &c...

sera une nouvelie serie convergente, qui aurapour somme s-t-s. DEMONSTRATION.

Si Ton fait

sn et s'„ convergeront respectivement, pour des valeurs croissantes de n, vers les Iimites s et *'. Par suite, s^-i-s''n, c'est-a-dire, la somme des npremiers termes de la serie (8), convergera vers la limite s+s; ce qui suffit pour etablir Ie theoreme enouce.

I.RS^PARTIE. CHAP. VI.

141

Les memes choses etant posees qiie dans le theoreme precedent, uovx-*-u:vs-*-uxvo> .... ovQ, uov^uxvo, 6/THEOREME.

sera une nouvelle serie convergente, qui aura pour somme ss'. Soient toujours sn, s'n les sommes des n premiers termes des deux series (7), et designons en outre par s"n la somme des n pre« miers termes de la serie (9). Si Ton represente par m le plus grand nombre entier compris dans ——[ , DEMONSTRATION.

c'est-a-dire, n~

l

lorsque n est impair, et

n z

~

dans le cas contraire, on aura cvidemment

ou , en d'autres termes, s"n < sn s'n et

> sm+1

s

m+1•

Concevons maintenant que Ton fasse croitre n audela de toute limite. Le nombre n

zm —

m = croitra lui-meme indefiniment; et les deux sommes *n> SK+I convergeront vers la limite s, iandis que

142

COURS D'XNALYSE.

s'n et s'm+t convergeront vers la limite s. Par suite, sm+l sm+1 , et la somme les deux produits s^s'n, s"n comprise entre ces deux produits, convergeront vers la limite ssr : ce qui suffit pour etablir le theoreme 6 /

J. 3 / Des Series qui renferment des termes positifs et des termes negatifs. Supposons que la serie (1)

no, u,,

ux

un, <Scc

se compose de termes, tantot positifs, tantot negatifs : et soient respectivement (2)

/ o , / M f , - . - . fn>

&C....

les valeius numeriques de cos nicmes teraies, en sorte qu'011 ait •

La valeur numerique de la somme II

C) - r -

Ux -+• Ux - + - . . . - H l l n _ t

nc pouvant jamais surpasscr

il en resulte que la convergence de la serie (2) entrainera toujours ceile de la serie (1). On doit ajouter que la serie (1) sera divergente, si quelques termes de la serie (2) fmissent par croitre au-dela de toute

I.Bt PARTIE. CHAP. VI.

143

limite assignable. Ce dernier cas se presente lorsque i

7

les plus grandes valeurs de (/^) convergent, pour des valeurs croissantes de n, vers une limite sui;<> rieure a 1'unite. Au contraire, lorsque cette limite devient inferieure a I'unite, la serie (2) est toujoins convergente. On peut, en consequence, enoncer le theoreme suivant: l.cr THEOREME. Soit fn la valeur numerique da terme general un de la serie (1); et designons par h la limite vers laqnelle convergent, tandis que n croit indefiniment, les plus grandes valeurs de Vexpression (j>/;) \ La serie (1) sera convergente, si Von a k < 1 , et divergente, si Von a k > 1. Lorsque la fraction

Pn 1

*

-J

nuinerique du rapport

, ccsi-a-dirc, la valeur

n

Un x

^ , convergera vers une

limite fixe, cette limite sera, en vertu du 4-e theoreme [chap. XI, §. 3- e ]j la valeur chcrchee de k. Ce:te remarque conduit a la proposition que je vais ecrire. 2.c THEOREME. Si, pour des valeurs croissantes de r., la valeur numerique du rapport

converge vers une limite fixe k, la serie (1) sera convergent^, toutes lesfois que Von aura k < 1 , et divergente, toutes les fois que Von aura k>\. Par example, si Ton considere la serie

1-14

COURS D'ANALYSE. I

I, —

I

,

1.2'

I.2.J

on trouvera -+- 1

k — — = o:

d'ou il resulte que la serie sera convergente. Lc premier des deux tlieoremes qu'on vient d'e tablir ne laisse d'incertitude sur ia convergence 011 la divergence d'une serie que dans ie casparticulier ou la quantite representee par k devient egaie a 1'unite. Dans ce cas particulier, on peut quelquefois constater la convergence de la serie proposee, suit en s'assurant que les valeurs numeriques de ses differens termes forment une serie convergente, soit en ayant egard au theoreme suivant. 3.tf THEOREME. Si dans la serie [i)la valeur mime rique du terme general un decroit constamment et indejiniment, pour des valeurs croissantes de n, si de plus les differens termes sont alternativerne 111 posilifs et negatifs, la serie sera convergente. Considerons, par exemple, la serie

La somme des termes dont Ie rang surpasse n, si on les suppose pris en nombre egal a m, sera ±(V n+i

-^ H— n+i ?i+3

— ^-&C TH-4 ^ ^'~

•+-——V — n^m J

Or la valeur numerique de cette somme, savoir,

I.RE PARTIE. CHAP. VI. I

I

.

0

145 I

7H-2.

=

_i__(_i___i:_)_(_i___L_)_&c ^j-H&C..., H-£

n-\-6J

etant evidemment comprise entre - i — et decroitra indefiniment pour des valeurs croissantes de ^^ quel que soit m, ce qui suffit pour etablir la convergence de la serie proposee. Les memes raisonnemens peuvent evidemment s'appliquer a toutes les series de ce genre. Je citerai, entre autres, la suivante ,

(4)

i , —}r> -*--^r> - ^ V '

laquelle, en vertu du theoreme 3 / , restera convergente pour toutes les valeurs positives de fji. Si dans la serie (4) on supprime le signe — devant chacun des termes de rang pair, on obtiendra la serie (3) du §. 2.% qui est divergente toutes les fois que Ton suppose ,a=i ou p,< 1. Par suite, pour transformer une serie convergente en serie divergente, ou reciproquement, il suffit quelquefois de changer les signes de certains termes. Au reste, cette remarque est uniquement applicable aux series pour lesquelles la quantite designee par k dans k ».c theoreme se reduit a funite. TOM. 1 .

K

146

COURS D'ANALYSE.

Etant donnee une serie convergente dont tou* les tcrmcs sont positifs, on ne peut qu'augmentcr la convergence en diminuant les valeurs numeriques de ces memes termes , et changeant les signes de quclqucs-uns. II est bon d'observer qu'on produira ce double effet, si Ton multiplie chaque terme par un sinus ou par un cosinus ; et cette observation suffit pour etablir la proposition suivante. 4.e THEOREME. Lorsque la serie

wiiquement formee de termes positifs, cst convergente, chacune des suivantes

( / o sin.6 o , J>1 sin.9, , ^ s i n . 0 a , . . . fns\n$n

, &C

Test pareillementf quelles que soient les valeurs des arcs Co, 6,, Sx . . . 9 n , & c . . . COROLLAIRE.

Si Ton suppose generalement

.0 designant un arc quelconque, les series ( 5 ) deviendront respectivement I foj fi (

C0S

-Q 5 / a c o s . 20, ... fncos.nQ

, &C... ,

/ , s i n . 0 , / a s i n . 2 0 7 . . . ^ s i n . n 0 , &C

Ccs deux dernieres seront done toujours convergentes en meme temps que la serie (2). Si Ton considere a-Ia-fois deux series dont cha-

I." PARTIE. CHAP. VI.

147

cune renferme des termes positifs et des termes negatifs, on demontrera facilement a leur egard les theoremes 5 / et 6.e du second paragraphe , ainsi qu'on va le faire voir. 5.e THEOREME. Soient , A

u

o,

"t,

^>

Un>

Vzy

Vn,

(7)

,

* I VOJ V:J

&C

,

deux series convergentes qui aient respectivemeni pour sommes s et s ; (8)

U0+Voy

UK-t-Vt, tlz-hl\

, . . . Un^rVn , &C. . .

sera une nouvelle serie convergente, qui aura pour so mine s-*-s. DEMONSTRATION.

Si Ton fait Uz

S n—Vo -H

^« et ^^ convergeront respectivement, pour des valeurs croissantes de n, vers les limites s et ^'. Par Miite, sn-*-s n, c'est-a-dire, la somme des n premiers termes de la serie (8) convergei a vers la limite s-\-s ; ce qui suffit pour etablir le theoreme enonce.

6.e THEOREME. Les memes choses etantposies que dans le theoreme precedent, si chacune des series (7) reste convergente, lorsquon reduit ses differens termes a leurs valeurs numiriques,

(9)

148

COURS D'ANALYSE.

sera une nouvelle serie convergente, qui aura pour somme ss'. DEMONSTRATION. Soient toujours sn> sn les sommes des n premiers termes des deux series (7), et designons en outre par s n la somme des n premiers termes de la serie (9). On trouvera Sn S*n — S\ = Un_x Vn^ H- (lln^ Vn_% -H lln_z Vn_) H- ...

De plus, fe theoreme 6.e ayant ete deraontre dans le second paragraphe pour le cas ou les series (7) ne renferment que des termes positifs, il en resulte que dans cette hypothese chacune des quantites sns n, s"n converge, pour desvaleurs croissantes de n, vers la limite ss1, et, par suite, la difference sns n — s"n, ou, ce qui revient au meme, la somme Uttmml Vn^

\ev% la limite zero. Concevons maintenant que, les termes des series (7) etant les uns positifs et les autres negatifs r on designe respectivement par

les valeurs numeriques de ces differens termes. Supposons de plus, conformement a Tenonce du theoreme , que les series (10), composees de ces memes

I." PARTIE. CHAP. VI.

149

valeurs numeriques , soient toutes deux convergentes. En vertu de Iaremarque qu'on vient de faire, la somme f'«-x

convergera, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite zero : et, comme la valeur numerique de cette somme sera evidemment superieure a celle de la suivante

il en resulte que cette derniere, ou, ce qui revient au meme, la difference sns n—s"n convergera ellememe vcrs la limite zero. Par suite, ss1, qui est la limite du produit sns'n, sera encore celle de s"n. En d'autres termes , la serie (9) sera convergente , et aura pour somme \e produit s s\ SCHOLIE. Le theoreme precedent pourrait ne plus subsister, si les series (7), supposees convergcntes, cessaient de I'etre apres la reduction de chaque terme a sa valeur numerique. Concevons, par exemple, que pour chacune des series h) on prcnne la suivante (11)

1,

T,

-H—r»

La serie (9) deviendra

T>

-+- — >

— &c...

150

COURS D'ANALYSE.

Cette derniere est divergente. Car son terme general , savoir, ,

/

i

t

i

i

=b ( — - * - - 7 = = r - + - - 7 = - H - . . . -4- •-•

^ "

a une vaieur numerique evidemment superieure a

lorsque n est pair, et a n-j-i

lorsque n est impair; c'est-a-dire, dans tous les cas possibles, une vaieur numerique superieure a I'unitt1. Cependant la serie ( u ) est convergente. Mais on doit observer qu'elle cesse de Tetre, lorsqu'on reduit chaque terme a sa vaieur numeriquc , puisqu'elle se change alors en la seric (6) du §. 2.e

§. 4.° Dcs Series ordonnees suivant les Puissances nscendantes ct entibres d'une variable. Soit (i)

a0, axx, axx\...anxn,

&c...

I."E PARTIE. CHAP. VI.

151

une serie ordonnee suivant les puissanees entieres et ascendantes de la variable x, (2)

ao,

al9

az,

an)

&c

designant des coefficiens constans positifs ou negatifs. Soit de plus A ce quc devient pour la serie (2) la quantite k du paragraphe precedent [voy. le v. 3 , 2.e theoreme]. La meme quantite, caiculcc pour la serie (1), sera equivalente a la valeur numerique du produit Ax. Par suite, la serie ( 1) sera convergente, si cettc valeur numerique est inferieure a Tunite, c'est-a-dire, en d'autres termes, si la valeur numerique de la variable x est inferieure a -^- . Au contraire, la serie (1) sera divergente, si la valeur numerique dc x surpass^ ~ . On peut done enoncer la proposition suivante. l.er THEOREME. Soit A la Umite vers laquelle converge, pour des valeurs croissantes dc n , la racine n.me des plus grandcs valeurs numeriques dc an. La serie (1) sera convergenie pour loutes les valeurs de x comprises entre les Unities

el divcrgenle pour loutes les valeurs de x situens hors des memes lintitcs. Lorsque la valeur numerique du rapport

-~^

152

COURS D'ANALYSE.

converge vers une iimite fixe , cette limite est [ en vertu du 4-c theoreme, chapitre II, (\. 3 ] la valeur cherchee de A. Cette remarque conduit a une nouvelle proposition que je vais ecrire. 2.€ THEOREME. Si, pour des valeurs croissantes de n, la valeur numenque du rapport

converge vers la limite A, la serie (1) sera convcrgente pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites

et divergente pour toutes les valeurs de x situees hors des memes limites. COROLLAIRE i.er Prenons pour exemple la serie (3)

1, 2.r, 3 ^ , ^x\

. . . (Wi).r% &c...

Comme on trouvera dans cette hypothese .

"

an

—

.

-

n -*- 1

T

j

___________

n -H 1 '

et par suite, A = 1 , on en conclura quo la serie (3) est convcrgjente pour toutes les valours de x renfermecs cntre les limites ct divergente pour les valeurs de x situees hors de ces

I.*R PARTIE. CHAP. VI.

153

e

2. Prenons pour second exemple

COROLLAIRE

la serie 1

'

2

'

n

3

dans laquelle Ie terme constant est cense reduit a zero. On trouvera dans cette hypothese a

n +x

_

n

_

T

et par suite A = i. La serie (4) sera done encore convergente ou divergente, suivant que la valeur numerique de x sera inferieure ou superieure a Tunite. e COROLLAIRE j . Si pour la serie (i) on prend la suivante ,

(5) designant une quantite quelconque, on trouvera i — Jt

et par suite I —f—

I CO

n I H

co

On en conciura que la serie ($) est, comme les series (3) et (4), convergente ou divergente, suivant

154

COURS ©'ANALYSE.

que Ton attribue a la variable x une valeur numerique in ferieure ou superieure a f unite. COROLLAIRE 4.* Considerons encore la serie I.2.3

I .2

Comme on aura dans

CC

a

>' "

J,2.j...»

cas 1

an

et par suite CO

on en conclura que la serie est convergence entre ies limites X=

— -3- = — 0 0 ,

^ z r - i - ^ i r - H OO ,

c'est-a-dirc, pour toutes Ies valeurs reelles possibles de la variable x. COROLLAIRE

/ / Considerons enfin la serie

En lui appliquant le theoreme 2. c , on trouvcra a i on aura par suite , IT

On cu conclura que la serie (7) est ioujours diver£>ente, oxcepte iorsqu'on suppose x = 0, auquel cas, ctle se reduit a son premier terme 1.

I.RE PARTIE, CHAP VI.

155

En examinant les resultats qu'on vient d'obtenir, on reconnait immediatement que, parmi les series ordonnees suivant les puissances ascendantes et entieres de la variable x, les unes sont tantot convergentes, tantot divergentes, selon la valeur attribuee a cette variable, tandis que d'autres restent toujours convergentes y quel que soit x , et d'autres toujours divergentes, excepte pour x = o. On peut ajouter que le theoreme i .*r ne laisse d'incertitude sur la convergence d'une semblable serie que dans le cas ou la valeur numerique de x devient egalc a la constante positive representee par -^-, c'esl-;\dire, lorsqu'on suppose x

.

A

Dans ce cas particulier, la serie est tantot converge nte , tantot divergente, ct la convergence depend quelquefois du signe de la variable x. Par exemple, si dans la serie (4)> pour Jaquelle A = i , on fait successivement .r = i ,

x = — i ,

on obtiendra les deux suivantes 10) v /

(9)

I % 7

2

^ j

"~~ i 7 4

« '

• •.

« r?

7

- ' » + T ' - y » -^l1

dont la premiere est divergente [voyoz dans le IecoroIIaire du 3 / theoreme], et la seconde r

156

COURS D'ANALYSE.

gente, ainsi que cela resulte du 3 .e theoreme [§. 3], II est encore essentiel de remarquer que par suite du premier theoreme, lorsqu'une serie ordonnee suivant les puissances ascendantes et entieres d'une variable x sera convergente pour une vafeur numerique de x differente de zero , elle restera convergerite, si Ton vient a diminuer cette vafeur numerique, ou meme a fa faire decroitre indefiniment. Lorsque deux series ordonnees suivant les puissances ascendantes et entieres de la variable x sont convergentes pour une meme valeur de la variable, on peut Jeur appfiquer les theoremes 5 et 6 du §. 3. Cette remarque suifit pour etablir ies deux propositions que je vais enoncer. 3.e THEOREME. Sujiposojis que les deux series .\.ao,

a s x , axx%

%

...anx1t>

&c. . . ,

...bnxn,

&c. . . r

(10)

( bo, btx,

b%x\

elant a-la-fois convergentes, lorsqiion attribue a la variable x une certaine valeur} aieni alors pour sommes respectives s et s ;

sera, dans le meme cas, tine nouvelle serie convergente, qui aura pour somme s-w'. On etendra facilement ce theoreme a tant de series que Ton voudra. Par exemple, si Ies trois series COROLLAIRE.

I.*E PARTIE. CHAP. VI.

157

aQ,

atx

,

az xx,

&c.... ,

bQ ,

b2 .z* ;

bzxz,

&c....,

c0,

ct x ,

cz xr ,

&c. - . . ,

sont convergentes pour une meme valeur attribute a la variable x, et que Ton designe par s, s, s1 leurs sommes respectives , z

x-*-bz-+-cz)x

,

&c...

sera une nouvelie serie convergente, qui aura pour somme s-+-$'-+-s". 4.e THEOREME. Les mimes choses etantposees que dans le theoreme precedent, si de plus chacune des series (10) reste convergente, lorsquon reduit ses differens termes a leurs valeurs numeriques, (12) nb0)jc",

&c...

sera une nouvelie serie convergente, qui aura pour somme ss COROLLAIRE i.er Le theoreme precedent se trouve compris dans la formule

qui subsiste dans le cas ou chacune des series (1 o) reste convergente lors meme qu'on reduit ses differens termes a leurs valeurs numeriques, et qui sert

158

COURS

©'ANALYSE.

a developper dans cette hypothese le produit des sommes des deux series en une nouvelle serie de me me forme. COROLLAIRE 2' En repetant plusieurs fois de suite 1'operation indiquee par {'equation (13), on pourrait multiplier entre elles les sommes de trois 011 (fun plus grand nombre de series semblables aux series (10), et dont chacune resterait convergente apres la reduction de ses differens termes a leurs valeurs numeriques. Le produit obtenu serait la somme d'une nouvelle serie convergente ordonnee suivant les puissances ascendantes etentieresde la variable a\ 3.e Si dans les deux corollaires precedens on suppose que toutes les series dont on multiplie les sommes deviennent egales , on obtiendra pour produit une puissance entiere de la somme de chacune d'elles ; et cette puissance se trouvera rncore representee par la somme d'une serie du meme genre. Par exemple, si dans {'equation (13) on fait ao = bo, at = bl7 ax = bz, &c..., on en tirera COROLLAIRE

(a o -H a, x -+- ax .r1 H- &C

[ =

)2

cio

A..€

Si Ton prend pour termes generaux des series (1 o) COROLLAIRE

M , " —

I ) (P

— *)....(/* 1.2.3 n

— 71+

I )

„ X

>

I.*E PARTIE. CHAP. VI.

159

u , fx1 designant denx quantites quelconques, et la variable x etant renfermee entre Ies limitcs .r = — i, . r = - t - i , chacune des series (10) restera convergente meme lorsqu'on reduira ses differens termes a leurs valeurs numeriques, et le terme general de la serie (12) deviendra r /U(/U—

L

\). . .(/U — W-HT )

1.2.5 • -——

n

U ( ILL—l).

* -f

v

. JjU

W-t-2)

1.2.3...(/1-1)

fit,'

'T""1"--

1

JC

1 . 2 . 3 . . .(;i—1)

1 . 2 . 3 . . .71

J

— 2 ) . .

Cela pose, si Ton appelle Cp(^t) la somme de fa premiere des series (10) dans Fhypothese que Ton vient de faire , e'est-a-dire, si l'on pose (15) Ies sommcs des series (10) et (12) seront respectivemcnt designees, dans la meme Iiypothese , par
Lorsque dans {'equation (13) on remplace la somme de la serie bo1

bTx , b,xx,

&c

par un polynome compose d'un nombre fini de

160

COURS D'ANALYSE.

termes, on obtient une formule qui ne cesse jamais d'etre exacte, tant que la serie aQi a,x,

azx\

&c

demeure convergente. C'est ce que nous allons prouver directement, en etablissant le theoreme qui suit. 5.c T H E O R E M E . Si, la serie (i) etant coiivergente, on multiplie la somme de cette serie par le polynome (17)

kxm -+-ljcm-1

-

dans lequcl m designe un nombre cntier, on ohtiendra pour produit la somme d'une nouvelle serie conveygente de meme forme, dont le terme general sera {qan^pan_J-^

an_m)xm,

... la^^+k

pourvu que Ion considere comme nulles dans les premiers termes celles des quantites a

n-m

9

qui se trouveront affectees d'indices negatifs: en d'autres termes, on aura

I.RE PARTIE. CHAP. VI.

161

Pour multiplier la somme de la serie (i) par le polynome (iy), il suffira de la multiplier successivcmeiit par les differens termes de ce polynome. On aura done DEMONSTRATION.

( kxm-t-lxm~l

-{-... -+- p x -+- q) {ao^alx-\--a^x2

-+-&c.. .)

-H &c

Comme on a de plus , pour des valeurs entieres quelconques de n, q ( ao + aT x -h a 2 J 2 -+=

qao-\-qaxx-\- qazxz -H

-+- a n - 1 x n - J ) ~ H 9 a n - i ^ n "" x >

on en conclura, en faisant croitre n indefiniment, et passant aux limites, q ( ao-\-a ^-{-axxz-+-hc

) = qao

On trouvera de meme

) = kaoxm+ka ^ ^ k a ^

Si Ton ajoute ces dernieres equations, et qu'en formant lasomme des seconds membies on leunisse les coefficiens des puissances semblables de la variable x, on obtiendra precisement la formule (18). Concevons maintenant que dans la serie (1) on fasse varier la valeur de x par degres insensibles. TOM. 1 .

L

162

COLRS

D'ANALYSE.

Tant que la serie restera convergente, c'est-a-dire, tant que la valeur de x demeurera comprise entre les limites la somme de la serie sera [ en vertu du i .er theoreme, §. i] une fonction continue de la variable a:. Soit CJ> (.v) cette fonction continue. L'equation

subsistera pour toutes les valeurs de x renfermees entre les limites — ^ - , - H - ^ - ; ce que nous indiquerons, en ecrivant cos limites a cote de la serie, commc on ie voit ici

(19) Lorsque la serie est supposee connue, on peut quelquefois en deduire la valeur de la fonction <$(jr) sous forme finie; et c est-Ia ce qu'on appelle sommer la serie. ^lais le plus souvent la fonction Cp [x) est donnee, et Ton se propose de revenir de cette fonction a la serie, ou, en d'autres termes, de developper la fonction en serie convergente ordonnee suivant les puissances ascendantes et entieres de la variable x. II est facile d'etablir a ce sujet la proposition que ye vais enoncer. 6.e THEOREME. Une fonction continue de la variable x ne peut etre developpee que d'une seule maniere en serie convergente ordonnee suivant les

I." PARTIE. CHAP. VI.

163

puissances ascendantes et entieres de cette vaviable. DEMONSTRATION. En effet, supposons qu'on ait developpe par deux methodes differentes la fono tiou cp (x) ; et soient a0 > atx , azx* ... bQ

1

btx,

anxn

bz JCX ... bnxn

,

fes deux developpemens, e'est-a-dire, deux series dont chacune, etant convergente pour des valeurs de x differentes de zero , ait pour somme , taut qu'elle demeure convergente, la fonction Cp(a-). Ces deux series etant constamment convergentes pour de tres-petites valeurs numeriques de x, on aura, pour de semblables valeurs,

Comme , en faisant evanouir x, on tire de Inequation precedente a —b , il en resulte qu'on peut la reduire generalement a axx-+-ax xx -+- &c... = bx .1'-+- bxxx -+- &c..., ou, ce qui revient au meme, a x(^-*- azx-+-&c.. .•) = a?(^x-+-^a^:-+- &c...). Si Ton multiplie par -^ Ies deux membres de cette derniere equation, on obtiendra la suivante as -H ax x -H &c... = bx -H bx u^ H- &C. .. ,

164

corns

D'ANALYSE.

qui devra encore subsister pour de tres-petites vaieurs numeriqaes de ia variable x, et de laquelle on conclura, en posant x = c , az =

bt.

En continuant de memo, on ferait voir que les constaiites ao9 a,, az, eve... sont respectivement egales aux constantes bG, blf bK, 6cc... ; d'ou il suit que les deux developpemens de la fonction Cp (x) sont identiques. Le calcul difierentiel fournit des methodes tresexpeaitives pour developper les fonctions en series. Nous exposerons plus tard ces methodes; et nous nous bornerons pour I'instant a faire connaitre, avec ie developpement de la fonction ( i -t-.r)'*, dans laquelle /UL designe une quantite quelconque, deux autres developpemens que Ton raniene facilement au premier, savoir, ceux des fonctions Ax

et L( i -+-

A designant une constante positive, et L la carao teristique des Iogarithmes dans un systeme choisi a volonte. En consequence , nous allons resoudre Fun apres Tautre les trois problemes qui suivent. l.er P R O B L E M E . DevelopperP lorsque cela se

peut, la fonction en serie convergente ordonnee snivant les puissances ascendantes et entieres de la variable x*

I.*1 PARTIE. CHAP. VI.

165

Si d'abord on suppose fx = m, m designant un nombre entier quelconque, on aura, par la formuie de Newton, SOLUTION.

m

t \m (i H-;rf= I -+-—x-\ \ / I

m m

(

— 0 *L o - 1.2 .rV&C....

La serie dont la somme constilue Ie second membre de cette formuie est toujours composee d'un nombre fini de terrnes : mais, si Ton y remplace Ie nombre entier m par une (juantite quelconque //,, la nouvelle serie que i'on obtiendra, savoir,

, , JLX 7

i

!^±=±x>, '

1 2

&c 1

%e trouvera composee en general d'un nonibre indefini de termes, et sera convergente seulement pour des valeurs numeriques de x inferieures a I'unite. Soit, dans cette hypothese, ${/&) la somme de la nouvelle serie; en sorte qu'on ait

En vertu du i .cr theoreme [§. i . e r ] ,
<J>(^).(A*H-^1).

Cette derniere equation , etant entierement semblable a Tequation (2) du chapitre V [ §. i- e r ], se resoudra de la meme maniere; et Ton en conclura

166

COURS D'ANALYSE.

La valeur de Cp(/x,) etant ainsi determinee, si on fa substitue dans la formule (15), on trouvera, pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites *r = — 1 , •# = -+-1 , (20)

Lorsque la valeur numerique de x devient superieure a Funite, ia serie (5), n'etant plus convergente, cesse d'avoir une somme; en sorte que Fequation (20) ne subsiste plus. Dans la meme hypothese, il devient impossible, ainsi qu'on le prouvera plus tard a Faide du calcul infinitesimal, de developper la fonction (1 -hx)* en serie convergente ordonnee suivant les puissances ascendantes et entieres de la variable x. i.er Si dans Fequation (20) on rem-

COROLLAIRE

place /^par-^-, et^rpar
1.2.; 1

- . -t- —f ( t —fit) ( 1 — 2 « 0 - h & C . . - .

I." PARTIE. CHAP. VI.

167

Cette derniere equation devant subsister, quelque petite que soit la valeur numerique de ct, si Ton designe a {'ordinaire, par Fabreviation lim. placee devant une expression qui renferme la variable ct, la limite vers laqueile converge cette expression, tandis que la valeur numerique de CL decroit indelininient. on trouvera, en passant aux Iimites, =IH

I

--+-

H'

&C.

(21)

r

II reste a chercher la limite de (1 -+-ct.r) * . Or, en premier lieu, on tirera de la formule precedente Urn. (1 -\-a)^zzz 1 -4- — -i—-—1 v

«

'

1

1.2

H & c . . .% 1 . 2 . 3

ou, en d'autres termes, (2 2)

Urn. ( 1 - + - & ) • =

e,

e designaiit la base des logarithmes nepeiiens [voy. le §. i. er , equation (6)]. On en conclura immediatement lim. (1 -+- ctx) ** — e, et par suite lim. (1-+-CLX*) * •=. lim. |_( 1 -4-CLX) *x J

= e*>

Si maintcnant on remet la valrur de lim. (1 dans I'cquation (21), on obtiendra la suivante

168

COURS D'ANALYSE.

(22) \

e"=H-~+-

JJ

1

1

H&C... \~~ 1.2.3

1.2

(X = 4-OC)

On pourrait aniver directement a {'equation (23), en observant que la serie x~

(6)

est convergente pour toutes les valeiirs possibles de la variable x, et cherchant la fonction de # qui represente la somme de cette meme serie. En effet, soit Cp(.r) la somme de la serie ( 6 ) qui a pour terme general . . 2 .

3

. . . «

'

et [en vertu du 6.e theoreme, ^ 3] le produit de ces deux sommes sera la somme d'une nouvcllc serie qui aura pour terme general yn~l 1 . z . 3 . . . (?z— .')' i

1.2.3...n

•"

1 * 1 . 2 . 3 . . . (TI— I )

1 . 2.3. ..n *

Ce produit sera done egal a Cp (.^-Hy); et par suite, si Ton fait ~ la fonction cp (a) verifiera {'equation

+ &c...,

I." PARTIE. CHAP. VI.

169

En resolvant cette equation, on en tirera

c'est-a-dire, z.e S i , apres avoir retranche l'miite de chaque membre de i'equation (20), on divise Ies deux membres par \x, i'equation que Ton obtiendra pourra s'ecrire ainsi qu'il suit, COROLLAIRE

X =

—

et, si dans cette derniere on fait converger /u, vers la limite zero, on trouvera, en passant aux iimites, (24)

Inn.-

= x

1

h-&c...

De plus, comme, en designant par / la caracteristique des logarithmes neperiens pris dans ie systeme dont la base est g ; on a evidemment I -+- X =

=e on en conclura

€

170

COURS D'ANALYSE.

et par suite

Cela pose, la formule (24) deviendra (26)

^ f L

L'equation precedente subsiste tant que la valeur numerique de x reste inferieure a f unite; et, dans ce cas, la serie ( 2 7)

x

> — T ' -*-y — - T - '

&c

est convergente, aussi bien que la serie (4), qui en differe seuiement par les signes des termes de rang impair. Les memes series devenant divergentes, des qu'on suppose la valeur numerique de .v superieure a 1'uiiite , l'equation (26) cesse d'avoir lieu dans vdte hvpothese. Dans le cas particulier 011 Ton prend .r = 1 , la serie (27) se reduit a la serie (3) du troisieme paragraphe, laquelle est convergente, comme on la fait voir. L'equation (26) doit done alors subsister; en sorte qu'on a

Si Ton prenait au contraire x= — 1 , la serie (2^) deviendrait divorgente, et n'aurait plus de somme. On pent rcmarqiTc*r encore que, si, apres avoir cent —x an lieu Jc x dans la formula ( 2 6 ) , on

I.*£ PARTIE. CHAP. VI.

171

change a-Ia-fois les signes des deux membres, on obtiendra la suivante

2.e PROBLEME. Developper la fonciion dans laquelle A designe un nombre qxtelconque, en serie convergente ordonnee suivant les puissances ascendantes et entieres de la variable x. SOLUTION. Designons toujours par la caracteristique / les logarithmes neperiens pris dans le systeme dont la base est e. On aura, d'apres la definition meme des logarithmes, A

i {A)

ct Ton en conclura (30)

A' = e"™

Par suite, en ayant cgard a 1'cquation ( 2 3 ) , on trouvera tx

xiA

x2(lAY

xUlAf

Q

(j>)

Cette derniere formule subsiste pour toutes les vaIeurs reelles possibles de la variable JC. 3. e PROBLEME. La caracterisiiquc L designant les logarithmes pris dans le systvmc dont la base est A; developper, lorsque ccla scpent, lafonction

172

COURS

D'ANALYSE.

en serie convergente ordonnee suivant les puissances ascendantes ct entieres de la variable x. SOLUTION. Designons toujoiirs par / la caracteristique drs logarilhmes neperiens. On aura, en vertu des proprietes connues des logarithmes, L ( \ -\-x)

/( i+ x)

;

et par suite, en avant cgard a {'equation (26), on trouvera, pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites — I , + I , (32)

L(i^x)=—-\x—

1

&c. .

Cette derniere formule subsiste dans le cas meme ou Ton prend x= 1. Mais elle cesse d'avoir lieu, lorsqu'on suppose x = —-i , ou xz > 1.

I.RE PARTIE. CHAP. VII.

CHAPITRE

173

VII.

Des Expressions imaginaires et de leurs Modules.

5. l.CT Considerations generates sur les imaginaires.

Expressions

EN analyse, on appeile expression symbolique ou symbole toute combinaison de signes algebriques qui ne signifie rien par elle-meme, ou a Iaquelie on attribue une valeur differente de celle qu'elle doit naturellemeni avoir. On nomnie de meme equations symboliques toutes celles qui, prises a la lettre et interpreters d'apres les conventions generalement etablies, sont inexactes ou n'ont pas de sens , mais "desquelles on peut deduire des resultats exacts, en modifiant et alterant selon des regies fixes ou ces equations elies-memes, ou les symboles qu'elies renferment. L'emploi des expressions ou equations symboliques est souvent un moyen de simplifier les calculs, et d'ecrire sous une forme abregee des resultats assez compliques en apparence. Cest ce qu'on a deja vu dans le second paragraphe du troisieme chapitre, ou la formule (9) fournit une valeur symbolique tres-simple de 1'inconnue x assujettie a verifier les equations (4). Par mi les expressions ou equations symboliques dont la consideration est de

174

corns

D'AXALYSE.

quelque importance en analyse, on doit sur-tout distingucr celles que Ton a nominees imaginaires. Nous allons niontrcr comment Ton peut etre conduit a en faire usage. On sait que les sinus et cosinus de Tare a-*-b sont donnes en fonction des sinus et cosinus des arcs a et b par ies formules [ cos. (a-+-&) = cos. a . cos. b —sin. a . sin. b f ( sin. (a-\-U) = sin. a . cos. b -4- sin. b . cos. a.

Or, sans prendre la pc-ine de retenir ces formulcs, on a un moyen fort simple de Ies retrouver a volonte. II suflit, en effet, d'avoir egard i\ Iaremarque suivante. Supposons que Ton muhiplie Tune par I'autre les deux expressions symboliques cos. a -h- )/—i sin. a , cos. b ~H ]/—i sin. b ,

en operant d'apres Ies regies connucs de la multiplication algebrique , comme si -j/—T etait une quantite reelle dont le carre fut egai a — i. Le produit obtenu se composera de deux parties , Time toute reelle, I'autre ayant pour facteur y~\ ; et la partie reelle fournira la valeur de cos. (a-+-b), tandis que le coefficient y~\ fournira cclle de sin. (a + b). Pour constater ceite remarque, on ecrit la formule

I." PARTIE. CHAP. VII. cos. («-*-£)-+- |/^T sin. ( f l - h i )

175

( = (cos. tf-i- ]/—i sin. a ) (cos. A -+-)/— i sin. #).

Les trois expressions que renferme {'equation precedente, savoir, cos. a -K j / — i sin. # , cos. 6 -+- -j/— i sin. ^ , cos. [a-^V)

-+- j / — i sin

sont trois expressions symboliques qui ne peuvent ^interpreter d'apres les conventions generalement etablies, et ne representent rien de reel. On les a nominees pour cette raison expressions imaginaires. L'equation (2) elle-meme, prise a la lettre, se trouve inexacte et n'a pas de sens. Pour en tirer des resultats exacts, il faut, en premier lieu, developper son second membre par la multiplication algebrique, ce qui reduit cette equation a cos. [a-\-h\ -+- y^""1 sin* ( # - H ^ ) = cos. a. cos. h. — sin.a.sin. b - t - / - i fsin.^.cos.^ -Hsin.^. cos. a).

II faut, en second lieu, dans {'equation (3), egaler la partie reelle du premier membre a la partie reelle du second, puis le coefficient de 7/— < dans le premier membre au coefficient de )/—1 dans le second. On est ainsi ramene aux equations (1), que Ton doit considerer comme implicitement renfermees Tune et i'autre dans la formule (2).

En general, on appelle expression imaginaire

176

COURS D'ANALYSE.

toute expression symbolique de la forme

ct , £ designant deux quantites reelles; et Ton dit que deux expressions imaginaires

sont egales entre elles, lorsqu'il y a egalite de part et d'autre , i.° entre les parties reelles ct et y , 2. e entre les coefficiens de )/— 1 , savoir, C et J^. L'egalite de deux expressions imaginaires s'indiqiie, comme celle de deux quantites reelles, par le signe = ; et il en resulte ce qu'on appelle une equation imaginaire. Cela pose, toute equation imaginaire n'est que la representation symbolique de deux equations entre quantites reelles. Par exemple, liquation symbolique ct -+- £ j / ^ 7 z= y

H-

J\ | / ^ 7

equivaut seule aux deux equations reelles ct = y , £ = J\ Lorsque, dans I'expression imaginaire ct -+- €> y~\ i

le coefficient £ de j / ^ 7 s'evanouit, le terme £ j / - ^ est cense reduit a zero, et I'expression elle-meme a la quantite reelle ct. En vertu de cette convention, les expressions imaginaires comprennent, comme cas particuliers, les quantites reelles. Les expressions imaginaires peuvent etre sou-

1." PARTIE. CHAP. VII.

177

mises, aussi bien que les quantites reelles auxdivei ses operations de l'algebre. Si Ton effectue en particulier 1'addition, la soustraction ou la multiplication de deux ou de plusieurs expressions imaginaires, en operant d'apres Ies regies etablies pour les quantites reelles > on obtiendra pour resultat une nouvelle expression imaginaire qui sera ce qu'on appelle la somme, la difference ou \v produit des expressions donnees; et Ton se servira des notations ordinaires pour indiquer cette somme, cette difference, ou ce produit. Par exemple, si Fon donne seulement deux expressions imaginaires \ , y on trouvera

(4) (5) (6) II est bon de remarquer que le produit de deux ou plusieurs expressions imaginaires, comme celui de deux ou plusieurs binomes reels, restera le meme, dans quelque ordre qu'on multiplie ses differens facteurs. Diviser une premiere expression imaginaire par une seconde, e'esttrouver une troisieme expression imaginaire qui, multipliee par la seconde, reproduise la premiere. Le resultat de cette operation est le quotient des deux expressions donnees. On se sert TOM. 1.

M

178

COURS D'ANALYSE.

pour rindiquer du signe ordinaire de la division. Ainsi, par exemple , y -

represente le quotient des deux expressions imaginaires Elever une expression imaginaire a la puissance du degre m (m designant un nombre entici), c'est former le produit de m facteurs egaux a cette expression. On indique la puissance m"le de ct-t-C)/— i par la notation ( ct -f- £ ] / — i ) m .

Extraire la racine n.me de Texpression imaginaire
I.RE PARTIE. CHAP. VII.

179

Dans le cas particulier ou G> sevanouit, ct-h-£j/— c se reduit a une quantite reelle a,, et parmi ies valeurs de Texpression

il peut s'en trouver une ou deux de reelles, comme on le verra ci-apres. Outre Ies puissances entieres et Ies racines correspondantes des expressions imaginaires, on a souvent a considerer ce qu'on appelle leurs puissances fraction naires ou negatives. On doit faire a ce sujet Ies remarques suivantes. Pour elever Texpression imaginaire CL-H£J/— i a la puissance fractionnaire du degre —, il faut, en supposant la fraction — reduite a sa plus simple expression, i.° extraire la racine n.me de Texpression donnee, 2.0 elever cette racine a la puissance entiere du degre m. Le probieme pouvant etre resolu de plusieurs manieres [voyez ci-apres le §. 4]» nous designerons indistinctement Tune quelconque des puissances du degre — par la notation

Dans le cas particulier ou G se reduit a zero, une ou deux de ces puissances peuvent devenir reelles. Elever Texpression imaginaire ct-^Cy/— i a la puissauce negative du degre —m, ou

, ou

, c ^st

180

COURS D'ANALYSE.

diviser I'unite par la puissance du degre m, ou — , ou —•, de la mcme expression. Le probleme ad« mcttsnt une solution settlement, dans le premier cas, ct phisicurs solutions dans chacun des deux autres, on incJiquc la puissance du degre — m par la notation simple

tandis que les deux notations

represented, la premiere, une quelconque des puissances du degre - ™ , etlaseconde, une quelconque des puissances du degre —-^-. On dit que deux expressions imaginaires sont conjuguees Tune a fautre, lorsque ces deux expressions ne different entre elks que par le srgne du coefficient de j / — i. La somme de deux semblables expressions est toujours reelle, ainsi que leur prodiiit. En effei, les deux expressions imaginaires conjuguecs donnent pour somme 2ct, et pour produit ct*-»-C*. La derniere partie de cette observation conduit a x\\\ theorcine rtlatif aux nombres, et dont voici 1'enunce.

I." PARTIK. CHAP. VII.

181

cl

1 . THEOREME. Si ton multiplie Vun par I'autre deux nombres entiers dont chacun soit la somme de deux carves, le produit sera encore line somme de deux carres. DEMONSTRATION. Soient

Ics deux nombres entiers dont il s'agit, ct\ &\ ct'1, €'* designant des carres parfaits. On aura evidemment les deux equations

et, en multipliant celles-ci mernbi e a membre , on obtiendra la suivante (7)

(CC/H-C*)

fct'*H-b Z ) = (ctct1—

Si Ton echange entre elles dans cette derniere lei lettres ct' et b , on trouvera

II y a done en general deux manieres de decomposer en deux carres le produit de deux nombres entiers dont chacun est la somme de deux carres. Ainsi, par exemple, on tire des equations (7) et (8)

On voit par ces considerations que I'emploi des ex-

182

COURS ©ANALYSE.

pressions miaginaires peut etre d'une grande utilite, non-seulement dans I'algebre ordinaire, mais encore dans la theorie des nombres. Quelquefois on represente une expression imaginaire par une seule Iettre. Cest un artifice qui augmente les resources de Tanalyse, et dont nous ferons usage dans ce qui va suivre.

§. 2.c Sur les Modules des Expressions imaginaires, et sur les Expressions reduites.

Une propriete remarqiiable de toute expression imaginaire CL -+- C-/— i , c'est de pouvoir se mettre sous la forme P (cos. 0 -4- |/—i sin. 0) ,

f designant une quantite positive, et 0 un arc reel. En effet, si Ton pose Inequation symbolique (i)


6u, ce qui revient au meme, les deux equations reelles ct =r P cos. 0 ,

£ —/> sin. 0 , on en tirera ct* 4 - t 1 = ^>a (cos." 0 -4- sin. 1 6) = P1 ?

(3)

/ =

I . " PARTIE. CHAP. VII.

183

et, apres avoir ainsi determine la valeur du nombre f y il ne restera, pour verifier completement les equations (2), qu'a trouver un arc 6 dont le cosinus et le sinus soient respectivement cos. D == -

(4) sin. 0 = •

Ce dernier probleme est toujours soluble, attendu que chacune des quantites y ^ r t y , V{J+C^ a une valeur numerique inferieure a Tunite, et que la somme de leurs carres est egale a 1. De plus, ii admet une infinite de solutions differentes, puisqu'apres avoir calcule une valeur convenable de Tare 6 on pourra, sans changer ni le sinus ni le cosinus, augmenter ou diminuer cet arc d'un nombre quclconque de circonferences. Lorsque Texpression imaginaire ct -+• £ ]/^i se trouve ramenee a la forme f> (cos. 8 •+• ] / — 1 sin. 8)

y

la quantite positive j> est ce qu'on appelle le module de cette expression imaginaire ; et ce qui reste apres la suppression du module, e'est - a - dire , le facteur s. 8 -+- ] / — 1 sin. 6 y cos.

est ce que nous nommerons Vexpression reduite. Comme des quantites CL et € supposees connues on ne deduit pour le module P qu'une valeur unique

184

COURS

D'ANALYSE.

determince par liquation ( 3 ) , il en resulte que le module reste le meme pour deux expressions imaginaires cities. On pent done enoncer fe theoreme suivant. 1 .er THEOREME. Uegalite de deux expressions imagvwircsentraine toujours Vegalite des modules, ct par consequent ccllc des expressions reduites. Si Ton compare entre dies deux expressions imaginaires consignees, on trouvera encore que leurs modules sont egaux. Le carre du module commuri a ces deux expressions ne sera autre chose que Ieur produit. Lorsque dans Fexpression imaginaire &,-+-£]/—» ie second terme C s'evanouit, cette expression se reduit a line quantite reclle ct. Dans la merae hypothese, on tire des equations (3) et (4)> i.°, quand ct est positif,

cos. 6 =

I ,

sin, 0 =

0,

et par suite

k designant un nombre entier quelconque ; 2. > quand a est negatif, / = /(*'). cos, 8 = — i , et par suite

sin. 9 = o

I." PARTIE. CHAP. VII.

185

9 = ± ( 2 k -4- I ) 7T.

Ainsi Je module d'une quantite reeile ot n'est autre chose que sa valeur numerique v / ( c t ) > e^ fexpression reduite qui correspond a une semblable quantite est toujours -+- i ou — i , savoir, =cos. (=t 2

lorsqu'il s'agit d'une quantite positive , et — i ~cos. ( ± 2/1-H I.7r)-H|/~1 sin.(=t 2 X:-I-I.7

lorsqu'il s'agit d'une quantite negative. Toute expression imaginaire qui a zero pour, module se reduit elie-raeme a zero, puisque ses deux termes s'evanouissent. Reciproquement, comme le cosinus et le sinus d'un arc'ne deviennent jamais mils en memc temps, il en resulte qu'une expression imaginaire ne peut se reduire a zero , qu'autant que son module s'evanouit. Toute expression imaginaire qui a 1'unitc pour module est necessairement une expression reduite. Ainsi, par exemple, cos. #-H j/'— 1 sin. Ct j

cos. d— |/—1 sin. Cl ,

— cos, a— |/—1 sin. a } —cos. <X-\r |/— 1 sin. d 9

sont quaere expressions reduites conjugiiees deux a deux. Effectivement, pour tirer ces quatre expressions de la fonmde G<»-.

a -?- j / — 1 s i n . 6 >

186

COURS D'ANALYSE,

il suffira de poser successivement

£ designant un nombre entier quelconque. Les calculs reiatifs aux expressions imaginaires pouvant etre simplifies par la consideration des expressions reduites, il importe de faire connaitre les rniicipales proprietes de ces dernieres. Ces proprietes sont comprises dans les theoremes que je vais enoncer. 2.e THEOREME. Pour multiplier rune par I'autre deux expressions reduites cos. 9 -+- j / — i sin. 8 ,

cos. 6' •+- |/— i sin. 6 ' ,

il suffit d'ajouter les arcs 9 e/ 0' qui leur conespondent. DEMONSTRATION. On a, en effet, (cos. 0H-|/—i sin. 6) (cos. 9'-*- |/^T sin !

= cos. (0 -4- 0') -*- / ^ 7 s i n

Si*dans la formule precedente on fait 8' :=;— 0, on trouvera, comme on devaitsy attendre , COROLLAIRE.

(6)

(cos. 0-4- y/^i&in.Q) (cos. 0 — |/-^7sin. 0)== I.

3.e THEOREME. Pour multiplier les tines par les autres plusieurs expressions reduites

I . " PARTIE. CHAP. VII. cos. 8 -+- |/^—i sin. 0 ,

cos. 6' -H j/—i sin. 0' ,

cos. 0" -+- j/—i sin. 0" ,

&c

187

,

*7 siiffit d'ajouter les arcs 9, 9', 9", . . . qui leur correspondent. DEMONSTRATION.

En effet, on aura successi-

vement (cos. 9 -+- |/—i sin. 0) (cos. 0' -+- f/—i sin. 0'

= cos. (0 -»- 8') -4- /^Tsin. (9 -+- 8') , (cos.0-+-]/—tain.8) (cos.8'-+-]/— isin.0')(cos.0"-+-j/— isin.u'j

= [COS.(0-H8')-H/^7sin.(0-H0')] [cos.0"-H/^Tsin.8"

&c— ; et, en continuant de meme, on trouvera generalement, quel que soit le nombre des arcs, 6,

e # , 0^

/Z^sin.g) (cos.g'-t-y/ZTsin.Q') (cos.fi'-i-y/irr s i n . J ' ) . . .

= cos. (fl -+- a'* e"...) -t-/:r7 sin. (8 -H ef-*- 8".. .)•

COROLLAIRE. Si Ton developpe par la multiplication immediate le premier membre de liquation (7), le developpement se composera de deux parties, I'une toute reelle, I'autre ayant pour facteur /—l dans la seconde partie la vaieur de sin. (9-+-0'-+-G"...). Supposons, par exemple, que I'on considere seuiement tirois arcs 0, 0\ 0". Inequation *'-?) dcviendra

188

COURS

D'ANALYSE.

(cos. 9-Hy/IT7sin.fi) (cos. O'-Hy^HT sin.g') (ops.g//-Hy/!T7sm.J") = cos. (9 -t- 9'

9") -+• / ^ 7 sin. (fi - H e#

H - 6"); ) et, apres avoir developpe le premier membre de cette derniere par la multiplication algebrique, on en conclura H-

cos. (j) -H()' - H (T) = cos - 5 c o s - 5 ' c o s - ft"~ cos - 6 s m - 6' s m - S" — sin. 9 cos. 5' sin. 9" — sin. 9 sin. 9' cos. 9", sin, (9 -4- 6' -+- 6') = ^£- i cos' 8* cos - 6' -+- c o s -fi" n - 6' c o s - 8" -H cos. g cos.fi7sin.ft"- " s m . g sin.ft'sin. 9^

4. e T H E O R E M E . Pour diviser I'expression reduiie cos. 9 -4- j / — 1 sin 8

par la sidvante cos. 8' -+- ] / — i sin. G' ,

ilsujfit de retrancher Fare 9', ^m correspond a fa seconde, de Fare 9 correspondent a la premiere. DEMONSTRATION.

Soit x le quotient clierche,

en sorte qu'on ait cos. j ' - h y / - i

sin.

Ce quotient devra efcre une nouvelle expresaon imaginaire tellement choisie, qu'en la multipfiant par cos.S'-t-i/—i sin.01 onreproduisecos.Grr-)/—l sin^> En d'autres termes, x devra satisfaire a i'equation ( cos. 0; -H |/^7,sin 0') X = cos. 9 -t-1/^7 sin. 0. Pour tirer de cette equation la valeur de x, il suf-

I.M PARTIE. CHAP. VII.

189

fira de multiplier les deux membres par cos. 0' — }/~~l sin, 0 ' .

On reduira de cette maniere le coefficient de x & I'unite [voyez le 2.e theoreme, corollaire i ] , et ion trouvera X "=• [cos. 0 -f- ]/—i sin.6 j [cos. 0'— j / ~ i sin. 9'

On aura done en definitive (8)

cos. 0 -t-1/—i sin. (j

Si dans I'equation (8) on fait

COROLLAIRE.

= o, elle donnera •; os

+

—:—77- = *in J

cos. 0' — T / ^ 1 sin. 0'. r

5.e THEOREME. P^wr elever Vexpression imaginaire cos. 0 -H j / — i sin. 0

a la puissance du degre m (m designant un nornbre enlier quelconque), il suffit de multiplier dans cette expression I9arc 9 par le nombre m. DEMONSTRATION. En effet, les arcs 0, Q\ 8"... pouvant etre quelconques dans la formule ( T ) , si on les suppose tous egaux a Tare 0 et en nombre m, on trouvera

190

COURS D'ANALYSE.

Si dans I'equation (10) on fait successivement 0 = *, 0 = — z, on obtiendra les deux suivantes : COROLLAIRE.

( ( cos. z -+- y/^l sin. z )m = ( I I) _ i ( cos. c — \/—i sin- z )m —

cps. m z -4- |/^T sin. m z , cos

* mz — V ~ J

sin

-

mz

-

Le premier membre de chacune de ces dernieres, etant toujours un produit de m facteurs egaux, pourra etre developpe par la multiplication immediate de ces facteurs, ou , ce qui revient au meme, par la formule de Newton. Si, apres avoir effectue le developpement dont il s'agit, on egale de part et d'autre dans chaque equation, i.° les parties reelles, 2.° les coefficiens de | / ^ , on en conclura cos.mz=cos.mZ—

^ = — cos.

m m

x

'- cos.m~lZ sin.x^

z sin.Z &C..

On trouvera, par exemple, en supposant m = cos. 2 ; = cos. a Z —sin. a z , sin. 2 ^ = 2 sin. Z cos. Z ;

en supposant m = 3 cos. JZ= cos. JZ=

3 ccos. Z— 3 cos.Zsin/ z ,

sin. 3 5 = 3 cos. a ^ sin. z — sin.3 ^ ,

I." PARTIE. CHAP. VII.

191

c

6. THEOREME. Pour elever I'expression imar ginaire cos. 0 H- j / — i sin. 0

a la puissance du degre —m (m designant un nombre entier quelconque J, il suffit de multiplier dans cette expression Varc 0 par le degre — m. DEMONSTRATION. En effet, d'apres la definition que nous avons donnee des puissances negatives [voyez le §. i ] , on aura (cos. 0 -+- /-^T sin. Q)~m = Y ^ I

T

7 _ . ^m (cos. fl-H^-^m. fl)m

cos. 77*Q - h | / — i sin. m 9

Par suite, en ayant egard a la formule (9), on trouvera (13)

(cos.0-f-|/— isin.0)~ m =

ou, ce qui revient au meme,

Apres avoir etabli, comme nous venons de Ie faire, les principales proprietes des expressions reduites, il devient facile de multiplier ou de diviser Tune par Tautre deux ou plusieurs expressions imaginaires, quels que soient leurs modules, aussi bien que d'elever une expression imaginaire quelconque a la puissance du degre m ou — m [m designant un nombre entier). On peut, en effet, executer ^implement ces divcrses operations a I'aide des theoremes suivans.

192

COURS D'ANALYSE. e

7. THEOREME. Pour obtenir le produit de deux ou de plusieurs expressions imaginaires , il suffit de multiplier le produit des expressions reduites qui leur correspondent par le produit des modules. Le theoreme enonce se deduit immediatement de ce principe, que le produit de plusieurs facteurs reels ou imaginaires reste le meme dans quelque ordre qu'on les multiplie. Soient effectivement DEMONSTRATION.

j> ( cos. 9 -+- -/—i sin. fl ) ,

J>" ( COS. 9" -4- y/~

sin.ft") ,

j>' ( cos. (f -+- y~i

sin. f') ,

&c

plusieurs expressions imaginaires, dont^>, /'*/"•••• designent les modules. Lorsqu'on voudra multiplier entre elles ces expressions dont chacune est le produit d'un module par une expression reduite , on pourra, en vertu du principe qu'on vient de rappeler, former, d'une part, le produit de tous les modules , de 1'autre, celui de toutes les expressions reduites, puis multiplier ces deux derniers produits Tun par 1'autre. On trouvera de cette maniere pour resuitat definitif COROLL41RE i.er Le produit de plusieurs expressions imaginaires est une nouvelle expression imaginaire qui a pour module le produit des modules de toutes les autres. e COROLLAIRE 2. Comme une expression imaginaire ne s'evanouit jaraais qu'avec son module, et

I." PARTIE. CHAP. VII.

193

que pour faire evanouir le produit de plusieurs mo* dules, il faut necessairement supposer Tun deux reduit a zero, il est clair qu'on peut tirer du theoreme 7 / la conclusion suivante : Le produit de deux ou de plusieurs expressions imaginaires ne peut s'evanouir qxi autant que tune d'elles se reduit a zero. 8/THEOREME. Pour obtenir le quotient de deux expressions imaginaires, il suffit de multiplier le quotient des expressions reduites qui leur corres* pondent par le quotient des modules. DEMONSTRATION. Supposons qu'il s'agisse de diviser fexpression imaginaire j> ( cos. G -H j / — « sin. 0 ) ,

dont le module est f, par la suivante f ( cos. 0 -H |/— 1 sin. 6') ,

dont le module est f'. Si Ton designe par x le quotient demande, x devra etre une nouvelle expression imaginaire propre a verifier I'equation ^'(cos.G'-*-}/— isin.0')cT zr j5(cos.0-4-|/—isin.6).

Pour tirer de cette equation la valeur de x, on mul* tipliera les deux membres par le produit des deux facteurs -V ,

cos* 0' — }/— 1 sin. 0 ; ;

et Ton trouvera de cette inaoiere f en ecrivant ~TOM. t .

N

194

COURS D'ANALYSE.

au lieu de f x -V,

On aura done en derniere analyse,

et, puisqu'en vertu du 4-e theoreme / ^ s i n . (G-G')

cos.

est precisement Ie quotient des deux expressions reduites cos . G •+•

T/—

i sin. G ,

cos. G' -H ] / — i sin. 6' ,

il est ckir qu'apres avoir etabli la formule (16) nous devons considerer Ie 8 / theoreme comme demontre. Si dans Tequation (16) on fait

COROLLAIRB.

0 = o , elie donnera

2 •- •:

j? (cos.fl 4 - y — i siu.y J

g.e THEOREME. A w r obtenir la m™epuissance d'imc expression imaginaire (m designant nn nombre entier qitelconqtie), il suffit de multiplier la m.mf puissance de i expression reduite corres* pondante jiar la m.me puissance du module. DEMONSTRATION. En effet, si dans Ie y.e theoreme on suppose les expressions imaginaircs

I.*1 PARTIE. CHAP. VII. f(cos. 8-f- ] / — i sin. 9) , js>' (cos. 6' -+- j / — i sin. 6') 7

S ' V e

7

^

&C

toutes ogales entre elles, et en nombre m, leur produit sera equivalent a la puissance m.me de la premiere, c'est-a-dire, a

et, comme dans cette hypothese Texpression (15) deviendra fm [ cos. m 9 -H j / ^ sin.OT0 ] ,

on aura definitivement (i 8) [/(cos.9-f./^7 sinfy]m—fm[cos.mQ+y/^s\n.?nbl L'expression reduite cos. m 9 -H ] / — * sin. 77J 9

etant egale (en vertu du 5 / theoreme) a (cos. 9 H- /=^Tsin. 9) m , il en resulte qu'apres avoir etabli la formule (1 8) on doit considerer le theoreme ^.e comme demontre. 1O.C THEOREME. Pour elever une expression imaginaire a la puissance du degre — m (m designant un nombre enlier), il suffit de former les puissances semblables du module et de Vexpression reduite, puts de multiplier ces deux dernieres puissances rune par I'aulre. STRATION.

Supposons qu'il s'agisse

196

COURS ©'ANALYSE.

d'elever a la puissance du degre — m {'expression imaginaire jo f cos. 0 -+- j / — i sin. 0 )

t

dont le module est f. On aura, en vertu de la definition des puissances negatives, £ P (cos.0 -+-1/—i sin

' _ , »in.

j>m (cog. mty -f- v —i siu. ;wjj)

Par suite, en ayant egard a la formule (17), on trouvera

ou, ce qui revient au meme ,

9)

0

Cette derniere formule reunie a Tequation (13) fournit la demonstration complete du 1 o.e theoreme.

J. 3 / Sur les Racines reelles ou imaginaires des deux quantites -H 1 , — 1 , et sur leurs Puissances fractionnaires.

Supposons que Ton designe par m et n deux nombres entiers premiers entre eux. Si Ton fait usage des notations adoptees dans le premier paragraphe, les racines n.mu de iunite, ou, ce qui revient

r.ft

PARTIE. CHAP. v n .

197

au meme, ses puissances du degre -^~ seront les diverses valeurs de Texpression

et de meme, les puissances fractionnaires de I'unite, positives ou negatives, du degre —, ou — ^-, seront les diverses valeurs de ((I))" OU ( ( , ) f

\

On en conclura que, pour determiner ces racines et ces puissances, il suffit de resoudre, Tun apros Tautre, les trois problemes suivans. l.er PROBLEME. Trouver les diverses valeurs reelles ou irnaginaires de Vexpression

SOLUTION. Soit x Tune de ces valeurs; et, afin de la presenter sous la forme generale qui comprend a-Ia-fois toutes les quantites reelles et toutes les expressions imaginaires, supposons X = T ( cos. t -+- ~/~i sin. / ) ,

r designant une quantite positive, et t un arc reel. On aura, d'apres la definition meme do I'expression (())

(0

**=»,

ou, ce qui revient au meme ,

r*[cos. nt-*- y^i sin. nt] ^= t.

198

COURS D'ANALYSE.

On tirera de cette derniere equation [ a f aide du theoreme i . er , $. 2 ] r" = i , cos. n t -t- ]/— » sin. nt = I \

et par suite, r = cos. n.t=

i ,

i j sin.nt—Oy

nt — dz

k representant un nombre entier quelconque. Les quantites r et t etant ainsi determinees, les diverses valeurs de x propres a verifier I'equation(i)seront evidemment comprises dans la formule /

\

(2)

2 AT

X — cos.

,

• ±:

2 A' T

y

.

T/—

i sin.

.

Eii d'autres termes, les diverses valeurs de seront donnees par {'equation / \ ( 2)

ft r\\^ I

2 k rr

cos.

=

• in

. i/—

. i sin.

2 AX .

Soit maintenant A Ie nombre entier Ie plus rapproche du rapport —. La difference entre les deutf nombres h . —, sera tout au plus es:ale a - ; en l

n

O

2

7

sortc qu'on aura k n

7

,

A' n

— designant une fraction egale ou inferieure a -^

I." PARTIE. CHAP. VII.

199

et par suite, k' un nombre entier inferieur ou tout au plus egal a — . On en conclura n ikTT

cos.

n

,

,

'

n .

2/i'T

2^'T

dry—i sin, -—-—cos. r n

,

M

' .

ik'1*

± / - i sin. w

n

. n

Par consequent, toutes les valeurs de ((i))" seront comprises dans la formule a k'T

cos.

,

j

.

i k'

i t v —i sin. • n

r

n

si Ton y suppose k' renferme entre les Iimites o, —, ou, ce qui revient au Hieme 7 dans Ja formule (3), si Ton y suppose k renferme entre les memes liniites. er COROLLAIRE i. Lorsque n est pair, les diverses valeurs que le nombre entier k peut recevoir, sans soi tir des Iimites o, —, sont respectivement n—2 — - —

Pour chacune de ces valeurs de k, la formule (3) fournit en general deux valeurs imaginaires conjuguees de Texpression ((1))* > c'est - a - dire , deux racines imaginaires de Tunite con juguees et du degi 3 n. Seuiement, on trouve, pour ^ = o , une racme reelle - • - 1 , et, pour # = —, une autre racine rcelle

200

COURS D'ANALYSE.

— I . En resume, lorsque n est pair, l'expression

admet deux valeurs reelles, savoir, -*- i ,

— i ,

avec n — 2 valeurs imaginaires conjuguees deux k deux, savoir f IT

cos.

*

2T

n 4 4^

Y

y . cos. — ---H Hii // — isin isin.

\

2T

\ry — ism.

, cos. n J 4T 4T

y

.

2T

~ y —ism. n AT AT

cos , cos.

r

, »

. y 4* —iissiin . yy—

(n—-ipr . (n—2)T (n—2)T . fn—2)T cos. -^ hi/—1 sin. • . cos. • — r/ — 1 sm. .

n

n

*

n

n

Le nombre total de ces valeurs reelles ou imaginaires est egal a n. Supposons, par exemplet ft = 2. On trouvera qu'il existe deux valeurs de Texpression

011, ce qia revient au meme, deux valeurs de x propres a verifier 1'equation

ft que crs valeurs, toutes deux reelles, sont respec* Uvement H-

i ,

— 1.

I.11 PARTIE. CHAP. VII.

201

Supposons encore rc=4- On trouvera qu'il existe quatre valeurs de 1'expression

c u , ce qui revient au meme, quatre valeurs de x propres a verifier I'equation x* =

i.

Parmi ces quatre valeurs, deux sont reelles, savoir, — i .

- H I ,

Les deux autres sont imaginaires, et respectivement egales la premiere a COS.

T

y

.

5. —- -H Y ~" '

sm

y—

If

= -H y — i ,

«

ta seconde a IT

— cos. —2

Y *

— i sin. — rr — t/— .2

W

i.

2.' Lorsque n est impair, les diverses valeurs que le nombre entier k peut rece* voir, sans sortir des limites o , —, sont respectiCOROLLAIRE

vement o, Pour chacune de ces valeurs de k, la formule (3) fournit en general deux valeurs imaginaires conjuguees de Texpression ((i))n> c'est - a - dire, deux racines imaginaires de l'unite conjuguees et du

202

COURS

D'ANALYSE.

degre n. Seufement, on trouve, pour k = o, une racine unique et reelle, savoir, -*- x. En resume, lorsque n cst impair, Texpression «<))•

admet, avec la seule valeur reelle n—i valeurs imaginaires conjuguees deuxi deux, savoir, z 7T

(5)

y

z yi

z //

cos.

hy-1sin.

. cos.

cos. —

H y — i sin. -=—, cos. — OLV/.

(n—I)T

cos.

n

.

.

— h v — i sin.

(n—T)T

n

.

an

,

y—isxn.

f

. . .

(w—-I)TT

, cos.

y

] / — ism.

w

.

.

—v —i « i n -

(n—-IV

n

Le nombre total de ces valeurs reelles ou imaginaires est egal a n. Supposons, par exemple, n = 3. On trouvera qiril existe trois valeurs de Texpression

ou, ce qui revient au meme, trois valeurs de x propres a verifier Tequation — i;

et que ces valeurs, dont une est reelle, sont re&pectivement

I." PARTIE. CHAP. VIL

2T

eos.

y

K

3

% T

.IT

h-i/—i sin.

/

, cos. 3 ' 3

203

.

2

V —» sin.

Y

t

. 3

De plus, le cote de I'hexagone etant, comme on sait, egal au rayon, et ie supplement de Tare soustendu par ce cote ayant pour mesure obtiendra facilement les equations

, on

IT

cos. — ~T- — — — ~ ,' sin. 3

=

cn vertu desquelles les valeurs imaginaires de Texpression ((i))i se reduisent a

jS n designant un nombre entier quelconque, le nombre des valeurs soit reelles, soit COROLLAJRE

i

imaginaires, de Texpression ((i))"» ou t ce qui revient au meme, le nombre des valeurs de x, propres a verifier 1'equation xn = i , restera toujours egaf a n. 2.e P R O B L E M E . Trouver les diverses valeurs reelles ou imaginaires de I'expression

Les nombres m et n etant supposes premiers entre eux7 on aura, d'apres la definition SOLUTION.

m

naeme de Texpression ((i)) n ,

204

COURS D'ANALYSE.

((•))'= [((•))•]"; puis, en remettant pour ((i))" sa valeur generate tiree de I'equation (3), on trouvera ((i))"=[cos. —j—=b j / - . «n. -^—J

,

et par suite, (6) Pour deduire de cette derniere formule toutes les m

valeurs de ((i))", il ne reste qu'a donner successivement a k toutes les valeurs entieres comprises entre o et ^ . Soient k\ k" deux de ces valeurs supposees inegales. Je dis que les cosinus cos.

m.i

k 7T

,

cos.

m.i

k

T

seront necessairement differens Tun de Fautre. En effet j ces cosinus ne pourraient devenir egaux que clans Ie cas ou les arcs qui leur correspondent seraient lies entre eux par une equation de la forme m.i

h designant un nombreentier. Or on tire de cette equation T _

*n(±k'±k") n

li faudrait done, puisquc m est premier a n, que

I / 1 PARTIE. CHAP. VII.

205

dzk'±:k" fut divisible par n; ce qu'on ne saurait admettre, attendu que, les nombres k', k" etant inegaux, et chacun d'eux ne pouvant surpasser \np leur somme ou difference est necessairement infe* rieure a n. Ainsi, deux valeurs differentes de k comprises entre les limites o et ^ fournissent deux valeurs differentes de cos. •

m.2

krt

.

it,

On conclut aisement de cette remarque, que les 771

valeurs reelies ou imaginaires de I'expression ((i))n donnees par fequation (6) sont en meme nombre que les valeurs reelies ou imaginaires de ((i))" determinees par Tequation (3). De plus, comme on a evidemment

[

cos.

m . 2 kw

n

,

±

y

T/— I

*

.

sin.

m . 2 k TT 1

n

n

J

= cos. m. zkvr dtz ] / — 1 sin. m. zkic

— 17

m

il en resulte que toute valeur de ((1))n est une expression reelle ou imaginaire dont la puissance n equivaut a Tunite, par consequent f une valeur de ))". Ces observations conduisent a la formule

dans laquelle le signe = indique seulement que Tune des valeurs du premier membre est toujours egaie a Tune des valeurs du second.

206 COURS D'ANALYSE. 3 / PROBLEME. Trouver les diverses valeurs reelles ou tmaginaires de Vexpression

SOLUTION. On aura, d'apres la definition des puissances negatives,

puis, en remettant pour ((i))" sa valeur generale tiree de Tequation ( 6 ) , et ayant egard a la formule (p) du paragraphe precedent, (8)

((I))

rrcos. —^p-qr / - , sm.-—^—.

II suit de cette derniere equation que les diverses m

valeurs de (( i))

" sont les memes que celles de ^

m

n

((i)) , et par consequent egales a celles de ((i))" On a done

(9)

W"" = W"»

Ie signe = devant etre interprets comme dans Fequation (7). COROLLAIRE.

donnera

Si Ton fait m= 1, la formule (9)

I.R* PARTIE. CHAP. VII.

207

Supposons maintenant que Ton cherche Ies racines et puissances fractionnaires non plus de Funite, mais de la quantite — i. Les racines n.m" de cette quantite, ou, ce qui revient au meme, ses puissances du degre -^-, seront les diverses valeurs de Fexpression

ct de meme, Ies puissances fractionnaires de — 19 positives ou negatives , du degre -^-, ou —f seront Ies diverses valeurs de

En consequence, pour determiner ces racineset ces puissances, il suffira de resoudre Tun apres 1'autre les trois nouveaux problemes que je vais enoncer. 4.e P R O B L E M E . Trouver les diverses valeurs reelles ou imaginaires de I'expression ( ( - » » • •

SOLUTION.

Soit

X == r ( cos. t H- -j/^7 sin. t}

Tune de ces valeurs, r designant une quantite positive, et t un arc reel. On aura, d'apres la definition meme de Texpression ((— i)) n , (II)

xn = -

i ,

ou, ce qui revient au meme, rn [ cos* nt -H }/—i sin. n

208

COURS D'ANALYSE.

On tirera de cette derniere equation [ a Faide du theoreme i.", § . 2 ] =

1,

cos. nt -t- ]/— 1 sin. nt~

—I,

et par suite , r =

1,

cos.wf=:— I , siiuw£=O, W^=zt (2 n

'

A: representant un nombre entier quelconque. Les quantites r et t etant ainsi determinees, les diTerses valeurs de x propres a verifier Tequation (i i) se trouveront evidemment comprises dans la formule (12)

^ = cos. -i

—=

En d'autres termes, les diverses valeurs de ((— i)) seront donnees par Tequation

Soit maintenant h le nombre entier Ie plus rappro* z che du rapport >z ^ l . La difference entre les deux nombres h , "^ K sera evidemment une fraction de numerateur impair, inferieure ou tout au plus egaie a -j-; en sorte qu'on aura

I.RE PARTIE. CHAP. VII.

209

2 k' -f- i designant un nombre impair egal ou inferieur a n. On en conclura —

cos.

j*

ii>

i%

—~

—— =fc i/—i sin. w

n = cos. —

— zh y—\ sin. r

n

Par consequent toutes les vaieurs de ((— i)) n seront comprises dans la formule cos.

d r y - i sin.

si Ton y suppose i k '-h i renferme entre les Iimites o , n; ou, ce qui revient au meme, dans la formule (13), si Ton y suppose 2&-HI renferme entre les memes Iimites. IRE i.er Lorsque n est pair, les di verses vaieurs que 2 k -+- 1 peut recevoir, sans sortir des Iimites o, n, sont respectivement COROLLA

1, 3 , 5 ,

n — 1.

Pour chacune de ces vaieurs de 2 ^ + 1 , la formule (13) fournit toujours deux vaieurs imaginaires conjuguees de I'expression ((— 1))" . Par suite, cette expression, dans le cas que nous considerons TOM. l .

o

cotins D'ANALYSE. ici, n'admet point de valeurs i eelles, mais seulcment n valeurs imaginaires conjuguees deux a deux, savoir: 7T

.

cos.

(•4)

.

,

COS.

T

7T

n

H i/—i sin. — , corf. Y n 7 n

n

H 1/ — i sin. — , cos. Y n 7 n

2

&C. . . . 7^

IT

.

T/—i r

sin. ?— n

&C. • . •

(tl—\)T

cos.-

y

i / —• sin. — Y n

y__^_

fw—l)T

("n— I I T

n

n

—f-v— ism.-

—, cos.^

:

.

,

(«-

/—i sm.^

n

Supposons, par exemple, w = 2. On trouvera i

qu'il existe deux valeurs de Fexpression ((— i))% ou, ce qui revient au meine, deux valeurs de x propres a verifier I'equation — — i

et que ces valeurs, toutes deux imaginaires, sont respectivement 7T

>

.

7T

cos. — -+- y — i sin. — 2

cos.

w

x

y — i sin. — = — y — i .

Supposons encore ft — 4- On verra qu'il existe quatre valeurs de J'expression ((— I )) * , ou , en d'autres termes, quatre valeurs de x propres a verifkr Tequation

I.RI PARTIE. CHAP. VII.

511

fit que ces quatre valeurs sont comprises dans les deux formules cos. —— zr: y^-i

4

cos.

'

z: y - i

4

'

sm, ——

4

sin.

—-

4

ou, ce qui revient au meme, dans la seule formule —• =b y — i sin. - f 4 4

Comme on a d'ailleurs cos. —- = —

sin. —

Jin.

4 4 on trouvera definitivement

—

=

/

Vl

2*

CoROLLAlRE 2.' Lorsque n est impair, les diverses valeurs que 2^-hi peut recevoir sans sortir des limites o e t w ; sont respectivement 1,3,5,

n—

2,n.

Pour chacune de ces valeurs de 2 ^ + 1 , la formule (13) fournit en general deux valeurs imagi1

naires conjuguees de Pexpression ((—• 1))", * c'est-adire, deux racincs imaginaires de — 1 conjuguees et du degre n. Setiiement on trouve, pour 2k-+-i=:n, une racine unique et reelle, savoir, — 1. En resume, lorsque n est impair, Texprassion ((—i))71 admet, avec la seule valeur reelle o

COURS D ANALYSE. n—i

valeurs imaginaires conjuguees deux a deux, savoir, H y — i sin. — ,

cos. 7J

7%

'

T

cos.

j/—i sin. — ^ Ti

71

cos. - - / - >

(•$)

sin.-

&C. . . .

&C.. . • (n— 2)x

.

(n—2)T

cos.

Le nombre total de ces valeurs reelles ou imaginaires est egal a n. Supposons, par exemple, ^ = 3. On trouvera qu'il existe ti ois valeurs de l'expi ession ((— 1))5 , ou, ce qui revient au meme , trois valeurs de x propres a verifier Tequation et que ces valeurs, dont une est reelle, sont respectivement —

1 ,

h y —1 sin. — zrr

cos. 3

w

3

1 *

t/—1 sin. — n -

cos. 3

r

3

2

— -i/— i

%

*

Y

i-^-

i/—^ "

2

^

j / ^ designant un nombre entier quelconque, le nombre des valeurs, soit reellesr COROLLAIRE

1

soit imaginaires, de I'expression ((— i))", ou, ce qui

I. w PARTIE. CHAP. VII.

213

revient au meme , le nombre des valeurs de x propres a verifier I'equatiori xr = — i, restera toujours egal a n. 5.e PROBLEME. Trouver les diverses valeurs reelles ou imaginaires de I'expression

SOLUTION. Les nombres m etn etant supposes premiers entre eux, on aura, d'apres la definition m

m&ne de I'expression ((— i ) ) n ,

I

puis, en remettant pour ((— i))n sa valeur generale tiree de Tequation (13), on trouvera (16)

((-l)) - =cos.

\

Pour deduire de cette derniere formule toutes Ies m

valeurs de ((—1))n, il ne reste qu'a donner successivement a zk-h 1 toutes Ies valeurs entieres et impaires comprises entre o et n. Soient 2 k' -h- 1 , 2 F + 1 , deux de ces valeurs supposees inegales. Je dis que Ies cosinus cos.

m (z k'-\-

1) T

, cos.

m (2 k"-h

1) ir

,

seront necessaireraent differens Tun de I'autre. En cffet, ces cosinus ne pourraient devenir ©gaux que

5214

COURS D'ANALYSB.

dans^Ie cas ou les arcs qui Ieur correspondent seraient lies entre eux par une equation deja forme

// designant un nombre entier. O r , on tire de cette equation

*. _

L

*

II faudrait done, puisquc m est premier a n, que Ie nombre entier ±(.2

kf-\-

T )±(?.

/-"-f- i )

fut divisible par n; ce qu'on nc saurait admettrc* attendu quc, les nombres 2/c'-*- 1 , 2^"-h 1 etant ineganx, et chactin d'eux ne pouvant surpasser ??, Ieur demi-somme, ct a plus forte raison Ieur demidifierence, est neccssairemelit inferieure a r. Ainsi deux valeurs differentes de 2.k-^\ comprises entre Ics limites o ct n fournisscnt deux valeurs differentes dc cos.

m ( 2 k -+- 1 ) 7T

.

On conclut aiscment de cette remarque que Ics va* TV

fours recllcs on imaginaircs dc IVxprcssion ((—i))B donnecs par I'eqiiation (16) sont an nombre de ??, eominc cellcs de ((1))H ct de ((— 1 )) ' . D c plus * commc on a evidemment

I."" PARTIE. CHAP. VII. cos. —

n

—- dr i/—i sin. — y

n

215 -— J

= cos. m(2.k-+- I)TT ± |/^Tsin. W (2 A"-H I)TT = (-l)«==fcl,

il en resulte quo toute valeux* de ((—i))" estame expression reelle ou imaginaire dont la puissance n.me equivaut a ±: i , par consequent, une valeur de 1

1

n

n

((1 )) ou de ((— 1)) i'equation

Cette remarque conduit a

toutes les fois que (—i) m = i , c'est-a-dire, toutcs les fois que m est un nombre pair; et a la suivante

(•8)

((-))" = ((-))"-

lorsque ( — i ) w = — i , c'est-a-dire, lorsque m est un nombre impair. Ajoutons que Ton peut comprendre ies equations (iy) et (18) dans une sculc formule, en ecrivant

6.e PROBLEME. Trouver les diverses valeur* reelles ou imagincures de I'expression

SOLUTION. On aura, d'apres la definition di s puissances negatives ,

216

COURS D'ANALYSE.

puis, en remettant pour ((— i)) n sa valeur generate tii ee de Fequation ( 1 6 ) , et ayant egard a la formule (9) du paragraphe precedent, (20)

((-l))

=cos.

+ /

n

- sin.

II suit de cette clerniere equation que les diverses rr

valeurs de ((— 1))

n

sont les memes que celles de

TO

^1))"

On aura en consequence

(21)

((— 1)) " = ((1))", si m est pair, et

(22)

((— 1))

m

1

" =1 ((— 1)) n , si m est impair.

A la place des deux formules qui precedent, on peut se contenter d'ecrire la suivante ,

(hOf " = (( (COROLLA

IRE.

Si Ton fait m = 1, la formule

(23) donncra ((-1))"" =

((-

En terminant ce paragraphe, nous ferons remarquer que les equations (3), (6), (8), (13), (16) et (20), a I'aide desquelles on determine les valeurs des expressions

I.BE PARTIE. CHAP. VII.

217

((-0)% ((-'))"> ((-OP. peuvent etre remplacees par deux formules. En effet, si Ton designe par a une quantite positive ou negative dont la valeur numerique soit fractionnaire, la valeur de ((i))* determinee par {'equation (3), (6) ou (8) sera evidemment (25)

((l))" = c o s . z

tandis que la valeur de ((— 1 ))* determinee par Inequation (13), (16) ou (20) sera (26)

((— I ))^=rcos.(2X:-+-1 yzvrdzy/^

sin.(2^-+-1 )a7C.

Dans Ies deux formules precedentes, Ton peut prenclre pour k un nombre en tier quelconque.

5. 4.c Sur Ies Ratines cles expressio?is imaginaircs, et mr leurs Puissances fractionncrires et irrationnelles.

Soit une expression imaginaire quelconque. On pourra toujours trouver [ voyez le §. 2 ] une valeur positive de f et une infinite de valeurs reclles de 8 propres a verifier {'equation (1)

ct-t- £}/^

=f(cos. 9 -H }/—1 sin. 6);

218

COLRS

D'ANALYSE.

Cela pose, concevons que Ton designe par in et n deux nombres entiers premiers entre eux. Si Ton fait usage des notations adoptees dans Ie premier paragraphe, les racines n.mcs de l'expression ct-+-£ y/-i, uu, ce qui revient au meme , ses puissances du degre — seront les diverses valeurs de

et de meme , les puissances fractionnaires de
positives ou negatives, du degre -^-, ou

— — , seront les diverses valeurs de

Eii consequence, pour determiner ces racines et ces puissances, il suflira de resoudre Tun apres 1'autre les trois problemes suivans : l. er PROBLEME. Trouver les diverses valeurs dc Vexpression

SOLUTION.

Soit

,r = r (cos. t-+- |/— i sin. t)

Tune de ces valeurs, r designant une quantite po* sitive, ct t un arc reel. On aura, d'apres la defini* i

tion meme dc Pexpression ( ( C C - H £ J / ~ ) ) ", (i)

.r* — ct -t- £ y~\ — f ( cos. 6 -+> /-^7 sin. 9) .

I.*E PARTIE. CHAP. VII.

5>19

ou , ce qui revient au meme, r"[cos. W?-H|/—i sin. nt~\ z=zj> [cos. 9-+-)/— i sin. 9 ] .

On tirera de cette derniere equation [a I'aide du i .er theoreme, §. 2 ]

s. n t-±- j/^Tsin. nt = cos. 9 -H |/— 1 sin. 0 , cos.

et par suite

r=f\ cos.nt=

cos.9, sin.W^= sin.9 , «/'== 9 i t

^ representant un nombre enticr queiconque. Les quantites r et t etant ainsi determinees, les diverses valeurs de x propres a verifier {'equation (1) seront evidemment comprises dans la formule if QzhiLT . ( ± i h l /— X = P n cos. 1- y — 1 sin. ^= P " cos.

h / - i sin. —

cos.

± y — \ sin.

ou, ce qui revient au mcmc, dans la suivante,

(3) ^ = / En d'autres tcrmes, {'expression ((ct-+- £ j/"" 1 )) * 1

aussi bien que ((1))n, admcttra ;; valours difiercntes determinees par IVquation

220

COURS D'ANALYSE.

(4) COROLLAIRE i.

er

Supposons n = 2. On trouvera qu'il existe deux valeurs de Fexpression

ou, ce qui revient au meme , deux valeurs de x propres a verifier Tequation JCl := oL-H t ] / — i = p(cos. 0 -+- j / — i SID. 0) ,

et que ces deux valeurs sont comprises dans Iaformule —/

2

( cos-

*~ | / ^ s i n . — J.

2/ Supposons encore 72 = 3. On trouvera qu'il existe trois valeurs de Texpression COROLLAIRE

ou , ce qui revient au meme , trois valeurs de x propres a verifier fequation X1

=

et que ces trois valeurs sont respectivement

^ fcos. — -+-)/—1 sin. — J Tcos. — - f - ^ / ^ s i n . — J

f > [^cos. — -H j / - i sin. —J I cos.

y-ism.

—I

— J,

I.*E PARTIE. CHAP. VII. COROLLAIRJS

221

j / Supposons enfin n = 4-On

trouvera qu'il existe quatre valeurs de Fexpression

ou, ce qui revient au meme, quatre valeurs de x propres a verifier 1'equation X* = <&-*-£> j/—i =j> (cos. 0 H- ]/— i sin. 0) ,

et que ces quatre valeurs sont comprises dans les deux formules

2.e PROBLEME. Trouver les diverses valeurs de Iexpression

Les nombres m et n etant supposes premiers entre eux, on aura, d'apres la definition SOLUTION.

m

meme de I'expression ((A-H £J/— I ))",

puis, en remettant pour ((
=? - H / « sm

222

COURS er

i.

COROLLA/RE

D'ANALYSE.

Si dans lequation ( 5 ) on

m

remet pour ((i))" sa valeur tiree de k formule (6) [5* 3 > e ] ' o n obtiendra la suivante, (6)

((

3. e PROBLEME. Trouver les diverses valeurs cle V expression

On aura, d'apres la definition meme des puissances negatives, SOLUTION.

puis, en remettant pour ((ct-t-^/ZT))" sa valeur tiree de lequation ( 6 ) , et ayant egard a la formule (17) du deuxieme paragraphe, on trouvera

1.* ^ v -) -«=„-" [cos. - a * ^ ) _ , / - sin. 2 t e ^ ) 1 L

n

v

n

J

ou , en d'autres termes,

E i.er Si Ton fait m—\, [equation (7) donnera — ;«>

"

=

J5

" cos. L »

r

1/^7 sin. — n

I.R" PART1E. CHAP. VII.

223

Apres avoir fixe , comme on vient de le faire > les diverses valeurs des quatre expressions

on reconnaitra sans peine que les equations (5), (8) et (7), a l'aide desquelles on determine ces valeurs, peuvent eti e remplaeees par une seule formule. Si Ton represente par a une quantite positive ou negative dont la valeur numerique soit fractionnaire, la formule dont il s'agit sera

Dans les calculs qui precedent, j> designe toujours le module de Fexpression imaginaire CL-H^J/-^, c'est-a-dire , la quantite positive j/(oi 2 -t-£ ? ), et 9 Tun quelconque des arcs propres a verifier liquation (1) y ou, ce qui revient au memc , les equations (4) du deuxieme paragraphe, savoir, cos. 0 = sin. 8 =

Eii divisant ces deux derxiieres Tune par I'autre, on en conclura (n)

tang. 6 =

—.

Par suite, si Ton nomme
224

COURS D'ANALYSE.

tion faite du signe, qui ait pour tangente —, ou, en d'autres termes, si Ton fait (12)

£ = arc tang. — ,

on trouvera (13)

tang. 0 = tang.

Cela pose, H deviendra facile d'introduire au Keu de Fare 9, dans les diverses formules rapportees plus haut, Tare ?, dont la valeur est compietement determinee. On y parviendra en effet par les considerations suivantes. Les arcs 0 et ?, ayant la meme tangente, auront aussi, abstraction faite du signe, le meme sinus et le meme cosinus; et comme d'ailleurs ['equation(13) peut se mettre sous la forme cos.

il est clair que pour y satisfaire, on devra poser en meme temps ou (i 4)

cos. 0 = cos. Q , sin. 0 = sin. Q t

ou bien (i^)

cos. 0 = —cos. Q,

sin.0=: — sin r.

De plus, la valeur de cos. 0 determined par la premiere des equations (10) etant evidemment de meme signe que cc, tandis que Tare ^ compris entre les limites — y , "^ T"'

a

tou ours

J

un

cosinus

I." PARTIE. CHAP. VII.

225

positif, il en resulte que des equations (14) et (15) les deux premieres subsisteront, si CL est positif, et les deux dernieres, si a, est negatif. Voyons maintenant a quoi se reduisent dans ces deux hypotheses les formules (i) et (9). Si d'abord on suppose
S.= (.

(.6)

Lorsqu'on fait usage de cette valeur, les formules(i) et (9) deviennent respectivement (17) (18)

ct-H^j/— 1 =f

(cos. £ -4-]/—i sin.

((ctH-C/^7)y=/(cos.a(^/^sin.^

Si Ton suppose en second iieu CL negatif, les equations ( i o) pourront etre remplacees par les equations (15), desquelles on deduira, entre autres valeurs de 0,

(,,)

e = £ + -Tz.

Par suite, on pourra, dans cette hypothese, aux formules (1) et (9) substituer celles qui suivent, (20)

= j9fl (cos.o^-H/rTsm.aO (cos.aT-i-y'ZTsin.aT) ((i))*.

Si Ton fait en particulier * -+- C y^l = — i , c'estTOM. 1 .

P

226

courts D'ANALYSE.

a-dire, ct — — i , £ = o , on trouvera £ = arc tang. \~T\j ~ ° » et la formule (21) deviendra (22)

((— 1 ))a = (cos. aic -*- y~\ sin. avr) ((1 ))*.

II en resulte qu on aura generalement dans rhypothese admise (23)

( ( c C - 4 - C / - ) ) " = / ( c o s . « ^ / - s i n . « ( ) ((-I))'.

Eii reunissant aux formules ( 1 7 ) , ( J 8 ) , ( 2 0 ) et (23) les equations (25) et (26) du 3 / paragraphe, on obtiendra definitivement ies conclusions suivantes. Soit CL-^C j / - 1 ^ une expression imaginaire quelconque, a une quantite positive ou negative dont ia valeur numerique soit fractionnaire , et k un nombre entier choisi arbitrair£ment. Si Ton fait, de plus, ( 2 4)

/ = /(**-«-€ a ), (=

arc tang. -1 f

on aura, pour des valeurs positives de ct, cos.

(25) = cos. 2£a7T =fc | / ^ 7 sin. z pour des valeurs negatives de ct,

I." PARTIE. CHAP. VII. -/-1 =

227

—f(cos.

(26)

On doit ajouter que, si Ton designe par n Ie denominateur de la fraction la plus simple qui represente la valeur numerique de a, n sera precisement Ie nombre des valeurs distinctes de chacune des expressions

(('))% «-'))% ((*-€/-))'; et que, pour deduire ces memes valeurs des formules (25) et (26), il suffira dV substituer successivement, au lieu de 2 k et de 2 k -+-1 , tous les nombres entiers qui ne sortent pas des limites o et 71.

Si la valeur numerique de a devenait irrationnelle, chacune des expressions reduites cos. 2 k air zh j/—1 sin. 2 ka 7T , cos. (2A--+-I.fl7r)± / ^ sin.

aurait un nombre indefini de valeurs correspondantes aux diverses valeurs entieres de k; et, par suite, on ne pourrait plus admettre dans Ie calcul les notations

((0)% ((-0)% a moins de considerer chacune d'elles comme propre a representer une infinite depressions imaginaires

228

COURS ^'ANALYSE.

distinctes les unes des autres. Pour eviter cet inconvenient , nous n'emploierons jamais les notations dont il s'agit que dans le cas ou la vaieur numerique de a sera fractionnaire. Parmi les diverses valeurs de .((i))% il en est une toujours reeile et positive, savoir, -+- i , que Ton indique par la notation (i)* ou \a, en faisant usage de parentheses simples, ou meme les supprimant entierement. Si Ton substitue cette vaieur particuliere de ((i))* dans la seconde des equations on obtiendra une vaieur correspondante de

que 1'analogie nous porte a indiquer, a I'aide de parentheses simples, par la notation

Cest ce que nous ferons desormais. Par suite, on aura, en supposant ct positif, et les quantites f, ^determinees par les equations (24), (27)

(C«H-C/=T)* = /

(cos. a£-*- y~i

sin.

Cette derniere equation ayant lieu toutes les fois que la vaieur numerique de a est entiere ou frac* tionnaire, Fanalogie nous conduit encore a la considerer comme vraie dans le cas ou cette vaieur numerique devient irrationnelle. En consequence, nous conviendrons de designer par

I,11 PARTIE. CHAP. VII.

229

u

Ie produit f [cos. a? -+- j / - ^ sin. a? ] , dans le cas ou CL sera positif, quelle que soit la valeur reelle attribute a la quantite a. En d'autres termes, si Ton designe par £ un arc compris entre Ies iimites 1

——, H

j on aura, quel que soit a,

[f (cos. £-t- •j/^Tsin.(^)]fl —^57(cos. «(^-4-i/~ sin. Si dans Tequation precedente on fait f = i , elle deviendra (28)

(cos. ^ H - / - i sin.(^y = cos.^H-|/—1 sin.tfQ.

Cette derniere formule est entierement semblabie aux equations (10) et (14) du 2.e paragraphe, avec cette seule difference qu'elle subsiste uniquement pour des valeurs de (^comprises entre Ies liraites — —, H- ^-, tandis que les equations dont il s'agit s'etendent a des valeurs quelconques de 0. Lorsque la quantite CL devient negative, on ne voit plus, meme en supposant fractionnah e la valeur numerique de a, quelle est celle des valeurs de Texpresfcion ((CCH-C]/-1^))4 que Ton pourrait distinguer des autres et designer par la notation (en- €/=T)fl.

Mais alors, — ct etant une quantite positive, il est facile d'etablir, pour des videurs quelconques de a, la formule (29)

(—ct— Gy^)* =fa (cos.a£•+-y~\ sin.a?).

230

COURS

D'ANALYSE.

Nous terminerons ce paragraphe en faisant observer que, dans le cas ou la valeur numerique de a devient fractionnaire , les formules (27) et (29) reduisent les equations (18) et ( 2 3 ) a celles qui suivent, (30) (31 Tequation (30) ayant lieu seulement pour des valeurs positives de la quantite CL , et requation (31) pour des valeurs negatives de la meme quantite.

5. 5.c Applications des principes etnblis dans les paragraphes precedens. Nous allons appliquer les principes etablis dans les precedens paragraphes a la resolution de trois problemes sur les sinus et cosinus. l. er PROBLEME. Transformer sin. mz et cos. mz (m designant tin nombre enlier qnclconque) en un polynome ordonne suivant les puissances ascendantes ot enlieres de sin. z, ou du moins en un produit forme par la multiplication d'un semblable polynome et de cos z. SOLUTION. Lorsque dans les equations (12) du 2 / paragraphe on remplace les puissances paires de cos. z par des puissances entieres de 1 — sin.2:;, ces equations deviennent, pour des valeurs paires d c ?;? 9

I."' PARTIE. CHAP. VII. co9. mz = I — sin. z)

—

231 *""**

(l — sin.1 z) *

^

n—4

(m—i) (w—2) (m—3)

— ( l — sin.%z)~sin*Z—.L&C... sin. mz

cos. £

=

m

—2

r •». m

t

/

•

i

\

— ^ I — sin. Z ) 2 ( —sin. z

sin. Z ...

;

m(m—i) (m—2)

e t , pour des valeurs impaires de m, cos. mz

=

m—1

cos. Z U I— sin. zj

^

^f — s i n . \ s ) Sin

•...,.4 m—1 m—1 "•»* /

.

t

\

-^1—sin. zj H- &C

* ^)

•' sin. mz — f

,

N r

* «n.-5 — & C . . . L

-v

772 \ 171—-! J (7?Zr— 2J /

* sin.s—

* sin.£

.

*

\

^1—sin. Zj

Si Ton developpe les seconds membres des quatre formules precedentes, ou du moins les coefficiens de cos.z dans ces seconds membres, en polynomes ordonnes suivant les puissances ascendantes et entieres de sin.£, on trouvera, pour des valeurs paires de m, cos. m Z =

I

m f m—T 1 \ . x ( H — ) sin. Z 1 \ 1 zj 3 . 3-

1.3

f m

.

sin.7W^ = cos.^ — s i n . ^

m(m— 2) /m—i !i

(

j \ .

3

--+=•- jsin. Z

- 2 ) (m-j) ^(m~iX^-3) ^ m - l $ . ^3> •„ 5 _ _

-.4

A #Ji

2

^/

1

J

232

COURS D'ANALYSE,

et, pour des valeurs impaires de m, r

cos. mz

z=. cos. £

772— I

I

f 77* _

—(

22

2

24/

, J

m . m[m—1) /wz—2 sin. 7W Z — — s m . ^ — — (

—

•

-4- — - )sin. Z-*&C.

^ ^ -42.4

t \

H — J sin. Z

3\ . 3^ H — ) sin. Z

/vT IVti •

•

•

\

Les equations (i) et (2) comprennent evidemment la solution de la question proposee. II ne reste plus qu'a les presenter sous la forme la plus simple. Pour y parvenir, il suffira d'observer que le coefficient de chaque puissance entiere de sin. z renferme ge* neralement une somme de fractions a laquelle lequation (5) du chapitre IV [§. 3] permet de substituer une fraction unique. Par suite de cette reduction, les developpemens de cos.mz et de sin./w£ deviendront, pour des valeurs paires de m p cos. m ^ = I

— sin. Z -H

sin Z

1*2

1.2.5.4

.2.3.4.5.6 sin. ; ; ^ = cos. z -

— sin. z

(^4-4) (w+i) m (m-2) (m-4)

.

—

• sin. £

5 ^

.

et, 'pour des valeurs impaires de in,

I."-PARTIE. CBAP. VII. I — —

—

233 -Sin.* Z

1.2

(j) H 1,2.3.4 m

sin. tnZ =

„

( m + 1 ) 7W (m— 1)

— sin. Z —

—

.

5

sm.' z

1.2.3

1

1.2.3.4.5

COROLLAIRE

i/r Si dans {'equation (3) on fait

successivement m =: 2 ,

m =

4 > 772 = 6 ,

&C, • . . ,

on obtiendra les suivantes cos. 2 S =

I — 2 sin. 1 £ >

cos. 4-Z — I — 8 sin. 1 ^ -H 8 sin.

Z ,

&C

COROLLAIRE

2.e Si dans Tequation (6) on fait

successivement m =

1 ,

7/1 =

3,

7?^ =

5 , &c

f

on en tirera sin. Z 3— sin. Z s in J z

in. 3 ^ = 3 sin. Z — 4 ' * sin

(8)

in. 5 Z = sin

>

5 sin. 5 — 2 0 sin. 3 Z -f- I 6 sin.5

234

COUKS D'ANALYSE.

2.e

Transformer sin. mz et cos.mz

PROBLEME.

(vi designant un nombre entier quelconque J en unpolynome ordonne suivant lespuissances ascendantes et entieres de cos.z, ou du moins en un produit forme par la multiplication d'un semblable pohjnome et de sin, z. Pour obtenir les formtiles qui resolvent la question prbposee, i\ suffit de remplacer, dans les equations ( 3 ) , ( 4 ) , (5) et ( 6 ) , z par SOLUTION.

z, et d'observer en outre qu'on a, pour des valeurs paires de m, cos. f

mz) = ^— 1 ) - cos. mz,

sin. (—

mz\

= (— I ) -

sin. VIZ ;

et, pour des valeurs impaires de m , cos. 1--

mz) = ^— 1J-7- sm. m^ ^ mz ) = ^— 1 )~T" cos. m^.

On trouvera de cette manicre, si m est un nombre pair, m

f

m.

m-x) cos

(9)

77Z—f-2 j W . Til

1 .2.3.4 j.6

) ('"—4) cos. ^ ^

m

sin 7W,3=zsin

(-i)

cos.^-

>) \-~

i.a.j.

4.;

fm-4)

' m-i

1.2.

COS. /^J —

3

•cos.55

I." PARTIE. CHAP. VII.

235

et, si m est un nombre impair, —l)~T~ sin.mz = s i n . ^

I—

rm+\) (m—i) (m—fl

—

cos. Z

+^

«

"|

COS.

1.2.3.4

(— I ) ~T~ c o s . 772,3 =

cos. Z

— cos.>3 3 e

COS.

1.2.3.4.5

5 . /*t ~~~~

i.'r Si dans la formule (9) on fait

COROLLAIRE

successivement m = 2 , /^ = 4 , w = 6 , &c.... , on obtiendra I^s suivantes — cos. 2 3 = : 1 — 2 cos.*

,

cos. L±Z = I — 8 cos.* J3 -4- 8 cos. £*,

('3) — cos. 6z = I — l 8cos/,3+-48cos.*£—3 2co$

2/ Si dans Tequation (12) on fait

COROLLA/RE

successivement m = 1, w= ^ , m= 5 , on en conclura COS. 3

(•4)

=

— cos. 7 Z = COS.. ^ 3 =

COS. ^

^ cos. 3 — 4 < COS. v

cos

* Z f

2 O C O S . 3 ^ - 4 - I O COS. v ^

236

COURS D'ANALYSE. e

3. PROBLEME. Exprimer les puissances entieres de sin. z et de cos. z en fonction lineaire des sinus et cosinus des arcs z, iz, 3 z, &c. SOLUTION. On resout facilement ce probleme, en ay ant egard aux proprietes des deux expressions imaginaires conjuguees cos. z -+- |/—i sin.C }

cos. Z — ] / — i sin.Z.

Si Ton designe la premiere par u, et la seconde par v, on aura 2 COS. Z — U -+- V

2. sin. z |/—i = W — f.

En eievant les deux membres de chacune des equations precedentes a la puissance entiere du degre m, les divisant ensuite par 2 ou par 2 j / — i, puis effectuant les reductions indiquees par les formules ii v — i , z= cos. n Z ,

- = - = sin. 11Z

'

2

/I

dont les deux dernieres subsistent pour des valeurs entieres quelconques de n, on trouvera, si m represente un nombre pair , m

m

cos.

Z = cos. 711 Z H

/ ' \ cos.f?^ — 2 . 3 j

(m — i) !i

1.2

c o s .. (;?*— A . - J - H & C . . .

;

I." PARTIE. CHAP. VII.

237

sin.mz = cos. mz — — cos. (m—2.z)

(— i) * 2

(.6),

cos. (m— 4* z )—

,z

1.2.5..,-

et, si m represente un nombre impair, rr

2

m

c o s . m^^ = c o s . mz m z - H — cos. [ m — 2 . z )

('7)

cos. (m — 4.

I. 2

m .2.3.

•""" i ]

* j«

s i n . /2> — sin.//^^ m (m — i )

(18)

sin. \ //^~~— ^ * ^)

.

1.2

sin. Z. 1.2.3...

_ -

COROLLAIRE i.er Si dans la formule (i 5) on fait successivement 7ft = : 2 ,

on en conclura

5

&C

W =

4> m

:==:

&} &C. ... 1

238

COURS

D'ANALYSE.

On arriverait aux memes equations, si I'on cherchait a deduire des formules (13) les valeurs successives de COS.*,C,

COS. Z}

COS. Zp

&C. • . •

en fonction lineaire de cos. 2 Z j

COROLLAIRE

cos. q.Z ,

cos. 6 Z ,

&C.. . •

2/ Si dans la formule(i6) on fait

successivement w = 2 , m = 4 > m = 6 , &c.... f on obtiendra les equations — 2 sin.XZ ^z cos. 2 Z—I ,

cos.4^— s.2Z—10 ?

que Ton pourrait egalement deduire des formuies(7^ par {'elimination des quantites sin.* Z, sin. Z,

s i n / z}

&C

COROLLAIRE 3.' Si dans la formule (17) on fait successivement m — 1 , m = 3 , ^ = 5 , &c on en conclura

5 cos. 3 z -+-

,

IOCOJ,^,

I.B1 PARTIE. CHAP. VII.

239

On arriverait aux memes equations, si Ton cherchait a deduire des formules ( i 4 ) les vaieurs suo cessives de .£,

COS. Z9

COS.^Z,

&C. . . .

en fonction lineaire de cos.Z, cos. 3 ,3, cos. ^Z,

&C.. . •

COROLLAIRE 4.* Si dans la formule (i 8) on fait successivement m=

i , m = $ , m = 5 , &c

,

on obtiendra les equations sin. Z = sin.Z

f

— 4 sin. Z = sin.^ Z — 7 sin. Z p I 6 sin, Z = sin. < Z — 5 S " ^ 3 ^ "^ * ® s ^ n# ^ ' &C. . .

que Ton pourrait egalement deduire des formules (8) par Telimination des quantites sin.Z,

%\xi? Z , sinj Z , &C

240

COURS D'ANALYSE.

CHAPITRE VIII. Des Variables et des Fonctions imaginaires.

§. l. cr Considerations generates sur les Variables et les Fonctions imaginaires. suppose variables les deux quantites reelles w ; v ; o u a u moins Tune cTentre elles, I'expression LORSQU'ON

u -*- v y~ est ce qu'on appelle une valuable imaginaire. Si, de plus, la variable u converge vers la limite Uf et la variable v vers la limite V, sera la limite vers laquelle converge Texpression imaginaire u-t-v/~. Lorsque les constantes ou variables comprises dans une fonction donnee, apres avoir ete considerees comme reelles, sont ensuite supposees imaginaires, la notation a I'aide de laquelle on exprimait la fonction dont il s'agit ne peut etre conservee dans le calcul qu'en vertu de conventions nouvelles propres a fixer le sens de cette notation dans la derniere hypothese. Ainsi, par exemple, en vertu des conventions etablies dans le chapitre precedent,

I / 1 PARTIE. CHAP. VIII.

211

les valeurs des notations a -+- x ,

a — x,

ax,

-^-,

se trouvent completement determinees dans le cas oil la constante a et la variable x deviennent imaginaires. Supposons , pour fixer les idees, que, la constante a restant reelle, la variable x recoive la valeur imaginaire ct -*- t ] / — i = f (cos. 0 -H |/— i sin. 0 ) ,

ct, ^ exprimant deux quantites I eelles qui peuvent etre remplacees par le module f et Tare reel 9. On conclura du VII.e chapitre [ f §. i et 2] que les quatre notations a

-H

x,

a — x}

ax,

—

designent respectivement les quatre expressions imaginaires #-h-pcos.9-i- Psin.0.]/]— 1 , a—P cos.8—P sin.0.j/— 1 , flP cos^-H^sin.O.j/—1 , —cos.0

sin.O.y^—1 ;

ou, en d'autres termes, les suivantes

En general on fixera sans difficulte, par le moyen des principes etablis dans le chapkre VII, les valeurs des expressions algebriques dans lesqueUes Toai. 1. ft

242

COURS

D'ANALYSE.

plusieurs variables ou constantes imaginaires seraient liees entre elles par les signes de {'addition f de la soustraction , de la multiplication ou de la division; et Ton reconnaitra sans peine que ces expressions conservent toutes les proprietes dont elles jouiraient, si les variables et constantes qui s'y trouvent comprises etaient reelles. Par exemple, si f on designe par x. 2/, z , . . . u, v, w . . . . plusieurs variables soit reelles, soit imaginaires, on aura, dans tous les cas possibles, x-\-y-\-z...—(ii-i-v-*-w. ..)=x-\-y-t-z.. .—u—v-w...,

xy—y y—yx ...

o

.x

—

u

U

V X

VX

U

z

c

H &C. . . U

t

T

x y z ... . U 9 W ... ,

W

u x

u

It

x y z — X — X — X ... =

y

H— u H

V

u

*

&c

Considerons maintenant la notation xa dans le cas ou, la constante a restant reelle, la variable .r obtient la valeur imaginaire

I.Rfc PART1E. CHAP. VIII.

243

Si Ton prend pour a une quantite dont la vaieur numerique soit un nombre entier m, cette meme notation, savoir, x* =

x±m,

aura, pour des valeurs reelles quelconques.de duet de £, une signification precise. Elle representera Texpression imaginaire cos. m9 -+- fl sin. si a = -H m ; et la suivante cos. m8" — fm sin. *>i a = — m : [voyez le chapitre VII, j . 2, equations (18) et (19)]. M^is, toutes les fdis que la constan te a recevra une vaieur numerique fractionnaire ou irrationnelle f la notation 11 aura plus de vaieur precise et determinee, a moins que la partie reelle a, de Texpression imaginaire x ne soit positive. Si dans ce cas particulier on fait = arc tang. — ,

Tare ? restera compris entre les limites ——^ -+- —-; et, en ecrivant x au lieu de ct -*- £ -/—t dans le 4. e paragraphe du Vll. e chapitre [equations (17) et (27)], on trouvera X =f

(cos. Q-+- |/— 1 sin. Q ,

Xa = f* r cos - ^(f"+- y/—1 sin. a ^ l ' ,

V

244

COURS D'ANALYSE.

en sorte que la notation xa designera Texpression imaginaire Pa cos. tf Q-H f" sin. a?. j / — * .

II suit encore des conventions et des principes cidessus etablis [chap. VII, J)v. 3 et4]> que, pour une valeur numerique fractionnaire de la constante a, la notation represente a-Ia-fois plusieurs expressions imaginaires, dont les valeurs sont donnees par les deux formules {(.r))tf — of ((1 ))a, ((1 ))* = cos. i/cavr rfc / ^ 7 sin. zka-K,

lorsque la partie reelle CL de Texpression imaginaire x est positive, et par les deux suivantes

lorsque la quaiitite ot devient negative; [voyez a ce sujet, dans le 4-e paragraphe du chapitre VII, les equations (25) et (26)]. La meme notation ne peut ])Ius etre employee dans le cas ou la valeur numerique de a devient irratiohnelle. Les expressions de la forme conservent les memes proprietes pour des valeurs reelles et pour des valeurs imaginaires de la variable , taut quc fexposant a pour valeur numerique

I.RE PARTIE. CHAP. VIII.

245

un nombre entier; mais ces proprietes ne subsistent plus que sous certaines conditions dans le cas contraire. Soient, par exemple,

plusieurs expressions imaginaires, qui se reduiront a des quantites reelles, si £, £ ' , £" s'evanouissent. Designons, en outre, par a, h, c .. . des quantites reelles quelconques, dont les valeurs numeriques soient fractionnaires ou irrationnelies, et par m, m, in . . . plusieurs nombres entiers. On aura constamment, en vertu des principes etablis dans Ic YTL* chapitre y

•As

m *A/ '

X±m

• %Ay

• » •

• - •

tA/

.X±m'

des nomLres m, m , tri'.. . (levant tkre affectc du merae signc dans les deux membrcs) ; /y%m

(3)

(4)

Us

^.m * U J

JC

# xi •/

x )

-pi • Z>

%

z

J

—

••••

_ ^

( ~jn\-m* V tAs

• • • •

;

( sy> 11 T \ \ JL (/ Z> , . . , ) \ J /

^^ [ JC y z ,,,, \

— a:

V »A/

I

/

)

« '

• r

, 1

{ r*-m\mt • " '

t/

m

^-mm ——

*X/

«

On trouvera au contraire que des trois formules (5)

xa xb xe'~

(6)

x a y a za... z= (x y z ... . ) * ,

= #*+'+*-•-

,

246

COURS D'ANALYSE.

(7) la premiere subsiste uniquement toutes les fois que la partie reellc CL de Texpression imaginaire x est' positive; la seconde, toutes les fois que, ct, &!, a!'... etant positifs, la somme arc tang.

1- arc tancr. —- -+• arc tang, —rr -4- . . •

reste comprise entre les Iimites — ^-, -+- —; et la dernicrc, toutes les fois que, ct etant positif, ie produit 6 a . arc tang. —

est compris entre ces memcs Hmites. Les conventions faites dans le VII. e cliapifre ne suflTscni; pas encore pour fixer d'une maniere precise le sens des notations Ax}

L.V

y

siiL.r^ cos. Xf

arc sin. X,

arc cos. X,

dans le cas oil la variable .r.devicnt imaginaire. Lo moyen le plus simple dV parvenir etant la consideration des series imaginaires , nous renvoyons ce sujct au chapitrc IX. DYtpres ce qui a etc dit ci-dessus, toute notation algebrique, qui renfermerait, avec les variables x, y, z supposees reellcs, des constantes imaginaires , ne peut etre employee dans Ie calcul que dans Ie cas ou , en vertu des conventions ctablics. cllc aurait pour valcur une certaine expression ima-

I/ 1 PARTIE. CHAP. VIII.

247

ginairc. Une semblable expression, dans laquelle la partie reelle et le coefficient de j/—7 sont necessairement des fonctions reelles des variables x} y, z ..., est ce qu'on appelle une fonction imaginaire de ces memes variables. Ainsi, par exemple , si Ton dcsigne par
=
sera une fonction imaginaire de ces diverses vnriabies. La fonction imaginaire

prend le nom de fonction algebrique, ou exponentielle, ou logaritlimique, ou circulaire , &c... , etf dans le premier cas, le nom de fonction rationnelle ou irrationnelle, entiere ou fractionnairc, &c.M toutes les fois que les fonctions reelles Cp^ y, - . . . ) , y(.v, y7 z .•.) jouissent rune etfautre des proprietes

248 c o r n s ©'ANALYSE. que suppose Ie nom dont il s'agit. Ainsi, en particulier, la forme generate d'une fonction imaginaire et lineaire des variables x, y} z sera -+-b' JC+C1 y-+-d

z-

ou, ce qui revient au meme , a, b, cf d, ...a, b1, c, d, . . . designant des constantes reelles. On doit distinguer encore parmi les fonctions imaginaires , comme parmi les fonctions reelles, celles qu'on nomme explicites, et qui sont immediatement exprimees au moyen des variables, de celles qu'on nomme implicites, et dont les valeurs determinees par certaines equations ne peuvent etre explicitcment connues qu'apres la resolution des equations dont il s'agit. Soit ou -& (x,

y,

z,

...)

line fonction imaginaire implicite determinee par une seule equation. On pourra representer cette fonction par u-+-v)/~ y n, v designant deux quantites reelles; et, si dans I'equation imaginaire qu'elle doit veriiier on ecrit, au lieu de 'ar(.r), ou de -sr(.r, y, z, . . . ) , u -+- v y^ apres avoir developpe les deux membres, puis egale de part et d'autre les parties reelles et les coelficiens

I."1. PARTIE. CHAP. VIII.

249

de |/— •, on obtiendra deux equations reelles entre Ii>s fonctions inconnues u et v. La resolution de ces dernieres equations, lorsqu'elle pourra s'effectuer, fcra connaitre les valeurs explicites de u et de v, et par suite la valeur explicite de ['expression imaginaire it -+- v

Y\.

Pour qu'une fonction imaginaire d'une seule variable soit completement determinee, il est necessaire et il suffit que de chaque valeur particuliere attribuee a la variable on puisse deduire la valeur correspondante de la fonction. Quelquefois, pour chaque valeur de la variable 1 la fonction donnee en obtient plusieurs differentes les unes des autres. Conformement aux conventions precedemment admises, nous designerons ordinairement ces valeurs multiples d'une fonction imaginaire par des notations dans Iesquelles nous ferons usage de doubles traits ou de doubles parentheses. Ainsi, par excmplc, « 7

/

.

\V cos. ^ -H y —i sin. ^J

OU (( cos. z H- |/—i sin, z))

n

indiquera Tune quelconque des racines du degre n de I'expression imaginaire cos. Z -H | / — i sin. Z,

250

COURS D'ANALYSE.

$. 2.c Sur les Expressions imaginaires infiniment petites } et sur la continuite des Fonctions imaginaires. Une expression imaginaire variable est appelee infiniment petite, lorsqu'elle converge vers la limite zero; ce qui suppose que dans l'expression donnee la partie reelle et le coefficient de ~/~\ convergent en meme temps vers cette limite. Cela pose, representons par

une expression imaginaire variable; ct, t , designant deux quantites reelles , auxquelles on peut substitner fe module^? et Tare reel G. Pour que cette expression soit infiniment petite, il sera evidemment necessaire et suffisant que son module

soit Iui-merne infiniment petit. Une fonction imaginaire de la variable x supposed rcelle, est appelee continue entre deux limites d'jnnees de cette variable, lorsqu'entre ces limites nn accroisseinent infiniment petit de la variable produit toujours un accroisseinent infiniment petit de la fonction elle-mcme. II en resulte que la fonction

sera continue entre deux limites donnees de x, si

I." PARTIE. CHAP. VIII.

251

Ies fonctionsr reelles Cp(
et f(x,y,

z ... .)

])ar des fonctions imaginaires

On peut en consequence enoncer Irs propositions suivantes. l.er THEOREME. Si les variables reelles x, y, z ... tint pour limites les quaniites fixes et determinees x, Y, Z ... , et que la fonction imaginaire Cj>(.r, y, z ;

x

il continue par rapport a cliacune des variables

252

COURS ©'ANALYSE,

x,y, z... dans le voisinage du systeme des valeurs. particulieres x = X,

y == Y,

z = Z,

&c....,


aura pour limile

= <&(*, y, z..) t <& (x/ Y, z, ...J.

2. e THEOREME. Designons par x, y, z ... plusieurs fonctions reelles de la variable t, qui soient continues par rapport a cette variable dans le voisinage de la valeur reelle t = T. Soient de plus x, Y, z ... les valeurs particulieres de x,y, ~ correspondantes a t — T; et supposons que dans le voisinage de ccs valeurs particulieres la fonction imaginaire

(, y} z...) = Q(JT, y, z...)+x(x>7J>— soit en meme temps continue par rapport a x, par rapport a y, par rapport a z, &c...: <m {x, y, z ...), consideree comme une fonclion imaginaire de t, sera encore continue par rapport a t p dans le voisinage de la valeur particuliere t — T. Si clans le theoreme precedent on reduit les variables x} y, z... a une seule, on obtiendra I'enonce suivant.

I.M PARTIE. CHAP. VIII.

253

3. e THEOREME. Supposons que dans I'expression

la variable x soit fonction reelle d'une autre variable t. Concevons de plus que la variable x soit fonction continue de t dans le voisinage de la valeur particuliere t= T , et <&{x) fonction continue de x dans le voisinage de la valeur particuliere x=zx, correspondante a t = T. L expression imaginaire **{x)} consideree comme une fonction de t, sera encore continue par rapport a cette variable dans le voisinage de la valeur particuliere t=T.

5. 3. c Des Fonctions imaginaires symetriques } alternees y ou homoghies.

En etendant aux fonctions imaginaires les definitions que nous avons donnees [chapitre HI] des fonctions symetriques, ou alternees, ou homogenes de plusieurs variables x, y; z ..., on reconnait immediatement que <$& y>

z

•••) -+- %( r ^ y>z •••) V~i

est une fonction symetrique, ou alternee, ou homogene du degre a par rapport aux variables x,y, z...% iorsque les fonctions reelles

sont Tune et fautre symetriques, ou alternees, ou

•25i COURS D'ANALYSE. homogenes du degre a par rapport a ces memes variables. . 4.e Sur les Fonctions imaginaires et entieres Hunt ou de plusieurs variables. En vertu de ce qui a ete dit ci-dessus [§. i. er ] ,

et sont deux fonctions imaginaires et entieres, Tune de la variable x, Tautre des variables x, y, z ..., lorsque

sont des fonctions reeiies et entieres de ces memcs variables. Par suite, si 'ar(.r) represcnte une fonction imaginaire et entiere de la variable JC, la valeur de ?zr (a) sera determinee par une equation de la forme

^o) #i > ^ai ••• boib^ b9j... designant des constantes reeiies. On coiiclura de cette equation, en reunissant les coefiiciens des puissances semblables de x,

Pour que la fonction -sr(-r), determinee par la for-

I." PARTIE. CHAP. VIII.

255

mule precedente, - s'evanouisse avec x, il faut que Ton ait «* •+• hQ y~ — o , c'est-a-dire, ao — o et bo = o, auquel cas la valeur de ^(V) se reduit &

Ainsi, toute fonction imaginaire et entiere de la variable x, lorsqu'elle s'evanouit avec cette variable j est le produit du facteur x par une seconde fonction de la meme espece, ou, en d'autres termes, est divisible par x. En partant de cette remarque, on etendra facilement les theoremes i et 2 du chapitre IV [§. i. e r ] au cas 011 les fonctions entieres qui s'y trouvent mentionnees sont en meme temps imaginaires. J'ajoute que ces deux theoremes subsisteront encore , si Ton y remplace les valeurs particulieres et reelles attribuees a la variable x , telles que X

O J

X

i

y

X

±

J

& C

OJ

par des valeurs imaginaires

Pour demontrer cette assertion, il suffit d'etablir les deux propositions suivantes. l. er THEOREME. Si une fonction imaginaire et entiere de la variable x sevanoidt pour une valeur

256

COURS D'ANALYSE.

particuliere de cette variable, par exemple, pour cette fonction sera divisible algebriquement par x—_dL0 — DEMONSTRATION.

^>oy~i.

En effet, soit

-sr (x) = Cp (*) -H %(.r) / ^ 7 la fonction imaginaire dont il s'agit. Si Ton y fait oc = cto -H C j / ^ -f- ^ ^

5 designant une nouvelle variable, on obtiendra evidemment pour resultat de la substitution une fonction imaginaire et entiere de z, savoir, et, comme cette fonction de z devra s'evanouir pour z = o, on en conclura que -zsr est divisible par - = x — o / ~ .

i.er La proposition precedente subsiste dans le cas meme ou la fonction %(^) sevanouit, c'est-a-dire, dans Ie cas ou *&{•*?) se reduit a une fonction reelle CJ)(^). e COROLLAIRE z. Le theoreme precedent subsiste encore, lorsqu'on suppose C=o, et par consequent lorsque la valeur particuliere attribute a la vaiiable a; est reelle. COROLLAIRE

I.RE PARTIE. CHAP. VIII.

257

2.e THEOREME. Si une fonction imaginaire et entiere de la variable x s'evanouit pour chacune des valeurs particulieres de x comprises dans la suite

n designant un nombre entier quelconque, cette fonction sera equivalente au produit des facteurs

une nouvelle fonction imaginaire et entiere de la variable x. DEMONSTRATION.

Soit

<ar (a) = C}) (x) -t- ^ (a?) / - .

la fonction proposee. Comme elle doit s'evanouir pour eile sera, en vertu du theoreme i. er , algebriquement divisible par

x —
-3r(#) = {x — «t0

Oo designant une nouvelle Fonction imaginaire et entiere de la variable x. La fonction ^{x) devant TOM. 1.

R

258

COURS D'ANALYSE.

s'evanouir encore, lorsqu'on suppose x =

CLZ -H

£; y C T ,

cette supposition reduira necessairement a zero le second membre de I'equation (2), et par consequent Tun des deux facteurs qui le composent [voyez le VII.e chapitre, §, 2 , 7 ^ theoreme, corollaire 2]. De plus, comme le premier facteur

ne petit devenir nul pour x = tant que Ies valeurs particulieres

sont distinctes Tune de Tautre, il est clair qu'en attribuant a x la seconde de ces deux valeurs on devra reduire a zero la fonction entiere Qo, et par suite, que cette fonction entiere sera divisible algebriquement par

x — ctx — c, y ^ . On aura done

Qi designant une nouvelle fonction imaginaire et entiere de la variable x; en sorte que {'equation (2) pourra se mettre sous la forme (3)

I.RE PARTIE. CHAP. VIII.

259

Eii raisonnant comme on vient de le faire, on trouvera, i.° que, la fonction *& (x) devant s'evanouir en vertu de la supposition x

=

cette supposition reduit necessairement a zero le second membre de Tequation (3), et par consequent Fun de ses trois facteurs; 2.0 que le facteur reduit a zero ne peut etre que la fonction entiere Qt, taut que les trois vaieurs particulieres de x designees par

sont distinetes Tune de I autre; 3 ° que la fonctiou entiere Qi , devant s'evanouir pour x = ctx -t- Cz Y~i ,

est algebriquement divisible par x — ct2 — £>x Y~^

On aura par consequent

ct par suite

Qx designant encore une fonction imaginaire et entiere de la variable x. En continuant de la meme maniere y on finira par reconnaitre que, dans le cas 011 la fonction entiere ^(x) s'evanouit pour n vaieurs differentes de x respectivement designees par R

260

COURS D'ANALYSE.

on a necessairement

Q designant une nouvelle fonction entiere de la variable .r. H est a-peu-pres inutile d'observer que le theoreme precedent subsiste lorsqu'on suppose

ou bien €o = o , ^x = o , £.— o , .... ^ r I = o ; c'est-a-dire, lorsque la fonction / sr(.r), ou lesvaleurs particulieres attribuees a la variable x, deviennent reelles. A Taide des principes etablis dans ce paragraphe, on demontrera sans difficulty que, dans le chap. IV [ §. i . er ] , les theoremes 3 .e et 4-e avec la formule (1) peuvent etre etendus au cas ou les fonctions et les variables deviennent imaginaires, ainsi que les valeurs particulieres attribuees aux unes et aux autres. On prouvera de meme que les propositions i.r% 2. e et 3.% avec les formules(i) et(2), dans le second paragraphe du chapitre IV , et les formules ( 2 ) , (3), (4), (5), (6), dans le 3.* paragraphe du meme chapitre, subsistent, quelles que soient les valeurs

I." PARTIE. CHAP. VIII.

reelles ou imaginaires des variables, des fonctions, et des constantes. Ainsi, par exemple, on reconnaitra en particulier que Tequation (6) du 3 / paragraphe, savoir, 1 .2

•3 . . . n

i

. 2 . 3 . . .n

^^

1

• — - —1«1

.2.3*. . (

.v"

X . 1 1.

I

I

#

1 .2.

3. .

,(/i—1)

1

.2.3..

a lieu pour des valeurs imaginaires quelconques des variables x et y. 5- 5.e Determination des Fonctions imaginaires continues d'une seule variablepropres a verifier cerlaines conditions,

Soit une fonction imaginaire continue de la variable x9 Cp(jr) et *)(fsx) designant deux fonctions continues, mais reelles. La fonction imaginaire -zsr(.r) sera completement determinee, si elle est assujettie a venfier, pour toutes les valeurs reelles possibles des variables x et y, Tune des equations (1) (2)

-ar(.r-*~y) = -ar <

ou bien, pour toutes les valeurs reelles et positives des memes variables, Tune des equations suivantes

$62

corns D'AKALYSE.

(3)

«

(4)

*

Nous allons resoudre succesfcivement ces qtiatre equations, ce qui nous fournira quatre problemes analogues a ceux quc nous avons deja traites dans le 1 . er paragraphe du W chapitre. l. cr PROBLEME. Determiner la fonclion imagi* haire <& (x) de maniere quelle reste continue entre deux limiies wclles qnelconques de la variable x, et que Von ait, jiour toiites les valeurs reelles des variables x ct y, (1)

-sr (.r -H y) — -or (*) -4- ^r (y).

SOLUTION. Si, a I'aide de la formule

on remplace dans Tequation(i) la fonction imagi* naire *& par les fonctions reelles <^> et ^ , cette equation deviendra

puis Ton en conclura, eft egalant de part et d'autre les parties reelles et les coefficicns de |/—T,

On tirera de ces dernieres formulcs [ voycz pitre V , §. 1, i. er probleme]

I.*E PARTIES CHAP. VIII.

263

ct par suite

(5) ou, ce qui revient au meme, (6)

?F(X) =L x^s-[i).

II suit de Tequation (5) que toute valeur de proprc a resoudre la question proposee est neccssairement de la forme (7)

<ar{x) = {a -4- h Y~*)x,

a, b designant deux quantites constantes. H est d'ailleurs facile de s'assurer qu'une semblable valeur de 'Gr(^) verifie Tequation (1), quclles que soient les deux quantites a et b. Ces quantites sont done deux constantes arbitrages. On pcut remarquer que, pour obtenir la valcur precedente de / ar(^), il suffit de remplacer, dans la valeur de <$(#) que fournit Tequation (y) du V.e chapitre [§. i . e r ] , la constante arbitraire etreelle a par la constante arbitraire, mais imaginaire, a -+• b )/—i*

2.e PROBLEME. Determiner la fonctlon imaginaire <& (x) de maniere quelle rcsle continue cntrc, deux limites reelles quelconques de la variable x, et que Von aitf pour touies les valeurs reelles des variables x et y,

COURS D'AXALYSE.

(2)


Si dans fequation (2) on fait^zzo,

SOLUTION.

on en tirera «• (o)

=

1 ,

ou, ce qui revient au meme [a cause de la formule

et par suite

La fonction C (r) se reduira done a Tunite pour la valeur.particuliere o attribute a la variable x; et, puisqu'on la suppose continue entre des limites quelconques, il est ciair qu elle sera • dans le voisinage de cette valeur particuliexe, tres-peu difTerente de Funite, par consequent positive. On pourra done, en designant par CL IUI nombre tres-petit, clioisir ce nombre de maniere que la fonction <J>(*r) reste constamment positive entre les limites x = o , x=
^ = arc tang.

^

on en condtira X « / ~ = / ~cos. (-H /=T sin.

I.R£ PARTIE. CHAP. VIII.

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Concevons maintenant que dans l'equation (2) on remplace successivement y par y-nz, puis z par z-\-u, &c....; on en deduira

quel que soit le nombre des variables x, y, z, &c... Si de plus on designe par m ce meme nombre, et que Ton fasse x = y = z = &c... = du , l'equation qu'on vient de trouver donnera 'Grimct) = [^r{ct)]m =fm

[cos. ?

J'ajoute que la formule

subsistera encore, si Ton y remplace le nombre entier m par une fraction ou meme par un nombre quelconque /A,. Cest ce que Ton prouvera facilement ainsi qu'il suit. Si dans l'equation (2) on fait x = \ct1 y = ^ccf on en tirera 1

— ^ W —f

puis , en extrayant les racines carree^ des deux membres, de maniere que les parties reelles soient positives, et observant que les deux fonctions Cj>(a7)f cos.^r restent positives, la premiere entre les limites o: = o, ^r=nct, ia seconde entre les limites # = 0 , on trouvera

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COURS D'ANALYSE. =