Comportement mécanique des matériaux

Comportement M´ ecanique des Mat´ eriaux

Roland FORTUNIER ´ Ecole Nationale Sup´erieure des Mines 158 cours Fauriel 42023 Saint-Etienne cedex 2

2

Table des mati` eres Introduction

7

1 Essais m´ ecaniques - Lois simples

9

1.1

1.2

1.3

Param`etres importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.1

´ ement de volume repr´esentatif . . . . . . . . . . . . . El´

9

1.1.2

Vitesse de d´eformation et temp´erature . . . . . . . . . 10

1.1.3

Direction de sollicitation . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Types de sollicitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1

Essais monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2

Essais cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.3

Duret´e et r´esilience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Quelques lois simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Thermodynamique des milieux continus 2.1

2.2

29

´ Equations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.1

D´efinition des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.2

´ Equations de conservation, premier principe . . . . . . 29

2.1.3

In´egalit´e de Clausius-Duhem, second principe . . . . . 31

lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1

Variables d’´etat, potentiel thermodynamique . . . . . . 32 3

2.2.2

Lois compl´ementaires, potentiel de dissipation . . . . . 34

2.2.3

Cas de la dissipation instantan´ee . . . . . . . . . . . . 37

´ 3 Elasticit´ e - Visco´ elasticit´ e 3.1

3.2

39

´ Elasticit´ e lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.1

Loi de Hooke g´en´eralis´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.2

´ Energie de d´eformation ´elastique . . . . . . . . . . . . 40

3.1.3

Relations de sym´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.4

Diff´erents comportements ´elastiques . . . . . . . . . . . 43

3.1.5

Thermo´elasticit´e lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Visco´elasticit´e lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.1

Mod`ele de Kelvin-Voigt

3.2.2

Mod`ele de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Plasticit´ e - Viscoplasticit´ e 4.1

4.2

4.3

4.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . 47

51

R´esultats exp´erimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1.1

Limite d’´elasticit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1.2

Anisotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Mod´elisation m´ecanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.1

Contrainte ´equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.2

Variables d’´ecrouissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Comportement ´elastoplastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3.1

Loi de normalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3.2

Condition de consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Comportement ´elastoviscoplastique . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.4.1

Loi de normalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4.2

Potentiel d’´ecoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4

4.5

Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.5.1

Ecrouissage isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.5.2

Ecrouissage cin´ematique lin´eaire . . . . . . . . . . . . . 70

4.5.3

Ecrouissage combin´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5 Endommagement - Rupture 5.1

5.2

73

Endommagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1.1

Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1.2

Mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.2.1

Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2.2

M´ecanique de la rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5

6

Introduction L’´etude du comportement m´ecanique des mat´eriaux a pour but de connaˆıtre leur r´eponse `a une sollicitation donn´ee. Les variables mises en jeu dans ce domaine sont : – le tenseur des contraintes σ – le tenseur des d´eformations  L’objectif de ce document est de donner un aper¸cu assez g´en´eral du comportement m´ecanique des mat´eriaux, et de sa mod´elisation. En effet, si l’´elasticit´e lin´eaire repr´esente actuellement le cadre de la majorit´e des calculs de m´ecanique des milieux continus r´ealis´es dans l’industrie, d’autres types de comportement sont de plus en plus utilis´es car ils s’approchent plus de la r´ealit´e, et permettent donc un dimensionnement plus strict des structures ou de certains proc´ed´es. Un premier exemple concerne le dimensionnement d’une structure, en vue de l’adapter aux sollicitations qu’elle subira (choix du mat´eriau, optimisation de la forme, respect des points de fonctionnement, . . . ). Dans des zones accident´ees telles que les cong´es de raccordement, ou au voisinage de porosit´es ou d’inclusions, la sollicitation m´ecanique en service est amplifi´ee par un certain facteur. On parle de ”concentration de contraintes”. Lorsque ces zones sont relativement petites, le mat´eriau peut avoir un comportement globalement ´elastique, alors que la structure ”plastifie” localement. La prise en compte de cette ”plastification locale” permet d’am´eliorer par exemple les pr´evisions de dur´ee de vie des structures dans l’automobile ou dans l’a´eronautique. Un autre exemple est la mise en forme d’une pi`ece (forgeage, emboutissage, . . . ), o` u la d´eformation plastique du mat´eriau est `a la base du proc´ed´e. La connaissance de son comportement plastique permet de mieux appr´ehender les efforts qui seront mis en jeu (gamme de fabrication, choix de la presse, cadence, . . . ), ainsi que les d´efauts susceptibles d’ˆetre g´en´er´es par cette mise 7

en forme. Dans le chapitre un de ce document, nous d´ecrivons les essais m´ecaniques couramment utilis´es pour caract´eriser le comportement m´ecanique des mat´eriaux, puis nous donnons quelques lois ph´enom´enologiques utilis´ees dans les calculs simples. Dans le chapitre deux, nous donnons le cadre thermodynamique dans lequel les lois de comportement des mat´eriaux doivent s’inscrire. Ensuite, nous nous int´eressons aux comportement ´elastiques, thermo´elastiques et visco´elastiques lin´eaires, puis `a la mod´elisation de l’´ecrouissage plastique ou viscoplastique. Le dernier chapitre est consacr´e aux principaux mod`eles d’endommagement et de rupture des mat´eriaux. Les concepts introduits dans ce document pourront ˆetre approfondis dans [4]. Le lecteur pourra ´egalement utiliser [2] pour mieux comprendre les liens entre les aspects microscopiques et macroscopiques du comportement des m´etaux, et [5] pour une analyse d´etaill´ee des m´ecanismes physiques et de la m´ecanique de l’endommagement.

8

Chapitre 1 Essais m´ ecaniques - Lois simples 1.1 1.1.1

Param` etres importants ´ ement de volume repr´ El´ esentatif

Pour r´ealiser un essai m´ecanique, un ´el´ement de volume ”repr´esentatif” du mat´eriau doit ˆetre utilis´e, afin que les hypoth`eses des milieux continus soient satisfaites. Le tableau 1.1 donne, en fonction du type de mat´eriau, la taille caract´eristique minimale de l’´eprouvette qu’il conviendra d’utiliser. Type de mat´eriau m´etaux et alliages polym`eres bois b´eton

type et taille des h´et´erog´en´eit´es grain : 0,001 `a 0,1mm mol´ecule : 0,01 `a 0,05mm fibres : 0,1 `a 1mm granulats : ≈ 10mm

´el´ement de volume caract´eristique 0,5 × 0,5 × 0,5mm 1 × 1 × 1mm 10 × 10 × 10mm 100 × 100 × 100mm

Tab. 1.1 – ´el´ements de volumes macroscopiques Le d´epouillement des essais consiste ensuite souvent `a transformer les courbes ”force-d´eplacement” obtenues en courbes ”contrainte-d´eformation”, appel´ees ”courbes rationnelles”. La figure 1.1 donne une courbe rationnelle typique obtenue pour diff´erents types de mat´eriaux. Il faut noter ici que la courbe rationnelle relie deux scalaires entre eux (une ”contrainte” σ et une ”d´eformation” 9

), et non deux tenseurs. Le choix de ces scalaires d´epend du type d’essai et du type de mat´eriau.

Fig. 1.1 – Courbes rationnelles typiques de diff´erents mat´eriaux

1.1.2

Vitesse de d´ eformation et temp´ erature

La vitesse de d´eformation peut avoir une influence d´eterminante sur le comportement des mat´eriaux. Lors de la r´ealisation d’un essai, on doit donc utiliser une vitesse aussi proche que possible de celle qui sera utilis´ee par la suite (e.g. lorsque l’on utilisera la loi de comportement obtenue dans un calcul de dimensionnement). Par exemple, si l’objectif est de valider la tenue en fluage d’une structure, sous l’effet de son propre poids, la vitesse de d´eformation `a consid´erer sera tr`es faible. Par contre, si l’objectif est de valider la tenue aux s´eismes de cette structure, alors cette mˆeme vitesse de d´eformation pourra prendre des valeurs beaucoup plus ´elev´ees, et la loi de comportement `a utiliser ne sera sans doute pas la mˆeme. Ceci conduit `a diff´erents types d’essais, qui peuvent ˆetre class´es en fonction de la vitesse de d´eformation mise en jeu (tableau 1.2). Par exemple, un essai quasi-statique de compression uniaxiale sera r´ealis´e `a l’aide d’une machine hydraulique ou m´ecanique. l’´eprouvette est fix´ee d’un cˆot´e sur une traverse fixe, et de l’autre sur une traverse qui se d´eplacera `a une vitesse donn´ee, relativement lente. Le d´epouillement de l’essai se fera dans le r´egime ”quasi-statique”, c’est-`a-dire sans prendre en compte les effets d’inertie dans les ´equations d’´equilibre. Par contre, dans le r´egime dynamique, la machine classique ne suffira plus car la traverse ne pourra plus atteindre la vitesse requise. L’essai sera alors r´ealis´e sur un syst`eme de barres 10

temps vitesse de r´egime −1 caract´eristique (s) d´eformation (s ) m´ecanique 6 −6 10 10 fluage 104 `a 102 10−4 `a 10−2 quasi-statique 1 1 interm´ediaire −2 −4 2 4 10 `a 10 10 `a 10 dynamique 10−6 106 impact

r´egime thermique isotherme isotherme interm´ediaire interm´ediaire adiabatique

Tab. 1.2 – temps caract´eristiques et types d’essais de Hopkinson (figure 1.2), o` u l’´eprouvette est sollicit´ee par l’onde ´elastique de compression arrivant de la barre incidente. Pour d´epouiller l’essai, il faudra prendre en compte l’inertie m´ecanique du mat´eriau, qui produit un ”pic” de force au d´ebut de la sollicitation. Enfin, dans le r´egime d’impact, on utilisera par exemple un essai d’impact de plaques (figure 1.3). Une plaque incidente vient impacter `a 500m/s environ la plaque ´etudi´ee, qui est sollicit´ee directement en traction lors du croisement des ondes ´elastiques de traction issues de la r´eflexion des ondes de compression sur les faces libres avant et arri`ere. Le d´epouillement de ce type d’essais est relativement complexe, d’une part `a cause de l’´electronique n´ecessaire pour ”capter” des ph´enom`enes se produisant en quelques nanosecondes, et d’autre part `a cause du comportement m´ecanique du mat´eriau, qui s’approche ici plus d’une courbe pressionvolume (diagramme de Clapeyron) que d’une courbe classique contrainted´eformation.

Fig. 1.2 – Barres de Hopkinson Dans la suite de ce document, nous nous limiterons aux r´egimes m´ecaniques de fluage et quasi-statiques, c’est-`a-dire `a une vitesse de d´eformation comprise en 10−6 et 102 s−1 . Cette plage de variation couvre la majorit´e des proc´ed´es de mise en forme actuels, bien que la tendance soit `a l’augmentation des cadences, et donc de la vitesse de d´eformation. Par exemple, lors du laminage `a froid d’une tˆole d’acier, la vitesse de d´eformation peut parfois atteindre 100s−1 . Dans ce type de r´egime, les effets d’inertie sont n´eglig´es dans le d´epouillement de l’essai, et ´egalement lors de la simulation du proc´ed´e. Par contre, mˆeme `a l’int´erieur de ces r´egimes, la vitesse de d´eformation peut avoir 11

Fig. 1.3 – Impact de plaques

une forte influence sur le comportement m´ecanique du mat´eriau. La figure 1.4 illustre cette influence (r´esultat typique d’un essai de traction r´ealis´e en changeant la vitesse de d´eformation). On dit alors que le mat´eriau est ”sensible `a la vitesse de d´eformation”. Cette sensibilit´e sera d’autant plus forte que les deux courbes en pointill´es de la figure 1.4 seront ´eloign´ees.

Fig. 1.4 – Courbe de traction typique avec sauts de vitesse Dans le cadre thermodynamique g´en´eral des milieux continus, les aspects m´ecaniques et thermiques sont ”naturellement” coupl´es. Ceci met clairement en ´evidence l’importance de la temp´erature de l’´eprouvette lors de la r´ealisation d’un essai, et le couplage de cette influence avec la vitesse de d´eformation. 12

Dans le tableau 1.2, le r´egime thermique d’un essai est indiqu´e, en fonction de la vitesse de d´eformation mise en jeu. La puissance de d´eformation plastique σ : ˙ p est essentiellement dissip´ee en chaleur dans l’´el´ement de volume consid´er´e. Par exemple, il est aujourd’hui commun´ement admis que, dans les m´etaux, environ 90% de la puissance de d´eformation plastique est dissip´ee en chaleur, le reste ´etant stock´e dans le mat´eriau. Cette chaleur doit donc ˆetre ´evacu´ee par conduction thermique. Lors d’essais ”lents” (r´egimes m´ecaniques de fluage ou quasi-statiques), la chaleur a le temps de se dissiper, se sorte que l’on peut consid´erer que l’essai est isotherme. Dans un r´egime interm´ediaire ou d’impact, l’´eprouvette s’´echauffe vite, et la chaleur produite n’a pas le temps de se dissiper. Ceci a une cons´equence sur le comportement du mat´eriau, et sur l’´evolution de sa structure. Pour simuler un proc´ed´e de mise en forme, la loi de comportement du mat´eriau est donc souvent donn´ee `a diff´erentes temp´eratures. Des essais `a diff´erentes temp´eratures sont donc r´ealis´es. Ceci peut changer non seulement le niveau de contrainte (pour une d´eformation donn´ee), mais aussi la forme de la loi elle-mˆeme (pr´esence ou non de recristallisation dynamique, . . . ).

1.1.3

Direction de sollicitation

Lors de la r´ealisation d’essais m´ecaniques, le choix de la direction de sollicitation peut s’av´erer primordial. En effet, il conditionne souvent le domaine de validit´e de la loi de comportement obtenue. On peut classer les directions de sollicitation en deux grandes cat´egories : les sollicitations uniaxiales et les sollicitations multiaxiales. On parle alors d’essai ”uniaxial” ou d’essai ”multiaxial”. Les principaux essais uniaxiaux utilis´es sont : – la traction-compression – la torsion – la flexion L’´eprouvette est alors sollicit´ee dans une direction de l’espace des contraintes. La variation d’un param`etre de l’essai ne change pas cette direction. Les essais multiaxiaux sont nombreux et vari´es. Ils sont plus difficiles `a interpr´eter. Ils consistent le plus souvent a` combiner plusieurs sollicitations uniaxiales entre elles au cours du temps, de fa¸con `a tester l’influence de la direction 13

de sollicitation sur le comportement du mat´eriau. L’essai multiaxial le plus courant est celui de ”traction-torsion”. Traction-Compression La traction-compression est l’essai le plus couramment utilis´e sur les m´etaux (figure 1.5). Toutefois, les d´eformations atteintes par ce type d’essai sont limit´ees par la rupture du mat´eriau (en traction), et par le flambage de l’´eprouvette (en compression). Ce type d’essai est donc principalement utilis´e pour obtenir une loi de comportement simple et rapide en traction, ou pour solliciter cycliquement le mat´eriau en traction-compression, `a faibles d´eformations, et obtenir une loi de comportement en fatigue (voir paragraphe suivant).

Fig. 1.5 – Sch´ematisation de l’essai de traction-compression Pour avoir acc`es `a une loi de comportement valable pour de plus grandes d´eformations qu’en traction, on r´ealise donc des essais sp´ecifiques de compression (figure 1.6). Le d´epouillement de l’essai est cependant rendu d´elicat par la pr´esence de frottement `a l’interface ´eprouvette-outil. Torsion L’essai de torsion (figure 1.7) permet d’avoir acc`es `a une loi de comportement pour de grandes d´eformations, sans probl`emes de frottement entre l’´eprouvette et l’outil. Cependant, la d´eformation et la contrainte ne sont pas homog`enes le long du rayon de l´eprouvette. On utilise donc parfois un cylindre `a paroi mince comme ´eprouvette. 14

Fig. 1.6 – Sch´ematisation de l’essai de compression

Fig. 1.7 – Sch´ematisation de l’essai de torsion

Flexion La flexion (figure 1.8) est l’essai le plus couramment employ´e sur les c´eramiques. La flexion quatre points permet de solliciter le mat´eriau avec un moment constant entre les deux points d’application de la charge. Comme en torsion, la d´eformation et la contrainte ne sont pas constantes dans l’´epaisseur de l’´eprouvette.

1.2 1.2.1

Types de sollicitation Essais monotones

Les essais monotones les plus classiques sont ceux de traction, de compression, de torsion et de flexion. La sollicitation est alors appliqu´ee au mat´eriau jusqu’`a sa rupture (traction, torsion, flexion) ou jusqu’`a une d´eformation suf15

Fig. 1.8 – Sch´ematisation de l’essai de flexion quatre points

fisamment grande (compression). En fonction du mode d’application de la sollicitation, on peut r´ealiser principalement des essais d’´ecrouissage, de fluage, ou de relaxation, et les combiner entre eux (essais d’´ecrouissage-relaxation, . . . ). La figure 1.9 montre une courbe ”force-allongement” (et la courbe contrainted´eformation associ´ee) typique obtenue sur un m´etal lors d’un essai d’´ecrouissage en traction monotone. Ce type d’essai est g´en´eralement r´ealis´e `a des vitesses comprises entre 10−3 et 1s−1 . On distingue successivement : – un domaine de comportement ´elastique r´eversible, o` u l’arrˆet de la sollicitation permet `a l’´eprouvette de retourner dans son ´etat initial, et o` u les contraintes et les d´eformations sont reli´ees lin´eairement par la loi de Hooke – un domaine de comportement plastique homog`ene, caract´eris´e par une d´eformation irr´eversible du mat´eriau. – un domaine de comportement plastique h´et´erog`ene, initi´e par l’apparition d’une ”striction”. La d´eformation se localise dans l’´eprouvette jusqu’`a rupture de celle-ci. Les essais de fluage sont r´ealis´es en appliquant une contrainte constante au mat´eriau, en g´en´eral en traction. Le type de courbe obtenu est donn´e sur la figure 1.10. Elle repr´esente la d´eformation de l’´eprouvette en fonction du temps, pour une contrainte constante donn´ee. Une premi`ere d´eformation apparaˆıt instantan´ement `a la mise en charge. C’est la d´eformation correspondant `a la contrainte appliqu´ee dans un essai d’´ecrouissage. Ensuite, une d´eformation lente apparaˆıt au cours du temps. La vitesse de d´eformation est de l’ordre de 10−6 `a 10−4 s−1 . Dans un premier temps (domaine de fluage primaire), elle d´ecroˆıt, pour atteindre une valeur constante dans le domaine de 16

Fig. 1.9 – Essai d’´ecrouissage en traction

fluage secondaire (ou fluage stationnaire). Enfin, cette vitesse de d´eformation augmente (domaine de fluage tertiaire) jusqu’`a la rupture. Les essais de relaxation servent `a caract´eriser l’´evolution au cours du temps des contraintes internes d’un mat´eriau. Pour cela, On applique une d´eformation constante `a l’´eprouvette, puis on observe l’´evolution de la contrainte (figure 1.11). Ce type d’essai est tr`es utilis´e pour obtenir les propri´et´es viscoplastiques du mat´eriau. 17

Fig. 1.10 – Repr´esentation sch´ematique d’une courbe de fluage

Fig. 1.11 – Repr´esentation sch´ematique d’un essai de relaxation

1.2.2

Essais cycliques

Les essais cycliques sont caract´eris´es par une suite de sollicitations altern´ees. Les plus courants sont ceux de traction-compression, mais on utilise ´egalement 18

des essais de flexion ou de torsion altern´ee. L’objectif de ces essais est d’obtenir la loi de comportement ”cyclique” du mat´eriau, qui caract´erise son ´evolution au fur et `a mesure des cycles de sollicitation. Les essais de tractioncompression peuvent ˆetre r´ealis´es `a d´eformation ou `a contrainte impos´ee. La figure 1.12 montre le type de r´esultats obtenus en d´eformation impos´ee (traction-compression par exemple), dans le cas d’un mat´eriau `a durcissement cyclique. Lorsque l’amplitude de contrainte n’´evolue plus sur plusieurs cycles, on dit que l’on a atteint le ”cycle stabilis´e”. Pour obtenir la loi de comportement cyclique du mat´eriau, on effectue plusieurs essais `a d´eformation impos´ee plus ou moins grande. Pour chaque essai, on note l’amplitude de contrainte aux cycles stabilis´es, que l’on trace en fonction de l’amplitude de d´eformation. La figure 1.13 montre le type de courbe obtenu, appel´e ”courbe de consolidation cyclique”. Cette courbe ressemble `a celle obtenue lors d’un essai d’´ecrouissage, mais ne traduit pas du tout le mˆeme type de comportement.

Fig. 1.12 – Essai cyclique `a d´eformation impos´ee Lors d’essais cycliques, le mat´eriau rompt au bout d’un certain nombre de cycles. L’endommagement du mat´eriau au cours de l’essai est appel´e ”fatigue”. On parle donc couramment d’essais de fatigue lorsque la sollicitation est cyclique. La fr´equence de sollicitation est ici donn´ee par le nombre de cycles par seconde. Notons ´egalement que les cycles de d´eformation (ou de contraintes) peuvent ˆetre plus ou moins compliqu´es. Ils peuvent par exemple pr´esenter un plateau (d´eformation constante), de sorte qu’`a chaque cycle, il 19

Fig. 1.13 – courbe de consolidation cyclique typique

se produit un ph´enom`ene de relaxation des contraintes.

Fig. 1.14 – courbe de Woehler typique Le nombre de cycles `a rupture lors d’un essai de fatigue est un renseignement int´eressant. Il pourra en effet ˆetre utilis´e ult´erieurement pour pr´evoir la dur´ee de vie d’une pi`ece en service, en fonction de ses sollicitations. La courbe la plus largement utilis´ee pour repr´esenter la dur´ee de vie des mat´eriaux est la courbe de ”Woehler”. L’amplitude de contrainte est donn´ee en fonction du nombre de cycle `a rupture (figure 1.14). On distingue sur cette courbe 20

un domaine dit ”oligocyclique”, o` u le nombre de cycles `a rupture est relativement faible. Ce domaine est caract´eris´e par une plastification globale de l’´eprouvette `a chaque cycle. Dans le domaine dit ”d’endurance limit´ee”, la consolidation cyclique diminue la plastification de l’´eprouvette au cours des cycles. Le nombre de cycles `a rupture est plus ´elev´e. Enfin, dans le domaine d’endurance, le comportement de l’´eprouvette est purement ´elastique. Pour certains mat´eriaux, on peut mˆeme consid´erer que, en-dessous d’une certaine amplitude de contrainte (la limite d’endurance), le nombre de cycles `a rupture est infini.

1.2.3

Duret´ e et r´ esilience

D’autres essais m´ecaniques peuvent ˆetre utilis´es pour caract´eriser le comportement d’un mat´eriau. Les plus fr´equents sont l’essai de duret´e, destin´e le plus souvent `a estimer rapidement et simplement la limite d’´elasticit´e du mat´eriau, et l’essai de r´esilience visant `a caract´eriser le risque de rupture fragile du mat´eriau. Essai de duret´ e L’essai de duret´e est largement utilis´e sur les m´etaux. Il caract´erise la r´esistance qu’oppose le mat´eriau `a la p´en´etration d’un autre corps plus dur que lui. Ainsi, pour des conditions exp´erimentales donn´ees, la duret´e du m´etal sera d’autant pus grande que la p´en´etration du corps sera faible. Il existe trois principaux type d’essais de duret´e, qui diff´erent essentiellement par la forme du p´en´etrateur : l’essai Brinell, l’essai Vickers et l’essai Rockwell : – Dans l’essai Brinell, le p´en´etrateur est une bille en acier extra-dur de diam`etre D. On la pose sur l’´echantillon `a ´etudier et on exerce sur elle une force F pendant un temps donn´e t. La duret´e est ensuite calcul´ee comme le rapport entre F (exprim´ee en Kgf ) et la surface S (exprim´ee en mm2 ) de la calotte sph´erique ainsi form´ee : HB = F/S. La surface S peut ˆetre ais´ement calcul´ee `a partir du diam`etre d de l’empreinte. Il est ´evident que la valeur HB obtenue doit ˆetre accompagn´ee des caract´eristiques de l’essai : la force appliqu´ee F , le temps d’application t, et le diam`etre de la bille D. La valeur de la charge peut atteindre 3000Kg, et le diam`etre D de la bille est en g´en´eral de 5 ou 10mm. – Dans l’essai Vickers (figure 1.15), le p´en´etrateur est une pyramide en diamant `a base carr´ee dont l’angle au sommet est de 136◦ . L’empreinte 21

form´ee est donc pyramidale. Si S est la surface lat´erale de cette empreinte (exprim´ee en mm2 ), d sa diagonale (en mm) et F la force appliqu´ee (en Kgf ), alors la duret´e est : Hv = F/S ≈ 1,8544F/d2 . La charge utilis´ee est en g´en´eral comprise entre 5 et 120Kg. Toutefois, il est possible de faire des essais dits de microduret´e avec des charges n’exc´edant pas 100g si l’on veut ´etudier une zone tr`es locale du mat´eriau. Ces essais sont alors r´ealis´es et analys´es sous microscope. – Dans l’essai Rockwell, le p´en´etrateur est soit une bille, soit un cˆone de diamant d’angle au sommet 120◦ , avec une extr´emit´e sph´erique de 0,2mm de diam`etre. On ne mesure plus la surface de l’empreinte, mais sa profondeur. On applique en g´en´eral une pr´echarge d’environ 10Kg avant l’essai, et on mesure l’´evolution de la profondeur de l’empreinte lors du passage `a la charge totale. La valeur de la duret´e est not´ee HR , avec un indice suppl´ementaire donnant le type de bille ou cˆone utilis´e et la charge F utilis´ee. Par exemple, HRA correspond `a un cˆone et une charge de 60Kg, et HRB `a une bille de diam`etre 1,59mm (1/16 de pouce) et une charge de 100Kg.

Fig. 1.15 – Essai de duret´e Vickers Pour d´eterminer la duret´e d’un mat´eriau, il est indispensable de faire plusieurs mesures et d’adopter une valeur moyenne. Parfois, les mesures successives sont r´ealis´ees le long d’une droite, par exemple dans l’´epaisseur d’une pi`ece pr´ealablement coup´ee. On parle alors de profil de duret´e. Entre deux empreintes, il convient de laisser suffisamment de distance, pour ´eviter que la d´eformation du m´etal lors de l’essai pr´ec´edent ait une influence sur le r´esultat de l’essai courant. 22

L’essai Brinell est peu sensible `a l’´etat de surface car il conduit `a des empreintes relativement larges. Par contre, il n’est pas possible de l’utiliser correctement sur des m´etaux tr`es durs. Les essais Vickers et Rockwell peuvent ˆetre utilis´es sur tout type de m´etal, mais sont sensibles `a l’´etat de surface. L’essai de duret´e le plus utilis´e aujourd’hui est l’essai Vickers. On en d´eduit une duret´e Hv . Parfois, on parle de ”duret´e vraie”, et on la note H. En fait, cette duret´e vraie est la rapport entre la force appliqu´ee, F (en Kgf ), et la surface de l’empreinte projet´ee sur la face ´etudi´ee, Sp (en mm2 ). Il existe des abaques pour relier H `a Hv , et ´egalement pour relier les diff´erents types de duret´e entre eux. La duret´e vraie H est utilis´ee car elle permet d’avoir une premi`ere estimation, par un essai simple, de la limite d’´elasticit´e du mat´eriau σ0 . On peut en effet consid´erer en premi`ere approximation que H = 3σ0 . Un facteur correctif est cependant souvent utilis´e pour rendre compte de l’´ecrouissage du mat´eriau.

L’essai de r´ esilience L’essai de r´esilience sur ´eprouvette entaill´ee a pour but de caract´eriser le risque de rupture fragile du mat´eriau. On appelle r´esilience l’´energie de rupture ramen´ee ou non `a la section sous entaille de l’´eprouvette. Elle s’exprime donc en J/cm2 ou en J. C’est une mesure de la t´enacit´e du mat´eriau, c’est`a-dire de sa capacit´e globale `a absorber de l’´energie. L’appareil couramment utilis´e pour les essais de r´esilience est le ”mouton de Charpy” (figure 1.16). Un couteau de masse M situ´e `a l’extr´emit´e d’un bras de longueur l vient rompre par impact une ´eprouvette. L’´energie absorb´ee par la rupture est M gl(cos(β) − cos(α)), o` u g est l’acc´el´eration de la pesanteur, α l’angle de d´epart du bras, et β l’angle de remont´ee du bras apr`es impact. Il convient cependant de soustraire `a cette valeur le travail de frottement du bras sur son axe et celui des fragments de mat´eriau projet´es. Les valeurs courantes de r´esilience ainsi mesur´ees sont de l’ordre de 100 `a 300J sur des aciers. Les ´eprouvettes sont des parall´el´epip`edes entaill´es `a l’oppos´e du point d’impact. Si l’entaille est en forme de V, la r´esilience est not´ee kV . Si l’entaille est en forme de U, la r´esilience est not´ee kU . Les dimensions des ´eprouvettes et des entailles sont normalis´ees. L’essai de r´esilience est tr`es facile `a mettre en oeuvre. Il est largement utilis´e dans l’industrie pour ´evaluer l’incidence d’une op´eration de mise en forme ou de traitement thermique sur les caract´eristiques du mat´eriau. Par exemple, la r´esilience d’un acier normalis´e est donn´ee, et devra ˆetre respect´ee par le fa23

Fig. 1.16 – Essai de r´esilience

bricant de cet acier. Par contre, des essais de r´esilience ne pourront ˆetre compar´es que s’ils sont r´ealis´es dans les mˆemes conditions (forme d’´eprouvette, temp´erature, . . . ). La r´esilience mesur´ee par un essai Charpy n’est qu’une valeur d’´energie globale caract´erisant le mat´eriau dans les conditions de l’essai. Elle n’est pas en relation directe avec une propri´et´e intrins`eque du mat´eriau. Pour remonter `a des propri´et´e plus locale, on peut par exemple utiliser un essai de Charpy instrument´e, o` u on mesure l’´evolution de la charge au cours du temps. En fait, la r´esistance `a la rupture brutale d’un mat´eriau est maintenant ´etudi´ee `a l’aide de la m´ecanique de la rupture. Un facteur d’intensit´e de contraintes critique kIc caract´erise par exemple la r´esistance d’un mat´eriau `a la propagation brutale d’une fissure en d´eformation plane. C’est un param`etre intrins`eque du mat´eriau. Des corr´elations empiriques ont ´et´e ´etablies pour certains mat´eriaux entre les valeurs de kIc et la r´esilience kV . Le facteur d’intensit´e de contraintes est d´ecrit plus en d´etails dans le dernier chapitre de ce document. 24

1.3

Quelques lois simples

Le principal objectif des essais m´ecaniques est la mise en place d’une loi destin´ee a` ˆetre utilis´ee pour la pr´evision du comportement du mat´eriau. Cette loi de comportement pourra par exemple ˆetre appliqu´ee lors de la mise en forme d’une pi`ece, pour calculer les efforts n´ecessaires (choix des outillages et de la presse), pour ´evaluer l’aptitude du mat´eriau `a cette mise en forme (remplissage des formes), . . . . Pour ce type d’application, il n’est parfois pas n´ecessaire de faire appel a` des lois compliqu´ees. On se contente alors de relations simples, qui servent simplement `a d´ecrire le comportement du mat´eriau dans un cas particulier. Nous allons voir ici quelques relations d’ecrouissage issues d’essais de traction. Une courbe contrainte-d´eformation (σ − ) lors d’un essai d’´ecrouissage est caract´eris´ee par une partie ´elastique et une partie plastique. Nous nous int´eressons ici principalement `a la partie plastique. Cette courbe sera donc parfois transform´ee comme d´ecrit sur la figure 1.17. La d´eformation plastique sera not´ee p et la contrainte σ. Dans le cas d’un essai de traction par exemple, on aura σ = FS , o` u F est la force appliqu´ee, et S la section courante de l’´eprouvette, et p =  − e = ln( ll0 ) − Eσ , o` u l est la longueur de la partie utile de l’´eprouvette (l0 la longueur initiale) et E le module d’Young du mat´eriau.

Fig. 1.17 – courbe de traction

En pratique, pour beaucoup de mat´eriaux (dont la plupart des m´etaux), la partie ´elastique de la d´eformation est tr`es faible devant la partie plastique lors d’une op´eration de mise en forme. Il est donc fr´equent, dans une approche ph´enom´enologique, de n´egliger e , et donc de confondre  et p . Les principales lois de comportement ph´enom´enologiques utilis´ees sont les 25

suivantes : – la loi de Hollomon ou loi puissance, d´ecrite sur la figure 1.18, o` u la contrainte est donn´ee sous la forme (K et n sont deux param`etres) : σ = Kn

(1.1)

Fig. 1.18 – loi de Hollomon Pour identifier les param`etres K et n, on transforme la courbe en ln(σ) − ln(), qui devient lin´eaire. La pente de cette courbe donne le coefficient n = dln(σ) , appel´e coefficient d’´ecrouissage. dln() – la loi de Ludwik, d´ecrite sur la figure 1.19, qui a la forme (σe , K et n sont des param`etres) : σ = σe + Kn

Fig. 1.19 – loi de Ludwik 26

(1.2)

Pour obtenir les param`etres σe , K et n, il faut dans ce cas tout d’abord identifier σe , qui est en fait la limite d’´elasticit´e du mat´eriau, puis transformer la courbe en ln(σ − σe ) − ln() pour obtenir les deux autres param`etres. Il faut signaler ici que le param`etre n n’est pas ici le coefficient d’´ecrouissage du mat´eriau. – la loi de Swift ou loi de Krupkowski, repr´esent´ee sur la figure 1.20, qui s’´ecrit (K, 0 et n sont des param`etres) : σ = K(0 + )n

(1.3)

Fig. 1.20 – loi de Swift On remarque qu’avec cette loi, la limite d’´elasticit´e du mat´eriau vaut σe = Kn0 , et que le param`etre n n’est pas le coefficient d’´ecrouissage du mat´eriau.

27

28

Chapitre 2 Thermodynamique des milieux continus 2.1 2.1.1

´ Equations de base D´ efinition des variables

Le comportement m´ecanique des mat´eriaux doit ˆetre sch´ematis´e en respectant les ´enonc´es fondamentaux de la thermodynamique. Pour cela, on isole une partie quelconque ΩA d’un solide Ω. Dans cette partie ΩA , le solide → − est soumis `a des forces volumiques f v (par exemple son poids propre), et re¸coit une densit´e volumique de chaleur r (par exemple lors d’un chauffage → par induction). La fronti`ere ∂ΩA , de normale unitaire − n , entre cette par→ − → tie et le solide complet Ω, est soumise `a un vecteur contrainte t = σ.− n (qui sch´ematise les actions m´ecanique de Ω sur ΩA ). Elle ´echange ´egalement → un flux de chaleur − q (par conduction thermique entre Ω et ΩA ). Ceci est sch´ematis´e sur la figure 2.1.

2.1.2

´ Equations de conservation, premier principe

→ En notant ρ la masse volumique du mat´eriau, et − v la vitesse des points mat´eriels qui le constituent, on peut maintenant ´ecrire les lois de conservation 29

Fig. 2.1 – Sollicitation thermodynamique appliqu´ee `a un solide suivantes : – conservation de la quantit´e de mouvement Z Z Z → − d → − → − ρ v dv = t ds + f v dv dt ΩA ∂ΩA ΩA

(2.1)

– conservation de la masse d dt

Z ρdv = 0

(2.2)

ΩA

– conservation de l’´energie (ou premier principe de la thermodynamique) dE dK + = Pe + Q dt dt

(2.3)

Les quantit´es mise en jeu dans la derni`ere ´equation peuvent ˆetre obtenues de la fa¸con suivante : – la variation d’´energie interne E, en d´efinissant l’´energie interne sp´ecifique e du mat´eriau : Z dE d = ρedv (2.4) dt dt ΩA – la variation d’´energie cin´etique K, en utilisant la conservation de la → − → masse et en d´efinissant l’acc´el´eration − γ = ddtv des points du mat´eriau : Z Z dK d 1 − → → − → → = ρ v . v dv = (ρ− γ ).− v dv (2.5) dt dt ΩA 2 ΩA 30

– la puissance des efforts m´ecaniques, en utilisant la conservation de la quantit´e de mouvement, la conservation de la masse, et le th´eor`eme de la divergence : Z

− − → t .→ v ds+

Pe = ∂ΩA

− − → f v .→ v dv =

Z

Z

ΩA

− → (ρ→ γ ).− v dv+

Z

ΩA

σ : ˙ dv (2.6) ΩA

– le taux de chaleur re¸cu par le mat´eriau, en utilisant le th´eor`eme de la divergence : Z Q=

− → −→ q .− n ds +

∂ΩA

Z

Z

− div(→ q )dv +

rdv = − ΩA

ΩA

Z rdv

(2.7)

ΩA

On voit maintenant apparaˆıtre les tenseurs des contraintes σ et des vitesses de d´eformation ˙ . En utilisant toutes ces ´equations, et le fait qu’elles doivent ˆetre v´erifi´ees dans tout domaine ΩA , on aboutit `a la relation suivante : → ρe˙ = σ : ˙ + r − div(− q)

(2.8)

Cette relation donne la variation d’´energie interne du mat´eriau, par unit´e de volume, en fonction de sa vitesse de d´eformation (et des contraintes associ´ees) et de son flux de chaleur re¸cu (en surface et en volume).

2.1.3

In´ egalit´ e de Clausius-Duhem, second principe

La temp´erature T et l’entropie S sont les deux variables introduites par le second principe de la thermodynamique, qui stipule que la vitesse de variation de l’entropie est toujours sup´erieure ou ´egale au taux de chaleur re¸cu divis´e par la temp´erature : dS ≥ dt

Z ΩA

r dv − T

Z ∂ΩA

− → → q .− n ds T

(2.9)

Cette in´egalit´e peut R aussi s’´ecrire, en utilisant l’entropie sp´ecifique du mat´eriau s telle que S = ΩA ρsdv, de la fa¸con suivante : → − ds q r (ρ + div( ) − )dv ≥ 0 dt T T ΩA

Z

31

(2.10)

En exprimant r `a l’aide de la relation issue du premier principe, en remar→ − → −−→ ) − → − quant que div( Tq ) = div(T q ) − q .grad(T , et en multipliant par T (variable T2 positive), on en d´eduit l’in´egalit´e locale suivante :

σ : ˙ + ρ(T s˙ − e) ˙ −

− → q −−→ .grad(T ) ≥ 0 T

(2.11)

En introduisant finalement l’´energie libre sp´ecifique du mat´eriau ψ = e − T s, on obtient l’in´egalit´e de Clausius-Duhem : → − q −−→ σ : ˙ − ρ(ψ˙ + sT˙ ) − .grad(T ) ≥ 0 T

2.2 2.2.1

(2.12)

lois de comportement Variables d’´ etat, potentiel thermodynamique

Nous allons postuler que l’´etat thermom´ecanique du mat´eriau est compl`etement d´efini, en un point et pour un instant donn´e, par la connaissance de la valeur de certaines variables en ce point. Ces variables sont appel´ees variables d’´etat. Leur variation au cours du temps n’intervient pas dans la d´efinition de l’´etat du mat´eriau `a l’instant consid´er´e. Le choix des variables d’´etat a un caract`ere subjectif. Il d´epend en effet du ph´enom`ene ´etudi´e. Dans notre cas, nous choisirons les variables suivantes : – le tenseur des d´eformations ´elastiques e – la temp´erature T – une s´erie de variables Vk , qui repr´esentent l’´etat interne du mat´eriau (en particulier sont ”´etat” de plastification) L’´etat thermodynamique du mat´eriau sera alors repr´esent´e localement par un potentiel d´ependant de ces variables d’´etat. Nous choisissons ici naturellement le potentiel ”´energie libre sp´ecifique” ψ(e ,T,Vk ), ce qui permet d’´ecrire : ∂ψ ∂ψ ˙ ∂ψ ˙ ψ˙ = e : ˙e + T+ Vk ∂ ∂T ∂Vk 32

(2.13)

L’in´egalit´e de Clausius-Duhem devient alors, en utilisant la partition en vitesses de d´eformations ˙ = ˙e + ˙p , o` u ˙e est le tenseur des vitesses de d´eformation ´elastique, et ˙p celui des vitesses de d´eformation plastique :

− → q −−→ ∂ψ ∂ψ ˙ ∂ψ ˙ e + σ : ˙p − ρ(s + ˙ ) :  ) T − ρ V − .grad(T ) ≥ 0 (2.14) (σ − ρ → k − ∂T ∂Vk T ∂e Cette in´egalit´e doit ˆetre vraie pour tout type de transformation. En imaginant une transformation ´elastique r´eversible isotherme, sans modification des variables internes, on aboutit `a l’´egalit´e suivante :

σ=ρ

∂ψ ∂e

(2.15)

En imaginant maintenant une transformation thermo´elastique r´eversible, `a temp´erature homog`ene et sans modification des variables internes, on aboutit `a :

s=−

∂ψ ∂T

(2.16)

Le tenseur des contraintes est donc la force thermodynamique associ´ee au tenseur des d´eformations ´elastiques. Par analogie, on d´efinit les forces thermodynamiques associ´ees aux variables internes sous la forme :

Ak = ρ

∂ψ ∂Vk

(2.17)

La donn´ee du potentiel thermodynamique ψ(,T,Vk ) permet donc d’´ecrire des relations entre les variables d’´etat (,T,Vk ) et leurs variables associ´ees (σ,s,Ak ), `a un instant donn´e. Par contre, cette donn´ee ne permet pas de d´ecrire l’´evolution de ces variables au cours d’une transformation. Cette ´evolution sera donn´ee par une loi compl´ementaire : la loi de comportement du mat´eriau. 33

2.2.2

Lois compl´ ementaires, potentiel de dissipation

Compte-tenu des relations pr´ec´edentes, l’in´egalit´e de Clausius-Duhem s’´ecrit sous la forme d’un terme de dissipation Φ positif ou nul : → − −−→ q Φ = σ : ˙p − Ak V˙ k − grad(T ). ≥ 0 T

(2.18)

Pour d´ecrire l’´evolution des variables d’´etat au cours de la transformation, tout en respectant le second principe de la thermodynamique , on postule l’existence d’un potentiel de dissipation φ, s’exprimant comme une fonction → − scalaire continue des variables ”flux”, soit φ(˙p ,V˙ k , Tq ). Ce potentiel doit ˆetre positif, convexe et nulle `a l’origine. Le terme de dissipation Φ sera alors donn´e par ce potentiel sous la forme :

Φ=

→ ∂φ ˙ ∂φ p ∂φ − q ˙ + :  V + . → − k p q ∂ ˙ ∂ V˙ k ∂T T

(2.19)

Les variables ”duales” seront alors obtenu `a partir des lois compl´ementaires suivantes, exprimant que les variables duales sont les normales `a la surface d’iso-potentiel de dissipation (φ = cste), dans l’espace des variables flux (figure 2.2) :  ∂φ   σ= p   ∂ ˙    ∂φ Ak = − ∂ V˙ k    −−→ ∂φ    →  grad(T ) = − − ∂ Tq

(2.20)

−−→ En pratique, on utilisera plutˆot le potentiel de dissipation dual de φ, φ∗ (σ,Ak ,grad(T )), s’exprimant comme une fonction scalaire continue, positive, convexe et nulle `a l’origine des variables duales. Le terme de dissipation Φ s’exprimera alors sous la forme :

Φ=σ:

∂φ∗ ∂φ∗ −−→ ∂φ∗ + Ak + grad(T ). −−→ ∂σ ∂Ak ∂ grad(T )

(2.21)

L’´evolution des variables flux sera alors obtenu `a partir des lois compl´ementaires 34

Fig. 2.2 – propri´et´e de normalit´e des variables duales

suivantes, exprimant que les variables flux sont les normales `a la surface d’isopotentiel φ∗ = cste, dans l’espace des variables duales (figure 2.3) :  ∂φ∗   ˙p =    ∂σ    ∂φ∗ V˙ k = − ∂Ak   → −  q ∂φ∗   = −  − − →  T ∂ grad(T )

(2.22)

Pour passer du potentiel φ au potentiel dual φ∗ , on peut utiliser la transformation suivante (de Legendre-Frenckel), illustr´ee sur la figure 2.4 dans le cadre d’une variable scalaire flux ˙p associ´ee `a une variable scalaire duale σ : −−→ φ (σ,Ak ,grad(T )) = ∗

  → − q p ˙ ˙ sup Φ − φ( ,Vk , ) → − T (˙p ,V˙ , q )

(2.23)

k T

Tout le probl`eme de la mod´elisation du comportement des mat´eriaux r´eside dans la d´etermination de l’expression analytique d’un potentiel thermodynamique ψ, pour l’obtention des variables d’´etat `a un instant donn´e, et d’un potentiel de dissipation φ ou φ∗ , qui donne l’´evolution des variables au cours du temps. Toutefois, leur identification `a partir d’exp´eriences caract´eristiques est difficile, car leur valeur est quasiment inaccessible `a la mesure (il s’agit 35

Fig. 2.3 – propri´et´e de normalit´e des variables flux

Fig. 2.4 – passage de φ `a φ∗ dans le cadre d’une variable scalaire

d’´energies le plus souvent dissip´ee sous forme de chaleur). La mod´elisation porte donc le plus souvent sur les variables flux et sur les variables duales, qui se prˆetent mieux `a la mesure. Les relations de normalit´e sont suffisantes pour respecter le second principe, mais elles ne sont pas n´ecessaires. Les mat´eriaux pour lesquels ces r`egles 36

s’appliquent sont appel´es mat´eriaux standards g´en´eralis´es. La premi`ere r`egle conduit aux lois de la plasticit´e et de la Viscoplasticit´e. La seconde exprime les lois d’´evolution des variables internes, tandis que la derni`ere loi conduit `a la loi de Fourier en thermique.

2.2.3

Cas de la dissipation instantan´ ee

Lorsque la dissipation thermique est instantan´ee, la contrainte m´ecanique `a un instant donn´e σ est ind´ependante de la vitesse de d´eformation plastique `a cet instant ˙p . De mˆeme, les forces associ´ees aux variables internes sont ind´ependantes de leur vitesse de variation. Elles ne d´ependent que de leur valeur `a l’instant consid´er´e. Pour mod´eliser ce type de comportement (mat´eriau insensible `a la vitesse de d´eformation), on utilise un potentiel φ homog`ene et de degr´e 1 en ˙p et en V˙ k . En effectuant la transformation d´ecrite sur la figure 2.4 pour un potentiel homog`ene de degr´e 1, on trouve que le potentiel dual φ∗ est nul tant que la contrainte n’atteint pas une certaine valeur, puis infini ensuite. Il n’est donc pas diff´erenciable. La contrainte limite obtenue dans le cas d’une variable se g´en´eralise par le → ”convexe” d’une fonction f (− σ ,Ak ), f = 0, tel que : 

f < 0 ⇒ φ∗ = 0 ⇒ ˙ p = V˙ k = 0 f = 0 ⇒ φ∗ → ∞ ⇒ ˙ p ,V˙ k ind´etermin´es

(2.24)

Nous verrons que la condition f < 0 fournit le domaine d’´elasticit´e du mat´eriau. De plus, en nous limitant `a la plasticit´e dite ”associ´ee”, les vitesses de d´eformation plastique et les vitesses de variation des variables internes sont obtenues, lorsque f = 0, sous la forme :  ∂f   ˙ p = λ˙ ∂σ   V˙ k = −λ˙ ∂f ∂Ak

(2.25)

C’est la th´eorie de la plasticit´e ind´ependante du temps. Le terme λ˙ intervenant dans l’´equation pr´ec´edente est obtenu par une condition de consistance f˙ = 0, stipulant que les variables duales ne peuvent ”sortir” du convexe f = 0. 37

38

Chapitre 3 ´ Elasticit´ e - Visco´ elasticit´ e 3.1 3.1.1

´ Elasticit´ e lin´ eaire Loi de Hooke g´ en´ eralis´ ee

La loi de Hooke a ´et´e g´en´eralis´ee par Cauchy (1789-1857), qui a propos´e d’exprimer chaque composante du tenseur des contraintes comme une fonction lin´eaire des composantes du tenseur des d´eformations. La loi de Hooke est donc aujourd’hui souvent ´ecrite sous la forme : σ=C:

(3.1)

o` u C est un tenseur du quatri`eme ordre appel´e tenseur des rigidit´es ou tenseur d’´elasticit´e (les composantes covariantes de ce tenseur sont Cijkl ). Le tenseur des rigidit´es fait intervenir l’ensemble des caract´eristiques ´elastiques du mat´eriau. De mˆeme, les d´eformations sont reli´ees lin´eairement aux contraintes par la relation inverse : =S:σ

(3.2)

o` u S est les tenseur des compliances ou tenseur des complaisances ´elastiques du mat´eriaux (ses composantes covariantes sont Sijkl ). Les tenseurs C et S ont a priori 81 composantes (chaque indice varie de 1 `a 3). Toutefois, nous avons vu que les tenseurs des contraintes de Cauchy et 39

des d´eformations sont sym´etriques. Ils n’ont donc chacun que 6 composantes ind´ependantes, et leur liaison lin´eaire peut alors ˆetre r´ealis´ee `a l’aide de 36 termes seulement. La forme suivante est souvent utilis´ee, dans un rep`ere orthonorm´e, pour relier les composantes des contraintes et des d´eformations :

       

σ11 σ22 σ33 σ23 σ31 σ12





      =      

C1111 C2211 C3311 C2311 C3111 C1211

C1122 C2222 C3322 C2322 C3122 C1222

C1133 C2233 C3333 C2333 C3133 C1233

C1123 C2223 C3323 C2323 C3123 C1223

C1131 C2231 C3331 C2331 C3131 C1231

C1112 C2212 C3312 C2312 C3112 C1212

        .      

11 22 33 223 231 212

     (3.3)   

avec la condition Cijkl = Cijlk = Cjikl = Cjilk . Les composantes de la matrice pr´esente dans la relation pr´ec´edente sont souvent not´ees CIJ , avec I et J variant de 1 `a 6.

3.1.2

´ Energie de d´ eformation ´ elastique

Nous avons jusqu’`a pr´esent utilis´e la sym´etrie des tenseurs de contraintes et de d´eformations, ainsi que leur relation lin´eaire via la loi de Hooke. Nous pouvons maintenant utiliser l’autre caract´eristique de la d´eformation ´elastique, qui est sa r´eversibilit´e. Consid´erons donc un solide Ω, et isolons un sous→ − domaine ΩA soumis `a des forces volumiques f v , et `a un vecteur contrainte → − t sur sa fronti`ere (pas de forces d’acc´el´eration, figure 3.1).

Fig. 3.1 – Solide en cours de transformation 40

Nous nous int´eressons `a une transformation ´el´ementaire associ´ee aux efforts appliqu´es sur le sous-domaine ΩA . Cette transformation ´el´ementaire → r´eversible sera caract´eris´ee par un vecteur d´eplacement δ − u , et une ´energie interne dE sous la forme :

( dE = δW + δQ avec

R − R → → → → − δW = ∂ΩA t .δ − u ds + ΩA f v .δ − u ds δQ = T dS

(3.4)

o` u T est la temp´erature absolue et S l’entropie. Toutefois le terme δW peut ˆetre modifi´e comme suit, en utilisant le th´eor`eme de la divergence, le fait que le syst`eme est en ´equilibre, et la sym´etrie du tenseur des contraintes : Z δW =

σ : δdv

(3.5)

ΩA

Il est donc possible d’´ecrire l’´energie interne par unit´e de volume dans le solide de sous la forme de = σ : δ + T ds. La temp´erature est dans notre cas constante (pas d’´echange de chaleur entre ΩA et l’ext´erieur). De plus, e et s sont des fonctions d’´etat, de sorte que de et ds sont des diff´erentielles totales. Le travail δw s’´ecrit donc sous la forme : δw = de − T ds = d(e − T s) = dw = σ : d

(3.6)

On peut en d´eduire que : ∂w ∂2w = σ = C :  , d’o` u =C ∂ ∂∂

(3.7)

L’´energie de d´eformation par unit´e de volume est finalement la forme quadratique d´efinie positive suivante : 1 w= C:: 2

(3.8)

Les relations pr´ec´edentes se traduisent par le fait que la matrice 6x6 de l’´equation 3.3 est sym´etrique et d´efinie positive. Cette matrice ne poss`ede donc que 6x7/2=21 composantes ind´ependantes. Le tenseur des rigidit´es ´elastiques C ne poss`ede donc que 21 composantes ind´ependantes dans le 41

cas le plus g´en´eral. Un raisonnement analogue nous aurait conduit au mˆeme r´esultat pour le tenseur des compliances S, qui ne poss`ede aussi que 21 composantes ind´ependantes.

3.1.3

Relations de sym´ etrie

En pratique, les mat´eriaux poss`edent des sym´etries suppl´ementaires qui permettent de restreindre encore le nombre de composantes ind´ependantes du tenseur des rigidit´es. Les principaux cas rencontr´es sont l’orthotropie (sym´etrie par rapport `a trois plans orthogonaux), qui r´eduit le nombre de composantes `a 9 (c’est le cas par exemple du bois et des cristaux orthorhombiques), la sym´etrie cubique (orthotropie avec des propri´et´es identiques dans les trois directions orthogonales aux plans de sym´etrie), qui r´eduit le nombre de composantes `a 3 (c’est la cas de la structure de nombreux m´etaux), et l’isotropie (mˆemes propri´et´es dans toutes les directions), qui r´eduit le nombre de composantes `a 2 (cette hypoth`ese est largement utilis´ee en m´ecanique des milieux continus, pour les mat´eriaux courants).

Sym´ etrie cubique Dans le cas de la sym´etrie cubique, les trois composantes ind´ependantes de C sont souvent not´ees C11 (= C1111 ), C12 (= C1122 ) et C44 (= C2323 ). Des notations identiques pour S conduisent aux relations suivantes :        

       

σ11 σ22 σ33 σ23 σ31 σ12 11 22 33 223 231 212





      =      





      =      

C11 C12 C12 0 0 0 C12 C11 C12 0 0 0 C12 C12 C11 0 0 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 0 C44

 

S11 S12 S12 0 0 0 S12 S11 S12 0 0 0 S12 S12 S11 0 0 0 0 0 0 S44 0 0 0 0 0 0 S44 0 0 0 0 0 0 S44

 

42

      .      

      .      

11 22 33 223 231 212 σ11 σ22 σ33 σ23 σ31 σ12

       

(3.9)

       

(3.10)

Isotropie Dans le cas isotrope, le nombre de coefficients est r´eduit `a deux par la relation C44 = 12 (C11 − C12 ). Il existe plusieurs fa¸con d’exprimer ces coefficients. On peut par exemple choisir ceux de Lam´e λ = 12 (C11 + C12 ) et µ = 12 (C11 − C12 ), λ ou le module d’Young E = µ 3λ+2µ et le coefficient de Poisson ν = 2(λ+µ) vus λ+µ dans le cas de l’essai de traction. La loi de comportement ´elastique lin´eaire s’´ecrit dans le cas isotrope de la fa¸con suivante : σ = 2µ + λtr()I =

E ν ( + tr()I) 1+ν 1 − 2ν

(3.11)

et dans le sens inverse : =

1 λ 1+ν ν σ− tr(σ)I = σ − tr(σ)I 2µ 2µ(3λ + 2µ) E E

(3.12)

o` u I est le tenseur identit´e. Notons enfin que le module de compression hydrostatique K est ´egalement utilis´e. Il relie la partie hydrostatique de la d´eformation (H = tr()) `a la contrainte hydrostatique (σH = tr(σ)). Il peut ˆetre exprim´e en fonction des coefficients de Lam´e ou en fonction de E et ν sous la forme : K = 3λ + 2µ =

E 1 − 2ν

(3.13)

La figure 3.2 donne le module d’Young (en GP a) et le coefficient de Poisson (sans unit´e) de diff´erents mat´eriaux `a diff´erentes temp´eratures. On constate que le coefficient de Poisson est souvent voisin de 0,3. Si on calcule l’augmentation relative de volume du mat´eriau en cours de traction (par la trace du tenseur des d´eformations), on remarque qu’elle vaut (1 − 2ν)33 . Dans un essai de traction, le mat´eriau s’allonge et augmente g´en´eralement son volume dans le domaine d’´elasticit´e.

3.1.4

Diff´ erents comportements ´ elastiques

Le domaine d’´elasticit´e est donc souvent repr´esent´e par une relation de proportionnalit´e entre la contrainte et la d´eformation (loi de Hooke). Il est cependant important de savoir que ceci n’est qu’une sch´ematisation plus ou 43

mat´eriau

temp´erature (degr´e C) Alliage 20 d’aluminium AU4G 200 500 Alliage de titane 20 Ti 4Al 4Mn 200 Acier XC10 20 200 600 Fonte grise 20 Acier inoxydable 20 aust´enitique 316 200 700 Aluminium (A5) 20 Bronze 20 180 Plexiglass 20 Araldite 20 Caoutchouc 20 verre-epoxy (sens long) 20 carbone-epoxy (sens long) 20 B´eton 20 Granit 20 Pin sylvestre (sens long) 20 Pin sylvestre (sens trans.) 20

module d’Young coefficient (GP a) de Poisson 72 0,32 66 0,325 50 0,35 315 0,34 115 0,34 216 0,29 205 0,30 170 0,315 100 0,29 196 0,3 170 131 68 0,33 130 0,34 61 2,9 0,4 3 0,4 0,002 0,5 19 0,3 87,6 0,32 30 0,2 60 0,27 17 0,45 1

Fig. 3.2 – exemples de caract´eristiques ´elastiques

44

moins r´ealiste du comportement r´eel du mat´eriau. En effet, le comportement ´elastique d’un mat´eriau n’est jamais strictement lin´eaire. An´ elasticit´ e Tous les solides sont plus ou moins ”an´elastiques”, c’est-`a-dire que leur courbe de traction ne suit pas exactement une droite dans le domaine d’´elasticit´e, et de l’´energie est ”dissip´ee” au cours d’un essai de traction. La figure 3.3 donne la courbe obtenue lors d’un cycle de traction-compression effectu´e sur de la fibre de verre. De l’´energie est dissip´ee au cours d’un cycle (surface hachur´ee sur la figure 3.3), ce qui conf`ere au mat´eriau un pouvoir amortissant, permettant de r´eduire les vibrations ou le bruit. Les polym`eres et les m´etaux mous (plomb) ont un fort pouvoir amortissant. Les polym`eres sont par exemple utilis´es dans les ”tˆoles sandwich”. Les m´etaux plus durs et le verre ont une tr`es faible an´elasticit´e. Ils servent `a fabriquer les ressorts (aciers), les cloches (bronzes), . . .

Fig. 3.3 – cycle de traction-compression d’une fibre de verre (d’apr`es [1])

´ Elasticit´ e non-lin´ eaire Le cas particulier du caoutchouc est donn´e sur la figure 3.4 (courbe de traction). Son comportement est quasi-´elastique, mais fortement non-lin´eaire. 45

On parle alors d’´elasticit´e non-lin´eaire. Le solide emmagasine de l’´energie au cours de la traction, puis la restitue totalement lorsque l’on arr`ete la contrainte. Vous vous ˆetes sˆ urement d´ej`a servis de cette propri´et´e pour vous faire involontairement mal aux doigts !! Pour repr´esenter ce comportement, on utilise une ”loi de Hooke” o` u les coefficients du tenseur de rigidit´e varient en fonction de la d´eformation.

Fig. 3.4 – courbe de traction d’un caoutchouc (d’apr`es [1])

3.1.5

Thermo´ elasticit´ e lin´ eaire

Les mat´eriaux sont souvent soumis `a des chargements thermiques qui ont pour effet de dilater les structures. Les d´eformations thermiques sont directement proportionnelles `a la variation de temp´erature ∆T , par le coefficient de dilatation thermique α : th = α∆T I

(3.14)

Lorsque la structure n’est pas li´ee m´ecaniquement `a l’ext´erieur, alors ce champ de d´eformation thermique ne g´en´erera pas de contraintes s’il v´erifie les ´equations de compatibilit´e. On montre qu’une telle condition impose un champ de temp´eratures lin´eaire dans la structure. Dans le cas contraire, ou si la structure est li´ee m´ecaniquement `a l’ext´erieur (on parle alors de dilatation contrari´ee), alors des contraintes seront g´en´er´ees dans le solide. Par exemple, lorsque l’on chauffe de fa¸con homog`ene une barre de m´etal, celleci se dilate sans qu’il y ait cr´eation de contraintes `a l’int´erieur. Par contre, 46

si on impose `a celle-ci de garder la mˆeme longueur, alors une contrainte de compression sera cr´e´ee dans la barre pour respecter cette condition. Une autre fa¸con de cr´eer des contraintes dans la barre est de la chauffer de fa¸con non homog`ene. Par exemple, lors d’un chauffage par induction `a haute fr´equence, le diam`etre ext´erieur de la barre est plus dilat´e que le centre. La partie ext´erieure de la barre sera donc mise en compression par la partie int´erieure. D’une fa¸con plus g´en´erale, lors d’une sollicitation dite ”thermom´ecanique”, les d´eformations thermiques s’ajoutent aux d´eformations m´ecaniques, ellesmˆeme reli´ees aux contraintes par la loi de comportement du mat´eriau. Dans le cas ´elastique lin´eaire isotrope, on obtient une relation entre les d´eformations et les contraintes sous la forme :

=

1+ν ν σ + (α∆T − tr(σ))I E E

(3.15)

L’inversion de cette relation nous fournit la loi de comportement dite ”thermo´elastique” du mat´eriau :

σ=

3.2

E ν E ( + tr()I) − α∆T I 1+ν 1 − 2ν 1 − 2ν

(3.16)

Visco´ elasticit´ e lin´ eaire

La visco´elasticit´e sert `a d´ecrire le comportement de mat´eriaux r´eversibles, mais sensibles `a la vitesse de d´eformation. On peut citer par exemple les polym`eres, et dans une moindre mesure, le b´eton et le bois, comme mat´eriaux `a comportement visco´elastique. Dans ce document, nous nous limiterons aux sch´ematisations lin´eaires de ce type de comportement. Dans le cadre thermodynamique d´ecrit au chapitre 2, on peut citer les mod`eles de Kelvin-Voigt et de Maxwell. Ces mod`eles s’appliquent principalement au comportement visco´elastique des polym`eres.

3.2.1

Mod` ele de Kelvin-Voigt

La variable d’´etat du syst`eme est ici la d´eformation (´elastique) totale du mat´eriau : . Le potentiel thermodynamique d´ecrivant l’´etat du syst`eme est donn´e sous la forme : 47

ψ=


1 λtr()2 + 4µ 2ρ

Dans cette ´equation, tr() et  sont respectivement la trace et le second invariant du tenseur des d´eformations. Pour d´ecrire son ´evolution, on introduit un potentiel de dissipation fonction de la vitesse de d´eformation (´elastique) totale du mat´eriau : ˙ . Ce potentiel s’´ecrit sous la forme : φ=


1 λθλ tr(˙)2 + 4µθµ ˙ 2

Dans cette ´equation, tr(˙) et ˙ sont respectivement la trace et le second invariant du tenseur des vitesses de d´eformation. En ajoutant maintenant la contrainte issue de la variable d’´etat et celle issue de la loi compl´ementaire, on obtient la contrainte σ dans un mat´eriau visco´elastique en fonction de sa d´eformation  et de sa vitesse de d´eformation ˙ :

σ=ρ

∂ψ ∂φ + = λ [tr() + θλ tr(˙)] I + 2µ [ + θµ ˙ ] ∂ ∂ ˙

(3.17)

Les quantit´es θλ et θµ sont des temps caract´eristiques de retard `a la d´eformation servant `a d´ecrire l’influence de la vitesse. Dans le cas uniaxial (contrainte σ et d´eformation ), ce mod`ele donne l’´equation diff´erentielle suivante pour le comportement : σ = E + η ˙ Dans cette ´equation on a η = λ(1 − 2ν)θλ + 2µθµ .

3.2.2

Mod` ele de Maxwell

La variable d’´etat du syst`eme est ici la d´eformation ´elastique du mat´eriau : e . La d´eformation totale est ici partitionn´ee de fa¸con additive en une d´eformation ´elastique et une d´eformation an´elastique. Pour obtenir la d´eformation du 48

mat´eriau , il est plus commode d’utiliser ici le potentiel thermodynamique dual, d´ecrivant l’´etat du syst`eme en fonction de l’´etat de contraintes σ : 1 ψ = 2ρ ∗



1+ν ν tr(σ 2 ) − (tr(σ))2 E E



De mˆeme, le potentiel de dissipation est donn´e en fonction de l’´etat de contraintes sous la forme : 1 φ= 2



1+ν tr(σ 2 ) − f racνEτ2 (tr(σ))2 Eτ1



On introduit ici deux coefficients τ1 et τ2 , caract´eristiques de la viscosit´e du mat´eriau. Finalement, dans ce mod`ele, la vitesse de d´eformation du mat´eriau est obtenue sous la forme suivante :     ν σ˙ σ 1+ν I − tr(σ˙ + σ˙ + ˙ = τ2 τ1 E E

(3.18)

Dans le cas uniaxial (contrainte σ et d´eformation ), ce mod`ele donne l’´equation d’´evolution suivante : ˙ = Dans cette ´equation, on a

1 η

=

1+ν Eτ1

σ˙ σ + E η

−

ν . Eτ2

49

50

Chapitre 4 Plasticit´ e - Viscoplasticit´ e 4.1

R´ esultats exp´ erimentaux

Tous les mat´eriaux poss`edent une limite d’´elasticit´e, qui correspond `a un chargement critique `a partir duquel le comportement du mat´eriau n’est plus r´eversible. Il peut y avoir rupture brutale (cas du verre), rupture progressive (cas du b´eton), mais dans la plupart des cas il y a plastification du mat´eriau. Ceci signifie que sa forme est chang´ee de fa¸con irr´eversible, contrairement au domaine d’´elasticit´e o` u le solide reprend sa forme initiale lorsque l’on relˆache les efforts.

4.1.1

Limite d’´ elasticit´ e

La figure 4.1 repr´esente une courbe de traction nominale obtenue sur un mat´eriau solide. Cette courbe relie la contrainte nominale σn = SF0 , o` u F est la force mesur´ee et S0 la section initiale de l’´eprouvette, `a la d´eformation nominale n = ∆l , o` u ∆l est l’allongement de l’´eprouvette et l0 sa longueur l0 initiale. Les points caract´eristiques de cette courbe sont : – la limite d’´elasticit´e Re , marquant le d´ebut de la d´eformation plastique (irr´eversible) du mat´eriau – la limite d’´elasticit´e conventionnelle R0,2 , donnant la contrainte nominale n´ecessaire pour une d´eformation plastique de 0,2% (on utilise ´egalement avec la mˆeme convention la quantit´e R0,1 pour des mat´eriaux 51

Fig. 4.1 – courbe de traction nominale

peu ductiles, c’est-`a-dire dont la d´eformation plastique est faible avant la rupture) – la r´esistance `a la traction Rm , contrainte nominale maximale observ´ee (avant la striction) – l’allongement `a la rupture AR , d´eformation nominale maximale admissible par le mat´eriau avant rupture

Le tableau 4.1 donne quelques valeurs num´eriques de Re , Rm et AR pour diff´erents mat´eriaux. La figure 4.2 reprend les valeurs de Re par type de mat´eriau. Pour certains comme les c´eramiques, la limite d’´elasticit´e co¨ıncide avec la rupture brutale. De plus, cette limite ne peut ˆetre mesur´ee en traction car ces mat´eriaux r´esistent mal `a la fissuration. On utilise donc l’essai de duret´e pour la mesurer. D’une fa¸con g´en´erale, la limite d’´elasticit´e d’un mat´eriau est un scalaire, souvent not´e σ0 . Il s’agit de la contrainte ”vraie” (F/S) appliqu´ee au mat´eriau lorsqu’apparaˆıt la plastification. Elle est donc l´eg`erement diff´erente de la valeur Re de la figure 4.2, qui est d´efinie comme la contrainte nominale (F/S0 ) appliqu´ee en ce mˆeme point. Toutefois, le changement de section du mat´eriau dans le domaine d’´elasticit´e en traction est souvent tr`es faible, de sorte que l’on confond en g´en´eral ces deux valeurs. Par contre, il est tr`es important de ne pas confondre σ0 et R0,2 (limite d’´elasticit´e conventionnelle). 52

Mat´eriau diamant carbure de silicium, SiC nitrure de silicium, Si3 N4 silice vitreuse, SiO2 carbure de tungst`ene, W C carbure de niobium, N bC alumine, Al2 O3 carbure de titane, T iC carbure de tantale, T aC zircone, ZrO2 verre standard magn´esie, MgO cobalt et ses alliages molybd`ene et ses alliages titane et ses alliages tantale et ses alliages aciers inoxydables aust´enitiques aciers au carbone (trait´es) aciers faiblement alli´es (trait´es) acier doux fer alliages d’aluminium aluminium alliages de cuivre cuivre alliages de nickel nickel or PMMA glace mousse de polyur´ethane caoutchouc naturel

Re en MPa Rm en MPa AR en ◦/◦ 50000 0 10000 0 8000 0 7200 0 6000 0 6000 0 5000 0 4000 0 4000 0 4000 0 3600 0 3000 0 180-2000 500-2500 1-60 560-1450 665-1650 1-36 180-1320 300-1400 6-30 330-1090 400-1100 1-40 286-500 760-1280 45-65 260-1300 500-1880 20-30 500-1980 680-1400 2-30 220 430 18-25 50 200 30 100-627 300-700 5-30 40 200 50 60-960 250-1000 1-55 60 400 55 200-1600 400-2000 1-60 70 400 65 60 220 50 60-110 110 85 0 1 1 10-100 30 500

Tab. 4.1 – Propri´et´es de quelques mat´eriaux (extrait de [1])

4.1.2

Anisotropie

Par d´efinition, la limite d’´elasticit´e σ0 est un scalaire qui ne d´epend que du mat´eriau. En particulier, elle ne doit pas d´ependre pas du type de sollicita53

Fig. 4.2 – Re pour diff´erents mat´eriaux (d’apr`es [1])

tion appliqu´ee. Par exemple, dans le cas de la traction ou de la compression uniaxiale, ce scalaire est compar´e directement `a la contrainte limite appliqu´ee dans la direction de sollicitation (si cette contrainte d´epasse σ0 , le mat´eriau ”plastifie”). Dans certains mat´eriaux, la contrainte appliqu´ee en traction lorsque le mat´eriau plastifie change en fonction du sens de pr´el`evement de l’´eprouvette. Le mat´eriau est alors dit anisotrope (c’est le cas par exemple des composites `a fibres longues ou des tˆoles lamin´ees). Il est alors fr´equent de parler de limites 54

d’´elasticit´e ”sens long” et ”sens travers”, alors qu’elles correspondent au mˆeme mat´eriau, et doivent donc ˆetre ´egales. En fait, ces limites d’´elasticit´e sont apparentes. La valeur σ0 de la limite d’´elasticit´e reste la mˆeme, mais elle n’est plus compar´ee directement `a la contrainte appliqu´ee. On introduit un facteur correctif par direction dans la d´efinition du scalaire qui sera compar´e `a la limite d’´elasticit´e. Ces facteurs rendent compte de l’anisotropie du mat´eriau, et d´efinissent une fonction du tenseur des contraintes, que l’on appelle contrainte ´equivalente.

Fig. 4.3 – contrainte seuil sur du bois feuillu tropical ”Wana-Kouali”, d’apr`es [4]

On remarque ´egalement parfois que la contrainte correspondant `a la limite d’´elasticit´e en traction n’est pas la mˆeme que celle en compression (bois, b´eton, . . . ). Comme pour l’anisotropie, cet effet peut ˆetre incorpor´e dans la d´efinition de la contrainte ´equivalente. La figure 4.3 donne la contrainte seuil observ´ee sur du bois, en traction et en compression, en fonction de l’angle de sollicitation par rapport au sens long. Les effets d’anisotropie ainsi observ´es peuvent ˆetre mod´elis´es `a l’aide d’une contrainte ´equivalente de Tsa¨ı (voir paragraphe suivant). 55

4.2

Mod´ elisation m´ ecanique

4.2.1

Contrainte ´ equivalente

La contrainte ´equivalente appliqu´ee `a un mat´eriau est un scalaire, souvent not´e σ, qui repr´esente l’ensemble du tenseur des contraintes. C’est ce scalaire qui sera compar´e `a la limite d’´elasticit´e σ0 , pour savoir si le mat´eriau a plastifi´e ou non. Il incorpore donc les ´eventuels effets d’anisotropie dans sa d´efinition. Les contraintes ´equivalentes les plus utilis´ees sont celles de von Mises et Tresca pour les mat´eriaux isotropes, et de Hill et Tsa¨ı pour les mat´eriaux anisotrope. – La contrainte ´equivalente de von Mises est d´efinie sous la forme : r 3 1 σV M = Sij Sij avec Sij = σij − σkk δij (4.1) 2 3 Elle est donc proportionnelle au second invariant du tenseur d´eviateur des contraintes S, et on peut l’´ecrire en fonction des deux premiers invariants du tenseur des contraintes, ou directement en fonction de ses composantes principales σI , σII et σIII (valeurs propres du tenseur des contraintes) : σ 2V M = = =

3 2 σ σ − 12 σkk 2 ij ij 1 [(σ11 − σ22 )2 + (σ22 − σ33 )2 2 2 2 2 +3(σ12 + σ23 + σ31 ) 1 2 [(σI − σII ) + (σII − σIII )2 2

+ (σ33 − σ11 )2 ]

(4.2)

+ (σIII − σI )2 ]

– La contrainte ´equivalente de Tresca est d´efinie dans l’espaces des contraintes principales sous la forme : σ T = Sup[|σI − σII |,|σII − σIII |,|σIII − σI |]

(4.3)

– La contrainte ´equivalente de Hill est d´efinie de la fa¸con suivante : s σH =

F (σ11 − σ22 )2 + G(σ22 − σ33 )2 + H(σ33 − σ11 )2 2 2 2 +2Lσ12 + 2M σ23 + 2N σ31

(4.4)

Les coefficients F , G, H, L, M et N caract´erisent l’anisotropie du mat´eriau. Ils sont obtenus par exemple en effectuant des essais de traction et de cisaillement dans diff´erentes directions, et en mesurant la 56

contrainte seuil σs (de traction ou de cisaillement) pour laquelle apparaˆıt la plasticit´e : σ2 − – traction selon → x 1 → F + H = σ02 s σ02 → − – traction selon x 2 → F + G = σ2 s σ02 → − – traction selon x → G + H = 3

σs2

− – cisaillement entre → x 1 et → – cisaillement entre − x et

σ2 − → x 2 → 2L = σ02 s σ02 → − x 3 → 2M = σ2 2 s σ02 − → → − – cisaillement entre x 3 et x 1 → 2N = σ2 s

Cette contrainte ´equivalente est largement utilis´ee pour repr´esenter le comportement de tˆoles lamin´ees, et plus g´en´eralement de mat´eriaux pr´esentant une sym´etrie orthotrope de leurs propri´et´es (sym´etrie par rapport `a trois plans orthogonaux). – La contrainte ´equivalente de Tsa¨ı est de la forme : σ T S = σ H + P (σ11 − σ33 ) + Q(σ22 − σ33 )

(4.5)

Cette contrainte ´equivalente est largement utilis´ee dans le domaine des composites, des bois, . . . . Elle permet, `a l’aide des coefficients P et Q, de rendre compte d’un comportement dissym´etrique en traction et en compression. La notion de limite d’´elasticit´e sera donc g´en´eralis´ee au cas d’un chargement quelconque et aux mat´eriaux isotropes et anisotropes par la condition : σ − σ0 = 0

(4.6)

Comme la contrainte ´equivalente est une fonction scalaire des composantes du tenseur des contraintes, et que σ0 est une caract´eristique intrins`eque du mat´eriau, cette g´en´eralisation respecte la thermodynamique des milieux continus qui stipule que la limite d’´elasticit´e d’un mat´eriau s’´ecrit sous la forme f (σ,Ak ) = 0, o` u les termes Ak repr´esentent les forces associ´ees aux variables internes d´efinissant le mat´eriau. On peut maintenant tracer dans l’espace des contraintes la surface d’´equation 4.6. Cette surface est appel´ee surface d’´ecoulement. Elle d´elimite le domaine des contraintes dans lequel le comportement du mat´eriau est ´elastique (i.e. 57

r´eversible). La forme de la surface d’´ecoulement d´epend du type de contrainte ´equivalente utilis´e pour repr´esenter le mat´eriau, tandis que sa taille d´epend de la valeur de la limite d’´elasticit´e σ0 . La figure 4.4 donne une repr´esentation des surfaces σ V M − σ0 = 0 et σ T − σ0 = 0, dans le plan associ´e aux composantes principales du d´eviateur des contraintes (pour lesquelles on a SI + SII + SIII = 0). Ce plan est souvent appel´e le plan Π. Il est largement utilis´e pour repr´esenter les surfaces d’´ecoulement associ´ees aux contraintes ´equivalentes pr´esent´ees, car celles-ci sont ind´ependantes de la trace du tenseur des contraintes (premier invariant). Ceci illustre le fait que la d´eformation plastique s’effectue sans changement de volume, et donc que l’application d’un chargement purement triaxial (tenseur des contraintes proportionnel `a l’identit´e) ne peut provoquer de plastification. Sur la figure 4.4, un point correspondant `a un essai de traction uniaxial (selon → x 3 ) a ´et´e trac´e, avec ses composantes dans le plan. la direction −

Fig. 4.4 – σ V M − σ0 = 0 et σ T − σ0 = 0 dans le plan Π

Un autre plan largement utilis´e pour repr´esenter les surfaces d’´ecoulement est celui associ´e aux composantes σ − τ du tenseur des contraintes, o` u σ est une contrainte de traction et τ une contrainte de cisaillement (chargement 58

de traction-torsion). Le d´eviateur des contraintes s’´ecrit alors : − 13 σ 0  0 − 13 σ S= 0 τ 

 0 τ  2 σ 3

(4.7)

On montre facilement que les surfaces σ V M − σ0 = 0 et σ T − σ0 = 0 s’´ecrivent respectivement dans ce cas σ 2 + 3τ 2 − σ02 = 0 et σ 2 + 4τ 2 − σ02 = 0. Leur repr´esentation est donn´ee sur la figure 4.5.

Fig. 4.5 – σ V M − σ0 = 0 et σ T − σ0 = 0 dans le plan σ − τ Nous venons de d´efinir la surface d’´ecoulement d’un mat´eriau dans l’espace des contraintes par sa forme et sa taille. Sa forme vient du type de contrainte ´equivalente utilis´ee, tandis que sa taille est donn´ee par la limite d’´elasticit´e σ0 .

4.2.2

Variables d’´ ecrouissage

Les variables thermodynamiques Ak introduites dans l’expression de la surface d’´ecoulement (chapitre 2) ont une grande importance. En effet, la forme de la surface, donn´ee par le type de contrainte ´equivalente choisi (et les facteurs correctifs par direction de sollicitation), et sa taille, donn´ee par la limite d’´elasticit´e σ0 , ne suffisent pas `a la caract´eriser totalement. En effet, cette surface ´evolue au cours d’une d´eformation plastique. Cette ´evolution 59

sera sch´ematis´ee par un d´eplacement de son centre et une variation de sa taille (nous ne traiterons pas ici le cas d’une variation de forme en cours de d´eformation). D’un point de vue macroscopique, on utilise pour cela deux variables :

– une variable R scalaire, dite variable isotrope, qui fournit la taille de la surface d’´ecoulement, et surtout dont l’´evolution donne celle le la taille de la surface en cours de d´eformation (il est ´evident que l’on a R = σ0 `a l’´etat initial) – une variable X tensorielle, dite variable cin´ematique, dont les composantes sont homog`enes `a des contraintes, qui fournit la position de la surface (par exemple de son centre) dans l’espace des contraintes, et donc ´egalement son ´evolution en cours de d´eformation.

Ces deux variables sont `a la base de la mod´elisation macroscopique du comportement m´ecanique des mat´eriaux. La surface d’´ecoulement sera donc formul´ee de la fa¸con suivante :

f (σ − X,R) = (σ − X) − R = 0

(4.8)

o` u l’expression de la contrainte ´equivalente agit non plus sur le tenseur σ, mais sur la quantit´e σ−X. La figure 4.6 donne une repr´esentation sch´ematique de la surface d’´ecoulement d’un mat´eriau dans l’espace des contraintes. Si une contrainte ´equivalente de von Mises est choisie, alors la surface d’´ecoulement s’exprimera sous la forme :

(σ − X)V M − R = 0

(4.9)

Sa repr´esentation dans le plan Π est donn´ee sur la figure 4.7. Nous venons de d´efinir des variables internes, qui d´ecrivent l’´etat du mat´eriau `a un instant donn´e. Nous allons maintenant nous int´eresser `a l’´evolution de ces variables en cours de d´eformation, qui correspond `a sa loi de comportement. 60

Fig. 4.6 – Repr´esentation sch´ematique d’une surface d’´ecoulement dans l’espace des contraintes

4.3 4.3.1

Comportement ´ elastoplastique Loi de normalit´ e

La caract´eristique principale du comportement ´elastoplastique d’un mat´eriau est son insensibilit´e `a la vitesse de sollicitation. Il s’en suit que, quelle que soit cette vitesse, la d´eformation plastique sera gouvern´ee par l’´ecrouissage du mat´eriau, c’est-`a-dire l’´evolution de la forme, de la position, et de la taille de sa surface d’´ecoulement. Tant que l’´etat de contrainte reste `a l’int´erieur de cette surface (f < 0 dans l’´equation 4.8), le mat´eriau reste ´elastique. Lorsqu’il atteint cette surface (f = 0 dans l’´equation 4.8), il peut y avoir plastification. Mais en aucun cas l’´etat de contrainte ne peut ”sortir” de la surface d’´ecoulement. En utilisant les r´esultats du chapitre 2 sur la plasticit´e ind´ependante du temps (cas de la dissipation instantan´ee), et l’´equation g´en´erale de la surface d’´ecoulement (chapitre pr´ec´edent), le choix de deux variables internes pour d´ecrire la surface d’´ecoulement, une isotrope (R) et une cin´ematique (X), nous conduit `a ´ecrire les ´equations suivantes pour d´ecrire 61

Fig. 4.7 – (σ − X)V M − R dans le plan Π

l’´evolution du mat´eriau en cours de d´eformation :

 ∂f ∂((σ − X) − R)    ˙ p = λ˙ = λ˙   ∂σ ∂σ   ∂f ∂((σ − X) − R) ∂((σ − X) − R) α˙ = −λ˙ = −λ˙ = λ˙ = ˙ p  ∂X ∂X ∂σ       p˙ = −λ˙ ∂f = −λ˙ ∂((σ − X) − R) = λ˙ ∂R ∂R

(4.10)

Dans ces ´equations, α˙ et p˙ sont les variables associ´ees respectivement `a X et R, et λ˙ est un multiplicateur scalaire. La forme choisie pour la surface ˙ Les d’´ecoulement (fonction f , ´equation 4.8) conduit `a α˙ = ˙ p et p˙ = λ. ´equations 4.10 constituent la loi de normalit´e en plasticit´e dite associ´ee. En fait, il serait possible de choisir une fonction diff´erente de celle d´ecrivant la surface d’´ecoulement pour appliquer ces relations, tout en respectant le second principe de la thermodynamique. Dans ce document, nous nous limiterons `a la plasticit´e associ´ee, qui est l’hypoth`ese la plus r´epandue en ´elastoplasticit´e. 62

La condition d’´ecoulement en ´elastoplasticit´e s’´ecrira finalement sous la forme suivante : – Si f = (σ − X) − R < 0, alors λ˙ = 0 (comportement purement ´elastique) → − → – Sinon, les variables − σ , X et R v´erifient la condition f = (σ − X)−R = 0. La vitesse de d´eformation plastique ˙ p est alors obtenue par la loi de normalit´e avec λ˙ ≥ 0 (plastification possible)

Fig. 4.8 – Sch´ematisation du comportement ´elastoplastique dans l’espace des contraintes On voit donc que la connaissance de la surface d’´ecoulement permet d’obtenir la ”direction” de la vitesse de d´eformation plastique, mais pas son intensit´e. La vitesse de d´eformation plastique est en effet dirig´ee selon la normale `a la surface d’´ecoulement dans l’espace des contraintes (figure 4.8), tandis que son amplitude est obtenue par le terme λ˙ qu’il faut maintenant d´eterminer.

4.3.2

Condition de consistance

Lorsque l’´etat de contrainte se situe sur la surface d’´ecoulement, le terme λ˙ est calcul´e en appliquant la condition de consistance, qui exprime simplement 63

que l’´etat de contrainte ne peut ”sortir” de la surface d’´ecoulement au cours d’un petit incr´ement de d´eformation. En ´ecrivant cette condition en vitesses, on obtient : ˙ – Si f˙ = (σ − X)−R˙ < 0, alors λ˙ = 0 (retour dans le domaine d’´elasticit´e) ˙ – Sinon, la condition f˙ = (σ − X) − R˙ = 0 donne la valeur de λ˙ En utilisant la forme de la surface d’´ecoulement (´equation 4.8), la condition de consistance f˙ = 0 s’´ecrit de la fa¸con suivante :

∂f ∂f ˙ ∂f ˙ ∂(σ − X) ˙ − R˙ = 0 f˙ = : σ˙ + :X+ R= : (σ˙ − X) ∂σ ∂X ∂R ∂σ

(4.11)

Dans cette ´equation, on voit apparaˆıtre : – le terme σ, ˙ qui traduit l’´evolution de la sollicitation ˙ et R, ˙ qui traduisent l’´evolution de la position et de la – les termes X taille de la surface d’´ecoulement – le terme ∂(σ−X) , qui traduit le type de contrainte ´equivalente utilis´e, et ∂σ donc la forme de la surface d’´ecoulement ˙ et R˙ sont la traduction macroscopique de l’´ecrouissage du Les termes X mat´eriau. La loi de comportement ´elastoplastique d’un mat´eriau est donc l’´ecriture de ces termes d’´ecrouissage en fonction des variables flux ˙ p et ˙ Connaissant la loi de comportement, on peut alors remplacer X ˙ et R˙ p˙ = λ. ˙ pour obtenir dans la condition de consistance par des fonctions de ˙ p et de λ, ˙ une ´equation suppl´ementaire donnant λ.

4.4 4.4.1

Comportement ´ elastoviscoplastique Loi de normalit´ e

Le comportement ´elastoviscoplastique d’un mat´eriau est caract´eris´e par : – un domaine d’´elasticit´e, d´elimit´e par la surface d’´ecoulement d’´equation f (σ,X,R) = (σ − X) − R = 0, 64

– une sensibilit´e `a la vitesse de sollicitation dans le domaine de plasticit´e, d´ecrite par une fonction de dissipation φ∗ . Le choix de deux variables, une isotrope (R) et une cin´ematique (X), nous conduit `a ´ecrire les ´equations suivantes pour d´ecrire l’´evolution du mat´eriau en cours de d´eformation plastique (il est ´evident que le comportement reste ´elastique tant que l’´etat de contrainte n’atteint pas la surface d’´ecoulement) :  ∂φ∗   =  ˙  p  ∂σ   ∂φ∗ α˙ = −  ∂X   ∗  ∂φ   p˙ = − ∂R

(4.12)

Dans ces ´equations, α˙ et p˙ sont les variables associ´ees respectivement `a X et R. Pour un mat´eriau dans un ´etat donn´e, fix´e par les variables (σ,X,R), la figure 4.9 repr´esente sch´ematiquement : – la surface d’´ecoulement f = 0, – les surfaces d’iso-dissipation φ∗ = cste La surface φ∗ = 0 co¨ıncide avec la limite d’´elasticit´e du mat´eriau (la surface d’´ecoulement f = 0). Elle correspond `a une sollicitation `a vitesse nulle. La surface ”φ∗ = ∞” peut s’en ´ecarter beaucoup, et correspond `a une sollicitation infiniment rapide. Entre les deux, l’´etat de contrainte d´ependra de la vitesse de d´eformation plastique. Cette sch´ematisation permet de rendre compte de la sensibilit´e des mat´eriaux `a la vitesse de d´eformation.

4.4.2

Potentiel d’´ ecoulement

La connaissance de la surface d’´ecoulement (fonction f ) et du terme de dissipation (fonction φ∗ ) d´efinit compl`etement le comportement du mat´eriau `a un instant donn´e. D’une fa¸con g´en´erale, ces deux fonctions ne sont pas forc´ement li´ees entre elles, si ce n’est pour respecter le second principe de la thermodynamique. Dans ce document, nous nous limiterons aux mod`eles les plus simples pour sch´ematiser le comportement ´elasto-visco-plastique d’un 65

Fig. 4.9 – Sch´ematisation du comportement ´elasto-visco-plastique dans l’espace des contraintes

mat´eriaux. Dans ces mod`eles, la fonction de dissipation est ´ecrite sous la forme : φ∗ = Ωp (f ) = Ωp ((σ − X) − R)

(4.13)

Le terme Ωp est appel´e potentiel d’´ecoulement. Il d´epend uniquement de l’´ecart entre la contrainte et la surface d’´ecoulement, ´ecart repr´esent´e par la valeur de f . Dans ce cas, la loi de normalit´e peut s’´ecrire sous la forme suivante :  dΩp ∂f dΩp ∂((σ − X) − R)   ˙ p = =    df ∂σ df ∂σ   dΩp ∂f dΩp ∂((σ − X) − R) = ˙ p α˙ = − =−  ∂X df ∂X df       p˙ = − dΩp ∂f = − dΩp ∂((σ − X) − R) = dΩp df ∂R df ∂R df 66

(4.14)

p On remarque alors que le terme dΩ joue ici le mˆeme rˆole que le multiplidf ˙ cateur scalaire λ en ´elastoplasticit´e. Ce terme doit donc ˆetre nul si l’´etat de contrainte est `a l’int´erieur de la surface d’´ecoulement (f < 0, comportement ´elastique). Par contre, il n’existe pas ici de condition de consistance, puisque le multiplicateur scalaire est directement donn´e par la valeur de f lorsque l’´etat de contrainte d´epasse cette surface.

Les variables ˙ p et p˙ servent `a calculer l’´evolution des variables internes X ˙ et R˙ sch´ematisant l’´ecrouissage du mat´eriau, par et R, soit les quantit´es X l’interm´ediaire de sa loi de comportement. On voit donc que la loi de comportement du mat´eriau sera donn´e ici par :

˙ qui repr´esente – l’´evolution des variables X et R en fonction de ˙ p et de p, l’´ecrouissage du mat´eriau (comme dans le cas ´elasto-plastique), – l’expression du potentiel d’´ecoulement Ωp (f ), qui caract´erise sa sensibilit´e `a la vitesse de d´eformation.

La forme la plus utilis´ee pour le potentiel d’´ecoulement est :

K Ωp (f ) = n+1



f K

n+1

K = n+1



σ−X −R K

n+1 (4.15)

o` u K > 0 et n > 1 sont des constantes permettant de quantifier la sensibilit´e de l’´ecoulement plastique `a la vitesse de sollicitation, et o` u l’expression < x > vaut 0 si x < 0 et x sinon. La plasticit´e ind´ependante du temps (ou ´elastoplasticit´e) est donc une simplification de ce cas g´en´eral, pour le cas o` u les surfaces d’iso-dissipation ∗ φ = cste sont suffisamment proche l’une de l’autre pour ˆetre confondues, ou pour les cas o` u l’on s’int´eresse `a des sollicitations suffisamment lentes ou suffisamment rapides pour ne consid´erer qu’une seule surface iso-dissipation. Dans ce cas, l’expression du potentiel d’´ecoulement Ωp (f ) n’est pas explicite. Elle est donn´ee par la condition de consistance. 67

4.5

Quelques exemples

4.5.1

Ecrouissage isotrope

La loi de Prandtl-Reuss d´ecrit le comportement ´elasto-plastique d’un mat´eriau avec une surface d’´ecoulement repr´esent´ee par une contrainte ´equivalente de von Mises et une variable isotrope R. Il n’y a pas de variable cin´ematique. La fonction f caract´erisant la surface d’´ecoulement s’´ecrit alors tout simplement sous la forme : f (σ,R) = σ V M − R

(4.16)

En utilisant l’expression de la contrainte ´equivalent de von Mises, on montre facilement que la loi de normalit´e s’´ecrit dans ce cas :   ˙ = λ˙ ∂f = 3 λ˙ S p ∂σ 2 σV M  ˙ p˙ = λ

(4.17)

De plus, on peut remarquer que le terme p˙ peut ˆetre ´ecrit en fonction du tenseur ˙ p : r p˙ =

2 ˙ : ˙ 3 p p

(4.18)

On reconnatˆıt ici l’expression d’une vitesse de d´eformation plastique ´equivalente, ˙ = σ : ˙ p = σ ˙ p , o` ˙ est la souvent not´ee ˙ p , car elle satisfait la condition W uW puissance de d´eformation plastique, premier membre du terme de dissipation Φ du chapitre 2. ˙ Le terme σ˙ V M repr´esente l’´evolution La quantit´e f˙ s’´ecrit ici f˙ = σ˙ V M − R. ˙ de la sollicitation, tandis que R repr´esente celle de la surface d’´ecoulement (i.e. l’´ecrouissage). Lorsque f = 0, La condition de consistance devient alors : ˙ alors λ˙ = 0 car la sollicitation ne suit pas l’´ecrouissage – Si σ˙ V M < R, (retour dans le domaine d’´elasticit´e) – Sinon, λ˙ est calcul´e de telle sorte que l’´etat de contrainte reste sur la surface d’´ecoulement (il ne peut pas en sortir), soit σ˙ V M = R˙ 68

˙ il suffit donc maintenant d’expriPour obtenir le multiplicateur plastique λ, mer la loi d’´evolution de la variable R en fonction des variables flux. Dans la loi de Prandtl-Reuss, on ecrit cette ´evolution sous la forme :

 R = R(p) avec

R(0) = σ0 (limite d’´elasticit´e initiale) R˙ = H p˙ (H : pente d’´ecrouissage plastique)

(4.19)

La figure 4.10 donne une courbe de traction uniaxiale, sur laquelle nous avons situ´e les variables introduites dans la loi de Prandtl-Reuss. On constate qu’un essai de traction uniaxiale suffit dans ce cas `a caract´eriser compl`etement la loi de comportement du mat´eriau. En effet, la variation de contrainte au cours de l’essai s’´ecrit : σ˙ = E ˙e = E(˙ − ˙p ) = E(˙ −

σ˙ EH ) ⇒ σ˙ = ˙ H E+H

Fig. 4.10 – Essai de traction uniaxiale, loi de Prandtl-Reuss En utilisant les relations pr´ec´edentes, on peut finalement ´ecrire la vitesse de d´eformation plastique de la loi de Prandtl-Reuss sous la forme suivante :  0 si σ V M < R (domaine d’´elasticit´e)    0 si σ V M = R et σ˙ V M < H ˙ V M (retour ´elastique) ˙ p = 3σ˙ V M    S sinon (plastification) 2Hσ V M 69

(4.20)

La vitesse de d´eformation totale est donc obtenue sous la forme : ˙ = ˙ e + ˙ p

(4.21)

o` u la partie ´elastique est donn´ee classiquement par la loi de Hooke et la partie plastique par la relation pr´ec´edente. Dans le cas d’une ´elasticit´e isotrope, la loi de Hooke fournit :

˙ e =

ν 1+ν σ˙ − σ˙ kk I E E

(4.22)

Lorsque la partie ´elastique de la d´eformation est n´eglig´ee (˙ = ˙ p ), l’expression obtenue porte le nom de relation de Levy-Mises. Cette relation est souvent utilis´ee car la loi de Prandtl-Reuss est bien adapt´ee aux sollicitations monotones de grande amplitude, o` u la partie ´elastique de la d´eformation devient n´egligeable devant la partie plastique.

4.5.2

Ecrouissage cin´ ematique lin´ eaire

La loi de Prager d´ecrit le comportement ´elasto-plastique d’un mat´eriau avec une surface d’´ecoulement repr´esent´ee par une variable cin´ematique lin´eaire X et une variable isotrope constante R = σ0 . La fonction f caract´erisant la surface d’´ecoulement s’´ecrit alors tout simplement sous la forme : f (σ,X) = σ − X − σ0

(4.23)

La loi de normalit´e s’´ecrit alors : ∂f ˙ p = α˙ = λ˙ ∂σ

(4.24)

L’´evolution de la variable X ´etant suppos´ee lin´eaire en fonction de α, la loi de Prager s’´ecrit :   ˙ = λ˙ ∂f p ∂σ  ˙ X = C ˙ p 70

(4.25)

Le multiplicateur plastique λ˙ est obtenu par la condition de consistance. On montre facilement que cette condition conduit `a l’expression suivante :  0 si f < 0 (comportement ´elastique)       0 si f = 0 et ∂f : σ˙ < 0 (retour ´elastique) ∂σ λ˙ = ∂f  : σ˙  ∂σ    ∂f  C : ∂f sinon ∂σ

(4.26)

∂σ

Souvent, la contrainte ´equivalente utilis´ee dans la fonction f est celle de von Mises. ceci permet de simplifier les relations pr´ec´edentes, en utilisant le d´eviateur de la variable X. L’´ecrouissage cin´ematique de Prager correspond `a une translation de la surface d’´ecoulement, sans ´evolution de sa taille (la variable R est constante).

4.5.3

Ecrouissage combin´ e

Dans le cas de chargements cycliques, il est difficile d’utiliser la loi de PrandtlReuss ou celle de Prager. En effet, dans le cas d’un ecouissage purement isotrope (loi de Prandtl-Reuss), une sollicitation cyclique sym´etrique (par exemple traction-compression) produira une plastification aux premiers cycles, puis une d´eformation purement ´elastique au cycle stabilis´e. A l’inverse, la loi cin´ematique lin´eaire de Prager produira une plastification identique `a chaque cycle. Pour bien repr´esenter le comportement m´ecanique d’un mat´eriau sous sollicitation cyclique, il est donc n´ecessaire d’utiliser une loi combinant un ´ecrouissage isotrope et un ´ecrouissage cin´ematique. La figure 4.11 repr´esente un cycle contrainte-d´eformation obtenu lors d’une sollicitation en tractioncompression `a d´eformation impos´ee, avec diff´erents types d´ecrouissage. D’une fa¸con g´en´erale, les variables d´ecrouissage R (isotrope) et X (cin´ematique) constituent la loi de comportement du mat´eriau. Elles sont la traduction macroscopique des m´ecanismes de d´eformation plastique du mat´eriau. Leur ´evolution est donn´ee sous la forme suivante : 

X˙ ij = Cijkl ˙pkl +Dij p˙ R˙ = Kij ˙pij +H p˙

(4.27)

En pratique, l’´ecrouissage isotrope R est souvent fonction uniquement de la 71

Fig. 4.11 – Courbes cycliques typiques

variable p (Kij = 0), qui repr´esente la d´eformation plastique cumul´ee puisque p˙ est un scalaire li´e `a la norme du tenseur ˙ p . Le coefficient H est d’ailleurs lui-mˆeme fonction de R, que qui permet de rendre cette loi non-lin´eaire. La loi suivante est par exemple utilis´ee (A et B sont des constantes) : R˙ = A(B − R)p˙

(4.28)

Une loi souvent utilis´ee pour l’´ecrouissage cin´ematique X est : X˙ ij = C ˙pij − DXij p˙

(4.29)

o` u C et D sont des constantes. Le second terme de cette ´equation est un ”terme de rappel”, qui donne un caract`ere non-lin´eaire `a cette relation. Cette loi devient int´eressante lorsque l’on veut repr´esenter le comportement cyclique d’un mat´eriau.

72

Chapitre 5 Endommagement - Rupture 5.1 5.1.1

Endommagement Description

En g´en´eral, lorsque l’on d´eforme un mat´eriau depuis un ´etat initial jusqu’`a un ´etat pr´e-d´eform´e, sa capacit´e de d´eformation ou ductilit´e r´esiduelle jusqu’`a rupture d´ecroˆıt. En cours de d´eformation, le mat´eriau subit donc un endommagement progressif, qui aboutit `a sa rupture. On peut consid´erer l’endommagement comme l’ensemble des ph´enom`enes li´es aux cavit´es qui se forment dans le mat´eriau en cours de d´eformation. Ceci le diff´erencie de l’´ecrouissage par exemple, vu au chapitre pr´ec´edent, qui est principalement dˆ u dans les m´etaux `a l’arrangement et `a la multiplication des dislocations. Une analyse d´etaill´ee de la physique et de la m´ecanique de l’endommagement a ´et´e r´ealis´ee dans [5]. L’endommagement se traduit donc dans le mat´eriau par la formation (phase d’amor¸cage) et le d´eveloppement (phases de croissance et de coalescence) de cavit´es. Or, dans le cadre de la m´ecanique des milieux continus, un solide est suppos´e ne poss´eder ni trou, ni interface, ce qui permet par exemple de d´efinir des variables continues pour repr´esenter les efforts internes de coh´esion dans le mat´eriau. Il est cependant possible d’introduire une notion d’endommagement dans le cadre des milieux continus. Pour cela, on fait l’hypoth`ese que l’´el´ement de volume consid´er´e est suffisamment grand devant les dimensions des h´et´erog´en´eit´es (cavit´es) dues `a l’endommagement. La figure 5.1 illustre la d´efinition des efforts internes dans un mat´eriau endommag´e. La section dS 73

→ − → (de normale unitaire − n ) utilis´ee pour d´efinir le vecteur contrainte t (voir par exemple [3] pour la d´efinition du vecteur contrainte) contient des traces de microfissures et de cavit´es constituant l’endommagement du mat´eriau.

Fig. 5.1 – Sch´ema illustrant la notion d’endommagement dans un milieu continu En notant dSD la surface projet´ee sur dS des traces d’endommagement, on → mesure l’endommagement local, dans la direction − n , par le rapport entre la surface dSD et la surface dS. Cette endommagement vaudra 0 pour un mat´eriau non endommag´e, et 1 pour un mat´eriau totalement rompu per→ pendiculairement `a − n . En cons´equence, la variable d’endommagement ainsi d´efinie : → – d´epend de la direction − n consid´er´ee dans le mat´eriau, – est un scalaire toujours compris entre 0 et 1. Dans ce document, nous nous limiterons au cas d’un endommagement isotrope, c’est-`a-dire identique dans toutes les directions de l’espace. Il s’en suit → que la variable que nous venons de d´efinir ne d´epend pas de − n , car les fissures et les cavit´es sont suppos´ees uniform´ement distribu´ees par rapport `a toutes 74

les directions de l’espace. Cette variable d’endommagement est en g´en´eral not´ee D. → Le tenseur des contraintes − σ dans le mat´eriau r´esulte de la d´efinition du vec→ − → teur contrainte t appliqu´e `a l’´el´ement de surface − n dS. Le vecteur contrainte effectif, c’est-`a-dire celui effectivement subit localement par le mat´eriau, agit → → sur la surface effective − n (dS − dSD ) = − n dS(1 − D). On en d´eduit facilement → − que ce vecteur contrainte effectif vaut t /(1 − D), et donc que le tenseur de contraintes effectives vaut : − → σD =

− → σ 1−D

(5.1)

Il est possible d’inscrire l’endommagement d’un mat´eriau, qu’il soit isotrope ou non, dans le cadre thermodynamique du chapitre 2. Dans le cas isotrope par exemple, D est introduit comme une des variables internes Vk , et on lui associe une force thermodynamique Y . L’´evolution de l’endommagement est alors mod´elis´e par une loi donnant la variation de Y avec les variables internes introduites, dont D. Ceci permet en outre de coupler l’endommagement avec la d´eformation plastique.

5.1.2

Mesure

L’endommagement d’un mat´eriau d´eform´e, ou en cours de d´eformation, peut ˆetre mesur´e de diverses fa¸cons. En fait, il existe deux grandes familles de m´ethodes de mesure. Dans la premi`ere, on r´ealise des mesures directes par observation microscopique. Dans la seconde, on effectue des mesures indirectes en utilisant un param`etre physique.

Mesures directes Les mesures directes de l’endommagement peuvent se faire de diff´erentes fa¸cons. On peut par exemple observer la surface d’un ´echantillon d´eform´e qui avait ´et´e pr´ealablement poli. Pour observer le coeur de l’´echantillon, on peut ´egalement sectionner une ´eprouvette d´eform´ee. Enfin, on peut ´egalement observer le faci`es de rupture de l’´eprouvette. La figure 5.2 montre l’´evolution en compression de la surface apparente d’un parall´el´epip`ede. On constate une modification sensible de cette surface, que 75

Fig. 5.2 – Observation de l’endommagement par microscopie optique : compression d’un parall´el´epip`ede [5]

Fig. 5.3 – Observation sous charge d’un alliage Al − 13%Si, pour une d´eformation totale de 0,1% [5]

l’on peut observer directement par microscopie optique. La figure 5.3 montre que la r´epartition des d´eformations dans un ´echantillon biphas´e peut provoquer des d´ecoh´esions et des ruptures dans la seconde phase (ici de la silice). 76

Mesures indirectes Les mesures indirectes de l’endommagement sont bas´ees sur l’estimation d’un param`etre physique du mat´eriau d´eform´e ou en cours de d´eformation. Ce param`etre physique doit bien sˆ ur ˆetre reli´e `a l’endommagement. Dans ce document, nous nous limiterons aux mesures de caract´eristiques ´elastiques (module d’Young et coefficient de Poisson pour un mat´eriau isotrope). Pour plus de d´etails sur ces mesures, le lecteur trouvera dans [5] une description d’autres m´ethodes telles que par exemple : – la mesure de densit´e – l’´emission acoustique – les m´ethodes ´electriques La mesure de la variation de la pente ´elastique, donc du module d’Young, lors de d´echargements successifs au cours d’un essai de traction montre que ce module diminue lorsque la d´eformation augmente. La figure 5.4 donne quelques r´esultats obtenus par [4]. En fait, le module d’Young mesur´e est un module apparent qui rend compte de l’endommagement du mat´eriau.

Fig. 5.4 – Mesures de l’endommagement par variation du module d’Young [4] Si F est la force de traction appliqu´ee `a l’´eprouvette, σ la contrainte, S sa section courante, et S − SD sa section effective, alors la relation 5.1 permet d’´ecrire : σ = ED e et σD = Ee 77

(5.2)

Dans ces expressions, e est la d´eformation ´elastique, ED est le module d’Young mesur´e (apparent), et E est le module d’Young initial du mat´eriau. On d´eduit de ces relations que, en mesurant E lors du premier chargement, puis ED lors des chargement successifs, on obtient une estimation de l’endommagement du mat´eriau par : D =1−

ED E

(5.3)

Toutefois, lors de telles mesures, il est ´evident que les pentes mesur´ees rendent ´egalement compte d’autres ph´enom`enes que de l’endommagement. Par exemple, il peut y avoir plastification locale d`es le d´ebut des recharges, pr`es des cavit´es ou des inclusions, cette plastification ayant pour effet de modifier par ´ecrouissage la pente apparente dans le domaine d’´elasticit´e.

5.2 5.2.1

Rupture Description

Fig. 5.5 – Rupture ductile : les cupules ont ´et´e amorc´ees par des inclusions visibles en noir [2] La rupture est la cons´equence finale de l’endommagement du mat´eriau. On distingue habituellement deux types de rupture : la rupture fragile et la rupture ductile. Pour connaˆıtre ce type de rupture d’un mat´eriau, il faut exa78

Fig. 5.6 – Rupture fragile par clivage : acier extra-doux rompu par choc `a −196◦ C [2]

miner son faci`es fractographique. La rupture fragile correspond soit `a une d´ecoh´esion intergranulaire, soit `a une rupture des grains suivant des plans cristallographiques simples : c’est le clivage. La rupture ductile pr´esente en g´en´eral un aspect beaucoup plus granuleux, dˆ u `a de fortes irr´egularit´es du profil `a l’´echelle microscopique. Il est important de souligner que le caract`ere ductile ou fragile d’une rupture est donn´e par le faci`es de rupture, et pas par des consid´erations m´ecaniques macroscopiques. Par exemple, une rupture fragile peut se produire dans un mat´eriau apr`es une relativement grande d´eformation plastique, et inversement une rupture ductile peut se produire d`es les d´ebuts de la plastification. Les figures 5.5 et 5.6 illustrent des faci`es de rupture typiques sur des m´etaux. En fait, on observe le plus souvent un m´elange des deux faci`es sur un mˆeme mat´eriau. On dit que la rupture est plutˆot ductile ou plutˆot fragile.

5.2.2

M´ ecanique de la rupture

Le premier mod`ele m´ecanique de la rupture d’un mat´eriau a ´et´e introduit par Griffith en 1920 pour expliquer la rupture fragile du verre. Il a consid´er´e un cas de chargement simplifi´e sch´ematis´e sur la figure 5.7. Dans cette figure, la fissure de longueur 2c croˆıtra si son accroissement produit une diminution de l’´energie totale : 79

Fig. 5.7 – Sch´ema du cas simplifi´e de chargement de Griffith

d(US + UM ) <0 d(2c) Dans cette expression, US = 4cγ est le terme d’´energie superficielle par unit´e de longueur (γ est la tension superficielle), et UM l’´energie m´ecanique issue des expressions analytiques des champs de contrainte et de d´eformation ´elastiques autour d’une fissure elliptique (E est le module d’Young et ν est le coefficient de Poisson) :

UM

 2   −πc2 σa pour une plaque ´epaisse E = 2   −(1 − ν 2 )πc2 σa pour une plaque mince E

La condition de propagation d’une fissure de longueur 2c s’´ecrit donc en annulant la d´eriv´ee de US + UM par rapport `a 2c. On obtient une condition sur la contrainte appliqu´ee de la forme :  r  2Eγ   pour une plaque ´epaisse  s πc σa > 2Eγ    pour une plaque mince  (1 − ν 2 )πc Le crit`ere de Griffith exprime une condition n´ecessaire `a la propagation de la fissure, et ne prend pas en compte le rayon de courbure ρ en pointe de fissure 80

(figure 5.7). En fait, ce crit`ere sera valable uniquement pour le cas de corps tr`es fragiles, o` u le rayon en fond de fissure est tr`es faible (quelques distance inter-atomiques). D’ailleurs, Griffith a test´e avec un relatif succ`es son crit`ere sur des plaque de verre. Les contraintes calcul´ees par la th´eorie de l’´elasticit´e lin´eaire au voisinage de la pointe de fissure sont tr`es grandes. Elles sont ´egales `a σa multipli´e par un facteur de concentration de contraintes. Elles d´epassent largement la limite d’´elasticit´e du mat´eriau. Il s’en suit que l’on a plastification locale et que la pointe de fissure s’´emousse. Le crit`ere de Griffith a donc ´et´e modifi´e en ´ecrivant : G=−

dUM > Gc d(2c)

Dans cette condition, le terme Gc contient un terme de tension superficielle, plus un terme d’´energie de d´eformation au voisinage de la fissure. G est le taux de restitution d’´energie m´ecanique par unit´e de longueur de la fissure. On peut r´e´ecrire l’´equation pr´ec´edente en utilisant l’expression de UM . On obtient par exemple pour une plaque ´epaisse (en d´eformations planes) : G=

p √ πc 2 σa > Gc ou K = σa πc > Kc = EGc E

Les quantit´es Kc et Gc , li´ees entre elles, rendent compte de la t´enacit´e des mat´eriaux (voir le chapitre sur les essais m´ecaniques). Les fissures progresseront lentement dans le solide tant que le facteur K n’atteindra pas la valeur critique Kc . Au-del`a, il peut y avoir rupture brutale par propagation catastrophique de la fissure. En m´ecanique de la rupture, on distingue en fait trois modes de rupture. Dans le mode I, consid´er´e jusqu’ici, les surfaces de la fissure se d´eplacent perpendiculairement l’une `a l’autre. C’est le mode utilis´e pour les essais de laboratoire, o` u l’on d´etermine le facteur KIc . Dans les modes II et III, les surfaces de la fissure glissent l’une sur l’autre. La propagation de la fissure se fait alors par cisaillement.

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Bibliographie [1] M.F. Ashby and D.R.H. Jones. Mat´eriaux : 1. propri´et´es et applications. Dunod, 1991. traduit de l’anglais par Y. Br´echet, J. Courbon et M. Dupeux. [2] J. B´enard, A. Michel, J. Philibert, and J. Talbot. M´etallurgie g´en´erale. Masson, 1984. 2e ´edition. [3] R. Fortunier. M´ecanique des milieux continus. cours ENSM-SE, 1998. [4] J. Lemaitre and J. L. Chaboche. M´ecanique des mat´eriaux solides. Dunod, 1988. [5] F. Montheillet and F. Moussy. Physique et m´ecanique de l’endommagement. Editions de physique, 1986. travaux du GRECO grandes d´eformations.

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