Analysis 001 - PDF Free Download

INHALTSVERZEICHNIS I Inhaltsverzeichnis 1 Reelle und komplexe Zahlen 1.1 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . ...

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INHALTSVERZEICHNIS

I

Inhaltsverzeichnis 1 Reelle und komplexe Zahlen 1.1 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Kommutative Gruppe bzgl. Addition . . . . . 1.1.2 Kommutative Gruppe bzgl. Multiplikation . . 1.1.3 Distributivgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Induktionsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Archimedisch geordneter K¨orper . . . . . . . 1.1.6 Intervallschachtelung (Vollst¨andigkeit von R) 1.2 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Grundbegriffe der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Vereinigung, Durchschnitt, Differenz . . . . . 1.3.2 M¨ achtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Abz¨ ahlbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2

2 Konvergenz von Folgen und unendlichen Reihen 2.1 Der Grenzwert einer Zahlenfolge . . . . . . . . . . 2.2 S¨atze u ¨ber konvergente Folgen . . . . . . . . . . . 2.3 Supremum, Infimum, bestimmte Divergenz . . . . 2.3.1 Supremum / Infimum . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Konvergenz monotoner Folgen . . . . . . . 2.3.3 Die Eulersche Zahl e . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Uneigentlich Grenzwerte . . . . . . . . . . . 2.3.5 Limes Superior und Limes Inferior . . . . . 2.4 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Unendliche Reihen und Partialsummen . . 2.4.2 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Anwendung auf Potenreihen . . . . . . . . . 2.5 Eigenschaften konvergenter Reihen . . . . . . . . . 2.5.1 Umordnung konvergenter Reihen . . . . . . 2.5.2 Produkte von Reihen . . . . . . . . . . . . .

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4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7

3 Stetige Funktionen 3.1 Der Grenzwert einer Funktion . . . . . . . . . . 3.1.1 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Grenzwert von Funktionen . . . . . . . 3.2 Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . 3.3 Grundlegende Gesetze u ¨ber stetige Funktionen 3.4 Monotone Funktionen . . . . . . . . . . . . . .

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4 Differentialrechnung f¨ ur Funktionen einer Ver¨ anderlichen 4.1 Die Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Differentationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Der Taylorsche Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 H¨ ohere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Der Taylorsche Lehrsatz f¨ ur Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Der Taylorsche Lehrsatz f¨ ur Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Die Taylorreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung auf Extremwerte 4.5.1 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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INHALTSVERZEICHNIS

5 Integralrechnung f¨ ur Funktionen einer Ver¨ anderlichen 5.1 Riemann-Stieltjes-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Fundamentalsatz der Differental- / Integralrechnung . . . . . . . . . 5.3 Unbestimmte Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Grundintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Integration rationaler Funktionen / Partialbruchzerlegung . . 5.3.4 Einige Klassen elementar integrierbarer Funktionen . . . . . . 5.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Fall 1: Integrale u ¨ber Intervalle [a, +∞), (−∞, +∞), (−∞, a] 5.4.2 Fall 2: f (x) ist in einer Umgebung von c ∈ [a, b] unbeschr¨ankt 5.4.3 Integralkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6 Funktionenfolgen und Funktionenreihen 6.1 Gleichm¨ aßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Eigenschaften konvergenter Folgen . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Stetigkeit der Grenzfunktion . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Integration glm. konvergenter Folgen . . . . . . . . 6.2.3 Differentation konvergenter Folgen . . . . . . . . . 6.3 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Fourierkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Konvergenz von Fourierreihen stetiger Funktionen 6.4.4 Konvergenz von Fourierreihen diffbarer Funktionen 6.4.5 Dirichletsches Lokalisationsprinzip . . . . . . . . . 6.4.6 Satz von Fej´er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Metrische R¨ aume und normierte R¨aume . . . . . . . . . . 6.5.1 Metrische R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Normierte lineare R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Topologische Grundbegriffe in metrischen R¨aumen . . . . 6.6.1 Offene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3 Stetigkeit von Abbildungen metrischer R¨aume . . 6.6.4 Vollst¨ andigkeit eines metrischen Raumes . . . . . . 6.7 Kompakte Mengen in metrischen R¨aumen . . . . . . . . . ¨ 6.7.1 Der Uberdeckungssatz von Heine-Borel . . . . . . 6.7.2 Kompakte Mengen in metrischen R¨aumen . . . . . 6.7.3 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen . . . .

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7 Differentialrechnung f¨ ur Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher 7.1 Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Gebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Zwischenwertsatz f¨ ur stetige Funktionen . . . . . . . . . . . 7.1.3 Stetige Funktionen auf Teilmengen M ⊆ Rn . . . . . . . . . 7.2 Die Ableitung einer Funktion f : Rn → Rm . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Spezialf¨ alle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4 Koordinatendarstellung der Ableitung einer Funktion f : Rn 7.2.5 Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Die Norm einer linearen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Partielle Ableitungen h¨ oherer Ordnung und Anwendungen . . . . . 7.4.1 Partielle Ableitungen h¨ oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Taylorscher Lehrsatz f¨ ur Funktionen von n Ver¨anderlichen . 7.4.3 Extrema f¨ ur Funktionen mehrerer Ver¨anderlicher . . . . . . 7.4.4 Der Nablakalk¨ ul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Aufl¨ osungss¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Gruppe GL(n, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2 Satz von der Umkehrabbildung / inversen Funktion . . . . II

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INHALTSVERZEICHNIS

7.6

III

7.5.3 Satz von der impliziten Funktion (Aufl¨osungssatz) Parameterabh¨ angige Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1 Stetigkeit von I(y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2 Differenzierbarkeit von I(y) . . . . . . . . . . . . . 7.6.3 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.4 Eine Anwendung: Die Gammafunktion . . . . . . .

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8 Riemannintegrale im Rn 8.1 Das Riemannintegral im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 n-dimensionale Quader . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Integration u ¨ber beliebige Mengen . . . . . . . . 8.1.3 Welche Funktionen sind R-integrierbar? . . . . . 8.2 Iterierte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Iterierte Integrale im R2 . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Iterierte Integrale im R3 . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Anwendung auf die Volumenberechnung . . . . . 8.2.4 Anwendung in der Physik: Momente . . . . . . . 8.3 Transformationen f¨ ur n-dimensionale Riemannintegrale . 8.3.1 Transformationsformel . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.4 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.5 Warum Betrag der Funktionaldeterminante? . .

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9 Kurvenintegrale 9.1 Rektifizierbare Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Kurven im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Tangente an eine Kurve . . . . . . . . . . . . 9.1.3 Rektifizierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.4 Formel f¨ ur die L¨ ange einer Kurve . . . . . . . 9.2 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Definition und Berechnung . . . . . . . . . . 9.2.2 Physikalische Deutung . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Orientierung einer Kurve . . . . . . . . . . . 9.3 Wegunabh¨ angigkeit von Kurvenintegralen . . . . . . 9.3.1 Konservative Kraftfelder und Potentialfelder 9.3.2 Integrabilit¨ atsbedingungen . . . . . . . . . . 9.4 Der Satz von Green . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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10 Differentialformen und Vektoranalysis 10.1 Differentialformen auf dem Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Alternierende Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2 Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.3 Geschlossene und exakte Differentialformen . . . . . . . . 10.1.4 Zwei Spezialf¨ alle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Zur¨ uckziehen von Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Singul¨ are W¨ urfel und singul¨are Ketten . . . . . . . . . . . 10.2.3 Integration v. Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . 10.2.4 Der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.5 Physikalische Deutung des Satzes von Stokes . . . . . . . 10.3 Fl¨achen- und Oberfl¨ achenintegrale im R3 . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Fl¨ achen im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2 Inhalt einer Fl¨ ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.3 Orientierung von Fl¨ achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.4 Oberfl¨ achenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.5 Der Satz von Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . 10.3.6 Physikalische Deutung des Satzes von Gauss-Ostrogradski 10.3.7 Greensche Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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III

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IV

INHALTSVERZEICHNIS

11 Einf¨ uhrung in die Lebesguesche Maß- und Integrationstheorie 11.1 Lebesguesche Maßtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Mengenalgebra und σ-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Inhalt, Pr¨ amaß und Maß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Das Lebesguesche Pr¨ amaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.4 Das Lebesgue-Stieltjes-Pr¨amaß . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.5 Das Lebesguesche Maß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Das Lebesgue-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Messbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Integration von Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Integration nichtnegativer Funktionen . . . . . . . . . . . . 11.2.4 Integration komplexwertiger Funktionen . . . . . . . . . . . 11.2.5 Integration u ¨ber Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Einige S¨ atze zum Lebesgue-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Fast u ¨berall geltende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2 Satz von der monotonen Konvergenz . . . . . . . . . . . . . 11.3.3 Satz von der dominierenden Konvergenz (Satz v. Lebesgue) 11.3.4 Vergleich von Riemann-Integral und Lebesgue-Integral . . . 11.3.5 Die Lp -R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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52 52 52 52 53 54 54 54 54 55 55 56 56 56 56 57 57 57 58

12 Der Hilbertraum 12.1 Begriff des Hilbertraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1 Unit¨ arer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Der Projektionssatz (1. Satz v. Riesz) . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Direkte Summe von Hilbertr¨aumen . . . . . . . . . . . . . . 12.2.2 Der Projektionssatz (1. Satz v. Riesz) . . . . . . . . . . . . 12.3 Stetige lineare Funktionale auf dem Hilbertraum (2. Satz v. Riesz) 12.3.1 Lineare Funktionale auf dem Rn . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.2 Lineare Funktionale auf dem Hilbertraum . . . . . . . . . . 12.3.3 Der 2. Satz v. Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Orthonormalsysteme und Fourierentwicklung im Hilbertraum . . . 12.4.1 Orthonormalsysteme im Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . 12.4.2 Fourierentwicklung von Elementen des Hilbertraumes . . . 12.4.3 Vollst¨ andige Orthonormalsysteme . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.4 Isomorphie separabler Hilbertr¨aume zum Hilbertraum l2 . .

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60 60 60 60 60 61 61 61 62 62 62 62 62 63 63

13 Lineare Operatoren im Hilbertraum 13.1 Beschr¨ ankte lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.1 Definition, Beschr¨ anktheit, Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . 13.1.2 Die Operatorennorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.3 Der adjungierte Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Einige Klassen beschr¨ ankter linearer Operatoren . . . . . . . . . . . 13.2.1 Selbstadjungierte und normale Operatoren . . . . . . . . . . 13.2.2 Unit¨ are Operatoren und isometrische Operatoren . . . . . . . 13.2.3 Projektionsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Konvergenz von Elementen und Operatoren im Hilbertraum . . . . . 13.3.1 Konvergenz von Folgen im Hilbertraum . . . . . . . . . . . . 13.3.2 Konvergenz von Folgen beschr¨ankter Operatoren . . . . . . . 13.4 Spektrum und Resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.2 Spektrum selbstadjungierter Operatoren . . . . . . . . . . . . 13.5 Das Spektraltheorem f¨ ur beschr¨ ankte selbstadjungierte Operatoren . 13.5.1 Spektralscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.2 Integration u ¨ber eine Spektralschar . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.3 Funktionalkalk¨ ul beschr¨ ankter selbstadjungierter Operatoren 13.5.4 Spektrum und Spektralschar . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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IV

INHALTSVERZEICHNIS

V

14 Holomorphe Funktionen 14.1 Einige Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.1 Komplexe Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.2 Die Riemannsche Zahlenkugel und die erweiterte komplexe Zahlenebene . . . . . . 14.1.3 M¨ obiustransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Komplex differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1 Komplexe Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.2 Harmonische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.3 Komplexe Differenzierbarkeit in z0 = ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.4 Holomorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Der Cauchysche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.1 Komplexe Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.2 Cauchyscher Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.3 Cauchysche Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.4 Integrale vom Cauchyschen Typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4 Eigenschaften holomorpher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5 Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6 Lokal gleichm¨ aßige Konvergenz und normale Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7 Einige Anwendungen von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7.1 Identit¨ atssatz und analytische Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7.2 Satz von der Gebietstreue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7.3 Lemma von Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7.4 Spiegelungssatz von Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.8 Singularit¨ aten, Laurent-Reihen, Residuen und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . 14.8.1 Die Laurent-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.8.2 Klassifikation von isolierten Singularit¨aten und Nullstellen holomorpher Funktionen 14.8.3 Residuensatz, Berechnung von Residuen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.8.4 S¨ atze von Hurwitz und Rouche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.8.5 Berechnung von Integralen mit Hilfe des Residuensatzes . . . . . . . . . . . . . . .

71 71 71 71 71 72 72 73 73 73 73 73 74 74 74 74 75 75 76 76 76 76 77 77 77 78 78 79 79

15 Klassifikation linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung 15.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.1 Schreibweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.2 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Variablentransformation und Klassifikation linearer Dgl. 2. Ordnung . . . . . . . . . . . 15.2.1 Variablentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.2 Normalform f¨ ur quadratische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.3 Typ einer Dgl. 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Charakteristiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.1 Berechnung von Charakteristiken im Falle n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4 Anfangswertprobleme und Spezialfall des Theorems von Kowalewski (Potenzreihens¨atze)

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80 80 80 80 80 80 81 81 82 83 83

16 Distributionen und Fundamentall¨ osungen 16.1 Der Testfunktionenraum D(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.1 Definition von D0 (G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.2 Regul¨ are Distributionen und δ-Distribution . . . . . . . . . . 16.2.3 Ableitungen und Produkte mit C ∞ -Funktionen . . . . . . . . 16.2.4 Direktes Produkt und Faltung verallgemeinerter Funktionen . 16.2.5 Lineare Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.6 Begriff der Fundamentall¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3 Temperierte Distributionen und Fouriertransformation . . . . . . . . 16.3.1 Fouriertransformation im Schwarzraum S . . . . . . . . . . . 16.3.2 Temperierte Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.3 Resolventenformel f¨ ur den Laplaceoperator . . . . . . . . . . 16.4 Anfangswertproblem der Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.1 Bestimmung der Fundamentall¨osung E3 . . . . . . . . . . . . 16.4.2 Faltung von E3 mit Distributionen f (x, t), die ihren Tr¨ager in 16.4.3 Distributive Gleichung f¨ ur die klassische L¨osung . . . . . . . 16.4.4 L¨ osungsformeln f¨ ur das klassische AWP . . . . . . . . . . . . 16.4.5 Die Dimensionen n = 2 und n = 1, Abstiegsmethode . . . . . 16.4.6 Ausbreitung von Wellen, Huygensches Prinzip . . . . . . . . .

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84 84 85 85 85 85 86 87 87 88 88 89 90 90 91 91 91 92 93 94

V

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VI

INHALTSVERZEICHNIS

16.4.7 Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.8 Korrektheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5 Anfangswertproblem der W¨ armeleitungsgleichung . . . . . . . 16.6 Fundamentall¨ osung f¨ ur den Laplaceschen Differentialausdruck 16.7 Das Poissonintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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94 94 95 95 96

17 Separationsans¨ atze und Orthogonalreihenentwicklung 97 17.1 Wiederholung zu VNOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 17.2 Anwendungsf¨ alle von Separationsans¨atzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 17.2.1 W¨ armeleitung in einer Drahtschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 17.2.2 Eigenwertprobleme und inhomogene Gleichung f¨ ur Laplaceschen Differentalausdruck in Rechtecken, Quadern,... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 17.2.3 Ans¨ atze f¨ ur die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 17.3 Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen in der Kreisscheibe . . . . . . . . . . . 100 17.4 Sobolevr¨ aume und Extremaleigenschaft des Dirichletproblems der Laplace-Gleichung . . . 101

VI

Reelle und komplexe Zahlen

1 1.1 1.1.1

1

Reelle und komplexe Zahlen Reelle Zahlen Kommutative Gruppe bzgl. Addition

Def.:  • (a + b) + c = a + (b + c)  • a+0=a=0+a additive Gruppe  • ∀ a ∃ (−a), s.d. a + (−a) = (−a) + a = 0 • a+b=b+a 1.1.2

Kommutative Gruppe bzgl. Multiplikation

Def.:  • (a · b) · c = a · (b · c)  • ∃ 1, s.d. a · 1 = a = 1 · a multiplikative Gruppe  • ∀ a 6= 0 ∃ a−1 , s.d. a · a−1 = a−1 · a = 1 • a·b=b·a 1.1.3

Distributivgesetz

Def.: • (a + b) · c = a · c + b · c • a · (b + c) = a · b + a · c Bemerkung: Wenn 1.1.1 − 1.1.3 gilt → kommutativer K¨ orper 1.1.4

Induktionsaxiom

Satz (Grundgesetz der vollst¨ andigen Induktion): Wenn M eine Teilmenge von N mit 1 ∈ M und aus n ∈ M folgt n + 1 ∈ M , dann ist M = N. 1.1.5

Archimedisch geordneter K¨ orper

Def.:  • a 0 ∧ b > 0 ∃ n ∈ N, s.d. a · n > b (Archimedisches Prinzip) 1.1.6

Intervallschachtelung (Vollst¨ andigkeit von R)

Satz: Eine Intervallschachtelung ist eine Folge In von Intervallen [an , bn ], n ∈ N mit den Eigenschaften: • In+1 ⊆ In ∀ n ∈ N (Intervallschachtelung) • ∀ ε > 0 ∃ n(ε) ∈ N, s.d. bn − an < ε ∀ n ≥ n(ε) Satz: Zu jeder Intervallschachtelung ex. genau ein % ∈ R, s.d. % ∈ In ∀ n ∈ N.

1.2

Komplexe Zahlen

Sei C = {(a, b), a, b ∈ R} die Menge der geordneten Paare reeller Zahlen. Satz 1: C bildet mit def. Operationen einen kommutativen K¨orper. Satz 2: Sei (0, 1) = i. Dann heißt i imagin¨ are Einheit mit i2 = −1 . Def.: Sei z = a + i b ∈ C , a, b ∈ R. Dann ist: • a := Re(z) der Realteil von z, • b := Im(z) arteil von z, √ der Imagin¨ 2 2 • |z| := a + b der Betrag von z, • Sei ϕ0 := arctan ab . Es ist ϕ das Argument von z, mit • ϕ = ϕ0 , falls Re(z) > 0 (1. oder 4. Quadrant) • ϕ = ϕ0 + π, falls Re(z) < 0 und Im(z) > 0 (2. Quadrant) • ϕ = ϕ0 − π, falls Re(z) < 0 und Im(z) < 0 (3. Quadrant) • z := a − i b der komplex konjugierte Wert von z. 1

2

Reelle und komplexe Zahlen

Eigenschaften: • |z| = 0 ⇔ z = 0 z |z| |z · w| = |z| · |w|, = (w 6= 0) w |w| • z + w = z + w, z · w = z · w, z = z • z · z = |z|2 • z + z = 2·Re(z) , z − z = 2i·Im(z) •

Satz 4(Dreiecksungleichung): F¨ ur beliebige u, v ∈ C gilt: |u + v| ≤ |u| + |v| Satz 5(Cauchy-Schwarz-Ungleichung): F¨ ur beliebige u1 , . . . , un , v1 , . . . , vn ∈ C gilt: n 2 ! ! n n X X X |uk |2 |vk |2 uk vk ≤ k=1

k=1

k=1

Darstellungsformen: • z = a + i b (Normalform) • z = |z|(cos ϕ + i cos ϕ) mit cos ϕ = • z = |z|eiϕ

a b und sin ϕ = |z| |z|

(trigonometrische Form)

(Eulerform)

Rechenoperationen:  • z · w = |z||w| [cos(ϕz + ϕw ) + i sin(ϕz + ϕw )] = |z||w|ei(ϕz +ϕw )     z |z| |z| i(ϕz −ϕw ) Moivresche Formeln • = [cos(ϕz − ϕw ) + i sin(ϕz − ϕw )] = e  w |w| |w|    • z n = |z|n [cos(n · ϕ) + i sin(n · ϕ)] = |z|n einϕ n ∈ N p p ϕ+k·2π √ ϕ + k · 2π ϕ + k · 2π • n z = n |z| cos + i sin = n |z|ei( n ) n ∈ N , k ∈ {0, 1, . . . , n − 1} n n Satz 8(Binomischer Lehrsatz): n X n! n k n−k n n (z + w) = z w mit = k k k! (n − k)! k=0

1.3

Grundbegriffe der Mengenlehre

1.3.1 Vereinigung, Durchschnitt, Differenz [ • Ai = {Menge aller x, die in min. einem Ai liegen} heißt Vereinigung. i∈I

•

\

Ai = {Menge aller x, die in allen Ai liegen} heißt Durchschnitt.

i∈I

• A \ L = {Menge aller x, die in A aber nicht in L liegen} heißt Differenz. 1.3.2

M¨ achtigkeit

Def. 1: Zwei Mengen A und B heißen gleichm¨ achtig, wenn eine eineindeutige Abbildung Φ von A auf B existiert (Φ : A → B). Def. 2: Eine Menge heißt endlich, wenn sie zu einer Menge der Form {1, . . . , n} mit n ∈ N gleichm¨achtig ∧ ist (n = Anzahl der Elemente). 1.3.3

Abz¨ ahlbarkeit

Def. 1: Eine Menge heißt abz¨ ahlbar, wenn sie zu N gleichm¨achtig ist.

2

Reelle und komplexe Zahlen

3

Satz 2: Jede unendliche Teilmenge einer abz¨ahlbaren Menge ist abz¨ahlbar. Satz 3: Die Menge R der reellen Zahlen ist nicht abz¨ahlbar. Satz 4: Die Menge Q der rationalen Zahlen ist abz¨ahlbar. Folgerung 5: Die Menge R \ Q ist nicht leer, d.h. es ex. min. eine irrationale Zahl.

3

4

2 2.1

Konvergenz von Folgen und unendlichen Reihen

Konvergenz von Folgen und unendlichen Reihen Der Grenzwert einer Zahlenfolge

Zahlenfolge: Vorschrift, die jedem n ∈ N eindeutig eine komplexe Zahl an zuordnet. Symbol: {an ; n ∈ N} Bemerkung: Zahlenfolge ist nicht ¨ aquivalent der Menge der Folgenglieder Def.: {an ; n ∈ N} sei Zahlenfolge. Die Folge {an . n ∈ N} heißt konvergent gegen eine Zahl A ∈ C, wenn f¨ ur alle ε > 0 ein n(ε) ∈ R existiert, s.d. |an − A| < ε ∀ n ≥ n(ε); n ∈ N. A heißt Grenzwert der Folge {an }. Eine Folge, die nicht konvergent ist gegen eine Zahl A, heißt divergent. Symbol: lim an = A n→∞

Eigenschaften: • Jede konvergente Folge besitzt nur einen Grenzwert • an = xn + i yn , xn , yn ∈ R ist konvergent, gdw. {xn }, {yn } konv. und lim an = lim xn + i lim yn n→∞

n→∞

n→∞

• {an } heißt beschr¨ ankt, wenn ein K > 0 existiert mit |an | ≤ K ∀ n ∈ N • Aus {an } konvergent folgt {an } beschr¨ankt.

2.2

S¨ atze u ¨ ber konvergente Folgen

Satz 1: A = lim an ; B = lim bn ; λ ∈ C n→∞

1.)

n→∞

lim λ an = λ · A = λ · lim an

n→∞

n→∞

lim (an · bn ) = A · B = lim an · lim bn

n→∞

2.)

n→∞

n→∞

Sei B = 6 0. an A lim an lim = = n→∞ bn B lim bn

Satz 2(Satz von 2 Polizisten): {an }, {bn }, {cn } seien reelle Zahlenfolgen mit an ≤ cn ≤ bn ∀ n ≥ n0 . {an } und {bn } seien konvergent und es sei lim an = lim bn = A. Dann konvergiert {cn } n→∞ n→∞ und lim cn = A. n→∞

Folgerung 3: {an } sei Nullfolge, also lim an = 0. {xn } sei Folge mit |an | ≥ |xn | ∀ n ≤ n0 . Dann ist n→∞ {xn } auch Nullfolge. Satz 4: Sei {an } konvergente reelle Zahlenfolge mit an ≥ A ; A ∈ R ∀ n ≥ n0 . Dann gilt lim an ≥ A. n→∞

Teilfolge: Sei rn ∈ N f¨ ur n ∈ N mit rn+1 > rn . Dann heißt die Folge {bn := arn } eine Teilfolge von {an }. Satz 5: Jede Teilfolge {bn } einer konvergenten Folge {an } konvergiert ebenfalls. Es ist lim an = lim bn . n→∞

n→∞

Theorem 6(Satz von Bolzano-Weierstrass): Aus jeder beschr¨ankten komplexen Zahlenfolge {an } kann man eine konvergente Teilfolge {bn } ausw¨ahlen. Theorem 7(Cauchy’sches Konvergenzkriterium): Eine komplexe Zahlenfolge {an } konvergiert, gdw. f¨ ur alle ε > 0 ein n(ε) ∈ N existiert, s.d. |an − am | < ε ∀ n, m ≥ n(ε). Bemerkungen: • Grenzwert kommt nicht vor • Kriterium notwendig und hinreichend • an heißt Cauchyfolge, gdw. ∀ ε > 0 ein n(ε) ∈ R ex., s.d. |an − an+k | < ε ∀ n ≥ n(ε), k ∈ N • jede Cauchyfolge ist beschr¨ ankt 4

Konvergenz von Folgen und unendlichen Reihen

2.3

5

Supremum, Infimum, bestimmte Divergenz

2.3.1

Supremum / Infimum

Def. 1: M sei eine nicht leere Menge von reellen Zahlen. • M ist nach oben beschr¨ ankt, wenn ein k ∈ R existiert, s.d. x ≤ k ∀ x ∈ M . k heißt obere Schranke. • M ist nach unten beschr¨ ankt, wenn ein k ∈ R existiert, s.d. x ≥ k ∀ x ∈ M . k heißt untere Schranke. • M heißt beschr¨ ankt, wenn M nach oben und nach unten beschr¨ankt ist, d.h. es existiert m > 0, s.d. |x| ≤ m ∀ x ∈ M. Def. 2: x0 ∈ R heißt Maximum [Minimum] von M , wenn x0 ∈ M mit x ≤ x0 [x ≥ x0 ] ∀ x ∈ M . Def. 3: x0 heißt Supremum [Infimum] von M , wenn • x0 ist obere [untere] Schranke von M • x0 ist kleinste obere [gr¨ oßte untere] Schranke. Eigenschaften: • Falls M ein Maximum (max) oder ein Minimum (min) besitzt, dann ist es eindeutig bestimmt • Falls M ein Infimum (inf) oder ein Supremum (sup) besitzt, dann ist es eindeutig bestimmt • falls ein Maximum existiert → max = sup • falls ein Minimum existiert → min = inf Satz 1: M sei eine nicht leere, nach oben beschr¨ankte Menge reeller Zahlen. Dann besitzt M ein Supremum x0 , dies ist eindeutig. Es existiert eine Folge {xn } mit xn ∈ M ∀ n ∈ N und lim xn = x0 = n→∞ sup M .

2.3.2

Konvergenz monotoner Folgen

{an } sei eine Folge reeller Zahlen. Def.: • {an } • {an } • {an } • {an }

heißt heißt heißt heißt

monoton wachsend, wenn an ≤ an+1 ∀ n ∈ N. eigentlich monoton wachsend oder streng monoton wachsend, wenn an < an+1 ∀ n ∈ N. monoton fallend, wenn an ≥ an+1 ∀ n ∈ N. eigentlich monoton fallend oder streng monoton fallend, wenn an > an+1 ∀ n ∈ N.

Satz 2: {an } sei monoton wachsende [fallende] Folge reeller Zahlen. Die Folge konvergiert, gdw. {an } nach oben [unten] beschr¨ ankt ist.

2.3.3

Die Eulersche Zahl e n n+1 und yn = 1 + n1 f¨ ur n ∈ N. Satz 3: Sei xn = 1 + n1 • xn , yn konvergieren und lim xn = lim yn = e. n→∞

n→∞

• xn ist monoton wachsend, yn monoton fallend. 2.3.4

Uneigentlich Grenzwerte

{an } sei eine Folge reeller Zahlen. Def.: {an } heißt bestimmt divergent nach +∞ [−∞] (d.h. +∞ [−∞] ist uneigentlicher Grenzwert der Folge {an }), wenn f¨ ur alle k ∈ R ein n(k) ∈ R existiert, s.d. an ≥ k [an ≤ k] ∀ n ≥ n(k). Symbol: lim an = +∞ bzw. lim an = −∞ n→∞

n→∞

Eigenschaften: Sei lim xn = x ; x ∈ R und lim yn = +∞. n→∞

n→∞

•

lim (xn + yn ) = +∞ n→∞  +∞  −∞ • lim (xn · yn ) = n→∞  keine Aussage •

f¨ ur x > 0 f¨ ur x < 0 f¨ ur x = 0

lim yn = +∞ ⇔ lim (−yn ) = −∞

n→∞

n→∞

5

6

Konvergenz von Folgen und unendlichen Reihen

2.3.5

Limes Superior und Limes Inferior

Def.: Die Limesmenge L(an ) der Folge {an } sei die Menge aller Grenzwerte und uneigentlichen Grenzwerte von Teilfolgen der Folge {an }. L(an ) ⊆ {R ∪ +∞ ∪ −∞}. Lemma: L(an ) ist nicht leer. Def.: {an } sei reelle Zahlenfolge. • a∗ := sup L(an ) heißt Limes superior oder oberer Limes • a∗ := inf L(an ) heißt Limes inferior oder unterer Limes Symbol: a∗ = lim sup an = lim an ; a∗ = lim inf an = lim an n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

Eigenschaften: (1) es ex. Teilfolgen {ank } und {ann } von {an } mit a∗ = lim ank und a∗ = lim ann (2) a∗ = a∗ gdw. an konvergent oder bestimmt divergent

n→∞

n→∞

(3) an ≤ bn ∀ n ≥ n0 → lim an ≤ lim bn und lim an ≤ lim bn n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

(4) an = lim an ≤ lim an n→∞

n→∞

2.4

Unendliche Reihen

2.4.1

Unendliche Reihen und Partialsummen

Def. 1: Sei {an }, n ∈ N eine komplexe Zahlenfolge. Das Symbol k P n-tes Reihenglied, sk = an heißt k-te Partialsumme.

∞ P

an heißt unendliche Reihe. an heißt

n=1

n=1

Def. 2: Die Reihe

∞ P

an heißt konvergent, wenn die Folge {sk , k ∈ N} der Partialsummen konvergiert.

n=1

Andernfalls heißt die Reihe divergent. Def. 3: die Reihe

∞ P

an heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

n=1

∞ P

|an | konvergiert. Aus absoluter

n=1

Konvergenz folgt Konvergenz. Eigenschaften: ∞ P (1) Wenn an konvergent, dann gilt: lim an = 0 n→∞ n=1 ∞ P (2) an konvergent, gdw. ∀ ε > 0 ein k(ε) ∈ R ex., s.d. (3)

n=1 ∞ P

an konvergiert, gdw.

an , r ∈ N konvergiert.

n=r

n=1

2.4.2

∞ P

k+p P an < ε ∀ k > k(ε) und p ∈ N n=k

Konvergenzkriterien

Satz 1(Majorantenkriterium): Es existiert ein M > 0 und n0 ∈ N mit |an | ≤ M · bn ∀ n ≥ n0 . ∞ ∞ P P (1) Wenn bn konvergiert, dann konvergiert auch |an | (2) (3)

Wenn

n=1 ∞ P

Wenn

n=1 ∞ P

n=1

∞ P

|an | divergiert, dann divergiert auch

bn

n=1

|an | konvergiert, dann konvergiert auch

n=1 ∞ P

Bemerkung:

bn wird als Majorantenreihe und

n=1

∞ P

∞ P

an

n=1

an als Minorantenreihe bezeichnet.

n=1

Satz 2(Cauchyscher Verd¨ unnungssatz): Sei a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an ≥ an+1 ≥ 0 (monoton fallend). ∞ ∞ P P Die Reihe an konvergiert, gdw. die Reihe 2k a2k konvergiert. n=1

Satz • w • w • w

3(Wurzelkriterium): Sei die Reihe < 1 die Reihe absolut konvergent > 1 die Reihe divergent = 1 keine Aussage m¨ oglich.

n=1 ∞ P

an gegeben und w := lim

n→∞

n=1

6

p n |an |. Dann ist f¨ ur:

Konvergenz von Folgen und unendlichen Reihen

7

an+1 . Dann ist f¨ ur: Satz 4(Quotientenkriterium): Sein an = 6 0 ∀ n ∈ N und q := lim n→∞ an • q < 1 die Reihe absolut konvergent • q > 1 die Reihe divergent • q = 1 keine Aussage m¨ oglich. Bemerkungen: ∞ an+1 < 1 → P an absolut konvergent (1) q := lim n→∞ n=1 an ∞ an+1 P (2) q := lim >1→ an divergent n→∞ an n=1 ∞ an+1 P ≤ q ∀ n ≥ n0 → (3) es ex. 0 ≤ q < 1, s.d. an absolut konvergent. an n=1 Satz 5(Leibniz-Kriterium): Sei an ∈ R. Sei (1) |an | ≥ |an+1 | ∀ n ∈ N (2)

lim an = 0

n→∞

sign an = −sign an+1 ∀ n ∈ N (Vorzeichenwechsel) ∞ P Dann ist die Reihe an konvergent. (3)

n=1

2.4.3

Anwendung auf Potenreihen ∞ P

an z n mit z ∈ C und z 0 = 1 heißt Potenzreihe. an 1 , R heißt Konvergenzradius. p Satz 6: Sei R := und R := lim n→∞ an+1 lim n |an | n→∞ ∞ P • |z| < R → an z n konvergiert absolut.

Def. 4: Sei an ∈ C. Die Reihe

n=1

•

|z| > R →

n=1 ∞ P

an z n divergiert.

n=1 k P

Bemerkung: Sei sk =

an und s =

n=1

2.5 2.5.1

∞ P

an . Dann folgt aus a1 > 0, dass s2n < s < s2n+1 .

n=1

Eigenschaften konvergenter Reihen Umordnung konvergenter Reihen

Def. 1: r sei bijektive Abbildung N → N. Dann heißt die Reihe ∞ P Umordnung von an .

∞ P

a0n , wobei a0n = arn ist, eine

n=1

n=1 ∞ P an heißt unbedingt konvergent, wenn jede Umordnung a0n der Reihe n=1 n=1 ∞ P ∧ auch konvergiert und die gleiche Summe hat, wie an . Nicht unbedingt konvergent = bedingt konvergent.

Def. 2: Eine konvergente Reihe

∞ P

n=1

Satz 1: Eine Reihe

∞ P

an ist absolut konvergent, gdw. sie unbedingt konvergent ist.

n=1 ∞ P

an sein nicht absolut konvergent, aber konvergent. Sei x ∈ R ∪ ∞ ∞ ∞ P P P x = +∞ ∪ x = −∞. Dann existiert eine Umordnung a0n von an , s.d. a0n = x.

Satz 2(B.Riemann): Die Reihe

n=1

n=1

n=1

n=1

2.5.2

Produkte von Reihen ∞ ∞ ∞ n P P P P Def.: Sei cn = ak bn−k . Die Reihe cn heißt Cauchysche Produktreihe von an und bn . k=0

n=0

n=0

7

n=0

8

Konvergenz von Folgen und unendlichen Reihen

∞ ∞ P P Satz 4(Satz v. Mertens): Wenn die Reihe an konvergiert und die Reihe bn absolut konvergiert, ∞ n=0 n=0 P konvergiert cn und es gilt: n=0 ∞ X n=0

cn =

∞ X n=0

! an

∞ X

! bn

n=0

Satz 5(Satz v. Cauchy): Wenn die Reihen ∞ P cn ebenfalls absolut konvergent.

∞ P

an und

n=0

∞ P

bn absolut konvergieren, dann ist die Reihe

n=0

n=0

Anwendung auf Potenzreihen: Die Cauchysche Produktreihe zweier Potenzreihen mit Konvergenzradien R1 und R2 ist wieder eine Potenzreihe, mit dem Konvergenzradius RC = min (R1 , R2 ).

8

Stetige Funktionen

3 3.1 3.1.1

9

Stetige Funktionen Der Grenzwert einer Funktion Funktionen

Sei D ⊆ R. Eine Funktion ist eine Abbildung f : D → C. Dann heißt D(f ) Definitionsbereich und {f (x) ; x ∈ D} = W (f ) Wertebereich. Sei f : D → R (reellwertig). Dann ist G(f ) = {(x, f (x)) ; x ∈ D} , G(f ) ⊆ R2 der Graph von f . Zusammansetzung: • (f ◦ g)(x) = f (g(x)) • D(f ◦ g) = {x ∈ D(g) ; g(x) ∈ D(f )}

3.1.2

Grenzwert von Funktionen

Symbole: • beidseitiger Grenzwert: lim f (x) = A x→x0

• linksseitiger Grenzwert: • rechtseitiger Grenzwert:

lim

f (x) = A

lim

f (x) = A

x→x0 −0 x→x0 +0

Grenzwertdefinition f¨ ur x0 ∈ R, A ∈ C: • Def.(ε-δ-Definition): f (x) hat f¨ ur x → x0 den Grenzwert A ∈ C, wenn zu jedem ε > 0 ein δ(ε) > 0 existiert derart, dass |f (x) − A| < ε ∀ x ∈ D(f ) mit 0 < |x − x0 | < δ(ε). • Def.(Folgendefinition): f (x) hat f¨ ur x → x0 den Grenzwert A ∈ C, wenn f¨ ur jede Folge (xn , n ∈ N) mit lim xn = x0 , xn ∈ D(f ) und xn 6= x0 ∀ n ∈ N, auch lim f (xn ) = A gilt. n→∞

n→∞

• Symbol: lim f (x) = A x→x0

Beispiel Grenzwertdef. f¨ ur x0 → ±∞, A ∈ C ; D(f ) = (a, +∞): • Def.(ε − δ−Definition): f (x) hat f¨ ur x → +∞ den Grenzwert A ∈ C, wenn zu jedem ε > 0 ein K(ε) > 0 existiert derart, dass |f (x) − A| < ε ∀ x ≥ K(ε) und x ≥ a. • Def.(Folgendefinition): f (x) hat f¨ ur x → +∞ den Grenzwert A ∈ C, wenn f¨ ur jede Folge (xn , n ∈ N) mit lim xn = +∞, xn ∈ D(f ) und xn ≥ a ∀ n ∈ N, auch lim f (xn ) = A gilt. n→∞

• Symbol:

n→∞

lim f (x) = A

x→+∞

Beispiel Grenzwertdef. f¨ ur x0 ∈ R, A → ±∞ (uneigentl. Grenzwerte): • Def.(ε − δ−Definition): f (x) geht f¨ ur x → x0 gegen +∞, wenn zu jedem K ∈ R ein δ(K) > 0 existiert derart, dass f (x) > K ∀ x ∈ D(f ) und 0 < |x − x0 | < δ(K). • Def.(Folgendefinition): f (x) geht f¨ ur x → x0 gegen den ±∞, wenn f¨ ur jede Folge (xn , n ∈ N) mit lim xn = x0 , xn ∈ D(f ) und xn 6= x0 ∀ n ∈ N, auch lim f (xn ) = +∞ gilt. n→∞

n→∞

• Symbol: lim f (x) = +∞ x→x0

Beispiel Grenzwertdef. f¨ ur x0 → ±∞, A → ±∞ ; D(f ) = (a, +∞) (uneigentl. Grenzwerte): • Def.(ε − δ−Definition): f (x) geht f¨ ur x → +∞ gegen −∞, wenn zu jedem K ∈ R ein M (K) ∈ R existiert derart, dass f (x) < K ∀ x ≥ M (K) und x ≥ a. • Def.(Folgendefinition): f (x) geht f¨ ur x → +∞ gegen −∞, wenn f¨ ur jede Folge (xn , n ∈ N) mit lim xn = +∞, xn ≥ a und xn 6= x0 ∀ n ∈ N, auch lim f (xn ) = −∞ gilt. n→∞

• Symbol:

n→∞

lim f (x) = −∞

x→+∞

Beispiel Grenzwertdef. f¨ ur x0 ∈ R, A → ±∞ (uneigentl. Grenzwerte): • Def.(ε − δ−Definition): f (x) geht f¨ ur x → x0 linksseitig gegen +∞, wenn zu jedem K ∈ R ein δ(K) > 0 existiert derart, dass f (x) > K ∀ x ∈ (a, x0 ) und x0 − δ(k) < x < x0 • Def.(Folgendefinition): f (x) geht f¨ ur x → x0 linksseitig gegen +∞, wenn f¨ ur jede Folge (xn , n ∈ N) mit lim xn = x0 , xn ∈ (a, x0 ) ∀ n ∈ N, auch lim f (xn ) = +∞ gilt. n→∞

• Symbol:

lim

x→x0 −0

n→∞

f (x) = +∞

Eigenschaften: • Beide Definitionen sind ¨ aquivalent • Wenn die Bedingungen von beiden Definitionen erf¨ ullt sind, dann ist A eindeutig bestimmt 9

10

Stetige Funktionen

3.2

Stetigkeit von Funktionen

f (x) sei Funktion auf [a, b], a < b ; a, b ∈ R. Def. 1: f (x) heißt stetig in x0 ∈ (a, b), wenn lim f (x) = f (x0 ) ist. x→x0

Def. 2: f (x) heißt rechtsseitig stetig in a, wenn lim f (x) = f (a) ist. x→a+0

Def. 3: f (x) heißt linksseitig stetig in b, wenn lim f (x) = f (b) ist. x→b−0

Def. 4: f (x) heißt steitig auf [a, b], wenn f (x) stetig in jedem Punkt x0 ∈ (a, b) ist und rechtseitig stetig in a und linksseitig stetig in b. Bemerkungen: • lim f (x) = f (x0 ) bedeutet, dass der Grenzwert existiert und gleich f (x0 ) ist x→x0

•

lim f (x) = f ( lim x) x→x0

x→x0

• Stetigkeit ist eine Punkteigenschaft Satz 1: f (x) und g(x) seien stetig in x0 . Dann ist f + g, f · g, λ · f ; λ ∈ C stetig in x0 . Wenn g(x) 6= 0 ist f /g stetig in x0 . Satz 2: f (x) ist stetig in x0 , gdw. f (x) linkseitig stetig in x0 und rechtsseitig stetig in x0 ist. Satz 3: Sei f (x) stetig in x0 und g(y) stetig in y0 . Sei f (x0 ) = y0 . Dann ist g ◦f (x) = g f (x) stetig in x0 . Eigenschaften: • f (x) stetig in x0 → |f (x)| ist stetig in x0 • f (x) und g(x) seien stetig in x0 . Dann sind h(x) = max f (x), g(x) und k(x) = min f (x), g(x) auch stetig in x0 . Sprungstelle: f (x) sei definiert auf (a, b) und x0 ∈ (a, b).

lim

x→x0 −0

f (x) = f (x0 − 0) und

lim

x→x0 +0

f (x) =

f (x0 + 0) existieren. Dann heißt die Zahl f (x0 + 0) − f (x0 − 0) Sprungh¨ ohe in x0 .

3.3

Grundlegende Gesetze u ¨ ber stetige Funktionen

f (x) sei komplexwertige stetige Funktion auf dem abgeschlossenen, beschr¨ankten Intervall [a, b] ; a < b ; a, b ∈ R. Satz 1: f (x) ist beschr¨ ankt, d.h. es existiert ein M > 0, s.d. |f (x)| ≤ M f¨ ur alle x ∈ [a, b]. Satz 2: f (x) sei reell. Dann existieren x1 , x2 ∈ [a, b], s.d. f (x1 ) = min f (x) und f (x2 ) = max f (x). x∈[a,b]

x∈[a,b]

Def.: f (x) heißt gleichm¨ aßig stetig auf einem Intervall I, gdw. f¨ ur alle ε > 0 ein δ(ε) > 0 existiert, s.d. |f (x) − f (x0 )| < ε ∀ x, x0 ∈ I und |x − x0 | < δ(ε). Satz 3(Satz v. Cantor): Jede stetige Funktion f auf [a, b], a < b, a, b ∈ R ist gleichm¨aßig stetig auf [a, b]. Satz 4(Zwischenwertsatz): f (x) sei reellwertige Funktion auf [a, b], f (a) 6= f (b). Sei c ∈ R mit f (a) < c < f (b) oder f (b) < c < f (a). Dann ex. ein xc ∈ [a, b] mit f (xc ) = c. Lemma 5: f (x) sei reellwertige Funktion auf [a, b]. Es sei f (x0 ) > 0, x0 ∈ (a, b). f sei stetig [linksseitig | rechtsseitig] in x0 . Dann existiert ein ε > 0 und ein δ > 0, s.d. f (x) ≥ ε ∀ x ∈ (a, b) mit |x − x0 | < δ [ x0 − δ < x ≤ x0 | x0 ≤ x < x0 + δ ]. | {z } | {z } linksseitig stetig

3.4

rechtsseitig steitig

Monotone Funktionen

Def.: • f heißt • f heißt • f heißt • f heißt

monoton wachsend, gdw. aus x1 < x2 f (x1 ) ≤ f (x2 ) folgt. monoton fallend, gdw. aus x1 < x2 f (x1 ) ≥ f (x2 ) folgt. eigentlich monoton wachsend, gdw. aus x1 < x2 f (x1 ) < f (x2 ) folgt. eigentlich monoton fallend, gdw. aus x1 < x2 f (x1 ) > f (x2 ) folgt.

10

Stetige Funktionen

11

Satz 1: f (x) sei reellwertige Funktion auf [a, b]. f sei monoton auf [a, b] f¨ ur alle x ∈ (a, b). Dann ex. lim f (x) = f (x0 − 0) und lim f (x) = f (x0 + 0). Jede Unstetigkeitsstelle ist Sprungstelle. Die x→x0 −0

x→x0 +0

Menge der Unstetigkeitsstellen ist entweder leer, endlich oder abz¨ahlbar. Satz 2: f (x) sei reellwertige, eigentlich monoton wachsende, stetige Funktion auf [a, b]. Dann besitzt f (x) eine eigentlich monoton fallende, stetige Umkehrfunktion x = g(y) auf [f (a), f (b)]. Es gilt (g ◦ f )(x) = x und (f ◦ g)(y) = y f¨ ur alle x ∈ [a, b] und y ∈ [f (y), f (b)]. Symbol: y = g(x) mit g = f −1

11

12

4 4.1

Differentialrechnung f¨ ur Funktionen einer Ver¨ anderlichen

Differentialrechnung fu anderlichen ¨ r Funktionen einer Ver¨ Die Ableitung einer Funktion

(x0 ) Def.1: f (x) heißt diffbar in x0 , wenn der Grenzwert lim f (x0 +h)−f exisitert. Dieser Grenzwert heißt h h→0 Ableitung der Funktionf (x) in x0 . d Symbol: f 0 (x0 ) = y 0 (x0 ) = f (x0 ) dx

Satz: f (x) sei auf [x0 , b] mit x0 < b (bzw. [a, x0 ] mit a < x0 ) definiert. Dann heißt f (x) rechtsseitig (x0 ) (x0 ) bzw. lim f (x0 +h)−f gilt. diffbar bzw. linksseitig diffbar, wenn lim f (x0 +h)−f h h h→0−0

h→0+0

Symbol: f 0r f¨ ur rechtsseitig diffbar, f 0l f¨ ur linksseitig diffbar Tangente: Sei f (x) diffbar in x0 und f (x0 ) = y0 . Dann ist die Tangente: y − y0 = f 0 (x0 )(x − x0 ). Eigenschaften • Sei f (x) = f1 (x) + if2 (x). f (x) ist diffbar, gdw. f1 (x) und f2 (x) diffbar in x0 mit f 0 (x0 ) = f 01 (x0 ) + if 02 (x0 ). • f (x) ist diffbar in x0 , gdw. f (x) linksseitig und rechtsseitg diffbar in x0 ist, und f 0r (x0 ) = f 0l (x0 )

4.2

Differentationsregeln

Satz 1: Wenn f (x) diffbar ist in x0 , dann ist f (x) stetig in x0 . Bemerkungen: • f (x) = |x| ist stetig, aber nicht diffbar in x0 = 0 • Umkehrung gilt nicht Satz 2: Sei f (x) und g(x) diffbar in x0 , λ ∈ C. (1.) f + g, f · g, λf sind diffbar in x0 . Es gilt: • (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ) • (λf )0 (x0 ) = λf 0 (x0 ) • (f · g)0 (x0 ) = f (x0 ) · g 0 (x0 ) + f 0 (x0 ) · g(x0 ) 0 f f 0 · g − f · g0 f diffbar in x0 mit (x0 ) = (x0 ). (2.) Sei g(x0 ) 6= 0. Dann ist g g g2 Satz 3(Kettenregel): z = g(x) sei in x0 ∈ (a, b) diffbar. y = f (z) sei in z0 = g(x0 ) diffbar. g(x) sei auf (a, b) definiert und bildet (a, b) auf (z0 − δ, z0 + δ) ab, wo f (z) definiert ist. Dann ist die Funktion y = f (g(x)) in x0 diffbar und es gilt y 0 = f 0 (z0 )·g 0 (x0 ). Andere Schreibweise: (f ◦g)0 (x0 ) = f 0 (g(x0 ))·g 0 (x0 )

4.3

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Sei f (x) reellwertig stetig auf [a, b]. Def.: f (x) hat in x0 ∈ (a, b) ein relatives Maximum [Minimum]. Dann existiert ein δ > 0, s.d. f (x0 ) ≥ f (x) [f (x0 ) ≤ f (x)] ∀ x ∈ [a, b] und x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Theorem 2(Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung): f (x) und g(x) reellwertig, stetig auf [a, b], diffbar auf (a, b). Dann ex. ein ξ ∈ (a, b) mit (f (b) − f (a))g 0 (ξ) = (g(b) − g(a)) · f 0 (ξ). Spezialf¨ alle: f (b) − f (a) (1) Sei g(x) = x. Dann heißt f 0 (ξ) = Mittelwertsatz der Differentialrechnung. b−a (2) Satz v. Rolle: Sei g(x) = x und f (b) = f (a). Dann ex. ein ξ ∈ (a, b) mit f 0 (ξ) = 0. Folgerung 3: Sei f 0 (x) = 0 f¨ ur alle x ∈ (a, b). Dann ex. c ∈ C mit f (x) = c f¨ ur alle x ∈ (a, b). Folgerung 4: Sei x1 , x2 ∈ (a, b) und c mit f 0 (x1 ) ≤ c ≤ f 0 (x2 ). Dann ex. ξ ∈ (a, b), s.d. f 0 (ξ) = c. Satz 5(Regel v. l’Hospital): Sei f, g reellwertige Funktionen auf (a, b) und sei g 0 (x) 6= 0 f¨ ur alle 0 (x) x ∈ (a, b) und lim f (x) = lim g(x) = 0. Wenn lim fg0 (x) = A mit A ∈ {R ∪ +∞ ∪ −∞}, dann ist f (x) x→a+0 g(x)

lim

x→a+0

x→a+0

x→a+0

= A.

12

Differentialrechnung f¨ ur Funktionen einer Ver¨ anderlichen

13

Bemerkungen: (1) Satz gilt auch, wenn lim f (x) = lim g(x) = +∞ x→a+0

(2)

x→a+0

Satz gilt f¨ ur unbestimmte Ausdr¨ ucke: ∞/∞, 0/0, 1∞ , 0∞ , ∞0 , 0 · ∞

Satz 6(MWS f¨ ur komplexwertige Funktionen): f (x) sei eine komplexwertige stetige Funktion auf [a, b] und f (x) sei diffbar auf (a, b). Dann ex. ein ξ mit der Eigenschaft |f (b) − f (a)| ≤ (b − a) |f 0 (ξ)|

4.4 4.4.1

Der Taylorsche Lehrsatz H¨ ohere Ableitungen

Def.: f (x) sei diffbare Funktion auf (a, b). Wenn die Ableitung f 0 (x) in x0 ∈ (a, b) diffbar ist, dann heißt die Ableitung von f 0 (x0 ) in x0 die 2. Ableitung von f (x). d2 f (x0 ) Symbol: f 00 (x0 ) = dx2 Satz 1(Leibnizsche Produktregel): f, g seien n-mal diffbare Funktionen in x0 . Dann ist auch f · g n-mal diffbar in x0 : n X n (f · g)(n) (x0 ) = f (k) (x0 )g (n−k) (x0 ). k k=0

4.4.2

Der Taylorsche Lehrsatz f¨ ur Polynome

Satz (Taylorsche Formel f¨ ur Polynome n-ten Grades): p(x) = p(x0 ) +

p0 (x0 ) p(n) (x0 ) (x − x0 ) + · · · + (x − x0 )n 1! n!

Folgerung: p1 (x) und p2 (x) seien Polynome mit komplexen Koeffizienten. Sei x0 ∈ R und δ > 0. Wenn p1 (x) = p2 (x) ∀ x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), dann stimmen die Koeffizienten beider Polynome u ¨berein und es gilt p1 (x) = p2 (x) ∀ x ∈ C. 4.4.3

Der Taylorsche Lehrsatz f¨ ur Funktionen

Theorem 2(Taylorscher Lehrsatz): f (x) sei (n + 1)-mal diffbare Funktion auf (x0 − a, x0 + a), wobei x0 ∈ R und a > 0 ∀ x ∈ (x0 − a, x0 + a). Es ex. ein ξ ∈ (x0 , x) oder ξ ∈ (x, x0 ) f¨ ur x < x0 mit n

Rn+1 (x0 , x) =

X f (k) (x0 ) f (n+1) (ξ) (x − x0 )n+1 , d.h. f (x) = (x − x0 )k + Rn+1 (x0 , x) (n + 1)! n! k=0

Bemerkung: Rn+1 (x0 , x) heißt Lagrange-Restglied. Cauchy-Restglied: Rn+1 =

f (n+1) (ξ) (x − x0 )(x − ξ)n n!

Bemerkung: Sei f (n+1) (x) stetig in x0 . Dann gilt lim

x→x0

4.4.4

Rn+1 (x0 , x) f (n+1) (x0 ) = n+1 (x − x0 ) (n + 1)!

Die Taylorreihe

Satz 3: Sei f (x) reellwertige, n-mal diffbare Funktion auf (x0 − a, x0 + a), x0 ∈ R, a > 0 ∀ n ∈ N. (D.h. f (x) ∈ C ∞ auf (x0 − a, x0 + a)). Wenn lim Rn+1 (x0 , x) = 0 f¨ ur x ∈ (x0 − a, x0 + a), dann gilt: n→∞

∞ X f (n) (x0 ) f (x) = (x − x0 )n , x ∈ (x0 − a, x0 + a) n! n=0

(Taylorreihe)

Die Taylorreihe konvergiert in x0 gegen f (x). Bemerkungen: • x ist rational, wenn x = nq mit n, q ∈ Z, q 6= 0 • x heißt algebraisch, wenn es ganze Zahlen a0 , . . . , an gibt, mit an xn + · · · + a0 x0 = 0 • Reelle Zahlen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendent. • Wenn lim Rn+1 (x0 , x) 6= 0, konvergiert die Taylorreihe nicht. n→∞

13

14

Differentialrechnung f¨ ur Funktionen einer Ver¨ anderlichen

Beispiel: Binominalreihe: f (x) = (1 + x)n =

∞ X n k=0

4.5 4.5.1

k

xk f¨ ur |x| < 1 und n ∈ R.

Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung auf Extremwerte Extremwerte

Satz 1: f (x) sei reellwertige, n-mal diffbare Funktion auf (a, b). f (n) (x) sei in x0 stetig. Sei f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0 und f (n) (x0 ) 6= 0. Wenn n ungerade ist, dann hat f (x) in x0 kein relatives Extremum. Wenn n gerade ist, dann hat f (x) in x0 ein relatives Extremum, falls f (n) (x0 ) > 0 (Minimum), falls f (n) (x0 ) < 0 (Maximum). Insbesondere hat f (x) f¨ ur f 00 (x0 ) < 0 ein relatives Maximum 00 und f¨ ur f (x0 ) > 0 ein relatives Minimum. 4.5.2

Wendepunkte

f (x) sei diffbare Funktion auf (a, b). Def.: x0 ∈ (a, b) heißt Wendepunkt von f (x), wenn x0 ein relatives Extremum von f 0 (x) ist. 4.5.3

Monotonie

Satz 2: f (x) sei diffbare, reellwertige Funktion auf (a, b). Dann ist: • f (x) ist monoton wachsend auf (a, b), gdw. f 0 (x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a, b) • f (x) ist monoton fallend auf (a, b), gdw. f 0 (x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a, b)

4.6

Hyperbelfunktionen

Def.: 1 • cosh(x) = (ex + e−x ) 2 1 x • sinh(x) = (e − e−x ) 2 sinh(x) • tanh(x) = cosh(x) cosh(x) • coth(x) = sinh(x) Regel: cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1

14

Integralrechnung fur Funktionen einer Veranderlichen

5

15

Integralrechnung fu anderlichen ¨ r Funktionen einer Ver¨

5.1

Riemann-Stieltjes-Integral

Def.: f (x) sei beschr¨ ankt reellwertige Funktion auf [a, b] ; a, b ∈ R. α(x) sei monoton wachsende reellwertige Funktion auf [a, b]. Sei Zerlegung Z von [a, b]: a = t0 < t1 < · · · < tn = b mit der Feinheit δZ = max |ti − ti−1 | mit i = 1, . . . , n. Sei Mi = sup f (x), mi = inf f (x) und ∆ αi = α(ti ) − α(ti−1 ). x∈[ti−1 ,ti ] x∈[ti−1 ,ti ] n n P P Mi ∆ αi die obere Darbouxsche Summe und S(f, Z) = mi ∆ αi die untere Dann heißt S(f, Z) = i=1 Darbouxsche Summe. i=1 Lemma 1: Wenn δZ1 < δZ2 , dann ist S(f, Z1 ) ≤ S(f, Z2 ) und S(f, Z1 ) ≥ S(f, Z2 ). Def.: • S(f, Z) = inf S(f, Z) heißt oberes Darbouxsches Integral Z

• S(f, Z) = sup S(f, Z) heißt unteres Darbouxsches Integral Z

Def.: Eine Funktion heißt R-S-integrierbar auf [a, b] bezgl. α(x), wenn das obere Darbouxsche Integral gleich dem unteren Darbouxschen Integral ist. Ist dies erf¨ ullt, dann heißt die Zahl I(f, Z) = I(f, Z) das R-S-Integral von f (x) auf [a, b] bezgl. α(x). Symbole: • f ist R-S-integrierbar auf (a, b): f ∈ R(α; a, b) • f ist R-integrierbar auf (a, b): f ∈ R(a, b) Zb • f (x)dα(x) = I(f, Z) = I(f, Z). a Rb Bemerkung: F¨ ur α(x) = x heißt f (x) dx Riemann-Integral. a

Satz: Sei f (x) komplexwertig und beschr¨ ankt auf [a, b]. Sei f (x) = f1 (x) + if2 (x), wobei f1 (x), f2 (x) ∈ R Rb Rb f¨ ur x ∈ [a, b] und f1 (x), f2 (x) ∈ R(α; a, b). Ist dies erf¨ ullt, dann gilt: f dα = (f1 + if2 ) dα := a a Rb Rb f1 dα + i f2 dα. a

a

Eigenschaften: (1) f (x) sei reellwertig und beschr¨ ankt. Dann ist f ∈ R(α; a, b), gdw. f¨ ur alle ε > 0 ein Zε ex., s.d. S(f, α, Zε ) − S(f, α, Zε ) < ε. Rb (2) Sei |f (x)| ≤ M ∀ x ∈ (a, b) und f ∈ R(α; a, b). Dann ist | f dα| ≤ M (α(b) − α(a)). a

(3)

Rb Sei f1 , f2 ∈ R(α; a, b) und λ1 , λ2 ∈ C. Dann ist λ1 f1 + λ2 f2 ∈ R(α; a, b) und (λ1 fa + λ2 f2 )dα = a Rb Rb λ1 f1 dα + λ2 f2 dα. a

(4)

Rb Sei f ∈ R(α1 ; a, b) und f ∈ R(α2 ; a, b). Dann ist f ∈ R(α1 + α2 ; a, b) und f d(α1 + α2 ) = a Rb Rb f d(α1 ) + f d(α2 ). a

(5)

a

a

Rb Rc Rb Sei f ∈ R(α; a, b), a < c < b. Dann ist f ∈ R(α; a, c) und f ∈ R(α; c, b) und f dα = f dα + f dα. a

a

c

Satz 2: f (x) sei stetige, komplexwertige Funktion auf [a, b]. Dann ist f (x) ∈ R(α; a, b). Satz 3: α(x) sei stetig auf [a, b] und f (x) sei monoton fallend/steigend auf [a, b]. Dann ist f (x) ∈ R(α; a, b).

Def.:

Za Zb Za f dα = − f dα, f dα = 0 b

a

a

Def.(Lebesguesche Nullmenge): f (x) sei komplexwertige, beschr¨ankte Funktion auf [a, b]. U (f ) sei die Menge aller x ∈ [a, b], in denen f (x) nicht stetig ist. U (f ) ist Lebesguesche Nullmenge, wenn f¨ ur ∞ P alle ε > 0 ex. Folge [an , bn ] ∈ N von abgeschlossenen Intervallen derart, dass (bn − an ) < ε und ∞ n=1 S [an , bn ] ⊇ U (f ). n=1

15

16

Integralrechnung fur Funktionen einer Veranderlichen

Satz: f ∈ R(α; a, b), gdw. eine U (f ) eine Lebesguesche Nullmenge ist. Folgerung.: Jede beschr¨ ankte Funktion f (x) auf [a, b] mit abz¨ahlbar vielen Unstetigkeitsstellen ist Rintegrierbar auf [a, b].

5.2

Fundamentalsatz der Differental- / Integralrechnung

Rx Satz 1: Sei f ∈ R(a, b) und F (x) = f (t)dt f¨ ur alle x ∈ [a, b]. a

(1) F (x) ist stetig in x0 ∈ (a, b), rechtsseitig stetig in x0 = a und linksseitig stetig in x0 = b. (2) Wenn f (x) stetig in x0 ∈ (a, b), dann ist F (x) diffbar in x0 und F 0 (x0 ) = f (x0 ). Def.: • F (x) heißt Stammfunktion auf (a, b) f¨ ur f (x) auf (a, b), wenn F (x) diffbar auf (a, b) und F 0 (x) = f (x) ∀ x ∈ (a, b). • F (x) heißt Stammfunktion auf [a, b] f¨ ur f (x) auf [a, b], wenn F (x) diffbar auf (a, b), linksseitig diffbar f¨ ur x0 = a, rechtsseitig diffbar f¨ ur x0 = b, F 0 (x) = f (x) ∀ x ∈ (a, b) und Fr0 (a) = f (a), Fl0 (b) = f (b) Hilfssatz 2: F1 (x) und F2 (x) seien Stammfunktionen f¨ ur f (x) auf (a, b) bzw. [a, b]. Dann ex. ein C ∈ C mit F1 (x) = F2 (x) + C ∀ x ∈ (a, b) bzw. x ∈ [a, b]. Def: Die Menge aller Stammfunktionen f¨ ur f (x) heißt das unbestimmte Integral von f (x). Z Symbol: f dx Theorem 3(Fundamentalsatz der Differental- / Integralrechnung): Sei f (x) stetig auf [a, b]. Rx (1) F (x) = f (t)dt ist eine Stammfunktion f¨ ur f (x) auf [a, b] und F (a) = 0. a Rb (2) Sei G(x) eine Stammfunktion f¨ ur f (x) auf [a, b]. Dann ist f (t)dt = G(b) − G(a). a

Bemerkungen: (1) Aufsuchen von Stammfunktion / best. Integral ist wechselseitig, d.h.: • Wenn das Integral bekannt ist, dann erh¨alt man die Stammfunktion • Wenn die Stammfunktion bekannt ist, dann erh¨alt man das Integral (2) Jede stetige Funktion besitzt eine Stammfunktion auf [a, b]. (3) Theorem 3 liefert eine Methode zur Berechnung vom R-Integral bei bekannter Stammfunktion Satz 4: f (x) sei stetig auf [a, b], α(x) sei monoton wachsende, stetige Funktion auf [a, b]. Es ex. endlich viele Punkte c0 , . . . , ck ∈ [a, b] derart, dass α(x) auf [a, b] \ {c0 , . . . , ck } diffbar und α0 (x) auf [a, b] \ Rb Rb {c0 , . . . , ck } beschr¨ ankt ist. Dann ist f dα(x) = f α0 (x)dx. a

a

Satz 5: f (x) sei stetig auf [a, b]. Sei c0 = a und ck = b ; c1 , c2 , . . . , ck−1 ∈ (a, b). Die Grenzwerte α(ci + 0) und α(ci − 0) ex. f¨ ur alle i = 1, . . . , k − 1. Dann ist f ∈ R(α; a, b) und es gilt:   b b Z Z k−1 X f (ci ) α(ci + 0) −α(ci − 0)  + f (a) α(a + 0) −α(a) +f (b) α(b) − α (b − 0) f dα = f α0 dx + | {z } | {z } | {z } | {z } a

a

i=1

rechtss.GW

linkss.GW

rechtss.GW

linkss.GW

Bemerkung: F¨ ur α(ci − 0) − α(ci + 0) 6= 0 sind ci Unstetigkeitsstellen von α. Satz 6(Mittelwertsatz der Integralrechnung): f (x) sei stetige, reellwertige Funktion auf [a, b], α(x) Rb sei monoton wachsend auf [a, b]. Dann ex. ξ ∈ [a, b] mit f dα = f (ξ)(α(b) − α(a)). a

ur α(x) = x, Bemerkung: Wenn α(x) beliebig, dann kann man im allgemeinen nicht ξ ∈ (a, b) w¨ahlen. F¨ kann man ξ ∈ (a, b) w¨ ahlen.

5.3

Unbestimmte Integration

Bemerkung: Sei I = [a, b] und f (x) sei stetig auf [a, b]. Nach Fundamentalsatz der Differential- / Rx Integralrechnung ist F (x) = f (t)dt eine Stammfunktion f¨ ur f (x) auf [a, b]. D.h. f (x) besitzt eine 0

Stammfunktion, aber nicht jede Stammfunktion l¨aßt sich aus bekannten elementaren Funktionen zusammensetzen. 16

Integralrechnung fur Funktionen einer Veranderlichen

5.3.1 Z (1) Z (2) Z (3) Z (4) Z (5) Z (6) 5.3.2

17

Grundintegrale xα+1 x dx = +C α+1 dx = ln |x| + C x α

cos x dx = sin x + C sin x dx = − cos x + C dx = − cot x + C sin2 x dx = tan x + C cos2 x

Z (7)

ex dx = ex + C

Z

(8) (9) (10) (11) (12)

dx = arctan x + C Z 1 + x2 dx √ = arcsin x + C 1 − x2 Z dx = arccos x + C −√ 1 − x2 Z √ dx √ = arcsinh x + C = ln(x + x2 + 1) + C 1 + x2 Z √ dx √ = arccosh x + C = ln(x + x2 − 1) + C 2 x −1

Integrationsmethoden

5.3.2.1 Substitutionsmethode Satz 1: x = f (t) sei diffbar auf [a, b] und bilde [a, b] auf [c, d] ab. y = g(x) sei stetig auf [c, d]. Dann gilt: Z Z g(x)dx = g f (t) f 0 (t)dt

5.3.2.2 Partielle Integration Satz 2: sei u(x), v(x) stetig diffbar. Dann gilt: Z Z u0 (x)v(x)dx = uv − uv 0 dx

Rekursionsformeln: Z (1) In = xn ex dx = xn ex − n · In−1 I0 = eZx + C dx x 2n − 3 (2) In = = + In−1 2 n 2 n−1 (1 + x ) (2n − 2)(1 + x ) 2n − 2 I1 = arctan x + C Z cos x sinn−1 x n − 1 + In−2 (3) In = sinn x dx = − x n I1 = − cos x + C I0 = xZ + C sin x cosn−1 x n − 1 (4) In = cosn x dx = + In−2 x n I1 = sin x + C I0 = x + C 5.3.2.3 Anwendung auf bestimmte Integrale f Z(b)

Zb

g(x)dx = f (a)

5.3.3

b g f (t) f 0 (t)dt = g f (t) ·f (t) a −

Zb

g 0 f (t) f 0 (t) · f (t)dt

a

a

Integration rationaler Funktionen / Partialbruchzerlegung

5.3.3.1 Polynome Sei a0 , . . . , an ∈ C. Dann heißt p(x) = an xn +. . .+a1 x+a0 Polynom n-ten Grades mit dem Grad d(p) = n. Def.: z0 heißt Nullstelle von p(x), wenn p(z0 ) = 0 Def.: z0 heißt k-fache Nullstelle von p(x), wenn p(x) = (x − z0 )k q(x) Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom p(x) vom Grad d(p) ≥ 1 besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle. 17

18

Integralrechnung fur Funktionen einer Veranderlichen

Lemma 1: p(x) sei Polynom vom Grad n ≥ 1. Dann ex. z1 , . . . , zn mit p(x) = an (x − z1 ) · . . . · (x − zn ) Lemma 2: p(x) sei Polynom mit reellen Koeffizienten a0 , . . . , an . Wenn z0 ∈ C k-fache Nullstelle von p(x), dann ist auch z 0 k-fache Nullstelle. Satz 3: p(x) sei Polynom mit reellen Koeffizienten vom Grad n ≥ 1. Dann l¨aßt sich p(x) darstellen als: p(x) = an (x − z1 )k1 · . . . · (x − zr )kr (x2 − 2b1 x + c1 )p1 · . . . · (x2 − 2bs x + cs )ps mit z1 , . . . , zr paarweise voneinander verschiedene, reelle Nullstellen und x2 − 2bj + cj , j = 1, . . . , s paarweise voneinander verschiedene Binome, ohne reelle Nullstellen. (kanonische Darstellung) Bemerkung: Wenn alle Koeffizienten von p(x) ganzzahlig sind, dann ist jede ganzzahlige Nullstelle ein Teiler von a0 . Def.: Eine rationale Funktion p(x) q(x) heißt echt gebrochen, wenn d(q) > d(p) ist. Jede rationale Funktion ist Summe eines Polynoms und einer echt gebrochen rationalen Funktion.

5.3.3.2 Partialbruchzerlegung Satz 4:

q(x) p(x)

sei echt gebrochene, reellwertige Funktion. Dann ex. Alj , Blj , Clj mit: r

k

s

ps

r XX q(x) X X Alj Blj x + Clj = + j 2 p(x) (x − zl ) (x − 2bl x + cl )j j=1 j=1

l=1

l=1

Diese Zerlegung heißt Partialbruchzerlegung. Hilfssatz 5: p(x) habe einfache Nullstelle z0 , d.h. p(x) = (x − z0 )p1 (x) und p(z0 ) 6= 0. Dann ist der 1 Koeffizient in der Partialbruchzerlegung von x−z : 0 q(z0 ) q(z0 ) = p0 (z0 ) p1 (z0 ) Folgerung: p(x) sei reelles Polynom vom Grade n mit n paarweise verschiedenen Nullstellen z1 , . . . , zn . Dann gilt: n

q(x) X q(zl ) 1 = p(x) p0 (zl ) x − zl l=1

5.3.3.3 Integration der Partialbr¨ uche F¨ ur die Partialbr¨ uche mit reellen Nullstellen:  Z  (x − zl )1−l dx + C fu ¨r l 6= 1 dx = 1−l  (x − zl )l ln |x − zl | + C f u ¨r l = 1 F¨ ur die Partialbr¨ uche mit komplexen Nullstellen:

Z

(Bx + C) dx (x2 − 2bx + c)l

I1

I2

=

B 2

Z (2x − 2b) dx dx +(Bb + C) 2 l 2 (x − 2bx + c) (x − 2bx + c)l | {z } | {z } Z

I1 I2   (x2 − 2bx + c)1−l + C fu ¨r l 6= 1 = 1−l  ln |x2 − 2bx + c| + C f u ¨r l = 1 Z Z dx a du = = 2l −→ Berechnung m.H. Rekursionsformel 2 2 l 2 ((x − b) + a ) a (u + 1)l x−b dx mit x2 − 2bx + c = (x − b)2 + c − b2 , a2 = c − b2 , u = , du = a a

18

Integralrechnung fur Funktionen einer Veranderlichen

19

5.3.4

Einige Klassen elementar integrierbarer Funktionen Z 5.3.4.1 R(cos x, sin x)dx N P

R(u, v) sei rationale Funktion, d.h. R(u, v) =

anm un v m

n,m=0 M P

mit anm , bij ∈ C blj ul v j

l,j=0

Substitution: u = tan x2 Substitutionen f¨ ur Spezialf¨ alle: • R(−u, v) = −R(u, v) → t = sin x • R(u, −v) = −R(u, v) → t = cos x • R(−u, −v) = R(u, v) → t = tan x Bemerkung: Jede rationale Funktion ist Summe dieser 3 F¨alle. Z 5.3.4.2 R(ex )dx Substitution: t = ex Z p 5.3.4.3 R x, ax2 + 2bx + c dx, a 6= 0 Substitutionen: • a>0 • c>0 • b2 − ac > 0 • b2 − ac = 0

√ √ → t = ax2 +√2bx + c − x a √ → xt + c = √ax2 + 2bx + c → t(x − a) =√ ax2 + 2bx + c, wobei ax2 + 2bx + c = a(x − α)(x − β) → |x − a| = ax2 + 2bx + c

Z 5.3.4.4

R(cosh x, sinh x)

Wegen den Definitionen f¨ ur cosh x und sinh x, siehe 5.4.3.2 Z 5.3.4.5 xm (axn + b)p dx Satz v. Tschebyscheff: Zahl ist. Substitutionen: • p ganz •

m+1 ganz n m+1 n + p ganz

R

xm (axn + b)p dx ist elementar integrierbar, gdw. p,

m+1 n

oder

m+1 n

+ p eine ganze

→ x = tq mit q gleich dem kleinsten gemeinsamen Nenner von n, m. → tα = axn + b mit α gleich dem Nenner von p.

→ tα = axn + b mit α gleich dem Nenner von p. R Bemerkung: Falls keiner dieser F¨ alle zutrifft, ist xm (axn + b)p dx nicht elementar integrierbar. •

5.4 5.4.1

Uneigentliche Integrale Fall 1: Integrale u ¨ ber Intervalle [a, +∞), (−∞, +∞), (−∞, a]

Satz: Sei f (x) ∈ R(a, A) ∀ A > a. Wenn I := Integral und es gilt:

lim

A→+∞ a

+∞ ZA Z f (x) dx = I = lim f (x) dx A→+∞

a

RA f (x) dx ex., dann konvergiert das uneigentliche

a

19

20

Integralrechnung fur Funktionen einer Veranderlichen

Eigenschaften: +∞ +∞ R R f (x)dx konvergiert, gdw. f (x)dx konvergiert, f¨ ur alle a0 > a. (1) a0

a

Sei f (x), g(x) ∈ R[a, A] ∀ A > a und es ex. K > 0, s.d. |f (x)| ≤ Kg(x) ∀ x ∈ [a, +∞]. Dann gilt:  +∞ +∞ R R   • Falls g dx konvergiert, konvergiert auch f dx  a a Majorantenkriterium +∞ +∞ R R   g dx nicht  f dx nicht konvergiert, konvergiert auch • Falls a a 0 A +∞ R R (3) Sei f (x) ∈ R[a, A] ∀ A > a. f dx konvergiert, gdw. ∀ ε > 0 ein A(ε) ≥ a ex., s.d. f dx < ε a A ∀ A, A0 ≥ A(ε) (Cauchy-Kriterium) +∞ +∞ R R f (x) dx |f (x)| dx konvergiert auch (4) Wenn (2)

a

a

5.4.2 Def.2:

Fall 2: f (x) ist in einer Umgebung von c ∈ [a, b] unbeschr¨ ankt +∞ R

+∞ R

f (x) dx heißt konvergent, wenn lim

f (x) dx ex. Dann gilt:

ε→0+0 a+ε

a

Zb Zb • f (x) dx = lim f (x) dx

f¨ ur c = a

ε→0+0 a+ε b−ε Z

a

Zb • f (x) dx = lim

f (x) dx

ε→0+0

a

f¨ ur c = b

a

Zb • f (x) dx = lim

 c−ε  Z Zb f (x) dx f¨ ur c ∈ (a, b) lim  f (x) dx + 0

ε→0+0 ε →0+0

c+ε0

a

a

Def.3: Der Grenzwert lim

ε→0+0

!

c−ε R

Rb

a

c+ε

f (x) dx +

f (x) dx

Rb heißt Cauchyscher Hauptwert von f (x) dx. a

Zb Symbol: Vp f (x) dx a

R∞ Rb R∞ Def.4: f (x) dx konvergiert, gdw. f (x) dx + f (x) dx konvergiert. Ist dies erf¨ ullt, dann setzen wir: a

a

b

Z∞ Zb Z∞ f (x) dx := f (x) dx + f (x) dx a

5.4.3

a

b

Integralkriterium

Satz (Integralkriterium): f (x) sei nicht negative, monoton fallend Funktion auf [1, +∞). Dann konvergiert +∞ ∞ R P f (n), gdw. f (x) dx konvergiert. n=1

1

20

Funktionenfolgen und Funktionenreihen

6

21

Funktionenfolgen und Funktionenreihen

6.1

Gleichm¨ aßige Konvergenz

Def. 1: Eine Funktionenfolge {fn (t) ; n ∈ N} von Funktionen auf einer Menge M heißt gleichm¨ aßig konvergent auf M gegen eine Funktion f (t) auf M , wenn f¨ ur alle ε > 0 ein n(ε) ∈ N ex., s.d. |fn (t)−f (t)| < ε ∀ n ≥ n(ε) und f¨ ur alle t ∈ M . Symbol: fn (t) ⇒ f (t) auf M Eigenschaften: (1) {fn (t)} konvergiert glm. auf M gegen f (t), d.h. f¨ ur alle t ∈ M gilt lim fn (t) = f (t), d.h. {fn (t)} n→∞ konvergiert punktweise gegen f (t). (2) Sei ||g|| = sup |g(t)|. fn (t) ⇒ f (t), gdw. ∀ ε > 0 ex. n(ε) ∈ N, s.d. ||fn − f || < ε ∀ n ≥ n(ε) und ∀ t∈M t ∈ M. Satz 1(Cauchy-Kriterium f¨ ur glm. Konvergenz): fn (t) ⇒ f (t), gdw. f¨ ur alle ε > 0 ein n(ε) ∈ R ex., s.d. |fn (t) − fm (t)| < ε ∀ n, m ≥ n(ε) und f¨ ur alle t ∈ M . Def. 2: Eine Funktionenreihe k ∈ N} ⇒ f (t).

∞ P

fn (t) ⇒ f (t), gdw. die Folge der Partialsummen {sk (t) =

n=1

k P

fn (t) ,

n=1

Satz 2: Wenn fn (t) ⇒ f (t), dann ist f (t) eindeutig. Satz 3(Majorantenkriterium): fn (t) sei Funktionenfolge. Es sei cn ≥ 0 ∀ n ∈ N, |fn (t)| < Kcn ∀ ∞ ∞ P P t ∈ M und K ≥ 0. Wenn cn konvergiert, dann konvergiert fn (t) glm. auf M . n=1

6.2

n=1

Eigenschaften konvergenter Folgen

6.2.1

Stetigkeit der Grenzfunktion

Satz 1: fn (t) ⇒ f (t) auf I ⊆ R. Sei x ∈ I und lim fn (x) = Gn . Dann konvergiert {Gn , n ∈ N} gegen x→x0 G ∈ C und lim f (x) = G. x→x0

Folgerung 2: Sei fn (t) ⇒ f (t). fn (t) sei stetig f¨ ur alle n ∈ N. Dann ist auch f (t) stetig. Satz 3(Satz v. Dini) {fn (t), n ∈ N} sei stetig auf [a, b] und lim fn (t) = f (t) (punktweise konvergent). n→∞

Sei fn (t) ≥ fn+1 (t) ∀ n ∈ N und sei t ∈ [a, b] fest. Wenn f (t) stetig, dann konvergiert fn (t) glm. gegen f (t). 6.2.2

Integration glm. konvergenter Folgen

Rx Satz 4: fn (x) ⇒ f (x), fn (x) sei stetig auf [a, b] und x0 ∈ [a, b]. Dann konvergiert Fn (x) := fn (t) dt x0 Rx glm. gegen F (x) = f (t) dt. x0

Bemerkungen: Rb Rb (1) fn (t) ⇒ f (t) auf [a, b]. Dann konvergiert fn (t) dt glm. gegen f (t) dt (2)

Analog f¨ ur Funktionenreihen: Rx konvergent gegen f (t) dt.

m P

a

a

an (x) ⇒ f (x). Dann ist

n=1

m Rx P x0 n=1

an (t) dt =

m Rx P

an (t) dt glm.

n=1 x0

x0

6.2.3

Differentation konvergenter Folgen

Satz 4’: {fn (x)} sei diffbare Folge von Funktionen auf [a, b]. {fn0 (x)} konvergiere glm. auf [a, b] und es ex. x0 ∈ [a, b], s.d. lim fn (x0 ) = f (x0 ). Dann ex. f (x), s.d. fn (x) ⇒ f (x) auf [a, b] und lim fn0 (x) = f 0 (x) n→∞ n→∞ f¨ ur x ∈ [a, b]. 21

22

Funktionenfolgen und Funktionenreihen

6.3

Potenzreihen

Def.: f (x) sei auf {x ∈ C, |x−x0 | < r, r > 0} definiert. f (x) ist analytisch in x0 , wenn ein ε > 0 ex. und die ∞ P Potenzreihe an (x − x0 )n , s.d. die Potenzreihe auf {x ∈ C, |x − x0 | < ε} konvergiert und gleich f (x) ist. n=0 ∞ P

an xn mit Konvergenzradius % > 0. F¨ ur alle |x| < % sei f (x) = n=0 ∞ P n mit % > q > 0, s.d. an x glm. gegen f (x) konvergiert f¨ ur alle x ∈ [−q, q].

Satz 1: Sei

∞ P

an xn . Dann ex. ein q

n=0

n=0 ∞ P Satz 2: Sei f (x) = an xn ∀ x ∈ (−%, %). In (−%, %) darf man beliebig oft gliedweise differenzieren und n=0 integrieren.

Bemerkungen: ! ∞ ∞ X d X n 0 an x = nan xn−1 • f (x) = dx n=0 !n=1 Zx1 X Zx1 k ∞ X xn+1 − xn−1 0 an xn dx = an 1 f (x) dx = • n + 1 n=0 n=0 x0

x0

Folgerung 3: f (x) =

∞ P

an (x − x0 )n sei analytisch in x0 ∈ R. Dann ist f (x) in (x0 − ε, x0 + ε), ε > 0

n=0

beliebig oft diffbar und es gilt f (k) (x0 ) = k! · ak . Folgerung 4: Seien f (x) =

∞ P

∞ P

an (x − x0 )n und g(x) =

n=0

bn (x − x0 )n analytisch in x0 und konvergent

n=0

auf (x0 − ε, x0 + ε), ε > 0. Wenn f (x) = g(x) ∀ x ∈ (x0 − ε, x0 + ε) gilt, dann ist an = bn ∀ n ∈ N0 und f (x) = g(x) f¨ ur alle x aus dem Konvergenzbereich der Potenzreihen. Satz 5(Satz v. Abel): Sei f (x) =

∞ P n=0

x ∈ (−%, +%] in x0 = % linksseitig stetig, d.h. lim

∞ P

x→%−0 n=0

6.4 6.4.1

∞ P

an xn mit % > 0. Wenn

an %n konvergiert, ist

n=0 ∞ P

an xn =

n=0

an %n

n=0

Fourierreihen Definition

Def.: Sei an , bn , a0 ∈ C ∀ n ∈ N. Die Reihe ∞ +∞ X a0 X + (an sin nx + bn cos nx) = cn einx 2 n=−∞ n=0

heißt Fourierreihe. Bemerkung: Die Partialsumme von

+∞ P

cn einx ist sk =

n=−∞

n=−k

6.4.2

Fourierkoeffizienten Zπ 1 • an = f (t) sin nt dt π • bn =

1 π

−π Zπ

f (t) cos nt dt −π

1 • cn = 2π

Zπ

+k P

f (t) e−int dt

−π

22

∞ P

cn einx

an xn ,

Funktionenfolgen und Funktionenreihen

23

Bemerkungen: ∞ P |cn | konvergiert, dann konvergiert (1) Wenn n=−∞

(2)

Wenn f (x) stetig auf [−π, π], dann ist +∞ X Symbol: f (x) ∼ cn einx

∞ P

+∞ P

cn einx glm. gegen f (x) ∀ x ∈ [−π, π].

n=−∞

|cn |2 < ∞

n=−∞

n=−∞

6.4.3

Konvergenz von Fourierreihen stetiger Funktionen

Satz 1(Theorem von Carleson): f (x) sei stetig auf [−π, π]. Dann ex. Lebesguesche Nullmenge +∞ P cn einx ∀ x ∈ [−π, π] \ N . N ⊆ [−π, π], s.d. f (x) = n=−∞

Satz 3(Satz v. Kaikone): F¨ ur alle Lebesgueschen Nullmengen N ⊆ [−π, π] ex. f (x) stetig auf [−π, π], s.d. die Fourierreihe von f (x) divergent f¨ ur alle x ∈ N . 6.4.4

Konvergenz von Fourierreihen diffbarer Funktionen (x0 ) Satz 1: f (x) sei stetig mit Periode 2π und es ex. c > 0, s.d. f (x0 +h)−f ≤ c ∀ h 6= 0, x0 ∈ R. Dann h +∞ P konvergiert die Fourierreihe von f (x) in x0 gegen f (x0 ), d.h. f (x0 ) = cn einx0 . n=−∞ (x0 ) Bemerkung: Die Voraussetzung f (x0 +h)−f ullt, wenn f (x) rechts- und ≤ c ∀ h 6= 0, x0 ∈ R ist erf¨ h linksseitig diffbar ist in x0 (insbesondere, wenn f (x) diffbar ist in x0 ). Satz 2: f (x) sei stetig auf R und periodisch mit 2π. Wenn f (x) stetig diffbar ist auf R, dann konvergiert +∞ P cn einx glm. gegen f (x). n=−∞

Bemerkung: f (x) sei stetig auf [−π, π]. Wenn f (−π) = f (π) und f (x+2πk) = f (x) mit x ∈ [−π, π], k ∈ Z, dann ist f (x) stetig auf ganz R und 2π-periodisch. 6.4.5

Dirichletsches Lokalisationsprinzip

Sei Dk (x) =

k X

einx der Dirichletkern.

n=−k

sin (k + 21 )x Lemma 2: Dk (x) = sin x2 k P Def.: Die Reihe sk (x) = cn einx heißt k-te Partialsumme der Fourierreihe von f (x) mit f (x) ∈ n=−k

R[−π, π] und f (π) = f (−π). Dann ist: Zπ 1 sk (x) = f (t)Dk (x − t) dt 2π −π Zπ sin (k + 12 )(x − t) 1 = f (t) dt 2π sin x−t 2 −π

Satz 3(Dirichletsches  −δ π  Lokalisationsprinzip): Sei f wie oben, und 0 < δ < π. Dann gilt: Z Z  (1) lim +  f (x − t)Dn (t) dt = 0, d.h. n→∞

−π

δ

1 (2) lim sk (x) = lim n→∞ 2π k→∞

Zδ f (x − t)Dn (t) dt, falls einer der beiden Grenzwerte existiert −δ

23

24

Funktionenfolgen und Funktionenreihen

Bemerkungen: • Nach (2) h¨ angt das Konvergenzverhalten von sk (x) nur von Werten von f (t) in (x − δ, x + δ) ab, man sagt das Konvergenzverhalten ist lokal. Die Fourierkoeffizienten cn h¨angen aber von den Werten auf [−π, π] ab. • Die Fourierreihen von stetigen Funktionen k¨onnen auf (a, b) u ¨bereinstimmen, ohne dass sie auf [−π, π] u ¨bereinstimmen. 6.4.6

Satz von Fej´ er

Satz 7(Satz v. Fej´ er) f sei stetig auf [−π, π] und f (−π) = f (π). sk sei k-te Partialsumme der Fourierreihe von f (x). Sei: s0 (x) + . . . + sn (x) n+1 die Fej´ersche Summe. Es gilt: σn (x) ⇒ f (x) auf [−π, π]. σn (x) =

Bemerkung: F¨ ur jede Funktion f ∈ R[−π, π] gilt: Zπ lim

n→∞ −π

6.5 6.5.1

|f (t) − sn (t)|2 dt = 0

(Konvergenz im quadratischen Mittel )

Metrische R¨ aume und normierte R¨ aume Metrische R¨ aume

Def. 1: Eine Metrik d auf E ist eine Abbildung d : E × E → R mit folgenden Eigenschaften: (1) d(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ E und d(x, y) = 0, gdw. x = y (2) d(x, y) = d(y, x) ∀ x, y ∈ E (3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀ x, y, z ∈ E Def. 2: Ein metrischer Raum ist ein Paar (E, d) wobei E eine Menge und d eine Metrik auf E ist. v uX u n Bsp.(Euklidische Metrik): dz (x, y) = t (xi − yi )2 i=1

Def. 3: Eine Folge von Elementen xn eines metrischen Raumes (E, d) heißt konvergent, gdw. ein x ∈ E ex., s.d. lim d(xn , x) = 0. x ist dann eindeutig bestimmt. n→∞

6.5.2

Normierte lineare R¨ aume

Def. 1: Die Norm || · || auf E ist eine Abbildung || · || : E → R mit folgenden Eigenschaften: (1) ||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 gdw. x = 0 (2) ||λx|| = |λ| ||x|| (3) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| Def. 2: Ein normierter linearer Raum ist ein Paar (E, || · ||), wobei E ein Vektorraum und ||x|| eine Norm auf E ist. Satz 1: Jeder n.l.R. (E, || · ||) ist ein metrischer Raum mit der Metrik d(x, y) = ||x − y||. Bemerkung: Die Umkehrung gilt nicht, denn nicht jede Menge ist ein Vektorraum. Beispiele: •

||x||p =

n X

!p1 |xi |p

, 1 ≤ p < ∞ (p-Normen)

i=1

• •

||x||∞ = max(|x1 |, . . . , |xp |)  b p1 Z ||f ||p =  |f (t)|p dt a

24

Funktionenfolgen und Funktionenreihen

25

Satz 2: Es sei || · || eine Norm auf E = Cn oder E = Rn . Es seien xk = (xk1 , . . . , xkn ) ∈ E und x = (x1 , . . . , xn ) ∈ E. Dann gilt: lim xk = x, gdw. lim xkp = xp ∀ p ≤ n, d.h. die Konvergenz eines k→∞

k→∞

Vektors ist die koordinatenweise Konvergenz des Vektors

6.6 6.6.1

Topologische Grundbegriffe in metrischen R¨ aumen Offene Mengen

Def. 1: Sei x0 ∈ E und r ≥ 0. Dann ist: ∧ • Kr (x0 ) = {x ∈ E : d(x, x0 ) ≤ r} = Kugel um x0 mit Radius r ∧ • Ur (x0 ) = {x ∈ E : d(x, x0 ) < r} = offene Kugel (Kugelinneres) um x0 mit Radius r Def. 2: x0 ∈ M heißt innerer Punkt von M , gdw. ein r > 0 ex., s.d. Ur (x0 ) ⊆ M ist. Def. 3: M heißt offen, wenn jeder Punkt x0 ∈ M innerer Punkt von M ist. Def. 4: x0 ∈ M heißt Randpunkt von M , gdw. f¨ ur alle r > 0 Kr (x0 ) ∩ M 6= ∅ und Kr (x0 ) ∩ E \ M = 6 ∅ ist. 6.6.2

Abgeschlossene Mengen

Def. 1: x0 heißt Ber¨ uhrungspunkt [H¨ aufungspunkt] von M , wenn f¨ ur jedes ε > 0 die Menge Kε (x0 ) mindestens einen [von x0 verschiedenen] Punkt von M enth¨alt. Def. 2: Die Menge aller Ber¨ uhrungspunkte von M heißt Abschluss von M . Symbol: M Def. 3: M heißt abgeschlossen, gdw. M = M . 6.6.3

Stetigkeit von Abbildungen metrischer R¨ aume

Def. 1: Seien (E1 , d1 ), (E2 , d2 ) metrische R¨aume. f sei Abbildung f : E1 → E2 und x0 ∈ E1 . (1) f ist stetig in x0 , wenn f¨ ur jede Folge {xn } ∈ E1 aus lim xn = x0 auch lim f (xn ) = f (x0 ) gilt. n→∞

n→∞

(2) f heißt stetig, wenn f stetig in jedem Punkt x0 ∈ E1 ist 6.6.4

Vollst¨ andigkeit eines metrischen Raumes

Def. 1: Eine Folge {xn } aus (E, d) heißt Cauchyfolge in (E, d), wenn f¨ ur alle ε > 0 ein n(ε) ∈ R ex., s.d. d(xn , xm ) < ε ∀ n, m ≥ n(ε). Bemerkung: Jede konvergente Folge √ {xn } im metrischen Raum ist Cauchyfolge. Die Umkehrung gilt nicht (Ein Beispiel daf¨ ur ist lim xn = 2 mit xn ∈ Q konvergiert nicht in Q). n→∞

Def. 2: Ein metrischer Raum heißt vollst¨andig, wenn jede Cauchyfolge aus (E, d) in (E, d) konvergiert. Bemerkung: Vollst¨ andigkeit bedeutet, Cauchysches Konvergenzkriterium gilt.

6.7 6.7.1

Kompakte Mengen in metrischen R¨ aumen ¨ Der Uberdeckungssatz von Heine-Borel

¨ Def. 1: M sei Teilmenge von (E,S d). Eine offene Uberdeckung von M ist eine System {Ui , i ∈ I} von offenen Teilmengen Ui von E mit Ui ⊇ M . i∈I

¨ Satz 1(Satz v. Heine-Borel): Sei M = [a, b], E ∈ R und d(x, y) = |x − y|. Jede offene Uberdeckung n S {Ui , i ∈ I} von M besitzt eine endliche Teil¨ uberdeckung, d.h. es ex. Ui1 , . . . , Uin , n ∈ N mit Uik ⊇ M . k=1

Bemerkung: Keine Voraussetzung kann weggelassen werden. 25

26

Funktionenfolgen und Funktionenreihen

6.7.2

Kompakte Mengen in metrischen R¨ aumen

¨ Def. 2: Eine Teilmenge M von (E, d) heißt kompakt, wenn jede offene Uberdeckung von M eine endliche Teil¨ uberdeckung besitzt. Bemerkung: Eine Menge M ist kompakt, gdw. der Satz von Heine-Borel gilt. Satz 2: F¨ ur jede Teilmenge M von (E, d) sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (1) M ist kompakt (2) aus jeder Folge {xn } von Elementen aus xn ∈ M kann man eine in (E, d) konvergente Teilfolge {xnk } ausw¨ ahlen, mit lim xnk ∈ M (Satz v. Bolzano-Weierstrass). k→∞

Satz 3: Jede kompakte Menge M im metrischen Raum (E, d) ist abgeschlossen und beschr¨ankt und ist als metrischer Raum vollst¨ andig. !21 n X Satz 4: M sei eine Teilmenge von Rn , d(x, y) = (xi − yi )2 . Es gilt M ist kompakt, gdw. M i=1 abgeschlossen und beschr¨ ankt ist. 6.7.3

Stetige Funktionen auf kompakten Mengen

Satz 5: M sei kompakt in (E, d). f : M → C sei stetige Funktion auf M . (1) f ist beschr¨ ankt (d.h. sup |f (x)| < ∞) x∈M

(2)

Sei f : M → R. Dann ex. x1 , x2 ∈ M , s.d. f (x1 ) = min f (x) und f (x2 ) = max f (x) x∈M

x∈M

(3) f ist auf M glm. stetig, d.h. zu jedem ε > 0 ex. ein δ(ε) > 0, s.d. |f (x) − f (x0 )| < ε ∀ x, x0 ∈ M mit d(x, x0 ) < ε (Satz v. Cantor gilt).

26

Differentialrechnung f¨ ur Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher

7 7.1 7.1.1

27

Differentialrechnung fu anderlicher ¨ r Funktionen mehrerer Ver¨ Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher Gebiete

Def. 1: Eine offene Teilmenge M von E = Rn heißt zusammenh¨ angend, wenn f¨ ur beliebige Punkte x, y ∈ M ein Polygonzug von x nach y ex., der in M verl¨auft. Def. 2: Ein Gebiet in Rn ist eine offene, zusammenh¨angende Teilmenge des Rn . Bemerkung: Def. 1 von zusammenh¨ angend entspricht f¨ ur beliebige metrische R¨aume dem Begriff bogenzusammenh¨ angend f¨ ur offene Teilmengen des Rn . Beide Begriffe sind ¨aquivalent. 7.1.2

Zwischenwertsatz f¨ ur stetige Funktionen

Satz 1: G sei ein Gebiet im Rn , x0 , x1 ∈ G. f sei eine reellwertige, stetige Funktion auf G, mit f (x0 ) < 0 und f (x1 ) > 0. Dann ex. ein x2 ∈ G, s.d. f (x2 ) = 0. 7.1.3

Stetige Funktionen auf Teilmengen M ⊆ Rn

Def. 1: f sei stetig in x0 , wenn aus lim xn = x0 in Rn und xn ∈ M ∀ n ∈ N, lim f (xn ) = f (x0 ) folgt. n→∞

n→∞

Def. 1’: f ist stetig in x0 , gdw. ∀ ε > 0 ein δ(ε) > 0 ex., s.d. |f (x)−f (x0 )| < ε ∀ x ∈ M mit d(x, x0 ) < δ(ε). Bemerkung: Wenn f (x, y) stetig ist in (x0 , y0 ), dann ist f (x, y0 ) stetig in x0 und f (x0 , y) stetig in y0 . Aus der Stetigkeit folgt die partielle Stetigkeit, die Umkehrung gilt jedoch nicht.

7.2 7.2.1

Die Ableitung einer Funktion f : Rn → Rm Motivation

Hilfssatz: Sei f : R → R. f ist diffbar in x0 , gdw. ein A ∈ R ex., s.d.: lim

h→0

7.2.2

|f (x0 + h) − f (x0 ) − A · h| =0 |h|

Definition

Def. 1: Sei G ein Gebiet im Rn und f : G → Rm sei eine Abbildung von G in den Rm . Sei x0 ∈ G und h ∈ Rn . Dann heißt f diffbar in x0 , gdw. ein A ∈ L(Rn , Rm ) ex, s.d.: lim

h→0

||f (x0 + h) − f (x0 ) − A(h)|| =0 ||h||

Bemerkungen: (1) F¨ ur n = m = 1 ergibt sich die fr¨ uhere Ableitungsdefinition. (2) Im Z¨ahler und Nenner steht jeweils die euklidische Norm (3) Die euklidische Norm kann durch beliebige andere Normen ersetzt werden (4) Da G ein Gebiet ist, ist x0 innerer Punkt. Dann ist x0 + h ∈ G, falls ||h|| < δ f¨ ur ein δ > 0 und f (x0 + h) ist definiert f¨ ur alle h ∈ Rn mit ||h|| < δ. (5) F¨ ur die Folge (hk , k ∈ N), hk ∈ Rn , hk 6= 0 ∀ k ∈ N mit lim ||hk || = 0 gilt: ||f (x0 +hk )−f (x0 )−A(hk )|| ||hk || k→∞

lim

k→∞

=0

Lemma 1: A ist durch f und x0 eindeutig bestimmt. Symbol: A = f 0 (x0 ) ∈ L(Rn , Rm ) Def. 2: Sei m = 1, d.h.f (x1 , . . . , xn ) ist eine reellwertige Funktion auf G. f heißt in x0 partiell diffbar nach xi , gdw. der Grenzwert lim

h→0

f (x01 , . . . , x0i + h, . . . , x0n ) − f (x01 , . . . , x0i−1 , x0i , x0i+1 , . . . , x0n ) h

existiert. Dieser Grenzwert heißt die i-te partielle Ableitung von f in x0 . ∂f Symbol: (x0 ) = fxi (x0 ) ∂xi 27

28

7.2.3

Differentialrechnung f¨ ur Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher

Spezialf¨ alle

0 Fall 1: Sei n = 1, dann ist A ∈ L(R, Rm ). Somit ist f (x) = f1 (x), . . . , fm (x) und f 0 (x) = f10 (x), . . . , fm (x) . Fall 2: Sei m = 1, d.h. f : G ⊆ Rn → R. Sei A ∈ L(Rn , R). Hilfssatz: Sei ~a ∈ Rn und A(h) = ~a · ~h (1) Dann ist A ∈ L(Rn , R). (2) Man kann eindeutig ~a zuordnen. ∂f ∂f Symbol: (gradf )(x) = (x), . . . , (x) = (∇f )(x) ∂x1 ∂xn Satz: Sei hi = dxi , i = 1, . . . , n. Dann ist: df (x) · (h) = fx1 (x)dx1 + . . . + fxn (x)dxn das totale Differential der Funktion f im Punkt x. df (x) ist lineare Abbildung von Rn in R ≡ L(Rn , R) Satz: Sei z = f (x, y). Dann ist: fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) = z − f (x0 , y0 ) die Tangentialebene an (x0 , y0 ). Bemerkungen: Die Tangentialebene • geht durch (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) • hat in x-Richtung den Anstieg fx (x0 , y0 ) • hat in y-Richtung den Anstieg fy (x0 , y0 ) 7.2.4

Koordinatendarstellung der Ableitung einer Funktion f : Rn → Rm

∂fi (x0 ) existieren und stetig Satz 1: f : G ⊆ Rn → Rm ist diffbar in x0 , gdw. alle partiellen Ableitungen ∂x j 0 sind (1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n). Dann hat die lineare Abbildung f (x0 ) bzgl. der Standardbasen im Rn bzw. Rm folgende Matrixdarstellung:   ∂f1 ∂f1 ...  ∂x1 ∂xn   . ..   .  .  (x0 )  .  ∂f ∂fm  m ... ∂x1 ∂xn

Diese Matrix heißt Funktionalmatrix oder Jacobimatrix ∂(f1 , . . . , fn ) Symbol: ∂(x1 , . . . , xn ) Satz 2: Sei f : G ⊆ Rn → Rm und x0 ∈ G. Dann ex. ein ε > 0, s.d. Kε (x0 ) ⊆ G und x ∈ Kε (x0 ), i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , n und ist stetig in x0 . Dann ist f diffbar in x0 .

∂fi ∂xj (x)

ex. f¨ ur alle

Def. 2: Sei f : G ⊆ Rn → Rm . f heißt stetig diffbar auf G, wenn f diffbar ist f¨ ur alle x ∈ G und die Abbleitung f 0 (x) ∈ L(Rn , Rm ), x ∈ Rn stetig als Abbildung von normierten linearen R¨aumen ist. Folgerung 3: Sei f : G ⊆ Rn → Rm , f = (f1 , . . . , fm ). f ist stetig diffbar auf G, gdw. alle partiellen ∂fi (x), x ∈ G existieren und auf G stetig sind. Ableitungen ∂x j 7.2.5

Richtungsableitung

Def.: Sei f : G ⊆ Rn → R(C), x0 ∈ G, u ∈ Rn mit ||u|| = 1. Wenn lim

t→0

f (x0 +tu)−f (x0 ) t

ex., dann heißt

dieser Grenzwert die Richtungsableitung der Funktion f in Richtung u im Punkt x0 . ∂f Symbol: (x0 ) ∂u ∂f Bemerkung: Wenn f in x0 diffbar ist, gilt: (x0 ) = fx1 (x0 ) · u1 + . . . + fxn (x0 ) · un = (gradf )(x0 ) · u ∂u ∂f ∂f Spezialfall: Sei u = ei = (0, . . . , 0, |{z} 1 , 0, . . . , 0). Dann ist (x0 ) = (x0 ). ∂u ∂xi i

28

Differentialrechnung f¨ ur Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher

7.3

29

Die Kettenregel

7.3.1

Die Norm einer linearen Abbildung

Def. 1: Sei A ∈ L(Rn , Rm ) und sei A = (aij ) Matrix f¨ ur A bzgl. der Standardbasen im Rn bzw. Rm . Sei n m P P 2 √ √ c= aij . Dann ist ||A(h)|| ≤ c||h|| ∀ h ∈ Rn . c heißt die Hilbert-Schmidt-Norm. i=1 j=1

Def. 2: Sei ||A|| = sup ||A(h)||. Dann ist ||A(h)|| ≤ ||A|| ∀ ||h|| ≤ 1 mit h ∈ Rn . ||A|| heißt die ||h||≤1

Operatorennorm der linearen Abbildung A. Bemerkungen: (1) ||A(h)|| ≤ ||A|| · ||h|| ∀ h ∈ Rn (2) ||A|| ist die kleinste Zahl M ≥ 0 mit ||A(h)|| ≤ M · ||h|| ∀ h ∈ Rn (3) ||B · A|| ≤ ||B|| · ||A|| Satz 1: Sei f : G ⊆ Rn → Rm und f in x0 ∈ G diffbar. Dann ist f in x0 stetig. 7.3.2

Kettenregel

Satz 2: Sei f : G1 ⊆ Rn → G2 ⊆ Rm und g : G2 → Rk , wobei G1 , G2 Gebiete sind. Sei f (x) = y, z = g(y) und z = k(x) = g f (x) , x ∈ G1 . Wenn f in x0 ∈ G1 diffbar ist und g in y0 = f (x0 ) diffbar ist, dann ist k in x0 diffbar und es gilt k 0 (x0 ) = g 0 (y0 ) · f 0 (x0 ). Umformulierung: Wenn C = B · A f¨ ur lineare Abbildungen gilt, dann gilt f¨ ur die entsprechenden Matrizen bzgl. der Standardbasen im Rn , Rm , Rk das Matrizenprodukt Φ = B · A, d.h. k 0 (x0 ) = g 0 (y0 ) · f 0 (x0 ) bedeutet: ∂(z1 , . . . , zk ) ∂(y1 , . . . , ym ) ∂(z1 , . . . , zk ) = · ∂(x1 , . . . , xn ) ∂(y1 , . . . , ym ) ∂(x1 , . . . , xn ) bzw. elementweise: m

X ∂zi = ∂xj l=1

∂zi ∂yl ∂yl ∂xj

Beide Formulierungen der Kettenregel sind ¨aquivalent. Def. 3: Sei f : G ⊆ Rn → Rn diffbar in x0 ∈ G. Dann heißt die Determinante: ∂(f1 , . . . , fn ) ∂(f1 , . . . , fn ) (x0 ) := det ∂(x1 , . . . , xn ) ∂(x1 , . . . , xn ) die Funktionaldeterminante der Abbildung f im Punkt x0 Bemerkungen: (1) det(B · A) = det B · det A, d.h. ∂(z1 , . . . , zk ) ∂(y1 , . . . , ym ) ∂(z1 , . . . , zk ) = · ∂(x1 , . . . , xn ) ∂(y1 , . . . , ym ) ∂(x1 , . . . , xn ) (2)

ist die Produktformel f¨ ur Funktionaldeterminanten. det Ω−1 BΩ = det B. Determinanten sind in jedem Koordinatensytem gleich.

7.4 7.4.1

Partielle Ableitungen h¨ oherer Ordnung und Anwendungen Partielle Ableitungen h¨ oherer Ordnung

Def. 1: Sei y = f (x) eine Funktion auf G ⊆ Rn . Sei i, j ∈ {1, . . . , n}, x0 ∈ G. Die partielle Ableitung ∂f ∂f ur x ∈ G. Wenn die Funktion ∂x (x0 ) eine partielle Ableitung nach xj besitzt, dann heißt diese ∂xi ex. f¨ i partielle Ableitung eine partielle Ableitung 2. Ordnung auf f nach xi und xj . ∂f ∂ ∂x ∂2f i Symbol: (x0 ) = (x0 ) = fxj xi (x0 ) ∂xj ∂xj ∂xi ∂kf Analog: F¨ ur partielle Ableitung k-ter Ordnung: ∂xi1 · . . . · ∂xik 29

30

Differentialrechnung f¨ ur Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher

Satz 1(Satz v. Schwarz): Sei z = f (x, y) auf dem Gebiet G ⊆ R2 definiert und (x0 , y0 ) ∈ G. Es ex. ein ε > 0, s.d. die partielle Ableitung fx (x, y), fy (x, y) und fxy (x, y) ex. f¨ ur alle (x, y) ∈ Kε (x0 , y0 ) ∩ G. Die partiellen Ableitungen fxy sei stetig in (x0 , y0 ). Dann ex. die partielle Ableitung fyx (x0 , y0 ) und es gilt fxy (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ). Bemerkung: Wenn alle partiellen Ableitungen 2. Ordnung einer Funktion y = f (x) auf g ⊆ Rn ex. und auf G stetig sind, dann gilt fxi xj (x) = fxj xi (x) ∀ x ∈ G und ∀ i, j = 1, . . . , n. 7.4.2

Taylorscher Lehrsatz f¨ ur Funktionen von n Ver¨ anderlichen

Def. 1: Sei y = f (x) eine Funktion auf G ∈ Rn . Sei k ∈ N. f ist k-mal stetig diffbar oder f ∈ C k (G), gdw. alle partiellen Ableitungen k-ter Ordnung auf G ex. und auf G stetig sind. Wenn f ∈ C k (G) ∀ k ∈ N, dann sagt man f ∈ C ∞ (G). Satz 1: Sei f reellwertige Funktion aus C ∞ (G). Sei x0 + th ∈ G f¨ ur t ∈ [0, 1], x0 ∈ G, h ∈ Rn . Dann heißt: f (x0 + h) = f (x0 ) +

k X (h · ∇)n f (x0 ) (h · ∇)k+1 f (x0 + νh) + n! (k + 1)! n=1 | {z }

ν ∈ [0, 1]

Rk+1 (x0 ,h)

der Taylorsche Lehrsatz. ∞ Bemerkungen: X (h · ∇)n f (x0 ) (1) Wenn lim Rk+1 (x0 , h) = 0 gilt, dann ist f (x0 + h) = k→∞ n! n=0 (2) F¨ ur k = 0 folgt der Mittelwertsatz der Differentialrechnung mehrerer Ver¨anderlicher:

f (x0 + h) − f (x0 ) = (h · ∇)f (x0 + νh) 7.4.3

ν ∈ (0, 1)

Extrema f¨ ur Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher

y = f (x1 , . . . , xn ) sei reellwertige Funktion auf G ∈ Rn Def. 1: Ein Punkt x0 ∈ G heißt lokales Maximum [Minimum] f¨ ur f (x), wenn ein ε > 0 ex., s.d. f (x0 ) ≥ f (x) [f (x0 ) ≤ f (x)] ∀ x ∈ Kε (x0 ) ∩ G ist. Satz 1: Sei x0 lokales Extremum f¨ ur f (x). Wenn f diffbar in x0 , dann ist gradf (x0 ) = 0, d.h. fxi (x0 ) = 0 f¨ ur i = 1, . . . , n. Def. 2: Sei A = (aij ) eine symmetrische n × n-Matrix (d.h. aij = aji ). Dann ist Q(h) := hT Ah = n P hi hj aij die quadratische Form zu A. i,j=1

Def. 3: • Q(h) • Q(h) • Q(h) • Q(h) • Q(h)

heißt heißt heißt heißt heißt

positiv definit, wenn Q(h) > 0 ∀ h ∈ Rn mit h 6= 0 positiv semidefinit, wenn Q(h) ≥ 0 ∀ h ∈ Rn negativ definit, wenn Q(h) < 0 ∀ h ∈ Rn mit h 6= 0 negativ semidefinit, wenn Q(h) ≤ 0 ∀ h ∈ Rn indefinit, wenn h, k ∈ Rn existieren, s.d. Q(h) > 0 und Q(k) < 0

a11 Satz: Sei A = (aij ) und Dk = ... ak1

a12 .. .

...

ak2

...

a1k .. mit k = 1, . . . , n . akk

und λ1 , . . . , λm seien Eigenwerte von A (mit Vielfachheit). Dann gilt: • Q(h) ist positiv definit, gdw. λ1 > 0, . . . , λm > 0 gdw. D1 > 0, . . . , Dn > 0 • Q(h) ist negativ definit, gdw. λ1 < 0, . . . , λm < 0 gdw. (−1)k Dk > 0 , k = 1, . . . , n • Q(h) ist indefinit, gdw. ein k, l ∈ {1, . . . , m}ex., s.d. λk > 0 und λl < 0

30

Differentialrechnung f¨ ur Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher

31

Satz 2: Es sei A ≡ (aij ) =: Hf (x0 ) mit aij := fxi xj (i, j = 1, . . . , n) die Hessematrix von f in x0 und Q(h) = hT Ah. Sei f ∈ C 2 (G), x0 ∈ G und gradf (x0 ) = 0. Dann gilt: • Wenn Q(h) positiv definit, dann hat f in x0 ein lokales Minimum • Wenn Q(h) negativ definit, dann hat f in x0 ein lokales Maximum • Wenn Q(h) indefinit, dann hat f in x0 kein lokale Extremum fxx (x0 ) fxy (x0 ) Spezialfall n = 2: F¨ ur n = 2 ist A = . Dann gilt: fyx (x0 ) fyy (x0 ) • Wenn det Hf (x0 ) > 0 und fxx (x0 ) > 0, dann hat f an der Stelle x0 ein lokales Minimum • Wenn det Hf (x0 ) > 0 und fxx (x0 ) < 0, dann hat f an der Stelle x0 ein lokales Maximum • Wenn det Hf (x0 ) < 0, dann hat f an der Stelle x0 kein lokales Extremum • Wenn det Hf (x0 ) = 0, dann ist keine Aussage u ¨ber Extremwerte m¨oglich Bemerkung: Sei y = f (x) eine reellwertige Funktion, stetig auf der abgeschlossenen, beschr¨ankten Menge M ⊆ Rn . Da M kompakt ist, besitzt f (x) auf M ein Maximum und ein Minimum. Sei ∂M der Rand von M. Es gilt: • max f = max(f (x), f (z)) mit x ∈ ∂ M, z lokales Maximum im Inneren x∈M

•

min f = min(f (x), f (z)) mit x ∈ ∂ M, z lokales Minimum im Inneren

x∈M

7.4.4

Der Nablakalk¨ ul

Sei f (x, y, z) eine Funktion auf G ⊆ R3 . Sei ~v (x, y, z) = (v1 , v2 , v3 ) eine Vektorfunktion auf G ∈ R3 und f ∈ C 2 (G), ~v ∈ C 2 (G). ∂ ∂ ∂ , , der Nablaoperator. Wir definieren: Def.: Sei ∇ := ∂x ∂y ∂z (1) Gradient: grad f := (fx , fy , fz ) = ∇f ∂v1 ∂v2 ∂v3 (2) Divergenz: div ~v := + + = ∇ · ~v ∂x ∂y ∂z ~e1 ~e2 ~e3 ∂ ∂ ∂ (3) Rotation: rot ~v := ∂x ∂y v ∂z = ∇ × ~ v1 v2 v3 (4) Laplaceoperator: ∆f := fxx + fyy + fzz = (∇ · ∇)f (5) Laplacegleichung: ∆f = 0 Eigenschaften: (1) rot rot ~v = grad (div ~v ) − ∆V (2) rot grad f = 0 (3) div grad f = ∆f

7.5 7.5.1

Aufl¨ osungss¨ atze Gruppe GL(n, R)

Def. 1: Sei A ∈ L(Rn , Rn ) mit der Operatorennorm ||A|| = sup ||A(x)||. L(Rn , Rm , || · ||) ist ein reeller, ||x||≤1

normierter Raum. GL(n, R) sei die Menge aller linearen Abbildungen A ∈ L(Rn , Rn ), f¨ ur die det A 6= 0 gilt. GL(n, R) ist eine Gruppe. Wenn A, B ∈ GL(n, R), dann ist auch A−1 und A · B in GL(n, R). Satz 1: Sei A ∈ GL(n, R) und C = ||A−1 ||. Wenn B ∈ L(Rn , Rn ) und ||A − B|| < B ∈ GL(n, R). Die Abbildung A → A−1 des metrischen Raumes GL(n, R) ist stetig. 7.5.2

1 C,

dann ist

Satz von der Umkehrabbildung / inversen Funktion

Def.: Sei x0 ∈ Rn . Eine Menge U heißt Umgebung von x0 , wenn x0 innerer Punkt von U ist (d.h. es ex. ein ε > 0 mit Uε (x0 ) ⊆ U ).

31

32

Differentialrechnung f¨ ur Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher

Theorem 2: Sei f : G ⊆ Rn → Rn stetig diffbar in x0 ∈ G. Es sei f 0 (x0 ) eine regul¨are lineare Abbildung. Dann ex. eine offene Umgebung U von x0 , die durch f eineindeutig auf eine offene Umgebung V von y0 = f (x0 ) abgebildet wird. Die zugeh¨ orige Umkehrabbildung g := (f U )−1 : V → U ist stetig diffbar und es gilt: 0 und g 0 (y) = f 0 (x)−1 (f U )−1 (y) = f 0 (x)−1 | {z } | {z } | {z } Umkehrfunktion

inverse Abb.

fu ¨ r alle x∈U (inverse Matrix)

Bemerkungen: ∂(f1 , . . . , fn ) (1) f 0 (x0 ) ist regul¨ ar, gdw. det f 0 (x0 ) = (x0 ) 6= 0 ist. ∂(x1 , . . . , xn ) (2) Wenn f : G ⊆ Rn → Rn stetig diffbar ist und regul¨ar, dann gilt die Behauptung von Theorem 2. (3)

Sei y = f (x) mit f : G ⊆ Rn → Rn . Sei yi = fi (x1 , . . . , xi ), i = 1, . . . , n ein Gleichungssystem mit n Gleichungen. Die Behauptung von Theorem 2 besagt: Wenn dieses Gleichungssystem eine spezielle L¨ osung y = f (x0 ) besitzt, dann ex. eine eindeutige L¨osung in einer geeigneten Umgebung von x0 .

Folgerung 3(Satz v. der Gebietstreue): Sei f : G ⊆ Rn → Rn stetig diffbar, G sei offene Menge im Rn . Es sei f 0 (x) regul¨ ar f¨ ur alle x ∈ G. Dann ist f (G) auch offen. Satz 4: Sei f : E1 → E2 eine Abbildung des metrischen Raumes E1 in E2 . Die folgenden Aussagen sind ¨aquivalent: (1) f ist stetig d.h. aus xn → x folgt stets f (xn ) → f (x) (2) F¨ ur jede offene Menge U in E2 ist das vollst¨andige Urbild f −1 (U ) := {x ∈ E1 : f (x) ∈ U } offen. (3) F¨ ur jede abgeschlossene Menge U in E2 ist das vollst¨andige Urbild f −1 (U ) abgeschlossen. Bemerkung zu (2) und (3): Die Umkehrung gilt nicht. Die Eigenschaften des Bildes u ¨bertragen sich auf das Urbild, aber die Eigenschaften des Urbilds u ¨bertragen sich nicht auf das Bild. Das heißt, wenn der Wertebereich offen ist, ist auch der Definitionsbereich offen, wenn der Definitonsbereich offen ist, muss der Wertebereich jedoch nicht offen sein. Beispiel: f = sin x bildet ab (0, 2π) → [−1, 1] 7.5.3

Satz von der impliziten Funktion (Aufl¨ osungssatz)

Theorem 5: Sei f : G ⊆ Rn+m → Rn stetig diffbar. Sei (x0 , y0 ) ∈ G, wobei x0 ∈ Rm und y0 ∈ Rn . Es sei ∂(f1 ,...,fn ) (x0 , y0 ) 6= 0. Dann ex. eine offene Menge U ⊆ Rn+m und eine offene Menge f (x0 , y0 ) = 0 und ∂(y 1 ,...,yn ) W ⊆ Rm mit x0 ∈ W , (x0 , y0 ) ∈ U mit folgenden Eigenschaften: Zu jedem x ∈ W ex. genau ein y = y(x) mit x, y(x) ∈ U und f x, y(x) = 0. Die Abbildung W 3 x → y(x) ∈ Rn ist stetig diffbar. (x,y(x)) Bemerkung: Aus f x, y(x) = 0 folgt durch Differentation nach x (Kettenregel): y 0 (x) = − ffxy (x,y(x)) .

7.6

Parameterabh¨ angige Integrale

Zb Form: f (x, y) dx = I(y) a

7.6.1

Stetigkeit von I(y)

Satz 1: f (x, y) sei stetige Funktion auf R mit {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, a, b, c, d ∈ R. Dann ist I(y) stetig auf [c, d]. 7.6.2

Differenzierbarkeit von I(y)

Satz 2: Sei f (x, y) stetige Funktion in x ∈ [a, b] bei festem y ∈ [c, d]. Die partielle Ableitung fy (x, y) ex. auf R und sei stetig auf R (als Funktion von 2 Ver¨anderlichen). Dann ist I(y) nach y auf [c, d] diffbar und es gilt: Zb Zb d 0 f (x, y) dx = fy (x, y) dx (Leibnizsche Regel ) I (y) = dy a

a

32

Differentialrechnung f¨ ur Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher

33

Satz 3: Seien x = α(y) und x = β(y) diffbare Funktionen auf [c, d] deren Graph in R verl¨auft. f sei wie in Satz 2 und β(y) Z I(y) = f (x, y) dx α(y)

Dann ist I(y) in y diffbar und es gilt: β(y) Z 0 I (y) = fy dx + β 0 (y)f β(y), y −α0 (y)f α(y), y α(y)

7.6.3

Uneigentliche Integrale

+∞ Z F¨ ur y ∈ [c, d] existiere das uneigentliche Integral f (x, y) dx. a +∞ R

f (x, y) dx konvergiert glm. bzgl. y auf [c, d], wenn f¨ ur alle Def.: Man sagt, das uneigentliche Integral a RA ε > 0 ein A(ε) ≥ a ex., s.d. |I(y) − f (x, y) dx| < ε ∀ A ≥ A(ε) und y ∈ [c, d]. a

Satz 1(Majorantenkriterium): Es sei |f (x, y)| ≤ ϕ(x) ∀ x ∈ [a, +∞] und y ∈ [a, b]. das uneigentliche +∞ +∞ R R Integral ϕ(x) dx sei konvergent. Dann konvergiert das uneigentliche Integral I(y) = f (x, y) dx glm. a

a

bzgl. y. Satz 2: Sei f (x, y) stetig in x ∈ [a, +∞] bei festem y ∈ [c, d]. fy (x, y) ex. und sei stetig auf {(x, y) ∈ R2 , +∞ R a ≤ x < +∞, c ≤ y ≤ d}. F¨ ur alle y ∈ [c, d] konvergiere I(y) = f (x, y) dx. Die Konvergenz von I(y) a

sei glm. bzgl. y auf [c, d]. Dann ist I(y) diffbar und es gilt: +∞ Z I (y) = fy (x, y) dx f¨ ur y ∈ [c, d]. 0

a

7.6.4

Eine Anwendung: Die Gammafunktion

+∞ Z Form: Γ(a) := xa−1 e−x dx 0

Eigenschaften: (1) Γ(a) ist beliebig oft diffbar f¨ ur a > 0 und konvergent f¨ ur a > 0 (2) Γ(a + 1) = aΓ(a) f¨ ur a > 0 (3) Γ(n + 1) = n! f¨ ur n ∈ N0 (4) f (x) = ln Γ(x) ist eine konvexe Funktion, d.h. f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) f¨ ur alle λ ∈ [0, 1], x > 0, y > 0 (5) Satz von Bohr/Mollerup: Sei f (x) eine positive Funktion auf (0, +∞) mit f (1) = 1, f (x + 1) = xf (x) f¨ ur alle x > 0 und ln f (x) konvex. Dann ist f (x) = Γ(x) ∀ x > 0. (6) Stirlingsche Formel : lim

x→+∞

Γ(x + 1) √ =1 x x 2πx e

√ F¨ ur x = n und große n: n! ≈ nn e−n 2πn √ (7) Γ 21 = π. Dann folgt wegen (2): 1 1√ • Γ 32 = Γ 12 + 1 = Γ 21 = π 2 2 1 1 1 5 1 1 • Γ 2 =Γ 2 +1+1 = +1 Γ 2 +1 = +1 Γ 2 2 2

33

1 2

=

3√ π 4

34

(8)

Differentialrechnung f¨ ur Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher

Sei die Betafunktion definiert als: Z1 B(x, y) := tx−1 (1 − t)y−1 dt, x > 0, y > 0 0

Dann gilt: B(x, y) =

Γ(x) · Γ(y) Γ(x + y)

(Verallgemeinerung des Binominalkoeffizienten)

Bemerkung: Die Eigenschaften (2), (4) und Γ(0) = 1 bestimmen Γ(x) vollst¨andig.

34

Riemannintegrale im Rn

35

Riemannintegrale im Rn

8

Das Riemannintegral im Rn

8.1 8.1.1

n-dimensionale Quader

Def. 1: Sei ai , bi ∈ R, ai ≤ bi mit i = 1, . . . , n. Ii sei eines der Intervalle (ai , bi ), [ai , bi ]. Dann heißt Q := I1 × I2 × · · · × In n-dimensionaler Quader (oder auch n-dimensionales Intervall bzw. n-Zelle). Die Zahl |Q| := (b1 − a1 )(b2 − a2 ) · . . . · (bn − an ) heißt Volumen von Q. Wenn alle Intervalle Ii offen [abgeschlossen] sind, dann heißt Q offener [abgeschlossener] n-dimensionaler Quader. Def. 2: Sei f (x) beschr¨ ankt. Sei die Zerlegung Z von Q: ai = ti0 < ti1 < . . . < tik = bi Seien Ji Intervalle, definiert als Jil = [til , ti(l+1) ]. Sei Qj = J1j1 × J2j2 × . . . × Jnjn f¨ ur j = (j1 , . . . , jn ). Die Menge dieser P n-dimensionalen Quader Qj heißt Zerlegung Z von Q. Sei S(f, Q, Z) = Mj |Qj | mit Mj = sup f (x) P x∈Qj j und S(f, Q, Z) = mj |Qj | mit mj = inf f (x). x∈Qj

j

ullt, dann heißt Def. 3: f heißt R-integrierbar u ¨ber Q, wenn sup S(f, Q, Z) = inf S(f, Q, Z). Ist dies erf¨ Z

Z

die Zahl sup S(f, Q, Z) = inf S(f, Q, Z) das n-dimensionale R-Integral von f u ¨ber Q. Z

Z

Z Symbol:

f (x) d~v = Q

8.1.2

Z f (x) dx1 dx2 . . . dxn Q

Integration u ¨ ber beliebige Mengen

Def.: Sei G beschr¨ ankte Menge im Rn . Dann ex. ein n-dimensionaler Quader Q mit G ⊆ Q. f (x) sei eine beschr¨ankte, reellwertige Funktion auf G. Wir definieren: f (x) f¨ ur x ∈ G fe(x) = 0 f¨ ur x ∈ Q, x ∈ /G f heißt R-integrierbar, wenn fe R-integrierbar auf Q ist. Es gilt: Z Z Z f (x) d~v ≡ f (x) dx1 . . . dxn := fed~v G

G

Q

R Def.: Die Zahl |G| := 1 d~v heißt n-dimensionales Volumen von G, falls das Integral existiert. G

Bemerkung: F¨ ur n = 1 erh¨ alt man eine L¨ange, f¨ ur n = 2 eine Fl¨ache und f¨ ur n = 3 ein Volumen. 8.1.3

Welche Funktionen sind R-integrierbar?

Def.: Eine Teilmenge N des Rn heißt Jordanische Nullmenge, gdw. f¨ ur alle ε > 0 n-dimensionale Quader r r S P Q1 , . . . , Qr ex., s.d. N ⊆ Qi und |Qi | < ε. Folgende Mengen sind Jordansche Nullmengen: i=1

i=1

(1) f : K → Rm sei eine stetige Abbildung der kompakten Menge K ⊆ Rk in den Rm . Dann ist die Menge {(x, f (x)), x ∈ K} eine Jordansche Nullmenge in Rm+k Spezialfall: Sei m = k = 1, K = [a, b], f : K → R, f stetig reellwertig. Dann ist { x, f (x) , x ∈ [a, b]} der Graph der Funktion f eine Jordansche Nullmenge. (2)

∂fi Sei G ⊆ Rk eine offene Menge und f : G → Rn . Alle partiellen Ableitungen ∂x ex. auf G und seien bej schr¨ankt auf G. (f ist Lipschitzstetig). Dann ist f (G) eine Jordansche Nullmenge.

(3)

endliche Mengen

Def. 1: x ∈ Rn heißt Randpunkt von M ∈ Rn , gdw. f¨ ur alle ε > 0 ein Kε (x) ∩ M 6= 0 und Kε (x) ∩ (Rn \ M ) 6= 0 existiert. ∂ M sei die Menge aller Randpunkte von M. Def. 2: Eine kompakte Teilmenge M des Rn heißt Jordanbereich, wenn der Raum ∂ M eine Jordansche Nullmenge ist. (d.h. der Rand l¨ asst sich in endlich viele stetige Kurven zerlegen). Satz 1: Sei M ein Jordanbereich im Rn . f (x) sei beschr¨ankt reellwertige Funktion auf M. Es ex. eine Jordansche Nullmenge N ⊆ M derart, dass f (x) stetig ist in M \ N . Dann ist f auf M R-integrierbar.

35

Riemannintegrale im Rn

36

Def. 3: f (x) ist R-integrierbar, gdw. Re (f ) und Im(f ) R-integrierbar sind: Z Z Z f d~v := Re (f ) d~v + i Im(f ) d~v M

8.2 8.2.1

M

M

Iterierte Integrale Iterierte Integrale im R2

Satz 1: Sei a, b ∈ R, a < b. Sei ϕ(x), Ψ(x) stetige reellwertige Funktion auf [a, b]. Sei M : {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ Ψ(x)}. Dann gilt: ZZ

Zb Ψ(x) Z f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx a ϕ(x)

M

Bemerkungen: (1) Beliebige Mengen versucht man in die Vereinigung von endlich vielen Mengen der oberen Form zu zerlegen. (2) Analog sei M = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, α(y) ≤ x ≤ β(y)}. Dann gilt ZZ Zd β(y) Z f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy c α(y)

M

8.2.2

Iterierte Integrale im R3

Satz 2: Sei M = {(x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ Ψ(x), α(x, y) ≤ z ≤ β(x, y)}. α(x, y), β(x, y), Ψ(x) und ϕ(x) seien stetig. Dann gilt: ZZZ Zb Ψ(x) Z β(x,y) Z f (x, y, z) dz dy dx f (x, y, z) dx dy dz = a ϕ(x) α(x,y)

M

8.2.3

Anwendung auf die Volumenberechnung

Satz 2: Sei f (x, y, z) = 1. Dann ist |M| gleich dem Volumen von M mit: Zb Zb Ψ(x) Z β(x,y) Z f (x, y, z) dz dy dx = F (x) dx |M| = a ϕ(x) α(x,y)

a

F (x) entspricht dem Fl¨ acheninhalt der Menge M = {(y, z) : α(x0 , y) ≤ z ≤ β(x0 , y), ϕ(x0 ) ≤ y ≤ ϕ(x0 )} bzgl. x0 . f zwei Mengen der obigen Form, d.h. Satz (Prinzip v. Cavaleri): Seien M und M • M = {(x, y, z) : a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ Ψ(x), α(x, y) ≤ z ≤ β(x, y)} e y)} f = {(x, y, z) : e e • M a ≤ x ≤ eb, ϕ(x) e ≤ y ≤ Ψ(x), α e(x, y) ≤ z ≤ β(x, f gleich sind, dann Wenn f¨ ur jedes x ∈ [a, b] die Fl¨ acheninhalte F (x) und Fe(x) der Schnitte M bzw. M f haben M und M die gleichen Volumina. Spezialfall: Sei y = f (x) reellwertig positive Funktion auf [a, b]. f rotiere um die x-Achse, M sei die einbeschriebene Menge. Es gilt: Zb |M| = π f (x)2 dx a

36

Riemannintegrale im Rn

8.2.4

37

Anwendung in der Physik: Momente

Sei M K¨orper im R3 (Jordanmenge) mit Massendichte %(x, y, z) auf M. Es sei %(x, y, z) ≥ 0 auf M. Seien k, m, n ∈ N0 . Dann heißt: ZZZ akmn = xk y m z n % dx dy dz M

das Moment der Massendichte mit der Gesamtmasse: ZZZ % dx dy dz a000 = M

Schwerpunkt: Der Schwerpunkt hat die Koordinaten: a100 a010 a001 xs = , ys = , zs = a000 a000 a000 Tr¨ agheitsmomente: ZZZ (x2 + y 2 + z 2 − x2 )% dx dy dz • T11 = ZM ZZ • T22 = ZM ZZ • T33 =

(x2 + y 2 + z 2 − y 2 )% dx dy dz (x2 + y 2 + z 2 − z 2 )% dx dy dz

M

Deviationsmomente: ZZZ • T12 = xy% dx dy dz = T21 ZM ZZ • T13 =

xz% dx dy dz = T31 ZM ZZ

• T23 =

yz% dx dy dz = T32 M

8.3

Transformationen fu ¨ r n-dimensionale Riemannintegrale

8.3.1

Transformationsformel

Satz 1: Seien m und n Jordanbereiche im Rn . M sei eine Jordansche Nullmenge mit M ⊆ m. Sei g : m → n stetig diffbare Abbildung. Falls die Vorraussetzungen: (1) g (m \ M) ist injektiv (d.h. aus g(x1 ) = g(x2 ) folgt x1 = x2 ) (2) g ist regul¨ are Abbildung f¨ ur alle g ∈ m \ M (3) f (x) mit x = g(t) ist stetig auf n erf¨ ullt sind, gilt: Z Z ∂(x1 , . . . , xn ) dt1 . . . dtn f (x) dx1 . . . dxn = f g(t) ∂(t1 , . . . , tn ) n

m

Bemerkungen: (1) Transformation von: • Integrationsbereich: n → m • Integrand: f (x) → f g(t) ∂(x1 , . . . , xn ) dt1 . . . dtn • Integrationsdifferential: dx1 . . . dxn → ∂(t1 , . . . , tn ) (2)

Die Abbildung g : m → n heißt stetig diffbar, wenn es eine offene Umgebung U ⊇ m und eine stetig diffbare Abbildung ge : U → Rn gibt mit g(x) = ge(x) f¨ ur x ∈ m. 37

Riemannintegrale im Rn

38

8.3.2

Polarkoordinaten

Sei n = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ R2 } und m = {(r, ϕ) ∈ R2 : 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ ≤ 2π}. Dann ist die Funktionaldeterminante: ∂(x, y) =r ∂(r, ϕ) und es gilt: Z2πZR ZZ Z f (r cos ϕ, r sin ϕ)r dr dϕ = f (r cos ϕ, r sin ϕ)r dr dϕ f (x) dx dy = m

n

8.3.3

0

0

Zylinderkoordinaten

Sei n = {(x, y, z) : x2 + y 2 ≤ R2 , z ∈ [0, a], a ∈ R} und m = {(r, ϕ, z) ∈ R3 : 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ a}. Dann ist die Funktionaldeterminante: ∂(x, y, z) =r ∂(r, ϕ, z) und es gilt: Z ZZZ Za Z2πZR f (x) dx dy dz = f (r cos ϕ, r sin ϕ, z)r dr dϕ dz = f (r cos ϕ, r sin ϕ, z)r dr dϕ dz n

8.3.4

m

0

0

0

Kugelkoordinaten

Sei n = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 } und m = {(r, ϕ, ϑ) ∈ R3 : 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ϑ ≤ π}. Dann ist die Funktionaldeterminante: ∂(x, y) = r2 sin ϑ ∂(r, ϕ) und es gilt: Z f (x) dx dy dz

ZZZ =

n

f (r sin ϑ cos ϕ, r sin ϑ sin ϕ, r cos ϑ)r2 sin ϑ dr dϕ dϑ

m

Zπ Z2πZR = f (r sin ϑ cos ϕ, r sin ϑ sin ϕ, r cos ϑ)r2 sin ϑ dr dϕ dϑ 0

8.3.5

0

0

Warum Betrag der Funktionaldeterminante?

Ein eindimensionales Riemann-Integral ist f¨ ur untere Grenze < obere Grenze definiert. Das Vertauschen der Grenzen ist beim n-dimensionalen Fall nicht m¨oglich. Bemerkung: Es gilt: 1=

∂(x, y) ∂(x, y) ∂(u, v) = · ∂(x, y) ∂(u, v) ∂(x, y)

→

∂(x, y) = ∂(u, v)

38

1 ∂(u,v) ∂(x,y)

Kurvenintegrale

9 9.1 9.1.1

39

Kurvenintegrale Rektifizierbare Kurven Kurven im Rn

Def.: Eine stetige Abbildung [a, b] 3 t → x(t) ∈ Rn , a < b, a, b ∈ R heißt Kurve im Rn . Eine Kurve heißt geschlossen, wenn x(a) = x(b) ist. Eine Kurve heißt einfach, wenn f¨ ur t1 , t2 ∈ [a, b] aus x(t1 ) = x(t2 ) auch t1 = t2 folgt. Eine Kurve heißt stetig diffbar, wenn die Abbildung t → x(t) stetig diffbar ist in jedem Punkt t ∈ [a, b] (in den Randpunkten einseitig diffbar). Bemerkung: Eine Kurve ist eine stetige Abbildung [a, b] 3 t, x(t) ∈ Rn . Die Menge {x(t), t ∈ [a, b]} heißt Spur der Kurve. Oft nennt man die Punktmenge {x(t), t ∈ [a, b]} auch Kurve.

9.1.2

Tangente an eine Kurve

Def.: Sei x(t), t ∈ [a, b] stetig diffbare, einfache Kurve. Wenn x0 (t0 ) 6= 0, dann heißt die Gerade durch den Punkt x(t0 ) in Richtung x0 (t0 ) die Tangente an die Kurve im Punkt x0 . Wenn x0 (t0 ) 6= 0 ∀ t ∈ [a, b], dann heißt die Kurve regul¨ ar. Tangentengleichung: x = x(t0 ) + λx0 (t0 )

9.1.3

λ∈R

Rektifizierbarkeit

Sei x(t), t ∈ [a, b] stetig einfache diffbare Kurve. Sei Z die Zerlegung von [a, b] : t0 = a < t1 < · · · < tn = b. Ein Polygonzug PZ heißt die direkte Verbindung von n Punkten (jeweils benachbarte) entlang der Kurve (d.h. von x(t0 ) nach x(t1 ) nach x(t2 ) . . . nach x(tn ).) Die L¨ange des Polygonzuges sei lZ . Def.: Eine Kurve heißt rektifizierbar, wenn die L¨angen lZ aller Polygonz¨ uge PZ f¨ ur die Zerlegung Z des Intervalls [a, b] nach oben beschr¨ ankt sind. Ist dies erf¨ ullt, dann heißt die Zahl L := sup lZ die L¨ ange der Z Kurve x(t), t ∈ [a, b]

9.1.4

Formel f¨ ur die L¨ ange einer Kurve

Satz 1: Sei x(t), t ∈ [a, b] stetig diffbare, einfache, rektifizierbare Kurve im Rn . Dann ist die L¨ange: Zb Zbq 0 x01 (t)2 + x02 (t)2 + . . . + x0n (t)2 dt L = ||x (t)|| dt = a

a

Spezialfall: Kurve sei Graph einer Funktion f (t), t ∈ [a, b]. Sei f (t) diffbar auf [a, b]. Dann ist die L¨ange: Zbp 1 + f 0 (t)2 dt L= a

Bogenl¨ ange in Polarkoordinaten: L =

Zbp r0 (t)2 + r(t)2 ϕ0 (t)2 dt a

9.2 9.2.1

Kurvenintegrale Definition und Berechnung

Satz 1: Sei x(t), t ∈ [a, b] stetig diffbare, einfache, rektifizierbare Kurve im Rn . Sei C = {x(t), t ∈ [a, b]}. Sei die Spur der Kurve f : C → Rn , d.h. jedem x ∈ C ist eindeutig ein Vektor zugeordnet. Die Funktion R f sei stetig. Dann ex. das Kurvenintegral f dx und es gilt: C

Z C

Zb f dx = f x(t) ·x0 (t) dt a

39

40

Kurvenintegrale

9.2.2

Physikalische Deutung

(1) F sei eine konstante Kraft im Rn , x1 , x2 ∈ Rn . Die Kraft verschiebt eine Masse von x1 nach x2 . Die geleistete Arbeit ist dann: W = F · (x2 − x1 ). (2) F (x) sei Kraftfeld auf g ⊆ Rn . Sei x(t), t ∈ [a, b] eine Kurve in g. Dann ist: Z Z W = F (x) dx = F1 (x) dx1 + F2 (x) dx2 + . . . + Fn (x) dxn C

C

die Arbeit bei der Verschiebung eine Masse entlang x(t), t ∈ [a, b] im Kraftfeld F (x). 9.2.3

Orientierung einer Kurve

Def.: Sei C : x(t), t ∈ [a, b] eine einfache Kurve. Sei t1 , t2 ∈ [a, b]. Der Kurvenpunkt x(t1 ) liegt vor x(t2 ), falls t1 < t2 . Das definiert eine Orientierung. Bemerkung: Sei x e(t) = x(−t), t ∈ [−b, −a]. (dann ist −t ∈ [a, b] und x(t) ist definiert). Dann ist die Spur x e gleich der Spur von x und beide Kurven haben gleiche Punktmengen. Somit definiert x e die zu x entgegengesetzte Orientierung. Die Orientierung von x ist dann C+ , von x e ist sie C− und es gilt: Z Z f (x) dx = − f (x) dx C+

9.3 9.3.1

C−

Wegunabh¨ angigkeit von Kurvenintegralen Konservative Kraftfelder und Potentialfelder

Gegeben sei ein Gebiet g ⊆ Rn . Ein Vektorfeld auf g ist die Abbildung f : g → Rn , d.h. jedem Punkt x ∈ g ist eindeutig ein Vektor f (x) ∈ Rn zugeordnet. Def. 1: Eine Kurve x(t), t ∈ [a, b] heißt st¨ uckweise stetig diffbar (bzw. st¨ uckweise C 1 -Kurve), wenn es Punkte a = t0 < t1 < . . . < tk = b gibt, s.d. die Abbildung [ti−1 , ti ] 3 t → x(t) stetig diffbar ist (in den Randpunkten einseitig diffbar) f¨ ur i = 1, . . . , k. Def. 2: Ein Vektorfeld f (x) auf einem Gebiet g heißt konservativ, wenn f¨ ur beliebige Punkte x1 , x2 ∈ g und beliebige st¨ uckweise stetig diffbare Kurven x(t), t ∈ [a, b] und y(t), t ∈ [c, d] mit x(a) = y(c) = x1 und x(b) = y(d) = x2 , die in g verlaufen Z Z f (x) dx = f (x) dx x(t)

y(t)

R ist. D.h. das Kurvenintegral f dx u ¨ber stetig diffbare Kurven innerhalb von g h¨angt nur vom Anfangsund Endpunkt ab, nicht aber vom Verlauf der Kurve. Bemerkung: Ein Vektorfeld f auf g ist konservativ, wenn f¨ ur jede st¨ uckweise stetig diffbare geschlossene Kurve C : x(t), t ∈ [a, b] die in g verl¨ auft gilt: Z f dx = 0 C

Def.: Sei f konservatives Vektorfeld u uckweise stetig diffbare ¨ber g. Sei x0 ∈ g fest. Sei Cx irgendeine st¨ Kurve innerhalb von g von x0 nach x. Wir definieren: Zx Z f dx = f dx x0

Cx

Bemerkung: Die rechte Seite h¨ angt nicht vom Verlauf der Kurve ab. Def. 3: Ein Vektorfeld f auf einem Gebiet g heißt Potentialfeld, wenn es eine diffbare Funktion U auf g gibt, mit grad U = f ∀ x ∈ g. U ist dann ein Potential f¨ ur f , d.h grad U = f , gdw. Ux1 = f1 , Ux2 = f2 , . . . , Uxn = fn . Bemerkungen: (1) F¨ ur n = 1 bedeutet grad U = f , dass f = U 0 (2) Jedes Vektorfeld f (x) der Form f (x) = V ||x|| x ist ein Potentialfeld 40

Kurvenintegrale

41

Satz 1: (1) U (x) sei stetig diffbare Funktion auf g ⊆ Rn . Es sei f = grad U . Dann gilt f¨ ur jede st¨ uckweise stetig diffbare Kurve x(t), t ∈ [a, b], die in g verl¨auft: Z f dx = U x(a) −U x(b) C+

Rx (2) f (x) sei stetiges, konservatives Vektorfeld auf g. Sei x0 ∈ g und U (x) = f dx, x ∈ g. Dann ist U (x) x0 ein Potential f¨ ur f , d.h. grad U = f. (3) Ein stetiges Vektorfeld f auf g ist konservativ, gdw. es ein Potentialfeld ist. Bemerkung: (1) und (2) sind analog zum Fundamentalsatz der Differential- / Integralrechnung f¨ ur n Dimensionen. 9.3.2

Integrabilit¨ atsbedingungen

Def: Sei g ein Gebiet im Rn . g heißt einfach zusammenh¨ angend f¨ ur jede geschlossene Kurve x(t), t ∈ [a, b], wenn eine stetige Abbildung F : [a, b] × [0, 1] → g ex. mit F (t, 0) = x(t), t ∈ [a, b] und F (t, 1) = x(a) = x(b), t ∈ [a, b]. Anschauliche Deutung: Die Kurve l¨asst sich auf einen Punkt zusammenziehen. Satz 2: f sei stetig diffbares Vektorfeld auf dem Gebiet g ⊆ R3 . (1) Wenn f ein Potentialfeld auf g ist, dann gilt rot f = 0 f¨ ur x ∈ g (2) Wenn g einfach zusammenh¨ angend ist und rot f = 0, dann ist f ein Potentialfeld. Bemerkungen: (1) Satz 2 gilt sinngem¨ aß auch f¨ ur Gebiet im Rn . Integrabilit¨atsbedingung: ∂fj ∂fi = ∂xj ∂xi

i, j = 1, . . . , n

Falls ein Potentialfeld vorliegt, ist die Integrabilit¨atsbedingung erf¨ ullt. Wenn die Integrabilit¨atsbedingung erf¨ ullt ist und das Gebiet einfach zusammenh¨angend ist, liegt ein Potentialfeld vor. ∂f2 ∂f1 = (2) F¨ ur Fall n = 2 ist die Integrabilit¨ atsbedingung: ∂y ∂x

9.4

Der Satz von Green

Sei G ein Gebiet im R2 , dessen Rand ∂G die endliche Vereinigung von st¨ uckweise stetig diffbaren Kurven ist. Wir legen eine Orientierung des Randes fest. Wir orientieren den Rand ∂G im mathematisch positiven ∧ Durchlaufsinn (= entgegen dem Uhrzeigersinn) vom Inneren von G aus. Eine Funktion f auf einer Menge n M ⊆ R heißt stetig diffbar auf M, wenn es eine offene Menge U ⊇ M und eine stetig diffbare Funktion fe auf U gibt mit fe(x) = f (x) ∀ x ∈ M. ∧ Theorem 1(Satz v. Green): Seien G und ∂G+ wie oben. f und g seien stetige Funktionen auf G (= G ∪ ∂G). Dann gilt: Z ZZ (gx − fy ) dy dx = g dy + f dx

∂G+

G

Bemerkungen: ZZ Z gx dy dx = g dy • ZGZ •

∂G+

Z −fy dy dx =

G

f dx ∂G+

Z Folgerung: Sei α ∈ R. Dann gilt: |G| =

(1 − α)x dy − αy dx

∂G+

41

42

Differentialformen und Vektoranalysis

10

Differentialformen und Vektoranalysis Differentialformen auf dem Rn

10.1 10.1.1

Alternierende Formen

Seien n, k ∈ N. Def. 1: Eine alternierende Multilinearform vom Grade k (kurz k-Form) ist eine Abbildung ω : Rn × Rn × . . . × Rn → R (also mit k Faktoren Rn ) mit folgenden Eigenschaften: (1) ω(. . . , λ1 h1 + λ2 h2 , . . .) = λ1 ω(. . . , h1 , . . .) + λ2 ω(. . . , h2 , . . .) i = 1, . . . , k, h1 , h2 ∈ Rn , λ1 , λ2 ∈ R | {z } i−te Stelle

(2)

ω(. . . , hi , hj . . .) = −ω(. . . , hj , hi , . . .)

Def.: Sei Λk (Rn ) der Vektorraum aller k-Formen. Wir setzen Λ0 (Rn ) := R und Λ1 (Rn ) := Rn . Sei i1 , . . . , ik ∈ {1, . . . , n}. Dann ist: h1i1 · · · hki1 .. ω(h1 , . . . , hk ) := ... . h1i · · · hki k

k

eine k-Form. Symbol: ω = dxi1 ∧ dxi2 ∧ . . . ∧ dxik Beispiel: Sei n = 3. Seien i1 , i2 ∈ {1, 2} und dxi1 (hj ) = hji1 , j ∈ {1, 2}. Dann ist: h1i1 h2i1 dxi1 ∧ dxi2 (h1 , h2 ) = h1i2 h2i2 (1)

(2)

Sei jetzt i1 = i2 = 1. Dann ist: h dx1 ∧ dx1 (h1 , h2 ) = 11 h11 Somit ist dx1 ∧ dx1 = 0.

h21 =0 h21

Sei jetzt i1 = 1 und i2 = 2. Dann ist: h h21 dx1 ∧ dx2 (h1 , h2 ) = 11 h12 h22

und

h dx2 ∧ dx1 (h1 , h2 ) = 12 h11

h22 h21

Somit ist dx1 ∧ dx2 (h1 , h2 ) = −dx2 ∧ dx1 (h1 , h2 ). Bemerkung: Insbesondere, wenn ir = is , r 6= s, dann ist dxi1 ∧ . . . ∧ dxir ∧ . . . ∧ dxir ∧ . . . ∧ dxik = 0. |{z} |{z} r s n k n Satz: Es gilt: dim Λ (R ) = , k = 0, 1, . . . , n. F¨ ur k ≤ n sind die k-Formen dxi1 ∧ . . . ∧ dxik , k i1 < i2 < . . . < ik ∈ {1, . . . , n} eine Basis von Λk (Rn ). F¨ ur k > n ist jede k-Form gleich Null. 10.1.2

Differentialformen

Sei U ⊆ Rn . Def. 2: Sei ω : U → Λk (Rk ) eine k-Form und k ≥ 2. Sei ω(x), x ∈ U definiert als: X ω(x) := ai1 i2 ...ik (x) dxi1 ∧ . . . ∧ dxik i1
Dann ist: (1) ω ∈ Ωkl (U ) gdw. ω ist eine k-Form auf U und alle Koeffizienten ai1 ...ik (x) sind in C l (U ) (d.h. l-mal stetig diffbar) (2) ω ∈ Ωk∞ (U ) gdw. ω ist eine k-Form auf U und alle Koeffizienten ai1 ...ik (x) sind beliebig oft diffbar

42

Differentialformen und Vektoranalysis

43

Def.: Sei (ω ∧ η)(x) := ω(x) ∧ η(x). ∞ L Ωk (U ) ist Algebra. Ωk (U ) ist die Menge aller k-Formen auf U . Bemerkung: k=0

Def. (Differentation von k-Formen): Sei ω eine k-Form, definiert wie in Def. 2. Sei ω ∈ Ωk1 (U ). Dann definieren wir:X (1) dω := dai1 i2 ...ik (x) ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik (2)

i1
da(x) :=

i=1

∂a (x) dxi ∂xi

Eigenschaften: (1) d : Ωkl (U ) → Ωk+1 l−1 (U ) (2) d(ω k ∧ η r ) = dω k ∧ η r + (−1)k ω k ∧ dη r (3) d(dω) = 0 f¨ ur ω ∈ Ωk2 (U ) 10.1.3

ω k ∈ Ωk1 (U ), η r ∈ Ωr1 (U )

Geschlossene und exakte Differentialformen

Sei ω ∈ Ωk1 (U ). ∧ Def.: ω heißt geschlossen, wenn dω = 0. ω heißt exakt, wenn ω = dη (= Ableitung).

Eigenschaften: (1) Jede exakte Form ist geschlossen (denn dω = d(dη) = 0). (2)

Sei ω = x2−y +y 2 dx + Windungsform.

(3)

Wenn ω = dη und ζ ∈ Ωk−1 (U ), dann ist d(η + dζ) = dη + d(dζ) = dη = ω. 2 Bemerkung: Diese L¨ osung ist nicht eindeutig.

x x2 +y 2 dy

∈ Ω1∞ (R2 \ {0, 0}). Dann ist ω geschlossen aber nicht exakt. ω ist die

Def.: Eine offene Menge U ∈ Rn heißt sternf¨ ormig bzgl. x0 ∈ U , wenn f¨ ur jedes x ∈ U die Verbindungsstrecke von x0 und x ganz in U verl¨ auft (d.h. x0 + t(x − x0 ) ∈ U f¨ ur alle x ∈ U und t ∈ (0, 1)). Bemerkung: Jede sternf¨ ormige offene Menge ist zusammenh¨angend und damit insbesondere ein Gebiet. Lemma 4: Sei U eine offene sternf¨ ormige Menge im Rn bzgl. des 0-Punktes. Sei X ω(x) = ai1 ...ik (x) dxi1 ∧ . . . ∧ dxik i1 <...
Wir definieren: I(ω) :=

X

k X

 l−1

(−1)

i1 <...
Z1

 t

 k−1

di ∧ . . . ∧ dxi ai1 ...ik (tx) dt xil dxi1 ∧ . . . ∧ dx l k

0

di das Weglassen des Terms dxi bedeutet. Dann gilt: wobei dx l l I(dω) + d(I(ω)) = ω Folgerung 5 (Poincar´ e-Lemma): U ⊆ Rn sei offen und sternf¨ormig. Dann ist jede stetig diffbare geschlossene Differentialform auf U exakt. Bemerkungen: (1) Lemma 4 liefert eine explizite L¨ osung des Problems. (2) U sei sternf¨ ormig und offen im Rn . Sei ω geschlossene C 1 -Form auf U . Nach Folgerung 5 ex. η0 mit dη0 = ω. Die allgemeine L¨ osung η von ω = dη ist durch η = η0 + dζ, ζ ∈ Ωk−l (U ) gegeben. l (3) U sei beliebig offene Menge im Rn . Wir definieren: • Z k (U ) := {ω ∈ Ωk∞ (U ) : dω = 0} ist der Vektorraum aller ”Zyklen”. • B k (U ) := {ω ∈ Ωk∞ (U ) : ω exakt} ist der Vektorraum aller ”R¨ander”. B k (U ) ist damit ein Vektorunterraum von Z k (U ). k • Der Faktorraum HdR (U ) := Z k (U )/B k (U ) heißt die k-te de Rham-Kohomologie von U . Falls k k U sternf¨ ormig ist, dann ist HdR (U ) = {0}. F¨ ur U = R2 \ {0, 0} ist HdR (U ) 6= {0} (denn die Windungsform ist geschlossen aber nicht exakt). 43

44

10.1.4

Differentialformen und Vektoranalysis

Zwei Spezialf¨ alle

Satz (Spezialfall 1): U ⊆ R3 sei offen und sternf¨ormig. A(x, y, z) = a1 (x, y, z), a2 (x, y, z), a3 (x, y, z) sei C 1 -Vektorfeld auf U . Sei ω = a1 dx+a2 dy+a3 dz und somit dω = (rot A)·(dy∧dz, dz∧dx, dx∧dy). Dann ex. f ∈ C 2 (U ) mit grad f = A auf U gdw. rot A = 0 gdw. dω = 0 auf U . f heißt dann Potentialfunktion f¨ ur A und A heißt Potentialfeld. Satz (Spezialfall 2): U ⊆ R3 sei offen und sternf¨ormig. A(x, y, z) = a1 (x, y, z), a2 (x, y, z), a3 (x, y, z) sei ein C 1 -Vektorfeld auf U . Sei ω = a1 dy ∧dz +a2 dz ∧dx+a3 dx∧dy und somit dω = (div A)·dx∧dy ∧dz. Dann ex. ein C 2 -Vektorfeld b auf U mit rot b = A auf U gdw. div A = 0 auf U . b heißt Vektorpotential f¨ ur das Vektorfeld A. Ein Vektorfeld A, das ein Vektorpotential besitzt, heißt Solenoidalfeld oder R¨ ohrenfeld. Bestimmung des Vektorpotentials: Gegeben sei ein C 1 -Vektorfeld A auf offener sternf¨ormiger Menge U ⊆ R3 . Es gelte div A = 0 auf U . Nach dem Satz ex. ein C 2 -Vektorfeld b auf U mit rot b = A auf U . Methoden zur Bestimmung von b: (1) Lemma 4 (2) Ansatz: rot b = A. Dabei fordern wir: b1 = 0 oder b2 = 0 oder b3 = 0. Dies ist gerechtfertigt, da rot (b + grad f ) = rot b = A gilt.

10.2 10.2.1

Der Satz von Stokes Zur¨ uckziehen von Formen

Def.: Seien U1 ⊆ Rn , U2 ⊆ Rm offene Mengen. y = f (x) sei eine Abbildung U1 → U2 . ω sei k-Form auf U2 . f sei stetig diffbar. Wir definieren: f ∗ (ω)(x; h1 , . . . , hk ) := ω f (x); f 0 (x)(h1 ), . . . , f 0 (x)(hk ) x ∈ U1 , h1 , . . . , hk ∈ Rn Dann ist f ∗ (ω) eine k-Differentialform auf U1 . f ∗ (ω) heißt die mit f zur¨ uckgezogene Form von ω. f ∗ (ω) erh¨alt man durch formales Einsetzen: X f ∗ (ω) = ω f (x) = ai1 ...ik f (x) d fi1 (x) ∧ . . . ∧ d fik (x) i1 <...
Eigenschaften: P ∂fi i = 1, . . . , n (1) f ∗ (dyi ) = ∂xj dxj ∗ k l ∗ k ∗ l (2) f (ω ∧ η ) = f (ω ) ∧ f (η ) ω k ist k-Form, η l ist l-Form ∗ ∗ (3) f (aω) = a f (x) f (ω) (4) df ∗ (ω) = f ∗ (dω) (5) f ∗ (η k + ω k ) = f ∗ (η k ) + f ∗ (ω k ) ∂(f ,...,f ) (6) f ∗ (dyi1 ∧ . . . ∧ dyik ) = ∂(xi11 ,...,xikk) dx1 ∧ . . . ∧ dxk 10.2.2

Singul¨ are W¨ urfel und singul¨ are Ketten

Def.: [0, 1]k = {(x1 , . . . , xk ) ∈ Rk , 0 ≤ x1 ≤ 1, . . . , 0 ≤ xk ≤ 1} heißt Einheitsw¨ urfel im Rk . Def. 1: Eine stetig diffbare Abbildung ck : [0, 1]k → U ⊆ Rn heißt singul¨ arer k-W¨ urfel. Dabei heißt eine f ⊇ M und eine Abbildung f einer Menge M ⊆ Rk in den Rn stetig diffbar, wenn es eine offene Menge M n e e f stetig diffbare Abbildung f : M → R gibt mit f (x) = f (x) f¨ ur alle x ∈ M . Def. 2: Eine formale Summe sk := n1 ck1 + n2 ck2 + . . . + nr ckr aus singul¨aren k-W¨ urfeln ck1 , . . . , ckr mit ganzzahligen Koeffizienten n1 , . . . , nr heißt singul¨ are k-Kette. Bemerkung: Wir addieren singlu¨ are k-Ketten durch Addition der Koeffizienten, d.h. wenn sk = n1 ck1 + k k k . . . + nr cr und se = n e1 c1 + . . . + n er ckr sind, dann sei sk + sek := (n1 + n e1 )ck1 + . . . + (nr + n er )ckr . Def.: Sei i ∈ {1, . . . , k}. Wir definieren folgende Abbildungen von [0, 1]k−1 in den Rk durch: k • I(i,0) (x1 , . . . , xk−1 ) = (x1 , . . . , xi−1 , 0, xi , . . . , xk−1 ) k • I(i,1) (x1 , . . . , xk−1 ) = (x1 , . . . , xi−1 , 1, xi , . . . , xk−1 ) Bemerkung: I k (x) = x f¨ ur x ∈ [0, 1]k definiert auch einen singul¨aren W¨ urfel.

44

Differentialformen und Vektoranalysis

45

Def.: (1) Der Rand des Einheitsw¨ urfels I k sei die singul¨are (k − 1)-Kette: k X k k ∂I k := (−1)i+1 I(i,1) − I(i,0) i=1

(2)

F¨ ur einen singul¨ aren k-W¨ urfel ck : [0, 1]k → U ⊆ Rn definieren wir: k X k k ∂ck := − ck ◦ I(i,0) (−1)i+1 ck ◦ I(i,1)

(3)

F¨ ur eine singlul¨ are k-Kette xk = n1 ck1 + . . . + nr ckr definieren wir:

i=1

∂sk := n1 ∂ck1 + . . . + nr ∂ckr Man kann beweisen: Es gilt ∂(∂sk ) = 0 f¨ ur jede singul¨are k-Kette sk .

10.2.3

Integration v. Differentialformen

Satz: U sei eine offene Menge im Rn und ω eine k-Form auf U . x = c(t) sei eine Abbildung der abgeschlossenen beschr¨ ankten Menge M ⊆ Rn in U , c sei stetig diffbar. c∗ (ω) (also die zur¨ uckgezogene Form von ω) ist dann eine k-Form auf der offenen Menge U1 ⊆ Rk . (d.h. es ex. eine Funktion f (t1 , . . . , tk ) mit c∗ (ω) = f (t1 , . . . , tk ) dt1 ∧ . . . ∧ dtk mit t ∈ U1 ). Def.: Falls das Integral auf der rechten Seite ex., definieren wir: Z Z Z Z ω= ω = c∗ (ω) := f (t1 , . . . , tk ) dt1 . . . dtk c

c(M )

M

M

Da ω(x) definiert ist als: X ω(x) = ai1 ...ik (x) dxi1 ∧ . . . ∧ dxik i1 <...
Ist dann also: Z X ω=

i1 <...
c(M )

R

Dabei heißt

Z

∂(ci1 , . . . , cik ) dt1 ∧ . . . ∧ dtk ai1 ...ik c(t) ∂(t1 , . . . , tk )

f (t1 , . . . , tk ) dt1 . . . dtk das k-dim. Gebietsintegral von f u ¨ber M .

M

Bemerkung: Insbesondere ist die Definition auf singul¨ urfel anwendbar. Sei c : [0, 1]k → U ⊆ Rn . R are Rk-W¨ ∗ Dann ist c (ω) = f (t1 , . . . , tk ) dt1 ∧ . . . ∧ dtk und ω := f (t1 , . . . , tk ) dt1 . . . dtk . c

[0,1]k

Spezialfall 1(k=1): Sei c = c1 : [0, 1] → U ⊆ Rn . γ = c([0, 1]) sei eine orientierte stetig diffbare Kurve und ω = f1 dx1 + . . . + fn dxn sei 1-Form auf U und stetig (d.h. f1 , . . . , fn seien stetig). Dann gilt: Z1 Z 0 0 ω = f1 c(t) c1 (t) + . . . + fn c(t) cn (t) dt = f1 dx1 + . . . + fn dxn

Z

γ

0

c[0,1]

Spezialfall 2(k=3): Sei ω = f (x) dx1 ∧ . . . ∧ dxk mit x = c(t). ω ist k-Form auf Rn = Rk . Dann gilt: Z Z Z ∂(c1 , . . . , ck ) ω = c∗ (ω) = f c(t) dt1 . . . dtk ∂(t1 , . . . , tk ) c

(1)

Sei

M

M

∂(c1 , . . . , ck ) > 0 auf M und seien c(M ) und M Jordanbereiche. Dann ist: ∂(t1 , . . . , tk ) Z Z Z ∂(c1 , . . . , ck ) dt1 . . . dtk = ω = f c(t) f (x) dx1 . . . dxk ∂(t1 , . . . , tk ) c

M

c(M )

45

46

(2)

Differentialformen und Vektoranalysis

Sei

∂(c1 , . . . , ck ) ≤ 0 auf M und seien c(M ) und M Jordanbereiche. Dann ist: ∂(t1 , . . . , tk ) Z Z Z ∂(c1 , . . . , ck ) dt1 . . . dtk = − f (x) dx1 . . . dxk ω = − f c(t) ∂(t1 , . . . , tk ) c

10.2.4

M

c(M )

Der Satz von Stokes

Theorem: U sei offene Teilmenge im Rn und ω sei stetig diffbare k-Form auf U . Sei c = ck+1 : [0, 1]k+1 → U ein singul¨ arer (k + 1)-W¨ urfel. Dann gilt: Z Z ω dω = ck+1

∂ck+1

Spezialfall (k=1,n=3): Sei c : [0, 1]2 → U ⊆ R3 ein singul¨arer 2-W¨ urfel. F = c [0, 1]2 ist eine ”Fl¨ache im R3 ”. Sei f~ := (f1 , f2 , f3 ) und ~x := (x1 , x2 , x3 ). Dann besagt der Satz v. Stokes: Z Z ∂f3 ∂f2 ∂f1 ∂f3 f1 dx1 + f2 dx2 + f3 dx3 = − dx2 ∧ dx3 + − dx3 ∧ dx1 + · · · ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 F ∂F+ ! ∂f2 ∂f1 ··· + − dx1 ∧ dx2 ∂x1 ∂x2 Z Z ~ f · d~x = rot f~ · dx2 ∧ dx3 , dx3 ∧ dx1 , dx1 ∧ dx2 F Z

∂F+

Z ω ∂F+

=

dω F

Bemerkung: Die linke Seite ist ein Integral der 1-Form ω = f1 dx1 + f2 dx2 + f3 dx3 u ¨ber ∂F+ , was dem Kurvenintegral von f~ u ¨ber die orientierte Kurve ∂F+ entpricht. Die rechte Seite ist ein Integral u ¨ber die 2-Form d ω, was dem vektoriellen Oberfl¨ achenintegral von rot f~ u ¨ber F entspricht. Bemerkungen: (1) Der Satz v. Stokes gilt f¨ ur wesentlich allgemeinere Fl¨achen (2) Der Satz v. Stokes gilt f¨ ur kompakt orientierte Mannigfaltigkeiten F. Sei ω stetig diffbare k-Form auf F. Dann gilt: Z Z ω = dω ∂F

F

Dabei tr¨ agt der Rand ∂F die von F induzierte Orientierung. 10.2.5

Physikalische Deutung des Satzes von Stokes R Interpretation von F+ f dx : Sei ∂F+ die Kurve x(t), t ∈ [a, b]. Es gilt dann die Berechnungsformel f¨ ur Kurvenintegrale: Z Zb f dx = f x(t) x0 (t) dt F+

a

R

f dx beschreibt, wie sich das Vektorfeld f an die Tangente von ∂F+ ”anschmiegt”. Man nennt dieses Integral deshalb Zirkulation des Vektorfeldes l¨angs der orientierten Kurve ∂F+ . F+

Interpretation von rot f : Sei x0 ∈ G und nx0 sei fester Einheitsvektor in x0 . Sei G ⊇ F. Fx0 sei Fl¨ache mit x0 ∈ Fx0 , die in x0 den Vektor nx0 als Normaleneinheitsvektor hat (z.B. Fx0 ist Kreisscheibe in Ebene senkrecht zu nx0 mit x0 als Mittelpunkt). δx0 sei Radius der kleinsten Kugel Kδx0 (x0 ) um x0 , die Fx0 enth¨alt. Sei x e0 ∈ Kδx0 (x0 ).

46

Differentialformen und Vektoranalysis

47

Es gilt: Z

Z rot f d~o =

Fx0

rot f · ~n do

=

MWS IR

rot f · ~n (e x0 )|Fx0 |

Z =

f dx

Stokes

Fx0

(∂Fx0 )+

R

f dx

lim δx0 → 0

(∂Fx0 )+ rot f · ~n (e x0 ) = |Fx0 | R rot f · ~n (x0 ) = lim

δx0 → 0

f dx

(∂Fx0 )+

|Fx0 |

= lim

δx0 → 0

Zirkulation von f l¨angs (∂Fx0 )+ Fl¨ache von Fx0

rot f · ~n (x0 ) betrachtet man als Komponente der infinitesimalen Zirkulation von f in Richtung ~n. rot f (x0 ) heißt infinitesimale Zirkulation des Vektorfeldes f im Punkt x0 . Der Satz von Stokes besagt also, dass das vektorielle Oberfl¨ achenintegral u ¨ber die infinitesimale Zirkulation des Vektorfeldes f gleich der Zirkulation des Vektorfeldes f l¨ angs des orientierten Randes ist.

10.3 10.3.1

Fl¨ achen- und Oberfl¨ achenintegrale im R3 Fl¨ achen im R3

Sei G ein Gebiet im R2 . Es sei M = G oder M = G. Def.: Eine stetig diffbare Abbildung x : M → R3 heißt Fl¨ ache. Wir definieren: ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x = , , • D1 x(t) := ∂t1 ∂t1 ∂t1 ∂t1 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x = , , • D2 x(t) := ∂t2 ∂t2 ∂t2 ∂t2 Def.: Ein Fl¨ache x : M → R3 heißt regul¨ ar im Punkt t ∈ M , 1 ,x2 ,x3 ) (1) wenn der Rang der Funktionalmatrix ∂(x in t gleich zwei ist. ∂(t1 ,t2 ) (2) gdw. D1 x × D2 x 6= 0 in t ist. Sei Fl¨ache F im Punkt t0 = (t01 , t02 ) ∈ M . Satz: Dann sind x(t0 ) + s · D1 x(t0 ) und x(t0 ) + s · D2 x(t0 ) mit s ∈ R zwei Geraden im R3 . Da D1 x(t0 ) × D2 x(t0 ) 6= 0 ist (d.h. beide Vektoren sind linear unabh¨angig), spannen beide Geraden eine Ebene auf, die durch den Punkt x(t0 ) geht. Diese Ebene heißt Tangentialebene an die Fl¨ache im Punkt x(t0 ). Def.: Der Vektor D1 x(t0 ) × D2 x(t0 ) steht senkrecht auf der Tangentialebene. Er ist ein Normalenvektor an die Fl¨ache im Punkt x(t0 ). Wir definieren: nx(t0 ) :=

D1 x(t0 ) × D2 x(t0 ) ||D1 x(t0 ) × D2 x(t0 )||

Der Vektor nx(t0 ) ist ein Normaleneinheitsvektor an die Fl¨ache im Punkt x(t0 ). Satz: Sei f (x1 , x2 ) stetig diffbare Funktion auf M . Dann lautet der Normaleneinheitsvektor an die Fl¨ache im Punkt x(t) = x1 , x2 , f (x1 , x2 ) : nx(t) =

D1 x(t) × D2 x(t) (−fx , −fx , 1) =p 1 2 2 2 ||D1 x(t) × D2 x(t)|| 1 + fx1 + fx2

Somit ist die Gleichung der Tangentialebene im Punkt (x01 , x02 , x03 ): (x1 − x01 )fx1 (x01 , x02 ) + (x2 − x02 )fx2 (x01 , x02 ) − (x3 − x03 ) = 0

47

48

10.3.2

Differentialformen und Vektoranalysis

Inhalt einer Fl¨ ache

Sei M = G und x : M → R3 sei eine Fl¨ ache F. Def.: Der Inhalt einer Fl¨ ache F ist definiert als: ZZ ZZ |F| := ||D1 x(t) × D2 x(t)|| dt1 dt2 = do M

M

Dabei heißt do := ||D1 x(t) × D2 x(t)|| dt1 dt2 skalares Oberfl¨ achendifferential. Bemerkung: Sei E := ||D1 x||, F := ||D2 x|| und G := D1 x · D2 x. Dann ist do =

√

EF − G2 .

Satz (Guldinsche Formel): f (x) sei nichtnegative stetige Funktion auf [a, b]. Der Graph von f rotiere im R3 um die x-Achse. F sei die entstehende Rotationsfl¨ache. Dann gilt: Zb p |F| = 2π f (x) 1 + f 0 (x)2 dx a

10.3.3

Orientierung von Fl¨ achen 0

0

D1 x(t )×D2 x(t ) . F sei regul¨are Fl¨ ache im R3 , x : M → R3 . x(t0 ) sei fester Punkt von F. Dann ist nx(t0 ) = ± ||D 0 0 1 x(t )×D2 (t )||

Wir fixieren eine Richtung von nx(t0 ) im Punkt x(t0 ). Wenn der Punkt x(t) eine geschlossene stetig diffbare Kurve I in F durchl¨ auft, dann ¨ andert sich nx(t) stetig mit t. Wenn wir nach Durchlaufen der Kurve wieder im Punkt x(t0 ) ankommen, dann ist der entsprechende Vektor n ex(t0 ) auch ein Normaleneinheitsvektor im Punkt x(t0 ). Es ist daher n ex(t0 ) = nx(t0 ) oder n ex(t0 ) = −nx(t0 ) . Wenn f¨ ur jeden Punkt x(t0 ) von F und jede derartige Kurve I n ex(t0 ) = nx(t0 ) gilt, dann ist die Fl¨ache zweiseitig oder orientierbar. F¨ ur eine orientierbare Fl¨ ache fixieren wir eine Richtung des Normaleneinheitsvektors nx(t0 ) in einem Punkt x(t0 ) und setzen diese stetig auf ganz F fest. Die Fl¨ache mit der Richtung des Normaleneinheitsvektors heißt orientierte Fl¨ ache. Das Festlegen einer Orientierung heißt auch Festlegen einer Oberseite, welche von F die Seite der Fl¨ ache ist, die man von der Spitze des Normalenvektors sieht. Beispiel einer nicht orientierbaren Fl¨ ache ist das M¨obiusband. 10.3.4

Oberfl¨ achenintegrale

Def. 1: Sei M = G und f (x) sei stetige Funktion auf F = x(M ) wobei x : M → R3 stetig diffbare Abbildung ist. Dann heißt: Z Z ZZ f do = f (x) do(x) := f x(t1 , t2 ) ||D1 x(t) × D2 x(t)|| dt1 dt2 F

F

M

skalares Oberfl¨ achenintegral der Funktion f (x) u ¨ber die Fl¨ache F. R Bemerkung: F f do ist unabh¨ angig von der Orientierung. phys. Interpretation: Wenn f (x) eine Fl¨ achenmassendichte auf F ist, dann ist

R F

f do die Gesamtmasse.

Def. 2: F sei orientierte Fl¨ ache (d.h. F ist orientierbar mit festgelegter Richtung des Normaleneinheitsvektors). Sei f : M → R3 stetige Vektorfunktion auf M . Dann heißt: Z Z Z f d~o = f (x) d~o(x) := (f · ~n) do F+

F+

F+

vektorielles Oberfl¨ achenintegral der Funktion f (x) u ¨ber die orientierte Fl¨ache F. Es gilt: Z Z (f · ~n) do = ± f x(t1 , t2 ) · D1 x(t1 , t2 ) × D2 x(t1 , t2 ) dt1 dt2 F+

mit ~n = ±

D1 x × D2 x und do = ||D1 x × D2 x|| dt1 dt2 . ||D1 x × D2 x||

48

Differentialformen und Vektoranalysis

49

Das Spatprodukt f x(t1 , t2 ) · D1 x(t1 , t2 ) × D2 x(t1 , t2 ) ist folgende Determinante: f1 (t1 , t2 ) f2 (t1 , t2 ) f3 (t1 , t2 ) o ∂x ∂x ∂x 1 2 3 D1 x f x(t1 , t2 ) · D1 x(t1 , t2 ) × D2 x(t1 , t2 ) = ∂t1 ∂t1 ∂t1 o ∂x1 ∂x2 ∂x3 D x 2 ∂t2 ∂t2 ∂t2 ∂(x2 , x3 ) ∂(x3 , x1 ) ∂(x1 , x2 ) = f1 x(t1 , t2 ) − f2 x(t1 , t2 ) + f3 x(t1 , t2 ) ∂(t1 , t2 ) ∂(t1 , t2 ) ∂(t1 , t2 ) Bemerkungen: R ¨ (1) f d~o ¨ andert das Vorzeichen beim Andern der Orientierung. F+

(2)

d~o = ~n do heißt vektorielles Oberfl¨ achenelement.

R R Zusammenhang der Integrale F ω und F+ f d~ o : Sei ω = f1 dx2 ∧ dx3 + f2 dx3 ∧ dx1 + f3 dx1 ∧ dx2 D1 x×D2 x eine stetige 2-Form auf U ⊇ F = x(M ), x : M → U . Sei nx (t1 , t2 ) := ||D (t1 , t2 ) und f = 1 x×D2 x|| (f1 , f2 , f3 ). Dadurch ist die orientierbare Fl¨ache F orientiert: F+ . Mit dieser festgelegten Orientierung gilt: Z Z f d~o = ω F+

F

Wir definieren F+ orientierte Fl¨ ache, f stetige Funktion auf Fl¨ache: Z Z Z (1) f dx1 dx2 := f dx1 ∧ dx2 = (0, 0, f ) d~o F+

F

F+

Z

Z

Z

(2)

f dx3 ∧ dx1 =

f dx3 dx1 := F+

F

Z

Z

(3) F+

F+

Z f dx2 ∧ dx3 =

f dx2 dx3 :=

(0, f, 0) d~o

F

(f, 0, 0) d~o F+

Satz: Eine st¨ uckweise glatte Fl¨ ache F ist eine Vereinigung von endlich vielen glatten Fl¨achen F1 , . . . , Fk (d.h. Fj = xj (Mj ) mit stetig diffbarer Abbildung xj , j = 1, . . . , k), die sich h¨ochstens in den Randkurven ∂F1 , . . . , ∂Fk schneiden und deren R¨ ander ∂F1 , . . . , ∂Fk aus endlich vielen stetig diffbaren Kurven bestehen. F¨ ur solche Fl¨ achen definieren wir: Z Z Z Z Z Z f do := f do + · · · + f do bzw. f d~o := f d~o + · · · + f d~o F

10.3.5

F1

Fk

F+

F1+

F k+

Der Satz von Gauss-Ostrogradski

Theorem: G sei beschr¨ anktes Gebiet im R3 . Der Rand von G sei eine st¨ uckweise glatte Fl¨ache, der mit der Außennormalen orientiert wird. f sei eine stetig diffbare Vektorfunktion auf G. Unter diesen Vorraussetzungen gilt: ZZZ ZZ ∂f1 ∂f2 ∂f3 + + dt1 dt2 dt3 = f1 dt2 ∧ dt3 + f2 dt3 ∧ dt1 + f3 dt1 ∧ dt2 ∂t1 ∂t2 ∂t3 ∂G+

G

ZZZ

ZZ div f dt1 dt2 dt3

G

=

f · ~n do

∂G+

10.3.6

Physikalische Deutung des Satzes von Gauss-Ostrogradski R Interpretation von G+ f d~ o : f~n do beschreibt den Fluss des Vektorfeldes durch das Fl¨achenst¨ uck d~o. Ist f senkrecht auf ~n, ex. kein Fluss durch den Rand. F¨ ur den Fall, dass die Normalenkomponenten gr¨oßer als 0 sind, str¨ omt f aus dem Rand heraus, ansonten hinein.

49

50

Differentialformen und Vektoranalysis

Physikalische Interpretation: Fl¨ache ∂G+ .

R G+

f d~o ist der Fluss des Vektorfeldes f pro Zeiteinheit durch die orientierte

Interpretation von div f : Sei x0 ∈ G. Sei Gx0 ein Gebiet, dass x0 enth¨alt und in G liegt, mit glatten Rand (z.B. Gx0 ist Kugel mit Radius r > 0 um Mittelpunkt x0 ). Sei δx0 das kleinste r mit der Eigenschaft, dass Gx0 ⊆ Kr (x0 ). Sei x e0 ∈ Kr (x0 ). Es gilt: Z Z div f dx dy dz = div f (e x0 )|Gx0 | = f d~o MWS IR

G.-O. (∂Gx0 )+

Gx0

R div f (e x0 ) =

f d~o

lim δx0 → 0

(∂Gx0 )+

|Gx0 | R

div f (x0 ) = lim

δx0 → 0

f d~o

(∂Gx0 )+

|Gx0 |

Fluss des Vektorfeldes f durch (∂Gx0 )+ δx0 → 0 Volumen von Gx0

= lim

Deshalb heißt div f (x0 ) die Quelldichte des Vektorfeldes f (x) im Punkt x0 ∈ G. Der Satz von GaussOstrogradski besagt also, dass das Gebietsintegral u ¨ber die Quelldichte von f gleich dem Fluss des Vektorfeldes f u ¨ber den orientierten Rand ist. 10.3.7

Greensche Formeln

ulle die Vorraussetzung des Satzes v. Gauss-Ostrogradski. u, v U sei eine offene Menge im R3 . G ⊆ U erf¨ seien 2-mal stetig diffbare Funktionen auf U . nx0 sei der Normalenvektor an ∂G+ im Punkt x0 ∈ ∂G+ mit ||nx0 || = 1. Def.: Die Normalenableitung der Funktion v im Punkt x0 ist definiert als: ∂v := grad v · nx0 ∂nx0 Es ist die Richtungsableitung der Funktion v in Richtung nx0 . Satz: Unter diesen Vorraussetzungen gelten die Greenschen Formeln: ZZ ZZZ ZZZ ∂v grad u · grad v dx dy dz = u· d~o − u 4v dx dy dz (1) ∂n ∂G+

G

ZZZ

ZZ

u 4v − v 4u dx dy dz =

(2)

G

∂v ∂u u· −v· ∂n ∂n

d~o

∂G+

G

Anwendungen: (1) Setze u = 1 in Greenscher Formel (2). Dann gilt: ZZ ZZZ ∂v 4v dx dy dz = d~o ∂n G

(2)

∂G+

Seien u, v wie oben. Es gelte 4u = 4v = 0 auf G. Solche Funktionen heißen harmonische Funktionen auf G. Wenn u(x, y, z) = v(x, y, z) f¨ ur alle Randpunkte (x, y, z) ∈ ∂G, dann gilt u = v auf G. Sei w := u − v. Dann ist 4w = 4u − 4v = 0 und w(x, y, z) = u(x, y, z) − v(x, y, z) = 0 f¨ ur (x, y, z) ∈ ∂G. Dann ist: ZZZ ZZZ ZZ ∂w grad w · grad w dx dy dz = w · d~o − w 4w dx dy dz = 0 |{z} |{z} ∂n G

∂G+

=0

2

G

=0

Deshalb ist grad w · grad w = ||grad w|| = 0 auf G und somit auch grad w = 0 auf G. w = u − v ist damit konstant. Da u = v auf ∂G+ , ist die Konstante 0. Aus w = 0 auf G folgt also u = v auf G.

50

Differentialformen und Vektoranalysis

10.4

51

Zusammenfassung

1 Gebietsintegral ZZZ Form:

f (x, y, z) dx dy dz G

• •

Berechnung u ¨ber iterierte Integrale und Transformationsformel unabh¨angig von der Orientierung

2 Skalares Kurvenintegral (1. Art) Zb f (x) ds := f x(t) ||x0 (t)|| dt

Z Form:

a

C

• •

Spezialfall R , C : x, y(x) : I = 2

Zb

p f x, y(x) 1 + y 0 (x)2 dx

a

f¨ ur stetig diffbare Kurve C : x(t), t ∈ [a, b]. unabh¨angig von der Orientierung

3 Vektorielles Kurvenintegral (2. Art) Z f1 dx + f2 dy + f3 dz

Form: C+

• •

Berechnung: x = x(t), y = y(t), z = z(t), dx = x0 (t) dt, dy = y 0 (t) dt, dz = z 0 (t) dt abh¨angig von der Orientierung

4 Skalares Oberfl¨ achenintegral (1. Art) ZZ Form:

f (x, y, z) do F

• •

Berechnung: do = ||D1 x × D2 x|| dt1 dt2 unabh¨angig von der Orientierung

5 Vektorielles Oberfl¨ achenintegral (2. Art) ZZ Form:

ZZ f d~o =

F+

• •

f · ~n do

F+

Berechnung wie unter 3) abh¨angig von der Orientierung

6 Integral u ¨ ber k-Form Z

Z

Form: • • •

f (t1 , . . . , tk ) dt1 . . . dtk

ω= c

g

Berechnung: c∗ (ω) = f (t1 , . . . , tk ) dt1 ∧ . . . ∧ dtk abh¨angig von der Orientierung enth¨alt 3) und 5) als Spezialf¨ alle

7 Satz von Stokes ZZ

Z

rot f · ~n do =

Form: F+

f dx ∂F+

8 Satz von Gauss-Ostrogradski ZZZ Form:

ZZ div f dx dy dz =

G

f · ~n do

∂G+

51

52

Einf¨ uhrung in die Lebesguesche Maß- und Integrationstheorie

11

Einfu ¨ hrung in die Lebesguesche Maß- und Integrationstheorie

11.1

Lebesguesche Maßtheorie

11.1.1

Mengenalgebra und σ-Algebra

Def. 1: Eine Mengenalgebra u ¨ber X ist ein nichtleeres System A von Teilmengen von X mit folgenden Eigenschaften: (1) Wenn M ∈ A, dann ist auch CM = X \ M ∈ A (2) Wenn M1 , M2 ∈ A, dann ist auch M1 ∪ M2 ∈ A Def. 2: Eine σ-Algebra u ¨ber X ist ein nichtleeres System A von Teilmengen von X mit folgenden Eigenschaften: (1) (2)

Wenn M ∈ A, dann ist auch CM = X \ M ∈ A ∞ S Wenn Mn ∈ A f¨ ur n ∈ N, dann ist auch Mn ∈ A n=1

Einfache Folgerungen: (1) ∅ ∈ A und X ∈ A in allen Mengenalgebren A (2) A sei Mengenalgebra. Dann gilt M1 ∩ M2 ∈ A f¨ ur M1 , M2 ∈ A ∞ T (3) A sei σ-Algebra. Dann gilt Mn ∈ A f¨ ur Mn ∈ A, n ∈ N n=1

Beispiele: (1) X sei eine beliebige Menge. P(x) sei das System aller Teilmengen von X. Dann ist P(x) eine σ-Algebra (2) Sei En die Mengenalgebra aller Elementarmengen des Rn . Sei R = {R ∪ +∞ ∪ −∞}.Wir def.: −∞ < a < +∞ f¨ ur a ∈ R. Sei a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R mit a1 ≤ b1 , . . . , an ≤ bn . Dann heisst I := {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : a1 (≤) x1 (≤) b1 , . . . , an (≤) xn (≤) bn } n-dim. Rechteck (Intervall), wobei (≤) entweder ≤ oder < bedeutet. En sei das System aller Mengen, die endliche Vereinigungen von n-dim. Rechtecken sind. En ist dann eine Mengenalgebra. Spezialfall: Wenn A = En dann heißt σ(A) = σ(En ) die Borelalgebra B(Rn ) des Rn (σ(A) heißt die von A erzeugte σ-Algebra. σ(A) sei die kleinste σ-Algebra, die A enth¨alt). Die Elemente von σ(En ) = B(Rn ) heißen Borelmengen. Da σ(En ) eine σ-Algebra ist, enth¨alt σ(En ) alle abz¨ahlbaren Vereinigungen von ndim. Rechtecken. Satz 1: Jede offene Teilmenge des Rn und jede abgeschlossene Teilmenge des Rn ist eine Borelmenge. Satz (1) (2) (3)

2: Jede der folgenden Mengensysteme erzeugt die Borelalgebra B(Rn ): alle abgeschlossenen beschr¨ ankten n-dim. Intervalle alle offenen Mengen des Rn alle kompakten Mengen des Rn

11.1.2

Inhalt, Pr¨ amaß und Maß

Def.: A sei Mengenalgebra u ¨ber X. Ein Inhalt auf A ist eine Abbildung µ : A → [0, +∞] mit folgenden Eigenschaften: (1) µ(∅) = 0 (2) µ(A + B) = µ(A) + µ(B), falls A, B ∈ A und A ∩ B = ∅ Def.: A sei Mengenalgebra u amaß auf A ist eine Abbildung µ : A → [0, +∞] mit folgenden ¨ber X. Ein Pr¨ Eigenschaften: (1) µ(∅) = 0 ∞ S (2) Wenn An ∈ A f¨ ur n ∈ N mit An ∩ Am = ∅ ∀ m, n ∈ N, n 6= m und An ∈ A, dann gilt: ∞ X ∞ n=1 S µ An = µ(An ). Diese Eigenschaft heißt σ-Additivit¨ at. n=1

n=1

Def. 2: Ein Maß auf einer σ-Algebra A ist ein Pr¨amaß auf der Mengenalgebra A. Def.: Sei A eine σ-Algebra. Wenn An ∈ A, n ∈ N und An ∩ Am = ∅ f¨ ur n 6= m, dann schreiben wir: 52

Einf¨ uhrung in die Lebesguesche Maß- und Integrationstheorie

∞ X

An :=

n=1

∞ [

53

An

n=1

Dann gilt f¨ ur die σ-Additivit¨ at: ! ∞ ∞ X X µ An = µ(An ) n=1

n=1

Beispiele: (1) X sei Menge mit A = P(x). Sei x0 ∈ X. Dann ist: 0 falls x0 ∈ /A δx0 (A) = 1 falls x0 ∈ A (2)

ein Maß auf A. δx0 heißt Deltamaß bzgl. des Punktes x0 . Seien X, A wie in (1), A ∈ A. Dann heißt: n falls A eine endliche Menge mit n Elementen ist µ(A) = +∞ falls A eine unendliche Menge ist das Z¨ ahlmaß auf A.

Folgerungen: Sei Inhalt auf der Mengenalgebra A. Dann gilt: γ µ ein γ P P (1) µ Ak = µ(Ak ) f¨ ur Ak ∈ A, Ak ∩ Al = ∅, k 6= l k=1

k=1

(2)

µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B)

(3)

Aus A ⊆ B folgt µ(A) ≤ µ(B)

(4)

µ(A \ B) = µ(A) − µ(B) falls µ(B) 6= +∞ und A ⊇ B.

Satz 3: Sei µ ein Inhalt auf der σ-Algebra A. Betrachte folgende Bedingungen: (1) µ ist Maß ∞ S (2) F¨ ur jede Folge {An } mit An ∈ A, An ⊆ An+1 , A = An gilt: n=1

µ(A) = lim µ(An ) n→∞

(3)

(Stetigkeit von unten)

F¨ ur jede Folge {An } mit An ∈ A, An ⊇ An+1 , A =

∞ T

An gilt:

n=1

µ(A) = lim µ(An ) n→∞

(4)

(Stetigkeit von oben)

Bedingung (3) mit A = ∅

Dann gilt: (1)⇔(2)→(3)→(4). Wenn µ(X) < ∞, dann sind alle 4 Bedingungen ¨aent. Satz 4(Erweiterungssatz): Sei µ ein Pr¨amaß auf einer Mengenalgebra A. Dann ex. ein eindeutig bestimmtes Maß µ e auf der von A erzeugten σ-Algebra σ(A) mit µ e(A) = µ(A) ∀ A ∈ A.

11.1.3

Das Lebesguesche Pr¨ amaß

En sei Mengenalgebra der Elementarmengen auf dem Rn . Man kann zeigen: Jede Menge A ∈ En ist die disjunkte Vereinigung von endlich vielen, n-dim. Rechtecken: γ [ A= Ik , Ik ∩ Il = ∅ f¨ ur k 6= l k=1

Def.: µ(A) :=

γ P

µ(Ik ), wobei µ(I) = (bn − an )(bn−1 − an−1 ) · . . . · (b1 − a1 ) f¨ ur I = {Rn 3 (x1 , . . . , xn ) :

k=1

ai (≤) xi (≤) bi }. Hier setzen wir (+∞) · a = +∞ falls a > 0 oder a = +∞ und 0 · a = 0 f¨ ur a ∈ [0, +∞]. Bemerkung: Man kann zeigen: • Die Definition von µ ist unabh¨ angig von der speziell gew¨ahlten Darstellung. • µ ist ein Pr¨ amaß auf der Mengenalgebra A. 53

54

11.1.4

Einf¨ uhrung in die Lebesguesche Maß- und Integrationstheorie

Das Lebesgue-Stieltjes-Pr¨ amaß

Def.: Sei α(x) monoton wachsende, reellwertige Funktion auf R. Sei A = E1 . Dann gilt: • µ [b, a] = α(b + 0) − α(a − 0) • µ [b, a)= α(b + 0) − α(a + 0) • µ (b, a] = α(b − 0) − α(a − 0) • µ (b, a) = α(b − 0) − α(a + 0) Insbesondere ist µ({a}) = µ [a, a] = α(a + 0) − α(a − 0) Def.: Sei A ∈ E1 mit A = µ(A) :=

γ X

γ S

Ik , Ik ∩ Il = ∅ f¨ ur k 6= l. Dann ist:

k=1

µa (Ik )

k=1

µa ist dann ein Pr¨ amaß auf E1 . Bemerkung: Wenn µ ein Maß auf der σ-Algebra A u ¨ber X mit µ(X) = 1 ist, dann heißt µ Wahrscheinlichkeitsmaß auf X. 11.1.5

Das Lebesguesche Maß

Def.: Wenden Satz 4 auf µ = µL (Lebesguesches Pr¨amaß) an. A = En ist die Mengenalgebra der Elementarmengen auf Rn und σ(A) = B(Rn ) (Borelalgebra). Sei µ e ein Maß auf der σ-Algebra B(Rn ). µ e heißt dann Lebesguesches Maß auf B(Rn ). Wir bezeichnen µ e mit µL . Eigenschaften: (1) µL ist invariant unter Bewegungen auf dem Rn , d.h. wenn M eine orthogonale Matrix (n × n) und b ∈ Rn sind, dann gilt: µ(M · A + b) = µL ({M · x + b, x ∈ A}) = µ(A) f¨ ur A ∈ B(Rn ) Insbesondere ist µL invariant unter Translationen. (2) µ sei ein Maß auf B(Rn ), das translationsinvariant ist (d.h. µ(A + b) = µ(A) f¨ ur A ∈ B(Rn ) und n n b ∈ R ). Dann ex. c ≥ 0, c ∈ [0, +∞) mit µ(A) = c · µL (A), A ∈ B(R ). (3) Es gibt Mengen, die nicht in B(Rn ) liegen.

11.2 11.2.1

Das Lebesgue-Integral Messbare Funktionen

A sei σ-Algebra u ¨ber X. f : X → {R ∪ +∞} sei Abbildung. Def.: f heißt A-messbar, wenn f¨ ur jedes a ∈ R die Menge {x ∈ X : f (x) > a} in A liegt. Eine komplexwertige Funktion auf X heißt A-messbar, wenn Re(f ) und Im(f ) A-messbar sind. Def. 2: Sei A = B(Rn ), X = Rn . Eine Funktion auf Rn heißt Borelfunktion, wenn sie messbar bzgl. A = B(Rn ) ist. Bemerkung: Jede stetige Funktion f ist eine Borelfunktion, denn o.B.d.A. sei f reellwertig und {x ∈ Rn , f (x) > a} ist offen und damit eine Borelmenge. Satz: Sei f : X → {R ∪ +∞}. Folgende Aussage sind ¨aquivalent: (1) f ist A-messbar (d.h. {x : f (x) > a} ∈ A ∀ a ∈ R.) (2) {x : f (x) ≥ a} ∈ A ∀ a ∈ R (3) {x : f (x) < a} ∈ A ∀ a ∈ R (4) {x : f (x) ≤ a} ∈ A ∀ a ∈ R

54

Einf¨ uhrung in die Lebesguesche Maß- und Integrationstheorie

55

Eigenschaften: (1) Seien f, g A-messbar. Dann sind λf, f ± g und f · g auch A-messbar f¨ ur λ ∈ C. (2) Seien fn , n ∈ N A-messbar und fn : X → R ∪ {+∞}. Dann sind • f (x) = lim fn (x), n→∞

• g(x) = lim fn (x), n→∞

• k(x) = sup fn (x), n

• l(x) = inf fn (x), n

(3) (4)

auch A-messbar. Jede punktweise konvergente Folge messbarer Funktionen ist wieder messbar f, g seien A-messbar und f, g : X → R ∪ {+∞}. Dann sind die Mengen {x : f (x) = g(x)}, {x : f (x) < g(x)}, {x : f (x) 6= g(x)} in A

11.2.2

Integration von Treppenfunktionen

A sei σ-Algebra u ¨ber X und µ sei Maß auf A. Def. 1: Sei M ⊆ X. Die Funktion 1 ,x ∈ M χM = 0 ,x ∈ /M heißt charakteristische Funktion von M . Def. 2: Eine Funktion f auf X heißt Treppenfunktion, wenn f A-messbar ist und nur endlich viele Werte annimmt. Def.: • E(x) sei die Menge aller Treppenfunktionen auf X • E+ (x) sei die Menge aller nicht-negativen Treppenfunktionen auf X Satz: Sei f ∈ E+ (x). Seien c1 , . . . , cn die Werte von f , wobei c1 , . . . , cn paarweise verschieden sind. Sei n S Ai = {x : f (x) = ci }.. Dann ist Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j und An = X. Dann gilt: f (x) =

n X

i=1

ci χAi (x)

i=1

Z Def.:

f dµ :=

ci µ(Ai ), wobei 0 · (+∞) = 0 und a · (+∞) = +∞ f¨ ur a > 0.

i=1

χ

11.2.3

n X

Integration nichtnegativer Funktionen

Lemma 2: f : X → [0, +∞] sei A-messbar. Dann ex. Folge {un (x), n ∈ N} von Treppenfunktionen un auf X mit 0 ≤ u1 (x) ≤ u2 (x) ≤ . . . ≤ un (x), x ∈ X, n ∈ N und es gilt: f (x) = lim un (x) = sup un (x) n→∞

n

Def. 1: f : X → [0, +∞] sei A-messbar. {un , n ∈ N} sei eine monoton wachsende Folge nichtnegativer Treppenfunktionen auf X mit f (x) = sup un (x). Dann definieren wir: n Z Z f dµ := sup un dµ n X

X

Bemerkungen: (1) Man kann zeigen: Die Definition ist unabh¨angig von der speziellen Folge {un }. (d.h. wenn {un } und {vn } monoton, von Treppenfunktionen sind mit sup un (x) = sup vn (x), R nichtnegative Folgen R n n dann ist auch sup un (x) dµ = sup vn (x) dµ.) n

(2)

n

Nach Lemma 2 ex. f¨ ur jedes f eine derartige Folge {un }. 55

56

Einf¨ uhrung in die Lebesguesche Maß- und Integrationstheorie

11.2.4

Integration komplexwertiger Funktionen

Sei f zun¨achst reellwertige A-messbare Funktion auf X (d.h. f : X → R und {x : f (x) > a} ∈ A ∀ a ∈ R). Def.: Sei f + (x) := max(f (x), 0) und f − (x) := − min(f (x), 0). Dann gilt: • f (x) = f + (x) − f − (x) • f + (x) · f − (x) = 0 • f ± (x) ≥ 0 • |f (x)| = f + (x) + f − (x) R R Def.: f heißt µ-integrierbar auf A, wenn die Integrale f + dµ und f − dµ endlich sind. Ist dies erf¨ ullt, X X dann definieren wir: Z Z Z f dµ := f + dµ − f − dµ X

X

X

Sei jetzt f komplexwertig messbare Funktion auf X. Def.: f heißt µ-integrierbar auf X, wenn u :=Re(f ) und v :=Im(f ) auf X µ-integrierbar sind. Ist dies erf¨ ullt, dann sei: Z Z Z f dµ := u dµ + i v dµ X

X

X

Eigenschaften: (1) f ist µ-integrierbar auf X, gdw. |f | µ-integrierbar ist. R

(2)

R R (α1 f1 + α2 f2 ) dµ = α1 f1 dµ + α2 f2 dµ

X

X

X

R

(3)

f dµ ≥ 0 falls f (x) ≥ 0 ist auf X R R f dµ ≤ |f | dµ

X

(4)

X

11.2.5

X

Integration u ¨ ber Teilmengen

Sei A ⊂ A und f sei Funktion auf A. f χA (x) ist auf X definiert, wenn f χA (x) = 0 f¨ ur x ∈ / A. Dabei sei f beliebig auf X fortgesetzt. Def.: f heißt µ-integrierbar auf A, wenn f χA (x) µ-integrierbar auf X ist. Wir setzen dann: Z Z f dµ := f χA (x) dµ A

11.3 11.3.1

X

Einige S¨ atze zum Lebesgue-Integral Fast u ¨ berall geltende Eigenschaften

µ sei Maß auf σ-Algebra A u ¨ber X. (X, A, µ) heißt Maßraum. ϕ(x) sei eine Aussage u ¨ber jeden Punkt x ∈ X. Def.: Wir sagen ϕ(x) gilt µ-fast u ¨berall auf X, wenn es eine Menge N ∈ A gibt derart, dass µ(N ) = 0 mit ϕ(x) gilt f¨ ur alle x ∈ X \ N . Satz: Sei f eine Abbildung f : X → [0, +∞] A-messbar. R (1) Es ist f dµ = 0 gdw. f = 0 µ-fast u ¨berall. X R (2) Sei µ(X) < ∞. Dann ist f dµ < ∞ gdw. f ist beschr¨ankt µ-fast u ¨berall. X

56

Einf¨ uhrung in die Lebesguesche Maß- und Integrationstheorie

11.3.2

57

Satz von der monotonen Konvergenz

Satz 3(Satz v. B. Levi): f : X → [0, +∞] sei A-messbar. Es gelte 0 ≤ f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ . . . ≤ fn (x) f¨ ur x ∈ X. Es sei f (x) = sup fn (x) = lim fn (x). Dann gilt: n→∞ n Z Z Z f dµ = lim fn dµ = lim fn dµ n→∞

X

n→∞

X

X

∞ P Folgerung 4: Sei gn : X → [0, +∞] A-messbar. Dann ist auch g(x) := gn (x) A-messbar und es gilt: ! n=1 Z Z X Z ∞ ∞ X g dµ = gn dµ = gn dµ X

n=1

X

n=1 X

Anwendungen: (1) Sei X = N, A = P(X) eine σ-Algebra aller Teilmengen von X. Es sei an ≥ 0 f¨ ur n ∈ PN. Dann ex. ein eindeutig bestimmtes Maß µ auf X mit µ({n}) = an f¨ ur n ∈ N. Es ist µ(A) = an . F¨ ur n∈N an = 1, n ∈ N ist µ das Z¨ ahlmaß auf X. (2) Maß mit Dichten: f : X → [0, +∞] sei A-messbare Funktion. Wir definieren: Z ν(A) := f dµ, A ∈ A A

Mit Hilfe des Satzes von B. Levi zeigt man: ν ist ein Maß auf A und es gilt: Z Z dν = f dµ Symbol: dν = f dµ X

X

falls die rechte Seite ex. ν heißt dann Maß mit Dichte f (x) mit der Eigenschaft: Wenn N ∈ A und µ(N ) = 0, dann ist ν(N ) = 0. Derartige Maße ν heißen absolutstetig bzgl. µ. Jedes absolutstetige Maß bzgl. µ kann durch eine Dichte gegeben werden. 11.3.3

Satz von der dominierenden Konvergenz (Satz v. Lebesgue)

Satz 4: {fn (x), n ∈ N} sei Folge A-messbarer Funktionen auf X. f (x) sei A-messbare Funktion auf X. Es gelte: f (x) = lim fn (x) µ-fast u ¨berall auf X. Es ex. eine µ-integrierbare Funktion g : X → [0, +∞) n→∞

mit |fn (x)| ≤ g(x) f¨ ur x ∈ X. Dann ist f µ-integrierbar auf X. Es gilt: Z • lim |fn (x) − f (x)| dµ = 0 n→∞

X

Z •

lim

X

Z f (x) dµ ≡

fn (x) dµ =

n→∞

11.3.4

Z X

lim fn (x) dµ

n→∞ X

Vergleich von Riemann-Integral und Lebesgue-Integral

Vervollst¨ andigung der Borelalgebra: A sei σ-Algebra. Wenn M ⊆ N und N ∈ A, µ(N ) = 0 und M ∈ A, dann ist auch µ(M ) = 0 (denn 0 ≤ µ(M ) ≤ µ(N ) = 0). Es kann sein, dass M ⊆ N , N ∈ A, µ(N ) = 0 aber M ∈ / A. Es gibt Teilmengen M von Borelmengen N mit µL (N ) = 0 und M ist keine Borelmenge. Der Maßraum (X, A, µ) heißt vollst¨ andig, wenn jede Teilmenge M einer Nullmenge aus A auch zu A geh¨ ort. (Rn , B(Rn ), µL ) ist nicht vollst¨andig. Sei (X, A, µ) ein Maßraum. Sei A = {A ∪ M, A ∈ A, M ⊆ N, N ∈ A, µ(N ) = 0}. Man kann zeigen: Aµ ist σ-Algebra und µ(A ∪ M ) := µ(A) definiert ein Maß auf Aµ . (X, Aµ , µ e) ist vollst¨andig. AµL sei die entsprechende σ-Algebra f¨ ur das L-Maß µL .

57

58

Einf¨ uhrung in die Lebesguesche Maß- und Integrationstheorie

Satz: µL sei das L-Maß auf der σ-Algebra AµL . (1) f (x) sei eine beschr¨ ankte komplexwertige Funktion auf [a, b], a < b, a, b ∈ R. Wenn f (x) Rintegrierbar ist auf [a, b], dann ist f (x) auch µL -integrierbar auf [a, b] und das Riemann-Integral von f ist gleich dem Lebesgue-Integral von f . Zb Z Zb Symbol: Beide Integrale f (x) dx = f dµL werden mit f (x) dx bezeichnet. a

(2)

a

[a,b]

f (x) sei Funktion auf [a, +∞). f (x) sei R-integrierbar auf [a, c] ∀ c > a. Es gilt: •

f (x) ist µL -integrierbar auf [a, +∞), gdw. |f (x)| µL -integrierbar ist auf [a, +∞).

•

f (x) ist µL -integrierbar auf [a, +∞), gdw. das uneigentliche Integral R-Integral ex. (d.h.< ∞)

11.3.5

+∞ R

|f (x)| dx

a

Die Lp -R¨ aume

Def.: (X, A, µ) sei Maßraum. Sei p ∈ [1, +∞). Lp (X, µ) sei die Menge aller A-messbarer Funktionen f R auf X f¨ ur die die Funktion |f (x)|p µ-integrierbar ist. (d.h. |f (x)|p dµ < ∞). F¨ ur f ∈ Lp (X, µ) sei:  p1 Z Np (f ) =  |f (x)|p dµ X

Lemma 5: (1) (2)

Np (f + g) ≤ Np (f ) + Np (g) (Minkowski-Ungleichung) 1 1 (H¨ older-Ungleichung) N1 (f · g) ≤ Np (f ) · Nq (g), + = 1 p q

Bemerkung: Beide Ungleichungen gelten f¨ ur beliebige messbare Funktionen f, g auf X. Spezialfall: Sei p = q = 2 Dann ist: Z N1 (f · g) ≤ N2 (f ) · N2 (g) = X

 12  12 Z Z |f · g| dµ ≤  |f |2 dµ  |g|2 dµ X

X

die Cauchy-Schwarz-Ungleichung. Eigenschaften von Np : (1) Np (λf ) = |λ|Np (f ) (2) Np (f + g) ≤ Np (f ) + Np (g) Folgerung: Sei Lp (X, µ) = {f, f A-messbar und Np (f ) < ∞}. Dann folgt aus Lemma 5 (1): Lp (X, µ) ist ein Vektorraum. Bemerkung: Np ist keine Norm auf Lp (X, µ), denn aus Np (f ) = 0 folgt i.a. nicht f (x) = 0 auf X. Def.: Sei Np (f ) = 0, d.h.

R

p1 R |f (x)|p dµ = 0 gdw. |f (x)|p dµ = 0 gdw. |f (x)|p = 0 µ-fast u ¨berall

X

X

gdw. f (x) = 0 µ-fast u ur f, g A-messbar. ¨berall. Wir definieren: f ∼ g gdw. f (x) = g(x) µ-fast u ¨berall f¨ ¨ “ ∼ “ ist dann eine Aquivalenzrelation, d.h. es gilt: (1) f ∼ f (2) Aus f ∼ g folgt g ∼ f . (3) Aus f ∼ g und g ∼ h folgt f ∼ h. Def.: F¨ ur f ∈ Lp (X, µ) sei [f ] sie Menge aller Funktionen g ∈ Lp (X, µ) mit f ∼ g. Man definiert: • [f ] + [h] := [f + h] • [λf ] := λ[f ] ¨ Die Menge aller Aquivalenzklassen ist somit ein Vektorraum. Dieser wird mit Lp (X, µ) bezeichnet. Bemerkung: F¨ ur f1 , f2 ∈ [f ] gilt Np (f1 ) = Np (f2 ), denn das Ab¨andern einer Funktion auf einer Nullmenge ¨andert das Integral nicht. Wir def.: || [f ] ||p := Np (f )

58

Einf¨ uhrung in die Lebesguesche Maß- und Integrationstheorie

59

Satz 6: Lp (X, µ), || · || ist ein vollst¨ andiger normierter linearer Raum. Wir schreiben f an Stelle von p [f ] f¨ ur f ∈ L (X, µ). Z 2 Bemerkung: F¨ ur f, g ∈ L (X, µ) definieren wir: hf, gi := f g dµ X

Beispiel: Sei X = N, µ das Z¨ ahlmaß und f (n) = fn seien Funktionen auf N. Dann ist ∞ P und Lp (X, µ) = {(fn ) : fn ∈ C f u ¨r n ∈ N, |fn |p < ∞}. Es gilt:

R

f dµ =

∞ P

fn

n=0

n=0

•

Die einzige Nullmenge bzgl. des Z¨ ahlmaßes ist die leere Menge.

•

f ∼ g gdw. f (n) = g(n) ∀ n ∈ N0 gdw. f = g ∞ p1 P p ||f ||p = |fn |

•

n=0

Dieser normierte lineare Raum wird mit lp bezeichnet. Bemerkung: F¨ ur p = 2 ist l2 = {(xn ) : x ∈ C f¨ ur n ∈ N0 und

∞ P n=0

59

|xn |2 < ∞} der Hilbertsche Folgenraum.

60

Der Hilbertraum

12

Der Hilbertraum

12.1

Begriff des Hilbertraums

12.1.1

Unit¨ arer Raum

E sei ein komplexer Vektorraum. Def. (1) (2) (3)

1: Ein Skalarprodukt ist eine Abbildung h· , ·i : E × E → C mit folgenden Eigenschaften: hx, xi ≥ 0 f¨ ur x ∈ E. Aus hx, xi = 0 folgt x = 0. hλ1 x1 + λ2 x2 , yi = λ1 hx1 , yi + λ2 hx2 , yi f¨ ur x1 , x2 , y ∈ E hx, yi = hy, xi f¨ ur x, y ∈ E

Def. 2: Eine Vektorraum E mit Skalarprodukt h· , ·i heißt unit¨ arer Raum oder Pr¨ a-Hilbertraum. Einfache Folgerungen: Sei x, y1 , y2 ∈ E und λ, λ1 , λ2 ∈ C (1) h0, xi = hλ · 0, xi = λh0, xi = 0 ∀ λ ∈ C (2) hx, λ1 y1 + λ2 y2 i = hλ1 y1 + λ2 y2 , xi = λ1 hx, y1 i + λ2 hx, y2 i (3) Das Skalarprodukt ist linear in der ersten Variable (nach (2) aus Def. 1) und antilinear in der zweiten. Hilfssatz: Sei a, b, c ∈ R. Wenn aλ2 − 2bλ + c ≥ 0 ∀ λ ∈ R, dann ist b2 ≤ ac. Satz 1: Sei (E, h· , ·i) ein unit¨ arer Raum. F¨ ur x, y ∈ E gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung: |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi Def.: Sei ||x|| := hx, xi1/2 f¨ ur x ∈ E. Daraus folgen die Eigenschaften: (1) ||x|| ≥ 0 (2) ||λx|| = |λ| ||x|| λ∈C (3) F¨ ur ||x|| = 0 ist hx, xi = 0 und damit x = 0 nach (1) in Def. 1 (4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (Dreiecksungleichung) Bemerkung: || · || ist somit eine Norm auf dem Vektorraum E. Der unit¨are Raum ist damit ein normierter linearer Raum. Def. 3: Ein vollst¨ andiger unit¨ arer Raum heißt Hilbertraum. Bemerkung: Vollst¨ andigkeit heißt: Jede Cauchyfolge in (E, h·, ·i) (xn ), xn ∈ E ist Cauchyfolge, wenn zu jedem ε > 0 ein n(ε) ex. mit ||xn − xm || < ε f¨ ur n, m ≥ n(ε) konvergiert in E (d.h. es ex. ein x ∈ E mit lim ||xn − x|| = 0). n→∞

Satz 1: (E, || · ||) sei ein komplexer normierter linearer Raum. Es ex. ein Skalarprodukt auf E mit ||x|| = hx, xi1/2 , x ∈ E, gdw. die Parallelogrammidentit¨at: ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2 ||x||2 + ||y||2 f¨ ur x, y ∈ E gilt. Ist dies erf¨ ullt, dann ist das Skalarprodukt durch die Norm eindeutig bestimmt und es gilt: 1 ||x + y||2 − ||x − y||2 + i ||x + iy||2 − i ||x − iy||2 hx, yi = 4

12.2 12.2.1

Der Projektionssatz (1. Satz v. Riesz) Direkte Summe von Hilbertr¨ aumen

(H1 , h· , ·i1 ), . . . , (Hn , h· , ·in ) seien Hilbertr¨aume. H := H1 ⊕ · · · ⊕ Hn = {(x1 , . . . , xn ), x1 ∈ H1 , . . . , xn ∈ Hn } ist ein Vektorraum mit Addition (x1 , . . . , xn )+(y1 , . . . , yn ) = (x1 +y1 , . . . , xn +yn ) und Vervielfachung λ(x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn ).

60

Der Hilbertraum

61

Def.: Es sei hx, yi := hx1 , y1 i1 + . . . + hxn , yn in f¨ ur x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ H. Man kann zeigen: h· , ·i ist ein Skalarprodukt auf H und (H, h· , ·i) ist ein Hilbertraum. H heißt direkte Summe der Hilbertr¨aume H1 , . . . , Hn . Symbol: H = H1 ⊕ · · · ⊕ Hn Def.: Zwei unit¨ are R¨ aume (E1 , h·,·i1 ) und (E2 , h·,·i2 ) heißen isomorph, wenn es eine eineindeutige lineare Abbildung I des Vektorraums E1 auf den Vektorraum E2 gibt mit hI(x), I(y)i2 = hx, yi1 f¨ ur x, y ∈ E1 . I heißt unit¨ arer Isomorphismus von (E1 , h· , ·i1 ) auf (E2 , h· , ·i2 ). Def.: M, N seien Teilmengen eines unit¨ aren Raumes (E, h· , ·i). M heißt orthogonal zu N , wenn hx, yi = 0 f¨ ur alle x ∈ M und y ∈ N . D E Bemerkung: F¨ ur i 6= j ist Hi orthogonal zu Hj , denn (0, . . . , 0, xi , 0, . . . , 0) , (0, . . . , 0, yj , 0, . . . , 0) = hxi , 0ii + h0, yj ij = 0 n o ∞ P Def.: (Hi , h· , ·ii ), i ∈ N sei ein Hilbertraum. H = (xn , n ∈ N) : xn ∈ Hn und ||xn ||2n < ∞ ist ein n=1 Vektorraum. Wir def.: ∞ X

(xn ), (yn ) := hxn , yn in n=1

f¨ ur (xn ), (yn ) ∈ H und es gilt: ∞ ∞ X X 1/2 hxn , yn in ≤ hxn , xn i1/2 n hyn , yn in ≤

∞ X

n=1

n=1

n=1

Bemerkung: Da Symbol: H =

∞ P

! ||xn ||2n

∞ X

! ||yn ||2n

<∞

n=1

hxn , yn in konvergiert ist hx, yi korrekt definiert. (Hi , h· , ·i) ist somit ein Hilbertraum.

n=1 ∞ L

Hn

n=1

12.2.2

Der Projektionssatz (1. Satz v. Riesz)

Satz 2(Projektionssatz v. Riesz): E1 sei ein abgeschlossener linearer Teilraum des Hilbertraumes H. Sei E2 := E1⊥ := {x ∈ H : hy, xi = 0 ∀ y ∈ E1 }. Dann l¨asst sich jeder Vektor x ∈ H eindeutig in der Form x = x1 + x2 mit x1 ∈ E1 , x2 ∈ E1⊥ = E2 darstellen. Bemerkungen: (1) Zu x ∈ H ex. eindeutig bestimmte Elemente x1 ∈ E1 , x2 ∈ E1⊥ mit x = x1 +x2 . Analog: y = y1 +y2 , y1 ∈ E1 , y2 ∈ E1⊥ . Dann gilt: hx, yi = hx1 + x2 , y1 + y2 i = hx1 , y1 i + hx1 , y2 i + hx2 , y1 i +hx2 , y2 i = hx1 , y1 i + hx2 , y2 i | {z } | {z } =0

Dann ist H = E1 ⊕ (2)

E1⊥ ,

=0

d.h. H ist die direkte Summe der Hilbertr¨aume E1 und E1⊥ .

Es gilt: E1 = (E1⊥ )⊥ . Wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung gilt: H = E1⊥ ⊕ (E1⊥ )⊥ = E1⊥ ⊕ E1 → E1 = (E1⊥ )⊥ E1⊥ ist auch abgeschlossener Teilraum des Hilbertraumes H.

Lemma 3: M sei eine abgeschlossene konvexe Teilmenge von H. F¨ ur x ∈ H sei %(x) := inf ||x − y||. y∈M Dann ex. ein eindeutig bestimmtes Element x1 ∈ M mit %(x) = ||x − x1 ||. Bemerkung: M heißt konvex, wenn aus x, y ∈ M stets λx + (1 − λ)y ∈ M ∀ λ ∈ (0, 1) folgt.

12.3 12.3.1

Stetige lineare Funktionale auf dem Hilbertraum (2. Satz v. Riesz) Lineare Funktionale auf dem Rn

Def.: Lineare Funktionale auf dem Rn sind definiert durch: Fa (x) = x · a, a ∈ Rn , x ∈ Rn . Satz: Zu jedem linearen Funktional auf dem Vektorraum Rn ex. ein eindeutig bestimmtes a ∈ Rn mit Fa (x) = x · a ∀ x ∈ Rn . 61

62

Der Hilbertraum

12.3.2

Lineare Funktionale auf dem Hilbertraum

Def.: Ein lineares Funktional auf einem Vektorraum E ist eine Abbildung F : E → C mit: F (λ1 x1 + λ2 x2 ) = λ1 F (x1 ) + λ2 F (x2 ) f¨ ur λ1 , λ2 ∈ C und x1 , x2 ∈ E. Sei H ein Hilbertraum und y ∈ H. Wir definieren: Fy (x) = hx, yi Eigenschaften: (1) Fy ist ein lineares Funktional auf H, denn: Fy (λ1 x1 + λ2 x2 ) = hλ1 x1 + λ2 x2 , yi = λ1 hx1 , yi + λ2 hx2 , yi = λ1 Fy (x1 ) + λ2 Fy (x2 ). Fy ist stetig auf H, denn sei xn → x in H, dann ist:

(2)

|Fy (xn ) − Fy (x)| = |hxn , yi − hx, yi| = |hxn − x, yi| ≤ ||xn − x|| ||y|| → 0 C−S

D.h. f¨ ur jedes y ∈ H ist Fy ein stetiges lineares Funktional auf H. 12.3.3

Der 2. Satz v. Riesz

Satz 4(2. Satz v. Riesz): Zu jedem stetigen linearen Funktional F auf einem Hilbertraum H ex. ein eindeutig bestimmtes Element y aus H mit F = Fy , d.h. Fy (x) = F (x) = hx, yi f¨ ur alle x ∈ H.

12.4 12.4.1

Orthonormalsysteme und Fourierentwicklung im Hilbertraum Orthonormalsysteme im Hilbertraum

(H, h· , ·i) sei ein Hilbertraum. (xi , i ∈ I) sei eine Familie von Elementen xi ∈ H. Def.: (xi , i ∈ I) heißt Orthogonalsystem (OS), wenn hxi , xj i = 0 f¨ ur alle i, j ∈ I, i 6= j Def.: (xi , i ∈ I) heißt Orthonormalsystem (NOS), wenn hxi , xj i = δij f¨ ur alle i, j ∈ I. Dann ist hxi , xj i = 0 f¨ ur i 6= j und hxi , xi i = ||xi ||2 = 1. Lemma 1: Sei {xk , k ∈ N} ein OS im Hilbertraum. Dann gilt: ||xy + . . . + xn ||2 = ||x1 ||2 + . . . + ||xn ||2 . Bemerkung: F¨ ur n = 2 gilt: ||x1 + x2 ||2 = ||x1 ||2 + ||x2 ||2 (Satz d. Pythagoras im Hilbertraum). ∞ P xk konvergiert in H, gdw. die Zahlenreihe ||xk ||2 k=1 k=1 ∞ P konvergiert. Dabei bedeutet die Konvergenz der Reihe xk die Konvergenz der Partialsummen Sn = k=1 n ∞ P P xk im Hilbertraum H, d.h.: lim xk − Sn = 0.

Satz 2: Es sei {xk , k ∈ N} ein OS. Die Reihe

∞ P

n→∞ k=1

k=1

12.4.2

Fourierentwicklung von Elementen des Hilbertraumes

{xk , k ∈ N} sei ein NOS im Hilbertraum H. Sei x ∈ H. Def. 2: Die Zahlen hx, xk i, k ∈ N heißen Fourierkoeffizienten von x bzgl. des NOS {xk }. 1 sin nx cos nx Beispiel: Sei das NOS √ , √ , √ , n ∈ N in L2 [−π, π] gegeben. Sei f ∈ L2 [−π, π]. Dann π π 2π sind: Zπ sin nx 1 • f, √ =√ f (x) sin nx dx π π −π

•

Zπ cos nx 1 f, √ =√ f (x) cos nx dx π π

•

Zπ 1 1 f, √ =√ f (x) dx 2π 2π

−π

−π

die gew¨ohnlichen Fourierkoeffizienten von f (x).

62

Der Hilbertraum

63

Satz 3: F¨ ur jedes x ∈ H und jedes NOS {xk , k ∈ N} gilt die Besselsche Ungleichung: ∞ X hx, xk i 2 ≤ ||x||2 k=1

Folgerung 4: F¨ ur jedes x ∈ H konvergiert die Reihe

∞ P

hx, xk ixk im Hilbertraum H.

k=1

Def. 3: Die Reihe

∞ P

hx, xk ixk heißt Fourierreihe des Elementes x ∈ H bzgl. des NOS {xk , k ∈ N}.

k=1

Bemerkungen: (1) Die Fourierreihe H aber im allgemeinen nicht gegen x. n von x konvergiert im Hilbertraum o 1 sin nx cos nx √ √ √ (2) F¨ ur das NOS , π , π , n ∈ N ist die Fourierreihe nach Def. 3 genau die gew¨ohnliche 2π Fourierreihe. 12.4.3

Vollst¨ andige Orthonormalsysteme

Satz 5(Parsevalsche Vollst¨ andigkeitsrelation): {xk , k ∈ N} sei NOS im Hilbertraum H. Folgende Bedingungen sind a ¨quivalent: ∞ P (1) x = hx, xk ixk ∀ x ∈ H. (d.h. f¨ ur jedes x ∈ H konvergiert die Fourierreihe von x gegen x.) k=1

(2)

Aus hz, xk i = 0 ∀ k ∈ N mit z ∈ H folgt stets z = 0.

(3)

||x||2 =

∞ P

hx, yi =

k=1 ∞ P

(4)

2 hx, xk i

hx, xk ihxk , yi f¨ ur alle x, y ∈ H.

k=1

Def. 4: Das NOS {xk , k ∈ N} heißt vollst¨ andig als VNOS oder Orthonormalbasis, wenn eine der vier ¨aquivalenten Bedingungen aus Satz 5 gilt. n o n inx o e √nx , cos √ nx , n ∈ N √ Satz 6: Das NOS √12π , sin und das NOS , n ∈ Z im Hilbertraum L2 [−π, π] π π 2π sind vollst¨andig. 12.4.4

Isomorphie separabler Hilbertr¨ aume zum Hilbertraum l2

Def.: Eine Hilbertraum heißt separabel, wenn es eine abz¨ahlbare Teilmenge M von H gibt, die in H dicht ist (d.h. M = H). Satz 7: In jedem unendlich dim. separablen Hilbertraum ex. ein VNOS {xk , k ∈ N}. Folgerung: Jede unendlich separablen Hilbertr¨aume H sind zum Hilbertraum l2 isomorph.

63

64

13 13.1 13.1.1

Lineare Operatoren im Hilbertraum

Lineare Operatoren im Hilbertraum Beschr¨ ankte lineare Operatoren Definition, Beschr¨ anktheit, Stetigkeit

Def.: Seien (E1 , || · ||1 ) und (E2 , || · ||2 ) normierte lineare R¨aume. Eine lineare Abbildung T : E1 → E2 heißt linearer Operator. T ist stetig, wenn aus xn → x in (E1 , || · ||1 ) stets T (xn ) → T (x) in (E2 , || · ||2 ) folgt. Def.: Ein linearer Operator T : E1 → E2 heißt beschr¨ ankt, wenn es eine Konstante C ≥ 0 gibt, mit ||T (x)||2 ≤ C · ||x||1 f¨ ur alle x ∈ E1 . Satz 1: Ein linearer Operator T : E1 → E2 ist beschr¨ankt, gdw. T stetig ist. 13.1.2

Die Operatorennorm

L(E1 , E2 ) sei die Menge aller beschr¨ ankten linearen Operatoren von (E1 , || · ||1 ) in (E2 , || · ||2 ). Def.: Seien T1 , T2 ∈ L(E1 , E2 ). Dann definieren wir: (1) (T1 + T2 )(x) := T1 (x) + T2 (x). Dann ist T1 + T2 auch beschr¨ankt. (2) (λT )(x) := λT (x). Dann ist λT ein beschr¨ankter linearer Operator. L(E1 , E2 ) ist somit ein Vektorraum. Def.: ||T || heißt Operatorennorm oder Norm des beschr¨ankten linearen Operator. Wir def.: n ||T (x)|| o 2 ||T || := sup ||T (x)||2 x ∈ E1 , ||x||1 ≤ 1 = sup x ∈ E1 , x 6= 0 ||x||1 = inf{C > 0 ||T (x)||2 ≤ C||x||1 ∀ x ∈ E1 } Eigenschaften: (1) || · || ist eine Norm auf dem Vektorraum L(E1 , E2 ), d.h. L(E1 , E2 ), || · || ist selbst ein normierter linearer Raum. (2) ||T || ist die kleinste Zahl C ≥ 0, f¨ ur die ||T (x)||2 ≤ C · ||x||1 f¨ ur alle x ∈ E1 gilt. (3) Es gilt: ||T (x)||2 ≤ ||T || ||x||1 f¨ ur x ∈ E1 13.1.3

Der adjungierte Operator

Sei T ∈ L(H, H) := L(H). H sei Hilbertraum. Def.: Seien x, y ∈ H und F ein lineares Funktional auf H. Wir def.: F (x) := hT (x), yi Satz: F ist beschr¨ ankt (und somit stetig), d.h. F ∈ L(H, C), denn: |F (x)| = |hT (x), yi| ≤ ||T (x)|| ||y|| ≤ ||T || ||x|| ||y||

=

weil T beschr¨ ankt

C−S

||T || ||y|| ||x|| | {z } C

Def.: Nach dem 2. Satz von Riesz ex. ein eindeutig bestimmtes Element z ∈ H mit F (x) := hT (x), yi = hx, zi ∀ x ∈ H Die Zurordnung y → z ist linear. Wir definieren einen linearen Operator T ∗ durch z = T ∗ (y). Nach Definition gilt dann: hT (x), yi = hx, T ∗ (y)i ∀ x, y ∈ H T ∗ heißt der zu T adjungierte lineare Operator. Satz: T ∗ ist ein beschr¨ ankter linearer Operator und es gilt: ||T ∗ || = ||T ||.

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Lineare Operatoren im Hilbertraum

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Einfache Eigenschaften: Seien λ1 , λ2 ∈ C. (1) (λ1 T1 + λ2 T2 )∗ = λ1 T1∗ + λ2 T2∗ (2) (T ∗ )∗ = T (3) (T1 T2 )∗ = T2∗ T1∗ (4) T ∗ ist der eindeutig bestimmte lineare Operator S mit der Eigenschaft: hT (x), yi = hx, S(y)i ∀ x, y ∈ H Def.: L(H) ≡ L(H, H) sei die Menge aller beschr¨ankten linearen Operatoren des Hilbertraumes H in H mit folgenden Eigenschaften: (1) L(H) ist ein Vektorraum (2) F¨ ur das Produkt von T1 , T2 ∈ L(H) gilt: T1 · T2 (x) = T1 T2 (x) , x ∈ H (3) Es existiert ein adjungierter Operator T ∗ . Aus (1) und (2) folgt: L(H) ist eine Algebra, d.h. es gelten die Assoziativgesetze und Distributivgesetze der Eigenschaften (1) bis (3) des adjungierten Operators. Bemerkung: L(H) ist eine ?-Algebra.

13.2 13.2.1

Einige Klassen beschr¨ ankter linearer Operatoren Selbstadjungierte und normale Operatoren

Def. 1: Ein Operator T ∈ L(H) heißt normal, wenn T T ∗ = T ∗ T ist. Def. 2: Ein Operator T ∈ L(H) heißt selbstadjungiert oder hermitisch, wenn T = T ∗ ist. Satz: T ∈ L(H) ist selbstadjungiert, gdw. hT x, xi reell ist f¨ ur alle x ∈ H. Satz (Polarisierungsidentit¨ at): Sei T ∈ L(H) und x, y ∈ H. Dann gilt: 4hT x, yi = hT (x + y), x + yi − hT (x − y), x − yi + ihT (x + iy), (x + iy)i − ihT (x − iy), x − iyi Def.: Ein selbstadjungierter Operator T ∈ L(H) heißt positiv, wenn hT x, xi ≥ 0 ∀ x ∈ H. Def.: Seien A, B ∈ L(H) selbstadjungierte Operatoren. Wir schreiben A ≥ B, wenn hAx, xi ≥ hBx, xi f¨ ur alle x ∈ H. Eigenschaften: Seien A, B, C selbstadjungierte Operatoren. (1) Aus A ≥ B folgt A + C ≥ B + C. (2) Aus λ ≥ 0 und A ≥ 0 folgt λA ≥ 0. (3) Aus A ≥ 0 und −A ≥ 0 folgt A = 0. Def.: Sei L(H)n ist die Menge aller selbstadjungierten Operatoren aus L(H). Dann ist (L(H)n , ≥) ein reeller halbgeordneter Vektorraum. 13.2.2

Unit¨ are Operatoren und isometrische Operatoren

Sei T ∈ L(H). Def.: T heißt unit¨ ar, wenn T T ∗ = T ∗ T = 1 (Identit¨at). Dann ist T ∗ = T −1 . Def.: T heißt isometrisch, wenn ||T (x)|| = ||x|| f¨ ur alle x ∈ H. Eigenschaften: (1) T ist isometrisch, gdw. hT (x), T (y)i = hx, yi ∀ x, y ∈ H. (2) Wenn A, B unit¨ ar sind, dann sind auch A · B und A−1 unit¨ar. Die unit¨aren Operatoren eines Hilbertraumes bilden eine Gruppe. (3) Sei T ∈ L(H). T ist unit¨ ar, gdw. T den Hilbertraum H auf H abbildet und T isometrisch ist.

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Lineare Operatoren im Hilbertraum

13.2.3

Projektionsoperatoren

Def.: Sei H1 ein abgeschlossener linearer Teilraum des Hilbertraumes H. Nach dem 1. Satz von Riesz gilt: H1 ⊕ H1⊥ = H, d.h. jedes x ∈ H hat eindeutige Zerlegung x = x1 + x2 mit x1 ∈ H1 und x2 ∈ H1⊥ . Wir definieren: PH1 (x) := x1 Dann ist PH1 ein linearer Operator. Eigenschaften: (1) PH1 ist beschr¨ ankt und ||PH1 || ≤ 1, denn: ||PH1 (x)||2 = ||x1 ||2 ≤ ||x1 ||2 + ||x2 ||2 = ||x||2 ≤ 1 (2)

(PH1 )2 = PH1 , denn: Zerlegung: x1 = x1 + 0. Dann ist PH1 (x1 ) = x1 , d.h. PH1 PH1 (x) = PH1 (x) | {z } | {z }

(3)

(PH1 )∗ = PH1 , denn: Sei x = x1 + x2 und y = y1 + y2 und x, y ∈ H:

=x1

=x1

hPH1 (x), yi = hx1 , y1 + y2 i = hx1 , y1 i + hx1 , y2 i | {z } =0

= hx1 , y1 i + hx2 , y1 i = hx1 + x2 , y1 i | {z } =0

= hx, PH1 (y)i Bemerkung: Der Operator PH1 heißt der zum Teilraum H1 geh¨orende Projektionsoperator. Satz 1: Ein Operator T ∈ L(H) ist Projektionsoperator, gdw. T 2 = T und T ∗ = T . Ist dies erf¨ ullt, dann ist T = PH1 mit H1 = {x ∈ H : T (x) = x1 }. Satz: H1 , H2 seien abgeschlossene lineare Teilr¨aume von H. Sei P1 := PH1 und P2 := PH2 . (1) Falls P1 + P2 ein Projektionsoperator auf H1 ⊕ H2 ist, dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: • P1 + P2 ist Projektionsoperator • P1 · P2 = 0 • H1 ⊥ H2 (2) Falls P2 − P1 ein Projektionsoperator auf H1 H2 ist, dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: • P2 − P1 ist Projektionsoperator • P1 · P2 = P1 • H1 ⊆ H2 • P1 ≤ P2 (3) Falls P1 · P2 ein Projektionsoperator auf H1 ∩ H2 ist, dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: • P1 · P2 ist Projektionsoperator • P1 · P2 = P2 · P1

13.3

Konvergenz von Elementen und Operatoren im Hilbertraum

13.3.1

Konvergenz von Folgen im Hilbertraum

(xn , n ∈ N) sei Folge von Elementen xn ∈ H. Sei x ∈ H. Def. 1: Die Folge xn konvergiert stark gegen x, falls lim ||xn − x|| = 0 n→∞

Symbol: xn → x. Def. 2: Die Folge xn konvergiert schwach gegen x, falls lim hxn , yi = hx, yi f¨ ur all y ∈ H gilt. n→∞

Symbol: xn * x. Eigenschaften: (1) Jede schwach konvergente Folge (xn ) ist beschr¨ankt, d.h. sup ||xn || < ∞ n∈N

(2)

Aus jeder beschr¨ ankten Folge (xn ) von Elementen auf H kann man eine schwach konvergente Teilfolge (xnk ) ausw¨ ahlen (d.h. es ex. ein x ∈ H mit lim hxnk , yi = hx, yi f¨ ur alle x ∈ H). k→∞

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Lineare Operatoren im Hilbertraum

13.3.2

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Konvergenz von Folgen beschr¨ ankter Operatoren

Sei Tn ∈ L(H) f¨ ur n ∈ N und T ∈ L(H). Def. 3: (Tn ) konvergiert in der Operatorennorm, falls lim ||Tn − T || = 0. n→∞

Symbol: Tn ⇒ T . Def. 4: (Tn ) konvergiert stark gegen T , falls lim ||Tn (x) − T (x)|| = 0 f¨ ur alle x ∈ H. n→∞

Symbol: Tn → T . Def. 5: (Tn ) konvergiert schwach gegen T , falls lim hTn (x), yi = hT (x), yi f¨ ur alle x, y ∈ H. n→∞

Symbol: Tn * T . Eigenschaften: (1) Aus Tn ⇒ T folgt Tn → T . (2) Aus Tn → T folgt Tn * T . (3) Jede schwach konvergente Folge (Tn ) ist normbeschr¨ankt in der Operatorennorm, d.h.: sup ||Tn || < ∞ n∈N

(4)

(Tn ) sei eine Folge aus L(H), die in der Operatorennorm beschr¨ankt ist. H sei separabel. Dann ex. eine schwach konvergente Teilfolge (Tnk ), d.h. es ex. ein T ∈ L(H) mit lim hTn (x), yi = hT (x), yi

n→∞

f¨ ur alle x, y ∈ H.

13.4

Spektrum und Resolvente

13.4.1

Definition

Sei T ∈ L(H) und λ ∈ C. Def. 1: λ geh¨ ort zur Resolventenmenge %(T ), wenn es einen beschr¨ankten linearen Operator Rλ ∈ L(H) gibt mit Rλ (T − λ1) = (T − λ1)Rλ = 1. Es ist dann Rλ = (T − λ1)−1 . Rλ heißt Resolvente des Operators im Punkt λ. Def. 2: λ geh¨ ort zum Spektrum σ(T ), wenn λ nich zur Resolventenmenge geh¨ort, d.h. C = %(T ) ∪ σ(T ) und %(T ) ∩ σ(T ) = ∅. Def. 3: λ heißt Eigenwert von T , wenn es ein x ∈ H, x 6= 0 gibt mit T (x) = λx. x heißt dann Eigenvektor zum Eigenwert λ. Bemerkung: Die Menge aller Eigenwerte von T heißt das Punktspektrum σp (T ). Satz: Sei λ Eigenwert und x zugeh¨ origer Eigenvektor von T . Dann ist (T − λ1)x = T (x) − λx = 0. Da x 6= 0 muss (T − λ1) = 0 sein. Dann hat T − λ1 kein Inverses und es gilt: λ ∈ / %(T ) und deshalb auch λ ∈ σ(T ). Bemerkung: In der Quantenmechanik entsprechen die Observablen (beobachtbare Gr¨oßen) selbstadjungierten Operatoren. Die Menge der Messwerte entsprechen dem Spektrum eines Operators. Eigenschaften: (1) Sei T ∈ L(H). Dann ist %(T ) eine offene Teilmenge von C und σ(T ) ist eine nichtleere beschr¨ankte abgeschlossene Teilmenge von C. (2) Der Grenzwert: lim ||T n ||1/n =: r(T )

n→∞

existiert. Es gilt: {λ : λ ∈ σ(T )} ⊆ {z : |z| ≤ r(T )}, d.h. |λ| ≤ r(T ) ∀ λ ∈ σ(T ). r(T ) heißt Spektralradius von T . Es gelten folgenden Beziehungen: ||T 2 || = ||T · T || ≤ ||T || ||T || = ||T ||2 −→ ||T n || ≤ ||T ||n −→ ||T n ||1/n ≤ ||T || Daraus folgt: r(T ) ≤ ||T ||. 67

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Lineare Operatoren im Hilbertraum

13.4.2

Spektrum selbstadjungierter Operatoren

Satz 1: Sei T ∈ L(H) ein selbstadjungierter Operator. Sei λ ∈ C. Dann gilt: λ ∈ %(T ), gdw. ein Konstante C > 0 ex. mit ||(T − λ1)x|| ≥ C · ||x|| f¨ ur alle x ∈ H. Ist dies erf¨ ullt, dann ist ||Rλ || ≤ 1/C. Folgerung 2: Jede Zahl λ ∈ C \ R geh¨ort zur Resolventenmenge %(T ), d.h. σ(T ) ⊆ R f¨ ur jeden selbstadjungierten Operator T ∈ L(H). Satz 3: Sei T = T ∗ ∈ L(H). Dann stehen die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten von T aufeinander senkrecht. Satz 4: Sei m =

inf hT x, xi und M = sup hT x, xi. Dann folgt leicht: m ·

||x||=1

||x||=1

1 ≤ T ≤ M · 1. F¨ur

T = T ∗ ∈ L(H) gilt dann ||T || = max(|m|, |M |), d.h. ||T || = sup |hT x, xi|. ||x||=1

13.5

Das Spektraltheorem fu ankte selbstadjungierte Operatoren ¨ r beschr¨

13.5.1

Spektralscharen

Sei H ein Hilbertraum. Def.: Eine Spektralschar auf H ist eine Familie {E(λ), λ ∈ R} von Projektionsoperatoren auf H mit folgenden Eigenschaften: (1) E(λ) ≤ E(µ) f¨ ur λ ≤ µ, f¨ ur alle λ, µ ∈ R (Monotonie). (2) lim E(λ)x = E(λ0 )x f¨ ur x ∈ H und λ0 ∈ R (Rechtsseitige Stetigkeit in der starken Konvergenz). λ→λ0 +0

(3)

Es ex. a, b ∈ R mit E(a) = 0 und E(b) = 1.

Bemerkung: Punkt (3) sichert die Beschr¨ anktheit der entsprechenden Operatoren. 13.5.2

Integration u ¨ ber eine Spektralschar

{E(λ), λ ∈ R} sei Spektralschar. Dann ex. Zahlen a1 , b1 ∈ R mit E(a1 ) = 0, E(b1 ) = 1. Sei f (x) eine Borelfunktion auf [a, b]. f (x) sei beschr¨ ankt auf [a, b]. Sei a ∈ R mit a < a1 . Sei b = b1 . Ziel: Definition des operatorwertigen R-S-Integrals: Zb f (λ) dE(λ) a

Sei f (x) stetig. Sei Zerlegung Z : a = λ1 < . . . < λn = b. Sei: n X S(f, Z) = f (Zi ) E(λi+1 ) − E(λi ) i=1

wobei Zi ∈ [λi , λi+1 ]. Satz: Unter diesen Vorraussetzungen gilt: Es ex. ein T ∈ L(H) mit T = lim S(f, Z) in der Operatorennorm. δZ →0

Eigenschaften: (1)

Zb Man schreibt: T = f (λ) dE(λ). a

(2) (3)

F¨ ur gewisse st¨ uckweise stetige Funktionen zeigt man: Es ex. ein T ∈ L(H) mit T x = lim S(f, Z)x δZ →0 f¨ ur x ∈ H (starke Konvergenz). b Z F¨ ur beliebige f gilt: Es ex. ein T ∈ L(H) mit hT x, xi = f (λ) dhE(λ)x, xi f¨ ur x ∈ H. a

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Lineare Operatoren im Hilbertraum

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Theorem 1: Zu jedem beschr¨ ankten selbstadjungierten Operator A ∈ H ex. eine eindeutig bestimmte Spektralschar {E(λ), λ ∈ R} auf H mit: Z A = λ dE(λ) Dabei ist E(λ) = 0 f¨ ur λ < m und E(λ) = 1 f¨ ur λ ≥ M , wobei m = inf hAx, xi und M = sup hAx, xi. ||x||=1

||x||=1

Beispiel: Sei H = L2 ([a, b], µa ) wobei µa das Lebesgue-Stieltjes-Maß ist. Sei E(λ) = 0 f¨ ur λ < a und E(λ) = 1 f¨ ur λ ≥ b. Wir definieren: f (t) f¨ ur t ≤ λ (E(λ)f )(t) = 0 f¨ ur t > λ Bemerkung: ”E(λ) schneidet f and der Stelle λ ab.” Sei eλ (t) definiert als: 1 f¨ ur t ≤ λ eλ (t) = 0 f¨ ur t > λ Dann ist (E(λ)f )(t) = eλ (t)f (t) und {E(λ), λ ∈ R} ist eine Spektralschar. Es gilt: n X

Zi E(λ1 ) − E(λi−1 ) f (t) i=1 Z Weiterhin gilt: lim S(λ, Z) f = λ d E(λ) f = A f = t · f S(λ, Z) =

δZ →0

D.h. es ist (A f )(t) = t f (t). Der zur Spektralschar geh¨orende Operator ist der Multiplikationsoperator mit der Variablen t. 13.5.3

Funktionalkalk¨ ul beschr¨ ankter selbstadjungierter Operatoren

Sei F(R) die Menge aller beschr¨ ankten Borelfunktionen auf R. A sei ein beschr¨ankter selbstadjungierter R Operator, {E(λ), λ ∈ R} sei Spektralschar von A, d.h. A = λ dE(λ). F¨ ur f ∈ F(R) ex. ein beschr¨ankter b R linearer Operator f (λ) dE(λ) auf H (nach 13.5.2). a

Def.: Sei f (A) definiert als: Z f (A) := f (λ) dE(λ) R R Der Operator f (λ) dE(λ) heißt Funktion ”f von A” z.B. eA := eλ dE(λ) . Eigenschaften: (1) Seien f1 , f2 , f ∈ F(R), λ ∈ C. Es gelten folgende Beziehungen: • (f1 + f2 )(A) = f1 (A) + f2 (A) • (λf )(A) = λ · f (A) • (f1 · f2 )(A) = f1 (A)f2 (A) • f (A) = f (A)∗ (2) Sei p(λ) = an λn + . . . + a1 λ + a0 ein Polynom mit komplexen Koeffizienten. Sei p(A) = an An + . . . + a1 A + a0 1. Aus (1) folgt: Z p(A) = p(λ) dE(λ) R Insbesondere f¨ ur p(λ) = λ ist A = λ dE(λ). (3) Seien f1 , f2 ∈ F(R) reellwertig. Wenn f1 (λ) ≤ f2 (λ) f¨ ur λ ∈ R, dann ist f1 (A) ≤ f2 (A). Wenn |f (λ)| ≤ C. Dann ist auch ||f (A)|| ≤ C. (4) (5)

Sei T ∈ L(H), dann gilt: T ·A = A·T , gdw. T ·E(λ) = E(λ)·T f¨ ur alle λ ∈ R gdw. T ·f (A) = f (A)·T f¨ ur f ∈ F(R). Insbesondere gilt: f (A) · A = A · f (A) und f (A) · E(λ) = E(λ) · f (A). E(λ) = eλ (A), wobei eλ (t) definiert ist als: 1 f¨ ur t ≤ λ eλ (t) = 0 f¨ ur t > λ

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(6)

Lineare Operatoren im Hilbertraum

Sei x fest. Sei α(λ) := hE(λ)x, xi monoton wachsende reellwertige Funktion. Dann ist: Z • hf (A) x, xi = f (λ) dhE(λ) x, xi Z • ||f (A) x||2 = |f (λ)|2 dhE(λ) x, xi Z • hf (A) x, yi = f (λ) dhE(λ) x, yi und wir definieren das R-S-Integral: Z Z Z 1 f (λ) dhE(λ) x, yi = f (λ) dhE(λ)(x + y), x + yi − f (λ) dhE(λ)(x − y), x − yi + · · · 4 ! Z Z · · · + i f (λ) dhE(λ)(x + iy), x + iyi − i f (λ) dhE(λ)(x − iy), x − iyi

13.5.4

Spektrum und Spektralschar

Sei A ein beschr¨ ankter selbstadjungierter Operator und {E(λ), λ ∈ R} sei Spektralschar. Sei λ0 ∈ R. Satz 2: λ0 ∈ %(A) gdw. ein δ(λ0 ) > 0 ex. mit E(λ) = E(λ0 ) f¨ ur alle λ ∈ (λ0 − δ, λ0 + δ). Anschaulich: λ0 ist in der Resolventenmenge %(A) gdw. {E(λ), λ ∈ R} in einer Umgebung von λ0 konstant ist. Satz: Man kann zeigen: Es ex. ein Projektionsoperator E(λ0 − 0) mit E(λ0 − 0) = lim E(λ)x. Es ist x→λ0 −0 E(λ0 − 0) ≤ E(λ0 ). Satz 3: λ0 ist Eigenwert von A gdw. E(λ0 ) − E(λ0 − 0) 6= 0 ist. Es gilt: (A − λ0 1)x = 0 gdw. x = E(λ0 ) − E(λ0 − 0) x ist. Anschaulich: Sprungstellen der Spektralschar sind genau die Eigenwerte.

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Holomorphe Funktionen

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Holomorphe Funktionen

14.1

Einige Grundbegriffe

14.1.1

Komplexe Zahlenebene

Satz: C ist nicht kompakt, denn zn = n ist eine Folge, die keine konvergente Teilfolge besitzt

14.1.2

Die Riemannsche Zahlenkugel und die erweiterte komplexe Zahlenebene

Sei K die Kugeloberfl¨ ache der Kugel um (0,0,0) mit Radius 1, d.h. K = {(ξ, η, ζ) ∈ R3 : ξ 2 + η 2 + ζ 2 = 1}. Wir identifizieren z = x + iy ∈ C mit dem Punkt (x, y, 0) ∈ R3 . Def.: Die Abbildung Π : K \ (0, 0, 1) → C von K \ (0, 0, 1) auf C sei durch die Forderung Π(ξ, η, ζ) = (x, y, 0) und dass die Punkte N (0, 0, 1), P = (ξ, η, ζ) und P 0 (x, y, 0) auf einer Geraden liegen definiert. Somit gilt: x−0 y−0 0−1 = = ξ−0 η−0 ζ −1 und es ist: zz − 1 • ζ= zz + 1 i(z − z) • η= zz + 1 z+z • ξ= zz + 1 Folgerung: Π : K \ (0, 0, 1) → C und Π−1 : C → K \ (0, 0, 1) sind stetige Abbildungen. Satz: Eine Menge M in C ist offen, abgeschlossen, kompakt, zusammenh¨angend, gdw. Π−1 diese Eigenschaft auf K \ (0, 0, 1) besitzt. Def.: C := C ∪ {∞}. ∞ heißt dann unendlich ferner Punkt. Def.: Π(0, 0, 1) = ∞. Π ist dann eine Abbildung von K auf C. Def.: Sei d euklidische Metrik auf K. (K, d) ist ein kompakter metrischer Raum. Wir definieren die Metrik de auf C durch: de Π(P1 ), Π(P2 ) := d(P1 , P2 ) e ist auch ein kompakter metrischer Raum. Dieser heißt erweiterte komplexe Zahlenebene. Bemerkung: (C, d) Def.: Eine Folge (zn ) konvergiert gegen z in C, wenn gilt: e n , z) = 0 lim d(z

n→∞

Bemerkungen: (1) Wenn zn , z ∈ C, dann ist dies ¨ aquivalent zur Konvergenz zn → z in C, d.h. lim |zn − z| = 0. n→∞ (2) Wenn zn ∈ C und z = ∞, dann ist dies ¨aquivalent zu lim |zn | = ∞ n→∞

14.1.3

M¨ obiustransformationen

Def.: Seien a, b, c, ( d ∈ C. a (1) GL(2, C) := c ( a (2) SL(2, C) := c

Wir definieren: ) b : ad − bc 6= 0 d ) b : ad − bc = 1 d

GL(2, C) und SL(2, C) sind Gruppen.

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Holomorphe Funktionen

az + b a b Def.: F¨ ur A = . ∈ GL(2, C) sei LA (z) = c d cz + d (1) Sei c = 0. Dann ist LA (z) = (a/d)z + b/d f¨ ur z ∈ C. Somit ist LA (z) ∈ C. Wir definieren: LA (∞) = ∞. (2) Sei c 6= 0. LA bildet C \ {−d/c} (Nullstellen vom Nenner) auf C ab. Wir definieren: LA (∞) = a/c. obiustranformation. LA ist dann Abbildung von C auf C. LA heißt die zur Matrix A ∈ GL(2, C) assoziierte M¨ Es gilt: • LA · LB = LA·B 1·z+0 • Identische Abbildung: LE = . Es gilt: LE (z) = z. 0·z+1 d −b 1 0 • Sei C = . Dann gilt: AC = det A . Man verifiziert leicht: LC (z) = L−1 A (z). −c a 0 1 Da LA = LλA f¨ ur alle λ ∈ C und A ∈ GL(2, C), kann man o.B.d.A. voraussetzen, dass det A = 1 ist, d.h. A ∈ SL(2, C). Dann ist C = A−1 , d.h. L−1 A = LA−1 . Folgerung: Die Abbildung SL(2, C) → A → LA ist ein Homomorphismus der Gruppe SL(2, C) in die Gruppe der M¨ obiustransformationen. Insbesondere folgt daraus: • Die Menge der M¨ obiustransformationen bildet eine Gruppe. • LA bildet C eindeutig auf C ab. Eigenschaften: (1) M¨obiustransformationen sind kreistreu, d.h. sie bilden Kreislinie um z0 auf eine Kreislinie um den Bildpunkt w0 = LA (z0 ) ab. F¨ ur z0 = ∞ seien Kreise um z0 nach Definition Geraden. (2) Jede M¨ obiustransformation ist Hintereinanderausf¨ uhrung der einfachen M¨obiustransformationen z → az, z → z + b und z → 1/z. (3) Doppelverh¨ altnis von vier Punkten: z1 − z3 z2 − z4 DV (z1 , z2 , z3 , z4 ) := · z1 − z4 z2 − z3 Wenn eine der Zahlen zi gleich ∞ ist, etwa z4 = ∞, dann definiert man: z1 − z3 DV (z1 , z2 , z3 , z4 ) := lim DV (z1 , z2 , z3 , z4 ) = z4 →∞ z2 − z3 M¨obiustransformationen lassen Doppelverh¨altnis invariant, d.h. wenn wj = LA (zj ), j = 1, 2, 3, 4, dann ist: DV (w1 , w2 , w3 , w4 ) = DV (z1 , z2 , z3 , z4 )

14.2 14.2.1

Komplex differenzierbare Funktionen Komplexe Differenzierbarkeit

G ⊆ C sei offene Menge und z0 ∈ G. g(z) sei Funktion auf G \ {z0 }. Def. 1: g(z) hat f¨ ur z → z0 den Grenzwert A, wenn zu jedem ε > 0 ein δ(ε) > 0 ex. mit |A − g(z)| < ε f¨ ur alle z ∈ G mit 0 < |z − z0 | < δ(ε). Symbol: lim g(z) = A. z→z0

Def. 2: f (z) sei auf G definierte komplexwertige Funktion. f (z) heißt in z0 komplex diffbar, wenn der Grenzwert: f (z) − f (z0 ) lim z→z0 z − z0 existiert. Dieser Grenzwert heißt komplexe Ableitung von f (z) in z0 und wird mit f 0 (z0 ) bezeichnet.

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Holomorphe Funktionen

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Satz 1: Sei w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) eine komplexwertige Funktion, die in einer Umgebung von z0 = x0 + iy0 ∈ C definiert ist. Sei u = Re f und v = Im f . Dann ist f (z) in z0 komplex diffbar, gdw. u und v in (x0 , y0 ) diffbar sind (als Funktionen von R2 in R) und f¨ ur die partiellen Ableitungen gilt: ux (x0 , y0 ) = vy (x0 , y0 )

und

uy (x0 , y0 ) = −vx (x0 , y0 )

Diese Gleichungen heißen Cauchy-Riemannsche-Differentialgleichungen. Sind diese erf¨ ullt, dann ist: f 0 (z0 ) = ux (x0 , y0 ) + ivx (x0 , y0 ) Folgerung 2: u, v seien stetige reellwertige Funktionen auf Gebiet G ⊆ R2 = C mit stetigen partiellen Ableitungen 1. Ordnung. Dann ist die Funktion f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = iy + x in jedem Punkt z0 ∈ G komplex diffbar, gdw. die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichgungen gelten. Satz: Analog zu reell diffbaren Funktionen gilt: (1) Summe, Produkt und Quotient (falls Nenner 6= 0) komplex diffbarer Funktionen sind komplex diffbar. (2) zusammengesetzte Funktionen komplex diffbarer Funktionen sind komplex diffbar. 14.2.2

Harmonische Funktionen

Def.: Sei f = u + iv in z0 ∈ G komplex diffbar mit u, v ∈ C 2 (G) (Man kann zeigen: Ist eine Funktion komplex diffbar auf G, so folgt auch stets u, v ∈ C ∞ ). Dann sind die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen erf¨ ullt und es gilt: uxx + uyy = 0

bzw.

vxx + vyy = 0

Derartige Funktionen u, v heißen harmonische Funktionen. Folgerung: Ist f = u + iv in z0 ∈ G komplex diffbar, so sind u, v harmonische Funktionen.

14.2.3

Komplexe Differenzierbarkeit in z0 = ∞

f (z) sei f¨ ur alle z ∈ C f¨ ur |z| > R f¨ ur ein geeignetes R > 0 definiert. Sei g(z) = f g(0) = lim f z1 falls der Grenzwert ex.

1 z

, |z| > R. Es ist

z→∞

Def.: f heißt komplex diffbar in z0 = ∞, wenn g(z) komplex diffbar ist in z = 0.

14.2.4

Holomorphe Funktionen

f (z) sei definiert auf einer offenen Menge G ⊆ C. Def. 1: f (z) heißt holomorph in z0 ∈ G, wenn es eine Umgebung U (z0 ) um z0 mit U (z0 ) ⊆ G gibt derart, dass f (z) f¨ ur jedes z ∈ U (z0 ) komplex diffbar ist. Def. 2: f (z) heißt holomorph auf G, wenn f (z) in jedem Punkt z ∈ G komplex diffbar ist.

14.3 14.3.1

Der Cauchysche Integralsatz Komplexe Kurvenintegrale

Def.: γ sei rektifizierbare orientierte einfache Kurve in C ∼ = R2 . f (z) sei komplexwertige Funktion auf der Punktmenge γ. Wir def.: Z Z f (z) dz := f (z) dx + if (z) dy γ

γ

falls die rechte Seite existiert. Die rechte Seite stellt ein reelles Kurvenintegral im R2 dar.

73

74

Holomorphe Funktionen

Satz (Berechnungsformel): Sei {z(t), t ∈ [a, b]} eine Parameterdarstellung der orientierten Kurve γ. z(t) sei stetig diffbar auf γ. Dann gilt: Z γ

14.3.2

Zb f (z) dz = f z(t) z 0 (t) dt a

Cauchyscher Integralsatz

Satz 1: f (z) sei holomorphe Funktion auf einfach zusammenh¨angenden Gebiet G ∈ C. γ sei eine geschlossene rektifizierbare einfache Kurve in G. Dann ist: Z (?) f (z) dz = 0 γ

Bemerkung: Satz gilt unter folgender allgemeiner Situation: γ sei wie in Satz 1. G sei das Gebiet innerhalb von γ. f (z) sei stetige Funktion auf G und holomorph auf G. Dann gilt ebenfalls (?). Satz 2: G sei einfach zusammenh¨ angend und z0 ∈ G. Sei G0 = G \ {z0 }. f (z) sei holomorphe Funktion auf G0 , die in einer Umgebung von z0 beschr¨ankt ist. γ sei geschlossene rektifizierbare Kurve in G0 . Dann gilt ebenfalls (?). 14.3.3

Cauchysche Integralformel

Satz 3: γ sei einfach geschlossene rektifizierbare Kurve in C. Das Gebiet G innerhalb von γ sei einfach zusammenh¨angend. f (z) sei eine stetige Funktion auf G. f (z) sei holomorph auf G. Dann gilt f¨ ur jedes z ∈ G und ζ ∈ γ: Z 1 f (ζ) f (z) = dζ 2πi ζ − z γ

14.3.4

Integrale vom Cauchyschen Typ

Def.: γ sei einfach rektifizierbare, geschlossene, orientierte Kurve. Das Innengebiet G von γ sei einfach zusammenh¨angend. g(ζ) sei stetige Funktion auf γ. Wir definieren: Z 1 g(ζ) h(z) = dζ 2πi ζ − z γ

Satz 4: F¨ ur jedes z ∈ C, z ∈ / γ ist h(z) holomorph und es gilt: Z g(ζ) n! dζ h(n) (z) = 2πi (ζ − z)n+1 γ

D.h. h(z) ist n-fach komplex diffbar und die n-te komplexe Ableitung h(n) (z) entsteht durch Vertauschung von Integral und Ableitung.

14.4

Eigenschaften holomorpher Funktionen

ur jedes n ∈ N und Satz 1: γ, G seien wie oben. f (z) sei holomorphe Funktion auf G und stetig auf G. F¨ jedes z ∈ G ex. die n-te komplexe Ableitung f (n) (z) und es gilt: Z n! f (ζ) dζ f (n) (z) = 2πi (ζ − z)n+1 γ

Folgerung 2: Seien γ, G, f wie in Satz 1. Dann ex. f (n) (z) f¨ ur z ∈ G, n ∈ N und ist eine holomorphe Funktion auf G. Folgerung 3: Seien γ, G, f wie in Satz 1. Sei u =Re f , v =Im f . Dann gilt: u, v ∈ C ∞ (G), 4u = 4v = 0 auf G.

74

Holomorphe Funktionen

75

Satz 4(Satz von Morera): f (z) sei stetige Funktion auf Gebiet G f¨ ur jede geschlossene, einfache, rektifizierbare Kurve γ. In G gilt: Z f (z) dz = 0 γ

Dann ist f (z) holomorph in G. Satz 5(Satz von Riemann u aten): G sei Gebiet und z0 ∈ G. f (z) sei ¨ ber hebbare Singularit¨ holomorph auf dem Gebiet G \ {z0 }. Es existiere eine Umgebung U um z0 in der die Funktion f (z) beschr¨ankt ist. Dann ex. Zahl a ∈ C derart, dass die Funktion: f (z) f¨ ur z ∈ G \ {z0 } g(z) = a f¨ ur z = z0 auf G, also insbesondere in z0 holomorph ist. Satz 6(Maximumprinzip): f (z) sei holomorphe Funktion auf dem einfach zusammenh¨angenden Gebiet G. Es ex. ein z0 ∈ G mit |f (z0 )| = sup |f (z)|. Dann ist f (z) konstant auf G. z∈G

Bemerkung: Die Aussage von Satz 6 ist: Die Funktion f (z) auf G nimmt ihr Maximum immer auf dem Rand an und niemals im Inneren von G, es sein denn, f (z) ist konstant. Satz 7(Satz von Liouville): f (z) sei eine holomorphe Funktion auf C. Wenn f (z) beschr¨ankt auf C, dann ist f (z) konstant auf C. Satz 8: fn (z), n ∈ N sei holomorphe Funktion auf einem Gebiet G. Die Reihe: F (z) :=

∞ X

fn (z)

n=1

konvergiere gleichm¨ aßig auf G. Dann ist F (z) auch holomorphe Funktion auf G.

14.5

Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen

P∞ n Satz 1: f (z) = n=0 an (z − z0 ) sei eine Potenzreihe mit Konvergenzradius % > 0. Dann ist f (z) holomorph auf der Menge {z ∈ C : |z − z0 | < %}. Satz 2: f (z) sei holomorphe Funktion im Punkt P∞z0 ∈ C. Dann ex. ein r > 0 und eine auf der Menge {z ∈ C : |z − z0 | < r} konvergente Potenzreihe n=0 an (z − z0 )n , die auf der Menge gleich f (z) ist. Bemerkung: Die Potenzreihe (Taylorreihe) von f (z) konvergiert in jedem Kreis um z0 , in dem die Funktion f (z) holomorph ist. Zusammenfassung: F¨ ur eine Funktion f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), die in einem Gebiet G ⊂ C gegeben ist, sind folgende Eigenschaften a ¨quivalent: (1) f ist in G stetig komplex diffbar. (2) u, v sind in G stetig diffbar und ux = vy und uy = −vx . (3) P Jeder Punkt z0 ∈ G hat eine Umgebung U , in der f (z) als Summe einer konvergenten Reihe ∞ i i=0 ai (z − z0 ) geschrieben werden kann. (4) f ist stetig in G und f¨ ur jede offene konvexe Teilmenge G1 ⊆ G und jede st¨ uckweise glatte, geschlossene einfache Kurve γ ⊆ G1 gilt: Z f (z) dz = 0 γ

14.6

Lokal gleichm¨ aßige Konvergenz und normale Konvergenz

Def.: Sei G ⊂ C Gebiet, fn , gn , f seien auf G gegebene Funktionen. Die Folge (fn ) konvergiert lokal gleichm¨ aßig G gegen f , wenn jedes z0 ∈ G eine Umgebung Uz0 hat, in der fn glm. gegen f konvergiert. Pin ∞ Die Reihe n=0 gn konvergiert lokal glm. in G, wenn die Folge ihrer Partialsummen lokal glm. konvergiert. P Def.: Die Reihe P∞ gn (z) konvergiert normal, wenn jedes z0 ∈ G eine Umgebung Uz0 hat, so dass Zahlen Mn ≥ 0 mit n=0 Mn < ∞ so ex., dass f¨ ur alle z ∈ Uz0 gilt: |gn (z)| ≤ Mn .

75

76

Holomorphe Funktionen

Folgerungen: (1) Aus der lokal glm. Konvergenz eine Folge oder Reihe stetiger Funktionen in G folgt die Stetigkeit des Limes. (2) Aus der normalen Konvergenz einer Reihe folgt ihre lokal glm. Konvergenz. P (3) Ist K ⊂ G kompakte Teilmenge und konvergiert die Folge (fn ) bzw. die Reihe n gn in G lokal glm., so konvergiert die glm. auf K. P (4) Ist K ⊂ G kompakt und konvergiert die Reihe n gn in G normal, so gibt es eine f¨ ur ganz K P g¨ ultige konvergente Majorante n Mn < ∞. Satz 5(Satz von Weierstrass): Seien fn holomorphe Funktionen in G und gelte f¨ ur jedes z ∈ G lim fn (z) = f (z). Sei dieser Limes glm. konvergent auf jeder kompakten Teilmenge von G. Dann ist n→∞

f (z) holomorph auf G. (k)

Zusatz: fn (z) konvergiert lokal glm. gegen die k-te Ableitung f (k) (z). P∞ Folgerung: Sei Potenzreihe n=0 an (z − z0 )n gegeben mit Konvergenzradius R > 0. (G = {z, |z| < R}. Die Reihe konvergiert normal in G.) Die Summe jeder Potenzreihe ist innerhalb des Konvergenzkreises holomorph und sie kann dort gliedweise differenziert werden: !0 ∞ ∞ X X n an (z − z0 ) = nan (z − z0 )n−1 n=0

14.7

n=1

Einige Anwendungen von Potenzreihen

14.7.1

Identit¨ atssatz und analytische Fortsetzung

Satz 1(Identit¨ atssatz): Seien f1 , f2 in einem Gebiet gegeben holomorphe Funktionen und sei z0 ∈ G. (1) Gibt es eine Folge zj in G mit lim zj = z0 und zj 6= z0 und gilt f¨ ur jedes j f1 (zj ) = f2 (zj ), so ist j→∞ f1 = f2 in G. (2)

(j)

(j)

Gelten f1 (z0 ) = f2 (z0 ) f¨ ur j = 0, 1, . . . , so gilt f1 = f2 in G.

Folgerung: Reelle Funktionen lassen sich auf h¨ochstens eine Weise zu holomorphen Funktionen fortsetzen. Identit¨aten u ¨bertragen sich. Satz 2: Ist G = G1 ∪ G2 mit G1 ∩ G2 6= ∅ und sind f1 bzw. f2 holomorph auf G1 bzw. G2 , so dass f1 (G1 ∩ G2 ) = f2 (G1 ∩ G2 ), so ex. holomorphe Funktion f auf G mit f G1 = f1 und f G2 = f2 . 14.7.2

Satz von der Gebietstreue

Satz 1: Ist f holomorph in G, z0 ∈ G und gilt f 0 (z0 ) 6= 0, so ex. offene Mengen Uz0 von z0 und Uf (z0 ) von f (z0 ), so dass f : Uz0 → Uf (z0 ) eine Bijektion und die Umkehrfunktion f −1 : Uf (z0 ) → Uz0 wieder holomorph ist. Satz 2(Satz von der Gebietstreue): Ist f eine nicht konstante holomorphe Funktion auf einem Gebiet G, so ist f (G) wieder ein Gebiet. 14.7.3

Lemma von Schwarz

Lemma v. Schwarz: Sei U = {z ∈ C, |z| < 1}. Ist f : U → U eine holomorphe Funktion mit f (0) = 0, so gilt f¨ ur z ∈ U stets |f (z)| ≤ |z| Zusatz 1: Dann gilt auch |f 0 (0)| ≤ 1. Zusatz 2: Gilt zus¨ atzlich f¨ ur ein z0 ∈ U \{0} |f (z0 )| = |z0 |, so gibt es ein a mit |a| = 1, so dass f (z) = a·z. Folgerungen: Sei f eine bijektive holomorphe Abbildung U ↔ U , dann ist f −1 : U → U ebenfalls holomorph. • Ist f (0) = 0, so gilt f (z) = a · z mit |a| = 1. mit |a| = 1, |b| < 1. • f (z) = a · bz−b z−1 Bemerkung: Der Riemannsche Abbildungssatz besagt, dass sich jedes einfach zusammenh¨angende Gebiet G ⊂ C mit G 6= C bijektiv holomorph auf die Einheitskreisscheibe abbilden l¨asst.

76

Holomorphe Funktionen

77

Def.: Eine bijektive reelle stetig diffbar Abbildung f : G1 → G2 heißt konforme Abbildung von G1 auf G2 , wenn sie Winkel zwischen glatten Kurven erh¨alt. Folgerung: Jede bijektive holomorphe Funktion zwischen Gebieten G1 → G2 ist konform. Mit einer solchen Funktion f1 : G1 → G2 ist auch f 1 konform (weil z → z konform ist). Tats¨achlich gilt f¨ ur jede konforme Abbildung f , dass f oder f holomorph ist.

14.7.4

Spiegelungssatz von Schwarz

Satz (Spiegelungssatz): Sei G ⊂ C ein Gebiet, so dass S = G ∩ R 6= ∅ und dass mit z auch z zu G geh¨ort. Sei G1 = {z ∈ G, Im z > 0} und G2 = {z ∈ G, Im z < 0}. Ist f eine stetige Funktion auf G1 ∪ S, die in G1 holomorph ist und auf S reelle Werte annimmt, so gibt es eine analytische Fortsetzung f von f1 auf G. Dies wird auf G2 dann f (z) = f2 (z) = f1 (z). Folgerung: Sind f1 , f2 zwei holomorphe Funktionen auf einem Gebiet G und enth¨alt der Abschluss von G ein Geradenst¨ uck oder einen Kreisbogen S, so dass f1 , f2 stetig auf G ∪ S fortsetzbar sind und dass die Fortsetzungen auf S u ¨bereinstimmen, so gilt f1 = f2 .

14.8

Singularit¨ aten, Laurent-Reihen, Residuen und Anwendungen

Def.: Eine Umgebung U˙ δ (z0 ) = {z ∈ C, 0 < |z − z0 | < δ} heißt punktierte Umgebung. Def.: Eine auf G definierte holomorphe Funktion f hat an der Stelle z0 eine isolierte Singularit¨ at, wenn eine punktierte Umgebung U˙ δ (z0 ) ⊂ G ex., in der f holomorph ist und wenn f aber in z0 nicht holomorph ist.

14.8.1

Die Laurent-Entwicklung

Satz: Sei f holomorph in einem Gebiet und sei K r,R (z0 ) ⊂ G mit 0 < r < R. Sei z ∈ Kr,R (z0 ) und sei γ eine in positiver Richtung durchlaufene Kreislinie innerhalb des Kreisringes Kr,R (z0 ) um Mittelpunkt z0 . Dann gilt: Z ∞ X 1 f (ζ) n f (z) = an (z − z0 ) wobei an = dζ 2πi (ζ − z0 )n+1 n=−∞ γ

Diese Reihe heißt Laurent-Reihe. Dabei ist die zweiseitig unendliche Reihe als Summe von 2 Reihen zu verstehen: ∞ ∞ ∞ X X X an (z − z0 )n = an (z − z0 )n + a−n (z − z0 )−n n=−∞

n=0

n=1

Diese beiden Reihen konvergieren in Kr,R (z0 ) normal und folglich lokal gleichm¨aßig. Bemerkung: Irgendeine Reihe habe die Form: ∞ ∞ ∞ X X X an (z − z0 )n = an (z − z0 )n + a−n (z − z0 )−n n=−∞

n=0

|

n=1

{z

}

Konvergenzradius sei R

|

{z

}

Konvergenzradius sei r

Die 1. Reihe konvergiert also f¨ ur |z − z0 | < R und die 2. Reihe f¨ ur |w| < r1 mit w := 1/(z − z0 ) und 1 r1 := 1/r, also f¨ ur |z − z0 | = |w| > r11 = r. Gilt dann r < R, so liegt normale Konvergenz in Kr,R (z0 ) vor. Satz: Die Koeffizienten der Laurent-Reihe sind durch die Summe der Reihe eindeutig bestimmt. Def.: f (z) habe eine isolierte Singularit¨ at z0 und die Laurententwicklung f (z) = −1 X (1) Die Summe an (z − z0 )n heißt Hauptteil der Laurentreihe. (2)

a−1

1 = 2πi

Z n=−∞ f (ζ) dζ heißt Residuum Resz0 (f ). γ

77

P∞

n=−∞

an (z − z0 )n .

78

Holomorphe Funktionen

14.8.2

Klassifikation von isolierten Singularit¨ aten und Nullstellen holomorpher Funktionen

Fall 1: Angenommen f (z0 ) = 0, f nicht identisch Null und f ist holomorph in Umgebung von z0 , hat dort also keine Singularit¨ at. Dann ist: ∞ X f (z) = an (z − z0 )n = (z − z0 )k g(z) n=k

Dabei ist ak 6= 0 und k mit k ≥ 1 wird als Ordnung der Nullstelle bezeichnet. Das heißt, der Hauptteil der Laurentreihe verschwindet. g(z) ist holomorphe Funktion in Umgebung von z0 mit g(z0 ) 6= 0. f (z) = ak 6= 0 Charakterisierung: lim z→z0 (z − z0 )k Fall 2: Angenommen f (z) habe an der Stelle z0 eine isolierte, hebbare Singularit¨at. Dann l¨asst sich f (z) so definieren, dass eine Funktion entsteht, die in einer Umgebung von z0 holomorph ist. Charakterisierung: • Der Hauptteil der Laurententwicklung ist identisch 0. • f (z) ist beschr¨ ankt in einer punktierten δ-Umgebung von z0 . Fall 3: Angenommen, f (z) habe an der Stelle z0 eine isolierte Singularit¨at, die eine Polstelle ist. Dann ist: ∞ X 1 f (z) = h(z) an (z − z0 )n = (z − z0 )k n=−k

Dabei ist a−k 6= 0 und k mit k ≥ 1 wird als Ordnung der Polstelle bezeichnet. Das heißt, der Hauptteil der Laurentreihe hat k Summanden und verschwindet nicht. h(z) ist holomorphe Funktion in Umgebung von z0 mit h(z0 ) 6= 0. Charakterisierung: lim (z − z0 )k f (z) = a−k 6= 0 z→z0

Satz: f (z) hat an der Stelle z0 eine Nullstelle der Ordnung k, wenn 1/f (z) dort eine Polstelle der Ordnung k hat und umgekehrt nach Beseitigung der hebbaren Singularit¨at. Def.: Eine isolierte Singularit¨ at an z0 f¨ ur f heißt wesentliche Singularit¨ at, wenn der Hauptteil der Laurentreihe um z0 unendlich viele Summanden ungleich 0 enth¨alt. Satz 2: Ist z0 eine isolierte wesentliche Singularit¨at f¨ ur f und ist a ∈ C, so ex. Folge zj mit zj 6= z0 und es gilt lim zj = z0 und lim f (zj ) = a. j→∞

j→∞

Bemerkung: In Wahrheit werden alle Werte a ∈ C mit h¨ochstens einer Ausnahme in jeder punktierten Umgebung von z0 als Wert f (z) angenommen. 14.8.3

Residuensatz, Berechnung von Residuen

Satz 1(Residuensatz von Cauchy): Sei G ⊂ C ein Gebiet. Seien z1 , . . . , zn ∈ G und sei f (z) holomorph in G1 = G \ {z1 , . . . , zn }. Sei D ⊂ G ein einfach zusammenh¨angendes Gebiet, welches von einem positiv orientierten, st¨ uckweise glatten, geschlossenen Jordanweg γ : [0, 1] → G1 berandet sei. Dann gilt: Z X f (z) dz = 2πi Reszj f γ

zi ∈D

Berechnung von Residuen f¨ ur Polstellen k-ter Ordnung: 1 dk−1 Resz0 f (z) = lim (z − z0 )k f (z) k−1 (k − 1)! z→z0 dz Spezialfall k = 1: Berechnung von Residuen f¨ ur Polstellen 1. Ordnung: (1) Sei g(z) := 1/f (z). Dann ist: 1 z − z0 = 0 Resz0 f (z) = lim (z − z0 )f (z) = lim 1 z→z0 z→z0 g (z 0) f (z) (2)

Sei f (z) von der Gestalt f (z) = ist: g(z0 ) Resz0 f (z) = 0 h (z0 )

g(z) h(z)

mit g(z) und h(z) holomorph in einer Umgebung von z0 . Dann

78

Holomorphe Funktionen

14.8.4

79

S¨ atze von Hurwitz und Rouche

Satz: Pol- und Nullstellen einer Funktion f k¨onnen mit Hilfe des Residuums berechnet werden. Es gilt: Resz

f 0 (z) f 0 (z) = lim (z − z0 ) := Ordz0 f (z) z→z0 f (z) f (z0 )

F¨ ur Ordz0 f (z) gilt:   k −k Ordz0 f (z) =  0

falls z0 Nullstelle der Ordnung k falls z0 Polstelle der Ordnung k falls z0 Regularit¨atsstelle

Bemerkung: Nullstellen einfach zusammenh¨angender Gebiete werden (unter Ber¨ ucksichtigung der Vielfachheiten) durch das Umlaufintegral: Z 0 f (z) 1 dz 2πi f (z) γ

gez¨ahlt. Satz (Satz von Hurwitz): Sei G ⊂ C ein Gebiet. Seien fn : G → C holomorphe Funktionen. Die Folge (fn ) konvergiere lokal glm. auf G gegen f . Haben die Funktionen fn in G keine Nullstelle und ist f nicht identisch 0, so hat auch f keine Nullstelle in G. Satz (Satz von Rouche): Seien f, g analytisch in G ⊂ C. Sei D ⊂ G ein einfach zusammenh¨angendes Gebiet, dessen Rand durch einen st¨ uckweise glatten, geschlossenen Jordanweg γ : [a, b] → G gegeben sei. Gilt auf diesen Rand |g(z)| < |f (z)|, so haben f und f + g in D gleich viele Nullstellen. 14.8.5

Berechnung von Integralen mit Hilfe des Residuensatzes Z2π

Form: I =

P (cos t, sin t) dt Q(cos t, sin t)

0

Vorraussetzung: Seien P, Q Polynome von zwei Variablen. Z2π e it Z e X P e Pe(z) 1 P (z) Berechnung: I = dz = 2πi Reszj dz = e e eit iz e iz Q(z) Q Q(z) |zj |<1 0

|z|=1

Bemerkung: In die Summe gehen also nur die Residuen ein, deren Betrag kleiner als 1 ist. +∞ Z

Form: I =

P (x) dx Q(x)

−∞

Vorraussetzung: Seien P, Q Polynome. Sei Grad Q ≥ (Grad P ) + 2. Q habe keine reellen Nullstellen. Z+r X P (x) P (z) Berechnung: I = lim dx = 2πi Reszj r→∞ Q(x) Q(z) −r

Im zj >0

Bemerkung: In die Summe gehen also nur Residuen ein, die in der oberen Halbebene liegen. +∞ Z

Form: I =

P (t) iαt e dt Q(t)

−∞

Vorraussetzung: Seien P, Q Polynome. Sei Grad Q ≥ (Grad P ) + 1. Q habe keine reellen Nullstellen. Sei α>0 X P (z) iαz Berechnung: I = 2πi Reszj e Q(z) Im zj >0

Bemerkung: In die Summe gehen also nur Residuen ein, die in der oberen Halbebene liegen.

79

80

Klassifikation linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung

15

Klassifikation linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung

15.1

Begriffe

15.1.1 (1) (2) (3) (4) (5) (6)

Schreibweisen

F¨ ur x = (x1 , . . . , xn ) schreiben wir x ∈ Rn . Skalarprodukt ist hx, yi P und der Betrag ist |x|. n Sei α ∈ Nn0 . Dann ist α = (α1 , . . . , αn ) mit αj = {0, 1, 2, . . .}. |α| = j=1 αj α2 α1 αn α x = x1 · x2 · . . . · xn ∂ |α| Dα f (x) := αn 1 ∂xα 1 · · · ∂xn ∂ Dj = D(0,...,0,1,0,...,0) = ∂xj ∂ u(x) = u(x1 , . . . , xn ), uxj = u(x) ∂xj

15.1.2

Begriffe

Def.: Eine Gleichung F der Form F (x, u, ux1 , . . . , uxn ; ux1 x2 , . . . , Dα u, . . .) = 0 heißt partielle Dgl. Dabei ist F eine Funktion von mehreren Ver¨anderlichen und u(x1 , . . . , xn ) ist die gesuchte Funktion, die die Dgl. in einem Gebiet G ⊂ Rn erf¨ ullt. Def.: Die Ordnung der Dgl. ist die h¨ ochste vorkommende Zahl |α|. Lineare Dgl. 2. Ordnung: Sei x ∈ G ⊂ Rn und u(x) gesuchte Funktion. Dann lautet die Gleichung: n X

ajk (x)uxj xk +

bj (x)uxj + c(x) · u = d(x)

j=1

j,k=1

Es ist L2 u(x) =

n X

n X

ajk (x)uxj xk (x).

j,k=1

15.2 15.2.1

Variablentransformation und Klassifikation linearer Dgl. 2. Ordnung Variablentransformation

Φ sei bijektive Abbildung von Gebiet G → Γ. Weiterhin soll gelten uxj xk = uxk xj und f¨ ur die Matrix A = (ajk ) = (akj ) (d.h. A ist symmetrisch). Sei Φ definiert als:     y1 ϕ1 (x1 , . . . , xn )    ..  .. Φ(x) =  = .  . ϕn (x1 , . . . , xn )

yn

Es gilt f¨ ur u(x): u(x) = u e(y) = u e Φ(x) = u e ϕ1 (x1 , . . . , xn ), ϕ2 (x1 , . . . , xn ), . . . , ϕn (x1 , . . . , xn ) und f¨ ur die Ableitung nach xj : n X ∂e u ∂ϕl ∂u = uxj = ∂xj ∂yl ∂xj l=1

Nach Anwendung der Kettenregel ist uxj xk : n k X ∂2u ∂2u e ∂ϕl ∂ϕm X ∂e u ∂ 2 ϕl uxj xk = = + ∂xj ∂xk ∂yl ∂ym ∂xj ∂xk ∂yl ∂xj ∂xk l,m=1

l=1

80

Klassifikation linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung

81

e Speziell bestimmen wir: e u = d. Eintragen in Lu = d → Le X X ∂ϕl ∂ϕm • L2 u = ajk uxj xk = ajk u eyl ym + Terme niederer Ordnung ∂xj ∂xk k,j j,k,l,m X ∂ϕl ∂ϕm • e alm = ajk ∂xj ∂ϕk •

e2 u L e=

j,k n X

e al,m u eyl ym

l,m=1

• • • •

∂ϕj ∂xk B = (bjk ) e = (e A alm ) e A = BAB T bjk =

15.2.2

(Jacobi )

Normalform f¨ ur quadratische Form

Sei die quadratische Form Q(x) gegeben durch: Q(x) =

n X

ajk xj xk = xT Ax

j,k=1

mit A = (ajk ), A = AT und x ∈ Rn . Sei x = T y mit T = (tlm ) und y ∈ Rn . Dann ist Q(x) = y T T T AT T y. Satz: Symmetrische Zeilen- und Spaltentransformationen f¨ ur Matrizen A = AT . Sei zj gleich der j-ten Zeile und sj gleich der j-ten Spalte: (1) zj wird ersetzt durch zj + λzk a ¨quivalent zur und sj wird erstetzt durch sj + λsk a¨quivalent zu Multiplikation von links mit T T . Multiplikation von rechts mit T , tkj = λ sonst Einheitsmatrix. (2) Multiplikation von zj mit λ 6= 0 und von sj mit λ 6= 0. (3) Vertauschen von zj mit zk und von sj mit sk . T Mehrfache Anwendung von (1) - (3) u uhrt A in TlT · Tl−1 · . . . · T1T · A · T1 · . . . · Tl = T T AT . ¨berf¨  1 1

   A kann in    

..

. 1

   u uhrt werden.  ¨berf¨  

0 −1

..

0

.

−1 0

0

Dabei geht die quadratische Form in Normalform u ¨ber: l l+r X X Q(y) = yj2 − yj2 j=1

j=l+1

Algorithmus: 1. Erzeuge ann 6= 0 (falls n-te Spalte 6= 0) durch (1). 2. Erzeuge ann = ±1 durch (2). 3. Erzeuge Nullen u ¨ber ann durch (1). Wende dieselbe Methode auf (ajk )n−1 j,k=1 an usw. l, r sind hier eindeutig bestimmt. 15.2.3

Typ einer Dgl. 2. Ordnung

Def.: Betrachtet werde Lu = d; Lu = L2 u+. . . im Gebiet G. F¨ ur ξ ∈ G kann durch Koordinatentransformation e 2 an der Stelle ξ verschwinden: erreicht werden, dass die gemischten Terme f¨ ur L l r X X e 2 L = u yj yj − u y j yj x=ξ

j=1

j=l+1

Das Paar (l, r) heißt Typ der Dgl. an der Stelle ξ. Die Typen (l, r) und (r, l) stimmen u ¨berein.

81

82

Klassifikation linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung

Def.: Eine Dgl. heißt: • elliptische Dgl., falls sie vom Typ (n, 0) ist. • hyperbolische Dgl. falls sie von Typ (n − 1, 1) ist. • parabolische Dgl. fall sie vom Typ (n − 1, 0) ist. Spezialfall f¨ ur n = 2: Sei eine DGL von der Form: a11 uxx + 2a12 uxy + a22 uyy + bux + cuy + du = 0. Dann kann der Typ der Dgl. durch die zugeordnete quadratische Form bestimmt werden: a11 a12 A= a12 a22 Dann gilt f¨ ur den Typ der DGL in Abh¨ angigkeit von den Eigenwerten der Matrix: Definitheit indefinit pos. definit neg. definit pos. semidefinit. neg. semidefinit.

λ1 + + − + −

λ2 Typ der DGL − hyperbolisch + o elliptisch − o 0 parabolisch 0

Beispiel uxx − utt = 0 (Wellengleichung) uxx + uyy = 0 (Laplace-Gleichung) ut − uxx = 0 (W¨armeleitungsgleichung)

Ausserdem gilt: Es ist det A = a11 a22 − a212 = λ1 λ2 . Dann ist: • f¨ ur det A < 0 die DGL hyperbolisch • f¨ ur det A > 0 die DGL elliptisch • f¨ ur det A = 0 die DGL parabolisch n X Def.: Der Ausdruck L2 = 4u = uxj xj heißt Laplacescher Differentialausdruck. j=1

Def.: Die Dgl. hat Normalform, wenn gilt: l+r l X X uxj xj uxj xj − L2 u = j=1

j=l+1

Bemerkungen: (1) Bei konstanten Koeffizienten ajk kann man durch geeignete lineare Koordinatentransformation Normalform erreichen. (2) Ist n ≥ 3, so braucht es kein Koordinatensystem zu geben, in dem Normalform vorliegt. (3) Sei x, y ∈ R2 . Tricomi-Gleichung: yuxx + uyy = 0. Gemischter Typ: • elliptisch f¨ ur y > 0 • parabolisch f¨ ur y = 0 • hyperbolisch f¨ ur y < 0

15.3

Charakteristiken

Sei Lu = d, G ⊂ Rn , L2 =

X

aij uxi uxj .

i,j

Def.: Sei F = {x ∈ Rn , σ(x) = 0} eine glatte Hyperfl¨ache mit σ ∈ C 1 , grad σ 6= 0. Die Fl¨ache hat an einer Stelle ξ ∈ F eine charakteristische Richtung, wenn gilt: n X aij (ξ)σxi (ξ)σxj (ξ) = 0 i,j=1

F heißt charakteristische Fl¨ ache, falls sie an jeder Stelle ξ ∈ F charakteristische Richtung hat. Satz 1: Bei Koordinatentransformationen gehen charakteristische Fl¨achen wieder in solche u ¨ber. Satz 2: Die Koordinatenfl¨ achen (oder -Linien im Falle n = 2) {x, xk = c} sind Charakteristiken, gdw. ann = 0. Anwendung f¨ ur n = 2: Sind beide Scharen von Koordinatenlinien Charakteristiken, so gilt: L2 = 2a12 (x)ux1 ux2 Aus uxy = 0 folgt ux = ϕ(x) und somit u = Ψ1 (x) + Ψ2 (y).

82

Klassifikation linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung

83

Def.: Die Dgl. Lu = d mit L = a11 ux1 x1 + 2a12 (x)ux1 x2 + a22 (x)ux2 x2 hat charakteristische Form, wenn im hyperbolischen Fall die Koordinatenlinien und im parabolischen Fall eine Schar (x2 = c) von Koordinatenlinien charakterisch sind: • hyperbolischer Fall: L2 = 2a12 (x)ux1 x2 • parabolischer Fall: L2 = a11 (x)ux1 x1 15.3.1

Berechnung von Charakteristiken im Falle n = 2

Sei σ = σ(x, y). F¨ ur n = 2 gilt: a11 σx2 + 2a12 σx σy + a22 σy2 = 0. Dann ist: s a12 a212 − a11 a22 σx =: f1,2 (x, y) −→ σx = f1,2 σy =− ± σy a11 a211 Suche Charakteristikenschar σ(x, y) = c. Betrachte Dgl. σx dx + σy dy = 0. Dann ist: f1,2 (x, y)dx + dy = 0 eine gew¨ohnliche Dgl. f¨ ur Charakteristikenschar.

15.4

Anfangswertprobleme und Spezialfall des Theorems von Kowalewski (Potenzreihens¨ atze)

Def. (Cauchy-Problem): Sei das Anfangswertproblem (Cauchy-Problem) gegeben durch:  Lu = d     u x =0 = u0 (x1 , . . . , xn−1 ) n   ∂u   = u1 (x1 , . . . , xn−1 ) ∂xn xn =0 Gilt ann (x) 6= 0, so ist Lu = d ¨ aquivalent zu: ! n n X X 1 − ajk (x)uxj xk − bj (x)uxj − c(x)u + d(x) uxn xn = ann (x) j=1 j,k=1 (j,k)6=(n,n)

Satz: Untersucht werde das Anfangswertwertproblem in einer Umgebung von ξ = (ξ1 , . . . , ξn−1 , 0). e wobei ux x auf der rechten Seite nicht mehr vorkommt. e + d, Lu = d lasse sich darstellen als uxn xn = Lu n n ∞ Alle Koeffizienten und u0 , u1 seien C -Funktionen. Dann lassen sich alle Ableitungen an der Stelle ξ aus der Gleichung und den Anfangswerten berechnen. Theorem v. Kowalewski (Spezialfall): Sind die gegebenen Funktionen unseres AWP analytisch in einer Umgebung von ξ = (ξ1 , . . . , ξn−1 , 0) bzw. (ξ1 , . . . , ξn−1 ) und gilt ann (ξ) 6= 0, so gibt es eine kleinere Umgebung von ξ, in der das AWP eine eindeutige, analytische L¨osung besitzt. Bemerkungen: (1) Das Theorem gilt analog f¨ ur AWP:  ∂ku   = Φ(x, u, Dα u) α 6= (0, . . . , 0, k), |α| ≤ k, k = 1, . . .    ∂xkn  ∂ k−1 u = uk−1 (x1 , . . . , xn−1 )   k−1 x =0  n ∂x n    u = 0 = u (x , . . . , x ) 0 1 n xn (2) (3)

und f¨ ur entsprechend nach h¨ ochsten Ableitungen aufgel¨oste Systeme. Das Theorem gilt analog f¨ ur komplexe Variable. Habe Fl¨ ache F nirgends charakteristische Richtung. Dann ist das verallgemeinerte Cauchy-Problem:  Lu = 0     u F = u0   ∂u   = u1 (x1 , . . . , xn−1 ) ∂~l F Durch geeignete Koordinatentransformationen l¨asst sich dieses Problem in ein AWP wie vorher behandelt u uhren. ¨berf¨

83

84

16 16.1

Distributionen und Fundamentall¨ osungen

Distributionen und Fundamentall¨ osungen Der Testfunktionenraum D(G)

Def.: Der Tr¨ ager oder Support einer im Rn definierten stetigen Funktion f (x), supp f , ist die abgeschlossene H¨ ulle aller Punkte x mit f (x) 6= 0: supp f := {x : f (x) 6= 0} Def.: Sei f ∈ Lp (Ω), f messbar. G \ supp f ist die gr¨oßte offene Teilmenge von G, auf der f = 0 f.¨ u. gilt. Def.: Sei G ⊂ Rn offen und G 6= ∅. Dann wird: D(G) = {f ∈ C ∞ (G); supp f ist eine kompakte Teilmenge von G} als Testfunktionenraum bezeichnet. f heisst Testfunktion. F¨ ur D(Rn ) ist der Tr¨ager von f beschr¨ankt. Def.: Eine kompakte Teilmenge Gδ von Gebiet G ist definiert als: Gδ := {x ∈ G; |x| ≤ 1/δ und d(x, ∂G) ≥ δ} Beispiel: Sei die Funktion h(x) definiert als: ( 0 fu ¨r |x| ≥ 1 1 h(x) := − 1−x 2 e fu ¨r |x| < 1 Eine Funktion der Gestalt f (x) = hε (x − y) ist f¨ ur geeignete ε, y im Testfunktionenraum D(G). Es ist: 1 x hε (x) := cε h ε und die Konstante cε : 1 cε := R 1 h ε x dx Rn

Dann gilt:

R

hε (x) dx = 1.

Rn

Bemerkung: F¨ ur ε → 0 geht hε (x) gegen δ(x). Def.: Die Faltung zweier Funktionen f, g ∈ D(G) ist definiert als: Z f ∗ g := f (x − y)g(y) dy Rn

Bemerkung: Zur Not k¨ onnen auf G gegebene Funktionen durch Null fortgesetzt werden: f (x) f u ¨r x ∈ G fe(x) := 0 fu ¨ r x ∈ Rn \ G Satz 1: Ist f ∈ L1 (Rn ) und gilt supp f ⊂ Gδ , so ist f ∗ hε ∈ D(G) f¨ ur ε < δ. Satz 2: (1) Ist f ∈ C k (G) und ist δ > 0, so gilt in Gδ f¨ ur |α| ≤ k: Dα (f ∗ hε ) ⇒ Dα f ε→0

(2)

Sei 1 ≤ p < ∞. Ist f ∈ Lp (Rn ), so gilt: ||f ∗ hε − f ||Lp → 0.

Def. Null, (1) (2)

Folgenkonvergenz in D(G) : Eine Folge (ϕj )∞ j=1 von Elementen ϕj ∈ D(G) konvergiert gegen gdw.: eine kompakte Teilmenge K ⊂ G existiert, so dass supp ϕj ⊂ K ∀ j ∈ N. Dα ϕ ⇒ 0 in G f¨ ur alle α.

ε→0

84

Distributionen und Fundamentall¨ osungen

16.2

85

Distributionen

16.2.1

Definition von D 0 (G)

Def.: Eine Distribution T auf einer offenen Menge G ⊂ Rn ist ein folgenstetiges (d.h. aus ϕj → 0 in D(G) folgt T ϕj → 0) lineares Funktional auf D(G). D0 (G) ist der lineare Raum aller Distributionen auf G, und es gilt: (1) (2)

(T1 + T2 )(ϕ) = T1 (ϕ) + T2 (ϕ) (λT1 )(ϕ) = λT1 (ϕ)

mit T1 , T2 ∈ D0 (G) und ϕ ∈ D(G). Def.: Ein lineares Funktional ist eine Abbildung T : D(G) 3 ϕ → T (ϕ) ∈ C mit: (1) T (ϕ1 + ϕ2 ) = T (ϕ1 ) + T (ϕ2 ) (2) T (λϕ1 ) = λ(T ϕ1 ) f¨ ur alle ϕ1 , ϕ2 ∈ D(G), λ ∈ C. Satz: Ein lineares Funktional T auf D(G) ist folgenstetig, gdw. f¨ ur jede kompakte Teilmenge K ⊂ G Konstanten c, l so existieren, dass f¨ ur ϕ ∈ D(G) mit supp ϕ ⊂ K stetig gilt: |T (ϕ)| ≤ C ||ϕ||C l (G) = C sup |Dα ϕ(x)| |α|≤l x∈G

Def. (schwache Konvergenz): Eine Folge Tn in D0 (G) konvergiert schwach gegen T , wenn f¨ ur jedes ϕ ∈ D(G) gilt: lim Tn (ϕ) − T (ϕ) = 0 n→∞

ebenso Tε → T falls: lim Tε (ϕ) − T (ϕ) = 0

ε→+0

16.2.2

Regul¨ are Distributionen und δ-Distribution

Def.: Sei L1lok (G) = {f : G → C; f¨ ur jede kompakte Teilmenge K ⊂ G ist χK · f ∈ L1 (K)}. Satz: f ∈ L1lok (G), gdw. jedes x ∈ G eine offene Umgebung Ux besitzt, so dass χUx · f ∈ L1 (Ux ). Bemerkung: Die Fortsetzung durch Null einer Funktion f ∈ L1lok (G) geh¨ort i.a. nicht zu L1lok (Rn ). Def.: Sei f lokal integrierbare Funktion auf G, d.h. f ∈ L1lok (G). Eine Distribution T heißt regul¨ ar, wenn sie durch das Integral Z T (ϕ) = hT, ϕi = hT (x), ϕ(x)i = hf (x), ϕ(x)i = f (x)ϕ(x) dx erzeugt wird. Def.: Nicht regul¨ are Distributionen heißen singul¨ ar. Beispiel: Sei ϕ ∈ D(G). Die δ-Distribution ist definiert durch: hδx , ϕi := ϕ(0) Die δ-Distribution ist eine singul¨ are Distribution mit supp δ = {0}. Satz: Die Abbildung L1lok (G) 3 f → Tf ∈ D0 (G) ist injektiv. Man identifiziert f ∈ L1lok (G) mit R Tf : ϕ → f (x)ϕ(x) dx. Dann ist L1,lok (G) ⊂ D0 (G), f ∈ D0 (G). Satz: Sei T1 , T2 ∈ D0 (G) und hat jedes x ∈ G eine offene Umgebung Ux , so dass T1 Ux = T2 Ux . Dann ist T1 = T2 .

16.2.3

Ableitungen und Produkte mit C ∞ -Funktionen

Motivation: Sei f (x) eine in Rn lokal integrierbare Funktion und α(x) ∈ C ∞ (Rn ). Dann gilt f¨ ur alle ϕ ∈ D(Rn ): hαf, ϕi = hf, αϕi 85

86

Distributionen und Fundamentall¨ osungen

Def.: Durch diese Formel wird nun das Produkt αf einer Funktion α ∈ C ∞ (G) mit einer Distribution f ∈ D0 (G) definiert, d.h. αf ist das Funktional: D(G) 3 ϕ → f (αϕ) Motivation: Sei f ∈ C p (G). Dann gilt f¨ ur alle α mit |α| ≤ p und ϕ ∈ D(G) die Formel der partiellen Integration: Z Z hDα f, ϕi = Dα f (x)ϕ(x) dx = (−1)|α| Dα f (x)ϕ(x) dx = (−1)|α| hf, Dα ϕi Def.: Durch diese Formel wird nun die verallgemeinerte (distributive) Ableitung Dα f einer Distribution f ∈ D0 (G) definiert, d.h. Dα f ist das Funktional: D(G) 3 ϕ → (−1)|α| f (Dα ϕ) Bemerkung: Falls die klassische Ableitung von f existiert, ist sie gleich der verallgemeinerten Ableitung von f . Eigenschaften: (1) Jede Distribution ist unendlich oft differenzierbar. Jede Ableitung ist wieder eine Distribution. (2) Das Ergebnis der Differentation ist von der Differentationsreihenfolge unabh¨angig. (3) Sei f (x) ∈ D0 (Ω), x = x1 , . . . , xn und a(x) ∈ C ∞ (Rn ). Dann gilt:

(4) (5) (6)

∂a ∂f ∂(af ) = f +a ∂xi ∂xi ∂xi Ist die Distribution f (x) = 0, x ∈ G, so ist auch Dα f (x) = 0, x ∈ G, so dass supp Dα f ⊂ supp f gilt. Die Operation der Differentation ist stetig aus D0 (Ω) nach D0 (Ω), d.h. f¨ ur fk → f, k → ∞ gilt Dα fk → Dα f, k → ∞ in D0 (Ω). P∞ Eine auf jeder kompakten Menge G glm. konvergierende Reihe k=1 uk (x) mit uk (x) ∈ L1lok (G) (d.h. uk (x) lokal integrierbar) darf beliebig oft gliedweise differenziert werden. Die dabei entstehenden Reihen konvergieren in D0 (Ω).

S∞ Def.: Seien Gi beschr¨ ankte offene Mengen mit Vereinigung G = i=1 Gi . Unter einer Zerlegung der Eins bzgl. {Gi } versteht man eine Folge von Grundfunktionen mit den Eigenschaften: (1) 0 ≤ wi (x) ≤ 1 (2) (3)

supp wi ⊂ Gi ∞ P wi (x) = 1 ∀ x ∈ G. i=1

Bemerkung: Die Funktion f (x) ≡ 1, die ”Eins”, wird also in Summanden wi zerlegt, von denen jeder außerhalb eines vorgegebenen Gebietes Gi verschwindet. 16.2.4

Direktes Produkt und Faltung verallgemeinerter Funktionen

k+l k+l Satz 1: Jedes Pmϕ ∈ D(R ) kann als Limes im Sinne der Folgenkonvergenz von D(R ) einer Folge ϕm (x, y) = j=1 ηj (x)ϕj (y) geschrieben werden.

Def.: Es sei f (x) ∈ D0 (Rm ) bzw. g(y) ∈ D0 (Rn ) und ϕ(x, y) ∈ Rm+n . Dann gilt f¨ ur f (x) ⊗ g(y):

hf (x) ⊗ g(y), ϕi = f (x), hg(y), ϕ(x, y)iy x Dabei ist x → hg(y), ϕ(x, y)iy eine Testfunktion, die in die Distribution f eingesetzt werden kann. Diese Beziehung wird als direktes Produkt der Distributionen f und g bezeichnet.

86

Distributionen und Fundamentall¨ osungen

87

Eigenschaften: Seien f ∈ D0 (Rn ) und g ∈ D0 (Rm ).

(1) f (x), hg(y), ϕ(x, y)i ist wieder eine Distribution auf Rn+m . (2) Das direkte Produkt ist stetig: Gilt fk → f, k → ∞ in D0 (Rn ), so gilt auch fk (x) ⊗ g(y) → f (x) ⊗ g(y), k → ∞ in D0 (Rn+m ). (3)

Das direkte Produkt ist assoziativ: Sei h ∈ D0 (Rk ), so gilt: f (x) ⊗ g(y) ⊗ h(z) = f (x) ⊗ g(y) ⊗h(z)

(4)

Differentation des direkten Produktes, es gilt: Dxα f (x) ⊗ g(y) = Dα f (x) ⊗ g(y)

(5)

Multiplikation des direkten Produktes: Ist a ∈ C ∞ (Rn ), so gilt: a(x) f (x) ⊗ g(y) = a(x)f (x) ⊗ g(y)

(6)

Translation des direkten Produktes, es gilt: (f ⊗ g)(x + h, y) = f (x + h) ⊗ g(y)

(7)

Man sagt, eine Distribution der Gestalt f (x) ⊗ 1(y) sei von y unabh¨angig. Dann gilt: Z R hf ⊗ 1(y), ϕi = hf (x), ϕ(x, y) dyi = h1(y) ⊗ f (x), ϕi = hf (x), ϕ(x, y)i dy

R Motivation: Wie oben definiert, wird f ∗ g := f (x − y)g(y) dy als Faltung bezeichnet. Es gilt unter geeigneten Vorraussetzungen Z an f, g: hf (x) ∗ g(y), ϕi = f (x)g(y)ϕ(x + y) dx dy = hf (x) ⊗ g(y), ϕ(x + y)i Def.: G ∈ D0 (G) hat einen kompakten Tr¨ager, wenn eine Testfunktion Ψ ∈ D(G) mit G = Ψ · G existiert. Def. / Satz: Seien F, G ∈ D0 (Rn ) und habe G einen kompakten Tr¨ager. Sei Ψ ∈ D(Rn ) so gew¨ahlt, dass Ψ · G = G gilt. Dann wird durch F ∗ G : D(Rn ) 3 ϕ → hF (x) ⊗ G(y), ϕ(x + y) · Ψ(y)i die Faltung F ∗ G ∈ D0 (Rn ) definiert. Bemerkungen: (1) Wenn F, G kompakten Tr¨ ager haben, so gilt: F ∗ G = G ∗ F . Sonst definiert man F ∗ G := G ∗ F (2) Haben G1 , G2 , . . . , Gk kompakten Tr¨ ager (also Ψj ·Gj = Gj , Ψj ∈ D(Rn ), j = 1, . . . , k). So definiert man: hF ∗ G1 ∗ . . . ∗ Gk , ϕi = hF (x) ⊗ G1 (y1 ) ⊗ . . . ⊗ Gk (yk ), ϕ(x + y1 + . . . yk ) · Ψ1 (y1 ) · . . . · Ψk (yk )i (3)

Faltung kann auch unter anderen Vorraussetzungen definiert werden (z.B. f¨ ur n = 1 k¨onnte man ”Positivit¨ at” der Tr¨ ager von F, G vorraussetzen).

Satz (Struktursatz): Ist F eine Distribution mit kompaktem Tr¨ager, so ex. eine Zahl k, sowie regul¨are Distributionen fα (|α| ≤ k), so dass gilt: X F = Dα fα |α|≤k

16.2.5

Lineare Transformation

Def.: F¨ ur f (x) ∈ D0 (Rn ), x = Ay + b und det A 6= 0 ist f (Ay + b) auch eine Distribution. Es gilt: E 1 D hf (Ay + b), ϕ(y)i = f (x), ϕ A−1 (x − b) | det A| 16.2.6

Begriff der Fundamentall¨ osungen

Sei L eine linearer Differentialausdruck mit Koeffizienten aus C ∞ . Es ist: X Lu = Cα Dα u endl.

mit α = (α1 , . . . , αn ), Cα ∈ C ∞ (Rn ).

87

88

Distributionen und Fundamentall¨ osungen

Def.: Eine Distribution E ∈ D0 (Rn ) heißt Fundamentall¨ osung oder Grundl¨ osung f¨ ur den Differentialausdruck L, wenn gilt: LE = δ k P Satz: Ist n = 1, Lu = aj dxd j u(x), mit aj konstant und ak = 1 und ist u(x) = ys (x) spezielle L¨osung j=0 des AWP:  Lu = 0    u(0) = u0 (0) = u(k−2) (0) = 0    u(k−1) (0) = 1

So ist E(x) = H(x) · ys (x) Fundamentall¨ osung f¨ ur L, wobei f¨ ur die Heaviside-Funktion H(x) gilt: 0 x≤0 H(x) := 1 x>0 Bemerkung: Es gilt: H 0 (x) = δ(x) im distributiven Sinne. Spezialf¨ alle: 0 (1) y + ay = 0 (2)

y 00 + a2 y = 0

16.3

−→ −→

E(x) = H(x) e−ax sin(ax) E(x) = H(x) · a

Temperierte Distributionen und Fouriertransformation

16.3.1

Fouriertransformation im Schwarzraum S

Def.: Der Schwarzraum S ist definiert: S (Rn ) := {ϕ ∈ C ∞ (Rn ) : F¨ ur alle m ∈ N gilt: pm (ϕ) = sup |xα Dβ ϕ(x)| < ∞} x∈Rn |α|≤m,|β|≤m

Dabei wird ϕ als temperierte Testfunktion bezeichnet. Satz: Sei η(x) ∈ D(Rn ), η(x) ≡ 1 in Umgebung von der Null. Es sei ηj (x) = η( xj ). Dann gilt: lim pm ϕ − ηj (x)ϕ → 0 ∀ ϕ ∈ S (Rn ) j→∞

Bemerkungen: (1) Dβ ϕ(x) ∈ L1 (Rn ) und xα Dβ ϕ(x) ∈ L1 (Rn ) ∀ ϕ ∈ S (Rn ) (2) (3)

1 ∂ϕ(x) und Qk (ϕ)(x) := xk ϕ(x). Pk , Qk lassen S (Rn ) invariant. i ∂xk 2 x2 Beispiele: D(Rn ) ⊂ S (Rn ), e− 2 ∈ S (Rn ), e−cx (c > 0) ∈ S (Rn ) Seien Pk (ϕ)(x) :=

Def.: Die Fouriertransformation sei definiert als: Z 1 F(ϕ)(ξ) ≡ ϕ(ξ) b := √ n e−ihx,ξi ϕ(x) dx 2π n R

Satz 1: F¨ ur ϕ, Ψ ∈ S (Rn ) gelten: ∂ (1) F xj ϕ(x) (ξ) = i F ϕ(x) (ξ), also F ◦ Qj = −Pj ◦ F ∂ξj ∂ ϕ(x) (ξ) = i ξj F ϕ(x) (ξ), also F ◦ Pj = Qj ◦ F (2) F ∂xj (3) (4) (5) (6)

F(ϕ) ∈ S (Rn ) √ n F(ϕ ∗ Ψ) = 2π F(ϕ) · F(Ψ) √ −n F(ϕ · Ψ) = 2π F(ϕ) ∗ F(Ψ) 1 −1 F ϕ(Ax + b) (ξ) = eihA b,ξi F ϕ(x) (A−1 )T ξ | det A|

88

      

P-Q-Gesetz

Distributionen und Fundamentall¨ osungen

89

Bemerkung: Sei ϕ− (x) := ϕ(−x). Dann hat G(ϕ)(ξ) analoge Eigenschaften mit: Z Z Z 1 1 1 G(ϕ)(ξ) = √ n eihx,ξi ϕ(x) dx = √ n e−ihx,ξi ϕ− (x) dx = √ n eihx,ξi ϕ(x) dx 2π n 2π n 2π n R

R

R

= F(ϕ) Satz 2(Fourierumkehrformel): F¨ ur ϕ ∈ S (Rn ) gilt stets: G ◦ Fϕ = ϕ

und

F ◦ Gϕ = ϕ

Folgerung 3(Formel von Parseval-Plancherel): F¨ ur ϕ, Ψ ∈ S (Rn ) gilt stets: Z Z ϕ Ψ dx = F(ϕ)F(Ψ) dξ Rn

Rn

Folglich gilt ||Fϕ||L2 (Rn ) = ||ϕ||L2 (Rn ) . F k¨onnte sich folglich in eindeutiger Weise zu einem unit¨aren Operator u ar: linear, isometrisch, bijektiv). ¨ber L2 (Rn ) fortsetzen (unit¨ Def.: Eine Folge ϕj ∈ S (Rn ) konvergiert in S (Rn ) gegen ϕ ∈ S (Rn ), gdw. f¨ ur jedes m ∈ N gilt: pm (ϕj − ϕ) −→ 0 j→∞

Bemerkung: D(Rn ) ist dicht in S (Rn ). Satz 4: F¨ ur m ∈ N existiert ein C > 0 derart, dass f¨ ur alle ϕ ∈ S (Rn ) gilt: pm Fϕ ≤ Cpm+2n (ϕ). Folgerung 5: Gilt ϕj −→ ϕ in S (Rn ), so gilt auch Fϕj −→ Fϕ und mm (Fϕj −Fϕ) ≤ Cpm+2n (ϕj −ϕ). j→∞

16.3.2

j→∞

Temperierte Distributionen

Def.: S (Rn ) ist der lineare Raum der linearen Abbildung T : S (Rn ) → C, f¨ ur die die Konstanten C > 0 und m ∈ N so existieren, dass f¨ ur alle ϕ ∈ S (Rn ) gilt: 0

|T (ϕ)| ≤ Cpm (ϕ) Die Elemente von S 0 (Rn ) heißen temperierte Distributionen. Def. (Folgenkriterium): Eine lineare Abbildung T : S (Rn ) → C geh¨ort zu S 0 (Rn ), gdw. sie Folgengrenzwerte (in S (Rn ) genommen) respektiert, d.h. aus ϕj → ϕ folgt T ϕj → T ϕ. Satz 2: Eine Distribution T ∈ D0 (Rn ) ist temperierte Distribution (d.h. T l¨asst sich zu Te ∈ S 0 (Rn ) fortsetzen), wenn Konstanten m ∈ N und C > 0 so existieren, dass f¨ ur alle ϕ ∈ D(Rn ) gilt: |T (ϕ)| ≤ Cpm (ϕ). Bemerkungen: (1) D(Rn ) ist dichter linearer Unterraum des normierten Raumes S (Rn ), pm , wobei pm Norm ist. Folglich l¨ asst sich T eindeutig unter Beibehaltung der Ungleichung auf S (Rn ) fortsetzen. (2) Alle Distributionen mit kompakten Tr¨ager sind temperiert. (3) Alle regul¨ aren Distributionen f ∈ L1lok mit |f (x)| ≤ C(1 + |x|2 )l sind temperiert. Eigenschaften: (1) Ableitung: hDα T, ϕi = hT, (−1)|α| Dα ϕi (2) Multiplikation mit C ∞ -Funktionen, deren s¨ amtliche Ableitungen polynominal beschr¨ ankt sind : Sei lα f (x) ∈ C ∞ (Rn ) und |Dα f (x)| ≤ Cα 1 + |x|2 . Dann gilt: e m hf T, ϕi = hT, f ϕi ≤ Cpm (f ϕ) ≤ Cp e (ϕ) (3) (4)

F¨ ur T (x) ∈ S 0 (Rn ) ist T (Ax + b) temperiert. F¨ ur F ∈ S 0 (Rn ) und G ∈ S 0 (Rm ) ist F ⊗ G ∈ S 0 (Rn+m )

Def.: Die Fouriertransformation kann auf S 0 (Rn ) definiert werden: hF(T ), ϕi = hT, F(ϕ)i e m+2n (ϕ). Es gilt dann |hT, F(ϕ)i| ≤ Cpm F(ϕ) ≤ Cp

89

90

Distributionen und Fundamentall¨ osungen

Bemerkung: F ist Bijektion von S 0 (Rn ) auf S 0 (Rn ). Satz: Die Fouriertransformation auf S 0 (Rn ) ist eine bijektive lineare Abbildung von S 0 (Rn ) in S 0 (Rn ). Dabei gelten die Formeln (1), (2) und (6) der Fouriertransformation in S (R) aus Satz 1. 16.3.3

Resolventenformel f¨ ur den Laplaceoperator

−1 Sei A : L → L ein linearer Operator. falls die inverse Abbildung u ¨ber L ex, Es sei Rλ (A) = (A − λ1) λ ∈ C) und −∆ : S (R) → S (R) . Es ist −∆u − λu = ϕ. F¨ ur die Fouriertransformation gilt: P 2 Pj u − λF(u) F(ϕ) = F(−∆u) − F(λu) = F P 2 Qj − λ F(u) = und somit:

F(ϕ)(ξ) =

n P j=1

ξj2 − λ F(ϕ)(ξ)

Angenommen λ ∈ C \ [0, ∞): 1 F(u) = P F(ϕ) n ξj2 − λ j=1

Dann gilt f¨ ur u: 



  1 u = G F n P (ϕ) ξj2 − λ j=1

|

16.4

{z

Rλ (−∆)

}

Anfangswertproblem der Wellengleichung

Sei n = 3. Sei folgendes Cauchyproblem gegeben:  ∂2u   f (x, t) = − a2 ∆u   ∂t2 u0 (x) = u(x, 0)     u1 (x) = ut (x, 0) = ∂ u(x, 0) ∂t Def.: Der Operator a definiert als: a :=

∂2 − a2 ∆ ∂t2

wird als Wellenoperator oder d’Alembertscher Operator bezeichnet. Def.: Fx sei die Fouriertransformation nur nach x. Es gilt daher: Z 1 • Fx ϕ(x, t) (ξ, t) = √ 3 e−ihx,ξi ϕ(x, t) dx 2π • hFx T (x, t), ϕi = hT (ξ, t), (Fx ϕ)(ξ, t)i Def.: Eine klassische L¨ osung ist eine Funktion u ∈ C 2 R3 × (0, ∞) ∩ C 1 R3 × [0, ∞) (u und die ersten partielle Ableitungen von u sind zu stetigen Funktionen auf R3 × [0, ∞) fortsetzbar), so dass a u = f in ur die stetig fortgesetzten Funktionen erf¨ ullt sind. R3 × (0, ∞) gilt und die Randbedingungen f¨ Def.: Eine distributive L¨ osung der Gleichung ist u ∈ D0 (R4 ) mit a u = f Bemerkung: Andere Variante: Randwerte werden in klassischem Sinne angenommen. Gleichung gilt auf R3 × [0, ∞) in distributivem Sinne. Plan: (1) Bestimmung der Fundamentall¨ osung E3 f¨ ur a (2) Faltung mit E3 , L¨ osung distributiver Gleichung a u = f (3) Distributive Gleichung f¨ ur klassisches AWP 90

Distributionen und Fundamentall¨ osungen

(4) (5) (6) (7) (8)

91

L¨osungsformel f¨ ur klassisches AWP; retardierte Potentiale Behandlung der Dimensionen 2,1 Ausbreitung von Wellen im R3 , Wellenfronten Eindeutigkeit Korrektheit (stetige Abh¨ angigkeit von Ausgangsdaten)

16.4.1

Bestimmung der Fundamentall¨ osung E3

Zum Finden der Fundamentall¨ osung betrachten wir die Gleichung: a E3 = δ(x, t) P3 Sei Fx E3 (x, t) =: Ee3 (x, t) ≡ Ee3 und −∆ =: j=1 Pj2 . Anwenden von Fx auf (?) ergibt: (?)

1 ∂2 e E3 + a2 |ξ|2 Ee3 = √ 3 1(ξ)δ(t) 2 ∂t 2π Somit gilt f¨ ur Ee3 : 1 sin a|ξ|t Eee (ξ, t) = √ 3 H(t) a|ξ| 2π Wegen E3 (x, t) = Fξ−1 Ee3 (x, t) ist E3 : E3 (x, t) = H(t)

1 1 δSat ≡ H(t) δ(a2 t2 − |x|2 ) 2 4πa t 2πa

Satz 1: E3 (x, t) ist Fundamentall¨ osung f¨ ur a . Es gilt f¨ ur hE3 , ϕi mit E3 ∈ S 0 (R4 ): Z∞ 1 1 hE3 , ϕi = hδSat , ϕi dt 4πa2 t 0

=

Z∞ Z 1 1 ϕ(x, t) dSx dt 2 4πa t 0

16.4.2

Sat

Faltung von E3 mit Distributionen f (x, t), die ihren Tr¨ ager in R3 × [0, ∞) haben

Def.: Seien η1 , η2 ∈ C ∞ (R). Dabei ist η1 ∈ D(R), η1 ≡ 1 in einer Umgebung der Null und f¨ ur η2 gelte: 1 f¨ ur t ≥ −1 η2 ≡ 0 f¨ ur t ≤ −2 Bemerkung: Es gilt η1 (a2 t2 − |x|2 ) E3 (x, t) = E3 (x, t). Versuche Faltung durch Gleichung: hE3 ∗ f, ϕi = hE3 (y, s)f (x, t), ϕ(x + y, s + t)η2 (t)η1 (a2 s2 − |y|2 )i Bemerkung: Der Wert ist unabh¨ angig von der speziellen Wahl von η1 bzw. η2 , solange f (x, t)η2 (t) = f (x, t) gilt. Satz 2: Durch obige Formel wird f¨ ur Distributionen f ∈ D0 (Rn ) mit Tr¨ager in R3 ×[0, ∞) eine Distribution 0 4 E3 ∗ f ∈ D (R ) definiert, die a E3 ∗ f = f erf¨ ullt. 16.4.3

Distributive Gleichung f¨ ur die klassische L¨ osung

Def.: Sei die Funktion fe(x) definiert: f (x, t) t > 0 gegebene Funktion ∈ L1lok (R4 ) e f (x) = 0 t≤0

91

92

Distributionen und Fundamentall¨ osungen

Satz 3: Sei u eine klassische L¨ osung des AWP:  a u = f    u0 (x) = u(x, 0)    u1 (x) = ut (x, 0) = ∂ u(x, 0) ∂t 2 3 1 wobei u ∈ C R × (0, ∞) ∩ C R3 × [0, ∞) . Dann gilt im distributiven Sinne: a u = fe(x, t) + u1 (x)δ(t) + u0 (x) 16.4.4

∂ δ(t) ∂t

L¨ osungsformeln f¨ ur das klassische AWP

Bertrachtet werde das AWP:  a u = f    u0 (x) = u(x, 0)    u1 (x) = ut (x, 0) = ∂ u(x, 0) ∂t Def.: Wir definieren die retardierten Potentiale V, V0 , V1 : (1)

V := E3 ∗ f

∂ δ(t) ∂t (3) V1 := E3 ∗ u1 δ(t)

(2) V0 := E3 ∗ u0

Bemerkung: V, V0 , V1 sind dann Funktionen, die explizit angegeben werden k¨onnen. Satz 4 (Kirchhoffsche Wellenformel): F¨ ur f ∈ C 3 R3 × [0, ∞) , u0 ∈ C 3 (R3 ), u1 ∈ C 2 (R2 ) wird eine klassische L¨osung des AWP durch u = V + V0 + V1 gegeben. Dabei sind: |x − y| Z f y, t − 1 a dy (1) V (x, t) = 2 4πa |x − y| uat (x)

 (2) V0 (x, t) =

 Z

1 ∂ 1  4πa2 ∂t t

 u0 (y) doy  Sat (x)

(3) V1 (x, t) =

1 1 4πa2 t

Z u1 (y) doy Sat (x)

Eigenschaften: (1) F¨ ur V (x, t): • lim V (x, t) = 0 t→0+

• (2)

(3)

lim V (x, 0) = 0

t→0+

F¨ ur V1 (x, t): • lim V1 (x, t) = 0 t→0+ ∂ • V1 (x, 0) = u1 (x) ∂t F¨ ur V0 (x, t): • lim V0 (x, t) = u0 (x) t→0+ ∂ V0 (x, 0 + 0) = 0 • ∂t

92

Distributionen und Fundamentall¨ osungen

16.4.5

93

Die Dimensionen n = 2 und n = 1, Abstiegsmethode

16.4.5.1 Finden der Fundamentall¨ osungen E2 und E1 Grundidee: Sei ηk ∈ D(R) und konvergiere in R gegen 1. Zum Auffinden der Fundamentall¨osungen E2 (x1 , x2 , t), verwenden wir die Abstiegsmethode: hE2 (x1 , x2 , t), ϕ(x1 , x2 , t)i = hE3 (x1 , x2 , x3 , t), ϕ(x1 , x2 , t)1(x3 )i =

lim hE3 (x, t), ϕ(x1 , x2 , t)ηk (x3 )i

k→∞

Somit kann man hE2 , ϕi berechnen: hE2 , ϕ(x1 , x2 , t)i = hE3 , ϕ(x1 , x2 , t)1(x3 )i Z∞ Z 1 1 = ϕ(x, t) dSx dt 2 4πa t 0

=

1 2πa

=

1 2πa

Sat

Z∞ Z∞

ϕ(x, t) p

a2 t2 − |x|2

0 |x|≤at

Z

dx dt

H(at − |x|) p ϕ(x, t) dx dt a2 t2 − |x|2

Fazit: Es gilt also f¨ ur E2 (x, t):  1  1 p 2 2 2πa a t − |x|2 E2 (x, t) =  0

f¨ ur at > |x| f¨ ur at ≤ |x|

und durch analoge Rechnung f¨ ur E1 (x, t):   1 f¨ ur at > |x| 2a E1 (x, t) =  0 f¨ ur at ≤ |x| 16.4.5.2 L¨ osung der Wellengleichung im R2 Satz (Poissonsche Wellenformel): Setzt man in die Kirchhoffschen Formel von x3 unabh¨angige Ausgangsdaten f, u0 , u1 ein, so kann man die Poissonsche Wellenformel f¨ ur die Wellenausbreitung in der Ebene erhalten: u(x, t) = V (x, t) + V0 (x, t) + V1 (x, t) =

1 2πa

Zt

Z

f (y, s) p

a2 (t

0 |x−y|≤a(t−s)

+

Z

1 ∂ 2πa ∂t

− s)2 − |x − y|2

u0 (y) p

a2 t2 − |x − y|2

dy1 dy2 ds

dy1 dy2

|x−y|≤at

+

1 2πa

Z

u1 (y) p dy1 dy2 a2 t2 − |x − y|2

|x−y|≤at

Bemerkung: F¨ ur Sr (x) ist eine explizite Fl¨achendarstellung durch p y3 = f (y1 , y2 ) = x3 ± r2 − (y1 − x1 )2 − (y2 − x2 )2 gegeben, was jeweils r dy1 dy2 doy = p r2 − (y1 − x1 )2 − (y2 − x2 )2 ergibt.

93

94

Distributionen und Fundamentall¨ osungen

16.4.5.3 L¨ osung der Wellengleichung im R1 Satz (d’Alembertsche Wellenformel): Setzt man in die Poissonschen Wellenformel Funktionen f , u0 , u1 ein, die nicht von x2 abh¨ angen, so l¨asst sich die Integration nach x2 ausf¨ uhren und man erh¨alt: u(x, t) =

V (x, t) + V0 (x, t) + V1 (x, t) 1 2a

=

Zt

x+a(t−s) Z

1 1 f (y, s) dy ds + u0 (x + at) + u0 (x − at) + 2 2a

u1 (y) dy x−at

0 x−a(t−s)

16.4.6

x+at Z

Ausbreitung von Wellen, Huygensches Prinzip

16.4.6.1 Ausbreitung von Wellen im Raum H(t) Aus E3 (x, t) = 4πa 2 t δSat (x) folgt, dass die von einer momentan zum Zeitpunkt t > 0 wirkenden Punktquelle δ(x)δ(t) ausgehenden St¨ orung E3 (x, t) eine Kugelfl¨ache mit dem Radius at und dem Zentrum 0 ist. Das bedeutet, dass sich die St¨ orung in Gestalt einer Kugelwelle |x| = at ausbreitet, die sich mit der Geschwindigkeit a bewegt, wobei nach Durchgang der Welle wieder der Zustand der Ruhe eintritt. In diesem Falle sagt man, dass f¨ ur den Raum das Huygensche Prinzip gilt.

16.4.6.2 Ausbreitung von Wellen in der Ebene Aus E2 (x, t) =

H(at−|x|)

√

2πa

a2 t2 −|x|2

folgt, dass die von einer momentan zum Zeitpunkt t > 0 wirkenden

Punktquelle δ(x)δ(t) ausgehenden St¨ orung E2 (x, t) ein Kreis (mit Inhalt!) mit dem Radius at und dem Zentrum 0 ist. In der Ebene wird die Ausbreitung einer Welle Sat beobachtet, die Geschwindigkeit der Ausbreitung ist a. Es gibt eine vordere Wellenfront, jedoch im Gegensatz zum r¨aumlichen Fall, fehlt die hintere Wellenfront. Es herrscht Wellendiffusion. Das Huygensche Prinzip ist verletzt (dasselbe gilt f¨ ur n = 1). 16.4.7

Eindeutigkeit

Sei n = 3. Satz 5: Sei f ∈ D0 (R4 ) mit supp f ⊆ R3 × [0, ∞) gegeben. Dann existiert genau eine L¨osung u ∈ D0 (R4 ) mit a u = f und supp u ⊆ R3 × [0, ∞). 16.4.8

Korrektheit

Def.: Unter Korrektheit versteht man die stetige Abh¨angigkeit der L¨osung von den Ausgangsdaten. Def.: Betrachtet man eine zul¨ assige Klasse A von Ausgangsdaten f¨ ur die eine eindeutige L¨osung in einer Klasse W m¨ oglicher L¨ osungen existiert, so wird eine Abbildung A 3 a → u ∈ W erkl¨art. In unserem Beispiel ist A 3 (f, u0 , u1 ) → u ∈ W gegeben durch die Wellenformel. Sind A, W normierte R¨aume, so heißt ein Problem (A, W )-korrekt, wenn gilt: ||u||W ≤ C||a||A = C||(f, u0 , u1 )||A A f¨ ur klassische L¨ osung auf R3 × [0, T ]. (f, u0 , u1 ) ∈ Cb2 R3 × [0, T ] × Cb3 (R3 ) × Cb2 (R3 ). Dabei ist:

•

Cbk := {f ∈ C k | f und alle Ableitungen von f bis einschließlich Ordnung k sind beschr¨ankt} W := Cb R3 × [0, T ]

•

||u||W :=

•

sup |u(x, t)| ||f, u0 , u1 ||A := max ||f || R3 ×[0,T ]

•

Cb R3 ×[0,T ]

, ||u0 ||

Cb1 (R3 ) , ||u1 ||Cb (R3 )

Aussage: Das klassische und das verallgemeinerte AWP sind korrekt.

94

Distributionen und Fundamentall¨ osungen

16.5

95

Anfangswertproblem der W¨ armeleitungsgleichung

Sei das folgende AWP gegeben: ( f (x, t) = ut − a2 ∆x u u0 (x) = u(x, 0) f¨ ur u ∈ C R × (0, ∞) ∩ C Rn × [0, ∞) 2

n

Fundamentall¨ osung: Analog zur Berechnung der Fundamentall¨osung bei der Wellengleichung, l¨asst sich durch Fouriertransformation En (x, t) herleiten. Die Fundamentall¨osung lautet: En (x, t) =

|x|2 H(t) − 4a2 t e (4πa2 t)n/2

Eigenschaften: Z (1) E(x, t) dx = 1 Rn

(2)

E(x, t) −→ δ(x) t→0+

Bemerkung: Die Fundamentall¨ osung beschreibt die von einer momentan wirkenden Punktquelle δ(x)δ(t) erzeugte Temperaturverteilung. Da En (x, t) > 0 f¨ ur alle t > 0 und alle x ∈ Rn , breitet sich die W¨arme mit unendlicher Geschwindigkeit aus. Dies widerspricht der Erfahrung. Zur besseren Beschreibung ist die Transportgleichung heranzuziehen: Z 1 αh Ψt + hs, grad Ψi + αΨ = Ψ(x, s, t) ds + F v 4π S1

Satz 1: E sei f ∈ C Rn × [0, ∞) , u0 ∈ C(Rn ) und u sei eine klassische L¨osung des AWP. Dann erf¨ ullt u die distributive Gleichung: ut − a2 ∆x u = f + u0 (x)δ(t) Ziel: L¨osung des AWP f¨ ur eine geeignete Funktionenklasse M 3 f , wobei f¨ ur M gelten soll: 1 n+1 n M = f ∈ Llok (R ) | f ∈ C (R ×[0, ∞) , f (x, t) = 0, t < 0, f beschr¨ankt auf jedem Streifen Rn × [0, T ] Satz 2: (1) F¨ ur f ∈ M und u0 ∈ Cb (Rn ) existieren ZtZ •

V (x, t) = E ∗ f =

E(y, s) f (x − y, t − s) dy ds 0

Rn

• V0 (x, t) = E ∗ u0 (x) δ(t) = H(t)

Z E(x − y, t) u0 (y) dy

Rn

(2) (3)

16.6

und definieren regul¨ are Distributionen. Die Funktion u = V + V0 ist L¨osung des verallgemeinerten AWP mit supp u ⊆ Rn × [0, ∞). Gilt dar¨ uber hinaus f ∈ C 2 Rn × [0, ∞) und Dα f ∈ M f¨ ur |α| ≤ 1, so definiert (1) eine klassische L¨osung des AWP. Die L¨osung des verallgemeinerten AWP ist in M eindeutig bestimmt.

Fundamentall¨ osung fu ¨ r den Laplaceschen Differentialausdruck

Sei n = 3. Suche rotationssymmetrische Fundamentall¨osung E3 ∈ D0 ∈ R3 mit −∆E3 = δ Ansatz: E3 (x) = f |x| = f (r) mit −∆f (x) = 0 in R3 \ {0}. Satz: E3 =

1 4π

p

x21

+ x22 + x23

ist Fundamentall¨osung f¨ ur −∆ in R3 .

95

96

Distributionen und Fundamentall¨ osungen

Bemerkung: Sei ωn die Oberfl¨ ache der Einheitskugel im Rn . Es gilt: 1 1 (Verallgemeinerung f¨ ur Rn , n ≥ 3) • En = ωn |x|n−2 •

E2 = −

1 ln |x| 2π

Satz (Darstellungsformel f¨ ur harmonische Funktionen): Sei u harmonisch in hinreichend guten ur x ∈ G: beschr¨ankten Gebiet und sei u ∈ C 2 (G) ∩ C1 (G). Dann gilt f¨ Z ∂ ∂u u(x) = u0 (y) · − E(x − y) + E(x − y) do ∂~n ∂~n ∂G

Bemerkung: In der Darstellungsformel kann E(x − y) ersetzt werden durch: G(x, y) = E(x − y) + H(x, y) falls H(x, y) = Hx (y) ∈ C 1 (G) ∩ C 2 (G) und ∆y H(x, y) = 0. Def.: G(x, y) heißt Greensche Funktion, wenn G(y − x), H(x, y) wie vorher, stetig in (x, y ∈ G, x 6= y) und es gilt: =0 G(x, y) y∈∂G

Dann gilt f¨ ur u(x): Z ∂ u(x) = u0 (y) · − G(x − y) do ∂~n ∂G

Bemerkung: Manchmal kann G(x, y) explizit angegeben werden, z.B. f¨ ur G = {x ∈ Rn , |x| < R}. In diesem Fall folgt: −

16.7

∂ R2 − |x|2 G(x, y) = ∂~n ωn R|y − x|n

(Poissonsche Integralformel )

Das Poissonintegral

Form: R2 − r 2 u(r, ϕ) = 2π

Z2π R2

u0 (R, ϕ) dψ − 2rR cos(ϕ − ψ) + r2

0

bzw. u(x1 , x2 ) =

R2 − |x|2 2πR

Z

u0 (y) dsy |y − x|2

C

wobei C die positiv durchlaufene Kreislinie {y ∈ R2 : |y| = R} bezeichnet. Verallgemeinerung auf n-dimensionale Kugel: Z R2 − |x|2 u0 (y) u(x) = doy R ωn |y − x|n SR

wobei ωn den Fl¨ acheninhalt der Kugeloberfl¨ache S1 ⊂ Rn bezeichnet.

96

Separationsans¨ atze und Orthogonalreihenentwicklung

17 17.1

97

Separationsans¨ atze und Orthogonalreihenentwicklung Wiederholung zu VNOS

Def.: (xi , i ∈ I) heißt NOS, wenn hxi , xj i = δij f¨ ur alle i, j ∈ I, i 6= j. Satz: Ein NOS heißt vollst¨ andig, wenn eine der Bedingungen der Parselvalschen Vollst¨andigkeitsrelation gilt. (siehe Satz 5 in 12.4.3).

17.2 17.2.1

Anwendungsf¨ alle von Separationsans¨ atzen W¨ armeleitung in einer Drahtschleife

Sei folgendes Randanfangswertproblem gegeben:  ut − a2 uxx = 0     u (x) = u(x, 0) 0  u(0, t) = u(l, t)    ux (0, t) = ux (l, t) Bemerkung: Die Randbedingungen sind periodisch. Separationsansatz: Suchen L¨ osungen der Gestalt: u(x, t) = f (x) · g(t) wobei die Anfangsbedingungen ignoriert werden: f (x) · g 0 (t) = a2 f 00 (x) · g(t) Daraus folgt: f 00 (x) 1 g 0 (t) = =κ a2 g(t) f (x) Bemerkung: Da g nur abh¨ angig von t und f nur abh¨angig von x, m¨ ussen diese Ausdr¨ ucke gleich einer gemeinsamen Konstanten κ sein. κ ist Konstante, welche unabh¨angig von x und t ist. Damit ergeben sich 2 homogene, lineare Differentialgleichungen: f 00 (x) − κf (x) = 0 g 0 (t) − a2 κg(t) = 0 Wegen der Randbedingungen gilt: f (0) · g(t) f 0 (0) · g(t)

= f (l) · g(t) −→ f (0) = f (l) = f 0 (l) · g(t) −→ f 0 (0) = f 0 (l)

Fall 1: Sei κ = 0. Dann ist: f (x) = C1 + C2 x In diesem Fall ist f (x) = C = const. die einzige periodische L¨osung. Fall 2: Sei κ = −ν 2 < 0. Dann ist: f (x) = C1 cos(νx) + C2 sin(νx) Hierbei gilt ν =

2πn wegen der Randbedingungen. l

Fall 3: Sei κ = ν 2 > 0. Dann ist: f (x) = C1 eνx + C2 e−νx Es existieren also keine periodischen L¨ osungen ν F¨ ur die L¨osung von g(t) erh¨ alt man: 2 2 νn t

gn (t) = e−a

97

98

Separationsans¨ atze und Orthogonalreihenentwicklung

Somit erh¨alt man f¨ ur die L¨ osung u(x, t) = f (x) · g(t): u(x, t)

=

u(x, 0)

=

∞ a0 X −a2 νn2 t + e an cos(νx) + bn sin(νx) 2 n=1 ∞ 2πn 2πn a0 X + x + bn sin x an cos 2 l l n=1

Dabei m¨ ussen an , bn so bestimmt werden, dass diese Reihe gerade die Fourierreihe der Funktion von u0 (x) ist. Satz 1: Ist u0 (x) periodische mit Periode l und 4-mal stetig diffbar, so ist die erhaltene L¨osung u(x, t) ∈ C 1 [0, l] × [0, ∞) und erf¨ ullt im klassischen Sinne das RAWP. Eindeutigkeit: Berechne: d dt

Zl

2 u(x, t) dx =

0

Zl 2 ut (x, t) · u(x, t) dx 0

=

l Zl −2 (aux )2 dx ≤ 0 a uxx u | {z x=0} 0 2

=0 weil u periodisch

Folgerung: In der Klasse der Funktionen C 1 [0, 1] × [0, ∞) , die auch stetige Ableitung uxx in [0, 1] × [0, ∞) hat, ist die L¨ osung eindeutig bestimmt. H¨atte man 2 L¨osungen u1 , u2 , so w¨are u1 − u2 = u L¨osung des Problems mit Anfangsbedingungen Null. Korrektheit: Sei v(t) = u(x, t) ∈ L2 (0, l). Es gilt: sup ||v(t)||L2 (0,l) ≤ ||u0 ||L2 (0,l) t∈[0,∞)

Es liegt somit Korrektheit vor. 17.2.2

Eigenwertprobleme und inhomogene Gleichung f¨ ur Laplaceschen Differentalausdruck in Rechtecken, Quadern,...

Sei Q ein Gebiet Q = (0, l) × (0, l). Es sei das RAWP gegeben: ( −∆u(x, y) − λu(x, y) = 0 Randbedingungen Bemerkung: Beispiele geeigneter Randbedingungen sind periodische Randbedingungen, also f (0) = f (l) bzw. f 0 (0) = f 0 (l). Def: Randbedingungen heißen symmetrisch, wenn daraus, dass u, v die Randbedingungen erf¨ ullen, folgt: l (u0 v − uv 0 ) = 0 0

Separationsansatz: Aus dem Ansatz u(x, y) = f (x) · g(y) erh¨alt man (durch Einsetzen und Umstellen): f 00 (x) g 00 (y) = −λ f (x) g(y) Die linke Seite der Gleichung ist von y und die rechte Seite von x unabh¨angig. Das bedeutet, dass dieser Ausdruck sowohl von y als auch von x unabh¨angig ist, d.h. gleich einer Konstanten µ. Sei ν = λ − µ. Dann gilt: −f 00 (x) = µf (x) −g 00 (y) = νg(y)

98

Separationsans¨ atze und Orthogonalreihenentwicklung

99

Beispiel: Es seien Dirichletsche Randbedingungen gegeben, d.h. f (0) = f (l) = 0. Es gilt also nach Separationsansatz: f (x)00 f (x) g(y)00 − g(y)

−

= µ = ν

Wegen periodischen Randbedingungen lauten die L¨osungen mit: √ √ f (x) = C1 cos(√µx) + C2 sin(√ µx) g(y) = C3 cos( νy) + C4 sin( νy) Damit folgt aus den Randbedingungen: C1 = 0, C3 = 0 nπ mπ µ= , ν= l l Man erh¨alt somit als L¨ osungen: nπ fn (x) = C2 sin x l mπ gm (y) = C4 sin y l Somit folgt aus un,m (x, y) = fn (x) · gm (y): π 2 un,m −∆un.m = (n2 + m2 ) | {z l } =λ

Satz 2: Die Funktionen 1 un,m ||un,m || mit n, m ∈ N0 bilden ein VNOS in L2 (Q). 17.2.3

Ans¨ atze f¨ ur die Wellengleichung

Sei das folgende RAWP f¨ ur die homogene Wellengleichung gegeben:  2 ∂ u   − a2 ∆u = 0    ∂t2  u(x, 0) = u0 (x)   ut (x, 0) = u1 (x)     homogene Randbedingungen Separationsansatz: Aus u(x, t) = g(x) · h(t) erh¨alt man (nach Einsetzen und Umstellen): 1 h00 (t) ∆g(x) =0 − a2 h(t) g(x) | {z } :=λ

Daraus erh¨alt man die Eigenwertgleichung: ∆g(x) = λg(x) Diese Gleichung besitzt die Eigenwerte λk und die dazugeh¨origen L¨osungen gk (x). Eigenwerte λk > 0 bei Dirichlet. Weiterhin gilt: h00k (t) + a2 λk hk (t) = 0 Mit der L¨osung f¨ ur hk (t): √ √ hk (t) = ak cos(a λk t) + bk sin(a λk t) Als L¨osung f¨ ur u(x, t) erh¨ alt man: u(x, t) =

∞ X k=1

hk (t)gk (x) =

∞ X

p p ak cos(a λk t) + bk sin(a λk t) gk (x)

k=1

99

100

Separationsans¨ atze und Orthogonalreihenentwicklung

Wobei f¨ ur die Anfangsbedingungen gilt: ∞ X p u1 (x) = bk a λk gk (x) u0 (x)

=

k=1 ∞ X

ak gk (x)

k=1

Da {gk (x)} ein VNOS ist, ergibt sich f¨ ur ak und bk (nach Satz 5, Unterpunkt (1) in 12.4.3): ak bk

= hu0 , gk (x)i 1 = √ hu1 , gk (x)i λk

Ansatz f¨ ur inhomogenes Problem: Sei das RAWP gegeben:  ∂2u   − a2 ∆u = f (x, t)   ∂t2 u(x, 0) = ut (x, 0) = 0     homogene Randbedingungen ∞ P hk (t)gk (x) und Umformung mit Einbeziehung der Anfangsbedingungen Aus dem Ansatz u(x, t) = k=1 erh¨alt man: h00k (t) − a2 λk hk (t) = hf (x, t), gk (t)iL2 (Q) := ϕk (t)

17.3

Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen in der Kreisscheibe

Sei Gebiet G = (x, y), x2 + y 2 ≤ R2 und RAWP gegeben: ( ∆u = 0 u = u0 ∂G

Seien x, y in Polarkoordinaten. Dann erh¨ alt man f¨ ur ∆u: 1 1 ∆u = urr + ur + 2 uϕϕ r r Separationsansatz: Suchen L¨ osungen der Gestalt: u = f (r) · g(ϕ) Und man erh¨ alt nach Einsetzen und Umstellen: r2 frr (r) + rfr (r) g 00 (ϕ) + =0 f (r) g(ϕ) Satz 1: Sei G = (x1 , x2 ), x21 + x22 ≤ R und sei u0 eine stetige Funktion auf ∂G. Dann wird durch das Poissonintegral : Z R2 − |x|2 u0 (y) u(x) = u(x1 , x2 ) = dSy 2πR |x − y|2 ∂G

eine klassische L¨ osung des obigen RWP gegeben. In G kann u als Realteil der komplexanalytischen Funktion: Z 1 ζ +z u0 (ζ) dζ 2πi ζ(ζ − z) |ζ|=R

aufgefasst werden. Def.: Eine auf einem Gebiet G ⊂ Rn definierte C 2 -Funktion u heißt harmonisch in G, wenn sie die Gleichung ∆u = 0 erf¨ ullt. Satz 2(Schwaches Maximumprinzip): Ist G ∈ Rn ein beschr¨anktes Gebiet und ist u ∈ C 2 (G) ∩ C(G) eine harmonische Funktion in G, so nimmt u sein Maximum auf ∂G an.

100

Separationsans¨ atze und Orthogonalreihenentwicklung

101

Folgerung: F¨ ur das klassische Dirichletproblem: ( ∆u = 0 u0 = 0 ∂G

existiert f¨ ur beschr¨ ankte Gebiete G h¨ ochstens eine L¨osung u ∈ C(G) ∩ C 2 (G) und diese erf¨ ullt: ||u||C(G) ≤ ||u0 ||C(∂G) Bemerkung: Sind u1 , u2 zwei L¨ osungen, so sind u1 − u2 = u und u2 − u1 = −u L¨osungen, deren Maximum gleich Null ist. Satz 4(Mittelwertsatz f¨ ur harmonische Funktionen): Ist u(x) harmonische in einem Gebiet G und gilt Kx0 ,R ⊂ G, so ist u(x0 ) gleich dem Mittelwert der Werte u(x) auf ∂Kx0 ,R und gleich dem Mittelwert von u(x) auf Kx0 ,R . Satz 5(strenges Maximumprinzip f¨ ur harmonische Funktionen): Nimmt in einem Gebiet G gegebene harmonische Funktion u im Inneren von G irgendwo ein lokales Extremum an, so ist u konstant. Bemerkung: Das ¨ außere Dirichletproblem f¨ ur die Kreisscheibe l¨asst sich analog behandeln. Sei G = {x ∈ R2 , |x| > R}. Sei das RWP gegeben:    ∆u = 0 u0 ∂G = 0   u beschr¨ ankt

17.4

Sobolevr¨ aume und Extremaleigenschaft des Dirichletproblems der LaplaceGleichung

Def.: Sei G ⊂ Rn ein Gebiet und sei k ∈ N. Der Sobolevraum W2k (G) ist der Raum derjenigen Funktionen u ∈ L2 (G), f¨ ur die alle distributiven Ableitungen Dα u mit 0 ≤ |α| ≤ k regul¨are L1lok -Distributionen aus 2 L (G) sind. W2k (G) wird mit dem Skalarprodukt: X hu, vi = hDα u, Dα vi |α|≤k

in der Norm: ||u||W2k =

q hu, uiW2k (G)

o

versehen. W2k (G) ist der Abschluss von D(G) in W2k (G). o Satz 1: W2k (G) und folglich auch W2k (G) ist ein Hilbertraum.

Betrachten elliptische Dgl.: −div %(x) · grad (u) + c(x) · u = f (x) o

im beschr¨ankten Gebiet G ⊂ Rn und suchen distributive L¨osungen u ∈ W21 (G) Voraussetzungen: Es seien %(x) ≥ %0 > 0, c(x) ≥ c0 > 0 und f (x) ∈ L2 (G). Dabei sind %(x), c(x) ∈ C ∞ (G) beschr¨ ankt. %, c, f seien reellwertig. Def.: Betrachten den energetischen Hilbertraum HE . Dessen Elemente sind reellwertige Funktionen aus o W21 (G). Das Skalarprodukt ist definiert:   Z n X 1  %(x) uxj v xj + c(x)u(x)v(x)dx hu, viE = 2 j=1 G

mit der Norm ||u||E =

p hu, uiE

¨ o Bemerkung: Diese Norm ist Aquivalent zur u ¨blichen Norm || · ||W 1 (G) . 2

Satz 1: Unter den genannten Voraussetzungen (auch f¨ ur c ≥ 0 hat die elliptische Dgl eine L¨osung o

u ∈ W21 (G) und es ex. eine Konstante C > 0 mit ||u|| ≤ C||f ||. 101

102

Separationsans¨ atze und Orthogonalreihenentwicklung

o

Betrachte Abbildung R0 , L2 (G) 3 f → u ∈ W21 (G). Der Funktion f wird die eindeutig bestimmte o

W21 (G)-L¨osung zugeordnet. Daraus folgt: R0 ist eine stetige lineare Abbildung. o

Nach einem Einbettungssatz (Auswahlsatz von Rellich) ist die identische Einbettung W21 (G) 3 ϕ → ϕ ∈ L2 (G) ein kompakter Operator, d.h. das Bild der Einheitskugel ist relativ kompakt (d.h. der Abschluss ist kompakt). R

o

id

0 W21 (G) −→ L2 (G) ist kompakt. Wenn Selbstadjungiertheit von R nach Der Operator R : L2 (G) −→ 2 f, g ∈ L , Rf = u, Rg = v gilt, dann ist:

hf, RgiL2 = hf, vi = hu, viE Anwendung des Spektraltheorems f¨ ur kompakte selbstadjungierte Operatoren: Formulierung: Sei A ein kompakter selbstadjungierter Operator u ¨ber einem Hilbertraum H. Dann ex. eine endliche oder unendliche Folge (ej )m von Eigenvektoren mit rellen Eigenwerten λj , wobei im Falle j=1 m → ∞ noch gilt lim λj = 0, s.d. f¨ ur alle ϕ ∈ H gilt: j→∞

Aϕ =

m X

λj hϕ, ej iej

j=1

Bemerkung: Alle Eigenwerte von R sind positiv. Satz 2: Unter den aufgeschriebenen Vorraussetzungen besitzt R Orthonormalbasis (ist also VNOS) (ej )∞ j=1 von Eigenvektoren mit den Eigenwerten λj , wobei lim λj = 0 gilt. Diese Eigenvektoren ej j→∞ k¨onnen zur Behandlung von der W¨ armeleitungsgleichung:  ∂u   − u2 div (%grad u) = f  ∂t Dirichletsche Randbedingungen    Anfangsbedingungen verwendet werden. Suchen L¨osungen im Raum der stetigen Funktionen von t mit Werten im Hilbertraum HE : ||u(x, t)|| = sup ||u(x, t)||E + ||uT (x, t)||E 0≤t≤T o

Extremaleigenschaft der W21 ()-L¨ osung. Betrachte Variationsproblem: ||u||2E − hf, uiL2 → Min

o

(u ∈ W2 (G) reellwertig)

o

Betrachten f¨ ur u, v ∈ W21 (G) und s ∈ R die Funktion u + sv: Ψv (s) = ||u + sv||2E − hf, u + sviL2 Wenn u L¨osung des Variationsproblem ist, hat Ψv (s) bei s < 0 ein Minimum. d ∂Ψv (s) = ||u||2E + 2shu, viE + s2 ||v||2E − hf, uiL2 − shf, uiL2 ∂s ds =

2hu, vi − hf, vi = 0

o

∀ v ∈ W21 (G)

Ist diese Bedingung erf¨ ullt, so hat Ψv (s) = const + s2 ||v||2E tats¨achlich f¨ ur jedes v 6= 0 ein globales Maximum bei s = 0. Deshalb ist L¨ osung vom Variationsproblem. 2 sin(k1 x1 ) sin(k2 x2 ) (VNOS in L2 (Q), EW: k12 + k22 = λk ) π p o Satz: Die Funktionen ek bilden ein VNOS in W21 (Q), ||ek ||W20 = 1 + k12 + k22 . Sie sind orthogonal in W22 (Q). Es is ||ek ||W22 (Q) ≤ const · (1 + k12 + k22 ). Es ist somit: X 1 (−∆−1 )f = hf, ek iek λk Eigenfunktion: ek =

o

Diese Reihe konvergiert in L2 , W21 (Q), W12 (Q). 102

Separationsans¨ atze und Orthogonalreihenentwicklung

Satz: F¨ ur f ∈ L2 (Q) geh¨ ort u = ∆u = f

1 k λk hf, ek ik ek

P

103

o

zu W22 (Q) ∩ W21 (Q) und erf¨ ullt im distributiven Sinne:

(in Q) o

Die L¨osung ist in W21 (Q) eindeutig bestimmt und erf¨ ullt ||u||W22 (Q) ≤ const · ||f ||L2 (Q) . Ausserdem gilt o u ∈ C(Q), u ∂G = 0 und ||u||C(Q) ≤ const · ||f ||L2 (Q) . F¨ ur f ∈ C 2 (Q), f ∂Q = 0 ist die W21 (Q)-L¨osung u auch klassische L¨ osung.

103

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