Fakult¨at f¨ ur Mathematik Universit¨at Bielefeld
Harmonische Analysis und analytische Zahlentheorie Prof. F. G¨otze WS 2005/2006 Version: 29. Mai 2006
Dieses Skript ist eine studentische Ausarbeitung zur Vorlesung Harmonische Analysis und Ana” lytische Zahlentheorie“, die im Wintersemester 2005/06 von Prof. F. G¨otze an der Universit¨at Bielefeld gehalten wurde. Die Kapitel 1 und Kapitel 3-7 wurden von Matthias Stephan verfasst, w¨ahrend das zweite Kapitel dankenswerter Weise von Dr. H K¨ osters zur Verf¨ ugung gestellt wurde. Manuela Heuer und Wiebke Klein haben sich freundlicherweise als Korrekturleserinnen zur Verf¨ ugung gestellt. Hier sei noch einmal explizit darauf hingewiesen, dass dieses Skript keinesfalls den Anspruch erhebt fehlerlos zu sein. Korrekturen werden gerne entgegengenommen:
[email protected].
Inhaltsverzeichnis 1 Die 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
Fouriertransformation S¨atze zu Integration und Limes von Funktionenfolgen . Definition und Eigenschaften der Fouriertransformation Fouriertransformierte von Verteilungen in R . . . . . . . Fouriertransformierte von Inhalten . . . . . . . . . . . . Gl¨attungsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vergleich von Inhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vergleich unendlicher Inhalte . . . . . . . . . . . . . . . Gl¨attungsungleichungen f¨ ur unbeschr¨ankte Inhalte . . .
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1 1 2 11 13 16 18 23 26
2 Der 2.1 2.2 2.3 2.4
Primzahlsatz Obere und Untere Schranken f¨ ur ζ(s) . . . . . . . . Gl¨attungsungleichungen f¨ ur Mellin-Transformierte Der Primzahlsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Riemann’sche Vermutung . . . . . . . . . . . .
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29 31 34 35 38
3 Fourier-Reihen und Periodische Funktionen 3.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Konvergenz der Fourierreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Die Poisson’sche Summenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41 41 43 49
4 Hardy-Littlewood Kreismethode 4.1 Einf¨ uhrung in l=3 und der Satz von Roth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51 51
5 Darstellungen von nat¨ urlichen Zahlen als Summe von Quadraten 5.1 Farey-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Farey-Br¨ uche und die Riemann’sche Vermutung . . . . . . . . . 5.3 Gauß’sche Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Die Kreis-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Berechnung des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Vereinfachung des Integranden . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Erweiterung des Integrationsbereichs . . . . . . . . . . . 5.5.3 Erweiterung des Summationsbereichs . . . . . . . . . . . 5.6 Absch¨ atzen von S(s, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Berechnung von S(s, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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59 59 61 63 68 70 70 74 75 76 80
6 Diophantische Gleichungen in Zpn 6.1 Quadratische Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87 90
7 P-adische Zahlen 7.1 p-adische Distanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93 97
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i
Inhaltsverzeichnis
ii
1 Die Fouriertransformation 1.1 S¨ atze zu Integration und Limes von Funktionenfolgen Die folgenden S¨ atze sind klassische Aussagen aus der Maßtheorie und werden hier nicht bewiesen (Vergleiche zum Beispiel [Bau01]), werden dennoch im folgenden benutzt. Satz 1.1 (Dominierte Konvergenz von Lebesgue). Sei (fn )n∈N eine Folge messbarer Funktionen, die fast u ¨berall gegen eine messbare Funktion f konvergiert. Es existiere eine bzgl. des LebesgueMaßes integrierbare Funktion g mit |fn | ≤ g (fast u ur alle n ≥ n0 . Dann sind alle fn und auch f integrierbar und es gilt ¨berall) f¨ Z Z n lim fn (x)d x = f (x)dn x. n→∞ Rn
Rn
Satz 1.2 (Monotone Konvergenz von B. Levi). Es sei (fn )n∈N eine monoton wachsende Folge nicht-negativer messbarer Funktionen, also 0 ≤ f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ f3 (x) ≤ . . . Dann ist auch f := lim fn messbar und es gilt n→∞ Z Z Z fn (x)dn x = lim fn (x)dn x = lim n→∞ Rn
Rn
n→∞
f (x)dn x.
Rn
Bemerkung: Alle st¨ uckweise stetigen Funktionen sind Lebesgue-messbar und Riemann- und Lebesgue-Integral stimmen hier u ¨berein. Satz 1.3. Sei f ≥ 0 und Z
f (x)dn x = 0.
Dann ist f (x) = 0 f¨ ur alle x bis auf abz¨ ahlbar viele Punkte, falls f Riemann-integrierbar, also insbesondere falls f st¨ uckweise stetig ist. Falls f Lebesgue-integrierbar ist, hat die Menge {x ∈ Rn : f (x) 6= 0} das Lebesgue-Maß Null. R Satz 1.4. Die Abbildung f 7→ f (x)dn x ist C-linear und monoton, also ist f¨ ur f1 ≥ f2 Z Z f1 (x)dn x ≥ f2 (x)dn x. Satz 1.5 (Fubini). Es sei f : Rn+m → R eine messbare und λn+m -integrierbare Funktion. Dann ist Rm → R, y 7→ f (x,Ry) f¨ ur alle x ∈ Rn messbar und f¨ ur λ-fast alle x ∈ Rn λ-integrierbar. Die Integralfunktion x 7→ f (x, y)dλ(y) ist messbar und λ-integrierbar und es gilt Z ZZ n+m f (x, y)dλ (x, y) = f (x, y)dλ(y)dλ(x). Satz 1.6 (Transformationssatz). Es sei Φ : U → V ein C1 -Diffeomorphismus (d.h. U, V ⊂ Rn offen, Φ bijektiv und Φ, Φ−1 stetig differenzierbar) und es sei f : V → R messbar. Dann ist auch (f ◦ Φ) · | det DΦ| : U → R messbar und es gilt (falls die Integrale existieren) Z Z f (y)dλ(y) = f (Φ(x)) · | det DΦ(s)|dλ(x). V
U
1
1 Die Fouriertransformation
1.2 Definition und Eigenschaften der Fouriertransformation Definition 1.7. Sei C ∞ (Rn ) der Vektorraum der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen auf Rn . Dann ist der Schwartzraum definiert durch β α n ∞ n S(R ) := f ∈ C (R ) : sup |x D f (x)| < ∞, ∀α, β ≥ 0 Multiindizes . x∈Rn
Hierbei seien x = (x1 , . . . , xn ) und β = (β1 , . . . , βn )
βj ∈ N0 ,
xβ := xβ1 1 · . . . · xβnn und Dα :=
∂ α1 ∂ αn , α1 · . . . · ∂x1 ∂xαnn
α = (α1 , . . . , αn ), αj ∈ N0
Bemerkung 1.8. i. f ∈ S(Rn ) wird auch Schwartz-Klasse der rapide abfallenden C ∞ -Funktionen genannt. ii. Ist f ∈ S(Rn ), so impliziert dies |P (x)f (x)| < ∞, f¨ ur alle Polynome P : Rn → C. F¨ ur gerade m betrachten wir das Polynom P (x) = (x21 + . . . + x2n )m/2 . p ur ungerade m ist mit o.E. Somit ist auch kxkm |f (x)| < ∞ mit kxk = x21 + . . . + x2n . (F¨ x ≥ 1 auch kxkm |f (x)| ≤ kxkm+1 < ∞.) ur alle l ≥ 0 und alle x ∈ Rn iii. F¨ ur ein f ∈ S(Rn ) gilt sicherlich f¨ |Dα f (x)| ≤ cα,f,l (1 + kxkl )−1 . iv. f ∈ S(Rn ) ist ¨ aquivalent zu x→∞
kxkl |Dα f (x)| −→ 0, denn kxkl |Dα f (x)| =
∀ l, α
(kxkl + kxkl+1 )|Dβ f (x)| c x→∞ ≤ −→ 0. 1 + kxk 1 + kxk
Proposition 1.9. i. Die Schwartz-Klasse S(Rn ) ist ein Vektorraum u ¨ber R. ii. Die Abbildungen Dα : S(Rn ) → S(Rn ), f 7→ Dα f und xβ : S(Rn ) → S(Rn ), f 7→ xβ · f sind wohldefiniert und linear. ¨ Beweis: Ubung 1.1.a).
2
1.2 Definition und Eigenschaften der Fouriertransformation
Definition 1.10. i. Die Fouriertransformation von f ∈ S(Rn ) ist gegeben durch Z −n/2 ˆ f (t) := (2π) exp(iht, xi)f (x)dn x, wobei x, t Vektoren im Rn , ht, xi das Standardskalarprodukt und i die imagin¨ are Einheit beschreiben. ii. Die inverse Fouriertransformierte ist gegeben durch Z −n/2 ˜ f (x) := (2π) exp(−iht, xi)f (x)dn t. Bemerkung 1.11. i. F¨ ur Rechnungen wird h¨ aufig die Tatsache | exp(ix)| = 1, x ∈ R, verwendet: exp(ix) = cos(x) + i sin(x) ⇒ | exp(ix)| = (cos2 (x) + sin2 (x))1/2 = 1. ii. Außerdem ist f¨ ur f ∈ L1 n |fˆ(t)| ≤ (2π)− 2
Z
1|f (x)|dn x < ∞.
Proposition 1.12. Die durch F : S(Rn ) → S(Rn ) gegebene Abbildung F(f ) := fˆ ist C-linear und eine Bijektion, d.h. f¨ ur f ∈ S(Rn ) gilt Z ˜ −n ˆ e−ihx,ti fˆ(t)dn t = f (x) ∀x ∈ Rn f (x) = (2π) 2 und ebenso
ˆ f˜(t) = f (t),
d.h. f → f˜ ist die inverse Transformation zu F. Beweis: Die C-Linearit¨ at ist offensichtlich. Die Bijektivit¨at gestaltet sich hingegen etwas aufw¨andiger: i. F(f ) ∈ S(Rn ): Wir betrachten zun¨ achst den Fall n = 1. Da f ∈ S(R) ist, gilt mittels partieller Integration Z a
b
b exp(itx)f 0 (x)dx = exp(itx)f (x) a − it
b
Z
exp(itx)f (x)dx, a
F¨ ur f ∈ S(R) verschwindet der Randterm f¨ ur a → ∞, b → −∞, so dass folgt 1 lim √ a→∞ 2π b→−∞
Z a
b
1 exp(itx)f (x)dx = √ 2π 0
Z
∞
exp(itx)f 0 (x)dx
−∞
1 = (−it) √ 2π
Z
∞
exp(itx)f (x)dx, −∞
3
1 Die Fouriertransformation
also 0 (t) = (−it)fˆ(t). fd
(1.1)
¨ Mittels der majorisieren Konvergenz und Induktion ergibt sich hieraus (Ubung 1.2) Z n α f )(t), exp(iht, xi)(ix)α f (x)dn x = i|α| (xd Dα fˆ(t) = (2π)− 2
(?)
Rn
Q wobei α = (α1 , . . . , αn ), αj ∈ N und exp(iht, xi) = nj=1 exp(itj xj ) ist. Weiterhin ist Z n d βf (−it)β fˆ(t) = (2π)− 2 exp(iht, xi)Dβ f (x)dn x = D (??) Rn
mit β = (β1 , . . . , βn ), β ∈ N. Durch Kombination von (?) und (??) ergibt sich ∧ (−i)|β|+|α| tβ Dα fˆ(t) = Dβ (xα f ) (t).
(? ? ?)
Da allgemein f¨ ur ein h ∈ L1 die Fouriertransformierte beschr¨ankt ist, Z n ˆ |h(t)| ≤ (2π)− 2 |h(x)|dn x < ∞ folgt aus (? ? ?) schließlich β α β αˆ β α ∧ h=D (x f ) sup t D f (t) = sup D (x f ) (t) < ∞, t∈Rn
t∈Rn
also F(f ) ∈ S(Rn ). ii. F : S(Rn ) → S(Rn ) ist eine Bijektion: F¨ ur f, g ∈ S(Rn ) gilt allgemein Z Z −ihx,zi n ˆ g(z)f (z)e d z = gˆ(y)f (x + y)dn y, denn Z
(1.2)
Z n g(z)(2π)− 2 exp(ihv, zi)f (v)dn v exp(−ihx, zi)dn z Z Z 1.5 n −n g(z) exp(ihv − x, zi)d z f (v)dn v = (2π) 2 Z Z y=v−x = gˆ(v − x)f (v)dn v = gˆ(y)f (y + x)dn y.
g(z)fˆ(z)e−ihx,zi dn z =
Z
Der Satz von Fubini konnte hier angewandt werden, da
R
|g(z) · f (v)|dn vdn z < ∞ ist.
F¨ ur g(z) setzen wir gε (z) := g(εz), ε > 0. Dann berechnet sich die Fouriertransformierte zu gˆε (v) = gˆ(ε−1 v)ε−n (Variablenwechsel in der Transformation). Nach Substitution y 0 := ε−1 y ist Z Z −ihx,zi n ˆ g(εz)f (z)e d z = gˆ(y 0 )f (x + εy 0 )dn y 0 . 2 Wir w¨ahlen g(x) = exp −kxk und wenden den Lebesgue’schen Konvergenzsatz f¨ ur ε → 0 2 an. Dies ist m¨ oglich, da sich sowohl |fˆ(z)||g(εz)| ≤ |fˆ(z)| ∀z ∈ Rn
4
1.2 Definition und Eigenschaften der Fouriertransformation wegen g(z) ∈ [0, 1] ∀z ∈ Rn mit
R
|fˆ(z)|dn z < ∞, als auch |ˆ g (y)f (x + εy)| ≤ h(y)
R mit h(y)dn y < ∞ ∀ε > 0 majorisieren lassen. Somit folgt Z Z g(0) fˆ(z) exp(−ihz, xi)dn z = f (x) gˆ(y)dn y |{z}
(1.3)
=1
Durch Ableiten des Terms −n 2
kxk2 exp(ihx, ti) exp − 2
Z
gˆ(t) = (2π)
! dn x
und partieller Integration ist n ∂ gˆ(t) = (2π)− 2 ∂t
x2 i exp(ixt) x exp − 2 {z |
Z
∂ =− ∂x exp(−x2 /2)
part. Int.
=
−n 2
Z
(2π)
i
dx } (1.4)
∂ ixt − x2 e e 2 dx ∂x
= −tˆ g (t). F¨ ur gˆ(t) 6= 0 ist also ∂ ˆ(t) ∂t g
gˆ(t)
= −t,
nach Integration beider Seiten Z log gˆ(s) − log gˆ(0) = | {z } =0
s
Z
0
0
s
−tdt = −
(log gˆ(t)) dt = 0
s2 2
folgt also schließlich s2 gˆ(s) = exp − 2
.
(1.5)
¨ Weiter gilt (Ubung 1.4) −n 2
(2π)
Z
kxk2 exp − 2
! dn x = 1.
(1.6)
Durch Einsetzen der Resultate (1.5) und (1.6) in (1.3) ergibt sich insgesamt Z −n (2π) 2 fˆ(z) exp(−ihz, xi)dn z = f (x). ¨ Dass (1.4) nur eine L¨ osung besitzt, ist Ubung.
Definition 1.13 (Faltung). Seien f, g ∈ S(Rn ), x ∈ Rn . Die Faltung von f und g ist gegeben durch Z (f ∗ g)(x) := f (x − y)g(y)dn y.
5
1 Die Fouriertransformation
Bemerkung: i. Durch eine einfache lineare Variablentransformation zeigt sich die Symmetrie der Faltung Z Z v=x−y (f ∗ g)(x) = f (x − y)g(y)dn y = f (v)g(x − v)dn v = (g ∗ f )(x). ii. Wir betrachten die Integralnorm Z kf k1 :=
|f (t)|dn t,
die Normeigenschaften kf + gk1 ≤ kf k1 + kgk1 und kλf k1 = |λ| kf k1
λ ∈ C, R
ergeben sich durch direktes Einsetzen. Dar¨ uber hinaus gilt kf ∗ gk1 ≤ kf k1 kgk1 , denn Z Z
n
|f (x − y)||g(y)|d y dn x Z Z 1.5 n = |f (x − y)|d x |g(y)|dn y Z Z v=x−y n n = |f (v)|d v |g(y)|d y
kf ∗ gk1 ≤
= kf k1 kgk1 . Korollar 1.14 (Eigenschaften der Fouriertransformation). Seien f, g ∈ S(Rn ). Dann gilt i. Z
fˆ(t)g(t)dn t =
Z
f (t)ˆ g (t)dn t,
Z
f˜(t)g(t)dn t =
Z
f (t)˜ g (t)dn t,
ii. Z
f (x)g(x)dn x =
Z
fˆ(t)ˆ g (t)dn t,
iii. n (f[ ∗ g)(t) = (2π) 2 fˆ(t)ˆ g (t), n (2π) 2 (fd · g)(t) = fˆ(t) ∗ gˆ(t). n
(f] ∗ g)(t) = (2π) 2 f˜(t) · g˜(t). Beweis: i. Die erste Gleichung folgt unmittelbar aus (1.2) mit x = 0. F¨ ur die zweite Gleichung ˜ ersetzen wir in der ersten f durch f und g durch g˜.
6
1.2 Definition und Eigenschaften der Fouriertransformation ii. Es gilt g˜ ¯ = g¯ ˆ, denn −n 2
g˜ ¯(t) = (2π) Somit folgt Z
n
Z
−ihx,ti
e
Z
f (x)¯ g (x)d x =
−n 2
n
Z
g(x)d x = (2π)
(i) ˜ fˆ(x)¯ g (x)dn x =
Z
eihx,ti g(x)dn x = g¯ˆ(t).
fˆ(x)g˜¯(x)dn x =
Z
fˆ(x)g¯ˆ(x)dn x
iii. −n 2
Z
(f ∗ g)(x)eihx,ti dn x ZZ n = (2π)− 2 f (x − y)g(y)dn y eihx,ti dn x Z Z 1.5 −n ihy,ti ihx−y,ti n 2 = (2π) g(y)e f (x − y)e d x dn y
f[ ∗ g(t) = (2π)
F¨ ur das innere Integral folgt mittels Variablentransformation Z Z ihx−y,ti n z=x−y f (x − y)e d x = f (z)eihz,ti dn z. Dieser Term ist nun unabh¨ angig von y, so dass die beiden Integrale faktorisieren, also Z Z n ihz,ti n ihy,ti n −n [ 2 f (z)e d z = (2π) 2 gˆ(t)fˆ(t). g(y)e d y f ∗ g(t) = (2π) n Analog l¨ asst sich die Gleichung f] ∗ g = (2π) 2 f˜ · g˜ zeigen. Hieraus folgt auch direkt n [ d (2π)− 2 f ∗ g = f] ∗ g = f˜ · g˜,
¨ und nach Ubergang f → fˆ, g → gˆ folgt die letzte zu zeigende Gleichung n fˆ ∗ gˆ = (2π) 2 fd · g.
n g Mit f, g ∈ S(Rn ) sind fˆ, gˆ ∈ S(Rn ), fˆ · gˆ ∈ S(Rn ) und (2π)− 2 f ∗ g = fˆ · gˆ ∈ S(Rn ). In diesem Fall gilt
Lemma 1.15. i. S(Rn ) ist eine kommutative C-Algebra mit Produkten (f, g) 7→ f · g und (f, g) 7→ f ∗ g, d.h. ein C-Vektorraum mit Ringstruktur. ii. F : S(Rn ) → S(Rn ) ist ein Isomorphismus und zwar eine unit¨ are Abbildung bez¨ uglich hFf, Fgi = hf, gi wobei
Z hf, gi :=
∀f, g ∈ S(Rn ),
f (x)¯ g (x)dn x
eine hermitesche Sesquilinearform ist. Es ist Z Z 2 n kf k2 = hf, f i = f (x)f (x)d x = |f (x)|2 dn x, insbesondere gilt die Formel von Plancherel kFf k2 = kf k2 .
(1.7)
7
1 Die Fouriertransformation n
iii. F f¨ uhrt die Produkte ∗ und · bis auf den Normierungsfaktor (2π)− 2 ineinander u ¨ber. iv. Der Differentialoperator ist f¨ ur α = (α1 , . . . , αn ) ≥ 0 gegeben durch Dα = F −1 (−it)α F.
(1.8)
v. Eine Operatormultiplikation ist gegeben durch xα = F −1 (−iD)α F. Beispiel: Wir betrachen den Laplace-Operator, gegeben durch ∆=
∂2 ∂2 + . . . . ∂x2n ∂x21
Dieser l¨asst sich darstellen durch ∆ = F −1 −(t21 + t22 + . . . + t2n ) F = F −1 (− ktk2 )F. Durch diese Anschauung ist es auch m¨ oglich, sogenannte Pseudodifferentialoperatoren zu definieren, wie zum Beispiel √ −∆ := F −1 ktk F. Inspektion von Korollar 1.14 und Proposition 1.12 liefert Proposition 1.16.
i. Falls f : Rn → C integrierbar ist, so existiert Z ihx,ti n −n ˆ 2 e f (x)d x . f (t) = (2π)
ii. Falls fˆ : Rn → C integrierbar ist, so gilt ˜ fˆ(x) = f (x)
∀x ∈ Rn .
Bemerkung: Die Funktion t 7→ fˆ(t) ist gleichm¨aßig stetig. R iii. Falls |f (x)||xβ |dn x < ∞ ist, so ist t 7→ fˆ(t) < ∞ und Z β ˆ −n |β| 2 D f (t) = (2π) i xβ · eiht,xi f (x)dn x iv. Falls Dβ f (x) existiert und integrierbar ist, so gilt sup |fˆ(t)tβ | < ∞. t∈Rn
Die L2 -Norm von f ist gegeben durch Z kf k2 :=
1/2 |f (x)| d x , 2 n
wobei hier das Lebesgue-Integral verwendet wird. Falls die Menge {x ∈ Rn : f (x) 6= g(x)} das ¨ Lebesgue-Maß Null hat, so heißen f und g fast sicher gleich. Dies beschreibt eine Aquivalenzrelation. Man definiert nun ¨ L2 (Rn ) := {f : Rn → C| kf k2 < ∞}/{f.¨ u.-Aquivalenz}.
8
1.2 Definition und Eigenschaften der Fouriertransformation Satz 1.17. (L2 (Rn ), k·k2 ) ist ein Banachraum, also ein normierter vollst¨ andiger Vektorraum, stattet man diesen mit dem Standardskalarprodukt aus, so ist er sogar ein Hilbertraum (RiezFischer). Beweis: Siehe [Yos66].
Satz 1.18. S(Rn ) ⊂ L2 (Rn ) liegt dicht bzgl. der k·k2 -Norm. Satz 1.19. Es gibt eine eindeutige Fortsetzung von F von S(Rn ) nach L2 (Rn ), die unit¨ ar und bijektiv ist. Satz 1.20 (Heisenberg’sche Ungleichung). Sei f : R1 → C, f ∈ S(R1 ) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Teilchens, also Z |f (x)|2 dx = 1. Der ¨ ortliche Mittelwert sei durch
Z µf :=
x|f (x)|2 dx
und die Varianz, die mittlere quadratische Abweichung, durch Z 2 σf = (x − µf )2 |f (x)|2 dx gegeben. Dann gilt stets 1 σf σfˆ ≥ . 2 Beweis: Wir definieren uns g(x) := f (x + µf )eixµf . Dann ist Z Z Z y=x+µf µg = x|f (x + µf )eixµf |2 dx = (y − µf )|f (y)|2 dy = µf − µf |f (y)|2 dy = 0. | {z } =1
¨ Die Fouriertransformation von g ist (Ubung 2.1) gˆ(t) = fˆ(t + µfˆ) exp(−iµf (t + µfˆ)). ¨ Hieraus folgt wie vorher µgˆ = 0. Weiter gilt (Ubung 2.2) σf2 = σg2 und σf2ˆ = σgˆ2 . Zur Cauchy-Schwartz’schen Ungleichung |ha, bi| ≤ kak · kbk
a, b ∈ Rn bzw. a, b ∈ Cn
forumlieren wir hier das Analogon zur L2 -Norm: F¨ ur f, h : R → C sei das hermitesche Skalarprodukt gegeben durch Z hf, hi := f (x)h(x)dx. Hier gilt ebenso Z Z 1/2 Z 1/2 2 2 f (x)h(x)dx ≤ |f (x)| dx · |h(x)| dx ,
9
1 Die Fouriertransformation
also |hf, hi| ≤ kf k2 · khk2 . Damit ist Z Re
0
Z
1/2 Z 1/2 0 2 x |g(x)| dx · |g (x)| dx ,
Z
1/2 Z 1/2 0 2 x |g(x)| dx · |g (x)| dx ,
≤
(−x)¯ g (x)g (x)dx
2
2
und auch Z Re
0
≤
(−x)g(x)¯ g (x)dx
2
2
also zusammenfassend mittels Kettenregel Z Re
∂ g(x)g(x) dx (−x) ∂x | {z }
1/2 Z 1/2 0 2 x |g(x)| dx · |g (x)| dx
Z
2
≤2
2
=|g(x)|2
Andererseits liefert partielle Integration, da die Randterme wegen g ∈ S(Rn ) verschwinden, Z Z Z Z y=x+µf ∂ |f (y)|2 dy = 1. (−x) |g(x)|2 dx = (−1)2 |g(x)|2 dx = |f (x + µf )|2 dx = ∂x Außerdem ist Z
2
Z
2
x |g(x)| dx = und
Z
0
2
2
x |f (x + µf )| dx
(1.7)
2
Z
|g (x)| dx =
0
2
y=x+µf
Z
=
(1.1)
Z
|ˆ g (x)| dx =
(y − µf )2 |f (y)|2 dy = σf2
t2 |ˆ g (t)|2 dt = σf2ˆ
Zusammenfassend folgt also 1 ≤ σf σfˆ. 2 r Beispiel 1.21. Sei f (x) =
√1 2πσ
exp
x2 −2σ 2
¨ , σ > 0. Dann ist (Ubung 2.2)
1, σf2 = σ 2 und µf = 0. Wir betrachten die Fouriertransformierte von f 2 1 t 2σ 4 ˆ f (t) = exp − (2σ) . 2 π Dann ist σf2ˆ = also
1 1 , σfˆ = , 2 4σ 2σ 1 σf σfˆ = . 2
In diesem Fall ist die Heissenberg’sche Unsch¨ arferelation scharf.
10
R
f 2 (x)dx =
1.3 Fouriertransformierte von Verteilungen in R
1.3 Fouriertransformierte von Verteilungen in R Definition 1.22. i. Eine Verteilungsfunktion F : R → R ist eine monotone, rechtsstetige Funktion mit lim F (x) = 0,
x→−∞
d.h. a) F (x) ≤ F (y) f¨ ur alle x ≤ y, b) limh&0 F (x + h) = F (x) f¨ ur alle x ∈ R, c) limx→−∞ F (x) = 0. F¨ ur eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist limx→∞ F (x) = 1. ii. Die Funktion µ([a, b]) := F (b) − F (a) ≥ 0 f¨ ur a < b heißt Inhalt auf (a, b]. Sei J die Menge der halboffenen Intervalle der Form (a, b], a < b, a, b ∈ R. Wir definieren uns n [ o R= Ij : Ij ∈ J, M 6= ∅ endliche Indexmenge ∪ {∅}. j∈M
Dann ist f¨ ur R ∈ R µ(R) =
X
(µ(Il )),
l
S wobei R = l Il mit Il ∈ J und Il ∩ Il0 = ∅ f¨ ur l 6= l0 ist, d.h. der Inhalt µ ist wohldefiniert, also unabh¨angig von der Zerlegung R. Weiter gilt A, B ∈ R ⇒ A ∪ B ∈ R, A\B ∈ R. Somit ist R ein Ring von Mengen. Beispiel 1.23. i. Die Verteilungsfunktion F (x) :=
x ≥ 0, x<0
x, 0,
definiert das Lebesguemaß auf R. R Rx ii. Sei p(x) ≥ 0 Riemann-integrierbar auf R mit p(x)dx = 1. Dann ist F (x) := −∞ p(y)dy eine Verteilungsfunktion mit limx→∞ F (x) = 1. Rx iii. F (x) ist ebenfalls eine Verteilungsfunktion, falls p integrierbar, also F (x) = −∞ p(y)dy < ∞ f¨ ur alle x ∈ R, ist und es gilt Z b µ((a, b]) := p(y)dy. a
iv. pj > 0, xj ∈ R, j ∈ N und F (x) :=
X
pj < ∞
∀x ∈ R.
{j∈N:xj ≤x}
Behauptung: F ist eine Verteilungsfunktion und X µ((a, b]) =
pj .
{j∈N:a<xj ≤b}
11
1 Die Fouriertransformation
Beweis: Die Monotonie ist klar. Rechtsstetigkeit von F : Wir betrachten Sn := F (x + h) − F (x) =
X
pj , h > 0
{j:x<xj ≤x+h}
und A0 := {j : x < xj ≤ x + h0 }. Dann ist X
pj < ∞.
j∈A0
F¨ ur ε > 0 gibt es eine endliche Menge Aε ⊂ A0 mit X pj < ε. j∈A0 \Aε
F¨ ur 0 < h < (minj∈Aε xj ) − x ist Sh < ε f¨ ur alle 0 < h < h0 .
Definition 1.24. Wir nennen die Inhalte in Definition (1.22).ii) einfache Inhalte, wenn sie wie in Beispiel 1.23 erzeugt werden. Sei µ ein einfacher Inhalt, g : R → R mit entweder α) (uneigentlicher) Riemann-Integrierbarkeit, d.h. Z |g(x)|p(x)dx < ∞, oder β) Summierbarkeit, d.h. ∞ X
|g(xj )|pj < ∞,
j=1
so heißt g µ-integrierbar und R Z g(x)p(x)dx g(x)µ(dx) := P∞ j=1 g(xj )pj
im Fall α im Fall β,
heißt µ-Integral von g. Bemerkung 1.25. i. Die formale Einf¨ uhrung erfolgt mittels Ober- und Untersumme wie bei dem Riemannintegral: F¨ ur eine geeignete, feiner werdende Unterteilung (n)
a1
(n)
< a2 (n)
betrachten wir Zwischenpunkte zj Z
(n)
(n)
< . . . aj < aj+1 < . . . i (n) (n) ∈ aj , aj+1 , so dass gilt
∞ i X (n) (n) (n) µ aj , aj+1 . gdµ = lim g zj n→∞
j=1
ii. Das µ-Integral ist wohldefiniert, da µ((a, b]) f¨ ur alle a < b und p(x), x ∈ R im Fall (α) bzw. p(xj ), j ∈ N im Fall (β) bis auf endlich viele Punkte in endlichen Intervallen eindeutig beR x ∂ stimmt sind. (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: ∂x −∞ p(y)dy = p(x), falls p in x stetig ist.)
12
1.4 Fouriertransformierte von Inhalten
1.4 Fouriertransformierte von Inhalten Unser Ziel wird es sein, Inhalte oder Verteilungsfunktionen mittels Integraltransformationen der Verteilungen zu approximieren. Ein Schema f¨ ur eine solche Integraltransformation ist folgendes: Die Integraltransformationen sind gegeben durch eine Familie von ”Kernen”g(x, t), x ∈ R, t ∈ R. Wir bilden Z t 7→ c(µ)(t) = g(x, t)µ(dx) (Charakteristische Funktion von µ). Diese soll µ festlegen, d.h. wir wollen daraus F (x) := µ((−∞, x]) bestimmen. Ferner m¨ochte man f¨ ur Inhalte µ1 , µ2 die Gr¨ oße von µ1 ((−∞, x]) − µ2 ((−∞, x]) aus c(µ1 )(t) − c(µ2 )(t), t ∈ R bestimmen. Definition 1.26. i. F¨ ur t ∈ R ist die charakteristische Funktion oder auch Fouriertransformation des Inhalts µ gegeben durch R itx Z f¨ ur Fall α e p(x)dx µ ˆ(t) := exp(itx)µ(dx) = P∞ itxj e p f¨ ur Fall β. j j=1 ii. Die Laplace-Transformierte von µ ist, falls definiert, Z Lµ (λ) := e−λx µ(dx), λ ∈ R, λ > 0. Diese ist immer definiert, falls µ((−∞, 0)) = 0. iii. Die Fourier-Laplace-Transformierte ist, sofern definiert, kombiniert i. und ii. zu Z L(z) := ezx µ(dx). iv. Die Resolvententransformation von µ ist schließlich gegeben durch Z 1 Rz (µ) := µ(dx), z ∈ C\R. x−z Lemma 1.27 (Riemann-Lebesgue). Sei f : R → R Riemann-integrierbar mit Z ∞ |f (x)|dx < ∞ −∞
und die Menge Mf der Unstetigkeitsstellen von f habe keinen H¨ aufungspunkt in R. Dann gilt lim fˆ(t) = 0.
|t|→∞
Dies gilt auch, wenn f nur Lebesgue-integrierbar ist, d.h. Z |f |dλ < ∞.
13
1 Die Fouriertransformation
Beweis: i. Zu einem beliebigen ε > 0 gibt es wegen der Konvergenz des Riemannintegrals ein a > 0 mit Z Z ε itx |f (x)|dx ≤ e f (x)dx ≤ ∀t ∈ R. [−a,a]c 3 c [−a,a] ii. Seien −a ≤ u1 < u2 < . . . < uk ≤ a die endlich vielen Unstetigkeitsstellen Mf ∩ [−a, a] von f in [−a, a], (unendlich viele sind unm¨oglich, da [−a, a] kompakt ist). Wir ersetzen f durch g := f · 1[−a,a] , so dass eventuell −a und a Unstetigkeitsstellen von g sind. Sei o.B.d.A. t ≥ 1. Dann ist Z Z Z ∞ π π itx itx itx dx = e g(x)dx − e g x + dx e g(x) − g x + t t −∞ Z Z y:=x+ πt π = eitx g(x)dx − eit(y− t ) g (y) dx Z (∗) = 2 eitx g(x)dx, π
wobei wir f¨ ur (∗) benutzt haben, dass e−it t = cos(−π) + i sin(−π) = −1 ist. iii. Somit folgt aus (i) und (ii) Z itx e f (x)dx ≤ ε + 3 ε ≤ + 3
Z 1 itx e g(x) − g x+ 2 Z 1 itx g(x) − g x + e 2
π dx t π dx t
Sei M := maxx∈[−a,a] |g(x)| < ∞. Dies existiert, da wir nach Voraussetzung nur endlich viele Unstetigkeitsstellen haben. Dann w¨ ahle t0 so groß, dass i.
π t0
<
ε 3M k ,
ii.
π t0
< minj
uj+1 −uj 2
iii. supu∈[uj ,uj+1 − π ] g u + πt − g(u) < t
ε 6a
∀j, t ≥ t0 .
O.B.d.A. seien u1 = −a und uk = a Unstetigkeitsstellen. Sei u0 = −∞. Dann ist f¨ ur t ≥ t0 Z π − g(x) dx g x + t Z k−1 u j+1 X π = − g(x) dx g x + t uj j=0
≤
k−1 Z X j=0
uj+1 − πt
uj
Z uj+1 π − g(x) dx + g x + t{z uj+1 − πt | } ε ≤ 6a nach (iii)
≤ ≤
14
k−1
k−1
j=0
j=0
X ε X π |uj+1 − uj | + 2M 6a t π 2aε + k2M 6a t
(α),(β)
<
ε 2ε + = ε, 3 3
π − g(x) dx g x + t | {z } ≤2M
1.4 Fouriertransformierte von Inhalten
d.h. insgesamt gilt Z itx e f (x)dx < ε
|t| ≥ t0 .
f¨ ur
ur a < b, Definition 1.28. Seien µ1 , µ2 einfache Inhalte auf R. Dann sei f¨ i.
Z µ1 ∗ µ2 ([a, b]) :=
µ2 ([a, b] − y)µ1 (dy),
wobei [a, b] − y := [a − y, b − y] ist. ii. Im Fall µ1 , µ2 vom Typ (α), d.h. mit Dichten p1 , p2 , hat µ1 ∗ µ2 die Dichte Z p1 ∗ p2 (x) = p1 (x − y)p2 (y)dy. Im Fall µ1 , µ2 vom Typ (β) sind die gefalteten Gewichte P {p1j p2l |x = xj + xl } (p1 ∗ p2 )x = , 0 sonst wobei die Inhalte µ1 , µ2 gegeben sind durch X µ1 = p1j εxj ,
µ2 =
X
p2j εx0j
j
j
mit dem Dirac-Inhalt
εx ((−a, b]) :=
x ∈ (−a, b] . sonst
1 0
Dann ist X
(p1 ∗ p2 )x εx =
x
X
p1j p2l εxj +xl .
j,l
Bemerkung: Es sind auch Mischf¨ alle m¨oglich. Proposition 1.29. F¨ ur endliche Inhalte µ1 , µ2 , µ3 ist i. µ1 ∗ µ2 = µ2 ∗ µ1 , ii. (µ1 ∗ µ2 ) ∗ µ3 = µ1 ∗ (µ2 ∗ µ3 ), iii. µ\ ˆ1 · µ ˆ2 . 1 ∗ µ2 = µ ¨ Beweis: Ubung 3.
Faltungen sind Integrale (Mittelungen). Eine Haupteigenschaft ist, dass sie die Verteilungen ”gl¨atten”. Beispiel 1.30. Es sei µ1 = 12 (ε−1 + ε+1 ) und µ2 habe die Dichte p(x) = √
x2 1 e− 2σ2 , 2πσ
σ > 0.
Die Faltung µ1 ∗ µ2 hat die (stetige) Dichte 1 (p(x − 1) + p(x + 1)) > 0. 2
15
1 Die Fouriertransformation
1.5 Gl¨ attungsverteilungen Definition 1.31. F¨ ur a > 0 sei U[−a,a] die Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Dichte 1 f¨ ur |x| ≤ a, 2a U[−a,a] := . 0 f¨ ur |x| > a. In diesem Fall heißt U[−a,a] Gleichverteilung auf [−a, a], und es gilt d
Z U[−a,a] ([c, d]) =
U[−a,a] (x)dx
∀c < d.
c
Die Fouriertransformierte f¨ ur t ≥ 1 l¨ asst sich absch¨atzen u ¨ber Z Z a 1 Uˆ[−a,a] (t) = eitx U[−a,a] dx = eitx dx 2a −a Z a Z a a 1 sin(ta) 1 sin(tx) −a = , = cos(tx)dx + i sin(tx)dx = 2a −a 2at at −a | {z }
(1.9)
=0, da sin punktsym.
insbesondere ist
1 ˆ . U[−a,a] (t) ≤ a|t|
(1.10)
Ta := U[− a2 , a2 ] ∗ U[− a2 , a2 ]
(1.11)
Die Verteilung, gegeben durch heißt Dreiecksverteilung auf [−a, a] mit Dichte ( |x| 1 1 − a a ta (x) = 0
f¨ ur
|x| ≤ a
f¨ ur
|x| > a.
(1.12)
Mittels (1.9) und (1.11) ergibt sich Tˆa (t) =
sin at 2
2
at 2
.
(1.13)
Wieder l¨asst sich die Fouriertransformierte absch¨atzen zu |Tˆa (t)| ≤
4
f¨ ur
a2 t2
|t| ≥ 1.
Einen noch schnelleren Abfall erh¨ alt man durch m-maliges Falten (m ≥ 2, m gerade) ∗m Hm,a := U[− ma , ma ] .
(1.14)
Hm,a hat den Tr¨ ager [−a, a], d.h. Hm,a ([−a, a]c ) = 0. Wieder ist !m at sin m ˆ m,a (t) = H ≥ 0 f¨ ur gerade m. at
(1.15)
m
Die Dichte von Hm,a , bezeichnet mit hm,a (x), ist m-mal differenzierbar und es gilt ˆ m,a (t)| ≤ |H
16
1
, a m |t|m m
|t| ≥ 1.
(1.16)
1.5 Gl¨attungsverteilungen
R¨ ucktransformation Sei
−1 sin(x) m dx < ∞, m ≥ 2. x −∞
Z cm =
∞
F¨ ur a > 0 und m ∈ N, m ≥ 2, m gerade sei Ga,m der Wahrscheinlichkeitsinhalt mit der Dichte ga,m (x) = cm · a ·
sin(ax) ax
m ≥ 0, x ∈ R.
(1.17)
Dann ist Z
∞
Z
∞
ga,m (x)dx = cm a −∞
−∞
sin(ax) ax
m
y=ax
Z
∞
dx = cm −∞
sin(y) y
m dy = 1.
Die Fourierinversion ist 2πacm hm·a,m (t) = gˆa,m (−t) = gˆa,m (t), d.h. gˆa,m (t) = 0
f¨ ur
|t| ≥ m · a.
Satz 1.32. Sei u eine reellwertige, nichtnegative, nicht steigende Funktion auf [1, ∞[, so dass Z ∞ u(t) dt < ∞. t 1 Dann existiert f¨ ur jedes l > 0 ein Wahrscheinlichkeitsinhalt K auf R mit Dichte k, so dass gilt: i.
Z K(x)dx = 1
k(x) ≥ 0,
ii. k(x) = 0, iii.
|x| > l,
√ ˆ ˆ K(t) = |k(t) 2π| = O (exp(−|t|u(|t|)) f¨ ur alle |t| ≥ 1.
Beweis: Siehe Handout.
Bemerkung 1.33. Dieses Ergebnis ist auch gleich die bestm¨ ogliche Wachstumsrate f¨ ur die charakeristische Funktion des Wahrscheinlichkeitsinhalts. Genauer: Es ist gezeigt, dass f¨ ur eine reellwertige, nichtnegative, nicht steigende Funktion u auf [1, ∞) mit Z ∞ u(t) dt = ∞ t 1 kein Wahrscheinlichkeitsinhalt mit den Eigenschaften aus Satz 1.32 existiert. Der Beweis benutzt das Resultat von Paley-Wiener: R F¨ ur f ∈ L2 (R), d.h. |f (x)|dx < ∞ ist Z
∞
−∞
| log |fˆ(t)|| dt < ∞. 1 + t2
17
1 Die Fouriertransformation
1.6 Vergleich von Inhalten Bemerkung 1.34. Alle Regeln (z.B. Proposition 1.29) f¨ ur Faltungen und Fouriertransformationen gelten auch f¨ ur Summen von einfachen Inhalten. Diese Summen seien im Folgenden kurz Inhalte genannt. Proposition 1.35. Es gilt f¨ ur alle Kombinationen von endlichen einfachen Inhalten µ und ν vom Typ (α) und Typ (β): i. Die Faltung µ ∗ ν ist wieder ein einfacher Inhalt mit den Regeln a) ”(β) ∗ (β) = (β)” b) ”(β) ∗ (α) = (α)” c) ”(α) ∗ (α) = (α)” ii. Sei f bez¨ uglich µ, ν integrierbar. Dann ist Z Z ∞ Z ∞ Z f dµ ∗ ν = f (x + y)µ(dy) ν(dx) = f dν ∗ µ. −∞
−∞
¨ Beweis: Ubung.
Definition 1.36. Sei f : R → R st¨ uckweise stetig. Dann ist f+ε :=
sup
f (y),
y∈[x−ε,x+ε]
f−ε :=
inf
f (y)
y∈[x−ε,x+ε]
und fδε (x) := f+ε (x) − f−ε (x). Lemma 1.37. Sei ε > 0 und Kε ein Wahrscheinlichkeitsinhalt mit Kε ([−ε, ε]) = 1, Kε (R) = 1. Ferner seien µ, ν+ , ν− endliche Inhalte und ν := ν+ − ν− der signierte Inhalt. Weiterhin sei f st¨ uckweise stetig und bez¨ uglich µ, ν+ , ν− integrierbar. Wir definieren Z Z Z f d(µ − ν) := f dµ − f dν. Dann ist Z Z Z ε ε f d(µ − ν) ≤ max f+ d(µ − ν) ∗ Kε , − f− d(µ − ν) ∗ Kε | {z } =:γ(f,ε)
Z + max | wobei
Z
f+ε d(µ
f+2ε
Z
− f d(ν+ ), {z
(f −
f−2ε )d(ν+ )
f+ε dµ
Z ∗ Kε −
, }
=:τ (f,2ε)
Z − ν) ∗ Kε :=
f+ε dν ∗ Kε
ist. Hier sind die f±ε wieder µ, ν± -integrierbar und (µ − ν) ∗ Kε ist eine Linearkombination von einfachen Inhalten vom Typ (α).
18
1.6 Vergleich von Inhalten
Beweis: i. Wir betrachten zun¨ achst Z γ(f, ε) ≥ f+ε d(µ − ν) ∗ Kε Z ε Z ∞ = f+ε (y + x) (µ − ν)(dy) Kε (dx) −ε −∞ Z ε Z ∞ Z ∞ Z ∞ ε ε = f+ (y + x) µ(dy) − f (y)ν(dy) − (f+ (y + x) − f (y))νd(y) Kε (dx) −ε −∞ −∞ −∞ | {z } | {z } =:I1
=:I2
F¨ ur |x| ≤ ε gilt per Definition von f+ε f+2ε (y) ≥ f+ε (x + y) ≥ f (y).
(1.18)
Da das ¨ außere Integral nur u ¨ber Werte |x| < ε l¨auft, l¨asst sich I1 also nach unten absch¨atzen durch Z ∞ I1 ≥
f (y)µ(dy). −∞
Weiter gilt I2 = −
Z
∞
Z
∞
f+ε (y + x) − f (y) (ν+ − ν− )(dy) {z } | −∞ ≥0
≥− −∞ (1.18)
≥ −
Z
f+ε (y + x) − f (y)ν+ (dy) (f 2ε (y) − f (y)) ν+ dy, } | + {z ≥0
also insgesamt Z
ε
Z
γ(f, ε) ≥ Kε [−ε,ε]=1
Z−ε ∞
=
−∞
∞
Z
∞
(f+2ε (y)
f (y) (µ − ν)(dy) − −∞ Z ∞ 2ε f d(µ − ν) − (f+ − f )dν+ −∞
− f (y))ν+ (dy) Kε (dx) (?)
−∞
Z ≥
f d(µ − ν) − τ (f, 2ε).
ii. Analog gilt Z
∞
f−ε d(µ − ν) ∗ Kε − γ(f, ε) ≤ −∞ Z ε Z ∞ Z Z ∞ ε ε = f− (y + x) µ(dy) − f (y)ν(dy) + (f (y) − f− (y + x)) ν(dy) Kε (dx) {z } {z } −ε −∞ | −∞ | Z ≤
≤f (y) Z ∞
f d(µ − ν) + −∞
≥0
(f − f−2ε )dν+ , (??)
19
1 Die Fouriertransformation da f¨ ur |x| ≤ ε auch f−2ε ≤ f−ε (y + x) ≤ f (y) ist. Insgesamt ergibt sich also Z −γ(f, ε) − τ (f, 2ε) ≤ −γ(f, ε) − (f − f−2ε )dν+ Z (??) ≤ f d(µ − ν) (?)
≤ γ(f, ε) + τ (f, 2ε), woraus sich unmittelbar die Behauptung ergibt. Korollar 1.38. Es gilt Z Z f d(µ − ν) ≤ γ(f, ε) + f 2ε dν+ δ
(1.19)
ur a, b ≥ 0 Beweis: Per Definition ist fδ2ε = f+2ε − f−2ε . Also folgt mit max(a, b) ≤ a + b f¨ Z Z Z 2ε 2ε f d(µ − ν) ≤ γ(f, ε) + max f − f dν , f − f dν + + + − Z Z Z 2ε 2ε ≤ γ(f, ε) + (f+ − f )dν+ + (f − f− )dν+ = γ(f, ε) + fδ2ε dν+ Korollar 1.39. F¨ ur f (x) := I(−∞,a] (x) gilt |µ((−∞, a]) − ν((−∞, a])| ≤ max |((µ − ν) ∗ Kε )((−∞, a ± ε])| + ν+ ([a − 2ε, a + 2ε]) +,−
(1.20)
Beweis: In diesem Fall f+ε (x) = I(∞,a+ε] (x), f−ε (x) = I(−∞,a−ε] (x) und I[a−ε,a+ε] (x). Somit ist
R
fδ2ε dν+ = ν+ ([a − 2ε, a + 2ε]) und Z
a+ε
Z
a−ε
1 d(µ − ν) ∗ Kε , −
γ(f, ε) = max −∞
1 d(µ − ν) ∗ Kε
−∞
= max |(µ−ν)∗Kε ((−∞, a±ε])|. +,−
Seien nun µ, ν endliche Inhalte auf R. Wir setzen Kε := Hε,m , m gerade, m ≥ 4. Dann ist wegen Kε ([−ε, ε])c = 0 Kε (R) = 1 = Kε ([−ε, ε]). (µ − ν) ∗ Kε hat eine Dichte vom (Typ (α)), denn Hε,m hat die Dichte (vgl. (1.14)) ∗m hε,m (x) = U[− mε , mε ] (x).
20
1.6 Vergleich von Inhalten Die Dichte von (µ − ν) ∗ Kε ist definiert durch Z ∞ pµ,ν,ε (x) := hε,m (x − y) (µ − ν)(dy) −∞
und es gilt
√
(1.15) ˆ ε (t). 2π pˆµ,ν,ε (t) = [(µ − ν) ∗ Kε (t)]∧ (t) = (ˆ µ(t) − νˆ(t))K
Um nun den Satz u ¨ber die Fourierinversion von Funktionen (vgl. Proposition 1.12) anwenden zu k¨onnen, m¨ ussen wir noch zeigen, dass kˆ pµ,ν,ε (t)k1 < ∞. Wir wissen
Dar¨ uber hinaus ist
Z
Z |ˆ µ(t)| =
ˆ ε (t)|dt < ∞. t2 |K
∞ itx
e
Z µ(dx) ≤
∞
µ(dx) < ∞
∀t,
−∞
−∞
also sind supt |ˆ µ(t)| < ∞ und analog supt |ˆ ν (t)| < ∞. Somit folgt Z ∞ 1 ˆ ε (t)dt. pµ,ν,ε (x) = e−itx (ˆ µ − νˆ)(t)K 2π −∞ Korollar 1.40. Seien µ, ν endliche Inhalte, ν = ν+ − ν− , µ(R) = ν(R) und Z Z |x|µ(dx) + |x|(ν+ − ν− )(dx) < ∞. Dann gilt f¨ ur alle a ∈ R ∞
µ ˆ (t) − ν ˆ (t) ˆ ε (t) dt + ν+ ([a − 2ε, a + 2ε]). K t −∞ R ˆ ε (t)| < ∞. Dabei ist Kε ein Wahrscheinlichkeitsinhalt mit Kε ([−ε, ε]) = 1 und |K 1 |µ((−∞, a]) − ν((−∞, a])| ≤ 2π
Z
∗m , m ≥ 2. Bemerkung: Kε ist frei w¨ ahlbar, z.B. Kε = Hε,m
Beweis: Sei t ∈ R\{0} beliebig. Dann ist Z itx µ ˆ(t) − νˆ(t) = e (µ − ν)(dx) t t Z itx e − 1 µ(R)=ν(R) = (µ − ν)(dx) t Z itx e − 1 (µ − ν+ + ν− )(dx). ≤ t itx F¨ ur alle t ∈ R\{0} l¨ asst sich e t−1 durch |x| majorisieren, so dass u ¨ber Messbarkeit und integrierbarer Majorante die Integrabilit¨at des Ausdrucks folgt. Aus diesem Grund ist Z ∞ i ˆ(t) − νˆ(t) ˆ ε (t) µ Pµ,ν,ε (a) := e−ita K dt (1.21) 2π −∞ t wohldefiniert und 0 Pµ,ν,ε (a) =
1 2π
Z
∞
−∞
ˆ ε (t) e−ita K
µ ˆ(t) − νˆ(t) dt = pµ,ν,ε (a), t
21
1 Die Fouriertransformation wobei pµ,ν,ε (a) die Dichte von ((µ − ν) ∗ Kε ) ist. Um Integration und Differentiation mittels Lebesgue vertauschen zu k¨ onnen, m¨ ussen wir eine integrierbare Majorante finden, was leicht m¨oglich ist. Es folgt Z a
Pµ,ν,ε (a) =
C ∈ R.
pµ,ν,ε (t)dt + C, −∞
Da nach dem Riemann-Lebesgue-Lemma (vgl. 1.27) lima→±∞ Pµ,ν,ε (a) = 0 gilt, folgt C = 0. Also ist Z a ((µ − ν) ∗ Kε )((−∞, a]) = pµ,ν,ε (t)dt = Pµ,ν,ε (a). −∞
und somit 1 max |((µ − ν) ∗ Kε )((−∞, a ± ε])| ≤ sup |Pµ,ν,ε (a)| ≤ +,− 2π a Die Behauptung folgt nun aus Korollar 1.39.
∞
µ ˆ(t) − νˆ(t) ˆ |Kε (t)| · dt < ∞. t −∞ (1.22)
Z
Bisher haben wir ein Wahrscheinlichkeitsinhalt Kε mit Kε ([−ε, ε]) = 1 betrachtet. Jetzt wollen wir einen Wahrscheinlichkeitsinhalt Kε mit α := Kε ([−ε, ε]) > 12 genauer untersuchen. Das folgende Lemma entspricht dem Lemma 1.37. Lemma 1.41. Seien µ, ν+ , ν− endliche Inhalte, ν := ν+ − ν− und f eine µ, ν+ , ν− -integrierbare, beschr¨ ankte Funktion. Ferner sei Kε ein Wahrscheinlichkeitsinhalt mit 1 α := Kε ([−ε, ε]) > . 2 Dann gilt Z 1 ∗ ∗ ∗ f d(µ − ν) ≤ 2α − 1 (γ (f, ε) + ατ (f, 2ε) + (1 − α)τ (f, ε)) . Hierbei sind γ ∗ (f, ε) := sup{γ(fy , ε)|y ∈ R} und τ ∗ (f, ε) := sup{τ (fy , ε)|y ∈ R}, wobei fy die zu f verschobene Funktion sei, d.h. fy := f (x + y), x, y ∈ R. Beweis: Siehe Handout.
Sei nun f : R → R st¨ uckweise stetig, beschr¨ankt, ε > 0 und µ ein endlicher Inhalt. Dann ist das mittlere Schwingungsmodul (”average modules of oscillation”) gegeben durch Z ω(f, ε, µ) := fδε µ(dx) mit fδε := f+ε − f−ε und
ω ∗ (f, ε, µ) := sup{w(fy , ε, µ)|y ∈ R}.
Korollar 1.42. Unter den Voraussetzung von Lemma 1.41 gilt: Z f d(µ − ν) ≤ (2α − 1)−1 (γ ∗ (f, ε) + αω ∗ (f, 2ε, ν + ) + (1 − α)ω ∗ (f, ε, ν + )) ≤ (2α − 1)−1 (γ ∗ (f, ε) + ω ∗ (f, 2ε, ν + ))
22
1.7 Vergleich unendlicher Inhalte
Beweis: Im Beweis zu Korollar 1.38 hatten wir Z Z Z Z ε + ε + ε ε + τ (f, ε) = max (f+ − f )dν , (f − f− )dν ≤ (f+ − f− )dν = fdε dν + = ω(f, ε, ν + ). Supremumsbildung liefert τ ∗ (f, ε) ≤∗ (f, ε) ≤ ω ∗ (f, ε, ν + ) ≤ ω ∗ (f, 2ε, ν + ). Anwendung: F¨ ur f = I]−∞,a] , a ∈ R folgt daraus 1 |µ((−∞, a]) − ν(−∞, a])| ≤ 2α − 1
sup((µ − ν) ∗ Kε ) ((−∞, x]) + sup ν ((x − 2ε, x + 2ε]) . +
x∈R
x∈R
Das folgende Korollar entspricht Korollar 1.40. Korollar 1.43. Seien µ, ν+ , ν− endliche Inhalte, ν = ν+ − ν− , µ(R) = ν(R) und Z Z |x|µ(dx) + |x|(ν− + ν− )(dx) < ∞. Weiter sei Kε ein Wahrscheinlichkeitsinhalt, α := Kε ([−ε, ε]) > Z ˆ ε (t)|dt < ∞. |K
1 2
mit
Dann ist Z ∞ µ 1 1 ˆ(t) − νˆ(t) ˆ |Kε (t)| · sup |µ((−∞, x]) − ν((−∞, x])| ≤ dt 2α − 1 2π −∞ t x∈R + sup ν+ ((x − 2ε, x + 2ε]) x∈R
1.7 Vergleich unendlicher Inhalte Beispiel 1.44. Sei a < b, a, b ≥ 0. Das Z¨ ahlmaß (im Primzahlsatz) ist gegeben durch µ((a, b]) := #{n ∈ N| log n ∈ (a, b]}. Eine erste Approximation dieser Summation geschieht durch Integration: Z ν((a, b]) := 1 dx. {x∈R| log x∈(a,b]}
Der Z¨ ahlinhalt korrespondiert mit dem L¨ angeninhalt und Summen mit Gewichten 1 entsprechen dem Riemannintegral. Wir wollen nun den Fehler absch¨ atzen: i. F¨ ur (µ − ν)([0, n]) divergiert die Differenz f¨ ur n → ∞. Der optimale Fehler ist hier also einfach zu bestimmen: µ((0, n]) = #{k ∈ N| log k ∈ [0, n]} = #{1, . . . , [en ]} = [en ]
23
1 Die Fouriertransformation Z ν((0, n]) =
1 dx {log x∈[0,n]}
Z =
I[0,n] (log x)dx Z
=
I[0,n] (log ey )ey dy = en − 1
Also ist der Fehler maximal 1. ii. Betrachten wir jedoch (µ ∗ µ − ν ∗ ν)([0, n]), so ist die Errechnung des optimalen Fehlers sehr schwierig. Wir ziehen hierzu eine exponentielle Transformation von µ und ν heran, falls µ(R− ) = ν(R− ) = 0 ist. Sei also f¨ ur σ > 0 zu µ µσ der folgende Inhalt Z b µσ ((a, b]) := e−σx µ(dx), 0 ≤ a ≤ b. a
Oftmals ist dann µσ ein endlicher Inhalt vom Typ (α) oder (β) (d.h. Summe oder Integral) f¨ ur alle σ ≥ σ0 > 0. Falls jedoch µ((−∞, 0)) > 0 ist, so wird manchmal µσ nur in einem Intervall [σ1 , σ2 ], σ2 ≥ σ1 > 0 ein endlicher Inhalt. ur σ > 0 und µ(R− ) = ν(R− ) = 0. Proposition 1.45. Seien µ, ν Inhalte mit endlichen µσ , νσ f¨ Dann gilt f¨ ur t ∈ R und σ > 0 i. µσ ∗ νσ = (µ ∗ ν)σ
(1.23)
ii. F¨ ur die Laplace-Transformierte µσ = µσ (R) ist µ ˆσ (t) = µ ˆ(t + iσ), µ ˆσ wird Fourier-Laplace-Transformierte genannt. iii. µ[ ∗ ν(t + iσ) = µ ˆ(t + iσ) · νˆ(t + iσ). Beweis: i. Es ist Z (µ ∗ ν)((a, b]) =
I(a,b] (z)µ ∗ ν(dz) Z Z = I(a,b] (x + y)µ(dx) ν(dy). Z = µ((a, b] − y)ν(dy).
Wir wissen, dass µ((a, b] − y) = 0 f¨ ur y > b und ν(y) = 0 f¨ ur y < 0. Also ist Z (µ ∗ ν)((a, b]) = 0
b
µ((a, b] − y) ν(dz) < ∞, | {z }
≤µ((−∞,b])<∞
und somit µ ∗ ν wieder ein Inhalt.
24
(1.24)
1.7 Vergleich unendlicher Inhalte Mit I := (a, b], 0 ≤ a < b, gilt nun Z (µ ∗ ν)σ (I) = II (z)e−σz µ ∗ ν(dz) Z Z −σ(x+y) = II (x + y)e µ(dx) ν(dy) Z = µσ (I − y)e−σy ν(dx) = (µσ ∗ νσ )(I) ii.
Z µ ˆσ (t) =
itx −σx
e
e
Z µ(dx) =
ei(t+iσ)x µ(dx) = µ ˆ(t + iσ).
iii. \ \ (µ ∗ ν)(t + iσ) = (µ ∗ ν)σ (t) = (µ\ ˆσ (t)ˆ νσ (t) = µ ˆ(t + iσ)ˆ ν (t + iσ) σ ∗ νσ )(t) = µ Lemma 1.46. Seien µ, ν Inhalte vom Typ (α) mit Dichte f (x) f¨ ur x > 0 und f (x) = 0 f¨ ur x ≤ 0, wobei f k-mal stetig differenzierbar, k ≥ 1, ist mit Z b |f (k) (x)|dx < ∞ a
f¨ ur alle 0 ≤ a < b < ∞ und f¨ ur σ ≥ σ0 Z ∞
|f (k) (x)|e−σx dx < ∞.
0
Dann gilt (k) (t + iσ) = ((−i)(t + iσ))k fˆ(t + iσ), fd
σ ≥ σ0 .
(1.25)
Falls f (k) die Dichte des zugeh¨ origen signierten Inhalts µ(k) ist, gilt (k) (t + iσ) = (−it + σ)k µ µd ˆ(t + iσ).
Beweis: Sei o.B.d.A. k = 1. Der Rest ist Induktion. Dann gilt Z ∞ Z T 0 −σx itx f (x)e e dx = lim f 0 (x)e(it−σ)x dx T →∞ 0
0
Partielle Integration liefert Z T Z 0 (it−σ)x (it−σ)x T f (x)e dx = f (x)e − 0 0
T
(it − σ)e(it−σ)x f (x)dx.
(1.26)
0
Aus f (0) = 0 folgt mittels Hauptsatz der Integal- und Differentialrechnung Z x f (x) = f 0 (y)dy, 0
also
Z |f (x)| ≤
x
|f 0 (y)|dy.
0
25
1 Die Fouriertransformation
Somit ist Z
T
−σx
|f (x)|e
T
Z
x
Z
dx ≤
0
−σx
|f (y)|dy e
0
0
T
Z
Z
T
dx ≤
0
0
0
|f (y)|dy e−σx dx,
y
da der Integrand stets positiv ist und 0 ≤ y ≤ x ≤ T gilt. Wir wenden nun den Satz von Fubini (vgl. 1.5) an (Integrierbarkeit nach x bzw. y gegeben), so dass folgt T
Z
−σx
|f (x)|e
Z y T
Z
−σx
|f (x)|e 0
T
−σx
e 0
Mit
T
Z
dx ≤
0
ist nun
T
Z
dx |f 0 (y)|dy.
y
T 1 1 e−σx dx = − e−σx y ≤ e−σy σ σ
1 dx ≤ σ
T
Z
e−σy |f 0 (y)|dy < ∞,
f¨ ur
σ ≥ σ0 > 0.
0
Somit existiert Z lim
T →∞ 0
T
e(it−σ)x f (x)dx =
Z
∞
e(it−σ)x f (x)dx = fˆ(t + iσ).
0
F¨ ur den Randterm in (1.26) gilt Z
T
lim
T →∞ 0
−σx
|f (x)|e
1 dx ≤ σ
Z
∞
e−σy |f 0 (y)|dy < ∞,
0
d.h., da f stetig ist, gibt es eine geeignete Teilfolge Tn , so dass gilt lim |f (Tn )|e−σTn = 0
n→∞
Also gilt zusammenfassend Z ∞ Z 0 (it−σ)x f (x)e dx = (−i(t + iσ)) 0
∞
e(it−σ)x f (x)dx.
0
1.8 Gl¨ attungsungleichungen f¨ ur unbeschr¨ ankte Inhalte Seien ν± , µ Inhalte ν = ν+ − ν− , (ν+ + ν− + µ)(iσ) < ∞ und (µ + ν+ + ν− )(R− ) = 0.
∗m
Ferner sei Kε := U[− mε , mε ] eine Gl¨ attungsverteilung wie in (1.16) mit m ≥ 4 und Kε (R\[−ε, ε]) = ˆ ε (t + iσ) f¨ 0. Dann existiert K ur σ > 0 und es gilt f¨ ur a ≥ 0 Z ∞ (ˆ 1 µ − νˆ)(t + iσ) ˆ |(µ − ν)((−∞, a])| ≤ eσ(a+ε) Kε (t + iσ) dt + ν+ ([a − 2ε, a + 2ε]) (1.27) 2π −∞ t + iσ
26
1.8 Gl¨attungsungleichungen f¨ ur unbeschr¨ankte Inhalte
und
Z
1 (µ − ν) ∗ Kε ((−∞, a]) = 2π
∞
eσa−iat
−∞
(ˆ µ − νˆ)(t + iσ) ˆ Kε (t + iσ)dt. (−i)(t + iσ)
(1.28)
Beweis: Wir benutzen die Fourierinversion, um (1.28) zu zeigen. Sei fε die Dichte von Fε (a) := (µ − ν) ∗ Kε ((−∞, a]), d.h. Fε0 (a) = fε (a). Dann ist −σa
e
∞
1.12
Z
1.46
−∞ Z ∞
1 Fε (a) = 2π =
1 2π
e−ita Fˆε (t + iσ)dt e−ita
−∞
fˆε (t + iσ) dt −it + σ
Also folgt durch Multiplikation mit eσa Z ∞ 1 (ˆ µ − νˆ)(t + iσ) ˆ Fε (a) = e−i(t+iσ)a K(t + iσ)dt. 2π −∞ −it + σ Es bleibt also nur noch die Existenz des Integrals zu u ufen. Nach Voraussetzung ist ¨berpr¨ µ ˆ(iσ) + νˆ+ (iσ) + νˆ− (iσ) ≤ c(µ, ν), also gilt fˆ (t + iσ) c(µ, ν) ε ˆ ε (t + iσ)|. ˆ ε (t + iσ) ≤ K |K 2 (t + σ 2 )1/2 t + iσ Weiter ist
sin ε (t + iσ) m m ˆ |Kε (t + iσ)| = . (t + iσ) ε m m
Da sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) ist, folgt ε ε ε ε ε ε t + cosh σ sin t . iσ + t = sinh σ cos sin m m {zm } | {zm } {zm } | {zm } | | ε
|·|≤|e m σ |
Somit ist
ε
|·|≤1
ˆ ε (t + iσ)| ≤ ce( m σ)m · |K
m m ε
ε
|·|≤|e m σ |
|·|≤1
(σ 2 + t2 )1/2 .
Mit Satz 1.35 und Korollar 1.39 gilt also (1.28). |(µ − ν)((−∞, a])| ≤ max |(µ − ν) ∗ Kε ((−∞, a ± ε]| + ν+ [a − 2ε, a + 2ε], +,−
woraus die Ungleichung folgt.
27
1 Die Fouriertransformation
28
2 Der Primzahlsatz Sofern nichts anderes angegeben ist, sei im Folgenden stets s = σ + it (s ∈ C, σ ∈ R, t ∈ R). Vergleich von Summe und Integral Lemma 2.1 (Euler-MacLaurin). Seien a < b und f : [a, b] −→ R stetig differenzierbar. Sei [x] := max{n ∈ Z : n ≤ x}. Dann gilt mit ξ(x) := x − [x] − 12 X
b
Z f (n) =
a
b
Z f (x) dx +
a
ξ(x)f 0 (x) dx + (ξ(a)f (a) − ξ(b)f (b)) .
(2.1)
a
... Mellin-Transformation R∞ Sei |f (x)| xσ / x Riemann-integrierbar auf R+ f¨ ur ein σ ∈ R, d. h. sei 0 |f (x)| xσ ein σ ∈ R. Dann heißt Z ∞ dx fe(σ + it) := f (x)xσ+it (t ∈ R) x 0
dx x
< ∞ f¨ ur
Mellin-Transformation von f. Satz 2.2 (Mellin-Inversion). Sei
R +∞ −∞
|fe(σ + it)| dt < ∞. Dann gilt
1 f (x) = 2π
Z
+∞
fe(σ + it)x−(σ+it) dt
−∞
f¨ ur (fast) alle x ≥ 0. ... Die Zetafunktion ¨ Ahnlich wie die Mellin-Transformation von Funktionen R ∞ kann man die Mellin-Transformation von Inhalten einf¨ uhren: Ist ν ein Inhalt auf R+ mit 0 x−σ ν(dx) < ∞ f¨ ur ein σ ∈ R, so heißt Z ∞ νe(σ + it) := x−σ−it ν(dx) (t ∈ R) 0
Mellin-Transformation von ν. Man beachte, dass wir in der Definition s durch 1 − s ersetzen; dies ist bequem, da die im Folgenden betrachteten Mellin-Transformierten dadurch f¨ ur σ > 1 (statt f¨ ur σ < 0) erkl¨ art sind. Es sei µ der Z¨ ahlinhalt“ auf Z und λ der L¨angeninhalt“ auf R. Betrachten wir nun ” ” µ+ := µ|[1,∞) und λ+ := λ|[1,∞) und ihre Mellin-Transformierten f¨ ur σ > 1, Z µ e+ (σ + it) =
∞
−σ−it
x 0
µ+ (dx) =
∞ X n=1
n
−σ−it
=
∞ X
n−s =: ζ(s)
(2.7)
n=1
29
2 Der Primzahlsatz
(dies ist die sogenannte ζ-Funktion) und Z ∞ Z −σ−it e λ+ (σ + it) = x λ+ (dx) = 0
∞
−σ−it
x
∞
Z dx =
1
x−s dx =
1
1 . s−1
(2.8)
... Es gilt Y
ζ(s) =
(1 − p−s )−1 ,
Re(s) > 1 ,
(2.13)
p prim
die Euler’sche Formel. Die Dirichlet-Reihe µ e+ (s) =
P∞
n=1 n
Z e+ (s) = µ e+ (s) − λ
−s
∞
konvergiert absolut f¨ ur Re(s) > 1. Betrachtet man nun
x−s (µ+ − λ+ )(dx) =
0
∞ X
n−s −
n=1
1 , s−1
so gilt nach Euler-MacLaurin (Lemma 2.1) b X n=a+1
n
−s
b Z b x1−s b −(1+s) −s − =− ξ(x)x s dx − ξ(x)x . 1−s a a a
Setze a = 1, lasse b → ∞ und addiere 1. Dann folgt aus (2.14) f¨ ur Re(s) > 1 Z ∞ 1 1 ζ(s) − =− ξ(x)x−(1+s) s dx + , s−1 2 1
(2.14)
(2.15)
denn (1) es gilt 1−s 1−σ b = lim b lim =0 b→∞ |1 − s| b→∞ 1 − s f¨ ur σ > 1, (2) die Folge der Integrale konvergiert wegen Z Z ∞ 1 ∞ −(1+σ) 1 −(1+σ) |ξ(x)|x dx ≤ x dx ≤ 2 1 2σ 1 f¨ ur σ > 0, (3) es gilt lim |ξ(b)b−s | ≤ lim b−σ = 0
b→∞
b→∞
f¨ ur σ > 0. 1 Nun gilt: ζ(s) ist durch die Dirichletreihe (2.7) f¨ ist bis auf ur Re(s) > 1 definiert, s−1 R∞ −(1+s) den Pol bei s = 1 u dx ist f¨ ur Re(s) > 0 wohl¨berall definiert, und s 7−→ s 1 ξ(x)x definiert und endlich!
Folgerung: ζ(s) ist f¨ ur alle Re(s) > 0 u ¨ber (2.15) definiert und hat einen Pol bei s = 1. In der Funktionentheorie heißt dies analytische Fortsetzung von ζ(s), Re(s) > 1.
30
2.1 Obere und Untere Schranken f¨ ur ζ(s) Lemma 2.3. Die komplexwertige Funktion ζ(s) ist f¨ ur alle s0 mit Re(s0 ) > 0, s0 6= 1 in eine konvergente Potenzreihe um s0 entwickelbar. Man nennt eine solche Funktion analytisch oder regul¨ ar in Re(s) > 0, s 6= 1. Beweis. (1) Es gilt 1 1 1 1 = = 0 s−1 (s − s0 ) + (s0 − 1) s0 − 1 1 + ss−s 0 −1 k ∞ X 1 k s − s0 (−1) , = s0 − 1 s0 − 1 k=0
0 falls | ss−s | < 1, d. h. |s − s0 | < |s0 − 1|. Also ist 0 −1 (2) Im Integral in (2.15) ist
1 s−1
analytisch.
x−(1+s) = x−(s−s0 )−(1+s0 ) = exp(−(s − s0 ) log x)x−(1+s0 ) ∞ X (− log x)k (s − s0 )k x−(1+s0 ) . = k! k=0
Mit dem Satz u ¨ber dominierte Konvergenz kann man Integral und Summe vertauschen, d. h. es gilt Z Z ∞ ∞ X 1 ∞ k dx −(1+s) ξ(x)(− log x) 1+s0 (s − s0 )k . u(s) := ξ(x)x ds = k! 1 x 1 k=0
Es gilt n¨amlich ∞ ∞ X k X (− log x) | log x|k (s − s0 )k x−(1+s0 ) ≤ |s − s0 |k x−(1+σ0 ) ξ(x) k! k! k=0
k=0
= exp(|s − s0 | log x)x−(1+σ0 ) = x|s−s0 |−1−σ0 =: h(x) R∞ und 0 h(x) dx < ∞, falls |s−s0 | < σ0 . (Statt dominierter Konvergenz reicht auch gleichm¨aßige R Konvergenz auf {| log x| ≤ N } und Absch¨atzung von · · · 1 {| log x|>N } dx.)
2.1 Obere und Untere Schranken f¨ ur ζ(s) F¨ ur festes σ > 1 hat ζ0 (t) :=
∞ ∞ X ζ(σ + it) X −σ = n exp(−it log n) / n−σ ζ(σ) n=1
(2.16)
n=1
Maximumbetrag 1, n¨ amlich f¨ ur t = 0, aber nicht f¨ ur t 6= 0. Sonst m¨ ussten n¨amlich alle ur exp(−it log n) gleich sein, d. h. es m¨ ussten α ∈ R, kn ∈ Z existieren mit log n = (α + 2πkn )/t f¨ alle n ∈ N, was offenbar nicht m¨ oglich ist. Wir benutzen jetzt die Ungleichung 3 + 4 cos ϕ + cos 2ϕ = 3 + 4 cos ϕ + 2 cos2 ϕ − 1 = 2(1 + cos ϕ)2 ≥ 0 .
(2.17)
31
2 Der Primzahlsatz
Die Euler-Produktdarstellung (2.13) ist f¨ ur Re(s) > 1 (absolut) konvergent. Logarithmieren liefert die f¨ ur Re(s) > 1 (absolut) konvergente Reihe X
log ζ(s) = −
log(1 − p−s ) = +
∞ X X 1 −ms p . m
(2.18)
p prim m=1
p prim
(Da komplexe Logarithmen nicht eindeutig bestimmt sind, sollte man dies wie folgt verstehen: F¨ ur z ∈ C mit Re(z) > 0 sei log z so gew¨ahlt, dass Im(log z) ∈ (−π/2, +π/2). Damit ist die rechte Seite in (2.18) wohldefiniert, da Re(1 − p−s ) > 0, und es gilt auch die verwendete Reihenentwicklung f¨ ur den Logarithmus. Nun definiere man log ζ(s) durch die rechte Seite in (2.18). Dann gilt Y Y exp(log ζ(s)) = exp(− log(1 − p−s )) = (1 − p−s )−1 = ζ(s), p prim
p prim
d. h. die Bezeichnung log ζ ist (im Sinne der Funktionentheorie) gerechtfertigt.) Aus (2.18) folgt ∞ X X 1 −mσ itm log p ζ(s) = exp p e m p prim m=1
und
∞ X X 1 −mσ |ζ(s)| = exp p cos(tm log p) . m
p prim m=1
ur σ > 1 das Produkt Um (2.17) zu benutzen, bilde f¨ ζ 3 (σ)|ζ(σ + it)|4 |ζ(σ + 2it)| = exp
! ∞ X X 1 −mσ p (3 + 4 cos(tm log p) + cos(2tm log p)) ≥ 1. {z } | m
p prim m=1
(2.19)
≥0 nach (2.17)
Insbesondere gilt also ζ(s) 6= 0 f¨ ur alle s ∈ C mit Re(s) > 1. Dar¨ uber hinaus gilt: Satz 2.4. Es gilt ζ(s) 6= 0 f¨ ur alle s ∈ C mit Re(s) ≥ 1. Beweis. Nach der Bemerkung zu (2.16) bzw. nach (2.15) gilt f¨ ur s = σ + it, σ > 1 Z 1 1 ∞ −(1+σ) 1 1 |ζ(s)| ≤ ζ(σ) ≤ + x σ dx + = + 1. σ−1 2 1 2 σ−1
(2.20)
Angenommen, ζ(1 + it) = 0. Da ζ(s) in 1 + it, 1 + 2it analytisch ist (Lemma 2.3), gilt dann |ζ(σ + it)| ≤ |σ − 1|c1 sowie |ζ(σ + 2it)| ≤ c2 (mit c1 , c2 > 0) f¨ ur alle |σ − 1| hinreichend klein. Also folgt aus (2.19) und (2.20) 1 ≤ ζ 3 (σ)|ζ(σ + it)|4 |ζ(σ + 2it)| ≤
2 |σ − 1|
f¨ ur alle |σ − 1| hinreichend klein; Widerspruch! Also ist ζ(1 + it) 6= 0 f¨ ur alle t.
3
(c1 |σ − 1|)4 c2 ≤ 8c41 c2 |σ − 1|
Die Gleichm¨aßigkeit“ in den nachfolgenden S¨atzen besagt, dass die in der O-Notation ver” steckten Konstanten unabh¨ angig von σ ∈ [1, 2] gew¨ahlt werden k¨onnen.
32
2.1 Obere und Untere Schranken f¨ ur ζ(s)
Satz 2.5. Es gilt ζ(s) = O(log t)
(t → ∞)
gleichm¨ aßig f¨ ur 1 ≤ σ ≤ 2. ¨ Beweis. Ahnlich ur Re(s) > 0 und beliebiges N ∈ N wie (2.15) ergibt sich f¨ ζ(s) −
N X
n−s = −s
Z
∞
n=1
N
Z N X −s n + s |ζ(s)| ≤
∞
ξ(x)x−(s+1) dx +
N 1−s 1 −s − N s−1 2
(2.22)
und somit
≤
≤
n=1 N X n=1
n
ξ(x)x
N
n=1
N X
−(s+1)
−σ
1 + |s| 2
Z
∞
1−s N 1 −s + N dx + s − 1 2
x−(σ+1) dx +
N
N 1−σ 1 + N −σ |s − 1| 2
1 N −σ N 1−σ 1 n−σ + |s| + + N −σ . 2 σ |s − 1| 2
F¨ ur σ ≥ 1, t ≥ 1 gilt daher mit N := [t] |ζ(s)| ≤
N X n=1
1 1 1 n−1 + (1 + t)N −1 + + N −1 = O(log N ) = O(log t) , 2 t 2
gleichm¨aßig f¨ ur 1 ≤ σ ≤ 2.
Satz 2.6. Es gilt ζ 0 (s) = O(log2 t)
(t → ∞)
gleichm¨ aßig f¨ ur 1 ≤ σ ≤ 2. Beweis. Differenziation nach s in (2.22) liefert eine ¨ahnliche Formel f¨ ur ζ 0 (s), allerdings mit einem zus¨atzlichen Faktor log N in einigen Termen. Eine ¨ahnliche Absch¨atzung wie im Beweis zu Satz 2.5 liefert die Behauptung. Satz 2.7. Es gilt 1 = O(log7 t) ζ(s)
(t → ∞)
gleichm¨ aßig f¨ ur 1 ≤ σ ≤ 2. Beweis. Nach (2.19), (2.20) und Satz 2.5 gilt f¨ ur σ ∈ ]1, 2] und t >> 0 1 (log t)1/4 ≤ ζ(σ)3/4 |ζ(σ + 2it)|1/4 ≤ c1 · |ζ(σ + it)| (σ − 1)3/4
(2.23)
mit einer Konstanten c1 > 0, die nicht von σ ∈ ]1, 2] abh¨angt. Nach Satz 2.6 gilt f¨ ur σ, σ 0 ∈ [1, 2] und t > >0 0
Z
|ζ(σ + it) − ζ(σ + it)| ≤
σ0
|ζ 0 (u + it)| du ≤ c2 |σ 0 − σ| log2 t
(2.24)
σ
33
2 Der Primzahlsatz mit einer Konstanten c2 > 0, die nicht von σ ∈ [1, 2] abh¨angt. Sei nun A > 0. F¨ ur σ ≥ 1 + (A/ log9 t), t > > 0 gilt dann wegen (2.23) c1 1 ≤ 3/4 log7 t. |ζ(σ + it)| A F¨ ur σ ≤ 1 + (A/ log9 t), t > > 0 folgt dann wegen (2.24) mit σ 0 := 1 + (A/ log9 t) 3/4 |ζ(σ + it)| ≥ |ζ(σ 0 + it)| − c2 (σ 0 − σ) log2 t ≥ c−1 A − c A log−7 t. 2 1 W¨ ahlt man daher A hinreichend klein, so folgt die Behauptung. Korollar 2.8. Es gilt
ζ 0 (s) = O(log9 t) ζ(s)
(t → ∞)
gleichm¨ aßig f¨ ur 1 ≤ σ ≤ 2. Beweis. Dies folgt unmittelbar aus den S¨ atzen 2.6 und 2.7.
F¨ ur das n¨achste Ergebnis sei angemerkt, dass sich die Funktion log ζ(s), die in (2.18) auf Re(s) > 1 definiert worden ist, auf Re(s) ≥ 1 fortsetzen l¨asst. (Dies ist m¨oglich, weil ζ(s) auf Re(s) ≥ 1 analytisch und nullstellenfrei ist.) log ζ(s) ist dann auf Re(s) ≥ 1 analytisch, und es gilt exp(log ζ(s)) = ζ(s)
(log ζ)0 (s) = ζ 0 (s)/ζ(s)
sowie
f¨ ur alle s ∈ C mit Re(s) ≥ 1, s 6= 1. Korollar 2.9. Es gilt log ζ(s) = O(log9 t)
(t → ∞)
gleichm¨ aßig f¨ ur 1 ≤ σ ≤ 2. Beweis. Es gilt 2
Z log ζ(σ + it) = − σ
ζ 0 (u + it) du + log ζ(2 + it) = O(log9 t) + O(1) ζ(u + it)
(t → ∞),
wobei die Absch¨ atzung des Integrals aus Satz 2.8 folgt und die Absch¨atzung von log ζ(2 + it) (2.18) verwendet: | log ζ(2 + it)| ≤
∞ X X p prim m=1
p−2m /m = −
X p prim
log(1 − p−2 ) ≤ c
X
p−2 < ∞.
p prim
2.2 Gl¨ attungsungleichungen f¨ ur Mellin-Transformierte Satz 2.10. Seien µ, ν + , ν − Inhalte auf R+ , so dass (µ + ν + + µ− )((0, δ]) = 0 f¨ ur ein δ > 0, und sei Kε , ε > 0, der Inhalt auf R+ mit Z b dx (∗)m , Kε ((a, b]) := U[−ε/m,+ε/m] (log x) x a (∗)m
wobei 0 ≤ a < b < ∞ und U[−ε/m,+ε/m] in (1.30) definiert ist. Bezeichne mit ⊗ die multiplikative Konvolution von Inhalten. Dann gilt f¨ ur alle a > 0:
34
2.3 Der Primzahlsatz
(a) |(µ − ν)((0, a])| ≤ max ((µ − ν) ⊗ Kε )((0, ae±ε ]) + ν+ ([ae−2ε , ae+2ε ]) , ±
(b) Z µ − νe)(s) e 1 (e ±ε s + ν+ ([ae−2ε , ae+2ε ]) , |(µ − ν)((0, a])| ≤ max K (s)(ae ) dt ε ± 2π s R∞ wobei s = σ + it, σ > 0, und f¨ ur Inhalte µ auf R+ µ e(s) := 0 x−s µ(dx) gesetzt werde. ...
2.3 Der Primzahlsatz Die Primzahldichte wird im Intervall [x, x + l] als l / log l vermutet (l << x). Setze deshalb Inhalt an f¨ ur die Primzahlen Z b dx (2 ≤ a < b ≤ ∞) ; ν((0, 2)) := 0 (2.25) ν((a, b]) := a log x sowie die tats¨ achliche Anzahl X
π((a, b]) :=
(2 ≤ a < b ≤ ∞) ;
1
π((0, 2)) := 0
(2.26)
p∈(a,b]:p prim
Dann gilt: Satz 2.11. F¨ ur Re(s) > 1 gilt π e(s) =
X
p−s = log ζ(s) + ϕ(s) ,
p
νe(s) = − log(s − 1) + ψ(s) , wobei ϕ, ψ f¨ ur Re(s) ≥ 1, |s − 1| ≤ 1 beschr¨ ankte analytische Funktionen sind. Insbesondere ist damit (e π − νe)(s) f¨ ur Re(s) ≥ 1, |s − 1| ≤ 1 eine beschr¨ ankte analytische Funktion. Ferner gilt (e π − νe)(s) = O(log9 t) (t → ∞) , ∂ (e π − νe)(s) = O(log9 t) ∂t
(t → ∞) ,
gleichm¨ aßig f¨ ur 1 ≤ σ ≤ 2. Beweis. Wegen (2.18) gilt f¨ ur Re(s) > 1 log ζ(s) =
X
p−s − ϕ(s) ,
p prim
wobei ϕ(s) := −
∞ X X
p−ks /k .
k=2 p prim
Diese Definition ist sogar f¨ ur Re(s) > 1/2 sinnvoll, denn dann gilt |ϕ(s)| ≤
∞ X ∞ X k=2 n=2
n
−kσ
≤
∞ X ∞ X n=2 k=2
n
−kσ
∞ X n−2σ ≤ ≤ c ζ(2σ) 1 − n−σ n=2
35
2 Der Primzahlsatz mit einer (von s unabh¨ angigen) Konstanten c > 0. Damit ist ϕ auf Re(s) ≥ eine beschr¨ankte analytische Funktion. (Auf ¨ahnliche Weise sieht man, dass auch auf Re(s) ≥ 1 eine beschr¨ ankte analytische Funktion ist.) Da Z ∞
x−s (log x)−1 =
x−(κ+it) dκ
1 ∂ϕ ∂t
(x > 1)
σ
und ∞
Z
x−s dx =
2
2−(s−1) (s − 1)
(σ > 1) ,
folgt mit Vertauschung der Integrationsreihenfolge Z νe(s) =
∞
−s
x
−1
(log x)
Z
∞
dx =
2
σ
2−((κ+it)−1) dκ . ((κ + it) − 1)
Mit Hilfe des letzten Integrals sieht man leicht, dass νe (und auch eine beschr¨ankte analytische Funktion ist. Ferner gilt Z νe(s) =
2
∞
2−((κ+it)−1) dκ + ((κ + it) − 1)
2
Z σ
2−((κ+it)−1) − 1 dκ + ((κ + it) − 1)
∂e ν ∂t )
Z
auf Re(s) ≥ 1, |s − 1| ≥ 1
2
1 dκ σ ((κ + it) − 1) {z } | = log(1+it) − log(s−1)
Der Term unter dem mittleren Integral l¨ asst sich in 1 analytisch fortsetzen. Damit sieht man leicht, dass die auftretenden Terme mit Ausnahme von log(s − 1) auf Re(s) ≥ 1, |s − 1| ≤ 1 beschr¨ankte analytische Funktionen darstellen. (e π − νe)(s) ist auf Re(s) ≥ 1, |s − 1| ≤ 1 eine beschr¨ankte analytische Funktion, da die Funktion log ζ(s) + log(s − 1) an der Stelle s = 1 analytisch [fortsetzbar] ist. Letzteres ergibt sich daraus, dass die Funktion (s − 1) · ζ(s) nach (2.15) an der Stelle 1 analytisch [fortsetzbar] ist, und zwar mit dem Funktionswert 1. ν Wie bereits angemerkt, sind ϕ(s), ∂ϕ e(s), ∂e ur |t| ≥ 1 beschr¨ankt. Damit gelten ∂t (s), ν ∂t (s) f¨ ∂ die oberen Schranken f¨ ur (e π − νe)(s) bzw. ∂t (e π − νe)(s) nach den S¨atzen 2.8 und 2.9. Nach diesen Vorbereitungen zeigen wir: Satz 2.12 (Primzahlsatz). Es gilt Z π(x) −
2
x
dy x ≤ ε(x) , log y log x
wo lim ε(x) = 0 ,
x→∞
d. h. lim
x→∞
denn Z 2
36
x
Z π(x) / 2
x
dy log y
x−2 dy ≥ , log y log x
= 1,
x > 2.
2.3 Der Primzahlsatz
Beweis. Wir wenden die Gl¨ attungsungleichung 2.10 (b) auf die Inhalte π und ν an. Dabei sei a > 2 und σ = 1 gew¨ ahlt. Der Gl¨ attungskern sei K1/T mit m = 4 und einer Konstanten T > 4, die sp¨ater noch gew¨ ahlt wird. Dann gilt |π((0, a]) − ν((0, a])| ≤ max{|IT (ae1/T )|, |IT (ae−1/T )|} + JT , wo IT (b) :=
1 2πi
Z
+∞
−∞
e 1/T (s)bs (e π (s) − νe(s))K
und Z JT =
[ae−2/T ,ae2/T ]
dt , s
s = 1 + it
dy a(e2/T − e−2/T ) 1 a ≤ ≤ c0 log y (log a) − 2/T T log a
(2.27)
f¨ ur eine Konstante c0 > 0 und T > 4. Nach Proposition 2.11 sind (e π − νe)(s)
∂ (e π − νe)(s) ∂t
und somit
beschr¨ankte analytische Funktionen f¨ ur Re(s) ≥ 1, |s − 1| ≤ 1 mit |(e π − νe)(s)| ≤ c1 (log |t|)9 ,
|t| ≥ 1, s = 1 + it ,
(2.28)
∂ (e π − νe)(s)| ≤ c2 (log |t|)9 , |t| ≥ 1, s = 1 + it , (2.29) ∂t f¨ ur absolute Konstanten c1 , c2 > 0. 1 ∂ it ( i log Im Integral IT (b) schreiben wir bit als ∂t b b ) und wenden partielle Integration an. Die Integrale existieren wegen ( −1 , |t| ≤ T e 1/T (s)s−1 | ≤ c3 |σ + it| |K (2.30) 4 −1 c3 (T /t) |σ + it| , |t| > T ( c4 |σ + it|−2 , |t| ≤ T ∂ e −1 | K1/T (s)s | ≤ (2.31) −1 4 −1 ∂t c4 T (T /t) |σ + it| , |t| > T |
f¨ ur absolute Konstanten c3 , c4 > 0 und wegen (2.28) – (2.29). Da die Randterme in ±∞ verschwinden, erhalten wir IT (b) = I1 + I2 , wo b = ae±1/T und Z e 1/T (s) bs K ∂ 1 (e π − νe)(s) dt I1 = − 2π ∂t s i log b Z Z = . . . dt + . . . dt =: I10 + I1∞ [−T 2 ,T 2 ]
[−T 2 ,T 2 ]C
und 1 I2 = − 2π Z =
Z
∂ (e π − νe)(s) ∂t Z . . . dt +
[−T 2 ,T 2 ]
e 1/T (s) K s
!
bs dt i log b
. . . dt =: I20 + I2∞ .
[−T 2 ,T 2 ]C
Die Integrale Ij,∞ (j = 1, 2) k¨ onnen wir absolut absch¨atzen mittels (2.28) – (2.31): Z ∞ 2 b dt |I1,∞ | ≤ c2 c3 (log t)9 (T /t)4 |σ + it|−1 2π T 2 log b a ≤ c5 T 4 (T 2 )−3 , log a
(2.32)
37
2 Der Primzahlsatz 2 |I2,∞ | ≤ 2π ≤ c6
Z
∞
c1 c4 (log t)9 T −1 (T /t)4 |σ + it|−1
T2
b dt log b
a T 3 (T 2 )−3 , log a
(2.33)
denn (log t)9 /t ist beschr¨ ankt f¨ ur |t| ≥ T . F¨ ur die Integrale Ij,0 (j = 1, 2) gilt Z +T 2 1 b Ij,0 = ei(log b)t wj (σ + it) dt · , 2π −T 2 log b wo b = ae±1/T und wj (j = 1, 2) analytisch ist mit |w1 (σ + it)| ≤ c7 log(1 + |t|)9 |σ + it|−1 , |w2 (σ + it)| ≤ c8 log(1 + |t|)9 |σ + it|−1 . Anwendung von Riemann-Lebesgue (Satz 1.20) liefert f¨ ur beliebiges ε > 0 und T := max{c0 , c5 , c6 }), dass f¨ ur a ≥ a(ε) gilt a ε (j = 1, 2) , |Ij,0 (a)| ≤ log a 4
6C ε
(C :=
so dass wegen (2.27), (2.32) und (2.33) folgt, dass f¨ ur a ≥ a(ε) gilt ε ε a a |π((0, a]) − ν((0, a])| ≤ c0 T −1 + c5 T −2 + c6 T −3 + + ≤ ε. log a 4 4 log a
2.4 Die Riemann’sche Vermutung Die Konvergenzrate im Primzahlsatz kann verbessert werden, aber bis heute ist nicht bekannt, ob Z x dy 1−ε ∆(x) := π(x) − (2.34) ≤ cε x 2 log y f¨ ur ein ε > 0. Dies ist ¨ aquivalent zu ζ(s) 6= 0, Re(s) ≥ 1 − ε. Die ber¨ uhmte Riemann’sche Vermutung (Riemann 1859) besagt, dass ζ(s) 6= 0, Re(s) > 21 . Wegen der Funktionalgleichung (→ Seminar) ist dann ζ(s) 6= 0, 0 ≤ Re(s) < 12 . Dies ist ¨aquivalent zur Vermutung ∆(x) = Oε (x1/2+ε )
(x → ∞)
f¨ ur alle ε > 0. ¨ Aus den Ubungen ist bekannt, dass −1
ζ(s)
=
∞ X
µ(n)n−s
(Re(s) > 1)
n=1
gilt. Inversion dieser Mellin-Transformation des signierten Inhalts X m((a, b]) := µ(n) n∈(a,b]
liefert, da ζ(s)−1 6= 0 und ζ(s)−1 analytisch auf Re(s) ≥ 1, ¨ahnlich wie im Primzahlsatz |m(x)| ≤ c(x)x , wo lim c(x) = 0 .
x→∞
Weiter gilt:
38
(2.35)
2.4 Die Riemann’sche Vermutung Satz 2.13. Aus m(x) = Oε (x1/2+ε ) (x → ∞) f¨ ur alle ε > 0 folgt: P∞ −s existiert f¨ ur Re(s) > 12 . (i) n=1 n P∞ −s (ii) ist analytisch auf Re(s) > 12 . n=1 n (iii) Die so definierte Funktion ist gleich ζ(s)−1 f¨ ur Re(s) > 1 Re(s) > 2 .
1 2,
und damit gilt ζ(s) 6= 0 f¨ ur
(iv) m(x) = Oε (x1/2+ε ) ist ¨ aquivalent zur Riemann’schen Vermutung.
39
2 Der Primzahlsatz
40
3 Fourier-Reihen und Periodische Funktionen 3.1 Definition und Eigenschaften Definition 3.1. Eine Funktion f : R → C heißt periodisch mit Periode L > 0, falls f (x + L) = f (x)
∀x ∈ R
ist. Dann ist x 7→ f (xL) periodisch mit Periode 1. Beispiel 3.2. i. f (x) = sin(2πx), ii. f (x) = cos(2πx), iii. f (x) = e2πix , iv. F¨ ur f : [0, 1] → R k¨ onnen wir uns mit g(x) := f (x − [x]) eine periodische Funktion konstruieren. Bemerkung 3.3. P = {f : R → C|f periodisch (mit Periode 1)} ist ein C-Vektorraum. Definition 3.4. i. C(R/Z) ⊂ P heißt der C-Vektorraum der stetigen, periodischen Funktionen. ii. C ∞ (R/Z) ⊂ P heißt der C-Vektorraum der unendlich oft stetig differenzierbaren, periodischen Funktionen. Hier entspricht R/Z der additiven Gruppe R modulo der additiven Untergruppe Z. Dies ist die ¨ ¨ Gruppe der Aquivalenzklasse bzgl. x ∼ y, wenn x − y ∈ Z. x ∈ R hat somit die Aquivalenzklasse x + Z. Ein Repr¨ asentantensystem von R/Z ist z.B. [0, 1). Ein anderes ist S 1 mit der Bijektion exp : [0, 1) → S 1 ⊂ C, x 7→ exp(2πix). In gleichem Maße wird (R × R)/(Z × Z) mit (R/Z) × (R/Z) = S 1 × S 1 , also mit einem Torus, identifiziert. Bemerkung 3.5. Ein Skalarprodukt auf C(R/Z) wird f¨ ur zwei Riemann-integrierbare Funktionen f, g definiert durch Z 1 hf, gi := f (x)g(x)dx. 0
Wegen der Stetigkeit von f gilt hf, f i = 0 ⇔ f ≡ 0.
41
3 Fourier-Reihen und Periodische Funktionen
Notation: ek (x) := exp(2πikx) = (exp(2πix))k , Proposition 3.6.
i. Falls k, l ∈ Z sind, ist 1 hek , el i = 0
f¨ ur f¨ ur
k ∈ Z.
k=l k 6= l.
ii. {ek |k ∈ Z} sind linear unabh¨ angig in C(R/Z). iii. Falls sich eine Funktion f u ¨ber f (x) =
n X
ck ek (x)
k=−n
darstellen l¨ asst, so ist ck = hf, ek i. ¨ Beweis: Ubung.
Der k-te Fourierkoeffizient ist gegeben durch 1
Z ck (f ) := hf, ek i =
f (x) exp(−2πikx)dx. 0
Die Folge n X
Sn (f ) =
ck (f )ek , n ∈ N
(3.1)
k=−n
heißt Fourier-Reihe. Diese musspnicht notwendigerweise konvergent sein. ullt, das bedeutet F¨ ur f ∈ C(R/Z) sei kf k2 := hf, f i. Dann sind die Normeigenschaften erf¨ f¨ ur λ ∈ C gilt i. kλf k2 = |λ| kf k2 , ii. 0 ≤ kf k2 ,
kf k2 = 0 ⇔ f ≡ 0,
iii. kf1 + f2 k2 ≤ kf1 k2 + kf2 k2
f¨ ur
f1 , f2 ∈ C(R/Z).
Sei R(R/Z) der Vektorraum der komplexwertigen Riemann-integrierbaren Funktionen auf [0, 1), die periodisch sind. Proposition 3.7. Sei f ∈ R(R/Z), ck = hf, ek i. Dann ist
2 n n
X X
|ck |2 . ck ek = kf k22 −
f −
k=−n
k=−n
2
Beweis: Mit g :=
n X
ck ek
k=−n
ist hf, gi =
n X k=−n
42
ck hf, ek i =
n X k=−n
ck ck .
3.2 Konvergenz der Fourierreihe
Außerdem gilt n X
hg, gi =
ck hg, ek i =
k=−n
n X
ck ck .
k=−n
Somit folgt kf −
gk22
kf k22
= hf − g, f − gi =
−2
n X
2
|ck | +
kgk22
=
kf k22
k=−n
−
n X
|ck |2 .
k=−n
Korollar 3.8 (Bessel-Ungleichung). F¨ ur f ∈ R(R/Z) seien ck die Fourierkoeffizienten von f . Dann ist Z 1 n X |ck |2 ≤ |f (x)|2 dx ∀n. 0
k=−n
Beweis: Mit kf k22 =
R1 0
|f (x)|2 dx folgt dies direkt aus Proposition 3.7.
3.2 Konvergenz der Fourierreihe k·k
Definition 3.9. Seien fn , f ∈ R(R/Z). Dann konvergiert fn gegen f in der L2 -Norm (fn →2 f ), wenn lim kfn − f k2 = 0 n→∞
ist. Bemerkung: L2 -Konvergenz impliziert nicht punktweise Konvergenz. Definition 3.10. Eine Riemann’sche Treppenfunktion ist eine Funktion der Form f (x) =
n X
αj IIj (x),
j=1
wobei αj ∈ R und Ij ⊂ [0, 1) geschlossene, halboffene Intervalle sind. Dann gilt Z
1
f (x)dx := 0
m X
αj · L¨ ange (Ij ).
j=1
¨ Ahnlich definiert man Integrale u ¨ber eine komplexwertige Funktion als Integral u ¨ber Real-und Imagin¨ arteil. Erinnerung: f heißt Riemann-integrierbar, wenn es zu jedem ε > 0 Riemann-Treppenfunktionen ϕε , ψε gibt mit ϕε ≤ f ≤ ψε und Z 1 (ψε − ϕε )(x)dx < ε. 0
Ferner ben¨otigen wir folgenden Hilfssatz.
43
3 Fourier-Reihen und Periodische Funktionen Proposition 3.11. F¨ ur x ∈ (0, 1] gilt π
2
1 x −x+ 6 2
=
∞ X cos(2πkx)
k2
k=1
=: f (x).
(3.2)
Insbesondere ist f (x) eine stetige, periodische Funktion. Beweis: Sei α < a < b < β und f : [α, β] → R stetig differenzierbar. F¨ ur k ∈ R sei b
Z F (k) :=
Z f (x) sin(kx)dx =
f (x)I[a,b] (x) sin(kx)dx.
a
Behauptung: lim F (k) = 0
|k|→∞
gleichm¨aßig in a, b ∈ [α, β]: Partielle Integration liefert: Z cos(kx) b 1 b 0 + f (x) cos(kx)dx. F (k) = −f (x) k a k a Da die Funktionen f, f 0 in [α, β] stetig sind, gibt es ein C > 0, so dass |f (x)| ≤ C und |f 0 (x)| ≤ C f¨ ur alle x ∈ [α, β]. Somit folgt 2C C(b − a) (2 + (b − a))C |k|→∞ + ≤ −→ 0. |k| |k| |k|
F (k) ≤
Somit ist die Behauptung gezeigt. Sei nun x ∈ (0, 1). Dann folgt aus (x ≥ 21 ) x
Z 2π
cos(2πkt)dt = 1 2
sin(2πkx) sin (πk) − k k } | {z
=0 f¨ ur k∈N
und aus (geometrischer Reihe) n X
cos(2πkx) =
k=1
sin((2n + 1)πx) 1 − 2 sin(πx) 2
zusammenfassend n X sin(2πkx)
k
k=1
x
Z = 2π 1 2
| Aus der Behauptung folgt mit a = (2n + 1) → ∞ konvergiert. Also gilt f¨ ur x ∈ (0, 1) ∞ X sin(2πkx) k=1
44
k
=π
1 2
x − 21 sin((2n + 1)πt) dt −2π . 2 sin(πt) 2 {z } =:I
und b = x, dass I gleichm¨aßig in (0, 1] gegen 0 f¨ ur
1 −x 2
gleichm¨aßig in [δ, 1 − δ], δ > 0.
(3.3)
3.2 Konvergenz der Fourierreihe F¨ ur die Reihe der Ableitungen von − cos(2πkx) nach x gilt Konvergenz gegen π( 21 − x) in (3.3) 2πk2 und die Konvergenz ist lokal gleichm¨ aßig in [δ, 1 − δ]. Also darf man Reihe und Differentiation vertauschen und es gilt f 0 (x) = −π 2 (1 − 2x) = π 2 (2x − 1), d.h. nach Integration gilt f (x) = π 2 (x2 − x) + c. Da die Reihe f¨ ur f gleichm¨ aßig konvergent in [0, 1] ist und 1
Z
cos(2πkx)dx = 0, k ∈ N, 0
ist, folgt Z 0=
∞ 1X
0 k=1
cos(2πkx) dx = k2
d.h. c=
Z
1
f (x)dx = 0
π2 π2 − + c, 3 2
π2 π2 π2 − = . 2 3 6
Korollar 3.12. Insbesondere ist f (0) =
∞ X 1 π2 = ζ(2) = . k2 6 k=1
Lemma 3.13. Sei f : R → R periodisch und f [0,1] eine Riemann-Treppenfunktion. Dann gilt (vgl. (3.1)) lim kSn (f ) − f k2 = 0. n→∞
Hierbei sind
n X
Sn (f )(x) =
ck (f )ek (x),
k=−n
ek (x) = exp(2πikx) und
1
Z ck (f ) = hf, ek i =
f (x) exp(−2πikx)dx. 0
Beweis: Nach Proposition 3.7 ist kSn (f ) −
f k22
=
kf k22
−
kSn (f )k22
=
kf k22
−
n X
|ck (f )|2 .
k=−n
Also reicht es kf k22 =
∞ X
|ck (f )|2
k=−∞
zu zeigen. Betrachte zun¨ achst f [0,1] = I[0,a] ,
a ∈ [0, 1].
45
3 Fourier-Reihen und Periodische Funktionen
Dann ist
Z c0 = a, ck =
a
e−2πikx dx =
0
i −2πika e −1 , 2πk
k 6= 0.
Somit gilt |ck |2 =
1 − cos(2πka) 1 −2πika 2πika e − 1 e − 1 = 4π 2 k 2 2π 2 k 2
Wegen Proposition 3.11 erhalten wir X
2
2
|ck | = a + 2
k∈Z
∞ X 1 − cos(2πka) k=1
2π 2 k 2
1 1 2 =a + − a −a+ = a = kf k22 . 6 6 2
Die Indikatorfunktionen zu (halboffenen) Intervallen (a, b), (a, b], [a, b] haben alle die gleichen Fourierreihen. Seien ck (f ) die Fourierkoeffizienten von f und sei f y (x) := f (x + y), y ∈ R. Dann ist f y wieder periodisch und Riemann-integrierbar, falls f Riemann-integrierbar ist. Es gilt ck (f y ) =
1
Z
f (x + y)e−2πikx dx
0 z=x+y
1+y
Z
=
f (z)e−2πik(z−y) dz
y 2πiky
Z
=e
1
f (z)e−2πikz dz
0
=e2πiky ck (f ), R 1+y R1 denn f (z)e−2πikz ist periodisch und das Integral u ist gleich 0 . Die letzte Bemerkung ¨ber y liefert auch Z 1 Z 1+y Z 1 y 2 y 2 2 kf k2 = |f (x)| dx = |f (z)| dz = |f (z)|2 dz = kf k22 . 0
y
0
ur beliebige Da kck (f y )k22 = kck (f )k22 f¨ ur alle k ∈ Z ist, folgt die Behauptung von Lemma 3.13 f¨ Intervalle [a, b] ⊂ [0, 1]. Da f¨ ur beliebige I, J ⊂ [0, 1] mit I ∩ J = ∅ und α, β ∈ R gilt kαII + βIJ k22 = |α|2 kII k22 + |β|2 kIJ k22 . Mit I1 :=
X
|ck (αII )|2 = |α|2 kII k22 ,
k∈Z
I2 :=
X
|ck (βIJ )|2 = |α|2 kIJ k22
k∈Z
ist wegen der Besselungleichung einerseits X |ck (αII + βIJ )|2 ≤ kαII + βIJ k22 = I1 + I2 , k∈Z
46
3.2 Konvergenz der Fourierreihe
andererseits gilt aber auch X X |ck (αII + βIJ |2 = I1 + I2 + (αck (II ))(ck (IJ )β + α(ck II )β(ck IJ ), k∈Z
k∈Z
{z
|
=:K∈R
}
also I1 + I2 + K ≤ I1 + I2 , d.h. K = 0. Daraus folgt die Behauptung von Lemma 3.13 f¨ ur Riemann-Treppenfunktionen mit Induktion u ber die Anzahl der Intervalle. ¨ Satz 3.14. Sei f : R → C eine periodische, Riemann-integrierbare Funktion in [0, 1]. Dann gilt k·k
Sn (f ) −→2 f,
n → ∞,
f¨ ur
n→∞
d.h. kf − Sn (f )k2 −→ 0 und kf k22
Z
1
=
|f (x)|2 dx =
0
X
|ck |2 .
k∈Z
Bemerkung 3.15. Wenn f Riemann-integrierbar ist, ist auch |f |2 Riemann-integrierbar. (Dies ist bei der Lebesgue-Integrierbarkeit nicht gegeben!) Somit ist |ck | → 0, k → ∞. Beweis: Sei f = u + iv, mit u, v : R → R. Dann ist auch f¨ ur die Partialsummen Sn (f ) = Sn (u) + iSn (v) gegeben. O.B.d.A. sei also f reellwertig und Riemann-integrierbar. Sei O.B.d.A. |f (x)| ≤ 1 f¨ ur alle x ∈ [0, 1] und f¨ ur beliebiges ε > 0 seien ϕ, ψ Treppenfunktionen mit −1 ≤ ϕ ≤ f ≤ ψ ≤ 1 und Z 1 ε2 (ψ(x) − ϕ(x))dx ≤ . 8 0 F¨ ur g := f − ϕ ≥ 0 gilt |g|2 ≤ |ψ − ϕ|2 ≤ 2 · (ψ − ϕ). Wegen Lemma 3.13 gibt es ein n0 ≥ 1 mit kSn (ϕ) − ϕk2 ≤
ε 2
∀n ≥ n0 .
Wegen Proposition 3.7 ist kg − Sn (g)k22 ≤ kgk22 ≤
ε2 , 4
woraus f¨ ur n ≥ n0 schießlich folgt ε ε kf − Sn (f )k2 ≤ kϕ − Sn (ϕ)k2 + k(f − Sn (f )) − (ϕ − Sn (ϕ))k2 ≤ + = ε. | {z } 2 2 kg−Sn (g)k2
Eine periodische Funktion f : R → C heißt st¨ uckweise, stetig differenzierbar, falls es eine Folge 0 = t0 < t1 < . . . tr = 1 gibt, so dass f [t ,t ] , r ≥ j ≥ 1, stetig differenzierbar ist. j−1 j
47
3 Fourier-Reihen und Periodische Funktionen Satz 3.16. Sei f : R → C stetig und st¨ uckweise, stetig differenzierbar. Dann gilt die gleichm¨ aßige Konvergenz lim (Sn (f ))(x) = f (x), x ∈ [0, 1]. n→∞
Beweis: Seien ck die Fourierkoeffizienten von f und ϕj : [tj−1 , tj ] → C die stetigen Ableitungen von f , sowie ϕ : R → C die periodische Funktion, die auf [tj−1 , tj ] mit ϕj u ¨bereinstimmt. Seien γk die Fourierkoeffizienten von ϕ. Dann gilt die Besselungleichung X |γk |2 ≤ kϕk22 < ∞ k
und partielle Integration liefert auf [tj−1 , tj ] f¨ ur die Riemann-integrierbaren Funktionen f, ϕj Z tj Z tj 1 −2πikx −2πikx tj dx. + ϕj (x)e−2πikx f (x)e dx = −2πikf (x)e tj−1 2πik tj−1 tj−1 Summation der Integrale u ¨ber j = 2, . . . , r liefert, da f stetig ist, 1 Z 1 Z 1 e−2πikx −2πikx −2πikx + ϕ(x) ck = f (x)e dx = −2πikf (x)e dx 2πik 0 0 0 Wegen der Periodizit¨ at von f verschwindet jedoch der Randterm, so dass folgt Z 1 e−2πikx γk ck = ϕ(x) dx = . 2πik 2πik 0 Ferner gilt X
(Sn (f ))(x) =
ck ek (x) =
|k|≤n
und somit Sn (f )0 (x) =
X
γk
|k|≤n
X |k|≤n
1 γk ek (x) 2πik
X e0k (x) = γk ek (x) = Sn (ϕ). 2πik
(3.4)
|k|≤n
F¨ ur x ∈ [0, 1] folgt wegen der Stetigkeit von f und Sn (f ) x Z 1 ((Sn (f ))(y) − f (y)) = I[0,x] (y)(Sn (f )0 (y) − ϕ(y))dy, (Wichtiger Trick!) 0
0
d.h es gilt mit an := (Sn (f ))(0) − f (0) durch Betragsbildung (3.3)
1
Z
|(Sn (f ))(x) − f (x) − an | ≤
|Sn (ϕ)(y) − ϕ(y)|dy
Cauchy
≤
0
kIk2 kSn (ϕ) − ϕk2
kan Ik2 ≤ kSn (f ) − f − an k2 + kSn (f ) − f k2 , | {z } | {z } n→∞
→ 0, 3.14
n→∞
→ 0, 3.14
d.h. lim kan Ik2 = lim |an | = 0.
n→∞
Damit gilt schließlich
n→∞
n→∞
sup ((Sn (f ))(x) − f (x)) −→ 0. x∈[0,1]
48
3.3 Die Poisson’sche Summenformel
3.3 Die Poisson’sche Summenformel Sei f : R → C stetig, integrierbar und es konvergiere f¨ ur x ∈ R die Summe g(x) = absolut. Dann ist g(x) = g(x + 1)∀x ∈ R und f¨ ur x = 0 gilt unter den Annahmen
P
l∈Z f (x + l)
i. punktweise Konvergenz der Fourierreihe von g ii. gleichm¨ aßiger Konvergenz von g (Integral und Summe vertauschbar)
X
(i)
f (l) = g(0) =
l∈Z
X
ck (g)ek (0)
k∈Z
=
X
ck (g)
k∈Z
=
1
XZ
g(y)e−2πiky dy
k∈Z 0
=
1
XZ k∈Z 0
! X l∈Z 1
Z (ii) X X = k∈Z l∈Z
=
k∈Z l∈Z ∞
=
XZ
=1
f (y + l)e−2πi(y+l)k dy
0
XXZ
z=y+l
f (y + l) e−2πik(y+l) e|2πikl {z } dy
l+1
f (z)e−2πizk dz
l
f (z)e−2πikz dz
k∈Z −∞
=
X
fˇ(k)
k∈Z
√ mit fˇ(k) := fˆ(−2πk) 2π. Die Gleichung X
f (l) =
l∈Z
X
fˇ(k)
k∈Z
heißt Poisson’sche Summenformel. Satz 3.17. Sei f : R → R beschr¨ ankt, stetig und integrierbar, also Z |f (x)|dx < ∞. Außerdem sei f st¨ uckweise, stetig differenzierbar mit endlich vielen Ausnahmen. Sei 0 f (x) falls existent, ϕ(x) := . 0 sonst. Ferner gelte sup |x2 f (x)| + sup |x2 ϕ(x)| < ∞. x∈R
x∈R
Dann gilt X k∈Z
f (k) =
X
fˇ(k).
k∈Z
49
3 Fourier-Reihen und Periodische Funktionen
Beweis: Wegen supx∈R |x2 f (x)| < ∞ ist g(x) :=
X
f (x + k) = f (x) + 2
∞ X
f (x + n)
n=1
k∈Z
k2 π2 =c· <∞ 2 k 6
P ¨ gleichm¨aßig konvergent und damit ist g(x) wieder stetig. Ahnlich konvergiert k∈Z ϕ(x + k) Rb gegen eine st¨ uckweise stetige Funktion g˜(x). Da f (b) − f (a) = a ϕ(t)dt ist, folgt, dass ! Z x Z x X ϕ(t + k) dt g˜(t)dt = 0
0
=
XZ
k∈Z x
ϕ(t + k)dt
k∈Z 0
=
XZ
k+x
ϕ(t)dt
k∈Z k
=
X
(f (x + k) − f (k))
k∈Z
= g(x) − g(0). Also folgt nach Ableitung beider Seiten, dass g(x) st¨ uckweise differenzierbar ist. Nach 3.16 konvergiert die Fourierreihe von g punktweise und liefert Annahme 1. Die Annahme 2 folgt aus der gleichm¨aßigen Konvergenz der Reihe f¨ ur g in [0, 1], so dass Summe und Integral vertauschbar sind. Beispiel 3.18. Sei x2 f (x) = exp − 2
Dann ist
1 fˆ(t) = √ 2π
Z
1 √ . 2π
dx √ = f (t) 2π ¨ und es gilt nach der verallgemeinerten Summenformel (vgl. Ubung 8.3) X t 1 X − (2π)2 k2 e 2t , , exp −n2 =√ 2 t n∈Z k∈Z eitx e−
x2 2
f¨ ur t = 2πs, s > 0 also X
exp(−n2 πs) = √
n∈Z
π 1 X exp − k 2 . s 2πs k∈Z
Wenn s sehr klein ist, also s ≈ 0, bleibt nur noch der Term k = 0 stehen, also π 1 P S := √ 1 + O e− s c 2πs Interpretation: fˇ(0) =
Z
∞
f (t)dt. −∞
X n∈Z
Z
∞
f (n) −
f (t)dt = −∞
X
fˇ(k)
k6=0
Dies ist gleich dem Fehler bei der Approximation der Summe durch das Integral.
50
4 Hardy-Littlewood Kreismethode 1927 forumlierte van der Waerden folgendes zahlentheoretisches Problem: F¨ ur l, r ∈ N existiert ein n0 (l, r), so dass f¨ ur alle n ≥ n0 (l, r) gilt: Jede Zerlegung der Zahlen {1, . . . , n} in r Mengen enth¨alt eine Menge, in der mindestens l Zahlen in einer arithmetischen Progression a, a + d, a + 2d, . . . , a + (l − 1)d f¨ ur geeignete a, d ∈ N vorkommen. Erd¨ os stellte folgende Behauptung auf: Sei f¨ ur A ⊂ N A(n) := A ∩ {1, . . . , n}. Falls lim sup n
|A(n)| >0 n
ist, dann gibt es in A arithmetische Progressionen beliebiger L¨ange (l ≥ 3). 1951 bewies Roth diese Behauptung f¨ ur l = 3, in den sechziger Jahren wurde diese f¨ ur l = 4 und in den siebziger Jahren f¨ ur beliebige l ≥ 3 bewiesen (mittels Ergodentheorie 1970/1980).
4.1 Einf¨ uhrung in l=3 und der Satz von Roth Es sei M (l) (n) die maximale Gr¨ oße einer Teilmenge in {1, 2, . . . , n} ohne l-Progression. Wir definieren M (l) (n) µ(l) (n) := . n Szemeridi: M (l) (n) = 0, lim n→∞ n d.h. lim sup µ(l) (n) = 0. n
Bemerkung 4.1 (Illustration zur 3-Progression). Sei M ⊂ {1, . . . , n} eine Menge ohne 3Progression mit |M | = µ(3) (n) · n =: µ(n) · n. Wir k¨ onnen uns mit dem folgenden gierigen“ Verfahren eine solche Menge M ohne 3-Progression ” maximaler Dichte konstruieren: i. 1 ∈ M ii. 2 ∈ M ⇒ 3 6∈ M (sonst 3-Progression) iii. 4 ∈ M ⇒ 6 6∈ M, 7 6∈ M iv. 5 ∈ M ⇒ 6 6∈ M, 8 6∈ M, 9 6∈ M v. 10 ∈ M, . . .. Lemma 4.2. i. F¨ ur alle l ≥ 3 existiert lim µ(l) (n). n→∞
51
4 Hardy-Littlewood Kreismethode ii. F¨ ur n ≥ m ist µ(l) (n) ≤ 2µ(l) (m). Beweis: i. Es gilt M (l) (m + n) ≤ M (l) (m) + M (l) (n)
(Subadditivit¨at),
(4.1)
denn sei A eine Teilmenge von {1, . . . , m, m + 1, . . . , m + n} mit |A| = M (l) (m + n) ohne l-Progression. Dann haben A ∩ {1, . . . , m}, A ∩ {m + 1, . . . , m + n} ebenfalls keine l-Progression. Wegen der Shiftinvarianz der Eigenschaft, eine l-Progression zu sein, gilt also M (l) (m + n) = |A ∩ {1, . . . , m + n}| = |A ∩ {1, . . . , m}| + |A ∩ {1, . . . , n}| ≤ M (l) (m) + M (l) n. Sei n > m. Dann ergibt sich mit (4.1) hni n M (l) (m) + M (l) (r) ≤ M (l) (m) + m, M (l) (n) ≤ m m n mit n = m m + r, 0 ≤ r < m. Division durch n liefert µ(l) (n) ≤ µ(l) (m) +
(4.2)
m . n
Wir lassen n gegen ∞ laufen und erhalten f¨ ur alle m lim sup µ(l) ≤ µ(l) (m) + 0, n→0
so dass f¨ ur m → ∞ folgt lim sup µ(l) (n) ≤ lim inf µ(l) (m). m→∞
n→∞
Die andere Richtung lim sup µ(l) (n) ≥ lim inf µ(l) (m). m→∞
n→∞
ist trivial und somit ist die Existenz des Limes gezeigt. ii. F¨ ur n ≥ m folgt aus (4.2) M (l) (n) ≤
n
n +1 M (l) (m) ≤ 2 M (l) (m), m | m{z } n m n = m (1+ n )≤2 m
also µ(l) (n) ≤ 2µ(l) (m). Satz 4.3 (von Roth). F¨ ur n ≥ 3 gibt es eine absolute Konstante C > 0, so dass µ(l) (n) ≤ ist.
52
C log log n
4.1 Einf¨ uhrung in l=3 und der Satz von Roth P Sei f (α) = x∈M e(αx) mit e(x) := exp(2πix). Dann ist mit M wie in Bemerkung 4.1 und M (n) := |M (n)| Z 1 f (α)f (−2α)f (α)dα = M (n). (4.3) 0
Beweis: Es ist X
f (α)f (−2α)f (α) =
e(αm1 )e(−α2m2 )e(αm3 )
m1 ,m2 ,m3 ∈M (n)
X
=
e(α(m1 − 2m2 + m3 ))
m1 ,m2 ,m3 ∈M (n)
Falls m1 , m2 , m3 eine 3-Progression ist, gilt m := m1 − 2m2 + m3 = 0. Die Behauptung folgt dann aus der Tatsache, dass f¨ ur m ∈ Z Z 1 1 f¨ ur m = 0 e(αm)dα = 0 f¨ ur m 6= 0 0 ist. Dies ist nur m¨ oglich f¨ ur m1 = m2 = m3 ! Sei
IM =
1 0
und f¨ ur m < n seien ϑ(α) :=
f¨ ur f¨ ur n X
x∈M x 6∈ M
µ(m)e(αx)
(4.4)
x=1
E(α) := ϑ(α) − f (α) =
n X
c(x)e(αx)
(4.5)
x=1
c(x) = µ(m) − IM (x).
(4.6)
F¨ ur die Approximation ϑ(−2α) von f (−2α) w¨ urde man aber M (n)2 µ(m) als Integral (4.3) erwarten. Aus (4.3) folgt Z 1 Z 1 2 2 M (n) − f (α) ϑ(−2α)dα = f (α) E(−2α)dα 0 0 Z 1 ≤ max |E(−2α)| |f (α)|2 dα α } | 0 {z =M (n)
Hier gilt Z 0
1 2
Z
|f (α)| dα = Z 1
1
f (α)f (−α)dα 0
X
e(α(m1 − m2 ))dα = M (n)
0 m ,m ∈M (n) 1 2
Um |E(α)| absch¨ atzen zu k¨ onnen, ben¨otigen wir das folgende Lemma:
53
4 Hardy-Littlewood Kreismethode Lemma 4.4 (Dirichlet, Schubfach-Prinzip). Seien α, Q ∈ R, Q > 1. Dann gibt es a, q ∈ Z mit 1 ≤ q ≤ Q und (a, q) = 1, so dass gilt α −
a 1 < q qQ
oder |αq − a| <
1 . Q
Beweis: N = [Q] sei der ganzzahlige Anteil von Q und {qα} := qα−[qα] der gebrochene von qα. h i. {qα} ∈ N 1+1 , NN+1 f¨ ur alle q = 1, . . . , N : So liegt jede der N Zahlen {qα} in einem der N − 1 Intervalle
i i+1 , , N +1 N +1
i = 1, . . . , N − 1,
d.h. es existieren i ∈ {1, . . . , N − 1}, und q1 , q2 ∈ {1, . . . , N } mit
i+1 i {q1 α}, {q2 α} ∈ , N +1 N +1
.
Sei o.B.d.A. q := q2 − q1 ∈ {1, . . . , N − 1} a := [q2 , α] − [q1 , α] Dann ist 1 1 |qα − a| = | q2 α − [q2 α] − (q1 α − [q1 α]) | < < , | {z } | {z } N +1 Q {q2 α}
{q1 α}
d.h. α − ii. {qα} ∈
h
N N +1 , 1
i
1 a 1 ≤ ≤ . q q(N + 1) qQ
: N ≤ {qα} = qα − a + 1 < 1 N +1 1 a 1 1 |qα − a| < ≡ a − ≤ ≤ . N +1 q q(N + 1) qQ
P Lemma 4.5. Seien 2m2 < n, E(α) = nx=1 c(x)e(αx) und c(x) = µ(m) − IM (x). Dann gilt f¨ ur jedes reelle α ∈ R |E(α)| ≤ 2n (µ(m) − µ(n)) +16m2 . | {z } ≥0
54
4.1 Einf¨ uhrung in l=3 und der Satz von Roth
Daraus folgt unmittelbar 2 E(α) 16m 4.2 ≤ lim sup 2(µ(m) − µ(n)) + lim sup = 0. n n 2 2 n,m→∞, m →0 m,n→∞, m →0 n
n
Beweis: Wegen Dirichlet’s Lemma 4.4 gibt es zu α ∈ [0, 1] ein a und q, 0 ≤ a ≤ q, (a, q) = 1 und 1 ≤ q ≤ 2m mit a α − ≤ 1 q q(2m) (mit Q = 2m). Sei u(α) :=
m−1 X
e(αz).
(4.7)
z=0
Dann gilt f¨ ur die rationale Approximation von α wegen e(−a) = 1: u(αq) = u(αq − a) = u(β), wobei |β| <
1 2m
ist. |=1 e(−β m − e(β m ))/2i 1 − e(βm) Fakt. | e(βm/2) e(β/2) 2 2 |u(αq)| = = (e(− β ) − e( β ))/2i 1 − e(β) 2 2 e(z)=exp(2πiz) sin(πmβ) = sin(πβ)
Da
sin(πmβ) 2 sin(πβ) ≥ π m,
falls |πmβ| <
¨ (Ubung), ist (rekursive Anwendung)
π 2
m 2 |E(α)| ≤ m|E(α)| ≤ |u(αq)E(α)| ≤ mE(0) + 4m2 q 2 π
(4.8)
wegen des nachfolgenden Lemmas 4.6(iii). Nach Voraussetzung ist E(0) =
n X
(µ(m) − IM (x))
x=1
= n(µ(m) − µ(n)) ≥ 0. Division durch
m 2
auf beiden Seiten von (4.8) liefert die Behauptung.
Lemma 4.6. Seien n > m, q ∈ N, q <
n m
und sei
σ(y) =
m−1 X
c(y + xq).
(4.9)
x=0
Dann gilt i. σ(y) ≥ 0 f¨ ur y = 1, . . . , n − mq (Eigenschaft von M ).
55
4 Hardy-Littlewood Kreismethode
ii. u(αq)E(α) =
n−mq X
σ(h)e(α(h + (m − 1)q)) + R(α)
h=1
mit |R(α)| ≤ 2m2 q iii. |u(αq)E(α)| ≤ m E(0) +4m2 q | {z } ≥0
. Beweis: ii ⇒ iii mit α = 0: mE(0) =
n−mq X
σ(h)I + R(0)
h=1
|R(0)| ≤ 2m2 q d.h. n−mq X |u(αq)E(α)| ≤ σ(h)I + R(α) h=1
= mE(0) + |R(0)| + |R(α)| ≤ mE(0) + 4m2 q. ii: Ausmultiplizieren von u(αq)E(α) liefert m−1 n XX z=0 x=1
c(x) e(αqz)e(αx) | {z } e(α(qz+x))
x=h+(m−1−z)q
X
=
e(α(h + (m − 1)q))
m−1 X
c(h + q(m − 1 − z))Iz,h ,
z=0
h=1−(m−1)q
wobei Iz,h =
1, 0,
1 ≤ h + q(m − 1 − z) ≤ n . sonst
Weiter ist |c(x)| ≤ 1, x = 1, . . . , n n−mq X |u(αq)E(α)| ≤ e(α(h + (m − 1)q))σ(h) + h=1
≤
n−mq X h=1
≤
n−mq X h=1
56
|σ(h)| + m(mq + (m − 1)q) {z } | 2m2 q
σ(h) + 2m2 q.
0 X h=1−(m−1)q
+
n X h=n−mq+1
I · m
4.1 Einf¨ uhrung in l=3 und der Satz von Roth
i: Notiere σ(y) = M (m) − | {z } m·µ(m)
m−1 X
!
IM (y + xq) ≥ 0.
|x=0
{z
=:r
}
Dann ist r die Anzahl derjenigen Zahlen y, y + q, y + 2q, . . . , y + (m − 1)q, die in M liegen. Von diesen r Zahlen, sagen wir y + x1 q, y + x2 q, . . . , y + xr q,
x1 < x2 < . . . < xr
liegen wegen der Wahl von M keine in einer arithmetischen Progression. Deshalb liegen auch die Zahlen x1 < x2 < . . . < xr nicht in einer arithmetischen Progression. Das gleiche gilt f¨ ur x1 + 1, x2 + 1, , . . . , , xr + 1. Also ist 1 ≤ xj + 1 ≤ m wegen der Definition von M (m) gilt r ≤ M (m).
Beweis:[von Satz 4.3] ϑ(α) =
n X
e(αz)µ(m)
z=1
Sei Z I :=
1
f (α)2 ϑ(−2α)dα.
(4.10)
0
Dann gilt wegen der Definition von f (α) und ϑ(α) Z I=
1
dα 0
X
e(α(a + b − 2c))µ(m) =
X
X
Iµ(m).
a∈M, 2|a+b b∈M
a,b∈M,1≤c≤h
Mit M1 als die Anzahl der ungeraden Zahlen in M und M2 als die Anzahl der geraden in M (also M (n) = M1 + M2 gilt 1 I = µ(m)(M12 + M22 ) ≥ µ(m)M (n)2 . 2
(4.11)
Aus (4.10) folgt Z
1
Z
2
f (α) E(−2α)dα = |M (n) − I| ≤ max |E(−2α)| 0
α
|0
1
|f (α)|2 dα . {z } =M (n)
F¨ ur 2m2 < n ist |M (n) − I| ≤ (2n(µ(m) − µ(n)) + 16m2 )M (n), somit wegen (4.11) 1 2 µ(m)M (n) − M (n) ≤ (2n(µ(m) − µ(n)) + 16m2 )M (n). 2 Division nach (M (n)n) liefert 2 1 µ(m)µ(n) − 1 ≤ 2(µ(m) − µ(n)) + 16m . 2 n n
57
4 Hardy-Littlewood Kreismethode F¨ ur 2m2 < n ist 1 >
2m2 n
> n2 , also gilt hierf¨ ur µ(m)µ(n) ≤ 4(µ(m) − µ(n)) + 34
m2 . n
(4.12)
2
F¨ ur m, n → ∞, mn → 0 folgt τ = lim µ(n) ≥ 0. n→∞
Aus (4.12) folgt mittels m, n → ∞,
m2 n
→0 τ 2 = 4 · 0 + ·0,
also τ = 0. A ⊂ N enthalte keine 3-Progressionen M = A ∩ {1, . . . , n}. |M | = µ(n) n Um
1 . log log n x zu zeigen, reicht es, nach Lemma 4.2 mit λ(x) := µ 23 , x ∈ N zu zeigen µ(n) < c1
y
In (4.12): m = 23 , n = 23
(y+1)
λ(2x) ≤ cx−1 , c > 0. y 3 = 23y3 = 23 = m3
λ(y)λ(y + 1) ≤ 4(λ(y) − λ(y + 1)) + 34 · 2−3 und 2 23
y
2
y
= 21+2·3 < 23
y+1
y
= n.
Division durch λ(y)λ(y + 1) liefert y 34 · 2−3 1 1 + − . 1≤4 λ(y + 1) λ(y) λ(y)λ(y + 1) Summation u ¨ber y = x, x + 1, . . . , 2x − 1 x ≤ 4λ(2x)−1 + 34 · 4 · 2−3
x
1 λ(2x)2
denn wegen Lemma 4.2 ist µ(n) ≤ 2µ(m). Sei n ≥ m. Dann folgt λ(2x) ≤ 2λ(y + 1),
y + 1 ≤ 2x.
Der Fall λ(2x) ≤ x1 ist bereits klar. Wir wollen jedoch λ(2x) < x1 zeigen und nehmen hierzu λ(2x) ≥ x1 an: x x −3x x · x2 < x f¨ Wir sch¨atzen 34 · 4 · 2−3 λ(2x) 2 < 136 · 2 2 ur hinreichend große x ab. Also ist x< ¨aquivalent zu
4 x + λ(2x) 2
x 4 8 < ⇒ λ(2x) < . 2 λ(2x) x
E ⇒ λ(2x) <
1 . x
58
5 Darstellungen von natu ¨rlichen Zahlen als Summe von Quadraten Wir wollen die Anzahl der Darstellungen, sagen wir rk (n), von n ∈ N der Form n = m21 + m22 + . . . + m2k , k ≥ 2 mit mj ∈ Z, j = 1, . . . , k bestimmen. F¨ ur k = 2 ist r2 (n) = 0 oder (vgl. EZT) r2 (n) = 4
X d|n,d≡1(4)
1 > 0.
X
1−
d|n, d≡3(4)
F¨ ur k = 4 besagt der Satz von Lagrange, dass sich jedes n ∈ N als Summe von 4 Quadraten darstellen l¨ asst (vgl. EZT). Die Frage nach der Existenz der Darstellung f¨ ur k = 2 ist bereits 2000 Jahre alt. Gauß und Jakobi leiteten eine Formel f¨ ur k = 3 her, in der Divisoranzahlen und Jacobisymbole eingehen. Behandelbare F¨ alle sind k = 2, 4, 6, 8, . . .. ...
5.1 Farey-Reihen Definition 5.1. Sei n ∈ N. Dann heißt die Menge der rationalen Zahlen (h, k) = 1
und
0≤
h k
mit
h ≤ 1, k
wobei 0 ≤ h ≤ k ≤ n der Gr¨ oße nach geordnet sind, Farey-Reihe der Ordnung n, im Zeichen Fn . Beispiel: F¨ ur n = 4 enth¨ alt die Farey-Reihe folgende Terme: 0 1 1 1 2 3 1 < < < < < < . 1 4 3 2 3 4 1 Es ist schwierig, #Fn exakt zu bestimmen. Klar ist n(n + 1) #Fn 2 Definition 5.2. Seien
=
n X
! k .
k=1
h h0 < 0 k k
zwei aufeinander folgende Terme aus Fn . Die Zahl
h0 +h k0 +k
heißt dann Mediant von
h0 k0
und
h k.
59
5 Darstellungen von nat¨ urlichen Zahlen als Summe von Quadraten
Satz 5.3. Seien
h h00 h0 < < . k0 k k 00 drei aufeinander folgende Terme aus Fn . Dann gilt i.
det
ii.
h k
=
h0 +h00 k0 +k00
ist der Mediant von
h0 k0
k0 k h0 h
und
= k 0 h − kh0 = 1.
h00 k00 .
iii. n < k + k 0 < 2n und n < k + k 00 < 2n. iv. k 0 6= k 6= k 00 und falls k 6= 2 ist, dann ist sogar k 00 6= k 0 . v.
h0 h0 + h h h + h00 h00 < < < < k0 k0 + k k k + k 00 k 00
Beweis: i. Zu h0 und k 0 bestimmen wir x, y ∈ Z mit k 0 x − h0 y = 1 = (k 0 , −h0 )
und
n − k 0 < y ≤ n,
(−h0 )y ≡ 1(k 0 )
(?)
Ferner ist x ≥ 0 und (x, y) = 1. Dann ist h0 1 h0 x = 0 + 0 > 0, y k yk k 1 h0 + n−k x h0 0 > , 1 > . k0 y k0 uche aus Fn . Also ist xy einer der Farey-Br¨ x h Es reicht y = k zu zeigen, denn in diesem Fall ist kx = hy, woraus mit k|y und y|k folgt, k = y und h = x, also mittels (?)
k 0 h − h0 k = 1,
k + k 0 > n.
Dies impliziert dann (i) und (iii). Wir nehmen also folgt aus xy > hk
x y
6=
h k
an. Dann ist
h k
rechter Nachbar von
h0 k0
in Fn und
x y
∈ Fn . Also
x h xk − hy 1 − = ≥ , y k yk yk und ebenso aus
h k
>
h0 k0
h h0 hk 0 − h0 k 1 − 0 = ≥ 0, 0 k k kk kk Addition beider Ungleichungen liefert x h0 x h h h0 1 (?) k 0 x − h0 y = − 0 = = − + − yk 0 y k y k k k0 yk 0 1 1 k0 + y n 1 + 0 = > > 0 ≥ yk kk ykk 0 ykk 0 yk
E Damit sind (i) und (iii) gezeigt. ¨ (ii), (iv) und (v) sind Ubung.
60
5.2 Farey-Br¨ uche und die Riemann’sche Vermutung
Wir identifizieren die Punkte [0, 1) und R/Z mit dem Einheitskreis mittels R 3 α 7→ exp(2πiα) ∈ S 1 . Mit
0 0
=
1 1
ist dann Fn ⊂ S 1 . Wir teilen den Einheitskreis in Mediantenb¨ogen auf: h h0 + h 1 − 0 = 0 k k +k k (k + k 0 )
und
1 h + h00 h − = . 00 k+k k k(k + k 00 )
Aus Satz 5.3(iii) folgt Satz 5.4. Der Abstand, sagen wir d, von S 1 , in dem hk liegt, erf¨ ullt
h k
∈ Fn zu einem Endpunkt des Mediatenbogens auf
1 1 1 1 < ≤d≤ < . 2kn k(2n − 1) k(n + 1) kn
5.2 Farey-Br¨ uche und die Riemann’sche Vermutung Bemerkung: Die Farey-Br¨ uche und ihre Verteilung sind nicht trivial. Sei AN = #FN die Anzahl der Farey-Br¨ uche der Ordnung N . Wir vergleichen die Unterteilung 0 = r1 < r2 < . . . < rA = 1 gegeben durch FN mit 0=
0 1 2 A < < < ... < = 1. A A A A
Es gilt A < N 2 . Satz 5.5 (Franel/Landau). Die Aussage A X ν ur alle ε > 0 rν − = Oε N 1/2+ε f¨ A ν=1
ist ¨ aquivalent zur Riemann’schen Vermutung. Wir definieren die M¨ obiusfunktion µ(n) durch f¨ ur (−1)r , 0, f¨ ur µ(n) := 1, f¨ ur
n = p1 · . . . · pr , d2 |n, d 6= 1, n = 1.
und die Mertens-Funktion durch m(x) :=
X
µ(n).
1≤n≤x
Proposition 5.6 (Littlewood). |m(N )| = Oε N 1/2+ε
f¨ ur
ε>0
ist ¨ aquivalent zur Riemann’schen Vermutung.
61
5 Darstellungen von nat¨ urlichen Zahlen als Summe von Quadraten
Beweis:[von 5.5] ¨ ist bekannt: ⇒“: Aus den Ubungen ” µ(q) =
X 1≤a≤q,(a,q)=1
a exp 2πi q
(Ramanujan).
(5.1)
Somit ist m(N ) =
X a ∈FN q
a exp 2πi q
(5.2)
Wir betrachten die Euler’sche ϕ-Funktion ϕ mit ϕ(q) = #{a ∈ N|1 ≤ a < q, (a, q) = 1}. Dann ist A = #FN =
N X
ϕ(q)
(5.3)
q=1
¨ Aus den Ubungen: m(N ) =
X a ∈FN q
Wir definieren δr := rν −
m(N ) = +0
=
A X
ν , A
a cos 2π q
(5.4)
r ν ∈ FN .
ν exp(2πiδr ) exp 2πi A
ν=1 A X ν=1
A ν X ν exp 2πi + exp 2πi (exp(2πiδr ) − 1). A A ν=1
Es ist |m(N )| ≤ 2
A X
| sin(πδr )| ≤ 2π
ν=1
A X
|δr |,
ν=1
denn exp(πiδr − exp(−iπδr ) | exp(2πiδr ) − 1| = 2 | exp(πiδr )| · | {z } 1 | {z } =1 =| sin(πδr )|
und | sin(πx)| ≤ |πx| f¨ ur kleine x. ⇐“: (vgl. [Lan53]) ” A=
N X n=1
62
ϕ(n) ≤
N X n=1
N = N 2.
5.3 Gauß’sche Summen
Mit der Cauchy-Schwartz’schen Ungleichung gilt A X
A X
|δr | · 1 ≤
! 12
A X
12
|
δr2
.
ν=1
ν=1
ν=1
! 21
{z
}
≤N
Es bleibt also zu zeigen: RV ⇒
A X
δr2 = Oε N −1+ε
ε > 0.
ν=1
Sei
1 ψ(x) = x − [x] − . 2
Dann ist f¨ ur a, b ∈ N a) Z
1
ψ(ax)ψ(bx)dx = 0
(a, b)2 12ab
b) X
g(x) :=
1=
0≤rν ≤x
N X
(dx)m
d=1
N d
c) A=
N X
dm
d=1
N d
1 2
∆(x) = g(x) − Ax +
Z I := 0
1
N
N
1 XX m ∆(x) dx = 12 2
a=1 b=1
A X ν=1
δr2
1 = A
N a
1 I− 12
m
N b
(a, b)2 ab
.
5.3 Gauß’sche Summen Definition 5.7. Seien h ∈ Z, k ∈ N, (h, k) = 1. Dann heißt die Summe G(h, k) :=
k−1 X m=0
h exp 2πi m2 k
(5.5)
Gauß’sche Summe.
63
5 Darstellungen von nat¨ urlichen Zahlen als Summe von Quadraten
Bemerkung: Die Summe wird erstreckt u ¨ber ein vollst¨andiges Restklassensystem mod k. Falls (k1 , k2 ) = 1 ist, durchl¨ auft k1 m2 + k2 m1 ein vollst¨andiges Restesystem mod (k1 k2 ), wenn m2 ein vollst¨andiges Restklassensystem mod k2 und m1 ein vollst¨andiges Restklassensystem mod k1 durchl¨auft, denn: k1 m2 + k2 m1 ≡ k1 m02 + k2 m01 mod (k1 k2 ) {z } | ⇔ k1 m2 ≡
k1 m02
mod k2 ,
⇔ m2 ≡ m02 mod
mod k1 , mod k2 k2 m1 ≡ k2 m01 mod k1 k2 , m1 ≡ m01 mod k1
Satz 5.8. F¨ ur (h, k) = 1 gilt mit k > 0: i. Mit k1 , k2 > 0, (k1 , k2 ) = 1, gilt G(h, k1 k2 ) = G(hk1 , k2 )G(hk2 , k1 ).
(5.6)
ii. G(h, 1) = 1, G(h, 2) = 0 ( a
G(h, 2 ) =
(1 + ih )2a/2 , a+1 eπih/4 2 2 ,
f¨ ur f¨ ur
a > 0 gerade a ungerade
iii. Sei k ungerade, und das Legendre-Symbol gegeben durch a 1, a quadratischer Rest mod p, := −1, sonst. p Dann ist
h G(h, k) = G(1, k). k
iv. Mit εk =
(1 + i)(1 + i−k ) (= 1 + i, 1, 0, i 2
ist
f¨ ur
k ≡ 0, 1, 2, 3 mod 4)
√ G(1, k) = εk k √ |G(1, k)| = k, k ungerade √ |G(1, k)| ≤ 2k
v. Falls k quadratfrei ist, gilt G(h, k) =
X m h e m . k k
m mod k
Beweis: i. Nach obiger Bemerkung ist G(h, k1 k2 ) =
X
e
m1 mod k1 m2 mod k2
=
X m1 mod k1
64
h (k1 m2 + k2 m1 )2 k1 k2
e
h 2 m k2 2
X m2 mod k2
e
h 2 m . k1 1
5.3 Gauß’sche Summen ii. a ≥ 2, und p eine ungerade Primzahl wenden wir auf G(h, pa ) (5.6) an. Dabei zerlegen wir m = upa−1 + v, wobei v = 0, . . . , q, und q := pa−1 − 1, u = 0, . . . , p − 1 ist. Also ist p−1 X q X h 2 2a−2 a−1 2 u p + 2uvp +v G(h, p ) = e pa u=0 v=0 X ! q p−1 h 2 2uv 2a−2≥a X v . = e e pa p v=0 u=0 {z } | a
=:S
Hier ist S = 0, wenn p 6 |2v, andernfalls ist S = p. Da jedoch p ungerade ist, muss in diesem Fall p|v gelten, so dass X h 2 a (wp) · p = p · G(h, pa−2 ) G(h, p ) = e pa 0≤wp
folgt. Durch Iteration erhalten wir also f¨ ur a gerade: G(h, pa ) = pa/2 G(h, 1) und f¨ ur a ungerade G(h, pa ) = p
a−1 2
G(h, p).
¨ Es ist G(h, 1) = 1 und G(h, 2) = 0 (Ubung), also zusammenfassend ( pa/2 f¨ ur a gerade G(h, pa ) = a−1 2 p G(h, p) f¨ ur a ungerade.
(5.7)
Wir m¨ ussen also G(h, p) bestimmen: G(h, p) =
X m mod p
m2 e h p
∗ X r =1+2 e h . p r
P∗ Hier bezeichnet ¨ber die quadratischen Residuen mod p. Mit dem Jacobir die Summe u m symbol p ergibt sich X
G(h, p) =
m mod p
r m m 1+ e h = p p
X m h m e e h + m . p p p m mod p m mod p | {z } X
=0
Dies ergibt (iv) f¨ ur k = p und X X p−1 mh mh h 1 n h h G(h, p) e = e n = G(1, p). p p p p p p p m=0
(5.8)
n mod p
Weiter gilt a
G(h, p ) =
h pa
G(1, pa ).
(?)
Dies folgt aus
h pa
a ( h 1 = = h p p
f¨ ur
a gerade,
f¨ ur
a ungerade.
65
5 Darstellungen von nat¨ urlichen Zahlen als Summe von Quadraten
und aus (5.7) f¨ ur a = 0, 1. Aus (5.6) folgt per Induktion nach k mit (h, k) = 1 und (k, p) = 1 G(h, kpa ) = G(hpa , k)G(hk, pa ) a a hp hk (?) = G(1, k) · G(1, pa ) k pa a a −p hk hp k a = G(p , k) · G(k, pa ) a k k p pa a 2 2 p k h h a = G(1, kp ) · · a k p k pa | {z } | {z } | “{z ” } =1
=
hkpa G
=1
=
h hpa
(1, kpa )
Damit ist (ii) gezeigt. iii. F¨ ur (iv) definieren wir Γ(h, k) :=
X m m e h . k k
m mod k
Wir wissen, dass Γ(h, p) = G(h, p) ist. Γ erf¨ ullt die Multiplikationseigenschaft (5.6), also mit k1 , k2 > 0, (k1 , k2 ) = 1, gilt Γ(h, k1 k2 ) = Γ(hk1 , k2 )Γ(hk2 , k1 ).
(5.9)
Daraus folgt f¨ ur quadratfreie Zahlen k, d.h. k = p1 · p2 · · · pr (verschieden), die Behauptung ¨ (iv). Der allgemeine Fall ist Ubung. Benutze daf¨ ur
m1 k2 + m2 k1 k1 k2
=
m1 k1
m2 k2
.
Aber f¨ ur eine Primzahl p ist Γ(h, p2 ) = 0, G(h, p2 ) = p. iv. F¨ ur (iii) ist zu zeigen, k ungerade, √
|G(1, k)| =
k.
Zun¨achst betrachten wir G(−1, k) =
−1 k
G(1, k)
und 2
G(1, k) =
66
−1 k
G(1, k)G(−1, k) =
−1 k
X m mod k
e
m2 k
X n mod k
n2 e − k
.
5.3 Gauß’sche Summen
Wenn m mod k ein vollst¨ andiges Restesystem durchl¨auft, so auch m + n f¨ ur festes n. Also ist X (m + n)2 n2 −1 2 e − G(1, k) = k k} | k {z m mod k n mod k
=
−1 k
(m2 +2mn)/k
X
e
m mod k
m2 k
X k−1 2m e kn n=0 |8 {z } < k, k|2m = : 0, k 6 |2m
Da aber k ungerade ist, gilt k|m, also
2
G(1, k) =
−1 k
k
Aus der EZT-Vorlesung ist bekannt, dass k−1 −1 = (−1) 2 k ist. Somit folgt G(1, k) = ±i
k−1 2
√ k.
(5.10)
Behauptung: + ist richtig. Wir wollen f¨ ur ungerade k zeigen: i
k−1 2
1+i 1 + ik
=
und G(1, k) =
1+i √ k. 1 + ik
Beweis: Es (vgl. Handout) ist (1 + i)R :=
=
2k−1 X
n=0 k−1 X
e
r=0
e
n2 4k
(2r)2 4k
k−1 X (2r + 1)2 + e 4k r=0
k−1 2
X
= G(1, k) +
(2
e
k−1 2
t=− k−1 2
! + t + 1)2 4k
k−1
k
= G(1, k) + i
2 X
t=− k−1 2
Also ist R =
1+ik 1+i G(1, k)
e
t2 k
= (1 + ik )G(1, k).
√ = ± k ∈ R.
Der Fall p = 2: k = 2a . F¨ ur a = 0, 1 ist dies klar. Betrachte a gerade ≥ 4 und a ungerade ≥ 3. Wir zerlegen m = 2a/2 u + v, u = 0, 1, . . . , 2a/2 − 1 =: q, 0 ≤ v ≤ 2a/2 .
67
5 Darstellungen von nat¨ urlichen Zahlen als Summe von Quadraten
Dann ist a
G(h, 2 ) =
2a/2 X−1
e
v=0
a h 2 X v e 2a
2a/2+1 uv h 2a
k=0
!
=
h 1+e 2a/2 . 4
¨ Bleibt G(1, 2a k), k ungerade mittels (5.6) zu berechnen Der Fall ungerade a ist Ubung. ¨ (Ubung).
5.4 Die Kreis-Methode Sei die Modulfunktion definiert durch ∞ X
θ(z) :=
2
zn = 1 + 2
n=−∞
∞ X
2
zn ,
z ∈ C.
(5.11)
n=1
Wir betrachten wieder f¨ ur s ∈ N, s ≥ 2 rs (n) := #{(m1 , . . . , ms ) ∈ Z : n = m21 + . . . m2s }. Wir verallgemeinern (5.11) zu θ(z)s = 1 +
∞ X
rs (n)z n
|z| < 1.
mit
(5.12)
n=1
Die Potenzreihen in (5.11) und (5.12) konvergieren absolut und gleichm¨aßig in |z| ≤ 1 − δ, δ > 0, denn wegen √ rs (n) ≤ (2 n + 1)s−1 ur n → ∞, z n f¨allt jedoch exponentiell f¨ ur besitzt rs (n) h¨ochstens polynomielles Wachstum f¨ |z| < 1, so dass die Reihe f¨ ur |z| < 1 konvergiert. Setze f¨ ur δ > 0 zϕ = exp(−2πδ + 2πiϕ), 0 ≤ ϕ ≤ 1. Dann gilt Z rs (n) =
1
θ(zϕ )s zϕ−n dϕ
0
1 = 2πi
Z Cδ
θ(z)s dz z n+1
(5.13)
Beweis: θ(zϕ)s konvergiert absolut und gleichm¨aßig f¨ ur ϕ ∈ [0, 1]. Deshalb darf man Summe und Integral vertauschen: Z 1 Z 1 ∞ X θ(zϕ )s zϕ−n dϕ = rs (m) zϕm−n dϕ, 0
m=0
da rs (0) := 1 ist. Weiter ist Z 1 Z zϕm−n dϕ = exp(−2πδ(m − n)) · 0
0
1
exp(2πiϕ(m − n))dϕ =
0
Also folgt Z 0
68
1
θ(zϕ )s zϕ−n dϕ = rs (n).
1 0
f¨ ur f¨ ur
m = n, m 6= n.
5.4 Die Kreis-Methode
F¨ ur die Berechnung des Integrals verfolgen wir folgende Idee: Wir stellen fest, dass offensichtlich θ(z)s f¨ ur z → 1 divergiert. Dies trifft auch f¨ ur z → h h ur ϕ = k gilt exp 2πi k , (k, h) = 1, k ungerade, zu, denn f¨ θ(zϕ ) =
∞ X
2
zϕn
n=jk+l, j∈Z 0≤l≤k1
=
n=−∞
=
∞ k−1 X X
zϕ(jk+l)
2
l=0 j=−∞
k−1 X ∞ X
h exp(−2πδ(jk + l) ) · exp 2πi (jk + l)2 | {z } k 2
l=0 j=−∞
→∞ f¨ ur δ→0
Falls k klein ist, so ist die Konvergenz gegen ∞ besonders schnell. Wir teilen daher 0 ≤ ϕ ≤ 1 in mehrere B¨ ogen“ auf, die die Farey-Br¨ uche hk , k ≤ N enthalten, wo |θ(zϕ )| große“ lokale ” ” Maxima besitzt. Wir benutzen dazu die Mediantenb¨ ogen“ (ψ1 , ψ2 ) zu drei aufeinanderfolgenden Farey-Br¨ uchen ” h h00 h0 < < k0 k k 00 mit ψ1 = ψ1 (h, k) :=
h0 + h k0 + k
und
h + h00 . k + k 00 Hiermit zerlegen wir das Integral (5.13) in folgende B¨ogen“ ” ψ2 = ψ2 (h, k) :=
ψh,k := (ψ1 (h, k), ψ2 (h, k)) Z
1
θ(zψ )s zψ−n dψ 0 X Z θ(zψ )s zψ−n dψ =
rs (n) =
h ∈FN k
ψ=φ+ h k
=
ψh,k
X Z h ∈FN k
φh,k
−n θ(zφ+ h )s zφ+ h dφ, k
k
wobei φh,k = (φ1 (h, k), φ2 (h, k)) h φ1 (h, k) = ψ1 (h, k) − k h φ2 (h, k) = ψ2 (h, k) − k Dann gilt nach Satz 5.3 −
1 h0 + h h h + h00 h 1 = − ≤ φ ≤ − = . h,k 0 0 00 k(k + k ) k +k k k+k k k(k + k 00 ) | {z } | {z } =φ1 (h,k)
(5.14)
=φ2 (h,k)
69
5 Darstellungen von nat¨ urlichen Zahlen als Summe von Quadraten
und 1 ≤ |φ1 (h, k)| ≤ 2kN 1 ≤ |φ2 (h, k)| ≤ 2kN
1 kN 1 kN
(5.15)
5.5 Berechnung des Integrals ¨ Uberblick: i. Vereinfachung des Integranden: rs (n) =
−2πin h k
X
Z
e
φh,k
h ∈Fn k
G(h, k) √ 2zk
s
e2πnz dφ + E1 ,
z = δ − iφ.
ii. Erweiterung des Integrationsbereichs f¨ ur s > 2: Z ∞ X G(h, k) s 2πnz −2πin h k √ e e rs (n) = dφ + E1 + E2 . 2zk −∞ h k
∈Fn
Hier sind E1 und E2 Fehlerterme der Ordnung O(ns/4 ) f¨ ur n → ∞. iii. Erweiterung des Summationsbereichs f¨ ur s > 4: Z ∞ X G(h, k) s 2πnz −2πin h k √ e dφ + E1 + E2 + E3 . rs (n) = e 2zk −∞ h S∞ k
∈
FN
N =1
Falls s > 4 ist, sind die Fehlerterme E1 , E2 und E3 von der Ordnung O(ns/4 ) f¨ ur n → ∞.
5.5.1 Vereinfachung des Integranden Einsetzen liefert X Z rs (n) = h ∈Fn k
=
h ∈Fn k
=
h exp −2πδ + 2πiφ + 2πi k
X
z=δ−iφ
θ
φh,k
s
h exp −2πin k
X h ∈Fn k
Z θ
s
φh,k
h exp −2πin k
θ
h exp −n −2πδ + 2πiφ + 2πi k
h exp −2πδ + 2πiφ + 2πi k
Z θ
s
φh,k
h exp 2πi − 2πz k
Es ist s
=
h exp −2πz + 2πi k
k−1 X ∞ X r=0 q=−∞
e(qk+r)
2
70
q∈Z
dφ
exp ((2πnδ − 2πinφ)) dφ
exp (2πnz) dφ
(−2πz) (qk+r)2 (2πi h k)
e|
{z
2πi h r 2 k =e
Auf die innere Summe wenden wir nun die Poisson’sche Summenformel X X fˇ(q) f (q) = q∈Z
}
5.5 Berechnung des Integrals
an, wobei
2
f (x) := e−π(x+α) t , und
α ∈ C, Re(t) > 0,
1 iαy−y2 /4πt e fˆ(y) = √ 2πt
und erhalten
∞ X
1 X 2πiαq−πq2 /t 2 e−π(q+α) t = √ e . t q∈Z q=−∞ Dabei sei
√
t := exp
1 log t , 2
wobei log(t) der Hauptwert des komplexen Logarithmus ist. Mit r , t := 2k 2 z k
α := folgt θ
s
2πi h −2πz k
e
∞ X πq 2 rq 1 r2 2πi h k √ = e2πi k − 2k2 z e 2zk q=−∞ r=0 k−1 X 2πi rq − πq2 1 X 2πi h r2 =√ e k 1+ e k 2k2 z 2zk r=0 q6=0 k−1 X
=√
1 2zk
X k−1
h 2
e2πi k r +
|r=0 {z
X
e−πq
k−1 X
2 (2k 2 z)
|r=0
q6=0
=G(h,k)
} |
Behauptung: |Tk (h, m)| ≤
h 2 +q h k
e2πi( k r {z
=:Tk (h,q)
{z
=:H(h,k,z)
)
} }
√ 2k.
(5.16)
Beweis: |Tk (h, m)|2 = Tk (h, m) · Tk (h, m) =
k−1 X
„ « “ ” 2 k−1 2πi hj k+mj X 2πi hr2 +mr k
e
e
r=0
j=0
X
=
e
2πi (hj 2 −hr 2 +mj−mr) k
e
2πi (h(j−r)(j+r)+m(j−r) k
j,r mod k
X
=
j,r mod k d=j−r
X
=
e
2πi d(h(d+2r)+m) k
d,r mod k
=
X d mod k
e
2πi (hd2 +dm) k
X
e
4πi dhr k
r mod k
71
5 Darstellungen von nat¨ urlichen Zahlen als Summe von Quadraten Die zweite Reihe hat die Form xr , wobei nur u ¨ber endlich vielen Termen summiert wird, also erhalten wir eine endliche geometrische Reihe. Da (h, k) = 1 ist, verschwindet die innere Summe (¨ uber r mod k), außer im Fall k|2dh, also k|2d, wo sie den Wert k besitzt. Fallunterscheidung: i. k gerade: Da 0 ≤ d < k ist, liefert nur d = 0 einen Beitrag, n¨amlich k, so dass folgt |Tk (h, m)|2 = k. ii. k gerade: Da 0 ≤ d < k ist, liefern nur d = 0 und d = ke
“ ” 2 2πi h( h +m( h k k) 2)
k 2
einen Beitrag, n¨amlich k nd k
= keπih 2 +πim = ±k.
Damit folgt |Tk |2 = 2k
oder |Tk |2 = 0.
In allen F¨allen gilt jedoch (5.16). Wenden wir nun (5.16) an, so folgt |H(h, k, z)| ≤
X 2 2 √ e−πm /2k z 2k m6=0
∞ X ∞ √ X 2 2 e− Re(πm /2k z) = 2 2k m=1 m=1
√ =
8ke−πσ/2k
2
∞ X
2 −1) σ 2k2
e−π(m
,
m=1
wobei
1 1 δ + iφ = Re = Re 2 σ := Re z δ − iφ δ + φ2
ist. Wegen (5.15) gilt nun f¨ ur φ ∈ φh,k |φ| ≤ max{|φ1 |, |φ2 |} ≤
1 , kN
also |φk| ≤ N −1 , und somit
k≤N σ δ δ 1 = 2 2 ≥ = . 2 2 2 2 2 −2 2 k k d +k φ N δ +N δN − (δN 2 )−1
(?)
δ > 0 war bisher beliebig. Wir w¨ ahlen nun δ := N −2 . F¨ ur diesen Wert wird der erhaltene Ausdruck (?) maximal. Es folgt δ 1 ≥ k2 2 und somit ∞ X √ 2 2 |H(h, k, z)| ≤ 8ke−(πδ/2k ) e−π(m −1)/4 ≤
√
8ke−(πδ/2k
2)
m=1 ∞ X m=1
72
e−
3π (m−1) 4
,
5.5 Berechnung des Integrals
wobei wir im letzten Schritt ausgenutzt haben, dass m2 − 1 = (m − 1)(m + 1) ≥ 3(m − 1), falls m ≥ 1 und ganzzahlig ist. Die Summe ist eine unendliche, geometrische Reihe, wobei −3π e 4 < 1 ist, so dass folgt √ √ 1 2 −(πδ/2k2 ) |H(h, k, z)| ≤ 8ke−(πδ/2k ) k, 3π ≤ C · e 1 − e− 4 wobei C eine geeignete, positive Konstante ist. Zusammenfassung: h 1 (G(h, k) + H(h, k, z)) (5.17) θ e2π k −2πz = √ 2zk √ 2 |H(h, k, z)| ≤ C ke−πδ/2k (5.18) √ |G(h, k)| ≤ 2k (Satz 5.8(ii)). Folgerungen: θs = √
s 1 X s H r Gs−r r 2zk r=0
F¨ ur 1 ≤ r ≤ s gilt |Gs−r H r | ≤ C1 k
s−r 2
r
2
k 2 |e−πδ/2k {z }
r
s
≤ C1 k 2 e−πδ/2k
2
(5.19)
≤1
Die rechte Seite von (5.19) ist unabh¨ angig von r, so dass wir ganz θs auf diese Weise absch¨atzen k¨onnen. Es folgt 2 −πδ/2k2 s/2 s s e−πδ/2k ≤ C2 e √ k θ − √G (5.20) ≤ C3 s/2 s/2 . |z| k ( 2zk)s | 2zk|s Hierbei sind C1 , C2 und C3 geeignete positive Konstanten, die nur von s abh¨angen. Schließlich ist Z X G(h, k) s 2πnz −2πin h k √ rs (n) = e e dφ 2kk φh,k h ∈FN k Z X h G(h, k) s 2πnz (5.21) −2πin h s k e + − √ θ exp −2πδ + 2πiφ + 2πi e dφ k 2kk φh,k h ∈FN k | {z } =:E1
Absch¨ atzen von E1 (5.20)
|E1 | ≤
X Z h ∈FN k
z=δ−iφ
=
δ=N −2
≤
φh,k
C
e−πδ/2k e2πnδ dφ (δ 2 + φ2 )s/4 k s/2
2
2
2
2
e−(πδ/2k )(δ/(δ +φ )) 2πn/N 2 e dφ C (δ 2 + φ2 )s/4 k s/2 φh,k | {z }
X Z h ∈FN k
e−πδ/2k 2πn Re(z) e dφ |z|s/2 k s/2
φh,k
X Z h ∈FN k
2
C
=:A
73
5 Darstellungen von nat¨ urlichen Zahlen als Summe von Quadraten
Dabei ist A ≤ δ −δ/4
πδ 2k 2 (δ 2 + φ2 )
s/4
exp −
πδ 2k 2 (δ 2 + φ2
von der Form y 7→ y s/4 e−y . Diese Funktion verschwindet f¨ ur y → 0 bzw. y → ∞, hat das s s/4 s Maximum 4e , angenommen an der Stelle y = 4 , und ist nicht negativ. Demnach ist das ankt durch Integral zu hk ∈ FN beschr¨ Z Z s 2/4 2 2 C1 δ −s/4 e2πn/N dφ = C2 δ −s/4 e2πn/N 1dφ. 4e φh,k φh,k Also ist der Fehlerterm betragsm¨ aßig nach oben beschr¨ankt durch X Z 2πn/N 2 s/4 |E1 | ≤ C2 e δ 1dφ . h
|k
∈FN
φh,k
{z
}
=1
√ W¨ ahlen wir nun N := [ n], so folgt |E1 |
δ=N −2
≤
C3 e2π ns/4 = O ns/4 .
Hierbei ist C3 eine nur von s abh¨ angige Konstante.
5.5.2 Erweiterung des Integrationsbereichs Wir wollen nun das Integral Z Z G(h, k) s e2πnz G(h, k) s 2πnz √ √ √ s dφ e dφ = 2zk 2k φh,k ( z) φh,k berechnen. Im folgenden sei s > 2 vorausgesetzt. Da z = δ − iφ ist, gilt 2πnz e e2πnδ e2πnδ = f¨ ur |φ| → ∞. ≈ |z|s/2 (δ 2 + φ2 )s/4 φs/2 R R∞ Wir k¨onnen daher φh,k durch −∞ ersetzen. Der damit verbundene Fehler ist beschr¨ankt durch Z
φ1
−∞
Z e2πnz ∞ e2πnz dφ + dφ . |z|s/2 φ2 |z|s/2
Wir sch¨atzen beispielhaft den zweiten Term ab. Die erste l¨asst sich analog behandeln. Z ∞ 2πnz Z ∞ e e2πnδ ≤ dφ dφ s/2 2 2 s/4 φ2 |z| φ2 (δ + φ ) Z ∞ (5.15) 1 ≤ e2πnδ dφ s/2 (1 + (φ/δ)2 )s/4 1 δ 2kN Z ∞ 1 ψ=φ/δ 2πnδ 1−s/2 = e δ dψ 2 )s/4 1 (1 + (ψ/δ) 2kN δ | {z } ≤
δ=N −2
≤
2
Ce2πn/N n(s/2)−1 n−(s−2)/4 k (s−2)/2
= Cn(s−2)/4 k (s−2)/2
74
1 ψ s/2
5.5 Berechnung des Integrals R
Nimmt man diese Ersetzung E2 beschr¨ankt durch
→
φh,k
R∞ −∞
f¨ ur jedes Integral in (5.21) vor, so ist der Gesamtfehler
X G(h, k) s s−2 s−2 |E2 | ≤ √2k 2Cn 4 k 2 h k
5.8
∈FN
X
≤
2Cn(s−2)/4 k −1
h ∈FN k
X
X
0
0≤h
=
X
≤
2Cn
2Cn(s−2)/4 d−1
s−2 4
0
√ s−2 = [ n]2Cn 4 ≤ 2Cns/4 = O ns/4 . Somit folgt rs (n) =
X
−2πin h k
e
h ∈FN k
=
X
h
e−2πin k
h ∈FN k
G(h, k) √ 2k
s Z
G(h, k) √ 2k
s
∞
−∞
e2πn(δ−iφ) dφ + E1 + E2 (δ − iφ)s/2
(2π)s/2 (s/2)−1 n + E1 + E2 , Γ(s/2)
s > 2.
5.5.3 Erweiterung des Summationsbereichs Der mit der Erweiterung des Summationsbereichs verbundene Fehler l¨asst sich wie folgt absch¨ atzen: X X h G(h, k) s (2π)s/2 s/2−1 √ −E3 = e−2πin k n Γ(s/2) 2k h mod k k>N (h,k)=1
also |E3 | ≤
k>N
≤
G(h, k) s √ 2k | {z }
X X h mod k (h,k)=1
(2π)s/2 s/2−1 n Γ(s/2)
5.6(iii) √ ( 2k)s √ ≤ =k−s/2 ( 2k)s
X (2π)s/2 X ns/2−1 k −s/2 1 Γ(s/2) h mod k
k>N
(h,k)=1
| {z } ≤k
≤
(2π)s/2 Γ(s/2)
ns/2−1
√ N =[ n]
≤
C ·n
X
k 1−s/2
k>N s/n−1
= C · ns/n−1
Z
∞
√
u1−s/2 du
n √ 2−s/2 ( n)
(s/2) − 2
(denn s > 4!)
= C 0 ns/4 = O(ns/4 ).
Wir fassen zusammen:
75
5 Darstellungen von nat¨ urlichen Zahlen als Summe von Quadraten Theorem 5.9. F¨ ur s ≥ 5 gilt rs (n) = %s (n) + O(ns/4 ) wobei %s (n) :=
(n → ∞),
(2π)s/2 s/2−1 n S(s, n) Γ(s/2)
und S(s, n) :=
∞ X
Ak
k=1
mit Ak := Ak (s, n) = k −s
X
h
G(h, k)s e−2πin k
h mod k (h,k)=1
ist. P∞
k=1 Ak
Die unendliche Reihe
wir auch singul¨ are Reihe genannt.
5.6 Absch¨ atzen von S(s, n) Lemma 5.10. Ak ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion. Beweis: Wir m¨ ussen hierzu zeigen, dass f¨ ur (k1 , k2 ) = 1 folgt: Ak1 k2 = Ak1 · Ak2 . Es ist −s
Ak1 Ak2 = (k1 k2 )
X
X
s
(G(h1 , k1 )G(h2 , k2 )) exp −2πin
h1 mod k1 h2 mod k2 (h1 ,k1 )=1 (h2 ,k2 )=1
h1 h2 + k1 k2
.
Setze nun h := h(h1 , h2 ) := h1 k2 + h2 k1 . Dann gilt • (h, k1 k2 ) = 1, falls (h1 , k1 ) = 1 und (h2 , k2 ) = 1 sind, •
h1 h2 h + = , k1 k2 k1 k2
• G(h1 , k1 )G(h2 , k2 ) = G(h, k1 k2 ).
(?)
Ferner durchl¨auft h ein vollst¨ andiges Restsystem modulo k1 k2 , wenn h1 ein vollst¨andiges Restsystem modulo k1 , uhd h2 ein vollst¨ andiges Restsystem modulo k2 durchl¨auft. Dabei ist (h, k1 k2 ) = 1 ⇔ (h1 , k1 ) = 1 ∧ (h2 , k2 ) = 1. Somit folgt −s
Ak1 Ak2 = (k1 k2 )
= (k1 k2 )−s
h G(h, k1 k2 ) exp −2πin k1 k2 h1 h2 X h s G(h, k1 k2 ) exp −2πin = Ak1 k2 k1 k2 h mod (h k )
XX
1 2 (h,k1 k2 )=1
76
s
5.6 Absch¨atzen von S(s, n)
Die Gleichung (?) gilt, da: G(h, k1 k2 ) = G(h1 k1 k2 + h2 k12 , k2 )G(h1 h22 + h2 k1 k2 , k1 ) = G(h2 k12 , k2 )G(h1 k2 , k1 ) G(h±k,k)=G(h,k)
=
G(h2 , k2 )G(h1 , k2 ),
denn f¨ ur alle h, l ∈ Z, k ∈ N, (h, k) = 1, (l, k) = 1 gilt 2 2 X X hm2 hl m 2 e G(hl , k) = = e = G(h, k), k k m mod k
m mod k
weil (lm) genau dann ein vollst¨ andiges Restsystem modulo k durchl¨auft, wenn m dies tut.
Lemma 5.11. Es gilt S=
∞ X
Ak =
Y Y (1 + Ap + Ap2 + . . .) = Sp . p
k=1
p
Beweis: Nach dem Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie gilt Y
(1 + Ap + Ap2 + . . .) =
X
5.10
Apa1 · Apa2 · . . . · Apag g = 1
2
g≥0
p prim
X
Apa−1 pa2 ...pag g = 1
p1 ...pg prim a1,...,ag ≥1
∞ X
2
An ,
n=1
wobei das jetzt Gleichheitszeichen wegen P∞ des Hauptsatzes der elementaren Zahlentheorie gilt. Wir beachten hierbei, dass die Reihe k=1 Ak absolut konvergent ist, denn es gilt ∞ X
|Ak | ≤
k=1
∞ X X |G(h, k)|s ks h mod k k=1
(h,k)=1
∞ 5.8(iii) X
≤
≤
∞ X
X
k=1
h mod k (h,k)=1
s
s
s
s
2 2 k− 2
2 2 k 1− 2 < ∞
f¨ ur
s > 4.
k=1
Daraus folgt die absolute Konvergenz der obigen Reihen und Produkte. P Bemerkung: i. Die Reihen 1+ a=1 Apa sind sogar endlich, wie wir in K¨ urze sehen werden. ii. Mit den vorherigen Hilfss¨ atzen haben wir das Problem der Berechung von Ak auf das Problem der Berechnung von Apa p prim, a ≥ 1, zur¨ uckgef¨ uhrt. Wir unterscheiden jetzt eine Reihe von F¨allen Lemma 5.12 (p = 2). F¨ ur p = 2 gilt i. A2 = 0 ii. Ist a gerade, a ≥ 2 so gilt ( A2 a = wobei n1 :=
n 2a−2
cos( π4 )(2n1 −s) 2(s/2−1)(a−1)
0
f¨ ur f¨ ur
2a−2 |n 2a−2 6 |n,
ist.
77
5 Darstellungen von nat¨ urlichen Zahlen als Summe von Quadraten iii. Ist a ungerade a ≥ 3, so ist f¨ ur (−1)(n2 −s)/4 2(1−s/2)(a−1) , A2 a = 0 sonst
2a−3 |n, n2 ≡ s mod 4
Beweis: i. a = 1, d.h. k = 2, k := 2a . Dann gilt nach Satz 5.8(i) G(h, 2) = 0 f¨ ur alle n, also auch Ak = 0. ii. F¨ ur gerade a folgt nach Satz 5.8 (iii) G(h, 2a ) = (1 + ih )2a/2 , also A2a =
1 · 2as 2 as
= 2− 2
X
(1 + ih )s e−
2πinh 2a
h mod 2a 26|h
X
(1 + ih )s e−
2πinh 2a
as
X
+ 2− 2
h mod ka h≡1 mod 4
(1 + ih )s e−
2πinh 2a
,
h mod ka h≡3 mod 4
as
wobei h ∈ {3, . . . , 2a − 1, 2a + 1} ist. Mit h = 4j + 1 + 2− 2 j ∈ {1, . . . , 2a−2 } ist − as 2
A2a = 2
s
(1 + i)
a−s 2X
−2πin(4j+1)/2a
e
− as 2
+2
(1 − i)
j=1
Weiter ist
a−2 X j=1
Falls
2a−2
a−s 2X
e−2πin(4j−1)/2
a
j=1
−2πijn/2a−2
e
s
=
2a−2 0
f¨ ur f¨ ur
2a−2 |n 2a−2 6 |n
6 |n, sind wir fertig. F¨ ur 2a−s |n schreiben wir n = 2a−2 n1 , so dass folgt sa
a
sa
a
A2a = 2− 2 (1 + i)s 2a−2 e−2πin/2 + 2− 2 (1 − i)s 2a−2 e−2πin/2 . √ πi Mit (1 + i) = 2e 4 ist schließlich A2a = 2s/2(1−a) 2a−1 2−1 eπis/4−2πin1 /4 + 2s/2(1−a) 2a−1 2−1 e−πis/4+2πin1 /4 πs 2πn1 (s/2−1)/(1−a) − =2 cos 4 4 | {z } = π4 (s+2n1 )
Lemma 5.13 (p ungerade). Sei p eine ungerade Primzahl. Falls sa gerade ist, so gilt a 2 f¨ ur pa |n (p − 1)p−((s/2−1)a−1 i((p −1)/2) s , a 2 Apa = −p((s/2−1)a−1 i((p −1)/2) s , f¨ ur pa−1 |n ∧ pa 6 |n 0, f¨ ur pa−1 6 |n
78
5.6 Absch¨atzen von S(s, n)
Falls sa ungerade ist, so gilt ( 0 “ ” n Apa = p) −(as/2)+a−(1/2) p1 p ((pa − 1)/2)2 s (1−i)(1+i , 2
f¨ ur
pa |n oder pa−1 6 |n,
f¨ ur
pa−1 |n.
Beweis: i. Sei sa ungerade. Satz 5.8 liefert h ((pa −1)/2)2 a/2 h a (iii) a (ii) G(1, p ) = i p G(h, p ) = a p p
1√+k i i k
G(1, k) =
k ≡ 1 mod 4 k ≡ 3 mod 4
f¨ ur f¨ ur
= i((k−1)/2)
2
Es folgt ((pa −1)/2)2 s −as/2
Apa = i
p
X
h −2πihn/pa e . p a
h mod p
Dabei haben wir die Bedingung p 6 |h fallen lassen k¨onnen, denn f¨ ur p|n gilt ja
h p
= 0.
Um die Summe zu berechnen, schreiben wir h = vp+j (h = 0, . . . , pa −1, v = 0, . . . , pa−1 − 1, j = 0, . . . , p − 1) X h − 2πih X X j a−1 a e pa = e−2πinv/p e−2πinj/p . p p a v j
h mod p
Falls pa−16|n ist, verschwindet die Summe u ¨ber v. Falls pa−1 |n, also n = pa−1n1 mit n1 ∈ N, Pp−1 so ist die Summe u ¨ber v gleich pa−1 und die Summe u ¨ber j wird zu j=0 p1 e−2πjin1 /p . P j a−1 ||n) ist, ergibt sich Falls p|n1 (⇔ pa |n) ist, ist dies p−1 j=0 p = 0. Falls p 6 |n1 (⇔ p p−1 X
e−2πijn1 /p
5.8(iv)
=
G(n1 , p)
j=0
n1 = G(1, p) p n1 (1 + i)(1 + i−p ) √ 5.8(iii) = p p 2 n1 (1 − i)(1 + ip ) √ = p p 2 5.8(ii)
Aus Lemma 5.12 folgt |A2 a| ≤ 21−s/2(a−1) , P ¨ so dass | a A2a | < ∞ f¨ ur s ≥ 3 ist. Ahnlich folgt aus Lemma 5.13 f¨ ur p prim p ≥ 3 ∞ ∞ ∞ X X p−1X p−1 p−1 1 1 = 1 + s/2 = 1 + s/2 . Apn ≤ 1 + 1 + as/2−a+1 (s/2−1)(a−1) p p p p 1 − p1−s/2 n=1
a=1
a=1
79
5 Darstellungen von nat¨ urlichen Zahlen als Summe von Quadraten
Also ist
∞ X p−1 1 Apa ≤ s/2 ≤ s/2−1 . |Sp − 1| ≤ p −p p − 1 a=1
Mit A2 = 0 folgt ∞ ∞ X X −1 −1 2(1−s/2)(a−1) = 21−s/2 1 − 21−s/2 = 2s/2−1 − 1 , A2a ≤ |S2 − 1| = a=2
a=2
also 1−
1 ps/2−1
−1
≤ Sp ≤ 1 +
1 ps/2−1
−1
,
p = 2, 3, 5, 7, . . . −
F¨ ur s = 5 (”magische Dimension”) wegen ps/2 − 1 ≥ p3/2 folgt Die Produkte Y 1 1 ± s/2−1 p −1 p konvergieren, denn f¨ ur die zugeh¨ orige Summe gilt: X X p−(s/2−1) ≤ n−(s/2−1) < ∞
f¨ ur
s ≥ 5.
n
p
P1 (Beachte, dass f¨ ur s = 4 die Summe p divergent ist.) Damit folgt das Hauptergebnis: Y Y 1 1 c− (s) := 1 − s/2−1 ≤ S(n, s) ≤ 1 + s/2−1 =: c+ (s) p −1 p −1 p p und
rs (n) = s(n, s)ns/2−1 + O ns/4 ,
(5.22)
(5.23)
wobei f¨ ur s ≥ 5 ns/2−1 ns/4 ist. Das obige Produkt konvergiert auch f¨ ur s = 4, da es nur endlich viele pa−1 |n gibt. F¨ ur alle ∼ anderen p 6 |n gilt Ap (n, 4) = p − 2 und X |S| ≤ c · p−2 < ∞. p
5.7 Berechnung von S(s, n) Definition 5.14. Die Bernoulli-Zahlen Bm , m ≥ 1 sind durch die Entwicklung ∞ X t Bm m =1+ t et − 1 m! m=1
definiert. Es gilt
Behauptung: B2m+1 Beweis:
1 B0 := 1, B1 = − , B3 = B5 = B7 = B9 = 0, . . . . 2 = 0 f¨ ur m ≥ 1. ∞ X Bm m t t t et + 1 1+ t = t + = , m! e −1 2 2 et − 1 m=2
80
5.7 Berechnung von S(s, n)
wobei der letzte Term symmetrisch ist (g(−t) = g(t)). Somit liefert Differenzieren an der Stelle t = 0 die Aussage B2m+1 = 0. Also ist 1+
∞ X t et + 1 B2m 2m t = . 2m! 2 et − 1
m=1
Aus der Analysis (oder mittels Poisson’sche Summenformel angewendet auf g(z) = ist ! ∞ X 1 1 X 2z 1 = cot z = + = , tan z z z 2 − (πn)2 z − πn n=1
y z 2 +y 2
¨ (U))
n∈Z
wegen Partialbruchzerlegung: 1 2z 1 + = 2 . z − πn z + πn z − (πn)2 Da cot z = i
2i eiz + e−iz = i + 2iz iz −iz e −e e −1
ist, folgt
∞
X t t t2 = 1 − + 2 et − 1 2 t2 + (2πn)2 n=1
und falls
1 | 2πn |
<1 2m ∞ X t2 t m−1 = (−1) . t2 + (2πn)2 2πn m=1
Hieraus erhalten wir ∞ X ∞ ∞ 2m X X t t2m t t m−1 m−1 2S(2m) t = 1 − + 2 (−1) = 1 − + (−1) et − 1 2 (2πn)2m 2 (2π)2m (2m)! n=1 m=1
m=1
d.h. wir erhalten Lemma 5.15. B2m = (−1)m−1
2(2m)! S(2m) (2π)2m
(5.24)
¨ ¨ B2m berechnet man rekursiv (Ubung). Weiterhin sind aus den Ubungen die Ramanujan-Summen bekannt: X X k h = d·µ (5.25) ck (n) := exp 2πin k d h mod k (h,k)=1
d|(n,k)
Berechnung von S(n, s) f¨ ur gerade s i. Berechnung von S2 : a) Fall n ungerade: 1. 2a , a ungerade: Wegen Lemma 5.12 ist A2a = 6 0, a = 3, A21 = 0 ( n−s f¨ ur (−1) 4 22−s , A8 = 0 sonst.
n ≡ s(4),
und A2a = 0, f¨ ur a ≥ 5. Da 2a−3|n ist, ist n gerade.
81
5 Darstellungen von nat¨ urlichen Zahlen als Summe von Quadraten 2. 2a , a gerade: 2
A2 = cos
π(a − s/2 2
3
2 2 −1
und A2a = 0 f¨ ur a = 4, 6, 8, . . . Wegen 2a−2 |n ist n gerade. Zusammenfassend ergibt sich
S2 = 1 + 0 +
cos π n−s/2 2 2s/2 − 1
+ (−1)(n−s)/4 /4s/2−1η ,
(5.26)
s (n−1)(s/2−1) /2 2
(5.27)
wobei η = 1 f¨ ur s ≡ n(4) und sonst η = 0 ist. b) n gerade, d.h. n = 2b n1 mit ungeradem n: 1. a ≥ 2 gerade: A2a = cos
π 2
n1 2b−a+2 −
2. a ≥ 3 ungerade: A2a =
(−1)n1 2 0
(b−a)+3−s)/4 2−(a−1)(s/2−1)
f¨ ur sonst
3
n1 2b−ar ≡ s(4)
(5.28)
s ≡ 0 mod 4: S2 = 1 + (−1)s/4 (21−s/2 + 22(1−s/2) + . . . + 2(b−1)(1−s/2) − 2b(1−s/2)
(5.29)
F¨ ur b = 0, n ungerade ist der Klammerausdruck gleich Null. ¨ Ahnlich erh¨ alt man f¨ ur s ≡ 2 mod 4 S2 = 1 + (−1)(2n1 −s)/4 2(1−s/2)(b+1)
(5.30)
ii. Berechnung von Sp f¨ ur p ≥ 3: Aus Lemma 5.13 erhalten wir “
Apa = i
pa −1 2
”2
s −as/2
p
X h as h exp −2πin a p p h mod pa p6|h
|
Mit
as
I=
h p
=
X h mod pa p6|h
as/2 2 h p
exp −2πin
{z
=:I
}
= 1 ist
h pa
=
X
d·µ
d|(n,pa )
pa d
a p − pa−1 , (n, pa ) = pa , −pa−1 , n = pa−1 n1 , p 6 |n, = 0 sonst
Falls p 6 |n ⇔ (n, p) = 1 gilt I = 0. Somit ist I = 1 bzw. I = −1 f¨ ur a = 0 bzw. a = 1, d.h. A1 = 1, p−1 2 A = is( 2 ) p−s/2 p
und 2
Sp = 1 − is((p−1)/2) p−s/2 .
82
5.7 Berechnung von S(s, n) F¨ ur n = pb n1 , p 6 |n1 , ist
Apa
s(pa −1)/2)2 −sa/2(pa −pa−1 ) p i a −1)/2)2 −sa/2(−pa−1 ) s(p = i p 0
a≤b a=b+1 a > b + 1.
f¨ ur f¨ ur f¨ ur
(5.31)
Insbesondere gilt f¨ ur s ≡ 0 mod 4 p−1 pb − pb−1 p2 − p 1 + + . . . + − pb (b+1)(s/2) 2 s/2 b(s/2) p (s/2) p p p s/2 (1−s/2) b(1−s/2) = (1 − p ) 1 + p + ... + p
Sp = 1 +
(5.32)
(b = 0 ⇒ Sp = 1 − p−s/2 f¨ ur p 6 |n) ur p ≡ 1 mod 4. F¨ ur s ≡ 2 mod 4 und p ≡ 3 mod 4 Falls s 6= 2 mod 4 gilt (5.32) ebenfalls f¨ ist Sp = (1 + p−s/2 ) 1 − p1−s/2 + . . . + (−1)b pb(1−s/2) . (5.33) iii. Der Fall s ≡ 0 mod 4: Hier gilt Y Y S= Sp = S2 Sp p
= S2
p>2
Y
(1 − ps/2 ) 1 + p(1−s/2) + . . . + pb(1−s/2) = S2 P1 P2 ,
p>2
wobei P1 := S(s/2)−1 (1 − 2−s/2) )−1 ,
P2 :=
X
d1−s/2
d|n, d ungerade
ist. Mit k−1
S(2k) = (−1)
B2k 2
(2π)2k /(2k)!
gilt zusammenfassend X 2s/2 2(−1)−1+s/4 2s ! S = S2 s/2 d1−s/2 Bs/2 2 −1 (2π)s/2 d|n d ungerade X 2 (s/2)! S 2 = d1−s/2 , |Bs/2 | π s/2 (2s/2 − 1) d|n d ungerade
so dass f¨ ur die Approximation von rs (n) gilt: X (2π)s/2 ns/2−1 (s/2)! S 2 rs (n) = d1−s/2 Γ(s/2) |Bs/2 | π s/2 (2s/2 − 1) d|n d ungerade s/2−1 X sn S2 = d1−s/2 |Bs/2 |(2s/2 − 1)
(5.34)
d|n d ungerade
iv. F¨ ur b = 0 ist n = 2b n1 = n1 , n1 ungerade und s ≡ 0 mod (3 + 1), dann S2 = 1.
83
5 Darstellungen von nat¨ urlichen Zahlen als Summe von Quadraten v. F¨ ur b > 0 ist n = 2b n1 , n ungerade b(1−s/2) S2 = 1 + (−1)s/4 21−s/2 + . . . + 2(b−1)(1−s/2)−2 , so dass ns/2−1 S2 auf Summanden f¨ ur d = 2b , d|n f¨ uhrt. Setze δ :=
n d
n s/2−1 d
f¨ ur d = 2c , 0 ≤ c ≤ b, d|n, bzw. auf −
n s/2−1 d
∈ N, d = 2c , s ≡ 0 mod 0 ⇒ s/4 gerade. S2 = 21−s/2 + . . . + 2(b−1)(1−s/2)−2
und
b(1−s/2)
b(1−s/2) S20 = S2 + 2 · 21−s/2 + . . . + 2(b−1)(1−s/2)−2 .
Dann ist X
S20 =
d1−s/2 =
d|n d ungerade
X
t1−s/2 .
t|n
Also ist X
In := S2
d1−s/2
d|n d ungerade
zu erhalten mittels Substitution aller Teiler t = 2b d, d ungerade von n (mit h¨ochstens Potenz b). Falls n gerade ist, ist X In = (−1)n/t t1−s/2 t|n
n
, t = 2b π ⇒
t Falls n ungerade ist, ist
n ungerade, t In = −
n n , t = 2c π, c < b ⇒ ungerade t t
X
(−1)n/t t1−s/2
t|n
f¨ ur s ≡ 0 mod 8 Zusammenfassend In =
X
(−1)n+n/t t1−s/2 .
t|n
Dies ist korrekt, falls s ≡ 0 mod 8, d.h. S2 (n) =
X 2 (−1)δ+n δ s/2−1 (2s/2−1 − 1)(Bs/2 ) δ|n
δ=
n . d
Falls s ≡ 4 mod 8 ist, gilt S2 = 1 − 21−s/2 . . . − 2(b−1)(1−s/2) + 2b(1−s/2) und wie oben X In = (−1)n/t+n+1+t t1−s/2 . t|n
Es ergibt sich also f¨ ur s ≡ 0 mod (3 + 1) Ss (n) =
X s (−1)n+δ+s/4(n/δ+1) δ s/2−1 . s/2 2 − 1|Bs/2 | δ|n
84
5.7 Berechnung von S(s, n)
Beispiel:
i. s = 4: Mit Bs/2 = B2 = S4 (n) =
1 6
ist
X n 4 EZT (−1)n+d+ d +1 d = 8 1 − 1) 6
22
d|n
ii. s = 8: S8 (n) =
X
d = r4 (n)
d|n d6≡0 mod 4
240 X (−1)n+d d3 15 d|n
Dies ist relativ schwierig zu zeigen. Man benutzt Modulfuntionen aus der elemntaren Zahlentheorie. F¨ ur s ≡ 2 mod 4, s ungerade siehe Handout.
Alternative Darstellung von S(s, n) Seien (h, k) = 1, G(h, k) die Gaußsumme und e(x) = exp(−2πix). Dann ist X s h e msj . k mod k
X
s
G(h, k) =
j=0
mj 1≤j≤s
F¨ ur k = pa gilt: Apa = p
X
−as
h mod pa (h,p)=1
h G(h, p ) e − a n p a s
s X h m2j − n e a p
X
= p−as
X
h mod pa mj mod pa (h,p)=1 1≤j≤s
X
= p−as
a
p X
mj mod pa 1≤j≤s
n=1
(n)
j=1
a −1 pX s s X X ¯ hp h m2j − n) − e a m2j − n e a p p ¯
j=1
(n)
h=1
j=1
= p−as Npa pa − Npa−1 pa+1−s , wobei Npt := #{(m1 , . . . , ms )|0 ≤ mj ≤ pt , 1 ≤ j ≤ s, m21 + . . . + m2s ≡ n mod pt } ist. 1. Summe: P Pa i. F¨ ur sj=1 m2j ≡ 0 mod pa ist pk=1 1 = pa ii. F¨ ur
Ps
2 j=1 mj
− n 6≡ 0 mod pa ist
Ppa
k=1 e (·)
= 0.
2. Summe: P a −1 P 1 = pa−1 , wobei 0 ≤ mj ≤ pa − 1 ist. i. F¨ ur sj=1 m2j ≡ 0 mod pa−1 ist pk=1 ii. F¨ ur
Ps
2 j=1 mj
6≡ 0 mod pa−1 ist wieder
Ppa
k=1 e (·)
= 0.
Also ist Sp,N =
N X a=1
Apa 1 +
N X a=1
(p−a(s−1) Npa (n) − p(a−1)(s−1) Npa−1 (n) =
NpN (n) , pN (s−1)
85
5 Darstellungen von nat¨ urlichen Zahlen als Summe von Quadraten
d.h. Sp = limN →∞ Sp,N = limN →∞
NpN (n) pN (s−1)
. Die zugeh¨orige Norm bildet von {0, 1, . . . , pN − 1}s
(Anzahl ist pN s ) auf {0, . . . , pN − 1} (Anzahl ist pN ) ab, d.h. bei gleichm¨aßiger Verteilung von sN k(m1 , . . . , ms )k2 mod p sollte die Dichte der L¨osungen ppN = p(s−1)N sein. F¨ ur s ≥ 5 wissen wir, dass die lokale Dichte (in der Primzahl p) c− ≤
Anzahl L¨osungen modpN ≤ c+ Mittlere Dichte mod pN
f¨ ur N → ∞Qgilt. S(s, n) = p Sp ist die globale Dichte in den Primzahlen. Was ist aber Sp , p = ∞? vol{(x1 . . . xs )| n − 1 ≤ kxk2 ≤ n} ≈
π s/2 s/2−1 n =: S∞ . Γ(s/2)
Dies entspricht der Oberfl¨ ache der Sph¨ are mit einer Schale von der Dicke
86
√1 . n
6 Diophantische Gleichungen in Zpn Sei f ∈ Z[x1 , . . . , xn ] ein Polynom in x1 , . . . , xn mit Koeffizienten in Z. Unser Ziel wird es sein, die Existenz der L¨ osungen von f (x1 , . . . , xn ) ≡ 0 mod m,
m≥2
(6.1)
in Restklassen x1 , . . . , xn mod m zu zeigen und deren Anzahl zu bestimmen. Die Existenz folgt nat¨ urlich aus der Existenz einer L¨osung f (x1 , . . . , xn ) = 0 mit x1 . . . xn ∈ Z. n Sei Om (Zm ) die Zm -Algebra der Abbildungen g : Znm → Zm
(6.2)
und sei R : Z[x1 , . . . , xn ] → Om (Znm ) f 7→ f ∗ , wobei f ∗ (m1 , . . . , mn ) := f (m1 , . . . , mn ) mod (m) ist. Definition 6.1. f, g ∈ Z[x1 , . . . , xn ] heißen ¨aquivalent (f ∼ g) mod m, falls R(f ) = R(g). ¨ ¨ Dies definiert eine Aquivalenzrelation. Ein Repr¨asentant der Aquivalenzklasse von f sei das ∗ reduzierte Polynom f mit Koeffizienten αi1 ,...,in ∈ {0, . . . , m − 1} und X βi β f ∗ (x1 , . . . , xn ) := αi1 ,...,in xi1 1 · . . . · xinin , i
wobei βij ≤ ϕ(m),
j = 1, . . . , n,
(6.3)
d.h. es gilt f (e1 , . . . , en ) = f ∗ (e1 , . . . , en ) mod m
∀(e1 , . . . , en ) ∈ {0, . . . , m − 1}n .
Dies folgt aus ϕ(m)+1
R(xj
) = R(xj ),
denn nach dem kleinen Fermat gilt xϕ(m)+1 ≡ x mod m
∀x mod m.
Sei f ∗ das so reduzierte Polynom zu f . Dann gilt Proposition 6.2. Jedes f ∈ Z[x1 , . . . , xn ] ist ¨ aquivalent zu einem reduzierten Polynom f ∗ mit deg f ∗ ≤ deg f.
87
6 Diophantische Gleichungen in Zpn Sei im folgenden m = p. aquivalent, so Proposition 6.3. Sind zwei reduzierte Polynome im Sinne von Definition 6.1 ¨ sind sie gleich (f¨ ur m = p). Beweis: Es ist zu zeigen, dass aus f ∼ 0 folgt f ≡ 0 in Zm [x1 , . . . , xn ]. Induktion nach n: n = 1: Sei deg f < p, d.h. deg f ≤ ϕ(p) = p − 1. Falls f ∼ 0, so gilt f (c) ≡ 0 mod p ∀c mod p, d.h. f hat mehr Nullstellen als sein Grad. Da Zp nullteilerfrei ist, gilt (nach Satz 8.33 EZT) f ≡ 0 in Zp [x], also sind alle Koeffizienten ≡ 0 mod p. (n − 1) → n: f (x1 , . . . , xn ) = A0 (x1 , . . . , xn−1 )x0n + A1 (x1 , . . . , xn−1 )x1n .. . + Ap−1 (x1 , . . . , xn−1 )xp−1 n Wir setzen x − j = ej , j = 1, . . . , n − 1, ej ∈ {0, . . . , p − 1} und f (e1 , . . . , en−1 , xn ) =: a0 x0n + a1 x1n + . . . + ap−1 xp−1 n mit aj = Aj (e1 , . . . , en−1 ) ∈ Z. Aus f ∼ 0 folgt f (e1 , . . . , en−1 , xn ) ≡ 0 mod p
∀x ∈ {0, . . . , p − 1}.
Also folgt aus dem Fall n = 1 aj = Aj (e1 , . . . , en−1 ) ≡ 0 mod p, j = 0, . . . , p − 1. Da die Aj auch reduziert und die e1 , . . . , en−1 beliebig sind, folgt aus der Induktionsvoraussetzung A0 ≡ A1 ≡ . . . ≡ Ap−1 ≡ 0 mod p. Damit folgt die Behauptung f¨ ur n.
Lemma 6.4. Habe f (x1 , . . . , xn ) ≡ 0 mod p
(6.4)
eine nichttriviale L¨ osung und sei deg f < n. Dann gibt es eine weitere L¨ osung. Beweis: Angenommen xj ≡ aj mod p, j = 1, . . . , n sind die Komponenten eines L¨osungsvektors a = (a1 , . . . , an ) und sei dies die einzige L¨osung. Setze h : 1 − f p−1 .
88
Der kleine Fermat besagt h(x1 , . . . , xn ) =
1, 0,
xj ≡ aj mod p, j = 1, . . . , n sonst.
f¨ ur
mod p.
Sei h∗ das zu h ¨ aquivalente reduzierte Polynom mit R(h) = R(h∗ ) Dann ist h0 :=
n Y j=1
auf Znp .
(1 − (xj − aj )p−1 ) mod p {z } |
≡0 mod p, xj 6≡aj mod p
ein weiteres reduziertes Polynom mit R(h0 ) = R(h) auf Zpn . Aus Lemma 6.4 folgt damit h∗ ≡ h0 mod p in Zp [x1 , . . . , xn ].
(?)
Aus Proposition 6.2 folgt deg h∗ ≤ deg h = (p − 1)(deg f ). Da aber deg h0 = n(p − 1) ist, folgt aus deg h∗ = deg h0 n(p − 1) ≤ (deg f )(p − 1) ⇒ n ≤ deg f
E Satz 6.5 (Warning). Die Anzahl der L¨ osungen von (6.4) ist durch p teilbar, falls deg f < n ist. Beweis: (6.4) habe s L¨ osungen (i)
Li = (e1 , . . . , e(i) n ), i = 1, . . . , s, s ≥ 1. Setze h := 1 − f p−1 und sei x := (x1 , . . . , xn ). Dann ist 1, f¨ ur h(x) = 0, Setze DL (x) :=
n Y
x ≡ Li mod p, i = 1, . . . , s mod p sonst.
1 − (xj − ej )p−1
x ≡ L mod p, sonst.
mod p,
mod p
L = (e1 , . . . , en ).
(6.5)
(6.6)
j=1
Dann ist DL (x) ≡
1, 0,
f¨ ur
und h∗ (x) :=
s X
DLi (x) mod p.
mod p
(6.7)
i=1
Aus (6.5) folgt R(h∗ ) = R(h) auf Znp ,
89
6 Diophantische Gleichungen in Zpn d.h. h∗ ∼ h. Da die DLj reduziert sind, ist auch h∗ reduziert. Aus Proposition 6.2 und Lemma 6.4 folgt deg h∗ ≤ deg h < n(p − 1). Die Terme h¨ochsten Grades in h∗ sind n Y
xp−1 (−1)n j
j=1
in jedem DLj , d.h. wir erhalten als h¨ ochsten Termin in h∗ n
s(−1)
n Y
xp−1 . j
j=1
also muss s(−1)n ≡ 0 mod p sein.
Korollar 6.6 (Cheralley). Sei f ein homogenes Polynom mit deg f < n. Dann gibt es eine von Null verschiedene L¨ osung von (6.4). Beweis: Folgt aus Satz 6.5 mit s ≥ 1, p ≥ 2, s ≡ 0 mod p.
6.1 Quadratische Formen Korollar 6.7. Sei f ∈ Z[x1 , . . . , xn ] ganzzahlige quadratische Form, d.h. f (x1 , . . . , xn ) =
n X
aij xi xj ,
aij ∈ Z.
i,j=1
Falls n ≥ 3 ist, so existiert außer x = (0, . . . , 0) (triviale Nullstelle) noch eine weitere (nichttriviale) Nullstelle mod p. Beweis: n = 1: ax2 ≡ 0 mod p ⇒ x ≡ 0 mod p. n = 2: ax2 + 2bxy + cy 2 ≡ ax + cy mod p
∀x, y ∈ {0, . . . , p − 1}.
Es existieren p L¨ osungen {(x, y)|x ≡ c(a−1 )y mod p}.
Satz 6.8. Sei f (x, y) = ax2 + 2xy + cy 2 . f (x, y) ≡ 0 mod p, p > 2 hat genau dann eine (nichttriviale) L¨ osung, wenn d ≡ 0 mod p oder −d quadratischer Rest mod p ist. Hierbei ist d = ac − b2 die Diskriminante. ˇ Beweis: Siehe [BS66].
Proposition 6.9. Sei k ≥ 2, k ∈ N und Nn die Anzahl der L¨ osungen in (m1 , . . . , mn ) ∈ Znk von f ∈ Z[x1 , . . . , xn ] mit f (m1 , . . . , mn ) ≡ 0 mod k. (6.8) Dann ist Nk = k n−1 + Rk mit
k−1 1X X h Rk := e f (m) . k k h=0 m∈Zk
90
(6.9)
6.1 Quadratische Formen
¨ Beweis: Ubung: k−1 h 1X 1, f (m) ≡ 0 mod k e f (m) = 0, sonst k k n=0
P Satz 6.10. Sei f (x) = hAx, xi = 1i,j=1 aij xi xj mit x := (x1 , . . . , xn ), A = (aij , i, j = 1, . . . , n) symmetrisch, h·, ·i euklidischen Skalarprodukt, aij ∈ Z und det A 6= 0 (nicht entartet). Dann ist f¨ ur k ≥ 2, k ∈ N k−1 X n n (h(det A), k) 2 . |Rk | < k 2 k −1 n=1
Beweis: Da Rk =
1 k
Pk−1
k=1 Rn,k
ist mit Rn,k :=
P
m∈Zn k
e
h k hAm, mi
, reicht es zu zeigen, dass
|Rn,k |2 ≤ k n (h det A, k)n/2
(6.10)
gilt. X X h h h hAm, mi − hAm, ¯ mi ¯ hA(m + m), ¯ m − mi ¯ . |Rn,k | = e = e k k k m,m ¯ m,m ¯ 2
Sei m ¯ fest. Summiere in m und setze δ := m − m. ¯ m ∈ Zm auft alle Restklassen n-Tupel k durchl¨ n in Zk . Also gilt X X ! X h h 2h 2 hA(m + 2δ, δ)i = e hAn, δi ·e hAδ, δi |Rn,k | e k k k m δ
δ,m
Weiter ist Y m X h hAm, δi = e k m j=1
X
e
mj mod Zk
n 1 k , f¨ ur hAδ ≡ 0 mod k (hAδ)j mj = 0, sonst. k
Also ist |Rn,k |2 ≤
X
k n · 1 · I{δ∈Zkm :hAδ≡0 mod k} .
δ
Sei
A∗
die adjungierte Matrix ∈
2 Zn .
A∗ A = (det A)Id. Dann
hAδ ≡ 0 mod k ⇒ hA∗ Aδ ≡ 0 mod k ⇒ (h(det A)δ ≡ 0 mod k. Sei k = kn,A ·(n det A, k). Dann ist kn,A |δ oder δ = (l−1kn,A , . . . , ln kn,A ) mit 0 ≤ lj < (n det A, k) ⇒ |Rn,k |2 ≤ k n (h det A, k)n F¨ ur i. k = p prim ii. det A 6≡ 0 mod p gilt insbesondere n
|Np − pn−1 | ≤ p 2
p−1 . p
(6.11)
(F¨ ur allgemeine Formen vgl. Deligne, Grothendieck)
91
6 Diophantische Gleichungen in Zpn
92
7 P-adische Zahlen Beispiel 7.1. Wir betrachten Kongruenzen x2 ≡ 2 mod 7n ,
n = 1, 2, . . .
(7.1)
, x0 = +3
(7.2)
n = 1: x0 ≡ ±3 mod 7, n = 2: x2 ≡ 2 mod 72
(7.3)
Mit x = x0 + t1 7 folgt (3 + 7t1 )2 ≡ 2 mod 72 ⇒ 9 + 6 · 7t1 + 72 t21 ≡ 2 mod 72 . 7(1 + 6t1 ) = 7 + 6 · 7 · t1 ≡ 0 mod 72 . 1 + 6t1 ≡ 0 mod 7 ⇒ t1 ≡ 1 mod 7 x1 = 3 + 1 · 7 mod 72 . n = 3: x2 = x1 + t2 72 ⇒ t2 ≡ 2 mod 7 x21 + 272 t2 + 74 t22 ≡ 2 mod 73 x21 − 2 ≡ 0 mod 72 und 2t2 72 ≡ 0 mod 73 Man erh¨ alt also eine Folge x0 , x1 , x2 , . . . mit x0 ≡ +3 mod 7 und xn ≡ xn−1 mod 7n , x2n ≡ 2 mod 7n+1 . Definition 7.2. Eine ganze p-adische Zahl ist eine Folge ganzer Zahlen α = (x0 , x1 , x2 , . . .) ∈ ZN0
(7.4)
mit xn − xn−1 ≡ 0 mod pn , n > 1. Sei α0 = (x00 , x01 , . . .) eine weitere p-adische Zahl. Dann sei i. α = α0 ⇔ xn ≡ x0n mod pn+1 , n = 0, 1, 2, . . .
(7.5)
ii. α ± α0 := {xn ± x0n , n ≥ 0}. iii. α · α0 := {xn x0n , n ≥ 0}. ¨ Proposition 7.3. ±, · sind wohldefiniert f¨ ur die Aquivalenzklassen von ≡. Die ganzen p-adischen Zahlen bilden einen kommutativen Ring Op mit 1 := (1, 1, . . .) und 0 := (0, 0, . . .).
93
7 P-adische Zahlen Definition 7.4. Seien α, β ∈ Op . Dann ist α|β genau dann, wenn ein γ ∈ Op existiert mit β = αγ. Bemerkung 7.5. Die Abbildung Z → Op , a 7→ (a, a, . . .) ist eine Einbettung (injektiv). Lemma 7.6.
i. α ∈ Op hat eine kanonische Representation α = (x0 , x1 , . . .) mit 0 ≤ xn < pn+1 , n = 0, 1, 2, . . .
ii. α = (x0 , x1 , . . .) ∈ Op Einheit ⇔ x0 6≡ 0 mod p iii. F¨ ur α 6≡ 0, α ∈ Op ist α = pn ε,
(7.6)
wobei ε Einheit in Op ist. Diese Darstellung ist eindeutig. iv. Op ist nullteilerfrei. Beweis: i. klar. ii. ⇒“: Sei α eine Einheit. Dann existiert ein γ ∈ Op mit αγ = 1. Sei α durch yn , n ≥ 0 ” definiert und γ durch xn , n ≥ 0. Dann ist x0 y0 ≡ 1 mod p ⇒ y0 6≡ 0 mod p. ⇐“: Sei x0 6≡ 0 mod p. Aus (7.4) folgt ” xn ≡ xn−1 ≡ . . . ≡ x0 mod p ⇒ xn 6≡ 0 mod p. Somit existiert ein Inverses in Zpn+1 , d.h. yn mit xn yn ≡ 1 mod pn+1 . Da xn ≡ xn−1 mod pn ist, folgt 1 ≡ xn−1 yn−1 mod pn ≡ xn yn mod pn . ⇒ xn−1 yn−1 − xn yn ≡ 0 mod pn ⇒ yn ≡ yn−1 mod pn , d.h. γ = (y0 , y1 , . . .) ∈ Op mit αγ = 1. iii. Ist α Einheit, so ist (7.6) mit n = 0 richtig. Sei α = (x0 , x1 , . . .) keine Einheit. Da α 6= 0 ist, existiert ein kleinstes m, m > 0 mit xm 6≡ 0 mod pm+1 , d.h. xm + s ≡ xm−1 ≡ 0 mod pm , Setze yn :=
s ≥ 0.
xn+1 ∈ Z. pn
Aus pm ys − pm ys−1 ≡ xm+s − xm+s−1 ≡ 0 mod pm+s folgt ys − ys−1 ≡ 0 mod ps , s ≥ 0, d.h. ε = (y0 , y1 , . . .) ∈ Op mit y0 =
94
xm pm
6≡ 0 mod p. Also ist ε eine Einheit.
Aus pm ys ≡ xm+s ≡ xs mod ps+1 folgt pm ε = α, also (7.6) ist gezeigt. Eindeutigkeit: Sei eine weitere Darstellung gegeben durch α = pn η, η Einheit, h ≥ 0. η = (z0 , z1 , . . .). Dann ist pm ys = pn zs mod ps+1 ,
s ≥ 0,
(?)
wobei alle as , zs 6≡ 0 mod p, da η, ε Einheiten sind. Setze s = m in (?) ein: pm ym ≡ pn zm 6≡ 0 mod pm+1 ,
(??)
also k ≤ m. Symmetrie liefert m ≤ k, also insgesamt k = m. Wir k¨ urzen in (?), setzen s+1 s → s + m, ym+s ≡ zm+s mod p . Aus (7.4) folgt ym+s ≡ ys mod ps+1 und zm+s ≡ zs mod ps+1 , also ys ≡ zs mod ps+1 ,
s ≥ 0 ⇒ ε = η.
Bemerkung 7.7. a ∈ Z ist eine Einheit in Op , falls a 6≡ 0 mod p. ab , b 6≡ 0 mod p ist ein Element in Op , d.h. diese rationalen Zahlen k¨ onnen in Op eingebettet werden: Z → Op , a 7→ (a, a, . . .). Definition 7.8. Diese Elemente in Op heißen p-ganze Zahlen in Op . Sie bilden einen Unterring von Op . Korollar 7.9. Jede p-ganze Zahl α = (x0 , x1 , . . .) ist durch pk teilbar genau dann, wenn xn ≡ 0 mod pn+1 , n = 0, . . . , k − 1 ¨ Beweis: Ubung.
Definition 7.10. Die Darstellung (7.6) von α ∈ Op (α = pn ε, ε Einheit) definiert einen Exponenten von α: νp (α)(= n). Setze νp (0) := ∞. Dann gilt νp (αβ) = νp (α)νp (β)
νp (α + β) ≥ min(νp (α), νp (β)).
(7.7)
Korollar 7.11. Seien α, β ∈ Op . Dann ist β|α ⇔ νp (α) ≥ νp (β). Arithmetik von Op : Bis auf assoziierte Elemente ist nur p die einzige Primzahl. Kongruenzen: α ≡ β mod γ ⇔ γ|(α − β) γ = pn ε, ε Einheit, ⇔ pn |(α − β).
95
7 P-adische Zahlen Satz 7.12. Sei n ∈ N, α ∈ Op . Dann existieren a, q ∈ Z, q 6≡ 0 mod p, so dass α≡
a mod pn q
(p-ganze Zahl)
und a a0 ≡ 0 mod pn q q
∀n
genau dann, wenn a a0 ≡ 0 mod pn in Z. q q ¨ Beweis: Ubung: Zeige α ≡ xn−1 mod pn .
Korollar 7.13. Die Anzahl der Restklassen mod pn in Op ist pn . Quotientenbildung: pn ε : pn η = pn−m ε : η = pn−m
ε η |{z} ∈Op
Definition 7.14. relation
α ,α pk
¨ ∈ Op , k ≥ 0 definiert eine gebrochen p-adische Zahl mit der Aquivalenzβ α = m ⇔ αpm = βpk ∈ Op . k p p
¨ Die Menge der Aquivalenzklassen p-adischer Br¨ uche sei Rp und Op → Rp , α 7→
α p0
α β αpm + βpk + := pm pk pk+m αβ α β · := k+m pk pm p ¨ sind wohldefiniert auf den Aquivalenzklassen. Rp ist ein K¨ orper ristik 0! und enth¨ alt Q ,→ Rp .
pn ε pm
·
pm ε−1 pn
= 1 der Chrakte-
Satz 7.15. Jede p-adische Zahl ξ ∈ Rp \{0} l¨ asst sich eindeutig als ξ = pn ε,
ε ∈ Op Einheit , m ∈ Z
(7.8)
schreiben. Beweis: Lem 7.6 (ii) und Eindeutigkeit wie in Lem 7.6 (iii).
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7.1 p-adische Distanz
7.1 p-adische Distanz Definition 7.16. ξn ∈ Rp , n ∈ N konvergiert genau dann gegen ξ ∈ Rp , wenn lim νp (ξn − ξ) = ∞ oder lim |ξ − ξn |p = 0,
n→∞
n→∞
wobei |ξ|p :=
p−νp (ξ) , 0,
f¨ ur f¨ ur
ξ 6= 0, ξ = 0.
ist. (p−1 kann man ersetzen durch 0 < p < 1.) Es gilt |ξ1 ξ2 |p = |ξ1 |p |ξ2 |p und |ξ1 + ξ2 |p ≤ max{|ξ1 |p , |ξ2 |p } ≤ |ξ1 |p + |ξ2 |
(7.9)
Satz 7.17. Falls an ∈ Rp , n ∈ N beschr¨ ankt ist, d.h. supn |αn |p < ∞ oder falls αn ∈ Op , n ∈ N, so enth¨ alt αn eine | · |p -konvergente Teilfolge gegen ein Element in Rp (bzw. Op ). Beweis: Sei zuerst αn ∈ Op , n ∈ N. Da in Op die Zahl der Restklassen mod p endlich ist, gibt (1) es eine unendliche Teilfolge αn von αn mit a(1) n ≡ x0 mod p. (2)
Aus dieser Teilfolge w¨ ahle eine weitere Teilfolge αn aus mit 2 a(2) n ≡ x1 mod p . (k)
Dies fortgesetzt, liefert Teilfolgen αn mit k a(k) n ≡ xk−1 mod p
xk ≡ xk−1 mod pk , k ≥ 1. (n)
Sei α = (x0 , x1 , . . .) ∈ Op . Die Diagonalfolge αn konvergiert gegen α. α ≡ xn−1 mod p αn(n) ≡ xn−1 mod pn αn(n) ≡ α mod pn (n)
|αn(n) − α|p = p−ν−p(αn
−α) n→∞
−→ 0
Allgemeiner Fall: Ist ξn beschr¨ ankt in | · |p , so gilt |ξn |p = p−νp (ξn ) < ∞ ⇒ νp (ξn ) ≥ −k, 0 ≤ k < ∞. F¨ ur αn = ξn pk , νp (ξn ) ≥ 0. Somit ist αn ∈ Op und hat eine konvergente Teilfolge.
Lemma 7.18. Der K¨ orper Rp ist vollst¨ andig bez¨ uglich | · |p
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7 P-adische Zahlen
Beweis: Sei α1 , . . . , αn ∈ Rp . Dann existiert α ∈ Rp mit |α − αn |p → 0 ⇔
lim |αn − αm |p = 0 :
n,m→∞
⇒“: klar. ” ⇐“: Wir m¨ ussen zeigen, dass eine Cauchyfolge beschr¨ankt ist, d.h. ” sup |αn |p < ∞ n
oder inf νp (αn ) ≥ −k > −∞. n
Sei also αn eine Cauchyfolge. Dann existiert ein n0 ∈ N, so dass |αm − αn0 |p ≤ 1 ∀m ≥ n0 . Dann ist |αm |p ≤ |αm − αn0 + αn0 |p ≤ max(1, |αn0 |p ) < ∞
∀m ≥ n0 .
Nach Satz 7.17 existiert eine konvergente Teilfolge αn0 von αn mit Grenzwert α ∈ Rp . Sei ε > 0 beliebig. Dann ist f¨ ur ein N = N (ε) ∈ N |αn − αm |p < ε ∀m, n ≥ N. |αm − α|p ≤ max{|αm − αn0 |p , |αn0 − α|p < ε, | {z } | {z } <ε
n0 , m ≥ N.
→0, n0 →∞
Aus (7.9) folgt |α1 + . . . + αm |p ≤ max{|a1 |p , . . . , |αm |p } d.h. das Cauchy-Kriterium folgt aus n→∞
|αn − αn−1 |p −→ 0 n ≥ m, denn
n X |αn − αm |p = (αj − αj−1 ) ≤ max |{|αj − αj−1 |p }. m≤j≤n j=m+1 p
Bemerkung 7.19. Jede p-adische Zahl α ∈ Op , α 6= 0 l¨ asst sich eindeutig als α = pm (a0 p0 + a1 p1 + . . . + an pn + . . .) darstellen, wo 1 ≤ a0 ≤ p − 1, 0 ≤ an < p − 1 ist (unendlicher Dezimalbruch). ¨ Beweis: Ubung. Bemerkung 7.20. F¨ ur
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a b
∈ Q, (a, b) = 1 gilt die Primfaktorzerlegung von a und b a Y a = 1. b p b p
7.1 p-adische Distanz Satz 7.21. Sei F ∈ Z[x1 , . . . , xn ]. F(x1 , . . . , xn ) ≡ 0 mod pk ,
k = 1, 2, . . .
(7.10)
ist l¨ osbar f¨ ur alle k genau dann, wenn F(x1 , . . . , xn ) = 0 in Op l¨ osbar ist. ˇ Beweis: (Siehe [BS66].)
Satz 7.22. i. α ∈ Rp l¨ asst sich durch jede nichtentartete quadratische Form in ≥ 4 Variablen darstellen (mit rationalen Koeffizienten). ii. Sei F eine nichtentartete quadratische Form aus Z[x1 , . . . , xn ]. Falls n ≥ 5 ist, so hat jede Kongruenz F(x1 , . . . , x − n) ≡ 0 mod m eine L¨ osung. iii. (Minkowski-Hasse) Sei F eine quadratische Form aus Z[x1 , . . . , xn ]. Dann stellt F die Null genau dann (nicht trivial) dar, wenn sie die Null in Rp , p prim f¨ ur alle p darstellt und wenn sie die Null in R darstellt. iv. Jede nichtentartete quadratische Form in Z[x1 , . . . , xn ] stellt f¨ ur n ≥ 5 die Null genau dann dar, wenn die Form indefinit ist.
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Literaturverzeichnis [Alt92] H. W. Alt, Lineare Funktionalanalysis, Springer Verlag, 1992. [Bau01] Heinz Bauer, Measure and integration theory, de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 26, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2001. ˇ [BS66]
ˇ Senon I. Borewicz and Igor R. Safareviˇ c, Zahlentheorie, Aus dem Russischen u ¨bersetzt von Helmut Koch. Lehrb¨ ucher und Monographien aus dem Gebiete der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe, Band 32, Birkh¨auser Verlag, Basel, 1966. MR MR0195802 (33 #4000)
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