Algebre commutative : Chapitres 8 et 9 French

COROLLAIRE 2. - Soit A une k-algèbre intègre de typefini. Pour tout idéal premier p de A, on a

En particulier, on a ht(m) = dim(A,) = dim(A) pour tout idéal maximal m de A. Cela résulte du th. 3 et de la remarque 4 du 4 1, no 3.

COROLLAIRE 3. -Soit A une k-algèbre de typejini et soit f un élément de A qui n'appartienne à aucun idéal premier minimal de A (par exemple un élément de A non diviseur de zéro, c j IV, 9 1, no 1, cor. 3 à la prop. 2 et no 3, cor. 1 à la prop. 7). On a dim(A) = dim(AJ). L'application p ++ pAJ est une bijection de l'ensemble des idéaux premiers minimaux de A sur l'ensemble des idéaux premiers minimaux de As. Par ailleurs les anneaux A/p et Af/pAJ = ont même corps des fractions. Il suffit donc d'appliquer le th. 3, b). COROLLAIRE 4. - Soient A une k-algèbre de type fini et p un idéal premier de A. a ) Pour que p soit maximal, il faut et il suffit que le corps des fractions de A/p soit une extension finie de k. b ) Soit f E A - p ; l'idéal p est un idéal maximal de A si et seulement si pAf est un idéal maximal de Af . Si p est un idéal maximal de A, alors A/p est un corps, donc un anneau de dimension 0 ; c'est une extension de type fini de k dont le degré de transcendance est O (th. 3, c)), c'est donc une extension finie de k. Réciproquement, si le corps des fractions de À/p est une extension finie de k, on a dim(A/p) = O donc p est maximal. L'assertion b ) résulte de l'assertion a ) compte tenu que A/p et Af/pAf ont même corps des fractions. L'assertion a) du cor. 4 est une forme du théorème des zéros (V, 5 3, no 3, prop. 1).

COROLLAIRE 5. - Soient A une k-algèbre de typefini, p un idéal premier de A et (pi)itI la famille des idéaux premiers minimaux de A contenus dans p. On a : dim,(A)

=

sup dim(A/pi) id

=

dim(A,)

+ dim(A/p)

AC VI11 .22

92

DIMENSION

Passons au cas général. Tout idéal premier minimal p de B est formé de diviseurs de zéro dans B, donc est au-dessus de l'idéal O de A. 11 en résulte que l'application p H p .(B K) est une bijection de l'ensemble des idéaux premiers minimaux de B sur l'ensemble des idéaux premiers minimaux de B O, K. La proposition résulte donc de la première partie de la démonstration et de la prop. 6, c ) du 6 1, no 3. Soit p :A + B un homomorphisme injectif de k-algèbres de type fini. On a dim(A) < dim(B). En effet, soit p un idéal premier minimal de A tel que dim(A) = dim(A/p). Il existe un idéal premier q de B au-dessus de p (II, 9 2, no 6, prop. 16). D'après la prop. 4 appliquée à A/p et B/q, on a dim(A) = dim(A/p) ,< dim(B/q) < dim(B), d'où le corollaire.

COROLLAIRE.--

Lemme 4. - Soient A et B deux k-algèbres intègres, M un A-module sans torsion, N un B-module sans torsion. Si l'anneau A @, B est intègre, alors M @, N est un module sans torsion sur A 8, B. Soit K (resp. L) le corps des fractions de A (resp. B). Il existe un ensemble 1 (resp. J) tel que M (resp. N) soit isomorphe à un sous-module de K'" (resp. L'J)). Le (A @, B)module M O, N est alors isomorphe à un sous-module de K(') O, L(", qui est isomorphe à (K @, L)"" ". Comme K @, L est un anneau de fractions de l'anneau intègre A O, B, c'est un module sans torsion sur A O, B, d'où le lemme. PROPOSITION 5. - Soient k' une extension de k, A une k-algèbre de type fini et B une k'-algèbre de type,fini. a ) La k'-algèbre A @, B est de type fini et on a

b) Soit r un idéal premier de A @, B ; notons p (resp. q) l'image réciproque de r dans A (resp. B). On a dim,(A @, B)

=

dim,(A)

+ dim,(B) .

Posons n = dim(A) et m = dim(B). Il existe d'après le cor. 1 au th. 3 des homomorphismes injectifs d'algèbres cp :k[Xl, ..., X,] -+ A et \I, :kf[Y1, ..., Y,] + B faisant respectivement de A et B des algèbres finies sur k[X, , ..., X,] et kf[Y1, ..., Y,]. L'homomorphisme cp @ \Cr est alors injectif et fait de A @, B une algèbre finie sur la kt-algèbre k[X,, ..., X,] O, k'w,, ..., Y,] qui s'identifie à k'[X,, ..., X,, Y,, ..., Y,]. On a donc dim(A @, B) = n + m d'après le cor. 1 au th. 3, ce qui prouve a). Remarquons que lorsque A et B sont intègres, A @,B est un k'[X, ,...,X,, Y,, ...,Y,]module sans torsion d'après le lemme 4 et qu'on a donc dim,(A O, B)

=

n

+ m = dim(A) + dim(B)

pour tout idéal premier r de A O, B d'après la remarque 1. Prouvons maintenant b). Soit r, un idéal premier minimal de A @, B contenu dans r, et notons p , (resp. q,) l'image réciproque de r, dans A (resp. B). L'anneau

(A 8, B)/ro est isomorphe à un quotient de l'anneau (A/p,) O, (B/qo). On a donc, d'après a), dim((A 8 , B)/ro) d dim(A/p,)

+ dim(B/qo).

Appliquant le cor. 5 au th. 3, on en déduit l'inégalité

Inversement, soit p, (resp. q,) un idéal premier minimal de A (resp. B) contenu dans p (resp. q). D'après la remarque faite ci-dessus, on a

où T est l'image de r par la surjection canonique A 8 , B + (A/po) O,(Blq,). Le second membre de l'égalittt précédente est évidemment inférieur à dim,(A O , B). Appliquant le cor. 5 au th. 3, on en déduit l'inégalité

ce qui achève la démonstration.

COROLLAIRE.Soient A une k-algèbre de type $ni, k' une extension de k, et A' la k'dgèbre A 8, k'. a ) On a dim(A1) = dim(A). b ) Soient p' un idéal premier de A' et p son image réciproque dans A ; on a dim,, (A') = dimp(A). c ) Soient p' un idéal premier minimal de A' et p son image réciproque dans A. Alors p est minimal et l'on a dim(A'/pl) = dim(A/p). Les assertions a ) et b ) se déduisent de la prop. 5 en y prenant B = k'. Démontrons c). L'idéal p est minimal (no 1, prop. 1) et l'on a -

Remarque 2. - Supposons l'extension k' de k radicielle. Alors l'application canonique f : Spec(A1)+ Spec(A) est un homéomorphisme. Soit en effet p E Spec(A). D'après le lemme 1 du no 1, l'espace f -'({pl) est homéomorphe à Spec(~(p)8, k'). Or l'ensemble a des éléments nilpotents de ~ ( pO ) , k' est un idéal premier (A, V, p. 134, corollaire) et l'anneau quotient ( ~ ( pO ) , kf)/a, intègre et entier sur ~ ( p )est , un corps (A, V, p. 16, cor. 1 et p. 10, prop. 1). Par conséquent j -'({ p )) est réduit à un élément. Il en résulte que l'application j est une bijection croissante de Spec(Ar) sur Spec(A), ces deux insembles étant ordonnés par l'inclusion des idéaux premiers, donc induit une bijection entre les parties fermées irréductibles de Spec(A) sur celles de Spec(A'). Comme les parties fermées de Spec(A) (resp. Spec.(A1))sont les réunions finies de parties fermées irréductibles, f est un homéomorphisme. Pour une généralisation, voir l'exerc. 24, p. 98.

AC VI11 .24

DIMENSION

5 3. DIMENSION DES ANNEAUX NOETHÉRIENS 1. Dimension d'un anneau quotient PROPOSITION 1. - Soient A un anneau intègre noethérien, x un élément non nul de A et p un élément minimal de l'ensemble des idéaux premiers de A contenant x. Alors p est de hauteur 1 . Soit q c p un idéal premier distinct de p. On a x 4 q vu le caractère minimal de p. Comme A est intègre, A, s'identifie à un sous-anneau de A, ;pour tout entier n 3 0, on note q, l'idéal qnA, n A, de A,. Le caractère minimal de p signifie que l'anneau local A,jxA, est de dimension 0 ; il est donc de longueur finie (§ 1, no 3, exemple l), et il existe un entier no 3 O tel que I'on ait (1)

qn + xAp = qn+l + xAp pour tout

n 3 no.

,

Fixons l'entier n 3 no. Étant donné y E q,, il existe a E A, tel que y - ax E q,+ ; on a alors ax E q,, d'où a E q, puisque x 4 q, et finalement on a y E q,+ + xq,. On a donc

,

Comme x appartient à l'idéal maximal de l'anneau local noethérien A,, le lemme de Nakayama montre que l'on a q, = q,, . Comme on a (qA,)" = qnA,, on en conclut

,

(3)

( q ~ , ) "= (qA,P+l pour tout

Comme l'anneau A, est local et noethérien, on a

n 3 n,

n

(qA,)"

=

( O } (III, Q: 3, no 2,

nàO

corollaire de la prop. 5) d'où (qA,)"" = { O ) et finalement l'idéal premier qA, de A, est réduit à O. On a donc q = {O}, ce qui prouve que p est de hauteur 1. PROPOSITION 2. - Soient A un anneau noethérien, m un entier positiLf et a un idéal contenu dans le radical de A et engendré par m éléments. On a

L'inégalité dim(A/a) < dim(A) résulte de la prop. 6 du 4 1, no 3. Une récurrence immkdiate sur rn montre qu'il suffit d'établir l'inégalité

pour tout élément x du radical de A, c'est-à-dire de démontrer que l'on a dim(AjxA) 3 n - 1 pour toute chaîne p, c ... c p, d'idéaux premiers de A, de

longueur n 2 1, et telle que x E p,. Il suffit de construire une chaîne q, c ... c q, d'idéaux premiers de A, avec x E q, et cela résulte du lemme suivant : Lemme 1.-Soient A un anneau noethérien, p, c ... c p, une chaîne d'idéaux premiers de A de longueur n 3 1 et x un élément de p,. 11 existe une chaîne pb c ... c pn avec PL = po,p; = ~ " e t x ~ p ; . Raisonnons par récurrence sur n, le cas n = 1 étant trivial. Supposons donc que l'on ait n 2 2 et que x n'appartienne pas à p,-, . Soit pn-, un élément minimal de l'ensemble des idéaux premiers de A contenus dans pn = p, et contenant p,_, + Ax (II, 9 2, no 6, lemme 2). D'après la prop. 1, l'idéal p;_,/p,-, de l'anneau A/p,-, est de hauteur 1, et comme p,-, c p,-, c p, est une chaîne de longueur 2, il en est de même de p,-, c pk-, c pn. On a x E PR-^. L'hypothèse de récurrence appliquée à la chaîne p, c p l c ... c p,-, c pn-, montre qu'il existe une chaîne pb c 7; c ... c p;-, c pLPi avec x E p; et pb = p,. La chaîne ph

C

p;

C

... c

c p;

satisfait aux conditions exigées.

COROLLAIRE 1. - a) Tout anneau local noethérien est de dimensionfinie. Plus généralement, tout anneau semi-local (II, 5 3, no 5, déf. 4) noethérien non nul est de dimension finie. b) Soit A un anneau noethérien. Tout idéal de A, distinct de A, est de hauteur finie. c) Toute suite décroissante d'idéaux premiers d'un anneau noethérien A est stationnaire. a) Soient A un anneau semi-local noethérien non nul et a son radical ; l'anneau quotient A/a est artinien et non nul, donc de dimension O (9 1, no 3, exemple 1). Il existe un entier m 2 O tel que l'idéal a de A soit engendré par m éléments ; on a donc O < dim(A) < m d'après la prop. 2. b) Soit a # A un idéal de A, et soit m un idéal maximal de A contenant a. On a O d ht(a) d dim(A,) d'après la prop. 7 du Ej 1, no 3, et A, est un anneau local noethérien. Donc ht(a) est finie d'après a). c) Toute suite strictement décroissante finie (pi),,,,, d'idéaux premiers de A définit une chaîne p, c ... c p,, d'où n < dim(APo)< + m. 11 ne peut donc exister de suite strictement décroissante infinie d'idéaux premiers de A, d'où c). COROLLAIRE 2. - Soit A un anneau local noethérien. a) Soit x E m,. Alors dim(A/xA) est égal à dim(A) ou à dim(A) - 1. Pour que l'on ait dim(A/xA) = dim(A) - 1, il faut et il sufit que x n'appartienne à aucun des idéaux premiers minimaux p de A tels que dim(A/p) = dim(A), et il suffit que x ne soit pas diviseur de O dans A. b) Soit a un idéal de A distinct de A tel que dim(A/a) < dim(A). Il existe x E a tel que dim(A/xA) = dim(A) - 1. c) Si dim(A) 2 1, il existe x E m, tel que dim(A/xA) = dim(A) - 1. D'après la prop. 2, dim(A/xA) est égal à dim(A) ou à dim(A) - 1. Pour que l'on

AC VI11 .26

DIMENSION

§3

ait dim(A/xA) = dim(A), il faut et il suffit qu'il existe une chaîne p, c ... c p, d'idéaux premiers de A telle que x E p, et n = dim(A), c'est-à-dire qu'il existe un idéal premier p, de A contenant x tel que dim(A/p,) = dim(A). Mais un tel idéal premier p, est nécessairement minimal, et tout élément de p, est donc diviseur de O dans A (IV, 5 1, no 1, cor. 3 de la prop. 2 et no 4, th. 2). Ceci prouve a). Soient @ l'ensemble des idéaux premiers minimaux de A, et (D' l'ensemble des p E (D tels que dim(A/p) = dim(A). On sait (II, 5 4, no 3, cor. 3 de la prop. 14) que Q, est fini, donc Q,' est fini. Soit a un idéal de A tel que dim(A/a) < dim(A). Pour tout p E W, on a dim(A/a) < dim(A/p), donc a # p. D'après la prop. 2 de II, 5 1, no 1, il existe donc un élément x de a qui appartient à aucun des p E Q,', et l'on a alors dim(A/xA) = dim(A) - 1 d'après a). Ceci prouve b). L'assertion c) est le cas particulier a = m, de b).

2. Dimension et suites sécantes

Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini, S une partie du radical de A, 6 l'idéal de A engendré par S et a I'annulateur de M. On a

donc, si A est local, on a dim,(M) < + m. Par ailleurs, le support du A-module M/SM est égal à V(a + 6 ) d'après le corollaire de la prop. 18 de II, 4, no 4, d'où

Lorsque S est finie, ou que M n'est pas réduit à O, on a l'inégalité (8)

dim,(M/SM) b dim,(M)

< Card(S) + dim,(M/SM);

lorsque S est finie, cela résulte de la prop. 2 du no 1 et des formules (6) et (7) ci-dessus, et le cas ou S est infinie est trivial. DÉFINITION1. - Soient A un anneau local noethérien, M un A-module non nul de typefini et S une partie de l'idéal maximal nt, de A. On dit que S est sécante pour M si l'on a

Si S est sécante pour M, on a Card(S) b dim,(M), donc S est finie. On dit qu'une famille (xi)., d'éléments de in, est sécante pour M si l'on a

c'est-à-dire si i Hxi est une bijection de 1 sur une partie de m, sécante pour M.

On dit qu'un élément x de m, est sécant pour M si { x } est une partie sécante pour M, c'est-à-dire si l'on a dim,(M/xM) = dim,(M) - 1 . Remarques. - 1 ) Il résulte des formules (6) et (7) que S est sécante pour M si et seulement si elle est sécante pour A/a, où a est I'annulateur de M. 2) Soient S et Sr deux parties disjointes de m,. Pour que S u S' soit sécante pour M, il faut et il suffit que S soit sécante pour M et S' sécante pour M' = MISM. Cela résulte de l'inégalité (8) et de la formule

Card(S u S')

+ dim,(M/(SM + S'M)) dim,(M) = = (Card(S) + dim,(M/SM) - dim,(M)) + + (Card(S1) + dimA(M'/SIM')- dimA(M1)). -

3) Soient x E ntAet n 2 1 un entier. Il est immédiat que les modules MIxM et M/xnM ont même support, donc même dimension. Par suite, x est sécant pour M si et seulement si xn est sécant pour M. De là et de la remarque 2, on déduit aussitôt le résultat suivant : soient x, , ..., x, des éléments de mA et n , , ..., n, des entiers > 0 ; alors la suite (x, , ..., x,) est sécante pour M si et seulement si la suite (x;', ..., x): est sécante pour M. Soient A un anneau local noethérien et M un A-module non nul PROPOSITION 3. de type fiv! Pour qu'un élément x de m, soit sécant pour M, il faut et il suffit qu'il n'appartienne à aucun des éléments minimaux p de Supp(M) tels que dim(A/p) = dim,(M), et il suffit que l'homothétie x, de rapport x dans M soit injective. Soit a l'annulateur de M. Dire que x est sécant pour M signifie que x est sécant pour A/a, le support de M se compose des idéaux premiers p de A tels que a c p et si x, est injective, l'image de x dans A/a n'est pas diviseur de O dans A/a. La prop. 3 résulte alors du cor. 2 de la prop. 2 du no 1 appliqué à l'anneau A/a. -

COROLLAIRE. - Toute suite d'éléments de rn, qui est complètement sécante pour M ( A , X , p. 157, déf. 2) est sécante pour M. Soit (x,, ..., x,) une suite d'éléments de rn, qui est complètement sécante pour M. Posons M, = M et par récurrence M, = Mîpl/x,Mip,pour 1 6 i < r. D'après le cor. 1 de A, X, p. 160, l'homothétie de rapport xi dans M,-, est injective, d'où dimA(Mi)= dim,(M,-,) - 1 (pour 1 < i < r ) (prop. 3). On a donc dim,(M) = r + dim,(M/(x,M ... + x,M)),

+

donc la suite (x,, ..., x,) est sécante pour M. Remarque 4. -Il n'est pas vrai en général qu'une suite sécante pour M soit complètement sécante pour M (p. 87, exerc. 6). Nous étudierons plus tard les modules sur un anneau local noethérien pour lesquels toute suite sécante est complètement sécante. BOURBAKI. - Algèbre commutative. - 2

AC VI11 .28

53

DIMENSION

1. - Soient A un anneau local noethérien, M un A-module non nul de type THÉORÈME fini et S une partie de l'idéal maximal mA de A. a ) Si M/SM est de longueurfinie, on a Card(S) 2 dim,(M) ;si S est sécante pour M , on a Card(S) d dim,(M). b) Toute partie sécante pour M est contenue dans une partie sécante pour M maximale. c) Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) S est une partie sécante pour M maximale ; (ii) S est une partie sécante pour M et Card(S) = dim,(M) ; (iii) M/SM est de longueurfinie et Card(S) = dim,(M) ; (iv) S est une partie sécante pour M et M/SM est de longueurjnie. Comme on a S c m,, le lemme de Nakayama montre que l'on a M/SM # {O), d'où dim,(M/SM) 3 O avec égalité si et seulement si M/SM est de longueur finie. L'assertion a ) résulte alors des formules (8) et (9), ainsi que l'équivalence des propriétés (ii), (iii) et (iv). L'assertion 6) résulte du fait que le cardinal de toute partie de m, sécante pour M est majorée par l'entier dim,(M). D'après a), toute partie sécante pour M, de cardinal égal i dim,(M), est maximale. Il reste à prouver que, si S est sécante pour M et si Card(S) < dim,(M), alors S n'est pas maximale. Soient a I'annulateur de M, et B l'anneau local noethérien A/(a + SA). D'après le cor. 2 de la prop. 2 du no 1, il existe un élément x de m, tel que dim(B/xB) = dim(B) - 1 d'où x $ S. D'après la remarque 2, la partie S u { x ) de m, est sécante pour A/a, donc pour M d'après la remarque 1. COROLLAIRE. - La dimension de M est le plus petit des entiers d 3 O pour lesquels il d

existe une suite ( x , , ..., x,) d'éléments de rn, telle que le A-module M/

1 x,M soit de i= 1

longueur jnie. Comme @ est une partie sécante pour M, le th. 1, b) démontre l'existence d'une suite sécante pour M maximale, soit ( x , , ..., xd).Mais alors on a d = dim,(M) et le d

x,M est de longueur finie d'après la propriété (iii) du th. 1, c).

A-module M/ i= 1

Réciproquement si ( x i , ..., x:.) est une suite d'éléments de t?tAtelle que le A-module d'

M/

xJM soit de longueur finie, on a d' 3 dim,(M) d'après le th. 1, a). ~ = 1

Rappelons (III, 5 3, no 2, déf. 1) qu'un idéal q d'un anneau local noethérien A est un idéal de définition de A si les topologies q-adique et nt,-adique de A coïncident. Lemme 2. - Soient A un anneau local noethérien et q un idéal de A. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) q est un idéal de définition de A ; (ii) il existe un entier n 3 O tel que m", q c mm,;

(iii) on a q # A et A/q est un A-module de longueurfinie ; (iv) V(q)est égal à { m, ) (autrement dit, m, est le seul idéal premier de A contenant 4). En effet, l'équivalence de (i), (ii) et (iv) a été démontrée en III, (i 2, no 5, et l'équivalence de (i) et (iii) résulte de IV, Cj 2, no 5, cor. 2 à la prop. 9. Le corollaire du th. 1 permet donc d'énoncer le scholie suivant : SCHOLIE. La dimension d'un anneau local noethérien A est le plus petit tlc.c <wtirrs O pour lesquels il existe un idéal de définition de A engendré par d éléments. d -

3. Premières applications

Soient A un anneau noethérien, V = Spec(A) son spectre. Dans ce numéro, on appelle hypersurface dans V toute partie de la forme V(x) avec x E A. 4. - Soient X une partie fermée de V, et H l , ..., Hm des hypersurjüces PROPOSITION dans V. Posons X' = X n H l n ... n Hm. a ) Pour toute partie fermée Y de V contenue dans X', on a codim(Y, X') 2 codim(Y, X) - m b) On a codium(Z, X) < mpour toute composante irréductible Z de X'. Si X' est non vide, on a codim(X1,X) < m. c ) Si Z est une partie fermée irréductible de V contenue dans X telle que codim(Z, X) < m, il existe des hypersurfaces H', , ..., Hm telles que Z soit une composante irréductible de X n H', n ... n Hm. Soient a un idéal de A et x,, ..., xm des éléments de A tels que X = V(a) et H, = V(x,) pour 1 < i < m. Soit Z une partie fermée irréductible de V contenue dans X ; il existe un idéal premier p de A contenant a et tel que Z = V(p). Supposons d'abord que Z soit contenue dans X' et notons 5,l'image de x, dans l'anneau local noethérien B = A,/aA,. D'après la prop. 7, b ) du (i 1, no 3, on a codim(Z, X)

=

dim(B), codim(Z, X')

=

dim(B/(k,B

+ ..- + 5,B)).

D'après la prop. 2 du no 1, on a donc codim(Z, X')

> codim(Z, X) - m .

Si Z est une composante irréductible de X', on a codim(Z, X') = 0, d'où codim(Z, X) < m ;ceci prouve b). On prouve a ) en prenant dans les deux membres de (11) la borne inférieure sur l'ensemble des composantes irréductibles Z de Y.

l

Rappelons que V(x) se compose des idéaux premiers de A contenant x.

AC VI11.30

DIMENSION

53

Réciproquement, supposons qu'on ait codim(Z, X ) 6 m, c'est-à-dire dim(B) 6 m. Comme tout élément de A, est le produit d'un élément inversible de A, par l'image d'un élément de A, le scholie du no 2 démontre l'existence d'éléments x',, ..., xk de A dont les images dans B engendrent un idéal de définition de B. Posons Hi = V(x;)pour 1 < i < m. 11 est clair que Z est une composante irréductible de X n Hl n ... n Hm. 1. - Soit H une hypersurjàce non vide dans V. La codimension de H COROLLAIRE dans V est égale à O ou 1 . On a codim(H, V) = 1 si et seulement si H ne contient aucune composante irréductible de V .S'il en est ainsi, toutes les composantes irréductibles de H sont de codimension 1 dans V. Pour toute composante irréductible Z de H, on a

d'après la prop. 4, b), et l'on a codim(Z V) sante irréductible de V. On a par définition codim(H, V)

=

=

O si et seulement si Z est une compo-

inf codim(Z, V) z

où Z parcourt l'ensemble des composantes irréductibles de H. Le cor. 1 résulte aussitôt de ces remarques. COROLLAIRE 2. - Soient X une partie fermée irréductible de V et H une hypersurface dans V. Trois cas seulement sont possibles : 1) o n a X c H ; 2) l'ensemble X n H est non vide et chacune de ses composantes irriductibles Z satisfait à codim(Z, X ) = 1 ; 3 ) l'ensemble X n H est vide. Supposons X' = X n H non vide et distinct de X ; toute composante irréductible Z de X' est distincte de X et satisfait à codim(Z, X) 6 1d'après la prop. 4, b). Le cor. 2 résulte aussitôt de la. COROLLAIRE 3. -Si A est factoriel (VII, 9 3, no 3, prop. 2), les idéaux premiers de hauteur 1 de A sont les idéaux principaux engendrés par les éléments extrémaux de A. Si de plus A est local, on a dim(A/p) = dim(A) - 1 pour tout idéal premier p de hauteur 1 de A. Soit x un élément extrémal de A. Alors Ax est un idéal premier car x est extrémal, de hauteur 1 car A est intègre (no 1, prop. 1). Soit p un idéal premier de hauteur 1 de A. Alors V(p) est une composante irréductible d'une hypersurface V(Ax) pour un x convenable (prop. 4, c)).Soit x = y:' une décomposition de x en produits d'éléments

n i

extrémaux tels que y, et y j soient étrangers si i # j. Les composantes irréductibles de V(Ax) sont les V(Ay,). Donc p = Ayi pour un i convenable. La dernière assertion résulte du cor. 2 à la prop. 2 du no 1.

Remarques. - 1) Supposons que A soit un anneau local, noethérien et intègre de dimension d ; soit x un élément non nul de m, et soit H = V(x). D'après le cor. 2 de la prop. 4, toute composante irréductible de H est de codimension 1 dans X, donc de dimension d d - 1 (Cj 1, no 2, prop. 3). D'après le cor. 2 de la prop. 2 du no 1, H est de dimension d - 1 et l'une de ces composantes est donc de dimension d - 1 ; toutes le sont si A est caténaire. Cependant, il se peut en général qu'il existe une composante irréductible de H de dimension < d - 1 (cf. p. 87, exerc. 7). 2) Soient x , , ..., x, des éléments de A, et posons Hi = V(x,) pour 1 d i d n. Supposons qu'il existe un A-module M de type fini de support V = Spec(A), tel que (x,, ..., x,) soit une suite complètement sécante pour M. Alors toute composante irréductible de H l n ... n H, est de codimension n dans V :cela résulte facilement du corollaire de la prop. 3 du no 2. 3) Si l'idéal a de l'anneau noethérien A est engendré par m éléments, on a ht(a) d m. Cela résulte aussitôt de la prop. 4.

PROPOSITION 5. -Soient A un anneau noethérien et p c q une chaîne non saturée d'idéaux premiers de A. Censemble E des idéaux premiers r de A tels que p c r c q soit une chaîne est infini. On a U r = q et n r = p. TEE

TEE

Quitte à remplacer A par A/p, on se ramène au cas où p = {O). D'après le lemme 1 du no 1, on a q = U r, et la prop. 2 de II, Cj 1, no 1 montre reE

que E est infini. Soit y # O un élément de

n r. La hauteur de (1 est finie (no 1, cor. 1 de la prop. 2), ick-

et l'on a ht(q) 2 2 par hypothèse. 11 existe donc un idéal premier q' c q de hauteur 2. La première partie de la démonstration appliquée à q' montre que l'ensemble E' des idéaux premiers de hauteur 1 contenus dans q' est infini ;chacun de ces idéaux contient y par hypothèse. Or l'anneau local noethérien B = Aq8/yA,, est de dimension 1 d'après le cor. 2 de la prop. 2 du no 1. Pour tout r E E', i'idéal premier r/yAq. de B est donc minimal ; par suite, l'anneau noethérien B a une infinité d'idéaux premiers minimaux, ce qui est absurde (II, 5 4, no 3, cor. 3 de la prop. 14).O n a donc n r = { 0). rsE

PROPOSITION 6. - Soienl A un anneau noethérien de dimension 3 2, et h un entier tel que O < h < dim(A). a ) A possède une infinité d'idéaux premiers de hauteur h. b ) Si A est de dimension finie, il possède une infinité d'idéaux premiers p tels que ht(p) = h et dim(A/p) = dim(A) - h. Comme la dimension de A est la borne supérieure des hauteurs des idéaux premiers de A (5 1, no 3, prop. 8), que tout idéal premier de A est de hauteur finie (no 1, cor. 1 de la prop. 2) et que h < dim(A), il existe un entier n > h et un idéal premier p de hauteur n, donc une chaîne p, c ... c p, = p d'idéaux premiers de longueur n. On a ht(pi) = i pour O < i < n, d'où ht(r) = h pour tout idéal premier r de A tel que ph-, c r c p h + , soit une chaîne. L'ensemble E de ces idéaux est infini d'après la prop. 5, d'où a).

AC VI11 -32

§3

DIMENSION

Si A est de dimension finie, on peut supposer qu'on a n = dim(A) dans ce qui précède. Pour tout idéal r 6 E, on a ht(r) = h, d'où dim(A/r) < n - h, et comme r c p h + , c ... c p, est une chaîne de longueur n - h, on a dim(A/r) = n - h. Il existe des anneaux intègres non noethériens de dimension 2 ne possédant qu'un seul idéal premier de hauteur 1, par exemple l'anneau d'une valuation de hauteur 2 (VI, $4, no 4, prop. 5).

4. Changements d'anneaux PROPOSITION 7. - Soient p :A + B un homomorphisme local d'anneaux locaux M un A-module de type fini et N un B-module de type fini. Posons noethériens, B = B O, KA = B/p(mA).B et N = N O, B = N/p(mA).N. On a

et il y a égalité si N est plat sur A. On peut supposer M et N non nuls. D'après le corollaire du th. 1 (no 2), il existe = une partie S (resp. T) de m, (resp. m,) telle que Card(S) = dim,(M) (resp. Card(T) dimg@)) et que M/SM soit un A-module de longueur finie (resp. N/TN soit un B-module de longueur finie). On a p(S) c m,. Soit E le B-module M O, N ; le B-module E/(p(S).E + T.E) est isomorphe à M/SM O, N/TN, donc est de longueur finie :d'après les prop. 18 et 19 de II, $ 4, no 4, on a

Il en résulte, d'après le th. 1, que l'on a l'inégalité

Supposons maintenant N plat sur A, et montrons qu'il y a égalité dans la formule (12). Soit a (resp. b) l'annulateur de M (resp. N). D'après les prop. 18 et 19 de II, $ 4, no 4, on a S ~ P P ( E= ) S ~ P P ( Nn ) "P-'(SWP(MN =

V(b) n "p- '(V(a))

=

V(b

+ p(a). B) .

O n a par suite dim,(M O, N )

(13)

=

dim(B/(b

+ p(a).B))

et aussi (14)

dim,(M)

+ dim&

=

dim(A/a)

+ dim(B/(b + p(mA).B)).

+

Posons A' = A/a et B' = B/(b p(a).B) et soit p' :A' -+ B' I'homomorphisme local déduit de p par passage aux quotients. Puisque l'annulateur de N est b, N est un B/b-module dc type fini de support égal à Spec(B/b), et plat sur A. L'homomorphisme A + B/b déduit de p possède donc la propriété (PM) du 9 2, no 1 (foc. cit., remarque 3) ; par extension des scalaires (loc. cit., prop. 1, a)), on en déduit que p' possède la propriété (PM). D'après loç. cit., prop. 2, on a donc

et comme l'anneau B'/p1(mA.).B'est isomorphe à B/(b résulte des formules (13), (14) et (15).

+ p(mA).B), notre assertion

COROLLAIRE 1. - Soit p : A + B un homomorphisme local d'anneaux locaux noethériens. a ) On a

avec égalité si p fait de B un A-module plat. b) Supposons que p fasse de B un A-module plat, et soit S une partie de m,. Alors S est sécante pour A si et seulement si p(S) est sécante pour B. L'assertion a ) est le cas particulier M = A, N = B de la prop. 7. Prouvons b). Sous les hypothèses faites, on a

avec B

=

Enfin B'

B @,

=

KA =

B/p(mA).B. Comme p est injectif (1, $3, no 5, prop. 9), on a

B/p(S).B est un module plat sur A'

=

AISA, d'où

car B1/p(m,.).B' est isomorphe à B. Notre assertion résulte aussitôt des formules (l7), (18) et (19). COROLLAIRE 2. - Soit p :A dim(B)

+

B un homomorphisme d'anneaux noethériens. On a

< dim(A) + P Esup dim(B BA~ ( p ) ) SP~C(A)

Soient q un idéal premier de B et p = p-'(q). D'après le cor. 1, on a dim(Bq) ,< dim(A,) + dim(B, 8, ~ ( p ) ) On . en déduit (prop. 6, b) du § 1, no 3) l'inégalité dim(Bq) < dim(A) dim(B O, ~ ( p ) )et, on conclut par la prop. 8 du $ 1, no 3.

+

AC VI11 .34

DIMENSION

COROLLAIRE 3. - Soient A un anneau noethérien et n un entier 2 O. On a

Posons B = A[X,, ..., X,]. Pour tout idéal premier p de A, l'anneau B @, ~ ( pest ) un anneau de polynômes à n variables sur un corps, donc est de dimension n (9 2, no 4, cor. 1 au th. 3). D'après le cor. 2, on a dim(B) < dim(A) + n ;l'inégalité inverse résulte de l'exemple 4 du 9 1, no 3. 4. - Soient p :A COROLLAIRE un idéal de A. On a l'inégalité

-+

B un homomorphisme d'anneaux noethériens, et a

si l'application "p :Spec(B) -+ Spec(A) est surjective. Si B est un A-modulefidèlement plat, on a ht(p(a).B) = ht(a). Si B est fidèlement plat sur A, alors "p est surjective (II, 3 2 no 5, cor. 4 à la prop. 11) et l'on a ht(a) < ht(p(a).B) (5 2 no 1, corollaire de la prop. 2). Il reste donc à prouver l'inégalité (20) sous l'hypothèse que "p est surjective. Soit p un - idéal premier de A tel que a c p et ht(a) = ht(p) (3 1, no 3, prop. 7). Posons B = B O, ~ ( pet) notons h l'homomorphisme canonique de B dans B. Si X = " p ' (p) est l'ensemble non vide des idéaux premiers de B au-dessus de p, on sait (§ 2, no 1, lemme 1) que i'application "h est un homéomorphisme de spec(B) sur le sous-espace X de Spec(B). Soit q l'image par "h d'un idéal premier minimal de B; on a ) O et le cor. 1 entraîne l'inégalité dim(B,) < dim(A,). On a dim(B, @, ~ ( p ) = finalement

d'où le corollaire. PROPOSITION 8. - Soient A un anneau noethérien, a un idéal de A, M un A-module de type fini,  et M les séparés complétés de A et M respectivement pour la topologie a-adique. 4 Soient m un idéal premier de A contenant a et fi = rnÂ. Alors fh est un idéal = dimAm (Mm). premier de  et on a dim~,,(M,) b ) On a dimÂ(M)= sup dimAm(M,), où rn parcourt l'ensemble des idéaux premiers rn

(resp. maximaux)de A contenant a. En particulier, on a dimÂ(M)< dim,(M). a ) Puisque Â/fh s'identifie à A/m, in est un idéal premier de Â. D'après le th. 3 de III, 3, no 4,  est plat sur A, donc Â;, est plat sur A,. Par ailleurs l'application canonique de A dans  induit un isomorphisme de A/a sur Â/aÂ, donc aussi un iso. conclut en appliquant la prop. 7 aux morphisme de A,,/rnAm sur  1 & t  n l On anneaux A,,, et Âln et aux modules Ml,,et Â,%car Ml,, OAniÂfi est isomorphe à Mm (111, loc. cit. et prop. 8).

b) D'après la prop. 8 de III, § 3, no 4, l'application m H iîi est une bijection de l'ensemble des idéaux maximaux de A contenant a sur l'ensemble des idéaux maximaux de Â. L'assertion b) résulte de là et de la prop. 9 du § 1, no 4. COROLLAIRE 1. -Soit A un anneau de Zariski(III,$3, no 3, déf. 2). Pour tout A-module M de type fini, on a dimÂ(M) = dim,(M). En effet, la topologie de A est la topologie a-adique, où a est un idéal contenu dans le radical de A (loc. cit.), c'est-à-dire contenu dans tout idéal maximal m de A. Il suffit donc d'appliquer l'assertion b) de la prop. 8. COROLLAIRE 2. - Soient A un anneau noethérien, a un idéal de A, et  le séparé complété de A pour la topologie a-udique. On a dim(Â) < dim(A), avec égalité lorsque A est local et a distinct de A. COROLLAIRE 3. - Soient A un anneau noethérien et n un entier 2 O. On a dim(A[[X,, ..., X,]])

=

dim(A) + n

L'anneau A[[X, , ..., X,,]] est le séparé complété de l'anneau de polynômes A[X,, ..., X,,] pour la topologie a-adique, où a est l'idéal engendré par X,, ..., X,,; on a donc dim(A[[X, , ..., X,]]) < dim(AIXl , ..., X,]) d'après le cor. 2. On a par ailleurs dim(AIXl, ..., X,])

=

dim(A) + n

d'après le cor. 3 de la prop. 7. Enfin, on a dim(A) + n

< dim(A[[X,, ..., X,]])

d'après l'exemple 4 du 5 1, no 3. Remarques. - 1) Soient A un anneau noethérien et a un idéal de A. Supposons A séparé et complet pour la topologie a-adique, et considérons l'anneau R = A { XI, ..., X,, )* des séries formelles restreintes (III, 8 4, no 2, déf. 2). On a dim(R) = dim(A) + n. En effet, R est le complété de l'anneau B = AIXl, ..., X,,] pour la topologie aB-adique, d'où dim(R) d dim(A[X, , ..., X,,]) = dim(A) + n. L'inégalité inverse se démontre comme dans le cas des séries formelles. 2) Soient A un anneau local noethérien, identifié à un sous-anneau de son complété Â, et B un sous-anneau de  contenant A. Supposons que B soit local noethérien et que l'on ait m,B = m,. Alors, l'injection canonique de A dans B s'étend en un isomorphisme de  sur le complété de B (III, 5 3, no 5, prop. 1l), d'où dim(B)= dim(A) (cor. 2 à la prop. 8). Ceci s'applique notamment à la situation suivante. * Soient k un corps valué complet non discret, A l'anneau local de l'anneau de polynômes k[X,, ..., X,] en l'idéal premier engendré par XI, ..., X,, et B l'anneau des séries Convergentes en XI, ..., X, à coefficients dans k. Alors les hypothèses précédentes sont satisfaites, et par conséquent on a dim(B) = n.

,

DIMENSION

5. Construction de suites sécantes PROPOSITION 9. - Soient A un anneau noethérien, M un A-module de typefini, a une partie de A stable par addition et multiplication, q, , ..., q, des idéaux premiers de A ne contenant pas a et r 3 1 un entier tel que

Il existe une suite (x, , ..., x,) d'éléments de a, n'appartenant à aucun des idéaux q, , ..., q, et telle que la suite (x,/l, ..., x,/l) d'éléments de A, soit sécante pour le A,-module M,, quel que soit l'idéal premier p E V(a) n Supp(M). Raisonnons par récurrence sur r. Supposons d'abord r = 1, et notons @ l'ensemble (fini) des éléments minimaux de Supp(M). Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il n'existe aucun élément x, de a satisfaisant aux conditions de l'énoncé. Soit x E a, n'appartenant pas à q, u ... u q,. Il existe par hypothèse un élément p de V(a) n Supp(M) tel que l'image x/l de x dans A, ne soit pas sécante pour M,. Soit Y l'ensemble des idéaux q E
$1, no 1 démontre l'existence d'un élément q de u> contenant a, d'où

Comme V(a) contient une composante irréductible de Supp(M), ceci contredit l'hypothèse codim(V(a) n Supp(M), Supp(M)) 3 1 . Supposons maintenant r > 2. D'après l'hypothèse de récurrence, on peut trouver une suite (x, , ..., x,- ,) d'éléments de a, n'appartenant pas à q, u ... u q, et telle que, pour tout p E V(a) n Supp(M), la suite (xJ1, ..., x,-,il) d'éléments de A, soit r- 1

sécante pour M,. Posons N

=

M/

1 xiM. Il suffit de construire un élément x, de a

i= l

n'appartenant pas à q, u ... u q, et tel que, pour tout p E V(a) n Supp(M), l'élément x,il de A, soit sécant pour Np.D'après la première partie de la démonstration, il suffit d'établir les deux relations

,

d'après le corollaire de la prop. 18 de II, 3 4, no 4, et comme x , , ..., x,- appartiennent à a, on en déduit (22).L'inégalité (23)résulte alors de Shypothèse (21) et de la prop. 4, a ) du no 3, où l'on fait

d'où X'

=

Supp(N).

COROLLAIRE 1. - Soient A un anneau noethérien, M un A-module de typefini, pl, ..., p,, q,, ..., q, des idéaux premiers de A et r un entier > 1. On suppose qu'on a pi q, pour 1 < i < n et 1 < j < m, et dimAp~(M,,) 3 r pour 1 < i < n. Il existe alors une suite (x,,..., x,) d'éléments de A appartenant à tous les pl et n'appartenant à aucun des qj, telle que, pour 1 < i < n, les images de x , , ..., x, dans A,, forment une suite sécante pour le module M,,. Posons a = n pi. On a MPz# {O), donc pi E Supp(M) pour 1 d i < n, d'où

+

1

V(a) c Supp(M).On a

=

inf (codim(V(p,),Supp(M))) = inf dim(M,,) 3 r 1

1

(9 1, no 4, prop. 9), et l'on applique la prop. 9. COROLLAIRE 2. -Soient A un anneau local noethérien, M un A-module non nul de type fini et a une partie de m,, stable par addition et multiplication et telle que long(M/aM) < + m. Il existe une partie de a qui est sécante maximale pour M . En effet, on a V(a) n Supp(M) = Supp(M/aM) = {m,) (3 1, no 4, remarque l), donc codim(V(a) n Supp(M), Supp(M)) = dim(Supp(M)) = dim,(M), et on applique la prop. 9.

g 4. SÉRIES DE HILBERT-SAMUEL 1. L'anneau Z((T)) Soit A un anneau. Munissons le A-module AZ de la topologie produit des topologies discrètes. Les éléments (a,) E AZ tels qu'il existe no 6 Z avec a, = O pour n < no forment un sous-module B de A'. Si pour a = (a,) E B, b E (b,) E B, on pose ab = c, avec c, = aib,, on définit sur B une structure de A-algèbre. Soit T i+j=n

l'élément (O,) de B tel que O, = O pour n # 1 et O, = 1. Alors T est inversible dans B ; pour tout élément a = (a,) de B, la famille (a,Tn),,, est sommable dans A' et l'on a

AC VI11 .38

94

DIMENSION

Dans la suite de ce chapitre, on notera A((T))la A-algèbre B ;elle contient comme sous-algèbres l'algèbre A[[T]] des séries formelles et l'algèbre AIT, T- '1 ; leur intersection est l'algèbre A[T] des polynômes. Remarque. - L'anneau A((T)) s'identifie naturellement à l'anneau de fractions A[[T]], de l'anneau A[lT]] défini par la partie multiplicative formée des puissances de T.

Pour n, p dans Z, on définit l'entier naturel

On a

[i][ ] = n-P

Lemme 1 . -L'élément

pour

n, p

t

[il

par

Z.

1 - T de Z((T)) est inversible. Pour tout entier r >. O on a

En effet, 1 - T est inversible dans l'anneau Z[[l], d'inverse

x

Tm;on a donc

m>O

et la formule annoncée résulte de E, III, p. 44, prop. 15. Soient Q(T) E Z[T, T-'1, r un entier > O, et F

=

(1 - T)-'Q

E Z((T)).Posons

Alors, d'après le lemme 1, on a

Soit n, la borne supérieure dans R de l'ensemble des entiers i E Z tels que ai # 0. Pour tout entier n n , , on a a,, = E(n), où Fi est le polynôme de Q[X] défini par

Si l'on pose c

=

Q(l) =

polynôme de degré


1ai, on a E(X) = cX'-l/(r - 1) ! + 8(X), où 8 est un ieZ

-

2. Par conséquent, on a nr - 1

a,

=

c-

(r - l ) !

+ ~,,nl-~,

où ie nombre rationnel p, tend vers une limite lorsque n augmente indéfiniment. On en déduit la relation

Si F

=

1 anTnet G = Ci bnTnsont deux éléments de Z((T)),on note « F < G nt2

))

n&

la relation (( a, d b, pour tout n E Z ». C'est une relation d'ordre compatible avec la structure d'anneau de Z((T)) (A, VI, p. 18, déf. 1). On a (1 - T)-' B 1. Si Q E Z[T, T-'1 est 3 0, alors l'entier Q(l) est positif. Lemme 2. - a) Soit F un élément non nul de Z((T)) tel qu'il existe r E Z, avec (1 - T)'F EZ[T,T- '1 ;alors F s'écrit de manière unique sous la forme F = (1 - T)-d.Q, ou Q E Z[T, Tpl], Q(1) # O et d E Z. Si F 3 0, alors on a Q(l) > O et d 2 0. b) Soient Q, R dans Z[T, T-'1, d, d' dans Z avec Q(l) > O. Si (1 - T)-d.Q

< (1 - T)-d'.R,

alors, ou bien d < d', ou bien d = d' et Q(1) < R(1). a) On peut écrire F = (1 - T)-"TnP(T)avec r, n E Z et P(T) E Z[T]. Par division euclidienne, on peut écrire P(T) = (1 - T)PR(T)avec R(T) E Z[T] et R(1) # 0. Donc F = (1 - T)-'r-P'Q(T), où Q(T) = TnR(T)E Z[T, T-'1 et Q(1) # O. Cela démontre l'existence de d et Q. Par ailleurs, si (1 - T)*Q(T)= (1 - T)"R(T)avec r > s et Q, R dans Z[T, T-'1, on a R(T) = (1 - T)'-"Q(T), donc R(l) = O ; cela démontre l'unicité. Supposons que F soit 2 O ; si on avait d < O, alors on aurait F(l) = O, ce qui est impossible puisque F est non nul et que tous ses coefficients sont positifs; on a donc d 2 0 . Si d = O, alors Q = F 3 O, donc Q(l) est positif. Si d 3 1, alors Q(l) est positif d'après la formule (3). Cela démontre a). b) Supposons d 3 d'. Alors (1 - T)-d((l - T)d-d'R- Q) ), O ; comme S(T) = (1 - T)d-d'R - Q appartient à Z[T, T-'1, cela implique S(l) 3 O d'après Q(l) < O, d'où une contradiction ; si ce qui précède. Si d > d', on a S(1) = d = d', on a S(1) = R(l) - Q(l) d'où Q(l) < R(1).

2. Série de Poincaré d'un module gradué sur un anneau de polynômes Soient Ho un anneau, 1 un ensemble fini et H l'anneau de polynômes Ho[(Xi)it,]. Pour chaque i E 1, soit di un entier > O. Munissons H de la structure d'anneau gradué de type Z telle que les éléments de Ho soient homogènes de degré O et chaque Xi

AC VI11 .40

94

DIMENSION

homogène de degré d,. Lorsque d, = lpour tout i, on retrouve la graduation usuelle des anneaux de polynômes. Soit M un H-module gradué de type fini dont tous les composants homogènes sont des Ho-modulesde longueur finie ;on appelle série de Poincaré de M l'élément PM de Z((T)) tel que PM= longHo(Mn).Tn,et l'on pose QM= P , . n (1 - Tdl).

1

itl

ntZ

THÉOREME 1. - L'élément Q, de Z((T)) appartient à Z[T, T-'1. Divisant Ho par l'annulateur du Ho-module M, on se ramène au cas où M est un Ho-module fidèle. Si a, b E Z sont tels que M soit engendré comme H-module par Mi, alors M' est un Ho-module fidèle et de longueur finie; par suite, M' =

1

a
l'anneau Ho est artinien (A, VIII, § 1, no 3), donc noethérien (loc. cit., Q: 9, no 1). L'anneau de polynômes H est donc noethérien (loc. cit., 9 1, no 4). Si 1 est vide, est à support fini, puisque M on a H = Ho, et la famille d'entiers (l~ng,~(M,))~,, est un Ho-module de type fini ; d'où le théorème dans ce cas. Raisonnons alors par récurrence sur le cardinal de l'ensemble 1, supposé non vide ;soientj E 1 et J = 1 - {j). Notons H' le sous-anneau gradué de H engendré par Ho et les X ipour i dans J ; considérons i'homothétie (Xj), de rapport X j dans M, son noyau R, et son conoyau S. On a, pour chaque n E Z, une suite exacte de Ho-modules

donc Rn_,, et Sn sont de longueur finie, et i'on a

Puisque M est un module de type fini sur l'anneau noethérien H, les H-modules R et S sont de type fini ; comme ils sont annulés par Xj, ce sont des Hl-modules de type fini. D'après l'hypothèse de récurrence, les éléments P R . n(1 - Tdi) et itJ

P , . n (1 - Tdz)de Z((T)) appartiennent donc à Z[T, T-'1 ; de (4), on tire i d

c'est-à-dire (1 - Td]).PM= P, - Tdl.PR; on a donc

d'où la conclusion. Exemple 1. - Supposons Ho artinien et prenons M = H. Alors, avec les notations précédentes, on a R = O et S = Hf, donc d'après (5), on a Q , = QHr; comme on a QHo= long(Ho), on en tire par récurrence Q, = long(H,), c'est-à-dire

Supposons désormais H muni de la graduation usuelle, pour laquelle di = 1 pour tout i E 1, et posons r = Card(1); on a PM= Q,(T).(l - T)-'. Posons c, = QM(l).Alors, d'après la formule (2) du no 1, on a : COROLLAIRE. - a) Si r = O, alors on a longHo(M)= c,. b) Si r = 1, alors on a longHo(Mn)= c, pour n assez grand. -1

c) Si r > 1, alors on a longHO(Mn) = c, -+ pnn'-2, où pn tend vers une (r - l ) ! limite dans R lorsque n augmente indéfiniment. Remarques. - 1) L'entier c, est positif d'après le lemme 2. On peut avoir M # O et c, = O ( c j prop. 2). 2) Soit O -+ M' + M -+ M + O une suite exacte de H-modules gradués et d'homomorphismes de degré O telle que M soit de type fini sur H et Mn de longueur finie sur Ho pour chaque n. Alors, pour chaque n E Z, on a ,., Q, = Q,. + Qw et c, = c,, + cw. donc PM = PM.+ P 3) Soit M(p) le module déduit de M par décalage de p de la graduation (A, II, p. 165, exemple 3). Comme on a M(p), = M,,,, on a PM(,,= T-'PM, QM(,) = TPQM et c,,,, = c,. Exemples. - 2) Supposons Ho artinien, et soit M un H-module gradué libre engendré par s éléments homogènes, linéairement indépendants, de degrés respectifs 6,, ..., 6,. Alors M est isomorphe à H(- 6,) 0 ... O H(- 6,). D'après les remarques 2 et 3 et l'exemple 1, on a donc

3) Supposons toujours Ho artinien; soit M un H-module gradué, et supposons qu'il existe une suite exacte de H-modules gradués et d'homomorphismes de degré O

où, pour k = O, 1, ..., n, L, est un H-module gradué libre engendré par des éléments homogènes linéairement indépendants, de degrés respectifs F,,,, ..., 6,,,(,,. Alors, d'après la remarque 2 et l'exemple 2, on a

AC VI11 .42

94

DIMENSION

Remarque 4. - On peut prouver (p. 88, exerc. 4) que sous les hypothèses du th. 1, les Ho-modules Tory(Ho, M) sont de longueur finie, nuls pour j > r, et qu'on a cM =

x

(- 1Y 1ongHo(Tory(H0,M)).

Plus

précisément,

les

H-modules

]=O

Tj

=

Tory(Ho, M) sont munis naturellement de graduations et on a

PROPOSITION 1. -Soit M un H-module gradué. On suppose que M est engendré par Mo et que Mo est un Ho-module de longueurfinie. Alors on a

De plus, les conditions suivantes sont équivalentes : (il c, = longHo(Mo); (ii) PM = longHo(Mo).(l- T)-', c'est-à-dire M = Mo si r

=

O ef

pour EN s i r > 0 ; (iii) l'hornoriio~~)ll~.~n~e canonique dc H-modules

est bijectif: Notons R le noyau de cp. Comme cp est surjectif, on a PM = PHOMo- PR = longHo(MO) (1 - T)-" - PR et cM = longH,(Mo) - c , . Les conditions (i), (ii) et (iii) équivalent respectivement a c, = O, PR = O et R = 0. On a donc (iii) =s-(ii) => (i) et il suffit de prouver que c, = O implique R = O. Supposons R f O et soit O = Nh c Nh-' c ... c No = Mo une suite de JordanHolder du Ho-module Mo. Soit Rm l'intersection de R et de l'image de H @ ,, Nm dans H O,, Mo ;il existe un entier m compris entre 1 et h tel que Rm # Rm-'. Posons L = Rm-'IRrn;on a O d c, < c, et il suffit de prouver que c, # O. Or, si k est le corps quotient de Ho par i'idéal maximal annulateur de Nm-'/Nm, L s'identifie à un sous-module gradué non nul de k[(X,),,,]. Donc L contient un sous-module = 1, on a donc c, 3 1 isomorphe à un module décalé de k[(X,),,,] ; comme ckI( (remarques 2 et 3), ce qu'on voulait démontrer. Remarque 5. - D'après A, X, p. 160, th. 1, la condition (iii) signifie que ( X I , ..., X,) est une suite complètement sécante pour le H-module M. PROPOSITION 2. - Supposons que Ho soit un corps, et soit M un H-module gradué de typefini. Soit K le corps des fractions de H. Alors c, est égal au rang du H-module M, c'est-à-dire à la dimension du K-espace vectoriel M @, K .

Cela est clair si M = H, puisque c, = 1. Par ailleurs, soit x E H, homogène de degré d, et non nul ; on a (HIxH) O , K = O ; de la suite exacte O-+H(-d)-+H-+H/xH-+O, = O. La proposition est donc vérifiée lorsque M et des remarques 2 et 3, on tire c,,, est engendré par un élément homogène. Le cas général s'en déduit, puisque tout H-module gradué de type fini possède une suite de composition dont les quotients sont de la forme précédente.

Remarque 6. - Sous les hypothèses de la prop. 2, on a donc c, = O si et seulement si M est un H-module de torsion, ou encore si et seulement si dim,(M) < r ($ 1, no 5, exemple 4).

3. Série de Hilbert-Samuel d'un module bien filtré Dans la suite de ce paragraphe, nous utiliserons la notation suivante : si G E Z((T)) et si r E N, on pose G''' = (1 - T)-'G ; en particulier, si G = a,Tn, alors

x

G'"

=

(z

1 nez

nez

a,) Tn .

i
Si G 3 0, on a G") 3 O pour tout r E N. Soient A un anneau noethérien, q un idéal de A et M un A-module de type fini. Rappelons (III, 3, no 1, déf. 1) qu'une filtration q-bonne sur M est une application F :n H F, de Z dans l'ensemble des sous-modules de M satisfaisant aux trois conditions suivantes : a) on a qF, c F,+, c F, pour tout n E Z, b) il existe no E Z tel que qF, = F,, pour n 3 no, c) il existe n, E Z tel que Fnl = M. Si no et n, satisfont aux conditions précédentes, on a, pour tout n E 2,

,

(rappelons que l'on a posé qr

=

A pour r

< O,

par convention).

Lemme 3. - Si F et F' sont deuxjîltrations q-bonnes sur M, il existe un entier m tel que Fnc FR_, pour tout n E Z. En effet, il existe n, tel que F:, c qM-"'M pour tout n, donc F:, c F,,-(,,*_,,,,pour tout n. Lemme 4. - Soit F une filtration q-bonne sur M. Si M/qM est de longueur jnie, M/F,+ et FJF,, sont de longueur finie pour tout n E Z. Avec les notations de (7), on a long(M/F,+,) d long(M/qn-"'+' M) et il suffit de prouver que q"M/qn+'M est de longueur finie pour tout n. On est donc ramené au cas de la filtration q-adique. Soit (x,, ..., x,) un système générateur fini du A-module q, et soit I l'ensemble fini des monômes de degré total n en r variables

,

,

AC VI11 .44

§4

DIMENSION

Xi, ..., X,. L'homomorphisme de ( M / ~ M )dans ' qnM/qnf'M qui applique la famille m(x1, ..., x,) u, est surjectif. Comme M/qM est de longueur (u,),,~ sur l'élément finie, qnM/qn+'M l'est aussi.

C

Supposons désormais M/qM de longueur finie. Soit F une filtration q-bonne sur M. Il existe n, E Z tel que F,, = M, donc Fn = M pour n < n, ; on définit donc un élément HM,, de Z((T)) en posant HM,,

=

C longA,q(Fn/Fn+1.T" E Z((T)) . 1

n€Z

1. - On appelle HM,, la série de Hilbert-Samuel du A-module M (relativement à la filtration q-bonne F). L'application n H long,(Fn/Fn+ ,) s'appelle souvent la fonction de HilbertSamuel de M (relativement a F). Cela s'applique notamment au cas de la filtration q-adique (F, = qnM); on pose alors HM,, = HM,q.On a donc DÉFINITION

PROPOSITION 3.

-

a ) Si F est unefiltration q-bonne sur M, on a

b) Si F et F' sont deux filtrations q-bonnes sur M, il existe un entier m tel que H&. 2 TmH(') M,F. La partie a) résulte aussitôt de la définition de HG.\ ; la partie b) résulte de a) et du lemme 3. THÉORÈME 2. - Soient A un anneau noethérien, q un idéal de A, M un A-module de typefini tel que M/qM soit non nul et de longueurfinie et F unefiltration q-bonne sur M. a) Il existe un entier d 2 O, et un élément R de Z[T, T-'1, uniquement déterminés, tels que R(1) > O et HM,, = (1 - T)-dR. b) Les entiers d et R(l) sont indépendants de la jiltration q-bonne F choisie. a) Considérons l'anneau gradué gr(A) tel que grn(A) = qn/qn+'et le gr(A)-module gradué gr(M) tel que gr,(M) = F,/Fn+,. Puisque l'on a F,, = M et qFn = F n + , pour n 3 no, gr(M) est engendré par @ grn(M), donc est de type fini. Par ni
ailleurs, si (x, , ..., x,) est un système générateur fini du A-module q, gr(A) est engendré par gr,(A) et les classes des xi modulo q2, donc est isomorphe à un anneau gradué quotient de H = (A/q) [Xi, ..., X,]. D'après le th. 1 du no 2, on a (1 - T)iHM,FE Z[T, T-'1 .

On a HM,, # O et il existe donc d E N et R E Z[T, T-'1 uniquement déterminés tels que R(l) > O et HM,, = (1 - T)-d.R (lemme 2 du no 1).

NO

3

AC VIII .45

SÉRIES DE HILBERT-SAMUEL

b) Soit F' une autre filtration q-bonne et écrivons de même

H ~ , , ,= ( 1 - T)-#R'. D'après la prop. 3, b), il existe un entier m tel que (1 - T)-d'-lR' 2 Tm(l - T)-d- IR. D'après le lemme 2, b) du no 1, cela implique d' 2 d et, si d' = d, R'(1) 3 R(1). Échangeant les rôles de F et F', on obtient d = d' et R(1) = R'(1). Remarque 1. - Avec les notations de a), écrivons R

=

1 aiTi, et supposons d > 0. isZ

D'après le no 1, la relation HM,, = (1 - T)-dR s'écrit aussi

De même, puisque Hg,),

=

(1 - T ) - d - l ~ ,on a

Soient A un anneau noethérien, q un idéal de A, M un A-module de type fini tel que M/qM soit de longueur finie. Si M # qM, il existe d'après le th. 2, b) des entiers dq(M) 2 O et eq(M) > O tels que, pour toute filtration q-bonne F sur M, il existe R E Z[T, T-'1 avec

Si M

=

qM, on pose par convention d,(M)

=

-

co, eq(M) = O.

Remarque 2. - Dire que M/qM est de longueur finie signifie que ) V(q) Supp~M/qM)= S ~ P P ( Mn est formé d'idéaux maximaux (IV, 9 2, no 5, prop. 7). Nous verrons ci-dessous (no 4, corollaire au th. 3 ) que dq(M)est la borne supérkure des nombres dimAm(M,,),où nt parcourt l'ensemble Supp(M) n V(q). COROLLAIRE. Soient A un anneau noethérien, q un idéal de A, M un A-module de type $ni tel que M/qM soit de longueur finie et F une filtration q-bonne sur M. a) Pour que l'on ait dq(M) < O, il faut et il suffit que la suite (qnM)soit stationnaire, ou encore que la suite (F,) soit stationnaire. On a alors, pour tout n assez grand, -

b) Supposons que l'on ait d,(M) > O. On a alors (13) (14)

,

longA(Fn/Fn + )

=

eq(M)ndqtM'-'/(d,(M)

long,(M/Fn+ ,)

=

-

1) !

+ pnnd@-

'

eq(M)ndqtM)/dq(M) ! + onnd@- ,

où p, et O, tendent vers une limite lorsque n augmente indéfiniment. Cela résulte aussitôt du th. 2 et de la formule (2) du no 1.

,

AC VI11 .46

$4

DIMENSION

Remarque 3. - Supposons q contenu dans le radical de A. Alors, d'après le lemme de Nakayama, la suite (qnM)est stationnaire si et seulement si l'on a qnM = O pour n assez grand. Il résulte alors de la partie a) du corollaire que l'on a dq(M) < O si et seulement si M est de longueur finie et qu'on a alors e,(M) = long,(M).

4. --Soient A un anneau noethérien, x,, ..., x, des éléments de A, PROPOSITION x l'idéal qu'ils engendrent et M un A-module de typefini tel que M/xM soit non nul et de longueur finie. a) On a d,(M) < r. b) Si d,(M) = r, alors e,(M) < long,(M/xM). c) Si la suite (x,,..., x,) est complètement sécante pour M (A, X, p. 157), dors d,(M) = r et e,(M) = long,(M/xM). La réciproque est vraie si les xi appartiennent au radical de A. Soit H l'anneau de polynômes (A/x) [X,, ..., X,]. Munissons G = @ x n ~ / r " + ' M n

de la structure de H-module gradué pour laquelle (Xi), est la multiplication par la classe de xi modulo x2. Avec les notations P,, QG,cGdu no 2, on a HM,,= P,, donc (1 - T)-dz(M)R= (1 - T)-'QG, où R(l) = e,(M) > O et Q,(1) = c,. On a donc, soit d,(M) < r et c, = O, soit d,(M) = r et c, = e,(M). Par ailleurs, d'après la prop. 1 du no 2, on a c, < long(M/xM), et il y a égalité si et seulement si l'homomorphisme canonique A/x[X, , ..., X,] O,,, M/xM -+ @ xnM/xn+'M est bijecn

tif. Cela entraîne la proposition, compte tenu de A, X, p. 160, th. 1. PROPOSITION 5. -Soient O -+ M' -+ M -+ M" -+ O une suite exacte de modules de typefini sur un anneau noethérien A, et q un idéal de A. a) Pour que M/qM soit de longueur finie, il faut et il suffit qu'il en soit ainsi de M'/q M' et M"/q Mu. b) Supposons M/qM de longueurfinie. Alors l'on est dans l'un des trois cas suivants : 1) d,(M) = dq(M1)> dq(MW) et eq(M) = eq(M1), 2) d,(M) = dq(M") > d,(Mf) et eq(M) = e,(MU), 3) dq(M) = dq(M1)= d,(MU) et eq(M) = e,(Mf) + e,(MU). a) On a Supp(M) = Supp(M1)u Supp(MU)et l'assertion résulte de la remarque 2. b) Munissons M d'une filtration q-bonne F (par exemple la filtration q-adique), M" de la filtration quotient F", et M' de la filtration induite F'. Les filtrations F' et F" sont q-bonnes (III, $ 3, no 1, prop. 1). Alors on a pour chaque n une suite exacte de A-modules O F;/K+, + Fn/F,+, -+ F./C+, -+ O -+

avec R, R', R" E Z[T, T-'1, ~ ( 1 =) eq(M), R'(1) tion b) en résulte aussitôt.

=

eq(Mf),R"(1)

=

eq(MU).L'asser-

4.

Degré de la fonction de Hilbert-Samuel

THÉORÈME 3. - Soient A un anneau local noethérien, q un idéal de A distinct de A et M un A-module de typefini tel que M/qM soit de longueurfinie. Alors l'entier d,(M) est la dimension du A-module M (9 1,no 4 déf. 8). On peut supposer M # O. Démontrons l'inégalité dq(M) < dim,(M). D'après le cor. 2 à la prop. 9 du § 3, no 5, il existe x,, ..., x, E q, avec r = dim,(M) et I

long(M/

x,M) <

+ co ; posons x =

i= 1

d,(M)

< r ;on a x

r

x,A. D'après la prop. 4 du no 3, on a i =1

c q, d'où

Hg,;

< Hg,\ et donc (lemme 2 du no 1)

Démontrons maintenant, par récurrence sur dim,(M), l'inégalité dim,(M) < d,(M), évidente lorsque dim,(M) = O. Supposons qu'on ait dim,(M) > O, et dim,(N) < dq(N)pour tout A-module de type fini N tel que dim,(N) < dim,(M). Si O = Mo c Ml c ... c Mn = M est une suite de composition de M, on a dim,(M) = sup(dim,(M,/M,- ,)) (9 1, no 4, prop. 9) et d,(M) = sup(d,(M,/M, - )) (no 3, prop. 5). D'après IV, 5 1, no 4, th. 1, on peut donc supposer que M est de la forme A/p, où p est un idéal premier de A, et l'on a p # nt, car dim,(M) > O. Soit x E m, - p ; l'homothétie x, de M = A/p est injective, et l'on a la suite exacte

,

D'après le 9 3, no 2, prop. 3, on a dim,(M/xM) = dim,(M) - 1 ; d'après la prop. 5 du no 3, et la suite exacte précédente, on a dq(M/xM) < d,(M) - 1. D'après l'hypothèse de récurrence, on a donc

ce qui achève la démonstration. COROLLAIRE. - Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini et q un idéal de A tel que M/qM soit de longueurfinie. Alors dq(M)est la borne supérieure des dimensions dimAm(M,,,),où m parcourt l'ensemble fini S = Supp(M) n V(q), et e,(M) est la somme des eqn,(Ml,) étendue Li ceux des éléments m de S pour lesquels on a dim,,,, (Mm) = dq(M)Pour chaque entier n, la longueur de M/qnM est la somme des longAm(M,/q",,,,) (IV, 1) 2, no 5, cor. 1 à la prop. 7 et corollaire a la prop. 8). Par conséquent, on a , d'où le corollaire. HM,, = l,& H

AC VI11 .48

54

DIMENSION

Remarques. - 1) On a aussi d,(M)

=

sup dim(M,), c'est-à-dire d,(M)

=dim(~),

mtv(q)

ou M est le complété de M pour la topologie q-adique (5 3. no 4, prop. 8). 2) Supposons q contenu dans le radical de A ; alors d i m ( ~ = ) dim(M) (loc. cil., cor. l), donc d (M) = dim(M). 5. Série de Hilbert-Samuel d'un module quotient

Lemme 5. Soient A un anneau, M un A-module et (P,), (Q,) deuxfiltrations décroissantes sur M formées de sous-modules. Supposons que l'on ait P, 3 Q, et longA(P,/Q,) < + co pour tout n E Z et qu'il existe un entier n, tel que Q,, = M. Dans Z((T)), on a les inégalités -

11 s'agit de prouver qu'on a les inégalités

La première est évidente. D'autre part, on a P,+, n Qi P,+ n Q,, = Q,+ ; on en déduit l'inégalité

,

,

,

,

,

=

Pn+ pour i

< n,

et

,

Mais le A-module (P, + n Qi)/(P,+ n Qi+ ) est isomorphe à un sous-module de (Pi+ n Qi)/Qi+,, et l'inégalité (16) en résulte.

,

Lemme 6. Soient A un anneau, M un A-module et (F,) unefiltration décroissante sur M formée de sous-modules ; on suppose qu'il existe un entier n , tel que F,, , = M. Soientj un endomorphisme de M, M' son noyau et Mn son conoyau. On munit M' de lafiltration (Fk) induite par (F,) et M" de lafiltration (Fi) quotient de (F,). On suppose que F,,/F,+ est de longueur finie pour tout n E Z et qu'il existe un entier 6 tel que f (F,) c F,+@ Soit

,

H,..

=

C longA(F~/Fi+,).Tn

nez

on a les inégalités

La suite des sous-modules G, = f - l (F,,,) de M est une filtration décroissante, et l'on a F, c G, pour tout entier n. Par définition, on a Ker(cp,) = (G,+ n F,)/F,+, , d'où

,

Pour tout n, le A-module (M' n Fn)/(M1n F,+ ,) s'identifie à un sous-module de (G,,, n F,)/F,+,, et l'inégalité (17) résulte aussitôt de (19). D'après le lemme 5, on a par ailleurs

Pour tout n E 2, on a une suite exacte de A-modules

où f, se déduit de f par passage aux quotients. On a par conséquent

Multipliant par Tn+' et sommant sur n, on obtient

et l'inégalité (18) résulte aussitôt de (20) et (21). Lemme 7. - Conservons les notations du lemme 6. 1 - T6 a ) On a l'inégalité Hg! 3 1-T HM. b ) Pour que l'on ait égalité, il faut et il suffit que cp soit injectif: c) S'il en est ainsi, on a M' c n F,, et la suite de A-modules n

où v est l'application canonique, est exacte. Les assertions a ) et b) résultent de la formule (18) du lemme 6, et de la définition HM' = (1 - T)-'.Hm Supposons que

AC V I I I . 50

§4

DIMENSION

pour tout n, d'où la première assertion de c). On a par ailleurs une suite exacte

où f ' est déduit de ,f par passage au quotient. Si

où

=

q,-, pour tout n. Cela achève de démontrer c).

PROPOXTION 6. - Soient A un anneau noethérien, M un A-module de typefini et q un idéal de A tels que M/qM soit de longueur,finie. Soit F unefiltration q-bonne de M, et soit gr(A) = @ (qn/qn+')l'anneau gradué associé à A pour la filtration q-adique. na0 Soient ( x , , ..., x,) une suite d'éléments de A, ( F I ,..,, 6,) une suite d'entiers strictement positiji telle que x, E q6' pour 1 < i < S , et soit 6,la classe de x , dans gr,,(A) = q"/q6~ . a ) Munissons le A-module = M/(x,M + ... + x,M) de la filtration q-bonne F quotient de F. On a alors dans Z ( ( T ) )l'inégalité +

'

b ) Pour qu'il y ait igalité dans (22),il faut et il sufit que la suite (5, , ..., 5,) d'éléments de Panneau gr(A) soit complètement sécante pour le module gr(M) = @ (FJF,, ,). n

En ce cas, I'homomorphisme canonique de gr(M)/ C c,.gr(M) dans gr(M)

-

-

i=

,

=

1

@ (FJF,,+ ) est un isomorphisme. II

c ) Supposons les conditions de b) satisfaites, et que chacun des A-modules M l = M/(x,M + ... + x , M ) (O 6 i < s ) soit séparé pour la topologie q-adique Alors la suite ( x , , ..., x,) est complètement sécante pour le A-module M . Lorsque s = 1, on a flF , = qnM et la suite { 6,) est complètement sécante pour

'.

II

,,

gr(M) si et seulement si l'homothétie de rapport 5, dans gr(M) est injective. La prop. 6 résulte alors aussitôt du lemme 7 appliqué a l'homothétie f = (x,), dans M. Supposons que i'on ait s 3 2 et raisonnons par récurrence sur S. L'hypothèse de récurrence appliquée au A-module M l = M/x,M muni de la filtration G quotient de F, et à la suite (x,, ..., x,) fournit l'inégalité

Ceci se produit en particulier si q est contenu dans le radical de A (III, 4 3, no 3, prop. 6).

il y a égalité si et seulement si la suite (t,, ..., 5,) est complètement sécante pour le 1 - T6a Comme les éléments --- de Z((T)) sont gr(A)-module gr(M1) = @ GJG,, n 1-T positifs, le cas s = 1 déjà traité et la formule (23) fournissent les inégalités

,.

1 T61 (fi --+G,~ 1 T -

P

W,F

i=2

-

2

(fi

1 - T6t

T_T-)a~M,r

-

Ceci prouve a). On ne peut avoir égalité dans (22) que si l'on a simultanément l'égalité dans (23) et l'égalité (25) Cette dernière relation signifie que (5, ) est complètement sécante pour gr(M) et implique que l'homomorphisme canonique de gr(M)/\, .gr(M) dans gr(M,) est un isomorphisme. Autrement dit, on a égalité dans (22) si et seulement si {\, ) est complètement sécante pour gr(M) et { ..., 5, ) complètement sécante pour gr(M)/\, .gr(M). Ceci signifie que { 5, , ..., 5,) est complètement sécante pour gr(M) (A, X, p. 160, cor. 2). On a ainsi démontré l'équivalence des deux conditions de b). Supposons-les satisfaites; alors, d'après l'hypothèse de récurrence gr(M) s'identifie

c,,

S

a gr(M,)/

1Si.gr(M1); comme par ailleurs gr(Ml) s'identifie à gr(M)/\,.gr(M), . i= 7

la dernière assertion de 6) est ainsi satisfaite. Supposons maintenant que ( E l , ..., 5,) soit complètement sécante pour gr(M) et Mi séparé pour la topologie q-adique (pour O d i < s). D'après ce qui précède et l'hypothèse de récurrence, la suite (x,, ..., x,) est complètement sécante pour M l ; comme on a Ml = M/xlM et que {x, ) est complètement sécante pour M, la suite (x,, x,, ..., x,) est complètement sécante pour M (A, X, p. 160, th. 1).

8

5. ANNEAUX LOCAUX RÉGULIERS

1. Définition des anneaux locaux réguliers

Soit A un anneau local noethérien. Soit (xi),, une famille d'éléments de m,. D'après le cor. 2 à la prop. 4 de II, 8 3, no 2, il revient au même de supposer que la famille (xi),, engendre l'idéal m, de A, ou que les classes des xi modulo m i engendrent le K,-espace vectoriel mA/mA; s'il en est ainsi, on a dim(A) d Card(1) d'après le scholie du 9: 3, no 2. On a donc l'inégalité

pour toute famille (xi),, engendrant l'idéal m, de A.

AC VI11 .52

$5

DIMENSION

1. -On dit que l'anneau local noethérien A est régulier si l'on a dim(A) = [m,/m; :K,]. On appelle alors système de coordonnées de A toute famille d'éléments de m, dont les classes modulo m i forment une base du K,-espace vectoriel mA/mA. Un système de coordonnées dans un anneau local noethérien régulier A est donc une famille finie (xi),, engendrant l'idéal m, de A et telle que Card(1) = dim(A). Réciproquement, si l'idéal m, d'un anneau local noethérien A est engendré par d éléments avec d < dim(A), l'anneau A est régulier. DÉFINITION

Exemples. - 1) Les anneaux locaux noethériens réguliers de dimension O (resp. 1) sont les corps (resp. les anneaux de valuation discrète) (VI, 4 3, no 6, prop. 9 et cor. 1 du th. 1 ci-dessous). Soit A un anneau de valuation discrète ; alors un élément t de m, est une uniformisante si et seulement si { t ) est un système de coordonnées de A. 2) Soit k un corps et soit n un entier positif. L'anneau de séries formelles k[[X,, ..., X,]] est un anneau local noethérien régulier de dimension n (4 3, no 4, cor. 3 à la prop. 8). Soient F,, ..., F, des séries formelles sans terme constant dans k[[X,, ..., X,]]; pour que la suite (F,, ..., F,) soit un système de coordonnées de k[[X,, ..., X,]], il faut et il suffit que la matrice Plus généralement, soit A un.anneau local noethérien régulier de dimension r ; alors A[[X,, ..., X,]] est un anneau local noethérien régulier de dimension r + n. Si (a,, ..., a,) est un système de coordonnées de A, alors (a,, ..., a,, X , , ..., X,) est un système de coordonnées de A[[X,, ..., X,]]. 3) Soit A un anneau local noethérien régulier complet de dimension r. L'anneau A {X, , ..., X,} des séries formelles restreintes est local noethérien régulier de dimension r + n (§ 3, no 4, remarque 1). Si (a,, ..., a,) est un système de coordonnées de A, alors (a,, ..., a,, X,, ..., X,) est un système de coordonnées de A {X,, ..., X,). * 4) Soit k un corps valué complet non discret. L'anneau des séries formelles à n variables qui convergent dans un voisinage de O dans knest un anneau local noethérien régulier de dimension n (4 3, no 4, remarque 2). 5) Soient k un corps, A une k-algèbre intègre de type fini et m un idéal maximal de A. L'anneau local noethérien A, est régulier si et seulement si l'on a dim(A) = [m/m2 :A/m] : en effet, on a dim(A,,) = dim(A) ($2, no 4, cor. 2 au th. 3) et les espaces vectoriels m/m2 et mA,,/(mA,)2 sur le corps A/m sont isomorphes (II, $ 3, no 3, prop. 9). En particulier, si k est algébriquement clos, la condition énoncée équivaut à dim(A) = [m/m2 :k] (V, 4 3, no 3, prop. 1). * 6) Soit X une variété algébrique sur un corps parfait k. Alors X est non singulière en un point x si et seulement si l'anneau local de X en x est régulier. * * 7) Soit A un anneau local noethérien régulier. On verra plus tard que l'anneau local noethérien A, est régulier pour tout idéal premier p de A.

,

,

PROPOSITION 1. - Soient A et B des anneaux locaux noethériens et p :A + B un homomorphisme local faisant de B un A-module plat. On suppose que l'on a

mB = B.p(m,). On a alors dim(A) = dim(B) et B est régulier si et seulement si A est régulier. La première assertion résulte du cor. 1 de la prop. 7 du 9 3, no 4. Comme B est plat sur A, on peut identifier m i = B.p(mA) à B 8, m i pour tout entier k 2 0, donc m,/mi à B @A (mA/mi)OU encore à K~ OKA (m,/mA). On a donc

d'où aussitôt la proposition. COROLLAIRE. - U n anneau local noethérien A est régulier si et seulement si son complété Â l'est. En effet, Â est plat sur A, et l'on a rnz = Â.m, (III, Cj 3, no 4, th. 3 et Cj 2, no 12, cor. 2 à la prop. 16). 2. Anneau gradué associé à un anneau local régulier

THÉORÈME1. -Soit A un anneau local noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) A est régulier. (ii) L'idéal m, est engendré par une partie sécante pour A (Cj 3, no 2, déf. 1). (iii) L'idéal m, est engendré par une suite complètement sécante pour A (A,X , p. 157, déf. 2). (iv) Soit S l'algèbre symétrique du K,-espace vectoriel mA/mA, et soit gr(A) = @ m;/m;+' l'anneau gradué associé à A. L'homomorphisme canonique y de S sur 1130

gr(A) est bijectij (v) I l existe un entier r 2 O tel que l'on ait HAimA = (1 - T)-,, c'est-à-dire m,

=

osi r

=

0 et [mA/mrl :K,]

=

(n

:

')

pour tout entier n 3 O si r > O.

(vi) On a HA,,,, = (1 - T)-davec d = dim(A). Si ces conditions sont remplies, tout système de coordonnées de A est une suite complètement sécante pour A. (ii) =. (i) : en effet, toute partie sécante a au plus dim(A) éléments (Cj 3, no 2, th. 1). (iii) =-(ii) : en effet, toute suite complètement sécante est sécante (§ 3, no 2, corollaire de la prop. 3). (iv) (iii) : soit ( x , , ..., x,) une suite d'éléments de m, dont les classes modulo m i forment une base (t,, ..., 5,) de m,/mA sur le corps KA.Si la propriété (iv) est satisfaite, gr(A) est l'algèbre de polynômes K,[C,, ..., k,] et la suite ( x , , ..., x,) est complètement sécante (A, X, p. 160, th. 1). Ceci prouve aussi la dernière assertion du th. 1. (i) (iv) : posons r = [m,/m; :K,] D'après la formule (6) du Cj 4, no 2, la série de Poincaré de l'espace vectoriel gradué S sur le corps K, est égale à

-

AC VI11 .54

§5

DIMENSION

Supposons que l'homomorphisme canonique y :S + gr(A) ne soit pas bijectif. Comme y est surjectif, il existe un élément homogène u de S, de degré d > O annulé par y. On a alors HA,,,

=

Ps -pK,,(,, d Ps - Pus = (1 - Td)/(l - T)' =

(1

+ T + ... + Tdpl)/(l

-

T)rpl.

D'après le th. 3 du $ 4, no 4 et le lemme 2 du 9 4, no 1, on a donc dim(A) < r, et A n'est pas régulier. Prouvons enfin l'équivalence des conditions (iv) à (vi). Or (iv) signifie que l'on a H ~ , m= ~(1 - T)-"avec s = [mA/mi:KA].Donc les conditions (iv), (v), (vi) signifient que l'on a HA,,, = (1 - T)-", avec respectivement m = [mA/mA: K ~ ]m, 3 0, m = dim(A). Mais, si l'on a H,,,, = (1 - T)-", on a dim(A) = m d'après tj 4, no 4, th. 3 et [mA/rni:KA]= m (puisque (1 - T)-" = 1 + mT + ...). L'équivalence des conditions (iv) à (vi) en résulte aussitôt; COROLLAIRE 1. - Tout anneau local noethérien régulier est intégralement clos, et en particulier intègre. Supposons A régulier. Alors gr(A) est isomorphe a une algèbre de polynômes en un nombre fini d'indéterminées sur un corps (th. 1, (iv)). Par suite, gr(A) est un anneau noethérien intégralement clos (V, $ 1, no 3, cor. 3 de la prop. 13), et A est donc intégralement clos (V, fj1, no 4, prop. 15). Nous verrons dans un chapitre ultérieur que tout anneau local noethérien régulier est factoriel.

COROLLAIRE 2 . S o i e n t A et B des anneaux locaux noethériens et o un homomorphisme local de B dans A. On suppose A régulier et B complet. Pour que o soit bijectif, il faut et il suj)t qu'il induise des bijections de K, sur K, et de m,/m; sur mA/m& La condition énoncée est évidemment nécessaire. Supposons inversement que o induise des isomorphismes de gro(B) sur gr,(A) et de gr, (B) sur gr, (A). Comme l'anneau gr(B) est engendré par gro(B) u gr, (B) et que gr(A) est l'algèbre symétrique de l'espace vectoriel gr, (A) sur le corps gr,(A), l'homomorphisme gr(o) est bijectif. Par suite, o est bijectif (III, § 2, no 8, cor. 3 du th. 1). COROLLAIRE 3. - Soient k un corps et A une k-algèbre locale noethérienne, dont le corps résiduel est égal à k. Pour que A soit régulière, il faut et il suffit que son complété Â soit isomorphe à une k-algèbre de séries formelles k [ [ X , , ..., X,]]. Cela résulte de l'équivalence de (i) et (iv) dans le th. 1, et de la prop. 11 de III, 4 2, no 9.

3. Quotients d'anneaux locaux réguliers

PROPOSITION 2. - Soient A un anneau local noethérien, x = (x,, ..., x,) une suite d'éléments de m, et x l'idéal engendré par x. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) l'anneau A est régulier, et x fait partie d'un système de coordonnées de A ; (ii) l'anneau A/x est régulier et x est une suite sécante pour A ; (iii) l'anneau A/x est régulier et x est une suite complètement sécante pour A. En outre, lorsque ces conditions sont satisfaites, x est un idéal premier de A. (iii) 3 (ii) : cela résulte du corollaire de la prop. 3 du 4 3, nO 2. (ii) = (i) : supposons que x soit une suite sécante pour A et que l'anneau local noethérien A/x soit régulier. Soit (x,, ..., x,) une suite d'éléments de A, dont les classes modulo x forment un système de coordonnées de A/x. Alors la suite (x, , ..., x,) engendre l'idéal m, de A, et l'on a

,,

Par suite, A est régulier et (x,, ..., x,) est un système de coordonnées de A. (i) * (iii) : si la condition (i) est satisfaite, la suite x est complètement sécante (no 2, th. l), donc sécante d'après le corollaire de la prop. 3 du 4 3, no 2. On a donc

de plus, les classes de x,, ..., x, modulo nzi sont linéairement indépendantes sur le corps K,, et l'on a donc

Les formules (3) et (4) montrent que AIXest régulier. Tout anneau local noethérien régulier est intègre d'après le cor. 1 du th. 1 du no 2. Par suite, x est premier si A/s est régulier. COROLLAIRE 1. - Soient A un anneau local noethérien, et t un élément de m,. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) A est régulier, et t n'appartient pas à m i ; (ii) A/tA est régulier et dim(A/tA) < dim(A); (iii) A/tA est régulier, et t n'est pas diviseur de O dans A. COROLLAIRE 2. - Soient A un anneau local noethérien régulier, et q un idéal de A. Alors A/q est régulier si et seulement si q est engendré par une partie d'un système de coordonnées de A. La condition est suffisante d'après la prop. 2. Supposons A/q régulier, et soit x = (x, , ..., x,) une suite d'éléments de q dont les

AC VI11 .56

DIMENSION

55

classes modulo m i forment une base de (q + mA)/m; sur le corps KA.Soit x l'idéal de A engendré par x. On a donc x c q et x fait partie d'un système de coordonnées de A, donc l'anneau local noethérien A/x est régulier (prop. 2) ; de plus, les espaces . suite, vectoriels mA/(q + m i ) et mA/(x + m i ) ont même dimension sur K ~Par les anneaux locaux noethériens réguliers A/q et A/x ont même dimension. Comme les idéaux q et x sont premiers et que i'on a x c q, on a finalement q = x. Exemple. - Soient k un corps, A = k[[X,, ..., X,]] et q un idéal de A, distinct de A. Pour que A/q soit régulier, il faut et il suffit qu'on puisse trouver un entier r 2 O et des éléments F,, ..., Fr de A, engendrant q, et tels que la matrice de rang r (« critère jacobien »). O n a alors dim(A/q) = n - r. Remarque. - Soient A un anneau local noethérien régulier et q c mA un idéal de A tel que A/q soit régulier. Soit (x,, ..., x,) une suite d'éléments de q dont les classes modulo m i engendrent l'espace vectoriel (q + mA)/mA sur le corps KA.La démonstration du cor. 2 montre que l'idéal q de A est engendré par (x, , ..., x,).

4.

Polynômes d'Eisenstein

DÉFINITION 2. - Soient A un anneau, p un idéal premier de A, et P un polynôme de A[T]. On dit que P est un polynôme d'Eisenstein pour p s'il satisfait aux conditions suivantes : a) P est unitaire de degré d 2 1 ; b) on a P(T) r Td mod. pA[T] ; c) on a P(0) 4 pz. Autrement dit, un polynôme d'Eisenstein pour p est un polynôme de la forme P(T)

=

Td +

d

aiTd-', avec d

1, où a,, ..., ad-, appartiennent à p et ad à

i= 1

P - pz. On dit que P est un polynôme d'Eisenstein pour PA,, si l'image canonique de P dans l'anneau de polynômes A,[T] est un polynôme d'Eisenstein pour l'idéal PA,; cela signifie aussi que P est un polynôme d'Eisenstein pour p et qu'il satisfait en outre à la condition suivante, plus forte que c) : c') tout élément a de A tel que aP(0) E pz appartient à p. PROPOSITION 3. - Soient A un anneau, p un idéal premier de A et P E A[T] un polynôme d'Eisenstein pour p. a) I l n'existe pas de décomposition de la forme P = P , P z où P l et Pz sont deux polynômes unitaires de A[T] distincts de 1. b) Supposons A intégralement clos, de corps desfractions K. Alors P est irréductible dans K[T].

Soit cp l'homomorphisme canonique de A dans le corps des fractions k de A/p et soit 9': A [ T ]-+ k [ T ] l'extension de cp telle que cp1(T)= T . Supposons qu'on ait P = P I P , où Pl et P2 sont deux polynômes unitaires de A[T] distincts de 1. On a alors T d = cpf(P1) cpr(P2)dans k[T],en notant d le degré de P. Si di est le degré de Pi, on a donc cpf(Pi)= T d l ,c'est-à-dire Pi(T) T d zmod. pA[T], et en particulier Pi(0)E p. Mais alors P(0) = Pl(0).P2(O) appartient à p2 contrairement aux hypothèses. Ceci prouve a). L'assertion b ) résulte de a) et de la prop. 11 de V, 5 1, no 3.

-

Soient A un anneau local noethérien et P l , ..., Pr des polynômes unitaires dans A[T], de degré 3 2. Soit q l'idéal de AITl, ..., T r ] engendré par P l ( T l ) , ..., Pr(Tr) et soit B la A-algèbre quotient A[T,, ..., T,]/q. Pour 1 < i < r, on note di le degré de Pi, ti la classe de T i modulo q, et yi la classe de ci = Pi(0)modulo m i . On suppose que l'on a P i ( T ) Td' mod. m,A[T] pour 1 < i < r.

-

PROPOSITION 4. - a ) L'anneau B est local et noethérien, d'idéal maximal

m,

=

Bm,

+

z r

Bt, .

i= 1

On a dim(A) = dim(B) et [ K , :K,] = 1. Les monômes t:(" ... t,"('),avec O < a ( i ) pour 1 < i < r, forment une base du A-module B. b ) Soit h l'homomorphisme canonique de m A / m i dans m,/m;. Alors le noyau est le K,-espace vectoriel engendré par y,, ..., y,. Les classes des éléments t , , ..., t, forment une base sur K A du conoyau de h. c ) Pour que B soit régulier, il jaut et il suffit que A soit régulier et que y,, ..., y, soient linéairement indépendants dans le K,-espace vectoriel m,/mi. La A-algèbre B est isomorphe au produit tensoriel B I 8, ... 8, Br avec B, = A[T]/(Pi)pour 1 d i d r. Il en résulte que les monômes t:(l) ... t;('), avec O < a ( i ) < di pour 1 < i d r, forment une base du A-module B. En particulier, B est entier sur A, donc A et B ont même dimension d'après le th. 1 du 5 2, no 3. D'après le cor. 3 de la prop. 9 de IV, 4 2, no 5, l'anneau B est noethérien, et tout idéal maximal de B contient B.m,. Par ailleurs, vu l'hypothèse faite sur P l , ..., Pr et la relation Pi(ti) = O, on a t: E B.mA pour 1 < i < r. Donc tout idéal maximal de B contient t , , ..., t,, donc aussi l'idéal q' = B.m, + Bt, + ... + Bt,. Or on a m , = A n q' et B = A + q', donc B/q' est isomorphe à A/m, et q' est un idéal ~ = 1. Ceci prouve a). maximal de B ; par suite, B est local et l'on a [ K :K,] -

Posons r

=

mi

+

z

-

Ac,, et notons cp l'homomorphisme canonique de

i= 1

( A l m i ) [ T l , ..., T,] sur B/m;. Comme on a m ,

=

B.m,

+ i=1Bti, 1

le noyau n

de cp est l'idéal engendré par les classes P,(T,) des polynômes Pi(Ti) modulo m;.A[T,, ..., T,] et les monômes T i T j et xTi pour 1 d i, j d r et x dans m,/mi. D'après l'hypothèse faite sur Pi, à savoir P i ( T ) = T d zmod. m,.A[T], on peut remplacer P,(T,) par yi dans cette description de n ; par suite, l'anneau B / m i est iso-

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35

DIMENSION

morphe au quotient de (A/r) [Tl, ..., T,] par l'idéal gradué engendré par les monômes T,T, et xTi pour x dans m,/r. Notons T , la classe de ci modulo m i ; on a donc (5)

d'où

L'assertion b) résulte aussitôt de là. D'après la formule (6) et la relation [K, :K,]

=

1, on a

Or, le K,-espace vectoriel r/mA est engendré par y,, ..., y, et l'on a

L'assertion c ) résulte aussitôt des formules (7) et (8). COROLLAIRE. - Soit A un anneau local noethérien régulier et soit P E ACT] un polynôme d'Eisenstein pour m,. L'anneau B = A[T]/(P) est local noethérien régulier, de même dimension que A, et l'on a [ K ~ : K ,= ] 1. EnJin, on a m, = B.m, + Bt, où t est la classe de T modulo (P). 2 résulte de la prop. 4, où l'on fait r = 1 ; lorsque P Le cas où P est de degré est de degré 1, c'est-à-dire de la forme T - c avec c E ni, le corollaire est immédiat.

5. - Soit A un anneau intègre, de corps des fractions K, et soit L une PROPOSITION extension algébrique de degréjini de K. On noie B lafermeture intégrale de A dans L et p urz idéal premier de A. Supposons que l'anneau local A, soit noethérien et régulier; soit t un élément de L tel que L = K(t)el supposons qu'il existe dans A[T] un élément P, polynôme d'fiisenstein pour pAp, dont t soit racine. a ) Il existe dans B un unique idéal premier q LIU-dessusde p. b ) L'anneau local Bq est noethérien et régulier, de même dimension que A,. c ) On a Bq = A,[t]. d ) L'homomorphisme canonique de A/p dans Bjq induit un isomorphisme des corps des fractions de ces anneaux. Posons C = A,[t] et notons d le degré de P. D'après la prop. 3 appliquée à l'anneau A,, le polynôme d'Eisenstein P est irréductible dans K[T] et (1, t , ..., r d ' ) est une base de L sur K, donc de C sur A,. Comme P est unitaire, le noyau de I'homomorphisme canonique de A,[T] sur C est égal à (P). D'après le corollaire de la prop. 4 ci-dessus, C est donc un anneau local noethérien régulier de même dimension que A,, l'idéal maximal m, de C est engendré par p u { t ) et le corps K, est une extension triviale du corps des fractions de Alp. Pour prouver la prop. 5, il suffit donc de montrer qu'il existe un unique idéal premier q de B au-dessus de p, et qu'on a C = Bq. Posons S = A - p. On sait (V, $ 1, no 5, prop. 16) que la fermeture intégrale de

A , dans L est égale à S p l B . Par ailleurs t est entier sur A,, et l'anneau C = A J t ] est local noethérien régulier, donc intégralement clos (no 2, cor. 1 du th. 1). On a donc C = S p ' B . Par conséquent, l'anneau S - ' B est local et possède un unique idéal maximal. D'après V, 5 2, no 1, prop. 1, il existe un unique idéal premier de S-'B au-dessus de PA,, donc B possède un unique idéal premier q au-dessus de p (loc. cil., lemme l), et l'on a Bq = S-'B = C.

COROLLAIRE. - Supposons que A, soit un anneau de vuluation discrète. Alors Bq est un unneuu de valuation discrète, t est une unformisante de B q , et l'on a

(VI, 5 8, no 1). En effet, les anneaux de valuation discrète sont les anneaux locaux noethériens réguliers de dimension 1 ;posant d = [L :KI, on a t d E nt, - m i , d'où d = e(B,/A,). On a [ K ,:~K*] = 1, d'où f ( B q / A p) = 1. Exemples. 1) Posons A = Z et L = Q(pl'd), où p est un nombre premier et d un entier 3 2. Notons B la fermeture intégrale de Z dans L. Comme le polynôme Td - p de Z [ T ] est un polynôme d'Eisenstein pour pz(,,, il existe un unique idéal premier q de B au-dessus de p z . Il existe donc une unique valuation discrète normalisée v du corps Q(p'id) telle que v(p) > O ; on a [L :K] = v(p) = d, et B/q est un corps à p éléments. L'anneau Bq de la valuation v est égal à Z,,,[p'id]. 2) Posons A = Z et L = R,,(Q) où p est un nombre premier et f un entier 3 1 (cf: A, V , p. 78). On a donc L = Q(<)avec = exp(2xi/ps). Soient B la fermeture intégrale de Z dans L et P le polynôme de Z[T] tel que -

<

Posons d

= p* - p f - l .

-

On a P(< - 1)

=

O, P(0) = p et

P(T - 1) E (T - l)d mod. pZ[T], d'où P(T) Td. Par suite, P est un polynôme d'Eisenstein pour pz(,,. Il y a donc un unique idéal premier q de B au-dessus de pz, et l'on a Bq = Z(,,[(] ; de plus, ( - 1 est une uniformisante de Bq et l'on a

Si o est l'unique valuation normalisée de Q(<) telle que v(p) > O, on a v(p) = d. De plus, le corps B/q a p éléments. On peut prouver (cf. p. 96, exerc. 13) que B est égal à Z[<]. BOURBAKI. - Algèbre commutative. - 3

AC VI11 .60

DIMENSION

* 5. Structure des anneaux locaux noethériens réguliers complets Dans ce numéro, nous utilisons des définitions et des résultats du chapitre IX. Soit A un anneau local noethérien régulier et complet ; notons p la caractéristique de son corps résiduel KA, et distinguons deux cas. A) p = O. Alors (IX, $ 3, no 3, th. l), il existe un sous-corps K de A tel que la projection canonique de A sur K, induise un isomorphisme de K sur K,. Appliquant alors le cor. 3 du th. 1 du no 2 à la K-algèbre A, on en déduit : PROPOSITION 6. Soit A un anneau local noethérien régulier et complet, dont le corps résiduel K, est de caractéristique 0. Posons n = dim(A). Alors A est isomorphe ri l'anneau de séries formelles K * [ [ X , , ..., X,]]. -

B ) p # O. On appelle sous-anneau de Cohen de A tout sous-anneau V de A qui est un panneau tel que A = m, + V (IX, $ 2, no 2, déf. 2). L'anneau V est local; son idéal maximal m, est engendré par p. 1, ; par suite on a nt, n V = in, et l'injection canonique de V dans A définit par passage au quotient un isomorphisme du corps K, sur le corps K,. Si p. 1, = O, V est un corps de caractéristique p. Sinon V est un anneau de valuation discrète dont le corps des fractions est de caractéristique zéro (IX, 2, no 1, cor. 1 à la prop. 1). On démontre (IX, no 2, th. 1) que A possède des sous-anneaux de Cohen. Exemples. - 1 ) Soient k un corps de caractéristique p # O et n un entier positif. L'anneau de séries formelles k [ [ X , , ..., X,]] est local noethérien régulier complet, de dimension n et k est un sous-anneau de Cohen de k [ [ X , , ..., X,]]. 2) Soient V un anneau de valuation discrète complet et n un entier positif. L'anneau de séries formelles V, = V [ [ X , ,..., X,]] est local noethérien régulier complet, de dimension n + 1, et V est un sous-anneau de Cohen de V,. 3) Gardons les notations précédentes. On dit qu'un polynôme P de V , [ T ]de degré d 2 2 est spécial s'il est d s l a forme T d +

d

aiTd-', où a , , ..., a , , appartiennent i= 1

+

à mvn,a, appartient à m, mVn mais non à mVn.En particulier, P est un polynôme d'Eisenstein pour mvn.Posons A = V,[T]/(P).D'après le corollaire de la prop. 4 du no 4, l'anneau A est local noethérien régulier complet, de dimension n + 1. Si t est la classe de T modulo (P),la suite (1, t, ..., t d ' ) est une base du V,-module A, et (XI, ..., X,, t ) est un système de coordonnées de A : en effet, il existe une uniformisante n. de V telle que a, = n mod. m t n; comme on a aussi

a,

=

-

t(td-'

+

+ ... + a , - , ) ,

on a n E m i ; comme m, est engendré par {n,X I , ..., X,, t ) , cela prouve notre assertion. En outre, V est un sous-anneau de Cohen de A, car K, s'identifie i K,,, et K,, à K, d'après le corollaire à la prop. 4 du no 4.

THÉORÈME 2. - Soit A un anneau local noethérien régulier et complet dont le corps résiduel est de caractéristique # O, et soit V un sous-anneau de Cohen de A. Posons n = dim(A). a ) Supposons que V soit un corps. Alors la V-algèbre A est isomorphe à l'algèbre de séries formelles V [ [ X l ,..., X,]]. b ) Supposons que V soit un anneau de valuation discrète complet et que I'on ait m , q! m i . Alors, la V-algèbre A est isomorphe à l'algèbre de séries formelles V [ [ X l ,..., x,- I l l . c ) Supposons que V soit un anneau de valuation discrète complet et que l'on ait m , c m i . Il existe alors un polynôme spécial P dans V [ [ X , ,..., X,_ ,II [Tl et un V-isomorphisme de A sur V [ [ X , ,..., X,- , ] ] [T]/(P). L'assertion a ) résulte aussitôt du cor. 3 du th. 1 du no 2. Prouvons b). Soit ( x , , ..., x,,) une suite d'éléments de m,, et soit cp, l'homomorphisme de V [ X , , ..., X,] dans A qui coïncide avec l'identité sur V et envoie Xi sur xi pour 1 < i < m. Si a est l'idéal de V [ X , ,..., X,] engendré par X I , ..., X,,, on a cpo(a) c m,, donc cpo se prolonge par continuité en un homomorphisme cp de V , = V [ [ X , ,..., X,]] dans A. Soit rc une uniformisante de V . D'après le cor. 2 du th. 1 du no 2, cp est un isomorphisme de V , sur A si et seulement si ( K , x , , ..., x,,) est un système de coordonnées de A. Mais l'application canonique de m,/mt dans m,/mS, est injective, puisque i'on a m , ç t mi et que m,/m$ est de rang 1 sur K,. Donc m,/(m, + m i ) est de rang FI - 1 et (rc, x 1 , ..., x , ~ est ) un système de coordonnées de A si et seulement si les classes des xi forment une base de m,/(m, + nt:) sur K,. D'où b). Prouvons c). Soit ( y , , ..., y,) un système de coordonnées de A. Comme ci-dessus, posons V , = V [ [ Y l ,..., Y , ] ] et considérons l'homomorphisme cp de V, dans A qui coïncide avec l'identité sur V et envoie Y i sur yi pour 1 < i < n. Alors gr(
l'idéal premier p est de hauteur 1 (Q: 1, nc)3, prop. 8). Mais l'anneau V , est factoriel d'après la prop. 8 de V I I , 5 3, no 9 ; par suite, l'idéal p est principal (VII, 9: 3, no 2, th. 1). Soit R un générateur de l'idéal p de V,. D'après le lemme 3 de V I I , § 3, no 7, il existe des entiers u(l), ..., u(n - 1) au moins égaux à 1, et un isomorphisme o de V [ [ X , ,..., X T l ] sur V , tels que

,_,,

o(T) et que o - ' ( R )

=

=

Yi

=

Y,

+ Yi"'

pour

1
Q satisfasse à Q(0, ..., O, T) # O. De plus, d'après le théorème de

AC VI11 .62

96

DIMENSION

,

préparation (VII, 5 3, no 8, prop. 6), il existe un polynôme P dans V[[X, , ..., X,- ]] [Tl de la [orme P

=

d

Td +

1 ai(X,,..., X , p l ) T d - i , i= 1

,

engendrant le même idéal que Q dans V[[X, , ..., X,- , Tl], et tel que ai(O, ..., 0) E m, pour 1 6 i < d. On en déduit que A est V-isomorphe à V[[X,, ..., X , T]]/(P). Mais V[[X,, ..., X n p l ,Tl] est somme directe de l'idéal (P) et du sousV[[Xl, ..., X,_ ,]]-module de base 1, T, ..., Tb' (VII, § 3, no 8, prop. 5); par suite, A est V-isomorphe à V[[X, , ..., X,_, 11 [T]/(P). Posons C = V[[X, , ..., X , ]] et notons ci la classe de a,(Xl , ..., X , ) modulo mg. On a K" = K~ = KA. D'après la prop. 4 du no 4, le noyau de l'homomorphisme canonique de m,/m$ dans mA/mi est égal à K,N. Comme l'image de m,/m; dans mA/mi est nulle et que m,/mV est de rang 1 sur K,-, il en résulte que ud appartient à m, + mg, mais non à mg. Par conséquent, le polynôme P est spécial, ce qu'on voulait démontrer.

,,

,

2

,

* Remarque. - Soient k un corps, A une k-algèbre noethérienne locale complète régulière. Lorsque K, n'est pas une extension séparable de k, il n'est pas vrai en général que A soit isomorphe comme k-algèbre à K,[[T,, ..., T,]] où il = dim(A) (p. 98, exerc. 29). *

5

6. DIMENSION DES ANNEAUX GRADUÉS

Dans ce paragraphe, on désigne par H un unneau gradué de type Z, Li degrés positifs, et par (H,),,, su graduufion; ainsi, ail u H, = {O} pour n < 0.

1. Anneau filtré associé à un anneau gradué Pour tout n E Z, on pose Hg,

=

1 Hi. On a H = H,,

; les H,, sont des idéaux

iàn

gradués de H. Notons S la partie multiplicative 1 + H,, formée des éléments de H dont la composante de degré O est égale à 1, et considérons l'anneau de fractions S-'H. Identifions H à un sous-anneau de son complété H = H, (III, 3 2, no 12,

n II

exemple 1);comme les éléments de S sont inversibles dans fi (III, 3 2 no 13, lemme 3), S-'H s'identifie à un sous-anneau de f? contenant H. Pour s E S et h E H.,,. . l'élément s-'h - hdefiappartientà Hi;parconséquentonaSIH,, = ( S - ' H ) n Hi.

n

iàn

n

iàn

On en déduit : PROPOSITION 1. - a) Les idéaux S- 'H,, forment unefiltration exhaustive et séparée de l'anneau S I H .

b ) L'homomorphisme canonique de H dans S-'H induit pour chaque n un isomorphisme un de H, sur S-'H,,/SIH,,+, ; les un sont les composants homogènes d'un isomorphisme d'anneaux gradués de H sur l'anneau gradué associé à S-'H, filtré par les S-'H,,. Remarques. - 1 ) Un élément h/s de S- 'H avec h E H, s E S, est inversible si et seulement si la composante de degré O de h est inversible dans Ho. Par conséquent, si l'anneau Ho est local, l'anneau S-'H est local et l'injection canonique Ho --+ S- 'H induit un isomorphisme sur les corps résiduels. 2) Supposons H engendré par Ho et H l ; alors pour tout n, on a H a + , = H l .Hn, donc H a n + , = Hl .H,, et S-'Ha,+, = H, .SP'H,,. Par suite, la filtration (S. 'H,,) de SP'H est la filtration S- 'H, ,-adique. Exemples. 1 ) * Soit p un idéal premier gradué de CIXo, ..., X,] différent de l'idéal engendré par les Xi; soient V la sous-variété algébrique de Pn(C)définie par p et C la sous-variété algébrique de C f ' définie par p. Alors C est le cône de base V, H = C[X,, ..., X,]/p est l'algèbre affine de C et S-'H l'anneau local du cône C en son sommet. * 2) Soient A un anneau local et a un idéal de A distinct de A. Alors H = @ an/an+' -

n

est un anneau gradué tel que Ho = A/a soit local; il est engendré par Ho et H l . L'anneau S-'H est donc local et la filtration (S-'H,,) est la filtration S I H , , adique. On prendra garde qu'en général les anneaux A et S-'H ne sont pas isomorphes. * En particulier une variété algébrique n'est pas en général localement isomorphe au voisinage d'un point à son cône des tangentes en ce point. *

2. Dimension et chaînes d'idéaux gradués Dans ce numéro, nous noterons dimgr(H) la borne supérieure des longueurs des chaînes d'idéaux premiers gradués de H ; de même, si p est un idéal premier gradué de H, nous noterons htgr(p) la borne supérieure des longueurs des chaînes d'idéaux premiers gradués de H dont p est le plus grand élément. Si p est un idéal ; sinon, en effet p contiendrait un élément premier gradué de H, on a p n S = dont la composante de degré O serait égale à 1, donc contiendrait 1 puisqu'il est gradué. L'application p H SP'p de l'ensemble des idéaux premiers gradués de H dans l'ensemble des idéaux premiers de S- 'H est donc injective et croissante (II, $ 2, no 5, prop. 11) ; par conséquent, compte tenu du 9: 1, no 3, prop. 6 et corollaire à la prop. 7, on a :

PROPOSITION 2. - a ) On a dimgr(H) < dim(SP1H)< dim(H). b ) Pour tout idéal premier gradué p de H, on a htgr(p) < ht(S-'p)

=

ht(p).

Pour tout idéal a de H, notons agr le plus grand idéal gradué contenu dans a ; on a agr = C (a n H,). n

AC VI11 .64

96

DIMENSION

Lemme 1. - a ) Si p est un idéal premier de H, pgrest un idéal premier. b) Tout élément maximal de l'ensemble des idéaux grududs de H distiricts de H est un idéal maximal de H qui contient H, . c ) Tout idéal premier minimal de H est gradué. a ) Cela résulte de III, 5 1, no 4, prop. 4. b) Soit m un idéal gradué de H distinct de H. Alors on a

,

+

m c (mnH,) H,, # H . Si m est maximal, alors on a rn = m, + H,, , où mo est un idéal maximal de Ho, d'où b). c ) Soit p un idéal premier minimal de H. Comme pgr est premier d'après a ) et contenu dans p, on a p = pgr, d'où c ) . Lemme 2. -Soient p et q des idéaux premiers de H tels que q c p et q # p. Si qgr= pgr, alors q est gradué, p ne l'est pas et ht(p/q) = 1.

* Remarque 1 .Reprenons les notations de l'exemple 1 du no 1. Le lemme 2 implique que, si deux sous-variétés irréductibles Y et Z de Cnfl ont le même cône projetant et si Z c Y et Z # Y, alors Y est le cône projetant de Z, et Z est de codimension 1 dans Y.

,

Remplaçant H par H/qgr on se ramène au cas où qg' = {O}. Alors H est intègre (lemme 1, a)), pgr = O, et il s'agit de prouver que ht(p) < 1 : cela entraînera en effet que ht(q) = O, donc que q = {O}. Puisque pg' = {O}, on a p n Hn = {O} pour tout n, et p est disjoint de la partie multiplicative T = U (H, - {O}). L'anneau HP n

est donc isomorphe à un anneau de fractions de Tp'H, et l'on a donc ht(p)

=

dim(Hp) < dim(T-'H)

(5 1, no 3, prop. 6 et 7). Mais, d'après le lemme 4 de V, 5 1, no 8, T-'H

est un corps ou est isomorphe a un anneau K[X, Xpl], où K est un corps; on a donc dim(T-'H) < 1 et ht(p) < 1, ce qu'on voulait démontrer.

PROPOSITION 3. - Soit p un idéal premier de H. Si p # pg', on a ht(pgr) = ht(p) - 1. D'après le lemme 1, a), l'idéal pg' est premier et contenu dans p, donc ht(pgr) < ht(p) - 1. La proposition étant triviale lorsque ht(pgr)= + co, on peut supposer ht(pgr)c + co. Démontrons l'inégalité ht(p) < ht(pgr) + 1 par récurrence sur ht(pgr). Il suffit de prouver que, pour tout idéal premier q contenu dans p et distinct de p, on a ht(q) < ht(pgr).Distinguons deux cas suivant que qgr # pg' ou que qgr = pgr. Si qgr # pgr, alors on a ht(qgr)< ht(pg') ; on a ht(q) < ht(qgr)+ 1 , d'après l'hypothèse de récurrence si q # qgret trivialement si q = qgr;par conséquent, on a ht(q) < ht(qgr) + 1 d ht(pgr),ce qu'on voulait démontrer. Si qgr = pg', alors on a q = qg' d'après le lemme 2, donc ht(q) = ht(qgr)< ht(pgr), d'où encore la conclusion voulue.

1. - Supposons H noethérien. a) Toute chaîne d'idéaux premiers gradués de H, saturée comme chaîne d'idéaux premiers gradués, est saturée comme chaîne d'idéaux premiers. b) Pout tout idéal premier gradué p de H, on a htgr(p) = ht(S-'p) = ht(p). c ) On a dimgr(H) = dim(S-'H) = dim(H). Pour démontrer a), il suffit de prouver que, si p et q sont deux idéaux premiers gradués distincts de H tels que q c p et que tout idéal premier gradué compris entre q et p soit égal à p ou à q, alors ht(p/q) = 1. En divisant par q, on se ramène au cas où q = {O). Il s'agit donc de prouver que, si H est intègre, et si p est un idéal de H, minimal parmi les idéaux premiers gradués # {O}, on a ht(p) = 1. Or, soit a un élément homogène non nul de p, et soit r un idéal premier de H tel que a G r c p et minimal pour ces propriétés (II, 5 2, no 6, lemme 2). Puisque rgr est premier (lemme 1, a)) et non nul, on a rgr = p, donc p = r. Comme H est intègre et noethérien, p est de hauteur 1 (5 3, no 1, prop. 1), d'où a). Démontrons b). Soit p un idéal premier gradué de H. On a THÉORÈME

(prop. 2); démontrons l'inégalité ht(p) < htgr(p) par récurrence sur htgr(p). Si htgr(p) = O, p est minimal parmi les idéaux premiers gradués, donc minimal (lemme 1, c ) ) et l'on a ht(p) = O. Supposons que l'on ait htgr(p) > O et prouvons l'inégalité ht(q) d htgr(p) - 1 pour tout idéal premier q contenu dans p et distinct de p. Distinguons deux cas. Si q est gradué, on conclut par l'hypothèse de récurrence. Si q n'est pas gradué, alors on a qgr # p, donc ht(qgr)< htgr(qgr)d'après l'hypothèse de récurrence, d'où ht(q) < htgr(qgr)+ 1 d'après la prop. 3 ; il reste à prouver l'inégalité htgr(qgr)d htgr(p) - 2 ; mais si l'on avait htgr(qgr)= htgr(p) - 1, la chaîne qgr c p serait saturée d'après a), ce qui n'est pas puisque qg' # q # p. Prouvons enfin c). On a dimgr(H) < d i m ( S I H ) < dim(H) (prop. 2), et il reste à prouver dim(H) d dimgr(H), ou encore ht(p) < dimgr(H) pour tout idéal premier p de H. Soit donc p un idéal premier de H. Si p est gradué, on a ht(p) = htgr(p) < dimgr(H). Si p n'est pas gradué, on a ht(p) = htgr(pgr)+ 1 d'après la prop. 3 ; soit m un idéal gradué maximal de H contenant pgr ;d'après le lemme 1, b), m est maximal, donc distinct de pgr, et l'on a htgr(pg') + 1 ,< htgr(m) < dimgr(H), d'où encore ht(p) d dimgr(H). Cela achève la démonstration. Remarque 2.-Il existe des anneaux gradués non noethériens H tels que dimgr(H) < dim(H) (p. 99, exercice 1).

3. Dimension des modules gradués Dans ce numéro, on note M un H-module gradué (de type Z). Alors S-'M est un S- 'H-module, et si l'on pose M,, = @ Mi, on voit comme au

'

i3n

no 1 que la suite des ensembles S- M,, est une filtration exhaustive et séparée sur

AC VI11 .66

96

DIMENSION

S- 'M et que l'application canonique M modulegradué @ S-'M, JS-'M,,,.,.

-+

S- 'M induit un isomorphisme de M sur le

n

Lemme 3.

-

Supposons H engendré par Ho u H l et M engendré par @ Mi pour un i
entier ni convenable. Alors la filtration (S-'M,,) sur S-'M est bonne pour l'idéal S-lH,, de S-'H. donc S-'M,n+l=Hl.S-'M,n= On a, pour n a n o , M,,+,=H,.M,,, S-lH,l.S-lM,n.

PROPOSITION 4. -Supposons H noethérien et M de type fini. Alors dimH(M)= dim,- ,,(SP M). Soit a i'annulateur du H-module M ;c'est un idéal gradué de H. Comme M est un H-module de type fini, l'annulateur du S 'H-module S- 'M est l'idéal S- 'a de S-'H. On a dimH(M)= dim(H/a) et dims-lH(S-lM) = dim(S-'H/SP'a). La prop. 4 rÈsulte alors du th. 1, c ) du no 2 appliqué à l'anneau gradué H/a.

'

PROPOSITION 5. - Supposons Holocal et artinien, H engendré par Ho u H l , H l de typefini comme Ho-module, M non nul et de typefini comme H-module. Alors Mn est un Ho-module de longueur finie pour chaque n, et il existe Q(T) E Z[T, T-'1 tel que Q ( l ) > O et que l'on ait dans l'anneau Z((T))

avec d = dimH(M). L'anneau S- 'H est local et noethérien (no 1, remarque l), le S- 'H-module S- 'M est non nul de type fini, et de dimension d = dim,(M) (prop. 4). Par ailleurs, S-'H, , est un idéal de définition de S-'H (9 3, no 2, lemme 2) et S-'Man est une filtration S-'Hal-bonne sur S-'M (lemme 3). Enfin, on a Io~~,-,,S-'M,~/S-'M,,., = longH,(M,) pour tout n. Il suffit donc d'appliquer les th. 2 et 3 du § 4 (nos 3 et 4). Remarque. - A l'exception de la détermination de l'entier d, la prop. 5 résulte directement du th. 1 du § 4, no 2.

COROLLAIRE. - Soient A un anneau local noethérien et q un idéal de déJinition de A. Alors on a dim(A) = dim(gr,(A)). Appliquant la prop. 5 au cas M = H = gr,(A), on obtient la relation

avec d = dim(gr,(A)) et Q(l) # O. On a d le corollaire.

=

dim(A) d'après le th. 3 du 4, no 4, d'où

PROPOSITION 6. - Supposons Ho local et artinien, H de typefini comme Ho-algèbre et M de typefini comme H-module.

a ) Soient a , , ..., a, des éléments de H, homogènes de degrés > O, et soit

n

< n. Le S- 'H-module SP1M/ 2

(ai/l).S-'M est de longueurfinie si et seulement

i=1

si O, avec d = dimH(M),et telle que (a,/l, ..., adIl) soit une suite sécante maximale pour le S 'H-module S-'M. Si de plus H est engendré par H l comme Ho-algèbre, et si le corps résiduel de Ho est infini, on peut prendre les a, de degré 1. n

a ) Posons N

=

M/C aiM. On a dim,(N)

=

dim,-,,(SIN)

d'après la prop. 4.

i=l

Par suite, le S 'H-module S I N est de longueur finie si et seulement si le H-module N est de longueur finie, c'est-à-dire si et seulement si N est un Ho-module de type fini. Si

-t

M,onaN

=

cp,(M)/x Xi.
et remarque) O, et n'appartenant ii aucun des éléments minimaux p de Supp(M), tels que dim(H/p) = dimH(M).On a alors dim,(M/bM) = dim,(M) - 1. Posons d = dim,(M). D'après la définition de b, on a dim,(M/bM) < d. D'après la prop. 4 on a dim,(M/bM)

=

dims- ,,(S-'M/(b/l).S-'M)

et la formule (8) du 3 3, no 2 fournit l'inégalité dim,- ,,(S-'M/(b/l).SIM)

3 d i m , ,,(SPIM)

-

1.

Enfin, on a dim,- ,,(SP1M)

=

dimH(M) = d

d'après la prop. 4. On a donc dim,(M/bM) 3 d

-

1, d'où le lemme 4.

Reprenons la démonstration de la prop. 6, b). On peut supposer dimH(M)> O. Remarquons que tout élément minimal de Supp(M) est gradué (appliquer le lemme 1 du no 2 au quotient de H par l'annulateur de M). D'après la prop. 8 de III, tj 1, no 4, il existe donc un élément homogène b de H, de degré > O, n'appartenant à aucun des éléments minimaux p de Supp(M) tels que dim(H/p) = dimH(M).D'après le lemme 4, on a dim,(M/bM) = dim,(M) - 1. Supposons de plus H engendrée par H l comme Ho-algèbre et le corps résiduel k de Ho infini. Pour tout élément minimal p de Supp(M), tel que dim(H/p) = dimH(M), considérons le sous-espace vectoriel V, = (p n H l ) OHok du k-espace vectoriel V = Hl O,, k. Si on avait V, = V,

AC VI11 .68

36

DIMENSION

on aurait p n H l = H l (II, 3, no 2, prop. 4), d'où H , c p et dim,(M) = dim(H/p) ,< iim(H/H, ,) = O, ce qui n'est pas. Puisque k est supposé infini, la réunion des V, est distincte de V ; si b E H l est tel que b @ 1 n'appartient à aucun des V,, on a aim(M/bM) = dim,,(M) - 1. Procédant par récurrence sur d = dim,(M), on construit alors une suite (b, , ..., b,) d'éléments de H, avec bi homogène de degré ni > O et telle que M/

biM soit un i= 1

H-module de longueur finie. Si on suppose H engendrée par H l comme Ho-algèbre et le corps résiduel de Ho infini, on peut supposer ni = 1 pour i = 1, ..., d. D'après la prop. 4, on a dim,- ,,(S-'M) = d et

Alors (bl/l, ..., bd/l) est une suite sécante maximale pour le S-'H-module SPIM. Posons ai = byl-.nd)lnlpour 1 < i < d ; alors les ai sont tous de même degré, et (alIl, ..., a,/l) est une suite sécante maximale pour S - l M (4 3, no 2, remarque 3). COROLLAIRE 1. - Supposons que Ho soit un corps et que H soit de type $ni comme Ho-algèbre. Posons n = dim(H). Il existe des éléments homogènes a , , ..., a, de H tous de même degré > O, tels que le Ho-homomorphisme cp :Ho[Xl, ..., X,] -+ H déjini par cp(X,) = a,, i = 1, ..., n, soit injectifet fasse de H une Ho[Xl, ..., X,]-algèbrefinie. Si H est engendrée pur H, comme Ho-algèbre et si H o est injini, on peut supposer les a, de degré 1. Il existe d'après la prop. 6 un Ho-homomorphisme

comme on a dim(H) = n

=

dim(Ho[X1, ..., X,]),

et que Ho[Xl , ..., X,] est intègre, ceci implique Ker cp

=

{ 0).

Remarque. - Soit (hl, ..., h,) un système générateur fini du Ho-espace vectoriel H,. Pour h = (hl, ..., h,) E HO, posons h, = h,hl ... hJ,. Les démonstrations de la prop. 6 et du cor. 1 entraînent le résultat suivant : l'ensemble des éléments (A1, ..., h,,) de (HL)" tels que les éléments ai = h,, E H l satisfassent à la conclusion du cor. 1, contient le complémentaire de la réunion d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels de (HO)" distincts de l'espace entier.

+ +

COROLLAIRE 2. - Soient A un anneau local noethérien et n E N . Pour que l'on ait dim(A) 2 n, il faut et il suffit que pour tout entier r 2 O, on ait

on a l'égalité pour tout r si et seulement si A est régulier de dimension n.

La condition est suffisante (5 4, no 4, th. 3 et $ 5, no 2, th. 1). Montrons qu'elle est nécessaire. Considérons l'anneau gradué gr(A) = gr,,(A); soit k une extension infinie du corps K A , et posons H = k O,, gr(A). L'anneau H est de dimension 2 n (prop. 5 et son corollaire) ;on déduit donc du cor. 1 l'existence d'un homomorphisme gradué injectif de k-algèbres graduées cp :Ho[Xl, ..., XJ + H. On a par conséquent, pour tout entier r 3 0,

et l'égalité pour tout r implique la bijectivité de cp, donc la régularité de A ($ 5, no 2, th. 1). Les égalités

impliquent alors les assertions analogues pour la fonction r tt long,(A/mA ').

4. Semi-continuité de la dimension

Lemme 5. -Soient

A un anneau, r son radical, R

=

@ Ri une A-algèbre graduée, itZ

M

=

@ Mi un R-module gradué. On suppose que chaque Mi est un A-module de type ieZ

fini et que M/rM est un RlrR-module de typefini. Alors M est un R-module de typefini. Soient m , , ..., m, des éléments homogènes de M, dont les images dans MjrM engendrent le R/rR-module MjrM. Soit N le sous-R-module (gradué) de M engendré par { m l , ..., m,). Pour tout i E Z, on a Mi = N, + rMi, donc Mi = N i (II, 5 3, no 2, prop. 4) ; par suite on a M = N. Lemme 6. Soient p : B + C un homomorphisme d'anneaux et S une partie multiplicative de B. On suppose que C est une B-algèbre de typefini, et que S-'C est une S-'B-algèbrefinie. I l existe alors f E S tel que Cf soit une Bf-algèbrefinie. Soit X un ensemble générateur fini de la B-algèbre C . Pour tout x E X, l'image de x dans S-'C est entière sur S-'B, et il existe par conséquent un entier n(x) 3 0, des éléments b,(x), ..., b,(,,(x) E B et un élément f (x) E S tels que -

Soit f

=

nf XFX

(x) ;l'image de tout élément x de X dans Cf est entière sur B f , donc C f

est une B (-algèbre finie (V, 5 1, no 1, prop. 4).

AC VI11 .70

96

DIMENSION

PROPOSITION 7. Supposons que H soit une Ho-algèbre de typefini. Alors lu fonction p H dim(H @,O ~ ( p )est ) semi-continue supérieurementsur Spec(Ho). Puisque H est de type fini comme Ho-algèbre, chaque H, est un Ho-module de type fini (III, 5 1, no 2, corollaire à la prop. 1) et H est engendrée comme Ho-algèbre par Ho O H l O ... O H, pour un entier r b O convenable. Soit p E Spec(Ho)et posons ) n 2 O. ' ~ a ~ rleè corollaire s 1 à la prop. 6, il existe des éléments dim(H @Ho ~ ( p ) = a,, ..., a, de H, tous homogènes de même degré d > O, tels que le ~(p)-homomor, X,] H @,O ~ ( pqui ) applique X, sur a, O 1 pour 1 < i < n, phisme @: K ( ~ ) [ X ,..., fasse de H ~ ( p une ) K ( ~ ) [ X ,..., , X,]-algèbre finie. Notons

-+

1

(m- l ) d < i < m d

type Z sur H, compatible avec la structure de R-module donnée par
5. Algèbres graduées régulières Duns ce numéro, on suppose que Ho est un corps et que H est une Ho-algèbre de type fini. On pose H + = H,, ; c'est un idéal maximal de H. L'anneau S-'H s'identifie à l'anneau local H, de H en l'idéal H + ; son idéal maximal est (H+ ,) = S - H + , son corps résiduel s'identifie à Ho. +

+

PROPOSITION S. - a) On a dim(H) < [H +/H$ :Ho]. b) Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) dim(H) = [H+/H; :Ho] ; (ii) l'anneau local noethérien S-'H est régulier ; (iii) H est engendré comme Ho-algèbre par une famille d'éléments homogènes de degrés > 0, algébriquement indépendants sur Ho. c) Supposons les conditions de b) satisfaites, et soient a,, ..., a, E H des éléments homogènes de degrés > O. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) les classes des a, forment une base du Ho-espace vectoriel H+/H* ; (ii) les a,/l forment un système de coordonnées de l'anneau local noethérien régulier s- l H ;

No

1

AC VIII. 71

MULTIPLICITES

(iii) les a, sont algébriquement indépendants sur Ho et engendrent H comme Hoalgèbre. Onadim(H)=dim(S-'H)(n02,th.l),et[H+/H; :H0]=[(S-1H+)/(S-1H+)2:Ho] (II, Ej 3, no 3, prop. 9) ; d'après le Ej 5, no 1, cela entraîne a) et les équivalences (i) o (ii) dans b) et c). Les deux implications (iii) * (i) dans b) et c) sont triviales. Démontrons les implications (i) (iii). Supposons donc qu'on ait dim(H) = [H+/H$ :Ho] et soient a,, ..., a, des éléments homogènes de H, de degrés > O, dont les classes forment une base de H+/H: ; considérons l'homomorphisme d'algèbres graduées

=

n

=

dim(H) = dim(Ho[X,, ..., XJ/(Ker 9))

($ 2, no 4, cor. 1 du th. 3), donc Ker

implique les assertions (iii). Sous les hypothèses de b), on dit que H est une Ho-algèbre graduée régulière, ou une Ho-algèbre graduée de polynômes. Sous les hypothèses de c), on dit que les ai forment un système de coordonnées gradué de H. Remarques. - 1) Avec les notations de c), soit di le degré de ai (1 d i d n). Alors la série de Poincaré PH = [H, :Ho]. Tnest égale a (1 - Tdl)- (Ej 4, no 2, exemple 1). nez Par conséquent, si H est une Ho-algèbre graduée de polynômes, on a

n I

PH =

n (1

-

T1')-'(") , avec S(n) = [(H + /H$ ), :Ho]

n

2) Inversement, le fait qu'il existe des entiers di > O tels que PH=

n

(1

-

Td8)-'

1

n'implique pas que H soit une algèbre graduée de polynômes ;par exemple, si H est engendrée par un élément X de degré 1 et un élément Y de degré 2, soumis à la seule relation X2 = 0, on a PH = (1 - T)-l.

Dans tout ce paragraphe, on note A un anneau noethérien.

1. Multiplicité d'un module relativement à un idéal Soient M un A-module de type fini et q un idéal de A contenu dans le radical de A et tel que M/qM soit de longueur finie. Supposons M non réduit a O et posons 1

AC VI11 .72

97

DIMENSION

d = dimA(M).D'après # 4, no 3, corollaire du th. 2 et no 4, remarque 2, il existe un unique entier eq(M) > O tel que l'on ait, pour tout entier n 3 1

où pn tend vers une limite lorsque n augmente indéfiniment.

DEFINITION 1. - L'entier eq(M)s'appelle la multiplicité du A-module M relativement ci l'idéal q. On le note aussi 4 ( M ) lorsque l'on désire mentionner l'anneau A. Lorsque A est local d'idéal maximal m, on écrit e(M) ou eA(M)pour e,(M) ou e;(M). Remarques. - 1) Si q' est un idéal de A contenu dans le radical de A et contenant q, on a eq.(M)<eq(M)et, si la filtration q'-adique de M est q-bonne, on a e,.(M) = e,(M) ($ 4, no 3, th. 2). 2) Si M est de longueur finie, on a eq(M) = long,(M) (3 4, no 3, remarque 3). 3) Si d > O on a

où a, tend vers une limite lorsque n augmente indéfiniment (8 4, no 3, corollaire au th. 2). 4) On peut ramener le calcul des multiplicités au cas où A est local puisque, d'après $4, no 4, corollaire au th. 3, on a

la sommation etant étendue aux idéaux maximaux m de A tels que

11 résulte des remarques 2 et 3 que e,(M) ne dépend que du A/q-module gradué grq(M). Par conséquent :

PROPOSITION 1. - Soient  et M les complétés de A et M pour leurs topologies q-adiques ; alors es(M) =

44~).

Supposons A local régulier (5 5, no 1, déf. 1 ) ; on a e(A) Cela résulte du th. 1 du 5 5, no 2.

PROPOSITION2.

-

=

1.

Remarque 5. - On peut avoir e(A) = 1 sans que A soit régulier (p. 104, exerc. 5). En fait, un anneau local noethérien A est régulier si et seulement si  est intègre et si l'on a e(A) = 1 (p. 108, exerc. 24). Exemple. - On a par définition e,,.(M) = rdeq(M)où d = dim,(M). Par conséquent, si A est local régulier, on a e,,,L(A)= rd. Par exemple, si A est un anneau de valuation discrète, on a e,(A) = long(A/q).

Soient q un idéal de A contenu dans le radical de A et e ( q ) l'ensemble des classes des A-modules M de type fini tels que M/qM soit de longueur finie. Pour tout d E N, notons C(q),, la partie de C(q)formée des classes de A-modules de dimension d d. On définit une application eqc :e(q),, -+ Z par e,,,(M) = e q ( M ) si dim(M) = d, e,,,(M) = O sinon. Cette application est additive d'après la prop. 5 du 4 4, no 3 ; on en déduit (A, VIII, 10, no 2) un homomorphisme, encore noté e,,,, du groupe de Grothendieck K(e(q),,) dans Z, qui est nul sur K(e(q),,- ,). En raisonnant comme au 4 1, no 5, on en déduit : PROPOSITION 3. - Soit M un A-module de typefini, de dimension d 2 O. Soit @ l'ensemble des éléments minimaux p de Supp(M) tels que dim(A/p) = d. Soit q un idéal de A, contenu dans le radical de A, et tel que M/qM soit de longueurfinie. On a

COROLLAIRE. - Supposons A semi-local et soit q un idéal de définition de A. a ) On a eq(A)= e,(A/p), où p parcourt l'ensemble des idéaux premiers miniP

maux de A tels que dim(A/p) = dim(A). b ) Supposons A intègre et soit M un A-module de typefini tel que dim,(M) Alors on a e q ( M ) = rg(M).e,(A).

=

dim(A).

2. Multiplicités et extensions plates PROPOSITION 4. - Soit p : A -+ B un homomorphisme local d'anneaux locaux noethériens, et soit N un B-module de typefini, plat sur A, et tel que N @, K , soit un B-module de longueur finie. Si M est un A-module de type fini non nul et q un idéal de A distinct de A et tel que M/qM soit de longueurfinie, alors (M @, N ) / ( q B )( M @, N ) est un B-module de longueur jnie, et l'on a

eqB(M O , N )

=

longB(N O, K,).&M).

Soit L un A-module de longueur finie r. Alors L possède une suite de JordanHolder de longueur r, à quotients isomorphes à K, ; comme N est plat sur A, le B-module L @, N possède une suite de composition de longueur r, a quotients isomorphes à N 8, K,, donc est de longueur r. long, (N 8 , K,). Comme le B-module (M O, N)/(qB)"(M @, N ) est isomorphe à ( M / q n M )O , N pour tout n E N, la proposition résulte de la définition des multiplicités. - On suppose que B est plat sur A et que p(m,) B COROLLAIRE.

=

ntB.Alors

,

Cela s'applique notamment lorsque B est le complété * ou l'hensélisé de A relativement a un idéal distinct de A, * ou un gonflement de A, par exemple un hensélisé strict de A. *

AC VI11 .74

DIMENSION

97

Exemple. - * Soient X une variété algébrique complexe, O,,, l'anneau local de X en un point rationnel x, X"" l'espace analytique associé à X ; notons encore x le point de Xa" correspondant à x, et soit O,,,,, l'anneau local de Xan en x. Alors e(%.,,) = e(Ox,,). *

3. Multiplicités et extensions finies

PROPOSITION 5. - Supposons A semi-local et soit p : A -+ B un homomorphisme d'anneaux faisant de B un A-module de typefini. Soit N un B-module non nul de type fini et soit q un idéal de A contenu dans le radical de A, et tel que N/qN soit de longueur finie. Parmi les idéaux maximuux de B (en nombrejini, d'après IV, § 2, no 5, cor. 3 à la prop. 9), notons m,, ..., m, ceux pour lesquels on a dimBm, (N,,,) = dim,(N). Posons B, = B,, et qi = qBi pour 1 < i < r. Alors on a les égalités

La première é'galité résulte de 2, no 3, th. 1, c ) ;la seconde résulte de la remarque 4 du no 1 (noter que m, appartient à V(qB) pour 1 d i < r puisque p-'(mi) 3 q d'après V, 5 2, no 1, prop. 1). Démontrons la troisième égalité. Soit E un B-module de longueur finie; on a

m parcourant l'ensemble des idéaux maximaux de B ; c'est en effet évident lorsque E est l'un des B/m, et le cas général s'en déduit, puisque E possède une suite de composition dont les quotients sont isomorphes a des B/m. Appliquant cette formule aux B-modules N/qn+'N, on en déduit l'égalité cherchée par définition des multiplicités.

COROLLAIRE. - Si [B/mi :A/p- ' (mi)]

=

1 pour tout i, on a e q ( ~ = ) et,(N).

Lemme 1. - Soit p :A -t B un homomorphisme d'anneaux, et soit p un idéal premier de A. Considérons les deux propriétés suivantes : (i) l'homomorphisme canonique j3 de A, dans A, BAB est bijeclf; (ii) il existe un seul idéal premier r de B au-dessus de p et l'homomorphisme canonique pp de A, dans B, est bijectilf: On a (i) 3 (ii). Si p est minimal, ou bien si B est entier sur A, on a (i) o (ii) '.

Ce lemme reste valable lorsque l'anneau A n'est pas noethérien.

NO 3

AC VIII .75

MULTIPLICITÉS

L'anneau A, BAB s'identifie à l'anneau de fractions S ' B de B défini par la partie multiplicative S = p(A - p) de B. Les idéaux premiers de S I B sont donc les S-'q, où q est un idéal premier de B tel que pP'(q) c p ; si q est un tel idéal, (S-'B), ,, s'identifie à B, (II, § 2, no 5, prop. 11). Si la condition (i) est satisfaite, il existe (V, 9 2, no 1, lemme 1) un unique idéal premier r de B tel que p-'(r) = p. De plus, B, s'identifie à l'anneau de fractions ( S 'B), ,,, donc aussi à (A,),, où s est l'image réciproque de S 1 r par l'isomorphisme p:A, + S-'B; or p-'(S-'r) = (A - p)-'p = pA,, d'où (ii). Inversement, supposons (ii) satisfaite, et soit r l'unique idéal premier de B au-dessus de p. Puisque ( S i B ) , - ,, s'identifie à Br, il suffit de prouver que S p l B est local d'idéal maximal S-Ir, c'est-à-dire que tout idéal premier q de B tel que p-'(q) c p est contenu dans r. Si p est minimal, on a p ' (q) = p, donc q = r. Si B est entier sur A, il existe d'après V, 5 2, no 1, cor. 2 au th. 1, un idéal premier r' de B tel que q c r' et p-'(r') = p ; on a nécessairement r' = r, donc q c r. Lemme 2 . Supposons A semi-local ; soit q un idéal de déjnition de A, et soit p :A + B un homomorphisme d'anneaux faisant de B un A-module de type fini. Supposons que, pour tout idéal premier (nécessairement minimal) p de A tel que dim(Ajp) = dim(A), il existe un unique idéal premier r de B au-dessus de p et que l'homomorphisme canonique p, :Ap + B, soit bijectif Alors on a dim,(B) = dim(A) et et(B) = eq(A). Soit 6, (resp. 6,) l'ensemble des idéaux premiers p de A tels que dim(A/p) = dim(A) (resp. dim, (B/pB)

=

dim, (B)) ;

on a GA f @. Soit p E GA; il existe par hypothèse un idéal premier de B au-dessus de p. On a alors p-' (pB) = p (II, 4 2, no 5, cor. 3 à la prop. Il), et

d'après le th. 1, b) et c) du

5 2, no 3. Par suite, on a

Cela implique 6, c 6, et dim(A) inégalités

=

dimA(B).Inversement, si p

E

G,, on a les

d'où p E GAet 6,= GA.D'après la prop. 3 du no 1 et son corollaire, on a

d'après le lemme 1, on a longAp(A, 0, B)

=

1 pour tout p

E

GA,d'où et(A) = et(B).

PROPOSITION 6. - Supposons A semi-local et réduit ; soit q un idéal de définition de A ; soit A' l'anneau total desfractions de A, et soit B une sous-A-algèbrefinie de A'. Alors B est semi-local et qB erz est un idéal de définition. Supposons que, pour tout idéal maxi-

AC VI11 .76

37

DIMENSION

mal m de B tel que dim(B,) = dim(B), on ait [B/m :A/(A n m ) ] = 1. Alors on a e q ( A ) = e:,(B). D'après IV, 5 2, no 5, cor. 3 de la prop. 9, B est semi-local d'idéal de définition qB. On a eq,(B) = d'après le corollaire à la prop. 5. Comme A' s'identifie à A,

e(~)

n D

où p parcourt l'ensemble des idéaux premiers minimaux de A (IV, # 2, no 5, prop: IO), l'application canonique A, + A, 8, B est bijective pour tout idéal premier minimal p de A. Il résulte alors des lemmes 1 et 2 que e s ( B ) = e t ( A ) , d'où la proposition. Exemple. Soit k un corps de caractéristique # 2 et prenons pour A l'anneau local k [ [ X ,Y ] ] / ( X 2+ Y 2 ) de corps résiduel k. Prenons B = k[[X,T ] ] / ( T 2+ 1) où T = Y / X . Distinguons deux cas : si - 1 est le carré d'un élément i de k, B possède deux idéaux maximaux engendrés respectivement par {X, T + i} et { X , T - i}, ils sont de corps résiduel k, et l'on a emA(A)= emA,(B) = 2. Si - 1 n'est pas un carré dans k, B possède un unique idéal maximal ( X ) de corps résiduel k [ T ] / ( T 2+ 1), et l'on a e k A ( A ) = 2, emAB(B)= 1. -

4. Multiplicités et suites sécantes PROPOSITION 7. - Supposons A local. Soit s un entier >, 1 et, pour 1 < i < s, soient 6, un entier > O, x, un élément de m:, et sa classe dans m2/mAf '. On suppose que (x,, ..., x,) est une suite sécante pour A. Notons x l'idéal de A engendré par ( x , , ..., x,). Alors on a e(A/x) 3 6 , ... 6,.e(A) avec égalité si (5, , ..., 6,) est une suite complètement sécante pour gr(A). Posons B = A/x, et considérons les séries formelles

c,

et Hg) = (1

-

T ) - W H , D'après . la prop. 6 du 9: 4, no 5, on a dans Z [ [ T ] ] l'inégalité ,

(Dl =) 1

-

Tb1

HA,

et il y a égalité lorsque la suite ( C l , ..., 5,) est complètement sécante. Mais

est un polynôme de Z [ T ] tel que R ( l ) = 6, ... 6,. Posons dim(A) = d; on a dim(B) = d - S. D'après le th. 2 du 4, no 3, il existe des éléments R A et R, de Z [ T , T - ' 1 tels que

Donc on a

et l'égalité a lieu si la suite lemme 2 du 9 4, no 1.

( k , , ..., (5,)

est complètement sécante. On conclut par le

Remarque. - On peut montrer réciproquement (cf: p. 103, exerc. 4) que si A est régulier et e(Ajr) = 6, ... 6,, alors la suite (Cl, ..., 5,) est complètement sécante. Exemple. - Prenons pour A un anneau de séries formelles k[[Xl, ..., X,]] sur un corps k ; soient F I , ..., F, des éléments de A, a l'idéal qu'ils engendrent et B = Aja. Notons Pl, ..., P, E k[X1, ..., X,] les formes initiales des séries FI, ..., F, et 6,, ..., 6, leurs degrés respectifs. Si la suite F I , ..., F, est sécante dans A, on a e(B) 3 6, ... 6,; si la suite P l , ..., P, est complètement sécante dans l'anneau k[X,, ..., X,], on a e(B) = 6, ... 6,. Considérons par exemple l'anneau B = k[[X, Y]]/a, où a est engendré par X2 + Y3 et XZ + Y4 ;l'inégalité précédente donne e(B) à 4 ;en remarquant que a est engendré par les éléments X2 + Y3 et Y4 - Y3, pour lesquels la suite des formes initiales est complètement sécante, on obtient e(B) = 6.

5. Eiéments superficiels

Dans ce numéro on note q un idéal de A contenu dans le radical de A, et M un A-module non nul de type fini tel que M/qM soit de longueur finie.

PROPOSITION 8. - Soient 6 > O un entier, x un élément de q6, (5 sa classe dans gr,(A) = q"q6"+' et

1, on a e,(MjxM) = 6eq(M). (ii) Si dimA(M)= 1, on a pour tout entier n > O

où
Posons M" = MIxM; considérons les séries de Hilbert-Samuel HM= HM,, et longAiq(Kerainsi que la série de Poincaré P(T) =

1

n>O

5 4,

no 3, th. 2 et no 4, remarque 2, on a

AC VI11 .78

$7

DIMENSION

avec d = dim,(M), d" = dim,(M1'), R, et R,,, dans Z[T], R,(1) = eq(M), Rw(l) = e,(MU). D'après le lemme 6 du .j 4, no 5, on a dans Z((T)) les inégalités

< (1 - TS)HM) + T V 1 ) . T) = 1 + T + ... + T6-', cela s'écrit

(1 - TS)HM) d HM! Posant R(T)

=

(1

-

Tb)/(l -

(1) (1 - T)-~R(T)R,(T)

< (1 - T)-~-'R,..(T)

aussi

6

D'après le lemme 2 du $ 4, no 1, la première inégalité (1) implique soit d" à d, soit d u = d - 1 et R(1) RM(l)d Rw(l), c'est-à-dire6eq(M) d eq(MU). Celadémontrea), puisque d u < d. Sous l'hypothèse de b), on a P(T) E Z[T'j et P(l) = long,(Ker cp). La seconde inégalité (1) s'écrit

Supposons qu'on ait d > 1 ; alors le lemme 2 du .j 4, no 1 entraîne d" + 1 d'où d" = d - 1 d'après la partie a) de la démonstration; on a alors

< d,

Rhl"(l)< R(1)-RM(l) (loc. cit.), d'où (i). Supposons maintenant d

=

1. D'après loc. cit., on a d u = O et

Par conséquent, M" est de longueur finie égale à e,(M")

(2)

6eq(M) d long,(M/xM)

< 6eq(M) + long,

=

Rw(l) et l'on obtient

(Ker
Soit n B 1 un entier. Remplaçons x par xn dans (2) ; on a donc

Il est immédiat que les sous-modules Ker
(i) o (ii) : c'est clair. (iii) * (i) : soit p un idéal premier associé à E. Si (iii)est satisfaite, on a p = p, + R+ où p, est un idéal premier de R,, et le R-module R/p est isomorphe à R,/p,. D'après IV, 9: 3, no 1, corollaire de la prop. 1, le Ro-module R,/p, est isomorphe à,un sousmodule d'un des E,, donc est de longueur finie. Par conséquent, R/p est de longueur finie. D'après IV, 9: 2, no 5, prop. 7, p est donc maximal. Vu l'arbitraire de p, le Rmodule E est de longueur finie (loc. cit.). (i) * (iii) : soit p un idéal premier associé à E. Alors p est gradué (IV, # 3, no 1, prop. 1) et maximal (IV, # 2, no 5, prop. 7), donc contient R + (9: 6, no 2, lemme 1). PROPOSITION 9. Notons p l , ..., pl ceux des idéaux premiers de l'anneau gradué gr(A) = @ (qn/qn+')qui sont associés au module gradué gr(M) = @(qnM/qnf'M) -

n

n

et ne contiennent pas gr, (A) = q/q2. Soient 6 un entier > O, E, un élément de gr6(A), et

Remarques. - 1) Soit 6 un entier > O. On dit parfois qu'un élément x de A est superficiel d'ordre 6 pour M relativement à q si x E q6, et si, pour tout n assez grand, l'application qnM/qn' M -+ q"+"/qn+'+ l M induite par la multiplication par x est injective. Avec cette terminologie, les éléments superficiels au sens de la déf. 2 sont les éléments sup&ficiels d'ordre 1. 2) Avec les notations de la prop. 9, x est superficiel d'ordre 6 si et seulement si sa classe 5 dans gr,(A) n'appartient à aucun des pi. 3) D'après III, $ 1, no 4, prop. 8, il existe un élément homogène de gr(A) de degré > O qui n'appartient à aucun des pi. Par conséquent, il existe un entier 6 > O et un élément superficiel d'ordre 6 pour M. 4) Supposons A local de corps résiduel k, et considérons l'application surjective canonique h :q + q BAk. Elle est la composée des applications canoniques q + q/q2 et h:q/q2 + q BAk. D'après le lemme de Nakayama, chacun des sous-espaces vectoriels Vi = h(pi n (q/q2)) de q @, k est distinct de q 8, k ; si a E q O, k n'appartient à aucun des Vi, alors h- (a) est formé d'éléments superficiels pour M (prop. 9). Si k est infini, la réunion des Vi est distincte de q O , k et il existe donc des éléments superficiels pour M.

'

'

A C VI11 .80

97

DIMENSION

1. -Soient A un anneau noethérien, q un idéal de A contenu dans le radical de A et M un A-module de typefini tel que M/qM soit de longueurfinie. Soit x, , ..., x, une suite finie d'éléments de q. Posons x = Ax, + ... + Ax, c q. a) On a dim,(M/xM) 3 dim,(M) - m. b) Si dim,(M/xM) = dim,(M) - m, alors e,(M/xM) 3 e,(M). c) Si m < dim,(M), et si pour i = 1, ..., m, l'élément xi de A est superficiel pour M/(x,M + ... + x,-,M) relativement à q, alors on a

THÉORÈME

dim,(M/xM)

=

dim,(M) - m et e, (M/xM)

=

e, (M) .

d) Si m = dimA(M),et si, pour i = 1, ..., m, l'élément x, de A est superficiel pour M/(x,M + ... xi-,M) relativement à q, alors on a

+

e, (M)

=

e,(M)

long(M/xM) <

+ co .

Les parties a), b), et c) résultent pour m = 1 de la prop. 8, et le cas général s'en déduit par récurrence. Supposons les hypothèses de d) satisfaites et posons r' = Ax, + ... Ax,-, et M' = MJx'M de sorte que M/xM s'identifie à M'/xmMf. Alors, d'après c), on a dimA(Mf) = 1 et e, (M) = e, (M'). D'après la prop. 8, M/xM < long(M/rM). Mais, puisque est de longueur finie et l'on a eq(Mf)= eXmA(M1) xkM' = xnM'pour tout n, on a ex_, (M') = e, (M'). On a par ailleurs e, (Mt) 2 e,(M) : cela résulte de b) où l'on remplace m par m - 1, x par x' et q par x. Par conséquent, on a

+

e,(M)

< e,(Mf) = eXmA(M1) = e, (M') = e, (M) .

Puisque x est contenu dans q, cela implique e,(M) et achève la démonstration.

=

e,(M) (no 1, remarque l),

COROLLAIRE. - Supposons A local, à corps résiduel infini, et posons d Il existe une suite x,, ..., x, d'éléments de q tels que, en posant x = Ax, on ait

e, (M) = e,(M)

< long(M/xM) < + co .

Cela résulte aussitôt du théorème et de la remarque 4. Remarque 5. - Dans la situation du corollaire précédent, on a e, (M)

=

e,(M) d long(M/xM)

Let long(M/qM) a long(M/xM) ; les trois cas

=

dim,(M).

+ ... + Ax,,

EXERCICES

AC VIII. 8 1

Exercices

1) Soient X un espace topologique et Y un sous-espace de X. On dit que Y est très dense dans X si pour toute partie fermée F de X, F est l'adhérence de F n Y. a) Pour que Y soit très dense dans X, il faut et il suffit que pour toute partie localement fermée non vide F de X, F n Y soit non vide. b) Si Y est très dense dans X et Z un sous-espace de Y très dense dans X, Z est très dense dans X. Si Y est très dense dans X et F une partie localement fermée de X, Y n F est très dense dans F. c ) Si Y est très dense dans X, on a dim(Y) = dim(X).

2) Soient A un anneau et Specmax(A) l'ensemble des idéaux maximaux de A. Pour que Specmax(A)soit très dense dans Spec(A), il faut et il sufîït que A soit un anneau de Jacobson (V, 3 3, no 4). On a alors dim Specmax(A) = dim(A). 3) Montrer que si A est un anneau de Jacobson, A[[X]] n'est pas un anneau de Jacobson. (On comparera Specmax(A) et Specmax(A[[X]]).)

4) a ) Montrer qu'on peut associer de manière unique à tout ensemble ordonné E un élément de { - or, } u N u { + co }, noté dev(E) (déviation de E), de façon que les propriétés suivantes soient satisfaites : cl) On a dev(E) = - co si et seulement si la relation a < b dans E implique a = b. p) Soit n un entier positif. La déviation de E est < n si et seulement si, pour toute suite infinie décroissante (a,),,, d'éléments de E, on a dev((a,, a,-,)) < n - 1 pour tout k suffisamment grand. b) Pour que l'on ait dev(E) < O, il faut et il suffit que toute suite strictement décroissante d'éléments de E soit stationnaire. On a dev(N) = 0, dev(Z) = 1, dev(Q) = + co. c) Si E et F sont des ensembles ordonnés et f :E + F est une application strictement croissante, on a dev(E) < dev(F). On a dev(E x F) = sup(dev(E), dev(F)). d) Soit S(E) l'ensemble des suites infinies croissantes stationnaires d'éléments de E, ordonné par l'ordre produit. Alors on a dev(S(E)) = dev(E) + 1.

5) Si A est un anneau (non nécessairement commutatif), M un A-module a gauche, on note Kdev(M) la déviation de l'ensemble des sous-modules de M, ordonné par inclusion. On pose Kdev(A) = Kdev(A,). a) Si N est un sous-module d'un A-module M, on a b) Supposons A commutatif. Si p et q sont deux idéaux premiers de A tels que p c q et p # q, on a dev(A/p) > dev(A/q). (Utiliser les idéaux p + Ax, où x est un élément de q - p.) En déduire dim(A) < Kdev(A). c) Supposons A commutatif et noethérien. Démontrer que l'on a dim(A) = Kdev(A) (raisonner par récurrence sur dim(A), en supposant que Kdev(B) < dim(B) pour tout anneau commutatif noethérien B tel que dim(B) < dim(A) ; soit S l'ensemble des s E A qui n'appartiennent a aucun des idéaux premiers p de A tels que dim(A) = dim(A/p); montrer que,

AC VI11 .82

91

DIMENSION

pour tout A-module de type fini M tel que S -'M = O, on a Kdev(M) < dim(A); en utilisant le fait que S-'A est artinien, en déduire que Kdev(A) < dim(A)). Prouver que l'on a dim(M) = Kdev(M) pour tout A-module de type fini M. 6).a) Soient A un anneau (commutatif) noethérien, m un idéal de A contenu dans le radical de A, et gr(A) I'anneau gradué associé à la filtration m-adique de A. Associer a chaque idéal de A un idéal de gr(A), et en déduire que Kdev(A) < Kdev(gr(A)) (cf. exerc. 4, c)). Par conséquent, on a dim(A) < dim(gr(A)) (exerc. 5, c)). b) On suppose désormais que l'on a m = xA, où x appartient au radical de A. Montrer que gr(A) est isomorphe à un quotient de l'algèbre graduée (A/m) [Tl ; montrer que l'ensemble ordonné F des idéaux gradués de (A/m) [Tl est isomorphe à l'ensemble des suites croissantes d'idéaux de A/m; en déduire (exerc. 4, d)) que l'on a dev(F) = Kdev(A/(x)) + 1, puis dim(A) < dim(A/m) + 1. 7) Soit A l'anneau des germes en O de fonctions de classe Cmsur R + . On se propose de montrer que l'anneau A est de dimension infinie. On note C l'algèbre des fonctions de classe Cm sur R,, F l'idéal formé des fonctions nulles au voisinage de O, de sorte que A = C/F. a) Soit (x,),,, une suite strictement décroissante, tendant vers 0, d'éléments de R + , et soit 'U un ultrafiltre sur N plus fin que le filtre des complémentaires des parties finies. Montrer que l'ensemble J, des f G C telles que l'ensemble des n E N tels que j'(x,) = O appartienne à U, est un idéal premier de C. b) On note ~ , ( f ) la fonction x H f(x + x,). Montrer que si J est un idéal premier de C, l'ensemble q(J) des f tels que l'ensemble des n E N avec Tf E J appartienne à 'U est un idéal premier de C. c ) On définit une suite 1, d'idéaux de C par 1, = J,, I n + , = q(1,). Montrer que (I,),,, est une suite strictement décroissante d'idéaux premiers de C contenant F.

8) Soit X un espace topologique. Montrer que l'application x semi-continue supérieurement.

H

dim,(X) de X dans

R est

9) Soient A un anneau, p un idéal premier de A et M un A-module de type fini. Montrer que l'on a : dimAp(M,) dim,,,,(M/pM) < dim,(M) .

+

10) On dit qu'un anneau A est équidimensionnel si toutes les composantes irréductibles de Spec(A) ont la même dimension. Soient A un anneau et n un entier. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) toute chaîne d'idéaux premiers de A est contenue dans une chaîne de longueur n ; b) pout tout idéal maximal m de A, l'anneau A,,, est équidimensionnel, caténaire et de dimension n. 11) Soit (A,, f i j ) un système inductif d'anneaux relatif à un ensemble ordonné filtrant 1, de limite inductive A. Montrer que l'on a dim(A) < 1im.inf dim(Ai) et qu'on a égalité lorsque les homomorphismes fij sont fidèlement plats. Donner un exemple où les homomorphismes Ji,sont plats et où l'on a dim(A) < lim.inf dim(Ai) (prendre 1 = N, A, = Z[n-'1, A = Q). T 12) a ) Soient A un anneau, 1 et J deux idéaux de A. On suppose que pour tout idéal maximal m de A, on a IA,,, = JA ,,,. En déduire que l'on a 1 = J. b) Soit A un anneau tel que, pour tout idéal maximal m de A, l'anneau A,,, soit noethérien et que, pour tout élément f non nul de A, il n'existe qu'un nombre fini d'idéaux maximaux de A contenant f. Alors A est noethérien. (Soit a un idéal de A. On montrera d'abord qu'il existe une famille finie (x,, ..., x,) d'éléments de a telle que les idéaux maximaux de A qui contiennent {x,, ..., x,} contiennent a. On construira alors une famille finie d'éléments y,, ..., y, de a telle que pour tout idéal maximal m de A, f y,, ..., y,) engendre l'idéal aA,,, de A ,,,. On conclura en utilisant a).) c) Soit A un anneau semi-local tel que, pour tout idéal maximal m, l'anneau A,, soit noethérien. Alors A est noethérien.

9l

AC VIII. 83

EXERCICES

,

13) Soient K un corps, (n,),, une suite strictement croissante d'entiers > O ; pour tout entier > O, notons pi l'idéal de l'anneau K[(Xj),,,] engendré par les Xj pour n, + ... + ni < j < n, + ... + ni + ni+ ,et soit S l'ensemble des éléments de K[(Xj)] qui n'appartiennent à aucun des pi. Alors l'anneau S-'K[(Xj)] est noethérien et de dimension infinie (utiliser l'exercice 12 pour montrer que S-'K[(Xj)] est noethérien) '. i

,

14) Soit V un anneau de valuation discrète, et soit n une uniformisante de V. Dans l'anneau V[T], l'idéal m, = (xT - 1) est maximal et de hauteur 1, l'idéal m2 = (x) + (T) est maximal et de hauteur 2. Les corps V [ I / m , et V[T]/m, sont isomorphes au corps des fractions de V et au corps résiduel de V respectivement. On a dim(V[T]) = 2, mais dim(V[Tl/m,) + dim(VIT],,,l)= 1 et dim(gr,11,~V[Tl))= 1.

7i 15) Avec les notations de l'exercice précédent, on suppose que le corps résiduel et le corps des fractions de l'anneau V sont isomorphes (c'est le cas par exemple lorsque V = k[[U]], le corps k étant le corps des fractions d'un anneau de séries formelles à un nombre infini d'indéterminées à coefficients dans un corps). Soit o un isomorphisme de V[TJ/m, sur V[Tl/m2. Notons C le sous-anneau de V[T] = E formé des éléments de E dont les classes modulo ml et m, se correspondent par o. Montrer que C est noethérien et que m,m2 = ml n in, est un idéal maximal de C. Montrer que E est la clôture intégrale de C (noter que l'on a E = C + C.(xT - 1) et que (nT - 1)' + (KT - 1) appartient à C). Soit A l'anneau local Cmlm2. Alors A est intègre et de dimension 2, donc caténaire ; la clôture intégrale B = E @, A de A est un anneau semi-local noethérien possédant exactement deux idéaux maximaux n, et n,, et on a dim(B,,,) = 1, dim(Bl,2)= 2. B 16) On conserve les notations de l'exercice précédent, et on identifie B au quotient de l'anneau de polynômes A[U] par l'idéal premier p engendré par U2 + U - xT(xT - 1). Soit qi l'idéal de A[U] tel que ni = qi/p. Alors ht(q,) = 3, ht(p) = 1 et la chaîne p c q, est saturée. En particulier, A[U] et A[U],, ne sont pas caténaires.

17) a) Soient A un anneau intègre et f E A[T], f # O. Montrer qu'il existe un idéal maximal m de AIT] tel que f $ m (prendre un idéal maximal contenant T.f - 1). b) Soit A un anneau. Montrer que I'on a dim(Specmax(A[T])) 2 dim(A) + 1. (Soit p, c p, ... c p, une chaîne d'idéaux premiers de A. Considérons la chaîne

d'idéaux premiers de A[T] et posons Ui

=

V(pi[T]) n Specmax(A[T]), O


Un+, = V(p,, T) n Specmax(A[T]) .

,

Montrer en utilisant a) que (U,),,,,,, est une suite strictement croissante de parties fermées irréductibles de Specmax (A[T]).) c) Soient k un corps, S la partie de k[X, Y] formée des éléments de la forme 1 + Xg(X, Y), et A = S-'k[X, Y]. Montrer que I'on a dim(Specmax(A)) = 1 et dim(Spec(A)) = 2. Généraliser au cas de plusieurs indéterminées. d) Montrer que pour tout couple d'entiers O < n < rn, il existe un anneau noethérien A tel que dim(Specmax(A)) = n et dim(Specmax(A[T])) = m. e ) Soit A l'anneau noethérien défini dans I'exerc. 13. Montrer que l'on a dim(Specmax(A)) = 1 et dim(Specmax(A[q)) = m.

Cet exemple est dû à M. Nagata, Local Rings, Interscience Publishers, 1960.

DIMENSION

1) Soient V un anneau de valuation discrète, de corps de fractions K et n un entier. Soit A le sous-anneau de l'anneau de polynômes K[X, ,..., X,] formé des polynômes dont le terme constant est dans V. L'homomorphisme canonique de V dans A satisfait la propriété(PM) et i'homomorphisme canonique V/mv -+ A/mvA est un isomorphisme. Par ailleurs o n a dim(A) 2 n 1 et dim(V) = 1. Dès que n 2 1, on a donc dim(A) > dim(V) + dim(A/m,A). Montrer que A n'est pas noethérien. En utilisant des séries formelles, construire un exemple analogue où A est local et non noethérien.

+

2) Soient V un anneau de valuation discrète, de corps de fractions K et de corps résiduel k. Notons A l'anneau K x k et p :V * A I'homomorphisme déduit des homomorphismes canoniques de V dans K et k. L'homomorphisme p est injectif, l'application "p :Spec(A) + Spec(V) est surjective, A est une V-algèbre de type fini et l'on a dim(A) < dim(V). 3) Soient A un anneau intègre de dimension 1, p, c p, c p, trois idéaux premiers distincts non nuls de A[X]. Montrer qu'on a p, n A = { O}, p l = (pl n A).A[X], et que p, est un idéal maximal de A[X].

4) Soient A un anneau local intégralement clos, m, son idéal maximal et K son corps des fractions. Pour tout élément x de K, on note A[x] la sous-A-algèbre de K engendrée par x. Soit x un élément de K* tel que x- ' n'appartienne pas à A. Soient A[X] l'anneau des polynômes en une indéterminée X, à coefficients dans A, et

ax

+ b = O. (Si P(X) =

aiXi est tel que P(x)

=

O, remarquer qu'alors - b,

=

a,x est

entier sur A donc appartikiit à A.) b) L'idéal m,A[x] de A[x] est premier, et il est maximal si et seulement si x appartient à A. 5) Soit A un anneau intégralement clos de corps de fractions K. Étant donnés un idéal premier p de A, et un élément x de K tel que x $ A,, et x- gf A,, l'idéal pA[x] de A[x] est premier ;on a : pA[x] n A = p et l'homomorphisme canonique (A/p)[X] + A[x]/pA[x] est un isomorphisme.

'

6) a) Utilisant les exercices précédents, montrer que si A est un anneau intègre de dimension 1, on a dim(A[X]) = 2 si et seulement si tous les localisés en un idéal premier de la clôture intégrale de A sont des anneaux de valuation. b) Montrer que si l'on a dim(A) = n et dim(A[X]) n + 1, il existe un idéal premier p de A tel que ht(p) = 1 et, ou bien dim(A,[X]) > 2, ou bien dim((A/p)[X]) > dim(A/p) + 1. c) En déduire que si A est prüférien (VII, 9: 2 exerc. 12), on a dim(A[X,, ..., X,]) = dim(A) + n, pour tout entier n 2 O.

1T 7) Soit B un anneau intégralement clos, de corps des fractions L. O n pose d = dim(B) et t = dim(B[X]). Soit L' une extension non triviale de L dans laquelle L est algébriquement fermé et soit V un anneau de valuation discrète (qui n'est pas un corps) ayant pour corps résiduel L'. O n notera K le corps des fractions de V et A l'ensemble des éléments de V dont l'image dans L' par i'homomorphisme canonique V + L' appartient à B. L'anneau A est intégralement clos de corps des fractions K. Notons p le noyau de i'homomorphisme surjectif A + B. Montrer que tout idéal premier non nul de A contient p d'où dim(A) = dim(B) + 1.Considérant un élément x de V dont l'image: dans L' n'appartient pas à L, montrer que l'anneau de fractions A, n'est pas un anneau de valuation, et que pA,[x] n'est pas minimal parmi les idéaux premiers non nuls de A,[x]. En utilisant l'exerc. 6, en déduire que l'on a dim(A[x]) 2 t + 2. Conclure que l'on a dim(A[x]) = t + 2 par un argument direct. Montrer enfin que pour tout couple (d, t) d'entiers avec d + 1 < t < 2d + 1, il existe un anneau intègre A de dimension d tel que dim(A[X]) = t.

92

AC VI11 .85

EXERCICES

8) Montrer que l'anneau de polynômes A[X] est un A-module fidèlement plat, que pour tout idéal maximal m de A on a dim(A[X]/mA[X]) = 1 et déduire de l'exercice précédent l'existence d'homomorphismes d'anneaux p :A -, B satisfaisant la condition (PM) et tels que dim(B) > dim(A) inf dim(B/mB) (ou S est l'ensemble des idéaux maximaux de A).

+

1116s

9) Soient A un anneau intègre et B un anneau intègre contenant A et entier sur A. Soit p un idéal premier de A tel que la clôture intégrale de l'anneau de fractions A,, soit un anneau local. Pour tout idéal premier q de B au-dessus de p, on a ht(q) = ht(p) (utiliser V, 5 2, no 1, prop. 2).

11 10) a) Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions et m un entier positif. Soient t , , ..., t, des éléments de K et (p:A[X,, ..., X,] + A[t,, ..., t,] l'unique homomorphisme de A-algèbres tel que
12) a) Soient A et K comme ci-dessus, B un anneau intègre contenant A et entier sur A, L le corps de fractions de B. Soit k > O un entier. Si, pour tout m-uple (t, , ..., t,) d'éléments de L, on a dim(A[t,, ..., t,]) < k, pour tout m-uple d'éléments u , , ..., u, de L, on a dim(B[u, , ..., u,]) 2 k. b) Soit p un idéal premier de A. Montrer que si, pour tous les m-uples (t, , ..., t,) d'éléments de K, on a dim(A[t,, ..., t,]) < k, alors on a pour tous les m-uples (s,, ..., s,) d'éléments du corps des fractions de A/p, l'inégalité dim((A/p)[s,, ..., s,]) < k - ht(p).

11 13) Soient A un anneau intègre et K son corps des fractions. Pour tout entier k propriétés suivantes sont équivalentes : (i) Tout sous-anneau B de K contenant A est de dimension < k. (ii) Tout anneau de valuation V de K contenant A est de dimension d k. (iii) Pour tout choix de k éléments t, , ..., t, de K, on a dim(A[t, ,..., t,J) d k. (iv) O n a dim(A[X,, ..., XJ) < k + m pour tout entier m > 0.

> O, les

14) Soient A un anneau intègre, de corps des fractions K, et m E N. Montrer que l'on a dim(A[X,, ..., X,])

=

m

+ sup {dim(A[t,, ..., t,])lti

6 K,

1


m) .

(On utilisera l'exerc. 10). Plus généralement si F est un corps, extension de K, montrer que l'on a

15) Avec les notations des exercices précédents, montrer que si pour un certain entier k 2 O, on a dim(A[X,, ..., X,]) > k m 1 pour un entier m on a l'inégalité dim(A[X,, ..., X,]) > 2k + 1.

+ +

T 16) Soient A un anneau intègre et K son corps des fractions. O n appelle dimension valuative de A et l'on note dimv(A) le nombre réel sup dim(V), où V parcourt l'ensemble des anneaux AcvcK de valuation de K contenant A. a) Montrer que l'on a dim(A) < dimv(A) (exerc. 11). b) Si A est prüférien (VII, 4 2, exerc. 12), montrer que l'on a dim(A) = dimv(A). c ) Montrer que, pour tout m E N, on a

dim,(A[X,, ..., X,])

=

dim,(A)

+ m.

(On remarquera qu'un anneau de valuation est prüférien et l'on utilisera b) et l'exerc. 6, p. 84.)

AC VI11 .86

93

DIMENSION

d ) Montrer que si i'on a dimv(A) = s < co,on a pour tout entier rn 2 s

dim(A[X,, ..., X,]) = rn

-

1 l'égalité

+s

e) Soit s E N. Montrer que i'on a dimv(A) = s si et seulement si dim(A[X,, ..., X,]) (utiliser d ) et les exerc. 13 et 14). En déduire que, pour tout anneau A intègre et noethérien, on a dim(A) = dim,(A).

=

2s

17) Soit A un anneau intègre. Posons n,(A) = dim(A[X,, ..., XJ) pour tout entier k 2 0. Soit 3 i'ensemble des suites d'entiers (ni);. telles qu'il existe un anneau intègre A avec ni = ni(A) pour tout entier i 2 0. a ) Démontrer les inégalités

,

b) Montrer que la seule suite d'entiers commençant par 1, 2 et qui appartient à 3 est la suite 1. (Soit A tel que n,(A) = 1, n,(A) = 2. D'après I'exerc. 6, p. 84, la clôture intégrale n, = 1 de A est prüférienne. Utiliser i'exerc. 6, c), p. 84 pour conclure.) c) Démontrer les inégalités

+

En déduire que si l'on a n,(A) = O, alors on a ni(A) = i pour tout i E N. ( 1 ) 'Montrer que la suite des différences ni+,(A) - ni(A) est stationnaire. e ) On utilise les notations de l'exerc. 7, p. 84. Soit 6 le degré de transcendance de L' sur L. Alors : (i) Si 6 = O, on a n,(A) = n,(B) + 1 pour tout i. (ii) Si 1 < 6 < co, on a ni(A) = ni(B) + i + 1 pour O < i < 6 et ni(A) = ni(B) + 6 + 1 pour i 2 6. (iii) Si 6 = co,on a n,(A) = ni(B) + i + 1 pour tout i. (Pour une caractérisation des éléments de 9, on pourra consulter T. Parker, Amer. J. Math., 97 (1975), p. 308-311.)

* 18) Notons A (resp. B) l'algèbre C {z, ,z,,

z,} (resp. C {u, v)) des séries convergentes en les variables z, ,z, ,z, (resp. u, v) et

1) Soient A un anneau, U une partie ouverte de Spec(A). a) Montrer que l'application p H V(p) n U induit une bijection de U sur l'ensemble des parties fermées irréductibles de U. b) Montrer que dim(U) est la borne supérieure de l'ensemble des longueurs des chaînes d'idéaux premiers de A appartenant à U. c) Soit @ l'ensemble des idéaux premiers minimaux de A appartenant à U. Montrer que l'on a dim(U)

=

sup dim(V(p) n U) {l CO

d ) O n suppose désormais A local et U # Spec(A). Si A est noethérien, établir l'égalité dim(U) = sup(dim(A/p) - 1). Pe@

e ) Soit h un entier tel que O < h < dim(A). Soit Eh i'ensemble des idéaux premiers p

E U tels que ht(p) = h et dim(A/p) = dim(A) - h. Si A est noethérien, montrer que Eh est infini. Montrer que Eh peut être fini lorsque A n'est pas noethérien (prendre pour A un anneau de valuation de hauteur 2, pour U l'ouvert Spec(A) - { m, 1, et choisir h = 1).

94

AC VI11 .87

EXERCICES

2) Soit A un anneau noethérien intègre. On suppose que A n'est pas un corps et que le corps des fractions de A est une A-algèbre de type fini. Alors A est semi-local et de dimension 1. (Montrer qu'il existe un élément nori nul et non inversible f de A tel que A[f - '1 soit un corps, et se ramener à démontrer que dim(A/(f)) = O ; s'il en était autrement, A/(f ) posséderait un idéal premier de hauteur 1 dont l'image réciproque p dans A serait un idéal premier de hauteur 2 ; mais l'anneau local A, de dimension 2 ne pourrait avoir qu'un nombre fini d'idéaux premiers, contrairement à la prop. 6 du $3, no 3.) 3) a) Soient A un anneau local noethérien, p un idéal premier de A. Démontrer l'inégalité dimp(A) ht(p) + dim(A/p) - 1. b) Prouver qu'il existe un anneau local noethérien R de dimension 3 ayant un idéal premier q tel que ht(q) = 1, dim(R/q) = 1. (Utiliser i'exerc. 16, p. 83, en prenant R = A[U],, et q = pR.) Soit f E mR - q ; montrer que l'on a dim(R,) = 2 (utiliser I'exerc. 1, p. 86); on a donc dim,(R) = 2 tandis que ht(q) + dim(R/q) - 1 = 1. 4) Soient k un corps, n un entier > 1. Pour chaque entier r E (O, n), soit M, le sous-espace vectoriel de k(Xl, ..., X,) engendré par les monômes X",' .....XT avec cc,, ..., a, dans Z et a, > O. Posons a, = M, + ... + Mn, pour O < r < n + 1. Alors a, est un sous-anneau de k(X,, ..., X,), et les a, sont des idéaux premiers de a,. Posons A = (a,),, et p, = (a,),, pour 1 < r < n + 1. Montrer que les seuls idéaux premiers de l'anneau local A sont les pl, que I'on a ht(p,) = n + 1 - r et dim(A) = n. De plus p, est principal.

5) Soit p :A -+ B un homomorphisme local d'anneaux locaux noethériens complets, tel que [K(B):K(A)] < m. Posons n = dim(B/m,B); montrer qu'il existe un A-homomorphisme local u:A[[T,, ..., TA] -+ B qui fasse de B une A[[Tl, ..., TJ]-algèbre finie. (Relever dans B une suite sécante maximale de B/m,B et utiliser III, $ 3, exerc. 18.) 6) Soient k un corps et A l'anneau des séries formelles k[[Xl , X,]]. Considérons un idéal n de A contenant une puissance de l'idéal maximal m de A, et l'idéal1 engendré par (XI - X,).n, M le module A/I. Montrer que la suite (X,) est sécante pour M sans être complètement sécante pour M. 7) Soient A un anneau local, intègre, noethérien, non caténaire, de dimension 3 (exerc. 16, p. 83), p c A un idéal premier tel que ht(p) = 1, dim(A/p) = 1. Montrer qu'il existe un élément x E p tel que p soit minimal parmi les idéaux premiers contenant Ax. En déduire que V(x) admet une composante irréductible de dimension 1.

1) Soient r un groupe commutatif et H un anneau gradué de t y p e r (A, II, p. 164). Pour y E r , on note H, le composant homogène de degré y de H. O n suppose que H est engendré par Ho et une famille finie(x,),, d'éléments homogènes de degré #O. On note y, le degré de x,. Pour tout groupe commutatif K, on note K[[r]] le groupe produit Kr et on désigne par m Y Tl'élément (m.,) de KT. On note K[T] le sous-groupe K(') de K[[T]]. On munit K[[r]]

1

Y E ~

de sa structure naturelle de module sur l'algèbre Z[r] du groupe r. Soient enfin C un ensemble héréditaire de classes de Ho-modules (A, VIII, $ 10, no 1, déf. 1) et K(C) le groupe de Grothendieck correspondant (loc. cit., no 2). Pour tout Ho-module E de type C, on note [El sa classe dans K(C). a) Supposons Ho noethérien, et soit M un H-module gradué de type fini tel que pour tout y E r, le Ho-module M, soit de type (3. Montrer que l'élément (1 - TYR) [My]TYde

n

ZEF

K(e)[[U] appartient à K(C)[T].

1

AC VI11 .88

94

DIMENSION

b) Supposons maintenant que l'on ait r = ZS, H, = O et M, = O pour y $ Ns,et que les y, soient des vecteurs de base de Zs ;notant a, le nombre de y, qui sont égaux au k-ième vecteur de base, prouver que l'on a

où T = (Tl, ..., T,), et (m,) est une famille à support fini. En déduire l'existence d'éléments c,, pour b E ZS,de K(Q, nuls sauf pour un nombre fini de b et tels que, pour y E NSassez grand, on ait [My] =

x

c,B,(y)

la somme étant prise sur les éléments b de Zs vérifiant b, < a, pour 1 6 i

< S.

2) Soit f : Z + Z une application. Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes : a) Il existe no, nl dans Z et P dans Q[T] tels que f(n) = O pour n 6 n, et f(n) = P(n) pour n 2 no.

b) Il existe une famille à support fini (a,),,, d'éléments de Z telle que f (n)

=

tout n E Z. c) Il existe r E Z et Q E Z[T, T -

'1

tels que

1 f (n) T" = (1

-

rn t il

1 ai itZ

pour

-

-

T)'Q(T).

nez

On dit alors que f est polynomiale à l'infini. Généraliser au cas des applications de Z dans un Z-module quelconque. 3) a) Donner un exemple d'algèbre graduée H de type Z, sur un corps K, engendrée par un nombre fini d'éléments homogènes de degrés > O, et telle que i'application n +-+ dim,H, ne soit pas polynomiale à l'infini. b ) Avec les notations et hypothèses du th. 1 du 3 4, no 2, soit D le ppcm des di. Montrer que H est un module de type fini sur l'anneau Ho[(Xyldt)ieJ. En déduire que pour tout no EN, la série

P (Tl où 1 l ~ n g ~ ~ ( M Tt' , , est ~ +de~ la ~ )forme no(1 T y

nez

-

c = Card(I) et Pno(T)E Q[T, T l ] . En déduire que l'application n H l~ng,~(M,,~+,,,) est polynomiale à l'infini. 4) Plaçons-nous dans la situation du th. 1 du 3 4 no 2, et notons (2 l'ensemble des classes de H-modules gradués de type fini à composantes de longueur finie sur Ho, et K(e) le groupe de Grothendieck correspondant. a) Pour tout H-module M comme ci-dessus, montrer qu'il existe un Ho-module gradué de longueur finie Mo et un homomorphisme gradué surjectif p :H Q,, Mo -+ M. En déduire que tout H-module M comme ci-dessus admet une résolution graduée (A, X, p. 56) par des Hmodules : ... -+ H QHoMl -+ H QHoMo -+ M -+ O où pour tout i, Mi est un Ho-module gradué de longueur finie. b) En utilisant une résolution de Koszul du H-module Ho (A, X, p. 152), montrer que pour tout H-module gradué M, Tory(Ho, M) est muni canoniquement d'une graduation, que TorY(Ho, M) = O pour j > Card(I) et que torr(^,, P QHoH) est un Ho-module de longueur finie pour tout j lorsque P est un Ho-module de longueur finie.

44

AC VI11 .89

EXERCICES

c ) Montrer que pour tout j, TorY(H,, M) est un Ho-module gradué de longueur finie lorsque M est de type C. (On pourra le montrer par récurrence croissante sur j. Si j = O utiliser a) et b). Dans le cas général, utiliser une suite exacte O + N + H QHoMo + M + 0, l'hypothèse de récurrence et b).) d ) Pour tout H-module M de type (2, on pose

obtenant ainsi un élément de K(C,)[T, T-'1 ou K(C,) est le groupe de Grothendieck des HO-modules de longueur finie. Montrer que M H e(M) est additif sur les suites exactes de H-modules gradués, et que par suite M i-t e(M) détermine un homomorphisme de groupes Pour tout Ho-module gradué P de longueur finie, on pose Montrer que P H r(P) est additif sur les suites exactes et que par suite P homomorphisme entre les groupes de Grothendieck correspondants

i-t

r(P) détermine un

Montrer que e et r sont des isomorphismes de groupes inverses l'un de l'autre. (On montrera d'abord que e o r est l'identité. Pour démontrer l'assertion, il suffit donc de montrer que z est surjectif, c'est-à-dire de montrer que pour tout H-module M de type C, [Ml appartient à l'image de z. On remarquera que M admet une filtration finie dont les quotients successifs sont annulés par un idéal maximal de Ho et qu'un H-module M de type (3, annulé par un idéal maximal m de Ho, admet une résolution graduée finie par des H/mH-modules libres de type fini (A, X, P 561.1 e) Soit M un H-module de type C. Montrer qu'on a dans K(C) [Ml

=

1 (-

1?[H OHo TO~:(H,,, M)]

i30

f ) Soient T un groupe commutatif et @ :K(C) + r un homomorphisme de groupes. Pour tout Ho-module de longueur finie P, posons

$(pl

=

W H OH,, PI).

Montrer que pour tout H-module M de type (2, on a @([Ml)=

1 ( - 1)J$(TorjH(Ho, Ml) . j30

En particulier, avec les notations de la remarque 4 du 4 4, no 2 montrer que l'on a

et par suite que r

cM =

j= O

( - l)ilongHo(Tor~(Ho, M)) .

g ) Donner à l'aide des résultats précédents une nouvelle démonstration du th. 1 du 9 4 no 1.

h ) Soit T un groupe commutatif. Décrire toutes les applications additives M H @(M)sur les H-modules de type C à valeurs dans T,en termes d'applications de Specmax(H,) x Z dans T. i ) On suppose que Ho est un corps. Soit A un anneau. Décrire toutes les applications additives M H C(M) à valeurs dans A telles que C(M).C(N) = ( - lYC(Tor:(M, N)) pour tout

1

couple M et N de H-modules gradués de type fini.

J

AC VI11 .90

94

DIMENSION

5) a) Soit H un anneau gradué de type N, tel que HOsoit un corps et H une HO-algèbrede type fini. Soient M et N deux H-modules gradués de type fini. Posons Ti = Tor"M, N). Démontrer l'égalité

b) Soient A un anneau local noethérien, M et N deux A-modules. Montrer que si, pour m E Z et i 2 1, ~orf'-(~)(gr,(M), gr,(N)) est nul, alors on a Tor;(M, N) = O pour i > 1 et - HM,~-HN,~ pour m E Z. H ~ ~ n ~, r n HA.,,, 6) Soit H un anneau gradué de type Z, tel que H, = { O ) pour n < 0, que HOsoit un anneau local artinien et que H soit une HO-algèbrede type fini. Soit L. un complexe borné de H-modules libres gradués de type fini (L$ A, X, p. 56). Ainsi pour chaque i, L; est isomorphe à un H-module ri

de la forme @ H(- qj), avec nijE Z, où H(- k) est le H-module gradué tel que H(- k),, = H,,_,. i= 1

Pour tout H-module gradué M de type fini, notons G, existe un entier n, > O satisfaisant à G,(n)

=

E

1longHo(Mi), pour

Q[T] l'unique polynôme tel qu'il n 2 n, .

i
Démontrer la relation

où p,

=

1(-

i2 O

nij, les nij étant les degrés associés à Li, et où Hi(L .) désigne l'homo-

1)' j=i

logie du complexe L.. Ti 7) a) Soient 1 un entier > 1 et n E N. Montrer qu'il existe une unique suite décroissante (n) > ... > ~ , , ~ ( > n )O telle que d'entiers : a,,,(n) 2 a

,,,-,

Montrer que I'on a n < m si et seulement si (a,,,(n),a (a,,,(m),..., a,,, (m)) pour l'ordre lexicographique. On pose

,,,-,(n), ..., a,,,(n)) est

et pour 1 2 2, on note d;"(n)le plus petit entier p tel que a, - ,(p) 2 n. Calculer a,, ,&,(n)), a,_l,i(a;"(n))en fonction des ~ , , ~ ( n ) . b) On dit qu'une application H :N + N est une fonction de Macaulay si H(0) = 1, H(1 + 1) < a,(H(l)) pour tout

12 1.

Montrer qu'il revient au même de dire que H(0) = 1 , alH(1) < H(l - 1) pour tout

1

>2

inférieur à

94

AC VIII. 91

EXERCICES

Soit H :N + N une fonction de Macaulay. Montrer que deux cas seulement sont possibles a ) Il existe r E N tel que H(j) = O pour tout j r. p) 11existe r E N et une suite finie d'entiers b, 2 bl 2 ... 2 b, 2 O

tels que pour tout j 2 r, on ait

Montrer que r et la suite b, 2 b, 2 ... 2 b, 2 O sont uniquement déterminés par la fonction H. On pose d(H) = O dans le cas a ) et d(H) = b, + 1 dans le cas P) de sorte que d(H) - 1 est le jd(H)-1

le terme de plus haut degré du (d(H) - 1) ! polynôme (*). Montrer que a(H) est un entier 0. Montrer qu'un polynôme en une variable j à coefficients dans Q, qui prend des valeurs entières sur les entiers et qui est strictement positif pour j assez grand, n'est pas nécessairement de la forme (*). c) Soit H : N -+N une fonction de Macaulay. On pose degré du polynôme (*) en la variable j. Soit a(H)

>

de sorte que S,(T) d'entiers

E

Z[[T]]. Montrer que SH(T)E Z[T] ou bien qu'il existe une suite finie c, 2 c , 2 ... 2 c, > O

uniquement déterminée par H, et un polynôme P E Z[T] tels qu'on ait

Montrer que c,

=

d(H) et que a(H) est le nombre d'entiers ci tels que ci r

La fraction rationnelle

=

d(H).

-T"- est appelée le développement asymptotique de H.

(1 - T P Soient A,, ..., A, des entiers, avec A, # O, tels que la fraction rationnelle ,,=O

An - - SH(T) C(1 - T)"

.=i

,,,,

détermine uniquement et est uniquement soit un polynôme. Montrer que la suite (A,), déterminée par le développement asymptotique de H. En particulier on a d = d(H), A, = a(H). Examiner le cas d(H) = 2 plus en détail. d) Soit H : N + N une fonction de Macaulay. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) ûTH(1) = H(I - 1) pour tout 1 2 2 , (ii) H est la plus petite des fonctions de Macaulay qui possèdent le même développement asymptotique que H. De telles fonctions de Macaulay sont dites extrémales. Soit c, 2 cl 2 ... 2 c, > O une suite d'entiers. Montrer qu'il existe une et une seule fonction de Macaulay extrémale ayant pour T"

développement asyn~ptotique1--L-- . Montrer que, si H est une fonction de Macaulay n = , (1 - T F extrémale, on a H(l) = d(H) ou bien H ( l ) = d(H) 1. En déduire que pour toute fonction de Macaulay H, on a H(l) 2 d(H). e ) Soit H :N + N une fonction de Macaulay. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : 1 (i) on a S,(T) = (1 - T)W" '

+

BOURBAKI. - Algèbre commutative. - 4

DIMENSION

(ii) H(1) = d(H), 1) pour tout 1 2 1. (iii) a,H(l) = H(l En particulier, toute fonction telle que H(l)

+

=

d(H) est extrémale.

8) Soit E un ensemble. On pose &(E) = N(E)et on note multiplicativement la composition dans .M,(E). Un idéal de .M(E) est une partie 1 de .M(E) telle que I..l)t(E) c 1. Un escalier de &(E) est le complémentaire d'un idéal. On note d:A(E) + N l'unique homomorphisme de monoïdes tel que d(x) = 1, pour tout x E E. Soit A c .M,(E). Pour tout 1 E N, on note A, l'ensemble A n d-'(1). On note de plus 6A l'ensemble des m E &(E) tels que, pour tout élément x de E qui divise m, on ait m/x E A et dA l'ensemble des m tels qu'il existe un x E E avec mx E A. a) Montrer que pour toute partie A de A(E), on a d6A c A et A c 6dA ; si A et B sont deux parties de &(E), les relations dA c B et A c 6B sont équivalentes. Montrer que les trois propriétés suivantes d'une partie A de &(E) sont équivalentes : (i) A est un escalier ; (ii) A 3 dA ; (iii) 6A 2 A. b) Soit F une partie de E et identifions A ( F ) à son image canonique dans .k(E). Montrer qu'une partie de &(F) est un escalier de A ( F ) si et seulement si elle est un escalier de A(E). Montrer que, pour un escalier A de &(E), les conditions suivantes sont équivalentes : (i) A, est fini pour tout 1E N ; (ii) A, est fini ; (iii) il existe une partie finie F de E telle que A c A(F). Un tel escalier est dit de type fini. c) On suppose dorénavant que E = N et on pose A ( E ) = A . Soit k un corps. On note R l'algèbre graduée K(") = K[(X,),,]. On identifie A à l'ensemble des monômes dans K[(Xi)i,N] et, pour toute partie A de A , on note k(A) le sous-espace vectoriel de R engendré par A. Soit 1 un idéal de ,M et A l'escalier complémentaire. Alors k(1) est un idéal de R et k(A) est un sousespace supplémentaire de k(1). Soit J c R un idéal gradué de R. Montrer qu'il existe un escalier A c A tel que k(A) soit un supplémentaire de J. (Mettre sur A l'ordre lexicographique inverse pour lequel on a X;' ... XF < Xtl ... X? s'il existe O < p < n tel que aj = bj pour j > p, et a, < b,. Définir par récurrence ml, ..., m,, ... dans A de la manière suivante : pour tout p, m, est le plus petit monôme de .M, linéairement indépendant de ml, ..., m modulo J. Soit A l'ensemble des mi. Montrer que A est un escalier.) Montrer qu'un tel escaii;est de type fini si et seulement si l'algèbre R/J est de type fini sur k. T 9) On utilise les notations de l'exercice précédent. On met sur & l'ordre lexicographique. Soit 1E N. Une partie A de A, est dite initiale si pour tout rn E A, l'ensemble

est contenu dans A. a ) Soient 1 E N (resp. 1 E N - {O)) et A c A, une partie initiale. Montrer que 6A (resp. dA) est une partie initiale de A,,, (resp. Al-,). Supposons que A possède un plus grand élément m = Xy ... XF. Déterminer le plus grand élément de 6A (resp. dA). b) Soient 1E N - {O) et A c A, une partie initiale finie non vide. Soit X la plus grande variable telle que [Xf,,] c A. Montrer que tout m dans A - [Xi,] est égalal 1 ou divisible par XaI+, et que A' = {m E A,- lmX,,+ E A - [Xf, 1) est une partie initiale de A,-,. Déduire de ce qui précède une expression de ~ a r d ( [ ~...+X?]). c ) Déduire de ce qui précède que, pour tout 1E N - {O) et toute partie finie initiale A de A , , on a Card(6A) = a,(Card(A)), où 8, a été défini dans l'exerc. 7. Calculer'de manière analogue Card(dA). d ) Pour tout 1 E N et tout n E N, posons

et notons m, le n-ième monôme de Al pour l'ordre lexicographique (on posera m,

=

1).

94

AC VI11 .93

EXERCICES

Pour toute partie finie A de A , , notons CA la partie initiale de A, telle que Card(A) = Card(CA). Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes : (MC1) pour tout 1 E N et tout A c .A,, on a C6A c 6CA; (MC2) pour tout 1 E N et tout A c A , , on a dCA c CdA ; (MC3) pour tout 1 E N et tout n E N , on a Card(d[m,]) = p(n). 10) On utilise les notations des deux exercices précédents. Soient 1 E N et A c A,. Pour tout couple (i, d) on pose A(,,,,

=

{ m E Alm est divisible par Xf et non divisible par Xf

et on note C(,,,,A l'ensemble des I Card(A(,,,,) premiers éléments de

+

'}

(pour I'ordre lexi-

cographique). On pose CiA = U C(,,,,A. d= 1

a) Pour tout m E AI, on note n(m) le prédécesseur dans A, de m pour I'ordre lexicographique inverse, lorsqu'il existe (i.e. m # Xi). Soient i un entier tel que 1 < i et ai un entier strictement

positif. Montrer que I'on a n(Xf' ... XP) n(X<;'Xq'... Xp)

Xi= X"Xq'-'

=

... X P

... xp .

6 ) Soient A c A, et p 2 4 tels que I'on ait A c [Xi] (i.e. tel que les monômes appartenant à A ne fassent intervenir que les variables Xj, 1 < j < p). On suppose que pour tout entier i, tel que 1 < i < p, on a A = CiA. Montrer que A = CA (notations de i'exerc. 9, d)). I

c ) Soit A

c

A, tel que A c [Xi] et que A = CiA pour i

=

1, 2, 3. Posons A

=

u BkXk,

k=O

avec Bk c [Xk-'] et b(k) = Card(Bk).Montrer que Bk est une partie initiale de A,-,, qu'on a O $ b(0) $ 1 1, b(k 1) < b(k) si b(k) # O, et que k H b(k) est décroissante. Examiner la réciproque de cette assertion. Soit p le nombre des entiers k tels que b(k) = 1 1 - k. Montrer que Card(dA) = (Card(A)) - p.

+

+

+

11) On se propose de démontrer les assertions MCl, MC2, MC3 de I'exerc. 9, d) (théorème de Macaulay). Soient 1 E N, A c A!, et p le plus petit entier tel que A c [Xi]. Nous allons démontrer MC2 par récurrence sur p. a) Démontrer le théorème pour p = 1 et p = 2. b) Utilisant l'hypothèse de récurrence, montrer que pour tout i $ p, dC,A c C,dA (notations de I'exerc. 8). c) On pose A' = A, AJfl = C,AJ où 1 = j mod. p et 1 < i < p. Montrer que pour J assez grand on a AJ" = AJ. (Pour tout a E A,, noter n(a) E N le rang de a pour i'ordre lexicon(a). Montrer que n(AJ+') < n(AJ) et que n(AJ+') = n(AJ) graphique et poser n(A) = asA

si et seulement si AJ+' = Al.) d) Démontrer le théorème dans le cas général. (Une partie A c [Xa] c A, est dite minimale si Card(dA) $ Card(dA') pour les parties A' c [Xa] telles que Card(A') = Card(A). 11 s'agit de montrer que si A est minimale, CA est minimale. Soit A minimale. Utilisant b), montrer que C,A est minimale pour tout i $ p. En déduire, en utilisant les notations de c), que AJ est minimale pour tout j. En déduire d'après c) qu'il existe B minimale telle que Card(B) = Card(A) et CiB = B pour 1 $ i < p. Dans le cas p = 3, utiliser I'exerc. 10, c) pour conclure. Dans le cas p 2 4, utiliser I'exerc. 10, b) pour en déduire que B = CA '.)

'

Pour des généralisations et des compléments sur cet exercice, on pourra consulter G. F. Clements et B. Lindstrom, A Generalization of a Combinatorial Theorem of Macaulay, J. of Combinatorial Theory 7 (1969), p. 230-238.

AC V111.94

§5

DIMENSION

12) Soient H : N -, N une application et k un corps. On se propose de démontrer l'équivalence des propriétés suivantes : (i) H est une fonction de Macaulay (p. 90, exerc. 7). (ii) Il existe un escalier (p. 92, exerc. 8) de type fini A c A tel que pour tout 1 E N, on ait H(1) = Card(A,). (iii) Il existe une k-algèbre graduée A, de type N, engendrée par un nombre fini de ses éléments de degré 1, telle que pour tout 1, on ait H(1) = dim,A,. a ) Pour démontrer (ii) 9 (iii), on utilisera I'exerc. 8, c). b ) Démontrons (i) * (ii). Soit H une fonction de Macaulay. Pour tout 1, soit A, c .M,, la partie initiale telle que Card(A,) = H(1) et posons A = U A,. Pour montrer que A est un escalier, on 1

utilisera I'exerc. 9, c). c ) Démontrons (ii) (i). Soit A un escalier. Pour montrer que H :1H Card(A,) est une fonction de Macaulay, on utilisera le théorème de Macaulay (MC1) (exerc. 11) et l'exerc. 9, c)

'.

1) Soient A un anneau, S une partie multiplicative de A. Montrer que l'on a dh(S- 'A) < dh(A) (A, X, p. 138, déf. 2). (Prendre des résolutions des S-'A-modules par des A-modules projectifs et localiser.) 2) Soient A un anneau noethérien et B une A-algèbre fidèlement plate. Alors on a dh(A) < dh(B).

a 3) Soit A un anneau local noethérien. On se propose de montrer que A est régulier si et seulement si dh(A) est fini. a ) Slipposons dh(A) fini. Pour montrer que A est régulier, utiliser A, X, p. 208, exerc. 13. b) Supposons A régulier. Soit x une famille complètement sécants engendrant m,. Alors, le complexe de Koszul correspondant à x est une résolution finie de A/m, par des A-modules libres. Appliquer alors A, X, p. 203, exerc. 16. 4) Soit A un anneau local noethérien régulier. Alors on a dim(A) = dh(A). (Pour montrer que I'on a dh(A) < dim(A), utiliser le complexe de Koszul associé à un système de coordonnées. Déterminer ensuite les groupes E x t i ( ~ , , K,).) 5) Soient A un anneau local noethérien régulier, p un idéal premier de A. Alors A, est régulier (utiliser l'exerc. 1 et I'exerc. 3).

6) On dit qu'un anneau noethérien A est régulier si pour tout idéal premier p de A, l'anneau local Ap est régulier. a ) Soit A un anneau noethérien. Alors A est régulier si et seulement si A,,, est régulier pour tout idéal maximal m de A (utiliser I'exerc. 5). b) Soit A un anneau noethérien. Montrer que A est régulier de dimension finie si et seulement si dh(A) est fini (utiliser I'exerc. 4). c) Montrer que I'anneau décrit dans l'exerc. 13, p. 83 est régulier de dimension infinie. d) Soient A un anneau noethérien régulier, S une partie multiplicative. Montrer que S-'A est régulier. e ) Soit A un anneau noethérien régulier. Montrer que A[X] est régulier. (Se ramener en localisant au cas ou dh(A) est fini. Utiliser A, X, p. 143, th. l, et b).)

'

Pour des compléments sur cet exercice, on pourra consulter R. Stanley, The Hilbert function of a graded algebra, Advances in Math., 28 (1978), p. 57-83.

EXERCICES

7) Soient 1 un ensemble ordonné filtrant croissant admettant une partie cofinale dénombrable et A un anneau (non nécessairement commutatif). On se propose de montrer que toute limite inductive, suivant 1, de A-modules (à gauche) projectifs est de dimension projective < 1 (A, X, p. 134). a) Soient ((Qi)iei, (
montrer que Q est de dimension projective une suite exacte

< 1, se ramener au cas où 1 = N.

On a alors

où pour tout n E N et tout x E Q,, on a 6) Soit ((Pi)i,,, (
( i , j) avec i T*

Alors O + HomA(Pi,M')

-+

HomA(Pi,M) -r HomA(Pi,M") + O

est une suite exacte de systèmes projectifs de groupes commutatifs et le système projectif i H HomA(Pi,M') possède la propriété de Mittag-LeMer pour la topologie discrète (TG, II, p. 18). On en déduira que la suite des limites projectives est exacte.) c) Soit ( Q i ) , un système inductif de A-modules projectifs. Pour tout i E 1, soit Ri = @ - Qi <

ibi

et pour i < i' soit $i,i. :Ri -r Ri. l'injection canonique. Définir une suite exacte de systèmes inductifs O + (Pi) + (Ri) + (Qi) + O telle que (Pi) vérifie les hypothèses de 6). En déduire une autre démonstration de a).

8) Soient A un anneau et n un entier > 1. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) On a dh(A) < n. (ii) Pour tout A-module M monogène, on a dpA(M) < n. (iii) Pour tout idéal 1 de A, on a dpA(I)< n - 1. (Utiliser A, X, p. 138, prop. 4 pour prouver l'équivalence (i) o (ii) et A, X, p. 93, prop. 11 pour prouver (i) 9 (iii).) 9) Soient r un groupe commutatif totalement ordonné et T f l'ensemble des éléments positifs de r. Notons (GOD) la propriété suivante : (GOD) : Toute partie majeure M c T + (VI, Q: 3, no 5, déf. 2) possède une partie dénombrable, cofinale pour l'ordre opposé. a) Montrer que si r est de hauteur 1, la propriété (GOD) est satisfaite. 6) Pour tout entier n, montrer qu'il existe un groupe totalement ordonné r de hauteur n possédant la propriété (GOD) (prendre r = Zn muni de l'ordre lexicographique). 1T 10) Soit A un anneau de valuation dont le groupe des ordres l- possède la propriété (GOD). a) Montrer que dh(A) < 2. (On remarquera que tout idéal de A est limite inductive dénombrable d'idéaux principaux et on utilisera les résultats des exerc. 7 et 8.) 6) Tout anneau de valuation de dimension de Krull 1 est de dimension homologique < 2. Il est de dimension homologique 2 si et seulement s'il n'est pas noethérien. (Utiliser l'exerc. 9, a) et A, X, p. 208, exerc. 12.) c) Pour tout entier n > 1, il existe un anneau de dimension de Krull égale à n et de dimension homologique égale à 2. (Utiliser l'exerc. 9, 6) et A, X, p. 208, exerc. 12.)

I l ) Tout anneau local noethérien et régulier est factoriel. (Utiliser VII, Q: 4 no 7, cor. 3.)

12) Soient A un anneau et a un idéal de type fini de A. a) Montrer que s'il existe un idéal b de A tel que a = a. b, il existe b E b tel que (1 - b) a = (0). b) Montrer que si a2 = a, il existe un élément a E a tel que a2 = a et a = Au. c) On suppose que a est maximal et que le A-module a/a2 peut être engendré par n éléments. Montrer que l'idéal a peut être engendré par n + 1 éléments. (On prendra des éléments x, , ..., x, dans a dont les images dans a/a2 engendrent ce dernier. Notant x l'idéal de A engendré par { x , , ..., x,}, on remarquera que dans A/x on a (a/x)' = (a/x).)

<

13) Soient p un nombre premier, f un entier > O. Posons L = Q(6) ou est une racine primitive pf -ième de 1, B = Z[<] le sous-anneau de L engendré par 6. Montrer que B est la fermeture intégrale de Z dans L. (Par un calcul de discriminant, on montrera que B

IP1

fermeture intégrale de Z - (V, Q 1, no 6, lemme 3); en notant L

on en déduira

El -

B la clôture intégrale

est la de B,

2

B c n Z,[<] où q parcourt les nombres premiers, d'où B c Z[<].) 4

14) Soit p :A -+ B un homomorphisme d'anneaux noethériens faisant de B un A-module fidèlement plat. a) Si B est régulier, alors A est régulier (cf: p. 94, exerc. 2 et 3). b) Si A est régulier et si, pour tout idéal maximal m de A, B/mB est régulier, alors B est régulier. (En localisant se ramener au cas où A et B sont locaux et p local. On a alors dim(B) = dim(A) + dim(B/mB) (§ 3, no 4, cor. 1 à la prop. 7). Construire une suite sécante pour B possédant dim(B) termes.) 15) Soient X un espace noethérien et U une partie de X. Si pour toute partie fermée irréductible Y de X rencontrant U, U n Y contient une partie ouverte non vide de Y, alors U est ouvert dans X. (En supposant par l'absurde que U ne soitpas ouvert, considérer un ensemble fermé minimal Z c X tel que Z n U ne soit pas ouvert.) 16) Soit A un anneau noethérien. On appelle lieu singulier de Spec(A) et on note Sing(A), l'ensemble des p E Spec(A) tels que A, ne soit pas régulier. On pose Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) Pour tout anneau quotient B de A, Reg(B) est ouvert dans Spec(B). (ii) Pour tout anneau quotient intègre B de A, Reg(B) est une partie ouverte non vide de Spec(B). (iii) Pour tout anneau quotient intègre B de A, Reg(B) contient une partie ouverte non vide de Spec(B). (Pour démontrer (i) => (ii), remarquer que I'on a (O) E Reg(B). Pour démontrer (iii) 3 (i), montrer que pour tout p E Spec(A) tel que V(p) n Reg(A) # @, l'anneau A, est régulier (p. 94, exerc. 5). En utilisant (iii) et en construisant des suites complètement sécantes, montrer que V(p) n Reg(A) contient une partie ouverte non vide de Vip). Conclure en utilisant l'exerc. 15.) 17) Soit p :A -+ B un homomorphisme injectif d'anneaux noethériens intègres faisant de B un A-module de type fini. a) On suppose que Reg(B) contient une partie ouverte non vide de Spec(B). Montrer que Reg(A) contient une partie ouverte non vide de Spec(A). (Se ramener au cas ou B est plat sur A en utilisant II, 4 5, no 1, corollaire à la prop. 2, puis au cas où B est régulier en localisant par rapport à un élément convenable x E A. Conclure en utilisant I'exerc. 14, a).) b) On suppose que Reg(A) contient une partie ouverte non vide de Spec(A) et que le corps K' des fractions de B est une extension séparable du corps K des fractions de A. Montrer que Reg(B) contient une partie ouverte non vide de Spec(B). (Soit Z E K' tel que K' = K(Z) (A, V, p. 39), et soit P(X) E K[X] le polynôme minimal de Z. Quitte à remplacer A par

35

EXERCICES

AC VI11 .97

l'anneau AJ pour un élément f convenable de A, montrer qu'on peut se ramener a démontrer la propriété demandée de Spec(B) dans le cas suivant : cc) Z E B et A est régulier ; p) on a P(X) E A[X] ; y) on a B = A[X]/(P(X)) (II, 5, no 1, prop. 2); 6) P'(Z) est inversible dans B (remarquer que P'(Z) f O dans K' car K' est séparable sur K. Utiliser alors II, jj 5, no 1, corollaire a la prop. 3). Montrer que dans ce cas, pour tout idéal maximal rn de A, B/mB est une (A/m)-algèbre étale (A, V, p. 32), donc régulière. Conclure en utilisant I'exerc. 14, b).) IT 18) Soient k un corps, A une k-algèbre de type fini. Montrer que Reg(A) est une partie ouverte de Spec(A). (En utilisant i'exerc. 16, se ramener à démontrer que Reg(A) contient une partie ouverte non vide lorsque A est intègre. En utilisant le lemme de normalisation (V, 5 3, no 1, th. 1) et I'exerc. 17, a), se ramener a démontrer cette dernière propriété lorsque A est la clôture intégrale de k[Xl, ..., X,] dans une extension finie quasi-galoisienne K de k(Xl, ..., X,). Soient K' la clôture radicielle de k(X,, ..., X,) dans K et A' la clôture intégrale de k[X,, ..., X,] dans K'. Se ramener à démontrer la propriété demandée pour A' grâce à l'exerc. 17, b). En s'inspirant de la démonstration du th. 2 de V, 5 3, no 2 inclure K' dans une extension k'(X1-', ..., Xn-') = K" où k' est une extension radicielle de k et se ramener au cas où A' est la clôtu:e intégrale de k[Xl, ..., X,] dans K" grâce a l'exerc. 17, a). Remarquer alors que A' = k1[X4, , ..., x:-'] (V, jj 1, no 3, cor. 2 à la prop. 13) et que A' est régulier (p. 94, exerc. 6).)

19) Soit A une algèbre intègre et de type fini sur un corps k. L'ensemble des idéaux maximaux m E Specmax(A) tels que A,,, soit régulier est ouvert et dense dans Specmax(A). 20) Soient k un corps, k, (i = 1,2) deux extensions de k, ni (i = 1,2) le degré de transcendance de k, sur k si celui-ci est fini ou le symbole + CQ sinon. Montrer que l'on a dim(k, 8, k,) = inf(nl, n,) et que k, 8, k, est noethérien si i'une des extensions k, est de type fini. 21) Soient I.un ensemble ordonné filtrant, (A,, cpij) un système inductif d'anneaux de limite inductive A. On suppose que, pour tout i, l'anneau Ai est noethérien, que pour tout couple (i, j) tel que i < j, cp, fait de Aj un Ai-module plat et que A est noethérien. Montrer que si les Ai sont réguliers pour tout i E 1, alors A est régulier. (On pourra tout d'abord se ramener au cas où les A, et A sont locaux et les
-

-

AC VI11 .98

DIMENSION

45

algèbre régulière d'après (iii), on a Ap Q kk' = B Bk"k ( X i , ..., X,), algèbre régulière d'après l'exerc. 6, e), p. 94.) On dit que p E Spec(A) est lisse s'il possède les propriétés équivalentes ci-dessus. 24) Soient k un corps, A une k-algèbre, k' une extension radicielle de k, A' = A O, k'. Montrer que l'application canonique Spec(A1)+ Spec(A) est un homéomorphisme. (Lorsque A est un corps, A' est de dimension O (exerc. 20); on montrera qu'il ne possède qu'un seul idéal premier. On en déduira que pour tout idéal premier p de A, la racine p' de pA' est un idéal premier et que l'application p H p' est continue.) 25) Soient k un corps, A une k-algèbre de type fini, Lis(A) l'ensemble des p E Spec(A) qui sont lisses (exerc. 23). Montrer que Lis(A) est ouvert dans Spec(A). (Utiliser les exerc. 18, 23 et 24.) 26) Soient k un corps, A une k-algèbre intègre de type fini. Montrer que Lis(A) est dense si et seulement si A est une k-algèbre séparable ;il revient au même de supposer que le corps des fractions de A est une extension séparable de k (A, V, p. 115). 27) Soient k un corps, A une k-algèbre de type fini intègre et séparable. L'ensemble des idéaux maximaux et lisses de A est une partie ouverte dense de Specmax(A). 28) Soient k un corps, k' une extension de k. Montrer que pour toute extension k" de k, k' Q k k" est un anneau noethérien régulier si et seulement si k' est une extension séparable de type fini de k. T 29) Soient k un corps, A une k-algèbre locale noethérienne complète, K, le corps résiduel de A. a) Supposons que K, soit une extension séparable de k. Montrer qu'il existe un homomorphisme de k-algèbres de K, dans A, section de l'homomorphisme canonique de A dans K, (IX, 5 3, no 2, prop. 1). b) Supposons que K, soit une extension radicielle de k. Montrer qdil n'existe pas nécessairement de section de k-algèbres de K, dans A. (Prendre un corps k de caractéristique 2, un élément a de k qui n'est pas un carré (par exemple k = F, (T), a = T), l'idéal p de k[X] engendré par X2 a, et poser A = k[X],.) c) On suppose A régulière et K, extension séparable de k. Montrer que A est isomorphe comme k-algèbre à K,[[T,, ..., T,,]] ou n = dim(A). d) Montrer qu'il n'en est pas nécessairement de même lorsque K, n'est pas une extension séparable de k.

+

-

30) Soient k un corps et A une k-algèbre locale, noethérienne et complète. On dit que A est ,formellement lisse si pour toute extension finie k' de k, l'anneau A Q kk' est régulier. Montrer que A est formellement lisse si et seulement si, pour toute extension radicielle finie k' de k, l'anneau A 8,k' est régulier (on pourra utiliser l'exerc. 14, p. 96 et imiter la démonstration de l'exerc. 23, p. 97). 31) Soit k un corps. a) Soit A une k-algèbre noethérienne, locale, complète, régulière, dont le corps résiduel K, soit extension séparable de k. Montrer que A est formellement lisse et isomorphe à KA[[T~,..., TJ. b) Soient B une k-algèbre de type fini, p E Spec(B) un point lisse (p. 97, exerc. 23). Montrer que Gp est une k-algèbre formellement lisse. c) Soit K une extension de type fini de k et soit n E N. Montrer qu'il existe une k-algèbre formellement lisse de corps résiduel K et de dimension n. d) Soit A une k-algèbre formellement lisse dont le corps résiduel K, ne soit pas une extension séparable de k. Montrer que A n'est pas isomorphe comme k-algèbre à K,[[T,, ..., T,]].

96

AC VI11 .99

EXERCICES

32) Soient k un corps, K une extension de type fini de k, n un entier positif, A et B deux k-algèbres formellement lisses, de dimension n, telles que les extensions K, et K, de k soient isomorphes à K. On se propose de montrer que A et B sont des k-algèbres isomorphes. a) Se ramener au cas où K est une extension radicielle finie de k (exerc. 29, a)). b) Considérer l'algèbre complétée C = A Q, B de A Q, B par rapport à l'idéal

Montrer que C est une k-algèbre noethérienne, locale, complète et régulière. (Pour ce dernier point, on utilisera l'homomorphisme canonique p de A dans C. On montrera qu'il fait de C un A-module plat et que C Q, K, est isomorphe à K, Qk B. On utilisera alors l'exerc. 14, p. 96.) c) Montrer que p induit un isomorphisme sur les corps résiduels et une injection de mA/mA dans mJm;. Construire alors une rétraction n: de p qui est un homomorphisme de k-algèbres. Montrer que n. o p' :B -+ A est un isomorphisme de k-algèbres. (On a noté p' l'homomorphisme canonique de B dans C.)

1) Soient A un anneau, p un idéal premier gradué de A[T] et po l'idéal premier p n A de A. a) Si T E p, alors p = p, + T.A[T]. h) Si T $ p, alors p = p,. A[T]. c) En déduire que, dans le cas a) on a htgr(p) = ht(p,) + 1, et dans le cas b), on a htgr(p) = ht(p0). d) Montrer que dimgr(A[T]) = dim(A) + 1. e) En déduire un exemple d'anneau gradué B tel que dim(B) # dimgr(B) (p. 84, exerc. 7). 2) Soient A un anneau, et 9 = (Fi),, une filtration décroissante de A telle que 3, = A pour i < O. Soit A le sous-anneau @ Fi.v-' de A[v, v- '1 et soit gr,(A) l'anneau gradué associé iËZ

à l'anneau filtré (A, 9).

a) Montrer que l'homomorphisme f :A

-+

gr,(A) défini par

f(z aiv-')

a i , où

=

aiest

L

,,

la classe de ai dans Fi/Fi+ induit un isomorphisme de A/v.A avec gr,(A). b) Montrer que pour tout élément v, inversible dans A, l'homomorphisme e,, : A+ A défini

induit un isomorphisme de A/(u - va) A avec A. c) Montrer que A/A[v] est un A[v]-module de torsion. d) Supposant maintenant que A contient un corps k, montrer que le morphisme composé

fait de A un k[v]-module sans torsion. En déduire que A est un k[u]-module plat. e) Supposons que A soit local, d'idéal maximal m, et contienne un corps k tel que A soit

somme directe de k et m (comme groupe additif). Montrer qu'il existe un idéal S de A tel que A soit somme directe de k[v] et S (on a posé Fi = mi pour tout i E Z). 3) Reprenons les notations de l'exercice précédent. Soit M un A-module, muni d'une filtration (Ki),, telle que K, = M pour i < 0. a) Montrer que le A-module gradué A = Kiv-' possède une structure naturelle de APZ

module gradué. b) Montrer que la A-algèbre graduée A est engendrée par ses éléments de degré 1 et - 1 si et seulement s'il existe un idéal q de A tel que Fi = q' (i E Z). c) Supposant cette dernière condition réalisée, montrer que la filtration (Ki),, est q-bonne si et seulement si le A-module gradué .M est de type fini.

AC VI11 .Io0

36

DIMENSION

d) Montrer que si la filtration (Ki),, est q-bonne, le A-module A est sans v-torsion, et que inversement, étant donné un A-module de type fini A sans v-torsion, on peut lui associer un A-module de type fini M muni d'une filtration q-bonne tel que le A-module associé à M soit A. 4) Reprenons les notations et hypothèses de l'exerc. 2. On dit que la filtration 9 est une filtration par des quasi-puissances s'il existe un entier k > O tel que k

9,

di.d,-i pour

=

n 2 1

i=l

Montrer que si l'anneau A est noethérien, les conditions suivantes sont équivalentes : (i) La filtration d est une filtration par des quasi-puissances. (ii) L'anneau A est noethérien. uv-'Fi de A est de type fini. (iii) L'idéal N = ib 1

(iv) II existe un entier k 2 1 tel que d soit la plus petite filtration de A, pour la relation d'ordre « X, c Sn pour tout n » dont les premiers termes soient 9,,..., 9,. (v) La A-algèbre A est de type fini.

-

5) Soit p :A + B un homomorphisme injectif d'anneaux noethériens faisant de B une A-algèbre de type fini. Appelons degré de transcendance de B sur A, et notons dA(B),le plus grand B. entier d tel qu'il existe un homomorphisme injectif de A-algèbres b :AIXl, ..., X,] a) Montrer que si o :B + C satisfait aux mêmes hypothèses que p, on a l'inégalité b) Montrer que si A et B sont intègres, d,(B) est égal au degré de transcendance du corps des fractions de B sur celui de A. De plus si dans a) on suppose C intègre, on a l'égalité dA(C) = dA(B) + dB(C). c) Montrer que si B est une sous-algèbre de A[v, v-'1 contenant A[v], où v est une indéterminée, on a dA(B)= 1. T 6) Soit p :A + B un homomorphisme injectif d'anneaux noethériens, faisant de B une A-algèbre de type fini. Soit q un idéal premier de B distinct de B, et posons p = p- '(q). a) Montrer que I'on a, avec les notations de l'exercice précédent, l'inégalité

(On pourra procéder par récurrence sur dA(B).) b) Montrer que si la A-algèbre B est engendrée par d éléments et dA(B)= d, on a égalité dans (*). c) Montrer que si A est intègre et tel que l'anneau de polynômes A[T,, ..., T,] soit caténaire pour tout n, on a égalité dans (*) pour toute A-algèbre intégre de type fini B et tout idéal premier q de B distinct de B.

1IT 7) Soient A un anneau noethérien et 9 = (di),, une filtration décroissante de A telle d i v - ' soit de type fini. que 9, = A, 9, # A et que la A-algèbre B = isZ

On se propose de montrer que l'on a dim(B) = dim(A) + 1 et d'utiliser ce fait pour généraliser le résultat du Ç: 6, no 3, corollaire de la prop. 5. On utilisera les résultats des deux exercices précédents. a ) Soit !IR un idéal maximal de B. Montrer que l'on a

et en déduire l'inégalité

46

AC VI11 . 1 01

EXERCICES

6) Utilisant le fait que tout élément du A[v]-module A[v, Ü1]/A[v] est annulé par une puissance de v, montrer que l'on a

+

et en déduire que l'on a dim(B) > dim(A) 1, d'où finalement dim(B) = dim(A) (on pourra utiliser le fait que l'anneau A[v, v-'1 est un anneau de fractions de B). c) Montrer que les idéaux premiers minimaux de B sont les idéaux de la forme :

+1

où p est un idéal premier minimal de A. d) Montrer que l'on a vB f B et que v n'appartient à aucun des idéaux premiers minimaux de B. En déduire l'inégalité dim(B/vB) < dim(A) (on pourra utiliser le Q 1 et 4 3, no 3, cor. 1 de la prop. 4). e ) Supposons maintenant qu'il existe un idéal maximal m de A contenant 9, et tel que ht(rn) = dim(A). Montrer que dans ce cas on a dim(B/vB) > dim(A) et donc dim(B/vB) = dim(A). (On pourra se ramener au cas où A est un anneau local d'idéal maximal rn, montrer que l'idéal Y 3 de B engendré par v et C n rn) v-' est un idéal maximal - (si isZ

de B ayant pour hauteur dim(A) + 1 et localiser B en YJl.) f ) Si A est un anneau local noethérien, et 9 une filtration décroissante de A telle que 9, 9, A, on a l'égalité

+

=

A,

8) Soient A un anneau noethérien, et B une sous-A-algèbre graduée de l'anneau de polynômes A[T]. u) Montrer que l'on a les inégalités

b) Soit Bi l'ensemble des b G A tels que bTi E B. Montrer que si l'on a dim(B) = dim(A), il existe un entier positif k tel que pour tout i > k, Bi soit contenu dans l'intersection des idéaux premiers minimaux de A. 9) Soient A un anneau et M un A-module de présentation finie. Pour tout p E Spec(A), on ) Ap/p.Ap Montrer que pour tout k E N, l'ensemble des p E Spec(A) tels que pose ~ ( p = dim,,,,(M BA~ ( p ) > ) k est une partie fermée de Spec(A). (On pourra prendre une présentation Am +A" M O de M et considérer les mineurs de la matrice de u.)

--

7i 10) Soit p :A

-+

B un homomorphisme d'anneaux. Pour tout p

E

Spec(B), on pose

d(p) = dimp(B O, ~ (-'(p))). f On se propose de démontrer dans cet exercice, que lorsque B est une A-algèbre de type fini, l'application p H d(p) de Spec(B) dans R est semi-continue supérieurement (« théorème de Chevalley D). Notons 6 c B @, B le noyau du A-homomorphisme canonique B @,B -+ B. Pour tout entier r on pose La B BAB-algèbre PL,, est appelée l'algèbre des parties principales d'ordre r. On considère B BAB comme une B-algèbre par l'homomorphisme b H b @ 1, de sorte que PBlAest, pour tout r, une B-algèbre et que les homomorphismes canoniques de passage au quotient P B ; : -. PL,, définissent un système projectif de B-algèbres.

' Il s'agit de la dimension comme espace vectoriel sur le corps ~ ( p ) .

AC VI11 .102

56

DIMENSION

a ) Soit p : A + A' un homomorphisme d'anneaux. Posons B' = B @, A' et notons q :B + B' l'homomorphisme canonique. Soit r un entier. Montrer que l'unique homomorphisme de Br-algèbres P B l A O BB' -t PL,lA,

qui associe à la classe de (b, @ b,) @ 1(bi E B), la classe de q(b,) @ q(b,), est un isomorphisme. b) Soit S une partie multiplicative de B. Montrer que l'homomorphisme canonique est un isomorphisme. c) On suppose que B est une A-algèbre de présentation finie, c'est-à-dire isomorphe à un quotient de A[T,, ..., TJ par un idéal de type fini. Montrer que pour tout r EN, PIBlAest un B-module de présentation finie. Pour tout p E Spec(B), on pose PgA[p] = lim PLlA OB~ ( p ) . Montrer que P,i,[p] est une ~(p)-algèbrelocale complète de corps résiduel &). Soit k E N. Montrer que l'ensemble des p E Spec(B) tels que dim(P,"/,[p]) 2 k est une partie fermée de Spec(B). (Pour tout r E N, soit Fr,, l'ensemble des p tels que dim,(,,(P~lA@ ~ ( p )2) On montrera que Fr,, est fermé (exerc. 9) et que par suite
=

n Fr,,est fermé.

alors Q: 6, no 3, cor. 2 à la prop. 6.) d ) Soient m un idéal de B et p c (B/m) QA B le noyau de l'application canonique (B/m) QA B + B/m. Montrer que l'on a un isomorphisme canonique

On suppose que A est un corps, que B est une A-algèbre de type fini et que m est un idéal maximal de B. Montrer que PB/,[m] est isomorphe au localisé complété de (B/m) 8, B en l'idéal maximal p. En déduire que l'on a dim(PGA[m])= dim,,,(B). (Appliquer le théorème des zéros et le th. 1 du 3 2, no 3. On remarquera que l'extension B/m de A est contenue dans une extension galoisienne finie d'une extension radicielle finie de A.) e) On suppose que B est une algèbre de type fini sur A. Soit p E Spec(B). Montrer que l'on a

(Remarquer d'abord que pour tout r E N, on a PBIA OB~ ( p = ) (YBlAOBB') OB*K(P) en , que par suite, en vertu de a), on a P,!,[p] = P~l,(,-l(,,,[pB']. posant B' = B @, ~ ( p - l ( p ) )et On se ramènera ainsi à démontrer, dans le cas où A est un corps, l'égalité

Remarquer alors que dans le cas où p est maximal, cette égalité résulte de d). Dans le cas général, soient q,, ..., q, les idéaux premiers minimaux de B contenus dans p. Montrer en utilisant le théorème des zéros qu'il existe un ouvert dense U de V(p) tel que pour tout idéal maximal m appartenant à U, les idéaux premiers minimaux contenus dans m, soient contenus dans U. En utilisant c), montrer qu'on peut, en diminuant U, supposer de plus que, pour tout p' E U, on a dim(P,"/,[p]) = dim(P,i,[pl]). Conclure.) f ) On suppose que B est une A-algèbre de type fini. Montrer que la fonction p H d(p) = dimp(B QA ~ ( p - ' ( p ) ) )est semi-continue supérieurement. (Lorsque B est de présentation finie, utiliser e) et c). Dans le cas général, B est de la forme A[T,, ..., TJ3. Soit 3, la famille des idéaux de type fini de A[T,, ..., TJ contenus dans 3, ordonnée par inclusion et posons B, = A[T,, ..., T,]/J,. Pour tout a, on a Spec(B) c Spec(B,) c Spec(A[T,, ..., T,]), et Spec(B) = n Spec(B,). Pour tout p E Spec(B), posons a

~ J P =) dimp(B, @ K(P-' (PI)) . d(p) et que d(p) = inf d,(p) en vertu du caractère noethérien de Montrer que d,(p) Spec(~(p-'(p))[T,,..., T,]). En déduire que p +-+ d(p) est la borne inférieure d'une famille filtrante décroissante de fonctions semi-continues supérieurement.)

97

EXERCICES

AC VI11 ,103

11) Soient p : A --+ B un homomorphisme d'anneaux, "p :Spec(B) -P Spec(A) l'application correspondante. )) à "p-'(q). a) Montrer que pour tout q E Spec(A), Spec(B O A , ~ ( qs'identifie b) Supposons que B soit une A-algèbre de type fini. Montrer que p est un point isolé dans sa est nul. fibre "p-l("p(p)) si et seulement si dimp(B 8, ~("p(p))) c) Déduire de l'exerc. 10 que sous les hypothèses de b), l'ensemble des points de Spec(B) qui sont isolés dans leur fibre, est une partie ouverte de Spec(B). 12) Soient H une algèbre graduée de type fini, telle que Ho soit un corps, et (ka),,, des éléments homogènes de H qui engendrent H. On suppose qu'il existe une famille d'entiers strictement positifs (d,),,, telle que PH = (1 - Tdr)-'. On note 6, > O le degré de 5,.

n id

a) Montrer qu'il existe une injection cp :1 + A telle que pour tout i, d,'divise 6,(,,. (On pourra utiliser le Q 4 no 2, th. 1.) b) Montrer que l'on a inf 6, < inf di. (IEA

r d

c) En déduire que si les 6, sont égaux entre eux, l'algèbre graduée H est régulière. d ) On suppose que A possède deux éléments a, a' que 6, < 6,. et que 6,. n'est pas un multiple de 6,. Montrer que l'algèbre graduée H est régulière.

1) Soit ï c N un sous-monoïde de N tel que N - r soit un ensemble fini. Soit (a,, ..., a,) (O < a, < ... < a,) un système minimal de générateurs de r, et soit k un corps. Posons A = k[rJ a) Montrer que A est isomorphe à la sous-k-algèbre de k[T] engendrée par Ta', ..., Ta'-. b) Soit m l'idéal maximal de A engendré par Ta', ..., T".; soit A,,, l'anneau local de A en m, et posons q = mA,,. Montrer que l'on a dim,q/q2 = r et eq(Am)= a,. 2) Soient k un corps, m un entier 2 1, et 1 un idéal de l'anneau de polynômes k[Tl, ..., Tm] engendré par des monômes représentés par des points M l , ..., M, du quadrant positif » Ry de Rm. Notons N' l'enveloppe convexe dans Ry de la réunion des ensembles Mi + R* pour l
..., X,]

est un anneau gradué d'intersection complète. Soit 1 un idéal gradué non nul de l'anneau H = k[X,, ..., X,]/(f,, ..., f,) muni de la graduation quotient. Montrer que l'on a dim(1)= dim(H). En déduire que l'on a ou bien dim(H/I) < dim(H), ou bien dim(H/I)= dim(H) et c,, < c, (3 4 no 2). (On considérera l'idéal b formé des s E H tels que s.1 = {O} et on montrera que si l'on a dim(1) < dim(H), alors b contient un élément non diviseur de zéro, en examinant la position de b par rapport aux idéaux premiers minimaux de H et à H + = H, ,.) 4) Soit A un anneau local noethérien, d'idéal maximal m. a) Supposons qu_egr,(A) soit un anneau gradué d'intersection complète (cf:exerc. 3). Montrer que le complété A de A est d'intersection complète, c'est-à-dire le quotient d'un anneau local régulier par un idéal engendré par une suite complètement sécante. b) Soit x E m, et soit 6l'image de x dans mv/mv+', où v est tel que x E mVet x $ mV+'.Montrer que l'on a em(A/x.A) = v.e,,(A) si et seulement si 6 n'est pas diviseur de zéro dans grm(A),et que dans ce cas on a gr,,(A/x.A) = gr,,(A)/c.gr,(A) et x n'est pas diviseur de zéro dans A. (Soit 1l'idéal homogène de gr,,,(A)formé des éléments q G grm(A)tels que 5.q = O. Considérons l'idéal N, = mvf":x de A et l'application de 1, dans N,, ,/mnf qui à q E 1, associe la classe

AC VIH. 104

§7

DIMENSION

mod. m"+' d'un élément y E A relevant q. On montrera qu'elle est injective, et on en déduira l'inégalité par ailleurs, on démontrera l'égalité (1

(ii)

-

T")Hg'

=

T-vHg)xA -

z

long, ,,,,(N,/mn).T".

nav

On remarquera enfin que 6 est diviseur de O si et seulement si 1 # { O 1, et utilisant l'exercice précédent, on déduira de (i) que l'on a

z

naCi

+

l ~ n g ~ , ~ +( Jmn+'). N,, T" = s'TI -avec ~ ( 1 ) 0, (1 - T)"

et de (ii) l'inégalité e,(A/xA) > e,,(A).) c ) Soit (x,, ..., x,) une suite d'éléments de l'idéal maximal m. Supposons qu'on ait xi E mvxet et soit 5, la classe de x, dans mV./m"'+'. Montrer que l'on a e,,,(A/x) > e,(A).vl ... v, x, 4 m"' et que l'égalité a lieu si et seulement si la suite (cl, ..., 5,) est complètement sécante dans l'anneau grm(A).Dans ce cas on a un isomorphisme d'anneaux gradués de grm(A/x)avec (grm(A))/Gavec x = C x,A 5 = 5, gr,(A). +

',

3

I

1 t

5 ) Soit k un corps. Posons R = k[[X, Y, Z]] et considérons l'anneau local A d'idéal maximal m. Montrer que l'on a

HA = (1

-

T)(1 - T - T2)HR = 1

+

z

(n

=

R/(XY, XZ),

+ 2) S n .

n 31

En déduire que l'on a dim(A) = 2, dimk(m/m2)= 3 et e,(A) = 1. (On a HA = P, où G = gr,,(A) = k[X, Y, Z]/(XY, XZ). On démontrera l'existence d'une suite exacte de H-modules gradués O

-t

H(- 3) -t H ( - 2) 0 H(- 2) -+ H

-, G -, O

où H = k[X, Y, Z].) 6) Soient k un corps, A une k-algèbre locale, complète, réduite, de dimension 1 et m son idéal maximal. Montrer que le nombre minimum de générateurs d'un idéal de A est au plus égal à e,(A) (il existe X E A tel que l'injection de k[[X]] dans A fasse de A un k[[X]]-module libre de rang elll(A)). 7) Soient A un anneau local, d'idéal maximal m, M un A-module de type fini, (x, , ..., x,) une suite d'éléments de m sécante pour le A-module M, et x l'idéal x,A + ... + x,A. a) Supposons le A-module M fidèle. Alors le quotient de gr,(A) par son nilradical n est isomorphe à (A/m) [X,, ..., X,] et (gr,(M)),, est un (gr,(A)),,-module de longueur e,(M). b) Dans le cas général, gr,(A) possède un unique idéal premier minimal n et (gr,(M)), est un gr,(A)-module de longueur e,(M).

8) Soient A un anneau et a un idéal de A. Posons ai = A pour i < O et considérons la A-algèbre &(a) = a-'vi c A[v, v-'1 et la A-algèbre P(a) = aivi c A[v]. Ce sont deux A-algèbres

z

z

i d

iàO

graduées ayant même anneau total de fractions. Montrer que pour un élément a E A les conditions suivantes sont équivalentes : (i) L'élément av de la &(a)-algèbre A[u, op'] est entier sur A(a). (ii) L'élément au de la P(a)-algèbre A[v] est entier sur P(a). (iii) Il existe une relation de dépendance intégrale : ak + b,ak-1 On dira que a est entier sur l'idéal a.

+ ... + b,

=

O avec bj E aJ

97

AC VI11 . IO5

EXERCICES

9) a) Soient A et a comme ci-dessus et soit b un idéal de A contenant a. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) Tout élément de b est entier sur a. (ii) La &(a)-algèbre graduée &(b) est entière. (iii) La P(a)-algèbre graduée P(b) est entière. O tel que a.bk = bk+' et donc a".bk = bkf"pour tous les entiers (iv) Il existe un entier k positifs n. On dit que b est entier sur a. b) Montrer qu'il existe un plus grand idéal parmi ceux qui sont entiers sur a. On le note et on i'appelle la fermeture intégrale de a dans A. Vérifier que si a c b alors E c b et w e Montrer que si la fermeture intégrale P(a) est un P(a)-module de type fini, alors a.ak = akf pour k assez grand. c) Montrer que si a E A satisfait la relation de dépendance intégrale

3

'

ak + b,ak-'

+ ... + b,

=

O avec k 2 1 et

b, e a i ,

En déduire que la fermeture intégrale de a dans A coïncide alors a.(a + = (a + avec l'ensemble des éléments de A qui sont entiers sur a. 10) Soit A un anneau. a) Soit B une A-algèbre entière. Montrer que pour tout élément a de A et tout idéal a de A, l'élément a est entier sur a si et seulement si a est entier sur l'idéal a.B engendré par a dans B. b) Supposant A noethérien et réduit, notons pl, ..., p, les idéaux premiers minimaux de A et considérons l'injection naturelle :

Montrer qu'elle fait de

fl

Alp, une A-algèbre entière.

lsibr

c) En déduire que, étant donné un anneau noethérien A, pour qu'un élément a de A soit entier sur un idéal a, il est nécessaire et suffisant que, pour tout idéal premier minimal p de A, l'image de a dans A/p soit entière sur l'idéal (a + p)/p. d) Montrer que si ii = 5, les idéaux a et b ont mêmes idéaux premiers minimaux associés. 11) Soient A un anneau noethérien, et a, b deux idéaux de A tels que Supp(a) = Supp(b) = Spec(A). Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) Il existe un A-module de type fini M tel que Supp(M) = Spec(A) et tel que b .M c a. M. (ii) On a b c Z. 12) Soient A un anneau noethérien, a, b et c trois idéaux de A tels que c soit contenu dans le radical de A. a) Montrer que si l'on a l'inclusion b c.a c Z, a l o ~ on s a b c a. b) En déduire que si A est local, et si l'on a b c a et b = Z, il existe au moins un idéal b, c b tel qcl) b, = a, - B) b, est minimal poÙr cette propriété, c'est-à-dire que si b; c b, et b; = b,, alors 6; = 6,.

+

13) Soient-A un anneau local et a et b deux idéaux de A distincts de A. Montrer que si a c 6, on a ii = b si et seulement si l'algèbre graduée grb(A)est entière_surl'algèbre graduée gr,(A). En déduire que si a = (x, , ..., x,) c b OU d = dim(A), on a E = b si et seulement si les formes initiales 5, , ..., 5,dans grb(A)des x, sont de degré 1 et forment une suite sécante maximale pour grb(A). 14) Soient A un anneau local, rn son idéal maximal, et q un idéal de &distinct de A, tel que A/q soit de longueur finie. On suppose que A contient un sous-corps k tel que A = k + m. a) Montrer qu'il existe des éléments x, ,..., x, de q, où d = dim(A), avec x, E q6,,tels que, pour tout entier v assez grand, on ait qv = x, .qVP6'+ ... + xd.qV-". b) Si l'on suppose le corps A/m infini, on peut trouver un idéal a engendré par d éléments de q, où d = dim(A), tel que ?Ï = q. (On pourra utiliser 5 7, no 5.)

AC VIII. 106

97

DIMENSION

15) Soit A un anneau local noethérien, complet, d'idéal maximal m. Posons d = dim(A). On suppose que A contient un sous-corps k tel que A = k + m. Montrer que l'on peut trouver x,, ..., x, dans m tels que : a ) le morphisme cp :k[[X,, ..., X,]] -t A défini par q ( X J = xi fasse de A une k[[X,, ..., X,]]algèbre entière ; 0) en notant m, = (XI, ..., X,) l'idéal maximal de k[[X, , ..., X,]], on ait m,A = m, et donc e~~,-,A(A) = etn(A). Montrer que si x, , ..., x, satisfont la condition CL),la condition P) est satisfaite si et seulement si les formes initiales c l , ..., 6, des xi dans gr,(A) forment une suite sécante maximale. 16) Soient A un anneau local noethérien et x = (x,, ...,x,) un idéal engendré par une suite sécante maximale pour A. Montrer que l'on a l'inégalité e,(A) < long(A/x) et que l'égalité n'a lieu que si l'homomorphisme (A/x)[T,, ..., T,] --P+ gr,(A) défini par cp(T,) = où est la classe de xi modulo xZ,est un isomorphisme (ce qui signifie que (x, , ..., x,) est complètement sécante).

ci, ci

17) Soient A un anneau local noethérien possédant une suite complètement sécante de longueur d = dim(A), a l'idéal engendré par une telle suite et f E A un élément entier sur a mais n'appartenant pas a a (par exemple A = k[[X,, ..., X,]], où k est un corps, a = (Xt, ..., Xi) et f = Xk,-'X,). Soit a' = a fA. Montrer que l'on a l'inégalité e,.(A) > long(A/af).

+

c$)

18) Soient A un anneau et a un idéal de A. Pour tout élément a E A, on note v,(a) la borne supérieure de l'ensemble des entiers v E N tels que a E a". m

a) Montrer que si a $

n

ak la suite

k= O "2

aE

n

ak on pose V,(a) =

est convergente. On notera v,,(a) sa limite. Si

+ co.

k=O

b) Montrer que, pour tout a E A, on a i,(a) = &(a) et en déduire que les conditions suivantes sont équivalentes : (il V&a) 1, (ii) a E (Étudier la monotonie de la suite considérée en a).)

a.

19) Soient A un anneau noethérien et q un idéal de A tel que A/q soit de longueur finie et q contenu dans le radical de A. Montrer que l'on a

e,(A)

=

eG(A).

20) Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini, et q,, ..., q, des idéaux de A tels que M/qi. M soit de longueur finie pour tout i. On suppose M # O et on pose d = dimA(M). a) Montrer que M/q;' ... q?.M est de longueur finie pour tout k-uple d'entiers positifs (ni, -.., a!)., b) Considerons l'anneau gradué H de type N, tel que

et le H-module gradué N tel que montrer que N est un H-module gradué de type fini engendré par No, ,, et un nombre fini d'éléments dont les degrés sont des vecteurs de la base canonique de Zk. En déduire qu'il existe un polynôme Q(T) E Z[T, , .., Tk]et des entiers s, > 1 , ..., sk 3 1 tels aue l'on ait

(On procédera par récurrence sur d.)

97

AC VI11 .107

EXERCICES

c) En déduire, en étendant à Z((Tl, ..., T,)) les résultats du $ 6, no 1, l'existence d'entiers c(a, , ..., a,) pour les suites (a,, ..., a,) telles que 1 a

1

k

=

cli =

d, tels que l'on ait

i= 1

=

.

C

lml=,

d! a1 ! ..-CLk ! c(a, , ..., a,) vy ... vF

pour (v,, ..., v,) dans Nk. d ) Supposons maintenant A local, à corps résiduel K infini. Montrer, en utilisant l'existence d'éléments superficiels pour le H-module gradué N, que l'on a

où q, parcourt l'ensemble des idéaux de A engendrés par a , éléments de q,, a, éléments de q,, ..., cl, éléments de q,. On note parfois e(q[P1l+ ... + q p l ; M) l'entier c(cll, ..., a,), ce qu'on abrège en e(qy1I ... + q p l ) lorsque M = A. e) Démontrer l'égalité

+

f ) Montrer que l'on a :

e(4[1"ll+ ... où

+

$21; M) = e(qpl + ...

qidésigne la fermeture intégrale

+

q p l .> M)

dans A de l'idéal qi (cf: exerc. 19).

21) Soient A et A' deux anneaux noethériens, et q (resp. q') un idéal de A (resp. A') contenu dans le radical de A (resp. A') et tel que long(A/q) (resp. long(A'/qf)) soit fini. Soit C1 l'idéal q @ A' + A @ q' de l'anneau A @, A'. Montrer qu'il est contenu dans le radical de A @, A' et que l'on a l'égalité ea(A

A')

=

eq(A).e,,(A1).

T 22) * Soient A un anneau intègre noethérien, qui soit local et complet (resp. une algèbre de type fini sur un corps k), a E A un élément non inversible et non nul. On fait les hypothèses suivantes : a ) Supp(A/aA) possède un seul élément minimal p. p) On a UA, = pA,. y) A/p est un anneau intégralement clos. On se propose dans cet exercice de montrer que, pour tout idéal maximal m de A contenant a, l'anneau A, est alors intégralement clos et qu'on a p = UA («lemme d'Hironaka »). On utilisera dans cet exercice la propriété de caténarité. Cette propriété est satisfaite par les anneaux intègres, noethériens, locaux, complets, ainsi qu'on le verra au chapitre X. Elle est aussi satisfaite par les algèbres intègres de type fini sur un corps (5 2, no 4, th. 3). a) Montrer que A, est un anneau de valuation discrète (5 3, no 1, prop. 1 et VI, 3 3, no 6, prop. 9). h ) On fait les hypothèses a ) et fi) et on suppose A intégralement clos. Montrer que l'on a p = UA (VII, 5 1, no 4, prop. 8). c) Soit A' la clôture intégrale de A. Démontrer que A' est un anneau intègre, noethérien, local et complet (resp. que c'est une algèbre de type fini sur k). (On remarquera que A est japonais (IX, 3 4 no 2, th. 2), donc que A' est intègre, noethérien, semi-local et complet et, par suite, local (III, 3 2, no 13, corollaire à la prop. 19). Dans le cas où A est une algèbre de type fini sur k, on utilisera V, $ 3, no 2, th. 2.) d ) Montrer que l'on a A' @, A, = A , (utiliser a) et V, 5 1, no 5, prop. 16). En déduire qu'il existe un seul idéal premier p' de A' au-dessus de p et qu'on a A, = A',., aA,, = p'AP.. e) Soit q un élément minimal du support de A'IaA'. Montrer que q est un idéal premier de A' au-dessus de p. (Remarquer que q est de hauteur 1 (5 3, no 1, prop. 1) et que par suite en vertu

AC VIII. 108

DIMENSION

97

de la caténarité, on a dim(A1/q)= dim(A) - 1. En déduire que l'on a dim(A/(q n A)) =dim(A) - 1 et par suite que q n A = p.) f ) Déduire de e) que UA' est un idéal premier de A' et qu'on a UA' = p' = PA' (on pourra utiliser b)). g) Montrer que l'on a A',,, = A,, pour tout idéal maximal m de A contenant a. (Des inclusions A c A' c Ap déduire les inclusions A/p c A'/pf c A,/pA,. En déduire que A/p et Af/p' ont le même corps des fractions et par suite, d'après y), que A/p = A'/pf = A' @, (A/p), la dernière égalité résultant de f). On a donc (A'/A) @, (A/p) = O. Conclure.) Achever alors la démonstration du lemme d'Hironaka. * 23) a) Soit A un anneau local noethérien tel que e(A) = 1. Montrer que A possède un seul idéal premier minimal p tel que dim(A) = dim(A/p). Montrer que de plus on a long(A,) = 1 et e(A/p) = 1 ($ 7, no 1, remarque 4). b) Rappelons (p. 82, exerc. 10) qdur, anneau local est équidimensionnel si, pour tout idéal premier minimal q de A, on a dim(A/q) = dim(A) et qu'il est sans idéaux premiers immergés si le A-module A, ne possède pas d'idéaux premiers associés immergés (IV, 3 2, no 3, remarque). * (On verra au chapitre X que les complétés de quotients intègres d'anneaux locaux de Macaulay possèdent ces deux propriétés.) * Soit A un anneau local, noethérien, équidimensionnel et sans idéaux premiers immergés, tel que e(A) = 1. Montrer que A est intègre. T 24) * Soient A un anneau local noethérien, Â son complété. On se propose dans cet exercice de démontrer l'équivalence des propriétés : (i) est régulier ; (ii) 4 est équidimensionnel et sans idéaux premiers immergés, et e(A) = 1 ; (iii) A est intègre et e(A) = 1. Démontrer les implications (i) =. (ii) =+ (iii). Remarquer que (?i) entraîne l'égalité e(Â) = 1 et que, pour démontrer (iii) (i), il suffit de démontrer que A est régulier. On peut donc, pour démontrer (iii) =+ (i), supposer A complet, ce que nous ferons désormais. Nous traiterons d'abord le cas où le corps résiduel K, possède une infinité d'éléments. On procède par récurrence sur la dimension de A. Examiner le cas dim(A) = O, et supposer désormais dim(A) > 0. 11 existe alors un élément superficiel x E A ($ 7, no 5, remarque 4). En vertu de la propriété de caténarité (exerc. 22) et de 3 3, no 1, prop. 1, pour tout idéal minimal p parmi ceux contenant xA, on a dim(A/p) = dim(A/xA). Comme on a e(A/xA) = 1 ($ 7, no 5, th. l), il existe un seul idéal premier minimal p parmi ceux contenant xA, et l'on a xAe = PA,, e(A/p) = 1 (exerc. 23). Par l'hypothèse de récurrence, A/p est régulier, donc integralement clos (5 5, no 2, cor. 1 au th. 1). Par le lemme de Hironaka (exerc. 22), on en déduit p = xA. Donc A/xA est régulier et comme A est intègre, A est régulier ($ 5, no 3, prop. 2). Supposons maintenant que K, soit un corps fini. Prouver qu'il suffit de démontrer que le gonflement AIX[ (IX, App., no 2) est régulier. Remarquer que A et par suite AIX[ est isomorphe a un quotient d'un anneau régulier (IX, 3 2, no 5, th. 3) et e(A]X[) = 1. D'après la théorie des est équidimensio* et sans idéaux anneaux de Macaulay (chapitre X) le complété [A premiers immergés. En déduire que A T [ est intègre (exerc. 23) et que e(A]X[) = 1, donc que est régulier. Conclure. *

.+

-

AX

B 25) Soient k un corps, A une k-algèbre locale, localisée en un idéal premier d'une k-algèbre de type fini. Montrer que A est régulière si et seulement si A est intègre et e(A) = 1.(On pourra s'inspirer de la méthode suivie dans l'exerc. 24 ou enzore remarquer que comme A est un quotient intègre d'un anneau régulier, l'anneau local A est équidimensionnel et sans idéaux premiers immergés.)

CHAPITRE IX

Anneaux locaux noethériens complets Dans ce chapitre, tous les anneaux sont supposés commutatifs; les algèbres sont associatives, commutatives et unifères. On note 1, l'élément unité d'un anneau A. Si A est un anneau et p un idéal premier de A, on note ~ ( ple)corps résiduel de l'anneau local A,. Si l'anneau A est local, on note m, son idéal maximal et K A ou ~ ( m , son ) corps résiduel. On dit qu'un homomorphisme d'anneaux p : A + B est plat (resp. fidèlement plat) s'il fait de B un A-module plat (resp. fidèlement plat). Rappelons (1, § 3, no 5, prop. 9) que si A et B sont locaux, p est fidèlement plat si et seulement s'il est plat et local.

9

1. VECTEURS DE W I T T

Dans tout ce paragraphe, p désigne un nombre premier. 1. Polynômes de Witt Pour tout entier n à O, on appelle n-ième polynôme de Witt l'élément 0, de Z B 0 , ..., X,] défini par

On a évidemment a>,

=

Xo et les relations de récurrence

Lorsqu'on affecte Xi du poids pi, le polynôme
PROPOSITION 1. - Soient A un anneau filtré et (J,),,, sa filtration. On suppose que l'on a J O = A et p. 1, E J,. Soient m et n des entiers tels que m 2 1 et n 2 0, et a,, ..., a,, b,, ..., b, des éléments de A. a ) Si l'on a ai r bi mod. Jm pour O < i < n, alors on a Qi(a0,..., a i ) cDi(b,, ..., b,) mod. Jm+i pour O < i < n . b ) Supposons que, pour tout entier k 3 1, et tout x E A, la relation p.x E J k + , entraîne x E Jk. Si l'on a
-

Lemme 1. - S i x et y sont deux éléments de A congrus modulo J,, on a xPn = yPnmod. J,,,

.

Par récurrence sur n, on se ramène au cas où n

=

1 XiYP-'-'

-

1. Notons F le polynôme

P- 1

de Z[X, Y ] .Vu l'hypothèse faite sur x et y, on a P(x, y ) z P(x, x )

i.= O.

p.xP-1 mod. J,. Or on a J , + p.A c J , , d'où P(x, y ) E J , . Finalement, xP - yP = ( x - y ) P(x, y ) appartient à J m J , c Jm+ ,. Démontrons a ) par récurrence sur n. Le cas n n 2 1, Sous les hypothèses de a), on a (4)

(5)

= bf mod. J,,,
pour O r


-

=

O est immédiat. Supposons

1 d'après le lemme 1 ,

a,_, (b;, ..., bn- ,) mod. Jm+,

d'après l'hypothèse de récurrence appliquée aux éléments de A, et (6)

@,(aor ..., a,) - pn.a, r @,(b,,..., b,)

-

4 ,..., ai-,,

bg, ..., bi-,

pn.b,mod.Jm+,

d'après les formules (2) et (5). Comme a, - b, appartient à .Tm, l'élément pn.a, - pn.b, appartient à Jm+, et on déduit de (6) la congruence @,(a,, ..., a,) @,(b,, ..., b,) mod. Jm+, , d'où a). Démontrons b ) par récurrence sur n. Le cas n = O est immédiat. Supposons n 3 1. Sous les hypothèses de b), on a ai bi mod. Jm pour O < i < n - 1 d'après l'hypothèse de récurrence, et on en déduit comme précédemment les congruences (4), (5) et (6). Mais par hypothèse @,(ao, ..., a,) et @,(b,, ..., b,) sont congrus mod. J,+,, et Son a donc pn.(a, - b,) E J,+,. Comme la relation p.x E Jk+ entraîne x E Jk pour tout x E A et tout k 2 1, on a a, - b, E J,, ce qui achève la démonstration.

-

-

,

2. Les applications f , v et @ Soit A un anneau. Munissons AN de la structure d'anneau produit. Notons f,, ou simplement S, l'endomorphisme (a,),,, H (a,, ,,,) de AN.Notons v,, ou simple-

,

NO 2

A C IX.3

VECTEURS DE WITT

ment v, l'endomorphisme du groupe additif sous-jacent à AN qui à (a,),,, associe (0, P.%,> P . U l , ...1. Pour tout entier m 3 0, notons cD, l'application de AN dans A qui à a = (a,),,, associe @,(ao, ..., a,). On note BA, ou simplement 0,l'application aw(
-

Lemme 2. -Soit A un anneau muni d'un endomorphisme o vérijiant o ( a ) aPmod. p. A pour tout a E A. Soient n 3 1 un entier et a,, ..., a,_, des éléments de A. Posons ui = @,(ao,..., a,) pour O d i < n - 1. Soit un un élément de A. Les conditions suivantes sont équivalentes : a ) Il existe a, E A tel que un = @,(a,, ..., a,). b ) On a o(u,-, ) = u, mod. pn. A. Pour O < i < n - 1, on a o ( a i ) = a; mod. p. A. D'après la prop. 1 du no 1 appliquée au cas où J, = pk.A (pour k E N) et où m = 1, on a la congruence (7)

@,-l(o(ao), ..., o(u,-,)) r @,-,(a:, ..., a:-,) mod. pn.A,

c'est-à-dire (8)

o(u,_ )

-

@,-

,(a;, ..., a:-,

) mod. pn.A

Or, d'après la formule (2), la relation un = @,(ao, ..., a,) équivaut à

Le lemme en résulte.

PROPOSITION 2. - Soit A un anneau. a ) Si p. 1, est non diviseur de O dans A, l'application
-

Soit u = (un),,, dans AN. Lorsque p. 1, est non diviseur de O dans A (resp. lorsque p. 1, est inversible dans A), il existe au plus une suite (a,),,, dans A (resp. exactement une suite (a,),, dans A ) satisfaisant aux égalités (IO), d'où a ) et b). Démontrons c). D'après le lemme 2, l'image A' de AN par @, est l'ensemble des u = (u,),,, dans AN tels que o(u,) un+,mod. P"+'.A pour tout n E N. Il en résulte aussitôt que A' est un sous-anneau de AN, stable par f, et .,O

-

Remarque. -Soient a = (a,),, et u = (un),,, des éléments de AN tels que u = @,(a), et m un entier 2 O. On déduit de (10) les assertions suivantes : Si les un, pour O < n < m, appartiennent à un sous-anneau B de A et si, pour tout x E A, la relation p.x E B entraîne x E B, alors les a,, pour O d n < m, appartiennent à B. Si A est muni d'une graduation de type N, si p. 1, est non diviseur de O dans A, si d E N et si un est homogène de degré dp" pour O < n d m, alors a, est homogène de degré dpn pour O < n < m.

3. Construction de polynômes

Soit A l'anneau Z[X, Y] des polynômes à coefficients entiers en deux familles d'indéterminées X = (X,),,, et Y = (Y,),,,. Soit 0 l'endomorphisme de A défini par 0(X,) = Xn et O(Y,) = Y; pour tout n E N. Alors p n'est pas diviseur de O dans A et l'ensemble des a dans A tels que @(a) aP mod. p.A est un sous-anneau de A contenant les X, et les Y,, donc égal à A tout entier. D'après la prop. 2 a) et c) du no 2, il existe des éléments S = (S,),,,, P = (P,),,,, 1 = (In)naNet F = (F,),,, de AN caractérisés respectivement par les égalités

-

Les éléments Sn, P,, 1, et F, de A sont donc caractérisés par les formules suivantes (où n parcourt N) :

Affectons X, et Y, du poids pn pour tout n E N. On déduit de la remarque du no 2 les assertions suivantes : a) On a Sn E ZIXo, ..., X,, Y,, ..., Y,] et Sn est isobare de poids pn. b) On a P, E ZIXO,..., X,, Y,, ..., Y,] et P,, est isobare de poids pn en chacune des familles (X,, ..., X,) et (Y,, ..., Y,). c) On a 1, E ZD<,, ..., X,] et 1, est isobare de poids pn. d) On a F, E ZIXO,..., X, + et F, est isobare de poids pn l. La formule (2) permet dans la pratique de déterminer les polynômes Sn, P,, 1, et F, de proche en proche. +

NO 3

VECTEURS DE WITT

Exemples. - 1) On a S,

=

X,

+ Y,

De plus, Sn - X, - Y, appartient à l'anneau Z[X,, ..., X,2) O n a

3) Lorsque p f 2, on a 1,

1, Il I2

= -

X,. Pour p

= -

X,

= -

(X2,

= -

x:

=

,,Y,,

..., Y,- ,].

2, on a

+ XI) -

x;x,

- x: - X,.

4) On a

F,

=

XP,

+ pX1

-

'

Comme on a @,(F,, ..., F,) = @,(XP,, ..., X,P) mod. pn+ .A pour tout n E N (formules (2) et (15)), il résulte de la prop. 1, b) qu'on a F, X,P mod. p.A pour tout n E N. Remarque. -Soit J l'ensemble des entiersj 3 1. Pour tout élémentj de J, définissons le polynôme q j de Z[(Xj),,,] par la formule

où la somme porte sur les éléments de J qui divisent j. Pour tout entier n 3 O, on a

Pour tout anneau A et tout élément m de J, on note cp, l'application de AJ dans A qui à (aj)j,J associe q,((~~)~,,);on note q,, ou simplement q , l'application de AJ dans lui-même qui à a = (u~)~,,associe (q,(a)),,. Soit A = Z[(Xj),,, (Yj)j,J] l'anneau des polynômes à coefficients entiers en les deux familles d'indéterminées X = (Xj)j,J et Y = (Yj)j,J. On peut montrer (p. 51, exerc. 34) qu'il existe dans A des éléments

AC IX. 6

ANNEAUX LOCAUX NOETHÉRIENS COMPLETS

caractérisés par les égalités suivantes :

4. L'anneau W(A) des vecteurs de Witt Soit A un anneau. Si a = (a,),,, et b = (b,),,, sont des éléments de AN, nous noterons SA(a, b) (resp. PA(a, b), resp. IA(a))ou simplement S(a, b) (resp. P(a, b), (resp. (Pn(ao,..., an; bo, ..., bn))nGN, resp. Va)) la suite (Sn(ao,..., an; bo, .-.,bn))nGN resp: (In(ao,..., a,)),,). En substituant a, à X, et b, à Y,, pour tout n E N, dans les formules (12), (13) et (14), on obtient les égalités

Nous noterons W(A) l'ensemble ANmuni des lois de composition SAet PA. Soit p :B + A un homomorphisme d'anneaux. Nous noterons pNou encore W(p) i'application de BN dans AN qui à l'élément b = (b,),,, de BN associe (~(b,)),,,. Il résulte aussitôt des définitions qu'on a

Lemme 3. - Soit A un anneau. I l existe un homomorphisme surjectg d'anneaux p :B 4 A, où B est un anneau satisfaisant aux conditions suivantes : p n'est pas diviseur de O dans B, et il existe un endomorphisme o de B tel que o(b) = bP mod. p. B pour tout b E B. Il suffit en effet de poser B = Z[(X,),,], de prendre pour o l'endomorphisme de B défini par o(Xa) = Xa pour tout a E A, et pour p l'homomorphisme de B dans A défini par p(Xa) = a pour tout a G A.

1. -a) Soit A un anneau (commutatif). Muni de l'addition SA et de la multiplication PA,W(A) est un anneau (commutatif). L'élément neutre pour l'addition est la suite O, dont tous les termes sont nuls ; l'élément neutre pour la multiplication est la suite 1, dont tous les termes sont nuls sauf celui d'indice O qui vaut 1,. L'opposé d'un élément a de W(A) est IA(a).

THÉORÈME

No 5

VECTEURS DE WITT

AC IX.7

) W ( A ) est b ) Soit p : B + A un homomorphisme d'anneaux. Alors W ( p ) : W ( B + un homomorphisme d'anneaux. c) Soit A un anneau. L'application @, est un homomorphisme d'anneaux de W ( A ) dans l'anneau produit AN. En particulier, pour tout n E N , l'application @,, :a H @,,(ao,..., a,,) est un homomorphisme d'anneaux de W ( A )dans A. Compte tenu des formules (16), (17),(19)et (20),il suffit de démontrer l'assertion a). Soit p : B + A un homomorphisme d'anneaux satisfaisant aux conditions du lemme 3. Soit B' le sous-anneau de BN formé des éléments (b,),,, tels que o(b,) =b,+ mod. pn+' .B pour tout n E N. D'après la prop. 2 du no 2 @, induit une bijection @; de W ( B ) sur B'. Au vu des formules (16) à (18) et des relations @,(O,) = O et @JIB) = 1, (n E N ) , on voit par transport de structure que W ( B ) est un anneau, d'élément neutre O, pour l'addition, 1, pour la multiplication, l'opposé de b étant IB(b). L'application W ( p ):W ( B )+ W ( A )est surjective. D'après les formules (19) et (20), la relation d'équivalence R sur W ( B )associée à l'application W ( p ) est compatible avec la structure d'anneau de W ( B ) .Comme W ( p )induit une bijection Y de l'anneau quotient W ( B ) / Rsur W ( A ) ,compatible avec les lois d'addition et de multiplication, l'assertion a ) se déduit de là par transport de structure.

,

DÉFINITION 1. - Soit A un anneau. L'anneau W ( A )est appelé l'anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans A. Pour a dans W ( A )et n dans N, l'élément @,(a) = @,(ao,..., a,) est parfois appelé la composantefantôme d'indice n de a.

Remarque. - Reprenons les notations de la remarque du no 3. Soit A un anneau. Si a et b sont des éléments de AJ et u = (rj),,, un élément de A ~on , note r,(a, b) l'élément (rj(a,b)),,, de AJ. Notons U ( A )l'ensemble AJ muni des lois de composition s, et p,. On peut montrer (p. 52, exerc. 35) que, muni de i'addition s, et de la multiplication p,, U ( A )est un anneau (commutatif); on l'appelle l'anneau de Witt universel de A. L'élément neutre pour l'addition est l'élément de U ( A )dont toutes les composantes sont nulles ;l'élément neutre pour la multiplication est l'élément de U ( A )dont toutes les composantes sont nulles sauf celle d'indice 1 qui vaut 1, ;l'opposé d'un élément a de U ( A )est i,(a). L'application
5. L'homomorphisme F et le décalage V Soit A un anneau. Dans la suite de ce paragraphe, on note respectivement + et x les lois d'addition et de multiplication dans W ( A ) .Nous écrirons aussi O pour O, et 1

'

pour 1,. On définit deux applications FAet V A(notées aussi simplement F et V )de W ( A )dans lui-même par les formules FA@)

=

(Fn(ao

9 ..-y

a,+ 1

V A @ ) = (0, a,, a,, .-

(pour a = (an),,, dans W ( A ) ) .L'application V As'appelle le décalage. La formule (25)

@ R o b ) ,..., Fn(a)) = @,+,(a,, ..., an+,)

(nE N )

résulte aussitôt de (15). On peut aussi l'écrire sous la forme

résulte de la relation (3). Soit p :B -t A un homomorphisme d'anneaux. Les relations

résultent aussitôt des définitions.

PROPOSITION 3. - Soit A un anneau. a ) L'application FA est un endomorphisme de l'anneau W ( A ) . b ) L'application V Aest un endomorphisme du groupe additif sous-jacent à l'anneau W(A). c ) Pour tout a dans W ( A ) ,on a FA(VA(a))= p.a (somme dans W ( A )de p termes égaux à a). d ) Quels que soient a et b dans W ( A ) ,on a

(somme dans W ( A )de p termes égaux à V A ( a x b)). e ) Posons p = V A ( l )= ( O 1, O , ...). Pour tout b dans W ( A ) ,on a

La lettre F est l'initiale du nom de Frobenius, et la lettre V celle du mot allemand Verschiebung.

No 5

AC IX.9

VECTEURS DE WITT

f ) Pour tout élément a de W(A) notons a*P le produit dans W(A) de p éléments égaux a a. Alors on a (33)

FA(a) = a*P mod. p. W(A) (idéal de W(A) engendré par p. 1)

Soit p :B + A un homomorphisme d'anneaux satisfaisant aux conditions du lemme 3 du no 4. Alors W(p):W(B) + W(A) est un homomorphisme surjectif d'anneaux, et @, : W(B) + BN est un homomorphisme injectifd'anneaux. De plus, fB : BN + BN est un homomorphisme d'anneaux. D'après les formules (26) et (28), on a @B

FB = f~O @B,

O

Fg

=

FA O W(P)

3

d'où aussitôt l'assertion a). L'assertion b) résulte de manière analogue des formules (27) et (29) et du fait que vB est un endomorphisme du groupe additif sous-jacent à BN. Soit a un élément de W(A), et choisissons un élément x de W(B) que W(p) applique sur a. Posons 5 = @,(x). Il résulte aussitôt des définitions de fB et v, qu'on a fB(vB(c))= p.5 (somme dans BNde p termes égaux à 5). D'après les formules (26) et (27) (où l'on remplace A par B), les éléments FB(VB(x))et p.x de W(B) ont donc même image p.5 par l'application injective QB, et ainsi sont égaux. La formule FA(V,(a)) = p.a résulte alors des relations (28) et (29). Ceci prouve c). Raisonnant de manière analogue, on ramène la démonstration de la formule (30) à celle de la relation

pour 5, q dans BN.O r cela résulte des égalités

Compte tenu de b) et c), la formule (31) résulte de la formule (30), où l'on remplace b par V,(b). La formule (32) est le cas particulier a = 1 de la formule (30). De façon analogue, on ramène la démonstration de la formule (33) à celle de la relation fe(5)

cP

-

5" mod. p.@,(BN),

où désigne le produit dans BNde p éléments égaux à 5. Par la prop. 2, c) du no 2, ceci équivaut au fait que pour tout n 3 O, on ait

-

Or, pour tout n 3 O, on a, par loc. cit., O(&,)

5,+

mod. P"+'B

AC IX. 10

ANNEAUX LOCAUX NOETHERIENS COMPLETS

puisque 5 = @,(x) ;on en déduit, grâce au lemme 1 du no 1,

Ceci prouve la relation voulue. Remarque. - Pour la définition d'applications analogues aux applications F et V , dans le cas de l'anneau de Witt universel, voir les exerc. 36,37 et 38, p. 52 et suivantes.

6. Filtration et topologie de l'anneau W(A)

Lemme 4. - Soient A un anneau et m 2 1 un entier. On a (34)

a = (ao, ..., am- 1 , O, ...)

+ (O,+ ..., O, am,am+

1,

m

...)

termes

pour tout a dans W ( A ) . Soit p : B -+ A un homomorphisme d'anneaux satisfaisant aux conditions du lemme 3 du no 4. Alors W ( p ):W ( B ) + W ( A ) est un homomorphisme surjectif d'anneaux, et @, :W ( B )+ BN est un homomorphisme injectif. Il suffit donc de prouver que l'on a

quels que soient b dans W ( B )et les entiers m >, 1, n 2 O. Or on a

m- 1

=

C

pi.bf"-'

si

m d n

i=O

d'où la formule (35). Soit A un anneau. Pour tout entier m >, O, on note V m ( A )l'ensemble des vecteurs de Witt a = (a,),,, tels que a, = O pour O S n < m. C'est l'image de la puissance m-ième V mde l'application V A .Les formules

résultent de la prop. 3 du no 5 par récurrence sur m. Elles entraînent que V m ( A )est un idéal de W ( A ) .

No

6

AC I X . l l

VECTEURS DE WITT

est unefiltration décroissante On pose V,(A) = W(A) si m < O. La suite (V,(A)),,, sur le groupe additif de l'anneau W(A). Elle est compatible avec la structure d'anneau de W(A) (III, 5 2, no 1, déf. 2) si et seulement si A est un anneau de caractéristique p (cj no 3, exemple 2 et infra, no 8, corollaire de la prop. 5). Dans la suite, on munira W(A) de la topologie b associée à la filtration (V,(A)),,,. Comme V,(A) est un idéal de W(A) pour tout m E Z, la topologie Z est compatible avec la structure d'anneau de W(A) (TG, III, p. 49, exemple 3). Soit a E W(A); les ensembles a V,(A), où m parcourt N, forment un système fondamental de voisinages de a pour Z. Or, il résulte du lemme 4 que a + V,(A) se compose des vecteurs de Witt b tels que ai = b, pour O < i < m. Par suite, G n'est autre que la topologie produit sur ANde la topologie discrète sur chacun des facteurs, et W(A) est donc un anneau topologique séparé et complet (TG, II, p. 17, prop. 10 et TG, III, p. 22, prop. 4). Notons r, (ou simplement r ) l'application de A dans W(A) qui à un élément a de A associe (a, 0, O, ...). On a @,(.t(a)) = aPnpour tout n E N. Pour tout homomorphisme d'anneaux p :B -+ A, on a W(p) o r, = r, o p.

2

+

PROPOSITION 4. - Soient a et b dans A et x a) On a les formules

=

(x,),,,

un élément de W(A).

b) La série de terme général Vn(r(x,)) est convergente dans W(A), de somme x. Soit n un entier positif. Le polynôme P,,(Xo, ..., X,, ; Y,, ..., Y,,) introduit au no 3 est isobare de poids pnen la famille (X,, ..., X,) lorsqu'on affecte Xi du poids pi. On a donc (40)

P,(X,, O, ..., O; Y,, ..., Y,)

=

XX"P,(l, O, ..., O ; Y,, ..., Y,).

Comme 1 = (1,0, O, ...) est élément unité de l'anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans ZC(X,),N, (Yn)nE~I, on a (41)

P,(l, O, ..., O; Y,, ..., Y,)

=

Y,.

Par substitution de a à X, et de xi à Yi, on déduit de (40) et (41) la relation : P,(a, O, ..., 0 ; x,, ..., x,)

=

apx,.

D'après la définition de la multiplication dans W(A), on a prouvé (39) ;la formule (38) est un cas particulier de (39). Démontrons b). Par définition, Vn(.t(x,)) est la suite dont toutes les composantes sont nulles, sauf celle d'indice n qui est égale à x,. Il résulte du lemme 4, par récurrence sur m, qu'on a

AC IX. 12

ANNEAUX LOCAUX NOETHÉRIENS COMPLETS

31

pour tout entier m 2 O ;on en déduit b) par passage à la limite puisque la topologie ïZ. sur W(A) est produit des topologies discrètes des facteurs A.

7. Les anneaux W,(A) des vecteurs de Witt de longueur finie DÉFINITION 2. -Soient quotient W(A)/V,(A).

A un anneau et n 2 1 un entier. On note W,(A) l'anneau

Étant donnés des éléments a,, ..., a,-, de A, on note [a,, ..., a,- ou [ u , ] , ~ ,
pour tout a = (a,),,, dans W(A). D'après la définition des opérations dans W(A), on a la description suivante des opérations dans W,(A) :

De plus, l'élément neutre de l'addition dans W,(A) est [O, ..., O] et celui de la multiplication est [l, 0, ..., O]. Soit i un entier tel que O < i < n. Par passage au quotient, l'homomorphisme
pour tout [b,, ..., b,-,] dans W,(B). Soient m et n deux entiers tels que 1 < n < m. On a V,(A) 3 V,(A), d'où un homomorphisme canonique de W,(A) = W(A)/V,(A) sur W,(A) = W(A)/V,(A); on notera n,,, cet homomorphisme. On a explicitement

NO7

VECTEURS DE WITT

AC IX.13

pour [a,, ..., am-,] dans W,(A). La famille (W,(A), n,,,) est un système projectif d'anneaux et l'application 7c :a H(n,(a)),, est un homomorphisme d'anneaux de W(A) dans i @ W,(A), dit canonique. Comme W(A) est séparé et complet pour la filtration (V,(A)),,z (cf: no 6), I'homomorphisme canonique n est un isomorphisme d'anneaux topologiques, lorsque I'on munit W,(A) de la topologie discrète pour tout entier n 2 1 (III, 5 2, no 6). Désormais, les homomorphismes 7c, et n,,, seront qualifiés d'homomorphismes de projection de W(A) dans W,(A), et de W,(A) dans W,(A) respectivement.

,

Exemples. - 1) L'homomorphisme Bo :W, (A) -+ A est un isomorphisme. 2) Explicitons les opérations dans W2(A).On a

pour [a,, a,] et [b,, b,] dans W2(A). Les composantes fantômes de [a,, a,] sont a, et aP, + p.al. 3) Soit n 2 1 un entier. Si a,, ..., a,-, ,b,, ..., b,-, sont des entiers tels que ai bi mod. p pour O 9 i < n, on a (no 1, prop. 1)

-

Par suite, 0 - ,définit par passage aux quotients un homomorphisme d'anneaux q, :W,(Z/pZ) + Z/pnZ. L'image de q, est un sous-groupe de Z/pnZ contenant 1, donc q, est surjectif.Comme les ensembles finis W,(Z/pZ) et Z/pnZont même cardinal pn,
est commutatif. Il en résulte que

Par passage aux quotients, i'endomorphisme Vn du groupe additif de W(A) définit un homomorphisme Vk du groupe additif de Wm(A)dans celui de Wm+,(A). Autrement dit, on a un diagramme commutatif

Par passage aux quotients, on déduit de la suite exacte (E) une suite exacte

On a vmraO,..., am-,1

(45)

=

[O,..., O, a,, ..., am-

+

,l,

n fois

pour tout élément [a,, ..., am-,] de Wm(A). D'après la prop. 3, c) du no 5, on a FVm+'(a) = p.Vm(a) pour tout a dans W(A) et on a par suite F(Vm+,(A))c Vm(A).Par récurrence sur n, on en déduit que Fn applique V,+,(A) dans Vm(A),et définit donc, par passage aux quotients, un homomorphisme d'anneaux Fk :W,+,(A) + Wm(A).Par construction, on a un diagramme commutatif Fn

Rappelons (no 3) que le polynôme Fi appartient à ZIXo, ..., Xi+,] pour tout entier i 3 O ; l'homomorphisme Fm de Wm+,(A) dans Wm(A)s'explicite donc comme suit :

Soient a E Wm(A),a' E Wm(A)et b E Wm+,(A). Les formules suivantes résultent par passages aux quotients de la prop. 3 du no 5 :

V;(U

F;(Vm(a))

=

FA(^))

=

p.a b

VA(a) x VA(a1) = p.Vk(a x a') vk(Fm
, = [O, 1, 0,u ..., O]).

(avec pm+

m

-

1 fois

X

b

No

8

VECTEURS DE WITT

AC IX.15

8. L'anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans un anneau de caractéristique p PROPOSITION 5. - Soit A un anneau de caractéristique p (A, V , p. 2). Quels que soient les éléments a et b de W ( A ) ,et les entiers positqs mm, n, on a, si a = (a,),,,,

F(a) = (a:),,, p.a = V F ( a ) = FV(a) = (O, a!, a l , ...) V m ( a )x V n ( b )= Vm+"(Fn(a)x Fm(b)).

(51) (52) (53)

La formule (51)résulte de l'exemple 4 du no 3. On déduit aussitôt de la l'égalité

V F ( a ) = F V ( a ) = (O, a!, a;, ...), et l'égalité p.a = FV(a) a été prouvée (no 5, prop. 3), d'où (52). Prouvons (53).D'après la formule (37)(où l'on substitue V n ( b )à b),on a

De la formule (37), on déduit aussi

La formule (53) résulte alors de (54) et (55) et de la relation Fmo V" elle-même conséquence de (51).

=

V n0 Fm,

COROLLAIRE. - Si m et n sont deux entiers positifs, on a

Cela résulte de la formule (53),car V m ( A )est l'image de V m:W ( A ) + W ( A ) . 1

PROPOSITION 6. - Soit A un anneau. a ) Pour tout entier k > 1, on a ( V I(A))k= pk- '.Vl(A). b ) Supposons que A soit un anneau de caractéristique p. Sur l'anneau W ( A ) , la topologie V,(A)-adique et la topologie p-adique coïncident, et elles sont plusfines que la topologie produit 3 (cJ: no 6). L'anneau W ( A )est séparé et complet pour la topologie p-adique. Prouvons a ) par récurrence sur k. Le cas k = 1 est évident. Supposons k > 2. D'après l'hypothèse de récurrence, on a V l ( A ) k - l = pk-2.V,(A) et par suite V , (A)k = pk-2 .(VI (A))'. Mais il résulte de la prop. 3, d), formule (31),du no 5 qu'on a ( V I(A))2= p.Vl ( A ) , d'où a). Supposons maintenant que A soit de caractéristique p. Comme on a

p. W ( A ) = V F ( W ( A ) )c V , ( A ) (formule (52)), BOURBAKI.

- Algèbre

coiniriiriiiiii c.

-

i

AC IX. 16

ANNEAUX LOCAUX NOETHÉRIENS COMPLETS

01

on déduit de a ) les inclusions pk.W(A) c ( V l ( A ) ) kc pk-'.W(A), et du corollaire à la prop. 5 l'inclusion ( V , (A))kc V k ( A ) pour , tout entier k > 1. La première assertion de b ) en résulte. Soit k un entier b 1. D'après la formule (52),l'idéal p k . W ( A )de W ( A )est l'ensemble des éléments a = (a,,),,,, de W ( A ) tels qu'on ait a,, = O pour n < k et a,, E A P ~ pour n 3 k. Il est donc fermé pour la topologie G. Comme W ( A )est séparé et complet pour la topologie Z (no 6 ) et que les idéaux pk.W(A) de W ( A ) ,pour k 1, forment une base de voisinages de O dans W ( A ) pour la topologie p-adique, l'anneau W ( A ) est séparé et complet pour la topologie p-adique (TG, III, p. 26, cor. 1 à la prop. 10). PROPOSITION 7. Soit A un anneau parjàit de caractéristique p. a ) Pour tout élément a = (a,),,, de W ( A ) , la série de terme général pnz(ai-") est convergente dans W ( A ) , de somme a. b ) Sur W ( A ) , la topologie V , (A)-adique, la topologie p-adique et la topologie 'e coïncident. Plus précisément, on a V n ( A )= pn.W(A) = (V,(A))" pour tout entier n 3 0. En particulier @, déjinit un isomorphisme de W ( A ) / p . W ( A )sur A. Par définition (A, V , p. 5), l'application a H aP est un automorphisme de I'anneau A. D'après la prop. 5, F est donc un automorphisme de l'anneau W ( A ) , et l'on a, pour tout n E N, -

En particulier, on a (V,(A))" = (p.W(A))" D'après la prop. 5, on a

=

pn.W(A). L'assertion b ) résulte de là.

et l'assertion a ) résulte de la prop. 4 du no 6.

PROPOSITION 8. Soit A un corps de caractéristique p. L'anneau W ( A )est un anneau local intègre séparé et complet, d'idéal maximal V I( A ) et de corps résiduel isomorphe a A. Si le corps A est parjàit, l'anneau W ( A ) est un anneau de valuation discrète, et son idéal maximal est p. W ( A ) . L'homomorphisme O et n > 0, et des éléments a' = (a:),,, et b' = (K),,, de W ( A )tels que a = Vm(a'),b = V"(bl) et que les éléments ab et i$ de,A soient non nuls. Alors la composante d'indice m + n de a x b est égale à la composante d'indice O de Fn(a') x Fm(b') (formule (53)), c'est-à-dire à a:"@"' (formule (51) et no 3, exemple 2). Par suite a x b est non nul et W ( A )est intègre. Si le corps A est parfait, l'idéal maximal V l ( A ) de W ( A ) est égal à p.W(A) -

NO

1

AC IX.17

ANNEAUX DE COHEN

(prop. 7,b))et par suite W ( A )est un anneau de valuation discrète (VI, 5 3, no 6, prop. 9, cl). Remarques. - 1) Soit A un corps de caractéristique p. On peut montrer que l'anneau W ( A )est noethérien si et seulement si A est parfait (p. 43, exerc. 9). 2 ) Soit A un anneau de caractéristique p. D'après la prop. 5, on a les formules

pn.[ao, ..., an+,- ,]

=

[O, ..., O, aPgn,..., C-rJ

n fois

pour tout vecteur de Witt [a,, ..., a,+,- ,] de longueur n + m. En fait, l'application F : W ( A ) -, W ( A ) permet, par passage aux quotients par V,(A), de définir une application :W,(A) -+ W,(A). On a la formule

-

,

Les applications VA 0 Fm et Fm+,0 VA de W,(A) dans W,+ ( A ) sont égales et sont déduites, par passage au quotient, de la multiplication par p dans W,,, (A).

$ 2. ANNEAUX DE COHEN

Dans tout ce paragraphe, p désigne un nombre premier. 1. p-anneaux 1. - On dit qu'un anneau C est un p-anneau si l'idéal pC de C est maximal, et si C est séparé et complet pour la topologie pC-adique. Soit C un anneau ; si pl, est nilpotent et si l'idéal pC de C est maximal, C est un panneau, car la topologie pl-adique de C est discrète. Plus particulièrement, tout corps de caractéristique p est un p-anneau. DÉFINITION

PROPOSITION 1. - Soit C un p-anneau. a ) L'anneau C est local, d'idéal maximal pC. b ) Supposons pl, nilpotent. Soit d le plus petit entier positif tel que pdl, = O. Les zdéaux de C sont de laforme pkC avec O < k < d et l'on a pkC # p' C lorsque k et 1 sont deux entiers distincts vériJiant O < k < d, O < 1 < d. Le C-module C est de longueur d. c ) Supposons que pl, ne soit pas nilpotent. Alors C est un anneau de valuation discrète dont le corps résiduel est de caractéristique p, et le corps des fractions de caractéristique O. Les idéaux de la forme pnC, avec n E N , sont deux à deux distincts ; ils forment tous les idéaux non nuls de C. Le C-module C n'est pas de longueurfinie.

AC IX. 18

52

ANNEAUX LOCAUX NOETHÉRIENS COMPLETS

L'assertion a) résulte de la prop. 19 de III, 9 2, no 13. On a fl pnC = { O ) par hypothèse. Soit x # O dans C ; il existe un entier n 3 O na0 tel que x E pnC,x 4 p"+ 'C ;il existe donc un élément y de C tel que x = pny; comme y n'appartient pas à pC, y est inversible. Supposons que pl, ne soit pas nilpotent. Si x et x' sont deux éléments non nuls de C, il existe deux entiers n 3 0, n' 3 O et deux éléments inversibles y, y' de C tels que x = pny,x' = pn'y'.On a alors xx' = pn+n'yy' # O, donc C est intègre. Comme C est un anneau local, mais n'est pas un corps et que l'idéal maximal m, = pC de C est principal, C est un anneau de valuation discrète (VI, 3 3, no 6, prop. 9). Les idéaux non nuls de C sont alors de la forme pnC d'après loc. cit., prop. 8, et sont deux à deux distincts. En particulier, l'anneau C n'est pas artinien, donc le C-module C n'est pas de longueur finie. Le corps résiduel C/pC de C est de caractéristique p. Soit q la caractéristique du corps des fractions de C. On a pl, # O, d'où p # q. Par ailleurs, si q était non nulle, on aurait ql, = O donc C/pC serait de caractéristique q # p, ce qui est absurde. Ceci prouve c). Supposons que pl, soit nilpotent. Soit d le plus petit entier positif tel que pdlc= 0. On a une suite d'idéaux iE)

C

3

pc

3

p2C 2 ...

3

3

pdC = { O ) .

Si k est un entier tel que O < k < d et pkC = pk+lC, on en déduit pd-k-lpkC = p d - k - l p k + l c = { O ] contrairement à l'hypothèse pd-'l, # O. Donc les éléments de la suite (E) sont deux à deux distincts. Soit a un idéal de C et soit k le plus petit entier positif tel que a 3 pkC. Soit x un élément non nul de a ; on a vu que x est de la forme pmu avec m 3 O et u inversible dans C. On a donc pmC c a, d'où m 3 k, et finalement x E pkC. En conclusion, on a a = pkC. La suite (E) est alors une suite de Jordan-Holder du C-module C, qui est de longueur d. COROLLAIRE 1. - Si le p-anneau C est intègre, c'est un anneau de valuation discrète, ou un corps de caractéristique p. Supposons C intègre. Si pl, est nilpotent, on a pl, = O, et {O 1 est un idéal maximal de C, donc C est un corps de caractéristique p. Si pl, n'est pas nilpotent, alors C est un anneau de valuation discrète d'après la prop. 1, c). COROLLAIRE 2. - Soient C un p-anneau et a un idéal de C distinct de C. L'anneau C/a est un p-anneau. On peut supposer a # {O). Il existe alors un entier i 3 1 tel que a = pic ; l'idéal pC/a de C/a est maximal et l'on a pile, = O, donc C/a est un p-anneau. Soit C un p-anneau. On appelle longueur de C, et l'on note l(C), la borne supérieure dans R de l'ensemble des entiers n 3 1 tels que pn-'1, # O. Lorsque l(C) est finie, c'est la longueur du C-module C, et lorsque 1(C)est égale à co,le C-module C n'est pas de longueur finie (prop. 1).

+

No

1

ANNEAUX DE COHEN

AC IX. 19

Exemples. -1) Pour tout entier n 2 1, l'anneau Z/pnZest un p-anneau de longueur n. L'anneau Z, des entiers p-adiques est un p-anneau de longueur infinie. 2) Soit K un corps parfait de caractéristique p. D'après la prop. 8 du § 1, no 8, l'anneau W(K) des vecteurs de Witt est un p-anneau de longueur infinie. L'application (a,),,, H a. induit par passage au quotient un isomorphismede W(K)/pW(K) sur le corps K (loc. cit., prop. 7). Pour tout entier n 3 1, l'anneau W,(K) est un p-anneau de longueur n.

=

W(K)/P"W(K)

2. - Soient C et C' deux panneaux et u un homomorphisme de C dans PROPOSITION C'. Soit v l'homomorphisme de K, = C/pC dans K,, = C1/pC'déduit de u par passage aux quotients. a) On a 1(C) 2 1(C') et u est injectifsi et seulement si l'on a l(C) = l(C'). b) Pour que u soit surjectif; il faut et il sufit que v soit un isomorphisme. c) Pour que u soit un isomorphisme, il faut et il sufit que v soit un isomorphisme et qu'on ait 1(C) = 1(Cf). Soit n 2 1 un entier. On a U(~"-'I,) = pn-Il,., donc la relation pn-'l,, # O entraîne pn-'1, # O et lui est équivalente si u est injectif. On a donc l(C') d 1(C) avec égalité si u est injectif. Si u n'est pas injectif, il existe un entier i < l(C) tel que le noyau de u soit l'idéal pic de C ;on a alors pilC. = O, d'où l(C') d i. Ceci prouve a). . des corps, l'homomorphisme v est injectif. Si u est surjectif, Comme K~ et K ~ sont il en est de même de v qui est donc un isomorphisme. Réciproquement, supposons v surjectif. Alors pour tout entier n 2 0, l'application v, :pnC/pn+'C -+ pnC'/pn+'C' déduite de u est surjective. Comme C est complet pour la filtration pC-adique et C' séparé pour la filtration pC'-adique, u est surjectif d'après le cor. 2 du th. 1 de III, § 2, no 8. Ceci prouve b). Enfin, c) résulte de a) et b). PROPOSITION 3. - Soit (C,, n,,,) un système projectifd'anneaux relatifà l'ensemble d'indices N. On suppose que C, est un p-anneau pour tout n E N et que les homowiorphismes IT,,, sont surjectifs. Alors C = @ C, est un p-anneau, et pour tout n E N , l'homomorphisme canonique n, :C + C, est surjectif et induit un isomorphisme de K, sur K,--. Comme les applications n,,, sont surjectives, il en est de même des applications n, (E, III, p. 58, prop. 5). Montrons que C est un p-anneau. Soit d, la longueur de C,. D'après la prop. 2 a), la suite des éléments d, de N u ( + co ) est croissante ; si elle est stationnaire, il existe un entier no tel que n,,, soit un isomorphisme de Cmsur C, lorsque no ,< n < m, de sorte que C, isomorphe à C,,, est un p-anneau. Il suffit donc de considérer le cas ou chaque d, est fini et où la suite (d,) tend vers + m. Munissons l'anneau C de la filtration triviale (III, 9 2, no 1, exemple 5). Pour n E N, soit 1, le noyau de n, ;posons In = C si n < O. Notons E le C-module C muni de la filtration (I,),,. Il est séparé et complet, car la topologie b définie par la filtration (In),,, est la topologie limite projective des topologies discrètes sur les C,.

Soit k un entier 3 1. On a P ~ C c li@pkC,) (E, III, p. 55, formule (9)). Réciproquement, si x = (x,),,, ~l@(p~C,)et si on pose X, = {y E CInn(pky)= x,), la suite (X,),,, est une suite décroissante de parties affines fermées non vides de E. Comme E/I, est un C-module artinien, l'intersection des X, est non vide (III, 4 2, no 7, prop. 7) ; pour tout z E r) X, on a pkz = X. NOUSavons donc prouvé qu'on a pkC = l & pkC, nsN

pour tout entier k 2 1. En particulier l'idéal pkCde C est fermé pour la topologie Z. Sur C, la topologie p-adique est plus fine que la topologie Z car on a pdnCc 1,. Il résulte alors de TG, III, p. 26, cor. 1 à la prop. 10, que C est séparé et complet pour la topologie pl-adique. En outre on a pC = lim pC, = n;'(pC,) et donc l'homomorphisme surjectif de C/pC dans C,/pC, déduitde n, est un isomorphisme. Ceci montre que l'idéal pC de C est maximal et par suite que C est un p-anneau. La dernière assertion de la prop. 3 résulte de la prop. 2 b).

2. Anneaux de Cohen DÉFINITION 2. - Soit A un anneau local séparé et complet, dont le corps résiduel est de caractéristique p. On appelle sous-anneau de Cohen de A un sous-anneau C de A qui est un p-anneau tel que A = m, + C (i.e. A/mA = C/(m, n C)). Si C est un sous-anneau de Cohen de A, l'idéal mA n C de C est maximal, donc égal à pC. L'application canonique de K, = C/pC sur KA = A/m, est donc un isomorphisme de corps. Exemple. - Soit C un p-anneau. L'anneau de séries formelles A = C[[T,, ..., T,]] est un anneau noethérien, local, séparé et complet, dont l'idéal maximal est engendré par la suite (p, T l , ..., T,). Il est immédiat que C est un sous-anneau de Cohen de A. Ceci s'applique en particulier lorsque C est égal à Z,, à Z/pnZou à un corps de caractéristique p. THÉORÈME 1. - Soit A un anneau local, séparé et complet, dont le corps résiduel k est de caractéristique p. Soit n l'application canonique de A sur k, et soit S une partle de A, telle que n induise une bijection de S sur une p-base de k (A, V, p. 95). a) Il existe un sous-anneau de Cohen C de A contenant S, et un seul. b) Le sous-anneau C de A est fermé, et la topologie pl-adique de C est induite par la topologie mA-udique de A. c) Tout sous-anneaufermé A' de A, contenant S, et tel que A = A' + m,, contient C.

A) Cas particulier : m, nilpotent Soit n un entier positif tel que m"' = {O}. Si @, est le n-ième polynôme de Witt (4 1, no l), l'application u :[a,, ..., a,] H @,(a,, ..., a,) est un homomorphisme d'anneaux de W,+,(A) dans A (4 1, no 7). Soit B, l'image de u et soit C, le sousanneau de A engendré par B, u S.

No

2

AC IX.21

ANNEAUX DE COHEN

Lemme 1. - Soit A' un sous-anneau de A contenant S. Pour que A' contienne C,, il faut et il sufit qu'on ait A' + m, = A. On a pA c m, et B, se compose des éléments de la forme a$" + pu;"-' + ... + pna, avec a,, ..., a, dans A. Par suite, on a n(B,) = kP", d'où n(C,) = kPn[n(S)]. Mais comme n(S) est une p-base de k, on a k = kP"[n(S)] (A, V, p. 96), d'où n(C,) = k, c'est-à-dire C, + m, = A. Soit A' un sous-anneau de A contenant S. Si A' contient C,, on a

A ' + m , ~ C , + m , = A , d'où A 1 + m A = A . Réciproquement, supposons qu'on ait A' + m, = A. Soient a,, ..., a, des éléments de A; il existe par hypothèse des éléments a;, ..., an de A' tels que ai r a; mod. m, pour O d i d n. D'après la prop. 1 du 1, no 1 et l'hypothèse m A = {O}, on a donc @,(a,, ..., a,) = @,(ab, ..., ai) E A', d'où B, c A'. Comme C, est l'anneau engendré par B, u S, on a C, c A'.

+

Dans l'ensemble S des sous-anneaux A' de A contenant S et tels que A' m, = A, il existe d'après le lemme 1 un plus petit élément C, et Von a C, = C pour tout entier n 3 O tel que m;" = {O}. On a C + m, = A par construction et pl, est nilpotent. On a évidemment pC c C n m, et le lemme 2 qui suit montre donc que pC est un idéal maximal de C et par suite que C est un sous-anneau de Cohen de A. Lemme 2. - On a C n m, c pC. Choisissons un entier m 2 1 tel que m; = (O}, d'où C = Cm = Cm-,. Soit A la partie de N(S)formée des familles à support fini d'entiers (a,),,, satisfaisant a O d a, < pm pour tout s E S. Comme Bm contient sPm= am(s,O, ..., 0 ) pour tout s E S, les monômes Z, = sas, où a parcourt A, engendrent Cmcomme B,-module.

n

SES

De plus, d'après la formule @,(a,, ..., a,)

=

+ fl,-,(a,,

..., a,),

tout élément de Bmest de la forme aPm+ pb avec a E A et b E B,élément de C = Cmest de la forme

,.Par suite tout

avec c, E A pour tout a E A, et y E Cm- = C. Six appartient à C n m,, on an(x) = O d'où n(c,)Pmn(Z,) = O. Comme x(S) est une p-base de k, on a n(c,) = O pour

1

asA

tout a E A d'après A, V, p. 96. On a alors c, E m,, d'où ca D'après (l),on a x = py, d'où le lemme 2.

=

O et a fortiori eu"' = 0.

On a pmC = m; = {O} pour m assez grand et l'assertion b) est donc triviale. L'assertion c) résulte du lemme 1. Si C' est un sous-anneau de Cohen de A contenant S, on a C' 3 C d'après le lemme 1. Mais comme l'inclusion de C dans C' induit un

isomorphisme de K, sur K,, , on a C a).

=

C' (no 1, prop. 2, b)), et ceci achève de prouver

B) Cas général Pour tout entier n 2 O, notons A, l'anneau local A/mA1, m, = mA/m;+' son idéal maximal et TC, l'homomorphisme canonique de A sur A,. D'après A), il existe un unique sousianneau de Cohen C, de A, contenant TC,(S).Lorsque O < n < m, on note TC,,, l'homomorphisme canonique de A, sur A,. D'après le cor. 2 de la prop. 1 du no 1, TC,,,(C,) est un p-anneau; on a x,,,(C,) + m, = A,, donc a,,,(C,) est égal au sous-anneau de Cohen C, de A,. D'après la prop. 3 du no 1, le sous-anneau lim C, de @ A, est un p-anneau. Posons C = n TC,-'(C,). Comme C est l'image t n tN

réciproque de & I C, par l'isomorphisme a H (n,(a)),,, de A sur @I A,, c'est un sous-anneau fermé de A, et un p-anneau. On a TC,(C)= C, pour tout n E N (no 1, prop. 3), et en particulier TC,(C)= A,, c'est-à-dire TC(C) = k. Donc C est un sousanneau de Cohen de A. Pour tout entier n >, O, posons J, = C n mi. Comme l'anneau local A est séparé, J, = {O), et vu la structure des idéaux d'un p-anneau (no 1, prop. l), tout on a fl ntN

idéal de C de la forme pkC contient l'un des J,. Réciproquement, J, contient pnC. Par suite, la topologie pC-adique de C est induite par la topologie mA-adiquede A. Ceci prouve b). Soit A' un sous-anneau fermé de A, contenant S et tel que A' + m, = A. Comme A' est fermé, on a A' = n x;'(nn(Ai)). On a n,(A') 2 TC,(S)et n,(A1) + m, = A,, neN

'

d'où TC,(A')2 C, d'après ce qu'on a vu en A). Finalement, on a TC; '(n,(A')) 3 TC; (C,) d'où A' 3 C. Ceci prouve c). On en déduit l'unicité d'un sous-anneau de Cohen comme en A). Remarque. Supposons que pl, ne soit pas nilpotent (ceci a lieu en particulier lorsque A est un anneau intègre dont le corps des fractions est de caractéristique 0). Alors C est un anneau de valuation discrète dont le corps des fractions est de caractéristique O. -

3. Existence et unicité des p-anneaux PROPOSITION 4. Soient C et C' deux p-anneaux tels que 1(C) l(C'), TC (resp. TC') l'homomorphisme canonique de C (resp. C') sur ic, (resp. K,,). Soit (x,),,, (resp. (xi),,,) une famille d'éléments de C (resp. C') dont l'image par TC (resp. TC')soit une p-base de K~ (resp. ic,.). Soit v un isomorphisme de K, sur K., tel que v(Tc(x,))= n'(xi) pour tout h E A. I l existe alors un unique homomorphisme u de C dans C', tel que v 0 TC = n' 0 u et u(x,) = xi pour tout h E A. Il est surjectif: Si l(C) = /(CI), c'est un isomorphisme. Prouvons l'existence de u. Soit A le sous-anneau de C x C' formé des couples L'application (x, x') H ~ ( xest ) un homomorphisme (x, x') tels que u(x(x)) = TC'(X'). -

No

3

ANNEAUX DE COHEN

AC IX.23

. noyau m, égal à pC x pC' est donc un idéal surjectif d'anneaux de A sur K ~ Son maximal de A. Le sous-espace topologique A de C x C' est fermé dans C x C', donc complet, et la topologie induite sur A par celle de C x C' est la topologie madique. Par suite A est un anneau local séparé et complet d'idéal maximal m (III, § 2, no 13, prop. 19). Pour tout h E A, on a (x,, xi) E A par hypothèse ; si E,, est Ia classe de (x,, xi) modulo m, la famille (E,,),,, est une p-base du corps A/m. D'après le th. 1 du no 2, il existe un sous-anneau de Cohen C" de A, et un seul, contenant (x,, xi) pour tout L E A. On a 1(CW) = 1(C) 3 l(C'). La restriction à C de la projection de C x C' sur C est un homomorphisme h : C -+ C qui induit un isomorphisme de K~ sur K,. D'après la prop. 2, c) du no 2, h est un isomorphisme de C" . sur C. On voit de même que la restriction h' à C" de la projection de C x C' sur C' est un homomorphisme surjectif de C dans C'. Par suite, C" est le graphe d'un homomorphisme surjectif u = h' o h-' de C sur C', et l'on a évidemment v o x = x' o u, u(x,) = xi pour tout h E A. En outre, si 1(C) = l(C1),u est un isomorphisme. Prouvons l'unicité de u. Soit ul un homomorphisme de C dans C' tel que v 0 x = n' 0 u, et ul (x,) = x; pour tout h E A, et soit Cl le graphe de u,. Il est immédiat que Cl est un sous-anneau de Cohen de A, contenant (x,, x;) pour tout h E A, d'où Cl = C (th. 1 du no 2) et finalement u, = u.

PROPOSITION 5. - Soit k un corps de caractéristique p, et soit n un entier 3 1, ou + co.Il existe un p-anneau de longueur n dont le corps résiduel est isomorphe à k. L'anneau W(k) des vecteurs de Witt à coefficients dans k est un anneau local intègre séparé et complet, dont le corps résiduel est isomorphe à k ($ 1, no 8, prop. 8), et on a p. 1,(,, # O (loc. cit., formule (52)).Soit C un sous-anneau de Cohen de W(k) (no 2, th. 1). Alors C est un p-anneau de longueur + co dont le corps résiduel est isomorphe à k, et, si n est un entier 3 1, le quotient C/pnC est un p-anneau de longueur n dont le corps résiduel est isomorphe à k. Remarques. - 1) Soient n un entier > 1 et S une p-base de k. On peut montrer que le sous-anneau de Wn(k)engendré par Wn(kP")et par les éléments [E,, O, ..., O ] (6 E S), est un p-anneau de longueur n dont le corps résiduel est isomorphe à k (cf. p. 72, ex.erc. 10). 2) Le lecteur trouvera en Appendice une démonstration de la prop. 5 qui n'utilise ni les résultats du 1, ni le théorème d'existence de sous-anneaux de Cohen (no 2, th. 1). COROLLAIRE. - Soit C un p-anneau de longueur $nie n. Il existe un p-anneau C' de longueur infinie tel que C soit isomorphe à C'/pnC'. D'après la prop. 5, il existe un p-anneau C' de longueur infinie tel que K,. soit isomorphe à K,. Alors C'/pnC' = CEest un p-anneau de longueur n, et le corps K , ~ est isomorphe à K,., donc à K,. D'après la prop. 4, les anneaux C et Cfnsont donc isomorphes.

4. Représentants multiplicatifs PROPOSITION 6. - Soit C un p-anneau, dont le corps résiduel k soit parfait. Supposons C de longueur finie n (resp. infinie). Il existe un unique isomorphisme u :W , ( k ) + C (resp. u :W ( k ) -+ C) qui induise par passage aux quotients l'application identique de k. Comme W,(k) (resp. W ( k ) )est un p-anneau de corps résiduel k, et de longueur n (resp. de longueur infinie) (no 1, exemple 2), et que 0est une p-base du corps parfait k, la prop. 6 est un cas particulier de la prop. 4 du no 3. THÉORÈME 2. - Soient A un anneau local séparé et complet, k son corps résiduel et n l'homomorphisme canonique de A sur k. On suppose que k est un corps parfait de caractéristique p. a ) Il existe un unique homomorphisme d'anneaux u :W ( k )-+ A tel que n(u(a))= a, pour a = (a,),,, dans W ( k ) . b ) L'homomorphisme u est continu lorsqu'on munit W ( k ) de la topologie pW(k)adique, et l'image de u est l'unique sous-anneau de Cohen de A. D'après le th. 1du no2, il existe un unique sous-anneau de Cohen de A ;notons-le C. Soit u un homomorphisme de W ( k )dans A tel que n(u(a))= a, pour tout a = (a,),,, dans W ( k ) ;il est immédiat que l'image de u est un sous-anneau de Cohen de A, donc égal à C. L'existence et l'unicité de u résultent alors de la prop. 6. La topologie pC-adique de C est induite par la topologie mA-adiquede A (no 2, th. 1, b)), d'où la continuité de u. Pour une construction directe de u, voir p. 70, exerc. 6. PROPOSITION 7. - Conservons les hypothèses et notations du th. 2.11 existe une unique partie multiplicative S de A telle que n induise une bijection de S sur k. Pour qu'un élément a de A appartienne à S, il faut et il suffit que pour tout n E N , il existe un élément a, de A tel que a = an". L'ensemble S est l'ensemble des éléments de la forme u(x,O, O, ...). Prouvons tout d'abord l'unicité de S. Soit S une partie multiplicative de A, telle que 71. induise une bijection de S sur k. Soit T Sensemble des éléments de A qui sont des puissances pn-ièmes pour tout n E N. a ) On a S c T : Soient a E S et n E N ; comme le corps k est parfait, il existe un élément x, de k tel que xff = n ( a ); comme on a x ( S ) = k, il existe un élément a, de S tel que x, = n(a,). On a alors 7t(ann)= n(a) d'où ann = a puisque la restriction de 7t à S est injective. b ) La restriction de K à T est injective : soient a et b deux éléments de T tels que ~ ( a=) a(b).Soit n E N ;il existe deux 6léments a, et b, de A tels que a = ann,b = b;". On a alors . n ( ~ , ) ~=" n(b,)Pn, d'où nia,) = n(b,), c'est-à-dire a, b, mod. m,. bnZnmod. mA1 c'est-à-dire a = b D'après le lemme 1 du § 1, no 1, on a a;" mod. m"'. Comme n est arbitraire, on a a = b.

-

-

NO

4

ANNEAUX DE COHEN

AC IX.25

Les propriétés a) et b) ci-dessus, jointes a la formule n(S) = k, entraînent la relation S = T, d'où l'unicité. Prouvons maintenant l'existence de S. Avec les notations du th. 2, posons cp = u 0 z,, c'est-à-dire Q ( 1, no 6)

pour tout x E k. D'après la prop. 4 de loc. cit., on a

Il est clair que l'application n 0 cp est l'application identique de k. Donc l'image S de cp satisfait aux conditions de la prop. 7. Les éléments de S sont souvent appelés les représentants multiplicatifs (ou de Teichmüller) de A. Remarques. - 1) Conservons les hypothèses et notations précédentes. On a

d'après la prop. 7 du Q 1, no 8. On a donc

pour tout a

=

(a,),,,

dans W(k), car u est continu (th. 2, b)). D'après la formule (4), m

l'unique sous-anneau de Cohen de A se compose des éléments de la forme

pns, n=O

avec s, E S pour tout entier n S 0. 2) Soient A un anneau local séparé et complet, k son corps résiduel et n l'homomorphisme canonique de A sur k. On peut montrer qu'il existe une partie multiplicative S de A (non unique en général) telle que n induise une bijection de S sur k (cf.p. 72, exerc. 1 1). Exemples. - 1) Soit k un corps parfait de caractéristique p. Les représentants multiplicatifs de l'anneau W(k) sont les vecteurs de Witt ~ ( x = ) (x, 0, O, ...) pour x E k. 2) Soit A un anneau local intègre, séparé et complet. On suppose que le corps résiduel k de A est fini à q = pf éléments, donc parfait de caractéristique p. On a xq = x pour tout x E k, d'où sq = s pour tout représentant multiplicatif S.Il en résulte que l'ensemble des représentants multiplicatifs se compose de O et des q - 1 racines (q - 1)-ièmes de l'unité dans le corps des fractions de A. Si le corps des fractions de A est localement compact, l'existence des représentants multiplicatifs découle aussi de VI, Q 9, no 2, prop. 3 (cf: aussi VI, 3 9, exerc. 5). 3) Plus particulièrement, considérons le cas A = Z,. Alors les représentants

multiplicatifs sont O et les racines (p - 1)-ièmes de l'unité dans le corps des fractions Q p de Z p . 5. Structure des anneaux locaux noethériens et complets

Soient A et C des anneaux locaux noethériens complets et soit u un homomorphisme local de C dans A, induisant par passage aux quotients un isomorphisme de K, sur KA. Soit (pl, ..., pm) une suite engendrant l'idéal m, de C, et soient t,, ..., t, des éléments de m,. Posons B = C[[Tl, ..., T,]]. Lemme 3. -a) I l existe un unique homomorphisme v :B -+ A qui prolonge u et applique Ti sur ti pour 1 < i ,< n. b) Pour que v soit surjectg ilfaut et il suffit que la suite (u(pl), ..., u(p,), t,, ..., t,) engendre l'idéal m, de A, ou encore que les classes de ces éléments modulo m i engendrent m,/mA comme espace vectoriel sur le corps KA. c) Pour que u fasse de A une B-algèbre finie, il jaut et il sudit que la suite @(pi), ..., u(pm),t , ..., t,,) engendre un idéal de déjinition de (la topologie m,-adique de) A. Notons n l'idéal de l'anneau B engendré par T l , ..., T,. Tout homomorphisme v de B dans A qui prolonge u et tel que v(Ti) = t, applique n dans m,, donc est continu lorsqu'on munit B de la topologie n-adique. L'existence et l'unicité de v résultent alors de A, IV, p. 26, prop. 4. L'anneau B = C[[Tl, ..., TA] est un anneau local noethérien complet (III, § 2, no 10, cor. 6 du th. 2 et no 6, prop. 6), dont l'idéal maximal m, est engendré par pl, ..., p,, T l , ..., T,. On a donc ~(m,)c m, et v définit un homomorphisme gr(v) a)

de gr(B) = @ m;/m;+ n=O

u '

dans gr(A) = @ mA/mA l. O r l'anneau gr(A) est engendré n=O

par A/mA = K, et m,/mA, gr(v) induit un isomorphisme de K, = K, sur KA, et les classes modulo m i des éléments pl, ..., p,, T l , ..., T, engendrent m,/mi comme espace vectoriel sur K, ; de plus v est surjectif si et seulement si gr(v) est surjectif (III, § 2 no 8, cor. 2 du th. 1).Ceci prouve b). , u(p,), t , , ..., t,,)n'est autre que v(m,) A. L'idéal de A engendré par la suite ( ~ ( p , )..., Puisque m, contient o(m,), A est un anneau de Zariski pour la topologie u(m,) A-adique. L'anneau A/v(rn,) A est artinien si et seulement si sa longueur en tant que A-module est finie. Mais comme tout module simple sur A est annulé par ni, et que, par hypothèse, A/m, et B/m, sont isomorphes, cela se produit si et seulement si la dimension sur le corps B/m, de l'espace vectoriel A/v(m,) A est finie. Par IV, 5 2, no 5, cor. 2 de la prop. 9, on voit donc que v(m,) A est un idéal de définition de A si et seulement si la dimension de A/v(m,) A sur B/m, est finie. C'est bien le cas si A est une B-algèbre finie. Supposons que v(m,) A soit un idéal de définition de A. La topologie m,-adique du B-module A coïncide alors avec la topologie m,-adique de l'anneau A, donc est séparée. Comme A/v(m,) A est un module de type fini sur B/m,, A est un B-module de type fini (III, 5 2, no3, exemple 3 et no 9, cor. 1de la prop. 12).Ceci prouve c).

NO

5

AC IX. 27

ANNEAUX DE COHEN

Lemme 4. - Supposons que l'anneau local noethérien C soit régulier, et que ( p l , ..., p,) soit un système de coordonnées de C (VIII, 5, no 1, déf. 1). a ) Si la suite ( ~ ( p , )..., , u(pm),t , , ..., t,) est sécante pour A (VIII, 5 3, no 2, déf. l ) , l'homomorphisme v :B + A est injectg b ) Pour que v soit injectifet fasse de A une algèbrefinie sur B, il faut et il sufit que ( ~ ( p , )..., , ~ ( p , ) ,t,, ..., t,) soit une suite sécante maximale pour A. Alors A est de dimension m + n. Pour que la suite ( ~ ( p , )..., , u(pm),t , , ..., t,) soit une suite sécante maximale pour A, il faut et il suffit qu'elle engendre un idéal de définition de A, et que A soit de dimension m + n (VIII, 9 3, no 2, th. 1). D'après le lemme 3, c), il revient au même de dire que A est une B-algèbre finie, et un anneau de dimension m + n. Or C est un anneau intègre noethérien de dimension m, donc B = C[[T, , ..., T,]] est un anneau intègre noethérien de dimension m + n (VIII, 4 3, no 4, cor. 3 de la prop. 8). Si A est une B-algèbre finie, et si a est le noyau de v, on a dim(A) = dim(B/a)(VIII, 4 2, no 3, th. 1,c'));comme B est un anneau intègre de dimension finie, on a dim(B/a) < dim(B) si a # ( O } (VIII, 4 1, no 3, prop. 6, e)).Donc, si A est une B-algèbre finie, v est injectif si et seulement si A est de dimension m + n. Ceci prouve b). Supposons que la suite ( ~ ( p , )..., , u(pm),t,, ..., t,) d'éléments de m, soit sécante. On peut lui adjoindre (VIII, 9 3, no 2, th. 1) des éléments t,, , ..., t, +, de m, pour en faire une suite sécante maximale. D'après ce qui précède, il existe alors un homomorphisme injectif w de C[[T, , ..., T,, T,, , ..., T,+,]] = B[[T,+ , ..., T,,,]] qui prolonge v et applique T,,, sur t,,, pour 1 < j < r. Donc v est injectif. Ceci prouve a).

,

,

,

THÉORÈME 3. - Soit A un anneau local, noethérien et complet dont le corps résiduel k soit de caractéristique p. Soit C un p-anneau de longueur infinie, dont le corps résiduel soit isomorphe à k (no 3, prop. 5). a ) Soit m la dimension de l'espace vectoriel m,/(m; + P A ) sur le corps k. Il existe un idéal a de l'anneau C[[T,, ..., TA] tel que A soit isomorphe à C[[T,, ..., Tm]]/a. b ) Soit d la dimension de A. Supposons que pl, ne soit pas diviseur de O dans A. Alors il existe un sous-anneau A' de A isomorphe à C[[T,, ..., Td- ,]] et tel que A soit une algèbre finie sur A'. Soit C' un sous-anneau de Cohen de A (no 2, th. 1). Comme C est de longueur infinie, il existe un homomorphisme de C sur C' (no 3, prop. 4). Par suite, il existe un homomorphisme local u :C + A. Choisissons des éléments t , , ..., tmde m, dont les classes forment une base de l'espace vectoriel mA/(mA + P A ) sur le corps k. On a u(p1,) = pl,, et le lemme 3, b) prouve l'existence d'un homomorphisme surjectif de C[[T,, ..., T,,]] dans A, prolongeant u et appliquant T, sur t, pour 1 d i d m. Ceci prouve a). Supposons que pl, ne soit pas diviseur de O dans A donc sécant pour A (VIII, 5 3, no 2, prop. 3). Il existe alors (VIII, 5 3, no 2, th. 1) des éléments t , , ..., td-, de m, tels que la suite (pl,, t , , ..., t,- ,) soit sécante maximale pour A. L'anneau local noethérien C est régulier, et (pl,) est un système de coordonnées de C. L'assertion b ) du th. 3 résulte alors du lemme 4, b).

5

3. CORPS DE REPRÉSENTANTS

1. Anneaux locaux d'égales caractéristiques Soit A un anneau. Rappelons (A, V, p. 2) que la caractéristique de A est définie lorsque A contient un sous-corps. Elle est égale à O si et seulement si A contient un sous-corps isomorphe à Q, et égale à un nombre premier p si et seulement si on a pl, = O. Si la caractéristique de A est définie, et si f :A -+ B est un homomorphisme non nul d'anneaux, la caractéristique de B est définie et elle est égale à celle de A. Soit A un anneau local, d'idéal maximal m, et de corps résiduel k. a ) Supposons k de caractéristique 0 . Alors A contient un corps et la caractéristique de A est égale à O. En effet, l'homomorphisme canonique de Z dans A est injectif, et pour tout entier n non nul, n l , est inversible dans A, car il n'appartient pas à m. b ) Supposons k de caractéristiquep # O. Alors A contient un corps si et seulement si pl, = O. Dans ce cas la caractéristique de A est égale à p. Supposons que A soit un anneau local intègre, de corps des fractions K et de corps résiduel k. a') L'anneau A contient un sous-corps si et seulement si les caractéristiques de k et K sont égales. Dans ce cas, la caractéristique de A est égale à celle de k et de K , et on dit que A est un anneau local d'égales caractéristiques. b') Supposons que les corps k et K n'aient pas même caractéristique. Alors il existe un nombre premier p tel que k soit de caractéristique p. Comme on a q l , # O pour tout nombre premier q # p, le corps K est de caractéristique 0 . On dit alors que A est un anneau local d'inégales caractéristiques.

2. Un théorème de relèvement

PROPOSITION 1 . - Soient k, un corps, A une k,-algèbre qui est un anneau local séparé et complet, K une sous-ko-extension de KA qui possède une base de transcendance sur kO(A, V, p. 130, déf. 1).Pour tout h E A, soit x, un représentant de séparante (<,.) CAdans A. Il existe un unique sous-corps L de A, contenant k, et les éléments x,, et tel que l'homomorphisme canonique 7c de A sur KA induise un isomorphisme de L sur K . Soit cp le ko-homomorphismede l'anneau de polynômes k0[(X,),,,] dans A qui applique X, sur x, pour tout h E A. Soit u un élément non nul de ko[(X,),,] ; on est algébriquement libre sur k, dans KA ; par a x(
sur k,. Il s'agit de prouver qu'il existe un unique sous-corps L de A contenant $ ( k t ) et tel que n ( L ) = K. a ) Existence de L : Soit S l'ensemble des sous-corps L de A, contenant $(k,) et tels que n ( L ) c K ; il est inductif pour la relation d'inclusion. Soit L un élément maximal de S ;on considère K comme une extension (algébriqueet séparable, d'après A, V, p. 40, prop. 9) de L. Soit 5 E K et soit P E L[X]son polynôme minimal sur L. Comme 6 est racine simple de P, le lemme de Hensel ( I I I , # 4, no 5, cor. 1 du th. 2) assure l'existence d'un élément x de A tel que n ( x ) = 5 et P(x) = O. Le sous-anneau L[X]de A appartient a S ; d'après le caractère maximal de L, on a donc x E L, d'où 5 E TC(L).Finalement on a n ( L ) = K. b ) Unicité de L : Soient L et L' deux sous-corps de A contenant $ ( k t ) et tels que x ( L ) = K(L')= K. Soit 5 E K, et soient x E L et x' E L' les éléments tels que R ( X ) = ~ ( x '= ) 6. Si P E kl[X] est le polynôme minimal de 5 sur k t , alors 6 est racine simple de P, et l'on a P(x) = P(x') = O. D'après le lemme de Hensel (loc. cit.) on a x = x'. On a donc L = L'. Remarque. - * La démonstration précédente s'applique plus généralement au cas où on suppose seulement que A est un anneau local hensélien,. La démonstration d'unicité utilise l'hypothèse que l'anneau local A est séparé, mais non qu'il est complet.

3. Corps de représentants DÉFINITION 1. - Soit A un anneau local. On appelle corps de représentants de A tout sous-corps K de A tel que l'homomorphisme canonique de A sur K , induise un isomorphisme de K sur K A (autrement dit, tel que A = K + m,). Il ne peut exister de corps de représentants de A que si A admet une caractéristique. Cette condition est suffisante lorsque A est séparé et complet. Plus précisément, on a le théorème suivant :

THÉOREME 1. -Soit A un anneau local séparé et complet de caractéristique p. a) Supposons p = O et soit (x,),,, unefamille d'éléments de A dont les classes modulo m Aforment une base de transcendance de K A sur Q. Il existe un unique corps de représentants de A contenant les éléments x,. b ) Supposons p # O. Soit (x,),,, unefamille d'éléments de A dont les classes modulo m , forment une p-base de K A (A,V ,p. 95). 11 existe un unique corps de représentants de A contenant les éléments xh. C'est un sous-anneau de Cohen de A. Supposons qu'on ait p = O de sorte que A est une Q-algèbre. Toute base de transcendance de K~ sur Q étant séparante, l'assertion a) résulte de la prop. 1 du no 1 appliquée au cas k , = Q, K = K,. Supposons maintenant qu'on ait p # O. Alors on a pl, = O, et tout sous-anneau de Cohen C de A satisfait à pC = O. Autrement dit, il y a identité entre les notions de corps de représentants et de sous-anneau de Cohen de A. L'assertion b ) résulte alors du 9 2, no 2, th. 1.

COROLLAIRE 1. - Soit A un anneau local séparé et complet, dont le corps résiduel est une extension algébrique de Q. 11 existe alors un unique corps de représentants de A. En effet l'anneau A est de caractéristique O (no 1). COROLLAIRE2. - Soit A un anneau local séparé et complet de caractéristique p # 0. Supposons que le corps résiduel K A soit parfait. Alors il existe un unique corps de représentants de A, à savoir l'ensemble des représentants multiplicatiji Le cor. 2 résulte aussitôt du th. 1et de la prop. 7 du $2, no 4. THÉORÈME2. - Soit A un anneau local noethérien complet de dimension d contenant un corps. Soit K un corps de représentants de A, et soit m la dimension de l'espace vectoriel mA/misur le corps K. a ) Il existe un idéal a de K [ [ T , , ..., T m ] ]tel que la K-algèbre A soit isomorphe à KIPI, ..., Tmll/a. b ) Il existe une sous-K-algèbre A' de A, isomorphe à K [ [ T , , ..., T,]] et telle que A soit une algèbre finie sur A'. c ) Supposons que l'anneau local noethérien A soit régulier, i.e. d = m. Alors il existe un K-isomorphisme de A sur K [ [ T , , ..., T,]]. Soient t , , ..., tm des éléments de m A dont les classes modulo m i engendrent le K-espace vectoriel m A / m i . D'après le lemme 3 du $ 2, no 5, il existe un K-homomorphisme surjectif de K [ [ T , , ..., T JI dans A, transformant T i en ti pour 1 < i < m. Ceci prouve a). De même, l'assertion b ) résulte du lemme 4 de loc. cit. et de l'existence d'une suite sécante maximale pour A (VIII, 5 3, no 2, th. 1). Enfin, l'assertion c ) n'est autre que le cor. 3 du th. 1 de VIII, $ 5, no 2.

$4. FERMETURE INTÉGRALE D'UN ANNEAU L O C A L COMPLET

1. Anneaux japonais

DÉFINITION 1. - Soit A un anneau noethérien intègre. On dit que A est japonais si la fermeture intégrale de A dans toute extensionjnie de son corps des fractions est une A-algèbre finie. Remarques. - 1 ) Il revient au même de dire que A satisfait à la condition suivante : toute A-algèbre intègre B entière sur A, contenue dans une extension de type fini du corps des fractions K de A, est une A-algèbre finie. En effet, le corps des fractions L de B est une extension algébrique de K , donc est de degré fini sur K (A, V, p. 112, cor. 1 de la prop. 17). La A-algèbre B est contenue dans la fermeture intégrale de A dans L, et est donc finie si cette dernière est finie.

2) Soient A un anneau noethérien intègre japonais et S une partie multiplicative de A ne contenant pas 0. L'anneau de fractions S ' A est japonais. Soient en effet L une extension finie du corps des fractions de A et B la fermeture intégrale de A dans L ; alors la fermeture intégrale de S-'A dans L est S-'B (V, j3 1, no 5, prop. 16), donc est une S- A-algèbre finie.

'

Exemple. - Toute algèbre intègre de type fini sur un corps est un anneau japonais (V, 4 3, no 2, th. 2).

P ~ o r o s i ~ i1.o~ Soient A un anneau noethérien intègre, K son corps des fractions. Supposons que pour toute extensionfinie radicielle L de K, la fermeture intégrale de A dans L soit une A-algèbrefinie. Alors l'anneau A est japonais. Soit E une extension finie de K. Soient N une extension finie quasi-galoisiennede K contenant E (A, V, p. 54, cor. 1j, et L le corps des invariants du groupe des K-automorphismes de N. Alors (A, V, p. 73, prop. 13), L est une extension radicielle de K et N est une extension séparable de L. La fermeture intégrale B de A dans L est donc par hypothèse une A-algèbre finie ;la fermeture intégrale C de B dans N est une B-algèbre finie (V, 4 1, no 6, cor. 1 a la prop. 18j, donc une A-algèbre finie. La fermeture intégrale de A dans E est contenue dans C, donc est une A-algèbre finie puisque A est noethérien. COROLLAIRE.Supposons le corps K parfait (par exemple de caractéristique 0). Alors A est japonais si et seulement si sa clôture intégrale est une A-algèbre finie. -

PROPOSITION 2. Soient B un anneau noethérien intègre et A un sous-anneau noethérien de B, tel que B soit une A-algèbreJinie. Pour que A soit japonais, i l faut et il suffit que B soit japonais. Notons K (resp. Lj le corps des fractions de A (resp. B). Supposons d'abord A japonais, et soit M une extension finie de L. Notons C la fermeture intégrale de B dans M. D'après V, 4 1, no 1, prop. 6, C est la fermeture intégrale de A dans M, donc est une A-algèbre finie puisque M est une extension finie de K et que A est japonais. A forfiori, C est une B-algèbre finie. Ceci prouve que B est japonais. Inversement, supposons B japonais et soit N une extension finie de K. Notons D la fermeture intégrale de A dans N. Soit E une extension de K composée de L et N ; comme B est japonais, la fermeture intégrale D' de B dans E est une B-algèbre finie, donc une A-algèbre finie ; le A-module D qui est un sous-module de D' est donc de type fini, ce qui entraîne que A est japonais. -

2. Théorème de Nagata

THÉORÈME 1 (Tate). - Soient A un anneau noethérien intégralement clos, a un élément de A. On suppose que l'idéal aA est premier, que l'anneau A/aA est japonais et que A est complet pour la topologie UA-adique.Alors l'anneau A est japonais.

a) Soit K le corps des fractions de A. L'assertion étant triviale lorsque K est de caractéristique O (no 1, corollaire de la prop. l), on peut supposer K de caractéristique p > O. On peut aussi supposer a # 0. Soient L une extension finie radicielle de K et q une puissance de p telle que L c KIIq. Posons x = ailq et M = L(x). D'après la prop. 1 du no 1, il suffit de démontrer que la fermeture intégrale B de A dans M est une A-algèbre finie. b) Démontrons d'abord que l'idéal xB est runique idéal premier de B au-dessus de UA.Il existe en effet au moins un idéal premier de B au-dessus de UA(V, 9 2, no 1, th. 1). Soit q l'un de ces idéaux. On a x4 = a E q, d'où xB c q puisque q est premier. Inversement, soit y un élément de q ;l'élément y4 de K est entier sur A, donc appartient à A puisque A est intégralement clos. Puisque q n A = UA, il existe un élément a de A tel que yq = aa = xqa.Par conséquent l'élément y/x de M est entier sur A, donc appartient à B ;ainsi on a y E xB, d'où q = xB, ce qui démontre notre assertion. c) Il en résulte que l'anneau B,, est la fermeture intégrale dans M de l'anneau A,, (V, 5 1, no 5, prop. 16 et 9 2, no 1, prop. 2). D'après VI, 5 3, no 6, prop. 9, A,, est un anneau de valuation discrète ; on déduit alors du théorème de Krull-Akizuki (VII, Q: 2, no 5, prop. 5) que le corps K(xB)est une extension finie de K(uA)et que B,, est noethérien. d ) L'anneau BIxB est entier sur l'anneau japonais AIaA et son corps des fractions est une extension finie du corps des fractionsde ce dernier. Par conséquent, B/xB est un (A/aA)-module de type fini. Pour tout entier i 2 0, il en est de même du module x1B/x'+'B ; par suite le (A/aA)-module BIaB possède une suite de composition de longueur q dont les quotients sont des (A/aA)-modulesde type fini, donc est lui-même un (A/aA)-module de type fini. e) Munissons l'anneau A de la filtration (UA)-adiqueet l'anneau B de la filtration (aB)-adique. Alors A est complet par hypothèse ;comme B,, est intègre et noethérien, la filtration aB,,-adique de B,, est séparée (III, Cj 3, no 2, corollaire à la prop. 5) ;par suite on a fi anB c n anB,, = {O), et la filtration aB-adique de B est séparée; le gr(A)-module gr(B) est engendré par gr,(B), donc est de type fini d'après d). Il résulte alors de III, 2, no 9, cor. 1 à la prop. 12, que B est un A-module de type fini, ce qui achève la démonstration. - Soient R un anneau noethérien intigre et n un entier. Si R est japonais, COROLLAIRE. l'anneau R[[T, , ..., T,J] est japonais. Raisonnant par récurrence, on peut supposer n = 1. Notons S la clôture intégrale de R ;si R est japonais, S est une algèbre finie sur R, donc un anneau japonais (no 1, prop. 2). L'anneau S[[T]] est noethérien et intégralement clos (V, 1, no 4, prop. 14); appliquant le th. 1 à A = S[[T]] et a = T, on en déduit que S[[T]] est japonais. Par conséquent R[[T]] est japonais (no 1, prop. 2).

THÉORÈME 2 (Nagata).- Tout anneau A local noethérien intègre et complet est japonais. D'après le th. 3 du 5 2, no 5 et le th. 2 du 5 3, no 3, il existe un entier n 3 0, un anneau R qui est un corps ou un anneau de valuation discrète de corps des fractionsde

caractéristique O et un sous-anneau B de A, isomorphe à R[[Tl, ..., TA] et tel que A soit une B-algèbre finie. Alors R est japonais (no 1, exemple et corollaire de la prop. l), donc B est japonais (corollaire au th. l), et A est japonais (no 1, prop. 2).

COROLLAIRE.Soit A un anneau semi-local noethérien dont le complété est réduit. Alors la fermeture intégrale A' de A dans son anneau total des fractions R est une Aalgèbre $nie. Supposons d'abord A local et complet, et soient p l , ..., p, les idéaux premiers minimaux (distincts) de A ; pour i = 1, ..., n, notons Ki le corps des fractions de Ajp, et A: la clôture intégrale de A/pi. Comme A est réduit, R est le produit des anneaux K, et A' le produit des anneaux A: (V, 1, no 2, cor. 1 à la prop. 9). Puisque les anneaux locaux Ajp, sont intègres et complets, ils sont japonais (th. 2), de sorte que chaque A: est une A-algèbre finie, et A' est une A-algèbre finie. Si A est semi-local et complet, il est isomorphe à un produit fini d'anneaux locaux complets (III, 9 2, no 13, corollaire à la prop. 19), et on conclut aussitôt d'après ce qui précède. Passons au cas général et notons que le complété  de A est un anneau semi-local, complet, noethérien et fidèlement plat sur A (III, loc. cit., t/ 3, no 4, corollaire de la prop. 8 et 9 3, no 5, prop. 9). Soit S l'ensemble des éléments non diviseurs de zéro de A ; on a R = S- 'A. Puisque  est plat sur A, les éléments de S sont non diviseurs de zéro dans Â, et S p l  s'identifie à un sous-anneau de l'anneau total des fractions T de Â. Toujours puisque  est plat sur A, l'anneau A' @,  s'identifie à un sousanneau de R @,  = S- '& donc aussi à un sous-anneau de T entier sur Â. D'après la première partie de la démonstration, A' @,  est donc un Â-module de type fini ; par suite, A' est un A-module de type fini (1,s 3, no 6, prop. 11). -

Rappelons (A, V, p. 114, déf. 1) qu'une algèbre E sur un corps K est dite séparable si l'anneau L @, E est réduit pour toute extension L de K ;il suffit qu'il en soit ainsi pour toute extension finie de K. La proposition suivante généralise le th. 2 :

PROPOSITION 3. - Soient A un anneau semi-local noethérien int@gre,K son corps des Jractions. Si la K-ulgèbre K @,A est séparable, I'unneuu A est japonais. Soient L une extension finie de K et B la fermeture intégrale de A dans L. Soit F une partie finie de B telle que L = K[F] (V, 9 1, no 5, cor. 2 à la prop. 16) ;notons C la A-algèbre (finie) engendrée par F. Puisque L est le corps des fractions de C, l'anneau B est la clôture intégrale de C (V, 9 1, no 1, prop. 6) et il suffit de prouver que B est une C-algèbre finie. Or, C est un anneau semi-local noethérien (IV, 9 2, n'] 5, cor. 3 à la prop. 9 ) ; son complété s'identifie à C @, Â (III, t/ 3, no 4, th. 3 (ii)), donc aussi à un sous-anneau de l'anneau réduit L @, Â = L @, (K @, Â) et par suite est réduit. La prop. 3 résulte donc du corollaire au th. 2. 3. Quelques lemmes Lemme 1. - Soient A un anneau semi-local noethérien et B une A-algèbre finie. Alors l'anneau B est semi-local et noethérien; soient m l , ..., m, ses idéaux maximaux.

n fi,,,, n

L'homomorphisme canonique de B dans

se prolonge en un isomorphisme de

i=1

Â

B sur

fi B,,,,.

i= 1

D'après IV, 8 2 no 5, cor. 3 à la prop. 9, l'anneau B est semi-local et m,B en est un idéal de définition. D'après III, Q: 3, no 4, th. 3, (ii), l'anneau  @, B est le complété de B pour la topologie définie par son radical ; on applique alors III, 9 2 no 13, corollaire à la prop. 19. Lemme 2. -Soient A un anneau noethérien et M un A-module. L'application canonique de M dans le produit M , est injective.

n

ptAss(M)

Soit en effet m un élément non nul de M ; alors Ann(m) est contenu dans un idéal premier p de A associé à M (IV, 9 1, no 1, prop. 2), et l'image de m dans M p est non nulle (II, Q: 2, no 2, prop. 4). Lemnze 3. - Soient A un anneau noethérien, x un élément de A, M un A-module d/e type fini, et p un idéal premier de A associé à M. On suppose que l'homothétie xMest xA. injective. Soit q un idéal premier de A, minimal parmi ceux qui contiennent p Alors q est associé au A-module M / x M . Notons N le sous-module de M formé des éléments m tels que prn = O. On a N n xM = xN ; en effet, si un élément m de M est tel que pxm = O, on a pm = O puisque x, est injective, donc m E N. Par conséquent, le A-module N/xN est issmorphe au sous-module (N + xM)/xM de MIxM, et il suffit de démontrer que q est associé à NIxN. Puisque p est associé à M, il existe un élément m de M tel que p = Ann(m) ; on a 7n E N d'où p = Ann(N) et-par suite Supp(N/xN) = V(p + x A ) d'après II, ji 4, no 4, corollaire à la prop. 18 ; par conséquent, q est associé à N/xN (IV, 1, no 4, th. 2).

+

Lemme 4. Soient A un anneau de valuation discrète, B un anneau local noethérien, et p : A + B un homornorphisme local et plat. Si l'anneau K~ @JA B est réduit, alors B est réduit. Supposons qu'il existe un élément nilpotent non nul x de B, et soit R une uniformisante de A. Puisqu'on a RB c m,, l'anneau B est séparé pour la topologie nB-adique. Il existe donc n 6 N et y G B avec x = ~ " ety y 4 RB. Puisque B est plat sur A, la multiplication par n est injective dans B. La classe de y dans B/nB est donc un élément nilpotent non nul, ce qui contredit l'hypothèse. -

4.

Anneaux de Nagata

DÉFINITION 2. - On dit qu'un anneau A est un anneau de Nagata s'il est noethérien et si, pour tout idéal premier p de A, l'anneau noethérien intègre A/p est japonais (no 1, déf. 1).

Exemples. - 1) Toute algèbre de type fini sur un corps est un anneau de Nagata (nu 1, exemple).

NO

4

FERMETURE INTÉGRALE

AC IX. 35

2) Tout anneau noethérien local complet est un anneau de Nagata (no 2, th. 2). 3) L'anneau Z est un anneau de Nagata (no 1, exemple et corollaire de la prop. 1). 4) On peut montrer (exerc. 30) que toute algèbre de type fini sur un anneau de Nagata est un anneau de Nagata. 4. - Soit A un anneau de Nagata. PROPOSITION a ) Toute A-algèbre jinie est un anneau de Nagata. b ) Pour toute partie multiplicative S de A, l'anneau S-'A est un anneau de Nagata. a ) Soit B une A-algèbre finie, p :A -+ B l'homomorphisme canonique. Pour tout idéal premier p de B, l'anneau B/p qui est une algèbre finie sur l'anneau japonais A/pT1(p), est japonais (no 1, prop. 2). b) Soit q un idéal premier de S- 'A ; alors il existe un idéal premier p de A tel que q = S ' p . L'anneau (SIA)/q est un anneau de fractions de l'anneau japonais A/p, donc est japonais (no 1, remarque 2).

THEOREME 3 (Zariski-Nagata).- Soit A un anneau semi-local noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) A est un anneau de Nagata ; (ii) pour tout idéal premier p de A, la ~(p)-algèbre ~ ( p@),  est séparable ; (iii) pour toute A-algèbre réduite R, l'anneau R @,  est réduit. Démontrons d'abord l'équivalence des conditions (ii) et (iii). L'implication (iii) * (ii) est triviale; supposons inversement que A satisfasse à la condition (ii). Alors, pour toute A-algèbre K qui est un corps, l'anneau K @,  est réduit. Soit maintenant C une A-algèbre réduite de type fini; l'anneau C, étant noethérien, est isomorphe à un sous-anneau d'un produit fini KI x ... x K, de corps (IV, 5 2, no 5, prop. 10) ;puisque  est plat sur A, l'anneau C @,  est isomorphe à un sousanneau de l'anneau réduit (Ki @, Â), donc est réduit. Soit enfin R une A-algèbre

n I

réduite quelconque ;alors R est réunion de la famille filtrante (C,) de ses sous-algèbres de type fini, et R @, Â est limite inductive de la famille filtrante (C, 0, A) d'anneaux réduits, donc est réduit. Montrons que (ii)implique (i). Soit p un idéal premier de A ;le corps des fractions K de l'anneau A/p s'identifie à ~ ( p ) ,et la K-algèbre K O,,, s'identifie à ~ ( p O,,,, ) Â/p& donc à ~ ( pBA ) Â. Si ~ ( p@ ), Â est une ~(p)-algèbreséparable, l'anneau A/p est japonais (no 2, prop. 3). Démontrons l'implication (i) + (ii) par récurrence sur dim(A). Elle est évidente si dim(A) = O puisqu'alors A est artinien, donc complet. Soit n un entier > 0 ; considérons l'hypothèse suivante :

(a)

pour tout anneau local noethérien de Nagtrrir C de dimension < n et tout idéal premier r de C , l'anneau K(T)OCS' est réduit.

Soit A un anneau semi-local noethérien de Nagata de dimension n, soient p un idéal premier de A et L une extension finie du corps ~ ( p )il; suffit de démontrer,

sous l'hypothèse (R,), que i'anneau L O,  est réduit. Notons B la fermeture intégrale de A/p dans L ; puisque A/p est japonais, B est une A-algèbre finie donc un anneau de Nagata semi-local (prop. 4). Notons m l , ..., m, les idéaux maximaux de B ; l'anneau L O,  s'identifie à un anneau de fractions de B O, Â, et ce dernier s'identifie au produit des complétés des anneaux locaux BmI(no 3, lemme 1). Il suffit donc de prouver que, pour tout idéal maximal m de B, l'anneau fi,,, est réduit (II, Ej 2, no 6, prop. 17). L'anneau B,, est local, intégralement clos, de Nagata (prop. 4), et l'on a dim(B,) < dim(B) < dim(A) = n (VIII, Ej 1, no 3, prop. 6 et Ej 2, no 3, th. 1). Changeant de notations, on est ramené à prouve6 sous l'hypothèse (R,), que pour tout anneau local noethérien A intégralement clos, de Nagata et de dimension < n, l'anneau  est réduit, c'est-à-dire (no 3, lemme 2) que Â, est réduit pour tout idéal premier p' E ASS(Â).Comme cela est immédiat si dim(A) = O, on peut supposer dim(A) > O. Soient alors x un élément non nul de m,, et q' un idéal premier de Â, minimal parmi ceux qui contiennent x + p' ; puisque Â,. s'identifie à un anneau de fractions de l'anneau Â,,., il suffit de prouver que ce dernier est réduit (II, Ej 2, no 6, prop. 17). D'après le lemme 3, l'idéal q' est associé au Â-module Âjx ; puisque  est plat sur A, l'image réciproque q de q' dans A est associée au A-module AjxA (IV, Ej 2, no 6, cor. 1 au th. 2). L'anneau A étant supposé intégralement clos, cela implique que q est de hauteur 1 (VIL 4 1, no 6, prop. IO), donc que l'anneau A, est de valuation discrète (/oc of.,nll 3, corollaire au th. 2 et no 6, th. 4). Puisque ), est réduit A/q est un anneau de Nagata de dimension < n, l'anneau ~ ( q O d'après l'hypothèse (R,). L'anneau ~ ( qO, ) Â, qui lui est isomorphe, est réduit, ) Â,,, qui en est un anneau de fractions. ainsi par conséquent que i'anneau ~ ( q OAq On peut donc appliquer à l'homomorphisme canonique de A, dans Â,. le lemme 4 du no 3 et on en conclut que l'anneau Â,, est réduit, ce qu'on voulait prouver. Le th. 3 est ainsi démontré. 1.- Le complété d'un anneau de Nagata local et réduit est réduit. COROLLAIRE Il suffit en effet de poser R = A dans le th. 3, (iii).

COKOLLAIKE 2 (Chevalley). -Soient A une algèbre réduite de typeJini sur un corps, et p un idéal premier de A. Le complété de l'anneau local A, est réduit. Comme A est réduit, l'anneau local A, est réduit; de plus A est un anneau de Nagata (exemple 1), donc A, est un anneau de Nagata (prop. 4), et le cor. 2 résulte du cor. 1, appliqué à l'anneau A,. 3. - Soient k un corps de caractérislique 0, et A une k-algèbre locale COROLLAIRE et noethérienne. Pour que A soit un anneau de Nagata, il faut et il sufJit que, pour tout idéal premier p de A, l'anneau soit réduit. En effet, puisque les corps ~ ( psont ) de caractéristique 0, il est équivalent de dire ) sont réduites ou qu'elles sont sépaque les algèbres ~ ( p@), Â = ~ ( pO,,, rables (A, V, p. 117, th. 1), ce qui montre que la condition énoncée est suffisante (th. 3, (ii) (i)); elle est par ailleurs nécessaire (th. 3, (i) (iii) avec R = Ajp).

(~76)

(x/P)

APPENDICE

APPENDICE 1. Limite inductive d'anneaux locaux Soit 1 un ensemble préordonné non vide filtrant à droite et soit (A,, cpgu)un système inductif d'anneaux relatif à 1. On suppose que, pour tout a E 1, l'anneau A, est local, d'idéal maximal mu, que les homomorphismes
2. Gonfiement d'un anneau local Soit A un anneau local. On note AIX[ l'anneau local de l'anneau de polynômes A[X] en l'idéal premier m,A[X]. C'est un anneau local d'idéal maximal mAA]X[,l'homomorphisme cano-

nique A + AIX[ est local et plat, et le corps résiduel de AIX[ est l'extension pure de K~ engendrée par la classe de X. ] irréLemme 1. - Soit P E A[X] un polynôme unitaire dont l'image P dans K ~ [ X est ductible. Alors la A-algèbre B = A[X]/(P) est locale et $nie sur A, d'idéal maximal mAB, l'homomorphisme canonique p :A + B est local et plat, l'extension résiduelle K~ K, est algébrique et engendrée par la classe x de X, et le polynôme minimal de x sur K~ est P. Comme le polynôme P est unitaire, le A-module B est libre de type fini (A, IV, p. 10). L'anneau B/mAB s'identifie à ic,[~]/(P), donc est un corps ; l'idéal mAB est donc maximal. Soit q un idéal maximal de B ;alors l'idéal p ' (q) est maximal (V, 9 2, no 1, prop. 1); on a donc p-'(q) = m,, d'où q 3 mAB et enfin q = m,B. Ainsi l'anneau B est local. Le lemme 1 en résulte aussitôt. -f

DÉFINITION 1. - Soit A un anneau local. On dit qu'une A-algèbre B est un gonflement élémentaire de A si B est isomorphe à la A-algèbre AIX[, ou bien s'il existe un polynôme unitaire P de A[X], d'image irréductible dans K~[X],tel que B soit isomorphe à la A-algèbre A[X]/(P). Soit B un gonflement élémentaire de A. De ce qui précède résultent les propriétés suivantes : a ) L'anneau B est local et l'homomorphisme canonique de A dans B est local et plat, et en particulier injectif (1, 5 3, no 5, prop. 8). b ) Le corps résiduel K, de B est une extension monogène du corps résiduel KA de A. Si K~ est de degré fini d sur K A , alors B est un A-module libre de rang d. c ) On a m, = mAB.En particulier, si A est un corps, il en est de même de B. Une extension de corps est un gonflement élémentaire si et seulement si elle est monogène. d ) Si A est noethérien, il en est de même de B. DÉFINITION 2. - Soit A un anneau local. On dit qu'une A-algèbre B est un gonflement de A s'il existe un ensemble bien ordonné A ayant un plus grand élément o,et une,famille croissante (B,),,, de sous-algèbres de B satisfaisant aux conditions suivantes : a ) On a B, = B et l'anneau B, est local pour tout h E A. b ) Si cl est le plus petit élément de A, la A-algèbre B, est isomorphe à A. c ) Soit v # a dans A et soit Sv l'ensemble des h E A tels que h < v. Si Sv n'a pas de plus grand élément, on a B, = U B,; si Sv a un plus grand élément p, alors B, ,ES,

est un gonflement élémentaire de B,.

Soient B un anneau et p :A + B un homomorphisme d'anneaux. On dit que p est un gonflement (resp. un gonflement élémentaire) si la A-algèbre définie par p a cette propriété. S'il en est ainsi, p est injectif.

No

2

A C 1X. 39

APPENDICE

Exemples. - 1) Toute extension de corps est un gonflement. Soit en effet K une extension d'un corps k. Munissons K d'un bon ordre pour lequel O est le plus grand élément, et pour h E K, soit K, la sous-k-extension de K engendrée par les éléments f3 de K tels que p < h. La vérification des conditions a), b), c),pour k, K et la famille (K,),,,, est immédiate. 2 ) Soient A un anneau local, et 1 un ensemble d'indices. Notons A](Xi),,[ l'anneau local de l'anneau de polynômes A[(Xi),,] en l'idéal premier mAA[(Xi)i,l].La A-algèbre A](Xi),,[ est un gonflement de A. En effet, munissons l'ensemble 1 d'un bon ordre ;soit A l'ensemble bien ordonné obtenu en adjoignant à 1 un plus grand élément o.Pour i E 1, identifions A](Xj)j,i[ à une sous-algèbre Bi de B = A](Xi)iEi[, et posons B, = B. La famille (B,),,, satisfait aux conditions a), b), c). Remarque. - Avec les notations de la déf. 2, l'anneau B, est un gonflement de B, lorsque h < p. PROPOSJTION 2. - Soient A un anneau local et B un gonflement de A. u ) L'anneau B est local et l'on a mAB = nt,. h ) La A-algèbre B est fidèlement plate. c ) L'homomorphisme canonique

est bijectg d ) Si A est noethérien, il en est de même de B et les séries de Hilbert-Samuel (VIII, Cj 4, no 3 ) de A et B sont égales. Soit (B,),,, une famille de sous-algèbres de B satisfaisant aux conditions a), b ) et c ) de la déf. 2. Soit A' l'ensemble des indices h E A tels que, pour tout p < h dans A, la A-algèbre B, soit locale et fidèlement plate, et qu'on ait m,,, = mAB,. Supposons qu'on ait A' # A et soit v le plus petit élément de A - A'. On a cr E A', d'où v # cr. Or Svest contenu dans A'. Si Sv n'a pas de plus grand élément, on a Bv = U B, et v appartient à A' ,ES,

d'après la prop. 1 du no 1. Si Sv a un plus grand élément p, on a p E A' et Bv est un gonflement élémentaire de B, : on a encore v E A' d'après les remarques qui suivent la déf. 1, d'où une contradiction. Lorsque A est noethérien, on prouve de manière analogue que l'ensemble A" des indices h E A tels que l'anneau B, soit noethérien est égal à A. On a donc w E A', d'où les assertions a ) et b). Lorsque A est noethérien, on a w E An, donc B = B, est noethérien. L'assertion c ) résulte de a), b), et du th. 1 de I I I , Cj 5, no 2. Supposons A (donc B ) noethérien ; comme on a

pour tout n E N, les séries de Hilbert-Samuel de A et B sont égales.

COROLLAIRE. - Supposons A noethérien. a) On a dim(A) = dim(B). b) Supposons A régulier, et soit (x,, ..., x,) un système de coordonnées de A. Alors B est régulier et la suite (x, l,, ..., xJ,) est un système de coordonnées de B. Cela résulte de la prop. 1 de VIII, 5, no 1. PROPOSITION 3. Soient A, B, C trois anneaux locaux et u :A + B, v :B + C deux gonjlements. Alors v 0 u est un gonflement. Soient (B,),,, et (C,),,, des familles de sous-A-algèbres de B et de sous-B-algèbres de C respectivement, ayant les propriétés a), b), c) de la déf. 2. Sur l'ensemble N somme de A et M, considérons la relation d'ordre induisant sur A et M les ordres donnés et telle qu'on ait h < y pour h E A, p E M. C'est une relation de bon ordre. Pour h E A c N, posons C, = v(B,). Alors la famille (C,),,, satisfait aux conditions a), b), c) de la déf. 1 relativement à la A-algèbre C. -

THÉORÈME1. - Soientf :A + A' un homomorphisme local surjectifd'anneaux locaux et B' un gonjlement de A'. Il existe un gonflement B de A et un isomorphisme de Aalgèbres de B @, A' sur B'. A) Supposons que B' soit un gonflement élémentaire de A'. Distinguons deux cas : 1) Si B' est finie sur A', choisissons un isomorphisme de A'-algèbres

No 3

AC I X . 4 1

APPENDICE

i,, :BP B, et un isomorphisme de B,-algèbres de B, Oe,, B; sur Bk. Prenons pour u, l'isomorphisme de A-algèbres composé -+

Oep(B, BAA') + Bv Be,, B; Bk et pour i,,, lorsque h 6 Sv, l'homomorphisme i,, 0 i,,. Posons alors B = B, et, pour tout h E A, notons B, l'image de B, par l'injection canonique B, B. La famille (B,),,, satisfait aux conditions a), b), c ) de la déf. 2, et B est un gonflement de A. D'autre part, l'homomorphisme u, est un A'-isomorphisme de B @, A' dans B'.

$ @A A'

-+

B,

-+

-+

COROLLAIRE. - Soient A un anneau local et K une extension de son corps résiduel K,. Il existe un anneau local B et un gonflement A -+ B tels que la K,-algèbre K , soit isomorphe à K . En effet, l'homomorphisme K , K est un gonflement (exemple 1). Appliquant le th. 1 avec A' = K , et B' = K, on obtient l'existence d'un gonflement B de A et d'un A-isomorphisme de B/m,B sur K, d'où le corollaire. -+

3.

Existence des p-anneaux

PROPOSITION 4. Soient p un nombre premier, k un corps de caractéristique p, et soit n un entier 3 1, ou + m. Il existe un p-anneau (9 2, no 1, déf. 1) de longueur n dont le corps résiduel est isomorphe à k. O n peut considérer k comme une extension du corps résiduel Z / p Z de l'anneau local Z,,,. D'après le corollaire du th. 1, il existe un anneau local B, gonflement de Z(,,, tel que K , soit isomorphe à k. L'anneau local Z(,, est régulier et { p ) est un système de coordonnées de Z(,,. D'après le corollaire de la prop. 2 du no 2, l'anneau B est régulier et { pl, 1 est un système de coordonnées de B. Autrement dit, B est un anneau de valuation discrète, d'idéal maximal pB. Le complété C de B est alors un p-anneau de longueur infinie et le corps résiduel K , est isomorphe à K,, donc à k. De plus, pour tout entier n 3 1, C/pnC est un p-anneau de longueur n, de corps résiduel isomorphe à K,, donc à k. -

Exercices

Dans les exercices 1 à 27, p est un nombre premier fixé. Si A est un anneau, l'anneau des vecteurs de Witt W(A) est celui attaché au nombre premier p.

1) Soit A un anneau. L'endomorphisme V du groupe additif W(A) peut-il être compatible a la multiplication de W(A) ? 2) Notons A l'anneau Z[(X,),,,, (Y,),,,] des polynômes en les deux familles d'indéterminées (X,) et (Y,), et B l'anneau Z[X, Y] des polynômes en deux indéterminées X et Y. Pour tout polynôme R de B, il existe une suite unique de polynômes (R,),,, de A telle que l'on ait, pour tout n E N, R(@AXO>...> Xn), @,JYo, ..., Y J ) = a n @ " , ..., R n ) .

O n a R, = R(X,, Y,) et Rn ne dépend pas des Xi et Yi pour i > n. Si R est homogène de degré r par rapport a X (resp. Y, resp. (X, Y)) et qu'on attribue pour tout i E N, le poids pi à Xi et Yi, alors R, est isobare de poids rpn par rapport a (Xi)itN (resp. (Yi)itN, resp. ((Xi)itN,(Yi)itN)). Si R est constant, Rn est constant. Examiner les cas R = 0, 1, - 1, X + Y, XY, - X. 3) a) II existe une unique suite de polynômes (R,),,, n 2 O, on ait

XP" + YP" =

de Z[X, Y] telle que, pour tout entier

n

1 piRi(X, Y)Pn-'. i=O

b) Si p est impair, on a, pour tout n

Si p

=

2, on a R,(X, Y)

et R,(X, X) 4) Soient A un anneau, a = (a,),,,

-

=

E N,

- XY

O mod. 2

pour

un élément de W(A),

n

2

l'élément (ai),,, de W(A). Posons

Prouver que l'on a b, - pu, E pP-'A pour tout n E N. (Se ramener au cas où A = Z[(X,),,,] et a = (X,),,, et utiliser la prop. 1 du 4 1, no 1.) 5) Soit A un anneau de caractéristique p. a ) L'anneau W(A) est intègre si et seulement si A est intègre. b ) W(A) est réduit si et seulement si A est réduit. c) Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) A est un anneau parfait de caractéristique p. (ii) W(A)/pW(A) est réduit.

4

1

AC IX.43

EXERCICES

6) Soit A une Z,,,-algèbre. Soient n un entier, n > 1, g = (go, ..., g,,_,) un élément de W,(A), et f = go. Alors notant Af (resp. W,(A),) le localisé de A (resp. W,(A)) par rapport au système multiplicatif des puissances de f (resp. g), on a W,(AJ) = W,(Alg.

7) Soit A un anneau de caractéristique p. Prouver que les topologies L; et p-adique de W(A) coïncident si et seulement si A est parfait.

8) Soient A un anneau, et

P- 1

5 un élément de A vérifiant C 4'

=

O. O n a alors, dans W(A),

i=O

l'équation

En déduire que si A est de caractéristique p, on a pour tout a

VAo FA(a) = p. a

E

W(A)

9) Soit A un corps de caractéristique p. Montrer que l'anneau W(A) est noethérien si et seulement si A est parfait. (Calculer la dimension sur A de l'espace vectoriel Vl(A)/Vl(A)Z.)

10) Soit k un corps de caractéristique p, possédant une p-base finie. Soient A un anneau et cp un homomorphisme de k dans A, qui fasse de A une k-algèbre de type fini. a ) Pour tout entier n 3 1, A est un module de type fini sur AP". b) Pour tout entier n > 1, W,(A) est une W,(k)-algèbre de type fini. (Si a , , ..., a, engendrent A comme k-algèbre et comme Ap"'-module, prouver que les éléments Vjz(ai), 1 < i < N, O < j ,< n - 1, engendrent la W,(k)-algèbre W,(A).) ) Soit A un anneau de caractéristique p. Soit n E N ; prouver qu'on a p n - ' l n ! E Z,P,.Prouver que (nm) !ln !(m !)" est un entier pour m dans N. Pour n E N, soit y,, :Vl(A) + W(A) l'application définie par

s i n = O, yn(Vx) = 1 y,(Vx) = (p"- 'ln !) V(xn) si n 2 1 . (i) Prouver qu'on a y,,(x) E V1(A) si n (ii) Pour x, y E Vl(A) et n E N, on a

(iii) Pour h E W(A), x

E

V1(A), n

E

1 et x E V,(A).

N, on a

y,(hx) = h"y,(x) (iv) Pour x

E

Vl(A) et n, m dans N, on a

12) Soit A un anneau de caractéristique p. Pour tout élément a = (a,),,, entier n E N, posons a + = (a,+ .,) a) On a a = ~ ( a , )+ V a + . h ) Notons a :W(A) + W(A) l'application qui à a = (a,),,, associe

de W(A) et tout

où (cg exercice précédent) on a posé y,(Va+) = (pP-'/p !) V(aP,). Prouver que l'on a, dans W(A), l'égalité Fa = a P + p ( a ) . 1, a définit, par passage aux quotients, une application a, c) Prouver que, pour tout entier n de W,+,(A) dans W,(A). 13) Soit A un anneau de caractéristique p. La filtration de W(A) par les idéaux V,,(A) est compatible à la structure d'anneau de W(A) et on note grv(W(A)) l'anneau gradué associé. Pour tout entier n 2 O, on notera
(x, y) H
14) Soit A un anneau. On suppose que la multiplication par p. 1, est injective dans A. Soit o un endomorphisme de A tel que o(x) = xP mod. pA, pour tout x E A. a ) Il existe un unique homomorphisme d'anneaux su de A dans W(A) qui vérifie sa O o @,

o

sa

=

FA O sa

=

Id,.

C'est aussi l'unique homomorphisme sa de A dans W(A) qui vérifie, pour tout entier n positif, O Su = on. b) Soit B un anneau. On suppose que la multiplication par p. 1, es^ injective dans B. Soit o' un endomorphisme de B tel que ol(x) =- xP mod. pB pour tout x E B. Soit u un homomorphisme de A dans B vérifiant u o o = o' 0 u. Alors on a W(u) 0 s, = s,. o u. c) Si t, désigne le composé de s, et de la projection canonique de W(A) sur W(A/pA), prouver que tu induit, pour tout entier n 2 1, un homomorphisme t, de A/p"A dans W,(A/pA). d ) Si A/pA est parfait, prouver que tu,, est un isomorphisme. u unissant A de la filtration par les puissances de l'idéal pA et notant gr (A) l'anneau gradué associé, on montrera que I'homomorpbisme de grp(A)dans g r v ( ~ ( ~ / p ~ ) f exerc. ( c f : 13) induit par tu est un isomorphisme.) e ) Si AIpA est parfait, et que A est séparé et complet pour la topologie p-adique, t, est un isomorphisme de A sur W(A/pA). @"

15) a ) Soit A un anneau tel que la multiplication par p. 1, dans A soit injective. Alors il existe un unique homomorphisme d'anneaux s, de W(A) dans W(W(A)) qui vérifie S~

O

F~ =

F W ( ~ )O S~

et @O SA = Id,(,, (où @, est la projection de W(W(A)) sur W(A)). C'est aussi l'unique homomorphisme d'anneaux qui vérifie @, 0 s, = F i pour tout entier n E N (où @, :W(W(A)) -+ W(A) est la n-ième composante fantôme dans W(W(A))). b) Considérons l'anneau A = Z[(X,),,,] des polynômes en une famille d'indéterminées (X,),,,. Soit X l'élément (X,),,, de W(A). Posons s,(X) = (s,(X)),,,, où s,(X) E W(A). Pour

tout anneau A, définissons l'application s, de W(A) dans W(W(A)) par la formule sA(a) = (~"(a)),,~.Prouver que s, est un homomorphisme d'anneaux vérifiant

c) Pour tout homomorphisme d'anneaux u :B

+

A, on a

d) Les applications W(s,) o s, et s,(,, o s, de W(A) dans W(W(W(A))) sont égales. e ) Pour tout x E A, on a s,(T,(x)) = ~~(,fi,(x)). f ) O n a s, O VA = V,(, O s,, et l'applications, est continue quand on munit W(A) et W(W(A)) des topologies S.

16) a) Soient A, B deux anneaux et

+

17) Soit A l'anneau Q[X]. Soit 0 = (Cl,),,, Pour tout élément a de Z,, posons

l'élément de A qui vérifie @,(Cl)

=

(X, X, ..., X, ...).

W a ) = (Q,k))"SN. a) Pour tout a E Zp, et tout entier n E N, on a Q,(a) E Z,. b) Pour tout a E Z et tout entier n E N, on a Cl&) E Z, et, si a E N, a ( a ) est l'élément de W(Z) somme de a termes égaux à l'élément unité de W(Z). c ) L'application a ++0 ( a ) définit un homomorphisme de Z dans W(Zp)qui, quand on identifie Z, avec W(F,) (5 1, no 7, exemple 3), coïncide avec 1Phomomorphisme sFp défini dans l'exerc. 15. 18) a) Soit L un corps (commutatif). Soient G un groupe d'automorphismes de L et K le corps des invariants de G. Alors tout élément g de G agit sur W(L) (par W(g)) et, pour tout entier n 3 1, sur W,(L). L'ensemble des éléments de W(L) (resp. W,(L)) invariants sous l'action de G est W(K) (resp. W,(K)). b) Supposons que L soit une extension galoisienne finie de K, et notons Z[G] l'algèbre sur Z du groupe (fini) G. Pour tout Z-module M, notons M~ le Z[G]-module Hom,(Z[G], M) (muni de sa structure naturelle de Z[G]-module à gauche). Prouver que le Z[G]-module W(L) (resp. W,(L)) est isomorphe à W(K)G (resp. W,(K)G). En déduire qu'on a Hi(G, W(L)) = O (resp. Hi(G, W,(L)) = 0) pour tout entier i > O. (Utiliser le théorème de la base normale A, V, p. 70, th. 6 et A, X, p. 111 à 113.) 19) Soient K un corps de caractéristique p, P son sous-corps premier, Q une clôture algébrique de K. On note 8 l'endomorphisme x H Fx - x du groupe W(Cl), et aussi, pour tout entier n 2 1, l'endomorphisme de W,(Q) qu'il induit par passage aux quotients. a) Fixons un entier n 2 1. L'endomorphisme p de W(0) (resp. W,(Q)) laisse stable W(K) (resp. W,(K)) et son noyau est W(P) (resp. W,(P)). O n identifiera, dans la suite de cet exercice, W(P) et Z,, W,(P) et Z/pnZ (§ 1, no 7, exemple 3).

b) Soit a E W,(K). Notant V l'homomorphisme de décalage W,(K) -+ W,+,(K), prouver que i'on a a E pW,(K) si et seulement si l'on a V a E p,+ ,(K). Si K est séparablement clos, on a p WJK) = W,(K). c ) Soit a E W,(R) tel que a E W,(K). On note K(a) le sous-corps de R engendré par K et les composantes a,. .., a n , a. Si A est une partie de Wn(K), on note K ( p '(A)) la sous-extension de R engendrée par les corps K(a), pour tous les éléments a de W,,(R) vérifiant p u E A . Raisonnant comme dans A, V. p. 87 et utilisant I'cxcrcice précédent, prouver les assertions suivantes : (i) Soit L une extension galoisienne de K dans R. Il existe une unique application (O, a) ++ [o, a ) de Gal(L/K) x (pW,(L) n W,(K))/pW,(K) dans Z/pnZ>le que pour tout o E Gal(L/K) et tout x E W,(L) tel que $(x) E W,(K), on ait, en notant @(x)la classe de ~ ( x ) modulo 8 WJK) [O, @(x)) = 0" - x .

<;,

Si o,O'

E

Gal(L/K) et a, a'

E

(d, W,,(L) n W,(K))/pW,(K), on a [ou', a ) = [O, a ) [O, a

+ a'

) = [O, a )

+ [cs', a ) + [o, a' ) .

(ii) Notons, pour toute extension galoisienne L de K dans Q

les homomorphismes déduits de l'application (o,a) ++ [o, a ) construite en (i). Pour toute extension galoisienne L de K dans Q I'homomorphisme a, est injectif, et son image est le groupe des homomorphismes continus du groupe topologique Gal(L/K) dans le groupe discret Z/pnZ. (iii) L'application A ++ K(8-'(A)) est une bijection de l'ensemble des sous-groupes de W,(K) contenant pW,(K) sur l'ensemble des extensions de K dans R, abéliennes sur K et d'exposant divisant pn. L'application réciproque est L H #W,(L) n W,(K). (iv) Pour tout sous-groupe A de W,(K) contenant #W,,(K), l'homomorphisme

cst bijcctif. Lorsqu'on munit Hom(A/ pW,(K), Z/pnZ) de la topologie de la convergcnce simple, c'est un homéomorphisme. 20) Conservons les hypothèses et notations de l'exercice précédent. a) Pour chaque extension L de K dans Q, considérons le Z,-module

et pour chaque cnticr

11

2 O bon souh-niocl~ile

Prouver que W(L) s'identifie à la limite inductive de ses sous-modules W,(L) selon les applications d'inclusion in :W"(L)

+

V"+ 1(LI .

b) Pour tout entier n O, soit 9, l'application de W,(L) dans W,(L)/#W,(L) qui à x @ p-" associe la classe de x. Prouver que $, est un isomorphisme et qu'on a

où V, est l'application de W,(L)/pW,(L) dans W,+, (L)/#W,+ ,(L) induite par le décalage V. En déduire que W(L) s'identifie à la limite inductive des groupes W,(L)/&W,(L) selon les applications V,.

91

AC IX.47

EXERCICES

c) Soit a E W(K). Si n est un entier tel que a appartienne à W,(K), on a construit à l'exerc. 19, l'extension K(p- '(+,(a))). Cette extension ne dépend pas du choix de l'entier n ; on la note K(8-'(a)). Si A est une partie de W(K), on notera K(@-'(A)) l'extension engendrée par les corps K@.'(a)) pour a parcourant A. Prouver que K ( p l ( A ) )est une extension abélienne de K. Prouver dans cette situation des assertions analogues aux assertions (i) à (iv) de l'exerc. 19, c).

C)

21) Conservons les hypothèses et notations des deux exercices précédents. a) La multiplication par p dans W(K)/BW(K) est injective. b) Soit a un élément de W(R) tel que a 6 W(K) et @ a E W(K). On note K(a) le sous-corps de R engendré sur K par les composantes (a,),,, de a. Prouver que K(a) est une extension abélienne de K, dont le groupe de Galois est isomorphe au groupe topologique Z,. c) Si A est une partie de W(K), on note K(m-'(A)) la sous-extension de R engendrée par les corps K(a) pour tous les éléments a de w ( R ~tels q u e p a E A. Prouver dans cette situation des assertions analogues aux asiiertions (i) à (iv) de l'exerc. 19, c). d ) Soit r le groupe des automorphismes de R sur K. Soient n un entier 2 1 et
est un isomorphisme. 22) Soit A une Z(,,-algèbre. On note 9, l'algèbre sur W(A) engendrée par deux indéterminées F et V soumises aux relations F a = (Fa). F aV = V(Fa) FV = p VaF = Va

pour pour

a a

W(A) E W(A)

pour

a E W(A),

E

où F et V désignent respectivement les homomorphismes de Frobenius et de décalage de W(A). a ) Soit B une A-algèbre. Faisant agir F et V sur W(B) par les homomorphismes de Frobenius et de décalage de W(B), on munit W(B) d'une structure de 9,-module. De même pour chaque entier n 1, WJB) est un 9,-module. b) Pour tout élément x de 9,, il existe une famille (a,),,,, à support fini, d'éléments de W(A), caractérisée par l'égalité

1a-,

x=

Fn

+ a, +

Vna,. "à 1

"31

c) Supposons W(A) intègre. Soit x 6 9,. On note 6(x) le plus grand entier n tel que a, soit non nul. Si x et y sont deux éléments non nuls de 'DA,on a 6(xy) = S(x) S(y). En déduire que 9, est intègre. d ) Si A est un anneau parfait de caractéristique p, on peut remplacer la condition VaF = Va pour a E W(A) par la condition VF = p. L'idéal à gauche 9,V de 9, est bilatère. e) Si k est un corps parfait de caractéristique p, 9, est noethérien. (Considérer 3, comme quotient de l'anneau engendré sur W(k) par deux indéterminées X et Y soumises aux relations XY = YX et Xa = (Fa) X, aY = Y(Fa) pour a E W(k). Appliquer ensuite, III, 9 2, no 8, corollaire 2 au th. 1 et exerc. 10.)

+

23) Soient A un anneau et 1 l'ensemble des entiers négatifs. Soient rn un entier 2 1 et [a0, ..., a , ,] un élément de W,(A). Associons-lui l'élément (bi),, de A' défini par bi BOURBAKI.

-

=

a,+,-, O

AlgPbre cornmurotrue. - 6

pour pour

1-rn
On identifie ainsi WJA) à un sous-ensemble de A'. a ) Pour tout entier n 2 O, l'application V, :W,(A) + W,, ,(A) induite par le décalage est un homomorphisme de groupes. Les identifications des groupes WJA) à des sous-ensembles de A' & W,(A), limite sont compatibles aux applications V, et permettent d'identifier le groupe i inductive des groupes WJA) suivant les V,, au sous-ensemble CWu(A)de A' formé des éléments dont les composantes sont nulles sauf un nombre fini, éléments qu'on appellera covecteurs de Witt unipotents. Par transport de structure, on obtient sur ce sous-ensemble une structure de groupe. b) Pour a = (ai),,, et b = (b,),, dans CWu(A),on a a

+b =

où

C-,

=

S,(a -,-,,

..., a-,_, , a-, ; b -,-,,

..., b-,-, , b-,)

pour tout entier m suffisamment grand. c) Pour tout homomorphisme d'anneaux

24) Soit 1 l'ensemble des entiers négatifs. Pour tout anneau A, tout idéal nilpotent n de A, et tout entier r 2 O, soit CW(A, n, r) le sous-ensemble de A' formé des éléments (a,),,, tels que a-, E n si n 2 r. Autrement dit, on a n{-r,-r-l,...) CW(A, n, r) = ~ (,-01 ,...,1-'1 On munit CW(A, n, r) de la topologie produit, chaque facteur A ou n étant muni de la topologie discrète. On note CW(A) la réunion des CW(A, n, r) et on munit CW(A) de la topologie limite inductive. Pour cette topologie, CW(A) est séparé et CWU(A)(cf: exerc. 23) est dense dans CW(A). Les éléments de CW(A) sont appelés covecteursde Witt de A. u) Soit t un entier positif, et soient o,, ..., o, des entiers positifs tels que oosoit non nul et que

+

pio,. Alors on a pi+' divise mi 2 t(p - 1) p. b) Soit A l'&&eau Z[X, Y] desi&aôrnes en deux familles d'indéterminées X = (Xi)i,, et Y = (Y,),,. Pour tout entier r 2 O, soit n, l'idéal de A engendré par les X-, et Y -, pour n 2 r. Soient r et s deux entiers 2 1. Alors on a

+

modulo nr pour tout entier rn 2 r - 1 si s < p et pour tout entier in 2 r - 1 (s - p)/(p - 1) si s 3 p. (Par des arguments de poids, montrer que la différence des deux membres est combinaison linéaire à coefficients entiers de termes de la forme X?,_ ,Y?,' - ,X'!!,Y?,,, ... X?+ 'Y?+' mfl

où, si l'on pose mi

=

ui

+ vi pour O < i < m + 1, on a oo # O et 1 pioi = pm+'. Utiliser i=O

alors a).) c) Soient A un anneau, n un idéal nilpotent de A, r un entier positif et a, b deux éléments de CW(A, n, r). Alors : (i) Pour tout entier n 2 O, la suite des éléments a-,,; b-,-rn, ..., b - , - l , b-")

dm = Sm(a-n-m,...,

de A est stationnaire. (ii) Pour tout entier n 2 O, soit c-, la limite de la suite précédente. Alors l'élément c =(c,),,, appartient à CW(A, n, r). On posera a b = c. (iii) La loi d'addition précédente munit CW(A) d'une structure de groupe commutatif, compatible avec sa topologie. Pour tout idéal nilpotent n de A et tout entier r 2 O, le sousensemble CW(A, n, r) de CW(A) en est un sous-groupe topologique. 11 en est de même de CWu(A). d) Soient A et B deux anneaux,

+

§ l

AC IX.49

EXERCICES

25) Soit A un anneau parfait de caractéristique p. a) Soient B une A-algèbre et

X-,, ..., X,)

,-"-1.

= P,+,(a$-"-', ..., a,,,

, X_,-,, ..., X,) mod. b;,

pour tout entier m 2 r - 1 si s < p, et pour tout entier m 2 r - 1 + (s - p)/(p - 1) si s 2 P: c) Soient B une A-algèbre et

Fb

=

(b;)i.r

alors F et V sont des endomorphismes continus de CW(B) et permettent de munir CW(B) d'une structure de 9,-module. Le 3,-module CWu(B)est un sous-3,-module de CW(B). 26) Soit M l'ensemble des nombres rationnels positifs dont le dénominateur est une puissance de p, muni de la structure de monoïde donnée par l'addition. Soit k un corps parfait de caractéristique p. On munit W(k) et son corps de fractions K de la topologie donnée par la valuation de W(k). Soit n un entier positif. Soit C l'algèbre sur K du monoïde produit Mn.Pour 1 < i < n, on notera Ti l'image dans C de l'élément de M ayant pour i-ième composante 1 et pour autres composantes O, et pour CL E Mnon notera T l'image de a. Pour a E Mn,on posera

où w, désigne la valuation p-adique de Q. On note A l'anneau k[T,, ..., T,], B l'anneau W(k)[T, , ..., T,],? l'algèbre de Mnsur W(k), A l'algèbre de Mnsur k. On considère A comme un sous-anneau de A, B comme un sous-anneau de B, B comme un sous-anneau de C. Soit E l'ensemble des éléments de C de la forme den(a) a,Ta où la famille a support

1

stM"

fini (a,) est formée d'éléments de W(k). Soient F l'automorphisme de C coincidant avec l'automorphisme de Frobenius sur W(k) et vérifiant F ( T ) = T i pour tout i (1 < i < n) et tout a E M, et V l'automorphisme du groupe additif de C défini par V = pF-'. a) E est un sous-anneau de C, contenant B et stable par F et V. b) E est un W(k)-module, et est somme de ses sous-modules V'B, pour i E N. c) On a n V'E = 0. IEN

d ) Pour tout z E N, on a B n VIE = pLB.

AC IX. 50

$1

ANNEAUX LOCAUX NOETHÉRIENS COMPLETS

e) Notons p :B -+ A l'application obtenue en réduisant les coefficients des éléments de Mn modulo pW(k). Alors on a p(E) = A, et p induit un isomorphisme p' de E/VE sur A. f ) Pour tout entier r 2 O, V'E/Vr+'E est un module sur EIVE. Par p ' ',on peut le considérer comme un A-module. L'application de A dans VrE/Vr+'E. qui à a E A associe la classe de V'e, pour tout élément e E E vérifiant p(e) = a, est un isomorphisme du A-module 1, 6 induit un isomorphisme de E/V'E et W,(A) (utiliser l'exerc. 13, .D. 441, : 6 est iniectif. j ) Soit C le complété de C pour la topologie p-adique. Pour tout x E C, il existe une unique famille (u,),,~, d'éléments de K, telle que a, tende vers O quand a tend vers l'infini suivant le filtre des complémentaires des parties finies de Mn, et que x soit la somme de la famille a,T. den(a) cc,Tm de (? tels qu'on ait a, E W(k) pour k) Soit Ê l'ensemble des éléments x = =SM"

tout a

E M".

Prouver que 6 : E -+ W(A) se prolonge en un isomorphisme de Ê sur W(A).

27) Soient r,, r,, n des entiers vérifiant l
28) Soit J l'ensemble des entiers 2 1. Pour tout n E J, notons J, l'ensemble des entiers d 1 qui divisent n. Soit A un anneau. On munit AJ de sa structure d'anneau produit. On définit les applications @, f , , v, (n E J)de AJ dans lui-même par les formules suivantes. Pour a = on pose

on convient que amln= O si m/n $ J. Remarquons que @, ne dépend que des a, (d E J,). On écrira parfois @,((u,),,,~) au lieu de @,(a). Pour tout nombre premier p, on note w, la valuation p-adique de Q. Ces notations seront conservées dans la suite des exercices du 9 1. a) f, est un endomorphisme de l'anneau AJ, et S,, 0 j, = j,,, quels que soient n, m dans J. b) v, est un endomorphisme du groupe additif de AJ, et v, 0 v, = v,, quels que soient n, m dans J. Soient n, m dans J et d = pgcd(m. n) c ) On a f,oo, = d.vml,of,,. En particulier f,ov, = n.Id, et f , o v , = v , o f , si d = 1. d ) Quels que soient a, 6 dans AJ on a

(La seconde formule résulte de la première, et la troisième de la seconde en prenant a En particulier, on a v,(a).v,(b) = nv,(a.b),

=

1.)

EXERCICES

et sid

=

1.

29) Soit A un anneau. Soient n E J , p un nombre premier, et a E AJ. Établir la relation @,,,(a)= @,(aP) + pw@,,,(fp,(a)), où w = w,(pn) et pn = pwm. O n a donc @,,(a) = @,(aP) mod. pwp(Pn)A, et en particulier @,,(a) = @,(a)' mod. pA .

-

30) Soit p un nombre premier. Soient A un anneau filtré et (J,),,, sa filtration. O n suppose que l'on a JO = A et p. 1, E J I . Soient a et b des éléments de AJ et r E N. a) Si l'on a a, b, mod. J, pour tout d E J,, alors on a @,(a) = @,(b) mod. J,,, où k = w,(n). b) Supposons que, pour tout entier m > 1 et tout x E A, la relation p.x E J,, entraîne pour tout d E J,, alors a, b, mod. J, pour x E J,. Si l'on a @,(a) = @,(b) mod. Jr+Wp(d), tout d E J,.

-

,

31) Soit A un anneau. Soit n E J. Soit (a,),,," - ,) une famille d'éléments de A. Posons ud = @d((ae)etJù)pour d E J, - {n}, et soit un un élément de A. Pour tout nombre premier aP mod. pA pour p E J,, supposons donné de plus un endomorphisme opde A tel que o,(a) tout-ag A. Alors les conditions suivantes sont équivalentes : a) 11 existe un élément a, de A tel que un = b) Pour tout nombre premier p E J,, on a un = op(unlp)mod. pwp(")A. 32) Soit A un anneau. a) Le noyau de @ :AJ + A" est formé des éléments a tels que da, = O pour tout d E J. b) Supposons donné pour tout nombre premier p un endomorphisme op de A tel que o,(a) E aP mod. pA pour tout a E A. Alors l'image de @ est formée des éléments u tels que o,(u,) mod. ~ " P ( " ~ )pour A tout n E J. Cette image est un sous-anneau de AJ stable un, par f , et v, pour tout n E J. c) Soit q E J. Si la multiplication par q dans A est bijective, alors la multiplication par q est encore bijective dans Ker(@) et dans Im(@).

-

33) a) Soit J' une partie de J. Soient R un anneau commutatif et R[X] la R-algèbre de polynômes en une famille X = (X,),,,. d'indéterminées, munie de la graduation de type Z telle que X, soit de degré n pour tout n E J'. Soit, pour tout n E J',
AC IX. 52

ANNEAUX LOCAUX NOETHÉRIENS COMPLETS

9l

(En plongeant R dans Q @ R, on a, avec les notations de l'exerc. 33, S"(X, Y ) = Y"(@(X)+ @ ( Y ) ) , PAX, Y ) = Y,(@(X).@(Y)),In@) = Y , ( - @(XI), F,,"(X) = Y , ( f , ( @ ( X ) ) ) >et v,.m = Y,(u,(@(X))).) b ) Pour tout n E J, affectons X , et Y, du poids n. Alors Sn, P, et In ne dépendent que des familles (Xd),,," et (Y,),,,". De plus : a ) Sn est isobare de poids n. p) P, est isobare de poids 2n, et isobare de poids n en chacune des familles (Xd)d,,net (Y,),,,". y ) 1, est isobare de poids n. c ) F,,, est isobare de poids qn, et ne dépend que de la famille (X,),,, d ) On a V,.(X) = Xnl,, où on convient que X,/ = O si nlq $ J. (1f sufit de vérifier qu'avec cette définition de V,, on a u,(@(X))= @(v,(x)\.) 35) Soit A un anneau. a ) L'ensemble AJ, muni de l'addition

a

+ b = S(a, b )

et de la multiplication a x b = P(a, b ) ,

est un anneau commutatif, noté U(A).L'élément neutre pour l'addition est la suite O dont tous les termes sont nuls ; l'élément neutre pour la multiplication est la suite 1 dont tous les termes sont nuls sauf celui d'indice 1, qui vaut 1,. L'opposé d'un élément a de U ( A )est I(a). b ) Soit p : B -+ A un homomorphisme d'anneaux. Alors U ( p ) : U ( B -r ) U ( A ) défini par U ( p )(b,),,, = (p(b,)),,, est un homomorphisme d'anneaux. c) L'application @ : U ( A )+ AJ est un homomorphisme d'anneaux. En d'autres termes @,:U(A)+ A est un homomorphisme d'anneaux pour tout n E J. d ) Si le groupe additif de A est sans Z-torsion, le groupe additif de U ( A )l'est aussi. e ) Soit q E J. Si la multiplication par q est bijective dans A, elle est encore bijective dans U ( A ) . (Utiliser l'exerc. 32, c), p. 5 1.) 36) Soit A un anneau. Soient n, m dans J et d = pgcd(n, m). a) L'application a H F,(a) = (F,,,(a)),,, est un endomorphisme de l'anneau U(A),et l'on a F" O Fm = Fm,, @" O Fm = @.," b) L'application a I-+ V,(a) = (V,,,(a)),, est un endomorphisme du groupe additif de U ( A ) , et l'on a V , o V , = V,,. De plus, @, 0 V , est égal à O si q ne divise pas n et à q@,/, si q divise n. c ) On a F, o V , = d x V,!, o F,/, ; autrement dit F,(V,(a)) (pour a E U ( A ) )est somme dans U ( A )de d termes égaux à Vmld(Fnl,(a)). En particulier, on a Fn(V,(a))= n x a et F, 0 V , = V,o F,

En particulier, on a V,(a) x V,(b) = n x V,(a x b ) , V & ) x V,(b) = V,,(F,(a)

si d = 1. (Se ramener au cas où A et I'exerc. 28, p. 50.)

=

x F,(b))

Z n Y ] ,a = X, b = Y et utiliser l'exerc. 33, d), p. 51

8

l

EXERCICES

37) Soit A un anneau. a) Soit rn E J. Pour tout élément a = (a,),,, de U(A), on a a = (a,, ..., a,, 0, ..., O, ...) + (O, ..., O, a,+i,a,+2r ...).

=

b ) On munit U ( A )de la topologie produit sur AJ de la topologie discrète sur chacun des facteurs. Elle fait de U ( A )un anneau topologique séparé et complet. c ) On note T , (ou T ) l'application de A dans U ( A ) qui à a E A associe (a, O, ..., O ) E U(A). Soient a, b deux éléments de A, x = (x,),,, un élément de U ( A ) . (i) On a les formules ab) = ~ ( ax) r(b) , ~ ( ax) x = (anx,),,, , ' w a ) ) = (an)& > F,(r(a)) = ~ ( a " )pour tout n E J . (ii) La série de terme général V,T(X,)est convergente dans U(A),de somme x. 38) Soient p un nombre premier, A un anneau et a E U(A). autrement dit, on a Fp,,(a) r an mod. pA pour tout n E J. a) On a Fp(a)E aP mod. b) On a Fp(a)L a*Pmod. p x U(A), où a*P désigne le produit dans U ( A ) de p termes égaux à a, et où p x U ( A )désigne l'idéal de U ( A )engendré par p x lu(,,, somme dans U ( A ) de p termes égaux à lu,,,. (Il suffit de traiter le cas ou A = Z[X]et a = X . Alors A est sans Z-torsion et @ :U ( A ) + AJ est injectif. Pour a) il suffit (p. 51, exerc. 30, b)) de montrer que, pour tout n E J, @,(F,(X)) = @,,(X) est congru à @ , ( X P ) modulo pwp(P"'A,ce qui résulte de = fp(@(X)) est congru à l'exerc. 29, p. 51. Pour h) il sufit de montrer que @(Fp(X)) @(X*P)= @(X)Pmodulo p.@(U(A)).Or il existe un élément u E AJ tel que ( p 51, exerc. 29) fp(@(X))- @(X)P= (@,,(X) -
-

Or le terme de droite est égal à @,,(X4) - @,,(X4)P. D'après l'exerc. 29, p. 5 1, on a ap,,( X ) Qpn( X I ) mod. qwg(pqn)A

@,,(X)

= @,(Xq) mod. qwq(q")A .

Les termes de droite et de gauche de (1) sont tous deux congrus à zéro modulo pA (p. 51, exerc. 29), donc (1)résulte de ( 2 ) et (3)si q # p. Supposons que l'on ait q = p. Alors il résulte de (3) et du lemme 1 qu'on a @,,(X)P @n(XP)P mod. pWp(P")+ ' A, (4)

-

et ( 1 )résulte de (2)et (4).)

39) Soit S une partie non vide de J telle que pour tout n dans S, S contienne J,. Notons ns la projection canonique de AJ sur AS. a) Le noyau de xS est un idéal de A. On notera U s ( A )l'anneau obtenu en munissant AS de la structure d'anneau quotient. On a un diagramme commutatif d'homomorphismes d'anneaux O +

AJ

b) Pour tout n E J, Ker(as) est stable par V,, et Ker(a,) contient V,(U(A))si n $ S. Par passage au quotient V , définit un endomorphisme, encore noté V,, du groupe additif de U,(A). c ) Si n E J et si nS c S alors Ker(xS) est stable par F,, qui définit, par passage au quotient, un endomorphisme, encore noté F,, de l'anneau &(A). 4 Soit n E J. L'anneau Us(A) se notera aussi U,(A) si S = J,,, et U,,(A) si S = U JI,,. va 1

Soit p un nombre ~ r e m i z ~. o n t r e que r U,,(A) s'identifie à l'anneau de Witt W(A), et que, pour tout n E N , U,,(A) s'identifie à l'anneau W,+,(A) (on identifiera I'élément (u,, u,, up2,..., upn ,, u ) de U,,(A) au vecteur de Witt [a,, , a,] avec a, = u,, pour O < I d n). p: Les endomorphismes de groupes V et F, de U,,(A) correspondent respectivement, par cette identification, au décalage et à I%ndomorphisme de Frobenius de W ( A ) .

40) Soit A un anneau. Soit J = P x Q une décomposition du monoïde J en produit de sousmonoïdes P et Q (qui sont donc engendrés par les nombres premiers qu'ils contiennent). On suppose que tout q E Q est inversible dans. A, donc aussi dans U ( A )(p. 52, cxcrc. 35, e)). a) Pour tout a E U(A), la série PM = VqFq(a) >

17

~ E Q

où p désigne la fonction de Mobius (Lie, II, p. 71), est convergente pour la topologie produit de U ( A ) = AJ. On définit ainsi l'endomorphisme additif sQ =

1' ( 97) V,F, de U ( A ) pour

WQ

tout n E J, l'application @, 0 aQ de U ( A )dans A est égale à O si n $ P et à @, si n E P. b) Pour tout q E Q, q # 1, on a aQVq= O = FqaQ.

(Utiliser l'exerc. 36, c), p. 52.) c ) Montrer que aQ est un idempotent ayant pour image l'intersection des noyaux des F, (4 E Q, 9 Z 1). Pour rn E J et a E A, calculer sQ'Vm.r(a). En déduire que le noyau de aQ est l'ensemble des éléments de la forme - V,T(~,),avec a, E A. Le sous-ensemble E,U(A) de U ( A ) est stable par

1

neQ

addition et multiplication. Muni de ces deux opérations, c'est un anneau commutatif, d'unité ~ ~ ( l ~ et ( ~l'application , ) , aQ : U ( A )-+ aoU(A) est un homomorphisme d'anneaux. d) Pour tout q E Q, posons eu = et que, pour tout a

E

U ( A ) on

1

VqaQFw. Montrer que l'on a ei

=

eq et eqeq.= O si q # q',

a

où la somme est convergente pour la topologie produit de U(A).(Pour (*) se ramener au cas où a = X E U(R[X]),R étant le sous-anneau de Q formé des nombres rationnels à dénominateur dans Q. Il suffit alors d'appliquer @ et de vérifier l'analogue de (*) dans R[XIJce qui résulte de la formule @, o e,. = @,,6,,, si p E P, q E Q, q' E Q. Le sous-ensemble e,U(A) de U ( A ) est stable par addition et multiplication. Muni de ces deux opérations, c'est un anneau commutatif, d'unité e,(lUo,) et l'application e, :U ( A )-+ e,U(A) est un homomorphisme d'anneaux.

e) Pour tout q E Q, on a F,e,

=

(

1 (i 1

e, - V , . En conclure que a , aQU(A),d'inverse a t+'V,(a).

aQFqet - V , aQ

est un isomorphisme d'anneaux e,U(A) -+

=

H

Fq(a)

4 f ) Montrer que la projection canonique np : U ( A )-+ U p ( A )(exerc. 39) définit un isomorphisme d'anneaux aQU(A)-+ U p ( A ) .En déduire un isomorphisme d'anneaux de U ( A ) sur U p ( A ) Qtransformant a en ( a , ~ ~ F , ( a ) ) ,pour , ~ tout a E U(A). g ) Si A est une Q-algèbre, on peut prendre P = { 1 ) et Q = J. On déduit un isomorphisme d'anneaux U ( A ) + AJ, qui n'est autre que @.

91

AC IX.55

EXERCICES

h) Supposons que P = {pnlnE N), où p est un nombre premier. Ainsi tout nombre premier q # p est inversible dans A. On obtient un isomorphisme d'anneaux U(A) + W(A)Q (cJ: exerc. 39, d)). On notera w, l'application de W(A) dans U(A), qui, par l'isomorphisme de U(A) et w(A)Q, correspond à l'inclusion de W(A) dans W(A)Q selon la première composante.

41) Soit A un anneau. a) Soit p :A + U(A) un homomorphisme d'anneaux tel que (Dlo p = Id,. Posons o = (D o p et o(a) = (o,(a)),,, pour a E A. Les applications on:A + A (n E J) satisfont aux conditions suivantes : (1) o, est un homomorphisme d'anneaux pour tout n E J, et o, = Id,. aP mod. pA et (2) Pour tout nombre premier p et pour tout a E A, on a o,(a) op(on(a)) = op,, (a) mod. pwp'p"'A pour tout n E J . b) Supposons que le groupe additif de A soit sans Z-torsion. Soit o = (o,),,, une famille d'applications o, :A + A satisfaisant aux conditions (1) et (2) de a). Il existe un unique homomorphisme d'anneaux p :A + U(A) tel que @, 0 y = Id, et @ o p = o. (Appliquer les exerc. 32 et 33, d),p. 51.) c) Supposons que le groupe additif de A soit sans Z-torsion. Il existe un unique homomorphisme d'anneaux pA:U(A) + U(U (A))

-

tel que
o

pA soit i'application FA: U (A) + U(A)'

définie par FA(a) = (F,,(a)),,,. (Se ramener au cas où A = Z[X]. Appliquer b) et les exerc. 36 et 38., bl. ,, D. 52 et 53.) d ) Soit X = (X,),,, une famille d'indéterminées considérée comme élément de U(Z[X]). Posons

.

où p,, (X) E Z[X] pour n, m dans J. Pour tout anneau A définissons pA:U(A) + U(U(A)) par pk(a) = ((p,,m(a))m,J)ntJ.Montrer que pA est un homomorphisme d'anneaux tel que le diagramme suivant soit commutatif

Ici par définition, f ,(a) = (f,(a)),,, pour a E AJ, et (DA (resp. (DU(,))est l'homomorphisme @ associé à l'anneau A (resp. U(A)). e) Pour tout homomorphisme d'anneaux p :B -+ A le diagramme

est commutatif.

AC IX. 56

ANNEAUX LOCAUX NOETHÉRIENS COMPLETS

f ) Montrer que le diagramme suivant est commutatif

(Se ramener au cas où A = Q[X]. Alors A est une Q-algèbre, donc QA:U ( A ) -. AJ est un isomorphisme et U ( A )est également une Q-algèbre. Si, à l'aide du diagramme (1) et par transport par f A lorsque A est une Q-algèbre, on est ramené à démontrer de structure, on remplace la commutativité du diagramme

f

'AJ'(f

A(X))=

f

(AJ'((.L(~))nEJ)

=

((~XL(X))),,,J),.J = ((fmri(X)),it.r)msJ 9

et

( f A I J ( f A ( X )=) ( f A ) J ( ( f n ( X ) ) n= E J(fA(.L(X)))wsJ ) = ((fmn(X))m,.r)neJ .) E A, on a

g ) Pour tout a

h ) On a le diagramme commutatif suivant

où l'application s, est celle définie à I'exerc 15, p. 44, où l'application

L:NA)

+

AJ , L ( f

=

(L"(fN,,J

>

Par

a ) Montrer que l'on a

L(fg)

=

L ( f ) + L ( g ) quels que soient f, g

E

A(A).

91

AC IX.57

EXERCICES

b) Si A est une Q-algèbre, alors L est bijectif, son inverse E étant donné par

pour a E AJ.

43) Soit E :U ( A )+ A(A) l'application définie par E(a) =

n( 1

-

an(- T)")

ntJ

pour a E U(A). a) Démontrer la commutativité du diagramme

En déduire que si A est une Q-algèbre, on a

quel que soit a E U(A). b) Montrer que E est bijectif. (Si l'on pose

n (1

-

a,(- T)")=

nsJ

c,(a)(- T)", il suffit n30

d'appliquer l'exerc. 33, a), p. 51 à la famille de polynômes c,(X) de Z[X].) c ) On munit A(A)de l'unique structure d'anneau telle que E soit un isomorphisme d'anneaux. Montrer que l'addition de A(A)est la multiplication des séries, d'élément neutre 1. La multiplication de l'anneau A(A)notée (f, g ) ~f * g, est définie par la formule quels que soient a, b E U ( A ) ;son élément neutre est 1 + T . d ) Soit T : A -+ U ( A )l'application définie dans l'exerc. 37, c), p. 53. On a (1

E(.r(a))= 1 + aT + aT) * ( 1 + bT) = 1 + abT ( 1 + aT) * f ( T ) = f (UT) L(l

+ aT) = (a"),,,

quels que soient a, b dans A et f ( T )dans A(A). e ) Soient f et g deux éléments de A(A) qui soient des polynômes en T , et soit rn le degré de f: Posons

Ce sont des polynômes en X à coefficients dans A[T];

en déduire le résultat si A

=

Z [ X ,, ..., X,] et f

=

n i= 1

(1

*g

est le résultant

+ XiT),et passer de là au cas général.)

44) Soit A un anneau. a) L'ensemble U(A) des éléments de U(A) à coordonnées nilpotentes, nulles sauf un nombre fini d'entre elles, est un idéal de l'anneau U(A). Pour tout n E J, il est stable par F, et V,. b) Soit a E QA). Alors l'élément E(a) de A(A) est un polynôme en T. Sa valeur en - 1 est un élément inversible de A, qui est aussi, pour tout n E J, la valeur en - 1 du polynôme E(V,a). c) Si a E U(A) et b E Û(A), on note ( a, b ) la valeur en - 1 du polynôme E(ab). On définit ainsi une application Z-bilinéaire de U(A) x U(A) dans A* et on a

45) Par pré-h-anneau on entend un anneau A muni d'applications h, :A 6) ho(a) = 1, (ii) h, (a) = a, (iii) hn(a + b) =

2

+

A (n E N) telles que

&(a) h, _,(b) ,

" = O-

quels que soient a, b dans A. Les conditions (i) et (iii) s'expriment également en disant que

définit un homomorphisme du groupe additif de A dans le groupe multiplicatif A(A). Par h-morphisme d'un pré-h-anneau A dans un autre B, on entend un homomorphisme p :A + B d'anneaux tel que p(h,(a)) = h,(p(a)) quels que soient a E A, n E N, autrement dit tel que le diagramme

soit commutatif (l'application A(p) transforme la série 1

+

a,Tn en la série 1 nb 1

+2

p(a,) Tm).

n 31

Soit A un anneau. Nous nous proposons de munir A(A) d'une structure de pré-h-anneau. Notons EA:U(A) A ), I>isomorvhismed'anneaux défini dans l'exerc. 43. Soit S une autre . , + M.~ indéterminée. a) Montrer que les deux isomorphismes composés

coïncident; on les notera EA. On définit l'application LApar la commutativité du diagramme

où

désigne l'homomorphisme défini dans I'exerc. 41, d), p. 55.

3

l

AC IX. 59

EXERCICES

b) L'anneau A(A), muni de hA, est un pré-h-anneau. Pour tout homomorphisme d'anneaux p :A -+ B, A(p) :A(A) -+ A(B) est un h-morphisme. c) Un pré-h-anneau A s'appelle un h-anneau si h:A -. A(A) est un h-morphisme (pour la structure de pré-h-anneau sur /\(A) qu'on vient de définir). Soit A un anneau. Montrer que @(A), LA)est un h-anneau. (Utiliser I'exerc. 41, j),p. 56.) 46) a ) Soient A un pré-h-anneau et a t A. O n appelle h-rang de a la borne supérieure dans R de l'ensemble des entiers n E N tels que h,(a) # O. Soit P une partie multiplicative de A formée d'éléments de h-rang < 1. Soit a = ai la somme d'une famille finie d'éléments de P. O n a

h(a)

=

n (1 + aiT), donc hn(a)

1 id

=

s,((a,),,), où s, désigne le polynôme symétrique élémentaire

i€I

de degré n (A, IV, p. 63). b) Soient A un anneau et a, b des éléments de A. Alors dans A(A) les éléments 1 a T et (1 + UT) * (1 + bT) = 1 abT sont de h-rang < 1. c ) Soit A un pré-h-anneau. Supposons qu'il existe un sous-monoïde multiplicatif de A, formé d'éléments de h-rang < 1, qui engendre le groupe additif de A. Montrer que A est alors un h-anneau. Plus généralement, A est un h-anneau s'il existe un h-morphisme injectif de A dans un pré-h-anneau satisfaisant à la propriété précédente (« Principe de scindage »). (Il s'agit de montrer que I'application Z-bilinéaire (a, b) h(a) * h(b) h(ab)-' est nulle et que les applications Z--linéaires a H AS(hT)[hS(a)] et a ++ht(hT(a)) de A dans A,(A,(A)) coïncident. Il suffit de vérifier ces propriétés pour a, b E P.) d) Soit A = Z[(Xi)ie,, (Xf')i.,,.] l'anneau des polynômes en deux familles finies d'indéterminées. On a

+

+

-

(:)

désignant l'ensemble des parties

ti n

éléments de 1, et où XH =

n

X,,. En afïectant les Xi

heH

(et Xi.) d u poids 1, s, est homogène de poids n. Tout polynôme symétrique en (X,),,, s'exprime de façon unique comme polynôme en les s, (n 2 1) (A, IV, p. 58). En particulier, pour tout m 2 0, on a = Q..m(s,, --.> snm) %((X,),+)) où Q, ,est homogène de poids nm en les s, = s,((X,),,) (r = 1, ..., nm). C'est le coefficient de Tm (1 + X,T), et il est bien défini et indépendant de 1, pourvu que Card(1) 2 nm. dans

n

"a Le coefficient de Tn dans n

(1 + XiXi.T) est

(i,iZ)dX 1'

où si = S,((X;,)~.,,,),et où P, est homogène de poids n en chacune des familles de variables (s,) et (s:). Il est bien défini et indépendant de 1et 1' pourvu que 1et i' soient de cardinaux 2 n. Montrer que dans le h-anneau A(A) on a ( 1 s,Y) r>O

et

* ( 1s:T) r3O

1s,T)

r2O

D'après a) et b), on a

=

P,(sl, ..., s,, s i , ..., sk) Tn

= n>O

C

m>O

Q,,,(s1,

...> s,,) Tm

e ) Soit A un pré-h-anneau. Pour que A soit un h-anneau, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient satisfaites, quels que soient a, b dans A, et n, rn dans N. (i) h(1) = 1 + T, ( 4 %(ab) = P,,(hl(a), ..., h,,(a), %(b), ..., Ub)), (iii) L ( ~ , , ( a )= ) Qn.",(h,(4, hnm(a)). J) Soit p :A + B un h-morphisme de pré-h-anneaux. Si A est un h-anneau et p surjectif, alors B est un h-anneau. Si B est un h-anneau et si p est injectif, alors A est un h-anneau. ...2

47) Soit A un anneau. On définit des applications F,, V, (n E J)de A(A) dans lui-même par les formules F,(E(a)) = E(F,(a)) > V,(E(a)) = E(V,(a))

quel que soit a E U(A). a) On a L(F,(f)) = f"(L(f)) et L(V,(f 1) = v,(L(f 1) quel que soit f E NA). Soient n, rn dans J et posons d = pgcd(n, m). h) Montrer que F, est un endomorphisme de l'anneau A(A), et que l'on a F, 0 Fm = F,,. Pour tout nombre premier p et pour tout f E A(A), on a Fp(f) = f * P mod. p * A(A), où f*O désigne le produit dans l'anneau A(A) de p termes égaux à f ; et où p * A(A) désigne l'idéal principal de A(A) engendré par la somme dans A(A) de p termes égaux à l'élément neutre 1 T, autrement dit par (1 + T)P. c ) Prouver que V, est un endomorphisme du groupe additif de A(A), et que l'on a V,oVm = V,,. d) Pour tout f E A(A), on a F,(Vm(f)) = V,,d(F,ld(f))d. En particulier F,(V,( f)) = f", et F,oV, = V , o F , s i d = 1. e ) Quels que soient j; g dans A(A), on a

+

v n ( f ) * Vm(g)= Vnm/d(Fm/d(f) * V,(f * F,(g)Yd = V"(f * V,/d(Fm/d(g)), V,(F,(S))"'~ = VA1 + T) * V",d(F,/d(~)). 3

En particulier, on a

* V,(g)

V,(f

et

=

V"(f

* g)"

VAf) * Vrn(g)= Vnm(Fm(f* F"(9)) si d f ) On a V"(f )(Tl quel que soit f

E

=

f (-

=

1.

( - T)")

A(A). En particulier V,(l

+ UT) = 1 - a(-

T)"

pour tout a E A. g) Pour tout a E A, on a F,(l Pour tout f

E

+ UT) = 1 + anT.

A(A), on a F"(f)(- ( - T)")

=

Nf (Tl)

où N désigne la norme dans l'extension A[[Tn]] c A[[T]]. (II suffit de traiter le cas ou f E A [ l , puis de plonger A dans un anneau B où f se décompose en produit de facteurs linéaires, auxquels on peut appliquer la première formule.)

9l

EXERCICES

Pour tout a E A, on a F,(1

-

a(- T)")

=

(1

-

a"ld(- T)m'd)d.

(Observer que 1 - a(- T)" = Vm(l + UT) et utiliser c) et f).) h) Quels que soient a, b E A, on a (1 - a( - T)")

* (1 - b( - T)")

=

(1

-

amldb"ld( - T)""ld)d .

(Utiliser la première formule de e).) 48) Soit A un pré-h-anneau. Notons Y le composé A A A(A) 2AJ, de sorte que Va) = où

Les applications \Ir,, :A -+ A s'appellent opérations d'Adams. Lorsque (A, h) = (A(B), hB),B étant un anneau, on écrira aussi Y Bpour Y. a) Soit B un anneau. Montrer que pour tout n E J, on a

$:

=

F, :A(B)

+ A(B) .

(Utiliser le diagramme commutatif

où toutes les applications horizontales sont bijectives.) b) Soit A un pré-h-anneau. Pour tout n E J , \Ir,, est un endomorphisme du groupe additif de A, et \Irl = Id,. Si A est un h-anneau, $, est un endomorphisme de l'anneau A, et \Ir, o \Irm = \Ir, quels que soient n, rn dans J. De plus, pour tout nombre premier p on a $ (a) = aP mod. pA quel que soit a E A. (Utiliser l'injectivité de h :A -, A(A), et les proprié%s analogues des

\Ir:

= ,Fm.)

c) Soit A un pré-h-anneau dont le groupe additif soit sans Z-torsion. Pour que A soit un hanneau, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient satisfaites pour tous les entiers n>2etm22: (i) $"(Il = 1 ; (ii) $,(ab) = $,(a) $,(b) quels que soient a, b dans A ; (iii) \Ir,, O 4fm = $"m.

(Puisque L :A(A) + AJ est un homomorphisme injectij"d'anneaux, Y = L 0 h est un homomorphisme d'anneaux si et seulement si h en est un. De même du diagramme

on déduit que A(h) O h = hA0 h (h est un h-morphisme) o h J o Y = Y A o h t > h o + , = $;ohpourtoutn o L o h o + , = Lo+~ohpourtoutn. , f,oYpourtoutn A ( h ) ~ h= h A o h o ~ o $ = o O Ji, = quels que soient m et n.)

+,

+,

d) Soit A un h-anneau. Soit a E A un élément de h-rang < 1 (i.e. h(a) = 1 + UT). Alors +,(a) = an quel que soit n E J. Si P est une partie multiplicative de A formée d'éléments de ... + a:. h-rang < 1 et si a l , ..., a, appartiennent à P, on a +,(al + ... + a,) = a; Dans l'algèbre de polynômes Z[(Xi),,,], notons (s,,)les polynômes symétriques élémentaires, s,T" = (1 X,T), et

+

x

na0

n

+

1

v"(%r ..., s,)

=

1X: 1

le n-ième polynôme de Newton. Montrer que, quel que soit a E A, on a (Vérifier d'abord cette relation lorsque a est de la forme a l + ... + a, comme ci-dessus. Passer de là au cas où a = 1 + shThE A(Z[(Xi),,]). Ensuite déduire le cas général en plongeant A ha1 dans le h-anneau A(A) et en utilisant I'homomorphisme Z[(sh),, ,,.,,,,]-+ A qui envoie sh sur hh(a).)

x

49) Soient A un anneau, E un A-module projectif de type fini, et u E EndA(E).Si E est un Amodule libre, on note detE(u)le déterminant de u. En général, on peut choisir un A-module F tel que E O F soit un A-module libre de type fini, et on pose a) Montrer que detE(u)est indépendant du choix de F, que det(1,) = 1, et que det,(u 0 v ) = det,(u).det,(v) quels que soient u, v dans EndA(E). b) Supposons que L soit un sous-module facteur direct de E stable par u, et notons u, E EndA(L) et u , , ~ E EndA(E/L)les endomorphismes définis par u. Alors on a detE(u)= detL(u,).det,lL(u,lL). Soient T une indéterminée, E[T] = A[T] BAE, et identifions u à lA[,,QAu E End,[,,(E[T]). Posons

EXERCICES

(polynôme caractéristique de u) et

(cf: A, III, p. 107). où 1 désigne lEITl c) On a ?,(O) = 1. Supposons que E soit localement libre de rang constant r. On a X,(l,) = (1 + T)". Si or:A[T, T-'1 + A[T, T L ]désigne l'application (o,f)(T) = T*.f((- T ) ' ) on a f ) ) = (- lyf et o~(XE(U))=.xE(u). d) Soit a :A -, A' un homomorphisme d'anneaux. On a BAE(IdA, QA U) = a(X,(u)), où on note sc aussi i'homomorphisme A[T] + A ' [ l défini par a. e ) On a TE(u)E A(A). Pour tout n e J, on a

(Il suffit de vérifier les formules localement sur le spectre de A, donc on peut supposer E égal à A'. Soit (uij)iQi,jQr la matrice de u, soit (Xij),,i,j,, une famille d'indéterminées, posons B = Z [( Xij)l, et soit v l'endomorphisme de B'de matrice X = (X,), i,j,,. 11suffit de vérifier les formules pour B'et v E End,(Br). On peut plonger B dans un corps C algébriquement clos, et il suffit de vérifier les formules pour Cr et w = Id, Q, v. Soient a,, ..., a, les valeurs propres de w,

,

de sorte que z,,(wn) X,,,.(~.,(A"(W)) =

=

n (1 + a,T). On a $;&(w))

n (1 + aHT),

OU

=

fl (1 + a:T)

,= 1

=

~ c . ( ~ nDe ) . plus

H parcourt l'ensemble des parties à n éléments de { 1, ..., r ) ,

n a,,. On peut maintenant appliquer I'exerc. 46, d), p. 59, pour montrer que H

et où a,

=

htH

h;(X&))L f) ona

XA"(c#w)).)

neJ

autrement dit L,(X,(u)) = Tr(un)pour n E J. (Raisonner comme dans e).) g) Soient E' un A-module projectif de type fini, et u' E EndA@'). On a, dans i'anneau A(A), (Raisonner comme dans e).) h ) Soient k un corps algébriquement clos de caractéristique p non nulle, E un espace vectoriel sur k de dimension finie n, u un endomorphisme de E. On notera X,(u) l'image de %(u) dans W(k) par les homomorphismes canoniques (exerc. 43, p. 57 et exerc. 39, p. 53) : Prouver que si a,, ..., a, sont les valeurs propres de i'endomorphisme u, on a

x n

XE(u) =

7(mi) dans W(k).

i= 1

50) Soit A un pré-h-anneau. Par h-idéal de A on entend un idéal a de A tel que h,(a) c a pour tout n E J. a) Soit a un h-idéal de A. Montrer qu'il existe une unique structure h :A/a -, A(A/a) de pré-hanneau sur A/a telle que la projection canonique A + A/a soit un h-morphisme. b) Les h-idéaux de A sont précisément les noyaux des h-morphismes de A dans d'autres pré-h-anneaux. c ) Soit (a,),, une famille de h-idéaux de A. Alors n ai et 1 ai sont des h-idéaux de A. d) Soit A un h-anneau. Si a et a' sont des h-idéau; de A, alors aa' est un h-idéal. e) Soit A un h-anneau et soit a E A. L'idéal a de A engendré par a, &(a), &(a), ...est un h-idéal.

51) Soit A un h-anneau et soit (Xi),, une famille d'indéterminées. Introduisons la famille d'indéterminées (h,X,)c,,i,,Jx, telle que AlXi = X iquel que soit i E 1. Considérons l'algèbre de polynômes B = A[(A,,X,),,,., 1. L'homomorphisme d'anneaux h : A + A(A) c A(B) se prolonge de façon unique en un homomorphisme d'anneaux h :B + A(B) tel que ,S.,.,

et, pour q 2 2,

a) Montrer que (B, h) est un h-anneau. (Il s'agit de montrer que le diagramme d'homomorphismes d'anneaux As(B)

MAT)

+ &(MB))

t

t

est commutatif. 11 suffit de le vérifier sur un système générateur de l'anneau B.) h ) Soient C un h-anneau, p :A + C un h-morphisme, et (ci),, une famille d'éléments de C. Il existe un et un seul h-morphisme p' :B + C prolongeant p et tel que pl(Xi) = ci pour tout i E 1.

n

52) Soient (A,),,, une famille d'anneaux, A = A , et pi :A -+ Ai la projection canonique , pour tout i E 1. a) L'application a :A[[T]] + A,[[T]], qui applique a,Tn sur ( 1 p,(a,) Sn),,est un iso-

n

morphisme

a :A(A) +

~ l l e -définit, par restriction, un isomorphisme d'anneaux nd'anneaux. A(A,). De plus on a, pour tout n J, a hf (nkti) a. (utiliser les polyE

0

=

((

0

L

nômes universels 2 de l'exerc. 46, d), p. 59.) b) Supposons que, pour tout i E 1, Ai soit muni d'une structure hi :Ai + A(Ai) de pré-h-anneau. A(Ai) au moyen de a, on définit h = hi:A + A(A). Alors (A, h) En identifiant A(A) à

n

fl

1

L

est un pré-h-anneau, appelé produit de la famille ((A,, A,)),,,. Pour que (4h) soit un h-anneau, il faut et il suffit que (A,, h,) en soit un pour tout i E 1. 53) Soit u

=

1

+T +

2 a,,Tnun élément de A(Z). Il existe un et un seul homomorphisme de -

n=2

groupes hu : Z -+ A(Z) tel que hu(l) = u, et ( Z h") est un pié-h-anneau. O n a hU(n)= un quel que soit n E Z. Pour que (Z, hU)soit un h-anneau, il faut et il suffit que u = 1 T, auquel ,cas on a

+

quels que soient n E Z et m E N. 54) Soient C un anneau et A une C-algèbre (non nécessairement commutative). O n note Repc(A) l'ensemble additif des classes des A-modules qui sont des C-modules projectifs de type fini, et on note Rc(A) le groupe de Grothendieck K(Repc(A)) (cf: A, VIII, fj 10, no 6). a) Soit a : A 1+ A un homomorphisme de C-algèbres. Si E est un A-module de type Rep,(A), alors le module CL*Eobtenu par restriction à A' de l'anneau des scalaires A (A, II, p. 30) est un A'-module de type Rep,(Af), et [El H [cL*E]définit un homomorphisme a, :&(A) + R,(A1).

91

AC IX.65

EXERCICES

Si a , : A, + A' est un homomorphisme de C-algèbres, on a (a O a,), = a,, o a,. b) On pose K,(C) = R,(C). L'homomorphisme structural E : C + A définit un homomorphisme E , :R,(A) + K,(C). S'il existe un homomorphisme y :A + C de C-algèbres, alors y, :K,(C) + R,(A) est un inverse à droite de E,. c) Soit y :C + C' un homomorphisme d'anneaux. Si E est un A-module de type Rep,(A), alors y*E = C' @, E est un A,.-module de type Rep,.(A,.), où Ac = C' Qc A, et [El H [y*E] définit un homomorphisme y* :R,(A) + R,.(A,.). Si y; :Cr + C l est un autre homomorY Y*phisme d'anneaux, on a (y, o y)* = : d ) Soient E & F s* G des homomorphismes de A-modules, et posons h = g 0 f: Construire une suite exacte de A-modules

Déduire de là que si f et g sont injectifs, et si Coker(f) et Coker(g) sont de type Rep,(A), alors Coker(h) est de type Rep,(A), et on a [Coker(h)]

=

[Coker( f )]

+ [Coker(g)]

dans R,(A). 55) Soit C un anneau. Soit G un monoïde et soit son algèbre sur C. Au lieu de Repc(C(G)) et R,(C'G)), on écrira Rep,(G) et Rc(G). Si a :G' + G est un homomor hisme de monoïdes, on notera aussi a l'homomorphisme de C-algèbres C(G" + C( ) qu'il définit, et a* :Rc(G) -t R,(G') l'homomorphisme correspondant. D'après A, VIII, $ 10, no 5, il existe sur R,(G) une structure d'anneau (commutatif) telle que

8

si E et F sont des modules de type Rep,(G). L'élément neutre pour cette multiplication est la classe du module C l , égal à C avec opération triviale de G. a) L'anneau R,(G) admet une unique structure de pré-h-anneau telle que

pour tout module E de type Repc(G). (Observer tout d'abord que An(E)est encore un module de type Repc(G). Ensuite, si F est un sous-module tel que F et E/F sont de type Rep,(G), montrer que

dans Rc(G). Pour cela notons Lp l'image de AP(F) Qc A"-P(E), par la multiplication, dans An(E). On a An(E) = L, 2 LI 2 ... 3 L, = An(F) 3 Ln+, = O, et il existe un isomorphisme canonique de C(G)-modulesde Lp/Lp+ sur AP(F) @ An-P(E/F).) b) Pour tout homomorphisme a :G' + G de monoïdes, l'application a, :Rc(G) -+ R,(Gf) est un h-morphisme. En particulier K,(C) est un pré-h-anneau et E, :Rc(G) + K,(C) est un h-morphisme. L'homomorphisme G + { l ) en fournit un inverse à droite. c) Soient G un monoïde et R un ensemble. Une fonction j':G + R sera dite centrale si f (st) = f(ts) quels que soient s, t E G. Notons FC(G, R) l'ensemble de ces fonctions.-Si R est un h-anneau, FC(G, R) est canoniquement muni d'une structure de hlanneau telle que

,

Cf + f? (4 = f(s) + f ' b ) ( f - f'1 (s) = f (s).f '(s) ( L f )(s) = hAf (SI) quels que soient f, f ' dans FC(G, R) et s dans G. Ceci s'applique notamment lorsque R

=

A(C).

d) Soit E un module de type Rep,(G). Pour tout s E G, notons s, l'homothétie de rapport s dans E, et posons -

XE(')

=

detEITl(l

+

A(C)

(cj. p. 62, exerc. 49). Montrer que

-

x:[EI

définit un h-morphisme

-

x :R,(G)

-+

-XE

FC(G, A(C)) .

e ) Si C est un corps, alors X est injectif(A, VIII, 9 10, no 6, prop. 10). En déduire dans ce cas que R,(G) est un h-anneau.

56) Soit G le monoïde libre engendré par un élément T, de sorte que C'G' s'identifie à C[T]. Notons Co le module C[T]/TC[T]. Alors [Co] est un élément idempotent de R,(C[T]). Le noyau du h-morphisme canonique R,(C[T]) -t Ko(C) est I'idéal engendré par 1 - [Co]. Posons ~ c ( c [ T l= ) ~c(C[Tl)/[CoIRC(CtT1) . a ) Montrer que [Co].R,(C[T]) est un h-idéal, donc que R,(c[T]) admet une structure quotient de pré-h-anneau. b) Pour tout module E de type Rep,(C[T]), notons TE l'homothétie de rapport T dans E. On a

-

XE(^)

et

=

detEITl(l

+ TET)

XE(^) = detEITl(T - TE) est le polynôme caractéristique de TE (cf. cxerc. 49, p. 62). Montrer que [El w &(T) définit un h-morphisme Rc(C[T]) -+ A(C) dont le noyau contient [Co]. Par passage au quotient, on obtient un h-morphisme -

X :~ c ( ~ [ 7 1 )A C ) . +

c) Notons A,,,(C) le sous-groupe de A(C) engendré par les éléments de A(C) qui sont des polynômes en S. Montrer que l'image de est A,,,(C). En conclure que A,,,(C) est un sous-hanneau de A(C). d) Pour tout r E Z, définissons o,:C[T, T-'1 + C[T, T-'1 par (OS)(T) = Trf((- T)-'). On a (o,(o,f)) (T)= ( - l)"Tr-sf'(T),en particulier o,(of) = ( - 1)% et (of). (o,g) = or+.(f-g), quels que soient r, s dans Z et f, g dans C[T, T l ] . Si f est un polynôme en T de degré < r (r 2 O), alors af en est un aussi. Si de plus f E A(C) (i.e. f(0) = l), alors of est unitaire de degré r. Si E cst un C[T]-modulequi est un C-module libre de rang r, on a o,(X,(T)) = x,(T). e ) Si f E A(C) est un polynôme en T de degré < r, posons Er,, = C[T]/of.C[T]; c'est un C-module libre de rang r. Si f = 1 on a E,,, = C[T]/TrC[T]. Si g E A(C) est un polynôme en T de degré < s, on a une suite exacte de C[T]-modules

X

Er,, 0 (utiliser d)). Montrer que la classe T(f ) de dans R,(c[T]) est indépendante de r (>_deg(f)). (En effet c,,,f = (O$). ( p f ) = Ts. ( o f ), et la classe du module C[T]/TsC[T] dans Rc(C[T]) est nulle.) Montrer que si g est un polynôme dans A(C), on a z(fg) = t(f) + r(g). (Utiliser encore la suite exacte (*).) Déduire de la que t s'étend en un homomorphisme de groupes (*) 0 -, Es,,

-+

:A,,,(c)

X

Er+,,,

-t

+

R,(c[TI)

+

.

f ) Montrer que 0 t est l'application identique de A,,,(C). (Utiliser le fait que si f E A(C) est un polynôme de degré < r, alors le polynôme caractéristique de TET est of:) g) Montrer que tout élément de R,(C[T]) est la classe d'un C[T]-module Ifqui est un C-module libre.

91

AC IX.67

EXERCICES

h) Soit E un C[T]-module, et notons u E Endc(E) l'homothétie de rapport T dans E ; soit O c u E EndcI,,(EIT]). On a une suite exacte de C[T]-modules

Ü = Id,,,,

(A, III, p. 106). Supposons que E soit un C-module libre de base (el, ..., e,). Alors E[T] est un C[T]-module libre de base (1 e,). Si la matrice de u pour la base (e,) est (aij), la matrice de T - Ü pour la base (1 Q e,) est (TGij - a,). i) Soit f = (f,), une matrice à coefficients dans C[T]. On dira que f est spéciale si, quels que soient i, j dans (1, ..., r), i # j, jii est un polynôme unitaire et deg(Ji) > deg(f,,). Montrer alors que det(f) est un polynôme unitaire (de degré deg(J;,) + ... + deg(f,,)) et que f définit un endomorphisme injectif de C[TIr. Déduire de h) que tout C[T]-module qui est un C-module libre de rang r est isomorphe au conoyau d'un tel endomorphisme de C[T]'. j ) Soit f une matrice spéciale comme dans i). Posons f

des matrices de types (1, r - l), (r

-

1, 1) et (r

-

1, r

= -

;)oùf+,

f-,frsont

l)'respectivément. Posons

Montrer que h est une matrice spéciale. De plus, en identifiant les matrices carrées aux endomorphismes correspondants, on obtient des suites exactes de C[T]-modules O

-+

Coker(f)

-, Coker(h)

(où Coker(g) est isomorphe à C[TIr-'/,f,,C[T]'-')

+

Coker(g) -+ O,

et

Déduire de là, par récurrence sur r, que Coker(f) est un C-module projectif dont la classe dans Rc(C[T]) est combinaison Z-linéaire d'éléments de la forme [C[T]/pC[T]] où p est un polynôme unitaire. k) Utiliser les parties f), g), i ) et j ) précédentes pour montrer que T :A,,,(C) -+ R,(c[T]) est surjectif, donc que :R,(c[T]) + A,,, (C) est un isomorphisme. 1) Montrer que A,,,(C) est stable par V, et F, pour chaque n E J. Il leur correspond donc des endomorphismes V, et F, de R,(C[T]), par l'isomorphisme précédent. Soit
X

Dans les exercices ci-après, p est un nombre premier fixé, et les anneaux de vecteurs de Witt sont relatifs à ce nombre premier. 57) Soient m, n deux entiers 2 1. Pour tout anneau A de caractéristique p, notons ,W,(A) le noyau de l'endomorphisme Fmde W,(A). 2 et n a) Pour m 1, le diagramme suivant est commutatif

où les applications V, F sont induites par les homomorphismes de décalage et de Frobenius respectivement, 1 est l'injection naturelle et R la projection naturelle. b) Pour n 3 1 et a = [a,, ..., a,-l] dans W,(A), on note iï l'élément (a,, ..., a, _ , , O, ...) de W(A).

Soient a E ,W,(A), b E ,,W,(A). On pose alors ( a , b ) = E(oA(a)o A ( Q ) , 1 ) (cj. p. 57, exerc. 43 pour la notation E, et p. 54, exerc. 40 pour la notation a,). Prouver que l'application (a, b) H ( a, b ) de ,W,(A) x .W,(A) dans A* est Z-bilinéaire. c ) Avec les notations de a), on a

( a , V b ) = ( F a , b ) pour

aE,W,(A)

et b ~ , w , - , ( A )

pour aE,W,(A)

et BE,-,W,(A).

et (Ra,b)=(a,Ib)

m

5 8 ) a) Soit E(T) la série formelle ex&

TP"/p")de Q[[Tl].On a n=O

n

G(T)=

(1

-

Tn)"(n)'n

in,^) = 1 n entier 3 1

où p est la fonction de Mobius. Les coefficients de G(T)appartiennent à Z(,,. b) Soit X = (X,),,, une famille d'indéterminées. Dans l'algèbre Q[(X,),,,], on a l'égalité

fi G ( x , T ~ " ) exp(-

m

1 @,(XI TP",~).

=

n=O

n=O

c) Soit A une Z(,,-algèbre. On suppose que la multiplication par p. 1, est injective dans A. Soit

LI

ai

a = (a,),,,

E

AN.Pour que la série exp(

a,TP"/pn) de A - [[Tl]ait ses coefficients dans A,

n=O

il faut et il suffit que a appartienne à @,(W(A)). 4 Soit A une Z(,,-algèbre. L'application E O o, de W ( A )dans A(A) ( c f . p. 54, exerc. 40 et

n ai

p. 57, exerc. 43) associe à a

=

-

(a,),,, l'élément

G(a,(- T)p")de A(A).

n=O

e) Soit A une Z(,,-algèbre. Supposons que la multiplication par p. 1, soit injective dans A. Soit o un endomorphisme de A vérifiant ou apmod. pA. Soit s,:A + W ( A ) l'homomorphisme associé à o (p. 44, exerc. 14).Alors, pour tout a E A, la série formelle

x m

E,(a, T ) = exp(

c'(a)TP'/p')

,=O

a ses coefficients dans A, et on a

x m

E O o, o s,(a- ') = exp(

ol(a)( - T)P'/p')= E,(a, - T ) .

,=O

et soit X = (X,),, E W(A).La série E, (X, T ) a ses coefficients dans W ( A )Pour toute Z(,,-algèbre A et tout élément r = (a,,),, j e W(A),on notera E,(a, T ) la série obtenue en appliquant W(
f ) Soit .k l'anneau Z(,,[(X,),,,]

E 0 o,(,,

o

sA(a-') = E,(a, - T ) pour tout

a E W ( A ).

Dans les exercices du § 2, p est un nombre premier fixé. Si a est un idéal d'un anneau A, on note aP l'idéal engendré par les éléments aP,ou a parcourt a. 1 ) Soit (Cn,TC,,,) un système projectif d'anneaux relatif à l'ensemble d'indices N. On suppose que C , est artinien pour tout n E N et que les homomorphismes TC,,, sont surjectifs. Soit n, l'homomorphisme canonique de CI J=I $ C, dans C,. Montrer que pour tout x E C, on a xC = @ TC,(X) C,. (Raisonner comme dans la démonstration de la prop. 3 du § 2, no 1.)

92

AC IX. 69

EXERCICES

,

2) Soient A un anneau et (J,),,, une suite décroissante d'idéaux de A, telle que pJ, + Jn c J,+ pour tout n E N. a) Prouver que les assertions du lemme 1 et de la prop. 1 du $ 1, no 1 sont encore vraies sous cette hypothèse. b) Soient i et n deux entiers positifs. Lorsque i < n l'application x t+ pixp"-' de A dans A définit, par passage aux quotients, une application

Pour i > n, on pose pki = O. Pour x E A/J, et a E A/Jo, on a xp"-'p$(a) = &(xa), ou 7 est l'image de x dans A/Jo. Si j est un entier positif et que a, b sont deux éléments de A/J,, on a pn,,(a) pk,(b)

=

~ n , i + ~ ( a -~ j b ~ ~ )

c) Soit (R,),,, la suite de polynômes constrilite dans l'exerc. 3, p. 42. Soient n et i deux entiers positifs, a et b deux éléments de A/Jo. On a alors, dans A/J,, l'égalité

3) Soit n un entier positif. Soit C un p-anneau de Cohen, de corps résiduel k, et de longueur n 1. Soit (x,),, une famille d'éléments de C relevant une p-base (E,,),,, de k. On notera pi :k -+ C pour tout i E N, l'application p:,i définie à l'exerc. 2, où l'on prend pour J, l'idéal p m + lC. a) Pour r E N, soit M, l'ensemble des multi-indices m E N(") tels que, pour tout h E A, on ait O < m, < pr. Alors, pour tout élément cx de C, il existe une unique famille à support fini (a,,,) (O < i < n, m E Mn-,) d'éléments de k, telle que

+

ou la notation xm désigne le produit

n x;.".

,th

b) Considérons l'anneau U engendré par des générateurs [x,], h parcourant A, et [p,(a)], i parcourant N et a parcourant k, et soumis aux seules relations suivantes (où les polynômes R, sont ceux introduits dans l'exerc. 3, p. 42) (i) [p,(a)] = O pour a E k, i > n, (ii) CPO(l)l = 1 et [p,(O)l = (iii) [p,(a)] [p,(b)] = [p,,,(aP b )] pour 1, j dans N et a, b dans k, (iv) [p,(a)l

+ [p,(b)]

n-i

=

C

[p,+,(R,(a, b))] pour i E N et a, b dans k,

m=O

(v) [x,IP" '[p,(a)] = [pt(5,a)] pour O < i < n, h E A, a E k. Prouver qu'on a [p,(O)] = O pour tout i E N . Prouver, grâce à l'exerc. 3, b), p. 42, que sip est impair, on a [po(- l)]

=

-

1 ; sip est pair,

c) Il existe une seule application de U dans C, qui, pour toute famille à support fini ",meM, - , d'éléments de k, associe à l'élément (aiJO i = O ,SM,-,

de U l'élément

C

i = O msMn-,

Ath

pi(ai,,) xm de C ; c'est un isomorphisme d'anneaux.

d) Déduire de ce qui précède une autre démonstration des résultats du $ 2, no 3.

4) Soient C un p-anneau de Cohen de longueur infinie, et k son corps résiduel. Soient A un anneau, et (J,),,, une suite décroissante d'idéaux de A vérifiant pJn + Jf: c Jnil pour tout n E N . Soient enfin
(c,), ,

+

5: Soient A un anneau et (J,),,, une suite décroissante d'idéaux de A, vérifiant pJ,, Jf c J,+ pour tout entier n 3 O. Soient R un anneau de caractéristique p et

Y E R. 6) Soient A un anneau et (J,),,, une suite décroissante d'idéaux de A. On suppose que A est séparé et complet pour la topologie définie par la filtration (J,),,, et qu'on a pJ, + Jf: c JE+, O. On note R, l'application canonique de A sur A/J,. Soient R un anneau pour tout entier n parfait de caractéristique p et un homomorphisme d'anneaux de R dans A/J,.u) Il existe une application

lm

c) Posons u,, = a , p W,, O F-". Alors, pour tout n E N, le diagramme suivant, où les flèches verticales designent les projections canoniques, est commutatif

92

AC IX.71

EXERCICES

d) 11 existe un unique homomorphisme d'anneaux u rendant commutatif le diagramme suivant L<

A

L'homomorphisme u est continu quand on munit W(R) de la topologie p-adique, et pour tout rn

a

=

(a,),,,

E

W(R), on a u(a)

pn
= n=O

(L'existence de u découle de ce qui précède. Pour prouver l'unicité de u, sa continuité et son expression explicite, utiliser l'égalité

(Utiliser l'exercice précédent.) En particulier, prenant pour f l'élévation à la puissance p-ième dans R, prouver que F, est l'unique endomorphisme de W(R) tel que 0,O F, = f 0 (Do. Il est caractérisé par les égalités F,(r(x))

=

r(xP) pour tout x

E

R.

-

b) Soit A un anneau séparé et complet pour la topologie p-adique. O n suppose que la multiplication par p.1, dans A est injective et que A/pA est un anneau parfait. Alors il existe un xP mod. pA pour x E A, et l'inverse de I'isounique endomorphisme o de A tel que o(x) morphisme t, :A + W(A/pA) décrit dans l'exerc. 14, p. 44 est donné par

où

9) Soient k un corps de caractéristique p, C, un p-anneau de longueur infinie, et de corps résiduel k. Soient A un anneau local séparé et complet et u :C, + A un homomorphisme local tel que l'homomorphisme déduit de u par passage aux quotients fasse du corps résiduel K de A une extension séparable de k. Soit C , un p-anneau de longueur infinie, de corps résiduel K. Prouver qu'il existe des homomorphismes locaux i :C, -t C, et v :C, + A tels que u = v o i et que v induise l'identité sur K par passage aux quotients.

10) Soient k un corps de caractéristique p, (<,),,, une p-base de k, et pour chaque entier n 2 1, soit C, le sous-anneau de W , ( k ) engendré par w , ( k p " - ' ) et les éléments .r(E,,) = [ch,0, ..., O], pour h E A. Pour tout entier n 2 1, la projection de W , + , ( k ) sur W , ( k ) applique C,+ dans C,. On note C le sous-anneau de W ( k )limite projective des C,. a ) Soit n un entier 3 O. Posons A = W , + , ( k ) et pour tout entier i 2 O soit pi = l'application de k dans A définie à l'exerc. 2, p. 69. Prouver qu'on a, pour a E k, pi(a) ='Vi.r(aP"). En déduge que les éléments ~ , - ( apour ) a E k, engendrent le sous-anneau W,+ (kp")de A. b ) Soit C un p-anneau de corps résiduel k et de longueur infinie, et soit (x,),,, une famille d'éléments de relevant'la p-base (5,),,,. Utilisant l'exerc. 4, p. 7 0 , prouver qu'il existe, pour chaque entier n > 1, un unique homomorphisme d'anneaux
,

,

,

11) Soient k un corps de caractéristique p, (E,,)htA une p-base de k, C le sous-anneau de Cohen de W ( k ) contenant ~ ( 5 ,pour ) tout h E A. Soit (E,),,, une base de k*/(k*P)comme F,-espace vectoriel. Soient n un entier O et (x,),,, une famille d'éléments de k* telle que l'image de x, dans k*/k*O soit E,, pour tout j E J. a ) Le groupe k*/k*P" est un (Z/pnZ)-module libre de base (x,),, ou ZJ est la classe de x, dans k*/k*P". b ) Pour tout j E J, écrivons la décomposition de x, suivant la base de k sur kP"(avec les notations de l'exerc. 3, p. 69) :

(cm),,,"

z

X, =

aJJ",Gm, a,,,

E

k.

meM,

z .r(aT,icm)

Posons (J,(x,) =

pour tout j

E

J

"CM"

et

o,(x)

=

z ( x ) pour

x

E

k*P".

'

Alors ons'étend, de façon unique, en une application multiplicative de k* dans C/pn+ C, encore notée O , , et qui par passage au quotient, détermine l'inclusion de k* dans k = CIpC. c ) Soit ol,une autre application multiplicative de k* dans C/p"+ ' C définissant l'inclusion de k* dans k par passage au quotient. Alors pour tout x E k*, on a o , ( x ) = o(x) o i ( x ) , ou v est un homomorphisme de k* dans le groupe multiplicatif (1 pC)/(l + pn+'C) trivial sur k*O". Une famille quelconque (pj)j,, d'éléments de C/pnCdéfinit un tel homomorphisme par la formule

+

v(xj) = 1

+ pPj

pour tout j E J .

d ) Pour tout entier n 2 O et toute application multiplicative s, :k* -+ C/pn+'C définissant l'inclusion de k* dans k par passage au quotient, il existe une application multiplicative sn+ :k* -+ C/pn+'C qui détermine s, par passage au quotient. e) Prouver qu'il existe une section multiplicative s : k -t C. On peut imposer à s de vérifier ~ ( 5 ,= ) z(E,,) pour tout h G A. f ) Soit A un anneau local, séparé et complet. Soient k son corps résiduel, (<,),+ une p-base de k, et pour h E A, al un relèvement de 5, dans A. Montrer qu'il existe une section multiplicative k* -* A qui vérifie ~ ( 5 , = ) a,. 12) Soit A un anneau local complet dont le corps résiduel soit de caractéristique p. a ) Soit x E mA. L'application n H ( 1 + x)" de Z dans 1 + m, se prolonge de façon unique en une application continue de Z p dans 1 + m,, notée cc ti (1 + x)". On définit ainsi une structure de Zp-module sur le groupe multiplicatif 1 + m,. a

TP"/p")de l'exerc. 58, p. 68. L'application x ++ G(x) de

b ) Soit G la série formelle exp(-

m, dans 1 + m, est bijective.

,>=O

42

AC

EXERCICES

lx.73

c) Soient k un corps parfait de caractéristique p, et cp un homomorphisme local de W(k) dans A. Pour a E W(k), considérons la série cpE,(a, T) obtenue en appliquant cp aux coefficients de la série EF(a, T) de l'exerc. 58, f), p. 68. Pour a E W(k), x E 1 + m,, posons x" = cpEF(ci, C1(x)). Montrer qu'on définit ainsi une action du groupe additif W(k) sur l'ensemble 1 + m,, qui prolonge l'action de W(F,) (identifié à Z,) définie en a). Montrer qu'on a en outre, pour a E Z, et a E W(k), x E 1 + m,, la relation (xa)" = 2". d) Utilisant l'exerc. 15, p. 44, prouver qu'on n'a pas toujours, pour a E Z, et a E W(k), x E 1 + m,, la relation (xa)" = xa'. On n'a pas non plus toujours, pour a E W(k) et x, y dans 1 + m,, la relation (xyp = x"ya. 13) Soit A un anneau de valuation discrète complet de caractéristigue nulle, dont le corps résiduel soit de caractéristique p. Soient K le corps de fractions de A, K uneclôture algébrique oe K, munie de l'unique valyation v prolongeant celle de K (VI, 5 8, no 7), K le complété de K, A l'anneau de valuation de K. Posons e = u ( p ) . m

a) La série log(1

+ x) = C ( -

1)'-'xi/; converge pour v(x) > O et définit des homomor-

i= 1

phismes de Z,-modules (cJ exerc. 12) 1og:l 1og:l

+ m~ + k ,

+ m,

-+

K.

m

b) La série exp(x)

xi/; ! converge sur l'idéal a de K des éléments de valuation > e / ( p - 1),

= i=O

et définit des homomorphismes de Z,-modules

c) Pour x E a, on a log(exp(x)) = x, log(1 définit des isomorphismes de Z,-modules

+ x) E a et exp(log(1 + x)) = 1 + x. Ainsi exp

d'inverses définis par log.

d ) Le noyau de log sur 1 + m~ est formé des racines de l'unité dont l'ordre est une puissance de p. L'image log(1 mÂ)est égale à m i .

+

14) Soit A un anneau de valuation discrète complet, de caractéristique nulle, dont le corps résiduel k soit parfait de caractéristique p. Soit K le corps des f ~ c t i o n de s A. Soient n un entier > 1 et une racine primitive pn-ièmede l'unité dans K. Soit K une clôture algébrique de K, munie de l'unique valuation v prolongeant celle de K. a ) Soit C le sous-anneau de Cohen de A, T son corps de fractions ; c'est un sous-corps de K. L'isomorphisme canonique de W(k) sur C induit un isomorphisme de W(k) @, Q sur T. Pour toute extension l de degré fini de k, le corps W(1) @, Q est une extension de degréBi de W(k) Oz Q, galoisienne si 1 l'est. Si 1 est galoisienne, l'unique extension T, de T dans K isomorphe à W(1) 8, Q a un corps résiduel isomorphe à 1. En particulier le corps Tm,réunion des corps T, quand 1 parcourt les extensions galoisiennes de degré $ni de k (dans une clôture a é b r i q u e fixée de k), a pour corps rés-uel une clôture algébrique k de k. Il en est de même de K. Pour chaque extension 1 de k dans k, on notera Tl l'unique extension de T dans T m dont le corps résiduel soit le sous-corps 1 de k, et K, l'extension composée de K et Tl. Alors, si 1 est galoisienne sur k, K, est galoisienne sur K et son groupe de Galois s'identifie canoniquement au groupe de Galois de 1 sur k. b) Soit k, la plus grande extension abélienne de k dans k dont le groupe de Galois est annulé par p". Grâce à I'exerc. 19, p. 45, on a un isomorphisme canonique

Par A, V, p. 85, th. 4, on a un isomorphisme canonique Gal(Kkn/K)

-+

Hom(H,/KYP", P,~(K))

où H, = (KZnJP"n K*. Prouver qu'il existe une unique application

telle que le diagramme suivant soit commutatif :

où la flèche verticale de droite désigne l'application qui a l'homomorphisme

cwa'

15) Conservons les hypothèses et notations de l'exercice précédent. a ) Soient N E W(k) et G E w($) vé-ant p(&)= CL (cf: p. 45, exerc. 19). Alors l'élément (p. 72, exerc. 12) du complété K de K ne dépend que de cc, il appartient à K, et on a


u(<""" - 1) 2 ep/(p - 1) (avec e = v(p)) (On pourra prouver l'égalité

ou x = 8-'(<) (loç. cit.) et où F désigne l'automorphisme de Frobenius de W(k).) b) Pour cc E W(k), notons E**(a) la classe dans K*/K*," de
+

tion
H

$ log cp du groupe A(K) dans le groupe additif K[[T]]

+

est un isomorphisme. Si A est

de caractéristique p, 1 + m, s'identifie au groupe W(A)L où L est l'ensemble des entiers positifs premiers à p (utiliser les exerc. 40, h) p. 54 et 43, b), p. 57). 17) Soit A un anneau de valuation discrète complet, dont le corps résiduel k est parfait de caractéristique p et dont le corps des fractions est de caractéristique 0. Soit f l'unique homomorphisme de W(k) dans A qui induise l'identité sur le corps résiduel k. Soit enfin K une uniformisante de A.

93

AC IX.75

EXERCICES

a) Il existe un polynôme d'Eisenstein P à coefficients dans f (W(k)) tel que P(n) = O (utiliser VIII, 5 5, no 4). b) Soit e la valuation de p. Pour tout entier n > O, notons Un le groupe multiplicatif 1 m i , et posons h(n) = inf(np, n + e), el = e/(p - 1).Soit u la classe dans k* de px-'. Soit

+

'

id'

Zp-modules. h ) Soient n un entier > el et I(n) l'intervalle (n, h(n) - 1) de N. Pour tout entier i E I(n), soit ni un élément de A de valuation i. Alors l'application de W(k)'(")dans U, qui à (ai)itl(n,associe (1 + nip' est un isomorphisme de Zp-modules. id(") i) Supposons que k soit fini et notons d le degré sur Qp du corps des fractions de A. Alors le Zp-module 1 + mq est isomorphe à (Z/p"Z) x ZP. (On pourra utiliser les questions précédentes, ou bien utiliser l'exerc. 13, p. 73.)

n

1) Soient p un nombre premier, G le groupe libre à deux générateurs X et Y, Fp[G]l'algèbre du groupe G sur F,. On pose Z = XY - YX et on note a l'idéal bilatère de Fp[G]engendré par les éléments ZX - XZ, ZY - YZ et Z2. Posant A = F,[G]/a, on note 3 l'idéal bilatère de A engendré par l'image de Z dans A (on notera encore X, Y, Z les images dans A de X, Y et Z). a) Soit a un élément de A. Prouver qu'il existe deux familles à support fini d'éléments de F,, soient (p,,p)(a,p,eZ2 et (qa,p)(,,p,tz2, déterminées de manière unique par la condition

En déduire que l'algèbre quotient A13 est commutative et intègre, et que l'idéal 3 est contenu dans le centre de A. b) Pour tout couple (a, b) d'éléments de A, il existe un élément c de A tel qu'on ait akb - bak = kak-'cZ

pour tout entier k 2 0 .

En déduire que l'ensemble AP des puissances p-iémes des éléments de A est contenu dans le centre de A. c) La partie multiplicative S = A - 3 de A permet un calcul de fractions à droite et à gauche (II, 3 2, exerc. 22). On notera B l'anneau de fractions de A ainsi construit. (Pour vérifier par exemple que pour tout a dans A et tout s dans S, il existe b E A et t E S tels que at = sb, prendre b = sp-la, t = sP et utiliser b).) d ) Prouver que l'application canonique de A dans B est injective. (Remarquer que le noyau de cette application est contenu dans 3 et raisonner comme dans a).)

e) Le centre de B contient Z. Si m est l'idéal bilatère de B engendré par Z, on a mZ = 0. f ) L'idéal m est l'ensemble des éléments non-inversibles de B, et le corps B/m est isomorphe au corps FJX, Y). g) Prouver qu'il n'existe pas de sous-corps de B dont l'image dans B/m soit tout B/m. Dans les exerc. 2 à 5, les anneaux topologiques (commutatifs) sont supposés linéairement topologisés. Si A et B sont deux anneaux topologiques et que B est une A-algèbre, on dit que B est une A-algèbre topologique si l'homomorphisme de A dans B qui définit la structure d'algèbre est continu. 2) Soient A un anneau topologique, B une A-algébre topologique. On dit que B est une A-algèbre formellement lisse si, pour toute A-algèbre topologique discrète C, tout idéal j de C, de carré nul, et tout A-homomorphisme continu u :B -+ C/j, il existe un A-homomorphisme continu v :B + C qui, par passage au quotient, induise u. Soient A un anneau, B une A-algèbre. On dit que B est une A-algèbre lisse si B est une Aalgèbre formellement lisse quand on-munit A et B des topologies discrètes. a ) Soient A un anneau topologique et B une A-algèbreformellement lisse. Soient C un anneau et j un idéal de C. Munissons C de la topologie j-adique, et supposons C séparé et complet pour cette topologie. Alors, pour tout A-homomorphisme continu u :B -+ C/j, il existe un A-homomorphisme continu v :B -+ C qui, par passage au quotient, induise u. b) Soit A un anneau. Toute algèbre de polynômes sur A est une A-algèbre lisse. c ) Soit A un anneau topologique. Si B est une A-algèbre formellement lisse et C une B-algèbre formellement lisse, alors C est une A-algèbre formellement lisse. d) Soient A un anneau topologique, B une A-algèbre formellement lisse, A' une A-algèbre topologique. Alors la A'-algèbre topologique B @, A' (III, 5 2, exerc. 28) est une A'-algèbre formellement lisse. e) Soient A un anneau topologique, B une A-algèbre formellement lisse. Soit S (resp. T) une partie multiplicative de A (resp. B) telle que l'image de S dans B soit contenue dans T. Alors T 'B est une S 'A-algèbre formellement lisse (voir III, 5 2, exerc. 27 pour la topologie de T- 'B et S ' A ) . f ) Soient n un entier >, 1, A un anneau topologique, (B,),,,,, une famille de A-algèbres

'

topologiques. Pour que

n Bi soit une A-algèbre formellement lisse, il faut et il suffit que Bi

i= 1

soit une A-algèbre formellement lisse pour 1 < i < n. g) Soient A un anneau topologique, B une A-algèbre topologique, Â et B les séparés complétés respectifs de A et B. Alors les trois conditions suivantes sont équivalentes : est une A-algèbre formellement lisse ; (i) est une 4-algèbre formellement lisse ; (ii) (iii) B est une A-algèbre formellement lisse. h ) Reprenons les notations et hypothèses de e). Alors B {T-'J est une A {S-' }-algèbre formellement lisse. 3) Soient k un corps et A une k-algèbre commutative. Pour tout entier i 2 1 posons Bi = A Q kA Bk... Bk A et munissons Bi de la structure de A-algèbre obtenue en faisant agir i termes

A sur la première composante. Posons Cl = B,, C , = B,, C, = B, 8 B,, et définissons des applications A-linéaires d , :C, + C, et d , :C , + C, par les formules

l Si A est une algèbre locale, noethérienne et complète sur un corps (discret) k, cette définition coïncide avec celle donnée en VIII, p. 98, exerc. 30, d'après l'exerc. 5 ci-après.

93

EXERCICES

AC IX. 77

pour tout choix d'éléments x, y, z, a, P de A. On obtient ainsi un complexe de A-modules

Si N est un A-module, on dira qu'une application k-bilinéaire f : A x A + N est un 2-cocycle si l'on a l'identité xf (y, z) - f(xy, z) + f (x, yz) - zf (x, y) = O pour x, y et z dans A, et qu'elle est symétrique si l'on a f(x, y) = f(y, x) pour tout couple (x, y) E A x A. a) Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) le complexe Hom,(C,(A), N) est acyclique pour tout A-module N ; (ii) quel que soit le A-module N tout 2-cocycle symétrique f :A x A -t N est un 1-cobord, c'est-à-dire de la forme f (a, b) = ag(b) bg(a) - g(ab) avec g E Hom,(A, N); (iii) A est une algèbre lisse sur k. b) Si A est un corps, les conditions précédentes sont aussi équivalentes à la condition que le complexe C,(A) soit acyclique.

+

4) a) Soient k un corps et K une extension de k. Si K est séparable sur k, alors K est une k-algèbre lisse. (Si K est une extension de type fini de k, utiliser la prop. 1 du Q: 3, no 2. Dans le cas général, écrire K comme réunion d'extensions de type fini de k et utiliser l'exercice précédent.) b) Soit A un anneau local séparé et complet contenant un corps k. Utilisant a), prouver que A possède un corps de représentants. Si le corps résiduel de A est une extension séparable de k, alors A possède un corps de représentants contenant k. 5) Soient A un anneau local noethérien contenant un corps k, et m l'idéal maximal de A. On suppose que A est une k-algèbre formellement lisse (le corps k étant discret). a) Soient K un corps de représentants de l'anneau A/m2 (exerc. 4 b)), et x, , ..., x, des éléments de m dont les images forment une base du K-espace vectoriel m/m2. Soient K[X,, ..., X,] l'anneau des polynômes en d variables X,, ..., X,, n son idéal engendré par XI, ..., X,, et cp l'homomorphisme de K[X,, ..., X,] dans A/mZ qui à X, associe xi pour 1 < i < d et induit l'identité sur K. Alors

> 1, la longueur du A-module A/mn+' vaut au moins (d

n , et yon a

dim(A) 2 d. d) Pour toute extension k' de degré fini de k, et tout idéal maximal m' de l'anneau semi-local A Qk k', l'anneau local (A Q, kt),,,.est régulier.

6) Soient k un corps et K une extension de k. On suppose que K est une k-algèbre lisse. Soit k' une extension algébrique de degré fini de k. a) L'anneau K Q, k' est produit d'un nombre fini d'anneaux locaux artiniens, qui sont des k'-algèbres lisses (utiliser l'exerc. 2, p. 79. b) L'anneau K Q, k' est réduit (utiliser l'exercice précédent). c ) Le corps K est séparable sur k. 7) Soient k un corps, P son sous-corps premier, K une extension de k. Alors les conditions suivantes sont équivalentes : a) Toute dérivation de k dans un K-module M s'étend de façon unique en une dérivation de K dans M. b) On a Qp(K) = Qp(k) Q, K. c) Le corps K est séparable sur k et Q,(K) = 0. Si k est de caractéristique 0, ces conditions sont aussi équivalentes à la condition : d) Le corps K est une extension algébrique de k. Si k est de caractéristique non nulle p, elles sont aussi équivalentes aux conditions : e) K = k Q,, KP. f ) Toute p-base de k est aussi une p-base de K.

8) Soient k un corps et K une extension de k. On dit que K est formellement étale sur k si, pour toute k-algèbre A, tout idéal a de A, de carré nul, et tout k-homomorphisme u de K dans A/a, il existe un unique k-homomorphisme v de K dans A qui donne u par passage au quotient. a) Si K est formellement étale sur k, les conditions équivalentes de l'exercice précédent sont vérifiées. (Si M est un K-module, considérer la k-algèbre dont le k-espace vectoriel sous-jacent est K @ M, M en étant un idéal de carré nul.) b) Inversement, si les conditions équivalentes de l'exercice précédent sont vérifiées alors K est formellement étale sur k. (Le corps K étant séparable sur k, l'exerc. 4 permet de prouver l'existence de v.) c) Soit B = (b,),,, une famille d'éléments de K telle que (db,),, soit une base de Q,(K) sur K. Si K est séparable sur k, alors k(B) est une extension transcendante pure de k (utiliser le th. 2 de A, V, p. 125, le th. 1 de A, V, p. 97 et l'exerc. 6 de A, V, p. 165) et K est formellement étale sur k(B).

9) Soient A un anneau local d'égales caractéristiques, m, son idéal maximal et k un sous-corps de A. Alors le corps résiduel K, est une k-algèbre. On dit que k est un corps de représentants faible de A si K, est formellement étale sur k (exerc. 8). a) Si A possède un corps de représentants faible k, alors le séparé complété Â de A possède un unique corps de représentants contenant l'image de k dans A. b) Soit B un anneau local inclus dans A, d'idéal maximal m, = mA n B. Si K, est une extension séparable du corps résiduel K, de B, tout corps de représentants faible de B est contenu dans un corps de représentants faible de A (utiliser l'exerc. 8, c)). c ) Soit B un anneau local inclus dans A, d'idéal maximal m, = m, n B. Supposons en outre que A soit de caractéristique p non nulle et contienne Bp.Alors il existe un corps de représentants faible de A qui contienne un corps de représentants faible de B.

1) Soit A un anneau semi-local noethérien intègre de dimension 1. a ) La clôture intégrale de A est une A-algèbre finie si et seulement si le complété Â de A est réduit. (Si A est réduit, utiliser le corollaire du th. 2 du (3 4, no 2. Pour l'implication dans l'autre sens, se ramener au cas où A est intégralement clos, et raisonner comme dans la démonstration du th. 3 du 9: 4, no 4). b) Les trois conditions suivantes sont équivalentes : (i) A est un anneau japonais; (ii) A_ est un anneau de Nagata ; (iii) A est réduit et si q,, ..., q, sont les idéaux premiers minimaux de Â, alors les corps ~ ( q , ) sont des extensions séparables du corps des fractions de A. 2) Soit A un anneau local noethérien de dimension 1. Alors les conditions suivantes sont équivalentes : a) A est régulier; b) A est intégralement clos ; c) A est un anneau de valuation discrète.

3) On dit qu'un anneau A est normal si Vanneau A, est intégralement clos pour tout idéal premier p de A. a ) Un anneau normal A est réduit et tout idéal premier p de A contient un seul idéal premier minimal de A. Pour tout idéal premier minimal p de A, l'anneau A/p est intégralement clos. b) Un anneau noethérien normal A est isomorphe ii un produit d'un nombre fini d'anneaux noethériens intégralement clos. c) Soient A un anneau noethérien normal et a un élément de A. Alors Ass,(A/aA) ne contient pas d'idéal premier immergé (IV, 9 2, no 3, remarque).

54

EXERCICES

4) Soit A un anneau. On considère sur A les deux conditions suivantes : (RI) Pour tout idéal premier p de A de hauteur < 1, I'anneau.A, est régulier. (S2) L'ensemble AssA(A)et, pour tout élément simplifiable a de A, l'ensemble Ass,(A/aA) ne contiennent pas d'idéal premier immergé. Un anneau noethérien normal (exerc. 3) vérifie (Rl) et (S2). (Utiliser les exerc. 2 et 3, c).) 5) Soit A un anneau noethérien vérifiant les conditions (Rl) et (S2). a) Montrer que A est réduit. b) Soit a un élément simplifiable de A. Si un élément x de A est tel que son image dans A, appartienne à UA, pour tout p E Ass,(A/aA), alors x appartient à UA. (Utiliser IV, 4 2, no 3, prop. 5.) c) Prouver que A est intégralement fermé dans son anneau total des fractions R. (Si a, b, cl, ..., c, sont des éléments de A vérifiant (i) b est simplifiable dans A, (ii) (bK1a)" c,(b-'a)"-' + ... + c, = O dans R, alors prouver successivement qu'on a a E bAp pour tout idéal premier p de hauteur 1 de A, puis qu'on a a E bA.) d) Prouver que A est normal. (Remarquer qu'un idempotent de R est entier sur A.)

+

6) a) Soient A un anneau, M un A-module fidèle et noethérien. Montrer que A est un anneau noethérien. b) Soient A un anneau et M un A-module fidèle de type fini. On suppose que pour toute suite croissante d'idéaux (a,),,, de A, la suite des sous-modules (a,M),, de M est stationnaire. Alors A est un anneau noethérien. (Par a), il suffit de prouver que M est un A-module noethérien. Se ramener au cas où pour tout idéal non nul a de A, le A-module M/aM est noethérien et où, pour tout sous-module non nul N de M, le A-module M/N n'est pas fidèle.) c ) Soient B un anneau noethérien et A un sous-anneau de B tel que B soit une A-algèbre finie. Alors A est un anneau noethérien. (Ceci permet de supprimer l'hypothèse que A soit noethérien dans la prop. 2 du § 4, no 1.) 7) Soient A un anneau de Krull et P l'ensemble de ses idéaux premiers de hauteur 1.On suppose que pour tout idéal premier p E P, l'anneau A/p est noethérien, et on note K le corps des fractions de A. Prouver que A est noethérien. (Soient p E P et x E K tels que v,(x) = 1 et v,(x) < O pour q E P - {p}. Posons B = A[x]. Alors on a les propriétés suivantes : (i) p = xB n A ; (ii) l'inclusion de A dans B induit, . par passage aux quotients, un isomorphisme de A/p sur B/xB ; (iii) pour tout entier n 2 0, l'anneau B/xnB est noethérien; (iv) pour tout entier n > O, l'anneau A/(xnB n A) est noethérien (utiliser l'exerc. 6); (v) pour tout entier n > O, le A-module A/p(") est noethérien. On rappelle qu'on pose p = A n pnAP, cf. IV, 3 2, exerc. 18.) -

8) Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions. Soient B un anneau et

b) On a

A

=

+-'(fi Bi).(On pourra prouver que si x $-'(fi Bi) et si x' est son image E

~~

~

i=l

- -

i=l

dans K 8, B, il existe un polynôme unitaire P à coefficients dans B tel que P(xf)soit nilpotent dans K 8 , B.) UOUKBAKI. - Algèbm m,»i>ii
9) Soient A un anneau noethérien intègre, K son corps des fractiong E une extension finie de K, et A la fermeture intégrale de A dans E. a) Si A est un anneau local de complété Â, alors (Â 0,A),,, est une Â-algèbre finie '. (Se cor. 2 du th. 3, prouver que les è l é ~ e n t non s nuls ramener au cas où K = E. Utilisant III, 9 3,4,;! de A ne sont pas diviseurs de zéro dans A,,,. Prouver alors qu'il existe un A,,,-homomorphisme injectif de (Â 0,A),,, dans l'anneau total des fractions de Â., Conclure.) h ) Pour tout idéal premier p de A, la ~(p)-algèbre (A @,~(p)),,,est finie. (Se ramener au cas où A est local d'idéal maximal p. Remarquer alors que (A 8,~(p)),,, est un quotient de 6 @A Â), K(P).)

o

10) Soient A u~ anneau noethérien local intègre, Â s_oncomplété, p,, ..., p, les idéaux premiers minimaux de A, et pour 1 d i d n, posons Bi = A/pi. a) L'anneau Bi est japcnais. b) La clôture intégrale Bi de Bi est un anneau de Krull. c) La clôture intégrale A de A est un anneau de Krull. (Utiliser l'exerc. 8 et VII, 5 1, no 3, exem~les3 et 4.) d ) A n'a qu'un nombre fini d'idéaux maximaux et leurs corps résiduels sont des extensions finies de celui de A. (Utiliser l'exerc. 9, b).) e) Pour tout idéal premier p de A, il n'y a qu'un nombre fini d'idéaux premiers de A au-dessus . ramener au cas où A est local de p, et les corps K(Y)sont des extensions finies de ~ ( p )(Se d'idéal maximal p.) 11) Soient A un anneau noethérien intègre, K son corps des fractions, E une extension finie de K, A la fermeture intégrale de A dans E. a) Pour tout idéal premier p de A, il n'y a qu'un nombre fini d'idéaux premiers de A au-dessus . ramener au cas où A est local de p et les corps K(Y)sont des extensions finies de ~ ( p )(Se d'idéal maximal p et où E = K, et utiliser l'exerc. 10.) b) Soit P l'ensemble des idéaux premiers de hauteur 1 de A. Si p E P, alors A, est un anneau de valuation discrète. c) On a A = n A, (dans E). P ~ P

12) Soient A un anneau intègre, A sa clôture intégrale. Soient a , , ..., a, des éléments non nuls de & b i'idéal fractionnaire

1 Aa, de A. -

i= 1

a) Il existe un idéal fractionnaire a de A tel que aa, c a pour 1 d i d r. On a aussi Cai c iî pour 1 d i $ r ; on rappelle (VII, 5 1, no 1) que iï est l'intersection des idéaux principaux fractionnaires contenant a. b) Soit y un élément non nul de 6. Alors Ay-'

3

n Aa;'

et iïc iîy-'.

i= 1 C) O n a 6 c K d ) Soit z un élément de A:xb. Alors A contient 6z. e) On a b c A:(A:Ab). f ) Soient '$ un idéal divisoriel de A et p = Y n A. Alors p est divisoriel dans A. (Par e), on obtient p" c Y. Mais on a aussi p" c A.)

13) Soient A un anneau noethérien intègre, K son corps des fractions, A sa clôture intégrale, f un élément non nul de A, Y un idéal premier de hauteur 1 de A contenant f,p i'idéal premier

'

Pour tout anneau B, on note Br,, le quotient de B par l'idéal des éléments nilpotents de B.

94

AC IX.81

EXERCICES

v

A n de A. Prouver qu'on a p E AssA(A/fA) en se ramenant au cas où A est local, d'idéal maximal p et en établissant successivement sous cette hypothèse les assertions suivantes : a) @ ' est divisoriel (utiliser I'exerc. 10, c)). b) p est divisoriel (utiliser l'exerc. 12, f)). c) Si a,, ..., a, sont des éléments non nuls de K tels que A:p = A

r

+

Aui, o n a p i= 1

et il existe un indice i tel que p = A n a,: 'A. d) Il existe un élément non nul g de A tel que p p Ass~(A/fA).

E

=

n

i= 1

(Ana;'A)

AssA(A/gA).

14) Soient A un anneau noethérien intègre, K son corps des fractions, A sa fermeture intégrale dans une extension finie E de K. Alors A est un anneau de Krull. (Utiliser l'exerc. 11, c) et, pour prouver que tout élément j' de non nul, n'appartient qu'à un nombre fini d'idéaux premiers de hauteur 1, se ramener au cas où f E A, E = K, et utiliser les exerc. 13, b) et 11, a).)

15) Soient A un anneau noethérien, B une A-algèbre entière n'ayant qu'un nombre fini d'idéaux premiers minimaux p l , ..., p,. Pour 1 < i < n, notons qi l'image réciproque de p, dans A ~ ) une extension finie de ~ ( q ~Alors, ). pour tout élément x de B, le et supposons que ~ ( p soit sous-espace topologique V(x) de Spec(B) n'a qu'un nombre fini de composantes irréductibles. (Se ramener au cas où B est intégralement clos et contient A, et utiliser l'exerc. 14.) 16) Soient A un anneau noethérien intègre, A sa fermeture intégrale dans une extension finie de son corps des fractions, B un anneau contenant A et contenu dans À. On pose Y = Spec(B) et X = Spec(A). O n se propose de prouver que Y est un espace noethérien. Soit (f,),,, une suite d'éléments de B. Pour n E N, soit Un = Spec(B,_) .,. l'ouvert de Y défini par 1,. Posons U = U U,,, F,, = U - U U,. O n notera F,, l'adhérence de F,, dans Y, G,, l'image de F,, i,tN

OSrnS,,

dans X, Gnl'adhérence de G, dans X, B, l'anneau réduit quotient de B tel que Spec(Bn) = F,, f , l'image de f, dans B,. a) O n a F, = v(~,B,) n U pour tout n E N. b) Supposons que pour un entier n E N, F,, n'ait qu'un nombre fini de composantes irréductibles. Alors V ( ~ B , )n'a qu'un nombre fini de composantes irréductibles. (Appliquer le résultat de l'exerc. 15 en utilisant aussi l'exerc. 11, a).) c) Pour tout n E N, F, n'a qu'un nombre fini de composantes irréductibles. d) Si A, est l'anneau réduit quotient de A tel que Spec(A,) = G,,, alors les idéaux premiers minimaux de A, appartiennent à G,. e) Soient n E N et x un tel idéal premier minimal de A,. Alors il existe un entier n' > n tel que F,, ne contienne aucun point de Y au-dessus de x, et x n'appartient pas à G,,. (Utiliser l'exerc. 11, a).) f ) Pour n assez grand, F, est vide. 17) Soient A un anneau noethérien intègre et a # O un élément du radical de A. On fait les hypothèses suivantes : (i) AssA(A/aA) contient un seul élément minimal p ; (ii) UA, = pA, ;, (iii) A/p est integralement clos ; (iv) la clôture intégrale A de A est une A-algèbre finie ; (v) si q est un idéal premier de hauteur 1 de & alors q n A est un idéal premier de hauteur 1 de A. Prouver que l'on a À = AXA est intégralement clos) et UA = p (donc A/aA est intégralement clos). Pour cela, établir successivement les assertions suivantes : a) A, et À, sont isomorphes et = pK est l'uniqueidéal - premier de A au-dessus de p. b) De plus est l'unique élément mi.nima1 de AssA(A/aA).

6

AC IX .82

ANNEAUX LOCAUX NOETHÉRIENS

COMPLETS

- -

c) En - fait est le seul élément de AssA(A/aA). d) A/aA est intègre et aA = p. - e ) A/p et A/; sont isomorphes et l'homomorphisme canonique de A/aA dans A/aA est surjectif. 18) Soient A un anneau noethérien intègre, x un élément non nul de A. On suppose que A est séparé et complet pour la topologie xA-adique et que pour tout idéal premier p E Ass,(A/xA), l'anneau A/p est japonais. Prouver que A est japonais. (Soit A la fermeture intégrale de A dans une extension finie de son corps des fractions. a) L'anneau A étant de Krull (p. 81, exerc. 14), soient 1),, ..., 1),,les idéaux premiers de hauteur 1 de A contenant x. b) Soit pi = n A. Alors on a pi E Ass,(A/xA) et K ( Y ~est ) une extension finie de ~ ( p , ) . (Utiliser les exerc. 11 et 13, p. 80.) c) A/gi - -est un Alpi-module de type fini. d) A/xA est un A/xA-module de type fini. e ) A est séparé pour la topologie xA-adique. Conclure comme dans la démonstration du th. 1 du 3 4 no 2.)

wi

19) Soient A un anneau noethérien, a un idéal non nul de A. On suppose que A est séparé et complet pour la topologie a-adique et que A/a est un anneau de Nagata. Prouver que A est un anneau de Nagata. On pourra raisonner comme suit : a) On suppose que A est intègre et que pour tout idéal premier non nul p de A, l'anneau A/p est japonais. Soit A la fermeture intégrale de A dans s e extension finie de son corps des fractions. Alors, pour tout idéal premier non nul '$ de A, l'anneau A/p est une algèbre finie sur l'anneau A/(!@n A). (Utiliser l'exerc. 11, a), p. 80.) b) Avec les mêmes hypothèses et notations qu'en a), prouver que A est noethérien. (Utiliser 7, p. 79 et 14, p. 81.) Puis, raisonnant comme dans l'exercice précédent, prouver les exerc. - que A/aA est un A-module de type fini, que A est séparé pour la topologie ax-adique et que A est un A-module de type fini. 20) Soient A un anneau noethérien, a un idéal de A distinct de A , ~ Âle séparé complété de A pour la topologie a-adique. Si A/a est un anneau de Nagata, alors A est un anneau de Nagata. (Utiliser l'exerc. 19.) 21) a) Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions. Si K est de caractéristique non nulle p et si E est une extension finie radicielle du corps des fractions rationnelles K(X), il existe une extension finie radicielle F de K et une puissance q de p telle que F(X114)soit une extension de E. b) Soit A un anneau de Nagata intégralement clos. Alors l'anneau de polynômes A[X] est japonais. c) Soit A un anneau de Nagata intégralement clos. Alors tout anneau de polynômes A[X,, ..., X,] en un nombre fini d'indéterminées est un anneau de Nagata. 22) Soient A un anneau noethérien, a un idéal de A distinct de A. On suppose que A est séparé et complet pour la topologie a-adique et que A/a est un anneau de Nagata. Alors tout anneau de séries formelles restreintes en un nombre fini d'indéterminées est un anneau de Nagata. (Utiliser III, 9: 4, exerc. 7, et les exerc. 20 et 21 ci-dessus.) a l fractions, Â le 23) Soient A un anneau semi-local noethérien réduit, R son a n n e a ~ ~ t o tdes complété de A. Pour que A soit réduit, il faut et il suffit que R 8, A soit réduit. 24) Soient A un anneau semi-local noethérien, Â son complété, x un élément non nul du radical de A. On suppose que Ass,(A/xA) ne contient pas d'idéal premier immergé et que, pour ) A réduit. Alors A est réduit. tout p E Ass,(A/xA), l'anneau A, est régulier et l'anneau ~ ( pQA (Raisonner comme dans la démonstration du th. 3, (i) 3 (ii) du 9 4 no 4.)

94

AC IX.83

EXERCICES

25) Soient A un anneau noethérien intègre, X l'espace topologique Spec(A),Nor(X) l'ensemble des points p de A tels que l'anneau local A, soit intégralement clos. (Si la clôture intégrale de A est une A-algèbre finie, alors Nor(X) est ouvert dans X, cf. V, 8 1,no 5, cor. 5.) Soit f un élément non nul de A tel que l'anneau A[f -'] soit intégralement clos. a) Si un idéal premier p de A ne contient pas alors p appartient à Nor(X). b) Soit E l'ensemble des idéaux premiers p de A, associés à AIfA, de hauteur z 1 ou bien de hauteur 1 et tels que A, ne soit pas régulier. Alors on a Nor(X)

=

X

- iJ

V(p)

P ~ E

(Utiliser les exerc. 4 et 5, p. 79.) c) Nor(X) est ouvert dans X. 26) Soient A un anneau noethérien intègre, X l'espace topologique Spec(A), Nor(X) le sousespace de X introduit à I'exerc. 25, A la clôture intégrale de A. On suppose qu'il existe un élément non nul f de A telque l'anneau A[f - '1 soit intégralement c-s, et que pour tout idéal maximal m de A, l'anneau A, est une A,-algèbre finie. Considérons A comme limite inductive filtrante croissante de sous-A-algèbres finies, A = lim(Aj)j,,. Posons Xj = Spec(Aj)et soit G, l'image ---* dans X de X! - Nor(X:l. a) Nor(X,) eh ouvert'dzns Xi. (Utiliser l'exerc. 25.) b) G j est fermé dans X. c) Il existe un indicej, E J tel que l'on ait G, = n Gi. J ~ J

d) a i t p E Spec(A). Alors pour j G J assez grand, G j ne contient pas p. e) A est une A-algèbre finie. 27) Soit A un anneau local noethérien intégralement clos. On suppose en outre que A est un anneau de Nagata. Soit x un élément du corps des fractions K de A, n'appartenant pas à A. Soient B I'anneau AIX]et p un idéal maximal de B contenant x. Posons 1 = xA n A. u) Soient X une indéterminée et Q le noyau de I'homomorphisme de A[X] dans B qui applique X sur x. Alors Q est engendré par les polynômes de la forme aX - b, où a et b sont des éléments de A tels que ax = b, et 1 = xA n A est engendré par les termes constants b de ces polynômes. De plus l'inclusion de A dans B induit un isomorphisme de A/I sur BIxB. b) L'idéal 1de A est divisoriel. c) Ass,(B/xB) ne contient aucun idéal premier immergé. d) Soit q un idéal premier de B, associé à B,/xB,. Alors q n A est associé à A/I et les anneaux A q net~(B,,), sont des anneaux de valuation discrète. e) B,/q est un anneau de Nagata. (Remarquer que B/(q n B) est isomorphe à A/(q n A).) f ) Le complété de B,/q est réduit. g) Le complété de B, est réduit et la clôture intégrale de B, est finie sur B,,. (Utiliser I'exerc. 24.) 28) Soient A un anneau local noethérien intégralement clos, K son corps des fractions, x un élément de K - A, B l'anneau A[x] et p un idéal maximal de B. Soient a, b des éléments non nuls de A tels aue bx = a.

El

a) L'anneau B - est intégralement clos. b) Il existe un bo$nôme unitaire f à coefficients dans A tel que f (x) E p. c) Soient E le corps obtenu en adjoignant les racines de f (X)à K, A' la fermeture intégrale de A dans E, Br l'anneau Af[x]. Soit p' un idéal maximal de B' au-dessus de p. Alors la clôture intégrale de Bb, est finie sur Bb.. (Utiliser l'exercice précédent.) d) La clôture intégrale de Bi est finie sur BfP.(Utiliser I'exerc. 26.) e) La clôture intégrale de B, est finie sur B,. 29) Soient A un anneau de Nagata intégralement clos, et x un élément du corps des fractions de A, n'appartenant pas à A. Soient B l'anneau A[x] et a, b deux éléments non nuls de A tels que bx = a.

AC IX. 84

ANNEAUX LOCAUX NOETHÉRIENS COMPLETS

El-

a) L'anneau B

est intégralement clos.

L J

b) Pour tout idéal maximal m de B, la clôture intégrale de Bmest une Bm-algèbrefinie. (Utiliser l'exercice précédent.) c) La clôture intégrale de B est une B-algèbre finie. (Utiliser I'exerc. 26.) 30) Soit A un anneau de Nagata. Alors toute algèbre de type fini sur A est un anneau de Nagata. (Uiiliser les exerc. 21, p. 82 et 29.)

31) Soient A un anneau noethérien intègre et A la fermeture intégrale ge A dans une extension finie de son corps des fractions. Si A est de dimension au plus 2, alors A est un anneau noethérien. (Utiliser l'exerc. 7, p. 79, l'exerc. 14, p. 81 et le théorème de Krull-Akizuki (cJ. VII, 4 2, no S).)

32) Soient A un anneau local noethérien intègre et K son corps des fractions. On suppose K de caractéristique p non nulle. On suppose que A$ un anneau de Nagata et on note A le complété de A. Soient p un idéal premier minimal de A et L le corps des fractions de A/p. Soient k un corps de représentants faible de A, k' le corps de représentants de A contenant l'image de k dans  (p. 78, exerc. 9, a)). Alors K est séparable sur k si et seulement si L est séparable sur k'. (Remarquer que L est séparable sur K puisque A est un anneau de Nagata. Si K est séparable sur k, prouver que toute dérivation de k' dans L s'étend en une dérivation de L dans L.)

APPENDICE 1) Soit 1un ensemble préordonné non vide filtrant à droite et soit (A,, qp,) un système inductif d'anneaux relatif à 1. Pour chaque indice a dans 1, on se donne un idéal q, de A,. On suppose qu'on a cpp,(q,) Ag = qP pour P. > a. On note A la limite inductive des A,, et pour a E 1, on note q, :A, -+ A I'homomorphisme canonique. On pose a) Si pour tout a E 1, q, est un idéal maximal de A,, alors q est un idéal maximal de A. b) Si pour tout a E 1, q, est contenu dans le radical de A,, alors q est contenu dans le radical de A. c) Si pour tout a E 1 et tout $ E 1, tels que > a, I'homomorphisme qp, est fidèlement plat, alors pour tout a E 1, q, est fidèlement plat. Nous supposerons désormais que l'hypothèse de c) est vérifiée. d) Si pour tout a E 1, A, est séparé pour la topologie q,-adique, alors A est séparé pour la topologie q-adique. e) Si pour tout a E 1, A, est noethérien et si A/q est noethérien, alors (1 + q)-'A est noethérien. (Raisonner comme dans la démonstration de la prop. 1 de l'Appendice en utilisant en outre le résultat suivant, qu'on démontrera : Soient B un annea? commutatif, pun idéal de B, fi le séparé complété de B pour la topologie p-adique, et i: B + B l'application canonique. Alors il existe un et un seul homomorphisme d'anneaux_j :(13 p)-'B + B qui prolonge i Pour tout idéal maximal m de (1 + p)- 'B, on a j(m) B # B.) 2) Soient A un anneau local, B un gonflement de A. Si A est séparé (pour la topologie définie par I'idéal maximal nt,), B est séparé (pour la topologie définie par l'idéal maximal m,). 3) Soient k un corps imparfait de caractéristique p > O et R = k[T],,,. Soit a un élément de k qui n'est pas une puissance p-ième. Montrer que l'anneau A = R[X]/(XP - aTP)est local, intègre, et de corps résiduel k. Montrer que l'anneau B = A[Y]/(Yp - a), qui est un gonflement de A, n'est pas réduit.

&P.

EXERCICES

AC IX.85

4) Soit A un anneau local muni d'une valuation v,. Soit B un gonflement de A. Montrer que la valuation v, se prolonge, de manière unique, en une valuation v, de B, et que les groupes de valeurs v,(A) et v,(B) coïncident. Si A est un anneau de valuation discrète, d'uniformisante x, B est aussi un anneau de valuation discrète, dont une uniformisante est l'image de x dans B. 5) Soit A un anneau local, de corps résiduel K(A).Soit B un gonflement de A, de corps résiduel K m .

a) Si K(B) = K(A),on a A = B. b) Si K(B)est algébrique sur K(A),la A-algèbre B est entière. c) Si K(B)est de degré fini sur K(A),B est un A-module libre ayant pour rang le degré de K(B) sur K(A). 6) Soit A un anneau local de corps résiduel k. Soit 1 un ensemble d'indices. Montrer que l'anneau A](X&,[ (cJ: App., exemple 2) qui est un gonflement de A, a pour corps résiduel l'extension transcendante pure k((XJis,)de k.

Index d.es notations Chapitre V III ~ ( p )mA, , K ~SM , : VIII, p. 1. dim kr(X), dim(X) : VIII, p. 2. dimdX) : VIII, p. 2. codim(Y,X) : VIII, p. 4. dim(A) : VIII, p. 6. dim,(A) : VIII, p. 6. ht(a) : VIII, p. 8. dimA(M), d i m ( ~ :)VIII, p. 10. [Y], Z(A) : VIII, p. 11. z(M), Zsd, Z,, z a d , Z d: VIII, p. 11 e,esd,ead, : VIII, p. 12. (PM) (condition) : VIII, p. 13.

sr,,rd

A((+)),

(il VI11, p. 38.

Reg(A), Sing(A) : VIII, p. 96, exerc. 16. Lis(A) : VIII, p. 98, exerc. 25. a : VIII, p. 105, exerc. 9. Chapitre IX

s"; P,, In, F, : IX, p. 4. SA,PA,l,, W(A), Wb), pN : IX, P. 6. FA,VA, F, V : IX, p. 8. Z,V,(A),.rA,~: IX,p. 11. W.(A) : IX. p. 12.

:

L- J

F 6 G (pour F et G dans Z((T))) : VIII, p. 39. PM,Q, : VIII, p. 40. c, : VIII, p. 41. G"' : VI11, p. 43. HM,, : VIII, p. 44. HM,,: VIII, p. 44. d,(M), e,(M) : VIII, p. 45. H,,, : VIII, p. 62. dimgr(H), htgr(p) : VIII, p. 63. agr: VIII, p. 63. M,, : VIIÏ, p. 65. H, : VIII. o. 70. e q ( ~ )eA(M), , e(M) : VIII, p.72. KM: VIII, p. 77. Specmax(A) : VIII, p. 81, exerc. 2. dev(E) : VIII, p. 81, exerc. 4. Kdev(M) : VIII, p. 81, exerc. 5. dim,(A) : VIII, p. 85, exerc. 16. a,(n), d:(n), S,(T) : V111, p. 90, exerc. 7.

I(C) :Ïx, p. 18. AIX[ : IX, p. 37. A](X,),,,[ : IX, P. 39. sA: IX, p. 44, exerc. 15. p, K ( 8 - '(A)), [O,a ) : IX, p. 45, exerc. 19. 'UA: IX, p. 47, exerc. 22. CWU(A): IX, p. 48, exerc. 23. CW(A) : TX, p. 48, exerc. 24. J,@,jn,v,,@,:IX,p.50,exerc.28. U(A), F,, V,, U(p) : IX, p. 52, exerc. 35 et 36. xA : IX, p. 53, exerc. 37. U,(A),.U,(A) ; U,,,(A) : IX, p. 53, exerc. 39. pA, FA,f A : IX, p. 55, exerc. 41. A(A), L : IX, p. 56, exerc. 42. Rep,(A), R,(A) : IX, p. 64, exerc. 54. Rep,(G), R,(G) : IX, p. 65, exerc. 55. E(T), E,(a,T) : IX, p. 68, exerc. 58. A,,, : IX, p. 80, exerc. 9. Nor(X) : IX, p. 83, exerc. 25.

Index terminologique Algèbre graduée régulière : VIII, p. 71. Anneau caténaire : VIII, p. 9. Anneau de Nagata : IX, p. 34. Anneau de vecteurs de Witt : IX, p. 7. Anneau de Witt universel : IX, p. 7. Anneau équidimensionnel : VIII, p. 82, exerc. 10. Anneau japonais : IX, p. 30. Anneau local d'égales caractéristiques : IX, p. 28. Anneau local régulier : VIII, p. 52. Anneau noethérien régulier : VIII, p. 94, exerc. 6. Anneau normal : IX, p. 78, exerc. 3. Caténaire (anneau) : VIII, p. 9. Caténaire (espace) : VIII, p. 5. Chaîne : VIII, p. 1. Codimension (de Y dans X) : VIII, p. 4. Composante fantôme : IX, p. 7 et p. 12. Corps de représentants : IX, p. 29. Covecteurs de Witt : IX, p. 48, exerc. 24. Covecteurs de Witt (unipotents) : IX, p. 48, exerc. 23. Cycle : VIII, p. 11. Décalage : IX, p. 8. Déviation (d'un ensemble ordonné) : VIII, p. 81, exerc. 4. Dimension (de Krull) d'un anneau : VIII, p. 6. Dimension d'un anneau en un idéal premier : VIII, p. 6. Dimension (de Krull) d'un espace : VIII, p. 2. Dimension d'un module : VIII, p. 10. Dimension valuative : VIII, p. 85, exerc. 16. Eisenstein (polynôme d') : VIII, p. 56. Equidimensionnel (anneau) : VIII, p. 82, exerc. 10. Escalier : VIII, p. 92, exerc. 8. Extrémités d'une chaîne : VIII, p. 1. Famille sécante : VIII, p. 26. Fermeture intégrale d'un idéal : VIII, p. 105, exerc. 9. Fonction de Hilbert-Samuel d'un module filtré : VIII, p. 44. Fonction de Macaulay : VIII, p. 90, exerc. 7. Formellement lisse (algèbre) : VIII, p. 98, exerc. 30 et IX, p. 76, exerc. 2. Gonflement d'un anneau local : IX, p. 38. Gonflement élémentaire d'un anneau local : IX, p. 38. Hauteur d'un idéal : VIII, p. 8. Hironaka (lemme de) : VIII, p. 107, exerc. 22. Hypersurface : VIII, p. 29.

lNDEX TERMINOLOGIQUE

Idéal premier au-dessus d'un autre : VIII, p. 1 Intersection complète : VIII, p. 103, exerc. 3. Lieu singulier : V111, p. 96, exerc. 16. Lisse (algèbre) : IX, p. 76, exerc. 2. Lisse (idéal premier d'une algèbre) : VIII, p. 98, exerc. 23 Longueur d'une chaîne : VIII, p. 1. Longueur d'un p-anneau : IX, p. 18. h-anneau : IX, p. 59, exerc. 45. h-idéal : IX, p. 63, exerc. 50. h-morphisme : IX, p. 58, exerc. 45. h-rang : IX, p. 59, exerc. 46. Macaulay (fonction de) : VIII, p. 90, exerc. 7. Macaulay (théorème de) : VIII, p. 93, exerc. 11. Multiplicité (d'un module par rapport à un idéal) : VIII, p. 72. Normal (anneau) : IX, p. 78, exerc. 3. panneau : IX, p. 17. Poincaré (série de) : VIII, p. 40. Polynôme d'Eisenstein : VIII, p. 56. Polynomiale à l'infini (application) : VIII, p. 88, exerc. 2. Polynômes de Witt : IX, p. 1. Pré-h-anneau : IX, p. 58, exerc. 45. Régulier (anneau local) : VIII, p. 52. Régulier (anneau noethérien) : VIII, p. 94, exerc. 6. Régulière (algèbre graduée) : VIII, p. 71. Représentants multiplicatifs : IX, p. 25. Saturée (chaîne) : VIII, p. 1. Sécante (famille, suite) : VIII, p. 26. Série de Poincaré (d'un module gradué) : VIII, p. 40. Série de Hilbert-Samuel (d'un module filtré) : VIII, p. 44. Singulier (lieu) : VIII, p. 96, exerc. 16. Sous-anneau de Cohen (d'un anneau local) : IX, p. 20. Suite sécante : VIII, p. 26. Superficiel (élément) : VIII, p. 79. Superficiel d'ordre 6 (élément) : VIII, p. 79. Système de coordonnées : VIII, p. 52. Système de coordonnées gradué : VIII, p. 71. Théorème de Chevalley : VIII, p. 101, exerc. 10. Théorème de Nagata : IX, p. 32. Vecteur de Witt : IX, p. 7. Vecteur de Witt de longueur finie : IX, p. 12.

Table des matières

4 1. Dimension de Krull d'un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI11 . 1 1 . Dimension de Krull d'un espace topologique . . . . . . . . . . . . . VI11 . 1 2. Codimension d'une partie fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII.4 3 . Dimension d'un anneau, hauteur d'un idéal . . . . . . . . . . . . . . VITI .6 4. Dimension d'un module de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI11 . 10 5. Cycles associés a un module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII . 1 1

5 2. Dimension des algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VIII . 13

1 . Dimension et platitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Dimension d'une algèbre de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Dimension d'une algèbre entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Algèbres de type fini sur un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VIII . 13 VI11 . 16 VI11 . 17 VI11 . 19

5 3.

Dimension des anneaux noethériens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Dimension d'un anneau quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Dimension et suite sécantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Premières applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Changements d'anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Construction de suites sécantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

tj 4. Séries de Hilbert.Samue1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. L'anneau Z((T)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Série de Poincaré d'un module gradué sur un anneau de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Série de Hilbert-Samuel d'un module bien filtré . . . . . . . . . . . 4. Degré de la fonction de Hilbert-Samuel . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Série de Hilbert-Samuel d'un module quotient . . . . . . . . . . . .

9: 5. Anneaux locaux réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Définition des anneaux locaux réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Anneau gradué associé à un anneau local régulier . . . . . . . . . 3. Quotients d'anneaux locaux réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Polynômes d'Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "5. Structure des anneaux locaux noethériens réguliers complets,

tj 6. Dimension des anneaux gradués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI11 .62 1. Anneau filtré associé à un anneau gradué . . . . . . . . . . . . . . . . VI11 .62 2. Dimension et chaînes d'idéaux gradués . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI11.63 3. Dimension des modules gradués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI11 .65 4. Semi-continuité de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI11 .69 5. Algèbres graduées régulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VITI .70

Q: 7. Multiplicités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . Multiplicité d'un module relativement à un idéal . . . . . . . . . . 2. Multiplicités et extensions plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Multiplicités et extensions finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Multiplicités et suites sécantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Eléments superficiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercicesduijl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercicesdug2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du Q: 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du Q: 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercicesduij5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercicesdus6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du ij 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q: 1 . Vecteurs de Witt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Polynômes de Witt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Les applicationsf, v et CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Construction de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. L'anneau W(A) des vecteurs de ~ i t. .t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. L'homomorphisme F et le décalage V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Filtration et topologie de l'anneau W(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Les anneaux W, (A) des vecteurs de Witt de longueur finie . . . . 8. L'anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans un anneau de . . . caracteristique p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q: 2. Anneaux de Cohen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX . 17 1. p-anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. AnneauxdeCohen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Existence et unicité des p-anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Représentants multiplicatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Structure des anneaux locaux noethériens et complets . . . . . . .

IX.17 IX.20 IX .22 IX .24 IX .26

g 3. Corps de représentants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Anneaux locaux d'égales caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Un théorème de relèvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Corps de représentants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9:

4. Fermeture intégrale d'un anneau local complet . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Anneauxjaponais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. ThéorèmedeNagata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Quelques lemmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. AnneauxdeNagata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Limite inductive d'anneaux locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Gonflement d'un anneau local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Existence des p-anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercicesdu$l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 5 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du Q: 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercicesdug4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices de l'Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indexdesnotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indexteminologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Table des matieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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N : E t e u 120. boulevard Saint-Germain 75280 Paris Cedex 06 ;ép& légal : Juin 1981

JOUVE I8,nie Saint-Denis 75001 Paris Dépôt légal : Juin 1983 No d'impression : 10714

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