Éléments de Mathématique: Algebre commutative

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N. BOURBAKI ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE

N. BOURBAKI ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE

ALGÈBRE COMMUTATIVE

Chapitre 10

123

Réimpression inchangée de l’édition originale de 1998 © Masson, Paris 1998 © N. Bourbaki et Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007

ISBN-10 3-540-34394-6 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-34394-3 Springer Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Springer est membre du Springer Science+Business Media springer.com Maquette de couverture: WMXDesign GmbH, Heidelberg Imprim´e sur papier non acide 41/3100/YL - 5 4 3 2 1 0 -

5 1.

PROFONDEUR

Soicrit A un anneau, J un idéal dc A et M un A-niodule

o n appelle p,rofortder~ de M r.elat?wrr~eat ù J ct or1 ,raote ( J ; 1hf) , or^ proî ( J ; M) , lu bwrir: il1fkr?cwe daras N U {hx) de 1 'enserrable des cnliers ri. Lels que Exl'Z(A/J, M) soiL rrorr r~,,ul.

D ~ F I N I T I O1.N

Tmrsqiie 1'aririea.u A est local, or1 a.ppelle simplement pro~fondeurde M et on note prof* (M) oii prof (M) la. prohncleiir de M rela.tiverrient B. 1'idka.l rriw.xinia.l rn* (le A ; on appellc projmdeur de l7ann,eal~, lord A la profondcilr t h A-rnodiilc A .

r

Si prof,, (J , M) - +m. oii R ExtA(A/J, M) - O pour tont 7 Si prof,(J a ExtL(A/J, M) = O pour 2 < r et E x t i ( A / J , M) # D

,M)

=

< +cc,on

R e r n u r q u e s . 1 ) Supposons que le A-moclulc M soit de type fini et. qii'oil ait M = JNI, c'est-Mire Supp(W1) n V(J) = 0 (II, 3 4, no 4, cor. de la prop. 18). Dans cc cas, pïofA(J ; M ) est égal à +cc : en &et, 11ici6al Arin(M) + .J est alors égal à A (loc.. rit.) ct cst coiittiili clans l'anniilat,eiir de ExtL(A/J; M) pour t,out i. Ori verra ci-après (no 5 , cor. I dii th. 1) qu'invcrscnicnt si I'idCal J est rlc type fini, profA(J ; M) = +cc implique M = JM. 2) Pour que profA(.]; 42) soit nul, il faut ct il suffit qiic HornA(A/J, M) soit non mil, c'est-à-dire que M possède iiil Glérnerlt non nul ariimlé par $1 ; il en est en pa,rticiilicr ainsi lorsquc l'on a Ass(IV1) n V(J) # $3.Si l'mrieaii A est noethérieri et que le A-module M est de type fini, les conditions suivantes sont Cqiiivalcntcs (IV, $ 1, no 4, prop. 8) : a.) prof,

(.J ; M) = 0

1-1) pour tout z

E

;

.T, l'llomothbtie zM n'est pas injective ;

c) on a Ass(h/l) n V(J)

# 0.

3) D'après la rcmarqilc 2, polir qii'ilri anncau local A soit dc proforidcur imllc, il fa.ut et il suffit qu'il existe un Cléincnt ilon nul .x de A tel qiic n i ~ n := O. Si A n'est pas un corps. un élément ~ i -tel que m A X = 0 n'est pas iiiversible, donc apparticnt à in,\ et par siiitc satisfait à x2 = O. Ainsi lin anr1ea.u local réduit de dirneiision 3 1 est de profoiidciir 3 1. 3) Soit, iule farriillc tlc A-rnotlulcs. D'apri,s A, X, p. 89, prop. 7, on a prof (J ; ML)= inf prof (J ; M L ) .

n

LE

1

LEI

Profondeur, régularité, dualité Duris ce chapikre, toru.s lcs arlricuulc sorit s,upposL:s ço~rrmrututifs,les ulykbres sont ussociutiws, corrrrr~1~t1~tiue.s et ,wr~'if&re.s, et les horr~orriorpliisrnesd'alykb,~.e.ssorll uniet KA son corps fh-es. Si A est un, anmeau locd, on, note m . SOT?, idkd m~~,,:~.imal, rksidu,el. Si p est wri id6d p?-err~,ier. d',un anrLeau A , ori note ~ ( p )le corps r h i duel de l'ar~.rcea.ulocal Ap ; on l'ider~tijieau corps des fr,uctlons de l'armeuu trit@re A/p . 041 ,riote Z lu pwtie Z U {-CO, +cul de R . 0 1 1 u donc, po,u.r io,u(Ct n t Z , les m h t i o n s -ai < n, < +cm et rt, + cm = OC^ + n, = OC) + cc = cc , n,-cm=-m+n=-cm-m=-cm.

PROPOSITION 1 . Soimt -4 un, an,nea~r,.T un, BdCal de A et O une suite exacte de A-modules. Poson,s

p'

= prof

(J : M')

, p = prof (J ;M) , pl'

-

i

h/l' + M

i

Y''

-+ O

prof(.J ;Id")

On es2 alors dans l'un des tr.oi.s c(ts swkiiants, qui s'ezclurnt rnutuel2enrmt

:

Corisi
a) Le premicr modillc non ni11 est. Ext;: (A/J, W ) . On a dors p'

-

b) T,e preinier rnodulc non niil cst Extx (A/J, M) . On a. alors p

= p"

c) Lc premier. rriodiile riori niil est Ext;

(A/.J, M'') . On a alors p"

< pl'.

p

< p'.

+ 1= < p .

Re,rrsc~;rpf:5 .Supposons que l'on ait p - p' et ([ne l'ir'jection 71 : hf' -t M qui int,ervicnl. tla,ris la. siiite exil.c:t,ede la. prop. 1 apparticnnc 5, J HonlA(M', M) . O n a alors p" - p 1 . En effet, l'liyp»tli&se erit,riririeque I1a,pplica,tionEx'GtZ(lAI,, , i l , ) cst nulle pour tout entier i, ; (:da excliit lc ca.s a.) corisitl6rP ci-tlessus. -

~'ROPOST'L'ION 2 . Soimt A un, an,n,eau, J un, idBa1 ch: A , M TNL A-rr~odrrleet N un. tout mtier A-rno&ule urr,rrulf:par uoe p,cl,issnnce de .T . On, a l%xtA(N,M) = O po.1~7. i < prof, ( J ; M) . Siqjposoris d'a1jor.d J N = O et raisonnons par réciirrcncc sui. l'entier Z < profA(.T;M) . L'a.sscrtiori est bvitleiite pour i < O . Corrsid6rons N conme un (A/,T)-rnotliile et choisissons iinc suite cxa.ct,cde (A/J)-rriodiiles

011

en déduit imc siiitc exacte de rnodules d'exterisions

Lc A-rriodule ~ x t ~ ~ ( 1 C . est M ) nul ~1'apri.s l'hypotlièse de rPciirreixe, et le M) est isomorphe à EX~;(A/J, M)' (A, X, p. 89, prop. 7 ) , A-nmdiile EX~L((A/J)('), qui est nul par définition de la profoiideiir. Par suite on a E x t i (N, M) O . Passons ail cas gbri6rn1, et raisoimons par récurrcncc sur lc plils pctit cnticr 'rr~> O tel quc J""S O . Noiis venons (le tra.iter Ie cas m, = 1 . Supposons m, > 1 ct soit i < profA(J ; M) un entier. Considérons la siiite exact,e

-

-

déduite de la suitc exacte O + J N -, N i N/,JN + O . Les dcux modulcs cxtrCirics soi~tnuls d'après 1'hypothi.s~dc réciirrer~ce,puisque N/JN et ,IN sont mnulCs par J T ~ - - I . On a donc E x t i (N, M) = O , cc qu'on mi~laitciéinontrei..

COKOLLAIHE 1 . Soit m un entier > O et soit J1 u n idCal de A p i , con,tient J"" . O n a profA( J ; M) profA(J' ;M) . En effet Jrn annule le A-modille A/Jr , donc ExtA(A/Jr, M) est riul pour toul entier i < profA(.J ; M) (prop. 2).

<

2. Supposons l'idéal J de type ,fini, et soit J' an idc'al de A tel que COROLLAIRE V(J) 2 V(Jr) . a) On a profA(J ;M ) 6 profA(J' ; M) . b) S i 11id6al J r est de t w e Jin,i et si V(J) = V(.J1), o n a prof,(J ; M ) = prof, (JI ; M) . D'après 11, § 4, no 3, cor. 2 dc la prop. 1 L et § 2, n o 6, prop. 15, il exist,e uri eritirr rn, > O tcl que J n k , J I . L'assertion a) résulte doric (111 cor. 1 et 1'a.ssnrtion h) s'cn déduit. Lc cor. 2 peut rt,re en d<:fautlorsque l'idéal .J n'est pas de type fini (cxcrcice 2). -

2. Profondeur et acycliciti:

P~o~osr'i~ 3 r o. ~Soie,rr.t A Ira mn,n,eau, C un, corn,plexe horn,C à gauch,e de A-modules et p un entier. O n suppose quc por~rt o u t cor/,plc d7en,tiers (m,,n,) m e c rrL 3 n. 2 p , ln profonde,ur du A-nrodcl,le C m relativemen,t à l'ann?~lateurde H,,,(C) est > rn n,. On, a alors H, (C) = O pour n 2 p . Puisque C cst borrk i gauclic, H,(C) est riiil pour n asscz grand. Si la conclusion Cta.it fausse, il existerait lin entier q 2 p tel que H,(C) = O pour ,rL > y et Hq(C) # O . Désignosis par J 1'arinulat.eur dc H,(C) ; on a alors = O . Par ailleurs, puisque Z,(C) cst 1.m sous-modiilc de C, , ct ~ > I . o S ;~H,(C)) (J qu'on a par llypotliksc prof, ( J ; C,) > q q = O , on a profA(J ; Z,(C)) > 0 . On dktluit alors de la suite exacle -

-

1'CgalitC pruf,(J; B,(C)) = 1 (no 1, prop. 1). D'après la définition de g , B,,(C) est kgal ii Z,(C) pour (,oui, entier n, > (1. Des suites exactes cauoniqucs

y , »si tire par récurrence l'égalité et de l'liypothksc profA(J ; C,,,) > rr profA(J ;B , ( C ) ) = rL - q 1 pour tout rL 3 y (loc. cil.). Mais cela est ahsiirde puisque B,,,,(C) cst riul pour ,rc assw grand.

+

-

COROLLAIRE 1 . Soient A u n a,n,n,rau, J un, idéal de A , C un complexe borné 6, ga7rche de A - n ~ o d u l e s et p u n en,lier. O n suppose qu'on a .JH,,(C) = O et profA(.J ; Cm) > .rn p pour m 2 p . O n a alors H ,(C) = O pour n, 2 p . En effct pour n 2 p l'annula,teur J , , de H,,,(C) cont,ient J , donc on a profA(.J, ; C , ) 2 profA(J ; C,) (ri0 1 , cor.. 1 (le la. prop. 2), dn sorte qiic l'hypothèse de la proposition est satisfaite. -

COROLLAIRE 2 . Soient A un anneau local, C un,compleze bolrrk à gauche de A-rrr,odules, p un cntiel-. On suppose que po7~l-m 2 p , H,,,(C) es/, de longue.urfinir et C,,, de pr.of0ndcn?. > m - p . On n alors FI, (C) = O pour rL 2 p . d'après A, VIII, 5 1, no 3, corollaire, l'anneau A/J est artinieii, donc J coiitient une puissmcc de l'idéal rnaxiri~alde A (A, VIII, 8 10, ri" 1, th. 1). On a par suite profA(J;C,,,) 2 prof (C,,) > rri - p pour rrr 3 p (11' 1, cor. 1 de la prop. 2), de sorte qu'on peut appliquer le cor. 1. 3. P r o f o n d e u r et complexe de Koszul

-

Soient A un anneau, ILI iin A-modiilr, x = (.r,),,r iiiic fainillc d'4lCmcnts tlc A. A la. forrric: liriéaire telle que u(ci) = .r, pour tout i E T , et Notons u : A(') O K'(x, M) le corrlplexe KA(w, M) associ6 a u (A, X, p. 147). On a KP(x, M) pour p < O ; polir p 3 O le A-modiilr: K"(x, M) = Hoin,, ( A p ( ~ ( l )M) ) , s1i(lentific\ canoniquemcnt ail A-modiilc CY(h1) forrrié tlrs npplications ollrrnéps de 1'' dans I\iI (A, X, p. 153), la cliffbreritielle iSP : KP(x, hl) , Kptl (x, M) Cltant donn6e pdr la forriiiile

-

-

(A, X, 11. 154, fornlulc (12)). Il eli pour m t K P ( x ,M) et (a1... . ,cu,>+l) E r&siilteeri parl,icl~licrqiic lc corr~plexcK 0 ( x ,M) ne di:pcritl que tlc la structure de . Z-rriodiilr de M el, des cii
THGOK~MF: 1 . Soient A un cr,nrrenv, J ,un, idéal de A , x = (z,),, 1 une ,fn,n~,ille gén,r'r(~,trirede J , M W L A-w,o&ule. La profonde,ui- de NI rel«,tivrrnerrt ci J est lu h o m e ir~fc'rie,/rre(darl.s N l-, {+oo)) des c.nticr:s tels que II1'(x, b1) f O . Posorls p = profh(.J ; ICI). ConsidGrons le wniplexe K'(x, M). Son lioinologie est arlmdée par J (A, X, p. 148, cor. 2)' et la profoildeur relativciricrlt à. J de chacun des rilotlules K i ( x , M) est 6galc à 11 ou à +rx> (no 1, reinxryuc 4). Il r6siiltc alors du cor. 1 t h 11" 2 que l'on a H1(x,M) = O pour i < p. Il rc:si,e il prouver que HJ"(x,M) n'est pas r d lorsque p < +m. Le cas p = O &tant 6videiit, SI~PJSUSOIIS O < p < +m et TIIJ(x,hl) = O . Soit L une résolution l i h e du A-rnodule A/J ; notons C le complexe HomgrA(TJ,ICI) . Le A-iriodulc l p ( C ) est isorriorphr: à. E x t i ( A / J , M) (A, Xi p. 100, th. 1) ; il est doric:

nul pour i

< p . Ori a. alors pour i < p des suiles exactes carioriiqurs

Le A-module C' est produit de A-rilodules isoriiorphes à M ; on a donc 1is(x,C") = O puur s p . On tlbdiiit ries suites exactes pr6céclentes et de 4, X, p. 150 quc l'l~oi~lorriorpl~isrnc t3e liaison (3" : H" (x,Hl+' (C)) HS+' (x, B"(C) est, injectif pour s p et, ,i < p ; corriirir Bo(C) = O , il cil rCsultc qiie HPpi(x. Bi+' (C)) est nul pour i < p . Ori a cri piirticilliri IT1(x, Bj3(C)) = O , de s o r k que la suite exactc O + Bp(C) I Zp(C:) + IIp(C) + O

<

-)

<

-

h r i i i t une silyjection HU(x.Zp(C)) ~ ' ( x Hp(C)) , . Cornine H"(C) est isoiriorplic Extx(A/.J, M) , cpi est non nul el; arinulé par .T, on a Ho(x,H*'(C)) O , d'oir HO(x,ZP(C)) # O ct par suite ~ ~ ' (C") x , # O . h b i s cela. implique Ho(x,M) # 0 , rontra.iremerit k l%ypothi.sc. On a clor~c HP(x, WI) f O , ce qui acl~bvela tiérnonstratiori.

+

C ~ R O L L A I1R .E Sz~pposorzsl'idéal J dc t y p e ,fini et .TM # M . Alors prof,,(J ; M) est ,fiwk r t < Chrd(T) ; pour qu'elle soit ciyale 0, Card(1) , il f m ~ f et il S&I p r la fu,rrL?llc:x soit co,rrc,pl&terrientséca.rrte pour M (A, X; p. 157, dkf. 2). Siipposor~sd'abord 1 firii, et iiotor~sr. sori ca.rdirial. Le A-modulc HT(x,M) cst ca,rloniqucinent isomorphe A Ho(x,WI), lui-rriêrrie isomorphe à MlJAll (A, X, p. 155) ; l'inégalitk prof,,(J ; M) rksiilt,~donc tlir th. 1. Pour qu'oil ait égalitC, il faut et il sufit quc lc A - i ~ ~ c l u H1(x, lc M) soit nul pour i < r., cc qiii signifie que la. fa.niille x est coniplttcnienl, sécanle polir ICI (A, X, p. 157).

<

U'aprk cc qui pr6c&de, profA(.T; hf) est finie ; il reste h chhontrer (pic si la. famille x cst conlp1i:tc:rirerit s&:a.rit,epolir M l'enscinhle 1 cst firii. Or la (:ondition Hi (x, AI) = 0 (A, X, p. 157, tlbf. 2) inipliqiic t p 7 0 i 1 a irnc suite cx;i.ctce

o i ~l'imagc tic & est cor11,cimc: tlims JM(') . Par produit ter~soriclavec A/.T, on eri déduit un isoinorphisrne A-linkairc de (M/.JM)(') siir JM/J%!t. Or ce dcrr~ic:r module est de type fini: puisqi~e.T et iL3 le sont cornmc M/JM rr'cst pas niil, il c:rl r6sirltc qiic l'eriscrriblc 1 est fiiii.

I J ~ o r o s r , i , r4o ~. Soient p : A A rt

B u n hom~onrorphismrd'anneauxj .T on, i d h l dc

i

N rin, B-rriodule. On u 1 '&lulit&profA(,i; N ) = prof,(JB ; N) .

-

Soit x = (.ri),,,r inie famille g é n h t r i c e de .J ; la hinille p(x) (p(~,)),,~ engeridre J B . Pa.r coristriictiori le coniplexe Ke(p(x),N) est égal à K'(x. N) . La proposition résulte donc du th. 1.

COROI,I,AIRE.Soient A uri anneau local, a un id&l de A ~ f i s h c tde h et ïVi un A-m,odde urrrrulC p(w a . On, a prof,4(M) = profAl,(hl) . Soicnt p : A + B un liosnornorphismc tl'anricaiix, x = ( x , ~ ) , , ~ urlc farnillr finie d'él(hierits de A et M im A-rnodiilc. Polir toiit entier p , iiotorls dJ : P, 63n Cr(h4) - t Cy(B M) l'hoinomorphisme B-linéaire qui associc à h @ m l'applicatioii alterriée ( o r , , . . . , ap)H b 8) m(ori, . . . , orï,). La famille (IP) dkfinit lin isomorpl~isrrlcdc corriplcxes

canonique Cori~itli.rorisl'l-iorriorr~orpklisir~c

(A, X, p. 62) ; par coirlposition avec HP(cl), on eii tlC.diiit iiri Iiorriorriorpllism

Lerrme 1 . critier. p .

Si le A-module B es2 plal,, I'~~,orn,orno~~'pI~~~i.sr~~,~~ , o p est b,ijc.cLif pour Lout

Ccla r6sultc de A, X, p. 66, cor. 2.

(.J ; hf)

-

7

inî

p t s p c <( 4 )

profAp( J p ; hlp) = iilf p ~ ~ f ,( jJ m, ;hlm). nic SL

Soit x ( x , ) ~ ,unc ~ f'a.rnillc gkrii;ra.trice firiic de J . Soit p iin itl6al prcrriier de A ; l'idéal .Jp est engendra par l'iniagc: x p tle la farnillc (xi) dans A,, . Poiii tout p 3 0 , le Ap-moilule (HP(x, 1\11)) est ison~orpheii Wi(xp,Nip) (lcnnnc 1) ; d'après irif lc th. 1; or1 n donc prof,(J ; M) pinfAy( J P ; Mp) inf profAm,( J , ; Ml,,) .

,

< p e Spec(A)

< me 62

Soit p un cnticr strict,crncnt infkrieiir à profA,,,(.TA,,, ; M,) polir toiit m E 0 . Or1 a alors H"(x,,, hl,,) = O pour tout idéal m;~ximal m de A : cela. résultc du th. 1 si m t f 2 , tli* fait que Mn, = O si m $ Siipp(M), et du Sa.it yuc 1'itléa.l .JA,,, qui annule H"(x,, M,,,) (A, X, p. 148, cor. 2), est hgal à A , si m $ V ( J ) . On a donc (Hp(x, 1\11)), = O poilr toiit idkal rnaxirrial m de: A , ce qui critraînc H"(x, M) O (II, 5 3, II" 3, cor. 2 du th. 1).La. proposition résidLe alors du th. 1.

-

P ~ W P ~ S I T J O 6N. - Soient A un anneau, .J u,n idéal dc type ,fifini de A el hd un A-module. Soien,t R un anrceau et p : A + B u n hornornorphism,e d ' a n n e a m fwisarIt de B rrrc. A-rn,oddt: plat. a) %)TL o. prof4(.J ;M) profB(JB ;U @A M) . 1-1) S7~ppo.son.s de plus que tout id4nl maximal de Supp(1CI) coatcnurrt J n,pSpcc(A). On a d o r s pc~rtien,n,e 8 I'7,rnt~gede l'applicatior~ ca.nor~,ique Spcc(B) profA(.J; WI) = prof,(.JB ;B @A M) . C'rst le cas par excmple s i lc A-7nodule B est jificlèlen~erctplat. L'assertion a) r4siilte du th. 1 et t h lcrnmc 1. Soit p lin entier strictement inférieur à profH(JB;B @ A NI) , et soit m un itlkal rrmximal de A appastenant à Supp(b1) n V ( J ) . Soit x ilne fainillc gCrlCratrice finie (le 1'idba.l .J . Soiis l'hypothèse de h); il existe un idéal prernicr 11 de B au-dessus de m , et l'on a lin isorriorphismr cariorriquc

<

)

HP(x, Mi) cst isomorphe à IIp(p(x),B @ A M) (lcmmc 1), tior~cest riid ; de Or B plus B, est fidtlrnient plat sur A, (1, S 3, no 5, prop. 9 ct II, 5 3, ri" 4, piop. 14 et rcri~arqiie).On a donc A, @ A H"(x, M) = 0 et par suite p < proSAn,(J,,, ; Mn,) (lernrne 1et th. 1). La prcniière a,ssertion de h) résulte alors de la prop. 5 ; la se<:oil(le r<:sirli,ede 1, 5 3, ri0 5, prop. 9).

COROLLAIRE So@rct . A un anmeau r ~ o e t l s 6 r i mJ~ Irn, idéal de A , M ,un A-,m,odule de type ,fin,i, A ct M les s6par.i~c p ~ l 6 t G sde A et hl1 pour lu topologie .J-adiqur. On a alors prof,\ ( J ;M) = profÂ(JA;MI) . A

En cffet, lc A-module Â cst plat, et le Â-niodule M cst isomorphe Â @A M (111, 3 3: no 4, th. 3) ; plti. a.illciirs, tout idbal iiia.xirrm1 de A contenant .J appartient à l'image de l'application Spec(A) + Spe(:(A) (loc. cit., prop. 8 ) . A

4. Profondeur ct suites régulières

Soient A un a.nnraii, M uri A-rr~odiile.Ilappclons (A, X, p. 158) qu'une suit,c Grlie ( x i ,. . . , :r,) d'élbrnerits de A est dite régulière pour ILI ou M-r6plièrr: si, pour i = l , . . . , r , l'horriothbtie de rapport z, dans le A-module M/(zi M 4-. . . z,,-1 hl) est injective. Soit (xl, . . . , 2 , ) urrc suite M-réguliCrc ; pour tout l\-i~iocluleplai, N , la siiite ( x i , . . . , r,.) est M N ri.gu1ibr.e. Si p : A + B est un hornorriorpliisrrie tl'aririea.ux faisant de R un A-rriodiile plat, la siiite (p(xi)>.. . , p(z,.)) est réguliGre pour. le B-rnodule R M . En particiilier, pour tout idbal premier p dc A , l'irrla.ge dans A,, de la. siiit,e (:ri.. . . ! r,.) est Mp-régulière. Dims la siiite nous consitlérerons siirtout la notion cle silitje M-régulière da.ns lc (:as «il l'anrieai~ .4 est local noethérien, le mociulc M est de type fini et les élCrnc~nt,s de la siiite a.ppa,rtieimcnt à mn ; la not.ioii de suite M-rkgulièrc wïricide alors avec celle de suite cornplètemerit sécante pour M (A, X, p. 160, cor. 1).

+

P R O P ~ S I T I7O N. Soient A wn an9ri.ea,u,J un idéal de A . il4 ( x l , . . . ,:ri, ) ~LTL(: sl~iteM-r6g,ldir)re d'bl&rr~~r~ts de J . On a

Le cas r = 1 résulte de la remarque 5 dii

ilo

A-rrinodr~le, et

1, appliquCc A la suite cxactc

l déduit par rbcurr~ricesur r . LP C i l 5 g b ~ i h as'en

b) Lu profor~der~r di: hlr relat.ive,rnent 6, J est la horrre s~~,pc?rie,wre des lonyueurs des suites bl-ré,qu.liè~e.s forrn,éf:s cr17Clr',n~ents de J . c) i ' o w que pr0<~(.1 ; hl) soit finie, il ,facrt et il s u f i t que le support de M reri,contre V(J) , O I L ( ~ i ~ oque r e l'on ait J M # M . Soit (:ri,. . . , :x,) une suite M-rég~ili+rctl'él61nciits dc J . On a T < prof,(J ;M) (prop. 7) ; supposons que l1inbgalitC: soit, st,rid,c. Notons N le A-nlotliile M/(z1 M . . . i 5 , M ) . On a profA(.J; N) > O (loc. cit.), de s»rt,e qii'il exisk iiri élhncrit z dc J tel que l'lwrriot,hét,ie .cN soit il.jective (no 1 , remarque 2), c'est-%ire que la suite ( J , , . . . ,z,, x ) soit SI-rCguli6rc. Il en résiilte par ri.t:iirrer~cc que pour tout erilicr s tcl que r < s < prof.A( J ;M) la siiitc (zl;. . . ,:r,) pcut êtxc corripl4tCe en unc suite Pl-réguliPr~de longueur s , cc qui critraîne les assertions a) et h). L'assertion c) résulte de la rc?rria.rqiie1 du no 1 ct du cor. 1 di] t,li. 1 du r i n 3.

+

COROI,T,AIHF, 1. Pmur toute suite M-rt+plière ( . c l , . . . ,x,.)d'éléments d e .J, les proprGtbs ~11;iwmte~ sont Fy~~ivalrntrs : (i) on a T = prof, (J ; M) ; (ii) la s~rite (xi ; . . . x,.) est mazimale pamni 1e.s m i t e s M-ré,q7~liCresformées d ' d i h e n t ç dr J ; (iii) le A-m.oddn M/(n:iM + . . . + z,M) posskde wri e'l&men,tnon, nul a.nmul6 par J ; (iv) O ~ I Lu ASS(M/(:rilM . . . :L,M)) n V(J) # 0 . L'équivalcrice de (i) et (ii) r6siiltc: dii th. 2 ; l'équiwlcnco de (ii), (iii) et (iv) rbsiilt,e de la rcmarqiie 2 du no 1 a,ppliquée s u A-inoclule M/(x, M + . . . + x,M) .

+ +

COROLLAIRE 2 . Soient A un anneau locd ri,oei,héricn, M un, A-m,od?rle rron rrul (IP typt ,firLa. O n a prof, (M) < diinA(hf) < +cc .

Er1 effet tolite siiitc AI-régiili&rc d'i.lénieiiI,s de m~ est complèternent sécante pour h/I ( A , X, p. 157, prop. 5), donc skcar~tepour M (VTIT, 5 Y, no 2, cor.. tlc la prop. 3) ; pa,r suite sa longuci~rcst n1a:jori.e pa.r l'cmtier dimA(M) (loc. cit., tli. 1). 5. Profondeur le long d'unc partie ferrnke

Soieni, A un a.nricaii riocthCricii, F uiic partie fermée de Spcc(A) et M un A-nioclule. D'a.près lc cor. 2 dc la prop. 2 du no 1 , I'6lbnient prof, (.J ;!V dcI) N U {+CO) iic tlbpend pas dc l'idéal J tlc A Icl qiie F = V(J) ; on I'appellc proforrderrr.de hl1 le lonq de P et on Ic note profF(M) . K e m a r y l ~ c s . 1) Soit r un entier. D'apriis la prop. 2 du ri" 1 et TT, 5 4 , ri" 4 , cor. 2 de la prop. 17, l'inégalit,b profF(M) 3 r bquivnut ?t la propriétb siiivimte : pour tout A-inodulc N de Lypc fini et. d r support con1;eiiu dans F , on a Ext:\(N, hl) = O pour

i < 7.. 2) Supposons que le A-rnodiile M soit tle type fini. D'a.pr&sla rernarqiie 2 di1 ri" 1 et le th. 2 du ri" 4, on a les kqiiivalencrs siiivîmtcs

profF(M) = in[ profAp(Mp) = p c b'

inf

p s Srrpp(M)fW

psofA, (Mp) .

Cela est clair si profF(M) = +oc (rernarqnc 2). Si prof,(M) = O , il existe i i r i idt;tl premier p E Ass(hf) /) F (rernarqiie 2) ; on a pAy E Ass(Mp) (IV, 5 1 . no 2, prop. 5). donc profAp(Mp)= O (reriiarqiic 2 dii no l ) ,d'où la proposilion en cc ms. Supposons O < profF(l\/l) < +cc ; soit. .l i i r l itlCa.1de A t,el que V(J) = F , el, soit n: iin 616rrient de ,J t,cl que l'lioinoLlibl,ie sM soit injective (lm. c i t . ) . Pour cllaque ideal preinicr p , l'lioinothétic lcnl cst ir!jec:tivr. D'après la prop. 7 du 11" 4, on a, c~or1c profF (M/.chl) = profF (hl) - 1 prof,,, ( ( M / X M ) ~= ) profA, (NI,)

-

1.

On coilcliit alors par récurrence siir I'eiit,ier prof,,.(M) Rcmxryuc 3. Si q est iin point de Supp(i\/I), oii a donc prof,(q ;hl) = i ~ i proIl\, f ~ (MP) ~ ~ . 011 a cri particulier I'iiiCgalité profA(q ; M) profAq(M,) ; il y a. égalité lorsqiie q cst maxirnal. D;~risle cas gCiiéia.l, oii peut avoir prof, (q ; M) < p r ~ f , ~(Mq) , , ; or1 peut bgalenient avoir profA(q :hl) < irif profA,,,( M , ) où m parq . Soit pô.r exerriple p iin court l'er~serrlblr(les idbaiix ma.xiina.iixdc A cor~Ocr~a.nt, idCi11 prerriicr nori nia.xirria1 (le A , coiit,eiiaiit q et d i s h c t , de q ; posons M = A/p . 0 1 1 a profA(q ; M) = O : profiq (M,) = 1 c m et profAm(M,,,) > O pour tout idéal irlaxiiiial m de A .

<

P ~ m r o r s ~ ~9r r o. Soier~t ~ A u n ~ I L I X C C L Ur~oethbrien,~ M r t N deux A-,modules de type finé et F le support de N . Alo7:s prof,(l\/l) est la borne mfr'riewe (daris NU(+m}) de l'enserrihle des e,rrt%er.s$11 Lcls p c Ext'i(N; NI) # 0 . D'a.prk la remarque 1, on a ~ x t i ( YILI) , = O pour tout 2 < prof,(M) . 11 reste à proirvcr que si proîF(M) = n < +oc, on a. Ext,h(N,M) # O . Soit J l'anniilatciir de N ; on a F = V(J) , donc profF(M) = profA(J ; NI) . D'après lc cor. 1 du t h . 2 (no 4), il existe iine suite hl-régulière ( z l . .. . , 2 , ) cic loiigiicirr 7 1 f~rinbed'élérneiit,~de .T, et la profondeur rclativcincrit J du A-rriodiile n/I M/(sLM-I. . . t-ni,,M) est nidle. est non mil. D'a.pri:s A, X, p. 166, prop. 9, il siiffit de prouver que H»rriA(N, Or, dla,prCsla prop. 8, il existe p E Supp(M) n Siipp(N) tcl que profAp(n/lp) = O , c'est-Mire I b i n A p(~(p),1\1,,) f 0 . Puiscjuc Dip est non ilul, le ~(p)-cq)ace WXkricl Np @A, ~ ( p est ) non nul (lemme de Nalraya.rna)?a.insi qilc son diial ; il existe doirc iiric applic;i.t,ion Ap-linéaire sur,jectivc dc Np dans ~ ( p. )Tl eii résiilte qu'on a HomAp(N,,,M,,) # 0 . dorlc ~ o i r r . ~ ( ~ . n#/ IO) (II? 5 2, no 7, prop. 19), ce yu'oi~ voulait démontrer.

-

a)

Rcrnarqu,e 4 . Soient A u n aririeau rioctliérierr. N un A-rnodiile de type fini. Orr appelle parfois grade de N , r t on riote gradc (N) , la borne iiifbricure daris NO {+m) de l'crrscirrble des enticrs n trls qiie ExtL(N, A ) soit norr nul. D'aprk la. prop. 9. c'est aussi la profondeur de A 1<: long du support dc N , ou crlcorc (no4, th. 2) la borne supCrieure de l'ensrrnble (Irs loslgucurs dc suites A4-rCgi~litres d'élbrnents de l'ariniilateur de N . Chrirrie polir tout idbal prcniicr p de A l'annula,teur (le Np cst ~ 5 2, no 4, forrriiile (9)), on dCduit de la. prop. 5 tiii ri0 3 lli:galiLé égal à. A i i i ~ ( N )(II, gratlc (N) =

pt

id

spcl( A )

gradc (Np) = inf grade (N,,,) lllE n

,

où 0 désigne l'crisciriblc dcs itl6aiix maximailx de A

6. Profondeur des alg8bres

Supposons les hypothhses (le (i) satisfa.ites, et prouvons (ii) n.insi que la (lanière assertion. Soit Wl lin A-modiile. Puisque le A-iirodiilc N/yN est plat, on déduit de 121. suite exacte O + N N N/gN + O des suites exactes

-" -

ois u = l M @ yN et 7) = Tor,A (IlaiyN) ; il en résiiltc qiir I'homotliétie de rapport 1) est, injective da,ris M N , et bijective da.ris ~ o r(M; t N) . Siipposons de plus le 1 , est de type fini (A, X, A-rnodille hf de type fini ; alors 1c B-niodulc ~ o r ' ~ ( NN) p. 107, prop. G ) , donc est niil puisque y appartient r n ~(lemrne de Nakayaina), ce qui entra,înc que le A-module N cst plat (A, X, p. 74, th. 2). (ii) 3 (i) : supposorls les hypotlii.ses de (ii) satisfait,cs. Corisi(1itrroiisles deux suites exactes tlc B-rnodiiles 8

%

~

où p et i sont lcs Iwmomorpllisirles carioiiiqiics. 011en déduit q11r l'hornomorpliisinc 1@ p : KA @A N KA $ 3 ~ lm(yN) cst surjrcliî, ct (puisqiie N est plat) quc le noyaii tic l'liomomorphisrr~e 1 8 i : KA &A Ini(yN) -,K A N est isomorphe h T O $ ( K ~ . N/?jN). Ma.is l'a,pplicati«n (1@ i ) o (1Mp), égale à. yKABAN, est injective p hijcctivc et 1 @ i injectivr, et par suite par hypothèse ; on rn d6duit que 1 @ ~ est n, = O . Il cri résulte yuc le A-ir~otluleN/yY cst plat (III, qu'on a ~ o r l ( ~N/yN) 5 5, rio 2, th. 1 et no 4. prop. 2). Pi~isqueN et N/yN sont plats siir A , il en est de même de Irn(yN) (suite exacte (2)). On dédiiit alors de la. siiitc exa.cte ( 1 ) qiic KA @A Ker(yN) est isornorplie a.u noyait de 1@ p , donc cst iiiil ; ainsi l1honi»thét,iey, est in,jective par lc lcrrirrie (le Nakayamn.

P ~ i o r o s r r r o10. ~

Soirnt p : A + B ,un h(~~r~,o,rn.oi.~)l~'i.srn,c local d'an,nwaux locau,x noeth.éric.n..s, N un B-mo«lde de type ,fini et y = (gl, . . . ,y,?) wne sî~iled'élé.rnents U e,n,qendr.6pnr celle suite. Les conditions çui~inntes de rno . Notorrs 7 ) l'idéal sont 6qui.oalarrte.s : (i) le A-rr~oduleN/?)N est plat f,t ln s,uitc y est N-rciquli6rc ; (ii) le A-m,odule N est plat et 10, .suite y esl (K,, m%,t N)-r@~~,likr~. Lorsqu'elles son1 salis/uitei;, pour tout A-nrodde M , la suite y cst M&AN-rkg,~U2iCre. Proiivons 1'i.qi~iw.lencedc (i) et (ii) par récurrence sur S . Lc cas = O étant évitlmt, slipposons s 2 1 ; notons y' la suite (y,, . . . , y , 1 ) et 9' 1'idéa.l de B qu'elle c:rigc:r~dre.D'apri.s le lemme 2 appliqiiC au B-niodille N/glN et à 1'4lbrneiit g , de B , la condition (i) Cquivaiit S (il) le A-inodulc N/mlN est, plat,, la. suite y' est N-régulihre et l'liornotl-iéticl de ( K * @A N)/zJ'(KA @ A N ) est injective. rapport y, tlaiis KA RIA(NIZJ'N) de réciirrence. Cette condition &pivaut à (ii) d'après llli,ypotl~èsc La dernière assertion résulte de même paa. récurrence sur s de la dernière assertion du lcrnrric 2.

-

Priorosrrro~11.

Soient p : A -+ B 'CIL 1~o~t~on1,orphisme local d'annwaux locaux ~roeth,krien,.s,hl1 rsn A-module dc typc jini et N un B-m.oduk de type fini ; on suppose que Ic A-rn,odule N est plat.

NO

7

AC X.13

PROFONDEUR

a) Soierct (:xl, . . . ,:x,) une suite d'élhnents de r n ~régulière po9ur le A-module . . ,y,) ,une suite d'6lément.s de mu régulikre pour le B-m,odule KABAN; M , el, . . ,y,s,p(zl), . . . , p(z,)) d'éléments dc r n ~est régulikre pour le a1or.s la suite B-ïr~oduleM @ A N . h) O n a l'&dit6 profn(M @ A N)

+ profB(K,q@A N) .

= profA (hf)

Notons x l'itl6a.l de A engendré par la suitc x et 9 l'iidéal de B engcntiré pa,r y . D'a,près la prop. 10, la suite y cst M @A N-régi~lièreet N/?)N esl plat ssiir A , de sorte que la. siiite p ( x ) = (p(zi), . . . , p(z,.)) est régulière pour M @,, (N/gN) = (M @ A N)/g(1\/2@A N) . Cela prouve a). Pour démontrer b), on peut supposer M et N riori nids. D'après le lemme de Nakayarria, KA SAN est Cgalcnieilt non nul, de sorte que profA(M) et ~ I . o ~ ~BA ( KN) A sont firlis (no 4, cor. 2 du th. 2). Prenons les suites régulières x ct y maximales ; on a alors r. = prof,, (M) , s = profB(KA @A N) ct il M / r M et ime application existe une application A-linéaire injcctivc 11, : KA B-liiiCairc ir'jcctivc v : K B + KA @ A (N/gN) (no 4, cor. 1 du th. 2). Puisque N/gN est plat sur A , l'application Blinéairc (u,03 l N / g j N ) O v de K B dans (M/xM) @A (N/?jN) = (M @ A N)/(p(x) g ) (M @A N ) cst injective. Cela implique l'égaliti: prof,(M @A N) = r s (loc. cit.).

+

+

Rappelons qu'on a, sous les I l y p ~ t h ~ s cprbcbdrntrs, s

Rcrnaqur

(VTIT, 5 3,

riG

4, prop. 7).

CORO~,I,AIR Soit E . p : A + B u n hoinomorphisrrre loccd d'arrneaux locaux noethérieas fn,isarrt de B u n A-rnodule plat. On a

+ prof (KA R) , dim(B) = dim(A) + di in(^^ @ A B) .

prof (B)

=

prof (A)

1

%

~

Eii effet, la. proforitlci~r(rcsp. la dimension) du B-rriodulc KA @ A B est kgale à la profondciir (rcsp. la dimension) de I1anrira.i~K A @ A B d'après le cor. de la prop. 3 (resp. d'aprhs VTTT, 5 1 , no 4).

7. Majorations de la profondeur

P r t o r o s r ~ r o1 ~2 . Soi& A u n anneau local nmethérierc, M un, A-rndule n,on n,ul idéal de A di.stiri.ct de A . On a la suite d'in,kggalitks de t.r/pe&i r t J prof,,(.J ; M)

< codini(Siipp(M) n V(J), Supp(M)) < tlirri(M) < [.J/mA.J: KA]

-

dirn(M/.JM)

Pour tout élbment p de Supp(M)nV(J), pr»fA(J ; 1\/1) est irifbriciir dimAp(Mp) (rio 5, prop. 8 et no 4, cor 2 tlii th. 2). c'pst-à-dirc (VIII, fj 1, no 4. prop. 9)

à cotlim(V(p), Siipp(M)) . Lorsque p parcoiirt Supp(R/l) n V(J) , V(p) décrit les parties fcrni6cs irr6tluctihles de Supp(M) f' V ( J ) , tl'oii la prernihre inégalité. La seconde résulte (le la prop. 3 de VIII, fj 1, no 2. Par aillciirs, or1 peut troiiver iiii eriserrrhle générateur de J de cardinal [J/mAJ : KA] (II, 5 3, no 2, cor. 2 de la prop. 4 ) ; la troisième inCgalit6 r6siilte alors de VIII, 5 3, no 2, formule (8).

Remarque 1. Consid6rons la chaîne d'inégalites dc la prop. 12. a) Pour qu'on ait prof,(J; M) = [J/mAJ : K A ] , il fau1 el. il siiffit quc ,J puissc être engendré par une suite M-rCguliCrc (no 3, cor. 2 du th. 1 et A; X, p. 160, cor. 1). h) L'égalitC: dim(M) - diiri(M/JM) = [J/mnJ : K*] signifie qiie J peut Ctrc engendré par tine suite skcantc poiir M (VIII, 5 3, no 2). c) * Si M est macaillaycn, on a profA( J ; bl) = dinl(k1) - dim(M/JM) (5 2, no 2, cor. de la prop. 2). , Lem;rne 3 . Soient A u n annemj, n,oeth,ir7en, p c pi c . . . c p,-1 c q unc chafize saturie de lo~r,queurr d'id4aux premiers de A , 'hl 7rrl A-modîslc dc type ,fifini ct n. ,un, entier. S i le A - m o d ~ ~ lExtAp e ( ~ ( p My) ), est non nul, il: en est de n ~ 6 r r ~dc c E ~ L ; ; ~ ( K ( ~M) ,q ). Il siiffit 6vidcmrnent de traiter le cas r = 1 ; reuipla.ymt alors A , M , p et q par A,, M g , pAq et qAq respcctivemciit, on est ramer16 à tmiter le cas où A est local . x un élément de m* - p. Le Ap-inodiile ExtA(A/p, M) @A AP et où q = m ~Soit , (A, X, p. 11 1, prop. 10 b))! donc n'est pas nul par est isonmrplie L E x t t p( ~ ( p ) Mp) hypothèse ; n fortiofi Extz(A/p, M ) n'est pas rlul. La suite exacte

fournit inic suitc cxactc dc rriodulcs d'extensions

oii 11, est l'homoth6tic de ra.pport x. D'après le Iernrrie de Na,kagarna.,celle-ci n'est pas siir:jec:tive, donc le A-nmdiilc ExtA (A/(p :KA),M) ii'est p s nul. Ma.is le seul idéal premier de A contenant p zA est r n ,~donc le A-module A/(p :>;.A) M) kt,a.it nul, on en est de longileilr finie (VIII, 3, no 2, lcmmc 2). Si EX~,;+'(K~, déduirait, par réciirrence sur la longueiir de N , la niillit6 de ExtA' ' (NIhl) poiir tout A-niodule N (le lorigiieiir finie. Cet,te contmdiction achève la démonstration.

+

PKOPOSI'JYON 1 3 . Soient A -

71n

''

+

+

anmeau ,n,oethPvi~n,M rLrL A-rrrodrile de type ,firin.L,

p et q deux idéaux premiers de Supp(M) avec p c q . O n

n.

Plus prc:'ciséneent, po.ur toule chafne salure'e d'icrléuu:~ premie7.s p c pi c . . . c prPl c q , 071 LI. ~ I I ' u (h/Lq) ~~, I - ) I . u(My) ~~~ 7.. Posons p = profAp( h l P ) , et pr01ivor1s la srcor~deinégalité. Elle est évi+oo ; dans le cas contraire on a Exthp( ~ ( p My) ), -f 0 , d'oii dent,e si p

<

-

+

<

~ x t'l 4; + l ' ( ~ ( q ) , M # ~O) d'après le lemme 3, ce qui entraîrie profAq(M4) p t 7.. Cornrrie tlirrl(Aq/pAq) esl la borne sirpérieure cles lorigucurs des cliaîncs saturées d'idéaux premiers d'extréniités p et q la, prernière assertion cst uiie coriséqiirrice de la seconde.

COROI~TAJRF, 1 . On u 17ir~G,qulitG diin(M,)

-

prof,, (Mq) 2 dirn(Mp)

-

profhp(Mp) 2 O .

+

Ccla r h l t c tic la prop. 13 ct
COROIJATRE 2 . Soient A un u r m m l local noeth,c?rien,et M un A-m,odule de type ,fini. On u l'in6,qalit4 profA(M)< irif dirri(A/p) ptAss(M)

Soi1 p uri idéal premier associé à M ; or1 a profnp(Mp) = O (rio 1, rcrriarquc 2). La prop. 13 appliquée aux idéa,ux p c r n ~ fbiirriit l'i116galit6 prof,(M) dim(A/p) , d'où le corollaire.

<

1, no 4, rcrnarqiie 2) Remarque 2 On a h ~ p , , ~ ~ dirn(A/p) ,,(~) = tlirri(hf) (VlII, et or1 retrouve l'inégalité prof (M) ciim(M) polo 1VI # O (no 4, cor. 2 du th. 2) -

<

8. Anneaux noethériens localement intègres ; anneaux noethériens normaux la famille finie (II, 5 4, no 2, Soit A un mileau rioethérien. On ilote prop. I O et ri0 3, cor. 7 tle la prop. 11) tlcs cornposantcs connexes de Spec(A). D'après II, fj 4, no 3 , prop. 15, il existe pour chaque i un unique élériierit iclernpotent ei de A tel que Y i = V(e;) , et l'application ca.noniclue de A clans le produit des a.rmeaux A/Aei est bijective. On dit qiic lcs arnlcaiix quotients A/Aei de A sont les com,posan,ts can,oniques de A. Posoris f,&= 1 - e,, . On a C g,, = 1 et (f%),,,I Z€

1

est urie famille orthogonale d'idenipotcnts non nuls de A (loc. cil,.). Il en résulte qiie I1irria.gc:de f,,, thris A/Ae, est 6ga.l~à. 1 si j = i et à O si j # i ; on déduit donc dc l'homomorphismc d'anneaux A + A/Ae, im isorriorpliisrrie carionique

n 7

A f'

A/Ae, . D'après loc. c%t.,cor. 2 de la prop. 14, les conditions siiivantcs sont 6qiiivalcntcs : (i) les coinposarites connexes de Spec(A) sont irr6diictibles ; (ii) tout idéal prernier (resp. rriaxirnal) (le A n'appartient qu'a une sculc cornposante irrilductiblc dc Spec(A) ; (iii) tout idCa1 premier (resp. maximal) de A ne coutirrit qu'un seul idéal prernier minimal ; (iv) pour tout idéd premier (resp. rnaxinial) p de A , l'espace topologique Spec(Ap) est irréductible ; (v) pour tout cornposant carioriique C de A , l'espace topologiqiic Spec(C) est irr4ductible. i

Notons maintenant que si A est réduit, tous les anneaux A p sont rédiiits (II, 2, ri0 6, prop. 17) ct qii'iilvcrsernent, si l'anneau A, est rédiiit pour tout idéal inaxiinal m dc A , alors A est réduit (11, ji 3, no CI, cor. 2 (111 th. 1). Appliquant alors II, fj 4, no 3, cor. 1 de la prop. 14, ori déduit dc ce qiii pr
5

n

je J

que l'application de S p c c ( n A,,) daris S p c ( A ) associée à. u définisse un liornéoIE

.I

rnorphisrric de Spcc(A,) sisr la cwriposar~tecorinexe Y,,(,) de Spcc(A) ; on déduit alors de II un isorriorpliisrne di1 coniposar~tcanor~iquclA/Ac,,(J) sur A, .

Pi~orosrmoiu14.

Soit A lrrb nnne«.n. aoethkvlen. Les conditior~ss~uiuantessont : &q~~l.ridentes (i) A e s t 1~51uitcf intcri0 2, cor. 2 de la prop. 9. ct ccllr de (ii) et (iii) des remarques précédant la proposition. Soit p lin idbal premier de A ; il cxistc un nnique cornposant canonique A' de A tel qiic p a.ppa,rtieririeà la partie fermée Spec(A1) de Spec(A) et on a un isoinorphismc canoniqiie A p + ALA,. L'Cquivaleslcc de (iii) et (iv) résulte donc de loc. rit., no 5, cor. 1 et cor. 3 (le la prop. 16. TTn anneais A est tlil rro~rr~cll s'il est nocthkricn et qu'il satisfhit aux conditior~s bquiva.lerites (i) à. (iv) de la proposi1,iori 14. Un anneau noethérien est intégralement. clos si et sculerrient s'il est inlègre et normal. Uri anneau local normal est int6grwlenimt clos.

9. Profondeur et connexité

Lcrnrr~e4 . Soient A un anneau noeth&r.lfjn,F une partie fer~nnede Spec(A) , 77 170u,uertcorrlpl6rn,entaire, et u : M i N rm hornom,orphi.çme de A-rnwlules de type ,fini a) Supposons QU,? TC,, : M,, NP soit injectif pour to,ul p E U et qu'on ait profF(M) 3 1. Alors II, est injectif. +

b) Supposons que 7 1 , ~ : Mp -t Np soit bijectif pour tou.t p E U et q?~'onait profF(M) 2 2 et profF(N) 3 1 . Alom I L est bzjectzf. a) Les hypothèses irnpliqiient Supp(I<er u)c F , puis Homn (Km u,M) = 0 (no 5, remarque 1) ; on a. donc Ker IL = 0 . b) On sait déjà que u est injectif, et or1 a Supp(Cokcrl~)c F . D'après loc. çit., on a Honi* (Coker u,N) = O et ~xt;(Coker u,M) = O . De la suite exa.ctc des modules d'extensions HoniA(CokerIr, N)

+ HornA(Cokeru,Cokeru) + ~xt!i.(cokeru,M)

on t,ire HomA(Cokeru . Cokcr u ) = O , ce qui impliquc Cokcr u

= 0.

Rem,arque 1 . Soient A iin a,nnea.uriorth6ricn, F iine partie ferriiCc de Spec(A), U l'ouvert complémenta,irr. Pour qu'on ait profF(A) 2 1 , il faut et il siiffit qu'ou ait Ass(A) c U (remarque 2, no 5). Lorsque cet,t,econdition est satisfaite, chaque cornposante irréductible ite Spcc(A) rericoritrc? Ii, de sortje que 17 est dcrisc dans Spec(A) . THÉORÈME3 ( H a , r t s h o r n e ) .So%en.tA un, a71,nea.u ,r~oeth&en, F m e parLie &mLc

de Spec( A ) et U 1 'ot~,uertcorn1pl6m,en,taire.On sruppose yu 'on (L profF (A) 2 2 . Alors, pour toute corr~po.san,teconmeze Y de Spcc(A) , l'cnsenrble Y ri U est conn,eze et dense do;n,.s Y . Silpposoiis d'abord yuc Spec(A) soit connexe. D'après la remarque 1, U est dcrisc dans Spe<:(A) et il s'agit (le prouver qu'il est connexe. Raisonnons pa,r l'abIIS deux ouverts dis,joints Uo et Ul de Spec(A) , iioil vides siirde et S I ~ ~ ~ O S O dorn16s et de réuniori U . Corrnne l'ensemble Ass(A) est contenu dans U d'après la remarque 1, il est rérir~ion&,jointe de Ass(A) n Uo et Ass(A) n Ul . D'après IV, fj 1, no 1, prop. 4, il existe des itl6aux JO et .Ti de A tels que Ass(Ji) = Ass(A) n U i , Ass(A/Ji) = Ass(A) n Us-, ( i = 0 , l ) . Lc coiripl6mciltaire de U, daus Spec(A) contierrt Ass(A/J,,) et Ass(Jl-,) ; corrnnc il est fermé, il contient Stlpp(A/Ji) et = O ; cela impliqne S u p p ( J _ , ) . P a i r p E U,; on a ainsi (Ji)p = Ap ct notan~mentque .JO et JI sont clislincts de A . Soit B le A-inodule A/Jo x A/JI et soit u : A i B l ' l ~ o ~ r ~ o r n o r ~ ~canonique. l i i s ~ ~ i e D'après ce qui précède, l'honiomorpliisrr~euP est biject,iî pour tout p E U ; par ailleurs, on a. A s ( % ) c UoU U1 = U , doric prufF(B) 1 d'après la remarque 1. Le lemme 4 irnpliquc alors que u est bijectif, ce qui contredit la cormexité de Spcc(A) . Tra.itons le cas général. Soit J im idéal de A tel que V - V(J) et soit Y uiic composarite connexe dc Spcc(A). D'après II, 5 4; no 3, prop. 15. il existe un élément, idempotent f dc A tel que Y s'identifie à la partie Spec(Af) de Spec(A) . Alors Y n F s'idciitific à V ( J f ) ; on a. prof,,f ( J f , A f ) 3 profA(J ; A) 3 2 d'après la prop. 6, a.) tlii iiO 3. Il résulte de la première partie de la. d6nionstration que Y n U = Y - (Y n F') est connexe et; dcnsc dans Y .

2

COROT,T,ATRF, 1 . L'o,pplicn,tion qui associe ci chuque corn,posante corLrLeze de U son, a(lh.6renm d m s Spei:(A) est ,une bijectior~de I'e7rse7nble des cormposantes connexcs de U sur l'ensemble des composan,tes con,n.e.r;es de Spec(A) .

COROLLAIRE 2 . Pour tout anaea.u. local noeth,c.'rien, B de p r o f o n d e ~ ~3r 2 , l'espacc topolo,gique Spec(B) {lnB} est conmeze.

-

COROT,I,ATRF, 3 . Sous les h,ypoth,kçeç d v th,éorkrrt,e 3, supposorts que Spcc(Ap) soi1 irrédf~ctihle(rcsp. que Ap soit in,tk,gre) pour. t o u t p r U ; alors Spec(Ap) est irrédu,ctihle (resp. Ap est intègre) pour t o ~ r tp t Spcc(A) . Soit (Y,),,I la. farnille (finie) des cornposantcs irréductibles de Spec(A) . Soit p E U ; comrnc Spcc(AP) est irrkliictihlc, p contient un seul idéal premier minimal de A , doric ri'apparticnt qii'à une seule des Yi (11, jj 4, II" 3, cor. 2 dc la prop. 14). Les soiis-criscn~blcsY, n U sont des parties fermées de U , tlisjointcs, non vides puisque U est dense dans Spcc(A) , ct irrCtliicti1)lcsd'après II, 5 4, no 1,prop. 7 ; ce sont t3onc les coriiposaiitcs conrlcxcs de U . Lciirs adh6rcnces Y i sont les conqmsnntcs coriricxcs dc Spcc(A) (cor. 1). Cela prouve que les composarltes conriexes dc Spec(A) sont irri.diictibles, donc que Spec(Ap) est irrCductihlc poiir tout p (no 8). Supposoris rpe A, soit intrgrc poiir tout q t 7 7 . Soit p E Spec(A). Puisque Spec(A,,) est irri.diict,iblc, lc nilrudieal de Ap est l'uriiyue idéal prernier inininid de A,, ; il a,ppartient donc à Ass(Ap) (TV, ji 1, no 3>cor. 1 de la prop. 7), et pa,r suite est &al à qAp , o i ~q est un idéal premier ô.ssm:ii: à. A (IV, 5 1, no 2, cor. de la prop. 5). On a. q E U (rerria.rqiie 1) et qAq t Ass(Ag) (loc. cit.) ; puisque Ay est intègre, q est riiil, donc. Ap est intitgrc.

COROLLAIRE 4 .Soit A %r,r~ o,nn,ro,u noethérien dont le spect.re est conmeze. Suppof 3 2 pour tout idéal premier sons qu'il cniste urn entier d 2 1 tcl qu'on ait ~ r o (A,,) p de A de haule,ur > d . a ) Po,w t o l ~ t f ipartic fcrrn,c.'r Z de Spec(A) d e codirrrcrr.sion > d , l'espace Spec(A) - Z est c.on,n,c:xe. h) Soien,t Y ei, Y' des composantes i1~r6duct.lble.sdc Spec(A) . Il existe u n e .suite X i , X2,. . . ,Xr,, dc c o m p o s a ~ ~ t .i?~rCductl;ble.s cs de Spcc(A) telle que l'on oit Xi = Y , X,, = Yf ct, pour i = 1 , . . . ,n 1 -

Soit Z c Spcc(A) iinc partie fermée de codirriension > d . Pour tout p E Z,or1 a dim(Ap) > d , donc prof (Ap) 3 2 , ce qui irnpliqiie que profz(A) est 3 2 (ilo 5, prop. 8) et donc que Spec(A) - Z est conncxc (t;h. 3). Proiivorrs b). DCsigiloi~spar Z la réirriior~des erisernblcs X' n X" oii (Xf,X") parcourt l'cr~sc-rnhle(fir~i)des couples (le composantes irrCductibles de Spec(A) tels qiie codim(X1ilXIf, Spec(A)) > d . D'après a.), l'ciiscrrible Spec(A) Z est coiincxc. Toiitrs les wmposar~tesirréductibles dc Spcc(A) rericonlrerit Spec(A) Z ; lcilrs traces sur Spec(A) Z sont les composant;es irréductibles de Spcc(A) - Z (II, jl 3, 11" 1, prop. 7). Piiisqiio Spcc(A) - Z est connexe, il cxiste ilne suiLe X L . . . , X, dc coinposantes irréductibles (le Spec(A) telles quo l'on ait XI Z = Y Z, X , Z = Y' Z et ( X , Z) n (Xi+l Z) # 0 pour 1 9 , r ~ 1 ; autrerried dit orl a XI = Y , X , = Z et c o d i m ( X i n X i I , )G d .

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< <

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-

-

NO

10

A c X.19

PROFONDEUR

R e r r ~ w p e2. * Lorsquc A cst un armeail dc Macaulay, ori peut appliquer 1c corollaire avec d = l (5 2, ri" 5). , Exenrple (Intersection complète formée par quatre plans de coordoililées d'lm espace anine (le (lirnension 4). Soit k un corps. Notons S l'aiirleau de polynômes k[Ti,T2;T3,Tq] . R.appeloris (VIII, 3 2, ri" 4, th. 3) que toutc clia.înc rriaxirnale d'idbaux prcrriicrs dc S est de longucur 4 . Notorls m l'idéal de S erigeritlrC par par TITa el T3T4,e1 p,, , pour 1 i < j 4 , l'itléal les T,, a l'itléal er~ger~dré engendrt: par T, et, T, . Les idéaux py sont premiers de hailleur 2 , leur somme est, l'idéal maximal m el l'on a. a = pl? ii n PZ3 n PZ4. a) L'anneau A = S/a est réduit ; les composantes irréductibles de Spec(A) sont les ensenlbles Xij = V(p,,/a) pour i = 1 , 2 , j = 3 , 4 , qui sont de dimension 2 et cor~tieririenttous le point m/a . En particulier, Spec(A) est connexe et de tlimerlsiori 2 . L'intersection de tleic; cornposailtes distinctes XZj et X k l est rédiiitc à {m/a} si { i ,j ) n {k,1 ) = @, de dirncnsion 1 sinon. 11 cn résulte que la coiiclusion du cor. 4 est satisfa,ite avec d = 1 (nous verrons plus loiir que A est un anneau de Macauhy, de sorte que llhypoth&set h corollaire 4 est clle-inênlc satisfait<: pour !o - 1). 1)) Nolons b l'i(lka1tle S er~ger~dré par TITz; T1Ty,T2To. TYTI,el, B I'RIIII~RII S/b . On a b = ~ 1 4 ~ = 2 3p l 4 n P z : ~ .L'anneau B est réduit. Son spectre s'identifie à. la partic ferirrée Xlg U XZ3de Spcc(A) ; il a. deux coirlposa.ritcsirrCductibles (dc dirr~crisior~ 2) dout l'irltcrscctior~cst rkluitc u r ~point. La. profor~tlcurtlc B lc long de ce point est strictement posit,ive car B est rbdiiit, et inférieure ii 1 d'aprts le th. 3, tloric égale à, 1 . " Airisi B n'est pas iin ariiieau (le Macaulay-., -

<

<

10. Profondeur et normalité

Soierit A nri anneau iioet1.1Crieri et p im idéal premier de A. Ori a prof (A,,) ht(p) (no 4, cor. 2 du th. 2). Si tlc plus A est rCrluit, l'a.nr~caulocal Ap est réduit (II, 5 2, ri" 6, prop. 17), ce qiii entraîne : a) si ht(p) = O , Ap est un corps ; h) si tit(p) 2 1 , on a prof (Ap) 2 1 (no 1 , rerriarque 3).

<

P R O P O S T 1' ~5T ~ . Soit N A ~ L T L anneau noethérien .sati
hiemmryuc. 1. TJne forrrre corriinode du th. 4 est la. suivarite : soit A lin anneaii rioethbrien. tel que pour tout idGa1 premier p de A l'aimeaii Ap soit intégralerrirnt clos oii de proforidour 3 2 ; alors A est normal. VCrifions en effet les hypothhses du th. 4. Soit p t Spec(A) . Si ht(p) 1, alors on a prof (Ap) 1 , doric Ap est intégralement clos. Si li(,(p) 3 2 , l'anncaii Ap est soit de probiitlciir 3 2 , soit int,égraltnient clos, cr qiii implique erlcorc prof(Ap) 2 (nu 1, cor. 2 de la prop. l ) , d'où la concliisiori cherclréc. 011 vérifie tlc mCmc l'énoncé suiva.nt : soit A iin mneaii noethérien tel que poiir tout idéal preniier p de A , 1';mneaii Ap soit réduit ou de profondeur 3 1 ; alors A cst rGtfui1,.

<

<

>

COR.OLLAIRE 1. Soient A u n anneau northérien, F 7me partie fwrnkt: de Spec(A) , IJ l'o,i~vert~orri,plr'rrrcr~taire. O n suppose quc profF(A) pst 2 2 (resp. 2 1 ) et po,w timt p t U , 17cmneau Ap est intégralem,ent clos (resp. r d u i t ) . Alor:s A e.st n.orm.ar! (resp. rkduit). Pour tout p E F : on a prof(Ap) 3 profF(A) (no 5, prop. 8) ; il suffit donc d'üppliyucr la rcrriarque précédente. -

COROT,J.ATRE 2 . Soit p : A

> B u n homomorphisrne d'annea7~:rnorthkriens fuisnrrt de B un, A-modulc plat. a) Si B est rtormd et fidèlement plat sur A , A pst n,orm,nl. b) Su,pposon,s que A soit n,omml rt que 1 'arcneaa ~ ( p@A ) B soit r~ormalLOI-sqzre p est 767b idéal premier rnin,imnl de A , et rr'duit lorscrue p est TUA,idka1 premier de h,auleur 1 . Alors l'anneau B est normal. a) Siipposons G normal et fidèlement plat sur A . Alors p est injectif (1, 5 3, no 5, prop. 9) et B est rbdiiit;, donc A est réduit,. Soit S l'criscn~blcdes éléments de A non diviseiirs de zbro. Puisque R est p1zi.t sur A , p(S) est formé d'éléinents rion divisciirs de zéro dans R , de sortc qiic B est in1,égralenient fermi. dans p(S)plB. Soit z un Clément de S-'A cnt,ier silr A ; illors l'éléincrit x Q3 lB de l'anncaii Sp1.4 @A B (qiii s'identifie à p(S)plB) est er~ticrsur B , donc appartient à U . Puisque B est fidklement plat sur A , or1 a z t A (1, 8 3, ri0 5>prop. 10, (ii)), et A est normal. b) Sous les hypothkses de b), il suffit d'aprks la. rcniarque 1 de prouver qiie poiir tout idéal preniier q de B , l'arlrieau local Bq cst normal ou de proforideiir 3 2. Notons p l'id4a.l prerriim p-' (q) de A ; l'homoinorphisirie local Ap 4 Bq déduit dc p fait de Bq i i r i Ap-module li(1èlement pla,t (1, 5 3: rio 5, p o p 9). Distinguoris qua.t,re cas : 1) M(p) = O . Alors Ap est lin corps, égal à ~ ( p ;)I'aiineaii Ap @,y B est nornid pa.r kiypothèsc:. Il cr1 rsl de même de U,; qui en est un amical1 de fractions. 2) iit(p) = 1 et ht(q) 1. Alors Ap est un a,ririea.ii clc wliiirtion cliscrèle ; soit IT mie uniforn~isantcde Ap . Puisque Bq est. fidklernent plat, slir A,, , l'élément -mle, (le Bq n'est pas diviseur de zéro? de sortc que l'annean local Bq/.rrBq est tlc tlirr~erisioilO (VIII, 5 3, ri" 1, cor. 2 ctc la prop. 1). 11 est réduit, puisque c'est un anneaii de Gactions de 1'a.nrieau r6duit ~ ( p ) B ,et pa.r siiitc: c'est iin corps. Par conséqiie~itBq est un anncaii de valuation discrèt,e (VI, fj 1, ri0 4, prop. 2), donc intégralerr~cnlclos.

<

-

3) Iit(p) = 1 et Iit(i1) 3 2 . Alors, d'apri,s la relation

(VIIT, 5 3. no 4. cor. 1 de la. prop. 7), l'aimeau ~ ( p @ ) A Bq est de tliir~erision3 1. 11 est rbdiiit par hypotlièsc, donc dc profoildcur 3 1 (no I , reriiaryue 3). 011a. alors (ri0 Ci, cor. de la prop. 11) prof (Bq)= prof (Ap)

+ prof ( ~ ( p @A ) Bq) 3 1 + 1 = '2

4 ) ht,(p) 3 2 . Puisque A,, est (le profoiidcur de r r i h e de I3, d'après loc. k t .

3 2 (cor. (le la prop. 16), il en est

COROLLAIRE 3 . Soi1 p : A - > B wi J L O ~ I I , ~ ' ~ ~ L O ~ I Ld'an,n,cnu.~: ~ . S I ~ I , ~ noethG7.i~r~s. on, ~ p que / ~ ( p @*B ) est normal suppose que B est un, A-7nodl~leplut, qrra A est .rao~rn,(~,l porrr tout p E Spcc(A) . Alors B est nor,~r~ul.

5 2.

MODULES ET ANNEAUX MACAULAYENS

1. Modulcs macaulayens

Soient A u r ~ar1nca.u noetl-lérien, M un A-niotlilln de type fini et p un idéal prcniier de A . Si p $ Supp(M), on a VIp = 0 , donc profA,(M"lp = ++00 et dimi\, (M,,) = m . Si p E Si~pp(M); on a O 6 profA, (Nip) 6 dimAp(Mp) < +cc (5 1, il0 4, cor. 2 du th. 2). DÉFINITION 1 . S o i m t A un, anneau noethL,~ienel h4 un A-rrc.odule de type fini. O n dit que h4 est r ~ a c a u l a y mou est ,un rr~«&i~lede Macaulay si, pour tout idr:'ul m a z i m a l m E Siipp(M) , on. n prof, , (hl,,,) = dirriAm(M,) .

D'après cc qui précède, il revicr~tau même de dire qu'on a. profA,,,(NI,) dimi\_ (Mm) pour 1,oul idéal nmxiinal m de A . Soit A un anneau local riocth6rien ; pour qu'un A-module riori 11111 dc type fini soit macaulayen, il faiit ct il suffit qiie sa proîondeur soit Cgale à sa diinension.

Ezenzples. 1) Tout A-rnodulc de longueiir finin cst rriacail1;zyeu. 2) Soit M' un soiis-module facteiir direct d'iiri A-modille de type fini rnacaiilayen M . Alors M' est ma.ca.iilayen ; en effet,, p m r t,oiit idt;al maxirrral nx dc A , le A,-rnodulc M:, est facteur direct de WI,, et on a par cons6qi1erlt

d'aprks la remarque il- du ji 1, no 1 et VIIT, ji 1, no 4, prop. 9 c). 3) Soicr~tM un A-module de type fini et ma,caiilaym ct ( a ,.,. . ,z,,) une suite 141-rbgulière d'éléments dc A . Alors le A-rnodiile M/(T~IVI . . . z , M ) est, rnacaulayen. Soit en cffct tn un idéal maxirnal dc A appartenant au support tlr ; or1 a 2 , E m pour tout 1; puisque ri anni& M , et les images canoniqi~esdcs zi d a m A , forinent une suite M,,-rCguliCrc d'élémei~tsde mA, . On a par conséquent (5 1, 11. 4, prop. 7 et VIII, 5 3, no 2, cor. de la p o p . 3) les égalités

a-

-

+

+

a

d'où riot,rc asscrlion. 4) Soicrlt M un A-module de type fini, et a un idéal de A tel qiie aM 0. Pour que le A-module M soit rnacaiilayeii, il faut et il suffit qu'il soit rnacaulayen comme (A/a)-modulc. En cffct, posoi~s B = A/a ; soierit n un idéal maximal de B et m son irnage réciproque dails A ; on a diinAm(l\/l,) = dirriB,,(h'ln) ct profAm(M,,) = profB,,(M,,) (5 1, no 3, cor. de la prop. 4).

-

PROPOSITION 1. Soierit A UTLTLCU'U ,not:tJ~é~i~n, M un, A-module de tvpr fini, p et q des idéaux p,remiers dc Supp(M) Lels que p c q . Supposons et dinlA4(Mq) = profAq(Mq). 09~u a1or.s dirnA, (MW)= profA, (MI)) -

Ccla résulte dircctrment du cor. 1 de la prop. 13 di1

5 1, no 7.

COROI~LAIR So%ent E . A un.anmeau n,oeth,Cri~net M un, A-m.odde dp type ,fini. : Les conditions sui~iantessont éq~~,iualentrs (i) le A-module M est niucauluyen ; (ii) on a pl-ofA,(Mp)= diin*, (Mp) pour tout p E Supp(M) ; (iii) on. a profF(M) = c»dim(S~~pp(RII) n E', Supp(M)) pour toute partie fermée F de Spec(A) ; (iv) or!. u pïoîA(p ;M) = (limAp(Ntp) p o w tout p E Siipp(M) . (i) + (ii) : cela rGsultc de la proposition 1 . (ii) (iii) : d'après la prop. 8 du 5 1, no 5, profF(M) est la home infkrieure des entiers prof (Mp) pour p pürcourari(, Supp(M) n F . Si hf est rnxa.iilayen, or1 Siipp(h4)) a pour un tel idéal p les kgalites prof (MI)) = dini(Mp) = (:odirr~(V(p), (V111, 8 1, no 4. prop. 9), d'où (iii). (iii) =+ (iv) : il suffit de prei~dreF = V(p) . (iv) + (i) : cela. ri.siilte des inkgalités profA(p;M) prof (NIp) dim(Mp) va,la,hlespour tout. p t Supp(M) (5 1 >n o 5, remarque 3 et no 4, cor. 2 du th. 2).

+

<

<

R e m a r q u e . Soient S une partie multiplicative de A et M un A-module de type fini et rnacaiilayei~.Alors S-lM est un S-'A-module rnacaulaye,yeii.En cffet, soit q E Spcc(S-'A) ; not,ons i: : A + S-'A l'hoinomorphisrne canonique et p = (iz)-l(q). T,'anncau (S-lA)q s'identifie à Ap (11, 5 2, ri0-5, prop. I l ) , et lc Ap-modiile (S-'M), ail Ap-module hlp (II; 5 2, no 7, prop. 2O), qiii est irlacaiilayen d'après le corollaire.

2. Support d'un module rriacaulayen PROPOSIT~ON 2 .Soient A 7rn anmeau nmethérieri et îvî un A-module de tljpe jin,i et m.acaulayen. a) Le A-module M n'a pas d'idhm: prrm.ier.s a~sociési,rrim,crgé.s.' b) Soicn2 X unc purlie ferme'e irréduc~iblede Supp(l\/l) et Y I ~ F pwt%e : ff:rrn,é~ de X . O n a

Rappelons (cf. IV, fj 2. no 3 , remarque) qu'on dit qu'un irl6al premier associé a M est immergé s'il n'est pas im élément miriirrial de Siipp(M). Dire que M n'a pm d ' i d h i x prririirrs associ6s in1niergi.s signifie donc qur les idéaux prcinicrs associk dc M sont les éléin<:iits rriiriirnaux dc Supp(i\;l).

NO

2

M»l>CiT,FS FT AlLNEAUY MACAULAYENS

AC X.25

d) Soient XI et X2 des corn,po.çanbe.s i7-rCduc1,ibleç de Supp(M) ~t Y u n e pwtze Jerme'e de XI n X2 . O n n codirn ( Y ,Xi) = codirri(Y?X2) . a) Soit p E Ass(b1). On a prof,(p ; M) = I) (5 1, no 1, remarque 2), donc tiirrl(Mp) = O (no 1, cor. tlc la prop. l ) , ce qni implique que p est un élénient, . n~irlirrlal(le Si~pp(M) t)) Siipposoris d'abord Y irrédiictihle. Soierit p et q les itléailx premiers de Siipp(M) tels qu'on ait Y = V(q) et X = V(p) . Il résiilte (le la. prop. 1 que l'on a

Le cas général résultc dc VIII, 5 1 , ri0 2, remarque 3. c) Soient X , Y , Z dcs partics fcrm6es irr4diicLil)les de Siipp(M) telles que Z c Y c X . La codinmnsion de chacune de ces parties dans Supp(M) est finie (VTII, 5 1: 11" 4: prop. 9 et ji 3, no 1, cor. 1 dr 1ii prop. 2). On déduit dors de h) l14ga1itC codim(Z:Y) corlim(Y, X) = cotlinl(Z, X)

+

qui ciitraîr~t:c) (VIII, 1, ri" 2, prop. 4). d) D'aprk b), or1 a codirn(Y, X I ) = codim(Y, Supp(M)) = (:odirn(Y,X2) . En particulicr, s'il existe un A-rnothile M de type fini, nlacaulayeii, de support Cgal 2.Spcc(A) , 1';mrieaii A cst cat61ia.ircet par c:o~iséqiieiittout anneau de fractions ou toiil a11nca11quotient de A est ca,tén;i.ire(VIII, 5 1, no 3, remarque 2). Rernarq.uc 1 . Sous les hypothèses de la prop. 2, il peut a.rrivcr que deux cornposautes irréductil~lcsXI et X2 de Supp(M) aient iirir intersection Y réduite à un p i n 1 et que l'on ait dim Xi # dim X2 et diin Xz f codiin(Y, X2) ( c f . exercice 4). Ceperidant ceci ne peut arriver lorsque 1'a.rmea.u A est local, cornme le montre le corollaire qui suit.

COROLLAIRE Soier~t . A u n n m e ( m local ~wethé?acnet M u n A-module de type ,fini n o n nul et rriaca.ulayenl. a) Toules les ch,aines maximales de parties fermées irréductibles de Supp(M) sont de longuc,ur &,galeà dim(M) . h) Pour toute purtic fe~.me'e X de Supp(M) , o n a

c) Toutes Irs composanles ir~éductiblesde Supp(M) ont la r r ~ h edimension. d ) Pour tout ide'al J de A , or1 a prof, (J ; M) = dirii(M)

-

dim(M/JM)

a) Une c M n e rnaxirrde de parties fermées irréductibles dc Siipp(M) a pour plus petit élément {mA} et pour plus grand élément une composante irréductible X dc

Si~pp(Ib").Sa longueur est égale à la codinicrisiori de {mA) dans X (prop. 2, c)) ; d'après la. prop. 2, b) appliquée aux partics fcrinées {mA} c X , crlle-ci est égale à (:otlini({mn), Siipp(b1)) . c'est-a-dirc a dini(M) . 11) C'cst iinc conséqilence de a.) lorsqiie la partie X est irrCdiict,ible (VIII, 5 1. no 2, prop. 5) ; le cas gér~éradrésiilte de VIII, § 1, no 1, prop. 1 et 5 1, ri" 2, remarque 4. c) C'est ime conséqueilce de b). d) On a profA(J ; M) = codiin(Siipp(1Vl) n V(J) , Supp(M)) d'aprks le cor. de la prop. 1 du no 1. Il suffit alors d'appliquer b) avec X = Siipp(M) n V(J) = Siq)p(M/JM) (11, {j 4, ri0 4, cor. de la prop. 18). Rerrlarque 2 . Soicnt M 1111 A-rnodule de type fini et niacaiilaycii, ct p un éléineilt de Supp(M). Compte tcnu du 111. 2 du 5 1, no 4, on a. profA(p; M) < +cm,et il existe une suite h1-régulière dc lorigueilr prof* (p ;M) fornl6e d'élémerits de p. Notons J l'idéal de -4 engericlrk par uiic tclle s u i k ; alors le A-rnotlul~M/JM est niacaillayen (ri0 1, exemple 3) et p est un élémerlt iniriirnal de son siipport. En effet, p contient J donc appartient au support de M/JM (II, ji 4, no 4, cor. de la prop. 18) ; d'après le corollaire 1 du théorème 2 du !i 1, rio 4, l'itléal p est contenu dims un élérneiit de Ass(M/JM) , inais toiit idCa1 prcrnier associé k 1ni rriodiile de type fini macaiilaycn est iiri é1Arrient minimal de son si~pport(prop. 2).

3. Modules macaulayens siir un anneau local

PROPOSITION 3. Soimt A un anmenu local noethérien, M un, A-module n,on n d de typc Jrri ei, il lu ciirrcrnsiorl. de A?. Les con,ditior>ssuiua~ztcssont dqui.ualcates : (i) le A-,rr~odnleM est rn,acau,lqje71,; (ii) or&u prof (M) = d ; (iii) on a Ext; (K*: M) = O pour to'ut er~l'leri < d ; (iv) on a ExtA (N, Xsf) = O p ~ u rtout . A-,module N de lor,y.rreur&ie el IouL entier. i < d ; (v) o*n n Ext",(N,M) = O pour tout A-rr~odule N de typc fini c i tout crrtier i < d - tliin(l\/l @A N) ; (vi) il ezrste uri.e ~7LZteM - r ( g ? ~ l i èd'éléments r~ de in^ de longrrcur d . La condition (i) équivaut 5 llkg;clitC proS(h/l) - d , c'est-Mire 2 la. condition (ii). oii encore à l'inéga,lité prof (M) 3 d , c'est-A-dire à (iii) et à. (vi) (5 1, il0 4, th. 2). Tes implications (v) =+ (iv) ct (iv) + (iii) sont kvidtmtes. Enfin, supposons M rmcaiilayen et soit N un A-rnodiilc (le t,ypc h i . Posoris F = Siipp(N) ; d';r.pri:s II, fj 4, no 4, prop. 18, or1 a Siipp(M) n F = Siipp(M N) ; de sortc que -

(ri0 1, cor. (le la prop. 1 et no 2, cor. de la prop. 2). L1iiiiplica.tion(i)J (v) r6sillLe alors de la rcrriarqiic 1 dii 5 1, no 5.

NO

3

AC X.27

MOI)IJI,ES 1,:'i' A N N E A U X M4CAIJLAYENS

Nous dirons d m s la suite de ce iiuriiéro qu'un rnodule M dc type fini sur lin a.rinea.u local rioethbrieri A cst p,ur si, pour tout idCa1 prcinicr. p associé à M , on a tlirn(A/p) = dirn(hf). Ccla. sigriific: aussi que hI rr'a pas d'idbaux prcmiers associés immcrgbs et
-

Soient A

WL

UTL'ILÇUPL l o ~ u no~tliér~e~ra~ l M I L ~ LA-,modt~Iedc

tqpe fin111~t

. Les conditioras swi.ua?rte.s sont kyu%valen,tes: (i) on (1, dim(M/zM) = dii.ri(M) - 1 ;

ptr; r t :>: un Alkm,ent de mA

(ii) l'homothétie XM cjst injectêm. On peut supposcr M non nul. T,'assertion (i) bqi~iva,utau fait que z ii'a.ppai-~ k l s quc dirn(A/p) = diin(M) ticnile à. aucun des éléments 1niriirria.u~p ( 1 Supp(M) (V111, 5 3, ri" 2, prop. 3) ct l'assertion (ii) bqiiivimt a.ii h i t (pic: 2: ':~'apparl,ierriicà nucuii tics idbaux preriiicrs associés à M (IV, 5 1, no 1: cor. 2 dt: la prop. 2). Pirisque M cst pur, ses idéaux premiers a,ssociés sont les Glkments rninirnaux de Supp(M) , donc (i) et (ii) sont équivalentes. Soicnt A uii nniieau local noethérier~et IV1 un A-rr~otlilleriori nid (le t~ypc:fini. R.appcloris (VIII, 5 3; rio 2) qu'iine siiitc (:cl,. . . , r,) d'616rncnts dc ma est dite sdcanlc pour NI si l'on a. dirn(M/(:rjM . . . z,.M)) = dirr~(M)- r .

+ +

P n o r o s r n o ~4.

Soicrct A un, anneau local n;oeth,ér.ien,, R.1 un, A-rr~,odalcrron nul de 1gpe ,fini et (:ci, . . . , z,.) une sr~ited'déments de rn* .skc«mte po,ur. M . Lcs cordii,io~lssuivantes sont ép~,irialent~s : (i) le A-rr~,od,uleM est mncaalayen ; (ii) la suile ( x i ,. . . , x?.) cst M-réyulière et le A-rizorEde M / ( z l M . . . -t:c,M) est ,rrlaçanla:yer~. Siipposoris que la suite ( x i , . . . , z,) soit M-régulière. 011a alors

+

prof (M) = r

+ prof (M/(xIhl + . . . +

7, M))

1, ri" 4, prop. 7), d'où l'implication (ii) + (i) Siipposoris le &riodule i\.I inacaillaym et démontrons (ii) par r6r:urrerice sur r . L'asst~rtior~ cst i.vitleritc si r = O . Si r 3 1, le A-rriotliile N - h'l/(:rlM+. . .+z,M ) est rriacaillqwr par l'liypotl~i.scde rbciirrtnce et l'on a diin(N/:c,N) = diin(N) - 1 puisque la suite ( z l , . . . , z,) est séc;inte ; l'homothétie ( z , ) ~ est donc irijective (leriirrre l ) ,et N/z,.N est rriacaulayen (nu 1, exemple 3), d'oh (ii).

(5

,

1 . Soient A un crnneau locd noeth&ien, M u,n A-rnodr~knon T M L ~ de Lypc ,Jirri, d la dirrsenxio,~,de M , x = (rl,. . . , z d ) I ~ mite P d'klPrn,~n,lsde ma .s6(:rr,?rlkpo'w M , ct J l'ide'nl qu'elle engen,dw. Les corbditiorrs suivantes smf 6 p i -

I O R I E

, ~ I ~ I I C ~:L ~ C S (i) lc A-rr~oddeM psi, ~nacc~.ula?jcn ;

(ii) la swite x est M-r6,gulière ; (iii) lu suite x est corn,plètem,en,tsCcmte pour. M ( A , X , p. 157, déf. 2) ; (iv) la mnltiplicitk (VITI, 5 7 , no 1,d6f. 1) e.,(IVI) de M relativcm,cnt ci 1'idGal J est égale h la longue,ur du A-module M/JM ; (v) pour chaque entier i tel que 1 i d , le A-rnodule M/(z 1 M . . . ziPilCI) est pur.

+ +

< <

L'éqiiivaleiice de (ii) et (iii) résulte dc A, XI p. 160, cor. 1 du th. 1. Le A-rnodulc M/JM étant de longi~curfinie (VIII, 5 3, no 2, l,h. l ) , l'équivalence de (iii) et (iv) résulte de VITI. 5 4, no 3, prop. 4 et no 4, th. 3. Il reste à prouver 1'Cyuivalerice de (i), (ii) et (v). (i) =+ (v) : si M est, rnacaiilayeri, cliacur~des modules M/(ziM est niacaiilaycn (prop. 4), donc pur.

+ . . . + z,-1 hl)

(v)+(ii) : cela résulte du lemme 1 a.ppliqii6 à. chacun des rnodilles M/(xiM . . . z ,,,-lM) .

+ +

(ii) =+ (i) : cela. r6sultr de la. prop. 4, piiisqiic M/JM est de longueur finic, donc rriacaulayen. 4. Partics fortement sécantes et quotients d'un module rriacaulayen

Soient A lin anrieaii noethérien, M un A-modiilc dc typc fini, et S une par lie de A. Conformérncnt aux conventions du ch. VIII nous notcroils SM lc sous-niodide C SM de M , et 8 l'idéal de A cngpridri. par S . ses

Lernmr 2 . Soit

i l'image de

Lorsque dc plus S M

# M,

8 dans A/ Ariri(M) . O n a

(XI, (1,

ht(g)

< Card(S)

Notons a l'annula,tetir dc M . D'après le cor. de la prop. 18 dc II, 5 4, no 4, lc support dii A-module M/SM est V ( 8 a ) . Sa.codirnension dans Supp(M) est donc égale à la codirimwion de V ( 8 a) dans V(a) , soit cricore à la codiiriension de V ( ( 8 + a)/a) dans Spcc(A/a), qui ri'est autre que la hauteur de ?!?.

+

+

<

Siipposoris SM # M ; l'inégalité ht(?!?) Card(S) est évidente lorsqiic S cst infinie, et résiiltc de la prop. 4 b) de VIII, 5 3, no 3 lorsqiic S est finic.

DEFINITION 2 . Soient A rLn anneau noethérien,, M 'un,A-rrioduk dc tgpe Ji7Li, e l S une partie finie de A . O n dit que S est fortement sécan,te pour M s i l'on a

Rerncirq.ues. 1 ) Toutc partie finie S de A telle que SM = Mi est forterrrcrlt séc:a.rit,c pour M . Lorsqi~c SM # h l , il résiiltc dii lcrnrne 2 que pour qile S mil. forteiilcnt shcnntc pour M , il faut et il siiffit qii'on ait Card(S) = (:otlinl(Sirl>l,(M/SM),Siipp(M)): ou encore h t ( g ) = Card(S) . 2) Si l'anneau A eit local et Ic. ïriodulc M rior1 rlul, toute paitic S de ni^ forternerit sécantc polir Wl cst ii.t.xitr pour M . Er1 c~ffet,coinrne le A-ilioclulc M/SM cck rlon nul, on a -

(VIII, $ 1, r i 0 2. p r o p . 3 a ) ) , d'où riotic assertion.

PROPOSITION 5. Saien,t A ,rrn n r m n u rrocth,6ri,err,, M un, A-rrrodr~le d c &~pe, f i r i ! et S unTepartie jinrir dr A . Lp.9 conditioras ç1ri~inrr1.c~ son,t 6qui,ti&nte.s : (i) la pcwtrc S d e A r d Jol-terrtcnl, sécan,te pour M ; -

(ii) pour tout é l h e n t p dc Siipp(hf/Sh'I), 1'upplicut.ior~eunoniq?~cA Ap in,duii, une Oijection, dr S slrr une partie d e pAp s6cunlk poi~rMy . (i) + (ii) : Soit p E Supp(M/SM) et soit S1 l'image de S da.ris .Ap . L'eiiseml~le SI cst coritcrlii tiaris l'idéal nlaximal pAp , et l'on a. - )

<

(V111, P; 1: il0 4, prop. 9). T,'iriégalité Cartl(S) codirri(Silpp(l\il/SM), Supp(M)) cl la prop. 3 h) de VIII, 1, no 2 eiitra,înmt les relatioris

< codirn ( ~ ( p S) ,u p p ( ~ ) =) dirn(Mp) Corrinic Mp n'est pa,s ni11. ou a d'autre part diiri(l\/lp) < Card(S1) +- tlirii(R/lp/SIM,) (VIII, 5 3, no 2, formile (8)). La. contlitiorl (ii) d6coi1lc alors dc l'inégalité Card(S1) < Card(S). Card(S) t dinl(iClp/SIMp)

(ii) =+ (i) : 0x1peut supposcr Shf # M . Si la, condition (ii) cst satisfaik, oii a pour tout idéal premier p de Supp(M/SM)

ce qui entraîne (i) par passage

A la borne

infbiieure.

C O R O L L A I RSoient E. A u n urmeau noethérien et M ?in A-modr~lede type ,firvi. T o u k s ~ ~ i M-r6,quli?i~c te est forfernent sbcante pour M . Soirnt x une suite h/l-ri.giilière, ct J l'itléal tic A qi'cllc crigcndrc. Pain tout idéal premier p E Supp(M/JM), l'image de x dans Ap cst ime suite Mp-régiilibre tlli.lhmcrits tltx pAp , donc urlc suite séca.ilte pour Wlp (VIII, P; 3, 11" 2, cor. de la prop. 3). P R ~ P O S I T6.I ~ NSoient A u n annmm nocth,6rirn,, M un A-rn,od.uk rrrcrcawlccycr~de type fini, et S une partie Jinie de A fortem,mt s&can,te pour M . Alors le A-ruoduile M/SM rst macauluyen.

5. Anneaiax de Macaulay

p l 1 ) Tuiit ;i.r~iicu.u arl,iriic:r~esl, i i i i aiineaii (Ir Mii.c:n.iila,y(ri" 1, cwrnplc 1 ) . 2) 1Jri i~.ri~it~aii dc i\!la,ca,iilayrie possPtir pas d'id6aiix premiers associés iruii~rrgés (ri" 2, prop. 2). Tnvrrseirierit, soit A lin arincau rioeth6rien tlp diirierisioil 1(pi n c possPde 1)ii.s tl'idbai~xprernicrs associ6s immergés ; 11oiir toute partie fiiiic rioii vidi~fortriricrit. s<:<:i~.rit,e S dc A , le A-rii»tliilr A/SA est de diir~cnsioil 0 ; doric rria.ca.iila,ycri(il" 1. cxrrriple 1 ) ; par siiitc A cst un aririra.u de Mxaulay (II" '1, i,h. 2). Er1 p:i.rt,ic~iilirri i r i aririra.ii ilocthbrien réduit tir diinension 1 est im arrricau de ~ I i l , ( ~ i l , il 1l 1y 3) 1111 nniican uocthérieii norri~aldc tliinciision 2 cst un a,rirliTautlc Macwilay (5 1, II" 10, texte pi-écklarit Ic th. 4). Iilvcrscinerit, soit A 1x1 a.rmc;~utlc: Macaillay dont I'a,ririeau local A,, cri tout idéal prcmier p tlc 11:~utciir 1 est, i~il,kgralenie~~l, clos ; alors A est riorriid ( 3 1, ri" 10, t h . 4). E

-

<

<

<

<

<

NO

5

MODULE5 ET A N N E A I J X MACAULAYENS

Ac X.31

4) Si A est im ailneail de W[acaulay, il en est, (le même de S-' A pour toiitc partie milltiplica,tive S dc A (no 1, remarqile). Inversernerit, si l'arlrleau A , est, lin annem (le Ma.ca.i~leypolir t,oilt idéal rrnaxirrial m de A , alors l'anriea~iA est de bTa.ci~.iiIa,y (no 1, d6f. 1). 5) Soicrit A 1111 almea~irioelliérien et .J un idéal tic A . Pour que A/.J soit un mr1ca.u tlc Macaulq, il Sairl et il suffit q ~ i ccc soit in1 A-modulc rnacaulayen (ri" 1, cxeruple 4). 6) Soient A un anneau local noethérien ct J iin idéal de A ei~grildri:par iinc siiitc A-régulière. l'our que A/J soit lin aiiiicau de Macaulay. il faiit ct il suffit que A en soit i i r i (excrnplc 5 ct prop. 4 du no 3). 7 ) Pour qii'uri anrmm local noethérien A soit de I\ilncaiilay, il faiit et il silffit qu'il possède 1111 idéal dc dbhition engeritlri: pa.r iirie siiit,c A-r6giilikre : cela résulte de la prop. 3 du no 3, et du fait qu'une siiite A-r6giilii.re d'élénrents (le m~ eirgendrc un idCa1 de définition si et seiileinent si cllc cst de longueur dirrr(A) (VIII, 3 3, 11" 2, th. L et cor. tle la prop. 3). En part,iculier, tr«ut ô.ririea.iilocal rloct,ll6rinn régulier est un a.inleail (le l\Iacaiilay (VITT, 5, rro 2,tli. 1 ). Plils g6ni.ralcmcnl,, le quotient d'im arincaii local northérieri rbgulier A pa.r un id6a.l engendré par ime suite A-régulikrc est un anneau de l\lacaiilay (cxcinple 6).

P n o p o s r ~ ~ o7.x

Soit A , M L U , , I I , ~ L ~ O , Tn,oethkrien. I, Lcs corl,dit.io,rr.s s u i v m t e e sont kyutualerctes : (i) A est wr an'n,,e~,11de Macaulay ; (ii) pour toute partir frrm,ée F de Spec:(A) , on II. pr»fF(A) = codiin(F) ; (iii) tout idkal J de A con,lsen,t m e suite A-,rC:guliZ:re dc longuerw 111,(J) ; (iii') bout idbul ma;rirrr»,l in dc A con,tieni u n c suitc A-r6gsslii:rr: de lorrgueur Iit(m) ; (iv) pour tout idkal .J d e A ; osrr (1, ~ x t " n ( h / J A) , = O po211. i < ht(J) ; ( i d ) por~rt m ~ idéal t , I I ~ B Z ~ V Lin C I , de ~ A , on a ~ x t , i ( ~ /Am ) ,= n p o w i < Iit,(m) ; (v) powr tout i d k d prc,rrrler p de A el Lorrl, i d 6 d J de Ap crcgcrrdr-k par Irrte m i t e skcante maximale p o w Ap , on (1, f;j(Ap) = lor~g(h,/~JA,); (v') poul t o u t 'idbal rn,azi7nml in de A , il existe .un idércl J de A,, , rn,gendré par u n e suite séca.rrte nraxirnmle pour A,, , satisfuisunt à c , (A,,) ~ = long(A,/.JA,) ; (vi) (critCrc dc Macaulay-Cohen) p0.w tout? partic finie S de A telle q?re l'idbal G engendré par S soit de hauteur Cartl(S) , le A - n ~ o d u l r A/G ,ri,'«.pas d'idknurc premicrs associ6s imrr~e7yé.s. L'équivalericr tle ( i ) et, (ii) r6silltc di1 no 1, cor. de la prop. 1. D'après lc th. 2 du 5 1; no 4, et la tlbfinitiorl dc la, proîoiideur, les c.oriditioris (iii) nt (iv) (resp. (iii') et (iv')) signifient qii'ori a profA(J;A ) 3 I-it(J) poix tout idéal (resp. tout idCa1 maximal) J de A . Ori a. donc (i) ++ (ii) + (iii) ++(iv) + (iii')

++ (iv').

Mai? (iv') ilnpliqi~c,pour tout idéal rnnxirnd in t k A , Exti,,, ( ~ ( m A,) ), - O pour 7 < dim(A,,), d'où prof (A,) 3 diiil(A,). dc sorte que A est un nnrieaii dc Macaulqy

L'équivalence (ln (i) , (v) et (VI) résulte du th. 1 du no 3, et celle de (i) ct (vi) du th. 2 du ri0 4. 6. Modules macaulaycns et algèbres finies

Rerrimryc~f:.Soit p : A 4 R uri hornomorphisine d'arrncaiix, ct. soit p G Spcc(A) . Notons 1'a.ririea.ii ~ ( p RA ) T3. II s'itle~it~ifie A. SpsR/p(SpsR), où S est la. partie milltiplicativc p(A - p) de B ; lcs itléai~xpremiers ile fT sont tloric les id4a.u~qR. ois q est un idéal premier de B qui cont,icnt pB d ne rcncoritrc pa,s S , a.iitrerrierit, dit uii idkal premier de R a.u-dessiis de p. Pour un tcl idCa1 q , on a S c B q , tlonc eri s'itleritifie A R,/pRq , c'est-;,-dire encore à ~ ( p@,), Bq . I'a.riricn,i~ local (le

n

n

-

qn

De rriêsne, si N est lin B-niocliile, le BqE-rnodillc ( ~ ( p@A ) N) - s'iclcritifie A. 4n ~ ( p@,y ) N,. S I I ~ ~ O S O (leI Ipliis S que le R-riiotlule N soit de type fini ; dlapri.s lc 2. N, = O . Ainsi lcmmc de Nakayii.rim, la. coidition ~ ( p @A ) Nq = O iIqiiivi~.i~t le support du B-rnodille ~ ( p @) A -\T est forrni. dcs id6imx qB, oii q parcoiirt les idba.11~ prerriiers (le SuppB(N) au-dessus de p. Eri particillicr, pour que le rraohrle et il s l ~ ~ f(/IL'%(! i t f::l:aste id8d pr.ern.ier de SuppB(N) ~ ( p@) A N soit non. m l , ilfi~,,l~,t au-dessus dc p .

P R O P ~ S I ~8 I ' .I ~ S oN i t p : A + B IL^ homomorph,isrne d'anusea7cn: rroeth,érien,ç et soit N un, B-rrrotlulc qui cst un A-rriodr~lrde type ,fini . Pour yue 16. A-module N soit rn,ncnu,lnyen, il faut et il SI/,@ yu? l p B-niodulc N soit mac(lrrlcr.y~net que, portr. tout couple (n, nl) d7id60;un:rrl,o;:r;.inrc~~t:r: de SiippU(N) tel que p-L(n) = ppl(n'), on ait diniRn(NI,) dimHf,(N',) . Le A-modillc B/AnriB(N) est isorriorphc A 1x1 soiis-rnotlille (111 A-rriotliile (le type fini Enda(N), donc csi, il(: t,yp(: fini. R.cnipla.pnt A pa.r A/AririA(N) ct 13 pa,r T3/AririB(N) , on se ramène ilil <>ilsoii p est ir'jectif et fait de B une A-algkbr~ finie, et oii l'ori a. S i i p ~(K) ) ~ = Spec(.4) et SiippB(N) = Spnc(R) . T,'a.pplica.tiori f : Spec(B) 4 Spec(A) dklilite dc p est, alors siirjcct,ivc ct iin idi.ii1 prcrriicr q tic B est niaxinial si et seiilement si f (q) est lin idkal niaxinia,l de A (V, $ 2, no 1, th. 1 ct prop. 1). Soit m iin idéal inaxirnal de A . D'après la reniarqiie ci-dessrw, les itl&iix prerr~it:rsdc 1'armca.u B,l, coiitcmarlt mB,, sor~tles idéaux tir la forrrie qB, oil q E Spe(:(B) est tir1 idcal tlc B (r~i.ctssairrr~rit rria.xiir~a.l)tcl quc f (q) = m. On a

-

tfiriii\,,,(N,) = dirnn,,,(N,,) =

sup ( t l i i r ~(N,)) ~,~ wf-l(n1)

(VIII, 5 2, ri0 3, th. 1 et 5 1, no 4, prop. 9). Comme on a profuq ( N q ) pour tout q t f -' (m) , la proposition résulte de ces égalités.

< dimUq(Ni,)

C ~ H C ) L L R1 I K. ~Soit ~ p : il i B ,un hornon~o,rphZSmed'anneaun: nricti~6l?errs.S.i B P S ~~~,n.e A-ril;j2bre finie et rr7r A-7r~odulr:rn,trc:mala~len,c'cst 7131, a8n,n,ea.clde Mac ~ u h l ,% . de pius p est irjj~clij,on a llt(aB) ht(a) pour to'irt id6a.l a de A , ct ht(b) = ht(p-l (b)) pour toul idcal b dc B . T,a prernihrc assertion résulk de la. prop. 8. Supposor~sp ii'jcct,if. Soit a uri itlbul de A . On a ht(n) = prof,(a ; B) piiisqiicl le A-rnoclulc B est rnaca.ula,yw, cl(: slipport hgal à Spec(A) (no1, cor. (le la prop. l ) , ht(aI3) = prof,(nU ; B) (loç. cit.) et prof4(a ; I3) = prof,(aB ; B) (5 1, 11" 3, prop. 3 ) , d'oii ht(aL3) lit(a) . Soit b i i r i idbiil d r l3.D'aprCs cc qui pri.cède, on a M(ppl(b)) = (b)B). Mais p l ( b ) B est contcnii dans 6. donc de Iia.ut,ciirirlf6rit:iire à. I-it,(b) et on a ht(b) htjp -'(b)) d'a.prhs VTII, fj 2, ri" 3, th. 1. b).

-

-

<

COROLLAIRE 2 . Soient A un, a,n,neau rroethhierr in,t~q~rnl~~rnr~rLt clos et B un a,~i~-7rl,odll,ksans torsion, de type ,fini. n t x ~ cwrlter~arrt ,~ A . On, suppose que csl S'i B cst uri an,n,cau de Macn.l~kL?j,le A-mod%l,leB e.st ,rrï,ocadayen,. Eri offct, deux idCa,i*xpremiers dc B qui sont aii-dessiis dii m6mc idéttl de A ont la rr~Prni:ha,iitcur (VIII, 2, 11" 3, th. 2). Oii pc+i~tdonc appliquer la prop. 8 avec N=B.

COI~OI,LAII:I~ 3 . Soient A lin ar~n,eauintéqrakrr~c~bt dos, K son. corps des ,frnci ~ q u ~[I, : KI l4 s o i / , /;rl~iersl,Olr: d«,rrs iZ: et B une tzons, L une K-alg6br.r f i . r ~1,clle sous-A-ul,qCD,rcde L , fin,ie su,r A . a) Le sons- A-nrndrrle AlH de U es1 fartcrrr. clrr.wl. b) P m r tout idéal J dc A , o n ri, I 'in6,yalitc' prof,, (-1; A) 2 profU(JU 1 U) . c) Si B est url, unnewu de il/lli,cc~tla,!g,il err est de m h r de A . T,'i~.pplicationK-linéaire TrT,/K: L + K âppliqiic I3 A (V, 1. no 6, cor. 2 dt: la prop. 17), donc: dkfinit par rcstrict,iorl imc application A-lin6airc t : B + A . Poiir toiit r E A , on a L(zlL3)= [L : K] :x.. d'ail a ) . D1a.prhsla prop. 4 (lu i, 1; no 3, ori a r)rofrl (.T ; R j = r)rofU(JU ; B) ; mais d'a11ri:s a) c:t la. romarque 4 du 5 1; rio 1, ou n prdA(.1; A) 2 profll (J ; B) . d'où 1)). Si lla.nneaii B est noethCricn, il (YI est de rri6riie de A : cn ctfet, on a d'ayri-s a) al3 n A = n pour tout i(l6n.l a dc A ; airisi toute siiitc croissante (a,,),,,N d'itlénux tic A est. st,a.tionnaire piiisquc la suite (a,,,B),,,N cst st,ationi~aire.Sous lcs hypothèses tic r ) . lc Airiodule U est irirrcairl;tycii (cor. 2), ct il en est dc niCrnc du A-rr~otliilcA (no 1, excmplc 2). E:ït.rrrple. T,r corollaire 3 s'appliqiie ~iolair~mcr~t dans les deiix siti~ationssisivantcs : a) Ori considère lin armeail riocthérien ir~tégri~lcrneilt clos A , une extension séparable I, de son corps des fractions, de degré fini r,L trl qiie n,lA soit ir~versil)lc thns A , et on prcnd pour B la ic~rir~ctim: intégrale dc A dasîs L (V, 5 1, il0 6. cor.. 1 dc la prop. 18). 1)) On coslsidi-re im arinca.il r~oc~I,l~<:rirri irit6gralement clos B et UII gruupr fini G d'autornorphismcs (lc B , t,el qiie Cii.rtl(C4)lH soit irlversihlc (lails B . 0 1 1 preritl pour A I'aimeau des Clhen1,s de B invariants pour l'actioi~dc G . Vérifions qiic nous soirmws tlaiis 1111 (.as pw,rticiilicr de a ) . Le groupe G opère sur le corps dcs

fra.ctioris L tlc B,ct le corps des invariants de L pour cette action est le corps (les frxc:t,ions K de A (V, 9 1 . no 9, cor. de Ir?. prop. 23). L'extciision L dc K est galoisier~rie,et a for-kior.i sbpii.rô.hle ; sori groiipe de Galois est isomorplie à C: de Ca.rd (:. L'iriversc dc [L : K] l n est invariant par G sorle qiie [L : K] est 6gn.l i. de sorte que [L : K] l A est islvcrsibl(: dn.11~A . Comme B est. int6gralerr1er1t clos, 1'armca.u A , Cgal A I< i'i B , est inti:gralenieiit clos et est SA. f~rr~ietiirc irit6grale tlarls L (loc. oit., prop. 22).

n

Er1 particulier, si B c.st im a.nntaii dc: Miicxilay, il eii est de riiêrrie (le A .

7 . Modules macaulayens et algitbres plates

(5

1. 11" 6 , prop. 11, 1)) ct renlarquc), tlarls lesclirelles chaqiie trrrrre est 1111 erit,ier Compte tcrru tlii fait qiic le Bq-~~ro(lll1e ~ ( p @.?A ) N, est iiia.cir~iila~y(:n si et seiilcmcnt s'il l'est cil tant qisc ( ~ ( pHIA ) Bq)-~ilodule(un 1, C X C I K I ~ 4), ~ C or1 tm (Ii:duit

3 0.

l'kquiva~lcnccdes deux conditions suivantes

:

( a ) le Bq-snodiilc (M :%,y N), csL rnacailla~verr;

(p) lc Ap-modiilc Mp et 1c ( ~ ( p ) @ ~ B ~ ) - ~ r rKo ((l~i i)l@ ~ Asoirt N ~ inaca,iilayrris. Proiivoiis inaintcnant que (iii) implique (i). Soieiit 11 uii idbal rmximal do B apparteiinnt nu support de Ni (XAN , et p = pps(n). Or1 x d'après ce qiii prGcPde p E SuppA4(M)n np(Suppp,(N)) ; la. coi~dii,iorl(iii) et; la rernarqiie (hi ri0 6 rritraâncnt qilc la corlditior~ (6) ci-dcssirs est sal,isfait,e avec: q = n. Tl eri r6siiltc qiie le B,-rrrodiilc (M @ A N),, est iriaca,ulayen, d'où (i).

L'iinplicat,ion (ii) + (iii) cst claire ; prouvulis que (i) irnpliqi~c: (ii). Supposons N rn;tcaiilayerr. Soit p i i r i CIhc-(rit tlc S i ~ p l j ~ ( MOn ) . peut lc E-imdulc hf supposer yuc lc ( ~ ( p@,\ ) R)-inodi~le~ ( p ) N est IIOU 11111: c:'c:st-Mire qu'il cxistc un idéal prcrrlieï q (le SiippB(N) au-tiessus c(A), tl'oii "p(SiippB(N)) : Spcc(A) (nc II.reiiiarquc), de sortc quts (ii) iiii~>licli~e quc M est ma.cn.ulayrri.

COIIOLLATIIF: 1 . - Soicrrt p : A i E uri, Irorriorraor~-,li,ss.rmclocal d'anm<wi,zloccms noctlr&cn.s, IV1 rrn A-m,oilde nojr ~r'uldc typc' jiwi et V un B-module non n.1~1dr Lgpc ,fitL% cpi est ~ r nA-modulc plat. Pour quc: lc B-nrorlule h .so,it rnuc~c1x~loycr1, il ,[rcr11 el i l s11,fifli6QILC le A-7r~o(I11,l~ i\iI ~ o i ~rt~~~caidu,r/~,r1 l et I ~ U C IC U/in~B-v~vetdt: N/rnAN soit ,~rr«ccrc~ltsyci~. Er1 effet, h cst 1111 A-rr~otliilcfitl>leinerit plat piiisqiic N/ninN est iiori riiil (1, $ 3. ri" 1: tl6finition 1).

COI~OLLAJRR S. Soir:rrt A un mrnccm 1~ot'/,/~é1.%~,ri,, B ,ii,riw A-n,/q?h~c,jin,ic ct plulc, M uri A-rrtodisle tlc typc fini cl 71iacadaycrc. IL r<-n~od~ilr M @,jn est ,nancu~rlcr;yc,,~r. -

L'anneau A est noctl16ricn (III, 5 3, rio 4! prop. 8) ; il s'itlcil1,ifie au corripléti. tic S p l A pour la topologie S-'.l-adique, et le il-inotliile M ,211 corriplkt6 de SplM pour la topologie Spl,J-adiqiie (111, b; 3, no 5, prop. 12). Par suitci pour prouver l'kquivalence des conditioils (ii) B (v), on pciit resriplaccr A par SplA, J par S l.1 et M par S-'M ; aiit~crricntdit on peut supposer que J est contcnii (laris le radical de A. Le A-motliile A est alors Iidèlernent plat (loc. cit., prop. 9). 11 es1 clair que (v) irrlplique (iv) cl, que (iv) irnpliqii~(i). ,-. (i) =+ (ii) : Soit m uri it1i.ô.l ma.xi1na.lde -4,;-alors mA est 1111 id6a1 nlaximal de A . au-dessus de m , ct toul, iclbal iria~xiriialde A est obtenir de cette f a p i (III, 3 3, il0 4, prop. 8). L'ailiicau ~ ( m ) A csl, im corps, tlorx UII armeau tlc Ma<:aiday ; si le A-rnodiilc M pst macai~layeii,il en est de rnCinc du A-iriodule M d'aprbs l'implication (iii) =+ (i) dc la prop. 9. A

A

A

1

%

~

A

A

-

(ii) + (v) : Lc n-rriodille 6 cst isouioiphc à. M @A A (III, ji 3, si0 4, th. 3) ; s'il est inacaulayeii, il résulte de la prop. 9, (i) =+ (ii) que ~ ( p ) A est 1111 ameau de Macaulay pour tout p E Siipp(M) , et que le A-i~iodulcM est irra.cmlayeri. A

srr~ n,oeth,ér.ian,.s PROPOSITION10.- Soi1 p : A i B un J ~ , o ~ n i r o r p ~ id'nnn,eo,162 sonl, Mq~uivule~r~,te~s : faisant dc B u,n A-rrrodude plal. Les coreditiores s~~~ivc1.rr1,e.s (i) B est rrri ciwrrean da Moco,vlay ; (ii) pour tout idéal premier. q de B , les an,n,cac~zA , , i ( q , et ~ ( p ~( q-) ') @AB sonl, de Macaulay ; (iii) potrr tout idc'al n~arirr~al n dc B , lcs arareeuvrs A,, 1 (,,) e l ~ ( p - '(n)) @A B sont de n/ln,carrlq. Si de pl'i~sB est fidblcm,cn,t plal sur A , ces conditsorrs ~rrtrafnentque A est wrc arareeuv de Macaulm~. C'est le cas particulier M = A , N = U de la prop. 9.

C~ROI,I,AIR.E 2. Soierrt A un annwan. de n/facaula:y et 17 un, entier positif ; alors AIXI, . . . , X,,] et A[[Xi,. . . X,,,]] sont d c s armrmlr de Macaulay. 1. L'a,uneau A[T] est r~orthkicil(A, VIII, fi 1, est iin annem de Maca.ulay (ri0 5, cxcrnple 2) ; par co~iséqiient,l'anileaii A[S] est de I\lla~caulay(prop. 10) ct l'anneau A[[T]] est de Macaiday (cor. 4 dc la prop. 9).

Il suffit de tra.iter le cas

TL

:

rio 4, cor. l ) , ct, pour tout corps k : l'aiineau k;ri']

En e&t, une lelle algkbre est uri qiroticnt d'irn anneau de polyriôrries siir lin aimeau de Macaulay, d o i ~lm qiiol,icnt d'iui arinraii de Ma.ca.iilag (cor. 2), et pa.r suile est caténaire (no 2).

5 3.

+

PROFONDEUR ET DIMENSION HOMOLOGIQUE

1. Dimension projective, dimension injectivc, dimension horr~ologique

Soient A ilil arinca,u, M i i r ~A-rnodiile. R.ii,ppcloiis ( A , X, p. 134, tléf. 1) que la dimensioii projcctivc de M , riotée dpA(M),cst la borne inférieure (tlaiis Z ) de l'enseml-)ledes longiicurs (les résolutioris projectives de WJ. On a dpA(0) c c et dpA(M) 3 O si NI est iiori iiiil. Pour clut: M soit projectif, il fa.ut et il silffit que l'on ait dl>, (M) O.

<

-

-

E::e~npltc SoiL ,J i i i ~idéal tlc A engciidr6 pa.r iirie mite A-rbgii1ii.r~x (xi,. . . , x,) . 011a dp, (A/J) 1.. Eri effet: r'est cla,ir si A est nul ; dans le cas coritra.irc, le cornplexc dc Kosziil K,(x, A) est iinr i.4soliitiori librc de A/J de loi~guciirr. (2oc. cil., p. 159, rciriimlile 3). De plus, ponr tout A-rndule N , les A-modillcs Extk(A/.J, N) et N / J N sont isoiriorphc~s(loï. cit.) ; par silitc, pour qu'on ait dpA( i Z / J ) = r , il faut et il suffit qilc J soit, distirict de A (loc. rit., p. 134, prop. 1).

<

011définit de même la. tlirricrision injective de M , que l'on note din(M), comrric la hume inléricure de 1'c:iiscnd)lc~ des longueurs des résolutioris injectives de M . Ori a. &,\(O) = -cc,et tlia(M)o si M # O . Pour clut M soit injectif, il Sailt et il siiffit que I'ori ait cliA(l\/I) O .

<

W. (~ri;n~xv/~~ hl1 ilim A-m,odule et r~,,un cnticr. 3 0 . Las co,trditiorrs srrirlcmtes sont 6qul~mlerrtes: (i) on a di.&(M) 72. (a.ut.wrrrerrt dit, M pos.sède un(, &solution, injectivc. de lon,gueur 12 ) ; (ii) p o w tout A-modulc 1\' c:t to,crl, entier. i > rL, on, cr EX~;(N, M) = O ; (iii) pour tout idka1 a d~ A , on a Ext;" (A/n, M) = O ; (iv) p(~c11-/,oule suite c:I:(I.c~~ de A-modules

PROPOSITION 1. Soien,,: A

<

<

o7i les 1' sont injrctifs, le A-module CJ est injccl
(i) + (ii) : cela r6siiltc de A , X, p. 100; th. 1. (ii) + (iii) : c'est clair. (iii) + (iv) : dans la situatioi~cle (iv), or1 it polir t,oiit A-rriotliile N lm isoniorphisrne de lCxti (N. Q) sur EX~;(;+'(N,M) (il, X, p. 128, cor. 4) ; soiis l'liypothèse (iii), le A-modiile ~ x t i ( A / aQ, ) est ilid pour toiit itl6a.l a de A et Q est ii'jectif (A, X, p. 93, prop. 11). (iv) =+ (i) : corisidérons la siiitc exacte (A, X, p. 52)

O

-hl1

1O(M)

I

.. .

- I~'-~(M)

IKr'-l (M)

O ;

si la condition (iv) es1 satisfait,c, le A-rriodiile KTLP1(M)est inject,if, d'oii (i).

Rappelons ( 4 , X; p. 138, t1i.f. 2) qiie la diincnsioii horr~ologiquctlc l'iti~neau ,4, iiotbe &(A). cst la Imrilc silpi.rici~red m s z de I'ensenhlc tlcs cntiers I L pour lesquels il cxistc tlt~ixA-rnodiilcs \/l pt N tels que Ext; (NI, N) soit rioii nul. C'cst dtriic aussi la 1)orne sitpkrieure de l'enserrihlc des tlirncnsions pro,icctivcx (ou ir~jectivcs) de lous les ,4-niotlules ; lorsqiie A est noctliéricri, on pciit sc boriier ailx A-rnodules de type fiiii (A, X. p. l : J ! ) , cor.).

2. Localisation de la dimension homologique

Comme lc A-rnodide S-'A est pl&, cela résulte de A, X, p. 110. prop. 9 el p. I l l . prop. 10.

COROT,T,AIR S oEi .m: .t A rrri

( L I I ~ ~ Nl ~ L et , N des A-irrorlurleç, i un entwr. a) Le support d e ' l i ~ r ?(îvi, N) est corrLerj,u d m s Siipp(M) n S i i ~ p ( N,)et il er1. est de rnêmc hi, .support d e ExtA(bI, N) s i A est 'rroeth6rierr et hil d e tqpc ,fini. b) S,trpposo,/cs A noellrcirirn,, Irs rrt.odr~IcsM et N (le kype jir~,i; si Zr A-rn,odule NI @A N est dc lor~gumrr.,finie, il m est d e ncêmf, de 'l'or/ (143,N ) et dc ExtA(hf: N) . Si p c:sl ilil idi.nl prrniicr dc A ri'appartei~aiitpa.s ù Sirpp(M) i'i Siipp(N) , 1'11ii tlcs rr~otiiilesMp oii Np 13t r d , ce qiii irnpliqiic a) conipLe leilu de: la. prop. 2. Pour qii'un rnodide de type fini siir uri ailileau r~oc:t,llbrierisoit tlc longiieiir finie, il hiit r t il suffit qile sail support soit fornié tl'idéailx rri;i.xiiiia.iix (IV; 2, no 5, prop. 7). Soiis l1hypoth6sc II), les A-modules Torf(h1, N) ct E ~ t -(M, 1 ~ N) sont de c a). t , y p fini ~ ( A , X, p. 108, cor.) 1':~sscrtiuii1)) résulte t l o ~ ~(le

0.ù p parï:owL l'crssc,rn,ble des idénrr:r; prcmie,rs (resp. .rr~u,z.tntau:ï)dc A . b) T, 'opplication p H d p A p(Mp) de Spec(A) tlarts Z cst .sc,rrsi-co,n,ta,n.~~,e sup6rierrrern e n b. Proiivor~sa). Soit IL 1111 ~ n t i c r O . S U ~ I I ~ S Oyn'on I I S ait dph(M) < ri,. Pour t,oiit idéal premier p dc A ct tout Ap-riiodulc Q , le Ap-niodule F,xtzp(MP,Q) est isomorphe à (ExtL(hl, Q ) ) p (prop. 2), donc pst r d ; on cri déduit lliilCgnlit<:

<

dpA,(Mp) dpA(M) (A, X. p. 134, prop. 1). Si~ppomn~iiiverseinerlt qii'oi~ail. dpn, (hl,,) < ,IL pour tout idka1 iriaxirrial m de A , et soit. H. un il-rriodiilc. On a (Exl,? (M, R)),l = O pour thiit nl (prop. 2): donc ExtA (M?H,) = 0 ( II, )i 3, u" 3, cor. 2 du th. 1): (x: qiii eritraâiir tlpA(hf) < n (A, X, p. 134, prop. 1 ) . La prciniixc égalité clc a) cr1 rbsult,e. La scscmdc sr dCinontre de la iii6iric mmii.re, en utilisniit la car.actCrisal,ionde la. dirr~ciisioiiinjective tiorir~drdans la prop. 1 (iii). Cosnmc &(A) est la borrle sirpérieurc: di: ljcnsmible des dirriensions ilijectives de A-i~lodislcs(11' l ) , la I,roisihc Cgaliti. rn rbsiilt,e. dpAp(Mp). DQimiitrons Proiivons 1)). Soical p L I I ~idbal premier. de A cf 71, qu'il existo un voisinagr U (lc p (laris Spcc(A) tc:l cliic l'on ait dpA,(M,) 6 n pour toilt q E U . C'est clair si n = t o o ; si 'rL = -30, cela r.bsult,c1111 fait qilc le support de h'I est ferri16. Supposons riiairitciial~t 77, fini et cl-ioisissoils iinc suitc exacte de A-rnodilles &, 1 i P,,-2 >... + P o 5, h ~ \ i l tO , P,,

-

,

où les l', sont libres dc type fini (A, X, p. 53, prop. fi). Posons P = Kerd7,,-l ; c'est un ii~odiilcde prbser~ta.tioirh i e . Le Ap-rriodul(1PI, cst proj~rtif(A. X, p. 1 3 4 . prop. l ) ,donc lil~re(11: 5 3, il0 2, cor. 2 de la. prop. 5). D'a.pr&sII, 5 5, il" 1 , cor. de la prop. 2, il cxist,c lin ClCnient f tic A p (,el qiie lc Ai-rriodi~le P f soit lilm ; le Aq-modiilc Pq pst 8101.5 librc p0111. tout élbme~il,q dc l'o~ivcrtT! de Spe(.(A) forsné iks idkrtux premiers ne coritcnünl, pas ,f . C(,la.proi~veh).

-

Iirmmrgue. Soit A iiri nriiicau ~iorl,h6rierrrCgiili~:rd(: dimension irifiiiic (VITT, 5 5, cxerc. (i c)). Noils vcrrons ci-dessous (il" 7: 1,11. 2 et 5 4. i l 0 1: prop. 1 ) qu'on a diA, (A,,,) dl~(A,,) < +cc pour ton1 idéal irraxirrial rn de A ; la, prop. 3 entraîne donc diA(A) = &(A) = 1 m. Par consCyuci~t,lcs foiict,ions p H dii\,,(NP)et p H tlli(Ap) ne sont pas cri g6iiCral srmi-contir~iwsiipérieiirerricnt. -

-

3. Dimension homologique d e s a n n e a u x noetliériens Soient A im armeair local r~oe(,lli.rien,M (A, X, 3 3, no 6) qu'une rCsoliitjion

iiri

A-lriotii~lcdc t,vpe fini. Itappelons

il^ h1 es1 ilne ré~olutjonprojcctiw 7 n i 1 ~ i m a l (si: ( : I E ~ . (les c I ~niodill(\s L , csl, libre de t,ypc fini. et si le coiilplcxc K* WA L cst ii tliffCreriLielle siirllc. P o i h ~ i l t entrier i 3 0 ,

on a alors [ E ~ t i ( h fK ,A ) : K A ] = [ ï i ) r f ( ~K, * ) : K,,]

(l)

rg,$L,)

;

(A, X, p. 103, exemple 3). 'l'out A-rnodi~lede type fini admet iine tcllc résol~tiorr (A, X, p. 56, prop. 10).

P R O ~ ~ O S4.I ~ ~Soier~t I O N A 7m anmeau lord n,oeth,Rrieri., M A-m,odu.le de type j h i CI 71. ,un, errkier 2 0 . Les conditions sui,.uuntes son,t Rpi~icrlen,tc.s: ( i ) or!. (L tlpa(M) < n ; (ii) on, (L ' ~ o r(M? t K,$ = O ; (iii) orL a E x t l (M, K*) = 0 ; (iv) tor~2er6solution, projectiae rninima,le de M est de lon<jucu~ < 'ri. Les assertions (i) =+ (ii) et (i) + (iii) sont irririiCdiatcs (A, X, p. 100, th. 1). Soit. L une résolution projcctivc niiiiirrialc dc M ; si (ii) oii (iii) c:st v&rifibc,on a L,, - O d';qxi's(l)). Coniinc toiitt: ri.s«lutiorr projcclive rriir~irrralede M est isorriorphr à. T, (A, X, p. 54, prop. 8), on en dktlilit (iv). L'irriplicwliorr (iv) =+ (i) est triviale.

COROLLAIRE 1 . Soient A u n n.nn.fms lord noethkrien et r> wr~e n k r 3 0 . Les cor~ditior~.~ .sui,uuntcs sor~t&~uk~i(~,lentc.s : (i) o,n, n &(A) < rr ; (ii) on a E x t i (M, N) = O r:t 'l'or: (NI: N ) = O p o w fmrt r:ouple (M, N ) dr A-m,odvles e2 tout ~ ~ i l i ie 3 r n ; (iii) ori u, Tort (K*, K , ~=) O ; (iv) on (L ExtA ( K ~ K*) , =O ; (v) 071 U <1h(KA)< T L . Il c.st clair qiic (i) iinpliqiie (ii) et que (ii) irriplique (iii) et (iv). D'aprks la prop. 4 appliqiibe air A-iriodulr K* , chamne des corditions (iii) et (iv) irnpliquc (v). Prouvuris cluc (v) iir~pliqiic.( i ) : si tlpA(K.&) < n , on a Tort (M, K , ~ )= O poix tout, A-iiiotlulc~M ; Tmr. silit,<:toiil, A-rnotliilc tlc type fini est de dimension projective < n (prol, 2), (.e qui entraîne dh(A) < r> ( A , X , p. 138. prop. 4).

Rrrnarpes.

1) Soit A im anneau local. Le A-niodiile ~ o r( Kt * ,

K*)

est isorriorpht:

i. rnnlrn? (A, X, p. 72, excinple). Par suite lorsque A est iioctlkrieri, ~ x m rqiic T O I ^ J ( K ~ , K*) soit uul, il faut et il su1Iit que m* soit IIUI,c3est-à-clirccluc A soit iIn corps. Le cor. 1 eirtraînc cloric qii'iin anncaii local n«ct,l~Sricntlr dimension hornologicpc O cst lin corps.

2) Soient A 1111 a.iirleau lucal rioetlii:rieri, M im A-module dc t y p ~fini ct tic diincnsior~projcctive finie n , N im A-rnotliilc non niil de type fini. LP A-m,odde ExtA (M, N) n'est p u s r d : soient. en effet ,' ilne rbsoliitiori projective rniriiinale de M , et d sa. tliKérentielle. On a urir suite ~xa,cte Ilom(d,, , 1 )

H~~A(L,,-I,N)

t

HorirA(L,,N)

+

ExtA (M,K)+ 0 .

C h m i e d, r)i, l,, est nulle? on cil déduit par protliril, terisoriel avtx K A i i r i isotnor( e tic 1i1foriniile pliisnie K A @A H O I I I(~L n , N ) + K;\ @ A Ext; (M, N) , d'où ( : o i ~ ~ pkriu (1) ci-dessus,

qiii est non niil par la. prop. 4 et le lenirnc tlc Nakayaiiia. Par coriséyuer~t,la tlirriension projective de M est le pltis g r m d cnticr i tel que EX&(ICI,N) suit rloi1 nid. 3) Soient, A un anilcm rloethCïieii, M iin A-module tlc 1,ypr fini ct iie cliniensiori projectivc finic, N i i i ~A-inodule clc typt: fini doiit lc support cst égal à Spec(A). U'aprks la reinarqiic précédcirtc et les prop. 2 cl 3 du r ~ "2, ln tlimerisiori projectivc n d e M est le plus grand entier i tcl que ExtA(M,N) soit nori riiil ; 1(. support d u A-rnodule Ext;(NI, N) est l'cnsrrril>le des i.li.rrlerit,s p de Spcc(A) tels que t i ~ , (, M ~ p )= 7 ~ . Il peut cxislcxr dcs A-rriodulcs Ni de type fini, de dirriei~sioriprojot:tive +cc, satisfaisarit. ExtA(M, A) = O pour r ussw grand :*c'est Ir: cas I>ar exeriiple tiii A-rr~odiilcKA lorsyuc. A est, im ariiieau local de Coreiisteiii qui n'est pas reg-nlicr, .

P r t o r o s ~ ~5.i o ~Soient A un n.rmeo.u noethérien, M un, A - n m h l e dc lypr jir~,% et ur, ~ n t i e r3 0 . Les conditions sui71arrtes sont équi,~c~len,tes : (i) on a dpA(hl) < 7~ ; (ii) pour to,ut idéal rnuzinral ni tic 11 ! or?, 11, ExtA(M, Alm) = O (rcsp. on, a TOI.: (hl,A/m) = O ) ; (iii) powr tout idéal m,azi,rr~dm de A ; on 11, Ext;,,, (M,,,. Alm) = O ( r ~ s p .on a ~ o r k(Mill, ~ ? ~A/m) = O ) . (i) + (ii) : c'est, clair. (ii) + (iii) : (>(:la,résiiltr de la. prop. 2 di1 ri0 2. (iii) + (i) : d7apr+sla, prop. 4,la, condition (iii) irripliq~~c l ' i ~ ~ é ~ l idpAn, t , i . (hltll) <: 'rr, pour tout itl6al inmimal m dc A : ct on concliit grâce à. la prop. 3. ,II

Rerr~,ar.y.ue4. Soierit A im an1iea.u rioethbrien et n 1x1 entier 3 0 . Si 1-11 e t n ~ ' surit deux idéaux rrlaxirnaiix de A distincts; Irs A-rnodiiles ExtA(A/m, Alin') et ~ o r(A/m, t A/ml) sont. ariniil6s pa.r m f m' rloric sont riuls. P x inle di.inoi~st,ra.tion arlalogiic à ccllt: (111 cor. 1 de la. prop. 4 , 0x1 clédilit de la. prop. 5 l'équivalence dcs contlitior~ssiiivarites : (i) osrc 11 dli(A) < ; (ii) on o ExtA(M. N) = O r t ' l ' o r f ( ~N, ) = O pour tout couple (M, N) de A-rn,odulcs et touf; errt.ier. i 3 rr ; (iii) o n a. ~ o r (A/m, n A/m) = O pour to,ut i d h l rrritzinaal m dc A ; (iv) on a ExtA(A/m, Alin) = O pour /,ou1 idbu1 ,rr~ci:ci.nsulni dc A ; (v) on, a, dpp,(A/ni) < 77, p u r tor~ti d i d ~nru:rirrcalni de A . O n a en particulier dh(A) = stip dpA(A/ni) , o i ~ni parcoi~rl,1'eris~~rril)lr dcs ln idéaux rnaximaix de A .

PROPOSITIOK 6 . Soier~l,A u r ~clrrnea,~n,oetla&en,j N Irn, A-rr~oduie,.ri. Les condifions çuioantcs sorit 6(pi.cmlmte.s: (i) on a tlix(N) < T L ; (ii) pour tout id(!al prunier. p de A , on a ExtA(A/p: N) = O ; (iii) p o r ~ rtouf id6d premier. p dc A on a ExtLv( ~ ( p )N, p ) = O .

,cm

en,t?;er3 O

Si dc plus lp A-module N est de Lype jiwl, ccs con(I%l'ior~,~ &(~'uaIIaIen.t O. : (iv) pmrr tout Id6d >rta.zi,rrail in dr A , on u ExtA(A/m, N) = O pour. rt, 2 r~ ht (m) . 0bsc:rvons qiie la. c ~ ~ r i d i t i (iii) o i ~ 4quiva.ut 5 (iii') p o w /,o,u/,id6ul prcrmer p de A , on a ExtA(A/p. N) CO.&~ ( p = ) O. EII cffct, comme ExtA (A/p, N) est i 1 1 1 par p le A-inodule Ext; (A/p, N ) W / \ K ( ~est. ) isoirlurpl~e ExtA(A/p, N ) B a A p , (loiic à E x t z p ( ~ ( p )IVp) , (il0 2, prop. 2). Les implications (i) + (ii) c t (i) J (iv) ri:silll,cnl de la pr.op. 1 di1 no 1, et 1'iiiij)lication (ii) + (iii') cst claire. (iii) 3 (i) : polir tout A-module hl posoris ï'(h1) = ExtK(M, N) . Supposons que (i) rie soit. pas vbrifibe. II cxistc alors (II" 1, prop. 1) un itl6i1.l a cle A tel al les idbaux possétlaiit ccttc yuc T(A/n) j O . Soit p im id6al rie A i ~ ~ a x i n iparmi propriété r: prouvoris q i ~ p: est premier. D'aprCs IV: 5 1, 11" 4, th. 1 rd. th. 2; il cxistc: ime s i ~ i t edc, composition (Mi)ori<.,r,, de A l p tel que cliaqiic quotient l\~l,/h'I,+~ i < n i 1) cst i i i ~itl6al prrinier soit isorrlorphr W. lin inotlule A/p, , o i ~p, (O coriteria,r~tp . Si T ( A / p j ) btait 11111 pour tout i , on tlkiiiirait pa.r r6ciirrcrice sus ? des siiitcs cxactei

< <

+

<

-

qiic ï(Mo/h4,,) = T(A/p) csl, 111~1,ce yiii rl'cst, p s . Tl existe donc un iridicr I tcl qiic S(A/p,) # O . Vii Ir caractère r r ~ a s i r r ~de i ~ lp ori il, p = pi , (le sorte qiie p est premier. Soit .x; im 6lbmcnl dc A p : 0x1 tl6tliiit (le la suite r x a c k

-

iirie silit? exacte T(A/(p

+ .rA))

-

T(A/p)

T(A/p) ,

(A, X; p. 89, yrop. G). A cause (lu c:arir.<:l,kre 71 F ' X ~ ~ ( l: N C~ )-, xs(* '11, est, ina.xima1 de p , on a. 'l'(A/(p + .cA)) = O , clc s o r k qilc I'lior~~or~iorpliisirie injcct,if. Le A/p-niodulc rion nul T(A/p) cst doric sans torsior~.Cela irripliqiic qiic ) pas iiul (A, I l , y. 117, cor. l ) ,cc qiii wiitrrdit (iii') . T(A/p) 8.4 ~ ( p n'est Siippasons le A-rnotli~lcN de type fini, ct prouvons que (iv) irnpliyue (iii). Soiriit, p i i r i id6a.l premicr dc A et ni 1111 idka1 iiiaxirnal tlc A coiiteiiarit p . Il (-:siste urir

clia.îile satirrile d'id6a.u~premiers d r A d'cxtrilmités p et m . Ln. loiigueur r. dc ct:t,tc cllaîi~ccst intericiirc à lii,(m) ; sous l'hypothtse (iv), on a donc

, ~ x t A +(' ~ ( m )N,) II résillte alors (lu leirirric 3 di1 proiive (iii).

= ~ x t . z + " ( A / mN) , N.4

5

A,

=

O

.

1 , 11" 7 qii'on a E x t i p ( ~ ( p ) , N p=) O , cc qiii

-

R~rnnrpc5 . Soit N im Arr~otli~l(: (le t,ype fini ; la. condilion Ext:<(h/m. N) O poiir tout iden1 maximal m de A n'entraîne pas i~éccssaireineutcliA(K) < n . Si po.r cxernple I'iar~i~c;~u A est 1ot:al et n'est p;r.s lin anneau de Garcnstciii (11" 7, tlCf. l ) , or1 a Ext; (A/tn, A) = O [mir 'rt, < prof (A) ina.is &*(A) = + m . 4. Quotient par un Clément sirriplifiable

Dans cc riiirrréro, A d6sigric iin anneau et :r lin 61CineuO de A sirr~,pliJnhlc. Soient M uii A-rrlodulc el, p : P l M iinc rilsolution projective de M . D'aprCs A, X, p. 101! cor. du th. 1: H,, (P/:cP) sli(lcnt,ifieh ~ o r(M. t AlnA), donc est iso~rlorplie à M/zM si n = O , A Ker(xM) si rr = 1, et est ri111 sinon (loc. cit., p. 102, cxeriiplc 1). Ck>nsidC.ronsles complcxcs dc (A/.cA)-iriodi~lcsR el; R.'tels qiic

-

et dont les difEreniielles sc d&liiiscnt tle celle de P . Lcs cornplcxc:~R(1) et R' sont des résoliitior~sgaidies dc K c r ( r M ) et 1Cl/:ri\'l rcspect,ivciricrlt, ':I, or1 a imt7 siiit,c exüctc tlc corriplexes

-

Dc ma.nii-re ;inaloguc, soit e : îvI E lm(,résoliit,ioi~injective de M ; ilot,or~s K le complexe licr(xE). D'après A, X, p. 101, cor. tlii t,li. 1, Il,, (K) slidcilt,ifie à. ExtA(A/rA. M) , donc est isor~iorplieà Ker(zul) si 7% = O , h M/xM si TL = 1, et est 11111 sirion (loc. cit., p. 102, exeirlplc 1). O n dMuit dc E dcs coniplcxcs tle (A/zA)-rnodiiles S et S' tcls quc

Les coiriplexcs S ct SI(-1) sont des rbsolut,ions tlroitcs tlc K e r . ( ~ ~ e t ) M/:rM respectivcirrer~t,ct or1 a [me siiite exactc de complexes

Soient N lin (A/:cA)-module, ct e' : N + E' iinc r6soliltiori ii'jectivc dc N . d&luit. de la siiite exacte (2) iiric siiik exacte de c:omplexes tle (A/.&-niodulcs

011

AC X 44

$ 3

P H O P O N I ~ F I I K , K ~ C I J L A R I T DIJAIJTÉ ~,

Consid6rons la siiite cxacte d'lioniologie associéc à cettc siiitc cxactc. D'aprbs A, X, p. 100, t h . 1 , on a. pour tout entier 'ri 2 O des isomorphisincs

-

-

H" (Ho~ngr,.,/,~(RI, ET))-+ ExtAlZA(h/I/:rM: N)

H"(Honigr,,/,,., (P/zP, El))

Hr' (Horr~gr..,,( P ,El))

ExtA (M, N)

II" (~IonigrA/ ,;A (H., El)) = H n l( H o ~ n g r ~(,R , ~( l ) ,El)) + Ext':;/::-,,

(Ker(zMl), N)

»ri en déduit ilne siiite exacte longuc tic (A/rA)-inodulcs

N iinc résolution projcctivc di1 (A/zA-nlotli~lcN . 011 DC rnCme, soit p' : P' i déduit de la swik e x x t e (3) une suite exacte de complexes de (A/zA)-modiiles

Comptc tcnii dc l'isomorphisme H o ~ r i g r - ~ ~ ,Kcr(.xb:)) ~ ~ ( P ' , + HomgrA(P1,E) , la suite exacte d'liorriologie associée s'écrit

déduite de la suitc exactc (2) ; cornptc tenii de l'isoriiorphisrrle P @A P'+ (P/.rP) *13A/,AP l , la suit? exacle tl'liornologie associée s'écrit.

NO

5

PROTIONUtlllR ET DIMENSION HOMOI~OCIQIJE

A(; X.45

~ O I ~ O L L A T R F , . Soien,f A u n aimeau local ~roetlzkieri,,hlI ,un h-rr~odulede type ,fini et .J un. idPd de A m,qe,ridrt: pcrr ,une suite ( z , . . . ,s,) d ' i l h e n l s de ma qui est (i In fois A-r&1ili&e et M-réguliPre. On a tlp,\/j(M/JR/I) = til).4(1\/1) et diA/.,(h/l/.Thf) = diA(M) - l" . 11 suffit de traiter lc cas r = 1. Posoris alors .r = xi . Les A-rr~octiiles K ~ sont ) iso~~~orpli(:s pour toiit entrier n. (prop. 7) ; Ext;,,,;,, (M/sM, K,) et Ext'~~(l\/l~ l'égalité tipA,,c,, (M/zM) = dp,\ (Wl) résulte tlc la prop. 4 chi ri0 3. De même, les A-rrmdulcs ~ x l i ~ , , IVI/LCM) t ~ ( ~ et ~ .E x t l ( K ~ M) , sont isomorphes pour tout entier (M/.LM) dia (M) - 1 r6sidte de la prop. 6 du II" 3. ,n, ct l'égalilé -

-

5. Proforldeur et dimension projective T

r

M

7 m

~ É1~ ( A ~ I sÈ~ ~ ~~ ~ ~~ c T - B I I c ~Soient I s ~ ~A~ ~rtrL I I arrrreav I ~ ~ ) . -local noeth6rien ct A-rnodl~lcdc type fini et (le diirierisiori projcctivc finie. On a 17&aliti

dpA(b1) + profA(M) = prof (A) R.aisoilr~or~s pitr ré<:urrence sur dp,, (M) . ir.) Si iIpA(M) est niil, M est iin A-module libre dc typc fini nori riid ; siL profondeur est &ale B. prof (A) ($ 1 , il0 1. remarque 4). h) Supposor~sdp,\ (M) = 1 cl choisissons une r6soliition project,ive rriinirrialc

de M (no 3, prop. 3, (iv)). Les A-riiotiiiles T,,, et L I sont libres de typc fiiii 1, no 1, renmrque 4). L'application et non nuls, doi~cde proîorideiir prof (A) lKA (;çI dl : K~ Oi?* L1 > K~ 0 < 3 ~LU est, ~iulle,ce qui erit,raîrie qise di appartient mi\Homn (LI, Lo) . U'aprks la rc:rnarque 5 du $ 1, ri0 1, on a. profA(M) = prof (A) - 1. c) Supposoris tipA(M) > 1 . Choisissons une suite exacte

(s

-

où L cst un A-module librc de type fini. Ori a alors profA(L) = prof (A) (5 1, no 1, remarque 4), dpA(N) = ~ l l . > ~ (M1) (A, X , p. 135, cor. 2 c)), d'oii prof,, (N) = prof (A)-tip,, (N) (l'ypolhèse de réci~rencc),et cn particulier profA(N) < p'of,, (L) . U1apr& la prop. 1 du ji 1, no 1, or1 a dors profA4(1\/1) - profA(N) - 1, ce qui achève la d6rnoiistration. Rernar.cl<~c. Comptr tenu du cor. 2 de la prop. 4 (no 3). lc th. 1 appliqiik wu A-riiodule K , ~ mtraîrie qiie l'on est dans l'un ou l'autre des cas suiva11t.s : (i) on a = dh(A) = too ; (ii) on a d p A ( ~ = ~ dli(A) ) = prof(A) < +m. Noiis verrons i~ltérieiirerncnt(5 4, ri0 2) que (ii) caractbrise les mnea.iix locaux réguliers.

COKOLLAIRF, 1 . Cor~çervo~cç les Ii:ypotlrèçes drr. t h , 4 o r h e 1 . a) On a dpA(hl)< prof (A) . I'ow 11.11'il y ait k~diti-',il , f ( ~ ~ et r t il sefit que 1 'idEal m,axim,al in^ soit associé à hl. 1,) On a profA( M ) 6 prof (A) . P o e ~ rqu'il y (ri1 L~gul'itk./:I faut et il que bl soit libre. it) Err effet, << prof,, (M) O » équivaut L << in* E Ass(A) D ($ 1;rro 1. rcm wquc?2). b) Eri effet,?« dpA4(51)= O >> équivaut à « hl ~ s lihrc t ».

-

C~OKOLT~AIKE 2. Conser.vons les hypothkse,i. ku. M o r h n e 1 rt supposons de plrrs que A soit un anneau de Macauluy. Alors dpA(M) est la sornme d ~ deu:r: s enti~rs po.sati$s tlim(A) - dirnx (M) ci, dirnA(M) - prof (M) . En particiilier, c l ~ , ~ ( M est) alors siipCrirur à tlirli(A) - tliin ,j (M) , ct il y a égalit,6 si ct sç.iilenietlt si M est macidayen. COKOLTAIRF, 3. So,icrct A ,cm a m e « m rroethérvn, M un A-rrtodulc de Lype ,firU c l de dirnensio,rc, pro,jecti~iefirrie, i ' ~ 1 1m t i e r 2 O , N ,unA - m o ( h l e de type ,fini et F le ~ l ~ (hl,N) (resp. TOT: (Pd, N) ) . Oa a alors prof, ( A )3 i . s,upport du A - r i ~ o d ~EX( Eri c m , soit p E F . 011 a Ex1 (Mp,Np) # O (rcsp. TOT': (Mp>N p ) # O) c1'apri.s la prop. 2 di1 no 2, dor~c:i < dp,,,, (Mp) < tlpA(I\/L)< +cc (nu 2, prop. 3). Lc th. 1 er~traîr~c proî(Ap) 3 i . Pa.r suik (5 1 , no 5: prop. 8)

A,,

profF (A)= inî prof (Ap) 2 pc- F

1

Avec la tciininologic du $ 1 , no 5, rernarcpc: 4, la c:oricliision (lu cor. 3 signifie que les inotliiles ~ x t : ,(NI, N) et l'or;(M, N) sont de gr.,î,dc 3 ,i. Elle entraîne qiic la. cotlimension de lciir support dans Spe<:(A)est >, i (5 1 , rio 7, prop. 1 2 ) .

COROLLAIRE 4. Soient A

,cm,

anmralt n,oeth6rien de ilrlacrr,~~,Lay ct M urc A-7rrodule

dc type ,fini ct dc cli.rr~crrsiorrprojcrtitie finie. a ) Soit p t Spcc(A) ; nolons %'(JI) I'c~re..se.rn,hledes compoçnn,tes irrkductibles clc Supp(M) corrlknant p . 011 a

dirrlAp(Mp)

-

piofnu (M,) = dp4' (MP)-

inf

XE 7 ( p )

codirii(X, Spç.c(A))

b) L 'c~pplica.tior~ JI t)c1irriA, (My) - p r ~ f . (MP) ~, d~ Spec(A) dans z r~stseriric o ~ t i n u es'upéi-ieurement. c) L 'en~sc.~mble des idéaux p 7 ~ m j ~ rp s dc h 1,el.s que le Ap-modrrle h/lp sost ,rrc,rLcc~.crlnyenest ouxiert et dense dans Spcc(i1). Sorc ircte,rsectzoa aucc S~ipp(bl)cçt derrse dan,.s Siipp(M) . a ) On peiit supposer p E Supp(M). Posvr~s~ ( p = ) dirn(Ap) - tlirn,\,(Mp). D'api& le cor. 2 <:i-dessus,on ?

pour toute X E / (p) (9 2, il0 2, prop. 2 b)) ; or1 a d1mtre part ( V l K § 1 , no 4, prop. 9 et no 2, iemarquc 3)

b) Soit p E Spec(A), et soit F la. rdimioii des cornposaritcs irrCducliblcs tlc Supp(M) qui rie contiernreiit 1)ii.s p . Pour tout dément q de Spcc(A) - F , ori a K(q) c g ( p ) , d'où cp(q) 3 q ( p ) rl'apr<,s la formule ci-dessus. Par coi~sCqrienl, la fonction cp cst serni-(:oiitinii<:infkrieurerrierit ; l'assertiori 1-1) rCsiiltc alors de la prop. 3 du 11" 2. c) Soit U l'cnsernble dcs i:li:rrirrlts p de Sprc(A) tels que Mp soit niacai~lixy-cn. La condition p E U Cyuivairl. N. tlim(l\/lp) prof(Mp) < O , de sorte que U es1 ouvert d'n.priis b). Corrrme TJ t:oritierit Spec(A) - Supp(M), il siltfit de prouvcr que U ri Si~pp(M)es1 (lerise claris Siipp(M) . Poix t,oi~tidCa1 premier niirrirrial p tlc Siq)p(l\il),le Ap-muclulc Mp cst de lor~giiciirfinie (TV, 9 2, no 5, cor. 2 dc ln prop. 7 et 5 1. no 3, coi-. 1 dc la prop. ï), tloric mo.t:a.ulîiyrri ; par. cons6qi1cnl U rcriconti-c toutes les composanks irrétlirctiblcs dc Silpp(M). On conclut à l'aide de la prop. 1 de IT, 5 4; no 1. -

6. Profondeur ct dimerision injective

I ' i m ~ o s ~ ~8 r .o S~o i m t A

anneuu rro~ti~h.ic7~. 1\11 i m A-71i,odl/,lede type ,&i. O n a dirri (M) < diA( A I ) . Soit r. i r i r nrit;icr positif inféricui-A diinA(M). 11 cxistc unc cliaîrrc sa(,i~rée tl'itlkiiilx prerr~iers p c p i c . . . c pI.-i c q telle q i r p soi1 un élérrrenrt rriiriirl~aldi1 sirpport de M ; Ir Ar-niodiile A I p cst alors tic lorigueirr h i c , tlc sort(: qii'on a. HolilAp( ~ ( p Mp) ) ? j 0 , donc ExtLq( ~ ( q )M,) , # O (5 1, no 7, lcrrlme 3), cr qiii implique tliA(NI) 2 r ( n o 3) prop. 6). locrcl rsoei,hér.l,r:ri, et M P r w ~ o s r ~ r ,Yr o ~. Soien,t A urL uwr~,cm~

1rri. A - m o d ~ ~ lme n nul (le type firi,r cd tlc diincnsiori iiijective finie. On u tliA(M) = prof ( A ) . Posoiis r. = tli,\(M) . On a Ext; (K*,M) = O pour i > r , donc E x t l ( K * , M) # O tl'aprbs IR. prop. Ci di* no 3, (iv)+(i). Soi1 s la profon(lciii- rlc A et soit (:Q, . . . z,?) imt siiitc A-rCgiiliiire d'él6mcnts de mA (5 1, i i O 4, th. 2) ; posoris N = A / ( z l A + . . . + xSA). 1)'nprès l'cxcrnplc tlir II" 1, oii a dpA(N) = s et E x t i ( N , h l ) # O , donc s dia(M) = r . Mais N est, (le yrohildeiir O ($ 1, rio 4 , prop. ï), tioric il cxistc imc siiitc exacte de A-~~iocliiles

<

Ori en dhdiiit iinc suite exacte tlc nrotlirles d'extensioris

'

corririle on a 13st;' (NI, M) = O et E x t i (K*, M) # O on obtieril Exth(N. M) # O . tl'uù ,r t l l ~ ~ ( N )S . En définilive, on a r. = s , ce qui a . c h b ~la tlCrriorisl,rat,ion.

<

7. Anneaux de Gorenstein

D ~ F I N I T I O1N . O r b dit qu'r~n annecm A est un ann,rav dr Corerr.strin .s'il pst injecti~~e ,finie powr tout i d M rroe/,h&en et que le A,,,-nrodrrle A , est de d~meri,.?l:on, ~L(L~~~TIm I , ( Lde ~ A. P»ur qu'un anneau local nocthhrien A soit un anrlcnil tle Gorcnst,eiii, il S i u t et il suffit que diA(A) soit finie ; pour qu'un ariilcau i~oct,hhrieriA soit im a.rli1ca.u
Prio~osrrro~ 1 0 . Soit A un annecr~r.de Gorevrstrir~; alors A est un, «,nneuu de t à diA(A) = dinl(A) . iVfu,ca~rloy,et .çir.tt.sfo,r Poix toiit id&l rria.xirria.1m tlc A , on a dirn(A,)

<

diArn(A,,,)

(no 6, prop. 8)

diA,, (A,)

=

prof (RI,,)

(no 6, prop. 9)

prof'(A,,,)

<

dirri(A),

(5

1, ilo 4, cor. 2 (hi th. 2) ;

il en résulte que A est lin ilnueau dc Macauhy, et cpc cliA(A)= dini(A) prr passage 5 la borne siipi.rieurc (no 2, prop. 3). ili~lsiles anneaux rloctl16ricns A lels que clia(A) soi1 finie sorlt les a.ririeaux (le Gorcnstcill dc diinension h i c (prop. 3 du ri" 2), ct lcs anneaux rioethér.ier~stcls que lc A-module A soit irijcctif son1 les arlrlcaux de Gortmstein i~rtir~icms. r m p 1 ) Pour toute part,ic nliiltiplica.t,ive S d'un anncaii de Gorei~steinA , l'ixnnea,~de frii.ctions S-'A est un aniiem de Gorcnsteiri : en effet,, soit q in1 itl6:tl rna,xinial de % ' A ; il cst de la. fbrrne S - p , oii p est UII idéal prcii~ierdc A ne rencoritrmt pas S . Soit m un itl6al rnaxiinal de A cont~rwntp ; alors l'anneau l? = (Sp'A), est isoniorphe b Ap (Il, 5 2, no 5, prop. 11):donc à. un anneau de friictioris de A, , et pa,r mite sa.tisfait à. diH(Il) < tao (no 2, cor. 1 t k la prop. 3). 2) Soit A un anneai de Gorcrlstcin r t soit J im id6a.l de A : engeridré pa.r une siiitc A-rbgiilière x . T,'a.nimi.ii qiiot,ient A / J rst. lin anneau de Gorriistein : cil cffct, pour tout idi:al rriaximal m de A conteiia.nt J , l'image daris A,, de la siritc x est. A,,,-r6giilii-rc ct (~rrgerirlrel'idhl J,,, , d(: sorte que A,,,/J, est i i r i a.riiieaii (le Gorwstein d'après le cor. tle la prop. 7 (no 4). 3 ) Soient. A un ii.ilrleaii local rroetl-ikricm, J in1 idéal de A erigeridr6 1)a.r iine suite A-régulikrc d1616rr~c:r~t,s (le m.4 . Si A/.l est, lin annea.ii (1~:Gorcnstein, il eii est d r rrlCrr~etlr A (no4, cor. de la prop. 7). 4) Soit A 1111 a.rlrleair local rioetliéricr~rbgiilier ; alors A est nrl anneau de Gorensteir~.Er1 CM,soit, x uri systkir~cth: c:oordoiniées de A (VIII, 5 5. ri0 L, dkf. 1 ) . La. s u i k x ( ' ~ 1A-rég.uli?rc (h:. (:%t..no 2, th. 1) 1:t crigcnïlre l'idbiil mn : on pciit tlorlc appliquer l'cxerrlple 3. 5) Toiit anr~eaiiquotient tl'im aniicair prin(:ipirl est lin arineaii de Corcnsteiri (cxc:rr~ple2). Er1 partiwlicr, tolite algèbre rrioriogPnc siir lin corps est iiri a.rinoaii tlc Gorenstein.

'

(i) A est cm an7~ea.ude G'orenstc.in ;

(ii) le A-module A est inject(f ;' (iii) Ir K p s p a c e vectoriel IhIlnA(KA.A) est de di7ner~sior~ 1. I A tellc yuc q ( z ) = IJ ; coniine A est injectif, clle s'ktend en 1111 erldornorphisinc tic A , cc qui eritraîrle que Y appartient à. A:L,d'où (iii). S u p ~ ) ( ~ m r i ~ r i v c r s e mque e i ~ tH ( X I I ~ ( K ~ , A soit ) ilc dimension 1. Soit LJI iin A-rrlotliile dc type fini ; il est, dc longueur finie, tloiic possède iirie siiit~ede coinp o s i h n dont les q i i ~ t ~ i ~sont n t s isoniorplies à. K*. On eii déduit pa.r réciirrcrice sur la lorlgueur de M l'ir16gw.litt; longA(HornA(M,A)) loiigA(M). Dans la siiite cxactc tlcs modules tllc:xtensinns

<

on a donc lorigA(HorriA(mA, A)) 6 longA(nia) = lorig(A) - I = longA(Imoc) . Par ( K ~ A) , CS^ nul ct lc A-rnodirle A est iiljectif (no 3, suitac a (:SI, sin-jcctivc, prop. 4).

EX^.:

. Soit A ,un wur~eu'u locu,l rioethe'rrera tel que diA(A) = +oc . on (1. pour t m t entier i 3 dirn(A) . Raisonrioris pa.r r6ciirrcricc sur tlirn(A) . Lorsque clim(A) = O , m~ est I'iiriique i(lCa1 premier de A et l'a,ssertion résulte de la prop. 6 (lu rio 3. Si~pposoiistioric. dini(A) > 0 et soit p un idéal prernier (le A distinct dc n 1 ~; or1 a. dors . Si diAp(AP) +cc, l'hypotlli:~~ dc rCcurr~r~c:<: i~npliquc dim(Ap) < dirr~(A) Il:xtip ( ~ ( p, .Ap) ) # O polir tout enticr j 3 dim(Ap) ; d'a~)ri:slc leinnie 3 dii 5 1, no 7, cela i n i p l i q i ~E X ~ ~ ( A) K& f ,O pour tout cnticr ,i 2 diin(Ap) + dim(A/p) ; et cn particulier pour i 2 dini(A) (VIII, 5 1, II" 3, prop. 8, 1))). Tl nous reste ti traiter le cas où diA(A) est infiriir rmis où la. tlirneiwion injcctivc: de A,, pst finie pour tout itlCal prerrlicr p dc A distinct de m*. Polir 1111 tcl itli.nl, on a. dans ce cas, d'après la prop. 10;diAp(Ap) = dim(A P ) < dim(A) , donc Exti,(~(p),A= ~ )O polir i 3 dirn(A). Puisque diA(A) cst infinie, la. prop. 6 du , f O polir toiit enticr i 3 dirn(A). 11" 3 impose alors E s t i ( ~ * A) Lemme 2

EX~;(K,,

, A) # O

-

SH~OR 2~ (Bass). M E Soit A ~ 7 1 m7~r~l.u , local n,oethérien ; posonx d = tlirri(A) . Soient x = . ( x i , . . . ,.rd) ,une s ~ l % ksécante rr~,ncl;.l.rnale d'élémcnts de ln*, ct x l'idéal qu'elle enqendre. Lcs coiidilio7as srLr.uantes sont e'qui7inlerrtes :

(i) A est un, arr.r~cande Go,rc.r~.stcin ; (ii) on

(1,

di,\ ( A ) = d ;

(iii) il existe un entier i > d tel que E x t ; , ( ~ A) ~, (iv) on a E x i , l ( ~ *A) , = O pour i est de dimension 1 ;

ei,

=

O ;

le ~ ~ - e s p a ca er c l o ~ i e lEX~,:(K,,

A)

(vi) la s ~ ~ i xt e est A-rkgulière et le ~ ~ - e . s p a ~iectoriel ce ~ I o ~ I ~ ( AIX) K ~ , est de di.rr~easio,r~, 1. L'équivaleiice de (i), (ii) et (iii) rbsirlte du lernrrie 2 et de la prop. 10. Si a . ~cst ~ de Macaulay (5 2; t i . x t A ( ~ ~ , Aest ) nul pour. tout er~tier.i < (1, l ' a r ~ i ~ c A 11" 3, prop 3) ; si l'ürirlcai* A est tlc: Mami~liiy,la, suitc x est A-rCguliGrc (loc. cit., th. 1) ; si la suite x est A-régidiére, on a EX~;(K*,A) = O poi1r 1: < il et, les K*-espaces vectoriels E X ~ ~ ( K ~et, IAf o) ~ r i , ~ ( ~ ~ , A sont / x )isorrioipkies (A, X, p. 166, prop. 9). Cela prouve l'équiwlence des corrditioris (iv). (v) et (vi). Proilvons que (i) irnpliqiie (v) : si A rst. lin anneau de Corenstrin, c'est lin anneail de ICIaca,ulüy (prop. 10). La suite x est alors A-régulière (5 2, r1° 3, prop. 4): d o r ~ A/x est. 1111 anncm artinicri de Gorcristcin (cxcrnplc 2), dc sorte que lc K~-espa.cc vectoriel H o m A ( ~ *A, l r ) est, de diniension 1 . Proi~vonscrlfiil qilc (vi) iinpliqi~c(i) : soiis llhypot,hbsc(vi), l'a.~incri.i~ A l x est im anncwi de Corcnstein (lcrnrnc 1).donc A <:si,im aiiiica.il d~ Gorcnst-cin (c~xcnlplc3).

Ccla r6siiltc

t h

th. 2 si A est lin imilcail tlc Gorcnstcii~ct clil lcrn~ncs2 siiloii.

(iii) porrr tout idkd mazi.rrt,d Ext:,,,, (A/m, A,) = O .

111

de A, il eziste un ent%er ;,

> ht(m) tel grre

(i) + (ii) : cela rCsliltc clil th. 2 iq~pliqiii.à l'anncnii local dc Gorciistciii Ap (exemple 1). (ii) + (iii) : c'est Lrivial. (iii) + (i) : sous l'hypotl~iw(iii), A,,, cst 1111 anuciiu de Gortwstcin pour tou1 idéal maximal m de A (th. 2), et A est de Coreristein.

8

X"

PROFONDISIJK l','Y D I M E N S I O N HOMOLOGIQIJE

8. Anneaux de Gorcnstein et algèbres platcs

Soil. p : A i IJ ,un, h,orrrortmrphasrn,e loca,l d'ar~netiuzloccmr: plal. Lcs t~t,d~tion,ç sui7;antes s o ~ c!t[ti,ilic~~t noe2hc'~irns,fuisart,1 de R wrr 4-rr1,odl~l~ lentrs : (i) B est un, (mrt,eau dc Gorcnstcin ; (ii)A c t K~ 8.4 B son1 des cmrreairrr de Gorenstein. Traitons d'abord le cas oii les a.nneaux A et B sorit ar1,iriicris. Notons C l'airncau 1oc:a.l K~ ";'.y B ; son cu~.psr'."idiiel K(; s'identifie à. K~ . Pilisqiir P> est plat sur A , lc ~ ;M A B (1, § 2,no 10, prop. 11); R-rr~o(liik1ToinD(C,n) t:st isomorphe à 1 1 0 l n ~ ( KA) donc à Horn*(~*,A) M,,, c . 0 1 1 er1 dbtiuit une sirile tl'isornorphisrncs

r-'iw~osrrio12.

En particulicr, oii a [HOmB(KB,B) : K ~ = J [Horu;\ ( K * , A) : K*] [HOIIIC ( K ~ C) , : K~;] et la. proposi1,iou rbsiilte alors dii lrrrrrne 1 du no 7. Passoris ail cas g41iérn.l.Si 1'0x1 remplace daris 1'6iioric6 le mot « Gorciistcin » par lc rrrot- << Ma.ca.ulay», la proposil,ioir test lin cas particulicr dc la. prop. 10 du 5 2, no 7. Ori peut (loirc siigposcr que les a.iincaiix A , 13 et C = K~ @A B sont de Macitislay. Le T3-rriodiilc C est, rnaca,ulaym (§ 2, n" l , exeiriplc 4). Posons r = tliin(A) . s dirri(C) . Il existe une suitc A-r6giili6rc ( x i , . . . , :r,) d'déments tle m* et unc suito (yl , . . . ,:ys) d'bléi~~crits tlr r n ~rbgulibre pour le B-inodule C ($ 2, nu 3; prop. 3) ; ii»t,orrs x I'idCd de A et -) I1itii.al de B yu'clles crrgcrrtlrent respectivement. La. suitc (,yI, . . . ,?/,, p(.r;I), , p ( : x T ) ) est U-rClgulii.rc (5 l >rio 6, prop. I l ) ci, le A-rnodiilc B/-1 est p1a.t (loc. cit., prop. 10). L'horiiomorpliisnir tlc A/* d m s B/(xB + g) tlbtiiiit dc p par. passage aiix qiiotieiits fait donc drs B/(xB a ) uri 8.k/ï R / ( r B q ) cst isorriurphr A C / g C . La (AIX)-rriotiiilcplat ct 1'arinca.u K*,: proposition rkwlte a.insi de ln. preinrere partie de la dbniorist,rel,iori,corriptc tcnu de I'cxcrriplc 3 du ri" 7.

-

+

+

(ii) (rcsp. (iii)) pour to'ut idc'al p,rc(:'112,i~7. (resl). rr~n~irnml) q de T3 , les cr,~rnemrn: 1( q ) C I K ( ~ P (q)) ' NA U .so,ri,tde GolrrrsteCrr. Sa de plus H est WL A-rrt,odulc ,fi:dHlrrnrntplat, ces con,dili,ons c,rt,t.ro?n~~n,t A cst ,w a ~ m r n ude Corenstciti. Soit q un idPal prcrriicr (le B ; posons p = p-l(q). L'arine;i.ii I3,, isornorplic à lin a,uriea.ii de fractions de Bp rst plat slir Ap . 1'c)ur que Bq soit un a.rmeüir dc A Ir ~ soient (prop. 12). Gorrnsteiii, il faut et il siiKit que les imncaisx Ap el; K ( ~ ) @Bq (i) + (ii) : s«it:ril, q in1 idbal premier dc B et, p = p-' (q) . Si B est un ariiicail d~ Goreristciii, il en est de iriî.nie de Bq . donc de Ap et ~ ( p @A, ) Uq d'apri:~cc: qui prCcède. D7i~pri:s la rt:rrrwsqiie du 5 2; rl" G , l'arlrleiiii local de ~ ( p@A ) B clr im

A,

idCa1 premier qirelconquc csl, alors un arrrieau de Gorensteiii, cc qui enl,r&ie yuc ~ ( p&jA ) B cst un aimcati de Coreiist,cirl, d'où (ii)'. (ii) + (iii) : c'est clair. (iii) =+ (i) : pour tont idCa1 maximal n de B . il r4siilte du dChut de la démonstration (appliqué avec q = n ) que B, cst iin anneau de Gorenstein, d'où (i). Si B cst un A-inodulc fidi.lesnerit plat,, l'application ap : Spcc(B) + Spec(A) est surjectivc (II, 5 2, no 5, cor. 4 de la prop. I l ) , d'où la dcr11ii.r~assertion.

-

C~R.OLLAIRF, 2. Soicrll A ,un anrleau ~loc:/~i~éT%er~,~ J u n id6d SC A , A le stparc' complitk dc A pour lu topoloqic J-adiquc. Cort.sidbr.ons les corrditions swivuntcs : (i) A est wr ann,eav de Gorensfrin ; (ii) A est 7m aan,eau dc Goresnst~rrr; (iii) pour tout idGa1 ~naz.imn,lrn de A contenard J , A, est u n anrl.eau d e Gorenstrin ; (iv) pour to,ul idéal premier p de A le1 q r ~ cp J # A: Ap ct ~ ( p@A ) A .sont des anmeaux de Corcr~steirr. Les cor~.rlibiorrs(ii) ù (iv) sont e'qirinalrr~tes.et sonl erll,la,tri&s pclr (i). Lor:sque l'id6ul J es1 contensu (larls le 1-rr.diccr.1dc A , les corrditions (i) ù (iv) x m t équ./,valentes. On dCtliiit ce corolla.ire (111 cor. 1 de la rnêrnc faqoii que l'on a dédilit dc la prop. '3 du 5 2, no 7, son corollnir~4 : il sufit
+

COROLLAIRE 3 . S o i ~ n tA u n annrau de Gorcn,stein, et urre famille 6d'indéterrnia6es. Les nn,n,ra,uaï A[(rl'j)ltI] et A[[(T,)i,I]] sont des anneaux de Gormsteir~. Pour tout corps k , l'anncau k[T] est de Gorcnstcir~(no 7, excrnplc 5) ; par aillciirs l'anneau A[T] cst nocthérien. C'cst donc un anuean de Corcnst,eirl (cor. 1). On cri déduit par rhcurrence sur Card(1) que A[(Ti)i,I] cst 1111 anneau de Gorcilstein ; puis on applique le cor. 2. ~L%P

1. Propriét6s homologiques élérnc~itairesd e s a n n e a u x locaux rbguliers

-

P r r o ~ o s r ~ r 1.r o ~ Soient A u n urrrLecm locc~ln,oeth,r:rien régulier et n scr, ilinr~nmon,. 071, a

dli(A)

n et, pour t o t ~ tcrtlier Z

2 0,

Soit x = (.xi, . . . , x,,) im s y s t h e dc coordoiln6cs tlt, A (VTTT, $ 5, no 1, déï. 1 ) . La. suite x cilgcritlrr m4 et. cst cornplèteirient SCC~LIII~ pour A (loc. cit., no 2 , th. 1). TJe coniplexc tlc Kosziil K,(x? A) est u i ~ cr6solnliori librt, dc K A (A, X, p. 159, rrrnaqiic S), dont la diff6rerit,iell~est riiillc inodulo r n .~Pour toiit entier i 2 O , on a donc (3 3, rl" 3, forrr~iile(L))

Il r6siilt,e alors di1 cor. 1 de la. prop. 4 dii no 3,

5 3 qiic tlli(A) = 71

P n o ~ o s r ~ r 2. r o ~ Un

( I , T L T ~ , ~ ~ J(Local ;U n,oethérien r é , q ~ d %est c ~~actoriel. D'après la prop. 1. tout inodulc tlc type Fini sur im anileau local ilnathérien régulier diriet une résolution projet:i,iw de longiieiir finie par dcs rr~odiilesproject,ifs (le type fini, tloiic libres (II, S 3, ri0 2, cor. '2 tir la prop. 5). 11 r4si1lte alors (le V l l , $ 3, no 7. cor. 3 de la prop. 16 qu'un t,cl a.riiieaii est factoricl. -

P I ~ O P ~ S I ~3 I.. I O Soien/, N A ,urr an,rrrnu local noetlcérieri, r&,qulier.et M Irn A-module nwn nul de type Jirri. Sa di.rr~ercsion,proj~ctitleest finie et 1 'osri. (1. dp,, (M) -t prof,, (M) = dini(A) .

En effet, IL1 cst (le dirric:rision projective h i c (prop. l), et, l'on a prof(A) = dirri(Â) puisque A est i i r i a.riiie;rii de Ma.caiilay (5 2. ri" 5, excrnplc 7). On appliquc alors le th. 1 du !i 3, ri0 5 .

COH.OLI,ATRE 1. O n (,I dp4(M) 2 dim(A) - dim(hl) ; 1701~7.qu'il y ait igalilé, il faut et il s u f i t we R/I soit macn,ulaye.n. COROLLAIRE 2 . Po~rrqu,e le A-modulc WI soit libre, il faut et il suffit qu'il soit mmcuulaycn ct de dirn,ension tlirii(A) , »v encore qu'il soit de profondeur 3 tlirn(A) . COROLLAIRE 3 . T O I Lrr~odule ~ r.(ficx(J dc Rype j k i sur 'un anneu'u locd noethri'r?en régulier de dim.cn,.sion '2 cst libre. En effet, i i r i ariricau local riocthérien régulier est irltégialcrnent clos (VI11, 5 5, no 2: cor. 1 du th. 1). Le corollaire 3 résultc donc d u corolla.ire 2 ct du $ 1, no 10, prop. 16.

C O R O L L A4~ H.Soit p : A -+ B un h,o,m,o,rr~,orphl;sm, lord d7u:rinecru:r;locuuz noethGrLer~s.0.n suppose que A est réplier cl, que p ,fail dp B mi, A-niodulc de t y p e fini. On a alori; dpA(U) 3 diirr(A) - dini(l3) . l ' o ~ ~que r U soii, u n c~rrrrca~~, (de AT(],caulny, il f(~,utet il SU& ~ L I'ori, C (rit tlpA(J3) = tlirrl(A) clirii(l3). Pour que B soi/, un, a,nn,rnu dr ~VIuc~aulq dr tlinmtsio~rt~ &11e à, t l i n ~ ( A ) 41 , faut et il sujfii, que le A-module 13 soil libre. En effet, o n a diin(B) = dirnA(B) (VI11, jj 2; n o 3, th. 1) ; par nillciirs, B cst 1111 nnncaii tic n'lncni~laysi ct sc.iilcrncnt si c'cst url A-~nodulcdc h/lacaillay ((!i 2, no 6! prop. 8). Tl suÏFit donc d'nppliqiicr lcs corollnircs 1 c t 2. -

Re,rrtmrcjue.- Le corollaire 4 pernict de ca.ract,i.riscrIcs amicaux locaux (le Macaulay (1a.n~ plusieurs cas importants. Soit, A IUI anneail local r~octlii.rieii; c'est LUI ;mireau de Macaulay si et sedernent s'il en est, ainsi (le A (5 2, rio 7 ; < W . i (Ic la prop. 9). Supposons désormais l'arineaii local 4 corr~plrtet posons d - dirn(A) . a) Supposons que A possède uri sous-corps. II possiidc alors lin soirs-corps de rcpri.sc:rilarits K (IX, !i 3, II' 3 ) , et il existe ime algkl~re(le skries formelles A (/oc. E = 1<[['11, . . . , '1 ,,]] et uri horr~oriiorpliisrriesur:jectif de K-algkljres li: cd.) ; il cxisk missi iii~calgi.l)re ri(? skies forrnelies E' = K[['l'i.. . . et 1111 liorriorr~or~~llisrric Iocid irijcïtif tic K-algèbres E' - > A tel que A soit une algtljre finir sur E' (loc. clt.). Idespropriétés sui~mntessont bquivalerites :

-

(i) A est iIn aiirleaii de M;ico.ulay ;

(ii) oir a dp, (A) = 71 (iii) A est

u11

-

cl ;

F:'-iriodidr libre.

1)) Siipposoris que le corps rCsidirel de A soit de carai:tbristiqiw p > O . Il existe uri yariiicau de longueur +w , de corps rbsiiluel K A (LX, 5 2, no 3 , prop. 5). Soit C ilri tel aiineaii ; il existe iiile algèljre de séries f~jrrriellesFC = C[[Tl.. . . . T,, Ij et, iin homomorphismr siir,jcctiî p : E + A (JX, 2, n o 5,th. 3). Idesprop~iétbssuiv;mtes sont i:qiiivalentcs :

(i) A cst lui arincau dc Macnirlay ; (ii) on a dp,(A)

=n

+ 1- ri.

Siipposonsde pliis qiie pl^ lie soit pas diviseur de zéro dans A ; il cxisk alon rrnr: a1gi:brc tlc sCric:s îorrr~cllcsE' = K[[7'1, . . . ' 1 ' , 1 111 et uri horrioiiiorplrisirre local in,jcd,il'dc K-aIg5brcs F:' + A tel que A soit une a,lgi.l)re finie sur E' (/or. cit.). L'anriraii local Er csl, rCgiilicr, de tlirnrrisioil ,TL+ 1 (VIII, !i 5, ri" 5, exeiriple 2). I,es i:orrditioiis prti:t
cas

des modrilcs, voir le

ï

3,

rio

.5.

2. Garactérisatiori hornologiqiie des anneaux noethCriens réguliers

I H R O R ~ M E I ( S e r r e ) . I'our qu'un anneau Local n o e M r i e n so,it régdirr; iI f0,ut et il s u f i t quc su dirr~c,nsionhorr~olo,qiqucsoit ,fi~aic. Noiis avoiis vu qiiliiil armeaii local 11octllCricr1r6gulicr cst dc dimciisioa liorrrologiyuc finie (prop. 1). r

3

Inversement, soit A im üilncwii local noethérieil (le dirrmwion homologique firlie n ; tl'apr&s le $ 3, n" 3, cor. 2 de la. prop. 4 ct n" 5, 111. l. ori a. II = &(A) =

Si

t l p * ( ~= ~ )prof (A) .

0 , lc A-rnodule KA cst librc, donc ma = O et A est url corps. Supposons ra,isoririonspar rCcurrer~(:t;siir n,.Puisque prof (A) > 0: l'idéal m~ n'est p a associi: à A (5 1, no 1, remarque 2), donc ii'rst pas conteriu d m s la r6imiori de ni; ct des idéaux associés à. A (TI, $ 1, ri" 1, prop. 2 ) . P x coi~si'ipnt(IV, j! 1, 11" 1. cor. 2 de la. prop. 2), or1 peiit t,rouver un C.léiilcrit z (le m~ m i tel que l'hoinotl-iktie z~ soit ii~jcctivc:.Notons P> I'ailrieau local rloethckien A/sA et consitléroiis la suite dc A-rrioclules 'rt

'11, =

> O et

-

où 1';i.pplication i es(, tli.tliiit,e par passage aux yuot,ients dc I7a,pplication n 1 + u,z (le A dans m~ ct où p est, la siirjectioii canorliqilc ; rlle est exacte. l'uisyilc la classe de z dans le K A - c s ~ ~ vcd,orid c ~ m,j/mi n'est, pas riulItlj il cxist,c iiric applicatiori &linéa.ire : -> K A avec +(:c) 1 ; pa.r p;~.ssa.g(: im quotient, ou déduit dc~ iine rétraction tlc i , (le s»rt,e qiie ln silitc cxacte préc:édwitr est scindbc. Cela c:ritrWric lcs relalious

+

-

+

-

(cor. 2 de la prop. 7 (111 3 3: nu 4 ct A, X: p. 135, cor. 1).Le cor.. 2 dc loi:. cit. appliqiib ciltraîrlc (IpD(~yj) < +m. à la suite exacte tic B-nlodulcs O + in73 + >- Kn L'arliicau B cst donc de tlirnensiorl liornologiqi~cfini<:(5 3, ri" 3, cor. 2 dc la prop. 4), et dc profo~ldci~r n - I (5 1, rr" 4, proy. 7 (:1, no :3, cor. de la prop. 4). 11 rhsiilte dc l'hypothbse de r&ilrrence yiic U est rkgrilier, tioric qiie A est rkgulier (VITT, 5 5, 11" 3, cor. 1 (lc la prop. 2). I'ar coiiséyiic:rlt, si A cst ini armeau local rioctli8rien. il y i l cl~~iiivideiicc critrr les trois p)r«priCtCs si~iva.iutes: (i) ,4 est, régulier ; (ii) Ir A-inodulc K A est (le diincnsion projcctivt: fiiiic ; (iii) tout A-rilodiile (Ir type fini est dc chxmsiori proj&ivc < +xi.

P I ~ O P ~ S4.I ~ Soit J~N A a m r ~ north6ricn. . ~ ~ Les cortdikior~ss?ti?~an,tes sonl, &pi.cialrrrfes : (i) A rst r@~lil:r ; (ii) t o ~ A-m,odule ~t de type fin,i est de darrt,rnsion.projec2i1)e < toc ; (iii) ~ O , I L tout T i d é d rrrmirnod m de A , lu dirnensiori p,rojectiar de A/m est ,finie ; (iv) pour tout id&l pmm,ier p de A , l'anncuu locnl Al, cst r c j / ~ l i c r . -

Soit p iin idPa1 premier (le A si le A-niodille A/p est de dimcslsion projrctivc finie, il en est de ir16irie di1 Ap-moditle ~ ( p d'après ) le cor. 1 de la prop. 3 dis 3: ri0 2, de sort^ que I'ilnr1em1 local Ap est r6giilier (t,li. 1). On en dPdilit q11~(iij impliqiic (iv) et qiic (iii) impliqne (i). Lcs implications (iv) 3 (i) et (ii) + (iii) sont claires. Proiivoris que (i) implique (ii). Soit M un A-rnodiilc dc type fini. Sous l'l'ydh(A,) < +cc pour tout. idéal rrlaxirnal m de A pothèsc (i), on a. dp-kn,(M,) sx (3 3, no 2, cor. 2 de la (no 1 , prop. 1) ; donc M est de dimension projcctivc < + prop. 3), d'ail (ii).

s

<

E m m p l r s . 1) Si l'anncais A est régulier, l'a,r~nea.u tlc fractions S ' A est régulier pour t,oiite pa.rtie miiltiplicative S de A : cela rbsulte par cxernple de la caraclérisatiou (iii) ci-tlcssiis. 2) Pour qu'un ailneau soit r6gulicr. il h.ut ct il sutht qu'il soit isomorplie an produit d'iiric famille firiic d'anncniix rCgulicrs intègrcs ; ccla résultc en cffkt tlc cc yisc tout anneau r6gislicr est localement isitkgre (5 1, no 8), puisqilc les anneaux locaux réguliers sont intègres. 3) Les armcaux réguliers iriti!grcs de dim@on 1 sorrl les ailileaux de Dedekirltl (VIII, 5 5, SI" 1, excriiplc 1 et VII, !i 2, lio 2, th6orèriic 1).

<

nocth&ien. Les co7t,dit%onçS U % ~ I Q , T ~ , ~S COS? I , ~f?piCO~
(ti 3, SI" 2, p r o p 3 et VIII, 1, no 3, prop. 8). D'autre part, si tll~(A)< t w , l'armcnii A cst rCgulicr d1apri>sla prop. 4. Le corollairc eii résulte. Il cxiste des aririeaiix rioetli6ricns régi~liersde dimcnsiorl irlfiriie (VIII, ji 5, exerc. 6).

IJri (LTL'~LC:UU +plier. est .r~ormci.l,de Coru:rrste?n el de hfuca.c~lay. COROLLAILIE 2. En cffct, ilri ansleau local rkgiilicr est iriti.gralcmcnt clos (VITI, 5 5, r i 0 2, cor. 1 clil th. l ) , de Gorcnstcin (5 3, rio 9, exemple 4) ct (le Ma.ca.ulay 2. II" 5,rxeniple 6).

(s

C ~ R O L L A I H3E Soient A u.n anrrenu noeth6r.ien,>.J (171 i(160.1(le A et A Ir .sf!p.iar.6 corri,pl6té de A pour In topohqic. .T-ncliqre. a) Pour que I'arr~eauA soit r6gulae~ il faut et il s7&t p r , pour. to'ut idkul mazzmal ni de A contermr/,t .J, l'anneau A, soit r6,qulier. 1 ) ) Si l'awr~ecr:~ A e s t r&c~licr, l'ar~rreuuA r,sL r6,quliev. Si i'c~lrr~au A est ri;~%/.lirr eh l'idéd J cortlerm dans le rndicul de A , I'arr7~eu.uA est r6,q~~liw.

-

52,

-

D'aprks la prop. 8 de III, no il,poiir qiic l'aniicai~A soit rkgi~licr.il faut et il suffit qu'il en soit ainsi (le A; poiir toiit idéal rnaxiinal tn de 4 contenant J . Comme les c:omplMs drs anncaiu: 1oca.u~An; et A, sont isorrmrplics (loç. cit.), l'assertion a) résiilte de VIII, $ 5, il" 1, cor. de la prop. 1. L';tsscrti»ii 1)) ri:siiltc dc a ) .

CORo LLAIKE 4 . Soierct A rrri. arin,ctm rc%yu,li~r ct P U ~ A L - m o ~ h kpro,ject(f de type jrei. L'algèbre syrnhiclue SA(P) esL un, arrrieau, rkg~lier. Soienl p un i d h l premier de SA(P)et q son image r6ciproqiic dans A . L'ani~c:a.ii local SA(P)p est IIII aririeau de fractions (le l'aiinea,ii SA(P),, qui est isornorphr A SA,,(Pq) (A, III, p. 72, prop. 7) ; il suffit dc prouver qiie ce dernier est. rCguliei. Celii. rlous rarnkric 8.11cixi o i ~A est local ; rna.is alors 1' est libre de t,ype fini. D'aprss 13 prop. 1 di* no 1 et ,4, X, p. 143, cor. 1, on n dh(SA(P))- tlh(A) t-rgA(P) < +cm, et SA(P)est régiilier d3a.prèsla piop. 4.

3. Armeaux r6giiliers et algèbres finies

cl) Co,cr,l idc'cd pr.rcn~ier,rrrirsilrrnl (lc. Suppl,(N) csL uwdessus d"un idécel p m m i ~ r rrrinirnal (kA . Alors K est un A-module p?jecti,f (ilc I:ljpe ,fini). Tl s'agit de proilvcr que, pour t,oiit idéal rna.ximal m tle A , le A,-iiiodi~lr NI,, o s t librn (Il. 5 5, no 2, th. 1 ) . T,e A-ir~odul~ E3/AiinB(N) est lin soiis-module tlii A-rnodule dc type fini ErdA(N) donc est de type fini. Si l'on rrrripla.ce U par B/ Arinn(N); les Irypollit.ses de la proposition sont crlcorc vbrifii.cs (5 2 , nu 1, c:xornplc 5) ; on peut don<: supposer que B est im A-rilotliile de t,ype fini et (pic Spcc(B) . Silppn (N) : Soit n~ in1 idéal rriaximal tir SiippA(N) ; j~osoiisn = tlini(A,,,) . D'après le cor. 2 de la prop. 3 tlii no 1, il siiffit de proilver qiic N, est lin A,-rnodi~lc n~acaul;i;eri de diiriensiori ri . Tout itltal maxinial clc B , est (le la. formc nB, , oii n c~sti i r l idéal prcrnicr de l3 a-dessiis (le m (V, !i 2, 11" 1, leirime 1 et prop. 1). Soit p i i i i idéal preinicr miriirrlal de SiippE(N) , contcriii da.11~ n . TA partie fernléc V(pB,,) de SuppBn(N,) est, alors de coclimcrision nulle ; lc B,,-rriotliilr N, Mant inacaul~yeri, (N,) ,, dirn(B,/pB,). Ma.is le cor. de la prop. 2, 5 2, n o 2 entraîne 1'6galiLC t l i r r ~ ~ p cst a.u-dcssus d'im idéal premier rniilimal de A , c:orit,(wi dans IV, dc sorte qiic:

-

Soit B ilrie A-algi'brc dc I,vpr fini ; il cxistc im eriscrril)l(:fini T et 1111 lioi~iornorpliisrrlc. sirijec:tif A[('l'i)i,l] + B , donc lin ].iornornoipliisrr~(. siirjrct,if R[('l',),,r] + Il . Comme l'aririeaii Il.[('l'i),,r] esl ïi:giilic+ï (ri0 2, cor. 5 dp la prop. 4 ) , l'aiiricail B est prCsenthblc. 1-1) Posorls 1 = p '(.J) et imtoris Tt le sbpa.i.6 corrlplétb (le lt poix In t,opologie 1-atliqiic: ; poilr clinque ciillier ,TI. 2 0 , l'application c;tnoriiqiic --. l'"/I"+L > tJn/.J"-'l cst surjrc:i,ivr. Pi1.r consi.qilcnL, I'lwir~on~oyliisriie 1Z + A tlkli~it.(le p cst su~jrct,if (III, 5 2, no 8, <m.2 dii th. 1) ; wrrirnr. R.est r6gidicï (ri" 2, (.or.. 3 tic la prop. 4), l'arinctaii A es(, pi.bseriti~.hlc. c) Cclit iésiiltr de 1X; 5 2, no 5, t h . 3 a) ci; JX, ii 3, ri0 3; th. 2 a,). cl) Soit rn* l'idéal rriuxirrial d r A : alors p = p - ' ( n ~ n ) est 1111 idCa1 prctuic:r. tic H,, l'arlncwu 1ocn.l lip cst r6guliri et I'l-iornoniurpliisrrip R,,+ A d6cluit tlc p est. 1oc.d et si11:jec:tif. A

A

5 . Anneaux riiguliers et extensioris plates

1 ' ~ o r o s r ~ r r8o ~ .

s Soit p : -4 -i 13 '11r1, lro~m,orn,o,rphisrried ' a n m e a ~ ~rsocth6r~ier~s f(~i,str,n,/, de i 3 lm A-rnodde jidtkraenf pltri,. VI) . a ) Po'w tout ~-rnocl?dcRI[ c/r typ(: firilri, o,n a, (fph(M) dp,(B h) Si l'a~~;r~ca.u B es/. r l g d i e r , l'anr~c«uA est ré,yulier.

-

Ac

x 60

PROFONDEUR. K~<:ITT ARITF,,

6

~t~41,11'1:,

/I

Lc B-module B @ A M est de type fini (1. 3 3. i l 0 6, prop. 12). Poix qu'il soit. nul, il faut et il sufit que M le soit (1, 5 Y, ri0 1;déf. I ) : pour qu'il soit projcc:l,if,il faut cbt il suffit que M soit un A-modide projectif (T, no 6, prop. 12). Cela. prouve a.) lorsyuc: dpA(M) O . Supposons donc dpA(kt) 3 1 (d'oh dpB(13 @, M) 2 1) et tlénion1,rons a) pa,r r6ciirreilce siir dpA(M) . Clmisissor~sillie sliit,~exa.rte de A-rnodiiles

<

où I r A-niodide L est libre de type fii~i.Oii a dpA(Y) - dpA(hl) 1 (A, X, 1) 135, cor. 2 de la prop. 1 ) . Cornmc B est plat sui A , la suitc -

N) = dpB(B @ A 1\11) est e ~ a r t cet on a dpB(B appliqii6~à N pç.rmd tlr con( liirr Ccla prouvc a) de la prop 4 dii no 2

-

1 L'llypollihse dc récurrcilrc a) el

, l'c~iscrtionb) rbsultc de

C o i e o ~ ~ l \ i n ~Soit . B un anrieau r6g:gulier intsgy-e rt soit A

rrn sous-czri.n,e~u ,rc.oethérien de B le1 quc B soit .un, A-module de t y p 4 n i . Les condition,^ suimn,t(,s sont : L~u?~cialcntes (i) A csl r&ulier ; (ii) B est un A-rrrodde projectif ; (iii) B est un A-rrcodule plat ; (iv) B est un A-modulc jidèl~m,en,tplat.

tiii

(i) +- (ii) : cela. r6siilte du cor. de la prop. 5 clil 11" 3. (ii) . i(iii) : cela riisiiltc dc 1, 3, 11" 1, prop. 1. (iii) + (iv) : poix t,oiit id&l preiuicr p de A , on a, pB # B (V, 5 2. no 1, cor. 1 théorhmc 1). Il siiffit dors tl';i.ppliyiier 1, !j 3, II" 1, prop. 1. (iv) + (i) : cela. rbsiilte de la prop. 8, 1)).

Pour tout aiincail local ilocthérien A , notons 6(A) l'ent,ier

Xappclorls (VIII, 5 5, no 1) yuc &(A) cst toujours positif et c l u ~son nnniilittion c:a.ractérise les arlrleaiix locaux réguliers. local d'a.nneaux locaux noethériens ; on Soit, p : A + B iin I~or~~or~~oiplrisrric ~ ~ - 1 i n é a i rmA/n
6(B) + [Ker(dp) : K

~= ]

Ô(h)

Notons C l'anncaii local

+ Ô(K*

OOA B)

~4 @A. B .

+ (dim(A)

- dim(U)

+ dilll(KA @A B))

C o ~ ~ b i d é la ~ osuite ~ ~ s cxactc de B-rnodiilcs

par produit tcnsoricl avec

KR,

on obtient unc suik rxüct,e de ~i<-rspô.ces vcctoricls

d'oii l'on dbduit I'égaliti.

qui entraîne lc lcir~rric. : A i R un, horn,omorplUs7rct:,elocal d'artrrea?r:x. Io(:mr:r noetlr&irn,s. Les c o ~ d i l i o n smlvantes .son,t iquivalerrtes : (i) l'anneau U cst rb!yl~lierel l'o,pplication KR-linéairc

Soi/, p P R O P ~ S I T9.-I ~ N

<

Ori o, dim(B) dim(A) 1 < l i r r l (8 ~. 4 ~B) (VTIJ, 5 3, no 4, cor. 1 tic lx prop. 7) ; 1'6q11ival~nc.e de (i) et (iv) r6sultc donc dii lernrne 1. Sous l'hypotlikse (ii); le A-module R est fidi.lenicnt plal, pirisqu'on a m,\Rc inu # U (1: 5 3, no 1, prop. l ) , ce qui eintiï~înc(iii) d'aprCs la prop. 8. L'irriplica.t,ion(iii) (iv) rCsillte de VIII, loc. çit. Il noiis suffit maintenant dc proiivor que lorsque les conditions Ccpivalrrrl~rs(i) et (iv) sont. satisfaites, 1c A-niotli~leB est plat,. Soit x lin systkrlic tlc co«r.clorinérs de A . Piiisqile tip cst injective, l'image par p (le cct,t8csuite fait partic d'un systhrric: de coordonrikes de B . Ainsi ln. suite x csl c:ompli.teinerit sécante pour A cl pour B (VIII, 5 5, ri0 3, prop. 2), et cngcndre l'idéal n l ~de A . D'aprCs la rcrnarqire 3 dr A, X, p. 159, lc A-rnodule TOI.~(K,,.£3) est isornorphc à H I ( x II) ! donc est, nul ; il c w r6siilte qiic B est plat sur A (III, $ 5, 11" 2, th. J et no 4, prop. 2). e r r p * Soient X , Y tlciix vari6ti.s nnalyt,iyirrs c:oinplexrs, localcrnent dc tliincnsioii finie, ,f uri niorphisnic de X daris Y , e l :r: iiri poirit (le X . Considérons Ox,rn.ssocii. ù S. L1applir:o,lion dp est la, l'homoinoïpliisir~c locw.1 p : A'y,f(-c) : T,(X) + Tf(:,:)(Y).T m conditions transposée
-'r,,(f)

1. Idéal engendré par une suite cornplkterrlent sécante

DÉFINITION1. So,ier~t IL^, anneau, J %I,?L idkul de A . On dit que I'idCal J est con~plèlerrrer~l ç6c«ri,l aur. po,irct p dc V(.J) s i I'idCd .Tp de A,, est fqqendré par Irn,e suite complClern,errls é ï ~ r r l xpo%~7. Ap . On dit q u e .T pst corn,pl&tem,ents6cnnt s'il l'est erc tous les points de V(.T) . Si 1'itlh.l J tlr A est c.ompli.tcincnt s6c;mt, il en est de même dc I'itlPal Sp',J de SplA polir toute partic iiiultiplica.tive S de A . Tout idéal engendré par une suit;(+cornplhterrierit sécô.nt,e est coinplhterneiit sécarit. Plus pri:cisi:mciit :

-

P F W F J ~ S 1I .~ I Soien,t ~ I ~ NA TI^ utmeclu, J un idéal de A , engend~c'p a r w,rse çcAfe ( a i ,. . . , :x,) d'P1é~r~entsde A . Les coriditions suiva?ztes s m t +uiv~a.finie x lentes : (i) ln sui1;c x est c«,rrrplbturwrit sPcan,le pour

il ;

(ii) (rcsp. (ii')) pour tout idéal pre,rn,i~r(resp. rri,az2rrd) p x dari,s A,, est coni,~)li.tr:rr~,cntt .sPruri.te pour A,, ;

E

V ( J ) , l'ivrnge de

(iii) (rcsp. (iii') ) porur tout idkal prcm,irr (resp. m«.:r:irnal) p E V ( J ) , l'id&/ J est corr~plètcrn,en,tskcnnt en p et l'i.rri,(qe de x d a m Ir: ~(p)-esp«crr~ectoriel~ ( p ) ,J en forme m e base. (iv) pour tout crrtier rr 3 0 , le A/.T-rn.od~~l~ JTL/.J1'+' est libre, ei les irrrnges des mo~1,6,rrm:r;yl . . . x:, de degr.6 total n en forment une balse.

Soit p lin i d h l piwnier de A ; notous xp l'image d a r ~ sA,, de la suite x . Pour tout entier 'i 3 O . Ic ilp-niodiile Hl(xpi A p ) est isomorphe à (H,(x, A ) ) p ( A , X, p. 151, 2)) ; il est nul si p ne coiiticr~tpa.s J , puisqu'on a alors J p = Ap ( A , X, p. 148, cor. 2). L'écjuivalei~cede (i), (ii) ct (ii') résulte de là ct dc II; !j 3, ri0 3, (.or. 2 d u th. 1. D'aitre part l'bquivalencc de (ii) et (iii) et celle de (ii') ct (iii') rCsidtcnt t i i i 5 1, no 3, cor. 2 d u th. 1. L'implimtioii (i) + (iv) est iinc coiisi:qiier~ce du th. 1 de A, X, p. 160. Erif i r i la cciudiiion (iv) iiripliqur par localisation la conditior~ aiiahguc pour les

JP/.JP"

(Ap/.Jp)-rri~dules le cor. 1 tlc A, X, p. 160.

pour tout p

E

V(.T) , et ccllc-ci entraîne (ii) d'après

R e n ~ c ~ ~ r q u1) e . Lorsque ~. l'üririeau A est noct;h<:ricn, on priit rrrripla,cer dalis lcs coriditioiis (ii) et (ii') << corripkterrierit sbcmte >> par << r6giiiière » (-4, X, p. 160, cor. 1).

On prriltlra garde qu'il n'en est pas a.irisi daris la condition ( i ) : ilne suite coinpli.tcincnt sécante polir A n'est pas nbccssaireir~ent,A-régulière (exerc. 1).

2) Soient A un a.rinwu, J un idbal tlc Lype fini de A et p un idéal premier tic A conteirarit J . D'a.prBs le cor. 2 di1 th. 1 (lu 5 1, no 3, or1 a.

et il y a Cgalitk si ct srulemeiit si .J est coinplhxiciit s6ca.rit cn p . Siipposoris que .T soit distir~ctde A et crlgeildri. par ilne suite complkt~mciit On a alors (prop. 4 du 1, 11" 3, et prop. 1 ci-(lessus) s6cnilte ( x i , .. . , z.). prof* (J ; A)

irif profAp('JP; A P )= r .

:

PF V (.T)

<

Si tlc plus A est noethbrien, on a codirn(V(,J),Spcr(A)) r (VIJT, 8 3, ri0 3, prop 4) c l piolA(J ; A) codim(V(J).Sp~c(11))(5 1, 11' 7, prop 12), d'où firlalelncnt

<

profn (.T ; A) = r = codiin(V(.l),Spec(A)) = ht (J)

2. Caractérisation des idéaux coniplètemenl sécants

Soient A un aniicnii et J

irll

irléal (le A . TJe A-inodnlc griztlirC

@ J"

ntN

posskde

une: stri~c:t,iirenatiirelle de A-algèbre gmdubc. d(Xnite de la mulliplicatioil daris clc J d u s .T' se prolonge donc en iin Irorr~ol'aimeaii A ; 1'a.pplica.tionicleirtiq~~c inorphisrne siirjectif tic A-algèhrcs gratliiées, (lit ca.rt,orriqw

Par extension dcs scalaires h, l'anneau A/.T. oii dbdiiit (Ir oc,, lin liomomorplrisnir siir,je(:tif de A/.J-a1gPh-es gradubcs, Cgalerncnt dit canonique

a ,: SA ( T )

-+

@ .Tn 71

(iv) lc

cN

est b(jrct./ ;

A/J-rrrodulr

p., : SA/,1 ( J / . J ~ + )

J/Jhet

( A ) est bzjecttf.

prqjectzl c,t

Z'I~orrronrorphismc canloniquc

(i) =+ (ii) : c'est trivi;il. (ii) + (iii) : supposoris la coritlitiori (ii) satisfaite. Il silffit de proiiver q11~pour toi11 idéal rria.xiind ni de A , le A,,/J,-rr~otliile J,,/.T$ est libre et l'krorrior~~orpliismc cu : SA,, (3,11) $.Tm est bijectif (II, ) 5, 11" 2, th. 1 et ) 3, ri0 3, 1-11. 1). Mais ces assertioiis sont triviales lorsque m n'appartient pas à V(J) puisqii'oil a alors lorsque m .Tm = A,, nt elles rGsultrnt
,,",

-

;

Rerr~c~ny.uc 1. Siippposoris 1'idCal J coir~plètemerrtsécarit ; soit (:rl, . . . , r ï , ) lin<, suite tl'élbrrit~nts(le J , tcllc qiie poix tout idéal rriiixilrral m t V(.T) les irria.grs rarror-tiyues tlcs 2, clalls J/mJ Sbrrrierlt une base (le t:t: A/m-espace vc1c:toric:l. Alors le A/Firioclult: J/J%sl libre et lcs irr~agesci~riorliqiresilt~rls.f/.J2 tics a:, cn forment, urlc bnsc : il sullit en cffct dc vbrifirr que les irria.gcs des Y, formerit une bas? t l i i h,/.I,,-rriuclulc J,,/J: poiir h u t m E V(J) (II; 5 3, r1° 3, th. l ) , <:(: qiii r.i.si~ltc de loc. cit., ri0 2, prop. 5 el cor. 2, puisclirr le A,,,/.T,,,-rriodule ,J,ll/.Ji cst projectif (th. 1).

C : ~ H . O L L A T R:.~1 Soirnt A l'amcau S ~ ~ U Ucor~tplPl,C ! de 4 pusur ltc topolo!gie .l-acliq~cet ,J = , J A le st?pcr,~c' corrqdhté dc .T . Po%~1. QUC I'idPed ,1 dc A so,lt corrrplèferrrcrrt shmnt, il:$ml el, il sutfit quc 17idi!u,l .T de A so,lt corry)lt:lerrccril, ç&:(~al. Er1 cffel,, l'npplicatiou cs.rior~iqiiegr,,(A) i gr?(A) cst un isomorphisrrir d'arrrleailx graduts ; il suffit dorlt: d'appliquer le critèrc (iv).

Colior,r,~~r<e 2 . S o h t p : A + R un ho,rrio'rr~o~hl,,srr1,f~ dlann,eauz r~oet/~ér%e~r!~.s fniscmt de 13 rrn A-rn,od~rlcplat, et .T ~ t nr1lGu1 de A . a) Si J P S ~coviplètemcwf sécant, I'idGal JB de B est compldtemcr~tshcclmt. b) Supposort.~yue l',i,ole'cll JI3 dc I3 soit corrrplClerrrent s6cw~tct y.ue lorrl idtlol id6d rr~aZ%n~al dt: B . A107:s l'i~khl.1 rnan.ilna1 111 E V(J) ,soit l ' i m q : & ~ ~ ' I . O C / ~ I C d i ~ m est co111,plètc7nenl çMcar~t.G'cst IP UI,S TIUT ~ ~ e r n p lsit : I3 CS/, 1 ~ 4 1A-rrzotl~r~le jidèlcw~ent plut. Rernarqiroris d'abord qiit:, prlisqiie lc A-riiotlirlt: B est p h t , .llWAP, s'identifie a .JnB et (tJn/tTr'+l)~A/,I (B/.TB) a ,Jn13/J"+lB pour tout erit,ier n 2 O . L1a.ssertioiia) r.bsultc alors di1 rrit,ère (iii). Sous l(,s liypot hèses de t)), le iI1.T-rnod~ilt. R/.TB est litIi:lt~merrlplat (1, 5 2, rrO 7, cor. 2 de la prop. 8 ct i( 3, no 5, prop. 9) ct J est cornlpltleriierit si.ca.rit d'aprk lt: critère (iv), corrlpte tmiu de 1, 5 3, no 1. prop. 2 et 11" 6, prop. 12. La tlerriière asseition rHsiilt,r: de la prop. 8 th: 1, i( 3, no ,5.

C o n o r , ~ ~ i3n .~ : Soi(mI, A ,161~~l,'rtn,f:a~~ ,noethPrien et J ,un id&l corn,~~l?terrre~~.t séccmt de A . Si A est un anrt,eusudr: Moc:mtlny (resp. dc Gorr:rt,stcir~,),sl en est de -

rr~ênscde A/ J . Soit en eKeL m im i d h l rnaximal tlc A <:oiiteiia~iitJ . T,'itl6al J, de A , est crigeiidril par inie siiite A,-rkgulière ; doiic (A/J), est iiii arineaii dc NIacaday (resp. tlc Gorcrlstrir~)t1';i.pri.s 1'ç.xernplc li tlir 5 2. no 6 (rcsp. l'excmplc 2 tlii 5 3, 11" 9). Rerr1.nrp7rr2 . 011 dit qii'uri m n c m noethérien A est iin rrraneau d 7 i n , t e r ~ 2 i o n com,pl?te si, pour toiit itléal rrlaxinial m de A ? I'miieair local corriplet. A , est, isomorphe ail quotient d'uri imiiem rwethérien 1oca.l cornplet régulier pa.r i i r ~icl&d corriplèterneiit sécai~t.11 r8sultc tlii cor.. 3 c-dessus ct dii cor. 2 de la. prop. 12 dii 5 3, 11" 8 clii'ui~tel aiinctrii c,st i i r i a.nneaii
3. Idéaux complètement sécants et anneaux réguliers

P ~ o r o s r r r o2 ~ . Soit A un umeuu rroclhérifm Tks i:o,r~.rlitiorassui.ualatcs so,i~t 6q1~ivalcrctes: (i) A est r y u l i c r ; (ii) touL 'irlPul rri.a:xirn,crl de A cst complèlern,e,rit sécunt ; (iii) tor~tid6d J de A tcl truc A/.T so2t r.@,q~rlier est co,rcplhLerrrrrrl sdcmt. (i) + (iii) : supposoiis 1';ariiie;r.ii A régulicr ; soit ,J uri it1i.a.l de A tel qiic A/J soit, J . A1o1.s les anilcaux locaux Al, rbgiilier et soit p uri it16a.l preinit~rde A cor~tciml~t et A p / J p sur111 r<:gilliers, donc Jp cst cngcntlr.6 par iriie siiit,e complttcinei~tsécünt.c (VIII, 5 5,ri0 3, cor. 2 et prop. 2), ce qui signifie que .T est coinplbtcmcnt pour ilp sécant en p . (iii) (ii) : c'est clair piiisqii'im corps est un a.sinea.u régidicr. (ii); l'idéal inaxiinal (ii) + (i) : soit m i i r l idbal inaxiirial de A suils l1l~,\ipoth+sc mA,,, de A, csL erlgendré piLr un? suite coinplèt,errierit s6writç. polir A,, tlor~cA, est rGgulier (VIII, 5, rio 2, t,li. 1). Par conséquciit A est rBgidicr.

*

, (ii) po1~7.t m ~ tidéol premier. (resp. mnzimal) p de A contenunt .T, l ' u n n m ~ ~Al, est rd!gulier ; (iii) l'mrrreri~~ s6pn,rk com,plété dc A pour lu, lopologie .T-adiq7~rest réquliei.. D1a,pri'slet h . 1, la contlitiorl (i) sigriilic que poilr toiit idcal p r m ~ i e r(resp. maxirrlitl) p de A contenant .J. l'idéal JI, de I'anrieau local Ap est crigcrrtlr& pa.r iiiie suite cwriplètemcril sbcarite pour, A,, . Pilisque A p / J p cst r6girlier par hypothèse, cette tlerinii.re cordition Ctpivaut à ( Y , (lise A,, soit rbgulicr (VIII, 5 5, no 3, prop. 2 et son cor. 2) ; ccla pronvc 1'6qiiivalcncc d~ (i) ct (ii). L'éyiiivalerice (le (ii) et (iii) résulte di1 fi 4, no 2, cor. 3 de la prop. 4.

PROPOSITION 4 . Soier~tA W Lanneau r.&dier, .T u n idéal de A et A" un, sousanneau. de A tel que l'homomorphisme canonique + A/.J soit bzject$ a) L ';idéal J est com,plktem,en,t sbcmt, Ic ho-m,odulr J/J%sst projfxkif de type fini, et 17an.neau A. est régulier. b) Soit cp : .J/.J2 i .l 'une sechion Ao-li7réaire de la xwjeclion c ~ ~ ~ , o ~ ~ i q u e J i J/J? L'ltorrtorr~or~pluixrr~e de ho-ulgèbws SA,(,T/.I" + A pwlonyecmt cp s'élend en u n isorrrolpirisrnc du corrcplété de l'a9uteal~y7.udué S A " ( J / J ~ sur ) le sép r é complété de A pour la topoloqie J-adiqve. a) Soit p lin idéal premier de A contenant J . On a p = (p n Au) @ J ct par suite p2 - (p n Ao)' @ p J , donc p% J = pJ. Notons i l'ir'jectiorl canonique de : J @A A/p -4 p @A A/p J dans p . D'après ce qui précède l'application i @ lAjp ) PA,, @A,, ~ ( p ) . est ir~jective~ et il en est de même de i,, 8 l+) : J P @A,, ~ ( p + Le lerrirne de Nakayarna irriplique que l'idéal J p de Ap est engendré par une partic d'iin systèinc de coorclonriAes de l'anrleaii local régulier A,, . D'après la. prop. 2 de VIIT, fj 5, no 3, l'anneau Ap/Jp est régulicr ct l'idéal Jp est cornplhteinerit skcarrt. Ainsi J est complètement sécant, l'anneau A. , isomorphe à A / J , est régulier, ct lc ho-irlodiile J/J%st projectif de type fini d'a.près le th. 1 (no 2). 1)) Il résult,e du lh. 1 que l ' k ~ t ~ ~ ~ ~ c ~ ~ r ~ ca~mrliquc c ~ r ~ ) l ~ i s ~ ~:~SA" c ~ (*J/<J2) + gr., (A) est bijectif. Soit f : SA, (.J/J2) A l'llorl~oir~orpllisr~~c! de Ao-algèbres prulougeant J . Si l'on rniinil A de la filtration .J-a,diquect l'application Ao-linéaire cp : .J/J2 SA, (J/.J2) dc la filtration associée à. sa graduation, pJ s'identifie l'holnorrlor[)~lis111e clédilit de f pa.r pa.ssagc aux graduCs associCs. L'assertion b) résulte alors (le III, 5 2, no 8, cor. 3 d u th. 1.

--

4. Anneaux gradués réguliers

Soicnt A. in1 anneau ct P lin A"-rnodiilc gratliiA tlr type N à degrés > 0 . Notons A l'a.rir~enu SA,(P) : il existe sur A une imiyiic graduation de typc N pour laqiielle A. est de degré O et P est. un sous-Ao-i~iodulegradué dc A. Notons A+ l'idhal

@ A,

dc A . Alors l'applicatioi~ca.r~oi~iquc P

)

A+/i\$ est un

7~;\1)

isonrorphisnie de Ao-rriodiiles gradués (cf. A, III, p. 76, prop. 10). Si le Ao-ïnotliïle P est gra.di16 litre (A, TT, p. 167, reniasque 3) et si (z,),,~ est iinc ba,sc dc P formkt: d'i.li.rrierits Iioriiogbiies, la A(l-algi.l)rr grarliibe SA,(P) est isomorphe à I'alghbre de polynôïncs Ao[()i,)i,l], miinic dc la pradl~ati(llipour laquelle chaque X , pst lioinogènp de degr6 &>g(z,).On appelk A"-algChrc gra.du6c de polynômes toute Au-algèbrc gradiiéc de typc N , isomorphe à iinc A"-a1gi.l-xe gra.tlu6e [le la forme précédente. Lorsque ll;rrmcau A() est rCgulicr et que le ho-module P est projectif de type fini, l'anilcau SA,(P) est rhgiilicr (5 4, il0 2, cor. 4 tic la prop. 4). Invcrscrricnt : T H ~ O R ~2M.FSoi1 : A u n nnnearr régulier, grn,d~rbde type N . L 'unneau A(] fbrrrlb dcs Rlérnents de dcyrr' O dazns A est rbgulier ; il existe u n Au-module pro:jectif de typc fini 1' gmduR M &yrAs > O tel qufJA soit iso~norphecomme Au-algkbre graduée à SA,(P) .

Notons P le no-inodiile gradil6 h + / A : . D';i.pri:s 12. prop. 4 du no 3, l'anncail Au est régulier et le An-module P est projeclil et tlc type fini. Les composarrts lrorrioA + , gr* gènes de P sont donc projectifs ct il existe une seetion A"-linbaire
A l'lioitiomorpliisrr~ede A"-algèbres gradil6cs qui prolorigc.
C ~ T N ) T , L A1. I R-ESoit B

rrri

urmetiu rr$lwlirr, graduk iL dqrc:'.s positifs. "5hppo.sons

t A-rrrodwle dr hjpr fini. Lrs co,nditions suivarales s o ~ Pyr%val~rt,te,s (i) Ir: A-rrtmlr~lrR est gro.&uClibm ; (ii) le A-rr~oduleB es1 plat ; D'après le th. 2, l'a,nricaii Bo est r6gulic:r, cloric protliiit d'arrncaiix rkgulicrs inti;grcs (!; 4, ilo 2, excrriplr 2). Pour toiit 616irlcrit idcrripoterrt c. de Bo . le Bo-rnodiilc Uocl es0 prujectil. tlorie libre, cr qui entraînc (: = O o i ~1 ; a,irrsi Bo est irithgrc. L'assertion a) r(:s~ilteadors du tl.léorimc 2 el, tlt: cc: qil'ilri IIo-rr~odulegraduk ct projectif de type fini est gradiik lihre. (i) % (ii) : les Ao-rrrotlirlrs jirn.tli~bsp h t s et de typc fini solll, grat1iii.s librcs (TT, (ii) résulk tlorlc tlc A, X, p. 144, prop. 8. (ii) ++(iii) : puiscpe B est cnlicr siii. A et pst une A"-alghbrc de t,ypc fini, A est iinr A"-algChc de type iini (V, 8 1, no 9, lcinrrrc 5); tloiic iiti anneau r~oe(,lkricn. L'éqiiivalencc dc (ii) t t (iii) rCsulte alors (hi cor. clc la grop. 8 du 5 4, ri" 5 et de a ) appliqué B A .

5 5, no 2, cor. 2 clil ili. 1). L'éqiiiveltmcc cle (i) et

(i) + (iv) : pi~isquel ' a n n e a , ~R est régulier ct fidèlcincilt plat siir A , 1'annea.u A est noct.lii.rieii d'a.pr&sla. prop. 11 de T, 8 3 , ri0 6 et rkgulier d'après la prop. 8 d u 8 4, il0 5, donc est iinc k:-alg&he gradiiér de polynômes (cor. 1, a)). Toutc siiitc ghi'ra,trice algéhriqiicnicrrtt libre de A cst A-rhgiilihrc (A, X, p. 158, rxerr~ple),donc 13-r4giili&repuisque R est plat sur A . (iv) + (iii) : supposons la condition (iv) sa,tisfaitc, et soit x iine suite génératricc a.lgP1)riquerrierit libre de A formGe d'éli-menk boinoglmcs. La siiitr X , étarit A-rtgulièrr, cst coniplèterrier~ts4carlte pour A (A, X, p. 157, prop. 5), de sorte qiic le A-module ~ o r ? ( h :B) ? est isornorphc à H1(x, 13) (A, X, p. 159, rernarquc 3 ) ; i m i s ce dernier est nul, piiisque la. suite x est R-régiilière. Les corollaircs 1 et 2 inîpliqiicilt Ir lrrnrnc 5 dc LIE, V,

4 5, rio 5

5. Suitcs rQguli6rcsct cxtcnsion des scalaires

P ~ o r o s r ~ ï 5r o ~. Soient p : A

+ B un hom,om,orph,ismw local d7a.ri,nenlnr.1ocn.a~ r1,oeth,kriei1,s, N un P>- nodule de type fini, x = (xi , . . . , x,.) une suite d7tWr~f:'ri,t.s de r n ~el' IL : A I T I , .. . .Sr]+ B l'mique horriorr~orï.,hismede A-algèbres tel que ~('l',)= 2, p o w i = 1,. . . , r . Les con,dition,s ç u i v c ~ n t ~son,l s épivalerites : (i) l'hom.om,orphism,c 71, fait de N 7rr~AITl, . . . ,TT]-modrtlr~plot ; (ii) le A-rn,odule N est plat et, pour tout A-'rrrodulc M: la .suite x est M 8 . 4 N-~.6,q,i~liAre ; (iii) le A-rr~,oduleN est plat et la suilTex esC K A @ A N-rkg~rli?rc; (iv) le A-m,odule N/(xiN . . . :r,,N) est plnt et la suite x est N-rkqirlièru:. (i) =+ (ii) : posons T = ( T i , . . . , T,.) . Si~pposonsqiic le A[T]-motliile N soit, plat. Puisque A[T] est plat sur A , le A-nlodillç: N est, plat (1, 8 2, no 7, cor. 3 de la prop. 8). Soit M uri A-rrrotlule. La suite T est évidernrnent M[T]-r6giiliix-c, doric M[T] N-rkgiilière. piiisqiie N est plat sur A[T] . Or Ic A[T]-rriotliile M[T] N s'iderititie à M RA IS?1'lrorriotl.iétir de rapport T , corrrspondmt A l'eritlorr~orpl~is~rrt~ lM¢à. (z,)p~. La coiitlitiori (ii) est donc sa,tishite. (ii) =+ (iiij : c'est, t,rivia,l. (iii) =+ (iv) : cela rbsiilt,e tlc la. prop. 10 du fj 1, ri0 6. (iv) + (i) : rmtons t l'idCal dc A[T] ciigcnclri. pa.r T . Le (A[T]/t)-motliile N/tN cst plut par h,ypothèse et N est, itléalerneril, s6paré pour t (III, fj 5, no 4, prop. 2). Pour di.rrl«rltrer yue N est. plat sur A[T] , il siilfil, (le proiiver, vu le th. 1 clc loc. cit., no 2, qiic le A-n~odiilc (A[T]/t,N) est niil. R/la,ispuiscliie la suitc T est A[T]-régulière, t:r modiile est isomorplic H l ( T , N) (A, X, p. 159, rerrixque 3), qui cst riiil piiisqiie la. siiit,e T est N-rkgulitre (loc. cit., p. 157, prop. 5).

+ +

COROLLAIR.E.Soient k .cm corps, A wric k-al,qibr localc noethPricr~~~e, x ( x i , . . . , z,.) une suite diélkmn,rnts de ni* et M un, il-~rtodulede t p c ,fiai. Soicnt A et M les com,plét& de A et M pour le,w topologie ( z i A + . . .+x,.A)-adique ; rtotoirs .u : k[T1 . . . , T T ] + A i7unigue Irom,orrso,r~>l-~,i.s,rr~c (lc k-alg2Drc.s tel que ,u(T,) Y, A

-

.

pour ,i = 1, . . . 1. , et îL : k[[Tl, . . . ,T,.]] + A 1'mique h,ornom,orphi.srr~econtinu qui le prolo~ge.Les coadit.ioas .sui.u«.,nte.s s o r ~ téqc~ivalentrs: ;

(i) lu srrite x est Ml-régulière ; (ii) I'li,orn.omovphlsrr~eu fait de Ni 7m k[TI , . . . , T,.]-vnodule plut ; (iii) ~'horrrorr~orphSsrn,e 6 fait de hf un TI,. . . ,T,]]-nzod7~k plat. L't.quivalence dc (i) c t (ii) rc'siillc de l'éqiliva.lcric~des coritlitions (i) ct (iv) de la. p o p . 5 ; l'dqi~ivalericcd c (ii) et (iii) rCsulte de III, 5 5, ri0 4 , prop. 4. A

Ces résultats pcrrrictt,ent (Se caractériser les rnodulea rnacaulayens dans deiix importants. Notons A uri anriean local noetliérien, hil lin A-module (le typc fini. II est Gcluivalcrit [le dirc qiic lc 11-rriodule M est rnacaiilayeri on qiic lc 11-rnodiilc M cst rna.caulaycn (5 2; no 7, cor. 4 de la. prop. 8 ) . Noils supposerons di:sorrna,is que I'anncaii local iiocthérieri A est, corq~let. CRS

A

1 ) Silpposons ti'al~~)rd que A possCilc un sous-corps ; il admet alors un corps de représentmis k: (TX, 3; 11" 3 , th. 1).Soi1 ( X I , . . . , z,) urre suite sécante rnaxirnalr pour M ; notaoris ?L : k:[[Ts,. . . , T,.]] i A l ' u ~ ~ i q uhotn~rrio~phisn~e e continu tel que ~ ( ' l '= , )z, poiii- i = 1,.. . ,t.. D1apri:s lc lerriine 4 b) de lx. # 2, no 5 ct la remarque I de \/III, 5 3 , no 2, A/ ilnri(M) est i r i l k[[l'l,. . . , TT]]-modnle ~ fini. Cela étant. de typc fini et par siiite M est nn k[[Ti,. . . TT]]-rriodiilc( 1 typc les corditions suivimtr:~sont Gquivalcntcs :

.

;

.

(i) le ~[['I'I. . . . T,-]]-niodule M est libre ; (ii) le A-inodirlc M est rnacaiilayetr. Eri effet, il est C.qui\dmt de dirc qirï hI est nn A-niodille macaulayen oii t r . . . , .cr) est M-r6gulière (# 2, 11' 3, th. 1). D'après Se cor. ci-dessns, que Ir?. s ~ ~ i (XI, cette dcr.nii.re condition signifie q i ~ cle k[['l'i , . . . , TT]]-rriodiileM est plat, ou encore qu'il est lihrc puisclii'il cst de typc fini. 2) Supposons qiie le corps rksiduel K A de A soit de cnractéristiqiie p > O et que l'on ait dirrr(M/pM) < tiiin(M) . Soit ( z i , . . . , C E , ) urie suilc s6cu.rite rnaximak pour M/pM, rlc sorte qiic (pl A , .rr,. . . , z,) est une suite sécante maxirriak poix M. Soit C urr panneau de longiiciir + m : de corps résiduel K A (IX, 5 2, ila 3, prop. 5). II existe lm honromorphisnie ' ~ 0dc (:
+

+

+

+

6. Idéaux complètement sécants et extension des scalaires

PROPOSITTON 6. Soient p : A i B ,i6n1h,orn,omorphisme d ' c ~ ~ ~ n errocthé,r-ic7rç wu et J 'un i d k d de B . Les ~on,dit%ons s u i ~ w n t ~SOT?,% s équiualer~tcs: ( i ) le A-module B/J est plat et l'idEul J csl. corr~,plètenrents 6 c m t ; (ii) pour tout q E V(J) , le A-rrrod.ule Bq p.st pht ~ t pour , b u t e A-algèbre A' telle pue l'anneau. A' @A B soil noath,kr/,era, l'idkd .T(A1 $ 3 O~) de A' @ A U est compltterrrent sLcanl, ; (iii) p o f w twut idkal! m,azirn,al n de T3 c o r ~ t ~ n mJ t le A-m,od,ule BI, est plut et l'idkal . T ( K ( ~ - ' ( ~@) A ) BI,) de ~ ( p -(n)) ' 63.4U,, est con~,plètementsécunt. D'aprk le t,h. 1 du ri" 2, la conilition (i) équiva,ut à la coriclition (il) (resp. (il')) siiivoirit,e : (il) (resp. (i")) pour tout idéal prmiier (resp. rrra.xirrml) q de B coiit,enant .l , le A,,-,(,!-module Bq/Jq cst plal el l'idéal .T, (le R, est engendré pa.r une suitc Bq-régulière. (il) =+ (ii) : supposorls (if) v6rifibe. Soit A' une A-alghhrc tellc que l'aurlcau B soit r~oct,liérien.Soit q 11n itléal premier de 13 conteimnt J ; posor~s B' = il' p = p- (q) . Puisque B'q s'ideiitific: A. Ab R q , il résiilte de l'iniplication (iv) =+ (ii) de la prop. 5 (no 5) que llidCal .TB: de Ri est engendré par iinc suitc Uh-rCguliCrc ct quc il, est plat sur Al,, tloiic sur A . Par ailleurs, pour tout idéal preniicr r dc B' contcnarit JB' , l'image rk<:iproqiieq d t r daris B contient ,J et U: s'idcritific à un anrlcau dc îractions de Blq . Ainsi .JB: est un id4al coniplètcmeiit skcnnt de U: et .JB1 est iin itléal c:oniplGteinr:rit skcant de B' . (ii) 3 (iii) : c'cst trivid. (iii) + (il') : supposons (iii) vi.rifi6c. Soit n irri idéal imximal de R contenant .l ; posons m = p-l (n) . Soit x inle suite cl'6lérrlcrits tle J , dont les iiriii.gt>sda.ns J,/nJ, forment ilrie base de ce ~(11)-espaccvcxtoricl. La suite x erigeridrc . T , ; d'après la. BI,)-régi~1ibi.e. Corrnl~e1c A,,,-modiile BI, est plat prop. 1 du no 1, elle est (~(111) 81~ par hypot,l-ibse,il résulte dc l'implication (iii) + (iv) de la prop. 5 que la. coridition (i") est satisfaite. -

'

Rem,nrgue 1 . Siipposons que les corrditiorls kqiiivalentes de la. prop. O: soicnt satisfaites. Coninle B / J cst plat sur A , pour toiik A-;i.lgbbre A', la suite cai~oniqucde A'-rnodulcs O > A' @* J A' @A B >A' @* (B/.J) iO -

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-

6. EXTENSION DES SCALAIRES DANS LES ALGÈBRES R.EGULIÈRES

1. Algèbres essentiellement de type fini

Soit k iiri anrica,ii. Soient A une k-algèbre et x = (:r,),,I irr~cfaruillc tl'4krr1c:rits de A ; notons A' la soiis-alghhre de A engeildïée pa,r les zi . Nous dirons qiir: x est, une fairiille esse~tiellerrsentgc.'n,drntricf,de la kalgèbrc A si, pour (,ou1 élérr~erii,a dc: A , il c,xiste uii dément s de A', invcrsiblc dans A ,tel que s u appu.rtierrrieà A'. P et CS Il rcvic~r~t, a.ii iri6mc (le dire que, pour tout a E A , il cxistc des polyi~ôir~cs de k:l(X,),,,iJ tels qiic Q(x) soit inversihle t1a.n~A et quc l'on nit n = P(x)Q(x)-' . Nous clirons qu'urie kalg+bre A est. essentiell~~rr~e~t de typc fini si elle a.dmct une hrnillc csscriticllrrr~cr~t gCr~Crairicctiriie. Tl revient au mCme de dire qii'il cxistc imc S de A' telle que la k-algèbre k-algèbre A' de lype h i el, iinc part;ic rni~ltiylica.tiv~ A soit isomorplic ù S-' A' .

E z e r n p l e . ~ 1. ) Dire qu'une cxtcrlsion L (l'un corps li est imc K-wlghl~reessent,iellcir~crrtde type f i i i i signifie que c'cst imc cxtcnsioi~dc typc fini au sens de A, V, p. 11, d6f. 2. La K-ii1gPl)r~1, n'est (le t,ype fini que si c'cst une cxtcrlsior~de degr6 fini de I< (V, fj 3, no 4, cor. 3 d u th. 3). 2) Pour qu'iirie k-algèbre lo(:;tle soit <:sscnticllcnientde type fini, il faut et il suffit yu'cllc soit isorrlorphc à imc k-ii.lg&lr)rede la forme Al, , oii A cst ilrie k-alghbrc tlc typc fiui cl p i i i ~idéal preirlicr (le A (cf. TT, 5 2;ri0 5, prop. 11 (iii)). s i ' ~ ; ' ( ~ I L ck' crst I , , rcoethérien, u toute k-nlgèbre rssentiderrrerrt dc type ,fini est un a,irneau 7aoclltc'~ieri. Ckla r6sultc tle III, 5 2, 11" 10, cor. 3 du th. 2 el II. 5 2, no 4, (:or. 2 tic la. prop. 10.

P R U P O S I ~ ' I U N1.

-

On dkliiit tlc 1ix d6finition les propriétés siiiv;tili,cs :

1)) Tout anneau de fractio~zsd'lmr: k-alqèhrc csscrct.iellcrrcent dc type ,firri est une k-algPhrc c.ssenkkllern,rnt de type ,fini.

cl) Soit k i k' Tm h,om,omorph,i,sm.rd7anneau:r:; pour toute k-al,qèh A esserrde type tzellerri.ent de type $ni, la kt-nlgkbre A(k,) = kt El;A est esscnt.icllc,rr~erLt firri.

A('

x 72

PROP'ONIICUR,

RLGULARIIf,. D U ~ L I I L

$6

PROPOSITION 3. So,ient k u n onmeau,, A une Cc-algCb,re el B une A-ul,qab~e.Si A est essmtiellemcat de lype fini sur. ;/ et U esscr~ticllerr~c.nt dc type ,fini sur. A , alors B est essen.tiellcment de t~jpe,fir~~/i sur. k . Notons p : A i B l'applimt,ion canonique. Soient x = une fainille esscritic:lle~mril,généra.trice finie de la. k-algh-e A et A' la soiis-algèbre qu'elle erigeiidre ; soit y - (y),,, lin? , fxnille ess~ritiellrrrieritgénf.rat,ricefiiiie de la A-alghbrc B . Notons 13' la. soiis-k-iilghbre (le B cr1gerlclr6c par les p(zi) ct lcs y i . Soit b E B ; par hypothi-se il existe des polyilômcs P et Q dans A [(Y,),,J] tels que Q(y) soit inversihle tlms B et qiic l'on ait Q(y) b = P ( y ) . Les coefficients non nuls de P et Q sont cn nombrc fini ; il '>xiste un polyriôme R. E k[(Xj),,I] tel que H.(x) soit irivcrsihle dans A et qiiç: R(x) P et R(x) Q apparticniient à Afl(Y,),,,,] . Alors p(R.(x))Q(y) cst iriversil)lc clans B . et ]'on a

Airisi les 6lémcnts p(.xi) polir i E 1 cl ~/ipour j csscntiellcn~cntgénératrice finie de la k-algèbre B .

E

.J f(ormen1 m e famille

COROLLAIRE.Le pmduit le~rsorielde de~uzk - a ~ è b r c srsserrPie1lemr:nt d c type finvi est une k-algèbre csscritiellcnwnt d c t p c jiwi. Soient en effet A et U dciix k-alghbrcs csscnticllcnieilt, de type Gni. Alors A R k B est cssrr~ticllcrncr~t de typc fini sur A (prop. 2, d)) donc siir k: (prop. 3).

2. P r o d u i t s tensoriels d'algèbres d e M a c a i ~ l a y011 d e Gorenstein

PR.OPOSITION 4. Soient k u n corps, A .ime k-alqkb,rs c~.sscnt.iellemer~t de t y p e ,fi:ni el U un.? /c-ulgèb~c. a.) Si A et B s o n l , des anneaux de M~,CCIITLID?J; il en cst de rrtênic de A

b)

$1;

@k

l3.

A et B sont des a m e a u x de Gorenstein,, il e n est de mêrr~ede A Mk.LI.

Supposoris que A ct B soimt des anncmx de Macaulay (rcsp. de Goreristcin) ct proiivoris qu'il cri csl, de rriGirie ( i A~@A:B . L ' a i ~ n r mA @k R est noethérierl (no 1, cor. tlc la prop. 2). Le A-inodiile A @ k . R est lit~re,donc plat. D'aprPs la prop. 10 dii 5 2, 11' 7 (resp. le cor. 1 de la prop. 12 (111 $ 3, no 8 ) , il nous siiffit de proiivcr qiie ~ ( p@k) l3 est uri anlieau de l\ilo.c:;ii~lay(resp. de Gorcnstein) polir tout idCd prcniicr p de A . L'cxtensior~~ ( p dc ) k est de type fini (no 1 , prop. 2 et cxeniple 1) ; noiw soirmies dor~crarrleiiés iclémoiitrer 1'6noric:6 d m s le cas oh la. k-a.lgkbre A est une ex(,ension de t,ype Iini I< de A:.

Soit ( t l . . . . .t,r,) iiiie lwse de tra.risce~da.rlcetie K sur k , de sorte que K est une extcr~siori(le (logri. fini t3n l'cxtcnsion piire A:' k.(tl,. . . , t,,) (A, V , p. 112: prop. 17). L'arlrlcaii B' - k1@,
-

L'anncau K ¢;*k B cst alors url B-rnodiilc l i h r tlt: r m g fini, tloric lin B-rnotiiile rnacaiilaycn. D7apri.slc ,3 2, il0 6, cor. 1 cle la prop. 8, c'est un anncaii de n'Iaca.ulay, cc qui proilvc a). Siipposoiis rr~aintenar~t, que B soit lm aimeail dc Goren~t~eiii. II existe des sous-extensions K,, , O i rr>, de K avec

< <

k

= Ko c

K I c - . . c K,,,

=K

tclles qiic K I soit iirie I(i~l-îdgbl>rernonogène pour i = 1 , . . . ; 77L, et cela nous permet de noils ramener au cas où l'cxtcnsion K de k est 1nonogi.n~(de (1cgrC fini). B fait de K @ k 13 m e B-algèbre plate et, L'liomoiuorphisiiir canoiiirpe B + K pour tout q E Sp~c(I3) , l1imriei~.i~ (K Mlc B) @K ~ ( q ;) isoniorplle IC l%k ~ ( q )est , iinc ~(q)-a1gi:lxt:rnonogknc, donc lin anricaii de Gorcnsteiii (5 3, ri0 9, cxcinplc 5). Airisi K @k B est iiii aiirieaii de Gorenstciii (5 J, r i 0 8 ; cor. 1 de la prop. 12). ce qui a.clrève tlc prouver b). C O H O T J , A ~1.I ~ ESo%cri,f.k un,corps, K une eztc~zsiond c k et h v , c e k-c~lgïbrï: es.sen,tiellern,er~t de type jin,i. Pour que A(I() soit wrr an,nw~ude ,ilI(~,caula~j (resp. de Gorf:,rtstecm) il faut et il sufit y.c~'ilen soit de même de A . -

Si A est uri anneaii de Mi~.t'ii.iilay (resp. de Chrenstein), il cn est de mêinc dc A(K) est 1111 A-i~~odiile fidi.lerneilt plat, la réciproque d'apri-s la 1)rop. 4. Puisqiic 1Cs1111,e(le la prop. 10 dii 5 2, no 7 (resp. di1 cor. 1 de la prop. 12 dii 5 3, 11"8). COROLT.AIHE 2 . S o i m i k un trnrrearc. >~oeth&rien,, A et 13 des k-al,qCbres. On s u r . A:. Si A et B so31~1 .srrppo.sr: que A est plate et rsscrrt.lrllcrn,ent de type ,firl~/i des cr,.n,n,eau:r:de M(~ca~rhy ( r ~ s p de . Gormçtcin), alors A Bk B est arc. armecm de l%fucu.c~,lu,?j (resp. de Gorenstcin) . Supposoiis d'alrord que B soit iiri t,orps ; notons cp I'lionioinorphisme canonique de k tla.11~B , ct r sorl rlcyaii. L'hoinornorpliism cp iritiiiit un hoinomorphisrne di1 corps tlcs frncl,iorls ~ ( r (10 ) k / c dans B . Alors AC3k.B s'iïkmtifie (h@JkK(r))@,(,)U; comme c p '(O) = r , I'aiiiieau A '81,~ ( r )pst lin annea.u dc Macaulay (rcsp. de Clorcnsteiii) d'après la prup. 10 du fj 2, ri0 7 (resp. le cor. 1 clc la prop. 1 2 du 5 3, il0 8). L'nsscrtion r6silltc clans c.c cas clil (:or. 1. Passons ail cas g6ni.rd. Ln B-algcbre AwA:Bcst plîr.tc:, t:t rioeth6rie1inc par Ir cor. ~ ( q ,) tlc la prop. 2 du no 1. Pour. chaque itlcal preirlier q dr: I3 : l'ailrinail (A@kB) qui s'identifie à A i i ~~ (~q, )est uii ailneail de Mac.aiilay (resp. dr Goretistcin) dlapr+s ce qui préckdc. On coiiclut en appliquarlt la, prop. 10 di] 5 2, no 7 (rrsp. le cor. 1 de la prop. 12 dii tj 3, no 8). 1

%

~

3. Extension séparable du corps de base dans les algèbrcs r6gulières1 ou norrnalcs

Lerrme 1 . Soit A un, anmeau n,oeth,bien,,rkrrsion d'une f h i l l e ,filtrante croisçan,tp (A,,),,,1 de so~u,s-c~nnec~,~~,. noeth,6riens.

a.) Soit rn lin irI6n.l rria.xinial de A : pour tout cu E 1, ilotorls m, 1'idOal m n A, de A,. Piiisqiie A est nocthkrien, m est de t,ype fini et. il existe un élémcrt a de 1 tel que m Am,, dc sortc que le A-niotliile (A,,/m,,) @/\, A est isomorphe à. A/m. Cornrrie A est plat sur A,, on a dpA(A/m) dpn,(A,/m,) (A, X: p. 141, lcnimc 2). Pilisque les a,ririea.ux A, sont réguliers, il en résulte yiic A est r6gulit.r (5 4, no 2, prop. 4). h) Puisque les A, son1 rétliiik, A est rétliiit,. Soier~ta ci, b dcs i.li.rnerrts de A tels yiic O nc soit pas diviseur de zéru el que l'élénient n/h (le l'anneau total des fractions de A soit cnticr sur A . Il cxistc UII polynôrrrc unitaire P E A[X] le1 q i l e P(u/b) = O . Soit a un éléinent de 1 tel que l'aiirieaii A, conticrlirc a , h ct lcs cocfiicicrlts tlc P . Puisquc A, est normal, il existe c E A, (,el que (I, = br:. Airisi a/b = c appartient à 11 ct A est norr~lal. 1

<

Lemnrc. 2. Soierrt k wa co7ys, K et L des extensions de k: . 0 r suppo~t: ~ yuï K est dr type ,fini et q ~ l'une ~ e des extensions K ou, L e s t çEpam11lc. Alors l'anneau K @ k L est r.
l h n s cc numéro, une algèbre sur un corps k est dite régulière si c'est un aiincau r6giilier. En pariiciilier, toute extension d r k cst iinr algi.bre ri.giilii.re. On i.vil.e,-a.de rorifolidr~(:et+ riotioii avec cellc d'cxlerision ri.gulibrc, introdiiitc cri A, V, p. 135, d6f. 2, qui n'intcrviendra. pas ici.

a) SI: l'cu~rierr.~~ A(K) est ré,q:dier (resp. nornrul), I1«,rrrreau 4 est r&qi(1?~6ier (rrsp. normal). b) Si l'nnneau A est rkgulier (resp. r~orrnml)ct si l'cnrtercsiora K de k est séparahle, l'arin,eau A(K) esl ~&y~clrrlier (resp. normal). Le A-module A(K) est libre, tlonc fidèlerrient plat ; l'asscrtiun a) résulte donc du cor. de la prop. 8 de 1; 5 3, no 5 et de la prop. 8 du 1; 4, no 5 (resp. di^ cor. 2 du th. 4 chi 1; 1, no 10). Soirs les 1iypotl.ihses dc b), pour tout idéal premier p de A , l'a,nnea,ir ~ ( p B) k K cst régulicr (lemme 2), et a fortiori normal (5 4, r1° 2, cor. 2 dc la prop. 4). L'assertion h) r6sult.e donc du cor. de la prop. 9 du !j 4, iln 5 (resp. du cor.. 3 dir th. 4 du 1; 1, 11" 10). 4. Algèbres absolument régulières ou absolument norrnales

Tolite k-algCbrc absoluinent régulière (resp. a.bsolun~eiit~ normale) est régu1iki.r (rcsp. rlormalc), coulnlc on le voit en prermrlt k' = A: dans la définition 1. R.appclorls que les k-alghhres A telles y i ~ c1';rnneaii A(,*,) soit r é d ~ ~pour i t toiitc cxtcrision k:' radicielle et de degré fini de k sont les A:-algèbres s4para.bles (A, V, p. 117, 111. 2). E . z r r n p l e s 1) Si k est pxfait. toiitc k-algkbrc régulière (resp. rlorrrlalc) est a.bsolurrierit rPgulièi-e (rcsp. absolurr~eni;normale). 2) Soit A une k-algèhrc artir~ieru~e. Si A cst normale, clle cst rétluitc, tionc isomorphe à un produit fini d'cxtcr~sior~s de k: ( A , VITI, $ 8, 11" 1, prop. 2). L(:s coridit,iorissuivantes sont équivalen1,t:s : A est s4pa,rnhlr ; A est abçolum,en,t ré,qulr&-f:; A est absolvrrmrf nornmle. E h effet, si A est absoluirrer~tnorrnale, cllc est séparable ; si A cst sépi~rablc,pour toutje extension finie k' tlc k:, lianneaii A[ktj cst réduit et a.rtiiiiei1, tlorlc isomorphe à lin produit dc corps, et. par suite régulier, de sorte qiic A est absolirment régiilièrr. Si de pliis la k-nlgkbrc A cst de (legrb fini; les conditions précédentes équivalerit cr1c:orc à dire que A est étale (A, V, p. 34, th. 4). 3) Soit A une k:-algi.brc localc régulière. Si l'extrrision KA de k est séparable, l'algèbre A est absolument régulière. Soit en effet A?' inic extension de dcgri; fini de k:. Le A-rnodiile A(k,) est libre. I'uisyu'il est de type fini, chaque idéal niaxi~nalde A(!:,) est au-dessus de m;z ( V , 1; 2, no 1, prop. 1). L'a.rin~ailKA 634 , isomorplle à KA @ k . kl, est régulier (II" 3. leinine 2). D'après le cor. de la prop. 9 tlri 5 4, no 5, l ' a ~ i i l ~ a ~ ~ est régulier, cc qui prouve q110 la. k-algi.brc A cst absolurnei~t régulière. -

Cerbiiis

aiiimirs iitilisciit normale ».

« géoiriélhiquernent

la

tcriniiiologio

«

gb«rriétriqucment

régiilièrc

»

(resp.

Pimrosi~rio~ 6. S o i m t k 'c~ncorps et A m e k:-a1gkhp.v rmcthe'7rcnne. a.) S i A est absolum,ent r6gvlikp.e (resp. absolument norm,ale, rcsp. .s+)«:rublr), il S de A . en est de rr@rrae de S-'A pour toute partie rr~c~ltiplicat.ive b) S i A,, est absolvm,ent r(quli2r.f: (resp. absolu,m,en,t rrormale, resp. se'parable), rdgulière (resp. u6.sol.c~pour tout idéal maximai! m dc A , «,lors A est absolz~n~en,t ment ,rc.orrrcde, resp. séparable). a ) Cela rdsiiltc de ce que 1'arinea.u (SpiA)(p) cst isomorphe à un anneau de fractions de l'anneau A(k,) ponr toute extension k' de k . b) Supposons que A, soit absoliiineiit rbgnlik-e (resp. a,bsolumcnt normale? resp. séparable) pour tout idéal inaxiinal m de A . Soit k ' iine exterisioti ra,dicielle de k de degré fini et soit m' lin id6a.l nia.xirna1 de A ( k , ) .11 s'agit (le v6rifier que 1'a.nneau est; r6giilicr (resp. 110rrnô.1.resp. rbduit). local L'lioiriorriorphisme canonique A + A(k,) bit (Ie A(k,) une A-algèbre finie. L'idéal m' cst au-dessus d'un idéal maximal m de A (V, 2; no 1, prop. 1 ) et ( A ~ k ~ ) ) est, , , , ~isorrrorphc à. un aaiireau de fractions de l'anneaii rdgtilicr (resp. normal. rwp. réduit) (A,,,)(k,), donc est r6gulier (resp. riorinal, resp. r6diiit).

Lemme 3

. Soient k u n corps et K 7me extcn.sio,ra de type ,fir~'ide k . Il eziste m e extension L de K , de degr6 fin& et m e sous- k-extension k' de L , p.u,dicielle et de degrd jirrsi s 7 r k , telles yue l'extensior~L de k:' soit .s&pamble. C1.ioisissons iirie cxtcnsion cornps6e E de K et d'une clôturc parfaite k: de X: ; et des blérrients ( t l , . . . , t,) de E tels
,.

'un corps, h et B des k - a l , q & - r dont 17un,eesl essen,tiellcment de Lypr / h i . S'crpposoras que A soit ubsolnrraerat r{qul.l,èrc (resp. ahsohm,en,t normale). Si l'ccn,raea,u I3 est r&ulier (resp. n,orma.l), il en e.st de même de 13u~me(m A@k:B. Suit K une extension (le t,ype fini tlc k ; prouvoris que l'arnieau A(K)est régulier (rcsp. ilorriial). Considérons en eKet, (les exi,errsi«ris L et k' ayant les propriétés du lemme 3. Alors l'a~ineauA(k:,)est régulier (rcsp. riorrrral) par défiriition, et l'anneau A ( L ) ,qui s'identifie B A(k,)6Gk1 L , est, régiilier (rcsp. riorrnal) d'aprks la prop. 5, b) dii no 3. Par conséquent, A ( K )es1 régulier (resp. rrorrrid) d'aprks la prop. 5, a ) . Supposoiis l'arineaii B régulier (rcsp. rrorinal) et déinontrons la proposit,iorr. L'hornornorpliisirie canonique B + A @x: B fait tle A N k B url Brrlodule libre. Pour tout idéal premier p de B , l'anneau (A @k: B) Mu ~ ( p )s'itlcntific à. A Rk. ~ ( p ); d'après le corollaire tlc la prop. 9 du 5 4, rio 5 (resp. le cor. 3 du th. 4 du 1,no IO), il nous srifrit, de prouver que A Bk:~ ( p cst ) régulier. (resp. riorrnal) pour tout idéal prcr~iicrp de B .

PROPOSITION 7. Soierrl k

Si la k-algkhrc B est csscilticllcrrici~t tlc typc h i , l'extension ~ ( p )tlc k est ) rkgillier (resp. iîornial) (I'aprPs ce qii'ori a dc t,ypc fini ct l'mncaii A @;3k ~ ( p es1 vu plils haut. Si~pposonsinainijeriant la k:-algèbre A essentiellrrrient (le t,ype fini ; l'anneau A Cdk. ~ ( p )est riocthérie11 ct réimiori de la farriille filtrante croissmtc des sous-anneaux iioeth6riciis A @;3kK , où K parcoilrt lcs soiis-cxtcilsiorrs dc typc fini de ~ ( p )Ces . (lcr~licrssor~tr(:ppli~rs(resp. r~orrriaiix)~ et on a.ppliqiic lc lemrnc 1 du no 3. n Le prod,crit Le.~~,scir?;el de deux k:-idgMbws absoluCOILOLLAIRE 1 . Soit k % ~corps. ment r.égu1ii.re.s (resp. absol~urncntnmrrnales) dont l'wrre est esserrtzf
11) Si Z7ezten,sion K de k; est s6par.alde, la k-alqklirc A(EO ML (~b~olwr~,er~,I r.&hère (rksp. trbsolwrr~entnormale). I,'assrrt,ior~a.) r6sultzedo l'exerriplc 2.

Iii.

proposition 7 : l'assertion b) r6sirlte du cor. 1 et dc

Supposons A absolumcrit r6gulii.re (rcsp i~bs»lir~ri<-ni norrri~le)rt soit K' iinr , isorrio~p'lit'à. lil@ k A , extcrisiori radicielle de K de degré fini. L'aritîeau K' NK est r6gi1licr (rcsp riornid) d'aprCs lc cor. 2 Supposons inverscmrrit la K - a l g k h A(,<) absoliimciît régulière (rcsp. absolu merit r~orrrialc)et soit k' une exterision radicielle de k: de degré fini. Soit L une s'identifie H L RK , cxtensioii c:orrlp«sbt: de k:' et. tic K ; alors l'a.nricai1 tlorlc: est régulier (resp. riorrnal) ; par siiitc, l'srlrieau est r6gulicr (rcsp. r~ormal) d'après la prop. 5, a ) dii no 3.

COROI,LAIRE 4. Soient k un, covs, A m e k-nlgWbre e.ssenliellement de type fini et K 'wrc ç~ctt;ris,io'~~ de k ylrl soit rrn c o ~ purfait. s Pour que A soit absolun~entréA(Ic) ~ ~rkg~ilier i t guli&rc(resp. «.bsokurr~ent rcorrr~,ole), ill j k t et il .sufit que 1'oinirmr~(. -

(rcsp. norrrral). Cela. résulte du cor. 3 et de l'exemple 1.

AC X 78

PROFONDEIJR, J Z ~ G ~ J T , A R I D T ~U,A L I T ~

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5 . Caractérisations des algèbres absolument régulières

PROPOSITION 8 . Soicrrt k ~rn,corps et A wre k-ulq2br.e essenk~:cllerrren,tde typ(~ jiwi. iliOtor~,sI le n q m e dp I'/~,omo?norph,bsrr~e dc k-alg2bws p. : A E k A -i A tel q w p(x@?y)= :m/ pour rï et 3 dans A . Les conditions snivcc;r~,bessont équbvalcratcs : (i) lu k-algèbre A rst absolument régulière ; (ii) pour to~etek-adg2.brf:r6grslii:re C , 1'artr~eu.r~ A #Bk: C ~ . s rt P g d i ~ r;. (iii) 1'nn~cn.uA gk: A est r6,qulbcr ; (iv) l'idéal 1 de A gr;A cst co7nplète~rrents6carrt (5 5 , no 1, dtf. 1). Notons B l'anncau i Z @ k A et, rnrrriissons-le de la. stmcture de A-algèbre dCdiiit,e de l'honiomorphisine p : A - + A ¢lik A tel que p(:r:) = z % 1 ; alors p est un horriornorphisnie de A-algtbrcs, et iiiduit par passqc a.u qiiotierit i i r i isomorphisrnc de 1311 sur A. (i) + (ii) : cela résiiltc de la prop. 7. (ii) + (iii) : il suffit, d'appliquer (ii) avec C = k , puis avec C = A . (iii) + (iv) : Ic A-module l3 est libre, doiic fidtlernerit plat. Si l'aiiiieau B est régulier, A est régulier (!j 4, il0 5, prop. 8) ; l'itlbal 1 est alors complktciiicilt sbcarli, ( 3 5, no 3, prop. 2). (iv) + (i) : siipposoris l'idéal I complètcnient, sécant et proiivons d'abord que A est régulier. Soit ni nsl idéal rriaxirrial de A et soit v : (A/m) @ k A + A/m l'lioinomorphisinc déduit. de p.. L'idéal iriaxirnal n = Ker v est égal à l((A/m) @ k A) ; appliquant la prop. 6 du {i 5, no 6 à, la. A-a.lg&t)rcA' = Alni, on oit qiic l'id6al n cst corripli.ternerit sécant daiis (Alm) g k A . Par cons6qiient ( § 5, iiO3, prop. 3) l'aiiricnii A l'homoinorphisrne local ((Alm) @i, A ) , est r6gidier. Nut,oils j : A -i (A/m) :x: H 1 8 :1: ; puisque v O j es( l'liomomorphisme ca.rionique de A dans Alin, on a j p l ( n ) = m . Ainsi j se prolonge cii in1 horriornor.phisrnc local d'aniiemx locaux dc A, dans ((A/m) @ k A), , qui fait dc ce dernier iin A,-inodulc fidèlemciit plat. D'après la prop. 8 di1 5 4, no 5, l'anneau A,,, est donc rkgulier. Nous avons ainsi proiivé que A est régulier. Soit maintenant 5' une exknsion de k . Le iioyau de l'application pi : gk, >déduite de la riiiilt,iplica.tion dc n'est autrc sécarii, tlnris A ( p ) (3 5, no 6, prop. 6). La q11e TAjk,) ; il est c h i c complètcr~ici~t 5'-algihc A(kl) satisfait donc à la contlilion (iv) ; d'après ce qu'oi~vient de voir, elle est régulihre, et cela prouve (i). Rappelons (A, III, p. 133-134) que le qiiot,ierit T/I%rnurii de la structim dc A-module déduite de p est noté .IZk(A) et a.pprlé le rnodule des k-différciiticllcs de A . T,»rsque la k-algèbre A est. csseiiticllernc?rit de type fini, l'anneau A @r, A es1 rioethérien, de sortc qilc le A-iriotlule .IZk:(A)est de type firii. On riote dAlk oii simplcineril, (I l'application klintaire de A dans flk(A) qui associe à un SlCriicrit z de A la classe de :r 1% I 1 ¢li z dans flk(A). L'applicatioii d est une k:-dérivaLior1 ; pour tout A-rriodiile LI et toute lu-dérivatioii D : A + M , il existe une unique applicatioii A-linéaire g : Ok(A)+ M telle que D = g o d (loc. cit., prop. 18). -

Si S est uiic partie rrmltiplica.tzivctlc A , lla.pplication SplA-1inPa.irecanonique (/oc. cit., p. 136)

s p l o k (+ ~ )ak.(sIA)

cst I)ijc(:tive : en effet,, il suffit de vérifier que; pour tout. S-'A-module XII, toutc k-ditrivation D : .4 + M se prolonge de manière unique eri une k-d6rivatiori D : SplA + IVI ; or. cela. résulte du raisonnement de loc. rit., p. 123, prop. 5. Soicnt k: ini corps et A une A:-algèbre locale esscnticllernerlt de type fiiii. Posorls n = dirn(A) + deg.trk.(icn).Soient 13 une k--algèbre de typc fini ct q un idéal premier de B tels que la k-algèbre A soit iso~norpllcA Bq (CI. no 1, t:xemple 2) ; on a ri, = dirn,(U) ( V l l l , 5 2, no 4, cor. 5 du th. 3). D'après loc. cil., th. 3, <:) et cor. 5, on a aussi n = sup deg.trk(.(p)) o i ~p parcoiirt la famille (finie) (les idéaiix premiers riiiriiriia.iix de A. Si A est intègre, 71, cst donc lc degré (le traiisceridarice du corps des fra.ct,ionsde A . Soierrl k: ,trn C O ~ X et A zme k-algt%r.e locale essenliellrrnen.t de T I I É O R ~ M E1. type ,fir1i. Posor~srL = dirn(A) deg.trk(icn).

+

a.) On a [K*@ A &(A) : K , ~ ] 2 n . h) Les conditions suivomtes sont 6quivnlenles : (i) la k-alg?hm A est ahsolummt ré!j,ulièrc ; (ii) le A-module 0k.A) e s t libre de ~.u.r~,q ri, ; (iii) on a [K* O k ( A ): K*] = n . Consitléroris l'asscrtiori (iii') on, (1, [ K , ~@ A a k ( A ) : K A ] rt. ; il est clair que (ii) implique (iii) et que (iii) implique (iii') . Pour tI6irioritrer le tlihorème il suffit de prouver les irnplicatioiis (i) + (ii) et (iii') +-(i) . Choisissoiis une k-algbhrc dc type firii I3 cl, i l r i itlknl premier q dc B tels qiic A soit isomorphe Bq (no 1, exer~~pl(: 2). 011a dimq(B) = ri, ; rerriplaça,rit T3 par iiri anneau Bf , avec f E I3 q , on peut imposer que le spcctrr tic R est connexe et de tliilieiision n , ce qiic iious siipposerons d6sormais.

<

-

(i) =+ (ii) : Supposoris la k:-algkl>re A a.l~so11lrneritrégiili&re. Comme dans la A + A et v : K.A @ k A + KI\ d6rntjnstratiori tlt: la prop. 8, notons p : A les Ilornurr~urphisrmsdécliiits de la miiltiplication de A ; posoris 1 = Kei.(p) et n = Ker(v). L'idéal 1 est complètement sPca.nt ; l'idéal n est iriaxirnal et l'arincau local (K* @ ~ kA),, est régulicr (loc. rit.). 1)'a.pri.s le théorènic 1 du fj 5, no 2, le A-rriotliilc dc t,ypc fini 1/12, qui ri'cst aiitrc quc Clk(A), est projectif, donc libre. Mais (1'aprt.s la rrrriarqile dii fj 5; no 6, l'idéal n s'identifie à. K A @A 1; de sorte que n/n2 es1 isorriorphe à K A BA o k ( - 4 ) . Or1 il. (IOTIC

KA

UPsignons par B' 1'arinca.u K * @ ~ ; B ct pa.r S l'irriagc dans B' (le B - q . L'anneau Ba , c'cst-Mire L SplB'. Il existe doric un idéal irraxirnal @,
q' de E f rie rencontrant pa,s S tel qiic 1'0x1 ait n = Spiq' ; I'a.r~rieau( K A alors isomorphe à B:,, , et l'on a

C%k

A),, est

Comme n contient K A @ k qBq , q' conticnt l'id6A K A @ q de B', donc son image q ; elle est bgiile à q piiisque q' ne rcilcontrc pas S . r6ciproquc tlar~sB cor~tier~t D7apri.sVIII, 5 2, ri0 4; roi.. tlc la prop. 5, on a tliinq,( K *

B)

-

tlim, (B) = 77

,

ce qui proiwc (ii). r i , r'est-&-il, et prouvons que la k-alghbrc B cst ;r.bsoliirr~crltrCguliisrc. Soit (.cl , . . . ,x,,,) urie suite d'blbments dc B tcllc qiic 18 (ici, . . . , 18h,, erigendrcnt le ~(q)-cspacevc~toriel~ ( q ) n k ( U ) .Rcrriplaçmt 13 par Bf , pour un le bléirient f <:onvcna,blctic B - q , or1 pciit supposer que dzi, . . . ,(lx,, ei~gcridrei~t B-module 0k.R) (lrrrime de Na,kaya.maet II, 5 5, ri" 1, prop. 2). Soit k. ii~lccxtciiB(k) csl siori algCl)riquerrirr~t,dose de k . Tl rioiis sufit de prouver qiic la jk&$hc qiic B est ahsolurrmit rbgulii.re (cor. 4 de la. prop. régiilii.re, piiisquc: cela 7 du 11' 4). Poiu t,oil(,composant mnoniqiic C de B ( k ), les diff6rcr1ticllcs d(1 63 .r:;) crigendwit. le C-rnodule n E ( C ) ( A ; TTT, 5 10, no 12! prop. 20). Lc tli6ori.rne r6siiltc donc tlcs dciix lcirirr~cssuivar~ts:

<

<

~~~~~~~~~~~a.

Lemm,e 4 . Soient k ,un corps, K ,wrc cztertsio,ri (1,lqéh7aq%l.e de k: , R m e k-algPbre (:mio,rrL(rue C de B(K), on a donl, le spectre est corr~rc:ce.Po,w toTut çorr~posw~t dim(C) = dim(B) . 'I'raitoris d'abord le cas oh l'cxt,ensiun I< est (le degré fini sin k . Lc 13-inotliile C est facteur direct tl'uri niodulc libre, donc proicctiî de type fini. Commr la fonction p H rgp C: est constante siir Spcc(B) (II; !j 5, 11" 3), le support (111 R-niodiile C est kgal A. Spec(B), de sorte que le B-motli~leC est, fidèlerr~crltplat. Cela cntraârie tiirii(C) 3 dim(B) (V111, ji 2, no 1, prop. 2), d'oii llégalit,b c11t:rcliC.e piiisqii'ori a )) (VI11, ji 2, 11" 4. cor. de la prop. 5). diin(C) d i r ~ r ( B ( ~ ~tlirn(l3) Pa,ssons au cas g6ilCral. Soit c 1'6lCriient ideiripotciit dc B,Kl tt.1 que C = 13(K)/R(K)e.11 existe une soiis-cxt,ciisior~K' (le K t k tlcgri: fini tel (pic r: soit l'image tl'uri éléinent idcmpotent e' de B(K,). Posoris C' = B(K~)/B(K,)e'. I< s'ideritifie à C: , et C' est un coiiiposarit ciwmique de B(K,). L1a.nnca.iiCf On a diin(C1) dirri(B) tl'aprCs le ca.s déjà traitC, ct dirri(C1) = dirrr(C) d'après lor. cit., d'où le lemme.

-

<

-

Lenzrnc 5 . - Soient k: ,uncorps al,qébriquern,rnt clos, A une k-a1,gèbw de type fini dorit le spectre est rûnrre:r:e, rt irrl entier. 6.1: ( x i , . . . , x,,) une suite ,finie d'é1é~nent.s de A . 0 7 1 ~uppo.seque A est dr dimcnsion n et q71c les di&h:nt.iellrs dz1 . . . , dz,,, er~gendren,fle A-m.odule fli,(A). Alors I'nrmeau A est irrthqr'e rt r.ciqu~lier.ct lc A-rr~oduleOa.(A) est libre de base ( h l ,. .., dz,) . Soit m un id6a.1 rria.xinia1 de A tel qiie dim(A,) = n,. Oii a [A/m : k ] = 1 (V, 5 3. no 3, prop. 1 (iii)): donc A m @ k l A . Notoris p ct q les projecteurs

-

correspondants. Pour a et b daris A , on a

-

=

(ï,(a)cl(b)

+ d ( i ) ~ ( D+) TJ(a)p(D), d441))),

+

d'ois p(ab) p(n)&) q(a)p(l)) (n~od. m y . Par conséqimit l'application 6 : A + m/m"
+

3

n

Enfin, soit

C a;dl:, = O r=l

une relatiori linkaire entre les

thi

à cocfficicril,~dans

A . Si les a , lie sont pa.s tous nuls, il existc un indice i et i i r i idCIii.1 iria.xirria1 m de 4 Icl que (r,, ii'appartieniir pa.s à m (V, $ 3, 11" 3. prop. 1: (iii) el, (iv)) ; mais ccla contrctlit le fait d6111oritri.pliis 1ia.iit que les cla.sscs tlcs d:ç, tla.sis (A/m) f1k.A) sont lis~ili~ir~n~crlt ind6perida.nt,es.

r l Lorsque A est iirie extcnsioii de t,ype fini de k , le th6urkrrie 1 redorine le cor. 1 de A, V. p. 128, compte t;enri de l'exerriplc 2 du no 4. -

COH.OLI,AIIIE 1. - SoienIf k tra mrps et

m c k-irlgi3r.c: esserrtlc~~ern~f~rrt de type fini. L'emcmble des él&m,enis p de Spec(A) tels c p c la k-u&hre Ap soit absolt~m,cnt 1.6,quliCr.eest ouver.t dans Spec(A) . On peut supposer que la k-alghbrc A est (le type fini. L'criscrrlblc considér.6 est alors forni6 des itl6a.u~prcrriicrs p tels quc [ ~ ( p ) CLh;(A) : ~ ( p ) ] dirri,,(A). Or l a fonctioi~p H dilnp(A) es1 semi-continiie inférieilreinent par clbiinitiori, et la ] scnii-continue si~pkric~srernent (ICI~IIIIC dc fonction p H [ ~ ( p@)k fLlr(h) : ~ ( p ) cst N;-i.kaya.rria. et II, 5 5, no 1, prop. 2).

<

Nuus verrons plus loin (5 7, no 9, cor. 4 du th. 3) qirc soiis les liypothCsrs du cor. 1. 1'crist.lriblc des idéaux prerriiers p de A tels que l'ariricau A p soit rbgulirr est

ouvert,

dms Spcc(A) .

Supposons A ahsoliiment regiilière. Pour toiit idéal premier p de A , la k:-algèbre Ap est absolurrierit rkégulière, de sorte que le A,,-rnodule flk(Ap) cst librc: (th. 1) ; il eri résulte que le A-rriodule CLk(A) est projectif (II, 5 5, r1° 2, th. 1). En outre, pour toiit idéal prcmicr minimal q de A , la. Il--algèbre locale Aq est artinieiine et absolument rbgiilikre, donc est lin corps, extension séparable de hi (no 4, exemple 2). Iriversen~erit,supposons que le A-rnodulr CLk (A) soit projectif et qiie la k-alghbre Aq soit skparablc pour toiit idCa1 prcmicr minimal q tlc A . Soient p un idéal premier de A , et q un idéal premier miniinal de A contenu dans p . Puisque le Ap-rnodule CLk.(A),, est libre (II: 5 3, no 2, cor. 2 de la prop. 5), ori a

La k-a1gi.h-c A, est artinicnnc ct si.parablc, tlorir ;tl,soliirnrnt ii.giiliPr<~(no 4. exemple 2) Le t h I entraîne

Il rrsultc alon laire.

tlii

th. 1 que la k-algèhe A,, cst alr)solilrrieiit réguli+re, d'oii le corol-

R r m « , r p r r . Siipposoris la k-alght)re A a1)soliirrierit rkgiilihre. Alors 1'a.ririca.iitotal l'mscnihlc des des frxtions F tic A s'itlcritific R I produit dcs Aq , o i ~q pa,rco~~rt idkaux premiers miniina,ux de A (IV; 2, no 5, prop. ID) ; c'est donc une k-algèbre séparable. Silppomns inversemeiit que F soit une kalgèhre skpa.ra,ble; pour t,oiit iti4a.l premier riiiriirrial q de A , la k-a1ght)r.e Aq est im a.riritAô.iide fractions dc F (IV, $ 1: no 1, cor. 3 de la prop. 2 ct no 3, cor. 1 de la prop. 7), donc m e IL-algèbre séparable (no 4 , prop. 6). Si en out,re le A-module Rk(A) est project,if, il 1.6siiltedi1 cor. 2 que la. k-algh1)re A est ii.hsolurrierit r6gulihr.e.

C O R ~ I , I , . ~3I R .ESoient k ?ln corps de ca.rnct~ris~que O et A une /,:-algèbre esserrkielkrnent de t g p e fkr1111.k'orrr que A soit r(yulièrf:, i l &ut et il s u f i t C / ~leM A-m,odule CLk (A) soit projectif. D'après le corullairc 2: il siiilit de proiivtx qu'iir~ek-algèbre locale arl,iriierir~eA lelle que Rk(A) soit irri A-motlule lilm est, irri corps. Or, d'après IX, 5 3, rin 3, th. 1, il existe urr sous-corps K de A tel que A = K (113mi\ . Soit 6 : A + mA/rnA l'applicatioii composée de la projection (le A sur r n ~el de l'application cimunique rnA/rni. Oii vérifie corrririe daris la dérr~or~stratioi~ du lcrrlrrie 4 quc 6 est urlc k-dhivatior~.1Cla.i~toute k-dCrivatior~dc A c1a.11~u i ~A-rrrotliile iir~rmler n ~: soient en effet .c t r n ,~et, I r lin enlier 2 1 (,elqu'on ail, :x:"-l # O , :ïn = O . Cela implique d;ms le A-module Rk(A) la relation n,a.'"-' d:l* = O ; tloric d x = O puisque 7LICnI # O . Airisi 6(rnA) = O : donc r n = ~ III:, et cri défir~itiver n = ~ {O). -)

1. Dérivations et relèvements d'hornonlorphismes

Soicnt k uri aririeîui, C iule k-alghhrc et N un idéal tic3 C de ca.rr6 niil. Notons C + C/N l'l~o~non~orphjsirie ca.iloi~iquc; puisque N2 = {O), la structure de C-inodulc (le N provient d'iirie st,ructure dc C/N-iiiodirle. Soient A uiic k:-alghl~rcet. cp : A + C / N lin hornoinorphisii~c(ln k-algèbres. Miii~issonsIU ilc la stmcture de A-modiile déduite tlc cp . 011appellr: reL?~wrnen,tde cp (à C ) tout homomorpliisrrie de k-alghbrcs S, : A + C tcl que TI o S, = cp. Soient c j un tel rclèvenient, et S uuc application de A dans N ; noturis S + @ l'application :ri H 6 ( x )

:

+

+

Soit
-

+

la clernihrc ég,diti. résuli,;tr~tdii bit que N est de carré nul. La proposition eri rhsulte. E z e m p l c . Soient B utle k - a l g 8 ~ ~N : , un 13-module. Mur~issorislc k-riiotliile B @ N de la striicturc tic k-alghbre d6firiir pa,r ( b ? x ) ( b 2') f , = (Ob', h:d h'x) (cf. A, III, U p. 127), de sorle que N est uri idéal de carré iliil dc B @ N . Soit cp : A i un hoiiiomorpliisrnc dc k-alg&brcs. Alors les relèvcmcnts dc cp i. B @ N sont les applications 2 t + ( c p ( : ï ) , S ( ; L ) ) ,où 6 parcourt I'eilserrlblc (les k-dkrivations clc A dans N (cf. loc. cil., prop. 12).

+

Soit CLk(A)1c ~t~oduln des X+diffC.r.entiellesde l'anneau A , et soit d : A -+ R k ( A ) la k-dérivation iiniverselle (A, TTT: p. 133 et 134) ; rappelons (loc. cit.) que pour toiit A-module M, 1'applica.tiori v t-t 71 o d est un isomorphisrrie A-linéaire de HomA(Rk(A),VI) sur lc A-rnodi~ledes k-dérivations de A daris M .

Soit, .T un idéal de A . D1;i.piPsA , III, p. 137, or1 a. imc suite e x x t e d'ôpplica.t.ions A/J-liiiéaires

ail d est l'liorriorrior~>llisrrlcdédiiit par pa.ssagc aisx quotierit,~de la. restriction de d ii. J . Notons p : ,4 + A/.T2 et IT : A/J2 i A/J les siirjections canoniques. Soit v : (AIT) @i\

Clk:(A) i J / J 2 nile application klinbairc ; on lui associe une applica,tiori k-linbaire H,, : A i A/J%ri posa.nt HH,(z)= p(a) ~ (@1d z ) . Si ,u est une r6traction dc (1, H,, s'mriule sur J , donc iudiiit par pa.ssagc au quotient m e a.pplica,tioi~k-linéaire h,, : A / J 7- A/J? D'autre part, étant d0nni.c une applicaA/J"I'applicütion tion k-1inéa.ire h : A/J i A / J 2 , notons thh : AIJ 0) J/J" (n:, y) H h ( z ) y . -

+

PKOIWSITION 2. ~l.lunissonsle k-,mod,ulcA1.T @ J / J 2 de la str..ucturc dp k-alyi.119-e ,irtduisenl, dcs d4jiraie dans l'exemple ci-dessus. Les n,pplications v ti h,,, et h H bi,j~ction.serr,tri-les mserrchles sui~ianh: (i) l'cnserr~hlcdes rél~actionsA/J-lirtiaires v de d ; (ii) l'rnsen~bled e s homomorph,isrnc.s de k-nlgRhr.es h : A/J + A/J2 tels que IT o IL = IdA/., ; (iii) l'~n.sembledes isornorph.ismes de k-algèbres $ : A/J CHJ / J 2 A/d2 tels que TT O i[i= pl et +(O, z) = z pmrr z E ,T/J2 . Appliquons la prop. 1 avec C = A/J"d, N = .T/.T2. Suit cp : A + A/J la surjection canonique ; l'liosiornorphisrr~c p est i i r i reli'verrierit dc
JI}, est urlc hijecliori tle l'erlserriblc des Iiorrloinorpliismes k-1iriCaircs tlc A/.J daris A/J2 sur l'ensenible des Iroinornorphis~nes k-liiiéaires 4 : A/J cT) J / J 2 > AlJQtcls que $(O,z) = z pour z E .J/J2 ; de plus pour = Pr1 il Saut et il suffit qu'on ail IT O IL = IdA/,T , ~:'~sl-à-dire qu'oii ait IT o z = ~ , ( I T ( z ) ) (niod. J / J 2 ) pour toilt z E A/J? Supposons ccs coridit,ioris v6rifii.e~. Pour cpc h soit un lionioniorphisrnc tl'anncaiix, il fa.ut et il sirfit qu'il eri soit a.insi de $}, ; de plus, l'liomomorphisme JlfL CS^ bijcctif : l'application réciproyuc associe à un Clérnerit z dc A/J2 le couple (TT(%), z I~,(IT(~ . Cela. ) ) ) prouvc qiic l'ir.pplicat,i«n h H $h induit nsle bijection entre les tlciix tlcrnicrs enseniblcs clécrits tlaris l'énoncé.

-

-

-

2. Algèbres formellcmcnt lisses Soient k uri arnlcaii et A m e k-algi'brc: liri&irement topologisée (III, 5 3, 11" 2> déf. 1).

Rappelons qu'un hornon~orphisnlede A dxis iinc k-algèbre murlie de la topologie discrètc est continu si et sculcriient, si son iioy-ir.11est ouvert. Soient X: im w.nneii.u,A iinc k-algèbre ct J un idéü,l de A . Miinissoiis A de la topologic J-a.diqiie. Soient C inie /ï-algCbrc, N in1 idéal de carré nul de C ; rnunissons C et C/N de la topologie discrbte. Soit cp : A > C/N un Iioiriorr~orphisniecoritinis d'alg8ljrcs. ïhut relkrierrient

Reni,(~rqucs. 1) Soient k un miieaii, A isne k-algChrc el .J i*ii idéal de A . Si la. k-algèbrc A/J est, forrricllernent lisse (poiir la topologic discrète), l'applic.at,ion identique tlc A / J admet lin reli.vernent A; A/J\ 1pa.r conskqiserli, les eriscrrihlcs décrits (lails la prop. 2 sont non vides. En particulier, la suii,t:

est exacte ct sci1idi.c 2) Soient k 1111 aniieaii, A rirlc X:-algèbre linkairement topologiséc fornwlleiiierlt lisse, M 1111 A-modulc dorit l'arinirlateui. cst oiivert clans A . Alors toulc d6rimtrori 6 d(2 k dam M se prolonge en ,une d6ri1iafion de A dan,$ M . Esi effet: posons B A/ Arni(M) ; l'application A t.(Al n , 6(A)) dbfinjt un homornorpliisme d'am neaux de k dans U @ M (II" 1, cxeli~ple),c'est-à-dirc une structure de k:-alg2:brc sur l3( D M . La siirjection ca.i~oiiiqile

-

F~n.orosr~rorù 3. Soit k lrr~annwau. -

a) Soient h el B des k-nlg?hres linlairement topolo,qise'cs ct p : A -+ R 'un I>on~orno?yl~isrrte corrki,rl;u de k-alg6bre.s. Si A (J~sl, formellcmer~lI%ssesur k et B fornrellen~crrllissc sur. A , alom R est fornrelleme,nt lisse sur. k . h) Lu k-algèbre: prnduit d'une famille ,fin,ie de I,--alg&breslirihirsrr~ent topolo!$s<:'cs fOrrrtellerr~er~t 1isse.s est for.m,f~llcrrt,~r~t lisse. c) Soicat -4 u,ne k-ulgi.:hre liniaairpment topologis
-

Soierd C urlc k-a.lgi:ljre, N iin idéal de mrré niil de C , et T : C! C/N la siirjection canor~iyiie.Mimissons C et C/N de la. topologie discri.tc. a.) Soit i(i: B + CI/N lin hoinonrorpliisnîe continu de k-algèhi-cs. Puisque A est forrnellcmcnt lissc siir k , il existe un hori~omorphisir~c corltinu de k-ulgi.l~rcs

-

Loiisidérons C et C/N comrric des A-a1gG:bres A l'aide de
4

4

-

-

-

-

-

+

A

c) Notons i : A + A l'kioriioriiorpl~ismccailoiiique. Pour but a.nilea.u U , murri (le la. topcdogi~discret(:, l'application qui associe à un liorilornorphisinc continu f : A + D l'lioi~rorriorpliismr continii f O i : A i L) cst bijective. L'asscrtioir A

L'assertioi~c) de la. propositior~s'ii.ppliqiic en partiriilirr lorsqiie 1i1. topologie de A cst'a topologie .J-adiqueLoù ,J est un idéal tk typc h i : l'xdlk;<-ncc~ .T de .T dans A est dors Cgalc ii JA et. la topologie de A est la tol~ologieJ-adiyue (TTT, 5 2, 11" 12? cor. 2 tlc la. prop. 16). Pt1.r coriséqiient, il est, 6quiwtler1t tlc dirc qur A est forrncllpmcrit.lissc pour ln. topolofi^e .l-atliquc ou quc son skpark coirlpl(3k A est, forinellerrient lisse poiir la topologie .J-adiqiic. A

b) So,il. k' ,[me k-algPOre. Si A pst fo,r7nellemcnt lissç s w k pour la topologie J-arhque, lu A:'-algkhre A(k,) esi form.ellerncnt lisse ç w k1 polrr In topologie JA(kr)-adique. c ) D&sign,onspar 1 l'id6al de A 1 % ~ B en,gc~dr~J par. les irnagrs de J (Bk:U et A ~k K . Si A et T3 sont formellement lisses sur k pow les topoloqirs J-ndique et K-adiyue ~rc:spectzaerrrerrt,la k-ulgPbre ARkU est jol-me1lt:rncnt lisse pour In topologie 1-adiquc. a) Sous lcs hypotli+ses de a), soient C une T p l k-algèbre, N 111.1 id4a.l de carré nul de C ; munissons C et C/N de la topologie discrCt,c el. riot,oris T : C i CI/N la surC/N un horrioinorpliisrrx de 'Y-'k-algèbres, jccliori cwi~onique.Soit cp : Sp' A coiilirm pour la topologie SplJ-adiquc. Notons i l'l~ornornorphismcc;r,i~oriiqiie(le A dans S-'A. L'a.pplicatiori ;o i est uil homornorphisrrie plica.t,ic)ri ; o i cst 1111homomorphisrnc cl(, k-algbbres (le A dans C / N , cor~t~inu polir la. topologie .T-ndiqire ; si A est formellement lissc sui. k: pour la topologie J-aliqiic,
- A B c:st coritir~ulorsyu'on munit T3 de ln topologie K-adiclile et A @k R dc la topologie 1-atlique. L'assetliosi c) rksiilt,c iloric dc la prop. 3, a).

-

-

3. Exemples d'algèbres formcllenient lisses

Soit k iiri anneau. 1) Soit P un k-module projectil'. La k-algèbre symétrique Sk(P) est forrrlcllerncrit lissc pour la topologie discrCte. ct u fortior.2 poiir celle qui est définie par sa gradii;i.tiori. En cEct: p i n - toutc 1c-dgèt)rc: C et toilt idtal N de C , les liorrlornorphisines d3iilgCbresde S k ( P ) (leris C (resp. C/N) sont cn c»rrc:sp«iidancc bijective axe(: les applications k-linéaires de P dans C (resp. C/N): et l'application C/N) est surjectivr. canoniqiie Homk(P,C) + Horn@', ) Par consbrpent (prop. 3, c)), la k-algèbre Ç ~ : ( P=

fl SL(P) est formcllcrricnt

ri>O

lissc (polir la t,opologie prvdirit des topologies discri.ti:s sur les Sk(P)) : en effet c'est la coinplbtéc dc la k-algèhe Sk(P) pour la topologic dbfinie par la gratluat,iori.

2) Pour toiitc: faanille
-

f(1))

=

f (fi)

-

-

.ft(a)ft(a)-l.f((c) O . -

T r r É o n h ~1~(1. S. Colieri).

Soierrt A: trr~co7.1j.s e2 K m e r:r~ten.sions6pc~mblcde k . Alom K cst ILW k-al,yi:h,rcfo~i~rr~ell;err~,erL lisse. Soiciit C une k-a,lgbbrc, N un itl6a1 (le carrb riiil de C , TI : C + C / N l'hoiiiode b:-algèbres. Il s'a,& ir~orphisrriccaiioniqiic et cp : K + C/N un lioinoirlorpliis~~~t~ dc construire im relèvemciit dc cp. Distiilgimris deux cas. A) Siipposons d'abord A: de caract6ristiqiic 0 . CoiisidBrons les couplcs (KI, 4') , oii Kt est iirie soiis-ext,ensiorl de K et @' : KI + C im relèveiiicnt dc la. rcstrictioil dc cp à T i 1 . L'ensemble tle ces coiiples, niilni de l'ortlrc dBfii~ipar. la rclat,ior~de prolorigerrierit,est indiictif ; t1'apri.s lc théorème de Zorn (E, III: p. 20, th. 2), il existe iiri coiiplt: (Ki, Gt) inaximal. Prouvons que K1 est kgal à K . Soit z E K KI. Si :r est transcendant sur. K t , la KI-algèbre lil(:r) est formellement lissc (cxcrqlc 2). Si Zr: est aIg6l)riqiie siir K t , son polynôme rninirrial f E 11'1'1'1 est Ctrangcr sa ? d6rivi.e ( A , V, p. 37, prop. .1),et Iil(z) s'itlentific A la ICI-algCbre K 1 [ T ] / ( f ) donc est ilne Kt-algbbre forrriellerricnt lisse (cxcinple 3). Daris les deux cas, Kt(a) cst îorrrrellerrierit, lisse sur Kt , et il cxist,c ilii prolongerrient de +' A. Kt(:,:) qui rclCvc la restrittiori dc cp A K1(n:); cc qui coritreilit le caractbrc rnaxirnal de (KI: @'). I3) Supposoi~sk: tlc cara.ct,éristiqiie p f Cl. Consid6rons I'hornorriorphisrnr d'ailrieaux F : C + C tel qiie F(:ï) = :r? ; or1 a. F(z) = O poiir z E N , de sorte qu'il ilja.rineaiix A : C/N + C tel quc A O TI = F . On a cxisk 1111 iiriiqire lioiiioriioi~~)'ciis~~~~; ) .rr(:c)P ; puisq~ic.rr est siirjeckif, on a donc n(A(z)) 9'pour m(A(.rr(:r:)))= ~ ( z p = tout ClCrricrit z tlt: C / N . P x ailleurs, riotoris f : I< -+ Kp l'isomorp'ciistne y ti y" et. ,f-' : K" + K l'isor~~orpliisme réciproque. Soit g : KP + C Ir imriposk dc la. siiitc d'l~oriio~iior~)liisrries tl'ainieaux

-

-

Poiir toiit :r E K , 'ln A g(:r:p) X(cp(:x.)). Puisque A(crz) = oc''A(z) pour. oc E k. et z E C / N . 1'a.pplication g est kP-liriéairc. Puisque l'extei~sioilIC de k cst s6parahle, k ( W ) s'itlentific k @lrp I

Soit une p h s e de K siir k(K") (A, V, p. 98, t,hi.orèrlie 2) ; pour ) < P ( ( L < ) . 011 a toiit, 1; E T , clioisissoils c i i l élkinrnt bi de C tel que ~ ( 1 ) ~ : h ( ( f ) ~ ( u , : ) h(y(«,)) = X(n(h,,)) = t)i' pour tout L t 1. D'aprbs A , V, p. 94. rerria.rqiir. il cxistc iin hornorriorphisrrie de k-algCbrcs

-

-

C O R O I , I . A T RSoient E . - k 1 ~ 7 1corps; K une exte~rsiorrsLpcrrnhle de k et A u n e I<-al!pYire I~ir~Gairrrrro7,t topoloqiç6c. Si A est ,fornrcllcrr~e~~I Pissr sur K , elle csl, Jormelle,m.en,tI k P sur k . Ccla résulte di1 thlorème et
2) Nous verrons ci-tlessous (cor. 2 tlir th. 2 du no 5 ) qu'une extcr~sioride corps qui est Sori~iellcrrlc~rit lissc est nhsoliirnent, régiilihrr, donc séparable (5 6: no 4, excnrplc 2). 4. Relèvements d'homomorpliisrnes dans les algcbrcs filtrées complètes

Soient k un nrrrica.ii, iinc k-algèbre, (C,,),,,z iirie filtration di.croissa.rlte de C , coirlpatiblc wcc la striic1,iirc~de k-algbbre cl telle qiie Co = C (III, 5 2, no 1). Siipposoiis C s6garbe et corripl>t,epolir la. topologi(, dfifiriic par celte filtratioii, (le sortc qiie l'ap~li O ; notons T : C -> C/C,,, la siiijrctiorr cwnoiiiqiic.

P ~ o r o s r r r o5.~- Soit A ~rrrrk-n&hr~ lin,6aiaiwrrrcict topologis6~jorrnellerrrent lisse. 7i1rrl h,ornom,orpl~isrnecorrkinu de k-nlgi.11w.s cp : A + C/C,,, a d m e t U I L rali.vcv~crrt cOrl,iirl/l~h Cj . I'oiir tout cwticr 71 > ri>,iioto~isT ~ :, C/C,r,+ C/C,,-, la siirjcction carronicpi:. Piiisipc C s'iderit:ifie R la limitc projectivtl iles C/C,. il rcvienl, au rriême de se doiiricr iiir ~&wrrieritcontinii di. cp C oir iine famille (cp,,),,.,,, tl'lrorrloriiorplrisrr~es coiltimis dc k-dg+l)rcs cp,, : A + C/C,,, satisfaisant à T,, o y,, = cp,,-, . Ccla noiis C,, est raaikric, par récilrrcnce sur m , à prouver l'bnori& lorsque Cr,,+I = O . L1i
5. Quotients formellement lisses d'algèbres . Soient k un anneau, A une k-alqèbre et J un idéal de A tel que la k-algèbre A/J soit fofolmrl1err~e.n.tlisse. MII,~%SSO~LS A de la topologie J-adique. Les con,ditiorrs sui~ierltesson,t équivalentes : (i) la k-algèbre topologique A est formellement lisse ; (ii) lc A/J-rr~odulcJ / J 2 est projectif et l'ho~rr~omoryhismc canonique (3 5, no 2) S H É O R ~ M E2

est h$jectif; (iii) le A I J - T ~ L oJ/.J2 ~IL~ est~ yro~ectzfet il exiçte im isomorphi.smr de k-n1,qèbre.s topologipes de l'nlgkhre shparhe com,plhthe de A .sur I'alghhre com,plCthe de l'algkhre graduée SA/,J(J/J" . Si A est noethérien, ces conditions équs~~alrnt aussi (i : (iv) l 'idéal J est r:orrrplètcrrc.rrrt sncnnt. Observons d'abord que (iii) implique (i) : en effrt, sous les hypothèses de (iii), l'algèbre S A / j ( J / J 2 ) ,munie de la topologie associée sa gradiiatiori, est forri~ellenicnt lissc siir A/J (no 3, cxcmple 1);donc siir k (no 2. prop. 3, a,)) ; l1asscrt8ion(i) rPsulte alors de la prop. 3, c) du no 2. ,-. Notoiis A I'algèhre sépa.rbe corriplétée de A et .T le skj1aa.6 coinplkt6 (le J . 1,'kioniorriorpEiisrrie ca.riciriiqi~ei : A i A iridiiit lin isoniorphismc A/J + A/d (III, >S 2, no 12, formiilc (21)). Soit

A

A

,-.

- 5/z2

,-.

A

A

A

A

I'lioirrorriorphisrnr de k-a1gèl)res t,el qiie O(:x:) =
-

,-.

A

A

,-.

A

A

-

-

A

A

-

hypotlièsc uri isorr~orpliisiriesur les gradués associés, donc cst bijectif (III, ji 2, rrO 8, cor. 3 du th. l ) , ce qui proirvc (iii). k'rouvons (i) =+ (ii). Sispposoris la kxilgèhre t,opologique A forniellerimit lisse. Proiivoi~sd'abord que le A/J-sriodule .T/J2 est projectif. Soient h'l un A/J-rnodule el f : hl1 + .T/.~%ue ayplica.tiori A1.T-liriba.ircsiirjective ; il s'agit dc d6rnoiltrc.r que f a,drriet une section A/J-1irlÇnirc. Notons .rr : A / J ~>- A/.J la sur,jccl,iori(:ar~or~iqiit~. D'après la remarque 1 du rio 2, il existe i i r i isoirzorphisinc de k-alg&l)res 4 : A/.T EJ.T/J2 -+ A/.J"el que v(+(y.z ) ) : y et +(O, ,Y) = z pour y E A / J , ,z E .T/J2. C~risitléronsla. k-algèlxe (A/.T) @ M (ri" 1, exemple) et l'applicatior~ : (A/.J) 6?IL4 + A/.J"clle qiic U ( Z . rrl,) = +(II., f (rrb)) . C'est uil horiioir~orpl~isrrie surjectif (le k-alghbrcs, dont le r~oya.uest le s o ~ ~ s - ~ n o Kcr ( l ~ lfc (le M , (101icCS(, (le carré nul. La. surjection ca.rioniqiic' p : A + A/J%st continiie ; conulic la k-algèl-~retopologique A est kjrinelleineiit lissc; il cxistc un homoinorpliisrm (le k-algèlms p : A >- (A/J)@M tel que uop = p . Corriime prL = T O = T O u , 011 a. prl O fi = T O O 6 = -ri O p , dc sort,? que pr, o p est Iir. siir;jcctiori canoiliqiic de A sur A/J . On a donc p(.T) c M et par coriséqiient 1>(.T2) - O , dc sort,c que p induit iinc application A/.J-1irit:ir.ire s : J / J 2 >- M . 011a. 71, O p = p et prz O 4-' o u(y, m) = f ( m )pour :y t A/J et 'rr> t M . Soiciit z E J , et r SR. clitssc dans .J/J2 ; 011 a f ( s ( . ~ ) ) = ,f (pr,(fi(:x:))) pr2(ilrÏi(?)) = .? . Ainsi s est iinc section de f . Il rcsi,e A proilver qiic I'hornomorphisnie P est injectif. Puisqiie le A1.1-niodule . J / , J ~est projectif, A adiriet iirie sect,iori A/J-lii~éaire; notons 0 : S -: Â l'llornorriorphisine a.ssuci6. L'1iorrlorriory)hisriic gr(0) s'itieiitifie À P . Soit rrL un enticx ; rioi.ons C,,, la k-algèlm grndii6c qiiolienl, de S par l'idéal C SZ et H,, : 1,, + A / J m t

+

-

-

z>m

'

l'hhissiic dédiiit dc 8 . Le cornpos6 (le O,,, avec la siirjection caiio~iiqiie A / J est la projection caiioi~iyuede C,,, siir S" = A/.J ; par suitc Ic 4/.Ji"+ l iioya,ii tlc O,,, cst lin itléd r~ilpotcnt.D'aprk l'cxerrlplc di1 no 4, il cxistc un rclhvcrncnl, ib, : A + Zn,de la surjection cnnor~iqireA i A/.T""+l . Comnie le composé de +,, avec la. pr»jectiou canonique de X,, sur A/.T est la surjection ca.imnique, iJr,,,,,(.T) est foriné d'élérrients de dcgri. > O . Pur passa.gc: ailx gradués associks, on dCtliiit (le $ , iiric applicat.ion koliil6aire grntluér gr($,,,) : gr,,(A) + Z,, telle que = Id,,,, 1.1 . 11 en rCsull,eque gr ,,,(8) , donc a.iissi Pm, ; est injectif, gr, (8)ogr,,,,(~Jr,,) ce qui a(:l.i&vetle prouver jii). les conditions (ii) et (iv) sont kqiiiv-iilerit,cs(3 5, Eriiiri, lorsque A est rioet,I&rier~, no 2, th. 1). /J7y~

Les coriditions (ii) et (iii) sont 6quivalerites tl'a.pri.s l'cxcmple 3 (hi 6, II" 4, et revicnncnt à dire qite l'idéal m~ est cornplhtcrncni, ,-. skcant (VIS], 5 5, ri0 2, th. 1). Pa,r aill~iirs,t,oilt isomorphisrrie d'a.i~ricaiixde A sur K A [ [ S.~. ., , T T r ]est ] bicontiriu, puisqiir cc sont des a,nrremx loca,ilx. Comme la k-dgkbrc A/mA est, kmrielleirrent lissc (no 3, th. 1 ) ; le corolla.irr r(:siilte du th. 2 appliqué avec J = mA .

COROLLAIRE 2 . Soient k un corps, A ,crne k-alqèbrc riocfhe'r.ien,n,r:et J un idéal ~s A for7n,ellement lisse dr: A con,ten,n. dans le rndiçul dc A . S ~ ~ p p o s ola~ X--algi:im pour Io topolo,qLe ,J-ad?y,ue. Elle esl, alors absol.u,,rn,mt riguli?re. Soient eu effet k1 ilne extensiorl firiic dc k et A' la A-algèhrc ; il s'agit de prouver q i ~ cpour , toiit idéal rrmxirnal m' (le A' , 1'annca.u local iioctli6ricn A',,, est rkgiilicr. Or on a .TA1 c ml : cri e k l , l'image réciproyuc de m' dans A est un i d h l niaxiinal de A (V, (i 2, il0 1, prop. 1 ) ) donc contient J . La kl-algèbre A' est forinellerneiit lisse pour la. topologie JA1-a,diyuc (ri" 2, prop. 4, h)), ct la kl-algi.l>rc Ak, est forrncllcrnerit lisse poix la topologie JA:,,-adiquc (no 2, prop. 4, a)), donc aiissi polir la topologie m'A',,,-atlique. Soit ko lc sous-corps prcniier de kl. Alors A',,, est forrnellerncnt lisse siIr ko pour la topologie m'Ai,,,-adique (cor. dii th. 1 du 11" 3) ; cornmc ~ ( m ' )esi, séparable sur krl,l'anneau Am, cst r6giilicr. (cor. 1). COROLLAIRE 3 . S o i c ~ kt u n anneau et A u n e A:-dgèbre forrr~ellerrcwrrtlisse. a) Le A-rriodule bZk(A) es/, projccttf. h) S,r~,;uoçorrs que l'u7mcnu A ~%5(i1; A soit roct thé rien,. Notons p. : A A +A 17h,om,om,or-hzsrrie tel yue p.(:x: 00 y) = zy ; a1or.s l'idéal Ker(p,) est compli:tem,mt s6cant. Les kdgèhres A et A @ k A sont forrr~ellernerillisses (ri0 2, $ o p . 4, c)), ct A est isorriorphc ail quotient de A 1@k 4 par le noyau T dc p,. On a par définition fLk(A) = I/S? Ainsi a) et 11) résiilient, di1 th. 2. 6. Extcnsion du corps de base dans les algèbres régiili8res (caractéristique non nulle)

-

Soient k iin ariileuii et p : A R u r i honiornorphisrne de kalgbbrcs. 011déduil, (R) , et p x siiit;e ilne application dc p une application A-linéaire O(p) : f l k(A) + .ILk(R) ( A , III, p. 135). Soient T = (T,)7,,I U-linéaire &(p) : B @ A fLk(A) imc famille d'indétermiri6cs, ct t = (t,,),,rlin<: famille d'élérrients dc B ; pour t,out polynôme f = C c,T" tlc A[T] , noloris d A f ( t ) l'dl6mcnt C t" QO dc, de

-

a

a€ N(')

B ai,\ &(A) . Lemme 1 . S I L ~ ~ O S Oque T L S10, A-algkbre R ( ~ ( h c t t r :m e ,fami& ,y(:nkrutrice = (ti)iSi, liée par des relateurs fk E A[T] (X E A) . L7horn.onaor-lais~ncB-lin,Aa?;r.e

t

defirri p w ib(cu, ( 1 1 , ) )

=

ilo(p)(a) t C bi d i i , esb .~urject'~f ; son noyau, est e~!]fmh"rL it1

iiom(il,,l)

O

+ Horug (Ok(B),M)

Hi,~ii(~,l)

HoniB((B @ 4 flk (A)) (1) B('), M)

+

orn nu(^(^), NI)

est exacte. Compte tenu dc la proprihté universelle d u iriotliile (les tliffércnticllcs (A, 111: p. Wl), cette suite s'identifie à

où C1(D) = (D mémmt

0

p , (D(ti))) ct T'(A, (ni,)) = (,f;(t)

A, V, p. 121, poiir tout polyriôrrre f

=

(7 (t)' r r ~ i ) ~(coiifor~ + ;jT; fh

C rut

A

c,T" tlc A [ T ] , or, ride

N")

f A ( t )l'élément C t a ~ ( c . ,Or ) )l'exactitude . de ccttc suite résu1t)ede loc. cit., prop. CY 1, cosnptc t,enu de ce qu'une dériva.tion D : P, I Ni est klinbairc si et seuleinent, s'il cm est a.insi de D O p . Soit A un anneau. Il cxistc une uniyiic striicturc de Z-algèbre sur A ; oii note siniplcmcnt fZ(h) Ic A-rnodulc &(A). Si p : /i -> A est un hosrminorpl-kmc d'anncnux, on a iinc suite exacte cailoniquc de A-modulcs (A, 111, p. 136. prop. 21) A @I; Il(k) i R(A) - - 1 flk(A) -1 O . Supposons que A contienne im son-corps, et soit P Ic soiw-corps premier de A ; alors O(P) est nul et l'liornoniorpliisrnc canonique de A-nlodules O(A) i O p (A) est bijectif. Si en outre A est de ca.ractéristique p # O (ce yiii signifie par définition cluc p est un nombre premier, que p l A = O et lAf O ) , alors P s'idcntific A F, . De plus, toute dérivation (le A s'anniilc sur lc soiis-ameau A" ; pour tout sons-mirieau k de 4 coritenii dans A" (et, cn particulier, pour tout sous-corps pa.rfa.it k (le A ) , l'application canonique O(A) + flk(A) est bijective. iirie siiite finir d'blbSoient A un a.nneau de ca.ract4ristique p f O et (f+)lGiGn, ments de A. Notons A,,, 1'aririea.u qimticnt de l'anncwi dc polynômes A I T I , . . . ,T,] pa.r I'iclPa.1 engeritlri? par les polynômes T: - ,f, , poiir 1 i ,rL.

< <

Lemme 2 . Supposons l'a?i~ecauA local ct rtocthkrien. Alors A,, pst local et ?rocIhc'ricn. Lcs conditions scl%.uaretess o n t <%privulcn,tcs: (i) A,, cst r.&qullcr.; (ii) A est rc'qulicr ct les Cl<:,rrmrts1 b3 sont lénéa%renrc~n,t indkpc~rdanls.

clf,

du KA-espacevectoriel

KA @A

fl(4)

L'anneau A , est noethérien (III, ji 2, cor. 3 dis th. 2). Lc A-~notiiileA , est libre, donc fidèlement plat ; si A,, est ri:gi~licr,alors A est, régulier (5 4, ri0 5: prop. 8 b)). Noiis alloris raisonner par réci~rrcnccsiir a : lc Icrnrrie étant bvident si n,= O . A) ï h i t o r ~ sd'ubol-d le cas n = 1 , en posant. T l = T fs = f . Notons n lia classc deux cas, siiivmt qur ci appartient ou non K.: Si de f dans KA ct disti~iguor~s a $ alors le polynôinc T" - a cst irrédiictihlr d m s KA (A, V j p. 24, lemme 1) et KA Al est isoniorph~:LU C : O I ~K*[T]/(TP S - a ) . TJ'idéal mAA1 de As est donc rria.xiina1~de sorte yiie l'aiineau Al cst local (V, 5 2, II" 1 , prop. 1). Si A cst régulier, A l est r6giilicr (VIII, ji 5, 1s" 1, prop. 1). D'aprils A, V, p. 99, prop. 6, I'élhmerit da de CL(KA)I I ' C S ~ pas nul ; puisque c'est l'imagc p x l'application canoi ~ r pas nul. Cela dbmontre le niqiie KA @ A O(A) t ~ L ( K A ) (le 1@J d j , CC d e r ~ ~ri'est leininc tlms ce cas.

KA,

-

Supposons rrsairiteriaiit qiie cr a.ppartieiinc b K: . 11 exist,e donc un ClCriicnt ,y tlc A tel que ,[ ,y" t r n .~Posons h = f - gj'. Puisquc TiJ f = ('Y g)P II,, la A-algCbre Al est, isorriorphe ;i A[T]/(SP - h ) . D'après VIII, 5 5, no 4, prop. 4, l'arsncnii A L est lova1 et, pour qu'il soit rbgulicr, il faiit et il suffit que A soit régulier et que IL ri';rppart,ierme pas à m i . Or, piiisque K A est formellcrnent lisse sur Ic corps p)rcmicr (no 3, th. 1), l1applic:a.i,iorica.noniqiie -

-

-

cst irijectivr (no 2, remarque 1) ; mais l'imagc par d de l i ~classe de h motlulo m i est 6gide 1 @ dh = 1 1% d(f ,y") = 1 00 df . Cela dérnoritre le lemmc tlms cr deilsiCrrie cas et achève la preuvc du cas r l = 1. -

B ) 3upposoris ,rL > 1 . L'anneau A l est, local et noct.116ricn d'aprt.~le cas déjà. traité. Lw. Al-algbbrc A,, s'i
>

Mii.is (i') bquivaiit, corliinc on vicrrt de le voir, à

U'apiCs le lcnlrric 1, l'liorr~orr~orpl~iisrric cmoriique Al fZ(A) + R(Al) induit iin isoinorpliisrrir de ((Al @A CL(A))/Al (1 03 clfi)) Ai sur f2(Ai), ct par suite (1~8 (VI) d m s K A , @ A , iZ(Al) . lin l~oinonlorphisrireir'jcctif de ( K , ~@,! O ( A ) ) / K A Coriinic K A , @A fl(A) s'idcrstific~à K A , lRK, ( K A 632 q k ) ) , l'assertion (i") éyuivnirt dollc a :

dt?lwitc- de l'irljection. cur~or~iquc kIP + A est injeçti.ue. Soit cri effet (z,),,,~une pbase fir~icde k' sur k (A, V, p. 98) ; pour tout i r 1, posons f , = :CL t k . La k-algèbrc k' s'identifie au quotient de k[(T,,),,IJ par l'idéal engendré par les polyncîmes Tf - ,Ji , donc la A-algèbre A(/:,) au qiiolienl de A[(T,),,r] par l'idéal engendré par les polynômes T r - f i l A . Par ailleurs, (f,)7,,r est une p b a e de kt" sur kp, et le kf"-espace vectoriel fZk,,(kfp) admet pour base la famille des d&L(A, V, p. 97, th. 1). La prop. 6 rksulte alors du lemme 2. 7. Un critère pour les algèbres locales formellement lisses

PROPOSITION 7. Soien,t ko un, mn,eau, k: urte ko-nlg&hre,A m e k-nlqkhre, in un idéal maximal de A . On, suppose que k et A/m sont form,ellemen,t lisses sur ko. Po,ur que A soit formellement lisse SUT k pour. la topolo,qie m-adique, il ,faut et il sufit que les deux conditions suivantes soien,t 'rc'alisées : (i) l'homomorphisme canonique SA/, (in/m2) + gr, (A) est bz3ectzf ; (ii) l'application A/m-linéaire

d6duite de l'r~pplicationccmonipe k -, A est .L.r~jectzue. Notons dk. : k i akl, ( k ) et d A : A -t Clk,,(A) les ko-dbrivatioils universelles. Supposons d'abord A formellement lisse sur k pour la topologie m-adiyue. Alors A est forrriellenlent lisse sur ko pour la topologie madique (ri" 2, prop. 3, a)),ce qui équivaut à (i) (no 5, th. 2). Par ailleim, la ko-dérivation X t. 1@ iik(A) de k dans A/mQiknk,,(k) peut s'étei~drccn iinc ko-dérivation dc A dans Almgkflk,, (k) (no2, remarque 2). Il existe donc une application A-linéaire u : Rb,,(A) + A/m Br,:CLk,,(k) telle que î ~ ( d ~ ( h 1 ~ )1)@ &(A) pour tout A E k . L'application A/m-liriéaire A/m @, Clko (A) + A/m BI, CLk1,(k) déduitc de 71, cst imc rétraction dc o , cc qui démontre (ii). Supposons invcrscincnt les conditioris (i) ct (ii) satisfaites. Alors A cst formcllcment lisse sur ko pour la topologie m-a.dique (no 5 , th. 2) et le A-inodule flkn(A)est projectif (il0 5, cor. 3 du th. 2). Fixoi~sun ent,ier 'r. 3 O et considéroris l'application A/m"-linéaire o,r: A/mT @k: 0 k o (k:) A/mT @A nk,,(A)

-

une famillc d'éléments de déduitc de l'application canoniqiic k + A . Soit k tels que les &(A,) forment une base du k-espace vectoriel fZk,, (k) ; d'après (ii);

les éItrricrit,s 1 O(> d,\ (Ail ,) sont linéaircinrnt iildt5pcntlarlts dans A/m M,\ Ok,,(A). D'apri:s II, $ 3, ri0 2, cor. 1 et 2 de la. prop. 5, les I @ d A ( h i l A )forrricrit u r ~ cbase d'uii Sact,eur direct clil A/mr-~r~od~ile A/mr XI,\ fLk,,(A). Il existc donc uiic applicatior~ A/mT-liiibaire u,. : A/mr @ A CLko(A) A/n17' O)X.ClLo(k)

-

telle qiie uT(l dA(XilA))= 1Cg cih-(&)pour t,out 'i, doric W, O w,. = Td. Vkrifions inüintcnant qirc A est, Sorrnell~:rr~er~t lisse siir. k pour la topologie 111-adiqi~e.Soirrit C iiilc k-algCbre, N uri itibal tir carri: niil tlc C , et 7~ : C! I C/N la surjcction carioniqiic ; miiriissoirs C et C/N his~r~c cor~tiriude k-algkl)i.es. Piiisquc A cst forrnellrrneilt lisse sur ko pour la lopologie m-atliqiic: il cxistr uri I.iornomorphisrrie : A + C tel qilc 7~ O s la. prop. 1 dii coritimi de ko-algèbres no 1, les lioniornorpliisnics dc ko-algèbrcs ij, : A i C tels que TT O ij, = cp sont les applicatioils z H v(da(.r:)) <pr)(z),où ,il parcourt, HoiriA( O k ,( A ) , N) . 11 s'agit de choisir II de f q o n que ij, soi1 lm lionioiriorpliisrrlc (le k-i3lgkt)rcs. L'application h ++ h l C -GO(hlA) cst uric ko-tl6rivation de A: da,ns N (loc. cit.), donc peiit s'krire Ir O dk avec IL E Honi/;(,Oko(k),N) . Clloisissoris i i l i erdier r k 1 que ln iioyaii (lr cp corit,ierlr~eni" . Lt. A-inodiilc N est a.imiil6 par nx7' et il suffit de prendre polir 71 Ir cornpos6 dr la siiite tl'lioinoniorpliisincs 1%

+

flho(A)

-

A/mr

@A

(A)

"

où 17' cst dbdiiit de h . En cffct. on a pour h

Ii'enrar.qve 1

A/mT @JI-

E

&,, (k)

= 1'

N

:

k .

. Lorsquc A cst noelhbrien, la coridit,ion (i)sigiiific qiir l'anneau local

A,, cst rbgulicr (VIII, 5 6, ri0 2, th. 1). PROPOSITION 8. Soierrt X: l r r r corps et A ,/me k-«,lqRhw locale noethkrien~e.Les condét.ions suivantes sont Cqwiva,len/ks : (i) A est forntellcrrrent lisse S I L k~ pour 111. topologie mA-crdique; (ii) A est rf:!/ulzèrr et l'application ~~-linc.'nire

de'duite dc l'injection cnfioniquc k -t A est ,injective ; (iii) A esl ah.sol.urrreut ,rr+rkl2re ; (iv) pour toute ~:rten,.sionradiciclle k ' dfj k , de degr.6 ,fini ct dc: h,aaleur 1 Z'aar~co;.~ local A ( ~ o est régr~I%w. (ii) ++(i) : il sufit d'appliqiler la prop 7 ct la rcmaryuc 1 ci-tlcssus, en prrnarit l i ~ ~SUIei~t polir ko Ir sous-corps premier de k cil effet, k el K A s o ~ ~St o, r ~ ~ ~ ~ llisses ko (11" 3, th. 1). (i) =+ (iii) : cela r6sulte du cor. 2 du tli. 2 (ri0 5).

<

(iii) =+(iv) : cela. rbsulte dc la dCf. 1 (lu {j 6, no 4. Si k est de carxtkristiqiie 0 , il résulte di1 cor. 1 du th. 2 (no 5) que (iv) iinpliquc (i), d'où ln proposition dans ce cas. Supposons k de caractkristiqiir p # O et proiivons (iv) =+ (ii). Soit k' une extension radicielle (le k , de degré fini ct de hauteur < 1 . Si A et A ( k ( )sont rkguliers, l'application canonique A ) ir'jcctivc (no 6, prop. 6). D'après le th. 1; b) de ~ ~ @ ~ t ~ f 2 ~> K~ ~(@k ~' C~L )( est A, V, p. 97, a.ppliqu6 à l'cxtcnsi«n k tlc kp , le k-espace vectoriel R(li), qui coïncide avec Rkl,( k ), est rCimion filtrante croissante des sous-espaces k @k:fp Clkp(k'") ail kt tlCcrit l'ciwcmblc dcs extensions finies rxlicielles de k de Iiniiteilr 1 contcriues tlaris une clôturc alg6briqiic fixCc dc k . L'assertion (ii) en résultc.

<

Rernmrqz~e2 . Soient k iiri corps et -4 imc kta.lghl)rct,cllc qiie l'annem A(l,,) soit 1 ; régiilier pour t,oiit,eext,erisiori rn.dicielln X.' de k , de dcgrc4 fini et de lïauteiir alors A est ii.tjsoliimcnt r6gillii.r~.En effet, soit k:' iirie telle exterisiori ; pour tout idbal rnaxima,l m de A , l'anneau k1 @ h A m s'itlerititic A. i i i i mncaii dn fractions de A(k,), donc est rbgiili~r.D'a.prbs la prop. 8 ci-dcssiis et la prop. li dii 5 6:ri0 4, 17alg+hrrA est, aljsoli~rncntr6giilii;rc.

<

8. Existence de rétractions pour les applications linéaires P R O P O S I T ~ O N 9. Soicxt A , I I ~ Q ~ L T L ~ ( J T L , M un, A-module de type ,fini, N rm A-nt,oilule p,rujec:kiJ c l I L : M + N W L ~a,pplication A-li~aCa,l;r.e. a.) Soit p .un idéal p,rerrUer de A . Les conditions sul:.uantes sont f!qui~~ale~rtcs: (i) il; e:r:.iste j E A p ct v E HomA, (NI. M.[) a ~ e c71 O = I ~ M ;, (ii) il eziste ,u E HomAp(Np,Mp) II.I)CC 11 o 7 1 , ~= IdMp ; (iii) l'application ~ ( p ) - h 7 ~ k ~1i 03 r / 7~: : ~ ( p W.& ) M ~ ( pINA ) N est i7tjecti1~e; (iv) il eziçte u n en,tier m 3 0 , dcs él6rnents z1, . . . , 2 , de M rt des ,formes y, ; . . . , yrri SUT N tels ~ , I I , C les images des z, dans Mp erqertdrfmt le lir~C(~ires Ap-modulc VI,, et que 1 or^ ait dct(< g?, ,u(x7)>) $ p ; S i la condition (iv) est ,u&i,fiGe, o,r~,a m, = [ ~ ( p@)A M : ~ ( p ) et ] les Glé,rr~ents1 63 x,,, forment 'une buse du K ( ~ ) - P s ~ o , c ( :~iectoriel~ ( p@)A M . b) L'crrserr~ble U dt7ç idLa,cl,n:p r f m i e m p de A qui sutisforct (mg: condition,^ de a ) est va o~cveri,de Spec(A) et les conditzorii; sui?!antes sont e'rl,civa,len,tes : (i) on a U = Spcc(A) ; (ii) U çortllerrt tuus les idt!cm~~r~,a,:~iri~au.z de A ; (iii) il e:ci,sle ,II E H o I I ~(N, , ~ M) avec u o u = IdiLI; (iv) u es1 iryjectzf et Cokcr(u) cst W L A-nrodulc projectiJ Dbiiiontroiis a). (i) + (ii) + (iii) : ces irnplicatior~ssont claires. ) R/I : ~ ( p ) et ] soit (ri,. . . z,) une suitje (iii) =+ (iv) : posons m = [ ~ ( p¢¢A tl'616mcnts de M telle que les élérnei~ts 1 xi forincrit imc hase du ~(p)-espa.ce Mp vectoriel ~ ( p 3) - ÿ ~M . Les images des z, da,ns Mp engendrent I P Ap-rr~odi~lc (lemme de Nakayama). Si ln condition (iii) est satisfa.ite, les bléinrnts 1@ ~ r ( z i )du ~(p)-espacevcctoricl ~ ( p@) A N sont linbairenierit indi.pcndants.

-

-

8%

57

PROFONDEUR, K É C I J I , A R I T ~U, I J A L ~ . ~ . ~

AC X.98

Il existe pa,r ailleurs iiri il-nlodulc N' , im eriserrlble 1 t:t iin isoniorphisnie de de ~(p)-espaces A-niodules O : N N' + A('), dont on déduit uri isorr~orpl~isrne vectoriels 0 : ( ~ ( p@) A N) CE ( K ( P ) @ A NI) ~ ( p ) " ). +

-

Les élérnerits t,, = 0(1 @ ~ r ( r , ) ,O) de K(P)(') forment une faniillc Sibrc finie. Il existe donc clcs élérnents ai,.. . ,CL,,,,de T tels que l'on ait dct(pr,, (ti)) jL O ; les formes linéaires iy, : z H PrOiJ(O(,?, 0)) snr N conviennent. Supposoris la condition (iv) satisfaite. Notons ( a i i ) E M,,(A) la inalrice de p tel que les iniagcs coefficierits aij =< yj;u(zi) > . Soit g 1111 élément de A des :r, cngeridrerit le A,-inodulc M, (II, 5, no 1 , prop. 2), et soit f = gclct(ai,l). Comme det(u,,) cst irvcrsible dans AS, les iirrages des 616mcnts ,u(zi) dans Nf sont linéairemer~tindépcndanles ; par suite les imagcs des x, dans Mf forment une hase de cc A,f-~iiodiile.Cela prouve la ticrnihre assertion de a.). Uérnontrons rnaintcnant (i). Notons U I E HomA(N,M) l'application z H i): < y,: z > xg . 011 a.

-

7

comme les iniagcs des xi forment urx base de Mf et que la nmtrice (a,,,) est isiversihle dans Mm( A f ) , I'eridoniorphisme (CI o ,u)f de h'II est bijectif, et l'application v = (70 o u)7' O w,f E HornA, ( N f ,M f ) vCritic la coiditior~(i). Dénrorrtrorrs 1-1). Lc bit que U soit ouvert rGsultc de la cor~tlitiori(i) clc a). (iii) =+ (i) + (ii) : c'est clair. (iv) + (iii) : soiis les hypothèses de (iv), la siiite O i M 5N + C:oker(u) >- O est cxactc et scindée, d'où (iii). (ii) + (iv) : introtluisoiis coirime ci-dcssiis i111 isorrlorpl~isniede A-modiiles 0 : N @ N' A ( ' ) . Not,oris î r t l'application de hl1 clans A(') détirlie pii.r ~ r / ( a )= H(,/L(:x.), O ) . II existe ilne partie finie J de 1 telle que l'image de u' soit, contenue dans le soiwrnodiilc AJ de A(') . Notons u" : M i hJ I'applicaLior~déduite de Sous l'lrypothix (ii); pour t,»iit idéal rnnxirrral 111 tlc A , l'applicat,iorl A,n-liri4a.ire uin de Mm dari:, A): admet iinc rétraction, et il en est. tloilc dc même de 4, ; ainsi TL{{, est, irljcct,iveet son image est factciir tlircct tlarw A$ de sortme que son conoyaii est un A,,-module projectif. Lc A-rnodulc Coker(rr") est de prbscrita.tion firiic par cotistructiori ; il est donc projectif (II, 5 5,iln 2, 111. 1). L'lrornomorphissne IL" est injectif (II; 5 3, no 3, th. 1) ; par corrséclucnt,; ,u est ir?jecliî. Le A-rnodiilc Coker(ut) est isomorphe, d'une part à Cokcr(u) a-: N t , d'arilre part à. Coker(7L") @ A('-,'). Cornrrie les A-rnodules Col~x(.ir")et N' surit projectifs, il en cst de même de Cokcr(,//,), ce qui achi>vede prouver (iv). ru!.

9. Le critère jacobien

Soient k uii arnlctrii, A iinc A-algi.brc, .J un idlal de A et d J/J2 l'applrcatiorr carrorrlcpc Poiir cl.iaque A/J-algèbre lt, on note

-)

A/J

@A

&(A)

o i ~les flhches verticales reprbseiltent Ics snrjectiorm canoriiqilcs. Ori a u(J) c N ? tlonc: 7!(J" c NN" = {O), et. LI définit par passage aux y u o l , i d , s lin homonrorphisn~e 'U : A / J b C qui vérifie p o ü = u T . Alors ,?jo 11,est un relèvement de î~ à C .

-

THOOR~ME 3 . Soie,ri.t k uri. arrnealc, A rmc k-algkbrc fo~mellerne~rt lisse et .J urr idéal de type jhi, de 4 ; po.çon.s B A / J . i ~ ) Soit p un id6d preniier de B el soit q l'idéal (prcnaier) de A tel cpre p = q/J . Lcs condiliorrs .sui~ian,te.ssont é q ~ ~ i v d e n t e: s (i) l a k-ul,qt?bw Bp est fofor.rrtellr.rnent lisse ; (ii) il e:riZste f E B p tel que la k-algèbre Bf soit J(~rm,ellenre.ri,tlissr ;

-

(iii) l'uppficc~tio~ K (p)-linén.i,r~

est injective ; (iv) il existe un entier m 3 0 , des c:'le(rrceats f l , . . . ; f, de J, dont les im,ages . . , (,fm)q engendrcn,t l'idéal J q , el. des k-dCri~m/;ion,sD l , . . . ; D, , de A tels y,re tlct(Dj (fi)) 8( q . b) L'enswnble des idéaux prcmicrs p de B qui .satisfont aux conditions é p i ~icder~tes de a) est o1~vel.tdnns Spcc(B) . Puur que B soif jb~mellementlisse s u r k , il ,faut ~t al mfft q ~ tout ~ e idPo.1 prïrrlier (resp. m,azim.nl) de R satisfasse à ces con,dition..s. (:) Sz~pposon~ A noethérien. Lcs conditions de a.) bqu,i~~ci.lcnt nr~ssià : (v) la k-algèbw Bp csi forrncllcrr~crttlisse porrr la topologie pBp-adique. De ph^^, SOUS les conditions de (iv), I'ide'cd J,, esf com,plktem,ent sécant et la suite ((fi)q,. . . , (fin)q) est com,plktem,en,içécantc pour Aq . Posons M = J / J % t N = 13 @ A f l k ( A ) . Le B-rr~ocliilcM est (le typc fini, ct lc B-motlule N est projectif (il0 5: cor. 3 d u th 2). Pour toute pa.rtic multiplicative S (le A , la koalgbbrc S ' A est forrrlcllerrleril lisse (no 2; prop. 4 , a.)). D'aprPs le lemme 3, les conditions (i) et (ii) Cquivalent donc rcspec:tiv~meritB (il) l'a,pplica.tion : M p > Np possklt: une r&t,ra.ctionBo-linéaire ; (ii') il existe f E U - p tel que l'appli(:ation : + Nf posstde une rktraction B,f-linCaire. La prop. 9 d u no 8 appliquée à. l'anncau B et à l'l~ornoinorphismc(1: 1L1 + N inipliquc l'équivalence des corlditior~s(if) , (ii'') e t (iii), et, ent,ïaîne mssi les assertions de b) (rn iitilisar~tde noiiveau Ic lemrile 4). P a r ailleurs (iii) Aquivaiit à : (iii') I'a,pplication ~ ( q R) A.J -, ~ ( q ) Ok.(A) (IAdnitc dc d : J + & . ( A ) est irijective, tmtlis que (iv) peut s ' k r i r c : ( i d ) il cxistc un cnticr rn 2 0 , des élénierits ,fT . . . . f V , (le J dont lrs irnagcs ) , tels engendrent l'idéal .Jq de -4, et des Clérr~cmts~ 1 . ., . , gnL de H o m ~ ( . R ~ ( AA) qi1e d c t ( < yj,dfj >) q! q . I'uisque Ic A-modnlc CLk(A) est, pro~ectif(no 5, cor. 3 du th. 2), la prop. 9 d u no 8, appliqubc à l ' a n ~ ~ e a iAr et à l'l-ioinornorpkiisme d : J i f l k ( A ); fourr~it l'byuivalence dc (iii') et, ( i d ) . fi;

NO

9

A L Q ~ I ~ R ELISSES S

A c X.101

Supposons erifirl l'aimcau A r~oet,hkrien.Il est clair qiir (i) irriplirp (v). Soiis I'l'ypothCsc (v), lc lemme 3 erilraîi~eque 1'applicii.tion

est irijrctivc, tl'oii (iii). Sous les conditions de (iv), on a rn = [ ~ ( q mAbJ ) : ~ ( q ) ](11' 9, prop 8). D'après . . : (J,,,)y) le t,h. 2 di1 nu 5 , l'idéal J, est coinplèterncnt si.<:ant,ct ln suite ((jl),?. est cornplèternent sécante pour Aq (3 1, ri0 3, cor. 2 du th. 1). Cela tlrtrrnoritre c).

C o ~ o r , ~ n r1i t ~. Sol~rstkg urt, n'rlnea~~,, k: wrLe kg-algPbre noethérienne formnellcm,erct lisse, et B rrrre k-algrhre locale essentiellement de type ,fini. Si la ko-a1,qèbbr R est forrrrellrm,rn,t lisse p o w ln topoloqle me-ailiqr~e, elle est forrrrellc,rr~cr>t kssc. Tl cxistc un entier n 3 O , une partir inultiplicativc S de k[T1,.. . , T,] et, 1111 k-l~onmnorpl-iisniesurjectif Splk[T1, . . . ,'I',,,]+ B . L'algèhrc Splk[TI,. . . T,] est. !

imetki&ieiine et forrnellerrmit lissc siir k (no 3, exemple 2 et ri0 2>prop. 4, a)), donc sur ko (rio 2, prop. 3; a)). Le corollaire résiiltc alors du th. 3 ) c).

Xerrrwque 1. Les corol1a.irc.s 1 ct 2 s';tppliquent notamment lorsque k o est lin corps ct qile l'on cst dans l'un des dciix cas suivmts : a) B est ime algèbre essentiellerrient de type fini siir une cxtcnsion sépara.ble de ko (th. 1 dii ri0 3 ) ; h) B est iinc k o algbhre locale ilocthérienne complète dont le corps résidilcl KR est iirlc: cxtcnsion s6parahlc de ko (on preritl daris ce cas pour k imc algi.brc dc skrics formelles siir K H dont R est lin qiiotient (no 3 et lx, C( 3, no 3 ) ) . Da.iis cl-ixilri de ces a s , il r6silltc du cor. 2, compte tenu de la prop. 8 t h si0 7 et tlc la prop. 6, b) dii 3 6, ri0 4, qiic la ko-algèbre E est fornielleirient lissc si et scillcnlcnt si elle est ahsoliment r6gulitre. COROLLAIRE 3 (Zariski). So,ierrl k ,un co'rps, A ulre A:-ukjkbrï: locnlr ,rc.'gdikre,et s%~,ppose que lu k-algkhre ,4 es/ essen,Liellerr!,nn,t J un iddd de A distinct dc A . t sl de tgpe fini ou comnpl&. Pour yuc 1'anncu.u local A / J soi/, rc.'yulier; Il f k ~ et 0 , dix Cltirr~~r~tç , f l , . . . , f n L de .J e,r~gc.r~drurct .J s@t qu i l existe un er~ticr.711 et des dér.kiatior~.sD l , . . . ,D,,, de A Lelleç que det(Dj(f,)) $ mA. Les e'l4rr.rrrmts ( f i , . . . , f,,,) font alor:s partic d'un syçlkrne de codonnées de A el l'idkal .T est premier.

isornorplre à B@cdLA(C). Passant, au quoticrit par l'id6a.l rriaxinial de B , on ohticnt un hoirioinorpliisrne i11,jeclif

qui n'est autre que

zK,. Ainsi B est îormelles~icntlissc siir A

(th. 3).

T H ~ O R È M4E . Soient A un an,rrcau r~oetf~.&icn et B une A-algèbre csçe~tiellcnrrrrt

de typr ,firci. Les conditions suivantes sont e'qui7ialcnte.s : (i) lu A-al,q&-e B est formellrm,rn,t lisse ; (ii) pour tout q E Spcc(B), l(r. A-alqèbre Bq est form,ellem,en,t lisse (rcsp. fofo7' rr~ellementlisse pour la topologie qB,-adipe) ; (iii) le A-moduk B est plat c d , pour tout p E Spec(A) , la ~(p)-algkbrcK(P)@*B est absolumrnt r6gulière ; (iv) le A-rrroduk B cst plat rt, p m ~ rtoute A-algèbre rkgulibre R , l'annean~ R.@ A R est réq~~lier ; (v) le A-module B pst plat d l~ aoym de l'Iiomomorphisme p : B @ A B + B tel que ~ ( : @ c y) = z:y est u n ide'al conrplktrnrcrrt sc'cant. L'équivalence de (i) et (ii) r6siiltc (111cor. 2 1111 th. 3 ( r i n 9). (i) =+ (v) : supposons la A-alghbre T3 forrrielleriierit lisse. Soient q uri id6al prcrnirr de B . et p soii image réciproque dans A. La, Ap-alghljre Bq est forrnellement lisse (prop. 4, a) du ri0 2). donc plate (lernine 5) ; par siiitc le A-niod111e T3 est p1a.t (TT, 5 3, ri0 4, prop. 15). D'autrc paat, l'anneau B @ A B est noet;lr4ricn (8 Ii? no 1, ror.. (le la. prop. 2), donc 1'idCa.l Kcr p. est coiriplèterrierit sécant d'aprés le cor. 3 du th. 2 (110 5). (v)+(iii) : supposons la corditior~ (v) satisfiite. Posons 1 - Kcr(p). Soit p E Spcc(A) . L'applica(,iori

s'iclcritific 2 l'application

d6dilitc de la. ri~iilt,iplica.tiori de la. ~(p)-algèhre~ ( p ) @B*. L1id6al Ker(yp) s'idriitifie k I(K(P)¢aA (B ¢O* B)) . Il est conip1i.terrirnt sbcmt puisque le A-niodille B cst plat (fj 5, il0 fi, prop. 6). L'assertion (iii) r h l t c alors de la. prop. 8 du fj Cij no 5. (iii) =+(ii) : soicnt q lin idka1 prrrriiri de R ,et p son ima.ge r6ciproqiie dans A. Sous les hypothéses de (iii), lc Ap-rnotliilc Bq est pla.t, et la. ~(p)-algèbre 1311, qui s'identifie ilin wrrneaii de frn.ctions dn ~ ( p @) A 13, est a.hsolu~(p) rr~er~t régulière (fj 6, ri0 4, prop. fi). Il résiilte dis lemme 5 qiie Bq est formcllcinent lisse sur A p , donc sur A (no 2, prop. 3 ct 4). (iii) =+ (iv) : plaçoris-nous sous les hypothèses de (iii). Soit R une A-algèbre régulière. Le R-rnotlirle R.@AB est plat (1, fj 2, ri0 7, cor. 2 2 la prop. 8 ) . Soient r , un idCnl premier de R el p son imagr rkciproquc dans A ; l'arlrieau K(T)¢o~<(R.@AB) qui s'idcntific à. ~ ( r¢OK(p) ) ( ~ ( p ) B ) , est, régulier (5 6, 11" 4, cur. 2 dc la prop. 7). B est donc rCgulicr (5 4; no 5, cor. de la prop. 9). L'anneau R

(iv) -i- (iii) : soit p un idéal premier de A et soit k une extension de ~ ( p ;) sous ~ , qui s'identifie à k B , est les hypothèses de (iv), l'aiineau k &3+) ( ~ ( p 6) 3 U) rhgulier, d'oii (iii). DÉFINJTION2 . Soit A un anneau noethérien. O n dit qu'une A-algèbre I3 est lisse si elle est esser~tiellerr~er~t de type ,fir~'(:et si ella satisfkit ouz conditions éq.u.i?~aler~tes du théorème 4.

PROPOSITION 10. Soit A ,urL uru~ea'un o e t h h i e n . a,) Soien,t A' une A-algèbre r~oethér2er~ri.eet R ur1.e A-algèbre lisse. Alors la A'-ulgkbsre A' T3 est /isse. h) S'oient B m e A-algèbre lisse et C u n e B-algèbre lisse. Alors la A-algèbre C est lisse. c) Soierd B et C deu:c A-cdyeb,rrs lisses. A l o m lu A - ( ~ , l g k l ~Be @A C MI, h s e . Ccla r6siiltc tic la prop. 4 dii no 2 et des 6noncCs aiia,logiics pour lcs alghbrcs essentiellement de type fini (S, 6, no 1). Ezem,ples. 1) Lcs algCljrcs lisscs sur un corps k sont les k-algChrcs csscnticllcmcnt de type fini et ;thsoliunent régiilikres. 2) Soierit A un aniieau noethérieri, T = (T,),i,rUrie fainille fiiiie d'iridéteririiriées. La. A-alghbrc A[T] est lisse. Plus gCr~Crcllcrricr~t, soiciit FI, . . . , F,,, dcs élérricnts de A [ T ] ,et soit B la A-algc'hre A [ T ] / ( F i , .. . , F,,). Si en t,out idGa1 maximal n de I3 la classe (rnod. n ) de la matrice lissc (th. 3 du ri0 9).

(2)

est de rang ir,,; la A-dg&bre U est

fj 8. DUALITÉ DES MODULES DE LONGUEUR FINIE 1. Modules injectifs indécomposables

Soit A un anneau. La relation « I est iiric: classe de A-rnodilles iiijnct,ifs ind6coinposahles » est collectivisar~tc(A, X, p. 21, cor. 1) ; noiw riotcrons .Y (A) l'ensernhle des classes (lc A-irioclules irljecI,ifs iritlécorrlposablrs.

P R O I W S I T1 I ~.N Soit A un ariri~a'unoetlrh.ien. P o % ~tout r id6al prcrrricr p de A , injective dc h / p (A, X, 5 1, no 9). soit ep : A/p + I(p) un,c cn~~eloppc a) Les A-m,odules l(p) sont in~l6com,po.sable.s. A-module injeclif indkcorrposablc ; l'ercsern,blc Ass(1) est rkduit à b) Soit 1 un 6 l h r n t . c) L'application, p H cl (I(p)) est une bijection, de Spec(A) sur .Y (A) . La bij~ction,rkiproque associe à un Alkmeat 1 de .Y'(A) 1 'un,ique Clément dc Ass(1) . Soit p E Spec(A) ; prouvons que le niodule I(p) est indiiconiposable. D'aprbs A, X, p. 21, cor. 2, il siiffit de proiiver que si a ct b sont tlcs idéaux de A coritcilarit p et tlist,incts de p , l'idéal a n b est distinct de p ; or si a est. un 61Cincnt tlc n - p et b lin &ment de b p , le prodiiit ab appartient à. (a n 6) - p . Soit 1 lin A-rnodille irijectif indécoinposablc. et soient p , q des c'lCiricnts
-

Rerrraryue 1 . Soit 1 1111 A-nlodiile injectif iritlbconiposahlc. et soit p l'unique é16ment de Ass(1) ; d'après la prop. 1 , 1 cont,ierit im soiis-module isorriorphe à A/p dorit il est enveloppe injective. En g h é r a l lin tel sous-iriotlule n'cst pas iinique, cornrne or1 le corista.te eri prcnant A = Z : p = O , 1 = Q . Pour chaque idéal premier p dc A , choisissons coinnie ci-dessus uncLenveloppa ir'jcctivc (I(p),r p ) de A/p. D'apres A, X, p. 22, th. 3, on a :

TI-TROREME1 . Soit A un, (rrtn.m,tlnoeth,érier~.Pour tout A-module injectif 1, il e z i s t ~m e jamille de cardi~ra~rz (ap)pES,,cç(A) , e t wae seule, telle que 1 soit isomoryhe à @ ~ ( p ) ( ~ p. ) P

D'après IV, 5 1, no 1, cor. 1 (le la prop 3, l'ensemble Ass(1) est alors le support de la fairiillc ( a p ).

Eem,~ryue2. Soicrit A iiri nnricaii nocthhricn? M iin A-modiilc, e : M + 1 une enveloppe injective dc M . L'ensemble Ass(W1) est égal à Ass(1) : eu effet l'inclusion Ass(M) c Ass(1) est évidente. D'autre part, si p est un élément tir Ass(1) , 1 coriticnt un sous-module N isori~orphcà A/p ; coinrnc Sc il-rriodiilc cp' (N) cst non n i d , on a A s s ( c '(IN)) = {p) (IV, 5 1, no 1; prop. 1). Ccln pioiive qiic p est associ6 R e-' (N) , donc à M , d'of1 notrc assertion. Prciioi~sles riotatioris dii tl-~CorCriit,ct supposoils (Sc pliis Ass(M) fini. Pour toiit y E Ass(M) , riotoris Qq l'ii~t~crscctioii avec M tlc @peAss(M)-iqj l ( p ) ( ~ p. )Alors est une décomposi2ion primaire réduite de O dans M (IV, 5 2, nu 3, (Qq)qEAss(Mj déf. 3 ) . On a en effet nQq = O ; corrinie M/Qq s'ideritifie à ini sous-rnodule rion niil de 1(q)("q), on a Ass(M/Q,) = {q), et il siiffit tl'appliqim la prop. 4 de loc. cit. E x e m p l e . Soit A uii annea.u priiicipal. et soit K son corps des fractions. Les A-rnotliilcs injectifs sorit les A-iiiodi~lcsdivisil-11cs(A, X, p. 17, cor. 2). Le A-module K est une cilvcloppc injcctivc dc A (A, X, p. 20, exemple 1). Soient. p un élément extréinal de A , et p l'idéal (maximal) Ap ; notoiis e : A/p +K/Ap I'liorriorriorphisrne qui applique la classe d'un élément a E A sur la classe de a l p . l'rouvons que (K/Ap, e) est une enveloppe zrbjectl.oe de A/p. L'hoirioiriorphisirie e est injectif. Lc A-modiilc K/Ap est i l r i qiroticiit d'iiii rnodillc divisible, doric est divisiblc. Soit z un Cléincnt non niil de K/Ap ; c'est la classe d'un élément a/pn de K , avec a E A {O) et n, 1 (A, VII, p. 10, th. 2). On a alors pn ' z = e ( a ) , tloric e (Az) # O , cc qui prouvc notrc nsscrtiori. Il résultc alors dii tli. 1 que iovt A-module divisible est. m m m e directe de A-modules isomorphes à K ou à K/Ap pour wrL idéal maz.i.rr~nl(p~,l;"c'ipal)p de A .

'

-

>

2. Structure des modules injectifs indécomposables

Lemme 1 . Soient A ,un aarceuu, a ,un i d k d de A , et I 'urL A-rriodule. Po*ur to,ut enLr, le sous-rr~odulede 1 forrr~r:(les &hr~rc.tsur~nnl&par a'', . tier n O , ,r~oto,r~s a) Supposo.n,s le A-rr~oduleI %.r@:tif. A l o w le A/an -,rr~oduleT, est Iriectif pow tor1t TL O . b) LS'upposon,s que 17ann,eau A soit m e t h é r i e et que powr to,ut ,ri O le %S~j~ct'if. A/an-mod~uleI,,, sost injectif. A1or.s la ~(kmio'rides I,, est 1 ~ 7 1A-rr~od,l~Ic a) Le A/an-module I,,, est isorriorplic à HorriA(A/an,1) , qui est irijcclif (A. X, p. 18, prop. 11). II) Soient .J la réunion des 1,. b uri idCa1 dc A ct f : 6 + J lin A-liornorriorplliuine. Il sla.git (A, X, p. 16, prop. 10) de prouver qu'il exisk un 616incnl; z dc J tel qu'on ait f(h) lm pour t,oiit b E 6. Piiisqiie b est de type fini, il existe lin entier n tel qii'oii ait f (b) c I,,, , c'est-Mire f (anb) = O . D'aprks Ic cor. 2 de la. prol). 1 de TTT, 5 3, no 1, il cxistc lin criticr rn 3 n,tel qiic a"' n b c a n b , doric f (an2n 6) = O. Alors f induit une application A/aw"-linéa,irede b/(a7" n 6) dans 1, ; comme le A/anL-module T,, est iiijectif, il existe un kl6irierit z d~ T,, tel qu'on ait f ( b ) = bz pour tout b E b, d'oii II).

>

>

>

NO

2

DU~LITÉ DES MODIILES D E 1.ONGIJEUR FI'JIE

AC X.107

Soit a lin idéal de A ; nous convicndroris dails cc qui suit de poser an = A poiir tout entier n, O . Soit E in1 A-module. Pour toiit n E Z , r~otoiisE,, le soiwirlotliile de E formé des déments ariiiulés par an ; soit grn(E) le A-modiilr gratliié de type Z tel qiie gra ( E ) , = E-,, 1/E_,, poiir tont criticr m . Le module gra (E),,,, est niil poi~r,rr~ 1 , et gra(E)o s'identifie à E l . Notoris gr(A) l'arirlcau gradué associé A A pour la filtra,ti»ri a-adique : on L: gr(A),, = a"/an+' pour Loiit TL t Z . Soi(:rit n et m. des cntirrs. On déduit par passage aux qiioticnk (le l'application bilirikaire (a, z) H n:r de an x EPrn+i dans L,,-, + i une application A/a-l)iliriéaire

<

,

qui définit sur gra(E) iirie striicture de gr(A)-rr~otliilegra.rlué. Pour tout n E Z , on déduit de l'application A/a-l)ilirii:aire a,,,,-,,, : gr(A),, x gra(E)-, i El une application Ain-linéaire DE,n : gra(E)-,, + HoniA/,(gr(A),,,,El) ; les npplicatioils sont les corrlposar~tesd'lin fiornomorphisme de A/a-modules gradués, dit canonique

Pour a E gr(A) . rr E gra(E), B ~ ( s ) ( n )est par tlGfinition lc coiriposarit (laris gra(E)(]= El dc l'k16merit u:r de gra(E). 11 cn résiiltc quc PE cst gr(A)-liu6airc l«rsqii'on tni~i~ii, HomgrA/,(gr(A),El) de la st,ructure de gr(A)-inodiilc définie par la Sorinule (bf)(cr) f(ah) poiir a? h dans gr(A) et f dans IIoimgrA,,(gr(A),EI).

-

PROPOSITION 2. Soier~t A un anneau raoethkrien,, a un idéal de A , E un, de E annulé par a . Les condit./m~ssuiuaates A-motllurle et Ni .irn so~~s-A-rri.odule s m t 6quvoa2en,teç : (i) E est ,wrre enaeloppr: injtrtirir dr LI ; -

(ii) lc A/a-rr~oduleEl est m e en,~lrloppr~;njcctilied.u, A/a-morlule h l , le module E est ri mi or^ dcs E, et l'appli;catio,rt,r:an,on,iyue PE est bijective. Supposons la condition (i) satisfaite. Le A/a-iriodiile EL est injectif (lçlmme 1, a)), et. contaient M ; comme toiit sons-A/n-rriodule de El est u n soiis-A-module dc E , E l est une erlveloppe iiijcctivc du A/a-riiotlule M . D'aprks le lemme 1 , la réunion M , donc kgal à. E . Piiisque (les E, est un sous-A-niodulc injectif de E conter~ar~t, E est iiijcctif, on a ponr tout TL O une suite exacte

comme Homn(A/anL,E)s'identifie à. E,, pour tout m, et que l'iirjection canor~iqiic E) est bijective, on en déduit que de Hornn (a7"an+l, El ) dans HomA(ar'/a'" 1'homomurpl~isirlecmoriique PF: est bijectif, d'où (ii).

',

Siipposorls (ii) satisfaite. Soit r : M -+ 1 imc cmvcloppc injective de M . Piiisquc 1 est ii~jcctif,il existe une application A-liriéaire cp : li: + l prolongeant e . Mais

gra(
-i

grn(l) et

: El + Il

rcndant commutatif le diagramme

Puisque E l et Il sont des enveloppes injectives du A/a-rnodule M , l'llomomorphisrrie , 1 ; donc

A

a) Il existe sur M ?me m i q u e str~rctvrede A-m,odde éten,dan,t la structure de A-naod7rlc don,n.Ce. A

h) Ces son.7-A-,rr,od,~~le.sde M sor1.t ses .~OTLS-A-m,odules, et HornA(M,P ) = Homz(M, P ) pour tout A-m,odule P .

l'on, a

A

A

a) Identifions A B la limite projective (les anneaux A / a n , et rriunissoi~sM cic la topologie disvrhtc. Soicrrt a = ( ( L , ~ , , ) urr dérrierrt (le A , et :c lin 6lénierrl, de M . Cornrire z est ar~rrulCpar inre piiissarrce cle a , la suite (cr,,L:14 es1 sl,al,ionnaire ; riotons (mz sa limite. L'appliça,tiori (a, x) t->ax définit sur M une structilrc tlc A-nrotlulc qui 6teiid la structure de A-rnodule (loiin& A

InversenienL, sitpposous donnée une telle structure sur M ClCinent tlc A , :c in1 61Crncnt de M ct 7 n lin entiertel que entier n,, a a, appartient à a?', qui est égal anA (III, 5 prop. 16) ; un a donc ax = u , x pour n T r i , d'oii l'assertion -

; soient a = (a,,) 1111 aTnx= O . Pour tout 2, no 12; cor. 2 de ln tl'imicit6.

b) Il résulte de ce qui précède qu'on a Ax = Ax pour tout :x E M ; les soiwA-rnodules de M sont tloncses sous-A-modiiles. Enfin, soit u un homomo_rphisme A-li1i6airc de M dans un A-module P . Soient a = (a,,) un élérneilt de A , :r. iin él6rnent de M et rrl, lin entier tel qiic a7"x = O ; on a an"u(x)= O . Comnie a - a,,,, on a appartient à amLA,

dc sortc que

71

est A-linéaire.

Soient A u n an,neazL noethérien, p IL^ idéal premier de A et PROPOSITION 3. e : A/p + 1 une enveloppe injective d ? ~A-module A/p. Pour tmrt entier rr >, 0: désignons par 1, le sous-module de 1 formé des élkmrnts annul6s par p" .

NO 2

DIJALITÉ DES IVIOI>IJT,ES1113 LONGIJEIJR FINIE

AC

x ion

a) Le A-module 1 est r6wrion des I n . L'injcckion A/p i Il se prolonge en un (16: ~ ( p sur ) II ; identz:fioirs ~ ( p Ù ) Il (i l'aide de cet isorr~orphisrn.e. ison~or.pltis7r~f;. P o w ch,uque eirlier 71. 2 O , la struckuic de Alp-module de In+]/I,, provient par ,resIriclion, des scalaiics d'me u~~vique structure de ~(p)-espacc,ucctoriel ; I'homornm) un i,som,orphisme phisrne çano,rLIy.ue PI,-,, : ITL+I/In+Hom.4/y(p7L/pnI l , ~ ( p ) est de ~(p)-espuces,ueïlorieb de dirneresion ,finie. A

b) il eriste une wrL%y.uestr~uct.ur'cde A,,-rr~odulesur 1 induisant su .str.ucture de A-,m.odwlr. Tl'hosr~omo~rphz.srn,e cci,n,on,ique Ap + EndA(1) est bzjectif. D'aprAs A, X; p. 20, exemple 1, le A/p-rnotliile ~ ( p est ) une enveloppe ir~jective dc A/p. 11 résulte donc de la prop. 2 qiic Il s'identifie à ~ ( p, )que 1 est réunion des 1, , et que pour chaque entier n 3 0 , PI,-, est un isoniorphisaie de Alp-modules. Pour toiit élkrnent non ni11 n de A/p , I'horriothét,ie de ra.pport a est inversihle dans llornA/,(pn/p"+ ', ~ ( p ) ,) donc aussi daris I,r,,+l/IT,, cc qui achève de prouver a). Soit s E A p. Comme l'homoth6tie SA,,, est inject,ive, la. t r x e de Ker 71 sur A/p est nulle, ce qiii entraîne quc I'homotliétie SI est irijective. Alors SI est iin sous-rnodi~lrfactciir dircct de 1 (A, X, p. 19, cor. 4), donc égal i 1 puisque T est indécomposable (il0 1, prop. l ) ,de sorte qilc l'honlothétie si est bijective. Tl existe donc une unique strixtiire de AD-modulcsur 1 induisant sa st,riictiire (le A-modillc ; cllc .;'étend de manière unique en une striictiirc dc A,-module (lemme 2) on déduit dc l'hoinomoiplnsrne tl'anrieaiix canoniqiic Pour cl-iaquc criticr A, i EndA(I) iinc application A linéaire a,, Ap/pn A, +Hoin* (In, 1) Conbi (1Crons lc clingrainme commutatif à ligriei exactes A

-

A

ail ai,+, cst l'liorriornorphismc induit par a n + l . Considérons l'application ~(p)-l~ilinCairc cnnoniquc an,-,

. p'LAp/pn+lApx L+l/lrL

+

11

(forrriule (1)). L'application lini-aire In+, / I , -i~orn,(,)(pnA,,/pn+] A,. I I ) qui lui est associ6c à gauche s'identifie à. PT,-,,, , et celle qiii lui est associk à droite est a;+, . Corrirrie PI,-, est bijective d'a.priis a), il en est; de même de ai+l ; on dCduit alors t h diagramme ci-dessus, pa,r r4currerice siir n., qiie an est lin isomorphisme pour tout n,. Comme T est réunion des T,, , l1rt.pplica.tior~anoniqie EndA(1) @ Horni\ (LrL,1) est hiject,ive ; I'liornomorphisnic d'anneaiix Ap i EndA(1) , qui s'identifie à la limite projective des applications a , , est donc bijectif. R e r ~ a r q u r Il. résiilte de la,c@ioristratiorr pr6cEderitc quc l'wnriulateiir de I,, dans ). Par suite l'annillateur du A-iriodule ,4p (resp. d m s A,) est pnAp (resp. pTLAy TV, est llirria.gerkciproqiie dans A de l'idéal p7'Ap, que l'on note parfois p(,) et yuc l'on appdlc la puissance symboliq~~e n-i6nr.e de l'idéal premier p . A

C O K O T , T , A ISoit I ~ E.J. W I A-,rr1,od11lei>%jectijP tel que AssA(J) = {p) . a) L'applicutio,ri, cari.oaipe J i A,, @A J cst bi;jecl/~i,.~e. 1)) Notons l? le Alp-modr~lcH o i l ~ ~ ( A /.T)p ,. Il existe sur i2 unc urriquc sPructcl.re de ~ ( p ) - e s p c rvectoriel prolor~gcunts u structure de Alp-module ; le A-rrsodule .T cst ,isornorph,c ir, I [ [ ~ ' ~ ( P . )]) En effet, .J est isorriorphr à. lin A-module I(') , où c est 1111 ca.rdine.1coiivenablc (ri0 1, th. 1). Lc corollairc: r6siilte de la propositioii lorsquc J = 1 et le cas général slcn déduit aiwsitôl. 3. Dualité de Matlis Dans ce n?em,éro, on suppose quc l'annea~iA est local northérien. D É F I N I T I O N .On dit c / T ~ , ' T ~ A-m,odule 1 est un A-rr~odulede Montliss'il est ,injectif, quc nni~ cst sort. u n i g ~ ~idéal e premier associé et que le ~ ~ - p s p a cvectoriel e HomA( K A , 1) es1 de dime~siorr1. Soit r : K A + 1 une crivcloppc ir~jectivede K A (A, X , p. 20, th. 2). Le A-module 1 est i i r ~rilodiilc,,.deMatlis, et tout A-ir~oduletic Ma.tlis est isomorphe à 1 (no 2, cor. de la prop. 3). Si A est ini nriilcm de valiiation discrPte, de corps des frnctims K . le A-rnodirle K/A est un iriodulc de Matlis (ri0 1, exernplc). Si A est iiii amieair local artirlien, In A-module A est lin inodulc dc Ma.t,lissi ct seulement si A est 1111 ar1iica.u de Gorenstcin (3 3, no 7, lcmine 1). Soit 1 i l i l A-modiilc de Matlis. Pour t,oi*t entier n 2 0 , iio1,ons I,, le soiisA-iriodille de 1 fornié dcs klémer~tsarnliil6s pa.r m';. D'après ln. prop. 2 dii ri0 2, 1<:A-module 1 est réuni011 dcs I,, le A-module Ti est de longucur 1 (c'estAdire isomorphe à KA) et le A-inodiile 1 est une enveloppe iiljectivc dc 1, ; en outre, l'horonorphisrn canonique de gr(A)-rrrodulcs gradués

cst irrl isoiliorphisrrie. D'aprPs In. p r o p . 3 du no 2, la structiire de A-irlodiilc (le 1 s'6tend eri urie iinique striictiirc dc A-module, et l'l-iorrioniorphisinc canonique Â -+ EndA(1) est bijectif. Lemme a.- Soit 1 u72. A-rnodr~lede Mdlis. Alors : a) 1 est W L A-m,od~~le de &l(jtlas; h) le A-module 1 est artinien ct co!lr~r~,r'rnteur(A, X, p. 18, déf. 3). Puisque le A-ir~odule1 est irijectif, le A/mA-inodule 1, est injectif pour chaque n (no 2, lcmrne 1, a)). Comme 1, est l'eiisemblc des éléri~errtsdc 1 anniilés par m'k , A

A

A

le A-module 1 est ii~jectif(lemme 1 , h)). Il est indécoiiiposable sur A puisqu'il l'est sur A ; conirric il contient le sous-A-rnodiile Il isomorphe à KA , on a m, t AssÂ(I), donc AssÂ(I)= {mÂ} (prop. l ) , d'oii a). Prouvons maintenant que 1 est artiilicn. A tout sous-A-module hf do 1, associons l'idéal gradué a~ de gr(A) défini de la façori suivante : un élément de gr(A),, A

appartient à (ahf), s'il est anniil6 par toutes les formes linbaircs p(x) , oii n: pa.rcourt ((M n I,,+,) I,)/I,, . Soient M et N des sous-niodulcs de 1 tels que N c M ; on a a~ c a ~ Supposons . a~ = RN ; on a (hl n l,l,+i) 1, = (N n ln,+i) 1, pour tout 7~ puisqiic P cst un isomorpliisme. Par récurrence siir n on en déduit M n In+ = N n I,,+, pour tout 7~ d'où finalement MI = N . C d a étarit; soit I\fo 2 Ml 3 . . . 3 M, 3 . . . ime suite d6croissantc de sousA-inotlules de 1 ; la suite croissante abf, c a1~1,c . . . est stationnaire, puisque gr(A) cst uiie K,\-algèbre de lypc fini. La suitc (Mi)i,o est donc stationnaire; cc qui ei~t~raîr~e que lc A-rrlodule 1 es1 artinicn. Enfin, lc A-module 1 cst cogénératcur en vcrlii (le A, X, p. 18, prop. 12.

+

+

+

Soit M un A-niodulc. Rappelons (A, VIII, 5 4, no 6) que le socle de M est la sorrliric (les sous-rnodules siinplcs de M , c'est-à-dire l'eiisernhle des é1C;ments de M annulés par m* ; c'est un KA-espacevectoriel, canoriiquement isomorphe & H«rriA(K*, hil) .

Lemme 4. Soicr~t1 un A-rr~odulede Mutlics el M U T J A-m,od'ulr. Les conuiitions srai.uunbes sont tiyrLide~ates: (i) M est wt%raien,; (ii) tout élCm,cn,t de M est nnn.wlé par m e p~l,issn,n.cede m*, et le socle de M est de (kim,en,sion.,finie slrr K.\ ; (iii) al criste u n entier n 2 O et une upplscution A-lin,c.'nire jinjec-ti~ic:de M dans In . Lorsque ces conditions sont satisfaites; toute enveloppe injectivr de M est isomorphe à IX, oli, s est lu dimension sur KA d7~socle df, M . (iii) + (i) : c'est cla.ir puisque Ir: A-rnodulc 1 csl a.rtiriicii (lerninc 3). (i) + (ii) : slipposons M aatiriien. Soit :c t M ; la suitc décroissanle des sousrriotliilcs m2:x: de M est stationnaire. Soit n iiri erit,irr le1 que rn';+l:z = rnxr ; le Icrrlrne de Na~kay'irnaeritraîrle rnz:~:= O . Par a.illeurs, le socle tlc M est artinicu en tarit que A-rnodiilc, tiorlc i~ilssien tan(, que KA-espacevectoriel, ce qui signifie qu'il est de dimension finie. J une eriveloppe (ii) + (iii) : supposons la condition (ii) ~Rrifiée; soit 15 : M iiijcctivr de M . On a Ass(M) c {m*), donc Ass(.l) c CmA} (II" 1, remarque 2), el J cst isomorphe A I(') pour un cardirlal c (no 1, th. 1). Soit z un élérrierlt rlorl nul dc .l annuli: par m,t, ; cornme le A-rrlotlille A:x: cst sirriplc et que son iriterscc:(,ionavec e(M) n'est pas réduite à O , :c appartient à e(M) . Ainsi e induit uil isoniorphismc du socle de M sur celui de J ; par suitc le soclc tlc M es1 de dinierision c , cc qui proiive (iii) ainsi que la dernière assertion.

-

Lerrrnre T i . Tout A - m o d ~ ~ luvlirrien e est artinzen en L m b p c A-nrocl,ulc. Soit M un A-module artinien ; toiit 6léinerit de M est annidé pa.r iinc puissance de m x , donc par une puissance de m*. D'aprhs le lemme 2 clil no 2, les sous-A-n~odiilesde hl1 sont ses sous-A-modules, donc M est a.rtinien en ta.nt qiie A-module.

Le Â-rnodiile DA(A) s'iderii.ifie carioniqiiernent à 1, Ic Â-inodule DA(1) i i ,-. prop. S), et le A-modide D A ( ~ - 2à,) Il (lor:. cit.). Pour toute applica.tiori A-linéaire f : M + N , rious noterons

d

(no2,

l'applicalioii A-1iiiCa.irc HomA( f , 1I ) . Puisque le A-ridule 1 est irrjed if', la siiitç, (DA(g),DA(,f))est exacte pour toute suite exacte ( f ,g ) d'a.pplicai,iorrs A-1irii.a.irt:s. Nous appliqueroris cns d6fini^oris à l'anncau A riiiirii du r~iodiilc~de Matlis 1 (Inninie 3, a,)) ; pour tout A-module Y , UA (P) est, donc le soiis-A-rriodi~le HomÂ(P,1) de DA(P) . Tl revient a,u rnême dc dire que P cst artirrieri commc A

A-motlule ou corrrrrrc A-rnotiule (lcinrne 5) ; si c'cst lc cas on ü D-(P) = DA(P) A (loc d . ) . Soit M iiri A-niutlirle. Pour n , E M , l'applicatiori f H f(rn,) de DA(M) d m s 1 est A-lirhire ; notons-la orM(m).O n dGfinit ainsi un Iiorrioinorphis~iieA-lir~éaire A

Ori notc Nbr : A

A

@A

l\/l i DÂ(DA(M))l'applicalion A-liri6aire dPduite de

o

l

~

T H ~ O R 2~ .M Soit E hi[ un A-m,odule. a) P o w que M soit nrfir~ien,,il: faut et il .su,fil que lc A-rrrodule DA(l\/l) soit de -

6

lylpe , h i . Lorsqur c'est le cas, l'l~orr~ornorph,ismc olnf csl; Ii-jechif.

b) P o l ~ rq11,e M ~ o %det type ,fin~ji,il faut et il suflil que DA(M) soit artinlien, (co~nirleA-nrodule ow c o m c A-mod,ule). Dans cc cas 17ronrorrrorpi~isrn,e Crnl est un iso~rriorph%srn~e. c) POUT que M soit de l:on,g7~eu1finie, il fout et ,il s u f i i que DA(h/I) soit de lon,guew ,fiLie (comme A-m,odule 071 corrrrrre A-module). Dar~sce cas aM est /in isorrrorpirisrm de M sur DA(nz4(1\1)),et l'on a longA(DA(h,f))= long,(M). Prouvons d'abord que l'homoniorphisinc olM est irijcct,if pour tout A-niodule M . Soit 'rn lin di-ment. non nul de M ; son annulatcur csl, coritenii dans r n .~Tl existe tioiic un A-homornorphisme surjectif de Am sur K A , et par suite iiri homomorphisrr~enon riul tic Am dans 1. Coinme 1 est inj(:ctiE, cclui-ci se prolonge en un lioiriorriorpliisrrit: f : M + T tel qiic f (rn) f O . Cela prouve l'irijectivité de ahl . Supposons le A-niodule M artirrien. D'après lc lerrme 4, il existe iiri entier ,r et ime appliration A-liri6airc injective f : M + 1". L'lioniornorphisn1e A', D A ( j ) : DA(Tr) 4 DA(M) est alors surjectif ; coinme DA(IT)s'identifie i. cela prouve qiic lc A-riiotlulc DA(hl) est dc type fini. De rnariitrc malogue, si k/I est de t , y p fini, il existe un entier rr et im lionioiriorpliisrne siirjci:tif IL : An -, 1\11 ; l'horriomorphisrr~e D,, (u,) : DA(M) + In est ir'jcctif', de s o r k que DA(M) est artiriien (coirirnn A-niodule ou cornine A-riiodule). A

A

A

Siipl>osorisrriai~itcria.ritque lc A-rriodulc DA(M) soit artirlien ; il en est de mF.rnc M) qui lui est canoniquement isomorphe. D'aprhs ce qui du Â-rriotliile DÂ(Â A

précède: le Â-rnotliile DÂ(Dâ(A

@A

M)) est dc typc firii, et il eri est de rnêrne de

Â @A M qui cst isorriorplic à un sous-iriodule de D Â ( D A ( A @M)) ~ . Par suite M est un A-module de type fini (1, 5 3, ri0 6. prop. 11 et III, 3, ri0 5, prop. 9). De rriêrne ,.. ,-. si DA(M) cst un A-rnodulc de typc fini, DÂ(DA(M))es1 un A-riioclirle artiriicn d'aprhs cc qui prhct!dc, (loric uii A-inodulc artisiien (lenime 5), et il en est de mêrne de M . Enfiri les nlodules dc loilgiiciir fi& sont lcs riiodulcs artinicns de type fini (A, VIII, 5 1, no 1, prop. l), donc DA(M) est de loilgiieiir finie si ct seislcr~icntsi h/I est de loriguciir finic.

Si~pposorisM a.rtiriien. Tl exist,e un entier r et une application A-linhaire injective f : M + 7" ; p ~ ~ i s q u1e est artiriieri (lernrrie S), le A-module Coker(f) l'est a.ussi, et on peut trouver un entier ç et iinc suite exacte de A-rriodules

On cn dklilit lin diiq-arninr commutatif à lignes cxactcs

Le Â-modiile D-(DA(I)) s'identifie à. 1 et ar à 1'a.pplication identique ; pa,r siiite A.. X, p. 7>cor. 3).

air et al. sont hi~ectifs.et; il en est de nlarnc (le aM (A,

Si le A-module M est dc typc fini. il cxistc des triticm exacte de A-modules A"' + A n

+ M I 0

7 7 ~et 7~

;

on en déduit un diagramme commiitatif à lignes exactes

Conime GA cst égal à lx, il cn rClsi~ltcque Gnf cst un isomorphisrrie.

et une suite

-

Il reste à proiivrr l'kgalité longA(M) longA( D , (M)) lorsque M est de lorrgucur h i c . On peut supposer M # O ; il existe alors m e suite emcte

d'où l'on déduit ime suite exacte

+

+

long, (DA(M))= longA(DA(N)) 1orlgA(DA(K.4))= lollgA(nA(N)) 1 : on conclut par r h r r e i i c e sur l'entier lorig4(M).

R e n ~ q u eSiipposoris . l'anneau A artinicn. On a longA(I) = 1onpA(DA(A))= lor~g(A)(th. 2; c)). Soit M iin A-module de type fini : il admet une enveloppe irljectivc isornorphc A, 1", oii s est la dirncilsiori du socle de M (leinnlc 4). Par suite on il. long4(1\/1) .s long(A) ; pour qil'il y ait 6galitC. il faut et il siiffit que M soit injectif. En particulier, pour qiie le A-module A soit injectif, il faut ct il siiffit yuc sou socle soif, (le dinicmsion 1 ; on retroiive ainsi le lernrnc 1 du 5 3, no 7.

<

4. Dualitê des modules de longueur finie

Soit A lin anncaii nocthbrien ; notons R I'cnscrnblc dc scs idkaux riiaxirr~aux. Gkn6ralisxnt la d6fiiiition donnée dans lc nimkro pri.ci.dcrlt, nous tliroris qu'un A-niodi~le.l est un A-module de Matlis s'il est injectif, quc ses id6ailx prerniers associés sont les ic1da.u~niir.xima,ux de A , et cluc pour tout id6al rnaxinid m de A le Ajm-cspxe vcctoricl HoniA(Ajm,J ) est de diineiisiori 1. Pour taout m t C l , clloisissons iinc cnveloppe irijcctive ~ ( m+ ) l(i11) du A-inotliilc ~ ( m ;) Ic A-rr~otlule

@

mdL

I(m) est im motlule de Matlis. el, toiit A-mocliilc dc Matlis lui est isomorphe

l >th. 1). Ilappeloris (VIII. 5 1, ilo 5) qil'orl uotc Zo(A) Ir Z-rriodule z(") et E : ZO(A) + Z la forme linCaire qui applicpe chi-que dément dt: la. l m e 0 sur 1. Si M est un A-niodule de longueur finie, le A,,,-rrlodiile Mn, est dr longi~eilr firiie pour toiit m E Cl, et nul sauf pour un rloiribre h i d'idéaux m E Cl. On pose (1l0

zo(M)

-

long,,,, (hl,,) [ml

=

da.ns Zo (A) ;

medl

on a 1ongA(M) E ( z ~ ( M )(lot. ) cit., exemple 3). Inversement, un A-riiodulc N tel qiic loilgA,,,(N,,,) soit firiie poiir tout m E 0: et riulle en dehors d'un sous-ensemble fini 1 de f i , est de longiieiir finie : en effet N est isomorphe à lin sous-modulc de

Cl3 N ,

me1

(II, 5 3, no :<,cor. 2 du th. 1 ), et l'on a longAm (N,)

= longA(N,)

puisque

tout A,-rriodille sirriple est isomorphe à ~ ( m )donc , simple en t a i t que A-motlule. Soit J iin A-motlulc de Matlis. Pour tout A-rriodiilc M , rioiis rioterons UA(M) ou sinlplcnlcnt D(M) le A-rriotlulc H o I I I ~ ( M.J), . Soit O(&, l'homomorphis~ncdc M dans D(D(M)) tl6firii par ocnf(va)(f)= f (,m)pour rn, E M , f E D(M) .

PROPOSITION4 . Pour que le A-modzde hf soit de k n p r u r finie, il fumt et il; s11,fit p e D(M) soit de lon,g~~ew finie. On a alors zo(U(M)) = zo(M), A-linéaire longA(M) = longA D(M), AnnA(M) = AnnA(D(hli)), et ~!'applr;c«t.ior~ o i est ~ bijectiae. Pour tmiit m E CL, le Am-rnodule D(M), s'identifie à HomAn,(kir,,,,J,) (II, 5 2, ri" 7, prop. 19) ; la prcmihre assertion de la proposition résulte alors du th. 2, c) et de la caractérisation dm motliiles de longueur finie tlonnée ci-dessus. Supposons désormais M de longlieur finie ; on a longA,, (D(M),) = longA,,,(Mm) pour tout m E 0 ( h c . cit.), d'oii z,,(D(I\/I))= zo(M) et h g A ( D ( M ) ) = longA(M). De plus l'applicatiori (ocMl),, : M, i D(D(M)), s'identifie à l'hornomorphisnic canonique UM,,, , qui est bijectif (loc. cit.) ; pax silite c w est ~ bijectif. Pour towt n, E A on a D(aM) = a~(1\/1) et par suite AnnA(M) c AnnA(D(M)). Appliquant cela au A-module D(M) on eri déduit l'incliision opposée, d'où l'égalité A m A(Air) = AnnA( T l (M)) . E z e r r p l e . Soient A iin anncau principal, K son corps des frxtions. Le A-rrr.odnlr IC/A est 71n module de Matfis : en ef-let l'application caiioiiiyiie de K/A daris

n

K/A,, induit un isomorphisme de K/A dans @ K/Am (A, VII, p. 10, th. 2) ; II~E n mec!. l'a,sscrtiori résulte alors di1 no 1 , exemple 1. Noiis avons d'ailleurs déjk tlérnontré est bijective pour tout. A-modulc M de en A, VII, § 4, ri" 9 que l'application loiigueur finie lorsque 1';mrieail A cst priricipal. 5. Forlcteurs dualisants

Dans ce numéro, on fixe un anneau local riocthéricn A . 011siylpose donnés a) pour tout A-inodille Ri1 de longucilr finie, un A-module T(M) ; b) polir toute application A-linéaire f : R/1 >- N entre A-modi~lcstlc longueur finie, imc application A-linoaire 'L'(f) : T(N) + T(M) ,

de f a p n que les conditions suivantes soient satisfaites : FD 1) Les a.pplications f

H

T (f ) sont A-linéaires.

-

FD 2) Polir tout A-inotliile de longueur finie M , on a T(lM)= lT(M). FD 3) Pour tout diagramme M f N 9,P de A-modulcs tlr longueur finie ct d'applications A-linéaires, on a T(g O f ) = T ( f ) O T(g) . FD 4) Pour toute suitc exacte Mt A+ M la suite T(M1'), T

=

M" de A-inodulcs cle longuciir finie,

T(u)

T(M) +T(M1) est cxacte

FD 5) Lc A-module T(K*)cst de longueur 1 . De FD 1) et FD 2), on tirc T(aM) = a,T(lhl) = alT(M) a r l ' ( ~pour ) tout (1, E A . Prenant M = (O), on obtient = lT(M) , donc T({O)) = {O). 11 rtsillte de là et de F D 4) que pour toute application linCaire injective (resp. surjective) entre A-modules de longueur finic, l'application T(,[) est surjective (resp. injective).

-

Soit M LIU A-modiile de longueur finie. Alors T(M) est de longueiir firiie et l'on a lo1igA(T(M))= longA(M) : cela. résiilte en effet dc FD 4) et FD 5) et du fait que tout module de 1origliIeiir finie a.tlrnct iirie suite de composition dont les quotients sont isorriorphes à K A . Soient M un A-modiile de loriguci~rfinie, ct (ex)htr, ime Sainille orthogonale ) ~ uiie ~ ~ Samille ort,liogonale de dc project,eurs de M ; d'après FD 3), ( ' F ( c ~ ) est projecteiirs de T ( M ) . Par suite, si M est soninic dircctc d'urlc famille de sousrnotliiles (Mx)htl,, et si ph désigne la projection de NI sur Mk : l'horrio~riorphisnie

C T(yh) : At@1, T(Mx)

Ac 1,

-

T(M) est

111.1

isomorphisme.

Exemples. 1) Soit .T 1111 A-module de Matlis. Posons T(M) = HoiriA(M.J) pour tout A-rriodule hl1 de lorigiieiir finie et T ( f ) = IIomn (f, l J ) pour t,outc applicatiori FD 1) à FD 5) A-lin6a.ir.e f erltre A-iriodiiles de longiieiir finie. Alors les ~ondit~ions sont satisfaites. Nous alloiis voir c-dessoiis (th. 3) que toiite construction satisfaisant, les conditions FD 1) à FD 5) ost oht,cniie de cette façon. 2) Soient C CiIn complcxe irijectif de A- nod di il es et d i i r i enticr tels que f I Z ( H o ~ I i g r A (C~)A) ,soit nul poiir i f ri et soit de longueur 1 poiir ,i = d . Pour toiil, A-rriotlule M de lorigimu- finie, on a H"(Hoirigr,,(M, C ) ) = O pour i # d : raisorinoris en c:ffcI, pa,r réciirrence sur la longueur de M , supposCc > O ; il existe uric suite exacle de A-rnodiilcs O + K A i M i N + O , qui donne riaissance à iiiic suite cxactc de <:orriplexes

et la, conclission r6siiltc t k l'liypotlièse de récurrence appliqiiSt: à N . Posons T(M) = H"(HonigrA(M,C)) pour tout A-modisle M dc lorigiieur finie, et T(f ) = H"(Horngr,, ( f ,l c ) ) pour toutc application A-liiiéairc f entre A-riiodules de longiieur firiie ; les coiiditions FD 1) à FD 5) sont satisfa,ites. 3) Soient Cl un A-module et d 1111 entier 3 O tels qiie E X ~ ~ ( K .IL)Asoit , 1iu1 pour i, d et soit de longueur 1 poiir i = d . Posons T(M) = EX~;(M,R) pour tout A-module de loiigiicur finie M et T ( f ) ~ ~ t ; ( fLrL), pour toiite applicat,ion A-linéa.ire j entre A-riiodi~lcs
+

-

Pour tout eiitier 1 1 2 O , posoiis 1, = T(A/mz). Pour ,tn 3 T L , not,oiw p,,, : A / m z + A/mx la. siirject,ion cari«niqiie et ,,i : T(Aliit2) -t T(A/mA) = i,,,,p l'application A-1inéair.c T(p,,,,,,). Elle est injective par FD 4) et l'on a i,,,oi,, pour m 3 11 2 (II par FD 3). Soit 1 = a T ( A / m ; ) le A-module limite inductive tlii systCme ((1,). (i,,,,)). Pour n 2 0 , l'application canonique 1, + 1 est irijcctivc ; nous idcntifieroiis 1,, à son iinage tlms T , de sorte que 1 est la réunion croissante des I,, .

Soient M uil A-rrlodiile de longiiciir finic, ct ,la 1111 enlier. 2 0 tcl que m'in1 = 0 . Pour CL. E M , r~otor~s
E

T(M) , x

E

M.

T ~ h o ~ . h r3\ / r ~a) Lt. A-m«d.ule 1 est urt rrtod~rled e Mnttis. Pour tout entier 7n >, 0 Lr,, est le .sou.ç-mod~llede 1 fornl,6 des 6lCrr~ent.nn,n,ul& par in?. 1,) Punr tout A-module M de lonqueur finie, l'application A-linéairt OUI : T(M) 4 Homn (M, 1) est hijectivc.

-

c) Po,crr toute npplicatiort A-linc'w~re,f : M firuie, 071, a fJM O T(f ) IiosnA(f , I r ) o ON .

4

N entre A-nzodules dc longrre,ur.

-

I'roirvorw c ) . S o i ~ n tn im cntier et M , N des A-niodiiles de loi~gucurfinie N une application A-linbaire. Pour u dans T ( N ) et ;trinuli.s par m l . Soit f : M z da.ns M , on a tlla.pri.s FU 3)

Cela prouve c). Prouvoris 1)). Corisitl4roris d'abord le cas particiilicr M - AjmA. Alors T(M) est égal par d6filiition à 1,. Si a cst un é1Crnerit dc A , de classe a dans M , on a. qk,, = a l M . d'oii T( ; air~sifJbl : J,, fIom,4.(-&/mA,I) est l'isomorphisrr~ccanonique qui cilvoic im i:lCr~ierrt,r (le T,, sur. l'applicatiorl 3 H U T . Ccla dCnioiitre 1 ) ) d m s ce cas.

-

Siippsoi~srmintenaiit donnée uilc suitc exact r

de A-modules de lorigiieuï finie anilillés par rnz . Considbroris lc tliagraimnc

il est conimutatif d'après le déhiit de la démonstration, et scs lignes sont exactes par FD 4). On en déduit quc fIM est bijectif si Op et ON le sont,. Appliqira.nt ccla à une présentatiori (A/ml)" + (A/mA)" 4 M + 0

du A/mA-inodulc M . ori en d6duit quc Ob[ cst bijcctif pour tout A-rriotlule de longueur fir~icarlrmld par rnz , d'où b) Prouvons a). Il résulte dc ce qui précède appliqiié au A-rnodiile A/mA qiic In es1 l'cnscirhlc des éléments de 1 qui sont annulés par rn; . Par FD 5) le A-module 1, = T ( K A )est isoinorphc i KA ; d'aprks la prop. 2 du ri0 2, il nous suffit de prouver que, pour loul entier n 3 0 , l'application A-lin6airc canonique

est bijective. Or de la suitc cxa,ct,e

ou Lire une suitc exacte

Composant T ( u ) avcc

e,L,,,Al , on obticnt tloric in1 homomorphisme 1

surjectif

tlc noyau 1, . D'aprts c), y est lit cornpos6e des flkchcs O I r Z ~ , :~ I,,+ , + ~ o r n , i ( ~ / n x ~1) +', (h/in*' ,1) i llonlA( r n ~ ~ / m ~1)+ l; ,cornrne OI,, cst ct Hoin(u, 1) : ~ o n l * x T,,+I -4 1 , l'isol'application linéaire associ6c à la multiplication morphisme 1,,+1/1, i ~ o m ~ ( m ~ / r n1)h déduit ', d r y coïncide awc 6 , ce qili achève la dénionstration.

A/~F'

,

Exencples. 5) Repreiions les liypothi.scs et notations de l'cxenrple 1. Alors / ms'iclciltihe ~, au sous-iriotliilc J, de J forrnG des éI6mcrits T(A/rn", = H o ~ r i ~ ~ ( AJ) annulés par rnA ; par 1)assngc à la limite inductive on obtient i i r i isornorphismc canoniqiic tle 1 sur .T . G ) R.cprcnoiis les hypothèses et notations de I'exeriiplc 3. On ohtirrit qiie 1 = a ~ x t h ( ~ / i n z , Rest) im A-module de Matlis. Pour tout A-rriotli~lctic longiicur finie M , on disposc d'lin A-isornorpl~isrnccarionique

de plus cet isomorphisme est EntlA(M)-linkaire (th. 3, c ) ) . Eri partic~ilier~ si I'a.ririea.ii A cst de Gorensteirl dc tliruerision d , le A-inodulc lim ~xt;(A/m;l, A) est iiri riiodiile de Matlis. i

6. Changement d'anneaux ; dualité de Macaulay

Prrorosri~ro~ 5 . So,it p : A + l3 u:n. honwn~orpttrismc local d'clnn,earrn: loçawr: de tlegréfin,i. meth&-ien tel que l'estension. résid,uelle K A -+ K g inojuite par p SO%/ Soit IA T L ~ I , A-module dc MullLs. a) Nolons Ti< le sous-U-module de HornA(f3, T A ) forrr~1des A-h,o7rronrorpi~is~r1~e.s de B dans T A dosnt 16: noyau coatieat wLe p,u.iss(rnce de m~ . Alnm IB (:st I I , ~ , B-ir~odulede Mntlis. b) Soit M ,u,n B-m,od?~lr.C'application canmniqne

dé/inae par a(?~)('rn) = u ( n ~ ) ( linduit ) Ur1 B-i.~ori%or~)i~i.sme de UB(M) = HorriB(M,IB) s w lc so,tr.s-R-modde k l o r n y t (M, IA) de DA(M) = HomA(h/l,I.A.)fwrmP des nnpplicat2orrs f : M -t In telles que pour Lor~ldlém,en,t ni. de M , il existe un crctaer n 2 O bel que ,f (mg m,)= O . La conditiori ci-tlessils sur f signifie que ,î est coritiriue lorsqu'on inunit TA de la topologie discrète et M de la topologie la plus fiiic qiii indiiisc siir chaque sousmodule de type fini la topologie mB-adiqiic, cc yiii justifie la notation. Dc niCrne, la conditiori (I E IB signifie qiie g est continue lorsqu'on rriiinit TA de la topologie discrètc et B de la topologie mB-adiqiie. Prouvons a). Pour tout R-rriodiile c k longucilr firiic M , notons T(M) le B-rnodiilc Horrin(M,In) ; pour toute application B-liriéaire f : M + N eilt,rc B-rnodiilcs dc lorigirtxr finie, notons T(f ) : T(N) + T(M) I'a.pplicades cor~ditior~s FD 1) 3. FD 4) (lu t,iori R-linéa,ire Hom;$ j, Ir, ) . La vbrifi~at~ion no 5 cst imiii4cliatc. Par ailleurs, poix tout B-modiilc tic lorigiicur finir N , on a loilgA(N~Al) longB(N) [ ~ :gK A ] ; cornmc on a loilgA(T(i\/I)) lorig,(&f) (no 3, th. 2), or1 en déduit. loiigB(T(h'l)) longr,(M), cc qui inipliyile FD 5). 0 1 1 peut tlonc appliqiier le t h 6 o i . h ~3 du xi" 5 ; or1 a

-

-

-

de sorte q i ~ le : B-modiile de Matlis &T(B/m;$ s'itlciltifie au sous-l-inodide In de HornA(B. l A ) ce qui prouve a.). Proiivons h). L'applica(,ion oc est l'inverse de I'isornorphisrne carloniqiie

qui associc à u E HornA(IVl, l n ) l'application 11' de M dans Horrin(B, l A ) tcllc quc v l ( m ) ( b )= v ( h ) (A, II, p 74, prop. 1) Poil1 qiir u' piennc W.; valcurs dans T u , il faut et il w f i t que o appartienne à II~~';""(M, I A ), d'oii h)

C O K O I ~ L A I Ra)E .S.1 la A-algkbw B est ,fir~'ic, lc B-module IH = Hornn(B,l A ) est un B-module d e Matlis. 1 ) ) Si le B-module M est ar.t.ia.ien, I'o,pplica,t.io.r~aior~ a est 1~71B-1so~rr1,o~h,i~n1,e de DB(Af) sur DA(A[) .

Si la A-algèbre B est finie, il en cst de meme de la ~ ~ - a l g i . l ) rB/mnB. e cc qui implique que mAB est un idka1 tlc tl6finition de B (VIII, 5 3, II" 2, lemrnc 2). Cornnie tout élérnerit dii module de Mat,lis T h est a.nriiil6 par ilne puissaricc dc r n ,~Lout élérrient dc HomA(B,I A ) cst annul6 p r iinc puissance de mx, d ' o i ~a). L'assertioii h) r6sulte de ce que tout é1Cment d'lin inorliilc artinieri est armiili: 1)ar ilne puissalicc de l'idéal maximal (no 3, lernrr~e4). La prop. 5 s'a.ppliqiie notamnierit lorsquc A est, irn corps k , auqiiel cas on " " (« ~ ,dualitC de Macaiila,~D ) . peut prendre IA = k , donc Dk(h/l) ~ o m ~ : " ' k) On notera. que l'hypothèse [ K :~ k] < +cc est en particulier satishile lorsquc la k-algèbre B est l'anneau local en lin id<'.al rnaxirrial d'iir~ek-algèhre dc typc fini (A, VI11, A p ~ x3>cor. 1). Plus particiilii.rcment, c:orisitl6rons ilne kalgèhrc dc type fini S , gra.dui.c
-

prop. 5 à. l'anneau lo<:ztl S' de S en 1'idi.d rna,ximôl S+ = A

inCrne, à. sort corriplM 9

@ Sn ou, ce qui revient au

n>O

n S,,, (III, 5 1, no 3, leinrric 2 ct

IL>O

2, no 12, exemple 1).

Le S-rriodiile :1 = ~ o r n ~( S" , k) ' s'id~i~tifie alors à.

pour s E S et u E S*Rr,l'Clément su de S*gr est le produit iiit6riciir . ? A U (A, 111, p. 156 et p. 157). Prenons par cxcniplc S = k[S1,. . . ,T d ], d'où 5: k[['I'r, . . . ,Td]]. Notons ( u ~ )la ~ base~ (111 ~ k-espace ~ I vectoriel S*gr duale (le la hasc tic S . La striictilre de S-r~iotlirlede S"gr est alors dkrite par les formiiles (A, III, p. 167)

-

7. Dualité des modules d'extensions ct des produits de torsion

Soient A iin anneau. P cht J (les A-rnodiiles. Pour tout cornplcxe C de A-inot-li~lcs,on a coristrilit en A, X, p. 99. prop. 12 un ixmorphisnie caiioniqi~c (le co~nplexes

Soient M un A-nioiliile, et (C,p) iinc réwliition projective tic M Considlroris la. suitc (1'lioilionlorphismc.h

où cp est I'isornorpli~sirie t anoniquc v(C, IIom4(P,J ) ) (A, X, p 100, th l ) , 11 I'homoinorphisrnc carioriiqur A(C Rn P, J ) (A, X p 82), cl o cht d6tliiit ds 1 isoinoi phisrne carioilicpc +(C, P) . T'orA (M, P ) 4 H(C %A P ) imc aiitrc rkoliition pro,jeclive de M . D'après A: X, p. 49, cor. de Soit la prop. 3, il existe lin homotopisine de cornplexes w : C' 4 C: tel que p o w = p'. Il résultc dc A, X,p. 103, prop. 2, que 1'011 a H ( a CZ l p ) o +(C:',P) = + ( C , P ) r:t R) o H(Hoirigr(a, l n ) ) : cp(C.'R) pour, tout A-rnodiile IL. On en di.dilit que ~F(C', I'l~ori~ori~or~~liisrne gradiié de dcgr6 O

corriposb (le la suite ti'hornorriorpliisrrrcs ci-drssiis est indépciidnnt du d ~ o i xdo la r6soluiion projective ( C , p ) tlc M . Par c:onstriiction il est EndA(J)-linéaire. T,a définition dc l'liurtioinorphisrr~r 0(M: P) s'explicite clc la. f;l.qorl siiivante. Soient entier; u iin i.li.ir~ciltde Ext: (M, IIornA(P,J)) , T im él<:rrieritdc T ~ ; ( M , P ) . A l'aide de l'isonmrpl~isriicc p ( CHomn , (P. .J)) , u est rcpri.sent6 par ilne applicatioii liriéô,ire 11 : Cr, 4 Ilorria(P, .T) telle que u o dc = O ; de niCrric, à l'aitlc ils IJJ(CJ,1') , T est repr6senti. par in1 éléi~ieritC r:, @ p, de C:, @$ P tel yiic clc (c,,) @ p, - 0 . On o. alors O(M P) (u)(T) = % L ( c (pW) ~) . D'autre part, soit v : Cj &A IIoinA(lr>,.I) + HorrlgT'A(HoTrlgïA(c,P);J ) l'hornorriorphisrnc qui applicpe I'blénient, c @ h > pour c E Cr,, h E IIoinA(P,J ) , sur l'lioinoinorpliisirle rr, t. (-l)Yh,(u(c)). 11 est gm(lii6 ilç: rlc& O ; il cst bijectif si chaque module C, est lihrr de type fini. On vérifie saris p ~ i i i eque c'est lin inorphisrne tle corriplexes.

p

iiii

-

où tir est I'ison~orpl~isme carioniqiir $(C, HomA(P.J)) , iu I'liorriornorpEiisrne canoriiqiie h ( h i n g r A ( C .1'). .J) (A. X, p. 82) r t t est drduit de l'isorriorphisrris ~anoniyue q(C, P ) On voit coirirric C ~ - ( ~ ( ~ S S Iqiw I S l'hoi~iorr~oipliisnic cwrr~posi.

cst iiidéperitiimt. di1 choix dr la résolution C ; il est EndA4(J)-linéaire.Soierit p ilil eril,ier, t; t ~ o r (M, p lIornA(P,J ) ) , A E Extj; (M, P), J) ; si 5 est rcpréscrlti: à l'aide de +(C,Horn A (P, J)) par un i:lCirierii, cl, @ II,,, de C 8 Hornn (P, J ) tel qiic C dc (c,) @ .u,, O . et A à l'aide de q(C, P) par iiri homomorpliisrne !: C p + P tcl que P o d<:= 0 , on R p(M, l')(()(A) = (-1)p C u , ( B ( c p ) ) . le A-rn,od& P R O P ~ S I T6.I O NSup~osor~s soiLs D(N) = 1Io1n,~ (N, J) .

J ir~jeçtif; pour to,i~tA-rrrodule

N Ipo-

-

(M, P ) : ExtA (M, D(P)) D ( ~ o r (M, f P)) .son/, a) Les hornorrmrphismes bijectifs. h) Si l'anneau A est noethr'riers et Ir: A-module M de type ,lini, les homonrorD ( F , ~ & ( M P)) , sont hiject.ifs. phismes pi(Ml P ) : ~or:(hll, D(P)) a) Pa,r coiistructiori, l'homomorphismc O(M, P ) est bijectif tlès que X(C @A P ; J ) est bijectif, ce qui est le cas lorsqiie J cst injectif (A, X, p. 85, cor. 2). 1-1) Choisissons la résolution C de fac;orl que chaque inodulc C, soit libre de type fini (A, X, p. 53, prop. 6). Alors l'horrlornorpliisnie v cst bijectif, il en est de même de h(HorrigrA(C,P), .T) puisque J est injectif, donc p(M, P) est bijectif.

-

R e m , a r q u c s . 1) Pour tout homomoi-phisrne f : N + N' de A-modules, notons D(,f) : D(Nr) + D(N) l'hornomorphisme Hom(f, l J ) .Soient IL : M + M1 et ,u : P + P' des lioiriomorphismes de A-niodulcs. Choisissons des résolutions projectives (C, p) de M ct (Cl,pi) de M' , et un morphisme de complexes ii. : C + C' tel que p' 0 C,= u o p (A, X, p. 49, prop. 3). Le diagramme

ail p. et p' sont lcs honioirior.~)hismescxnoniyucs, est, commuta.tif ; on d6duit alors de A. X, p. 103, prop. 2 un diagramme coirlrrlulaLiî

Soit cu : P" + P uri Eiomomorpliisrrlc tlr A-modulcs ; oii obticril de ruaniPrc analoguc un diagrarrirnc cornrriutatif

rrorf(hl, D(P))

PZ(KP) 4

D(Ext1(M, P))

a %I,( M , W 4)

or:(hlr,P")

~~,(UI,P")

(

l)'rI(?iz(M,J ) )

D ( E x t i (M, P"))

5 9.

MODULES DUALISANTS

1. Modules dualisants

D N1 Soit A un anneal1 noethérien. On dit qu'un A-,rr~odrrlci1 es/, du,alisan,ts'il est de qype Jin,i et si, poTwtout idGa1 ,rn,azi~n,al in de A , lc Alm-espa.ce vectoriel ~ x t i ( ~ / a) m , est nul pour. i f 11t(m) et de dimwrsion 1 pour i = ht,(m). Pour toiit idCa1 maxiinal m de A et tout entier i , le A/m-espacc vccton CL,) (5 3, ri" 2, rie1 ~ x t , h ( A / mR, ) est canoriiqueinent isomorphe à. E x t i Z (A/iii, prop. 2). P3.r siiite, pour. qu'lin A-inodiile (le type fini R soit tlimlisant, il faiit ct il suffit (pic le A,-modiilc 0, soit dilalisant pour tout idéal niaxiinal 111 de A . E : ~ e n ~ , p l e .1) s . Si 1'a.iirieaii A est local et artiriien, les A-rnodiiles dualisants sont ( Ksoit ~ dc , dimension 1 les A-rriodulcs injectifs (le typc: fini il tels qiic H O ~ ~ il) (5 3, 11" 3>prop. 6), c'est-à-dire les A-modiilcs (le Matlis (5 8 ; ri0 3). 2) Pour qil'iiri aniicaii iioctll6ricil A soit tle Gorriist,ein, il îaut et il suffit qiie le A-modillc A soit dualisant (5 3, il" 7, prop. I l ) . En parLiculier, le A-rr~odulcA est, diialisant lorsque A est r6giilici.. Rerrrarq~res. 1 ) Soient A im anneau local nocthérien et R uii A-ri~odulcdc type fini. T,e corps rGsiduel KÂ s'identifie à K A , et le A-rnodiilc R à h 63.k R (III, $ 3, r1° 4, th. 3). 11 r6siilte alors (Ir A, X, p. 111, prop. 10 que le KA-espacevcxhnkl Ext,A( K ~f1), est muoniquemcnt isomorphe à ~ x t ( ( R~) .~l'ar , siiitc pour quc lc A

A

A

A-ii~odiilcdl suit tli~alisai~(, il lail(, et il suffit qiir le A-nioclule Cl soit duolisarit. 2) Soit R lin A-inodule climlisant ; pour tout A-inodule projectil L tlc rang 1 , lc A-module R "RA L est dualisailt (A, X, p. 108, prop. 7 ; II)). Nous wrroris ci-dessous (TI"4,prop. 6) qiic tout A-rnodiile diialisant cst isoinorplic à iin module de c e l k forrile.

PROPOSITION 1 . Soicnt A un anricau noctl~&.ien çt il ,un, A-rn,odvlc (hall,smt. a) A est 7m an,nwtr,cl.de Dlncaulny, et le A-m,odule R pst macaulayerr. b) Ore u &*(a) = diin(f1) = tlirri(A) . Siipposoris d'abord l'anncaii A local, et notoils d sa dinicnsion. La. prop. 6 du § 3, r1° 3 implique diA(fl) = d , donc prof (A) = d d'aprhs la prop. 9 du 5 3, ri" 6, de sorte que A est un anneau de Macaulay. De plus, or1 a. prof (Cl) = d pa.r d&fii~it,iori de la profondeur ; cornme or1 a prof (R) diin(R) 6 tl, on cn dCtluit la proposi(iori tlms ce ca.s.

<

Dans le cas gi.nCra1, le A,-inodule CL,, cst dualisant pour (,out idéal maximal m de A , donc A , est un ar1nca.u dc Mircaiilily et CL,, uii A,-rrlotli~lr iilacaulaycn d'après cc qui précèdc, cc qui implique a.). Dc pllis 011 a diA,"(O,,,) = dim(.ll,,,) = dirnjh,) poiir tout idéal maximal m, d'où b) par piLssage la hornc supéricurc (5 3, il0 2, prop. 3).

P ~ o ~ o s r . r r2 o ~. Soi,en,t A u n anneau noetl~i%c,r~,CL un A-module dualrsunt. Po,w tout ldCal prcmicr p de A , le .Ap-rn,orldc Clp rst dualisant. Corlsidh-ons iinc chairie sa.turCc p c pl c . . . c p, d'id6a.u~prcrnicrs de A t,elle qiie l'icléal p , soit maxilual. Raisonnant par récurrcricc sur r , 011 peut, supposer que lc Ap,-inodule CLpi cst tliialisaiit. R.cniplaqaiit A par A p i et, p par PA,,, , on sc rainhne au cas oii l'anneau A est local et o i ~ la chaîne p c ml\ est sirtilrk. I>osonsalors d - dirri(4) = ht(mA4).On a dirn(Ap) = ht(p) = cl 1 piiisque A rst 1111 anneau de Wlô.c:ir.iil;i,y(s 2, no 2, cor. de la. prop. 2). Polir tout entier i , le Ap-modiile ExtAV( ~ ( p )fip) , est isornorphe h Ext,î(A/p, (5 9; II" 2: prop. 2) ; il suffit donc de il6irioiltrcr q i ~ cle A/p-imtliilc Extk(A/p, il) est 11111pour i, # cE 1 et de rang lin pour i, = d - 1 . -

-

Soieiit L un 616riic:ul, (le r n ~ p , et .r: sa classe c l m s A/p . Corisiil4rons la. siiitc exacte dc A~riotli~les

Le A-niotiiile A/(p+:rA) est. de longueur finir puisque soli siipport est réduit r n ~; cornirie le A-irioiliili: f 2 est diiadis;tiit, ori a E x t i ( h / ( p + zA), R) = O poiir 1 # d (Ej 8, i l 0 5, cxcrnplc 3 ) . On tlPduit alors de la silitc exacte des rriotliiles d'cxtciisions la siiite ci-tlessiis ct B R qiie l'lioniotl-16tiedc rapport z dans le A-moiliile a.ssocii.c i. Extk(A/p, O) est siirjcctive poiir i j f d - 1 . ce qui irnpliqiic qiie ce module est mil (lerrirrle de Na.kia~mna).En pa.rt,iculicr ~ i : ~ t , A ( b2j ~ / pest , nul, et I'ori ohticnt ime siiitt: i:xa.ct~e

-

+

( h i a iongA(~xt,(h/(p + T A ) , O)) 10ngA(A/(p zA)) ( h c . cit.) ; la proposition ri.siilt,e alors du lerrimc siiivant, a,ppliqué à l'anneau U - A/p el au U-nlodirle M ~ s t $ - '(hlp,R) :

-

Soit, en effet, r le r m g ile M ; il existe un soiis-rnodulc L clc 1\11 libre de ra.iig r i,cl qiir M / T , soit, iiii modiilc de torsioii (VII, 5 4, ri0 1: cor. de la prop. l ) ,donc de lorigiieiir firiic (VII, fj 2. no 5,I~rrirrie1). L'annula,t,ciu de NI/L n'est pas rkdilit, :r. O , et conticnt donc i i r i i.l&nent non nul rr dc mn . Consid6rons le diagramme

D'nprCs le lcrniric du serpent (A, X, p. 4, prop. 2), on cri déduit urie siiite exacte

d'où long(M/zM) = long(L/zL) . Corrime long(M/zM) = long(B/zB) pa.r hypothèse et loiig(L/xL) = r long(B/zB) , on en déduit 1. = 1. COROLLAIRE 1. cst d,uulisa11t.

Pawr twutc par.tie m.ultipliatiue S de A , le S-'A-module

S-'Cl

COROLLAIRE 2 . Lr support de R rsf c'qal ri Spw(A) En effct un module diialisant sur un anneau local cst non nul par d6finition COROLLAIRE 3. Soit Ni un A-module de @jye,firai,et .s«,it ,i un entier.. Le A-modale Extk(M, f 2 ) est de t?l;oc,fini, et son suppor.1 esb de codirnercsion 3 i darcs Spec(A) . La premihrn assertion résulte de A , X , p. 108, cor. Soit p uii idéal premier support de Ext~L(M,0 ) . On a. R X ~ ~ ~Cl)p (M# , 0 , donc ExtAp(Ni,, 0 , ) # O (5 3, ri0 2, prop. 2), ce qui impliqiic dihp(Op) 3 i . Conirne Clp est lin Ap-moihile tlualisurit (prop. 2), on a diAp(O,) = dim(Ap) (prop. 1), d'où le corollaire. t h

I'ROPOSITION S . Soient A rm cr,aneu,~~ local noethérien, Cl un A-m,odulc rlualisant et M un. A-module de type ,fini. a.)

011a

ExtA (M, .Il)= O p o , i~< tlirn(A)

dini* (M) .

h) Poson,~c = diin(A) - dirri,, (WI) . Si M est nmn nml, le A-rn,odulc E x t i ( t l , R ) ,n'est pus W L ~ . c) On a ~xt;(Ibf, R )

=

O pour. i > dirn(A) - prof.4 ((M.

Siipposons M non nul et désignons pas F son support. D'après la prop. 9 (lu profv(R) = c . Or puisque Cl cst macaiilaycii et que son support est égal A Spec(A) (prop. 1 et coi.. 2 de la prop. 2): ou a profF(fl) = codim(F, Spcc(A)) = c

5 1; no 5, la conjonction des assertions a) et b) est 6qilivalrrite A

(5 2, 11" 1, cor. de la prop.

1 et no 2, cor. dc la prop. 2).

Prouvons c) par r6ciirrerice sur la profondeur de M . Si prof,, (M) = O , on a bien Exta(M, R ) = O pour i > dim(A) , piiiscjue diA(Cl) = dini(A) (prop. 1). Siipposons profA(M) > O ; il existe alors un élément x de i i i ~tel que I'liornothétic dc rapport x soit iujcctivc dans M . On a. prof,(M/zM) = profA(Wl) 1 (5 1, no 4, prop. 7). -

Considkrons la. siiite exa.ct,edes niodules d'extensions EX~;(M,R ) 5 E X ~ ~ (62) M,

-

+

~ x t ? l ( ~ / : c61) ~,

associée à la suitc exacte O+~/I=M+M/TM+O. (M/XM, l 61) est iiul p x l'hypoPour i > dim(A) profA(M) , le A-rnodillc ~ : ~ t A de rapport :r: est sur;jective dans E&(M, CL), thèse tlc r6currcnce, clone l'l~orr~utliétie ce qui impliquc que ce A-modulc cst iiul (lemme de N;rliaya.rria). Ccla proiive c). -

i, .M P S ~rr~,ucazilayer~, on, a Exti(M,CL) = 0 poo~r,i # c ; le C O R . O I , L A T RSF A-module ExtL(h4; 0 ) est r~aca,«.layen,et son support est égal ci celui dc M . La premibrc asscrtioi~rCsulte de la prop. 3, a) et c ) . Soit p r Supp(M) ; d'aprk la prop. 1 du 5 2, no 1, appliqu6c a M et L A , or1 a

puisquc lc Ap-inodule CLp cst dilalisant (prop. 2), il rbsi~ltede la prop. 3, b) que le Ap-rriodiile ExtLp(MIp,f i p ) n'est pas r1111. l'ar suitc le support de Exl,A(M.61) cst kgal A celiii de M . l'rouvons crifin, par récurrence siir dirn(I\iI) , que le A-rnodule ExtA (Ni: 62) est macaulayen. L'assertion cst satishik lorsque diiri(M) = O pi~isqiiet,oiit rnodiilc dc longueur finie est macaillaycii. Supposons tlirii(M) > O el; choisissoris uri 416ment z de in* t,cl que l'homothktic z~ soit, ir?jectivc. lie A-rnodiilc M/xM est ir~a,c:dayyen (5 2, il0 3, prop. 4), de dirrlcrision diin(A4) 1 . Chripte tenii (le ce qui précède, la suitc exacte dcs modules tl'cxtcmsioris associ6c à. l a suite exacte 1 0 +M > M/zM + O se rCduit A -

la prop. 4 du 5 2, no 3 et l'hypothèse dc r6currcricc cntraînen(,alors quc EstA(M, CL) est rnacaiilayen, d'où le corollnirc. 2. Quotient par une suite régulière

PROPOSITION 4. Soient A un arrri,mu ,noethérien, J un, idéal de A engendré pur srt2te A-r.f:,qigvliri.re x , cf 0 71n A-rn,orhile de type ,fini. a) Si Ir: A-nrodule a1 est dualisnnt, ln suite x est 61-r.&~ulièl-eel, le A1.T-rr~,oclvrle Cl/JCl est duo,lisan,t ; b) Si lr A/J-niodulc CL/J!2 est &ualisurrt, que .J est contenu dans le radarnl de A et que la swile x est fl-,r&,~'(~l~;kre, le A-rn.o$nle fl est d u d i s n ~ t . R~isonnaiitpar récurrence sur la loiigueur de la suitc x , on se ramène an ca.s où celle-ci est rCdnit,e à iin élément z . Siipposons qnc le A-rnodulc (2 soit, diialisant. Polir tout idéal maximal m de A contcriant z . on a. diin(A,/~;A,) = diin(A,,) - 1

(VITI, ji 3, no 1, cor. 2), et par suitc Hoinkm(A,/zA,,, 0,) = O (no 1, prop. 3, a)). Cclô eritra,îrie Homn (AlzA, R ) = O , de sortc qiir l'honiothétie ici1 est ir1,jective. On pcilt donc slipposer. pour prouver la. proposition qiic l'horriothét,ie :>:il est injective. Notons A l'anneau A/:r:A ; soit m un idCa1 rriaxirnal de A cortcnarit z , et soit m son image dans A. Lc A-rriodule A/m est annulé par z , et s'idcntifie à x / i n ; on dispose donc poiir tout entier i 2 1 d ' u r ~isomorphisme ~xt:' ( A / E O/zCl) (3 3, no 4, prop. 7). On a ~ x t i ( ~ / Cl) m,

-

(VIII, 3 3, no 1 , cor. 2, a)). Or les itléaiix rnaxiinaux tic A sont les id6aiix in, oii m est un idCa1 1na.xirria.lde A contenant :r: ; si de plus :x: appartient au radical de A , tout idéal maximal de A contient z . La proposition en résiilte.

C ~ R O L L I Z1. I~IE Soit A

IL^

anneau n,octh.k.ien intègre. 7but A-rr~,od~~le dualisa,rrt

est sans tomion, et de ro,n,g 1. Soit R iiri A-rrroclulc diialisant il est saris torsion dlaprPs la. prop. 4. Soit K le corps des fractioris de A ; lc K-cspace vectoriel K R est dualisarit (no 1, prop. 2). tlonc: de rlimcrisiori 1 .

C O R O L L , ~2I .~ USoient ~ A un, a.n,n,emde Mw:m~la?jlocal, f1 un, A-rr1,oduls de type d 'dldm,cn,t.s de mn , engendrant 7rn, idbal J . fir~ri,et x une s~rilesCcur~temua.irr~,(~,le Les con&itions s.uZmn,tes sont dqui~uulentes: (i) Ir A-rr~odr~le Cl est dvnlisarrt ; (ii) Zr A-m,odde R est rnarnul(r,yrn dr. dirrrerlsion égale à dim(A) , et !2/.lCl est l'anneau local artlnieri A / J ;

V L ~ L,rr/dule injectij" in,d6colri,~)osc1.hlr sur

(iii) In suite x est R - r k g ~ l i & et r ~ R/JCl est un, rridulc injectif i~zddr~ni~posnble sur l'c~,n,n,e~u local mtinien A/J ; (iv) la suite x e s f R-régulière, on a 1origA(R/.1!2) = longA(A/J) et lc KA-espace r~ecto~ici Floin A (K*,f l / J R ) est de dimension 1. (i) + (ii) : si Cl est diialisant, il est macaulaycn ct de diincnsiori dim(A) (no 1, prop. 1). La suite x est A-rCgiilibrc piiisqiie A est un anneau dc h1a.caul.y ; d'après la prop. ,l,le A/J-niodule R/.TR est dilalisar~t,d011c est un A/J-modulc dc Matlis (no 1, exeriiple 1 ) . (ii) =+(iii) : sous 1'hypotlii.se (ii), ou a d i ~ n ( R )= tlinl(A) et dirri(i2/J62) dirn(A1.J) - O , de sorte que la suite x est séca.nte poiir 0 , donc 0-rkgulière (5 2; no 3, th. 1 ) . (iii) + (i) : sous les hypothèses de (iii), lc A/J-rilotlule 11/.JfL est MI A-rr~odule de Matlis, cloiic est dualisaiit (ri0 1, cxcmple 1) ; d'après la prop. 4 le A-rnotlulr f1 est dualisant . (iii) ++(iv) : cela résulte de la rernarqw du

3 8, no 3.

3. Changement d'anneaux

PROPOSITION 5 . Soit p : A 4 U .un homomorphisn~ed'anneaux noethkriens, faismt de B wr~ A-rnodule plat. On, suppose que pour tout idéal; ma~:irrral 11 dc B , Z'ar~neau ~ ( p - '(n)) @A B est u n ann,ea?~de Gowrlsteir~.Soit Cl u n A-morlule duulisant ; le B-rn,odule fZp) est dualisant. Soient n lin idéal rnaxinial de B , et p son image réciproque dans A . Le Ap-rriodule R, est plat, le Ap-module Clp est dualisant, O p ) @B B,, s'identifie à. CLp @A, B, et KA, @,\, B, . qui s'identifie à uri anneau de fractions de ~ ( p@ ) AB, est un anneau de Gorenstein. Il suffit donc de démontrer la proposition lorsque p est un homomorphisme local d'anneaux locaux, ce que nous supposerons désormais. Traitons d'ahortl Ie cas où les anneaux A et B sont artiniens. Posons est isoC = R/mnB. Puisqiir B est plat sur A , 1c B-niodule HornE(C, 0 ) gKA C. niorphe à. Horn,\ (K*? (2) @ A B(1, 2, no 10, prop. I l ) , donc à HOIIIA(K~, On en d6tliiit iirie suit,e d'isomorphimes

s

Le ~ ~ - e s p a ,vectoriel cc Horriu(~,,,0 ) est dc diriierision 1 puisque f l cst disalismt, et il en est, de rriêrrie du K,--espacevectoriel H O ~ ~C)( pi~isfpe K ~ , C est un arinem de Gorrnstein ; par suile le KB-espacevc-ctoricl H o m R ( ~ Bf i. p l ) est de tiirricnsion 1. Soit M un B-module de longueur finie ; prouvons par réciirreilcc sur 1ongU(M) qu'on a longR(Horrls(M, O(r3))) longR(M).L'assertiori est claire si M = O , ct cllc rksulte de ce qui précCtle si M = K R .Supposons longR(l\/I)3 2 . Il existe iine suite cxactc de B-rnodiiles O+M/+M+K~ >O

<

avec longB(M1)< loiigB(M). On rrl tl4diiit une suite exacte

ct l'on couclirl eri appliquarit l'hypothèse de rémirrencc à M' . Soit N le noyais dc la suqjection carloriique tic KA %A B sur K U . Posons B) ; on a long,(N) = rn, - 1. Consid6rons la suite exacte de rrr = lonp&(KA B-modnlcs

B,fi(Rl) ct EX~,;(KA@A B, a ( ~ , )sont ) rcspcctivenierit Les B-rriodiilcs Honin ( K A isonmrphcs à HornA(K,, , O) @,\ B ct E ~ ~ ~ AO)( @p. K ~B. , c'est-à-dirc à K A @A B et O . Les longileiirs dcs B-rrioduks HomH( K H , fi(B)) et Horn13(KA8.1 B,,f1(B)) sont nz 1 ; on eri déduit que le B-module 1 et rn, et celle de HomB(N,O(,,)) est la prop. 6 dis 3 3, no 3, le R-rnodulc cst E X ~ ~ ( K ~ , est C ~11111. ( ~ )T)'i~.pï&s ) irljcctif ; par mite c'est lin motlule dualisa.nt (ri0 1, cxcniplc 1).

<

-

NO

3

AC x.131

MODULES DUALISANTS

Passons au cas géiiéral. Posons C = KA 8 4 U ; c'est par hypothèse un arriiea~~ de Goreristein, donc un aiirreaii de Macaulay 3, no 7, prop. 10). D'après la prop. 1 du no 1, A est im anneau dc Macaulay, et lc A-modulc Cl est inacaiilaycn. Par suite B est un a,nneau de Macaulay, et le B-module est macaulayen (5 2, no 7, cor. 1 de la prop. 9). Posons r. = dirn(A), s = dirn(C). Il existe une suite ( x i , . . . ,z,) d'él6rnents de r n ~régulière pour les A-rnodiilcs A ct R , et inie suite (g1, . . . , ys) d'él6merits de in^ r6giilihrc poiir lc B-inodiilc C ; notons x l'idbal de A et 9 l'idéal de B qu'elles engendrent respectivement. La suite (yl , . . . , y,, p(zi), . . . , p(x,.)) est régulière pour les B-modules B et fZp) (5 1, rio 6; prop. I l ) , et le A-module B/g est plat (Ioc. cit., prop. 10). I'osoris A' = A/x , 13' = B/(xB 9) et notons : A' i B' l'homoniorphisme di:diiit de p par passa,gc aux cpoticnts. Les anneaux A' et R' sont artiniens, le A'-module R' est p h t , l'anriem KA,@ AR' , , qiii s'identifie à C / g , est lin anneau de Gorenst~iri(5 3: ri0 7, rxerriple 2) et Ir A'-rriotlule R(,,,) est iliinlisa.rit (ri0 2, prop. 4). D1a.pri.sla prcrriihrc p r t i c ile la. dbmonstrakiori, le BI-mothlc f1@,) est disalisarit. 11 rksiiltc alors dc loc. cit. qiic lc B-modillc f1@) est diialisant .

(s

+

COROLI,ATRE.Soit A

,un cLnneuu ,r~oethLrie,r~, adrr~ettar~t wrl rr~aduledualisar~tCl ; Le soil B m e algèbre de polypsôrrres s r r ~A en ,cm rrorrrbm: , j k i d1%7~,dt!lt:rrr~,%~~GCS. B-module CL,, esl dualisanl. En effet, pour tout idéal premier p de A , 1'arriiea.u ~ ( p @) A A[X] s'itlcrltifie ~ ( p ) [ x ]qui , cst régulier, doiic dc Gorcrrstcirl.

PROI~OSITION 6. Soient A un a m m u local noetl&ien, et bZ u n A-niodule dmlisant. Soit B une A-algPbre firinie ; on, suppose pue le A-modulc 13 cst macaulaycn. Lc B-module ExtA(l3,Cl) est 71,711 pour. % # dim(A) (lirri(B) et d'u.ali.su,r~tpour i = dim(A) tlirn(B) . On a tiiin(B) = dirna(B) < tlirr1(~2)(VIII, 5 2, no 3, th. 1 c)) ; posoiis c = dinr(A) diin(B) . Oir a ExtA(B, f2) O pour ,i f c puisqi~cle A-inodulc B cst ina,ca.ulayen (il0 1, cor. de la prop. 3). Prouvoirs que le B-iriodule E x t i (B, R) est dualisa.iit. Supposons tl'al~ortldirn(B) = O . Lc spcctrc X tlc B est fini et formi: d'idbaiix B, est un ma,ximaux (IV, 5 2, no 5, prop. 9) ; l'application ca.ilonique B + -

-

-

-

-

n

i1tX

isornorphisrrie (loc. rit., coi.. 1 ) . lje 13-rriodiile R' = Exti\(P,,R) cst donc sorilrric directe tics nlotliiles Exti(B,, CL) ; coininc E x t i (B,, (1) est à siipport dans {n) ; il s'identifie à f1:, . On a dim(B,) - O pour tout n ; poiir prouver que le R-rriotlule 0' est dualisa.nt, il suffit doric de prouver qu'il rri est a,irisi (311 Rn-niotliile F,xtA(P,,,fl) poui. tout n E X , ce qui 11011s I.R.III~.IIH a,ii CRS of1 l'n.rinca.ii B est local. Da.ns cc cas, d'a.prits l'cxcrriplc 6 ilil 8, no 5, le B-rnodiilc Ext:;(B, Cl) est isomorphe à HomA(B,1) , oii 1 est 1111 A-inodiile de Matlis ; c'est par conséqueiit un B-rnodi~lede Matlis (5 8, no 6, cor. de la prop. 5),donc uri 12-module dua,lisa.nt,(no 1, cxcnrple 1). Siipposoris rriahnteriaait tlirri(R) > 0 et rô.isoririoris pa.r r6ciiriwice siir tlirri(l3) . On a. profA(T3) = d i ~ r i ~ ( R=) ilim(P,), d'oii prof,\(B) > 0 ; d'a.iitrc part on a. prof(A) = dim(A) > O (il0 1, prop. l ) , et par siiitc pïofA(A @ R) > 0 . Tl existe donc uri élbrnent r de r n ~tel que- Irs hornotl.i&ies r~ et zn soierit irijectives.

CoiisidCroiis la suite exact;^ des inodulcs d'extensions associée à la. suite exacte O + B -JI3 + B/:x.P> + O et an .A-module (2. Le A-ino(li& B/zB est rna,caulayen (5 2, ri" 1 , cxemple 3), de tlirrieiision tlirli(l3) 1 (VIII, 3 3, no 2, prop. 3) ; on a donc ~ x t , ;(B/2B: 0 ) = O polir .i # c + 1 (II" 1, cor. de la prop. 3). Cornrrie on a. ExtA(B, 62) = O pour i # c , on oht,ient uiic suit<: cxacte de B-iriodilles -

Par I'liypotlièsc de rkcilrr~rice~ Ir B/zB-modiilc ~ : x t , i + ~ ( R / zRB), est diialisaiit. Cornnie la A-algkbre B es1 firlic, l'irnagc tlc mn dans B est conteniie dans le radical de B (V, !j 2, no 1, prop. 1) ; d'après la prop. 4 du r i 0 2, le B-modi~leExtA(B, R) est dimlisnnt . A-module dualisan,t, et 13 COROLLAIRE 1 . S o i f n t A n.rL anmeau n,oet/r6rien,, .R u n e A-alqÈbr-e fir~ic ; o n suppose que Ir A-rn,odrde R r s t rnacaulnyerr. Le 13-modulc E x ~ A ( B0, ) est dualisard. Notons bl' lc B-rnodillc Extn (R, C l ) . Soit n un id6a.l rnaxirnal de B ; soi1 iimge réciproque dans A est un idéal ma.xirria1 m (V, 2, no 1, prop. 1). La A,-algèbre B , = A, @A B est finic, et c'est- lin A,-module inamulaycn ; d'a.près la proposition, lc Bn,-module CL&, qiii s'identifie k Extnm(B,,O,) (5 3, ri0 2, prop. 2) est di1alisaiit. Conmie Bn est ini il.ïiiieau de fractions de B , , le Bn-inotlule dl; est dualisarit,, d'où le corolla.ire. Renrarqrue. Gardons les hypothkscs du cor. 1 et supposons en outre qiic l'homoniorphisrrie carioriique p : A + R soit injectif. On a alors dim(A,n) = dim(B,,,) pour. tout idéal maxiinal m de A (VTTT, 3 2, ri0 3, th. 1 a)). U'aprCs ln prop. 6 el le cor. 1, EX~,:~(B, 0) est niil pour i # O , et le B-niodule IIomA(B,l ~ l )est tliialisaiit.

COROLLA~HE 2 . Si ,wrc m r ~ e a urroetli.6rien A possède u n mmdule duali.sant, toute arr,n,eau d e M a c a u h y possède un, module dvcl,,ll:sant. A-algèbre de t1~pc,fini qu;l est Ccla résulte

t h

cor. 1 1:t

tlii

cor. dc la prop. 5.

COR~LLA 3. ~ ETout crn.n.enu de Mmn.ulay p r h r n t o b l e ( e n partrculier, t o u t anireau de Mucavlaq local complet) po.ss~rleu n m o d , ~ ~ dualisant. le Soicrit en effet R un anneau régulier ct A un anncau de Macaulay qiio1,ieilt tlc R . Le R-rrrodi~leA est rriaca.iilayeii (3 2, no 5, exeinplc 5), et R posskdc un rilodiile tlualisant (no 1, exemple 2) ; il cn est donc de même de A d'après le cor. 1. Par aillcurs on a, rli.:j2. ohscrvi: qu'un anneau noethCricn local coinplet esl, présentable (S 4, no 4, prop. 6, c)). --

Plus généralcirient, tont anneau de Ma.caillay quotient d'uii anrieau de Gorerislein possède iin module dimlisant. Invcrsernent, on peut nioritrer qu'un anneaii de Macaulay local qui possède iin module dilalisant est quotient d'iiri aiiilcau local dc Goreristein (cxerc. 1).

NO

4

MODULES DIIALlShNTS

AC X 133

4. Structure des modules dualisants

Le,mrnc 2 . Soieni, A wr/. unneau noethér~:en,1\/1 et N des A-modules de type fini, u, : NI -, N u71 hor~i,orr~~olylLisrrie. Soit n: un, klc'rnant du radicnl de A , tel yrre 17hornoth,étÈcz~ soi1 i~;jecl?;.ue. Si 1'homorrtorph.ismme?I : M/2M + N/2N induit par .u est injectif (rcsp. surjeci,z./; resp. bijeçtlf), il en est de ,m6ml.ede I L . L'assertion concernant la surjcctivit,i: dc u résulk du l e ~ r m ede Nakaya.ma (II, 5 3, no 2, cor. 1 de la prop. 4): salis hypot11Csc sur x~ . Cor~sitlCronsle diagramrnc comrniitatif à lignes exactcs

-

à l'aide du lcmnic tlu serpent (1, 5 1, no 4, prop. 2), on en déduit l m : siiite emcte Ker E . Si TI est injective, l'lionmtliétie tle rapport z est siirKer u 5 Ker I L

jectivr dans Ker u . ce qui implique Ker u

=O

par lc lcrrirne de Nakayarna.

c) 7;-)7~tA-module dualisar~,test dc la ,[orrr~c.IL @A L osri, L e~çtun. A-rr~odule projectif de rang 1 . A) Tra.it.ons d'abord le cas où l'anneau A est local. Dans cc ca.s la coriditior~c) signifie simplemerit que deux niotlules dualisants sont isomorphes. Soit dl' in1 A-rrwdirle diialisant. On a. profA(R1)= dirna(R1) = dim(A) (ilo 1, prop. 1)' donc Extj\(fI1,R) = O pour i # O (ri0 1, prop. 3, c ) ) , d'où a). Prouvons h) et c) par rkcurrerice sur l'crltiei. dirn(A) (éga,l à prof (A)). S'il est nul, 1'anriea.u A est artinicn, R' et d 2 m r ~ tdes A-modules dc Matlis (no 1, exernple 1) ; ils soilt donc isomorphes (5 8, no 1, prop. 1) et l'application carioriique A i EndA(R) est bi,jective (5 8, II" 2, prop. 3: c ) ) . Supposorls dirri(A) > O et soit x im dément siniplifiahle de in*. L'homothétie xn est, iï?jeçlivc (no 2, prop. 4), et l'on a une siiite exacte

Puisque ~ x t i ( ~Cl)' , est nul et que Horn*(R1, R / x n ) HomAlzA( f l 1 / r i ~ 'n/n:R), , on en dCdiiit une suite exacte

s'idciitific

à

oil p est l'applicatiori canoniqi~e.D'après la prop. 4: les A/zA-rnodiiles R / z R et R'/:I:R' son1 tlualisa.rits, doric isornorplies par l'hypothèse de réciirrencc Soit ?I, im isornorpliisme de R'/zR1 siir fZ/zR. Compte tenii de la. suite exacte ( l ) ,il existe uri A-lrornorriorphisrnc: 11, : R' -,R tel que p ( u ) = 'iS; ; dla.prksle lenirrie 2, I L est hijcctif, cc qui prouve c). Par l'hypothèse de rkiirrcnce, l'homoinorpliisme ca.noriique A/zA --t EndAlzA(6L/zR) est bijectif. Coiripte tenu de la suite exacte (1), cet horriorriorphisme s'identifie à, l'homornoi~pliisrne 7 : A/zA + EndA@)/.?:EndA(fl) iriduit par y ; il résulte alors dii lemmc 2 qiic y est bijectif, d'où Ir)). B) Passons au cas gCriCra1. Pour tout idéal rriaxirnal m de A et tout entier i > 0 , on a ExtA_(R,,,,a,,)= O d'aprks cc qui précède, doric ExtA(R, R), - O (5 3. no 2, prop. 2), ce qui irripliyue E x t k ( R , R ) = D (II, 'g 3, no 3, cor. 2 dii t,h. 1).De rnnrne, l'homomorphisrrie y,,, : A, + EndA(R), est hijectif pour tout idka1 maximal m dc A , donc y est bijectif (loc. cit., th. 1). Proiivoiis cnfiii c). Soit 0' un A-module dualisan(,.D6sig1101ispar L lc A-i~iodule HornA(61',61) ! et par 'u : 61' @A L -40 l'liornoiriorphisme tel que 7~(z@ j ) = f (x) pour z E .Il', 1 E L . Soi1 m i i r i idéal rnaxirnal de A. Lc A,-riiodule LI, s'identifie à HoniAt,,(61~1,6Z,) ; d'aprhs Ic cas déja. traité il est libre de rang lin, et tout isomorpliisrr~ch : R& -> f1, en es1 un généraleur. Lorsqii'orl idcritifie L, ii A,,, à l'aide di1 géri6rateur h , l'liomornorphisme v,,,: @A,,, Li,, + .Ilill s'idcritifie à h , donc est bi,jectiS. Ceci ayant lieil pour tout idéal rriaxirrial m de A , le A-module 1, cst projcctif de rang un (II, 5 5, no 3, 111. 2), ct l'horr~ornorp'riisrrle est hijectif (II, 5 3, il0 3, th. 1).

COROT.I,ATRE 1.Pour que A soit un, o:rrnruu de Go~enstein,il faut et il sufit que le A-nrodl~leR soit projectif de ,ro,n,g 1. Cela résiilte de l'cxernple 2 (lu ri0 1 et de la prop. 7 c). COROLLAIRE 2.Su,pposon,s que l'~71,neauA soit présentable. L'ensemble des i d 6 a . c ~prerniem ~ p de A tels que Ap soit un, an,n,eau de Go~errsteinest oruciert dans Spec(A) . Soit p iin idPal premier de A tel que Ap soit iin anneau de Gorenstein. C'est alors un a,nnea.ude Macaulay ; quitte à remplacer A par A f , où 1cst im élément cor~veriahlede A - p , on se ramène aii cas où A est un anneau de Macaulay ($ 4, ri0 4, prop. 7, c)). Soit R un A-module dualisant (ri0 3, cor. 3 de la prop. 6 ) . Alors Op est iiri rriotlule dualisant siIr l'anneaii de Gorenstein Ap (no 1, prop. 2), donc p tel que le est libre dc rang 1 (cor. 1). Pa.r suite il existe iin é1Cnient y de A Ag-niodule R, soit libre de rang 1 (II, 'g 5 , no 1, cor. de la prop. 2). Ainsi A, est un anneau de Gorenstein (cor. 1) et il cn est de rngrrie de A, pour tout idéal premier q de A ne contenant pas y (5 3, no 7, cxemple l ) , ce qui prouve le corollaire.

-

5. Dualité des modules d e t y p e fini

-

On considère daris ce nuniéro iin anncaii rioethérieri A de dimension finie qui possède un modillc tliialisa.rit Cl. On a alors diA(CL) dirri(A) < +cc (no 1)prop. 1). Choisissons une rksohrtion i.rl:?ecti.ue de longu,eur ,fin,ie e : Cl -i (1,6) . Pour tout complcxc C de A-modules, notons D(C) le complexe IIomgrA(C,I). Cela s'applique

NO

5

AC X.135

MODULES DUALISANTS

en particiilirr H tout A-rriodulc M , coiisidéré cornnie un coniplexe concentrb cn dcgré O ; or1 a alors D(M)i = HOUIA(M,1') pour lout cnticr i . Rappelons qii'oil a construit erl A, X, p. 100, 111. 1, un isomorphisme ca~~oiriquc

E r c e n ~ p l c s1) . Lc cornplexc D ( 4 ) = HoingrA(A. 1) s'ideritifie à 1. L'applica,tion c : 0 + D(A) est par définition un homologisrrie.

2) L'liornomorphisme e E HorngrA(CL,1)' est un élément de D(f1)' ; l'application A-linéaire E : A + D(f1) telle que E(1) = e est un horriologisnic (no 4, prop. 7, a) et b)). 3 ) Soit S iinc partie multiplicative de A. Lc S-'A-rriodule Splfl es1 dualisant (no 1, cor. 1 de la prop. 2) ; les S-'A-rrlodulcs SplI' sonl, injectik (coi-. 1 de la prop. 3 di1 5 3, no 2) et le rriorpliisrrie e' : Splfl + Sp '1 déduit de e cst une résoliition ir~,jectivede S-'O, à laquelle oli pei~ldonc appliquer ce qui précède. Pour tout c:orrlplcxc: C tlc type fini (et en particulier tout A-nlotlide AI de type fini). l'honiorrlorpllisiiie canonique de S-' D(C) da.11~Horiigrs-iA(SplC,S 1) = D(S C) cst bi,jed,iî.

'

'

4 ) Soicnt A lin anneau de Dedekind, K sou corps tlcs fraclions. Le A-module A est didisant et admet la résolutiori iiljectivc: 1 tfe lorigiieiir 1 définie par la suite

exacte

O+A&KLK/A+O où S est la surjection canonique Pour tout A-rnotiiile M , le complexe D(M) est le coinplcxe concentré en tl~grésO et 1

... i O

d

i

HornA(M,K) 4 Homn (M, K/A)

-

i

0 ---i. . .

avec cl = Homn ( l n % 6, ) . On a uric suite exacte O + Homa (M, A)

D(M)'

5D (M)

~ x t(M, i A)

4

-t

O.

Pour tout inorpliisrrlc (le cornplexes ,f : C - > C f , ori notc D ( f ) : D(C1) + D(C) le rriorpliisrrle (le cornplexes HorngrA(f, I I ) . Si f cst lin lioniologisnie, D ( f ) est un C -y+Cf/ est une suite exacte de hoiriologisnic (A, X, p. 863, prop. 4, 1-1)). Si Cf cornplexes, la. suit^ cic cornplexes D(C1I)D(9j D(C)

D ( C f ) cst cxactc (A, X,

p. 83, prop. 2, a)). Soit Mi iui A-modiile. A chaque élérnerit ,rrL (le M , associons l'applica,tion aM(7n,) : f H f (m) de D(M) daris 1 ; c'est i i r i élément de D(D(M))o = HomgrA4(D(M),1)' . Il rbsultc dcs dkfinitions que (m) est un morpliisnic dc complexes, donc un 616rricnt dc Zo(D(D(M))) .

On definit ainsi im morphisme de complexes :

d'où, par 1)asYage à l'liomologic, lin homomorpliisme de A-modules

~ ~type l e fiai. Alors ab1 mi, ,unhorrrolo,qisnre : Soit M ,UIL A - ~ r ~ o dde on, a H,(D(D(M))) = O pour i # O et I'h,omom,orph,isrri,e or^ est bi,jecti,f. Prenons d'abord M - A. L'application e : 0 + D(A) est iiri I-iorriologisrrie (exc.mple 1). donc aiissi l'application D(e) : D(D(A)) -i D ( 0 ) . L'application F : A i D(R) est uri Iiorriologisrrie (exeniplc 2), et on a. D(e) O = i? ; ainsi a* est i i r i honiologisnie, ce qui proiive Ic thhorhmc. dans cc cw. Il en r6siilt-e que a~ cst un honiologismc lorsqiie la A-modiile M est libre de type fini. Passons a11 cas gi'ni'ral ; nous allons prouver pa,r rkcurrence sur l'entier n I'assertion suivante : (A,,) pour tmut A-rr~odalede type ,fini M , I 'h,om,ornorph,ism,cHi(anli) cst b,ijpctif pour i n, . Cela signific aussi que Hi(D(D(M))) cst nul pour i # O et i n , et que CYM est bijectif si n 3 O . Observons que (A,,) est vérifike pour n < 4 ,oii cl est la. longueur du complexe 1 : en effet le A-motliilc D(D(M))i est 6ga1 A @ ~ o m ~ ( ~ o r r i ~ (l p~p ", )l, [donc ~ ) ,cst nul pour i < 4 ct i > d . THÉo~kniiI?1.

<

<

P

Prouvons l'irnplica(,ion (A,,) + (A,,+,). Soi1 M un A-rriodule de type fini. Il cxistc un i\-module libre tic type fini L ct une suite cxacte O -,N L 5M + O .

=

La suite O

i

"(ll) D(M) D(l1) +D(L) +D(N)

u' = D(D(u)) et 71' = D(D(u)), la siiite O est cxactc. Pi~isqiieH,(D(D(L))) est iiiil pour i

-i

->

O pst cxactc ; de rnPmc, si l'on pose

D(D(N))-%B(D(L)) =D(D(M))

# O,

+O

on a des isoinorphisines

cela entraâne l'implicatioi~(A,) =+(A,+1) polir diagranmie cornrniitatif à lignes exactes

1%

#

-1

et n

# O.

Considérons le

oii OIL est bijectif. Si (Ao) csi salisfaite, l'll«rriornr>r~~hisnlr OIN esl 6galeinenl bi,jectif, donc Ho(vl)est iqjeclifel l'on obtient HI(D(D(M))) = O , d'où ( A l ) . Si (Apl)

est satisfaile, H-I(D(D(N))) esl, nul, doiic. H(j(d) est surjectif, ce qiii implique que est siiIjectif. Cela élant vrai pour. tout A-niutliilc tlc type fini M , oc^ cst aussi ~ bijectil, de sortc que (Ao) siirject,iî ; d'aprhs 1, 5 1, no 4, cor.. 2 tle la prop. 2, o l est est satisîaittx. Ainsi (A,,) est vraic pour tout ,ri, cc qiii dérriontrc lc thhorème. un?

Soit M lin A-module de type fini ; posons c D1(AII) le sous-c:ornplexe de D(M) kgal à

@

=

dirn(A)

-

dirna(M). Notons

@ ZC(D(M)), et

z
l'irijection caiioriicpe. On déduit dc la sur,jectio canonique Zr(D(M)) 4 II' (D(M)) et de l'isomorphisme q(M, 1) un morpliisrnr de complexes

tomme IP(D(M)) est riiil pour 7 < c (ri0 1, prop 3 a ) ) , (D'(hl)(-<),p ) est une ri.soliitiori gaiichr tir ExtA (M, O) D'aprk A, X , p 100, th. 1, on a 1111 1sorrioip1iism~ canoiiique

(D'(M) (-c). 1) . Ho(D(Df(IV)))

I

ExtA(Exti (M, O ) , O) ;

ci1 1c coinposmt avcr l'l-iorriorriorj,Iiisrii(~H o ( D ( ~ ). )Ho(D(D(M)))+ Ho(D(D1(hf))) on obtient tloric im honloirior~)liisrric

d'où finalenierit, par t oriipositioii avcr

a M ,

rin horriorriorpl~iirr~r carioriiyue

COROLLAIRE. Si Lc A-rn,odulc h4 cst macaulaycn, 1'1romorr~o~h.isme Pb, est bijcctif.

Si M cst maca.ulaycn, lc A-nioclule Hi(D(M)) est iliil pour i f <: (no 1, cor. de la prop. 3), de sortc yuc l'irijection carioriiqiic j : Df(M) > D(M) est un Irurrlologisme ; par suit,c Ic morpliisriie de complexes D(,j) : D(D(M)) >- D ( D f(M)) cst, iin liorriologisrnc (A, X, p. 86, prop. 4). Ainsi Ho(D(;j)) csI bijectif ; d'aiitrc part un/r est bi,jcctif ynr Ic tli. 1, d'où Ic corollaire. Lorsquc le A-niodule M cst de longueur finie, Ic A-module l<xtL(M,bZ) s'ideiitifie au tlual de h1atlis dc M (cf. 5 8, no 5, exemple 3 et th. 3), cl l'on retrouve la prop. 4 du 5 8>rl" 4. 6. Exemple : le cas de la dimension 1

Dans ce riiinibro, on considère uri anncaii A intègre, nocthbrien, de dirrirrisiori 1, admettant un rnodiile dualisarit O On note, K le corps des fractions dc A , r t V le K-espace vectoriel K @ A O

V est iiiject,if, ct lc I<-espace vectoriel V cst L'hornomorphisrm canonique Cl de dimcnsiori 1 (no 2, cor. 1 de la. prop. 4) ; identifions 0 à un sous-A-rr~otliile (le V .

A-module V/fl est un module de Matlzs P R O ~ ~ O S I8.T ~ Le ON Considérons la suite exacte

le A-rr~odulcV est ir~je<:l,iî (A, X, p. 18, cxcmplc 1)' ct l'on a diA(Q) = 1 (no 1, prop. 1). Or1 en tléduil d'une part que V/Sl est injectif (5 3, no 1, prop. l ) , d'autre par(,, que pour tout idéal rnaxiinal m de A , lc Alm-cspacc vcctoricl Honin (A/m, V i n ) est isorr~orplieà ~xl,;(A/m, 0), donc de tlin~cnsiori1 . Comme V / n est uii r~iodule[le torsion, ses idéaux prcrnicrs associCs sont maximaux ; cela dCir~orltrela proposi1,ioii (5 8, no 4). Soit M im A-module ; conforrnénierit à loc. cit., nous r~ot~erorisD(M) le A-inodiilc HomA(M,V/R). On peiit appliqiicr les constriictioris di1 il0 6 en preilait pour 1 le complexe

où V est plarb ci1 degr4 O , et p désigric la surjectiorl carionique. Lc coniplcxc D(M) est P Ml . . . O +Homa(M,V) D(M) + O ... ,

-

avec p~ = Hoin(lM,p). On a un isornorphisrr~ccarlonicpe de A-modules graclués
défini au 5 8, no 3, qui est un isomorphisrrie lorsqi~cM est de type firri (c'est-à-dire de longueur finie). On retrouve tlarrs ce cas la sit,ua.tion dc loc. cit. Rrvrrioi~sau cas g6n6ra1, et supposons le A-rr~odiilrI\/I de type fini Alor5 D(M) est im niodiilc dc torsion, doiic le A-rr~odulcD(D(M))-' = HomA(D(M),V) est mil. D'autre part le A-rriodiilr HomA(D(M)', V) = Ho1rlA(HorilA(M,V), V) s'itlenlifie riaturrllrrner~tà K @,A. M , dc î a p i qile l'l-iorriorrioipl~isrr~c

s'iderit,ifie i l'application

taelle que j ( h @ ,rn)(f) = p(X,f(m)) pour X E K , Tri, E M , J tell. 1 du il0 5 se traduit doiic par l'exact,itutle tir la. suite

6

floniA(M,V) . Le

o i ~i désigne l'application canoriique de hl dans K 0 3 M ~ . Le 110.ya11 (10 ,i s'identifie au sous-rnotlule de torsion T(M) de M , et son conoyau à (K/A) @A M . Consid6rons Ic diagrarnme cornmutatif a lignes exactes

o i la. ~ seconde ligne est obtcnue par (Iilalité di: Ma,t,lis8.pa,rtir dc la suite exacte

(IPduits de ab1 et j respccli~ucmcnb,sont bijectifs. Comrne le A-module ï'(M) cst de longneur finie, le A-nlodulc ~ x t i ( MCL >) es1 dc longiteur finie et s'identifie au diia.1 dc Matlis U(T(M)), et l'on a [~xt;(M, O)] = [T(M)] da.ns le groupe Zo(A) et, longA(Ext; (M?0 ) ) = longA(T(M)) (5 8, x i 0 4, prop. 4). D'a.iitrc pa.rt, lorsqu'on prend M = A , on obtient un isornorphismc canonique yl(A) : K/A + D(R) .

-

Soit B un sous-anneau de K contenant A , fini sur A . Pour tout idéal iriaxime.1 n~ tlc A , on a profA,,,(Bm) dimA,,,(B,) = 1 (5 1: no 1, rcmxque 2 et VIII, J 2, no 3, th. 1),(le sor(,c que T3 est uri A-niotli~leinacnulaycn. Par coiis6qucrit le B-niodiilc fZB = HorriA(B,CL) est diialisa.rit (no 3, remarque). L'application cailonique de IIB = HorrlA(B,CL) dans 0 = HornA(A,R ) est injective ; son image est formée des élénieni,s w tic R tels que Ir soils-G-niotlule Bw de V soit contcriu daris 0. Ainsi R n s'identifie au plus grmd sous-R-rnodule de R . Le A-modiilc B/A est de longueur finie ; la suile exicte

A , donc (1'n.pri.sce qui pr6cCde D(B/A) . perniet d'identifier 61/flB ci. F , X ~ ~ ( B /R) En part,iculier, on a [B/A] = [R/Rn] dans Zo(A) et Anii*(B/A) = A I I I I ~ ( ~ ~ / ~ ~ ~ ) (5 8: no 4, prop. 4). L'idéal c = AnnA(R/A) est le transporteur A : B , c'estAtlirr (VTT, 1, no 1) l'cr~serrlhledes éléments z de K tels qiic z B c A . C'est uri id6al (non nul) de

A ct dc B , c'cst cn fait Ic plus grand idéal (le B cor~lrnii(lails A . Puisque Cln : L2 c i l : Ll = A (ri0 4, prop. 7, h)), or1 a AIII~,\(O/OB)= O, : R , (l'(~ii fiilalcinerit c = AnnA(B/A) = AnnA(R/aB) = CLB : 0 . Puisque d l n est un B-rnotliilr, la relation .Al c fIB équivaut sortc quc l'on a aussi c = OB : BO.

.LBO c O B , de

Nous allons particiilariser ce qui précède a.u cas oii B est la clôtiirc intdgralc c3c A ; l'hypothèse que B soit im A-riiodule de type fini est sa.tisfaite lorsqiic l'anncnii A est japonais (TX, 5 4, no 1. dCf. 1),ce qui est le ca.s lorsqu'il est local et complet (loc. cit., n0 2, th. 2); ou lorsqu'il est esscnticllcincrit de type fini sur un corps (loc. cit., ri0 1, renlarque 2 et exeniple). L'anneaii B cst alors lin anilcau tlc Dcdclrind (VII, 5 2, no 2, th. l ) , et les B-inodules sa.ns torsion Cln: BLI et c sont projectifs de rang 1 (VII! 5 4, il0 10, prop. 22). La rchtiori c = Rn : Bfl signifie alors que l'application h é a i r e c QCB B a + fIB d6diiitc dc l'actioii dc K sur V est un isornorpliisrne (11, ji 5, no 6, prop. 11). On a en particiilicr CLu = c(BR) = C R .

P~ZOPOSITION 9. Soie,nt B lu clôture in,t&grn,lede A , et c = A : B . Supposons q71,e B soit A-,rr~,o(hlede t~jpe,fini. On a 17inéga,li,t6[B/c] < 2[B/A] dvns Zo(A). Pour qu'il y ait &galitkjil faut et il .sufit qlrc A soit un, an,neau de Gorenstein,. On a [B/c] = [B/A] + [A/c], de sorte que llinCgalité consid6ri.c équivaut h [Alcl [BIAI . A) Poiir toirt id6al rriaxirnal m de A , la clôtiirc intégrale de Am est Em (V, 5 1, il0 5, cor. 1), et l'oii a c , = A,,, : R,. De plus on a par ddfinition [T3/c] = m longtl,,, (Bm/cm)[ml et [B/A] = m longA,, (Bm/Anl)[m]. Ceci r~ousramène à. ddrriontrer la. proposition lorsqiic l'anneau A est local, ce que rious supposerons tl6sornia.i~.bris ce a s le groupe ordonni. Zo(A) s'identifie canonicliiernent à. Z , de f a p n q i c la classe d'irri niodule de longueur finie soit sa longueiir. L'anneau B est, senii-local et le B-modiilc BR est libre de rang 1 (II, ij 5, no 3, prop. 5). B) Si A est un a,nrlea.ii de Gorensteiri, le A-nmdule R est libre de rang 1 (ri0 4, cor. I de la prop. 7) ; choisissons lin gdndrateur w de R . On a O = A o et fIs = CR= cw, et pa.r suite long(A/c) = long(R/RB) = long(B/A) . C) Siipposons le corps rkidiicl K A irifirii. Poiir t,out idéal rria.xirria1 n de R ,notons T,(n) IP R/n-espace vectoriel (de dimension 1) BfI/nBCL, et pr,, la projection ca.rionique de @L(n) siir L(n). Soit ip : O -+ @L(n) la restriction à R de @ L(n) . ~'iiiiaRede ip est un sous-icpqxxc 17homomorphis& canonique BR

C

vecl,oriel de

@ L(n)

-

; elle ri'cst pa,s c o k m daas ~ Ker prll, sans quoi l'on aurait

O c nBO et par suite BR c nBR, cc? qui est coritra.dictoire. Ainsi l'inla,ge de cp n'est pas conteriiie dans la réiiniori des Kcr pr,, (A, V, p. 40, lemme 1) ; il existe donc un 61dment w de R dont 1'itna.ge da,ris RR/nBR est non nulle pour tout n , ce qui entraîne qilc o engendre le B-niotlule BR (TT, ji 3, no 3, prop. 11). Soit a E A ; si (LW appa.rt,ient à ClI3, on a a B o c O B , donc afI c ClB, ce qui implique n E c. L'application u H aw induit donc une injection de A/c dans O/OB ; par suite on a long(A/c) ,< long(R/RB) = long(B/A) .

ho 6 Si lorig(A/c)

hC X. 141

MODULES DIJALISANTS

=

loiig(B/A), on a A o

+ Clg

=

C l . On peiit supposer t p c l'idéal

c est contenu dans r n ~(dans lc cas contraire A est égal à B . donc est un anneau de Gorenstein). Comme ClB = cCl est contenu dans m A 0 , il résulte du lemnie de Nakayaina qiie o engendre Cl. Ainsi le A-modiile fl est moriogèrie, tloric libre de rang 1, cc qui signifie que A est im anneau dc Gorcnstcin (no 4, cor. 1 de la prop. 7). D) Traitons lc cas général. Notons A' l'anneau AIX[, c'cst-à,-dirc (IX; App., ri0 2) l'anilcnu local tic l'aniicau dc polynônics il[X] en 1'itli.d prcinicr niAA[X] ; c'cst une A-algèbre plate, intègre, de dimerision 1, dont le corps résiduel KA! s'identifie à. KA(X)et le corps des fractions à. K(X) (loc. cit.). D'après le cor. dc la prop. 5 du ri" 3, lc A'-module A' @ A R est dualisa.iit. Posons B' = A' @A B ; c'cst la clôture intégrale de il' (laris K(X) (V. 5 1, no 3, prop. 13 ct no 5, prop. 16). Lc transportetir cf = A' : B' cst Cgal ii ch' (1, 5 2, no 10, forinulc (11)).Pour tout A-module M de M) = longA(M) : en effet, comme la A-algèbre longueur finie, on a long*, (A' A' est plate, il suffit de prouver cette relation lorsque M est simple, c'est-à-dire isoinorphe à K A ; mais da.ns ce cas A' 8 % K~A s'identifie à KA! , d'où notre assertion. On a donc

L'a.nrlea.i~A' vrrifie les l-iypot,li&ses rle la. proposition, et son corps r6sirliirl est infini. D'apri's la partie C) de la. dAinonst,ration, on a. long*, (B'lc') 2 long*, (B'/A1) , et l'égalité implique que A' est un anneau de Gorenstein ; mais cet,te dernikre coildition entraîne que A est im anneau de Gorenstein (5 3, no 8, cor. 1 de la prop. 12).

<

1. Cohorriologie locale

Dans ce numéro, on considère un ar1nea.u A local noethkrien. Rappelons (VIII,

5 3, no 3, leinrrie 2) yuc les idéwuz de défin.ition. (le A sont les idéaux tle A distincts de A contenant iiiic puissai~ccde mA, oii cncore Ics idbaux a c IIIA tcls quc A/a soit de longueur finie. Or1 ii«t,cra =9l'l'esemble des idbaux (te d6finitioii dc A , muni de la. rehtion d'ordre opposée A l'iricliision ; il est filtrant à droite. Soit M lin A-nlodiile. Associoiis à tout idéal de définition a dc A le A-rl~odulc gradué ExtA(A/a, M) ; si a et b sont des idéaux (le rlbfinition avec a c 6 ; notons pab : A/a i A/b l'application canonique et, cor~si
Les idéaux rn? polir n 3 1 forincnt une partic cofinale de -95 ; on a donc lin isomorphisme canonique de inodulcs gradués & g E ~ t , ~ \ ( A / r nM) A , + HA(M). Par. r,

suitc tout él6rncnt dc HA(M) est anni116 par iinr puissance de ni^ le faisceau d'anncaux R e m , a r p ~1. -- * Soicrit X l'espace topologiqiie Spec(A) structural et M le fik-rnodule associé à M . Le A-rriodule gradlib HA(M) s'identifie au inodiile H{,,l (X, M) de cohonlologie à support dans le point îernié m~ de X .

.

Polir tout honiornorphisrne f : M >- N de A-rnoiliilcs, les applicatioiis f ) : ExtA(A/a,M) + ExtA(A/a,N) lorinent un systhme indilctif d'applications linbaires graduées. Par passage à la limite irdiictive, on obt,ient un hornof P de rriorpllisnie gradiii: HA( f ) : Hn (M) i HA(N) . Pour toute suite M +N A-modiilcs ct d'homorr~orpiiisrrics,on a HA(g 0 f ) - HA(g) 0 HA( f ). Soit

une suite exacte de A-modi~les. D'nprks A, X, p. 90, prop. 8, les honiomorphismes (le liaison des motliiles d'cxtcnsions ExtA(A/a, P ) + Ext, ( A /a, M) forriier~t un système inductif d'applicatioiis ,4-linéaires, gradiiées de degré (asceildarit) + l . Par passage à. la limite iuductive, ou en déduit lin A-hornoinorphisnie B( Z ) : Hn(P) IIA(M),gradué tle degrb -1 1: qui rc:rd cxactr la suite d'homorriorpliisrnes

an-'(/)

-i

HA "-'(P)

HA(M)

%(t)

- d7'( / )

%(y)

HZ(N)

i

H: (P)

i

H ~ ~ ( M )

Soit M un A-module. Pour tout idéal a de A , le A-modiile HornA(A/a,M) s'identifie canoniqueriierlt au sous-rnodiile de M foriné des élérnerit,~annulés par a . Ainsi Hi(XI1) s'identifie au sous-module de M formé des élérnents m qui sont, annulés par une puissance de r n ,~c'est-à-dire tels que longA(Am,)< +m. On a en particulier HA(X4) = h'i lorsque M est a.rtinien. E x e m p 1 e . s . 1) Si M est injectif, le A-module G ( M ) est iiu1 pour i > O et injectif pour i = O (5 8, no 2, lerr~rric1, c)). 2) Si H i ( M ) = hf (par exemple si M est artinien), q ( M ) est mil pour i > O . Soit en cffet (1, e ) uric eriveloppe ii!jcctive de M . Le sous-rnodiilc Hi(1) de 1 est injectif (exerriplc 1) el, contient e(M) , donc est dgal à 1. Posons N = Coker r et. considCrons la. siiitn exacte O + M 5 1 -'> N + O . Comme 1 = 11i(I), on a

N = H i ( N ) et 1'Eiornorr~orphisrneHi(?>)est surjectif. Puisque Hi, (1) est nid polir i > O (exerripie 1), H; (M) est iml et (M) est isomorphe à (N) pour i > 1 ; on conclut en raisonnant par réciirreiicc sur l'entier i . 3) Soit R lin A-modnln diialisarit. Pour i # dirn(A) ; on a ~ x t h ( A / aa, ) = O pour toul idéal dc définition n de A (S 8; no 5, excniple 3), d'ail HA(R) = O ; pour ,i = dirii(A) , lc A-module Hi(bL) , qui est isomorphe à 9 ~ x t (A/mz, : , est uri A-snodulc de Matlis (loc. cit., exemple 6). 4) Soit A lin anneau local noethérien inthgre ; riotoris K son corps des fractions, et supposoris A # K . C'est lin A-rnodiile injectif (A, X, p. 18, cxcinple l), de sorte que le module HA(K) est nul (excrnple 1). Dc la suite cxacte O i A + K i K/A + O , on tire polir tout L un isornorpliisrnc (A). IIA(K/A) + Pliis géiiéralernent, pour tout A-module saris torsiori M et tout enticr 2 , on d6diiit de la suite exacte

HA

HA '

a)

HA'

un isornorpliisnic H:\ ((K/A) 8.4 M) i HAI (M) . 5) Conservons les hypothèses dc l'exemple prdcbdcnt et supposons de plus dirn(A) = 1 . Soit N lin A-module de torsion ; coinrnc tout idéal non niil de A distinct de A est lin idéal de définition (VIII, $ 1, no 3, prop. 6, e)), on a H;(N) = N , et par suite H A (N) = 0 pour i > O (exemple 2). Soit M un A-rriodule ; notons T(M) son sow-rnodiile de torsion. ConsidGrons la. suitje exacte loiigue (le cohoniologie localc associhc à la suite cxacte

compte tenu dc ce qui précCdc, on en déduit des isoniorphismes carioniqiies i. H i ( M ) et H i ( M ) + H~(M/'I'(M)).Co~nrne1'2iomomorpEiisnic canonique (K/A) @.A M > (KlA) @A (IVI/T(M)) est bijectif, on obtient finalement des isorrcorphisnres ca~aor~iques

T(M)

-

PROPOSITION 1. Soien,l, A u n anneau local noethérien et M un A-rriodulc de t y p finjli. a) Le A-nrodole HA(M) est artinierr, et nul en degré > dirii(lL1) . b) Posons p = proîA(M) . On a HL(M) - O potrr i < p , et H i ( M ) # 0 .si M est non nul. Prouvons a) cil raisonriarit par récurrence sur dim(M) . TP cas dirn(M) O résulte de l'exernplc 2 ci-dessus. Supposons dirri(l\/l) > O ct prenons d'abord M de la forme A/p, oii p est un idCa1 premier de A distinct de r n ~ Soit . :r; un ~ p ; on a unc suite exacte O + M %M -iM/zM i O , mec élbrnent de r n -

<

dinl(M/rrM)

= dirn(M)

-

-

1. Ori en déduit une suite exacte de cohoriiologie locale

HL'(M/.rM)

H1,(M)

-=

HA (M) .

Toiit élément dc H ~ ( M est ) annulé par iiric puissance de r n ~; pour proiiver que ce niodiile est artinicn, il suffit donc de prouver quc le socle de H i ( @ est de diincrision finie sur KA (5 8, no 3, lemmc 3). Pa.r l'li,yp«t.l~bscde récilrrcrice, le noyau N (le l'hornot,hétie de rapport z dans G ( M ) es1 artiiiicri ; coinmc x appartient à. rnh , le socle de H i (M) s'identifie à celui de N , donc est de dirrierision finic. Si i > dim(M) , on a 1-i:~'(MlzM) = O par l'liypotlièse de rbcurrence, de sorte (pie l'homotl.16tir de rapport 2 est injective dails HI\ (M) ; comrric tout élément de Hh(M) est a.nriiilb par unc puissance dc 2: , on eri dCduit H .i.(M) = O , d'où a ) dans le ca.s considérd. Pa.ssons ail cas génCral. Le A-module M adrriet urie suite de cornposition (WIi)oGisG.rL telle que chaqilc quotient Alli/Mj+l soit isornorplic A A/p,) oii pj est un idka1 premier de A (IV, 5 1, no 4, th. 1). Proinwris par récurrerice sur n, qiic M sa.tisfait a). Le cas n = O est trivial. La suite e x x k O + Mi 4 M + A/po 4 O fournit unc suite exacte (te cohon~ologiclocale

Ir A-rriodule H;(M~) est artiriien par l'hypothèse dc rbcurrcnce, el il cri est de memc de HA(A/po) pa.r les cas déjà trait& ; par suite Hh(M) est artiriicr~.Si i > disn(M) , les tnodiiles WI1 et A/po sont de dimension < i ; les rriodules HI\ (MI ) et HA (A/po) sont donc riiils d'après l'liypothèse dc rCcurrcnce el, les cas dé,jà traités: cc qui entraânc HA(M) = O . Supposons M non nul, et prouvons h) par récurrcilcc sur l'entier p = prof (M) . Le cas p O résiilte de la définition de la profondeur. Siipposons p > O et choisis~ qiic l'hornothétic XM soit injective. On obtierit, cornirie sons un 614rrient :7: de r n tel ci-dessiis iinr suite exacte de cohomologie locale

-

HA '

On a prof (MlzM) = prof(k1) - 1 (5 1, no 4, prop. 7), d'où (M/xM) = O potsr 1; < p par l'liypothèsc de rhcurrerice, cc qui irnpliqilc corrirne ci-dcssiis Hi\(M) = O . En particulier H ~ ' ( M ) est nul, tlc sorte que l'honiorriorphisine H;-~(M/ZM) I I i ( M ) est injectif ; ainsi HA(M) es1 riori riul par l'hypothèse de réciirrence.

-

NO

2

COlIOMOLOGlE LOCALE,

111~~1,116 DE

GROTHENDIECK

AC X.145

0x1peut rriorilrer yuc lc rrioddc H?"'(")(R/I) cst noii iiul lorsqiic M est nori rit11 (exerc:. 4 ; cf. no 3, cor. du t h . 2).

COROLLAIRE.Soi/, hi1 a n A-rnmhle rnucmc~layyen,n o n r ~ el~ de l type ,fini. Le A-motMe H i (M) est r~cdpour i # dirrl(M) et rron nul pcmv i = dir~i(M).

-

Remal-que 2 . - Pour tout id6al de dbfinition a de A , le A-modiile F,xt4(A/a,M) est aririiilk par a , et A/a s'identifie 2.A/aA : pa.r c.or~si:qiient,le A-rrio(11ile - - gradue Exta(A/a, M) s'idc~t~ilie ii ~ B EAx t ~ ( 4 / aM) , : donc aussi à. ExtÂ(A/aA,A @ A M) (A, X, p. 111, prop. 10). L'eiiscnible des idéaux aA, pour a E 9. coiiticr~tlcs puissances dc mx, donc cst cofinal dails l'cnscmble des itl6aiur de définitiori dc A ; on déduit donc tlc ce qui prbcCde un isoinorpliisnie canoiiiqiic de A-rnodidcs gradués A

-

Si le A-motliilr M est de typc fini, le A-niodiile Â @A 1\/1s'identifie a: complbtb M de M (III, 5 3. no 4, th. 3), et on a lin isomorphisme HA(M) i Hx(M). gratlui. de degri. 0 .

2. Cohomologie localc sur un anneau de Macaulay Dans ce nurnéro, on, suppose que A est rm anmeau de n/Ia,caulay local ; o n pose diin(A) = d . Les idbaiix cngcndrés par ilne suite d'él6riients de m,\ cornplèterneiit sécante polir A et de longueur d = dirn(A) forment uric partie cofinale .R,,, dans l'ensemble -9 des idéaux de définitio~ide A. El1 effet, soit (xi,. . . , z,!) une siiitc d'kl6irierits de ml\ ~omplèt~einent sécante pour A (fj 2, no 3, prop. 3) ; pour tout enticr n,,la. suite (21,.. . , .$) cst çoinpli'tcmeiit sécante pour A (A, X, p. 158, prop. 6 , c ) ) , et engendre im idéal de dbfinitioii (V111, fj 3, no 2, cor. de la. prop. 3 et th. 1) corit,eriii dans rn; . Soit a E -%,,?, et soit. T : L + A/a iirie rbsoliition librn de type firii, niillc cn degr6 > d (par exemple le complexe tic Kosxiil a.ssoci6 à ilne suite complttemerit, sécante pour A engendrant a ) . Corisidhns le diial L* Homgr,\(L, A) de J, ; piiisqiie la. proforitleiir de A rst 6ga.l~R d , ori a. ExtX(A/a, A ) = 0 pour i < d (fj 1, no 1, cor. 2 de la pïop. 2). Comme J,* est, de longiieiir d , on en dbdiiit qiie Hi(J,*) ? ( A , X, p. 100, th. 1). est nul polir i f d et qiic Hd(L*) s'identifie à E x t , i ( ~ / aA) Ori a par siiitc uri Iioniologisrne

-

<

qui définit uric résolutioi~libre de type fini de ~xt:(A/a, A ) . Soit M lin A-module , considérons les womorpliisrries canoniques (/oc. czt )
M) : H(HomgrA(IJ,M))

-

Extn(A/a, M)

Comme le complexe L est libre de type fini, le morphisme canonique de cornplexes M @ A TJ* + Horngr,(T,, M) est un isomorphisme ; on cri dkdiiit lin isomorphisrne de A-motlisles gradués H(M @ A L*) -t H(Homgr,(L, M)) . Par composition des isornorphismes préc&lents, on obtient un isoniorphisrne de A-modules gradiiks, dit canonique

qui induit pour chaque entier i un isornorphismc

?(L, M)

:

or:_:_,(^, Ext;

(A/a, A))

-

Extk (A/a, M)

Pour IL1 = A , T ~ ( LA) , est l'isoinorphisme canonique de A C7iA Ext; (A/a, A) sur ~ x t (A/a, ; A). contenu dans a . Soit p : R. + A/b usic r6solution libic Soit b un idéal de .9c:T d et soit pnb : A/b + A/a la siirjcction cmoriiqisc. de type fini de longueur D'après A, X, p. 49, prop. 3, il cxistc un n~orphisrncdc complexes PLR: R + L tel qiic T O PLn = pah O p . D'a.pr&sla prop. 2 de A, X, p. 103, on a im tliagrar~line commutatif

<

lJ(IIoingr(T'~it,M))

H(HorugrA(L, M))

>

H(HomgrA(R ,M))

Tl en résultc d'abord, en prenant a = 6 , que l'isonmrphisrne Ï(L, WI) ne dépend pas du choix de la résoliition L de A/a ; notoris-le ~,(n!i).Il en résislt,eensuite que pour a E gCs forment un système indiictif d'isomorphissnes. Passarit à lcs T~(]\/I) la limite indisctive, on obtient pour chaque entier i . compte tenu de A, X, p. 70, prop. 8, un isornorph,i,sme de A-modules ? ( M I : Tor$_, (M, ~

d(A)) ,

-

H 4 (M)

Pour NI = A , 4 ( ~ cst ) llisoruorpliisn~~ canoniquc dc A

H ~ ( A sur ) I-T$(A).

associe à 1111 klérnent u de ~ x t i ( ~ /A) a ,l'application z H J, o YL (A, X, p. 114). Il suffît donc (le prouver que chacune des applications w, rxt bijective. Soit a un idCa1 de C3,,5,engendré par une siiit,c x = (xl,. . . , xd) ~onlplètemcnt , fourtiit une r6solutiori pmjectivc sécante pour A . Lc complexe de Koszul K W ( xA) de A/a ; pour tout A-mod~& M , le A-niodiile H" (HomgrA(K' (x: A), M)) s'idem tifie canoniquement à M/aM (A, X, p. 155). Ori en dkiiiit un isornorphismc (A, X, p. 100) < P ~ / I: M/aM E x t d ( ~ / aM) , .

-

Soit r

E

O . Compte tenu de loc. czt., p. 103, prop. 2. on a 1111 diagramme corrimutatif

où f , est l'homoniorphisrnc déduit de f,, par passa.ge aiix quotients. Il eri résulte que si pour toiit A-rnodule M on identifie Exti(A/a, M) à M/aM à l'aide de cpbf , l'homoniorphisme o, s'identifie à l'npplicalion A-linéaire de A/a dans HomA(a,IL/aIl) qui envoie 1 sur la siirjection canonique, c'est-à-dire encore à l'application canonique A/a + E n d A / , ( a / a n ) . hfais puisque le A/a-rnodiilc n / a O est dualisant (3 9, no 2, prop. 4), celle-ci est bi.jcctive (5 9, no 4, prop. A), ce qui proiivc la proposition. Identifions le bidiial de Matlis D(D(fl)) à O par l'isorriorphisme CYih th. 2, b)).

(5 8, no 3,

A

COROLLAIRE.L 'h,omorr~orph~;sme D(w) : Cl i D(H: (A)) es/, u.rr isorrt,orph,isnre. Soient M un A-module, et 7 iin entier. Considérons lm Iroiriomorphismes canoniques (\ 8, no 7)

D(EX~F'(M, O))

pd-%(l\il,R) : TO~;-%(M,D(R)) -i

O"I(M, II: (A)) : ~ x t r(M, ' D ( H ~ ( A ) )-)7. ~ ( ~ o r d(M, -,

-

HA (A)))

À l'aide des isoniorpliisrnes o : H i ( A ) i D(R), D(o) : 6 i D(Hi(A)) (coi.. 1 de la. prop. 2) ct ?(M) : or;^,, (M, H ~ ( A ) ) IIA(M) (no 2), on cn déduit des homomorphiçnres çur~onl;quc.sde A-m.odules y'(M) : HI;,(M)

+

D(Ex~A~(R O)) ~I,

NO

3

COHOMOLOGIE LOCALE, DI'ALITÉ DE GROTHENI)IF:<'K

AC X.149

THBOR~M 1 (Dualité E de Grott-icndicck). So?t A vrr an,n,emr de iVfacaulay local, dr dimension d l et soit R u n A-rnodulc dualisanl,. a) Le A-vn,odvle 1-12 (CL) c s l u n modulc de Mutlis ; p o ~ r rtout A-rriodule P , rrotons D(P) le de Matlis HomA( P . HA((])) . b ) POILYtout A-naodde de bype $ni M et tor~tm t i r r i , 1 'horrc.om,orphism.ecurronipc

y L ( M ): HA(M) + Il (~,xt;-~(M,R))

Soien,t A u n anmeau d e hlnca'ulay local, hf ,un A-rrrod~rknon, rml COKOT,I~AIRE.de t?jpe ,fini, de drmen,sion, e . Le A-rr~oduleHA (M) est non rrul. Griice à la reniasque 2 du no 1, o i ~pcut siipposcr que l'anncail local A cst corriplet. Da.iis ce ca.s A posskde im n~otliilctliialisant (1 (5 9, ri0 3, cor. 3 de la. prop. 6) ; si HL(M) est mil, il cn est dc inCine de son diicll de Matlis l3xt); '(M, a ) , cc yüi corltrcdit la prop. 3: b) du 3 9, no 1. A

R e r r r a r q e s . 1 ) Lorsque lc A-module M est dc type fini, lc A-rr~otlillc~ x t f' (M, fL) s'iclcntific à. A @ A ~ x t : - ' ( ~ , b ~ )(A, X. p. 108, prop. 7, c)), ct S1(M) pent aiissi s'obtenir eri cornposant D(yL(M))avec l'isonlorpliisrrir: tir bidisalitb. 2) Soit u : M + Ml un liomoriiorpliisnie dc A-rriotliiles. D1a.pri.sla rcniaryuc 1 di] no 2 et celle du 5 8, 11" 7, lcs diagra.ir~rr~cs suivarit,s sont coinmutatifs : A

75' [hl')

E ~ ~ A ~6) (MI,

D(HS\(MI))

3) Soit

(Z)

O + M' + M -+ M"

>

O

imc suite exacte de A-modules. D'après la remaryuc 2 du no 2 ct ccllc du les diagra.irirries siiivmts sont commi~tatifs:

HA^ (nv)

y '

' (M")

3 8, no 7,

D(EX~; '+' (MI'. 0))

Exwr~ylc. Soit h un a.rmcau local rloelhérien intègre de dirriension 1 ; notorls K son corps des îraciions. Soit fl im A-ruodule dualisai~t,ct soit M un Arl-rilotliilrde type fini. Les A-irlotlules 1 - I ~ ( M ct ) H;(IVI) s7itlt:r~tifierii, ca~ior~iqiiernenl à T(M) et (K/A) 63,\ M ( i l 0 1, cxc:rrrplc 5). Avec ces icle~~lifiratiorrs, les isomor-phisnics de dualitC

(th. 1) ilc sont siitrcs quc lcs isorriorphismcs dkfinis au

5 9, no G .

Exercices

1 ) Soient A un anneaii, J un i d h l d r A ; M un A-module. Proiivcr que pour qu'on ait profzl(J ; 1\11) 3 2 . il faiit et il suffit qiir 1'a.pplication M 4 Hoiri,\(J, LI) tlé(lui1e de I'injcct,ion canonique de J dans A soit iiii isoniorphisnic.

2) Soieiit A un anneau de valnation de haut,eur 1 non i~octhiiricri,m soli idéal maximal, n un idéal principal dc A . distinct clc (O) ct de A. D61nontrer qu'on a profA(n;A) = 1 et profA(ni; A) 3 2 , bicn qu'on a,it V(m) = V(n) . (Observer qne ~:xtA(A/m,A/n) est isoi~iorphci I - I o ~ A (A/m, A) .) 3 ) Soieril A l';ulrieau local k[[X,Y]] et M la somme directe des A-iiiotl~~lcs -&/a, vil n parcourt l'cnscnible des id6mx priricipaux rion 11111s de A . Montrer qu'oii a profA(M) = 1, mais qu'il n'existe pas d'Sléiiient M-rCgulicr dans m~ .

4) Soient A nri anrinm, J i i r i idÉal d r I.vpc h i dc A , M un A-rnodiile, P nn A-inodiile profA(J ; 1\/1), r t qu'il y a bgalit,é si P est plat. JXrnontrer qu'«ri a proîb1(.J ; P @ A M) fidi~lesrier~t plut.

>

5) Soie111 A 1111 i~nr~eitu noetliéricri, M un i l - m o d i h de type fiiii rion riul. J un itl6al tlc A , x = ( n : ~.,. . , s,,) un système g6116ra.triir de J . Prouver cp'ori a H1(x, M) # O ponr profA(.J ; M) < i < rr (se ramener au cas local, et utiliser .4, X, p. 157. cor. 2). 6) Soient A lin arincaii local iioetli6riei1, P iin cornplcxt: de A-rriodules plats, dc Ionl giieur finir Y , tcl cpc Supp(H(P)) = { m ~. )D h o n t r e r que tout A-modiile LI1 t ~ qiic K A NA M # O est de profondeur & (appliqiicr la prop. 3 au complcxc P MA M , en obsrrvant qne ce coriiplexe n'est 1j;i.s rxact et en utilisant l'excrc. 4).

<

7) Soient A uu anneau local, M in1 A-niodiile (le typc fini, F iirre partie ferrriCe de Spec(-4). D h o n t r c r 11in6galité profF(M) > prof (M) dim(F) .

8) Soient A un anneau n«rthi.rien, ÏVI lin A&-~ilodirle dc typc fiiii. 011dit que 1\11 satisfait A la. propribti. ( S I ; ) si l'on a profAp(Mp) 2 inf(k, dima, (Mo)) pour tout idha1 prcniier p dc A . a) Tout module satisfait & (Sk) polir k. < O ; dire qu'un niodule sa,t,isfait,R (Si) sigiiifie qu'il n'a pas d'idéaux prclmiers associk imrriergi.~. h) Soient O > M t > M Ml1 + O une suite exacte de A-riiodiiles de typr fini, et k. un 2 qu'on entier. On suppose que hl sa.tisSait R (Sk:), que hl" satisfail à (Sk-l), et si k a. A s s ( M 1 ' ) c Ass(M). Pruiivcr qirc M t satisfait R (SA) (utiliser le cor. 2 du 11' 7).

-

c) Soit, (L, p) une ri:solirlion de M par dcs il-modirlcs librcs tlc 1,ypc h i . Si A satisfa.it à la propriété (Sk), le A-niodiile B,(L) poiir 7 2 O satisfait à (Sh) avcc IL = inf(k, i 1 ) .

+

d ) Si A salislail (Sz), 1c dual dc 1.0~1il-rr~odirlcde Oypc h i salislail i. (SZ) (appliquer c ) . e) Soit J un idéal (le A , nngentlré par une suite M-régulière ( s i , . . . , A , ) . Si M satisfait . à (Sk) , le A-modiilc M / J M satisfait à (Sk f ) Soient B turie A-algkbre noethérierine, K un B-rnodule de type fini qui soit un A-rriodule fidi.lcrncnt plat,, ct k un cnticr. Si lc R-modiilc h'iR A 'J satisfait à la propriété ( S k ) , il eri est de mi.nie du il-modiilc M . Si M sa.t,isfa.itB (Sk) et si ln ( ~ ( p@A ) R)-rr~odi~le ~ ( p@) A N satisfait h (Sk) po11r tout p E Siipp(M), lc B-rnodiilc M @ A N satisfait à (Sk,).

9) Donner lin exeniplc d'un anrieaii local A et d'un An-modiile de type fini h/I tel que mAM # M et prof, (YI) = +cc (prendre poiir A le localisé d'iin anneau de polynôsncs en iinc famillc infinie d'ind6l,crmii16cs). 10) Soient A un anneau noethérien, M lin A-module de type fini, J lin ideal de A , (XI,. . . , x,.) uile siiitc hl-régiilibrc d1616incnts dc $7, avec < profA(J ; hl). Soient q l ... des idéaux de A ne corrtermit pas J , toiw premiers sauf ail plus deux, et Jo ilne partie de .J , stable par addition et rmlltipli(:atiori et erigeri(1rarit l'idéal .J . Prouver qu'il existe uii Plérrient :7: de J O ri'a.ppa.rtena.rit à. aucuri des qi t,el que la suit,e ( a i , .. . ,z,.,r) soit M-r6gulibrc (utiliscr le cor. 2 de la. prop. 2 de II, 5 1, r i 0 1).

.

11) Soicrit A ilri ariricau, M un A-~nuduk,x i , . . . , :c, tlcs 6li:nicnts dc A .

<

a) Pour tout eritier p tel que 1 p (I r ; on pose M, = M/(zzWI+. . . +z,M) . Prouver que si la suite ( x i , . . . ,s,.) est M-régulière, la suile ( z i , z,+, ,z p + 2 , . . . , 5 , )est M,,-régulière (raisoririer par récurrence sur p ) . b) Pour que les suites (:LI,2 3 ) et ( m ,z:i) soierit VI-régillières. il faut et il suffit que la suite ( x l r ï ~zy) , soit M-réguli&re. c) Soit L:: t A (1 p r ) . Poiir que les silites ( s i , . . . ,:c,, . . . : :ï, ) et ( X I , . . . :L;, . . . , z,) soient M-régulières, il faut et il siiffit que la suite ( x i , . . . , z,n;:,,. . . , z,-) soit M-régulière (utiliser u) et b)). (1) Soinrit ,rii,. . . , n,- Cles mtiers 2 I . Pour. q i ~ ela suite ( : r : / 1 l , . . . , zFT) soit hf-ri.gi~liAre, il faut et il suffit que la suite (zi , . . . , :ç,) soit M-r6gulière.

.

< <

12) Soinnt A un ,miimil, M iin A-inodiilc 0,)Soit P E A[X] . Proiivcr qiic si In noya.11 de I1hornot,lii.t,icdc rapport. P dans M[X] n'est, pas nul, il contient lin 61i.rncnt non niil de M (soit Q iin élément, de M[X] dc degré miniinal ,~, qiie uo(2 = O , tel que P Q = O ; si P = noXP . . . a,, Q = moXq . . . T ~ I ,observer puis par r6ciirrcncc qisr a,Q = O poiir toiit i ) b) Soit J i l r i idéal dc type fini de A . Proiiver que la relation profA(J ; M) > O éqiiivaiit à l'cxist,cncc d'iin 6161ncnt M[X]-ri.gislicr dans .IA[X]. c) Soient 1 et J dcs idkaux dc type fini de A . Prouver l'égalit4 prof,4(I.J ; h'l) r n i n ( p r ~ f . ~;(M), I profA(J ; M)) (raisonner par récurrence sur profA(l.l ; M) , en utilisant b)).

+ +

+

+

8

13) Soient A un anneau, .J un idéal de A , M un A-nioclule. Pour t,out eritier 2 O , on note prof, (-1 ; M) la borne supérieure (dans N ) d m lo~igucursdcs suites M[Xi, . . . , X,,]-régulières d'élérrierits de .JA[Xi, . . . , X,,] .

7~

a ) Montrer que la suite (prof,, (.J ; M)),>~) est croissarite ; ori riotc prof, ( J ; M) str liiriite (dans N ) DCinontrcr qu'on a prof, (.J ; hl)

< profh ( J ; M)

b) Lorsqiic I'idkal J est de type fini, tli.srrontrer I'EgalitC prof,(.l ; M) = profA(,J; M) (r;~isonner comme clans la. dérrioristration di1 th. 2 dii no 4, en utilisant l'cxcrc. 12). c) Uans le cas g6rléra1, rrioritrer que pvof',(.I ;NI) est 1;a hornc siipéricurc des riornbres prof,, (.JI ; M), oii J ' parcoiirt I'erise-rrit~ledcs idéaux de typc fini coriteniis dans .I . 14 Soit J' un idéal dc A tel que V ( J 1 ) = V(.J) . Prouvcr qir'osi a prof,(.J1 ; VI) -profm (.J ; hl) . e) Soient A un anneaii de valiiation tic hauteur 1 , rion rioethbrierr, m son idka1 rrialtirtial. Dérriorit,rer qii'on a prof, (ni ; A ) = 1 et profA(m ; A) 3 2 ( c f . exerc. 2).

14) Soit A uri anneau local noetliérien complct

D611101itrcr ~ U ' I S idéal II dc A qui est. coriteiiu (laris la réiiriiori d'une sisite d'idbaux premiers de A est, <:onteiiu daris l'un dl<:ux(observer que l'espace topologiqiie A est urr espa.cr de Bairc, cJ. T C , IX, p. 55,th. 1). CL)

b) Soit ÏV 1111 4 m o d d c admettarit une famille g b n h t r i c e d6iionibrahle D61riorilier que les courlusions du th. 2 sorit esicorc satisfaites (01jservc.r que l'criserrible Ass(M) est dérsorritxa.hle, ct dklisire de ci.) qiie si profA(.l ; M) > O ; il cxiste lin élérrierit .r dc .l tel que l'liomothét,ic :r, soit irijectivc).

15) Soient h un a,nneou local rioet,hi.rien, M un A-r-niodulc de type firii. Démont,rer les inégalités prol'(A) gratle(M) dini(M) dim(A) .

<

+

<

(Prouver la. prcrniix inégalité par ri.currcmce sur I'eriticr g = grade(b3) , en utilisant Ic cor. 2 dc la prop. 13, sic 7 da.ris le cas g = O pilis cri corisid6rarit lin ClCnient A--ïbgiilier dc Ann(M). Pour la sccoride, observer qu'on a grade(M) prof(Ap) pour tout p t Supp(N1) .)

<

16) Soit A im aririea,u local iloclhCricn. Poirr tout A-rnodiile de type fini bl, on notc (M) , oii siniplerneiit t(M) , la djrrierision du KA-espacevectioric1 E x ~ ~ ( K M)A, ,~ V C C 1) - prof (M) . ti\

a ) Soit (rrl. . . . , :ï,) uuc suite d'i.ICmcnts de mA cosnpli.tcrnent sécaritc pour M , engeritlmrit i i r i idéal .J . On a t (M) = t ( M l J M ) . b) Soi1 p : A 4 B uri Iiornomorphisme local d';urrlcaiix locaux noethéricns ; soierit M un A-niorlisle de type fini, et N un B-rriodulc dc type firii plat siir A . DEmontrer la formiilc t B ( M @ A N) = ta(M) t B ( ~ * 3 ) (sc ramencr 5 I'aidc tlc (1.) an ras ail l1r0fn(hf @ A N) = prof,(M) = ~ r > r o f@~A (N) ~= ~ 0). 17) Soinrit A iin mncau ~ioetl-réricri,îvl un A-inodiile de t,ypr fini. Moritrer yiir. h/I est rdHexif si et sciilr.nicnt,si les deux conditioris siiiva.rites sorit satisfai1,es : (i) pour tout p t Spcc(A) tel qiie prof ( A p ) (ii) polir tout p

E

< 1 , le

Ap-rnodulc Mp csl réflexif ;

>

Spec(A) tel que ~ r o (AP) f 2 2,on a profAp('"ilp) 2.

(Sous les 11ypothCscs(i) et (ii), prouver que le noyau, puis IR conoyau de I'liorrlorr~orphisme cariuriiyric. M + hI** ii'os~tpas iI1idCaiixpremiers associCs.) 18) Soient A uii ariiieau riocthéricri, J uri ideal de 4 , M et N des A-modules (le typt. fini, avec prof,, (.J ; N) 2 2 . a) Protivcr I'inCgalité prof.&((.; Hon1.&(1\/1N)) dans J ).

3 2 (considkrcr une suite N-régulière

(z,y)

b) On suppose profA(J; IIom*(M, N)) 3 3 . Prouver qu'on a profh (.J ; ~ x t(M, i N)) 3 1 (considérer urlc suilc exadje de modules d'extensions associéc à un élément N-régulier de J ) .

-

1) Soit A un anneau local noetliérier~,ct soi1 O M' + M - - + M" + O une suitc exacte de A-modiilcs macaiilayeris. Montrer qu'on a dim(I\/It) = dim(M) et que dim(M1') est égal à di111(h1)ou k dim(M) - 1. A

2) Soient A uri anneau locd de Macaulay, et p 6 Spec(A) . Montrcr qu'on a dim(A/q) = dim(A/p) poiir tout q E A ~ ~ ( A / ~En Â )particulier, . l'ar~ncniiA/pA n'a pas d'idéal premier immergé.

3) a) Soient R une Q-algèhrc nocthérienrie, int,ègre et irit6gralernent close, A un anricau et p : R + A un honiomorphisrrie injectif, fa.is;ml de A iinc R,-algèbre fiiiic. Prouvcr qiic le sous-Il-niodiile p(K) est facteur direct de A (sc ramener au cor. 3 de la prop. 8). b) Soit A une Q-algèbre locale noethérieririe. Dérriorltrcr que A satisfait à la propriCtC sitivantc (« conditaon. ,m,»nom.iale ») : (Ch4) pour tonte siiitc sécante inaximale (xi; . . . , 5.d) d'éléments de m.4 ci; tout entier p , l'élément (xi . . . : r d ) P n'appartieiit pas à l'idéal (xlf' ; . . . , :rd+') . (Se ramener au cas où A est cornplct, donr atirriet un corps de représentants K , et appliquer a.) à un hornorriorpl~isrncp : I<[[X[,. . . , X,r]] + A tel qiic p(X,,) = J : , .)

4) Soient A un annean local, p un idéal premier de A . Ori dCsigi~cp;Lr B l'anneau de p. fractions A[Z][S--'] , où S est I'msenihlc des 6lénierits Z cc de A[Z] avec a t mA Ori riotc 2 1'élCnicnt Z / l de B .

-

+

C ~ U P R/(z 1) pst, isoniorphe B A . b) On siipposc clésorma.is rpe 1'a.rincaii A est intègre et nocthtrien, et qiie p est erigeridri: pa.r un éléinent noii nul p de A . Soit C I1ariiiea.u B[T]/(z(pT 1)) ; si A est un anneau de Macaulay, il en est de niCrne de C . Proiivcr que SpecC a deux corriposailtes irrbductihles Xi et X2 qni se co~ipetiten un point fernié z , de façon que codirri({x}~Xi) = codirn({x}, Xz) = 1 , tliin(Xi) = 2 et dim(X2) 3 dirn(A,) . Pour tout entier n , donner un exemple avec dim(A,) = n .

cc) Prouver que R/(z) est isomorplic à A,, et

-

-

5) Soient A uri a.1iriea.n local noethérieri, M un A-modnle de type fini, x = (xl, . . . ,cc,) une suite d'élérrierits (le mn , cng-ndraiit un idGa1 x ; on suppose qne le A-modiile M/xM est de longueur firiie (cc qui inlplique ,rL dim(M)). On note gr(A) et g,r(M) lcs gradués associés à A et M poiir la topologie r-a,diqiic, <, (1 i ,TI,) l'iniagc de x, dans r / x 2 , E la suite (51,. . . , & ) .

< <

cc) Pour p E Z , on pose F P K z ( x M) , = K,(x, x r J p i ~(avcc ) la conveiitiori x" = A pour O ) . Proiiver que FpK.(x, I\/I) est uri sous-corriplcxe tlc K.(x, M) , et que le coinplexe @ FPK.(x, M)/F"+~K.(x, M) s'identifie à K:'(~)((, gr(M)).

s

<

2'

b) Pour tout co~nplcxede A-niodiilc~(: tel qiie H(C) soit de longueur firiie, on pose X(C) = lg(H,(C)). DCrrloril~ciqu'il existe un entier po tel que le complexe

C(-1)'

5

2

A(> X.155

EXERCICES

FPK. (x, M)/F"+~K.(x, M) soit tl'liorriologie riullc pour p x(~xr'"'([, g ( h i ) ) ) = h(K.(x, M)/PPK. (x. M))

=

3 po

; eri dédiiire les kga1it.i-s

(:)

c(-1)'

Ig(M/r'jp'M)

pour p 2 P O . c) Proiiver qiic l'cxprcssion ci-dessus est nulle si n > dirri(M), et égale ii. cr(M) si n = dini(M) . d) Soicnl, 11, 3 0 , et p 3 pi, ; pro~ivcrque l'i~ijccti~ii cari~iiiqurde FPK.(x, M ) tlaiis F"+~K.(x,M) est nu hoinologismc. Eri (ICdiiirc qiic E-Ii(FPK.(x, M)) est discret pour la topologie x-adiquc. Proiivcr d'autre part qiic la. Iilt,rat,ioride ce rriodulc diifir~icpar les iriiages dcs applications Hz(F"+"K. ( x , M ) ) 7 lI;(FPK.(x, M)) es1 x-bonne, et cn déduire que FDK. (x, M) est d'homologie niillc. C»nclurc que x(K. (x. M)) cst niil si n > tliiil(M) , et kgal 2 r x (M) si I B = disii(M) . 6) On coiisr:rvc lcs hypothèses tic l'exercice prkckderrt ; pour tout A-sriodule de type fini N trl que N/xN soit de longlieur finir, or1 not,e ~ ( xN), l'eritier x(K. (x, N ) ) . o.) Pour tout soiis-motliile Mt (le M , on a h(x, IVI) = X(X, Mt) X ( ~ I\il/M'). , h) Si x~1\11 = 0 . dkmontrer qnc. ~ ( xM) , est nul. c) On note x' la siiitc ( ~ 2 . ,. . ,:c,) : prouver l'égalitb

+

(utiliser l'exerc. 8 de A, X,p. 207). d) Pour 1 ,< i < n , on notc K, le noyau tlc l'horr~olhétie de rapport n:i cims M/(z 1 M . . . :x:,.+i hl) . Prouvcr I'égditb

+ +

c ) Soient p l , . . . ,p,, des ent,iers > 1, x P la suite (zyl,.. . , xE81). t'roi~vcr l'égalitk x(xP:hl) = pi . . . p , ~ ( xM) , (LraiOcr d'abord le cas 'rc = 1 , puis s'y ranicner ii. l'aide rlii cor. 2 de A, X, p. 157).

-

7 7) Soicrrt A un anneau local rioethérien; M un A-rnodiile de type fini. On dit qii'iine pour M si pour i 1 , . . . , n ; lc noyau dc suite (21, . . . , :c,,) est foihlensent r&gu1%è7~ l'lioniot;h&ic de rapporl :c,+i tlaris M/(xi M . . . z,M)est annulé par mA . a) Si n tlinl(M) , prouver qu'uiic siiitr (xi , . . . , x,) faiblcirierit régulière pour h4 est, s<:c;mnt,epour M (raisonncr pa.r r6ciirrerice sur 7 1 ) . Doriuer un exemple de siiit,e faiblcmeill ) k est un corps). r6gnliPre non s6ca.nte (on pourra. prcndrc A = M = k [ x ] / ( x 2 où h) On dit que M csl, un 712«(hk de B ~ ~ c h s b u w sintoiit,e siiite sécante pour M est faiblement ri-guliilre puur M . Un module macaiilaycri est i i i ~inodulc dc Buchsbaum ; si M est lin riiodiile de Biichst)aiirri, lc Ap-module Wip es1 müc:aulaycn pour toiit idéal premier p # rn* . c) Soient M nu rriodiilc de Birclisl)airrri, ( x i , . . . ,x,,) iine siiit,c s6ca.nte pour hI ; prouver que M/(:l:iM . . . 2,,M) est un nmdule de Biichsl-)a.iirn. d) Pour que M soit ini rnotiiile de Biichshaiirn, il faut, cl il siifit. que pour. toute suite skcmte rr~axinialc ( x i , . . . , :r:,,) pour M , on ait dims M,, = h/I/(xlM .. . x n p i M ) l'&alité Ker(a.,)M,, = ~er(x)L,)M,(traiter d'abord le cas 77, - 1 , cri oljs~rva111~ U CK c r ( x ~ ) n ~ est ;?lors de lorigueiir finie et en raisonnant par récirrrcmct: sur ccttc longiieiir. D m s le cas gériCral, coiriplbter toute suite si-carite ( s i , . . . , x,) cri ilne siiitc sécante ~r~axirrialc (ri,. . . , x , ), et consi
+ +

<

+ +

+

.

.

+

7 8) Soicrit A iiri ;mnrau local noetliéiieii, hl lin A-niodule de type fini. On se propose de proiiver l'kquivalen<:e des deux conditions suivantes : (i) M est, lin modiile de Biichsbaurn ; (ii) il exist,c un entier positif i(M) tel qu'on ait Ig(M/qM) - q ( M ) - i(M) pour tout idéal q c m A tel que M/qI\/I soil clc lorigiiciir finie. a) Sous l'hypothèse (i), soit x iine suite sécante pour M , el soil. x l'idéal qu'elle cngciidrc. Avec les notatioiis de l'exerc. A , d), prouver l'égalité Ig(M/xhll) - e r ( M ) = lg(K,,) . Soit x' une autre suite sécu.r~tcpoix M , ct soit K:, le rriodiile correspondant ; prouver. I'4galil.6 Ig(K,) - lg(K;,) (raisonner par récurrence sur n , en considérant un élbrricrit. I dc nlA (,cl . . ,: E : , , t ) soient sécantes pour M ) . que les suites ( x i , . . . ,z,,- 1, t) et (xi,. b) Ou suppose l'hypothbsc (ii) satisfaite. Soit, x - (ri: . . . , :r:,) iine siiitc s6ca.nte rnaximale pour M , ct soit 1\11,, = M / ( z l M ... 2,-1 M) ; en appliquant la formule de l'cxerc. 6, d) six siii1,cs x et ( x i , . . . , z,,-1. zn) (compte tenu de l'cxerc. 6, e)), proiiver qu'on a Kcr.(:c,)~, = Ker(z;)M, . Concliirc avec l'exerc. 7, d)).

,

+

+

(,) Pour quc h/I soil iin rnodulc de Biiclishaum, il Saut et il suffit qii'il en soit ainsi (le M ; on a dans ce cas i(M) = i(M) . d) Soierit M lin modiilr de Biiclisbaum, ci, (xl, . . . , n:,) iirie suite d'élkments de mA sécante pour M , avec p < dim(M) ; proiiver qii'on a i(M/(n:iM . . . x,,M)) i(M) (utiliser l'exprcssion de i(M) dourik cri a)).

+

+

-

9) Soit A un anneau local rioetliérien. cc) Soicnt Ri1 nn A-niodule de type fini mxaiilayeri, N un sous-inodiile (le M coriteriünt mAM. Prouver qiic N est uii module de Buchshauni, et qii'on a. i(N) = (dirri(M) - I)[M/N : KA] . b) Si A est un anrieau dc Macaulay, l'idéal n u est lin module de Buclisbaiirn, qui n'est pas rna.caiilayen si dim(A) 3 2 . c) Soit k uii corps ; on prend ponr A le sous-anrieilil de k[[X,Y]] cngcndré par X4. YY,XY:', y4.On a diin(A) = 2 , p-of (A) = 1 , et A est iin mneaii dc Uiichsbaiiirs, avec i(A) = 1 (appliquer a) en prena.nt pour M la c1ôtur.c. iriLCgralc de A).

1 10) a) Soit. p : A i U lin horrioniorphismc injrctif d'anneaux nocthériens, tel que le sous-A-module A l n de B soit facteur direct. Proiiver que si R est lin aiincaii de Macan1.y. il en est dc m6me de A . (Se ramcner au cas où A est local et, en raisonnant par réciirrerice sur pr.of4(B), oii Ass(B) coriticnt; un idéal rnaxiinal. Montrer en consicl6ra,nl,iine d(4composition primaire de O dans B qiie B est alors isorriorphc à un produit, et concliirc cn raisoiiiiarit I n r r.6ciirreiirc sur le riorribre rlcs i d h i x maxiniaux de B .) b) Soient B un anuea.u de Ma.ca.iilay, (: un groupe fini d'automorphisrnes de R dont l'ordrc csl inversihle daris B . Proiivcr que l'anrieaii des invariants de G est ilri a.nrica.iide

7 1 1 ) Soient, i3 lin anneau rioethérien intégralernerit clos, G lin groupe fiui d'autornorphisrrics tlc B , A l'anneau des invariants de G . cc) On suppose qiie pour tout itl6al premier p de A dc haiitcur 1 et tout idéal prernicr q de T l ail-dessus de p , la valuation I I , est rion ramifikc par rapport B vD (VI, 5 8, no 1). Soi1 1 : C(A) i C(B) l'homon~orphisniecarionique sur les groupes de cla,sses dc diviseiirs (VII, 5 1, ri" 10) ; prouver que le noyau de i cul isoniorplie au groupe dc cohoinologie H I ( G , B * ) (A, X, p. 111 ; soit L le corps dcs fract,ions de B ; coi~sidércrla suite exacte de z(")-rriodules U 4B* + Id*+ D(B) 4C(B) -t O ,

en 0bscr~a111qiie HYG, D(B)) s'identifie à D(A) et qiic H ~ ( CL*) ; est niil).

.

h) Soit k un corps de caractéristique 2 ; on prrrid pour B l'asiiicü.~k[Xi, . . . X.ij , et poiir G le groupc d'aiitomorphisrnes de la kalgbhre R crrgcndrb par l'aiitomorphismc a tel (pie a ( X , ) = X,+i pour 1 i 3 c l v(X4) - X I . Uéduire de a ) qur I3a.iincaiiA (les invaiiaiits de G est îactoriel. c) Soit m la trace sur A dc l'idéal ( X I , . . . ,X1) ; on pose s = Xi . . . Xq, t = (Xi X:3)(X2 $ X4) U = (Xl X2)(& X4)(X1 XI)(& -1- X:3), 11 = XiX2X3X4. Prouver que la suite ( s , t , Ir, II) est sécante iiiais pas coriiplètemcnt s&a.rite pour A,. (Soicni, n: = X ? ( X+x:<) ~ +x;(x:~ + ~ 4 +) X ; ( X ~ + X ~+)X ; ( X ~ + ~ 2 ) ,I/ = XiX:r iX2X4 ; ri, = X ~ X ~ Xx ~~-xI : < x ~ + x + ~xx~~xx ;~~prouver x ~ qiilon a = (L et que z?j+t.u! est divisilrjle par s , dc sorte qiie un: appartient il'idbal (s,t ) .) d) DDérno111,rcrqiie -4 n'est pas ini anncaii de I\/laca.ulay, r.1 que le sous-&modiile A.113 ri'est pas facteur direct da,ris B .

< <

+

+

+

+

+

+

1 ) Soient p : A -+ R un l~oniomorphisme1oca.l d'anneaux locaux r~octl~triens, N iiri B-riiodule de type fini. On siippose qisp les A-ri~otliilcsB et N sont plats. a) D h o i l t r c r l'tgalité dp,,(N) = dp,,,8AB(~,t @ A N) (considérer une ri.solutiori de N par cles B-rnodules libres de type fini). b) Soi1 h l iiri A-rriodule de type fini. iXrriontrer l'egalitt

(Soit K (rcsp. L ) une résolution du A-modiile M (resp. di1 B-n~odulcN ) par dcs modiiles liljrcs dc type fini : prouver qiic I<@\, L est uric rtsolution tir M 63,~ N pa,r dcs B-modules @ H ( T i @ A L)) eu fonctioi~de 1il)res. Si dpA(l\il) = rrc et dp,(N) = n , calculer HnllVL(~h~ H,, (KA@ A K) et Hn (KB@13 L) .) 2) Soicr~tA un armeau rioethérien, M lin A-rriodule adrnc:(,tarit une rCsolution de lmgiiriir fiuic (L, p) par des rriotiulcs libres dc type h i . a ) JbIoritrc~rqu'on a, poiir tout idGa1 prcmicr p de A ,

oii note x(M) cet entirr. 0 ) Proiivcr qu'on a x(M) 2 O (coi~sidéreruri itl6al p associé à A ) c) Piwivcr qiir les coiiditioris sriivantcs sont écpivalcil1r.s : (i) x(M) = 0 ; (ii) l'nniiiilutenr de M ri'cst pas réduit à zGro ; (iii) I'anriiilatcur dc M <:ontient un élément siniplifiable. (Si x(M) = 0 , prouver yuc Mu est nid poiir tout p E Ass(A) ; si x(M) > 0 ; proiiver de iiiêir~cq i ~ l'anni~lateiir : de Ann(M) coritjerit un 6ltincnt siiiiplitiablc, ce qiii entraîne A4un(M)= 0 .)

AC X.158

PROFONDEUR, R J ~ U L A R I T ~ ? ,

53

DU.~LTT~

3) Soit A lin anneau local de Macaulay. Rappelons (A, II, p. 186, exerc. 16) qu'un idCü.1dc A est dit ilréductible dans A s'il est tiist,inct de A ci; qii'il n'est pas intersection de deux idéaux le conteriant strid,ernent. Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) A est USI anneau de Gorenstcin ; (ii) tout idéal de A engesidré par une suite s6cantc nmximale est irréductihl~; (iii) il existe une suite si.ca.nt,cmaximale dans A engendrant un idéal irréductible. A) (Se rarncrler au cas où A est de dimension 0 . et considérer le socle I~OIIIA(KA, de A.) 4) Soient h lin annean rioethérien, M un A-module non nul dc type fini. On a grade(M) & dpA(l\il) ; on dit que M est p a r b i t s'il y a kgalit6. a) Soit d un entier ; prouver que les (:onditioris suivai~tcssoril éqiiivalentes : (i) le A-module M est parfait de dimcnsion pu>jective d ; (ii) on a ExtA(W1, A) = O poiir p # d ; (iii) polir tout idéal premier (resp. maximal) p du support de M , Ic Ap-niodnle Mc, est parfait (le tlirrlerision prujcctivc LE. (Prouver d'w.hord l'i.qisivalence (le (i) et (ii).) 11) Soierit J us1 idCa1 tlc A cngcndri. par une suite coniplbtcmcnt sécante, n> un ent,ier 3 1. Prouver que lc A-module A/.Im est parfait. c) Si M est parfait, ses idéaux premiers associés sont les irli.a.11~ p t,cls qiic prof (A p ) = dp,, (M) . d) Pour tout riiotliile parfait, N de dirnensiorr projectiw d , on pose N' = ~ x t(N, i A). Prouver que N' es1 parîail, rlc disneusiori projective d , et que (N')' est isorr~orplieB N (considérer une résolution projective de N ) . On a Ass(N1) = Ass(N) . c) Soit .1: un dément sirnplifiablc du radical de A , tel que I'lion1oth61,ie n : soit ~ iiljective. Pour que le A-module M soit parfait de (iirnerisior~projcctivc d , il îant et il suffit qu'il en soit, ainsi dl1 (A/xA)-modulc M/xM . j') Uri rr~otl~rlc macaulayen de diinerision projective finie est parfait (se ramener au cas local, ct raisonner par récurrcucc siir dim(N1)). g) Si A est 1111 anneau de Macaulay, les rnodiiles pa.rfait,s sont les rriodules niacaulayens de dimeilsion projective finie. 5) a) Soient k un corps, R urie k;algCl)re de degré fini. Pour que R soit iui anncaii de Goreristein, il fa.1~1. et il suffit que le R-modiilc IIomi,(R., k ) soit libre de rang 1 (se minerier au cas oh R est local; et observer qiic Ic R-module Horrik(R,k) est injectif cl, contient un sous-snodiile isomorphe $ K H ; poiir une autre dérrioristru.lior~,(:/. 5 8. rio 6, cor. de la. prop. 5). b) On siipposc que les conditions ci-c1c:ssus sout satisîaites, <,t que de plus l'algèbre K. es(; gradiiée de type N , avec Ro k . Soit s le plus grand entier tel que Il., # O . Prouvcr que Ili, est de dirriension 1 sur k:. et égal au socle (le R ; poiir i,oiite forme A:-linéaire non nirlle !sur R.,$, la forme k-biliri4aire (x, y) I > t(zy) sur R,, x 13, , induit pour t,out i lin isoniorpliisrrie de K i siir I-I0111~(R.,-,, k:) . c) Soient A un anneau iioctli6ricn, B une A-algèbre qui soit iin niodulc plat de type fini. Proiiver qne les conclitions suivantes sont équivalcntcs :

-

(i) lc B-modulc Hom;\ (R, A) est projectif de rang I ; (ii) pour tout idéal ma.ximal (resp. premier) p de A , l'anneau ~ ( p@ ) A RCSL de Gorensteiii.

UII

ulilcau

53

AC! X.159

CX~KCI~ISS

Ces coriditio~rssont satisfaites en part,iculier lorsque B est un a.nneaii dc Gorenstcin.

1/ 6) Soicrit A iiii anneau local noethérien, 1\/1 lin A-module de type fini et de dirrierisiori projeclivc finie, IV un A-nrodiiln tcl que or;"(^, N) = O pour a > O. a) nkfinir pour tout ciititx I L un isomorphisme ca.noniqne

<

di~(N). et pronvcr qu'ori a t i i ~ ( M@AN) (Soient (T', p) iine rhsoliitioii libre h i c de L I , (1, e) une résolution injective de N , et C le corriplexe P @A 1. Proiivcr que le complcxe

définit une rCsolution injective de M @A N .) b) Démontrer l'inégalité prof, (N) = dpA(M) dCrriorisli~tiondu t h d'Ai19landcr-Biichhum

+ prof (M @AN)

En déduire urie autre

c) On suppose de plus que N est de dimension projective finie. Prouver l'égalité dpA(M@A N) = dpn (M) dpA(N). d) On suppose que A est un arincau dc Gorcnstcin, ct on not,c d sa dimension. Soit ,n iiri cntier ; nitmtrcr que les KA-cspitccsvcctorirls E:X~;(KA, M) , Tord-,, ( K A , M) et EXLA-~(M KA , )ont rnême dimension.

+

7) Soient A lin mineau local iioetlii.rien, M un A-module de typc finii T dc typc fiui et de dirricrisiori irijcctivc finie. L)émont,rer 1'6galit)é prof (A)

= prof,

(TM)-t sup {Z

1111

A-module

ExtA(M. T) j O)

(raisonricr par récurrence snr prof&(M),en utilisant la. prop. 9) 8 ) Soient A un ailrieau, ,ir : Al' --> A" uric applicat~ionA-linhaire. On appellc rang de L L , et on iiotc rg(u) , le plus grand entier tel qiie A'VL# O . On ilote ù ( u ) I'idCnl de A engendré par les mineurs d'ordre rg(?r) de la, matricc de 11,. a ) Moiit,rer que pour que D(u) soit égal à A , il faiit el, il siiffit que lc conoyau de u, soit projectif de rang q - rg(u) (se rarricner a.ii cas oii A csl, local c1 écrire la matrice de v dans une base convenable). 0) Soit u : A b -A,' uiie application A-1irii.a.ire ; on suppose yir'ori a. D(U)= ~(71)= A . Polir que Keru = Irn I I , il fa.ut et il suffit qu'on nit rg(u) rg(11) = q (même rnéthode).

+

c ) Si rg(,u) = q , prouver que D(u) annule le coiioym dc

7i

(se ramcncr air cas p = q ) .

1/ Y) Soient A lin annraii, (L, cl) un complexe borné dt. A-iriodules libres de type fini, ni11 en dcgrks < O . On sc proposc tlc prouver que les conditions si~ivaritessont. équimleritcs : (i) Ori a H,(l,) = O polir i i O ;

+

-

(ii) On a profA(ù(d,); A ) 2 i ct rg(d,) rg(d,+i) rg,(Li) pour tout i 2 1. a) Montrer qu'il sufit de proiiver cet éiioilcC lorsquc l'anricaii A est noethtrien (considérer le sous-a.ririeaii(le A erigciidri. par Ics cuefficicnts des matrices d, poiii. i 2 1). On suppose désorniais cetlc condition v6rifii.c. h) Si A est un anneau 10cal de dirrierisiori 0 , pronvcr qiie (ii) entraîne (i) (iitiliscr l'excrc. 8, 0)).

c) On siipposc que l'anneau A est local, que la conditiori (ii) cs1 sal,isîailc, et que Supp(II,(L)) = {iii.k} poiir i 2 1 . Proiiver qiic H,(L) = O pour i 2 O (soit p le plus grand entier tcl yrie ?)(ci,,) # A ; dCdi1ir.c de l'exerc. 8, h) que H,(T,) = O pour i > p , puis de l'exerc. 8, a) et du cor. 2 de la prop. 3 (rio 2) que le coriiplcxc O i L,/B,(L) i Id,-1 -t . . . + Lo est acycliqiic cn degrés > 0 ) .

d ) Dérrioritrer l'irnplicatiun (ii) + (i) (se rameiier au cas oii A est local, et raisonner par récilrrencc sur dim(A) ) . r,) On suppose qiic le complexe L est acyclique eri degrés > O . Soit p un idéal prc,nlicr associé à A . Montrcr que pour tout i 2 1 (Coker d i ) , est. lin A,-module libre, de rarig (-1)" rg, (L,) ; de plus on a rg((d,),) = C ( - I ) " - ~ rg,(L,) et CL,,)^) = A, (PXWC.

C

p2î-l

p>7

3 1 , et p un idGa1 prerriier dc A . Montrer que la condition $pA, (Ho(L)D)3 i 6cpivaut à D(d,)A, # A,, c'est-Mire à(&) c p (utiliser l'cxerc. 8, u)). , A l'aide dc la prop. 8 du !j 1, ri" 5 et du th. 1, en déduire qu'on a prof,(a(d,) ; A) 3 % ce qui proiive l'implicat,ion (i) J (ii). g ) Soierit i un cnt,ier

10) On conserve les Iiypoth?scs de l'exerc. 9 ; on siippose que Ic cornplcxc L est exact eri degr6 # O . u) Déiiioritrcr I'inclusiori V(D(d,+i)) c V(o(d,)) poilr t.oiit, % 2 1 (obscrvcr que d'après l'exerc. 8, un idéal preniier p ne coritierit pas D(d7) si cl seulement si le A,-iriotlule (Coker (1, ) p est, libre).

h ) On suppose dksormais que l'a.ririiilat,cirrde Hu(L) n'est pas rédilit à zéro. Proiiver (p'ori a rg(d1) = rgA(Lo) (si f est 1111 hlCrncnt siiriplifiable d~ a(&), Ir Ar-rnodiilc IIO(L),~ est. projectif dc ra.ng cor~stantd'aprbs l'exerc. 8, donc n6ccssairerrierit nul) ; cri tl6dnire que le support de Ho(L) cst V(D(d1)) .

< <

Ori pose p = proîA(à(di); A ) . Pro~ivcrqu'on a V(B($,)) - Snpp(Ho(L)) poiir 1 i p (raisorincr comme dans la dérnonstratiori de cc), c ~ol)sc:rvant i que si 1111 idéal pr~rnierp du support dc IIo(L) ne contermit pas a((&) ; on a.urait dpApHu(L),, < k < g r a ~ l e , ,H~O ( L )).~ c)

I l ) Soit A un annea.ii local. : Ar'-' 4 A'' iinc application A-linhaire, ?)(?O l'idéal a) Soiml ,L irri entier 2 1 , engendré par Ics mineurs d'ordre rL 1 cl<: 'u (exerc. 8). Si profA(a(u) ;A) 3 2 , prouver que O(u,) xlrnct, la résolution -

on

7,

est induit par I'homomorpliisrne A'".'

( t u ): An

A (appliqncr l'cxcrc. 0).

i

b) Trivers~mcnt,soit .J un id6a.l de A de dirrierisiori projective 1. Prouver qu'il existe i i r l élérrierit siriipliîiahle a de A . iin entier n et une applicatiori A-linéa.ire 7a : Anpl + AlL tels que J - a a ( r ~ ); on a prof,(J ; A) = 2 (« L h 6 o ~ 2 n ~de e Hilbert-B,u,rch » : déduire de l'exerc. 9 qii'iine rCsolntion rriiriimalc cl(: J est de la forme O + Anpi " > ArL J , avec prof,z(a(rr) ; A ) 2 2 , puis appliquer a) et l'cxerc. 1 du un 61Cinent sirriplifiable dc A ).

8 J,

cri observant que D(u) contient

b

AC X.161

EXERCICES

.Î

12) Soient A 1111 anneau local noetl-iérieil, M cl, N dcs A-rrrocliil<~rion riiils de type fini. 011siipposc la. t1inic:rrsion pro,jcclive tlc M finie. Soit q le pliis grand entier tel qiie .ru.$ (YI,N) # O .

+

cc) Orr suppose prof, ( ~ o r (M, c N)) = O . Prouver l1i.galitt prof,(N) q - dp,(M) (on pourra raisonner par r h i r r e n c c siir prof,(N), en considérant lin éléirieiit a de m,, riori divisciir de O dans N ) .

h ) On slippose dc pliis qiic l~ A-niodiilc M @ A N est de longiiciir h i e . Déduire de a) que ~ o r : (M, N) cst niil pour i > proî(A) p r o f (M) p r o f (N) , et riori nul lorsqii'il y a égalité. On a en particillier prof (M) prof (N) prof (A) .

+

1/ 13) Soit A

ilri

<

;i,riricaii loca,1 noethérien. On supposc snlisîaitc la coiidii,iori si1iv;mte' :

(GM) pour toutc A-a1g-i.l-)re locale riorthéiicnnr i3, il exi5te un R-i-rtodiile M tel quc muM # M rt prof, (M) = E uri l~oir~orr~o~pliisrnc, '" : Spcc(B) i Spec(A) I'ayplicatiori associCc, L/I un A-niodulc de type fini. Dénionlxcr qiic la co-

<

CI~>~(JVI) (appliqiicr n) au wmplexe tlirrierrsion dc " p p l ( S u p p ( ~ ) )daris Spcc(I3) est (Sirpp(M)) et L urie L @ AH, , on q est 1'idi.a.l prrinirr minimal d'iinc coinposnntc cl<, rbsoliition lihre tic M ) . c) Soierit M . N des A-rnodnlcs dc lype fini, avcc Ail

# O.

Dériioritrcr l'iribgaliti:

: raisonrr<:r par r6ciirrencc siir l'cnticr d - d i n i ( M @ ~ N )Si . d =O. (théor.+rr~ecl'ar~Le7~scçtaon appliquer 0 ) & l'anneau B = A/ Anri(M) ; dans lc cas gGn6ral considCrer un é1Crrierit de A sécant polir N et pour M @ A N ) .

d) Pour qu'il existe nn A-modiile dc longiieilr finie et de dinierision projpctivc firiic. il h u l , et il si~iiitqiic A soit irn anneau de Macaulay.

14) Soi<~iil A iin alincari local noethérien satisfaisant la corlditiorr (CM) (exerc. 13), M iiri A-inodiilc dc type fini et de din~riisionprojective tinie.

a ) Prouver les inégalités dim(A)

< dpA(M) + tlim(M)

tliiu(A)

-

prof (A)

< dirri(M) - prof (M) .

Si eri outre le module VI est p a r h i t (cxcrc. 4), on a dim(A) - dpA(M)+dirn(M) (utiliser l'exerc. 15 tlii 1). h) Soit p E Siipp(M) ; si Ir Ap-niodule MI, est ruacaulayen, l'airiicau Ap cst un ariricau tle blacaiilay. C'cst lc cas en part,iculier si p est i i i r idi:ul prwriit:r rrririirnal de Supp(M) .

(:ette hypothèse est toujours vérifiée lorsque l'anneau A cont.irnt i i r i corps, cf. M. HOCIIS'I'EK, Toplcs an th,e hi1rno1oy~co.ltlirom~of rrio
(1975).

~ , o r s q i i rP rst de t.,ypc fini, cc, dsnltat rst vrai saris l'lrypolhèse ( C M ) , cf. P. ROGEIZ'I'S, Le 11~Eorl.rr~e d'snlerscctror~.C . K . Acad. Sci. Paris, s6r. 1, t. 304, 177-180 (1987). Par suite Ics résiiltitts des exerc. 13 et 14 sont vrais pour tout aririeaii local 1iiw1.lii.ririi A .

AC X.162

PROFONDEUR, R É ~ U L A R I T B ,D T I A L I ~ ~

54

c) Soit x = (XI,.. . , z T ) iine siiite sécante d'Cléments dc mA, qui engendre un idéal .l (le dirrieiision proje<:t,ivefinie. Ui.mont,rer qiic la siiitc x est, complktemnnt séca.rite poiir A (soit p E V(J) et soit q c p un idCa1 prcinicr nin ni mal dc V(J) ; obscrvcr yii'ori a prof (Ap) 2 dpAp( A P / J P )2 dpAq( A 4 / J 4 ) et dpn, (A,/J,) 3 r d'après b), d'où finalement profA(.J ; A ) 2 ,r ; cori(:liire que x est compli.teinent; si.cant.c à l'airlc dii cor. 1 du th. 1 du 5 1, no 3).

d) Prouver que toute suite M-régulikre est, A-régulihre. (Dérriordrcr qric tout élémcr~tu de A dorit l'arnnilateur a n'est pas nul n'est pas M-régulier ; pour cela, se ramener appliqiiant l'exerc. 13 a) au pa.r I«calisatiori au cas où Supp(M) n Supp(a) = { m ~ }: e i ~ corriplexe L @A A/p , oii L est une résolution libre de M et p a n idéal prcmicr associé de a , prouver les inégalités prof (A) tiirn(A/p) dpA(M) et en di.diiirc prof (M) = O .)

<

<

e) Pour que l'anneau A soit intkgre, il fant et il siiffit qii'il conticmie lin idéal premier de clirriension projective < +cc (si dpA(p) < +cc, niont,rcr quc A s'itlcritific a. uri sousanneau de l'anneau régulier Ap ). 15) Soient A un aririeau local noetliérien, M un A-module de type fini et de dimension injective finie. prof (A) = prof (Ap) + dini(A/p) . a) Soit p E Siipp(M). DEnlontrcr l'égalité (Soient p = prof (AP) et (1 = dirn(A/p) ; obscrvcr yu'oii a. p = diAp( M D ) , d'où ExtAv( ~ ( p )&Ip) , # O et par suite E X ~ A ' I ( KM) ~ ,# O d'aprhs Sc lcmmc 3 du S 1 . no 7, ce ) p q .) Si Siipp(l\/l) = Spec(A) , A est un anneau de qui entraîne prof (A) = d i ~ ( M = Mxaiilay.

+

b) Dé~noiit~rer l'égalité grade(M)

+ dim(M) = prof (A)

(iitiliscr a) ct l'cxcrc. 15 dii

5 1).

7 16) Soiei~tA uri anneau de Macaulay et M un A-mocliile do dimension projective firiic. Prouver que pour que M soit plat, il f a i t et il siiffit qiie pour tout idéal d de A engendré par une suite complètement sécante I'liomomorphismc cailoniqiic .T @ A h?i 4 .TM soit bijcctif (prouver par récurrence sur la. longueur de la suite qiie cettc condition cntraîne ~ u r f i ( A / ~ , M=) O pour tout > O , puis, par récurrence décroissante siir n , ~ o r f (M) ~ , O pour tout A-module de type fini N et tout entier ,rl, > O). Exemple : nn rri«dule sans torsion siir un anneaii de Dedekind est plat (cf VII, 3 2, exerc. 14).

-

1) Soit A iiii aiineau local iioetli6rieri. Pour yue A soit régulier. il fair1 rl, il siifil, qu'on ait &*(KA)< + W . 2) Soient A un anneau régulier et p un idéal premier de A . Démontrer que 1c coniplCtC de A polir la topologie p-a.diqiie est iiri a.iiriea.u intègre. 3) Soient A lin annea.ii, T = (T,),,[ urin fwriille finie d'indéterminées. Proiivcr que les conditions sirivantcs sorit
(i) l'anneaii A est régulier ; (ii) l'anneaii A[T] est régulier ; (iii) l'anneau A[[T]] est régulier.

4) Soit A un anneau nocthérien de dimension

<

2 . Montrer que pour que A soit rbgulier, il h i i t et il siiffit qiic le dnal de tout A-nlodiilc de type fini soit projectif (soit p uri idéal preinicr dc il ; si la sccor~dccoridition est satisfaite, prouver d'abord qiie A,, est régulier ) 2 lorsqiie prof(hp) = 2 ) . lorsque prof(Ap) 1 , pilis que dpA P ( ~ ( p )==

<

5) Soit A iiri a,iirieaiilocal iiocthéricii dc dimcnsioii homologiqiie h i e ; (1bdiiir.ede l'exerc. 16 dc A,X, p. 208 urlc autre tlbrnonstration dii fait qiie A est rbgiilier (observer qu'on a dim,, rnA/rn: < dl-i(A) prof (A) ).

<

. . . , y,) (les suites sécarites 6) Soient A un aiinnaii local régulier, (:r:i, . . . , z,,) cl, maxirrides tl'ClCirierits tlc r n ~engcndra.nt des idéaiix r et .I, respectivement. Ori suppose qu'on a 9 c 2 ,de sorte qu'il exist,c des klbments o.,, de A tels qu'on ait y, = c ~ , j z pour ,

.

C

< <

1 i 1 1 . Prouver qiir la classe de &(a,,) dans A/g iie dépend pas de la rrmtricn ( O , , ? ) clioisic~et que son anrnilatcur est l'image de r ; en particillier, »II a CIct(aî3) # 0 (prouver qiic I'homomorphisme canoniqiie l?xtz(A/.x; A) 4 ExtA(A/g, A) est ir'jccliî. puis rrw~itrer à l'aide dcs coniplcxcs de Koszul qu'il s'identifie l'lioinornorphismc A/x + A/% dkduit de l'homothétie de rapport
11 7)

Soient A lin anneau local régulier de dirnensioii 3 , f i i i r ClCiricrrI. rrori niil dl: ma . Dérriontrer que les coriditioiis sriivaritcs soiil. Cquivalentcs : (i) l'annean A/(f) n'est pa.s f;i.ctorinI ; (ii) il existe i i r i entier 71, >; 2 et iirie rrialrke X E M,, (A) , à élémen1,s dans inA , tels qiie f = det(X) . (Sons l'l'ypoi,llix: (ii), proiivcr qiic l'idbal de A / ( f ) crigendri. par les classes des miricurs Al' l . . . . ,~l rL de X où X'?' est ol;>tennen supprirriant la preniikre ligne et la colonne d'indice p , CSI, de hô,~it,eiir1 mais non principal. Sous 1'hypot.lièsc (i), soit, p 1111 idCa1 premier dc hniiteiir 2 dc A dont I'iiiiage daiis A/(f) rl'cst pas prirrcipal ; déduire de l'excrc. 11 du # 3 qiie p est engendré par les rriineurs d'ordre n-1 tl'iirw ma,t,rice - Y E M,,,-1 (A) à blérncrits dans rnh . Ecrire f cwrnrne le
7 8) Soient A uii airrieau local régulier, x = (si,.. . ,.rd) lin systi.mc de coordoni~kesde T3 un hornomorpliisiiie d'aiincaux ii'jcctiî hisant, tic R rm A-uiodiile (le type A, p : A h i . Prouver que lcs coiiditiurls sriivi~nlcssont éqiiivalcrites : (i) pour toiit entier p , I'Plkn~entp ( 5 1 . . . .r:d)P n'apparticnl, pas à I'idCnl de B crigeridré par p(z7+1),. . . , p(ad+') ; (ii) le A-module p(A) est fxteiir direct (Ic B. Ccs coriditioiis soiit satislaitcs si A cst uric Q-algCbre (exerc. Y dii 5 2). (I'oiir proiiver (ii) J (i), adapter la. dkriioristra.tiori clc loc. r i t . Pour l'inrplicalion oppos é ~sr , ramcricr au cas A est coiriplet, et poser pour p 3 O Ap = A/(z:'-', . . . ,:ïj;'l ) ct B, = ~/(:ï?-'-', . . . , :cj; " ) B . 0l)server que la classe de (zi . . . .c,i)' cngciidrc le socle rie A, , et err dédiiire qiie I'hornornorphism pl, : A, -. B, induit par p cst injectif. Pruuver qiie p, atlrnet une rétraction Al,-lirhirc. Conclurc A l'aide de E, III; p. 60, exerriplc il.) -)

9) Soient p : A i B lin horrioruorplrisnie local d'a.nrica.iix locaux noethbriens, N uii B-rnodiile rrlacaiil;iyen de type fini. Oii siipposc qiic l'annceir A est rcgulier et qu'on a dimg (N) = dini(A) clirriu/,,, R ( N / ~ T A N. Pruiivc:r ) qiic le A-module N est plat (raisoniler par récurrcrrce sur dirn(A) ; si z E m.4 m i , on montrera que :r: est N-rPgulier et,

+

,

-

que I'lrorrioriiorpliisri~eA/zA hypothèses que p et N ).

-t

B / z B et le (B/irB)-rriodiile N/:cN satisfont aiix mêmes

7 10) Soient A mi anrieaii rioethérieri, M lin A-inodiile de type fini. l'oiir toiit, cntier rA 3 O , 0x1 désigne par X,, l'cnseinhlc des élbmcnts p de Spcc(A) tels qiic d i r r i ~ (MP) , - profAp(MD)2 I L . Soit l>i Ilri entier 2 0 . a) Pour que M satisfasse ii la propriéLi. Si, (# 1, cxcrc. 8),il h l , cL il siifil qu'on ait codirn(X,, , Supp(M)) 3 ,n k pour toiit n 3 0 . b) On suppose que X,, est fermé dans Spec(A) pour tout r L 3 0 . Soit p un élément de Supp(lL3). Pour que le A,-rnodiile MI, satisfasse à la propriété Si. (5 1, exerc. 8), il faiit ct il siiffit qu'on ait codirn(Xn, Supp(M)) 3 7% X: pour tout n 3 O et toiitc coinposantc X:, dc X, ïoritcr~arit p . r.) On suppose que I'a~meauA est présentable. L)Cduirc dc h ) que l'cilsei~~blc des idCaux preniicrs Q de A tels que M,, satisfasse à la propriété Si, est ouvert dans Spe<:(A).

+

+

11) Soit A l'anneau Z[X], où X = (X,),,I est une fmiille finie d'indéterminées. Soit .J lin idéal dc A cngcndr6 pa.r des rnorr6ines. a) Soit i E 1 ; soient P I , . . . ,P,r ; Q I , . . . , Q , des uioriôrnes erigeridrarlt J , oii les P, sont divisibles par X, h n d i s qiic lcs Q k ne le sont p s . Proiiver que le t,ra.risp«rteur J : X, (idéal de A for1114 des éléiiieiits P tels que X , P E J ) est engelidri. par les mon6incs X,;'PI,. . . ,x;'P, ; Q I , . . . , Q, . h ) E n dCduirc. que si J : X, est égal ù J ou A pour tout i t 1 , .1 est l'itléal engendré par les variables X, qui appartiennent à J . c) Soierit, M un A-rriodulc, et p uii entier. Ori suppose que T ~ ~ ~ ( A / . J ' , M (resp. ) ExtA(A/J1. M ) ) est nul pour tout idéal .J' contenant .J et engen(li-6 par certains des X, . Proiivcr qiic T O ~ ~ ( A /M) . J , (resp. Extz (A/J, M) ) est nul (soit J' un idéal conteannt .J , erigericlré par des monômcs, tel que Tora (A/J1, M) # O , et maxiinal pour ces propriétés ; déduire de la mite exacte O

-+

A/(.J' X,)

-

A/.J1 ---.A/(J'

+ AX,)

-i

O

cl de b) que J' cst erigeridré par les élérrients X, qii'il contient, ce qui contredit l'hypothi.sc). d ) En tlbduirc l'irii.gli.lit4 dp,(A/.J) Card(1).

<

e) Soient A iiri aniiea.u, x = ( x , , ) , , ~une famille finie d'éléiiients dc A ; on siipposc qiic pour toute partic 1' dc 1 la farnille (z,),,,, est cornplèternerit sécante pour A . Soit J un idéal rle A cngcndr6 pa,r des i.lknient,s x", où rx pascourt urir partie fiiiie F tir NI . Prouver l'inégalité dpA(A/J) 6 Card(1) (soit J O l'iclbl ( A o /A) . J ocst , niil, et conclure en consid6rant

iinc r6soliition projective du A"-rnodule Ao/.Jo de Iongiieiir

< TL).

y[ 12) Soiont A lin a.niiea,iilocal r6gtilirr, M uri A-rriodule de type fini, tcl qiir Ic A-inodule End,l(M) soit librc. 0 x 1 sc propose de prouver que les conrlitioils sriivan1,es sont, équivalentes : (i) le A-rnodirle M csl librc ; (ii) lc A-inodiilc M est rbflcxif ; (iii) ~ x t , ;(hl;M) = O . a) Proiivcr l1iniplica,tiori (iii) + (ii) (utiliser I'exrrc. 2 de VI 1, # 4).

85

AC X.165

EXERCICES

<

2 , puis raisonner par b) Prouver l'implication opposée (utiliscr l'cxcrc. 4 si dirri(A) récurrence sur dirn(A) à l'aide dt. l'exerc. 18 du 5 1). c) On suppose dirn(A) :J>. Démontrer I'iniplication (ii) + (i) (utiliscr l'exrrc. 4 si diin(A) 2 ; si dirn(A) : 3 , observer que (ii) impliqiic dp,(M) 1 : puis qiic (iii) et la remarque 2 du r1° 3 ml,raîneiit que M cst projectif). mi ; on note B l'anneau A/n:A, d) On suppose M réflexif. Soit n: i i r i 6lbmeiit de nia N Ic B-mocliile M/xM cl N* son drial. Prouver S l'aide de b) que le R-riiodiile Endo(N) est libre, pi& qne Endn(NA)est libre (déduire dc VII, 5 4, no 2 que E i i d ~ ( N * s'idcntific ) au bicha1 de Eridi3 (N) ). e) Démontrer qire (ii) implique (i) (raisormer pa,r tCcurrcncc siir la diiiierision de A , slippos6c 2 4 ; avec les iiotatioris de d), l'hypothèse de r6ciirrence eritraîrie que Ic B-module N* cul librc ; en déduire à l'aide de l'exerc. 18 di1 jj 1 ct dc Irt prop. 7 di1 rio 4 que l'on a profA(Ext; (M, B)) 3 1 : puis qiic E x t i ( ~A, ) , qui csl. tlr: lorigirciir finie par l'hypothèse de r6ciirrcncc, est niil ; conclure quc Ir I3-module MA/xM* s'identifie & N* , d o r ~csl libre, puis qiic le A-moclule Ail* est libre ct firialerrierit qiie M est libre.) , f ) Mdiiirc de ces résultats une a.utrc déiiionstratioii du fait qiie l'anneau A cst îxloricl.

<

<

<

-

12) Soient A un anncair. ( s r , . . . , x:,,) une famille d'élérriwit,~de A , engendrant un idéal 1. dit que la fai~iille ( L I , .. . , x:,) es( A-indipendante si les clnsscs des s, daiis 1/12 fornient iinc hasr de ce A/l-module. a ) Toute farriillc corripli.lemerit s4caritc pour A est A-indépendniitc. b) Soit ( X I , . . . ,:r:,) iine hmillc A-iridépeiidantc, avec zt = x;xy . Proiiver qiie les farriilles (z:, . . . , x,,) et (a::', . . . , :c,) sont A-iiidépeiidn~ltcs.et que l'on a. 0ii

(observer que lc quotient ( x i , . . . ,x,,)/(n:l:. . . , z,,)

est isorriorphe iA/(ni;', . . . , z , ) )

y 13) Soicnt p uri iioirihre prcmirr, q Urie piiissa.ncc de p , A uii anneau local rioethérien r6duit de caractéristique p . On riote A V c suris-nimcau de A formé des 6lérrieiits a" poiir n E A . Prouver que pour que A soit régulier, il falit et il suffit que le Aq-rriodule h soit plat. (Se rarrieirer au cas oii A est complet, donc qiiotieiit d'uric algChrc de séries forrrielles B = K A [ [ X I ,... , Xli]] par lin idéal b , qu'on pciit supposer contenu daris rn; . Si A est régulier, ori a b = O . Si A est plat siir A" soit :r:, l'irnagc de X, daris A ; prouver que la famille (zl, . . . : CI::) est A-indépentiarite (cxrrc. 12); ct eii déduire I'égalitC q" . Montrer qiic ccla entraîne b c (Xy.. . . : X'f,) ; pronvcr (le Ig,(A/(:r::, . . . , x z ) ) même qu'on a b c @y", . . . , x$) polir h n t s , d'oii f i d e n m i t b U .)

-

-

1) Soicnt k im corps, A l'ariricau quotient de l'aimeaii de polyiiôrries k[X,Y. Z] par l'idéal mgcndr6 par Z" ZX, Z ( Y - 1), n: et y les classcs de X et Y daris A . Montrer que la suitc (ni, y) est corriplèternent sécante pour A nia.is n'est pas A-régulière, bien que la suite (y, x) soit A-régulière. 2) Soient A

lin

anneaii local rkgiilier, 1 un idéal de A

a) Si lit(1) = 1 , prouver que les conditions siiivarit,cs sont équivalcntcs : (i) l'idéal 1 est principal ; (ii) A/I est un aniicau tlc Goreristein ; (iii) A/I est un anneau de Macaulay. b) On siip~x)seht(1) = 2 ; pour que A/I soi1 un anrieau de Chrenstein, il faut et il siiffit qiic l'idéal 1 soit, cornplètcmcnt sécant (si (L, p) ost une résolution projective rriiriirnale de 1 , observer que L, est (le ra.ng 1 et par suite Ln de rang 2 ) . c ) Soit k iin corps cornrriutaliî ; on prend A = k [ [ X Y, , Z]] et 1 - (XY, YZ,ZX, x2 - y 2 ,y 2 z') . Prouver quc 1 est un idPa1 de hauteur 3 qui n'est pas coiriplttcrrient sécant. et que A/I est uri a.nnea.11de Gorenstciil. -

3) Soient R un anneau local ri.gulicr, T 1111 idCa1 de R , A l'ciniieau R / I . Soient x = ( x l , . . . , x d ) un systèrnc tlc coordorir~écsde R , et y - ( V I , . . . ,y,,,) iiri systcme g h é r a t e u r rniriin~alde 1, de sorte que m = [ I / r n ~:l KR] . a) Lorsque 1 est contenu da.ris m i , (iétinir iin isoinorphisnic caiioiiiquc de Hl (x, A) siir 1 / m ~ I(considércr une suite cxacte de complexes de Kosziil). h ) Pour que les irriages des z, dans A forrricnt lin système mininial de gi.riCr;itciirs dc mA. il faut et il suffit qne 1 soit cont,enu daris c) Uérrionf;rnr que la dirncrisioii du KA-espace vectoriel H i ( x , A ) est égale à m - d i[m,~/niZ: K A ] .

&K.

4) Soit A uii arineau local noethérien. O n pose 6(A) = [ma/in; : K A ] diin(A) (cJ. 5 4) no 5). a) Montrer que la dirnensiorl dii KA-cspaccvectoriel H , ( z , A ) , où z est- lin syst,kme dc générat,eurs miiiinial de m.4, est indépendant,^ (in choix dc z ; on la ilote li,(A). -

-

b) Dériiuulrcr l'égalité h,(A) ta,(A) p m r tout i . c) Prouver qii'ori a hi(A) 3 & ( A ) ,ct que l'égalité a lica si e(. seulriririît. s i A est lin anneau d'iiitcrscctioii corriplèle (rerriarquc 2 di1 no 2 ; se ra.mmrr a.u cas air A est coinplct ct appliquer I'exerc. 4 en présentant A conimc un quoticrit R / I , où R cst un arineau local régulier et 1 c mg ). d) Soit (xi,. . . ,x,,)uric suite complètement sécarit~ed'él6ments de i i i ~ cngciidrnrit , uri idéal J . Dérnoritrer l'égalité ~ L ( A / . J-) 6(A/J) = 1 1 1 (A) 6(A) (se ramener au cas p = 1 et distirigiier deux ca.s, siiivarit que .r:i ;~ppartieritou non A m,: ). -

5) Soierit li uri annca.11 local régiilier, 1 un idéal dc R , A l'annean R.11. I'onr qiie A soit iin anrieaii tl'iriterscctioii coiiiplCtc, il faut et il suffit qiie I'idPal 1 soit coinplèicniciit sécant (utiliser les cxerc. 4 c) et 3 c ) ) .

a 6) Soient

A un nnncaii local nocthérien, 1 uri idéal d r A .

u) Prouver qiic les cnnditioris suivantes sont équivulcritcs :

(i) 1'idéa.l 1 est complèteiuciit sCcarit ; (ii) le A/T-rriodule 111' est libre et I'ori a rlpA(A/J) < +m. (Sous I'llypotliksc (ii), déduire dc l'cxcrc. 2 du 3 3 qu'il existe lin élément simpliIiahle z clans T tel que r 4 i n ~ I; raisonner par récurrence snr la. dimension de I / I ~ .) b) Pronver que l'cnsemblr des i d h i x premiers p dc A où l'idéal 1, est corriplhmient sécant cst ouvert dans Spcc(A) . c) Soit B i l r i aririeau présentable ; proiiver qiic l'ensemble des id&rux premiers q dc B tels que Bq soit uii ûrineaii d'intersection coniplttc est ouvert dans Spcc(B) .

5

5

AC X.167

EXERCICES

7) Soient A un anneau. B une A-algèbre ; on suppose que 11: A-rnodulc B est libre de type firii. Dans les exercices qiii siiivent, on riote B* le A-module Hom*(B, A ) , et on le rriuriit de sa st,ructure ria,turcllc de B-module. la hase duale dc E* . l'roiiver que a) Soierd (e,),,r une basc dii A-niodule B , et ( r : l'éiérncnt Tr,,, de B* (A, III, p. 110) est &al 8

k:ze:.

b) Ori supposc que le R-rriodule B* est libre de ra.ng 1 ; soit O itri élément formant iiiie base de ce niodule, et soit 6 1'Dlirncnl. de B tel que SrB/* = 8 l . L'idéal SB dc B ne dépend pa.s dn choix de P ; on l'appelle l'idr'al dzfl6renle de B sur A . Prouvcr que NulA(&)est un gériératcur de l'idéal discriminant de R sur A (A, 111, p. 115 ; calculer le discriminant d'une base ( e , ) de B sur A A l'aide de la matrice de la rnultiplication par ô &ris cette ha.se). 8) Soient A un anneau, P ini polynôme unitaire de degré 1% de A[X], U la A-idgèbrc A[X]/(P). On note :r la cla.sse de X daris B . Soit P : B i A la îorrnc A-linéaire telle que ~(2'"') = 1 , !(xi) = O pour O i T L - 2 ; on note ë : B[X] -* A[X] 1'applica.tion i\[X]-linéaire déduitc clc V par extension des scalaires. a) Soit a : B[X] + A[X] l'application A[X]-linéaire telle qiie u(z7) = X b o i i r i O, . . . , ,n - 1 . Dénior~trerla formule P I(Q) = u((X :r)Q) pour tout éléincnt Q de R[X] (la. vkrificr pour Q = 1, . . . , z"-' ). b) Soit P*(X) = t,,,-]~"-l + . . . + ho le polynôme de B[X] tel qu'on ait P(X) = (X :r)P*(X) dans B[X]. Proiiver que (Do!, . . . , h,,-li?) est la basc de B* diiale de la basc ( 1 , . . . ,xnP1) de B (appliqiier a) aux poli-riôrrics xLP*). En déduire que le B-rrio(liile n* est libre de rang un, et que P en forme une base. c) Proiiver l'égalité 'îrB/A Pf(:z)! dans Ba (cf. exerc. 7 a)).

< <

-

-

-

-

9) Soient A un anneaii, n uii entier, S l'algbhrc A[Xi,. . . , X , ] (resp. A[[Xi, . . . , X,,]]), a nri idéal de S engendré par une suite P = (Pi , . . . , P,) ïornplèteuient sCca11tc pour S . On pose R = S/a , ct on désigrie pa.r .ir I'homorilorphismc canonique de S sur S/a . On suppose quc le A-module R est librc de type firii. On se propose de proiivcr qiic le U-module Bk est libre de rang 1 ct qiie l'idéal difiDrcriLe (le B sur h cst crigendré par n(det(g)).

a) Onpose C = S Q ~ A cl B & = X , @ 1 - 1 @ v ( X , , ) pour 1 < i < n . Onnote < p : C t B l'homomorphisrrie de A-algèbres tel que
C

4aP6) =

1

.

c) La matrice (ci,;) d"fiit lin rnorphisrne de coniplcxcs K.(P, C) i K.(<, C) (A, X, C) . L'liop. I E i l ) , d'où un r~iorpliisrnctic complexes de S-rn»diiles : K. ( P , S) + K. niornorphisrne u,, : S + C applique 1s sur l'ClDrrlcnl, d = det(c,,) dc C . d) Soit 7: : I-Iorns(C, S ) R ~ : B t B l'liorriornorphisrnr B-linéairc tel que 71(f @ l )= ~ (( df) ) ; proiivcr que u est iin isomorphisme (identifier 1 , à Hn(Homgrs(u, l s ) ) , et observer que c;liaciin (les coriiplcxcs K. ( P , S) et K.((, C) dCfinit une 1-ésoli~t,ion de U par des S-modules libres de type fini). e) Ori considère l'application cornposi.e t : Horr~s(R, A) i Hoins(C, S) + B , où la premitire flèche s'oh1,ient par exterision des scalaires et la seconde est déduile de 71. Prouver que t cst B-liriCnire et bijective (identifier Horris(C, S) A l l o n i ~ (El, A) @b: C ) . ) d d; à l'aide d'une base de B ct f ) Pi.oiivcr la îormule t('rrB/*) = ~ ( d (exprinier de la base duale de B A .cf. cxerc. 7, a)).

(e,

y) Déduire de O), s) et f ) qiie l'idlal diflérent,~de R sur A est eiigendrt par m(det(A2)) 10) Soiciit A uii aririclau de valuation discrète, u sa. valiiat,ion riormi.c, K son corps rlcs fractions. On corisidkre iiric A-a.lg+l)rc noetl-16ricnne B tniinic d'nn liorriom«rphis~ilcde A-a.lg+brw R : B i A . 011~ i o t c1 le rloyau de t: , cl, J son aniuilat,eiir dans B . a) Démontrer que les conditions suivarit,es sont 6qiiivalenti.s :

(i) le A-rrrodule 1/12 est de lorigiieur finie ; (ii) l'anrieaii local de K @ A B en l'idéal maximal K 6 3 1~ est isomorphe (en tarit que K-algèbre) à K ; (iii) on a K @ A B = (K @ A 1) @ (K @,A J ) . On suppose désormais qiic ccm coiidit,iorrs sorii satisfaites ; on note y(B. c) , ou simplement y ( B ) , ln longireiir du A-module 1/12, et q(B, R), oir simplerrrerit q ( B ) , celle dii A-modulr A/&(J). b) Soil, b un idéal de B cont,rnii dans 1 ; on corisidèrr la A-algbhre Ut - n / b et l'homomorphisme c' : U' + A di-duit de n . Proiivcr que R' vérifie aussi les roridilioiis tlc a ) , et qiie l'on a y(L3', F') y(B, F) et q ( B t ic') < q(B, F ) . c) On suppose qiic le A-rnodiile U csl, lihrr de typc fini. Proiivcr que J c,si uri A-rnotlirle lihrr de rang un, facteur direct dniis R ,et qii'ori a T r n I A ( ~= ) e ( z ) pour tout :x. t .I. d) On suppose en outre que U csi. lin anneau de Gorensteiil ; on note E une bü.se t l i i H-rriodiilr R ' (8 3 . exerc. 5), et 6 uii géii6rateur de I'idéd différente de B siir A (exerc. 7, b ) ) . Prouver l'égalité q(l3) = u(c(6)) (proiwer que [(J) est Aga1 B A , et iitiliS .. c)). e) On se phce daris la sitiiatioii de h ) , avec b # O ; oii suppose que les A-;i.lgkbres T3 et B' sont h i e s et plates; et qiir U est un ani1Pa.u de Gorelmteiil. Démontrer qu'oii a, q(Ht) < q(B) (observer que I'ii~mgedc J daris B/niAB est Ic socle dc B/m,\R, donc est contenue daiis h / m , ~b ).

<

7 i l ) 011 ronscrvc les not,atioris dc l'cxcrcicc pr~c&it:r~t ; cm siipposc que les a.nneaux A et B sont locaux cl (:orrq)l<:t,s. a) Morit,rrr qiic B est isoiilorphc au q~ioticril, d'urrc algi:hrc de shrics formelles S = A [ [ X i , .. . ,X,]] par un idéal a contenu dans ( X i . . . . .X,,) ; on pciit prendre n = dirn,, (n/ii2) : où n est l'image de mu d m s B/m.t,U. 11)

Prouver que les coridilions suivantes sont équivalentes : (i) U est iinc h ~ l g b h r cfiiiic C platt: I ci, un airnraii d'iritcmrcliori complète ;

s6carii,c poiir (ii) l'id6a.l a est engcndr.6 pa.r iine siiil,c ( P l , . . . , P,,) comj)l~(,crncril, S. (CS. excrc. 5.) c ) Si ces conditions sonl sal,isî;~itcs,prouver qri'on a q(B) = y(B) = ~ i ( e ( d c t ( 2 ) ) (lit ) iliser les exerc. 9 et 10, d)). d) Montrer qu'on pcut 1,rouvcr une suit,t: ( f i , . . . , j,,) c1'6161nrnts de a compl~t,emcnl, si.c m t e poiir K;, @.A. S telle qiie la A-nlgbbre B' S / ( , f i , . . . , f,,) sa1,isfassc à y (B') y (B) . (Déduire tlc la suite cxaclc a/n2 i R.A.(S)63s B . I ~ A ( B ) O (A, III, p. 137) iinr siiitc exacte de A-modules a / a b s A i RA(S) 53s A + 111% O ; prendre tlcs i.1Crnr:rils , f i ,. . . , f,, de a dont lcs imagcs daris Cl*(S) @s h Sorrilenl rrrie base sur A dc l'image de a/a2 NS A .) s) En déduire & I'aidc tlc l'cxcrc. 10, e ) qric l'on a y(B) 3 q ( R ) et que 111galii,6a. lie11 si ct, seiilerrieril si B est iin anneau d'intersect,ion compli.f,e. K A @A

-

-

-

-

-

1) Soient k un corps ilon parhit dc caractéristiqiie p > 2 . a uri él(heiit de k kp, A lla,nneaii k[X, Y]/(x' Y P a ). O,) Prouver qile l'anneau A est r6giilier (on pourra. prouver que A est irit,igralerrierrt clos dans sou corps des fractions K = ~ ( Y ) [ x ] / ( x ' - Y" a ) ) . b) Prouver qiie k est algébriqiiemerit fermé tla.ris K . c) Soit k' l'extension k(al'") de k ; prouver que l'nnncau A @ h k' n'est pa.s noriiial.

+

-

+

2) Soient k: un corps, A une k-algèhrn csscntiellemcnt de type fini, B une k-a1gi:hre. p lin eiitici. u) Si A et T3 satisforrt à la propriété S, (5 1, exerc. 8), il en est (le mêriie de A R (raisonner corrirnc dans la déirionstration de la prop. 4, cn iitilisarit loc. cit., f ) ) . b) Soit K une extension de k ; pour que A(K) vkific S", il fa.ut et il suffit qu'il erl soit ainsi dc A . 3 ) Soient A ilri ~ L I I I I C ~noetllirien U et p : A 4 R lin homorriorphisnie d'anneaux. On dit que la A-a.lg&breB est ci.bsolumen,t r4yulsi.1.csi B est un anneaii nocthérien et un A-module plat et qriel pour tout p E Spcc(A), la ~(p)-algèbre~ ( p@A ) B est a.bsoliiment r4giilikre. a) Soient '1' uric partie iriidtiplicativc de T3 et S une pa.rtie de A telle que p(S) c 7'. Si R est ilne A-algtbre régulière, '1' 'B est une ~-'A-al~i.hrcir6gulièrc. b) Pour qii'une A-algkhre noethi-rieririe B soit nhsoltrrncnt régiiliiire, i l fri.ril,et il sufiit cilie pour. tout. idéal maximal i i de U , la A,-i(,)-algèbre B, soii absolurr~r.i~l. régulière. c) Si C est une B-algtbrc. ahsoluriient régulière et i3 urie A-algèbre absoliirrient régulitrc, C est ilne A-a.lgkbre absoliirrient régiilitre. cl) Si R est un arincau rioet,lii.rien et que C est un B-riiodulc fidèlement plat et une A-algèbre absoluiricnt r6giilitre, B est iinr A-algP1n-c absolurnent rbgulii.re. e) Soirnt !3 une A-algèbre absoluiricnl, régulière ct A' une A-algkbrc essenticllcmer~tde type fini. La A'-algè1)re A' @A B est a.hsolurncnt régulih-c.

4) Soierit A un wnca.u noetti6ricn, B une A-algèbre ficlèlerrierit plate absolument réguliiire (cxerc. 3 ) . Pour (pic A soit un anneau régiilier (rcsp. normal, rcsp. de Ma.caiilay;resp. de Gor.crislcin), il faut et il suffit qu'il en soii, de rriême de B .

5) On dit qiic A est un annxou de Gmthcndreck si A est, un mnnaii noetliéricil et qiie. pot11 tout id&l premier. p de A , Ic cornplété de I'annrair local Ap cst une .Ap-algbhrc absolurnent rbgiilièrc (cxcrc. 3). a ) Proiivcr que tout aiirreau de fractions ct tout quotient d'iin anneau dc Grothendieck est un anneau de Grol.hrndieck. b) Soierrt A ini anrieau noethérien d;L1 ilne A-alghbrc fidèlement; plate absoliiment régir1ii.r~.Si El est iiri anncaii de Crothcndieck, prouver qii'il cn est de même dc A (si p est, un idéal premier de A d,q i i r i idéal premier de B a-tlcssus de p ; on rriorit,rcra qiie Bq est ini ilp-module fidiilcmeiit plat eri ut,ilisant 111, 5 5, no 4, prop. 4 ; ori appliquera eiisiiitc I'exerc. 3). A

A

A

6) Soicnt A un anneau de Grothendieck, 1 un idka1 de A , et A Ic séparé coniplété de A pour la topologie i-idiqirc. Prouver que A est, iine A-a,lgi.bre absolument régulikre. (Soicnt rin idéal niaxirnal dc A , et m son image réciproque dans A ; dddiiire de I'cxerc. 3 que A, est une A,-algèbre absolument régulière.) A

7) a ) Morit,r<:ryu'uri aririeau de Dedekind intègre de ca.ractCristiqiie O est uii aiineau tir Crotliendieck. h) Soient k un corps tic car;iclCristique p > O tel qiic k soit de dimension infiiiic sur k" , r un entier 2 1,et A le sous-aririeau de XI, . . . , X,.]] forrilé dcs séries formellcs dont les coefficients engendrent un espace vectoriel de dimciision finie sur kt'. Montrer qiic A est, lin anneau local régiilicr dc dirrierisioii r dont le cornplM s'identifie à k[[Xi,. . . , X,]] , mais n'cst pas uri anrieau de Grotheridieck (utiliser I'cxerc. 17 de III. 5 3).

1) Soient k lin a.iinca.ii; A une k-algèbrr li116aircmeut topologisée. On dit, qiie A est iine k-algphre j o m ~ e l l ~ m m6th 1 ~(resp. : formellem,mt nette) si elle satishit à la coriclitiori suivaiite : quels que soicrit la 12-algèbre C , miinic de la topologie discrèlc, el l'idéal de conliriii de k-algèbres A i C/N admet lin carré nul N de (:, tout. I~ioniori~orphisnic iinique (resp. au plus un) rcli.vcrrient A + C . Pour que A soit forniellement étalc sur k ; il faut ct il suffit qu'elle soit formelleoierit lissr et formellcmeiit net,te. Tout qiicrtient de k est formellcrnerit net. o.) Prouver les énoncés analogues à ceux des prop. 3 et 4 pour les algèhres forincllcnic:ri( ncllcs ou forrriellement &des. h) Soit J uii idéal clc h tcl que la topologie de A soit la topologie .J-adiqiie ; on note &(A) le séparé complété ciil A-n~odnleflk(A) (pour la topologie J-;dique). Pour que la k:-al,qi?Iilhre t,opologiclue A soit Sornicllcnicrit riette, il faut et il suffit que CLr ( A ) soit nul (observer que chacune de ces propriétés équivaut au fait qiie t,oiitc k-dérivatioii de A dans un A-module annulé par iine piiissa.nce dc J est riulle). A

,-.

2) Soient A un a.nneaii rioethérieri, .J un idéal dc A et A le séparé cornplét,6(Ir A pour la topologie .I-adiqiic. Si la il-algbbre A est formclleiricnt lisse (polir la topologie discrète), elle est forinclleni<:rit Ct.alc (observer qu'on ri. fZ*(A) = .J'Y-L,q(A) pour tout cnlicr 71 ). A

A

3) Soit K une extension de type fini d'un corps k ; proiivt:r qut: les conditions siiivantcs sont éqiiivalentrs : (i) la k-algèbre K est forrriellernerit nette ; (ii) la k-algi%>rcK cst forrriellerrient Ctde ; (iii) K est iine extension finic séparable tlc k . 4) Soierit k i l r i aiiricau rioctliérien, A inie k-algkhrc tie type fini. On dit qilc h cst une k-algkbre étale (resp. nette) si elle est forniellemeiit étale (resp. forrnellement nette) lorsqu'on la rriiinit iir la topologie cliscrète. cc) Prouver que les conditions snivant,cs sont 6qiiivaleiites :

(i)la. kl-algkhre A est nclt,c ;

(ii) Rk(A) = O : A-module A est projectif. (iii) le A cttrior~iqueA 63k A + A ; montrer que (ii) et (iii) (Soit I Ic noyai1 de l'hornor~~or~>liisrnc équivalent ioritcs deux k (iv) 1, = 0 pour tout idéal prerriicr q de A 'Rk A cont,cna.rrt 1 . )

$ 7

EXERCICES

AC X.171

b) Soit / E k[T] uri polyriôirie tel que f et f' engendrent l'idéal unité de k [ T ] . Proiiver que la. k-algèbre k[T]/(f) est étale (cf. no 3, exemple 3). c) Si k est nn corps, les k-algèlres nettes sont les k-algèbres étales, et cette notion coïncide avec celle introdiiite en A, V, p. 28 (le cas des algèbres de degré fini sur k résulte de Ioc. c i t . , p. 32, th. 3 ; si A est iinc k-algkhre net,te, considérer. un idéal maximal m de A pt appliquer le cas préc6derit à A/mTL).Les k-algèbres riettes sont donc les produits finis d'extensioris séparables de degré fini dc k (A, V, p. 34, th. 4). 4 Pour que la kalgtbre A soit nette, il faut et il suffit qiie poiir toiit idéal premier p de k la. ~(p)-algèbre~ ( p @) k A soit étaie.

5) Soient A un anneau local noethéricri coinplet et B une A-algèbre essentielleinerit de type fini. a) Montrer que l'enseiriblc des idéaux prcrnicrs p tlc A Ocls cltic l'ai~ncauAp soit régulier est ouvert dans Spec(A) (on utilisera l'exercice 16 de VIII, ji 5 poiir se ramener au cas où A est intkgre, piiis TX, 5 2, ri0 5, th. 3 et l'exercice 17 de VIII, 5 5). b) On sirppose que A çoni,ienl un corps1. I\/lorit,r~rque l'eriserrible des idéaux premiers q de B tels qiie l'anneau Bq soit régulier est ouvert d a m Spec(B) (on utilisera Ji 7, no 9, cor. 2 du th. 3 et IX, 5 3, no 3, th. 2). 6) Soient k un aiillenu, A une k-algèbre liiiéairement topologisCe foriiicllei~iciillisse. Proiiver qiie poiir tout idéal ouvert J de A , le A/J-module (A/.J)@ACL~(A) est projectif (proiiver en utilisant l'exemple du no 1 que pour tout homoinorphisine surjectif de A/J-rnodiiles M M", toute k-dbrivation de A dans M" se relève h M ) .

-

7) Soierit, k un a.riiiea.u, p : A 4B uu lio~noniorpliisiiiede k-algkbrcs, J un idéal de B . On dit que B , rriunie de la topologie J-adique, est fwrmellem,ent lisse sur A relntzvemen,t à k si poiir tolite A-algèhre C (que l'or1 munit de la topologie discrtte) et tout ideal de carrC niil N de C , tout l~onioriiorphisniecontiiiu de A-algèbres B 4 C / N , qui sc relCvc cri iui homomorphismc continu de k-algèbres de B dans C ; se relève aussi eri lin homornorphismc continu dc A-a,lghhrcs(le R da.ns C . a) Montrer qiic les coiidit,ions siiiva~itrssont éqiiivalerites : (i) B est forrr~ellementlisse siir A rclat,ivcmcnt à k pour la topologie J-a.diqiie ; (ii) poiir toiitc k-dériva1,ion D dc A dans un R-rnodule E aunulé par une puissance de J , il existe une k-dérivation D : E -t E telle que D o p = D ; (iii) pour tout entier n 3 0 , l'application canonique u.,: Ilk(A) @A (B/Jn) + &(B) QOB (B1.J"') est injective et son irnage est facteiir direct. h ) On siipposc E formellcmcnt lisse siir. k pour la topologie J-adique. Prouver que pour que B soit formcllcnlent lissc sur A , il faut et il suffit que l'hoinornorpliisrrie cailoiiique 11.1 : flk(A) @A (B/J) 4 CLk(B) @n (E/J) soit injectif ct que son image soit facteur direct (iitiliser a) et I'exerc. A pour proiivcr qii'iinc rMra.ction de ?LI se relkve en ime rétra.ctiori de u,, pour tout n ) . $ 8) Soicrit k uri corps ct T une farnille finie d'indéteririinées. 0x1 rniinil la k-algèlxe Ic[[T]] de la topologie discrhtc. a) Prouver que k[[T]] est forincllement lisse siir k[T] relativement à k (exerc. 7).

'

Cette h,ypotlièse est en fait siiperfliie, cf. M. Nagata, On the Closrdness o,f Singular Loci, Puhli. Mat. I.H.E.S. 2 (1959).

h ) Si k[[T]]est formellement lisse snr k , proiiver qiie la caractérisliyiie p de k est stricterricnt positive et que k est urie extension h i c tlt. kp (déduire de l'excrc. 2 qiie &,, (k[[T]]) ) ) nid ; proriver ensuite l'aide dc la prop. 6 de .k, est inil, cl par suite que { l k ( , ) ( k : ( ( T )est V, p. O!), qne la sous-extension de k((T)) formêe des séries dont les cocficienls erigendrerit une extension de type fini de k:" est (:gale à k:((T))). 9) Soit k i i r i corps de caractéristique p > 0 , contermit iine famille filtrante décroissant,c ( k ~\ )(IC~SOUS-CCIS~S ~ vbrifiarit kh = kp .

nhth

o.) k'rouvrr que l'iiitersectioli cles iioymx des Iiorriomorphismes ca.iioniqiies (le R(k) da.iis flk,(k), pour h parcourant A , est réduite à (O) (consid6rcr iinc phase de k ) .

h ) Soit A iirie X-nlgPbre localc rCgiiliPre, munie de la topologie ma-adiqiie. Dkmoritrer que pour que A soit formellement lisse siir k , il fant et il s u f i t qiic h soi0 ~oririellenientlisse sur k relativemeiit A. k i . pour tout A E A (utiliser a), la prop. 8 et l'cxerc. 7, a)).

7

10) Soient A iin anneau local rioetliérieii c«inplcl,, K soi1 corps des fractions. Soit p lin it1Ca.l prcmicr de A ; on note B l'ariricair local A,,et B son cornplCté. A

A

u) 011suppose A rkgi~lieret K de ca.ract6ristiqiie nulle. Moiitrcr quc la K-algthre K ¢OB B est ahsoliiment rbgulikre.

b ) On siippose A rCgiilier et K de carxtéristiquc p > O , dc sorlc y u A s'ideirtifie B lin annean de séries fornielles k:[[Ti.. . . T,]] (IX, 5 3 , rio 3 , th. 2). On note (k:x)x,n la famille des sous-corps kx dc k corrtcnant kp et tels que k: soit iine cxtensioii de degré fini de kh. Soit A t h ; on note Ah I'anncaii kh[[Ty,. . . , T:]], Bk l'annci~nlocal de Ah en l'idbal premier p n A h : et Kh le corps (les hctioris de ilxet B i . Prouwr qne la A-algtbre L3 (miinie dc la l o-i ~ o l-o ~ discrèlc) ie est formellement lisse relativerrieiit à Bi (on Dourra, d'abord montrer que U est isomorphe W 13 C - ' B ~Bk)

.

,-.

c) Sous Ics liypot1ii.s~de b), pronver qiie tout a.nnca.ii local dc K NB B est de la îorrric (H), , avec r t Spec(B) et r n U = {O), et - qu'il est formellclnent lisse sur K relaliverocnl à Kh . F h dCduirc qiie la. K-algèhrc K R est al>soliirnc:r~t rêgirlière (prouver q i la~ famille {Kh}x,n de sons-corps de K est liltrniite dkroissante ct qiie Ki = kz'(('l'i,. . . , T,,)) ; appliquer t:risiiilc l'exercice 9). d) (ln revient au cas g(:116ridl.Prouver que h est un anncaii de (:rotiieudieck ( # 6, exerc. 5) : si q E Spcc(B), il s'agit de montrer qne la ~(q)-algkhrc~ ( y ) &13 est absolumerit rCgiilii.re ; remplaçarit A par A/(A n q) , o n peiit supposer il inI,&greet q = (0) ; on utilisera IX, 5 2, ri" 3. th. 3 et 5 3 , no 3 , th. 2 pour. se rarncilcr an cas où A est un annca.ii local r6giilier corriplet. A

A

O,,

11) Soit A uri xnicau rioetliérien ; on siippose qne pour 1,ont idCa1 maximal ni tlc A . lc cornplété de l'anneau local A,, est iine A,n-algi.bre ahsoliimcnt r6gulikr.e. Morrt,rcr que A est nn ariiiea.~~ de Grothendicck (5 6. cxcrc. 5). (011 uliliscrx loç. cit. et l'exercice pr6c6dcnt pour montrcr que ponr Lout idéal rriaxirnal m de A . l'anneau A, est un a.nncan de Grotlierrdieck.) 12) Soit A un anneau local noetlibrien. Four cpe A soit iiii nrincaii de Grothendieck, il laut et il sutiit que, pour toiitc il-algCkx-e finie irittgrc R , tout idCa1 rnaxirrial m de R et toiit idéal premier q de l'aiiiieau corriplêté B, vbrifiarit B,,,nq = ( O ) , 1'annea.iilocal (B,), soit rêgnlier (pour rriontrer que c:et,l,ccondit.ion est nbcessaire, il srifil grâce à l'exercice précédent de niontrer_clue, pour tout idêal premier p tics A , ct toute extension finie K de ~ ( p :)l'annca~iK@,tA est regulier ; on poiirra introduire unc A-algkbre finie iritiigre B de A

6

8

AC X 173

EXERCICES

corps des frxtions K , noter m i , . . . ,ni, ses itl6aiix rriaxirriaux, et inlcrpr<:t,erles aririea,iix locaux de K @ A A comme tics anrieaux locaux de I'iiri des B,nL). 13) Soient k iin corps et il unr k-algcbre essrnt,iellernei~ttlc lypc fini. IVIoritrcr yiic A est un mncaii de Grotheridieck (on se rainènera au c u oii A es1 i i r i anrieaii local d'un a.iinew.ii de polyri6mes sur k cm i i r i nombre fini d'iridétern1in6cs ; en iitilisarit l'exercice prki.dcnt., toiit on se ramhnera erisiiite B montrer qiic, pour tout idéal prcniicr r de A [ T l , . . . ,'î,,], a.nnra.ti local C de A [Ti, . . . T,] cn un itiCal rnaxiinal contenant L , et tout id6al q de l'anneau complété CI tcl yuc C n cl = r C , 1'a.nncau (C),/r(C), est régulier. 011 pourra pour cela utiliser le th. 3 du ri" 9). A

.

A

A

* 14) Soit A i i r i anneau local de Crotlieritlicck. Montrer qiic l'eriscmblc des idéaux premiers

p de A tels yiic l'aiirieaii 4,, soit régiilicr est ouvert &ns Spec(A) (soit A le coinplét6 de A ; on utilisera l'exerc. 5, l'exercicr 16 de VIII, 5 5, et le fait q i ~ cl'applicat,ioii carioriiyue Spec(A) + Spcc(A) est ouverte). , 15) Soierit k: lin corps parfait de caract<:rist,iqucp > O , ('r,),,N uiic Iarr~illcd'iriclbterminées, et K le corps k((rT'.r,),,N). Soit A le sous-;inrieaii de l'anneau de series formelles K[[X,Y]] engeridr6 par KP[[X.Y]] et K . L'anneau A est local noeth6rien r6giilier de diiricrisiori 2 et son corriplété est K[[X,Y]] (5 6, exerc. 8). Poix toiit crilier n , ou riotc p, l'élément X - T,,Y de A, q,, Ic prodi~itpo . . . p , , et or1 pose c = q,,T,, . Ori désignc

C

nsN

pa.r B la sous- A-algèbre dc KL[X;Y ] ]tmgeidrée pas c . a) Soient 'n un entier > O et p 11i1 idéal prcmicr de l 3 de hauteur 1 qui contient p r L . Montrer que 1'annc;cu Bp n'est pas rmrrnal ( p u r tout entier m , on posera rrb-1

q7TL)/q,,,et on riioiitrera qiic Bp = A A ~[,r,r L - i,]de sort,c qiie c,, n'est pas

c,,, = (C1

O

clans B,, , alors que :( appartient 2 A ). b) En d6diiirc qiie I'erisenihle cles klPaiix premiers p dc B ttds que l'anneau BI, soit rbgulicr ne contient aucini ouvert non vitlc de Spec(B) (on remarquera. qiic B est un A-rnodule fitlClcrnerit plat).

1 ) Soient A un anrieau local iioct,h6ric11, h3 uri A-rriodiilc. Montrer qiie pour qiie M soit nrtir~icri,il Iaut et il sulfit que son socle S soit de dirriension finie siir KA et que M soi1 une extension essentielle de S (ciest,-Rclire (A, TT, p. 185, cxcrc. 15) que tout soiw-module non niil de M coritieniie i i i ~él611ienl non iiul dc S ).

7 2) Soient A lin anneau noetki6rieri local complet, 1\11 uii A-iriodiilc. Montrer que les contlitioris siiivuntes sont équivaleiitcs : (i) l'liorriornorphisin~:canoniqiie
-

.

m I'iiiéal ('1'1,. . . T d ) .On note S*"' lc 3) Soient Ic un corps, S l'anneau TI.. . . . ~ (1~,),,~d dans diial gradne dc S (no 6 ) , ct (TpU)u,,d la. base duale de ( T U ) u t N ,(1l0t6~ loc. cit.). a) À toiit sous-S-module de type fini hl de S*"' on a.ssocie I'idCal Ann(M) de S . Montrer qu'on définit ainsi une correspoiidarice bijective entre lcs sous-rnodulcs de type fini de S*gr et, les idéaux a de S colitenus dans m el tels que S/a soit de longiienr finie ; la bijection réciproque associe à l'idéal a le sous-modiile hil de S*"' forme cies 6léments anriulés par a (observer que M est. iiri S/a-module de hfatlis). b) Pour que S/a soit 1111 anneau de Goreristein, il faut et il sufit que le S-rnotliilc M soit rnouogène. c) Soit / l'C16mc~il T i 2 1. Si d 2 3 I'idkal a n'est pas com~lètemeiltsécant ; l'anncau dc Gurcnstcin A/a n'est pas un anneau d'intcrscction complète (cf. 5 5, cxerc. 5) -

4) Soient A un anneau rioethéricri, M un A-module de type fini. Pour toiit p t Spec(A) , on pose pi(p, 1\&) = d i ~ l i , , (i3xtAp ~ > ( ~ ( p )Mp) , ; o n not;c (I(p),e,) une eiweloppe injective du A-niocinle A/p. Soit T urir ri.soliition iiljcctivc minimale de hl (ce qui sigi~ificque IlL est une enveloppe irljcctivc dc Z7"(I pour tout n 2 O , cf. A, X, p. 182, exerc 13) Prouver que le A-rriodule 1" est isomorphe à @ I ( ~ ) ' " ~'O. (P P

5) Soient A un anneau local noethérien, 1 ilil ,4-motlulc de Mat,lis. Pour Lout A-rirodule M oii note D(M) le dual de Matlis Horri~(M, 1 ) . On rappelle qu'on note dplA(M) la bornc inférieure (les lorigueiirs des résolutions plates dc M (A, X, p. 202, exerc. 7). Prouver les égalités di*(U(M))

= dplA(M) ,

d i ~ ( h ' i= ) dpl,(D(M)).

6) Soient A uri anneaii rioet,hérien, 1 et J des A-niod~ilcsiiijectifs. Prouvrr quc l e A-moclulc H o n i ~ ( 1J) . es1 plat (cj. prop. 6, b)).

7) Soicrit A et B dcs anneaux non. n,écessairernent commutatzfs, J un (A, B)-bimodiilc, P un B-module à ganche plat. On suppose I'a.ririeau A noetharicn à gaiichc. Prouver que si J est im A-modiilc injectif, il cn est dc mîrrric de J G*?B P .

8) Soit A 1111anneau local iioethCricr~. a) Soient A 1 et Dj des A-modnlns tels qnc dplA(M) < +cc et ' r ' o r f ( ~N) , Ilétiriir paiir toiit entier n 1111 isornorpliisnie canonique

-

O polir i

> O.

<

H.4 N) i i i ~ ( N )(adapter la d é ~ ~ ~ o ~ i s t r ade t i ol'exerc. ii Ci du 5 3 r t prouver qu'on a d i ~ ( M k l'aide (lc l'exerc. 7). b) Soient N , P des A-rnodnles tels quc d i ~ ( P < ) +cc et Ext:,(N, P) = O pour 1: > O . Définir pour tout entier ,rr un isoniorpliisnie cünoiiiquc

(appliquer la dualité (le Matlis). c) Prouver que s'il existe un A-nlodiil~ M dont la clirneiisiori iiljcctive et la dinicnsion plate sont finies, A cst uri anneau de Gorensteiri (prendre N = A dans a)).

3) Soit A un arineaii adrriettarit u i ~rriodiile tiiialisanl, Cl. a) Poiir qiic Cl soit isoniorphe à uri idéal 1 de A , il Faut et il suffit que Al, soit uri anneau dc Gorcnstcin pour tout idéal preinier niiriirnal p de A (ohscrvcr que Cl est isorrrorplie à un sous-module de @ R, ). P

h ) Lorcpe ces couditious sont satisfaites, prouver q ~ l c1 est égal à A ou de liaiiteiir 1 , et que A/I est uri amieau de Goreustcin (calciiler la profondeur de A/1, puis le A/I-niodule EX~;(A/T, T) ). c) Démontrer qu'un ar~rieaufactoricl ;~drricttaril1111 module diialisaiit est uri anneau de Gorcnstcin. 4) Soit A lin anneau de Macaulay local de dimension d ; soit f l un A-module de type fini, de dimcnsioii injective finie, de profondeur (-1, t,el que l'homorriory~hisrr~e ca.noniqiie A + E n d A ( a ) soit bijectif. Prouvcr qirc le A-rnodulc 0 est dualisant (raisonner par réciirrence sur d , en déduisant dc l'cxcrc. 7 di1 5 3 qiie pour tout élément Sl-régulier n: de m ~ l'homomorpliisnie , carionique A / : d + k d A l T A ( t L / d L )est bijectif).

5) Soit A un a.nneau local noethérieri, admettant un moclule duô.lisa.rrt (2. Soit T iin A-module de type firii, de dirrierisiori injective finir. (1,) Prouver qiie Exl,A(O,T ) est niil pour i > O (utiliser l'cxcrc. 7 du 5 3). b) Prouvcr que l'hornoinorphisinc canonique 6263~ Hoin\ (61, T ) -t T est bijectif (appliquer a) ct I'cxcrc. 10 du 5 8). c) Dérnontrer à l'aide de l'exerc. 8, h) d u 5 8 les i.galit,ks dpA(Horri~ (CL, T)) = dirri(A) prof (T) ci, proî(Hoini\ ( 0 , l')) = ~ r o (T) f . En clkdiiire que si prof (7') = dirn(A) , le A-niodiile T est somme directe de modules isomorphes 0 . cl) On pose c = dim(A) p r o f ('l') . Prouver qu'il exista(?dcs cnt,icrs n.0;. . . , l a c et une suite exacte O + on.,+ . . . + s r 0 + T + O (raisoririer par réciirrcr~ccsur c , en coiis0rnisant à l'aide de h)

nno+ T I .

iiii

liornonmrpliisme surjectif

i/ 6) Soit A urr aniicaii local noethérien, adrriettant un rr~odulcdualisant 0 ; soit M uu A-inodiile de type firii, dc dimension projective finie. cc) Prouvcr qu'on a ~ o r f ( f 1M) , = O pour i > O . (Rü.isoiirier par r6ciirrcncc sur dini(A) , en considérant une siiitc cxacte O 4 N + L -t M + O où L est libre de type firii. Si z est un blérnent simplifiahlc dc m,\, déduire de I1hypot,hBsede réciirrence que '~'or:'(n, N) est, niil pour > O , ce qui entraîne Torf(d2, M) = O pour i > 1 ; cl, qiie l%oniotliétie de rapport z est injective dans bZ @AN , ce qui eirtraîne que tout idCa1 premier p associé A Torf(61, M) est uri ideal minimal dc Spec(A) ; observrr qu'en iin t,cl p le AD-module MP est libre). b) Proiiver que le A-niodule f Z @A NI est de dimension injcctivc finie. c) Prouver que l'application 0 : M + Hoinn(b2, 61 @,$ M) définie par B(m,)(iii) = w @ m pour m t M , lu t 0 est un isornorpliisrne (se rairierier i. l'aide d'uiie rbsolui.ion projective au cas où M est libre). d) Les applicatioris [SIH [ I ~ o I I ~ T)] A ( ~et, [Ml t-,[ f i @ A Ml défiiiisscnt des hijcctions réciproques l'me (le I'a,iit,re entrc l'cnscmble des classes d'isomorphisnie de A-modules de type fini et de dirricrision injcctivc finie et l'erisernble des classes d'isomorphisme de A-module de type fini ct de diniension projective fiiiic, * cl des éqiiivaleiices de catégories quasi-inverses l'iine de l'autre entre Les catégories correspondantes. .

b) Si A admet nn module dualisailt 12, toute résolution injective de longiieiii finie de dbfiiiit un complexe dualisant (loc. czt.).

a

(1,s)

c) Soient B une A-algèbre yiii est iin A-module de type firii, T un complexe diialisa.nt, de A-rr~odules; prouver yne le complexe de B-modules HomgrA(R,1) est dualisaiit. Airisi tout anneau quotient, d'iin anneaii de Gorensteiri de dimension finie adniet un complcxc dualisaiit .

d) Soit 1 un A-complexe borné injectif. Poiir que 1 soit dualisant, il faut et il suffit que le coniplexe de A,-modules T,, soit diialismt poiir tout idbal maximal m de A .

e) Soient 1 lin A-complexe dualisarit, P un A-rnodulc projcc0iî <Scrang 1, Le complexe 1@A P(n) est dualisant.

ri

un criticr.

f ) Soiclil 1, J dcs A-complcxcs bornés, injectifs, dont l'homologie est de type fini, et 7~ : 1 -i J un homologisme ; pour que J soit dualisant il faut et il suffit que 1 le soit.

7 1 1 ) Soit

A lin anneaii noethbrirn

a) On suppose A local. Soicnl P , Q tlcs A-complcxcs horilés et plats. On suppose que H(P @ A Q) est riul en dcgri. # O , et libre de rang 1 en degré O . Dénioiitrer qu'il existe un entier p E Z et des homologisrncs A P(p) et A -t Q(-p) .

-

(À l'aide du lcrrirric 1 ct dc la prop. 1 de A, X, p. 66 et 62, se ramener au cas où P et Q sont riuls à droite ; à l'aide de la prop. 1 de Ioc. clt. et du th. 3 de Il, 3 5, no 4, construire alors des complcxes P' et Q' tels que P = A @ P' et (2 = A CF> Q ' , et proiivcr qii'ori a H(P') = II(Q') = O .) b) Soient, 1, .T des A-complexes diialisants (exerc. 10). Si A est local, prouver qu'il cxiste un crilicr n CL un hoinologisme de .J sur l(n) (soient P = Hoingr,(I, J ) , Q = Horngr,(J, 1) ; en utilisant le morphisme v du ri" 7 et l'hornologisme a,,: J + Homgr* (Q, 1) relatif au cornplcxc diialisant 1, construire un Iiornologisrne P @A Q -t A , et appliquer a ) ) . c ) Daris lc ca.s gbnéral, prunver qir'il existe iiii entier n , un A-iiiodulc 1, projectif de rang 1, et un hornologisme de J snr 1 @ A L(n,) (poser L = H(Homgr,(I, J)) , et appliquer b)).

-

12) Soient k iin corps, It. une kalgèbre graduée de type N , tcllc que Ri1 k et quc R. soit un anneau de Macaulay, de diriierision d . Poiir tout R-modiilc gradué de type fini M , on note PM('J') la soric de Poinca.ré C(dimk M L )T' , et l'on pose

-

~ ~ ( ';1 c'est ) un élément de Z['r,T '1 (VIII, 8 ü, no 3, prop. 5). QM(T) (1 T ) u) Soit (2 uri R-rriodulc diinlisant ; prouver que 0 admet une structure de R-niodiile gradui. poiir laquelle Qn(T) = (-l)"Qn(TPi) (écrire Il. cornnic quotient d'une algCbre de polynômes ,4 - /;:[Xi,.. . , X.,,] , avec deg(&) = il, ; si L est une résolution gradiii.~ lilm
-

b) Or1 siippose q i i ~R est un anneaii de Ckxensteiri ; prouver qu'il existe salisfaisar~là QR ( T ) = ( - l ) d ~ n QR(T).

'

iiri

erit,icr a

E

Z

c) On suppose que R est inthgrc et qii'il cxiste im entier (A E Z tel qu'on ait QR(T). Proiivcr yiic R csl 11x1 anneau de Gorensteiii (rriuiiir 62 Q n ( T 1 ) = ( - -1)"' d'une graduation pour laquelle Qn = Qx , et proiiver qu'un élément non nul de Clo formr une base de II). d) Soit R la k-algèbre graduée ~ [ x , Y ] / ( X " , X Y , Y ~; )proiiver qii'ori a Q ~ ~ ( = T ~ ~ ) 'I'-'QR('I') , mais que I t ri'est pas nri a.nneaii de Gorenst,ein.

1) Soient A uri armeau, .J un idéal de A , M lin A-rnodiile. On &signe par l i ~ , j ( M )ou , simplement Hj(IC1) , le A-module grariiii. lin!Extn(A/Jn, M) . Si A est local iioetlibrieii, 7L

le A-~nodnlcgradirb HA,,, (M) s'identifie à HA(M) . a) Etahlir pour HJ(M) Ics prupriktbs analogues à. celles de Hi\(M) vis-$vis des horriomorphisrries et des suites exactes de A-rriodiiles (rio 1 ) . b) D C h i r pour Ioirt ,i 2 1 des isomorphismes H;" (M) + I&Ext",.J7f M) . c ) Ori suppose l'anncaii A local noethérici7 de dirncnsion d , et l'icléal .T engendré par une siiite complèteiuerit sCcante ( x i , . . . ,z,.). Constriiire iin isomorphisme

O pour i > r . qiii géiiCrnlisc I'isoniorphisine T'(M) ciil no 2 ; en part,iciilier, on a H;(A) d) Polir t,oiit idPa1 K de A contenu daiis J , uri riotc PK,J : Hj(M) + HK(M) l'hornoniorpliisrric dCduit dcs tpplications canoniques de A / K T 2 a r i s A/J7Y Soit. 1 iin idbal (le A ; construire une suite exacte lorigiin (ln A-rriodiilns 7

2) Soit A un anneaii local dc Macaulay de tlimerisiori d . Déinontrnr que pour que A soit (A) soit ir'jcctif. un anneau de
HA

y/ 3) Soit

p : A + B lin honioniorpliismc local d';~rin(:aiix locaux nocthériens, tel qiic p ( n i ~ ) Bsoit iin idéal de définition de B . a) Coristruire pour tout B-rnodule N un isorrwrphisnie A-liriéaire natiirel de Hi\(N) sur 1-In(N). (En ulilisant une résolution injective de N , rriontrnr qu'il siifit dc prouver qti'ori a FIL (J) - O polir t,oiit i > O et toiit B-niodiile injectif iiidécornposablc J . Soiciil q I'iiniqiin 6li.mcnt dc Assn(J), et p = p l ( q ) . Si p # ma , observer qu'il existe a E mA tel que l'horriotliétic (IJ soit bijective. Si p = m ~ et.si 1 cst imc ri.soliit,ion injnct,ivc miniinale du A-module J , observer qii'on a Assa(YL) {ma} polir toiit 77, .) O) Ori suppose de plus qiie B est lin A-rriodi~leplat. Construire pour toiit A-module IV1 un isorriorphisnir H-linkirn naturel de R HA(M) sur HR(B@ A M) .

-

4) Soient A nn anneaii local ct M un A-rriodiilc rion riid de type fini, de dimension e . Prouver que HA(M) n'est pas niil (sc ramencr au cas où 1'annna.ii A est complet,, puis à. l'aide de l'exerc. 3 ail cas oii A est régiilier).

5) Soit 1 une par& finie de N a) Construire iiri anneau loca,l régiilicr U ct nu U-modiile N tel que l'eiwcnll~lcdes criticrs p tels qiie H g ( N ) # O soit kgal à 1 (considhrcr iinc sornirlc directe). b) Coristruirc uri anneau local A tel que l'ensenihle des cntiers p tels quc HA (A) # O soit égal 5. 1 (prnridre A = B @ N , où N cst uri idéal de carré nul, et utiliser l'exerc. 3).

6) Soicrit A un anrieair local riorth6rien admettant un niodule diialisant, IVl lin A-rnodiile de type fini, r L lin entier.

a) Pour qiic Sc A-module HA(M) soit de lorigueur finie, il faut et il suffit que pour tout ' = O (utiliser la dualité de idbal prcmier p de A distiiict de mi\ , on ait H ~ ~ " ' " ' ( * ' ~(MD) AP Grothendieck). n ; il faut ct il suffit qu'on ait b) Pour que HA(W1) soit de lorigiieur finie pour tout i prof (Mp) dini(A/p) > n pour tout idéal premier p distinct de rn*

<

+

7) Soient A uii aririeau, M UII A-rnodrilc, x = (z,),,~ UIK:famille h i c cl'i:l~!rncnt.sde A . Pour tout entier rL 2 1 , on notc x" la famille ( x T ) , , ~ . Soit A(x) l'endomorphisme de A' défini par A(x)(ei) = x , e, . a) Pour tout couple d'entiers (rs, na) txls qiic n. 3 m,, montrer qiie les applications

(léfinissent un systèrne inductif de complexes ; on notc K'(xw', NI) la lirnite de ce système, et H o ( x m ,Ml) sa. cokiornologie. b) On choisit im ordre total sur 1 . Pour toute partie .I de 1 , on pose

2.7 = ,,t .l

Pour p

E

Z,

011

@ AZ,] ; pour n. E A Z J , avec Card(.l) = p , oii pose IJI=P ) dans A,,T,,,141, oii F(J,Z) est le nonibre d'élérrierits de .1 stricte-

pose %'" =

dp(a) = C ( - l ) " ( J ' " td,J

-I, .

nient inférieurs A z Démontrer que ( 7 d) , est un complcxc, et definir un isomorphisme Laiionique de K * ( x m M) sur le t omplexe 7 @A M

7 8) On conserve les notations (le l'exercice pré<:étlerit, eri siipposarit de plus l'aririeau A noet,h6ricn. On no1.c x I'id6a.l engendri. par x . a) Soit m iin cnt,icr. Proiivcr qii'il cxiste lin entier n,o 3 rn tel qiie poiir n 2 nu ; le nmrphisrnc A(A(x)"-~') : K. (xTL, A) i K. ( x m ,A) induise 0 sur l'horrrologie de degré 3 1 (observer qu'on a A"(A(xnpm))(K,(x", A)) c r n p m K , ( x m , A) ; déduire du lerrirrre d'Artin-R.ees qu'il existe lin entier tel que Zp(x7".A) i? r"'OK.(xn',A) soit coritenu dans rTmZ,,(xm, A) , et par suite dans B,(xm , A) ).

*

b) Définir un isoniorphisrrie caiioriique de lirri ExtA (A/x7",M) sur II"(xm, M) (se ramener à. proiiver qiic l l Y ( x m M) , est niil poiir p 3 1 et M irijectif ; daris ce cas observer que Hp(x", M) s'identifie à la limite inductive des Hom*(H,(xn, l\lI)), et utiliser a ) ) . En particulicr, si A est local ct si x est un idéal de définition de A , le A-rnodule gradué HA(M) cst canoniqiicmcnt isomorphe à Il' ( x w, M) . c) On siipposc I'anncaii A local noethérien. de dirrieiisiori d ; soit x = ( X I ,. . . , .zd) une suite sCcantc inaximalc d'élCmcnts de r n .~Montrer que le A-module H ~ ( M s'identifie ) à la lirnite du système inductif de A-rno
9) Soient A un anneau local rioethérieri, d sa dimension, x = ( x i , . . . , x , ~ )unc suitc sécante rnaxiinale d'6lérrieiit,s de rit* .

a) Prouver qu'il existe uii entier nbo tel qiie poiir r n 3 in," ct n (x;II.. . x : : ; L ) ~ ~ ( ~ ( . 1 ( " + ~. .) ., , X:(~+')) (utiliser ICS CXCIC. 4 ct 7, b)).

>

O , on ait

011 suppose que A coriticiit urr corps dc caracliiristiqiic p. Prvuvcr qu'on a ( x .~. . x d ) 6( (xY+', . . . , z:ifJ ) quel que soit n 3 0 , c'cst-à-dire qiie A vérifie la condition

O)

5

10

A c x.181

EXERCICES

(CM) (exerc. 3 du 5 2 ; consitlérer l'eridorriorphisme n: H z" de A ) . %ut anlieau local iioetliérien coiitcnmt irri corps vkrilic donc la cordition (CM)' . c) On suppose de plus <111eA est régiilicr ; soit p : A 4 R uii houiomorphisme d'anneaux injectif faisant de B un A-module dc typc fini. Prouver yuc le A-rno
-

(21, . . . , x , ~ )un systtme de coordonnées de A . l'oiir t,oiit cnticr p 3 O , on a) Soit x note A, la k-a.lgi.hrc: A/(zy,. . . ; sd) . Les classes des nior~ôniesx:' . . . T:" avec O ui < p forment une hase de A, sur k ; oii clésigric par p, la foririe linéaire sur A, qui vaut I sur la classe de z f - l . . . zd-l et 0 sur les autres éléincnts de la. hase. Déniontrer qiic lla.pplica.t,iori k:-liriéaire fi, : A , + Homk(A,, k) déduite dc la fornie bilinéaire (a, O) H p,(ah) cst uii isomorphismc (on pourra raisonner directerrieril,,o u utiliser l'exerc. 10 du 5 5).

<

b) Polir q 3 p , soit u,, : A, 4 A, I'ho~noniorphisnie A-linéaire indiiii, pa.r I'hoiiiotlrétir de rapport (xi . . .z d ) q - p , ~t soit T T , ~ ~: AT 4 Ap l'applicatioii de passage au quoticrit ; démoiitrer qu'on n fi, o u,, = 'T,,O p , . En dédiiirc par p~wsageA la limite inductive, compte teriil de l'exerc. 8 , c), un isoriiorphisrne A-linhairc fi : ~ d( A, ) t A'. c) On suppose (1 = 1 , de sortc quc A csl r i r ~arirlcau de valiiation d i s c r h , et xl = z uric iiriifoririisarite (le A . Moiitrcr que le choix de l'uniformisante n: permet d'identifier H;(A) à K/A ; I'isornorphisrnc p : K/A 4 A' est alors défini par p(
I l ) Soient A un anricau local rioetliérieri, 1 un A-rriodulc de Matlis, M un A4-inodulc de type fini. Oii pose p," = dirn,, E x ~ A ( K A , Mpour ) tout p 3 O ((:$ 5 8, excrc. 4). Prouver que le A-modiile grad116 HA(M) s'identifie à l'homologie d'un coinplcxc . . . + O + 1" i 1"' > . . . (loc. cit.). En particulier, si M est nori nul, on a # O pour p = prof (M) et p = diin(M) (exerc. 4).

11) Soierit A un a.nnea.iilocal rioethbrien, M un A-module de typc fini, de clirnciisioii d ; ori suppose que M cst un riiodule de BiichsI>airrri(5 2, exerc. 7). a) Prouver que Ha (M) est anniilé pax mA pour i raisonner par récurrence sur d).

#d

(traitcr d'abord le cas d

h) Soit x un élérnent shcant pour m ; définir pour O O 4 HA(M) + Hl(M/.>:M)--i II::'(M) t O.

< i < d-2

=

1 , puis

des suites exactes

ri-1

c) Déinonlrcr la forrriule i(M) =

C (" , ')

i=»

d 3 1 , en utilisant b) et I'exerc. 8, d)

'

.)II

lg(Hi(M)) (raisonner par récurrence sur l'entier

3 2)

On ignore si tout anneau local nocthmricn

sa.t.isfait

(CM)

Index des notations prof, (J ; M) , prof (J ; M) , prof, (M), prof (M) : p. 2. K'(x, M) : p. 5. H*(x;M) p. 5. piof,(M) : p. 10. grntlc (N) : p. 11. dllA(M), diA(M) : p. 37. &(A) : p. 38. S(A) : p. 60. Pa : p. 63. Ok(A), dAIk : p. 78. O(A) : p. 93. 9 ( A ) : p. 105. T(p); ep : p. 105. IXJ,

DA(i\/l), D A ( f ) , CLM : p. 112. O(h4,P). p(h'I,P) : p. 121.

D(C), p. 131. D,(f), D(M) : p. 135. a n , : p. 136. HA(M), Hn(f) : p. 142. :

p. 142.

gCs : p. 145.

+(M)

: p. 146. yz(M), S"(h4) : p. 148.

Sk : p. 151, cxcrc. 8. tA(M), t(M) : p. 153, exerc. 16. X ( X , N) : p. 1.55, cxcrc. 6. x(A4) : p. 157, cxerc. 2. rg('u), t J ( 1 6 ) : p. 159, cxerc. 8. h,(A) : p. 166. cxcrc. 4. pt(p,M) : p. 174, cxcrc. 4. H,,(M) : P. 179, exerc. 1. K'(xm, XI), H'(xm, M) : p. 180, exerc. 7.

Index terminologique Ahsolrirr~critrégulière, normale (algèbre) : p. 75. Algèbre absolument régulière, absolurnent normale : p. 75. AlgChre essentiellement de t,ype fini : p. 71. AlgCbrc forniellemerit étale, îorrr~ellerrieritnette : p. 170, exerc. 1 Algèbre forrnelleirient lisse : p. 85. Algèbre lisse : p. 104. Anncaii d'intcrsection complè1.e : p. 65. Aririeaii de Goreustein : p. 48. Anrieaii de Grot,heridieck : p. 169, rxerc. 5. Anneau localemelit iritègrc : p. 16. Ariiieau rnacaiilaycn (ou de Macaulay) : p. 30. Anneau riormal : p. 16. Arir1ea.u prkseutablc : p. 58. hrir~caurégulier : p. 55. Aiislander-Buchsbaiim (théorème ci') : p. 45. Bass (thCori:mc de) : p. 49. Biichshaiim (rnodiile de) : p. 155; exerc. 7 Cohen (théorème de) : p. 88. (hhomologie localc (module de) : p. 132. Complkteiiieiit sécant, (idéal) : p. 62. Complcsc dualisarit : p. 177, exerc. 10 Cornposarits carioriirliies d'lin a.nr1ea.u : p. 15 Différente (idéal) : p. 167, exrrc. 7. Dinierision homologique d'un anilcati : p. 38. Dinier~sioriprojcd,ivc ou injective d'un module : p. 37. Dualisant (complexe) : p. 177, exerc. 10. Dualisarit (rnodiile) : p. 125. Diialité de Grotlieridicck : p. 149. Essentiellcrnent de type fini (algkbre),: p. 71 EsseiiticllcrncriL ghérütrice (famille) : p. 71. Famille essenticllc~nentgénératricc : p. 71. Forrricllerrierit étale, formellerrient nette (algèln-e) : p. 170, cxerc. 1 Formellemer~tlisse (algkhre) : p. 85. Fort;nmerit sécante (partie) : p. 28. Goreiist,cin (mrieau de) : p. 48. Grade d'un module : p. 11. Crotheridieck (anneau de) : p. 169, exerc. 5. Grothendieck (diialité de) : p. 149.

AC X.184

PROFONDEUR, RI~GULARITO,DUALI'~'~?

Hartshorric (théorbine de) : p. 17. Hilbert-Burch (thi.orCmc de) : p. 160, cxcrc. 11 IIoniologiqiis (dimension) : p. 38. Idéal complètement sécant : p. 62. Injective (dimcnsion) : p. 37. Iiitcrscclion conq>lCic(anncair cl') : p. f 5. Lisse (algèbre forrriellerrient) : p. 85 Lisse (algèbre) : p. 104. Macaulay (a.nnra.ii de) : p. 30. Macaulay-Colici~( c r i t h de) : p. 31. Macaulay-Cohcn (théorème de) : p. 30. Ma.ca,iiIayeri (rnotliiln) : p. 30. Mallis (niotliil<~ clc) : p. 110. Modulc de Buchshaum : p. 155, cxcrc. 7. Modiilc de cohomologic locale : p. 142. Modiilc de h/latlis : p. 110. Modulc dualisant : p. 125. Modiilr nmcaiilayen (oii de Macaiilay) : p. 23 Modiilc parîail. : p. 158. cxcrc. 4. Module piir : p. 27.

Pa.rfa.it (niotliiln) : p. 158,nxerc. 4. Pilrlic îor(,c11i~111 SCGMILC : p. 28. Présentablc (anneau) : p. 58. Profoildeiir (l'iin modiile le long d'iinc partie fcr1ni.c : p. 10. Pruîondcirr (l'irii rriodiilc, d'un anilmil local : p. 2. Projective (dimension) : p. 37. Propriété S k : p. IF>], exerc. 8. Puissance symbolique wième d'un idéal premier : p 100 Pur (iriodule) : p. 27. Ri.gi~li(:r(arincnir) : p. 55. Relèvement d'un homomorphisme d'algèbres : p. 83. Si.cnnt (idéal compl~tcriicilt): p. 62. Serre (t,héorimes de) : p. 20 ct p. 54. Socle d'lin iliodiile : p. 111. Suite M-r6giiliCrc : p. 8. 'I'hC.orBrrie
Table des matières

8 1.

Pm)fondevr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Dkfinitiori l~orrlologiquede la profondeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . Profonilciir et acyclicitb ............... : : ................................... 3 . i'r.oforicleiir et complexe de Koszill ........................................ 4 . Profondeur et suites 'bgulières ............................................. 5. Proîondeur le long tl'inir: partic fcrrr16c.................................... 6 . Profontleiir des algèhrrs .................................................... 7. Majorations dc la profoncieur. .............................................. 8. hrineaux noethériens localemen1 intagres ; aririea.ux rioctll&icr~s riorniaux ..................................................................... 9 . Profondeur et connexit 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Profondeur et uorinalit.é ....................................................

Q 2 . il/lorl~uleset anaecmz m.acaulayen..ç .......................................... 1. Modiilcs macai~layeris ....................................................... 2 . Support d'un inodiilc rnsca~~laycii ......................................... 3 . Modulcs riia.caulqwrs sur un aririeaii local ................................ 4 . Parties fortement sécantes et qiiotierits d'iiri rriodule macaulayen ...... 5. Anneaux de Macaulay ...................................................... fi. Modnlcs rnamnlaycns et a1gèk)r.e~ fiiiies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Modules ma.caulaycns ct algkhres plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 3.

ProJmdeur el. dimerwion horraoloijy.uc .................................... 1. nimcrision projrctive, clirrierisiori injective. dimension homologiqi~e. . . . 2 . Loca.lisatioii de la dimension homologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . ï3rricrisiorl horriologiyue des anneaux rioethbriens ........................ 4 . Quotient pa.r un élément siniplifiable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Profoiiclcur et dimension pro.jective ....................................... 6 . t'rofoncleur et dimension irijectivr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Armeaux de Gorcnstein ..................................................... 8 . Anncailx de Goreristeiri et algbtwes plates ................................

X.2 X.2

X.4 X.5 X.8

X.10 X.ll

X.13 X.15

X.16

X.19

fj 4 . A.nneu.uz r.é.quliers .......................................................... 1. Propri6tCs hoinologiques élémentaires des armeaux locaux rkgilliers .... 2 . Caractérisation homologique des anneaux nocthériens réguliers ........ 3 . Anneaux réguliers et algèbres finies ....................................... 4 . Anneaux présentables ...................................................... 5. Arnicaux réguliers et exterrsiorls plates .................................... fj 5. Jr~ter.sect.ior~.scompl&te.s..................................................... 1. Idéal engendré par une suite compliitcment sécante ...................... 2 . Caractérisatioii des idéaux complètcmcnt s6cants ........................ 3 . Idéaux complètement sécants et anneaux réguliers ....................... 4 . Anneaux gradués régiiliers ................................................. 5. Siiitcs régulières et extension dcs scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . Idéaux coniplèternent sécants et extension dcs scalaires .................

5 6.

Eztension des scalaires dans les algèbres r.c:!qulikr.es ......................

1. Algèbres esserrtiellernent de type fini ...................................... 2 . Produits t.ensoriels d'algèbres de Macaulay ou de Gorcrrstein ...........

3 . Extension séparable

ilil corps de hase dans les algèbres rilgiilihcs oii riorniales ................................................................. 4 . AlgCbrcs absolurnent régulières ou absolusrient riorrnales ................ 5. Caraclérisal iorrs dcs algèbres absoluinent régi11ii:rcs .....................

5 7.

Algèbres lisses ...............................................................

1 . Dérivations et relèverncnts d'hornornorphismes ...........................

2 . Algèbres formellement lisscs ...............................................

3 . Exemples d'algiibrcs formellement lisses .................................. 4 . Helèvernents d'homomorphisrnes ilmis les algèbres iïltrilcs complètes . . .

5. Qi~otientsformellement. lisses d'algiihrcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . Extension du corps de hase dans les algiibrcs rCguli6rcs (carac-

téristique non nulle) ........................................................ 7. Urr critère pour les algèbres locales forrrrellernent lisses .................. 8. Existence de rétractions polir les a.pplications héaires .................. 9. T, A cr.it.èreja.cohien .......................................................... 10. Algiihres lisses ...............................................................

$ 8 . Dmlit6 des m o d d e s de lo7rgueur j h i e ..................................... 1 . Modules injectifs indécorriposa.lr>les ............... . ........................ 2. Structure des modi~lesinjectifs indécomposables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . Dualité de Matlis ........................................................... 4 . Dualite dcs rrrodules de longueur finie .....................................

6 . Forictturs dualisants ........................................................

X .115

6 . C1.ra.rrgerrient d'anrieaiix ; dualité dc Macaulay ........................... X.119

7 . Diia.lit6 des modules d'extcsisioris et des prodiiits dc torsioii ............ X.120

3 9.

Modules dualisants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .................... 1. Modules t1iia.lisn.rit.s .......................................................... 2 . Qiwt.ient par unc silitc régulière ........................................... 3 . Changcnicr~tdla.nneaux..................................................... 4 . Structure des rriodi~lcsdiia1isa.rit.s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. r)ualitb des modiiles de type fini ........................................... 6 . Exemple le cas de la tlirricr~siori1..........................................

X.130

5 10. Golro7noloyie locale. (kualitt! d p yothendieck ..............................

X.142

X.125 X.125 X.128 X . 133

X.134 X.137

1. Cohornologie locale ......................................................... X.142

2 . Cohomologic localc sur un ailneau dc 1\lIacaul;.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.145 3. Dualité dc Grotller~diccksur iin a.nnraii (le Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.147

Excrcices Exercices Exercices Exercires Exercices Exercices

du 5 1 .................................................................. X.151 (lu $ 2 .................................................................. X . L M di] 3 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t h 4 ................................................................. di1 5 5 ................................................................. du 4 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices Excrcices Exercices Exercices

ilii du du

(III

5 7 ................................................................. 5 8 .................................................................

5 9 ................................................................. 5 10 ................................................................

Index des notatioiis ............................................................. Index terrriirlologique ............................................................

583253 - (1) - (0,8) - OSB-A 80'

-

PUB

Masson fiditeur 120, boulevard Saint-Germain 75280 Paris Cedex 06 Dépôt légal : mai 1998

Achevé d'imprimer sur les presses de la SNET. S.A. rue Saint-Vincent 12 - B-4020 LiCgc tél. 32(0)4 344 65 60 fax 32(0)4 343 77 50 mai 1998 - 9207 -

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