17eme probleme de Hilbert

17~ae Probl~ae de Hilbcrt* PAULO RIBENBOIM

En 1900, h Paris, Hilbert, invit6 ~ faire une conf6rence, expose 23 probl6mes ouverts de Math6matiques [-10]. La r~solution de ces probl6mes 6tait difficile; on peut citer, par exemple, les travaux de Montgomery, Zippin et Gleason pour le probl+me 5, ceux de Julia Robinson et Matijasevich pour le probl~me 10, et la r6ponse n6gative de Nagata au probl6me 14. Expliquons maintenant ce qu'rtait le 17~me de ces probl~mes. Soit R le corps des rrels, R [X~ . . . . . X j l'anneau des polynrmes h n variables et h coefficients dans R, R (X t . . . . . X.) son corps des fractions, c'est ~t dire le corps des fractions rationnelles ~ n variables et /l coefficients dans ~. Toute fraction rationnelle f ~ ( X l f

= ~

off ft, f 2 ~ R [ X , . . . . .

. . . . . X.) peut s'rcrire sous la forme X.].

On

x = (xl . . . . . x.)~ R" si on peut 6crire f = ~

dit

que

f

est

definie

avec f2 (xl . . . . . x.)

en

0. On

dit que f est drfinie positive si en tout point x E R" off f est drfinie f(x) >_ O. I1 est clair que toute somme de carr~s Y f2, off f~ ~ ~ (X1 . . . . . X.), est drfinie positive. Hilbert a cherch8 s'il existait d'autres exemples. Dans le cas n = 0, (Xt . . . . . X.) = R et f ~ R e s t drfinie positive si et seulement si f est positif dans R, donc si et seulement si f est un carrY. Dans le cas n = 1, f E R (X) est drfinie positive si et seulement si f est s o m m e de deux carr~s. Dans le c a s n = 2, f ~ R (X, Y) est dgfinie positive si et seulement si f peut s'rcrire c o m m e s o m m e de 4 carr~s, mais Hilbert n'a pas pu d&erminer s'il existait ou non une somme de quatre carr~s qui ne soit pas somme de trois carrSs. *Recebido pela SBM em 22 de abril de 1974.

63

Enonqons alors le 176me probl~me de Hilbert dans le cas de n variatles. Soit f e R (XI . . . . . X,) d6finie positive, f est-elle somme de carr~s de fractions rationnelles A coefficients r6els, et, si oui, de combien? Notons qu'on peut supposer f ~ R IX1 . . . . . X,J, positive sur tout R" (en multiplicant par le carr6 du d6nominateur) pour &udier ce probl6me. Une solution qualitative de ce probl6me a ~t~ donn6e en 1927 par Artin dans [1].

I. Rappels sur les Notions lntervenant darts l'Etude [15] Corpsordonnd K: c'est un corps muni d'une relation d'ordre total, compatible avec les op/:rations. Corps ordonnable K: c'est un corps qui peut 6tre muni d'une relation d'ordre total compatible avec les op6rations. Rappelons le t h 6 o r ~ e d'Artin-Schreier qui caract6rise ces corps: un corps K est ordonnable si et seulement si -1 n'est pas une somme de carr~s d'616ments de K. Extension ordonnde tFun corps ordonn~ K: Soit K un corps ordonn6, L une extension de K; L este extension ordonn~e de K si L e s t muni d'un ordre prolongeant celui de K. Corps ordonn~ maximal: un corps ordonn6 K est dit ordonn6 maximal s'il n'admet aucune extension alg6brique ordonn6e, distincte de K lui-mSme. Cl6turer~elle d'un corps ordonnd K: c'est une extension ordonn~e /( de K telle q u e / ( est extension alg6brique de K "et/( est un corps ordonn6 maximal. /( est unique ~t un K-isomorphisme pr~s. caract~risation des corps ordonnds maximaux: un corps L est ordonn6 maximal si et seulement si (i) L = L 2 w ( - L 2) (ii) pour tout f ~ L IX] de degr6 impair, f a une racine dans L. Notons qu'un tel corps poss6de un seul ordre et citons comme exemple le corps R des r6els et le corps des nombres alg6briques r6els. Remarquons aussi que (ii) fait penser que les corps ordonn6s maximaux sont proches des corps alg6briquement clos. En fait, si Lest ordonn6 maximal, alors L(i) est alg6briquement clos (ou i2 = _ 1). 64

Eldments totalment positifs d'un corps ordonnable: soit K un corps ordonnable, K est donc susceptible d'admettre plusieurs ordres totaux compatibles avec les op6rations. On appellera 61ement totale-' ment positif de K un ~16ment qui est positif dans chacun de ces ordres. Il existe une caract6risation de ces 616ments: x ~ K est totalement positif si et seulement si - x est somme de carr~s d'616ments de K.

II. Resolution Qualitative du 17eme Probleme de Hilbert Le corps R ( X 1. . . . . X,.) est ordonable. On a vu que toute somme de carr~s d'616ments de • (X 1. . . . . X,) 6tait d6finie positive et on veut 6tudier la r6ciproque, donc montrer qu'on a l'implication feR[XI . . . . . X,] d6finie positive--+ f est un element totalement positif de R (X1 . . . . . Xn). La premiere d6monstration de ce th6or6me, longue et difficile, a ete donn6e par Artin [1]. On en trouve d'autres pr6sentations dans [15] et [11]. Depuis la rdsolution d'Artin, d'autres d6monstrations utilisant la logique (la Thdorie des mod61es) ont 6t6 6crites: on peut h ce sujet consulter [17], [12] ou [7]. Nous exposerons ici une pr6sentation de ces methodes logiques. Rappelons d'abord un certain nombre d'616ments de logique. 1. Rappels de notions de Logique. Les +nonc6s math6matiques s'expriment au moyen d'un langage. langage est form6 de symboles de diff6rents types:

Un tel

des symboles de constante (comme 0 ou 1) des symboles logiques (ou: v 9 et" ^ 9 non: < 9 il existe ~/; pour tout: /~; et d'autres d6finis ~ partir de ceux ci, comme, par exemple, r6quivalence logique ~--+ ) des symboles relationnels (comme _< ou = ) des symboles fonctionnels (comme + , . ) des variables. 65

Pour exprimer des 6nonc&s de la th~orie des corps commutatifS, on utilisera un langage comprenant 0 et 1 comme symboles de constantes, + et. comme symboles fonctionnels, et = comme symbole relationnel. Dans ce langage ~ on ~crit les axiomes de la th6orie des corps commutatifs et tout ensemble tel que les axiomes soient des propositions vraies sera un mod61e de la th6orie des corps commutatifs. Ici, c'est en fait ia th6orie des corps commutatifs ordonn6s qui nous int6ressera_ Citons les 616ments du langage et 6nonqons les axiomes de cette th6orie. Le langage sera form6 par 0 et 1 comme symboles de constantes, + et. comme symboles fonctionnels ~t deux variables, - - comme symbole fonctionnel ~t une variable et = et > i 0 comme symboles relationnels. Les axiomes de la th6orie des corps commutatifs ordonn6s s'6criront albrs: A X ^ y

^ Z ((x + y) + Z = x + (y + z))

AX

(x+y=y+X)

Ay

^ X (X + 0 = X) ^ x (x + ( - x ) = O) ^x ^y ^z((x.y).z=x.(y.z)) AX ^ y ( x . y = y . x ) ^ x (x. 1 = x) ^x vy((x=0) v(x.y=l)) ^ x Ay ^Z ( x . ( y + z ) = x . y + x . z ) "1(o = ~) AX ^ y ( ( X > 0 ) A ( y > 0 ) ---"X+y>0) AX A y ( ( x > 0 ) A ( y > 0 ) ---' X . y > 0 ) AX(X=0VX>0V --X>0) ^ x -1 ((x > O) ^ ( - x > 0))

Pour obtenir les axiomes de la th~ode des corps commutatifs ordonn~s maximaux, on utilisera le m~me langage r on ajoutera aux axiomes pr6c&lents les axiomes suivants: ^x 66

vy((x=y2)

v(-x=y2))

et pour chaque n > 0, l'axiome AX 1

AX 2 ...

AX2n+I

VX

(X 2 n + l

"t" X l

X 2 n -t- . . .

"1- X Z n + l

= 0)

Nous travaillerons maintenant dans la th6orie relative h u n corps de base fix6 K ordonn6 maximal. On consid6re alors le langage ~ ' obtenu /l partir du langage s pr6c&lent en ajoutant aux symboles de constantes des symboles correspondant aux 616ments de K. On consid6re le syst6me d'axiomes off' obtenu en ajoutant au syst6me pr6c&tent off tousles 6nonc6s qui lient les constantes (donc les 616ments de K). Les modUes du syst6me off' sont alors les corps ordonnbs maximaux L contenant K. Les corps L sont donc des extensions ordonn6es de K, extensions non alg6briques en g6n6ral. Expliquons maintenant la m6thode d'61imination des quantificateurs. On dit qu'un syst6me d'axiomes off 6crits dans un langage .L# permet l'61imination des quantificateurs si pour toute formule F du langage ~ il existe une formule F' du mame langage et sans quantificateurs, telle que F ---, F' soit une cons6quence de off. Revenons aux corps commutatifs ordonnes maximaux. Cette th6orie permet 1'61imination des quantificateurs (voir 1-12]). Comme cons6quence de ce th6or6me, si off' est le syst6me d'axiomes d6finis ci dessus et 6crits dans le langage .L/", alors syst6me d'axiomes off' (de la th6orie des corps ordonn~s maximaux K) est satur6. Le mot satur6 signifie que si F est une for,nule du langage &#', alors F ou --1 F est une cons6quence de off'. C'est/t dir{: que l'on peut,/l partir des axiomes de off', d6montrer F ou on peut d6montrer sa n6gation. Appliquons maintenant ces r6sultats au 176me probl6me de Hilbert.

2. R~solution .par la logique du 170me problbne de Hilbert Ecrivons l'hypoth~se q u e f s R [X~ . . . . . X~] est d~finie positive. Nous avons la formule (F): AX 1 AX2 ... AX. ( f ( x l . . . . . X~)>_0) 67

Cette formule F est vraie dans R. Soit ~r

rensemble d'axiomes pr6c6dents avec K = R.

Nous savons que ~r est satur6 donc que F ou -q F peut &re d6montr6e partir de ~r Puisque F est vraie dans R, c'est que -1 F n'est pas vraie dans R. On ne pourra donc pas d6montrer ~ F ~t partir de ~r C'est donc que F peut &re d6montr6e. Nous avons donc d '

~

F. D'ofi F est vraie dans t o u s l e s mod61es de ~r

En particulier, F est vraie dans ~, cl6ture r6elle de R (X~ . . . . . X.) muni d'un ordre arbitraire. Choisissons alors c o m m e 616ments de ~ : xl = X~ . . . . . x. = X.. D'apr6s F, nous en d6duisons f (X1 . . . . . X.) > 0 dans ~ donc aussi dans • (X~ . . . . . X,). Ceci &ant vrai p o u r tout ordre de R (X~ . . . . . X,), f ( X , . . . . . X,,) est totalement positif dans R (X~ . . . . . X.) donc f est une s o m m e de carr~s d'61~nents de ~q (X~ . . . . . X.).

IIL Etude Quantitative du 176me Probl6me de Hilbert Nous avons donc le r6sultat que f ~ • (XI . . . . . X.) d6fine positive est s o m m e d'un n o m b r e fini m de carr6s d'616rnents de R (X 1. . . . . X.), ce m d6pendant de f et de n. Est-il possible de trouver m(n) borne sup6rieure des m(n,f) pour toutes les fonctions d6finies positives f de R(X~ . . . . . X.). Examinons les Si n = 0 , on a Si n = 1, on a Si n = 2 , on a

cas des premi6res valeurs de n. m(0)=l. re(l)=2. m(2)<4.

Un travail non p.ubli~ de Ax en 1968 a montr~ que m(3) < 8, mais Pfister a d6montr+ ind6pendamment que p o u r tout n on a m(n) < 2". [13] Appelons donc constante de Pfister, et notons Pf(K), le plus petit entier m (s'il existe) tel que toute s o m m e de carr~s d'~l~ments de K soit s o m m e d'au plus m carr6s; si un tel entier n'existe pas, posons P f ( K ) = ~ . Avec cette notation, le r~sultat pr6c~dent de Pfister devient Pf(R (XI . . . . . X,)) < 2". 68

D'autre part, Cassels a &abli le r+sultat suivant: n + 1 < P f ( K (X t . . . . . X.)) quel que soit le corps K [2]. On en d&tuit que si n = 2, 3 < P f (~ (X~, X2) ) <~ 4. Mais dans un article, [3], Cassels, Ellison et Pfister ont d6montr6 qu'un certain polyn6me de ~ ['X, Y] d6fini positif donc somme de 4 carr6s n'&ait pas somme de 3 carr6s, ainsi P f (R (X1, X2)) = 4. Pour

n

_

3,

le probl6me reste ouvert et on sait seulement que

n + 1 < P f ( ~ ( X 1. . . . . X , ) < 2".

Notons qu'on peut consid~rer ces questions sur d'autres corps que • et que Pourchet [14] a d6montr6 r6cemment que P f (Q (X)) = 5. On ne connaissait jusque l~t que le r6sultat de Landau P f (R (X)) < 8. Nous remarquons donc que la constante de Pfister d'un corps n'est pas toujours une puissance de 2. Le paragraphe qui suit est consacr6/t r6tude des notions intervenant dans la d6monstration du tr6s joli r6sultat de Pfister. Sommes de carrds - Niveau et Dimension diophantienne d'un corps.

Rappelons d'abord l'identit6 classique: (a 2 q- b 2) (C 2 "[- d 2) = (ac - bd) 2 + (ad + bc) 2

Nous avons ensuite l'identit6 de Lagrange: le produit de deux sommes de quatre carr6s est une somme de quatre carr~s. On peut d6montrer cette identit6 en utilisant la norme multiplicative sur les quatemions d6finie par la somme des carr6s des quatre composantes. Puis nous avons l'identit6 de Cayley: Le produit de deux sommes de huit carr6s est une somme de huit carr6s, qui se d6montre en utilisant l'alg6bre, non associative et non commutative, de Cayley. L~ encore, nous aurons une norme multiplicative d6finie par la somme des carr6s des huit composantes. Dans chacun de ces trois cas, les composantes du produit sont des formes bilin6aires des composantes des sommes donn6es. Mais Hurwjtz a montr6 que ceci n'6tait possible que pour des produits de sommes de 1, 2, 4 ou 8 carr6s. 69

T6utefois, Pfister a r6ussi h d6montrer que lorsqu'on consid6re des sommes de carr6s d'616ments de corps (et non seulement d'alg6bres), le produit de deux sommes de 2 n carr~s est une s o m m e de 2n carr6s d'616ments du corps. De plus, le r~sultat n'est pas susceptible d'am61ioration en ce sens que si on consid6re un q tel que, dans tout corps; le produit de deux sommes de q carr~s est une s o m m e de q carr6s, alors n6cessairement q est une puissance de deux. Ce th6or6me est utilis6 dans l'&ude des niveaux des corps. Rappelons ce qu'est le niveau d'un corps K: si K est ordonnable, alors - 1 ne peut 6tre une somme de carr6s d'61onents de K et on posera pour le niveau de K: v ( K ) = o c . Si K n'est pas ordonnable, alors - 1 est une s o m m e de carr6s d'~16ments de K et on appellera niveau de K le plus petit entier m tel que - 1 soit une somme de m carr6s dans K. Le r6sultat sur les sommes de carr6s a permis Pfister de d6montrer que si K n'est pas ordonnable, alors v(K) est une puissance de 2. De plus, r6ciproquement, pour toute puissance de 2, on peut trouver un corps K qui ait pour niveau cette puissance de 2. Par exemple dans le cas off K est fini, tout 616ment est somme de deux carr6s, donc v(K) est 1 ou 2. Au moyen du symbole de Legendre, on sait quand v(K) = 1. I1 est plus int6ressant de chercher quel est le niveau des corps de hombres alg6briques non ordonnables c'est ~ dire totalement imaginaires. P o u r ce faire, on utilise le principe du local - global sous la forme du th6or6me de Hasse-Minkowski qui permet de r&iuire le probl6me au cas du corps des complexes (trivial) et des extensions alg6briques finies des corps p-adiques. La question est alors r6solue par un th6or6me de Hasse qui ~nonce que route forme quadratique d cinq variables et d coefficients dans un corps extension alg~brique finie d'un corps p-adique, a un zdro non trivial. Donc, localement, - 1 est s o m m e de 4 carr6s et ceci est aussi vrai globalement. En conclusion, le niveau de tout corps de nombres totalement imaginaire est 1, 2 ou 4. Un article de Connell 15] permet de d6cider quel est le niveau du corps dans chaque cas. 70

Ces questions conduisent aux probl6mes d'existence de z6ro non trivial pour des polyn6mes homog~nes. Ceci est en fait la d6termination de la dimension diophantienne des corps. Si K est un corps donn6, on cherche/l savoir quelles conditions sur le nombre des variables et sur le degr~ des polyn6mes homog~nes entra~neront qu'un tel polyn6me aura z~ro non trivial. Sur ce sujet, on peut consulter [15].

IV. Quelques Developpements Recent~ du 17~me Probleme de Hilbert Nous parlerons tout d'abord d'un th6or~me de Dubois dont la d6monstration utilise le r~sultat de Artin sur le 17~me probl~me de Hilbert et qui est l'analogue du th6or~me des z~ros de Hilbert. [6] Puis nous exposerons quelques r6sultats sur des probl~mes semblables au 17~me probl~me de Hilbert d'abord pour des vari6t6s r6eltes [8], ensuite pour des matrices sym6triques [9], consid~r6s derni~rement par Danielle Gondard et moi m~me.

1. Thdor~me de Dubois Commenqons par rappeler le th6or~me des z6ros de Hilbert. Si K est un corps et S ~ K IX 1. . . . . X,]; n > 1, on associe /t S l'ensembte

V(S) = { x = ( x 1. . . . . x , ) ~ g " l f ( x I . . . . . x n ) = 0

rV f ~ s } .

On dit que V(S) est le K-ensemble algdbrique associ~ h S. R6ciproquement, soit T ~ Kn; d~finissons

ld(T) = { f ~ K [ X 1 . . . . . X,] f ( x l . . . . . x,) = 0 ,

V• ~I}

ld(T) est un id6al de K IX 1. . . . . X,]. Notons quelques propri~t6s: (i) Soit I riddal en#endr~ par S. Alors V(1) = V(S). 71

On peut donc ne consid6rer que des id~aux de K IX 1. . . . . X.]. (ii) I d ( V ( I ) ) D I. (iii) V (Id (T) ) ~ T. (iv) V (Id (V (I))) = V (I). Une question importante est la d&ermination de I d ( V ( I ) ) et des id6aux tels que Id(V(1)) = I. Dans le cas off K est un corps alg6briquement clos, le probl6me est r6solu par le th6orSme des z6ros de Hilbert. THI~ORI~ME DES ZI~ROS DE HILBERT. Soit K un corps alg~briquement clos, I un ideal de K I X 1. . . . . X.] alors

Id(V(l)) = ~/I

(le radical de I)

defini par x/l ={feK[X

t . . . . . X.]13m>__ 1

f'el}.

Alors, nous avons une correspondance biunivoque entre les id6aux radicaux qui sont tels que I = x/~ et les K-ensembles alg6briques. De plus, les id6aux radicaux I sont caract6ris6s par le fait que I e s t intersection d'id6aux premiers et mSme d'un nombre fini d'id6aux premiers. V(I) est alors la r6union d'un nombre fini de K-ensembles alg6briques correspond a n t / t ces id6aux premiers. Ces K-ensembles algSbriques irr6ductibles sont alors appel6s vari6t6s de K ~. L'6tude de ces vari6t6s est alors 6quivalente/l celle des id6aux premiers P de K I X 1. . . . . X,]. Chaque i d o l premier P e s t associ6 bijectivement h l'anneau

des coordonn6s de V(P) c'est ~t dire K [Xt . . . . . X , , ] / P = K [~x . . . . . ~.] Cet anneau est une K-alg6bre int6gre de type fini et toute telle alg6bre peut s'obtenir /l partir d'un id6al premier. Le th6or6me des z6ros de Hilbert permet donc de ramener l'6tude g6om6trique des vari6t6s /t celle, alg6brique, des K-alg6bres int6gres de type fini. 72

Dans le eas off K n'est pas alg6briquement dos, il n'y a plus de th6or+me. Cependant, les corps ordonn6s maximaux 6tant tr6s proches des corps alg6briquement clos, on peut esp6rer avoir dans ce cas un th6or6me analogue. C'est le th6or6me de Dubois, d'ailleurs d6couvert sous une forme 16g6rement distincte par Risler [16]. THI~ORI~ME DE DUBOIS. Soit K un corps ordonn6 maximal, I un iddal de K [X~ . . . . . X,]. Alors Id ( V ( I ) ) = ~ (le radical rdel de I), ddfini par = { f ~ K [ X , . . . . . X . ] 1 3 m > _ 1,3u 1 . . . ~ u , ~ K ( X 1 . . . . . X.), f'(1 + ~u2)eI}. I1 est clair que ~ ~_ x/~, mais il est possible que ces id6aux soient distincts; par exemple, si I e s t un id6al principal de R [X] engendr6 par 1 + X 2, alors ~ / I = I alors que 8 , contenant 1, est R IX]. Un id6al tel que I = RV/I sera appel6 id6al r6el. Les id+aux premiers r6els de K [X~ . . . . . X.] sont alors en bijection avec les vari6tbs irr6ductibles de K" (K 6tant naturellement ordonn6 m a x i m a l ) e t 6galement en bijection avec les K-alg6bres int6gres de type fini de la forme K [X~ . . . . . X,] / P o ~ P = est un ideal r6el premier. De telles K-alg6bres sont caract6ris~es par le fait que leur corps des fractions L e s t ordonnable. Les anneaux de coordonn6es des vari6t6s irr6ductibles de K" ont done la propri6t6 que leur corps des fractions est ordonnable. La d6monstration du th6or6me de Dubois fait usage du th6or6me d'Artin. Ceci laisse croire que Hilbert, ayantes, th6or6me des z6ros sur les complexes, voulait avoir un th6or6me analogue sur les r6els et pressentait que la d6monstration exigerait la r6ponse pr6alable ~. son 17+me probl6me.

2. 176me probldme de Hilbert pour les vari&ds rdelles Soit K un corps ordonn6 maximal, P un id6al premier r6el et V = V(P). Soit K(V) le corps des fractions de

I,: [Xl . . . . . X . ] / P = K [~1 . . . . . ~.]. Tout 616ment de K(V) s'6crit ~ , off f l et f2 e K [~l . . . . . ~,]. Tout 616ment f ~ K [~1 . . . . . ~,] peut 8tre consid6r6 comme une application de V dans K 73

ou

comme

la r e s t r i c t i o n

~ V _~ K" d ' u n e

fonction

polyn6miale

K [Xl . . . . . X.]. On dira que f ~ K(V) est d6finie en x = (x l . . . . . x.)E K si f peut s'6crire

f,

f = ~22 off fl et f z ~ K ['~1. . . . . ~,] et que f2 est non nulle en x. De m~me, on dira que f ~ K(V) est d6finie positive sur un ensemble si eUe est positive en tout point de cet ensemble off elle est d6finie. On peut alors se poser la question de savoir si f ~ K(V) d6finie positive sur V est une s o m m e de carr6s dans K(V). On peut montrer qu'il existe des fonctions f ~ K [~1 . . . . . ~,] d6finies positives sur V qui ne s o n t p a s la r e s t r i c t i o n ~t V d'une f o n c t i o n p o l y n 6 m e F ~ K [XI . . . . . X.] d~finie positive sur K". La r6ponse A la question ne peut donc pas &re une simple application du th6or6me d'Artin. P a r contre, en utilisant une m6thode de logique analogue ~ celle expos6e ci-dessus, on peut d6montrer que le probl6me admet une r6ponse affirmative: une fonction f ~ K(V)d6finie positive est somme de carr6s dans K(V). Nous nous sommes alors int6ress~s au probl6me quantitatif correspondant_ En utilisant un lemme de Pfister, on peut montrer que Pf(K(V)) <_ 2a off d est la dimension de la vari6t~. D'autre part, nous faisons la conjecture que

d + 1 < Pf(K(V)) Cette conjecture est d~montr~e dans beaucoup de cas, par exemple, lorsque d = 1, lorsque V e s t une vari&~ rationnelle donc que K(V) = K(~ll . . . . . ~la), lorsque K(V) = K [r/1 . . . . , r/a] (a) avec [K(V) :K(~h . . . . , ~/a)] impair, ou encore lorsque V e s t une sphere r ~ l l e de respace •3.

3. 17dine probldme de Hilbert pour les matrices sym~triques Pr6cisons d ' a b o r d quelques d6finitions. 74

Soit K un corps ordonn6 et R u n e cl6ture r6elle de K; soit A = (Aij) une matrice sym&rique d'ordre n/l coefficients dans K; on dit que A est positive lorsque la forme quadratique associ6e ~t A sur Rest positive, c'est/t dire lorsque Vu = (ul . . . . . u,,) ~ R"

~_, A~i u~ uj >__ O.

Cette d6finition est ind6pendante du choix de la cl6ture r~elle ~ de K et permet de d6finir une relation d'ordre sur le groupe additif des matrices sym6triques d'ordre n h coefficients dans K. Cet ordre sera appel~ extension naturelle de l'ordre de K. Soit maintenant K un corps quelconque. Une matrice sym6trique A d'ordre n ~t coefficients dans K sera dite naturellement positive si A est positive pour tout ordre extension naturelle d'un ordre de K. Nous avons d'abord 0btenu la g6n6ralisation d'un r~sultat de Ciampi [4] qui peut alors s'exprimer gr~ce aux d6finitions ci dessus de la mani6re suivante: Soit K un corps de caract6ristique diff6rente de 2. Une matrice sym6trique /t coefficients dans K est natureUement positive si et seulement si elle est somme de carr6s de matrices sym6triques /l coefficients dans K. (r6sultat trivial si K est non ordonnable). Consid6rons alors des matrices sym6triques F = (Fij) avec Fij ~ K ( X 1. . . . . X,,,) otl K est ordonn6 maximal. On dit que F est d6finie au point x = (x I ..... xm)e K m lorsqu'on peut 6crire pour tout i et tout j F , j = - f fGij '-,Gi~,

Hij~K[XI

. . . . . Xm]

et

H~j(xl . . . . . xm) ~ O.

On dit que F est ddfinie positive sur K m si la matrice F(x) = (Fij(x)) est positive en tout point x oti elle est d6finie. Toujours en utilisant une m&hode de logique analogue/t celle expos~e pr6c6demment, nous prouvons qu'une matrice sym6trique /t coefficients dans K ( X 1. . . . , Xm) ( K ordonn6 maximal) est d6finie positive si et seulement elle est s o m m e de carr~s de matrices ~ coefficients dans K (X1 . . . . . Xm). Dans le cas n = 1, on retrouve le th6or6me d'Artin. 75

On peut alors consid6rer les questions quantitatives correspondantes et d6finir une constante de Pfister Pf (n,m) pour les matrices sym6triques d'ordre n coefficients dans un corps K ( X 1. . . . . Xm), K 6tant ordonn6 maximal. II est possible de d6montrer le r6sultat suivant m + 1 _< Pf(n,m) _< 2m, la minoration 6tant obtenue assez facilement, la majoration 6tant plus difficile et utilisant les r6sultats du w de cette partie.

BIBLIOGRAPHIE

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Queen's University Ringston -- Ontario Canada

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