スプライン関数入門―情報処理の新しい手法

情 ★報 ★科 ★学

スプライン 関数入門 桜井 明 編著

東京電機 大学 出版局

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の 許 諾 を得 て くだ さ い 。

ま

  ス プ ラ イ ン 関 数 は,区 関 数 で あ る.こ で あ る.こ

え

き

分 的 に 多 項 式 で 表 わ せ て,し

れ は 別 の 面 か らい え ば,階

の よ う に,そ

が

か も適 当 な 滑 らか さ を持 つ

段 関 数 を何 度 か 積 分 し て 得 ら れ る関 数

れ 自体 は 簡 単 な も の で あ る が,区

分 的 な た め,複

雑 な形

を し た 関 数 を 能 率 よ く近 似 で き る と い う抜 群 に す ぐれ た 性 質 を 持 っ て い る.こ

の

た め,情 報 処 理 技 術 の 発 展 と も関 連 し て 各 方 面 で ま す ま す 重 要 に な っ て き て い る.   ス プ ラ イ ン関 数 はSchoenbergが 名 し た も の で あ る.そ な の で,そ

そ の1946年

の論 文[１]に お い て 定 義 し,命

の 際 の エ ピ ソ ー ドと して,そ

れ が あ ま りに簡 単 で か つ有 効

れ ま で 未 発 見 で あ る と は 到 底 信 じ られ な か っ た とい う.も

っ と も,原

始 的 な形 で は 人 口統 計 な どに 関 連 し て 保 険 数 学 の 分 野 で す で に 使 わ れ て い た こ と は 本 文 の 小 史 に し る され て い る と お りで あ る.   ス プ ラ イ ン の 名 は 製 図 で 図 面 上 に 与 え られ た 点 列 を滑 らか に む す ぶ 曲 線 を描 く の に 用 い る 道 具(自 れ る 曲 線 が,こ

在 定 規)か

ら取 ら れ て い る.こ

の 時,こ

の 定 規 に よ っ て描 か

れ ら の 点 列 を通 る ３次 の ス プ ラ イ ン 関 数 に 対 応 し て い る わ け で あ

る.   こ の 例 の よ うに,ス う.実 際,そ

れ は,従

プ ラ イ ン関 数 は 補 間 や 関 数 近 似 な ど を ご く 自然 の 形 で 行 な 来 か ら の 多 項 式 近 似 な どに 比 べ て 振 動 が 少 な く,局 所 的 に

も無 理 の な い よい 近 似 を与 え る.こ 記 憶,ま

た い わ ゆ る,曲

線,曲

の こ とは,実

験 デ ー タ の 近 似,曲

線 や 曲面 の

面 の 設 計 な ど 多 くの 実 用 的 問 題 に 利 用 さ れ て い

る.   一 方,こ

れ は,数

値 微 分 や 数 値 積 分 に も 有 用 で あ る.と

くに,数

値積 分 は ス プ

ラ イ ン 関 数 を 当 て は め る こ と と 本 質 的 に 関 連 し て い る こ と は 本 文 に 示 す と お りで あ る.ま

た,数

値 微 分 が 精 度 よ くで き る こ と も広 い 応 用 が あ る.さ

程 式 の 数 値 解 に も有 用 で あ る.こ

れ に 関 連 し て,有

ら に,微

分方

限要 素 法 で普 通 に使 わ れ る近

似 解 は,あ

る 滑 らか さ を持 っ た 区 分 的 多 項 式 と い う意 味 で,ス

も の で あ る こ と に 注 意 し た い.こ の パ ー テ ィの お り,こ

の こ とに つ い て,Schoenberg教

れ は ち ょ っ と我 田 引 水 と思 うが,せ

い う名 前 が あ る の に,有

プ ラ イ ン関 数 そ の. 授 も,お

っ か く,ス

宅で

プ ライ ン と

限 要 素 な ど と別 な 言 葉 を 使 う の は 無 駄 とい う も の だ と冗

談 ま じ りに 述 べ て お られ,た.以

上 の よ うな有 用 性 の た め数 値解 析法 全 般 を ス プ ラ

イ ン関 数 を用 い て 書 き改 め るべ き だ との 議 論 さ え あ る.  

と こ ろ で,ス

プ ライ ン 関 数 を近 似 解 に 使 う こ と は,数

点 で 合 理 的 で あ る.例

え ば,差

分 法 に よ る 解 で は,格

学 的 に 見 て もい ろい ろ な

子 点 の 中 間で の値 は原則 と

し て 無 い が,ス

プ ラ イ ン で の場 合 は そ れ が 自動 的 に 与 え られ て い る こ とは 自然 で

あ る.ま

分 方 程 式 の 解 に 要 求 され る 滑 らか さ は 数 学 的 に は そ の 式 に 含 まれ

た,微

る 微 分 の 程 度 で あ るべ き だ が,古 数 な ど,い

典 的 な 近 似 解 で は しば しば 多 項 式 や 有 限 三 角 級

わ ば 完 全 に 滑 ら か な 関 数 が 用 い られ て い る.こ

れ に 対 し て,ス

プ ライ

ン に よ る近 似 解 は 要 求 され る 滑 ら か さ で 求 め る こ とが で き る.   さ ら に,こ い る.こ

れ に 関連 して ス プ ライ ン関数 自体 が数学 的 に興 味 あ る性質 を示 して

れ は,こ

の 関 数 が 関 数 空 間 で の 取 扱 い に 適 して い る こ と も あ っ て,そ

の

方 面 の 研 究 が 大 い に 行 な わ れ て い る.   ス プ ラ イ ン 関 数 の 発 見 は 上 述 の よ うに1946年

の こ とで あ る が,そ

認 識 され 始 め た の は1960年

れ 以 来,そ

代 の こ と で あ る,そ

用 に つ い て の 研 究 が 盛 ん に な り,そ

が 国 に お い て も と くに 最 近 で は 情 報

の 応 用 が 各 方 面 か ら注 目 され て い る.

  本 書 の 原 本 で あ る 「Spline Functions  and  ApPlications」 学 数 学 研 究 所,Ｔ.  Ｎ.  Ｅ.  Greville教

授 に よ っ て,研

会 の テ キ ス トと し て 書 か れ た も の で あ る.私 い た だ い た の で あ る が,そ い た.そ

の 際,こ

の 後,当

時,東

は, Wisconsin大

究 所 で の1970年

は それ をGreville教

の専 門 講 習 授 よ り親 し く

京 電 機 大 学 大 学 院 で テ キ ス ト と して 用

れ が 非 常 に よ く書 か れ て い る こ と に 一 同 深 い 感 銘 を 受 け ,輪

に も 熱 が 入 っ た.実 が,そ

の基礎 理 論 お よび応

の 成 果 と と も に 数 多 くの 成 書 も出 版 され て い

る こ とは 巻 末 の 文 献 に 見 る と お りで あ る.わ 処 理 技 術 の 発 展 と相 ま っ て,そ

の 重要 性 が

際,そ

れ は 平 易 で あ る が 厳 密 性 は 失 わ ず ,応

の 有 用 性 は 十 分 に 強 調 され,そ

講

用 に は偏 しない

の よ く準 備 され た 問 題 と と も に 単 に ス プ ラ

イ ン入 門 書 と して だ け で な く,応 用 数 学 特 殊 題 目 と し て も 面 白 い も の で あ る .こ の た め,こ

の うわ さが 広 が り,そ

れ 申 し込 み が 引 き続 き,原

の 研 究 室 な ど か ら も テ キ ス トの 借 入

本 ほや が てぼ ろぼ ろ に な った ほ どで あ った.

  そ の と き の 感 銘 が 忘 れ られ ず,当 間 で,こ

の 後 も,他

時 の 大 学 院 生 の 有 志(石

井,吉

村,高

の 原 本 を 元 に し て 出 版 し た ら と い う こ と に な り,Greville教

是 非 を お うか が い し た と こ ろ 好 意 的 な お 返 事 を い た だ い た.た

山)の

授 に もその

だ し,教 授 が こ の

デ キ ス トを 書 く に 当 た っ て 米 国 政 府 研 究 費(No.DA-31-124-ARO-D-462)の 助 に よ っ た こ と だ け は 書 い て お い て くれ とい う の で,そ

援

れ を こ こに記 す次 第 で あ

る.   原 本 は こ の よ うに よ く書 け て い る が,実

際 の 応 用 例 が ほ とん ど な い こ と,お

び 書 か れ た あ との 十 年 間 の 進 歩 に 対 す る 空 白 が あ る わ け で あ る.こ で,第

６章 を 設 け て,二,三

の 応 用 例 に つ い て 述 べ,ま

新 しい 文 献 を つ け 加 え る ほ か,注

れ を 補 う意 味

た最 近 の進 歩 に つい ては

な ど に よ り補 う こ と に し た.た

だ し,近 年 の 理

論 的 発 展 は 本 書 の よ う な 入 門 の 程 度 を越 え た 高 度 の も の が 多 く,そ は も ち ろ ん 入 れ て な い.ま

よ

た 原 本 の 練 習 問 題 に は 解 答 は な い の で,便

の よ う な もの 宜 のた め略

解 を つ け た.   な お 翻 訳 に 当 た っ て は 必 ず し も原 本 に 忠 実 で な く,ま

た理 解 を助 け る た め に 注

を つ け た 場 所 も多 い.   最 後 に,本

書 の 出 版 に 当 た っ て,こ

学 出 版 局 一 同 に,心

1981年

れ を心 よ くお 引 受 け い た だ い た 東 京 電 機 大

か らの 感 謝 の 意 を表 す る も の で あ り ま す.

 ６ 月

桜

井

 明

原 本 まえが き

  ス プ ラ イ ン関 数 は 科 学 や 工 学 で 広 く応 用 さ れ て い る.そ 自 身 は 簡 単 な関 数 だ が,他 性 質 に よ っ て い る.す と な っ て い る)の

プ ライ ン 関 数

の 複 雑 な 関 数 を た くみ に 近 似 す る こ と が で き る とい う

な わ ち,ス

プ ライ ン関 数 は 区 分 的 多 項 式(区

間毎 に多項 式

一 種 で あ り,「 最 良 近 似 問 題 」 の 解 の 多 くが ス プ ラ イ ン 関 数 で

表 わ され る か ら で あ る.一

般 に,関

変 だ と い う こ と も あ る し,そ 例 え ば,そ

れ は,ス

数 が 複雑 で あれば それ を直 接 計 算 す るの は大

も そ も数 式 で 表 わ さ れ て い な い とい う場 合 も あ る.

れ が 実 験 値 で しか 与 え られ て い な い 場 合 な どで あ る.

  こ の よ う な場 合,ス

プ ライ ン関 数 は普 通使 れ てい る多項 式近 似 よ りもは るか に

適 して い る.ま

れ は 補 間 や 微 分 方 程 式 の 数 値 解,あ

た,そ

るい は定 積分 の数 値 計

算 な どに も適 し て い る.   こ の 講 義 の 内 容 に つ い て 第 １章 で は,ス い 方 に つ い て 一 般 的 注 意 を与 え,さ

プ ラ イ ン 関 数 の 定 義,性

ら に,そ

質,お

よび使

れ ら を簡 単 な 例 で 説 明 し て い る.ま

た,任

意 の ス プ ラ イ ン関 数 を簡 単 な 代 数 式 で 表 わ す こ と に つ い て も 取 り扱 っ て い

る.第

２章 で は,自

然 ス プ ライ ン(natural 

spline)と

い うス プ ラ イ ン 関 数 の 重

要 な 属 を定 義 し,関 数 が そ の 自然 ス プ ラ イ ン で 一 義 的 に 補 間 さ れ る とい う定 理 を 証 明 す る.さ で,最

らに,自

然 ス プ ラ イ ン に よ る補 間 は 最 も滑 らか で あ る と い う意 味

小 性 を 持 つ と い う定 理 を証 明 す る.第

も の で あ り,そ れ に は 残 差 に 関 す るPeanoの す るSardの わ ち,与

理 論 が 含 ま れ る,さ

形 汎 関 数 の近 似 に 関 す る

定 理 や 線形 汎 関 数 の最 良近 似 に 関

ら に,Ｉ.  Ｊ.  Schoenbergが

発 見 し た 性 質,す

え られ た 汎 関 数 に 対 す る 最 良 近 似 を 見 い だ す こ と は,対

ラ イ ンの 補 間 関 数 へ,こ れ る.第

３章 は,線

４章 で は,差

イ ン とい うの は,局

な

応 す る 自然 ス プ

の 汎 関 数 を 適 用 す る こ と と等 価 で あ る と い う性 質 も 含 ま

分 商 の 性 質 と Ｂ-ス プ ラ イ ン の 性 質 を 展 開 す る.Ｂ-ス 所 的 な 台(limited 

support;第

４章 図4･5参

照)を

プラ 持つス

プ ラ イ ン 関 数 で,ス

プ ラ イ ン 関 数 属 の 基 底 を形 成 し,実 際 の 計 算 に お い て 重 要 な

役割 を演 ず る も の で あ る.第

５章 で は,自

然 ス プ ラ イ ン で 補 間 を行 な うた め の 数

値計 算 の ア ル ゴ リ ズ ム に 関 す る も の で あ る.ま の平 滑 化 の 方 法(smoothing 

method)を

た,SchoenbergがWhittarker

応 用 し て 求 め た 自 然 ス プ ライ ン に よ る

平滑 化 法 を 考 察 して い る. 本 講 義 の 目的 は ス プ ラ イ ン 関 数 の 初 歩 的 な 性 質 と 応 用 に つ い て の 入 門 を わ か り や す く述 べ る こ と に あ る.従 で あ る.と

っ て,必

要 と す る 数 学 は 代 数 と微 積 分 の 初 歩 で 十 分

こ ろ で 本 書 は ス プ ラ イ ン関 数 の 初 歩 的 部 分 だ け に つ い て も す べ て 網 羅

し て い る とは 言 え な い が,各

章 の 終 わ りに つ け た 小 史 と 参 考 文 献 で 相 当 量 が 補 わ

糺 て い る は ず で あ る. 本 書 の 準 備 に 当 た っ て Ｊ.Ｗ.  Jerome,  Ｂ.  Noble,  Ｊ.  Ｂ.  Rosser,  Ｌ.  Ｌ.  Schumaker 特 に,Ｉ.Ｊ,  Schoenbergに

お 世 話 に な っ た.彼

らに は題 材 の選 択 につ い ての 議論

と構 成 に つ い て の 助 言 を い た だ い た こ と に 感 謝 す る.   本 書 が ス プ ラ イ ン関 数 に 興 味 あ る読 者 へ の 一 つ の 刺 激 と な れ ば 幸 い で あ る.

Ｔ.Ｔ.  Ｅ. Greville

次

目

第 １章   ス プライ ン関数 の定 義 とそ の基 本 的 性質 １

ス プ ライ ン関 数 とは

1･2 

ス プ ライ ン関 数 に よる曲 線 当 ては め

１

1･3 

近 似 関 数 と し て の ス プ ラ イ ン関 数 の 利 点

２

1･4 

ス プ ラ イ ン関 数 の 簡 単 な 例

４

1･5 

ス プ ラ イ ン関 数 の 数 学 的 定 義

７

1･6 

切断 べ き関数

1･7 

ス プ ラ イ ン関 数 の 切 断 べ き 関 数 に よ る表 示

1･8 

第 １章 に 関 す る 小 史

12

演 習問 題   １

13

８

1･1 

第 ２章

９

“最 も滑 らかな ”補 間 の問題

2･1 

多 項 式 に よ る補 間 ―Lagrangeの

2･2 

“最 も 滑 らか な ” 補 間 関 数

公式

プ ライ ン

14 16 18

2･3 

自 然 ス プ ラ イ ン と Ｃ-ス

2･4 

ス プ ラ イ ン の 微 分 と積 分

20

2･5 

自然 ス プ ラ イ ン と Ｃ-ス プ ラ イ ン の 性 質

21

2･6 

自然 ス プライ ンの最 小 補 間性

24

2･7 

第 ２章 に 関 す る小 史

28

演 習 問題  ２

30

第 ３章 線形汎関数の近似 3･1 

線 形 汎 関 数 

31

3･2 

Peanoの

32

3･3 

汎 関 数 の 最 良 近 似 に 関 す る Sard  の 理 論 

34

3･4 

自然 ス プ ラ イ ン に よ る 線 形 汎 関 数 の 近 似 

35

定 理 

3･5 

Schoenbergの

定 理 

3･6 

例

3･7 

自然 ス プ ラ イ ン に 対 し て 厳 密 な 近 似 

44

3･8 

第 ３章 に 関 す る 小 史 

45

演習 問 題

46

題 

３ 

38 41

第 ４章  差 分 商 と Ｂ-ス プ ライ ン 4･1 

補 間 自 然 ス プ ラ イ ン の 計 算 

47

4･2 

差

49

分

商 

4･3  高階 差 分 商 の 関数 値 に よる表 現 

51

4･4 

Newtonの

52

4･5 

多 項 式 の 差 分 商 

55

4･6 

Ｂ-ス プ ラ イ ン と差 分 商 との 関 係 

55

4･7 

Ｂ-ス

プ ラ イ ン の 性 質 

61

4･8 

第 ４章 に 関 す る小 史 

66

演習 問 題

67

第 ５章

差 分 商 補 間 公 式 

４ 

自然 ス プ ライ ン の計 算 法 と平 滑 化 ス プライ ン

5･1 

Ｎ-ス プ ラ イ ン で 表 現 され る 自然 ス プ ラ イ ン 

68

5･2 

連 立 一 次 方 程 式 の 元 の 縮 小 

71

5･3 

ス プ ラ イ ン 係 数 の 計 算 

73

5･4 

例

題

  74

5･5 

計 算 につ い て の一 般的 な注 意

  77

5･6 

他 の 方 法 に よ る “最 も滑 らか な ” 補 間 ス プ ラ イ ンの 導 出

  79

5･7 

デ ー タ 点 を 平 滑 化 す る 自然 ス プ ラ イ ン

  80

5･8 

平 滑化 自然 ス プライ ンの計 算 概要

  84

5･9 

ス プライ ン関数 の そ の 他の 応 用

  86

5･10  第 ５章 に 関 す る 小 史

  86

演 習 問題   ５

  86

第 ６章  ス プ ライ ン関数 の種 々の応 用 6･1 

Ｂ-ス

6･2 

拡 張 ス プライ ン

6･3 

プ ライ ン を 用 い た 補 間

２次 元 の 補 間 ス プ ライ ン

6･4  微分 方程 式 へ の応 用 の応 用

  88  97  103  109  118

6･5 

CAD/CAMへ

6･6 

医 用工 学 へ の応 用

 137

6･7 

社 会現 象 へ の応 用

 142

録

 146

文

献

 150

演習問題の解答

 154

索

 172

引

付

第 １章 ス プ ラ イ ン関 数 の 定 義 とそ の基 本 的 性 質

1･1 

スプ ラ イ ン関数 とは

  ス プ ラ イ ン 関 数(spline  function)の 一 口で 言 え ば ,ｎ nomial

function)で

数 学 的 に 厳 密 な 定 義 は あ とで 述 べ る が,

次 の ス プ ラ イ ン関 数 とは 区 分 的 多 項 式 関 数(piecewise  あ る.す

な わ ち,そ

ｎ次 の 違 った 多 項 式 曲 線 で 定 義 され,し

れ は 小 区 間 内 で は,そ

れ ぞ れ,た

polyかだか

か も そ れ ら は 互 い に で き る だ け 滑 らか に

つ な が っ て い る よ うな も の で あ る.こ

の 場 合,そ

の 関数 が 特 別 な場 合 に単 一 の 多

項 式 に な る こ とは 差 し支 え な い が,全

区間 で単 一 の 多項 式 に な る必 要 は ない とい

うこ とが 重 要 で あ る.   「ス プ ライ ン」 と い う言 葉 は,製 を 意 味 して い る.こ

図 の と き滑 らか な 曲 線 を描 く道 具(自

の 道 具 は 図1･1の

図1･1 

よ うな もの で,与

え られ た デ ー タ点 の 近 く

自在定 規 とお も り

を 通 る よ うに 自 由 に 曲 げ る こ とが で き,し りが つ い て い る.自

在 定 規)

か も 固 定 で き る よ うに い くつ か の お も

在 定 規 に よ っ て 描 か れ た 曲 線 は,近

似 的 に は ３次 の ス プ ラ イ

ン 関 数 の 表 わ す 曲 線 で あ る こ とが わ か っ て い る[１]*.

1･2 

スプ ラ イ ン関数 によ る 曲線 当 ては め

前 節 で 見 た よ うに ス プ ラ イ ン関 数 で 曲 線 を 当 て は め る こ と(curve-fitting)は, *[]内

の数 は 巻 末 の文 献 の番 号 を示 す.

雲 形 定 規 や 自在 定 規 に よ っ て 曲 線 を 描 くか わ りに そ れ を 数 式 的 に 行 な っ て い る こ と に 当 た る.こ

の よ うに 数 式 的 方 法 を 用 い る と 以 下 の よ うな 利 点 が あ る.

  雲 形 定 規 や 自在 定 規 で 製 図 す る 場 合 に 得 られ る 曲 線 は,人 が 生 ず る.こ

れ に 対 し,数 式 を 用 い て 行 な う場 合 に は,そ

異 な っ て い て も 結 果 は 同 じ は ず で,い

に よっ て多 少 の違 い

れ を計 算 す る計 算 機 が

っ た ん パ ラ メ ー タが 決 ま れ ば,同

じデ ー タ

に 対 して は い つ で も同 じ程 度 に 当 て は ま る ス プ ラ イ ン 関 数 が 得 ら れる.も ん,ま

る め に よ る 小 さ い 誤 差 は 除 外 して の 話 で あ る.こ

「標 準 化 され た 」 手 続 き で あ り,使

ちろ

の よ うに 数 式 的 方 法 は,

用 す る 側 の 個 々 の 判 断 が 違 っ て も,そ

れによ

っ て 影 響 を 受 け る こ とは な い.   こ の 最 後 の こ とは あ ま り強 調 しす ぎ る と よ くな い.そ

れ は,ス

次 数 や そ の パ ラ メ ー タ を 決 め る た め に 必 要 な 解 析 的 条 件 が,使 の 場 合 の 判 断 は,雲

プ ライ ン 関 数 の う側 の 判 断 で 変 わ

る か ら で あ る.し

か し,こ

断 と は 違 っ て,何

に 基 づ い て い る か が 客 観 的 に は っ き り して い る.従

方 法 で 得 られ た 曲 線 に つ い て,利

形 定 規 や 自在 定 規 を 使 う場 合 の 判 っ て,こ

の

用 で き る か ど うか の 吟 味 が 客 観 的 に で き る こ と

に な る.   数 式 的 方 法 に よ る 場 合 は,も る か も知 れ な い.し い.し

か も,必

か し,そ

要 な の は そ こ で 得 られ た パ ラ メ ー タ だ け で,そ

リ ー や 磁 気 テ ー プ,カ き る.ま

ち ろ ん 計 算 が 必 要 で あ り,そ れ は 大 量 の 計 算 に な

れ は プ ロ グ ラ ム 化 され て い れ ば そ れ ほ ど重 大 で は な

た そ の 場 合,得

ー ドな ど に 保 存 し て お け ば,関

れ を計 算 機 の メ モ

数 の値 自身 は 容 易に 計算 で

られ る 関 数 値 に は 非 常 に 小 さい 誤 差 しか 含 ま れ ず,グ

フ上 の 曲 線 を 目 で 読 ん だ 値 よ り は る か に 正 確 で あ る.さ

ら に,そ

ラ

の 曲線 が実 際 に

どん な 形 か を 調 べ る に は,計 算 機 と 連 結 した 自 動 プ ロ ッ タや グ ラ フ ィ ック デ ィ ス プ レ イ な どが 役 立 つ だ ろ う.

1･3 

近 似 関数 と して の スプ ラ イ ン関数 の利 点

  多 項 式 は非 常 に簡 単 な 関数 で あ って,そ の性 質 も良 く知 られ て お り,取 り扱 い も容 易 な の で,他 の関 数 を記 述 す る のに 最 も広 く用 い られ て い る.ス プ ライ ン関 数 は 区分 的 多 項 式 で あ り,そ の 扱 い は多 項 式 と同 様 に簡 単 で ある.現 在 ま での経

験 か ら,与 数)を

え ら れ た 関 数(あ

る い は,与

え ら れ た デ ー タ点 の 集 合 の み か ら な る 関

ス プ ラ イ ン関 数 で 近 似 した も の と,そ

で 近 似 した も の と を,パ

れ を全 区 間 にわ た って一 つ の 多項 式

ラ メ ー タ の 数 が ほ ぼ 等 しい 場 合 に つ い て 比 較 す る と,ス

プ ラ イ ン 関 数 の ほ うが,近

似 の 程 度 が 同 じ な ら よ り滑 ら か で あ り,滑

度 が 同 じな ら よ り近 い 近 似 と な る こ と が わ か る.も っ て,後

で 当 て は め た 曲 線 の 滑 らか さ,お

定 義 す る.さ

らに,経

験 に よ っ て,ス

ち ろ ん,こ

らか さ の 程

れ は大 体 の 話 で あ

よびそ のデ ー タに対 す る近 さを厳 密 に

プ ラ イ ン関 数 は 元 の 関 数 の 低 階 微 分 に 対 し

て も,多 項 式 の 場 合 よ り よい 近 似 を 与 え る こ と も わ か っ て く る.   以 上 の よ うな ス プ ラ イ ン関 数 の 種 々 の 優 れ た 性 質 は,単 経 験 に 基 づ い て だ け 主 張 され る わ け で は な い.こ て お り,実 際,本

に 数 値 的 な計 算 に よ る

の 関 数 は 驚 くべ き 最 適 性 を 持 っ

書 の 第 ３章 で 詳 し く説 明 す る よ うに,あ

る 意 味 で 「最 良 」 の 近

似 関 数 で あ る こ とが 示 さ れ る.   ま ず,こ

こ で は 簡 単 な 問 題 の 説 明 か ら始 め る こ と に し て,次

う.(x1,y1),(x2,    こ こ で,横 とす る.そ

y2),…,(xn, 

yn)を,与

座 標x1,x2,…,  xnは

のこ と を 考 え よ

え ら れ た デ ー タ 点 とす る.

開 区 間(a, b)に 含 ま れ, a<x1<x2<…<xn
こ で,こ の ｎ 個 の 点 を 通 る 関 数f(x)を

見 い 出 そ う.す

な わ ち,f(x)

は条 件           f(xi)=yi 

(i=1,2,…n,)

を 満 足 し な け れ ば な ら な い.関

数f(x)は

閉 区 間[a,b]で

定 義 さ れ,そ

の ｋ階 微

分 ま で が こ の 区 間 の い た る と こ ろ で 存 在 す る と し よ う(た だ し,ｋ は ｎ よ り小 さ い 正 の 整 数 で あ る).も

ち ろ ん,こ

れ らの 条 件 を 満 た す 関 数 は 無 限 に 存 在 す る.

こ の 無 限 集 合 の 中 か ら,“ 最 も滑 らか な” 関 数 を求 め る.た と い うの は,積

分

a ∫b

σ=

だ し,“最 も滑 らか な ”

[f(k)(x)]2dx

が 可 能 な 限 り小 さ い こ と を 意 味 す る.こ し,そ れ が2k-1次

の意 味 で の最 良補 間 関 数 が た だ一 つ 存 在

の ス プ ラ イ ン関 数 で あ る こ とが 後 で わ か る.

1･4 

ス プ ラ イ ン 関 数 の簡 単 な 例

 ス プラ イ ン関数 の性 質 を理 解 す るた め に,次 の よ うな ３次 の ス プ ライ ン関 数の 簡単 な例 を考 えて み よ う.

(1･1)

  こ こ でf(x)は,六 い る.こ

つ の 小 区 間 の 各 々 で,異

れ ら の 小 区 間 を 与 え る 座 標(こ

な っ た 多 項 式 に よ っ て 与 え られ て

の 場 合 ,-3,-1,0,3,4)を

(knots)と

い う 〔著 者 に よ っ て は 連 結 点(joints)と

点 で は,そ

の 点 の 左 右 ど ち ら側 の 式 で もf(x)は

  例 え ば,x=-3の =7と

な る .こ

側 か ら は28+25x+9x2+x3

の こ と は 他 の 節 点 で も同 様 で あ る. 表 わ され るf(x)は,全

続 で か つ,一

価 の 関 数 と な る.こ

対 して 単 一 の 式 で は 表 わ して い な い が,も で 表 わ さ れ な け れ ば な ら な い,と

実 軸 上 で 定 義 さ れ た(well こ で,式(1･1)はf(x)を

ち ろ ん,連

い うこ とは な い 。

で わ か る が,適

る 関 数f(x)を

た だ 一 つ の 関 数 で 表 示 す る こ とが で き る .こ

使 う も の で あ っ て,別

全 領域 に

続 関数 は 数学 的 に単一 の 式

  実 際 に は,後

  f(x)が

々の 節

同 じ値 に な る.

左 側 の 式 か らは1-2x=7,右

  そ の 結 果,式(1･1)で defined)連

一 般 に節 点

呼 ぶ こ と も あ る〕.各

当 な 数 学 的 記 号 を 用 い れ ば,式(1･1)で

与 え られ

の 単一 表 示 は便 宜 上

に 本 質 的 な こ とで は な い.

各 々 の 小 区 間 で ３次 の 多 項 式 に よ っ て 表 示 さ れ る,と

い う こ と 自 体 は,

い つ で も 多 項 式 が 厳 密 に ３次 で あ る こ と を 意 味 す る わ け で は な い .な ぜ な ら ２次 の 多 項 式 は,当

然 の こ と な が ら ３次 の 多 項 式 でx3の

て 表 示 さ れ る か らで あ る.

係数 が ０とな った 場 合 と し

  例 え ば,上

の 例 で は 小 区 間(-∞,-3)で

も,(4,∞)で

も １次 の 多 項 式 に よ っ

て 与 え られ て い る.   後 で示 す が,式(1･1)で       (-3,7), 

定 義 され た 関 数f(x)は

(-1,11), 

(0,26),  (3,56),  (4,29)

に 対 す る “最 も滑 らか な ” 補 間 関 数 で あ る.た

[f″(x)]2dx

の 座 標-3,-1,０,３,４

分

 (1･2)

能 な 限 り小 さ くな る こ と を 意 味 す る.こ

こ で,ａ,ｂ は,区

間(ａ,  ｂ)が ５点

を 含 む 任 意 の 有 限 区 間 で あ る よ うに と る.(x<-3,x>

4で はf″(x)=0と

な る).

  次 に,式(1･1)の

関 数f(x)の

で の 微 分 は,そ

だ し,“ 最 も滑 らか な ” と は,積

a∫b

σ=

が,可

五 つ の デ ー タ点

微 分 を 考 え て み よ う.f(x)の

１階 か ら ３階 ま

れ ぞ れ 次 の よ うに 表 わ さ れ る.

(1･3)

こ こ で,１

階 お よ び ２階 微 分 は ｘ に つ い て の 連 続 な 関 数 で あ る.例

え ば,f′

(-3)=-2は

小 区 間(-∞,-3)で

の 式,25+18x+3x2にx=-3を 点 で 存 在 しな い の で,区

の 値 で あ る が,こ

代 入 して も 得 られ る .し か し,３ 階 微 分 は 各 節 間 は 開 区 間 に な っ て い る.こ

側 の ３階 微 分 が 異 な った 値 を 持 っ て い る.す

物 線(つ

そ の ３階 微 分 ま で を 図1･2に ま り ２ 次 多 項 式)と

れ ら の 節 点 で は,左

な わ ち,関

続 と な っ て お り,４ 階 以 上 の 微 分 は 節 点 以 外 で ０,そ   f(x)と

れ は 小 区 間(-3,-1)で

数f〓(x)は

側 と右

節点 で 不連

して節点 では存 在 しない。

示 した, f′(x)の

グ ラ フは 各 小 区 間 で 放

な る 区 分 的 多 項 式 を 表 わ して い る.f″(x)の

グラ フ

図1･2  ３次 の スプ ラ イ ン関数 とそ の微 分

は 各 節 点 を 頂 点 とす る 折 れ 線,つ

ま り各 頂 点 を 直 線 で 結 ん だ も の と な る.こ

のク

ラ フ の 左 端 の 頂 点 の 左 側 と右 端 の 頂 点 の 右 側 で は 水 平 の 直 線(つ

ま り,そ の 傾 き

は ０)で

い 換 え れ ば,そ

あ る.３

階 微 分 は 階 段 関 数(step-function)で

あ る.言

れ は 小 区 間 の 各 々 で 一 定 値 を 持 つ,つ ま り そ れ ぞ れ の 節 点 で 不 連 続 と な っ て い る. 左 端 の 節 点 の 左 側 と右 端 の 節 点 の 右 側 で は,そ

の 関 数 は ０で あ る 〔f〓(x)の

グラ

フ の こ れ らの 部 分 は 図1･2に

示 され て い な い 〕.

  上 の 例 で 関 数 の 性 質 を や や 詳 しす ぎ る ほ ど見 て き た.そ に,こ

れ は後 で わ か る よ う

れ らが ス プ ラ イ ン 関 数 の 各 種 の 重 要 な 数 学 的 性 質 と密 接 に 関 係 し て い る か

ら で あ る.   と こ ろ で,ス

プ ラ イ ン 関 数 に つ い て1･1節

で 次 の よ うに 述 べ た こ と を 思 い 出 そ

う.   「ス プ ラ イ ン関 数 とは,小

区 間 内 で 各 々 定 義 され た 多 項 式 曲 線 が,互

る だ け 滑 らか に つ な が っ て い る よ うな も の で あ り,こ

いに で き

の 場 合,全

区 間 で単 一 の 多

３階 微 分f〓(x)がxの

連続 関 数 で

項 式 に な る と い う条 件 は 必 要 で は な い 」   こ の こ と の 意 味 を 詳 し く調 べ て み よ う.   い ま,あ

る ３次 の ス プ ラ イ ン 関 数f(x)の

あ る と し よ う.こ

の ス プ ラ イ ン関 数 は,各

え ら れ る か ら,３

階 微 分 は 各 小 区 間 で 一 定 値 で あ る.そ

続 な ら ば,そ

々 の 小 区 間 に お い て ３次 の 多 項 式 で 与 こ で も し,３

の 値 は す べ て の 小 区 間 で 同 一 の 値 を と る.と

が 一 定 の 関 数 は ３次 の 単 一 な 多 項 式 で あ る か ら,こ つ の(３ 次)多 項 式 」 で あ る.従

っ て,３

項 式 と の 違 い は,最

階微 分 の 値

の ス プ ラ イ ン関 数 は 実 際

「一

次 の ス プライ ン関数 が小 区 間 で それ ぞれ

異 な る ３次 の 多 項 式 に よ っ て 与 え ら れ る た め に は,そ 続 点 が 現 わ れ な け れ ば な ら な い.す

こ ろ で,３

階微 分 が 連

な わ ち,ス

れ を ３階 微 分 した と き不 連

プ ラ イ ン 関 数 とそ の 同 じ次 数 の 多

高 階 の 微 分 が 多 項 式 の 場 合 は 一 定 値 と な るが,ス

プ ラ イ ン関

数 の 場 合 は 階 段 関 数 に な る とい う こ と で あ る.

1･5 

スプ ラ イ ン関数 の数学 的定 義

前 節 で は 簡 単 な 例 に よ っ て,ス

プ ラ イ ン関 数 の 性 質 を 説 明 した.こ

こ で は,ス

プ ラ イ ン関 数 の 厳 密 な 数 学 的 定 義 を 与 え よ う.   (定 義1-1) 

ｍ 次 の ス プ ラ イ ン 関 数 は,そ の ｍ 階 微 分 が 階 段 関 数 で,m-1階

下 の 微 分 が 連 続 で あ る よ うな 関 数 で あ る.   こ れ を も っ と簡 単 に 言 う と,   (定 義1-2) 

ｍ 次 の ス プ ラ イ ン 関 数 は 階 段 関 数 の ｍ 重 不 定 積 分 で あ る.

以

  あ る い は,次

の 定 義 の ほ うが 長 くな る が,お

そ ら く も っ と直 接 的 で わ か りや す

い だ ろ う.   (定 義1-3) 

x1, x2,…, xnを

増 加 す る 実 数 列 と し よ う(こ れ ら の 点 を ス プ ライ

ン 関 数 の 節 点 あ る い は 連 結 点 と呼 ぶ).そ

うす る と,節

点x1,x2,…,xnを

つ ｍ 次 の ス プ ラ イ ン関 数 と は,次 の 二 つ の 条 件(〓),(〓)を

持

満 た す 関 数s(x)

で あ る.     (〓)  各 小 区 間(xi,xi+1)(た ∞ と と る)でs(x)は,ｍ     (〓)  s(x)と

nと

し, x0は-∞, 

微 分 は(-∞,∞)で

連 続 で あ る.

次 の ス プ ラ イ ン関 数 は 階 段 関 数 で あ り,こ の 場 合,条

適 用 し な い.ま

た,１

  こ の 定 義 は,ス

xn+1は

次 か そ れ,以下 の 次 数 の 多 項 式 で 与 え ら れ る.

そ の １,２,…,  m-1階

      た だ し,０

る,と

だ しi=0,1,…, 

件(〓) は

次 の ス プ ラ イ ン 関 数 は 折 れ 線 で あ る.

プ ラ イ ン関 数 が 各 小 区 間 で は 必 ず 異 な った 多 項 式 で 与 え ら れ

は 言 っ て い な い こ と に 注 意 し よ う.(-∞,∞)で

単 一 の ｍ 次 の 多 項 式 は,

ｍ 次 の ス プ ラ イ ン 関 数 の 特 殊 な も の と考 え こ とが で き る.   こ の こ と は(定

義1-1),(定

義1-2)か

ら み れ ば,い

た る ところ関 数 値が 一 定 で

あ る 関 数 は 階 段 関 数 の 一 種 で あ る,と

い う こ と と同 等 で あ る.ｍ

関 数 は ｍ 次 の 多 項 式 を 含 ん で い る,と

い う こ と を 用 い て,ス

の い くつ か を 証 明 す る こ とが で き る.も 価 で あ る.そ

れ ゆ え,ど

  著 書 に よ っ て は,と 略 と し て 用 い る.筆

ち ろ ん,与

次 の ス プライ ン

プ ライ ン関数 の 性質

え られ た 上 の 三 つ の 定 義 は 等

の 定 義 を 選 ぶ か は ま っ た く 自 由 で あ る.

き ど き 「ス プ ライ ン」 とい う言 葉 だ け を ス プ ラ イ ン関 数 の

者 も同 様 に 以 下 の ペ ー ジで しば しば そ の よ う に 使 うこ と に す

る.

1･6 

切 断べ き関数

  ｍ 次 の ス プ ラ イ ン関 数 で 節 点 を 一 つ だ け 持 ち,そ

の節 点 の 左側 で恒等 的 に ０と

な り,右

れ は 多 項 式 以 外 で は,お

側 で は ０で な い よ う な も の を 考 え よ う.こ

そら

く最 も 簡 単 な ｍ 次 の ス プ ライ ン 関 数 で あ ろ う.   さ て.s(x)を

そ の よ うな も の,す

な わ ち, x0で 一 つ の 節 点 を 持 ち, x≦xOに

対 し て恒 等 的 に ０で あ り,x≧x0に

対 して あ る 多 項 式pm(x)を

次 の ス プ ライ ン関 数 で あ る とす る.s(x)はx≦x0で の す べ て の 左 微 分 は ０ と な る.し 自身 と １,２,…,m-1階

か し,ス

微 分 は,x=x0も

与 え る よ うな ｍ

恒 等 的 に ０だ か らx=x0で

プ ラ イ ン関 数 の 定 義 に よ りs(x)そ

れ

含 めた 全領 域 で連 続 で な けれ ば な らな

い.

  そ れ ゆ え,多

項 式pm(x)と,そ

言 い 換 え れ ば,多

の １,２,…,m-1階

項 式pm(x)はx=x0で

微 分 はx=x0で

０で あ る.

ｍ 重 根 を 持 つ か ら,そ れ は 次 式 の よ う

に な る.

pm(x)=c(x-x0)m こ こ で,ｃ x0=0, 

 (1･4)

は あ る 足 数 で あ る.

c=1の

と し,x+mを

と き,ス

プ ラ イ ン関

切 断 べ き 関 数(truncated 

4)のs(x)は,次

数s(x)をx+mと

power 

function)と

表 わ す.す

な わ ち,

呼 ぶ.従

っ て,式(1･

の よ う に 表 わ さ れる. s(x)=c(x-x0)+m

1･7 

スプ ライ ン関数 の切 断 べ き 関数 によ る表 示

  本 節 で は,任 証 明 す る.こ

意 の ス プ ラ イ ン関 数 が 切 断 べ き 関 数 で 一 義 的 に表 わ さ れ る こ と を

れ に よ り,ス

る の で,式(1･1)の く な る.さ

て,証

例 の よ うに 小 区 間 ご とに 別 の 多 項 式 を 用 い て 表 わ す 必 要 が な 明 は 以 下 の 順 序 で 行 な う.

  〔 補 助 定 理1･1〕   とす る.s(x)は,区 xi+1)で

プ ラ イ ン関 数 が 全 領 域 で 単 一 の 式 に 表 わ す こ とが で き

s(x)を

ｍ 次 の ス プ ラ イ ン関 数 と し,そ

間(xi-1,  xi)で

は 多 項 式qm(x)に

は 多 項 式pm(x)に

よ っ て 与 え られ る と し よ う.そ

qm(x)-pm（x)=c(x-xi)m

の 節 点 の 一 つ をxi

よ っ て.ま う す る と,

た 区 間(xi,

と な る.た

だ し,ｃ

は あ る 定 数 で あ る.

  〔証 明 〕    ス プ ラ イ ン 関 数 の 定 義 に よ り,pm(x)とqm(x)お ２,…,m-1階

微 分 は,  x=xiで

等 し く な け れ,ば な ら な い.

          pm(r)(xi)=qm(r)(xi) 

(r=0,1,…, 

  す な わ ち,qm(x)-pm(x)お べ て ０ に 等 し い.従

よ び そ れ ら の １,

m-1)

よ び そ れ ら の １,２,…, m-1階

っ て,ｍ

微 分 は,  x=xiで

次 多 項 式qm(x)-pm(x)はx=xiで

す

ｍ 重 根 を 持 ち,

          qm(x)-pm(x)=c(x-xi)m と な る.た

だ し,ｃ

  〔定 理1･1〕

は あ る 定 数 で あ る.

    節 点x1,x2,…, 

xnを

持 つ ｍ 次 の ス プライ ン関

数s(x)は,一

義 的 に 次 の 式 で 表 わ さ れ る.

(1･5)   こ こ で,pm(x)は

ｍ 次 の 多 項 式 で あ り, ciは 定 数 係 数 で あ る.

  〔証 明 〕    こ の 定 理 の 証 明 は 二 つ の 部 分 か ら な る.最 の 形 で 表 わ さ れ る こ と を 示 し,次   い ま,pm(x)を,小

に,こ

式(1･5)

の 表 示 が 一 義 的 で あ る こ とを 証 明 す る.

区 間(-∞,x1)でs(x)の

よ う.そ うす る と,〔 補 助 定 理1･1〕

初 は,s(x)が

値 を与 え る 多項 式 で あ る と し

に よ って,小

区 間(x1, x2)で

のs(x)は

多項 式

          pm(x)+c1(x-x1)m に よ っ て 表 わ さ れ る.た び 用 い る と,小

だ し,c1は

区 間(x2,x3)で

あ る 定 数 で あ る.こ

のs(x)を

こ で 〔補 助 定 理1･1〕 を 再

表 わ す 多 項 式 は,

         pm(x)+c1(x-x1)m+c2(x-x2)m と な る.同

様 な 方 法 に よ っ て,次

の 一般 式

(1･6) が 導 か れ る.と う ど式(1･5)の

こ ろ が,x<xjで

は(x-xj)+m=0で

形 に 書 く こ と が で き る.つ

ま り,s(x)は

あ る か ら,式(1･6)は 式(1･5)で

ち ょ

表 示 で き た.

  次 に,こ

の 表 示 が 一 義 的 で あ る こ と を 示 す.す

持 つ ｍ 次 の ス プ ラ イ ン関 数s(x)に

対 し て,多

な わ ち,節

点x1, x2,…,xnを

項 式pm(x)と

係 数ciが

一義 的 に

決 ま る こ と を 示 さ な け れ ば な ら な い.   ま ず,x<x1な

る す べ て の ｘ に対 して,式(1･5)はs(x)=pm(x)に

に 注 意 し よ う.そ

れ ゆ え 式(1･5)のpm(x)は

なる こ と

小 区 間(-∞,x1

,)でs(x)の

値 を

与 え る た だ 一 つ の 多 項 式 で な け れ ば な ら な い.   い ま,s(x)を qm*(x)と

二 つ の 連 続 す る 区 間(xi-1, 

表 わ そ う.そ

う す る と,式(1･6)か

xi),(xi, 

xi+1)で,そ

れ ぞ れqm(x),

ら,

(1･7) お よ び,

(1･8) と な る.式(1･8)か

ら 式(1･7)を

引 く と,

qm*(x)-qm(x)=ci(x-xi)m を 得 る.し

か し,〓s(x)は 与 え ら れ た ス プ ライ ン関 数 で あ り,qm(x)とqm*(x)は

そ れ ぞ れs(x)に

よ り決 め られ,る多 項 式 で あ る.従

も一 義 的 に 決 め られ た 多 項 式 と な る.と の で,そ

の 係 数ciは

  係 数ciの る.も

0)に

の 差qm*(x)-qm(x)

こ ろ で,式(1･9)の

節 点 に お け るs(m)(x)の

数f(x)がx=x0で 極 限 値f(x0+0)に

近 づ くが,こ

っ て,そ

右 辺 は単 項式 で ある

一 義 的 に 決 め られ る こ と に な る.         

値 は, s(x)の

し,関

関 数f(x)は

(1･9)

(証 明 終 り)

跳 び量 に密 接 に関 係 し て い

不 連 続 な ら ば, ｘ が+側 近 づ き, ｘ が 一 側 か らx0に

か らx0に

の 二 つ の 値 は 等 し くは な い.f(x)のx=x0に

近 づ くと き

近 づ く と きf(x0おけ る 跳 び量

は,

f(x0+0)-f(x0-0) で 定 義 さ れ る. 例 え ば,図1･2で

示 され る よ う に,関

数f〓(x)の

跳 び量 はx=-1で-12,

x=3で

は42で

  式(1･6)の

あ る. 多 項 式pm(x)でxmの

は 区 間(xi-1, 

係 数 をamと

し よ う.そ

う す る と,ｍ

階 微分

xi)で,

(1･10) と 表 わ さ れ,区

間(xi, 

xi+1)で

は,

(1.11) と 表 わ さ れ る.s(m)(x)は ま たs(m)(xi-0)は

二 つ の 区 間 で 一 定 な の で,  s(m)(xi+0)は

式(1･10)で

与 え ら れ る.そ

式(1･11)で,

れ ゆ え,式(1･11)か

ら 式(1･10)

を 引 い て,

s(m)(xi+0)-s(m)(xi-0)=m!ci が 得 られ る.こ

れ か ら,ciは 1

ci=

と な る.こ

(1.12)

![s(m)(xi+0)-s(m)(xi-0)]

/m

の 式 は,ス

プ ライ ン 関 数 が 与 え ら れ た と き,そ の 係 数ciが

一 義 的 に決

ま る とい うこ と を 実 際 に 示 して い る.

1･8 

第 １章 に 関 す る 小 史

  「ス プ ラ イ ン関 数 」 とい う名 前 と定 義 は Ｉ.Ｊ.  Schoenbergに

よ っ て い る[１].ス

プ ラ イ ン関 数 を切 断 べ き 関 数 に よ っ て 表 わ す こ とは,SchoenbergとWhitney[２] に よ っ て1953年 の は,や

に 提 案 され た.し

っ と1960年

か し,ス プ ラ イ ン関 数 が 一 般 に注 目 さ れ 始 め た

代 に な っ て か ら の こ と で あ る.

演 1･1 

式(1･1)で

1･2 

ス プ ラ イ ン 関 数s(x)が

習

問

題

１

与 え ら れ る ３次 の ス プ ラ イ ン 関 数 を,切

断 べ き関 数 に よ っ て 表 わ せ.

s(x)=3x2-5x+2+2x+2-4(x-2)+2+(x-5)+2 で表 わ され て い る.こ れ を小区 間 ご との多 項 式 で書 け. 1･3 

節点

３,５,９ x

s(x) 

を も つ ２次 の ス プ ラ イ ン 関 数s(x)が

 0  -2

１  ３  ５  ９  11   １   25 

85  189  213

この とき これ を切 断 べ き関 数 で表 わせ.

以 下 の よ う に 与 え られ て い る.

第 ２章

“ 最 も滑 らか な”補 問 の 問題

2･1 

多 項 式 に よ る 補 間 ―Lagrangeの

  こ こ で,第

１章 の1･3節

で 記 述 し た 補 間 問 題 に 立 ち も ど り,上

与 え ら れ た デ ー タ 点(x1,  y1),(x2,  y2),…,(xn,  デ ー タ 点 を 通 る.す

な わ ち,数

f(xi)=yi 

yn)を

考 え,そ

と 同 様 に ｎ個 の

の グラ フがす べ ての

学 的 には

(i=1,2.…, 

n)

と な る よ う な補 間 関 数 の 属(class)を   ま ず,関

公式

調 べ よ う.

数 の 最 も簡 単 な場 合 と し て 多 項 式 を 考 え る.そ

の と き,ｎ

個 の点 を補

の 多 項 式 は た だ 一 つ あ る こ と を 示 そ う.そ

の た め,ま

ず 次 の多 項

間 す るn-1次 式 を考 え る.

P(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)

  ま た,次

 (2･1)

の よ う に,式(2･1)の

る 積 をPi(x)と

す る.そ

右 辺 か ら,一

れ は,i〓1,ｎ

つ の 因 子(x-xi)を

の と き,以

除 い て 得 られ

下 の よ う に な る.

Pi(x)=(x-x1)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn)

こ こ で,次   〔定 理2･1〕

の定 理 を証 明 する。  

(x2,y2),…,(xn,  式 は,次

 (2･2)

異 な っ た 横 座 標xl,  x2,…,  xnを yn)が

あ る と き,こ

も つ ｎ 個 の デ ー タ 点(x1, 

れ ら の 点 を 補 間 す る た か だ かn-1次

y1), の多項

の よ う に 一 義 的 に 与 え ら れ る.

L(x)=∑ni=1Pi( x)/Pi(xi)yi

 (2･3)

こ の 式 は 普 通,Lagrangeの

公 式 と して 知 ら れ て い る.

〔 証 明〕 

か だ かn-1次

L(x)は,実

際,た

の 多 項 式 で あ る.な ぜ な ら,Pi(xi)

とyiは

数 値 で で り,Pi(x)はn-1次

の 多項 式 の 和か らなる ｘ のn-1次

ら

の 多 項 式, L(x)は

そ れ ら のn-1次

の ｎ個

で ある.それ ら は 場 合 に よ って は 消 し合 っ て,例 えば,

の 係 数 と ０と な か こ と も あ り うる.

次 に,L(x)と

実 際 に ｎ個 の 点 を 補 間 す る こ と を示 そ う. ｘ を,

x=xj

(1≦j≦n)

こ す れ ば,式(2･3)の か らx=xjの

ｊ番 目の 項 を 除 い た 各 項 の 分 子 は,因

と き は ０に な る.従

数(x-xj)を

含む

っ て,

Pj(xj)/ yj= yj Pj(xj) と な る の で,

L(xj)=yj と な る.こ -xi)の

(j=1,2,…,n)

こ で,Pj(xj)〓0で 積 で あ り ,仮

あ る こ と に 注 意 し よ う.そ

定 に よ っ てxj〓xiで

れ はPj(xj)が

あ る か ら で あ る.従

因 数(xj

っ て,式(2･3)

に お け る 除 法 は い つ で も 可 能 で あ る.

最 後 に,L(x)は

与 え られ た ｎ点 を 補 間 す るn-1次

の た だ一 つの 多項 式 であ

る こ と を 示 さ な け れ ば な ら な い.   L(x)とL1(x)を

同 じ ｎ 点 を 補 間 す るn-1次

そ の と き,L(x)-L1(x)は

た か だ かn-1次

の で る 多 項 式 で あ る と し よ う. の 多 項 式 で あ り,ま

たL1(xj)=yj

で あ る 。 そ れ ゆ え,

L(xj)-L1(xj)=0   こ こ で,よ

(j=1,2,…,n)

く知 られ た 初 歩 の 代 数 学 の 定 理 に よ る と,ｍ

対 して ｍ 次 の 多 項 式 が ０に な る な ら ば,そ L(x)-L1(x)は,異

の 多 項 式 は 恒 等 的 に ０で あ る.

な っ た ｎ個 の 引 数xjに

の 多 項 式 な の で,L(x)-L1(x)は

個 以 上の 異 な った値 に

対 して ０ とな る た か だ かn-1次

恒 等 的 に ０で な け れ ば な ら な い.す

な わ ち,

L1(x)=L(x) で あ る.

〔注 意 〕

(証 明終 り) 式(2･2)の

か わ りに,よ

り簡 単 な 式,

Pi(x)

P(x)/ =

 (2･4)

(x-xi)

を 用 い る と便 利 な こ と も あ る.こ

の 場 合,x=xiの

値 に つ い て は 次 の よ うに す れ

ば よい.

Pi(xi)=

2･2 

lim x→xiPi(x)

 (2･5)

“最 も 滑 らか な ” 補 間 関 数

  “最 も 滑 ら か な ” 補 間 関 数(smoothest  デ ー タ 点(x1,  y1),(x2,  う な も の を,第

y2),…,(xn, 

１ 章1･3節

interpolation 

yn)を

function)に

つ い て は,

通 る 関 数 の う ち σ が 最 も 小 さ くな る よ

で す で に 簡 単 に 述 べ た.こ

こでは この補 間 関 数 の性 質

を 詳 し く述 べ よ う.

“最 も 滑 ら か な ” 関 数 とは

,

σ=∫bａ[f(k)(x)]2dx

 (2･6)

が 可 能 な 限 り小 さ くな る場 合 の 関 数f(x)を 数,(ａ,ｂ)は

意 味 した.た

上 の デ ー タ点 を 含 む 区 間 で あ る.こ

だ し,ｋ は あ る 正 の 整

こ で,関

る 必 要 は な い が,ｋ 階 微 分 可 能 で あ る と し,[f(k)(x)]2は

数f(x)は

区 間(ａ,  ｂ)で 積 分 可 能,

か つ ∫f(k)(x)dx=f(k-1)(x)と

す る。

  そ こ で,k
場 合 に 分 け て 考 え よ う.ま

k=n,  k>nの

多項式であ

ず,  k=nの

場 合 は 〔定

理2･1〕 の 結 果 か ら 以 下 の よ うに な る.   〔定 理2･2〕  

k=nの

場 合,式(2･3)のLagrange多

項 式 は 唯 一 の “最 も 滑

ら か な ” 補 間 関 数 で あ る. 〔証 明 〕 

k=nで

あ る か ら,Lagrange多

項 式 はn-1次

の 多 項 式 で あ り,

L(k)(x)=L(n)(x)=0 と な る.従

っ て,式(2･6)か

ら σ=0と

か ら,０ は σ の 最 小 値 で あ る.従

な る.式(2･6)の

っ て,L(x)は

被積 分 項 は非 負 で あ る

“最 も 滑 ら か な ”補 間 関 数 で あ る.

  逆 に,σ=0の

と き,式(2･6)の

被 積 分 項 は も と も と非 負 で あ る の で,f(k)(x)は

ほ とん どい た る と こ ろ ０で な け れ ば な ら な い.こ れ はf(x)がn-1次 あ る こ と を 意 味 す る.従   k>nの

場 合 は,次

〔定 理2･3〕  

っ て,〔 定 理2･1〕

よ りf(x)=L(x)で

の多 項式 で あ る.(証

の 定 理 で示 す よ うに 一 義 的 な 解 は 存 在 し な い.

k>nの

場 合,f(x)が

“最 も滑 ら か な ”補 間 関 数 で あ る の は,

f(x)=L(x)+P(x)pk-n-1(x) の 形 を し て い る 場 合 に 限 る.こ 1)で

与 え ら れ,pk-n-1(x)は

  〔証 明 〕 

P(x)とL(x)は

ら σ=0と

  逆 に,σ=0な か だ かk-1次

こ で,L(x)は

式(2･3)で,ま

の 多 項 式 で あ り,f(k)(x)=0と

な り,f(x)は

式(2･

の 多 項 式 で あ る か ら, な る.従

っ て,式(2･

“最 も 滑 らか な” 補 間 関 数 で あ る.

ら ばf(k)(x)は

ほ と ん ど い た る と こ ろ ０ で あ る の で,f(x)は

の 多 項 式 で あ る.f(x), 

L(x)の

x2,…,  xnで

(x)-L(x)は(x-xi)(i=1,2,…,  項 式 で あ り,f(x)-L(x)は

たP(x)は

の 任 意 の 多 項 式 で あ る.

そ れ ぞ れ ｎ次 お よ びn-1次

す る の で,f(x)-L(x)はx=x1, 

をP(x)で

 (2･7)

た か だ かk-n-1次

式(2･7)のf(x)はk-1次 6)か

明 終 り)

n)の

割 っ た 商 は た か だ かk-n-1次

ど ち ら も ｎ 個 の デ ー タ点 を 補 間 ０ と な る 多 項 式 で あ る.従

因 数 を 持 つ.と

た か だ かk-1次

た

こ ろ で, P(x)は

っ て, f ｎ次 の 多

の 多 項 式 で あ る の で,  f(x)-L(x) の 多 項 式 で あ る.こ

れ をpk-n-1(x)と

す る と,

f(x)=L(x)+P(x)pk-n-1(x) と な り,式(2･7)が

得 ら れ た.

  上 の 場 合 の 例 と し て,四

つ の デ ー タ 点(-3,-100),(0,2),(1,-8),(3,-22)

を 補 間 す る こ と を 考 え よ う.式(2･3)を る.

(証 明 終 り)

用 い る と,L(x)は

次 の よ うに 表 わ さ れ

  つ ま り,こ の 四 つ の デ ー タ 点 は,〔 定 理2･2〕 で 与 え られ るL(x)の っ て 一 義 的 に 補 間 され て い る.さ 理2･3〕 か ら,次

３次 式 に よ

ら に,３ 次 よ り高 次 の 多 項 式 に よ る 補 間 は,〔 定

の 形 を し た 多 項 式 で あ る こ とが わ か る.

f(x)=2x3-7x2-5x+2+(x+3)x(x-1)(x-2)p(x) こ こでp(x)は,た   と こ ろ で,与

か だ かk-5次

の 多 項 式 で あ る.

え られ た ｎ個 の デ ー タ点 を 一 義 的 に 補 間 す る 多 項 式 を 実 際 に 数 値

的 に 得 る た め に は,こ のLagrange公

式 よ り簡 単 な 方 法 が い くつ か あ る こ と を 注

意 した い(そ の 一 つ を4･4節

で 述 べ る).す

項 式(お

間 の 諸 性 質 の 証 明 に あ る の で あ っ て,そ

よ び ス プ ラ イ ン)補

な わ ちLagrangeの

際 の 計 算 に 適 して い る と い うわ け で は な い.そ こ と が あ る の は,計 る.ち

な み に,上

公式 の価 値 は多 の公 式 が実

れ で も そ れ が 計 算 機 で用 い ら れ る

算 手 続 が 多 い に も か か わ らず プ ロ グ ラ ム化 が 簡 単 だ か ら で あ

の ４点 デ ー タ を 用 い た 説 明 の 中 の 計 算 は,公

の た め の もの で あ っ て,実

式 の妥 当性 の説 明

際 の 計 算 の た め の プ ロ セ ス を 示 す も の で は な い.

  い ま ま で は デ ー タ 点 列 に 対 す る “最 も滑 ら か な ” 補 間 関 数 を見 つ け る 問 題 で, k≧nの

場 合 を 考 え て きた.と

こ ろ で,k>nの

項 式 を選 ぶ こ と は な い の で 意 味 が な い.な

場 合 は,普

通 必要 以 上に高 次 の多

ぜ な ら,実 際 問 題 で は 十 分 多 数 の デ ー

タ 点 が あ り,補 聞 関 数 と して は む しろ よ り低 次 の 多 項 式 で,あ を 持 つ も の が 望 ま しい か ら で あ る.次

節 で は,k
る程 度 の 滑 ら か さ

最 も興 味 あ る場合 に つい

て 考 え よ う.

2･3 

自然 ス プ ラ イ ン と Ｃ-ス

プ ラ イン

  先 に 述 べ た “最 も 滑 らか な ” とい う こ と を,式(2･6)の と定 義 した 意 味 を考 え て み よ う.何

量 σが 最 小 に な る こ と

らか の 知 識 に よ っ て,与

え られ た デ ー タ 点 の

表 わ す そ の 現 象 が,た

か だ かk-1次

とす る.こ

また まそ れ らの デ ータ点 が そ の多項 式 に完 全 に あては まっ

の 場 合,た

た と し て も そ れ は そ れ で よい が,多 の た め,あ

の 多 項 式 で 表 わ さ れ る こ とが わ か って い る

分 そ の よ う な こ と は め った に な い だ ろ う。 そ

る 意 味 で で き る だ け 単 一 のk-1次

の 多 項 式 に近 い 補間 関数 を得 た い

わ け で あ る.と に な る.こ

こ ろ で,た

か だ かk-1次

の こ とか ら,k-1次

の多 項式 は その ｋ 階微 分 が恒 等 的 に ０

の 多 項 式 の 次 に 補 間 に 適 す る 関 数 は,そ

の ｋ階

微 分 が あ る意 味 で で き る だ け ０に 近 い よ う な関 数 で あ る とい え る.一

方,式(2･

6)の

る意 味 で妥

σは 補 間 関 数 の ｋ階 微 分 が どれ だ け ０ に 近 い か を示 す 量 で,あ

当 な 尺 度 に な っ て い る の で あ る.   次 に,本

題 に も ど っ てk
す で に 述 べ た よ うに,k
場 合 の “最 も滑 らか な ” 補 間 の 問 題 を 考 え る. 場 合 に は た だ 一 つ の “最 も滑 ら か な ”補 間 関 数 が 存

在 し,そ れ は ス プ ラ イ ン 関 数 で あ っ た.と 別 な性 質 を 持 っ て い る.以 くつ か 調 べ る.と

次 の 多 項 式 と い う と きに は 一 般 に 次 数 が ｍ 以 下 の 多

項 式 も含 ま れ て い る の と 同 様 に,ｍ

次 の ス プ ラ イ ン関 数 も そ の 小 区 間 で の 多 項 式

の 次 数 が ｍ 次 以 下 で あ る か も しれ な い.し

従 っ て,小

の ス プ ラ イ ン関 数 は あ る 特

下 で こ の よ う な ス プ ラ イ ン関 数 の も つ 特 別 な性 質 を い

こ ろ で,ｍ

そ の １,２,…,m-1階

こ ろ で,こ

か しそ の と き で も,ス

微 分 が い た る と こ ろ 連 続 で あ る と い う要 請 は 残 っ て い る.

区 間 で の 次 数 が ｍ よ り小 さ い と い う こ とは,あ

小 区 間 の 節 点 で,０ (定 義 ２) 

プ ラ イ ン関 数 は

る階以 上 の微分 が その

の 値 を 持 っ て い る とい うこ と を 意 味 して い る に す ぎ な い.

両 端 区 間(-∞,x1),(xn,∞)で

え ら れ る 奇 数 次(2m-1次)の

た か だ かm-1次

の 多 項式 で与

ス プ ラ イ ン を 自 然 ス プ ラ イ ン(natural 

spline)

と い う  (m=2,3,…).

  自然 ス プ ラ イ ン の ｍ,  m+1,…,2m-2階 っ て い る.従

っ て,自

く代 わ りに,そ

の 微 分 は 二 つ の 節 点x1,xnで

０に な

然 ス プ ラ イ ンの 定 義 を 上 の よ うに ス プ ラ イ ンの 次 数 に 基 づ

の 両 端 点x1,xnで

ｍ 階 以 上 の 微 分 値 が ０で あ る こ と に よ っ て 定

義 す る こ と も で き る. (定 義 ３) 

両 端 区 間(-∞,x1),(xn,∞)で

恒 等 的 に ０に な る ｍ 次 の ス プ ラ

イ ン を Ｃ-ス プ ラ イ ン と い う.   こ の こ と は も ち ろ ん Ｃ-ス も 節 点x1,  xnで

プ ラ イン自 身 だ け で な く,そ

  例 え ば,第 １章 の 方 程 式(1･1)で f″(x)は

の

１,２,…,m-1階

微分

０ に な る こ と を 意 味 し て い る.

１次 の Ｃ-ス

与 え られ たf(x)は

プ ラ イン で あ る こと が わ か る.

３次 の ス プ ライ ン で あ り,

  こ れ に 関 連 して,一 般 にk
場 合,ｎ 個 の 与 え られ た デ ー タ 点 に 対 す る “最

も 滑 ら わ な” 補 間 関 数f(x)は2k-1次 f(k)(x)はk-1次

2･4 

の Ｃ-ス プ

の 自然 ス プ ラ ラ イ ン で あ る こと,お よ び

ラ イン で あ る こと を2･6節

で 述 べ る.

ス プ ラ イ ン の 微 分 と積 分

  ス プ ラ イ ンの 微 分 と積 分 は 多 項 式 の 場 合 の そ れ と 大 体 同 じで あ る.次

の公 式 は

明 らか で あ ろ う.

(2･8) (2･9)

こ こ で,ｃ

は 任 意 定 数 で あ り, x+0は,次

式 に よ っ て 与 え られ あHeaviside

関 数 こみ な す. 0 (xく0) 1

H(x)

={

(x>0) も し,ｍ

次のス プ

ラ イン 関 数 が,

(2･10) の よ うに,切 断 べ き 関 数 を 用 い て 表 わ さ れ て い る な ら ば,そ の 微 分 ま た は積 分 は, 公 式(2･8)お 〔定 理2･4〕

よ び(2･9)に

よ り容 易 に 実 行 で き る.従

１次 ま た は,そ

れ よ り高 次 の ス プ

と 同 じ節 点 を 持 つ １次 低 い 次 数 の ス プ

  また,ス プ

っ て 次 の 定 理 と成 り立 つ. ラ イン の 微 分 は,も

この 関 数

ラ イン で あ る.

ラ イン の 不 定積 分 は 同 じ節 点 を持 つ １次 だ け次数 の高 い ス プ

ンで あ る.                                             

ライ

(証明 略)

2･5 

自然 ス プ ラ イ ン と Ｃ-ス プ ラ イ ン の 性 質

  こ こ で,自

然 ス プ ラ イ ン と Ｃ-ス プ ラ イ ンの 性 質 を 調 べ よ う.こ

述 べ た よ うに,k
れ らはす で に

場 合 の “最 も滑 らか な ”補 間 の 問 題 を考 え る と き 必 要 に な

る.   〔定 理2･5〕   s(m)(x)が

s(x)が2m-1次

の 自然 ス プ ラ イ ン で あ る の は,そ

そ れ と同 じ節 点 を 持 つm-1次

  〔証 明 〕 

s(x)を2m-1次

ｍ 階 微 分 はs(x)と

の Ｃ-ス プ ラ イ ン で あ る と き に 限 る.

の 自然 ス プ ラ イ ン とす る.〔 定 理2･4〕 か ら,そ

同 じ節 点 を 持 つm-1次

は 二 つ の 区 間(-∞,x),(xm,∞)で

の ス プ ラ イ ン で あ る.さ

m-1

数s(x)が

ｍ 階 微 分s(m)(x)を

ン で あ る な ら ば,s(x)はs(m)(x)の ス プ ラ イ ン で あ る.さ

で で も恒 等 的 に ０で あ るか ら,s(x)は す な わ ち,s(x)は 〔定 理2･6〕

持 ち,そ

れ がm-1次

の Ｃ-ス プ ラ イ っ て,2m-1次

二 つ の 区 間(-∞,  x1),(xn,∞)の これ らの 区 間 で m-1

x2, …, xnを

節点

の どち ら

次 の 多 項 式 で あ る.

自然 ス プ ラ イ ン で あ る.                   

    関 数c(x)がx1,

ら に.s(x)

Ｃ-ス プ ラ イ ン で あ る.

ｍ 重 不 定 積 分 で あ り,従

ら に,s(m)(x)は

の

次 の 多 項 式 で あ る か ら, s(m)(x)は

こ れ ら の 区 間 で 恒 等 的 に ０ とな る 。 す な わ ち,s(m)(x)は   逆 に,関

の ｍ 階微 分

(証 明 終 り)

と す る ｍ 次 の Ｃ-ス

プライ ン

で あ る の は,

(2･11) と表 わ され る 場 合 に 限 る.こ

こ で,係

数biはm+1個

の線 形 関係 式

(2･12) を 満 足 し て い る.   〔証 明 〕  理1･1〕 x1,の

c(x)が

か ら,c(x)は

式(2･11)で

表 わ さ れ,biが

ｍ 次 の ス プ ラ イ ン で あ る.x+mの

と き 恒 等 的 に ０ と な り,x≧xnで

な わ ち,

条 件(2･12)を

は 式(2･11)で

満 た す と す る.〔

定 義 に よ り,c(x)はx≦ 添 字

“+”

を と っ た 式,す

定

(2･13) で 表 わ され る.式(2･13)を

書 き直 し,整 理 す る と,

(2･14)

に な る.こ

で あ る.式(2･12)よ で あ る.従

x1で

り 式(2･14)は

っ て,c(x)は

  逆 に,c(x)を,節 10)の

は組 合せ 数

こ で,

な わ ち,c(x)はx≧xnで

点x1,  x2, …, xnを

持 つ Ｃ-ス

等 的 に ０ で な け れ ば な ら な い.従 た,x  ≧ xnで

は,前

プ ラ イ ン と す る.そ

c(x)  = pm(x)と

っ て,式(2･10)は

で 見 た よ う に 式(2･11)のc(x)は

さ れ る 、 と こ ろ が,c(x)は

Ｃ-ス プ ラ イ ン で あ る の で,式(2･14)の

的 に ０ で な け れ ば な ら な い.し

れ は 式(2･

プ ラ イ ン の 定 義 か ら,c(x)はx≦

は 恒 等 的 に ０ と な る 。 そ の と き,式(2･10)は 

な る.ま

恒 等 的 に ０

Ｃ-ス プ ラ イ ン を 表 わ す.

ｍ 次 の ス プ ラ イ ン で 表 わ さ れ る が,Ｃ-ス

pm(x)恒

が恒

０,す

な る の で,

式(2･11)の

形 に

式(2･14)で

右 辺 は恒 等

か し こ の 右 辺 は ｘ の ｍ 次 多 項 式 で あ る の で,そ

等 に ０に な る のは ｘの各 べ きの係 数 が ０の ときに 限 る． 二 項(mr)は

で は な い の で,Σni=1bixir=0(r 

表 わ

= 0, 1, …, m)で

な け れ ば な ら な い.す

れ ０

な わ ち 条 件(2

･

12)が 満 た され て い る.                                   (証 明終 り)   〔系2･1〕

    関 数s(x)がx1, 

x2, …, xnを

節 点 と す る2m-1次

の 自然 ス プ ラ

イ ン で あ る の は,

(2･15) と 表 わ さ れ る 場 合 に 限 る.こ

こ で 係 数ciは

条件

(2･16)

を 満 た す.   〔証 明 〕    〔定 理2･5〕 に よ り,s(x)は,そ 節 点 を 持 つm-1次

の ｍ 階 微 分s(m)(x)が

の Ｃ-ス プ ラ イ ン で あ る と き,そ

次 の 自 然 ス プ ラ イ ン と な っ て い る.と ｍ 階 微 分 は 式(2･8)を

与 え られ た

れ と 同 じ 節 点 を 持 つ2m-1

こ ろ で,式(2･15)で

表 わ され るs(x)の

用 い る と,

(2･17) と な る.こ

こ でbiは, bi=  (2m-1) 

(2m-2) 

で あ る.式(2･18)はbiがciの か ら 式(2･12)が

を 持 つ 2m-1 

〔定 理2･6〕

れ,条

だ し,r  = 0, 1, …, m-1  の 条 件 を 満 足 し,そ

で あ る.従

れ ゆ えs(x)は

っ て,式(2･ 与 え られ た 節 点

次 の 自 然 ス プ ラ イ ン で あ る.

  逆 に,s(x)は  m-1次

 (2･18)

定 数 倍 で あ る こ と を 示 し て い る の で,式(2･16)

成 り 立 つ,た

17)のs(m)(x)は

… (m+1)mci

2m-1  次 の 自然 ス プ ラ イ ン で あ る と す る.そ

の Ｃ-ス プ ラ イ ン な ら ば,〔 定 理2･6〕 件(2･12)の

ｍ の 代 わ りにm-1と

を 用 い て 式(2･17)のs(m)(x)を 用 い て 式(2･15)の

の と きs(m)(x)が

よ りそ れ は 式(2･17)の

した 式 を 満 た し て い る.そ ｍ 重積 分 す る と,s(x)はciの

形 に 表 わ され る.こ

こ で,biはciの

示 した 次 の 補 助 定 理 は,  k＜nの

こ で 式(2･9)

代 わ りにbiを

定 数 倍 ゆ え 条 件(2･16)

が 満 た され て い る.                                            Marsdenが

形 で表 わ さ

(証 明 終 り)

場 合,“ 最 も 滑 らか に ”補 間 す る

関 数 の 性 質 を調 べ る と き し ば しば 用 い ら れ る.   〔補 助 定 理2･1〕  

c(x)を,区

イ ン と し,f(x)を,そ 関 数 と す る.そ

間(ａ,ｂ)内

れ ら の 節 点 で ０,か

に 節 点 が あ るm-1次 つ 区 間(ａ,ｂ)で

の Ｃ-ス プ ラ

ｍ 階 連続 微 分 可能 な

の と き,

(2･19) が 成 り立 つ.

〔 証 明 〕 

式(2･19)の

左 辺 の 積 分 を Ｉ と し,部 分 積 分 す る と,

(2･20) と な る.c(x)は

区 間(ａ,ｂ)内

の 両 端 の 近 くでc(x)と

に 節 点 を 持 つ Ｃ-ス プ ラ イ ン な の で,そ れ ゆ え 区 間

そ の す べ て の 導 関 数 は 恒 等 的 に ０で あ る.す

c(r)(a)=c(r)(b)=0 で あ る.従

っ て,式(2･20)の

積 分 を 繰 り返 す と,最

な わ ち,

 (r =0,  1, …, m-2)

右 辺 で は 積 分 項 の み が 残 る.こ

の よ うに して 部 分

終 的 に,

(2･21)

と な る.と

こ ろ が,c(m-1)(x)は

で,式(2･21)の

各 々の 小 区間 で 一 定 値 を とる 階段 関数 で ある の

積 分 は,

(2･22) の 形 に 表 わ さ れ る.こ 節 点 で あ る の で,仮 22)の

こ で ηiは 一 定 値 で あ る.と

定 に よ りf(x)は

積 分 は ０ と な り,従

こ ろ で,xiとxi+1はc(x)の

こ れ ら の 点 で ０で あ る.そ

っ てI=0で

れ ゆ え,式(2･

あ る.                  (証 明 終 り)

2･6  自然 ス プ ライ ン の最小 補 間性 ｎ 個 の デ ー タ点

(2･23)

(x1,  y1),  (x2,  y2),  …,  (xn,  yn)

が 与 え られ て い る と き,こ (k＜n)に

れ ら の デ ー タ 点 を 補 間 す る 関 数 の 中 で,与

対 して 節 点x1,x2,…,xnを

持 つ2k-1次

え ら れ,たk

の 自然 ス プ ラ イ ン が た だ 一 つ

あ る こ と を示 そ う.次 に,そ の よ うに して 決 め られ た 補 間 自然 ス プ ラ イ ンは 式(2･ 23)の

デ ー タ 点 を 補 間 す る 関 数 の 中 で,式(2･6)の

間 関 数 で あ る こ と,す

な わ ち最 小 補 間 性(minimal 

σを 最 小 に す る た だ 一 つ の 補 interpolation  property)を

持

っ て い る こ と を 示 そ う.

〔定 理2･7〕   xl, x2, …, xnを

k＜nの

場 合,デ

持 つ2k-1次

  〔証 明 〕    〔系2･1〕

ー タ点(2･23)を

補 問 す る 関 数 の 中 で,節

点

の 自 然 ス プ ラ イ ン は 一 つ し か な い.

に よ り,与

え ら れ た 節 点x1,  x2, …, xnを

持 つ2k-1次

の 自

然 ス プ ラ イ ン 関 数 は,

(2･24) と 書 け る.こ

こ でpk-1(x)はk-1次

点(xj,  yj)(j  = 1,  2, …, n)を

s(xj)=yj

の 多 項 式 で あ る.s(x)が

与 え られた デ ータ

補 間 す る ス プ ラ イ ン で あ る た め に は,条

件

  (j = 1, 2, …, n)

す な わ ち,

(2･25) を満 足 しな け れ ば な ら な い.こ

こ で 式(2･24)の

数,す

中 の ｋ個 の 係 数 と ｎ個 の 係 数ciを

な わ ち 多 項 式pk-1(x)の

これ らの 係 数 は 式(2･25)の 数ciは

〔系2･1〕

ス プ ラ イ ンはn+k個

の未定 係 含 ん で い る.

ｎ 個 の 方 程 式 を 満 足 しな け れ ば な ら な い.ま

た,係

か ら ｋ個 の 条 件,

(2･26) を 満 足 し な け れ ば な ら な い.式(2･25)お

よび 式(2･26)はn+k個

関 す るn+k元

下 で この方 程 式系 がた だ 一 つ の解 を持

連 立 一 次 方 程 式 で あ る.以

っ て い る こ と を 示 す.そ

の た め に は この 系 でyj(j  =  1,  2,  …,  n)を

方 程 式 の 解 が ０に 限 る こ と を 示 せ ば よい.こ (x1,０),(x2,０), 

を 考 え て,こ

-1次

の こ と は,デ

(2･27) の 自然 ス プライ ンは恒 等 的 に ０

い う こ と を示 す こ と と等 価 で あ る.い

の 自然 ス プ ラ イ ン で あ る と す る .そ

０ と した 斉 次

ー タ点

…,  (xn,０)

れ ら の デ ー タ点 を 補 間 す る2k-1次

の も の に 限 る,と

の 未定 係 数 に

まf(x)を

の と き 〔定 理2･5〕

そ の よ うな2k

に よ っ て,f(k)(x)

はk-1次

の

Ｃ-ス プ ラ イ ン で あ る.ま

て い る の で,節

点x1,  x2, …, xnで

お い て,c(x)=f(k)(x)と

と な る.こ

た,f(x)は

式(2･27)の

は ０ に な っ て い る.そ

こ で 区 間(ａ,ｂ)は す べ て の 節 点 を 含 ん で い る.さ

え,f(x)は 

を,上

 

よ び 式(2･26)に

k
あ り,し か も こ の ０に な っ て い る

の こ とは,こ

の 斉次方程式が

れ ゆ え,式(2･24)の

ス プライ ンの

よ っ て 一 義 的 に 決 定 され る.(証

場 合,s(x)を,節

補 間 す る2k-1次

点x1, 

x2,  …, xnを

の と きx1,  x2, …, xnを

し,か

つ その

含 む 区 間(ａ,ｂ)で

明 終 り)

持 ち ｎ個 の デ ー

の た だ 一 つ の 自 然 ス プ ラ イ ン と す る.ま

と 同 じ デ ー タ 点 を 補 間 す る 任 意 の 関 数と

連 続 で あ る と す る.こ

積 分 関 数 は非

ｎ点)で

恒 等 的 に ０で な け れ ば な ら な い,こ

０以 外 の 解 を 持 た な い こ と を 意 味 して い る.そ 係 数 は方 程 式(2･25)お

て,被

こ ろ でk＜nで

ｋ個 以 上 の 異 な っ た 点(x1,  x2,  …,  xnの

の で, f(x)は

たf (x)

１,  ２,  …, k階 微 分 が は,

(2･28) が 成 り立 つ ． た だ し等 号 はf(x)=s(x)の

〔証 明〕

明 らか に,

で あ る.そ

れ ゆ え,

と な る.従

っ て,

に

ほ とん どい た る と こ ろ ０で あ る こ とが わ か る ． そ れ ゆ

k-1  次 の 単 一 の 多 項 式 で あ る.と

多 項 式f(x)は

タ 点(2･23)を

こ で 〔補 助 定 理2･1〕

す れ ば,

負 で あ る か ら,f(k)(x)は

〔定 理2･8〕

デ ー タ点 を 補 間 し

と き に 限 る.

(2･29) と な る.こ

こ で,〔 補 助 定 理2･1〕

を 用 い て 式(2･29)の

る こ と を示 す.〔 定 理2･5〕 に よ りs(k)(x)は Ｃ-ス プ ラ イ ン で あ る.さ

らに,最

階 微 分 した も の で あ る.し

最 後 の 項 の 積 分 が ０に な

節点x1, x2, …,  xnを

持 つ k-1次

後 の 項 の ［ ］ 内 の 式 は 関 数f(x) 

か も,f(x)とs(x)は

-  s(x)を

同 じデ ー タ 点(2･23)に

の ｋ

対す る

補 間 関 数 で あ る の で, f(xi)= 

で あ る.す

な わ ち,f(x) 

お い て,c(x)と (2･19)か

s(xi)  = yi

-s(x)は

し てs(k)(x)を

ら 式(2･29)の

点xiで と り,f(x)と

限 る.と

- s(x)を

等 号 に な る の は 式(2･29)の

か も,n＞k-1で

あ る の で,こ

と る と,式

っ て,式(2･29)の

左 辺 は二

２番 目 の 積 分 も ０に な る と き に

こ ろ が,こ の 積 分 が ０に な る こ と はf(k)(x)-s(k)(x)が

次 の 多 項 式 で な け れ ば な らな い.こ

れ ゆ え,連

ほ と ん どい た る

続 関 数f(x)-s(x)はk-1

の 多 項 式 は ｎ個 の 異 な っ た 点 で ０に な り,し

の 多 項 式 は 恒 等 的 に ０で あ る.す

な わ ち,f(x)  =

あ る.                                              (証 明 終 り)

  ｎ個 の デ ー タ 点 に 対 す る “最 も滑 ら か な ” 補 間 関 数 を求 め る こ と は,原 は 〔定 理2･7〕 nで

に

得 ら れ た.

と こ ろ ０に な る こ と を意 味 して い る.そ

 s(x)で

こ で,〔 補 助 定 理2･1〕

し てf(x) 

最 後 の 積 分 は ０ と な る.従

つ の 非 負 の 積 分 の 和 に な り,式(2･28)が

  さて,式(2･28)が

０ と な る.こ

お よ び 〔定 理2･8〕 に よ っ て で き る.こ

式(2･6)の

理的に

こ で “最 も滑 らか ” と はk＜

σ を 最 小 に す る こ と を 意 味 して い る.と

こ ろ で,〔 定 理2･7〕 お よ

び 〔定 理2･8〕 で 得 られ る 自然 ス プ ラ イ ンは,実

際 にk≧nの

ど 十 分 は っ き り した 表 式 に は な っ て い な い.な

ぜ な ら,“最 も滑 らか な ”補 間 関 数

で あ る 自 然 ス プ ラ イ ンの 係 数 を 得 る の に,連

場 合 に 得 られ た 式 ほ

立 一 次 方 程 式 を解 く必 要 が あ る か ら

で あ る.   第 １章 の 式(1･1)で 節 点-3,-1,０,３,４ で あ る.ま

た,節

与 え ら れ た 関 数 に 対 して,こ を も つ ３次(2k-1=3,す

の こ と を見 る と,そ

点 に対 す る 値 は ７,11,26,56,29で

な わ ちk=2)の

れ は ま ず,

自然 ス プ ライ ン

あ る か ら,こ

の 関 数f(x)

は,〔

定 理2･7〕

に よ っ て,デ

(-3,７), 

ー タ点 (０,26), 

(-1,11),

(３,56),  (４,29)

を 補 間 す る た だ 一 つ の ３次 自然 ス プ ラ イ ン で あ る こ とが わ か る.さ 2･8〕 に よ っ て,そ か な” 補

れ はk=2の

らに,〔 定 理

場 合 の これ ら ５つ の デ ー タ 点 に 対 す る “最 も滑 ら

間 関 数 で あ る こ とに も な る.

  さ て,k=1の

場 合 は 特 に 興 味 が あ る.こ

ラ イ ン補 間 関 数 で あ る.こ 間(xn,∞)で

れ は2k-1=1よ

れ は デ ー タ 点 で 頂 点 を 持 ち,区

一 定 値 を と る 折 れ 線 で あ る.も

間 し,区 間(-∞,x1)と

区 間(xn,∞)で

じで あ り,そ れ,を図2･1に

よび 区

ち ろ ん こ れ は デ ー タ点 間 を直 線 で 補

は そ れ ぞ れ 一 定 値y1,ynと

す る こ と と同

示 す.

図2･1 

  と こ ろ で,実

り,１ 次 の 自然 ス プ 間(-∞,x1)お

k=1の

場 合 の “最 も滑 らか な”補 間 関 数

際 に デ ー タ点 か ら 自然 ス プ ラ イ ン を 決 定 す る 場 合,〔 定 理2･7〕 お

よ び 〔定 理2･8〕 で 決 定 され る 自然 ス プ ラ イ ン を 得 る に は 連 立 一 次 方 程 式 を 解 く 必 要 が あ る.第

５章 で は,こ

の 連 立 一 次 方 程 式 を 直 接 解 か な い で も,自

然 スプラ

イ ン を 適 当 に 決 定 で き る 便 利 な 数値 的 方 法 に つ い て 述 べ る.

2･7  第 ２章 に関 す る小史   多 項 式 に よ る 補 間 公 式(2･3)は,Lagrange  も,実

際 に こ れ を最 初 に 発 表 した の は1779年

Lagrangeが Waringと

の 公 式 と して 知 られ て い る け れ ど にEdward 

こ の 公 式 を 発 表[４]し た の は,1795年 同 じ記 号 が 使 わ れ て お り, Waringの

こ とは 明 ら か で あ る.

Waring[３]で

で あ り,事

実,そ

あ っ た. の 中 で は,

論 文 を 単 に 引 用 した だ け で あ る

  区 分 多 項 式 に よ る 補 間 はNewtonに

由 来 し, は や くか ら 天 文 学 者 や 保 険 数 学

者 に よ っ て 広 く利 用 さ れ て き た.前

世 紀 ま で の 区 分 的 多 項 式 に よ る補 間 は,普 通,

定 義 に よ っ て 表 示 され たm-1次

の 多 項 式*を

々 と移 動 さ せ る も の で あ っ た.こ

用 い て,デ

の 補 間 関 数 は 普 通,そ

ー タ点 を ｍ 個 づ つ次

の １階 微 分 が 不 連 続 に な

る.   これ に 対 して,微

分 が 連 続 と な る “滑 ら か な 補 間 ”の 必 要 性 を痛 感 した 英 国 や,

他 の ヨ ー ロ ッパ の 保 険 数 学 者 達 は,あ の 区分 的 多項 式 補 間 関数 した.こ

る 程 度 の 連 続 微 分 可 能 性 を 持 った い くつ か

〔“接 触 補 間 関 数 ”(osculatory 

の よ うな 公 式 の 最 初 の もの は,1880年

interpolation)〕

に Ｔ.Ｂ.  Sprague[５]に

を開発 よって公

表 され た.   しか し,こ れ ら の 公 式 に よ っ て 作 ら れ た 補 間 関 数 は,本 密 な 意 味 で の ス プ ラ イ ン関 数 で は な い.な 式 の ２階 以 上 の 微 分 は,連

ぜ な ら,こ

章 で 定 義 した よ うな 厳

の 補 間 関 数 に使 用 した 多 項

続 に は な ら な い か ら で あ る.

  1927年

に,ア

メ リカ の 保 険 数学 者W.A. 

Jenkinsは

二 つ の近 以 公 式 を 公表 し

た[６].こ

の 公 式 で あ て は め ら れ た 曲 線 は,一 般 に,与

え られ た デ ー タ 点 を 正 確 に

通 ら な い の で,こ

の 公 式 は 厳 密 な 意 味 で の 補 間 公 式 で は な い が ， そ の １つ は 等 間

隔 の デ ー タ 点 に 対 す る ３次 の ス プ ラ イ ン で あ り,も 相 当 して い る(も ち ろ ん,Ｗ.  Ａ.  Jenkinsは か っ た).著

者 の 知 る 限 りで は,こ

う １つ は ２次 の ス プ ラ イ ン に

“ス プ ラ イ ン ”とい う術 語 は 使 用 しな

れ は 厳 密 な意 味 で,１ 次 よ り も 高 次 の ス プ ラ イ

ン関 数 が 公 表 さ れ た 最 初 の も の で あ る.Jenkinsの 険 数 学 者 の 間 で 好 評 な 公 式 で あ っ た.事

実,そ

３次 ス プ ラ イ ン の 公 式 は,保 れ は1940年

の 米 国 人 口調 査 の 結

果 の 整 理 と合 衆 国 平 均 寿 命 数 表 の 作 成 に 使 わ れ た.   く し く も,３ 1946年

次 ス プライ ンを合 衆 国 死亡 率 に あ て はめ た前 述 の表 が公 表 され た

と 同 じ年 に,Schoenberg 

は “ス プ ラ イ ン” とい う術 語 を 導 入 し,そ

の概

念 を 正 確 に 定 義 し た.   与 え られ た デ ー タ 点 を “最 も滑 らか ” に 補 間 す る 唯 一 の ス プ ラ イ ン関 数 の 存 在 は,３ *例

次 ス プ ラ イ ン(k=2)の えば

,Newton内

場 合1957年

挿 補 間 公 式 が あ る.式(4･10)参

に Ｊ.CHolladay[８]に 照

よ っ て,ま

た

一 般 の 場 合 に 対 し て は1963年 はSchoenberg「10]に

に

Ｃ.  de  Boor[９]に

よ っ て 独 立 に 得 ら れ た,ま

葉 こ そ 使 わ れ て い な か っ た が,1959年

よ っ て 証 明 さ れ た.同 た,そ

じ結 果

れ は ス プ ライ ン とい う言

に 発 表 さ れ たGolombとWeinberger[11]

の 論 文 に も 示 さ れ て い る.

  こ の 章 で 述 べ た 〔定 理2･8〕

の 証 明 はde  Boor[９]とSchoenberg[10]と

が独 立

に 発 展 させ た も の に 従 っ て い る.

演 2･1点(０,４),(２,７),(３,８),(６,１)を 2･2問2･1の 2･3本

習

問

題 ２

補 間 す る ３次 の 多 項 式 を 求 め よ。

４点 を 補 間 す る ４次 の 多 項 式 の 最 も 一 般 的 な形 を示 せ. 文 の 式(2･1)と

=Pi(xi)で

式(2･2)に

よ っ て 定 義 さ れ たP（x)とPi(x)を

用 い てP′(xi)

あ る こ とを示 せ.

従 っ て,式(2･3)が,

の形 に書 け るこ とを示 せ. 2･4k=2と 2･5 

s(x)を,３

して 点(１,ｉ),(３,５),(６,８)に 点(１,４),(２,-2),(４,y3)に

自 然 ス プ ラ イ ン 補 間 関 数 と す る.こ を定 め よ.

対 す る,“ 最 も滑 らか な ” 補 間 関 数 を 求 め よ. 対 す る “最 も 滑 ら か な ” ３次(k=2)の

こ でs(0)=6と

し て,y3の

値 を 求 め,s(x)の

式

第 ３章

線形汎関数 の近似

3･1線

形 汎関 数

  汎 関 数(functional)は,関 た も の を い う.従

っ て,そ

数 に あ る 演 算 を 作 用 さ せ て １つ の 数 値 に 対 応 さ せ の 関 数 に 対 し て １つ の 汎 関 数 の 値 が 定 ま る.汎

例 と して は,∫baf(x)dxやf(r)(c)が

あ る ． た だ し,ａ,ｂ,ｃ は 与 え ら れ た 定 数 で

あ り,ｒ は 与 え られ た 非 負 の 整 数 で あ る.こ      

単 の た め(ｘ)を

     

れ らは 一 般 に,

Lf(x)=p

と 表 わ す こ と が で き る.Lはf(x)に る.簡

関数の

作 用 す る演 算 で あ り, ｐ は 汎 関 数 の 値 で あ

省 略 して,

Lf=p

と書 く こ と も あ る.汎

関 数 は ２つ の 性 質,

L(cf)=cLf L(f+g)=Lf+Lg

(3･1)

が 成 り立 つ と き 線 形(linear)と functional)で

の 例 の ど ち ら も線 形 汎 関 数(linear

あ る こ とが 容 易 に 証 明 で き る.

  と こ ろ で,汎

関 数 の 近 似 が 必 要 に な っ て く る こ とが あ る ． 例 え ば,あ

積 分 が 可 能 で あ っ て も,そ あ る い は,実

な り,上

る 関数 は

の 積 分 を “閉 じた 形 ” で 表 わ せ な い こ とが 普 通 で あ る.

験 で 与 え られ る 関 数 の よ うに 離 散 的 な 値 で しか 与 え られ て い な い よ

うな 場 合 で あ る.   実 用 上 興 味 あ る 汎 関 数 で は,た で き る,従

っ て,区

い て い そ の 演 算 は 多 項 式 に 対 して は 容 易 に 遂 行

分 的 多 項 式 で あ る ス プ ラ イ ン に 対 して も演 算 は 容 易 で あ る.

と こ ろ で 第 ２章 で は,離

散 した デ ー タ点 を ス プ ラ イ ン で あ て は め る こ と が で き

る と い う こ と を 見 た.従

っ て,汎

近 似 し,そ

関 数 に 対 す る 近 似 は,関

数 を ス プ ラ イ ン関 数 で

の ス プ ラ イ ン 関 数 の 汎 関 数 を 求 め れ ば 得 ら れ る ． 実 際,Schoenberg

は 関 数 に 対 して あ る 適 当 な ス プ ラ イ ン近 似 を行 な う と,そ て,あ

れ が そ の汎 関 数 に対 し

る 意 味 で “最 良 近 似 ”に な っ て い る と い う注 目す べ き 発 見 を した ． こ の “最

良 近 似 ” の 意 味 は 後 で 正 確 に 述 べ る.

3･2 

Peanoの

定理

  線 形 汎 関 数 を近 似 す る の に 最 も 重 要 な 数 学 的 道 具 は,た ぶ んPeanoの で あ ろ う.こ

定 理[12，13]

こ で は 次 の よ うな 線 形 汎 関 数 に つ い て 考 え る.

  こ こ で 関 数ai(x)は

区 間[ａ ，ｂ]で 区 分 的 に 連 続 で,か

つ 横 座 標xijは

区 間[ａ,

ｂ]に あ る. 〔注 意 〕 式(3･2)は

文 献[14]か

ら 引 用 した も の で あ る.こ

理 が 最 も完 全 な 形 で 取 り扱 わ れ て い る と と も に,そ

の 文 献 はPeanoの

定

の 応用 につ い て書 か れ て

い る の で 有 用 で あ る.   式(3･2)の

形 の 線 形 汎 関 数 は も ち ろ ん 一 般 的 で は な い が,我

る も の を ほ と ん ど含 ん で い る.ま う.実

際,種

たLfが

定 積 分,(〓)あ

  〔定 理3･1〕  

ほ とん ど を ０ と

の 例 と して,(〓)ｆ

る 与 え られ た 定 点 Ｃ で の ｆ の ｒ階 微 分 値,(〓)ｆ ど が あ る.さ

Ｌ を式(3･2)の

て,次

にPeanoの

を 区 間[ａ,  ｂ]でm+1階

関 数 Ｌが た か だ か ｒ次 の多 項 式 ｆ に対 して,Lf=Oの

の

の い ろい ろな

定 理 の １つ の 形 を示 す.

形 を も つ 線 形 汎 関 数 と し,そ

を 消 滅*さ せ る も の と す る 。 ま た,ｆ

滅 させ る とい う.

え ば 関 数ai(x)の

ほ とん どを ０と お け ば 得 ら れ る.そ

点 で の 値 の 線 形 結 合,な

*汎

線 形 汎 関数 で ある こ とは 自明 で あろ

々 の 特 殊 な 形 の 線 形 汎 関 数 は,例

お い た り,係 数bijも

々 が 普 通 問 題 とす

性 質 を持 つ とき,

れ は ｍ 次 の 多 項式 連 続 微分 可 能 な関 Ｌは ｒ次 の多 項式 を消

数*１

と す る.こ

の と き,

Lf=∫baK(t)f(m+1)(t)dt

と な る.こ

こ で,

(3･3) で あ り,Lxは

Ｌ の 演 算 に お い て[]内

をxに

つ い て の み行 な うこ とを意 味 す

る. 〔証 明 〕    Taylorの

定 理[14]に

よ り,

さ て,

 (t≦x) 0

(x-t)+m={(x−t）m

 (t≧x) で あ る か ら,式(3･4)は,

と も書 け る.こ

こ で,式(3･5)の

ｍ 次 の 多 項 式 で あ る か ら,Ｌ と 演 算 子 Ｌ の 順 序 は,被

両 辺 に Ｌ を作 用 させ る と,式(3･5)の に よ っ て 消 滅 す る.ま

た,第

第 １項 は

２項 の ｔに 関 す る 積 分

積 分 関 数 が 連 続 で あ る か ら入 れ 替 え る こ とが で き る.従

っ て,

  *１ 関 数f(x)が

ｍ 階 連 続 微 分 可 能 とは,f(x)が

あ る こ とで あ る.こ の場 合 もち ろ んf(k)(x),k=1,2…

ｍ 階 微 分可 能 で,そ ，m-1も

のf(m)(x)が

  *2  こ の公 式 は積 分 項 を ａか ら ｘ まで繰 り返 し部 分 積 分 す る こ とに よるか,あ 微 分 して 確 か め る こ とが で きる.

連続 な関数で

連続 で あ る. るい は 両辺 を繰 り返 し

と書 ける.                                                式(3･3)で

与 え られ る関数K(t)は

（証 明終 り)

演 算 子 Ｌ のPeano核(kerne1)と

呼 ばれ

る.そ れ は明 らか に区 分 的 多項 式 関数 で ある が,ス プ ライ ン関 数 で あ る とは限 ら ない.

  3･3汎

関 数 の 最 良 近 似 に 関 す るSardの

理 論

  本 節 で は 線 形 汎 関 数 の “最 良 近 似 ”(best  appoximation)に 理 論[15]を 述 べ る.そ

の 基 礎 と な る の が,上

  い ま,任 意 の 汎 関 数 Ｆ を,以

述 のPeanoの

下 の よ う なf(xi)の

関 す るA.  Sardの 定 理 で あ る,

線 形結 合 で表 わ され る別 の 汎

関 数 Ｌ で 近 似 す る こ と を 考 え よ う.

(3･6) こ こ で,係

数biは

  と こ ろ で,こ

関 数 ｆ に 無 関 係 な 定 数 で あ る.

の 種 の 近 似 は 一 般 に 広 く使 用 され て い る.そ

知 られ て い るSimpsonの

の 例 と し て は,よ

く

積分 近 似 公 式

(3･7) や,微 分近 似 公 式

(3･8) な ど を あ げ る こ とが で き る.   こ の よ う な近 似 で は 普 通 そ れ が ｒ次 の 多 項 式 に 対 して は 厳 密 に な る よ う に,式 (3･6)の

係 数biを

定 め て い る.言

と き は い つ で もLf=Ffと は ３次 式 に 対 し,ま   さ て,Ｌ う.こ

い 換 え れ ば,ｆ が た か だ か ｒ次 の 多 項 式 で あ る

な る よ うに す る.従

た 式(3･8)は

っ て,式(3･7)のSimpson公

式

１次 式 に対 し厳 密 に な っ て い る.

が Ｆ の近 似 に 使 用 され た時 の 近 似 誤差 また は 残差 に つ い て 考 え よ

の 残 差 も ま たRf=Ff-Lfで

定 義 され る 線 形 汎 関 数 で あ る.も

し,そ

の

近 似 が ｍ 次 に つ い て 厳 密 で あ る な らば,す あ る と き は,い Peanoの

つ で もFf=Lfで

なわ ち ｆ がた か だ か ｍ 次 の多 項 式 で

あ る の でRf=0と

定 理 の 仮 定 を 満 足 し,そ

な る,従

れ ゆ え 式(3･5)か

っ て,汎

ら,

(3･9)

  Rf=∫baK(t）f(m+1)(t)dt を得 る,た

だ し,

K(t)=1/m!

で あ る.こ ば,m+1階

関数 Ｒ は

Rx[(x-t)+m]

こで 式(3･9)か

ら,も

微 分f(n+1)(t)の

(3･10)

し[ａ,ｂ]の 全 域 でK(t)の

あ ま り大 き くな い,す

絶 対 値 が 小 さい な ら

べ て の 関   f(t)に

対 して Ｌ

は Ｆ の よ い 近 似 に な る こ とが わ か る.   さて,Ｆ

に 対 す る 近 似 Ｌ,がｍ 次 で 厳 密 で あ る こ と は,式(3･6)の

る 種 の 拘 束 条 件 を 課 す こ と に は な る が,そ そ こで,係 数biの

れ だ け で はbiは

係 数biに

あ

一 義 的 に 決 ま ら な い.

ぶ 択 に つ い て 残 され て い る こ の 自 由 度 を 利 用 し,区 間[ａ,  ｂ]に

お い て ｜K(t)｜ を あ る 意 味 で 可 能 な 限 り小 さ くす る よ うに して, biを

決 め るこ と

が 考 え ら れ る.   そ こ で,Sardは

最 良 近 似 を 以 下 の よ うに 定 義 し た 。  Ｌ は ｍ 次 に 対 して 厳 密 な

汎 関 数 で 式(3･6)に

よ っ て 衷 わ され,る とす る.こ

られ た 値 で あ る.も

し係 数biが

の と き,ｍ

と横 座 標xyは

与え

この 条 件 の 下 で,

(3･11)

J=∫ba[K(t)]2dt

を 可 能 な 限 り小 さ くす る よ う に ぶ ば れ る な ら,Ｌ

はＦ に対 す る最 良近 似 で あ る と

い う.

3･4 

自然 ス プ ラ イ ン に よ る 線 形 汎 関 数 の 近 似

  関数 ｆ に対 す る線形 汎 関 数Ffを 近 似 す る １つ の方 法 は, ｆ を ス プライ ン近 似 ｓで置 き換 え て 汎 関数 恥 を求 め る こ とで あ った.こ

こで ｓは,与 え られ た 整 数

ｋ お よ び 横 座   x1,x2,…,xnに

対 し て 一 義 的 に 定 ま る2k-1次

ン と す る,こ

と 〔定 理2･8〕

の と き 〔定 理2･7〕

か ら,ｓ

の

自然 ス プ ラ イ

は ｎ個 の デ ー タ点

 (3･12)

(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),…,(xn,f(xn))

を補 間 す る “最 も滑 らか な ”関 数 に な っ て い る.以 る近 似Fsが xiに

式(3･6)の

下 で,こ の 方 法 に よ っ て 得 ら れ

形 で 表 わ され る こ と を示 そ う(そ こ で は,係 数biが

の み 依 存 し, ｆ に は 依 存 し な い も の で な くて は な ら な い).さ

次(=k-1次)の

多 項 式 に 対 し て 厳 密 で あ る こ と,つ

汎 関 数 の 近 似 に な っ て い る こ と を示 そ う.そ

座標

ら に, Ｌ が ｍ

ま り,そ れ がSardの

線形

し て,次 節 で は,そ れ が 式(3･11)の

Ｊ を最 小 に して い る こ と を 示 す. 〔注 意 〕  こ こ で 必 要 な の は,係 数biが 求 め る こ と で は な い.し

か も,biを

存 在 す る こ と を 示 す こ とで あ っ て,そ

れを

求 め る こ と は や っか い な こ とで あ る し,

実 際 に 求 め な い で 済 ま す こ と も で き る.   そ こ で ま ず,自

然 ス プ ラ イ ン ｓ を 求 め る や り方 に つ い て 思 い 出 し て み よ う.ｓ

は 第 ２章 式(2･24)で (2･26)のn+k個

表 わ す こ とが で き,こ の 式 のn+k個 の 方 程 式 を解 い て 得 る こ とが で き る.こ

こ と は や っ か い で あ る が,原 き る.つ

ま り,ス

か も,こ

理 的 に は 式(2･25)右

り引 い た り,あ る い はyiに の 係 数 は,yiの

対 し て 解 く こ とが で

表 わ され,たこ とに す る ． し

対 す る 演 算 は,yiを

それ ぞれ 加 えた

定 数 を 掛 け た り割 っ た りす る だ け で あ る.従

線 形 結 合 に な っ て い る こ とに な る.そ

式

の係 数 を実 際 に求 め る

辺 のyiに

プ ラ イ ン ｓの 係 数 は こ れ ら のyiで

れ ら の 方 程 式 を 解 く過 程 で のyiに

式(2･24)の

の 係 数 は 式(2･25)と

こ で,こ

っ て,ｓ

れ らの 線 形 結 合 を

パ ラ メ ー タ に 代 入 し て ま と め る と,ｓ は

s(x)=Σni=1Bi(x)yi

の 形 に な る.こ

 (3･13)

こ で 関 数Bi(x)(i=1,2,….n)は

次 の 自 然 ス プ ラ イ ン で あ る,こ め る 必 要 は な く, た だ それ

さて,式(3･13)で

節 点 がx1,x2,…, 

こ で も こ れ ら の ス プ ラ イ ン 関Bi(x)を

ら の 存 在を知るだけ

表 わ さ れ る ｓ の 汎 関 数Fsに

で 十 分で

xnの2k-1 実 際 に求

あ る.

お い て Ｆ は 線 形 汎 関 数 で あ る,

つ ま り式(3･1)の

性 質 を持 っ て い る か ら,

Fs=Σni=1yiFB

に な る,こ

 (3･14)

こ で,

bi=FBi

 (3･15)

と お き, しか も

yi=f(xi) で あ る の で,式(3･14)は

式(3･6)と

  ス プ ラ イ ンBiは,そ

等 価 で あ る こ と が わ か る.

の 作 り方 か ら わ か る よ う に,変

は 依 存 し な い こ と に 注 意 し よ う.従 に は 依 存 す る が,関   こ う し て,以

数xiに の み 依 存 しyiに

って,式(3･15)は,係

数biが

数 ｆ に は 依 存 し な い こ と を示 して い る.

上 で 考 察 した ス プ ラ イ ン近 似 の 過 程 が,Ｆ

の 近 似 つ ま り式(3･6)

の 形 を した 新 しい 汎 関 数 Ｌ を 定 義 して い る と考 え られ る.す め れ ば,Ｌ

Ｆ と 座 標xi

な わ ち,簡

単にまと

は 次 の よ う に 定 義 され る.

Lf=Fs   こ こ で,ｓ

 (3･16)

は ｆ に 対 す る 節 点x1,x2,…,xnを

持 っ た2k-1次

の 自然 ス プラ イ ン

近 似 で あ る.

この近 似 Ｌに つ い て の 以下 の定 理 は重 要 であ る。 〔定 理3･2〕  

式(3･16)で

定 義 され る 演 算 Ｌ は,k-1次

の 多 項 式 に 対 して 厳

密で あ る よ うな 演 算 Ｆ の 近 似 に な っ て い る. 〔証 明 〕 

ｆ を た か だ かk-1次

示 そ う.ま

ず,式(2･24)のs(x)は

1な る こ と に 注 意 す る.従 ｒ ん で い る の で,s=fで   と こ ろ で,式(2･25)と 単に 証 明 で き る.す

の 多 項 式 とす る.こ

の と きs=fで

そ の す べ て の 係 数ciが

っ て,2k-1次

あ る こ と

０な ら ばPk-1(x)

の 自 然 ス プ ラ イ ン の 属 はk-1次

の属を

あ り う る. 式(2･26)は

な わ ち,こ

どち ら もs=fの

の と き はciが

と き 満 た され る こ と が 簡

す べ て ０ と な り,式(2･26)が

満た

され る こ とは 自 明 で あ る.ま

た こ こ で は,デ

あ るか ら,yi=f(xi)で

あ る.〔 定 理2･7〕

あ る の で,結

示 され た.従

Ffと

局s=fが

な り, Ｌ はk-1次

3･5 

よ り,補

っ て,こ

補 間 して い る の で

間 自然 ス プ ラ イ ン は 一 義 的 で

の 場 合,式(3･16)か

らLf=Fs=

の 多 項 式 に 対 して 厳 密 で あ る.       

Schoenbergの

  Schoenberg[16]は

ー タ 点(3･12)を

(証 明 終 り)

定 理 次 の よ うな 注 目 す べ き 事 実 を 発 見 した.そ

与 え ら れ る よ うな Ｌ に よ る Ｆ の ス プ ラ イ ン近 似 が,Sardの 良 近 似 に な っ て い る こ とで あ る.つ 式 に 対 し て Ｆ と 等 価 で,か

ま り,式(3･16)の

つ 式(3･11)の

れ は 式(3･16)で

意味 で Ｆ に対 す る最

形 の Ｌ が,k-1次

の 多項

Ｊ が 最 小 に な っ て い る こ と で あ る.

  こ の 結 果 を 次 の 定 理 で 正 確 に 述 べ る.   〔定 理3･3〕  

a〓x1<x2<…<xn〓bと

義 され る 演 算 子 とす る.Ｌ ′は 式(3･6)の っk-1次

し, Ｆ を 式(3･2)(m=k-1
の 多 項 式 に 対 して は 厳 密 で あ る もの と し,Ｌ は 式(3･16)で

近 似 を 表 わ す も の と す る.ま Ｌ に 対 応 す る 値 と す る.こ

定

た Ｊ′,Ｊを 式(3･11)に

与 え られ る

よ っ て 定 義 され る量 の, Ｌ′,

の と き,

J≦J′ であ る.こ   〔証 明 〕 

こ で 等 号 はL′=Lの

と き に 限 る.

bi′,biを そ れ そ れ Ｌ′,  Ｌ に 対 応 す る 式(3･6)の

(t)を 式(3･9)の

Ｌ′,Ｌに 対 応 す るPeano核

係 数 と し, K1(t),K

と す る.〔 定 理2･8〕 の 証 明 で 使 わ

れ た と 同 じ工 夫 を用 い て.

(3･17) と 書 け る.式(3･17)の

第 ２項 の 積 分 は 非 負 で あ る の で,も

０で あ る こ とが 示 され れ ば,不

等 式J≦J′

が 成 立 す る .そ

し 最 後 の項 の 積 分 が こ で,こ

の こ と を示 そ

ろう. は じ め に,K1(t)-K(t)が

節 点x1,  x2,…,  xnを

も つk-1次

の Ｃ-ス

プラ イ ン

で あ る こ と を 示 す.そ す.そ fの

の 準 備 と し て,K1(t)がt≦a, 

の た め に ま ずFfとL′fが(従

ら 明 ら か で あ る.す

さ れ な い.さ

な わ ち,そ

て,t≧bの

に ０ で あ る.そ か らK1(t)=0と

(x-t)+k-1 で あ る.と

あ る.従

た,t≦aの

はk-1次

区 間[ａ,ｂ]上

と き,区

ｘ に 関 す るk-1次

と き,  K1(t)=0と

  こ の よ う にK1(t)はt≦a,t≧bで じ 方 法 に よ り,t≦a, 

さ て,式

よ び 式(3･

の ｘに 対 し て 恒 等 的

な る.従 間[ａ,ｂ]上

っ て,式(3･10)

で の ｘ に 対 し て,

の 多 項 式 で あ り,ま

た 仮 定 に

の 多 項 式 に 対 し て 厳 密 で あ る か ら,R′x[(x-t)+k-1]=0で

っ て,t≦aの

t≦a,t≧bで

の

=(x-t)k−1

こ ろ で(x-t)k-1は

よ っ てL′

の こ と は,式(3･2)お

こ でR′x[(x-t)k-1]=0と

な る.ま

間[ａ,  ｂ]上

れ らは この 区 間外 の ｆの ふ るまい に は 影響

と き,(x-t)+k-1は

れ ゆ え,そ

０に な る こ と を示

っ てR′f=Ff-L′fも)区

値 に の み 依 存 し て い る こ と に 注 意 し よ う.こ

6)か

t≧bで

な る. ０ に な る こ と が 明 ら か に な っ た.  K(t)も

t≧bで

０ に な る こ と が わ か る.従

同

っ て,  K1(t)-K(t)は

０ に な る. （3･10)か

ら,     1/(k-1)!   (R′

Kl(t)-K(t)=

x-Rx)[(x-t)+k-1]

(3･18)

で あ る が, R′x-Rx=

( Fx-L′x)-(Fx-Lx)=Lx-L′x

で あ る か ら,式(3･18)は,     1/(k-1)!   (L

K1(t)-K(t)= と な る.一

方,式(3･6)か

x-L′x)[(x-t)+k-1]

(3･19)

ら

(3･20) で あ る の で,関      

係式

z+r=zr-(-1)r(-z)+r

を 利 用 す る と 、 式(3･19)お xnを

も っ たk-1次

よ び 式(3･20)か

らK1(t)-K(t)は

の ス プ ラ イ ン で あ る こ と が わ か る.さ

にK1(t)-K(t)はt≦a,t≧bで

節 点x1,x2,…, ら に,上

で 示 した よ う

恒 等 的 に ０ で あ る か ら,K1(t)-K(t)は

Ｃ-ス

プ

ラ イ ン に な っ て い る.

次 に,式(3･17)の (t)-K(t)の

最 後 の 項 の 積 分 と ０に な る こ と を 示 す.い

任 意 の ｋ重 不 定 積 分 と す る,言

ま,G(t)をK1

い 換 れ ば,G(t)は

G(k)(t)=K1(t)-K(t) を 満 足 す る 任 意 の 関 数 で あ る ． 従 っ て,〔 xnを

も つ2k-1次

定 理2･5〕

の 自 然 ス プ ラ イ ン で あ る.こ

か らG(t)は

のG(t)を

節 点x1,x2,…,

用 い て 式(3･17)の

最

後 の 積 分 を,

∫baK(t)G(k)(t)dt

と 表 わ し,こ

れ と 式(3･9)と

比 較 す る と,こ

の 積 分 は 明 らか に Ｌ を Ｆ の 近 似 と し

て 関 数 Ｇ に 演 算 し た と き の 誤 差 あ る い は 剰 余 に な っ て い る こ とが わ か る.(RG =FG-LG)

.

  さ て,Ｌ

は 式(3･16)で

定 義 され て お り, Ｇ は 節 点x1,x2,…,xnを

次 の 自然 ス プ ラ イ ン で あ る.一

方,与

え ら れ た デ ー タ点 を,与

も つ2k-1

え られ た 次 数 で 補

間 す る 自然 ス プ ラ イ ン は,〔 定 理2･7〕 か ら た だ 一 つ で あ る の で,Ｇ

に対 す る補 間

自然 ス プ ラ イ ン は Ｇ そ れ 自 身 で あ る 。 す な わ ち, LG=Fs=FG と な り,剰

余 は ０で な け れ ば な ら な い.従

な り,不 等 式J≦J′   さ て,式(3･17)か と が わ か る.こ 意 味 して い る.言 る.従

っ て,Ｆ

っ て,式(3･17)の

最 後 の 積 分 は ０と

が 成 立 す る. ら,J=J′

の こ とは,ほ

とな る の は 第 ２項 の 積 分 が ０ に な る と き に 限 る こ と ん どい た る と こK1(t)-K(t)=0で

い 換 え れ ば,ほ

とん どい た る と こ ろKl(t)=K(t)と

の 近 似 こ し て Ｌ′お よ び Ｌ と 用 い られ る と き,式(3･9)は

の 許 容 関 数 ｆ に 対 し て ど ち ら も 同 じ剰 余 を 与 え る.こ

あ る こ とを な ってい す べて

の こ とは すべ て の許 容 関数

ｆ に 対 して,L′f=Lfで

あ る こ と を意 味 し,こ れ はL′=Lと

同 等 で あ る. (証 明 終 り)

  例

題

3･6

 この 節 で は,簡 単 な例 を用 い て上述 の近 似理 論 を具体 的 に説 明 す る.そ の例 と して,積 分 ∫1-1ｆ(x)dxを, d1f(-1)+d2f)(0)+d3f(1)

(3･21)

で 近 似 す る こ と を 考 え よ う,Simpson公 の １つ で あ る.こ で い る.以

式(3･7)は,も

ち ろ ん,そ の よ う な 近 似

の 例 は 簡 単 で あ る が, こ の 章 で 考 え た 重 要 な 事 項 は す べ て 含 ん

下 は こ の こ と を示 す の を主 目的 と す る の で あ っ て,実

手 順 を示 す も の で は な い. そ こ で 簡 単 の た めf(x)が

際 の近似 計 算 の

１次 関 数 の と き,式(3･21)

が 厳 密 と な る 場 合 に 話 し を 限 定 し よ う.さ てf(x)を,

(3･22)

f(x)=a0+a1x と お け ば, 以 下 の 式 を 得 る.

(3･23)

d1f(-1)+d2f(0)+d3f(1)=a0(d1+d2+d3)+a1(d3-d1)(3･24)   こ の 近 似 は,す

べ て の １次 式 に 対 して(す

密 で な け れ ば な ら な い か ら,式(3･23)と

な わ ち 任 意 のa0とa1に

式(3･24)よ

対 して)厳

り,

d1+d2+d3=2 d3-d1=0 と な る.  言 い 換 え れ ば,d3=d1か

つd2=2(1-d1)で

df(-1)+2(1-d)f(0)+df(1)

あ る か ら,式(3･21)は,

(3･25)

と 表 わ さ れ る.  こ こ でd=1/3な   さ て,近

似 公 式(3･25)に

ら,Simpsonの

公 式 に な る こ と に 注 意 し よ う.

関 す るPeano核K(t)を

次 式 に 対 し て 厳 密 で あ る か らm=1と

見 つ け よ う.式(3･25)は

お く と 式(3･10)よ

りK(t)=Rx[(x-t)+]

と な る が,  そ れ は,

Rf=Ff-Lf=∫

1-1f(x)dx-{df(-1)+2(1-d)f(0)+df(1)}

に お い てf(x)を,

f(x)=(x-t)+

 (3･26)

と した と き の 値 で あ る.  と こ ろ で,式(3･26)のf(x)を

用 い る と,

(3･27)

と な り, 一 方,近

似 公 式(3･25)は,

(3･28)

と な る.  従 っ て,式(3･27)か

を 得 る. こ のK(t)を

ら 式(3･28)を

式(3･11)に

引 い て,

代 入 し,計 算 す る と

１

と な る.  簡 単 な 計 算 に よ り Ｊ は,d=3/8の る.ち

な み に,Simpson公

(3･25)に,d=3/8を

と き,最

小 値1/160を

式 で はd=1/3でJ=1/135と

持 つ こ とが わか

な っ て い る.こ

こ で,式

代 入 す る と,

(3･29) を 得 る.こ

れ が,Sardの

理 論 に 基 づ い た 最 良 近 似 積 分 公 式 で あ る.

  同 じ 問 題 をSchoenbergの (0,f(0)),(1,f(1))に (2･26)を

観 点 か ら 考 え て み よ う,デ 対 す る ３ 次*の

解 い て 得 ら れ る.こ

ー タ 点(-1, 

f(-1)),

自 然 ス プ ラ イ ン 補 間 関 数 は,式(2･25)と

式

れ は,

(3･30) を 与 え る. こ の 式 が 式(3･13)の

形 を 持 つ こ と は 明 ら か で あ る.そ

こ で 式(3･30)

を 積 分 す る と,

を 得 る が, こ れ は,式(3･29)と

全 く 一 致 して い る.ま

た,同

よ う な 多 少 違 っ た や り方 で 導 く こ と も可 能 で あ る.式(3･21)の 単 に 一 次 関 数 だ け で な く節 点-1,０,１

は2k-1次

よ り,f(x)は

形 の 近 似 公 式 を,

ず ３次 の 自 然 ス プ ラ イ ン は,一

１次 関 数 で あ る の で,k-1=m=1か

の 自 然 ス プ ラ イ ン で あ る.そ

下の

を持 つ す べ て の ３次 自然 ス プ ラ イ ン に 対 し

厳 密 とな る よ う に 定 め る こ と を考 え る.ま   *  〔定 理3･2〕

じ こ と を,以

らk=2で

あ る.  Lf=Fsの

れ ゆ え, ｓは ３次 の 自 然 ス プ ラ イ ン で あ る.

次関 数 関数 ｓ

を 含 む の で, こ こ で 求 め る 近 次 公 式 は,  １次 関 数 に 対 し て 厳 密 な 式(3･25)の

形

で な け れ ぼ な ら な い こ と は 明 ら か で あ る. と こ ろ で,  ３次 の 自 然 ス プ ラ イ ン は, S(x)=a0+a1x+c1(x+1)＋3+c2x+3+c3(x-1)+3

 (3･31)

の 形 を して い る は ず で あ る. しか しな が ら 式(3･25)は,  密 で あ り,ま た 考 え て い る 演 算(す で 線 形 で あ る か ら,式(3･31) 

な わ ち,積

１次 関 数 に 対 して は 厳

分 ∫1-1f(x)dx)は

式(3･1)の

の 右 辺 の 最 初 の ２項 は 考 え る 必 要 が な い.そ

意味 れ を

除 い て 以 下 の 式 だ け を考 え れ ば よ い.

s(x)=c1(x+1)+3+c2x+3+c3(x-1)+3 こ こ で,  係 数c1,c2,c3は

式(2･26)を

満 足 し な け れ ば な ら な い.こ

れ よ りc3=c1, 

c2=-2c1を

得 る の で,式(3･32)は,

s(x)=c[(x+1)+3-2x+3+(x-1)+3] と な る(c1=cと

す る).式(3･33)か

s(-1)=0, 

の 場 合 は,

-c1+c3=0

c1+c2+c3=0, で あ る.こ

 (3･32)

 (3･33)

ら,  容 易 に

   s(0)=c

 s(1)=6c

(3･34)

ds(-1)+2(1-d)s(0)+ds(1)=2(1+2d)c を 得 る. 従 っ て,式(3･25)が

式(3･31)  の す べ て の ス プ ライ ン関 数 に 対 し厳 密 で

あ る の は,

2(1+2d)c=7/2c            

で あ る と きに 限 る. こ れ か ら前 と 同 様 にd=3/8と

3･7 

な る.

自 然 ス プ ラ イ ン に対 し て 厳 密 な 近 似

前 節 の 例 の 最 後 の 結 果 で,式(3･25)が, 

式(3･31)で

表 わ され るす べ て の ス プ

ラ イ ン に 対 し て 厳 密 で あ る の は, Lf=Fsの しか し, Lf=Fsと

場 合 に 限 る,と い う こ とが わ か っ た.

な る の は, こ の 例 に つ い て だ け な の か,  あ る い は 任 意 の 節 点

と 任 意 の ｋ に 対 し て 一 般 的 に そ れ が い え る の か, と い う疑 問 が 残 る.  しか し後 者 が 正 しい こ と を 容 易 に 示 す こ とが で き,こ れ を 次 に 定 理 と して 述 べ る.   〔定 理3･4〕  

〔定 理3･3〕 で 述 べ た も の と 同 じ定 義 と仮 定 の 下 で は,Ｆ

る 近 似 演 算 の うち で,式(3･6) 

の 形 を し,か つ 節 点x1, x2,…,xnを

に対 す

持 った2k-

1次 の す べ て の 自然 ス プ ラ イ ン 関 数 に 対 し て 厳 密 で あ る も の は, Ｌ に 限 る.   〔 証 明 〕 

まず,Ｌ

が2k-1次

の す べ て の 自 然 ス プ ラ イ ン に 対 して 厳 密 で あ る

こ と を示 そ う.ｆ が こ の よ う な 自 然 ス プ ラ イ ン で あ れ ば,〔 定 理2･7〕

に よ り, ｆ

に 対 す る 自 然 ス プ ラ イ ン 近 似 は ｆ そ れ 自 身 で あ る. 従 っ てs=f,す Fs=Ffで り,従

あ る.と

こ ろ が, Ｌ は 式(3･16)で

っ て,Lf=Ffで

次 に,Ｌ

あ る.す

な わ ち,こ

の 唯 一 性 に つ い て 示 そ う,ま

な わ ち,

定 義 され て い る の でLf=Fsで

あ

の と き近 似 は 厳 密 で あ る.

ず, Ｌ′を 式(3･6)の

形 を した 演 算 子 と

し,与 え られ た ス プ ラ イ ン に 対 し て 厳 密 に な る よ う な Ｆ の 近 似 とす る.そ ｆは ,Ｆ

に対 して 適 用 で き る 関 数 と し,さ

るx1,x2,…,xnの ると,L′s=Fsで

節 点 を持 っ た2k-1次 あ る.と

s(xi)=f(xi) で あ る. 従 っ て,式(3･6)か 数 ｆ に 対 してL′f=Lfで

ら に ｓ は,デ

ー タ点(3･12)を

  Peanoは た,ま

補間す

の 自然 ス プ ラ イ ン 関 数 と す る.そ

こ ろ が, ｓは デ ー タ点(3･12)を

うす

補 間 す る の で,

  (i=1,2,…,n)

らL′s=L′fが あ る.そ

れ は,す

成 り立 つ.従

っ て,す

な わ ちL′=Lで

同 等 で あ る.                

3･8 

して

べ て の許 容 関

あ る とい うこ と と (証 明終 り)

第 ３章 に 関 す る小 史 剰 余 に つ い て の ２つ の 古 典 的 論 文[12,13]を1913年

た,Sardは1948年

以 来 の 一 連 の 論 文 の 中 で, Peanoの

の 最 良 近 似 の 研 究 に と っ て 重 要 で あ る こ と を 述 べ て い る.線 に 関 す る 最 も 有 用 な 参 考 文 献 は 論 文[15]で

と1914年

に 発表 し

定理 が線 形 汎 関数 形 汎 関数 の近 似理 論

あ り,そ れ,は初 期 の 論 文 を 含 み,か つ

詳 細 な 文 献 目 録 が 付 い て い る.GolombとWeinbergerは1958年

のWisconsin

大 学 数 学 研 究 所 の シ ン ポ ジ ュ ウ ム で 発 表 した 論 文[11]で,Sardと

同 様 な 観 点 か ら,

更 に 一 般 的 な 問 題 に つ い て 研 究 して い る.Schoenberg[16]は1964年 ラ イ ン補 間 と,線 形 汎 関 数 に対 す る 最 良 近 似 のSardの 関 係 に つ い て の 証 明 を 発 表 した.本

汎 関 数 Ｌ の 性 質 を 彼 の 定 理(本

こ で は,Ｆ

定 理 の 証 明 は,筆

〔定 理3･4〕

書 でSchoenbergの

う)の 証 明 の 中 で 示 し て い る.そ

理 論 との間 に あ る 密 接 な

書 で 用 い たSchoenbergの

者[17]が 以 前 新 た に 与 え た も の で あ る.Schoenbergは

に 自然 ス プ

で述 べ た 近似

定 理 と よ ぶ 〔定 理3･3〕

をい

に 対 す る 近 似 の う ち で 特 に 式(3･6)

の Ｌ が 重 要 な の は,こ の 性 質 の た め で あ る,と は っ き り と述 べ て い な い.し

か し,

彼 は 当 然 こ の こ とを 知 っ て い た に ち が い な い.

演 3･1 

3･6節

の 例 に 対 し て,式(3･13) 

習

問

題 ３

の 関 数Bi(x) 

を 求 め よ.そ

して, x=-1,０,１

に対 す

る関 数 値 を計 算 せ よ. 3･2 

関 数f(x)に

対 す る 線 形 汎 関 数f′(ξ)に

つ い て,式(3･21) 

の形 の近 似 公式 を求 め た

い.  こ こ で ξ は あ る 定 ま っ た 値 と す る. そ の た め に 係 数d1,d2,d3が を,式(3･22),式(3･23)お

よ び 式(3･24)を

満足 すべ き条 件

利 用 して 見 つ け,近 似 公 式 を 式(3･21)の

形 に 書 け. 3･3 

問 3･2に

対 応 す るPeano核K(t)を

見 つ け よ(た

だ し0<ξ<1と

す る).次

に,そ

れ は ス プ ラ イ ン か ど うか 調 べ よ. 3･4 

式(3･33)お

よび 式(3･34)を

用 い て,問3･2の

公 式 の パ ラ メ ー タ を 節 点-1,０,１

も つ ３次 自 然 ス プ ラ イ ン に 厳 密 で あ る よ う に 決 定 せ よ. 3･5 

式

の形 を持 ち,Sard  の 意味 で一 次 関数 に 対 して厳 密 な最 良 近似 公 式 を求 め よ.

を

第 ４ 章 差 分 商 とB-ス

4･1 

プ ライ ン

補 聞 自然 ス プ ライ ンの計 算

  第 ２章 と第 ３章 で, 与 え ら れ た デ-タ

点 を 補 間 す る の に 自然 ス プ ラ イ ン 補 間 関

数 を 用 い る こ との 利 点 を 示 し,ま

の補 間 関 数が 特 に 有効 な近似 とな るい く

つ か の 性 質*を

た,こ

持 つ こ と を知 っ た 。

  さ て, こ の よ う な 自然 ス プ ラ イ ン を 求 め る た め に は, 原 理 的 に は,第 (2･25)と

式(2･26)を

ろ で こ の 方 法 は,も す る と き は,ｋ

２章 の 式

連 立 さ せ て 解 け ば よ い こ と は 先 に 述 べ た 通 りで あ る.と ち ろ ん 最 も 直 接 的 で か つ 明 瞭 な 方 法 で は あ る が,実

こ

際 に計算

と ｎ の 両 方 が 非 常 に 小 さ な 値 で な け れ,ばあ ま り よ い 方 法 と は 言

え な い.   こ の 理 由 を 説 明 す る た め に,第 例 を 再 度 取 り上 げ る.５

１章 の 式(1･1)で

与 え ら れ た 自 然 ス プ ライ ン の

個 の デ ー タ点(-3,7),(一1,11),(0,26),(3,56),(4,29)

が 与 え ら れ て い る と し,こ 求 め て 見 よ う.〔 定 理2･8〕

れ に 対 して,k=2の と 〔系2･1〕

か ら,こ

場 合 の “最 も 滑 ら か ” な 関 数 を の 補 間 関 数 は,

s(x)=a0+a1x+c1(x+3)+3+c2(x+1)+3+c3x+3          +C4(x-3)+3+C5(x-4)+3

の 形 で な け れ ば な ら な い.   従 っ て,こ

の 場 合 の 式(2･25)と

式(2･26)は,

a0-3a1 a0-a1+ 

a0+    *例

えば

,Schoenbergの

  =7 =11

8c1

27c1+ 

c2

定 理 な ど が あ る.

  

=26

a0+3a1+216c1+ 

64c2+27c3 

        =56

a0+4a1+343c1+125c2+64c3+C4  c1+  -   3c1- 

    =29

C2+C3+C4+C5=2   c2      +3c4+4c5= 

0

(4･1) と な る.   と こ ろ で(x+3)+3は,  C1の

x=4付

近 で 非 常 に 大 き な 値 と な る か ら, s(x)の

値 は 小 数 点 以 下 数 桁 ま で 正 確 に 求 め る 必 要 が あ る.こ

は な い が 他 の 係 数 に つ い て も 同 様 で あ る.し 程 式 を 解 こ う と す る と,普

か し,式(4･1)の

の こ とは,c1ほ

の解 を十

の こ と を簡 単 に 理 解 す る た め に,

式(4･1)の

係 数 行 列 と そ の 逆 行 列 の 様 子 を 見 よ う.こ

で あ り,そ

の 逆 行 列 は,

の 係 数 行 列 は,

で あ る.   yを

式(4･1)の

どで

よ うな連 立一 次 方

通 は 丸 め の 誤 差 が 急 速 に 増 え て く る の で,そ

分 な 精 度 で 求 め る こ と は 難 しい こ と に な る.こ

式で

右 辺 で 示 さ れ る よ うな 成 分 を 持 つ ベ ク トル と す れ ば,A-1yは

a0,a1,c1,c2,c3,c4,c5を

成 分 と す る ベ ク トル で あ る.ｙ

０,０で あ り,a0, a1,  c1,  c2,  c3,  c4,  c5の -5で

あ る .し

正 確 な 値 は,そ

か し な が ら,行 列 の 積A-1yか

れ は い くつ か の 積 の 代 数 和 と して 求 ま る.と

の 成 分 は,７,11,26,56,29, れ ぞ れ １,-2,1,-2,-1,７,

らa0,…,c5を こ ろ で,そ

計 算 す る 場 合,そ

れ らの項 の 各 々は場 合 に

よ る と非 常 に 大 き な 値 で あ って,そ れ ら の 和 や 差 の 結 果 が 上 のa0,…,c5な (そ れ は １,-2,… 方 法 でA-1を

と い っ た 値 で あ る)と

異 な る こ とが 多 い.と

どの 値

い うの は,普

求 め る 計 算 で は 丸 め に よ る多 少 の 誤 差 が 入 っ て くる し,さ

通 の らに上

の よ う に 非 常 に 大 き な値 と小 さ な 値 の 和 あ る い は 差 を と っ た と き精 度 が 失 わ れ て しま うわ け で あ る.連

立 一 次 方 程 式 の 解 法 に は,上

必 要 の な い 別 な 方 法*も

い くつ か あ る が,そ

の よ う に逆 行 列 を 陽 に 求 め る

れ ら の 方 法 に 対 して も 同 様 な 現 象 が

起 こ り うる.上

の 式(4･1)は,式(2･25)と

式(2･26)か

す ぎ な い が,一

般 的 な 場 合 に 対 して も,こ

こ で 述 べ た よ う な 欠 点 が あ る.さ

に,ｎ

が 大 き くな る と こ の こ とは 一 層 顕 著 と な る.こ

ら得 ら れ る もの の 一 例 に ら

の 困 難 は, Ｂ-ス プ ラ イ ン と

呼 ば れ る 特 殊 な ス プ ラ イ ン と差 分 商 と を 用 い て 連 立 方 程 式 を 適 当 に 変 形 す る こ と に よ っ て 解 決 で き る.そ

れ ゆ え,以

下 で そ れ らの 関 数 を定 義 し,そ の 性 質 の い く

つ か を示 そ う.   Ｂ-ス プ ライ ン は,そ

の 定 義 か あ る い は 節 点 の 数 と位 置 の 仮 定 を 適 当 に 修 正 し

て,す

の ス プ ラ イ ン の 基 底 に 拡 張 す る こ とが で き る[20].

べ て のm-1次

4･2 

差

  ま ず,差

分

商

分 商(divided 

difference)の

れ 異 な る 座 標 と し,f(x1),f(x2),… と す る.と

こ ろ で,関

f(xi)は,単

数f(x)は

定 義 か ら始 め よ う. x1,  x2,…

をそれ らの座 標 に対 応 す る あ る関数 ｆ の値 必 ず し も数 式 で 定 義 され る必 要 は な い.例

に 離 散 的 デ ー タ 点 の 座 標xiに

い る だ け で あ っ て も よ い.こ

をそ れ ぞ

こ で,１

対 す る 縦 座 標yiと

階 差 分 商f(xi, 

えば

して 与 え られ て

xi+i)は,

(4･2) *例

えば

,Gaussの

消 去 法 な ど が あ る.

と定 義 され る. 幾 何 学 的 に は, デ ー タ点(xi,yi)と(xi+1,  で あ る. 高 階 の 差 分 商 は,関

yi+1)を 結 ぶ 線 分 の 勾 配

係式

(4･3) に よ っ て 順 次 に 定 義 さ れ る. こ の と き 関 数 値f(xi)は

０ 階 の差 分 商 とみ なす こ

と が で き る. 差 分 商 に つ い て は 種 々 な 記 述 法 が あ る が,こ

こ で はSteffensen[18]

に よ る も の を 用 い た. 次 に,差

分 商 の 計 算 を説 明 し よ う.そ の た め に,第

１章 で用 い た デ ー タ点

(-3,7),(-1,11),(0,26),(3,56),(4,29) を こ こ で も用 い る.k=2の は,式(1･1)で

場 合,こ

れ らの 点 に 対 す る “最 も滑 らか な” 補 間 関 数

与 え ら れ た ３次 の 自然 ス プ ラ イ ン で あ る.式(4･2)と

用 い て 差 分 商 を 計 算 す る と,表4･1の

 (4･4)

よ うに な る. 表  4･1

表  4･2

式(4･3)を

  表4･2で る.こ

も 示 す よ うに,奇

数 階 の 差分 商 は偶 数階 の間 に 入れ て表 わ す場 合 もあ

れ か ら わ か る よ う に,こ

の 差 分 商 表 は普 通 使 わ れ る差 分 の 表 を 拡 張 し た よ

う な も の で あ る.

4･3高

階 差 分 商 の関 数値 によ る表 現

  公 式(4･3)は る.こ

任 意 階 の 差 分 商 を,そ

れ よ り １階 低 い 差 分 商 で 表 現 す る 式 で あ

の 公 式 は 差 分 商 の 値 を数 値 的 に 計 算 す る の に 最 も 容 易 な 方 法 で あ る.

  し か し,差

分 商 の 性 質 を 証 明 した り,特

イ ン の 研 究 の た め に は,任

に こ の 章 の 後 で 定 義 され る

意 階 の差 分 商 を,そ

Ｂ-ス プ ラ

の も と と な る関 数 値f(xi)の

線

形 結 合 で 表 現 す る 式 が 便 利 で あ る. こ の 式 は 第 ２章 の 式(2･2)で

定 義 したPi(x)を

用 い て 次 の よ う に書 け る.

(4･5) い ま,こ

の 式 を 数 学 的 帰 納 法 を 用 い て 証 明 し よ う.ま

と な り,こ れ は 式(4･2)と と して,n+1の

明 ら か に 等 し い.次

場 合 の 式 を導 び く.こ =  (x - x2)(x 

- x3) … (x - xn +  1)

R(x) 

=  (x - xl)(x 

- x2) … (x - xn +  1)

  そ うす る と,ｎ 式(4･5)か

式(4･5)は,

る ｎ で 式(4･5)が

正 しい

こ で 簡 単 の た め に,

Q(x) 

と し,Qi(x),Ri(x)をQ(x),R(x)か

に,あ

ず,n=2で

ら因 子(x-xi)を

階 差 分 商 に 対 す る 式(4･5)が

除 い た も の と す る.

正 しい と し て, n+1階

差分商は

ら,

(4･6) と書 け る.さ

て,[]内

のf(x1)の

係 数 は,

と 書 く こ と が で き,ま

た 同 様 にf(xn+1)の

と 書 く こ と が で き る.一

と な る.以

方,i=2,3,…, 

係 数 は,

nに

対 す る[]内

のf(xi)の

係 数 は,

上 か ら,式(4･6)は,

と書 く こ と が で き る.こ

れ は 式(4･5)の

ｎ をn+1に

置 き 換 え た 式 に 等 しい.

(証 明終 り)   こ の 公 式(4･5)か

ら導 か れ る 重 要 な 性 質 と して,差

称 関 数 に な って い る.す

な わ ち,f(x1,  x2,…, xn)の

分 商 は そ の 引 数 に 対 して 対 値 は 引 数x1,  x2,…, xnの

任

意 の 置 換 に 影 響 され な い こ と が わ か る.

4･4 

Newtonの

差 分 商補 間公 式

式(4･2)で,xiをx,ま

たxi+1をx1と

f(x)=f(x1)+(x-x1)f(x,  を 得 る.同

様 に,式(4･3)でi=0と

し,f(x)に

つ い て 解 け ば,

x1) し,x0を

 (4･7) ｘ と し て,  f(x,  xl, x2,…,xn)に

つ い て 解 け ば,

(4･8) を 得 る.さ

て,式(4･8)でr=1と

す れ ば,

f(x,x1)=f(x1,x2)+(x-x2)f(x,x1,x2) と な る か ら,こ

の 式 の 右 辺 を式(4･7)のf(x,x2)に

f(x)=f(x1)+(x-x1)f(x1, 

代 入 す る と,

x2)+(x-x1)(x-x2)f(x, 

x1, x2) 

(4･9)

で あ る.同

様 に 式(4･8)でr=2と

し,式(4･9)のf(x,x1,x2)に

を得 る.こ

の 方 法 を 次 々 に 行 な え ば,結

局,公

代 入 す る と,

式

(4･10) を得 る.こ

の 式 は 剰 余 を 持 つNewtonの

の 式 はf(x1),f(x2),…, 

f(xn)が

み な す こ と が で き る.こ り,こ れ はf(x)の

与 え られ た 時 のf(x)に

の と き 最 後 の 項 のf(x,x1, 

余 項 と 呼 ば れ て い る.上

余 な しのNewtonの

つ い て の 補 間公 式 と

x2,…, xn)は

値 が 普 通 未 知 で あ る か ら計 算 で き な い.従

最 後 の 項 を 除 い た ｎ 項 ま で の 和 でf(x)を を 示 す か ら,剰

差 分 商 補 間 公 式 と し て 知 ら れ て い る.こ

っ て,上

近 似 し た と考 え る と,こ の 式(4･10)か

差 分 商 補 間 公 式 と呼 び,こ

で 近 似 し た こ とに あ た る.一

ｘ を含ん で お 式 で この

の 項 は誤差

ら剰 余 項 を 除 い た も の を 剰

れ はf(x)をn-1次

般 の 多 項 式 近 似 の 中 で は 特 にNewtonの

の 多項 式 公 式 が重

要 な の は 以 下 の 定 理 の た め で あ る.   〔定 理4･1〕  

剰 余 な し の ｎ 項 か らな るNewtonの

差 分 商 補 間 公 式 は, n-1

次 の 多 項 式 に 対 して 厳 密 で あ る. 〔 証 明 〕    式(4･10)の

剰 余 の 項 は,  (4･11)

P(x)f(x,x1,x2,…,xn) と 書 け る.式(4･5)を

用 い て,式(4･11)の

差 分 商f(x,x1,x2,…,xn)を

求 め る

と,

と な る.そ

れ ゆ え 式(4･11)は,

(4･12)

と な る.式(4･10)の

剰 余 項 に 式(4･12)を

代 入 し,pn-1(x)を

式(4･10)の

右辺の

最 初 の ｎ 項 の 和 を示 す も の とす る と,

と な る.す

な わ ち,

(4･13) と な る.と は,ｎ

こ ろ で,第

２章 のLagrangeの

個 の デ ー タ点(x1,  f(x1)),(x2,f(x2)),…,(xn, 

次 の た だ 一 つ の 多 項 式 で あ る.こ ば,こ

公 式(2･3)に

f(xn))を

こ で,f(x)がn-1次

の 補 間 多 項 式(式(4･13)の

pn-1(x)=f(x)と

よ っ て 式(4･13)の

右 辺)は,f(x)そ

補 間 す るn-1

の 多 項 式 で あ る とす れ れ 自 身 に 限 る.す

な る.                                    

  例 と して,デ

ー タ点(4･4)か

ら計 算 し た 差 分 商 表 を 用 い て,こ

す る ４次 の た だ 一 つ の 多 項 式 を 求 め る と,式(4･10)に

右辺

なわ ち

(証 明 終 り) れ ら の 点 を補 間

よ っ て これ は 次 の よ うに

な る.

  さ き に,第

２章 の2･2節

で,ｎ

個 の 与 え られ た デ ー タ点 を 補 間 す るn-1次

の た だ 一 つ の 多 項 式 を求 め る方 法 と して,Lagrangeの も最 も 便 利 な 方 法 と は 限 ら な い,と た め の 方 法 を,本

と い う理 由 は,そ

い う こ と を 述 べ た.さ

節 で 取 り扱 う こ と も述 べ た が,こ

が これ に あ た る.Newtonの

公 式 が 数値 的 には必 ず し

公 式 がLagrangeの

ら に そ の よ うな 場 合 の

の 剰 余 な し のNewton公

公 式 よ り数 値 的 に 便 利 で あ る

の 数 値 係 数 を得 る の に 必 要 と さ れ る計 算 が,そ

す む ば か りで な く,さ

式

ら に 公 式 自身 が よ り簡 単 で あ る の で,任

し て 多 項 式 の 値 を 求 め る 計 算 も 少 な くて す む か らで あ る.

れ よ り少 な くて 意 の ｘ の値 に対

つ い で に,以

下 の こ と は 本 書 の 範 囲 を 多 少 こ え る が 重 要 な の で 述 べ て お こ う.

上述 の 議 論 で は,引

数x1,  x2,…,xnが

たけ れ ど も,Newtonの

す べ て 異 な っ た も の で あ る と仮 定 し て き

公 式(4･10)は

がた と え 重 複 し て も 成 立 す る.そ

次 の 条 件 が 満 た され れ ば,い

の 条 件 とい う の は,そ

商(confluent  divided  differences)が,例

の と き現 わ れ る 合 流 差 分

え ばx1=x2の

を意 味 す る と い っ た よ う な確 定 した 意 味 を 持 ち,か

と き,そ

つf(x)が

と き に 得 ら れ るNewtonの

の 点 で の微 分

そ れ に 対 応 し て,

その よ う な 合 流 点 で 必 要 な だ け 微 分 可 能 で あ る こ とで あ る.特 は ，x1=x2=…=xnの

くつ か の 引 数

にTaylorの

公式

公 式 の 特 別 な形 と み な さ れ る.

4･5  多項 式 の差 分 商 普 通 の 等 間 隔 差 分 に 精 通 した 読 者 は,ｍ こ と,お

次 多 項式 の ｍ 階差 分 が 一 定値 で あ る

よ び そ れ,よ り高 階 の 差 分 が ０ に な る こ と を知 っ て い る だ ろ う.差 分 商 も

それ と 同 様 な 性 質 を持 っ て お り,次

に そ れ を定 理 で 示 そ う.

  〔定 理4･2〕     ｍ 次 多 項 式 の 任 意 の ｍ 階 差 分 商 は,そ と き で も多 項 式 のxmの

係 数 に 等 しい.ま

の 引数 が 等 間隔 で ない

た そ れ よ り高 階 の 任 意 の 差 分 商 は ０に

等 しい.   〔 証 明 〕    ｆ が ｍ 次 多 項 式 で あ る な ら ば,〔 定 理4･1〕 にNewtonの 10)を

差 分 商 補 間 公 式(4･10)の

よ くみ る と,xmの

最 初 のm+1項

に よ り,ｆ

に 等 しい,そ

と こ ろ で,多 項 式 のxmの

係 数 は ｍ 階 差 分 商f(x1,  x2,…, xm+1)に

で,こ

れ を 式(4･3)に

4･6 

半 の 部 分 は,ｍ

な っ て い る.

階 差 分 商 が す べ てxmの

って定 理 の 最初 の 係 数 に 等 しい の

適 用 す れ ば 明 らか で あ る.               

(証 明 終 り)

Ｂ-ス プ ラ イ ン と差 分 商 と の 関 係

本 節 で は 差 分 商 を 利 用 し て,Ｂ-ス 分商 で は

の 公 式(4･

係 数 は そ の 多 項 式 に 対 して 与 え られ て い る も の で あ り,

も ち ろ ん 差 分 商 を 計 算 す る と き の 引 数 の と り方 に よ らな い.よ 部 分 が 証 明 され た.後

は恒 等 的

,そ の 引 数x1, x2,…, xnの

プ ラ イ ン を構 成 す る こ と を考 え る.上

述 の差

大 き さ の 順 序 は 本 質 的 に 重 要 で は な か っ た が,

こ こ で は 差 分 商 と ス プ ラ イ ン と を関 係 づ け る た め,引

数 を 節 点 と考 え て そ れ を 増

加 列 と す る.   こ こ で 構 成 し よ う と し て い る Ｂ-ス プ ラ イ ン の 属 は,Ｃ-ス の,す

プ ライ ンの特 殊 な も

な わ ち 部 分 属 と な っ て い る 。 Ｂ-ス プ ラ イ ン はSchoenbergに

さ れ,研

究 され た.以

て,Ｃ-ス

よって定 義

下 の 記 述 も ほ と ん ど全 部 彼 の 論 文 〔19,20〕 に よっ て い る.さ

プ ラ イ ン は 第 ２章2･3節

ち,x≦x1とx≧xnで

で 定 義 され た よ う に,節

点x1, x2,…, xnを

恒 等 的 に ０ に な る ｍ 次 の ス プ ラ イ ン で あ る.以

〔補 助 定 理4･1〕

お よ び 〔4･2〕 で,い

持

下 の

た る と こ ろ 恒 等 的 に ０ で な い ｍ 次 の Ｃ-

ス プ ラ イ ン の 節 点 数 は 少 な く と もm+2個

で あ る こ と,さ

ら に 与 え られ たm+2

個 の 節 点 を も つ ｍ 次 の Ｃ-ス プ ラ イ ン は 定 数 倍 を 除 い て 一 意 に 決 定 さ れ る こ と を 示 す.そ

こ で ｍ 次 の Ｂ-ス プ ラ イ ン を,m+2個

… ,xi+m+1を

持 つ ｍ 次 の Ｃ-ス プ ラ イ ン と し,全

規 格 化 した も の と して 定 義 す る(こ

の 与 え ら れ た 節 点xi,  xi+1, 実 軸 上 の 積 分 が １ に な る よ うに

の 積 分 は Ｃ-ス プ ラ イ ンが 区 間(xi,xi+m+i)の

外 側 で 恒 等 的 に ０ に な る の で 常 に 存 在 す る).   〔補 助 定 理4･1〕   は,少

い た る と こ ろ恒 等 的 に ０ で は な い ｍ 次 の Ｃ-ス ブ ラ イ ン

な く と もm+2個

  〔証 明 〕 

c(x)を,節

そ う す る と,〔

点x1,  x2,…,  xpを

定 理2･6〕

=

Σp i 1 =

c(x) で あ る.上

の 節 点 を 持 つ. Ｃ-ス

プ ラ イ ン と す る.

bi(x-xi)+m

式 の 係 数biは

条件

0

Σp1i=

を満 足 す る.こ

もつ ｍ 次 の

に よって

bixir =

こ で,Ｈ

 (r=0,1,…,m)

 (4.14)

を

で 定 義 さ れ る 行 列 とす る,以

下 で,最

初 にp≦m+1と

し,背

理 法 に よ りp≧

m+2で

あ る こ と を 示 そ う.ま

な け れ ば な ら な い.な

ず,p≦m+1の

ぜ な ら,Ｈ

知 ら れ たVandermonde形

と き Ｈ の 階 数(rank)*１

は ｐ で

の最 初 の ｐ 行 か らな る小 行列 の 行列 式 は よ く

で あ り,そ

の 値 は,

Ⅱ(xi-xj) i>j

と な る.節 点xi, xjは

仮 定 に よ り互 い に 異 な っ た 点 で あ る の で,こ れ ら の 差 は ０

に な ら な い.次

をb1, b2,…bpを

に,ｂ

  そ うす る と,条

要 素 と す る 列 ベ ク トル と す る.

件 式(4･14)は

Hb=0 と書 け る.と

こ ろ で,こ

の 方 程式 は Ｈ

る*２.言 い 換 え れ ば,Ｈ

の 列 が 一 次 従 属 に な る こ と を意 味 して い

の 階 数 は ｐ よ り小 さ い こ と に な る.従

が 否 定 され た の で,ｐ

は 少 な く と もm+2で

  〔補 助 定 理4･2〕  

与 え られ たm+2個

は,定

っ て, p≦m+1

あ る こ とが 言 え る.  の 節点 を もつ ｍ 次 の

(証 明 終 り) Ｃ-ス プ ラ イ ン

数 倍 を 除 い て 一 意 で あ る.

〔証 明 〕 

〔定 理2･6〕

に よ っ て,こ

の よ うな

Ｃ-ス

プ ラ イ ン は,

c(x)=Σm+2i=1bi(x-xi)+m

と書 け る.こ

こ で 係 数biは

 (4･15)

条 件,

(4･16) を 満 足 す る.さ

て,

(4･17) と お き,式(4･16)をbm+2で

割 っ て 最 後 の 項 を右 辺 に 移 項 す る と,

*１(ｍ ,ｐ)型 行 列 Ｈ の ｐ 次 の小行 列 式 中 には ０で ない もの が 存 在 し,  p+1次

以 上 の小行 列 式 が す

べ て ０とな る と き ｐ を Ｈ の 階数 とい う. *２ 方 程 式Hb=Oで 要 素biが すべ て ０で な い解 を 持 つ た め に は, Ｈ の 列 は一 次 従 属 で なけ れ ば な らな い,こ

の こ とは, Ｈ の階 数 は ｐ よ り小 さ く な くて は な らない こ と と等 価 で ある.

Σm+1i=1dixir=-xm+2r

と な る.こ

れ はm+1個

 (r=0,1,…,m)

の 未 知 量diに

関 す る 連 立 一 次 方 程 式 で あ る.こ

数 行 列 式 は 先 に 述 べ たVandermonde形 立 方 程 式(4･18)か

らdiが

bi=bm+2di

 (4･18)

で あ る か ら ０ と な ら な い.従

一 意 に 決 定 され る.一

方,式(4･17)か

こで 係

っ て,連

ら,

 (i=1,2,…,m+1)

で あ る の で,式(4･15)は,

と な り,c(x)は

任 意 の 倍 数bm+2を

  こ の 補 助 定 理 か ら(ｍ を 持 つm-1次

をm-1と

除 い て 一 意 に 定 ま っ て い る.  (証 明 終 り) 置 き 換 え る),与

え られ た 節 点x0,x1,…,xm

の 特 別 な Ｃ-ス プ ラ イ ン が 見 つ け ら れ れ ば,同

て のm-1次

の Ｃ-ス プ ラ イ ン は,こ

わ か っ た.さ

て,Schoenberg[19]は, 

じ節点 を持 つ すべ

の 特 別 な ス プ ラ イ ン の 定 数 倍 で あ る こ とが Peanoの

定 理 〔定 理3･1〕

を適 用 す る と,

こ の よ う な Ｃ-ス プ ラ イ ンが い か に 自然 に 現 わ れ る か を示 し た.ま ら 始 め よ う.演

算子

Lf=f(x0, 

の よ う に 定 義 す る.容 2〕 に よ り,任 〔定 理3･1〕

Ｌ を式(4･5)の x1,…, 

ｍ 階 差 分 商 に よ っ て,

xm)

易 に わ か る よ う に,Ｌ

意 のm-1次

ず こ の こ とか

は 線 形 汎 関 数 で あ り,ま た 〔定 理4･

の 多 項 式f(x)に

対 してLf=0と

な る.そ れ ゆ え,

か ら,

f(x0,x1,…,xm)=∫baK(t)f(m)(t)dt

と表 わ せ る.こ

 (4･19)

こで

K(t)=1/(m-1)!Lx[(x-t)+m-1]

 (4･20)

で あ る.

そ こ で,式(4･20)で

与 え ら れ るPeano核K(t)は

与 え られ た 節 点 を持 つm- 

１ 次 の

Ｃ-ス

プ ラ イ ン で あ る こ と を 示 そ う.式(4･20)の[]内

の と きx=x0, 

x1,…,xmで0で

あ る.従

値 に 基 づ く 差 分 商 は ０ で あ る.言 あ る.ま る.そ

た,t≦x0な

商 は

らx=x0, 

ｍ

か し な が ら,こ 階 で あ る か ら,条

れ ら の 引 数x0 

い 換 え れ ば,K(t)はt≧xmで x1,…,  xmに

れ ゆ え,式(4･20)のLxで

等 し い.し

っ て,こ

の 式 は,t≧xm x1,…,  xmで 恒 等 的 に

０ で

対 し(x-t)+m-1=(x-t)m-1で

示 さ れ,る 差 分 商 は 関 数(x-t)m-1の の関 数 は

の

ｘ に 関 す るm-1次

件 よ り ０ と な る.従

あ 差 分商 と

の 多 項 式 で あ り,差

っ て,K(t)はt≦x0で

分

も恒等 的

に ０ で あ る.

  次 に,K(t)が

与 え ら れ た 節 点 を 持 つm-1次

示 さね ば な ら な い.こ

こ で,自

の ス プ ラ イ ン関 数 で あ る こ と を

明 な 恒 等 式,

(x-t)+m-1=(x-t)m-1+(-1)m(t-x)+m-1 を 用 い.ま

た

〔定 理4･2〕

 (4･21)

か ら,

Lx[(x-t)m-1]=0 が 得 られ る の で, Lx[(x-t)+m-1］=(-1)mLx[(t-x)+m-1]

が 成 り立 つ.い

ま,P(t)を,

P(t)=(t-x0)(t-x1)…(t-xm)

で 定 義 し,P(t)か お よ び 式(4･5)か

ら 因 子(t-xi)を

除 い た も の をPi(t)と

す る と,式(4･20)

ら,

(4･22) と 書 け る.〔

定 理1･1〕

か ら,こ

次 の ス プ ラ イ ン で あ る.従 個 の 節 点x0,x1,…,  た.

xmを

れ は 与 え ら れ た 節 点x0, 

っ て こ れ,よ り,式(4･20)で 持 つm-1次

の

Ｃ-ス

x1,…,  xmを

持 っm-1

与 え ら れ たK(t)はm+1 プライ ンで あ る こ と が 示

さ れ

  次 に,こ

の ス プ ラ イ ン を(-∞,∞)上

と を 考 え よ う.K(t)はt≦x0, 

で の 積 分 が １ に な る よ うに 規 格 化 す る こ

t≧xmで

恒 等 的 に ０ で あ り,か

x0, x1,xmを

含 ん で い る の で,式(4･19)に

れ ぞ れ-∞,∞

に 置 き 換 え る こ と が で き る.こ

4･2〕

か ら,式(4･19)の

左 辺 は

１,ま

つ 区 間(a,  b)は

お け る 積 分 の 上 限,下 こ でf(x)=xmと

たf(m)(x)=m!で

限 のa,  bを

そ

す る*１ と,〔 定 理 あ る か ら,式(4･19)は

m!∫ ∞ -∞K(t)dt=1 と な る.そ

れ ゆ え,規

格 化 され た

m!K

(t)=mLx 

Ｃ-ス

プ ラ イ ン は,

[(x-t)+m-1]

 (4･20)′

と な る. (定 義

４)  こ こ で,Schoenberg[19]に

従 っ て,２

変 数 関 数M(x;t)を,

M(x;t)=m(t-x)+m-1 と 定 義 す る*２,そ

 (4･23)

し て,xi,  xi+1,…,xi+mを

基 礎 に し た ｔ に 関 す るM(x;t)

の ｍ 階 差 分 商M(x;xi,xi+1,…,xi+m)*３ …xi

+mを

持 つm-1次

の

Mi(x)=M(x;xi, 

Ｂ-ス

を 用 い て,  m+1個

の 節 点xi,  xi+1,

プ ラ イ ンMi(x)を,

xi+1,…,xi+m)

 (4･24)

と定 義 す る,   式(4･20)′,式(4･23)お が 同 じm+1個

よ び 式(4･24)の

の 節 点xi,  xi+1,…xi+mを

比 較 に よ り,関

数Mi(x)とK(x)

基 礎 に し て い る と き,

Mi(x)=m!K(x) で あ る こ と が わ か る.言

 (4･25)

い 換 え れ ば,式(4･24)に

ン は 引 数xi,  xi+1,…,  xi+mを   従 っ て,式(4･19)は *１ 〔定 理4･2〕

よ っ て 定 義 され た

基 礎 に し たPeano核

を ｍ!倍

Ｂ-ス

プ ライ

し た も の と 言 え る.

さ ら に,

か ら

,任

意 の

の 係 数 に 等 し い か らxmだ *２ 今 ま で の 議 論 で のx *３Li[m(t-x)m-1+]=M(x;xi

,tを

ｍ 次 の 多 項 式f(x)に

対 し てf(x0,x1,…,xm)の

け 考 え れ ば よ い. それ ぞ れ

ｔ と ｘ に 交 換 す る.

,  xi+1,…,xi+m)

値 は, f(x)のxm

.

(4･26) と書 け る.

4･7 

Ｂ-ス

プライ ンの性 質

  “Ｂ-ス プ ラ イ ン ” と い う名 前 は,“basis” Ｂ-ス プ ラ イ ン の あ る 特 定 の 集 合 が,与 次 の Ｃ-ス プ ラ イ ン の 基 底(basis)に

の 頭 文 字 に 由 来 す る.と

え られ た 節 点x1,  x2,…, xnを

い うの は, 持 つm-1

な っ て い るか ら で あ る(こ の こ と は, Ｃ-ス プ

ラ イ ン に つ い て だ け で な く,Ｂ-ス

プラ イ ンの定 義 を適 当 に修 正 す るか 節 点 の数 と

位 置 に つ い て の 設 定 を 変 え れ ば,す

べ て のm-1次

の ス プ ライ ンに拡 張 す る こ と

も で き る[20]).   Ｂ-ス プ ラ イ ン に つ い て の こ の 性 質 を 次 の 定 理 で 述 べ る. 〔 定 理4･3〕

  節 点x1,  x2,…,  xnを

持 つm-1次

の 任 意 の Ｃ-ス

プ ラ イ ン は,

(4･27) に よ っ て 一 義 的 に 表 わ され る.こ 〔証 明 〕

  〔定 理2･6〕

こでMi(x)は,式(4･24)で

に よ り,与

定 義 さ れ る.

え られ た 節 点 を持 つm-1次

の

Ｃ-ス プ ラ

イ ン は,

(4･28) で 表 わ さ れる.〔 定 理1･1〕 xi)+m-1の

よ り,こ

の 式 は 一 義 的 に 決 ま り,式(4･28)と(x-

定 義 か ら 区 間(x1,  x2)で,

c(x) =b1(x-x1)m-1 と な る こ と が わ か る.さ な り,一

方,式(4･25)お

M1(x)=

 (4･29)

ら に,こ

の 区 間 でM2(x),M3(x),…, 

よ び 式(4･22)に m(x 

Mn-m(x)は

よ り,M1(x)は,

- x1) + m -  1/

 (4･30) (x2 - x1)(x3 

- x1)…(xm 

+  1  - x1)

０と

で 与 え ら れる.式(4･29)お

/m

d1=

よ び 式(4･30)か

ら ,式(4･27)は,

(x2-x1)(x3-x1)…(xm+1-x1)

で あ る と き に 限 り成 り立 つ.逆 c(x)とd1M1(x)と

 (4･31)

に,式(4･31)が

は 恒 等 的 に 等 しい.そ

成 り立 つ な ら ば,区

間(x1,x2)で

れ ゆ えc1(x)を,

c1(x)=c(x)-d1M1(x) と す れ ば,こ

 (4･32)

れ は 節 点x2,  x3,…,  xnを

と こ ろ で,式(4･27)お

持 つm-1次

よ び 式(4･32)か

の

Ｃ-ス

プ ラ イ ン で あ る.

ら,c1(x)は,

(4･33) を 満 足 す る 必 要 が あ る.次 ら 一 義 的 に 決 め られ,従

に 同 じ論 法 をc1(x)に

適 用 す れ ば, d2が

式(4･33)か

って

c2(x)=c(x)-d1M1(x)-d2M2(x) は 節 点x3,x4,…, 

xnを

持 つm-1次

方 法 を 順 次 す す め れ ば,結

局,す

の

Ｃ-ス

プ ラ イ ン で あ る こ と が わ か る.こ

べ て の 係数d1,d2,…, 

dn-mが

の

一 義 的 に 決 ま る.

  一 方,

(4･34) は ｍ 個 の 節 点xn-m+1,xn-m+2,…,xnを しか し,〔 補 助 定 理4･1〕 ラ イ ン は,い

式(4･27)に

の Ｃ-ス プ ラ イ ン で あ る.

個 の 節 点 しか 持 た な いm-1次

た る と こ ろ で 恒 等 的 に ０ で あ る.そ

従 っ て 式(4･34)は   次 に,Ｂ-ス

に よ り,ｍ

持 つm-1次

の

れ ゆ えcn-m(x)=0と

等 しい.                     

Ｃ-ス プ な り,

(証 明終 り)

プ ライ ン の も う一 つ の 性 質 を 証 明 し よ う.そ の 性 質 とい う の は,

Ｂ-ス プ ラ イ ンが,そ

の 基 礎 と な る 最 小 と最 大 の 節 点 間 の 開 区 間 で は 正 の 値 しか

と ら な い と い う事 実 で あ る.以

下 の 証 明 は 文 献[20]か

そ の 証 明 で は 平 均 値 の 定 理 を用 い る,こ

の 定 理 と は,も

ら引 用 した も の で あ る. し関 数f(x)が

閉区間

b

[c,d]で

連 続 で あ り,そ

そ の 時,開

区 間(c,d)内

して そ の 微 分f′(x)が

開 区 間(c,d)で

存 在 す る な ら,

のある ξ で

(4.35) が 成 り立 つ こ とで あ る.こ よ う.と

こ ろ で,f(c)が

らか に 正 で あ る.そ 一 つ 存 在 す る .同 f'(x)<0と

こ で ξ は 内 点(interior  負 で,f(d)が

れ ゆ え,区

でf′(x)>0と

正 でf(d)が

定 理 で,f(c)=f(d)=0の

そ れ ゆ え,区

間(a,b)内

〔定 理4･4〕 

で あ る.さ

区 間(xi,xi+m)内

ら にj=1,2,…,m-2に

の

間(c,d)内

う一 つ の 重 要 な 定 理 は,い

場 合 に は 式(4･35)の

でf′(ξ)=0と

左 辺 は明

な る ｘ が 少 な く とも

負 で あ る な ら,区

な る ｘ が 少 な く と も 一 つ 存 在 す る.も

ゆ るRolleの

あ る こ とを注 意 し

正 で あ る 場 合 に は,式(4･35)の

間(c,d)内

様 に,f(c)が

point)で

で わ

左 辺 は ０ と な り,

な る ξ が 少 な く と も 一 つ 存 在 す る. ｘ に 対 し て,

対 し てMi(j)(x)は

区 間(xi,xi+m)内

で 必 ず

ｊ 個 の 単 根*１ を 持 つ. 〔証 明 〕  24)か

ま ず,  区 間(xi+m-1,xi+m)内

の ｘ に 対 し て 式(4･23)お

よ び 式(4･

ら,

と な る.こ

こ で 節 点xiは

*１ Mi(j)(x)=0を *２ Mi(x) 

増 加 列 で あ る か ら,こ

満 た す 単 根(重

は 区 間(xi

根 で は な い) .

,xi+m)で

と表 わ さ れ る.し か し,こ の 式 か ら は 区 間(xi,xi+m-1) のMi(x)が,正 は 求 め られ な い.

ま た は 負 で あ る か ど うか は,す

ぐに

の 区 間 でMi(x)>0で

あ る*２.

従 っ て,こ す る.こ

の こ と を 用 い れ ば,区 れ をx=xrと

す る.と

間(xi,  xi+m)でMi(x)>0と ころ で

Ｂ-ス

なる

ｘ が存在

プ ラ イ ン の 性 質 か ら,

Mi(xi)=Mi(xi+m)=0 で あ る か ら 平 均 値 の 定 理 に よ っ て,区 在 し,区

間(xi,  xr)でMi′(x)>0と

間(xr,xi+m)でM′(x)<0と

の 値 が0,+,-,0と

な る(符

(xi)=Mi′(xi+m)=0で

な る ｘ が存

な る ｘ が 存 在 す る.す 号 は １ 回 変 わ る)４

個 の

な わ ち,  M'(x)

ｘ が 存 在 す る.さ

ら にMi′

あ る こ と に 注 意 し て 同 様 な 方 法 を つ づ け て い く と,結

区 間(xi,  xi+m)で,  符 号 がm-2回

Mi(m-2)(x)の

変 わ る)(m+1)個

  一 方,式(4･22)を

値 が 順 次0,+,-,+,…,0と の

な る(す

局,

な わち

ｘ が 存 在 す る こ と が わ か る.

用 い て 式(4･25)をm-2回

微 分 す る と,

(4･36) を 得 る.こ

こ でP(x)=(x-xi)(x-xi+1)…(x-xi+m)と

ら 因 子(x-xj)を

除 い た も の と す る.式(4･36)か

x=xi,xi+1,…,xi+mで

に 吟 味 し た よ う に,こ

号 が 変 化 し な け れ ば な ら な い.と

横 切 ら な い か ら,関

か も,そ

こ ろ で,こ

端xi,  xi+mで

０に な

の グ ラ フ は 少 な く と もm-2回 の グラ フは

軸 とm-2回

対 す るMi(m-2)(xj)の

か も 符 号 が 交 互 に 変 化 す る 必 要 が あ る.こ ｘ 軸 と 交 差 し て い る か らMi(m-2)(x)は

根 を 必 ず も っ て い る こ と に な る.前

ｍ

符

個 の異 な った 線分 だ

交 差 す る た め に は,j=

値 が,す

の 場 合,両

べ て ０ と は 異 な り ,し

端 の ２線 分 を 除 外 し た 各 線

区 間(xi,  xi+m)内

に 述 べ たMi(x)の

連 続 に つ い て の 注 意 に よ り,Mi(j)(x)は,区 2に

グラ フは

の 最 初 と最 後 の 線 分 は 両 端 の 点 で 終 わ っ て い て ｘ 軸 を

数Mi(m-2)(x)が,ｘ

i+1,i+2,…,i+m-1に

分 は

ら 関 数Mi(m-2)(x)の

頂 点 を 持 つ 連 続 な 折 れ 線 で あ り ,両

る こ と を 示 し て い る.先

け で 成 り 立 ち,し

し, Pj(x)はP(x)か

でm-2個

の単

微 分 の 符 号 変 化 と微 分 の

間(xi,  xi+m)内

で, j=1,2,…, 

m-

対 し て 少 な く と も ｊ 個 の 単 根 を 持 つ こ と が わ か る.

  さ て,Mi(j)(x)が,そ

の 区間 に つい て

ｊ 個 以 上 の 単 根 を 持 つ か,ま

根 で な い も の が い く つ か あ っ た と す る と,Rolleの に よ っ て,Mi(m-2)(x)はm-2個

た は,単

定 理 を 次 々 と適 用 す る こ と

以 上 の 単 根 を 持 つ こ と が わ か る.こ

の ことは

先 の 結 論 に 矛 盾 す る.従 xi+m)内

っ て,Mi(j)(x)は, 

j=1,2,…m-2に

以 上 述 べ た こ と を 要 約 す る と,Ｂ-ス Mi(x)=M(x;xi, 

xi+1,…,xi+m)

外 側 で は ０で,内

の 区 間 内 でm-1次

多 項 式 の ｍ 個 の 弧 か ら成 り,各

,m-2階

側 で は 正 で あ る*.ま

の 微 分 が 連 続 で あ る よ うに 結 ば れ て い る.１

１個 の 単 板 を持 っ て い る の で,Mi(x)の わ れ る 頻 度 曲 線(statiscal 

た,そ

の グラ フは こ

々 の 弧 の 両 端 は そ の1,2, 階 微 分 は,区

間 に おい て

曲 線 は １個 の 最 大 値 を 持 ち,統 計 学 で 現

frequency 

曲 線 の 下 の 面 積 は １で あ る か ら,こ function)と

curve)の

よ う な 形 を し て い る.実

れ は あ る 確 率 密 度 関 数(probability 

際 この density

み な す こ と も で き る.

  特 にm=2の

場 合,そ

の グ ラ フ は い わ ゆ る 屋 根 型 関 数(roof  function)で,そ

の ２直 線 か ら な る ０ で な い 部 分 は屋 根 の 切 妻 の よ う に な っ て い る(図3･1参

図3･1 

  一 例 と して,第

,0,3,4を

照).

一 次 の Ｂ-ス プ ライ ン(屋 根 型 関 数)

１章 の 式(1･1)に

階 微 分 を 考 え る.こ -１

間(xi,

(証 明 終 り)

プライ ン

は 区 間(xi, xi+m)の

…

対 し,区

で 必 ず ｊ 個 の 単 根 を持 つ こ とに な る.               

よ っ て 与 え られ る ３ 次 の 自 然 ス プ ラ イ ン の ２

の ２階 微 分 は 式(1･3)に

よ っ て 与 え ら れ,そ

持 つ １次 の Ｃ-ス プ ラ イ ン で あ る.こ

れ は 節 点-3,

れ に 対 応 す る.Ｂ-ス プ ラ イ ン は

(4･37)

*す

な わ ち

,Ｂ-ス

プ ラ イ ン は 局 所 台(limitted 

support)を

持 つ ス プ ラ イ ン で あ る.

で あ り.式(1･3)の

Ｃ-ス

プ ラ イ ンf″(x)は,式(4･37)の

関 数 の １次 結 合 に よ

っ て 一 義 的 に,

f″(x)=18M1(x)+12M2(x)-60M3(x) で 与 え ら れ る.式(4･37)の

4･8 

３個 の

Ｂ-ス

プ ラ イ ン の グ ラ フ を 図3･2に

図3･2 

Ｂ-ス プ ラ イ ン の グ ラ フ

示 す.

第 ４章 に 関 す る 小 史

  こ の 章 の 基 本 公 式(4･10)の

名 前 か らわ か る よ うに,差

Newtonか

か も こ の 章 で 述 べ た 差 分 商 の 性 質 は,す

ら始 ま っ て い る.し

な い が ほ と ん どNewtonに   と こ ろ で,Ｂ-ス れ た の が1966年 Schoenberg自

プ ラ イ ン の 理 論 は, Curryと 際 に は1945年

の 共 著[20](こ の 論 文 は,発 に 書 か れ た)を

身 に よ っ て 展 開 され て き た.  Schoenbergが の 論 文 は,節

プ ラ イ ン に 関 す る も の で あ っ た.節

表 さ

除 い て は もっぱ ら Ｂ-ス プ ラ イ ン に つ

点 が 等 間 隔 に な っ て い る 特 殊 な Ｂ-ス

点 の 間 隔 が 任 意 の 場 合 の Ｂ-ス ブ ラ イ ン が 印

刷 さ れ た 形 で 初 め て 示 され た の は 文 献[10]に て は,そ

べてでは

よ っ て 明 らか に され た も の で あ る.

で あ る が,実

い て 初 め て 発 表 し た1946年

分 商 の系 統 的 な研究 は

お い て で あ る が,こ

れ,以前 か ら彼 の 講 義 や 談 話 の 中 で す で に 言 及 され て い た.

の こ とに つ い

演  習   問  題   ４ 4･1  4･2 

Newtonの 問4･1で

差 分 商 補 間 公 式(4･10)を 用 い た 式(4･10)の

結 果 が,式(4･3)で 4･3 

f(x)は,閉

最 高 階 差 分 商 を式(4･5)に

連 続 と し,か

連 続 微 分 可 能 で あ る と す る.ま で の 多 項 式 で あ る と す る.関

      次 に,こ

解 け. よ っ て 計 算 せ よ.ま

た,そ

の

直 接 順 次 計 算 して 得 た 差 分 商 と一 致 す る こ と を示 せ. 区 間[x1,  xn]で

関 数 のn-1階

用 い て,問2･1を

たPn-1(x)はNewton公

の 結 果 を用 い て,一 あ る点

式(4･10)の

数f(x)-Pn-1(x)にRolleの

微 分 が 開 区 間(x1,xn)で

区 間(x1,  xn)の

つ 開 区 間(x1,  xn)で1,2,…, 

n-1階

最 初 の ｎ項 ま

定 理 を 順 次 用 い て,こ

の

少 な く と も一 個 の ０ を持 つ こ と を示 せ.

般 化 され た 平 均 値 の 定 理 が 成 り立 つ こ と,す

な わ ち,

ξ に 対 して,

(4･38) が 成 り立 つ こ と を 証 明 せ よ. 4･4 

問4･3の

4･5 

問2･1の

結 果 を 用 い て,Newtonの

公 式(4･10)の

乗 余 項 を ｎ階 微 分 の 形 で 表 わ せ.

四 つ の デ ー タ 点 に 対 す る “最も 滑 ら か な ” ３次 の 補 間 自然 ス プ ラ イ ン を 求

め よ. 4･6 

問4･5の

補 間 自 然 ス プ ラ イ ン の ２階 微 分 を 求 め,次

に そ れ を Ｂ-ス プ ラ イ ン の 線 形

結 合 と して 表 わ せ. 4･7 

Schoenbergは,問4･3の てMi(x)が

式(4･26)と

を 用 い れ ば,す

非 負 と な る こ と を示 す こ とが で き る と述 べ た.そ

し てMi(α)＜0と る.こ

式(4･38)と

の と き,関

し よ う.そ

の 場 合,Mi(x)＜0と

べ て の ｘ に対 し

こ で,α

の あ る値 に対

な る領 域(α-ε,α+ε)が

存在 す

数

          f(x)=(x-α+ε)+m+1-2(x-α)+m+1+(x-α-ε)+m+1 を 考 え れ ば,区

問(α-ε,α+ε)内

で はf(m)(x)=0と

を 用 い れ ば 負 と な る こ と,お が 開 区 間(xi,  xi+m)で

の す べ て の ｘ に 対 してf(m)(x)≧0,そ

な る こ と を示 せ.こ

の 結 果 か ら,f(xi,xi+1,…,xi+m)は

よ び 式(4･38)を

の区 間 の外 式(4･26)

用 い れ ば 非 負 と な る こ と を示 せ

〔Mi(x)

非 負 だ け で な く正 で あ る こ と を示 す の は 少 しむ ず か しい 〕.

第 ５ 章

自然 ス プ ラ イ ン の計 算 法 と平 滑 化 ス プ ラ イ ン

5･1    4･1節

Ｎ-ス プ ラ イ ン で 表 現 さ れ る 自 然 ス プ ラ イ ン で は,与

え ら れ た デ ー タ点 列 に 対 し て,与

え られ た 次 数 の “最 も 滑 ら か

な ” 補 間 自 然 ス プ ラ イ ン を 実 際 に 数 値 的 に 決 定 す る と き生 ず る 困 難 性 に つ い て, 簡 単 に 考 察 した.そ 式(2･25)お た.そ

こ で は,ス

よ び 式(2･26)が,そ

れ ゆ え こ れ ま で,こ

プ ライ ンの係 数 を決定 す る た めの 連立 一 次 方程 式 の ま ま の 形 で は 数 値 的 に 不 便 で あ る こ と を示 し

の 連 立 一 次 方 程 式 を よ り扱 い 易 い 形 に す る た め に,差

分 商 お よ び Ｂ-ス プ ラ イ ン に つ い て 述 べ て き た の で あ る.こ

こ で は 本 来 の 目的 に

戻 り,“ 最 も滑 らか な ” 自 然 ス プ ラ イ ン を構 成 す る こ と を考 え よ う.   ま ず,あ

る特 殊 な 自然 ス ブ ラ イ ン を 導 入 す る こ と に よ っ て,式(2･26)の

式 が 必 要 で な く な り,か

つ 式(2･25)の

変 数 の 個 数 をn+kか

方程

ら ｎ に減ずること

が で き る こ と を 示 そ う.こ の 特 殊 な 自 然 ス プ ライ ン は Ｎ-ス プ ラ イ ン と呼 ば れ , 前 章 で 定 義 した Ｂ-ス プ ラ イ ン と密 接 な 関 係 が あ る.式(2･25)は の 切 断 べ き 関 数 を 含 ん で い る.そ が 与 え た 式(4･23)お

れ ゆ え,Ｎ-ス

よ び 式(4･24)に

式(xjーxi)+2k-1

プ ラ イ ン の 定 義 は, Schoenberg

よ る Ｂ-ス プ ラ イ ン の 定 義 に 一 部 分 似 て い

る こ とが わ か る. (定 義 ５)

 ２変 数 関 数 Ｎ(ｘ;ｔ)を,

N(x;t)=(x-t)+2k-1 と 定 義 す る.こ

 (5･1)

の と き 引 数xi,  xi+1,…,  xi+kを

Ni(x)=N(x;xi, 

xi+1,…,xi+k)

基 礎 に した ｔ に 関 す る 差 分 商

 (5･2)

を Ｎ-ス プ ラ イ ン とい う. Ｎ-ス プ ラ イ ン と Ｂ-ス プ ラ イ ン に は,次

の よ う な 簡 単 な 関 係 が あ る .ま ず,式

(5･1)を

ｘ に つい て

ｋ 階 微 分 し,式(4･21)お

よ び 式(4･23)を

利 用 す る と,

DxkN(x;t)=kC(x-t)+k-1=C[k(x-t)k-1+(-1)kM(x;t)]  (5･3)

を 得 る.こ

こ で,

Dx

dk/ k

かつ

=

dxk,

C=(k+1)(k+2)…(2k-1) で あ る.さ

て,ｘ

に つ い て の 微 分 と ｔ に つ い て の 差 分 商 の 演 算 順 序 を変 え て も,

そ の 結 果 は 変 わ ら な い こ とは 明 らか で あ る.さ k-1次

の 多 項 式 で あ る の で,こ

式(4･24),式(5･2)お

ら に,(x-t)k-1は

ｔ に 関す る

の 式 の 任 意 の ｋ 階 差 分 商 は ０ に な る.従

よ び 式(5･3)か

ら,

Ni(k)(x)=(-1)kCMi(x) と な る.Mi(x)は る か ら*,〔

 (5･4)

節 点xi,  xi+1,…,  xi+kを

定 理2･5〕

っ て,

に よ りNi(x)は

持 つk-1次

の

Ｂ-ス

同 じ 節 点 を 持 つ2k-1次

プ ラ イ ンで あ の 自然 ス プライ

ン で あ る.   と こ ろ で,式(5･1)か (5･2)はx≦xiで

ら Ｎ(ｘ;ｔ)はx≦tで 恒 等 的 に

  次 の 定 理 は,自

恒 等 的 に ０ で あ る.従

っ て,式

０ に な っ て い る.

然 ス プライ ンを決 定 す る連 立一 次 方程 式 にお い て未 知 数 の数 を

減 らす た め の 手 が か り と な る もの で あ る. 〔定 理5･1〕

 

節 点x1,  x2,…,xnを

持 つ す べ て の2k-1次

の 自然 ス プライ ン

s(x)は,

(5･5) で 一 義 的 に 表 わ され る.こ   〔証 明 〕    s(x)を

節 点x1,x2,…,xnを

る １ そ う す る と,〔 定 理2･5〕 *Ｂ-ス

プ ライ ンは

こ でpk-i(x)はk-1次

か らs(k)(x)は

Ｃ-ス プ ラ イ ン の 一 種 で あ る .

の 多 項 式 で あ る.

持 つ2k-1次

の 自然

同 じ 節 点 を 持 つk-1次

ス プ ラ イ ン とす の

Ｃ-ス

プ

ラ イ ン で あ る.し

か も,〔 定 理4･3〕

か らs(k)(x)は,

(5･6) で 一 義 的 に 表 わ せ る.さ

ら に,式(5･4)を

れ ば 式(5･5)と

こ で 係 数biは,

な る.こ

式(5･6)に

代 入 し,こ れ を ｋ重 積 分 す

bi=(-1)kC-1di で 一 義 的 に 決 め られ る.一

 (5･7)

方,上

に 示 した よ う にNi(x)はx≦xiで

恒等 的 に ０

で あ る の で,s(x)はx≦x1で,

s(x)=pk-1(x) と な る.従

っ て,s(x)を

x1でs(x)の

与 え られ た 自然 ス プ ラ イ ン とす れ ば , pk-1(x)はx≦

値 を 与 え る 一 義 的 な 多 項 式 で あ る .s(x)は

表 わ せ な い.な

ぜ な ら,そ

か つ そ の 係 数biは 〔定 理5･1〕

式(5･7)で

に よ っ て,方

式(5･5)以

の ｋ 階 微 分 は 一 義 的 に 式(5･6)と

外の式では

な らね ば な らず,

一 義 的 に 与 え られ る か ら で あ る . 

(証 明 終 り)

程 式(2･25)は,

(5･5)′

と 書 け る.こ

の 式 は 多 項 式pk-1(x)の

ｋ 個 の 係 数 とn-k個

合 計 ｎ 個 の 未 知 数 に 関 す る ｎ 元 連 立 一 次 方 程 式 で あ る.こ は も は や 不 必 要 で あ る こ と を示 して い る.す -1次

,式(5･5)の

な る た め の 係 数biに

*2k-1次

っ て ,式(5･5)のs(x)が2k-1次 関 す る 拘 束 条 件(2･26)は,も

の 自然 ス プ ラ イ ンが 式(2･24)で 表 わ され る場 合

ciに 対 す る拘 束 条 件(2･26)が

必 要で

った が, s(x)が

が す で に 自然 ス プ ライ ンで あ るか ら,係 数biに

の,

の こ と は,式(2･26)

な わ ち Ｎ-ス プ ラ ィ ンNi(x)は2k

の 自然 ス プライ ンで あ るか ら

ス プ ラ イ ン で あ る.従

の 係 数biと

右 辺 も 必 然 的 に 同 じ次 数 の 自 然 の 自然 ス プ ラ イ ン に は や 必 要 と しな い*.

,そ れ が 自然 ス プ ライ ンで ある ため の係 数 式(5･5)で 表 わ され る場 合 には , Ni(x)

拘 束 条 件 は必 要 で は ない.

5･2  連立 一 次 方程 式 の 元 の 縮小   前 節 に お い て 補 間 ス プ ラ イ ン を決 定 す る た め の 式(2･25)お 計n+k個

の 式 はn-k個

のbiとPk-1(x)の

(5･5)′ に 帰 着 さ れ る こ と を 示 した.本

よ び 式(2･26)の

合

ｋ 個 の 係数 に 関 す る ｎ 個 の式

節 で は これ が さ ら にn-k個

に 縮 小 され る

こ と を 示 そ う.   ま ず 式(5･5)の

両 辺 に 対 して 節 点xj,  xj+1, …,  xj+kを

ｋ 階 差 分 商 を と る.こ

基 礎 に した ｘ に 関 す る

の と き補 間 条 件,

s(xj)  = yj

(j =  1, 2, 

…  ,n)

 (5･8)

を 用 い れ ば,

 (5･9)

(j =  1, 2,…,  n-k)

を 得 る.こ

こ で, Nij  = Ni(xj, 

xj+1,  …, xj+k)

 (5･10)

と し, δj=s(xj, 

と す る.式(5･11)の

xj+1,  …, xj+k)

 (5･11)

右 辺 は 式(5･8)で

  さて,式(5･9)はn-k元

与 え られ たyjか

連 立 一 次 方 程 式 で あ る.そ

ら 計 算 され る. こ で,こ

の 式 の係 数 行列

は 対 称 で あ り,ま た そ の 非 零 要 素 が す べ て 同 じ符 号 を もつ2k-1重 限 ら れ る こ と,し

か も そ の 場 合,そ

tive definite)で

あ る こ こ を 示 そ う*.

式(4･26)お

よ び 式(5･10)よ

れ が 正 値(positive 

definite)か

り, ｉ 行 ｊ 列 の 要 素Nijに

対角行列に 負 値(nega-

つ い て,

(5･12) *２ 次 形式Q=Σaijxixjが 正 値 ２次 形式 とい う.Ｑ xtAxが

,す べ て は ０で な いxl, x2,  …. xnに 対 して 常 に Ｑ が 正 で あ る とき Ｑ を が 常 に負 の 時,負 値 ２次 形 式 とい う,対 称 行列 Ａ で定 ま る ２次 形式Q=

正 値 で あ る とき, Ａ は正 値 で あ る とい う.

を 得 る.さ

て 式(5･4)を

式(5･12)に

代 入 す る と,

(5.13) と な る.式(5･13)か 称 で あ る.Ｃ の で,す

らNij=Njiで

あ る こ とは 明 ら か で あ るの で係 数行 列 は対

と ｋ!は 正 で あ り, Mi(x)は,す

べ て の 非 零 要 素Nijは(-1)kの

x  ≧  xi+kで

恒 等 的 に ０で あ る(Mj(x)も

,も

の 積 分 は ｜i-j｜≧ ｋ に対 し て ０で あ り,そ ０ と な る.こ

べ て の ｉ と ｘ に 対 し非 負 で あ る 同 じ符 号 を 持 つ .Mi(x)はx  ち ろ ん 同 様 で あ る)か れ ゆ え ,そ

≦  xiと

ら,式(5･13)

の よ う な 範 囲 で はNijは

の よ うに そ の 行 列 の ０ で な い 要 素 は 主 対 角 要 素 と そ の 両 側 のk-1

個 の 帯 行 列 要 素 に だ け 表 わ れ る.さ そ れ ゆ え 式(5･13)の

らに,Mi(x)はxi 

積 分 は 厳 密 に 正 で あ る か ら,こ

≦  x  ≦  xi+k  に対 し正 で, の対 角 帯 に あ るす べ ての要

素 は ０で は な い.   次 に,式(5･9)の

係 数 行 列 が 正 値 か 負 値 で あ る こ と を示 そ う.そ の た め に,係

数 行 列 に 関 連 した 二 次 形 式,

(5･14) を 考 え る.こ

れ は,式(5･13)を

用 い て 整 理 す る と,

(5･15) と な る.こ

こで φ （x)は,

 (5･16)

で あ る.式(5･15)の

積 分 は 、 明 らか に 非 負 で あ る の で,式(5･14)は

奇 数 か に よ っ て 半 正 値*,ま

た は 半 負 値 で あ る こ と は 明 ら か で あ る.式(5･14)が

正 値 か 負 値 で あ る こ と を証 明 す る た め に は,式(5･15)の *二 次 形 式Q  = xtAxに

対し .任

意 の 実ベ ク トルx〓0に

う.ま た 任 意 の ベ ク トル ｘ に対 して,Q≧0で で あ る[28].

ｋと 偶 数 か

積 分 が,

対 してQ＞0と

な る とき 正値 で あ る とい

あ る と き Ｑ を半正 値 とい う.負 値,半 負 値 も同様

 (5･17)

t  1=  t2=  … = tn-k  = 0

の と き に 限 り ０ と な る こ と を 示 せ ば よい.こ は,ほ

と ん どい た る と こ ろ で φ(x)=0と

ラ イ ンMi(x)は

こ で,積

な る こ こ を 意 味 す る.と

連 続 関 数 で あ る か ら,φ(x)は

節 点x1,  x2, …,  xnを

持 つk-1次

分 が ０ に な る とい う こ と こ ろ で Ｂ-ス プ

恒 等 的 に ０で な け れ ば な らな い.

の Ｃ-ス プ ラ イ ン 属*は,特

い た あ と こ ろ で ０あ る よ う な関 数 を 含 ん で い る.と

別 な 場 合 と して,

こ ろ で,〔 定 理4･3〕

に よっ

て こ の Ｃ-ス プ ラ イ ン は,

で 一 義 的 に 表 わ され る.従 d1   =d2 

の と き で あ あ.す 式(5･16)は

っ て,こ

の 関 数 と 恒 等 的 に ０ こ な あの は,明

らか に

=  … = dn-k  =0

な わ ち,こ れ が 零 関 数 の た だ 一 つ の 表 現 で あ る.言

式(5･17)が

成 り立 つ と きに 限 り ０で あ る.従

い 換 えれ ば,

っ て,式(5･9)の

係数

行 列 は 正 値 か 負 値 を 持 つ.

5･3 

ス プ ライ ン係数 の計算

  連 立 一 次 方程 式(5･9)に

は,式(2･25)と

上 の 困 難 な 性 質 と な い.こ

の こ とは 理 論 的 に も また 実 際 に 計 算 し て み て も確 め ら

れ る の で,式(5･9)は しか し,そ

  ま ず,式(5･9)のNijは

の 注 意 が 必 要 で あ る.

連 立 一 次 方 程 式 の 係 数 で あ る が,こ

求 め る 方 法 が 必 要 で あ る.Nijは Nij=N(xj, 

*Ｂ-ス

現 われ た よ うな数値 計 算

標 準 的 な 数 値 解 法 を用 い て す み や か に 解 く こ と が で き る.

の 細 部 に つ い て は,二,三

と 表 わ さ れ る が,こ

式(2･26)で

xj+1,…, 

式(5･1),式(5･2)お xj+k;xi, 

xi+1,…, 

れ ら を数 値的 に

よ び 式(5･10)か

ら,

xi+k)

れ は

プ ラ イ ンMi(x)は,Ｃ-ス

プ ラ イ ン に 含 ま れ,

(4･27) の よ う に 表 わ さ れ る.そ

れ ゆ え 式(5･16)の

φ(x)は,Ｃ-ス

プ ライ ンであ る。

N(x; 

t)=(x-t)+2k-1

 (5･18)

か ら 導 び か れ た も の で あ る.つ

ま り,Nijは,２

変数

ｘ,ｔ に つ い て の 式(5･18)

の ２重 ｋ 階 差 分 商 で あ る.   こ の 差 分 商 を数 値 的 に 計 算 す る 場 合 に は,以 る.ま

下 の よ う な便 利 な 方 法 が 用 い られ

ず,i,  j=1,  2,  …,  ｎ に 対 す るN(xj;xi)の

値 をn×nの

そ の 行 と列 に そ っ て 順 に ｋ階 差 分 商 を つ く る.と xi)+2k-1で ん,こ

あ る か ら,そ

れ ら の ０要 素 も 差 分 商 を計 算 す る 際 に は 他 の 要 素 こ 同 様 に 扱 う.こ

そ して,こ

立 一 次 方 程 式(5･9)の

係 数Nijの

ちろ う して

行 列 が 得 られ る.

の 結 果 に 関 す る 限 り,差 分 商 を 最 初 行 に そ っ て と る か 列 に そ っ て と る

か は あ ま り重 要 で は な い.し

か し後 で わ か る が,行

に そ う差 分 商 を 最 初 に と る 方

な か らず 利 点 が で る.

  次 に,式(5･9)の 得 られ る.そ

右 辺 の δjは,与

して,ス

え ら れ たyiに

プ ラ イ ン 係 数biは

こ と が で き る.し か し,biを

連 立 一 次 方 程 式(5･9)を

ま り式(5･5)に

まれ て い る の で そ れ を決 め る 必 要 が あ る.さ 値 を式(5･5)に

あ る が,こ

つ い て の ｋ 階 差 分 商 を とれ ば 解 い て求 め る

得 て も解 が 得 られ る わ け で は な い.“ 最 も 滑 らか に ”

補 間 す る 自然 ス プ ラ イ ンs(x),つ

s(x)の

こ ろ で こ の 行 列 の 要 素 は(xj-

の 主 対 角 要 素 と上 三 角 要 素 は す べ て ０ で あ る.も

２重 差 分 商 を つ く る と,連

が,少

２次 元 配 列 に し,

に は 工 夫 が 必 要 と な る.そ

含

らに 任 意 の ｘ に 対 す る ス プ ラ イ ン

よ り定 め る た め に は,関

れ は 切 断 べ き 関 数(x-xi)+2k-1程

は 未 定 の 多 項 式pk-1(x)が

数Ni(x)の

値 を計 算 す る必要 が

た や す く は な い,従

の 計 算 は 実 際 に は 簡 単 で あ る が,そ

っ て,そ の 計 算

れ に 導 び く考 え 方

は や や こ み い っ て お り,こ れ は む しろ 具 体 的 な 例 を引 き合 い に 出 した 方 と 容 易 に 説 明 で き る の で 次 節 で こ れ を 示 す.

5･4 

例

題

  数 値 例 と し て,第 １章 で用 い た デ ー タ点(4･2節(4･4)で も示 した)に 対 す る “最 も滑 ら か な ” ３次 の 自然 ス プ ラ イ ン の 計 算 を ,こ こ で は 式(5･5)を 用 い て再 び や っ て み よ う.５ 点 の 横 座 標 は-3,-1,０,３,４ こ れ ら の ５つ の 点 を と る もの とす る と,(x-t)+3の

で あ る.節

点 と して ｘ と ｔ に

値 は 表5･1の

よ うに な る.

表5･1 

  表5･1の

各 行 の

(x-t)+3の

値

１,２ 階 差 分 商 を と る こ と か ら 始 め よ う.２

ん,i=1,2,3とj=1,2,3,4,5に

対 す るNi(xj)の

表5･2 

表5･3 

値 で あ る.

ｔ に 関 す る １階 差 分 商(N(x;xi,xi+1)の

ｔ に関 す る ２階 差分 商(Ni(xj)とyjの

階差 分 商 は もちろ

値)

値)と

た て座 標

  次 の 手 順 は,上 の 表 の 列 に 関 す る １階 お よ び ２階 差 分 商 を 求 め る こ こ で あ る が, 同 時 にyj=s(xj)の

２階 差 分 商 も 求 め る 必 要 が あ る た め,便 表5･4 

Ni(x)とs(x)のxjに

関 す る １階 差 分商

宜 上,表5･3にyj

の 列 を 付 け 加 え て お い た. 表5･5 

  明 ら か に,最 含 ま な い.係

後 の 表5･5は

数biは

よ り求 ま る.こ

関 す る ２階 差 分 商(Nijと

式(5･9)のNijと

δjの 値)

δjを 含 む が 未 知 数biだ

けは

連 立 一 次 方 程 式,

の 方 程 式 の 解 は,

b1=6, 

で あ る.そ

Ni(x)とs(x)のxjに

 b2=4, 

れ ゆ え,こ

 b3=-20

の 場 合 式(5･5)は,

s(x)=P1(x)+6N1(x)+4N2(x)-20N3(x) と な る.   さ て,  表  5･3  に お い て,  そ の 最 上 段 の 要 素 は,  Ni(x1) 

と y1  = s(x1)の

値 で あ

る.  従 っ て, P1(x1)  = S(x1)- 

6N1(x1) 

- 4N2(x1) 

+ 20N3(x1)

= 7 - 6 ×  0  - 4× 0+  20×0  = 7

と な る.同

様 に,表5･4に P1(x1, 

お け る,最

x2) = S(x1，x2)- 

6N1(x1,x2)- 

= 2-  6(2/3)- 

を 得 あ.従

っ て,式(4･10)の 

上 段 の 要 素 を用 い る と, 4N2(x1, 

4(0)+  20(0)  = -2

Newton 

の 公 式 に よ り,

x2)  + 20N3(x1, 

x2)

p1(x) 

と な る.こ

=  p1 (x1)+ 

(x-x1) 

7-2(x+3) 

=  1  - 2x

う し て,式(5･5)は s(x)  = 1-  2x+  6N1(x)+ 

と な る.さ

て,節

点 以  外 の,あ

こ の と き 式(5･19)で そ の た め Ni(x)   (x-t)+ 

p1(x1,x2) = 

3の

4N2(x)- 

る座 標

20N3(x)

 (5･19)

ｘ に お け るs(x)の

必 要 と な る N1(x),  を 求 め る に は 式(5･2)に

N2(x),  N3(x) 

値 を 求 め て み よ う.

従 っ て,そ

の

の 値 は 直 接 得 ら れ な い. ｘ に お け るN(x;t) 

=

ｔ に 関 す る ２ 階 差 分 商 を と ら ね ば な ら な い.

例 え ばx=2と

す る と,次

の 表5･6と

得 ら れ る.

表5･6

従 っ て,式(5･19)に

こ の表 のNi(2)代

入 す れ ば,

と な る.

5･5 

計算 につ いて の一 般 的な 注意

  前 節 で 見 た 数 値 例 で は,多 易 で あ っ た.そ

こ で,こ

項 式pk-1(x)と

一 次 式 で あ る の で,そ

の決 定 は容

の 節 で は 大 き い 次 数 ｋ に 対 す る多 項 式pk-1(x)の

つ い て 考 え て み よ う.式(5･5)か

決定 に

ら,

(5･20) で あ る.s(x1) 

= y1で

あ り,x  ≦  xiで

pk-1(x1)  = y1

はNi(x) 

= 0 で あ る こ と か ら,式(5･20)は

と な る.従

っ て,こ

の 式 にNewtonの

差 分 商 補 間 公 式(4･10)を

適用 す る と

(5･21) と な る.ま

た,式(5･20)に

つ い てr-1階

差 分 商 を と る と,

(5･22) を得 る.前

節 の 例 で 見 た よ う に,Nij,  δjは 始 め に(x-t)+2k-1の

て ｋ 階 差 分 商 を と り,次 商 を とれ ば 得 ら れ た.そ に は,ま

に こ の 表 にs(xj)=yjを

加 え て,列

に そ って ｋ階 差 分

の 過 程 で 得 られ た 列 に そ うr-1階

さに 求 め よ う とす る 式(5･22)の 代 入 す れ ばr=2,3, 

得 られ る.最

後 に,こ

のpk-1(x1,x2, 

たNewtonの

公 式 に 代 入 す れ ば,多

式 と 同 じ く らい 便 利 で あ る.そ

差 分 商 の最 上 段 の 行

右 辺 の 項 が 含 まれ て い る.従

の 表 の 値 を 式(5･22)に

式 は 見 か け は 複 雑 な よ うだ が,実

表で行にそっ

っ て,こ

…,  ｋ に 対 す るpk-1(x1,x2,…, 

…,  xr)(r=2,3, 

項 式pk-1(x)が

…  ,k)を

xr)が

式(5･21)に

示 し

求 ま る こ と に な る.こ

の公

際 の 数 値 計 算 で は 普 通 べ き和 で 表 わ され る 多 項

れ ゆ え,こ

こ で 得 られ る 多 項 式 を わ ざ わ ざ べ き和

の 形 に す る 必 要 は な い.   最 後 に,演 方 程 式(2･25)お

算 の 精 度 に つ い て 考 え て み よ う.ス よ び 式(2･26)を

ど大 き く な い と き で も,２ を す で に 述 べ た.こ 式(5･9)で

と ｋが それ ほ

倍 精 度 か と き に は ３倍 精 度 の 演 算 さ え 必 要 と な る こ と よ び 式(2･26)を

置 き換 え る こ と に よ っ て 解 消 で き る こ と が わ か っ た.し

対 称 行 列 で あ り,し

減 っ た ば か りで な く,そ

か も,そ

の 係 数 行 列 は2k-1重

こで

対角の

か も,正 定 値 で あ る と い っ た よ い 条 件 を 備 え て い る.そ

れゆ

の 係 数 行 列 は 解 を 得 る の に 単 精 度 で 十 分 で あ る.

  し か し な が ら,式(5･9)を う.そ

使 っ て 妥 当 な 精 度 を得 る に は,ｎ

の よ う な 欠 点 は 今 ま で の 議 論 で 式(2･25)お

は 方 程 式 と未 知 数 と2k個

え,そ

プ ラ イ ン係 数 を決 定 す る場 合,

れ は,そ

得 るた め に支 払 った代 償 を無 視 しては な らない だ ろ

の た め の 手 続 き が 間 接 的 で,か

数 の 差 分 商 を と る 必 要 が あ る か ら で あ る.す

つ 遠 回 りで あ る ば か り で な く,多 な わ ち,目

的 の 式(5･9)を

得 るに は

(２ 変 数 の 各 々 に 対 して)ｋ

階 差 分 商 を と らね ば な ら な い.さ

す る ス ブ ラ イ ンの 値 を 求 め る た び に   (１ 変 数 に 対 して)差 る 。 そ れ ゆ え,差

る値 に対

分 商 を とる 必要 が あ

分 商 の 演 算 の 精 度 が 重 要 な 意 味 を 持 つ こ と が わ か る,実

が 相 当 大 き な 式(5･9)の

係 数 を十 分 な 精 度 で 得 る た め に は,差

度  (３ 倍 精 度 は 必 要 な い に し て も)で し,た

ら に,あ

か

い うの は 差 分 商 を 求 め る こ とは

と え ２ 倍 精 度 を 用 い て も,そ

解 く よ う な 複 雑 な 計 算 に 比 べ れ ば,そ

分 商 を ２ 倍精

計 算 す る 必 要 が あ るか も しれ な い.し

と え そ う で あ っ て も 恐 れ る 必 要 は な い.と

単 純 な 手 続 き で あ っ て,た

際,ｎ

れ は連 立 一次 方 程 式 を

の 計 算 時 間 は ず っ と少 な くて す む か ら で あ

る.

5･6  他 の方 法 に よ る “最 も滑 らか な ”補 間 スプ ライ ンの導 出   文 献[17][22]で

は,“ 最 も 滑 ら か な ” ３次 の 補 間 ス プ ライ ン を 求 め る た め の 他

の 計 算 法 の １つ を 示 して い る*.そ い る が,そ

こ で は,議

論 を ３次 の ス プ ラ イ ン に 限 っ て は

の 場 合 計 算 上 い くつ か の 長 所 が あ る の で,そ

て も 極 め て 有 効 で あ る.こ

の ３次 とい う制 約 が あ っ

の 方 法 に よ る FORTRANの

プ ロ グ ラ ム は ど ち らの

文 献 に も載 っ て い る.   と こ ろ で,等

間 隔 節 点 の と き に は,式(2･24)の

表 わ さ れ る こ と を文 献[22][23]で

示 した.こ

速 な 蓄 積 とい う欠 点 を 避 け る こ とが で き る.す

係 数が 無 限 級数 の 整 数係 数 で の 方 法 に よれ ば,ま な わ ち,あ

る め誤差 の急

らか じめ 計 算 して お い

た 表 を用 い て 整 数 の ま ま で 計 算 し,最 後 に 割 り算 を 行 な っ て 答 を 出 す よ うに す れ ば 精 度 の 低 下 は 避 け る こ とが で き る わ け で あ る.   ま た,こ

の 方 法 は 基 本 的 に は “最 も滑 らか に ” 補 間 す る 任 意 の 奇 数 次 の 自然 ス

プ ラ イ ン に 対 して も適 用 す る こ とが で き る.し が 大 き くな る 程 次 第 に 扱 い に く く な る.こ

か し,そ

そ の 表 を計 算 して い な い.

の た め,そ

*こ れ に 対応 す る計算 法 は第 ６章 で も説 明 して い る .

の と き 用 い る 表 は,次

数

の 文 献 で は ３次 の 場 合 しか

5･7 

デ ー タ点 を 平 滑 化 す る 自 然 ス プ ラ イ ン

1919年

に Ｅ.Whittakerは,以

と に よ っ て,等

下 に 示 す ２つ の 量 の 線 形 結 合 を最 小 に す る こ

間 隔 座 標 上 の デ ー タ点 を平 滑 化(smoothing)す

る 方 法 を提 案[24]

した. そ の 量 と は, ①

観 測 値 と,そ れ に対 応 す る 平 滑 化 曲 線 上 の 値 との 差 を ２乗 し,そ れ に 重 み を わ け た 値 の 総 和,

②

観 測値 に対 応 す る平滑 化 曲線 上 の値 の ｋ階 差分 の ２乗 和(ｋ は与 え られ た 整 数),

で あ る.こ

れ ら ２つ の 量 を結 合 す る 割 合 は,観

測 値 に対 し て 忠 実 で あ る か 滑 ら か

で あ る か の ど ち ら に 重 点 を置 くか で 決 ま る.   1964年Schoenberg[25]は,任 Whittakerの   ま ず,与

方 法 を 適 用 す る こ と を 提 案 した.そ

中 に 含 ま れ た 増 加 列 で,必

の

れ は 次 の よ うに 記 述 で き る.

え ら れ た デ ー タ 点 を(x1,y1),(x2,y2),…,(xn, 

横 座 標 は 区 間(ａ,ｂ)の そ こ で,次

意 間 隔 の デ ー タ 点 を 平 滑 化 す る 問 題 に,上

yn)と

す る.こ

れ らの

ず し も 等 間 隔 で な く こ も よ い.

の量

(5･23) を可 能 な限 り小 さ く す る ｋ 階 連 続 微 分 可 能 な 関 数f(x)を は 適 当 な 正 の 重 み,９ あ る.つ

ま り,彼

こ と を示 し,し

は 上 述 のWhittakerの

は 式(5･23)の

求 め る.こ

こ で,wi

場 合 の結 合比 に対 応 す る正 定数 で

σ を最 小 に す る一 義 的 な 関 数f(x)と

存在 す る

か も デ ー タ 点 を “最 も滑 らか に ” 補 間 す る関 数 が 自然 ス プ ライ ン

で あ っ た と同 様 に,そ

の 関 数 も節 点x1,x2,…,xnを

持 つ2k-1次

の 自然 ス プ ラ

イ ン で あ る こ と を示 し た[25].   こ の こ と を証 明 す る た め に,第 用 す るの で,ま

ず,以

〔補 助 定 理5･1〕

２章 の 〔補 助 定 理2･1〕

下 で これ を示 す. c(x)を,

の 一 般 化 した も の を 利

で 表 わ され る Ｃ-ス プ ラ イ ン と し,f(x)を 関 数 こす る.こ

区 間(ａ, ｂ)で

ｍ 階 連続 微分 可 能 な

の と き,

(5･24) が 成 り立 つ. 〔証 明 〕 

式(5･24)の

積 分 を Ｉ と お く と,〔 補 助 定 理2･1〕

に よ っ て,明

らか

に,

で あ る.た

だ し,ηiは

区 間(xi,xi+1)で

式 の 総 和 の 項 を 整 理 し,η0=ηn=0と

表 わ さ れるc(m-1)(x)の

値 で あ る.上

お け ば,

(5･25) を 得 る.こ

こ で,第

１章 の 式(1･12)か

ら

ηi-ηi-1=C(m-1)(xi+0)-C(m-1)(xi-0)=(m-1)1! 

と 成 り立 つ.従

っ て,式(5･25)に

bi

こ の 結 果 を 代 入 す る と,式(5･24)と

得 ら れ る. (証 明 終 り)

次 に,平

滑 化 ス プ ライ ン補 間 に つ い て の 重 要 な 定 理 を述 べ る.

  〔定 理5･2〕

 

座 標xi(i=1,2,…,n)は … ,wnは

(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)は 区 間(ａ, ｂ)に

与 え ら れ た 正 数 と し, ｋ はk
与 え ら れ た デ ー タ 点 と し,そ 含 ま れる 増 加 列 と す る.ま

の

た,g,  w1,w2,

満 た す 正 の 整 数 と す る.こ

の と き,

自然 ス プ ラ イ ン

(5･26) に お い て,条

件

s(xj) 

+  (  -  1)kg(2k 

-  1) !cjwj 

-  1  = yj  (ブ=1, 

(5･27)

2, …   ,  n)

を満 足 す る も の が た だ 一 つ 存 在 す る.   さ ら に,f(x)を,区 を 式(5･23)で

ｋ 階 連 続 微 分 可 能 な 任 意 の 関 数 と し,σ(f)

定 義 され る 量 とす れ ば,

σ(s)≦

で あ る.等

間(a,b)で

σ(f)

号 はs=fの

  〔証 明 〕 

 (5･28)

と き に 限 る.

式(5･26)はn+k個

の 未 知 数 を 含 ん で い る.式(5･27)に

式(5･26)

を 代 入 す る と,

(5･29)

(j =  1, 2, …, n)

を 得 る.こ

こ で 項 の 順 序 を変 え た の は,あ

s(x)は2k-1次

の 自然 ス プ ラ イ ンで あ る か ら,〔 系2･1〕

個 の 方 程 式 を満 足 し な け れ ば な ら な い,従 n+k元

と で 便 利 だ か ら で あ る.と

連 立 一 次 方 程 式 が 構 成 され る.こ

て ０(そ の と き,も 限 り,式(5･27)は

ち ろ んs(x)は

+  (  -  1)kg(2k 

よび 式(5･29)か

ら

を証 明 した と きの

対 応 す る 同 次 方 程 式 が,す

べ

恒 等 的 に ０)の 自 明 な 解 しか 持 た な い と きに

- 1)!cjwj 

か ら な る 同 次 方 程 式 系 を 考 え よ う.た 仮 定 す る.そ

ｋ

の と き,〔 定 理2･7〕

た だ 一 つ 解 を 持 つ こ と が わ か る.そ

s0(xj) 

に よ り式(2･26)の

っ て,式(2･26)お

方 法 と ま っ た く 同 じ 方 法 を 用 い れ ば,式(5･27)に

こ ろ で,

こ で,式(2･26)と

(5･30)

-  1  = 0

だ し,s0(x)は

次式

式(5･26)の

形 を して い る と

して 次 の 量

(5･31) を 導 入 す る.い

ま,式(5･26)を

つ ぎ つ ぎ に 微 分 し,式(2･8)を

利 用 す る と,

(5.32)

を 得 る.こ り Ｃ-ス

こ でC1=k(k+1)…(2k-1)で プ ラ イ ン で あ る.従

あ り,式(5･32)は

っ て,〔

補 助 定 理5･1〕

〔定 理2･5〕

か ら 式(5･31)の

に よ

積 分 は,

(5･33) と な る.一

方,式(5･30)は

so(xj) 

こ な り,従

=  (  - 1)k-1g(2k 

- 1)!cjwj-1

って

(5･34)

と な る.式(5･31)に ろ が 式(5･31)の ら な い.重

式(5･33)と

式(5･34)を

代 入 す る と,σ0=0を

右 辺 は 非 負 の 項 の 和 で あ る か ら,い

みwjは

ずれ の 項 も

得 る.と

０ で なけ れば な

正 で あ る の で,

s0(xj)=0 で あ る.式(5･30)に の 項 のcj以

 (5･35)

こ の 結 果 を代 入 す る と,式(5･30)の

第 ２項 は ０ と な る.こ

外 の 因 子 は ０で は な い か ら,  (5･36)

cj=0 で な け れ ば な ら な い.式(5･26)に

式(5･36)を

代 入 す る と,

s0(x)=pk-1(x) を得 る.と

こ

こ ろ が,条

件k
 (5･37)

式(5･35)お

個 の 相 異 な る ｘ に 対 して ０ とな るk-1次

よび 式(5･37)か

ら、  s0(x)は,ｎ

の 多 項 式 で あ る*.従

っ て,s0(x)は

い た る と こ ろ で 恒 等 的 に ０で あ る.そ れ ゆ え,式(5･27)を

満 た す よ う な 式(5･26)

の 自然 ス プ ラ イ ンが た だ 一 つ 存 在 す る こ とが 証 明 され た こ とに な る. 次 に,定

理 の 第 ２ の 部 分 を 証 明 し よ う.〔 定 理2･8〕

の 証 明 と同 じ工 夫 を用 い

る と, *n(>k)個

の 異 な る点 で ０ に な るk-1次

の多項 式 は恒 等 的 に ０ で あ る.

(5･38) と 書 け る.さ そ れ は,前

て,s(k)(x)は

〔定 理2･5〕

に 考 え たs0(k)(x)と

理5･1〕

に よ り式(5･38)の

に よ っ て Ｃ-ス

同 じ く 式(5･32)の

プ ラ イ ン で あ り,し

形 と な る.従

か も

っ て と 〔補 助 定

最 後 の 項 は,

(5･39) と な る.ま

た,式(5･27)に

よ り,

s(xi)-yi=(-1)k-19(2k-1) 

で あ る か ら,式(5･38)の も の に 等 しい.従

! ciwi-1

第 ４項 は ち ょ う ど 式(5･39)に

っ て,式(5･38)の

い る 項 は 非 負 で あ る の で,不 と き は,式(5･38)の

最 後 の ２ 項 は 互 い に 打 ち 消 され る.残

等 式(5･28)が

第 ２項,第

た だ ち に 成 り立 つ.等

ま た,第

って

式 が 成 り立 つ

３項 が い ず れ も ０ で あ る こ と を 意 味 す る.そ

第 ３項 と ０に な る とい う こ と は,f(k)(x)-s(k)(x)が に な る,と

マイ ナ スの符 号 をつ け た

ほ とん ど い た る と こ ろ で ０

い う こ と を 意 味 す る か ら,f(x)-s(x)はk-1次

２項 と ０ に な る とい う こ とは,ｘ

項 式 が ０ に な る こ と を 示 して い る.k
の

の多 項 式 で あ る.

の ｎ 個 の 異 な る 値 に 対 して,こ あ る か ら,こ

の こ と は,こ

次 の 多 項 式f(x)-s(x)が

い た る と こ ろ で ０で あ る こ と を 示 し て い る.言

れ ば,f(x)-s(x)=0,す

な わ ち, f(x)=s(x)で

あ る.       

の多

のk-1 い換 え

(証 明 終 り)

5･8  平 滑 化 自然 スプ ラ イ ンの計 算 概 要   本 節 で は,デ な い と,計

ー タ を 平 滑 化 す る 自然 ス プ ラ イ ン の 計 算 に つ い て 詳 細 に は 立 入 ら

算 す る さい の 見 通 し と注 意 す べ き 点 を い くつ か 述 べ よ う.ま ず,式

(5･29)は,式(2･25)に ん で い る.

は 含 ま れ て い な か っ た(-1)kg(2k-1)!cjwj-1の

項 を含

  我 々 は,式(5･29)と こ の と き式(5･29)の

式(2･26)か

ら成 り立 つ 連 立 一 次 方 程 式 を 解 くわ け だ が,

項 の 順 序 を 変 え な い な ら ば,(-1)kg(2k-1) 

!wj-1は

係数

行 列 の 対 角 要 素 と な る*１.   これ ら の 対 角 要 素 の 大 き さ が,そ る な ら ば,こ

の 行 列 の 非 対 角 要 素 の 最 も大 き い 値 に 匹 敵 す

の 連 立 一 次 方 程 式 は,数

方 法 で 解 く こ と が で き る.し さ い と き は,以

値 的 にGaussの

消 去 法 の よ うな 標 準 的 な

か し な が ら,こ れ らの 対 角 要 素 が 非 対 角 要 素 よ り小

前 に 議 論 した よ うに,二

変 換 す る必 要 が で る か も 知 れ な い.そ

つ の 変数 の ｋ回差 分商 を取 って方 程 式 を の と き,厳

密 な補 間 の 場 合 と同 じ よ う に,

２変 数 に 対 して ｋ階 差 分 商 を と る と対 角 要 素(-)kg(2k-1)!wjの 2k+1重

対 角 帯 に 交 互 に 符 号 を 変 え な が ら伝 播 す る*２,も

分 小 さい な らば(g≒0の

変 換 の 影 響 が, し,そ

の対 角要 素が 十

と き)そ の 変 換 した 連 立 一 次 方 程 式 は,厳

合 と似 た よ う な 性 質 を も つ.定

密 な 補 間 の場

数 ｇ が 大 き く も小 さ く も な い 中 間 の 値 で は,ど

の 解 法 も うま くは い か な い.   この 場 合,連

立 一 次 方 程 式 を 解 く最 も よい 方 法 は,た

形 に 変 換 し,そ の 後,係 解 法(例

ぶ ん 方 程 式 を帯 状 の 正 値

数 行 列 を 上 三 角 行 列 と 下 三 角 行 列 の 積 に 分 解 す る よ うな

え ば,Gauss-Doopittle法

ま た はCholeski法[29])を

ろ う.

*１  k=2,n=3の

と き ,式(5･29)と

式(2･26)か

g3!c1w1

-1 

c1(x2-x1)3+g3!c2w2-1

 + ax2+b=y2

c1(x3-x1)3+c2(x3-x2)3+g3!c3w3-1  c1

 

+c2

 

+c3

c1x1

 

+c2x2

 

+c3x3

とな る.こ れ を行 列 で表 現 す れ ば,

と な り6gwi-1は

*２演 習 問題5･6参

対 角 要 素 と な っ て い る.

照

ら な る 連 立 一 次 方 程 式 は, +ax1+b=y1

+ax3+b=y3   =0  

=0

用 い る こ とであ

5･9 

ス プ ラ イ ン 関 数 の そ の 他 の 応 用*

  ス プ ラ イ ン に は 本 書 で 取 り上 げ た も の の 他 に も 有 益 な応 用 が あ る.こ く は,1968年

にWisconsin大

れ らの 多

学 数 学 研 究 所 で 開 か れ た ス プ ラ イ ン関 数 の 理 論 と

応 用 に つ い て の 高 等 セ ミ ナ ー で 討 論 され て い る の で,も

し興 味 あ る 読 者 は,こ

セ ミ ナ ー の 論 文 集[27]を

術 の 多 くの 分 野 に 横 た わ

る 問 題 に は,近

参 照 され た い .科 学,工

似 関 数 や 補 間 関 数,微

計 算 が 不 可 欠 で あ る.セ

5･10 

分 方 程 式 の 数 値 解,あ

るい は定 積分 の数 値

ミナ ー で 取 り扱 わ れ た ト ピ ッ ク ス の 中 に は,こ

題 を ス プ ラ イ ン関 数 を 利 用 して,よ ア ル ゴ リズ ム や,コ

学,技

の

れ らの 問

り効 果 的 に 処 理 して い る も の が あ り,数 値 的

ン ピ ュ ー タ プ ロ グ ラ ム と 示 され て い る.

第 ５章 に 関 す る小 史

  1963年

にSchoenbergは

差 分 商 と Ｂ-ス プ ラ イ ン を 利 用 し て “最 も 滑 らか な ”

補 間 自然 ス プ ラ イ ンの 係 数 を 決 定 す る 問 題 をn-k元 で き る 可 能 性 を示 した[10].特 に 公 式(5･13)は

連 立 一 次方 程 式 の解 に 帰着

彼 に よ っ て1964∼5年

に非 公式 に

談 話 の 中 で 述 べ られ た も の で あ る. 本 章 で 記 述 し た 数 値 的 手 法 の 詳 細 は,文   平 滑 化 法 に つ い て のWhittakerの 学 会 で 述 べ られ,そ

した.し

か し式(5･27)そ

の も の は,本

２章

習 問2･4の

間 自 然 ス プ ラ イ ン を 求 め よ.

*第

k=3と

お い て,次

の数

れ を1964年

等 間 隔 デ ー タ に 対 す る平 滑 化 曲線 の あ て は め 問 題 に 適 用

本 章 の 方 法 を 用 い て,第

5･2 

のEdinburghで

に 出 版 さ れ た.Schoenbergは,そ

演 5･1 

述 べ た も の で あ る.

論 文[24]は,1919年

れ は1923年

の 論 文[25]に お い て,不

献[26]で

の ４点

６章 で 最近 の応 用 例 を詳 し く述 べ る

.

書 で は じめ て 導 入 さ れ た も の で あ る .

問

題

５

デ ー タ点 に 対 す る “最 も滑 らか な ” ３次 の 補

(-2,0),(0,-532),(1,123),(4,732) に 対 す る “最 も滑 らわ な” 補 間 関数 を求 め よ. 5･3  最 小 ２乗 法 を用 いて,問5･1の

三 つ の点 に 対 す る直線 の方 程 式 を求 め よ(す なわ ち,

与 え られ た デー タの座 標 とそ の ｘ 座 標 に お け る直 線 上 の 座標 との差 の ２乗 和 を最 小 に す る). 5･4 

w1=w2=w3=1と

お い て,問5.1の

意 味 で の 最 良 近 似 関 数 を,ｇ 5･5 

問5･4で

デ ー タ 点 に 対 す るWhittaker-Schoenbergの

用 い て 表 わ せ,た

得 ら れ た 数 式 は,g=0の

だ し, k=2と

と き 何 に 帰 着 す る か.ま

す る. た,  g→ ∞

と す る と何

に 近 づ くか. 5･6 

(〓)  自 然 ス プ ラ イ ン 式(5･26)の ン の 係 数bj(j=1,2,…,n-k)で

.  (〓)  た い.そ

デ ー タ 点(4･4)に

ｇ を パ ラ メ ー タ と し て5･4節

次 に,g=10と

式(5･5)の

自然 ス プ ライ

対 す る ３次 の 平 滑 化 自 然 ス プ ラ イ ン を式(5･5)の

の た め に ま ず,(〓)で

こ こ でwi=w2=…=w5=1と

係 数ci(i=1,2,…,n)を 表わせ

求 め たciを

式(5･27)に

形 で 求め

代 入 し て 得 ら れ る式 を 利 用 し,

で 示 し た よ う な ｔ,ｘ に 関 す る ２階 差 分 商 表 を 求 め よ. す る.

した と き の ３次 の 平 滑 化 自 然 ス プ ラ イ ン を 式(5･5)の

形 に 表 わ せ.

第 ６ 章

ス プ ラ イ ン 関数 の種 々 の 応 用

6･1 

Ｂ-ス プ ラ イ ン を 用 い た 補 間

  前 章 ま で は,主

に2m-1次

の 自然 ス プ ラ イ ン に つ い て 考 え て き た.本

Ｂ-ス プ ラ イ ン を 用 い た 補 間*に つ い て 考 え て み よ う.こ

イ ン を基 底 と した 線 形 結 合 に よ る ス プ ラ イ ン で あ る.Ｂ-ス (limited  support)を

持 つ 関 数 で あ る こ と,ま

プ ライ ンと局 所 台

た 高 次 の Ｂ-ス プ ラ イ ンと 漸 化 式 を

用 い た 算 法 に よ り安 定 に 計 算 で き る こ とな ど の 理 由 に よ り,Ｂ-ス た 補 間 は 関 数 近 似,有   ま ず 始 め に,ス ４章4･6節

限 要 素 法,CADな

節 では

の 補 間 関 数 は Ｂ-ス プ ラ

プライ ンを用 い

どに しば しば 応 用 され て い る.

プ ラ イ ン補 間 の 基 底 に 適 し た Ｂ-ス プ ラ イ ン を 定 義 し よ う,第

でSchoenbergに

図6･1 

よ る Ｂ-ス プ ラ イ ンMi(x)を

Schoenbergの

定 義 し た が,こ

の Ｂ-

定 義 に よ る １次 の Ｂ-ス プ ラ イ ン

  *  一 般 に Ｂ-ス プ ライ ン を用 い た補 間 と呼 ば れ て い るが,こ れ は Ｂ-ス プ ライ ンの線 形 結 合 に よるス プ ライ ンで あ るの で,第 ２章2･3節 で 定 義 した Ｃ-ス プ ラ イ ンで あ る.そ れ ゆ え,Ｃ-ス プ ライ ン補 間 と 呼 ぶ方 が ふ さわ しい と思 われ る.

ス プ ラ イ ン を そ の ま ま 補 間 関 数 の 基 底 と す る の は 適 当 で な い .例 え ば,節 点*１(ξ1, ξ2,ξ3,ξ4,ξ5)=(0,0.5,1,2,4)が

与 え ら れ て い る と す る.図6･1は

… ,5を 持 つ １次 の Ｂ-ス プ ラ イ ンMi(x),i=1,2,3を M1(x)の

最 大 値 はM3(x)の

れ は Ｂ-ス プ ラ イ ンMi(x)を

節 点 ξi,i=1,2,

示 し た も の で あ る.図 か ら,

最 大 値 よ り大 き な 値 と な っ て い る こ とが わ か る .こ 全 実 軸 上 の 積 分 が １に な る よ うに 定 義 した の で ,節

点 が 著 し く不 等 間 隔 で あ る 場 合 に 起 こ る.一

般 に ス プ ライ ンの 節点 を不等 間 隔 で

与 え る の は 普 通 の こ と で あ り,そ れ ゆ え こ の Ｂ-ス プ ラ イ ンMi(x)を 基 底 に 選 ぶ こ と は 適 当 で は な い.こ え る.そ

こ で,de  Boor[30]は

義 の1/k倍

補間 関 数 の

の こ と は 高 次 の Ｂ-ス プ ラ イ ン に つ い て も 言

ま ずk-1次

の Ｂ-ス プ ラ イ ン を, Schoenbergの

定

し た も の と して 次 の よ うに した.

(定 義 ６)

Mk(x;t)=(t-x)+k-1 と し,ξi,ξi+1,…,ξi+kを

 (6･1) 基 礎 に し た ｔ に 関 す る ｋ階 差 分 商Mk(x;ξi,ξi+1,…,

ξi+k)を,

Mi,k(x)=Mi(x;ξi,ξi+1,…,ξi+k)

    と す る.こ   さ ら に,de 

(6･2)

の と きMi,  k(x)をk-1次(ｋ Boorは

こ のMi,k(x)を

階)の 利 用 し て,補

Ｂ-ス

プ ラ イ ン と い う.

間 の 基 底 に 適 し た Ｂ-ス

プ ラ

イ ン を 次 の よ う に 定 義 し た. (定 義

７)    k-1次

の Ｂ-ス

プ ラ イ ンMi,k(x)に(ξi+k-ξi)を

Ni,k(x)=(ξi+k-ξi)Mi

と す る.こ

節点

ξi,ξi+1,… ξi+kを

 (6･3)

,k(x)

の と きNi,  k(x)をk-1次(あ

プ ラ イ ン*２(normalized 

乗 じて

B-spline)と

持 つk-1次

 *１ ５章 まで は ス プ ライ ンの節 点 をxiと

る い は ｋ 階)の

正 規 化 さ れ た Ｂ-ス

い う.

の 正 規 化 さ れ た Ｂ-ス

プ ラ イ ン は,

した が ６章 で は ξiと す る.

 *２ こ こで定 義 した 正 規 化 され た Ｂ-ス プ ライ ンNi,ｋ(x)は 第 ５章5･1節 で定 義 した 自然 ス プ ラ イ ン の １種 で あ る,Ｎ-ス プ ライ ンNi(x)と 表記 が似 てい るが,性 質 が 異 な る の で注 意 を要 す る.

(6･4)

な る 性 質 を 持 つ.こ

れ ら の 性 質 はk-1次

の 正 規 化 され た Ｂ-ス プ ラ イ ン が ス プ ラ

イ ン 補 間 の 適 当 な 基 底 で あ る こ と を示 し て い る.図6･2は

図6･21 

の 正 規 化 さ れ た Ｂ-ス 質(ａ),(ｃ)は

明 ら か で あ り,ま

  次 に,Ｂ-ス

例 に 対 し １次

次 の 正 規 化 され た Ｂ-ス プ ラ イ ン

プ ラ イ ン を 図 示 し た も の で あ る.こ

N1,2(x),N2,2(x),N3,2(x)の

図6･1の

た(ｂ)は,例

の 図 か ら 式(6･4)の

え ばr=2,s=4,k=2と

和 が 区 間0.5≦x≦2で

性 す る と,

１ と な る こ と を 示 す.

プ ラ イ ン を 安 定 に 計 算 す る た め の 算 法 を 述 べ る. Ｂ-ス プ ラ イ ン は

差 分 商 に よ っ て 定 義 され て い る.と ン を 求 め る 計 算 で は,差

こ ろ が 差 分 商 を 用 い て 数 値 的 に Ｂ-ス プ ラ イ

分 商 を と る過 程 で 有 効 数 字 が 失 わ れ る こ と が あ る.こ

れ

は 差 分 商 の 計 算 が 切 断 べ き関 数 に よ る表 示 を利 用 して い る か らで あ る. Ｂ-ス プ ラ イ ン を 計 算 す る の に 差 分 商 に よ ら な い で,漸

化 式 を 用 い る 安定 な 算

長が 開 発 され て い る[30].そ れ は,式(6･1)のMk(ｘ;ｔ)が,     

Mk(x;t)=(t-x)+k-1=(t-x)(t-x)+k-2

と 書 け る か ら,上 式 の 両 辺 に ξi,ξi+1,… ξi+kを 基 礎 に し た ｔに 関 す る ｋ階 差 分 商 を と り,か つ 右 辺 にLeibnizの

積 に 関 す る 差 分 商 公 式(付 録-１)を 利 用 す る と,

(6･5)

で 表 わ され る.ま

た 上 式 を 正 規 化 され た Ｂ-ス プ ラ イ ン で 表 わ す と,

(6･6) と な る(付 録-２).い

ま あ る ｘ(ξi≦x<ξi+1)に

{

れ た Ｂ-ス プ ラ イ ン の 値 を 求 め て み よ う.ま

対 し,０ で な いk-1次

の正規 化 さ

ずNi1(x)は,

l

(ξi≦x<ξi+1)

Ni,1(x)=

0(x<ξi,x≧

で あ る か ら,順

が 得 ら れ,０ Ni,kが

次 漸 化 式(6･6)を

で な いk-1次

ξi+1)

適 用 す れ ば,

の 正 規 化 さ れ た Ｂ-ス

プ ラ イ ンNi-k+1,k, 

Ni-k+2,k,…,

求 ま る.

  式(6･6)の

Ｂ-ス プ ラ イ ン を 安 定 に 計 算 す る 上 記 の 方 法 は,de  Boor-Coxの

法 と呼 ば れ る[31]こ

の 算 法 は 多 重 節 点(6･2節

の 値 を 安 定 に 計 算 す る こ と が で き る.

参 照)の 場 合 で も,Ｂ-ス

算

プ ライ ン

  さ て,本

題 に も ど っ て(１)奇

(２)2m-1次

の Ｂ-ス プ ラ イ ン を用 い た 補 間,

の Ｂ-ス プ ラ イ ン を用 い た 周 期 ス プ ラ イ ン,(３)k-1次

ラ イ ン を 用 い た 補 間(節 ぶ 場 合)に

数(2m-1)次

点 をSchoenberg-Whitneyの

の Ｂ-ス プ

条 件 を満足 す る よ うに選

つ い て 考 え て み よ う.

(１)  奇 数(2m-1)次

の Ｂ-ス プ ラ イ ン を 用 い た 補 間

  こ の ス プ ラ イ ン 補 間 は デ ー タ点 の 他 に2m-2個 は 何 らか の 情 報 で,補

間 され る 関 数f(x)の

の 条 件 を 必 要 とす る.こ

両 端 点x=x1,x=xnに

こで

お け る 微分

値,

f(l)(x1)=f1(l)f(l)(xn)=fn(l) (l=1,2,…,m-1,あ

る い はl=m,m+1,…,2m-2)

が 与 え ら れ て い る と し て 議 論 を 進 め る[32]. ｎ個 の デ ー タ 点,

(xi,yi) 

と2m-2個

i=1,2…, 

 (6･7)

n

の 端 点 条 件,

(x1,f1(l))，(xn,fn(l)),

(l=1,2,…,m-1あ が 与 え ら れ て い る.た

る い はl=m,m+1,…,2m-2)

だ しxi<xi+1(i=1,2,…, 

次 の 補 間 ス プ ラ イ ンs(x)を

n-1)と

正 規 化 さ れ た Ｂ-ス

 (6･8) す る.こ

の と き2m-1

プ ラ イ ン の 線 形 結 合,

(6･9) で 構 成 す る.こ

こで 節点

2m,3-2m,…,0お

ξi=xi(i=1,2,…, 

よ びi=n+1, 

節 点 は 式(6･9)に

お け る Ｂ-ス

i=n-2m+1,n-2m+2,…,n-1)を 3に

示 す.一

し ば しば

般 に節点

n+2,…, 

n)を

内 部 節 点 と し,節

n+2m-1)を

点

付 加 節 点 と す る.付

プ ラ イ ンNi,2m(x)(i=2-2m,3-2m,…,0お

ξi<ξi+i(i=2-2m,3-2m,…,n十2m-1)で

付 加 節 点 を 多 重 節 点(ξ2-2m=ξ3-2m=…=ξ0,お

加 よび

構 成 す る た め に 必 要 な 節 点 で,こ ξiは

ξi(i=2-

れ を 図6･ あ る が,

よび

ξn+1=ξn+2=…=

･デ ー タ点 と等 しい 節点

ｘ付加節点

図6･3 

ξn+2m-1)に す る こ とが あ る(6･2節 を 式(6･9)に

参 照).こ

代 入 し,de  Boor-Coxの

関 す るn+2m-2元

る.任

こ で デ ー タ点(6･7),端

算 法 に よ りNi,2m(x)を

連 立 一 次 方 程 式 が 得 ら れ る.こ

け る こ と が 明 らか に な っ て い る.そ り解 け ば,係

点

節

数biが

意 のx(xi≦x≦xn)に

算 法 に よ りNi,2m(x)を

計 算 す る と, biに

の連立 一次 方程 式 は一 意 に解

こ で,こ の 方 程 式 をGaussの

決 ま り,式(6･9)の2m-1次

点 条 件(6･8)

消 去 法 な どに よ

の ス プ ラ イ ン補 間 式 が 得 られ

対 す る ス プ ラ イ ン のs(x)の 計 算 し て,式(6･9)に

値 はde  Boor-Coxの

代 入 す れ ば 容 易 に 得 られ る.

  こ の Ｂ-ス プ ライ ン を 用 い た 補 間 は 端 点 条 件 が 与 え られ て い る こ と が 必 要 で あ る が,節

点 を デ ー タ点 の 横 座 標 に と る た め 簡 単 で あ る.そ

ラ イ ン を用 い れ ば,関 (２)2m-1次 (定 義

数 近 似 に 有 効 で あ る.

の Ｂ-ス プ ラ イ ン を 用 い た 周 期 ス プ ラ イ ン

８)2m-1次

の ス プ ラ イ ンs(x)が

(x1,  y1),(x2, 

(n≧2m, 

を 補 間 し,条

y2),…,(xn, 

ｎ 個 の デ ー タ 点,

yn)

a=x1<x2<…xn=b)

 (6･10)

件

s(l)(X1)=s(l)(xn) を 満 足 す る と き,s(x)を

  い ま,2m-1次

れ ゆ え 高 次 の Ｂ-ス プ

l=0,1 

周 期b-aの

2…,2m-2

 (6･11)

ス プ ラ イ ン と い う[32].

の 周 期 ス プ ラ イ ン を 正 規 化 さ れ た Ｂ-ス プ ライ ン を 用 い て 構 成

し て み よ う.節 点 ξiを,

(6･12)

と す る.こ

こで

ξi(i=2-2m,3-2m,…,０

付 加 節 点 で,s(x)を

お よ びn+1,n+2,…,n+2m-1)は

周 期 ス プ ラ イ ン と す る よ う に 配 置 さ れ て い る,上

節 点 を も つ ス プ ラ イ ンs(x)は,式(6･9)か

ら2m-1次

の よ うな

の 正 規 化 さ れ た Ｂ-ス プ

ラ イ ン の 線 形 結 合 と し て,

(6･13) と 書 け る.s(x)は

周 期 ス プ ラ イ ン で あ る か ら,条

bi=bn+i-1

件(6･11)か

ら,

(i=2-2m,3-2m,…,0)

で な け れ ば な ら な い.ま

た,こ

bi+n-1

れは

(i=2-2m,3-2m,…,-m)

bi=

 (6･14) bi-n+1 

 

と も 書 け る.式(6･14)を

(i=n-m, 

n-m+1…, 

式(6･13)に

n-1)

代 入 す る と,

(6･15) が 得 られ る.上

式 はn-1個

のbiを

含 ん で い る.

  そ こ で,式(6･15)にx1,x2,…,xn-1に 化 さ れ た Ｂ-ス n-1元

プ ラ イ ン をde  Boor-Coxの

関 ず る デ ー タ点(6･10)を

代 入 し,正

算 法 に よ り 計 算 す れ ば,  biに

規

関 す る

連 立 方 程 式 が 得 ら れ る.

  こ の 方 程 式 を 解 く こ とに よ り,biは 期b-aの

一 意 に 決 ま り,式(6･15)に

ス プ ラ イ ンが 得 られ る.

  こ の 周 期 ス プ ラ イ ン は 周 期 関 数 の近 似 や,助 閉 曲 線 を 求 め る こ と が で き る.(6･5節   (３)k-1次

代入 すれ ば周

変 数 を 用 い る こ と に よ り滑 らか な

例 題 ２参 照)

の Ｂ-ス プ ラ イ ン を 用 い た 補 間(節 点 をSchoenberg-Whitneyの

条 件 を 満 足 す る よ うに 選 ぶ 場 合)

  今 まで 述 べ た ス プ ラ イ ン補 間 は 節 点 を デ ー タ点 の 横 座 標 に 一 致 させ る 場 合 に 限 る も の で あ っ た.し

か し節 点 をSchoenberg-Whitneyの

条 件 を 満 足 す る よ うに

選 ん で も 一 意 な ス プ ラ イ ン補 間 が 可 能 で あ る こ と が 明 らか に な っ て い る[30,31] し か も,こ

の ス プ ライ ン補 間 は(１)の

点 が あ る.ま

ず,Schoenberg-Whitneyの

節 点 ξ1,ξ2,…,ξ5(ξ1<ξ2<…

と 書 け る.こ

(xi,yi)

i=1,2,…

つn=l+kで

持 つk-1次

デ ー タ 点,

 (6･16)

あ る と き,節 点 ξiが 条 件 i=1,2…,n-k

の ス ブ ライ ンs(x)は

こ の 節 点 に 関 す る条 件 をSchoenberg-Whitneyの   こ こ で,Schoenberg-Whitneyの イ ン補 間 に つ い て 考 え よ う.ま い る と す る.k-1次

の ス プ ラ イ ンs(x)は,

  ,n

xi<ξiくxi+k,

を 満 足 す れ ば,k-1次

条 件 に つ い て 述 べ る.

く ξlを

の ス プ ラ イ ンs(x)は

を 補 間 し,か

場 合 と 異 な り端 点 条 件 を 必 要 と しな い 利

 (6･17) 一 意 に 決 ま る こ と が 知 られ て い る. 条 件 とい う.

条 件 を 満 足 す る 節 点 を 持 つk-1次 ずin(n≧k)個

の ス ブ ラ イ ンs(x)はk-1次

の デ ー タ点(6･16)が

の ス プラ 与 え られ て

の 正 規 化 され た Ｂ-ス ブ ラ イ ン

の 線 形 結 合 に よ り,

(6･18) と 書 け る.こ

こで節点

-Whitneyの

ξi(i=1,2,…,n-k)は

内 部 節 点 で,こ

れ ら をSchoenberg

条件

xi<ξiくxi+k, 

  i=1,2,…

を 満 足 す る よ う に 選 び,さ 1,n-k+2,…,n)は

 (6･19)

ら に 付 加 節 点 ξi(i=1-k,2-k,…,0お

ξ1-k<ξ2-kく

を 満 足 す る も の と す る(付

  ,n-k

…<ξ0≦x1お

加 節点 は 多 重 節点

よ びxn≦

よ びi=n-k+ ξn-k+i<ξn-k+2<…<ξn

と す る こ と も で き る) .従

っ て,デ

一 タ点(6･16)を

式(6･18)に

算 す る と,biに

代入 し

,Ni,k(x)をde 

の 消 去 法 な ど を用 い れ ば 一 意 なbiが ば,k-1次

Boor-Coxの

関 す る ｎ 元 連 立 一 次 方 程 式 が 得 られ る.こ 決 ま る .そ

算法 に よ り計

の連 立方 程 式に ガウス

して これ を 式(6･18)に

代入 すれ

の ス プ ライ ン補 間 式 が 得 られ る.

こ こ で 簡 単 な 例 と して ,第

(-3,7),

１章 ∼ 第 ５章 で しば しば 用 い た ５個 の デ ー タ点,

(-1,11),

(0,26), (3,56), (4,29)

に つ い てSchoenberg-Whitneyの め て み よ う.k=3で

と 書 け る.こ

条 件 を 利 用 し て,２

あ る か ら,２

次 の 補 間 ス プライ ンを求

次 の ス プ ラ イ ンs(x)は,

れ は ２ 個 の 内 部 節 点 と ６個 の 付 加 節 点 が 必 要 で あ る.こ

(ξ-2,ξ-1,ξ0,ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,ξ5)=(-5,-4,-3,-1,2，4,6,7)と ξ2は 式(6･19)のSchoenberg-Whitneyの く  ξ1=-1 

x2=-1 

<  ξ2=2 

Boor-Coxの

<  x4=3   <  x5=4

の ５個 の デ ー タ 点 をs(x)に

算 法 に よ り 計 算 す る と,次

が 得 ら れ る.こ

れ をGaussの

b0=33.66,b1=69.82, 

部 節 点 ξ1,

条 件

x1=-3 

を 明 ら か に 満 足 し て い る.上

す る.内

こで節点 を

の よ う なbiに

代 入 し,Ni

消 去 法 を 用 い て 解 く とb-2=12.55, 

b2=-11.82,が

得 ら れ る .従

,3(x)をde

関 す る連立 方 程式 ,

っ て,２

b-1=-4.107,

次 の ス プ ラ イ ン補 間

式 は, s(x)=12.55N-2

       

と な る.図6･4(ａ)は

,3(x)-4.107N-1,3(x)+33.66N0,3(x) +69.82N1,3(x)-11.82N2,3(x)

得 ら れ たs(x)を

図 示 し た も の で あ る.ま

た .図6.4(ｂ)

(ａ)  内 部 節 点 ξi=-1,ξ2=2と

(ｂ)  内 部節 点 ξ1=-2,ξ2=2と

した と

した と

   き の ２次 のス プ ライ ン補間s(x)

    き の ２次 の ス プ ラ イ ン補 間s(x) 図6･4

は 同 じ例 題 に つ い て 内 部 節 点 ξ1を ξ1=-2,に

変 え た 場 合 のs(x)で

場 合 の 内 部 節 点 は 明 らか にSchoenberg-Whitneyの 6･4(ａ)と

比 較 して み る とx=-2付

は ず れ て お り,図6･4(ｂ)のs(x)は 味 で,安

の

条 件 を 満 足 し て い る が,図

近 で 補 間 値 が ２点 を 結 ん だ 直 線 か ら 大 き く 良 い 補 間 関 数 と は 言 え な い.こ

定 な Ｂ-ス プ ラ イ ン 補 間 を 得 る に は,デ

が 必 要 で あ る.普

あ る.こ

の よ うな意

ー タ点 に 適 し た 節 点 を 選 ぶ こ と

通 の デ ー タ 点 の場 合 は 内 部 節 点 をSchoenberg-Whitneyの

条 件 に 適 す る よ うに 余 裕 を 持 っ て 選 べ ば よ い こ と が 知 ら れ て い る.一 デ ー タ点*の 場 合 に は,内

部 節 点 の 位 置 を 変 数 に して,特

方,特

殊 な

別 に 作 られ た 規 準 量 を

最 小 に す る も の を 最 適 節 点 の 位 置 に 選 ぶ と い う 方 法 な ど が あ る[55].こ の よ うに Schoenberg-Whitneyの は,デ

条 件 を利 用 し たk-1次

の Ｂ-ス プ ラ イ ン を 用 い た 補 間

ー タ点 に 適 した 節 点 を選 ぶ 必 要 が あ る が,(１)の

Ｂ-ス プ ラ イ ン を 用 い た

補 間 とは 異 な り端 点 条 件 が 必 要 な い とい う特 長 を 持 っ て い る.そ デ ー タ点 の 補 間,選

6･2 

点 法 に よ る有 限 要 素 法,CADな

れ ゆ え,一

般 の

ど に 用 い ら れ る.

拡 張 ス プ ライ ン

ス プライ ン関数 の節 点 を １個,ま たは それ 以 上 重 ね る とそ の点 で異 な った 連続 *  例 え ばAkima[33]の

単 調 に増 加 す るデ ー タ点 の よ うな もの.

性 を 持 つ 拡 張 ス プ ラ イ ン(extended  次 の ス プ ラ イ ン は,一

般 にk-2階

る こ と に よ り,連 続 性 をk-3階 た 場 合,関

spline)を

作 る こ と が で き る.例

微 分 ま で 連 続 で あ る が,節 以 下 に す る こ と が で き,し

数 そ の も の を 不 連 続 に す る こ と が で き る.そ

え ばk-1

点 を い くつ か 重 ね

か も 節 点 を ｋ個 重 ね

のた め拡 張 ス プラ イ ンは

曲 線 や 曲 面 の 設 計 に 非 常 に 有 効 で あ る.   い ま異 な る ２節 点 を 考 え よ う*１.こ

ξi,ξi+i(ξi<ξi+1)を

持 つk-1次

の ス プ ラ イ ンMk(x;ξi,ξi+1)

れ は,

(6･20) と な り,２

節点

ξiと

ξi+1を 重 ね る と 上 式 は,

(6･21) と な る*２.例 21)は

え ばk=2の

図6･5(ｂ)の

ξi,ξi)は,０

場 合 に は,式(6･20)は

よ う な 不 連 続 関 数 と な る.こ

図6･5(ａ)の

よ う に な り,式(6･

の 図 に お い てx=ξiで

は,M2(x;

と １ の 二 つ の 値 を と る の で,

(6･22)

(ａ)Ma(x;ξi,ξi+1)

(ｂ)  M2(x;ξi， ξi) 図6･5

*１

こ れ はk=1の

*２Mk′

の 「′」 は

と き 以 外 は,  Ｂ-ス プ ラ イ ン で は な い .式(6･2)参 ξiに つ い て 微 分 す る こ と を 示 す ,

照.

と す る. ま た,３

と な る.上

節点

ξi,ξi,ξi+1(ξi<ξi+1)を

式 で,す

で 微 分 した 後,極

持 つk-1次

の 拡 張 ス プ ラ イ ン は,

べ て の 節 点 を 重 ね る と不 定 形 と な る の で,分

母,分

子 を ξi+1

限 を と れ ば,

を 得 る,図6･6は,上

式 のk=3∼5に

対 す る ３重 節 点 を 持 つ 拡 張 ス プ ラ イ ン を 示

す.

(ａ)Ma(x;ξi,ξi,ξi)

(ｂ)  M4(x;ξi,ξi,ξi)

(ｃ)  M5(x;ξi,ξi,ξi)

図6･6

同 様 の こ と を つ ぎ つ ぎ繰 り返 せ ば,n≦kの

一 般 の 場 合 に 対 し,

(6･24) を 得 る.ま

た,上

式 で ξi+1を

ξiに 一 致 さ せ た と き に は,

(6･25)

と な る.

次 に,式(6･24)に

お い てn-1=kと

き の Ｂ-ス プ ラ イ ン に つ い て 調 べ て み よ

う

  ①x≦

ξiな ら ばMk(x;ξi+1)はk-1次

辺 第 １項 のMk(x;ξi+1)はTaylor展 て,式(6･24)の

の 多 項 式 と な る か ら,式(6･24)の

右

開 に よ り第 ２ 項 以 下 と 等 し く な る.従

っ

ｋ重 節 点 を 持 つ 拡 張 ス プ ラ イ ン は ０ と な る.

②

ξi+1≦xな

ら切 断 べ き 関 数 の 定 義 よ り,式(6･24)は

③

ξiくx<ξi+1な

ら式(6･24)の

０で あ る.

右 辺 第 １項 の み が ０で な い.以

上 の こ とか ら

結 局,

(6･26)

と な る.従

っ て,x=ξiで

連 続 関 数 と な る.一 n-1階

ｋ重 節 点 を 持 つk-1次

般 に 式(6･25)の

の Ｂ-ス プ ラ イ ン は そ の 点 で 不

ｎ重 節 点 を 持 つk-1次

の 導 関 数 ま で は 連 続 で あ る(図6･5∼

図6･7参

の ス プ ラ イ ン はk-

照).

  以 上 の 議 論 を 簡 単 な 例 題 で 調 べ て み よ う.数

値 計 算 で は,一

ンMi

のde  Boor-Coxの

,k(x)は,多

重 節 点 を 持 つ 場 合 で も6･1節

安 定 に 求 め ら れ る.し

か し,こ

般 に Ｂ-ス プ ラ イ 算法 に よ って

こでは 拡張 ス プライ ン この関連 を見 る た めに切 断

べ き関 数 表 示 を 用 い て,異 な っ た ４節 点 ξi,ξi+1,ξi+2,ξi+3(ξi<ξi+1<ξi+2<ξi+3)を 持 つ 正 規 化 さ れ た ２次 の Ｂ-ス プ ラ イ ン を考 え よ う.こ

の よ う な Ｂ-ス プ ラ イ ン

は,

(6･27) と表 現 され る.図6･7(ｃ)は

こ れ を 節 点(0,1,2,3)に

対 して 示 した も の で あ る.

(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

(ｄ)

(ｅ)

図6･7 

節 点(０,０,０,１,２,３,３,４)に ラ イ ン(★ は 節 点 の 位 置,そ

上 の 例 で 節 点 ξi+1を

対 す る ２次 の 正 規 化 され た

Ｂ-ス プ

の 個 数 は 多 重 度 を 示 す).

ξiに 重 ね る と,

(6･28)

と な り,  節 点(０,０,１,２)に 続 と な る.  同 様 に し て,２

対 し て 図6･7(ｂ)に 点

ξi+1と

示 す よ う にx=0で

関 数値 のみ連

ξi+2を 重 ね る と,

(6･29) と な り,こ

れ は 節 点(２,３,３,４)に

連 続 と な る.さ

ら に,ξi+1と

対 し 図6･7(ｅ)に

ξi+2と

を

示 す よ う にx=3で

関 数 のみ

ξiに 重 ね る と ３重 節 点 と な り,式(6･26)

よ り,

(6･30) を 得 る.こ

れ は 節 点(０,０,０,１)に 対 し図6･7(ａ)に

示 す よ うにx=0で

関数 が不

連 続 に な っ て い る こ と が わ か る.   結 局,正

規 化 され た Ｂ-ス プ ラ イ ン と して 多 重 節 点 を 持 つ も の まで 含 め れ ば 異

な っ た 連 続 性 を 持 つ 関 数 の 補 間 が 可 能 と な る.す

な わ ち,そ

の よ うな補 間 ス プラ

イ ン を, s(x)=ΣbiNik(x) と お け ば,  図6･8の

 (6･31)

よ う な 異 な っ た 連 続 性 を 持 つ 曲 線 も 容 易 に 補 間 で き る .ち

み に,図6･7(ａ)∼(ｅ)を,b1=2,b2=1,b3=1,b4=1,b5=2と

図6･8 

異 な った 連続 性 を持 つ スプ ライ ン曲線

し て 加 え る と,図

な

6･8  の よ う に な る.

6･3 

２次 元 の 補 間 ス プ ラ イ ン

２次 元 補 間 は よ く知 られ て い る よ うに,デ (xi,  yj, fij), 

が 図 6･9の

ー タ点  (6･32)

i=1,2…,m;ｊ=1,2,…,n

よ うに 格 子 上 に 与 え ら れ て い る と き,

図6･9 

f(xi, 

２次 元 補 間 す る 矩 形 領 域

〔x1,xm〕 × 〔y1,yn〕

yj)=fij

と な る 関 数f(x,y)(a≦x1≦x≦xm≦b, 

c≦y1≦y≦yn≦d)を

見 い だ す こ とで あ

る.２ 次 元 デ ー タ の 補 間 に 用 い ら れ る ス プ ラ イ ン 関 数 は 双 ス プ ラ イ ン(Bi-spline) と 呼 ば れ る.双

ス プ ラ イ ン と し て はdeBoorの

ラ イ ン とSchoenberg-Whitneyの び 秦 野,二 宮 に よ る2k-1次

３次 の 双 ス プ ラ イ ン[46], Ｂ-ス プ

条 件 を 適 用 し たk-1次

の 双 ス プ ラ イ ン,お

の 双 ス プ ライ ン[48]な ど が あ る.こ こ で は(１)de Boor

に よ る ３次 の 双 ス プ ラ イ ン と(２)k-1次

Ｂ-ス プ ラ イ ン を 用 い た 双 ス プ ラ イ ン に つ

い て 述 べ る. (１)de    de Boorに

Boorよ

る ３次 の 双 ス プ ラ イ ン

よ る ３ 次 の 双 ス プ ラ イ ン は 節 点 と し て デ ー タ 点 の 座 標 を 用 い る.こ

れ は ３ 次 の ス プ ラ イ ン で あ る の で,も ∂f/∂x,∂f/∂y,∂2f/∂x∂yは

よ

ち ろ ん,定

連 続 な 関 数 で あ る.

義 域[x1, 

xm]×[y1, 

ym]でf,

い ま. 式(6･32)の

デ ー タ点 と端 点 条 件

(6･33)

が 与 え ら れ て い る と す る. ま た は 端 点 条 件 を 式(6･33)の

代 わ りに,

(6･34)

と 与 え る こ と も で き る. 式(6･34)の

端 点 条 件 は ２次 元 の ３ 次 自然 ス プ ラ イ ンに

相 当 す る も の で あ る. こ れ ら の デ ー タ と端 点 条 件 を 用 い て,こ Moriarty[47]が

こ で はChristeと

示 し た 算 法 に つ い て 述 べ よ う.

ス テ ッ プ １  y=ykと (∂/∂x)f(xi,  yk)(i=1, 

固 定 し,デ m)(あ

ー タ 点(xi,  fik),(i=1,2,…, 

る い は ∂2f/∂x  2=0)を

用 い て,３

m)と

端 点 条件

次 ス プライ ンで補

間す る*.  得 ら れ た ３ 次 ス プ ラ イ ン を 用 い て 点(xi,  yk) で の 微 分 値(∂/∂x)f(xi,  (i=1,2,…,m)を

求 め る.こ

れ をk=1,2,…,nに

つ い て 行 な う.

  ス テ ッ プ ２  ス テ ッ プ １ と 同 様 にx=xkと ２,…,n)と

端 点 条 件(∂/∂y)f(xk, 

yj)(j=1, 

固 定 し,デ n)(あ

ー タ 点(yj,  fkj)(j=1,

る い は ∂2f/∂y2=0)を

次 ス プ ラ イ ン で 補 間 す る.得

ら れ た ３ 次 ス プ ラ イ ン を 用 い て 点(xk, 

値(∂/∂y)f(xk,yi)(j=1,2,…, 

n)を

求 め る. こ れ をk=1,2,…, 

  ス テ ッ プ ３  ４隅 の 端 点 条 件(∂2/∂x∂y)f(Xi,yi)(i=1,m;j=1,  /∂x2∂y2=0)を

用 い,ス

f(xi,  yj)(i=1,2,…,  *6･1 

節(１)2m-1次

テ ッ プ １,ス m;j=1, 

mに

用 い て, ３ yj)で

デ ー タ点

の Ｂ-ス プ ラ イ ン を 用 い た 補 間

,を

と し て,こ

参 照.

の 微分

つ い て 行 な う. n)(あ

テ ッ プ ２ で 得 ら れ た(∂/∂x)f(xi, 

2,…,  n)を

yk)

る い は ∂4  f yj),(∂/∂y)

れ を ３次 ス プラ イ

ン で 補 間 す る.  得 ら れ た ３ 次 ス プ ラ イ ン を 用 い て 点(xi,  yj)で f(xi,yj)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,  2,…m;j=1,2,…,n)で

n)を

求 め る.以

上 の こ と か ら 点(xi,  yj)(i=1,

のf,∂f/∂x,∂f/∂y,∂2f/∂x∂yが

  ス テ ッ プ ４: 矩 形 領 域Rij=[xi, 

の 微 分 値(∂2/∂x∂y)

決 定 さ れ た こ と に な る.

xi+1]×[yj,  yj+1]  上 の ３ 次 の 双 ス プ ラ イ ンs

(x,y)  は,

(6･35)

と 書 け る.  こ こ で 領 域Rijの

４ つ の 隅 で の 値s,∂s/∂x,∂s/∂y,∂2S/∂x∂yを

れ ス テ ッ プ １ ∼ ス テ ッ プ ３ で 得 ら れ たf,∂f/∂x,∂f/∂y,∂2f/∂x∂yと αlriｊは 決 定 さ れ る.す

な わ ち,hi=xi+1-xi, 

kj=yj+1-yj, 

そ れ ぞ

す れ ば,係

数

f(i,  j)=fij,  fx(i,j)=

(∂/∂x)f(xi,  yj) 等 と お け ば,  αlrijは 次 の16  連 立 方 程 式,

(6･36) を 満 足 す る.  こ れ か ら αlrij=[α00, a01,…,α33]  が 決 ま る.

以 上 (ス テ ッ プ １∼ ス テ ッ プ ４)が ３次 の 双 ス プ ラ イ ン を 決 定 す る 算 法 で あ る.

例 え ば,  任 意 の 点(ｘ,ｙ)(x1≦x≦xm,  yj≦y
あ るxi,  yjを

y1≦y≦yn) 

求 め,係

を 補 間 す る と き は, xi≦x<xi+1,

数aijlrを 用 い て 式(6･35)よ

を 決 定 す る こ と が で き る.ChristeとMoriartyは 粒 子 の 相 互 作 用(π-+p→

π0+n)に

り補 間 値s(x,y)

こ の ３次 の 双 ス プ ラ イ ン を 素

関 す る 微 分 断 面 積 の デ ー タ補 間 に 利 用 し て い

る.

(２)  k-1次   い ま,２

の Ｂ-ス プ ラ イ ン を 用 い た 双 ス プ ラ イ ン

次 元 デ ー タ に 対 す る ｋ階 す な わ ちk-1次

の 双 ス プライ ン を 次 の よ う

に 定 義 す る.

(6･37)   こ こ で 式(6･32)のm×n個 向 にm-k個

の デ ー タ 点 を 補 間 す る こ と を 考 え よ う.ま

の 内 部 接 点 ξi(i=1,…,m-k),ｙ

1,2,…,  n-k)をSchoenberg-Whitneyの

方 向 にn-k個

ず ｘ方

の 内部 節点

ζj(j=

条 件,

(6･38)

を 満 足 す る よ う に 選 び,さ

ら に ｘ 方 向 に2k個

ξm-k+1=ξm-k+2=…=ξm=b,ｙ ζn-k+2=…=ζn=dを

の 付 加 節 点,ξi-k=ξ2-k=…=ξ0=a,

方 向 に 同 じ く ζ1-k=ζ2-k=…ζ0=c,ηn-k+1= つ け 加 え る.式(6･32)の

デ ー タ 点 を 式(6･37)に

と 係 数 αi,jに 関 す る 連 立 一 次 方 程 式 が 成 り 立 つ.こ

代 入 す る

れ を 解 け ば 係 数 αi,jが 一 意

に 決 ま り,  式(6･37)か

らk-1次

の 双 ス プ ラ イ ン が 得 ら れ る.

  例 と し て,図6･11の

よ う な ９ 点(０,０,０),(１,０,１),(２,０,２),(０,１,１),(１,０,３),

(２,１,３),(０,２,２),(１,２,３),(２,２,４)を こ の 場 合,k=2, 

a=c=0, 

な る.Schoenberg-Whitneyの な る の で ξ=1,ζ1=1と て,  節 点

b=d=2, 

１ 次 の 双 ス プ ラ イ ン 関 数 で 補 間 し て み よ う. x1=yl=0, 

x2=y2=1, 

条 件 は,  x1=0<ξ1<x3=2, 

x3=y3=2, 

m=n=3と

y1=0<ζ1
選 ぶ.  さ ら に ｘ,ｙ 方 向 に そ れ ぞ れ,４ 個 の 付 加 節 点 を 設 け

ξ-1=ξ0<ξ1=1<ξ2=ξ3=2,ζ-1=ζ0=0<ζ1=1<ζ2=ζ3=2を

考 え る.

図6･10 

Ｂ-ス プ ラ イ ン. Ni-2,2(x)(i=1,2,3)

こ の 場 合, 補 間 に 使 用 され る １次 の 双 ス プ ラ イ ン は,

(6･39) と な る.Ni-2,2(x)は, 

節 点(０,０,１,２,２)を

で 次 の よ う に 計 算 で き る.

用 い てde  Boor-Coxの

算 法 式(6･6)

ま た,Nj-2,2(y) 

は,上

式 に お い て ｘ を ｙ,ξiを

  図6･10はNi-2,2(x)(i=1,2,3)を

ζiに 代 え る だ け で よ い.

示 し た も の で あ る.デ

ー タ 点 を 式(6･37)に

代 入 す る と 次 の よ う な 連 立 一 次 方 程 式 を 得 る.

  こ の 例 の 場 合,  上 式 の9×9の と な る の で,こ =3,α1

マ ト リ ッ ク ス の 対 角 要 素 は １ で,他

の要 素 は ０

れ を 解 け ば,α-1,-1=0,α-1,0=1,α-1,1=2,α0,-1=1,α0,0=3,α0,1

,-1=2,α1,0=3,α1,1=4を

図6･11 

得 る.こ

れ を 式(6･39)に

代 入 す れ ば,

２次 元 デー タ を補 間 した双 １次 ス プ ラ イ ン

を 得 る.こ

れ,は 図6･11の

よ う に な る.

  こ の よ う に してk-1次

の Ｂ-ス プ ラ イ ン を 用 い た 双 ス プ ラ イ ン は 節 点 と し て

Schoenberg-Whitneyの

条 件 を必 要 とす る が,端 点 条 件 な しに 簡 単 に 曲 面 の補 間

が で き る.そ

れ ゆ え,有

限 要 素 法 やCADに

利 用 す る こ とが 可 能 で あ る.

6･4  微 分方 程 式 へ の応 用   ス プ ラ イ ン関 数 を 利 用 して 微 分 方 程 式 を 解 く こ と は,ま に 普 通 の 有 限 要 素 法(finite  element  method,  FEM)で あ る.と

い う の は,普

えが きに も述 バ た よ う

それ を解 く こ とと等価 で

通 の有 限 要 素 法 は局 所 台 を持 つ 区分 的 多項 式 の線形 結 合 で

解 を 近 似 す る 方 法 で あ り,そ れ は ス プ ラ イ ン の 線 形 結 合 を 用 い た も の に 他 な ら な い か ら で あ る.   有 限 要 素 法 に は 近 似 解 を 求 め る 方 法 と して,変 分 原 理(variational  重 み つ き 残 差 法(method 

of weighted  residual, MWR)が

の 近 似 解 法 に つ い て 簡 単 に 述 べ よ う.変 Ritz法

が あ る,例 x=a

え ば,あ

principle),

あ る[42].い ま これ ら

分 原 理 に よ る 近 似 解 法 と し てRayleigh-

る一 次 元 の ２階 線 形 微 分 方 程 式 の 解 ｕ が,境

界条 件

  u(x)=ua}  (6･40)

(6.40) x=b 

の も と で.汎

  u(x)=ub

関数

(6･41) を 最 小 に す る 関 数 ｕ と等 価 で あ る とす る.す

な わ ち,こ

  Rayleigh-Ritz法

満 足 す る い くつ か の 未 知 の パ ラ メ

ー タa1

,a2,…,anを

で は,境

界 条 件(6･40)を

持 っ た 関 数,

u=φ(x;a1,a2,…,an)

を 考 え,こ

れ は 変 分 原 理 で あ る.

れ を 式(6･41)に I(u)=I(a1,a2,…,an)

 (6･42)

代 入 す る.そ

うす る と,

が 得 ら れ,I(u)を

最 小 に す る 最 適 な パ ラ メ ー タa1, a2,…,anは

連 立 方 程式

 (6･43)

(i=1,2,…,n)

か ら一 意 に 決 定 され る.こ

れ か ら ｕ の近 似 解 ｕ

u=φ(x;a1,a2,…,an)

が 得 られ る.こ

 (6･44)

の よ うに し てRayleigh-Ritz法

で は 微 分 方 程 式 と 等価 な 変 分原

理 が 存 在 す れ ば 近 似 解 を 得 る こ とが で き る.

次 に 重 み つ き残 差 法 につ い て述 べ よ う.例 えば,１ 次 元 の ２階 線 形 微分 方 程式

Au=f,

a<x
 (6･45)

に お い て境 界 条 件

u(a)=ua, を 満 た すu(x)を す る.そ

u(b)=ub

求 め た い,こ

こ で 関u(x)を

 (6･46)

こ で Ａ は ２階 線 形 微 分 演 算 子 で,ｆ は ｘ の 関 数 と

境 界 条 件,式(6･46)を

満 た す 線 形 独 立 関 数 φi(x)の

１次 結 合

(6･47) と す る.こ

こ でciは

定 数 で あ る,こ

の ｕ は 式(6･45)に

対 して,厳

密解 で ないか

ら,

Au-f=ε な る 残 差(あ …,n)を

 (6･48)

る い は 誤 差)ε(x)が

導 入 し,ε(x)とwi(x)の

得 ら れ る.こ

こ で,重

み 関

内 積(ε,wi)を

作 る.そ

し て こ れ を ０ と お く,

数wi(x)(i=1,2,

 (6･49)

(ε,wi)=∫baε(x)wi(x)dx=0,(i=1,2,…,n)

  こ れ は ε,す な わ ち 式(6･48)の る.ｎ ら れ,こ

微 分 方 程 式 を 平 均 の 意 味 で ０に す る こ と で あ

個 の 内 積(ε,wi)(i=1,2,…,n)か れ か らciを

らciに

決 定 す る こ とが で き る.従

関 す る ｎ元 連 立 １次 方 程 式 が 得 っ て,こ

れ を 式(6･47)に

代 入す

る こ と に よ り 式(6･45)の 関

数wi(x)の

squares 

近 似 解u(x)が

得 られ る.こ

の 重 み つ き 残 差 法 は 重 み

い ろ い ろ な ぶ び 方 に よ り,①Galerkin法

method)③

tion method)と

モ ー メ ン ト法(method 

呼 ば れ る. Galerkin法

ぶ 方 法 で あ る.す

②

最 小 二 乗 法(1east

of moments)④

はwi(x)を

選 点 法(colloca-

試 行 関 数 φi(x)と

等 し くぶ

な わ ち,  (6･50)

(ε,φi)=0

  最 小 二 乗 法 はwi(x)を す る 方 法 で あ る.す

εそ れ 自 身 に 選 び,す

べ て のciに

関 して 内積 を 最 小 に

な わ ち,

(6･51)   モ ー メ ン ト法 はwi(x)と

して １次 元 問 題 に 対 して は1, x,  x2,…

独 立 な 関 数 を用 い る 方 法 で あ る.す

の よ うな線形

な わ ち,  (6･52)

(ε,xi)=0

選 点 法 はwi(x)と

して 解 領 域 の 内 点xiを

用 い た デ ル タ 関 数,

wi(x)=δ(x-xi)

とす る 方 法 で あ る.す

な わ ち,  (6･53)

(ε,δ(x-xi))=ε(x)｜x=xi

これ らの 重 み つ き残 差 法 は 一 般 の 微 分 方 程 式 に 対 し て も 同 様 に 有 効 な 方 法 で あ る.そ の 上,Rayleigh-Ritz法

と は 異 な っ て,変

分 原理 が 存 在 しない 場 合 で も

有 効 な 近 似 解 法 で あ る.

  Rayleigh-Ritz法,お

よび重 みつ き残差 法 を用 い る普 通 の 有 限要 素法 は,近 似

関 数 と して 解 領 域 を有 限個 の小 領 域 に分 割 して 構 成 され る ス プ ライ ン基底(区 分 的 多項 式)の 線 形 結 合 を用 い る方 法 で ある.例 えば １次 元 の 有 限 要素 法 の場 合, 近 似 解 ｕ はk-1次

の Ｂ-ス プ ライ ン の 線 形 結 合 に よ り,

と表 わ す こ とが で き る.ま は6･3節

で 述 べ たk-1次

た,２

次 元 の 矩 形 要 素 の 有 限 要 素 法 の 場 合,近

似解 ｕ

の 双 ス プ ラ イ ン を用 い て,

と表 わ す こ と が で き る.   次 に,Rayleigh-Ritz法

と選 点 法 を用 い た １次 元 の有 限 要 素 法 に つ い て の 簡 単

な 例 題 を 述 べ る. 例題

１ Rayleigh-Ritz法

に よ る有 限要 素 法

い ま,簡 単 な微 分 方 程 式

(6･54) を 境 界 条 件u(0)=0,u(1)=1でRayleigh-Ritz法

に よる有 限 要素 法 を用 い て解

い て み よ う.こ の 微 分 方 程 式 に 対 応 す る 汎 関 数 は,

(6･55) と な り,こ れ を 最 小 に す る よ うなu(x)を 価 で あ る.こ

こ で,近

求 め る こ と は 式(6･54)を

解 く こ と と等

似 解 を １次 の 正 規 化 され た Ｂ-ス プ ラ イ ン(k=2)の

線形結

合

(6･56) と す る.次

に,考

1.0,1.0)を の 時,境

え る 領 域 に 節 点(ξ0,ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,ξ5,ξ6)=(0,0,0.3,0.5,0.7,

お く と し よ う,こ

こ で ξ0と

界 条 件 を 満 た す た め に は,１

a0=0,an-1=1で

ξ6は 付 加 節 点 で あ り,n=5で

次 の 正 規 化 さ れ た Ｂ-ス

な け れ ば な ら な い,式(6･56)を

あ る.こ

プ ライ ンの性 質 か ら

ｘ で 微 分 す る と,

(6･57) を 得 る.  た だ しa0 = 0,  a4 = 1で

あ る.式(6･56),(6･57)を

式(6･55)へ

代 入 す る

と,汎

関数は

(6･58) と な る.こ

れ を 最 小 に す る た め に,ai-1で

微 分 して ０ と お け ば,

(6･59) を 得 る,と

こ ろ が １次 の 正 規 化 され た Ｂ-ス プ ラ イ ン は 図6･12(ａ)の

形 関 数 で あ り,こ れ を ｘ で 微 分 した も の は 図6･12(ｂ)の

よ うな 屋 根

よ うな 階 段 関 数 と な る．

(ａ)屋根型 関数(１ 次 のＢ-ス プラ イ ン)

(ｂ)Ｂ-ス プ ラ イ ンNj-1,2(x)の 微 分 図6･12

そ れ ゆ え 式(6･59)の

右 辺 の 最 初 の 積 分 は 区 間(ξj-1.ξi+1)に 関 係 す る と こ ろ だ け

残 り,他 は 消 え る こ と が わ か る.こ

れ ら の こ と が ら式(6･59)は,

と な る ． さ ら に 図6･12を

参 照 す る と,上

式 は

(6･60) と な る.こ れ は 未 知 量ajに

関 す る 連 立 一 次 方 程 式 で あ る.各

節 点 の 値 を 式(6･

60)に 代 入 す れ ば,

と な る,こ

れ

を 解

に 代 入 す れ ば,近

く とa1=0.195,a2=0.375,a3=0.595を

得

る.

これ を 式(6･56)

似解 ｕ は

u=0.195N1,2(x)+0.375N2,2(x)+0.595N3,2(x)+N4,2(x)

(ａ)厳 密 解 とRayleigh-Ritz法

(ｂ)Ｂ-スプ ライ ンに よる近似 解 の構成

に よ る解 図6･13

と な る.図6･13は,こ る.さ

の 関 係 を 示 し た も の で,破

線 は 厳 密 解u=(x2+x)/2で

あ

らに 精 度 を 上 げ た け れ ば 節 点 を 増 す か 正 規 化 さ れ た Ｂ-ス プ ラ イ ン の 次 数

を 増 せ ば よ い.た

だ し こ の 例 題 の 場 合k=3す

な わ ち,２

次 の Ｂ-ス ブ ラ ィ ン を ぶ

べ ば 厳 密 解 と一 致 す る こ と は 明 ら か で あ る.

例題 ２ 選 点 法 を 用 いた 有 限要 素 法

微分方程式 (6･61) と境 界 条 件

(6･62)

に対 し,選 点法 に よる 有 限要 素 法 を用 い て 近似 解 を求 め て み よ う.ま ず.３ 次 の 正 規化 され た Ｂ-ス プ ライ ンを基 底 に して近 似解u(x)を,

(6･63) と す る.こ

こ で ｎ は ぶ 点(collocation 

た も の と す る.式(6･63)はn+4個 (6･14)の

よ うに 内 部 節 点

(i=-3,-2,-1,0お

point)xiの

の 節 点 が 必 要 で あ る.そ ξi(i=1,2,…,n-4)を

Ｂ-ス

個 の付 加 節点

こ でx1=0, 

xn=1と

す る.ま

条 件 を 満 足 す る 必 要 が あ る.そ

の 選 点 を 簡 単 の た め に 等 間 隔 と し,図6･14の

よ う に と る.そ

規 化 さ れ た Ｂ-ス

Ni,4(x)>0,

(ξi<x<ξi+k)

Ni,4(x)=0,

(ξi≧=x,x≧

ξi

た,

プライ ンを 用 い た 補 間 の デ ー タ点 と考

え ら れ る か ら,Schoenberg-Whitneyの

境 界 条 件 に 代 入 し,正

加 え

多 重 節 点(ξ-3=ξ-2=ξ-1=

す る.こ

選 点 法 の 選 点xi(i=2,…,n-1)は

端 点)を

れ ゆ え こ こ で は 図

等 間 隔 と し,８

よ びi=n-3,n-2,n-1,n)を

ξ0=x1,  xn=ξn-3=ξn-2=ξn-1=ξn)と

式(6･62)の

個 数 に ２点(両

ξi+k)

こ で,式(6･63)を

プ ラ イ ン の 性 質,

こで こ

図6･14 

n=6の

と きの 節点

ξiと 選 点xi(i=2,3,…,5)

を 考 慮 す れ ば,

(6･64)

と な る.次

に,式(6･63)を

(x-xj)と

の 内 積 を作 り,か

微 分 方 程 式(6･61)に つxjが

代 入 して,こ

れ とデ ル タ関 数 δ

ξi≦xj≦ ξi+1を 満 た す とす れ ば,

bi-3N"i-3 ,4(xj)+bi-2N"i-2,4(xj)+bi-,N"i-1,4(xj)+biN"i,4(xj) +bi-3Ni-3,4(xj)+bi-2Ni-2,4(xj)+bi-1Ni-1,4(xj)+biNii,4(xj)+xj =0(j=2,3,…,n-1)

が 得 ら れ る.従

っ て,式(6･64)お

式 が 得 ら れ る.こ

こ でn=6と

の 算 法 お よ び Ｂ-ス

(6･65) よ び 式(6･65)か

らbiに

関 す る 連 立 一次 方 程

し,Ni,4(x),N′i,4(x),N"i,4(x)をde 

プ ラ イ ン の 微 分 算 法(付

録-3)を

Boor-Cox

用 い て 計 算 す る と,連

立 方 程

式

が 成 り立 つ.こ す る と,近

似解

れ をGaussの

消 去 法 に よ りbiに つ い て 解 き,

式(6･63)に

代入

が 得 られ る.図6･15は

近 似 解u(x)と

図6･15 

た も の で あ る.ま

た 表6･1は

こ の 問 題 の 厳 密 解u= sinx/cos1-xを

図示 し

厳 密 解 と選 点 法 に よる解

比 較 の た め にn=6,n=11の

場 合 の 内 点xiに

おけ

る ｕ の 値 と 厳 密 解 を示 した も の で あ る. 表6･1

  表 か ら 明 らか な よ うに,選 る.こ

点 法 の 内 点 の 数 を 増 す と精 度 が 良 く な る こ と が わ か

こ で は ３次 の Ｂ-ス プ ラ イ ン を 用 い た 場 合 で あ っ た が,よ

り高 次 の Ｂ-ス プ

ラ イ ン を 利 用 す る こ と に よ り さ ら に 精 度 の よい 近 似 解 が 得 られ る.   例 題1,2は

１次 元 線 形 常 微 分 方 程 式 の 問 題 へ の 有 限 要 素 法 の 応 用 で あ っ た.し

か しな が ら本 来 有 限 要 素 法 は 偏 微 分 方 程 式 に 対 す る 有 効 な 近 似 解 法 で あ る.こ

れ

ま で に 時 間 微 分 を 含 む 空 間 １次 元 偏 微 分 方 程 式 に 対 し,高 次 の Ｂ-ス プ ラ イ ン を 用 い た 有 限 要 素 法 が 発 表 さ れ て い る[43][44].ま た.空 有 限 要 素 法 を適 用 し た 例 は 数 多 く見 られ る.そ 式 で解 の 存 在 す る領 域 が 矩 形 で あ る場 合,双

間 ２次 元,３

次元 の問題 へ

の 中 で も空 間 ２ 次 元 の 偏 微 分 方 程

ス プ ラ イ ン を 用 い た も の が 発 表 され

て い る[45].し か しな が ら領 域 が 矩 形 で な い ２次 元 問 題 や 一 般 の ３次 元 問 題 に 対 し て 明 確 に ス プ ラ イ ン の 名 を 用 い た 有 限 要 素 法 は 見 ら れ な い.こ

れ は ２次 元,３

次

元 に 対 して 一 次 元 の Ｂ-ス プ ラ イ ン の よ うな 局 所 台 を 持 つ ス プ ライ ン基 底 が 確 立 さ れ て い な い た め で あ ろ う.

6･5    CADと

CAD/CAMへ は,コ

の応 用

ン ピ ュ ー タ援 用 設 計(computer 

aided design)の

ン ピ ュ ー タ と プ ロ ッ タ ー を 組 み 合 わ せ て 単 純 な 作 図 を し た り,技 の ぐ らい に 考 え られ て き た.し な 高 性 能 ミ ニ コ ン の 開 発,周 図 機,ソ

価

辺 機 器 と し て の グ ラ フ ィ ッ ク デ ィ ス プ レ イ や 自動 製

範 囲 の 応 用 が 可 能 と な っ て き た.そ

れ は,構

来 の機 能 に比 べ 格段 に広

造 物 の 強 度 解 析,自

動 製 図,立

体図

能 解 析 な ど設 計 者 が 長 時 間 か け て す る 仕 事 を 正 確 か つ 迅 速 に 仕 上 げ る

こ と は も ち ろ ん で あ る が,さ

ら に ラ イ トペ ン付 の グ ラ フ ィ ッ ク デ ィ ス プ レ イ を 用

い た 会 話 形 式 で 設 計 そ の も の を 手 軽 に 完 成 さ せ る こ とが で き る.そ は,上

来 コ

か し最 近 で は 大 容 量 の コ ン ピ ュ ー タ の 開 発,安

フ トウ ェ ア 等 の め ざ ま しい 発 展 な ど の た め,従

形 処 理,性

事 で,本

術計 算 を す る も

の ため 設計 者

で 述 べ た よ う な 煩 雑 な 単 純 作 業 か ら解 放 さ れ 本 来 の 創 造 的 な 仕 事 に 専 念 で

き る よ うに な っ た.   さ らにCADは,コ

ン ピ ュ ー タ を 生 産 段 階 へ 適 用 さ せ たCAM,す

ピ ユ ー タ 援 用 生 産(computer 

aided manufacturing)と

なわちコン

非 常 に 密接 な 関 係 を 持

っ て い る 。 図6･16は

航 空 機 産 業 に 使 用 され て い るCAD/CAMシ

ス テムの フロ

ー チ ャ ー トを 示 す .こ

の 例 を 見 る と設 計 か ら製 造 ま で の 全 プ ロ セ ス に 関 し て 生 産

に直 接結 び つい た部 品 形状 のデ ー タや それ らに関連 した生産 手 段 を コ ン ピ ュー タ で 処 理 す る も の で あ る こ と が わ か る. 一 般 に ,航 空 機,自

動 車,造

船 な ど の 産 業 で はCAD/CAMシ

ス テ ムは す でに

図6･16 

航 空機 産 業 に お け るCAD/CAMの

例[36]

実 用 化 の 域 に 達 して い る が,こ 体,船

れ ら の 産 業 で は 特 に 曲 線,曲

体 の外 形 に 関 す る 情 報 が 重 要 と な っ て く る.そ

の 情 報 を 数 式 化 す る こ とに よ っ て,コ れ て き た.と

項 式 や 簡単 な関 数 を用 い て 曲線 や 曲面 の

の よ うな 関 数 を用 い て 全 体 を 描 い た 場 合,補

,曲 面 に 不 必 要 な ゆ る み や し わ,つ

な ぎ め で の 微 分 の 不 連 続,振

が あ る.従

って,こ

し か し,ス

プ ラ イ ン 補 間 を 行 な え ば,低

間 すべ き曲 線 動等 が生 じる こ と

の 方 法 は 簡 単 で は あ る が あ ま り よ い 方 法 と は い え な か っ た.

る こ と は 先 に 述 べ た と お りで あ る.こ Ｂ-ス プ ラ イ ン を 用 い て(１)平 (３)曲

の た め これ らの 曲 線 や 曲 面

ン ピ ュ ー タ処 理 を 容 易 に す る こ と が 考 え ら

こ ろ が 従 来 の 方 法 で は,多

表 示 を 行 な うが,そ

面 か ら な る 機 体,車

い 次 数 の 区 分 多 項 式 で よい 補 間 が な され の よ うな 観 点 か ら本 節 で は,正

面 曲 線 の 補 間,(２)Bezier曲

規化 され た

線 と Ｂ-ス プ ラ イ ン,

面 の 表 現 に つ い て 述 べ る.

(１)  平 面 曲 線 の補 間   図6･17の

平 面 曲線 は,い ず れ も 前 節 ま で の 議 論 だ け で は 補 間 で き な い 曲 線 の 例

で あ る.

(ａ)開曲線 の 例

(ｂ)滑らか な 閉曲 線の 例 図6･17

  しか し,こ

の よ う な平 面 曲 線 も,次

の よ うにす れ ば前 節 まで に学 ん だ ス プライ

ン 補 間 を 利 用 す る こ と が で き る.   ま ず,１

価 関 数 で 与 え られ る 助 変 数 θが 平 面 曲 線 上 の 点 の 座 標(ｘ,ｙ)に

よっ て

θ  = f(x  ,  y)

と表 わ され る と す る.い

(6･66) ま, 補 間 す べ き 図 形 上 の 順 序 ず け られ た 座 標(xj ,  yj)が

与 え られ て い れ ば, 対 応 す る 助 変 数 θjは, θj=f(xj  ,  yj) 

で 与 え られ る.こ

j=  0, 1  ,… ,  n

の よ うに して 導 入 し た 新 た な 点 列 θjに 対 して, 新 しい デ ー タ 点

(θj,xj)と(θj, yj)を 作 る こ とが で き る. ｘ,ｙは θ に 対 す る １価 関 数 で あ る か ら, x = x(θ)

  y  = y(θ)

と も 書 け る ． こ れ を 正 規 化 さ れ たk - 1次 の Ｂ-ス プ ラ イ ンNi,k(θ)の

線形 結 合 を

用 い て,

(6･67)

と す る.た れ ば,上

だ し αi,βiは定 数 で あ る.こ

れ に デ ー タ 点(θj,xj),(θj,  yj)を 代 入 す

式 は そ れ ぞ れ αi,βiに関 す る 連 立 一 次 方 程 式 と な る の で,こ

αi,βiを求 め れ ば 平 面 曲 線 の 補 間 が 可 能 と な る.次

れ を解 い て

に 簡 単 な 例 題 で,開 曲 線 と滑 ら

か な 閉 曲 線 に つ い て 考 え て み よ う.

例題 １ 開

曲

  図6･17(ａ)の

線

よ う な デ ー タ 点(1,0), 

る 開 曲 線 の 補 間 をSchoenberg-Whitneyの で 求 め て み よ う.ま

θ=2/

と 選 べ ば,デ

(0,1), 

(-1,0), 

(0,-1), 

通

条 件 を 用 い ２ 次 の ス プ ラ イ ン(k=3)

ず,  助 変 数 θ を,

(6･68)

πtan-1(y/x)

ー タ 点 に 対 応 す る θ は,  0, 1,  2, 3, 4と

な る.Schoenberg-Whitney

の 条 件 よ り 節 点 を(ξ-2,ξ-1ξ0,ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,ξ5)  =  (  0, 0,  0, 2, 3, 4, 4, 4  )と (6･6)のde 

(2,0)を

Boor-Coxの

算 法 でNi,2(θ)を

求 め る と,

選 び,式

(6･69)

を 得 る.た

だ し,  多 重 節 点 で は 微 少 量 ε を 用 い て,ξi+1  = ξi+ε(i=  -2,  -1,  3, 4)

と お き,ε →0と

し て 式(6･6)を

利 用 す る.各

デ ー タ 点 に 対 す るNi,2(θi)は,

ξi≦ θ＜ ξi+1

Ni,1(θ) = {10 を 用 い る と,式(6･69) 

θ＜ ξi, 

θ≧ ξi+1

よ り次 の 表 の よ う に な る. 表6･2

同 様 に し てNi,3(θ)を

求 め る と,

(6･70)

を 得 る.各 6･3の

デ ー タ 点 に 対 す るNi,  3(θi)は,式(6･70)と

表6･2を

用 い る と,  表

よ う に な る. 表6･3

  表6･3で

得 られ た 値 と デ ー タ点 の ｘ 座 標 を 式(6･67)に

代 入 す れ ば,連

方 程式

を 得 る.こ

れ を 解 く と, [α-2,  α-1, α0, α1, α2] = [1, 0, -3/2, 

と な る.同

様 に して ｙ座 標 を 用 い る と,

を 得 る.こ

れ を解 くと [β-2, β-1, β0.  β1,  β2]=[0, 

と な る.αi,βiを 式(6･67)に

3/2,  2]

2, -1,  -1,  0]

代 入 す れ ば,求

め る 開 曲 線 の 補 間 式 は,

立一次

と な り,  式(6･69), 

式(6･70)を

用 い る と 図6･17(ａ)の

よ うな 補 間 曲 線 を 得 る 。

例題 ２  滑 らか な 閉 曲線   例 題 １ で 用 い たk - 1次 の 非 周 期 ス プ ラ イ ン を 用 い て 閉 曲 線 デ ー タ を 補 間 す る と, 一 般 に 始 点 と 終 点 の 微 分 値 が 一 致 し な い の で, そ の 点 で 尖 点 が 生 じ る.そ で, 滑 ら か な 閉 曲 線 を 求 め る に は,  6･1節

の(２)で

こ

述 べ た2m  - 1次 の 周 期 ス プ

ラ イ ン を 利 用 す れ ば よい. い ま,  図6･17(ｂ)の

(2,0), 

よ う に ５個(n=5)の

(0,2), 

(-2,0), 

閉 曲線 デ ー タ

(0,-2), 

(6･71)

(2,0)

を用 い て, ３次 の 周 期 ス プ ラ イ ン に よ る 閉 曲 線 を 求 め て み よ う.ま

ず, 助 変 数 を,

(6･72)

θ=1/πtan-1y / x

と す る.節

点

ξiは,  m=2, 

よ び 式(6･12)か  3, 3.5 )と

な る.ま

n=5に

対 し て,  ξi=θi=1/πtan-1yi/xi,(i=1, 

ら,  (ξ-2, ξ-1, …, ξ8)=(  た,  式(6･15)か

-1.5, 

ら 周 期

-1, 

２ を 持 つ

-0.5, 

0,  0.5, 

３ 次 の 周 期

…, n)お

1,  1.5,  2,  2.5,

ス プ ラ イ

ンx(θ),

 y(θ)は,

(6･73)

と書 け る.デ ー タ点(6･71)に

対 す る 助 変 数 θiを 考 慮 し て,始

め の ４点 を 式(6･73)

に 代 入 し,正 規 化 され た Ｂ-ス プ ラ イ ン の 値 を 計 算 す る と,そ 次 方 程 式 が 得 られ る.す

な わ ち,

れ ぞ れ ４元 連 立 一

が 得 ら れ, こ れ を 解 く と [α-1, α0, α1,  α2] = [3, 0, -3,  0], 

と な る.こ 17(ｂ)と

  GADで

れ ら の αi,βiを 式(6･73)に な り,滑

[β-1， β0,  β1,  β2] = [0, 3, 0, -3]

代 入 し,(x(θ),y(θ))で

曲 線 を 描 く と 図6･

ら か な 閉 曲 線 が 得 ら れ て い る こ と が わ か る.

必 要 と な る 曲 線 は 例 題 １,  ２で 述 べ た ス プ ラ イ ン を 用 い た 補 間 に よ っ て

も 容 易 に 得 られ る が, 以 下 で 述 べ る よ うな 多 角 形 を 利 用 したBezier曲 プ ラ イ ン 曲 線 に よ っ て も 得 られ る.こ 質 を持 っ て い る の で 有 効 で あ る.次 (２) 

  CADに

Bezier曲

線 と Ｂ-ス

Ｂ-ス

に これ ら の 曲 線 に つ い て 述 べ る.

プラ イ ン

よ く 利 用 され る も の と して, Bezierが

曲 線P(θ)=[x(θ),y(θ)]T(右

線

れ らの曲線 は設計 者 に とって取 扱 い易 い性

提 案 した 曲 線[41]が あ る.こ

肩 の Ｔ は 転 置 を示 す)は

の

順 序 づ け られ た頂 点 の位

置 ベ ク トル,           Pi=[xi  ,  yi]T 

とBernstein多

(i=0, 

項 式 を 用 い れ ば,こ

(6･74)

1, 2, …, l)

れ ら の 積 の 線 形 結 合,

(6･75) で 表 わ され る.こ

こで (0≦ θ≦1)

で あ る.こ

れ は 多 角 形 の 頂 点 の 位 置 に 応 じた 形 状 を 示 す 曲 線 で あ る,  しか し な が

ら,  こ の 曲 線 は,

①  頂 点 の 数l+1を

決 め る とBernstein多

項 式 の 次 数 がl次

②   頂 点 を 局 所 的 に 移 動 し た 場 合, Bernstein多

に 決 ま る.

項 式 の 大 域 的 性 質 に よ り全 体

  の 形 状 が 影 響 を 受 け る. な ど の 欠 点 が あ る.   そ こ で,こ れ た Ｂ-ス

の よ う な 欠 点 を 補 う た め に,  Bernstein多

プ ラ イ ンNi,  k(θ)を

式 は,Ｂ-ス

用 い る 方 法 が 知 ら れ,て い る[57][59].Bernstein多

プ ラ イ ン の 特 別 な も の で あ る.こ

さ れ たk  - 1次

の Ｂ-ス

項 式 の 代 わ りに 正 規 化 さ 項

こ で は,  式(6･74)のPiと, 

正 規 化

プ ラ イ ン を 用 い て,

(6･76) で 表 わ され る 平 面 曲 線 につ い て 調 べ よ う.こ

こ で, 助 変 数 θ は,式(6･68)の

よ

うに 具 体 的 に 決 め る 必 要 は な く,  た だ ０か ら θmaxま で 変 わ る も の とす る.多

重頂

点 が な い と き, θmaxは, θmax=頂

点 数  - ス プ ラ ィ ン の 次 数=l  - k + 2

(6･77)

の よ うに 選 べ ば, 内 部 節 点 を0, 1,  2,  …,  θmaxと な る 整 数 列 に 選 ぶ こ とが で き る の で 便 利 で あ る.ま

た,  付 加 節 点 は, 両 端 に 次 数 分 だ け 付 け 加 え る.k  = 2と

ば,式(6･76)は

１次 の ス プ ラ イ ン と な り 頂 点 を 直 線 で 結 ん だ 多 角 形 と な る,

  k  = 3以 上 に す れ ば,そ 6･18(ａ)).こ

すれ

の 頂 点 の近 くを 通 る ２次 以 上 の ス プ ライ ン 曲 線 と な る(図

の 興 味 あ る 性 質 の た め, 求 め よ う とす る 形 状 に 対 し, 適 当 な 頂 点

と次 数 を指 定 す れ ば 対 応 す る 曲 線 が 容 易 に 得 られ る.そ 式 を 用 い たBezier曲

の うえ, Bernstein多

項

線 と 異 な り, 頂 点 の 移 動, 付 加, 削 除, 次 数 の 変 更 お よ び

頂 点 の 多 重 化 を した い と き, 全 体 に あ ま り大 き な 影 響 を 与 え ず に, 局 所 的 な 変 更 だ け で そ れ が 可 能 と な る の で 非 常 に 便 利 で あ る.そ

の た め, 式(6･76)の

Ｂ-ス プ

ラ イ ン は, コ ン ビ ュー タ に よ る 外 形 設 計 や ス ケ ッ チ に よ く 利 用 さ れ, CADと 接 に 関 係 す る.な たBezier曲

お  ， 頂 点 数 が 階 数 ｋに 等 しい 時,Ｂ-ス

線 と 一 致 す る.

密

プ ライ ン曲線 は先 に述 べ

こ こ で はP0(0, 

0)P1(1, 

0), P2(1,  1), P3(0,  1)P4(0,  0)の

５ 頂 点*を

通 る閉 曲 線

(6･78)

の 性 質 を 調 べ て み よ う.も 考 え て み る.こ

っ と も 簡 単 な 例 と し て １ 次(k  = 2)の

の と き 式(6･77) 

よ り θmax  = 4と

な る.付

点 は(ξ-1, ξ0,  ξ1,  ξ2，  ξ3,  ξ4,  ξ5)  = (  0,  0, 1,  2, 3, 4,  4  )と す る に は 式(6･6)のde 

Boor  -  Coxの

Ｂ-ス

プ ライ ンを

加 節 点 を 多 重 に す れ ば, 節

決 ま る.こ

こ でNi,2(θ)を

計算

算 法 を 用 い れ ば よ い が,  こ こ で は あ と の 説

明 に 便 利 で あ る か ら 切 断 べ き 関 数 を 用 い て み る.式(6･20), 

(6･21)を

利 用 すれ ば

(6･79) を得 る.同

様 に して

が 得 ら れ る.こ

れ ら を 式(6･78)に

代 入 す れ ば,

(6･80)

と な る.こ

れ をx - y平 面 で 描 け ば,  図6･18(ａ)の

実 線 の よ う に １辺 が １ の 正

方 形 と な る.   (ａ)  頂 点 の 移 動     式(6･79)は, 

ま た 図6･18(ａ)の

そ の ま ま で,  式(6･78)の

頂 点(1, 0)を,  頂 点(2, 0)に 移 せ ば, 頂 点 ベ ク トル[1, 0]Tを[2,0]Tに

変 え

る だ け で 次 式 を 得 る. *  閉 じた多 角形 の頂 点 は ,始 点 と終 点 を 重 ね た もので あ り, みか け よ り頂 点 数 が １つ 増 す も の とす る.

(ｂ)  頂点 の移 動

(ａ)  Ｂ-ス プ ラ イ ン 曲 線

(ｄ)  頂 点 の付 加

(ｃ)  頂点 の 削 除

図6･18

(6･81) これ は, 式(6･80)の 線 は 式(6･81)を

一 部 分 を 修 正 し た だ け で あ る ． ち な み に, 図6･18(ｂ)の

用 い て 描 い た も の で あ る.

  (ｂ)  頂 点 の 削 除     図6・18(ａ)の 場 合 は, 式(6･78)の い れ ば よ い.こ

実

正 方 形 に お い て,  頂 点(0, 1)を

頂 点 ベ ク トル の[0, 1]Tを2[0,  0]Tに

の と き式(6･80)の

削除 す る

した 後,式(6･79)を

用

ｘ は 変 化 せ ず ｙ は,

y =  (3 - θ) + -2(  2 - θ) +  +(  1 - θ) +

(6･82)

 (0≦ θ≦3)

と なる ．

  こ れ は, 式(6･80)と 図6･18(ｃ)を   (ｃ) 

一 部 異 な っ て い る だ け で あ る.式(6･82)か

ら直 角 三 角 形

描 く こ とが で き る.

頂 点 の 付 加     図6･18(ａ)の

の 間 に 頂 点(-1/2, 

1/2)を

正 方 形 に お い て, 頂 点(0,  1)と

付 け 加 え る 揚 合 は,式(6･79) 

  5) = (5 - θ)  +-  2  (4 - θ)  ++  (3 - θ)  + を 追 加 し,式(6･78) 

にN3 のN3

頂 点(0,  0)

,  2(θ)=2M2(  ,  2(θ)の

０  ;  3  .4,

頂 点 ベ ク ト

ル[0,  0]Tを[ 

-1/2.1/2] 

Tに

変 え れ ば よ い.結

果 は,  0≦ θ≦5に

対 し,

(6･83)

と な る.上

式 よ り 図6･18(ｄ)を

得 る.こ

の よ うに 頂 点 の 付 加 も, 全 体 に 大 き な

負 担 を か け る こ と な しに 容 易 に 行 な え る こ とが わ か る.   ま た 高 次 の Ｂ-ス プ ラ イ ン 曲 線 に つ い て も 同 様 に 描 く こ とが で き る.図6･18お よ び 図6･19の

曲 線 は ２次 あ る い は ３次 の ス プ ラ イ ン 曲 線 を描 い た も の で あ る.

一 般 に 高 次 の Ｂ-ス プ ラ イ ン 曲 線 は 次 の性 質 を 持 つ ． ①  端 点 で 辺 に 接 す る(図6･18, 

図6･19).

②  ２次 の Ｂ-ス プ ラ イ ン 曲 線 は 辺 の 中 点 で 接 す る(図6･18, 

図6･19)．

③  曲 線 は 高 次 に な る ほ ど, し だ い に 多 角 形 か ら離 れ る(図6･19(ａ)). ④   あ る 頂 点 の 多 重 度*を 増 す と, 曲 線 は そ の 頂 点 に ひ き よせ ら れ る(図6･16   (ｂ)). こ れ ら の 性 質 を う ま く利 用 す る と, 求 め よ う と す る 図 形 を 効 率 よ く容 易 に 描 く

(ａ)

(ｂ) 頂 点 の多 重 化 図6･19

*  式(6･76)で

同 じ頂 点 ベ ク トル を ２回 以 上 用 い る こ とを い う.

こ と が で き る.

(３)  曲 面 の表 現   自動 車, 航 空 機, 造 船 等 の 産 業 で は, CAD  /  CAM  面 に 関 す る 表 現 が 非 常 に 重 要 とな っ て く る.こ 関 数 と の 関 連 か ら調 べ て み る.6･3節 述 べ た の で,こ

シ ス テ ム に 関 連 し, ３次 元 曲

こ で は,  ３次 元 曲 面 を ス プ ラ イ ン

で は す で に,  ２次 元 デ ー タ の 補 間 に 関 し て

こ で は 重 複 を さ け, (ａ)助 変 数 を用 い た 曲 面 の 補 間, (ｂ)  Bezier

 曲 面 と Ｂ-ス プ ラ イ ン を 用 い た 曲 面 に つ い て 述 べ る.

  (ａ)  助 変数 を用 い た 曲面 の補 間     助変 数 を用 い た ３次元 曲面 の補 間 は, 6･ 3節 で述 べ た ２次元 デ ー タの補 間 と異 な り ｘ,ｙ平 面 の点 に 対 応 す る曲 面 ｚ(ｘ,ｙ) が １価 関 数 で あ る必要 は ない.し か も考 え る領 域 を矩 形 に 限 る こ とも ない の で非 常 に 有 効 で あ る. い ま, ３次 元 曲 面 は, 一 般 に 助 変 数 θ,  tを 用 い る と,

(6･84)

また は

の よ う に 表 現 で き る.こ

こ で ｘ,  ｙ,  ｚ を 助 変 数 θ とtに

関 す る 双-Ｂ

ス プラ イ ソを

用 し、

(6･85)

と 表 わ す.こ  j,  zi,  j)と

の 式 を 用 い て,  曲 面 の 補 間 を す る た め に は,  ま ず デ ー タ 点(xi,  j,  yi,

式(6･84)を

用 い て,  新 た な ３ 組 の デ ー タ 列(θi,  tj,  yi,  j), (θi,  tj,  yi,  j),

 (θi,  tj,  zij), i  = 1,  2, …, n, j=1,  2, …, mを い ず れ か を 用 い て 節 点 を 決 め,  θ,  tに Ni, R(θ)とNj,  βi,  j,  γi,  jに

l(t)を

構 成 す る.続

作 る.次

に6･1節

関 す るk  - 1次

の(１), 

とl  - 1次

い て, デ ー タ 点 を 式(6･85)に

(２), (３)の

の Ｂ-ス

プ ライ ン

代 入 す れ ば,  αi,  j,

関 す る ３ 組 の 連 立 １次 方 程 式 が 得 ら れ る ．こ れ を 解 い て αi,  j,  βi,  j,  γi,  jを

式(6・85)に

代 入 すれ ば曲 面 の補 間 が 可能 となる 。

  こ こ で は,6･1節 し て み よ う.補

の(１)を 間点

用 い た 最 も 簡 単 な 例 と し て,  図 6･20の

Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ｆ

(１,２,０),(１,１,１),(１,０,２)と

し,点

は,そ

曲面 補 間 を

れ ぞ れ(０,１,０),(０,1/2,1/2),(０,０,１),

Ａ,Ｃ,Ｄ,Ｆ

の 微 係 数 は,い

ずれ も

(6･86) (dz/dy)A,C,D,F=0, (dx/dy)A,C,D,F=0

図6･20 

で あ る と す る.ま

ず,

t=x

θ=4/πtan-1z/y,

と す る と,デ

ー タ 点 に 対 応 す る θi,tjは

  こ の よ う な 曲 面 補 間 を,6･1節 t方 向 に １次(l=2)の 一 致 させ

助 変 数 を用 い た 曲面 の補 間

の(１)の

(6･87) 表6･4の

よ うに な る.

方 法 を 利 用 し て,θ 方 向 に ３次(k=4),

Ｂ-ス プ ラ イ ン を 用 い る こ と に し よ う.デ

ー タ点 と 節 点 を

,必 要 な 付 加 節 点 を 加 え る と,θ 方 向 に対 し,(０,０,０,０,１,２,２,２,２),t

方 向 に(０,０,１,１,)の 節 点 を 決 め る こ とが で き る.θ 方 向 の 節 点 か ら,

表6･4

i=0,1,2 

     j=0,1

(6･88)

(0≦ θ≦2) を 得 る.同

様 に ｔ方 向 の 節 点 よ り, N-1,2(t)=1-t 

   N0,2(t)=t 

を 得 る.表6･5,表6･6は,θiに

 

(0≦t≦1) 

   

(6･89)

対 す るNi,4(θi)  N-1,2(tj)とN′i,4(θi)N-1,2(tj)

を 示 す も の で あ る.   い ま Ａ,Ｃ,Ｄ,Ｆ

点 でdz/dθ=0, 

dy/dθ=-3, 

dx/dθ=0と

す れ ば 式(6･86)の

表6･5

(以 下 同様)

端

表6･6

点 条 件 を 満 足 す る こ とが わ か る.上 立 １次 方 程 式 が 成 り立 ち,こ

記 の こ と を 考 慮 す れ ば.次

の よ う な ３組 の 連

れ を 解 け ば αi,j,βi,j,γi,jを 求 め る こ とが で きる．

αi,jは

を 満 た し,こ

れ より

〔α-3,  -1,  α-2,  -1,  α-1,  1, α0, -1,  α1, -1,  α-3,  0, α-2,  0, α-1,  0, α0, 0,α1,  0〕

=〔 ０,０,０,０,０,１,１,１,１,１

と な る.同

様 に,βi,jに

対 して は

上 と同 じ10×10の

行列

〕

で あ る か ら,こ

れ を解 く と,

〔β-3,-1,β-2,-2,β-1 

, -1,  β0, -1 ,β1 ,  -1,  β-3,  0,β-2 

,  0, β-1  ,  0,β0,  0,β1,  0〕

=〔 １ ,０,1/2,１,０,２,１,１,１,０

を 得 る.ま

〕

た,γ,jは

よ り 〔γ-3,-1,γ-2 

,  -1,γ-1 

,  -1,γ0,-1,γ1,-1,γ-3,0,γ-2 

,  0, γ-1 ,  0,γ0  ,0  , γ1  ,0〕

=〔 ０,０,1/2,１,１,０,０,１,２,２

〕

を 得 る.   こ う し て αi,j,βi,j,γi,jが 得 ら れ た か ら,こ (6･85)に

代 入 す る と(1-θ)+3の

  これ は 図6･20の は,連

の 値 と,式(6･88),式(6･89)を

項 が 消 え て 次 の よ う に な る.

よ う な 曲 面 を 補 間 す る.し

か し な が ら,こ の よ う な 曲 面 の 補 間

立 一 次 方 程 式 を ３組 も 解 か な け れ ば な らず,は

か も,デ

ー タ点 を 一 部 変 更 し た と す る と,そ

要 と な る.こ

式

れ ら の 点 を 解 消 す る た め に,連

な は だ め ん ど うで あ る.し

の影 響 が全 体 に及 ぶ の で再 計算 が必 立 一 次 方 程 式 を 解 か ず に,し

かも

CADに

有 効 な 方 法 が あ る.次

(ｂ)Bezier曲   Bezier曲

に こ の よ うな 方 法 に つ い て 論 じる.

面 と Ｂ-ス プ ラ イ ン を 用 い た 曲 面

線 の 拡 張 と し てBezier曲

面 が 考 え ら れ る.式(6･74)に

次 元 に お け る 多 面 体 の 頂 点 の 位 置 ベ ク トル をPij=[xij,    n, j=0,  1,  2, …, m)と

す れ ば,  Bezier曲

対応 す る ３

yij,  zij]T,  (i=0,  1,  2, …,

面P(θ,  t)=[x(θ, 

t), y(θ, t), z(θ, t)]T

は,

(6･90) と な る.  こ こ に,

い ま,n=m=2,と

す る と ２ 次 のBezier曲

と 表 わ さ れ る.例 [1, 2, 0]T,  P11=[1,  [2, 0, 0]Tを

面 は,

と し て,  P00=[  0,  2, 0]T,  P10=[0,  1, 2]T,  P21=[1, 

0, 0]T,  P02=[2, 

1, 0]T,  p20=[0, 

0,  0]T,  P01=

2, 0]T, P12=[2, 

1, 0]T,  P22=

頂 点 ベ ク トル と す る ピ ラ ミ ッ ド形 が 作 る ２ 次 のBezier曲

面 は,

x=2t, y=2(1-θ)

(0≦ θ≦1)

z=8θ(1-θ)t(1-t)

(0≦t≦1)

と な る.こ z=0.5と

れ は,x=0,x=2,y=0,y=2の な る 曲 面 で,図6･21で

  Bezier曲 た よ うに,多

面 は,こ

４ 辺 でz=0か

つ,x=1,y=1で

薄 く 墨 い れ し た よ う な 曲 面 を 形 成 す る.

の よ う に 非 常 に わ か りや す い が, Bezier曲

線 の 項で も述 べ

面 体 の 頂 点 を １つ で も 動 か す と全 体 に そ の 影 響 が 及 び,ま

頂 点 数 を 自 由 に 選 べ な い とい う難 点 が あ る.こ

の よ うな 難 点 は,Ｂ-ス

た次数 と プ ライ ン曲

図6･21 

面 を 用 い れ ば 解 決 され る.い

ま,こ

Bezier曲

面

の よ うな Ｂ-ス プ ラ イ ン 曲 面 を,

(6･91) と す る.こ

こ でt方

向 に 用 い た ス プ ラ イ ン の 次 数 はl-1次,θ

あ る.

図6･22 

Ｂ-ス プ ラ イ ン曲 面 の例

方 向 はk-1次

で

  こ の Ｂ-ス

プ ラ イ ン 曲 面 の 例 と し て,図6･22の

は 多 面 体 の 頂 点 ベ ク トル をP00  = [0, 1,0]T,   

P30=[0, 

よ う な,曲

れ

P10 =[0,  1, 1/2]T,  P20=  [0,1/2,1]T,

0, 1]T,  P01 = [1, 2, 0]T,  P11 =[1,  2, 1]T,P21 

し た と き,θ 方 向 に ２ 次(k=3), 

面 を 考 え よ う,そ

= [1, 1,  2]T,  P31 = [1, 0, 2]Tと

ｔ方 向 に １ 次(l=2)の

Ｂ-ス

プライ ン を用 い て描

く こ と が で き る.

  θ方 向 の 頂 点 数 が ４個 で,ｔ

方 向 の 頂 点 数が ２個 あ り,し

に 対 して ２次 と １次 の ス プ ラ イ ン を 用 い る か ら,0≦

か もそれ ぞれ の方 向

θ≦2,0≦t≦1で,節

方 向 に,(０,０,０,１,２,２,２),ｔ方 向 に,(０,０,１,１)と 選 べ る.こ

点 は θ

れ ら の 節 点 よ り,

N-2,3(θ)=(1-θ)+2

N-1,3(θ)=1/2(2-θ)2-2(1-θ)+2

N0,3(θ)=2(2-θ)一3/2(2-θ)2+2(1-θ)+2

N1,3(θ)=(1-θ)2-(1-θ)+2

 (0≦ θ≦2)

N-1,2(t)=1-t N0,2(t)=t を 得 る.こ

 (0≦t≦1)

れ ら の 式 と頂 点 ベ ク トル を式(6･91)に

代 入 し て 整 理 す る と,

x=t, y=(1+t)(2-θ)(2+θ)/4 z=(1+t)θ(4-θ)/4

を 得 る.こ れ よ り図6･22の

曲 面 が 得 られ る.同

じ問 題 をBezier曲

面 で行 な うと

θ 方 向 に は 必 ず ３次 の 多 項 式,ｔ 方 向 に は １次 の 多 項 式 を 用 い な け れ ば な ら な い. しか し,Ｂ-ス

プ ラ イ ン に よ る 曲 面 は,θ,ｔ 方 向 に 対 し 自 由 な 次 数 を 選 ぶ こ と が で

き る利 点 が あ る.

6･6  医用 工学 へ の応 用   ス プ ラ イ ン関 数 は 医 学 の 分 野 で も応 用 さ れ て い る.例 の 際 に は,そ

の 弧 形 表 現 が 必 要 と な る が,そ

え ば,歯

並 び の矯 正 手術

れ を ス プ ラ イ ン で 表 わ そ う と い うの

も そ の 一 つ で あ る.こ

の 分 野 で は,こ

れ ま で 歯 の 弧 形 を 放 物 線 や 楕 円 あ る いx懸

垂 線 の よ うに 対 称 性 を 持 つ 曲 線 で 表 わ そ う と試 み ら れ て い た.し

か し最 近 必 ず し

も 歯 並 び の 弧 形 は 左 右 対 称 で は な い とい う こ とが 明 ら か に な った た め,対 必 要 と し な い ス プ ラ イ ン が,こ な っ て きた.こ

称性を

の 弧 形 表 現 に 有 効 な 曲 線 と して 注 目 さ れ る よ うに

こでは 実際 の歯並 びの 弧形 表 現 に ス プ

ラ イ ン を 利 用 し た 例[50]に つ い て 述 べ よ う.   と こ ろ で,ス 2m-1次

プ ラ イ ン補 間 に つ い て は こ れ ま で 主 に

の 自然 ス プ ラ イ ンやk-1次

に つ い て 述 べ て き た が,こ Walsh[49]が を 用 い る.こ

の Ｂ-ス プ ラ イ ン

こ で はAhlberg, 

Nilson.

示 した ３次 の 自然 ス プ ラ イ ン に よ る 補 間 れ は5･6節

で 簡 単 に ふ れ た ３次 の ス プ ラ

イ ン を うま く利 用 し た も の で あ る.そ

こで 歯 の孤 形 に 図6･23 

対 す る ス プ ラ イ ン 曲 線 を得 る た め に 次 の よ うに す る. ま ず,歯

並 び の 実 物 大 の 写 真 を 利 用 し,図6･23で

咬 合 局 面 図 に示 した基 準 点(× 印)と デ ー タ点(・ 印)

示 し た よ うに 上 あ ご の 切 歯 乳 頭

の 頂 点 と そ れ を下 あ ご に 転 写 し た 点 と を 原 点 に し て デ ー タ 点 の 座 標 を読 み 取 る* . *  ３次 元 モ デ ル か ら ２次 元 デ ー タの座 標 を得 るた め に は の Ｍ)と 切 歯 乳 頭(同

図(ｃ))]に

,ま ず二 つ の 基準 点[口 蓋 小窩(図6･24(ａ) 印 をつ け,Hechter[51]に よっ て設 計 され た 装置,図6･24(ｂ)を

用 い て この 印 を下 あ ご に転 写 す る(図6･23).次

に これ らの基 準 点 間 の距 離 を利 用 して上 下 あ ご の 写

真 を実 物大 に拡 大 し,個 々 の歯 の補 間 すべ き点 を 写 真上 に再 現 す る.こ 点 に し,そ の点 と他 方 の 基 準点 と を通 る直 線 をf(x)軸 標 を読 み とる こ とが で き る.下

う して切 歯乳 頭 の 先端 を原

に す る こ とに よっ て,上 あ ご のデ ー タ点 の座

あ ごにつ い て も,転 写 され た基 準 点 か ら,同 様 に して各 デ ー タ点 の 座

標 を読 む こ とが で き る.

図6･24(ａ) 

上 顎 石 膏模 型 上 の区域 図(Landa)[60]

図6･24(ｂ) 

Hechterの

転 写 装 置

こ れ ら の デ 一 タ 点 を, (x0,f(X0)),(x1,f(x1)),…,(xn,f(xn)) と し よ う.   小 区 間[xi,xi+1]に xiに

お け る ３次 の 自 然 ス プ ラ イ ン をSi(x),そ

お け る 値 をsi=S″i(xi),小

は 区 間[xi,xi+1]で

区 間 の 長 さ をhi=xi+1-xiと

の ２ 階 微 分 のx= お く と, S″i(x)

直 線 で あ る か ら,

(6･92)

と 表 わ さ れ る.条

件Si(xi)=fi, 

Si(xi+1)  = fi+1が

与 え ら れ て い る の で)

(6･92)

を ２ 回 積 分 す る と,

(6･93) が 得 ら れ る.ス

プ ラ イ ンSi(x)と

続 で あ る か ら,そ Si-1(xi) 

そ の １階 お よ び ２階 微 分 S′i(x)は

連

れ ぞれ = Si(xi) 

,S′i-1(xi) 

= S′i(xi),  S″i-1(xi) 

を 満 た さ な け れ ば な ら な い.式(6･92),式  件 を 満 た し て い る.  S′i(x)は

= S″i(xi)

(6･93)  よ り Si(x), 

，式(6･93)を

S″i(xi)は

(6･94) 連続 条

微 分 す る こ と に よ っ て,

(6･95) と表 わ され る か ら,連 続 条 件(6･94)よ

り,

(6･96) を 得 る.こ

こ で,

で あ る.す n-1個

な わ ち,式(6･93)の

未 知 量Si(i=0,1,…,n)は

の 線 形 連 立 方 程 式 と,３

式(6･96)で

次 の 自然 ス プ ラ イ ン の 性 質 を示 す 端 点 条 件,

(6･97)

S0=Sn=0 

か ら 求 め る こ とが で き る.式(6･96)の か ら,こ

示 され る

連 立 方 程 式 は 三 重 対 角 行 列 で 表 わ され る.

こ で は 次 の よ う に そ の 行 列 の 性 質 を利 用 す る方 法 で 解 く.ま ず, Si-1=ρiSi+τi

と お く.こ τ1=0で

 (6･98)

  (i=1,2,…,,n-1)

の と きS0=0で

あ り,い

あ る 必 要 が あ る.式(6･98)を

か な るS1に

対 し て もS0=0と

式(6･96)に

な る に は ρ1=

代 入 す れ ば,

(6･99)

を 得 る.こ

こ で,

(6･100)

とお け ば 式(6･99)は, Si=ρi+1Si+1+τi+1

と な り,式(6･98)と

同 じ 形 の 漸 化 式 と な る.す

を 用 い て ρi,τiを 順 に 計 算 し,こ 0か

 (6･101)

ら 順 にsi(i=n-1,…,2,1)が

な わ ち,式(6･100)で

れ ら の 値 を 式(6･99)に 得 ら れ,そ

ρ1=τ1=0

代 入 す る,こ

れ ら を 式(6･93)に

れ よ りSn=

代 入す れ ば 順 に

Si(x)(i=0,1,…,n-1)を

得 る こ とが で き る.こ

う し てsi(x)に

る ス プ ラ イ ンf(x)を

写 真 上 に 図 示 した の が 図6･25で

あ る.ス

よって構成 され プ ライ ン は 歯 の

弧 形 を よ く表 わ す こ とが わ か る. ま た,得

られ た ス プ ライ ン を利 用 し て,手

術 前 後 の 歯 並 び の 変 化 を正 確 に 調 べ

図 6･25  歯 の モデ ル 写真 に描 か れ た ス プ ライ ン[50]

る こ と も で き る.そ

れ に は 個 々 の歯 の 上 の あ る点 か ら ス ブ ラ イ ソへ 下 した 垂 線 の

長 さ を 計 算 し,そ れ ら を 手 術 前 後 で 比 較 す れ ば よい,い f(x1))に

お け る 曲 線 の 垂 線 ベ ク トル は[-f′(x1),1]Tで

ま,ス プ ラ イ ン上 の 点(x1, 表 わ され るか ら歯 の上

の い ろ い ろ な点 の 位 置 は 媒 介 変 数 ｔを 用 い て

と 表 わ され る.従

っ て,あ

る 点[u,υ]Tか

らス プ ラ イ ンに 下 した 垂 線 の方 程 式 は,

u-x1+{υ-f(x1)}f′(x1)=0

と な る.上

式 はx1に

つ い て の 方 程 式 に な っ て い る か ら,f(x1)お

対 して そ れ ぞ れ 式(6･93),式(6･95)を こ と が で き る.こ れ よ り,個 √(μ-x1)2＋{υ-f(x1)}2,あ 従 っ て,こ

用 い れ ば,そ

々 の 歯 の 点(u,υ)か

数値的に求める

ら ス プ ラ イ ン 曲 線 ま で の距 離

る い は そ の 垂 線 の 傾 き-1/ｆ ′(x1)が 計 算 で き る.

れ ら の量 の 手 術 前 後 で の 値 を比 較 す れ ば,歯

め る こ とが で き る.

の 根x1を

よびf′(x1)に

並 び の変 化 を定 量 的 に 求

  以 上述 べ て  

きた ３次 の 自然 ス プ ラ イ ン を用 い る 方 法 は,３

次 で あ るた めに取 扱

い が 簡 単 で あ り近 似 の 精 度 も か な りの と ころ まで 得 られ,るこ とか ら,医 用 工 学 の 分 野 以 外 に もい ろ い ろ な 所 で 使 わ れ る.

6･7 

社会 現 象へ の応 用

  ス プ ラ イ ン関 数 は,第 ２章 の小 史 で も述 べ た よ うに 保 険 数 学 者 達 に よ り,平 均 寿 命,死

亡 率 な ど の社 会 現 象 に 関 す る デ ー タ をい か に 滑 ら か に あ て は め る か とい う

要 請 の も と で,発 見 さ れ,たも の で あ る.最 (cardinal spline)を

近 に お い て も カ ー デ ィナ ル ス プ ラ イ ン*

寿 命 表 に 応 用 した も の が 発 表 され て い る[52].

多 くの 社 会 現 象 の 中 で,新 聞 に 毎 日 掲 載 され て い る 株 価 の 値 動 き は,も っ と も興

図 6･26 

54/8∼55/7ま

で の 有 名 食 品 会 社 の 株 価[53]

 *  カーデ ィナル ス プ ライ ン:デ ー タ点(xi,yi)を 通 る ｍ 次 の 補 間 ス プ ライ ンs(x)が ライ ンCi(x)と,節 点xiに お け る値yiと に よる線 形結 合,

で表 わせ る と き,Ci(x)を

ｍ 次 の カ ー デ ィナ ル ス プ ライ ンとい う.第

次 の 自然 ス プ ラ イ ンで あ るが,Bi(x)も デ ィナル ス ブ ライ ンで もあ る.

同 様 に2k-1次

ｍ 次 の スプ

３章式(3･13)のs(x)は2k-1

の 自然 スプ ライ ンで あ り,か つ2k-1次

のカ ー

味 あ る も の の 一 つ で あ ろ う.こ

こで は 株 価 に ３次 自 然 ス プ ラ イ ン を あ て は め て,

そ の 有 効 性 を 見 て み よ う.図6･26は

日 本 の 有 名 食 品 会 社 の54年

８月 か ら55年

７

月 ま で の １年 間 の 株 価 の 値 動 き を 示 し た も の で あ る[53].図 の 白 地 の 部 分 は 株 価 の 上 昇 を表 わ し,黒 地 の 部 分 は下 降 を 表 わ し て い る.図 て い るが,こ 55年

は 株 価 の 変 動 を よ く表 わ し

の 図 を作 成 す る の は 容 易 で な い と 思 わ れ る.そ

こ で,54年

８月 か ら

７月 ま で の 日 本 経 済 新 聞 の 週 間 株 式 指 標 の 終 値 を,こ の 食 品 会 社 の １週 間 の

平 均 株 価 と し,こ れ を デ ー タ点 に して 第 ５章 で 述 べ た ３次 の 自然 ス プ ラ イ ンs(x)

で あ て は め を 行 な っ た.こ

こで ａ,ｂ,di定

で あ る.図6･27はs(x)を

示 し た も の で,月

し て い る.こ

の 図 は 図6･26と

図6･27のs(x)で

数,Ni(x)は

３次 の Ｎ-ス プ ラ イ ン*

日(ｘ)に 対 す る株 価(s(x))を

ほ ぼ 一 致 し て い る こ とが わ か る.し

表 わ

か し な が ら,

は １年 を通 じて の 大 局 的 な 株 の 変 動 傾 向 は と ら え に くい.そ

で,

図6･27  *Ni(x)は

３次 の 自然 ス プ ライ ンs(x)に

よる株 価

自然 ス プ ラ イ ンの一 種 で あ り,正 規 化 され た Ｂ-ス プ ライ ンで な い こ と に注 意 す る.

こ

(ａ)  ３次 の 平 滑 化 自然 ス プ ライ ン に よ る株 価(g=100)

(ｂ)  ３次 の 平 滑 化 自然 ス プ ラ イ ン(g=100,)の    に よ る株 価 の変 動

微 分(日)

図6･28

３次 の平 滑 化 自然 ス プ ラ イ ン で あ る式(5･26)お

よ び 式(5･27)を

ー タ の 平 滑 化 を 行 っ た .図6･28(ａ)はg=100, 

w1=w2=…=w53=1と

の ３次 の 平 滑 化 自然 ス プ ラ イ ンs(x)で,１ 示 して い る.図6･28(ｂ)は

用 い て,先

のデ

した とき

年 を 通 じ て の大 局 的 な 株 価(s(x))を

こ の 平 滑 化 ス プ ラ イ ンs(x)をx(月

分 した も の で,正 が 株 価 の 値 上 り,負 が 値 下 りを 表 わ し て い る.そ

日)に つ い て 微 れ ゆ え,こ れ ら

の 図 は １年 を通 じて の株 価 の 大 局 的 な 変 動 傾 向 を 示 し て い る こ と が わ か る. こ の よ うに ス プ ラ イ ン 関 数 お よ び 平 滑 化 ス プ ラ イ ン関 数 を 利 用 す れ ば 株 価 の 値 動 き や, 大 局 的 傾 向 を 容 易 に 調 べ る こ と が で き る.ま

た ， 社 会 問 題 の 一 つ で あ る公 害

対 策 に お い て も ス プ ラ イ ン を 応 用 す る こ と が で き る. 近 年,大

気 汚 染 に関 す る ぼ

う大 な デ ー タ を 自動 測 定 装 置 や テ レ メ ー タ シ ス テ ム に よ っ て,中 す る こ とが で き る よ うに な っ て き た.し

央 監視 局 で処理

か し この シス テ ムで は高 濃 度 汚染 の発生

源 を 規 制 し た 後 で も, 異 常 値 を 観 測 す る こ と が あ る(機

器 の 障 害 や 測 定 時 の ミス

あ る い は 近 接 煙 源 等 に よ る)[54]. そ の と き ス プ ラ イ ン を 適 用 して デ ー タ の 変 動 傾 向 を つ か め ば,そ の 傾 向 か ら極 端 に は ず れ た デ ー タ を 除 去 す る こ と が 容 易 に な る. こ う して 社 会 現 象 な ど,一 般 に 離 散 値 の み で しか 与 え られ,ない 系 に 対 し て も容 易 に ス プ ラ イ ン 関 数 が 決 定 で き, しか も そ の 微 分 や 積 分 も容 易 で あ る の で, い ろ い ろ な 分 野 で の応 用 を 期 待 す る こ と が で き る.

付 録

1.  Leibnizの

積 の 差 分 商 に 関 す る 公 式[30]

関 数f(x)がg(x),h(x)に さ れ る と き,両

よ り す べ て の ｘ に 対 し てf(x)=g(x)h(x)と

辺 に ξi,ξi+1,…,ξi+kを

表 わ

基 礎 に し た 差 分 商 を と る と,

(i･i) と な る.こ

れ をLeibnizの

 〔 証 明 〕    い ま,そ

公 式 と い う.

れ ぞ れg(x),h(x)を

ton差 分 商 補 間 公 式(4･10)で

ξi,ξi+1,…,ξi+kを基 礎 に してNew

展 開 し,こ れ ら の 積 をF(x)と

す る と,

(i･ii) と な る.f(x)=g(x)h(x)で

あ り, Newton差

f(ξj)=g(ξj)h(ξj)=F(ξj) で あ る.式(i･ii)を

と な る.上

分 商 補 間 公 式 の 性 質 か ら,

(i･iii)

 (j=i,i+1,…,i+k)

展 開 す る と,F(x)は,

式 の 第 ２ 項 Σr＞3のす べ て の 項

含 む の で,x=ξi,ξi+1,…,ξi+kで

は因 子(x-ξi)(x-ξi+1)…(x-ξi+k)を

０ に な ら な け れ ば な ら な い.そ

れ ゆ え,式(i･

iii) か ら 上 式 の 第 １項

Σr≦sはx=ξi,ξi＋1,…,  ξi＋kでf(x)に

な ら な い. 従 って,Σr≦sはk次 式 を 用 い て ξi,ξi+1,…,ξi＋kを

等 し くな ら な け れ ば

の 多 項 式 で あ り,こ れ はNewtonの 基 礎 に し たf(x) 

差分 商 補 間公

の 近 似 式 と 等 し い.そ

れ ゆ え,主

要 項xk  の 係 数 か ら,

が 得 られ る.

２.  de Boor-Coxの

(証 明 終 り)

算 法

Mk(x;t)を Mk(x;t)=(t-x),k-1=(t-x)(t-x)+ 

と し,両 Leibnizの

k-2

辺 に ξi,ξi＋1,…,ξi＋kを 基 礎 に し た ｔ に 関 す る 差 分 商 を と り 、か つ 右 辺 に 公 式(i･i)を

利 用 す る.こ

こ でg(x;t)=(t-x)と

g(x;ξi)=(ξi-x) g(x;ξi,ξi+1)=1 g(x;ξi,ξi+1,ξi+2,…

を考慮 すれ ば,

  ,ξi+j)=0 

   (j＞1)

し,

と な る.  従 っ て,

(ii･i) が 得 られ る. 上 式 を正 規 化 され た Ｂ-ス プ ラ ィ ンで 表 わ す と,

と な る か ら,

(ii･ii) が 得 ら れ る.

３. 正 規 化 さ れ た Ｂ-ス プ ラ イ ン と補 間 ス プ ラ イ ン の 微 分 Dxを

ｘ に 関 す る １階 の 微 分 演 算 子 とす る. DxMk(x;t)=Dx 

(t-x)+k-1=-(k-1)(t-x)+k-2

で あ る か ら,  節 点 ξi,ξi+1,…,ξi+kを

も つ 正 規 化 さ れ た Ｂ-ス

プ ラ イ ンNi,k(x)の

微 分 は,

(iii･i)

と な る.い つk-1次

ま,正

プ ラ イ ン を 利 用 し た 節 点 ξ1-k,ξ2-k,…,ξnを

持

の ス プ ラ イ ン,

を 区 間[ξ0,ξn-k+1]で (iii･i)を

規 化 さ れ た Ｂ-ス

微 分 す る こ と を 考 え よ う.ｘ

利 用 す る と,

に 関 す るs(x)の

１階 微 分 は 式

と な る. 従 っ て, 上 式 に Dxを

と な る.こ

次 々 と 演 算 す る と,s(x)のj(≦k-1)階

微 分 は,

こ で,

で あ る.  も しbr(j)の Nr, k-j(x)=0と 階 微 分N(j)i,k(x)は

分 母 が

ξr+k-j+1-ξr=0な

な る こ と が 知 ら れ て い る.ま 式(iii･ii)でbr=δriと

ら ば,  Nr,k-j(x)=0と た 正 規 化 さ れ た Ｂ-ス

プ ライ ン の ｊ

す る こ と に よ り 容 易 に 得 ら れ る.

  こ の 他,Ｂ-ス

プ ラ イ ン に 関 す る 諸 量 の 計 算 はde 

か れ て い る.ま

た 文 献[30]に

Boor[30],秦

野[56]に

詳 し く書

は フ ォ ー ト ラ ン プ ロ グ ラ ム も 付 い て い る.

  さ ら に,  ス プ ラ イ ン 関 数 の パ ソ コ ン 上 で の 使 用 方 法 に つ い て は,文 詳 し い の で 参 照 さ れ た い.

な りbr(j)

献[61]に

文 [１] 

Ｉ.Ｊ. Schoenberg, 

Contributions 

 

data 

functions, 

 

Ａ,p.45-99;part 

by  analytic 

positivity   problem 

  [３] 

and  Ａ. Whitney, 

of  translation 

Ｅ.Waring, 

Problems  Society 

Lagrange, 

determinants 

[６]Ｗ.Ａ. 

Jenkins, 

frequency 

part

functions

an  application 

of the  American 

Ｔ.Ｎ.  Ｅ.  Greville, 

, III.  The

to  the  inerpolation Mathematical 

Society,

United 

fomula 

Ｊ.Ｃ. Holladay, 

to  Computation,11(1957),233-243.

[９] 

Ｃ.de  Boor, 

Society 

Smoothest 

curve 

Best  approximation 

of  Mathematics 

  Ｉ.Ｊ. Schoenberg, 

On 

ties, p.109-129of 

properties 

Mathematical 

Tables 

functions 

Institute 

anb  Aids

of  odd  degree,

p.  117-190 

of  On  Numerical 

nelle  formule 

and  its minimal 

Wisconsin,  di quadratura 

Verlag, 

approximation 

Approximation 

proper-

of the  Conference

at  Oberwolfach, 

ed.)Birkhauser 

and  Ｈ. Ｆ. Weinberger.Optimal 

Madison, 

functions 

Theory(Proceedings 

Ｍ.Golomb 

Resto 

1939-1941,

Tebles,

.

of  spline 

by  spline 

Research 

of

interpolation,

and  Mechanics,12(1963),747-750.

Ｐ. Ｌ. Butzer, 

Press, 

of  osculatory 

and  Actuarial 

approximation. 

interpolation 

held  in  the  Mathematical 

of  Wisconsin 

of  the 

advocate 

as  the  title  illustrates.)

Washington,1946

On  Approximation 

4-10,1963, 

Journal  an 

of  America,28(1927),198-215.

Life  Tables 

Office, 

of

Paris,1975.

was 

based  on  ａ modification 

States 

Transactions 

for  intarpolation, 

he  used  in  this  paper, 

Printing 

[８] 

Ｇ.Peano, 

 

.

sur  les Mathematiques, 

ov  ａ new 

which 

 

August 

Philosophical

(1779),56-67

of  the  Actuarial 

Government 

Journal 

interpolation. 

Elementaires 

Graduation 

[７] 

U.S. 

concerning 

spelling, 

Transactions 

[12] 

Polya  with 

Transactions 

Explanation 

 

 

of equidistant

Mathematics,4(1946), 

of  Actuaries,22(1880),270-285,(Sprague 

 simplified 

[11] 

of  Applied 

On 

of  London,69 

Lecons 

Ｔ.Ｂ,  Sprague,  Institute 

 

of approximation 

74  (1953),246-259.

[４]Ｊ.Ｌ. 

[10]

Quarterly 

by  spline  curves, 

  the  Royal 

[５] 

to  the  problem 

Ｂ, p. 112-141.

[２]  Ｉ.Ｊ.  Schoenberg   

献

(Ｒ. Ｅ ．  Langer, 

Black 

Basel,1964 and  error 

Forest, . bounds,

ed.),  University

1959. espresso 

con  un  integrale 

definito,

Atti 

della  Reale 

[13] 

G.  Peano, 

[14] 

P. J.Davis, 

Accademia 

Residuo 

dei  Lincei 

in  formulas 

Interpolation 

Rendiconti 

de  quadratura, 

(５)  ,22, 

Mathesis 

and  Approximation, 

(1913),562-569.

(４)  , 34(1914), 

Blaisdell 

Pub1. 

Surveys, 

No.９), 

5-10.

Co.,  New 

York,

American 

Ma-

of  linear  operators, 

Koninklijke 

Ned-

Proceedings, 

A,  Mathematical

1963. [15] 

A.Sard, 

Linear 

thematical  [16] 

I.J.  Schoenberg, 

       erlandse 

T.N. 

[19] 

van 

(1964), 

On  spline 

Curry 

      damental 

functions 

R.R. 

Stoll,  Linear 

[22] 

T.N. 

E.  Greville, 

Report 

[23] 

Table 

T.N.  E. Greville, 

fitting 

by  spline 

of  Army 

Summary 

vol.

1927.

Base,  Ohio, 

York, 

August 

19-

Ⅳ. The 

fun-

1967. functions. 

d'Analyse 

Math6matique,

On  a new 

I.J.  Schoenbarg, 

Spline  Academy 

E。 Greville, 

Durham, 

of  the  Society 

   

Analysis,１ 

p.65-90of 

York,1952. Transactions

U.  S. Army 

Research

N.  C.,1967.

spline  interpolation 

Madison, 

with  equally 

spaced

Research 

Center,

Mathematics  Wisconsin, 

of  graduation, 

and  the  problem 

of  Sciences  procedures 

for  Industrial 

(1964), 

New 

October 

Proceedings 

1966.

of the  Edinburgh

63-75.

functions 

Numerical 

      Journal 

functions, 

Report#697, 

method 

McGraw-Hill, 

Mathematicians, 

of  Wisconsin, 

Society,41(1923),  

      of  the  National 

merical 

Computers,  1967.

Inequalities(Proceedings

frequency 

Theory, 

for  third-degree 

University 

Whittaker, 

T.N. 

On  Polya 

No.67-１, 

Technical 

Mathematical 

[26] 

New 

York, 

quadrature,

Baltimore,  

Air  Force 

and  Matrix 

Conference 

     Office-Durham, 

[25] 

Wilkins, 

and  their  limits,  Journal 

Algebra  Data 

     of  the  Twelfth 

MRC 

for  Digital  New 

p.255-291of 

Press, 

numerical 

71/107.

[21] 

     U.S.Army, 

and 

functions, 

and  I. J. Schoenberg, 

spline 

      17  (1966), 

[24]E.T. 

Methods 

Williams 

ed.),  Academic 

and 

Wiley, 

held  at  Wright-Patterson 

      27,   1965,O.Shisha, 

     knots, 

interpolation 

Mathematical 

Interpolation, 

I.J.  Schoenberg, 

H.B. 

functions, 

and  H.  S.  Wilf,  eds.)John 

Steffensen, 

Series 

155-163.

Spline 

      of  a  Symposium 

[20] 

Wetenschappen, 

8(p.156-168)of 

      2(A,Ralston  [18]J.F. 

R.I,1963.

On  best  approximations 

E.  Greville, 

      Chapter 

(Mathematical 

Providence, 

Akademie 

      Sciences,26  [17] 

Approximation 

Society, 

53-68.

of  graduation, 

of  the  U.  S. A.,52(1964),  for  interpolation  and  Applied 

Proceedings 947-950.

by  spline 

Mathematics 

functions,

Series 

B,  Nu-

[27] 

T.N. 

E.  Greville(ed.), 

     cation 

No.22of 

Theory 

and  Applications 

the  Mathematics 

     of  Wisconsin), 

Academic 

Research 

Press, 

New 

of  Spline 

Center, 

Functions(Publi-

U.  S.  Army, 

University

York,1969.

[28]  大 嶋 勝,佐 藤 正 次;線 形 代 数 学,学 術 図書.他 [29]  土 木 学 会 編;数

値 解 析 ・基 礎 編,サ

イ エ ン ス 社,1974.

新 谷 尚義;数 値 計 算 Ⅰ-線形 計 算,朝 倉 書店,1967. 戸 川 隼 人;マ [30] 

C.de 

トリック ス の数 値 計 算,オ 一 ム社, 1971

Boor,  a  Practical 

[31]  市 田 浩 三,吉 [32]  泰 野 和 郎,二

Springer-Verlag, 

1978.

育 出 版,1979.

プ ラ イ ン に よ る補 間 ス プ ラ イ ン,

情 報 処 理,  19  (1978),  538-545.

H.Akima, 

A  New 

     on  Local 

to Spline, 

プ ラ イ ン関 数 と そ の 応 用,教

宮 市 三;Ｂ-ス

          [33] 

Guide 

本 富 士 市;ス

.

Method 

Procedure, 

of  Interpolation 

J. ACM, 

[34]  研 野 和 人;自

動 設 計 法,コ

[35]  戸 川 隼 人;数

値 計 算 技 法,オ

17  (1970), 

and  Smooth 

Fitting 

Based

ロ ナ 社,1969. ー ム 社,1972.

[36]  伊 奈重 行,祖 武 章 雄;航 空 機 設 計 に み るCAD,応 [37]  穂 坂衛,黒 田 満;CADに

Curve 

589-602.

用機 械 工 学,1979年,8月

号.

お け る 曲線 曲 面 の創 成 に つい て,

                     情 報 処理, 17 (1976 ).[38]    [39] 

Ｗ.Bohm 

Braunschweig, 

Aided 

Geometric 

Ｒ.Peter 

Dube, 

     on  Computer  [40] 

Ｈ.Ｇ. 

[41]

Preliminary 

 Ｐ.Ｅ.  Bezier, 

[42]  [43] 

Ｔ.Ｊ.  Chung,  Ａ.Ｍ.  Solution  (1978), 

[44] 

Finite 

Davies, 

     -185.

of  Spline 

Surfaces 

in  Computer

. Curves, 

IEEE 

Transaction

286-290.

representation 

for  Parametric 

Cubic 

Curves 

and

Control-Mathematics 

and 

Applications

, John 

Wiley

1972. Element 

Analysis 

in  Fluid 

Use  of  the  Galerkin 

of  One-Dimensional 

Primitive 

method  Equation, 

Dynamics,  with 

Mcgraw-hill 

1977,

ａ Basis  of Ｂ-Splines 

Journal 

Computer 

Physics 

for 27

123-137.

Ｐ.Ｃ.  Jain  and 

     parabolic 

The 

and  29-34

25-28.

Numerical 

and  Sons,  London, 

Curves 

19  (1977), 

Specification 

Alternative 

12  (1980), 

B-Spline 

Computing 

vol  Ｃ-28  (1979), 

Timmer, 

Surfaces, 

Cubic 

Design, 

Ｂ.Ｌ.  Lohar, 

equation, 

Computer 

Cubic 

Spline 

Technique 

and  Mathematics 

with 

for  Coupled  Application,５ 

Nonlinear (1979),  179

[45] 

Ｊ.Ｄ.  Young,  &Tran 

[46] 

Finite 

Review 

Ｃ.de 

Boor, 

Element 

Approach 

10  (1974),  276-288

Bicubic 

Spline 

to Bicubic 

Spline 

Construction, 

Logist

.

Interpolation, 

Journal 

Mathematical 

Physics 

41

 (1962),  212-218. [47] 

Ｍ.Ａ.  Christie 

and  Ｋ. Ｊ. Ｍ. Moriarty, 

equally 

Data, 

Spaced 

Computer 

Ａ Bicubic 

Physics 

Spline 

Interpolation 

Comunications, 

17  (1979). 

of  Un357-362

[48]  秦 野 和郎,二 宮 市三;二 変 数 補間 ス プラ イ ンの算 法 と誤差 解 析                      情 報 処理,19  (1978), 196. [49] 

J.H. 

Ahlberg, 

Ｅ. Ｎ. Nilson 

Applications,  [50] 

Academic 

Ｅ.Ａ.  Begole,  using 

and  Ｊ.  Ｌ. Walsh, 

Press. 

Ａ Computer 

the  Cubis  Spline 

New 

program 

Function, 

The  Theory 

York,1967

for  the  Analysis 

Comquter 

of Splines 

and  their

.

Programs 

of  Dental  in Biomedicine 

Arch 

Form

10  (1979),

p. 136-142. [51] 

Ｆ.Ｊ.  Hechter,  Patients, 

[52] 

Symmetry 

Ｊ. Canad. 

Ｊ.Ｊ.  Hisch, 

and  Dental 

Dent. 

Use  of Cardinal 

of  the  Computer 

Science 

rface,  Waterloo, 

Ontario, 

[53]  週 間 オ ー ル 投 資;7/31号 [54]  姫 野 純 子;他;環

Assn.44  Spline 

Arch 

Form 

of  Orthodontically 

Treated

(1978),  173-184. in the  Construction 

and  Statistics,12th,  Canada, 

May 

of Life  Table, 

Annual 

(1979), 

10-11

Symposium 

Proceeding on  the  Inte-

.

東 洋 経 済 新 報 社.ｐ.56.

境 デ ー タ 処 理 講 座(Ⅶ)公

害 と 対 策   15(1979),1147.

[55]  吉 本 富 士市;変 数節 点 を用い たス プ ライ ン補 間,昭 和54年 度 清報 処 理 学会 第20回 全 国 大 会   ｐ.403∼404.

[56]  秦野 和 郎;Ｂ-ス プ ラィ ンに 関 す る諸量 の 計算,昭 和53年 度 情 報 処 理 学会 第19回 全 国 大

[57] 

会

  ｐ.337∼388.

Ｒ.Ｆ.  Riesenfeld,  of Free-Form 

 

Bernstein-Betzier

Curves 

and  Surfaces, 

Methods 

for  the  Computer-Aided 

Ph. Ｄ.  Thesis, 

Syracuse 

Design

University, 

March

 (1973), [58] 

Ｈ.Ｇ,  Timmer,  surface, 

[59] 

Alternative 

Computer-Aided 

Ｄ.Ｆ.Rogers, 

Ｊ.  Ａ, Adams,山

representation  Design 

for  parametric 

cubic 

curves 

and

12  (1980),25-28.

口 富 士 夫 訳;コ

ン ピ ュ ー タ グ ラ フ ィ ッ ク ス   日 刊 工

業新 聞社. [60]  沖 野 節 三;総

義 歯 補 綴 学,永

末 書 店,  1969.

[61] 桜 井 明 監修,吉 村和 美,高 山文 雄;パ 出 版 局,1988

ソ コ ンに よるス プ ライ ン関数   東 京 電機 大 学

演習問題の解答

第 １章 1･1

  ３次 の ス プ ラ イ ン で あ るか ら,f(x)は

と書 け る.こ

こ でp3(x)は

式(1･1)か

らx≦-3で

式(1･5)よ

り,

３次 以 下 の 多 項 式 で あ る.

p3(x)=1-2x と な る.ciは

式(1･12)か

ら

ci=1/3![f(3)(xi+0)-f(3)(xi-0)] で 与 え ら れ る,xiはx1=-3,x2=-1,x3=0,x4=3,x5=4で

c1=1/6[f(3)(-3+0)-f(3)(-3-0)]=1/6(6-0)=1 c2=1/6[f(3)(-1+0)-f(3)(-1-0)]=1/6(-6-6)=-2 c3=1/6[f(3)(0+0)-f(3)(0-0)]=1/6(-12+6)=-1 c4=1/6[f(3)(3+0)-f(3)(3-0)]=1/6(30+12)=7 c5=1/6[f(3)(4+0)-f(3)(4-0)]=1/6(0-30)=-5 と な る.従

っ て,

f(x)=1-2x+(x+3)+3-2(x+1)+3-x+3+7(x-3)+3-5(x-4)+3 と な る.

1･2

 s(x)=3x2-5x+2+2x+2-4(x-2)+2+(x-5)+2

よ り,各 節 点 間に お け る多項 式 は, x≦0:  s(x)=3x2-5x+2 0≦x≦2: 

s(x)=3x2-5x+2+2x2=5x2-5x+2

2≦x≦5: 

s(x)=5x2-5x+2-4(x-2)2=x2+11x-14

5≦x  

: s(x)=x2十11x-14+(x-5)2=2x2+x+11

あ る か ら.ciは

と な る. 1･3s(x)は

３ 点x 

= ３,５,９

を 節 点 と す る ２ 次 の ス プ ラ イ ン で あ る か ら,式(1･5)よ

り

s(x)  = a2x2 + a1x + a0 + cl(x  - 3) +  2  + c2(x  - 5) +  2  + c3(x  - 9) +  2     と 書 け る.ま

が 成

た,s(x)は

３ 点(０,  - 2),(１,１),(３,25)を

り立 つ.  こ れ,よ りa0  = - 2,a1  = 0,a2  = 3と

ま た,s(x)は

３ 点(５,85),(９,189),(11,213)を

通

る こ と か ら,連

立 方 程 式

な る. 通 る の で

s(5)  = 3･(5)2  - 2  + c1(5 - 3)2 = 85 ∴c1 

= 3

s(9)  = 3･(9)2  - 2  + 3･(9  - 3)2 + c2(9 - 5)2 = 189 ∴

c2  = - 10

s(11)  = 3･(11)2  - 2 + 3(11  - 3)2 - 10(11  - 5)2 + c3(11  - 9)2 = 213 ∴

c3  = 5

が 得 られる.従

っ てs(x)は,

s(x)  = 3x2 - 2 + 3(x  - 3)  + 2  - 10(x  - 5) +  2  + 5(x - 9)  +  2

と な る.

第 ２章 2･1〔

定 理2･1〕

よ り ４点 を補 間 す る ３次 の 多 項 式 はLagrangeの

公 式,

で 与 え られ る か ら,

と な る. 2･2式(2･7)に

お い て,k=5注),  f(x)  = L(x) 

n=4と

す る と

+ cx(x  - 2)(x  - 3)(x  - 6)

と な り,こ れ は 指 定 さ れ た ４点 を 通 る ４次 の 多 項 式 と な る.こ 得 られ たLagrangeの

多 項 式 で あ り,ｃ

は 任 意 の 定 数 で あ る.

こ でL(x)は

問2･1で

(注)４

次 の 多 項 式 は ５回 微 分(k = 5)す

2･3〕 に よ る と式(2･7)はk＞nに 2･3 

ま ずP′(xi)  P(x) 

= Pi(xi)を

る と零 と な り,式(2･6)を

最 小 に す る.〔 定 理

対 す る も っ と も滑 らか な 関 数 で あ る.

示 す.式(2･4)よ

り,

= (x-xi)Pi(x)

こ れ を ｘ で 微 分 す る と, P′(x) =  Pi(x)  + (x - xi)Pi′(x)

x  = xiと

す ると

P′(xi)  = Pi(xi) 次 にX 〓  x1,x2,…,xnの

時,

と な る こ と を 示 す,式(2･3),(2･4)とP′(xi) 

と ころ がP(x)は

と な る.最

で あ る.と

= Pi(xi)よ

り,

どの 項 も共 通 に持 つか ら Σ の外 に 出 せて,

後 にx=xjの

と きL(xj)=yjと

な る こ と を 示 す.式(2･3)よ

り

こ ろ が,

で あ る か らL(xj)=yj 2･4 

式(2･25)と

と な る.こ

式(2･26)に

こ でp1(xj)は

お い てk  = 2,n = 3と

す れ ば,

１次 式 で あ る か らp1(x)  = ax + bと

a + b

 = 1

3a + b + 8c1

 = 5

6a + b + 53c1 + 33c2

 = 8

c1  +    c2  +  c3  = 0 c1  +  3c2 + 6c3 = 0

す れ ば,上

の 式 は,

こ れ を

ａ,ｂ,c1, C2, C3に

つ

い て 解 け ば,  a  = 143/65,b 

c2  = 1/12,c3  =  - 1/30.ゆ

こ れ は,３

= - 78/65,  c1  = - 1/20,

え に,

次 の 自 然 ス プ ラ イ ン で あ り,k = 2に

対 す る 最 も滑 らか な 補 間 関 数 と な っ

て い る.

2･5 

(1,4),(2,  - 2),(4,y3)を

通 る ３次 の 自 然 ス プ ラ イ ソs(x)は,

s(x)  = ax + b  + c1(x  - 1)  +  3  + c2(x  - 2) +  3  + c3(x  - 4) +  3 の よ う に な る.s(0) 

= 6よ

a  + 6

りb  = 6と

な る,式(2･25)と

式(2･26)よ

り,

  = 4

2a + 6  + c1

  = - 2

4a + 6 + 27c1 + 8c2 +    = y3 c1  +  c2  + c3 = 0 c1  + 2c2 + 4c3 = 0 こ れ よ り ａ,c1,c2,c3,y3を

求 め る とa  = - 2,c1 = - 4,c2 = 6,c3 = - 2,y3 = - 62と

な る.

ゆ え に, s(x)  = - 2x + 6 - 4(x - 1) +  3  + 6(x  - 2) +  3  - 2(x  - 4) +  3

第 ３章 3･1 

デ ー タ点(  - 1,f( - 1)),(0,f(０)),(１,  (3･30)の

形 で 表 わ され る.こ

f(１))を

れ を 式(3･13)の

通 る ３次 の 補 間 自 然 ス プ ラ イ ソ は 式

形 つ ま りf( - 1),f(0),f(1)の

合 で 表 わ せ ぱ,

と な る.ゆ

え にBi(x)は,

B1(x)  = -  1/4[1  +  5x  - (x + 1)  +  3 + 2x + 3  - (x  - 1) +  3]

B2(x)  =  1/ 2[3  + 3x - (x + 1)  +  3  + 2x +  3  - (x - 1) +  3]

線形 結

B3(x)  = 1/4[1 

と表 わ さ れ る.こ

+ x - (x + 1) +  3  + 2x +  3  - (x - 1)  +  3]

の と きx  = - 1,0,1に

対 す るB1(x),B2(x), 

B3(x)の

値 を行 列 の 形

で表 わ す と

と な る.

3･2f′(ξ)に

対 す る 式(3･21)の

形 を した 近 似 公 式 は,

f′(ξ)  = d1f(  - 1) + d2f(0) 

で 表 わ され る.こ

+ d3f(1)

の 近 似 は,１ 次 関 数f(x)  = a0  + a1xに

f( - 1)  = a0  - a1,  f(0) = a0, f(1) = a0  + a1, f′(ξ)  = a1を

対 して 厳 密 で あ る.こ れ よ り, 得 る.そ

れ ぞ れ を上 式 に 代 入 す

る と, a1  =  (d1 + d2 + d3)a0 + (d3 - d1)a1

と な る.従

っ てd1,  d2, d3の

満 足 す ベ き条 件 は,

d1 + d2 + d3 = 0, d3 - d1 = 1 で あ る.近

似 公 式 は,d1 

= d, d2 = - (2d + 1),d3  = d + 1を

用 い れ ば,

f′(ξ)  = df( - 1)  - (2d + 1)f(0) + (d  + 1)f(1) と表 わ される. 3･3問3･2で

求 め た 近 似 公 式 は,一   x - t f(x)  = (x - t)  + =

0＜ ξ＜1を

次 関 数 に 対 応 す る も の で あ っ た.す

な わ ち,

0

(t  ＜  x) (x  ≦  t)

考 慮 す れ ば,f′(ξ)は

上式 か ら

(１)

と 表 わ さ れ る.一

方,近

似公式 より

(２)

と な る.式(１)か

ら 式(２)を

を 得 る.K(t)を t=ξ

引 く と,Peano核

グ ラ フ に 描 け ば,解

で 不 連 続 ゆ え.K(t)は

図 １ と な る.

ス プ ライ ン関数 で な

い. 3･4 

問3･2の た.従

公 式 は １次 関 数に 対 し て 厳 密 で あ っ

っ て,節

f(1))を

点(-1,f(-1)),(0,f(0)),(1,

通 る ３次 の 自 然 ス プ ラ イ ン 関 数 は 式(3,33)

よ り,

解図 １

s(x)=c[(x+1)+3-2x+3+(x-1)+3] で 与 え ら れ る.上

 (１)

式 よ り,s(-1)=0,s(0)=c,s(1)=6cで

あ る か ら,

s(ξ)=ds(-1)-(2d+1)s(0)+(d+1)s(1)=c{-(2d+1)+6(d+1)}  と な る.一

方,式(1)を

(２)

微 分 す れ ば,

s′(ξ)=3c[(ξ+1)2-2ξ2] を 得 る.従

 (３)

っ て,

s′(ξ)=ds(-1)-(2d+1)s(0)+(d+1)s(1) が 厳 密 で あ る の は,式(２),式(３)よ

り

の と き に 限 る. 3･5 

近 似 公式 は, (１) で 与 え ら れ る.１

次 関 数 ゆ えm=1,従

求 め る こ とが で き る.ま

っ て,f(x)=(x-t)+を

ず,式(１)左

用 い てPeano核

を

辺 に こ れ を 代 入 す れ ば,

(２)

を 得 る.一

方,f(x)=a0+a1xの

と き 式(１)は

厳 密 で あ る.す

な わ ち,

f(0)  = a0,f(1) 

= a0 + a1,f(3) 

= a0+3a1∫30f(x)dx 

= 3a0 +  9/2a1

ゆ え に, 3a0+９/2a1=d1a0+d2(a0+a1)+d3(a0+3a1)

が 成 り立 つ. 従 っ て,d1,d2,d3は

条 件

d1+d2+d3=3,d2+3d3=9/2

を満 た す.こ れ よ り式(１)の

右辺 は

(３)

と な る.式(２)か

ら 式(３)を

と表 わ され る ・ こ れ を 式(3･11)に

と な る.こ は,

で あ る.

引 け ば,Peano核

は,

代 入 す る と,

れ よ り Ｊ が 最 小 に な る の はd1=1/8の

と き で あ る.従

っ て,最

良 近似 公 式

第 ４章 4･1差

分 商 表 を つ く る と,

式  (4･10) 

4･2 

よ り,

こ れ は,Lagrangeの

補 間 公 式 で 求 め た 結 果,問2･1と

問4･1で

も高 階 の 差 分 商 は,３

用 い た,最

同 じ で あ る.

階 差 分 商 で,f(0,2,3,6)で

あ っ た.式

(4･5)  に よ れ ば,

これ は問4･1の 4･3Newton差

分 商 補 間 公 式 は,式(4･10)のf(x)で

をPn-1(x)と R(x) 

す れ ば,剰 = f(x) 

と な る.こ な る.今

-Pn-1(x) 

こ の 中 で,小

示 さ れる.こ

の 右 辺 の ｎ項 ま で

余R(x)は, =  (x-x1) 

のR(x)は,x=x1,x2, 

か ら(xi,  xi+1)の  …,  nで

差 分 商 表 で得 た,３ 階 差 分 商 と一 致 す る.

(x-x2) 

…,  xnで

区 間[xi,  xi+1]を

あ る 点 に お い てR′(x)が

あ る か ら結 局R′(x)が

… (x-xn) 

f(x,  x1, x2, …, xn)

０に な る か ら少 な く と も ｎ個 の 点 で ０ に

考 え る.上

述 よ りR(xi)=R(Xi+1)=0で

０ に な る.(Rolleの

０ に な る点 は(x1

,  xn)の

あ る

定 理 よ り)i = 1,  2,

中 に(n-1)個

あ る.こ

の

n-1個

の 点 に,同

じ よ うに して ,Rolleの

中 に 少 な く と もn-2個 用 い れ ば R(n-1) (x)は つ.す

定 理 を 利 用 す れ ば R"(x) 

の ０ を 持 つ こ と に な る.こ あ る ξ(x1＜ ξ＜xn)で,少

の よ うにRolleの な く と もn-(n-1) 

は,(x1, 

xn)の

定 理 をつ ぎ つ ぎ = 1個

の ０を持

な わ ち,

一 方

,

pn-1 (x) = f(x1)  + (x-x1)   

f(x1,  x2) + (x-x1) 

+ … + (x-x1) 

(x-x2) 

… (x-ｘn-1) 

(x-x2)  f(x1x2 

f(x1x2x3) … xn)

で あ る か ら,

こ れ よ り,

4･4 

xs = min  {x, x1, x2, …, xn}  xm = max{x, 

可 能 な 関 数 とす る と 間4･3か

4･5 

余 項R(x)は,

４ 点,  (０,４), (２,７), (３,８), (６,１)を

通

s(x)  =a0  + a1x+  + c1x+3  + c2(x-2)+3  で あ る･式(2･25)と

式(2･26)よ

a 0 

り, = 4

a0+2a1 

+  8c1 

a0+3a1 

+27c1  +c2 

a0+6a1+ 

す る.  f(x) 

xs＜ ξ＜xm

f(x,  x1, x2,  …,  xn) ＝1/n!f(n)(ξ)

と な る.剰

x1, x2, …xn}と

ら,

             

 

= 7 = 8

63c1+  43c2+  33c3    = 1 c1+ 

  c2+ 

 c3  + c4  = 0

2c2 + 3c3 + 6c4 = 0

る ３ 次 の 自 然 ス プ ラ イ ン は, +c3  (x-3)+3+ 

c4(x-6)+3

を ｎ 階 連 続 微 分

こ の

６元 連 立 一 次 方 程 式 を 解

 152/282,c4 

= -39/282,こ

4･6問4･5の

く とa0  = 4,a1 = 431/282, 

式(4･25)を

用 い て,m=2,i=1と

c2  = -111/282,c3 

す れ ば,(０,４),(２,７),

考 え れ ば よ い か ら,

同 様 に i  = 2  とす る と(２,７),(３,８),(６,１)を

式(4･31)と 

よ っ て m-1 

は2-1=1次

次の

Ｃ-ス プ ラ イ ン は 式(4･27)の

よ うに 書 け る.s"(x)

の Ｃ-ス プ ラ イ ン で あ る か ら,

こ の 式 の{}の

中 は,前

に 求 め た よ う にM2で

ま ず,f(m)  (x) ≧  0で,(α-ε,α+ε)の

        f(m) (x) = (m+1)!{(x-α+ε)+  で あ る か ら,こ

考 え れ ば よい か ら,

S"(x)  の 係 数 よ り,

  定 理4･3に

4･7 

c1 = -1/141, 

よ り,

結 果 を ２階 微 分 す る と,

が 得 ら れ る.式(4･22)と (３,８)を

れ

あ る か ら, d2 =-234/47

外 側 で ０に な る こ と を示 す. -2(x-α)+ 

+(x-α-ε) 

+}

れ を 次 の よ う に ４つ の 区 間 に 分 け て 考 え る と,

=

と な る.こ の

の こ とか ら,  f(m) (x)は

  次 に 背 理 法 を 用 い て, Mi(x)  ≧  0で 26)とf(m) 

解 図 ２

すべて

ｘ で f(m) (x) ≧  0で,(α-ε,α+ε)の

(x)＞0で(α-ε,α+ε)の

外 側 で ０ と な る こ とが わ か る. あ る こ と を 示 そ う. Mi(x)  ＜0と 外 側 でf(m)  (x)が

す る と,式(4･

０ と な る こ と か ら,

(１) 一 方

,式(4･38)とf(m) 

(x) ≧  0よ

り,

(２) た だ し   xi＜ ξ＜xi  +  m (１),(２)は

矛 盾 す る.よ

っ て 仮 定Mi(x) 

＜0は

正 し く な い.ゆ

えに, Mi(x)  ≧  0

で あ る.

第 ５章 5･1デ

ー タ 点 は(１,１),(３,５),(６,８)で

与 え られ る.5･4節

の 自 然 ス プ ラ イ ン ｓ(x)  = p1(x) + bN1(x)を

の 例 題 の よ うに し て,３

求 め る. ｔに 関 す る １階 差 分 商

(x-t)+3の

値

(N(x;xi,xi+1)の

値)

次

ｔに 関す る ２階 差 分 商 とyi (Ni(xj)とyjの

と な る.従

で あ る.こ

Ni(x)とS(x)の

１階 差 分 商

Ni(x)とS(x)の

２階 差分 商

２階 差 分 商 表 か ら,   ∴b=-

1 / 2

-

=

1 / 5

b 2/ 5

Ni(x)とS(x)の

値)

っ て,s(x)は,

れ か らp1(x1)は,

と な る.ま

た,p1(x2,x2)は,

と な る.従

っ て.３

次 の 自 然 ス プ ラ イ ンs(x)

が 得 ら れ る. 5･2 

４個 の デ ー タ点(-2,０),(０,-532),(１,123),(４,732)を プ ラ イ ンs(x)=p2(x)+bNl(x)は,３

通 る ５次(k=3)の

階 差 分 商 を と る こ と に よ っ て 得 ら れ る. ｔ に 関 す る １階 差 分 商

(x-t)+3の

値

(N(xi,xi+1)の

値)

自然 ス

ｔ に 関 す る ２階 差 分 商

ｔ に関 す る ３階 差 分 商 とyj

(N(xi,  xi+l,xi+2)の

(Ni(xj)とyjの

値)

Ni(x)とs(x)の

１階 差 分 商

Ni(x)とs(x)の

３階差 分 商

Ni(x)とs(x)の

Ni(x)とs(x)の

３階 差 分 商 表 か ら,ｂ

は

1/ 36

っ て,

s(x)  = p2(x)  -2520 

と な る.p2(x) 

N1(x)

を求 め る た め に, Newtonの

差 分 商 公 式 を用 い る.ま

に 関 す る ２階 差 分 表 の 最上 段 の 値 か ら, p2(x1)  = p2(-2)  と な る.ま

た,同

と な る.従

= s(x1)  +2520 

様 に

p2(x1,  x2)=s(x1, 

p2(x1, 

２階 差 分 商

 ∴b=  -2520

b=  - 70

と な る.従

値)

x2,  x3)=s(x1, 

し てP2(x1, 

N1(x) 

x2) +2520N1(x1, 

x2,  x3)+ 

= 0 + 2520×0 

x2) = -546

2520 

N1(xi,x2, 

っ て, p2(x)  を用 い る と S(x)  は,

s(x)  = -546(x+2) 

+62x 

= 0

x2), P2(x1,  x2, x3)は,

(x+2) 

-2520 

Nl(x)

x3)  =  62

ずp2(x1)は

ｔ

=(x+2) 

(62x-546)-2520 

N1(x)

と な る. 5･3求

め る 式 をy=ax+bと

Σ3i=1

J=

お く,最 小 二 乗 法 に よ り一 次 式 を決 定 す る た め に は,

(yi-axi-b)2

を 最 小 に す るa,bを

決 め れ ば よい. y  = ax + bは

３点(１,１),(３,５),(６,８)を

通 ること

か ら, J=(1-a-b)2 

+ (5-3a-b)2+(8-6a-b)2

が 成 り立 つ.∂J/∂a=0,∂J/∂b=0か 23a+5b 

= 32

10a+3b 

= 14

と な る.こ

れ か

} らa=26/19,b=2/19と

な る.従

っ て,

1/ 19

y=

ら

 (26x+2)

と な る. 5･4Whittaker-Schoenbergの

意 味 で 最 良 化 近 似 を 与 え る の は,条

件

s(xj)+(-1)kg･(2k-1)!.cjωj-1=yj

を 満 足 す る2k-1次 s(x)は

の 自 然 ス プ ラ イ ン で あ る こ とが 明 ら か に な っ て い る(定

３点(１,１),(３,５),(６,８)を

お よび 式(2･26)が

と す る.題

成 り立 つ.３

意 よ り ω1=ω2=ω3=1で

が 成 り立 つ.こ

れ を解 く と,

が 得 ら れ る.従

っ て,s(x)は

理 ５･２).

通 る ３次 の 自 然 ス プ ラ イ ン で あ る か ら,式(5･27)

次 の 自 然 ス プ ラ イ ンs(x)を,

あ る か ら,連

次 式 の よ うに な る.

立 １次 方 程 式

5･5(ｉ)g=0の

と き,問5･4の 

と な る.こ

の 式 は 問2･4の

(ii)g→

∞

s(x)は,

３次 の 自 然 ス プ ラ イ ン と一 致 す る.

の と き, c1→0，C2→0, 

c3→0

と な り, s(x)  は

に 近 ず く.こ

れ は 問5･3の

5･6(ｉ)式(5･26)を

最小 二 乗 法 に よ っ て 得 ら れ た １次 式 に 一 致 す る.

ｘ に つ い て ｋ階 微 分 す る と (１)

と な る.こ

こ でC  = k･(k+1)  …  (2k-1)で

し,式(5･4)を

とな る.上

あ る.ま

た 式(5･5)を

ｘに つ い て ｋ階微 分

利 用 す る と,

式 を 式(4･22)お

よび 式(4･25)を

用 い て書 きか え る と

(２) と な る.こ

こ で,

Pj ,  i(xi) =  (xi-xj) 

(xi-xj+1) 

とす る.式(１),式(２)を(x-xi)  係 と して

が 得 ら れ る.

… (xi-xi-1) 

+  k-1の

(xｉ-xi+1) 

…(xi-xj+k)

係 数 に つ い て 比 較 す れ ばciとbiの

関

(ii) 

５ 個 の デ ー タ 点 か らx1  = -3,  x2 = -1,x3 

を 代 入 す る と,k=2で

と な る.こ

のciを

あ る か らciとbjの

式(5･27)に

= 0, x4 = 3, x5 = 4で

あ る.(ｉ)にxi

関 係 は,

代 入 す る とw1  = w2  = …  = w5 = 1で

あ る か ら連 立 方 程 式

(３)

が 成 り立 つ.す

で に,5･4節

の 例 題 で,こ の 問 題 と 同 じ ５個 の デ ー タ 点 に 関 す るNi(xj)

の 表 が で き て い る の で,式(３)の

ｇ を 含 む 項 とyjの

Ni*(xj)とyi 

= S*(xj)の

こ こ で,

Ni*(xj)  = Ni(xj)  + (biの

係 数 で ｇ を含 む 項)

表

項 を この 表 に 付 け 加 え る と,

s*(xj) = s(xj) + Σn-ki = 1(biの 係 数 で ｇ を 含 む 項)=yi と す る.上

の表 を ｘに こつ い て １階 差 分 商 を と る と,

１ 階 差

分

商 表

分

商 表

と な る.同 様 に ２階 差分 商 を と る と, ２ 階 差

と な る.こ れ が 求 め よ う とす る ２階 差 分 商 の表 で あ る. (iii)  g  = 10  を (ii)  の ２階 差 分 商 表 に 代 入 し,連

と な る.こ っ て,平

れ を 小 数 で 求 め る と b1  = 0.1201,  b2  = -0.2086,b3 

= -0.8917と

な る.よ

滑 化 ３次 自然 ス プ ラ イ ンs(x)は,

s(x)  = P1(x)  + 0.1201N1(x) 

と な る.P1(x)を

-0.2086N2(x) 

-0.8917N3(x)

決 定 す る た め に,Ni*(xj)とs*(xj)の

P1(x1)  = s*(x1)-  と な る.同

立 方 程 式 の 形 で 書 く と,

b1N1*(x1) 

-b2N2* 

様 に し てP1(x1,x2)は

P1(x1,  x2) = ｓ*(x1,  x2) -b1N1*          = 2-0.1201 

(x1)- 

表 の 最 上 段 か らP1(x1)は

b3N3*  (x1)=  7-0.1201(10)= 

5.799

１ 階 差 分 商 の 表 か ら, (x1,  x2) -b2N2* 

(-19.33)+ 

0.2086(7.5) 

(x1,x2)  -b3Ns*(x1,  = 5.886

x2)

が 得 ら れ る. 従 っ て, 求 め よ う と す るg=10  s(x)=5.799+5.886(x+3) 

と な る.

の 場 合 の 平 滑 化 ３次 自然 ス プ ラ イ ン は ,

＋0.1201N1(x)-0.2086 

N2(x)-0

.8917N3(x)

索    引 三重対角行列

140

ア  行 1価 関 数

121

19

自然 ス プ ラ イ ン

社会現象 109

重 みつ き残 差 法

カ

行

開曲線 階 数 階段関数

121 57

142

周 期 b-a  の ス プ ラ イ ン

93

消 滅 剰 余

32

剰 余 を持つNewton  の差 分商 補 間 公 式

53

40

助変数

120

６

拡 張 ス プ ライ ン

98

ス プ ライ ン関 数

確 率密度関教

65

ス プ ライ ン の微分 と積 分

20

正 規 化 さ れ た Ｂ-ス プ ラ イ ン 

89

正 値

71

カー デ ィナル ス プ ライ ン

基 底 局所台 曲面 の補間 近似誤差

142

61

切 断べ き関 数

９

88

節 点 線 形 線形汎関数 尖 点 選点法

４

130 34

区分的多項式関数

１

高階差分商 合流差分商 孤 形表現 誤 差

１

51

31 31 124 111

103

双 ス プ ライ ン

55

タ

138 40

サ 行 最 小二乗法 最 小補間性

111 24

“最 良 近 似 ” に 関 す る Ａ.Sard  の 理 論

34

差分商 差 分商表 残 差

49

行

多角形 多重節点 多重頂点 多重度 端 点 端点条件

126

92, 102 126 129 129 104

51

頂点数

126

34

頂 点 の移 動,付 加,削 除

126

デー タ点

3

デ ル タ関 数

111

等 間隔節点

79

ナ

“最 も滑 らか な ”補 間 関数 モ ー メ ン ト法

16 111

ヤ

行

屋根型関数

65

有限要素法

109

行

内 点 内部節点

63 92 124

滑 らか な閉 曲線

二 次形式 ２変数関数

72

ラ

行

連結点 連続微分可能

４

32

60

  ABC

ハ 行

Bernstein 

多項式

125

汎 関数 半正値 半負値

31

Bezier  曲 面

72

Ｂース プ ラ イ ン

72

Ｂース プ ラ イ ンの 微 分 算 法

微分近似公式 微 分方程式 頻度曲線

34

CAD

 118

109

CAM

 118

130

60

Ｂース プ ラ イ ン を用 い た 曲 面

65

Ｃース プ ラ イ ン de  Boor-Cox 

116 130

19 91

の 算 法

付加節点

92

Galerkin 

負 値

71

Gauss  の 消 去  法

85

Lagrange 

14

平滑化 平面曲線 変分原理

の 公式

Leibniz の 積 に関 す る差 分 商 公 式

90

120

Ｎース プ ライ ン

68

109

Peano  核

34

Peano  の 定 理

32

80

補間関数

111

法

14

Rayleigh-Ritz法

109

Schoenberg-Whitney 

マ   行

丸 めの誤差

Si3pson  48

Taylor 

の積 分近 似 公 式

３

Whittaker 

95 34

33

の定 理

Vandermonde 

“最 も滑 らか な”関 数

の 条 件

形

の方法

57 80

＜著者紹介＞

桜井明     東京大 学理 学部物理学科卒業(1944)     理学博士(1955)     東京電機大 学名誉教授 石井  好                

都立航 空工業高等 専門学校卒業(1967) 東京電機大学大 学院 修了(1975) 都立航 空工業高等専門学校教授 工学博士(1991)

吉村和美     静岡大学理学部物 理学科 卒業(1970)     東京電機大学大 学院修了(1975)     ASI総 研(株) 高山文雄     東京理科大学理学部物理学科 卒業(1974)     東京電機大学大学院修了(1977)     い わき明星大学理工学部電子 工学科 助教授

情 報 科 学 セ ミナ ー ス プ ラ イ ン 関数 入 門 1981年 ６月30日  第 １版 １刷 発 行 1997年11月20日

編 著者  桜 井   明

  第 １版10刷 発 行 発行者 学校法人 東 京 電 機 大 学      代 表 者 発行 所

廣

川  利  男

東 京 電 機 大 学 出 版 局

      〒101     

東京 都 千 代 田区 神 田錦 町2-2

      振 替 口座   00160-5- 

71715

      電 話  (03)5280-3433             (03)5280-3422

(営 業) (編 集)

印刷 ㈱ 秀好 堂印刷 製本 ㈱ 徳往製本所

〓   Sakurai 

装 丁  高 橋壮 一

Printed 

Akira 

1981

in Japan

    *無 断 で転 載 す る こ と を禁 じ ます 。   

*落 丁 ・乱 丁 本 はお 取 替 えい た し ます 。

        ISBN  4-501-50250-9  Ｒ

C3041

<日 本 複 写 権 セ ン タ ー 委 託 出 版 物 ・特 別 扱 い>

デ ー タ解 析 ・信 号 処 理 関連 図 書 数 理科 学 セ ミナー

数 理 科学 セ ミナー

ウ ェー ブ レ ッ ト入 門

ウ ェー ヴ レッ ト ビギ ナ ー ズ ガ イ ド CD-ROM(Mathematicaプ ログラム)付

チ ャールズ Ｋ.チュウイ著 桜 井/新井 共訳 A5判 306頁 フー リエ解析の欠点を補 う強力な手段として,ウェー ブ レット解析が数学,物 理の基礎研究から信号処理, 情報等の工学的な応用まで,あ らゆる分野で話題で ある。その基礎的知識を与える待望の入門書。

榊原 進 著 A5判 242頁 理工系大学高学年の教科書として,さ らに信号処理 やデータ解析エンジニアを対象に,応 用を目標 とし たウェーブレットの入門書。

情報科学セミナー ス プ ラ イ ン関 数 入 門

数 理 科 学 セ ミナ ー

桜井 明 編 著 A5判 184頁

遠藤 A5判

任意 の点 を滑 らかに結 ぶ曲線 を描 くスプ ライ ン関数 は,デ ー ク解析 や処 理,コ ン ピュー タ グラ フィック に と幅広 い分野 で活用 されて い る。 基礎 理論や 初歩 的 な性質 か ら応用 まで わか りやす く解 説 した。

ウォル シュ解析 は,PCM信 号 等の離 散 デー タの解 析 に最適 であ り,過 渡的 ・衝撃的 現象や脳 波等 の解 析 に も応用 され てい る。 この デジタル 時代 にふ さわ しい ウォル シ ュ解 析の基 礎理 論を解説 した。

ビギ ナ ー ズ

ウ ォ ル シ ュ 解 析 靖 著 218頁

情 報 科学 セ ミナー

デ ジ タ ル 信 号 処 理

マ ル チ ス プ ラ イ ン

中村 尚五 著 A5判   192頁

チ ャー ル ズ Ｋ.チ ュ ウイ著 桜 井/新 井 共 訳 A5判 210頁 80年 代 以降,多 変数スプ ライ ン(マ ル チスプライ ン) の研 究が本格 化 し,め ざま しい発展 を とげ大 きな分 野 となった。高次元 のデー タ処理や ３次元CAD等 の 応用 に向 けて,最 新の理 論 を解 説 した。

デ ジタル 信号処理 を入 門者 に も分 かる よ うに ていね い に解説 したシ リー ズ三部作 の第 一弾。デ ジ タル 信 号 処理 の基本概念 につ いて,信 号 を時間 の世界 で処 理 する ことを中 心に,て いね いに解 説 した。

ビギナーズ

ビギ ナ ー ズ

デ ジ タ ル フー リエ 変 換

デ ジ タ ル

中村 尚五 著 A5判 200頁 フー リエ 変換 を用 い,周 波数 の世界 にお ける信号 処 理 を取 り上げる。DFT,  FFTの 原 理 を詳 しく説 明 し た後,FFTの 応用例 を解説 した。特 に数 式の展 開は 工科系 の学生 にも理解で きるよ うにていねいに した。

中 村 尚五 著 A5判 192頁

フ ィ ル タ

デ ジタル フィル タの原理 を理解 し,読 者 が必要 に応 じて 開発 でき るこ とを 目標 に した。具体 的な システ ム を応 用例 にあ け,ソ フ トウェアとハー ドウェ アを 含 め解 説 した。

ユ ーザ ー ズ

プラ クテ ィス

デ

デ ジ タ ル 信 号 処 理

ィ ジ タ ル 信 号 処 理

江原義郎 著 AB判 208頁 これ か らデ ィジ タル 信号 処理 を学 ぼ うとす る者,あ る いは現在,特 にこの分 野の知 識 な しに信 号の処 理 を行 って いる信号処 理 システ ムのユー ザー やエ ンジ ニ アを対象 とした入 門書 であ る。

イ ブ ・ トー マ ス/中 村 尚五 著 A5判 216頁 基本 とな ってい る例題 を繰 り返 し演 習す るこ とによ り,効 率 よくデ ジタル信号処 理 を学べ る ように編集 。 大学 の演習 のみな らず,関 係 技術 に携 わ るエン ジニ アや基 礎知識 のあ る人向 けの入門 書であ る｡

*定 価,図 書 目録 のお問い 合わ せ ・ご要望 は出版 局 までお願 い致 します.

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