情 ★報 ★科 ★学
スプライン 関数入門 桜井 明 編著
東京電機 大学 出版局
R く日本 複写 権 セ ン ター委 託 出 版物 ・特 別 扱 い) 本書 の 無 断複 写 は,著 作 権 法 上 で の例 外 を除 き,禁...
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情 ★報 ★科 ★学
スプライン 関数入門 桜井 明 編著
東京電機 大学 出版局
R く日本 複写 権 セ ン ター委 託 出 版物 ・特 別 扱 い) 本書 の 無 断複 写 は,著 作 権 法 上 で の例 外 を除 き,禁 じら れて い ます。 本 書は,日 本複 写権 セ ン ター 「出版 物 の複 写利 用 規程 」 で定 め る特 別 許諾 を必要 とす る出版 物 で す。 本 書 を複 写 され る場合 は,す で に 日本 複 写 権 セ ン ター と包 括契 約 をされ てい る方 も事 前 に 日本 複 写権 セ ン タ ー (03-3401-2382)
の 許 諾 を得 て くだ さ い 。
ま
ス プ ラ イ ン 関 数 は,区 関 数 で あ る.こ で あ る.こ
え
き
分 的 に 多 項 式 で 表 わ せ て,し
れ は 別 の 面 か らい え ば,階
の よ う に,そ
が
か も適 当 な 滑 らか さ を持 つ
段 関 数 を何 度 か 積 分 し て 得 ら れ る関 数
れ 自体 は 簡 単 な も の で あ る が,区
分 的 な た め,複
雑 な形
を し た 関 数 を 能 率 よ く近 似 で き る と い う抜 群 に す ぐれ た 性 質 を 持 っ て い る.こ
の
た め,情 報 処 理 技 術 の 発 展 と も関 連 し て 各 方 面 で ま す ま す 重 要 に な っ て き て い る. ス プ ラ イ ン関 数 はSchoenbergが 名 し た も の で あ る.そ な の で,そ
そ の1946年
の論 文[1]に お い て 定 義 し,命
の 際 の エ ピ ソ ー ドと して,そ
れ が あ ま りに簡 単 で か つ有 効
れ ま で 未 発 見 で あ る と は 到 底 信 じ られ な か っ た とい う.も
っ と も,原
始 的 な形 で は 人 口統 計 な どに 関 連 し て 保 険 数 学 の 分 野 で す で に 使 わ れ て い た こ と は 本 文 の 小 史 に し る され て い る と お りで あ る. ス プ ラ イ ン の 名 は 製 図 で 図 面 上 に 与 え られ た 点 列 を滑 らか に む す ぶ 曲 線 を描 く の に 用 い る 道 具(自 れ る 曲 線 が,こ
在 定 規)か
ら取 ら れ て い る.こ
の 時,こ
の 定 規 に よ っ て描 か
れ ら の 点 列 を通 る 3次 の ス プ ラ イ ン 関 数 に 対 応 し て い る わ け で あ
る. こ の 例 の よ うに,ス う.実 際,そ
れ は,従
プ ラ イ ン関 数 は 補 間 や 関 数 近 似 な ど を ご く 自然 の 形 で 行 な 来 か ら の 多 項 式 近 似 な どに 比 べ て 振 動 が 少 な く,局 所 的 に
も無 理 の な い よい 近 似 を与 え る.こ 記 憶,ま
た い わ ゆ る,曲
線,曲
の こ とは,実
験 デ ー タ の 近 似,曲
線 や 曲面 の
面 の 設 計 な ど 多 くの 実 用 的 問 題 に 利 用 さ れ て い
る. 一 方,こ
れ は,数
値 微 分 や 数 値 積 分 に も 有 用 で あ る.と
くに,数
値積 分 は ス プ
ラ イ ン 関 数 を 当 て は め る こ と と 本 質 的 に 関 連 し て い る こ と は 本 文 に 示 す と お りで あ る.ま
た,数
値 微 分 が 精 度 よ くで き る こ と も広 い 応 用 が あ る.さ
程 式 の 数 値 解 に も有 用 で あ る.こ
れ に 関 連 し て,有
ら に,微
分方
限要 素 法 で普 通 に使 わ れ る近
似 解 は,あ
る 滑 らか さ を持 っ た 区 分 的 多 項 式 と い う意 味 で,ス
も の で あ る こ と に 注 意 し た い.こ の パ ー テ ィの お り,こ
の こ とに つ い て,Schoenberg教
れ は ち ょ っ と我 田 引 水 と思 うが,せ
い う名 前 が あ る の に,有
プ ラ イ ン関 数 そ の. 授 も,お
っ か く,ス
宅で
プ ライ ン と
限 要 素 な ど と別 な 言 葉 を 使 う の は 無 駄 とい う も の だ と冗
談 ま じ りに 述 べ て お られ,た.以
上 の よ うな有 用 性 の た め数 値解 析法 全 般 を ス プ ラ
イ ン関 数 を用 い て 書 き改 め るべ き だ との 議 論 さ え あ る.
と こ ろ で,ス
プ ライ ン 関 数 を近 似 解 に 使 う こ と は,数
点 で 合 理 的 で あ る.例
え ば,差
分 法 に よ る 解 で は,格
学 的 に 見 て もい ろい ろ な
子 点 の 中 間で の値 は原則 と
し て 無 い が,ス
プ ラ イ ン で の場 合 は そ れ が 自動 的 に 与 え られ て い る こ とは 自然 で
あ る.ま
分 方 程 式 の 解 に 要 求 され る 滑 らか さ は 数 学 的 に は そ の 式 に 含 まれ
た,微
る 微 分 の 程 度 で あ るべ き だ が,古 数 な ど,い
典 的 な 近 似 解 で は しば しば 多 項 式 や 有 限 三 角 級
わ ば 完 全 に 滑 ら か な 関 数 が 用 い られ て い る.こ
れ に 対 し て,ス
プ ライ
ン に よ る近 似 解 は 要 求 され る 滑 ら か さ で 求 め る こ とが で き る. さ ら に,こ い る.こ
れ に 関連 して ス プ ライ ン関数 自体 が数学 的 に興 味 あ る性質 を示 して
れ は,こ
の 関 数 が 関 数 空 間 で の 取 扱 い に 適 して い る こ と も あ っ て,そ
の
方 面 の 研 究 が 大 い に 行 な わ れ て い る. ス プ ラ イ ン 関 数 の 発 見 は 上 述 の よ うに1946年
の こ とで あ る が,そ
認 識 され 始 め た の は1960年
れ 以 来,そ
代 の こ と で あ る,そ
用 に つ い て の 研 究 が 盛 ん に な り,そ
が 国 に お い て も と くに 最 近 で は 情 報
の 応 用 が 各 方 面 か ら注 目 され て い る.
本 書 の 原 本 で あ る 「Spline Functions and ApPlications」 学 数 学 研 究 所,T. N. E. Greville教
授 に よ っ て,研
会 の テ キ ス トと し て 書 か れ た も の で あ る.私 い た だ い た の で あ る が,そ い た.そ
の 際,こ
の 後,当
時,東
は, Wisconsin大
究 所 で の1970年
は それ をGreville教
の専 門 講 習 授 よ り親 し く
京 電 機 大 学 大 学 院 で テ キ ス ト と して 用
れ が 非 常 に よ く書 か れ て い る こ と に 一 同 深 い 感 銘 を 受 け ,輪
に も 熱 が 入 っ た.実 が,そ
の基礎 理 論 お よび応
の 成 果 と と も に 数 多 くの 成 書 も出 版 され て い
る こ とは 巻 末 の 文 献 に 見 る と お りで あ る.わ 処 理 技 術 の 発 展 と相 ま っ て,そ
の 重要 性 が
際,そ
れ は 平 易 で あ る が 厳 密 性 は 失 わ ず ,応
の 有 用 性 は 十 分 に 強 調 され,そ
講
用 に は偏 しない
の よ く準 備 され た 問 題 と と も に 単 に ス プ ラ
イ ン入 門 書 と して だ け で な く,応 用 数 学 特 殊 題 目 と し て も 面 白 い も の で あ る .こ の た め,こ
の うわ さが 広 が り,そ
れ 申 し込 み が 引 き続 き,原
の 研 究 室 な ど か ら も テ キ ス トの 借 入
本 ほや が てぼ ろぼ ろ に な った ほ どで あ った.
そ の と き の 感 銘 が 忘 れ られ ず,当 間 で,こ
の 後 も,他
時 の 大 学 院 生 の 有 志(石
井,吉
村,高
の 原 本 を 元 に し て 出 版 し た ら と い う こ と に な り,Greville教
是 非 を お うか が い し た と こ ろ 好 意 的 な お 返 事 を い た だ い た.た
山)の
授 に もその
だ し,教 授 が こ の
デ キ ス トを 書 く に 当 た っ て 米 国 政 府 研 究 費(No.DA-31-124-ARO-D-462)の 助 に よ っ た こ と だ け は 書 い て お い て くれ とい う の で,そ
援
れ を こ こに記 す次 第 で あ
る. 原 本 は こ の よ うに よ く書 け て い る が,実
際 の 応 用 例 が ほ とん ど な い こ と,お
び 書 か れ た あ との 十 年 間 の 進 歩 に 対 す る 空 白 が あ る わ け で あ る.こ で,第
6章 を 設 け て,二,三
の 応 用 例 に つ い て 述 べ,ま
新 しい 文 献 を つ け 加 え る ほ か,注
れ を 補 う意 味
た最 近 の進 歩 に つい ては
な ど に よ り補 う こ と に し た.た
だ し,近 年 の 理
論 的 発 展 は 本 書 の よ う な 入 門 の 程 度 を越 え た 高 度 の も の が 多 く,そ は も ち ろ ん 入 れ て な い.ま
よ
た 原 本 の 練 習 問 題 に は 解 答 は な い の で,便
の よ う な もの 宜 のた め略
解 を つ け た. な お 翻 訳 に 当 た っ て は 必 ず し も原 本 に 忠 実 で な く,ま
た理 解 を助 け る た め に 注
を つ け た 場 所 も多 い. 最 後 に,本
書 の 出 版 に 当 た っ て,こ
学 出 版 局 一 同 に,心
1981年
れ を心 よ くお 引 受 け い た だ い た 東 京 電 機 大
か らの 感 謝 の 意 を表 す る も の で あ り ま す.
6 月
桜
井
明
原 本 まえが き
ス プ ラ イ ン関 数 は 科 学 や 工 学 で 広 く応 用 さ れ て い る.そ 自 身 は 簡 単 な関 数 だ が,他 性 質 に よ っ て い る.す と な っ て い る)の
プ ライ ン 関 数
の 複 雑 な 関 数 を た くみ に 近 似 す る こ と が で き る とい う
な わ ち,ス
プ ライ ン関 数 は 区 分 的 多 項 式(区
間毎 に多項 式
一 種 で あ り,「 最 良 近 似 問 題 」 の 解 の 多 くが ス プ ラ イ ン 関 数 で
表 わ され る か ら で あ る.一
般 に,関
変 だ と い う こ と も あ る し,そ 例 え ば,そ
れ は,ス
数 が 複雑 で あれば それ を直 接 計 算 す るの は大
も そ も数 式 で 表 わ さ れ て い な い とい う場 合 も あ る.
れ が 実 験 値 で しか 与 え られ て い な い 場 合 な どで あ る.
こ の よ う な場 合,ス
プ ライ ン関 数 は普 通使 れ てい る多項 式近 似 よ りもは るか に
適 して い る.ま
れ は 補 間 や 微 分 方 程 式 の 数 値 解,あ
た,そ
るい は定 積分 の数 値 計
算 な どに も適 し て い る. こ の 講 義 の 内 容 に つ い て 第 1章 で は,ス い 方 に つ い て 一 般 的 注 意 を与 え,さ
プ ラ イ ン 関 数 の 定 義,性
ら に,そ
質,お
よび使
れ ら を簡 単 な 例 で 説 明 し て い る.ま
た,任
意 の ス プ ラ イ ン関 数 を簡 単 な 代 数 式 で 表 わ す こ と に つ い て も 取 り扱 っ て い
る.第
2章 で は,自
然 ス プ ライ ン(natural
spline)と
い うス プ ラ イ ン 関 数 の 重
要 な 属 を定 義 し,関 数 が そ の 自然 ス プ ラ イ ン で 一 義 的 に 補 間 さ れ る とい う定 理 を 証 明 す る.さ で,最
らに,自
然 ス プ ラ イ ン に よ る補 間 は 最 も滑 らか で あ る と い う意 味
小 性 を 持 つ と い う定 理 を証 明 す る.第
も の で あ り,そ れ に は 残 差 に 関 す るPeanoの す るSardの わ ち,与
理 論 が 含 ま れ る,さ
形 汎 関 数 の近 似 に 関 す る
定 理 や 線形 汎 関 数 の最 良近 似 に 関
ら に,I. J. Schoenbergが
発 見 し た 性 質,す
え られ た 汎 関 数 に 対 す る 最 良 近 似 を 見 い だ す こ と は,対
ラ イ ンの 補 間 関 数 へ,こ れ る.第
3章 は,線
4章 で は,差
イ ン とい うの は,局
な
応 す る 自然 ス プ
の 汎 関 数 を 適 用 す る こ と と等 価 で あ る と い う性 質 も 含 ま
分 商 の 性 質 と B-ス プ ラ イ ン の 性 質 を 展 開 す る.B-ス 所 的 な 台(limited
support;第
4章 図4・5参
照)を
プラ 持つス
プ ラ イ ン 関 数 で,ス
プ ラ イ ン 関 数 属 の 基 底 を形 成 し,実 際 の 計 算 に お い て 重 要 な
役割 を演 ず る も の で あ る.第
5章 で は,自
然 ス プ ラ イ ン で 補 間 を行 な うた め の 数
値計 算 の ア ル ゴ リ ズ ム に 関 す る も の で あ る.ま の平 滑 化 の 方 法(smoothing
method)を
た,SchoenbergがWhittarker
応 用 し て 求 め た 自 然 ス プ ライ ン に よ る
平滑 化 法 を 考 察 して い る. 本 講 義 の 目的 は ス プ ラ イ ン 関 数 の 初 歩 的 な 性 質 と 応 用 に つ い て の 入 門 を わ か り や す く述 べ る こ と に あ る.従 で あ る.と
っ て,必
要 と す る 数 学 は 代 数 と微 積 分 の 初 歩 で 十 分
こ ろ で 本 書 は ス プ ラ イ ン関 数 の 初 歩 的 部 分 だ け に つ い て も す べ て 網 羅
し て い る とは 言 え な い が,各
章 の 終 わ りに つ け た 小 史 と 参 考 文 献 で 相 当 量 が 補 わ
糺 て い る は ず で あ る. 本 書 の 準 備 に 当 た っ て J.W. Jerome, B. Noble, J. B. Rosser, L. L. Schumaker 特 に,I.J, Schoenbergに
お 世 話 に な っ た.彼
らに は題 材 の選 択 につ い ての 議論
と構 成 に つ い て の 助 言 を い た だ い た こ と に 感 謝 す る. 本 書 が ス プ ラ イ ン関 数 に 興 味 あ る読 者 へ の 一 つ の 刺 激 と な れ ば 幸 い で あ る.
T.T. E. Greville
次
目
第 1章 ス プライ ン関数 の定 義 とそ の基 本 的 性質 1
ス プ ライ ン関 数 とは
1・2
ス プ ライ ン関 数 に よる曲 線 当 ては め
1
1・3
近 似 関 数 と し て の ス プ ラ イ ン関 数 の 利 点
2
1・4
ス プ ラ イ ン関 数 の 簡 単 な 例
4
1・5
ス プ ラ イ ン関 数 の 数 学 的 定 義
7
1・6
切断 べ き関数
1・7
ス プ ラ イ ン関 数 の 切 断 べ き 関 数 に よ る表 示
1・8
第 1章 に 関 す る 小 史
12
演 習問 題 1
13
8
1・1
第 2章
9
“最 も滑 らかな ”補 間 の問題
2・1
多 項 式 に よ る補 間 ―Lagrangeの
2・2
“最 も 滑 らか な ” 補 間 関 数
公式
プ ライ ン
14 16 18
2・3
自 然 ス プ ラ イ ン と C-ス
2・4
ス プ ラ イ ン の 微 分 と積 分
20
2・5
自然 ス プ ラ イ ン と C-ス プ ラ イ ン の 性 質
21
2・6
自然 ス プライ ンの最 小 補 間性
24
2・7
第 2章 に 関 す る小 史
28
演 習 問題 2
30
第 3章 線形汎関数の近似 3・1
線 形 汎 関 数
31
3・2
Peanoの
32
3・3
汎 関 数 の 最 良 近 似 に 関 す る Sard の 理 論
34
3・4
自然 ス プ ラ イ ン に よ る 線 形 汎 関 数 の 近 似
35
定 理
3・5
Schoenbergの
定 理
3・6
例
3・7
自然 ス プ ラ イ ン に 対 し て 厳 密 な 近 似
44
3・8
第 3章 に 関 す る 小 史
45
演習 問 題
46
題
3
38 41
第 4章 差 分 商 と B-ス プ ライ ン 4・1
補 間 自 然 ス プ ラ イ ン の 計 算
47
4・2
差
49
分
商
4・3 高階 差 分 商 の 関数 値 に よる表 現
51
4・4
Newtonの
52
4・5
多 項 式 の 差 分 商
55
4・6
B-ス プ ラ イ ン と差 分 商 との 関 係
55
4・7
B-ス
プ ラ イ ン の 性 質
61
4・8
第 4章 に 関 す る小 史
66
演習 問 題
67
第 5章
差 分 商 補 間 公 式
4
自然 ス プ ライ ン の計 算 法 と平 滑 化 ス プライ ン
5・1
N-ス プ ラ イ ン で 表 現 され る 自然 ス プ ラ イ ン
68
5・2
連 立 一 次 方 程 式 の 元 の 縮 小
71
5・3
ス プ ラ イ ン 係 数 の 計 算
73
5・4
例
題
74
5・5
計 算 につ い て の一 般的 な注 意
77
5・6
他 の 方 法 に よ る “最 も滑 らか な ” 補 間 ス プ ラ イ ンの 導 出
79
5・7
デ ー タ 点 を 平 滑 化 す る 自然 ス プ ラ イ ン
80
5・8
平 滑化 自然 ス プライ ンの計 算 概要
84
5・9
ス プライ ン関数 の そ の 他の 応 用
86
5・10 第 5章 に 関 す る 小 史
86
演 習 問題 5
86
第 6章 ス プ ライ ン関数 の種 々の応 用 6・1
B-ス
6・2
拡 張 ス プライ ン
6・3
プ ライ ン を 用 い た 補 間
2次 元 の 補 間 ス プ ライ ン
6・4 微分 方程 式 へ の応 用 の応 用
88 97 103 109 118
6・5
CAD/CAMへ
6・6
医 用工 学 へ の応 用
137
6・7
社 会現 象 へ の応 用
142
録
146
文
献
150
演習問題の解答
154
索
172
引
付
第 1章 ス プ ラ イ ン関 数 の 定 義 とそ の基 本 的 性 質
1・1
スプ ラ イ ン関数 とは
ス プ ラ イ ン 関 数(spline function)の 一 口で 言 え ば ,n nomial
function)で
数 学 的 に 厳 密 な 定 義 は あ とで 述 べ る が,
次 の ス プ ラ イ ン関 数 とは 区 分 的 多 項 式 関 数(piecewise あ る.す
な わ ち,そ
n次 の 違 った 多 項 式 曲 線 で 定 義 され,し
れ は 小 区 間 内 で は,そ
れ ぞ れ,た
polyかだか
か も そ れ ら は 互 い に で き る だ け 滑 らか に
つ な が っ て い る よ うな も の で あ る.こ
の 場 合,そ
の 関数 が 特 別 な場 合 に単 一 の 多
項 式 に な る こ とは 差 し支 え な い が,全
区間 で単 一 の 多項 式 に な る必 要 は ない とい
うこ とが 重 要 で あ る. 「ス プ ライ ン」 と い う言 葉 は,製 を 意 味 して い る.こ
図 の と き滑 らか な 曲 線 を描 く道 具(自
の 道 具 は 図1・1の
図1・1
よ うな もの で,与
え られ た デ ー タ点 の 近 く
自在定 規 とお も り
を 通 る よ うに 自 由 に 曲 げ る こ とが で き,し りが つ い て い る.自
在 定 規)
か も 固 定 で き る よ うに い くつ か の お も
在 定 規 に よ っ て 描 か れ た 曲 線 は,近
似 的 に は 3次 の ス プ ラ イ
ン 関 数 の 表 わ す 曲 線 で あ る こ とが わ か っ て い る[1]*.
1・2
スプ ラ イ ン関数 によ る 曲線 当 ては め
前 節 で 見 た よ うに ス プ ラ イ ン関 数 で 曲 線 を 当 て は め る こ と(curve-fitting)は, *[]内
の数 は 巻 末 の文 献 の番 号 を示 す.
雲 形 定 規 や 自在 定 規 に よ っ て 曲 線 を 描 くか わ りに そ れ を 数 式 的 に 行 な っ て い る こ と に 当 た る.こ
の よ うに 数 式 的 方 法 を 用 い る と 以 下 の よ うな 利 点 が あ る.
雲 形 定 規 や 自在 定 規 で 製 図 す る 場 合 に 得 られ る 曲 線 は,人 が 生 ず る.こ
れ に 対 し,数 式 を 用 い て 行 な う場 合 に は,そ
異 な っ て い て も 結 果 は 同 じ は ず で,い
に よっ て多 少 の違 い
れ を計 算 す る計 算 機 が
っ た ん パ ラ メ ー タが 決 ま れ ば,同
じデ ー タ
に 対 して は い つ で も同 じ程 度 に 当 て は ま る ス プ ラ イ ン 関 数 が 得 ら れる.も ん,ま
る め に よ る 小 さ い 誤 差 は 除 外 して の 話 で あ る.こ
「標 準 化 され た 」 手 続 き で あ り,使
ちろ
の よ うに 数 式 的 方 法 は,
用 す る 側 の 個 々 の 判 断 が 違 っ て も,そ
れによ
っ て 影 響 を 受 け る こ とは な い. こ の 最 後 の こ とは あ ま り強 調 しす ぎ る と よ くな い.そ
れ は,ス
次 数 や そ の パ ラ メ ー タ を 決 め る た め に 必 要 な 解 析 的 条 件 が,使 の 場 合 の 判 断 は,雲
プ ライ ン 関 数 の う側 の 判 断 で 変 わ
る か ら で あ る.し
か し,こ
断 と は 違 っ て,何
に 基 づ い て い る か が 客 観 的 に は っ き り して い る.従
方 法 で 得 られ た 曲 線 に つ い て,利
形 定 規 や 自在 定 規 を 使 う場 合 の 判 っ て,こ
の
用 で き る か ど うか の 吟 味 が 客 観 的 に で き る こ と
に な る. 数 式 的 方 法 に よ る 場 合 は,も る か も知 れ な い.し い.し
か も,必
か し,そ
要 な の は そ こ で 得 られ た パ ラ メ ー タ だ け で,そ
リ ー や 磁 気 テ ー プ,カ き る.ま
ち ろ ん 計 算 が 必 要 で あ り,そ れ は 大 量 の 計 算 に な
れ は プ ロ グ ラ ム 化 され て い れ ば そ れ ほ ど重 大 で は な
た そ の 場 合,得
ー ドな ど に 保 存 し て お け ば,関
れ を計 算 機 の メ モ
数 の値 自身 は 容 易に 計算 で
られ る 関 数 値 に は 非 常 に 小 さい 誤 差 しか 含 ま れ ず,グ
フ上 の 曲 線 を 目 で 読 ん だ 値 よ り は る か に 正 確 で あ る.さ
ら に,そ
ラ
の 曲線 が実 際 に
どん な 形 か を 調 べ る に は,計 算 機 と 連 結 した 自 動 プ ロ ッ タや グ ラ フ ィ ック デ ィ ス プ レ イ な どが 役 立 つ だ ろ う.
1・3
近 似 関数 と して の スプ ラ イ ン関数 の利 点
多 項 式 は非 常 に簡 単 な 関数 で あ って,そ の性 質 も良 く知 られ て お り,取 り扱 い も容 易 な の で,他 の関 数 を記 述 す る のに 最 も広 く用 い られ て い る.ス プ ライ ン関 数 は 区分 的 多 項 式 で あ り,そ の 扱 い は多 項 式 と同 様 に簡 単 で ある.現 在 ま での経
験 か ら,与 数)を
え ら れ た 関 数(あ
る い は,与
え ら れ た デ ー タ点 の 集 合 の み か ら な る 関
ス プ ラ イ ン関 数 で 近 似 した も の と,そ
で 近 似 した も の と を,パ
れ を全 区 間 にわ た って一 つ の 多項 式
ラ メ ー タ の 数 が ほ ぼ 等 しい 場 合 に つ い て 比 較 す る と,ス
プ ラ イ ン 関 数 の ほ うが,近
似 の 程 度 が 同 じ な ら よ り滑 ら か で あ り,滑
度 が 同 じな ら よ り近 い 近 似 と な る こ と が わ か る.も っ て,後
で 当 て は め た 曲 線 の 滑 らか さ,お
定 義 す る.さ
らに,経
験 に よ っ て,ス
ち ろ ん,こ
らか さ の 程
れ は大 体 の 話 で あ
よびそ のデ ー タに対 す る近 さを厳 密 に
プ ラ イ ン関 数 は 元 の 関 数 の 低 階 微 分 に 対 し
て も,多 項 式 の 場 合 よ り よい 近 似 を 与 え る こ と も わ か っ て く る. 以 上 の よ うな ス プ ラ イ ン関 数 の 種 々 の 優 れ た 性 質 は,単 経 験 に 基 づ い て だ け 主 張 され る わ け で は な い.こ て お り,実 際,本
に 数 値 的 な計 算 に よ る
の 関 数 は 驚 くべ き 最 適 性 を 持 っ
書 の 第 3章 で 詳 し く説 明 す る よ うに,あ
る 意 味 で 「最 良 」 の 近
似 関 数 で あ る こ とが 示 さ れ る. ま ず,こ
こ で は 簡 単 な 問 題 の 説 明 か ら始 め る こ と に し て,次
う.(x1,y1),(x2, こ こ で,横 とす る.そ
y2),…,(xn,
yn)を,与
座 標x1,x2,…, xnは
のこ と を 考 え よ
え ら れ た デ ー タ 点 とす る.
開 区 間(a, b)に 含 ま れ, a<x1<x2<…<xn
こ で,こ の n 個 の 点 を 通 る 関 数f(x)を
見 い 出 そ う.す
な わ ち,f(x)
は条 件 f(xi)=yi
(i=1,2,…n,)
を 満 足 し な け れ ば な ら な い.関
数f(x)は
閉 区 間[a,b]で
定 義 さ れ,そ
の k階 微
分 ま で が こ の 区 間 の い た る と こ ろ で 存 在 す る と し よ う(た だ し,k は n よ り小 さ い 正 の 整 数 で あ る).も
ち ろ ん,こ
れ らの 条 件 を 満 た す 関 数 は 無 限 に 存 在 す る.
こ の 無 限 集 合 の 中 か ら,“ 最 も滑 らか な” 関 数 を求 め る.た と い うの は,積
分
a ∫b
σ=
だ し,“最 も滑 らか な ”
[f(k)(x)]2dx
が 可 能 な 限 り小 さ い こ と を 意 味 す る.こ し,そ れ が2k-1次
の意 味 で の最 良補 間 関 数 が た だ一 つ 存 在
の ス プ ラ イ ン関 数 で あ る こ とが 後 で わ か る.
1・4
ス プ ラ イ ン 関 数 の簡 単 な 例
ス プラ イ ン関数 の性 質 を理 解 す るた め に,次 の よ うな 3次 の ス プ ライ ン関 数の 簡単 な例 を考 えて み よ う.
(1・1)
こ こ でf(x)は,六 い る.こ
つ の 小 区 間 の 各 々 で,異
れ ら の 小 区 間 を 与 え る 座 標(こ
な っ た 多 項 式 に よ っ て 与 え られ て
の 場 合 ,-3,-1,0,3,4)を
(knots)と
い う 〔著 者 に よ っ て は 連 結 点(joints)と
点 で は,そ
の 点 の 左 右 ど ち ら側 の 式 で もf(x)は
例 え ば,x=-3の =7と
な る .こ
側 か ら は28+25x+9x2+x3
の こ と は 他 の 節 点 で も同 様 で あ る. 表 わ され るf(x)は,全
続 で か つ,一
価 の 関 数 と な る.こ
対 して 単 一 の 式 で は 表 わ して い な い が,も で 表 わ さ れ な け れ ば な ら な い,と
実 軸 上 で 定 義 さ れ た(well こ で,式(1・1)はf(x)を
ち ろ ん,連
い うこ とは な い 。
で わ か る が,適
る 関 数f(x)を
た だ 一 つ の 関 数 で 表 示 す る こ とが で き る .こ
使 う も の で あ っ て,別
全 領域 に
続 関数 は 数学 的 に単一 の 式
実 際 に は,後
f(x)が
々の 節
同 じ値 に な る.
左 側 の 式 か らは1-2x=7,右
そ の 結 果,式(1・1)で defined)連
一 般 に節 点
呼 ぶ こ と も あ る〕.各
当 な 数 学 的 記 号 を 用 い れ ば,式(1・1)で
与 え られ
の 単一 表 示 は便 宜 上
に 本 質 的 な こ とで は な い.
各 々 の 小 区 間 で 3次 の 多 項 式 に よ っ て 表 示 さ れ る,と
い う こ と 自 体 は,
い つ で も 多 項 式 が 厳 密 に 3次 で あ る こ と を 意 味 す る わ け で は な い .な ぜ な ら 2次 の 多 項 式 は,当
然 の こ と な が ら 3次 の 多 項 式 でx3の
て 表 示 さ れ る か らで あ る.
係数 が 0とな った 場 合 と し
例 え ば,上
の 例 で は 小 区 間(-∞,-3)で
も,(4,∞)で
も 1次 の 多 項 式 に よ っ
て 与 え られ て い る. 後 で示 す が,式(1・1)で (-3,7),
定 義 され た 関 数f(x)は
(-1,11),
(0,26), (3,56), (4,29)
に 対 す る “最 も滑 らか な ” 補 間 関 数 で あ る.た
[f″(x)]2dx
の 座 標-3,-1,0,3,4
分
(1・2)
能 な 限 り小 さ くな る こ と を 意 味 す る.こ
こ で,a,b は,区
間(a, b)が 5点
を 含 む 任 意 の 有 限 区 間 で あ る よ うに と る.(x<-3,x>
4で はf″(x)=0と
な る).
次 に,式(1・1)の
関 数f(x)の
で の 微 分 は,そ
だ し,“ 最 も滑 らか な ” と は,積
a∫b
σ=
が,可
五 つ の デ ー タ点
微 分 を 考 え て み よ う.f(x)の
1階 か ら 3階 ま
れ ぞ れ 次 の よ うに 表 わ さ れ る.
(1・3)
こ こ で,1
階 お よ び 2階 微 分 は x に つ い て の 連 続 な 関 数 で あ る.例
え ば,f′
(-3)=-2は
小 区 間(-∞,-3)で
の 式,25+18x+3x2にx=-3を 点 で 存 在 しな い の で,区
の 値 で あ る が,こ
代 入 して も 得 られ る .し か し,3 階 微 分 は 各 節 間 は 開 区 間 に な っ て い る.こ
側 の 3階 微 分 が 異 な った 値 を 持 っ て い る.す
物 線(つ
そ の 3階 微 分 ま で を 図1・2に ま り 2 次 多 項 式)と
れ ら の 節 点 で は,左
な わ ち,関
続 と な っ て お り,4 階 以 上 の 微 分 は 節 点 以 外 で 0,そ f(x)と
れ は 小 区 間(-3,-1)で
数f〓(x)は
側 と右
節点 で 不連
して節点 では存 在 しない。
示 した, f′(x)の
グ ラ フは 各 小 区 間 で 放
な る 区 分 的 多 項 式 を 表 わ して い る.f″(x)の
グラ フ
図1・2 3次 の スプ ラ イ ン関数 とそ の微 分
は 各 節 点 を 頂 点 とす る 折 れ 線,つ
ま り各 頂 点 を 直 線 で 結 ん だ も の と な る.こ
のク
ラ フ の 左 端 の 頂 点 の 左 側 と右 端 の 頂 点 の 右 側 で は 水 平 の 直 線(つ
ま り,そ の 傾 き
は 0)で
い 換 え れ ば,そ
あ る.3
階 微 分 は 階 段 関 数(step-function)で
あ る.言
れ は 小 区 間 の 各 々 で 一 定 値 を 持 つ,つ ま り そ れ ぞ れ の 節 点 で 不 連 続 と な っ て い る. 左 端 の 節 点 の 左 側 と右 端 の 節 点 の 右 側 で は,そ
の 関 数 は 0で あ る 〔f〓(x)の
グラ
フ の こ れ らの 部 分 は 図1・2に
示 され て い な い 〕.
上 の 例 で 関 数 の 性 質 を や や 詳 しす ぎ る ほ ど見 て き た.そ に,こ
れ は後 で わ か る よ う
れ らが ス プ ラ イ ン 関 数 の 各 種 の 重 要 な 数 学 的 性 質 と密 接 に 関 係 し て い る か
ら で あ る. と こ ろ で,ス
プ ラ イ ン 関 数 に つ い て1・1節
で 次 の よ うに 述 べ た こ と を 思 い 出 そ
う. 「ス プ ラ イ ン関 数 とは,小
区 間 内 で 各 々 定 義 され た 多 項 式 曲 線 が,互
る だ け 滑 らか に つ な が っ て い る よ うな も の で あ り,こ
いに で き
の 場 合,全
区 間 で単 一 の 多
3階 微 分f〓(x)がxの
連続 関 数 で
項 式 に な る と い う条 件 は 必 要 で は な い 」 こ の こ と の 意 味 を 詳 し く調 べ て み よ う. い ま,あ
る 3次 の ス プ ラ イ ン 関 数f(x)の
あ る と し よ う.こ
の ス プ ラ イ ン関 数 は,各
え ら れ る か ら,3
階 微 分 は 各 小 区 間 で 一 定 値 で あ る.そ
続 な ら ば,そ
々 の 小 区 間 に お い て 3次 の 多 項 式 で 与 こ で も し,3
の 値 は す べ て の 小 区 間 で 同 一 の 値 を と る.と
が 一 定 の 関 数 は 3次 の 単 一 な 多 項 式 で あ る か ら,こ つ の(3 次)多 項 式 」 で あ る.従
っ て,3
項 式 と の 違 い は,最
階微 分 の 値
の ス プ ラ イ ン関 数 は 実 際
「一
次 の ス プライ ン関数 が小 区 間 で それ ぞれ
異 な る 3次 の 多 項 式 に よ っ て 与 え ら れ る た め に は,そ 続 点 が 現 わ れ な け れ ば な ら な い.す
こ ろ で,3
階微 分 が 連
な わ ち,ス
れ を 3階 微 分 した と き不 連
プ ラ イ ン 関 数 とそ の 同 じ次 数 の 多
高 階 の 微 分 が 多 項 式 の 場 合 は 一 定 値 と な るが,ス
プ ラ イ ン関
数 の 場 合 は 階 段 関 数 に な る とい う こ と で あ る.
1・5
スプ ラ イ ン関数 の数学 的定 義
前 節 で は 簡 単 な 例 に よ っ て,ス
プ ラ イ ン関 数 の 性 質 を 説 明 した.こ
こ で は,ス
プ ラ イ ン関 数 の 厳 密 な 数 学 的 定 義 を 与 え よ う. (定 義1-1)
m 次 の ス プ ラ イ ン 関 数 は,そ の m 階 微 分 が 階 段 関 数 で,m-1階
下 の 微 分 が 連 続 で あ る よ うな 関 数 で あ る. こ れ を も っ と簡 単 に 言 う と, (定 義1-2)
m 次 の ス プ ラ イ ン 関 数 は 階 段 関 数 の m 重 不 定 積 分 で あ る.
以
あ る い は,次
の 定 義 の ほ うが 長 くな る が,お
そ ら く も っ と直 接 的 で わ か りや す
い だ ろ う. (定 義1-3)
x1, x2,…, xnを
増 加 す る 実 数 列 と し よ う(こ れ ら の 点 を ス プ ライ
ン 関 数 の 節 点 あ る い は 連 結 点 と呼 ぶ).そ
うす る と,節
点x1,x2,…,xnを
つ m 次 の ス プ ラ イ ン関 数 と は,次 の 二 つ の 条 件(〓),(〓)を
持
満 た す 関 数s(x)
で あ る. (〓) 各 小 区 間(xi,xi+1)(た ∞ と と る)でs(x)は,m (〓) s(x)と
nと
し, x0は-∞,
微 分 は(-∞,∞)で
連 続 で あ る.
次 の ス プ ラ イ ン関 数 は 階 段 関 数 で あ り,こ の 場 合,条
適 用 し な い.ま
た,1
こ の 定 義 は,ス
xn+1は
次 か そ れ,以下 の 次 数 の 多 項 式 で 与 え ら れ る.
そ の 1,2,…, m-1階
た だ し,0
る,と
だ しi=0,1,…,
件(〓) は
次 の ス プ ラ イ ン 関 数 は 折 れ 線 で あ る.
プ ラ イ ン関 数 が 各 小 区 間 で は 必 ず 異 な った 多 項 式 で 与 え ら れ
は 言 っ て い な い こ と に 注 意 し よ う.(-∞,∞)で
単 一 の m 次 の 多 項 式 は,
m 次 の ス プ ラ イ ン 関 数 の 特 殊 な も の と考 え こ とが で き る. こ の こ と は(定
義1-1),(定
義1-2)か
ら み れ ば,い
た る ところ関 数 値が 一 定 で
あ る 関 数 は 階 段 関 数 の 一 種 で あ る,と
い う こ と と同 等 で あ る.m
関 数 は m 次 の 多 項 式 を 含 ん で い る,と
い う こ と を 用 い て,ス
の い くつ か を 証 明 す る こ とが で き る.も 価 で あ る.そ
れ ゆ え,ど
著 書 に よ っ て は,と 略 と し て 用 い る.筆
ち ろ ん,与
次 の ス プライ ン
プ ライ ン関数 の 性質
え られ た 上 の 三 つ の 定 義 は 等
の 定 義 を 選 ぶ か は ま っ た く 自 由 で あ る.
き ど き 「ス プ ライ ン」 とい う言 葉 だ け を ス プ ラ イ ン関 数 の
者 も同 様 に 以 下 の ペ ー ジで しば しば そ の よ う に 使 うこ と に す
る.
1・6
切 断べ き関数
m 次 の ス プ ラ イ ン関 数 で 節 点 を 一 つ だ け 持 ち,そ
の節 点 の 左側 で恒等 的 に 0と
な り,右
れ は 多 項 式 以 外 で は,お
側 で は 0で な い よ う な も の を 考 え よ う.こ
そら
く最 も 簡 単 な m 次 の ス プ ライ ン 関 数 で あ ろ う. さ て.s(x)を
そ の よ うな も の,す
な わ ち, x0で 一 つ の 節 点 を 持 ち, x≦xOに
対 し て恒 等 的 に 0で あ り,x≧x0に
対 して あ る 多 項 式pm(x)を
次 の ス プ ライ ン関 数 で あ る とす る.s(x)はx≦x0で の す べ て の 左 微 分 は 0 と な る.し 自身 と 1,2,…,m-1階
か し,ス
微 分 は,x=x0も
与 え る よ うな m
恒 等 的 に 0だ か らx=x0で
プ ラ イ ン関 数 の 定 義 に よ りs(x)そ
れ
含 めた 全領 域 で連 続 で な けれ ば な らな
い.
そ れ ゆ え,多
項 式pm(x)と,そ
言 い 換 え れ ば,多
の 1,2,…,m-1階
項 式pm(x)はx=x0で
微 分 はx=x0で
0で あ る.
m 重 根 を 持 つ か ら,そ れ は 次 式 の よ う
に な る.
pm(x)=c(x-x0)m こ こ で,c x0=0,
(1・4)
は あ る 足 数 で あ る.
c=1の
と し,x+mを
と き,ス
プ ラ イ ン関
切 断 べ き 関 数(truncated
4)のs(x)は,次
数s(x)をx+mと
power
function)と
表 わ す.す
な わ ち,
呼 ぶ.従
っ て,式(1・
の よ う に 表 わ さ れる. s(x)=c(x-x0)+m
1・7
スプ ライ ン関数 の切 断 べ き 関数 によ る表 示
本 節 で は,任 証 明 す る.こ
意 の ス プ ラ イ ン関 数 が 切 断 べ き 関 数 で 一 義 的 に表 わ さ れ る こ と を
れ に よ り,ス
る の で,式(1・1)の く な る.さ
て,証
例 の よ うに 小 区 間 ご とに 別 の 多 項 式 を 用 い て 表 わ す 必 要 が な 明 は 以 下 の 順 序 で 行 な う.
〔 補 助 定 理1・1〕 とす る.s(x)は,区 xi+1)で
プ ラ イ ン関 数 が 全 領 域 で 単 一 の 式 に 表 わ す こ とが で き
s(x)を
m 次 の ス プ ラ イ ン関 数 と し,そ
間(xi-1, xi)で
は 多 項 式qm(x)に
は 多 項 式pm(x)に
よ っ て 与 え られ る と し よ う.そ
qm(x)-pm(x)=c(x-xi)m
の 節 点 の 一 つ をxi
よ っ て.ま う す る と,
た 区 間(xi,
と な る.た
だ し,c
は あ る 定 数 で あ る.
〔証 明 〕 ス プ ラ イ ン 関 数 の 定 義 に よ り,pm(x)とqm(x)お 2,…,m-1階
微 分 は, x=xiで
等 し く な け れ,ば な ら な い.
pm(r)(xi)=qm(r)(xi)
(r=0,1,…,
す な わ ち,qm(x)-pm(x)お べ て 0 に 等 し い.従
よ び そ れ ら の 1,
m-1)
よ び そ れ ら の 1,2,…, m-1階
っ て,m
微 分 は, x=xiで
次 多 項 式qm(x)-pm(x)はx=xiで
す
m 重 根 を 持 ち,
qm(x)-pm(x)=c(x-xi)m と な る.た
だ し,c
〔定 理1・1〕
は あ る 定 数 で あ る.
節 点x1,x2,…,
xnを
持 つ m 次 の ス プライ ン関
数s(x)は,一
義 的 に 次 の 式 で 表 わ さ れ る.
(1・5) こ こ で,pm(x)は
m 次 の 多 項 式 で あ り, ciは 定 数 係 数 で あ る.
〔証 明 〕 こ の 定 理 の 証 明 は 二 つ の 部 分 か ら な る.最 の 形 で 表 わ さ れ る こ と を 示 し,次 い ま,pm(x)を,小
に,こ
式(1・5)
の 表 示 が 一 義 的 で あ る こ とを 証 明 す る.
区 間(-∞,x1)でs(x)の
よ う.そ うす る と,〔 補 助 定 理1・1〕
初 は,s(x)が
値 を与 え る 多項 式 で あ る と し
に よ って,小
区 間(x1, x2)で
のs(x)は
多項 式
pm(x)+c1(x-x1)m に よ っ て 表 わ さ れ る.た び 用 い る と,小
だ し,c1は
区 間(x2,x3)で
あ る 定 数 で あ る.こ
のs(x)を
こ で 〔補 助 定 理1・1〕 を 再
表 わ す 多 項 式 は,
pm(x)+c1(x-x1)m+c2(x-x2)m と な る.同
様 な 方 法 に よ っ て,次
の 一般 式
(1・6) が 導 か れ る.と う ど式(1・5)の
こ ろ が,x<xjで
は(x-xj)+m=0で
形 に 書 く こ と が で き る.つ
ま り,s(x)は
あ る か ら,式(1・6)は 式(1・5)で
ち ょ
表 示 で き た.
次 に,こ
の 表 示 が 一 義 的 で あ る こ と を 示 す.す
持 つ m 次 の ス プ ラ イ ン関 数s(x)に
対 し て,多
な わ ち,節
点x1, x2,…,xnを
項 式pm(x)と
係 数ciが
一義 的 に
決 ま る こ と を 示 さ な け れ ば な ら な い. ま ず,x<x1な
る す べ て の x に対 して,式(1・5)はs(x)=pm(x)に
に 注 意 し よ う.そ
れ ゆ え 式(1・5)のpm(x)は
なる こ と
小 区 間(-∞,x1
,)でs(x)の
値 を
与 え る た だ 一 つ の 多 項 式 で な け れ ば な ら な い. い ま,s(x)を qm*(x)と
二 つ の 連 続 す る 区 間(xi-1,
表 わ そ う.そ
う す る と,式(1・6)か
xi),(xi,
xi+1)で,そ
れ ぞ れqm(x),
ら,
(1・7) お よ び,
(1・8) と な る.式(1・8)か
ら 式(1・7)を
引 く と,
qm*(x)-qm(x)=ci(x-xi)m を 得 る.し
か し,〓s(x)は 与 え ら れ た ス プ ライ ン関 数 で あ り,qm(x)とqm*(x)は
そ れ ぞ れs(x)に
よ り決 め られ,る多 項 式 で あ る.従
も一 義 的 に 決 め られ た 多 項 式 と な る.と の で,そ
の 係 数ciは
係 数ciの る.も
0)に
の 差qm*(x)-qm(x)
こ ろ で,式(1・9)の
節 点 に お け るs(m)(x)の
数f(x)がx=x0で 極 限 値f(x0+0)に
近 づ くが,こ
っ て,そ
右 辺 は単 項式 で ある
一 義 的 に 決 め られ る こ と に な る.
値 は, s(x)の
し,関
関 数f(x)は
(1・9)
(証 明 終 り)
跳 び量 に密 接 に関 係 し て い
不 連 続 な ら ば, x が+側 近 づ き, x が 一 側 か らx0に
か らx0に
の 二 つ の 値 は 等 し くは な い.f(x)のx=x0に
近 づ くと き
近 づ く と きf(x0おけ る 跳 び量
は,
f(x0+0)-f(x0-0) で 定 義 さ れ る. 例 え ば,図1・2で
示 され る よ う に,関
数f〓(x)の
跳 び量 はx=-1で-12,
x=3で
は42で
式(1・6)の
あ る. 多 項 式pm(x)でxmの
は 区 間(xi-1,
係 数 をamと
し よ う.そ
う す る と,m
階 微分
xi)で,
(1・10) と 表 わ さ れ,区
間(xi,
xi+1)で
は,
(1.11) と 表 わ さ れ る.s(m)(x)は ま たs(m)(xi-0)は
二 つ の 区 間 で 一 定 な の で, s(m)(xi+0)は
式(1・10)で
与 え ら れ る.そ
式(1・11)で,
れ ゆ え,式(1・11)か
ら 式(1・10)
を 引 い て,
s(m)(xi+0)-s(m)(xi-0)=m!ci が 得 られ る.こ
れ か ら,ciは 1
ci=
と な る.こ
(1.12)
![s(m)(xi+0)-s(m)(xi-0)]
/m
の 式 は,ス
プ ライ ン 関 数 が 与 え ら れ た と き,そ の 係 数ciが
一 義 的 に決
ま る とい うこ と を 実 際 に 示 して い る.
1・8
第 1章 に 関 す る 小 史
「ス プ ラ イ ン関 数 」 とい う名 前 と定 義 は I.J. Schoenbergに
よ っ て い る[1].ス
プ ラ イ ン関 数 を切 断 べ き 関 数 に よ っ て 表 わ す こ とは,SchoenbergとWhitney[2] に よ っ て1953年 の は,や
に 提 案 され た.し
っ と1960年
か し,ス プ ラ イ ン関 数 が 一 般 に注 目 さ れ 始 め た
代 に な っ て か ら の こ と で あ る.
演 1・1
式(1・1)で
1・2
ス プ ラ イ ン 関 数s(x)が
習
問
題
1
与 え ら れ る 3次 の ス プ ラ イ ン 関 数 を,切
断 べ き関 数 に よ っ て 表 わ せ.
s(x)=3x2-5x+2+2x+2-4(x-2)+2+(x-5)+2 で表 わ され て い る.こ れ を小区 間 ご との多 項 式 で書 け. 1・3
節点
3,5,9 x
s(x)
を も つ 2次 の ス プ ラ イ ン 関 数s(x)が
0 -2
1 3 5 9 11 1 25
85 189 213
この とき これ を切 断 べ き関 数 で表 わせ.
以 下 の よ う に 与 え られ て い る.
第 2章
“ 最 も滑 らか な”補 問 の 問題
2・1
多 項 式 に よ る 補 間 ―Lagrangeの
こ こ で,第
1章 の1・3節
で 記 述 し た 補 間 問 題 に 立 ち も ど り,上
与 え ら れ た デ ー タ 点(x1, y1),(x2, y2),…,(xn, デ ー タ 点 を 通 る.す
な わ ち,数
f(xi)=yi
yn)を
考 え,そ
と 同 様 に n個 の
の グラ フがす べ ての
学 的 には
(i=1,2.…,
n)
と な る よ う な補 間 関 数 の 属(class)を ま ず,関
公式
調 べ よ う.
数 の 最 も簡 単 な場 合 と し て 多 項 式 を 考 え る.そ
の と き,n
個 の点 を補
の 多 項 式 は た だ 一 つ あ る こ と を 示 そ う.そ
の た め,ま
ず 次 の多 項
間 す るn-1次 式 を考 え る.
P(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)
ま た,次
(2・1)
の よ う に,式(2・1)の
る 積 をPi(x)と
す る.そ
右 辺 か ら,一
れ は,i〓1,n
つ の 因 子(x-xi)を
の と き,以
除 い て 得 られ
下 の よ う に な る.
Pi(x)=(x-x1)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn)
こ こ で,次 〔定 理2・1〕
の定 理 を証 明 する。
(x2,y2),…,(xn, 式 は,次
(2・2)
異 な っ た 横 座 標xl, x2,…, xnを yn)が
あ る と き,こ
も つ n 個 の デ ー タ 点(x1,
れ ら の 点 を 補 間 す る た か だ かn-1次
y1), の多項
の よ う に 一 義 的 に 与 え ら れ る.
L(x)=∑ni=1Pi( x)/Pi(xi)yi
(2・3)
こ の 式 は 普 通,Lagrangeの
公 式 と して 知 ら れ て い る.
〔 証 明〕
か だ かn-1次
L(x)は,実
際,た
の 多 項 式 で あ る.な ぜ な ら,Pi(xi)
とyiは
数 値 で で り,Pi(x)はn-1次
の 多項 式 の 和か らなる x のn-1次
ら
の 多 項 式, L(x)は
そ れ ら のn-1次
の n個
で ある.それ ら は 場 合 に よ って は 消 し合 っ て,例 えば,
の 係 数 と 0と な か こ と も あ り うる.
次 に,L(x)と
実 際 に n個 の 点 を 補 間 す る こ と を示 そ う. x を,
x=xj
(1≦j≦n)
こ す れ ば,式(2・3)の か らx=xjの
j番 目の 項 を 除 い た 各 項 の 分 子 は,因
と き は 0に な る.従
数(x-xj)を
含む
っ て,
Pj(xj)/ yj= yj Pj(xj) と な る の で,
L(xj)=yj と な る.こ -xi)の
(j=1,2,…,n)
こ で,Pj(xj)〓0で 積 で あ り ,仮
あ る こ と に 注 意 し よ う.そ
定 に よ っ てxj〓xiで
れ はPj(xj)が
あ る か ら で あ る.従
因 数(xj
っ て,式(2・3)
に お け る 除 法 は い つ で も 可 能 で あ る.
最 後 に,L(x)は
与 え られ た n点 を 補 間 す るn-1次
の た だ一 つの 多項 式 であ
る こ と を 示 さ な け れ ば な ら な い. L(x)とL1(x)を
同 じ n 点 を 補 間 す るn-1次
そ の と き,L(x)-L1(x)は
た か だ かn-1次
の で る 多 項 式 で あ る と し よ う. の 多 項 式 で あ り,ま
たL1(xj)=yj
で あ る 。 そ れ ゆ え,
L(xj)-L1(xj)=0 こ こ で,よ
(j=1,2,…,n)
く知 られ た 初 歩 の 代 数 学 の 定 理 に よ る と,m
対 して m 次 の 多 項 式 が 0に な る な ら ば,そ L(x)-L1(x)は,異
の 多 項 式 は 恒 等 的 に 0で あ る.
な っ た n個 の 引 数xjに
の 多 項 式 な の で,L(x)-L1(x)は
個 以 上の 異 な った値 に
対 して 0 とな る た か だ かn-1次
恒 等 的 に 0で な け れ ば な ら な い.す
な わ ち,
L1(x)=L(x) で あ る.
〔注 意 〕
(証 明終 り) 式(2・2)の
か わ りに,よ
り簡 単 な 式,
Pi(x)
P(x)/ =
(2・4)
(x-xi)
を 用 い る と便 利 な こ と も あ る.こ
の 場 合,x=xiの
値 に つ い て は 次 の よ うに す れ
ば よい.
Pi(xi)=
2・2
lim x→xiPi(x)
(2・5)
“最 も 滑 らか な ” 補 間 関 数
“最 も 滑 ら か な ” 補 間 関 数(smoothest デ ー タ 点(x1, y1),(x2, う な も の を,第
y2),…,(xn,
1 章1・3節
interpolation
yn)を
function)に
つ い て は,
通 る 関 数 の う ち σ が 最 も 小 さ くな る よ
で す で に 簡 単 に 述 べ た.こ
こでは この補 間 関 数 の性 質
を 詳 し く述 べ よ う.
“最 も 滑 ら か な ” 関 数 とは
,
σ=∫ba[f(k)(x)]2dx
(2・6)
が 可 能 な 限 り小 さ くな る場 合 の 関 数f(x)を 数,(a,b)は
意 味 した.た
上 の デ ー タ点 を 含 む 区 間 で あ る.こ
だ し,k は あ る 正 の 整
こ で,関
る 必 要 は な い が,k 階 微 分 可 能 で あ る と し,[f(k)(x)]2は
数f(x)は
区 間(a, b)で 積 分 可 能,
か つ ∫f(k)(x)dx=f(k-1)(x)と
す る。
そ こ で,k
場 合 に 分 け て 考 え よ う.ま
k=n, k>nの
多項式であ
ず, k=nの
場 合 は 〔定
理2・1〕 の 結 果 か ら 以 下 の よ うに な る. 〔定 理2・2〕
k=nの
場 合,式(2・3)のLagrange多
項 式 は 唯 一 の “最 も 滑
ら か な ” 補 間 関 数 で あ る. 〔証 明 〕
k=nで
あ る か ら,Lagrange多
項 式 はn-1次
の 多 項 式 で あ り,
L(k)(x)=L(n)(x)=0 と な る.従
っ て,式(2・6)か
ら σ=0と
か ら,0 は σ の 最 小 値 で あ る.従
な る.式(2・6)の
っ て,L(x)は
被積 分 項 は非 負 で あ る
“最 も 滑 ら か な ”補 間 関 数 で あ る.
逆 に,σ=0の
と き,式(2・6)の
被 積 分 項 は も と も と非 負 で あ る の で,f(k)(x)は
ほ とん どい た る と こ ろ 0で な け れ ば な ら な い.こ れ はf(x)がn-1次 あ る こ と を 意 味 す る.従 k>nの
場 合 は,次
〔定 理2・3〕
っ て,〔 定 理2・1〕
よ りf(x)=L(x)で
の多 項式 で あ る.(証
の 定 理 で示 す よ うに 一 義 的 な 解 は 存 在 し な い.
k>nの
場 合,f(x)が
“最 も滑 ら か な ”補 間 関 数 で あ る の は,
f(x)=L(x)+P(x)pk-n-1(x) の 形 を し て い る 場 合 に 限 る.こ 1)で
与 え ら れ,pk-n-1(x)は
〔証 明 〕
P(x)とL(x)は
ら σ=0と
逆 に,σ=0な か だ かk-1次
こ で,L(x)は
式(2・3)で,ま
の 多 項 式 で あ り,f(k)(x)=0と
な り,f(x)は
式(2・
の 多 項 式 で あ る か ら, な る.従
っ て,式(2・
“最 も 滑 らか な” 補 間 関 数 で あ る.
ら ばf(k)(x)は
ほ と ん ど い た る と こ ろ 0 で あ る の で,f(x)は
の 多 項 式 で あ る.f(x),
L(x)の
x2,…, xnで
(x)-L(x)は(x-xi)(i=1,2,…, 項 式 で あ り,f(x)-L(x)は
たP(x)は
の 任 意 の 多 項 式 で あ る.
そ れ ぞ れ n次 お よ びn-1次
す る の で,f(x)-L(x)はx=x1,
をP(x)で
(2・7)
た か だ かk-n-1次
式(2・7)のf(x)はk-1次 6)か
明 終 り)
n)の
割 っ た 商 は た か だ かk-n-1次
ど ち ら も n 個 の デ ー タ点 を 補 間 0 と な る 多 項 式 で あ る.従
因 数 を 持 つ.と
た か だ かk-1次
た
こ ろ で, P(x)は
っ て, f n次 の 多
の 多 項 式 で あ る の で, f(x)-L(x) の 多 項 式 で あ る.こ
れ をpk-n-1(x)と
す る と,
f(x)=L(x)+P(x)pk-n-1(x) と な り,式(2・7)が
得 ら れ た.
上 の 場 合 の 例 と し て,四
つ の デ ー タ 点(-3,-100),(0,2),(1,-8),(3,-22)
を 補 間 す る こ と を 考 え よ う.式(2・3)を る.
(証 明 終 り)
用 い る と,L(x)は
次 の よ うに 表 わ さ れ
つ ま り,こ の 四 つ の デ ー タ 点 は,〔 定 理2・2〕 で 与 え られ るL(x)の っ て 一 義 的 に 補 間 され て い る.さ 理2・3〕 か ら,次
3次 式 に よ
ら に,3 次 よ り高 次 の 多 項 式 に よ る 補 間 は,〔 定
の 形 を し た 多 項 式 で あ る こ とが わ か る.
f(x)=2x3-7x2-5x+2+(x+3)x(x-1)(x-2)p(x) こ こでp(x)は,た と こ ろ で,与
か だ かk-5次
の 多 項 式 で あ る.
え られ た n個 の デ ー タ点 を 一 義 的 に 補 間 す る 多 項 式 を 実 際 に 数 値
的 に 得 る た め に は,こ のLagrange公
式 よ り簡 単 な 方 法 が い くつ か あ る こ と を 注
意 した い(そ の 一 つ を4・4節
で 述 べ る).す
項 式(お
間 の 諸 性 質 の 証 明 に あ る の で あ っ て,そ
よ び ス プ ラ イ ン)補
な わ ちLagrangeの
際 の 計 算 に 適 して い る と い うわ け で は な い.そ こ と が あ る の は,計 る.ち
な み に,上
公式 の価 値 は多 の公 式 が実
れ で も そ れ が 計 算 機 で用 い ら れ る
算 手 続 が 多 い に も か か わ らず プ ロ グ ラ ム化 が 簡 単 だ か ら で あ
の 4点 デ ー タ を 用 い た 説 明 の 中 の 計 算 は,公
の た め の もの で あ っ て,実
式 の妥 当性 の説 明
際 の 計 算 の た め の プ ロ セ ス を 示 す も の で は な い.
い ま ま で は デ ー タ 点 列 に 対 す る “最 も滑 ら か な ” 補 間 関 数 を見 つ け る 問 題 で, k≧nの
場 合 を 考 え て きた.と
こ ろ で,k>nの
項 式 を選 ぶ こ と は な い の で 意 味 が な い.な
場 合 は,普
通 必要 以 上に高 次 の多
ぜ な ら,実 際 問 題 で は 十 分 多 数 の デ ー
タ 点 が あ り,補 聞 関 数 と して は む しろ よ り低 次 の 多 項 式 で,あ を 持 つ も の が 望 ま しい か ら で あ る.次
節 で は,k
る程 度 の 滑 ら か さ
最 も興 味 あ る場合 に つい
て 考 え よ う.
2・3
自然 ス プ ラ イ ン と C-ス
プ ラ イン
先 に 述 べ た “最 も 滑 らか な ” とい う こ と を,式(2・6)の と定 義 した 意 味 を考 え て み よ う.何
量 σが 最 小 に な る こ と
らか の 知 識 に よ っ て,与
え られ た デ ー タ 点 の
表 わ す そ の 現 象 が,た
か だ かk-1次
とす る.こ
また まそ れ らの デ ータ点 が そ の多項 式 に完 全 に あては まっ
の 場 合,た
た と し て も そ れ は そ れ で よい が,多 の た め,あ
の 多 項 式 で 表 わ さ れ る こ とが わ か って い る
分 そ の よ う な こ と は め った に な い だ ろ う。 そ
る 意 味 で で き る だ け 単 一 のk-1次
の 多 項 式 に近 い 補間 関数 を得 た い
わ け で あ る.と に な る.こ
こ ろ で,た
か だ かk-1次
の こ とか ら,k-1次
の多 項式 は その k 階微 分 が恒 等 的 に 0
の 多 項 式 の 次 に 補 間 に 適 す る 関 数 は,そ
の k階
微 分 が あ る意 味 で で き る だ け 0に 近 い よ う な関 数 で あ る とい え る.一
方,式(2・
6)の
る意 味 で妥
σは 補 間 関 数 の k階 微 分 が どれ だ け 0 に 近 い か を示 す 量 で,あ
当 な 尺 度 に な っ て い る の で あ る. 次 に,本
題 に も ど っ てk
す で に 述 べ た よ うに,k
場 合 の “最 も滑 らか な ” 補 間 の 問 題 を 考 え る. 場 合 に は た だ 一 つ の “最 も滑 ら か な ”補 間 関 数 が 存
在 し,そ れ は ス プ ラ イ ン 関 数 で あ っ た.と 別 な性 質 を 持 っ て い る.以 くつ か 調 べ る.と
次 の 多 項 式 と い う と きに は 一 般 に 次 数 が m 以 下 の 多
項 式 も含 ま れ て い る の と 同 様 に,m
次 の ス プ ラ イ ン関 数 も そ の 小 区 間 で の 多 項 式
の 次 数 が m 次 以 下 で あ る か も しれ な い.し
従 っ て,小
の ス プ ラ イ ン関 数 は あ る 特
下 で こ の よ う な ス プ ラ イ ン関 数 の も つ 特 別 な性 質 を い
こ ろ で,m
そ の 1,2,…,m-1階
こ ろ で,こ
か しそ の と き で も,ス
微 分 が い た る と こ ろ 連 続 で あ る と い う要 請 は 残 っ て い る.
区 間 で の 次 数 が m よ り小 さ い と い う こ とは,あ
小 区 間 の 節 点 で,0 (定 義 2)
プ ラ イ ン関 数 は
る階以 上 の微分 が その
の 値 を 持 っ て い る とい うこ と を 意 味 して い る に す ぎ な い.
両 端 区 間(-∞,x1),(xn,∞)で
え ら れ る 奇 数 次(2m-1次)の
た か だ かm-1次
の 多 項式 で与
ス プ ラ イ ン を 自 然 ス プ ラ イ ン(natural
spline)
と い う (m=2,3,…).
自然 ス プ ラ イ ン の m, m+1,…,2m-2階 っ て い る.従
っ て,自
く代 わ りに,そ
の 微 分 は 二 つ の 節 点x1,xnで
0に な
然 ス プ ラ イ ンの 定 義 を 上 の よ うに ス プ ラ イ ンの 次 数 に 基 づ
の 両 端 点x1,xnで
m 階 以 上 の 微 分 値 が 0で あ る こ と に よ っ て 定
義 す る こ と も で き る. (定 義 3)
両 端 区 間(-∞,x1),(xn,∞)で
恒 等 的 に 0に な る m 次 の ス プ ラ
イ ン を C-ス プ ラ イ ン と い う. こ の こ と は も ち ろ ん C-ス も 節 点x1, xnで
プ ラ イン自 身 だ け で な く,そ
例 え ば,第 1章 の 方 程 式(1・1)で f″(x)は
の
1,2,…,m-1階
微分
0 に な る こ と を 意 味 し て い る.
1次 の C-ス
与 え られ たf(x)は
プ ラ イン で あ る こと が わ か る.
3次 の ス プ ライ ン で あ り,
こ れ に 関 連 して,一 般 にk
場 合,n 個 の 与 え られ た デ ー タ 点 に 対 す る “最
も 滑 ら わ な” 補 間 関 数f(x)は2k-1次 f(k)(x)はk-1次
2・4
の C-ス プ
の 自然 ス プ ラ ラ イ ン で あ る こと,お よ び
ラ イン で あ る こと を2・6節
で 述 べ る.
ス プ ラ イ ン の 微 分 と積 分
ス プ ラ イ ンの 微 分 と積 分 は 多 項 式 の 場 合 の そ れ と 大 体 同 じで あ る.次
の公 式 は
明 らか で あ ろ う.
(2・8) (2・9)
こ こ で,c
は 任 意 定 数 で あ り, x+0は,次
式 に よ っ て 与 え られ あHeaviside
関 数 こみ な す. 0 (xく0) 1
H(x)
={
(x>0) も し,m
次のス プ
ラ イン 関 数 が,
(2・10) の よ うに,切 断 べ き 関 数 を 用 い て 表 わ さ れ て い る な ら ば,そ の 微 分 ま た は積 分 は, 公 式(2・8)お 〔定 理2・4〕
よ び(2・9)に
よ り容 易 に 実 行 で き る.従
1次 ま た は,そ
れ よ り高 次 の ス プ
と 同 じ節 点 を 持 つ 1次 低 い 次 数 の ス プ
また,ス プ
っ て 次 の 定 理 と成 り立 つ. ラ イン の 微 分 は,も
この 関 数
ラ イン で あ る.
ラ イン の 不 定積 分 は 同 じ節 点 を持 つ 1次 だ け次数 の高 い ス プ
ンで あ る.
ライ
(証明 略)
2・5
自然 ス プ ラ イ ン と C-ス プ ラ イ ン の 性 質
こ こ で,自
然 ス プ ラ イ ン と C-ス プ ラ イ ンの 性 質 を 調 べ よ う.こ
述 べ た よ うに,k
れ らはす で に
場 合 の “最 も滑 らか な ”補 間 の 問 題 を考 え る と き 必 要 に な
る. 〔定 理2・5〕 s(m)(x)が
s(x)が2m-1次
の 自然 ス プ ラ イ ン で あ る の は,そ
そ れ と同 じ節 点 を 持 つm-1次
〔証 明 〕
s(x)を2m-1次
m 階 微 分 はs(x)と
の C-ス プ ラ イ ン で あ る と き に 限 る.
の 自然 ス プ ラ イ ン とす る.〔 定 理2・4〕 か ら,そ
同 じ節 点 を 持 つm-1次
は 二 つ の 区 間(-∞,x),(xm,∞)で
の ス プ ラ イ ン で あ る.さ
m-1
数s(x)が
m 階 微 分s(m)(x)を
ン で あ る な ら ば,s(x)はs(m)(x)の ス プ ラ イ ン で あ る.さ
で で も恒 等 的 に 0で あ るか ら,s(x)は す な わ ち,s(x)は 〔定 理2・6〕
持 ち,そ
れ がm-1次
の C-ス プ ラ イ っ て,2m-1次
二 つ の 区 間(-∞, x1),(xn,∞)の これ らの 区 間 で m-1
x2, …, xnを
節点
の どち ら
次 の 多 項 式 で あ る.
自然 ス プ ラ イ ン で あ る.
関 数c(x)がx1,
ら に.s(x)
C-ス プ ラ イ ン で あ る.
m 重 不 定 積 分 で あ り,従
ら に,s(m)(x)は
の
次 の 多 項 式 で あ る か ら, s(m)(x)は
こ れ ら の 区 間 で 恒 等 的 に 0 とな る 。 す な わ ち,s(m)(x)は 逆 に,関
の m 階微 分
(証 明 終 り)
と す る m 次 の C-ス
プライ ン
で あ る の は,
(2・11) と表 わ され る 場 合 に 限 る.こ
こ で,係
数biはm+1個
の線 形 関係 式
(2・12) を 満 足 し て い る. 〔証 明 〕 理1・1〕 x1,の
c(x)が
か ら,c(x)は
式(2・11)で
表 わ さ れ,biが
m 次 の ス プ ラ イ ン で あ る.x+mの
と き 恒 等 的 に 0 と な り,x≧xnで
な わ ち,
条 件(2・12)を
は 式(2・11)で
満 た す と す る.〔
定 義 に よ り,c(x)はx≦ 添 字
“+”
を と っ た 式,す
定
(2・13) で 表 わ され る.式(2・13)を
書 き直 し,整 理 す る と,
(2・14)
に な る.こ
で あ る.式(2・12)よ で あ る.従
x1で
り 式(2・14)は
っ て,c(x)は
逆 に,c(x)を,節 10)の
は組 合せ 数
こ で,
な わ ち,c(x)はx≧xnで
点x1, x2, …, xnを
持 つ C-ス
等 的 に 0 で な け れ ば な ら な い.従 た,x ≧ xnで
は,前
プ ラ イ ン と す る.そ
c(x) = pm(x)と
っ て,式(2・10)は
で 見 た よ う に 式(2・11)のc(x)は
さ れ る 、 と こ ろ が,c(x)は
C-ス プ ラ イ ン で あ る の で,式(2・14)の
的 に 0 で な け れ ば な ら な い.し
れ は 式(2・
プ ラ イ ン の 定 義 か ら,c(x)はx≦
は 恒 等 的 に 0 と な る 。 そ の と き,式(2・10)は
な る.ま
恒 等 的 に 0
C-ス プ ラ イ ン を 表 わ す.
m 次 の ス プ ラ イ ン で 表 わ さ れ る が,C-ス
pm(x)恒
が恒
0,す
な る の で,
式(2・11)の
形 に
式(2・14)で
右 辺 は恒 等
か し こ の 右 辺 は x の m 次 多 項 式 で あ る の で,そ
等 に 0に な る のは xの各 べ きの係 数 が 0の ときに 限 る. 二 項(mr)は
で は な い の で,Σni=1bixir=0(r
表 わ
= 0, 1, …, m)で
な け れ ば な ら な い.す
れ 0
な わ ち 条 件(2
・
12)が 満 た され て い る. (証 明終 り) 〔系2・1〕
関 数s(x)がx1,
x2, …, xnを
節 点 と す る2m-1次
の 自然 ス プ ラ
イ ン で あ る の は,
(2・15) と 表 わ さ れ る 場 合 に 限 る.こ
こ で 係 数ciは
条件
(2・16)
を 満 た す. 〔証 明 〕 〔定 理2・5〕 に よ り,s(x)は,そ 節 点 を 持 つm-1次
の m 階 微 分s(m)(x)が
の C-ス プ ラ イ ン で あ る と き,そ
次 の 自 然 ス プ ラ イ ン と な っ て い る.と m 階 微 分 は 式(2・8)を
与 え られ た
れ と 同 じ 節 点 を 持 つ2m-1
こ ろ で,式(2・15)で
表 わ され るs(x)の
用 い る と,
(2・17) と な る.こ
こ でbiは, bi= (2m-1)
(2m-2)
で あ る.式(2・18)はbiがciの か ら 式(2・12)が
を 持 つ 2m-1
〔定 理2・6〕
れ,条
だ し,r = 0, 1, …, m-1 の 条 件 を 満 足 し,そ
で あ る.従
れ ゆ えs(x)は
っ て,式(2・ 与 え られ た 節 点
次 の 自 然 ス プ ラ イ ン で あ る.
逆 に,s(x)は m-1次
(2・18)
定 数 倍 で あ る こ と を 示 し て い る の で,式(2・16)
成 り 立 つ,た
17)のs(m)(x)は
… (m+1)mci
2m-1 次 の 自然 ス プ ラ イ ン で あ る と す る.そ
の C-ス プ ラ イ ン な ら ば,〔 定 理2・6〕 件(2・12)の
m の 代 わ りにm-1と
を 用 い て 式(2・17)のs(m)(x)を 用 い て 式(2・15)の
の と きs(m)(x)が
よ りそ れ は 式(2・17)の
した 式 を 満 た し て い る.そ m 重積 分 す る と,s(x)はciの
形 に 表 わ され る.こ
こ で,biはciの
示 した 次 の 補 助 定 理 は, k<nの
こ で 式(2・9)
代 わ りにbiを
定 数 倍 ゆ え 条 件(2・16)
が 満 た され て い る. Marsdenが
形 で表 わ さ
(証 明 終 り)
場 合,“ 最 も 滑 らか に ”補 間 す る
関 数 の 性 質 を調 べ る と き し ば しば 用 い ら れ る. 〔補 助 定 理2・1〕
c(x)を,区
イ ン と し,f(x)を,そ 関 数 と す る.そ
間(a,b)内
れ ら の 節 点 で 0,か
に 節 点 が あ るm-1次 つ 区 間(a,b)で
の C-ス プ ラ
m 階 連続 微 分 可能 な
の と き,
(2・19) が 成 り立 つ.
〔 証 明 〕
式(2・19)の
左 辺 の 積 分 を I と し,部 分 積 分 す る と,
(2・20) と な る.c(x)は
区 間(a,b)内
の 両 端 の 近 くでc(x)と
に 節 点 を 持 つ C-ス プ ラ イ ン な の で,そ れ ゆ え 区 間
そ の す べ て の 導 関 数 は 恒 等 的 に 0で あ る.す
c(r)(a)=c(r)(b)=0 で あ る.従
っ て,式(2・20)の
積 分 を 繰 り返 す と,最
な わ ち,
(r =0, 1, …, m-2)
右 辺 で は 積 分 項 の み が 残 る.こ
の よ うに して 部 分
終 的 に,
(2・21)
と な る.と
こ ろ が,c(m-1)(x)は
で,式(2・21)の
各 々の 小 区間 で 一 定 値 を とる 階段 関数 で ある の
積 分 は,
(2・22) の 形 に 表 わ さ れ る.こ 節 点 で あ る の で,仮 22)の
こ で ηiは 一 定 値 で あ る.と
定 に よ りf(x)は
積 分 は 0 と な り,従
こ ろ で,xiとxi+1はc(x)の
こ れ ら の 点 で 0で あ る.そ
っ てI=0で
れ ゆ え,式(2・
あ る. (証 明 終 り)
2・6 自然 ス プ ライ ン の最小 補 間性 n 個 の デ ー タ点
(2・23)
(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)
が 与 え られ て い る と き,こ (k<n)に
れ ら の デ ー タ 点 を 補 間 す る 関 数 の 中 で,与
対 して 節 点x1,x2,…,xnを
持 つ2k-1次
え ら れ,たk
の 自然 ス プ ラ イ ン が た だ 一 つ
あ る こ と を示 そ う.次 に,そ の よ うに して 決 め られ た 補 間 自然 ス プ ラ イ ンは 式(2・ 23)の
デ ー タ 点 を 補 間 す る 関 数 の 中 で,式(2・6)の
間 関 数 で あ る こ と,す
な わ ち最 小 補 間 性(minimal
σを 最 小 に す る た だ 一 つ の 補 interpolation property)を
持
っ て い る こ と を 示 そ う.
〔定 理2・7〕 xl, x2, …, xnを
k<nの
場 合,デ
持 つ2k-1次
〔証 明 〕 〔系2・1〕
ー タ点(2・23)を
補 問 す る 関 数 の 中 で,節
点
の 自 然 ス プ ラ イ ン は 一 つ し か な い.
に よ り,与
え ら れ た 節 点x1, x2, …, xnを
持 つ2k-1次
の 自
然 ス プ ラ イ ン 関 数 は,
(2・24) と 書 け る.こ
こ でpk-1(x)はk-1次
点(xj, yj)(j = 1, 2, …, n)を
s(xj)=yj
の 多 項 式 で あ る.s(x)が
与 え られた デ ータ
補 間 す る ス プ ラ イ ン で あ る た め に は,条
件
(j = 1, 2, …, n)
す な わ ち,
(2・25) を満 足 しな け れ ば な ら な い.こ
こ で 式(2・24)の
数,す
中 の k個 の 係 数 と n個 の 係 数ciを
な わ ち 多 項 式pk-1(x)の
これ らの 係 数 は 式(2・25)の 数ciは
〔系2・1〕
ス プ ラ イ ンはn+k個
の未定 係 含 ん で い る.
n 個 の 方 程 式 を 満 足 しな け れ ば な ら な い.ま
た,係
か ら k個 の 条 件,
(2・26) を 満 足 し な け れ ば な ら な い.式(2・25)お
よび 式(2・26)はn+k個
関 す るn+k元
下 で この方 程 式系 がた だ 一 つ の解 を持
連 立 一 次 方 程 式 で あ る.以
っ て い る こ と を 示 す.そ
の た め に は この 系 でyj(j = 1, 2, …, n)を
方 程 式 の 解 が 0に 限 る こ と を 示 せ ば よい.こ (x1,0),(x2,0),
を 考 え て,こ
-1次
の こ と は,デ
(2・27) の 自然 ス プライ ンは恒 等 的 に 0
い う こ と を示 す こ と と等 価 で あ る.い
の 自然 ス プ ラ イ ン で あ る と す る .そ
0 と した 斉 次
ー タ点
…, (xn,0)
れ ら の デ ー タ点 を 補 間 す る2k-1次
の も の に 限 る,と
の 未定 係 数 に
まf(x)を
の と き 〔定 理2・5〕
そ の よ うな2k
に よ っ て,f(k)(x)
はk-1次
の
C-ス プ ラ イ ン で あ る.ま
て い る の で,節
点x1, x2, …, xnで
お い て,c(x)=f(k)(x)と
と な る.こ
た,f(x)は
式(2・27)の
は 0 に な っ て い る.そ
こ で 区 間(a,b)は す べ て の 節 点 を 含 ん で い る.さ
え,f(x)は
を,上
よ び 式(2・26)に
k
あ り,し か も こ の 0に な っ て い る
の こ とは,こ
の 斉次方程式が
れ ゆ え,式(2・24)の
ス プライ ンの
よ っ て 一 義 的 に 決 定 され る.(証
場 合,s(x)を,節
補 間 す る2k-1次
点x1,
x2, …, xnを
の と きx1, x2, …, xnを
し,か
つ その
含 む 区 間(a,b)で
明 終 り)
持 ち n個 の デ ー
の た だ 一 つ の 自 然 ス プ ラ イ ン と す る.ま
と 同 じ デ ー タ 点 を 補 間 す る 任 意 の 関 数と
連 続 で あ る と す る.こ
積 分 関 数 は非
n点)で
恒 等 的 に 0で な け れ ば な ら な い,こ
0以 外 の 解 を 持 た な い こ と を 意 味 して い る.そ 係 数 は方 程 式(2・25)お
て,被
こ ろ でk<nで
k個 以 上 の 異 な っ た 点(x1, x2, …, xnの
の で, f(x)は
たf (x)
1, 2, …, k階 微 分 が は,
(2・28) が 成 り立 つ . た だ し等 号 はf(x)=s(x)の
〔証 明〕
明 らか に,
で あ る.そ
れ ゆ え,
と な る.従
っ て,
に
ほ とん どい た る と こ ろ 0で あ る こ とが わ か る . そ れ ゆ
k-1 次 の 単 一 の 多 項 式 で あ る.と
多 項 式f(x)は
タ 点(2・23)を
こ で 〔補 助 定 理2・1〕
す れ ば,
負 で あ る か ら,f(k)(x)は
〔定 理2・8〕
デ ー タ点 を 補 間 し
と き に 限 る.
(2・29) と な る.こ
こ で,〔 補 助 定 理2・1〕
を 用 い て 式(2・29)の
る こ と を示 す.〔 定 理2・5〕 に よ りs(k)(x)は C-ス プ ラ イ ン で あ る.さ
らに,最
階 微 分 した も の で あ る.し
最 後 の 項 の 積 分 が 0に な
節点x1, x2, …, xnを
持 つ k-1次
後 の 項 の [ ] 内 の 式 は 関 数f(x)
か も,f(x)とs(x)は
- s(x)を
同 じデ ー タ 点(2・23)に
の k
対す る
補 間 関 数 で あ る の で, f(xi)=
で あ る.す
な わ ち,f(x)
お い て,c(x)と (2・19)か
s(xi) = yi
-s(x)は
し てs(k)(x)を
ら 式(2・29)の
点xiで と り,f(x)と
限 る.と
- s(x)を
等 号 に な る の は 式(2・29)の
か も,n>k-1で
あ る の で,こ
と る と,式
っ て,式(2・29)の
左 辺 は二
2番 目 の 積 分 も 0に な る と き に
こ ろ が,こ の 積 分 が 0に な る こ と はf(k)(x)-s(k)(x)が
次 の 多 項 式 で な け れ ば な らな い.こ
れ ゆ え,連
ほ と ん どい た る
続 関 数f(x)-s(x)はk-1
の 多 項 式 は n個 の 異 な っ た 点 で 0に な り,し
の 多 項 式 は 恒 等 的 に 0で あ る.す
な わ ち,f(x) =
あ る. (証 明 終 り)
n個 の デ ー タ 点 に 対 す る “最 も滑 ら か な ” 補 間 関 数 を求 め る こ と は,原 は 〔定 理2・7〕 nで
に
得 ら れ た.
と こ ろ 0に な る こ と を意 味 して い る.そ
s(x)で
こ で,〔 補 助 定 理2・1〕
し てf(x)
最 後 の 積 分 は 0 と な る.従
つ の 非 負 の 積 分 の 和 に な り,式(2・28)が
さて,式(2・28)が
0 と な る.こ
お よ び 〔定 理2・8〕 に よ っ て で き る.こ
式(2・6)の
理的に
こ で “最 も滑 らか ” と はk<
σ を 最 小 に す る こ と を 意 味 して い る.と
こ ろ で,〔 定 理2・7〕 お よ
び 〔定 理2・8〕 で 得 られ る 自然 ス プ ラ イ ンは,実
際 にk≧nの
ど 十 分 は っ き り した 表 式 に は な っ て い な い.な
ぜ な ら,“最 も滑 らか な ”補 間 関 数
で あ る 自 然 ス プ ラ イ ンの 係 数 を 得 る の に,連
場 合 に 得 られ た 式 ほ
立 一 次 方 程 式 を解 く必 要 が あ る か ら
で あ る. 第 1章 の 式(1・1)で 節 点-3,-1,0,3,4 で あ る.ま
た,節
与 え ら れ た 関 数 に 対 して,こ を も つ 3次(2k-1=3,す
の こ と を見 る と,そ
点 に対 す る 値 は 7,11,26,56,29で
な わ ちk=2)の
れ は ま ず,
自然 ス プ ライ ン
あ る か ら,こ
の 関 数f(x)
は,〔
定 理2・7〕
に よ っ て,デ
(-3,7),
ー タ点 (0,26),
(-1,11),
(3,56), (4,29)
を 補 間 す る た だ 一 つ の 3次 自然 ス プ ラ イ ン で あ る こ とが わ か る.さ 2・8〕 に よ っ て,そ か な” 補
れ はk=2の
らに,〔 定 理
場 合 の これ ら 5つ の デ ー タ 点 に 対 す る “最 も滑 ら
間 関 数 で あ る こ とに も な る.
さ て,k=1の
場 合 は 特 に 興 味 が あ る.こ
ラ イ ン補 間 関 数 で あ る.こ 間(xn,∞)で
れ は2k-1=1よ
れ は デ ー タ 点 で 頂 点 を 持 ち,区
一 定 値 を と る 折 れ 線 で あ る.も
間 し,区 間(-∞,x1)と
区 間(xn,∞)で
じで あ り,そ れ,を図2・1に
よび 区
ち ろ ん こ れ は デ ー タ点 間 を直 線 で 補
は そ れ ぞ れ 一 定 値y1,ynと
す る こ と と同
示 す.
図2・1
と こ ろ で,実
り,1 次 の 自然 ス プ 間(-∞,x1)お
k=1の
場 合 の “最 も滑 らか な”補 間 関 数
際 に デ ー タ点 か ら 自然 ス プ ラ イ ン を 決 定 す る 場 合,〔 定 理2・7〕 お
よ び 〔定 理2・8〕 で 決 定 され る 自然 ス プ ラ イ ン を 得 る に は 連 立 一 次 方 程 式 を 解 く 必 要 が あ る.第
5章 で は,こ
の 連 立 一 次 方 程 式 を 直 接 解 か な い で も,自
然 スプラ
イ ン を 適 当 に 決 定 で き る 便 利 な 数値 的 方 法 に つ い て 述 べ る.
2・7 第 2章 に関 す る小史 多 項 式 に よ る 補 間 公 式(2・3)は,Lagrange も,実
際 に こ れ を最 初 に 発 表 した の は1779年
Lagrangeが Waringと
の 公 式 と して 知 られ て い る け れ ど にEdward
こ の 公 式 を 発 表[4]し た の は,1795年 同 じ記 号 が 使 わ れ て お り, Waringの
こ とは 明 ら か で あ る.
Waring[3]で
で あ り,事
実,そ
あ っ た. の 中 で は,
論 文 を 単 に 引 用 した だ け で あ る
区 分 多 項 式 に よ る 補 間 はNewtonに
由 来 し, は や くか ら 天 文 学 者 や 保 険 数 学
者 に よ っ て 広 く利 用 さ れ て き た.前
世 紀 ま で の 区 分 的 多 項 式 に よ る補 間 は,普 通,
定 義 に よ っ て 表 示 され たm-1次
の 多 項 式*を
々 と移 動 さ せ る も の で あ っ た.こ
用 い て,デ
の 補 間 関 数 は 普 通,そ
ー タ点 を m 個 づ つ次
の 1階 微 分 が 不 連 続 に な
る. これ に 対 して,微
分 が 連 続 と な る “滑 ら か な 補 間 ”の 必 要 性 を痛 感 した 英 国 や,
他 の ヨ ー ロ ッパ の 保 険 数 学 者 達 は,あ の 区分 的 多項 式 補 間 関数 した.こ
る 程 度 の 連 続 微 分 可 能 性 を 持 った い くつ か
〔“接 触 補 間 関 数 ”(osculatory
の よ うな 公 式 の 最 初 の もの は,1880年
interpolation)〕
に T.B. Sprague[5]に
を開発 よって公
表 され た. しか し,こ れ ら の 公 式 に よ っ て 作 ら れ た 補 間 関 数 は,本 密 な 意 味 で の ス プ ラ イ ン関 数 で は な い.な 式 の 2階 以 上 の 微 分 は,連
ぜ な ら,こ
章 で 定 義 した よ うな 厳
の 補 間 関 数 に使 用 した 多 項
続 に は な ら な い か ら で あ る.
1927年
に,ア
メ リカ の 保 険 数学 者W.A.
Jenkinsは
二 つ の近 以 公 式 を 公表 し
た[6].こ
の 公 式 で あ て は め ら れ た 曲 線 は,一 般 に,与
え られ た デ ー タ 点 を 正 確 に
通 ら な い の で,こ
の 公 式 は 厳 密 な 意 味 で の 補 間 公 式 で は な い が , そ の 1つ は 等 間
隔 の デ ー タ 点 に 対 す る 3次 の ス プ ラ イ ン で あ り,も 相 当 して い る(も ち ろ ん,W. A. Jenkinsは か っ た).著
者 の 知 る 限 りで は,こ
う 1つ は 2次 の ス プ ラ イ ン に
“ス プ ラ イ ン ”とい う術 語 は 使 用 しな
れ は 厳 密 な意 味 で,1 次 よ り も 高 次 の ス プ ラ イ
ン関 数 が 公 表 さ れ た 最 初 の も の で あ る.Jenkinsの 険 数 学 者 の 間 で 好 評 な 公 式 で あ っ た.事
実,そ
3次 ス プ ラ イ ン の 公 式 は,保 れ は1940年
の 米 国 人 口調 査 の 結
果 の 整 理 と合 衆 国 平 均 寿 命 数 表 の 作 成 に 使 わ れ た. く し く も,3 1946年
次 ス プライ ンを合 衆 国 死亡 率 に あ て はめ た前 述 の表 が公 表 され た
と 同 じ年 に,Schoenberg
は “ス プ ラ イ ン” とい う術 語 を 導 入 し,そ
の概
念 を 正 確 に 定 義 し た. 与 え られ た デ ー タ 点 を “最 も滑 らか ” に 補 間 す る 唯 一 の ス プ ラ イ ン関 数 の 存 在 は,3 *例
次 ス プ ラ イ ン(k=2)の えば
,Newton内
場 合1957年
挿 補 間 公 式 が あ る.式(4・10)参
に J.CHolladay[8]に 照
よ っ て,ま
た
一 般 の 場 合 に 対 し て は1963年 はSchoenberg「10]に
に
C. de Boor[9]に
よ っ て 独 立 に 得 ら れ た,ま
葉 こ そ 使 わ れ て い な か っ た が,1959年
よ っ て 証 明 さ れ た.同 た,そ
じ結 果
れ は ス プ ライ ン とい う言
に 発 表 さ れ たGolombとWeinberger[11]
の 論 文 に も 示 さ れ て い る.
こ の 章 で 述 べ た 〔定 理2・8〕
の 証 明 はde Boor[9]とSchoenberg[10]と
が独 立
に 発 展 させ た も の に 従 っ て い る.
演 2・1点(0,4),(2,7),(3,8),(6,1)を 2・2問2・1の 2・3本
習
問
題 2
補 間 す る 3次 の 多 項 式 を 求 め よ。
4点 を 補 間 す る 4次 の 多 項 式 の 最 も 一 般 的 な形 を示 せ. 文 の 式(2・1)と
=Pi(xi)で
式(2・2)に
よ っ て 定 義 さ れ たP(x)とPi(x)を
用 い てP′(xi)
あ る こ とを示 せ.
従 っ て,式(2・3)が,
の形 に書 け るこ とを示 せ. 2・4k=2と 2・5
s(x)を,3
して 点(1,i),(3,5),(6,8)に 点(1,4),(2,-2),(4,y3)に
自 然 ス プ ラ イ ン 補 間 関 数 と す る.こ を定 め よ.
対 す る,“ 最 も滑 らか な ” 補 間 関 数 を 求 め よ. 対 す る “最 も 滑 ら か な ” 3次(k=2)の
こ でs(0)=6と
し て,y3の
値 を 求 め,s(x)の
式
第 3章
線形汎関数 の近似
3・1線
形 汎関 数
汎 関 数(functional)は,関 た も の を い う.従
っ て,そ
数 に あ る 演 算 を 作 用 さ せ て 1つ の 数 値 に 対 応 さ せ の 関 数 に 対 し て 1つ の 汎 関 数 の 値 が 定 ま る.汎
例 と して は,∫baf(x)dxやf(r)(c)が
あ る . た だ し,a,b,c は 与 え ら れ た 定 数 で
あ り,r は 与 え られ た 非 負 の 整 数 で あ る.こ
単 の た め(x)を
れ らは 一 般 に,
Lf(x)=p
と 表 わ す こ と が で き る.Lはf(x)に る.簡
関数の
作 用 す る演 算 で あ り, p は 汎 関 数 の 値 で あ
省 略 して,
Lf=p
と書 く こ と も あ る.汎
関 数 は 2つ の 性 質,
L(cf)=cLf L(f+g)=Lf+Lg
(3・1)
が 成 り立 つ と き 線 形(linear)と functional)で
の 例 の ど ち ら も線 形 汎 関 数(linear
あ る こ とが 容 易 に 証 明 で き る.
と こ ろ で,汎
関 数 の 近 似 が 必 要 に な っ て く る こ とが あ る . 例 え ば,あ
積 分 が 可 能 で あ っ て も,そ あ る い は,実
な り,上
る 関数 は
の 積 分 を “閉 じた 形 ” で 表 わ せ な い こ とが 普 通 で あ る.
験 で 与 え られ る 関 数 の よ うに 離 散 的 な 値 で しか 与 え られ て い な い よ
うな 場 合 で あ る. 実 用 上 興 味 あ る 汎 関 数 で は,た で き る,従
っ て,区
い て い そ の 演 算 は 多 項 式 に 対 して は 容 易 に 遂 行
分 的 多 項 式 で あ る ス プ ラ イ ン に 対 して も演 算 は 容 易 で あ る.
と こ ろ で 第 2章 で は,離
散 した デ ー タ点 を ス プ ラ イ ン で あ て は め る こ と が で き
る と い う こ と を 見 た.従
っ て,汎
近 似 し,そ
関 数 に 対 す る 近 似 は,関
数 を ス プ ラ イ ン関 数 で
の ス プ ラ イ ン 関 数 の 汎 関 数 を 求 め れ ば 得 ら れ る . 実 際,Schoenberg
は 関 数 に 対 して あ る 適 当 な ス プ ラ イ ン近 似 を行 な う と,そ て,あ
れ が そ の汎 関 数 に対 し
る 意 味 で “最 良 近 似 ”に な っ て い る と い う注 目す べ き 発 見 を した . こ の “最
良 近 似 ” の 意 味 は 後 で 正 確 に 述 べ る.
3・2
Peanoの
定理
線 形 汎 関 数 を近 似 す る の に 最 も 重 要 な 数 学 的 道 具 は,た ぶ んPeanoの で あ ろ う.こ
定 理[12,13]
こ で は 次 の よ うな 線 形 汎 関 数 に つ い て 考 え る.
こ こ で 関 数ai(x)は
区 間[a ,b]で 区 分 的 に 連 続 で,か
つ 横 座 標xijは
区 間[a,
b]に あ る. 〔注 意 〕 式(3・2)は
文 献[14]か
ら 引 用 した も の で あ る.こ
理 が 最 も完 全 な 形 で 取 り扱 わ れ て い る と と も に,そ
の 文 献 はPeanoの
定
の 応用 につ い て書 か れ て
い る の で 有 用 で あ る. 式(3・2)の
形 の 線 形 汎 関 数 は も ち ろ ん 一 般 的 で は な い が,我
る も の を ほ と ん ど含 ん で い る.ま う.実
際,種
たLfが
定 積 分,(〓)あ
〔定 理3・1〕
ほ とん ど を 0 と
の 例 と して,(〓)f
る 与 え られ た 定 点 C で の f の r階 微 分 値,(〓)f ど が あ る.さ
L を式(3・2)の
て,次
にPeanoの
を 区 間[a, b]でm+1階
関 数 Lが た か だ か r次 の多 項 式 f に対 して,Lf=Oの
の
の い ろい ろな
定 理 の 1つ の 形 を示 す.
形 を も つ 線 形 汎 関 数 と し,そ
を 消 滅*さ せ る も の と す る 。 ま た,f
滅 させ る とい う.
え ば 関 数ai(x)の
ほ とん どを 0と お け ば 得 ら れ る.そ
点 で の 値 の 線 形 結 合,な
*汎
線 形 汎 関数 で ある こ とは 自明 で あろ
々 の 特 殊 な 形 の 線 形 汎 関 数 は,例
お い た り,係 数bijも
々 が 普 通 問 題 とす
性 質 を持 つ とき,
れ は m 次 の 多 項式 連 続 微分 可 能 な関 Lは r次 の多 項式 を消
数*1
と す る.こ
の と き,
Lf=∫baK(t)f(m+1)(t)dt
と な る.こ
こ で,
(3・3) で あ り,Lxは
L の 演 算 に お い て[]内
をxに
つ い て の み行 な うこ とを意 味 す
る. 〔証 明 〕 Taylorの
定 理[14]に
よ り,
さ て,
(t≦x) 0
(x-t)+m={(x−t)m
(t≧x) で あ る か ら,式(3・4)は,
と も書 け る.こ
こ で,式(3・5)の
m 次 の 多 項 式 で あ る か ら,L と 演 算 子 L の 順 序 は,被
両 辺 に L を作 用 させ る と,式(3・5)の に よ っ て 消 滅 す る.ま
た,第
第 1項 は
2項 の tに 関 す る 積 分
積 分 関 数 が 連 続 で あ る か ら入 れ 替 え る こ とが で き る.従
っ て,
*1 関 数f(x)が
m 階 連 続 微 分 可 能 とは,f(x)が
あ る こ とで あ る.こ の場 合 もち ろ んf(k)(x),k=1,2…
m 階 微 分可 能 で,そ ,m-1も
のf(m)(x)が
*2 こ の公 式 は積 分 項 を aか ら x まで繰 り返 し部 分 積 分 す る こ とに よるか,あ 微 分 して 確 か め る こ とが で きる.
連続 な関数で
連続 で あ る. るい は 両辺 を繰 り返 し
と書 ける. 式(3・3)で
与 え られ る関数K(t)は
(証 明終 り)
演 算 子 L のPeano核(kerne1)と
呼 ばれ
る.そ れ は明 らか に区 分 的 多項 式 関数 で ある が,ス プ ライ ン関 数 で あ る とは限 ら ない.
3・3汎
関 数 の 最 良 近 似 に 関 す るSardの
理 論
本 節 で は 線 形 汎 関 数 の “最 良 近 似 ”(best appoximation)に 理 論[15]を 述 べ る.そ
の 基 礎 と な る の が,上
い ま,任 意 の 汎 関 数 F を,以
述 のPeanoの
下 の よ う なf(xi)の
関 す るA. Sardの 定 理 で あ る,
線 形結 合 で表 わ され る別 の 汎
関 数 L で 近 似 す る こ と を 考 え よ う.
(3・6) こ こ で,係
数biは
と こ ろ で,こ
関 数 f に 無 関 係 な 定 数 で あ る.
の 種 の 近 似 は 一 般 に 広 く使 用 され て い る.そ
知 られ て い るSimpsonの
の 例 と し て は,よ
く
積分 近 似 公 式
(3・7) や,微 分近 似 公 式
(3・8) な ど を あ げ る こ とが で き る. こ の よ う な近 似 で は 普 通 そ れ が r次 の 多 項 式 に 対 して は 厳 密 に な る よ う に,式 (3・6)の
係 数biを
定 め て い る.言
と き は い つ で もLf=Ffと は 3次 式 に 対 し,ま さ て,L う.こ
い 換 え れ ば,f が た か だ か r次 の 多 項 式 で あ る
な る よ うに す る.従
た 式(3・8)は
っ て,式(3・7)のSimpson公
式
1次 式 に対 し厳 密 に な っ て い る.
が F の近 似 に 使 用 され た時 の 近 似 誤差 また は 残差 に つ い て 考 え よ
の 残 差 も ま たRf=Ff-Lfで
定 義 され る 線 形 汎 関 数 で あ る.も
し,そ
の
近 似 が m 次 に つ い て 厳 密 で あ る な らば,す あ る と き は,い Peanoの
つ で もFf=Lfで
なわ ち f がた か だ か m 次 の多 項 式 で
あ る の でRf=0と
定 理 の 仮 定 を 満 足 し,そ
な る,従
れ ゆ え 式(3・5)か
っ て,汎
ら,
(3・9)
Rf=∫baK(t)f(m+1)(t)dt を得 る,た
だ し,
K(t)=1/m!
で あ る.こ ば,m+1階
関数 R は
Rx[(x-t)+m]
こで 式(3・9)か
ら,も
微 分f(n+1)(t)の
(3・10)
し[a,b]の 全 域 でK(t)の
あ ま り大 き くな い,す
絶 対 値 が 小 さい な ら
べ て の 関 f(t)に
対 して L
は F の よ い 近 似 に な る こ とが わ か る. さて,F
に 対 す る 近 似 L,がm 次 で 厳 密 で あ る こ と は,式(3・6)の
る 種 の 拘 束 条 件 を 課 す こ と に は な る が,そ そ こで,係 数biの
れ だ け で はbiは
係 数biに
あ
一 義 的 に 決 ま ら な い.
ぶ 択 に つ い て 残 され て い る こ の 自 由 度 を 利 用 し,区 間[a, b]に
お い て |K(t)| を あ る 意 味 で 可 能 な 限 り小 さ くす る よ うに して, biを
決 め るこ と
が 考 え ら れ る. そ こ で,Sardは
最 良 近 似 を 以 下 の よ うに 定 義 し た 。 L は m 次 に 対 して 厳 密 な
汎 関 数 で 式(3・6)に
よ っ て 衷 わ され,る とす る.こ
られ た 値 で あ る.も
し係 数biが
の と き,m
と横 座 標xyは
与え
この 条 件 の 下 で,
(3・11)
J=∫ba[K(t)]2dt
を 可 能 な 限 り小 さ くす る よ う に ぶ ば れ る な ら,L
はF に対 す る最 良近 似 で あ る と
い う.
3・4
自然 ス プ ラ イ ン に よ る 線 形 汎 関 数 の 近 似
関数 f に対 す る線形 汎 関 数Ffを 近 似 す る 1つ の方 法 は, f を ス プライ ン近 似 sで置 き換 え て 汎 関数 恥 を求 め る こ とで あ った.こ
こで sは,与 え られ た 整 数
k お よ び 横 座 x1,x2,…,xnに
対 し て 一 義 的 に 定 ま る2k-1次
ン と す る,こ
と 〔定 理2・8〕
の と き 〔定 理2・7〕
か ら,s
の
自然 ス プ ラ イ
は n個 の デ ー タ点
(3・12)
(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),…,(xn,f(xn))
を補 間 す る “最 も滑 らか な ”関 数 に な っ て い る.以 る近 似Fsが xiに
式(3・6)の
下 で,こ の 方 法 に よ っ て 得 ら れ
形 で 表 わ され る こ と を示 そ う(そ こ で は,係 数biが
の み 依 存 し, f に は 依 存 し な い も の で な くて は な ら な い).さ
次(=k-1次)の
多 項 式 に 対 し て 厳 密 で あ る こ と,つ
汎 関 数 の 近 似 に な っ て い る こ と を示 そ う.そ
座標
ら に, L が m
ま り,そ れ がSardの
線形
し て,次 節 で は,そ れ が 式(3・11)の
J を最 小 に して い る こ と を 示 す. 〔注 意 〕 こ こ で 必 要 な の は,係 数biが 求 め る こ と で は な い.し
か も,biを
存 在 す る こ と を 示 す こ とで あ っ て,そ
れを
求 め る こ と は や っか い な こ とで あ る し,
実 際 に 求 め な い で 済 ま す こ と も で き る. そ こ で ま ず,自
然 ス プ ラ イ ン s を 求 め る や り方 に つ い て 思 い 出 し て み よ う.s
は 第 2章 式(2・24)で (2・26)のn+k個
表 わ す こ とが で き,こ の 式 のn+k個 の 方 程 式 を解 い て 得 る こ とが で き る.こ
こ と は や っ か い で あ る が,原 き る.つ
ま り,ス
か も,こ
理 的 に は 式(2・25)右
り引 い た り,あ る い はyiに の 係 数 は,yiの
対 し て 解 く こ とが で
表 わ され,たこ とに す る . し
対 す る 演 算 は,yiを
それ ぞれ 加 えた
定 数 を 掛 け た り割 っ た りす る だ け で あ る.従
線 形 結 合 に な っ て い る こ とに な る.そ
式
の係 数 を実 際 に求 め る
辺 のyiに
プ ラ イ ン sの 係 数 は こ れ ら のyiで
れ ら の 方 程 式 を 解 く過 程 で のyiに
式(2・24)の
の 係 数 は 式(2・25)と
こ で,こ
っ て,s
れ らの 線 形 結 合 を
パ ラ メ ー タ に 代 入 し て ま と め る と,s は
s(x)=Σni=1Bi(x)yi
の 形 に な る.こ
(3・13)
こ で 関 数Bi(x)(i=1,2,….n)は
次 の 自 然 ス プ ラ イ ン で あ る,こ め る 必 要 は な く, た だ それ
さて,式(3・13)で
節 点 がx1,x2,…,
こ で も こ れ ら の ス プ ラ イ ン 関Bi(x)を
ら の 存 在を知るだけ
表 わ さ れ る s の 汎 関 数Fsに
で 十 分で
xnの2k-1 実 際 に求
あ る.
お い て F は 線 形 汎 関 数 で あ る,
つ ま り式(3・1)の
性 質 を持 っ て い る か ら,
Fs=Σni=1yiFB
に な る,こ
(3・14)
こ で,
bi=FBi
(3・15)
と お き, しか も
yi=f(xi) で あ る の で,式(3・14)は
式(3・6)と
ス プ ラ イ ンBiは,そ
等 価 で あ る こ と が わ か る.
の 作 り方 か ら わ か る よ う に,変
は 依 存 し な い こ と に 注 意 し よ う.従 に は 依 存 す る が,関 こ う し て,以
数xiに の み 依 存 しyiに
って,式(3・15)は,係
数biが
数 f に は 依 存 し な い こ と を示 して い る.
上 で 考 察 した ス プ ラ イ ン近 似 の 過 程 が,F
の 近 似 つ ま り式(3・6)
の 形 を した 新 しい 汎 関 数 L を 定 義 して い る と考 え られ る.す め れ ば,L
F と 座 標xi
な わ ち,簡
単にまと
は 次 の よ う に 定 義 され る.
Lf=Fs こ こ で,s
(3・16)
は f に 対 す る 節 点x1,x2,…,xnを
持 っ た2k-1次
の 自然 ス プラ イ ン
近 似 で あ る.
この近 似 Lに つ い て の 以下 の定 理 は重 要 であ る。 〔定 理3・2〕
式(3・16)で
定 義 され る 演 算 L は,k-1次
の 多 項 式 に 対 して 厳
密で あ る よ うな 演 算 F の 近 似 に な っ て い る. 〔証 明 〕
f を た か だ かk-1次
示 そ う.ま
ず,式(2・24)のs(x)は
1な る こ と に 注 意 す る.従 r ん で い る の で,s=fで と こ ろ で,式(2・25)と 単に 証 明 で き る.す
の 多 項 式 とす る.こ
の と きs=fで
そ の す べ て の 係 数ciが
っ て,2k-1次
あ る こ と
0な ら ばPk-1(x)
の 自 然 ス プ ラ イ ン の 属 はk-1次
の属を
あ り う る. 式(2・26)は
な わ ち,こ
どち ら もs=fの
の と き はciが
と き 満 た され る こ と が 簡
す べ て 0 と な り,式(2・26)が
満た
され る こ とは 自 明 で あ る.ま
た こ こ で は,デ
あ るか ら,yi=f(xi)で
あ る.〔 定 理2・7〕
あ る の で,結
示 され た.従
Ffと
局s=fが
な り, L はk-1次
3・5
よ り,補
っ て,こ
補 間 して い る の で
間 自然 ス プ ラ イ ン は 一 義 的 で
の 場 合,式(3・16)か
らLf=Fs=
の 多 項 式 に 対 して 厳 密 で あ る.
Schoenbergの
Schoenberg[16]は
ー タ 点(3・12)を
(証 明 終 り)
定 理 次 の よ うな 注 目 す べ き 事 実 を 発 見 した.そ
与 え ら れ る よ うな L に よ る F の ス プ ラ イ ン近 似 が,Sardの 良 近 似 に な っ て い る こ とで あ る.つ 式 に 対 し て F と 等 価 で,か
ま り,式(3・16)の
つ 式(3・11)の
れ は 式(3・16)で
意味 で F に対 す る最
形 の L が,k-1次
の 多項
J が 最 小 に な っ て い る こ と で あ る.
こ の 結 果 を 次 の 定 理 で 正 確 に 述 べ る. 〔定 理3・3〕
a〓x1<x2<…<xn〓bと
義 され る 演 算 子 とす る.L ′は 式(3・6)の っk-1次
し, F を 式(3・2)(m=k-1
の 多 項 式 に 対 して は 厳 密 で あ る もの と し,L は 式(3・16)で
近 似 を 表 わ す も の と す る.ま L に 対 応 す る 値 と す る.こ
定
た J′,Jを 式(3・11)に
与 え られ る
よ っ て 定 義 され る量 の, L′,
の と き,
J≦J′ であ る.こ 〔証 明 〕
こ で 等 号 はL′=Lの
と き に 限 る.
bi′,biを そ れ そ れ L′, L に 対 応 す る 式(3・6)の
(t)を 式(3・9)の
L′,Lに 対 応 す るPeano核
係 数 と し, K1(t),K
と す る.〔 定 理2・8〕 の 証 明 で 使 わ
れ た と 同 じ工 夫 を用 い て.
(3・17) と 書 け る.式(3・17)の
第 2項 の 積 分 は 非 負 で あ る の で,も
0で あ る こ とが 示 され れ ば,不
等 式J≦J′
が 成 立 す る .そ
し 最 後 の項 の 積 分 が こ で,こ
の こ と を示 そ
ろう. は じ め に,K1(t)-K(t)が
節 点x1, x2,…, xnを
も つk-1次
の C-ス
プラ イ ン
で あ る こ と を 示 す.そ す.そ fの
の 準 備 と し て,K1(t)がt≦a,
の た め に ま ずFfとL′fが(従
ら 明 ら か で あ る.す
さ れ な い.さ
な わ ち,そ
て,t≧bの
に 0 で あ る.そ か らK1(t)=0と
(x-t)+k-1 で あ る.と
あ る.従
た,t≦aの
はk-1次
区 間[a,b]上
と き,区
x に 関 す るk-1次
と き, K1(t)=0と
こ の よ う にK1(t)はt≦a,t≧bで じ 方 法 に よ り,t≦a,
さ て,式
よ び 式(3・
の xに 対 し て 恒 等 的
な る.従 間[a,b]上
っ て,式(3・10)
で の x に 対 し て,
の 多 項 式 で あ り,ま
た 仮 定 に
の 多 項 式 に 対 し て 厳 密 で あ る か ら,R′x[(x-t)+k-1]=0で
っ て,t≦aの
t≦a,t≧bで
の
=(x-t)k−1
こ ろ で(x-t)k-1は
よ っ てL′
の こ と は,式(3・2)お
こ でR′x[(x-t)k-1]=0と
な る.ま
間[a, b]上
れ らは この 区 間外 の fの ふ るまい に は 影響
と き,(x-t)+k-1は
れ ゆ え,そ
0に な る こ と を示
っ てR′f=Ff-L′fも)区
値 に の み 依 存 し て い る こ と に 注 意 し よ う.こ
6)か
t≧bで
な る. 0 に な る こ と が 明 ら か に な っ た. K(t)も
t≧bで
0 に な る こ と が わ か る.従
同
っ て, K1(t)-K(t)は
0 に な る. (3・10)か
ら, 1/(k-1)! (R′
Kl(t)-K(t)=
x-Rx)[(x-t)+k-1]
(3・18)
で あ る が, R′x-Rx=
( Fx-L′x)-(Fx-Lx)=Lx-L′x
で あ る か ら,式(3・18)は, 1/(k-1)! (L
K1(t)-K(t)= と な る.一
方,式(3・6)か
x-L′x)[(x-t)+k-1]
(3・19)
ら
(3・20) で あ る の で,関
係式
z+r=zr-(-1)r(-z)+r
を 利 用 す る と 、 式(3・19)お xnを
も っ たk-1次
よ び 式(3・20)か
らK1(t)-K(t)は
の ス プ ラ イ ン で あ る こ と が わ か る.さ
にK1(t)-K(t)はt≦a,t≧bで
節 点x1,x2,…, ら に,上
で 示 した よ う
恒 等 的 に 0 で あ る か ら,K1(t)-K(t)は
C-ス
プ
ラ イ ン に な っ て い る.
次 に,式(3・17)の (t)-K(t)の
最 後 の 項 の 積 分 と 0に な る こ と を 示 す.い
任 意 の k重 不 定 積 分 と す る,言
ま,G(t)をK1
い 換 れ ば,G(t)は
G(k)(t)=K1(t)-K(t) を 満 足 す る 任 意 の 関 数 で あ る . 従 っ て,〔 xnを
も つ2k-1次
定 理2・5〕
の 自 然 ス プ ラ イ ン で あ る.こ
か らG(t)は
のG(t)を
節 点x1,x2,…,
用 い て 式(3・17)の
最
後 の 積 分 を,
∫baK(t)G(k)(t)dt
と 表 わ し,こ
れ と 式(3・9)と
比 較 す る と,こ
の 積 分 は 明 らか に L を F の 近 似 と し
て 関 数 G に 演 算 し た と き の 誤 差 あ る い は 剰 余 に な っ て い る こ とが わ か る.(RG =FG-LG)
.
さ て,L
は 式(3・16)で
定 義 され て お り, G は 節 点x1,x2,…,xnを
次 の 自然 ス プ ラ イ ン で あ る.一
方,与
え ら れ た デ ー タ点 を,与
も つ2k-1
え られ た 次 数 で 補
間 す る 自然 ス プ ラ イ ン は,〔 定 理2・7〕 か ら た だ 一 つ で あ る の で,G
に対 す る補 間
自然 ス プ ラ イ ン は G そ れ 自 身 で あ る 。 す な わ ち, LG=Fs=FG と な り,剰
余 は 0で な け れ ば な ら な い.従
な り,不 等 式J≦J′ さ て,式(3・17)か と が わ か る.こ 意 味 して い る.言 る.従
っ て,F
っ て,式(3・17)の
最 後 の 積 分 は 0と
が 成 立 す る. ら,J=J′
の こ とは,ほ
とな る の は 第 2項 の 積 分 が 0 に な る と き に 限 る こ と ん どい た る と こK1(t)-K(t)=0で
い 換 え れ ば,ほ
とん どい た る と こ ろKl(t)=K(t)と
の 近 似 こ し て L′お よ び L と 用 い られ る と き,式(3・9)は
の 許 容 関 数 f に 対 し て ど ち ら も 同 じ剰 余 を 与 え る.こ
あ る こ とを な ってい す べて
の こ とは すべ て の許 容 関数
f に 対 して,L′f=Lfで
あ る こ と を意 味 し,こ れ はL′=Lと
同 等 で あ る. (証 明 終 り)
例
題
3・6
この 節 で は,簡 単 な例 を用 い て上述 の近 似理 論 を具体 的 に説 明 す る.そ の例 と して,積 分 ∫1-1f(x)dxを, d1f(-1)+d2f)(0)+d3f(1)
(3・21)
で 近 似 す る こ と を 考 え よ う,Simpson公 の 1つ で あ る.こ で い る.以
式(3・7)は,も
ち ろ ん,そ の よ う な 近 似
の 例 は 簡 単 で あ る が, こ の 章 で 考 え た 重 要 な 事 項 は す べ て 含 ん
下 は こ の こ と を示 す の を主 目的 と す る の で あ っ て,実
手 順 を示 す も の で は な い. そ こ で 簡 単 の た めf(x)が
際 の近似 計 算 の
1次 関 数 の と き,式(3・21)
が 厳 密 と な る 場 合 に 話 し を 限 定 し よ う.さ てf(x)を,
(3・22)
f(x)=a0+a1x と お け ば, 以 下 の 式 を 得 る.
(3・23)
d1f(-1)+d2f(0)+d3f(1)=a0(d1+d2+d3)+a1(d3-d1)(3・24) こ の 近 似 は,す
べ て の 1次 式 に 対 して(す
密 で な け れ ば な ら な い か ら,式(3・23)と
な わ ち 任 意 のa0とa1に
式(3・24)よ
対 して)厳
り,
d1+d2+d3=2 d3-d1=0 と な る. 言 い 換 え れ ば,d3=d1か
つd2=2(1-d1)で
df(-1)+2(1-d)f(0)+df(1)
あ る か ら,式(3・21)は,
(3・25)
と 表 わ さ れ る. こ こ でd=1/3な さ て,近
似 公 式(3・25)に
ら,Simpsonの
公 式 に な る こ と に 注 意 し よ う.
関 す るPeano核K(t)を
次 式 に 対 し て 厳 密 で あ る か らm=1と
見 つ け よ う.式(3・25)は
お く と 式(3・10)よ
りK(t)=Rx[(x-t)+]
と な る が, そ れ は,
Rf=Ff-Lf=∫
1-1f(x)dx-{df(-1)+2(1-d)f(0)+df(1)}
に お い てf(x)を,
f(x)=(x-t)+
(3・26)
と した と き の 値 で あ る. と こ ろ で,式(3・26)のf(x)を
用 い る と,
(3・27)
と な り, 一 方,近
似 公 式(3・25)は,
(3・28)
と な る. 従 っ て,式(3・27)か
を 得 る. こ のK(t)を
ら 式(3・28)を
式(3・11)に
引 い て,
代 入 し,計 算 す る と
1
と な る. 簡 単 な 計 算 に よ り J は,d=3/8の る.ち
な み に,Simpson公
(3・25)に,d=3/8を
と き,最
小 値1/160を
式 で はd=1/3でJ=1/135と
持 つ こ とが わか
な っ て い る.こ
こ で,式
代 入 す る と,
(3・29) を 得 る.こ
れ が,Sardの
理 論 に 基 づ い た 最 良 近 似 積 分 公 式 で あ る.
同 じ 問 題 をSchoenbergの (0,f(0)),(1,f(1))に (2・26)を
観 点 か ら 考 え て み よ う,デ 対 す る 3 次*の
解 い て 得 ら れ る.こ
ー タ 点(-1,
f(-1)),
自 然 ス プ ラ イ ン 補 間 関 数 は,式(2・25)と
式
れ は,
(3・30) を 与 え る. こ の 式 が 式(3・13)の
形 を 持 つ こ と は 明 ら か で あ る.そ
こ で 式(3・30)
を 積 分 す る と,
を 得 る が, こ れ は,式(3・29)と
全 く 一 致 して い る.ま
た,同
よ う な 多 少 違 っ た や り方 で 導 く こ と も可 能 で あ る.式(3・21)の 単 に 一 次 関 数 だ け で な く節 点-1,0,1
は2k-1次
よ り,f(x)は
形 の 近 似 公 式 を,
ず 3次 の 自 然 ス プ ラ イ ン は,一
1次 関 数 で あ る の で,k-1=m=1か
の 自 然 ス プ ラ イ ン で あ る.そ
下の
を持 つ す べ て の 3次 自然 ス プ ラ イ ン に 対 し
厳 密 とな る よ う に 定 め る こ と を考 え る.ま * 〔定 理3・2〕
じ こ と を,以
らk=2で
あ る. Lf=Fsの
れ ゆ え, sは 3次 の 自 然 ス プ ラ イ ン で あ る.
次関 数 関数 s
を 含 む の で, こ こ で 求 め る 近 次 公 式 は, 1次 関 数 に 対 し て 厳 密 な 式(3・25)の
形
で な け れ ぼ な ら な い こ と は 明 ら か で あ る. と こ ろ で, 3次 の 自 然 ス プ ラ イ ン は, S(x)=a0+a1x+c1(x+1)+3+c2x+3+c3(x-1)+3
(3・31)
の 形 を して い る は ず で あ る. しか しな が ら 式(3・25)は, 密 で あ り,ま た 考 え て い る 演 算(す で 線 形 で あ る か ら,式(3・31)
な わ ち,積
1次 関 数 に 対 して は 厳
分 ∫1-1f(x)dx)は
式(3・1)の
の 右 辺 の 最 初 の 2項 は 考 え る 必 要 が な い.そ
意味 れ を
除 い て 以 下 の 式 だ け を考 え れ ば よ い.
s(x)=c1(x+1)+3+c2x+3+c3(x-1)+3 こ こ で, 係 数c1,c2,c3は
式(2・26)を
満 足 し な け れ ば な ら な い.こ
れ よ りc3=c1,
c2=-2c1を
得 る の で,式(3・32)は,
s(x)=c[(x+1)+3-2x+3+(x-1)+3] と な る(c1=cと
す る).式(3・33)か
s(-1)=0,
の 場 合 は,
-c1+c3=0
c1+c2+c3=0, で あ る.こ
(3・32)
(3・33)
ら, 容 易 に
s(0)=c
s(1)=6c
(3・34)
ds(-1)+2(1-d)s(0)+ds(1)=2(1+2d)c を 得 る. 従 っ て,式(3・25)が
式(3・31) の す べ て の ス プ ライ ン関 数 に 対 し厳 密 で
あ る の は,
2(1+2d)c=7/2c
で あ る と きに 限 る. こ れ か ら前 と 同 様 にd=3/8と
3・7
な る.
自 然 ス プ ラ イ ン に対 し て 厳 密 な 近 似
前 節 の 例 の 最 後 の 結 果 で,式(3・25)が,
式(3・31)で
表 わ され るす べ て の ス プ
ラ イ ン に 対 し て 厳 密 で あ る の は, Lf=Fsの しか し, Lf=Fsと
場 合 に 限 る,と い う こ とが わ か っ た.
な る の は, こ の 例 に つ い て だ け な の か, あ る い は 任 意 の 節 点
と 任 意 の k に 対 し て 一 般 的 に そ れ が い え る の か, と い う疑 問 が 残 る. しか し後 者 が 正 しい こ と を 容 易 に 示 す こ とが で き,こ れ を 次 に 定 理 と して 述 べ る. 〔定 理3・4〕
〔定 理3・3〕 で 述 べ た も の と 同 じ定 義 と仮 定 の 下 で は,F
る 近 似 演 算 の うち で,式(3・6)
の 形 を し,か つ 節 点x1, x2,…,xnを
に対 す
持 った2k-
1次 の す べ て の 自然 ス プ ラ イ ン 関 数 に 対 し て 厳 密 で あ る も の は, L に 限 る. 〔 証 明 〕
まず,L
が2k-1次
の す べ て の 自 然 ス プ ラ イ ン に 対 して 厳 密 で あ る
こ と を示 そ う.f が こ の よ う な 自 然 ス プ ラ イ ン で あ れ ば,〔 定 理2・7〕
に よ り, f
に 対 す る 自 然 ス プ ラ イ ン 近 似 は f そ れ 自 身 で あ る. 従 っ てs=f,す Fs=Ffで り,従
あ る.と
こ ろ が, L は 式(3・16)で
っ て,Lf=Ffで
次 に,L
あ る.す
な わ ち,こ
の 唯 一 性 に つ い て 示 そ う,ま
な わ ち,
定 義 され て い る の でLf=Fsで
あ
の と き近 似 は 厳 密 で あ る.
ず, L′を 式(3・6)の
形 を した 演 算 子 と
し,与 え られ た ス プ ラ イ ン に 対 し て 厳 密 に な る よ う な F の 近 似 とす る.そ fは ,F
に対 して 適 用 で き る 関 数 と し,さ
るx1,x2,…,xnの ると,L′s=Fsで
節 点 を持 っ た2k-1次 あ る.と
s(xi)=f(xi) で あ る. 従 っ て,式(3・6)か 数 f に 対 してL′f=Lfで
ら に s は,デ
ー タ点(3・12)を
Peanoは た,ま
補間す
の 自然 ス プ ラ イ ン 関 数 と す る.そ
こ ろ が, sは デ ー タ点(3・12)を
うす
補 間 す る の で,
(i=1,2,…,n)
らL′s=L′fが あ る.そ
れ は,す
成 り立 つ.従
っ て,す
な わ ちL′=Lで
同 等 で あ る.
3・8
して
べ て の許 容 関
あ る とい うこ と と (証 明終 り)
第 3章 に 関 す る小 史 剰 余 に つ い て の 2つ の 古 典 的 論 文[12,13]を1913年
た,Sardは1948年
以 来 の 一 連 の 論 文 の 中 で, Peanoの
の 最 良 近 似 の 研 究 に と っ て 重 要 で あ る こ と を 述 べ て い る.線 に 関 す る 最 も 有 用 な 参 考 文 献 は 論 文[15]で
と1914年
に 発表 し
定理 が線 形 汎 関数 形 汎 関数 の近 似理 論
あ り,そ れ,は初 期 の 論 文 を 含 み,か つ
詳 細 な 文 献 目 録 が 付 い て い る.GolombとWeinbergerは1958年
のWisconsin
大 学 数 学 研 究 所 の シ ン ポ ジ ュ ウ ム で 発 表 した 論 文[11]で,Sardと
同 様 な 観 点 か ら,
更 に 一 般 的 な 問 題 に つ い て 研 究 して い る.Schoenberg[16]は1964年 ラ イ ン補 間 と,線 形 汎 関 数 に対 す る 最 良 近 似 のSardの 関 係 に つ い て の 証 明 を 発 表 した.本
汎 関 数 L の 性 質 を 彼 の 定 理(本
こ で は,F
定 理 の 証 明 は,筆
〔定 理3・4〕
書 でSchoenbergの
う)の 証 明 の 中 で 示 し て い る.そ
理 論 との間 に あ る 密 接 な
書 で 用 い たSchoenbergの
者[17]が 以 前 新 た に 与 え た も の で あ る.Schoenbergは
に 自然 ス プ
で述 べ た 近似
定 理 と よ ぶ 〔定 理3・3〕
をい
に 対 す る 近 似 の う ち で 特 に 式(3・6)
の L が 重 要 な の は,こ の 性 質 の た め で あ る,と は っ き り と述 べ て い な い.し
か し,
彼 は 当 然 こ の こ とを 知 っ て い た に ち が い な い.
演 3・1
3・6節
の 例 に 対 し て,式(3・13)
習
問
題 3
の 関 数Bi(x)
を 求 め よ.そ
して, x=-1,0,1
に対 す
る関 数 値 を計 算 せ よ. 3・2
関 数f(x)に
対 す る 線 形 汎 関 数f′(ξ)に
つ い て,式(3・21)
の形 の近 似 公式 を求 め た
い. こ こ で ξ は あ る 定 ま っ た 値 と す る. そ の た め に 係 数d1,d2,d3が を,式(3・22),式(3・23)お
よ び 式(3・24)を
満足 すべ き条 件
利 用 して 見 つ け,近 似 公 式 を 式(3・21)の
形 に 書 け. 3・3
問 3・2に
対 応 す るPeano核K(t)を
見 つ け よ(た
だ し0<ξ<1と
す る).次
に,そ
れ は ス プ ラ イ ン か ど うか 調 べ よ. 3・4
式(3・33)お
よび 式(3・34)を
用 い て,問3・2の
公 式 の パ ラ メ ー タ を 節 点-1,0,1
も つ 3次 自 然 ス プ ラ イ ン に 厳 密 で あ る よ う に 決 定 せ よ. 3・5
式
の形 を持 ち,Sard の 意味 で一 次 関数 に 対 して厳 密 な最 良 近似 公 式 を求 め よ.
を
第 4 章 差 分 商 とB-ス
4・1
プ ライ ン
補 聞 自然 ス プ ライ ンの計 算
第 2章 と第 3章 で, 与 え ら れ た デ-タ
点 を 補 間 す る の に 自然 ス プ ラ イ ン 補 間 関
数 を 用 い る こ との 利 点 を 示 し,ま
の補 間 関 数が 特 に 有効 な近似 とな るい く
つ か の 性 質*を
た,こ
持 つ こ と を知 っ た 。
さ て, こ の よ う な 自然 ス プ ラ イ ン を 求 め る た め に は, 原 理 的 に は,第 (2・25)と
式(2・26)を
ろ で こ の 方 法 は,も す る と き は,k
2章 の 式
連 立 さ せ て 解 け ば よ い こ と は 先 に 述 べ た 通 りで あ る.と ち ろ ん 最 も 直 接 的 で か つ 明 瞭 な 方 法 で は あ る が,実
こ
際 に計算
と n の 両 方 が 非 常 に 小 さ な 値 で な け れ,ばあ ま り よ い 方 法 と は 言
え な い. こ の 理 由 を 説 明 す る た め に,第 例 を 再 度 取 り上 げ る.5
1章 の 式(1・1)で
与 え ら れ た 自 然 ス プ ライ ン の
個 の デ ー タ点(-3,7),(一1,11),(0,26),(3,56),(4,29)
が 与 え ら れ て い る と し,こ 求 め て 見 よ う.〔 定 理2・8〕
れ に 対 して,k=2の と 〔系2・1〕
か ら,こ
場 合 の “最 も 滑 ら か ” な 関 数 を の 補 間 関 数 は,
s(x)=a0+a1x+c1(x+3)+3+c2(x+1)+3+c3x+3 +C4(x-3)+3+C5(x-4)+3
の 形 で な け れ ば な ら な い. 従 っ て,こ
の 場 合 の 式(2・25)と
式(2・26)は,
a0-3a1 a0-a1+
a0+ *例
えば
,Schoenbergの
=7 =11
8c1
27c1+
c2
定 理 な ど が あ る.
=26
a0+3a1+216c1+
64c2+27c3
=56
a0+4a1+343c1+125c2+64c3+C4 c1+ - 3c1-
=29
C2+C3+C4+C5=2 c2 +3c4+4c5=
0
(4・1) と な る. と こ ろ で(x+3)+3は, C1の
x=4付
近 で 非 常 に 大 き な 値 と な る か ら, s(x)の
値 は 小 数 点 以 下 数 桁 ま で 正 確 に 求 め る 必 要 が あ る.こ
は な い が 他 の 係 数 に つ い て も 同 様 で あ る.し 程 式 を 解 こ う と す る と,普
か し,式(4・1)の
の こ とは,c1ほ
の解 を十
の こ と を簡 単 に 理 解 す る た め に,
式(4・1)の
係 数 行 列 と そ の 逆 行 列 の 様 子 を 見 よ う.こ
で あ り,そ
の 逆 行 列 は,
の 係 数 行 列 は,
で あ る. yを
式(4・1)の
どで
よ うな連 立一 次 方
通 は 丸 め の 誤 差 が 急 速 に 増 え て く る の で,そ
分 な 精 度 で 求 め る こ と は 難 しい こ と に な る.こ
式で
右 辺 で 示 さ れ る よ うな 成 分 を 持 つ ベ ク トル と す れ ば,A-1yは
a0,a1,c1,c2,c3,c4,c5を
成 分 と す る ベ ク トル で あ る.y
0,0で あ り,a0, a1, c1, c2, c3, c4, c5の -5で
あ る .し
正 確 な 値 は,そ
か し な が ら,行 列 の 積A-1yか
れ は い くつ か の 積 の 代 数 和 と して 求 ま る.と
の 成 分 は,7,11,26,56,29, れ ぞ れ 1,-2,1,-2,-1,7,
らa0,…,c5を こ ろ で,そ
計 算 す る 場 合,そ
れ らの項 の 各 々は場 合 に
よ る と非 常 に 大 き な 値 で あ って,そ れ ら の 和 や 差 の 結 果 が 上 のa0,…,c5な (そ れ は 1,-2,… 方 法 でA-1を
と い っ た 値 で あ る)と
異 な る こ とが 多 い.と
どの 値
い うの は,普
求 め る 計 算 で は 丸 め に よ る多 少 の 誤 差 が 入 っ て くる し,さ
通 の らに上
の よ う に 非 常 に 大 き な値 と小 さ な 値 の 和 あ る い は 差 を と っ た と き精 度 が 失 わ れ て しま うわ け で あ る.連
立 一 次 方 程 式 の 解 法 に は,上
必 要 の な い 別 な 方 法*も
い くつ か あ る が,そ
の よ う に逆 行 列 を 陽 に 求 め る
れ ら の 方 法 に 対 して も 同 様 な 現 象 が
起 こ り うる.上
の 式(4・1)は,式(2・25)と
式(2・26)か
す ぎ な い が,一
般 的 な 場 合 に 対 して も,こ
こ で 述 べ た よ う な 欠 点 が あ る.さ
に,n
が 大 き くな る と こ の こ とは 一 層 顕 著 と な る.こ
ら得 ら れ る もの の 一 例 に ら
の 困 難 は, B-ス プ ラ イ ン と
呼 ば れ る 特 殊 な ス プ ラ イ ン と差 分 商 と を 用 い て 連 立 方 程 式 を 適 当 に 変 形 す る こ と に よ っ て 解 決 で き る.そ
れ ゆ え,以
下 で そ れ らの 関 数 を定 義 し,そ の 性 質 の い く
つ か を示 そ う. B-ス プ ライ ン は,そ
の 定 義 か あ る い は 節 点 の 数 と位 置 の 仮 定 を 適 当 に 修 正 し
て,す
の ス プ ラ イ ン の 基 底 に 拡 張 す る こ とが で き る[20].
べ て のm-1次
4・2
差
ま ず,差
分
商
分 商(divided
difference)の
れ 異 な る 座 標 と し,f(x1),f(x2),… と す る.と
こ ろ で,関
f(xi)は,単
数f(x)は
定 義 か ら始 め よ う. x1, x2,…
をそれ らの座 標 に対 応 す る あ る関数 f の値 必 ず し も数 式 で 定 義 され る必 要 は な い.例
に 離 散 的 デ ー タ 点 の 座 標xiに
い る だ け で あ っ て も よ い.こ
をそ れ ぞ
こ で,1
対 す る 縦 座 標yiと
階 差 分 商f(xi,
えば
して 与 え られ て
xi+i)は,
(4・2) *例
えば
,Gaussの
消 去 法 な ど が あ る.
と定 義 され る. 幾 何 学 的 に は, デ ー タ点(xi,yi)と(xi+1, で あ る. 高 階 の 差 分 商 は,関
yi+1)を 結 ぶ 線 分 の 勾 配
係式
(4・3) に よ っ て 順 次 に 定 義 さ れ る. こ の と き 関 数 値f(xi)は
0 階 の差 分 商 とみ なす こ
と が で き る. 差 分 商 に つ い て は 種 々 な 記 述 法 が あ る が,こ
こ で はSteffensen[18]
に よ る も の を 用 い た. 次 に,差
分 商 の 計 算 を説 明 し よ う.そ の た め に,第
1章 で用 い た デ ー タ点
(-3,7),(-1,11),(0,26),(3,56),(4,29) を こ こ で も用 い る.k=2の は,式(1・1)で
場 合,こ
れ らの 点 に 対 す る “最 も滑 らか な” 補 間 関 数
与 え ら れ た 3次 の 自然 ス プ ラ イ ン で あ る.式(4・2)と
用 い て 差 分 商 を 計 算 す る と,表4・1の
(4・4)
よ うに な る. 表 4・1
表 4・2
式(4・3)を
表4・2で る.こ
も 示 す よ うに,奇
数 階 の 差分 商 は偶 数階 の間 に 入れ て表 わ す場 合 もあ
れ か ら わ か る よ う に,こ
の 差 分 商 表 は普 通 使 わ れ る差 分 の 表 を 拡 張 し た よ
う な も の で あ る.
4・3高
階 差 分 商 の関 数値 によ る表 現
公 式(4・3)は る.こ
任 意 階 の 差 分 商 を,そ
れ よ り 1階 低 い 差 分 商 で 表 現 す る 式 で あ
の 公 式 は 差 分 商 の 値 を数 値 的 に 計 算 す る の に 最 も 容 易 な 方 法 で あ る.
し か し,差
分 商 の 性 質 を 証 明 した り,特
イ ン の 研 究 の た め に は,任
に こ の 章 の 後 で 定 義 され る
意 階 の差 分 商 を,そ
B-ス プ ラ
の も と と な る関 数 値f(xi)の
線
形 結 合 で 表 現 す る 式 が 便 利 で あ る. こ の 式 は 第 2章 の 式(2・2)で
定 義 したPi(x)を
用 い て 次 の よ う に書 け る.
(4・5) い ま,こ
の 式 を 数 学 的 帰 納 法 を 用 い て 証 明 し よ う.ま
と な り,こ れ は 式(4・2)と と して,n+1の
明 ら か に 等 し い.次
場 合 の 式 を導 び く.こ = (x - x2)(x
- x3) … (x - xn + 1)
R(x)
= (x - xl)(x
- x2) … (x - xn + 1)
そ うす る と,n 式(4・5)か
式(4・5)は,
る n で 式(4・5)が
正 しい
こ で 簡 単 の た め に,
Q(x)
と し,Qi(x),Ri(x)をQ(x),R(x)か
に,あ
ず,n=2で
ら因 子(x-xi)を
階 差 分 商 に 対 す る 式(4・5)が
除 い た も の と す る.
正 しい と し て, n+1階
差分商は
ら,
(4・6) と書 け る.さ
て,[]内
のf(x1)の
係 数 は,
と 書 く こ と が で き,ま
た 同 様 にf(xn+1)の
と 書 く こ と が で き る.一
と な る.以
方,i=2,3,…,
係 数 は,
nに
対 す る[]内
のf(xi)の
係 数 は,
上 か ら,式(4・6)は,
と書 く こ と が で き る.こ
れ は 式(4・5)の
n をn+1に
置 き 換 え た 式 に 等 しい.
(証 明終 り) こ の 公 式(4・5)か
ら導 か れ る 重 要 な 性 質 と して,差
称 関 数 に な って い る.す
な わ ち,f(x1, x2,…, xn)の
分 商 は そ の 引 数 に 対 して 対 値 は 引 数x1, x2,…, xnの
任
意 の 置 換 に 影 響 され な い こ と が わ か る.
4・4
Newtonの
差 分 商補 間公 式
式(4・2)で,xiをx,ま
たxi+1をx1と
f(x)=f(x1)+(x-x1)f(x, を 得 る.同
様 に,式(4・3)でi=0と
し,f(x)に
つ い て 解 け ば,
x1) し,x0を
(4・7) x と し て, f(x, xl, x2,…,xn)に
つ い て 解 け ば,
(4・8) を 得 る.さ
て,式(4・8)でr=1と
す れ ば,
f(x,x1)=f(x1,x2)+(x-x2)f(x,x1,x2) と な る か ら,こ
の 式 の 右 辺 を式(4・7)のf(x,x2)に
f(x)=f(x1)+(x-x1)f(x1,
代 入 す る と,
x2)+(x-x1)(x-x2)f(x,
x1, x2)
(4・9)
で あ る.同
様 に 式(4・8)でr=2と
し,式(4・9)のf(x,x1,x2)に
を得 る.こ
の 方 法 を 次 々 に 行 な え ば,結
局,公
代 入 す る と,
式
(4・10) を得 る.こ
の 式 は 剰 余 を 持 つNewtonの
の 式 はf(x1),f(x2),…,
f(xn)が
み な す こ と が で き る.こ り,こ れ はf(x)の
与 え られ た 時 のf(x)に
の と き 最 後 の 項 のf(x,x1,
余 項 と 呼 ば れ て い る.上
余 な しのNewtonの
つ い て の 補 間公 式 と
x2,…, xn)は
値 が 普 通 未 知 で あ る か ら計 算 で き な い.従
最 後 の 項 を 除 い た n 項 ま で の 和 でf(x)を を 示 す か ら,剰
差 分 商 補 間 公 式 と し て 知 ら れ て い る.こ
っ て,上
近 似 し た と考 え る と,こ の 式(4・10)か
差 分 商 補 間 公 式 と呼 び,こ
で 近 似 し た こ とに あ た る.一
x を含ん で お 式 で この
の 項 は誤差
ら剰 余 項 を 除 い た も の を 剰
れ はf(x)をn-1次
般 の 多 項 式 近 似 の 中 で は 特 にNewtonの
の 多項 式 公 式 が重
要 な の は 以 下 の 定 理 の た め で あ る. 〔定 理4・1〕
剰 余 な し の n 項 か らな るNewtonの
差 分 商 補 間 公 式 は, n-1
次 の 多 項 式 に 対 して 厳 密 で あ る. 〔 証 明 〕 式(4・10)の
剰 余 の 項 は, (4・11)
P(x)f(x,x1,x2,…,xn) と 書 け る.式(4・5)を
用 い て,式(4・11)の
差 分 商f(x,x1,x2,…,xn)を
求 め る
と,
と な る.そ
れ ゆ え 式(4・11)は,
(4・12)
と な る.式(4・10)の
剰 余 項 に 式(4・12)を
代 入 し,pn-1(x)を
式(4・10)の
右辺の
最 初 の n 項 の 和 を示 す も の とす る と,
と な る.す
な わ ち,
(4・13) と な る.と は,n
こ ろ で,第
2章 のLagrangeの
個 の デ ー タ点(x1, f(x1)),(x2,f(x2)),…,(xn,
次 の た だ 一 つ の 多 項 式 で あ る.こ ば,こ
公 式(2・3)に
f(xn))を
こ で,f(x)がn-1次
の 補 間 多 項 式(式(4・13)の
pn-1(x)=f(x)と
よ っ て 式(4・13)の
右 辺)は,f(x)そ
補 間 す るn-1
の 多 項 式 で あ る とす れ れ 自 身 に 限 る.す
な る.
例 と して,デ
ー タ点(4・4)か
ら計 算 し た 差 分 商 表 を 用 い て,こ
す る 4次 の た だ 一 つ の 多 項 式 を 求 め る と,式(4・10)に
右辺
なわ ち
(証 明 終 り) れ ら の 点 を補 間
よ っ て これ は 次 の よ うに
な る.
さ き に,第
2章 の2・2節
で,n
個 の 与 え られ た デ ー タ点 を 補 間 す るn-1次
の た だ 一 つ の 多 項 式 を求 め る方 法 と して,Lagrangeの も最 も 便 利 な 方 法 と は 限 ら な い,と た め の 方 法 を,本
と い う理 由 は,そ
い う こ と を 述 べ た.さ
節 で 取 り扱 う こ と も述 べ た が,こ
が これ に あ た る.Newtonの
公 式 が 数値 的 には必 ず し
公 式 がLagrangeの
ら に そ の よ うな 場 合 の
の 剰 余 な し のNewton公
公 式 よ り数 値 的 に 便 利 で あ る
の 数 値 係 数 を得 る の に 必 要 と さ れ る計 算 が,そ
す む ば か りで な く,さ
式
ら に 公 式 自身 が よ り簡 単 で あ る の で,任
し て 多 項 式 の 値 を 求 め る 計 算 も 少 な くて す む か らで あ る.
れ よ り少 な くて 意 の x の値 に対
つ い で に,以
下 の こ と は 本 書 の 範 囲 を 多 少 こ え る が 重 要 な の で 述 べ て お こ う.
上述 の 議 論 で は,引
数x1, x2,…,xnが
たけ れ ど も,Newtonの
す べ て 異 な っ た も の で あ る と仮 定 し て き
公 式(4・10)は
がた と え 重 複 し て も 成 立 す る.そ
次 の 条 件 が 満 た され れ ば,い
の 条 件 とい う の は,そ
商(confluent divided differences)が,例
の と き現 わ れ る 合 流 差 分
え ばx1=x2の
を意 味 す る と い っ た よ う な確 定 した 意 味 を 持 ち,か
と き,そ
つf(x)が
と き に 得 ら れ るNewtonの
の 点 で の微 分
そ れ に 対 応 し て,
その よ う な 合 流 点 で 必 要 な だ け 微 分 可 能 で あ る こ とで あ る.特 は ,x1=x2=…=xnの
くつ か の 引 数
にTaylorの
公式
公 式 の 特 別 な形 と み な さ れ る.
4・5 多項 式 の差 分 商 普 通 の 等 間 隔 差 分 に 精 通 した 読 者 は,m こ と,お
次 多 項式 の m 階差 分 が 一 定値 で あ る
よ び そ れ,よ り高 階 の 差 分 が 0 に な る こ と を知 っ て い る だ ろ う.差 分 商 も
それ と 同 様 な 性 質 を持 っ て お り,次
に そ れ を定 理 で 示 そ う.
〔定 理4・2〕 m 次 多 項 式 の 任 意 の m 階 差 分 商 は,そ と き で も多 項 式 のxmの
係 数 に 等 しい.ま
の 引数 が 等 間隔 で ない
た そ れ よ り高 階 の 任 意 の 差 分 商 は 0に
等 しい. 〔 証 明 〕 f が m 次 多 項 式 で あ る な ら ば,〔 定 理4・1〕 にNewtonの 10)を
差 分 商 補 間 公 式(4・10)の
よ くみ る と,xmの
最 初 のm+1項
に よ り,f
に 等 しい,そ
と こ ろ で,多 項 式 のxmの
係 数 は m 階 差 分 商f(x1, x2,…, xm+1)に
で,こ
れ を 式(4・3)に
4・6
半 の 部 分 は,m
な っ て い る.
階 差 分 商 が す べ てxmの
って定 理 の 最初 の 係 数 に 等 しい の
適 用 す れ ば 明 らか で あ る.
(証 明 終 り)
B-ス プ ラ イ ン と差 分 商 と の 関 係
本 節 で は 差 分 商 を 利 用 し て,B-ス 分商 で は
の 公 式(4・
係 数 は そ の 多 項 式 に 対 して 与 え られ て い る も の で あ り,
も ち ろ ん 差 分 商 を 計 算 す る と き の 引 数 の と り方 に よ らな い.よ 部 分 が 証 明 され た.後
は恒 等 的
,そ の 引 数x1, x2,…, xnの
プ ラ イ ン を構 成 す る こ と を考 え る.上
述 の差
大 き さ の 順 序 は 本 質 的 に 重 要 で は な か っ た が,
こ こ で は 差 分 商 と ス プ ラ イ ン と を関 係 づ け る た め,引
数 を 節 点 と考 え て そ れ を 増
加 列 と す る. こ こ で 構 成 し よ う と し て い る B-ス プ ラ イ ン の 属 は,C-ス の,す
プ ライ ンの特 殊 な も
な わ ち 部 分 属 と な っ て い る 。 B-ス プ ラ イ ン はSchoenbergに
さ れ,研
究 され た.以
て,C-ス
よって定 義
下 の 記 述 も ほ と ん ど全 部 彼 の 論 文 〔19,20〕 に よっ て い る.さ
プ ラ イ ン は 第 2章2・3節
ち,x≦x1とx≧xnで
で 定 義 され た よ う に,節
点x1, x2,…, xnを
恒 等 的 に 0 に な る m 次 の ス プ ラ イ ン で あ る.以
〔補 助 定 理4・1〕
お よ び 〔4・2〕 で,い
持
下 の
た る と こ ろ 恒 等 的 に 0 で な い m 次 の C-
ス プ ラ イ ン の 節 点 数 は 少 な く と もm+2個
で あ る こ と,さ
ら に 与 え られ たm+2
個 の 節 点 を も つ m 次 の C-ス プ ラ イ ン は 定 数 倍 を 除 い て 一 意 に 決 定 さ れ る こ と を 示 す.そ
こ で m 次 の B-ス プ ラ イ ン を,m+2個
… ,xi+m+1を
持 つ m 次 の C-ス プ ラ イ ン と し,全
規 格 化 した も の と して 定 義 す る(こ
の 与 え ら れ た 節 点xi, xi+1, 実 軸 上 の 積 分 が 1 に な る よ うに
の 積 分 は C-ス プ ラ イ ンが 区 間(xi,xi+m+i)の
外 側 で 恒 等 的 に 0 に な る の で 常 に 存 在 す る). 〔補 助 定 理4・1〕 は,少
い た る と こ ろ恒 等 的 に 0 で は な い m 次 の C-ス ブ ラ イ ン
な く と もm+2個
〔証 明 〕
c(x)を,節
そ う す る と,〔
点x1, x2,…, xpを
定 理2・6〕
=
Σp i 1 =
c(x) で あ る.上
の 節 点 を 持 つ. C-ス
プ ラ イ ン と す る.
bi(x-xi)+m
式 の 係 数biは
条件
0
Σp1i=
を満 足 す る.こ
もつ m 次 の
に よって
bixir =
こ で,H
(r=0,1,…,m)
(4.14)
を
で 定 義 さ れ る 行 列 とす る,以
下 で,最
初 にp≦m+1と
し,背
理 法 に よ りp≧
m+2で
あ る こ と を 示 そ う.ま
な け れ ば な ら な い.な
ず,p≦m+1の
ぜ な ら,H
知 ら れ たVandermonde形
と き H の 階 数(rank)*1
は p で
の最 初 の p 行 か らな る小 行列 の 行列 式 は よ く
で あ り,そ
の 値 は,
Ⅱ(xi-xj) i>j
と な る.節 点xi, xjは
仮 定 に よ り互 い に 異 な っ た 点 で あ る の で,こ れ ら の 差 は 0
に な ら な い.次
をb1, b2,…bpを
に,b
そ うす る と,条
要 素 と す る 列 ベ ク トル と す る.
件 式(4・14)は
Hb=0 と書 け る.と
こ ろ で,こ
の 方 程式 は H
る*2.言 い 換 え れ ば,H
の 列 が 一 次 従 属 に な る こ と を意 味 して い
の 階 数 は p よ り小 さ い こ と に な る.従
が 否 定 され た の で,p
は 少 な く と もm+2で
〔補 助 定 理4・2〕
与 え られ たm+2個
は,定
っ て, p≦m+1
あ る こ とが 言 え る. の 節点 を もつ m 次 の
(証 明 終 り) C-ス プ ラ イ ン
数 倍 を 除 い て 一 意 で あ る.
〔証 明 〕
〔定 理2・6〕
に よ っ て,こ
の よ うな
C-ス
プ ラ イ ン は,
c(x)=Σm+2i=1bi(x-xi)+m
と書 け る.こ
こ で 係 数biは
(4・15)
条 件,
(4・16) を 満 足 す る.さ
て,
(4・17) と お き,式(4・16)をbm+2で
割 っ て 最 後 の 項 を右 辺 に 移 項 す る と,
*1(m ,p)型 行 列 H の p 次 の小行 列 式 中 には 0で ない もの が 存 在 し, p+1次
以 上 の小行 列 式 が す
べ て 0とな る と き p を H の 階数 とい う. *2 方 程 式Hb=Oで 要 素biが すべ て 0で な い解 を 持 つ た め に は, H の 列 は一 次 従 属 で なけ れ ば な らな い,こ
の こ とは, H の階 数 は p よ り小 さ く な くて は な らない こ と と等 価 で ある.
Σm+1i=1dixir=-xm+2r
と な る.こ
れ はm+1個
(r=0,1,…,m)
の 未 知 量diに
関 す る 連 立 一 次 方 程 式 で あ る.こ
数 行 列 式 は 先 に 述 べ たVandermonde形 立 方 程 式(4・18)か
らdiが
bi=bm+2di
(4・18)
で あ る か ら 0 と な ら な い.従
一 意 に 決 定 され る.一
方,式(4・17)か
こで 係
っ て,連
ら,
(i=1,2,…,m+1)
で あ る の で,式(4・15)は,
と な り,c(x)は
任 意 の 倍 数bm+2を
こ の 補 助 定 理 か ら(m を 持 つm-1次
をm-1と
除 い て 一 意 に 定 ま っ て い る. (証 明 終 り) 置 き 換 え る),与
え られ た 節 点x0,x1,…,xm
の 特 別 な C-ス プ ラ イ ン が 見 つ け ら れ れ ば,同
て のm-1次
の C-ス プ ラ イ ン は,こ
わ か っ た.さ
て,Schoenberg[19]は,
じ節点 を持 つ すべ
の 特 別 な ス プ ラ イ ン の 定 数 倍 で あ る こ とが Peanoの
定 理 〔定 理3・1〕
を適 用 す る と,
こ の よ う な C-ス プ ラ イ ンが い か に 自然 に 現 わ れ る か を示 し た.ま ら 始 め よ う.演
算子
Lf=f(x0,
の よ う に 定 義 す る.容 2〕 に よ り,任 〔定 理3・1〕
L を式(4・5)の x1,…,
m 階 差 分 商 に よ っ て,
xm)
易 に わ か る よ う に,L
意 のm-1次
ず こ の こ とか
は 線 形 汎 関 数 で あ り,ま た 〔定 理4・
の 多 項 式f(x)に
対 してLf=0と
な る.そ れ ゆ え,
か ら,
f(x0,x1,…,xm)=∫baK(t)f(m)(t)dt
と表 わ せ る.こ
(4・19)
こで
K(t)=1/(m-1)!Lx[(x-t)+m-1]
(4・20)
で あ る.
そ こ で,式(4・20)で
与 え ら れ るPeano核K(t)は
与 え られ た 節 点 を持 つm-
1 次 の
C-ス
プ ラ イ ン で あ る こ と を 示 そ う.式(4・20)の[]内
の と きx=x0,
x1,…,xmで0で
あ る.従
値 に 基 づ く 差 分 商 は 0 で あ る.言 あ る.ま る.そ
た,t≦x0な
商 は
らx=x0,
m
か し な が ら,こ 階 で あ る か ら,条
れ ら の 引 数x0
い 換 え れ ば,K(t)はt≧xmで x1,…, xmに
れ ゆ え,式(4・20)のLxで
等 し い.し
っ て,こ
の 式 は,t≧xm x1,…, xmで 恒 等 的 に
0 で
対 し(x-t)+m-1=(x-t)m-1で
示 さ れ,る 差 分 商 は 関 数(x-t)m-1の の関 数 は
の
x に 関 す るm-1次
件 よ り 0 と な る.従
あ 差 分商 と
の 多 項 式 で あ り,差
っ て,K(t)はt≦x0で
分
も恒等 的
に 0 で あ る.
次 に,K(t)が
与 え ら れ た 節 点 を 持 つm-1次
示 さね ば な ら な い.こ
こ で,自
の ス プ ラ イ ン関 数 で あ る こ と を
明 な 恒 等 式,
(x-t)+m-1=(x-t)m-1+(-1)m(t-x)+m-1 を 用 い.ま
た
〔定 理4・2〕
(4・21)
か ら,
Lx[(x-t)m-1]=0 が 得 られ る の で, Lx[(x-t)+m-1]=(-1)mLx[(t-x)+m-1]
が 成 り立 つ.い
ま,P(t)を,
P(t)=(t-x0)(t-x1)…(t-xm)
で 定 義 し,P(t)か お よ び 式(4・5)か
ら 因 子(t-xi)を
除 い た も の をPi(t)と
す る と,式(4・20)
ら,
(4・22) と 書 け る.〔
定 理1・1〕
か ら,こ
次 の ス プ ラ イ ン で あ る.従 個 の 節 点x0,x1,…, た.
xmを
れ は 与 え ら れ た 節 点x0,
っ て こ れ,よ り,式(4・20)で 持 つm-1次
の
C-ス
x1,…, xmを
持 っm-1
与 え ら れ たK(t)はm+1 プライ ンで あ る こ と が 示
さ れ
次 に,こ
の ス プ ラ イ ン を(-∞,∞)上
と を 考 え よ う.K(t)はt≦x0,
で の 積 分 が 1 に な る よ うに 規 格 化 す る こ
t≧xmで
恒 等 的 に 0 で あ り,か
x0, x1,xmを
含 ん で い る の で,式(4・19)に
れ ぞ れ-∞,∞
に 置 き 換 え る こ と が で き る.こ
4・2〕
か ら,式(4・19)の
左 辺 は
1,ま
つ 区 間(a, b)は
お け る 積 分 の 上 限,下 こ でf(x)=xmと
たf(m)(x)=m!で
限 のa, bを
そ
す る*1 と,〔 定 理 あ る か ら,式(4・19)は
m!∫ ∞ -∞K(t)dt=1 と な る.そ
れ ゆ え,規
格 化 され た
m!K
(t)=mLx
C-ス
プ ラ イ ン は,
[(x-t)+m-1]
(4・20)′
と な る. (定 義
4) こ こ で,Schoenberg[19]に
従 っ て,2
変 数 関 数M(x;t)を,
M(x;t)=m(t-x)+m-1 と 定 義 す る*2,そ
(4・23)
し て,xi, xi+1,…,xi+mを
基 礎 に し た t に 関 す るM(x;t)
の m 階 差 分 商M(x;xi,xi+1,…,xi+m)*3 …xi
+mを
持 つm-1次
の
Mi(x)=M(x;xi,
B-ス
を 用 い て, m+1個
の 節 点xi, xi+1,
プ ラ イ ンMi(x)を,
xi+1,…,xi+m)
(4・24)
と定 義 す る, 式(4・20)′,式(4・23)お が 同 じm+1個
よ び 式(4・24)の
の 節 点xi, xi+1,…xi+mを
比 較 に よ り,関
数Mi(x)とK(x)
基 礎 に し て い る と き,
Mi(x)=m!K(x) で あ る こ と が わ か る.言
(4・25)
い 換 え れ ば,式(4・24)に
ン は 引 数xi, xi+1,…, xi+mを 従 っ て,式(4・19)は *1 〔定 理4・2〕
よ っ て 定 義 され た
基 礎 に し たPeano核
を m!倍
B-ス
プ ライ
し た も の と 言 え る.
さ ら に,
か ら
,任
意 の
の 係 数 に 等 し い か らxmだ *2 今 ま で の 議 論 で のx *3Li[m(t-x)m-1+]=M(x;xi
,tを
m 次 の 多 項 式f(x)に
対 し てf(x0,x1,…,xm)の
け 考 え れ ば よ い. それ ぞ れ
t と x に 交 換 す る.
, xi+1,…,xi+m)
値 は, f(x)のxm
.
(4・26) と書 け る.
4・7
B-ス
プライ ンの性 質
“B-ス プ ラ イ ン ” と い う名 前 は,“basis” B-ス プ ラ イ ン の あ る 特 定 の 集 合 が,与 次 の C-ス プ ラ イ ン の 基 底(basis)に
の 頭 文 字 に 由 来 す る.と
え られ た 節 点x1, x2,…, xnを
い うの は, 持 つm-1
な っ て い るか ら で あ る(こ の こ と は, C-ス プ
ラ イ ン に つ い て だ け で な く,B-ス
プラ イ ンの定 義 を適 当 に修 正 す るか 節 点 の数 と
位 置 に つ い て の 設 定 を 変 え れ ば,す
べ て のm-1次
の ス プ ライ ンに拡 張 す る こ と
も で き る[20]). B-ス プ ラ イ ン に つ い て の こ の 性 質 を 次 の 定 理 で 述 べ る. 〔 定 理4・3〕
節 点x1, x2,…, xnを
持 つm-1次
の 任 意 の C-ス
プ ラ イ ン は,
(4・27) に よ っ て 一 義 的 に 表 わ され る.こ 〔証 明 〕
〔定 理2・6〕
こでMi(x)は,式(4・24)で
に よ り,与
定 義 さ れ る.
え られ た 節 点 を持 つm-1次
の
C-ス プ ラ
イ ン は,
(4・28) で 表 わ さ れる.〔 定 理1・1〕 xi)+m-1の
よ り,こ
の 式 は 一 義 的 に 決 ま り,式(4・28)と(x-
定 義 か ら 区 間(x1, x2)で,
c(x) =b1(x-x1)m-1 と な る こ と が わ か る.さ な り,一
方,式(4・25)お
M1(x)=
(4・29)
ら に,こ
の 区 間 でM2(x),M3(x),…,
よ び 式(4・22)に m(x
Mn-m(x)は
よ り,M1(x)は,
- x1) + m - 1/
(4・30) (x2 - x1)(x3
- x1)…(xm
+ 1 - x1)
0と
で 与 え ら れる.式(4・29)お
/m
d1=
よ び 式(4・30)か
ら ,式(4・27)は,
(x2-x1)(x3-x1)…(xm+1-x1)
で あ る と き に 限 り成 り立 つ.逆 c(x)とd1M1(x)と
(4・31)
に,式(4・31)が
は 恒 等 的 に 等 しい.そ
成 り立 つ な ら ば,区
間(x1,x2)で
れ ゆ えc1(x)を,
c1(x)=c(x)-d1M1(x) と す れ ば,こ
(4・32)
れ は 節 点x2, x3,…, xnを
と こ ろ で,式(4・27)お
持 つm-1次
よ び 式(4・32)か
の
C-ス
プ ラ イ ン で あ る.
ら,c1(x)は,
(4・33) を 満 足 す る 必 要 が あ る.次 ら 一 義 的 に 決 め られ,従
に 同 じ論 法 をc1(x)に
適 用 す れ ば, d2が
式(4・33)か
って
c2(x)=c(x)-d1M1(x)-d2M2(x) は 節 点x3,x4,…,
xnを
持 つm-1次
方 法 を 順 次 す す め れ ば,結
局,す
の
C-ス
プ ラ イ ン で あ る こ と が わ か る.こ
べ て の 係数d1,d2,…,
dn-mが
の
一 義 的 に 決 ま る.
一 方,
(4・34) は m 個 の 節 点xn-m+1,xn-m+2,…,xnを しか し,〔 補 助 定 理4・1〕 ラ イ ン は,い
式(4・27)に
の C-ス プ ラ イ ン で あ る.
個 の 節 点 しか 持 た な いm-1次
た る と こ ろ で 恒 等 的 に 0 で あ る.そ
従 っ て 式(4・34)は 次 に,B-ス
に よ り,m
持 つm-1次
の
れ ゆ えcn-m(x)=0と
等 しい.
C-ス プ な り,
(証 明終 り)
プ ライ ン の も う一 つ の 性 質 を 証 明 し よ う.そ の 性 質 とい う の は,
B-ス プ ラ イ ンが,そ
の 基 礎 と な る 最 小 と最 大 の 節 点 間 の 開 区 間 で は 正 の 値 しか
と ら な い と い う事 実 で あ る.以
下 の 証 明 は 文 献[20]か
そ の 証 明 で は 平 均 値 の 定 理 を用 い る,こ
の 定 理 と は,も
ら引 用 した も の で あ る. し関 数f(x)が
閉区間
b
[c,d]で
連 続 で あ り,そ
そ の 時,開
区 間(c,d)内
して そ の 微 分f′(x)が
開 区 間(c,d)で
存 在 す る な ら,
のある ξ で
(4.35) が 成 り立 つ こ とで あ る.こ よ う.と
こ ろ で,f(c)が
らか に 正 で あ る.そ 一 つ 存 在 す る .同 f'(x)<0と
こ で ξ は 内 点(interior 負 で,f(d)が
れ ゆ え,区
でf′(x)>0と
正 でf(d)が
定 理 で,f(c)=f(d)=0の
そ れ ゆ え,区
間(a,b)内
〔定 理4・4〕
で あ る.さ
区 間(xi,xi+m)内
ら にj=1,2,…,m-2に
の
間(c,d)内
う一 つ の 重 要 な 定 理 は,い
場 合 に は 式(4・35)の
でf′(ξ)=0と
左 辺 は明
な る x が 少 な く とも
負 で あ る な ら,区
な る x が 少 な く と も 一 つ 存 在 す る.も
ゆ るRolleの
あ る こ とを注 意 し
正 で あ る 場 合 に は,式(4・35)の
間(c,d)内
様 に,f(c)が
point)で
で わ
左 辺 は 0 と な り,
な る ξ が 少 な く と も 一 つ 存 在 す る. x に 対 し て,
対 し てMi(j)(x)は
区 間(xi,xi+m)内
で 必 ず
j 個 の 単 根*1 を 持 つ. 〔証 明 〕 24)か
ま ず, 区 間(xi+m-1,xi+m)内
の x に 対 し て 式(4・23)お
よ び 式(4・
ら,
と な る.こ
こ で 節 点xiは
*1 Mi(j)(x)=0を *2 Mi(x)
増 加 列 で あ る か ら,こ
満 た す 単 根(重
は 区 間(xi
根 で は な い) .
,xi+m)で
と表 わ さ れ る.し か し,こ の 式 か ら は 区 間(xi,xi+m-1) のMi(x)が,正 は 求 め られ な い.
ま た は 負 で あ る か ど うか は,す
ぐに
の 区 間 でMi(x)>0で
あ る*2.
従 っ て,こ す る.こ
の こ と を 用 い れ ば,区 れ をx=xrと
す る.と
間(xi, xi+m)でMi(x)>0と ころ で
B-ス
なる
x が存在
プ ラ イ ン の 性 質 か ら,
Mi(xi)=Mi(xi+m)=0 で あ る か ら 平 均 値 の 定 理 に よ っ て,区 在 し,区
間(xi, xr)でMi′(x)>0と
間(xr,xi+m)でM′(x)<0と
の 値 が0,+,-,0と
な る(符
(xi)=Mi′(xi+m)=0で
な る x が存
な る x が 存 在 す る.す 号 は 1 回 変 わ る)4
個 の
な わ ち, M'(x)
x が 存 在 す る.さ
ら にMi′
あ る こ と に 注 意 し て 同 様 な 方 法 を つ づ け て い く と,結
区 間(xi, xi+m)で, 符 号 がm-2回
Mi(m-2)(x)の
変 わ る)(m+1)個
一 方,式(4・22)を
値 が 順 次0,+,-,+,…,0と の
な る(す
局,
な わち
x が 存 在 す る こ と が わ か る.
用 い て 式(4・25)をm-2回
微 分 す る と,
(4・36) を 得 る.こ
こ でP(x)=(x-xi)(x-xi+1)…(x-xi+m)と
ら 因 子(x-xj)を
除 い た も の と す る.式(4・36)か
x=xi,xi+1,…,xi+mで
に 吟 味 し た よ う に,こ
号 が 変 化 し な け れ ば な ら な い.と
横 切 ら な い か ら,関
か も,そ
こ ろ で,こ
端xi, xi+mで
0に な
の グ ラ フ は 少 な く と もm-2回 の グラ フは
軸 とm-2回
対 す るMi(m-2)(xj)の
か も 符 号 が 交 互 に 変 化 す る 必 要 が あ る.こ x 軸 と 交 差 し て い る か らMi(m-2)(x)は
根 を 必 ず も っ て い る こ と に な る.前
m
符
個 の異 な った 線分 だ
交 差 す る た め に は,j=
値 が,す
の 場 合,両
べ て 0 と は 異 な り ,し
端 の 2線 分 を 除 外 し た 各 線
区 間(xi, xi+m)内
に 述 べ たMi(x)の
連 続 に つ い て の 注 意 に よ り,Mi(j)(x)は,区 2に
グラ フは
の 最 初 と最 後 の 線 分 は 両 端 の 点 で 終 わ っ て い て x 軸 を
数Mi(m-2)(x)が,x
i+1,i+2,…,i+m-1に
分 は
ら 関 数Mi(m-2)(x)の
頂 点 を 持 つ 連 続 な 折 れ 線 で あ り ,両
る こ と を 示 し て い る.先
け で 成 り 立 ち,し
し, Pj(x)はP(x)か
でm-2個
の単
微 分 の 符 号 変 化 と微 分 の
間(xi, xi+m)内
で, j=1,2,…,
m-
対 し て 少 な く と も j 個 の 単 根 を 持 つ こ と が わ か る.
さ て,Mi(j)(x)が,そ
の 区間 に つい て
j 個 以 上 の 単 根 を 持 つ か,ま
根 で な い も の が い く つ か あ っ た と す る と,Rolleの に よ っ て,Mi(m-2)(x)はm-2個
た は,単
定 理 を 次 々 と適 用 す る こ と
以 上 の 単 根 を 持 つ こ と が わ か る.こ
の ことは
先 の 結 論 に 矛 盾 す る.従 xi+m)内
っ て,Mi(j)(x)は,
j=1,2,…m-2に
以 上 述 べ た こ と を 要 約 す る と,B-ス Mi(x)=M(x;xi,
xi+1,…,xi+m)
外 側 で は 0で,内
の 区 間 内 でm-1次
多 項 式 の m 個 の 弧 か ら成 り,各
,m-2階
側 で は 正 で あ る*.ま
の 微 分 が 連 続 で あ る よ うに 結 ば れ て い る.1
1個 の 単 板 を持 っ て い る の で,Mi(x)の わ れ る 頻 度 曲 線(statiscal
た,そ
の グラ フは こ
々 の 弧 の 両 端 は そ の1,2, 階 微 分 は,区
間 に おい て
曲 線 は 1個 の 最 大 値 を 持 ち,統 計 学 で 現
frequency
曲 線 の 下 の 面 積 は 1で あ る か ら,こ function)と
curve)の
よ う な 形 を し て い る.実
れ は あ る 確 率 密 度 関 数(probability
際 この density
み な す こ と も で き る.
特 にm=2の
場 合,そ
の グ ラ フ は い わ ゆ る 屋 根 型 関 数(roof function)で,そ
の 2直 線 か ら な る 0 で な い 部 分 は屋 根 の 切 妻 の よ う に な っ て い る(図3・1参
図3・1
一 例 と して,第
,0,3,4を
照).
一 次 の B-ス プ ライ ン(屋 根 型 関 数)
1章 の 式(1・1)に
階 微 分 を 考 え る.こ -1
間(xi,
(証 明 終 り)
プライ ン
は 区 間(xi, xi+m)の
…
対 し,区
で 必 ず j 個 の 単 根 を持 つ こ とに な る.
よ っ て 与 え られ る 3 次 の 自 然 ス プ ラ イ ン の 2
の 2階 微 分 は 式(1・3)に
よ っ て 与 え ら れ,そ
持 つ 1次 の C-ス プ ラ イ ン で あ る.こ
れ は 節 点-3,
れ に 対 応 す る.B-ス プ ラ イ ン は
(4・37)
*す
な わ ち
,B-ス
プ ラ イ ン は 局 所 台(limitted
support)を
持 つ ス プ ラ イ ン で あ る.
で あ り.式(1・3)の
C-ス
プ ラ イ ンf″(x)は,式(4・37)の
関 数 の 1次 結 合 に よ
っ て 一 義 的 に,
f″(x)=18M1(x)+12M2(x)-60M3(x) で 与 え ら れ る.式(4・37)の
4・8
3個 の
B-ス
プ ラ イ ン の グ ラ フ を 図3・2に
図3・2
B-ス プ ラ イ ン の グ ラ フ
示 す.
第 4章 に 関 す る 小 史
こ の 章 の 基 本 公 式(4・10)の
名 前 か らわ か る よ うに,差
Newtonか
か も こ の 章 で 述 べ た 差 分 商 の 性 質 は,す
ら始 ま っ て い る.し
な い が ほ と ん どNewtonに と こ ろ で,B-ス れ た の が1966年 Schoenberg自
プ ラ イ ン の 理 論 は, Curryと 際 に は1945年
の 共 著[20](こ の 論 文 は,発 に 書 か れ た)を
身 に よ っ て 展 開 され て き た. Schoenbergが の 論 文 は,節
プ ラ イ ン に 関 す る も の で あ っ た.節
表 さ
除 い て は もっぱ ら B-ス プ ラ イ ン に つ
点 が 等 間 隔 に な っ て い る 特 殊 な B-ス
点 の 間 隔 が 任 意 の 場 合 の B-ス ブ ラ イ ン が 印
刷 さ れ た 形 で 初 め て 示 され た の は 文 献[10]に て は,そ
べてでは
よ っ て 明 らか に され た も の で あ る.
で あ る が,実
い て 初 め て 発 表 し た1946年
分 商 の系 統 的 な研究 は
お い て で あ る が,こ
れ,以前 か ら彼 の 講 義 や 談 話 の 中 で す で に 言 及 され て い た.
の こ とに つ い
演 習 問 題 4 4・1 4・2
Newtonの 問4・1で
差 分 商 補 間 公 式(4・10)を 用 い た 式(4・10)の
結 果 が,式(4・3)で 4・3
f(x)は,閉
最 高 階 差 分 商 を式(4・5)に
連 続 と し,か
連 続 微 分 可 能 で あ る と す る.ま で の 多 項 式 で あ る と す る.関
次 に,こ
解 け. よ っ て 計 算 せ よ.ま
た,そ
の
直 接 順 次 計 算 して 得 た 差 分 商 と一 致 す る こ と を示 せ. 区 間[x1, xn]で
関 数 のn-1階
用 い て,問2・1を
たPn-1(x)はNewton公
の 結 果 を用 い て,一 あ る点
式(4・10)の
数f(x)-Pn-1(x)にRolleの
微 分 が 開 区 間(x1,xn)で
区 間(x1, xn)の
つ 開 区 間(x1, xn)で1,2,…,
n-1階
最 初 の n項 ま
定 理 を 順 次 用 い て,こ
の
少 な く と も一 個 の 0 を持 つ こ と を示 せ.
般 化 され た 平 均 値 の 定 理 が 成 り立 つ こ と,す
な わ ち,
ξ に 対 して,
(4・38) が 成 り立 つ こ と を 証 明 せ よ. 4・4
問4・3の
4・5
問2・1の
結 果 を 用 い て,Newtonの
公 式(4・10)の
乗 余 項 を n階 微 分 の 形 で 表 わ せ.
四 つ の デ ー タ 点 に 対 す る “最も 滑 ら か な ” 3次 の 補 間 自然 ス プ ラ イ ン を 求
め よ. 4・6
問4・5の
補 間 自 然 ス プ ラ イ ン の 2階 微 分 を 求 め,次
に そ れ を B-ス プ ラ イ ン の 線 形
結 合 と して 表 わ せ. 4・7
Schoenbergは,問4・3の てMi(x)が
式(4・26)と
を 用 い れ ば,す
非 負 と な る こ と を示 す こ とが で き る と述 べ た.そ
し てMi(α)<0と る.こ
式(4・38)と
の と き,関
し よ う.そ
の 場 合,Mi(x)<0と
べ て の x に対 し
こ で,α
の あ る値 に対
な る領 域(α-ε,α+ε)が
存在 す
数
f(x)=(x-α+ε)+m+1-2(x-α)+m+1+(x-α-ε)+m+1 を 考 え れ ば,区
問(α-ε,α+ε)内
で はf(m)(x)=0と
を 用 い れ ば 負 と な る こ と,お が 開 区 間(xi, xi+m)で
の す べ て の x に 対 してf(m)(x)≧0,そ
な る こ と を示 せ.こ
の 結 果 か ら,f(xi,xi+1,…,xi+m)は
よ び 式(4・38)を
の区 間 の外 式(4・26)
用 い れ ば 非 負 と な る こ と を示 せ
〔Mi(x)
非 負 だ け で な く正 で あ る こ と を示 す の は 少 しむ ず か しい 〕.
第 5 章
自然 ス プ ラ イ ン の計 算 法 と平 滑 化 ス プ ラ イ ン
5・1 4・1節
N-ス プ ラ イ ン で 表 現 さ れ る 自 然 ス プ ラ イ ン で は,与
え ら れ た デ ー タ点 列 に 対 し て,与
え られ た 次 数 の “最 も 滑 ら か
な ” 補 間 自 然 ス プ ラ イ ン を 実 際 に 数 値 的 に 決 定 す る と き生 ず る 困 難 性 に つ い て, 簡 単 に 考 察 した.そ 式(2・25)お た.そ
こ で は,ス
よ び 式(2・26)が,そ
れ ゆ え こ れ ま で,こ
プ ライ ンの係 数 を決定 す る た めの 連立 一 次 方程 式 の ま ま の 形 で は 数 値 的 に 不 便 で あ る こ と を示 し
の 連 立 一 次 方 程 式 を よ り扱 い 易 い 形 に す る た め に,差
分 商 お よ び B-ス プ ラ イ ン に つ い て 述 べ て き た の で あ る.こ
こ で は 本 来 の 目的 に
戻 り,“ 最 も滑 らか な ” 自 然 ス プ ラ イ ン を構 成 す る こ と を考 え よ う. ま ず,あ
る特 殊 な 自然 ス ブ ラ イ ン を 導 入 す る こ と に よ っ て,式(2・26)の
式 が 必 要 で な く な り,か
つ 式(2・25)の
変 数 の 個 数 をn+kか
方程
ら n に減ずること
が で き る こ と を 示 そ う.こ の 特 殊 な 自 然 ス プ ライ ン は N-ス プ ラ イ ン と呼 ば れ , 前 章 で 定 義 した B-ス プ ラ イ ン と密 接 な 関 係 が あ る.式(2・25)は の 切 断 べ き 関 数 を 含 ん で い る.そ が 与 え た 式(4・23)お
れ ゆ え,N-ス
よ び 式(4・24)に
式(xjーxi)+2k-1
プ ラ イ ン の 定 義 は, Schoenberg
よ る B-ス プ ラ イ ン の 定 義 に 一 部 分 似 て い
る こ とが わ か る. (定 義 5)
2変 数 関 数 N(x;t)を,
N(x;t)=(x-t)+2k-1 と 定 義 す る.こ
(5・1)
の と き 引 数xi, xi+1,…, xi+kを
Ni(x)=N(x;xi,
xi+1,…,xi+k)
基 礎 に した t に 関 す る 差 分 商
(5・2)
を N-ス プ ラ イ ン とい う. N-ス プ ラ イ ン と B-ス プ ラ イ ン に は,次
の よ う な 簡 単 な 関 係 が あ る .ま ず,式
(5・1)を
x に つい て
k 階 微 分 し,式(4・21)お
よ び 式(4・23)を
利 用 す る と,
DxkN(x;t)=kC(x-t)+k-1=C[k(x-t)k-1+(-1)kM(x;t)] (5・3)
を 得 る.こ
こ で,
Dx
dk/ k
かつ
=
dxk,
C=(k+1)(k+2)…(2k-1) で あ る.さ
て,x
に つ い て の 微 分 と t に つ い て の 差 分 商 の 演 算 順 序 を変 え て も,
そ の 結 果 は 変 わ ら な い こ とは 明 らか で あ る.さ k-1次
の 多 項 式 で あ る の で,こ
式(4・24),式(5・2)お
ら に,(x-t)k-1は
t に 関す る
の 式 の 任 意 の k 階 差 分 商 は 0 に な る.従
よ び 式(5・3)か
ら,
Ni(k)(x)=(-1)kCMi(x) と な る.Mi(x)は る か ら*,〔
(5・4)
節 点xi, xi+1,…, xi+kを
定 理2・5〕
っ て,
に よ りNi(x)は
持 つk-1次
の
B-ス
同 じ 節 点 を 持 つ2k-1次
プ ラ イ ンで あ の 自然 ス プライ
ン で あ る. と こ ろ で,式(5・1)か (5・2)はx≦xiで
ら N(x;t)はx≦tで 恒 等 的 に
次 の 定 理 は,自
恒 等 的 に 0 で あ る.従
っ て,式
0 に な っ て い る.
然 ス プライ ンを決 定 す る連 立一 次 方程 式 にお い て未 知 数 の数 を
減 らす た め の 手 が か り と な る もの で あ る. 〔定 理5・1〕
節 点x1, x2,…,xnを
持 つ す べ て の2k-1次
の 自然 ス プライ ン
s(x)は,
(5・5) で 一 義 的 に 表 わ され る.こ 〔証 明 〕 s(x)を
節 点x1,x2,…,xnを
る 1 そ う す る と,〔 定 理2・5〕 *B-ス
プ ライ ンは
こ でpk-i(x)はk-1次
か らs(k)(x)は
C-ス プ ラ イ ン の 一 種 で あ る .
の 多 項 式 で あ る.
持 つ2k-1次
の 自然
同 じ 節 点 を 持 つk-1次
ス プ ラ イ ン とす の
C-ス
プ
ラ イ ン で あ る.し
か も,〔 定 理4・3〕
か らs(k)(x)は,
(5・6) で 一 義 的 に 表 わ せ る.さ
ら に,式(5・4)を
れ ば 式(5・5)と
こ で 係 数biは,
な る.こ
式(5・6)に
代 入 し,こ れ を k重 積 分 す
bi=(-1)kC-1di で 一 義 的 に 決 め られ る.一
(5・7)
方,上
に 示 した よ う にNi(x)はx≦xiで
恒等 的 に 0
で あ る の で,s(x)はx≦x1で,
s(x)=pk-1(x) と な る.従
っ て,s(x)を
x1でs(x)の
与 え られ た 自然 ス プ ラ イ ン とす れ ば , pk-1(x)はx≦
値 を 与 え る 一 義 的 な 多 項 式 で あ る .s(x)は
表 わ せ な い.な
ぜ な ら,そ
か つ そ の 係 数biは 〔定 理5・1〕
式(5・7)で
に よ っ て,方
式(5・5)以
の k 階 微 分 は 一 義 的 に 式(5・6)と
外の式では
な らね ば な らず,
一 義 的 に 与 え られ る か ら で あ る .
(証 明 終 り)
程 式(2・25)は,
(5・5)′
と 書 け る.こ
の 式 は 多 項 式pk-1(x)の
k 個 の 係 数 とn-k個
合 計 n 個 の 未 知 数 に 関 す る n 元 連 立 一 次 方 程 式 で あ る.こ は も は や 不 必 要 で あ る こ と を示 して い る.す -1次
,式(5・5)の
な る た め の 係 数biに
*2k-1次
っ て ,式(5・5)のs(x)が2k-1次 関 す る 拘 束 条 件(2・26)は,も
の 自然 ス プ ラ イ ンが 式(2・24)で 表 わ され る場 合
ciに 対 す る拘 束 条 件(2・26)が
必 要で
った が, s(x)が
が す で に 自然 ス プ ライ ンで あ るか ら,係 数biに
の,
の こ と は,式(2・26)
な わ ち N-ス プ ラ ィ ンNi(x)は2k
の 自然 ス プライ ンで あ るか ら
ス プ ラ イ ン で あ る.従
の 係 数biと
右 辺 も 必 然 的 に 同 じ次 数 の 自 然 の 自然 ス プ ラ イ ン に は や 必 要 と しな い*.
,そ れ が 自然 ス プ ライ ンで ある ため の係 数 式(5・5)で 表 わ され る場 合 には , Ni(x)
拘 束 条 件 は必 要 で は ない.
5・2 連立 一 次 方程 式 の 元 の 縮小 前 節 に お い て 補 間 ス プ ラ イ ン を決 定 す る た め の 式(2・25)お 計n+k個
の 式 はn-k個
のbiとPk-1(x)の
(5・5)′ に 帰 着 さ れ る こ と を 示 した.本
よ び 式(2・26)の
合
k 個 の 係数 に 関 す る n 個 の式
節 で は これ が さ ら にn-k個
に 縮 小 され る
こ と を 示 そ う. ま ず 式(5・5)の
両 辺 に 対 して 節 点xj, xj+1, …, xj+kを
k 階 差 分 商 を と る.こ
基 礎 に した x に 関 す る
の と き補 間 条 件,
s(xj) = yj
(j = 1, 2,
… ,n)
(5・8)
を 用 い れ ば,
(5・9)
(j = 1, 2,…, n-k)
を 得 る.こ
こ で, Nij = Ni(xj,
xj+1, …, xj+k)
(5・10)
と し, δj=s(xj,
と す る.式(5・11)の
xj+1, …, xj+k)
(5・11)
右 辺 は 式(5・8)で
さて,式(5・9)はn-k元
与 え られ たyjか
連 立 一 次 方 程 式 で あ る.そ
ら 計 算 され る. こ で,こ
の 式 の係 数 行列
は 対 称 で あ り,ま た そ の 非 零 要 素 が す べ て 同 じ符 号 を もつ2k-1重 限 ら れ る こ と,し
か も そ の 場 合,そ
tive definite)で
あ る こ こ を 示 そ う*.
式(4・26)お
よ び 式(5・10)よ
れ が 正 値(positive
definite)か
り, i 行 j 列 の 要 素Nijに
対角行列に 負 値(nega-
つ い て,
(5・12) *2 次 形式Q=Σaijxixjが 正 値 2次 形式 とい う.Q xtAxが
,す べ て は 0で な いxl, x2, …. xnに 対 して 常 に Q が 正 で あ る とき Q を が 常 に負 の 時,負 値 2次 形 式 とい う,対 称 行列 A で定 ま る 2次 形式Q=
正 値 で あ る とき, A は正 値 で あ る とい う.
を 得 る.さ
て 式(5・4)を
式(5・12)に
代 入 す る と,
(5.13) と な る.式(5・13)か 称 で あ る.C の で,す
らNij=Njiで
あ る こ とは 明 ら か で あ るの で係 数行 列 は対
と k!は 正 で あ り, Mi(x)は,す
べ て の 非 零 要 素Nijは(-1)kの
x ≧ xi+kで
恒 等 的 に 0で あ る(Mj(x)も
,も
の 積 分 は |i-j|≧ k に対 し て 0で あ り,そ 0 と な る.こ
べ て の i と x に 対 し非 負 で あ る 同 じ符 号 を 持 つ .Mi(x)はx ち ろ ん 同 様 で あ る)か れ ゆ え ,そ
≦ xiと
ら,式(5・13)
の よ う な 範 囲 で はNijは
の よ うに そ の 行 列 の 0 で な い 要 素 は 主 対 角 要 素 と そ の 両 側 のk-1
個 の 帯 行 列 要 素 に だ け 表 わ れ る.さ そ れ ゆ え 式(5・13)の
らに,Mi(x)はxi
積 分 は 厳 密 に 正 で あ る か ら,こ
≦ x ≦ xi+k に対 し正 で, の対 角 帯 に あ るす べ ての要
素 は 0で は な い. 次 に,式(5・9)の
係 数 行 列 が 正 値 か 負 値 で あ る こ と を示 そ う.そ の た め に,係
数 行 列 に 関 連 した 二 次 形 式,
(5・14) を 考 え る.こ
れ は,式(5・13)を
用 い て 整 理 す る と,
(5・15) と な る.こ
こで φ (x)は,
(5・16)
で あ る.式(5・15)の
積 分 は 、 明 らか に 非 負 で あ る の で,式(5・14)は
奇 数 か に よ っ て 半 正 値*,ま
た は 半 負 値 で あ る こ と は 明 ら か で あ る.式(5・14)が
正 値 か 負 値 で あ る こ と を証 明 す る た め に は,式(5・15)の *二 次 形 式Q = xtAxに
対し .任
意 の 実ベ ク トルx〓0に
う.ま た 任 意 の ベ ク トル x に対 して,Q≧0で で あ る[28].
kと 偶 数 か
積 分 が,
対 してQ>0と
な る とき 正値 で あ る とい
あ る と き Q を半正 値 とい う.負 値,半 負 値 も同様
(5・17)
t 1= t2= … = tn-k = 0
の と き に 限 り 0 と な る こ と を 示 せ ば よい.こ は,ほ
と ん どい た る と こ ろ で φ(x)=0と
ラ イ ンMi(x)は
こ で,積
な る こ こ を 意 味 す る.と
連 続 関 数 で あ る か ら,φ(x)は
節 点x1, x2, …, xnを
持 つk-1次
分 が 0 に な る とい う こ と こ ろ で B-ス プ
恒 等 的 に 0で な け れ ば な らな い.
の C-ス プ ラ イ ン 属*は,特
い た あ と こ ろ で 0あ る よ う な関 数 を 含 ん で い る.と
別 な 場 合 と して,
こ ろ で,〔 定 理4・3〕
に よっ
て こ の C-ス プ ラ イ ン は,
で 一 義 的 に 表 わ され る.従 d1 =d2
の と き で あ あ.す 式(5・16)は
っ て,こ
の 関 数 と 恒 等 的 に 0 こ な あの は,明
らか に
= … = dn-k =0
な わ ち,こ れ が 零 関 数 の た だ 一 つ の 表 現 で あ る.言
式(5・17)が
成 り立 つ と きに 限 り 0で あ る.従
い 換 えれ ば,
っ て,式(5・9)の
係数
行 列 は 正 値 か 負 値 を 持 つ.
5・3
ス プ ライ ン係数 の計算
連 立 一 次 方程 式(5・9)に
は,式(2・25)と
上 の 困 難 な 性 質 と な い.こ
の こ とは 理 論 的 に も また 実 際 に 計 算 し て み て も確 め ら
れ る の で,式(5・9)は しか し,そ
ま ず,式(5・9)のNijは
の 注 意 が 必 要 で あ る.
連 立 一 次 方 程 式 の 係 数 で あ る が,こ
求 め る 方 法 が 必 要 で あ る.Nijは Nij=N(xj,
*B-ス
現 われ た よ うな数値 計 算
標 準 的 な 数 値 解 法 を用 い て す み や か に 解 く こ と が で き る.
の 細 部 に つ い て は,二,三
と 表 わ さ れ る が,こ
式(2・26)で
xj+1,…,
式(5・1),式(5・2)お xj+k;xi,
xi+1,…,
れ ら を数 値的 に
よ び 式(5・10)か
ら,
xi+k)
れ は
プ ラ イ ンMi(x)は,C-ス
プ ラ イ ン に 含 ま れ,
(4・27) の よ う に 表 わ さ れ る.そ
れ ゆ え 式(5・16)の
φ(x)は,C-ス
プ ライ ンであ る。
N(x;
t)=(x-t)+2k-1
(5・18)
か ら 導 び か れ た も の で あ る.つ
ま り,Nijは,2
変数
x,t に つ い て の 式(5・18)
の 2重 k 階 差 分 商 で あ る. こ の 差 分 商 を数 値 的 に 計 算 す る 場 合 に は,以 る.ま
下 の よ う な便 利 な 方 法 が 用 い られ
ず,i, j=1, 2, …, n に 対 す るN(xj;xi)の
値 をn×nの
そ の 行 と列 に そ っ て 順 に k階 差 分 商 を つ く る.と xi)+2k-1で ん,こ
あ る か ら,そ
れ ら の 0要 素 も 差 分 商 を計 算 す る 際 に は 他 の 要 素 こ 同 様 に 扱 う.こ
そ して,こ
立 一 次 方 程 式(5・9)の
係 数Nijの
ちろ う して
行 列 が 得 られ る.
の 結 果 に 関 す る 限 り,差 分 商 を 最 初 行 に そ っ て と る か 列 に そ っ て と る
か は あ ま り重 要 で は な い.し
か し後 で わ か る が,行
に そ う差 分 商 を 最 初 に と る 方
な か らず 利 点 が で る.
次 に,式(5・9)の 得 られ る.そ
右 辺 の δjは,与
して,ス
え ら れ たyiに
プ ラ イ ン 係 数biは
こ と が で き る.し か し,biを
連 立 一 次 方 程 式(5・9)を
ま り式(5・5)に
まれ て い る の で そ れ を決 め る 必 要 が あ る.さ 値 を式(5・5)に
あ る が,こ
つ い て の k 階 差 分 商 を とれ ば 解 い て求 め る
得 て も解 が 得 られ る わ け で は な い.“ 最 も 滑 らか に ”
補 間 す る 自然 ス プ ラ イ ンs(x),つ
s(x)の
こ ろ で こ の 行 列 の 要 素 は(xj-
の 主 対 角 要 素 と上 三 角 要 素 は す べ て 0 で あ る.も
2重 差 分 商 を つ く る と,連
が,少
2次 元 配 列 に し,
に は 工 夫 が 必 要 と な る.そ
含
らに 任 意 の x に 対 す る ス プ ラ イ ン
よ り定 め る た め に は,関
れ は 切 断 べ き 関 数(x-xi)+2k-1程
は 未 定 の 多 項 式pk-1(x)が
数Ni(x)の
値 を計 算 す る必要 が
た や す く は な い,従
の 計 算 は 実 際 に は 簡 単 で あ る が,そ
っ て,そ の 計 算
れ に 導 び く考 え 方
は や や こ み い っ て お り,こ れ は む しろ 具 体 的 な 例 を引 き合 い に 出 した 方 と 容 易 に 説 明 で き る の で 次 節 で こ れ を 示 す.
5・4
例
題
数 値 例 と し て,第 1章 で用 い た デ ー タ点(4・2節(4・4)で も示 した)に 対 す る “最 も滑 ら か な ” 3次 の 自然 ス プ ラ イ ン の 計 算 を ,こ こ で は 式(5・5)を 用 い て再 び や っ て み よ う.5 点 の 横 座 標 は-3,-1,0,3,4 こ れ ら の 5つ の 点 を と る もの とす る と,(x-t)+3の
で あ る.節
点 と して x と t に
値 は 表5・1の
よ うに な る.
表5・1
表5・1の
各 行 の
(x-t)+3の
値
1,2 階 差 分 商 を と る こ と か ら 始 め よ う.2
ん,i=1,2,3とj=1,2,3,4,5に
対 す るNi(xj)の
表5・2
表5・3
値 で あ る.
t に 関 す る 1階 差 分 商(N(x;xi,xi+1)の
t に関 す る 2階 差分 商(Ni(xj)とyjの
階差 分 商 は もちろ
値)
値)と
た て座 標
次 の 手 順 は,上 の 表 の 列 に 関 す る 1階 お よ び 2階 差 分 商 を 求 め る こ こ で あ る が, 同 時 にyj=s(xj)の
2階 差 分 商 も 求 め る 必 要 が あ る た め,便 表5・4
Ni(x)とs(x)のxjに
関 す る 1階 差 分商
宜 上,表5・3にyj
の 列 を 付 け 加 え て お い た. 表5・5
明 ら か に,最 含 ま な い.係
後 の 表5・5は
数biは
よ り求 ま る.こ
関 す る 2階 差 分 商(Nijと
式(5・9)のNijと
δjの 値)
δjを 含 む が 未 知 数biだ
けは
連 立 一 次 方 程 式,
の 方 程 式 の 解 は,
b1=6,
で あ る.そ
Ni(x)とs(x)のxjに
b2=4,
れ ゆ え,こ
b3=-20
の 場 合 式(5・5)は,
s(x)=P1(x)+6N1(x)+4N2(x)-20N3(x) と な る. さ て, 表 5・3 に お い て, そ の 最 上 段 の 要 素 は, Ni(x1)
と y1 = s(x1)の
値 で あ
る. 従 っ て, P1(x1) = S(x1)-
6N1(x1)
- 4N2(x1)
+ 20N3(x1)
= 7 - 6 × 0 - 4× 0+ 20×0 = 7
と な る.同
様 に,表5・4に P1(x1,
お け る,最
x2) = S(x1,x2)-
6N1(x1,x2)-
= 2- 6(2/3)-
を 得 あ.従
っ て,式(4・10)の
上 段 の 要 素 を用 い る と, 4N2(x1,
4(0)+ 20(0) = -2
Newton
の 公 式 に よ り,
x2) + 20N3(x1,
x2)
p1(x)
と な る.こ
= p1 (x1)+
(x-x1)
7-2(x+3)
= 1 - 2x
う し て,式(5・5)は s(x) = 1- 2x+ 6N1(x)+
と な る.さ
て,節
点 以 外 の,あ
こ の と き 式(5・19)で そ の た め Ni(x) (x-t)+
p1(x1,x2) =
3の
4N2(x)-
る座 標
20N3(x)
(5・19)
x に お け るs(x)の
必 要 と な る N1(x), を 求 め る に は 式(5・2)に
N2(x), N3(x)
値 を 求 め て み よ う.
従 っ て,そ
の
の 値 は 直 接 得 ら れ な い. x に お け るN(x;t)
=
t に 関 す る 2 階 差 分 商 を と ら ね ば な ら な い.
例 え ばx=2と
す る と,次
の 表5・6と
得 ら れ る.
表5・6
従 っ て,式(5・19)に
こ の表 のNi(2)代
入 す れ ば,
と な る.
5・5
計算 につ いて の一 般 的な 注意
前 節 で 見 た 数 値 例 で は,多 易 で あ っ た.そ
こ で,こ
項 式pk-1(x)と
一 次 式 で あ る の で,そ
の決 定 は容
の 節 で は 大 き い 次 数 k に 対 す る多 項 式pk-1(x)の
つ い て 考 え て み よ う.式(5・5)か
決定 に
ら,
(5・20) で あ る.s(x1)
= y1で
あ り,x ≦ xiで
pk-1(x1) = y1
はNi(x)
= 0 で あ る こ と か ら,式(5・20)は
と な る.従
っ て,こ
の 式 にNewtonの
差 分 商 補 間 公 式(4・10)を
適用 す る と
(5・21) と な る.ま
た,式(5・20)に
つ い てr-1階
差 分 商 を と る と,
(5・22) を得 る.前
節 の 例 で 見 た よ う に,Nij, δjは 始 め に(x-t)+2k-1の
て k 階 差 分 商 を と り,次 商 を とれ ば 得 ら れ た.そ に は,ま
に こ の 表 にs(xj)=yjを
加 え て,列
に そ って k階 差 分
の 過 程 で 得 られ た 列 に そ うr-1階
さに 求 め よ う とす る 式(5・22)の 代 入 す れ ばr=2,3,
得 られ る.最
後 に,こ
のpk-1(x1,x2,
たNewtonの
公 式 に 代 入 す れ ば,多
式 と 同 じ く らい 便 利 で あ る.そ
差 分 商 の最 上 段 の 行
右 辺 の 項 が 含 まれ て い る.従
の 表 の 値 を 式(5・22)に
式 は 見 か け は 複 雑 な よ うだ が,実
表で行にそっ
っ て,こ
…, k に 対 す るpk-1(x1,x2,…,
…, xr)(r=2,3,
項 式pk-1(x)が
… ,k)を
xr)が
式(5・21)に
示 し
求 ま る こ と に な る.こ
の公
際 の 数 値 計 算 で は 普 通 べ き和 で 表 わ され る 多 項
れ ゆ え,こ
こ で 得 られ る 多 項 式 を わ ざ わ ざ べ き和
の 形 に す る 必 要 は な い. 最 後 に,演 方 程 式(2・25)お
算 の 精 度 に つ い て 考 え て み よ う.ス よ び 式(2・26)を
ど大 き く な い と き で も,2 を す で に 述 べ た.こ 式(5・9)で
と kが それ ほ
倍 精 度 か と き に は 3倍 精 度 の 演 算 さ え 必 要 と な る こ と よ び 式(2・26)を
置 き換 え る こ と に よ っ て 解 消 で き る こ と が わ か っ た.し
対 称 行 列 で あ り,し
減 っ た ば か りで な く,そ
か も,そ
の 係 数 行 列 は2k-1重
こで
対角の
か も,正 定 値 で あ る と い っ た よ い 条 件 を 備 え て い る.そ
れゆ
の 係 数 行 列 は 解 を 得 る の に 単 精 度 で 十 分 で あ る.
し か し な が ら,式(5・9)を う.そ
使 っ て 妥 当 な 精 度 を得 る に は,n
の よ う な 欠 点 は 今 ま で の 議 論 で 式(2・25)お
は 方 程 式 と未 知 数 と2k個
え,そ
プ ラ イ ン係 数 を決 定 す る場 合,
れ は,そ
得 るた め に支 払 った代 償 を無 視 しては な らない だ ろ
の た め の 手 続 き が 間 接 的 で,か
数 の 差 分 商 を と る 必 要 が あ る か ら で あ る.す
つ 遠 回 りで あ る ば か り で な く,多 な わ ち,目
的 の 式(5・9)を
得 るに は
(2 変 数 の 各 々 に 対 して)k
階 差 分 商 を と らね ば な ら な い.さ
す る ス ブ ラ イ ンの 値 を 求 め る た び に (1 変 数 に 対 して)差 る 。 そ れ ゆ え,差
る値 に対
分 商 を とる 必要 が あ
分 商 の 演 算 の 精 度 が 重 要 な 意 味 を 持 つ こ と が わ か る,実
が 相 当 大 き な 式(5・9)の
係 数 を十 分 な 精 度 で 得 る た め に は,差
度 (3 倍 精 度 は 必 要 な い に し て も)で し,た
ら に,あ
か
い うの は 差 分 商 を 求 め る こ とは
と え 2 倍 精 度 を 用 い て も,そ
解 く よ う な 複 雑 な 計 算 に 比 べ れ ば,そ
分 商 を 2 倍精
計 算 す る 必 要 が あ るか も しれ な い.し
と え そ う で あ っ て も 恐 れ る 必 要 は な い.と
単 純 な 手 続 き で あ っ て,た
際,n
れ は連 立 一次 方 程 式 を
の 計 算 時 間 は ず っ と少 な くて す む か ら で あ
る.
5・6 他 の方 法 に よ る “最 も滑 らか な ”補 間 スプ ライ ンの導 出 文 献[17][22]で
は,“ 最 も 滑 ら か な ” 3次 の 補 間 ス プ ライ ン を 求 め る た め の 他
の 計 算 法 の 1つ を 示 して い る*.そ い る が,そ
こ で は,議
論 を 3次 の ス プ ラ イ ン に 限 っ て は
の 場 合 計 算 上 い くつ か の 長 所 が あ る の で,そ
て も 極 め て 有 効 で あ る.こ
の 3次 とい う制 約 が あ っ
の 方 法 に よ る FORTRANの
プ ロ グ ラ ム は ど ち らの
文 献 に も載 っ て い る. と こ ろ で,等
間 隔 節 点 の と き に は,式(2・24)の
表 わ さ れ る こ と を文 献[22][23]で
示 した.こ
速 な 蓄 積 とい う欠 点 を 避 け る こ とが で き る.す
係 数が 無 限 級数 の 整 数係 数 で の 方 法 に よれ ば,ま な わ ち,あ
る め誤差 の急
らか じめ 計 算 して お い
た 表 を用 い て 整 数 の ま ま で 計 算 し,最 後 に 割 り算 を 行 な っ て 答 を 出 す よ うに す れ ば 精 度 の 低 下 は 避 け る こ とが で き る わ け で あ る. ま た,こ
の 方 法 は 基 本 的 に は “最 も滑 らか に ” 補 間 す る 任 意 の 奇 数 次 の 自然 ス
プ ラ イ ン に 対 して も適 用 す る こ とが で き る.し が 大 き くな る 程 次 第 に 扱 い に く く な る.こ
か し,そ
そ の 表 を計 算 して い な い.
の た め,そ
*こ れ に 対応 す る計算 法 は第 6章 で も説 明 して い る .
の と き 用 い る 表 は,次
数
の 文 献 で は 3次 の 場 合 しか
5・7
デ ー タ点 を 平 滑 化 す る 自 然 ス プ ラ イ ン
1919年
に E.Whittakerは,以
と に よ っ て,等
下 に 示 す 2つ の 量 の 線 形 結 合 を最 小 に す る こ
間 隔 座 標 上 の デ ー タ点 を平 滑 化(smoothing)す
る 方 法 を提 案[24]
した. そ の 量 と は, ①
観 測 値 と,そ れ に対 応 す る 平 滑 化 曲 線 上 の 値 との 差 を 2乗 し,そ れ に 重 み を わ け た 値 の 総 和,
②
観 測値 に対 応 す る平滑 化 曲線 上 の値 の k階 差分 の 2乗 和(k は与 え られ た 整 数),
で あ る.こ
れ ら 2つ の 量 を結 合 す る 割 合 は,観
測 値 に対 し て 忠 実 で あ る か 滑 ら か
で あ る か の ど ち ら に 重 点 を置 くか で 決 ま る. 1964年Schoenberg[25]は,任 Whittakerの ま ず,与
方 法 を 適 用 す る こ と を 提 案 した.そ
中 に 含 ま れ た 増 加 列 で,必
の
れ は 次 の よ うに 記 述 で き る.
え ら れ た デ ー タ 点 を(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,
横 座 標 は 区 間(a,b)の そ こ で,次
意 間 隔 の デ ー タ 点 を 平 滑 化 す る 問 題 に,上
yn)と
す る.こ
れ らの
ず し も 等 間 隔 で な く こ も よ い.
の量
(5・23) を可 能 な限 り小 さ く す る k 階 連 続 微 分 可 能 な 関 数f(x)を は 適 当 な 正 の 重 み,9 あ る.つ
ま り,彼
こ と を示 し,し
は 上 述 のWhittakerの
は 式(5・23)の
求 め る.こ
こ で,wi
場 合 の結 合比 に対 応 す る正 定数 で
σ を最 小 に す る一 義 的 な 関 数f(x)と
存在 す る
か も デ ー タ 点 を “最 も滑 らか に ” 補 間 す る関 数 が 自然 ス プ ライ ン
で あ っ た と同 様 に,そ
の 関 数 も節 点x1,x2,…,xnを
持 つ2k-1次
の 自然 ス プ ラ
イ ン で あ る こ と を示 し た[25]. こ の こ と を証 明 す る た め に,第 用 す るの で,ま
ず,以
〔補 助 定 理5・1〕
2章 の 〔補 助 定 理2・1〕
下 で これ を示 す. c(x)を,
の 一 般 化 した も の を 利
で 表 わ され る C-ス プ ラ イ ン と し,f(x)を 関 数 こす る.こ
区 間(a, b)で
m 階 連続 微分 可 能 な
の と き,
(5・24) が 成 り立 つ. 〔証 明 〕
式(5・24)の
積 分 を I と お く と,〔 補 助 定 理2・1〕
に よ っ て,明
らか
に,
で あ る.た
だ し,ηiは
区 間(xi,xi+1)で
式 の 総 和 の 項 を 整 理 し,η0=ηn=0と
表 わ さ れるc(m-1)(x)の
値 で あ る.上
お け ば,
(5・25) を 得 る.こ
こ で,第
1章 の 式(1・12)か
ら
ηi-ηi-1=C(m-1)(xi+0)-C(m-1)(xi-0)=(m-1)1!
と 成 り立 つ.従
っ て,式(5・25)に
bi
こ の 結 果 を 代 入 す る と,式(5・24)と
得 ら れ る. (証 明 終 り)
次 に,平
滑 化 ス プ ライ ン補 間 に つ い て の 重 要 な 定 理 を述 べ る.
〔定 理5・2〕
座 標xi(i=1,2,…,n)は … ,wnは
(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)は 区 間(a, b)に
与 え ら れ た 正 数 と し, k はk
与 え ら れ た デ ー タ 点 と し,そ 含 ま れる 増 加 列 と す る.ま
の
た,g, w1,w2,
満 た す 正 の 整 数 と す る.こ
の と き,
自然 ス プ ラ イ ン
(5・26) に お い て,条
件
s(xj)
+ ( - 1)kg(2k
- 1) !cjwj
- 1 = yj (ブ=1,
(5・27)
2, … , n)
を満 足 す る も の が た だ 一 つ 存 在 す る. さ ら に,f(x)を,区 を 式(5・23)で
k 階 連 続 微 分 可 能 な 任 意 の 関 数 と し,σ(f)
定 義 され る 量 とす れ ば,
σ(s)≦
で あ る.等
間(a,b)で
σ(f)
号 はs=fの
〔証 明 〕
(5・28)
と き に 限 る.
式(5・26)はn+k個
の 未 知 数 を 含 ん で い る.式(5・27)に
式(5・26)
を 代 入 す る と,
(5・29)
(j = 1, 2, …, n)
を 得 る.こ
こ で 項 の 順 序 を変 え た の は,あ
s(x)は2k-1次
の 自然 ス プ ラ イ ンで あ る か ら,〔 系2・1〕
個 の 方 程 式 を満 足 し な け れ ば な ら な い,従 n+k元
と で 便 利 だ か ら で あ る.と
連 立 一 次 方 程 式 が 構 成 され る.こ
て 0(そ の と き,も 限 り,式(5・27)は
ち ろ んs(x)は
+ ( - 1)kg(2k
よび 式(5・29)か
ら
を証 明 した と きの
対 応 す る 同 次 方 程 式 が,す
べ
恒 等 的 に 0)の 自 明 な 解 しか 持 た な い と きに
- 1)!cjwj
か ら な る 同 次 方 程 式 系 を 考 え よ う.た 仮 定 す る.そ
k
の と き,〔 定 理2・7〕
た だ 一 つ 解 を 持 つ こ と が わ か る.そ
s0(xj)
に よ り式(2・26)の
っ て,式(2・26)お
方 法 と ま っ た く 同 じ 方 法 を 用 い れ ば,式(5・27)に
こ ろ で,
こ で,式(2・26)と
(5・30)
- 1 = 0
だ し,s0(x)は
次式
式(5・26)の
形 を して い る と
して 次 の 量
(5・31) を 導 入 す る.い
ま,式(5・26)を
つ ぎ つ ぎ に 微 分 し,式(2・8)を
利 用 す る と,
(5.32)
を 得 る.こ り C-ス
こ でC1=k(k+1)…(2k-1)で プ ラ イ ン で あ る.従
あ り,式(5・32)は
っ て,〔
補 助 定 理5・1〕
〔定 理2・5〕
か ら 式(5・31)の
に よ
積 分 は,
(5・33) と な る.一
方,式(5・30)は
so(xj)
こ な り,従
= ( - 1)k-1g(2k
- 1)!cjwj-1
って
(5・34)
と な る.式(5・31)に ろ が 式(5・31)の ら な い.重
式(5・33)と
式(5・34)を
代 入 す る と,σ0=0を
右 辺 は 非 負 の 項 の 和 で あ る か ら,い
みwjは
ずれ の 項 も
得 る.と
0 で なけ れば な
正 で あ る の で,
s0(xj)=0 で あ る.式(5・30)に の 項 のcj以
(5・35)
こ の 結 果 を代 入 す る と,式(5・30)の
第 2項 は 0 と な る.こ
外 の 因 子 は 0で は な い か ら, (5・36)
cj=0 で な け れ ば な ら な い.式(5・26)に
式(5・36)を
代 入 す る と,
s0(x)=pk-1(x) を得 る.と
こ
こ ろ が,条
件k
(5・37)
式(5・35)お
個 の 相 異 な る x に 対 して 0 とな るk-1次
よび 式(5・37)か
ら、 s0(x)は,n
の 多 項 式 で あ る*.従
っ て,s0(x)は
い た る と こ ろ で 恒 等 的 に 0で あ る.そ れ ゆ え,式(5・27)を
満 た す よ う な 式(5・26)
の 自然 ス プ ラ イ ンが た だ 一 つ 存 在 す る こ とが 証 明 され た こ とに な る. 次 に,定
理 の 第 2 の 部 分 を 証 明 し よ う.〔 定 理2・8〕
の 証 明 と同 じ工 夫 を用 い
る と, *n(>k)個
の 異 な る点 で 0 に な るk-1次
の多項 式 は恒 等 的 に 0 で あ る.
(5・38) と 書 け る.さ そ れ は,前
て,s(k)(x)は
〔定 理2・5〕
に 考 え たs0(k)(x)と
理5・1〕
に よ り式(5・38)の
に よ っ て C-ス
同 じ く 式(5・32)の
プ ラ イ ン で あ り,し
形 と な る.従
か も
っ て と 〔補 助 定
最 後 の 項 は,
(5・39) と な る.ま
た,式(5・27)に
よ り,
s(xi)-yi=(-1)k-19(2k-1)
で あ る か ら,式(5・38)の も の に 等 しい.従
! ciwi-1
第 4項 は ち ょ う ど 式(5・39)に
っ て,式(5・38)の
い る 項 は 非 負 で あ る の で,不 と き は,式(5・38)の
最 後 の 2 項 は 互 い に 打 ち 消 され る.残
等 式(5・28)が
第 2項,第
た だ ち に 成 り立 つ.等
ま た,第
って
式 が 成 り立 つ
3項 が い ず れ も 0 で あ る こ と を 意 味 す る.そ
第 3項 と 0に な る とい う こ と は,f(k)(x)-s(k)(x)が に な る,と
マイ ナ スの符 号 をつ け た
ほ とん ど い た る と こ ろ で 0
い う こ と を 意 味 す る か ら,f(x)-s(x)はk-1次
2項 と 0 に な る とい う こ とは,x
項 式 が 0 に な る こ と を 示 して い る.k
の
の多 項 式 で あ る.
の n 個 の 異 な る 値 に 対 して,こ あ る か ら,こ
の こ と は,こ
次 の 多 項 式f(x)-s(x)が
い た る と こ ろ で 0で あ る こ と を 示 し て い る.言
れ ば,f(x)-s(x)=0,す
な わ ち, f(x)=s(x)で
あ る.
の多
のk-1 い換 え
(証 明 終 り)
5・8 平 滑 化 自然 スプ ラ イ ンの計 算 概 要 本 節 で は,デ な い と,計
ー タ を 平 滑 化 す る 自然 ス プ ラ イ ン の 計 算 に つ い て 詳 細 に は 立 入 ら
算 す る さい の 見 通 し と注 意 す べ き 点 を い くつ か 述 べ よ う.ま ず,式
(5・29)は,式(2・25)に ん で い る.
は 含 ま れ て い な か っ た(-1)kg(2k-1)!cjwj-1の
項 を含
我 々 は,式(5・29)と こ の と き式(5・29)の
式(2・26)か
ら成 り立 つ 連 立 一 次 方 程 式 を 解 くわ け だ が,
項 の 順 序 を 変 え な い な ら ば,(-1)kg(2k-1)
!wj-1は
係数
行 列 の 対 角 要 素 と な る*1. これ ら の 対 角 要 素 の 大 き さ が,そ る な ら ば,こ
の 行 列 の 非 対 角 要 素 の 最 も大 き い 値 に 匹 敵 す
の 連 立 一 次 方 程 式 は,数
方 法 で 解 く こ と が で き る.し さ い と き は,以
値 的 にGaussの
消 去 法 の よ うな 標 準 的 な
か し な が ら,こ れ らの 対 角 要 素 が 非 対 角 要 素 よ り小
前 に 議 論 した よ うに,二
変 換 す る必 要 が で る か も 知 れ な い.そ
つ の 変数 の k回差 分商 を取 って方 程 式 を の と き,厳
密 な補 間 の 場 合 と同 じ よ う に,
2変 数 に 対 して k階 差 分 商 を と る と対 角 要 素(-)kg(2k-1)!wjの 2k+1重
対 角 帯 に 交 互 に 符 号 を 変 え な が ら伝 播 す る*2,も
分 小 さい な らば(g≒0の
変 換 の 影 響 が, し,そ
の対 角要 素が 十
と き)そ の 変 換 した 連 立 一 次 方 程 式 は,厳
合 と似 た よ う な 性 質 を も つ.定
密 な 補 間 の場
数 g が 大 き く も小 さ く も な い 中 間 の 値 で は,ど
の 解 法 も うま くは い か な い. この 場 合,連
立 一 次 方 程 式 を 解 く最 も よい 方 法 は,た
形 に 変 換 し,そ の 後,係 解 法(例
ぶ ん 方 程 式 を帯 状 の 正 値
数 行 列 を 上 三 角 行 列 と 下 三 角 行 列 の 積 に 分 解 す る よ うな
え ば,Gauss-Doopittle法
ま た はCholeski法[29])を
ろ う.
*1 k=2,n=3の
と き ,式(5・29)と
式(2・26)か
g3!c1w1
-1
c1(x2-x1)3+g3!c2w2-1
+ ax2+b=y2
c1(x3-x1)3+c2(x3-x2)3+g3!c3w3-1 c1
+c2
+c3
c1x1
+c2x2
+c3x3
とな る.こ れ を行 列 で表 現 す れ ば,
と な り6gwi-1は
*2演 習 問題5・6参
対 角 要 素 と な っ て い る.
照
ら な る 連 立 一 次 方 程 式 は, +ax1+b=y1
+ax3+b=y3 =0
=0
用 い る こ とであ
5・9
ス プ ラ イ ン 関 数 の そ の 他 の 応 用*
ス プ ラ イ ン に は 本 書 で 取 り上 げ た も の の 他 に も 有 益 な応 用 が あ る.こ く は,1968年
にWisconsin大
れ らの 多
学 数 学 研 究 所 で 開 か れ た ス プ ラ イ ン関 数 の 理 論 と
応 用 に つ い て の 高 等 セ ミ ナ ー で 討 論 され て い る の で,も
し興 味 あ る 読 者 は,こ
セ ミ ナ ー の 論 文 集[27]を
術 の 多 くの 分 野 に 横 た わ
る 問 題 に は,近
参 照 され た い .科 学,工
似 関 数 や 補 間 関 数,微
計 算 が 不 可 欠 で あ る.セ
5・10
分 方 程 式 の 数 値 解,あ
るい は定 積分 の数 値
ミナ ー で 取 り扱 わ れ た ト ピ ッ ク ス の 中 に は,こ
題 を ス プ ラ イ ン関 数 を 利 用 して,よ ア ル ゴ リズ ム や,コ
学,技
の
れ らの 問
り効 果 的 に 処 理 して い る も の が あ り,数 値 的
ン ピ ュ ー タ プ ロ グ ラ ム と 示 され て い る.
第 5章 に 関 す る小 史
1963年
にSchoenbergは
差 分 商 と B-ス プ ラ イ ン を 利 用 し て “最 も 滑 らか な ”
補 間 自然 ス プ ラ イ ンの 係 数 を 決 定 す る 問 題 をn-k元 で き る 可 能 性 を示 した[10].特 に 公 式(5・13)は
連 立 一 次方 程 式 の解 に 帰着
彼 に よ っ て1964∼5年
に非 公式 に
談 話 の 中 で 述 べ られ た も の で あ る. 本 章 で 記 述 し た 数 値 的 手 法 の 詳 細 は,文 平 滑 化 法 に つ い て のWhittakerの 学 会 で 述 べ られ,そ
した.し
か し式(5・27)そ
の も の は,本
2章
習 問2・4の
間 自 然 ス プ ラ イ ン を 求 め よ.
*第
k=3と
お い て,次
の数
れ を1964年
等 間 隔 デ ー タ に 対 す る平 滑 化 曲線 の あ て は め 問 題 に 適 用
本 章 の 方 法 を 用 い て,第
5・2
のEdinburghで
に 出 版 さ れ た.Schoenbergは,そ
演 5・1
述 べ た も の で あ る.
論 文[24]は,1919年
れ は1923年
の 論 文[25]に お い て,不
献[26]で
の 4点
6章 で 最近 の応 用 例 を詳 し く述 べ る
.
書 で は じめ て 導 入 さ れ た も の で あ る .
問
題
5
デ ー タ点 に 対 す る “最 も滑 らか な ” 3次 の 補
(-2,0),(0,-532),(1,123),(4,732) に 対 す る “最 も滑 らわ な” 補 間 関数 を求 め よ. 5・3 最 小 2乗 法 を用 いて,問5・1の
三 つ の点 に 対 す る直線 の方 程 式 を求 め よ(す なわ ち,
与 え られ た デー タの座 標 とそ の x 座 標 に お け る直 線 上 の 座標 との差 の 2乗 和 を最 小 に す る). 5・4
w1=w2=w3=1と
お い て,問5.1の
意 味 で の 最 良 近 似 関 数 を,g 5・5
問5・4で
デ ー タ 点 に 対 す るWhittaker-Schoenbergの
用 い て 表 わ せ,た
得 ら れ た 数 式 は,g=0の
だ し, k=2と
と き 何 に 帰 着 す る か.ま
す る. た, g→ ∞
と す る と何
に 近 づ くか. 5・6
(〓) 自 然 ス プ ラ イ ン 式(5・26)の ン の 係 数bj(j=1,2,…,n-k)で
. (〓) た い.そ
デ ー タ 点(4・4)に
g を パ ラ メ ー タ と し て5・4節
次 に,g=10と
式(5・5)の
自然 ス プ ライ
対 す る 3次 の 平 滑 化 自 然 ス プ ラ イ ン を式(5・5)の
の た め に ま ず,(〓)で
こ こ でwi=w2=…=w5=1と
係 数ci(i=1,2,…,n)を 表わせ
求 め たciを
式(5・27)に
形 で 求め
代 入 し て 得 ら れ る式 を 利 用 し,
で 示 し た よ う な t,x に 関 す る 2階 差 分 商 表 を 求 め よ. す る.
した と き の 3次 の 平 滑 化 自 然 ス プ ラ イ ン を 式(5・5)の
形 に 表 わ せ.
第 6 章
ス プ ラ イ ン 関数 の種 々 の 応 用
6・1
B-ス プ ラ イ ン を 用 い た 補 間
前 章 ま で は,主
に2m-1次
の 自然 ス プ ラ イ ン に つ い て 考 え て き た.本
B-ス プ ラ イ ン を 用 い た 補 間*に つ い て 考 え て み よ う.こ
イ ン を基 底 と した 線 形 結 合 に よ る ス プ ラ イ ン で あ る.B-ス (limited support)を
持 つ 関 数 で あ る こ と,ま
プ ライ ンと局 所 台
た 高 次 の B-ス プ ラ イ ンと 漸 化 式 を
用 い た 算 法 に よ り安 定 に 計 算 で き る こ とな ど の 理 由 に よ り,B-ス た 補 間 は 関 数 近 似,有 ま ず 始 め に,ス 4章4・6節
限 要 素 法,CADな
節 では
の 補 間 関 数 は B-ス プ ラ
プライ ンを用 い
どに しば しば 応 用 され て い る.
プ ラ イ ン補 間 の 基 底 に 適 し た B-ス プ ラ イ ン を 定 義 し よ う,第
でSchoenbergに
図6・1
よ る B-ス プ ラ イ ンMi(x)を
Schoenbergの
定 義 し た が,こ
の B-
定 義 に よ る 1次 の B-ス プ ラ イ ン
* 一 般 に B-ス プ ライ ン を用 い た補 間 と呼 ば れ て い るが,こ れ は B-ス プ ライ ンの線 形 結 合 に よるス プ ライ ンで あ るの で,第 2章2・3節 で 定 義 した C-ス プ ラ イ ンで あ る.そ れ ゆ え,C-ス プ ライ ン補 間 と 呼 ぶ方 が ふ さわ しい と思 われ る.
ス プ ラ イ ン を そ の ま ま 補 間 関 数 の 基 底 と す る の は 適 当 で な い .例 え ば,節 点*1(ξ1, ξ2,ξ3,ξ4,ξ5)=(0,0.5,1,2,4)が
与 え ら れ て い る と す る.図6・1は
… ,5を 持 つ 1次 の B-ス プ ラ イ ンMi(x),i=1,2,3を M1(x)の
最 大 値 はM3(x)の
れ は B-ス プ ラ イ ンMi(x)を
節 点 ξi,i=1,2,
示 し た も の で あ る.図 か ら,
最 大 値 よ り大 き な 値 と な っ て い る こ とが わ か る .こ 全 実 軸 上 の 積 分 が 1に な る よ うに 定 義 した の で ,節
点 が 著 し く不 等 間 隔 で あ る 場 合 に 起 こ る.一
般 に ス プ ライ ンの 節点 を不等 間 隔 で
与 え る の は 普 通 の こ と で あ り,そ れ ゆ え こ の B-ス プ ラ イ ンMi(x)を 基 底 に 選 ぶ こ と は 適 当 で は な い.こ え る.そ
こ で,de Boor[30]は
義 の1/k倍
補間 関 数 の
の こ と は 高 次 の B-ス プ ラ イ ン に つ い て も 言
ま ずk-1次
の B-ス プ ラ イ ン を, Schoenbergの
定
し た も の と して 次 の よ うに した.
(定 義 6)
Mk(x;t)=(t-x)+k-1 と し,ξi,ξi+1,…,ξi+kを
(6・1) 基 礎 に し た t に 関 す る k階 差 分 商Mk(x;ξi,ξi+1,…,
ξi+k)を,
Mi,k(x)=Mi(x;ξi,ξi+1,…,ξi+k)
と す る.こ さ ら に,de
(6・2)
の と きMi, k(x)をk-1次(k Boorは
こ のMi,k(x)を
階)の 利 用 し て,補
B-ス
プ ラ イ ン と い う.
間 の 基 底 に 適 し た B-ス
プ ラ
イ ン を 次 の よ う に 定 義 し た. (定 義
7) k-1次
の B-ス
プ ラ イ ンMi,k(x)に(ξi+k-ξi)を
Ni,k(x)=(ξi+k-ξi)Mi
と す る.こ
節点
ξi,ξi+1,… ξi+kを
(6・3)
,k(x)
の と きNi, k(x)をk-1次(あ
プ ラ イ ン*2(normalized
乗 じて
B-spline)と
持 つk-1次
*1 5章 まで は ス プ ライ ンの節 点 をxiと
る い は k 階)の
正 規 化 さ れ た B-ス
い う.
の 正 規 化 さ れ た B-ス
プ ラ イ ン は,
した が 6章 で は ξiと す る.
*2 こ こで定 義 した 正 規 化 され た B-ス プ ライ ンNi,k(x)は 第 5章5・1節 で定 義 した 自然 ス プ ラ イ ン の 1種 で あ る,N-ス プ ライ ンNi(x)と 表記 が似 てい るが,性 質 が 異 な る の で注 意 を要 す る.
(6・4)
な る 性 質 を 持 つ.こ
れ ら の 性 質 はk-1次
の 正 規 化 され た B-ス プ ラ イ ン が ス プ ラ
イ ン 補 間 の 適 当 な 基 底 で あ る こ と を示 し て い る.図6・2は
図6・21
の 正 規 化 さ れ た B-ス 質(a),(c)は
明 ら か で あ り,ま
次 に,B-ス
例 に 対 し 1次
次 の 正 規 化 され た B-ス プ ラ イ ン
プ ラ イ ン を 図 示 し た も の で あ る.こ
N1,2(x),N2,2(x),N3,2(x)の
図6・1の
た(b)は,例
の 図 か ら 式(6・4)の
え ばr=2,s=4,k=2と
和 が 区 間0.5≦x≦2で
性 す る と,
1 と な る こ と を 示 す.
プ ラ イ ン を 安 定 に 計 算 す る た め の 算 法 を 述 べ る. B-ス プ ラ イ ン は
差 分 商 に よ っ て 定 義 され て い る.と ン を 求 め る 計 算 で は,差
こ ろ が 差 分 商 を 用 い て 数 値 的 に B-ス プ ラ イ
分 商 を と る過 程 で 有 効 数 字 が 失 わ れ る こ と が あ る.こ
れ
は 差 分 商 の 計 算 が 切 断 べ き関 数 に よ る表 示 を利 用 して い る か らで あ る. B-ス プ ラ イ ン を 計 算 す る の に 差 分 商 に よ ら な い で,漸
化 式 を 用 い る 安定 な 算
長が 開 発 され て い る[30].そ れ は,式(6・1)のMk(x;t)が,
Mk(x;t)=(t-x)+k-1=(t-x)(t-x)+k-2
と 書 け る か ら,上 式 の 両 辺 に ξi,ξi+1,… ξi+kを 基 礎 に し た tに 関 す る k階 差 分 商 を と り,か つ 右 辺 にLeibnizの
積 に 関 す る 差 分 商 公 式(付 録-1)を 利 用 す る と,
(6・5)
で 表 わ され る.ま
た 上 式 を 正 規 化 され た B-ス プ ラ イ ン で 表 わ す と,
(6・6) と な る(付 録-2).い
ま あ る x(ξi≦x<ξi+1)に
{
れ た B-ス プ ラ イ ン の 値 を 求 め て み よ う.ま
対 し,0 で な いk-1次
の正規 化 さ
ずNi1(x)は,
l
(ξi≦x<ξi+1)
Ni,1(x)=
0(x<ξi,x≧
で あ る か ら,順
が 得 ら れ,0 Ni,kが
次 漸 化 式(6・6)を
で な いk-1次
ξi+1)
適 用 す れ ば,
の 正 規 化 さ れ た B-ス
プ ラ イ ンNi-k+1,k,
Ni-k+2,k,…,
求 ま る.
式(6・6)の
B-ス プ ラ イ ン を 安 定 に 計 算 す る 上 記 の 方 法 は,de Boor-Coxの
法 と呼 ば れ る[31]こ
の 算 法 は 多 重 節 点(6・2節
の 値 を 安 定 に 計 算 す る こ と が で き る.
参 照)の 場 合 で も,B-ス
算
プ ライ ン
さ て,本
題 に も ど っ て(1)奇
(2)2m-1次
の B-ス プ ラ イ ン を用 い た 補 間,
の B-ス プ ラ イ ン を用 い た 周 期 ス プ ラ イ ン,(3)k-1次
ラ イ ン を 用 い た 補 間(節 ぶ 場 合)に
数(2m-1)次
点 をSchoenberg-Whitneyの
の B-ス プ
条 件 を満足 す る よ うに選
つ い て 考 え て み よ う.
(1) 奇 数(2m-1)次
の B-ス プ ラ イ ン を 用 い た 補 間
こ の ス プ ラ イ ン 補 間 は デ ー タ点 の 他 に2m-2個 は 何 らか の 情 報 で,補
間 され る 関 数f(x)の
の 条 件 を 必 要 とす る.こ
両 端 点x=x1,x=xnに
こで
お け る 微分
値,
f(l)(x1)=f1(l)f(l)(xn)=fn(l) (l=1,2,…,m-1,あ
る い はl=m,m+1,…,2m-2)
が 与 え ら れ て い る と し て 議 論 を 進 め る[32]. n個 の デ ー タ 点,
(xi,yi)
と2m-2個
i=1,2…,
(6・7)
n
の 端 点 条 件,
(x1,f1(l)),(xn,fn(l)),
(l=1,2,…,m-1あ が 与 え ら れ て い る.た
る い はl=m,m+1,…,2m-2)
だ しxi<xi+1(i=1,2,…,
次 の 補 間 ス プ ラ イ ンs(x)を
n-1)と
正 規 化 さ れ た B-ス
(6・8) す る.こ
の と き2m-1
プ ラ イ ン の 線 形 結 合,
(6・9) で 構 成 す る.こ
こで 節点
2m,3-2m,…,0お
ξi=xi(i=1,2,…,
よ びi=n+1,
節 点 は 式(6・9)に
お け る B-ス
i=n-2m+1,n-2m+2,…,n-1)を 3に
示 す.一
し ば しば
般 に節点
n+2,…,
n)を
内 部 節 点 と し,節
n+2m-1)を
点
付 加 節 点 と す る.付
プ ラ イ ンNi,2m(x)(i=2-2m,3-2m,…,0お
ξi<ξi+i(i=2-2m,3-2m,…,n十2m-1)で
付 加 節 点 を 多 重 節 点(ξ2-2m=ξ3-2m=…=ξ0,お
加 よび
構 成 す る た め に 必 要 な 節 点 で,こ ξiは
ξi(i=2-
れ を 図6・ あ る が,
よび
ξn+1=ξn+2=…=
・デ ー タ点 と等 しい 節点
x付加節点
図6・3
ξn+2m-1)に す る こ とが あ る(6・2節 を 式(6・9)に
参 照).こ
代 入 し,de Boor-Coxの
関 す るn+2m-2元
る.任
こ で デ ー タ点(6・7),端
算 法 に よ りNi,2m(x)を
連 立 一 次 方 程 式 が 得 ら れ る.こ
け る こ と が 明 らか に な っ て い る.そ り解 け ば,係
点
節
数biが
意 のx(xi≦x≦xn)に
算 法 に よ りNi,2m(x)を
計 算 す る と, biに
の連立 一次 方程 式 は一 意 に解
こ で,こ の 方 程 式 をGaussの
決 ま り,式(6・9)の2m-1次
点 条 件(6・8)
消 去 法 な どに よ
の ス プ ラ イ ン補 間 式 が 得 られ
対 す る ス プ ラ イ ン のs(x)の 計 算 し て,式(6・9)に
値 はde Boor-Coxの
代 入 す れ ば 容 易 に 得 られ る.
こ の B-ス プ ライ ン を 用 い た 補 間 は 端 点 条 件 が 与 え られ て い る こ と が 必 要 で あ る が,節
点 を デ ー タ点 の 横 座 標 に と る た め 簡 単 で あ る.そ
ラ イ ン を用 い れ ば,関 (2)2m-1次 (定 義
数 近 似 に 有 効 で あ る.
の B-ス プ ラ イ ン を 用 い た 周 期 ス プ ラ イ ン
8)2m-1次
の ス プ ラ イ ンs(x)が
(x1, y1),(x2,
(n≧2m,
を 補 間 し,条
y2),…,(xn,
n 個 の デ ー タ 点,
yn)
a=x1<x2<…xn=b)
(6・10)
件
s(l)(X1)=s(l)(xn) を 満 足 す る と き,s(x)を
い ま,2m-1次
れ ゆ え 高 次 の B-ス プ
l=0,1
周 期b-aの
2…,2m-2
(6・11)
ス プ ラ イ ン と い う[32].
の 周 期 ス プ ラ イ ン を 正 規 化 さ れ た B-ス プ ライ ン を 用 い て 構 成
し て み よ う.節 点 ξiを,
(6・12)
と す る.こ
こで
ξi(i=2-2m,3-2m,…,0
付 加 節 点 で,s(x)を
お よ びn+1,n+2,…,n+2m-1)は
周 期 ス プ ラ イ ン と す る よ う に 配 置 さ れ て い る,上
節 点 を も つ ス プ ラ イ ンs(x)は,式(6・9)か
ら2m-1次
の よ うな
の 正 規 化 さ れ た B-ス プ
ラ イ ン の 線 形 結 合 と し て,
(6・13) と 書 け る.s(x)は
周 期 ス プ ラ イ ン で あ る か ら,条
bi=bn+i-1
件(6・11)か
ら,
(i=2-2m,3-2m,…,0)
で な け れ ば な ら な い.ま
た,こ
bi+n-1
れは
(i=2-2m,3-2m,…,-m)
bi=
(6・14) bi-n+1
と も 書 け る.式(6・14)を
(i=n-m,
n-m+1…,
式(6・13)に
n-1)
代 入 す る と,
(6・15) が 得 られ る.上
式 はn-1個
のbiを
含 ん で い る.
そ こ で,式(6・15)にx1,x2,…,xn-1に 化 さ れ た B-ス n-1元
プ ラ イ ン をde Boor-Coxの
関 ず る デ ー タ点(6・10)を
代 入 し,正
算 法 に よ り 計 算 す れ ば, biに
規
関 す る
連 立 方 程 式 が 得 ら れ る.
こ の 方 程 式 を 解 く こ とに よ り,biは 期b-aの
一 意 に 決 ま り,式(6・15)に
ス プ ラ イ ンが 得 られ る.
こ の 周 期 ス プ ラ イ ン は 周 期 関 数 の近 似 や,助 閉 曲 線 を 求 め る こ と が で き る.(6・5節 (3)k-1次
代入 すれ ば周
変 数 を 用 い る こ と に よ り滑 らか な
例 題 2参 照)
の B-ス プ ラ イ ン を 用 い た 補 間(節 点 をSchoenberg-Whitneyの
条 件 を 満 足 す る よ うに 選 ぶ 場 合)
今 まで 述 べ た ス プ ラ イ ン補 間 は 節 点 を デ ー タ点 の 横 座 標 に 一 致 させ る 場 合 に 限 る も の で あ っ た.し
か し節 点 をSchoenberg-Whitneyの
条 件 を 満 足 す る よ うに
選 ん で も 一 意 な ス プ ラ イ ン補 間 が 可 能 で あ る こ と が 明 らか に な っ て い る[30,31] し か も,こ
の ス プ ライ ン補 間 は(1)の
点 が あ る.ま
ず,Schoenberg-Whitneyの
節 点 ξ1,ξ2,…,ξ5(ξ1<ξ2<…
と 書 け る.こ
(xi,yi)
i=1,2,…
つn=l+kで
持 つk-1次
デ ー タ 点,
(6・16)
あ る と き,節 点 ξiが 条 件 i=1,2…,n-k
の ス ブ ライ ンs(x)は
こ の 節 点 に 関 す る条 件 をSchoenberg-Whitneyの こ こ で,Schoenberg-Whitneyの イ ン補 間 に つ い て 考 え よ う.ま い る と す る.k-1次
の ス プ ラ イ ンs(x)は,
,n
xi<ξiくxi+k,
を 満 足 す れ ば,k-1次
条 件 に つ い て 述 べ る.
く ξlを
の ス プ ラ イ ンs(x)は
を 補 間 し,か
場 合 と 異 な り端 点 条 件 を 必 要 と しな い 利
(6・17) 一 意 に 決 ま る こ と が 知 られ て い る. 条 件 とい う.
条 件 を 満 足 す る 節 点 を 持 つk-1次 ずin(n≧k)個
の ス ブ ラ イ ンs(x)はk-1次
の デ ー タ点(6・16)が
の ス プラ 与 え られ て
の 正 規 化 され た B-ス ブ ラ イ ン
の 線 形 結 合 に よ り,
(6・18) と 書 け る.こ
こで節点
-Whitneyの
ξi(i=1,2,…,n-k)は
内 部 節 点 で,こ
れ ら をSchoenberg
条件
xi<ξiくxi+k,
i=1,2,…
を 満 足 す る よ う に 選 び,さ 1,n-k+2,…,n)は
(6・19)
ら に 付 加 節 点 ξi(i=1-k,2-k,…,0お
ξ1-k<ξ2-kく
を 満 足 す る も の と す る(付
,n-k
…<ξ0≦x1お
加 節点 は 多 重 節点
よ びxn≦
よ びi=n-k+ ξn-k+i<ξn-k+2<…<ξn
と す る こ と も で き る) .従
っ て,デ
一 タ点(6・16)を
式(6・18)に
算 す る と,biに
代入 し
,Ni,k(x)をde
の 消 去 法 な ど を用 い れ ば 一 意 なbiが ば,k-1次
Boor-Coxの
関 す る n 元 連 立 一 次 方 程 式 が 得 られ る.こ 決 ま る .そ
算法 に よ り計
の連 立方 程 式に ガウス
して これ を 式(6・18)に
代入 すれ
の ス プ ライ ン補 間 式 が 得 られ る.
こ こ で 簡 単 な 例 と して ,第
(-3,7),
1章 ∼ 第 5章 で しば しば 用 い た 5個 の デ ー タ点,
(-1,11),
(0,26), (3,56), (4,29)
に つ い てSchoenberg-Whitneyの め て み よ う.k=3で
と 書 け る.こ
条 件 を 利 用 し て,2
あ る か ら,2
次 の 補 間 ス プライ ンを求
次 の ス プ ラ イ ンs(x)は,
れ は 2 個 の 内 部 節 点 と 6個 の 付 加 節 点 が 必 要 で あ る.こ
(ξ-2,ξ-1,ξ0,ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,ξ5)=(-5,-4,-3,-1,2,4,6,7)と ξ2は 式(6・19)のSchoenberg-Whitneyの く ξ1=-1
x2=-1
< ξ2=2
Boor-Coxの
< x4=3 < x5=4
の 5個 の デ ー タ 点 をs(x)に
算 法 に よ り 計 算 す る と,次
が 得 ら れ る.こ
れ をGaussの
b0=33.66,b1=69.82,
部 節 点 ξ1,
条 件
x1=-3
を 明 ら か に 満 足 し て い る.上
す る.内
こで節点 を
の よ う なbiに
代 入 し,Ni
消 去 法 を 用 い て 解 く とb-2=12.55,
b2=-11.82,が
得 ら れ る .従
,3(x)をde
関 す る連立 方 程式 ,
っ て,2
b-1=-4.107,
次 の ス プ ラ イ ン補 間
式 は, s(x)=12.55N-2
と な る.図6・4(a)は
,3(x)-4.107N-1,3(x)+33.66N0,3(x) +69.82N1,3(x)-11.82N2,3(x)
得 ら れ たs(x)を
図 示 し た も の で あ る.ま
た .図6.4(b)
(a) 内 部 節 点 ξi=-1,ξ2=2と
(b) 内 部節 点 ξ1=-2,ξ2=2と
した と
した と
き の 2次 のス プ ライ ン補間s(x)
き の 2次 の ス プ ラ イ ン補 間s(x) 図6・4
は 同 じ例 題 に つ い て 内 部 節 点 ξ1を ξ1=-2,に
変 え た 場 合 のs(x)で
場 合 の 内 部 節 点 は 明 らか にSchoenberg-Whitneyの 6・4(a)と
比 較 して み る とx=-2付
は ず れ て お り,図6・4(b)のs(x)は 味 で,安
の
条 件 を 満 足 し て い る が,図
近 で 補 間 値 が 2点 を 結 ん だ 直 線 か ら 大 き く 良 い 補 間 関 数 と は 言 え な い.こ
定 な B-ス プ ラ イ ン 補 間 を 得 る に は,デ
が 必 要 で あ る.普
あ る.こ
の よ うな意
ー タ点 に 適 し た 節 点 を 選 ぶ こ と
通 の デ ー タ 点 の場 合 は 内 部 節 点 をSchoenberg-Whitneyの
条 件 に 適 す る よ うに 余 裕 を 持 っ て 選 べ ば よ い こ と が 知 ら れ て い る.一 デ ー タ点*の 場 合 に は,内
部 節 点 の 位 置 を 変 数 に して,特
方,特
殊 な
別 に 作 られ た 規 準 量 を
最 小 に す る も の を 最 適 節 点 の 位 置 に 選 ぶ と い う 方 法 な ど が あ る[55].こ の よ うに Schoenberg-Whitneyの は,デ
条 件 を利 用 し たk-1次
の B-ス プ ラ イ ン を 用 い た 補 間
ー タ点 に 適 した 節 点 を選 ぶ 必 要 が あ る が,(1)の
B-ス プ ラ イ ン を 用 い た
補 間 とは 異 な り端 点 条 件 が 必 要 な い とい う特 長 を 持 っ て い る.そ デ ー タ点 の 補 間,選
6・2
点 法 に よ る有 限 要 素 法,CADな
れ ゆ え,一
般 の
ど に 用 い ら れ る.
拡 張 ス プ ライ ン
ス プライ ン関数 の節 点 を 1個,ま たは それ 以 上 重 ね る とそ の点 で異 な った 連続 * 例 え ばAkima[33]の
単 調 に増 加 す るデ ー タ点 の よ うな もの.
性 を 持 つ 拡 張 ス プ ラ イ ン(extended 次 の ス プ ラ イ ン は,一
般 にk-2階
る こ と に よ り,連 続 性 をk-3階 た 場 合,関
spline)を
作 る こ と が で き る.例
微 分 ま で 連 続 で あ る が,節 以 下 に す る こ と が で き,し
数 そ の も の を 不 連 続 に す る こ と が で き る.そ
え ばk-1
点 を い くつ か 重 ね
か も 節 点 を k個 重 ね
のた め拡 張 ス プラ イ ンは
曲 線 や 曲 面 の 設 計 に 非 常 に 有 効 で あ る. い ま異 な る 2節 点 を 考 え よ う*1.こ
ξi,ξi+i(ξi<ξi+1)を
持 つk-1次
の ス プ ラ イ ンMk(x;ξi,ξi+1)
れ は,
(6・20) と な り,2
節点
ξiと
ξi+1を 重 ね る と 上 式 は,
(6・21) と な る*2.例 21)は
え ばk=2の
図6・5(b)の
ξi,ξi)は,0
場 合 に は,式(6・20)は
よ う な 不 連 続 関 数 と な る.こ
図6・5(a)の
よ う に な り,式(6・
の 図 に お い てx=ξiで
は,M2(x;
と 1 の 二 つ の 値 を と る の で,
(6・22)
(a)Ma(x;ξi,ξi+1)
(b) M2(x;ξi, ξi) 図6・5
*1
こ れ はk=1の
*2Mk′
の 「′」 は
と き 以 外 は, B-ス プ ラ イ ン で は な い .式(6・2)参 ξiに つ い て 微 分 す る こ と を 示 す ,
照.
と す る. ま た,3
と な る.上
節点
ξi,ξi,ξi+1(ξi<ξi+1)を
式 で,す
で 微 分 した 後,極
持 つk-1次
の 拡 張 ス プ ラ イ ン は,
べ て の 節 点 を 重 ね る と不 定 形 と な る の で,分
母,分
子 を ξi+1
限 を と れ ば,
を 得 る,図6・6は,上
式 のk=3∼5に
対 す る 3重 節 点 を 持 つ 拡 張 ス プ ラ イ ン を 示
す.
(a)Ma(x;ξi,ξi,ξi)
(b) M4(x;ξi,ξi,ξi)
(c) M5(x;ξi,ξi,ξi)
図6・6
同 様 の こ と を つ ぎ つ ぎ繰 り返 せ ば,n≦kの
一 般 の 場 合 に 対 し,
(6・24) を 得 る.ま
た,上
式 で ξi+1を
ξiに 一 致 さ せ た と き に は,
(6・25)
と な る.
次 に,式(6・24)に
お い てn-1=kと
き の B-ス プ ラ イ ン に つ い て 調 べ て み よ
う
①x≦
ξiな ら ばMk(x;ξi+1)はk-1次
辺 第 1項 のMk(x;ξi+1)はTaylor展 て,式(6・24)の
の 多 項 式 と な る か ら,式(6・24)の
右
開 に よ り第 2 項 以 下 と 等 し く な る.従
っ
k重 節 点 を 持 つ 拡 張 ス プ ラ イ ン は 0 と な る.
②
ξi+1≦xな
ら切 断 べ き 関 数 の 定 義 よ り,式(6・24)は
③
ξiくx<ξi+1な
ら式(6・24)の
0で あ る.
右 辺 第 1項 の み が 0で な い.以
上 の こ とか ら
結 局,
(6・26)
と な る.従
っ て,x=ξiで
連 続 関 数 と な る.一 n-1階
k重 節 点 を 持 つk-1次
般 に 式(6・25)の
の B-ス プ ラ イ ン は そ の 点 で 不
n重 節 点 を 持 つk-1次
の 導 関 数 ま で は 連 続 で あ る(図6・5∼
図6・7参
の ス プ ラ イ ン はk-
照).
以 上 の 議 論 を 簡 単 な 例 題 で 調 べ て み よ う.数
値 計 算 で は,一
ンMi
のde Boor-Coxの
,k(x)は,多
重 節 点 を 持 つ 場 合 で も6・1節
安 定 に 求 め ら れ る.し
か し,こ
般 に B-ス プ ラ イ 算法 に よ って
こでは 拡張 ス プライ ン この関連 を見 る た めに切 断
べ き関 数 表 示 を 用 い て,異 な っ た 4節 点 ξi,ξi+1,ξi+2,ξi+3(ξi<ξi+1<ξi+2<ξi+3)を 持 つ 正 規 化 さ れ た 2次 の B-ス プ ラ イ ン を考 え よ う.こ
の よ う な B-ス プ ラ イ ン
は,
(6・27) と表 現 され る.図6・7(c)は
こ れ を 節 点(0,1,2,3)に
対 して 示 した も の で あ る.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
図6・7
節 点(0,0,0,1,2,3,3,4)に ラ イ ン(★ は 節 点 の 位 置,そ
上 の 例 で 節 点 ξi+1を
対 す る 2次 の 正 規 化 され た
B-ス プ
の 個 数 は 多 重 度 を 示 す).
ξiに 重 ね る と,
(6・28)
と な り, 節 点(0,0,1,2)に 続 と な る. 同 様 に し て,2
対 し て 図6・7(b)に 点
ξi+1と
示 す よ う にx=0で
関 数値 のみ連
ξi+2を 重 ね る と,
(6・29) と な り,こ
れ は 節 点(2,3,3,4)に
連 続 と な る.さ
ら に,ξi+1と
対 し 図6・7(e)に
ξi+2と
を
示 す よ う にx=3で
関 数 のみ
ξiに 重 ね る と 3重 節 点 と な り,式(6・26)
よ り,
(6・30) を 得 る.こ
れ は 節 点(0,0,0,1)に 対 し図6・7(a)に
示 す よ うにx=0で
関数 が不
連 続 に な っ て い る こ と が わ か る. 結 局,正
規 化 され た B-ス プ ラ イ ン と して 多 重 節 点 を 持 つ も の まで 含 め れ ば 異
な っ た 連 続 性 を 持 つ 関 数 の 補 間 が 可 能 と な る.す
な わ ち,そ
の よ うな補 間 ス プラ
イ ン を, s(x)=ΣbiNik(x) と お け ば, 図6・8の
(6・31)
よ う な 異 な っ た 連 続 性 を 持 つ 曲 線 も 容 易 に 補 間 で き る .ち
み に,図6・7(a)∼(e)を,b1=2,b2=1,b3=1,b4=1,b5=2と
図6・8
異 な った 連続 性 を持 つ スプ ライ ン曲線
し て 加 え る と,図
な
6・8 の よ う に な る.
6・3
2次 元 の 補 間 ス プ ラ イ ン
2次 元 補 間 は よ く知 られ て い る よ うに,デ (xi, yj, fij),
が 図 6・9の
ー タ点 (6・32)
i=1,2…,m;j=1,2,…,n
よ うに 格 子 上 に 与 え ら れ て い る と き,
図6・9
f(xi,
2次 元 補 間 す る 矩 形 領 域
〔x1,xm〕 × 〔y1,yn〕
yj)=fij
と な る 関 数f(x,y)(a≦x1≦x≦xm≦b,
c≦y1≦y≦yn≦d)を
見 い だ す こ とで あ
る.2 次 元 デ ー タ の 補 間 に 用 い ら れ る ス プ ラ イ ン 関 数 は 双 ス プ ラ イ ン(Bi-spline) と 呼 ば れ る.双
ス プ ラ イ ン と し て はdeBoorの
ラ イ ン とSchoenberg-Whitneyの び 秦 野,二 宮 に よ る2k-1次
3次 の 双 ス プ ラ イ ン[46], B-ス プ
条 件 を 適 用 し たk-1次
の 双 ス プ ラ イ ン,お
の 双 ス プ ライ ン[48]な ど が あ る.こ こ で は(1)de Boor
に よ る 3次 の 双 ス プ ラ イ ン と(2)k-1次
B-ス プ ラ イ ン を 用 い た 双 ス プ ラ イ ン に つ
い て 述 べ る. (1)de de Boorに
Boorよ
る 3次 の 双 ス プ ラ イ ン
よ る 3 次 の 双 ス プ ラ イ ン は 節 点 と し て デ ー タ 点 の 座 標 を 用 い る.こ
れ は 3 次 の ス プ ラ イ ン で あ る の で,も ∂f/∂x,∂f/∂y,∂2f/∂x∂yは
よ
ち ろ ん,定
連 続 な 関 数 で あ る.
義 域[x1,
xm]×[y1,
ym]でf,
い ま. 式(6・32)の
デ ー タ点 と端 点 条 件
(6・33)
が 与 え ら れ て い る と す る. ま た は 端 点 条 件 を 式(6・33)の
代 わ りに,
(6・34)
と 与 え る こ と も で き る. 式(6・34)の
端 点 条 件 は 2次 元 の 3 次 自然 ス プ ラ イ ンに
相 当 す る も の で あ る. こ れ ら の デ ー タ と端 点 条 件 を 用 い て,こ Moriarty[47]が
こ で はChristeと
示 し た 算 法 に つ い て 述 べ よ う.
ス テ ッ プ 1 y=ykと (∂/∂x)f(xi, yk)(i=1,
固 定 し,デ m)(あ
ー タ 点(xi, fik),(i=1,2,…,
る い は ∂2f/∂x 2=0)を
用 い て,3
m)と
端 点 条件
次 ス プライ ンで補
間す る*. 得 ら れ た 3 次 ス プ ラ イ ン を 用 い て 点(xi, yk) で の 微 分 値(∂/∂x)f(xi, (i=1,2,…,m)を
求 め る.こ
れ をk=1,2,…,nに
つ い て 行 な う.
ス テ ッ プ 2 ス テ ッ プ 1 と 同 様 にx=xkと 2,…,n)と
端 点 条 件(∂/∂y)f(xk,
yj)(j=1,
固 定 し,デ n)(あ
ー タ 点(yj, fkj)(j=1,
る い は ∂2f/∂y2=0)を
次 ス プ ラ イ ン で 補 間 す る.得
ら れ た 3 次 ス プ ラ イ ン を 用 い て 点(xk,
値(∂/∂y)f(xk,yi)(j=1,2,…,
n)を
求 め る. こ れ をk=1,2,…,
ス テ ッ プ 3 4隅 の 端 点 条 件(∂2/∂x∂y)f(Xi,yi)(i=1,m;j=1, /∂x2∂y2=0)を
用 い,ス
f(xi, yj)(i=1,2,…, *6・1
節(1)2m-1次
テ ッ プ 1,ス m;j=1,
mに
用 い て, 3 yj)で
デ ー タ点
の B-ス プ ラ イ ン を 用 い た 補 間
,を
と し て,こ
参 照.
の 微分
つ い て 行 な う. n)(あ
テ ッ プ 2 で 得 ら れ た(∂/∂x)f(xi,
2,…, n)を
yk)
る い は ∂4 f yj),(∂/∂y)
れ を 3次 ス プラ イ
ン で 補 間 す る. 得 ら れ た 3 次 ス プ ラ イ ン を 用 い て 点(xi, yj)で f(xi,yj)(i=1,2,…,m;j=1,2,…, 2,…m;j=1,2,…,n)で
n)を
求 め る.以
上 の こ と か ら 点(xi, yj)(i=1,
のf,∂f/∂x,∂f/∂y,∂2f/∂x∂yが
ス テ ッ プ 4: 矩 形 領 域Rij=[xi,
の 微 分 値(∂2/∂x∂y)
決 定 さ れ た こ と に な る.
xi+1]×[yj, yj+1] 上 の 3 次 の 双 ス プ ラ イ ンs
(x,y) は,
(6・35)
と 書 け る. こ こ で 領 域Rijの
4 つ の 隅 で の 値s,∂s/∂x,∂s/∂y,∂2S/∂x∂yを
れ ス テ ッ プ 1 ∼ ス テ ッ プ 3 で 得 ら れ たf,∂f/∂x,∂f/∂y,∂2f/∂x∂yと αlrijは 決 定 さ れ る.す
な わ ち,hi=xi+1-xi,
kj=yj+1-yj,
そ れ ぞ
す れ ば,係
数
f(i, j)=fij, fx(i,j)=
(∂/∂x)f(xi, yj) 等 と お け ば, αlrijは 次 の16 連 立 方 程 式,
(6・36) を 満 足 す る. こ れ か ら αlrij=[α00, a01,…,α33] が 決 ま る.
以 上 (ス テ ッ プ 1∼ ス テ ッ プ 4)が 3次 の 双 ス プ ラ イ ン を 決 定 す る 算 法 で あ る.
例 え ば, 任 意 の 点(x,y)(x1≦x≦xm, yj≦y
あ るxi, yjを
y1≦y≦yn)
求 め,係
を 補 間 す る と き は, xi≦x<xi+1,
数aijlrを 用 い て 式(6・35)よ
を 決 定 す る こ と が で き る.ChristeとMoriartyは 粒 子 の 相 互 作 用(π-+p→
π0+n)に
り補 間 値s(x,y)
こ の 3次 の 双 ス プ ラ イ ン を 素
関 す る 微 分 断 面 積 の デ ー タ補 間 に 利 用 し て い
る.
(2) k-1次 い ま,2
の B-ス プ ラ イ ン を 用 い た 双 ス プ ラ イ ン
次 元 デ ー タ に 対 す る k階 す な わ ちk-1次
の 双 ス プライ ン を 次 の よ う
に 定 義 す る.
(6・37) こ こ で 式(6・32)のm×n個 向 にm-k個
の デ ー タ 点 を 補 間 す る こ と を 考 え よ う.ま
の 内 部 接 点 ξi(i=1,…,m-k),y
1,2,…, n-k)をSchoenberg-Whitneyの
方 向 にn-k個
ず x方
の 内部 節点
ζj(j=
条 件,
(6・38)
を 満 足 す る よ う に 選 び,さ
ら に x 方 向 に2k個
ξm-k+1=ξm-k+2=…=ξm=b,y ζn-k+2=…=ζn=dを
の 付 加 節 点,ξi-k=ξ2-k=…=ξ0=a,
方 向 に 同 じ く ζ1-k=ζ2-k=…ζ0=c,ηn-k+1= つ け 加 え る.式(6・32)の
デ ー タ 点 を 式(6・37)に
と 係 数 αi,jに 関 す る 連 立 一 次 方 程 式 が 成 り 立 つ.こ
代 入 す る
れ を 解 け ば 係 数 αi,jが 一 意
に 決 ま り, 式(6・37)か
らk-1次
の 双 ス プ ラ イ ン が 得 ら れ る.
例 と し て,図6・11の
よ う な 9 点(0,0,0),(1,0,1),(2,0,2),(0,1,1),(1,0,3),
(2,1,3),(0,2,2),(1,2,3),(2,2,4)を こ の 場 合,k=2,
a=c=0,
な る.Schoenberg-Whitneyの な る の で ξ=1,ζ1=1と て, 節 点
b=d=2,
1 次 の 双 ス プ ラ イ ン 関 数 で 補 間 し て み よ う. x1=yl=0,
x2=y2=1,
条 件 は, x1=0<ξ1<x3=2,
x3=y3=2,
m=n=3と
y1=0<ζ1
選 ぶ. さ ら に x,y 方 向 に そ れ ぞ れ,4 個 の 付 加 節 点 を 設 け
ξ-1=ξ0<ξ1=1<ξ2=ξ3=2,ζ-1=ζ0=0<ζ1=1<ζ2=ζ3=2を
考 え る.
図6・10
B-ス プ ラ イ ン. Ni-2,2(x)(i=1,2,3)
こ の 場 合, 補 間 に 使 用 され る 1次 の 双 ス プ ラ イ ン は,
(6・39) と な る.Ni-2,2(x)は,
節 点(0,0,1,2,2)を
で 次 の よ う に 計 算 で き る.
用 い てde Boor-Coxの
算 法 式(6・6)
ま た,Nj-2,2(y)
は,上
式 に お い て x を y,ξiを
図6・10はNi-2,2(x)(i=1,2,3)を
ζiに 代 え る だ け で よ い.
示 し た も の で あ る.デ
ー タ 点 を 式(6・37)に
代 入 す る と 次 の よ う な 連 立 一 次 方 程 式 を 得 る.
こ の 例 の 場 合, 上 式 の9×9の と な る の で,こ =3,α1
マ ト リ ッ ク ス の 対 角 要 素 は 1 で,他
の要 素 は 0
れ を 解 け ば,α-1,-1=0,α-1,0=1,α-1,1=2,α0,-1=1,α0,0=3,α0,1
,-1=2,α1,0=3,α1,1=4を
図6・11
得 る.こ
れ を 式(6・39)に
代 入 す れ ば,
2次 元 デー タ を補 間 した双 1次 ス プ ラ イ ン
を 得 る.こ
れ,は 図6・11の
よ う に な る.
こ の よ う に してk-1次
の B-ス プ ラ イ ン を 用 い た 双 ス プ ラ イ ン は 節 点 と し て
Schoenberg-Whitneyの
条 件 を必 要 とす る が,端 点 条 件 な しに 簡 単 に 曲 面 の補 間
が で き る.そ
れ ゆ え,有
限 要 素 法 やCADに
利 用 す る こ とが 可 能 で あ る.
6・4 微 分方 程 式 へ の応 用 ス プ ラ イ ン関 数 を 利 用 して 微 分 方 程 式 を 解 く こ と は,ま に 普 通 の 有 限 要 素 法(finite element method, FEM)で あ る.と
い う の は,普
えが きに も述 バ た よ う
それ を解 く こ とと等価 で
通 の有 限 要 素 法 は局 所 台 を持 つ 区分 的 多項 式 の線形 結 合 で
解 を 近 似 す る 方 法 で あ り,そ れ は ス プ ラ イ ン の 線 形 結 合 を 用 い た も の に 他 な ら な い か ら で あ る. 有 限 要 素 法 に は 近 似 解 を 求 め る 方 法 と して,変 分 原 理(variational 重 み つ き 残 差 法(method
of weighted residual, MWR)が
の 近 似 解 法 に つ い て 簡 単 に 述 べ よ う.変 Ritz法
が あ る,例 x=a
え ば,あ
principle),
あ る[42].い ま これ ら
分 原 理 に よ る 近 似 解 法 と し てRayleigh-
る一 次 元 の 2階 線 形 微 分 方 程 式 の 解 u が,境
界条 件
u(x)=ua} (6・40)
(6.40) x=b
の も と で.汎
u(x)=ub
関数
(6・41) を 最 小 に す る 関 数 u と等 価 で あ る とす る.す
な わ ち,こ
Rayleigh-Ritz法
満 足 す る い くつ か の 未 知 の パ ラ メ
ー タa1
,a2,…,anを
で は,境
界 条 件(6・40)を
持 っ た 関 数,
u=φ(x;a1,a2,…,an)
を 考 え,こ
れ は 変 分 原 理 で あ る.
れ を 式(6・41)に I(u)=I(a1,a2,…,an)
(6・42)
代 入 す る.そ
うす る と,
が 得 ら れ,I(u)を
最 小 に す る 最 適 な パ ラ メ ー タa1, a2,…,anは
連 立 方 程式
(6・43)
(i=1,2,…,n)
か ら一 意 に 決 定 され る.こ
れ か ら u の近 似 解 u
u=φ(x;a1,a2,…,an)
が 得 られ る.こ
(6・44)
の よ うに し てRayleigh-Ritz法
で は 微 分 方 程 式 と 等価 な 変 分原
理 が 存 在 す れ ば 近 似 解 を 得 る こ とが で き る.
次 に 重 み つ き残 差 法 につ い て述 べ よ う.例 えば,1 次 元 の 2階 線 形 微分 方 程式
Au=f,
a<x
(6・45)
に お い て境 界 条 件
u(a)=ua, を 満 た すu(x)を す る.そ
u(b)=ub
求 め た い,こ
こ で 関u(x)を
(6・46)
こ で A は 2階 線 形 微 分 演 算 子 で,f は x の 関 数 と
境 界 条 件,式(6・46)を
満 た す 線 形 独 立 関 数 φi(x)の
1次 結 合
(6・47) と す る.こ
こ でciは
定 数 で あ る,こ
の u は 式(6・45)に
対 して,厳
密解 で ないか
ら,
Au-f=ε な る 残 差(あ …,n)を
(6・48)
る い は 誤 差)ε(x)が
導 入 し,ε(x)とwi(x)の
得 ら れ る.こ
こ で,重
み 関
内 積(ε,wi)を
作 る.そ
し て こ れ を 0 と お く,
数wi(x)(i=1,2,
(6・49)
(ε,wi)=∫baε(x)wi(x)dx=0,(i=1,2,…,n)
こ れ は ε,す な わ ち 式(6・48)の る.n ら れ,こ
微 分 方 程 式 を 平 均 の 意 味 で 0に す る こ と で あ
個 の 内 積(ε,wi)(i=1,2,…,n)か れ か らciを
らciに
決 定 す る こ とが で き る.従
関 す る n元 連 立 1次 方 程 式 が 得 っ て,こ
れ を 式(6・47)に
代 入す
る こ と に よ り 式(6・45)の 関
数wi(x)の
squares
近 似 解u(x)が
得 られ る.こ
の 重 み つ き 残 差 法 は 重 み
い ろ い ろ な ぶ び 方 に よ り,①Galerkin法
method)③
tion method)と
モ ー メ ン ト法(method
呼 ば れ る. Galerkin法
ぶ 方 法 で あ る.す
②
最 小 二 乗 法(1east
of moments)④
はwi(x)を
選 点 法(colloca-
試 行 関 数 φi(x)と
等 し くぶ
な わ ち, (6・50)
(ε,φi)=0
最 小 二 乗 法 はwi(x)を す る 方 法 で あ る.す
εそ れ 自 身 に 選 び,す
べ て のciに
関 して 内積 を 最 小 に
な わ ち,
(6・51) モ ー メ ン ト法 はwi(x)と
して 1次 元 問 題 に 対 して は1, x, x2,…
独 立 な 関 数 を用 い る 方 法 で あ る.す
の よ うな線形
な わ ち, (6・52)
(ε,xi)=0
選 点 法 はwi(x)と
して 解 領 域 の 内 点xiを
用 い た デ ル タ 関 数,
wi(x)=δ(x-xi)
とす る 方 法 で あ る.す
な わ ち, (6・53)
(ε,δ(x-xi))=ε(x)|x=xi
これ らの 重 み つ き残 差 法 は 一 般 の 微 分 方 程 式 に 対 し て も 同 様 に 有 効 な 方 法 で あ る.そ の 上,Rayleigh-Ritz法
と は 異 な っ て,変
分 原理 が 存 在 しない 場 合 で も
有 効 な 近 似 解 法 で あ る.
Rayleigh-Ritz法,お
よび重 みつ き残差 法 を用 い る普 通 の 有 限要 素法 は,近 似
関 数 と して 解 領 域 を有 限個 の小 領 域 に分 割 して 構 成 され る ス プ ライ ン基底(区 分 的 多項 式)の 線 形 結 合 を用 い る方 法 で ある.例 えば 1次 元 の 有 限 要素 法 の場 合, 近 似 解 u はk-1次
の B-ス プ ライ ン の 線 形 結 合 に よ り,
と表 わ す こ とが で き る.ま は6・3節
で 述 べ たk-1次
た,2
次 元 の 矩 形 要 素 の 有 限 要 素 法 の 場 合,近
似解 u
の 双 ス プ ラ イ ン を用 い て,
と表 わ す こ と が で き る. 次 に,Rayleigh-Ritz法
と選 点 法 を用 い た 1次 元 の有 限 要 素 法 に つ い て の 簡 単
な 例 題 を 述 べ る. 例題
1 Rayleigh-Ritz法
に よ る有 限要 素 法
い ま,簡 単 な微 分 方 程 式
(6・54) を 境 界 条 件u(0)=0,u(1)=1でRayleigh-Ritz法
に よる有 限 要素 法 を用 い て解
い て み よ う.こ の 微 分 方 程 式 に 対 応 す る 汎 関 数 は,
(6・55) と な り,こ れ を 最 小 に す る よ うなu(x)を 価 で あ る.こ
こ で,近
求 め る こ と は 式(6・54)を
解 く こ と と等
似 解 を 1次 の 正 規 化 され た B-ス プ ラ イ ン(k=2)の
線形結
合
(6・56) と す る.次
に,考
1.0,1.0)を の 時,境
え る 領 域 に 節 点(ξ0,ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,ξ5,ξ6)=(0,0,0.3,0.5,0.7,
お く と し よ う,こ
こ で ξ0と
界 条 件 を 満 た す た め に は,1
a0=0,an-1=1で
ξ6は 付 加 節 点 で あ り,n=5で
次 の 正 規 化 さ れ た B-ス
な け れ ば な ら な い,式(6・56)を
あ る.こ
プ ライ ンの性 質 か ら
x で 微 分 す る と,
(6・57) を 得 る. た だ しa0 = 0, a4 = 1で
あ る.式(6・56),(6・57)を
式(6・55)へ
代 入 す る
と,汎
関数は
(6・58) と な る.こ
れ を 最 小 に す る た め に,ai-1で
微 分 して 0 と お け ば,
(6・59) を 得 る,と
こ ろ が 1次 の 正 規 化 され た B-ス プ ラ イ ン は 図6・12(a)の
形 関 数 で あ り,こ れ を x で 微 分 した も の は 図6・12(b)の
よ うな 屋 根
よ うな 階 段 関 数 と な る.
(a)屋根型 関数(1 次 のB-ス プラ イ ン)
(b)B-ス プ ラ イ ンNj-1,2(x)の 微 分 図6・12
そ れ ゆ え 式(6・59)の
右 辺 の 最 初 の 積 分 は 区 間(ξj-1.ξi+1)に 関 係 す る と こ ろ だ け
残 り,他 は 消 え る こ と が わ か る.こ
れ ら の こ と が ら式(6・59)は,
と な る . さ ら に 図6・12を
参 照 す る と,上
式 は
(6・60) と な る.こ れ は 未 知 量ajに
関 す る 連 立 一 次 方 程 式 で あ る.各
節 点 の 値 を 式(6・
60)に 代 入 す れ ば,
と な る,こ
れ
を 解
に 代 入 す れ ば,近
く とa1=0.195,a2=0.375,a3=0.595を
得
る.
これ を 式(6・56)
似解 u は
u=0.195N1,2(x)+0.375N2,2(x)+0.595N3,2(x)+N4,2(x)
(a)厳 密 解 とRayleigh-Ritz法
(b)B-スプ ライ ンに よる近似 解 の構成
に よ る解 図6・13
と な る.図6・13は,こ る.さ
の 関 係 を 示 し た も の で,破
線 は 厳 密 解u=(x2+x)/2で
あ
らに 精 度 を 上 げ た け れ ば 節 点 を 増 す か 正 規 化 さ れ た B-ス プ ラ イ ン の 次 数
を 増 せ ば よ い.た
だ し こ の 例 題 の 場 合k=3す
な わ ち,2
次 の B-ス ブ ラ ィ ン を ぶ
べ ば 厳 密 解 と一 致 す る こ と は 明 ら か で あ る.
例題 2 選 点 法 を 用 いた 有 限要 素 法
微分方程式 (6・61) と境 界 条 件
(6・62)
に対 し,選 点法 に よる 有 限要 素 法 を用 い て 近似 解 を求 め て み よ う.ま ず.3 次 の 正 規化 され た B-ス プ ライ ンを基 底 に して近 似解u(x)を,
(6・63) と す る.こ
こ で n は ぶ 点(collocation
た も の と す る.式(6・63)はn+4個 (6・14)の
よ うに 内 部 節 点
(i=-3,-2,-1,0お
point)xiの
の 節 点 が 必 要 で あ る.そ ξi(i=1,2,…,n-4)を
B-ス
個 の付 加 節点
こ でx1=0,
xn=1と
す る.ま
条 件 を 満 足 す る 必 要 が あ る.そ
の 選 点 を 簡 単 の た め に 等 間 隔 と し,図6・14の
よ う に と る.そ
規 化 さ れ た B-ス
Ni,4(x)>0,
(ξi<x<ξi+k)
Ni,4(x)=0,
(ξi≧=x,x≧
ξi
た,
プライ ンを 用 い た 補 間 の デ ー タ点 と考
え ら れ る か ら,Schoenberg-Whitneyの
境 界 条 件 に 代 入 し,正
加 え
多 重 節 点(ξ-3=ξ-2=ξ-1=
す る.こ
選 点 法 の 選 点xi(i=2,…,n-1)は
端 点)を
れ ゆ え こ こ で は 図
等 間 隔 と し,8
よ びi=n-3,n-2,n-1,n)を
ξ0=x1, xn=ξn-3=ξn-2=ξn-1=ξn)と
式(6・62)の
個 数 に 2点(両
ξi+k)
こ で,式(6・63)を
プ ラ イ ン の 性 質,
こで こ
図6・14
n=6の
と きの 節点
ξiと 選 点xi(i=2,3,…,5)
を 考 慮 す れ ば,
(6・64)
と な る.次
に,式(6・63)を
(x-xj)と
の 内 積 を作 り,か
微 分 方 程 式(6・61)に つxjが
代 入 して,こ
れ とデ ル タ関 数 δ
ξi≦xj≦ ξi+1を 満 た す とす れ ば,
bi-3N"i-3 ,4(xj)+bi-2N"i-2,4(xj)+bi-,N"i-1,4(xj)+biN"i,4(xj) +bi-3Ni-3,4(xj)+bi-2Ni-2,4(xj)+bi-1Ni-1,4(xj)+biNii,4(xj)+xj =0(j=2,3,…,n-1)
が 得 ら れ る.従
っ て,式(6・64)お
式 が 得 ら れ る.こ
こ でn=6と
の 算 法 お よ び B-ス
(6・65) よ び 式(6・65)か
らbiに
関 す る 連 立 一次 方 程
し,Ni,4(x),N′i,4(x),N"i,4(x)をde
プ ラ イ ン の 微 分 算 法(付
録-3)を
Boor-Cox
用 い て 計 算 す る と,連
立 方 程
式
が 成 り立 つ.こ す る と,近
似解
れ をGaussの
消 去 法 に よ りbiに つ い て 解 き,
式(6・63)に
代入
が 得 られ る.図6・15は
近 似 解u(x)と
図6・15
た も の で あ る.ま
た 表6・1は
こ の 問 題 の 厳 密 解u= sinx/cos1-xを
図示 し
厳 密 解 と選 点 法 に よる解
比 較 の た め にn=6,n=11の
場 合 の 内 点xiに
おけ
る u の 値 と 厳 密 解 を示 した も の で あ る. 表6・1
表 か ら 明 らか な よ うに,選 る.こ
点 法 の 内 点 の 数 を 増 す と精 度 が 良 く な る こ と が わ か
こ で は 3次 の B-ス プ ラ イ ン を 用 い た 場 合 で あ っ た が,よ
り高 次 の B-ス プ
ラ イ ン を 利 用 す る こ と に よ り さ ら に 精 度 の よい 近 似 解 が 得 られ る. 例 題1,2は
1次 元 線 形 常 微 分 方 程 式 の 問 題 へ の 有 限 要 素 法 の 応 用 で あ っ た.し
か しな が ら本 来 有 限 要 素 法 は 偏 微 分 方 程 式 に 対 す る 有 効 な 近 似 解 法 で あ る.こ
れ
ま で に 時 間 微 分 を 含 む 空 間 1次 元 偏 微 分 方 程 式 に 対 し,高 次 の B-ス プ ラ イ ン を 用 い た 有 限 要 素 法 が 発 表 さ れ て い る[43][44].ま た.空 有 限 要 素 法 を適 用 し た 例 は 数 多 く見 られ る.そ 式 で解 の 存 在 す る領 域 が 矩 形 で あ る場 合,双
間 2次 元,3
次元 の問題 へ
の 中 で も空 間 2 次 元 の 偏 微 分 方 程
ス プ ラ イ ン を 用 い た も の が 発 表 され
て い る[45].し か しな が ら領 域 が 矩 形 で な い 2次 元 問 題 や 一 般 の 3次 元 問 題 に 対 し て 明 確 に ス プ ラ イ ン の 名 を 用 い た 有 限 要 素 法 は 見 ら れ な い.こ
れ は 2次 元,3
次
元 に 対 して 一 次 元 の B-ス プ ラ イ ン の よ うな 局 所 台 を 持 つ ス プ ライ ン基 底 が 確 立 さ れ て い な い た め で あ ろ う.
6・5 CADと
CAD/CAMへ は,コ
の応 用
ン ピ ュ ー タ援 用 設 計(computer
aided design)の
ン ピ ュ ー タ と プ ロ ッ タ ー を 組 み 合 わ せ て 単 純 な 作 図 を し た り,技 の ぐ らい に 考 え られ て き た.し な 高 性 能 ミ ニ コ ン の 開 発,周 図 機,ソ
価
辺 機 器 と し て の グ ラ フ ィ ッ ク デ ィ ス プ レ イ や 自動 製
範 囲 の 応 用 が 可 能 と な っ て き た.そ
れ は,構
来 の機 能 に比 べ 格段 に広
造 物 の 強 度 解 析,自
動 製 図,立
体図
能 解 析 な ど設 計 者 が 長 時 間 か け て す る 仕 事 を 正 確 か つ 迅 速 に 仕 上 げ る
こ と は も ち ろ ん で あ る が,さ
ら に ラ イ トペ ン付 の グ ラ フ ィ ッ ク デ ィ ス プ レ イ を 用
い た 会 話 形 式 で 設 計 そ の も の を 手 軽 に 完 成 さ せ る こ とが で き る.そ は,上
来 コ
か し最 近 で は 大 容 量 の コ ン ピ ュ ー タ の 開 発,安
フ トウ ェ ア 等 の め ざ ま しい 発 展 な ど の た め,従
形 処 理,性
事 で,本
術計 算 を す る も
の ため 設計 者
で 述 べ た よ う な 煩 雑 な 単 純 作 業 か ら解 放 さ れ 本 来 の 創 造 的 な 仕 事 に 専 念 で
き る よ うに な っ た. さ らにCADは,コ
ン ピ ュ ー タ を 生 産 段 階 へ 適 用 さ せ たCAM,す
ピ ユ ー タ 援 用 生 産(computer
aided manufacturing)と
なわちコン
非 常 に 密接 な 関 係 を 持
っ て い る 。 図6・16は
航 空 機 産 業 に 使 用 され て い るCAD/CAMシ
ス テムの フロ
ー チ ャ ー トを 示 す .こ
の 例 を 見 る と設 計 か ら製 造 ま で の 全 プ ロ セ ス に 関 し て 生 産
に直 接結 び つい た部 品 形状 のデ ー タや それ らに関連 した生産 手 段 を コ ン ピ ュー タ で 処 理 す る も の で あ る こ と が わ か る. 一 般 に ,航 空 機,自
動 車,造
船 な ど の 産 業 で はCAD/CAMシ
ス テ ムは す でに
図6・16
航 空機 産 業 に お け るCAD/CAMの
例[36]
実 用 化 の 域 に 達 して い る が,こ 体,船
れ ら の 産 業 で は 特 に 曲 線,曲
体 の外 形 に 関 す る 情 報 が 重 要 と な っ て く る.そ
の 情 報 を 数 式 化 す る こ とに よ っ て,コ れ て き た.と
項 式 や 簡単 な関 数 を用 い て 曲線 や 曲面 の
の よ うな 関 数 を用 い て 全 体 を 描 い た 場 合,補
,曲 面 に 不 必 要 な ゆ る み や し わ,つ
な ぎ め で の 微 分 の 不 連 続,振
が あ る.従
って,こ
し か し,ス
プ ラ イ ン 補 間 を 行 な え ば,低
間 すべ き曲 線 動等 が生 じる こ と
の 方 法 は 簡 単 で は あ る が あ ま り よ い 方 法 と は い え な か っ た.
る こ と は 先 に 述 べ た と お りで あ る.こ B-ス プ ラ イ ン を 用 い て(1)平 (3)曲
の た め これ らの 曲 線 や 曲 面
ン ピ ュ ー タ処 理 を 容 易 に す る こ と が 考 え ら
こ ろ が 従 来 の 方 法 で は,多
表 示 を 行 な うが,そ
面 か ら な る 機 体,車
い 次 数 の 区 分 多 項 式 で よい 補 間 が な され の よ うな 観 点 か ら本 節 で は,正
面 曲 線 の 補 間,(2)Bezier曲
規化 され た
線 と B-ス プ ラ イ ン,
面 の 表 現 に つ い て 述 べ る.
(1) 平 面 曲 線 の補 間 図6・17の
平 面 曲線 は,い ず れ も 前 節 ま で の 議 論 だ け で は 補 間 で き な い 曲 線 の 例
で あ る.
(a)開曲線 の 例
(b)滑らか な 閉曲 線の 例 図6・17
しか し,こ
の よ う な平 面 曲 線 も,次
の よ うにす れ ば前 節 まで に学 ん だ ス プライ
ン 補 間 を 利 用 す る こ と が で き る. ま ず,1
価 関 数 で 与 え られ る 助 変 数 θが 平 面 曲 線 上 の 点 の 座 標(x,y)に
よっ て
θ = f(x , y)
と表 わ され る と す る.い
(6・66) ま, 補 間 す べ き 図 形 上 の 順 序 ず け られ た 座 標(xj , yj)が
与 え られ て い れ ば, 対 応 す る 助 変 数 θjは, θj=f(xj , yj)
で 与 え られ る.こ
j= 0, 1 ,… , n
の よ うに して 導 入 し た 新 た な 点 列 θjに 対 して, 新 しい デ ー タ 点
(θj,xj)と(θj, yj)を 作 る こ とが で き る. x,yは θ に 対 す る 1価 関 数 で あ る か ら, x = x(θ)
y = y(θ)
と も 書 け る . こ れ を 正 規 化 さ れ たk - 1次 の B-ス プ ラ イ ンNi,k(θ)の
線形 結 合 を
用 い て,
(6・67)
と す る.た れ ば,上
だ し αi,βiは定 数 で あ る.こ
れ に デ ー タ 点(θj,xj),(θj, yj)を 代 入 す
式 は そ れ ぞ れ αi,βiに関 す る 連 立 一 次 方 程 式 と な る の で,こ
αi,βiを求 め れ ば 平 面 曲 線 の 補 間 が 可 能 と な る.次
れ を解 い て
に 簡 単 な 例 題 で,開 曲 線 と滑 ら
か な 閉 曲 線 に つ い て 考 え て み よ う.
例題 1 開
曲
図6・17(a)の
線
よ う な デ ー タ 点(1,0),
る 開 曲 線 の 補 間 をSchoenberg-Whitneyの で 求 め て み よ う.ま
θ=2/
と 選 べ ば,デ
(0,1),
(-1,0),
(0,-1),
通
条 件 を 用 い 2 次 の ス プ ラ イ ン(k=3)
ず, 助 変 数 θ を,
(6・68)
πtan-1(y/x)
ー タ 点 に 対 応 す る θ は, 0, 1, 2, 3, 4と
な る.Schoenberg-Whitney
の 条 件 よ り 節 点 を(ξ-2,ξ-1ξ0,ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,ξ5) = ( 0, 0, 0, 2, 3, 4, 4, 4 )と (6・6)のde
(2,0)を
Boor-Coxの
算 法 でNi,2(θ)を
求 め る と,
選 び,式
(6・69)
を 得 る.た
だ し, 多 重 節 点 で は 微 少 量 ε を 用 い て,ξi+1 = ξi+ε(i= -2, -1, 3, 4)
と お き,ε →0と
し て 式(6・6)を
利 用 す る.各
デ ー タ 点 に 対 す るNi,2(θi)は,
ξi≦ θ< ξi+1
Ni,1(θ) = {10 を 用 い る と,式(6・69)
θ< ξi,
θ≧ ξi+1
よ り次 の 表 の よ う に な る. 表6・2
同 様 に し てNi,3(θ)を
求 め る と,
(6・70)
を 得 る.各 6・3の
デ ー タ 点 に 対 す るNi, 3(θi)は,式(6・70)と
表6・2を
用 い る と, 表
よ う に な る. 表6・3
表6・3で
得 られ た 値 と デ ー タ点 の x 座 標 を 式(6・67)に
代 入 す れ ば,連
方 程式
を 得 る.こ
れ を 解 く と, [α-2, α-1, α0, α1, α2] = [1, 0, -3/2,
と な る.同
様 に して y座 標 を 用 い る と,
を 得 る.こ
れ を解 くと [β-2, β-1, β0. β1, β2]=[0,
と な る.αi,βiを 式(6・67)に
3/2, 2]
2, -1, -1, 0]
代 入 す れ ば,求
め る 開 曲 線 の 補 間 式 は,
立一次
と な り, 式(6・69),
式(6・70)を
用 い る と 図6・17(a)の
よ うな 補 間 曲 線 を 得 る 。
例題 2 滑 らか な 閉 曲線 例 題 1 で 用 い たk - 1次 の 非 周 期 ス プ ラ イ ン を 用 い て 閉 曲 線 デ ー タ を 補 間 す る と, 一 般 に 始 点 と 終 点 の 微 分 値 が 一 致 し な い の で, そ の 点 で 尖 点 が 生 じ る.そ で, 滑 ら か な 閉 曲 線 を 求 め る に は, 6・1節
の(2)で
こ
述 べ た2m - 1次 の 周 期 ス プ
ラ イ ン を 利 用 す れ ば よい. い ま, 図6・17(b)の
(2,0),
よ う に 5個(n=5)の
(0,2),
(-2,0),
閉 曲線 デ ー タ
(0,-2),
(6・71)
(2,0)
を用 い て, 3次 の 周 期 ス プ ラ イ ン に よ る 閉 曲 線 を 求 め て み よ う.ま
ず, 助 変 数 を,
(6・72)
θ=1/πtan-1y / x
と す る.節
点
ξiは, m=2,
よ び 式(6・12)か 3, 3.5 )と
な る.ま
n=5に
対 し て, ξi=θi=1/πtan-1yi/xi,(i=1,
ら, (ξ-2, ξ-1, …, ξ8)=( た, 式(6・15)か
-1.5,
ら 周 期
-1,
2 を 持 つ
-0.5,
0, 0.5,
3 次 の 周 期
…, n)お
1, 1.5, 2, 2.5,
ス プ ラ イ
ンx(θ),
y(θ)は,
(6・73)
と書 け る.デ ー タ点(6・71)に
対 す る 助 変 数 θiを 考 慮 し て,始
め の 4点 を 式(6・73)
に 代 入 し,正 規 化 され た B-ス プ ラ イ ン の 値 を 計 算 す る と,そ 次 方 程 式 が 得 られ る.す
な わ ち,
れ ぞ れ 4元 連 立 一
が 得 ら れ, こ れ を 解 く と [α-1, α0, α1, α2] = [3, 0, -3, 0],
と な る.こ 17(b)と
GADで
れ ら の αi,βiを 式(6・73)に な り,滑
[β-1, β0, β1, β2] = [0, 3, 0, -3]
代 入 し,(x(θ),y(θ))で
曲 線 を 描 く と 図6・
ら か な 閉 曲 線 が 得 ら れ て い る こ と が わ か る.
必 要 と な る 曲 線 は 例 題 1, 2で 述 べ た ス プ ラ イ ン を 用 い た 補 間 に よ っ て
も 容 易 に 得 られ る が, 以 下 で 述 べ る よ うな 多 角 形 を 利 用 したBezier曲 プ ラ イ ン 曲 線 に よ っ て も 得 られ る.こ 質 を持 っ て い る の で 有 効 で あ る.次 (2)
CADに
Bezier曲
線 と B-ス
B-ス
に これ ら の 曲 線 に つ い て 述 べ る.
プラ イ ン
よ く 利 用 され る も の と して, Bezierが
曲 線P(θ)=[x(θ),y(θ)]T(右
線
れ らの曲線 は設計 者 に とって取 扱 い易 い性
提 案 した 曲 線[41]が あ る.こ
肩 の T は 転 置 を示 す)は
の
順 序 づ け られ た頂 点 の位
置 ベ ク トル, Pi=[xi , yi]T
とBernstein多
(i=0,
項 式 を 用 い れ ば,こ
(6・74)
1, 2, …, l)
れ ら の 積 の 線 形 結 合,
(6・75) で 表 わ され る.こ
こで (0≦ θ≦1)
で あ る.こ
れ は 多 角 形 の 頂 点 の 位 置 に 応 じた 形 状 を 示 す 曲 線 で あ る, しか し な が
ら, こ の 曲 線 は,
① 頂 点 の 数l+1を
決 め る とBernstein多
項 式 の 次 数 がl次
② 頂 点 を 局 所 的 に 移 動 し た 場 合, Bernstein多
に 決 ま る.
項 式 の 大 域 的 性 質 に よ り全 体
の 形 状 が 影 響 を 受 け る. な ど の 欠 点 が あ る. そ こ で,こ れ た B-ス
の よ う な 欠 点 を 補 う た め に, Bernstein多
プ ラ イ ンNi, k(θ)を
式 は,B-ス
用 い る 方 法 が 知 ら れ,て い る[57][59].Bernstein多
プ ラ イ ン の 特 別 な も の で あ る.こ
さ れ たk - 1次
の B-ス
項 式 の 代 わ りに 正 規 化 さ 項
こ で は, 式(6・74)のPiと,
正 規 化
プ ラ イ ン を 用 い て,
(6・76) で 表 わ され る 平 面 曲 線 につ い て 調 べ よ う.こ
こ で, 助 変 数 θ は,式(6・68)の
よ
うに 具 体 的 に 決 め る 必 要 は な く, た だ 0か ら θmaxま で 変 わ る も の とす る.多
重頂
点 が な い と き, θmaxは, θmax=頂
点 数 - ス プ ラ ィ ン の 次 数=l - k + 2
(6・77)
の よ うに 選 べ ば, 内 部 節 点 を0, 1, 2, …, θmaxと な る 整 数 列 に 選 ぶ こ とが で き る の で 便 利 で あ る.ま
た, 付 加 節 点 は, 両 端 に 次 数 分 だ け 付 け 加 え る.k = 2と
ば,式(6・76)は
1次 の ス プ ラ イ ン と な り 頂 点 を 直 線 で 結 ん だ 多 角 形 と な る,
k = 3以 上 に す れ ば,そ 6・18(a)).こ
すれ
の 頂 点 の近 くを 通 る 2次 以 上 の ス プ ライ ン 曲 線 と な る(図
の 興 味 あ る 性 質 の た め, 求 め よ う とす る 形 状 に 対 し, 適 当 な 頂 点
と次 数 を指 定 す れ ば 対 応 す る 曲 線 が 容 易 に 得 られ る.そ 式 を 用 い たBezier曲
の うえ, Bernstein多
項
線 と 異 な り, 頂 点 の 移 動, 付 加, 削 除, 次 数 の 変 更 お よ び
頂 点 の 多 重 化 を した い と き, 全 体 に あ ま り大 き な 影 響 を 与 え ず に, 局 所 的 な 変 更 だ け で そ れ が 可 能 と な る の で 非 常 に 便 利 で あ る.そ
の た め, 式(6・76)の
B-ス プ
ラ イ ン は, コ ン ビ ュー タ に よ る 外 形 設 計 や ス ケ ッ チ に よ く 利 用 さ れ, CADと 接 に 関 係 す る.な たBezier曲
お , 頂 点 数 が 階 数 kに 等 しい 時,B-ス
線 と 一 致 す る.
密
プ ライ ン曲線 は先 に述 べ
こ こ で はP0(0,
0)P1(1,
0), P2(1, 1), P3(0, 1)P4(0, 0)の
5 頂 点*を
通 る閉 曲 線
(6・78)
の 性 質 を 調 べ て み よ う.も 考 え て み る.こ
っ と も 簡 単 な 例 と し て 1 次(k = 2)の
の と き 式(6・77)
よ り θmax = 4と
な る.付
点 は(ξ-1, ξ0, ξ1, ξ2, ξ3, ξ4, ξ5) = ( 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4 )と す る に は 式(6・6)のde
Boor - Coxの
B-ス
プ ライ ンを
加 節 点 を 多 重 に す れ ば, 節
決 ま る.こ
こ でNi,2(θ)を
計算
算 法 を 用 い れ ば よ い が, こ こ で は あ と の 説
明 に 便 利 で あ る か ら 切 断 べ き 関 数 を 用 い て み る.式(6・20),
(6・21)を
利 用 すれ ば
(6・79) を得 る.同
様 に して
が 得 ら れ る.こ
れ ら を 式(6・78)に
代 入 す れ ば,
(6・80)
と な る.こ
れ をx - y平 面 で 描 け ば, 図6・18(a)の
実 線 の よ う に 1辺 が 1 の 正
方 形 と な る. (a) 頂 点 の 移 動 式(6・79)は,
ま た 図6・18(a)の
そ の ま ま で, 式(6・78)の
頂 点(1, 0)を, 頂 点(2, 0)に 移 せ ば, 頂 点 ベ ク トル[1, 0]Tを[2,0]Tに
変 え
る だ け で 次 式 を 得 る. * 閉 じた多 角形 の頂 点 は ,始 点 と終 点 を 重 ね た もので あ り, みか け よ り頂 点 数 が 1つ 増 す も の とす る.
(b) 頂点 の移 動
(a) B-ス プ ラ イ ン 曲 線
(d) 頂 点 の付 加
(c) 頂点 の 削 除
図6・18
(6・81) これ は, 式(6・80)の 線 は 式(6・81)を
一 部 分 を 修 正 し た だ け で あ る . ち な み に, 図6・18(b)の
用 い て 描 い た も の で あ る.
(b) 頂 点 の 削 除 図6・18(a)の 場 合 は, 式(6・78)の い れ ば よ い.こ
実
正 方 形 に お い て, 頂 点(0, 1)を
頂 点 ベ ク トル の[0, 1]Tを2[0, 0]Tに
の と き式(6・80)の
削除 す る
した 後,式(6・79)を
用
x は 変 化 せ ず y は,
y = (3 - θ) + -2( 2 - θ) + +( 1 - θ) +
(6・82)
(0≦ θ≦3)
と なる .
こ れ は, 式(6・80)と 図6・18(c)を (c)
一 部 異 な っ て い る だ け で あ る.式(6・82)か
ら直 角 三 角 形
描 く こ とが で き る.
頂 点 の 付 加 図6・18(a)の
の 間 に 頂 点(-1/2,
1/2)を
正 方 形 に お い て, 頂 点(0, 1)と
付 け 加 え る 揚 合 は,式(6・79)
5) = (5 - θ) +- 2 (4 - θ) ++ (3 - θ) + を 追 加 し,式(6・78)
にN3 のN3
頂 点(0, 0)
, 2(θ)=2M2( , 2(θ)の
0 ; 3 .4,
頂 点 ベ ク ト
ル[0, 0]Tを[
-1/2.1/2]
Tに
変 え れ ば よ い.結
果 は, 0≦ θ≦5に
対 し,
(6・83)
と な る.上
式 よ り 図6・18(d)を
得 る.こ
の よ うに 頂 点 の 付 加 も, 全 体 に 大 き な
負 担 を か け る こ と な しに 容 易 に 行 な え る こ とが わ か る. ま た 高 次 の B-ス プ ラ イ ン 曲 線 に つ い て も 同 様 に 描 く こ とが で き る.図6・18お よ び 図6・19の
曲 線 は 2次 あ る い は 3次 の ス プ ラ イ ン 曲 線 を描 い た も の で あ る.
一 般 に 高 次 の B-ス プ ラ イ ン 曲 線 は 次 の性 質 を 持 つ . ① 端 点 で 辺 に 接 す る(図6・18,
図6・19).
② 2次 の B-ス プ ラ イ ン 曲 線 は 辺 の 中 点 で 接 す る(図6・18,
図6・19).
③ 曲 線 は 高 次 に な る ほ ど, し だ い に 多 角 形 か ら離 れ る(図6・19(a)). ④ あ る 頂 点 の 多 重 度*を 増 す と, 曲 線 は そ の 頂 点 に ひ き よせ ら れ る(図6・16 (b)). こ れ ら の 性 質 を う ま く利 用 す る と, 求 め よ う と す る 図 形 を 効 率 よ く容 易 に 描 く
(a)
(b) 頂 点 の多 重 化 図6・19
* 式(6・76)で
同 じ頂 点 ベ ク トル を 2回 以 上 用 い る こ とを い う.
こ と が で き る.
(3) 曲 面 の表 現 自動 車, 航 空 機, 造 船 等 の 産 業 で は, CAD / CAM 面 に 関 す る 表 現 が 非 常 に 重 要 とな っ て く る.こ 関 数 と の 関 連 か ら調 べ て み る.6・3節 述 べ た の で,こ
シ ス テ ム に 関 連 し, 3次 元 曲
こ で は, 3次 元 曲 面 を ス プ ラ イ ン
で は す で に, 2次 元 デ ー タ の 補 間 に 関 し て
こ で は 重 複 を さ け, (a)助 変 数 を用 い た 曲 面 の 補 間, (b) Bezier
曲 面 と B-ス プ ラ イ ン を 用 い た 曲 面 に つ い て 述 べ る.
(a) 助 変数 を用 い た 曲面 の補 間 助変 数 を用 い た 3次元 曲面 の補 間 は, 6・ 3節 で述 べ た 2次元 デ ー タの補 間 と異 な り x,y平 面 の点 に 対 応 す る曲 面 z(x,y) が 1価 関 数 で あ る必要 は ない.し か も考 え る領 域 を矩 形 に 限 る こ とも ない の で非 常 に 有 効 で あ る. い ま, 3次 元 曲 面 は, 一 般 に 助 変 数 θ, tを 用 い る と,
(6・84)
また は
の よ う に 表 現 で き る.こ
こ で x, y, z を 助 変 数 θ とtに
関 す る 双-B
ス プラ イ ソを
用 し、
(6・85)
と 表 わ す.こ j, zi, j)と
の 式 を 用 い て, 曲 面 の 補 間 を す る た め に は, ま ず デ ー タ 点(xi, j, yi,
式(6・84)を
用 い て, 新 た な 3 組 の デ ー タ 列(θi, tj, yi, j), (θi, tj, yi, j),
(θi, tj, zij), i = 1, 2, …, n, j=1, 2, …, mを い ず れ か を 用 い て 節 点 を 決 め, θ, tに Ni, R(θ)とNj, βi, j, γi, jに
l(t)を
構 成 す る.続
作 る.次
に6・1節
関 す るk - 1次
の(1),
とl - 1次
い て, デ ー タ 点 を 式(6・85)に
(2), (3)の
の B-ス
プ ライ ン
代 入 す れ ば, αi, j,
関 す る 3 組 の 連 立 1次 方 程 式 が 得 ら れ る .こ れ を 解 い て αi, j, βi, j, γi, jを
式(6・85)に
代 入 すれ ば曲 面 の補 間 が 可能 となる 。
こ こ で は,6・1節 し て み よ う.補
の(1)を 間点
用 い た 最 も 簡 単 な 例 と し て, 図 6・20の
A,B,C,D,E,F
(1,2,0),(1,1,1),(1,0,2)と
し,点
は,そ
曲面 補 間 を
れ ぞ れ(0,1,0),(0,1/2,1/2),(0,0,1),
A,C,D,F
の 微 係 数 は,い
ずれ も
(6・86) (dz/dy)A,C,D,F=0, (dx/dy)A,C,D,F=0
図6・20
で あ る と す る.ま
ず,
t=x
θ=4/πtan-1z/y,
と す る と,デ
ー タ 点 に 対 応 す る θi,tjは
こ の よ う な 曲 面 補 間 を,6・1節 t方 向 に 1次(l=2)の 一 致 させ
助 変 数 を用 い た 曲面 の補 間
の(1)の
(6・87) 表6・4の
よ うに な る.
方 法 を 利 用 し て,θ 方 向 に 3次(k=4),
B-ス プ ラ イ ン を 用 い る こ と に し よ う.デ
ー タ点 と 節 点 を
,必 要 な 付 加 節 点 を 加 え る と,θ 方 向 に対 し,(0,0,0,0,1,2,2,2,2),t
方 向 に(0,0,1,1,)の 節 点 を 決 め る こ とが で き る.θ 方 向 の 節 点 か ら,
表6・4
i=0,1,2
j=0,1
(6・88)
(0≦ θ≦2) を 得 る.同
様 に t方 向 の 節 点 よ り, N-1,2(t)=1-t
N0,2(t)=t
を 得 る.表6・5,表6・6は,θiに
(0≦t≦1)
(6・89)
対 す るNi,4(θi) N-1,2(tj)とN′i,4(θi)N-1,2(tj)
を 示 す も の で あ る. い ま A,C,D,F
点 でdz/dθ=0,
dy/dθ=-3,
dx/dθ=0と
す れ ば 式(6・86)の
表6・5
(以 下 同様)
端
表6・6
点 条 件 を 満 足 す る こ とが わ か る.上 立 1次 方 程 式 が 成 り立 ち,こ
記 の こ と を 考 慮 す れ ば.次
の よ う な 3組 の 連
れ を 解 け ば αi,j,βi,j,γi,jを 求 め る こ とが で きる.
αi,jは
を 満 た し,こ
れ より
〔α-3, -1, α-2, -1, α-1, 1, α0, -1, α1, -1, α-3, 0, α-2, 0, α-1, 0, α0, 0,α1, 0〕
=〔 0,0,0,0,0,1,1,1,1,1
と な る.同
様 に,βi,jに
対 して は
上 と同 じ10×10の
行列
〕
で あ る か ら,こ
れ を解 く と,
〔β-3,-1,β-2,-2,β-1
, -1, β0, -1 ,β1 , -1, β-3, 0,β-2
, 0, β-1 , 0,β0, 0,β1, 0〕
=〔 1 ,0,1/2,1,0,2,1,1,1,0
を 得 る.ま
〕
た,γ,jは
よ り 〔γ-3,-1,γ-2
, -1,γ-1
, -1,γ0,-1,γ1,-1,γ-3,0,γ-2
, 0, γ-1 , 0,γ0 ,0 , γ1 ,0〕
=〔 0,0,1/2,1,1,0,0,1,2,2
〕
を 得 る. こ う し て αi,j,βi,j,γi,jが 得 ら れ た か ら,こ (6・85)に
代 入 す る と(1-θ)+3の
これ は 図6・20の は,連
の 値 と,式(6・88),式(6・89)を
項 が 消 え て 次 の よ う に な る.
よ う な 曲 面 を 補 間 す る.し
か し な が ら,こ の よ う な 曲 面 の 補 間
立 一 次 方 程 式 を 3組 も 解 か な け れ ば な らず,は
か も,デ
ー タ点 を 一 部 変 更 し た と す る と,そ
要 と な る.こ
式
れ ら の 点 を 解 消 す る た め に,連
な は だ め ん ど うで あ る.し
の影 響 が全 体 に及 ぶ の で再 計算 が必 立 一 次 方 程 式 を 解 か ず に,し
かも
CADに
有 効 な 方 法 が あ る.次
(b)Bezier曲 Bezier曲
に こ の よ うな 方 法 に つ い て 論 じる.
面 と B-ス プ ラ イ ン を 用 い た 曲 面
線 の 拡 張 と し てBezier曲
面 が 考 え ら れ る.式(6・74)に
次 元 に お け る 多 面 体 の 頂 点 の 位 置 ベ ク トル をPij=[xij, n, j=0, 1, 2, …, m)と
す れ ば, Bezier曲
対応 す る 3
yij, zij]T, (i=0, 1, 2, …,
面P(θ, t)=[x(θ,
t), y(θ, t), z(θ, t)]T
は,
(6・90) と な る. こ こ に,
い ま,n=m=2,と
す る と 2 次 のBezier曲
と 表 わ さ れ る.例 [1, 2, 0]T, P11=[1, [2, 0, 0]Tを
面 は,
と し て, P00=[ 0, 2, 0]T, P10=[0, 1, 2]T, P21=[1,
0, 0]T, P02=[2,
1, 0]T, p20=[0,
0, 0]T, P01=
2, 0]T, P12=[2,
1, 0]T, P22=
頂 点 ベ ク トル と す る ピ ラ ミ ッ ド形 が 作 る 2 次 のBezier曲
面 は,
x=2t, y=2(1-θ)
(0≦ θ≦1)
z=8θ(1-θ)t(1-t)
(0≦t≦1)
と な る.こ z=0.5と
れ は,x=0,x=2,y=0,y=2の な る 曲 面 で,図6・21で
Bezier曲 た よ うに,多
面 は,こ
4 辺 でz=0か
つ,x=1,y=1で
薄 く 墨 い れ し た よ う な 曲 面 を 形 成 す る.
の よ う に 非 常 に わ か りや す い が, Bezier曲
線 の 項で も述 べ
面 体 の 頂 点 を 1つ で も 動 か す と全 体 に そ の 影 響 が 及 び,ま
頂 点 数 を 自 由 に 選 べ な い とい う難 点 が あ る.こ
の よ うな 難 点 は,B-ス
た次数 と プ ライ ン曲
図6・21
面 を 用 い れ ば 解 決 され る.い
ま,こ
Bezier曲
面
の よ うな B-ス プ ラ イ ン 曲 面 を,
(6・91) と す る.こ
こ でt方
向 に 用 い た ス プ ラ イ ン の 次 数 はl-1次,θ
あ る.
図6・22
B-ス プ ラ イ ン曲 面 の例
方 向 はk-1次
で
こ の B-ス
プ ラ イ ン 曲 面 の 例 と し て,図6・22の
は 多 面 体 の 頂 点 ベ ク トル をP00 = [0, 1,0]T,
P30=[0,
よ う な,曲
れ
P10 =[0, 1, 1/2]T, P20= [0,1/2,1]T,
0, 1]T, P01 = [1, 2, 0]T, P11 =[1, 2, 1]T,P21
し た と き,θ 方 向 に 2 次(k=3),
面 を 考 え よ う,そ
= [1, 1, 2]T, P31 = [1, 0, 2]Tと
t方 向 に 1 次(l=2)の
B-ス
プライ ン を用 い て描
く こ と が で き る.
θ方 向 の 頂 点 数 が 4個 で,t
方 向 の 頂 点 数が 2個 あ り,し
に 対 して 2次 と 1次 の ス プ ラ イ ン を 用 い る か ら,0≦
か もそれ ぞれ の方 向
θ≦2,0≦t≦1で,節
方 向 に,(0,0,0,1,2,2,2),t方 向 に,(0,0,1,1)と 選 べ る.こ
点 は θ
れ ら の 節 点 よ り,
N-2,3(θ)=(1-θ)+2
N-1,3(θ)=1/2(2-θ)2-2(1-θ)+2
N0,3(θ)=2(2-θ)一3/2(2-θ)2+2(1-θ)+2
N1,3(θ)=(1-θ)2-(1-θ)+2
(0≦ θ≦2)
N-1,2(t)=1-t N0,2(t)=t を 得 る.こ
(0≦t≦1)
れ ら の 式 と頂 点 ベ ク トル を式(6・91)に
代 入 し て 整 理 す る と,
x=t, y=(1+t)(2-θ)(2+θ)/4 z=(1+t)θ(4-θ)/4
を 得 る.こ れ よ り図6・22の
曲 面 が 得 られ る.同
じ問 題 をBezier曲
面 で行 な うと
θ 方 向 に は 必 ず 3次 の 多 項 式,t 方 向 に は 1次 の 多 項 式 を 用 い な け れ ば な ら な い. しか し,B-ス
プ ラ イ ン に よ る 曲 面 は,θ,t 方 向 に 対 し 自 由 な 次 数 を 選 ぶ こ と が で
き る利 点 が あ る.
6・6 医用 工学 へ の応 用 ス プ ラ イ ン関 数 は 医 学 の 分 野 で も応 用 さ れ て い る.例 の 際 に は,そ
の 弧 形 表 現 が 必 要 と な る が,そ
え ば,歯
並 び の矯 正 手術
れ を ス プ ラ イ ン で 表 わ そ う と い うの
も そ の 一 つ で あ る.こ
の 分 野 で は,こ
れ ま で 歯 の 弧 形 を 放 物 線 や 楕 円 あ る いx懸
垂 線 の よ うに 対 称 性 を 持 つ 曲 線 で 表 わ そ う と試 み ら れ て い た.し
か し最 近 必 ず し
も 歯 並 び の 弧 形 は 左 右 対 称 で は な い とい う こ とが 明 ら か に な った た め,対 必 要 と し な い ス プ ラ イ ン が,こ な っ て きた.こ
称性を
の 弧 形 表 現 に 有 効 な 曲 線 と して 注 目 さ れ る よ うに
こでは 実際 の歯並 びの 弧形 表 現 に ス プ
ラ イ ン を 利 用 し た 例[50]に つ い て 述 べ よ う. と こ ろ で,ス 2m-1次
プ ラ イ ン補 間 に つ い て は こ れ ま で 主 に
の 自然 ス プ ラ イ ンやk-1次
に つ い て 述 べ て き た が,こ Walsh[49]が を 用 い る.こ
の B-ス プ ラ イ ン
こ で はAhlberg,
Nilson.
示 した 3次 の 自然 ス プ ラ イ ン に よ る 補 間 れ は5・6節
で 簡 単 に ふ れ た 3次 の ス プ ラ
イ ン を うま く利 用 し た も の で あ る.そ
こで 歯 の孤 形 に 図6・23
対 す る ス プ ラ イ ン 曲 線 を得 る た め に 次 の よ うに す る. ま ず,歯
並 び の 実 物 大 の 写 真 を 利 用 し,図6・23で
咬 合 局 面 図 に示 した基 準 点(× 印)と デ ー タ点(・ 印)
示 し た よ うに 上 あ ご の 切 歯 乳 頭
の 頂 点 と そ れ を下 あ ご に 転 写 し た 点 と を 原 点 に し て デ ー タ 点 の 座 標 を読 み 取 る* . * 3次 元 モ デ ル か ら 2次 元 デ ー タの座 標 を得 るた め に は の M)と 切 歯 乳 頭(同
図(c))]に
,ま ず二 つ の 基準 点[口 蓋 小窩(図6・24(a) 印 をつ け,Hechter[51]に よっ て設 計 され た 装置,図6・24(b)を
用 い て この 印 を下 あ ご に転 写 す る(図6・23).次
に これ らの基 準 点 間 の距 離 を利 用 して上 下 あ ご の 写
真 を実 物大 に拡 大 し,個 々 の歯 の補 間 すべ き点 を 写 真上 に再 現 す る.こ 点 に し,そ の点 と他 方 の 基 準点 と を通 る直 線 をf(x)軸 標 を読 み とる こ とが で き る.下
う して切 歯乳 頭 の 先端 を原
に す る こ とに よっ て,上 あ ご のデ ー タ点 の座
あ ごにつ い て も,転 写 され た基 準 点 か ら,同 様 に して各 デ ー タ点 の 座
標 を読 む こ とが で き る.
図6・24(a)
上 顎 石 膏模 型 上 の区域 図(Landa)[60]
図6・24(b)
Hechterの
転 写 装 置
こ れ ら の デ 一 タ 点 を, (x0,f(X0)),(x1,f(x1)),…,(xn,f(xn)) と し よ う. 小 区 間[xi,xi+1]に xiに
お け る 3次 の 自 然 ス プ ラ イ ン をSi(x),そ
お け る 値 をsi=S″i(xi),小
は 区 間[xi,xi+1]で
区 間 の 長 さ をhi=xi+1-xiと
の 2 階 微 分 のx= お く と, S″i(x)
直 線 で あ る か ら,
(6・92)
と 表 わ さ れ る.条
件Si(xi)=fi,
Si(xi+1) = fi+1が
与 え ら れ て い る の で)
(6・92)
を 2 回 積 分 す る と,
(6・93) が 得 ら れ る.ス
プ ラ イ ンSi(x)と
続 で あ る か ら,そ Si-1(xi)
そ の 1階 お よ び 2階 微 分 S′i(x)は
連
れ ぞれ = Si(xi)
,S′i-1(xi)
= S′i(xi), S″i-1(xi)
を 満 た さ な け れ ば な ら な い.式(6・92),式 件 を 満 た し て い る. S′i(x)は
= S″i(xi)
(6・93) よ り Si(x),
,式(6・93)を
S″i(xi)は
(6・94) 連続 条
微 分 す る こ と に よ っ て,
(6・95) と表 わ され る か ら,連 続 条 件(6・94)よ
り,
(6・96) を 得 る.こ
こ で,
で あ る.す n-1個
な わ ち,式(6・93)の
未 知 量Si(i=0,1,…,n)は
の 線 形 連 立 方 程 式 と,3
式(6・96)で
次 の 自然 ス プ ラ イ ン の 性 質 を示 す 端 点 条 件,
(6・97)
S0=Sn=0
か ら 求 め る こ とが で き る.式(6・96)の か ら,こ
示 され る
連 立 方 程 式 は 三 重 対 角 行 列 で 表 わ され る.
こ で は 次 の よ う に そ の 行 列 の 性 質 を利 用 す る方 法 で 解 く.ま ず, Si-1=ρiSi+τi
と お く.こ τ1=0で
(6・98)
(i=1,2,…,,n-1)
の と きS0=0で
あ り,い
あ る 必 要 が あ る.式(6・98)を
か な るS1に
対 し て もS0=0と
式(6・96)に
な る に は ρ1=
代 入 す れ ば,
(6・99)
を 得 る.こ
こ で,
(6・100)
とお け ば 式(6・99)は, Si=ρi+1Si+1+τi+1
と な り,式(6・98)と
同 じ 形 の 漸 化 式 と な る.す
を 用 い て ρi,τiを 順 に 計 算 し,こ 0か
(6・101)
ら 順 にsi(i=n-1,…,2,1)が
な わ ち,式(6・100)で
れ ら の 値 を 式(6・99)に 得 ら れ,そ
ρ1=τ1=0
代 入 す る,こ
れ ら を 式(6・93)に
れ よ りSn=
代 入す れ ば 順 に
Si(x)(i=0,1,…,n-1)を
得 る こ とが で き る.こ
う し てsi(x)に
る ス プ ラ イ ンf(x)を
写 真 上 に 図 示 した の が 図6・25で
あ る.ス
よって構成 され プ ライ ン は 歯 の
弧 形 を よ く表 わ す こ とが わ か る. ま た,得
られ た ス プ ライ ン を利 用 し て,手
術 前 後 の 歯 並 び の 変 化 を正 確 に 調 べ
図 6・25 歯 の モデ ル 写真 に描 か れ た ス プ ライ ン[50]
る こ と も で き る.そ
れ に は 個 々 の歯 の 上 の あ る点 か ら ス ブ ラ イ ソへ 下 した 垂 線 の
長 さ を 計 算 し,そ れ ら を 手 術 前 後 で 比 較 す れ ば よい,い f(x1))に
お け る 曲 線 の 垂 線 ベ ク トル は[-f′(x1),1]Tで
ま,ス プ ラ イ ン上 の 点(x1, 表 わ され るか ら歯 の上
の い ろ い ろ な点 の 位 置 は 媒 介 変 数 tを 用 い て
と 表 わ され る.従
っ て,あ
る 点[u,υ]Tか
らス プ ラ イ ンに 下 した 垂 線 の方 程 式 は,
u-x1+{υ-f(x1)}f′(x1)=0
と な る.上
式 はx1に
つ い て の 方 程 式 に な っ て い る か ら,f(x1)お
対 して そ れ ぞ れ 式(6・93),式(6・95)を こ と が で き る.こ れ よ り,個 √(μ-x1)2+{υ-f(x1)}2,あ 従 っ て,こ
用 い れ ば,そ
々 の 歯 の 点(u,υ)か
数値的に求める
ら ス プ ラ イ ン 曲 線 ま で の距 離
る い は そ の 垂 線 の 傾 き-1/f ′(x1)が 計 算 で き る.
れ ら の量 の 手 術 前 後 で の 値 を比 較 す れ ば,歯
め る こ とが で き る.
の 根x1を
よびf′(x1)に
並 び の変 化 を定 量 的 に 求
以 上述 べ て
きた 3次 の 自然 ス プ ラ イ ン を用 い る 方 法 は,3
次 で あ るた めに取 扱
い が 簡 単 で あ り近 似 の 精 度 も か な りの と ころ まで 得 られ,るこ とか ら,医 用 工 学 の 分 野 以 外 に もい ろ い ろ な 所 で 使 わ れ る.
6・7
社会 現 象へ の応 用
ス プ ラ イ ン関 数 は,第 2章 の小 史 で も述 べ た よ うに 保 険 数 学 者 達 に よ り,平 均 寿 命,死
亡 率 な ど の社 会 現 象 に 関 す る デ ー タ をい か に 滑 ら か に あ て は め る か とい う
要 請 の も と で,発 見 さ れ,たも の で あ る.最 (cardinal spline)を
近 に お い て も カ ー デ ィナ ル ス プ ラ イ ン*
寿 命 表 に 応 用 した も の が 発 表 され て い る[52].
多 くの 社 会 現 象 の 中 で,新 聞 に 毎 日 掲 載 され て い る 株 価 の 値 動 き は,も っ と も興
図 6・26
54/8∼55/7ま
で の 有 名 食 品 会 社 の 株 価[53]
* カーデ ィナル ス プ ライ ン:デ ー タ点(xi,yi)を 通 る m 次 の 補 間 ス プ ライ ンs(x)が ライ ンCi(x)と,節 点xiに お け る値yiと に よる線 形結 合,
で表 わせ る と き,Ci(x)を
m 次 の カ ー デ ィナ ル ス プ ライ ンとい う.第
次 の 自然 ス プ ラ イ ンで あ るが,Bi(x)も デ ィナル ス ブ ライ ンで もあ る.
同 様 に2k-1次
m 次 の スプ
3章式(3・13)のs(x)は2k-1
の 自然 スプ ライ ンで あ り,か つ2k-1次
のカ ー
味 あ る も の の 一 つ で あ ろ う.こ
こで は 株 価 に 3次 自 然 ス プ ラ イ ン を あ て は め て,
そ の 有 効 性 を 見 て み よ う.図6・26は
日 本 の 有 名 食 品 会 社 の54年
8月 か ら55年
7
月 ま で の 1年 間 の 株 価 の 値 動 き を 示 し た も の で あ る[53].図 の 白 地 の 部 分 は 株 価 の 上 昇 を表 わ し,黒 地 の 部 分 は下 降 を 表 わ し て い る.図 て い るが,こ 55年
は 株 価 の 変 動 を よ く表 わ し
の 図 を作 成 す る の は 容 易 で な い と 思 わ れ る.そ
こ で,54年
8月 か ら
7月 ま で の 日 本 経 済 新 聞 の 週 間 株 式 指 標 の 終 値 を,こ の 食 品 会 社 の 1週 間 の
平 均 株 価 と し,こ れ を デ ー タ点 に して 第 5章 で 述 べ た 3次 の 自然 ス プ ラ イ ンs(x)
で あ て は め を 行 な っ た.こ
こで a,b,di定
で あ る.図6・27はs(x)を
示 し た も の で,月
し て い る.こ
の 図 は 図6・26と
図6・27のs(x)で
数,Ni(x)は
3次 の N-ス プ ラ イ ン*
日(x)に 対 す る株 価(s(x))を
ほ ぼ 一 致 し て い る こ とが わ か る.し
表 わ
か し な が ら,
は 1年 を通 じて の 大 局 的 な 株 の 変 動 傾 向 は と ら え に くい.そ
で,
図6・27 *Ni(x)は
3次 の 自然 ス プ ライ ンs(x)に
よる株 価
自然 ス プ ラ イ ンの一 種 で あ り,正 規 化 され た B-ス プ ライ ンで な い こ と に注 意 す る.
こ
(a) 3次 の 平 滑 化 自然 ス プ ライ ン に よ る株 価(g=100)
(b) 3次 の 平 滑 化 自然 ス プ ラ イ ン(g=100,)の に よ る株 価 の変 動
微 分(日)
図6・28
3次 の平 滑 化 自然 ス プ ラ イ ン で あ る式(5・26)お
よ び 式(5・27)を
ー タ の 平 滑 化 を 行 っ た .図6・28(a)はg=100,
w1=w2=…=w53=1と
の 3次 の 平 滑 化 自然 ス プ ラ イ ンs(x)で,1 示 して い る.図6・28(b)は
用 い て,先
のデ
した とき
年 を 通 じ て の大 局 的 な 株 価(s(x))を
こ の 平 滑 化 ス プ ラ イ ンs(x)をx(月
分 した も の で,正 が 株 価 の 値 上 り,負 が 値 下 りを 表 わ し て い る.そ
日)に つ い て 微 れ ゆ え,こ れ ら
の 図 は 1年 を通 じて の株 価 の 大 局 的 な 変 動 傾 向 を 示 し て い る こ と が わ か る. こ の よ うに ス プ ラ イ ン 関 数 お よ び 平 滑 化 ス プ ラ イ ン関 数 を 利 用 す れ ば 株 価 の 値 動 き や, 大 局 的 傾 向 を 容 易 に 調 べ る こ と が で き る.ま
た , 社 会 問 題 の 一 つ で あ る公 害
対 策 に お い て も ス プ ラ イ ン を 応 用 す る こ と が で き る. 近 年,大
気 汚 染 に関 す る ぼ
う大 な デ ー タ を 自動 測 定 装 置 や テ レ メ ー タ シ ス テ ム に よ っ て,中 す る こ とが で き る よ うに な っ て き た.し
央 監視 局 で処理
か し この シス テ ムで は高 濃 度 汚染 の発生
源 を 規 制 し た 後 で も, 異 常 値 を 観 測 す る こ と が あ る(機
器 の 障 害 や 測 定 時 の ミス
あ る い は 近 接 煙 源 等 に よ る)[54]. そ の と き ス プ ラ イ ン を 適 用 して デ ー タ の 変 動 傾 向 を つ か め ば,そ の 傾 向 か ら極 端 に は ず れ た デ ー タ を 除 去 す る こ と が 容 易 に な る. こ う して 社 会 現 象 な ど,一 般 に 離 散 値 の み で しか 与 え られ,ない 系 に 対 し て も容 易 に ス プ ラ イ ン 関 数 が 決 定 で き, しか も そ の 微 分 や 積 分 も容 易 で あ る の で, い ろ い ろ な 分 野 で の応 用 を 期 待 す る こ と が で き る.
付 録
1. Leibnizの
積 の 差 分 商 に 関 す る 公 式[30]
関 数f(x)がg(x),h(x)に さ れ る と き,両
よ り す べ て の x に 対 し てf(x)=g(x)h(x)と
辺 に ξi,ξi+1,…,ξi+kを
表 わ
基 礎 に し た 差 分 商 を と る と,
(i・i) と な る.こ
れ をLeibnizの
〔 証 明 〕 い ま,そ
公 式 と い う.
れ ぞ れg(x),h(x)を
ton差 分 商 補 間 公 式(4・10)で
ξi,ξi+1,…,ξi+kを基 礎 に してNew
展 開 し,こ れ ら の 積 をF(x)と
す る と,
(i・ii) と な る.f(x)=g(x)h(x)で
あ り, Newton差
f(ξj)=g(ξj)h(ξj)=F(ξj) で あ る.式(i・ii)を
と な る.上
分 商 補 間 公 式 の 性 質 か ら,
(i・iii)
(j=i,i+1,…,i+k)
展 開 す る と,F(x)は,
式 の 第 2 項 Σr>3のす べ て の 項
含 む の で,x=ξi,ξi+1,…,ξi+kで
は因 子(x-ξi)(x-ξi+1)…(x-ξi+k)を
0 に な ら な け れ ば な ら な い.そ
れ ゆ え,式(i・
iii) か ら 上 式 の 第 1項
Σr≦sはx=ξi,ξi+1,…, ξi+kでf(x)に
な ら な い. 従 って,Σr≦sはk次 式 を 用 い て ξi,ξi+1,…,ξi+kを
等 し くな ら な け れ ば
の 多 項 式 で あ り,こ れ はNewtonの 基 礎 に し たf(x)
差分 商 補 間公
の 近 似 式 と 等 し い.そ
れ ゆ え,主
要 項xk の 係 数 か ら,
が 得 られ る.
2. de Boor-Coxの
(証 明 終 り)
算 法
Mk(x;t)を Mk(x;t)=(t-x),k-1=(t-x)(t-x)+
と し,両 Leibnizの
k-2
辺 に ξi,ξi+1,…,ξi+kを 基 礎 に し た t に 関 す る 差 分 商 を と り 、か つ 右 辺 に 公 式(i・i)を
利 用 す る.こ
こ でg(x;t)=(t-x)と
g(x;ξi)=(ξi-x) g(x;ξi,ξi+1)=1 g(x;ξi,ξi+1,ξi+2,…
を考慮 すれ ば,
,ξi+j)=0
(j>1)
し,
と な る. 従 っ て,
(ii・i) が 得 られ る. 上 式 を正 規 化 され た B-ス プ ラ ィ ンで 表 わ す と,
と な る か ら,
(ii・ii) が 得 ら れ る.
3. 正 規 化 さ れ た B-ス プ ラ イ ン と補 間 ス プ ラ イ ン の 微 分 Dxを
x に 関 す る 1階 の 微 分 演 算 子 とす る. DxMk(x;t)=Dx
(t-x)+k-1=-(k-1)(t-x)+k-2
で あ る か ら, 節 点 ξi,ξi+1,…,ξi+kを
も つ 正 規 化 さ れ た B-ス
プ ラ イ ンNi,k(x)の
微 分 は,
(iii・i)
と な る.い つk-1次
ま,正
プ ラ イ ン を 利 用 し た 節 点 ξ1-k,ξ2-k,…,ξnを
持
の ス プ ラ イ ン,
を 区 間[ξ0,ξn-k+1]で (iii・i)を
規 化 さ れ た B-ス
微 分 す る こ と を 考 え よ う.x
利 用 す る と,
に 関 す るs(x)の
1階 微 分 は 式
と な る. 従 っ て, 上 式 に Dxを
と な る.こ
次 々 と 演 算 す る と,s(x)のj(≦k-1)階
微 分 は,
こ で,
で あ る. も しbr(j)の Nr, k-j(x)=0と 階 微 分N(j)i,k(x)は
分 母 が
ξr+k-j+1-ξr=0な
な る こ と が 知 ら れ て い る.ま 式(iii・ii)でbr=δriと
ら ば, Nr,k-j(x)=0と た 正 規 化 さ れ た B-ス
プ ライ ン の j
す る こ と に よ り 容 易 に 得 ら れ る.
こ の 他,B-ス
プ ラ イ ン に 関 す る 諸 量 の 計 算 はde
か れ て い る.ま
た 文 献[30]に
Boor[30],秦
野[56]に
詳 し く書
は フ ォ ー ト ラ ン プ ロ グ ラ ム も 付 い て い る.
さ ら に, ス プ ラ イ ン 関 数 の パ ソ コ ン 上 で の 使 用 方 法 に つ い て は,文 詳 し い の で 参 照 さ れ た い.
な りbr(j)
献[61]に
文 [1]
I.J. Schoenberg,
Contributions
data
functions,
A,p.45-99;part
by analytic
positivity problem
[3]
and A. Whitney,
of translation
E.Waring,
Problems Society
Lagrange,
determinants
[6]W.A.
Jenkins,
frequency
part
functions
an application
of the American
T.N. E. Greville,
, III. The
to the inerpolation Mathematical
Society,
United
fomula
J.C. Holladay,
to Computation,11(1957),233-243.
[9]
C.de Boor,
Society
Smoothest
curve
Best approximation
of Mathematics
I.J. Schoenberg,
On
ties, p.109-129of
properties
Mathematical
Tables
functions
Institute
anb Aids
of odd degree,
p. 117-190
of On Numerical
nelle formule
and its minimal
Wisconsin, di quadratura
Verlag,
approximation
Approximation
proper-
of the Conference
at Oberwolfach,
ed.)Birkhauser
and H. F. Weinberger.Optimal
Madison,
functions
Theory(Proceedings
M.Golomb
Resto
1939-1941,
Tebles,
.
of spline
by spline
Research
of
interpolation,
and Mechanics,12(1963),747-750.
P. L. Butzer,
Press,
of osculatory
and Actuarial
approximation.
interpolation
held in the Mathematical
of Wisconsin
of the
advocate
as the title illustrates.)
Washington,1946
On Approximation
4-10,1963,
Journal an
of America,28(1927),198-215.
Life Tables
Office,
of
Paris,1975.
was
based on a modification
States
Transactions
for intarpolation,
he used in this paper,
Printing
[8]
G.Peano,
.
sur les Mathematiques,
ov a new
which
August
Philosophical
(1779),56-67
of the Actuarial
Government
Journal
interpolation.
Elementaires
Graduation
[7]
U.S.
concerning
spelling,
Transactions
[12]
Polya with
Transactions
Explanation
of equidistant
Mathematics,4(1946),
of Actuaries,22(1880),270-285,(Sprague
simplified
[11]
of Applied
On
of London,69
Lecons
T.B, Sprague, Institute
of approximation
74 (1953),246-259.
[4]J.L.
[10]
Quarterly
by spline curves,
the Royal
[5]
to the problem
B, p. 112-141.
[2] I.J. Schoenberg
献
(R. E . Langer,
Black
Basel,1964 and error
Forest, . bounds,
ed.), University
1959. espresso
con un integrale
definito,
Atti
della Reale
[13]
G. Peano,
[14]
P. J.Davis,
Accademia
Residuo
dei Lincei
in formulas
Interpolation
Rendiconti
de quadratura,
(5) ,22,
Mathesis
and Approximation,
(1913),562-569.
(4) , 34(1914),
Blaisdell
Pub1.
Surveys,
No.9),
5-10.
Co., New
York,
American
Ma-
of linear operators,
Koninklijke
Ned-
Proceedings,
A, Mathematical
1963. [15]
A.Sard,
Linear
thematical [16]
I.J. Schoenberg,
erlandse
T.N.
[19]
van
(1964),
On spline
Curry
damental
functions
R.R.
Stoll, Linear
[22]
T.N.
E. Greville,
Report
[23]
Table
T.N. E. Greville,
fitting
by spline
of Army
Summary
vol.
1927.
Base, Ohio,
York,
August
19-
Ⅳ. The
fun-
1967. functions.
d'Analyse
Math6matique,
On a new
I.J. Schoenbarg,
Spline Academy
E。 Greville,
Durham,
of the Society
Analysis,1
p.65-90of
York,1952. Transactions
U. S. Army
Research
N. C.,1967.
spline interpolation
Madison,
with equally
spaced
Research
Center,
Mathematics Wisconsin,
of graduation,
and the problem
of Sciences procedures
for Industrial
(1964),
New
October
Proceedings
1966.
of the Edinburgh
63-75.
functions
Numerical
Journal
functions,
Report#697,
method
McGraw-Hill,
Mathematicians,
of Wisconsin,
Society,41(1923),
of the National
merical
Computers, 1967.
Inequalities(Proceedings
frequency
Theory,
for third-degree
University
Whittaker,
T.N.
On Polya
No.67-1,
Technical
Mathematical
[26]
New
York,
quadrature,
Baltimore,
Air Force
and Matrix
Conference
Office-Durham,
[25]
Wilkins,
and their limits, Journal
Algebra Data
of the Twelfth
MRC
for Digital New
p.255-291of
Press,
numerical
71/107.
[21]
U.S.Army,
and
functions,
and I. J. Schoenberg,
spline
17 (1966),
[24]E.T.
Methods
Williams
ed.), Academic
and
Wiley,
held at Wright-Patterson
27, 1965,O.Shisha,
knots,
interpolation
Mathematical
Interpolation,
I.J. Schoenberg,
H.B.
functions,
and H. S. Wilf, eds.)John
Steffensen,
Series
155-163.
Spline
of a Symposium
[20]
Wetenschappen,
8(p.156-168)of
2(A,Ralston [18]J.F.
R.I,1963.
On best approximations
E. Greville,
Chapter
(Mathematical
Providence,
Akademie
Sciences,26 [17]
Approximation
Society,
53-68.
of graduation,
of the U. S. A.,52(1964), for interpolation and Applied
Proceedings 947-950.
by spline
Mathematics
functions,
Series
B, Nu-
[27]
T.N.
E. Greville(ed.),
cation
No.22of
Theory
and Applications
the Mathematics
of Wisconsin),
Academic
Research
Press,
New
of Spline
Center,
Functions(Publi-
U. S. Army,
University
York,1969.
[28] 大 嶋 勝,佐 藤 正 次;線 形 代 数 学,学 術 図書.他 [29] 土 木 学 会 編;数
値 解 析 ・基 礎 編,サ
イ エ ン ス 社,1974.
新 谷 尚義;数 値 計 算 Ⅰ-線形 計 算,朝 倉 書店,1967. 戸 川 隼 人;マ [30]
C.de
トリック ス の数 値 計 算,オ 一 ム社, 1971
Boor, a Practical
[31] 市 田 浩 三,吉 [32] 泰 野 和 郎,二
Springer-Verlag,
1978.
育 出 版,1979.
プ ラ イ ン に よ る補 間 ス プ ラ イ ン,
情 報 処 理, 19 (1978), 538-545.
H.Akima,
A New
on Local
to Spline,
プ ラ イ ン関 数 と そ の 応 用,教
宮 市 三;B-ス
[33]
Guide
本 富 士 市;ス
.
Method
Procedure,
of Interpolation
J. ACM,
[34] 研 野 和 人;自
動 設 計 法,コ
[35] 戸 川 隼 人;数
値 計 算 技 法,オ
17 (1970),
and Smooth
Fitting
Based
ロ ナ 社,1969. ー ム 社,1972.
[36] 伊 奈重 行,祖 武 章 雄;航 空 機 設 計 に み るCAD,応 [37] 穂 坂衛,黒 田 満;CADに
Curve
589-602.
用機 械 工 学,1979年,8月
号.
お け る 曲線 曲 面 の創 成 に つい て,
情 報 処理, 17 (1976 ).[38] [39]
W.Bohm
Braunschweig,
Aided
Geometric
R.Peter
Dube,
on Computer [40]
H.G.
[41]
Preliminary
P.E. Bezier,
[42] [43]
T.J. Chung, A.M. Solution (1978),
[44]
Finite
Davies,
-185.
of Spline
Surfaces
in Computer
. Curves,
IEEE
Transaction
286-290.
representation
for Parametric
Cubic
Curves
and
Control-Mathematics
and
Applications
, John
Wiley
1972. Element
Analysis
in Fluid
Use of the Galerkin
of One-Dimensional
Primitive
method Equation,
Dynamics, with
Mcgraw-hill
1977,
a Basis of B-Splines
Journal
Computer
Physics
for 27
123-137.
P.C. Jain and
parabolic
The
and 29-34
25-28.
Numerical
and Sons, London,
Curves
19 (1977),
Specification
Alternative
12 (1980),
B-Spline
Computing
vol C-28 (1979),
Timmer,
Surfaces,
Cubic
Design,
B.L. Lohar,
equation,
Computer
Cubic
Spline
Technique
and Mathematics
with
for Coupled Application,5
Nonlinear (1979), 179
[45]
J.D. Young, &Tran
[46]
Finite
Review
C.de
Boor,
Element
Approach
10 (1974), 276-288
Bicubic
Spline
to Bicubic
Spline
Construction,
Logist
.
Interpolation,
Journal
Mathematical
Physics
41
(1962), 212-218. [47]
M.A. Christie
and K. J. M. Moriarty,
equally
Data,
Spaced
Computer
A Bicubic
Physics
Spline
Interpolation
Comunications,
17 (1979).
of Un357-362
[48] 秦 野 和郎,二 宮 市三;二 変 数 補間 ス プラ イ ンの算 法 と誤差 解 析 情 報 処理,19 (1978), 196. [49]
J.H.
Ahlberg,
E. N. Nilson
Applications, [50]
Academic
E.A. Begole, using
and J. L. Walsh,
Press.
A Computer
the Cubis Spline
New
program
Function,
The Theory
York,1967
for the Analysis
Comquter
of Splines
and their
.
Programs
of Dental in Biomedicine
Arch
Form
10 (1979),
p. 136-142. [51]
F.J. Hechter, Patients,
[52]
Symmetry
J. Canad.
J.J. Hisch,
and Dental
Dent.
Use of Cardinal
of the Computer
Science
rface, Waterloo,
Ontario,
[53] 週 間 オ ー ル 投 資;7/31号 [54] 姫 野 純 子;他;環
Assn.44 Spline
Arch
Form
of Orthodontically
Treated
(1978), 173-184. in the Construction
and Statistics,12th, Canada,
May
of Life Table,
Annual
(1979),
10-11
Symposium
Proceeding on the Inte-
.
東 洋 経 済 新 報 社.p.56.
境 デ ー タ 処 理 講 座(Ⅶ)公
害 と 対 策 15(1979),1147.
[55] 吉 本 富 士市;変 数節 点 を用い たス プ ライ ン補 間,昭 和54年 度 清報 処 理 学会 第20回 全 国 大 会 p.403∼404.
[56] 秦野 和 郎;B-ス プ ラィ ンに 関 す る諸量 の 計算,昭 和53年 度 情 報 処 理 学会 第19回 全 国 大
[57]
会
p.337∼388.
R.F. Riesenfeld, of Free-Form
Bernstein-Betzier
Curves
and Surfaces,
Methods
for the Computer-Aided
Ph. D. Thesis,
Syracuse
Design
University,
March
(1973), [58]
H.G, Timmer, surface,
[59]
Alternative
Computer-Aided
D.F.Rogers,
J. A, Adams,山
representation Design
for parametric
cubic
curves
and
12 (1980),25-28.
口 富 士 夫 訳;コ
ン ピ ュ ー タ グ ラ フ ィ ッ ク ス 日 刊 工
業新 聞社. [60] 沖 野 節 三;総
義 歯 補 綴 学,永
末 書 店, 1969.
[61] 桜 井 明 監修,吉 村和 美,高 山文 雄;パ 出 版 局,1988
ソ コ ンに よるス プ ライ ン関数 東 京 電機 大 学
演習問題の解答
第 1章 1・1
3次 の ス プ ラ イ ン で あ るか ら,f(x)は
と書 け る.こ
こ でp3(x)は
式(1・1)か
らx≦-3で
式(1・5)よ
り,
3次 以 下 の 多 項 式 で あ る.
p3(x)=1-2x と な る.ciは
式(1・12)か
ら
ci=1/3![f(3)(xi+0)-f(3)(xi-0)] で 与 え ら れ る,xiはx1=-3,x2=-1,x3=0,x4=3,x5=4で
c1=1/6[f(3)(-3+0)-f(3)(-3-0)]=1/6(6-0)=1 c2=1/6[f(3)(-1+0)-f(3)(-1-0)]=1/6(-6-6)=-2 c3=1/6[f(3)(0+0)-f(3)(0-0)]=1/6(-12+6)=-1 c4=1/6[f(3)(3+0)-f(3)(3-0)]=1/6(30+12)=7 c5=1/6[f(3)(4+0)-f(3)(4-0)]=1/6(0-30)=-5 と な る.従
っ て,
f(x)=1-2x+(x+3)+3-2(x+1)+3-x+3+7(x-3)+3-5(x-4)+3 と な る.
1・2
s(x)=3x2-5x+2+2x+2-4(x-2)+2+(x-5)+2
よ り,各 節 点 間に お け る多項 式 は, x≦0: s(x)=3x2-5x+2 0≦x≦2:
s(x)=3x2-5x+2+2x2=5x2-5x+2
2≦x≦5:
s(x)=5x2-5x+2-4(x-2)2=x2+11x-14
5≦x
: s(x)=x2十11x-14+(x-5)2=2x2+x+11
あ る か ら.ciは
と な る. 1・3s(x)は
3 点x
= 3,5,9
を 節 点 と す る 2 次 の ス プ ラ イ ン で あ る か ら,式(1・5)よ
り
s(x) = a2x2 + a1x + a0 + cl(x - 3) + 2 + c2(x - 5) + 2 + c3(x - 9) + 2 と 書 け る.ま
が 成
た,s(x)は
3 点(0, - 2),(1,1),(3,25)を
り立 つ. こ れ,よ りa0 = - 2,a1 = 0,a2 = 3と
ま た,s(x)は
3 点(5,85),(9,189),(11,213)を
通
る こ と か ら,連
立 方 程 式
な る. 通 る の で
s(5) = 3・(5)2 - 2 + c1(5 - 3)2 = 85 ∴c1
= 3
s(9) = 3・(9)2 - 2 + 3・(9 - 3)2 + c2(9 - 5)2 = 189 ∴
c2 = - 10
s(11) = 3・(11)2 - 2 + 3(11 - 3)2 - 10(11 - 5)2 + c3(11 - 9)2 = 213 ∴
c3 = 5
が 得 られる.従
っ てs(x)は,
s(x) = 3x2 - 2 + 3(x - 3) + 2 - 10(x - 5) + 2 + 5(x - 9) + 2
と な る.
第 2章 2・1〔
定 理2・1〕
よ り 4点 を補 間 す る 3次 の 多 項 式 はLagrangeの
公 式,
で 与 え られ る か ら,
と な る. 2・2式(2・7)に
お い て,k=5注), f(x) = L(x)
n=4と
す る と
+ cx(x - 2)(x - 3)(x - 6)
と な り,こ れ は 指 定 さ れ た 4点 を 通 る 4次 の 多 項 式 と な る.こ 得 られ たLagrangeの
多 項 式 で あ り,c
は 任 意 の 定 数 で あ る.
こ でL(x)は
問2・1で
(注)4
次 の 多 項 式 は 5回 微 分(k = 5)す
2・3〕 に よ る と式(2・7)はk>nに 2・3
ま ずP′(xi) P(x)
= Pi(xi)を
る と零 と な り,式(2・6)を
最 小 に す る.〔 定 理
対 す る も っ と も滑 らか な 関 数 で あ る.
示 す.式(2・4)よ
り,
= (x-xi)Pi(x)
こ れ を x で 微 分 す る と, P′(x) = Pi(x) + (x - xi)Pi′(x)
x = xiと
す ると
P′(xi) = Pi(xi) 次 にX 〓 x1,x2,…,xnの
時,
と な る こ と を 示 す,式(2・3),(2・4)とP′(xi)
と ころ がP(x)は
と な る.最
で あ る.と
= Pi(xi)よ
り,
どの 項 も共 通 に持 つか ら Σ の外 に 出 せて,
後 にx=xjの
と きL(xj)=yjと
な る こ と を 示 す.式(2・3)よ
り
こ ろ が,
で あ る か らL(xj)=yj 2・4
式(2・25)と
と な る.こ
式(2・26)に
こ でp1(xj)は
お い てk = 2,n = 3と
す れ ば,
1次 式 で あ る か らp1(x) = ax + bと
a + b
= 1
3a + b + 8c1
= 5
6a + b + 53c1 + 33c2
= 8
c1 + c2 + c3 = 0 c1 + 3c2 + 6c3 = 0
す れ ば,上
の 式 は,
こ れ を
a,b,c1, C2, C3に
つ
い て 解 け ば, a = 143/65,b
c2 = 1/12,c3 = - 1/30.ゆ
こ れ は,3
= - 78/65, c1 = - 1/20,
え に,
次 の 自 然 ス プ ラ イ ン で あ り,k = 2に
対 す る 最 も滑 らか な 補 間 関 数 と な っ
て い る.
2・5
(1,4),(2, - 2),(4,y3)を
通 る 3次 の 自 然 ス プ ラ イ ソs(x)は,
s(x) = ax + b + c1(x - 1) + 3 + c2(x - 2) + 3 + c3(x - 4) + 3 の よ う に な る.s(0)
= 6よ
a + 6
りb = 6と
な る,式(2・25)と
式(2・26)よ
り,
= 4
2a + 6 + c1
= - 2
4a + 6 + 27c1 + 8c2 + = y3 c1 + c2 + c3 = 0 c1 + 2c2 + 4c3 = 0 こ れ よ り a,c1,c2,c3,y3を
求 め る とa = - 2,c1 = - 4,c2 = 6,c3 = - 2,y3 = - 62と
な る.
ゆ え に, s(x) = - 2x + 6 - 4(x - 1) + 3 + 6(x - 2) + 3 - 2(x - 4) + 3
第 3章 3・1
デ ー タ点( - 1,f( - 1)),(0,f(0)),(1, (3・30)の
形 で 表 わ され る.こ
f(1))を
れ を 式(3・13)の
通 る 3次 の 補 間 自 然 ス プ ラ イ ソ は 式
形 つ ま りf( - 1),f(0),f(1)の
合 で 表 わ せ ぱ,
と な る.ゆ
え にBi(x)は,
B1(x) = - 1/4[1 + 5x - (x + 1) + 3 + 2x + 3 - (x - 1) + 3]
B2(x) = 1/ 2[3 + 3x - (x + 1) + 3 + 2x + 3 - (x - 1) + 3]
線形 結
B3(x) = 1/4[1
と表 わ さ れ る.こ
+ x - (x + 1) + 3 + 2x + 3 - (x - 1) + 3]
の と きx = - 1,0,1に
対 す るB1(x),B2(x),
B3(x)の
値 を行 列 の 形
で表 わ す と
と な る.
3・2f′(ξ)に
対 す る 式(3・21)の
形 を した 近 似 公 式 は,
f′(ξ) = d1f( - 1) + d2f(0)
で 表 わ され る.こ
+ d3f(1)
の 近 似 は,1 次 関 数f(x) = a0 + a1xに
f( - 1) = a0 - a1, f(0) = a0, f(1) = a0 + a1, f′(ξ) = a1を
対 して 厳 密 で あ る.こ れ よ り, 得 る.そ
れ ぞ れ を上 式 に 代 入 す
る と, a1 = (d1 + d2 + d3)a0 + (d3 - d1)a1
と な る.従
っ てd1, d2, d3の
満 足 す ベ き条 件 は,
d1 + d2 + d3 = 0, d3 - d1 = 1 で あ る.近
似 公 式 は,d1
= d, d2 = - (2d + 1),d3 = d + 1を
用 い れ ば,
f′(ξ) = df( - 1) - (2d + 1)f(0) + (d + 1)f(1) と表 わ される. 3・3問3・2で
求 め た 近 似 公 式 は,一 x - t f(x) = (x - t) + =
0< ξ<1を
次 関 数 に 対 応 す る も の で あ っ た.す
な わ ち,
0
(t < x) (x ≦ t)
考 慮 す れ ば,f′(ξ)は
上式 か ら
(1)
と 表 わ さ れ る.一
方,近
似公式 より
(2)
と な る.式(1)か
ら 式(2)を
を 得 る.K(t)を t=ξ
引 く と,Peano核
グ ラ フ に 描 け ば,解
で 不 連 続 ゆ え.K(t)は
図 1 と な る.
ス プ ライ ン関数 で な
い. 3・4
問3・2の た.従
公 式 は 1次 関 数に 対 し て 厳 密 で あ っ
っ て,節
f(1))を
点(-1,f(-1)),(0,f(0)),(1,
通 る 3次 の 自 然 ス プ ラ イ ン 関 数 は 式(3,33)
よ り,
解図 1
s(x)=c[(x+1)+3-2x+3+(x-1)+3] で 与 え ら れ る.上
(1)
式 よ り,s(-1)=0,s(0)=c,s(1)=6cで
あ る か ら,
s(ξ)=ds(-1)-(2d+1)s(0)+(d+1)s(1)=c{-(2d+1)+6(d+1)} と な る.一
方,式(1)を
(2)
微 分 す れ ば,
s′(ξ)=3c[(ξ+1)2-2ξ2] を 得 る.従
(3)
っ て,
s′(ξ)=ds(-1)-(2d+1)s(0)+(d+1)s(1) が 厳 密 で あ る の は,式(2),式(3)よ
り
の と き に 限 る. 3・5
近 似 公式 は, (1) で 与 え ら れ る.1
次 関 数 ゆ えm=1,従
求 め る こ とが で き る.ま
っ て,f(x)=(x-t)+を
ず,式(1)左
用 い てPeano核
を
辺 に こ れ を 代 入 す れ ば,
(2)
を 得 る.一
方,f(x)=a0+a1xの
と き 式(1)は
厳 密 で あ る.す
な わ ち,
f(0) = a0,f(1)
= a0 + a1,f(3)
= a0+3a1∫30f(x)dx
= 3a0 + 9/2a1
ゆ え に, 3a0+9/2a1=d1a0+d2(a0+a1)+d3(a0+3a1)
が 成 り立 つ. 従 っ て,d1,d2,d3は
条 件
d1+d2+d3=3,d2+3d3=9/2
を満 た す.こ れ よ り式(1)の
右辺 は
(3)
と な る.式(2)か
ら 式(3)を
と表 わ され る ・ こ れ を 式(3・11)に
と な る.こ は,
で あ る.
引 け ば,Peano核
は,
代 入 す る と,
れ よ り J が 最 小 に な る の はd1=1/8の
と き で あ る.従
っ て,最
良 近似 公 式
第 4章 4・1差
分 商 表 を つ く る と,
式 (4・10)
4・2
よ り,
こ れ は,Lagrangeの
補 間 公 式 で 求 め た 結 果,問2・1と
問4・1で
も高 階 の 差 分 商 は,3
用 い た,最
同 じ で あ る.
階 差 分 商 で,f(0,2,3,6)で
あ っ た.式
(4・5) に よ れ ば,
これ は問4・1の 4・3Newton差
分 商 補 間 公 式 は,式(4・10)のf(x)で
をPn-1(x)と R(x)
す れ ば,剰 = f(x)
と な る.こ な る.今
-Pn-1(x)
こ の 中 で,小
示 さ れる.こ
の 右 辺 の n項 ま で
余R(x)は, = (x-x1)
のR(x)は,x=x1,x2,
か ら(xi, xi+1)の …, nで
差 分 商 表 で得 た,3 階 差 分 商 と一 致 す る.
(x-x2)
…, xnで
区 間[xi, xi+1]を
あ る 点 に お い てR′(x)が
あ る か ら結 局R′(x)が
… (x-xn)
f(x, x1, x2, …, xn)
0に な る か ら少 な く と も n個 の 点 で 0 に
考 え る.上
述 よ りR(xi)=R(Xi+1)=0で
0 に な る.(Rolleの
0 に な る点 は(x1
, xn)の
あ る
定 理 よ り)i = 1, 2,
中 に(n-1)個
あ る.こ
の
n-1個
の 点 に,同
じ よ うに して ,Rolleの
中 に 少 な く と もn-2個 用 い れ ば R(n-1) (x)は つ.す
定 理 を 利 用 す れ ば R"(x)
の 0 を 持 つ こ と に な る.こ あ る ξ(x1< ξ<xn)で,少
の よ うにRolleの な く と もn-(n-1)
は,(x1,
xn)の
定 理 をつ ぎ つ ぎ = 1個
の 0を持
な わ ち,
一 方
,
pn-1 (x) = f(x1) + (x-x1)
f(x1, x2) + (x-x1)
+ … + (x-x1)
(x-x2)
… (x-xn-1)
(x-x2) f(x1x2
f(x1x2x3) … xn)
で あ る か ら,
こ れ よ り,
4・4
xs = min {x, x1, x2, …, xn} xm = max{x,
可 能 な 関 数 とす る と 間4・3か
4・5
余 項R(x)は,
4 点, (0,4), (2,7), (3,8), (6,1)を
通
s(x) =a0 + a1x+ + c1x+3 + c2(x-2)+3 で あ る・式(2・25)と
式(2・26)よ
a 0
り, = 4
a0+2a1
+ 8c1
a0+3a1
+27c1 +c2
a0+6a1+
す る. f(x)
xs< ξ<xm
f(x, x1, x2, …, xn) =1/n!f(n)(ξ)
と な る.剰
x1, x2, …xn}と
ら,
= 7 = 8
63c1+ 43c2+ 33c3 = 1 c1+
c2+
c3 + c4 = 0
2c2 + 3c3 + 6c4 = 0
る 3 次 の 自 然 ス プ ラ イ ン は, +c3 (x-3)+3+
c4(x-6)+3
を n 階 連 続 微 分
こ の
6元 連 立 一 次 方 程 式 を 解
152/282,c4
= -39/282,こ
4・6問4・5の
く とa0 = 4,a1 = 431/282,
式(4・25)を
用 い て,m=2,i=1と
c2 = -111/282,c3
す れ ば,(0,4),(2,7),
考 え れ ば よ い か ら,
同 様 に i = 2 とす る と(2,7),(3,8),(6,1)を
式(4・31)と
よ っ て m-1
は2-1=1次
次の
C-ス プ ラ イ ン は 式(4・27)の
よ うに 書 け る.s"(x)
の C-ス プ ラ イ ン で あ る か ら,
こ の 式 の{}の
中 は,前
に 求 め た よ う にM2で
ま ず,f(m) (x) ≧ 0で,(α-ε,α+ε)の
f(m) (x) = (m+1)!{(x-α+ε)+ で あ る か ら,こ
考 え れ ば よい か ら,
S"(x) の 係 数 よ り,
定 理4・3に
4・7
c1 = -1/141,
よ り,
結 果 を 2階 微 分 す る と,
が 得 ら れ る.式(4・22)と (3,8)を
れ
あ る か ら, d2 =-234/47
外 側 で 0に な る こ と を示 す. -2(x-α)+
+(x-α-ε)
+}
れ を 次 の よ う に 4つ の 区 間 に 分 け て 考 え る と,
=
と な る.こ の
の こ とか ら, f(m) (x)は
次 に 背 理 法 を 用 い て, Mi(x) ≧ 0で 26)とf(m)
解 図 2
すべて
x で f(m) (x) ≧ 0で,(α-ε,α+ε)の
(x)>0で(α-ε,α+ε)の
外 側 で 0 と な る こ とが わ か る. あ る こ と を 示 そ う. Mi(x) <0と 外 側 でf(m) (x)が
す る と,式(4・
0 と な る こ と か ら,
(1) 一 方
,式(4・38)とf(m)
(x) ≧ 0よ
り,
(2) た だ し xi< ξ<xi + m (1),(2)は
矛 盾 す る.よ
っ て 仮 定Mi(x)
<0は
正 し く な い.ゆ
えに, Mi(x) ≧ 0
で あ る.
第 5章 5・1デ
ー タ 点 は(1,1),(3,5),(6,8)で
与 え られ る.5・4節
の 自 然 ス プ ラ イ ン s(x) = p1(x) + bN1(x)を
の 例 題 の よ うに し て,3
求 め る. tに 関 す る 1階 差 分 商
(x-t)+3の
値
(N(x;xi,xi+1)の
値)
次
tに 関す る 2階 差 分 商 とyi (Ni(xj)とyjの
と な る.従
で あ る.こ
Ni(x)とS(x)の
1階 差 分 商
Ni(x)とS(x)の
2階 差分 商
2階 差 分 商 表 か ら, ∴b=-
1 / 2
-
=
1 / 5
b 2/ 5
Ni(x)とS(x)の
値)
っ て,s(x)は,
れ か らp1(x1)は,
と な る.ま
た,p1(x2,x2)は,
と な る.従
っ て.3
次 の 自 然 ス プ ラ イ ンs(x)
が 得 ら れ る. 5・2
4個 の デ ー タ点(-2,0),(0,-532),(1,123),(4,732)を プ ラ イ ンs(x)=p2(x)+bNl(x)は,3
通 る 5次(k=3)の
階 差 分 商 を と る こ と に よ っ て 得 ら れ る. t に 関 す る 1階 差 分 商
(x-t)+3の
値
(N(xi,xi+1)の
値)
自然 ス
t に 関 す る 2階 差 分 商
t に関 す る 3階 差 分 商 とyj
(N(xi, xi+l,xi+2)の
(Ni(xj)とyjの
値)
Ni(x)とs(x)の
1階 差 分 商
Ni(x)とs(x)の
3階差 分 商
Ni(x)とs(x)の
Ni(x)とs(x)の
3階 差 分 商 表 か ら,b
は
1/ 36
っ て,
s(x) = p2(x) -2520
と な る.p2(x)
N1(x)
を求 め る た め に, Newtonの
差 分 商 公 式 を用 い る.ま
に 関 す る 2階 差 分 表 の 最上 段 の 値 か ら, p2(x1) = p2(-2) と な る.ま
た,同
と な る.従
= s(x1) +2520
様 に
p2(x1, x2)=s(x1,
p2(x1,
2階 差 分 商
∴b= -2520
b= - 70
と な る.従
値)
x2, x3)=s(x1,
し てP2(x1,
N1(x)
x2) +2520N1(x1,
x2, x3)+
= 0 + 2520×0
x2) = -546
2520
N1(xi,x2,
っ て, p2(x) を用 い る と S(x) は,
s(x) = -546(x+2)
+62x
= 0
x2), P2(x1, x2, x3)は,
(x+2)
-2520
Nl(x)
x3) = 62
ずp2(x1)は
t
=(x+2)
(62x-546)-2520
N1(x)
と な る. 5・3求
め る 式 をy=ax+bと
Σ3i=1
J=
お く,最 小 二 乗 法 に よ り一 次 式 を決 定 す る た め に は,
(yi-axi-b)2
を 最 小 に す るa,bを
決 め れ ば よい. y = ax + bは
3点(1,1),(3,5),(6,8)を
通 ること
か ら, J=(1-a-b)2
+ (5-3a-b)2+(8-6a-b)2
が 成 り立 つ.∂J/∂a=0,∂J/∂b=0か 23a+5b
= 32
10a+3b
= 14
と な る.こ
れ か
} らa=26/19,b=2/19と
な る.従
っ て,
1/ 19
y=
ら
(26x+2)
と な る. 5・4Whittaker-Schoenbergの
意 味 で 最 良 化 近 似 を 与 え る の は,条
件
s(xj)+(-1)kg・(2k-1)!.cjωj-1=yj
を 満 足 す る2k-1次 s(x)は
の 自 然 ス プ ラ イ ン で あ る こ とが 明 ら か に な っ て い る(定
3点(1,1),(3,5),(6,8)を
お よび 式(2・26)が
と す る.題
成 り立 つ.3
意 よ り ω1=ω2=ω3=1で
が 成 り立 つ.こ
れ を解 く と,
が 得 ら れ る.従
っ て,s(x)は
理 5・2).
通 る 3次 の 自 然 ス プ ラ イ ン で あ る か ら,式(5・27)
次 の 自 然 ス プ ラ イ ンs(x)を,
あ る か ら,連
次 式 の よ うに な る.
立 1次 方 程 式
5・5(i)g=0の
と き,問5・4の
と な る.こ
の 式 は 問2・4の
(ii)g→
∞
s(x)は,
3次 の 自 然 ス プ ラ イ ン と一 致 す る.
の と き, c1→0,C2→0,
c3→0
と な り, s(x) は
に 近 ず く.こ
れ は 問5・3の
5・6(i)式(5・26)を
最小 二 乗 法 に よ っ て 得 ら れ た 1次 式 に 一 致 す る.
x に つ い て k階 微 分 す る と (1)
と な る.こ
こ でC = k・(k+1) … (2k-1)で
し,式(5・4)を
とな る.上
あ る.ま
た 式(5・5)を
xに つ い て k階微 分
利 用 す る と,
式 を 式(4・22)お
よび 式(4・25)を
用 い て書 きか え る と
(2) と な る.こ
こ で,
Pj , i(xi) = (xi-xj)
(xi-xj+1)
とす る.式(1),式(2)を(x-xi) 係 と して
が 得 ら れ る.
… (xi-xi-1)
+ k-1の
(xi-xi+1)
…(xi-xj+k)
係 数 に つ い て 比 較 す れ ばciとbiの
関
(ii)
5 個 の デ ー タ 点 か らx1 = -3, x2 = -1,x3
を 代 入 す る と,k=2で
と な る.こ
のciを
あ る か らciとbjの
式(5・27)に
= 0, x4 = 3, x5 = 4で
あ る.(i)にxi
関 係 は,
代 入 す る とw1 = w2 = … = w5 = 1で
あ る か ら連 立 方 程 式
(3)
が 成 り立 つ.す
で に,5・4節
の 例 題 で,こ の 問 題 と 同 じ 5個 の デ ー タ 点 に 関 す るNi(xj)
の 表 が で き て い る の で,式(3)の
g を 含 む 項 とyjの
Ni*(xj)とyi
= S*(xj)の
こ こ で,
Ni*(xj) = Ni(xj) + (biの
係 数 で g を含 む 項)
表
項 を この 表 に 付 け 加 え る と,
s*(xj) = s(xj) + Σn-ki = 1(biの 係 数 で g を 含 む 項)=yi と す る.上
の表 を xに こつ い て 1階 差 分 商 を と る と,
1 階 差
分
商 表
分
商 表
と な る.同 様 に 2階 差分 商 を と る と, 2 階 差
と な る.こ れ が 求 め よ う とす る 2階 差 分 商 の表 で あ る. (iii) g = 10 を (ii) の 2階 差 分 商 表 に 代 入 し,連
と な る.こ っ て,平
れ を 小 数 で 求 め る と b1 = 0.1201, b2 = -0.2086,b3
= -0.8917と
な る.よ
滑 化 3次 自然 ス プ ラ イ ンs(x)は,
s(x) = P1(x) + 0.1201N1(x)
と な る.P1(x)を
-0.2086N2(x)
-0.8917N3(x)
決 定 す る た め に,Ni*(xj)とs*(xj)の
P1(x1) = s*(x1)- と な る.同
立 方 程 式 の 形 で 書 く と,
b1N1*(x1)
-b2N2*
様 に し てP1(x1,x2)は
P1(x1, x2) = s*(x1, x2) -b1N1* = 2-0.1201
(x1)-
表 の 最 上 段 か らP1(x1)は
b3N3* (x1)= 7-0.1201(10)=
5.799
1 階 差 分 商 の 表 か ら, (x1, x2) -b2N2*
(-19.33)+
0.2086(7.5)
(x1,x2) -b3Ns*(x1, = 5.886
x2)
が 得 ら れ る. 従 っ て, 求 め よ う と す るg=10 s(x)=5.799+5.886(x+3)
と な る.
の 場 合 の 平 滑 化 3次 自然 ス プ ラ イ ン は ,
+0.1201N1(x)-0.2086
N2(x)-0
.8917N3(x)
索 引 三重対角行列
140
ア 行 1価 関 数
121
19
自然 ス プ ラ イ ン
社会現象 109
重 みつ き残 差 法
カ
行
開曲線 階 数 階段関数
121 57
142
周 期 b-a の ス プ ラ イ ン
93
消 滅 剰 余
32
剰 余 を持つNewton の差 分商 補 間 公 式
53
40
助変数
120
6
拡 張 ス プ ライ ン
98
ス プ ライ ン関 数
確 率密度関教
65
ス プ ライ ン の微分 と積 分
20
正 規 化 さ れ た B-ス プ ラ イ ン
89
正 値
71
カー デ ィナル ス プ ライ ン
基 底 局所台 曲面 の補間 近似誤差
142
61
切 断べ き関 数
9
88
節 点 線 形 線形汎関数 尖 点 選点法
4
130 34
区分的多項式関数
1
高階差分商 合流差分商 孤 形表現 誤 差
1
51
31 31 124 111
103
双 ス プ ライ ン
55
タ
138 40
サ 行 最 小二乗法 最 小補間性
111 24
“最 良 近 似 ” に 関 す る A.Sard の 理 論
34
差分商 差 分商表 残 差
49
行
多角形 多重節点 多重頂点 多重度 端 点 端点条件
126
92, 102 126 129 129 104
51
頂点数
126
34
頂 点 の移 動,付 加,削 除
126
デー タ点
3
デ ル タ関 数
111
等 間隔節点
79
ナ
“最 も滑 らか な ”補 間 関数 モ ー メ ン ト法
16 111
ヤ
行
屋根型関数
65
有限要素法
109
行
内 点 内部節点
63 92 124
滑 らか な閉 曲線
二 次形式 2変数関数
72
ラ
行
連結点 連続微分可能
4
32
60
ABC
ハ 行
Bernstein
多項式
125
汎 関数 半正値 半負値
31
Bezier 曲 面
72
Bース プ ラ イ ン
72
Bース プ ラ イ ンの 微 分 算 法
微分近似公式 微 分方程式 頻度曲線
34
CAD
118
109
CAM
118
130
60
Bース プ ラ イ ン を用 い た 曲 面
65
Cース プ ラ イ ン de Boor-Cox
116 130
19 91
の 算 法
付加節点
92
Galerkin
負 値
71
Gauss の 消 去 法
85
Lagrange
14
平滑化 平面曲線 変分原理
の 公式
Leibniz の 積 に関 す る差 分 商 公 式
90
120
Nース プ ライ ン
68
109
Peano 核
34
Peano の 定 理
32
80
補間関数
111
法
14
Rayleigh-Ritz法
109
Schoenberg-Whitney
マ 行
丸 めの誤差
Si3pson 48
Taylor
の積 分近 似 公 式
3
Whittaker
95 34
33
の定 理
Vandermonde
“最 も滑 らか な”関 数
の 条 件
形
の方法
57 80
<著者紹介>
桜井明 東京大 学理 学部物理学科卒業(1944) 理学博士(1955) 東京電機大 学名誉教授 石井 好
都立航 空工業高等 専門学校卒業(1967) 東京電機大学大 学院 修了(1975) 都立航 空工業高等専門学校教授 工学博士(1991)
吉村和美 静岡大学理学部物 理学科 卒業(1970) 東京電機大学大 学院修了(1975) ASI総 研(株) 高山文雄 東京理科大学理学部物理学科 卒業(1974) 東京電機大学大学院修了(1977) い わき明星大学理工学部電子 工学科 助教授
情 報 科 学 セ ミナ ー ス プ ラ イ ン 関数 入 門 1981年 6月30日 第 1版 1刷 発 行 1997年11月20日
編 著者 桜 井 明
第 1版10刷 発 行 発行者 学校法人 東 京 電 機 大 学 代 表 者 発行 所
廣
川 利 男
東 京 電 機 大 学 出 版 局
〒101
東京 都 千 代 田区 神 田錦 町2-2
振 替 口座 00160-5-
71715
電 話 (03)5280-3433 (03)5280-3422
(営 業) (編 集)
印刷 ㈱ 秀好 堂印刷 製本 ㈱ 徳往製本所
〓 Sakurai
装 丁 高 橋壮 一
Printed
Akira
1981
in Japan
*無 断 で転 載 す る こ と を禁 じ ます 。
*落 丁 ・乱 丁 本 はお 取 替 えい た し ます 。
ISBN 4-501-50250-9 R
C3041
<日 本 複 写 権 セ ン タ ー 委 託 出 版 物 ・特 別 扱 い>
デ ー タ解 析 ・信 号 処 理 関連 図 書 数 理科 学 セ ミナー
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ウ ォ ル シ ュ 解 析 靖 著 218頁
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デ ジ タ ル 信 号 処 理
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チ ャー ル ズ K.チ ュ ウイ著 桜 井/新 井 共 訳 A5判 210頁 80年 代 以降,多 変数スプ ライ ン(マ ル チスプライ ン) の研 究が本格 化 し,め ざま しい発展 を とげ大 きな分 野 となった。高次元 のデー タ処理や 3次元CAD等 の 応用 に向 けて,最 新の理 論 を解 説 した。
デ ジタル 信号処理 を入 門者 に も分 かる よ うに ていね い に解説 したシ リー ズ三部作 の第 一弾。デ ジ タル 信 号 処理 の基本概念 につ いて,信 号 を時間 の世界 で処 理 する ことを中 心に,て いね いに解 説 した。
ビギナーズ
ビギ ナ ー ズ
デ ジ タ ル フー リエ 変 換
デ ジ タ ル
中村 尚五 著 A5判 200頁 フー リエ 変換 を用 い,周 波数 の世界 にお ける信号 処 理 を取 り上げる。DFT, FFTの 原 理 を詳 しく説 明 し た後,FFTの 応用例 を解説 した。特 に数 式の展 開は 工科系 の学生 にも理解で きるよ うにていねいに した。
中 村 尚五 著 A5判 192頁
フ ィ ル タ
デ ジタル フィル タの原理 を理解 し,読 者 が必要 に応 じて 開発 でき るこ とを 目標 に した。具体 的な システ ム を応 用例 にあ け,ソ フ トウェアとハー ドウェ アを 含 め解 説 した。
ユ ーザ ー ズ
プラ クテ ィス
デ
デ ジ タ ル 信 号 処 理
ィ ジ タ ル 信 号 処 理
江原義郎 著 AB判 208頁 これ か らデ ィジ タル 信号 処理 を学 ぼ うとす る者,あ る いは現在,特 にこの分 野の知 識 な しに信 号の処 理 を行 って いる信号処 理 システ ムのユー ザー やエ ンジ ニ アを対象 とした入 門書 であ る。
イ ブ ・ トー マ ス/中 村 尚五 著 A5判 216頁 基本 とな ってい る例題 を繰 り返 し演 習す るこ とによ り,効 率 よくデ ジタル信号処 理 を学べ る ように編集 。 大学 の演習 のみな らず,関 係 技術 に携 わ るエン ジニ アや基 礎知識 のあ る人向 けの入門 書であ る。
*定 価,図 書 目録 のお問い 合わ せ ・ご要望 は出版 局 までお願 い致 します.
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