Исследование функций и построение графиков в среде Mathcad: Практикум

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

С.В. Богатова, К.В. Бухенский, И.П. Карасев, Г.С. Лукьянова

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD

Практикум

Рязань

2010

2

Предисловие

Общий курс математики высших учебных заведений включает в себя раздел дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных. Настоящая методическая разработка содержит краткий теоретический материал по данным темам, теоретические примеры с решениями, задания, выполненные в среде Mathcad, и варианты типовых расчетов для самостоятельного решения. Практикум предназначен для студентов первого курса, изучающих основы дифференциального исчисления. Структура пособия позволяет использовать его как на практических занятиях, так и для самостоятельного изучения темы. Разобранные примеры задач включают в себя пояснения – ссылки на теоретические основы решения и последовательности операторов в среде Mathcad, благодаря чему преподавателю и студентам легко контролировать вычислительные навыки студентов, анализировать появляющиеся ошибки и максимально быстро исправлять их. Задания для самостоятельной работы запланированы в качестве домашних контрольных работ.

3

1. Функции одной переменной 1.1. Исследование функций с помощью первой производной Производная находит многочисленные применения к исследованию функций и построению графиков функций. Рассмотрим возможные приложения производной к решению вопроса о монотонности функции на некотором промежутке Теорема 1 (необходимые и достаточные условия монотонности функции). Если функция y = f (x) определена и непрерывна в промежутке X и внутри него имеет конечную производную, то необходимым и достаточным условием неубывания (невозрастания) функции y = f (x) в X является f ′( x) ≥ 0 ( f ′( x) ≤ 0) . Определение 1. Точка x0 называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f (x) , если ∃ такая δ − окрестность x0 , что •

∀x ∈ U (x0 , δ ) ⇒ ∆f ( x0 ) < 0 (∆f (x0 ) > 0) .

Точки локального максимума и локального минимума функции f (x) называются точками локального экстремума. Теорема 2 (необходимое условие локального экстремума). Если функция f ( x) дифференцируема в точке x0 и в ней имеет локальный экстремум, то f ′( x0 ) = 0 . В точках локального экстремума касательная параллельна оси Ox . Определение 2. Точки x1 , x2,K , в которых f ′( x) = 0 , называются стационарными точками, или точками возможного экстремума. П р и м е р 1 . Пусть задана функция f ( x) = x 3 . f ′( x) = 3x 2 , 3x 2 = 0 , x = 0 – стационарная точка, но не является точкой локального экстремума. ► Теорема 3 (1-е достаточное условие локального экстремума). Пусть функция f (x) дифференцируема в некоторой δ –окрестности стационарной точки x0 . Тогда, если f ′( x) > 0 , ( f ′( x) < 0) при x ∈ (x0 − δ , x0 ) , а f ′( x) < 0 ( f ′( x) > 0) при x ∈ (x0 , x0 + δ ) , то в точке x0 функция имеет локальный максимум (локальный минимум). Если f ′(x) во всей δ -окрестности точки x0 имеет один и тот же знак, то в точке x0 локального экстремума нет. П р и м е р 2 . Найти точки экстремума функции f ( x) = (x − 2 )5 . Решение. f ( x) = (x − 2 )5 , 4 f ' ( x) = 5( x − 2 ) = 0 . x0 = 2 – стационарная точка, не являющаяся точкой экстремума, так как f ' ( x) f 0 . Точек экстремума нет. ► З а м е ч а н и е 1. В точке экстремума производная может не существовать или обращаться в бесконечность (критическая точка!), но обязательно меняет знак в δ − окрестности этой точки. В этом случае

4

экстремум называют острым (в противоположность гладкому экстремуму, который имеет функция с непрерывной производной). Примером может служить функция y = x , у которой в точке x = 0 производная не существует, но f ′(0 − 0) < 0 , а f ′(0 + 0) > 0 . Теорема 4 (2-е достаточное условие экстремума). Пусть функция f (x) в стационарной точке x0 дважды непрерывно дифференцируема. Тогда функция f (x) имеет в точке x0 максимум, если f ' ' ( x0 ) < 0 и минимум, если f ' ' ( x0 ) > 0 .

З а д а н и е 1. Построить график функции f ( x) = 3 * 3 ( x + 4) 2 − 2 x − 8 с помощью производной первого порядка. Решение. 3 Для функции 2 f ( x) := 3 ( x + 4) − 2x − 8

найдем производную первого порядка:

p ( x) :=

d f ( x) dx

p ( x) →

2⋅ x + 8 2

⎡⎣( x + 4) 2⎤⎦

−2

3

Отыскиваем критические точки – решения системы уравнений. Given p ( x)

0

Find( x) → −3 f ( −3) = 1

f ( −4) = 0

Определяем: есть ли экстремумы среди точек -3 и -4 с помощью графика производной функции. 10 5 p ( x)

−7

−5

−3

−1 −5

1

3

− 10 − 15 x

При переходе через точку x = −4 производная у ′ меняет знак с «–» на «+», значит, x = −4 – точка минимума функции. При переходе через точку x = −3 производная у ′ меняет знак с «+» на «-», значит, x = −3 – точка максимума функции. Функция убывает на промежутках (−∞,−4) и [−3,+∞) , возрастает на промежутке (−4,−3] .

5

Строим график функции. 10 8 6 4 2 f ( x)

− 10 − 8 − 6 − 4 − 2 0 −2

2

4

6

8

10

−4 −6 −8

►

− 10 x

1.2. Выпуклость и вогнутость функций Пусть функция f (x) дифференцируема на интервале (a, b) . Тогда существует касательная к графику функции f (x) в любой точке этого интервала. Определение 3. График дифференцируемой функции f (x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (a, b) , если он расположен на (a, b) ниже (выше) касательной, проведенной в любой его точке из (a, b) (рис. 1). 4 2 y ( x) f ( x)

−1 0 −2

1

2

3

4

5

−4 −6 x

Рис.1 Теорема 5 (достаточный признак выпуклости, вогнутости). Если функция y = f (x) имеет на интервале (a, b) вторую производную и f ′′( x) < 0 ( f ′′( x) > 0) во всех точках интервала (a, b) , то график функции f (x) – выпуклый (вогнутый). Определение 4. Точка M (x0 , f (x0 )) называется точкой перегиба графика непрерывной функции y = f (x) , если точка M разделяет промежутки, в которых график выпуклый и вогнутый.

6

Теорема 6 (необходимое условие точки перегиба). Пусть график функции y = f (x) имеет перегиб в точке M ( x0 , f ( x0 )) и пусть функция y = f ( x ) имеет в окрестности точки x0 непрерывную вторую производную. Тогда f ′′( x0 ) = 0 . Теорема 7 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция y = f (x) имеет вторую производную в окрестности точки x0 . Если при переходе через точку x0 f ′′(x) меняет свой знак, то x0 - точка перегиба. П р и м е р 3 . Найти точки перегиба для функции f ( x) = x 3 − 3x 2 − 4 . Решение. f ' ( x) = 3x 2 − 6 x, f ' ' ( x) = 6 x − 6 = 6( x − 1) , f ′′( x) = 0 при x = 1. f ′′(0) = −6 < 0 , f ′′(2) = 6 > 0 . Следовательно, точка x = 1 – точка перегиба графика функции f ( x) = x 3 − 3x 2 − 4 . ►

1.3. Асимптоты графика функции Определение 5. Прямая называется асимптотой графика функции y = f (x) , если расстояние от точки, принадлежащей графику до этой прямой, стремится к нулю при неограниченном удалении точки по графику функции от начала координат (рис. 2). 10 8 y ( x) 6 f ( x)

4 2 1

3

5

7

9

x

Рис. 2 Существует три типа асимптот: вертикальная, горизонтальная и наклонная. Определение 6. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) , если хотя бы один из односторонних пределов функции lim f ( x) или lim f ( x) равен + ∞ или − ∞ (рис. 3). x →a −0

x →a + 0

7 10 6 y ( x)

2 −4

−2 −20

2

4

−6 − 10 x

Рис. 3 Определение 7. Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой y = f (x) при x → +∞ (или x → −∞ ), если графика функции lim ( f ( x) − (kx + b)) = 0 . x → +∞ ( x → −∞ )

Заметим, что при k = 0 наклонная асимптота часто называется горизонтальной. Теорема 8. Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой к графику функции y = f (x) , если существуют пределы k = lim

x → +∞

f ( x) , b = lim [ f ( x) − kx] . x →+∞ x

Если хотя бы один из этих двух пределов не существует или k → +∞ ( − ∞ ), то кривая наклонных асимптот не имеет. З а д а н и е 2. Найти асимптоты и построить график функции f ( x) =

9 − 10 x 2 4x 2 − 1

.

Решение. Данная функция является четной, так как 2

f ( x) :=

9 − 10x 2

4x − 1

2

f ( −x) → −

10⋅ x − 9 2

4⋅ x − 1

f ( x)

f ( −x).

Найдем точки, «подозрительные» на вертикальные асимптоты. Given 2

4x − 1 Find( x) →

0

⎛ −1 1 ⎞ ⎜ 2 2 ⎝ ⎠

1 2

1 2

Область определения функции - (−∞, − ) ∪ ( , + ∞) . 2

lim x→

9 − 10x 1+ 2

2

4x − 1

→∞

8

Следовательно, прямые

x=−

1 2

и

x=

1 2

являются вертикальными

асимптотами. Так как k :=

f ( x)

lim x→ ∞

x

→ −5

b :=

lim x→ ∞

( f ( x) + 5x) → 0 ,

то y = −5 x является наклонной асимптотой асимптота на − ∞ . Найдем точки пересечения с осью Ox.

на + ∞ , а y = 5 x - наклонная

Given f ( x)

0

⎛ 3⋅ 10 3⋅ 10 ⎞ − 10 ⎠ ⎝ 10

Find( x) → ⎜

Далее строим график функции.

20 16 12 8 4 f ( x)

− 10 − 8 − 6 − 4 − 2 0 −4

2

4

6

8

10

−8 − 12 − 16 − 20

► x

1.4. Схема исследования функции 1. Найти область определения функции, ее точки разрыва. 2. Найти точки пересечения с осями. 3. Выяснить является ли функция четной, нечетной или общего вида. 4. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции. 5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба. 6. Найти асимптоты графика функции. 7. На основании полученных результатов построить график функции.

9

З

а

д

а

н

и

е 3. Провести полное исследование f ( x) = 3 ( x + 1) − 3 ( x + 2) и построить ее график. Решение. Исследование выполним по предложенной схеме. 2

3

f ( x) :=

функции

2

3

2

( x + 1) −

( x + 2)

2

1. Область определения функции: õ ∈ (−∞, + ∞) . 2. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Given f ( x)

0

Find( x) → −

3 2

f ( 0) = −0.587

3. Проверим, является ли функция четной, нечетной или общего вида. f ( −x) → ⎡⎣( x − 1)

2⎤

1

1

3

3

2 ⎦ − ⎡⎣( x − 2) ⎤⎦

f ( x) ≠ f ( −x)

Функция общего вида. графика функции (вертикальные, 4. Асимптоты горизонтальные). Вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва. k :=

lim x→ ∞

f ( x) x

b :=

→0

наклонные,

f ( x) → 0

lim x→ ∞

Прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой на + ∞ и − ∞ . 5. Найдем промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции и точки экстремума. Находим производную первого порядка. p ( x) :=

d f ( x) dx

p ( x) →

2⋅ x + 2 2

3⋅ ⎡⎣( x + 1)

2⎤

⎦

3

−

2⋅ x + 4 2

3⋅ ⎡⎣( x + 2)

2⎤

⎦

3

Given p ( x)

0

Find( x) →

Производная не обращается в нуль, но не существует в точках x = −1 и x = −2 .

10

1.5 0.6 p ( x)

−5

− 3 −−0.3 1

1

3

5

− 1.2 − 2.1 −3 x

При переходе через точку x = −1 производная у ′ меняет знак с «–» на «+», значит, x = −1 – точка минимума функции. При переходе через точку x = −2 производная у ′ меняет знак с «+» на «-», значит, x = −2 – точка максимума функции. f ( −1) = −1

f ( −2) = 1

Итак, функция возрастает на промежутках (−∞,−2) и (−1,+∞) , убывает на промежутке (−2,−1) . 6. Найдем промежутки выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба. Для этого вычислим производную второго порядка и найдем критические точки. g ( x) :=

d

2 2

g ( x) →

f ( x)

2 2

dx

3⋅ ⎡⎣( x + 1)

2⎤

⎦

3

2

−

2

3⋅ ⎡⎣( x + 2)

2⎤

⎦

3

2⋅ ( 2⋅ x + 2)

−

2 5

9⋅ ⎡⎣( x + 1)

2⎤

⎦

3

+

2⋅ ( 2⋅ x + 4)

5

9⋅ ⎡⎣( x + 2)

5 4 3 2 1 g( x)

−5 −4 −3 −2 −1 0 −1 −2

1

2

3

4

5

−3 −4 −5

g ( −1.5) = 0

x

Получили, что x = −1 , x = −2 и x = −1.5 - точки перегиба функции. f ( −1.5) = 0

7. Строим график данной функции.

2

2⎤

⎦

3

11 2.5 2 1.5 1 0.5 f ( x)

−5 −4 −3 −2 −1 0 − 0.5

1

2

3

4

5

−1 − 1.5 −2 − 2.5

►

x

1.5. Исследование функций, заданных параметрически Пусть функция y = f (x) задана параметрическими уравнениями ⎧ x = ϕ (t ), ⎨ ⎩ y = ψ (t),

α ≤ t ≤ β.

Если функция ϕ (t ) монотонна и непрерывна, то

(

)

∃ t = ϕ−1 ( x ) ⇒ y = ψ ϕ−1 ( x ) = f ( x ) .

Пусть функции ϕ (t ) , ψ (t) дифференцируемы и ϕ ′(t ) ≠ 0 . По теореме о производной обратной функции:

(

)

′ ψ' (t ) y ' (t ) y x' = ψ' (t ) ⋅ ϕ−1 ( x ) = ⇒ yx ' = . x' (t ) ϕ' (t )

Данная формула позволяет находить производную y′x от функции, заданной параметрически, не находя явной зависимости y от x . П р и м е р 4. Вычислить производную функции, заданной параметрически: ⎧ x = acost , 0 ≤ t ≤ 2π (параметрические уравнения эллипса). ⎨ ⎩ y = bsint , y' (t ) b cos t b = = − ctg t , 0 < t < 2π .► Решение. y x' = x' (t ) − a sin t a

Найдем вторую производную от функции заданной параметрически. Из определения второй производной следует,

( y′ )′ ′ = ( y′x )′ x = ( y′x )′t ⋅ t ′x = x t , то есть y′xx xt′ y ′′ * x ′ − x ′′ * y t′ ( y′ )′ ′ = x t или y ′xx′ = t t 3 t y′xx . xt′ (xt′ )

что

12 ′′ Аналогично получаем y′xxx

′ )′t ( y′xx , = xt′

y

iv xxxx

′′ )′t ( y′xxx ,…. = xt′

З а д а н и е 4. Построить график функции, заданной параметрически ⎧ x = 2 cos t − cos(2t ), (кардиоида) ⎨ ⎩ y = 2 sin t − sin(2t ),

и

произвести

производных. Решение. Строим график функции. y ( t) := 2⋅ cos ( t) − cos ( 2t) x( t) := 2⋅ sin ( t) − sin ( 2t) 2 0.75 −4

y ( t)

−2

− 0.5

0

2

4

− 1.75 −3 x( t )

Вычислим производную первого порядка: px( t) :=

d x( t) → 2⋅ cos ( t) − 2⋅ cos ( 2⋅ t) dt

py ( t) :=

d y ( t) → 2⋅ sin ( 2⋅ t) − 2⋅ sin ( t) dt

p ( t) :=

py ( t) px( t)

→−

2⋅ sin ( t) − 2⋅ sin ( 2⋅ t) 2⋅ cos ( t) − 2⋅ cos ( 2⋅ t)

Найдем критические точки. Given p ( t) Find( t) →

0

⎛ 0 π 5⋅ π ⎞ ⎜ 3 3 ⎝ ⎠

Given 2⋅ cos ( t) − 2⋅ cos ( 2⋅ t) Find( t) →

0

⎛ 0 2⋅ π 4⋅ π ⎞ ⎜ 3 3 ⎠ ⎝

Получили критические точки x( 0) = 0

y ( 0) = 1

исследования

с

помощью

13 x⎛⎜

π

⎞ = 0.866 ⎝3⎠

x⎛⎜

2⋅ π

x⎛⎜

4⋅ π

⎝

3

x⎛⎜

5⋅ π

y ⎛⎜

π

⎞ = 1.5 ⎝3⎠

y ⎛⎜

2⋅ π

⎝

3

⎞ = −2.598 ⎠

y ⎛⎜

4⋅ π

⎝

3

⎞ = −0.866 ⎠

y ⎛⎜

5⋅ π

⎞ = 2.598 3 ⎝ ⎠

⎝

3

⎞ = −0.5 ⎠ ⎞ = −0.5 ⎠

⎞ = 1.5 ⎝ 3 ⎠

Анализируем поведение функции в этих точках с помощью графика производной и графика самой функции, заданной параметрически. 40 20 p ( t)

− 0.524 1.178

2.88

4.581 6.283

− 20 − 40 t

Вычисляем производную второго порядка. d

ppx( t) :=

2

dt ppy ( t) :=

d

2

2

dt

pp ( t) :=

x( t) → 4⋅ sin ( 2⋅ t) − 2⋅ sin ( t)

2

y ( t) → 4⋅ cos ( 2⋅ t) − 2⋅ cos ( t)

ppy ( t) ⋅ px( t) − ppx( t) ⋅ py ( t) px( t)

3

→−

( 2⋅ cos ( t) − 2⋅ cos ( 2⋅ t) ) ⋅ ( 2⋅ cos ( t) − 4⋅ cos ( 2⋅ t) ) + ( 2⋅ sin ( t) − 2⋅ sin ( 2⋅ t) ) ⋅ ( 2⋅ sin ( t) − 4⋅ sin ( 2⋅ t) ) ( 2⋅ cos ( t) − 2⋅ cos ( 2⋅ t) )

Given pp ( t)

0

Find( t) → 0 Given 2⋅ cos ( t) − 2⋅ cos ( 2⋅ t) Find( t) →

⎛ 0 2⋅ π 4⋅ π ⎞ ⎜ 3 ⎠ 3 ⎝

0

3

14 60 30 pp ( t )

− 1.047 0.785 2.618 4.451 6.283 − 30 − 60

t

Из графика второй производной следует, что есть точки перегиба: x⎛⎜

2⋅ π

⎞ = 2.598 ⎝ 3 ⎠

x⎛⎜

4⋅ π

⎞ = −2.598 3 ⎝ ⎠

y ⎛⎜

2⋅ π

⎞ = −0.5 ⎝ 3 ⎠

y ⎛⎜

4⋅ π

⎝

3

⎞ = −0.5 ⎠

Эти выводы соответствуют параметрически. ►

виду

графика

функции,

заданной

1.6. Кривые в полярной системе координат Пусть задана полярная система координат с началом в точке О и лучом Oρ . Положение точки А на плоскости однозначно определяется с помощью координат ( ρ , ϕ ) , где ϕ - угол между лучом Oρ и лучом, на котором расположена данная точка А, выходящим из начала координат, ρ расстояние от начала координат до точки А, причем ϕ ∈ [0,2π ) , а ρ ≥ 0 . y A

y

O

x

x

Рис. 4 Декартовы координаты ( x, y ) связаны с полярными (рис. 4) по формулам ⎧ x = ρcos ϕ , ⎨ ⎩ y = ρ sin ϕ .

Многие кривые на плоскости удобно описывать как функции ρ = ρ (ϕ ) . З а д а н и е 5. Построить кривую, заданную в полярной системе координат формулой ρ (ϕ ) = sin(3ϕ ) .

15

π 2π 4π 5π Решение. Так как ρ ≥ 0 , то sin(3ϕ ) ≥ 0 и ϕ ∈ ⎡⎢0, ⎤⎥ ∪ ⎡⎢ , π ⎤⎥ ∪ ⎡⎢ , ⎤⎥ . ⎦ ⎣ 3 3 ⎦ ⎣ 3⎦ ⎣ 3 Вычислим производную и определим точки минимума и максимума на

π промежутке ⎡⎢0, ⎤⎥ . ⎣

3⎦

ρ( φ ) := sin ( 3φ ) p ( φ ) :=

d ρ( φ ) → 3⋅ cos ( 3⋅ φ ) dφ

Given p(φ ) Find( φ ) →

φ := 0 ,

π 25

0 π 6 ..

π

φ =

3

ρ( φ ) = 0

0

0.126

0.368

0.251

0.685

0.377

0.905

0.503

0.998

0.628

0.951

0.754

0.771

0.88

0.482

1.005

0.125

Получили, что ϕ =

π 6

- точка максимума, при ϕ = 0 функция принимает

наименьшее значение. Строим график функции.

120

90

60

0.8 0.6 0.4 0.2 0

150

ρ ( φ ) 180

30

0

210

330 240

270 φ

300

►

16

1.7. Задачи для самостоятельной работы Задача 1. Построить график функции с помощью производной первого порядка.

1. y =

123 6( x − 2) 2 x +8 2

.

4. y = 3 x 2 + 4 x + 3 .

2. y = 16 x 2 ( x − 1) 2 .

3. y = 6 x − 6 − 93 ( x − 1) 2 .

5. y = 27( x 3 + x 2 ) 4 − 5 .

7. y = − ( x + 1) 2 ( x − 3) 2 16 . 8. y =

− 123 6( x − 1) 2 x + 2x + 9 33 6( x − 4) 2

11. y =

13. y = 2 + 3 8 x( x + 2) .

14. y = (2 x + 1) 2 (2 x − 1) 2 .

x − 4 x + 12 2

− 63 6( x + 3) 2 x 2 + 10 x + 33

.

9. y = 2 − 3 x 2 + 3x − 4 .

2

10. y = x − 9 . 2

3

6. y =

.

12. y = x(12 − x 2 ) 8 . 15. y = 93 ( x + 1) 2 + x .

Задача 2. Построить график функции с помощью асимптот.

x 2 − 6 x + 13 y= x −3 1. .

4.

7.

y=

y=

10.

2.

1 2

x −1 .

5.

1 x 3 + 2x 2 .

y=

y=

y=

y=

8.

x 2 + 2x x2 − 4 .

11.

x x 2 −1 .

x 2 + 2x + 3 y= x+2 . 3.

1 2

x − 2x + 3 .

x−2

x 2 (x + 2 ) .

y=

6.

1 x2 − x .

9.

y=

y=

x +1 2

x + 2x .

x (x + 1) (x − 1)(x + 2 ) .

x2 + x y= x−2 . 12.

17

13.

y=

x2 1− x .

14.

x+2

y=

x2 +1.

15.

y=

1 x2 − x .

Задача 3. Провести полное исследование функции и построить ее график. y=

x2 + x +1

2.

2 4. y = x (1 − x ) .

2 5. y = x (x − 1) .

y=

7. y = x (x − 1) .

8.

10. y = 3 x( x + 1) . 2

2

−x 3. y = xe .

x2 − x +1 .

1. y = 3 x( x + 1) 2 .

6. y = x (x + 2 ) .

x (x + 1)

(x − 2 )2 .

9. y = 3 ( x + 2) 2 − 3 ( x − 1) 2 .

11. y = 3 ( x − 2)( x + 3) 2 .

13. y = 3 ( x + 4) 2 − 3 ( x − 2) 2 .

14.

y=

12.

x+2 x2 +1.

15.

y=

1 2

x +1.

y = ( x + 1)e x +1 .

Задача 4. Построить график функции, заданной параметрически, и провести его исследование с помощью производных.

⎧ x = 4 cos t , 1. ⎨ ⎩ y = 2 sin t.

⎧ x = cos 3t , 2. ⎨ 3 ⎩ y = sin t.

⎧ x = t − sin t , 3. ⎨ ⎩ y = 2(1 − cos t ).

⎧ x = 3cos 2 t , 4. ⎨ 2 ⎩ y = 3sin t.

⎧ x = 10(t − sin t ), 5. ⎨ ⎩ y = 10(1 − cos t ).

⎧ x = cos 2t , 6. ⎨ ⎩ y = sin 2t.

⎧ x = 8cos 3t , 7. ⎨ 3 ⎩ y = sin t.

⎧ x = 5cos t , 8. ⎨ ⎩ y = 3 sin t.

⎧ x = 2(t − sin t ), 9. ⎨ ⎩ y = 6(1 − cos t ).

18

⎧ x = 7 cos t , 10. ⎨ ⎩ y = sin t.

⎧ x = 3 cos t − cos(3t ), 11. ⎨ ⎩ y = 3 sin t − sin(3t ).

⎧ x = 6(t − sin t ), 13. ⎨ ⎩ y = 1 − cos t.

⎧x = t 3 − t, 14. ⎨ 2 ⎩ y = t + 1.

⎧ x = cos 3t , 12. ⎨ 3 ⎩ y = 4sin t. ⎧ x = cos 3t , 15. ⎨ ⎩ y = 2sin3 t.

Задача 5. Построить кривую, заданную в полярной системе координат.

1. ρ = sin( 2ϕ ) .

2. ρ = cos(3ϕ ) .

3. ρ = ϕ 2 .

4. ρ = 1 + sin ϕ .

5. ρ = 2 − cos ϕ .

6. ρ = 3 sin( 4ϕ ) .

7. ρ = cos 2 ( 2ϕ ) .

8. ρ =

10. ρ = cos( 4ϕ ) .

11. ρ = cos ϕ + sin ϕ .

12. ρ =

1 14. ρ = sin(5ϕ ) . 2

15. ρ = 2 + cos( 2ϕ ) .

13.

ρ =ϕ3.

1 + 3 sin ϕ . 2

9.

ρ = eϕ . 1 − sin( 2ϕ ) . 2

19

2. Функции нескольких переменных 2.1 Понятие функции нескольких переменных. Линии уровня Определение 1. Если каждой точке M из множества точек {M } ⊆ R n евклидова пространства по известному закону ставится в соответствие некоторое число u , то говорят, что на множестве {M } задана функция u = f (M ) n переменных x1, x2 ,..., xn , обозначение u = f (x1, x2 ,..., xn ) . Множество {M } называется областью определения функции и обозначается D( f ) . Множество {u} значений функции u = f (M ) называется множеством значений функции и обозначается E( f ) . Значение u0 = f (M 0 ) называется частным значением функции. Очевидно, что 1) {M } ⊆ R ⇒ y = f (x ) – функция одной переменной x ; 2) {M } ⊆ R 2 ⇒ z = f (x; y ) – функция двух переменных x и y ; 3) {M } ⊆ R n ⇒ u = f (x1, x2 ,..., xn ) – функция n переменных x1 , x2 ,..., xn . П р и м е р ы. 1. z = ax + by + c – линейное уравнение называется уравнением плоскости с нормальным вектором n − (a; b;−1) , где числа a, b, c ∈ R , D( f ) = R 2 , E ( f ) = R . 2. Для функции z = 4 − x 2 − y 2 D( f ) = {( x, y ) : 4 − x 2 − y 2 ≥ 0} – круг x 2 + y 2 ≤ 4 , E ( f ) = [0;2] . Пусть мы имеем поверхность σ . Если координаты любой точки M ( x, y, z ) ∈ σ удовлетворяют некоторому уравнению z = f ( x, y ) , то поверхность σ будет называться графиком функции z = f ( x, y ) . Функция трёх, четырёх и т.д. переменных не имеют геометрического изображения в трёхмерном пространстве. В примере 1 графиком функции является плоскость, в примере 2 – полусфера радиусом 2 с центром в начале координат. Линией уровня функции двух переменных z = f (x; y ) называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условию f (x; y ) = c , где c - константа. З а д а н и е 1. С помощью линий уровня исследовать поведение функции x2 y2 и построить ее график. z= − 9 4

Решение. Задаем функцию и стоим графики линий уровня. 2

z( x, y ) :=

x

9

−

y

2

4

20

z

Вывод: при c = 0 линии уровня – это пара пересекающихся прямых, при c ≠ 0 линии уровня – гиперболы. Строим график самой функции z =

x2 y2 и − 9 4

находим эти линии уровня на графике самой функции.

►

z

2.2. Дифференцируемость функции нескольких переменных Пусть функция u = f (x1 , x2 ,..., xn ) определена на некотором открытом множестве {M } ⊆ R n . Определение 2. Частным приращением f в точке M 0 ∈ {M } по переменной xk называется

21 ∆ xk f = f (x10 , x20 ,..., x(k −1)0 , xko + ∆xk , x(k +1)0 ,..., xn 0 ) −

− f ( x10 , x20 ,..., xn 0 ) .

Определение 3. Частной производной по xk функции f в точке M 0 называется lim

∆xk →0

∆ xk f ∆xk

, если он существует.

Функция f (M ) при изменении только одной переменной xk становится функцией одной переменной xk . Частная производная обозначается так: ∂u ∂f , , u′xk , f x′k . ∂xk ∂xk

П р и м е р ы. 3. z = x 2 cos y . Частные производные ∂z = − x 2 sin y . ► ∂y

( ) (2 x − 3)e и − 3x + 2)+ x + y − 3x + 2

z = e xy ⋅ ln x 2 + y 2 − 3x + 2 .

4.

(

∂z = ye xy ln x 2 + y 2 ∂x

(

Частные

∂z = 2 x cos y и ∂x

производные

xy

2

2

)

∂z 2 ye xy = xe xy ln x 2 + y 2 − 3x + 2 + 2 .► ∂y x + y 2 − 3x + 2

Определение 4. Выражение ∆z = f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f (x, y )

(1)

называется полным приращением функции z = f (x, y ) в любой фиксированной точке M (x, y ) ∈ D . Если функция z = f (x, y ) имеет непрерывные частные производные в точке M ( x, y ) ∈ D , то выражение (1) можно записать как ∆z = f x′ ( x, y )∆x + f y′ ( x, y )∆y + β ∆x + β∆y .

(2)

Линейная часть полного приращения функции ∆z относительно ∆x и ∆y в равенстве (2) z′x ∆x + z′y ∆y называется главной частью полного приращения ∆z . Определение 5. Полным дифференциалом функции z = f (x, y ) в точке M ( x, y ) называется главная часть полного приращения ∆z и обозначается dz . Таким образом, dz = z ′x ∆x + z ′y ∆y . Приращения ∆x и ∆y независимых переменных x и y называются дифференциалами и обозначается символами dx и dy : ∆x = dx , ∆y = dy . Тогда формула полного дифференциала примет вид: dz = z ′x dx + z ′y dy . З а м е ч а н и е 1. Для функции трех переменных u = f (x, y, z ) полный дифференциал можно найти по формуле du = u ′x dx + u ′y dy + u ′z dz .

22

Определение 6. Функция z = f (x, y ) называется дифференцируемой в области D , если для любой точки M ∈ D полное приращение находится по формуле

∂z ∂z ∆x + ∆y + α∆x + β ∆y , ∂x ∂y где α и β – бесконечно малые функции вместе с ∆x и ∆y . ∆z =

Теорема 1. Для того чтобы z = f (x, y ) была дифференцируема в области D , необходимо и достаточно, чтобы функция была непрерывна вместе со своими частными производными z′x и z′y в области D . Если z′x и z′y – дифференцируемы в некоторой области D′ , то функции z′x и z′y имеют частные производные, которые назовём частными производными второго порядка (вторыми частными производными) функции z = f (x,y ) . Введём обозначения: ∂ 2z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟, = ⎜ ⎟ или соответственно = ⎜ ⎟, = ⎜ ⎟, ∂x 2 ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x∂y ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂y∂x ∂x ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ∂y 2 ∂y ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ′ , z ′yy ′ . z ′xx′ , z ′xy′ , z ′yx

П р и м е р 5. Найти частные производные второго порядка функции z = x 3 + y 2 + ln (sin y + 5) . ′ ⎛ cos y ⎞ cos y ⎟ x = 0, Решение. z′x = 3 x , z′y = 2 y + , z′xx′ = 6 x , z′xy′ = 0 , z′yx′ = ⎜⎜ 2 y + sin y + 5 sin y ⎟⎠ ⎝ 2

′ = 2+ z′yy

− sin y (sin y + 5) − cos y ⋅ cos y

(sin y + 5)

2

= 2−

1 + 5 sin y

(sin y + 5)2

.►

Аналогично можно ввести частные производные третьего, четвёртого, …, n -ого порядков. Определение 7. Функция z = f (x,y ) , имеющая непрерывные частные производные до n -ого порядка включительно в области D , называется n раз непрерывно дифференцируемой в области D . Теорема 2. Если функция n раз непрерывно дифференцируема в области D , то смешанные частные производные m -ого порядка (m = 2,3,..., n ) не зависят от порядка дифференцирования. Определение 8. Полным дифференциалом второго порядка (вторым полным дифференциалом) называется полный дифференциал от полного дифференциала первого порядка: d 2 z = d (dz ) . Найдём d 2 z .

(

) (

)

(

)

d 2 z = d z′x dx + z′y dy = z′x dx + z′y dy ′ x dx + z′x dx + z′y dy ′ y dy =

′ dy 2 = = z ′xx′ dx 2 + z ′yx dydx + z ′xy′ dxdy + z ′yy ′ dy 2 . = z ′xx′ dx 2 + 2 z ′xy′ dxdy + z ′yy

23

З а м е ч а н и е 2. Для функции трех переменных u = f (x, y, z ) полный дифференциал второго порядка d 2 u = u ′xx′ dx 2 + u ′yy′ dy 2 + u ′zz′ dz 2 + 2u ′xy′ dxdy + 2u ′xz′ dxdz + 2u ′yz′ dydz . Аналогично можно найти полные дифференциалы d 3 z , d 4 z , …, d n z , используя определение: d k z = d (d k −1 z ). З а д а н и е

x y

2. Для функции u = 3 x * y * tg ( z ) − 3 z найти полные

дифференциалы первого и второго порядка в точке M 0 (0,2,0) . Решение. Находим частные производные функции первого порядка и подставляем их в формулу для полного дифференциала первого порядка. x

u ( x, y , z) := 3 y ⋅ tan ( z) − ux( x, y , z) :=

d u ( x, y , z) dx

x z ⋅3 y z

x

ux( x, y , z) → 3 ⋅ y ⋅ ln( 3) ⋅ tan ( z) −

3

y

1

ux( 0 , 2 , 0) → −

2

d uy ( x, y , z) := u ( x, y , z) dy

z

x

uy ( x, y , z) → 3 ⋅ tan ( z) +

3 ⋅x y

2

uy ( 0 , 2 , 0) → 0 uz( x, y , z) :=

d u ( x, y , z) dx

uz( 0 , 2 , 0) → −

z

x

uz( x, y , z) → 3 ⋅ y ⋅ ln( 3) ⋅ tan ( z) −

3

y

1 2

du ( x, y , z) := ux( x, y , z) ⋅ dx + uy ( x, y , z) ⋅ dy + uz( x, y , z) ⋅ dz

du ( 0 , 2 , 0) → −

dx 2

−

dz 2

Вычисляем частные дифференциал. uxx( x, y , z) :=

d

2 2

u ( x, y , z)

dx

производные

x

2

uxx( x, y , z) → 3 ⋅ y ⋅ ln( 3) ⋅ tan ( z)

uxx( 0 , 2 , 0) → 0

uyy ( x, y , z) :=

d

2

dy

2

z

u ( x, y , z)

uyy ( x, y , z) → −

2⋅ 3 ⋅ x y

3

второго

порядка

и

полный

24

uyy ( 0 , 2 , 0) → 0 d

uzz( x, y , z) :=

2 2

u ( x, y , z)

3 ⋅ x⋅ ln( 3) 2 uzz( x, y , z) → 2⋅ 3 ⋅ y ⋅ tan ( z) ⋅ ( tan ( z) + 1) − z

x

2

y

dz uzz( 0 , 2 , 0) → 0 uxy( x, y , z) :=

uxy( 0 , 2 , 0) →

uxz( x, y , z) :=

z

d ux( x, y , z) dy

y

2

x

+ 3 ⋅ ln( 3) ⋅ tan ( z)

1 4

x

d ux( x, y , z) dz

uxz( 0 , 2 , 0) →

3

uxy( x, y , z) →

(

)

2

z

uxz( x, y , z) → 3 ⋅ y ⋅ ln( 3) ⋅ tan ( z) + 1 −

3 ⋅ ln( 3) y

3⋅ ln( 3) 2

d uyz( x, y , z) := uy ( x, y , z) dz

3 ⋅ x⋅ ln( 3) 2 uyz( x, y , z) → 3 ⋅ ( tan ( z) + 1) + z

x

y

2

uyz( 0 , 2 , 0) → 1 2

2

2

ddu(x, y , z) := uxxx ( , y , z)⋅(dx) + uyy(x, y , z)⋅(dy) + uzzx ( , y , z)⋅(dz) + 2⋅uxy(x, y , z)⋅dx⋅dy + 2⋅uxzx ( , y , z)⋅dx⋅dz + 2⋅uyz(x, y , z)⋅dy⋅dz

ddu ( 0 , 2 , 0) →

dx⋅ dy 2

+ 2⋅ dy ⋅ dz + 3⋅ dx⋅ dz⋅ ln( 3)

►

2.3. Производная по направлению и градиент Частные производные z′x и z′y представляют собой производные от функции z = f ( x, y ) по двум частным направлениям осей Ox и Oy . Пусть z = f ( x, y ) - дифференцируемая функция в некоторой области D , M 0 ( x0 , y 0 ) ∈ D . Пусть h - некоторое направление, а h0 = (cos α , sin α ) - орт этого направления. Пусть M ( x0 + ∆x, y 0 + ∆y ) - точка в направлении h от M 0 ( x0 , y 0 ) . Обозначим ∆ρ = ∆x 2 + ∆y 2 . Тогда

∆x ∆y = cos α , = sin α . ∆ρ ∆ρ

Определение 9. Предел отношения

lim ρ ∆ →0

∆h f f ( x 0 + ∆x, y 0 + ∆y ) − f ( x0 , y 0 ) ∂f = lim ( x0 , y 0 ) = ∆ρ ∆ρ ∂h ∆ρ →0

называется производной функции z = f ( x, y ) по направлению h . Так как

∆h f f ( x0 + ∆ρ cos α , y 0 + ∆ρ sin α ) − f ( x 0 , y 0 + ∆ρ sin α ) = cos α + ∆ρ ∆ρ

25

+

f ( x0 , y 0 + ∆ρ sin α ) − f ( x0 , y 0 ) ∂f ∂f sin α → cos α + sin α при ∆ρ → 0 , то ∆ρ ∂x ∂y ∂f ∂f ∂f = cos α + sin α . ∂y ∂h ∂x

Теорема 3. Производная по направлению, касательному к линии уровня поверхности z = f ( x, y ) , равна нулю. З а м е ч а н и е. По аналогии со случаем двух переменных для функции трех переменных u = f ( x, y, z ) производная по направлению вектора h равна ∂f ∂f ∂f ∂f = cos α + cos β + cos γ , ∂y ∂z ∂h ∂x где h0 = (cos α , cos β , cos γ ) - орт направления h .

Определение 10. Градиентом функции u = f ( x, y, z ) называется вектор с

координатами grad u = (

∂f ∂f ∂f , , ). ∂x ∂y ∂z

Теорема 4. Имеет место равенство

∂f = grad u * h , т. е. производная по ∂h

направлению h равна скалярному произведению векторов градиента и орта направления h . Следствие. Вектор grad u в каждой точке направлен по нормали к линии уровня, проходящей через данную точку в сторону возрастания функции. З а д а н и е

3. Найти производную функции u = ln( x 2 + xy 2 − 3z 4 ) по

направлению вектора h = (2,−2,2) в точке M 0 (1,2,1) . Решение. Вычисляем частные производные функции в точке M 0 (1,2,1) .

(2

2

ux( x, y , z) :=

d u ( x, y , z) dx

)

4

u ( x, y , z) := ln x + x⋅ y − 3z

2

ux( x, y , z) →

y + 2⋅ x 2

2

4

x + x⋅ y − 3⋅ z

ux( 1 , 2 , 1) → 3

uy ( x, y , z) :=

d u ( x, y , z) dy

uy ( x, y , z) →

2⋅ x⋅ y 2

2

4

x + x⋅ y − 3⋅ z

uy ( 1 , 2 , 1) → 2

uz( x, y , z) :=

d u ( x, y , z) dx

2

uz( x, y , z) →

y + 2⋅ x 2

2

4

x + x⋅ y − 3⋅ z

uz( 1 , 2 , 1) → 3

Тогда градиент функции в точке M 0 (1,2,1) имеет вид:

26 ⎛ ux( x, y , z) ⎞ gradu ( x, y , z) := ⎜ uy ( x, y , z) ⎜ ⎝ uz( x, y , z) ⎠

⎛3⎞ gradu ( 1 , 2 , 1) → ⎜ 2 ⎜ ⎝3⎠

Находим орт вектора h = (2,−2,2) . ⎛2⎞ h := ⎜ −2 ⎜ ⎝2⎠

2

2

2

dl( h ) := 2 + ( −2) + 2

⎛ 3 ⎞ ⎜ 3 ⎜ ⎟ 1 3⎟ ⎜ h := ⋅h → − 0 ⎜ 3 ⎟ dl( h ) ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎝ 3 ⎠

Откуда производная функции по направлению вектора h = (2,−2,2) равна uh ( x, y , z) := gradu ( x, y , z) ⋅ h → 0

uh ( 1 , 2 , 1) →

(2

)

2⋅ 3⋅ y + 2⋅ x

(2

2

)

4

3⋅ x + x⋅ y − 3⋅ z

−

(2

2⋅ 3⋅ x⋅ y 2

)

4

3⋅ x + x⋅ y − 3⋅ z

4⋅ 3 3

►

2.4. Экстремум функции двух переменных Определение 11. Точка P1 (x1 , y1 ) называется точкой максимума функции z = f ( x, y ) , определённой в области D , если существует δ –окрестность o

точки P1 такая, что для всех точек P(x, y ) ∈ U (P1 , δ ) полное приращение ∆f (x1 , y1 ) = f (x, y ) − f (x1 , y1 ) < 0 . Определение 12. Точка P2 (x2 , y2 ) называется точкой минимума функции z = f ( x, y ) , определённой в области D , если существует δ –окрестность U (P1 , δ ) ⊂ D

o

точки P2 такая, что для всех точек P(x, y ) ∈ U (P2 , δ ) полное приращение ∆f (x2 , y2 ) = f (x, y ) − f (x2 , y2 ) > 0 . Определение 13. Точка max или точка min функции z = f (x, y ) называется точкой экстремума (точкой ext). Определение 14. Значения функции z = f (x, y ) в точках max и точках min называются соответственно максимальными (max) и минимальными (min) значениями функции z = f (x, y ) . Теорема 5(необходимые условия существования ext). Если точка P0 (x0 , y0 ) ∈ D является точкой ext, то в этой точке обе частные производные z′x и z′y равны нулю. U (P2 , δ ) ⊂ D

27

З а м е ч а н и е. В точках ext частные производные могут и не существовать. П р и м е р 6. z 2 = x 2 + y 2 – конус. Точка P0 (0;0) – точка ext, в которой z ′x и z ′y не существуют. Обратная теорема не верна. П р и м е р 7. z = xy ; z′x = y , z′y = x , ⎧ z′x = 0, ⎨ ′ ⎩ zy = 0

⎧y = 0 ⇒ ⎨ ⎩x = 0

имеем точку (0;0) .

В любой малой окрестности точки (0;0 ) приращение ∆f (0,0) не сохраняет знака. Следовательно, точка (0;0 ) не является точкой экстремума. Определение 15. Точки, в которых z′x и z′y равны нулю или не существуют, называются критическими точками на ext. Теорема 6(достаточный признак). Пусть функция z = f (x, y ) трижды непрерывно дифференцируема и точка P0 (x0 , y0 ) критическая, т.е. z′x = 0 и z ′y = 0 в точке P0 . Если полный дифференциал d 2 f (P0 ) знакопостоянен, то точка P0 является точкой экстремума, причем точкой max, если d 2 f (P0 ) < 0 и точкой min, если d 2 f (P0 ) > 0 . d 2 f (P0 ) = z ′xx′ dx 2 + 2 z ′xy′ dxdy + z ′yy′ dy 2 – квадратичная форма относительно приращений dx и dy . Введём обозначения: z′xx′ P = a20 , z′xy′ P = z′yx′ P = a11 , 0

′ z′yy

P0

0

0

= a02 .

Определение 16. Квадратичная форма d 2 f (P0 ) называется положительно

определённой (отрицательно определённой), если a20 ⋅ a02 − a112 =

a20

a11

a11

a02

>0 и

a 20 > 0 ( a 20 < 0 ).

Таким образом, a20

a11

a11

a02

2)

a20 a11

a11 > 0 , a20 < 0 ⇒ точка P0 ( x0 , y0 ) – точка max, a02

3)

a20 a11

a11 < 0 ⇒ точка P0 не является точкой экстремума; a02

a20

a11

a11

a02

З

а

1)

4)

> 0 , a20 > 0 ⇒ точка P0 ( x0 , y0 ) – точка min;

= 0 ⇒ требуется дополнительное исследование для точки P0 .

д

а

н

и

е

4.

Найти

критические

1 x y z = xy + (47 − x − y )( + ) и исследовать их характер. 2 3 4

Решение. Найдем частные производные первого порядка.

точки

функции

28 z( x, y ) :=

zx( x, y ) :=

d z( x, y ) dx

zy( x, y ) :=

d z( x, y ) dy

1 2

x⋅ y + ( 47 − x − y ) ⎛⎜

x

⎝3

zx( x, y ) →

zy( x, y ) →

y⎞

+

47 3

47

4⎠ −

−

4

y 12

y 2

−

2⋅ x 3

x

−

12

Для нахождения критических точек решим систему. Given zx( x, y )

0

zy( x, y )

0

Find( x, y ) →

⎛ 21 ⎞ ⎜ ⎝ 20 ⎠

Точка (21,20) – критическая. С помощью частных производных второго порядка проверим достаточное условие существования экстремума. a20( x, y ) :=

d

2 2

z( x, y )

a02( x, y ) :=

dx

∆ ( x, y ) :=

d

2

dy

2

z( x, y )

a11( x, y ) :=

d zx( x, y ) dy

⎛ a20( x, y ) a11( x, y) ⎞ ⎜ ⎝ a11( x, y ) a02( x, y) ⎠

∆ ( 21, 20) →

47

a20( 21, 20) → −

144

2 3

Получили, что точка (21,20) является точкой максимума.►

2.5. Задачи для самостоятельной работы Задача 1. С помощью линий уровня исследовать поведение функции и построить ее график.

1. z =

x2 y2 . + 4 25

4. z = x + y . 2

x y

7. z = .

2

2. z =

x2 y2 . − 9 4

x2 6. z = − + y 2 . 5

5. z = x * y . 8. z = − x 2 +

3. z = xy .

y2 . 16

9. z = x 2 − 10 .

29 x2 y2 − . 4 4 x2 y2 13. z = − . 25 9

10. z = −

y . x

11. z = 3x 2 y 2 .

12. z =

14. z = x 2 + 1 .

15. z = 2 x − y 2 .

Задача 2. Для указанной функции найти полные дифференциалы первого

и второго порядка в точке P .

( )

y 1. u = (x + z ) + x ln(yz) , Р(1,2,3);

2 yz 2. u = ln x z + x , Р(1,-1,2);

y x 3. u = z + y , Р(2,3,4);

4. u = z ln (x + y ) + z , Р(1,1,1);

y z 5. u = x + y , Р(1,2,2);

6. u = ln (x + yz ) + xyz , Р(3,1,2);

y

z y

2 x 2 8. u = z e + z y , Р(1,2,3);

7. u = xe , Р(1,1,2); 2

⎛ π⎞ P⎜1,1, ⎟ 10. u = cos(xyz ) , ⎝ 2 ⎠ ;

xy

9. u = xyz + x + e , Р(1,-1,0); 11.

u = x ln

(

y z , Р(1,4,2); 2

2

2

12. u = xyz , Р(3,3,1);

)

13. u = ln x + y + z , Р(1,3,4);

⎛ π ⎞ P⎜1, ,1⎟ 14. u = cos(xy ) + sin (yz) + z , ⎝ 2 ⎠ ; x

y x 15. u = z + y , Р(2,2,3).

Задача 3. Для указанной функции найти производную по направлению вектора h в точке M 0 .

x+ y , M 0 (0,1,1), h = (−1,1, 2 ) . z 2. u = z x + y , M 0 (0,0,2), h = (1,−1,1) .

1. u =

π π

3. u = z sin( x + y ), M 0 ( , ,0), h = (1,1,1) . 4 4 z 4. u = ( xy ) , M 0 (1,1,0), h = (0,3,4) .

30

5. u = x ln( y + z ), M 0 (0,1,4), h = (2,2,−1) . y 6. u = arctg , M 0 (3,−1,3), h = (3,4,−5) . x−z 7. u = e xyz , M 0 (1,1,1), h = (6,3,−6) .

8. u = x 2 − y 2 + z 2 , M 0 (2,2,1), h = OM 0 . 9. u = 2

x2 + y 2 + z 2

, M 0 (−2,0,1), h = (8,−4,8) .

y 10. u = x ln , M 0 (3,−1,3), h = (−6,3,6) . z z 11. u = , M 0 (0,1,1), h = (1,0.5,1) . x+ y x2 + y2 12. u = ln , M 0 (0,1,1), h = (1,−1,1) . z 13. u = z x + y , M 0 (0,0,2), h = (1,−1,1) . 14. u = 2 x 2 + y 4 + e 3 z , M 0 (0,2,0), h = (3,−4,0) . π xy 15. u = tg , M 0 ( ,1,1), h = ( 3, 3, 3 ) . z 4 Задача 4. Найти критические точки функции и исследовать их характер. 2 2 1. z = 2 x − 4 xy + y − 2 x + 6 y + 3 ;

2 2 2. z = 3x + 6 y − x − xy + y = 7 ;

2 2 3. z = x − xy + y + 9 x − 6 y + 20 ;

2 2 4. z = x + 2 xy + 4 y + 2 x − 8 y + 1 ;

2 2 5. z = 5x − 8xy + 2 y + 2 y + 2 ;

2 2 6. z = 2 x + 4 xy − y + 4 x − 4 ;

2 2 7. z = 3x − 3xy + 2 y + 4 y + 2 ;

2 2 8. z = x + xy + 2 y + 8x + 4 y − 2 ;

2 2 9. z = 2x − 5xy − y + 4 x − y + 3 ;

2 2 10. z = 3x + 4 xy + y − x + 2 y + 7 ;

2 2 11. z = 4x − 3xy + 2 y − 5x + 3y + 8 ;

2 2 12. z = 5x − xy + 2 y − 3x + 5 y + 9 ;

2 2 13. z = 3x + 2 xy + y − 4 x + y + 7 ;

2 2 14. z = 3x − 5xy + 2 y − x + 2 y + 5 ;

2 2 15. z = 5x − xy + 2 y − 3x + y + 1 .

31

Содержание

Предисловие…………………………………………………………… 2 Функции одной переменной……………………………………….. 1.1. Исследование функций с помощью первой производной…….. 1.2. Выпуклость и вогнутость функций……………………………... 1.3. Асимптоты графика функции…………………………………… 1.4. Схема исследования функции………………………………….... 1.5. Исследование функций, заданных параметрически…………… 1.6. Кривые в полярной системе координат…………………………. 1.7. Задачи для самостоятельной работы…………………………….

3 3 5 6 8 11 14 16

Функции нескольких переменных………………………………… 2.1 Понятие функции нескольких переменных. Линии уровня…… 2.2. Дифференцируемость функции нескольких переменных…….. 2.3. Производная по направлению и градиент……………………… 2.4. Экстремум функции двух переменных…………………………. 2.5. Задачи для самостоятельной работы…………………………….

19 19 20 24 26 28