Разрешимые группы и многообразия l-групп

Алгебра и логика, 44, № 3 (2005), 355—367

УДК 512.545

РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ И МНОГООБРАЗИЯ l-ГРУПП∗)

Н. Я. МЕДВЕДЕВ

В работе приводится достаточное условие, при котором факторы системы нормальных выпуклых подгрупп линейно упорядоченной группы (л. у. группы) абелевы (теор. 2.2). Определяется достаточное условие, при котором факторы системы нормальных выпуклых подгрупп л. у. группы содержатся в многообразии групп V (теор. 2.4). В частности, у любой разрешимой л. у. группы G ступени разрешимости n, n > 2, факторы системы нормальных выпуклых подгрупп являются разрешимыми л. у. группами ступени разрешимости, не превосходящей n − 1 (следствие 2.5). Доказывается (теор. 3.2), что многообразие всех решёточно упорядоченных групп R, аппроксимируемых л. у. группами, не совпадает с многообразием, порождённым всеми разрешимыми л. у. группами. Показывается: если V — произвольное o-аппроксимируемое многообразие l-групп и на V нарушается любое тождество сигнатуры теории групп, то V содержит свободные л. у. группы (теор. 4.1). Из теоремы 3.2 следует ответ на [1, пробл. 5.24]. Теорема 4.1 даёт ответ на [2, пробл. 18]. § 1. Предварительные сведения и обозначения В работе в основном используются стандартные обозначения, принятые в теории групп и теории упорядоченных групп (см. [3–5]). Как обычно, ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке программы „Университеты Рос-

сии“, проект УР 04.01.001.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

356

Н. Я. Медведев

через Z, N обозначаются множества целых и натуральных чисел, соответственно. Запись x ≪ y в л. у. группе G означает, что |x|n ≤ |y| для любого натурального числа n, |x| = x ∨ x−1 . Элементы x, y называют архимедово эквивалентными (записывают x ∼ y), если |x|n ≤ y и |y| ≤ |x|m для подходящих натуральных чисел m и n. Рассмотрим следующие классы групп: 1) A — многообразие абелевых групп; 2) P — класс всех периодических групп, т. е. групп, любой элемент которых в некоторой степени равен единице группы; 3) E — класс всех энгелевых групп, т. е. групп, для любых двух элементов x, y которых выполняется равенство [x, y, . . . , y ] = e для некоторого | {z } t

натурального числа t = t(x, y), зависящего от элементов x, y;

4) En — класс всех ограниченно энгелевых групп ступени, не превосходящей n, т. е. групп, для любых двух элементов x, y которых выполняется равенство [x, y, . . . , y ] = e, где n — некоторое натуральное число; | {z } n

5) An — многообразие разрешимых групп ступени разрешимости, не

превосходящей n (n ∈ N); 6) Nn — многообразие нильпотентных групп ступени нильпотентности, не превосходящей n (n ∈ N). Пусть X, Y — абстрактные классы групп. Через X · Y обозначается класс, состоящий из групп G, обладающих нормальной подгруппой H такой, что H ∈ X и G/H ∈ Y. Систему подгрупп группы G E < . . . < Hα < . . . < Hβ < Hβ+1 < . . . < G обозначим через Σ(G). Если в Σ(G) существует пара подгрупп Hβ < Hγ и между ними нет других подгрупп из Σ(G) (т. е. γ = β + 1), то говорят, что они образуют скачок и используется запись Hβ ≺ Hγ . Пусть G — линейно упорядоченная группа, Σ(G) — система всех её выпуклых подгрупп. Следующие свойства выпуклых подгрупп известны как групповые условия упорядочиваемости (см. [7]):

Разрешимые группы и многообразия l-групп

357

1) Σ(G) линейно упорядочена относительно включения, замкнута относительно сопряжения элементами группы G, а также относительно теоретикомножественного объединения и пересечения любого семейства своих элементов; 2) каждая подгруппа из Σ(G) строго изолирована в группе G; 3) если Hα ≺ Hα+1 — скачок подгрупп в системе Σ(G), то [Hα+1 , [NG (Hα ), NG (Hα )]] ≤ Hα ; 4) если Hα ≺ Hα+1 — скачок подгрупп в системе Σ(G), то Hα — нормальная подгруппа в Hα+1 и фактор-группа Hα+1 /Hα абелева. Факторгруппы Hα+1 /Hα системы подгрупп Σ(G) будем называть факторами системы Σ(G). Решёточно упорядоченные группы (l-группы) рассматриваем в сигнатуре l = h·, −1 , e, ∨, ∧i. Класс l-групп R, состоящий из всех l-групп, аппроксимируемых л. у. группами, является многообразием l-групп [4].

§ 2. Система выпуклых нормальных подгрупп в разрешимых линейно упорядоченных группах Для л. у. группы G через ΣN (G) обозначается система нормальных выпуклых подгрупп группы G. ЛЕММА 2.1. Пусть G — л. у. группа, H — её неединичная выпуклая подгруппа, являющаяся наименьшей выпуклой нормальной подгруппой в группе G. Если H неархимедова, то для любых двух положительных элементов h, d ∈ H существует элемент g ∈ G такой, что hg ≪ d. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Hα+1 ≻ Hα — скачок выпуклых подгрупп, определяемый элементом h. Если Hα+1 — нормальная подгруппа, то Hα — также нормальная подгруппа. Отсюда E = Hα , Hα+1 = H и подгруппа H архимедова, что невозможно. Поэтому можно считать, что T g Hα+1 — нормальная подгруппа группы G, и Hα+1 6= H. Тогда H = g∈G

H ⊆ Hα+1 ⊆ H, откуда вытекает H = E. Поскольку выпуклая подгруппа

358

Н. Я. Медведев

Hα+1 инфраинвариантна и d ∈ / H, для некоторого элемента g ∈ G выполg и, следовательно, d ≫ hg . няется d ∈ / Hα+1

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть G — л. у. группа из класса групп AEP. Тогда факторы системы ΣN (G) выпуклых нормальных подгрупп группы G являются абелевыми группами. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В группе G существуют нормальные подгруппы N и A такие, что 1) A абелева, 2) A ≤ N , 3) фактор-группа G/N периодическая, 4) фактор-группа N/A энгелева. Пусть U ≻ V — скачок нормальных подгрупп в системе выпуклых нормальных подгрупп л. у. группы G. Переходя к фактор-группе G/V , можно добиться того, чтобы G была л. у. группой, удовлетворяющей условиям теоремы, U — наименьшей неединичной выпуклой нормальной подгруппой л. у. группы G. Предположим, что подгруппа U неабелева (и значит, неархимедова). Тогда существуют x, y ∈ U такие, что x, y > e и x−1 y −1 xy = [x, y] 6= e. Предположим для определённости, что [x, y] > e. При этом условии справедливо y −1 xy > x и, следовательно, y −k xt y k > xt для любых натуральных чисел t, k, причём [xt , y k ] 6= e. Поэтому заменой x на xt , y на y k можно добиться, чтобы x, y ∈ N ∩ U . Пусть K = {x−1 , x, y, y −1 }. Обозначим через Ω множество всевозможных произведений элементов K, содержащих не более четырёх сомножителей. Рассмотрим конечное подмножество элементов выпуклой подгруппы U : M = {x, y, |[x, y]|, |[x, y]|ω | ω ∈ Ω}. Положим m0 = min M . По лемме 2.1 существуют элементы b и c такие, t

что xb ≪ m0 , y c ≪ m0 . Тогда xb ≪ xb

t−1

l

. . . ≪ xb ≪ m0 и y c ≪ y c

l−1

... ≪

≪ y c ≪ m0 для любых натуральных чисел t, l. Заменой b и c на подходящие степени bt и cl можно добиться того, чтобы b, c ∈ N . Рассмотрим коммутаторы [x, b, . . . , b] и [y, c, . . . , c]. Поскольку фактор-группа N/A эн| {z } | {z } n m гелева, для некоторых натуральных чисел n, m выполняется [x, b, . . . , b], [y, c, . . . , c] ∈ A. | {z } | {z } n

m

Разрешимые группы и многообразия l-групп

359

Более того, ввиду нормальности подгруппы A можно считать, что n, m являются чётными натуральными числами. Коммутатор w = [x, b, . . . , b] | {z } t

n

является произведением степеней элементов x, xb , . . . , xb , причём сомножитель x входит в запись w ровно один раз. Аналогичные рассуждения справедливы и для [y, c, . . . , c]. Теперь рассмотрим коммутатор | {z } m

u = [[x, b, . . . , b], [y, c, . . . , c]]. | {z } | {z } n

m

Используя сопряжения, его можно представить в виде u = x−1 y −1 xyw = [x, y]w, где w — произведение элементов вида i

j

i

j

xb , y c , xb ω , y c ω , 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 m, ω ∈ Ω. По выбору элементов b, c верно i

j

xb , y c ≪ [x, y], [x, y]ω . Отсюда w ≪ [x, y] и, следовательно, w 6= e, что невозможно по начальному предположению. СЛЕДСТВИЕ 2.3 (см. также [8, теор. 2.2.1]). Пусть G — двуступенно разрешимая л. у. группа. Тогда система ΣN (G) выпуклых нормальных подгрупп группы G удовлетворяет групповым условиям упорядочиваемости 1–4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Справедливость свойств 1, 2 очевидна, свойство 4 доказано выше. Покажем справедливость свойства 3. Пусть U ≻ ≻ V — скачок выпуклых нормальных подгрупп л. у. группы G. Переходя к фактор-группе G/V , можно добиться, чтобы U была наименьшей выпуклой нормальной неединичной подгруппой л. у. группы G. Достаточно показать, что [U, G′ ] = e в G. Предположим противное. Если выпуклая подгруппа U архимедова, то это условие очевидно. Итак, U — неархимедова, и существуют e < x ∈ U , e < y ∈ G′ такие, что [x, y] 6= e. По лемме 2.1

360

Н. Я. Медведев

найдётся элемент b ∈ G, для которого xb ≪ {[x, y]y

−1 x−1 y

, [x, y]y

−1 x−1

}.

Отсюда [[x, b]−1 , y] = x−1 xb y −1 (xb )−1 xy = x−1 y −1 xyxby По выбору элемента b справедливо xby

−1 xy

−1 xy

xbxy .

, (xbxy )−1 ≪ [x, y], тогда w 6= e,

что противоречит двуступенной разрешимости группы G. ТЕОРЕМА 2.4. Пусть V — многообразие групп, содержащее многообразие абелевых групп A. Тогда факторы системы ΣN (G) выпуклых нормальных подгрупп л. у. группы G из класса групп V · E являются л. у. группами из многообразия групп V. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Σ = {vi (x1 , . . . , xn(i) ) = e | i ∈ I} — базис тождеств многообразия групп V, и л. у. группа G удовлетворяет условиям теоремы. Тогда в группе G существует нормальная подгруппа N такая, что 1) N ∈ V; 2) фактор-группа G/N энгелева. Пусть U ≻ V — скачок нормальных подгрупп в системе выпуклых нормальных подгрупп л. у. группы G. Переходя к фактор-группе G/V , добьёмся, чтобы G была л. у. группой, удовлетворяющей условиям теоремы, U — наименьшей неединичной выпуклой нормальной подгруппой л. у. группы G и U ∈ / V. Существует некоторое тождество v(x1 , . . . , xn ) = e из множества Σ, невыполнимое на группе G. Тогда найдутся элементы g1 , . . . , gn ∈ G такие, что v(g1 , . . . , gn ) 6= e. По определению v(x1 , . . . , xn ) = xεi11 · · · xεikT является некоторым произведением T элементов xij ∈ {x1 , . . . , xn } в степенях ±1. Поэтому v(g1 , . . . , gn ) = giε11 · · · giεkT . Пусть Ω — множество всевозможных произведений ω(y1 , . . . , yn ) элементов g1 , . . . , gn группы G в степенях ±1, число сомножителей которых не превосходит T . Поскольку V ⊇ A, выпуклая подгруппа U неабелева, а тогда и неархимедова. По лемме 2.1 существуют элементы b1 , . . . , bn ∈ G такие, что gibi ≪ {g1 , . . . , gn , v(g1 , . . . , gn ), v(g1 , . . . , gn )ω(g1 ,...,gn ) },

Разрешимые группы и многообразия l-групп b2

361 bt

где ω(g1 , . . . , gn ) ∈ Ω. Очевидно, gi ≫ gibi ≫ gi i ≫ . . . ≫ gi i для любого натурального t. Поскольку фактор-группа G/N энгелева, существуют такие натуральные числа mi = mi (gi , bi ), что ui = [gi , bi , . . . , bi ] ∈ N. | {z } mi

Ввиду нормальности подгруппы N можно считать, что mi (i = 1, . . . , n) являются чётными натуральными числами. Коммутатор ui представляет собой произведение степеней элементов gi , gi bi , . . . , gi bi

mi

, а сомножитель gi

входит в запись w ровно один раз, причём со знаком плюс в силу чётности mi . Рассмотрим при x1 = u1 = [y1 , b1 , . . . , b1 ], . . . , xn = un = [gn , bn , . . . , bn ] | {z } | {z } m1

значение группового слова

mn

v([g1 , b1 , . . . , b1 ], . . . , [gn , bn , . . . , bn ]) = | {z } | {z } m1

mn

= [gi1 , b1 , . . . , b1 ]ε1 · · · [gik , bik , . . . , bik ]εT = | {z } | {z } mi1

mik

= giε11 · · · giεkT · w = v(g1 , . . . , gn ) · w,

где w = w(g1b1 , . . . , gnbn ) — групповое слово от g1b1 , . . . , gnbn и их сопряжений элементами из Ω. В силу предположения все эти элементы много меньше v(g1 , . . . , gn ). Поскольку v(g1 , . . . , gn ) 6= e, выполняется v([g1 , b1 , . . . , b1 ], . . . , [gn , bn , . . . , bn ]) 6= e, | {z } | {z } m1

mn

что невозможно. Поэтому выпуклая подгруппа U содержится в многообразии групп V. Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ 2.5. 1) Пусть G — л. у. группа из класса групп En E. Тогда факторы системы ΣN (G) выпуклых нормальных подгрупп группы G принадлежат классу En . 2) Пусть G — л. у. группа из класса групп Nn E. Тогда факторы системы ΣN (G) выпуклых нормальных подгрупп группы G принадлежат классу Nn .

362

Н. Я. Медведев СЛЕДСТВИЕ 2.6. Пусть G — л. у. разрешимая группа ступени

разрешимости n (n > 2). Тогда факторы системы ΣN (G) выпуклых нормальных подгрупп групп G являются разрешимыми группами ступени разрешимости, не превосходящей n − 1. СЛЕДСТВИЕ 2.7 (см. также [7]). Разрешимая неабелева л. у. группа обладает собственной выпуклой нормальной подгруппой. Следующий пример показывает, что ступень разрешимости факторов системы ΣN (G) в условиях следствия 2.6, а также ступени энгелевости и нильпотентности факторов системы ΣN (G) в условиях следствия 2.5 понизить нельзя. ПРИМЕР. Пусть B — л. у. нильпотентная группа ступени нильпотентности 2, (a) — бесконечная циклическая группа, упорядоченная линейно относительно некоторого линейного порядка. Рассмотрим группу G = Bwr(a) (см. [3]), являющуюся ограниченным сплетением группы B и бесконечной циклической группы (a). Любой элемент h ∈ G однозначно представим в виде h = an ga . . . ga , где Ba ∼ = B, ga ∈ Ba , a1 < . . . < ak 1

k

i

i

i

при линейном порядке бесконечной циклической группы (a). Положим h = an ga1 . . . gak > e, если an > e при линейном порядке группы (a) или n = 0 и gak > e. Непосредственная проверка показывает, что система ΣN (G) выпуклых нормальных подгрупп л. у. группы G состоит из трёх подгрупп E ≤ F ≤ G, где F = fun((a), N ) — база сплетения G = N wr(a), при этом группа G разрешима ступени 3 и F разрешима ступени 2. Это показывает, что ступень разрешимости факторов системы ΣN (G) в следствии 2.6 понизить нельзя. Далее, G ∈ N2 E и F ∈ E2 ∩N2 . Это показывает, что ступени энгелевости и нильпотентности факторов системы ΣN (G) в следствии 2.5 понизить также нельзя. § 3. Разрешимые o-аппроксимируемые многообразия l-групп Пусть F (x, y) — свободная группа со свободными порождающими x, y, F ′ (x, y) — коммутант группы F (x, y). Любой элемент u(x, y) из F ′ (x, y)

Разрешимые группы и многообразия l-групп

363

называется коммутаторным словом от x, y. Рассмотрим следующие термы сигнатуры теории l-групп: Φ1 (x, y) = (|[[x, y], [x, y]x ]| ∨ |[[x, y], [x, y]x ]| ∨ |[[x, y], [x, y]y ]| −1

∨ |[[x, y], [x, y]y ]| ∨ |[x, y]|2 )|[x, y]|−2 . −1

Пусть u(x, y) — произвольное коммутаторное слово от x, y. Положим Φ2 (u(x, y), x, y) = |(|[x, y]|u(x,y) ∧ (|[x, y]| ∨ |[x, y]|x ∨ |[x, y]|x

−1

∨ |[x, y]|y ∨ |[x, y]|y ))| · |[x, y]u(x,y) |−1 . −1

Рассмотрим тождество сигнатуры l-групп Φu = (∀x)(∀y)(|Φ1 (x, y)| ∧ |Φ2 (u(x, y), x, y)| = e). ТЕОРЕМА 3.1. В любой разрешимой л. у. группе для любого коммутаторного слова u(x, y) выполняется тождество Φu . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть G — произвольная л. у. разрешимая группа, x = a, y = b, где a, b — произвольные элементы из G. Поскольку в значения термов Φ1 (a, b), Φ2 (u(a, b), a, b) входят только элементы подгруппы gp(a, b), порождённой элементами a, b, можно считать, что G = gp(a, b). Если Φ1 (a, b) = e, то |Φ1 (a, b)| ∧ |Φ2 (u(a, b), a, b)| = e в л. у. группе G. Пусть Φ1 (a, b) > e. Непосредственно из определения Φ1 (x, y) следует выполнимость одного из неравенств |[[a, b], [a, b]a ]| > |[a, b]|2 , |[[a, b], [a, b]a ]| > |[a, b]|2 , −1

|[[a, b], [a, b]b ]| > |[a, b]|2 , |[[a, b], [a, b]b ]| > |[a, b]|2 . Предположим, для опре−1

деленности, что выполняется первое из них. В качестве D возьмём выпуклую нормальную подгруппу группы G, порождённую элементом [a, b], в качестве C — наибольшую выпуклую нормальную подгруппу группы G, не содержащую коммутатор [a, b]. Группа G конечно порождена, отсюда и по теореме Леви [6] коммутант G′ группы G содержится в собственной выпуклой подгруппе. Следовательно, D 6= G. Поскольку фактор-группа G/D коммутативна, коммутант G′ содержится в выпуклой подгруппе D. В силу предположения в л. у. относительно индуцированного порядка факторгруппе G = G/C выпуклая подгруппа D = D/C разрешима, неабелева, а

364

Н. Я. Медведев

фактор-группа G/D является абелевой группой без кручения ранга 1 или 2. Выпуклая нормальная подгруппа D является разрешимой неабелевой л. у. группой. Известно, что любая неабелева разрешимая группа имеет собственную выпуклую нормальную подгруппу [7]. Пусть Dα ≺ Dα+1 — скачок выпуклых нормальных в D подгрупп, определяемый коммутатором [a, b], где a, b — образы элементов a, b при естественном гомоморфизме G ′

на G. Из D ⊇ G следует [a, b]u(a,b) ∈ Dα+1 \ Dα для любого коммутаторноa го слова u(x, y). Если Dα = {e}, то Dα+1 6= {e}, откуда Dα+1 = Dα+1 , b Dα+1 = Dα+1 , и Dα+1 — неединичная нормальная выпуклая подгруп-

па группы G. Следовательно, Dα+1 = D и в выпуклой подгруппе D нет нетривиальных выпуклых и нормальных в D подгрупп. Это противоречит вышеприведённому результату из [7]. Пусть {e} = 6 Dα , тогда Dαa 6= Dα или Dαb 6= Dα , в противном случае выпуклая подгруппа Dα являлась бы нетривиальной нормальной выпуклой подгруппой группы G, содержащейся в D. Поэтому для некоторого −1

z ∈ {a, a−1 , b, b

} верно включение Dαz ⊇ Dα . Значит, |[a, b]|z ≫ |[a, b]|u(a,b) ,

откуда следует выполнимость неравенства |[a, b]|z ≫ |[a, b]|u(a,b) в группе G и |Φ2 (u(x, y), x, y)| = e. Итак, |Φ1 (a, b)| ∧ |Φ2 (u(a, b), a, b)| = e и Φu выполняется на л. у. группе G. Покажем теперь, что существуют тождества вида Φu , не выполняющиеся на всех л. у. группах. Рассмотрим группу из [9] (см. также [10, гл. I, § 2, пример 8]). Пусть Q — л. у. аддитивная группа рациональных чисел. Группа Клиффорда G порождается множеством элементов {g(r) | r ∈ Q}, удовлетворяющих определяющим соотношениям   r1 + r2 g(r1 ) g(r1 )g(r2 ) = g 2 при r1 > r2 . Каждый элемент a 6= e из группы G записывается в виде a = g(r1 )m1 · · · g(rk )mk , r1 < r2 < . . . < rk , mi 6= 0 однозначно. Положим a > e, если mk > 0. Тогда группа G становится л. у. группой. Полагая a = g(0)−1 , b = g(32)−1 , u(a, b) = [a, b3 ]2 , получаем [a, b] = g(0)g(16)−1 , |[a, b]|2 = g(8)−1 g(12)−1 g(16)2 ,

Разрешимые группы и многообразия l-групп [a, b]a = g(−4)−1 g(0)2 g(16)−1 , [a, b]a [a, b]b = g(16)g(24)−1 , [a, b]b

−1

−1

365

= g(−16)g(16)−1 ,

= g(−32)g(0)−1 ,

|[[a, b], [a, b]b ]| = g(8)g(12)−1 g(18)−1 g(20). Отсюда |[[a, b], [a, b]b ]| > |[[a, b]|2 и Φ1 (a, b) > e. Далее, u(a, b) = = g(−14)g(0)g(28)−1 , |[a, b]|u = g(14)−1 g(18)g(24)−1 g(25) и Φ2 (u(a, b), a, b) < e. Тем самым доказана ТЕОРЕМА 3.2. Объединение разрешимых o-аппроксимируемых многообразий в решётке многообразий решёточно упорядоченных групп не совпадает с многообразием всех o-аппроксимируемых решёточно упорядоченных групп. Отсюда следует отрицательный ответ на [1, пробл. 5.24]: СЛЕДСТВИЕ 3.3. Свободная l-группа Fn многообразия всех oаппроксимируемых l-групп R не аппроксимируется разрешимыми л. у. группами при любом n > 2.

§ 4. Многообразия l-групп и групповые тождества Следующая теорема даёт ответ на [2, § 2, пробл. 18]. ТЕОРЕМА 4.1. Пусть V — произвольное o-аппроксимируемое многообразие l-групп, и на нём нарушается любое тождество сигнатуры теории групп. Тогда V содержит свободные л. у. группы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть F (x, y) — свободная группа с порождающими x, y. Выделим в F (x, y) все неединичные элементы и перенумеруем их: w1 (x, y), w2 (x, y), . . . , wt (x, y), . . . .

(1)

Определим новую последовательность слов по следующему правилу: u1 (x, y) = w1 (x, y), u2 (x, y) = [u1 (x, y), wn1 (x, y)],

(2)

366

Н. Я. Медведев

где wn1 (x, y) — первый элемент из (1) такой, что элементы u1 и wn1 (x, y) не перестановочны. Пусть элемент uk = [uk−1 , wnk−1 ] уже определён. Тогда полагаем uk+1 = [uk , wnk ], где nk−1 < nk , и nk — первый номер элемента из (1), при котором uk и wnk не перестановочны. Отметим, что uk перестановочен с любым элементом свободной группы wt при wnk−1 < t < wnk (если таковые существуют). Предположим, что в некоторой л. у. группе G значение слова uk+1 (a, b) равно [uk (a, b), wk (a, b)] (6= 1) при x = a, y = b. Тогда uk (a, b), wk (a, b) 6= 1 в G. Поскольку слова un и wt свободной группы F (x, y) перестановочны при nk−1 < t < nk и группа G не имеет кручения, то wt (a, b) 6= 1 в G при nk−1 < t < nk . Аналогичные рассуждения показывают, что в этом случае в группе G выполняется wt (a, b) 6= 1 для любого t, 1 6 t 6 nk . По условиям теоремы в o-аппроксимируемом многообразии l-групп V нарушаются все тождества u1 , u2 , . . . , uk . . . (эквивалентно, все групповые тождества от двух переменных x, y). Поэтому для любого uk (x, y) существует л. у. группа Gk , а в ней элементы ak , bk такие, что uk (ak , bk ) 6= e в Gk . Q Gk /F групп Gk по неглавному Рассмотрим ультрапроизведение k∈N Q Gk /F рассмотрим элементы aF, bF такие, что ультрафильтру F. В k∈N Q Gk /F, порожa(k) = ak , b(k) = bk . Пусть H2 = gp(aF, bF) — подгруппа k∈N

дённая элементами aF, bF. Покажем, что H2 свободна. Пусть ω(x, y) —

произвольное слово от x, y. Тогда ω(x, y) = wt (x, y) для некоторых t ∈ ∈ N. В силу построения последовательности (2) и того, что в л. у. группе Gk выполняются неравенства uk (ak , bk ) 6= 1, справедливы неравенства w1 (ak , bk ), w2 (ak , bk ), . . . , wk (ak , bk ) 6= 1. Поэтому ω(a, b)k = wt (ak , bk ) 6= 1 для всех k > t. В силу выбора ультрафильтра имеем ω(a, b)F 6= 1 в Q Gn /F. Поскольку ультрапроизведение л. у. групп является л. у. групn∈N

пой, группа H2 — л. у. свободная группа.

ЛИТЕРАТУРА 1. Нерешённые вопросы теории групп. Коуровская тетрадь, 15-е изд., Новосибирск, Ин-т матем. СО РАН, 2002.

Разрешимые группы и многообразия l-групп

367

2. В. М. Копытов, Н. Я. Медведев, Нерешённые вопросы теории частично упорядоченных групп, 5-я Сибирск. школа многообраз. алгебр. систем, Барнаул, 1988; Тез. докл., Барнаул, АГУ, 1988, 90—99. 3. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, М., Наука, 1977. 4. В. М. Копытов, Решёточно упорядоченные группы, М., Наука, 1984. 5. V. M. Kopytov, N. Ya. Medvedev, The theory of lattice-ordered groups, Dordrecht-Boston-London, Kluwer Academic Publ., 1994. 6. F. Levi, Contributions to the theory of ordered groups, Proc. Indian Acad. Sci., Sect. A, 17 (1943), 199—201. 7. В. М. Копытов, О линейно упорядоченных разрешимых группах, Алгебра и логика, 12, № 6 (1973), 655—666. 8. В. В. Блудов, Пополнение линейно упорядоченных метабелевых групп, Алгебра и логика, 42, № 5 (2003), 542—565. 9. A. H. Clifford, A non-commutative ordinally simple linearly ordered group, Proc. Am. Math. Soc., 2 (1951), 902—903. 10. А. И. Кокорин, В. М. Копытов, Линейно упорядоченные группы, М., Наука, 1972.

Поступило 27 апреля 2004 г. Окончательный вариант 1 июля 2004 г. Адрес автора: МЕДВЕДЕВ Николай Яковлевич, ул. Горно-Алтайская, 21, кв. 100, Барнаул, 656010, РОССИЯ. e-mail: [email protected].