Базисные ранги разрешимых многообразий групп и l-групп

Алгебра, и логика, 39, N о (2000), 586-594

УДК 512.545

БАЗИСНЫЕ РАНГИ Р А З Р Е Ш И М Ы Х КВАЗИМНОГООБРАЗИЙ ГРУПП И £-ГРУПП*) С.В.МОРОЗОВА

Говорят, что базисный ранг квазимногообразия групп (решеточно упорядоченных групп или £-групп) X равен п, если это квазимногообразие порождается некоторой n-порожденной группой (^-группой) и не порожда­ ется группой (^-группой) с меньшим числом порождающих. Если такого натурального числа п нет, то ранг квазимногообразия X групп (£-групп) бесконечен [1]. В настоящей работе показывается, что ряд квазимногообразий групп без кручения, содержащихся в произведении многообразий Э^Э\ГС, где 3\1& — многообразие нильпотентных групп ступени нильпотентности к (к ^ 1), не порождается всеми своими га-порожденными группами (теорема 2.5). Отсюда, как следствие, получаем, что базисные ранги таких групп беско­ нечны. Доказывается, что любое многообразие £-групп Ж такое, что А\ С C M C

(Nk)i(Nc)i

(где A2t — многообразие двуступенно разрешимых

^-групп, {Jik)i ~~ многообразие всех нильпотентных £-групп ступени ниль­ потентности к (к ^ 1), которое рассматривается как квазимногообразие), не порождается всеми своими ^-порожденными ^-группами и поэтому име­ ет бесконечный базисный ранг (теорема 3.1). *' Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фудаментальных исследований, проект 99-01-00156. ©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

Базисные ранги разрешимых

587

квазимногообразий

§1* Предварительные сведения Будем использовать символ == для обозначения изоморфизма групп. Расширение G группы А посредством группы В называется расщепляе­ мым, если в G содержатся нормальная подгруппа Я и подгруппа К такие, что G = Я . К, А^Н,

НПК

= е. Очевидно, что К £ G/A. Группу

G называют еще полупрямым произведением групп Л, Я и обозначают G = ЛАЯ. Прямое произведение бесконечных циклических групп, поро­ жденных элементами &ь . . . , b n , обозначим (fri) ® . . . ® (Ьп). Как обычно, [ж, у] = x~~ly~~lxy, [G,G\ — коммутант группы G. Пусть А — ^-группа, В — линейно упорядоченная группа, тогда че­ рез AWrB обозначим декартово сплетение ^-группы А и линейно упоря­ доченной группы Я, решеточно упорядоченное по правилу: fb > е ( / 6 £ Fun(#, А), Ь G В) тогда и только тогда, когда Ь > е или 6 = 6, /(b) > е для любого b £ В. Пусть (G, £2) и (Я, Г) — транзитивные ^-группы порядковых автомор­ физмов линейно упорядоченных множеств О и Т , Через {дТ} обозначим множество {дт 6 G : г 6 Г } . Положим Л = ^ х Т и Т ^ = {({#т}, h) :h £ Н, дт £ G при каждом г € Г } . На множестве W определим операцию и порядок по следующим правилам: ({/тЬ^гЖУг}»^) = ({a r },^i^2)> Где a r = fTgrhx (г € Т); ({#г}> ^) > е тогда и только тогда, когда h > е и gr > e для всех г € Т таких, что г& = г. Для (а,сг) £ Л пусть {a,a)({gr},h)

=

= (<*£„, <тЛ) (а € ft, a e Г ) . Тогда ^-группа (W,A) = (G, ft)Wr(H,T) по­ рядковых автоморфизмов линейно упорядоченного множества Л называ­ ется декартовым сплетением £-групп порядковых автоморфизмов (G, Q) и (Я,Г). Через А2 обозначим многообразие двуступенно разрешимых

групп,

е

определяемое тождеством [[х\, ух], [ж2, уг]] = * Группа называется ограниченно энгелевой (гс-энгелевой), если она удовлетворяет тождеству [ж, у , . . . , у] = е для некоторого натурального п

числа п. (Как обычно, кванторы всеобщности здесь опущены.) Введем следующие квазимногообразия групп:

588

С. В. Морозова, % — квазимногообразие групп без кручения; 510 — квазимногообразие правоупорядочиваемых групп; 51 — квазимногообразие групп с однозначным извлечением корня; О

— квазимногообразие упорядочиваемых групп;

Г

— квазимногообразие групп без Г-кручения, определяемое сле­

дующей системой квазитождеств: (хд^1хдх .. .g~lxgn

= е => х = е), где

п — натуральное число. Хорошо известно, что X Э Ж, X ф 51 [2, с. 410], 51 Э О, Л ф О [3, с. 26], X Э 510, X ф 510 [4, с. 14, 54], 510 Э 0, 510 ф О [3, с. 94], 51 ф 510 [4, пример 3.6.1], Г С 3£, Г ф 51 [4, доказательство следствия 3.3.1, пример 3.6.2], Г ф 510 [4, пример 3.6.1], 0 С Г, 0 ф Г [4, с. 56]. Пусть рх — 2, р2 = 3 , . . . , рп — первые п простых чисел. Для любого натурального числа п через Q2...pn обозначим подгруппу аддитивной груп­ пы рациональных чисел Q) состоящую из элементов вида m/s, где т — целое число, s — 2kl . . . р„п, fci,...,fcn — целые числа. Тогда на группе Q2...pnH(h) ® • • • ® (К)) определим операцию следующим образом: qjb

. . . Ькп»92Ь1{ ... bl»(qi + ft*1 . ..p-k"q2)bk^h

... # • + ' " .

Основные факты по теории групп можно найти в [2, 5], по решеточно упорядоченным группам — в [3, 4, 6].

§ 2. Базисные ранги квазимногообразий разрешимых групп Л Е М М А 2.1. Пусть С п + 1 = gp(a, 6 Ь . . . , Ьп \ abi = a 2 , . . . , abn = aPn, [bi,bj] = e (ije

{ l , . . . , n } ) ) . Тогда Cn+X £ Q 2 ... Pn A((6i)®.. . 0 (ft„)), и еел-и

Л — нормальная подгруппа Сп+х> А £ Xjt, Cn+i/A А=

Е У1С (А;, с ^ 1), т о

Сп

(а) ^. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу соотношений [Ь,-,Ь,] = е ( t , j б { 1 , . . .

. . . , п}) подгруппа Вп = gp(&i,..., bn) является свободной п-порожденной абелевой. Поскольку abl = а 2 , то a = [a, bx] E [C n + i,C n +i].

Базисные ранги разрешимых

квазимногообразий

589

Рассмотрим (a)Cn+l — нормальное замыкание элемента а в группе C n +i. Покажем, что (a)Cn+l является абелевой группой без кручения ран­ га 1. Непосредственно проверяется, что

[{ak<)b'\{a^)h?\^[a^k^a^^

—

€,

"&|) * ?

^

vl«

a9l...a9k,

Рассмотрим произвольный элемент ж Е А, т.е. ж = где 01,...,д*

G Bn и

ft

берем из {/ц,..., / 1 п , . . . Jkn} hj s

^ £

0, что

\l{j\

^

bi*1 . . . bjj* для i

=

Для каждого j

Е £

{ l , . . . , f c } . Вы­ {1,...,п}

\laj\ для любого отрицательного ь

{ 1 , . . . , * } . Поскольку а «

6

=

1

а*', то (а*') *"

=

такие

/ s j , где ь г1 р

(о . ) «

=

= а. Тогда Hill

I'inl

( а * 1 . . . ^ ) " " -*»

=aro.

Значит, (a) c ' n + 1 имеет ранг 1 и является абелевой группой без кручения. Ненулевая абелева группа без кручения имеет ранг 1 тогда и только тогда, когда она изоморфна подгруппе аддитивной группы рациональных чисел Q при изоморфизме, продолжающем отображение a —> 1, abi -> p t , т.е. (a)c»+i £ Q2...Pn [5, теор. 7.2.1]. Покажем В п П (a) Cn + 1 = {е}. Предположим противное, т.е. пусть су­ ществует элемент х £ Вп П (a) C n + 1 , х ф е. Тогда х = &J1 . . . 6^п 6 (а)^"* 1 . Поскольку ( а ) 0 ^ 1 — абелева группа без кручения, то a = a6i

,6n

" =

= api - P n . Отсюда ргх . . . p£n = 1 и ж = е. Покажем, что А = (a) 0 "* 1 . Пусть a £ А. Если 6Х Е А, то a = [a, bi] £ £ А. Значит, &i ^ А. Отсюда [aA, bi А , . . . , &i А] = аА ф А, что противорес

чит нильпотентности C„+i/A. Итак, a £ А, следовательно, (a) Cn + 1 С А. Предположим, что существует ж £ =

ab^.-.b*".

Непосредственные

[a,ab^...b^,...,ab^...b^] ч-

v

=

1

А \ (a) C n + 1 . Тогда х

вычисления 1

а^ -^"" )*

-

показывают,

что

е. Поскольку C n + i

'

к группа без кручения, то к\ = . . . = А;п = 0. Значит, А = (a) Cn + 1 . П Л Е М М А 2.2. Группа Сп+ц упорядочиваема.

=

590

С. В. Морозова. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что группа Сп+\ допускает следу­

ющий линейный порядок Р: считаем, что произвольный элемент группы qbxl . . . b„n принадлежит Р тогда и только тогда, когда кп > 0, или кп = 0 и fc„_i > 0 , . . . или кп — ... — ki = 0uq^0

(при естественном порядке в

группе рациональных чисел). Обозначим группу С„+1 с порядком Р через

(C„ + i,P).n С Л Е Д С Т В И Е 2.3. Выполняются включения

Сп+г € ОП»Л2>

гри 2 , зюги 2 , ЯГИ2> ^пл 2 , Л Е М М А 2.4. В группе Сп+\ подгруппа Q2...pn является

наимень­

шей неединичной изолированной нормальной подгруппой. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Н — произвольная неединичная нор­ мальная изолированная подгруппа группы С п +ь Предположим, что НП ПС?2...р„ = Iе}- Произвольный элехМент h E H имеет вид где не все / i , . . . , / n равны 0, a G Q2...p„- Отсюда [Л, 1] = (~1) Л + 1 = — — рх .. .р1£ + 1 т^ е - Получили противоречие. Значит, Я П Q2...pn ф {e}i и поэтому существует элемент q £ Н П Q2...Pn- Следовательно, Н П Q2...Pn содержит изолятор J(q) элемента q ранга 1. Несложные рассуждения по­ казывают, ЧТО Н Э C^2...pn- D Через Ф п +ъ г Д е n ~ натуральное число, обозначим квазитождество ((a?w = x 2 & . . . & ^ = a ; ^ & [ y b y ^ ] = e ( z , j G { l , . . . , n } ) ) ^ ( a : = e)). (Как обычно, кванторы всеобщности здесь опущены.) Хорошо известно (см., например, [7, следствие 10.2.3]), что полици­ клический ранг n-порожденной нильпотентной группы G ступени нильпо­ тентности ^ с не превосходит п + п2 + . . . + пс = (псп — п)/(п — 1) <J n c + 1 . Пусть Q — квазимногообразие, порожденное всеми группами С п , где п — натуральное число. Положим N2 = (а, Ь, с [а, 6] = с, [а, с] = [6, с] = е) 6 б Э ^ П О . Так KaKiV 2 ^Q, T O Q C Л 2 Г ) 0 , 0 ^ Л 2 Г ] 0 . Т Е О Р Е М А 2.5. Любое квазимногообразие групп X такое} что Q С X С (NfcNc) П-^ группами.

ке

порождается всеми своими

п~порожденными

Базисные ранги разрешимых

квазимногообразий

591

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Через Хп обозначим класс всех п-порожденных групп из квазимногообразия X. Пусть Кп — квазимногообразие, по­ рожденное Х п . Очевидно, что Кп С Кт для любых натуральных гс, га таких, что п ^ га. Покажем, что Кп ф Кт при га = n c + 1 + 2. Для этого рассмотрим квазитождество Ф ш , которое ложно в группе Ст. Значит, Ф т ложно в Кт. Покажем теперь, что квазитождество Ф т выполняется в Кп. Предпо­ ложим, что Ф т ложно в Кп. Тогда оно ложно и в некоторой п-порожденной группе Н £ Кп. Значит, существует нормальная подгруппа А группы Я такая, что А € 34*, Н/А 6ЭДСи группа Н/А является конечнопорожденной с числом порождающих ^ п. Следовательно, найдутся отличные от е элементы a, &i,..., &m-i € Н такие, что

a£i = a 2 ,...,a 8 m - l ^ a ^ - 1 , [6t-,Sj] = е ( i , j e { i , . . . , m - i}). Рассмотрим подгруппу Я ш — gp{a, b i , . . . , frm-i) группы Я . По теоре­ ме Дика существует гомоморфизм (р : С т ~> Я т , т. е. Я ш = C m /ker <р, при­ чем кег<^ —- изолированная нормальная подгруппа группы С т . По лемме 2.4, ker^ = е или ker Э Q2...pm_i • Если кег <р Э С?2...Рт-1» то у>(1) = е G Я т , но, по теореме Дика, (р(1) - а ф е. Получили противоречие. Значит, Нт = Ст. Тогда Нт == (u)^ m A((bi) <Э . . . ® (b m -i))- Аналогично доказа­ тельству леммы 2.1 имеем (а)Нт = Я т П А. Пусть Нт/(а)Нт

= Нт/(Нт

П А) = НтА/А

— подгруппа группы

Я / А £ ?sfc с числом порождающих ^ п. Полициклический ранг группы Нт/(а)Нт

равен m — 1 = n c + 1 + 1, а у группы Я / А полициклический

ранг не превосходит тес+1, что невозможно. Поэтому квазитождество Ф т истинно в Кп. Q С Л Е Д С Т В И Е 2.6. Любое квазимногообразие групп из теоремы 2.5 имеет бесконечный базисный ранг. Известно [8], что упорядочиваемая fc-энгелева группа является нильпотентной, поэтому справедливо следующее следствие. С Л Е Д С Т В И Е 2.7. Любое квазимногообразие групп X такое} что &1 П О С X С £fcXcP| О, имеет бесконечный базисный ранг.

С. В. Морозова

592

С Л Е Д С Т В И Е 2,8. Любое квазимногообразие групп X такое, что A2f)K

С X С (ХкУ*с)Г[М, где % е {О, Г,#,ЯО,ЗС}, ке порождается

всеми своими п-порождеиными

группами.

§ 3. Базисные ранги многообразий разрешимых ^-групп Будем рассматривать ^-группу как алгебраическую систему сигнату­ ры (•, ~ 1 , е, V, Л). Напомним, что Л | — многообразие ^-групп G, обладаю­ щих абелевым идеалом Н таким, что G/H абелева. Пусть (y(k)ti CNc)t — многообразия нильпотентных ^-групп ступеней нильпотентности &, с соответственно (А:, с ^ 1). Тогда через pSffc)*pSfc)* обозначим произведение этих многообразий. Пусть X — многообразие £-групп. Выпуклая ^-подгруппа

X(G)

^-группы G называется Х-радикалом (?, если X(G) содержит каждую вы­ пуклую ^-подгруппу G из X(G). Т Е О Р Е М А 3.1. Любое многообразие l-групп Ж такое; что Л\ С CMC

(Nk)i(Nc)ii

и рассматриваемое как квазимпогообразие, не поро­

ждается всеми своими п-порожденными

группами.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Через Хп обозначим множество всех га-порожденных £-групп из Ж. Пусть Кп — квазимногообразие £-групп, порожден­ ное Хп. Очевидно, что Кп С Кт для любых натуральных га, т таких, что п ^ га. Покажем, что Кп ф Кт, при т = гас+1 + 2. Для этого рассмотрим квазитождество Ф т , которое ложно в га-порожденной линейно упорядо­ ченной группе (Ст>Р). Значит, Ф т ложно в Кт. Покажем теперь, что квазитождество Ф т выполняется в Кп. Предпо­ ложим, что Фш ложно в Кп. Тогда оно ложно в некоторой ?г-порожденной ^-группе из Кп. Так как любая ^-группа аппроксимируется транзитив­ ными, то Ф т ложно в некоторой га-порожденной транзитивной ^-группе (JEf, Q) £ Ж., Пусть N — нильпотентный радикал ^-группы Н. Значит, если H/N — нильпотентная транзитивная группа, то она линейно упорядочена [3, теор. 8.4.1, предлож. 8.4.2, теор. 8.3.5], с числом порождающих ^ га. Сле­ довательно, (Я, П) ^-изоморфна ^-подгруппе (Nx, A)Wr(H/N, ft/C)> где

Базисные ранги разрешимых

593

квазимногообразий

С — выпуклая конгруэнция, А —• класс конгруэнции, N\ — транзитивная нильпотентная ^-группа [6, предлож. 11.2.4]. Так как строение ^-группы не зависит от А, то Я ^-изоморфна ^-подгруппе N\Wr(H/N, считать, что £2/£ = RH/N(P)I RH/N{P)

г

0 / £ ) . Можно

е

Д Р ~~ представляющая ^-подгруппа H/N',

~~ множество правых смежных классов группы H/N по Р [3,

предлож. 4.3.4, теор. 4.3.1]. Так как H/N — нильпотентна, то Р являет­ ся идеалом [3, следствие 8.4.1]. Значит, Р = {е}. Поэтому Я 1-изоморфна I-подгруппе NxWr(H/N,

H/N). Поскольку (H/N, H/N) — правое регуляр­

ное представление, то Я ^-изоморфна ^-подгруппе

N\Wr(H/N),

Следовательно, существуют отличные от е элементы а, Ь 1 ? . . . , b m _i E 6 Я такие, что abl = a 2 , . . . , a6™-1 = aPm-1, [&;, bj] = e (г, j e { 1 , . . •, m - 1 } ) . Рассмотрим подгруппу Я ш = gp(a,6i,... ,b m ~i) ^-группы Я . Аналогично доказательству теоремы 2.5 получаем Нт = С т . Отождествим Я с изо­ морфной ей £-погруппой сплетения (элементам a, &i,..., ftm-i сопоставим их образы). Поскольку a = [a,b{\ e Fun (H/N, Nx), то (й)я"> С Fun Очевидно, что ( а )

Ят

(H/N,NX).

С Я т П Fun (H/N, iV\). Пусть существует элемент

х € Я т о П Fun (H/N, N\) такой, что а: $ ( а ) Я т . Тогда выполняется ж = = a*b[l . . . Ъ1™:\. Так как а,л? G Fun (Я/iV, iVi), то а - аж = ар* - p m - i . Поэтому / ! = . . . = ^ ^ = 0. Следовательно, Я ш ПГип (H/N, N\) = Имеем Я ш ^ ! = ((б^ ® . . . ® (5 m -i)) = Hm/(a)H™ г

П Fun (Я/Л , JVi))

£

(NiWr{H/N))f¥bn{H/N,Ni) Я т - х равен n

c+1

H m Fun (Я/ЛГ, iVi)/Fun (Я/ЛГ, iV.0

= Н^/^т -

(a)Hfn, П

подгруппа

~ Я/JV. Полициклический ранг группы

+ 1, а у Я/iV ранг не превосходит n c + 1 , что невозможно.

Поэтому квазитождество Фт истинно в Кп. • С Л Е Д С Т В И Е 3.2, Любое многообразие £-групп из теоремы 3.1, рассматриваемое как квазимногообразие, имеет бесконечный базисный ранг. Во введении дано понятие базисного ранга квазимногообразия. Для многообразий понятие базисного ранга определяется аналогично. ЗАМЕЧАНИЕ. Хорошо известно [9], что базисный ранг многобразия двуступенно разрешимых #-групп Aj (как многообразия) равен 2. След-

С. В.

594

Морозова

ствие 3.2 показывает различие между базисными рангами многообразия и квазимногообразия. Пусть (£k)tj (£c)i — многообразия &-энгелевых и с-энгелевых ^-групп. Поскольку любая ограниченно энгелева решеточно упорядочиваемая груп­ па нильпотентна [8], то справедливо следующее следствие. С Л Е Д С Т В И Е 3.3. Любое многообразие £-групп У такое, что Л | С С У С (£fc)^(£c)^» рассматриваемое нечный базисный

как квазимногообразие,

имеет

беско­

ранг.

Автор выражает глубокую признательность Н. Я . Медведеву за цен­ ные советы jp постоянное внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА 1. А. И. Будкин, Независимая аксиоматизируемость квазимногообразий обоб­ щенно разрешимых групп. Алгебра и логика, 25, N 3 (1986), 249—266. 2. А. Г. Куроги, Теория групп, М., Наука, 1967. 3. В. М. Копытов, Решеточно упорядоченные группы, М., Наука, 1984. 4. В. М. Копытов,

Н. Я. Медведев, Правоупорядоченные группы, Новоси­

бирск, Научная книга (НИИ МИОО НГУ), 1996. 5. М. И, Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, М., Наука, 1977, 6. V.M.Kopytov,

N. Ya. Medvedev,

The

theory

of lattice-ordered

groups,

Dordrecht a. o., Kluwer Academic Publishers, 1994. 7. М.Холл, Теория групп, М., ИЛ, 1962. 8. Y. К. Kirn, A. H. Rhemtulla, Orderable groups satisfying an Engel condition, in: Ordered algebraic structures (the 1991 Conrad conference), ed. by J. Martinez, C. Holland, Dordrecht a. o., Kluwer Academic Publishers, 1993, 73—79. 9. A.M. W. Glass,

W.C.Holland,

S.H. McCleary, The structure of £-group

varieties, Algebra Univers., 10, N 1 (1980), 1-20. Адрес автора: М О Р О З О В А Светлана Васильевна, РОССИЯ, 656906, г. Барнаул 34, ул. Чайковского, д. 45, кв. 16.

Поступило 15 марта 1999 г.