Êîñîâñêèé Í.Ê. Êîñîâñêèé Íèêîëàé Êèðèëëîâè÷
ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÑÒÜ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ Ïåðâûé âîïðîñ òðàäèöèîííûé: íîâûå òåíäåíöèè â ìàò...
5 downloads
59 Views
321KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Êîñîâñêèé Í.Ê. Êîñîâñêèé Íèêîëàé Êèðèëëîâè÷
ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÑÒÜ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ Ïåðâûé âîïðîñ òðàäèöèîííûé: íîâûå òåíäåíöèè â ìàòåìàòèêå è ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêàõ, èõ îòðàæåíèå â îáðàçîâàíèè. Ñåé÷àñ áîëüøå èíòåðåñóþòñÿ îñíîâàíèÿìè ìàòåìàòèêè è èíôîðìàòèêè. Êàê ñëåäñòâèå, òå òåîðåìû, êîòîðûå ðàíüøå êàçàëèñü ýêçîòè÷åñêèìè, ñåé÷àñ ïðèâëåêàþò áîëüøå âíèìàíèÿ. Íàïðèìåð, ïåðâàÿ òåîðåìà Ãåäåëÿ î íåïîëíîòå àðèôìåòèêè, êîòîðàÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ïîëíîé ñèñòåìû äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèé î ïîëèíîìàõ. Âòîðàÿ òåîðåìà Ãåäåëÿ ãîâîðèò î òîì, ÷òî åñëè íåïðîòèâîðå÷èâîñòü àðèôìåòèêè ìîæíî äîêàçàòü ñðåäñòâàìè ñàìîé àðèôìåòèêè, òî àðèôìåòèêà ïðîòèâîðå÷èâà. Èç äðóãèõ èíòåðåñíûõ çàäà÷ ìîæíî âñïîìíèòü òåîðåìó î íåçàâèñèìîñòè êîíòèíóóì-ãèïîòåçû îò àêñèîì òåîðèè ìíîæåñòâ ÖåðìåëîÔðåíêåëÿ, òåîðåìó Ãåäåëÿ î ïîëíîòå èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ, ïðåäëîæåííîãî Ãèëüáåðòîì. Âïîñëåäñòâèè ñòàëî ÿñíî, ÷òî èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ ñëèøêîì áîãàòî, è íåò àëãîðèòìîâ ïðîâåðêè óòâåðæäåíèÿ î äîêàçóåìîñòè â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ, è, ñëåäîâàòåëüíî, â ëþáîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè, êîòîðóþ ìîæíî àêñèîìàòè÷åñêè ñôîðìóëèðîâàòü íà îñíîâå ýòîãî àïïàðàòà. Ñëåäóþùèì ýòàïîì (6070-å ãîäû) ñòàëî øèðîêîå èñïîëüçîâàíèå àëãîðèòìîâ, âêëþ÷àÿ ðåøåíèå âîïðîñà î òîì, ñóùåñòâóåò ëè àëãîðèòì äëÿ ðåøåíèÿ äàííîé çàäà÷è. Ïîòîì âûÿñíèëîñü, ÷òî ýòîãî íåäîñòàòî÷íî. Äëÿ íåêîòîðûõ ïðîöåññîâ åñòü àëãîðèòìû, íî îíè îáëàäàþò ñëèøêîì áîëüøîé ñëîæíîñòüþ, ÷òîáû ðåàëèçîâàòü èõ íà ñîâðåìåííûõ êîìïüþòåðàõ èëè êîìïüþòåðàõ áëèæàéøèõ ïîêîëåíèé. Âîçíèêëà òàêàÿ îáëàñòü èññëåäîâàíèé, êàê òåîðèÿ ñëîæíîñòè àëãîðèòìîâ, êîãäà íàñ èíòåðåñóåò íå òîëüêî ñóùåñòâîâàíèå àëãîðèòìà, íî è ñóùåñòâîâàíèå àëãîðèòìà ñ çàäàííîé ñëîæíîñòüþ (íàïðèìåð, ñ îãðà-
8
íè÷åííûì ñâåðõó êîëè÷åñòâîì øàãîâ). Óäîáíåå è ïðîùå äîêàçûâàòü, ÷òî îáúåì ïàìÿòè, èñïîëüçóåìîé â ïðîöåññå ðàáîòû àëãîðèòìà, íå ïðåâîñõîäèò çàäàííîé ôóíêöèè îò îáúåìà èñõîäíûõ äàííûõ. Ïðîáëåìà â òîì, ÷òî íå âñå àëãîðèòìû, êîòîðûå ïðèíöèïèàëüíî ðåøàþò òó èëè èíóþ çàäà÷ó, ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû íà ïðàêòèêå. ßçûê äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè áîëåå òî÷íî ïîäõîäèò äëÿ îïèñàíèé, êîòîðûå ìîæåò ïðåîáðàçîâûâàòü êîìïüþòåð â òåõ èëè èíûõ (äàæå äîñòàòî÷íî áîëüøèõ) îáúåìàõ èñõîäíûõ äàííûõ. Êàê ãîâîðèë Ãàóññ, «Ìàòåìàòèêà ýòî ÿçûê». À ðàç ýòî ÿçûê, òî êàêèå ñðåäñòâà èñïîëüçóþòñÿ â ÿçûêå äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè? Åñëè ìû ïëàíèðóåì èñïîëüçîâàòü êîìïüþòåð, ýòî äîëæåí áûòü ÿçûê, êîòîðûé ïðèíàäëåæèò ñôåðå èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà. Èñêóññòâåííûé èíòåëëåêò ñåé÷àñ àêòèâíî ðàçâèâàåòñÿ. Åñòü òðàäèöèîííûå îáëàñòè ïðèìåíåíèÿ èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà, íàïðèìåð, ýêñïåðòíûå ñèñòåìû. Íà ìîé âçãëÿä, â äàëüíåéøåì ìíîãèå ìàòåìàòè÷åñêèå âîïðîñû, ìíîãèå âîïðîñû ôèçè÷åñêèõ, èíæåíåðíûõ ïðèëîæåíèé áóäóò ðåøàòüñÿ ñ ïðèìåíåíèåì ïàêåòîâ êîìïüþòåðíîé àëãåáðû. Íî ïðè ýòîì ëþäåé æäóò íåêîòîðûå ñëîæíîñòè. Íàïðèìåð, âîçíèêàåò âîïðîñ: êàê äèôôåðåíöèðîâàòü óñëîâíûå âûðàæåíèÿ?  òî÷êå âåòâëåíèÿ íóæíî äîïîëíèòåëüíî îáðàùàòü âíèìàíèå íà ãëàäêîñòü è äðóãèå îñîáåííîñòè. Íî ïàêåòû êîìïüþòåðíîé àëãåáðû èíîãäà îá ýòîì íå ïîäîçðåâàþò, è â ðåçóëüòàòå ðàçíûå ïàêåòû ïî-ðàçíîìó äèôôåðåíöèðóþò îäíó è òó æå ôóíêöèþ. Ýòî îäèí èç ïðèìåðîâ òîãî, ñ ÷åì ïðèõîäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ ÷åëîâåêó, êîòîðûé âðîäå áû ðåøèë çàäà÷ó ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà, íî âûÿñíÿåòñÿ, ÷òî ÿçûêè ÷åëîâåêà è êîìïüþòåðà íå î÷åíü õîðîøî ñîãëàñîâàíû. Ïîýòîìó íà ñîâðåìåííîì ýòàïå èñïîëüçîâà-
© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 5, 2000 ã.
Äèñêðåòíîñòü â ìàòåìàòèêå íèÿ êîìïüþòåðíîé òåõíèêè ÿçûê íåïðåÏîòîì ëþäè îñîçíàëè, ÷òî ðàáîòà ñ êîìðûâíîé ìàòåìàòèêè ñëåäóåò ïðåîáðàçîâàòü. ïüþòåðîì òðåáóåò çíà÷èòåëüíûõ óñèëèé. Äèñêðåòíîñòü ïðèîáðåòàåò â ìàòåìàòèêå Çàòåì ïîÿâèëèñü ïåðñîíàëüíûå êîìïüþòåáîëüøóþ âàæíîñòü, è, êàê ñëåäñòâèå, äîëðû. Òåïåðü óæå ïðîãðàììèñòû ãîâîðèëè: æíî áûòü áîëüøå èññëåäîâàíèé â ýòîì ó ìåíÿ íà êîìïüþòåðå ðåàëèçîâàí àëãîíàïðàâëåíèè. Àëãîðèòìîâ â íåïðåðûâíîé ðèòì. À ÷òî îí ñäåëàë? Ìíîãèå íå ìîãëè ìàòåìàòèêå ïðàêòè÷åñêè íåò, ïîñêîëüêó îáúÿñíèòü, êàê è êàêèå òðóäíîñòè îíè òî÷íîå ìàòåìàòè÷åñêîå ïîíÿòèå àëãîðèòìà ïðåîäîëåëè ïðè ðåøåíèè çàäà÷è. Ñëåäóþîïèðàåòñÿ íà äèñêðåòíóþ ìàòåìàòèêó. ùèé ýòàï ïîÿâèëèñü âñòðîåííûå ïðèëîÊ òîìó æå áûâàþò ðàçíûå âçãëÿäû â æåíèÿ. Âûÿñíèëîñü, ÷òî îíè äîëæíû óêðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ øêîëàõ. Åñòü ëàäûâàòüñÿ â îïðåäåëåííûå âðåìåííûå íåêîòîðàÿ ðàçíèöà â òîì, â êàêèõ ñòðàðàìêè. íàõ êàêèå ðàçäåëû ìàòåìàòèêè èçó÷àþò â ß äóìàþ, ÷òî îáùåå âïå÷àòëåíèå ïî áîëüøåé ñòåïåíè, åñòü ìíîãî ðàçíûõ äðóïîâîäó íîâûõ òåíäåíöèé âòîðîé ïîëîâèãèõ ñëîæíîñòåé. Ïðèâåäó ïðèìåð èç ëîíû íàøåãî âåêà ÿ èçëîæèë. Îñíîâíàÿ èäåÿ ãèêè. Êîíå÷íîçíà÷íàÿ ëîãèêà ëó÷øå ñîâ òîì, ÷òî ÿçûê äîëæåí áûòü äèñêðåòíûì, îòâåòñòâóåò ðàáîòå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåà çàäà÷è äîëæíû áûòü íå áîëåå ñëîæíûëåííîñòè, êîãäà íàøà òî÷êà çðåíèÿ î÷åíü ìè, ÷åì NP-ïîëíûìè èëè PSPACE-ïîëíû÷àñòî ìåíÿåòñÿ è «÷åðíî-áåëóþ» ëîãèêó (äà/ ìè. Äðóãèå çàäà÷è âû ìîæåòå ðàññìàòðèíåò) äîëæíà ñìåíèòü êîíå÷íîçíà÷íàÿ ëîãèâàòü â ðàìêàõ òåõ èëè èíûõ òåîðåòè÷åñêà. Íàïðèìåð, âîçìîæíûå âàðèàíòû îòâåòà êèõ ïîñòðîåíèé, íî äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî â ñîöèîëîãè÷åñêîì îïðîñå: äà, íåò, íå çíàþ. èñïîëüçîâàíèÿ íà êîìïüþòåðå ýòè óñëîÇäåñü ïðèìåíÿåòñÿ òðåõçíà÷íàÿ ëîãèêà. âèÿ äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ. Ïîêà ýòè òåíäåíöèè åùå íå çàõâàòèëè ïðèëîæåíèÿ, ïîýòîìó ìíå êàæåòñÿ, Âòîðîé âîïðîñ î âëèÿíèè èíôîðìà÷òî â áëèæàéøåå ñòîëåòèå ñäåëàþò ìíîãî òèêè íà ïðåïîäàâàíèå ìàòåìàòèêè. Âû ñêàîòêðûòèé è íàéäóò îòòåíêè, çàëè, ÷òî åùå 100 ëåò ìîæî êîòîðûõ ìû ñåé÷àñ è íå íî æäàòü îòêëèêà íà ýòè äîãàäûâàåìñÿ. Íàïðèìåð, èäåè. Íî, ìîæåò áûòü, êàêàê äîëæåí áûòü óñòðîåí êèå-òî òåíäåíöèè â ïðåïîäàìîáèëüíûé òåëåôîí, ÷òîáû âàíèè ìîæíî íàáëþäàòü óæå ñâåñòè ê ìèíèìóìó ïîòðåáñåé÷àñ? ëåíèå ýíåðãèè? Ýòî ïðèìåð Ìíîãîå ìîæíî íàáëþïðàêòè÷åñêîé çàäà÷è, äëÿ äàòü óæå ñåé÷àñ. Íàïðèìåð, êîòîðîé òåîðåòè÷åñêèå âîïïåðâàÿ òåîðåìà Ãåäåëÿ î íåðîñû ðàíüøå íå ðàçðàáàòûïîëíîòå àðèôìåòèêè ñ åå äîâàëèñü. Åñòü ìíîãî ìîìåíòîâ, êàçàòåëüñòâîì ìîæåò áûòü ñâÿçàííûõ ñî ñëîæíîñòüþ àëâêëþ÷åíà â êóðñ ìàòåìàòèãîðèòìîâ, ñ êîëè÷åñòâîì ïîêè. Åñòü íåêîòîðûå ôàêòû, òðåáëÿåìîé ýíåðãèè, è ÿ äóíåäîêàçóåìûå â àðèôìåòèêå, ìàþ, ÷òî ó íàñ ãîòîâèòñÿ åùå è òàêèå ïðèìåðû ìîæíî äåìíîãî íåîæèäàííîãî. ìîíñòðèðîâàòü. Êðîìå òîãî, ß íàáëþäàë òðè ðåâîìîæíî ââåñòè îãðàíè÷åíèå ëþöèè âû÷èñëèòåëüíîé òåõêàêèìè ñðåäñòâàìè ïðè äîíèêè. Ïåðâàÿ ñâÿçàíà ñ ïîêàçàòåëüñòâå ìû ìîæåì ÿâëåíèåì êîìïüþòåðîâ, êîãïîëüçîâàòüñÿ (íàïðèìåð, ðàçäà ìàòåìàòèêè ãîâîðèëè: à ðåøåíî ëè ïðèìåíÿòü îðäè...èíñïåêòîð çàïðåùàë ÷òî îí ìîæåò ñäåëàòü? Òîëüíàëüíóþ èíäóêöèþ). èñïîëüçîâàòü êâàíòîðû, êî âûïîëíèòü àëãîðèòì, êîÃèëüáåðò äóìàë, ÷òî ïîòîìó ÷òî äåòè è òàê òîðûé ÿ äëÿ íåãî ïðèäóìàë. ìîæíî âñþ ìàòåìàòèêó ïðåäïåðåãðóæåíû...
ÑÒÀÍÄÀÐÒÛ È ÊÎÍÖÅÏÖÈÈ
9
Êîñîâñêèé Í.Ê. ñòàâèòü â âèäå áîëüøîé ïàðòèè èãðû â øàõìàòû, ãäå èãðàþò ïî çàðàíåå îãîâîðåííûì ïðàâèëàì. Íî ïåðâàÿ òåîðåìà Ãåäåëÿ î íåïîëíîòå àðèôìåòèêè ïîêàçàëà, ÷òî ýòî íåâîçìîæíî. Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé ìû äîëæíû ôîðìóëèðîâàòü àðèôìåòèêó äëÿ ÷èñåë, ïðåäñòàâèìûõ â êîìïüþòåðå îäèíàðíîé èëè äâîéíîé ÿ÷åéêîé. Âîçìîæíî, èñïîëüçîâàíèå î÷åíü áîëüøèõ ÷èñåë ýòî ÿçûê, êîòîðûé óõîäèò â íåêîòîðûå áåñêîíå÷íîñòè, è, êàê ñëåäñòâèå, àëãîðèòìû ïîëó÷àþòñÿ ñëîæíûå èëè âîîáùå íå ïîëó÷àþòñÿ. Íà ìîé âçãëÿä, ìíîãèå ïðîöåññû ìîæíî îïèñàòü íà ÿçûêå êîíå÷íûõ ÷èñåë êîìïüþòåðíîãî òèïà «öåëûé».
ãèêå. ßçûê ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè ñëîæèëñÿ ê 1900 ãîäó, êîãäà Ãèëüáåðò ñôîðìóëèðîâàë ñâîè çíàìåíèòûå ïðîáëåìû è çàëîæèë îñíîâû èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. Äàëåå îñòàëîñü ïåðå÷èñëèòü àêñèîìû àðèôìåòèêè, è ýòî âïîëíå ïîíÿòíî è äîñòóïíî ñîâðåìåííûì øêîëüíèêàì. Ïîñêîëüêó ñåé÷àñ äåòè õîðîøî çíàêîìû ñ ðàáîòîé íà êîìïüþòåðå, îíè õîðîøî çíàêîìû è ñ ïîíÿòèåì àëãîðèòìà. Ïîýòîìó èì ìîæíî áîëåå êðàòêî èçëàãàòü òî, ÷òî äëÿ ÷åëîâåêà, íåçíàêîìîãî ñ êîìïüþòåðîì, ìîæåò âûçâàòü ñóùåñòâåííûå ïðîáëåìû. ß âñïîìèíàþ àíåêäîòè÷åñêèé ñëó÷àé ïðî êâàíòîðû. Îäíàæäû ÿ çàíèìàëñÿ ñ ó÷èòåëÿìè, è âûÿñíèëîñü, ÷òî èì èíñïåêòîð çàïðåùàë èñïîëüçîâàòü êâàíòîðû, Âû ñ÷èòàåòå, ÷òî ìîæíî ðàññêàçàòü ïîòîìó ÷òî äåòè è òàê ïåðåãðóæåíû, è òåîðåìó Ãåäåëÿ âñåì ñòóäåíòàì? íîâûå çíà÷êè èì ñòàíîâÿòñÿ íåïîíÿòíûÄàæå âñåì øêîëüíèêàì. ìè. Íî øêîëüíèêè ìîãóò ïîëüçîâàòüñÿ ýòèìè çíàêàìè êàê ñòåíîãðàôèåé. Ïðè èñÂîçìîæíî, íå áûëî òàêîãî ïðåöåäåíïîëüçîâàíèè óñëîâíîãî çíàêà ëåã÷å ïîíÿòü, òà, êðîìå ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ øêîë, î ÷åì èäåò ðå÷ü, êîãäà âìåñòî äëèííîãî è íå áûëî êíèãè, ãäå áûëà áû ñäåëàíà ïîñëîâà èñïîëüçóåòñÿ îäèí ñèìâîë. Ëîãèêà ïûòêà íå óõîäèòü â äîñòàòî÷íî àáñòðàêâñå-òàêè íà÷èíàåòñÿ íå òàì, ãäå áóëåâà òíûå ïîíÿòèÿ? àëãåáðà, à òàì, ãäå êâàíòîðû. Áåç êâàíòî×òî çíà÷èò «àáñòðàêòíîå ïîíÿòèå»? ðîâ ìû ìàëî ÷òî ìîæåì çàïèñàòü. Êîãäà ìû Ïîíÿòèå ÷èñëà òîæå àáñòðàêòíîå, íî ôîðìóëèðóåì, íàïðèìåð, çàêîí êîììóòàòèâøêîëüíèêè åãî çàïðîñòî âîñíîñòè õ+ó=ó+õ, çäåñü íåÿâíî ïðèíèìàþò. Çäåñü äåëî íå â ïðèñóòñòâóåò êâàíòîð âñåîáàáñòðàêòíîñòè, äåëî â ïðèùíîñòè (äëÿ âñåõ ÷èñåë). âû÷êå. Åñëè øêîëüíèêà îáóÅñòü â ëîãèêå è äðóãèå, ÷àþò òîëüêî ÷èñëîâûì àëãîñîâñåì ïàðàäîêñàëüíûå ðèòìàì, òî, êîíå÷íî, åìó òåâåùè. Íàïðèìåð, óíèâåðñèîðåìó Ãåäåëÿ íå îñèëèòü. Íî òåòñêèé êóðñ àíàëèçà ìîæíî åñëè åìó ðàññêàçûâàþò î ñîêðàòèòü ðàçà â äâà, èñïîëüòðàíñëÿòîðàõ è èíòåðïðåòàçóÿ íåñòàíäàðòíûé àíàëèç, òîðàõ, î âîçìîæíîñòè ðàñáåñêîíå÷íî ìàëûå è áåñêîñìàòðèâàòü è îáðàáàòûâàòü íå÷íî áîëüøèå ÷èñëà. Ýòà ñòðîêó, êàê ïðîãðàììó, òî îí èäåÿ âîñõîäèò åùå ê Ëåéáïîéìåò ãîðàçäî áîëüøå. Åñëè íèöó. Åñëè ìû íå âûõîäèì ó÷åíèê â ñîñòîÿíèè ïîíÿòü, çà ïðåäåëû íåêîòîðîãî ñïå÷òî ñóùåñòâóåò âçàèìíî-îäöèàëüíîãî ÿçûêà, òî ìîæåì íîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæîáðàùàòüñÿ ñ áåñêîíå÷íî äó ÷èñëàìè è àëãîðèòìàìè, òî ìàëûìè òàê æå, êàê ñ ðàöèîäîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ãåíàëüíûìè ÷èñëàìè. Åñòü ÷èñäåëÿ ïðîâîäèòñÿ äîâîëüíî ëà íàòóðàëüíûå, à åñòü ãèïåðïðîñòî. Ïðè ýòîì ìàòåìàòèíàòóðàëüíûå îáúåäèíåíèå ÷åñêèå äîêàçàòåëüñòâà ïîñò- Äîëæåí áûòü áîëüøèé âåñ ó íàòóðàëüíûõ ñ áåñêîíå÷íûðîåíû íà ìàòåìàòè÷åñêîé ëî- äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè... ìè ÷èñëàìè. Ïðè ýòîì åñëè
10
© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 5, 2000 ã.
Äèñêðåòíîñòü â ìàòåìàòèêå ìû îáîçíà÷èì áåñêîíå÷íî áîëüøîå ÷èñëî, íàïðèìåð, ïîñðåäñòâîì w, òî âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî 2w>w. Ýòî ìîæíî äîêàçàòü. Òî åñòü ïîëó÷àåòñÿ íåìíîãî äðóãàÿ àðèôìåòèêà ñ áåñêîíå÷íî áîëüøèìè ÷èñëàìè. Èìååò ñìûñë ðàññìàòðèâàòü íå âñå âåùåñòâåííûå ÷èñëà, à òîëüêî ãèïåððàöèîíàëüíûå ÷èñëà, òî åñòü ÷èñëà, êîòîðûå âõîäÿò â àêñèîìàòèêó ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, íî ÿâëÿþòñÿ íåñòàíäàðòíûì ðàñøèðåíèåì ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. È å è p ÿâëÿþòñÿ êàê ðàç òàêèìè ãèïåððàöèîíàëüíûìè ÷èñëàìè. Ìíå êàæåòñÿ, ÷òî â îñíîâå îïèñàíèé ìèðà ëåæèò ëîãèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ÿçûê, è, â ïåðâóþ î÷åðåäü, êîíå÷íî, àëãîðèòìè÷åñêèé. Íî çäåñü åñòü îäèí ìîìåíò.  àëãîðèòìè÷åñêîì ÿçûêå îãðàíè÷åííîé ñâåðõó ñëîæíîñòè æåëàòåëüíî èñïîëüçîâàòü êâàíòîðû òîëüêî ïî êîíå÷íûì ìíîæåñòâàì.
÷òî èçäàíû ó÷åáíèêè, ïðîâåäåíû ïåäàãîãè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ, îáó÷åíû ðîäèòåëè è ïð. ß ïðèâåäó ïðèìåð íå èç îáëàñòè ìàòåìàòèêè. Âîçüìåì òî, ÷òî ôèçèêè íàçûâàþò «òåðìîÿä». Ñêîëüêî ëåò îáåùàþò çàïóñòèòü ðåàêòîð, âûðàáàòûâàþùèé ýíåðãèè áîëüøå, ÷åì â íåì òðàòèòñÿ? Ïðîèíòåãðèðóåì ñóììó çàòðà÷åííûõ óñèëèé ñêîëüêî ëþäåé íàä ýòèì ðàáîòàëî, ñêîëüêî êîíôåðåíöèé ïðîøëî, ñêîëüêî ãðàíòîâ ïîëó÷åíî, ñêîëüêî êíèã áûëî âûïóùåíî, ñêîëüêî ó÷åíûõ ñ ìèðîâûìè èìåíàìè áûëî âûïóùåíî, ñêîëüêî êàíäèäàòîâ íàóê, ñêîëüêî äîêòîðîâ, è ìû ïî÷óâñòâóåì, ÷òî ýòî íàïðàâëåíèå ñàìî â ñåáå. Òàêèå ðàçäåëû åñòü â ëþáîé íàóêå áóäü òî ôèçèêà, õèìèÿ èëè ìàòåìàòèêà. Åäèíñòâåííûé ñïîñîá îêîí÷àíèÿ ýòîãî ïðåêðàòèòü ôèíàíñèðîâàíèå. Íî ýòî ñîöèàëüíûé âîïðîñ. Èíîãäà ìíå õî÷åòñÿ ïîêðèòèêîâàòü Êàêèå èçìåíåíèÿ äëÿ ñóùåñòâóþùèõ êàêóþ-íèáóäü íàóêó. Ïðîùå êðèòèêîâàòü êóðñîâ âû ìîãëè áû ïðåäëîæèòü? òåõ ëþäåé, êîòîðûõ ÿ ëó÷øå çíàþ íàÄîëæåí áûòü áîëüøèé âåñ ó äèñêïðèìåð, òåõ, êîòîðûå çàíèìàþòñÿ â îáëàðåòíîé ìàòåìàòèêè, èíôîðìàòèêè, ìàòåñòè, áëèçêîé ê ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêå. ìàòè÷åñêèõ îñíîâ èíôîðìàòèêè. ÒðàäèÍî ïîñëå òîãî, êàê ó ìåíÿ âîçíèêàåò òàöèîííî áûëè ñèëüíû êîíöåïêîå æåëàíèå, ÿ âäðóã âñïîöèè, ñâÿçàííûå ñ íåïðåðûâìèíàþ, ÷òî åñòü åùå îãðîìíûìè îáúåêòàìè. Áûëà êîííîå êîëè÷åñòâî þðèäè÷åñêèõ, öåïöèÿ î òîì, ÷òî ìèð íåïðåôèëîëîãè÷åñêèõ è ðàçíûõ ðûâåí, è åãî ìîæíî îïèñàòü äðóãèõ íàóê, êîòîðûå èñïîëüñ ïîìîùüþ âåùåñòâåííûõ çóþò ìàòåìàòèêó â çíà÷èòåëü÷èñåë. Íî ÷òî òàêîå âåùåíî ìåíüøåé ñòåïåíè, ïîòîìó ñòâåííûå ÷èñëà? Âìåñòî ÷èñ÷òî â ïðèíöèïå íå ìîãóò åå ëà p ïðåäëàãàþò àëãîðèòì èñïîëüçîâàòü, ïîñêîëüêó èõ âû÷èñëåíèÿ ÷èñëà p, íî ýòî íàóêà íàõîäèòñÿ íà ñòàäèè, æå àëãîðèòì, à íå ÷èñëî! êàê ñåé÷àñ ïðèíÿòî ãîâîðèòü, Ìîæíî ñ÷èòàòü ÷èñëîì òî, ãóìàíèòàðíîãî îôîðìëåíèÿ. ÷òî çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ àëÅùå íå âûðàáîòàíû, íå î÷åðãîðèòìà, ìîæíî ñ÷èòàòü ÷èñ÷åíû ïîíÿòèÿ. Êðîìå ýòîãî, ëîì òî, ÷òî ìîæåò áûòü ðåðàçíûå àâòîðû ïîä îäíèì è çóëüòàòîì èçìåðåíèé. òåì æå ñëîâîì, íàïðèìåð, ïîä ñëîâîì «ðåâîëþöèÿ», ïîíèÇäåñü åñòü òàêàÿ îïàñìàþò ðàçíûå âåùè. È æåëàíîñòü.  òå÷åíèå ìíîãèõ ëåò íèå êðèòèêîâàòü ñâîèõ êîëñòðîèòñÿ ñèñòåìà îáðàçîâà- ...åñëè çàëîæèòü â ÷åëîâåêà ëåã ñðàçó ïðîïàäàåò, êîãäà ÿ íèÿ, êîòîðàÿ áàçèðóåòñÿ íà ñëèøêîì ìíîãî ìûøëåíèé, ïîíèìàþ, ÷òî åñòü ìíîãî äðóñîöèàëüíûõ ìåõàíèçìàõ, â ó íåãî ìîæåò íàñòóïèòü... ãèõ íàóê, êîòîðûå â åùå òîì ÷èñëå, ó÷èòûâàåò è òî, ïåðåïîëíåíèå.... áîëüøåé ñòåïåíè çàñëóæèâà-
ÑÒÀÍÄÀÐÒÛ È ÊÎÍÖÅÏÖÈÈ
11
Êîñîâñêèé Í.Ê. þò êðèòèêè. ß íå õî÷ó ñêàçàòü, ÷òî íå íóæíî çàíèìàòüñÿ ãóìàíèòàðíûìè íàóêàìè, íî òàì óäàåòñÿ ïîëó÷àòü ðåçóëüòàòû íàìíîãî ñëàáåå, ÷åì, ñêàæåì, â ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêàõ. Êàê ïðàâèëî, î÷åíü ÷àñòî ðåçóëüòàòû îêàçûâàþòñÿ òàêèìè: ìîæåò áûòü, òàê, à ìîæåò áûòü, íå òàê. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî íàóêà çàêëþ÷àåòñÿ òîëüêî â «ñîáèðàòåëüñòâå». Âñå-òàêè ìíå êàæåòñÿ, ÷òî äîëæíà áûòü ëîãè÷åñêàÿ ðàáîòà, äîëæíà áûòü ïðåäñêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ â íàóêå.  ïðèíöèïå, ìûøëåíèé ìîæåò áûòü ìíîãî, è, åñëè çàëîæèòü â ÷åëîâåêà ñëèøêîì ìíîãî ìûøëåíèé, ó íåãî ìîæåò íàñòóïèòü, êàê ðàíüøå ãîâîðèëè, ïåðåïîëíåíèå. Äåëî â òîì, ÷òî øêîëüíèêó èëè ñòóäåíòó òðóäíî âûáðàòü, ÷òî ïðàâèëüíî, à ÷òî íåïðàâèëüíî. ×àñòî ñòóäåíòà ïðèâëåêàåò êàêîå-òî ïîíÿòèå, õî÷åòñÿ åãî èçó÷èòü. À òî, ÷òî ýòî íèêàêîãî ïðàêòè÷åñ-
ÍÀØÈ
12
ÀÂÒÎÐÛ
êîãî ïðèìåíåíèÿ íå íàõîäèò è â áëèæàéøåì áóäóùåì íå áóäåò íàõîäèòü, åãî íå èíòåðåñóåò. Äëÿ íèõ îáó÷åíèå ýòî ñâîåãî ðîäà èãðà, ïî õîäó êîòîðîé èì ðàññêàçûâàþò ÷òî-òî íîâîå. Íî êîãäà ñòóäåíò ïðèõîäèò â àñïèðàíòóðó, èãðà êîí÷àåòñÿ, ïîñêîëüêó åìó íè÷åãî íîâîãî íå ðàññêàçûâàþò, à îò íåãî òðåáóþò ÷òî-òî íîâîå. À îí óæå íå ìîæåò ÷òî-òî íîâîå ïðèäóìàòü. Âîïðîñ î òîì, ÷åìó ó÷èòü ñòóäåíòîâ, âñåãäà ñëîæíûé. ß ñòîðîííèê òàêîé ëèáåðàëèçàöèè îáðàçîâàíèÿ, ÷òîáû ñòóäåíò ìîã âûáðàòü êóðñ ìåæäó äâóìÿ ïðåïîäàâàòåëÿìè, à åùå ëó÷øå ìåæäó òðåìÿ. Äåëî íå â òîì, ÷òî îäèí ïðåïîäàâàòåëü ëó÷øå, à äðóãîé õóæå. Ó êàæäîãî ïðåïîäàâàòåëÿ è ó êàæäîãî ñòóäåíòà åñòü ñâîè îñîáåííîñòè, è íàäî äàòü ñòóäåíòó âîçìîæíîñòü ïî÷óâñòâîâàòü ñåáÿ áîëåå êîìôîðòíî.
Êîñîâñêèé Íèêîëàé Êèðèëëîâè÷, ïðîôåññîð, çàâåäóþùèé êàôåäðîé èíôîðìàòèêè ìàò.-ìåõ. ôàêóëüòåòà Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà.
© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 5, 2000 ã.