Дискретность в математике

Êîñîâñêèé Í.Ê. Êîñîâñêèé Íèêîëàé Êèðèëëîâè÷

ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÑÒÜ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ Ïåðâûé âîïðîñ òðàäèöèîííûé: íîâûå òåíäåíöèè â ìàòåìàòèêå è ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêàõ, èõ îòðàæåíèå â îáðàçîâàíèè. Ñåé÷àñ áîëüøå èíòåðåñóþòñÿ îñíîâàíèÿìè ìàòåìàòèêè è èíôîðìàòèêè. Êàê ñëåäñòâèå, òå òåîðåìû, êîòîðûå ðàíüøå êàçàëèñü ýêçîòè÷åñêèìè, ñåé÷àñ ïðèâëåêàþò áîëüøå âíèìàíèÿ. Íàïðèìåð, ïåðâàÿ òåîðåìà Ãåäåëÿ î íåïîëíîòå àðèôìåòèêè, êîòîðàÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ïîëíîé ñèñòåìû äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèé î ïîëèíîìàõ. Âòîðàÿ òåîðåìà Ãåäåëÿ ãîâîðèò î òîì, ÷òî åñëè íåïðîòèâîðå÷èâîñòü àðèôìåòèêè ìîæíî äîêàçàòü ñðåäñòâàìè ñàìîé àðèôìåòèêè, òî àðèôìåòèêà ïðîòèâîðå÷èâà. Èç äðóãèõ èíòåðåñíûõ çàäà÷ ìîæíî âñïîìíèòü òåîðåìó î íåçàâèñèìîñòè êîíòèíóóì-ãèïîòåçû îò àêñèîì òåîðèè ìíîæåñòâ ÖåðìåëîÔðåíêåëÿ, òåîðåìó Ãåäåëÿ î ïîëíîòå èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ, ïðåäëîæåííîãî Ãèëüáåðòîì. Âïîñëåäñòâèè ñòàëî ÿñíî, ÷òî èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ ñëèøêîì áîãàòî, è íåò àëãîðèòìîâ ïðîâåðêè óòâåðæäåíèÿ î äîêàçóåìîñòè â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ, è, ñëåäîâàòåëüíî, â ëþáîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè, êîòîðóþ ìîæíî àêñèîìàòè÷åñêè ñôîðìóëèðîâàòü íà îñíîâå ýòîãî àïïàðàòà. Ñëåäóþùèì ýòàïîì (60–70-å ãîäû) ñòàëî øèðîêîå èñïîëüçîâàíèå àëãîðèòìîâ, âêëþ÷àÿ ðåøåíèå âîïðîñà î òîì, ñóùåñòâóåò ëè àëãîðèòì äëÿ ðåøåíèÿ äàííîé çàäà÷è. Ïîòîì âûÿñíèëîñü, ÷òî ýòîãî íåäîñòàòî÷íî. Äëÿ íåêîòîðûõ ïðîöåññîâ åñòü àëãîðèòìû, íî îíè îáëàäàþò ñëèøêîì áîëüøîé ñëîæíîñòüþ, ÷òîáû ðåàëèçîâàòü èõ íà ñîâðåìåííûõ êîìïüþòåðàõ èëè êîìïüþòåðàõ áëèæàéøèõ ïîêîëåíèé. Âîçíèêëà òàêàÿ îáëàñòü èññëåäîâàíèé, êàê òåîðèÿ ñëîæíîñòè àëãîðèòìîâ, êîãäà íàñ èíòåðåñóåò íå òîëüêî ñóùåñòâîâàíèå àëãîðèòìà, íî è ñóùåñòâîâàíèå àëãîðèòìà ñ çàäàííîé ñëîæíîñòüþ (íàïðèìåð, ñ îãðà-

8

íè÷åííûì ñâåðõó êîëè÷åñòâîì øàãîâ). Óäîáíåå è ïðîùå äîêàçûâàòü, ÷òî îáúåì ïàìÿòè, èñïîëüçóåìîé â ïðîöåññå ðàáîòû àëãîðèòìà, íå ïðåâîñõîäèò çàäàííîé ôóíêöèè îò îáúåìà èñõîäíûõ äàííûõ. Ïðîáëåìà â òîì, ÷òî íå âñå àëãîðèòìû, êîòîðûå ïðèíöèïèàëüíî ðåøàþò òó èëè èíóþ çàäà÷ó, ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû íà ïðàêòèêå. ßçûê äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè áîëåå òî÷íî ïîäõîäèò äëÿ îïèñàíèé, êîòîðûå ìîæåò ïðåîáðàçîâûâàòü êîìïüþòåð â òåõ èëè èíûõ (äàæå äîñòàòî÷íî áîëüøèõ) îáúåìàõ èñõîäíûõ äàííûõ. Êàê ãîâîðèë Ãàóññ, «Ìàòåìàòèêà – ýòî ÿçûê». À ðàç ýòî ÿçûê, òî êàêèå ñðåäñòâà èñïîëüçóþòñÿ â ÿçûêå äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè? Åñëè ìû ïëàíèðóåì èñïîëüçîâàòü êîìïüþòåð, ýòî äîëæåí áûòü ÿçûê, êîòîðûé ïðèíàäëåæèò ñôåðå èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà. Èñêóññòâåííûé èíòåëëåêò ñåé÷àñ àêòèâíî ðàçâèâàåòñÿ. Åñòü òðàäèöèîííûå îáëàñòè ïðèìåíåíèÿ èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà, íàïðèìåð, ýêñïåðòíûå ñèñòåìû. Íà ìîé âçãëÿä, â äàëüíåéøåì ìíîãèå ìàòåìàòè÷åñêèå âîïðîñû, ìíîãèå âîïðîñû ôèçè÷åñêèõ, èíæåíåðíûõ ïðèëîæåíèé áóäóò ðåøàòüñÿ ñ ïðèìåíåíèåì ïàêåòîâ êîìïüþòåðíîé àëãåáðû. Íî ïðè ýòîì ëþäåé æäóò íåêîòîðûå ñëîæíîñòè. Íàïðèìåð, âîçíèêàåò âîïðîñ: êàê äèôôåðåíöèðîâàòü óñëîâíûå âûðàæåíèÿ?  òî÷êå âåòâëåíèÿ íóæíî äîïîëíèòåëüíî îáðàùàòü âíèìàíèå íà ãëàäêîñòü è äðóãèå îñîáåííîñòè. Íî ïàêåòû êîìïüþòåðíîé àëãåáðû èíîãäà îá ýòîì íå ïîäîçðåâàþò, è â ðåçóëüòàòå ðàçíûå ïàêåòû ïî-ðàçíîìó äèôôåðåíöèðóþò îäíó è òó æå ôóíêöèþ. Ýòî îäèí èç ïðèìåðîâ òîãî, ñ ÷åì ïðèõîäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ ÷åëîâåêó, êîòîðûé âðîäå áû ðåøèë çàäà÷ó ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà, íî âûÿñíÿåòñÿ, ÷òî ÿçûêè ÷åëîâåêà è êîìïüþòåðà íå î÷åíü õîðîøî ñîãëàñîâàíû. Ïîýòîìó íà ñîâðåìåííîì ýòàïå èñïîëüçîâà-

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 5, 2000 ã.

Äèñêðåòíîñòü â ìàòåìàòèêå íèÿ êîìïüþòåðíîé òåõíèêè ÿçûê íåïðåÏîòîì ëþäè îñîçíàëè, ÷òî ðàáîòà ñ êîìðûâíîé ìàòåìàòèêè ñëåäóåò ïðåîáðàçîâàòü. ïüþòåðîì òðåáóåò çíà÷èòåëüíûõ óñèëèé. Äèñêðåòíîñòü ïðèîáðåòàåò â ìàòåìàòèêå Çàòåì ïîÿâèëèñü ïåðñîíàëüíûå êîìïüþòåáîëüøóþ âàæíîñòü, è, êàê ñëåäñòâèå, äîëðû. Òåïåðü óæå ïðîãðàììèñòû ãîâîðèëè: æíî áûòü áîëüøå èññëåäîâàíèé â ýòîì ó ìåíÿ íà êîìïüþòåðå ðåàëèçîâàí àëãîíàïðàâëåíèè. Àëãîðèòìîâ â íåïðåðûâíîé ðèòì. À ÷òî îí ñäåëàë? Ìíîãèå íå ìîãëè ìàòåìàòèêå ïðàêòè÷åñêè íåò, ïîñêîëüêó îáúÿñíèòü, êàê è êàêèå òðóäíîñòè îíè òî÷íîå ìàòåìàòè÷åñêîå ïîíÿòèå àëãîðèòìà ïðåîäîëåëè ïðè ðåøåíèè çàäà÷è. Ñëåäóþîïèðàåòñÿ íà äèñêðåòíóþ ìàòåìàòèêó. ùèé ýòàï – ïîÿâèëèñü âñòðîåííûå ïðèëîÊ òîìó æå áûâàþò ðàçíûå âçãëÿäû â æåíèÿ. Âûÿñíèëîñü, ÷òî îíè äîëæíû óêðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ øêîëàõ. Åñòü ëàäûâàòüñÿ â îïðåäåëåííûå âðåìåííûå íåêîòîðàÿ ðàçíèöà â òîì, â êàêèõ ñòðàðàìêè. íàõ êàêèå ðàçäåëû ìàòåìàòèêè èçó÷àþò â ß äóìàþ, ÷òî îáùåå âïå÷àòëåíèå ïî áîëüøåé ñòåïåíè, åñòü ìíîãî ðàçíûõ äðóïîâîäó íîâûõ òåíäåíöèé âòîðîé ïîëîâèãèõ ñëîæíîñòåé. Ïðèâåäó ïðèìåð èç ëîíû íàøåãî âåêà ÿ èçëîæèë. Îñíîâíàÿ èäåÿ ãèêè. Êîíå÷íîçíà÷íàÿ ëîãèêà ëó÷øå ñîâ òîì, ÷òî ÿçûê äîëæåí áûòü äèñêðåòíûì, îòâåòñòâóåò ðàáîòå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåà çàäà÷è äîëæíû áûòü íå áîëåå ñëîæíûëåííîñòè, êîãäà íàøà òî÷êà çðåíèÿ î÷åíü ìè, ÷åì NP-ïîëíûìè èëè PSPACE-ïîëíû÷àñòî ìåíÿåòñÿ è «÷åðíî-áåëóþ» ëîãèêó (äà/ ìè. Äðóãèå çàäà÷è âû ìîæåòå ðàññìàòðèíåò) äîëæíà ñìåíèòü êîíå÷íîçíà÷íàÿ ëîãèâàòü â ðàìêàõ òåõ èëè èíûõ òåîðåòè÷åñêà. Íàïðèìåð, âîçìîæíûå âàðèàíòû îòâåòà êèõ ïîñòðîåíèé, íî äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî â ñîöèîëîãè÷åñêîì îïðîñå: äà, íåò, íå çíàþ. èñïîëüçîâàíèÿ íà êîìïüþòåðå ýòè óñëîÇäåñü ïðèìåíÿåòñÿ òðåõçíà÷íàÿ ëîãèêà. âèÿ äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ. Ïîêà ýòè òåíäåíöèè åùå íå çàõâàòèëè ïðèëîæåíèÿ, ïîýòîìó ìíå êàæåòñÿ, Âòîðîé âîïðîñ – î âëèÿíèè èíôîðìà÷òî â áëèæàéøåå ñòîëåòèå ñäåëàþò ìíîãî òèêè íà ïðåïîäàâàíèå ìàòåìàòèêè. Âû ñêàîòêðûòèé è íàéäóò îòòåíêè, çàëè, ÷òî åùå 100 ëåò ìîæî êîòîðûõ ìû ñåé÷àñ è íå íî æäàòü îòêëèêà íà ýòè äîãàäûâàåìñÿ. Íàïðèìåð, èäåè. Íî, ìîæåò áûòü, êàêàê äîëæåí áûòü óñòðîåí êèå-òî òåíäåíöèè â ïðåïîäàìîáèëüíûé òåëåôîí, ÷òîáû âàíèè ìîæíî íàáëþäàòü óæå ñâåñòè ê ìèíèìóìó ïîòðåáñåé÷àñ? ëåíèå ýíåðãèè? Ýòî ïðèìåð Ìíîãîå ìîæíî íàáëþïðàêòè÷åñêîé çàäà÷è, äëÿ äàòü óæå ñåé÷àñ. Íàïðèìåð, êîòîðîé òåîðåòè÷åñêèå âîïïåðâàÿ òåîðåìà Ãåäåëÿ î íåðîñû ðàíüøå íå ðàçðàáàòûïîëíîòå àðèôìåòèêè ñ åå äîâàëèñü. Åñòü ìíîãî ìîìåíòîâ, êàçàòåëüñòâîì ìîæåò áûòü ñâÿçàííûõ ñî ñëîæíîñòüþ àëâêëþ÷åíà â êóðñ ìàòåìàòèãîðèòìîâ, ñ êîëè÷åñòâîì ïîêè. Åñòü íåêîòîðûå ôàêòû, òðåáëÿåìîé ýíåðãèè, è ÿ äóíåäîêàçóåìûå â àðèôìåòèêå, ìàþ, ÷òî ó íàñ ãîòîâèòñÿ åùå è òàêèå ïðèìåðû ìîæíî äåìíîãî íåîæèäàííîãî. ìîíñòðèðîâàòü. Êðîìå òîãî, ß íàáëþäàë òðè ðåâîìîæíî ââåñòè îãðàíè÷åíèå – ëþöèè âû÷èñëèòåëüíîé òåõêàêèìè ñðåäñòâàìè ïðè äîíèêè. Ïåðâàÿ ñâÿçàíà ñ ïîêàçàòåëüñòâå ìû ìîæåì ÿâëåíèåì êîìïüþòåðîâ, êîãïîëüçîâàòüñÿ (íàïðèìåð, ðàçäà ìàòåìàòèêè ãîâîðèëè: à ðåøåíî ëè ïðèìåíÿòü îðäè...èíñïåêòîð çàïðåùàë ÷òî îí ìîæåò ñäåëàòü? Òîëüíàëüíóþ èíäóêöèþ). èñïîëüçîâàòü êâàíòîðû, êî âûïîëíèòü àëãîðèòì, êîÃèëüáåðò äóìàë, ÷òî ïîòîìó ÷òî äåòè è òàê òîðûé ÿ äëÿ íåãî ïðèäóìàë. ìîæíî âñþ ìàòåìàòèêó ïðåäïåðåãðóæåíû...

ÑÒÀÍÄÀÐÒÛ È ÊÎÍÖÅÏÖÈÈ

9

Êîñîâñêèé Í.Ê. ñòàâèòü â âèäå áîëüøîé ïàðòèè èãðû â øàõìàòû, ãäå èãðàþò ïî çàðàíåå îãîâîðåííûì ïðàâèëàì. Íî ïåðâàÿ òåîðåìà Ãåäåëÿ î íåïîëíîòå àðèôìåòèêè ïîêàçàëà, ÷òî ýòî íåâîçìîæíî. Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé ìû äîëæíû ôîðìóëèðîâàòü àðèôìåòèêó äëÿ ÷èñåë, ïðåäñòàâèìûõ â êîìïüþòåðå îäèíàðíîé èëè äâîéíîé ÿ÷åéêîé. Âîçìîæíî, èñïîëüçîâàíèå î÷åíü áîëüøèõ ÷èñåë – ýòî ÿçûê, êîòîðûé óõîäèò â íåêîòîðûå áåñêîíå÷íîñòè, è, êàê ñëåäñòâèå, àëãîðèòìû ïîëó÷àþòñÿ ñëîæíûå èëè âîîáùå íå ïîëó÷àþòñÿ. Íà ìîé âçãëÿä, ìíîãèå ïðîöåññû ìîæíî îïèñàòü íà ÿçûêå êîíå÷íûõ ÷èñåë êîìïüþòåðíîãî òèïà «öåëûé».

ãèêå. ßçûê ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè ñëîæèëñÿ ê 1900 ãîäó, êîãäà Ãèëüáåðò ñôîðìóëèðîâàë ñâîè çíàìåíèòûå ïðîáëåìû è çàëîæèë îñíîâû èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. Äàëåå îñòàëîñü ïåðå÷èñëèòü àêñèîìû àðèôìåòèêè, è ýòî âïîëíå ïîíÿòíî è äîñòóïíî ñîâðåìåííûì øêîëüíèêàì. Ïîñêîëüêó ñåé÷àñ äåòè õîðîøî çíàêîìû ñ ðàáîòîé íà êîìïüþòåðå, îíè õîðîøî çíàêîìû è ñ ïîíÿòèåì àëãîðèòìà. Ïîýòîìó èì ìîæíî áîëåå êðàòêî èçëàãàòü òî, ÷òî äëÿ ÷åëîâåêà, íåçíàêîìîãî ñ êîìïüþòåðîì, ìîæåò âûçâàòü ñóùåñòâåííûå ïðîáëåìû. ß âñïîìèíàþ àíåêäîòè÷åñêèé ñëó÷àé ïðî êâàíòîðû. Îäíàæäû ÿ çàíèìàëñÿ ñ ó÷èòåëÿìè, è âûÿñíèëîñü, ÷òî èì èíñïåêòîð çàïðåùàë èñïîëüçîâàòü êâàíòîðû, Âû ñ÷èòàåòå, ÷òî ìîæíî ðàññêàçàòü ïîòîìó ÷òî äåòè è òàê ïåðåãðóæåíû, è òåîðåìó Ãåäåëÿ âñåì ñòóäåíòàì? íîâûå çíà÷êè èì ñòàíîâÿòñÿ íåïîíÿòíûÄàæå âñåì øêîëüíèêàì. ìè. Íî øêîëüíèêè ìîãóò ïîëüçîâàòüñÿ ýòèìè çíàêàìè êàê ñòåíîãðàôèåé. Ïðè èñÂîçìîæíî, íå áûëî òàêîãî ïðåöåäåíïîëüçîâàíèè óñëîâíîãî çíàêà ëåã÷å ïîíÿòü, òà, êðîìå ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ øêîë, î ÷åì èäåò ðå÷ü, êîãäà âìåñòî äëèííîãî è íå áûëî êíèãè, ãäå áûëà áû ñäåëàíà ïîñëîâà èñïîëüçóåòñÿ îäèí ñèìâîë. Ëîãèêà ïûòêà íå óõîäèòü â äîñòàòî÷íî àáñòðàêâñå-òàêè íà÷èíàåòñÿ íå òàì, ãäå áóëåâà òíûå ïîíÿòèÿ? àëãåáðà, à òàì, ãäå êâàíòîðû. Áåç êâàíòî×òî çíà÷èò «àáñòðàêòíîå ïîíÿòèå»? ðîâ ìû ìàëî ÷òî ìîæåì çàïèñàòü. Êîãäà ìû Ïîíÿòèå ÷èñëà òîæå àáñòðàêòíîå, íî ôîðìóëèðóåì, íàïðèìåð, çàêîí êîììóòàòèâøêîëüíèêè åãî çàïðîñòî âîñíîñòè õ+ó=ó+õ, çäåñü íåÿâíî ïðèíèìàþò. Çäåñü äåëî íå â ïðèñóòñòâóåò êâàíòîð âñåîáàáñòðàêòíîñòè, äåëî â ïðèùíîñòè (äëÿ âñåõ ÷èñåë). âû÷êå. Åñëè øêîëüíèêà îáóÅñòü â ëîãèêå è äðóãèå, ÷àþò òîëüêî ÷èñëîâûì àëãîñîâñåì ïàðàäîêñàëüíûå ðèòìàì, òî, êîíå÷íî, åìó òåâåùè. Íàïðèìåð, óíèâåðñèîðåìó Ãåäåëÿ íå îñèëèòü. Íî òåòñêèé êóðñ àíàëèçà ìîæíî åñëè åìó ðàññêàçûâàþò î ñîêðàòèòü ðàçà â äâà, èñïîëüòðàíñëÿòîðàõ è èíòåðïðåòàçóÿ íåñòàíäàðòíûé àíàëèç, òîðàõ, î âîçìîæíîñòè ðàñáåñêîíå÷íî ìàëûå è áåñêîñìàòðèâàòü è îáðàáàòûâàòü íå÷íî áîëüøèå ÷èñëà. Ýòà ñòðîêó, êàê ïðîãðàììó, òî îí èäåÿ âîñõîäèò åùå ê Ëåéáïîéìåò ãîðàçäî áîëüøå. Åñëè íèöó. Åñëè ìû íå âûõîäèì ó÷åíèê â ñîñòîÿíèè ïîíÿòü, çà ïðåäåëû íåêîòîðîãî ñïå÷òî ñóùåñòâóåò âçàèìíî-îäöèàëüíîãî ÿçûêà, òî ìîæåì íîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæîáðàùàòüñÿ ñ áåñêîíå÷íî äó ÷èñëàìè è àëãîðèòìàìè, òî ìàëûìè òàê æå, êàê ñ ðàöèîäîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ãåíàëüíûìè ÷èñëàìè. Åñòü ÷èñäåëÿ ïðîâîäèòñÿ äîâîëüíî ëà íàòóðàëüíûå, à åñòü ãèïåðïðîñòî. Ïðè ýòîì ìàòåìàòèíàòóðàëüíûå – îáúåäèíåíèå ÷åñêèå äîêàçàòåëüñòâà ïîñò- Äîëæåí áûòü áîëüøèé âåñ ó íàòóðàëüíûõ ñ áåñêîíå÷íûðîåíû íà ìàòåìàòè÷åñêîé ëî- äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè... ìè ÷èñëàìè. Ïðè ýòîì åñëè

10

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 5, 2000 ã.

Äèñêðåòíîñòü â ìàòåìàòèêå ìû îáîçíà÷èì áåñêîíå÷íî áîëüøîå ÷èñëî, íàïðèìåð, ïîñðåäñòâîì w, òî âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî 2w>w. Ýòî ìîæíî äîêàçàòü. Òî åñòü ïîëó÷àåòñÿ íåìíîãî äðóãàÿ àðèôìåòèêà ñ áåñêîíå÷íî áîëüøèìè ÷èñëàìè. Èìååò ñìûñë ðàññìàòðèâàòü íå âñå âåùåñòâåííûå ÷èñëà, à òîëüêî ãèïåððàöèîíàëüíûå ÷èñëà, òî åñòü ÷èñëà, êîòîðûå âõîäÿò â àêñèîìàòèêó ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, íî ÿâëÿþòñÿ íåñòàíäàðòíûì ðàñøèðåíèåì ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. È å è p ÿâëÿþòñÿ êàê ðàç òàêèìè ãèïåððàöèîíàëüíûìè ÷èñëàìè. Ìíå êàæåòñÿ, ÷òî â îñíîâå îïèñàíèé ìèðà ëåæèò ëîãèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ÿçûê, è, â ïåðâóþ î÷åðåäü, êîíå÷íî, àëãîðèòìè÷åñêèé. Íî çäåñü åñòü îäèí ìîìåíò.  àëãîðèòìè÷åñêîì ÿçûêå îãðàíè÷åííîé ñâåðõó ñëîæíîñòè æåëàòåëüíî èñïîëüçîâàòü êâàíòîðû òîëüêî ïî êîíå÷íûì ìíîæåñòâàì.

÷òî èçäàíû ó÷åáíèêè, ïðîâåäåíû ïåäàãîãè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ, îáó÷åíû ðîäèòåëè è ïð. ß ïðèâåäó ïðèìåð íå èç îáëàñòè ìàòåìàòèêè. Âîçüìåì òî, ÷òî ôèçèêè íàçûâàþò «òåðìîÿä». Ñêîëüêî ëåò îáåùàþò çàïóñòèòü ðåàêòîð, âûðàáàòûâàþùèé ýíåðãèè áîëüøå, ÷åì â íåì òðàòèòñÿ? Ïðîèíòåãðèðóåì ñóììó çàòðà÷åííûõ óñèëèé – ñêîëüêî ëþäåé íàä ýòèì ðàáîòàëî, ñêîëüêî êîíôåðåíöèé ïðîøëî, ñêîëüêî ãðàíòîâ ïîëó÷åíî, ñêîëüêî êíèã áûëî âûïóùåíî, ñêîëüêî ó÷åíûõ ñ ìèðîâûìè èìåíàìè áûëî âûïóùåíî, ñêîëüêî êàíäèäàòîâ íàóê, ñêîëüêî äîêòîðîâ, è ìû ïî÷óâñòâóåì, ÷òî ýòî íàïðàâëåíèå ñàìî â ñåáå. Òàêèå ðàçäåëû åñòü â ëþáîé íàóêå – áóäü òî ôèçèêà, õèìèÿ èëè ìàòåìàòèêà. Åäèíñòâåííûé ñïîñîá îêîí÷àíèÿ ýòîãî – ïðåêðàòèòü ôèíàíñèðîâàíèå. Íî ýòî ñîöèàëüíûé âîïðîñ. Èíîãäà ìíå õî÷åòñÿ ïîêðèòèêîâàòü Êàêèå èçìåíåíèÿ äëÿ ñóùåñòâóþùèõ êàêóþ-íèáóäü íàóêó. Ïðîùå êðèòèêîâàòü êóðñîâ âû ìîãëè áû ïðåäëîæèòü? òåõ ëþäåé, êîòîðûõ ÿ ëó÷øå çíàþ – íàÄîëæåí áûòü áîëüøèé âåñ ó äèñêïðèìåð, òåõ, êîòîðûå çàíèìàþòñÿ â îáëàðåòíîé ìàòåìàòèêè, èíôîðìàòèêè, ìàòåñòè, áëèçêîé ê ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêå. ìàòè÷åñêèõ îñíîâ èíôîðìàòèêè. ÒðàäèÍî ïîñëå òîãî, êàê ó ìåíÿ âîçíèêàåò òàöèîííî áûëè ñèëüíû êîíöåïêîå æåëàíèå, ÿ âäðóã âñïîöèè, ñâÿçàííûå ñ íåïðåðûâìèíàþ, ÷òî åñòü åùå îãðîìíûìè îáúåêòàìè. Áûëà êîííîå êîëè÷åñòâî þðèäè÷åñêèõ, öåïöèÿ î òîì, ÷òî ìèð íåïðåôèëîëîãè÷åñêèõ è ðàçíûõ ðûâåí, è åãî ìîæíî îïèñàòü äðóãèõ íàóê, êîòîðûå èñïîëüñ ïîìîùüþ âåùåñòâåííûõ çóþò ìàòåìàòèêó â çíà÷èòåëü÷èñåë. Íî ÷òî òàêîå âåùåíî ìåíüøåé ñòåïåíè, ïîòîìó ñòâåííûå ÷èñëà? Âìåñòî ÷èñ÷òî â ïðèíöèïå íå ìîãóò åå ëà p ïðåäëàãàþò àëãîðèòì èñïîëüçîâàòü, ïîñêîëüêó èõ âû÷èñëåíèÿ ÷èñëà p, íî ýòî íàóêà íàõîäèòñÿ íà ñòàäèè, æå àëãîðèòì, à íå ÷èñëî! êàê ñåé÷àñ ïðèíÿòî ãîâîðèòü, Ìîæíî ñ÷èòàòü ÷èñëîì òî, ãóìàíèòàðíîãî îôîðìëåíèÿ. ÷òî çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ àëÅùå íå âûðàáîòàíû, íå î÷åðãîðèòìà, ìîæíî ñ÷èòàòü ÷èñ÷åíû ïîíÿòèÿ. Êðîìå ýòîãî, ëîì òî, ÷òî ìîæåò áûòü ðåðàçíûå àâòîðû ïîä îäíèì è çóëüòàòîì èçìåðåíèé. òåì æå ñëîâîì, íàïðèìåð, ïîä ñëîâîì «ðåâîëþöèÿ», ïîíèÇäåñü åñòü òàêàÿ îïàñìàþò ðàçíûå âåùè. È æåëàíîñòü.  òå÷åíèå ìíîãèõ ëåò íèå êðèòèêîâàòü ñâîèõ êîëñòðîèòñÿ ñèñòåìà îáðàçîâà- ...åñëè çàëîæèòü â ÷åëîâåêà ëåã ñðàçó ïðîïàäàåò, êîãäà ÿ íèÿ, êîòîðàÿ áàçèðóåòñÿ íà ñëèøêîì ìíîãî ìûøëåíèé, ïîíèìàþ, ÷òî åñòü ìíîãî äðóñîöèàëüíûõ ìåõàíèçìàõ, â ó íåãî ìîæåò íàñòóïèòü... ãèõ íàóê, êîòîðûå â åùå òîì ÷èñëå, ó÷èòûâàåò è òî, ïåðåïîëíåíèå.... áîëüøåé ñòåïåíè çàñëóæèâà-

ÑÒÀÍÄÀÐÒÛ È ÊÎÍÖÅÏÖÈÈ

11

Êîñîâñêèé Í.Ê. þò êðèòèêè. ß íå õî÷ó ñêàçàòü, ÷òî íå íóæíî çàíèìàòüñÿ ãóìàíèòàðíûìè íàóêàìè, íî òàì óäàåòñÿ ïîëó÷àòü ðåçóëüòàòû íàìíîãî ñëàáåå, ÷åì, ñêàæåì, â ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêàõ. Êàê ïðàâèëî, î÷åíü ÷àñòî ðåçóëüòàòû îêàçûâàþòñÿ òàêèìè: ìîæåò áûòü, òàê, à ìîæåò áûòü, íå òàê. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî íàóêà çàêëþ÷àåòñÿ òîëüêî â «ñîáèðàòåëüñòâå». Âñå-òàêè ìíå êàæåòñÿ, ÷òî äîëæíà áûòü ëîãè÷åñêàÿ ðàáîòà, äîëæíà áûòü ïðåäñêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ â íàóêå.  ïðèíöèïå, ìûøëåíèé ìîæåò áûòü ìíîãî, è, åñëè çàëîæèòü â ÷åëîâåêà ñëèøêîì ìíîãî ìûøëåíèé, ó íåãî ìîæåò íàñòóïèòü, êàê ðàíüøå ãîâîðèëè, ïåðåïîëíåíèå. Äåëî â òîì, ÷òî øêîëüíèêó èëè ñòóäåíòó òðóäíî âûáðàòü, ÷òî ïðàâèëüíî, à ÷òî íåïðàâèëüíî. ×àñòî ñòóäåíòà ïðèâëåêàåò êàêîå-òî ïîíÿòèå, õî÷åòñÿ åãî èçó÷èòü. À òî, ÷òî ýòî íèêàêîãî ïðàêòè÷åñ-

ÍÀØÈ

12

ÀÂÒÎÐÛ

êîãî ïðèìåíåíèÿ íå íàõîäèò è â áëèæàéøåì áóäóùåì íå áóäåò íàõîäèòü, åãî íå èíòåðåñóåò. Äëÿ íèõ îáó÷åíèå – ýòî ñâîåãî ðîäà èãðà, ïî õîäó êîòîðîé èì ðàññêàçûâàþò ÷òî-òî íîâîå. Íî êîãäà ñòóäåíò ïðèõîäèò â àñïèðàíòóðó, èãðà êîí÷àåòñÿ, ïîñêîëüêó åìó íè÷åãî íîâîãî íå ðàññêàçûâàþò, à îò íåãî òðåáóþò ÷òî-òî íîâîå. À îí óæå íå ìîæåò ÷òî-òî íîâîå ïðèäóìàòü. Âîïðîñ î òîì, ÷åìó ó÷èòü ñòóäåíòîâ, âñåãäà ñëîæíûé. ß ñòîðîííèê òàêîé ëèáåðàëèçàöèè îáðàçîâàíèÿ, ÷òîáû ñòóäåíò ìîã âûáðàòü êóðñ ìåæäó äâóìÿ ïðåïîäàâàòåëÿìè, à åùå ëó÷øå – ìåæäó òðåìÿ. Äåëî íå â òîì, ÷òî îäèí ïðåïîäàâàòåëü ëó÷øå, à äðóãîé õóæå. Ó êàæäîãî ïðåïîäàâàòåëÿ è ó êàæäîãî ñòóäåíòà åñòü ñâîè îñîáåííîñòè, è íàäî äàòü ñòóäåíòó âîçìîæíîñòü ïî÷óâñòâîâàòü ñåáÿ áîëåå êîìôîðòíî.

Êîñîâñêèé Íèêîëàé Êèðèëëîâè÷, ïðîôåññîð, çàâåäóþùèé êàôåäðîé èíôîðìàòèêè ìàò.-ìåõ. ôàêóëüòåòà Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà.

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 5, 2000 ã.