М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те...
9 downloads
204 Views
205KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те т Ф а культе тпр и кла дно й ма те ма ти ки и ме ха ни ки
506
Ка фе др а выч и сли те льно й ма те ма ти ки
В В Е Д Е НИ Е В Т Е О Р И Ю
О П Р ЕД ЕЛ И Т ЕЛ ЕЙ
М е то ди ч е ски е ука за ни я по кур су “Алге б р а и ге о ме тр и я” для студе нто в 1 кур са д/о и в/о фа культе та ПМ М
Со ста ви те ли : Стр ыги н В .В . Экса р е вска я М .Е Еси пе нко Д.Г.
В ОРОН ЕЖ 2001
2
В ведение. Да нно е по со б и е по свящ е но о дно му и з ва ж ных р а зде ло в ли не йно й а лге б р ы, и зуч а е мых студе нта ми фа культе та ПМ М на пе р во м кур се . У ч е б на я пр о гр а мма ди сци пли ны "Алге б р а и ге о ме тр и я" до ста то ч но по др о б на , но о гр а ни ч е на по вр е ме ни . Сле дуе тта кж е уч и тыва ть, ч то студе нта м пе р во го кур са б ыва е т сло ж но во спр и ни ма ть б о льш о е ко ли ч е ство но во й а б стр а ктно й и нфо р ма ци и . В то ж е вр е мя успе х о б уч е ни я на ста р ш и х кур са х во мно го м за ви си то тсте пе ни усво е ни я ма те р и а ла кур са "Алге б р а и ге о ме тр и я", по ско льку это тма те р и а л являе тся б а зо вым для мно ги х кур со в, и зуч а е мых в да льне йш е м. В се это о б усла вли ва е т не о б хо ди мо сть пр о сто го , но стр о го го и зло ж е ни я ма те р и а ла кур са . В о сно ву да нно го по со б и я ле гла ч а сть ле кци о нно го кур са , ч и та е мо го на фа культе те ПМ М пр о ф. В .В .Стр ыги ным б о ле е 20 ле т. Осо б о е вни ма ни е в по со б и и уде ле но “е сте стве нно му” вве де ни ю по няти й и по ясне ни ю фо р мули р о во к утве р ж де ни й. Т а ко й по дхо д спо со б ствуе т б о ле е глуб о ко му и ле гко му усво е ни ю ма те р и а ла студе нта ми . § 1 О пр еделители 2-го и 3-го пор ядка. По няти е о пр е де ли те ля во зни кло в связи с пр о б ле мо й выво да явных фо р мул для зна ч е ни я не и зве стных пр и р е ш е ни и ли не йных а лге б р а и ч е ски х си сте м. Н а ч не м р а ссмо тр е ни е с си сте мыи з двух ур а вне ни й с двумя не и зве стными a1 x + b1 y = c1 , a 2 x + b2 y = c 2 .
(1)
Со ста ви м та б ли цу и з ко эффи ци е нто в си сте мы(1) a A = 1 a2
b1 . b2
(2)
Т а кую та б ли цу на зыва ю тма тр и це й 2-го по р ядка . Пр а вую ч а сть (1) мо ж но за пи са ть в ви де сто лб ца ч и се л: c c = 1 . c2
(3)
Оч е ви дно , ч то ма тр и ца (2) и сто лб е ц (3) вза и мно о дно зна ч но о пр е де ляю тся си сте мо й (1). Для о тыска ни я не и зве стно го x умно ж и м пе р во е ур а вне ни е си сте мы (1) на b2 , а вто р о е ур а вне ни е на − b1 и сло ж и м о б а ур а вне ни я. a1 x + b1 y = c1 , b2 a 2 x + b2 y = c 2 , − b1 (a1b2 − b2 y1 )x = c1b2 − c 2 b1 .
Ана ло ги ч но для о тыска ни я y б уде м и ме ть
(a1b2 − a 2 b1 ) y = a1c2 − a 2 c1 .
Пр е дпо ло ж и м, ч то a1b2 − a 2 b1 ≠ 0 . Т о гда по луч и м явные фо р мулы для о пр е де ле ни я не и зве стных x и y :
3 c b − c 2 b1 x= 1 2 , a1b2 − a 2 b1
a c − a 2 c1 y= 1 2 . a1b2 − a 2 b 1
(4)
В ыр а ж е ни е a1b2 − a 2b1 , сто ящ е е в зна ме на те ле фо р мул (4) фо р ми р уе тся сле дую щ и м о б р а зо м: 1) на до взять пр о и зве де ни е ч и се л по гла вно й ди а го на ли a1b2 , 2) и з не го выч е сть пр о и зве де ни е ч и се л сто ящ и х по вто р о й ди а го на ли a 2 b1 .
+ По луч е нно е выр а ж е ни е a1b2 − a2 b1 на зыва е тся о пр е де ли те ле м 2-го по р ядка и о б о зна ч а е тся сле дую щ и м о б р а зо м Det(A)= | A |=
a1 a2
b1 = a1b2 − b1a 2 . b2
Ч и сли те ли др о б е й фо р мул (4) та кж е пр е дста вляю т со б о й о пр е де ли те ли . Т а к, выр а ж е ни е c1b2-b1c2 в фо р муле для x – о пр е де ли те ль ма тр и цыA1, ко то р а я по луч а е тся и з ма тр и цыА за ме но й е е пе р во го сто лб ца на сто лб е ц сво б о дных ч ле но в: Det(A1)= | A1 |=
c1 c2
b1 = c1b2 − b1c 2 . b2
Ана ло ги ч но в фо р муле для y в ч и сли те ле за пи са н о пр е де ли те ль ма тр и цы A2, в ко то р о й вто р о й сто лб е ц - сто лб е ц сво б о дных ч ле но в Det(A2)= | A2 |=
a1 a2
c1 = a1c 2 − c1a 2 . c2
C по мо щ ью о пр е де ли те ле й мо ж но за пи са ть фо р мулы (4) для на хо ж де ни я не и зве стных T1x1 и y и з си сте мы(1) x=
c1 c2
b1 b2
a1
b1
a2
b2
y=
,
a1 a2
c1 c2
a1
b1
a2
b2
.
Пе р е йде м те пе р ь к р а ссмо тр е ни ю си сте м 3-го по р ядка a1 x + b1 y + c1 z = d1 , a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 , a x + b y + c z = d . 3 3 3 3
(5)
М а тр и ца тр е тье го по р ядка и з ко эффи ци е нто в си сте мыи сто лб е ц пр а во й ч а сти в да нно м случ а е и ме ю тви д a1 A = a2 a 3
b1 b2 b3
c1 c2 , c 3
d1 d = d 2 . d 3
4
Ч то б ына йти x умно ж и м 1-е ур а вне ни е на b2 c 3 − c 2 b3 , 2-е ур а вне ни е на b3 c1 − b1 c3 , 3-е ур а вне ни е на b1c 2 − b2 c1 и сло ж и м. В р е зульта те мыпо луч и м (a1b2 c3 + a 2b3c1 + a3b1c2 − a1b3c2 − a2 b1c3 − a3b2 c1 ) x = = d1b2 c3 + d 2 b3 c1 + d 3 b1c 2 − d1b3 c 2 − d 2 b1c3 − d 3 b2 c1 . Пр е дпо ло ж и м, ч то ко эффи ци е нтпр и x о тли ч е н о т0. Т о гда о дно зна ч но на хо -
ди м d b c + d 2 b3c1 + d 3b1c2 − d1b3 c2 − d 2 b1c3 − d 3b2 c1 x= 1 2 3 . a1b2 c3 + a 2 b3c1 + a3b1c2 − a1b3c2 − a 2 b1c3 − a3b2 c 1
(6)
В ыр а ж е ни е , сто ящ е е в зна ме на те ле фо р мулы(6), со ста вле но и з ч ле но в ма тр и цы А по сле дую щ е му пр а ви лу: со зна ко м “+” б е р утся пр о и зве де ни е 3-х ч и се л сто ящ и х по гла вно й ди а го на ли и пр о и зве де ни я ч и се л, р а спо ло ж е нных в ве р ш и на х р а вно б е др е нных тр е уго льни ко в с о сно ва ни ями , па р а лле льными гла вно й ди а го на ли ; со зна ко м “-“ б е р утся пр о и зве де ни е ч и се л сто ящ и х на 2-о й ди а го на ли и пр о и зве де ни я ч и се л, р а спо ло ж е нных в ве р ш и на х р а вно б е др е нных тр е уго льни ко в с о сно ва ни ями , па р а лле льным 2-о й ди а го на ли a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
,
.
+ _ По луч е нно е в р е зульта те выр а ж е ни е det(A)=|A|= a1b2 c3 + a 2 b3 c1 + a 3 b1c 2 − a1b3 c 2 − a 2 b1c3 − a3 b2 c на зыва е тся о пр е де ли те ле м 3-го по р ядка .В ыр а ж е ни е в ч и сли те ле (6) то ж е являе тся о пр е де ли те ле м. Э то о пр е де ли те ль ма тр и цы d1 A1 = d 2 d 3
b1 b2 b3
c1 c2 , c 3
пе р вый сто лб е ц ко то р о й за ме не н на ве кто р пр а во й ч а сти . Т а ки м о б р а зо м, фо р мула (6) для на хо ж де ни я x с по мо щ ью о пр е де ли те ле й мо ж е тб ыть за пи са на сле дую щ и м о б р а зо м: x=
| A1 | . | A|
Ана ло ги ч ные фо р мулымо ж но по луч и ть фо р мулыдля на хо ж де ни я y и z: y=
где ма тр и цы
| A2 | , | A|
z=
| A3 | , | A|
5 a1 A2 = a 2 a 3
d1 d2 d3
c1 a1 c 2 , A3 = a 2 a c 3 3
b1 b2 b3
d1 d2 d 3
по луч а ю тся и з A за ме но й со о тве тстве нно 2–го и 3-го сто лб цо в на сто лб е ц сво б о дных ч ле но в d. Пр и ме р 1. В ыч и сли м о пр е де ли те ль 3-го по р ядка 1 2 3 0 1 2 = 1 + 8 + 0 − 6 − 0 − 0 = 3. 2 0 1
§ 2 О пр еделители n-го пор ядка. П р едвар ительны е замеч ания. Н а ш а це ль о б о б щ и ть по няти е о пр е де ли те ля та ки м о б р а зо м, ч то б ымо ж но б ыло по луч и ть явные фо р мулы для р е ш е ни я ли не йных си сте м пр о и зво льно го n-го по р ядка . Ра ссмо тр и м ква др а тную ма тр и цу n-о го по р ядка a11 a12 Λ a1n a 21 a 22 Λ a 2 n . A = .......... .......... ....... .......... .......... ....... a n1 a n 2 Λ a nn
У это й ма тр и цы n2 эле ме нто в. Пе р вый и нде кс ука зыва е т на но ме р стр о ки , а вто р о й – но ме р сто лб ца . Пр и смо тр и мся вни ма те льно к о пр е де ли те лям 2 -го и 3 –го по р ядка . М о ж но за ме ти ть сле дую щ и е за ко но ме р но сти : 1) ч и сло со мно ж и те ле й в ка ж до м сла га е мо м р а вно по р ядку о пр е де ли те ля ма тр и цы; 2) со мно ж и те ли взяты по о дно му и з ка ж до й стр о ки и по о дно му и з ка ж до го сто лб ца ; 3) по ло ви на пр о и зве де ни й б е р е тся со зна ко м “+”, а др уга я – со зна ко м “-”. Ско льки ми спо со б а ми мо ж но выб р а ть пр о и зве де ни е n эле ме нто в, ч то б ы удо вле тво р ять 2–му тр е б о ва ни ю ? В пр о и зве де ни и до лж е н пр и сутство ва ть эле ме нт и з пе р во й стр о ки . Э то мо ж е т б ыть лю б о й и з n эле ме нто в это й стр о ки . До лж е н пр и сутство ва ть эле ме нтвто р о й стр о ки . По сле то го , ка к о ди н со мно ж и те ль фи кси р о ва н, эле ме нтвто р о й стр о ки уж е не мо ж е тб ыть лю б ым. Он не мо ж е тб ыть выб р а н и з то го ж е сто лб ца , ч то и пе р вый эле ме нт. По это му для выб о р а это го эле ме нта о ста е тся (n-1) ва р и а нт. Ч и сло ва р и а нто в для выб о р а мно ж и те ля и з ка ж до й сле дую щ е й стр о ки уме ньш а е тся на 1. По сле дни й эле ме нто пр е де ляе тся о дно зна ч но выб о р о м пр е дыдущ и х. В се го по луч а е тся n(n-1)… 1=n! cпо со б о в. По дво дя и то г эти м р а ссуж де ни ям, мо ж но сфо р мули р о ва ть пр е два р и те льно е о пр е де ле ни е . О пр е де л и т е л е м м ат р и цы А n–ого пор ядк а н азы вае т ся сум м а все х n! пр ои зве де н и й все х эл е м е н т овэт ой м ат р и цы , взят ы х по одн ом уи зк аж дой ст р ок и
6
и к аж дого ст ол бца. Пр и эт ом к аж дое пр ои зве де н и е сн абж е н о зн ак ом “ +” и л и “ -” по н е к от ор ом упр ави л узн ак а. Пр и ме р 2 Ра ссмо тр и м о пр е де ли те ль 4-ого по р ядка a11 a 21
a12 a 22
a13 a 23
a14 a 24
a31 a 41
a 32 a 42
a 33 a 43
a 34 a 44
.
1) В хо дятли пр о и зве де ни я a11a23a34a43 и a12a23a34a41a32 в о пр е де ли те ль? Отве тне т. 2) В хо ди тли пр о и зве де ни е a12a31a22a44 в о пр е де ли те ль? Отве т- не т. 3) В хо дятли пр о и зве де ни я a11a22a33a44 и a21a43a14a32? Да , вхо дят. Ка к ж е б ыть со зна ко м? Об р а ти мся вно вь к фо р мула м для выч и сле ни я о пр е де ли те ле й вто р о го и тр е тье го по р ядко в, по луч е нным выш е a11 a12 a 21 a 22
= a11 a 22 − a12 a 21 .
По смо тр и м на и нде ксы сто лб цо в. Сла га е мо е со зна ко м “+”a11a 22 и ме е ти нде ксы(1,2),а сла га е мо е со зна ко м “-”a12 a21 - (2,1). Ра ссмо тр и м те пе р ь о пр е де ли те ль тр е тье го по р ядка a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a 21 a33 − a11 a 23 a 32 . a 31 a32 a 33
М но ж и те ли в ка ж до м сла га е мо м за пи са ныта к, ч то пе р вые и нде ксыупо р ядо ч е ны по во зр а ста ни ю . В ыпи ш е м о тде льно вто р ые и нде ксы мно ж и те ле й ка ж до го сла га е мо го в за ви си мо сти о тсто ящ е го пе р е д ни м зна ка : + (1,2,3) (3,2,1), (2,3,1) (2,1,3), (7) (3,1,2) (1,3,2). В те х сла га е мых, пе р е д ко то р ыми сто и тзна к “+”но ме р а сто лб цо в упо р ядо ч е ны с то ч но стью до пе р е ста но вки по ци клу, а в те х, пе р е д ко то р ыми сто и тзна к “-” но ме р а сто лб цо в о б р а зую т по сле до ва те льно сть, пр о ти во по ло ж ную на тур а льно му р яду. 1 1
3
2
2
3
7
§ 3 Ф ор мулир овка опр еделения. Для то го ч то б ы ч е тко о пи са ть пр а ви ло выб о р а зна ко в в р а зло ж е ни и о пр е де ли те ля, вве де м сле дую щ и е по няти я. Пусть и ме е тся пе р е ста но вка α , β ,..., ω ч и се л 1,2,… ,n. О пр еделение 1. Говор ят , чт о два чи сл а, входящи х в пе р е ст ан овк у, обр азуют и н ве р си ю, е сл и бол ьш е е чи сл о пр е дш е ст вует м е н ьш е м у. О пр еделение 2. Ч и сл о пар , обр азующи х и н ве р си ю, н азы вае т ся чи сл ом и н ве р си и пе р е ст ан овк и . О пр еделение 3. Пе р е ст ан овк а н азы вае т ся че т н ой , е сл и он а соде р ж и т че т н ое чи сл о и н ве р си й, и н е че т н ой - впр от и вн ом сл учае . Пе р е ста но вки в (7), со о тве тствую щ и е зна ку “+”в о пр е де ли те ле – ч е тные , а зна ку ”–“ – не ч е тные . Если пе р е ста но вки вто р ых и нде ксо в ч е тные , то пе р е д со о тве тствую щ и м пр о и зве де ни е м ста ви тся зна к “+”, е сли ж е не ч е тные , то ”–“. Т е пе р ь мы мо ж е м сфо р мули р о ва ть пр а ви ло для о пр е де ле ни я зна ко в пе р е д со мно ж и те лями . Ра ссмо тр и м о пр е де ли те ль a11
a12 Λ
a1n
a 21
a 22
Λ
a 2n
| A| = .......... .......... ....... . .......... .......... ....... a n1 a n 2 Λ a nn
В о зьме м пр о и зво льно е пр о и зве де ни е P = a1α a 2 β ....a nω . По р ядо к мно ж и те ле й выб р а н та к, ч то б ы пе р вые и нде ксы б ыли упо р ядо ч е ны. Оч е ви дно , ч то в пр о и зве де ни е вклю ч е но р о вно по о дно му эле ме нту и з ка ж до й стр о ки ма тр и цы. Для то го ч то б ы в это м пр о и зве де ни и б ыло р о вно по о дно му со мно ж и те лю и з ка ж до го сто лб ца , сле дуе тч и сла (α , β ,..., ω ) выб р а ть та к, ч то б ыо ни со ста вляли пе р е ста но вку ч и се л (1,2,… ,n). Пе р е д пр о и зве де ни е м Р в р а зло ж е ни и о пр е де ли те ля ста ви тся зна к “+”, е сли пе р е ста но вка (α , β ,..., ω ) - ч е тна я и зна к “-“, е сли о на не ч е тна я. По дво дя и то г пр о ве де нным р а ссуж де ни ям, по луч а е м сле дую щ е е О пр еделение 4. О пр е де л и т е л е м и л и де т е р м и н ан т ом к вадр ат н ой м ат р и цы A пор ядк а n н азы вае т ся сум м а все х n! пр ои зве де н и й эл е м е н т ов эт ой м ат р и цы ви да P = (−1) t a1α a 2 β ....a nω ,
где (α , β ,..., ω ) - пе р е ст ан овк а чи се л (1,2,… ,n), а t – чи сл о и н ве р си й эт ой пе р е ст ан овк и . Пр и нято пи са ть A = ∑± P = ± a1α a 2 β ,..., a nω . ∑ p
(α , β ,..ω )
8
Т а к ка к по няти е о пр е де ли те ля о пи р а е тся на по няти е пе р е ста но вки , по тр е б уе тся р а ссмо тр е ть не ко то р ые сво йства пе р е ста но во к. § 4. Сведения изтеор ии пер естановок. Пусть да на пр о и зво льна я пе р е ста но вка (α , β ,..., ω ) ч и се л (1,2,..,n). Если в это й пе р е ста но вке по ме нять ме ста ми 2 ч и сла , в р е зульта те по луч и тся но ва я пе р е ста но вка . Н а пр и ме р (1,2,3,4,..,n) (2,1,3,4,..,n). О пр еделение 5. О пе р аци я пе р е хода от одн ой пе р е ст ан овк и к др угой, пр и к от ор ой м е н яют ся м е ст ам и л и ш ьдва чи сл а, н азы вае т ся т р ан спози ци е й. Утвер ждение 1. О т пр ои звол ьн ой пе р е ст ан овк и м ож н о пе р е йт и к л юбой др угой пр и пом ощи к он е чн ого чи сл а посл е доват е л ьн о вы пол н е н н ы х т р ан спози ци й . Ра ссмо тр и м сле дую щ и й Пр и ме р 3. Пусть да на пе р е ста но вка (4,1,3,2).Т р е б уе тся пе р е йти к пе р е ста но вке (3,1,2,4). 1 3 (4,3,1,2); 4 3 (3,4,1,2); 4 1 (3,1,4,2); 4 2 (3,1,2,4). Д оказательство утве р ж де ни я 1. пр о ве де м ме то до м и ндукци и . Пр и n=2 утве р ж де ни е о ч е ви дно : (1,2) (2,1). Пр е дпо ло ж и м, ч то утве р ж де ни е ве р но для все х k=2,… n-1 и до ка ж е м е го для k=n. Ра ссмо тр и м 2 пр о и зво льные пе р е ста но вки n ч и се л: (α , β ,..., ω ) и (α ′, β ′,..., ω ′) . В о змо ж ны2 случ а я: а ) α = α ′ . Т о гда (β , γ ,..., ω ) и (β ′, γ ′,..., ω ′) пе р е ста но вки и з n-1 ч и сла .По пр е дпо ло ж е ни ю и ндукци и с по мо щ ью тр а нспо зи ци й о дна пе р е ста но вка пе р е хо ди тв др угую . В случ а е а ) утве р ж де ни е до ка за но . б ) α ≠ α ′ . М е няя ме ста ми два ч и сла : α и α ' , сво ди м это тслуч а й к р а ссмо тр е нно му выш е . Т о е сть и в это м случ а е утве р ж де ни е ве р но . Т еор ема 1. Пр и вы пол н е н и и одн ой т р ан спози ци и л юбая пе р е ст ан овк а пе р е ходи т в н овую пе р е ст ан овк упр от и вопол ож н ого н аи м е н ован и я , т .е . н е че т н ая вче т н ую и н аобор от . Д оказательство. Ра ссмо тр и м сна ч а ла тр а нспо зи ци ю двух со се дни х ч и се л. Пусть тр е б уе тся пе р е йти о т пе р е ста но вки (α , β ,..., κ , λ , µ ,ν ,..., ω ) к пе р е ста но вке (α, β ,..., κ , µ , λ,ν ,..., ω ) . Об о зна ч и м по сле до ва те льно сть α , β ,..., κ ч е р е з A, а по сле до ва те льно сть ν , ο ,..., ω - ч е р е з B. (α , β ,..., κ , λ , µ ,ν , ο ,..., ω ) ; (8) А
В
9
(α , β ,..., κ , µ , λ ,ν , ο ,..., ω ) .
(9) Пр и тр а нспо зи ци и ч и се л λ и µ ни ч е го не ме няе тся в гр уппа х А и В . Ра ссмо тр и м па р ы ч и се л ви да (a, λ ), (a, µ ), (a ∈ A) . Пр и тр а нспо зи ци и ч и се л λ и µ зде сь ко ли ч е ство и нве р си й не и зме няе тся .Т о ж е мо ж но ска за ть и пр о па р ы (λ , b ), (µ , b ), (b ∈ B ) . Ра ссмо тр и м па р ыч и се л (λ, µ ) и (µ, λ ) . Если λ〈 µ , то пр и пе р е хо де о т(8) к (9) по являе тся о дна но ва я и нве р си я. Если ж е λ〉 µ , то пр и пе р е хо де о т(8) к (9) о дна и нве р си я и сч е за е т. В лю б о м случ а е ч и сло и нве р си й и зме няе тся на 1 и пе р е ста но вка и зме няе тна зва ни е . Ра ссмо тр и м те пе р ь о б щ и й случ а й тр а нспо зи ци и двух пр о и зво льных ч и се л λ и µ в пе р е ста но вке . (α ,..., κ , λ ,..., µ ,ν ,..., ω ) . Пусть ме ж ду λ и µ k эле ме нто в.Б уде м те пе р ь дви га ть λ впр а во на 1 ш а г и та к k р а з . По сле та ки х пе р е ме щ е ни й по луч и м но вую пе р е ста но вку (α ,..., κ ,..., λ , µ ,ν ,..., ω ) . М ы сде ла ли k тр а нспо зи ци й со се дни х эле ме нто в. Сле дую щ и м ш а го м ме няе м ме ста ми со се дни е (α,..., κ,λ,..., µ,ν,..., ω ). По луч и м (α ,..., κ ,..., µ , λ ,ν ,..., ω ) . Э то е щ е о дна тр а нспо зи ци я. Да ле е дви га е м λ вле во на 1 ш а г k р а з и по луч а е м тр е б уе мую пе р е ста но вку (α ,..., κ , µ ,..., λ ,ν ,..., ω ) . В се го сде ла на 2k+1 тр а нспо зи ци я со се дни х ч и се л. Пе р е ста но вка и зме няе тна зва ни е на пр о ти во по ло ж но е . Те о р е ма до ка за на . И з те о р е мыо ч е ви дным о б р а зо м по луч а ю тся сле дую щ и е сле дстви я. Следствие 1.1. Пр и вы пол н е н и и н е че т н ого чи сл а т р ан спози ци й пе р е ст ан овк а м е н яе т н аи м е н ован и е , а пр и вы пол н е н и и че т н ого чи сл а т р ан спози ци й н аи м е н ован и е пе р е ст ан овк и сохр ан яе т ся. Следствие 1.2. Пр ои звол ьн ая пе р е ст ан овк а (α 1 , α 2 ,..., α n ) явл яе т ся че т н ой т огда и т ол ьк о т огда, к огда от эт ой пе р е ст ан овк и пе р е ход к пе р е ст ан овк е (1,2,..., n ) осуще ст вл яе т ся поср е дст вом че т н ого чи сл а т р ан спози ци йи н е че т н ой впр от и вн ом сл учае . Утвер ждение 2. Ч и сл о че т н ы х пе р е ст ан овок р авн о чи сл ун е че т н ы х пе р е ст ан овок и р авн о
n! . 2
Д оказательство. Пусть a - ч и сло ч е тных пе р е ста но во к , b – ч и сло не ч е тных пе р е ста но во к a+b=n!. Сфо р ми р уе м 2 та б ли цы. В 1-ую по ме сти м все р а зли ч ные ч е тные пе р е ста но вки (а ш тук), а во 2-ую – все р а зли ч ные не ч е тные пе р е ста но вки (b ш тук). В о все й 1-о й та б ли це пе р е ста ви м ме ста ми пе р вые два эле ме нта . По луч и м но вую та б ли цу. В се пе р е ста но вки в не й б удутне ч е тные (те о р е ма 1.), р а зли ч ные и и х а ш тук. Н о ч и сло все х не ч е тных пе р е ста но во к b. И ме е м не р а ве нство a ≤ b . Н о , р а ссуж да я со ве р ш е нно а на ло ги ч но , мо ж но пе р е ста ви ть пе р вые два эле ме нта в та б ли це не ч е тных пе р е ста но во к. Т о гда по луч и м не р а ве нство b ≥ a . Т а к ка к a ≤ b и b ≥ a , то a = b ; 2*a=n!; a=n!/2 и утве р ж де ни е до ка за но . § 5. Свойства опр еделителей. Ра ссмо тр и м ква др а тную ма тр и цу
10 a11 a12 Λ a1n a 21 a 22 Λ a 2 n . A = .......... .......... ....... .......... .......... ....... a n1 a n 2 Λ a nn
По ме няе м ме ста ми стр о ки и сто лб цыв ма тр и це A. По луч и м ма тр и цу a11 a 21 Λ a n1 a12 a 22 Λ a n 2 . A' = .......... .......... ....... .......... .......... ....... a1n a 2n Λ a nn
М а тр и ца A’ на зыва е тся тр а нспо ни р о ва нно й по о тно ш е ни ю к ма тр и це А. Т еор ема 2. Пр и т р ан спон и р ован и и м ат р и ц опр е де л и т е л ьн е м е н яе т ся. Д оказательство. Пусть a11 a12 Λ a1n a 21 a 22 Λ a 2 n A = .......... .......... ....... .......... .......... ....... a n1 a n 2 Λ a nn
пр о и зво льна я ква др а тна я ма тр и ца . Ра ссмо тр и м о пр е де ли те ли |A| и |A’|. В о зьме м не ко то р о е пр о и зве де ни е P = a1α a 2α Λ a nα n , где (α 1 , α 2 ,..., α n ) - не ко то р а я пе 1
2
р е ста но вка и з ч и се л 1,2,… ,n. Э то пр о и зве де ни е вхо ди ти в о пр е де ли те ль |A| и в о пр е де ли те ль |A’|. Сле до ва те льно , |A| и |A’| со сто яти з о дни х и те х ж е пр о и зве де ни й. Оста е тся до ка за ть, ч то о ни вхо дятв о б а о пр е де ли те ля с о ди на ко вым зна ко м. З на к о пр е де ляе тся ти по м пе р е ста но вки (α 1 , α 2 ,..., α n ) . Пусть для о пр е де ле нно сти пе р е ста но вка (α 1 , α 2 ,..., α n ) - ч е тна я. Пе р е о б о зна ч а я эле ме нты по пр а ви лу bij=aji, за пи ш е м тр а нспо ни р о ва нную ма тр и цу в ви де b11 b12 Λ b1n b21 b22 Λ b2n A' = .......... .......... ....... . .......... .......... ....... bn1 bn 2 Λ bnn
Т о гда пр о и зво льно е пр о и зве де ни е P мо ж но на пи са ть сле дую щ и м о б р а зо м P = a1α1 a 2α 2 Λ a nα n = bα11bα 2 2 Λ bα n n . Пе р вые и нде ксы о ка за ли сь не упо р ядо ч е нными в пр о и зве де ни и bα11bα 2 2 Λ bα n n . По ме няе м ме ста ми со мно ж и те ли , упо р ядо ч и ва я и х в по р ядке во зр а ста ни я пе р во го и нде кса : P = b1β1 b2 β 2 Λ bnβ n . Ч и сло пе р е ме н мно ж и те ле й р а вно ч и слу тр а нс-
11
по зи ци й, пе р е во дящ и х пе р е ста но вку (α 1 , α 2 ,..., α n ) в пе р е ста но вку (1,2,..., n ) и пе р е ста но вку. (1,2,..., n ) в пе р е ста но вку (β1 , β 2 ,..., β n ) . Со гла сно сле дстви ю 1.2 это ч и сло ч е тно , е сли (α 1 , α 2 ,..., α n ) - ч е тна я пе р е ста но вка . Н о это о зна ч а е т, ч то пе р е хо д о т пе р е ста но вки . (1,2,..., n ) к пе р е ста но вке (β1 , β 2 ,..., β n ) о сущ е ствляе тся та кж е по ср е дство м ч е тно го ч и сла тр а нспо зи ци й. Т о гда . по луч а е м, ч то пе р е ста но вка (β1 , β 2 ,..., β n ) то ж е ч е тна я. Со ве р ш е нно а на ло ги ч но мо ж но б ыло р а ссмо тр е ть случ а й не ч е тно й пе р е ста но вки (α 1 , α 2 ,..., α n ) . Сле до ва те льно пр о и зво льно е пр о и зве де ни е P вхо ди тв |A’| с те м ж е зна ко м, ч то и в |A|. Те о р е ма до ка за на . Т еор ема 3. Есл и в к вадр ат н ой м ат р и це пом е н ят ь м е ст ам и две ст р ок и и л и два ст ол бца, ост ави в ост ал ьн ы е н а свои х м е ст ах, т о опр е де л и т е л ьн овой м ат р и цы буде т р аве н опр е де л и т е л ю и сходн ой м ат р и цы со зн ак ом “ –“ . Д оказательство. Ра ссмо тр и м сна ч а ла пе р е ме ну ме ста ми двух стр о к: стр о ки i и стр о ки j ( i〈 j ). a11
a12 Λ
a11
a1n
a12 Λ
a1n
.......... .......... ....... a j1 a j 2 Λ a jn
.......... .......... ....... ai1 ai 2 Λ a in
| B |= .......... .......... ....... ai1 ai 2 Λ ain
| A |= .......... .......... ....... , a j1 a j 2 Λ a jn
.
.......... .......... ....... a n1 a n 2 Λ a nn
.......... .......... ....... a n1 a n 2 Λ a nn
Ра ссмо тр и м пр о и зво льно е пр о и зве де ни е P = a1α1 Λ
a iα Λ a jα Λ a nα i j n
и з р а зло ж е -
ни я |A|. В ма тр и це B на р уш е на нуме р а ци я стр о к. Ч то б ы е сте стве нно за пи са ть и нде ксы, о б о зна ч и м bkα = a kα , k ≠ i, j; biα = a jα ; b jα = aiα . В р а зло ж е ни е ма тр и цы B вхо ди т пр о и зве де ни е b1α1 Λ biα j Λ b jαi Λ bnα n , со впа да ю щ е е с P по со ста ву мно ж и те ле й и по это му р а вно е P. Пе р вые и нде ксы упо р ядо ч е ны, по это му зна ки пе р е д Р в о пр е де ли те лях |A| и |B| о пр е де ляю тся ч и сло м и нве р си й в пе р е ста но вка х (α 1 ,..., α i ,..., α j ,..., α n ) и (α 1 ,..., α j ,..., α i ,..., α n ) со о тве тстве нно .Э ти пе р е ста но вки пе р е во дятся о дна в др угую пр и по мо щ и о дно й тр а нспо зи ци и , по это му и ме ю т пр о ти во по ло ж ные на и ме но ва ни я (см. те о р е му 1).Э то о зна ч а е т, ч то в р а зло ж е ни я |A| и |B| пр о и зве де ни е P вхо ди тс пр о ти во по ло ж ными зна ка ми . В си лу пр о и зво льно сти выб о р а P выво д спр а ве дли в для ка ж до го сла га е мо го в р а зло ж е ни и о пр е де ли те ле й. По это му A = ∑ ± P = − ∑ µ P =− | B | . Для случ а я пе р е ста но вки p
p
стр о к те о р е ма до ка за на . Для пр о ве р ки о ста вш е йся ч а сти те о р е мы не о б хо ди мо во спо льзо ва ться до ка за нным фа кто м и те м, ч то о пр е де ли те ль не ме няе тся пр и тр а нспо ни р о ва ни и ма тр и ц (те о р е ма 2.). Т е о р е ма до ка за на . Следствие 3.1. Есл и в м ат р и це А е ст ь оди н ак овы е ст ол бцы и л и ст р ок и , т о е е опр е де л и т е л ьр аве н н улю.
12
Д оказательство. Пр е дпо ло ж и м, ч то со впа да ю тдве стр о ки .По ме няе м и х ме ста ми и по луч е нную ма тр и цу о б о зна ч и м ч е р е з В . Оч е ви дно , ч то В =А. По это му B = A . С др уго й сто р о ны в си лу те о р е мы 3. B = − A ⇒ A = − A . Э то мо ж е тб ыть то лько е сли о пр е де ли те ль р а ве н нулю . § 6. М инор ы и алгебр аич еские дополнения. Пусть да на ма тр и ца А n-го по р ядка . В ыч е р кне м и з не е i-ю стр о ку и j-ый сто лб е ц. О пр еделение 6. О пр е де л и т е л ь м ат р и цы (n-1) пор ядк а, пол учающе йся и з дан н ой м ат р и цы вы че р к и ван и е м i-ой ст р ок и и j-го ст ол бца н азы вае т ся м и н ор ом эл е м е н т а aij и обозн ачае т ся ∆ ij . Пр и ме р 4. Пусть A – ма тр и ца ч е тве р то го по р ядка : a1 a A= 2 a 3 a 4
b1 b2 b3 b4
c1 c2 c3 c4
d1 d2 . d3 d 4
В ыпи ш е м два ми но р а тр е тье го по р ядка : ∆ 23 и . ∆ 41 . И ме е м a1 b1 ∆ 23 = a 3 a3
d1
b3
d3 ;
b3
d3
b2
c2
d2
∆ 23 = b3 b4
c3
d3 .
c4
d4
В се го у ма тр и цыn-го по р ядка n2 ми но р о в. a11 0 Λ Λ 0 a 22 ...a 2 n a 21 a 22 Λ a 2n Л емма 1. Есл и A = .......... .......... ....... , т о A = a11∆11 = a11 .............. . .......... .......... ....... a n 2 ...a nn a n1 a n 2 Λ a nn
Д оказательство. Ср е ди все х сла га е мых Р, вхо дящ и х в о пр е де ли те ль А о ста ви м ли ш ь те , ко то р ые не со де р ж а т за ве до мо нуле вые эле ме нты и з пе р во й стр о ки . Об щ и й ви д та ки х сла га е мых P = a11a 2 β a3γ ...a nω . Ч и сло и нве р си й пе р е ста но вки
(1, β , γ ,..., ω ) р а вно ч и слу и нве р си й пе р е ста но вки (β , γ ,..., ω ) , по ско льку 1 – на и -
ме ньш и й эле ме нт. По о пр е де ле ни ю A=
Ле мма до ка за на .
∑ ± a11a 2 β a3γ .Λ a nω
(1β ,γ ,...,ω )
= a11
∑ ± a 2 β a3γ .Λ a nω
(β ,γ ,...,ω )
= a11∆11 .
13 a11 a12 ............. a1n .......... .......... .......... ........ .......... .......... .......... ........ Л емма 2. Есл и A = 0 0 ........... aij ......... 0 , т о A = ( − 1 ) i + .......... .......... .......... ........ .......... .......... .......... ........ a n1 a n 2 ............ a nn
j
a ij ∆ ij
.
Д оказательство. Ра ссмо тр и м о пр е де ли те ль ма тр и цы A. Све де м утве р ж де ни е ле ммы к до ка за нно му выш е . Для это го сна ч а ла ме няе м ме ста ми стр о ки : i -ую и (i-1)-ую , (i-1)-ую и (i-2)-ую ,… , 2-ую и 1-ую . З а те м ме няе м ме ста ми сто лб цы: jый и (j-1)-ый, (j-1)-ый и (j-2)-ый,… , 2-о й и 1-ый. Н а о сно ва ни и те о р е мы 3 и ме е м: a11
a12
.......... a1n
.......... .......... ............... 0 0 ......... a ij ....... 0
0 0 ......... a ij ....... 0
.......... a1n .......... .......... ............... | A |= = (−1) i −1 = .......... .......... .............. .......... .......... ............... .......... .......... .............. .......... .......... ............... a n1 a n 2 ......... a nn a n1 a n 2 ......... a nn a11
a12
a ij
0 0 ............... 0
...... a11 = (−1) i −1 (−1) j −1
a12
...... a1n
.......... .......... .......... ....... . .......... .......... .......... ....... .......... .......... .......... ....... .......a n1 a n 2 ..... a nn
В о спо льзо ва вш и сь ле ммо й 1. по луч и м: a11
a12
...... a1n .............................. i+ j | A |= (-1) aij ..............................
= (−1) i + j aij ∆ ij .
.............................. a n1 a n 2 ........ a nn
Ч то и тр е б о ва ло сь. О пр еделение 7. Ч и сл о Aij = (−1) i + j ∆ ij н азы вае т ся ал ге бр аи че ск и м допол н е н и е м эл е м е н т а aij .
14
До ка за нные выш е ле ммыпо ка зыва ю т, ка к о пр е де ли те ли выр а ж а ю тся ч е р е з о пр е де ли те ли б о ле е ни зко го по р ядка для ма тр и ц спе ци а льно го ви да . Ока зыва е тся, ч то сущ е ствую тфо р мулы, по зво ляю щ и е по ни зи ть по р ядо к о пр е де ли те ля и для ма тр и ц о б щ е го ви да . Э то та к на зыва е мые фо р мулыр а зло ж е ни я о пр е де ли те ля по стр о ке и ли сто лб цу. Спр а ве дли ва сле дую щ а я Т еор ема 4. Лю б о й о пр е де л и т е л ьр аве н сум м е пр ои зве де н и й эл е м е н т овл юбой ст р ок и н а и х ал ге бр аи че ск и е допол н е н и я: A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain .
Д оказательство. Ра ссмо тр и м сле дую щ ую вспо мо га те льную ма тр и цу a11 Λ a i −11 В = x1 ai +11 Λ a n1
a12 Λ ai −12 x2 a i +12 Λ a n2
Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ
Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ
a1n Λ ai −1n xn a i +1n Λ a nn
и на йде м е е о пр е де ли те ль. По о пр е де ле ни ю ± a1α a 2 β ,..., a nω . A = ∑± P = ∑ (α , β ,..ω ) p
В ка ж до е пр о и зве де ни е Р вхо ди то ди н и то лько о ди н со мно ж и те ль x k . Сгр уппи р уе м сла га е мые , со де р ж а щ и е мно ж и те ли x1 , x 2 ,… , x n . Пусть T1 x1 - сла га е мо е со де р ж а щ е е x1 ; T2 x 2 - сла га е мо е со де р ж а щ е е x 2 ; Tn x n - сла га е мо е со де р ж а щ е е x n . Опр е де ли те ль и ме е тви д B = T1 x1 + T2 x 2 + ... + Tn x n . В ыч и сли м сна ч а ла ч и сло T1 . C это й це лью по ло ж и м x1 = 1 , x 2 = 0 ,… , x n = 0 . Н а о сно ва ни и ле ммы 2 и ме е м T1 = Ai1 . Ана ло ги ч но по луч а е тся, ч то T2 = Ai 2 ,… , B = Ai1 x1 + Ai 2 x 2 + ... + Ain x n .По ла га я Сле до ва те льно Tn = Ain . x1 = ai1 , x 2 = ai 2 ,..., x n = a in , по луч и м A = B = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + .... + ain Ain .
Ч то и тр е б о ва ло сь. И з до ка за нно го утве р ж де ни я и те о р е мы2 по луч а е тся Следствие 4.1. О пр е де л и т е л ьр аве н сум м е пр ои зве де н и йэл е м е н т овл юбого ст ол бца н а и х ал ге бр аи че ск и е допол н е н и я:
15 A = a1 j A1 j + a 2 j A2 j + ... + a nj Anj .
Пр и ме р 5. Ра ссмо тр и м ма тр и цу V, у ко то р о й все эле ме нтыпо д гла вно й ди а го на лью – нуле вые , то е сть v11 0 V = Λ 0
Λ Λ Λ 0
v12 v 22 Λ 0
v1n v 2n . Λ v nn
Т а ко го р о да ма тр и цына зыва ю тся ве р хне тр е уго льными . Н а йде м о пр е де ли те ль ма тр и цыV. По сле до ва те льно пр и ме няя те о р е му 4, по луч и м v11 0 | V |= Λ 0
v12 v 22 Λ 0
Λ Λ Λ 0
v1n v 22 v 2n = v11 Λ Λ 0 v nn
Λ
v 2n
Λ Λ
Λ = Λ = v11v 22 Λ v nn . v nn
Т а ки м о б р а зо м, опр е де л и т е л ьве р хн е т р е угол ьн ойм ат р и цы р аве н пр ои зве де н и ю е е ди агон ал ьн ы х эл е м е н т ов. По сле дую щ и е утве р ж де ни я до пуска ю тфо р мули р о вки о тно си те льно стр о к и сто лб цо в. В си лу те о р е мы2. до ста то ч но пр о ве р и ть то лько о дну и з ни х. Следствие 4.2. С ум м а пр ои зве де н и й эл е м е н т ов одн ой ст р ок и (ст ол бца) м ат р и цы н а ал ге бр аи че ск и е допол н е н и я соот ве т ст вую щи х эл е м е н т ов др угой ст р ок и (ст ол бца) р авн а н улю. Д оказательство. Пр о ве р и м да нно е утве р ж де ни е для стр о к. И спо льзуя те о р е му 4. и ме е м a k1 Ai1 + a k 2 Ai 2 + .... + a kn Ain = B .
М а тр и ца B и ме е тви д a11 Λ a k1 В = Λ a k1 Λ a n1
a12
Λ
Λ
Λ ak 2 Λ
Λ Λ Λ
Λ Λ Λ
ak 2 Λ a n2
Λ Λ Λ
Λ Λ Λ
a1n Λ a kn Λ . a kn Λ a nn
Стр о ки i и k ма тр и цыВ со впа да ю т. Со гла сно cле дстви ю 3.1 о пр е де ли те льта ко й ма тр и цыр а ве н 0.
16
Т еор ема 5. О пр е де л и т е л ьявл яе т ся л и н е йн ой ф унк ци е й ст р ок и (ст ол бца). Д оказательство. Ра ссмо тр и м о пр е де ли те ль a11
a12
Λ | A |= c' a 'i1 + c' ' a ' 'i1 Λ a n1
Λ c' a 'i 2 +c' ' a ' 'i 2 Λ a n2
Λ Λ Λ Λ Λ
a1n Λ c' a' in +c' ' a ' ' in Λ a nn
и р а зло ж и м е го по i-о й стр о ке A = (c' a' i1 +c' ' a' ' i1 ) Ai1 + (c' a' i 2 + c' ' a' ' i 2 ) Ai 2 + ... + (c' a' in +c' ' a ' 'in ) Ain = = c' ( a' i1 Ai1 + a' i 2 Ai 2 + ... + a' in Ain ) + c' ' ( a' ' i1 Ai1 + a' ' i 2 Ai 2 + ... + a ' ' in Ain ) = c' | B' | + c' ' | B' ' |,
где a11 Λ | B' |= a 'i1 Λ a n1
a12 Λ a'i 2 Λ an2
Λ Λ Λ Λ Λ
a1n Λ a ' in , Λ a nn
a11 Λ | B' ' |= a' 'i1 Λ a n1
a12 Λ a' 'i 2 Λ an2
Λ Λ Λ Λ Λ
a1n Λ a ' ' in . Λ a nn
Т е о р е ма до ка за на . Утвер ждение 3. Есл и ум ат р и цы две ст р ок и (ст ол бца) пр опор ци он ал ьн ы , т о е е опр е де л и т е л ьр аве н 0 . Д оказательство. Ра ссмо тр и м о пр е де ли те ль ма тр и цы. В ыне се м ко эффи ци е нт пр о по р ци о на льно сти за зна к о пр е де ли те ля, по льзуясь те о р е мо й 5. По луч и м о пр е де ли те ль с р а вными стр о ка ми (сто лб ца ми ), а о пр е де ли те ль та ко й ма тр и цы р а ве н 0 (cле дстви е 3.1). И з те о р е мы5 и утве р ж де ни я 3 по луч а е тся сле дую щ е е Утвер ждение 4. О пр е де л и т е л ь м ат р и цы н е и зм е н и т ся, е сл и к эл е м е н т ам одн ой е е ст р ок и пр и бави т ь соот ве т ст вующи е эл е м е н т ы др угой ст р ок и , ум н ож е н н ы е н а одн о и т о ж е чи сл о. Э то утве р ж де ни е да е то б о сно ва ни е для эффе кти вно го спо со б а выч и сле ни я о пр е де ли те ле й. Э то тспо со б за клю ч а е тся в сле дую щ е м. Пр и б а вляя к стр о ка м ма тр и цы по о ч е р е дно пе р вую , вто р ую и т.д. стр о ки , ма тр и цу пр и во дят к ве р хне тр е уго льно му ви ду (см. пр и ме р 5). Опр е де ли те ль по луч е нно й ма тр и цы выч и сляе тся не по ср е дстве нно . § 7. О пр еделитель ступенч атой матр ицы .
17
Ра ссмо тр и м n × n -ма тр и цу А сле дую щ е го спе ци а льно го ви да a11 a 21 Λ a m1 A= a m+11 a m+ 21 Λ a n1
Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ
a12 a 22 Λ a m2 a m+12 a m + 22 Λ a n2
a1m a 2m Λ a mm a m+1m a m+ 2m Λ a nm
0 0 Λ
0 0 Λ
0
0
a m+1m +1 a m+ 2 m+1
a m+1m+ 2 a m+ 2m+ 2
a nm+1
a nm + 2
Λ
Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ
Λ
0 a m +1n a m+ 2n Λ a nn 0 0 Λ
Т а ка я ма тр и ца на зыва е тся ступе нч а то й. Об о зна ч а я a11 a B = 21 Λ a m1 a m+11 a 21 C = m+ Λ a n1
a m+12 a m+ 22 Λ an2
Λ Λ Λ Λ
a12 a 22 Λ a m2
Λ Λ Λ Λ
a1m 0 a 2m 0 , O = Λ Λ a mm 0
a m+1m a m+1m+1 a m+ 2m a , D = m + 2m+1 Λ Λ a nm a nm+1
0 0 Λ 0
Λ Λ Λ Λ
a m+1m+ 2 a m+ 2m+ 2 Λ a nm+ 2
0 0 , Λ 0 Λ Λ Λ Λ
a m+1n a m+ 2n Λ a nn
,
B O
. мо ж но за пи са ть ма тр и цу A в б ло ч но м ви де A = C D
Т еор ема 6..О пр е де л и т е л ь ст упе н чат ой м ат р и цы р аве н пр ои зве де н и ю опр е де л и т е л е й е е ди агон ал ьн ы х к л е т ок . Д оказательство пр о ве де м и ндукци е й по m. Ра ссмо тр и м случ а й m=1. По луч и м о пр е де ли те ль в ко то р о м все эле ме нты пе р во й стр о ки кр о ме а11 нуле вые . Ле мма 1 о б е спе ч и ва е тспр а ве дли во сть утве р ж де ни я в это м случ а е . Пр е дпо ло ж и м по и ндукци и , ч то утве р ж де ни е те о р е мы выпо лняе тся для все х m = 1, Κ k (1 ≤ k ≤ n − 1) и до ка ж е м е го спр а ве дли во сть для m=k+1. Для это го р а зло ж и м о пр е де ли те ль по пе р во й стр о ке A = a11 A11 + ... + a1n A1n =
k +1
k +1
j =1
j =1
∑ a1 j A1 j = ∑ a1 j (−1)1+ j ∆1 j .
З де сь ∆1 j -ми но р эле ме нта a1j в ма тр и це А , т.е . ∆1 j по луч а е тся выч е р ки ва ни е м 1-о й стр о ки и j-го сто лб ца ма тр и цы А. Одна ко по сле та ко го выч е р ки ва ни я мы вно вь по луч и м ступе нч а тую ма тр и цу, у ко то р о й ве р хняя кле тка и ме е тпо р ядо к
18
k, а зна ч и т по пр е дпо ло ж е ни ю и ндукци и о пр е де ли те ль ∆1 j б уде т р а ве н ∆1 j = ∆ '1 j D , где ∆'1 j -о пр е де ли те ль ма тр и цы, по луч е нно й и з B выч е р ки ва ни е м пе р во й стр о ки и j-го сто лб ца . И ме е м A=
k +1
k +1
k +1
j =1
j =1
j =1
∑ a1 j (−1)1+ j ∆1 j =
∑ a1 j (−1)1+ j ∆'1 j | D |=| D | ∑ a1 j (−1)1+ j ∆'1 j =| D || B | .
М ыпо луч и ли , ч то утве р ж де ни е те о р е мыве р но для m=k+1. Пр и ме р 6. В ыч и сли ть о пр е де ли те ль ма тр и цы 1 2 2 3 A= 10 11 7 12
0 0 2 3
0 0 . 1 4
И спо льзуя те о р е му 6, ле гко по луч а е м | A |=
1 22 1 = (1 ⋅ 2 − 2 ⋅ 2)(2 ⋅ 4 − 1 ⋅ 3) = −10 . 2 33 4
До ка за нна я те о р е ма являе тся ч а стным случ а е м те о р е мы Ла пла са . Ра ссмо тр и м ква др а тную ма тр и цу a11 a12 Λ a1n a 21 a 22 Λ a 2 n . A = .......... .......... ....... .......... .......... ....... a n1 a n 2 Λ a nn
З а фи кси р уе м k
ai1 j2
Λ
ai1 jk
ai2 j1
ai2 j2
Λ
ai2 jk
.......... .......... ............... .......... .......... ............... aik j1
aik j2
Λ
.
aik jk
В ыч е р кне м те пе р ь в ма тр и це А выб р а нные стр о ки и сто лб цы. По луч и м ма тр и цу по р ядка n-k. Опр е де ли те ль по луч е нно й ма тр и цы на зыва е тся до по лни те льным ми но р о м для ука за нно го выш е ми но р а k-го по р ядка . До по лни те льный ми но р , умно ж е нный на (−1) i1 +i2 +Κ ik + j1 + j2 +Κ jk на зыва е тся а лге б р а и ч е ски м до по лне ни е м и схо дно го ми но р а .
19
Т еор ема 7 (Laplace P.). Вы де л и м в м ат р и це А n-го пор ядк а к ак и е -н и будьk ст р оче к . Т огда е е опр е де л и т е л ь м ож е т бы т ь пр е дст авл е н к ак сум м а все возм ож н ы х м и н ор овk-го пор ядк а, сост авл е н н ы х и звы бр ан н ы х k ст р ок , ум н ож е н н ы х н а и х ал ге бр аи че ск и е допол н е н и я. § 8. Ф ор мулы Кр амер а. По до б но о пр е де ли те лям вто р о го и тр е тье го по р ядка , о пр е де ли те ли n-го по р ядка по зво ляю т по луч и ть явные фо р мулы для о пр е де ле ни я р е ш е ни я си сте мы n ур а вне ни й с n не и зве стными , а на ло ги ч ные те м, ко то р ые б ыли по луч е ны в § 1. Ра ссмо тр и м си сте му, со сто ящ ую и з n ур а вне ни й с n не и зве стными : a11 x1 + a12 x 2 + Λ + a1n x n = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 + Λ + a 2n x n = b2 , .......... .......... .......... .......... ....... a n1 x1 + a n 2 x 2 + Λ + a nn x n = bn .
Ква др а тна я ма тр и ца a11 a12 Λ a1n a 21 a 22 Λ a 2 n A = .......... .......... ....... .......... .......... ....... a n1 a n 2 Λ a nn
на зыва е тся ма тр и це й си сте мы, а ве кто р -сто лб е ц b1 b b= 2 Μ b n
на зыва е тся ве кто р о м пр а во й ч а сти . Опр е де ли те ль ма тр и цыA a11
a12
Λ
a1n
a 21
a 22
Λ
a 2n
∆ = .......... .......... ....... .......... .......... ....... a n1 a n 2 Λ a nn
на зыва е тся о пр е де ли те ле м си сте мы. Т еор ема 8 (Cramer G.). Есл и ∆ ≠ 0,
20
т о си ст е м а и м е е т е ди н ст ве н н ое р е ш е н и е , к от ор ое м ож е т бы т ьн айде н о по ф ор м улам ∆ ∆ ∆ x1 = 1 , x 2 = 2 ,… , x n = n , ∆ ∆ ∆
где ∆ i - опр е де л и т е л ьм ат р и цы , пол учающе йся и зм ат р и цы си ст е м ы зам е н ой i-го ст ол бца н а ст ол бе ц свободн ы х чл е н ов. Д оказательство р а зо б ье м на два эта па : 1) вна ч а ле пр е дпо ло ж и м, ч то р е ш е ни е сущ е ствуе т, и на йде м е го в явно м ви де (пр и ч е м о дно зна ч но ); 2) пр о ве р и м, ч то на йде нна я си сте ма ч и се л де йстви те льно являе тся р е ш е ни е м. 1) Пр е дпо ло ж и м, ч то си сте ма ч и се л x1 , x2 ,… , xn - р е ш е ни е си сте мы. Э то о зна ч а е т, ч то и ме е м р а ве нства : a11 x1 + a12 x 2 + Λ + a1n x n = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 + Λ + a 2n x n = b2 , .......... .......... .......... .......... ....... a n1 x1 + a n 2 x 2 + Λ + a nn x n = bn .
(10)
У мно ж и м 1-о е ур а вне ни е на а лге б р а и ч е ско е до по лне ни е A11 , вто р о е на A21 ,… , по сле дне е на An1 и все сло ж и м. Пр и ве де м по до б ные пр и x1 , x 2 ,… , x n . По луч и м x1 ( a11 A11 + a 21 A 21 +... + a n1 A n1 ) + x 2 ( a12 A11 + a 22 A 21 +... + a n 2 A n1 ) + ...
(11)
+ x n ( a1n A11 + a 2n A 21 +... + a nn A n1 ) = b1 A11 +b2 A 21 +... + bn A n1
В ыр а ж е ни е a11 A11 + a 21 A 21 +... + a n1 A n1 – р а зло ж е ни е о пр е де ли те ля A по пе р во му сто лб цу (сле дстви е 4.1). По это му a11 A11 + a 21 A 21 +... + a n1 A n1 = ∆ . Ко эффи ци е нты пр и x 2 ,… , x n р а вны0, та к ка к пр е дста вляю тсо б о й сумму пр о и зве де ни й эле ме нто в о дно го сто лб ца на а лге б р а и ч е ски е до по лне ни я др уго го (сле дстви е 4.2). В ыр а ж е ни е b1 A11 +b2 A 21 +... + bn A n1 в пр а во й ч а сти р а ве нства (11) – р а зло ж е ни е о пр е де ли те ля Λ
b1
a12
b2
a 22 Λ
a1n a 2n
∆1 = .......... ................. .......... ................. bn
a n2
Λ
a nn
21
по пе р во му сто лб цу. Око нч а те льно и з (11) и ме е м x1 ∆ = ∆1 . Т а к ка к ∆ ≠ 0, то ∆ x1 = 1 . ∆
Ана ло ги ч но , умно ж а я 1-о е ур а вне ни е на A12 , вто р о е на A22 ,… , по сле дне е
∆2 . И та к да ле е . У мно ж а я 1-о е ур а вне ни е на ∆ ∆ A1n , вто р о е на A2 n ,… , по сле дне е на Ann и скла дыва я, на йде м x n = n . ∆
на An 2 и скла дыва я, на йде м x 2 =
М ы до ка за ли , ч то е сли р е ш е ни е сущ е ствуе ти о пр е де ли те ль ∆ о тли ч е н о т 0, то это р е ш е ни е – си сте ма ч и се л ∆ ∆ ∆ x1 = 1 , x 2 = 2 ,… , x n = n . ∆ ∆ ∆
2) Пр о ве р и м, ч то x1 =
∆1 , ∆
x2 =
∆ ∆2 ,… , x n = n - де йстви те льно р е ш е ни е ∆ ∆
си сте мы (10). По дста ви м эти ч и сла в ле вую ч а сть пе р во го ур а вне ни я си сте мы. Ра скла дыва я о пр е де ли те ли ∆ i по i-му сто лб цу и пр и во дя по до б ные пр и bi, по луч и м ∆ ∆ ∆ 1 1 a11 1 + a12 2 + Λ + a1n n = (a11∆1 + a12 ∆ 2 + Λ + a1n ∆ n ) = {a11 (b1 A11 + b2 A21 + ... ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ + bn An1 ) + a12 (b1 A12 + b2 A22 + ... + bn An 2 ) + Λ + a1n (b1 A1n + b2 A2 n + ... + bn Ann )} = 1 {b1 ( a11 A11 + a12 A12 + ... + a1n A1n ) + b2 ( a11 A21 + a12 A22 + ... + a1n A2n ) + ... ∆ + bn ( a11 An1 + a12 An 2 + ... + a1n Ann )} .
В ыш е мы за ме ч а ли , ч то a11A11+a21A21+… an1An1= ∆ , a1iA11+a2iA21+… aniAn1=0 (i ≠ 1). По это му ∆ ∆ ∆ a11 1 + a12 2 + Λ + a1n n = b1 . ∆ ∆ ∆
Э то о зна ч а е т, ч то ч и сла x1 =
∆ ∆1 ∆ , x 2 = 2 ,… , x n = n удо вле тво р яю тпе р во му ∆ ∆ ∆
ур а вне ни ю си сте мы. Ана ло ги ч но , по дста вляя эти ч и сла в др уги е ур а вне ни я, по луч и м ч то со о тно ш е ни я р а ве нства выпо лняю тся. Сле до ва те льно это р е ш е ни е си сте мы. Т е о р е ма до ка за на .
22
С писо к до по л н ит ел ьн о й л ит ерат уры . 1. 2. 3. 4.
И льи н В .А., По зняк Э .Г. Ли не йна я а лге б р а . – М .: Н а ука , 1999.-294 с. М а льце в А.И . Осно выли не йно й а лге б р ы. – М .: Н а ука , 1975.-400 с. Га нтма хе р Ф .Р. Т е о р и я ма тр и ц. – М .: Н а ука , 1988.-548 с. Б е кле ми ш е в Д.В . Кур с а на ли ти ч е ско й ге о ме тр и и и ли не йно й а лге б р ы. – М .: В ысш . ш к. 1998.-319 с.
Со ста ви те ли : Стр ыги н В а ди м В а си лье ви ч , Э кса р е вска я М а р и на Евге нье вна , Еси пе нко Дми тр и й Ге о р ги е ви ч . Ре да кто р Б уни на Т а ма р а Дми тр и е вна .