Введение в теорию определителей: Методические указания по курсу ''Алгебра и геометрия''

М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те т Ф а культе тпр и кла дно й ма те ма ти ки и ме ха ни ки

506

Ка фе др а выч и сли те льно й ма те ма ти ки

В В Е Д Е НИ Е В Т Е О Р И Ю

О П Р ЕД ЕЛ И Т ЕЛ ЕЙ

М е то ди ч е ски е ука за ни я по кур су “Алге б р а и ге о ме тр и я” для студе нто в 1 кур са д/о и в/о фа культе та ПМ М

Со ста ви те ли : Стр ыги н В .В . Экса р е вска я М .Е Еси пе нко Д.Г.

В ОРОН ЕЖ 2001

2

В ведение. Да нно е по со б и е по свящ е но о дно му и з ва ж ных р а зде ло в ли не йно й а лге б р ы, и зуч а е мых студе нта ми фа культе та ПМ М на пе р во м кур се . У ч е б на я пр о гр а мма ди сци пли ны "Алге б р а и ге о ме тр и я" до ста то ч но по др о б на , но о гр а ни ч е на по вр е ме ни . Сле дуе тта кж е уч и тыва ть, ч то студе нта м пе р во го кур са б ыва е т сло ж но во спр и ни ма ть б о льш о е ко ли ч е ство но во й а б стр а ктно й и нфо р ма ци и . В то ж е вр е мя успе х о б уч е ни я на ста р ш и х кур са х во мно го м за ви си то тсте пе ни усво е ни я ма те р и а ла кур са "Алге б р а и ге о ме тр и я", по ско льку это тма те р и а л являе тся б а зо вым для мно ги х кур со в, и зуч а е мых в да льне йш е м. В се это о б усла вли ва е т не о б хо ди мо сть пр о сто го , но стр о го го и зло ж е ни я ма те р и а ла кур са . В о сно ву да нно го по со б и я ле гла ч а сть ле кци о нно го кур са , ч и та е мо го на фа культе те ПМ М пр о ф. В .В .Стр ыги ным б о ле е 20 ле т. Осо б о е вни ма ни е в по со б и и уде ле но “е сте стве нно му” вве де ни ю по няти й и по ясне ни ю фо р мули р о во к утве р ж де ни й. Т а ко й по дхо д спо со б ствуе т б о ле е глуб о ко му и ле гко му усво е ни ю ма те р и а ла студе нта ми . § 1 О пр еделители 2-го и 3-го пор ядка. По няти е о пр е де ли те ля во зни кло в связи с пр о б ле мо й выво да явных фо р мул для зна ч е ни я не и зве стных пр и р е ш е ни и ли не йных а лге б р а и ч е ски х си сте м. Н а ч не м р а ссмо тр е ни е с си сте мыи з двух ур а вне ни й с двумя не и зве стными a1 x + b1 y = c1 ,   a 2 x + b2 y = c 2 .

(1)

Со ста ви м та б ли цу и з ко эффи ци е нто в си сте мы(1) a A =  1  a2

b1  . b2 

(2)

Т а кую та б ли цу на зыва ю тма тр и це й 2-го по р ядка . Пр а вую ч а сть (1) мо ж но за пи са ть в ви де сто лб ца ч и се л: c  c =  1 .  c2 

(3)

Оч е ви дно , ч то ма тр и ца (2) и сто лб е ц (3) вза и мно о дно зна ч но о пр е де ляю тся си сте мо й (1). Для о тыска ни я не и зве стно го x умно ж и м пе р во е ур а вне ни е си сте мы (1) на b2 , а вто р о е ур а вне ни е на − b1 и сло ж и м о б а ур а вне ни я. a1 x + b1 y = c1 , b2  a 2 x + b2 y = c 2 , − b1 (a1b2 − b2 y1 )x = c1b2 − c 2 b1 .

Ана ло ги ч но для о тыска ни я y б уде м и ме ть

(a1b2 − a 2 b1 ) y = a1c2 − a 2 c1 .

Пр е дпо ло ж и м, ч то a1b2 − a 2 b1 ≠ 0 . Т о гда по луч и м явные фо р мулы для о пр е де ле ни я не и зве стных x и y :

3 c b − c 2 b1 x= 1 2 , a1b2 − a 2 b1

a c − a 2 c1 y= 1 2 . a1b2 − a 2 b 1

(4)

В ыр а ж е ни е a1b2 − a 2b1 , сто ящ е е в зна ме на те ле фо р мул (4) фо р ми р уе тся сле дую щ и м о б р а зо м: 1) на до взять пр о и зве де ни е ч и се л по гла вно й ди а го на ли a1b2 , 2) и з не го выч е сть пр о и зве де ни е ч и се л сто ящ и х по вто р о й ди а го на ли a 2 b1 .

+ По луч е нно е выр а ж е ни е a1b2 − a2 b1 на зыва е тся о пр е де ли те ле м 2-го по р ядка и о б о зна ч а е тся сле дую щ и м о б р а зо м Det(A)= | A |=

a1 a2

b1 = a1b2 − b1a 2 . b2

Ч и сли те ли др о б е й фо р мул (4) та кж е пр е дста вляю т со б о й о пр е де ли те ли . Т а к, выр а ж е ни е c1b2-b1c2 в фо р муле для x – о пр е де ли те ль ма тр и цыA1, ко то р а я по луч а е тся и з ма тр и цыА за ме но й е е пе р во го сто лб ца на сто лб е ц сво б о дных ч ле но в: Det(A1)= | A1 |=

c1 c2

b1 = c1b2 − b1c 2 . b2

Ана ло ги ч но в фо р муле для y в ч и сли те ле за пи са н о пр е де ли те ль ма тр и цы A2, в ко то р о й вто р о й сто лб е ц - сто лб е ц сво б о дных ч ле но в Det(A2)= | A2 |=

a1 a2

c1 = a1c 2 − c1a 2 . c2

C по мо щ ью о пр е де ли те ле й мо ж но за пи са ть фо р мулы (4) для на хо ж де ни я не и зве стных T1x1 и y и з си сте мы(1) x=

c1 c2

b1 b2

a1

b1

a2

b2

y=

,

a1 a2

c1 c2

a1

b1

a2

b2

.

Пе р е йде м те пе р ь к р а ссмо тр е ни ю си сте м 3-го по р ядка a1 x + b1 y + c1 z = d1 ,  a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 , a x + b y + c z = d . 3 3 3  3

(5)

М а тр и ца тр е тье го по р ядка и з ко эффи ци е нто в си сте мыи сто лб е ц пр а во й ч а сти в да нно м случ а е и ме ю тви д  a1  A =  a2 a  3

b1 b2 b3

c1   c2  , c 3 

 d1    d =  d 2 . d   3

4

Ч то б ына йти x умно ж и м 1-е ур а вне ни е на b2 c 3 − c 2 b3 , 2-е ур а вне ни е на b3 c1 − b1 c3 , 3-е ур а вне ни е на b1c 2 − b2 c1 и сло ж и м. В р е зульта те мыпо луч и м (a1b2 c3 + a 2b3c1 + a3b1c2 − a1b3c2 − a2 b1c3 − a3b2 c1 ) x = = d1b2 c3 + d 2 b3 c1 + d 3 b1c 2 − d1b3 c 2 − d 2 b1c3 − d 3 b2 c1 . Пр е дпо ло ж и м, ч то ко эффи ци е нтпр и x о тли ч е н о т0. Т о гда о дно зна ч но на хо -

ди м d b c + d 2 b3c1 + d 3b1c2 − d1b3 c2 − d 2 b1c3 − d 3b2 c1 x= 1 2 3 . a1b2 c3 + a 2 b3c1 + a3b1c2 − a1b3c2 − a 2 b1c3 − a3b2 c 1

(6)

В ыр а ж е ни е , сто ящ е е в зна ме на те ле фо р мулы(6), со ста вле но и з ч ле но в ма тр и цы А по сле дую щ е му пр а ви лу: со зна ко м “+” б е р утся пр о и зве де ни е 3-х ч и се л сто ящ и х по гла вно й ди а го на ли и пр о и зве де ни я ч и се л, р а спо ло ж е нных в ве р ш и на х р а вно б е др е нных тр е уго льни ко в с о сно ва ни ями , па р а лле льными гла вно й ди а го на ли ; со зна ко м “-“ б е р утся пр о и зве де ни е ч и се л сто ящ и х на 2-о й ди а го на ли и пр о и зве де ни я ч и се л, р а спо ло ж е нных в ве р ш и на х р а вно б е др е нных тр е уго льни ко в с о сно ва ни ями , па р а лле льным 2-о й ди а го на ли a1

b1

c1

a2

b2

c2

a3

b3

c3

a1

b1

c1

a2

b2

c2

a3

b3

c3

,

.

+ _ По луч е нно е в р е зульта те выр а ж е ни е det(A)=|A|= a1b2 c3 + a 2 b3 c1 + a 3 b1c 2 − a1b3 c 2 − a 2 b1c3 − a3 b2 c на зыва е тся о пр е де ли те ле м 3-го по р ядка .В ыр а ж е ни е в ч и сли те ле (6) то ж е являе тся о пр е де ли те ле м. Э то о пр е де ли те ль ма тр и цы  d1  A1 =  d 2 d  3

b1 b2 b3

c1   c2  , c 3 

пе р вый сто лб е ц ко то р о й за ме не н на ве кто р пр а во й ч а сти . Т а ки м о б р а зо м, фо р мула (6) для на хо ж де ни я x с по мо щ ью о пр е де ли те ле й мо ж е тб ыть за пи са на сле дую щ и м о б р а зо м: x=

| A1 | . | A|

Ана ло ги ч ные фо р мулымо ж но по луч и ть фо р мулыдля на хо ж де ни я y и z: y=

где ма тр и цы

| A2 | , | A|

z=

| A3 | , | A|

5  a1  A2 =  a 2 a  3

d1 d2 d3

c1   a1   c 2  , A3 =  a 2 a c 3   3

b1 b2 b3

d1   d2  d 3 

по луч а ю тся и з A за ме но й со о тве тстве нно 2–го и 3-го сто лб цо в на сто лб е ц сво б о дных ч ле но в d. Пр и ме р 1. В ыч и сли м о пр е де ли те ль 3-го по р ядка 1 2 3 0 1 2 = 1 + 8 + 0 − 6 − 0 − 0 = 3. 2 0 1

§ 2 О пр еделители n-го пор ядка. П р едвар ительны е замеч ания. Н а ш а це ль о б о б щ и ть по няти е о пр е де ли те ля та ки м о б р а зо м, ч то б ымо ж но б ыло по луч и ть явные фо р мулы для р е ш е ни я ли не йных си сте м пр о и зво льно го n-го по р ядка . Ра ссмо тр и м ква др а тную ма тр и цу n-о го по р ядка  a11 a12 Λ a1n     a 21 a 22 Λ a 2 n  . A = .......... .......... .......   .......... .......... .......     a n1 a n 2 Λ a nn 

У это й ма тр и цы n2 эле ме нто в. Пе р вый и нде кс ука зыва е т на но ме р стр о ки , а вто р о й – но ме р сто лб ца . Пр и смо тр и мся вни ма те льно к о пр е де ли те лям 2 -го и 3 –го по р ядка . М о ж но за ме ти ть сле дую щ и е за ко но ме р но сти : 1) ч и сло со мно ж и те ле й в ка ж до м сла га е мо м р а вно по р ядку о пр е де ли те ля ма тр и цы; 2) со мно ж и те ли взяты по о дно му и з ка ж до й стр о ки и по о дно му и з ка ж до го сто лб ца ; 3) по ло ви на пр о и зве де ни й б е р е тся со зна ко м “+”, а др уга я – со зна ко м “-”. Ско льки ми спо со б а ми мо ж но выб р а ть пр о и зве де ни е n эле ме нто в, ч то б ы удо вле тво р ять 2–му тр е б о ва ни ю ? В пр о и зве де ни и до лж е н пр и сутство ва ть эле ме нт и з пе р во й стр о ки . Э то мо ж е т б ыть лю б о й и з n эле ме нто в это й стр о ки . До лж е н пр и сутство ва ть эле ме нтвто р о й стр о ки . По сле то го , ка к о ди н со мно ж и те ль фи кси р о ва н, эле ме нтвто р о й стр о ки уж е не мо ж е тб ыть лю б ым. Он не мо ж е тб ыть выб р а н и з то го ж е сто лб ца , ч то и пе р вый эле ме нт. По это му для выб о р а это го эле ме нта о ста е тся (n-1) ва р и а нт. Ч и сло ва р и а нто в для выб о р а мно ж и те ля и з ка ж до й сле дую щ е й стр о ки уме ньш а е тся на 1. По сле дни й эле ме нто пр е де ляе тся о дно зна ч но выб о р о м пр е дыдущ и х. В се го по луч а е тся n(n-1)… 1=n! cпо со б о в. По дво дя и то г эти м р а ссуж де ни ям, мо ж но сфо р мули р о ва ть пр е два р и те льно е о пр е де ле ни е . О пр е де л и т е л е м м ат р и цы А n–ого пор ядк а н азы вае т ся сум м а все х n! пр ои зве де н и й все х эл е м е н т овэт ой м ат р и цы , взят ы х по одн ом уи зк аж дой ст р ок и

6

и к аж дого ст ол бца. Пр и эт ом к аж дое пр ои зве де н и е сн абж е н о зн ак ом “ +” и л и “ -” по н е к от ор ом упр ави л узн ак а. Пр и ме р 2 Ра ссмо тр и м о пр е де ли те ль 4-ого по р ядка a11 a 21

a12 a 22

a13 a 23

a14 a 24

a31 a 41

a 32 a 42

a 33 a 43

a 34 a 44

.

1) В хо дятли пр о и зве де ни я a11a23a34a43 и a12a23a34a41a32 в о пр е де ли те ль? Отве тне т. 2) В хо ди тли пр о и зве де ни е a12a31a22a44 в о пр е де ли те ль? Отве т- не т. 3) В хо дятли пр о и зве де ни я a11a22a33a44 и a21a43a14a32? Да , вхо дят. Ка к ж е б ыть со зна ко м? Об р а ти мся вно вь к фо р мула м для выч и сле ни я о пр е де ли те ле й вто р о го и тр е тье го по р ядко в, по луч е нным выш е a11 a12 a 21 a 22

= a11 a 22 − a12 a 21 .

По смо тр и м на и нде ксы сто лб цо в. Сла га е мо е со зна ко м “+”a11a 22 и ме е ти нде ксы(1,2),а сла га е мо е со зна ко м “-”a12 a21 - (2,1). Ра ссмо тр и м те пе р ь о пр е де ли те ль тр е тье го по р ядка a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a 21 a33 − a11 a 23 a 32 . a 31 a32 a 33

М но ж и те ли в ка ж до м сла га е мо м за пи са ныта к, ч то пе р вые и нде ксыупо р ядо ч е ны по во зр а ста ни ю . В ыпи ш е м о тде льно вто р ые и нде ксы мно ж и те ле й ка ж до го сла га е мо го в за ви си мо сти о тсто ящ е го пе р е д ни м зна ка : + (1,2,3) (3,2,1), (2,3,1) (2,1,3), (7) (3,1,2) (1,3,2). В те х сла га е мых, пе р е д ко то р ыми сто и тзна к “+”но ме р а сто лб цо в упо р ядо ч е ны с то ч но стью до пе р е ста но вки по ци клу, а в те х, пе р е д ко то р ыми сто и тзна к “-” но ме р а сто лб цо в о б р а зую т по сле до ва те льно сть, пр о ти во по ло ж ную на тур а льно му р яду. 1 1

3

2

2

3

7

§ 3 Ф ор мулир овка опр еделения. Для то го ч то б ы ч е тко о пи са ть пр а ви ло выб о р а зна ко в в р а зло ж е ни и о пр е де ли те ля, вве де м сле дую щ и е по няти я. Пусть и ме е тся пе р е ста но вка α , β ,..., ω ч и се л 1,2,… ,n. О пр еделение 1. Говор ят , чт о два чи сл а, входящи х в пе р е ст ан овк у, обр азуют и н ве р си ю, е сл и бол ьш е е чи сл о пр е дш е ст вует м е н ьш е м у. О пр еделение 2. Ч и сл о пар , обр азующи х и н ве р си ю, н азы вае т ся чи сл ом и н ве р си и пе р е ст ан овк и . О пр еделение 3. Пе р е ст ан овк а н азы вае т ся че т н ой , е сл и он а соде р ж и т че т н ое чи сл о и н ве р си й, и н е че т н ой - впр от и вн ом сл учае . Пе р е ста но вки в (7), со о тве тствую щ и е зна ку “+”в о пр е де ли те ле – ч е тные , а зна ку ”–“ – не ч е тные . Если пе р е ста но вки вто р ых и нде ксо в ч е тные , то пе р е д со о тве тствую щ и м пр о и зве де ни е м ста ви тся зна к “+”, е сли ж е не ч е тные , то ”–“. Т е пе р ь мы мо ж е м сфо р мули р о ва ть пр а ви ло для о пр е де ле ни я зна ко в пе р е д со мно ж и те лями . Ра ссмо тр и м о пр е де ли те ль a11

a12 Λ

a1n

a 21

a 22

Λ

a 2n

| A| = .......... .......... ....... . .......... .......... ....... a n1 a n 2 Λ a nn

В о зьме м пр о и зво льно е пр о и зве де ни е P = a1α a 2 β ....a nω . По р ядо к мно ж и те ле й выб р а н та к, ч то б ы пе р вые и нде ксы б ыли упо р ядо ч е ны. Оч е ви дно , ч то в пр о и зве де ни е вклю ч е но р о вно по о дно му эле ме нту и з ка ж до й стр о ки ма тр и цы. Для то го ч то б ы в это м пр о и зве де ни и б ыло р о вно по о дно му со мно ж и те лю и з ка ж до го сто лб ца , сле дуе тч и сла (α , β ,..., ω ) выб р а ть та к, ч то б ыо ни со ста вляли пе р е ста но вку ч и се л (1,2,… ,n). Пе р е д пр о и зве де ни е м Р в р а зло ж е ни и о пр е де ли те ля ста ви тся зна к “+”, е сли пе р е ста но вка (α , β ,..., ω ) - ч е тна я и зна к “-“, е сли о на не ч е тна я. По дво дя и то г пр о ве де нным р а ссуж де ни ям, по луч а е м сле дую щ е е О пр еделение 4. О пр е де л и т е л е м и л и де т е р м и н ан т ом к вадр ат н ой м ат р и цы A пор ядк а n н азы вае т ся сум м а все х n! пр ои зве де н и й эл е м е н т ов эт ой м ат р и цы ви да P = (−1) t a1α a 2 β ....a nω ,

где (α , β ,..., ω ) - пе р е ст ан овк а чи се л (1,2,… ,n), а t – чи сл о и н ве р си й эт ой пе р е ст ан овк и . Пр и нято пи са ть A = ∑± P = ± a1α a 2 β ,..., a nω . ∑ p

(α , β ,..ω )

8

Т а к ка к по няти е о пр е де ли те ля о пи р а е тся на по няти е пе р е ста но вки , по тр е б уе тся р а ссмо тр е ть не ко то р ые сво йства пе р е ста но во к. § 4. Сведения изтеор ии пер естановок. Пусть да на пр о и зво льна я пе р е ста но вка (α , β ,..., ω ) ч и се л (1,2,..,n). Если в это й пе р е ста но вке по ме нять ме ста ми 2 ч и сла , в р е зульта те по луч и тся но ва я пе р е ста но вка . Н а пр и ме р (1,2,3,4,..,n) (2,1,3,4,..,n). О пр еделение 5. О пе р аци я пе р е хода от одн ой пе р е ст ан овк и к др угой, пр и к от ор ой м е н яют ся м е ст ам и л и ш ьдва чи сл а, н азы вае т ся т р ан спози ци е й. Утвер ждение 1. О т пр ои звол ьн ой пе р е ст ан овк и м ож н о пе р е йт и к л юбой др угой пр и пом ощи к он е чн ого чи сл а посл е доват е л ьн о вы пол н е н н ы х т р ан спози ци й . Ра ссмо тр и м сле дую щ и й Пр и ме р 3. Пусть да на пе р е ста но вка (4,1,3,2).Т р е б уе тся пе р е йти к пе р е ста но вке (3,1,2,4). 1 3 (4,3,1,2); 4 3 (3,4,1,2); 4 1 (3,1,4,2); 4 2 (3,1,2,4). Д оказательство утве р ж де ни я 1. пр о ве де м ме то до м и ндукци и . Пр и n=2 утве р ж де ни е о ч е ви дно : (1,2) (2,1). Пр е дпо ло ж и м, ч то утве р ж де ни е ве р но для все х k=2,… n-1 и до ка ж е м е го для k=n. Ра ссмо тр и м 2 пр о и зво льные пе р е ста но вки n ч и се л: (α , β ,..., ω ) и (α ′, β ′,..., ω ′) . В о змо ж ны2 случ а я: а ) α = α ′ . Т о гда (β , γ ,..., ω ) и (β ′, γ ′,..., ω ′) пе р е ста но вки и з n-1 ч и сла .По пр е дпо ло ж е ни ю и ндукци и с по мо щ ью тр а нспо зи ци й о дна пе р е ста но вка пе р е хо ди тв др угую . В случ а е а ) утве р ж де ни е до ка за но . б ) α ≠ α ′ . М е няя ме ста ми два ч и сла : α и α ' , сво ди м это тслуч а й к р а ссмо тр е нно му выш е . Т о е сть и в это м случ а е утве р ж де ни е ве р но . Т еор ема 1. Пр и вы пол н е н и и одн ой т р ан спози ци и л юбая пе р е ст ан овк а пе р е ходи т в н овую пе р е ст ан овк упр от и вопол ож н ого н аи м е н ован и я , т .е . н е че т н ая вче т н ую и н аобор от . Д оказательство. Ра ссмо тр и м сна ч а ла тр а нспо зи ци ю двух со се дни х ч и се л. Пусть тр е б уе тся пе р е йти о т пе р е ста но вки (α , β ,..., κ , λ , µ ,ν ,..., ω ) к пе р е ста но вке (α, β ,..., κ , µ , λ,ν ,..., ω ) . Об о зна ч и м по сле до ва те льно сть α , β ,..., κ ч е р е з A, а по сле до ва те льно сть ν , ο ,..., ω - ч е р е з B. (α , β ,..., κ , λ , µ ,ν , ο ,..., ω ) ; (8) А

В

9

(α , β ,..., κ , µ , λ ,ν , ο ,..., ω ) .

(9) Пр и тр а нспо зи ци и ч и се л λ и µ ни ч е го не ме няе тся в гр уппа х А и В . Ра ссмо тр и м па р ы ч и се л ви да (a, λ ), (a, µ ), (a ∈ A) . Пр и тр а нспо зи ци и ч и се л λ и µ зде сь ко ли ч е ство и нве р си й не и зме няе тся .Т о ж е мо ж но ска за ть и пр о па р ы (λ , b ), (µ , b ), (b ∈ B ) . Ра ссмо тр и м па р ыч и се л (λ, µ ) и (µ, λ ) . Если λ〈 µ , то пр и пе р е хо де о т(8) к (9) по являе тся о дна но ва я и нве р си я. Если ж е λ〉 µ , то пр и пе р е хо де о т(8) к (9) о дна и нве р си я и сч е за е т. В лю б о м случ а е ч и сло и нве р си й и зме няе тся на 1 и пе р е ста но вка и зме няе тна зва ни е . Ра ссмо тр и м те пе р ь о б щ и й случ а й тр а нспо зи ци и двух пр о и зво льных ч и се л λ и µ в пе р е ста но вке . (α ,..., κ , λ ,..., µ ,ν ,..., ω ) . Пусть ме ж ду λ и µ k эле ме нто в.Б уде м те пе р ь дви га ть λ впр а во на 1 ш а г и та к k р а з . По сле та ки х пе р е ме щ е ни й по луч и м но вую пе р е ста но вку (α ,..., κ ,..., λ , µ ,ν ,..., ω ) . М ы сде ла ли k тр а нспо зи ци й со се дни х эле ме нто в. Сле дую щ и м ш а го м ме няе м ме ста ми со се дни е (α,..., κ,λ,..., µ,ν,..., ω ). По луч и м (α ,..., κ ,..., µ , λ ,ν ,..., ω ) . Э то е щ е о дна тр а нспо зи ци я. Да ле е дви га е м λ вле во на 1 ш а г k р а з и по луч а е м тр е б уе мую пе р е ста но вку (α ,..., κ , µ ,..., λ ,ν ,..., ω ) . В се го сде ла на 2k+1 тр а нспо зи ци я со се дни х ч и се л. Пе р е ста но вка и зме няе тна зва ни е на пр о ти во по ло ж но е . Те о р е ма до ка за на . И з те о р е мыо ч е ви дным о б р а зо м по луч а ю тся сле дую щ и е сле дстви я. Следствие 1.1. Пр и вы пол н е н и и н е че т н ого чи сл а т р ан спози ци й пе р е ст ан овк а м е н яе т н аи м е н ован и е , а пр и вы пол н е н и и че т н ого чи сл а т р ан спози ци й н аи м е н ован и е пе р е ст ан овк и сохр ан яе т ся. Следствие 1.2. Пр ои звол ьн ая пе р е ст ан овк а (α 1 , α 2 ,..., α n ) явл яе т ся че т н ой т огда и т ол ьк о т огда, к огда от эт ой пе р е ст ан овк и пе р е ход к пе р е ст ан овк е (1,2,..., n ) осуще ст вл яе т ся поср е дст вом че т н ого чи сл а т р ан спози ци йи н е че т н ой впр от и вн ом сл учае . Утвер ждение 2. Ч и сл о че т н ы х пе р е ст ан овок р авн о чи сл ун е че т н ы х пе р е ст ан овок и р авн о

n! . 2

Д оказательство. Пусть a - ч и сло ч е тных пе р е ста но во к , b – ч и сло не ч е тных пе р е ста но во к a+b=n!. Сфо р ми р уе м 2 та б ли цы. В 1-ую по ме сти м все р а зли ч ные ч е тные пе р е ста но вки (а ш тук), а во 2-ую – все р а зли ч ные не ч е тные пе р е ста но вки (b ш тук). В о все й 1-о й та б ли це пе р е ста ви м ме ста ми пе р вые два эле ме нта . По луч и м но вую та б ли цу. В се пе р е ста но вки в не й б удутне ч е тные (те о р е ма 1.), р а зли ч ные и и х а ш тук. Н о ч и сло все х не ч е тных пе р е ста но во к b. И ме е м не р а ве нство a ≤ b . Н о , р а ссуж да я со ве р ш е нно а на ло ги ч но , мо ж но пе р е ста ви ть пе р вые два эле ме нта в та б ли це не ч е тных пе р е ста но во к. Т о гда по луч и м не р а ве нство b ≥ a . Т а к ка к a ≤ b и b ≥ a , то a = b ; 2*a=n!; a=n!/2 и утве р ж де ни е до ка за но . § 5. Свойства опр еделителей. Ра ссмо тр и м ква др а тную ма тр и цу

10  a11 a12 Λ a1n     a 21 a 22 Λ a 2 n  . A = .......... .......... .......    .......... .......... .......    a n1 a n 2 Λ a nn 

По ме няе м ме ста ми стр о ки и сто лб цыв ма тр и це A. По луч и м ма тр и цу  a11 a 21 Λ a n1     a12 a 22 Λ a n 2  . A' = .......... .......... .......    .......... .......... .......    a1n a 2n Λ a nn 

М а тр и ца A’ на зыва е тся тр а нспо ни р о ва нно й по о тно ш е ни ю к ма тр и це А. Т еор ема 2. Пр и т р ан спон и р ован и и м ат р и ц опр е де л и т е л ьн е м е н яе т ся. Д оказательство. Пусть  a11 a12 Λ a1n     a 21 a 22 Λ a 2 n  A = .......... .......... .......    .......... .......... .......     a n1 a n 2 Λ a nn 

пр о и зво льна я ква др а тна я ма тр и ца . Ра ссмо тр и м о пр е де ли те ли |A| и |A’|. В о зьме м не ко то р о е пр о и зве де ни е P = a1α a 2α Λ a nα n , где (α 1 , α 2 ,..., α n ) - не ко то р а я пе 1

2

р е ста но вка и з ч и се л 1,2,… ,n. Э то пр о и зве де ни е вхо ди ти в о пр е де ли те ль |A| и в о пр е де ли те ль |A’|. Сле до ва те льно , |A| и |A’| со сто яти з о дни х и те х ж е пр о и зве де ни й. Оста е тся до ка за ть, ч то о ни вхо дятв о б а о пр е де ли те ля с о ди на ко вым зна ко м. З на к о пр е де ляе тся ти по м пе р е ста но вки (α 1 , α 2 ,..., α n ) . Пусть для о пр е де ле нно сти пе р е ста но вка (α 1 , α 2 ,..., α n ) - ч е тна я. Пе р е о б о зна ч а я эле ме нты по пр а ви лу bij=aji, за пи ш е м тр а нспо ни р о ва нную ма тр и цу в ви де  b11 b12 Λ b1n     b21 b22 Λ b2n  A' = .......... .......... .......  .   .......... .......... .......     bn1 bn 2 Λ bnn 

Т о гда пр о и зво льно е пр о и зве де ни е P мо ж но на пи са ть сле дую щ и м о б р а зо м P = a1α1 a 2α 2 Λ a nα n = bα11bα 2 2 Λ bα n n . Пе р вые и нде ксы о ка за ли сь не упо р ядо ч е нными в пр о и зве де ни и bα11bα 2 2 Λ bα n n . По ме няе м ме ста ми со мно ж и те ли , упо р ядо ч и ва я и х в по р ядке во зр а ста ни я пе р во го и нде кса : P = b1β1 b2 β 2 Λ bnβ n . Ч и сло пе р е ме н мно ж и те ле й р а вно ч и слу тр а нс-

11

по зи ци й, пе р е во дящ и х пе р е ста но вку (α 1 , α 2 ,..., α n ) в пе р е ста но вку (1,2,..., n ) и пе р е ста но вку. (1,2,..., n ) в пе р е ста но вку (β1 , β 2 ,..., β n ) . Со гла сно сле дстви ю 1.2 это ч и сло ч е тно , е сли (α 1 , α 2 ,..., α n ) - ч е тна я пе р е ста но вка . Н о это о зна ч а е т, ч то пе р е хо д о т пе р е ста но вки . (1,2,..., n ) к пе р е ста но вке (β1 , β 2 ,..., β n ) о сущ е ствляе тся та кж е по ср е дство м ч е тно го ч и сла тр а нспо зи ци й. Т о гда . по луч а е м, ч то пе р е ста но вка (β1 , β 2 ,..., β n ) то ж е ч е тна я. Со ве р ш е нно а на ло ги ч но мо ж но б ыло р а ссмо тр е ть случ а й не ч е тно й пе р е ста но вки (α 1 , α 2 ,..., α n ) . Сле до ва те льно пр о и зво льно е пр о и зве де ни е P вхо ди тв |A’| с те м ж е зна ко м, ч то и в |A|. Те о р е ма до ка за на . Т еор ема 3. Есл и в к вадр ат н ой м ат р и це пом е н ят ь м е ст ам и две ст р ок и и л и два ст ол бца, ост ави в ост ал ьн ы е н а свои х м е ст ах, т о опр е де л и т е л ьн овой м ат р и цы буде т р аве н опр е де л и т е л ю и сходн ой м ат р и цы со зн ак ом “ –“ . Д оказательство. Ра ссмо тр и м сна ч а ла пе р е ме ну ме ста ми двух стр о к: стр о ки i и стр о ки j ( i〈 j ). a11

a12 Λ

a11

a1n

a12 Λ

a1n

.......... .......... ....... a j1 a j 2 Λ a jn

.......... .......... ....... ai1 ai 2 Λ a in

| B |= .......... .......... ....... ai1 ai 2 Λ ain

| A |= .......... .......... ....... , a j1 a j 2 Λ a jn

.

.......... .......... ....... a n1 a n 2 Λ a nn

.......... .......... ....... a n1 a n 2 Λ a nn

Ра ссмо тр и м пр о и зво льно е пр о и зве де ни е P = a1α1 Λ

a iα Λ a jα Λ a nα i j n

и з р а зло ж е -

ни я |A|. В ма тр и це B на р уш е на нуме р а ци я стр о к. Ч то б ы е сте стве нно за пи са ть и нде ксы, о б о зна ч и м bkα = a kα , k ≠ i, j; biα = a jα ; b jα = aiα . В р а зло ж е ни е ма тр и цы B вхо ди т пр о и зве де ни е b1α1 Λ biα j Λ b jαi Λ bnα n , со впа да ю щ е е с P по со ста ву мно ж и те ле й и по это му р а вно е P. Пе р вые и нде ксы упо р ядо ч е ны, по это му зна ки пе р е д Р в о пр е де ли те лях |A| и |B| о пр е де ляю тся ч и сло м и нве р си й в пе р е ста но вка х (α 1 ,..., α i ,..., α j ,..., α n ) и (α 1 ,..., α j ,..., α i ,..., α n ) со о тве тстве нно .Э ти пе р е ста но вки пе р е во дятся о дна в др угую пр и по мо щ и о дно й тр а нспо зи ци и , по это му и ме ю т пр о ти во по ло ж ные на и ме но ва ни я (см. те о р е му 1).Э то о зна ч а е т, ч то в р а зло ж е ни я |A| и |B| пр о и зве де ни е P вхо ди тс пр о ти во по ло ж ными зна ка ми . В си лу пр о и зво льно сти выб о р а P выво д спр а ве дли в для ка ж до го сла га е мо го в р а зло ж е ни и о пр е де ли те ле й. По это му A = ∑ ± P = − ∑ µ P =− | B | . Для случ а я пе р е ста но вки p

p

стр о к те о р е ма до ка за на . Для пр о ве р ки о ста вш е йся ч а сти те о р е мы не о б хо ди мо во спо льзо ва ться до ка за нным фа кто м и те м, ч то о пр е де ли те ль не ме няе тся пр и тр а нспо ни р о ва ни и ма тр и ц (те о р е ма 2.). Т е о р е ма до ка за на . Следствие 3.1. Есл и в м ат р и це А е ст ь оди н ак овы е ст ол бцы и л и ст р ок и , т о е е опр е де л и т е л ьр аве н н улю.

12

Д оказательство. Пр е дпо ло ж и м, ч то со впа да ю тдве стр о ки .По ме няе м и х ме ста ми и по луч е нную ма тр и цу о б о зна ч и м ч е р е з В . Оч е ви дно , ч то В =А. По это му B = A . С др уго й сто р о ны в си лу те о р е мы 3. B = − A ⇒ A = − A . Э то мо ж е тб ыть то лько е сли о пр е де ли те ль р а ве н нулю . § 6. М инор ы и алгебр аич еские дополнения. Пусть да на ма тр и ца А n-го по р ядка . В ыч е р кне м и з не е i-ю стр о ку и j-ый сто лб е ц. О пр еделение 6. О пр е де л и т е л ь м ат р и цы (n-1) пор ядк а, пол учающе йся и з дан н ой м ат р и цы вы че р к и ван и е м i-ой ст р ок и и j-го ст ол бца н азы вае т ся м и н ор ом эл е м е н т а aij и обозн ачае т ся ∆ ij . Пр и ме р 4. Пусть A – ма тр и ца ч е тве р то го по р ядка :  a1  a A= 2 a  3 a  4

b1 b2 b3 b4

c1 c2 c3 c4

d1   d2  . d3   d 4 

В ыпи ш е м два ми но р а тр е тье го по р ядка : ∆ 23 и . ∆ 41 . И ме е м a1 b1 ∆ 23 = a 3 a3

d1

b3

d3 ;

b3

d3

b2

c2

d2

∆ 23 = b3 b4

c3

d3 .

c4

d4

В се го у ма тр и цыn-го по р ядка n2 ми но р о в.  a11 0 Λ Λ 0    a 22 ...a 2 n  a 21 a 22 Λ a 2n    Л емма 1. Есл и A = .......... .......... .......  , т о A = a11∆11 = a11 .............. . .......... .......... ....... a n 2 ...a nn     a n1 a n 2 Λ a nn 

Д оказательство. Ср е ди все х сла га е мых Р, вхо дящ и х в о пр е де ли те ль А о ста ви м ли ш ь те , ко то р ые не со де р ж а т за ве до мо нуле вые эле ме нты и з пе р во й стр о ки . Об щ и й ви д та ки х сла га е мых P = a11a 2 β a3γ ...a nω . Ч и сло и нве р си й пе р е ста но вки

(1, β , γ ,..., ω ) р а вно ч и слу и нве р си й пе р е ста но вки (β , γ ,..., ω ) , по ско льку 1 – на и -

ме ньш и й эле ме нт. По о пр е де ле ни ю A=

Ле мма до ка за на .

∑ ± a11a 2 β a3γ .Λ a nω

(1β ,γ ,...,ω )

= a11

∑ ± a 2 β a3γ .Λ a nω

(β ,γ ,...,ω )

= a11∆11 .

13  a11 a12 ............. a1n    .......... .......... .......... ........    .......... .......... .......... ........  Л емма 2. Есл и A = 0 0 ........... aij ......... 0  , т о A = ( − 1 ) i +   .......... .......... .......... ........  .......... .......... .......... ........     a  n1 a n 2 ............ a nn 

j

a ij ∆ ij

.

Д оказательство. Ра ссмо тр и м о пр е де ли те ль ма тр и цы A. Све де м утве р ж де ни е ле ммы к до ка за нно му выш е . Для это го сна ч а ла ме няе м ме ста ми стр о ки : i -ую и (i-1)-ую , (i-1)-ую и (i-2)-ую ,… , 2-ую и 1-ую . З а те м ме няе м ме ста ми сто лб цы: jый и (j-1)-ый, (j-1)-ый и (j-2)-ый,… , 2-о й и 1-ый. Н а о сно ва ни и те о р е мы 3 и ме е м: a11

a12

.......... a1n

.......... .......... ............... 0 0 ......... a ij ....... 0

0 0 ......... a ij ....... 0

.......... a1n .......... .......... ............... | A |= = (−1) i −1 = .......... .......... .............. .......... .......... ............... .......... .......... .............. .......... .......... ............... a n1 a n 2 ......... a nn a n1 a n 2 ......... a nn a11

a12

a ij

0 0 ............... 0

...... a11 = (−1) i −1 (−1) j −1

a12

...... a1n

.......... .......... .......... ....... . .......... .......... .......... ....... .......... .......... .......... ....... .......a n1 a n 2 ..... a nn

В о спо льзо ва вш и сь ле ммо й 1. по луч и м: a11

a12

...... a1n .............................. i+ j | A |= (-1) aij ..............................

= (−1) i + j aij ∆ ij .

.............................. a n1 a n 2 ........ a nn

Ч то и тр е б о ва ло сь. О пр еделение 7. Ч и сл о Aij = (−1) i + j ∆ ij н азы вае т ся ал ге бр аи че ск и м допол н е н и е м эл е м е н т а aij .

14

До ка за нные выш е ле ммыпо ка зыва ю т, ка к о пр е де ли те ли выр а ж а ю тся ч е р е з о пр е де ли те ли б о ле е ни зко го по р ядка для ма тр и ц спе ци а льно го ви да . Ока зыва е тся, ч то сущ е ствую тфо р мулы, по зво ляю щ и е по ни зи ть по р ядо к о пр е де ли те ля и для ма тр и ц о б щ е го ви да . Э то та к на зыва е мые фо р мулыр а зло ж е ни я о пр е де ли те ля по стр о ке и ли сто лб цу. Спр а ве дли ва сле дую щ а я Т еор ема 4. Лю б о й о пр е де л и т е л ьр аве н сум м е пр ои зве де н и й эл е м е н т овл юбой ст р ок и н а и х ал ге бр аи че ск и е допол н е н и я: A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain .

Д оказательство. Ра ссмо тр и м сле дую щ ую вспо мо га те льную ма тр и цу  a11   Λ a  i −11 В =  x1   ai +11  Λ   a n1

a12 Λ ai −12 x2 a i +12 Λ a n2

Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ

Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ

a1n   Λ  ai −1n   xn   a i +1n  Λ   a nn 

и на йде м е е о пр е де ли те ль. По о пр е де ле ни ю ± a1α a 2 β ,..., a nω . A = ∑± P = ∑ (α , β ,..ω ) p

В ка ж до е пр о и зве де ни е Р вхо ди то ди н и то лько о ди н со мно ж и те ль x k . Сгр уппи р уе м сла га е мые , со де р ж а щ и е мно ж и те ли x1 , x 2 ,… , x n . Пусть T1 x1 - сла га е мо е со де р ж а щ е е x1 ; T2 x 2 - сла га е мо е со де р ж а щ е е x 2 ; Tn x n - сла га е мо е со де р ж а щ е е x n . Опр е де ли те ль и ме е тви д B = T1 x1 + T2 x 2 + ... + Tn x n . В ыч и сли м сна ч а ла ч и сло T1 . C это й це лью по ло ж и м x1 = 1 , x 2 = 0 ,… , x n = 0 . Н а о сно ва ни и ле ммы 2 и ме е м T1 = Ai1 . Ана ло ги ч но по луч а е тся, ч то T2 = Ai 2 ,… , B = Ai1 x1 + Ai 2 x 2 + ... + Ain x n .По ла га я Сле до ва те льно Tn = Ain . x1 = ai1 , x 2 = ai 2 ,..., x n = a in , по луч и м A = B = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + .... + ain Ain .

Ч то и тр е б о ва ло сь. И з до ка за нно го утве р ж де ни я и те о р е мы2 по луч а е тся Следствие 4.1. О пр е де л и т е л ьр аве н сум м е пр ои зве де н и йэл е м е н т овл юбого ст ол бца н а и х ал ге бр аи че ск и е допол н е н и я:

15 A = a1 j A1 j + a 2 j A2 j + ... + a nj Anj .

Пр и ме р 5. Ра ссмо тр и м ма тр и цу V, у ко то р о й все эле ме нтыпо д гла вно й ди а го на лью – нуле вые , то е сть  v11   0 V = Λ   0 

Λ Λ Λ 0

v12 v 22 Λ 0

v1n   v 2n  . Λ   v nn 

Т а ко го р о да ма тр и цына зыва ю тся ве р хне тр е уго льными . Н а йде м о пр е де ли те ль ма тр и цыV. По сле до ва те льно пр и ме няя те о р е му 4, по луч и м v11 0 | V |= Λ 0

v12 v 22 Λ 0

Λ Λ Λ 0

v1n v 22 v 2n = v11 Λ Λ 0 v nn

Λ

v 2n

Λ Λ

Λ = Λ = v11v 22 Λ v nn . v nn

Т а ки м о б р а зо м, опр е де л и т е л ьве р хн е т р е угол ьн ойм ат р и цы р аве н пр ои зве де н и ю е е ди агон ал ьн ы х эл е м е н т ов. По сле дую щ и е утве р ж де ни я до пуска ю тфо р мули р о вки о тно си те льно стр о к и сто лб цо в. В си лу те о р е мы2. до ста то ч но пр о ве р и ть то лько о дну и з ни х. Следствие 4.2. С ум м а пр ои зве де н и й эл е м е н т ов одн ой ст р ок и (ст ол бца) м ат р и цы н а ал ге бр аи че ск и е допол н е н и я соот ве т ст вую щи х эл е м е н т ов др угой ст р ок и (ст ол бца) р авн а н улю. Д оказательство. Пр о ве р и м да нно е утве р ж де ни е для стр о к. И спо льзуя те о р е му 4. и ме е м a k1 Ai1 + a k 2 Ai 2 + .... + a kn Ain = B .

М а тр и ца B и ме е тви д  a11   Λ a  k1 В = Λ a  k1  Λ   a n1

a12

Λ

Λ

Λ ak 2 Λ

Λ Λ Λ

Λ Λ Λ

ak 2 Λ a n2

Λ Λ Λ

Λ Λ Λ

a1n   Λ  a kn   Λ . a kn  Λ   a nn 

Стр о ки i и k ма тр и цыВ со впа да ю т. Со гла сно cле дстви ю 3.1 о пр е де ли те льта ко й ма тр и цыр а ве н 0.

16

Т еор ема 5. О пр е де л и т е л ьявл яе т ся л и н е йн ой ф унк ци е й ст р ок и (ст ол бца). Д оказательство. Ра ссмо тр и м о пр е де ли те ль a11

a12

Λ | A |= c' a 'i1 + c' ' a ' 'i1 Λ a n1

Λ c' a 'i 2 +c' ' a ' 'i 2 Λ a n2

Λ Λ Λ Λ Λ

a1n Λ c' a' in +c' ' a ' ' in Λ a nn

и р а зло ж и м е го по i-о й стр о ке A = (c' a' i1 +c' ' a' ' i1 ) Ai1 + (c' a' i 2 + c' ' a' ' i 2 ) Ai 2 + ... + (c' a' in +c' ' a ' 'in ) Ain = = c' ( a' i1 Ai1 + a' i 2 Ai 2 + ... + a' in Ain ) + c' ' ( a' ' i1 Ai1 + a' ' i 2 Ai 2 + ... + a ' ' in Ain ) = c' | B' | + c' ' | B' ' |,

где a11 Λ | B' |= a 'i1 Λ a n1

a12 Λ a'i 2 Λ an2

Λ Λ Λ Λ Λ

a1n Λ a ' in , Λ a nn

a11 Λ | B' ' |= a' 'i1 Λ a n1

a12 Λ a' 'i 2 Λ an2

Λ Λ Λ Λ Λ

a1n Λ a ' ' in . Λ a nn

Т е о р е ма до ка за на . Утвер ждение 3. Есл и ум ат р и цы две ст р ок и (ст ол бца) пр опор ци он ал ьн ы , т о е е опр е де л и т е л ьр аве н 0 . Д оказательство. Ра ссмо тр и м о пр е де ли те ль ма тр и цы. В ыне се м ко эффи ци е нт пр о по р ци о на льно сти за зна к о пр е де ли те ля, по льзуясь те о р е мо й 5. По луч и м о пр е де ли те ль с р а вными стр о ка ми (сто лб ца ми ), а о пр е де ли те ль та ко й ма тр и цы р а ве н 0 (cле дстви е 3.1). И з те о р е мы5 и утве р ж де ни я 3 по луч а е тся сле дую щ е е Утвер ждение 4. О пр е де л и т е л ь м ат р и цы н е и зм е н и т ся, е сл и к эл е м е н т ам одн ой е е ст р ок и пр и бави т ь соот ве т ст вующи е эл е м е н т ы др угой ст р ок и , ум н ож е н н ы е н а одн о и т о ж е чи сл о. Э то утве р ж де ни е да е то б о сно ва ни е для эффе кти вно го спо со б а выч и сле ни я о пр е де ли те ле й. Э то тспо со б за клю ч а е тся в сле дую щ е м. Пр и б а вляя к стр о ка м ма тр и цы по о ч е р е дно пе р вую , вто р ую и т.д. стр о ки , ма тр и цу пр и во дят к ве р хне тр е уго льно му ви ду (см. пр и ме р 5). Опр е де ли те ль по луч е нно й ма тр и цы выч и сляе тся не по ср е дстве нно . § 7. О пр еделитель ступенч атой матр ицы .

17

Ра ссмо тр и м n × n -ма тр и цу А сле дую щ е го спе ци а льно го ви да  a11   a 21  Λ   a m1 A=  a m+11  a m+ 21  Λ   a n1 

Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ

a12 a 22 Λ a m2 a m+12 a m + 22 Λ a n2

a1m a 2m Λ a mm a m+1m a m+ 2m Λ a nm

0 0 Λ

0 0 Λ

0

0

a m+1m +1 a m+ 2 m+1

a m+1m+ 2 a m+ 2m+ 2

a nm+1

a nm + 2

Λ

Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ

Λ

     0  a m +1n  a m+ 2n   Λ  a nn  0 0 Λ

Т а ка я ма тр и ца на зыва е тся ступе нч а то й. Об о зна ч а я  a11  a B =  21 Λ  a  m1  a m+11   a 21 C =  m+ Λ   a  n1

a m+12 a m+ 22 Λ an2

Λ Λ Λ Λ

a12 a 22 Λ a m2

Λ Λ Λ Λ

a1m  0   a 2m  0 , O =   Λ Λ     a mm  0

a m+1m   a m+1m+1   a m+ 2m  a , D =  m + 2m+1  Λ Λ     a nm   a nm+1

0 0 Λ 0

Λ Λ Λ Λ

a m+1m+ 2 a m+ 2m+ 2 Λ a nm+ 2

0  0 , Λ  0  Λ Λ Λ Λ

a m+1n a m+ 2n Λ a nn

   ,   

B O

 . мо ж но за пи са ть ма тр и цу A в б ло ч но м ви де A =  C D

Т еор ема 6..О пр е де л и т е л ь ст упе н чат ой м ат р и цы р аве н пр ои зве де н и ю опр е де л и т е л е й е е ди агон ал ьн ы х к л е т ок . Д оказательство пр о ве де м и ндукци е й по m. Ра ссмо тр и м случ а й m=1. По луч и м о пр е де ли те ль в ко то р о м все эле ме нты пе р во й стр о ки кр о ме а11 нуле вые . Ле мма 1 о б е спе ч и ва е тспр а ве дли во сть утве р ж де ни я в это м случ а е . Пр е дпо ло ж и м по и ндукци и , ч то утве р ж де ни е те о р е мы выпо лняе тся для все х m = 1, Κ k (1 ≤ k ≤ n − 1) и до ка ж е м е го спр а ве дли во сть для m=k+1. Для это го р а зло ж и м о пр е де ли те ль по пе р во й стр о ке A = a11 A11 + ... + a1n A1n =

k +1

k +1

j =1

j =1

∑ a1 j A1 j = ∑ a1 j (−1)1+ j ∆1 j .

З де сь ∆1 j -ми но р эле ме нта a1j в ма тр и це А , т.е . ∆1 j по луч а е тся выч е р ки ва ни е м 1-о й стр о ки и j-го сто лб ца ма тр и цы А. Одна ко по сле та ко го выч е р ки ва ни я мы вно вь по луч и м ступе нч а тую ма тр и цу, у ко то р о й ве р хняя кле тка и ме е тпо р ядо к

18

k, а зна ч и т по пр е дпо ло ж е ни ю и ндукци и о пр е де ли те ль ∆1 j б уде т р а ве н ∆1 j = ∆ '1 j D , где ∆'1 j -о пр е де ли те ль ма тр и цы, по луч е нно й и з B выч е р ки ва ни е м пе р во й стр о ки и j-го сто лб ца . И ме е м A=

k +1

k +1

k +1

j =1

j =1

j =1

∑ a1 j (−1)1+ j ∆1 j =

∑ a1 j (−1)1+ j ∆'1 j | D |=| D | ∑ a1 j (−1)1+ j ∆'1 j =| D || B | .

М ыпо луч и ли , ч то утве р ж де ни е те о р е мыве р но для m=k+1. Пр и ме р 6. В ыч и сли ть о пр е де ли те ль ма тр и цы 1 2  2 3 A= 10 11   7 12 

0 0 2 3

0  0 . 1  4 

И спо льзуя те о р е му 6, ле гко по луч а е м | A |=

1 22 1 = (1 ⋅ 2 − 2 ⋅ 2)(2 ⋅ 4 − 1 ⋅ 3) = −10 . 2 33 4

До ка за нна я те о р е ма являе тся ч а стным случ а е м те о р е мы Ла пла са . Ра ссмо тр и м ква др а тную ма тр и цу  a11 a12 Λ a1n     a 21 a 22 Λ a 2 n  . A = .......... .......... .......   .......... .......... .......     a n1 a n 2 Λ a nn 

З а фи кси р уе м k
ai1 j2

Λ

ai1 jk

ai2 j1

ai2 j2

Λ

ai2 jk

.......... .......... ............... .......... .......... ............... aik j1

aik j2

Λ

.

aik jk

В ыч е р кне м те пе р ь в ма тр и це А выб р а нные стр о ки и сто лб цы. По луч и м ма тр и цу по р ядка n-k. Опр е де ли те ль по луч е нно й ма тр и цы на зыва е тся до по лни те льным ми но р о м для ука за нно го выш е ми но р а k-го по р ядка . До по лни те льный ми но р , умно ж е нный на (−1) i1 +i2 +Κ ik + j1 + j2 +Κ jk на зыва е тся а лге б р а и ч е ски м до по лне ни е м и схо дно го ми но р а .

19

Т еор ема 7 (Laplace P.). Вы де л и м в м ат р и це А n-го пор ядк а к ак и е -н и будьk ст р оче к . Т огда е е опр е де л и т е л ь м ож е т бы т ь пр е дст авл е н к ак сум м а все возм ож н ы х м и н ор овk-го пор ядк а, сост авл е н н ы х и звы бр ан н ы х k ст р ок , ум н ож е н н ы х н а и х ал ге бр аи че ск и е допол н е н и я. § 8. Ф ор мулы Кр амер а. По до б но о пр е де ли те лям вто р о го и тр е тье го по р ядка , о пр е де ли те ли n-го по р ядка по зво ляю т по луч и ть явные фо р мулы для о пр е де ле ни я р е ш е ни я си сте мы n ур а вне ни й с n не и зве стными , а на ло ги ч ные те м, ко то р ые б ыли по луч е ны в § 1. Ра ссмо тр и м си сте му, со сто ящ ую и з n ур а вне ни й с n не и зве стными : a11 x1 + a12 x 2 + Λ + a1n x n = b1 ,  a 21 x1 + a 22 x 2 + Λ + a 2n x n = b2 ,  .......... .......... .......... .......... ....... a n1 x1 + a n 2 x 2 + Λ + a nn x n = bn .

Ква др а тна я ма тр и ца  a11 a12 Λ a1n     a 21 a 22 Λ a 2 n  A = .......... .......... .......    .......... .......... .......     a n1 a n 2 Λ a nn 

на зыва е тся ма тр и це й си сте мы, а ве кто р -сто лб е ц  b1    b  b= 2 Μ   b   n

на зыва е тся ве кто р о м пр а во й ч а сти . Опр е де ли те ль ма тр и цыA a11

a12

Λ

a1n

a 21

a 22

Λ

a 2n

∆ = .......... .......... ....... .......... .......... ....... a n1 a n 2 Λ a nn

на зыва е тся о пр е де ли те ле м си сте мы. Т еор ема 8 (Cramer G.). Есл и ∆ ≠ 0,

20

т о си ст е м а и м е е т е ди н ст ве н н ое р е ш е н и е , к от ор ое м ож е т бы т ьн айде н о по ф ор м улам ∆ ∆ ∆ x1 = 1 , x 2 = 2 ,… , x n = n , ∆ ∆ ∆

где ∆ i - опр е де л и т е л ьм ат р и цы , пол учающе йся и зм ат р и цы си ст е м ы зам е н ой i-го ст ол бца н а ст ол бе ц свободн ы х чл е н ов. Д оказательство р а зо б ье м на два эта па : 1) вна ч а ле пр е дпо ло ж и м, ч то р е ш е ни е сущ е ствуе т, и на йде м е го в явно м ви де (пр и ч е м о дно зна ч но ); 2) пр о ве р и м, ч то на йде нна я си сте ма ч и се л де йстви те льно являе тся р е ш е ни е м. 1) Пр е дпо ло ж и м, ч то си сте ма ч и се л x1 , x2 ,… , xn - р е ш е ни е си сте мы. Э то о зна ч а е т, ч то и ме е м р а ве нства : a11 x1 + a12 x 2 + Λ + a1n x n = b1 ,  a 21 x1 + a 22 x 2 + Λ + a 2n x n = b2 ,  .......... .......... .......... .......... ....... a n1 x1 + a n 2 x 2 + Λ + a nn x n = bn .

(10)

У мно ж и м 1-о е ур а вне ни е на а лге б р а и ч е ско е до по лне ни е A11 , вто р о е на A21 ,… , по сле дне е на An1 и все сло ж и м. Пр и ве де м по до б ные пр и x1 , x 2 ,… , x n . По луч и м x1 ( a11 A11 + a 21 A 21 +... + a n1 A n1 ) + x 2 ( a12 A11 + a 22 A 21 +... + a n 2 A n1 ) + ...

(11)

+ x n ( a1n A11 + a 2n A 21 +... + a nn A n1 ) = b1 A11 +b2 A 21 +... + bn A n1

В ыр а ж е ни е a11 A11 + a 21 A 21 +... + a n1 A n1 – р а зло ж е ни е о пр е де ли те ля A по пе р во му сто лб цу (сле дстви е 4.1). По это му a11 A11 + a 21 A 21 +... + a n1 A n1 = ∆ . Ко эффи ци е нты пр и x 2 ,… , x n р а вны0, та к ка к пр е дста вляю тсо б о й сумму пр о и зве де ни й эле ме нто в о дно го сто лб ца на а лге б р а и ч е ски е до по лне ни я др уго го (сле дстви е 4.2). В ыр а ж е ни е b1 A11 +b2 A 21 +... + bn A n1 в пр а во й ч а сти р а ве нства (11) – р а зло ж е ни е о пр е де ли те ля Λ

b1

a12

b2

a 22 Λ

a1n a 2n

∆1 = .......... ................. .......... ................. bn

a n2

Λ

a nn

21

по пе р во му сто лб цу. Око нч а те льно и з (11) и ме е м x1 ∆ = ∆1 . Т а к ка к ∆ ≠ 0, то ∆ x1 = 1 . ∆

Ана ло ги ч но , умно ж а я 1-о е ур а вне ни е на A12 , вто р о е на A22 ,… , по сле дне е

∆2 . И та к да ле е . У мно ж а я 1-о е ур а вне ни е на ∆ ∆ A1n , вто р о е на A2 n ,… , по сле дне е на Ann и скла дыва я, на йде м x n = n . ∆

на An 2 и скла дыва я, на йде м x 2 =

М ы до ка за ли , ч то е сли р е ш е ни е сущ е ствуе ти о пр е де ли те ль ∆ о тли ч е н о т 0, то это р е ш е ни е – си сте ма ч и се л ∆ ∆ ∆ x1 = 1 , x 2 = 2 ,… , x n = n . ∆ ∆ ∆

2) Пр о ве р и м, ч то x1 =

∆1 , ∆

x2 =

∆ ∆2 ,… , x n = n - де йстви те льно р е ш е ни е ∆ ∆

си сте мы (10). По дста ви м эти ч и сла в ле вую ч а сть пе р во го ур а вне ни я си сте мы. Ра скла дыва я о пр е де ли те ли ∆ i по i-му сто лб цу и пр и во дя по до б ные пр и bi, по луч и м ∆ ∆ ∆ 1 1 a11 1 + a12 2 + Λ + a1n n = (a11∆1 + a12 ∆ 2 + Λ + a1n ∆ n ) = {a11 (b1 A11 + b2 A21 + ... ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ + bn An1 ) + a12 (b1 A12 + b2 A22 + ... + bn An 2 ) + Λ + a1n (b1 A1n + b2 A2 n + ... + bn Ann )} = 1 {b1 ( a11 A11 + a12 A12 + ... + a1n A1n ) + b2 ( a11 A21 + a12 A22 + ... + a1n A2n ) + ... ∆ + bn ( a11 An1 + a12 An 2 + ... + a1n Ann )} .

В ыш е мы за ме ч а ли , ч то a11A11+a21A21+… an1An1= ∆ , a1iA11+a2iA21+… aniAn1=0 (i ≠ 1). По это му ∆ ∆ ∆ a11 1 + a12 2 + Λ + a1n n = b1 . ∆ ∆ ∆

Э то о зна ч а е т, ч то ч и сла x1 =

∆ ∆1 ∆ , x 2 = 2 ,… , x n = n удо вле тво р яю тпе р во му ∆ ∆ ∆

ур а вне ни ю си сте мы. Ана ло ги ч но , по дста вляя эти ч и сла в др уги е ур а вне ни я, по луч и м ч то со о тно ш е ни я р а ве нства выпо лняю тся. Сле до ва те льно это р е ш е ни е си сте мы. Т е о р е ма до ка за на .

22

С писо к до по л н ит ел ьн о й л ит ерат уры . 1. 2. 3. 4.

И льи н В .А., По зняк Э .Г. Ли не йна я а лге б р а . – М .: Н а ука , 1999.-294 с. М а льце в А.И . Осно выли не йно й а лге б р ы. – М .: Н а ука , 1975.-400 с. Га нтма хе р Ф .Р. Т е о р и я ма тр и ц. – М .: Н а ука , 1988.-548 с. Б е кле ми ш е в Д.В . Кур с а на ли ти ч е ско й ге о ме тр и и и ли не йно й а лге б р ы. – М .: В ысш . ш к. 1998.-319 с.

Со ста ви те ли : Стр ыги н В а ди м В а си лье ви ч , Э кса р е вска я М а р и на Евге нье вна , Еси пе нко Дми тр и й Ге о р ги е ви ч . Ре да кто р Б уни на Т а ма р а Дми тр и е вна .