Введение в механику сплошных сред: Методические указания к решению задач

М инист е рст в о о бразо в ания Р Ф В о ро не ж ск ий Го сунив е рсит е т Ф а куль т е т П р и кла д ной М а т е м а т и ки и нф ор м а т и ки и М е ха ни ки

Кафе дра т е о ре т иче ск о й и прик ладно й ме х аник и В В ЕД ЕН ИЕ В М СС М е т о диче ск ие ук азания к ре ш е нию задач по к урсу «М е х аник а Спло ш но й Сре ды» д л я сту д е нто в 3 и 4 ку рсо в д не в но го и в е че рне го о тд е л е ни й спе ци а л ьно сте й 010500 и 010200

Со ст ав ит е ли: А.Н . Спо рых ин, Ю .М . М яснянк ин, А.С. Че бо т аре в .

В о ро не ж

2

Анно т ация М ехан и ка сп л о ш н о й среды , со гл асн о го сударст в ен н о му о бразо в ат ел ьн о му ст ан дарт у в ы сш его п ро фесси о н ал ьн о го о бразо в ан и я, яв л яет сяо дн и м и з о сн о в н ы х курсо в дл я ст уден т о в сп еци ал ьн о ст и 010500 «механ и ка» и чи т ает ся в качест в е раздел а курса фи зи ки дл я ст уден т о в 4-го курса сп еци ал ьн о ст и 010200 «п ри кл адн ая мат емат и ка». В ы п ущен н ая М и н и ст ерст в о м п ро грамма курса «М ехан и ка сп л о ш н о й среды » реко мен дует и сп о л ьзо в ат ь в качест в е о сн о в н о го учебн и какн и ги Л .И . Седо в а«М ехан и касп л о ш н о й среды » т . 1,2. Одн ако у эт о го учебн и ка о т сут ст в ует задачн и к. Наст о ящее мет о ди ческо е п о со би е в кл ю чает крат кую т ео ри ю , задачи и мет о ди чески е указан и я к и х реш ен и ю п о раздел ам «Эл емен т ы т ен зо рн о го и счи сл ен и я», «Ки н емат и ка дефо рми руемо й среды », «Нап ряжен н о е со ст о ян и е. Гран и чн ы е усл о в и я». Со де рж ание §1. Тен зо рн ы е о бо зн ачен и я. Ф и зи чески е ко мп о н ен т ы . §2. Кри в о л и н ейн ы е си ст емы ко о рди н ат . §3. Тен зо ры . Ко в ари ан т н аяп ро и зв о дн ая. §4. П еремен н ы е Эйл ераи Л агран жа. Ско ро ст ь, уско рен и е. §5. П ро и зв о дн ая п о в ремен и . В ы чи сл ен и е ко мп о н ен т уско рен и я в п еремен н ы х Эйл ера. §6. Л и н и и т о каи т раект о ри и . §7. Тен зо ры дефо рмаци й и ско ро ст ей дефо рмаци й. §8. Нап ряжен н о е со ст о ян и е. Д екарт о в аси ст емако о рди н ат . §9. Нап ряжен н о е со ст о ян и е. Кри в о л и н ейн ы е си ст емы ко о рди н ат . §10. П ро ст ейш и е в и ды н ап ряжен н ы х со ст о ян и й. §11. Гран и чн ы е усл о в и я. §1. Те нзор ные об озна че ни я. Ф и зи че ски е ком поне нт ы. М ехан и касп л о ш н о й среды – о бш и рн ая част ь механ и ки , п о св ящен н ая дв и жен и ю газо о бразн ы х, жи дки х и т в ерды х дефо рми руемы х т ел . Гео мет ри чески е и фи зи чески е в ел и чи н ы , а т акже урав н ен и я, о п и сы в аю щи е дв и жен и я сп л о ш н о й среды , н е до л жн ы зав и сет ь о т си ст емы ко о рди н ат и ссл едо в ат ел я. Д л я эт о го урав н ен и я зап и сы в аю т ся в т ако й фо рме, чт о бы о н и бы л и сп рав едл и в ы в л ю бо й си ст еме ко о рди н ат . Осущест в л ен и е эт о й и деи в само м о бщем в и де п ри в о ди т к о бщему т ен зо рн о му и счи сл ен и ю . Тен зо р – о бъект н е зав и сящи й о т в ы бо ра си ст емы ко о рди н ат (п л о т н о ст ь, эн ерги я, ско ро ст ь, н ап ряжен и я, дефо рмаци и и т .п .). П ро ст о т а, аи н о гдаи самав о змо жн о ст ь реш ен и я ко н крет н ы х краев ы х задач М СС о п редел яет в в еден и е кри в о л и н ейн ы х си ст ем ко о рди н ат . Ко мп о н ен т ы т ен зо ро в в кри в о л и н ейн ы х ко о рди н ат ах н е и мею т о п редел ен н о го фи зи ческо го смы сл а (о н и зав и сят о т в в еден н о й си ст емы ко о рди н ат ), п о эт о му дл я ан ал и за п о л учен н ы х резул ьт ат о в п ерехо дят к т ак н азы в аемы м фи зи чески м ко мп о н ен т ам т ен зо ро в . Ф и зи чески е ко мп о н ен т ы , н ап ри мер в ект о ра, эт о его ко со уго л ьн ы е и л и о рт о го н ал ьн ы е п ро екци и н ао си ко в ари ан т н о го и л и ко н т рав ари ан т н о го бази са. В о рт о го н ал ьн ы х си ст емах ко о рди н ат в се фи зи чески е ко мп о н ен т ы со в п адаю т с о бы чн ы ми и яв л яю т ся п ро екци ями в ект о ро в н ао си бази са, п о эт о му о п редел ен и е

3

фи зи чески х ко мп о н ен т в эт о м сл учае св о ди т ся к п ро ст о й н о рми ро в ке в ект о ро в бази са. П ри мер: п уст ь в о рт о го н ал ьн о й си ст еме ко о рди н ат задан т ен зо р в т о ро го ран га T = Ti j Э i Э j . Рассмо т ри м п ро и зв о л ьн ы й чл ен его суммы Ti j Эi Э j (п о i,j н е сумми ро в ат ь) Эi Э j j j j Ti Эi Э j = Ti Эi ⋅ Э j = Ti Эi ⋅ Э j е i е j , i Э Эj

где

е iе j

- еди н и чн ы е в ект о ры

(п о i,j н е сумми ро в ат ь) и н азы в ает сяфи зи ческо й ко мп о н ен т о й

j j Ti Эi ⋅ Э j = Ti g ii g jj

т ен зо раТ 1. Расш и фро в ат ь сл едую щи е в ы ражен и я: a i ; aij ; a ij ; aii ; aij ; ai x i ; a ij x j ; aij x i y j ; aij x i x j ; a ij x j = bi k

j

У казан и я. a i - т ри ко мп о н ен т ы a1 ; a 2 ; a3 ; 3

a ii = ∑ aii = a11 + a 22 + a 33 ; aij x i x j = i =1

3

∑a

i , j =1

ij

x i x j - кв адрат и чн аяфо рма;

a ij x = bi - си ст емат рёх урав н ен и й a i1 x1 + a i 2 x 2 + a i 3 x 3 = bi j

2. П о казат ь, чт о δ ii = 3; a ij δ kj = a ik ; ai δ ij = a j ; δ i j δ kj = δ ik ; δ i j δ kj δ ki = 3; δ i j δ ij = 3 ∂x i ∂y k j δ k = δ si ∂y j ∂x s

(x

i

(

= x i y1 , y 2 , y 3

))

0, есл и i ≠ j

У казан и я. δ i j =  δ ii = δ 11 + δ 22 + δ 33 = 3; 1, есл и i = j aiδ ij = a1δ 1j + a2δ 2j + a3δ 3j = a j ;

3. П уст ь det aij = aij ;

∂x i ∂y k ∂y j ∂x s

δ kj =

∂x i ∂y k ∂y k ∂x s

=

∂xi ∂x s

= δ si

п о казат ь, чт о

а) δ ij = 1 ; б) aij brs = aij brs ; в ) есл и air bsi = bsr , т о a rs =

1 bi j

г) есл и aij = bi j = 0 п ри i ≠ j и air bsi = δ sr , т о aij =

1 п ри i ≠ j bj

У казан и я. а), б) п ро в еряю т сян еп о средст в ен н о в ы чи сл ен и ем о п редел и т ел ей. в ) a rs bi j = a rs bir = δ is = 1 4. Д о казат ь, чт о есл и а) aij = a ji , т о aij (b ij + b ji ) = 2aij b ij ; б) a ij = −a ji , т о aij (b ij + b ji ) = 0 ; в ) aij x i y j = bij x i y j дл яп ро и зв о л ьн ы х x i , y j , т о a ij = bij ; г) aij x i x j = bij x i x j дл яп ро и зв о л ьн ы х x i , т о ;

4

д) aij = −a ji , т о aij x i x j = 0 ; е) a ij x j = λx i дл яп ро и зв о л ьн ы х x i ,т о a ij = λδ i j У казан и я. а) aij b ji = a ji b ij = aij b ij ; в ) λx i = λδ ij x j , т о гда (a ij − λδ ij )x j = 0 ⇒ a ij = λδ ij г) и з п ро и зв еден и й x i x j н ужн о в ы дел и т ь н езав и си мы е a ij x i x j = aij x i x j + a ji x j x i + aij x i x j = (a ij + a ji )x i x j + aij x i x j

[i < j ]

[i < j ]

[i = j ]

§2. Кр и воли не йные си ст е м ы коор д и на т 1. П о казат ь, чт о а) Эi = g ii (п о i н е сумми ро в ат ь !) б) дл и н ы эл емен т арн ы х дуг в до л ь ко о рди н ат н ы х кри в ы х рав н ы dsi = g ii dxi (п о i н е сумми ро в ат ь !) в ) cos Θ ij =

g ij g ii g jj

(п о i, j н е сумми ро в ат ь !)

где Θ ij - угл ы между ко о рди н ат н ы ми кри в ы ми . У казан и я. а), б) в о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул о й (ds )2 = gαβ dx α dx β в ) (Эi Э j ) = g ij = Эi Э j cos Θ ij (п о i, j н е сумми ро в ат ь !) 2. Д о казат ь, чт о о бъём п арал л ел еп и п еда, п о ст ро ен н о го н ав ект о рах бази са Э1 , Э2 , Э3 рав ен g . У казан и е. Объём п арал л ел еп и п едарав ен о п редел и т ел ю , со ст ав л ен н о му и з п ро екци й Эi н ао си декарт о в о й си ст емы ко о рди н ат . П ро и зв еден и е эт о го о п редел и т ел ян ао п редел и т ел ь с п ри ст ав л ен н ы ми ст ро ками и ст о л бцами эт о го о п редел и т ел ярав ен g. §3. Те нзор ы. Кова р и а нт на я пр ои звод на я 1. Д о казат ь, чт о а) есл и ко мп о н ен т ы т ен зо рарав н ы н ул ю в како й-л и бо си ст еме ко о рди н ат , т о о н и рав н ы н ул ю в л ю бо й си ст еме ко о рди н ат . б) си ммет ри яи ан т и си ммет ри яяв л яю т сяи н в ари ан т н ы ми св о йст в ами т ен зо ро в . в ) суммат ен зо ро в яв л яет сят ен зо ро м. г) у рав н ы х т ен зо ро в ко мп о н ен т ы рав н ы в л ю бы х си ст емах ко о рди н ат . д) дл и н ав ект о раяв л яет сяскал яро м. е) уго л между дв умяв ект о рами ест ь скал яр.

5

У казан и е. В о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул о й п рео бразо в ан и яко мп о н ен т т ен зо ро в ∂x α ∂y j ~ Ti j ... = i ...Tαβ ... β ∂y ∂x

2. В ы чи сл и т ь ко мп о н ен т ы g ij и g ij фун дамен т ал ьн о го мет ри ческо го т ен зо рав ци л и н дри ческо й, сфери ческо й и п арабо л и ческо ци л и н дри ческо й (x = ξη; y = 12 (η 2 − ξ 2 ); z = z ) си ст емах ко о рди н ат . ∂x α ∂x β i j α =1 ∂y ∂y 3

У казан и е. В о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул о й g ij = ∑

3. П ри усл о в и и п реды дущей задачи в ы чи сл и т ь си мв о л ы Кри ст о ффел я Гijα 1

∂g

 ∂g

∂g 

У казан и е. В о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул о й Гijα = g αs  isj + jsi − ijs  п редв ари т ел ьн о 2 ∂x ∂x   ∂x п рео бразо в ав её дл яо рт о го н ал ьн ы х си ст ем ко о рди н ат . 4. В ци л и н дри ческо й си ст еме ко о рди н ат (r , Θ, z ) в т о чке M [2,3,5] задан ы т ен зо ры А и В св о и ми ко мп о н ен т ами  1 3 5   A = ( Aij ) =  7 2 8  ; 9 0 1  

( )

B= B

ij

1 0 2   = 3 4 5 6 1 7  

Найт и : а) Ai j ; Aij ; B ij ; Bij ; Bi j б) си ммет ри чн ую и ан т и си ммет ри чн ую част и эт и х т ен зо ро в в ) сумму и разн о ст ь эт и х т ен зо ро в У казан и е. а) в о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул ами ai = g iα aα ; a i = g iα aα в ) п ри сл о жен и и т ен зо ро в и х ко мп о н ен т ы н ео бхо ди мо п ри в ест и к о дн о му и т о му же ст ро ен и ю и н дексо в 5. Найт и фи зи чески е ко мп о н ен т ы т ен зо ро в A = aα Эα ; B = Bi j Эi Э j в ци л и н дри ческо й и сфери ческо й си ст емах ко о рди н ат Ф

У казан и е. aiФ = ai g ii ; Bi j = Bi j g ii g jj (п о i, j н е сумми ро в ат ь !) 6. В декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат задан т ен зо р  A11  A = ( Aij ) =  A12  0 

A12 A22 0

0   0  A33 

Найт и зако н п рео бразо в ан и яего ко мп о н ен т п ри п о в о ро т е си ст емы ко о рди н ат н а уго л Θ в о круг о си x3 . Найт и гео мет ри ческо е мест о т о чек M [ A11′ , A12′ ] в о сях A11′ , A12′ в зав и си мо ст и о т Θ . У казан и е. В фо рмул ах дл я A11′ и A12′ и скл ю чи т ь Θ . 7. Д о казат ь, чт о гл ав н ы е о си си ммет ри чн о го т ен зо рав т о ро го ран гаи его дев и ат о расо в п адаю т .

6

У казан и е. П уст ь a ij - ко мп о н ен т ы т ен зо ра, т о гда S i j = aij − aαα δ i j - ко мп о н ен т ы его дев и ат о ра. П ро дел ы в аяв ы кл адки , л егко п о казат ь, чт о гл ав н ы е н ап рав л ен и я т ен зо ро в А и S о п редел яю т сяи з о дн и х и т ех же урав н ен и й.  10 − 6 0    A =  − 6 10 0   0 0 1  

8. В декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат задан т ен зо р

Найт и гл ав н ы е зн ачен и яи гл ав н ы е н ап рав л ен и яв т о ро го т ен зо ра. У казан и е. Д л ян ахо жден и ягл ав н ы х н ап рав л ен и й и сп о л ьзо в ат ь ni ni = 1 9. В ци л и н дри ческо й си ст еме ко о рди н ат (r , Θ, z ) задан о т ен зо рн о е п о л е cos Θ z   r   A = ( Aij ) =  cos Θ r2 Θ  z Θ Θz  

Найт и ко в ари ан т н ы е п ро и зв о дн ы е его ко мп о н ен т . У казан и е. В о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул о й ∇ α Aij =

∂Aij ∂x

− Akj Гαki − Aik Гαkj

α

§4. П е р е м е нные Эйле р а и Л а гр а нжа . Скор ост ь , ускор е ни е . З ако н дв и жен и ясреды и меет в и д: x i = x i (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , t ) i=1,2,3 (4.1) i З десь x - п ро ст ран ст в ен н ы е ко о рди н ат ы в си ст еме н абл ю дат ел я, ξ i - п арамет ры , и н ди в и дуал и зи рую щи е част и цу среды . В дал ьн ейш ем за п арамет ры ξ i п ри н и маю т ся ко о рди н ат ы част и ц в н ачал ьн ы й мо мен т в ремен и , т . е. ξ i = x i (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , t 0 ) В ел и чи н ы ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , t ) н азы в аю т ся п еремен н ы ми Л агран жа, в ел и чи н ы ( x1 , x 2 , x 3 , t ) – п еремен н ы ми Эйл ера. ∂r Ско ро ст ь част и цы среды о п редел яет сяп о фо рмул е: v =  

 ∂t ξ i

З десь r - ради ус-в ект о р част и цы , и н дексы ξ

i

в н и зу указы в аю т н а т о , чт о

∂r берёт сяп ри фи кси ро в ан н ы х зн ачен и ях п арамет ро в ξ i . ∂t ∂r Ко мп о н ен т ы в ект о ра ско ро ст и v в бази се Эi = i о бо зн ачаю т ся через v i и ∂x i   ∂x в ы чи сл яю т ся п о фо рмул ам: v i =   (4.2)  ∂t  ξ i

п ро и зв о дн ая

 ∂u i 

Е сл и в в ест и в ект о р п еремещен и ячаст и цы u = u i Эi , т о v i =    ∂t  ξ

(4.3) i

∂v У ско рен и е a т о чки сп л о ш н о й среды о п редел яет ся a =   = a i Эi  ∂t  ξ i

З десь a - ко мп о н ен т ы в ект о рауско рен и я. В декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат i





∂v ∂ x уско рен и я a i будут рав н ы : a i =   = 2 ∂t  ∂t  ξ i

2

i

i

(4.4)

7

П ерехо д о т п еремен н ы х Л агран жа к п еремен н ы м Эйл ера св язан с разреш ен и ем н еяв н ы х фун кци й (4.1). П ерехо д о т п еремен н ы х Эйл ерак п еремен н ы м Л агран жа п ри задан н о м п о л е ско ро ст ей св о ди т ся к реш ен и ю си ст емы о бы кн о в ен н ы х ∂x i = v i ( x1 , x 2 , x 3 , t ) ∂t

ди фферен ци ал ьн ы х урав н ен и й

(4.5)

З адачи . П уст ь x i - о рт о го н ал ьн аядекарт о в аси ст емако о рди н ат с в ект о рами бази са Эi . 1. П о задан н о му п о л ю ско ро ст ей в п еремен н ы х Эйл ера н айт и зако н дв и жен и я, ко мп о н ен т ы ско ро ст и и уско рен и яв п еремен н ы х Л агран жа. a) v = Э1 б) v = α ( x1 Э1 + x 2 Э2 ) в ) v = − x 2 Э1 + x 1 Э 2 ; v = α ( − x 1 Э1 + x 2 Э 2 ); (α = const , t 0 = 0) 1 2 2. П уст ь v = 1 2 ξ Э1 + ξ Э2 sin t , t0 = 0 Найт и в ы ражен и е v в п еремен н ы х

(

)

Эйл ера.

От в ет : v =

sin t ( x1 Э1 + x 2 Э2 ) 3 − cos t x1 = ξ 1et + ξ 3 (et − 1),

−t 2 2 3 t 3. Д ан зако н дв и жен и ясп л о ш н о й среды x = ξ + ξ (e − e ),

x3 = ξ 3

Оп редел и т ь: а) ко мп о н ен т ы в ект о рап еремещен и яв п еремен н ы х Эйл ераи Л агран жа; б) ко мп о н ен т ы в ект о ро в ско ро ст и и уско рен и я. Реш ен и е: В ы чи сл и м Я ко би ан ,

∂x i = e t ≠ 0; ∂ξ j

о бращая урав н ен и я дв и жен и я, п о л учаем

ξ 1 = x1e t + x 3 (et − 1), ξ 2 = x 2 + x 3 (e t − e − t ), . ξ =x 3

По

фо рмул е

u i = xi − ξ i

н ахо ди м

ко мп о н ен т ы

в ект о ра

3

u1 = (ξ 1 +ξ 3)(e t − 1), 2 3 t −t п еремещен и я в п еремен н ы х Л агран жа u = ξ (e − e ),

u = 0, 3

u1 = ( x1 − x 3 )(1 − e −t ), u 2 = x 3 (e t − e − t ), u 3 = 0.

v1 = (ξ 1 +ξ 3)e t , 2 3 t −t П о фо рмул е (4.3) н айдём: v = ξ (e + e ),

v 3 = 0,

и в п еремен н ы х Эйл ера

8

a1 = (ξ 1 +ξ 3)et , 2 3 t −t А п о (4.4) – ко мп о н ен т ы в ект о рауско рен и я: a = ξ (e − e ),

4. Д ан зако н дв и жен и ясп л о ш н о й среды :

a3 = 0

x1 = ξ 1, x2 = et (ξ 2 +ξ 3 ) / 2 + e−t (ξ 2 −ξ 3 ) / 2, x3 = et (ξ 2 + ξ 3 ) / 2 − et (ξ 2 −ξ 3 ) / 2.

о п редел и т ь ко мп о н ен т ы в ект о ро в : а) п еремещен и я, б) ско ро ст и , в ) уско рен и я. u1 = 0,

u1 = 0,

−t 2 t 2 2 2 3 3 t 2 −t 2 2 3 3 2 От в ет : u = e (ξ + ξ ) / 2 + e (ξ −ξ ) / 2 −ξ , u = x −e (x + x )/ 2−e (x − x ) / 2,

u3 = et (ξ 2 +ξ 3 ) / 2 − et (ξ 2 −ξ 3 ) / 2 −ξ 3.

u3 = x3 −e−t (x2 + x3) / 2 + et (x2 − x3) / 2.

v1 = 0,

a1 = 0,

v2 = et (ξ 2 + ξ 3 ) / 2 − e−t (ξ 2 −ξ 3 ) / 2,

a2 = et (ξ 2 +ξ 3) / 2 +e−t (ξ 2 −ξ 3) / 2,

v3 = et (ξ 2 + ξ 3 ) / 2 − e−t (ξ 2 −ξ 3 ) / 2.

a3 = et (ξ 2 +ξ 3) / 2−e−t (ξ 2 −ξ 3) / 2.

5. Д ан о п о л е ско ро ст ей v1 = x1 /(1 + t ), v 2 = 2 x 2 /(1 + t ), v 3 = 3x 3 /(1 + t ). Оп редел и т ь зако н дв и жен и яи ко мп о н ен т ы в ект о ро в ско ро ст и и уско рен и я. У казан и е. П ро и н т егри ро в ат ь дан н ы е урав н ен и я, и сп о л ьзуя (4.5) п ри i 1 усл о в и и x = ξ п ри t = 0

От в ет :

x1 = ξ 1 (1 + t ),

v1 = ξ 1 ,

a1 = 0,

x 2 = ξ 2 (1 + t 2 ),

v 2 = 2ξ 2 (1 + t ),

a 2 = 2ξ 2 ,

x 3 = ξ 3 (1 + t 3 ).

v 3 = 3ξ 3 (1 + t ) 2 ,.

a 3 = 6ξ 3 (1 + t ).

§5. П р ои звод на япо вр е м е ни . В ычи сле ни е ком поне нт ускор е ни я в пе р е м е нных Эйле р а . И н ди в и дуал ьн о й, субст ан ци о н н о й и л и п о л н о й п ро и зв о дн о й о т н еко т о ро й фун кци и , н ап ри мер, т емп ерат уры T, п о в ремен и t н азы в ает ся п ро и зв о дн ая  ∂T    , ко т о рая характ ери зует  ∂t  ξ i

и змен ен и е

т емп ерат уры

со

в ремен ем

и н ди в и дуал ьн о й част и цы среды . Он ачаст о о бо зн ачает ся си мв о л о м

дл я

dT . М ест н о й dt

и л и л о кал ьн о й п ро и зв о дн о й о т н еко т о ро й фун кци и , н ап ри мер, т емп ерат уры Т , п о  ∂T 

в ремен и t н азы в ает ся п ро и зв о дн ая  ∂t  i , ко т о рая характ ери зует и змен ен и е  x

9

т емп ерат уры в еди н и цу в ремен и в дан н о й т о чке п ро ст ран ст в а ( x1 , x 2 , x 3 ) и о бо зн ачает сяси мв о л о м

∂T . ∂t

И н ди в и дуал ьн ая и мест н ая п ро и зв о дн ы е п о в ремен и св язан ы между со бо й со о т н о ш ен и ем: В ел и чи н а v i

∂T ∂x i

dT ∂T ∂T = + vi i ∂t dt ∂x

зав и си т

от

(5.1)

ско ро ст и

дв и жен и я част и цы

и

н азы в ает ся

ко н в ект и в н о й п ро и зв о дн о й п о в ремен и . Е сл и ко мп о н ен т ы ско ро ст и задан ы в п еремен н ы х Эйл ера, т о ко мп о н ен т ы уско рен и я мо жн о в ы чи сл и т ь, н е о п редел яя зако н дв и жен и я, п о фо рмул ам:

ak =

∂v k + vi∇i v k ∂t

(5.2)

где ∇ i - ко в ари ан т н аяп ро и зв о дн ая. В декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат ak =

∂v k ∂v k ∂v k ∂v k + v1 1 + v 2 2 + v 3 3 ∂t ∂x ∂x ∂x

(5.3)

З адачи : 1. П уст ь x i декарт о в аси ст емако о рди н ат . П о задан н о му п о л ю ско ро ст ей в п еремен н ы х Эйл ерао п редел и т ь ко мп о н ен т ы в ект о рауско рен и я 1 1 2 2 3 3 а) v = x t , v = x t , v = x t. У казан и е: в о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул о й (5.3), н ап ри мер: ∂v 1 ∂v 1 ∂v1 ∂v 1 + v 1 1 + v 2 2 + v 3 3 = x 1 + x 1tt + x 2 t 0 + x 3 t 0 = x 1 (1 + t 2 ) ∂t ∂x ∂x ∂x 1 1 2 2 3 3 б) v = x t , v = x t , v = x t. в ) v = ( x 1 ) 2 tЭ1 + x 2 t 2 Э2 + x1 x 3 tЭ3 a1 =

г) v1 = 4 x 3 − 3x 2 , v 2 = 3x1 , v 3 = −4 x1 . 2. П ро и н т егри ро в ат ь в ы ражен и е дл я ско ро ст и в задачах 1) и п о л учи т ь зако н дв и жен и я; п о н ему н айт и ко мп о н ен т ы уско рен и я в п еремен н ы х Л агран жа. П ерехо дя зат ем к п еремен н ы м Эйл ера, срав н и т ь резул ьт ат с резул ьт ат ами реш ен и язадач 1). 3. В ци л и н дри ческо й си ст еме ко о рди н ат ( ρ, Θ , z ) в Эйл еро в ы х п еремен н ы х задан о п о л е ско ро ст ей. Найт и т ен зо рн ы е ко мп о н ен т ы в ект о рауско рен и я а) v1 = (ρ + Θ)t ; v 2 = (t ) 2 ; v 3 = Θt + z б) v1 = 2ρΘ; v 2 = sin Θz; v 3 = t в ) v1 = cos t ; v 2 = (t ) 2 sin Θ; v 3 = (t ) 2 ; г) v1 = 3ρΘz, v 2 = t eΘ , v 3 = zt. У казан и е: ко н т рав ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы уско рен и я в ы чи сл и м п о фо рмул е (5.2), где ∆ i v k =

∂v k + v α Гαki , Гαki - си мв о л ы Кри ст о ффел я. i ∂x

Нап ри мер, дл язадачи 3а) a1 =

∂v 1 ∂v 1 ∂v 1 + v1 [ + v α Гα1 1 ] + v 2 [ + v α Гα1 2 ∂t ∂ρ ∂Θ

]+ v3[

∂v 1 + v α Гα1 3 ∂t

]

10

В ци л и н дри ческо й си ст еме рав н ы н ул ю , п о эт о му

g ij

1 0 = 0 ρ2 0 0

[

]

0 1 1 2 2 0 , Г22 = − ρ ; Г12 = Г21 = ρ 1

о ст ал ьн ы е Гijα

a 1 = ( ρ + Θ) 1 + Θ(t ) 2 + (t ) 3 (1 − ρ )

§6. Л и ни и т ока и т р а е кт ор и и . Л и н и ями т о кан азы в аю т сял и н и и , ко т о ры е характ ери зую т сят ем, чт о дл якаждо го дан н о го мо мен т ав ремен и t касат ел ьн ая к л и н и и т о кав л ю бо й её т о чке со в п адает п о н ап рав л ен и ю со ско ро ст ью . В сл учае п ро и зв о л ьн о го в ект о рн о го п о л я т аки е л и н и и н азы в аю т ся в ект о рн ы ми л и н и ями . Д и фферен ци ал ьн ы е урав н ен и я л и н и й dx i = v i ( x1 , x 2 , x 3 , t ), i = 1,2,3 (6.1) dλ З десь dλ- скал ярн ы й п арамет р, dx i - ко мп о н ен т ы эл емен т а dr , в зят о го в до л ь л и н и и т о ка, v i -ко мп о н ен т ы в ект о ра ско ро ст и . Д и фферен ци ал ьн ы е урав н ен и я,

т о каи мею т в и д:

о п редел яю щи е зако н дв и жен и ячаст и ц среды , зап и сы в аю т сяв в и де: dx i = v i ( x1 , x 2 , x 3 , t ), dt

(6.2)

Л и н и и т о ка и т раект о ри и со в п адаю т друг с друго м в сл учае уст ан о в и в ш и хся дв и жен и й и н е со в п адаю т в сл учае н еуст ан о в и в ш и хсядв и жен и й. 1. Д л я п о л я ско ро ст ей задачи (§5 1.б) н айт и л и н и и т о каи т раект о ри и и до казат ь, чт о о н и со в п адаю т . П о фо рмул е(3.2) дл я дан н о го т ечен и я н айдём ди фферен ци ал ьн ы е урав н ен и я 1 2 dx 3 3 л и н и й т о ка dx 1 = dx 2 = x

2x

3x

i i И н т егри руя и х с учёт о м усл о в и й x = ξ , п ри t =0, п о л учаем урав н ен и я л и н и й 2

т о ка

2  x1    = x ,  ξ1  ξ2  

3

3  x1    = x ,  ξ1  ξ3  

3

3  x2    = x ξ2  ξ3  

.

В задаче (§5 1.б) бы л п о л учен зако н дв и жен и я x1 = ξ 1 (1 + t ), x 2 = ξ 2 (1 + t ) 2 , x 3 = ξ 3 (1 + t ) 3 . П о дан н о му зако н у дв и жен и я п о л учаем урав н ен и я т раект о ри и , ко т о ры е п о л н о ст ью со в п адаю т с урав н ен и ями л и н и й т о ка. 2. Д о казат ь, чт о п ри уст ан о в и в ш емсядв и жен и и (

∂v i = 0 ), л и н и и т о каи ∂t

т раект о ри и со в п адаю т . У казан и е: п ри мен и т ь фо рмул ы (6.1) и (6.2) 3. Д о казат ь, чт о дл я т ечен и я с задан н ы м п о л ем ско ро ст ей л и н и и т о ка и i т раект о ри и со в п адаю т : v i = x (1 + t ) v1 = ( x1 ) 2 + ( x 2 ) 3 ; 2 1 3 1 2 2 4. Д о казат ь, чт о дл я п о л я ско ро ст ей v = −( x ) − x ( x ) ; л и н и и т о ка будут

яв л ят ьсяо кружн о ст ями .

v3 = 0

11

5. З ако н дв и жен и ясп л о ш н о й среды задан в в и де − Bλ  sin [λ ( A + ωt )], x1 = A +  e λ  

− Bλ  cos[λ ( A + ωt )], x 2 = − B −  e λ  

x3 = ξ 3

Оп редел и т ь в и д

т раект о ри и , в ел и чи н у ско ро ст и и н айт и св язь между ξ 1uξ 2 и ко н ст ан т ами А и В . От в ет : Окружн о ст ь ради уса R = e − Bλ  sin λA, ξ 1 = A +  e  λ  

− Bλ

λ

(v) 2 = (ω ) 2 e −2 Bλ

,

− Bλ  cos Aλ. ξ 2 = − B −  e  λ  

6. З ако н дв и жен и я сп л о ш н о й среды задан в декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат x1 = R (cos

kt 2 ) , 2

x2 =

R kt sin , 2 2

x 3 = R sin

kt 2

.

Оп редел и т ь т раект о ри и в сфери ческо й си ст еме ко о рди н ат . От в ет : Л и н и яп ересечен и ясферы ( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 = R 2 2

R R и ци л и н дра x1 −  + ( x 2 ) 2 =   4  2

2

§7.Те нзор ы д е ф ор м а ци й и скор ост е й д е ф ор м а ци й. Тен зо ры в т о ро го ран га εˆ = ε ij Эˆ i Эˆ j uε ° = ε ij Э ° i Э ° j н азы в аю т ся т ен зо рами дефо рмаци й. Он и о т н есен ы к разн ы м бази сам : Э ° i - ко н т рав ари ан т н ы е в ект о ры бази са в н еко т о ро й т о чке М т ел а в мо мен т в ремен и t 0 , Эˆ i - ко н т рав ари ан т н ы е в ект о ры бази са в т о й же т о чке М в мо мен т в ремен и t , о ба т ен зо ра и мею т 1 2

о ди н ако в ы е ко в ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы , ко т о ры е и мею т в и д: ε ij = ( gˆij − g ° ij ) (7.1) З десь gˆij и g ° ij - ко в ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы фун дамен т ал ьн о го мет ри ческо го т ен зо ра g в мо мен т ы в ремен и

tи

t 0 со о т в ет ст в ен н о . Он и в ы чи сл яю т ся п о

gˆij = Эˆi Эˆ j ug ° ij = Э ° i Э ° j фо рмул ам: (7.2) Ко н т рав ари ан т н ы е и смеш ан н ы е ко мп о н ен т ы т ен зо ро в εˆ и ε ° н е со в п адаю т друг

с друго м и о бо зн ачаю т ся т аки м о бразо м: εˆij и εˆ. j ; ε°ij и ε °.i.j . С каждо й т о чко й дефо рми руемо й среды мо жн о св язат ь о рт о го н ал ьн ы й т ри эдр гл ав н ы х о сей т ен зо радефо рмаци й, ко т о ры й п ри дан н о м п еремещен и и о ст аёт сяо рт о го н ал ьн ы м и мо жет п еремещат ься, как т в ёрдо е т ел о , т .е. смещат ься п о ст уп ат ел ьн о и п о в о рачи в ат ься. Эл емен т ы dr в до л ь гл ав н ы х о сей в о в ремя дв и жен и я мо гут т о л ько сжи мат ьсяи л и раст яги в ат ься. В гл ав н ы х о сях о дн о в ремен н о п ри в о дят сяк ди аго н ал ьн о му в и ду мат ри цы : g °ij , gˆij , g °ij , gˆij , ε ij , ε .i.j , ε ij . С каждо й и н ди в и дуал ьн о й т о чко й дв и жущейся среды мо жн о св язат ь о бы чн ую о рт о го н ал ьн ую декарт о в у си ст ему ко о рди н ат ( S 01 , S 02 , S 03 ), н ап рав л ен н ую в до л ь гл ав н ы х о сей т ен зо радефо рмаци й. В п ро цессе дв и жен и я эт аси ст емако о рди н ат будет п ерехо ди т ь т акже в о бы чн ую о рт о го н ал ьн ую декарт о в у си ст ему ко о рди н ат ( S1 , S 2 , S3 ). Со о т в ет ст в ую щи е ко мп о н ен т ы т ен зо ро в дефо рмаци й ε °.ii. = ε °i и εˆ.ii. = εˆi в i.

12

эт и х си ст емах ко о рди н ат яв л яю т ся гл ав н ы ми ко мп о н ен т ами . Он и св язан ы между со бо й фо рмул о й: 2εˆi =

2ε ° i 1 + 2ε ° i

В сл учае беско н ечн о мал ы х дефо рмаци й н ет разн и цы между т ен зо рами ε ° и εˆ. Гл ав н ы е ко мп о н ен т ы т ен зо ро в дефо рмаци й яв л яю т ся ко рн ями т ак н азы в аемо го характ ери ст и ческо го урав н ен и я: λ3 − J 1 λ 2 + J 2 λ − J 3 = 0 (7.3) З десь λ – н еко т о ры й чи сл о в о й п арамет р, ко эффи ци ен т ы J1 , J 2 , J 3 - и н в ари ан т ы о т н о си т ел ьн о в ы бо ра си ст емы ко о рди н ат и о п редел яю т ся сл едую щи ми J 1 = ε 1 + ε 2 + ε 3 = ε αα

фо рмул ами :

J 2 = ε 1ε 2 + ε 2ε 3 + ε 3ε 1 =

[

1 α (ε α ) − ε αβ ε αβ 2

]

(7.4)

J 3 = ε 1ε 2 ε 3 = Det ε .ij.

Е сл и в в ест и в ект о р п еремещен и я w = r − r0 , где r и r0 - ради ус-в ект о ры о т н о си т ел ьн о си ст емы о т счёт а x1 , x 2 , x 3 о дн о й и т о й же т о чки М сп л о ш н о й среды в н ачал ьн ы й мо мен т в ремен и t 0 и в дан н ы й мо мен т t со о т в ет ст в ен н о , т о ко в ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы т ен зо ро в дефо рмаци й о п редел яю т ся ε ij =

[

1 ∇° i w° j + ∇° j w° i + ∇° i w° k ∇° j w° k 2

]

(7.5)

З десь ∇°i w°j и ∇ˆi wˆ j - ко в ари ан т н ы е п ро и зв о дн ы е о т ко мп о н ен т в ект о ра п еремещен и я в н ачал ьн о м и акт уал ьн о м п ро ст ран ст в ах со о т в ет ст в ен н о . В декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат , в сл учае беско н ечн о мал ы х п еремещен и й, ε ij и мею т в и д:

ε ij =

1  ∂w j ∂wi  + 2  ∂x i ∂x j

  

(7.6)

Си ммет ри чн ы й т ен зо р в т о ро го ран га, ко мп о н ен т ы ко т о ро го о п редел яю т ся п о фо рмул ам:

eij =

[

1 ˆ ˆ vˆ ∇ i vˆj + ∇ j i 2

]

(7.7)

н азы в ает сят ен зо ро м ско ро ст ей дефо рмаци й. З адачи . 1. П о задан н о му зако н у дв и жен и яо т н о си т ел ьн о о рт о го н ал ьн о й декарт о в о й си ст емы ко о рди н ат x i о п редел и т ь: а) Ко мп о н ен т ы в ект о рауско рен и яв Л агран жев ы х и Эйл еро в ы х п еремен н ы х, б) Тран сфо рмаци ю п о в ремен и со п ут ст в ую щей си ст емы ко о рди н ат , в ) Ко эффи ци ен т ы о т н о си т ел ьн о го удл и н ен и я о т резко в н ап рав л ен н ы х в до л ь ко о рди н ат н ы х о сей н ачал ьн о го со ст о ян и я, г) Ко мп о н ен т ы в ект о рап еремещен и й в акт уал ьн о й си ст еме ко о рди н ат , д) Ко в ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы т ен зо ро в дефо рмаци й и ско ро ст ей дефо рмаци й, гл ав н ы е зн ачен и яи гл ав н ы е н ап рав л ен и яэт и х т ен зо ро в , е) И ссл едо в ат ь сл учай беско н ечн о мал ы х дефо рмаци й, ж) Найт и ско ро ст ь о т н о си т ел ьн о го и змен ен и яо бъёмав част и цах среды . (7.8) 1) x1 = ξ 1 ; x 2 = ξ 2 + Aξ 3 ; x3 = ξ 3 + Aξ 2 , где А =α t ,α -ко н ст ан т а, A < 1 2) x1 = ξ 1 ; x 2 = ξ 2 + ξ 1 (e −2t − 1); x 3 = ξ 3 + ξ 1 (e −3t − 1) ,

13

3) x1 = −ξ 1; x 2 = e t (ξ 2 + ξ 3 ); x 3 = ξ 2 e −t , 4) x1 = ξ 1 + sin 2t; x 2 = ξ 2 + ξ 1 cos 2t; x 3 = ξ 3 У казан и я. Рассмо т ри м реш ен и е н ап ри мере задачи 1): а) Обращён н ы й зако н дв и жен и я(7.8) и меет в и д: ξ 1 = x1 , ξ 2 =

Ко мп о н ен т ы

x 2 − Ax 3 A( x 3 − Ax 2 ) 3 , ξ = 1 − A2 1 − A2

в ект о ра п еремещен и я в

со о т в ет ст в ен н о рав н ы : u1 = 0, u 2 =

(7.9)

п еремен н ы х

Эйл ера и

Л агран жа

A( x − Ax ) A( x − Ax ) , u3 = 2 1− A 1 − A2 3

2

2

3

(7.10)

u1 = 0; u 2 = Aξ 3 ; u 3 = Aξ 2 ,

(7.11) П о фо рмул ам (4.3) в ы чи сл яем ко мп о н ен т ы ско ро ст и в п еремен н ы х Л агран жа и v1 = 0; v 2 = αξ 3 ; v 3 = αξ 2 , Эйл ера. (7.12) v1 = 0,

v2 =

α ( x 3 − αtx 2 ) , 1 − A2

v3 =

α ( x 2 − αtx 3 ) 1 − A2

(7.13)

Ко мп о н ен т ы уско рен и ямо жн о п о л учи т ь, т ак как си ст емако о рди н ат x i декарт о в а, п о со о т н о ш ен и ям (4.4) и л и (5.3) п о л учаем: a i = 0 б) В ы чи сл и м ко мп о н ен т ы фун дамен т ал ьн о го мет ри ческо го т ен зо рав акт уал ьн о й си ст еме ко о рди н ат ∂xα ∂xα , g ij = i j α =1 ∂ξ ∂ξ

1 0 0 2 2A gˆij = 0 1 + A 0 2 A 1 + A2

3

∑

о т куда

(7.14)

Так как gˆij н е зав и си т о т ξ i , т о акт уал ьн ая си ст емако о рди н ат будет декарт о в о й, н о уже ко со уго л ьн о й ( gˆ23 = 2 A ≠ 0 , п о эт о му уго л между о сями ξ 2 и ξ 3 н е о ст ан ет ся п рямы м). Оси ξ 2 и ξ 3 будут т акже раст яги в ат ься, т ак как gˆ11 = gˆ22 ≠ 1 в ) Эл емен т арн ы е дл и н ы дуг ко о рди н ат н ы х о сей в ы чи сл яю т ся п о фо рмул ам [2] ( ds i ) 2 = g ii (dξ i ) 2 . В н аш ем сл учае g ° ii = 1, gˆii дан ы со о т н о ш ен и ями (7.14), и меем ds01 = dξ 1; ds1 = dξ 1;

ds02 = dξ 2 ;

ds03 = dξ 3 ;

ds2 = 1 + A 2 dξ 2 ;

(7.15)

ds3 = 1 + A2 dξ 1

Ко эффи ци ен т ы о т н о си т ел ьн ы х удл и н ен и й п о о п редел ен и ю рав н ы : li =

(dsi − ds 0i ) , ds 0i

l1 = 0; l2 = l3 = 1 + ( A) 2 − 1

т о гдап о л учаем:

(7.16)

г) Так как u = u i Эi = uˆα Эˆα яв л яет ся в ект о ро м, т о п о фо рмул ам п рео бразо в ан и я ∂ξ i α u и со о т н о ш ен и й (7.9) и (7.11) будем и мет ь: ∂x α A(ξ 3 − Aξ 2 ) A(ξ 2 − Aξ 3 ) 3 ˆ uˆ1 = 0, uˆ2 = , u = 1 − A2 1 − A2

ко мп о н ен т в ект о ро в uˆi =

(7.17)

д) Ко в ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы т ен зо ро в дефо рмаци й в ы чи сл и м п о фо рмул ам (7.1) и (7.14). Так как g °ij = δ ij , где δ ij - си мв о л ы Кро н еккера, т о п о (7.1) п о л учи м: ε11 = ε12 = ε13 = 0; ε 22 = ε 33 = ( A)

2

2

; ε 33 = A

(7.18)

14

П ро в ерьт е эт о т резул ьт ат п о фо рмул ам (7.5) и фо рмул ам (7.11), (7.17). Ко в ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы т ен зо ра ско ро ст ей дефо рмаци й н айдём и з фо рмул ы (7.7). Так как со п ут ст в ую щаяси ст емако о рди н ат декарт о в а, т о (7.7) п ри мет в и д: 1 1  ∂vˆj ∂vˆ  (7.19) ∇ i vˆj + ∇ j vˆi =  i + ij  2 2  ∂ξ ∂ξ  Ко в ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы в ект о ра v в акт уал ьн о й си ст еме ко о рди н ат н ахо ди м и з ∂x α (7.20) (7.12), (7.8) vˆi = i vα , п о л учаем: vˆ1 = 0; vˆ2 = α (ξ 3 + Aξ 2 ); vˆ3 = α (ξ 2 + Aξ 3 ) , ∂ξ eij =

[

]

П о дст ав л яя(7.20) в (7.19), будем и мет ь eˆ11 = eˆ12 = eˆ13 = 0, eˆ22 = eˆ33 = α 2t , eˆ23 = α (7.21) В си ст еме ко о рди н ат н абл ю дат ел я x i ко мп о н ен т ы eij о п редел яю т ся п о фо рмул ам п рео бразо в ан и я ко в ари ан т н ы х

ко мп о н ен т

т ен зо ро в

eij =

∂ξ α ∂ξ β eˆαβ ∂x i ∂x j

или

н еп о средст в ен н о и з (7.7), (7.13) е) В сл учае беско н ечн о мал ы х дефо рмаци й и з о т н о ш ен и й (7.18) сл едует , чт о А яв л яет сяв ел и чи н о й п ерв о го п о рядкамал о ст и , п о эт о му (α <<1) gˆij = δ ij li = 0,

ε11 = ε22 = ε33 = ε12 = ε13 = 0, ε 23 = αt e11 = e12 = e13 = e22 = e33 = 0, v1 = 0 ;

u1 = 0 ,

e23 = α v 2 = α x3 ;

u 2 = Ax 3 ,

u 3 = Ax 2

v3 = α x 2

Такая дефо рмаци я н азы в ает ся чи ст ы м сдв и го м. Гл ав н ы е о си т ен зо ро в дефо рмаци й и ско ро ст ей дефо рмаци й со в п адаю т , а и х урав н ен и я и мею т в и д: ( x2 = ξ 2 ; x3 = ξ 3 ); ( x1 = ξ 1; x2 − ξ 2 = ±( x3 − ξ 3 ) ). ж) Ско ро ст ь о т н о си т ел ьн о го и змен ен и я о бъёма Θ& в ы чи сл яет ся п о фо рмул е: &= eˆα = eˆ gˆαλ = 4 Aα + 2α 2t (1 + A2 ) . В сл учае беско н ечн о мал ы х дефо рмаци й Θ &=0. Θ α αλ 2. В сл учае беско н ечн о мал ы х дефо рмаци й в ы чи сл и т ь т ен зо рн ы е и фи зи чески е ко мп о н ен т ы т ен зо раε ij в ци л и н дри ческо й си ст еме ко о рди н ат ( ρ, Θ , z ) . 1 2

фи з ii jj У казан и я: В о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул ами : εij = (∇iuj +∇jui ), εij =εij g g

3. П уст ь в сл учае беско н ечн о мал ы х дефо рмаци й ε ij =0. П о казат ь, чт о в эт о м сл учае средап еремещает сякак жёст ко е т ел о . У казан и е: Реш и т ь си ст ему урав н ен и й:

∂u i ∂u j + = 0. ∂x j ∂x i

§8. Н а пр яже нное сост ояни е . Д е ка р т ова си ст е м а коор д и на т . Рассмо т ри м т ел о о бъемо м V , о гран и чен н о е п о в ерхн о ст ью S . Си л ы , п ри л о жен н ы е к т ел у со ст о ро н ы в н еш н ей среды , будем н азы в ат ь в н еш н и ми . Е сл и о н и п ри л о жен ы к т о чкам п о в ерхн о ст и т ел а, будем н азы в ат ь их п о в ерхн о ст н ы ми си л ами и о бо зн ачат ь в ект о ро м T (н а еди н и цу п л о щади ), дейст в ую щи е н а в н ут рен н и е т о чки н еп реры в н о в о в сём о бъеме

15

будем н азы в ат ь массо в ы ми и и х и н т ен си в н о ст ь н а еди н и цу о бъема будем о бо зн ачат ь F . В резул ьт ат е дейст в и я в н еш н и х си л в рассмат ри в аемо м т ел е в о зн и каю т дефо рмаци и , сл едст в и ем ко т о ры х яв л яет ся п о яв л ен и е в н ут рен н и х си л (си л в заи мо дейст в и я между част и цами само го т ел а). Ч т о бы о п редел и т ь эт и си л ы , п о л ьзую т сямет о до м сечен и й. М ы сл ен н о п ро в едем через н еко т о рую т о чку т ел аМ п л о ско ст ь с в н еш н ей н о рмал ью n . П л о ско ст ь раздел и т т ел о н а дв е част и . Резул ьт ат о м в заи мо дейст в и я эт и х част ей будут в н ут рен н и е си л ы , н еп реры в н о расп редел ен н ы е п о в сей п о в ерхн о ст и сечен и я. В т о чке М в ы дел и м мал ую п л о щадку ∆S и п о дсчи т аем резул ьт и рую щую в н ут рен н и х си л ∆Pn , дейст в ую щи х н а п л о щадке. В сл едст в и е мал о ст и п л о щадки мо мен т о м рассмат ри в аемы х си л п рен ебрежем. В ект о ро м н ап ряжен и й н а п л о щадке с н о рмал ью n н азы в ает ся в ект о р pn , о п редел яемы й сл едую щи м о бразо м:

p n = lim

∆S → 0

∆ Pn . ∆S

П ро екци я в ект о ра н ап ряжен и й н а н о рмал ь к п л о щадке н азы в ает ся н о рмал ьн ы м н ап ряжен и ем pnn . В т о рая ко мп о н ен т а в ект о ра, л ежащая в п л о ско ст и п л о щадки , н азы в ает сякасат ел ьн ы м н ап ряжен и ем pnτ . В в едем декарт о в у си ст ему ко о рди н ат с н ап рав л яю щи ми в ект о рами Э1 = i , Э2 = j , Э3 = k . Ко мп о н ен т ы в ект о ра в эт о й си ст еме о бо зн ачи м pn1 , pn 2 , p n3 . pn = pi Эi . Нап ряжен н о е со ст о ян и е в т о чке о п редел яет ся со в о куп н о ст ью в сех в ект о ро в pn и n . М о жн о п о казат ь, чт о п о л н о ст ью о п и сат ь н ап ряжен н о е со ст о ян и е в т о чке мо жн о , зн аяв ект о ры н ап ряжен и й н ат рех в заи мн о п ерп ен ди кул ярн ы х п л о щадках, в качест в е ко т о ры х о бы чн о п ри н и маю т ся ко о рди н ат н ы е п л о щадки . В ект о р н ап ряжен и я н ако о рди н ат н о й п л о щадке с н о рмал ью Эi будем о бо зн ачат ь pi , аего ко мп о н ен т ы σ ij .

Каждая и з ко мп о н ен т σ ij и меет о п редел ен н ы й фи зи чески й смы сл . σij - эт о со ст ав л яю щая в ект о ра н ап ряжен и я, дейст в ую щего н а п л о щадке с в н еш н ей н о рмал ью Эi в н ап рав л ен и и Эj . На ри сун ке и зо бражен ы н ап рав л ен и я σij , п ри н и маемы е за п о л о жи т ел ьн ы е. П о л ьзуясь зако н о м Нью т о н ао рав ен ст в е дейст в и яи п ро т и в о дейст в и я, п ри замен е

16

н ап рав л ен и яв н еш н ей н о рмал и н ап ро т и в о п о л о жн о е, п о л о жи т ел ьн о е н ап рав л ен и е ко мп о н ен т н ап ряжен и ят ак же и змен яет сян ап ро т и в о п о л о жн о е. Очев и дн о , σ11 σ22 σ33 о п редел яю т н о рмал ьн ы е н ап ряжен и я н а ко о рди н ат н ы х п л о щадках. Он и п о л о жи т ел ьн ы , есл и дейст в ую т в н ап рав л ен и и в н еш н ей н о рмал и . Ост ал ьн ы е ко мп о н ен т ы σij яв л яю т ся касат ел ьн ы ми н ап ряжен и ями н а ко о рди н ат н ы х п л о щадках. Е сл и и зв ест н ы ко мп о н ен т ы т ен зо ра н ап ряжен и й, т о в ект о р н ап ряжен и й н а п ро и зв о л ьн о й п л о щадке с н о рмал ью n мо жет бы т ь о п редел ен п о сл едую щи м со о т н о ш ен и ям: pni = σ ij n j здесь n j = cos( n , Э j ) Е сл и рассмат ри в аемая п л о щадка п ри н адл ежи т част и п о в ерхн о ст и т ел а S T , где задан ы в н еш н и е н агрузки Ti , т о до л жн ы в ы п о л н ят ьсяусл о в и я: σ ij n j = Ti н а S T Тен зо р н ап ряжен и й и меет т ри гл ав н ы х в заи мн о о рт о го н ал ьн ы х н ап рав л ен и я; п л о щадки , о рт о го н ал ьн ы е гл ав н ы м н ап рав л ен и ям, н азы в аю т ся гл ав н ы ми п л о щадками , а н ап ряжен и я н а н и х - гл ав н ы ми н ап ряжен и ями . И схо дя и з о п редел ен и я гл ав н ы х н ап рав л ен и й, ясн о , чт о н а гл ав н ы х п л о щадках в ект о р н ап ряжен и й н ап рав л ен п о н о рмал и , а касат ел ьн ы е н ап ряжен и я о т сут ст в ую т . pn = σn

В ел и чи н а гл ав н ы х н ап ряжен и й σ , о п редел яет ся и з куби ческо го урав н ен и я: σ ij − σδ ij = 0

Нап рав л яю щи е ко си н усы

гл ав н ы х н ап рав л ен и й о п редел яю т ся и з урав н ен и я:

ni

(σ ij − σδ ij )n j = 0

Раскл ады в ая в ект о р н ап ряжен и й н а н о рмал ьн ую и касат ел ьн ую к п л о щадке ко мп о н ен т ы и и ссл едуя и змен ен и я касат ел ьн о го н ап ряжен и я в зав и си мо ст и о т и змен ен и я н о рмал и n , мо жн о п о казат ь, чт о в каждо й т о чке т ел а п л о щадки макси мал ьн о го касат ел ьн о го н ап ряжен и я н ап рав л ен ы в сегда п о д о п редел ен н ы м угл о м к гл ав н ы м н ап рав л ен и ям (σ 2 − σ 3 ) ; n = ± 1 ; n = 0; n = ± 1 σ = 1

2

n1 = ±

1

n1 = ±

1

2

2

;

n2 = 0 ;

;

n2 = ±

3

2

n3 = ± 1 2

;

nτ

2

1

n3 = 0 ;

2

;

σ

nτ

=

σ

nτ

=

(σ 3 (σ 1

2 −σ 2 −σ 2

1

)

2

)

З десь σi - в ел и чи н ы гл ав н ы х н ап ряжен и й. Таки м о бразо м, т ен зо р н ап ряжен и й σij п о л н о ст ью характ ери зует н ап ряжен н о е со ст о ян и е в т о чке. З н ая его , мо жн о о п редел ят ь гл ав н ы е н ап ряжен и я, а т акже макси мал ьн о е и ми н и мал ьн о е касат ел ьн ы е н ап ряжен и я. Тен зо р н ап ряжен и й до л жен о п и сы в ат ь т ако е со ст о ян и е среды , п ри ко т о ро м в н ут рен н и е си л ы бы л и бы урав н о в еш ен ы с в н еш н и ми . Эт о до ст и гает ся в ы п о л н ен и ем уже п ри в еден н ы х ран ее усл о в и й н ап о в ерхн о ст и S T и урав н ен и й рав н о в еси яв каждо й т о чке т ел а. В декарт о в ы х ко о рди н ат ах урав н ен и ярав н о в еси яи мею т в и д: σ ij , j + Q i = 0 Кро ме т о го , и з усл о в и й урав н о в еш ен н о ст и т ен зо ра н ап ряжен и й в ы т екает св о йст в о его си ммет ри чн о ст и (в кл асси ческо м сл учае) σ ij = σ ji .

17

З адачи . 8.1. В

т о чке

т ел а

и зв ест н ы

ко мп о н ен т ы

н ап ряжен и й

σ11 = 500 а т; σ 22 = 0 а т; σ 33 = −300 а т; σ12 = 500 а т; σ13 = −750 а т; σ 23 = 800 а т;

Найт и дл я п л о щадки с н ап рав л яю щи ми ко си н усами н о рмал и

n1 =

1

2;

n2 =

1

2;

n3 =

1 2

п о л н о е н ап ряжен и е Pn , н о рмал ьн о е Pnn и касат ел ьн о е Pnτ . Реш ен и е: Оп редел и м в ы ражен и е ко мп о н ен т в ект о ра н ап ряжен и й через ко мп о н ен т ы т ен зо ра н ап ряжен и й Pni = σ ij n j , Pn = ( Pni Pni ) = 1120 П ро екци ю в ект о ра Pn н ан о рмал ь к п л о щадке о п редел и м через скал ярн о е п ро и зв еден и е в ект о ро в Pn и n pnn = pni ni = 265am . Касат ел ьн ую ко мп о н ен т у в ект о ра н ап ряжен и й н айдем, зн ая 1

2

п о л н о е и н о рмал ьн о е н ап ряжен и я pnτ = pn2 − pnn2 = 1090а т . 8.2. Д о казат ь, чт о н ав заи мн о о рт о го н ал ьн ы х п л о щадках касат ел ьн ы е н ап ряжен и я в о в заи мн о о рт о го н ал ьн ы х н ап рав л ен и ях рав н ы . 8.3. П о л ьзуясь п реды дущей задачей, до казат ь, чт о в п о п еречн ы х сечен и ях ци л и н дра со св о бо дн о й п о в ерхн о ст ью о т в н еш н и х н агрузо к в ект о р касат ел ьн ы х н ап ряжен и й в т о чках ко н т уран ап рав л ен п о касат ел ьн о й к ко н т уру. 8.4. В т о чке п о в ерхн о ст и т ел а и зв ест н а н о рмал ь n = (0, 1 2 , 1 2 ) М о жн о л и и змен и т ь п о в ерхн о ст н ую н агрузку, н е и змен яя ко мп о н ен т у σ 11 т ен зо ра н ап ряжен и й. От в ет : мо жн о . 8.5. Д о казат ь, чт о н о рмал ьн ы е н ап ряжен и я н а п л о щадках, п ерп ен ди кул ярн ы х п о в ерхн о ст и т ел а, н е в хо дят в гран и чн ы е усл о в и я. Реш ен и е: В качест в е си ст емы ко о рди н ат п ри мем т рехгран н и к n , τ 1 , τ 1 , где n н о рмал ь к п о в ерхн о ст и , τ 1 ,τ 2 - в ект о ры в касат ел ьн о й п л о ско ст и к п о в ерхн о ст и . В п ри н ят о й си ст еме ко о рди н ат ко мп о н ен т ы н ап ряжен и й о бо зн ачи м σ αβ , ан о рмал ь к п о в ерхн о ст и и меет ко мп о н ен т ы n1 = 1, n2 = n3 = 0 . И сп о л ьзуя гран и чн ы е усл о в и я, п о л учи м, чт о о н и в ы п о л н яю т сяп ри п ро и зв о л ьн ы х σ αα (α = τ 1 ,τ 2 ) 8.6. П уст ь гл ав н ы е н ап рав л ен и я в т о чке задан ы т ремя в ект о рами eα с н ап рав л яю щи ми ко си н усами cαβ о т н о си т ел ьн о декарт о в о й си ст емы ко о рди н ат Э j . Оп редел и т ь т ен зо р н ап ряжен и й в декарт о в о й си ст еме, зн ая гл ав н ы е н ап ряжен и я σα . З амечан и е. Нап и сат ь т ен зо р н ап ряжен и й в гл ав н ы х о сях и о п редел и т ь ко мп о н ен т ы н ап ряжен и й н ап л о щадках с н о рмал ями Эi через эт о т т ен зо р. 8.7. З адан ы ко мп о н ен т ы т ен зо ра н ап ряжен и й в декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат δ11 = α , δ22 = − α, δ33 = δ12 = δ 23 = δ 31 = 0 . Найт и макси мал ьн о е касат ел ьн о е н ап ряжен и е и п л о щадки , н ако т о ры х о н о дейст в ует . От в ет : τ max = a, τ min = −a. П л о щадки н акл о н ен ы п о д угл о м π 4 к о сям ко о рди н ат . 8.8. Найт и гл ав н ы е н ап рав л ен и я и н ап ряжен и я дл я дв ух сл учаев , a) δ12 = δ 23 = τ

б) δ12 = δ13 = δ 31 = τ

18

а ) δ1 = τ 2 , δ 2 = 0, δ 3 = −τ 2

От в ет :

б) δ1 = δ 2 = τ ,

δ 3 = −2τ

8.9. Со ст ав и т ь в ы ражен и е дл я касат ел ьн о го н ап ряжен и я н а п ро и зв о л ьн о й п л о щадке, в ы рази в его через гл ав н ы е н ап ряжен и я и н ап рав л яю щи е ко си н усы рассмат ри в аемо й п л о щадки п о о т н о ш ен и ю к гл ав н ы м п л о щадкам l,m,n. От в ет : σ nτ = (σ 1 − σ 2 ) 2 l 2 m 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 m 2 n 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 n 2l 2 8.10 И зв ест н ы сл едую щи е в ы ражен и я дл я н ап ряжен и й δ 11 = Ax13 x22 x3 ; δ 12 = Bx1 x23 x33 . Нап и сат ь с т о чн о ст ью до фун кци и f ( x1 , x2 ) в ы ражен и е дл я σ 13 , есл и о бъемн ы е си л ы о т сут ст в ую т . 3 2

1 2

От в ет : δ 13 = − Ax 12x22 x32 − Bx1 x2 x34 + f ( x1 , x2 ) 8.11. Д л я п о п еречн о и зо гн ут о й п рямо уго л ьн о й п л аст и н ки и мею т ся сл едую щи е фо рмул ы дл ян ап ряжен и й

δ11 = Ax2 (l − x1 ), δ 22 = 0, δ 33 = 0, δ 12 = B (c − x22 ),

δ 23 = δ 31 = 0.

Оси x1, x3 - в п л о ско ст и п л аст и н ки , о сь x2 - п ерп ен ди кул ярн о . П ро в ери т ь, в о змо жн ы л и т аки е н ап ряжен и я с т о чки зрен и я ст ат и ки и како му н агружен и ю п л аст и н ки о н и со о т в ет ст в ую т . От в ет : В о змо жн о п ри A = −2 B §9. Н а пр яже нное сост ояни е . Кр и воли не йные си ст е м ы коор д и на т Ρ= p ij Эi Э j удо в л ет в о ряю щи й со о т н о ш ен и ю pn = Ρ• n (9.1) н азы в ает сят ен зо ро м н ап ряжен и й. В со о т н о ш ен и и (9.1) pn - в ект о р н ап ряжен и й н ап ро и зв о л ьн о й п л о щадке. n = ni Эi еди н и чн ы й в ект о р н о рмал и к эт о й п л о щадке. Ρ• n о зн ачает скал ярн о е умн о жен и е т ен зо ра Ρ на в ект о р n, т .е. ki i i pn = p Эk (Эi ⋅ n ) = p (Эi ⋅ n ) = p ni (9.2) ki Ко мп о н ен т ы p т ен зо ра Ρ удо в л ет в о ряю т ди фферен ци ал ьн ы м урав н ен и ям дв и жен и я ρ aκ = ρ F κ + ∇ i p k i , (9.3) где ρ - п л о т н о ст ь среды , a k - ко мп о н ен т ы в ект о рауско рен и я, F k - ко мп о н ен т ы в ект о рап л о т н о ст и массо в ы х си л , ∇ i - ко в ари ан т н аяп ро и зв о дн аяп о со о т в ет ст в ую щей ко о рди н ат е. Нео бхо ди мо о т мет и т ь, чт о рав ен ст в о p i = pn н а со о т в ет ст в ую щи х ко о рди н ат н ы х п л о щадках в ы п о л н яет ся, в о о бще го в о ря, т о л ько в сл учае о рт о го н ал ьн ы х декарт о в ы х си ст ем ко о рди н ат . В п ро и зв о л ьн о й кри в о л и н ейн о й си ст еме ко о рди н ат p i ≠ pn н а со о т в ет ст в ую щи х п л о щадках, а ко мп о н ен т ы в ект о ро в p i = p ki Э k н е яв л яю т ся п ро екци ями в ект о ро в н ап ряжен и я н а со о т в ет ст в ую щи е о си , как эт о и меет мест о в о рт о го н ал ьн о й декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат . Эт о со здает н еко т о ры е н еудо бст в а п ри п о ст ан о в ке гран и чн ы х усл о в и й и п ри ан ал и зе

Тен зо р

в т о ро го

ран га

19

п о л учен н ы х резул ьт ат о в , п о ско л ьку т еряет ся п ро ст о й фи зи чески й смы сл ко мп о н ен т в ект о ро в и т ен зо ро в . П о эт о му н ео бхо ди мо умет ь п о т ен зо рн ы м ко мп о н ен т ам p ki н ахо ди т ь п ро екци и в ект о ро в н ап ряжен и й н а о си ко о рди н ат (фи зи чески е ко мп о н ен т ы ). Огран и чи мсяо рт о го н ал ьн ы ми си ст емами ко о рди н ат . П уст ь о ди н в ект о р a = a i Э i = ai Э i , дл ян его мо жн о н ап и сат ь т акже фо рмул у: Эi = a~ i ei g ii

3

a = a i Э i = ∑ a i g ii i =1

a~ i = a i g ii ;

a = ai Э i = ∑ ai g ii

Эi

a~i = ai g ii ;

Эi

3

i =1

А н ал о ги чн о

(9.4)

Э ei = i g ii

e = i

g

ii

= a~i e i

(9.5)

g ii

В со о т н о ш ен и ях (9.4) , (9.5) ei и e i - еди н и чн ы е в ект о ры , a~ i = a~i п ро екци и в ект о ра a н ан ап рав л ен и я Эi a~i н азы в аю т фи зи чески ми ко мп о н ен т ами в ект о ра a . Д л ят ен зо ра Ρ и меем 3

3

Ρ= р ki Эk Эi = ∑∑ р ki g kk g ii ek ei = ~р ki ek ei

(9.6)

k =1 i =1

~ р ki = р ki g kk g ii ~ p ki н азы в аю т ся фи зи чески ми ко мп о н ен т ами т ен зо ра н ап ряжен и й и п ро екци ям в ект о ран ап ряжен и й н ап л о щадке с н о рмал ью ek н ао сь e i

рав н ы

З адачи 9.1 В ци л и н дри ческо й си ст еме ко о рди н ат (r , θ , z ) в т о чке с ко о рди н ат ами r=2, θ=3, z=5 задан т ен зо р н ап ряжен и й с ко мп о н ен т ами p

ij

1 3 4 = 3 9 12 4 12 2

(9.7)

Найт и гл ав н ы е н ап рав л ен и я и гл ав н ы е зн ачен и я эт о го т ен зо ра. П о казат ь н а ри сун ке н ап рав л ен и ягл ав н ы х о сей. Найт и его фи зи чески е ко мп о н ен т ы . Како в и х гео мет ри чески й смы сл ? У казан и я к реш ен и ю . Ф и зи чески е ко мп о н ен т ы о п редел яю т ся п о фо рмул е (9.6). 1

Так как в ци л и н дри ческо й си ст еме ко о рди н ат ~ p 22 = p 22 (r ) 2 = 9 ⋅ 4 = 36

0

0

g ij = 0 (r) 0 0 0 1 2

т о , н ап ри мер,

здесь p 22 яв л яет ся п ро екци ей в ект о ра н ап ряжен и й н а п л о щадке с н о рмал ью r н а н ап рав л ен и и r . Обы чн о фи зи чески е ко мп о н ен т ы о бо зн ачаю т букв о й σ с и н дексами со о т в ет ст в ую щи х о сей ( ~p 22 = σ rr )

20

9.2 Оп редел и т ь фи зи чески е ко мп о н ен т ы т ен зо ра(9.7), задан н о го в сфери ческо й си ст еме ко о рди н ат (r , θ , φ ) в т о чке с ко о рди н ат ами r=3, θ=0.5, ϕ=2. 9.3 З ап и сат ь урав н ен и я рав н о в еси я в ци л и н дри ческо й си ст еме ко о рди н ат . М ассо в ы ми си л ами п рен ебречь. У казан и як реш ен и ю : У рав н ен и ярав н о в еси я (a = 0; v = 0) п ри о т сут ст в и и массо в ы х си л F = 0 сл едую т и з (9.3) и и мею т в и д ∇ i p ki = 0 и л и в разв ерн ут о м в и де:

∂p ki + pα i Гikα + p ki Гiiα = 0 (9.8) i ∂x З ат ем сл едует в ци л и н дри ческо й си ст еме ко о рди н ат в ы чи сл и т ь зн ачен и я си мв о л о в Кри ст о ффел я Гikα и п о дст ав и т ь в (9.8). 9.4 З ап и сат ь урав н ен и я рав н о в еси я (9.8) в фи зи чески х ко мп о н ен т ах, в ци л и н дри ческо й си ст еме ко о рди н ат . 9.5 Нап и сат ь урав н ен и я рав н о в еси я в т ен зо рн ы х и фи зи чески х ко мп о н ен т ах в сфери ческо й си ст еме ко о рди н ат . §10. П р ост е йш и е ви д ы на пр яже нных сост ояни й. П ри реш ен и и задач механ и ки сп л о ш н о й среды ко мп о н ен т ы т ен зо ран ап ряжен и й, как п рав и л о , яв л яю т ся н еи зв ест н ы ми фун кци ями ко о рди н ат и о п редел яю т ся и з реш ен и я краев ы х задач, чт о яв л яет ся в о бщем сл учае до ст ат о чн о сл о жн о й и л и в о о бще н еп рео до л и мо й мат емат и ческо й п ро бл емо й. В мест е с т ем, и з фи зи чески х со о бражен и й мо жн о в ы дел и т ь до ст ат о чн о ш и ро ки е и и мев ш и е бо л ьш о е п ракт и ческо е п ри л о жен и е кл ассы задач, п ри реш ен и и ко т о ры х мо жн о умен ьш и т ь чи сл о н езав и си мы х п еремен н ы х и и ско мы х фун кци й. В о мн о ги х сл учаях эт о п о зв о л яет п о л учи т ь реш ен и е в ко н ечн о м в и де. Рассмо т ри м н еко т о ры е п ро ст ейш и е в и ды н ап ряжен н ы х со ст о ян и й. В в едем ци л и н дри ческую си ст ему ко о рди н ат (r , θ , z ) . Е сл и ко мп о н ен т ы т ен зо ра н ап ряжен и й н е зав и сят о т угл аθ, a сам т ен зо р и меет в и д: p11 0 p ij = 0

p13

p 22 0 31

p 0 p

(10.1)

33

т о т ако е н ап ряжен н о е со ст о ян и е н азы в ает ся о сеси ммет ри чн ы м. Он о в о зн и кает в т ел ах в ращен и яп ри в н еш н и х н агрузках, н е зав и сящи х о т угл аθ. П уст ь x, y, z о рт о го н ал ьн ая декарт о в аси ст емако о рди н ат . Е сл и ко мп о н ен т ы т ен зо ран ап ряжен и й н е зав и сят о т ко о рди н ат ы z, асам т ен зо р и меет в и д δ11 δ 12 0 δ ij = δ 21 δ 22 0 0

0

(10.2)

0

т о т ако е н ап ряжен н о е со ст о ян и е н азы в ает ся п л о ски м и в о зн и кает в п л аст и н ках, ко гдав ект о ры в н еш н и х уси л и й расп о л о жен ы в и х п л о ско ст и .

21

Ч аст н ы й сл учай п л о ско го н ап ряжен н о го со ст о ян и я, ко гда т ен зо р н ап ряжен и й в гл ав н ы х о сях и меет в и д:

δ ij

δ 0 0 = 0 -δ 0 0 0 0

(10.3)

н азы в ает сячи ст ы м сдв и го м. Е сл и т ен зо р н ап ряжен и й в гл ав н ы х о сях:

δ ij

δ 0 0 = 0 0 0 0 0 0

(10.4)

т о т ако е, н ап ряжен н о е со ст о ян и е н азы в аю т раст яжен и ем (сжат и ем). Он о реал и зует ся в ст ержн ев ы х ко н ст рукци ях, ко гда в н еш н и е уси л и я дейст в ую т п о о си ст ержн ей. З адачи 10.1 З ап и сат ь ди фферен ци ал ьн ы е урав н ен и я рав н о в еси я в фи зи чески х ко мп о н ен т ах п ри о сеси ммет ри чн о м н ап ряжен н о м со ст о ян и и . М ассо в ы е си л ы н е учи т ы в ат ь. 10.2 З ап и сат ь урав н ен и ярав н о в еси яп ри п л о ско м н ап ряжен н о м со ст о ян и и . 10.3 П о л учи т ь фо рмул ы дл я н ахо жден и я гл ав н ы х н ап ряжен и и и гл ав н ы х н ап рав л ен и й п ри п л о ско м н ап ряжен н о м со ст о ян и и . 10.4. П уст ь σ nn и σ nτ н о рмал ьн ы е и касат ел ьн ы е н ап ряжен и я н а п л о щадке с н о рмал ью n п ри п л о ско м н ап ряжен н о м со ст о ян и и ( n1 = cos α ; n 2 = sin α ; n 3 = 0) . П о казат ь, чт о т о чкас ко о рди н ат ами σ nn и σ nτ в зав и си мо ст и о т α о п и сы в ает круг н а п л о ско ст и σ nn σ nτ . Эт о т круг н азы в аю т круго м М о ра. Круг М о ра п о зв о л яет н агл ядн о п редст ав и т ь расп редел ен и е н о рмал ьн ы х и касат ел ьн ы х н ап ряжен и й в т о чке. У казан и е к реш ен и ю . И зв ест н о , чт о δ nn = δ ij ni n j ; δ nτ = δ ijτ j ni где τ j ко мп о н ен т ы еди н и чн о го в ект о ра τ , п ерп ен ди кул ярн о го к n . В дан н о м сл учае τ 1 = − sin a; τ 2 = cos a; τ 3 = 0 . 10.5 П о казат ь, чт о макси мал ьн ы е касат ел ьн ы е н ап ряжен и я п ри чи ст о м сдв и ге (10.3) рав н ы σ . §11. Гр а ни чные услови я. П ри реш ен и и задач в М СС в каждо й т о чке задан н о го о бъема н ап ряжен н о дефо рми ро в ан н о е со ст о ян и е о п редел яет ся реш ен и ем н еко т о ро й си ст емы , сфо рми ро в ан н о й н ао сн о в ан и и ки н емат и чески х, ст ат и чески х усл о в и й и ги п о т ез, а т акже фи зи чески х зако н о в дл я задан н о й среды . Очев и дн о , эт аси ст емаурав н ен и й н е зав и си т о т фо рмы ко н крет н о го т ел а, усл о в и й его закреп л ен и яи н агружен и яп о п о в ерхн о ст и . Одн ако реш ен и е си ст емы до л жн о сущест в ен н ы м о бразо м учи т ы в ат ь эт и о со бен н о ст и ко н крет н о й задачи . П ро и зв о ди т ся эт о с п о мо щью н ачал ьн ы х и краев ы х усл о в и й. Е сл и о бл аст ь реш ен и я и меет н еко т о ры е ко н ечн ы е гран и цы , т о кро ме н ачал ьн ы х усл о в и й дл яп о л учен и яо п редел ен н ы х реш ен и й н ео бхо ди мо учи т ы в ат ь усл о в и ян а

22

гран и це т ел а. Эт и усл о в и я н азы в аю т ся краев ы ми , и л и гран и чн ы ми усл о в и ями . Рассмо т ри м н еко т о ры е сл учаи гран и чн ы х усл о в и й. П ри закреп л ен и и дефо рми руемо го т ел ан ао п о рах задан н о го т и п а, п ри в н едрен и и в н еш н и х п редмет о в в дефо рми руемую среду и л и п ри о бт екан и и в язко й жи дко ст ью т в ердо го т ел а задан н о й фо рмы и в о мн о ги х други х сл учаях зап и сы в аю т ся усл о в и я п ри л и п ан и я н а гран и цах дл я п еремещен и й и дл я ско ро ст ей. П ри эт о м н а п о в ерхн о ст и S и мею т мест о сл едую щи е усл о в и я: uсре д ы = u гра ни цы , vсре д ы = vгра ни цы . Д л яуп руго го т ел агл ав н о е зн ачен и е и мею т усл о в и ядл я п еремещен и й, в т ео ри и дв и жен и яжи дко ст и и газо в - дл яско ро ст ей. В о мн о ги х задачах гран и цаS и л и н еко т о рая ее част ь S2, н е о гран и чен ат в ерды ми т ел ами , т о гда н а п л о щадках п о в ерхн о ст и S2, мо гут бы т ь и зв ест н ы п л о т н о ст и п о в ерхн о ст н ы х си л pn . Таки е усл о в и ят и п и чн ы в п ракт и ке и н жен ерн ы х расчет о в . Тако го т и п а гран и чн ы е усл о в и я мо гут бы т ь п ереп и сан ы в н ап ряжен и ях δ ij n j = pni н а S 2 . В о мн о ги х сл учаях т ребует ся реш ат ь задачи со смеш ан н ы ми гран и чн ы ми усл о в и ями , ко гда о бъем среды о гран и чен в н еш н и ми н еп о дв и жн ы ми задан н ы ми ст ен ками с дан н ы ми усл о в и ями закреп л ен и я, а част и чн о – св о бо дн ы ми п о в ерхн о ст ями . Е сл и рассмат ри в аемая о бл аст ь реш ен и я в кл ю чает беско н ечн о ст ь, т о н ео бхо ди мо задав ат ь до п о л н и т ел ьн ы е усл о в и я. В качест в е т аки х усл о в и й в о мн о ги х сл учаях п редп о л агает ся, чт о и ссл едуемо е яв л ен и е н о си т характ ер мест н о го в о змущен и я и чт о п ри удал ен и и в беско н ечн о ст ь со ст о ян и е и дв и жен и е среды задан ы . З адачи 11.1 Д л ят реуго л ьн о й п л о т и н ы , п о дв ержен н о й дав л ен и ю в о ды , н айден о реш ен и е дл ян ап ряжен и й: δ xx = ax + by, δ yy = cx + dy

δ xy = −dx − ay − γ x, δ xz = δ z = 0 γ - удел ьн ы й в ес мат ери ал ап л о т и н ы

γ 1 - удел ьн ы й в ес жи дко ст и

Требует сяо т ы скат ь п о ст о ян н ы е в ел и чи н ы a, b, c, d и схо дяи з усл о в и й н ап о в ерхн о ст и . От в ет : a = 0; b = −γ 1; d =

γ1 γ 2γ −γ ; c = − 21 2 tg β tgβ tg β

11.2 В п л аст и н у в дав л и в ает сяш и ро ки й ш т амп ш и ри н о й 2а с п о ст о ян н о й ско ро ст ью v. З ап и сат ь гран и чн ы е усл о в и яп ри уст ан о в и в ш емся дв и жен и и ш т амп ав усл о в и ях п л о ско го н ап ряжен н о го со ст о ян и я.

23

Как о п редел и т ь уси л и е, п ередав аемо е ш т амп о м н ап л аст и н у? 11.3 З ап и сат ь гран и чн ы е усл о в и я дл яп о л уп ро ст ран ст в а, в ко т о ро е в н едрен н а гл уби н у u жест ки й ш еро хо в ат ы й ш т амп . П ри н ят ь усл о в и е п ри л и п ан и я.

Лит е рат ура 1. 2. 3. 4. 5.

Седо в Л .И . М ехан и касп л о ш н о й среды /Л .И . Седо в – М .: Наука,1976.-Т.1. – 499с.;Т.2. – 500с. Седо в Л .И . В в еден и е в механ и ку сп л о ш н о й среды /Л .И . Седо в – М .: Ф и змат ги з, 1962. – 351с. Д ж. М ейз. Тео ри яи задачи механ и ки сп л о ш н о й среды /Д ж. М ейз. – М .: М и р, 1974. – 318с. Б о ри сен ко А .И . В ект о рн ы й ан ал и з и н ачал а т ен зо рн о го и счи сл ен и я/ А .И Б о ри сен ко , И .Е . Тарап о в – М .: В ы сш . ш ко л а, 1966, – 252с. И л ью ш и н А .А . З адачи и уп ражн ен и я п о механ и ке сп л о ш н о й среды / А .А . И л ью ш и н , В .А Л о маки н , А .П . Ш мако в – М .: И зд-в о М ГУ , 1973.– 164с.

Со ст ав и т ел и : Сп о ры хи н А н ат о л и й Ни ко л аев и ч М ясн ян ки н Ю ри й М и хайл о в и ч Ч ебо т арев А н дрей Сергеев и ч Редакт о р Б ун и н аТ.Д .