М инист е рст в о о бразо в ания Р Ф В о ро не ж ск ий Го сунив е рсит е т Ф а куль т е т П р и кла д ной М а т е м а т ...
8 downloads
112 Views
295KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М инист е рст в о о бразо в ания Р Ф В о ро не ж ск ий Го сунив е рсит е т Ф а куль т е т П р и кла д ной М а т е м а т и ки и нф ор м а т и ки и М е ха ни ки
Кафе дра т е о ре т иче ск о й и прик ладно й ме х аник и В В ЕД ЕН ИЕ В М СС М е т о диче ск ие ук азания к ре ш е нию задач по к урсу «М е х аник а Спло ш но й Сре ды» д л я сту д е нто в 3 и 4 ку рсо в д не в но го и в е че рне го о тд е л е ни й спе ци а л ьно сте й 010500 и 010200
Со ст ав ит е ли: А.Н . Спо рых ин, Ю .М . М яснянк ин, А.С. Че бо т аре в .
В о ро не ж
2
Анно т ация М ехан и ка сп л о ш н о й среды , со гл асн о го сударст в ен н о му о бразо в ат ел ьн о му ст ан дарт у в ы сш его п ро фесси о н ал ьн о го о бразо в ан и я, яв л яет сяо дн и м и з о сн о в н ы х курсо в дл я ст уден т о в сп еци ал ьн о ст и 010500 «механ и ка» и чи т ает ся в качест в е раздел а курса фи зи ки дл я ст уден т о в 4-го курса сп еци ал ьн о ст и 010200 «п ри кл адн ая мат емат и ка». В ы п ущен н ая М и н и ст ерст в о м п ро грамма курса «М ехан и ка сп л о ш н о й среды » реко мен дует и сп о л ьзо в ат ь в качест в е о сн о в н о го учебн и какн и ги Л .И . Седо в а«М ехан и касп л о ш н о й среды » т . 1,2. Одн ако у эт о го учебн и ка о т сут ст в ует задачн и к. Наст о ящее мет о ди ческо е п о со би е в кл ю чает крат кую т ео ри ю , задачи и мет о ди чески е указан и я к и х реш ен и ю п о раздел ам «Эл емен т ы т ен зо рн о го и счи сл ен и я», «Ки н емат и ка дефо рми руемо й среды », «Нап ряжен н о е со ст о ян и е. Гран и чн ы е усл о в и я». Со де рж ание §1. Тен зо рн ы е о бо зн ачен и я. Ф и зи чески е ко мп о н ен т ы . §2. Кри в о л и н ейн ы е си ст емы ко о рди н ат . §3. Тен зо ры . Ко в ари ан т н аяп ро и зв о дн ая. §4. П еремен н ы е Эйл ераи Л агран жа. Ско ро ст ь, уско рен и е. §5. П ро и зв о дн ая п о в ремен и . В ы чи сл ен и е ко мп о н ен т уско рен и я в п еремен н ы х Эйл ера. §6. Л и н и и т о каи т раект о ри и . §7. Тен зо ры дефо рмаци й и ско ро ст ей дефо рмаци й. §8. Нап ряжен н о е со ст о ян и е. Д екарт о в аси ст емако о рди н ат . §9. Нап ряжен н о е со ст о ян и е. Кри в о л и н ейн ы е си ст емы ко о рди н ат . §10. П ро ст ейш и е в и ды н ап ряжен н ы х со ст о ян и й. §11. Гран и чн ы е усл о в и я. §1. Те нзор ные об озна че ни я. Ф и зи че ски е ком поне нт ы. М ехан и касп л о ш н о й среды – о бш и рн ая част ь механ и ки , п о св ящен н ая дв и жен и ю газо о бразн ы х, жи дки х и т в ерды х дефо рми руемы х т ел . Гео мет ри чески е и фи зи чески е в ел и чи н ы , а т акже урав н ен и я, о п и сы в аю щи е дв и жен и я сп л о ш н о й среды , н е до л жн ы зав и сет ь о т си ст емы ко о рди н ат и ссл едо в ат ел я. Д л я эт о го урав н ен и я зап и сы в аю т ся в т ако й фо рме, чт о бы о н и бы л и сп рав едл и в ы в л ю бо й си ст еме ко о рди н ат . Осущест в л ен и е эт о й и деи в само м о бщем в и де п ри в о ди т к о бщему т ен зо рн о му и счи сл ен и ю . Тен зо р – о бъект н е зав и сящи й о т в ы бо ра си ст емы ко о рди н ат (п л о т н о ст ь, эн ерги я, ско ро ст ь, н ап ряжен и я, дефо рмаци и и т .п .). П ро ст о т а, аи н о гдаи самав о змо жн о ст ь реш ен и я ко н крет н ы х краев ы х задач М СС о п редел яет в в еден и е кри в о л и н ейн ы х си ст ем ко о рди н ат . Ко мп о н ен т ы т ен зо ро в в кри в о л и н ейн ы х ко о рди н ат ах н е и мею т о п редел ен н о го фи зи ческо го смы сл а (о н и зав и сят о т в в еден н о й си ст емы ко о рди н ат ), п о эт о му дл я ан ал и за п о л учен н ы х резул ьт ат о в п ерехо дят к т ак н азы в аемы м фи зи чески м ко мп о н ен т ам т ен зо ро в . Ф и зи чески е ко мп о н ен т ы , н ап ри мер в ект о ра, эт о его ко со уго л ьн ы е и л и о рт о го н ал ьн ы е п ро екци и н ао си ко в ари ан т н о го и л и ко н т рав ари ан т н о го бази са. В о рт о го н ал ьн ы х си ст емах ко о рди н ат в се фи зи чески е ко мп о н ен т ы со в п адаю т с о бы чн ы ми и яв л яю т ся п ро екци ями в ект о ро в н ао си бази са, п о эт о му о п редел ен и е
3
фи зи чески х ко мп о н ен т в эт о м сл учае св о ди т ся к п ро ст о й н о рми ро в ке в ект о ро в бази са. П ри мер: п уст ь в о рт о го н ал ьн о й си ст еме ко о рди н ат задан т ен зо р в т о ро го ран га T = Ti j Э i Э j . Рассмо т ри м п ро и зв о л ьн ы й чл ен его суммы Ti j Эi Э j (п о i,j н е сумми ро в ат ь) Эi Э j j j j Ti Эi Э j = Ti Эi ⋅ Э j = Ti Эi ⋅ Э j е i е j , i Э Эj
где
е iе j
- еди н и чн ы е в ект о ры
(п о i,j н е сумми ро в ат ь) и н азы в ает сяфи зи ческо й ко мп о н ен т о й
j j Ti Эi ⋅ Э j = Ti g ii g jj
т ен зо раТ 1. Расш и фро в ат ь сл едую щи е в ы ражен и я: a i ; aij ; a ij ; aii ; aij ; ai x i ; a ij x j ; aij x i y j ; aij x i x j ; a ij x j = bi k
j
У казан и я. a i - т ри ко мп о н ен т ы a1 ; a 2 ; a3 ; 3
a ii = ∑ aii = a11 + a 22 + a 33 ; aij x i x j = i =1
3
∑a
i , j =1
ij
x i x j - кв адрат и чн аяфо рма;
a ij x = bi - си ст емат рёх урав н ен и й a i1 x1 + a i 2 x 2 + a i 3 x 3 = bi j
2. П о казат ь, чт о δ ii = 3; a ij δ kj = a ik ; ai δ ij = a j ; δ i j δ kj = δ ik ; δ i j δ kj δ ki = 3; δ i j δ ij = 3 ∂x i ∂y k j δ k = δ si ∂y j ∂x s
(x
i
(
= x i y1 , y 2 , y 3
))
0, есл и i ≠ j
У казан и я. δ i j = δ ii = δ 11 + δ 22 + δ 33 = 3; 1, есл и i = j aiδ ij = a1δ 1j + a2δ 2j + a3δ 3j = a j ;
3. П уст ь det aij = aij ;
∂x i ∂y k ∂y j ∂x s
δ kj =
∂x i ∂y k ∂y k ∂x s
=
∂xi ∂x s
= δ si
п о казат ь, чт о
а) δ ij = 1 ; б) aij brs = aij brs ; в ) есл и air bsi = bsr , т о a rs =
1 bi j
г) есл и aij = bi j = 0 п ри i ≠ j и air bsi = δ sr , т о aij =
1 п ри i ≠ j bj
У казан и я. а), б) п ро в еряю т сян еп о средст в ен н о в ы чи сл ен и ем о п редел и т ел ей. в ) a rs bi j = a rs bir = δ is = 1 4. Д о казат ь, чт о есл и а) aij = a ji , т о aij (b ij + b ji ) = 2aij b ij ; б) a ij = −a ji , т о aij (b ij + b ji ) = 0 ; в ) aij x i y j = bij x i y j дл яп ро и зв о л ьн ы х x i , y j , т о a ij = bij ; г) aij x i x j = bij x i x j дл яп ро и зв о л ьн ы х x i , т о ;
4
д) aij = −a ji , т о aij x i x j = 0 ; е) a ij x j = λx i дл яп ро и зв о л ьн ы х x i ,т о a ij = λδ i j У казан и я. а) aij b ji = a ji b ij = aij b ij ; в ) λx i = λδ ij x j , т о гда (a ij − λδ ij )x j = 0 ⇒ a ij = λδ ij г) и з п ро и зв еден и й x i x j н ужн о в ы дел и т ь н езав и си мы е a ij x i x j = aij x i x j + a ji x j x i + aij x i x j = (a ij + a ji )x i x j + aij x i x j
[i < j ]
[i < j ]
[i = j ]
§2. Кр и воли не йные си ст е м ы коор д и на т 1. П о казат ь, чт о а) Эi = g ii (п о i н е сумми ро в ат ь !) б) дл и н ы эл емен т арн ы х дуг в до л ь ко о рди н ат н ы х кри в ы х рав н ы dsi = g ii dxi (п о i н е сумми ро в ат ь !) в ) cos Θ ij =
g ij g ii g jj
(п о i, j н е сумми ро в ат ь !)
где Θ ij - угл ы между ко о рди н ат н ы ми кри в ы ми . У казан и я. а), б) в о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул о й (ds )2 = gαβ dx α dx β в ) (Эi Э j ) = g ij = Эi Э j cos Θ ij (п о i, j н е сумми ро в ат ь !) 2. Д о казат ь, чт о о бъём п арал л ел еп и п еда, п о ст ро ен н о го н ав ект о рах бази са Э1 , Э2 , Э3 рав ен g . У казан и е. Объём п арал л ел еп и п едарав ен о п редел и т ел ю , со ст ав л ен н о му и з п ро екци й Эi н ао си декарт о в о й си ст емы ко о рди н ат . П ро и зв еден и е эт о го о п редел и т ел ян ао п редел и т ел ь с п ри ст ав л ен н ы ми ст ро ками и ст о л бцами эт о го о п редел и т ел ярав ен g. §3. Те нзор ы. Кова р и а нт на я пр ои звод на я 1. Д о казат ь, чт о а) есл и ко мп о н ен т ы т ен зо рарав н ы н ул ю в како й-л и бо си ст еме ко о рди н ат , т о о н и рав н ы н ул ю в л ю бо й си ст еме ко о рди н ат . б) си ммет ри яи ан т и си ммет ри яяв л яю т сяи н в ари ан т н ы ми св о йст в ами т ен зо ро в . в ) суммат ен зо ро в яв л яет сят ен зо ро м. г) у рав н ы х т ен зо ро в ко мп о н ен т ы рав н ы в л ю бы х си ст емах ко о рди н ат . д) дл и н ав ект о раяв л яет сяскал яро м. е) уго л между дв умяв ект о рами ест ь скал яр.
5
У казан и е. В о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул о й п рео бразо в ан и яко мп о н ен т т ен зо ро в ∂x α ∂y j ~ Ti j ... = i ...Tαβ ... β ∂y ∂x
2. В ы чи сл и т ь ко мп о н ен т ы g ij и g ij фун дамен т ал ьн о го мет ри ческо го т ен зо рав ци л и н дри ческо й, сфери ческо й и п арабо л и ческо ци л и н дри ческо й (x = ξη; y = 12 (η 2 − ξ 2 ); z = z ) си ст емах ко о рди н ат . ∂x α ∂x β i j α =1 ∂y ∂y 3
У казан и е. В о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул о й g ij = ∑
3. П ри усл о в и и п реды дущей задачи в ы чи сл и т ь си мв о л ы Кри ст о ффел я Гijα 1
∂g
∂g
∂g
У казан и е. В о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул о й Гijα = g αs isj + jsi − ijs п редв ари т ел ьн о 2 ∂x ∂x ∂x п рео бразо в ав её дл яо рт о го н ал ьн ы х си ст ем ко о рди н ат . 4. В ци л и н дри ческо й си ст еме ко о рди н ат (r , Θ, z ) в т о чке M [2,3,5] задан ы т ен зо ры А и В св о и ми ко мп о н ен т ами 1 3 5 A = ( Aij ) = 7 2 8 ; 9 0 1
( )
B= B
ij
1 0 2 = 3 4 5 6 1 7
Найт и : а) Ai j ; Aij ; B ij ; Bij ; Bi j б) си ммет ри чн ую и ан т и си ммет ри чн ую част и эт и х т ен зо ро в в ) сумму и разн о ст ь эт и х т ен зо ро в У казан и е. а) в о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул ами ai = g iα aα ; a i = g iα aα в ) п ри сл о жен и и т ен зо ро в и х ко мп о н ен т ы н ео бхо ди мо п ри в ест и к о дн о му и т о му же ст ро ен и ю и н дексо в 5. Найт и фи зи чески е ко мп о н ен т ы т ен зо ро в A = aα Эα ; B = Bi j Эi Э j в ци л и н дри ческо й и сфери ческо й си ст емах ко о рди н ат Ф
У казан и е. aiФ = ai g ii ; Bi j = Bi j g ii g jj (п о i, j н е сумми ро в ат ь !) 6. В декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат задан т ен зо р A11 A = ( Aij ) = A12 0
A12 A22 0
0 0 A33
Найт и зако н п рео бразо в ан и яего ко мп о н ен т п ри п о в о ро т е си ст емы ко о рди н ат н а уго л Θ в о круг о си x3 . Найт и гео мет ри ческо е мест о т о чек M [ A11′ , A12′ ] в о сях A11′ , A12′ в зав и си мо ст и о т Θ . У казан и е. В фо рмул ах дл я A11′ и A12′ и скл ю чи т ь Θ . 7. Д о казат ь, чт о гл ав н ы е о си си ммет ри чн о го т ен зо рав т о ро го ран гаи его дев и ат о расо в п адаю т .
6
У казан и е. П уст ь a ij - ко мп о н ен т ы т ен зо ра, т о гда S i j = aij − aαα δ i j - ко мп о н ен т ы его дев и ат о ра. П ро дел ы в аяв ы кл адки , л егко п о казат ь, чт о гл ав н ы е н ап рав л ен и я т ен зо ро в А и S о п редел яю т сяи з о дн и х и т ех же урав н ен и й. 10 − 6 0 A = − 6 10 0 0 0 1
8. В декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат задан т ен зо р
Найт и гл ав н ы е зн ачен и яи гл ав н ы е н ап рав л ен и яв т о ро го т ен зо ра. У казан и е. Д л ян ахо жден и ягл ав н ы х н ап рав л ен и й и сп о л ьзо в ат ь ni ni = 1 9. В ци л и н дри ческо й си ст еме ко о рди н ат (r , Θ, z ) задан о т ен зо рн о е п о л е cos Θ z r A = ( Aij ) = cos Θ r2 Θ z Θ Θz
Найт и ко в ари ан т н ы е п ро и зв о дн ы е его ко мп о н ен т . У казан и е. В о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул о й ∇ α Aij =
∂Aij ∂x
− Akj Гαki − Aik Гαkj
α
§4. П е р е м е нные Эйле р а и Л а гр а нжа . Скор ост ь , ускор е ни е . З ако н дв и жен и ясреды и меет в и д: x i = x i (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , t ) i=1,2,3 (4.1) i З десь x - п ро ст ран ст в ен н ы е ко о рди н ат ы в си ст еме н абл ю дат ел я, ξ i - п арамет ры , и н ди в и дуал и зи рую щи е част и цу среды . В дал ьн ейш ем за п арамет ры ξ i п ри н и маю т ся ко о рди н ат ы част и ц в н ачал ьн ы й мо мен т в ремен и , т . е. ξ i = x i (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , t 0 ) В ел и чи н ы ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , t ) н азы в аю т ся п еремен н ы ми Л агран жа, в ел и чи н ы ( x1 , x 2 , x 3 , t ) – п еремен н ы ми Эйл ера. ∂r Ско ро ст ь част и цы среды о п редел яет сяп о фо рмул е: v =
∂t ξ i
З десь r - ради ус-в ект о р част и цы , и н дексы ξ
i
в н и зу указы в аю т н а т о , чт о
∂r берёт сяп ри фи кси ро в ан н ы х зн ачен и ях п арамет ро в ξ i . ∂t ∂r Ко мп о н ен т ы в ект о ра ско ро ст и v в бази се Эi = i о бо зн ачаю т ся через v i и ∂x i ∂x в ы чи сл яю т ся п о фо рмул ам: v i = (4.2) ∂t ξ i
п ро и зв о дн ая
∂u i
Е сл и в в ест и в ект о р п еремещен и ячаст и цы u = u i Эi , т о v i = ∂t ξ
(4.3) i
∂v У ско рен и е a т о чки сп л о ш н о й среды о п редел яет ся a = = a i Эi ∂t ξ i
З десь a - ко мп о н ен т ы в ект о рауско рен и я. В декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат i
∂v ∂ x уско рен и я a i будут рав н ы : a i = = 2 ∂t ∂t ξ i
2
i
i
(4.4)
7
П ерехо д о т п еремен н ы х Л агран жа к п еремен н ы м Эйл ера св язан с разреш ен и ем н еяв н ы х фун кци й (4.1). П ерехо д о т п еремен н ы х Эйл ерак п еремен н ы м Л агран жа п ри задан н о м п о л е ско ро ст ей св о ди т ся к реш ен и ю си ст емы о бы кн о в ен н ы х ∂x i = v i ( x1 , x 2 , x 3 , t ) ∂t
ди фферен ци ал ьн ы х урав н ен и й
(4.5)
З адачи . П уст ь x i - о рт о го н ал ьн аядекарт о в аси ст емако о рди н ат с в ект о рами бази са Эi . 1. П о задан н о му п о л ю ско ро ст ей в п еремен н ы х Эйл ера н айт и зако н дв и жен и я, ко мп о н ен т ы ско ро ст и и уско рен и яв п еремен н ы х Л агран жа. a) v = Э1 б) v = α ( x1 Э1 + x 2 Э2 ) в ) v = − x 2 Э1 + x 1 Э 2 ; v = α ( − x 1 Э1 + x 2 Э 2 ); (α = const , t 0 = 0) 1 2 2. П уст ь v = 1 2 ξ Э1 + ξ Э2 sin t , t0 = 0 Найт и в ы ражен и е v в п еремен н ы х
(
)
Эйл ера.
От в ет : v =
sin t ( x1 Э1 + x 2 Э2 ) 3 − cos t x1 = ξ 1et + ξ 3 (et − 1),
−t 2 2 3 t 3. Д ан зако н дв и жен и ясп л о ш н о й среды x = ξ + ξ (e − e ),
x3 = ξ 3
Оп редел и т ь: а) ко мп о н ен т ы в ект о рап еремещен и яв п еремен н ы х Эйл ераи Л агран жа; б) ко мп о н ен т ы в ект о ро в ско ро ст и и уско рен и я. Реш ен и е: В ы чи сл и м Я ко би ан ,
∂x i = e t ≠ 0; ∂ξ j
о бращая урав н ен и я дв и жен и я, п о л учаем
ξ 1 = x1e t + x 3 (et − 1), ξ 2 = x 2 + x 3 (e t − e − t ), . ξ =x 3
По
фо рмул е
u i = xi − ξ i
н ахо ди м
ко мп о н ен т ы
в ект о ра
3
u1 = (ξ 1 +ξ 3)(e t − 1), 2 3 t −t п еремещен и я в п еремен н ы х Л агран жа u = ξ (e − e ),
u = 0, 3
u1 = ( x1 − x 3 )(1 − e −t ), u 2 = x 3 (e t − e − t ), u 3 = 0.
v1 = (ξ 1 +ξ 3)e t , 2 3 t −t П о фо рмул е (4.3) н айдём: v = ξ (e + e ),
v 3 = 0,
и в п еремен н ы х Эйл ера
8
a1 = (ξ 1 +ξ 3)et , 2 3 t −t А п о (4.4) – ко мп о н ен т ы в ект о рауско рен и я: a = ξ (e − e ),
4. Д ан зако н дв и жен и ясп л о ш н о й среды :
a3 = 0
x1 = ξ 1, x2 = et (ξ 2 +ξ 3 ) / 2 + e−t (ξ 2 −ξ 3 ) / 2, x3 = et (ξ 2 + ξ 3 ) / 2 − et (ξ 2 −ξ 3 ) / 2.
о п редел и т ь ко мп о н ен т ы в ект о ро в : а) п еремещен и я, б) ско ро ст и , в ) уско рен и я. u1 = 0,
u1 = 0,
−t 2 t 2 2 2 3 3 t 2 −t 2 2 3 3 2 От в ет : u = e (ξ + ξ ) / 2 + e (ξ −ξ ) / 2 −ξ , u = x −e (x + x )/ 2−e (x − x ) / 2,
u3 = et (ξ 2 +ξ 3 ) / 2 − et (ξ 2 −ξ 3 ) / 2 −ξ 3.
u3 = x3 −e−t (x2 + x3) / 2 + et (x2 − x3) / 2.
v1 = 0,
a1 = 0,
v2 = et (ξ 2 + ξ 3 ) / 2 − e−t (ξ 2 −ξ 3 ) / 2,
a2 = et (ξ 2 +ξ 3) / 2 +e−t (ξ 2 −ξ 3) / 2,
v3 = et (ξ 2 + ξ 3 ) / 2 − e−t (ξ 2 −ξ 3 ) / 2.
a3 = et (ξ 2 +ξ 3) / 2−e−t (ξ 2 −ξ 3) / 2.
5. Д ан о п о л е ско ро ст ей v1 = x1 /(1 + t ), v 2 = 2 x 2 /(1 + t ), v 3 = 3x 3 /(1 + t ). Оп редел и т ь зако н дв и жен и яи ко мп о н ен т ы в ект о ро в ско ро ст и и уско рен и я. У казан и е. П ро и н т егри ро в ат ь дан н ы е урав н ен и я, и сп о л ьзуя (4.5) п ри i 1 усл о в и и x = ξ п ри t = 0
От в ет :
x1 = ξ 1 (1 + t ),
v1 = ξ 1 ,
a1 = 0,
x 2 = ξ 2 (1 + t 2 ),
v 2 = 2ξ 2 (1 + t ),
a 2 = 2ξ 2 ,
x 3 = ξ 3 (1 + t 3 ).
v 3 = 3ξ 3 (1 + t ) 2 ,.
a 3 = 6ξ 3 (1 + t ).
§5. П р ои звод на япо вр е м е ни . В ычи сле ни е ком поне нт ускор е ни я в пе р е м е нных Эйле р а . И н ди в и дуал ьн о й, субст ан ци о н н о й и л и п о л н о й п ро и зв о дн о й о т н еко т о ро й фун кци и , н ап ри мер, т емп ерат уры T, п о в ремен и t н азы в ает ся п ро и зв о дн ая ∂T , ко т о рая характ ери зует ∂t ξ i
и змен ен и е
т емп ерат уры
со
в ремен ем
и н ди в и дуал ьн о й част и цы среды . Он ачаст о о бо зн ачает ся си мв о л о м
дл я
dT . М ест н о й dt
и л и л о кал ьн о й п ро и зв о дн о й о т н еко т о ро й фун кци и , н ап ри мер, т емп ерат уры Т , п о ∂T
в ремен и t н азы в ает ся п ро и зв о дн ая ∂t i , ко т о рая характ ери зует и змен ен и е x
9
т емп ерат уры в еди н и цу в ремен и в дан н о й т о чке п ро ст ран ст в а ( x1 , x 2 , x 3 ) и о бо зн ачает сяси мв о л о м
∂T . ∂t
И н ди в и дуал ьн ая и мест н ая п ро и зв о дн ы е п о в ремен и св язан ы между со бо й со о т н о ш ен и ем: В ел и чи н а v i
∂T ∂x i
dT ∂T ∂T = + vi i ∂t dt ∂x
зав и си т
от
(5.1)
ско ро ст и
дв и жен и я част и цы
и
н азы в ает ся
ко н в ект и в н о й п ро и зв о дн о й п о в ремен и . Е сл и ко мп о н ен т ы ско ро ст и задан ы в п еремен н ы х Эйл ера, т о ко мп о н ен т ы уско рен и я мо жн о в ы чи сл и т ь, н е о п редел яя зако н дв и жен и я, п о фо рмул ам:
ak =
∂v k + vi∇i v k ∂t
(5.2)
где ∇ i - ко в ари ан т н аяп ро и зв о дн ая. В декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат ak =
∂v k ∂v k ∂v k ∂v k + v1 1 + v 2 2 + v 3 3 ∂t ∂x ∂x ∂x
(5.3)
З адачи : 1. П уст ь x i декарт о в аси ст емако о рди н ат . П о задан н о му п о л ю ско ро ст ей в п еремен н ы х Эйл ерао п редел и т ь ко мп о н ен т ы в ект о рауско рен и я 1 1 2 2 3 3 а) v = x t , v = x t , v = x t. У казан и е: в о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул о й (5.3), н ап ри мер: ∂v 1 ∂v 1 ∂v1 ∂v 1 + v 1 1 + v 2 2 + v 3 3 = x 1 + x 1tt + x 2 t 0 + x 3 t 0 = x 1 (1 + t 2 ) ∂t ∂x ∂x ∂x 1 1 2 2 3 3 б) v = x t , v = x t , v = x t. в ) v = ( x 1 ) 2 tЭ1 + x 2 t 2 Э2 + x1 x 3 tЭ3 a1 =
г) v1 = 4 x 3 − 3x 2 , v 2 = 3x1 , v 3 = −4 x1 . 2. П ро и н т егри ро в ат ь в ы ражен и е дл я ско ро ст и в задачах 1) и п о л учи т ь зако н дв и жен и я; п о н ему н айт и ко мп о н ен т ы уско рен и я в п еремен н ы х Л агран жа. П ерехо дя зат ем к п еремен н ы м Эйл ера, срав н и т ь резул ьт ат с резул ьт ат ами реш ен и язадач 1). 3. В ци л и н дри ческо й си ст еме ко о рди н ат ( ρ, Θ , z ) в Эйл еро в ы х п еремен н ы х задан о п о л е ско ро ст ей. Найт и т ен зо рн ы е ко мп о н ен т ы в ект о рауско рен и я а) v1 = (ρ + Θ)t ; v 2 = (t ) 2 ; v 3 = Θt + z б) v1 = 2ρΘ; v 2 = sin Θz; v 3 = t в ) v1 = cos t ; v 2 = (t ) 2 sin Θ; v 3 = (t ) 2 ; г) v1 = 3ρΘz, v 2 = t eΘ , v 3 = zt. У казан и е: ко н т рав ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы уско рен и я в ы чи сл и м п о фо рмул е (5.2), где ∆ i v k =
∂v k + v α Гαki , Гαki - си мв о л ы Кри ст о ффел я. i ∂x
Нап ри мер, дл язадачи 3а) a1 =
∂v 1 ∂v 1 ∂v 1 + v1 [ + v α Гα1 1 ] + v 2 [ + v α Гα1 2 ∂t ∂ρ ∂Θ
]+ v3[
∂v 1 + v α Гα1 3 ∂t
]
10
В ци л и н дри ческо й си ст еме рав н ы н ул ю , п о эт о му
g ij
1 0 = 0 ρ2 0 0
[
]
0 1 1 2 2 0 , Г22 = − ρ ; Г12 = Г21 = ρ 1
о ст ал ьн ы е Гijα
a 1 = ( ρ + Θ) 1 + Θ(t ) 2 + (t ) 3 (1 − ρ )
§6. Л и ни и т ока и т р а е кт ор и и . Л и н и ями т о кан азы в аю т сял и н и и , ко т о ры е характ ери зую т сят ем, чт о дл якаждо го дан н о го мо мен т ав ремен и t касат ел ьн ая к л и н и и т о кав л ю бо й её т о чке со в п адает п о н ап рав л ен и ю со ско ро ст ью . В сл учае п ро и зв о л ьн о го в ект о рн о го п о л я т аки е л и н и и н азы в аю т ся в ект о рн ы ми л и н и ями . Д и фферен ци ал ьн ы е урав н ен и я л и н и й dx i = v i ( x1 , x 2 , x 3 , t ), i = 1,2,3 (6.1) dλ З десь dλ- скал ярн ы й п арамет р, dx i - ко мп о н ен т ы эл емен т а dr , в зят о го в до л ь л и н и и т о ка, v i -ко мп о н ен т ы в ект о ра ско ро ст и . Д и фферен ци ал ьн ы е урав н ен и я,
т о каи мею т в и д:
о п редел яю щи е зако н дв и жен и ячаст и ц среды , зап и сы в аю т сяв в и де: dx i = v i ( x1 , x 2 , x 3 , t ), dt
(6.2)
Л и н и и т о ка и т раект о ри и со в п адаю т друг с друго м в сл учае уст ан о в и в ш и хся дв и жен и й и н е со в п адаю т в сл учае н еуст ан о в и в ш и хсядв и жен и й. 1. Д л я п о л я ско ро ст ей задачи (§5 1.б) н айт и л и н и и т о каи т раект о ри и и до казат ь, чт о о н и со в п адаю т . П о фо рмул е(3.2) дл я дан н о го т ечен и я н айдём ди фферен ци ал ьн ы е урав н ен и я 1 2 dx 3 3 л и н и й т о ка dx 1 = dx 2 = x
2x
3x
i i И н т егри руя и х с учёт о м усл о в и й x = ξ , п ри t =0, п о л учаем урав н ен и я л и н и й 2
т о ка
2 x1 = x , ξ1 ξ2
3
3 x1 = x , ξ1 ξ3
3
3 x2 = x ξ2 ξ3
.
В задаче (§5 1.б) бы л п о л учен зако н дв и жен и я x1 = ξ 1 (1 + t ), x 2 = ξ 2 (1 + t ) 2 , x 3 = ξ 3 (1 + t ) 3 . П о дан н о му зако н у дв и жен и я п о л учаем урав н ен и я т раект о ри и , ко т о ры е п о л н о ст ью со в п адаю т с урав н ен и ями л и н и й т о ка. 2. Д о казат ь, чт о п ри уст ан о в и в ш емсядв и жен и и (
∂v i = 0 ), л и н и и т о каи ∂t
т раект о ри и со в п адаю т . У казан и е: п ри мен и т ь фо рмул ы (6.1) и (6.2) 3. Д о казат ь, чт о дл я т ечен и я с задан н ы м п о л ем ско ро ст ей л и н и и т о ка и i т раект о ри и со в п адаю т : v i = x (1 + t ) v1 = ( x1 ) 2 + ( x 2 ) 3 ; 2 1 3 1 2 2 4. Д о казат ь, чт о дл я п о л я ско ро ст ей v = −( x ) − x ( x ) ; л и н и и т о ка будут
яв л ят ьсяо кружн о ст ями .
v3 = 0
11
5. З ако н дв и жен и ясп л о ш н о й среды задан в в и де − Bλ sin [λ ( A + ωt )], x1 = A + e λ
− Bλ cos[λ ( A + ωt )], x 2 = − B − e λ
x3 = ξ 3
Оп редел и т ь в и д
т раект о ри и , в ел и чи н у ско ро ст и и н айт и св язь между ξ 1uξ 2 и ко н ст ан т ами А и В . От в ет : Окружн о ст ь ради уса R = e − Bλ sin λA, ξ 1 = A + e λ
− Bλ
λ
(v) 2 = (ω ) 2 e −2 Bλ
,
− Bλ cos Aλ. ξ 2 = − B − e λ
6. З ако н дв и жен и я сп л о ш н о й среды задан в декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат x1 = R (cos
kt 2 ) , 2
x2 =
R kt sin , 2 2
x 3 = R sin
kt 2
.
Оп редел и т ь т раект о ри и в сфери ческо й си ст еме ко о рди н ат . От в ет : Л и н и яп ересечен и ясферы ( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 = R 2 2
R R и ци л и н дра x1 − + ( x 2 ) 2 = 4 2
2
§7.Те нзор ы д е ф ор м а ци й и скор ост е й д е ф ор м а ци й. Тен зо ры в т о ро го ран га εˆ = ε ij Эˆ i Эˆ j uε ° = ε ij Э ° i Э ° j н азы в аю т ся т ен зо рами дефо рмаци й. Он и о т н есен ы к разн ы м бази сам : Э ° i - ко н т рав ари ан т н ы е в ект о ры бази са в н еко т о ро й т о чке М т ел а в мо мен т в ремен и t 0 , Эˆ i - ко н т рав ари ан т н ы е в ект о ры бази са в т о й же т о чке М в мо мен т в ремен и t , о ба т ен зо ра и мею т 1 2
о ди н ако в ы е ко в ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы , ко т о ры е и мею т в и д: ε ij = ( gˆij − g ° ij ) (7.1) З десь gˆij и g ° ij - ко в ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы фун дамен т ал ьн о го мет ри ческо го т ен зо ра g в мо мен т ы в ремен и
tи
t 0 со о т в ет ст в ен н о . Он и в ы чи сл яю т ся п о
gˆij = Эˆi Эˆ j ug ° ij = Э ° i Э ° j фо рмул ам: (7.2) Ко н т рав ари ан т н ы е и смеш ан н ы е ко мп о н ен т ы т ен зо ро в εˆ и ε ° н е со в п адаю т друг
с друго м и о бо зн ачаю т ся т аки м о бразо м: εˆij и εˆ. j ; ε°ij и ε °.i.j . С каждо й т о чко й дефо рми руемо й среды мо жн о св язат ь о рт о го н ал ьн ы й т ри эдр гл ав н ы х о сей т ен зо радефо рмаци й, ко т о ры й п ри дан н о м п еремещен и и о ст аёт сяо рт о го н ал ьн ы м и мо жет п еремещат ься, как т в ёрдо е т ел о , т .е. смещат ься п о ст уп ат ел ьн о и п о в о рачи в ат ься. Эл емен т ы dr в до л ь гл ав н ы х о сей в о в ремя дв и жен и я мо гут т о л ько сжи мат ьсяи л и раст яги в ат ься. В гл ав н ы х о сях о дн о в ремен н о п ри в о дят сяк ди аго н ал ьн о му в и ду мат ри цы : g °ij , gˆij , g °ij , gˆij , ε ij , ε .i.j , ε ij . С каждо й и н ди в и дуал ьн о й т о чко й дв и жущейся среды мо жн о св язат ь о бы чн ую о рт о го н ал ьн ую декарт о в у си ст ему ко о рди н ат ( S 01 , S 02 , S 03 ), н ап рав л ен н ую в до л ь гл ав н ы х о сей т ен зо радефо рмаци й. В п ро цессе дв и жен и я эт аси ст емако о рди н ат будет п ерехо ди т ь т акже в о бы чн ую о рт о го н ал ьн ую декарт о в у си ст ему ко о рди н ат ( S1 , S 2 , S3 ). Со о т в ет ст в ую щи е ко мп о н ен т ы т ен зо ро в дефо рмаци й ε °.ii. = ε °i и εˆ.ii. = εˆi в i.
12
эт и х си ст емах ко о рди н ат яв л яю т ся гл ав н ы ми ко мп о н ен т ами . Он и св язан ы между со бо й фо рмул о й: 2εˆi =
2ε ° i 1 + 2ε ° i
В сл учае беско н ечн о мал ы х дефо рмаци й н ет разн и цы между т ен зо рами ε ° и εˆ. Гл ав н ы е ко мп о н ен т ы т ен зо ро в дефо рмаци й яв л яю т ся ко рн ями т ак н азы в аемо го характ ери ст и ческо го урав н ен и я: λ3 − J 1 λ 2 + J 2 λ − J 3 = 0 (7.3) З десь λ – н еко т о ры й чи сл о в о й п арамет р, ко эффи ци ен т ы J1 , J 2 , J 3 - и н в ари ан т ы о т н о си т ел ьн о в ы бо ра си ст емы ко о рди н ат и о п редел яю т ся сл едую щи ми J 1 = ε 1 + ε 2 + ε 3 = ε αα
фо рмул ами :
J 2 = ε 1ε 2 + ε 2ε 3 + ε 3ε 1 =
[
1 α (ε α ) − ε αβ ε αβ 2
]
(7.4)
J 3 = ε 1ε 2 ε 3 = Det ε .ij.
Е сл и в в ест и в ект о р п еремещен и я w = r − r0 , где r и r0 - ради ус-в ект о ры о т н о си т ел ьн о си ст емы о т счёт а x1 , x 2 , x 3 о дн о й и т о й же т о чки М сп л о ш н о й среды в н ачал ьн ы й мо мен т в ремен и t 0 и в дан н ы й мо мен т t со о т в ет ст в ен н о , т о ко в ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы т ен зо ро в дефо рмаци й о п редел яю т ся ε ij =
[
1 ∇° i w° j + ∇° j w° i + ∇° i w° k ∇° j w° k 2
]
(7.5)
З десь ∇°i w°j и ∇ˆi wˆ j - ко в ари ан т н ы е п ро и зв о дн ы е о т ко мп о н ен т в ект о ра п еремещен и я в н ачал ьн о м и акт уал ьн о м п ро ст ран ст в ах со о т в ет ст в ен н о . В декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат , в сл учае беско н ечн о мал ы х п еремещен и й, ε ij и мею т в и д:
ε ij =
1 ∂w j ∂wi + 2 ∂x i ∂x j
(7.6)
Си ммет ри чн ы й т ен зо р в т о ро го ран га, ко мп о н ен т ы ко т о ро го о п редел яю т ся п о фо рмул ам:
eij =
[
1 ˆ ˆ vˆ ∇ i vˆj + ∇ j i 2
]
(7.7)
н азы в ает сят ен зо ро м ско ро ст ей дефо рмаци й. З адачи . 1. П о задан н о му зако н у дв и жен и яо т н о си т ел ьн о о рт о го н ал ьн о й декарт о в о й си ст емы ко о рди н ат x i о п редел и т ь: а) Ко мп о н ен т ы в ект о рауско рен и яв Л агран жев ы х и Эйл еро в ы х п еремен н ы х, б) Тран сфо рмаци ю п о в ремен и со п ут ст в ую щей си ст емы ко о рди н ат , в ) Ко эффи ци ен т ы о т н о си т ел ьн о го удл и н ен и я о т резко в н ап рав л ен н ы х в до л ь ко о рди н ат н ы х о сей н ачал ьн о го со ст о ян и я, г) Ко мп о н ен т ы в ект о рап еремещен и й в акт уал ьн о й си ст еме ко о рди н ат , д) Ко в ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы т ен зо ро в дефо рмаци й и ско ро ст ей дефо рмаци й, гл ав н ы е зн ачен и яи гл ав н ы е н ап рав л ен и яэт и х т ен зо ро в , е) И ссл едо в ат ь сл учай беско н ечн о мал ы х дефо рмаци й, ж) Найт и ско ро ст ь о т н о си т ел ьн о го и змен ен и яо бъёмав част и цах среды . (7.8) 1) x1 = ξ 1 ; x 2 = ξ 2 + Aξ 3 ; x3 = ξ 3 + Aξ 2 , где А =α t ,α -ко н ст ан т а, A < 1 2) x1 = ξ 1 ; x 2 = ξ 2 + ξ 1 (e −2t − 1); x 3 = ξ 3 + ξ 1 (e −3t − 1) ,
13
3) x1 = −ξ 1; x 2 = e t (ξ 2 + ξ 3 ); x 3 = ξ 2 e −t , 4) x1 = ξ 1 + sin 2t; x 2 = ξ 2 + ξ 1 cos 2t; x 3 = ξ 3 У казан и я. Рассмо т ри м реш ен и е н ап ри мере задачи 1): а) Обращён н ы й зако н дв и жен и я(7.8) и меет в и д: ξ 1 = x1 , ξ 2 =
Ко мп о н ен т ы
x 2 − Ax 3 A( x 3 − Ax 2 ) 3 , ξ = 1 − A2 1 − A2
в ект о ра п еремещен и я в
со о т в ет ст в ен н о рав н ы : u1 = 0, u 2 =
(7.9)
п еремен н ы х
Эйл ера и
Л агран жа
A( x − Ax ) A( x − Ax ) , u3 = 2 1− A 1 − A2 3
2
2
3
(7.10)
u1 = 0; u 2 = Aξ 3 ; u 3 = Aξ 2 ,
(7.11) П о фо рмул ам (4.3) в ы чи сл яем ко мп о н ен т ы ско ро ст и в п еремен н ы х Л агран жа и v1 = 0; v 2 = αξ 3 ; v 3 = αξ 2 , Эйл ера. (7.12) v1 = 0,
v2 =
α ( x 3 − αtx 2 ) , 1 − A2
v3 =
α ( x 2 − αtx 3 ) 1 − A2
(7.13)
Ко мп о н ен т ы уско рен и ямо жн о п о л учи т ь, т ак как си ст емако о рди н ат x i декарт о в а, п о со о т н о ш ен и ям (4.4) и л и (5.3) п о л учаем: a i = 0 б) В ы чи сл и м ко мп о н ен т ы фун дамен т ал ьн о го мет ри ческо го т ен зо рав акт уал ьн о й си ст еме ко о рди н ат ∂xα ∂xα , g ij = i j α =1 ∂ξ ∂ξ
1 0 0 2 2A gˆij = 0 1 + A 0 2 A 1 + A2
3
∑
о т куда
(7.14)
Так как gˆij н е зав и си т о т ξ i , т о акт уал ьн ая си ст емако о рди н ат будет декарт о в о й, н о уже ко со уго л ьн о й ( gˆ23 = 2 A ≠ 0 , п о эт о му уго л между о сями ξ 2 и ξ 3 н е о ст ан ет ся п рямы м). Оси ξ 2 и ξ 3 будут т акже раст яги в ат ься, т ак как gˆ11 = gˆ22 ≠ 1 в ) Эл емен т арн ы е дл и н ы дуг ко о рди н ат н ы х о сей в ы чи сл яю т ся п о фо рмул ам [2] ( ds i ) 2 = g ii (dξ i ) 2 . В н аш ем сл учае g ° ii = 1, gˆii дан ы со о т н о ш ен и ями (7.14), и меем ds01 = dξ 1; ds1 = dξ 1;
ds02 = dξ 2 ;
ds03 = dξ 3 ;
ds2 = 1 + A 2 dξ 2 ;
(7.15)
ds3 = 1 + A2 dξ 1
Ко эффи ци ен т ы о т н о си т ел ьн ы х удл и н ен и й п о о п редел ен и ю рав н ы : li =
(dsi − ds 0i ) , ds 0i
l1 = 0; l2 = l3 = 1 + ( A) 2 − 1
т о гдап о л учаем:
(7.16)
г) Так как u = u i Эi = uˆα Эˆα яв л яет ся в ект о ро м, т о п о фо рмул ам п рео бразо в ан и я ∂ξ i α u и со о т н о ш ен и й (7.9) и (7.11) будем и мет ь: ∂x α A(ξ 3 − Aξ 2 ) A(ξ 2 − Aξ 3 ) 3 ˆ uˆ1 = 0, uˆ2 = , u = 1 − A2 1 − A2
ко мп о н ен т в ект о ро в uˆi =
(7.17)
д) Ко в ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы т ен зо ро в дефо рмаци й в ы чи сл и м п о фо рмул ам (7.1) и (7.14). Так как g °ij = δ ij , где δ ij - си мв о л ы Кро н еккера, т о п о (7.1) п о л учи м: ε11 = ε12 = ε13 = 0; ε 22 = ε 33 = ( A)
2
2
; ε 33 = A
(7.18)
14
П ро в ерьт е эт о т резул ьт ат п о фо рмул ам (7.5) и фо рмул ам (7.11), (7.17). Ко в ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы т ен зо ра ско ро ст ей дефо рмаци й н айдём и з фо рмул ы (7.7). Так как со п ут ст в ую щаяси ст емако о рди н ат декарт о в а, т о (7.7) п ри мет в и д: 1 1 ∂vˆj ∂vˆ (7.19) ∇ i vˆj + ∇ j vˆi = i + ij 2 2 ∂ξ ∂ξ Ко в ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы в ект о ра v в акт уал ьн о й си ст еме ко о рди н ат н ахо ди м и з ∂x α (7.20) (7.12), (7.8) vˆi = i vα , п о л учаем: vˆ1 = 0; vˆ2 = α (ξ 3 + Aξ 2 ); vˆ3 = α (ξ 2 + Aξ 3 ) , ∂ξ eij =
[
]
П о дст ав л яя(7.20) в (7.19), будем и мет ь eˆ11 = eˆ12 = eˆ13 = 0, eˆ22 = eˆ33 = α 2t , eˆ23 = α (7.21) В си ст еме ко о рди н ат н абл ю дат ел я x i ко мп о н ен т ы eij о п редел яю т ся п о фо рмул ам п рео бразо в ан и я ко в ари ан т н ы х
ко мп о н ен т
т ен зо ро в
eij =
∂ξ α ∂ξ β eˆαβ ∂x i ∂x j
или
н еп о средст в ен н о и з (7.7), (7.13) е) В сл учае беско н ечн о мал ы х дефо рмаци й и з о т н о ш ен и й (7.18) сл едует , чт о А яв л яет сяв ел и чи н о й п ерв о го п о рядкамал о ст и , п о эт о му (α <<1) gˆij = δ ij li = 0,
ε11 = ε22 = ε33 = ε12 = ε13 = 0, ε 23 = αt e11 = e12 = e13 = e22 = e33 = 0, v1 = 0 ;
u1 = 0 ,
e23 = α v 2 = α x3 ;
u 2 = Ax 3 ,
u 3 = Ax 2
v3 = α x 2
Такая дефо рмаци я н азы в ает ся чи ст ы м сдв и го м. Гл ав н ы е о си т ен зо ро в дефо рмаци й и ско ро ст ей дефо рмаци й со в п адаю т , а и х урав н ен и я и мею т в и д: ( x2 = ξ 2 ; x3 = ξ 3 ); ( x1 = ξ 1; x2 − ξ 2 = ±( x3 − ξ 3 ) ). ж) Ско ро ст ь о т н о си т ел ьн о го и змен ен и я о бъёма Θ& в ы чи сл яет ся п о фо рмул е: &= eˆα = eˆ gˆαλ = 4 Aα + 2α 2t (1 + A2 ) . В сл учае беско н ечн о мал ы х дефо рмаци й Θ &=0. Θ α αλ 2. В сл учае беско н ечн о мал ы х дефо рмаци й в ы чи сл и т ь т ен зо рн ы е и фи зи чески е ко мп о н ен т ы т ен зо раε ij в ци л и н дри ческо й си ст еме ко о рди н ат ( ρ, Θ , z ) . 1 2
фи з ii jj У казан и я: В о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул ами : εij = (∇iuj +∇jui ), εij =εij g g
3. П уст ь в сл учае беско н ечн о мал ы х дефо рмаци й ε ij =0. П о казат ь, чт о в эт о м сл учае средап еремещает сякак жёст ко е т ел о . У казан и е: Реш и т ь си ст ему урав н ен и й:
∂u i ∂u j + = 0. ∂x j ∂x i
§8. Н а пр яже нное сост ояни е . Д е ка р т ова си ст е м а коор д и на т . Рассмо т ри м т ел о о бъемо м V , о гран и чен н о е п о в ерхн о ст ью S . Си л ы , п ри л о жен н ы е к т ел у со ст о ро н ы в н еш н ей среды , будем н азы в ат ь в н еш н и ми . Е сл и о н и п ри л о жен ы к т о чкам п о в ерхн о ст и т ел а, будем н азы в ат ь их п о в ерхн о ст н ы ми си л ами и о бо зн ачат ь в ект о ро м T (н а еди н и цу п л о щади ), дейст в ую щи е н а в н ут рен н и е т о чки н еп реры в н о в о в сём о бъеме
15
будем н азы в ат ь массо в ы ми и и х и н т ен си в н о ст ь н а еди н и цу о бъема будем о бо зн ачат ь F . В резул ьт ат е дейст в и я в н еш н и х си л в рассмат ри в аемо м т ел е в о зн и каю т дефо рмаци и , сл едст в и ем ко т о ры х яв л яет ся п о яв л ен и е в н ут рен н и х си л (си л в заи мо дейст в и я между част и цами само го т ел а). Ч т о бы о п редел и т ь эт и си л ы , п о л ьзую т сямет о до м сечен и й. М ы сл ен н о п ро в едем через н еко т о рую т о чку т ел аМ п л о ско ст ь с в н еш н ей н о рмал ью n . П л о ско ст ь раздел и т т ел о н а дв е част и . Резул ьт ат о м в заи мо дейст в и я эт и х част ей будут в н ут рен н и е си л ы , н еп реры в н о расп редел ен н ы е п о в сей п о в ерхн о ст и сечен и я. В т о чке М в ы дел и м мал ую п л о щадку ∆S и п о дсчи т аем резул ьт и рую щую в н ут рен н и х си л ∆Pn , дейст в ую щи х н а п л о щадке. В сл едст в и е мал о ст и п л о щадки мо мен т о м рассмат ри в аемы х си л п рен ебрежем. В ект о ро м н ап ряжен и й н а п л о щадке с н о рмал ью n н азы в ает ся в ект о р pn , о п редел яемы й сл едую щи м о бразо м:
p n = lim
∆S → 0
∆ Pn . ∆S
П ро екци я в ект о ра н ап ряжен и й н а н о рмал ь к п л о щадке н азы в ает ся н о рмал ьн ы м н ап ряжен и ем pnn . В т о рая ко мп о н ен т а в ект о ра, л ежащая в п л о ско ст и п л о щадки , н азы в ает сякасат ел ьн ы м н ап ряжен и ем pnτ . В в едем декарт о в у си ст ему ко о рди н ат с н ап рав л яю щи ми в ект о рами Э1 = i , Э2 = j , Э3 = k . Ко мп о н ен т ы в ект о ра в эт о й си ст еме о бо зн ачи м pn1 , pn 2 , p n3 . pn = pi Эi . Нап ряжен н о е со ст о ян и е в т о чке о п редел яет ся со в о куп н о ст ью в сех в ект о ро в pn и n . М о жн о п о казат ь, чт о п о л н о ст ью о п и сат ь н ап ряжен н о е со ст о ян и е в т о чке мо жн о , зн аяв ект о ры н ап ряжен и й н ат рех в заи мн о п ерп ен ди кул ярн ы х п л о щадках, в качест в е ко т о ры х о бы чн о п ри н и маю т ся ко о рди н ат н ы е п л о щадки . В ект о р н ап ряжен и я н ако о рди н ат н о й п л о щадке с н о рмал ью Эi будем о бо зн ачат ь pi , аего ко мп о н ен т ы σ ij .
Каждая и з ко мп о н ен т σ ij и меет о п редел ен н ы й фи зи чески й смы сл . σij - эт о со ст ав л яю щая в ект о ра н ап ряжен и я, дейст в ую щего н а п л о щадке с в н еш н ей н о рмал ью Эi в н ап рав л ен и и Эj . На ри сун ке и зо бражен ы н ап рав л ен и я σij , п ри н и маемы е за п о л о жи т ел ьн ы е. П о л ьзуясь зако н о м Нью т о н ао рав ен ст в е дейст в и яи п ро т и в о дейст в и я, п ри замен е
16
н ап рав л ен и яв н еш н ей н о рмал и н ап ро т и в о п о л о жн о е, п о л о жи т ел ьн о е н ап рав л ен и е ко мп о н ен т н ап ряжен и ят ак же и змен яет сян ап ро т и в о п о л о жн о е. Очев и дн о , σ11 σ22 σ33 о п редел яю т н о рмал ьн ы е н ап ряжен и я н а ко о рди н ат н ы х п л о щадках. Он и п о л о жи т ел ьн ы , есл и дейст в ую т в н ап рав л ен и и в н еш н ей н о рмал и . Ост ал ьн ы е ко мп о н ен т ы σij яв л яю т ся касат ел ьн ы ми н ап ряжен и ями н а ко о рди н ат н ы х п л о щадках. Е сл и и зв ест н ы ко мп о н ен т ы т ен зо ра н ап ряжен и й, т о в ект о р н ап ряжен и й н а п ро и зв о л ьн о й п л о щадке с н о рмал ью n мо жет бы т ь о п редел ен п о сл едую щи м со о т н о ш ен и ям: pni = σ ij n j здесь n j = cos( n , Э j ) Е сл и рассмат ри в аемая п л о щадка п ри н адл ежи т част и п о в ерхн о ст и т ел а S T , где задан ы в н еш н и е н агрузки Ti , т о до л жн ы в ы п о л н ят ьсяусл о в и я: σ ij n j = Ti н а S T Тен зо р н ап ряжен и й и меет т ри гл ав н ы х в заи мн о о рт о го н ал ьн ы х н ап рав л ен и я; п л о щадки , о рт о го н ал ьн ы е гл ав н ы м н ап рав л ен и ям, н азы в аю т ся гл ав н ы ми п л о щадками , а н ап ряжен и я н а н и х - гл ав н ы ми н ап ряжен и ями . И схо дя и з о п редел ен и я гл ав н ы х н ап рав л ен и й, ясн о , чт о н а гл ав н ы х п л о щадках в ект о р н ап ряжен и й н ап рав л ен п о н о рмал и , а касат ел ьн ы е н ап ряжен и я о т сут ст в ую т . pn = σn
В ел и чи н а гл ав н ы х н ап ряжен и й σ , о п редел яет ся и з куби ческо го урав н ен и я: σ ij − σδ ij = 0
Нап рав л яю щи е ко си н усы
гл ав н ы х н ап рав л ен и й о п редел яю т ся и з урав н ен и я:
ni
(σ ij − σδ ij )n j = 0
Раскл ады в ая в ект о р н ап ряжен и й н а н о рмал ьн ую и касат ел ьн ую к п л о щадке ко мп о н ен т ы и и ссл едуя и змен ен и я касат ел ьн о го н ап ряжен и я в зав и си мо ст и о т и змен ен и я н о рмал и n , мо жн о п о казат ь, чт о в каждо й т о чке т ел а п л о щадки макси мал ьн о го касат ел ьн о го н ап ряжен и я н ап рав л ен ы в сегда п о д о п редел ен н ы м угл о м к гл ав н ы м н ап рав л ен и ям (σ 2 − σ 3 ) ; n = ± 1 ; n = 0; n = ± 1 σ = 1
2
n1 = ±
1
n1 = ±
1
2
2
;
n2 = 0 ;
;
n2 = ±
3
2
n3 = ± 1 2
;
nτ
2
1
n3 = 0 ;
2
;
σ
nτ
=
σ
nτ
=
(σ 3 (σ 1
2 −σ 2 −σ 2
1
)
2
)
З десь σi - в ел и чи н ы гл ав н ы х н ап ряжен и й. Таки м о бразо м, т ен зо р н ап ряжен и й σij п о л н о ст ью характ ери зует н ап ряжен н о е со ст о ян и е в т о чке. З н ая его , мо жн о о п редел ят ь гл ав н ы е н ап ряжен и я, а т акже макси мал ьн о е и ми н и мал ьн о е касат ел ьн ы е н ап ряжен и я. Тен зо р н ап ряжен и й до л жен о п и сы в ат ь т ако е со ст о ян и е среды , п ри ко т о ро м в н ут рен н и е си л ы бы л и бы урав н о в еш ен ы с в н еш н и ми . Эт о до ст и гает ся в ы п о л н ен и ем уже п ри в еден н ы х ран ее усл о в и й н ап о в ерхн о ст и S T и урав н ен и й рав н о в еси яв каждо й т о чке т ел а. В декарт о в ы х ко о рди н ат ах урав н ен и ярав н о в еси яи мею т в и д: σ ij , j + Q i = 0 Кро ме т о го , и з усл о в и й урав н о в еш ен н о ст и т ен зо ра н ап ряжен и й в ы т екает св о йст в о его си ммет ри чн о ст и (в кл асси ческо м сл учае) σ ij = σ ji .
17
З адачи . 8.1. В
т о чке
т ел а
и зв ест н ы
ко мп о н ен т ы
н ап ряжен и й
σ11 = 500 а т; σ 22 = 0 а т; σ 33 = −300 а т; σ12 = 500 а т; σ13 = −750 а т; σ 23 = 800 а т;
Найт и дл я п л о щадки с н ап рав л яю щи ми ко си н усами н о рмал и
n1 =
1
2;
n2 =
1
2;
n3 =
1 2
п о л н о е н ап ряжен и е Pn , н о рмал ьн о е Pnn и касат ел ьн о е Pnτ . Реш ен и е: Оп редел и м в ы ражен и е ко мп о н ен т в ект о ра н ап ряжен и й через ко мп о н ен т ы т ен зо ра н ап ряжен и й Pni = σ ij n j , Pn = ( Pni Pni ) = 1120 П ро екци ю в ект о ра Pn н ан о рмал ь к п л о щадке о п редел и м через скал ярн о е п ро и зв еден и е в ект о ро в Pn и n pnn = pni ni = 265am . Касат ел ьн ую ко мп о н ен т у в ект о ра н ап ряжен и й н айдем, зн ая 1
2
п о л н о е и н о рмал ьн о е н ап ряжен и я pnτ = pn2 − pnn2 = 1090а т . 8.2. Д о казат ь, чт о н ав заи мн о о рт о го н ал ьн ы х п л о щадках касат ел ьн ы е н ап ряжен и я в о в заи мн о о рт о го н ал ьн ы х н ап рав л ен и ях рав н ы . 8.3. П о л ьзуясь п реды дущей задачей, до казат ь, чт о в п о п еречн ы х сечен и ях ци л и н дра со св о бо дн о й п о в ерхн о ст ью о т в н еш н и х н агрузо к в ект о р касат ел ьн ы х н ап ряжен и й в т о чках ко н т уран ап рав л ен п о касат ел ьн о й к ко н т уру. 8.4. В т о чке п о в ерхн о ст и т ел а и зв ест н а н о рмал ь n = (0, 1 2 , 1 2 ) М о жн о л и и змен и т ь п о в ерхн о ст н ую н агрузку, н е и змен яя ко мп о н ен т у σ 11 т ен зо ра н ап ряжен и й. От в ет : мо жн о . 8.5. Д о казат ь, чт о н о рмал ьн ы е н ап ряжен и я н а п л о щадках, п ерп ен ди кул ярн ы х п о в ерхн о ст и т ел а, н е в хо дят в гран и чн ы е усл о в и я. Реш ен и е: В качест в е си ст емы ко о рди н ат п ри мем т рехгран н и к n , τ 1 , τ 1 , где n н о рмал ь к п о в ерхн о ст и , τ 1 ,τ 2 - в ект о ры в касат ел ьн о й п л о ско ст и к п о в ерхн о ст и . В п ри н ят о й си ст еме ко о рди н ат ко мп о н ен т ы н ап ряжен и й о бо зн ачи м σ αβ , ан о рмал ь к п о в ерхн о ст и и меет ко мп о н ен т ы n1 = 1, n2 = n3 = 0 . И сп о л ьзуя гран и чн ы е усл о в и я, п о л учи м, чт о о н и в ы п о л н яю т сяп ри п ро и зв о л ьн ы х σ αα (α = τ 1 ,τ 2 ) 8.6. П уст ь гл ав н ы е н ап рав л ен и я в т о чке задан ы т ремя в ект о рами eα с н ап рав л яю щи ми ко си н усами cαβ о т н о си т ел ьн о декарт о в о й си ст емы ко о рди н ат Э j . Оп редел и т ь т ен зо р н ап ряжен и й в декарт о в о й си ст еме, зн ая гл ав н ы е н ап ряжен и я σα . З амечан и е. Нап и сат ь т ен зо р н ап ряжен и й в гл ав н ы х о сях и о п редел и т ь ко мп о н ен т ы н ап ряжен и й н ап л о щадках с н о рмал ями Эi через эт о т т ен зо р. 8.7. З адан ы ко мп о н ен т ы т ен зо ра н ап ряжен и й в декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат δ11 = α , δ22 = − α, δ33 = δ12 = δ 23 = δ 31 = 0 . Найт и макси мал ьн о е касат ел ьн о е н ап ряжен и е и п л о щадки , н ако т о ры х о н о дейст в ует . От в ет : τ max = a, τ min = −a. П л о щадки н акл о н ен ы п о д угл о м π 4 к о сям ко о рди н ат . 8.8. Найт и гл ав н ы е н ап рав л ен и я и н ап ряжен и я дл я дв ух сл учаев , a) δ12 = δ 23 = τ
б) δ12 = δ13 = δ 31 = τ
18
а ) δ1 = τ 2 , δ 2 = 0, δ 3 = −τ 2
От в ет :
б) δ1 = δ 2 = τ ,
δ 3 = −2τ
8.9. Со ст ав и т ь в ы ражен и е дл я касат ел ьн о го н ап ряжен и я н а п ро и зв о л ьн о й п л о щадке, в ы рази в его через гл ав н ы е н ап ряжен и я и н ап рав л яю щи е ко си н усы рассмат ри в аемо й п л о щадки п о о т н о ш ен и ю к гл ав н ы м п л о щадкам l,m,n. От в ет : σ nτ = (σ 1 − σ 2 ) 2 l 2 m 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 m 2 n 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 n 2l 2 8.10 И зв ест н ы сл едую щи е в ы ражен и я дл я н ап ряжен и й δ 11 = Ax13 x22 x3 ; δ 12 = Bx1 x23 x33 . Нап и сат ь с т о чн о ст ью до фун кци и f ( x1 , x2 ) в ы ражен и е дл я σ 13 , есл и о бъемн ы е си л ы о т сут ст в ую т . 3 2
1 2
От в ет : δ 13 = − Ax 12x22 x32 − Bx1 x2 x34 + f ( x1 , x2 ) 8.11. Д л я п о п еречн о и зо гн ут о й п рямо уго л ьн о й п л аст и н ки и мею т ся сл едую щи е фо рмул ы дл ян ап ряжен и й
δ11 = Ax2 (l − x1 ), δ 22 = 0, δ 33 = 0, δ 12 = B (c − x22 ),
δ 23 = δ 31 = 0.
Оси x1, x3 - в п л о ско ст и п л аст и н ки , о сь x2 - п ерп ен ди кул ярн о . П ро в ери т ь, в о змо жн ы л и т аки е н ап ряжен и я с т о чки зрен и я ст ат и ки и како му н агружен и ю п л аст и н ки о н и со о т в ет ст в ую т . От в ет : В о змо жн о п ри A = −2 B §9. Н а пр яже нное сост ояни е . Кр и воли не йные си ст е м ы коор д и на т Ρ= p ij Эi Э j удо в л ет в о ряю щи й со о т н о ш ен и ю pn = Ρ• n (9.1) н азы в ает сят ен зо ро м н ап ряжен и й. В со о т н о ш ен и и (9.1) pn - в ект о р н ап ряжен и й н ап ро и зв о л ьн о й п л о щадке. n = ni Эi еди н и чн ы й в ект о р н о рмал и к эт о й п л о щадке. Ρ• n о зн ачает скал ярн о е умн о жен и е т ен зо ра Ρ на в ект о р n, т .е. ki i i pn = p Эk (Эi ⋅ n ) = p (Эi ⋅ n ) = p ni (9.2) ki Ко мп о н ен т ы p т ен зо ра Ρ удо в л ет в о ряю т ди фферен ци ал ьн ы м урав н ен и ям дв и жен и я ρ aκ = ρ F κ + ∇ i p k i , (9.3) где ρ - п л о т н о ст ь среды , a k - ко мп о н ен т ы в ект о рауско рен и я, F k - ко мп о н ен т ы в ект о рап л о т н о ст и массо в ы х си л , ∇ i - ко в ари ан т н аяп ро и зв о дн аяп о со о т в ет ст в ую щей ко о рди н ат е. Нео бхо ди мо о т мет и т ь, чт о рав ен ст в о p i = pn н а со о т в ет ст в ую щи х ко о рди н ат н ы х п л о щадках в ы п о л н яет ся, в о о бще го в о ря, т о л ько в сл учае о рт о го н ал ьн ы х декарт о в ы х си ст ем ко о рди н ат . В п ро и зв о л ьн о й кри в о л и н ейн о й си ст еме ко о рди н ат p i ≠ pn н а со о т в ет ст в ую щи х п л о щадках, а ко мп о н ен т ы в ект о ро в p i = p ki Э k н е яв л яю т ся п ро екци ями в ект о ро в н ап ряжен и я н а со о т в ет ст в ую щи е о си , как эт о и меет мест о в о рт о го н ал ьн о й декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат . Эт о со здает н еко т о ры е н еудо бст в а п ри п о ст ан о в ке гран и чн ы х усл о в и й и п ри ан ал и зе
Тен зо р
в т о ро го
ран га
19
п о л учен н ы х резул ьт ат о в , п о ско л ьку т еряет ся п ро ст о й фи зи чески й смы сл ко мп о н ен т в ект о ро в и т ен зо ро в . П о эт о му н ео бхо ди мо умет ь п о т ен зо рн ы м ко мп о н ен т ам p ki н ахо ди т ь п ро екци и в ект о ро в н ап ряжен и й н а о си ко о рди н ат (фи зи чески е ко мп о н ен т ы ). Огран и чи мсяо рт о го н ал ьн ы ми си ст емами ко о рди н ат . П уст ь о ди н в ект о р a = a i Э i = ai Э i , дл ян его мо жн о н ап и сат ь т акже фо рмул у: Эi = a~ i ei g ii
3
a = a i Э i = ∑ a i g ii i =1
a~ i = a i g ii ;
a = ai Э i = ∑ ai g ii
Эi
a~i = ai g ii ;
Эi
3
i =1
А н ал о ги чн о
(9.4)
Э ei = i g ii
e = i
g
ii
= a~i e i
(9.5)
g ii
В со о т н о ш ен и ях (9.4) , (9.5) ei и e i - еди н и чн ы е в ект о ры , a~ i = a~i п ро екци и в ект о ра a н ан ап рав л ен и я Эi a~i н азы в аю т фи зи чески ми ко мп о н ен т ами в ект о ра a . Д л ят ен зо ра Ρ и меем 3
3
Ρ= р ki Эk Эi = ∑∑ р ki g kk g ii ek ei = ~р ki ek ei
(9.6)
k =1 i =1
~ р ki = р ki g kk g ii ~ p ki н азы в аю т ся фи зи чески ми ко мп о н ен т ами т ен зо ра н ап ряжен и й и п ро екци ям в ект о ран ап ряжен и й н ап л о щадке с н о рмал ью ek н ао сь e i
рав н ы
З адачи 9.1 В ци л и н дри ческо й си ст еме ко о рди н ат (r , θ , z ) в т о чке с ко о рди н ат ами r=2, θ=3, z=5 задан т ен зо р н ап ряжен и й с ко мп о н ен т ами p
ij
1 3 4 = 3 9 12 4 12 2
(9.7)
Найт и гл ав н ы е н ап рав л ен и я и гл ав н ы е зн ачен и я эт о го т ен зо ра. П о казат ь н а ри сун ке н ап рав л ен и ягл ав н ы х о сей. Найт и его фи зи чески е ко мп о н ен т ы . Како в и х гео мет ри чески й смы сл ? У казан и я к реш ен и ю . Ф и зи чески е ко мп о н ен т ы о п редел яю т ся п о фо рмул е (9.6). 1
Так как в ци л и н дри ческо й си ст еме ко о рди н ат ~ p 22 = p 22 (r ) 2 = 9 ⋅ 4 = 36
0
0
g ij = 0 (r) 0 0 0 1 2
т о , н ап ри мер,
здесь p 22 яв л яет ся п ро екци ей в ект о ра н ап ряжен и й н а п л о щадке с н о рмал ью r н а н ап рав л ен и и r . Обы чн о фи зи чески е ко мп о н ен т ы о бо зн ачаю т букв о й σ с и н дексами со о т в ет ст в ую щи х о сей ( ~p 22 = σ rr )
20
9.2 Оп редел и т ь фи зи чески е ко мп о н ен т ы т ен зо ра(9.7), задан н о го в сфери ческо й си ст еме ко о рди н ат (r , θ , φ ) в т о чке с ко о рди н ат ами r=3, θ=0.5, ϕ=2. 9.3 З ап и сат ь урав н ен и я рав н о в еси я в ци л и н дри ческо й си ст еме ко о рди н ат . М ассо в ы ми си л ами п рен ебречь. У казан и як реш ен и ю : У рав н ен и ярав н о в еси я (a = 0; v = 0) п ри о т сут ст в и и массо в ы х си л F = 0 сл едую т и з (9.3) и и мею т в и д ∇ i p ki = 0 и л и в разв ерн ут о м в и де:
∂p ki + pα i Гikα + p ki Гiiα = 0 (9.8) i ∂x З ат ем сл едует в ци л и н дри ческо й си ст еме ко о рди н ат в ы чи сл и т ь зн ачен и я си мв о л о в Кри ст о ффел я Гikα и п о дст ав и т ь в (9.8). 9.4 З ап и сат ь урав н ен и я рав н о в еси я (9.8) в фи зи чески х ко мп о н ен т ах, в ци л и н дри ческо й си ст еме ко о рди н ат . 9.5 Нап и сат ь урав н ен и я рав н о в еси я в т ен зо рн ы х и фи зи чески х ко мп о н ен т ах в сфери ческо й си ст еме ко о рди н ат . §10. П р ост е йш и е ви д ы на пр яже нных сост ояни й. П ри реш ен и и задач механ и ки сп л о ш н о й среды ко мп о н ен т ы т ен зо ран ап ряжен и й, как п рав и л о , яв л яю т ся н еи зв ест н ы ми фун кци ями ко о рди н ат и о п редел яю т ся и з реш ен и я краев ы х задач, чт о яв л яет ся в о бщем сл учае до ст ат о чн о сл о жн о й и л и в о о бще н еп рео до л и мо й мат емат и ческо й п ро бл емо й. В мест е с т ем, и з фи зи чески х со о бражен и й мо жн о в ы дел и т ь до ст ат о чн о ш и ро ки е и и мев ш и е бо л ьш о е п ракт и ческо е п ри л о жен и е кл ассы задач, п ри реш ен и и ко т о ры х мо жн о умен ьш и т ь чи сл о н езав и си мы х п еремен н ы х и и ско мы х фун кци й. В о мн о ги х сл учаях эт о п о зв о л яет п о л учи т ь реш ен и е в ко н ечн о м в и де. Рассмо т ри м н еко т о ры е п ро ст ейш и е в и ды н ап ряжен н ы х со ст о ян и й. В в едем ци л и н дри ческую си ст ему ко о рди н ат (r , θ , z ) . Е сл и ко мп о н ен т ы т ен зо ра н ап ряжен и й н е зав и сят о т угл аθ, a сам т ен зо р и меет в и д: p11 0 p ij = 0
p13
p 22 0 31
p 0 p
(10.1)
33
т о т ако е н ап ряжен н о е со ст о ян и е н азы в ает ся о сеси ммет ри чн ы м. Он о в о зн и кает в т ел ах в ращен и яп ри в н еш н и х н агрузках, н е зав и сящи х о т угл аθ. П уст ь x, y, z о рт о го н ал ьн ая декарт о в аси ст емако о рди н ат . Е сл и ко мп о н ен т ы т ен зо ран ап ряжен и й н е зав и сят о т ко о рди н ат ы z, асам т ен зо р и меет в и д δ11 δ 12 0 δ ij = δ 21 δ 22 0 0
0
(10.2)
0
т о т ако е н ап ряжен н о е со ст о ян и е н азы в ает ся п л о ски м и в о зн и кает в п л аст и н ках, ко гдав ект о ры в н еш н и х уси л и й расп о л о жен ы в и х п л о ско ст и .
21
Ч аст н ы й сл учай п л о ско го н ап ряжен н о го со ст о ян и я, ко гда т ен зо р н ап ряжен и й в гл ав н ы х о сях и меет в и д:
δ ij
δ 0 0 = 0 -δ 0 0 0 0
(10.3)
н азы в ает сячи ст ы м сдв и го м. Е сл и т ен зо р н ап ряжен и й в гл ав н ы х о сях:
δ ij
δ 0 0 = 0 0 0 0 0 0
(10.4)
т о т ако е, н ап ряжен н о е со ст о ян и е н азы в аю т раст яжен и ем (сжат и ем). Он о реал и зует ся в ст ержн ев ы х ко н ст рукци ях, ко гда в н еш н и е уси л и я дейст в ую т п о о си ст ержн ей. З адачи 10.1 З ап и сат ь ди фферен ци ал ьн ы е урав н ен и я рав н о в еси я в фи зи чески х ко мп о н ен т ах п ри о сеси ммет ри чн о м н ап ряжен н о м со ст о ян и и . М ассо в ы е си л ы н е учи т ы в ат ь. 10.2 З ап и сат ь урав н ен и ярав н о в еси яп ри п л о ско м н ап ряжен н о м со ст о ян и и . 10.3 П о л учи т ь фо рмул ы дл я н ахо жден и я гл ав н ы х н ап ряжен и и и гл ав н ы х н ап рав л ен и й п ри п л о ско м н ап ряжен н о м со ст о ян и и . 10.4. П уст ь σ nn и σ nτ н о рмал ьн ы е и касат ел ьн ы е н ап ряжен и я н а п л о щадке с н о рмал ью n п ри п л о ско м н ап ряжен н о м со ст о ян и и ( n1 = cos α ; n 2 = sin α ; n 3 = 0) . П о казат ь, чт о т о чкас ко о рди н ат ами σ nn и σ nτ в зав и си мо ст и о т α о п и сы в ает круг н а п л о ско ст и σ nn σ nτ . Эт о т круг н азы в аю т круго м М о ра. Круг М о ра п о зв о л яет н агл ядн о п редст ав и т ь расп редел ен и е н о рмал ьн ы х и касат ел ьн ы х н ап ряжен и й в т о чке. У казан и е к реш ен и ю . И зв ест н о , чт о δ nn = δ ij ni n j ; δ nτ = δ ijτ j ni где τ j ко мп о н ен т ы еди н и чн о го в ект о ра τ , п ерп ен ди кул ярн о го к n . В дан н о м сл учае τ 1 = − sin a; τ 2 = cos a; τ 3 = 0 . 10.5 П о казат ь, чт о макси мал ьн ы е касат ел ьн ы е н ап ряжен и я п ри чи ст о м сдв и ге (10.3) рав н ы σ . §11. Гр а ни чные услови я. П ри реш ен и и задач в М СС в каждо й т о чке задан н о го о бъема н ап ряжен н о дефо рми ро в ан н о е со ст о ян и е о п редел яет ся реш ен и ем н еко т о ро й си ст емы , сфо рми ро в ан н о й н ао сн о в ан и и ки н емат и чески х, ст ат и чески х усл о в и й и ги п о т ез, а т акже фи зи чески х зако н о в дл я задан н о й среды . Очев и дн о , эт аси ст емаурав н ен и й н е зав и си т о т фо рмы ко н крет н о го т ел а, усл о в и й его закреп л ен и яи н агружен и яп о п о в ерхн о ст и . Одн ако реш ен и е си ст емы до л жн о сущест в ен н ы м о бразо м учи т ы в ат ь эт и о со бен н о ст и ко н крет н о й задачи . П ро и зв о ди т ся эт о с п о мо щью н ачал ьн ы х и краев ы х усл о в и й. Е сл и о бл аст ь реш ен и я и меет н еко т о ры е ко н ечн ы е гран и цы , т о кро ме н ачал ьн ы х усл о в и й дл яп о л учен и яо п редел ен н ы х реш ен и й н ео бхо ди мо учи т ы в ат ь усл о в и ян а
22
гран и це т ел а. Эт и усл о в и я н азы в аю т ся краев ы ми , и л и гран и чн ы ми усл о в и ями . Рассмо т ри м н еко т о ры е сл учаи гран и чн ы х усл о в и й. П ри закреп л ен и и дефо рми руемо го т ел ан ао п о рах задан н о го т и п а, п ри в н едрен и и в н еш н и х п редмет о в в дефо рми руемую среду и л и п ри о бт екан и и в язко й жи дко ст ью т в ердо го т ел а задан н о й фо рмы и в о мн о ги х други х сл учаях зап и сы в аю т ся усл о в и я п ри л и п ан и я н а гран и цах дл я п еремещен и й и дл я ско ро ст ей. П ри эт о м н а п о в ерхн о ст и S и мею т мест о сл едую щи е усл о в и я: uсре д ы = u гра ни цы , vсре д ы = vгра ни цы . Д л яуп руго го т ел агл ав н о е зн ачен и е и мею т усл о в и ядл я п еремещен и й, в т ео ри и дв и жен и яжи дко ст и и газо в - дл яско ро ст ей. В о мн о ги х задачах гран и цаS и л и н еко т о рая ее част ь S2, н е о гран и чен ат в ерды ми т ел ами , т о гда н а п л о щадках п о в ерхн о ст и S2, мо гут бы т ь и зв ест н ы п л о т н о ст и п о в ерхн о ст н ы х си л pn . Таки е усл о в и ят и п и чн ы в п ракт и ке и н жен ерн ы х расчет о в . Тако го т и п а гран и чн ы е усл о в и я мо гут бы т ь п ереп и сан ы в н ап ряжен и ях δ ij n j = pni н а S 2 . В о мн о ги х сл учаях т ребует ся реш ат ь задачи со смеш ан н ы ми гран и чн ы ми усл о в и ями , ко гда о бъем среды о гран и чен в н еш н и ми н еп о дв и жн ы ми задан н ы ми ст ен ками с дан н ы ми усл о в и ями закреп л ен и я, а част и чн о – св о бо дн ы ми п о в ерхн о ст ями . Е сл и рассмат ри в аемая о бл аст ь реш ен и я в кл ю чает беско н ечн о ст ь, т о н ео бхо ди мо задав ат ь до п о л н и т ел ьн ы е усл о в и я. В качест в е т аки х усл о в и й в о мн о ги х сл учаях п редп о л агает ся, чт о и ссл едуемо е яв л ен и е н о си т характ ер мест н о го в о змущен и я и чт о п ри удал ен и и в беско н ечн о ст ь со ст о ян и е и дв и жен и е среды задан ы . З адачи 11.1 Д л ят реуго л ьн о й п л о т и н ы , п о дв ержен н о й дав л ен и ю в о ды , н айден о реш ен и е дл ян ап ряжен и й: δ xx = ax + by, δ yy = cx + dy
δ xy = −dx − ay − γ x, δ xz = δ z = 0 γ - удел ьн ы й в ес мат ери ал ап л о т и н ы
γ 1 - удел ьн ы й в ес жи дко ст и
Требует сяо т ы скат ь п о ст о ян н ы е в ел и чи н ы a, b, c, d и схо дяи з усл о в и й н ап о в ерхн о ст и . От в ет : a = 0; b = −γ 1; d =
γ1 γ 2γ −γ ; c = − 21 2 tg β tgβ tg β
11.2 В п л аст и н у в дав л и в ает сяш и ро ки й ш т амп ш и ри н о й 2а с п о ст о ян н о й ско ро ст ью v. З ап и сат ь гран и чн ы е усл о в и яп ри уст ан о в и в ш емся дв и жен и и ш т амп ав усл о в и ях п л о ско го н ап ряжен н о го со ст о ян и я.
23
Как о п редел и т ь уси л и е, п ередав аемо е ш т амп о м н ап л аст и н у? 11.3 З ап и сат ь гран и чн ы е усл о в и я дл яп о л уп ро ст ран ст в а, в ко т о ро е в н едрен н а гл уби н у u жест ки й ш еро хо в ат ы й ш т амп . П ри н ят ь усл о в и е п ри л и п ан и я.
Лит е рат ура 1. 2. 3. 4. 5.
Седо в Л .И . М ехан и касп л о ш н о й среды /Л .И . Седо в – М .: Наука,1976.-Т.1. – 499с.;Т.2. – 500с. Седо в Л .И . В в еден и е в механ и ку сп л о ш н о й среды /Л .И . Седо в – М .: Ф и змат ги з, 1962. – 351с. Д ж. М ейз. Тео ри яи задачи механ и ки сп л о ш н о й среды /Д ж. М ейз. – М .: М и р, 1974. – 318с. Б о ри сен ко А .И . В ект о рн ы й ан ал и з и н ачал а т ен зо рн о го и счи сл ен и я/ А .И Б о ри сен ко , И .Е . Тарап о в – М .: В ы сш . ш ко л а, 1966, – 252с. И л ью ш и н А .А . З адачи и уп ражн ен и я п о механ и ке сп л о ш н о й среды / А .А . И л ью ш и н , В .А Л о маки н , А .П . Ш мако в – М .: И зд-в о М ГУ , 1973.– 164с.
Со ст ав и т ел и : Сп о ры хи н А н ат о л и й Ни ко л аев и ч М ясн ян ки н Ю ри й М и хайл о в и ч Ч ебо т арев А н дрей Сергеев и ч Редакт о р Б ун и н аТ.Д .