Элементы теории упругости: Учебное пособие

Г осуд а рст в е нны й К ом ит е т Р оссийской Ф е д е ра ц ии по в ы сш е м уобра зов а нию В ороне ж ск и й государст ве нны й уни ве рси т е т Г е ологиче ский фа культ е т К а ф едр а геоф и зи к и

Э л ем енты тео р и и у п р у го сти

С ост ави т е ли : С .Н. Зак ут ск и й , К.Ю . С и лк и н

В О РО Н Е Ж 2003

2

С

О Д Е Р Ж А Н ИЕ

С од е ржа ние ...............................................................................................................................................1 В в е д е ние .....................................................................................................................................................2 Пре д в а рит е льны е опре д е ле ния ............................................................................................................3 1. Упругие д е форм а ц ии ...........................................................................................................................4 2. Упругие на пряже ния...........................................................................................................................8 3. С в язь м е жд уупругим и на пряже ниям и и д е форм а ц иям и ...........................................................9 4. В олнов ое ура в не ние ...........................................................................................................................11 4.1. У с лови я р а вновес и я и дви жени я с р еды ....................................................................................11 4.2. В олновое ур а внени е в однор одной и зотр опной с р еде ............................................................12 5. Прод ольны е и попе ре чны е в олны в од нород ной изот ропной сре д е ........................................14 6. На ча льны е и гра ничны е услов ия...................................................................................................17 7. С фе риче ские в олны ...........................................................................................................................17 7.1. Пр одольные с ф ер и чес к и е волны ...............................................................................................18 7.2. Попер ечные с ф ер и чес к и е волны ...............................................................................................19 8. Профиль и за пись в олны ..................................................................................................................20 8.1. Пр оф и ль волны............................................................................................................................20 8.2. За пи с ь волны................................................................................................................................21 9. Ф а зов а я и группов а я скорост и в олн. Диспе рсия скорост и .......................................................22 10. Г е ом е т риче ское ра схожд е ние и поглощ е ние в олн.....................................................................23 10.1. Геометр и чес к ое р а с хождени е волн.........................................................................................23 10.2. Поглощени е с ейс ми чес к ой волны ...........................................................................................23 11. Плоские в олны .................................................................................................................................24 12. Услов ие а ппроксим а ц ии уча ст ка фронт а сфе риче ской в олны уча ст ком фронт а плоской в олны ..................................................................................................................................................26 13. О снов ы ге ом е т риче ской се йсм ики ...............................................................................................27 13.1. Пр едва р и тельные за меча ни я ....................................................................................................27 13.2. Поле вр еменс ейс ми чес к ой волны. У р а внени е поля вр емен................................................28 13.3. Пр и нци пы Гю йгенс а и Ф ер ма ..................................................................................................29 13.4. Ис ти нна я и к а жуща яс я с к ор ос ти волн, с вязь между ни ми ...................................................31 13.5. Пр и нци п Ф р енеля. Поняти е об и нтегр а ле К и р хгоф а , ф ор муле Пуа с с она ..........................32 14. Пов е рхност ны е в олны ....................................................................................................................35 Услов ны е обозна че ния..........................................................................................................................36 Лит е ра т ура ..............................................................................................................................................38

ВВЕ Д Е Н ИЕ Пр и р ешени и за да ч “Стр ук тур ной геологи и ” , пои с к а х и р а зведк е неф тега зовых мес тор ождени й ведущи м с р еди геоф и зи чес к и х методов являетс я с ейс мор а зведк а. Т еор ети чес к и е ос новы с ейс мор а зведк и вытек а ю т и з общи х за к онов теор и и упр угос ти . Согла с но учебным пла на м с пеци а льнос ти 011100 “Геоф и зи к а ” , дейс твую щи х в пос леднее дес яти лети е, элементы теор и и упр угос ти

3 и зуча ю тс я с тудента ми -геоф и зи к а ми в р а мк а х отдельной ди с ци пли ны, пр и этом пр едус ма тр и ва етс я зна чи тельна я доля с а мос тоятельной р а боты. В мес те с тем, с пеци а льное пос оби е по этому пр едмету а да пти р ова нное для обуча ю щи хс я, не и мею щи х выс ок ого ур овня ма тема ти чес к ой подготовк и , пр а к ти чес к и отс утс твует, что, безус ловно, ос ложняет пр оцес с обучени я. Ч а с ти чно ук а за нна я пр облема отс утс тви я методи чес к ого ма тер и а ла по р а с с ма тр и ва емой ди с ци пли не р ешена в вышедши х в пр едшес твую щи е годы ф унда мента льных учебни к а х по “Т еор и и поля” , “Полевой геоф и зи к е” и “Сейс мологи и ” [1-7]. Н а пи с а нные на выс ок ом методи чес к ом ур овне, они , одна к о, с ложны для с а мос тоятельного и зучени я. К р оме того, обес печеннос ть эти ми учебни к а ми в с вязи с пр ошес тви ем вр емени ок а зыва етс я, к а к пр а ви ло, недос та точной. Именно пос леднее обс тоятельс тво в зна чи тельной мер е побуди ло а втор ов на пи с а ть пр едла га емое учебное пос оби е. М ы пола га ем, что пос ле зна к омс тва с элемента р ными поняти ями и з обла с ти теор и и упр угос ти и р а с пр ос тр а нени я упр уги х волнчи та тель с может более плодотвор но и углублено и зучи ть с оответс твую щи е р а зделы ф и зи к и , а та к же с пеци а льные р а зделы теор и и с ейс ми чес к и хволн. В да нном учебном пос оби и и зложены ос новные поняти я о на пр яжени ях и возни к а ю щи х под и х дейс тви ем деф ор ма ци ях, волновых ур а внени ях, ха р а к тер и зую щи х пр оцес с р а с пр ос тр а нени я с ейс ми чес к и х волн, р а с с мотр ены и с ходные положени я геометр и чес к ой с ейс ми к и . Пр и этом пр едпола га етс я, что с к лю чевыми ф и зи чес к и ми за к она ми , поняти ями ма тема ти чес к ого а на ли за и век тор ного и с чи с лени я чи та тель зна к ом и з пр едшес твую щи х ди с ци пли н“О бщей ф и зи к и ” , “В ыс шей ма тема ти к и ” , “Т еор и и поля” . Ра зделы 1–14 на пи с а ны За к утс к и м С.Н ., р а зделы 5, 8, 13 – с овмес тно с Си лк и ным К .Ю ., пос ледни м выполнена обща я р еда к ци я и ок онча тельное оф ор млени е пос оби я. Пр едла га емое пос оби е, вер оятно, не ли шено опр еделенных недос та тк ов. К р и ти чес к и е за меча ни я по его с одер жа ни ю а втор ы пр и мут с большой бла года р нос тью . А втор ы с чи та ю т с вои м пр и ятным долгом выр а зи ть пр и зна тельнос ть пр оф ес с ор у к а ф едр ы геоф и зи к и В ор онежс к ого гос уни вер с и тета Т а р к ову А .П. и доценту этой к а ф едр ы Д убянс к ому А .И. за добр ожела тельные к р и ти чес к и е за меча ни я и с оветы.

ПР

Е Д В А Р И Т Е ЛЬ Н Ы Е О П Р Е Д Е ЛЕ Н И Я

В твер дых и жи дк и х с р еда х поддейс тви ем внешни х с и л могут р а с пр ос тр а нятьс я меха ни чес к и е к олеба ни я с ла га ю щи х тела ча с ти ц. В к а чес тве и с точни к ов внешни х с и л могут выс тупа ть уда р ные воздейс тви я взр ывов и ли с пеци а льных генер а тор ов с ейс ми чес к и х к олеба ни й (ГСК ); ес тес твенным и с точни к ом к олеба ни я ча с ти чек , с ла га ю щи х земные недр а , выс тупа ю т землетр яс ени я. Н а и зучени и меха ни чес к и х к олеба ни й гор ных пор од ос нова нс ейс ми чес к и й метод р а зведк и . Т еор ети чес к и е ос новы с ейс мор а зведк и вытек а ю т и з общи х за к онов теор и и упр угос ти . Пр и этом гор ные пор оды к а к ф и зи чес к и е тела р а с с ма тр и ва ю тс я в ви де непр ер ывной с овок упнос ти отдельных ча с ти чек – с плошные с р еды с ма к р ос тр ук тур ой. В этом с луча е пр оцес с ы, пр ои с ходящи е в гор ных пор ода х пр и р а с пр ос тр а нени и меха ни чес к и х к олеба ни й, можно оха р а к тер и зова ть за к она ми к ла с с и чес к ой меха ни к и . В с пок ойном (невозбужденном) с ос тояни и с ла га ю щи е землю ча с ти цы удер жи ва ю тс я внутр енни ми с и ла ми вза и модейс тви я. В этом с ос тояни и они на ходятс я на та к и х р а с с тояни ях др уг от др уга , к отор ые энер гети чес к и с оответс твую т ми ни ма льным зна чени ям и х потенци а льной энер ги и . Под дейс тви ем пр и ложенных (внешни х) с и л в гор ной пор оде пр ои с ходи т и зменени е вза и много положени я ча с ти ц, к отор ое с опр овожда етс я, в с вою очер едь, и зменени ем внутр енни х с и л, с тр емящи хс я ур а вновес и ть дейс тви е внешни х с и л.

4 Пос ле пр ек р а щени я с и лового воздейс тви я на с р еду возможны два ва р и а нта ее с ос тояни я. В одном с луча е, к огда с мещени я ча с ти ц ок а за ли с ь на с тольк о больши ми , что внутр енни е с и лы не с пос обны вер нуть и х в пр ежнее положени е, на блю да етс я на р ушени е пер вона ча льной с тр ук тур ы с р еды (уплотнени е и ли р а зр ушени е ее). В др угом с луча е с мещени я ча с ти чек могут ок а за тьс я на с тольк о ма лыми , что поддейс тви ем внутр енни х с и л с цеплени я ча с ти чк и возвр а ща ю тс я в пер вона ча льное положени е. Л ю бые с мещени я ча с ти чек , вызыва ю щи е и зменени я нек отор ого объ ема с р еды и ли его ф ор мы, на зыва ю тс я д е форм а ц иям и. Э то поняти е пр ои с ходи т от ла ти нс к ого с лова “deformatic” (и с к а жени е). Си ловое поле, возни к а ю щее в с р еде пр и пр и ложени и к ней внешни х с и л и ур а вновеши ва ю щее внешнее воздейс тви е, на зыва етс я на пряже ние м . Е с ли в р езульта те деф ор ма ци й пр ои с ходят необр а ти мые и зменени я пер вона ча льной с тр ук тур ы с р еды, то та к и е с р еды и пр ои с ходящи е в ни х деф ор ма ци и на зыва ю тс я не упругим и. Е с ли же пер вона ча льна я с тр ук тур а с р еды полнос тью вос с та на вли ва етс я, то с а ма с р еда и возни к а ю ща я в ней деф ор ма ци я на зыва ю тс я упругим и. Реа льные геологи чес к и е с р еды можно р а с с ма тр и ва ть в к а чес тве упр уги х тольк о тогда , к огда пр ои с ходящи е в ни х с мещени я (а , с ледова тельно, и деф ор ма ци и ) очень ма лы. Пос леднее возможно ли бо на больши х уда лени ях от и с точни к а внешнего воздейс тви я, ли бо пр и небольшой и нтенс и внос ти внешни х с и л. Пер еда ча ма лых деф ор ма ци й и с вяза нного с ни ми поля на пр яжени й в с р еда х пр ои с ходи т в ви де упругих и ли с ейс ми чес к и х в олн. О с нову ур а внени й, ха р а к тер и зую щи х пр оцес с р а с пр ос тр а нени я та к и х волн, с ос та вляю т поняти е деф ор ма ци й и на пр яжени й, р а с с ма тр и ва емых ни же.

1 . УП Р

УГ И Е Д Е Ф О Р М А Ц И И

Ра с с мотр и м и деа льно упр угую однор одную непр ер ывную и зотр опную с р еду. Положени е пр ои звольной ма тер и а льной точк и M, отождес твляемой с ча с ти чк ой с р еды, в дек а р товой с и с теме к оор ди на т X, Y, Z опр едели м пр и помощи р а ди ус -век тор а R (р и с . 1). О бла с ть с р еды в ок р ес тнос ти точк и M будет на ходи тьс я в с ос тояни и деф ор ма ци и , ес ли под дейс тви ем пр и ложенной с и с темы с и л р а с положенные внутр и этой обла с ти ча с ти цы пер емес тятс я. Пус ть две бли зк и е ча с ти цы с р еды P(R) и Q(R+∆R) в р езульта те дейс тви я пр и ложенных с и л пер емес тятс я в бли зк и е положени я P'(R+I) и Q'(R+∆R+I+∆I). В ек тор ы с мещени й для P и Q р а вны I и I+∆I с оответс твенно. К омпоненты век тор а с мещени й I по ос ям X, Y, Z обозна чи м чер ез u, v, w. К омпоненты век тор а I, очеви дно, являю тс я та к же ф унк ци ями к оор ди на т: u=u(x, y, z), v=v(x, y, z), w=w(x, y, z). Пользуяс ь р а зложени ем в р яд Т ейлор а, зна чени я к омпонент с мещени я в точк е Q могут быть выр а жены чер ез зна чени я к омпонент с мещени я в точк е P:  ∂u ∂u ∂u u + du = u + ∂ x dx + ∂ y dy + ∂ z dz   ∂v ∂v ∂v dx + dy + dz v + dv = v + ∂ x ∂ y ∂ z   ∂w ∂w ∂w dx + dy + dz  w + dw = w + ∂x ∂y ∂z 

(1)

В ур а внени ях (1) с мещени я пр и няты та к и ми , чтобы можно было пр енебр ечь члена ми р а зложени я, пр едс та вленные пр ои зводными выше пер вого пор ядк а . Ч а с тные пр ои зводные

5 ∂ u ∂ x = e XX , ∂ v ∂ y = eYY , ∂ w ∂ z = eZZ выр а жа ю т относ и тельные р а с тяжени я (и ли с жа ти я) с р еды в на пр а влени и ос ей X, Y, Z. Д р уги ми с лова ми , эти деф ор ма ци и с вяза ны с и зменени ем объ ема . Пок а за ть это можно на с ледую щем пр и мер е (р и с . 2). Пус ть ни жняя гр а нь пр ямоугольного бр ус а за к р еплена в плос к ос ти XOY. К вер хней гр а ни , па р а ллельной плос к ос ти XOY, вдоль ос и Z пр и ложена нор ма льна я с и ла F⊥. Под дейс тви ем этой с и лы бр ус удли ни тс я. Ра с с мотр и м в с ос тояРи с . 1. Положени е ча с ти чек упр угой с р еды ни и деф ор ма ци и два с ечени я бр ус а на р а с с тояни ях z и z + ∆z от ни жней гр а ни бр ус а . Смещени е ча с ти чек в пер вом в пр ос тр а нс тве с лое будет р а вно w, во втор ом w + ∆w . А бс олю тное р а с тяжени е бр ус а между с ечени ями О тнос и тельное р а с тяжени е р а вно w + ∆w − w .

( w − ∆w − w ) ( z − ∆z − z ) .

Д ля с ечени й, р а с положенных на бес к онечно ма лых р а с с тояни ях, оче-

ви дно, с пр а ведли во ур а внени е: lim

∆Ζ→ 0

∆w ∂ w = = e ZZ . ∆z ∂ z

Т а к и м обр а зом, по геометр и чес к ому с мыс лу эта ча с тна я пр ои зводна я опр еделяет относ и тельное удли нени е (и ли ук ор очени е, ес ли с и ла на пр а влена внутр ь объ ема ) с тор оны бр ус а вдоль ос и Z. А на логи чно может быть ус та новленс мыс л ча с тных пр ои зводных eXX и eYY, ха р а к тер и зую щи х относ и тельные удли нени я (ук ор очени я) вдоль ос ей X и Y. Ч ер ез относ и тельные удли нени я (ук ор очени я) с тор он можно выр а зи ть и зменени е вс его элемента р ного объ ема упр угой с р еды. Д ля этого вводи тс я поняти е д ила т а ц ии Θ (от ла ти нс к ого “dilatio” – р а с ши р яю ). Под ди ла та ци ей пони ма ю т пр едел отношени я и змененного элемента р ного объ ема , вызва нного деф ор ма ци ей, к его пер вона ча льной вели чи не. Ра с с мотр и м ма лый па р а ллелепи пед с о с тор она ми ∆x, ∆y, ∆z. Пос ле деф ор ма ци и его с тор оны, очеви дно, ок а жутс я р а вными : ∆x + ∂u ∂x , ∆y + ∂v ∂y , ∆z + ∂w ∂z . Пер вона ча льный объ ем па р а ллелепи педа р а вен∆x ∆y ∆z , объ ем пос ле деф ор ма ци и будет р а вен ∆x ∆y ∆z (1 + ∂ u ∂ x ) (1 + ∂ v ∂ y ) (1 + ∂ w ∂ z ) , с ледова тельно, относ и тельное и зменени е объ ема

Ри с . 2. Д еф ор ма ци и р а с тяжени я (а ) и с дви га (б)

6 θ=

lim

∆x ∆y ∆z (1 + ∂ u ∂ x ) (1 + ∂ v ∂ y ) (1 + ∂ w ∂ z ) ∆x ∆y ∆z

∆x, ∆y, ∆z →0

.

Пр енебр ега я пр ои зведени ями пр ои зводных (т. к . р а с с ма тр и ва ю тс я тольк о ма лые деф ор ма ци и ), получи м θ=

∂u ∂v ∂ w + + = div I. ∂x ∂y ∂z

(2)

Д и вер генци я век тор а с мещени й будет отр и ца тельной, ес ли нор ма льные с и лы ор и енти р ова ны внутр ь объ ема , и положи тельными – в пр оти вном с луча е. Ф унк ци я θ=divI являетс я, та к и м обр а зом, к оли чес твенной мер ой деф ор ма ци и объ ема , к отор а я пер еда етс я в упр угой с р еде в на пр а влени ях дейс твую щи х с и л, то ес ть в тех же на пр а влени ях, в к отор ых пр ои с ходят с мещени я. Ра с с мотр и м ф и зи чес к и й с мыс л др уги х ча с тных пр ои зводных от к омпонент век тор а с мещени я. Ч а с тные пр ои зводные ∂ u ∂ y = e XY , ∂ u ∂ z = e XZ , ∂ v ∂ x = eYX , ∂ v ∂ z = eYZ , ∂ w ∂ x = e ZX ,

∂ w ∂ y = e ZY и мею т ф и зи чес к и й с мыс л с дви гов, т. е. выр а жа ю т и зменени я ф ор мы. Пус ть с и ла F|| пр и ложена по к а с а тельной к гр а ни (р и с . 2, б). Под дейс тви ем этой с и лы ча с ти цы будут пер емеща тьс я вдоль ос и Y. С уда лени ем от плос к ос ти пр и ложени я с и лы вели чи на с мещени я будет уменьша тьс я вс ледс тви е тр ени я между ча с ти ца ми . Д ля ма лых пер емещени й с вязь между с мещени ем ча с ти цы и к оор ди на той можно с чи та ть ли нейной. В этом с луча е для та нгенс а угла с дви га ∆v ∆v ∂ v с пр а ведли во с оотношени е tg 2γ Y = . ≈ 2γ Y , и ли в пр еделе 2γ Y = lim = ∆z →0 ∆x ∆x ∂x Е с ли с и ла F|| дейс твует вдоль внешней гр а ни , па р а ллельной плос к ос ти XOZ, то с дви г будет ∆u ∂ u удовлетвор ять с оотношени ю 2γ X = lim . Т а к и м обр а зом, общи й с дви г в плос к ос ти XOY = ∆y → 0 ∆y ∂y будет 2γ XY = 2(γ X + γ Y ) = XOZ и YOZ: 2γ XZ =

∂v ∂u . А на логи чным обр а зом можно опр едели ть с дви ги в плос к ос тях + ∂x ∂y

∂ w ∂u ∂w ∂v + ; 2γ YZ = . + ∂x ∂z ∂y ∂z

В ер немс я к ур а внени ю (1). Пер вые его члены (u, v, w) – это к омпоненты с мешени я точк и M. О с та льные члены, к а к пок а за но выше, выр а жа ю т деф ор ма ци и в ок р ес тнос ти M – р а с тяжени я и с дви ги . В к ла с с и чес к ой теор и и упр угос ти док а зыва етс я, что деф ор ма ци ю , опр еделяемую ур а внени ями ти па (1), можно пр ои звольным обр а зом р а зложи ть на с умму пр ои звольного чи с ла деф ор ма ци й. В озьмем с умму пос ледни х тр ех членов и з пер вого ур а внени я с и с темы (1): ∂u

∂u

∂u

∑ = ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz . и

Пр еобр а зуем эту с умму, пр и ба вляя и вычи та я вели чи ны

1 ∂v dy 2∂x

1∂w dz : 2∂x ∑=

∂u 1∂u ∂v  1∂u ∂v  1∂u ∂ w 1∂u ∂ w +  + − + − dy +   dy +   dz +   dz . ∂ x 2∂ y ∂ x 2∂ y ∂ x 2∂ z ∂ x  2∂ z ∂ x 

В водя р а нее пр и нятые обозна чени я для пр ои зводных с мещени я, пос леднее выр а жени е можно пер епи с а ть в ви де: ∑ =e XX dx + γ XY dy + γ XZdz + (ω Y dz − ω Zdy ) = du.

(3)

7 А на логи чно пр еобр а зую тс я пос ледни е тр и с ла га емые во втор ом и тр етьем ур а внени ях с и с темы (1): ∑ =eYY dy + γ YX dx + γ YZdz + (ω Zdx − ω X dz ) = dv,

∑ =e ZZdz + γ ZX dx + γ ZY dy + (ω X dy − ω Y dx ) = dw, где 1∂ w ∂v  1∂u ∂ w 1∂v ∂u  − − − ωX =  , ωY =  . , ω Z =  2 ∂ y ∂ z  2∂ z ∂ x  2∂ x ∂ y  В ур а внени ях (3) пер вые члены выр а жа ю т деф ор ма ци ю объ ема : р а с тяжени я и с жа ти я (чи с та я деф ор ма ци я); члены в к р углых с к обк а х – вр а щени е этого объ ема в пр ос тр а нс тве (чи с тое вр а щени е). Пр оходящи е чер ез точк у M ор тогона льные ос и можно выбр а ть та к , чтобы к омпоненты деф ор ма ци и с дви га отс утс твова ли . Э ти ос и на зыва ю т гла в ны м и осям и д е форм а ц ий. В пос леднем с луча е чи с та я деф ор ма ци я в ок р ес тнос ти точк и M с води тс я тольк о к гла вным р а с тяжени ям (с жа ти ям) по ос ям X, Y, Z – eXX, eYY, eZZ, а втор а я с ос та вляю ща я деф ор ма ци й (повор оты) опр едели тrot I r =ω . с я чер ез р отор век тор а с мещени й 2 Помес ти м на ча ло к оор ди на т в точк у M. В этом с луча е dx=x, dy=y, dz=z, du=u, dv=v, dw=w. Т епер ь ур а внени я (3) можно пер епи с а ть в ви де: u = e XX x + γ XY y + γ XZ z + (ω Y z − ω Z y ) , v = eYY y + γ YX x + γ YZ z + (ω Z x − ω X z ) ,

(4)

w = e ZZ z + γ ZX x + γ ZY yz + (ω X y − ω Y x ) .

Т р и с к а ляр ных ур а внени я с и с темы (4) можно за мени ть одни м век тор ным: r r I =I1 + I 2 = grad ϕ + rotψ = ∇ϕ + [∇ψ ] ,

(5)

где ϕ=

(

)

1 2 e XX x 2 + eYY y + e ZZ z 2 + 2γ XY xy + 2γ XZ xz + 2γ YZ yz , 2 r r rotψ = [ω R ] .

Ск а ляр на я ф унк ци я ϕ опр еделена та к , что ее ча с тные пр ои зводные – с уть к омпоненты век тор а с мещени й I1: ∂ϕ ∂ x = u, ∂ϕ ∂ y = v, ∂ϕ ∂ z = w и на зыва етс я ска лярны м пот е нц иа лом поля см е щ е ний. Пр и пр и нятых обозна чени ях ди ла та ци я р а вна : θ=

∂ u ∂ v ∂ w ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + + = + + . ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2

(6)

r В ек тор на я ф унк ци я ψ на зыва етс я в е кт орны м пот е нц иа лом поля см е щ е ний. К омпоненты r u, v, w век тор а с мешени й I чер ез с к а ляр ный ϕ и век тор ный ψ потенци а лы опр еделятс я к а к :

8  ∂ϕ ∂ ψ Z ∂ ψ Y u = ∂ x + ∂ y − ∂ z ,   ∂ϕ ∂ ψ X ∂ ψ Z + − , v = ∂y ∂z ∂x   ∂ϕ ∂ ψ Y ∂ ψ X + − . w = ∂z ∂x ∂y 

(7)

Т а к и м обр а зом, в общем с луча е поле с мешени й в ок р ес тнос тях точк и M с ос тои т и з двух r ча с тей: объ емной I1 = gradϕ и ви хр евой I 2 = rotψ .

2 . УП Р

УГ И Е Н А П Р Я Ж Е Н И Я

В нешни е с и лы могут быть пр и ложены ли бо к повер хнос ти тела , ли бо к к а ждому элементу объ ема . В пер вом с луча е говор ят о повер хнос тных с и ла х, во втор ом – об объ емных. Пр и мер ом повер хнос тных с и л может с лужи ть да влени е га зов и ли жи дк ос тей, с опр и к а с а ю щи хс я с телом; пр и мер ом объ емных с и л являю тс я гр а ви та ци онные и центр обежные с и лы. Д ля тела , на ходящегос я в р а вновес и и , дейс тви е внешни х с и л к омпенс и р уетс я с и ла ми внутр еннего пр и тяжени я (отта лк и ва ни я). Т а к ой пр оцес с пор ожда ет в теле внутр еннее на пр яженное с ос тояни е, пр едс та вляю щее с обой р еа к ци ю тела на дейс твую щи е с и лы. Ч тобы оцени ть на пр яженное с ос тояни е, р а с с ечем тело пр ои звольной ф ор мы, подвер женное дейс тви ю внешни х с и л, на две ча с ти A и B по повер хнос ти S (р и с . 3). Ч тобы ча с ть B ос та ла с ь в и с ходном с ос тояни и , на S на до за да ть с и с тему повер хнос тных с и л, за меняю щи х дейс тви е на B ча с ти A. Д ля тела в целом они являю тс я внутр енни ми . О ни опр еделяю т то на пр яженное с ос тояни е, к отор ое с ущес твова ло в с оответс твую щи х точк а х тела до его р а с с ечени я. Под дейс тви ем эти х внутр енни х с и л и пр и ложенных внешни х с и л к а жда я ча с ть тела на ходи тс я в с ос тояни и р а вновес и я. Ра с с мотр и м элемента р ный объ ем упр угой с р еды, в к отор ой под дейс тви ем внешни х с и л возни к ли деф ор ма ци и . В к а чес тве ф и гур ы элемента р ного объ ема пр и мем тетр а эдр (р и с . 4), пос тр оенный та к , что площа дк а в ф ор ме тр еугольни к а ∆S, внутр и к отор ого на ходи тс я точк а M, за мык а ла с ь тр емя вза и мно ор тогона льными элемента р ными площа дк а ми , с овпа да ю щи ми с к оор ди на тными плос к ос тями XOY, XOZ, YOZ. Площа дк а ∆S выбр а на на с тольк о ма лой, что дейс твую щи е на ее повер хнос ти с и лы, можно с чи та ть пос тоянными . Ра внодейс твую щую эти х с и л обозна чи м ∆Fs. К огда ∆S с тр еми тс я к нулю , пр едел отношени я р а внодейс твую щей ∆Fs к элемента р ной площа дк е ∆S с тр еми тс я к опр еделенной вели чи не ps, на зыва емой на пряже ние м . Т а к и м обр а зом, на пр яжени е на элемента р ной площа дк е р а вно:

Ри с . 3. О ценк а на пр яженного с ос тояни я упр угой с р еды

Ри с . 4. Н а пр яжени я, пр и ложенные к гр а ням бес к онечно ма лого тетр а эдр а

9 ∆Fs dFs = . ds ∆s → 0 ∆s

p s = lim

(8)

Индек с s у век тор а на пр яжени й ук а зыва ет на ор и енти р овк у площа дк и . Т а к и м обр а зом, век тор ps к а к и с и ла ∆Fs за ви с и т не тольк о от положени я центр а элемента р ной площа дк и внутр и тела , но и от ее ор и енти р овк и в пр ос тр а нс тве. В с вязи с эти м полна я ха р а к тер и с ти к а на пр яженного с ос тояни я тела в да нной точк е не может быть опи с а на с помощью к ла с с и чес к ой век тор ной вели чи ны, для та к ого опи с а ни я вводи тс я более с ложное поняти е. Пус ть pX , pY, pZ на пр яжени я на гр а нях тетр а эдр а , огр а ни ченных плос к ос тями YOZ, XOZ, XOY. К а ждое и з эти х на пр яжени й, в с вою очер едь, можно р а зложи ть на тр и к омпоненты по с оответс твую щи м к оор ди на тным ос ям. Получа емые пр и этом девять с к а ляр ных вели чи н(к омпонент на пр яжени й) полнос тью опр еделяю т на пр яжени е в ок р ес тнос ти точк и M и с ос та вляю т т е нзор на пряже ний: X

Y

Z

p XX pYX p ZX

p XY pYY p ZY

p XZ . pYZ p ZZ

(9)

В ма тр и це (9) пер ва я бук ва и ндек с а опр еделяет гр а нь, пер пенди к уляр ную с оответс твую щей ос и , втор а я – к омпоненту на пр яжени я на этой гр а ни . К омпоненты на пр яжени й с оди на к овыми бук ва ми в и ндек с е (pXX, pYY, pZZ) на пр а влены по нор ма ли к с оответс твую щи м гр а ням и на зыва ю тс я норм а льны м и на пряже ниям и. О с та льные шес ть к омпонент на зыва ю т ка са т е льны м и на пряже ниям и. В теор и и упр угос ти док а зыва етс я, что к а с а тельные на пр яжени я с с и мметр и чными и ндек с а ми попа р но р а вны: pXY= pYX, pXZ = pZX, pYZ = pZY. Пр и док а за тельс тве р а с с ма тр и ва етс я элемента р ный па р а ллелепи пед с о с тор она ми , па р а ллельными к оор ди на тным ос ям X, Y, Z. М оменты нор ма льных на пр яжени й в этом с луча е р а вны нулю , та к к а к на пр а влени я с оответс твую щи х с и л пер ес ек а ю т центр ма с с ма лого па р а ллелепи педа . У с лови е р а вновес и я Ср еды выполни тс я в том с луча е, к огда попа р но р а вны к а с а тельные на пр яжени я. К а к и в с луча е деф ор ма ци й, к оор ди на тные ос и можно повер нуть та к , что на пер пенди к уляр ных к ни м площа дк а х и с чезнут к а с а тельные на пр яжени я и будут отли чны от нуля тольк о нор ма льные на пр яжени я. Э ти ос и на зыва ю т гла в ны м и осям и на пряже ний.

3. С

В Я ЗЬ М Е Ж Д У УП Р УГ И М И Н А П Р Я Ж Е Н И Я М И И Д Е Ф О Р М А Ц И Я М И

Д ля и деа льно упр уги х с р ед эк с пер и мента льно ус та новлена ли нейна я за ви с и мос ть деф ор ма ци й от на пр яжени й. Т а к а я с вязь выр а жа етс я лине йны м за коном Г ука 1, с огла с но к отор ому деф ор ма ци и пр ямо пр опор ци она льны на пр яжени ям. Согла с но за к ону Гук а , в общем с луча е неоднор одной с р еды к а жда я и з шес ти к омпонент на пр яжени я (pXX, pYY, pZZ, pXY, pXZ, pYZ) являетс я ли нейной ф унк ци ей шес ти к омпонент деф ор ма ци и (eXX, eYY, eZZ, γXY, γXZ, γYZ).

1

Гук (Хук ) Робер т (1635–1703), а нгли йс к и й ес тес твои с пыта тель, р а знос тор онни й ученый и эк с пер и мента тор .

10  p XX = a11e XX + a12γ XY + a13γ XZ + a14eYY + a15γ YZ + a16e ZZ ,   p XY = a 21e XX + a 22γ XY + a 23γ XZ + a 24eYY + a 25γ YZ + a 26e ZZ ,  p = a 31e XX + a 32γ + a 33γ + a 34eYY + a 35γ + a 36e ZZ , YY XY XZ YZ  = + + + + p γ γ γ  YZ a 41e XX a 42 XY a 43 XZ a 44eYY a 45 YZ + a 46e ZZ ,  p = a 51e XX + a 52γ + a 53γ + a 54eYY + a 56γ + a 56e ZZ , XY XZ YZ  ZZ = + + + + p γ γ γ  XZ a 61e XX a 62 XY a 63 XZ a 64eYY a 65 YZ + a16e ZZ . Т а к и м обр а зом, с вязь межу на пр яжени ями и деф ор ма ци ями выр а жа етс я шес тью ур а внени ями с шес тью к оэф ф и ци ента ми пр опор ци она льнос ти в к а ждом ур а внени и . Э ти к оэф ф и ци енты на зыва ю тс я м од улям и упругост и. О бщее чи с ло неза ви с и мых модулей упр угос ти в ур а внени ях, с вязыва ю щи х на пр яжени я с деф ор ма ци ями , за ви с и т от того, к а к и зменяю тс я с войс тва с р еды по р а зли чным на пр а влени ям. Ср еда , с войс тва к отор ой неоди на к овы по р а зли чным на пр а влени ям, на зыва етс я а низот ропной. Е с ли в та к ой с р еде полнос тью отс утс твует с и мметр и я в р а с пр еделени и с войс тв, чи с ло неза ви с и мых упр уги х модулей с ос та вляет 21, та к к а к ма тр и ца , обр а зова нна я к оэф ф и ци ента ми пр опор ци она льнос ти аij, с и мметр и чна относ и тельно гла вной ди а гона ли . По мер е повышени я с и мметр и и с войс тв чи с ло неза ви с и мых модулей уменьша етс я. В с луча е изот ропной с р еды, где с войс тва оди на к овы по вс ем на пр а влени ям, чи с ло упр уги х модулей с ок р а ща етс я до двух. Э ти упр уги е модули λ и µ на зыва ю т коэ ффиц ие нт а м и упругост и Ла м е 2. У р а внени я с вязи между на пр яжени ями и деф ор ма ци ями в и зотр опной с р еде пр и ни ма ю т ви д: pXX = λθ + 2µeXX, pXY = µ2γXY, pYY = λθ + 2µeYY, pXZ = µ2γXZ,

(10)

pZZ = λθ + 2µeZZ, pYZ = µ2γYZ. К оэф ф и ци енты Л а ме могут быть выр а жены чер ез два др уги х к оэф ф и ци ента упр угос ти : м од уль Ю нга 3 (E) и коэ ффиц ие нт Пуа ссона 4 ν. Cвязь между р а с с ма тр и ва емыми вели чи на ми опр еделяетс я ур а внени ями : νE E ; µ= ; (1 + ν )(1 − 2ν ) 2 (1 + ν ) µ (3λ + 2µ ) λ E= ; ν= . λ+µ 2 (λ + µ )

λ=

(11)

М одуль Ю нга E ха р а к тер и зует с опр оти влени е гор ной пор оды р а с тяжени ю и ли с жа ти ю , на пр и мер , E=pXX/eXX. К оэф ф и ци ент Пуа с с она р а вен отношени ю относ и тельного с жа ти я к относ и тельному р а с ши р ени ю , на пр и мер , ν=eXX/eYY. М одуль с дви га µ ха р а к тер и зует с опр оти влени е гор ной пор оды и зменени ю ф ор мы пр и деф ор ма ци и , на пр и мер , µ=pXY/eXY, где pXY – к а с а тельное на пр яжени е, на пр а вленное вдоль ос и Y; eXY – угол с дви га гр а ни па р а ллелепи педа относ и тельно ос и X. 2

3

4

Л а ме Га бр и ель (1795–1870), ф р а нцузс к и й ма тема ти к и и нженер . В 1820–1832 гг р а бота л в Рос с и и , член-к ор р . Петер бур гс к ой А Н (с 1829 г.). Т р уды по ма тема ти чес к ой ф и зи к е, теор и и упр угос ти и др . Ю нг (Я нг) Т ома с (1773–1829), а нгли йс к и й ученый, оди ни з ос новоположни к ов волновой теор и и с вета . Т р уды по а к ус ти к е и др . Пуа с с онСи меонД ени (1781–1840), ф р а нцузс к и й ма тема ти к , меха ни к и ф и зи к , и нос тр а нный почетный членПетер бур гс к ой А Н (с 1826 г.) Т р уды по ма тема ти чес к ой ф и зи к е, теор и и упр угос ти и др .

11 М одуль Ю нга для ос а дочных пор од с ос та вляет (0.03–9)1010 Н /м2, а для к р и с та лли чес к и х пор од (3–16)1010 Н /м2. Зна чени е к оэф ф и ци ента Пуа с с она для ос а дочных пор од на ходи тс я в пр едела х 0.18–0.5, а для к р и с та лли чес к и х 0.19–0.38. М одуль с дви га для гор ных пор од с ос та вляет пр и мер но полови ну модуля Ю нга .

4. ВО

Л Н О В О Е УР А В Н Е Н И Е

4.1. У с лови я ра вн ове с и я и дви ж е н и я с ре ды Ра с с мотр и м ус лови е р а вновес и я с р еды в элемента р ном объ еме dΩ c элемента р ной ма с с ой dm =σ dΩ (σ – плотнос ть с р еды). Пус ть на повер хнос ти dS этого объ ема дейс твую т с и лы, с вяза нные с на пр яжени ями выр а жени ем (8). Э ти с и лы являю тс я пов е рхност ны м и. Д ля а на ли за ус лови й с ос тояни я ча с ти чек с р еды необходи мо учи тыва ть та к же с и лы, дейс твую щи е внутр и объ ема . Т а к и е с и лы на зыва ю т объе м ны м и. Э лемента р ный объ ем с р еды на ходи тс я в с ос тояни и р а вновес и я (пок оя), ес ли с умма вс ех дейс твую щи х на него с и л (повер хнос тных и объ емных) р а веннулю . Д ля с ос та вляю щи х с и л, дейс твую щи х вдоль к оор ди на тных ос ей X, Y, Z это ус лови е опр едели тс я ур а внени ями : ∑ F X = 0; ∑ F Y = 0; ∑ F Z = 0. В р а звер нутом ви де эти ур а внени я с ледует за пи с а ть в ви де: σ Q X d Ω + P XX cos ( n, x ) dS + p YX cos ( n, y ) dS + p ZX cos ( n, z ) dS = 0,  σ QY d Ω + P XY cos ( n, x ) dS + p YY cos ( n, y ) dS + p ZY cos ( n, z ) dS = 0,  σ Q Z d Ω + P XZ cos ( n, x ) dS + p YZ cos ( n, y ) dS + p ZZ cos ( n, z ) dS = 0.

(12)

В с и с теме (12) QX, QY, QZ – отнес енные к еди ни це ма с с ы пр оек ци и объ емных с и л на к оор ди на тные ос и X, Y, Z; pXX, pYX, … , pZZ – пр оек ци и на пр яжени й; cos(n, x), cos(n, y), cos(n, z) – к ос и нус ы углов, обр а зова нных нор ма лью к dS с ос ями к оор ди на т, та к что вели чи ны пр ои зведени й cos(n,i)dS, обр а зую т пр оек ци и площа дк и dS на на пр а влени я к оор ди на тных ос ей. Е с ли р а с с ма тр и ва ть к онечный объ ем Ω и охва тыва ю щую его повер хнос ть S, то к а ждое и з ур а внени й с и с темы (12) с ледует за пи с а ть в и нтегр а льной ф ор ме. Н а пр и мер , пер вое ур а внени е и з (12) за пи шетс я в ви де:

∫ σ Q X d Ω + ∫  p XX cos ( n, x ) + pYX cos ( n, y ) + p ZX cos ( n, z ) dS = 0 .

Ω

(13)

S

Пр еобр а зова в повер хнос тный и нтегр а л в (13) с помощью ф ор мулы О с тр огр а дс к ого-Га ус с а в объ емный, ур а внени й (13) с ледует за пи с а ть в ви де: ∂p XX ∂pYX ∂p ZX  + + σ Q X + ∂x ∂y ∂z  Ω

∫

 d Ω = 0. 

(14)

А на логи чно могут быть пр еобр а зова ны втор ое и тр етье ур а внени я и з (12). О бъ емные и нтегр а лы в (14) должны обр а ща тьс я в ноль пр и лю бой ф ор ме объ ема Ω. Э то выполняетс я тольк о в том с луча е, к огда р а вны нулю подынтегр а льные ф унк ци и . Т а к и м обр а зом, ус лови е р а вновес и я можно за пи с а ть в ви де:

12 ∂p XX ∂pYX ∂p ZX  σ Q X + ∂ x + ∂ y + ∂ z = 0,   ∂p XY ∂pYY ∂p ZY + + = 0, σ QY + ∂x ∂y ∂z   ∂p ∂p ∂p σ Q Z + XZ + YZ + ZZ = 0. ∂x ∂y ∂z 

(15)

Е с ли р а с с ма тр и ва етс я с луча й дви жени я ча с ти ц с р еды (р а с пр ос тр а нени е упр уги х волн), то в ур а внени я (15) с ледует доба ви ть с и лу и нер ци и , к отор а я с огла с но втор ому за к ону Н ью тона для еди ни чной ма с с ы р а вна σ

∂ 2Ι ∂ t2

. Следова тельно, ур а внени я дви жени я с р еды с ледует за пи с а ть в ви -

де: ∂ p XX ∂ p YX ∂ p ZX  ∂ 2u σ Q X + ∂ x + ∂ y + ∂ z = σ ∂ t 2 ,   ∂ p XY ∂ p YY ∂ p ZY ∂ 2v + + =σ 2 , σ QY + ∂x ∂y ∂z ∂t   ∂ p XZ ∂ p YZ ∂ p ZZ ∂ 2w + + =σ 2 . σ Q Z + ∂x ∂y ∂z ∂t 

(16)

4.2. В олн овое ура вн е н и е в одн ородн ой и зот ропн ой с ре де Ис пользуя (10), с и с тему (16) можно за пи с а ть чер ез к омпоненты с мещени й u, v, w. У чтем та к же, что в однор одной и зотр опной с р еде λ=const, µ=const, ν=const. Ха р а к тер пр еобр а зова ни й пр ос леди м на пр и мер е пер вого и з ур а внени й с и с темы (16): σQX +

∂  ∂ u  ∂   ∂ u ∂ v  ∂   ∂ w ∂ u  µ + + µ   +  λθ + 2µ +  = ∂x ∂ x  ∂ y   ∂ y ∂ x   ∂ z   ∂ x ∂ z  

=σQX + λ

∂θ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u µ µ µ + 2µ 2 + µ + + + = ∂x ∂ y∂ x ∂ z∂ x ∂ y2 ∂x ∂ z2

 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u  ∂θ ∂ ∂u ∂v ∂ w µ +µ + + + + 2  = =σQX + λ  2 +   2 ∂x ∂ x∂ x ∂ y ∂ z  ∂x ∂ y ∂z  = σ Q X + (λ + µ )

(17)

∂θ ∂ 2u + µ∇ 2u = σ 2 . ∂x ∂t

А на логи чно пр еобр а зую тс я два др уги х ур а внени я и з (16). В и тоге получа ем:  ∂θ ∂ 2u 2 σ + λ + µ + µ ∇ u = σ , Q )  X ( 2 ∂ x ∂ t   ∂θ ∂ 2v + µ∇ 2 v = σ 2 , σ QY + ( λ + µ ) ∂y ∂t   ∂θ ∂ 2w σ Q Z + ( λ + µ ) + µ∇ 2 w = σ . ∂z  ∂ t2 Т р и с к а ляр ных ур а внени я (17’) могут быть за пи с а ны в ви де одного век тор ного:

’

(17 )

13 σ Q + ( λ + µ ) grad divΙ + µ∇ 2Ι = σ

∂ 2Ι ∂t

2

(18)

.

У чи тыва я, что ∇ 2 Ι = grad div Ι − rot rot Ι , ур а внени е (18) можно пер епи с а ть в ви де: 2 Ι σ Q + ( λ + µ ) grad div Ι + µ rot rot Ι = σ ∂ 2 , ∂t

(19)

где div I = θ. Пр и больши х уда лени ях от и мпульс ного и с точни к а возбуждени я объ емные с и лы пр а к ти чес к и не дейс твую т. Поэтому в (17) можно положи ть Q = 0. В этом с луча е для однор одной и зотр опной с р еды можно с чи та ть с пр а ведли выми с оотношени я:  ∂θ ∂ 2u 2 + + ∇ = λ µ µ u σ , ( )  ∂x ∂ t2   ∂θ ∂ 2v + µ∇ 2 v = σ 2 , ( λ + µ ) ∂y ∂t   ∂θ ∂ 2w ( λ + µ ) + µ∇ 2 w = σ . ∂z  ∂ t2

(20)

Т р и с к а ляр ных ур а внени я (20) можно объ еди ни ть в одно век тор ное:

( λ + µ ) grad div I + µ∇ 2 I = σ

∂ 2I ∂ t2

(21)

,

к отор ое на зыва етс я обобщ е нны м в е кт орны м в олнов ы м ура в не ние м д ля од нород ной изот ропной сре д ы . Е с ли и зотр опна я с р еда неоднор одна , к оэф ф и ци енты Л а ме за ви с ят от к оор ди на т точек с р еды: λ=f(x, y, z), µ=f(x, y, z). У р а внени я дви жени я с р еды (20) в этом с луча е пр и ни ма ю т более с ложную ф ор му:  ∂θ ∂λ  ∂ I ∂ 2u  + µ∇ 2u + θ + + grad u  grad µ = σ 2 , ( λ + µ ) ∂x ∂ x ∂ x  ∂t    ∂θ ∂λ  ∂ I ∂ 2v + µ∇ 2v + θ + + grad v  grad µ = σ 2 , ( λ + µ ) ∂y ∂ y ∂ y ∂t    2 ( λ + µ ) ∂θ + µ∇ 2 w + θ ∂λ +  ∂ I + grad w  grad µ = σ ∂ w . ∂z ∂ z ∂ z  ∂ t2 

(20’)

Э ти тр и с к а ляр ных ур а внени я могут быть объ еди нены в одно век тор ное:

( λ + µ ) ∇ ( ∇I ) + ∇λ ( ∇I ) + µ∇ 2I + ∇µ ( ∇I ) + 2µ ( ∇µ∇I ) = σ ’

∂ 2I ∂t

2

.

(21’)

У р а внени е (21 ) на зыва етс я обобщ е нны м в е кт орны м в олнов ы м ура в не ние м д ля не од нород ной изот ропной сре д ы . Пр и пос тоянс тве λ, µ, σ оно выр ожда етс я в ур а внени е (21). Следует и меть в ви ду, что ур а внени я (21) и (21’) получа ю тс я на ос нове ли нейной с вязи между упр уги ми на пр яжени ями и деф ор ма ци ями (ли нейный за к онГук а ), с пр а ведли вой для и деа льно упр уги х с р ед. В олновые ур а внени я, полученные на ос нове ли нейного за к она Гук а , на зыва ю т лине йны м и в олнов ы м и ура в не ниям и. В р еа льных с р еда х с вязь между деф ор ма ци ями и на пр яжени ями выр а жа -

14 етс я нели нейными ф унк ци ями . Ра с с мотр ени е пр оцес с ов, пр ои с ходящи х в неи деа льно упр уги х с р еда х на ос нове нели нейных явлени й, выходи т за р а мк и на с тоящего к ур с а .

5. ПР

О Д О ЛЬ Н Ы Е И П О П Е Р Е Ч Н Ы Е В О ЛН Ы

В О Д Н О Р О Д Н О Й И ЗО Т Р О П Н О Й С Р Е Д Е

Т р и ур а внени я с и с темы (20) можно пр еобр а зова ть в два и ных ур а внени я. Пер вое и з та к и х ур а внени й получа ю т пос ле с ложени я р езульта тов ди ф ф ер енци р ова ни я по x пер вого ур а внени я и з (20), по y – втор ого и по z – тр етьего:  ∂ 2θ

∂ 2θ

∂x

∂y

( λ + µ ) 

+ 2

+ 2

∂ 2θ  ∂ ∂ ∂  ∂ 2  ∂ u + ∂ v + ∂ w . 2 2 2 + µ ∇ u + ∇ v + ∇ w = σ     ∂ x  ∂x ∂x ∂ z 2  ∂ t2  ∂ x ∂ x ∂ x 

( )

( )

(

)

В ыр а жени е в к ва др а тных с к обк а х пр еобр а зуем к ви ду:   ∂ u ∂ v ∂ w  2 µ ∇ 2  + +   = µ∇ θ . ∂ x ∂ x ∂ x     С учетом пос леднего с оотношени я получа ем ур а внени е: λ + 2µ 2 ∂ 2θ ∇θ= 2. σ ∂t

(22)

Пр оди ф ф ер енци р ова в пер вое ур а внени е с и с темы (20) по y, а втор ое по x и за тем, вычтя р езульта т пер вого ди ф ф ер енци р ова ни я и з р езульта та втор ого ди ф ф ер енци р ова ни я, получи м с оотношени е:  ∂ 2θ ∂ 2θ  ∂  2 ∂ ∂ 2 ∂v ∂u  2  − ∇ v − ∇ u = σ −  + µ  .  ∂ x  ∂y ∂ t2  ∂ x ∂ y    ∂ y∂ x ∂ x∂ y 

( λ + µ ) 

( )

( )

Изменяя пор ядок ди ф ф ер енци р ова ни я во втор ом с ла га емом и пр и ни ма я во вни ма ни е р а венс тво нулю пер вого с ла га емого, получа ем ур а внени е: ∂u  ∂ 2 ∂v ∂u  2 ∂ v − = σ − µ∇    . ∂ t2  ∂ x ∂ y  ∂ x ∂ y А на логи чные пр еобр а зова ни я можно пр овес ти , обр а зуя др уги е па р ы и з ур а внени й с и с темы (20) и выполняя с оответс твую щее ди ф ф ер енци р ова ни е. В и тоге та к ого пр еобр а зова ни я можно получи ть с ледую щи е с оотношени я: 2 ∂v ∂ ∂w ∂v 2 ∂ w − = σ − µ∇   , 2 ∂t  ∂ y ∂ z  . ∂y ∂z

∂u ∂w ∂ 2  ∂ u − ∂ w . − = σ µ∇ 2    2 ∂z ∂x  ∂t ∂ z ∂ x  Т р и пр едыдущи х ур а внени я можно за пи с а ть в ви де одного век тор ного: µ 2 ∂2 ∇ (rot I ) = 2 ( rot I ). σ ∂t

(23)

15 У р а внени я (22) и (23) опр еделяю т дви жени е ча с ти ц в однор одной и зотр опной с р еде в дос та точно уда ленных точк а х от обла с ти пр и ложени я внешней объ емной с и лы. О ба эти ур а внени я являю тс я ча с тными с луча ями общего волнового ур а внени я ви да : c 2∇ 2  F ( x, y, z , t )  =

∂2 2 ∇  F ( x, y, z, t )  . ∂ t2

(24)

Здес ь с – с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я возмущени й, опр еделяемых ф унк ци ей F(x, y, z, t). Т а к и м обр а зом, в упр угой с р еде неза ви с и мо р а с пр ос тр а няю тс я вызва нные внешни ми с и ла ми возмущени я двух ви дов: • возмущени я, пр едс та вляю щи е тольк о деф ор ма ци и и зменени я объ ема (Ри с . 5, а ); эти возмущени я р а с пр ос тр а няю тс я с о с к ор ос тью V P =

( λ + 2µ )

σ , они на зыва ю тс я прод ольной в олной

и ли в олной сжа т ия; • возмущени я, пр едс та вляю щи е тольк о повор оты (Ри с . 5, б); они р а с пр ос тр а няю тс я с о с к ор ос тью V S = µ σ и на зыва ю тс я попер ечной волной. Н еза ви с и мос ть р а с пр ос тр а нени я пр одольной и попер ечной волнвытек а ет и з с ледую щего. У с лови е отс утс тви я деф ор ма ци и повор отов (попер ечных волн) опр едели тс я ур а внени ем rotI=0. В пр одольной волне с мещени я I1=gradϕ. Пос к ольк у rot gradϕ=0, пос леднее ус лови е выполняетс я. У с лови ем отс утс тви я деф ор ма ци й и зменени я объ ема (пр одольной волны) будет р а венс тво нулю r r ди ла та ци и (θ=0). В попер ечной волне I 2 = rotψ , учи тыва я, что θ=divI, получи м div rotψ = 0 , т. е. выполняетс я ус лови е и зменени я объ ема . Пр одольные волны пр и нято обозна ча ть ла ти нс к ой бук вой P, а попер ечные S. О бозна чени я взяты и з с ейс мологи и , где они были пр и няты та к овыми в с вязи с тем, что на с ейс могр а мма х землетр яс ени й пр одольные волны р еги с тр и р ую тс я р а ньше попер ечных (ла ти нс к и е тер ми ны ” prima” – пер вый и ” sekunda” – втор ой). Пр одольные и попер ечные волны р а с пр ос тр а няю тс я по вс ему объ ему с р еды и поэтому на зыва ю тс я объе м ны м и в олна м и. Ха р а к тер с мещени я ча с ти чек в пр одольной и попер ечной волна х р а зли чен. В пр одольной волне с мещени я пр ои с ходят в на пр а влени и р а с пр ос тр а нени я волны, т. е. век тор с мещени й лежи т в плос к ос ти р а с пр ос тр а нени я волны. В попер ечной волне с мещени я пр ои с ходят в на пр а влени ях, пер пенди к уляр ных р а с пр ос тр а нени ю волны. Е с ли век тор с мещени й в попер ечной волне в пр оцес с е его р а с пр ос тр а нени я не и зменяет ор и енти р овк и , то та к а я попер ечна я волна на зыва етс я плоско и ли лине йно поляризов а нной. Ри с . 5. Д ви жени я ча с ти ц во вр емя пр охождени я плос к и хволнP (а ) и S (б)

16 Гор и зонта льно поляр и зова нную попер ечную волну и ногда на зыва ю т SH-волной; вер ти к а льно поляр и зова нную попер ечную волну – SV-волной. М огут быть и более с ложные с луча и поляр и за ци и попер ечных волн, к огда к онец век тор а с мещени й опи с ыва ет с ложные ф и гур ы (на пр и мер , элли пс пр и элли пти чес к ой поляр и за ци и ). О тношени е с к ор ос тей пр одольной и попер ечной волн V P V S = 2 + λ / µ . Пос к ольк у λ и µ > 0, пр одольные волны р а с пр ос тр а няю тс я быс тр ее попер ечных. Д ля больши нс тва к онс оли ди р ова нных гор ных пор од V P V S ≈ 1.7 Е с ли µ = 0 (на пр и мер , невязк и е жи дк ос ти ), то VS =0, что озна ча ет отс утс тви е попер ечных волнв подобных с р еда х. Д ля пр одольной и попер ечной волн, р а с пр ос тр а няю щи хс я вдоль ос и X, с огла с но (22) и (23) ур а внени я р а с пр ос тр а нени я и мею т ви д: ∂ 2θ = ∂ 2θ ∂z 2 ∂t 2

(25)

∂2 ∂2 ( I ) ( rot ZI ), = rot Z ∂z 2 ∂t 2

(26)

V 2P

2

VS где rot ZI =

∂v ∂u . − ∂x ∂y

Смещени я в пр одольной волне, с огла с но (25) и (26) пр ои с ходят в на пр а влени и ос и Z, а в попер ечной – в плос к ос ти XOY. Пос к ольк у с мещени я в попер ечной волне опр еделяю тс я двумя к омпонента ми (u и v), то р езульти р ую щее с мещени е являетс я век тор ом, р а с положенном в плос к ос ти , пер пенди к уляр ной на пр а влени ю р а с пр ос тр а нени я попер ечной волны, т. е. в плос к ос ти XOY (говор ят, что век тор поляр и зова нв этой плос к ос ти ). В олновые ур а внени я (22) и (23) могут быть за пи с а ны в др угой ф ор ме, ес ли к омпоненты r век тор а с мещени й выр а зи ть с оответс твенно чер ез с к а ляр ный ϕ и век тор ный ψ поля с мещени й (с м. 5): ∂ 2ϕ ∂t 2

(27)

r ∂ 2ψ = 2 ∂t

(28)

V 2P∇ 2ϕ = r V S2∇ 2ψ

Е с ли р а с с ма тр и ва етс я поле с мещени й вбли зи точк и пр и ложени я объ емной с и лы Q, то в (27) r и (28) доба вляю тс я члены, с одер жа щи е с оответс твенно с к а ляр ный и ϕQ и ψ Q внешней с и лы Q. Пр и этом объ емную с и лу Q пр едс та вляю т в ви де двух с ос та вляю щи х, возбужда ю щи х пр одольную r QP и попер ечную QS волны: Q = QP + QS = grad ϕ Q + rotψ Q . ϕQ на зыва ю т ска лярны м упругим поr т е нц иа лом ; ψ Q – в е кт орны м упругим пот е нц иа лом . С учетом дейс тви я объ емной с и лы Q, волновые ур а внени я пр одольной и попер ечной волнпр и ни ма ю т с оответс твенно ви д: ∂ ϕ , 2 ∂t

(29)

r r r ∂ 2ψ ψ Q + V S2∇ 2ψ = 2 . ∂t

(30)

ϕ Q + V 2P∇ 2ϕ =

2

17 (29) и (30) на зыва ю т не од нород ны м и в олнов ы м и ура в не ниям и.

6 . Н А Ч А ЛЬ Н Ы

Е И Г Р А Н И Ч Н Ы Е УС Л О В И Я

Д ля однозна чного опр еделени я поля с мещени й с помощью ур а внени й (28–30), допус к а ю щи х множес тво р ешени й, за да ю тс я дополни тельными ус лови ями – на ча льными и гр а ни чными . Е с ли тр ебуетс я опр едели ть поле с мещени й в и нтер ва ле вр емени [0, tm], 0 ≤ t ≤ tm, то на ча льные ус лови я с водятс я к за да ни ю потенци а ла и его пр ои зводной для момента вр емени t = 0 во вс ех точк а х пр ос тр а нс тва , где и щетс я р ешени е: ϕ ( a, 0 ) = ϕ ( a ) ;

∂ϕ ∂t

t =0

= ϕ 0′ ( a ) . Е с ли до момента t=0

с мещени я в с р еде отс утс твова ли , эти ус лови я за да ю тс я в с ледую щем ви де: ϕ 0 ( a ) = 0 , ϕ 0′ ( a ) = 0 . Т а к а я ф ор ма за пи с и на ча льных ус лови й озна ча ет отс утс тви е в с р еде др уги х и с точни к ов к р оме за да нных. Гр а ни чные ус лови я вк лю ча ю т в с ебя к р а евые ус лови я и ус лови я с опр яжени я. К р а евые ус лови я за да ю тс я на повер хнос ти S, огр а ни чи ва ю щей обла с ть V, в к отор ой и щетс я р ешени е. Спос об за да ни я эти х ус лови й может быть р а зли чным. В за ви с и мос ти от ха р а к тер а за да чи на повер хнос ти S могут быть за да ны потенци а л и его нор ма льна я пр ои зводна я, с мещени я, ли бо на пр яжени я. Н а одной ча с ти повер хнос ти могут быть за да ны на пр яжени я, а на др угой ча с ти – с мещени я. Ч а ще вс его пр и ходи тс я вс тр еча тьс я с внешней за да чей, к огда обла с ть, в к отор ой опр еделяетс я поле с мещени й, пр ос ти р а етс я до бес к онечнос ти . В этом с луча е к р оме ус лови й на повер хнос ти S, огр а ни чи ва ю щей обла с ть V и знутр и , тр ебуетс я выполнени е ус лови й на бес к онечнос ти . Ч то к а с а етс я ус лови й с опр яжени я, то они опр еделяю т поведени е поля на ос обых повер хнос тях, где пр ои с ходи т с к а чк ообр а зное и зменени е упр уги х с войс тв с р еды.

7. С

Ф Е Р И Ч Е С КИ Е В О Л Н Ы

Е с ли в однор одной и зотр опной с р еде с мещени я возбужда ю тс я точечным и с точни к ом, то к олеба ни я ча с ти чек будут пр ои с ходи ть по р а ди а льным на пр а влени ям, р а с ходящи мс я от и с точни к а . О чеви дно, в та к ом с луча е с ледует ожи да ть с ущес твова ни я в с р еде ли шь пр одольных волн. Пр и этом во вс ех точк а х с ф ер и чес к и х повер хнос тей р а ди ус а R, центр к отор ых с овпа да ет с и с точни к ом, и нтенс и внос ть к олеба ни й и и х с ос тояни е (ф а за ) будут пос тоянными . В этом с луча е говор ят о р а с пр ос тр а нени и в с р еде с ф ер и чес к и х волн. Д р уги м пр и мер ом и с точни к а , с озда ю щего с ф ер и чес к и е волны, может быть с ф ер и чес к а я полос ть р а ди ус ом l, к внутр енней с тор оне к отор ой пр и к ла дыва етс я ли бо р а ди а льное да влени е, ли бо к а с а тельные с и лы, дейс твую щи е па р а ллельно гор и зонта льной плос к ос ти . В пер вом с луча е пор ожда етс я с ф ер и чес к а я пр одольна я волна ; во втор ом – повор оты с ф ер и чес к ой повер хнос ти под дейс тви ем к а с а тельных с и л пор ожда ю т возмущени е, р а с пр ос тр а няю щеес я в ок р ужа ю щей с р еде в ви де попер ечной волны. Н ес мотр я на то, что с ф ер и чес к и е волны являю тс я ма тема ти чес к ой а бс тр а к ци ей, и х р а с с мотр ени е позволяет выяви ть ва жные за к ономер нос ти в р а с пр ос тр а нени и упр уги х к олеба ни й, с ос та вляю щи е ос нову теор и и с ейс мологи и и с ейс мор а зведк и .

18 7.1. П родольн ы е с фе ри че с ки е волн ы Ч тобы получи ть ур а внени е пр одольной с ф ер и чес к ой волны, ур а внени е (29) с ледует за пи с а ть в с ф ер и чес к ой с и с теме к оор ди на т R, ξ, ζ. Н а ча ло к оор ди на т с овмеща етс я с центр ом и с точни к а . В с и лу центр а льной с и мметр и и зна чени я потенци а ла будут неза ви с и мы от угловых к оор ди на т ξ и ζ, т. е. будет с пр а ведли во выр а жени е: ϕ(R, ξ, ζ, t) = ϕ(R, t), где R = x 2 + y 2 + z 2 . Л а пла с и а нв с ф ер и чес к и х к оор ди на та х с учетом упомянутой выше центр а льной с и мметр и и можно за пи с а ть в ви де: ∇ 2ϕ =

1 ∂  2 ∂ϕ  ∂ 2ϕ 2 ∂ϕ 1 ∂ 2 + = ( Rϕ ). R = 2 R ∂ R R ∂ R2 R 2 ∂ R  ∂ R  ∂R

(31)

С учетом с дела нного за меча ни я ур а внени е пр одольной с ф ер и чес к ой волны в с ф ер и чес к ой с и с теме к оор ди на т будет и меть ви д: ϕQ +

V 2P ∂ 2 ∂ 2ϕ ( R ϕ ) = , R ∂R 2 ∂t 2

(32)

где ϕ Q – потенци а л внешни х с и л, ϕ – потенци а л поля с мещени й. В уда ленной от и с точни к а обла с ти с р еды внешни е с и лы не дейс твую т, поэтому и х потенци а л можно пр и нять р а вным нулю . С учетом этого (32) пр и мет ви д: V 2P ∂ 2 ∂2 R ϕ = ( ) ( Rϕ ) . R ∂R 2 ∂t 2

(33)

   R  R  Решени ем (33) являю тс я ф унк ци и ви да Rϕ = A0  F 1  t −  + F 2t +   , а для потенци а  V P    VP ла    R  R  ϕ = A0  F 1  t −  + F 2t +  , R   VP  V P 

(34)

где A0 – а мпли туда волны на еди ни чном р а с с тояни и от и с точни к а . Согла с но (34) в да льней от и с точни к а обла с ти с р еды с ущес твует два возмущени я, опр еделяемые с ла га емыми пр а вой ча с ти . Пер вый член– это волна , р а с пр ос тр а няю ща яс я от и с точни к а ; ее а мпли туда убыва ет по мер е увели чени я р а с с тояни я. Н а повер хнос тях, ха р а к тер и зуемых ур а внени ями t – R/VP = const а мпли туда и меет одно и то же зна чени е. По мер е увели чени я вр емени возмущени е пер еда етс я во вс е более и более уда ленные точк и с р еды. В тор ой член(A0/R) F2(t + R/VP) – это волна , р а с пр ос тр а няю ща яс я по на пр а влени ю к и с точни к у. Ф и зи чес к и его с ущес твова ни е возможно ли шь тогда , к огда в с р еде и мею тс я ли бо др уги е и с точни к и и ли гр а ни цы р а здела , на к отор ых пр ои с ходи т отр а жени е волн. Т а к к а к пр и пос та новк е р а с с ма тр и ва емой за да чи та к и е гр а ни цы отс утс твую т, то вели чи ну F2(t+R/VP) с ледует положи ть р а вной нулю . Следова тельно, р ешени е (34) можно за пи с а ть в ви де   R  ϕ = A0  F 1  t −  . R   V P 

(35)

Поле с мещени й в пр одольной волне можно выр а зи ть с огла с но (5) на ос нове с оотношени я ∂ϕ R . Д и ф ф ер енци р уя (35), получи м: I P = I1 = gradϕ = ∂R R

19 IP =

1   ∂  A0  R  R R  1 R  R F′t −  F t −   = − A0  2 F  t − +  . ∂ R  R  V P  R  R  V P  RV P  V P   R

(36)

Согла с но (36) с мещени я в пр одольной волне опр еделяю тс я двумя с ла га емыми : с а мой ф унк ци ей F ( t − R VP ) и ее пер вой пр ои зводной F ′ = ∂F ∂R . М ножи тели 1 R 2 и 1 R пер едF и F

’

с оответс твенно пок а зыва ю т, что на р а зных р а с с тояни ях от и с точни к а к а ждое и з эти х с ла га емых и гр а ет р а зли чную р оль: пр и небольши х уда лени ях от и с точни к а необходи мо учи тыва ть оба с ла га емых, а пр и больши х – тольк о втор ое. С учетом пос леднего обс тоятельс тва вда ли от и с точни к а , к огда с пр а ведли во R 2 ? R , (36) пр и мет ви д: IP = −

A0 '  t R  R F −  . RV P  V P  R

(37)

7.2. П опе ре чн ы е с фе ри че с ки е волн ы Пус ть деф ор ма ци я вызыва етс я с ф ер и чес к и м и с точни к ом вр а щени я. Д опус ти м, что к повер хнос ти с ф ер и чес к ой полос ти р а ди ус а l, на ходящейс я в однор одной и зотр опной с р еде, пр и ложены к а с а тельные с и лы, вызыва ю щи е повор оты повер хнос ти к а к еди ного целого относ и тельно ос и Z. К а с а тельные с и лы дейс твую т па р а ллельно гор и зонта льной плос к ос ти . В лю бой точк е повер хнос ти к а с а тельное на пр яжени е в с ф ер и чес к ой с и с теме к оор ди на т опр едели тс я выр а жени ем: pRϕ=p(t)sinξ, где p(t) опр еделяет ха р а к тер за ви с и мос ти на пр яжени я от вр емени , ξ – поляр на я к оор ди на та . Повор оты с ф ер и чес к ой повер хнос ти в ок р ужа ю щей с р еде вызовут возмущени я, р а с пр ос тр а няю щи ес я в ви де попер ечной волны. Пус ть и с точни к на ча л дейс твова ть в момент t=0, т. е. pRϕ=0 пр и t=0. Пр и мем та к же, что до на ча льного момента t = 0 возмущени я в с р еде отс утс твова ли , т. е. выполняю тс я на ча льные ус лови я ви да ϕ0(a) = 0, ϕ'0(a) = 0. В с оответс тви и с ви хр евым ха р а к тер ом дейс твую щи х с и л с мещени я в точк е а в момент r вр емени t, могут быть опр еделены чер ез век тор ный потенци а л ψ в с огла с но ф ор мулы (5): r IS ( a, t ) = I 2 ( a, t ) = rotψ ( a, t ) . В ек тор ный потенци а л за пр едела ми с ф ер и чес к ой повер хнос ти (пр и R > l) опр едели тс я r ∂2 − 2 2ψ = 0 , где VS – с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я по2 V S∇ ∂t пер ечных волн. К а к и и с точни к , поле с мещени й будет обла да ть ос евой с и мметр и ей относ и тельно ос и Z ци ли ндр и чес к ой с и с темы к оор ди на т, с овпа да ю щей с поляр ной ос ью с ф ер и чес к ой с и с темы. r В с и лу отмеченного век тор -потенци а л будет и меть еди нс твенную к омпоненту ψ Z . Поэтому выр а r ∂ψ Z . В ци ли ндр и чес к ой с и с теме к оор ди на т ур а внени е для жени е для IS за пи шетс я в ви де IS = −lϕ ∂R век тор ного потенци а ла пр и мет ви д: r r ∂ 2ψ Z − V 2S ∇ 2ψ Z = 0. 2 ∂t Пер ейдем от ци ли ндр и чес к ой к с ф ер и чес к ой с и с теме к оор ди на т. В этом с луча е с мещени е IS за пи шетс я в ви де:

ур а внени ем (28), к отор ое за пи шем в ви де:

20 r ∂ψ Z ∂ R , IS = −l R ∂R ∂r где R2=z2+r2. r В ели чи на ψ Z тепер ь являетс я ф унк ци ей R и t, ур а внени е для нее в с и лу ус лови я центр а льной с ф ер и чес к ой с и мметр и и можно за пи с а ть в ф ор ме: r r ∂ 2 ( Rψ ) ∂ 2 ( Rψ ) −V S = 0. 2 2 ∂t ∂R В пос леднем ур а внени и и ндек с Z для к р а тк ос ти опущен. Решени е этого ур а внени я а на логи чно р ешени ю (35) для с к а ляр ного потенци а ла и меет ви д:

Ри с . 6. Смещени я в пр одольной волне

r R B  ψ ( R, t ) = 0 f  t − . R  VS К онк р етный ви д ф унк ци й F и f, ха р а к тер и зую щи х с к а ляр ный и век тор ный потенци а лы, за ви с и т от ви да и с точни к а , возбужда ю щего упр уги е к олеба ни я (на пр и мер , га р мони чес к и е, к олок олообр а зные и др .).

8. ПР

О Ф И Л Ь И ЗА П И С Ь В О Л Н Ы

Ра с с мотр и м нек отор ые ос обеннос ти р а с пр ос тр а нени я с ф ер и чес к и х волнв однор одной и зотр опной с р еде. Пр и ни ма я во вни ма ни е одноти пнос ть р ешени й для век тор ного и с к а ляр ного потенци а лов, обс уждени е можно пр овес ти на пр и мер е пр одольных волн. Б удем р а с с ма тр и ва ть поле с мещени й вда ли от и с точни к а , т. е. пр и R 2 ? R . Согла с но (37) IP = −

A0 F ′  t R  R . Е с ли и с точни к нос и т и мпульс ный ха р а к тер , ф унк ци я F ′ t − R V от( P)  −  RV P  V P  R

ли чна от нуля тольк о в течени е нек отор ого пр омежутк а вр емени δ t, т. е. F'(t)=0 пр и t=0 и t >δ t. Е с ли на ча ло отс чета вр емени с овмес ти ть с на ча лом дейс тви я и с точни к а , то в пр ои звольный момент вр емени t ф унк ци я F ′ ( t − R VP ) отли чна от нуля в пр едела х нек отор ого с ф ер и чес к ого с лоя, толщи на к отор ого опр едели тс я нер а венс твом 0 ≤ t − R VP ≤ δ t . В нутр енни й р а ди ус с лоя р а вен R1 = VP ( t − δ t ) , на р ужный R2 = VP ( t ) . С увели чени ем вр емени t обла с ть, в к отор ой пр ои зошли с мещени я, пер емеща етс я. Д ля ф и к с и р ова нного момента вр емени ti в с р еде можно выдели ть тр и полус ф ер и чес к и е обла с ти (р и с .5): I – обла с ть, где с мещени я уже за к ончи ли с ь и , вс ледс тви е упр угой деф ор ма ци и , ча с ти чк и вер нули с ь в пер вона ча льное положени е; II – обла с ть ши р и ной δ R, где в да нный момент вр емени и мею т мес то на пр яжени я и с мещени я; III – обла с ть, к отор ую с мещени я еще не за тр онули . Повер хнос ть, р а згр а ни чи ва ю щую обла с ти I и II, на зыва ю т за д ним фронт ом (или т ы лом ) волны; повер хнос ть, р а згр а ни чи ва ю щую обла с ти II и III – пе ре д ним фронт ом (или фронт ом ) волны. Ф р онт и тыл волны пер емеща ю тс я с одной и той же с к ор ос тью , опр еделяемой тольк о упр уги ми к онс та нта ми с р еды. 8.1. П рофи ль волн ы Ра с с мотр и м поле с мещени й внутр и обла с ти II для нек отор ого ф и к с и р ова нного момента

21 вр емени t = ti. В нутр и обла с ти II ши р и ной δ R = VPδ t в р а с с ма тр и ва емый момент с ущес твует нес к ольк о р а зли чных зонна пр яжени й. Н а Ри с . 6, на пр и мер , отр а жены две зоны с жа ти я и одна зона р а с тяжени я. Следова тельно, с мещени я внутр и этой обла с ти , по к р а йней мер е, оди нр а з и зменяю т зна к . Гр а ф и к с мещени й I(R) внутр и обла с ти II на зыва ю т профиле м се йсм иче ской в олны (Ри с . 7 а ). Н а та к и х гр а ф и к а х пр и нято зоны р а с тяжени я отобр а жа ть положи тельными , а с жа ти я – отр и ца тельными а мпли туда ми . Д ля с ледую щего момента ti+1 > t обла с ть II пер емес ти тс я да льше от и с точни к а . Е с ли поглощени е (с м. р а здел 10.2, с тр .23) упр угой энер ги и в с р еде отс утс твует (и деа льно упр уга я с р еда ), пр оф и ль волны для нового положени я обла с ти II ос та нетс я та к и м же, к а к и для ее пер вона ча льного положени я, но с огла с но (37) уменьши тс я пр опор ци она льно новому р а с с тояни ю от и с точни к а . Т очк и на пр оф и ле волны с на и больши ми положи тельными и ли отр и ца тельными а мпли туда ми с мещени й обр а зую т горбы и в па д ины . К а чес твенно пр оцес с р а с пр ос тр а нени я с ейс ми чес к ой волны можно оха р а к тер и зова ть к а к пер емещени е в упр угой с р еде гор бов и впа ди н. Пр оф и ль волны являетс я ф унк ци ей пр ос тр а нс твенной к оор ди на ты R. Ч ер едова ни е гор бов и впа ди н дела ет с ходной та к ую ф унк ци ю с га р мони чес к и и зменяю щи ми с я пр оцес с а ми . В мес те с тем, та к к а к эта ф унк ци я огр а ни чена в пр ос тр а нс тве по R, ее нельзя р а с с ма тр и ва ть в к а чес тве га р мони чес к ой ф унк ци и бес к онечной дли тельнос ти . О дна к о, по а на логи и с га р мони чес к и ми ф унк ци ю век тор а с мещени й I(R) ха р а к тер и зую т теми же вели чи на ми , что и га р мони чес к ое к олеба ни е бес к онечной дли тельнос ти , доба вляя к эти м вели чи на м с лова ” ви ди мый” , ” ви ди ма я” . Ра с с тояни е между двумя с ос едни ми гор ба ми (и ли впа ди на ми ) на зыва ю т в ид им ой д линой в олны λв. В ели чи ну 1/λв на зыва ю т в ид им ой прост ра нст в е нной ча ст от ой νв и ли в ид им ы м в олнов ы м числом kв. В ели чи ну 2πνв=χв на зыва ю т в ид им ой кругов ой прост ра нст в е нной ча ст от ой и ли в ид им ы м кругов ы м в олнов ы м числом . 8.2. За пи с ь волн ы Ра с с мотр и м поле с мещени й в нек отор ой ф и к с и р ова нной точк е с р еды М 1, на ходящейс я на ф и к с и р ова нном р а с с тояни и R1 от и с точни к а . За вр емя δ t вс я обла с ть II пер емес ти тс я чер ез точк у М 1 и пос ледова тельно пер еда с т ей с мещени я, с ущес твова вши е в этой обла с ти . Гр а ф и к с мещени й в ф и к с и р ова нной точк е с р еды к а к ф унк ци я вр емени I(t) на зыва етс я за писью в олны (Ри с . 7 б). За пи с ь волны повтор яет в обр а тной пос ледова тельнос ти мгновенный гр а ф и к с мещени й внутр и обла с ти II (пр оф и ль волны). В точк е М 2, на ходящейс я на большем уда лени и от и с точни к а , чем М 1, за пи с ь волны та к а я же, но та к же к а к и для пр оф и ля волны вс е а мпли туды будут уменьшены пр опор ци она льно р а с с тояни ю . Н а за пи с ь волны по тем же с ообр а жени ям, что и на гр а ф и к е пр оф и ля волны, а мпли туду, пер и од и др уги е ха р а к тер и с ти к и на зыва ю т ви ди мыми . Н а и больши е положи тельные и ли отр и ца тельные с мещени я на за пи с и волны на зыва ю т в ид им ы м и а м плит уд а м и Ав; пр омежуток вр емени между с ос едни ми ви ди мыми Ри с . 7. Пр оф и ль (а ) и за пи с ь (б) с ейс ми чес к ой волны а мпли туда ми одного зна к а –

22 в ид им ы м пе риод ом Тв; вели чи ну 1/Тв=fв – в ид им ой ц икличе ской ча ст от ой; вели чи ну 2πfв=ωв – в ид им ой кругов ой ча ст от ой; точк и на за пи с ях, в к отор ых с мещени я дос ти га ю т эк с тр ема льных зна чени й, в с ейс мор а зведк е и мею т с пеци а льный с мыс л и на зыва ю тс я в ид им ы м и фа за м и ϕв. В ели чи ны, ха р а к тер и зую щи е пр оф и ль волны I(R) и за пи с ь волны I(t), с вяза ны между с обой с ледую щи ми с оотношени ями : 1

=

1

λ в VT в

=

fв = v в = k в, V

2π λв

=

ωв = 2π v в = χ в, V

(38)

где V – с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я волны; с мыс л ос та льных вели чи нопр еделенр а нее.

9 . Ф А ЗО

В А Я И Г Р У П П О В А Я С КО Р О С Т И В О Л Н

. Д

И С П Е Р С И Я С КО Р О С Т И

За пер и од Т гор б и ли впа ди на волны пер емеща ю тс я на р а с с тояни е, р а вное дли не волны. Ск ор ос ть пер емещени я гор бов и впа ди нна зыва етс я фа зов ой скорост ью. О на с вяза на с дли ной волны и волновым чи с лом с оотношени ем: Vф =

λв ω в = , Tв kв

(39)

где ωв=2πfв – к р угова я ча с тота ; kв=2π /λв – волновое чи с ло. В и деа льно упр угой с р еде ф ор ма пр оф и ля волны по мер е его р а с пр ос тр а нени я не и зменяетс я: гор бы и впа ди ны (ф а зовые повер хнос ти ) пер емеща ю тс я с пос тоянной с к ор ос тью , р а вной с к ор ос ти р а с пр ос тр а нени я ф р онта волны: Vф =V. В неи деа льно упр уги х с р еда х ф ор ма пр оф и ля и за пи с и волны с уда лени ем от и с точни к а и зменяю тс я вс ледс тви е того, что ф а зова я с к ор ос ть за ви с и т от ча с тоты и ли (что являетс я тем же с а мым) от дли ны волны и ли волнового чи с ла . Д р уги ми с лова ми га р мони к и р а зли чной ча с тоты, обр а зую щи е с пек тр волны, могут р а с пр ос тр а нятьс я с р а зли чной с к ор ос тью . За ви с и мос ть ф а зовой с к ор ос ти от ча с тоты на зыва ю т д испе рсие й скорост и. Ра зли ча ю т нор ма льную ди с пер с и ю , к огда ф а зова я с к ор ос ть Vф возр а с та ет с уменьшени ем ча с тоты (увели чени ем пер и ода и ли дли ны волны), и а нома льную ди с пер с и ю , с к ор ос ть Vф уменьша етс я с уменьшени ем ча с тоты. О чеви дно, что пр и нор ма льной ди с пер с и и с пек тр обедняетс я за с чет выс ок и х ча с тот, а пр и а нома льной, на обор от, ни зк и х. В р езульта те ди с пер с и и с к ор ос ти пер емещени я ф р онта волны и ее ф а зовых повер хнос тей ок а зыва ю тс я р а зли чными . Пр и этом под с к ор ос тью пер емещени я ф р онта волны пони ма ю т оги ба ю щую вс его волнового па к ета (за пи с и волны) (Ри с . 8). Ск ор ос ть пер емещени я оги ба ю щей волнового па к ета на зыва ю т группов ой скорост ью Vгр . Гр уппова я с к ор ос ть опр еделяетс я выр а жени ем: V гр =

Ри с . 8. За пи с ь с ейс ми чес к ой волны с ди с пер с и ей с к ор ос ти

∂ω =V ф ∂k

 ω ∂Vф   1 −  .  V ф ∂ω  (40)

Е с ли ди с пер с и я отс утс твует, то Vф не за ви с и т от k (ча с тоты ω), гр уппова я и ф а зова я с к ор ос ти с овпа да ю т.

23 1 0 . ГЕ О

М Е Т Р И Ч Е С КО Е Р А С Х О Ж Д Е Н И Е И П О Г Л О Щ Е Н И Е В О Л Н

10.1. Ге оме т ри че с кое ра с хож де н и е волн Согла с но (37) а мпли туда с ф ер и чес к ой волны убыва ет с р а с с тояни ем. Э то явлени е на зыва етс я ге ом е т риче ским ра схожд е ние м в олн. Д ля пояс нени я геометр и чес к ого р а с хождени я в упр угой с р еде выделяю т узк ую в олнов ую т рубку – ма лую обла с ть с р еды, огр а ни ченную се йсм иче ским и луча м и. Под с ейс ми чес к и м лучом пони ма ю т на пр а влени е пер енос а с ейс ми чес к ой энер ги и в с р еде и , с ледова тельно, на пр а влени е р а с пр ос тр а нени я волны. Согла с но за к ону с охр а нени я ма тер и и за к лю ченна я внутр и тр убк и энер ги я должна ос та ва тьс я пос тоянной пр и ус лови и и деа льной упр угос ти с р еды и отс утс тви и необр а ти мых пер еходов ча с ти энер ги и в др уги е ее ви ды. С уда лени ем от и с точни к а площа дь попер ечного с ечени я волновой тр убк и , очеви дно, увели чи ва етс я, поэтому плотнос ть энер ги и (вели чи на энер ги и , пр и ходяща яс я на еди ни цу площа ди ) уменьша етс я пр опор ци она льно R2. А мпли туда с мещени й р а вна к ва др а тному к ор ню и з энер ги и , поэтому уменьша етс я пр опор ци она льно R. 10.2. П оглощ е н и е с е й с м и че с кой волн ы Пр и р а с пр ос тр а нени и с ейс ми чес к ой волны в неи деа льно упр угой с р еде ча с ть ее энер ги и необр а ти мо пер еходи т в др уги е ви ды энер ги и . М еха ни зм поглощени я и зученнедос та точно полно. О дной и з ги потез поглощени е объ яс няетс я тем, что пр и р а с пр ос тр а нени и с ейс ми чес к ой волны ча с ть ее энер ги и пер еходи т в тепловую энер ги и вс ледс тви е ” вязк ого тр ени я в с р еде” . Н а ос нове эк с пер и мента льных да нных пр и нято, что относ и тельное уменьшени е волны вс ледс тви е поглощени я пр опор ци она льно пр ойденному волной пути : dE/E = –2α dR,

(41)

где dE/E – относ и тельное уменьшени е энер ги и волны на ма лом уча с тк е пути dR. Пос ле и нтегр и р ова ни я (41) получи м: E=E0exp(–2αR),

(42)

где E0 – энер ги я волны на р а с с тояни и R = 0. К оэф ф и ци ент α в ф ор мула х (41 и 42) на зыва етс я коэ ффиц ие нт ом поглощ е ния э не ргии в олны . Из (42) с ледует, что вели чи на α опр еделятс я зна чени ем, обр а тно пр опор ци она льным р а с с тояни ю , на к отор ом энер ги я волны уменьша етс я в e/2 ≈ 1.359 р а з, р а змер нос ть [α] = М -1. Поглощени е с ейс ми чес к ой волны за ви с и т от ее ча с тотного с ос та ва . В общем с луча е α р а с тет пр опор ци она льно пок а за телю нек отор ой с тепени ча с тоты. Д ля с р а вни тельно ни зк и х ча с тот, с к отор ыми обычно и мею т дело в с ейс мор а зведк е, он пр и мер но пр опор ци она ленпер вой с тепени ча с тоты, т. е. α ≈ f. Пос к ольк у а мпли туда с ейс ми чес к ой волны р а вна к ва др а тному к ор ню и з энер ги и то Aα = A0 exp  −α ( f ) R  . С учетом геометр и чес к ого р а с хождени я и поглощени я волны ее а мпли туду можно за пи с а ть в ви де: AR =

A0 exp  −α f R  ,  ( )  R

(43)

где A0 – а мпли туда с мещени й на р а с с тояни и еди ни цы дли ны от и с точни к а . Поглощени е на уча с тк е пути , р а вном дли не волны, на зыва етс я д е кре м е нт ом поглощ е ния. Д ек р емент поглощени я опр едели тс я, очеви дно, с оотношени ем:

24 δ =αλв =αVTв,

(44)

Согла с но (44) дек р емент поглощени я – вели чи на безр а змер на я. Я влени я геометр и чес к ого р а с хождени я и поглощени я с ейс ми чес к и х волнопр еделяю т ха р а к тер а на ли ти чес к ого пр едс та влени я с ейс ми чес к и х к олеба ни й, р а с с мотр ени е к отор ого выходи т за р а мк и на с тоящего к ур с а .

1 1 . П ЛО

С КИ Е В О Л Н Ы

Е с ли с ф ер и чес к ую волну р а с с ма тр и ва ть на большом р а с с тояни и от и с точни к а , то к р и ви зной волнового ф р онта и и зменени ем и нтенс и внос ти на нек отор ом огр а ни ченном уча с тк е ф р онта можно пр енебр ечь. В этом с луча е можно с чи та ть, что с ф ер и чес к а я волна пер еходи т в плос к ую . Под плоской в олной пони ма етс я возмущени е, повер хнос ти р а вных ф а з к отор ого пр едс та вляю т с обой плос к ос ти , пер пенди к уляр ные к на пр а влени ю р а с пр ос тр а нени я волны. В плос к ой волне р а с хождени е ф р онта отс утс твует, поэтому а мпли туды с мещени й, опр еделяемые множи телями 1/(RVP) и 1/(RVS) , не за ви с ят от р а с с тояни я до и с точни к а , поэтому пр и да нном р а с с тояни и R а мпли туду можно с чи та ть пос тоянной. Следова тельно, ур а внени я, ха р а к тер и зую щи е р а с пр ос тр а нени е пр одольных и попер ечных волнможно пр и нять в ви де:  R  I P = AF ′  t −  I 0P = AF ′ ( t − τ P ) I 0P,  VP

(45)

 R I S = Af ′  t −  I0S = Af ′ ( t − τ S ) I 0S,  VS

(45')

где τP=R/VP , τS=R/VS . Пр и ни ма я во вни ма ни е а на логи ю между (45) и (45'), в да льнейшем ос новные поняти я о плос к и х волна х р а с с мотр и м на пр и мер е пр одольных волн. В пр ямоугольной с и с теме к оор ди на т, с овмещенной с о с ф ер и чес к ой с и с темой (R, ξ, ζ), ур а внени е (45) за пи шетс я в ви де:  d1 x + d 2 y + d3 z  I P = AF ′  t −  I 0P , VP  

(46)

где d1=cos(R, x), d2=cos(R, y), d3=cos(R, z) – на пр а вляю щи е к ос и нус ы R, с овпа да ю щего с на пр а влени ем нор ма ли к волновому ф р онту. Согла с но за к она м а на ли ти чес к ой геометр и и : d 1 + d 2 + d 3 = 1. 2

2

2

(*)

В с оответс тви и с (46) с мещени я IP пос тоянны на плос к ос тях, ха р а к тер и зую щи хс я ур а внени ями : d1x+d2y+d3z=const. В к а ждой и з та к и х плос к ос тей, пер пенди к уляр ных к на пр а влени ю р а с пр ос тр а нени я волны, к олеба ни я и мею т оди на к овую ф а зу и а мпли туду, т. е. повер хнос ти р а вных ф а з и а мпли тудс овпа да ю т. Т а к и е волны на зыва ю тс я од нород ны м и плоским и в олна м и. В с вязи с тем, что пр и а на ли зе ха р а к тер а волновых пр оцес с ов ши р ок о и с пользую тс я с пек тр а льные пр едс та влени я, с пеци а льный и нтер ес пр едс та вляю т плос к и е волны, и зменяю щи ес я по га р мони чес к ому за к ону. В ыр а жени е для плос к ой монога р мони чес к ой пр одольной волны, р а с пр ос тр а няю щейс я вдоль на пр а влени я R, можно за пи с а ть в ви де:

25   R  R R I P = A exp iω  t −   = A exp(−ikR ) exp(iω t ) R   V P  R

(47)

и ли I P = A exp  −ik ( d1 x + d 2 y + d3 z )  exp ( iω t )

R , R

(47')

Пер ва я эк с понента опр еделяет ф а зу к олеба ни я, втор а я отобр а жа ет га р мони чес к и й ха р а к тер и зменени я во вр емени . Пр и р ешени и р яда за да ч (с м. р а здел 14, с тр . 35), с вяза нных с р а с пр ос тр а нени ем упр уги х к олеба ни й, на р яду с однор одными плос к и ми волна ми пользую тс я поняти ем о неоднор одной плос к ой волне. О но вводи тс я на ос нова ни и ф ор ма льного допущени я о том, что на пр а вляю щи е к ос и нус ы являю тс я не вещес твенными , а к омплек с ными чи с ла ми : d 1 = d ′1 + d ′′1, d 2 = d ′2 + d ′′2, d 3 = d ′3 + d ′′3 .

(**)

Е с ли пр и этом потр ебова ть с облю дени я ус лови я (*), то ур а внени е (47) по-пр ежнему будет ха р а к тер и зова ть пр оцес с р а с пр ос тр а нени я га р мони чес к ой волны, но с учетом (**) пр и мет ви д: I P = A exp  k ( d ′′1x + d ′′2 y + d ′′3z )  exp  −ik ( d ′1x + d ′2 y + d ′3z )  exp ( iω t )

R . R

(48)

Согла с но (48) повер хнос ти р а вных ф а з в этой волне пр едс та влены плос к ос тями , пер пенди к уляр ными на пр а влени ю р а с пр ос тр а нени я и опр еделяемыми ур а внени ем: d1′x + d 2′ y + d3′ dz = const .

(49)

Повер хнос ти р а вных а мпли туд A exp  k ( d1′′x + d 2′′ y + d 3′′z )  – это плос к ос ти , опр еделяемые ур а внени ем: d ′′1x + d ′′2 y + d ′′3z = const

(50)

Подс та вляя (**) в (*) и пр и ни ма я во вни ма ни е, что два к омплек с ных чи с ла р а вны в том с луча е, к огда пор ознь р а вны между с обой и х мни мые и дейс тви тельные ча с ти , получи м ур а внени е: d ′1d ′′1 + d ′2d ′′2 + d ′3d ′′3 = 0

(51)

Пос леднее р а венс тво озна ча ет ор тогона льнос ть ф а зовых и а мпли тудных плос к ос тей. В олны, опи с ыва емые ур а внени ями ви да (48), пр и нято на зыва ть не од нород ны м и плоским и в олна м и. Т а к и е волны р а с пр ос тр а няю тс я в на пр а влени ях, опр еделяемых ур а внени ями ви да (49), а ее а мпли туда и зменяетс я вдоль ф а зовой плос к ос ти в одном и з пер пенди к уляр ных на пр а влени й. В общем с луча е с ф ер и чес к ую волну можно пр едс та ви ть в ви де на ложени я большого чи с ла однор одных и неоднор одных плос к и х волн. А на ли ти чес к и та к а я с упер пози ци я плос к и х волнопр еделяетс я и нтегр а лом Зоммер ф ельда 5. Д ля га р мони чес к ой с ф ер и чес к ой волны, ха р а к тер и зуемой ф унк ци ей ви да : G (t ) = e

− ik0 R

R

G (t ) =

5

eiω t и нтегр а л Зоммер ф ельда и меет ви д: 1 2π

2

∫∫∫

exp[ −i( k X x + kY y + k Z z )] iω t e dk X dk Y dk Z , k 2X + k Y2 + k 2Z − k 02

(52)

Зоммер ф ельдА р нольд(1868–1951), немецк и й ф и зи к и ма тема ти к , и нос тр а нный член-к ор р . (с 1925 г.) А Н СССР

26 где волновые чи с ла для к оор ди на тных на пр а влени й kX, kY, kZ являю тс я пер еменными и нтегр и р ова ни я. К огда с умма k 2X + k Y2 + k 2Z огр а ни чена , то р а с с ма тр и ва ю тс я однор одные плос к и е волны. Е с ли эта с умма неогр а ни ченно возр а с та ет, одну и з пер еменных (на пр и мер , kZ) пр и ни ма ю т мни мой вели чи ной, что влечет за с обой необходи мос ть р а с с мотр ени я неоднор одных плос к и х волн. Поняти е плос к ой волны являетс я ма тема ти чес к ой а бс тр а к ци ей, пос к ольк у не с ущес твует р еа льных и с точни к ов для ее возбуждени я. О дна к о пр едс та влени е р а зли чных волнв ви де с упер пози ци и плос к и х волноблегча ет р ешени е р яда за да ч. Н а пр и мер , пр и и зучени и явлени й отр а жени я и пр охождени я волны на гр а ни це р а здела упр уги х с войс тв допус ти мо р а с с мотр ени е па дени я на гр а ни цу однор одной плос к ой волны. Е с ть и та к и е волновые пр оцес с ы (на пр и мер , обр а зова ни е пр еломленной головной волны), объ яс ни ть к отор ые можно тольк о с учетом с ф ер и чнос ти ф р онта па да ю щей волны. В этом с луча е возни к а ет потр ебнос ть введени я неоднор одных плос к и х волн.

1 2 . УС Л О

В И Е А П П Р О КС И М А Ц И И УЧ А С Т КА Ф Р О Н Т А С Ф Е Р И Ч Е С КО Й В О Л Н Ы УЧ А С Т КО М Ф Р О Н Т А П Л О С КО Й В О Л Н Ы

Ра с с мотр и м, на к а к ом р а с с тояни и от и с точни к а с ф ер и чес к ую волну в огр а ни ченной обла с ти пр ос тр а нс тва можно р а с с ма тр и ва ть к а к плос к ую волну. Пус ть (Ри с . 9) уча с ток SS с ф ер и чес к ого ф р онта с центр ом в и с точни к е О а ппр ок с и ми р уетс я уча с тк ом PP плос к ого ф р онта с нор ма лью р а ди ус ом P0O = R (точк а P0 – с ер еди на отр езк а PP). Пр и та к ой а ппр ок с и ма ци и на р уша етс я ус лови е, с огла с но к отор ому во вс ех точк а х плос к ого ф р онта к олеба ни я на ходятс я в одной ф а зе. М ожно на ложи ть ус лови е, чтобы отк лонени е ф а з к олеба ни й в пр едела х плос к ого уча с тк а ф р онта L от ф а з в пр едела х с ф ер и чес к ого уча с тк а было очень ма лым, на пр и мер , гор а зРи с . 9. А ппр ок с и ма ци я уча с тк а ф р онта с ф ер и чес к ой волны уча с тк ом ф р онта плос к ой волны

до меньше π. Н а помни м, что р а знос ть ф а з вели чи ной π озна ча ет, что к олеба ни я на ходятс я в пр оти воф а зе. М а лос ть р а зли чи я ф а з между к олеба ни ями в пр едела х с ф ер и чес к ого и плос к ого ф р онтов озна ча ет, что р а знос ть ∆ путей пр обега волны в пр ои звольные точк и с ф ер и чес к ого и плос к ого ф р онтов должны быть гор а здо меньше дли ны полуволны:

∆ = SP = λ 2.

(53)

Ра знос ть путей (р а знос ть хода ) опр еделяетс я, очеви дно, выр а жени ем: ∆ = PO–P0O = R1–R. Из тр еугольни к а OPP0 на ходи м: 2

L  L  R1 = R +   = R 1 +   2  2R 

2

2

Пр и няв

L x2 = 1 и вос пользова вши с ь пр и бли женным с оотношени ем 1 + x 2 ≈ 1 + , полу2R 2

 1  L 2 1 L2 чи м: ∆ = R 1 +  . Пос ле этого (53) можно пер епи с а ть в ви де: − R =   2 4R  2  2 R   1 L2 λ = . За мени в дли ну волны λ = V/f, в ок онча тельном ви де и меем: 2 4R 2

27 R?

L2 f . 4V

(54)

Полученное выр а жени е на зыва етс я не ра в е нст в ом Ф ра унгофе ра 6. О но опр еделяет ус лови е, пр и к отор ом уча с ток ф р онта с ф ер и чес к ой волны можно с чи та ть плос к и м. Пр и а ппр ок с и ма ци и с ледует учи тыва ть не тольк о уда лени е от и с точни к а R и дли ну уча с тк а ф р онта L, но ча с тоту f и с к ор ос ть V р а с пр ос тр а нени я волны. В пр и ложени и к с ейс ми чес к и м волна м, с пек тр ы к отор ых с одер жа т га р мони чес к и е с ос та вляю щи е в ди а па зоне ча с тот от fгр .н. до fгр .в. в (54) за f с ледует пр и ни ма ть вер хню ю гр а ни чную ча с тоту с пек тр а волн. Пр и пр а к ти чес к ом и с пользова ни и нер а венс тва Ф р а унгоф ер а за да етс я допус ти мый вр еменной с дви г вели чи ны ∆t на пр ямоли нейном уча с тк е L, к отор ый с огла с уетс я с ша гом ди с к р ети за ци и р еги с тр и р уемых с и гна лов. В этом с луча е нер а венс тво (54) можно за пи с а ть в ви де: V ∆t =

1 L2 , 2 4R

отк уда L=

8V R ∆t

(55)

Н а пр и мер , для V=2000 м/с , R=2000 м , ∆t=0.001 c вели чи на L с ос та ви т ок оло 190 м.

13. О

С Н О ВЫ

Г Е О М Е Т Р И Ч Е С КО Й С Е Й С М И КИ

13.1. П ре два ри т е льн ы е за ме ча н и я Л ю бые за да чи р а с пр ос тр а нени я с ейс ми чес к и х волнможно р еша ть с пози ци й волновой теор и и , элементы к отор ой р а с с мотр ены выше. В нек отор ых ва жных пр а к ти чес к и х за да ча х с ейс мор а зведк и более пр ос тые р ешени я могут быть получены с и с пользова ни ем луче в ы х пре д ст а в ле ний ге ом е т риче ской се йсм ики. Геометр и чес к а я с ейс ми к а за ни ма етс я и зучени ем за к онов р а с пр ос тр а нени я с ейс ми чес к и х волнна ос нове и х пр едс та влени й в ви де ф р онтов и лучей. Свое на зва ни е этот р а здел получи л по а на логи и с геометр и чес к ой опти к ой, в к отор ой введено поняти е о с ветовых луча х. Геометр и чес к а я опти к а и геометр и чес к а я с ейс ми к а и мею т общи е за к оны, с тр ого пр и мени мые в том с луча е, к огда дли на упр угой волны бес к онечно ма ла по с р а внени ю с пр отяженнос тью волнового ф р онта . Пос к ольк у в р еа льных ус лови ях дли на волны – вели чи на к онечна я, отс туплени я от за к онов геометр и чес к ой с ейс ми к и тем меньше, чем больше р а змер ы объ ек тов, на к отор ых обр а зую тс я волны. О с новные ур а внени я геометр и чес к ой с ейс ми к и могут быть получены р а зли чными с пос оба ми : пр еобр а зова ни ем волнового ур а внени я пр и пр едельном пер еходе от к онечных дли н волн к бес к онечно ма лым, т. е. к огда ча с тота волны бес к онечно вели к а , ли бо и з та к на зыва емых принц ипов Г юйге нса 7 и Ф е рм а 8, и с пользую щи х геометр и чес к и е пос тр оени я ф р онтов и лучей с ейс ми чес к и х волн.

6 7 8

Ф р а унгоф ер (Ф р а унхоф ер ) Й озеф (1787–1826), немецк и й ф и зи к . У с овер шенс твова л и зготовлени е ли нз. Гю йгенс (Хёйгенс ) Хр и с ти а н(1629–1695), ни дер ла ндс к и й ученый. Созда л (в 1678 г.) волновую теор и ю с вета . Ф ер ма Пьер (1601–1665), Ф р а нцузс к и й ма тема ти к , оди ни з с озда телей а на ли ти чес к ой геометр и и и теор и и чи с ел. Т р уды по опти к е и др .

28 13.2. П оле вре ме н с е й с ми че с кой волн ы . У ра вн е н и е поля вре м е н По л е вр ем ен. Изо х р о ны . Лу ч и

Пус ть в с р еде, где р а с пр ос тр а няетс я с ейс ми чес к а я волна , зна чени я с к ор ос ти и звес тны и за да ны в ви де нек отор ой ф унк ци и к оор ди на т точек упр угой с р еды, т. е. V=V(x, y, z). В пр ои звольную точк у с р еды с к оор ди на та ми x, y, z волна пр и дет в момент вр емени τ, к отор ый та к же за ви с и т от к оор ди на т этой точк и τ=τ(x, y, z). Т а к и м обр а зом, упр угую с р еду можно оха р а к тер и зова ть с к а ляр ным полем, к отор ое на зыва етс я поле м в ре м е н се йсм иче ской в олны . В поле вр еменможно выдели ть повер хнос ти , в к а ждую точк у к отор ых волна пр и ходи т в одно и то же вр емя. Т а к и е повер хнос ти на зыва ю тс я изохрона м и. Совок упнос ть и зохр ондля р а зли чных моментов вр емени ха р а к тер и зует ос обеннос ти пер емещени я ф р онта волны в с р еде. Л и ни и , пер пенди к уляр ные и зохр она м поля вр емен, на зыва ю тс я се йсм иче ским и луча м и. Сейс ми чес к и е лучи опр еделяю т на пр а влени я, по к отор ым пр ои с ходи т пер енос энер ги и волны пр и ее р а с пр ос тр а нени и и з одной точк и с р еды в др угую . Иными с лова ми , лучи пр едс та вляю т на пр а влени я, вдоль к отор ых ф р онт волны р а с пр ос тр а няетс я с о с к ор ос тью V(x, y, z). О с новна я за да ча геометр и чес к ой с ейс ми к и с ос тои т в и зучени и вр еменпр и хода с ейс ми чес к и х волн, к онф и гур а ци и и х ф р онтов и лучей, к огда за да но р а с пр еделени е в с р еде с к ор ос ти V(x, y, z). Пр едел ьны й п ер ех о д о т во л но во го у р авнени я к у р авнени ю п о л я вр ем ен

Пус ть в неоднор одной с р еде с о с к ор ос тью V(x, y, z) р а с пр ос тр а няетс я плос к а я пр одольна я 2 ϕ волна , опр еделяема я ур а внени ем (27): V 2 ( x, y, z ) ∇ 2ϕ = ∂ 2 . Д ля га р мони чес к ой с ос та вляю щей ∂t

потенци а л ϕ можно за пи с а ть в ви де:  2π  ϕ = A ( x, y, z ) expi t − τ ( x, y , z )   ,  T 

(56)

где t – пр ои звольное вр емя; τ(x, y, z) – вр емя пр и хода волны в точк у с р еды с к оор ди на та ми x, y, z. В ведем для к р а тк ос ти за пи с и в (56) с ледую щи е обозна чени я: A=A(x, y, z); B=i2π/T; τ =τ(x, y, z)

(*)

и пер епи шем (56) в ви де: B t −τ ϕ = Ae ( ) . 2 ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ Н а йдем ∂ 2 и ∇ 2ϕ = + + 2: 2 ∂ x2 ∂ y ∂z ∂t

∂ϕ ∂ A B ( t −τ ) dt = − AB e B ( t −τ ) ; e dx ∂x ∂x 2  2 ∂ A ∂τ ∂ 2ϕ ∂ 2t + AB ∂τ   . B ( t −τ ) ∂ A = − 2 B − AB  2 e    ∂x∂x  ∂ x   ∂x 2 ∂ x2  ∂x

По а на логи и с на пр а влени ем X для на пр а влени й Y и Z и меем:

(56')

29 2  2 2  ∂τ   t ∂ A ∂τ ∂ 2ϕ ∂ B ( t −τ )  ∂ A =e −2B − AB 2 + AB  ; 2 ∂ y∂ y ∂y ∂ y2  ∂y  ∂ y   2 2 2  2 t ∂ A ∂τ  ∂τ   ∂ ϕ ∂ B ( t −τ ) ∂ A =e − AB 2 + AB  2 −2B  . ∂z∂z  ∂ z   ∂z ∂ z2  ∂z

Н а к онец, втор а я вр еменна я пр ои зводна я (пр а ва я ча с ть (27)) за пи шетс я в ви де: ∂ 2ϕ B t −τ = AB 2 e ( ) . 2 ∂t Подс та вляя пр ои зводные в (27), пр ои зводя с ок р а щени е на eα ( t −τ ) и вос с та на вли ва я пр и нятые в (*) обозна чени я, получи м: 2 2   4π 2π V 2  ∇2 A − i ( gradτ gradA) − i A∇ 2τ − A 4π2 grad2τ  = − A 4π2 . T T T T  

(57)

Пр и р а вни ва я дейс тви тельные и мни мые члены левой и пр а вой ча с тей, ур а внени е (57) р а зби ва ем на два ур а внени я: 2gradτ gradA + A∇ 2τ = 0;  2 4π 2 grad 2τ  V 2 = − A 4π 2 . ∇ A − A   T2 T2  

(57')

Ра здели м левую и пр а вую ча с ти втор ого ур а внени я и з (57') на –A(2π/T)2. Пр и T→0 (f→∞) T 2∇ 2 A → 0 и в ур а внени и ос та ю тс я ли шь члены, ха р а к тер и зую щи е к и нема ти к у волны (вр е4π 2 A мя и с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я ф р онта ): член

grad 2τ ( x, y, z ) =

1 V ( x, y , z ) 2

(58)

Ф унк ци я τ в (58) по с воему ф и зи чес к ому с мыс лу являетс я полем вр еменупр угой волны. Са мо ур а внени е (58) на зыва ю т основ ны м ура в не ние м поля в ре м е н с ейс ми чес к ой волны, а та к же э йкона лом (от гр ечес к ого с лова “eikon” – и зобр а жени е) и ли ура в не ние м Г а м ильт она . Э то ур а внени е можно за пи с а ть в ви де: 2

2

2

1  ∂τ   ∂τ   ∂τ   +   +  = 2  ∂ x   ∂ y   ∂ z  V ( x, y , z )

(59)

и ли r τ2 =

1 , V ( x, y , z ) 2

(60)

r где τ = grad τ – гр а ди ент поля вр емен. 13.3. П ри н ци пы Гю й ге н с а и Фе рм а У р а внени е поля вр емен(59) может быть получено и на ос нове геометр и чес к и х пос тр оени й ф р онтов волн; та к ой методр ешени я получи л на зва ни е принц ипа Г юйге нса .

30 Пус ть в нек отор ый на ча льный момент τ = τ0 волнова я повер хнос ть за ни ма ет положени е S0(x, y, z) (Ри с . 10). Согла с но пр и нци пу Гю йгенс а вс е точк и повер хнос ти S0 можно р а с с ма тр и ва ть к а к и с точни к и втор и чных волн, пор ожденных дейс твую щи м (пер ви чным) и с точни к ом. Пр и этом с чи та етс я, что в однор одной с р еде втор и чные волны и злуча ю тс я тольк о впер ед, т. е. в на пр а влени ях, обр а зую щи х ос тр ые углы с внешней нор Ри с . 10. Пос тр оени е волновых повер хма лью к ф р онту волны. В с ледую щи й бли зк и й момент τ1=τ+dτ нос тей по пр и нци пу Гю йгенс а волновую повер хнос ть S1(x, y, z) можно пос тр ои ть к а к оги ба ю щую с емейс тва элемента р ных волн, к а жда я и з к отор ых в пер вом пр и бли жени и р а с с ма тр и ва етс я к а к с ф ер а ма лого р а ди ус а dρ=V(x, y, z)dτ, точечные и с точни к и (точнее и х центр ы) к отор ых лежа т на повер хнос ти S0. Д ля на хождени я положени я волновой повер хнос ти S2 на момент вр емени τ2=τ1+dτ с ледует пр овес ти а на логи чные пос тр оени я для повер хнос ти S1 и т. д. Из и зложенного вытек а ет с пр а ведли вос ть ур а внени я: dτ 1 = , dn V ( x, y, z )

(61)

где dn – отр езок нор ма ли между бли зк и ми волновыми повер хнос тями , р а зделенными во вр емени и нтер ва лом dτ; V(x, y, z) – и с ти нна я с к ор ос ть в с р еде. Пр ои зводна я dτ/dn – ес ть пр оек ци я век тор а gradτ на на пр а влени е нор ма ли , т. е. dτ/dn=gradnτ. Т а к и м обр а зом, (61) эк ви ва лентно (58) и вс е р а с с мотр енные в да нном р а зделе ур а внени я можно р а с с ма тр и ва ть к а к ма тема ти чес к ое опр еделени е пр и нци па Гю йгенс а . Д ля за да нного р а с пр еделени я с к ор ос ти в с р еде V(x, y, z) р ешени е та к и х ур а внени й позволяет опр едели ть к онф и гур а ци ю волнового ф р онта с ейс ми чес к ой волны для лю бого момента вр емени . Е с ли с р еда однор одна (V=const), то, к а к легк о можно убеди тьс я, р ешени ем (59) будет ф унк ци я τ=

2 2 2 x +y +z . V

(62)

Э то выр а жени е пок а зыва ет, что ф р онты волнв однор одной с р еде пр едс та влены с ф ер а ми . О чеви дно, в с луча е неоднор одной с р еды ф р онты волн– с ложные к р и воли нейные повер хнос ти . Согла с но с дела нному выше опр еделени ю ур а внени е и зохр онможно получи ть, пр и р а вняв ф унк ци ю поля вр емени τ (x, y, z) нек отор ым пос тоянным зна чени ям вр емени : τ (x, y, z)=const. А на логом пр и нци па Гю йгенс а пр и мени тельно к и с с ледова ни ю к онф и гур а ци и с ейс ми чес к и х лучей являетс я принц ип Ф е рм а . Согла с но этому пр и нци пу р а с пр ос тр а нени е с ейс ми чес к и х волнот одной точк и с р еды до др угой пр ои с ходи т вдоль с ейс ми чес к и х лучей за на и меньшее вр емя. Следова тельно, опр еделени е к онф и гур а ци и с ейс ми чес к ого луча с води тс я к вычи с лени ю ми ни мума к р и воли нейного и нтегр а ла : τ=

∫ l

dl V ( x, y , z )

(63)

где dl – элемент луча . Пр и вычи с лени и и нтегр а ла (63) тр ебуетс я подобр а ть та к ую ф унк ци ю l(x, y, z), для к отор ой вр емя пр обега волни з одной точк и с р еды в др угую пр и за да нной ф унк ци и с к ор ос ти V(x, y, z) ок а за лос ь бы на и меньши м. В с луча е однор одной, и зотр опной с р еды р ешени е этой за да чи пр и води т к пр ямоли нейнос ти с ейс ми чес к и х лучей. В неоднор одной и а ни зотр опной

31

Ри с . 11. О пр еделени е к а жущейс я с к ор ос ти ф р онта волны

с р еда х с ейс ми чес к и е лучи , очеви дно, к р и воли нейны. К онф и гур а ци ю с ейс ми чес к и х лучей можно опр едели ть на ос нове геометр и чес к и х пос тр оени й, пр оводя ли ни и , пер пенди к уляр ные и зохр она м. 13.4. И с т и н н а я и ка ж ущ а я с я с корос т и волн , с вя зь ме ж ду н и ми Исти нная ско р о сть

Ис ти нной на зыва ю т с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я ф р онта волны по нор ма ли к нему, т. е. вдоль r с ейс ми чес к ого луча . Ис ти нна я с к ор ос ть V с вяза на с гр а ди ентом поля вр еменτ ур а внени ем: 1 1 V= r = , τ dτ dn

(64)

r Гр а ди ент τ пок а зыва ет на пр а влени е на и быс тр ейшего и зменени я поля вр емени на пр а влен пер пенди к уляр но и зохр она м поля. Каж у щ аяся ско р о сть, ее связь с и сти нно й ско р о стью

Пр и лю бом пр ои звольном на пр а влени и ll (Ри с . 11), не с овпа да ю щи м с на пр а влени ем нор r ма ли к ф р онту волны, пр оек ци я τ на выбр а нное на пр а влени е ll на зыва етс я гра д ие нт ом поля в ре м е ни по э т ом уна пра в ле нию: r r gradl τ = τ l = τ cos ( n, l ) . (65) r В ели чи на , обр а тна я τ l , р а вна я с к ор ос ти р а с пр ос тр а нени я с леда ф р онта волны вдоль на пр а влени я ll на зыва етс я ка жущ е йся скорост ью Vк . К а к с ледует и з опр еделени й, к а жуща яс я и и с ти нна я с к ор ос ти с вяза ны между с обой за ви с и мос тью : cos ( n, l ) 1 r ∂τ r = τl = = τ cos ( n, l ) = . Vк ∂l V

(66)

Связь между к а жущейс я и и с ти нной с к ор ос тями и углом выхода (па дени я) луча в точк у на блю дени я на зыва етс я за коном Б е нд орфа . У гол между n и l {e=(n, l)} на зыва ю т углом в ы ход а се йсм иче ского луча и з точк и на блю дени я P. Д ополни тельный угол к углу выхода луча α = 90°–e на зыва етс я углом па д е ния луча . Т а к и м обр а зом, за к онБ ендор ф а можно за пи с а ть в ви де:

32 Vк =

V V = . cos e sin α

(66')

К а к с ледует и з (66'), к а жуща яс я с к ор ос ть и зменяетс я с и зменени ем угла выхода луча : пр и e=0 Vк =V; пр и e=90° Vк =∞ . За ви с и мос ть к а жущейс я с к ор ос ти от угла па дени я и ли (что являетс я тем же с а мым) от на пр а влени я пр и хода волны в точк у на блю дени я позволяет и с пользова ть этот па р а метр для р а зделени я (с елек ци и ) с ейс ми чес к и х волн, а та к же для опр еделени я к оор ди на т центр ов обр а зова ни я волнна с ейс ми чес к и х гр а ни ца х. Э ти с пеци а льные вопр ос ы р а с с ма тр и ва ю тс я в к ур с е ” Сейс мор а зведк а ” . 13.5. П ри н ци п Фре н е ля . П он я т и е об и н т е гра ле К и рхгофа , формуле П уа с с он а Пр и нци п Фр енел я

В р а мк а х геометр и чес к ой с ейс ми к и за да ча о р а с пр ос тр а нени и с ейс ми чес к и х волн, т. е. на хождени е положени я ф р онта волнв лю бой момент вр емени по за да нным зна чени ям с к ор ос ти в с р еде к а к ф унк ци и к оор ди на т точек с р еды, с огла с но и зложенному выше, может быть р ешена с помощью пр и нци па Гю йгенс а . В мес те с тем, пр и этом ос та етс я неяс ным вопр ос об и нтенс и внос ти волн, р а с пр ос тр а няю щи хс я по р а зли чным на пр а влени ям. В опти к е эта пр облема ча с ти чно ус тр а нена О .Ж . Ф р енелем9, дополни вши м пр и нци п Гю йгенс а и деей о к огер ентнос ти втор и чных волни и х и нтер ф ер енци и пр и на ложени и . Н а помни м, что коге ре нт ны м и на зыва ю тс я два га р мони чес к и х к олеба ни я с оди на к овой ча с тотой и неза ви с ящей от вр емени р а знос тью ф а з. А на логи и между геометр и чес к ой опти к ой и геометр и чес к ой с ейс ми к ой позволяю т р а с пр ос тр а ни ть и дею Ф р енеля относ и тельно с ветовых волнна упр уги е волны. Согла с но Ф р енелю и нтенс и внос ть (а мпли туда ) упр угой волны в лю бой точк е с р еды за пр едела ми и с ходного волнового ф р онта опр еделяетс я к а к р езульта т и нтер ф ер енци и элемента р ных втор и чных с ейс ми чес к и х волн, и с точни к и к отор ых непр ер ывно р а с пр еделены на р а с с ма тр и ва емой волновой повер хнос ти S. М оди ф и ци р ова нный та к и м обр а зом пр и нци п Гю йгенс а получи л на зва ни е принц ипа Г юйге нса -Ф ре не ля. О с новные положени я этого пр и нци па за к лю ча ю тс я в с ледую щем: 1) поле с мещени й ϕ, с озда ва емое и с ти нным (пер ви чным) и с точни к ом О (Ри с . 12), в пр ои звольной точк е с р еды P, на ходящейс я за ф р онтом волны S, можно за мени ть эк ви ва лентной ему с и с темой втор и чных и с точни к ов – ма лых уча с тк ов ds лю бой за мк нутой вс помога тельной повер хнос ти S, пр оведенной та к , чтобы она охва тыва ла и с точни к О и не охва тыва ла р а с с ма тр и ва емую точк у P; пр и этом S р а зби ва етс я на ма лые к ольцевые обла с ти , на зыва емые зона м и Ф ре не ля; и х р а ди ус ы р а вны b+λ/2, b+2λ/2, b+3λ/2 и т. д., то ес ть р а зли ча ю тс я на λ/2, где b – р а с с тояни е по нор ма ли от точк и P до повер хнос ти S; 2) втор и чные и с точни к и к огер ентны пер ви чному и с точни к у и между с обой, поэтому возбужда емые и ми втор и чные волны и нтер ф ер и р ую т пр и на ложени и ; р а с чет и нтер ф ер енци и на и более пр ос т, ес ли S – ф р онт волны, т. к . ф а зы вс ех втор и чных и с точни к ов пр и этом оди на к овы; 3) а мпли туда к олеба ни й dϕ, возбужда емых в точк е Р втоРи с . 12. Пос тр оени е зонФ р енеля

9

Ф р енель О гю с тенЖ а н(1788–1827), Ф р а нцузс к и й ф и зи к , оди ни з ос новоположни к ов волновой опти к и .

33 р и чным и с точни к ом, пр опор ци она льна отношени ю площа ди ds с оответс твую щего уча с тк а волновой повер хнос ти S к р а с с тояни ю от него до точк и Р и за ви с и т от угла ψ между внешней нор ма лью к волновой повер хнос ти и на пр а влени ем от элемента ds в точк у Р: dϕ = K (ψ )

a ds b

(67)

где a – вели чи на , пр опор ци она льна я а мпли туде пер ви чной волны в точк а х элемента ds; K(ψ) – к оэф ф и ци ент, учи тыва ю щи й и зменени я а мпли туд втор и чных волнв за ви с и мос ти от р а с с тояни я l=PQ и монотонно убыва ю щи й от 1 пр и ψ=0 до 0 пр и ψ=π/2 (втор и чные и с точни к и не и злуча ю т на за д); 4) к олеба ни я, возбужда емые в точк е Р двумя с ос едни ми зона ми Ф р енеля пр оти воположны по ф а зе, т. к . р а знос ть хода от с ходс твенных точек эти х зондо точк и Р р а вна λ/2; с ледова тельно, а мпли туда р езульти р ую щи х к олеба ни й в точк е Р р а вна ϕ=ϕ1–ϕ2+ϕ3–ϕ4+… , где ϕi – а мпли туды к олеба ни й, возбужда емых в точк е Р втор и чными и с точни к а ми , на ходящи ми с я в пр едела х i – ой зоны; т. к . с увели чени ем i увели чи ва етс я р а с с тояни е l, с пр а ведли во с оотношени е ϕ1>ϕ2>ϕ3>ϕ4>..., к р оме того, с огла с но пр и нци па Гю йгенс а – Ф р енеля ϕi=0.5(ϕi–1+ϕi+1), поэтому а мпли туда к олеба ни й в точк е Р пр и бли женно р а вна ϕ≈ϕ1/2, т. е. р езульти р ую щее дейс тви е вс его отк р ытого волнового ф р онта р а вно полови не дейс тви я пер вой (центр а льной) зоны Ф р енеля. Пользуяс ь зона ми Ф р енеля, поле с мещени й в пр ои звольной точк е Р пр и р а с пр ос тр а нени и с ф ер и чес к ой монохр ома ти чес к ой волны в однор одной с р еде вычи с ляю т с ледую щи м обр а зом. У р а внени е волны пр едс та вляетс я в ви де: ϕr =

ϕ 0 iω ( t − r V ) e , r

(68)

где ϕ0 – а мпли туда с мещени й на р а с с тояни и от и с точни к а , р а вном еди ни це; V – с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я ф р онта волны; r – р а с с тояни е от точк и с р еды Р до и с точни к а . Пус ть S (Ри с . 12) пр едс та вляет мгновенное положени е ф р онта волны, О – и с точни к волны. Поле с мещени й в пр ои звольной точк е Q, на ходящейс я на волновом ф р онте S, с учетом геометр и чес к ого р а с хождени я опр едели тс я выр а жени ем: ϕr =

ϕ 0 iω t0 ϕ 0 iω r0 e = e r0 r0

V

=

ϕ 0 ikr0 e , r0

(69)

где r0 – р а с с тояни е точк и Q от и с точни к а О ; t0 – вр емя пр обега . В к ла д в поле с мещени й возмущени я, внос и мого ма лым элементом ф р онта dS с центр ом в точк е Q, р а вен: dϕ ( P ) = K (ψ )

ϕ 0 ikr0 ikl e e , r0l

(70)

где l=QP – р а с с тояни е от точк и P до точк и Q; K(ψ) – нек отор ый к оэф ф и ци ент, учи тыва ю щи й и зменени я а мпли туд втор и чных волнв за ви с и мос ти от на пр а влени я l; ψ – угол между нор ма лью к ф р онту волны в точк е Q и на пр а влени ем l. Полное поле с мещени й в точк е Р р а вно с умме возмущени й, с озда ва емых вс еми зона ми Ф р енеля:

34 ϕ ( P) =

eikr0 eikl K (ψ ) dS . ∫ r0 S l

(71)

Пос к ольк у вк ла ды пос ледова тельных зонФ р енеля обр а зую т зна к опер еменный р яд, вычи с лени е и нтегр а ла (71) пр и води т к выр а жени ю : ϕ ( P ) = iλ K1 (ψ )

ϕ 0 ik ( r0 + b ) 1 e = ϕ1 ( P ) . r0 + b 2

(72)

Из (72) с ледует, что полное возмущени е в точк е Р р а вно полови не возмущени я, обус ловленного дейс тви ем пер вой зоны Ф р енеля. К а к с ледует и з и зложенного, зоны Ф р енеля и с пользую тс я пр и р а с чете и нтенс и внос ти волн. Интегр ал Ки р х го ф а, ф о р м у л а Пу ассо на

Стр огое ма тема ти чес к ое док а за тельс тво пр и нци па Гю йгенс а -Ф р енеля вытек а ет и з и с с ледова ни я, выполненного Г.Р. К и р хгоф ом10. Согла с но пос леднему, ук а за нный пр и нци п являетс я пр и бли жени ем общей и нтегр а льной ф ор мулы, в к отор ой поле с мещени й в точк е Р выр а жа етс я чер ез зна чени я и с к омой вели чи ны (потенци а ла и ли век тор а с мещени й) и ее пер вой пр ои зводной по нор ма ли , за да нных во вс ех точк а х за мк нутой повер хнос ти S, ок р ужа ю щей точк у Р: ϕ ( P) =

1 4π

∫ S

 ∂  1  1 ∂ϕ  ϕ ∂ n  R  − R ∂ n  ds,    

(73)

где R – р а с с тояни е от точек повер хнос ти S до точк и на блю дени я Р; ϕ – зна чени я потенци а ла и ли к омпонент с мещени я в точк а х, на ходящи хс я на повер хнос ти S. В общем с луча е р а с пр ос тр а нени я ус та нови вши хс я волн и нтегр а л (73) пр и ни ма ет более с ложный ви д: ϕ ( P, t ) =

1 4π

∫ S

 ∂  1  1 ∂ R  ∂ϕ  1  ∂ϕ   [ I ]   −   −   ds,  ∂ n  R  VR ∂ n  ∂ t  R  ∂ n  

(74)

где I(P, t) – зна чени е вели чи ны в точк е Р в момент вр емени t; к ва др а тные с к обк и в подынтегр а льном выр а жени и озна ча ю т, что зна чени я вели чи нбер утс я в момент вр емени ti=t–R/V в с вязи с тем, что возмущени е в точк у на блю дени я пр и ходи т с нек отор ым за позда ни ем. Ф ор мулу (74) на зыва ю т ди фра кци он н ы м и н т е гра лом Ки рхгофа . Э та ф ор мула позволяет вычи с лять поле с мещени й в пр ои звольной точк е с р еды, ес ли и звес тны зна чени я вели чи ни и х пр ои зводных по нор ма ли и вр емени во вс ех точк а х пр ои звольной за мк нутой повер хнос ти , ок р ужа ю щей эту точк у. Пус ть S пр едс та вляет с обой с ф ер и чес к ую повер хнос ть р а ди ус ом R, а точк а на блю дени я Р р а с положена в центр е с ф ер ы. Пола га я в ф ор муле (74), где t’ – вр емя, необходи мое для р а с пр ос тр а нени я возмущени я от повер хнос ти с ф ер ы до ее центр а , и пр и ни ма я во вни ма ни е, что ∂ ∂R = − ∂ ∂n , ф ор мулу (74) можно пр еобр а зова ть к ви ду:   ∂ϕ   ∂ ϕ ( P, t ) = t ′     + ( t [ϕ ]) ,   ∂t   ∂t

(75)

где ϕ и ∂ϕ ∂t – с р едни е зна чени я ф унк ци й ϕ и ∂ϕ ∂t на повер хнос ти с ф ер ы р а ди ус а R.

10

К и р хгоф Гус та в Робер т (1824–1887), немецк и й ф и зи к , и нос тр а нный член-к ор р . Петер бур гс к ой А Н (с 1862 г.). Т р уды по меха ни к е и ма тема ти чес к ой ф и зи к е

35 В ыр а жени е (75) на зыва ю т форм улой Пуа ссона . Интегр а л К и р хгоф а и ф ор мула Пуа с с она являю тс я теор ети чес к ой ос новой для получени я с ейс ми чес к и хи зобр а жени й (ди на ми чес к и х с ейс ми чес к и х р а зр езов).

14. ПО

В Е Р Х Н О С ТН Ы Е В О ЛН Ы

По вер х но стны е во л ны Р э л ея

В безгр а ни чной упр угой с р еде с ущес твую т тольк о пр одольные и попер ечные волны. К огда в с р еде и мею тс я гр а ни цы р а здела , на к отор ых ф и зи чес к и е с войс тва меняю тс я, к р оме объ емных возни к а ю т та к на зыва емые пов е рхност ны е в олны . Сущес твова ни е одного и з ти пов та к и х волн, получи вши х на и менова ни е по и мени и с с ледова теля, было теор ети чес к и обос нова но Д ж.У . Рэле я являетс я с ущес твова ни е и х у повер хнос ти Земля-возлеем11. Гла вной ос обеннос тью в олн Р э дух, на зыва емой с вободной в с вязи с тем, что с и лы с цеплени я в воздухе чр езвыча йно ма лы по с р а внени ю с с и ла ми с цеплени я в гр унте, т. е. на повер хнос ти Земли отс утс твую т на пр яжени я. Э к с пер и мента льно ус та новлено, что с глуби ной а мпли туда с мещени й в волна х Рэлея быс тр о за туха ет, убыва я по эк с поненци а льному за к ону (Ри с . 13). Смещени я в волне Рэлея и мею т с ос та вляю щи е, па р а ллельные и пер пенди к уляр ные гр а ни це полупр ос тр а нс тва . Следова тельно, вдоль гр а ни цы р а с пр ос тр а няю тс я к а к пр одольные, та к и попер ечные SV с мещени я; и х на ложени е обр а зует повер хнос тную волну. Рэлей р а с с мотр ел с луча й га р мони чес к и х к олеба ни й, для к отор ых потенци а лы пр одольных и попер ечных с мещени й могут быть за пи с а ны в ви де:

ϕ = A ( z ) exp iω r ψ = B ( z ) exp i где VR – с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я повер хнос тной волны, A(z), B(z) – а мпли тудные ф унк ци и . Б ыло с дела но пр едположени е, что эти ф унк ци и убыва ю т с глуби ной по эк с поненци а льному за к ону: Ри с . 13. В олны Рэлея. а – теор ети чес к и пр едс к а за нное дви жени е ча с ти цы на повер хнос ти твер дого полупр ос тр а нс тва ; б – р еа льное дви жени е ча с ти цы на повер хнос ти Земли ; в – попер ечный р а зр ез, демонс тр и р ую щи й дви жени е ча с ти ц на повер хнос ти и на глуби не для твер дого полупр ос тр а нс тва

11

A( z) = e где α1, α2 – дейс тви тельные положи тельные чи с ла . Потенци а лы в (76) должны

Рэлей (Рейли ) Д жонУ и льям (1842–1919), а нгли йс к и й ф и зи к , оди ни з ос новоположни к ов теор и и к олеба ни й, и нос тр а нный член-к ор р . Петер бур гс к ой А Н (с 1896 г.). Ф унда мента льные тр уды по а к ус ти к е и др . Л а ур еа т Н обелевс к ой пр еми и (1904 г.)

36 удовлетвор ять волновым ф унк ци ям (27 и 28): V ∇ϕ = 2 P

2

2 2r ∂ ϕ ∂ψ 2 2r , . ψ = V S∇ ∂ t2 ∂ t2

(78)

Имея в ви ду, что на пр яжени я на с вободной повер хнос ти (z=0) р а вны нулю , и подс та вляя (76) и (77) в (78), получи м выр а жени я для к оэф ф и ци ентов α: α12 =

ω 2  VP2  2 ω 2  VS2  − 1 , α 2 = 2  2 − 1  .  VP2  VR2  VS  VR 

(79)

Т р а ек тор и и с мещени я ча с ти ц в повер хнос тной волне Рэлея пр едс та вляю тс я элли пс а ми . Д ля подтвер ждени я та к ого пр едположени я с ледует и меть в ви ду, что к омпоненты с мещени й в повер хнос тной волне выр а жа ю тс я с оотношени ями : ∂ϕ ∂ψ Y ∂ϕ ∂ψ Y − ,w = + . ∂x ∂z ∂z ∂x r Подс та ви в зна чени я потенци а лов ϕ и ψ и з (76) в (80) и и мея пр и этом в ви ду , что u=

(80)

exp iω ( t − x VR )  = cos ω ( t − x VR ) + sin ω ( t − x VR ) . получи м зна чени я к омпонент с мещени я на повер хнос ти Земли (пр и z=0): u =α1sin ω ( t − x VR )  ; w=α 2cos ω ( t − x VR )  .

(81)

В (81) мни мые с ла га емые отбр ошены. Д еля левые ча с ти обои х ур а внени й на α1 и α2 с оответс твенно, а за тем, возводя в к ва др а т левые ча с ти и с к ла дыва я оба ур а внени я, получи м: u 2 w2 + = 1. α12 α 22

(82)

Ф а зова я с к ор ос ть повер хнос тных волнVR
Д р угой ти п повер хнос тных волн, получи вши х на зва ни е в олн Ляв а , обр а зуетс я в том с луча е, к огда на упр угом полупр ос тр а нс тве за лега ет тонк и й с лой с о с к ор ос тью попер ечных волнV0S, зна чи тельно меньшей с к ор ос ти попер ечных волнV1S в упр угом полупр ос тр а нс тве. О ни пр едс та вляю т с умма р ные к олеба ни я, обр а зова нные с ложени ем с мещени й попер ечной волны многок р а тно отр а зи вшейс я от вер хней и ни жней гр а ни ц тонк ого пла с та . Ск ор ос ть волнЛ ява за ви с и т от ча с тоты и на ходи тс я в пр едела х 0.9 V0S (вер хни е ча с тоты) до 0.9 V1S (ни жни е ча с тоты). В с ейс мор а зведк е повер хнос тные волны пр едс та вляю т помехи , меша ю щи е выделени ю и пр ос лежи ва ни ю полезных волн, обр а зова нных на глуби нных гр а ни ца х.

УС Л О A Aв E

В Н Ы Е О Б О ЗН А Ч Е Н И Я

а мпли туда волны. ви ди ма я а мпли туда волны. энер ги я упр угой (с ейс ми чес к ой) волны; модуль Ю нга .

37 F|| F⊥ I L Q QX, QY, QZ R R, l R, ξ, ζ S T Tв VP VR VS Vгр Vк Vф X, Y, Z d1, d2, d3 dm dS dΩ e eXX, eYY, eZZ eXY, eXZ, eYZ f fв i

k kв n p pXX, pYY, pZZ pXY, pXZ, pYZ t u, v, w vв x, y, z ∆Fs ∆S ∆w ∆x, ∆y, ∆z

с и ла , пр и ложенна я по к а с а тельной к повер хнос ти тела . с и ла , пр и ложенна я по нор ма ли к повер хнос ти тела . век тор с мещени я. дли на уча с тк а ф р онта волны. объ емна я внешняя с и ла . пр оек ци и объ емных с и л на к оор ди на тные ос и , отнес енные к еди ни це ма с с ы. р а ди ус -век тор . р а ди ус с ф ер ы. с ф ер и чес к и е к оор ди на ты. нек отор а я к онечна я повер хнос ть. пер и одк олеба ни й. ви ди мый пер и одк олеба ни й. с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я пр одольных волн. с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я повер хнос тной волны Рэлея. с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я попер ечных волн. гр уппова я с к ор ос ть волны. к а жуща яс я с к ор ос ть волны. с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я ф р онта волны. ос и дек а р товой с и с темы к оор ди на т. на пр а вляю щи е к ос и нус ы век тор а по ос ям X, Y, Z. элемента р на я ма с с а . элемента р на я повер хнос ть. элемента р ный объ ем. угол выхода с ейс ми чес к ого луча . относ и тельные р а с тяжени я (с жа ти я) с р еды в на пр а влени и ос ей. относ и тельные с дви ги с р еды в плос к ос тях XOY, XOZ, YOZ. ци к ли чес к а я ча с тота волны. ви ди ма я ци к ли чес к а я ча с тота волны. мни ма я еди ни ца , волновое чи с ло.

−1 .

ви ди мое волновое чи с ло. нор ма ль к элемента р ной площа дк е. на пр яжени е. нор ма льные на пр яжени я вдоль ос ей X, Y, Z. к а с а тельные на пр яжени е в плос к ос тях XOY, XOZ, YOZ. вр емя. к омпоненты век тор а с мещени й по ос ям дек а р товой с и с темы. ви ди ма я пр ос тр а нс твенна я ча с тота . к оор ди на ты точк и . р а внодейс твую ща я повер хнос тных с и л. элемента р на я площа дк а . и зменени е с мещени я ча с ти ц вдоль ос и Z. нек отор ый к онечный и нтер ва л вдоль ос ей X, Y, Z.

38 Ω α γ δ θ λ λв λи µ ν σ τ r τ

нек отор ый к онечный объ ем. к оэф ф и ци ент поглощени я энер ги и волны; угол па дени я с ейс ми чес к ого луча . угол с дви га пр и с дви говых деф ор ма ци ях. дек р емент поглощени я энер ги и волны. ди ла та ци я. дли на волны. ви ди ма я дли на волны. к оэф ф и ци енты упр угос ти Л а ме. к оэф ф и ци ент Пуа с с она . плотнос ть с р еды. вр емя пр и хода волны в пр ои звольную точк у упр угой с р еды. гр а ди ент поля вр емен.

ϕ ϕв χ r ψ

с к а ляр ный потенци а л поля с мещени й; ф а за волны. ви ди ма я ф а за волны. к р угова я пр ос тр а нс твенна я ча с тота и ли к р уговое волновое чи с ло. век тор ный потенци а л поля с мещени й.

ω r ω ωв ∇

к р угова я ча с тота волны. с дви гова я с ос та вляю ща я деф ор ма ци й. ви ди ма я к р угова я ча с тота волны. опер а тор Л а пла с а (ла пла с и а н).

ЛИ Т Е Р

А Т УР А

1. Альпи н Л.М ., Д ае в Д .С ., Кари нск и й А.Д . Т еор и я полей, пр и меняемых в р а зведочной геоф и зи к е: У чебни к для вузов. – М ., Н едр а , 1985. – С.327-399. 2. Знаме нск и й В .В . О бщи й к ур с полевой геоф и зи к и : У чебни к для вузов. – М ., Н едр а , 1988. – С. 224-243, 283-293. 3. Кудрявце в Ю .И. Т еор и я полей и ее пр и менени е в геоф и зи к е: У чебни к для вузов. – Л ., Н едр а , 1988.– С. 272-232. 4. О вчи нни к ов И.К. Т еор и я поля. Изда ни е втор ое, пер ер а бота нное. – М ., Н едр а , 1979. – С. 274-332. 5. С аваре нск и й Е.Ф . Сейс ми чес к и е волны. – М ., Н едр а , 1972. – С. 130-228. 6. С аваре нск и й Е.Ф ., Ки рнос Д .П . Э лементы с ейс мологи и и с ейс мометр и и . – М ., Гос . и зд-во техни к о-теор . ли тер ., 1949. – С. 54-77. 7. Ш е ри ф ф Р.Е., Г е лдарт Л.П . Сейс мор а зведк а. Т . 1. Ис тор и я, теор и я и получени е да нных. М .: М и р , 1987. – С. 69-107.