Г осуд а рст в е нны й К ом ит е т Р оссийской Ф е д е ра ц ии по в ы сш е м уобра зов а нию В ороне ж ск и й государст ...
10 downloads
205 Views
711KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Г осуд а рст в е нны й К ом ит е т Р оссийской Ф е д е ра ц ии по в ы сш е м уобра зов а нию В ороне ж ск и й государст ве нны й уни ве рси т е т Г е ологиче ский фа культ е т К а ф едр а геоф и зи к и
Э л ем енты тео р и и у п р у го сти
С ост ави т е ли : С .Н. Зак ут ск и й , К.Ю . С и лк и н
В О РО Н Е Ж 2003
2
С
О Д Е Р Ж А Н ИЕ
С од е ржа ние ...............................................................................................................................................1 В в е д е ние .....................................................................................................................................................2 Пре д в а рит е льны е опре д е ле ния ............................................................................................................3 1. Упругие д е форм а ц ии ...........................................................................................................................4 2. Упругие на пряже ния...........................................................................................................................8 3. С в язь м е жд уупругим и на пряже ниям и и д е форм а ц иям и ...........................................................9 4. В олнов ое ура в не ние ...........................................................................................................................11 4.1. У с лови я р а вновес и я и дви жени я с р еды ....................................................................................11 4.2. В олновое ур а внени е в однор одной и зотр опной с р еде ............................................................12 5. Прод ольны е и попе ре чны е в олны в од нород ной изот ропной сре д е ........................................14 6. На ча льны е и гра ничны е услов ия...................................................................................................17 7. С фе риче ские в олны ...........................................................................................................................17 7.1. Пр одольные с ф ер и чес к и е волны ...............................................................................................18 7.2. Попер ечные с ф ер и чес к и е волны ...............................................................................................19 8. Профиль и за пись в олны ..................................................................................................................20 8.1. Пр оф и ль волны............................................................................................................................20 8.2. За пи с ь волны................................................................................................................................21 9. Ф а зов а я и группов а я скорост и в олн. Диспе рсия скорост и .......................................................22 10. Г е ом е т риче ское ра схожд е ние и поглощ е ние в олн.....................................................................23 10.1. Геометр и чес к ое р а с хождени е волн.........................................................................................23 10.2. Поглощени е с ейс ми чес к ой волны ...........................................................................................23 11. Плоские в олны .................................................................................................................................24 12. Услов ие а ппроксим а ц ии уча ст ка фронт а сфе риче ской в олны уча ст ком фронт а плоской в олны ..................................................................................................................................................26 13. О снов ы ге ом е т риче ской се йсм ики ...............................................................................................27 13.1. Пр едва р и тельные за меча ни я ....................................................................................................27 13.2. Поле вр еменс ейс ми чес к ой волны. У р а внени е поля вр емен................................................28 13.3. Пр и нци пы Гю йгенс а и Ф ер ма ..................................................................................................29 13.4. Ис ти нна я и к а жуща яс я с к ор ос ти волн, с вязь между ни ми ...................................................31 13.5. Пр и нци п Ф р енеля. Поняти е об и нтегр а ле К и р хгоф а , ф ор муле Пуа с с она ..........................32 14. Пов е рхност ны е в олны ....................................................................................................................35 Услов ны е обозна че ния..........................................................................................................................36 Лит е ра т ура ..............................................................................................................................................38
ВВЕ Д Е Н ИЕ Пр и р ешени и за да ч “Стр ук тур ной геологи и ” , пои с к а х и р а зведк е неф тега зовых мес тор ождени й ведущи м с р еди геоф и зи чес к и х методов являетс я с ейс мор а зведк а. Т еор ети чес к и е ос новы с ейс мор а зведк и вытек а ю т и з общи х за к онов теор и и упр угос ти . Согла с но учебным пла на м с пеци а льнос ти 011100 “Геоф и зи к а ” , дейс твую щи х в пос леднее дес яти лети е, элементы теор и и упр угос ти
3 и зуча ю тс я с тудента ми -геоф и зи к а ми в р а мк а х отдельной ди с ци пли ны, пр и этом пр едус ма тр и ва етс я зна чи тельна я доля с а мос тоятельной р а боты. В мес те с тем, с пеци а льное пос оби е по этому пр едмету а да пти р ова нное для обуча ю щи хс я, не и мею щи х выс ок ого ур овня ма тема ти чес к ой подготовк и , пр а к ти чес к и отс утс твует, что, безус ловно, ос ложняет пр оцес с обучени я. Ч а с ти чно ук а за нна я пр облема отс утс тви я методи чес к ого ма тер и а ла по р а с с ма тр и ва емой ди с ци пли не р ешена в вышедши х в пр едшес твую щи е годы ф унда мента льных учебни к а х по “Т еор и и поля” , “Полевой геоф и зи к е” и “Сейс мологи и ” [1-7]. Н а пи с а нные на выс ок ом методи чес к ом ур овне, они , одна к о, с ложны для с а мос тоятельного и зучени я. К р оме того, обес печеннос ть эти ми учебни к а ми в с вязи с пр ошес тви ем вр емени ок а зыва етс я, к а к пр а ви ло, недос та точной. Именно пос леднее обс тоятельс тво в зна чи тельной мер е побуди ло а втор ов на пи с а ть пр едла га емое учебное пос оби е. М ы пола га ем, что пос ле зна к омс тва с элемента р ными поняти ями и з обла с ти теор и и упр угос ти и р а с пр ос тр а нени я упр уги х волнчи та тель с может более плодотвор но и углублено и зучи ть с оответс твую щи е р а зделы ф и зи к и , а та к же с пеци а льные р а зделы теор и и с ейс ми чес к и хволн. В да нном учебном пос оби и и зложены ос новные поняти я о на пр яжени ях и возни к а ю щи х под и х дейс тви ем деф ор ма ци ях, волновых ур а внени ях, ха р а к тер и зую щи х пр оцес с р а с пр ос тр а нени я с ейс ми чес к и х волн, р а с с мотр ены и с ходные положени я геометр и чес к ой с ейс ми к и . Пр и этом пр едпола га етс я, что с к лю чевыми ф и зи чес к и ми за к она ми , поняти ями ма тема ти чес к ого а на ли за и век тор ного и с чи с лени я чи та тель зна к ом и з пр едшес твую щи х ди с ци пли н“О бщей ф и зи к и ” , “В ыс шей ма тема ти к и ” , “Т еор и и поля” . Ра зделы 1–14 на пи с а ны За к утс к и м С.Н ., р а зделы 5, 8, 13 – с овмес тно с Си лк и ным К .Ю ., пос ледни м выполнена обща я р еда к ци я и ок онча тельное оф ор млени е пос оби я. Пр едла га емое пос оби е, вер оятно, не ли шено опр еделенных недос та тк ов. К р и ти чес к и е за меча ни я по его с одер жа ни ю а втор ы пр и мут с большой бла года р нос тью . А втор ы с чи та ю т с вои м пр и ятным долгом выр а зи ть пр и зна тельнос ть пр оф ес с ор у к а ф едр ы геоф и зи к и В ор онежс к ого гос уни вер с и тета Т а р к ову А .П. и доценту этой к а ф едр ы Д убянс к ому А .И. за добр ожела тельные к р и ти чес к и е за меча ни я и с оветы.
ПР
Е Д В А Р И Т Е ЛЬ Н Ы Е О П Р Е Д Е ЛЕ Н И Я
В твер дых и жи дк и х с р еда х поддейс тви ем внешни х с и л могут р а с пр ос тр а нятьс я меха ни чес к и е к олеба ни я с ла га ю щи х тела ча с ти ц. В к а чес тве и с точни к ов внешни х с и л могут выс тупа ть уда р ные воздейс тви я взр ывов и ли с пеци а льных генер а тор ов с ейс ми чес к и х к олеба ни й (ГСК ); ес тес твенным и с точни к ом к олеба ни я ча с ти чек , с ла га ю щи х земные недр а , выс тупа ю т землетр яс ени я. Н а и зучени и меха ни чес к и х к олеба ни й гор ных пор од ос нова нс ейс ми чес к и й метод р а зведк и . Т еор ети чес к и е ос новы с ейс мор а зведк и вытек а ю т и з общи х за к онов теор и и упр угос ти . Пр и этом гор ные пор оды к а к ф и зи чес к и е тела р а с с ма тр и ва ю тс я в ви де непр ер ывной с овок упнос ти отдельных ча с ти чек – с плошные с р еды с ма к р ос тр ук тур ой. В этом с луча е пр оцес с ы, пр ои с ходящи е в гор ных пор ода х пр и р а с пр ос тр а нени и меха ни чес к и х к олеба ни й, можно оха р а к тер и зова ть за к она ми к ла с с и чес к ой меха ни к и . В с пок ойном (невозбужденном) с ос тояни и с ла га ю щи е землю ча с ти цы удер жи ва ю тс я внутр енни ми с и ла ми вза и модейс тви я. В этом с ос тояни и они на ходятс я на та к и х р а с с тояни ях др уг от др уга , к отор ые энер гети чес к и с оответс твую т ми ни ма льным зна чени ям и х потенци а льной энер ги и . Под дейс тви ем пр и ложенных (внешни х) с и л в гор ной пор оде пр ои с ходи т и зменени е вза и много положени я ча с ти ц, к отор ое с опр овожда етс я, в с вою очер едь, и зменени ем внутр енни х с и л, с тр емящи хс я ур а вновес и ть дейс тви е внешни х с и л.
4 Пос ле пр ек р а щени я с и лового воздейс тви я на с р еду возможны два ва р и а нта ее с ос тояни я. В одном с луча е, к огда с мещени я ча с ти ц ок а за ли с ь на с тольк о больши ми , что внутр енни е с и лы не с пос обны вер нуть и х в пр ежнее положени е, на блю да етс я на р ушени е пер вона ча льной с тр ук тур ы с р еды (уплотнени е и ли р а зр ушени е ее). В др угом с луча е с мещени я ча с ти чек могут ок а за тьс я на с тольк о ма лыми , что поддейс тви ем внутр енни х с и л с цеплени я ча с ти чк и возвр а ща ю тс я в пер вона ча льное положени е. Л ю бые с мещени я ча с ти чек , вызыва ю щи е и зменени я нек отор ого объ ема с р еды и ли его ф ор мы, на зыва ю тс я д е форм а ц иям и. Э то поняти е пр ои с ходи т от ла ти нс к ого с лова “deformatic” (и с к а жени е). Си ловое поле, возни к а ю щее в с р еде пр и пр и ложени и к ней внешни х с и л и ур а вновеши ва ю щее внешнее воздейс тви е, на зыва етс я на пряже ние м . Е с ли в р езульта те деф ор ма ци й пр ои с ходят необр а ти мые и зменени я пер вона ча льной с тр ук тур ы с р еды, то та к и е с р еды и пр ои с ходящи е в ни х деф ор ма ци и на зыва ю тс я не упругим и. Е с ли же пер вона ча льна я с тр ук тур а с р еды полнос тью вос с та на вли ва етс я, то с а ма с р еда и возни к а ю ща я в ней деф ор ма ци я на зыва ю тс я упругим и. Реа льные геологи чес к и е с р еды можно р а с с ма тр и ва ть в к а чес тве упр уги х тольк о тогда , к огда пр ои с ходящи е в ни х с мещени я (а , с ледова тельно, и деф ор ма ци и ) очень ма лы. Пос леднее возможно ли бо на больши х уда лени ях от и с точни к а внешнего воздейс тви я, ли бо пр и небольшой и нтенс и внос ти внешни х с и л. Пер еда ча ма лых деф ор ма ци й и с вяза нного с ни ми поля на пр яжени й в с р еда х пр ои с ходи т в ви де упругих и ли с ейс ми чес к и х в олн. О с нову ур а внени й, ха р а к тер и зую щи х пр оцес с р а с пр ос тр а нени я та к и х волн, с ос та вляю т поняти е деф ор ма ци й и на пр яжени й, р а с с ма тр и ва емых ни же.
1 . УП Р
УГ И Е Д Е Ф О Р М А Ц И И
Ра с с мотр и м и деа льно упр угую однор одную непр ер ывную и зотр опную с р еду. Положени е пр ои звольной ма тер и а льной точк и M, отождес твляемой с ча с ти чк ой с р еды, в дек а р товой с и с теме к оор ди на т X, Y, Z опр едели м пр и помощи р а ди ус -век тор а R (р и с . 1). О бла с ть с р еды в ок р ес тнос ти точк и M будет на ходи тьс я в с ос тояни и деф ор ма ци и , ес ли под дейс тви ем пр и ложенной с и с темы с и л р а с положенные внутр и этой обла с ти ча с ти цы пер емес тятс я. Пус ть две бли зк и е ча с ти цы с р еды P(R) и Q(R+∆R) в р езульта те дейс тви я пр и ложенных с и л пер емес тятс я в бли зк и е положени я P'(R+I) и Q'(R+∆R+I+∆I). В ек тор ы с мещени й для P и Q р а вны I и I+∆I с оответс твенно. К омпоненты век тор а с мещени й I по ос ям X, Y, Z обозна чи м чер ез u, v, w. К омпоненты век тор а I, очеви дно, являю тс я та к же ф унк ци ями к оор ди на т: u=u(x, y, z), v=v(x, y, z), w=w(x, y, z). Пользуяс ь р а зложени ем в р яд Т ейлор а, зна чени я к омпонент с мещени я в точк е Q могут быть выр а жены чер ез зна чени я к омпонент с мещени я в точк е P: ∂u ∂u ∂u u + du = u + ∂ x dx + ∂ y dy + ∂ z dz ∂v ∂v ∂v dx + dy + dz v + dv = v + ∂ x ∂ y ∂ z ∂w ∂w ∂w dx + dy + dz w + dw = w + ∂x ∂y ∂z
(1)
В ур а внени ях (1) с мещени я пр и няты та к и ми , чтобы можно было пр енебр ечь члена ми р а зложени я, пр едс та вленные пр ои зводными выше пер вого пор ядк а . Ч а с тные пр ои зводные
5 ∂ u ∂ x = e XX , ∂ v ∂ y = eYY , ∂ w ∂ z = eZZ выр а жа ю т относ и тельные р а с тяжени я (и ли с жа ти я) с р еды в на пр а влени и ос ей X, Y, Z. Д р уги ми с лова ми , эти деф ор ма ци и с вяза ны с и зменени ем объ ема . Пок а за ть это можно на с ледую щем пр и мер е (р и с . 2). Пус ть ни жняя гр а нь пр ямоугольного бр ус а за к р еплена в плос к ос ти XOY. К вер хней гр а ни , па р а ллельной плос к ос ти XOY, вдоль ос и Z пр и ложена нор ма льна я с и ла F⊥. Под дейс тви ем этой с и лы бр ус удли ни тс я. Ра с с мотр и м в с ос тояРи с . 1. Положени е ча с ти чек упр угой с р еды ни и деф ор ма ци и два с ечени я бр ус а на р а с с тояни ях z и z + ∆z от ни жней гр а ни бр ус а . Смещени е ча с ти чек в пер вом в пр ос тр а нс тве с лое будет р а вно w, во втор ом w + ∆w . А бс олю тное р а с тяжени е бр ус а между с ечени ями О тнос и тельное р а с тяжени е р а вно w + ∆w − w .
( w − ∆w − w ) ( z − ∆z − z ) .
Д ля с ечени й, р а с положенных на бес к онечно ма лых р а с с тояни ях, оче-
ви дно, с пр а ведли во ур а внени е: lim
∆Ζ→ 0
∆w ∂ w = = e ZZ . ∆z ∂ z
Т а к и м обр а зом, по геометр и чес к ому с мыс лу эта ча с тна я пр ои зводна я опр еделяет относ и тельное удли нени е (и ли ук ор очени е, ес ли с и ла на пр а влена внутр ь объ ема ) с тор оны бр ус а вдоль ос и Z. А на логи чно может быть ус та новленс мыс л ча с тных пр ои зводных eXX и eYY, ха р а к тер и зую щи х относ и тельные удли нени я (ук ор очени я) вдоль ос ей X и Y. Ч ер ез относ и тельные удли нени я (ук ор очени я) с тор он можно выр а зи ть и зменени е вс его элемента р ного объ ема упр угой с р еды. Д ля этого вводи тс я поняти е д ила т а ц ии Θ (от ла ти нс к ого “dilatio” – р а с ши р яю ). Под ди ла та ци ей пони ма ю т пр едел отношени я и змененного элемента р ного объ ема , вызва нного деф ор ма ци ей, к его пер вона ча льной вели чи не. Ра с с мотр и м ма лый па р а ллелепи пед с о с тор она ми ∆x, ∆y, ∆z. Пос ле деф ор ма ци и его с тор оны, очеви дно, ок а жутс я р а вными : ∆x + ∂u ∂x , ∆y + ∂v ∂y , ∆z + ∂w ∂z . Пер вона ча льный объ ем па р а ллелепи педа р а вен∆x ∆y ∆z , объ ем пос ле деф ор ма ци и будет р а вен ∆x ∆y ∆z (1 + ∂ u ∂ x ) (1 + ∂ v ∂ y ) (1 + ∂ w ∂ z ) , с ледова тельно, относ и тельное и зменени е объ ема
Ри с . 2. Д еф ор ма ци и р а с тяжени я (а ) и с дви га (б)
6 θ=
lim
∆x ∆y ∆z (1 + ∂ u ∂ x ) (1 + ∂ v ∂ y ) (1 + ∂ w ∂ z ) ∆x ∆y ∆z
∆x, ∆y, ∆z →0
.
Пр енебр ега я пр ои зведени ями пр ои зводных (т. к . р а с с ма тр и ва ю тс я тольк о ма лые деф ор ма ци и ), получи м θ=
∂u ∂v ∂ w + + = div I. ∂x ∂y ∂z
(2)
Д и вер генци я век тор а с мещени й будет отр и ца тельной, ес ли нор ма льные с и лы ор и енти р ова ны внутр ь объ ема , и положи тельными – в пр оти вном с луча е. Ф унк ци я θ=divI являетс я, та к и м обр а зом, к оли чес твенной мер ой деф ор ма ци и объ ема , к отор а я пер еда етс я в упр угой с р еде в на пр а влени ях дейс твую щи х с и л, то ес ть в тех же на пр а влени ях, в к отор ых пр ои с ходят с мещени я. Ра с с мотр и м ф и зи чес к и й с мыс л др уги х ча с тных пр ои зводных от к омпонент век тор а с мещени я. Ч а с тные пр ои зводные ∂ u ∂ y = e XY , ∂ u ∂ z = e XZ , ∂ v ∂ x = eYX , ∂ v ∂ z = eYZ , ∂ w ∂ x = e ZX ,
∂ w ∂ y = e ZY и мею т ф и зи чес к и й с мыс л с дви гов, т. е. выр а жа ю т и зменени я ф ор мы. Пус ть с и ла F|| пр и ложена по к а с а тельной к гр а ни (р и с . 2, б). Под дейс тви ем этой с и лы ча с ти цы будут пер емеща тьс я вдоль ос и Y. С уда лени ем от плос к ос ти пр и ложени я с и лы вели чи на с мещени я будет уменьша тьс я вс ледс тви е тр ени я между ча с ти ца ми . Д ля ма лых пер емещени й с вязь между с мещени ем ча с ти цы и к оор ди на той можно с чи та ть ли нейной. В этом с луча е для та нгенс а угла с дви га ∆v ∆v ∂ v с пр а ведли во с оотношени е tg 2γ Y = . ≈ 2γ Y , и ли в пр еделе 2γ Y = lim = ∆z →0 ∆x ∆x ∂x Е с ли с и ла F|| дейс твует вдоль внешней гр а ни , па р а ллельной плос к ос ти XOZ, то с дви г будет ∆u ∂ u удовлетвор ять с оотношени ю 2γ X = lim . Т а к и м обр а зом, общи й с дви г в плос к ос ти XOY = ∆y → 0 ∆y ∂y будет 2γ XY = 2(γ X + γ Y ) = XOZ и YOZ: 2γ XZ =
∂v ∂u . А на логи чным обр а зом можно опр едели ть с дви ги в плос к ос тях + ∂x ∂y
∂ w ∂u ∂w ∂v + ; 2γ YZ = . + ∂x ∂z ∂y ∂z
В ер немс я к ур а внени ю (1). Пер вые его члены (u, v, w) – это к омпоненты с мешени я точк и M. О с та льные члены, к а к пок а за но выше, выр а жа ю т деф ор ма ци и в ок р ес тнос ти M – р а с тяжени я и с дви ги . В к ла с с и чес к ой теор и и упр угос ти док а зыва етс я, что деф ор ма ци ю , опр еделяемую ур а внени ями ти па (1), можно пр ои звольным обр а зом р а зложи ть на с умму пр ои звольного чи с ла деф ор ма ци й. В озьмем с умму пос ледни х тр ех членов и з пер вого ур а внени я с и с темы (1): ∂u
∂u
∂u
∑ = ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz . и
Пр еобр а зуем эту с умму, пр и ба вляя и вычи та я вели чи ны
1 ∂v dy 2∂x
1∂w dz : 2∂x ∑=
∂u 1∂u ∂v 1∂u ∂v 1∂u ∂ w 1∂u ∂ w + + − + − dy + dy + dz + dz . ∂ x 2∂ y ∂ x 2∂ y ∂ x 2∂ z ∂ x 2∂ z ∂ x
В водя р а нее пр и нятые обозна чени я для пр ои зводных с мещени я, пос леднее выр а жени е можно пер епи с а ть в ви де: ∑ =e XX dx + γ XY dy + γ XZdz + (ω Y dz − ω Zdy ) = du.
(3)
7 А на логи чно пр еобр а зую тс я пос ледни е тр и с ла га емые во втор ом и тр етьем ур а внени ях с и с темы (1): ∑ =eYY dy + γ YX dx + γ YZdz + (ω Zdx − ω X dz ) = dv,
∑ =e ZZdz + γ ZX dx + γ ZY dy + (ω X dy − ω Y dx ) = dw, где 1∂ w ∂v 1∂u ∂ w 1∂v ∂u − − − ωX = , ωY = . , ω Z = 2 ∂ y ∂ z 2∂ z ∂ x 2∂ x ∂ y В ур а внени ях (3) пер вые члены выр а жа ю т деф ор ма ци ю объ ема : р а с тяжени я и с жа ти я (чи с та я деф ор ма ци я); члены в к р углых с к обк а х – вр а щени е этого объ ема в пр ос тр а нс тве (чи с тое вр а щени е). Пр оходящи е чер ез точк у M ор тогона льные ос и можно выбр а ть та к , чтобы к омпоненты деф ор ма ци и с дви га отс утс твова ли . Э ти ос и на зыва ю т гла в ны м и осям и д е форм а ц ий. В пос леднем с луча е чи с та я деф ор ма ци я в ок р ес тнос ти точк и M с води тс я тольк о к гла вным р а с тяжени ям (с жа ти ям) по ос ям X, Y, Z – eXX, eYY, eZZ, а втор а я с ос та вляю ща я деф ор ма ци й (повор оты) опр едели тrot I r =ω . с я чер ез р отор век тор а с мещени й 2 Помес ти м на ча ло к оор ди на т в точк у M. В этом с луча е dx=x, dy=y, dz=z, du=u, dv=v, dw=w. Т епер ь ур а внени я (3) можно пер епи с а ть в ви де: u = e XX x + γ XY y + γ XZ z + (ω Y z − ω Z y ) , v = eYY y + γ YX x + γ YZ z + (ω Z x − ω X z ) ,
(4)
w = e ZZ z + γ ZX x + γ ZY yz + (ω X y − ω Y x ) .
Т р и с к а ляр ных ур а внени я с и с темы (4) можно за мени ть одни м век тор ным: r r I =I1 + I 2 = grad ϕ + rotψ = ∇ϕ + [∇ψ ] ,
(5)
где ϕ=
(
)
1 2 e XX x 2 + eYY y + e ZZ z 2 + 2γ XY xy + 2γ XZ xz + 2γ YZ yz , 2 r r rotψ = [ω R ] .
Ск а ляр на я ф унк ци я ϕ опр еделена та к , что ее ча с тные пр ои зводные – с уть к омпоненты век тор а с мещени й I1: ∂ϕ ∂ x = u, ∂ϕ ∂ y = v, ∂ϕ ∂ z = w и на зыва етс я ска лярны м пот е нц иа лом поля см е щ е ний. Пр и пр и нятых обозна чени ях ди ла та ци я р а вна : θ=
∂ u ∂ v ∂ w ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + + = + + . ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2
(6)
r В ек тор на я ф унк ци я ψ на зыва етс я в е кт орны м пот е нц иа лом поля см е щ е ний. К омпоненты r u, v, w век тор а с мешени й I чер ез с к а ляр ный ϕ и век тор ный ψ потенци а лы опр еделятс я к а к :
8 ∂ϕ ∂ ψ Z ∂ ψ Y u = ∂ x + ∂ y − ∂ z , ∂ϕ ∂ ψ X ∂ ψ Z + − , v = ∂y ∂z ∂x ∂ϕ ∂ ψ Y ∂ ψ X + − . w = ∂z ∂x ∂y
(7)
Т а к и м обр а зом, в общем с луча е поле с мешени й в ок р ес тнос тях точк и M с ос тои т и з двух r ча с тей: объ емной I1 = gradϕ и ви хр евой I 2 = rotψ .
2 . УП Р
УГ И Е Н А П Р Я Ж Е Н И Я
В нешни е с и лы могут быть пр и ложены ли бо к повер хнос ти тела , ли бо к к а ждому элементу объ ема . В пер вом с луча е говор ят о повер хнос тных с и ла х, во втор ом – об объ емных. Пр и мер ом повер хнос тных с и л может с лужи ть да влени е га зов и ли жи дк ос тей, с опр и к а с а ю щи хс я с телом; пр и мер ом объ емных с и л являю тс я гр а ви та ци онные и центр обежные с и лы. Д ля тела , на ходящегос я в р а вновес и и , дейс тви е внешни х с и л к омпенс и р уетс я с и ла ми внутр еннего пр и тяжени я (отта лк и ва ни я). Т а к ой пр оцес с пор ожда ет в теле внутр еннее на пр яженное с ос тояни е, пр едс та вляю щее с обой р еа к ци ю тела на дейс твую щи е с и лы. Ч тобы оцени ть на пр яженное с ос тояни е, р а с с ечем тело пр ои звольной ф ор мы, подвер женное дейс тви ю внешни х с и л, на две ча с ти A и B по повер хнос ти S (р и с . 3). Ч тобы ча с ть B ос та ла с ь в и с ходном с ос тояни и , на S на до за да ть с и с тему повер хнос тных с и л, за меняю щи х дейс тви е на B ча с ти A. Д ля тела в целом они являю тс я внутр енни ми . О ни опр еделяю т то на пр яженное с ос тояни е, к отор ое с ущес твова ло в с оответс твую щи х точк а х тела до его р а с с ечени я. Под дейс тви ем эти х внутр енни х с и л и пр и ложенных внешни х с и л к а жда я ча с ть тела на ходи тс я в с ос тояни и р а вновес и я. Ра с с мотр и м элемента р ный объ ем упр угой с р еды, в к отор ой под дейс тви ем внешни х с и л возни к ли деф ор ма ци и . В к а чес тве ф и гур ы элемента р ного объ ема пр и мем тетр а эдр (р и с . 4), пос тр оенный та к , что площа дк а в ф ор ме тр еугольни к а ∆S, внутр и к отор ого на ходи тс я точк а M, за мык а ла с ь тр емя вза и мно ор тогона льными элемента р ными площа дк а ми , с овпа да ю щи ми с к оор ди на тными плос к ос тями XOY, XOZ, YOZ. Площа дк а ∆S выбр а на на с тольк о ма лой, что дейс твую щи е на ее повер хнос ти с и лы, можно с чи та ть пос тоянными . Ра внодейс твую щую эти х с и л обозна чи м ∆Fs. К огда ∆S с тр еми тс я к нулю , пр едел отношени я р а внодейс твую щей ∆Fs к элемента р ной площа дк е ∆S с тр еми тс я к опр еделенной вели чи не ps, на зыва емой на пряже ние м . Т а к и м обр а зом, на пр яжени е на элемента р ной площа дк е р а вно:
Ри с . 3. О ценк а на пр яженного с ос тояни я упр угой с р еды
Ри с . 4. Н а пр яжени я, пр и ложенные к гр а ням бес к онечно ма лого тетр а эдр а
9 ∆Fs dFs = . ds ∆s → 0 ∆s
p s = lim
(8)
Индек с s у век тор а на пр яжени й ук а зыва ет на ор и енти р овк у площа дк и . Т а к и м обр а зом, век тор ps к а к и с и ла ∆Fs за ви с и т не тольк о от положени я центр а элемента р ной площа дк и внутр и тела , но и от ее ор и енти р овк и в пр ос тр а нс тве. В с вязи с эти м полна я ха р а к тер и с ти к а на пр яженного с ос тояни я тела в да нной точк е не может быть опи с а на с помощью к ла с с и чес к ой век тор ной вели чи ны, для та к ого опи с а ни я вводи тс я более с ложное поняти е. Пус ть pX , pY, pZ на пр яжени я на гр а нях тетр а эдр а , огр а ни ченных плос к ос тями YOZ, XOZ, XOY. К а ждое и з эти х на пр яжени й, в с вою очер едь, можно р а зложи ть на тр и к омпоненты по с оответс твую щи м к оор ди на тным ос ям. Получа емые пр и этом девять с к а ляр ных вели чи н(к омпонент на пр яжени й) полнос тью опр еделяю т на пр яжени е в ок р ес тнос ти точк и M и с ос та вляю т т е нзор на пряже ний: X
Y
Z
p XX pYX p ZX
p XY pYY p ZY
p XZ . pYZ p ZZ
(9)
В ма тр и це (9) пер ва я бук ва и ндек с а опр еделяет гр а нь, пер пенди к уляр ную с оответс твую щей ос и , втор а я – к омпоненту на пр яжени я на этой гр а ни . К омпоненты на пр яжени й с оди на к овыми бук ва ми в и ндек с е (pXX, pYY, pZZ) на пр а влены по нор ма ли к с оответс твую щи м гр а ням и на зыва ю тс я норм а льны м и на пряже ниям и. О с та льные шес ть к омпонент на зыва ю т ка са т е льны м и на пряже ниям и. В теор и и упр угос ти док а зыва етс я, что к а с а тельные на пр яжени я с с и мметр и чными и ндек с а ми попа р но р а вны: pXY= pYX, pXZ = pZX, pYZ = pZY. Пр и док а за тельс тве р а с с ма тр и ва етс я элемента р ный па р а ллелепи пед с о с тор она ми , па р а ллельными к оор ди на тным ос ям X, Y, Z. М оменты нор ма льных на пр яжени й в этом с луча е р а вны нулю , та к к а к на пр а влени я с оответс твую щи х с и л пер ес ек а ю т центр ма с с ма лого па р а ллелепи педа . У с лови е р а вновес и я Ср еды выполни тс я в том с луча е, к огда попа р но р а вны к а с а тельные на пр яжени я. К а к и в с луча е деф ор ма ци й, к оор ди на тные ос и можно повер нуть та к , что на пер пенди к уляр ных к ни м площа дк а х и с чезнут к а с а тельные на пр яжени я и будут отли чны от нуля тольк о нор ма льные на пр яжени я. Э ти ос и на зыва ю т гла в ны м и осям и на пряже ний.
3. С
В Я ЗЬ М Е Ж Д У УП Р УГ И М И Н А П Р Я Ж Е Н И Я М И И Д Е Ф О Р М А Ц И Я М И
Д ля и деа льно упр уги х с р ед эк с пер и мента льно ус та новлена ли нейна я за ви с и мос ть деф ор ма ци й от на пр яжени й. Т а к а я с вязь выр а жа етс я лине йны м за коном Г ука 1, с огла с но к отор ому деф ор ма ци и пр ямо пр опор ци она льны на пр яжени ям. Согла с но за к ону Гук а , в общем с луча е неоднор одной с р еды к а жда я и з шес ти к омпонент на пр яжени я (pXX, pYY, pZZ, pXY, pXZ, pYZ) являетс я ли нейной ф унк ци ей шес ти к омпонент деф ор ма ци и (eXX, eYY, eZZ, γXY, γXZ, γYZ).
1
Гук (Хук ) Робер т (1635–1703), а нгли йс к и й ес тес твои с пыта тель, р а знос тор онни й ученый и эк с пер и мента тор .
10 p XX = a11e XX + a12γ XY + a13γ XZ + a14eYY + a15γ YZ + a16e ZZ , p XY = a 21e XX + a 22γ XY + a 23γ XZ + a 24eYY + a 25γ YZ + a 26e ZZ , p = a 31e XX + a 32γ + a 33γ + a 34eYY + a 35γ + a 36e ZZ , YY XY XZ YZ = + + + + p γ γ γ YZ a 41e XX a 42 XY a 43 XZ a 44eYY a 45 YZ + a 46e ZZ , p = a 51e XX + a 52γ + a 53γ + a 54eYY + a 56γ + a 56e ZZ , XY XZ YZ ZZ = + + + + p γ γ γ XZ a 61e XX a 62 XY a 63 XZ a 64eYY a 65 YZ + a16e ZZ . Т а к и м обр а зом, с вязь межу на пр яжени ями и деф ор ма ци ями выр а жа етс я шес тью ур а внени ями с шес тью к оэф ф и ци ента ми пр опор ци она льнос ти в к а ждом ур а внени и . Э ти к оэф ф и ци енты на зыва ю тс я м од улям и упругост и. О бщее чи с ло неза ви с и мых модулей упр угос ти в ур а внени ях, с вязыва ю щи х на пр яжени я с деф ор ма ци ями , за ви с и т от того, к а к и зменяю тс я с войс тва с р еды по р а зли чным на пр а влени ям. Ср еда , с войс тва к отор ой неоди на к овы по р а зли чным на пр а влени ям, на зыва етс я а низот ропной. Е с ли в та к ой с р еде полнос тью отс утс твует с и мметр и я в р а с пр еделени и с войс тв, чи с ло неза ви с и мых упр уги х модулей с ос та вляет 21, та к к а к ма тр и ца , обр а зова нна я к оэф ф и ци ента ми пр опор ци она льнос ти аij, с и мметр и чна относ и тельно гла вной ди а гона ли . По мер е повышени я с и мметр и и с войс тв чи с ло неза ви с и мых модулей уменьша етс я. В с луча е изот ропной с р еды, где с войс тва оди на к овы по вс ем на пр а влени ям, чи с ло упр уги х модулей с ок р а ща етс я до двух. Э ти упр уги е модули λ и µ на зыва ю т коэ ффиц ие нт а м и упругост и Ла м е 2. У р а внени я с вязи между на пр яжени ями и деф ор ма ци ями в и зотр опной с р еде пр и ни ма ю т ви д: pXX = λθ + 2µeXX, pXY = µ2γXY, pYY = λθ + 2µeYY, pXZ = µ2γXZ,
(10)
pZZ = λθ + 2µeZZ, pYZ = µ2γYZ. К оэф ф и ци енты Л а ме могут быть выр а жены чер ез два др уги х к оэф ф и ци ента упр угос ти : м од уль Ю нга 3 (E) и коэ ффиц ие нт Пуа ссона 4 ν. Cвязь между р а с с ма тр и ва емыми вели чи на ми опр еделяетс я ур а внени ями : νE E ; µ= ; (1 + ν )(1 − 2ν ) 2 (1 + ν ) µ (3λ + 2µ ) λ E= ; ν= . λ+µ 2 (λ + µ )
λ=
(11)
М одуль Ю нга E ха р а к тер и зует с опр оти влени е гор ной пор оды р а с тяжени ю и ли с жа ти ю , на пр и мер , E=pXX/eXX. К оэф ф и ци ент Пуа с с она р а вен отношени ю относ и тельного с жа ти я к относ и тельному р а с ши р ени ю , на пр и мер , ν=eXX/eYY. М одуль с дви га µ ха р а к тер и зует с опр оти влени е гор ной пор оды и зменени ю ф ор мы пр и деф ор ма ци и , на пр и мер , µ=pXY/eXY, где pXY – к а с а тельное на пр яжени е, на пр а вленное вдоль ос и Y; eXY – угол с дви га гр а ни па р а ллелепи педа относ и тельно ос и X. 2
3
4
Л а ме Га бр и ель (1795–1870), ф р а нцузс к и й ма тема ти к и и нженер . В 1820–1832 гг р а бота л в Рос с и и , член-к ор р . Петер бур гс к ой А Н (с 1829 г.). Т р уды по ма тема ти чес к ой ф и зи к е, теор и и упр угос ти и др . Ю нг (Я нг) Т ома с (1773–1829), а нгли йс к и й ученый, оди ни з ос новоположни к ов волновой теор и и с вета . Т р уды по а к ус ти к е и др . Пуа с с онСи меонД ени (1781–1840), ф р а нцузс к и й ма тема ти к , меха ни к и ф и зи к , и нос тр а нный почетный членПетер бур гс к ой А Н (с 1826 г.) Т р уды по ма тема ти чес к ой ф и зи к е, теор и и упр угос ти и др .
11 М одуль Ю нга для ос а дочных пор од с ос та вляет (0.03–9)1010 Н /м2, а для к р и с та лли чес к и х пор од (3–16)1010 Н /м2. Зна чени е к оэф ф и ци ента Пуа с с она для ос а дочных пор од на ходи тс я в пр едела х 0.18–0.5, а для к р и с та лли чес к и х 0.19–0.38. М одуль с дви га для гор ных пор од с ос та вляет пр и мер но полови ну модуля Ю нга .
4. ВО
Л Н О В О Е УР А В Н Е Н И Е
4.1. У с лови я ра вн ове с и я и дви ж е н и я с ре ды Ра с с мотр и м ус лови е р а вновес и я с р еды в элемента р ном объ еме dΩ c элемента р ной ма с с ой dm =σ dΩ (σ – плотнос ть с р еды). Пус ть на повер хнос ти dS этого объ ема дейс твую т с и лы, с вяза нные с на пр яжени ями выр а жени ем (8). Э ти с и лы являю тс я пов е рхност ны м и. Д ля а на ли за ус лови й с ос тояни я ча с ти чек с р еды необходи мо учи тыва ть та к же с и лы, дейс твую щи е внутр и объ ема . Т а к и е с и лы на зыва ю т объе м ны м и. Э лемента р ный объ ем с р еды на ходи тс я в с ос тояни и р а вновес и я (пок оя), ес ли с умма вс ех дейс твую щи х на него с и л (повер хнос тных и объ емных) р а веннулю . Д ля с ос та вляю щи х с и л, дейс твую щи х вдоль к оор ди на тных ос ей X, Y, Z это ус лови е опр едели тс я ур а внени ями : ∑ F X = 0; ∑ F Y = 0; ∑ F Z = 0. В р а звер нутом ви де эти ур а внени я с ледует за пи с а ть в ви де: σ Q X d Ω + P XX cos ( n, x ) dS + p YX cos ( n, y ) dS + p ZX cos ( n, z ) dS = 0, σ QY d Ω + P XY cos ( n, x ) dS + p YY cos ( n, y ) dS + p ZY cos ( n, z ) dS = 0, σ Q Z d Ω + P XZ cos ( n, x ) dS + p YZ cos ( n, y ) dS + p ZZ cos ( n, z ) dS = 0.
(12)
В с и с теме (12) QX, QY, QZ – отнес енные к еди ни це ма с с ы пр оек ци и объ емных с и л на к оор ди на тные ос и X, Y, Z; pXX, pYX, … , pZZ – пр оек ци и на пр яжени й; cos(n, x), cos(n, y), cos(n, z) – к ос и нус ы углов, обр а зова нных нор ма лью к dS с ос ями к оор ди на т, та к что вели чи ны пр ои зведени й cos(n,i)dS, обр а зую т пр оек ци и площа дк и dS на на пр а влени я к оор ди на тных ос ей. Е с ли р а с с ма тр и ва ть к онечный объ ем Ω и охва тыва ю щую его повер хнос ть S, то к а ждое и з ур а внени й с и с темы (12) с ледует за пи с а ть в и нтегр а льной ф ор ме. Н а пр и мер , пер вое ур а внени е и з (12) за пи шетс я в ви де:
∫ σ Q X d Ω + ∫ p XX cos ( n, x ) + pYX cos ( n, y ) + p ZX cos ( n, z ) dS = 0 .
Ω
(13)
S
Пр еобр а зова в повер хнос тный и нтегр а л в (13) с помощью ф ор мулы О с тр огр а дс к ого-Га ус с а в объ емный, ур а внени й (13) с ледует за пи с а ть в ви де: ∂p XX ∂pYX ∂p ZX + + σ Q X + ∂x ∂y ∂z Ω
∫
d Ω = 0.
(14)
А на логи чно могут быть пр еобр а зова ны втор ое и тр етье ур а внени я и з (12). О бъ емные и нтегр а лы в (14) должны обр а ща тьс я в ноль пр и лю бой ф ор ме объ ема Ω. Э то выполняетс я тольк о в том с луча е, к огда р а вны нулю подынтегр а льные ф унк ци и . Т а к и м обр а зом, ус лови е р а вновес и я можно за пи с а ть в ви де:
12 ∂p XX ∂pYX ∂p ZX σ Q X + ∂ x + ∂ y + ∂ z = 0, ∂p XY ∂pYY ∂p ZY + + = 0, σ QY + ∂x ∂y ∂z ∂p ∂p ∂p σ Q Z + XZ + YZ + ZZ = 0. ∂x ∂y ∂z
(15)
Е с ли р а с с ма тр и ва етс я с луча й дви жени я ча с ти ц с р еды (р а с пр ос тр а нени е упр уги х волн), то в ур а внени я (15) с ледует доба ви ть с и лу и нер ци и , к отор а я с огла с но втор ому за к ону Н ью тона для еди ни чной ма с с ы р а вна σ
∂ 2Ι ∂ t2
. Следова тельно, ур а внени я дви жени я с р еды с ледует за пи с а ть в ви -
де: ∂ p XX ∂ p YX ∂ p ZX ∂ 2u σ Q X + ∂ x + ∂ y + ∂ z = σ ∂ t 2 , ∂ p XY ∂ p YY ∂ p ZY ∂ 2v + + =σ 2 , σ QY + ∂x ∂y ∂z ∂t ∂ p XZ ∂ p YZ ∂ p ZZ ∂ 2w + + =σ 2 . σ Q Z + ∂x ∂y ∂z ∂t
(16)
4.2. В олн овое ура вн е н и е в одн ородн ой и зот ропн ой с ре де Ис пользуя (10), с и с тему (16) можно за пи с а ть чер ез к омпоненты с мещени й u, v, w. У чтем та к же, что в однор одной и зотр опной с р еде λ=const, µ=const, ν=const. Ха р а к тер пр еобр а зова ни й пр ос леди м на пр и мер е пер вого и з ур а внени й с и с темы (16): σQX +
∂ ∂ u ∂ ∂ u ∂ v ∂ ∂ w ∂ u µ + + µ + λθ + 2µ + = ∂x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ x ∂ z ∂ x ∂ z
=σQX + λ
∂θ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u µ µ µ + 2µ 2 + µ + + + = ∂x ∂ y∂ x ∂ z∂ x ∂ y2 ∂x ∂ z2
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂θ ∂ ∂u ∂v ∂ w µ +µ + + + + 2 = =σQX + λ 2 + 2 ∂x ∂ x∂ x ∂ y ∂ z ∂x ∂ y ∂z = σ Q X + (λ + µ )
(17)
∂θ ∂ 2u + µ∇ 2u = σ 2 . ∂x ∂t
А на логи чно пр еобр а зую тс я два др уги х ур а внени я и з (16). В и тоге получа ем: ∂θ ∂ 2u 2 σ + λ + µ + µ ∇ u = σ , Q ) X ( 2 ∂ x ∂ t ∂θ ∂ 2v + µ∇ 2 v = σ 2 , σ QY + ( λ + µ ) ∂y ∂t ∂θ ∂ 2w σ Q Z + ( λ + µ ) + µ∇ 2 w = σ . ∂z ∂ t2 Т р и с к а ляр ных ур а внени я (17’) могут быть за пи с а ны в ви де одного век тор ного:
’
(17 )
13 σ Q + ( λ + µ ) grad divΙ + µ∇ 2Ι = σ
∂ 2Ι ∂t
2
(18)
.
У чи тыва я, что ∇ 2 Ι = grad div Ι − rot rot Ι , ур а внени е (18) можно пер епи с а ть в ви де: 2 Ι σ Q + ( λ + µ ) grad div Ι + µ rot rot Ι = σ ∂ 2 , ∂t
(19)
где div I = θ. Пр и больши х уда лени ях от и мпульс ного и с точни к а возбуждени я объ емные с и лы пр а к ти чес к и не дейс твую т. Поэтому в (17) можно положи ть Q = 0. В этом с луча е для однор одной и зотр опной с р еды можно с чи та ть с пр а ведли выми с оотношени я: ∂θ ∂ 2u 2 + + ∇ = λ µ µ u σ , ( ) ∂x ∂ t2 ∂θ ∂ 2v + µ∇ 2 v = σ 2 , ( λ + µ ) ∂y ∂t ∂θ ∂ 2w ( λ + µ ) + µ∇ 2 w = σ . ∂z ∂ t2
(20)
Т р и с к а ляр ных ур а внени я (20) можно объ еди ни ть в одно век тор ное:
( λ + µ ) grad div I + µ∇ 2 I = σ
∂ 2I ∂ t2
(21)
,
к отор ое на зыва етс я обобщ е нны м в е кт орны м в олнов ы м ура в не ние м д ля од нород ной изот ропной сре д ы . Е с ли и зотр опна я с р еда неоднор одна , к оэф ф и ци енты Л а ме за ви с ят от к оор ди на т точек с р еды: λ=f(x, y, z), µ=f(x, y, z). У р а внени я дви жени я с р еды (20) в этом с луча е пр и ни ма ю т более с ложную ф ор му: ∂θ ∂λ ∂ I ∂ 2u + µ∇ 2u + θ + + grad u grad µ = σ 2 , ( λ + µ ) ∂x ∂ x ∂ x ∂t ∂θ ∂λ ∂ I ∂ 2v + µ∇ 2v + θ + + grad v grad µ = σ 2 , ( λ + µ ) ∂y ∂ y ∂ y ∂t 2 ( λ + µ ) ∂θ + µ∇ 2 w + θ ∂λ + ∂ I + grad w grad µ = σ ∂ w . ∂z ∂ z ∂ z ∂ t2
(20’)
Э ти тр и с к а ляр ных ур а внени я могут быть объ еди нены в одно век тор ное:
( λ + µ ) ∇ ( ∇I ) + ∇λ ( ∇I ) + µ∇ 2I + ∇µ ( ∇I ) + 2µ ( ∇µ∇I ) = σ ’
∂ 2I ∂t
2
.
(21’)
У р а внени е (21 ) на зыва етс я обобщ е нны м в е кт орны м в олнов ы м ура в не ние м д ля не од нород ной изот ропной сре д ы . Пр и пос тоянс тве λ, µ, σ оно выр ожда етс я в ур а внени е (21). Следует и меть в ви ду, что ур а внени я (21) и (21’) получа ю тс я на ос нове ли нейной с вязи между упр уги ми на пр яжени ями и деф ор ма ци ями (ли нейный за к онГук а ), с пр а ведли вой для и деа льно упр уги х с р ед. В олновые ур а внени я, полученные на ос нове ли нейного за к она Гук а , на зыва ю т лине йны м и в олнов ы м и ура в не ниям и. В р еа льных с р еда х с вязь между деф ор ма ци ями и на пр яжени ями выр а жа -
14 етс я нели нейными ф унк ци ями . Ра с с мотр ени е пр оцес с ов, пр ои с ходящи х в неи деа льно упр уги х с р еда х на ос нове нели нейных явлени й, выходи т за р а мк и на с тоящего к ур с а .
5. ПР
О Д О ЛЬ Н Ы Е И П О П Е Р Е Ч Н Ы Е В О ЛН Ы
В О Д Н О Р О Д Н О Й И ЗО Т Р О П Н О Й С Р Е Д Е
Т р и ур а внени я с и с темы (20) можно пр еобр а зова ть в два и ных ур а внени я. Пер вое и з та к и х ур а внени й получа ю т пос ле с ложени я р езульта тов ди ф ф ер енци р ова ни я по x пер вого ур а внени я и з (20), по y – втор ого и по z – тр етьего: ∂ 2θ
∂ 2θ
∂x
∂y
( λ + µ )
+ 2
+ 2
∂ 2θ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 ∂ u + ∂ v + ∂ w . 2 2 2 + µ ∇ u + ∇ v + ∇ w = σ ∂ x ∂x ∂x ∂ z 2 ∂ t2 ∂ x ∂ x ∂ x
( )
( )
(
)
В ыр а жени е в к ва др а тных с к обк а х пр еобр а зуем к ви ду: ∂ u ∂ v ∂ w 2 µ ∇ 2 + + = µ∇ θ . ∂ x ∂ x ∂ x С учетом пос леднего с оотношени я получа ем ур а внени е: λ + 2µ 2 ∂ 2θ ∇θ= 2. σ ∂t
(22)
Пр оди ф ф ер енци р ова в пер вое ур а внени е с и с темы (20) по y, а втор ое по x и за тем, вычтя р езульта т пер вого ди ф ф ер енци р ова ни я и з р езульта та втор ого ди ф ф ер енци р ова ни я, получи м с оотношени е: ∂ 2θ ∂ 2θ ∂ 2 ∂ ∂ 2 ∂v ∂u 2 − ∇ v − ∇ u = σ − + µ . ∂ x ∂y ∂ t2 ∂ x ∂ y ∂ y∂ x ∂ x∂ y
( λ + µ )
( )
( )
Изменяя пор ядок ди ф ф ер енци р ова ни я во втор ом с ла га емом и пр и ни ма я во вни ма ни е р а венс тво нулю пер вого с ла га емого, получа ем ур а внени е: ∂u ∂ 2 ∂v ∂u 2 ∂ v − = σ − µ∇ . ∂ t2 ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y А на логи чные пр еобр а зова ни я можно пр овес ти , обр а зуя др уги е па р ы и з ур а внени й с и с темы (20) и выполняя с оответс твую щее ди ф ф ер енци р ова ни е. В и тоге та к ого пр еобр а зова ни я можно получи ть с ледую щи е с оотношени я: 2 ∂v ∂ ∂w ∂v 2 ∂ w − = σ − µ∇ , 2 ∂t ∂ y ∂ z . ∂y ∂z
∂u ∂w ∂ 2 ∂ u − ∂ w . − = σ µ∇ 2 2 ∂z ∂x ∂t ∂ z ∂ x Т р и пр едыдущи х ур а внени я можно за пи с а ть в ви де одного век тор ного: µ 2 ∂2 ∇ (rot I ) = 2 ( rot I ). σ ∂t
(23)
15 У р а внени я (22) и (23) опр еделяю т дви жени е ча с ти ц в однор одной и зотр опной с р еде в дос та точно уда ленных точк а х от обла с ти пр и ложени я внешней объ емной с и лы. О ба эти ур а внени я являю тс я ча с тными с луча ями общего волнового ур а внени я ви да : c 2∇ 2 F ( x, y, z , t ) =
∂2 2 ∇ F ( x, y, z, t ) . ∂ t2
(24)
Здес ь с – с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я возмущени й, опр еделяемых ф унк ци ей F(x, y, z, t). Т а к и м обр а зом, в упр угой с р еде неза ви с и мо р а с пр ос тр а няю тс я вызва нные внешни ми с и ла ми возмущени я двух ви дов: • возмущени я, пр едс та вляю щи е тольк о деф ор ма ци и и зменени я объ ема (Ри с . 5, а ); эти возмущени я р а с пр ос тр а няю тс я с о с к ор ос тью V P =
( λ + 2µ )
σ , они на зыва ю тс я прод ольной в олной
и ли в олной сжа т ия; • возмущени я, пр едс та вляю щи е тольк о повор оты (Ри с . 5, б); они р а с пр ос тр а няю тс я с о с к ор ос тью V S = µ σ и на зыва ю тс я попер ечной волной. Н еза ви с и мос ть р а с пр ос тр а нени я пр одольной и попер ечной волнвытек а ет и з с ледую щего. У с лови е отс утс тви я деф ор ма ци и повор отов (попер ечных волн) опр едели тс я ур а внени ем rotI=0. В пр одольной волне с мещени я I1=gradϕ. Пос к ольк у rot gradϕ=0, пос леднее ус лови е выполняетс я. У с лови ем отс утс тви я деф ор ма ци й и зменени я объ ема (пр одольной волны) будет р а венс тво нулю r r ди ла та ци и (θ=0). В попер ечной волне I 2 = rotψ , учи тыва я, что θ=divI, получи м div rotψ = 0 , т. е. выполняетс я ус лови е и зменени я объ ема . Пр одольные волны пр и нято обозна ча ть ла ти нс к ой бук вой P, а попер ечные S. О бозна чени я взяты и з с ейс мологи и , где они были пр и няты та к овыми в с вязи с тем, что на с ейс могр а мма х землетр яс ени й пр одольные волны р еги с тр и р ую тс я р а ньше попер ечных (ла ти нс к и е тер ми ны ” prima” – пер вый и ” sekunda” – втор ой). Пр одольные и попер ечные волны р а с пр ос тр а няю тс я по вс ему объ ему с р еды и поэтому на зыва ю тс я объе м ны м и в олна м и. Ха р а к тер с мещени я ча с ти чек в пр одольной и попер ечной волна х р а зли чен. В пр одольной волне с мещени я пр ои с ходят в на пр а влени и р а с пр ос тр а нени я волны, т. е. век тор с мещени й лежи т в плос к ос ти р а с пр ос тр а нени я волны. В попер ечной волне с мещени я пр ои с ходят в на пр а влени ях, пер пенди к уляр ных р а с пр ос тр а нени ю волны. Е с ли век тор с мещени й в попер ечной волне в пр оцес с е его р а с пр ос тр а нени я не и зменяет ор и енти р овк и , то та к а я попер ечна я волна на зыва етс я плоско и ли лине йно поляризов а нной. Ри с . 5. Д ви жени я ча с ти ц во вр емя пр охождени я плос к и хволнP (а ) и S (б)
16 Гор и зонта льно поляр и зова нную попер ечную волну и ногда на зыва ю т SH-волной; вер ти к а льно поляр и зова нную попер ечную волну – SV-волной. М огут быть и более с ложные с луча и поляр и за ци и попер ечных волн, к огда к онец век тор а с мещени й опи с ыва ет с ложные ф и гур ы (на пр и мер , элли пс пр и элли пти чес к ой поляр и за ци и ). О тношени е с к ор ос тей пр одольной и попер ечной волн V P V S = 2 + λ / µ . Пос к ольк у λ и µ > 0, пр одольные волны р а с пр ос тр а няю тс я быс тр ее попер ечных. Д ля больши нс тва к онс оли ди р ова нных гор ных пор од V P V S ≈ 1.7 Е с ли µ = 0 (на пр и мер , невязк и е жи дк ос ти ), то VS =0, что озна ча ет отс утс тви е попер ечных волнв подобных с р еда х. Д ля пр одольной и попер ечной волн, р а с пр ос тр а няю щи хс я вдоль ос и X, с огла с но (22) и (23) ур а внени я р а с пр ос тр а нени я и мею т ви д: ∂ 2θ = ∂ 2θ ∂z 2 ∂t 2
(25)
∂2 ∂2 ( I ) ( rot ZI ), = rot Z ∂z 2 ∂t 2
(26)
V 2P
2
VS где rot ZI =
∂v ∂u . − ∂x ∂y
Смещени я в пр одольной волне, с огла с но (25) и (26) пр ои с ходят в на пр а влени и ос и Z, а в попер ечной – в плос к ос ти XOY. Пос к ольк у с мещени я в попер ечной волне опр еделяю тс я двумя к омпонента ми (u и v), то р езульти р ую щее с мещени е являетс я век тор ом, р а с положенном в плос к ос ти , пер пенди к уляр ной на пр а влени ю р а с пр ос тр а нени я попер ечной волны, т. е. в плос к ос ти XOY (говор ят, что век тор поляр и зова нв этой плос к ос ти ). В олновые ур а внени я (22) и (23) могут быть за пи с а ны в др угой ф ор ме, ес ли к омпоненты r век тор а с мещени й выр а зи ть с оответс твенно чер ез с к а ляр ный ϕ и век тор ный ψ поля с мещени й (с м. 5): ∂ 2ϕ ∂t 2
(27)
r ∂ 2ψ = 2 ∂t
(28)
V 2P∇ 2ϕ = r V S2∇ 2ψ
Е с ли р а с с ма тр и ва етс я поле с мещени й вбли зи точк и пр и ложени я объ емной с и лы Q, то в (27) r и (28) доба вляю тс я члены, с одер жа щи е с оответс твенно с к а ляр ный и ϕQ и ψ Q внешней с и лы Q. Пр и этом объ емную с и лу Q пр едс та вляю т в ви де двух с ос та вляю щи х, возбужда ю щи х пр одольную r QP и попер ечную QS волны: Q = QP + QS = grad ϕ Q + rotψ Q . ϕQ на зыва ю т ска лярны м упругим поr т е нц иа лом ; ψ Q – в е кт орны м упругим пот е нц иа лом . С учетом дейс тви я объ емной с и лы Q, волновые ур а внени я пр одольной и попер ечной волнпр и ни ма ю т с оответс твенно ви д: ∂ ϕ , 2 ∂t
(29)
r r r ∂ 2ψ ψ Q + V S2∇ 2ψ = 2 . ∂t
(30)
ϕ Q + V 2P∇ 2ϕ =
2
17 (29) и (30) на зыва ю т не од нород ны м и в олнов ы м и ура в не ниям и.
6 . Н А Ч А ЛЬ Н Ы
Е И Г Р А Н И Ч Н Ы Е УС Л О В И Я
Д ля однозна чного опр еделени я поля с мещени й с помощью ур а внени й (28–30), допус к а ю щи х множес тво р ешени й, за да ю тс я дополни тельными ус лови ями – на ча льными и гр а ни чными . Е с ли тр ебуетс я опр едели ть поле с мещени й в и нтер ва ле вр емени [0, tm], 0 ≤ t ≤ tm, то на ча льные ус лови я с водятс я к за да ни ю потенци а ла и его пр ои зводной для момента вр емени t = 0 во вс ех точк а х пр ос тр а нс тва , где и щетс я р ешени е: ϕ ( a, 0 ) = ϕ ( a ) ;
∂ϕ ∂t
t =0
= ϕ 0′ ( a ) . Е с ли до момента t=0
с мещени я в с р еде отс утс твова ли , эти ус лови я за да ю тс я в с ледую щем ви де: ϕ 0 ( a ) = 0 , ϕ 0′ ( a ) = 0 . Т а к а я ф ор ма за пи с и на ча льных ус лови й озна ча ет отс утс тви е в с р еде др уги х и с точни к ов к р оме за да нных. Гр а ни чные ус лови я вк лю ча ю т в с ебя к р а евые ус лови я и ус лови я с опр яжени я. К р а евые ус лови я за да ю тс я на повер хнос ти S, огр а ни чи ва ю щей обла с ть V, в к отор ой и щетс я р ешени е. Спос об за да ни я эти х ус лови й может быть р а зли чным. В за ви с и мос ти от ха р а к тер а за да чи на повер хнос ти S могут быть за да ны потенци а л и его нор ма льна я пр ои зводна я, с мещени я, ли бо на пр яжени я. Н а одной ча с ти повер хнос ти могут быть за да ны на пр яжени я, а на др угой ча с ти – с мещени я. Ч а ще вс его пр и ходи тс я вс тр еча тьс я с внешней за да чей, к огда обла с ть, в к отор ой опр еделяетс я поле с мещени й, пр ос ти р а етс я до бес к онечнос ти . В этом с луча е к р оме ус лови й на повер хнос ти S, огр а ни чи ва ю щей обла с ть V и знутр и , тр ебуетс я выполнени е ус лови й на бес к онечнос ти . Ч то к а с а етс я ус лови й с опр яжени я, то они опр еделяю т поведени е поля на ос обых повер хнос тях, где пр ои с ходи т с к а чк ообр а зное и зменени е упр уги х с войс тв с р еды.
7. С
Ф Е Р И Ч Е С КИ Е В О Л Н Ы
Е с ли в однор одной и зотр опной с р еде с мещени я возбужда ю тс я точечным и с точни к ом, то к олеба ни я ча с ти чек будут пр ои с ходи ть по р а ди а льным на пр а влени ям, р а с ходящи мс я от и с точни к а . О чеви дно, в та к ом с луча е с ледует ожи да ть с ущес твова ни я в с р еде ли шь пр одольных волн. Пр и этом во вс ех точк а х с ф ер и чес к и х повер хнос тей р а ди ус а R, центр к отор ых с овпа да ет с и с точни к ом, и нтенс и внос ть к олеба ни й и и х с ос тояни е (ф а за ) будут пос тоянными . В этом с луча е говор ят о р а с пр ос тр а нени и в с р еде с ф ер и чес к и х волн. Д р уги м пр и мер ом и с точни к а , с озда ю щего с ф ер и чес к и е волны, может быть с ф ер и чес к а я полос ть р а ди ус ом l, к внутр енней с тор оне к отор ой пр и к ла дыва етс я ли бо р а ди а льное да влени е, ли бо к а с а тельные с и лы, дейс твую щи е па р а ллельно гор и зонта льной плос к ос ти . В пер вом с луча е пор ожда етс я с ф ер и чес к а я пр одольна я волна ; во втор ом – повор оты с ф ер и чес к ой повер хнос ти под дейс тви ем к а с а тельных с и л пор ожда ю т возмущени е, р а с пр ос тр а няю щеес я в ок р ужа ю щей с р еде в ви де попер ечной волны. Н ес мотр я на то, что с ф ер и чес к и е волны являю тс я ма тема ти чес к ой а бс тр а к ци ей, и х р а с с мотр ени е позволяет выяви ть ва жные за к ономер нос ти в р а с пр ос тр а нени и упр уги х к олеба ни й, с ос та вляю щи е ос нову теор и и с ейс мологи и и с ейс мор а зведк и .
18 7.1. П родольн ы е с фе ри че с ки е волн ы Ч тобы получи ть ур а внени е пр одольной с ф ер и чес к ой волны, ур а внени е (29) с ледует за пи с а ть в с ф ер и чес к ой с и с теме к оор ди на т R, ξ, ζ. Н а ча ло к оор ди на т с овмеща етс я с центр ом и с точни к а . В с и лу центр а льной с и мметр и и зна чени я потенци а ла будут неза ви с и мы от угловых к оор ди на т ξ и ζ, т. е. будет с пр а ведли во выр а жени е: ϕ(R, ξ, ζ, t) = ϕ(R, t), где R = x 2 + y 2 + z 2 . Л а пла с и а нв с ф ер и чес к и х к оор ди на та х с учетом упомянутой выше центр а льной с и мметр и и можно за пи с а ть в ви де: ∇ 2ϕ =
1 ∂ 2 ∂ϕ ∂ 2ϕ 2 ∂ϕ 1 ∂ 2 + = ( Rϕ ). R = 2 R ∂ R R ∂ R2 R 2 ∂ R ∂ R ∂R
(31)
С учетом с дела нного за меча ни я ур а внени е пр одольной с ф ер и чес к ой волны в с ф ер и чес к ой с и с теме к оор ди на т будет и меть ви д: ϕQ +
V 2P ∂ 2 ∂ 2ϕ ( R ϕ ) = , R ∂R 2 ∂t 2
(32)
где ϕ Q – потенци а л внешни х с и л, ϕ – потенци а л поля с мещени й. В уда ленной от и с точни к а обла с ти с р еды внешни е с и лы не дейс твую т, поэтому и х потенци а л можно пр и нять р а вным нулю . С учетом этого (32) пр и мет ви д: V 2P ∂ 2 ∂2 R ϕ = ( ) ( Rϕ ) . R ∂R 2 ∂t 2
(33)
R R Решени ем (33) являю тс я ф унк ци и ви да Rϕ = A0 F 1 t − + F 2t + , а для потенци а V P VP ла R R ϕ = A0 F 1 t − + F 2t + , R VP V P
(34)
где A0 – а мпли туда волны на еди ни чном р а с с тояни и от и с точни к а . Согла с но (34) в да льней от и с точни к а обла с ти с р еды с ущес твует два возмущени я, опр еделяемые с ла га емыми пр а вой ча с ти . Пер вый член– это волна , р а с пр ос тр а няю ща яс я от и с точни к а ; ее а мпли туда убыва ет по мер е увели чени я р а с с тояни я. Н а повер хнос тях, ха р а к тер и зуемых ур а внени ями t – R/VP = const а мпли туда и меет одно и то же зна чени е. По мер е увели чени я вр емени возмущени е пер еда етс я во вс е более и более уда ленные точк и с р еды. В тор ой член(A0/R) F2(t + R/VP) – это волна , р а с пр ос тр а няю ща яс я по на пр а влени ю к и с точни к у. Ф и зи чес к и его с ущес твова ни е возможно ли шь тогда , к огда в с р еде и мею тс я ли бо др уги е и с точни к и и ли гр а ни цы р а здела , на к отор ых пр ои с ходи т отр а жени е волн. Т а к к а к пр и пос та новк е р а с с ма тр и ва емой за да чи та к и е гр а ни цы отс утс твую т, то вели чи ну F2(t+R/VP) с ледует положи ть р а вной нулю . Следова тельно, р ешени е (34) можно за пи с а ть в ви де R ϕ = A0 F 1 t − . R V P
(35)
Поле с мещени й в пр одольной волне можно выр а зи ть с огла с но (5) на ос нове с оотношени я ∂ϕ R . Д и ф ф ер енци р уя (35), получи м: I P = I1 = gradϕ = ∂R R
19 IP =
1 ∂ A0 R R R 1 R R F′t − F t − = − A0 2 F t − + . ∂ R R V P R R V P RV P V P R
(36)
Согла с но (36) с мещени я в пр одольной волне опр еделяю тс я двумя с ла га емыми : с а мой ф унк ци ей F ( t − R VP ) и ее пер вой пр ои зводной F ′ = ∂F ∂R . М ножи тели 1 R 2 и 1 R пер едF и F
’
с оответс твенно пок а зыва ю т, что на р а зных р а с с тояни ях от и с точни к а к а ждое и з эти х с ла га емых и гр а ет р а зли чную р оль: пр и небольши х уда лени ях от и с точни к а необходи мо учи тыва ть оба с ла га емых, а пр и больши х – тольк о втор ое. С учетом пос леднего обс тоятельс тва вда ли от и с точни к а , к огда с пр а ведли во R 2 ? R , (36) пр и мет ви д: IP = −
A0 ' t R R F − . RV P V P R
(37)
7.2. П опе ре чн ы е с фе ри че с ки е волн ы Пус ть деф ор ма ци я вызыва етс я с ф ер и чес к и м и с точни к ом вр а щени я. Д опус ти м, что к повер хнос ти с ф ер и чес к ой полос ти р а ди ус а l, на ходящейс я в однор одной и зотр опной с р еде, пр и ложены к а с а тельные с и лы, вызыва ю щи е повор оты повер хнос ти к а к еди ного целого относ и тельно ос и Z. К а с а тельные с и лы дейс твую т па р а ллельно гор и зонта льной плос к ос ти . В лю бой точк е повер хнос ти к а с а тельное на пр яжени е в с ф ер и чес к ой с и с теме к оор ди на т опр едели тс я выр а жени ем: pRϕ=p(t)sinξ, где p(t) опр еделяет ха р а к тер за ви с и мос ти на пр яжени я от вр емени , ξ – поляр на я к оор ди на та . Повор оты с ф ер и чес к ой повер хнос ти в ок р ужа ю щей с р еде вызовут возмущени я, р а с пр ос тр а няю щи ес я в ви де попер ечной волны. Пус ть и с точни к на ча л дейс твова ть в момент t=0, т. е. pRϕ=0 пр и t=0. Пр и мем та к же, что до на ча льного момента t = 0 возмущени я в с р еде отс утс твова ли , т. е. выполняю тс я на ча льные ус лови я ви да ϕ0(a) = 0, ϕ'0(a) = 0. В с оответс тви и с ви хр евым ха р а к тер ом дейс твую щи х с и л с мещени я в точк е а в момент r вр емени t, могут быть опр еделены чер ез век тор ный потенци а л ψ в с огла с но ф ор мулы (5): r IS ( a, t ) = I 2 ( a, t ) = rotψ ( a, t ) . В ек тор ный потенци а л за пр едела ми с ф ер и чес к ой повер хнос ти (пр и R > l) опр едели тс я r ∂2 − 2 2ψ = 0 , где VS – с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я по2 V S∇ ∂t пер ечных волн. К а к и и с точни к , поле с мещени й будет обла да ть ос евой с и мметр и ей относ и тельно ос и Z ци ли ндр и чес к ой с и с темы к оор ди на т, с овпа да ю щей с поляр ной ос ью с ф ер и чес к ой с и с темы. r В с и лу отмеченного век тор -потенци а л будет и меть еди нс твенную к омпоненту ψ Z . Поэтому выр а r ∂ψ Z . В ци ли ндр и чес к ой с и с теме к оор ди на т ур а внени е для жени е для IS за пи шетс я в ви де IS = −lϕ ∂R век тор ного потенци а ла пр и мет ви д: r r ∂ 2ψ Z − V 2S ∇ 2ψ Z = 0. 2 ∂t Пер ейдем от ци ли ндр и чес к ой к с ф ер и чес к ой с и с теме к оор ди на т. В этом с луча е с мещени е IS за пи шетс я в ви де:
ур а внени ем (28), к отор ое за пи шем в ви де:
20 r ∂ψ Z ∂ R , IS = −l R ∂R ∂r где R2=z2+r2. r В ели чи на ψ Z тепер ь являетс я ф унк ци ей R и t, ур а внени е для нее в с и лу ус лови я центр а льной с ф ер и чес к ой с и мметр и и можно за пи с а ть в ф ор ме: r r ∂ 2 ( Rψ ) ∂ 2 ( Rψ ) −V S = 0. 2 2 ∂t ∂R В пос леднем ур а внени и и ндек с Z для к р а тк ос ти опущен. Решени е этого ур а внени я а на логи чно р ешени ю (35) для с к а ляр ного потенци а ла и меет ви д:
Ри с . 6. Смещени я в пр одольной волне
r R B ψ ( R, t ) = 0 f t − . R VS К онк р етный ви д ф унк ци й F и f, ха р а к тер и зую щи х с к а ляр ный и век тор ный потенци а лы, за ви с и т от ви да и с точни к а , возбужда ю щего упр уги е к олеба ни я (на пр и мер , га р мони чес к и е, к олок олообр а зные и др .).
8. ПР
О Ф И Л Ь И ЗА П И С Ь В О Л Н Ы
Ра с с мотр и м нек отор ые ос обеннос ти р а с пр ос тр а нени я с ф ер и чес к и х волнв однор одной и зотр опной с р еде. Пр и ни ма я во вни ма ни е одноти пнос ть р ешени й для век тор ного и с к а ляр ного потенци а лов, обс уждени е можно пр овес ти на пр и мер е пр одольных волн. Б удем р а с с ма тр и ва ть поле с мещени й вда ли от и с точни к а , т. е. пр и R 2 ? R . Согла с но (37) IP = −
A0 F ′ t R R . Е с ли и с точни к нос и т и мпульс ный ха р а к тер , ф унк ци я F ′ t − R V от( P) − RV P V P R
ли чна от нуля тольк о в течени е нек отор ого пр омежутк а вр емени δ t, т. е. F'(t)=0 пр и t=0 и t >δ t. Е с ли на ча ло отс чета вр емени с овмес ти ть с на ча лом дейс тви я и с точни к а , то в пр ои звольный момент вр емени t ф унк ци я F ′ ( t − R VP ) отли чна от нуля в пр едела х нек отор ого с ф ер и чес к ого с лоя, толщи на к отор ого опр едели тс я нер а венс твом 0 ≤ t − R VP ≤ δ t . В нутр енни й р а ди ус с лоя р а вен R1 = VP ( t − δ t ) , на р ужный R2 = VP ( t ) . С увели чени ем вр емени t обла с ть, в к отор ой пр ои зошли с мещени я, пер емеща етс я. Д ля ф и к с и р ова нного момента вр емени ti в с р еде можно выдели ть тр и полус ф ер и чес к и е обла с ти (р и с .5): I – обла с ть, где с мещени я уже за к ончи ли с ь и , вс ледс тви е упр угой деф ор ма ци и , ча с ти чк и вер нули с ь в пер вона ча льное положени е; II – обла с ть ши р и ной δ R, где в да нный момент вр емени и мею т мес то на пр яжени я и с мещени я; III – обла с ть, к отор ую с мещени я еще не за тр онули . Повер хнос ть, р а згр а ни чи ва ю щую обла с ти I и II, на зыва ю т за д ним фронт ом (или т ы лом ) волны; повер хнос ть, р а згр а ни чи ва ю щую обла с ти II и III – пе ре д ним фронт ом (или фронт ом ) волны. Ф р онт и тыл волны пер емеща ю тс я с одной и той же с к ор ос тью , опр еделяемой тольк о упр уги ми к онс та нта ми с р еды. 8.1. П рофи ль волн ы Ра с с мотр и м поле с мещени й внутр и обла с ти II для нек отор ого ф и к с и р ова нного момента
21 вр емени t = ti. В нутр и обла с ти II ши р и ной δ R = VPδ t в р а с с ма тр и ва емый момент с ущес твует нес к ольк о р а зли чных зонна пр яжени й. Н а Ри с . 6, на пр и мер , отр а жены две зоны с жа ти я и одна зона р а с тяжени я. Следова тельно, с мещени я внутр и этой обла с ти , по к р а йней мер е, оди нр а з и зменяю т зна к . Гр а ф и к с мещени й I(R) внутр и обла с ти II на зыва ю т профиле м се йсм иче ской в олны (Ри с . 7 а ). Н а та к и х гр а ф и к а х пр и нято зоны р а с тяжени я отобр а жа ть положи тельными , а с жа ти я – отр и ца тельными а мпли туда ми . Д ля с ледую щего момента ti+1 > t обла с ть II пер емес ти тс я да льше от и с точни к а . Е с ли поглощени е (с м. р а здел 10.2, с тр .23) упр угой энер ги и в с р еде отс утс твует (и деа льно упр уга я с р еда ), пр оф и ль волны для нового положени я обла с ти II ос та нетс я та к и м же, к а к и для ее пер вона ча льного положени я, но с огла с но (37) уменьши тс я пр опор ци она льно новому р а с с тояни ю от и с точни к а . Т очк и на пр оф и ле волны с на и больши ми положи тельными и ли отр и ца тельными а мпли туда ми с мещени й обр а зую т горбы и в па д ины . К а чес твенно пр оцес с р а с пр ос тр а нени я с ейс ми чес к ой волны можно оха р а к тер и зова ть к а к пер емещени е в упр угой с р еде гор бов и впа ди н. Пр оф и ль волны являетс я ф унк ци ей пр ос тр а нс твенной к оор ди на ты R. Ч ер едова ни е гор бов и впа ди н дела ет с ходной та к ую ф унк ци ю с га р мони чес к и и зменяю щи ми с я пр оцес с а ми . В мес те с тем, та к к а к эта ф унк ци я огр а ни чена в пр ос тр а нс тве по R, ее нельзя р а с с ма тр и ва ть в к а чес тве га р мони чес к ой ф унк ци и бес к онечной дли тельнос ти . О дна к о, по а на логи и с га р мони чес к и ми ф унк ци ю век тор а с мещени й I(R) ха р а к тер и зую т теми же вели чи на ми , что и га р мони чес к ое к олеба ни е бес к онечной дли тельнос ти , доба вляя к эти м вели чи на м с лова ” ви ди мый” , ” ви ди ма я” . Ра с с тояни е между двумя с ос едни ми гор ба ми (и ли впа ди на ми ) на зыва ю т в ид им ой д линой в олны λв. В ели чи ну 1/λв на зыва ю т в ид им ой прост ра нст в е нной ча ст от ой νв и ли в ид им ы м в олнов ы м числом kв. В ели чи ну 2πνв=χв на зыва ю т в ид им ой кругов ой прост ра нст в е нной ча ст от ой и ли в ид им ы м кругов ы м в олнов ы м числом . 8.2. За пи с ь волн ы Ра с с мотр и м поле с мещени й в нек отор ой ф и к с и р ова нной точк е с р еды М 1, на ходящейс я на ф и к с и р ова нном р а с с тояни и R1 от и с точни к а . За вр емя δ t вс я обла с ть II пер емес ти тс я чер ез точк у М 1 и пос ледова тельно пер еда с т ей с мещени я, с ущес твова вши е в этой обла с ти . Гр а ф и к с мещени й в ф и к с и р ова нной точк е с р еды к а к ф унк ци я вр емени I(t) на зыва етс я за писью в олны (Ри с . 7 б). За пи с ь волны повтор яет в обр а тной пос ледова тельнос ти мгновенный гр а ф и к с мещени й внутр и обла с ти II (пр оф и ль волны). В точк е М 2, на ходящейс я на большем уда лени и от и с точни к а , чем М 1, за пи с ь волны та к а я же, но та к же к а к и для пр оф и ля волны вс е а мпли туды будут уменьшены пр опор ци она льно р а с с тояни ю . Н а за пи с ь волны по тем же с ообр а жени ям, что и на гр а ф и к е пр оф и ля волны, а мпли туду, пер и од и др уги е ха р а к тер и с ти к и на зыва ю т ви ди мыми . Н а и больши е положи тельные и ли отр и ца тельные с мещени я на за пи с и волны на зыва ю т в ид им ы м и а м плит уд а м и Ав; пр омежуток вр емени между с ос едни ми ви ди мыми Ри с . 7. Пр оф и ль (а ) и за пи с ь (б) с ейс ми чес к ой волны а мпли туда ми одного зна к а –
22 в ид им ы м пе риод ом Тв; вели чи ну 1/Тв=fв – в ид им ой ц икличе ской ча ст от ой; вели чи ну 2πfв=ωв – в ид им ой кругов ой ча ст от ой; точк и на за пи с ях, в к отор ых с мещени я дос ти га ю т эк с тр ема льных зна чени й, в с ейс мор а зведк е и мею т с пеци а льный с мыс л и на зыва ю тс я в ид им ы м и фа за м и ϕв. В ели чи ны, ха р а к тер и зую щи е пр оф и ль волны I(R) и за пи с ь волны I(t), с вяза ны между с обой с ледую щи ми с оотношени ями : 1
=
1
λ в VT в
=
fв = v в = k в, V
2π λв
=
ωв = 2π v в = χ в, V
(38)
где V – с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я волны; с мыс л ос та льных вели чи нопр еделенр а нее.
9 . Ф А ЗО
В А Я И Г Р У П П О В А Я С КО Р О С Т И В О Л Н
. Д
И С П Е Р С И Я С КО Р О С Т И
За пер и од Т гор б и ли впа ди на волны пер емеща ю тс я на р а с с тояни е, р а вное дли не волны. Ск ор ос ть пер емещени я гор бов и впа ди нна зыва етс я фа зов ой скорост ью. О на с вяза на с дли ной волны и волновым чи с лом с оотношени ем: Vф =
λв ω в = , Tв kв
(39)
где ωв=2πfв – к р угова я ча с тота ; kв=2π /λв – волновое чи с ло. В и деа льно упр угой с р еде ф ор ма пр оф и ля волны по мер е его р а с пр ос тр а нени я не и зменяетс я: гор бы и впа ди ны (ф а зовые повер хнос ти ) пер емеща ю тс я с пос тоянной с к ор ос тью , р а вной с к ор ос ти р а с пр ос тр а нени я ф р онта волны: Vф =V. В неи деа льно упр уги х с р еда х ф ор ма пр оф и ля и за пи с и волны с уда лени ем от и с точни к а и зменяю тс я вс ледс тви е того, что ф а зова я с к ор ос ть за ви с и т от ча с тоты и ли (что являетс я тем же с а мым) от дли ны волны и ли волнового чи с ла . Д р уги ми с лова ми га р мони к и р а зли чной ча с тоты, обр а зую щи е с пек тр волны, могут р а с пр ос тр а нятьс я с р а зли чной с к ор ос тью . За ви с и мос ть ф а зовой с к ор ос ти от ча с тоты на зыва ю т д испе рсие й скорост и. Ра зли ча ю т нор ма льную ди с пер с и ю , к огда ф а зова я с к ор ос ть Vф возр а с та ет с уменьшени ем ча с тоты (увели чени ем пер и ода и ли дли ны волны), и а нома льную ди с пер с и ю , с к ор ос ть Vф уменьша етс я с уменьшени ем ча с тоты. О чеви дно, что пр и нор ма льной ди с пер с и и с пек тр обедняетс я за с чет выс ок и х ча с тот, а пр и а нома льной, на обор от, ни зк и х. В р езульта те ди с пер с и и с к ор ос ти пер емещени я ф р онта волны и ее ф а зовых повер хнос тей ок а зыва ю тс я р а зли чными . Пр и этом под с к ор ос тью пер емещени я ф р онта волны пони ма ю т оги ба ю щую вс его волнового па к ета (за пи с и волны) (Ри с . 8). Ск ор ос ть пер емещени я оги ба ю щей волнового па к ета на зыва ю т группов ой скорост ью Vгр . Гр уппова я с к ор ос ть опр еделяетс я выр а жени ем: V гр =
Ри с . 8. За пи с ь с ейс ми чес к ой волны с ди с пер с и ей с к ор ос ти
∂ω =V ф ∂k
ω ∂Vф 1 − . V ф ∂ω (40)
Е с ли ди с пер с и я отс утс твует, то Vф не за ви с и т от k (ча с тоты ω), гр уппова я и ф а зова я с к ор ос ти с овпа да ю т.
23 1 0 . ГЕ О
М Е Т Р И Ч Е С КО Е Р А С Х О Ж Д Е Н И Е И П О Г Л О Щ Е Н И Е В О Л Н
10.1. Ге оме т ри че с кое ра с хож де н и е волн Согла с но (37) а мпли туда с ф ер и чес к ой волны убыва ет с р а с с тояни ем. Э то явлени е на зыва етс я ге ом е т риче ским ра схожд е ние м в олн. Д ля пояс нени я геометр и чес к ого р а с хождени я в упр угой с р еде выделяю т узк ую в олнов ую т рубку – ма лую обла с ть с р еды, огр а ни ченную се йсм иче ским и луча м и. Под с ейс ми чес к и м лучом пони ма ю т на пр а влени е пер енос а с ейс ми чес к ой энер ги и в с р еде и , с ледова тельно, на пр а влени е р а с пр ос тр а нени я волны. Согла с но за к ону с охр а нени я ма тер и и за к лю ченна я внутр и тр убк и энер ги я должна ос та ва тьс я пос тоянной пр и ус лови и и деа льной упр угос ти с р еды и отс утс тви и необр а ти мых пер еходов ча с ти энер ги и в др уги е ее ви ды. С уда лени ем от и с точни к а площа дь попер ечного с ечени я волновой тр убк и , очеви дно, увели чи ва етс я, поэтому плотнос ть энер ги и (вели чи на энер ги и , пр и ходяща яс я на еди ни цу площа ди ) уменьша етс я пр опор ци она льно R2. А мпли туда с мещени й р а вна к ва др а тному к ор ню и з энер ги и , поэтому уменьша етс я пр опор ци она льно R. 10.2. П оглощ е н и е с е й с м и че с кой волн ы Пр и р а с пр ос тр а нени и с ейс ми чес к ой волны в неи деа льно упр угой с р еде ча с ть ее энер ги и необр а ти мо пер еходи т в др уги е ви ды энер ги и . М еха ни зм поглощени я и зученнедос та точно полно. О дной и з ги потез поглощени е объ яс няетс я тем, что пр и р а с пр ос тр а нени и с ейс ми чес к ой волны ча с ть ее энер ги и пер еходи т в тепловую энер ги и вс ледс тви е ” вязк ого тр ени я в с р еде” . Н а ос нове эк с пер и мента льных да нных пр и нято, что относ и тельное уменьшени е волны вс ледс тви е поглощени я пр опор ци она льно пр ойденному волной пути : dE/E = –2α dR,
(41)
где dE/E – относ и тельное уменьшени е энер ги и волны на ма лом уча с тк е пути dR. Пос ле и нтегр и р ова ни я (41) получи м: E=E0exp(–2αR),
(42)
где E0 – энер ги я волны на р а с с тояни и R = 0. К оэф ф и ци ент α в ф ор мула х (41 и 42) на зыва етс я коэ ффиц ие нт ом поглощ е ния э не ргии в олны . Из (42) с ледует, что вели чи на α опр еделятс я зна чени ем, обр а тно пр опор ци она льным р а с с тояни ю , на к отор ом энер ги я волны уменьша етс я в e/2 ≈ 1.359 р а з, р а змер нос ть [α] = М -1. Поглощени е с ейс ми чес к ой волны за ви с и т от ее ча с тотного с ос та ва . В общем с луча е α р а с тет пр опор ци она льно пок а за телю нек отор ой с тепени ча с тоты. Д ля с р а вни тельно ни зк и х ча с тот, с к отор ыми обычно и мею т дело в с ейс мор а зведк е, он пр и мер но пр опор ци она ленпер вой с тепени ча с тоты, т. е. α ≈ f. Пос к ольк у а мпли туда с ейс ми чес к ой волны р а вна к ва др а тному к ор ню и з энер ги и то Aα = A0 exp −α ( f ) R . С учетом геометр и чес к ого р а с хождени я и поглощени я волны ее а мпли туду можно за пи с а ть в ви де: AR =
A0 exp −α f R , ( ) R
(43)
где A0 – а мпли туда с мещени й на р а с с тояни и еди ни цы дли ны от и с точни к а . Поглощени е на уча с тк е пути , р а вном дли не волны, на зыва етс я д е кре м е нт ом поглощ е ния. Д ек р емент поглощени я опр едели тс я, очеви дно, с оотношени ем:
24 δ =αλв =αVTв,
(44)
Согла с но (44) дек р емент поглощени я – вели чи на безр а змер на я. Я влени я геометр и чес к ого р а с хождени я и поглощени я с ейс ми чес к и х волнопр еделяю т ха р а к тер а на ли ти чес к ого пр едс та влени я с ейс ми чес к и х к олеба ни й, р а с с мотр ени е к отор ого выходи т за р а мк и на с тоящего к ур с а .
1 1 . П ЛО
С КИ Е В О Л Н Ы
Е с ли с ф ер и чес к ую волну р а с с ма тр и ва ть на большом р а с с тояни и от и с точни к а , то к р и ви зной волнового ф р онта и и зменени ем и нтенс и внос ти на нек отор ом огр а ни ченном уча с тк е ф р онта можно пр енебр ечь. В этом с луча е можно с чи та ть, что с ф ер и чес к а я волна пер еходи т в плос к ую . Под плоской в олной пони ма етс я возмущени е, повер хнос ти р а вных ф а з к отор ого пр едс та вляю т с обой плос к ос ти , пер пенди к уляр ные к на пр а влени ю р а с пр ос тр а нени я волны. В плос к ой волне р а с хождени е ф р онта отс утс твует, поэтому а мпли туды с мещени й, опр еделяемые множи телями 1/(RVP) и 1/(RVS) , не за ви с ят от р а с с тояни я до и с точни к а , поэтому пр и да нном р а с с тояни и R а мпли туду можно с чи та ть пос тоянной. Следова тельно, ур а внени я, ха р а к тер и зую щи е р а с пр ос тр а нени е пр одольных и попер ечных волнможно пр и нять в ви де: R I P = AF ′ t − I 0P = AF ′ ( t − τ P ) I 0P, VP
(45)
R I S = Af ′ t − I0S = Af ′ ( t − τ S ) I 0S, VS
(45')
где τP=R/VP , τS=R/VS . Пр и ни ма я во вни ма ни е а на логи ю между (45) и (45'), в да льнейшем ос новные поняти я о плос к и х волна х р а с с мотр и м на пр и мер е пр одольных волн. В пр ямоугольной с и с теме к оор ди на т, с овмещенной с о с ф ер и чес к ой с и с темой (R, ξ, ζ), ур а внени е (45) за пи шетс я в ви де: d1 x + d 2 y + d3 z I P = AF ′ t − I 0P , VP
(46)
где d1=cos(R, x), d2=cos(R, y), d3=cos(R, z) – на пр а вляю щи е к ос и нус ы R, с овпа да ю щего с на пр а влени ем нор ма ли к волновому ф р онту. Согла с но за к она м а на ли ти чес к ой геометр и и : d 1 + d 2 + d 3 = 1. 2
2
2
(*)
В с оответс тви и с (46) с мещени я IP пос тоянны на плос к ос тях, ха р а к тер и зую щи хс я ур а внени ями : d1x+d2y+d3z=const. В к а ждой и з та к и х плос к ос тей, пер пенди к уляр ных к на пр а влени ю р а с пр ос тр а нени я волны, к олеба ни я и мею т оди на к овую ф а зу и а мпли туду, т. е. повер хнос ти р а вных ф а з и а мпли тудс овпа да ю т. Т а к и е волны на зыва ю тс я од нород ны м и плоским и в олна м и. В с вязи с тем, что пр и а на ли зе ха р а к тер а волновых пр оцес с ов ши р ок о и с пользую тс я с пек тр а льные пр едс та влени я, с пеци а льный и нтер ес пр едс та вляю т плос к и е волны, и зменяю щи ес я по га р мони чес к ому за к ону. В ыр а жени е для плос к ой монога р мони чес к ой пр одольной волны, р а с пр ос тр а няю щейс я вдоль на пр а влени я R, можно за пи с а ть в ви де:
25 R R R I P = A exp iω t − = A exp(−ikR ) exp(iω t ) R V P R
(47)
и ли I P = A exp −ik ( d1 x + d 2 y + d3 z ) exp ( iω t )
R , R
(47')
Пер ва я эк с понента опр еделяет ф а зу к олеба ни я, втор а я отобр а жа ет га р мони чес к и й ха р а к тер и зменени я во вр емени . Пр и р ешени и р яда за да ч (с м. р а здел 14, с тр . 35), с вяза нных с р а с пр ос тр а нени ем упр уги х к олеба ни й, на р яду с однор одными плос к и ми волна ми пользую тс я поняти ем о неоднор одной плос к ой волне. О но вводи тс я на ос нова ни и ф ор ма льного допущени я о том, что на пр а вляю щи е к ос и нус ы являю тс я не вещес твенными , а к омплек с ными чи с ла ми : d 1 = d ′1 + d ′′1, d 2 = d ′2 + d ′′2, d 3 = d ′3 + d ′′3 .
(**)
Е с ли пр и этом потр ебова ть с облю дени я ус лови я (*), то ур а внени е (47) по-пр ежнему будет ха р а к тер и зова ть пр оцес с р а с пр ос тр а нени я га р мони чес к ой волны, но с учетом (**) пр и мет ви д: I P = A exp k ( d ′′1x + d ′′2 y + d ′′3z ) exp −ik ( d ′1x + d ′2 y + d ′3z ) exp ( iω t )
R . R
(48)
Согла с но (48) повер хнос ти р а вных ф а з в этой волне пр едс та влены плос к ос тями , пер пенди к уляр ными на пр а влени ю р а с пр ос тр а нени я и опр еделяемыми ур а внени ем: d1′x + d 2′ y + d3′ dz = const .
(49)
Повер хнос ти р а вных а мпли туд A exp k ( d1′′x + d 2′′ y + d 3′′z ) – это плос к ос ти , опр еделяемые ур а внени ем: d ′′1x + d ′′2 y + d ′′3z = const
(50)
Подс та вляя (**) в (*) и пр и ни ма я во вни ма ни е, что два к омплек с ных чи с ла р а вны в том с луча е, к огда пор ознь р а вны между с обой и х мни мые и дейс тви тельные ча с ти , получи м ур а внени е: d ′1d ′′1 + d ′2d ′′2 + d ′3d ′′3 = 0
(51)
Пос леднее р а венс тво озна ча ет ор тогона льнос ть ф а зовых и а мпли тудных плос к ос тей. В олны, опи с ыва емые ур а внени ями ви да (48), пр и нято на зыва ть не од нород ны м и плоским и в олна м и. Т а к и е волны р а с пр ос тр а няю тс я в на пр а влени ях, опр еделяемых ур а внени ями ви да (49), а ее а мпли туда и зменяетс я вдоль ф а зовой плос к ос ти в одном и з пер пенди к уляр ных на пр а влени й. В общем с луча е с ф ер и чес к ую волну можно пр едс та ви ть в ви де на ложени я большого чи с ла однор одных и неоднор одных плос к и х волн. А на ли ти чес к и та к а я с упер пози ци я плос к и х волнопр еделяетс я и нтегр а лом Зоммер ф ельда 5. Д ля га р мони чес к ой с ф ер и чес к ой волны, ха р а к тер и зуемой ф унк ци ей ви да : G (t ) = e
− ik0 R
R
G (t ) =
5
eiω t и нтегр а л Зоммер ф ельда и меет ви д: 1 2π
2
∫∫∫
exp[ −i( k X x + kY y + k Z z )] iω t e dk X dk Y dk Z , k 2X + k Y2 + k 2Z − k 02
(52)
Зоммер ф ельдА р нольд(1868–1951), немецк и й ф и зи к и ма тема ти к , и нос тр а нный член-к ор р . (с 1925 г.) А Н СССР
26 где волновые чи с ла для к оор ди на тных на пр а влени й kX, kY, kZ являю тс я пер еменными и нтегр и р ова ни я. К огда с умма k 2X + k Y2 + k 2Z огр а ни чена , то р а с с ма тр и ва ю тс я однор одные плос к и е волны. Е с ли эта с умма неогр а ни ченно возр а с та ет, одну и з пер еменных (на пр и мер , kZ) пр и ни ма ю т мни мой вели чи ной, что влечет за с обой необходи мос ть р а с с мотр ени я неоднор одных плос к и х волн. Поняти е плос к ой волны являетс я ма тема ти чес к ой а бс тр а к ци ей, пос к ольк у не с ущес твует р еа льных и с точни к ов для ее возбуждени я. О дна к о пр едс та влени е р а зли чных волнв ви де с упер пози ци и плос к и х волноблегча ет р ешени е р яда за да ч. Н а пр и мер , пр и и зучени и явлени й отр а жени я и пр охождени я волны на гр а ни це р а здела упр уги х с войс тв допус ти мо р а с с мотр ени е па дени я на гр а ни цу однор одной плос к ой волны. Е с ть и та к и е волновые пр оцес с ы (на пр и мер , обр а зова ни е пр еломленной головной волны), объ яс ни ть к отор ые можно тольк о с учетом с ф ер и чнос ти ф р онта па да ю щей волны. В этом с луча е возни к а ет потр ебнос ть введени я неоднор одных плос к и х волн.
1 2 . УС Л О
В И Е А П П Р О КС И М А Ц И И УЧ А С Т КА Ф Р О Н Т А С Ф Е Р И Ч Е С КО Й В О Л Н Ы УЧ А С Т КО М Ф Р О Н Т А П Л О С КО Й В О Л Н Ы
Ра с с мотр и м, на к а к ом р а с с тояни и от и с точни к а с ф ер и чес к ую волну в огр а ни ченной обла с ти пр ос тр а нс тва можно р а с с ма тр и ва ть к а к плос к ую волну. Пус ть (Ри с . 9) уча с ток SS с ф ер и чес к ого ф р онта с центр ом в и с точни к е О а ппр ок с и ми р уетс я уча с тк ом PP плос к ого ф р онта с нор ма лью р а ди ус ом P0O = R (точк а P0 – с ер еди на отр езк а PP). Пр и та к ой а ппр ок с и ма ци и на р уша етс я ус лови е, с огла с но к отор ому во вс ех точк а х плос к ого ф р онта к олеба ни я на ходятс я в одной ф а зе. М ожно на ложи ть ус лови е, чтобы отк лонени е ф а з к олеба ни й в пр едела х плос к ого уча с тк а ф р онта L от ф а з в пр едела х с ф ер и чес к ого уча с тк а было очень ма лым, на пр и мер , гор а зРи с . 9. А ппр ок с и ма ци я уча с тк а ф р онта с ф ер и чес к ой волны уча с тк ом ф р онта плос к ой волны
до меньше π. Н а помни м, что р а знос ть ф а з вели чи ной π озна ча ет, что к олеба ни я на ходятс я в пр оти воф а зе. М а лос ть р а зли чи я ф а з между к олеба ни ями в пр едела х с ф ер и чес к ого и плос к ого ф р онтов озна ча ет, что р а знос ть ∆ путей пр обега волны в пр ои звольные точк и с ф ер и чес к ого и плос к ого ф р онтов должны быть гор а здо меньше дли ны полуволны:
∆ = SP = λ 2.
(53)
Ра знос ть путей (р а знос ть хода ) опр еделяетс я, очеви дно, выр а жени ем: ∆ = PO–P0O = R1–R. Из тр еугольни к а OPP0 на ходи м: 2
L L R1 = R + = R 1 + 2 2R
2
2
Пр и няв
L x2 = 1 и вос пользова вши с ь пр и бли женным с оотношени ем 1 + x 2 ≈ 1 + , полу2R 2
1 L 2 1 L2 чи м: ∆ = R 1 + . Пос ле этого (53) можно пер епи с а ть в ви де: − R = 2 4R 2 2 R 1 L2 λ = . За мени в дли ну волны λ = V/f, в ок онча тельном ви де и меем: 2 4R 2
27 R?
L2 f . 4V
(54)
Полученное выр а жени е на зыва етс я не ра в е нст в ом Ф ра унгофе ра 6. О но опр еделяет ус лови е, пр и к отор ом уча с ток ф р онта с ф ер и чес к ой волны можно с чи та ть плос к и м. Пр и а ппр ок с и ма ци и с ледует учи тыва ть не тольк о уда лени е от и с точни к а R и дли ну уча с тк а ф р онта L, но ча с тоту f и с к ор ос ть V р а с пр ос тр а нени я волны. В пр и ложени и к с ейс ми чес к и м волна м, с пек тр ы к отор ых с одер жа т га р мони чес к и е с ос та вляю щи е в ди а па зоне ча с тот от fгр .н. до fгр .в. в (54) за f с ледует пр и ни ма ть вер хню ю гр а ни чную ча с тоту с пек тр а волн. Пр и пр а к ти чес к ом и с пользова ни и нер а венс тва Ф р а унгоф ер а за да етс я допус ти мый вр еменной с дви г вели чи ны ∆t на пр ямоли нейном уча с тк е L, к отор ый с огла с уетс я с ша гом ди с к р ети за ци и р еги с тр и р уемых с и гна лов. В этом с луча е нер а венс тво (54) можно за пи с а ть в ви де: V ∆t =
1 L2 , 2 4R
отк уда L=
8V R ∆t
(55)
Н а пр и мер , для V=2000 м/с , R=2000 м , ∆t=0.001 c вели чи на L с ос та ви т ок оло 190 м.
13. О
С Н О ВЫ
Г Е О М Е Т Р И Ч Е С КО Й С Е Й С М И КИ
13.1. П ре два ри т е льн ы е за ме ча н и я Л ю бые за да чи р а с пр ос тр а нени я с ейс ми чес к и х волнможно р еша ть с пози ци й волновой теор и и , элементы к отор ой р а с с мотр ены выше. В нек отор ых ва жных пр а к ти чес к и х за да ча х с ейс мор а зведк и более пр ос тые р ешени я могут быть получены с и с пользова ни ем луче в ы х пре д ст а в ле ний ге ом е т риче ской се йсм ики. Геометр и чес к а я с ейс ми к а за ни ма етс я и зучени ем за к онов р а с пр ос тр а нени я с ейс ми чес к и х волнна ос нове и х пр едс та влени й в ви де ф р онтов и лучей. Свое на зва ни е этот р а здел получи л по а на логи и с геометр и чес к ой опти к ой, в к отор ой введено поняти е о с ветовых луча х. Геометр и чес к а я опти к а и геометр и чес к а я с ейс ми к а и мею т общи е за к оны, с тр ого пр и мени мые в том с луча е, к огда дли на упр угой волны бес к онечно ма ла по с р а внени ю с пр отяженнос тью волнового ф р онта . Пос к ольк у в р еа льных ус лови ях дли на волны – вели чи на к онечна я, отс туплени я от за к онов геометр и чес к ой с ейс ми к и тем меньше, чем больше р а змер ы объ ек тов, на к отор ых обр а зую тс я волны. О с новные ур а внени я геометр и чес к ой с ейс ми к и могут быть получены р а зли чными с пос оба ми : пр еобр а зова ни ем волнового ур а внени я пр и пр едельном пер еходе от к онечных дли н волн к бес к онечно ма лым, т. е. к огда ча с тота волны бес к онечно вели к а , ли бо и з та к на зыва емых принц ипов Г юйге нса 7 и Ф е рм а 8, и с пользую щи х геометр и чес к и е пос тр оени я ф р онтов и лучей с ейс ми чес к и х волн.
6 7 8
Ф р а унгоф ер (Ф р а унхоф ер ) Й озеф (1787–1826), немецк и й ф и зи к . У с овер шенс твова л и зготовлени е ли нз. Гю йгенс (Хёйгенс ) Хр и с ти а н(1629–1695), ни дер ла ндс к и й ученый. Созда л (в 1678 г.) волновую теор и ю с вета . Ф ер ма Пьер (1601–1665), Ф р а нцузс к и й ма тема ти к , оди ни з с озда телей а на ли ти чес к ой геометр и и и теор и и чи с ел. Т р уды по опти к е и др .
28 13.2. П оле вре ме н с е й с ми че с кой волн ы . У ра вн е н и е поля вре м е н По л е вр ем ен. Изо х р о ны . Лу ч и
Пус ть в с р еде, где р а с пр ос тр а няетс я с ейс ми чес к а я волна , зна чени я с к ор ос ти и звес тны и за да ны в ви де нек отор ой ф унк ци и к оор ди на т точек упр угой с р еды, т. е. V=V(x, y, z). В пр ои звольную точк у с р еды с к оор ди на та ми x, y, z волна пр и дет в момент вр емени τ, к отор ый та к же за ви с и т от к оор ди на т этой точк и τ=τ(x, y, z). Т а к и м обр а зом, упр угую с р еду можно оха р а к тер и зова ть с к а ляр ным полем, к отор ое на зыва етс я поле м в ре м е н се йсм иче ской в олны . В поле вр еменможно выдели ть повер хнос ти , в к а ждую точк у к отор ых волна пр и ходи т в одно и то же вр емя. Т а к и е повер хнос ти на зыва ю тс я изохрона м и. Совок упнос ть и зохр ондля р а зли чных моментов вр емени ха р а к тер и зует ос обеннос ти пер емещени я ф р онта волны в с р еде. Л и ни и , пер пенди к уляр ные и зохр она м поля вр емен, на зыва ю тс я се йсм иче ским и луча м и. Сейс ми чес к и е лучи опр еделяю т на пр а влени я, по к отор ым пр ои с ходи т пер енос энер ги и волны пр и ее р а с пр ос тр а нени и и з одной точк и с р еды в др угую . Иными с лова ми , лучи пр едс та вляю т на пр а влени я, вдоль к отор ых ф р онт волны р а с пр ос тр а няетс я с о с к ор ос тью V(x, y, z). О с новна я за да ча геометр и чес к ой с ейс ми к и с ос тои т в и зучени и вр еменпр и хода с ейс ми чес к и х волн, к онф и гур а ци и и х ф р онтов и лучей, к огда за да но р а с пр еделени е в с р еде с к ор ос ти V(x, y, z). Пр едел ьны й п ер ех о д о т во л но во го у р авнени я к у р авнени ю п о л я вр ем ен
Пус ть в неоднор одной с р еде с о с к ор ос тью V(x, y, z) р а с пр ос тр а няетс я плос к а я пр одольна я 2 ϕ волна , опр еделяема я ур а внени ем (27): V 2 ( x, y, z ) ∇ 2ϕ = ∂ 2 . Д ля га р мони чес к ой с ос та вляю щей ∂t
потенци а л ϕ можно за пи с а ть в ви де: 2π ϕ = A ( x, y, z ) expi t − τ ( x, y , z ) , T
(56)
где t – пр ои звольное вр емя; τ(x, y, z) – вр емя пр и хода волны в точк у с р еды с к оор ди на та ми x, y, z. В ведем для к р а тк ос ти за пи с и в (56) с ледую щи е обозна чени я: A=A(x, y, z); B=i2π/T; τ =τ(x, y, z)
(*)
и пер епи шем (56) в ви де: B t −τ ϕ = Ae ( ) . 2 ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ Н а йдем ∂ 2 и ∇ 2ϕ = + + 2: 2 ∂ x2 ∂ y ∂z ∂t
∂ϕ ∂ A B ( t −τ ) dt = − AB e B ( t −τ ) ; e dx ∂x ∂x 2 2 ∂ A ∂τ ∂ 2ϕ ∂ 2t + AB ∂τ . B ( t −τ ) ∂ A = − 2 B − AB 2 e ∂x∂x ∂ x ∂x 2 ∂ x2 ∂x
По а на логи и с на пр а влени ем X для на пр а влени й Y и Z и меем:
(56')
29 2 2 2 ∂τ t ∂ A ∂τ ∂ 2ϕ ∂ B ( t −τ ) ∂ A =e −2B − AB 2 + AB ; 2 ∂ y∂ y ∂y ∂ y2 ∂y ∂ y 2 2 2 2 t ∂ A ∂τ ∂τ ∂ ϕ ∂ B ( t −τ ) ∂ A =e − AB 2 + AB 2 −2B . ∂z∂z ∂ z ∂z ∂ z2 ∂z
Н а к онец, втор а я вр еменна я пр ои зводна я (пр а ва я ча с ть (27)) за пи шетс я в ви де: ∂ 2ϕ B t −τ = AB 2 e ( ) . 2 ∂t Подс та вляя пр ои зводные в (27), пр ои зводя с ок р а щени е на eα ( t −τ ) и вос с та на вли ва я пр и нятые в (*) обозна чени я, получи м: 2 2 4π 2π V 2 ∇2 A − i ( gradτ gradA) − i A∇ 2τ − A 4π2 grad2τ = − A 4π2 . T T T T
(57)
Пр и р а вни ва я дейс тви тельные и мни мые члены левой и пр а вой ча с тей, ур а внени е (57) р а зби ва ем на два ур а внени я: 2gradτ gradA + A∇ 2τ = 0; 2 4π 2 grad 2τ V 2 = − A 4π 2 . ∇ A − A T2 T2
(57')
Ра здели м левую и пр а вую ча с ти втор ого ур а внени я и з (57') на –A(2π/T)2. Пр и T→0 (f→∞) T 2∇ 2 A → 0 и в ур а внени и ос та ю тс я ли шь члены, ха р а к тер и зую щи е к и нема ти к у волны (вр е4π 2 A мя и с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я ф р онта ): член
grad 2τ ( x, y, z ) =
1 V ( x, y , z ) 2
(58)
Ф унк ци я τ в (58) по с воему ф и зи чес к ому с мыс лу являетс я полем вр еменупр угой волны. Са мо ур а внени е (58) на зыва ю т основ ны м ура в не ние м поля в ре м е н с ейс ми чес к ой волны, а та к же э йкона лом (от гр ечес к ого с лова “eikon” – и зобр а жени е) и ли ура в не ние м Г а м ильт она . Э то ур а внени е можно за пи с а ть в ви де: 2
2
2
1 ∂τ ∂τ ∂τ + + = 2 ∂ x ∂ y ∂ z V ( x, y , z )
(59)
и ли r τ2 =
1 , V ( x, y , z ) 2
(60)
r где τ = grad τ – гр а ди ент поля вр емен. 13.3. П ри н ци пы Гю й ге н с а и Фе рм а У р а внени е поля вр емен(59) может быть получено и на ос нове геометр и чес к и х пос тр оени й ф р онтов волн; та к ой методр ешени я получи л на зва ни е принц ипа Г юйге нса .
30 Пус ть в нек отор ый на ча льный момент τ = τ0 волнова я повер хнос ть за ни ма ет положени е S0(x, y, z) (Ри с . 10). Согла с но пр и нци пу Гю йгенс а вс е точк и повер хнос ти S0 можно р а с с ма тр и ва ть к а к и с точни к и втор и чных волн, пор ожденных дейс твую щи м (пер ви чным) и с точни к ом. Пр и этом с чи та етс я, что в однор одной с р еде втор и чные волны и злуча ю тс я тольк о впер ед, т. е. в на пр а влени ях, обр а зую щи х ос тр ые углы с внешней нор Ри с . 10. Пос тр оени е волновых повер хма лью к ф р онту волны. В с ледую щи й бли зк и й момент τ1=τ+dτ нос тей по пр и нци пу Гю йгенс а волновую повер хнос ть S1(x, y, z) можно пос тр ои ть к а к оги ба ю щую с емейс тва элемента р ных волн, к а жда я и з к отор ых в пер вом пр и бли жени и р а с с ма тр и ва етс я к а к с ф ер а ма лого р а ди ус а dρ=V(x, y, z)dτ, точечные и с точни к и (точнее и х центр ы) к отор ых лежа т на повер хнос ти S0. Д ля на хождени я положени я волновой повер хнос ти S2 на момент вр емени τ2=τ1+dτ с ледует пр овес ти а на логи чные пос тр оени я для повер хнос ти S1 и т. д. Из и зложенного вытек а ет с пр а ведли вос ть ур а внени я: dτ 1 = , dn V ( x, y, z )
(61)
где dn – отр езок нор ма ли между бли зк и ми волновыми повер хнос тями , р а зделенными во вр емени и нтер ва лом dτ; V(x, y, z) – и с ти нна я с к ор ос ть в с р еде. Пр ои зводна я dτ/dn – ес ть пр оек ци я век тор а gradτ на на пр а влени е нор ма ли , т. е. dτ/dn=gradnτ. Т а к и м обр а зом, (61) эк ви ва лентно (58) и вс е р а с с мотр енные в да нном р а зделе ур а внени я можно р а с с ма тр и ва ть к а к ма тема ти чес к ое опр еделени е пр и нци па Гю йгенс а . Д ля за да нного р а с пр еделени я с к ор ос ти в с р еде V(x, y, z) р ешени е та к и х ур а внени й позволяет опр едели ть к онф и гур а ци ю волнового ф р онта с ейс ми чес к ой волны для лю бого момента вр емени . Е с ли с р еда однор одна (V=const), то, к а к легк о можно убеди тьс я, р ешени ем (59) будет ф унк ци я τ=
2 2 2 x +y +z . V
(62)
Э то выр а жени е пок а зыва ет, что ф р онты волнв однор одной с р еде пр едс та влены с ф ер а ми . О чеви дно, в с луча е неоднор одной с р еды ф р онты волн– с ложные к р и воли нейные повер хнос ти . Согла с но с дела нному выше опр еделени ю ур а внени е и зохр онможно получи ть, пр и р а вняв ф унк ци ю поля вр емени τ (x, y, z) нек отор ым пос тоянным зна чени ям вр емени : τ (x, y, z)=const. А на логом пр и нци па Гю йгенс а пр и мени тельно к и с с ледова ни ю к онф и гур а ци и с ейс ми чес к и х лучей являетс я принц ип Ф е рм а . Согла с но этому пр и нци пу р а с пр ос тр а нени е с ейс ми чес к и х волнот одной точк и с р еды до др угой пр ои с ходи т вдоль с ейс ми чес к и х лучей за на и меньшее вр емя. Следова тельно, опр еделени е к онф и гур а ци и с ейс ми чес к ого луча с води тс я к вычи с лени ю ми ни мума к р и воли нейного и нтегр а ла : τ=
∫ l
dl V ( x, y , z )
(63)
где dl – элемент луча . Пр и вычи с лени и и нтегр а ла (63) тр ебуетс я подобр а ть та к ую ф унк ци ю l(x, y, z), для к отор ой вр емя пр обега волни з одной точк и с р еды в др угую пр и за да нной ф унк ци и с к ор ос ти V(x, y, z) ок а за лос ь бы на и меньши м. В с луча е однор одной, и зотр опной с р еды р ешени е этой за да чи пр и води т к пр ямоли нейнос ти с ейс ми чес к и х лучей. В неоднор одной и а ни зотр опной
31
Ри с . 11. О пр еделени е к а жущейс я с к ор ос ти ф р онта волны
с р еда х с ейс ми чес к и е лучи , очеви дно, к р и воли нейны. К онф и гур а ци ю с ейс ми чес к и х лучей можно опр едели ть на ос нове геометр и чес к и х пос тр оени й, пр оводя ли ни и , пер пенди к уляр ные и зохр она м. 13.4. И с т и н н а я и ка ж ущ а я с я с корос т и волн , с вя зь ме ж ду н и ми Исти нная ско р о сть
Ис ти нной на зыва ю т с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я ф р онта волны по нор ма ли к нему, т. е. вдоль r с ейс ми чес к ого луча . Ис ти нна я с к ор ос ть V с вяза на с гр а ди ентом поля вр еменτ ур а внени ем: 1 1 V= r = , τ dτ dn
(64)
r Гр а ди ент τ пок а зыва ет на пр а влени е на и быс тр ейшего и зменени я поля вр емени на пр а влен пер пенди к уляр но и зохр она м поля. Каж у щ аяся ско р о сть, ее связь с и сти нно й ско р о стью
Пр и лю бом пр ои звольном на пр а влени и ll (Ри с . 11), не с овпа да ю щи м с на пр а влени ем нор r ма ли к ф р онту волны, пр оек ци я τ на выбр а нное на пр а влени е ll на зыва етс я гра д ие нт ом поля в ре м е ни по э т ом уна пра в ле нию: r r gradl τ = τ l = τ cos ( n, l ) . (65) r В ели чи на , обр а тна я τ l , р а вна я с к ор ос ти р а с пр ос тр а нени я с леда ф р онта волны вдоль на пр а влени я ll на зыва етс я ка жущ е йся скорост ью Vк . К а к с ледует и з опр еделени й, к а жуща яс я и и с ти нна я с к ор ос ти с вяза ны между с обой за ви с и мос тью : cos ( n, l ) 1 r ∂τ r = τl = = τ cos ( n, l ) = . Vк ∂l V
(66)
Связь между к а жущейс я и и с ти нной с к ор ос тями и углом выхода (па дени я) луча в точк у на блю дени я на зыва етс я за коном Б е нд орфа . У гол между n и l {e=(n, l)} на зыва ю т углом в ы ход а се йсм иче ского луча и з точк и на блю дени я P. Д ополни тельный угол к углу выхода луча α = 90°–e на зыва етс я углом па д е ния луча . Т а к и м обр а зом, за к онБ ендор ф а можно за пи с а ть в ви де:
32 Vк =
V V = . cos e sin α
(66')
К а к с ледует и з (66'), к а жуща яс я с к ор ос ть и зменяетс я с и зменени ем угла выхода луча : пр и e=0 Vк =V; пр и e=90° Vк =∞ . За ви с и мос ть к а жущейс я с к ор ос ти от угла па дени я и ли (что являетс я тем же с а мым) от на пр а влени я пр и хода волны в точк у на блю дени я позволяет и с пользова ть этот па р а метр для р а зделени я (с елек ци и ) с ейс ми чес к и х волн, а та к же для опр еделени я к оор ди на т центр ов обр а зова ни я волнна с ейс ми чес к и х гр а ни ца х. Э ти с пеци а льные вопр ос ы р а с с ма тр и ва ю тс я в к ур с е ” Сейс мор а зведк а ” . 13.5. П ри н ци п Фре н е ля . П он я т и е об и н т е гра ле К и рхгофа , формуле П уа с с он а Пр и нци п Фр енел я
В р а мк а х геометр и чес к ой с ейс ми к и за да ча о р а с пр ос тр а нени и с ейс ми чес к и х волн, т. е. на хождени е положени я ф р онта волнв лю бой момент вр емени по за да нным зна чени ям с к ор ос ти в с р еде к а к ф унк ци и к оор ди на т точек с р еды, с огла с но и зложенному выше, может быть р ешена с помощью пр и нци па Гю йгенс а . В мес те с тем, пр и этом ос та етс я неяс ным вопр ос об и нтенс и внос ти волн, р а с пр ос тр а няю щи хс я по р а зли чным на пр а влени ям. В опти к е эта пр облема ча с ти чно ус тр а нена О .Ж . Ф р енелем9, дополни вши м пр и нци п Гю йгенс а и деей о к огер ентнос ти втор и чных волни и х и нтер ф ер енци и пр и на ложени и . Н а помни м, что коге ре нт ны м и на зыва ю тс я два га р мони чес к и х к олеба ни я с оди на к овой ча с тотой и неза ви с ящей от вр емени р а знос тью ф а з. А на логи и между геометр и чес к ой опти к ой и геометр и чес к ой с ейс ми к ой позволяю т р а с пр ос тр а ни ть и дею Ф р енеля относ и тельно с ветовых волнна упр уги е волны. Согла с но Ф р енелю и нтенс и внос ть (а мпли туда ) упр угой волны в лю бой точк е с р еды за пр едела ми и с ходного волнового ф р онта опр еделяетс я к а к р езульта т и нтер ф ер енци и элемента р ных втор и чных с ейс ми чес к и х волн, и с точни к и к отор ых непр ер ывно р а с пр еделены на р а с с ма тр и ва емой волновой повер хнос ти S. М оди ф и ци р ова нный та к и м обр а зом пр и нци п Гю йгенс а получи л на зва ни е принц ипа Г юйге нса -Ф ре не ля. О с новные положени я этого пр и нци па за к лю ча ю тс я в с ледую щем: 1) поле с мещени й ϕ, с озда ва емое и с ти нным (пер ви чным) и с точни к ом О (Ри с . 12), в пр ои звольной точк е с р еды P, на ходящейс я за ф р онтом волны S, можно за мени ть эк ви ва лентной ему с и с темой втор и чных и с точни к ов – ма лых уча с тк ов ds лю бой за мк нутой вс помога тельной повер хнос ти S, пр оведенной та к , чтобы она охва тыва ла и с точни к О и не охва тыва ла р а с с ма тр и ва емую точк у P; пр и этом S р а зби ва етс я на ма лые к ольцевые обла с ти , на зыва емые зона м и Ф ре не ля; и х р а ди ус ы р а вны b+λ/2, b+2λ/2, b+3λ/2 и т. д., то ес ть р а зли ча ю тс я на λ/2, где b – р а с с тояни е по нор ма ли от точк и P до повер хнос ти S; 2) втор и чные и с точни к и к огер ентны пер ви чному и с точни к у и между с обой, поэтому возбужда емые и ми втор и чные волны и нтер ф ер и р ую т пр и на ложени и ; р а с чет и нтер ф ер енци и на и более пр ос т, ес ли S – ф р онт волны, т. к . ф а зы вс ех втор и чных и с точни к ов пр и этом оди на к овы; 3) а мпли туда к олеба ни й dϕ, возбужда емых в точк е Р втоРи с . 12. Пос тр оени е зонФ р енеля
9
Ф р енель О гю с тенЖ а н(1788–1827), Ф р а нцузс к и й ф и зи к , оди ни з ос новоположни к ов волновой опти к и .
33 р и чным и с точни к ом, пр опор ци она льна отношени ю площа ди ds с оответс твую щего уча с тк а волновой повер хнос ти S к р а с с тояни ю от него до точк и Р и за ви с и т от угла ψ между внешней нор ма лью к волновой повер хнос ти и на пр а влени ем от элемента ds в точк у Р: dϕ = K (ψ )
a ds b
(67)
где a – вели чи на , пр опор ци она льна я а мпли туде пер ви чной волны в точк а х элемента ds; K(ψ) – к оэф ф и ци ент, учи тыва ю щи й и зменени я а мпли туд втор и чных волнв за ви с и мос ти от р а с с тояни я l=PQ и монотонно убыва ю щи й от 1 пр и ψ=0 до 0 пр и ψ=π/2 (втор и чные и с точни к и не и злуча ю т на за д); 4) к олеба ни я, возбужда емые в точк е Р двумя с ос едни ми зона ми Ф р енеля пр оти воположны по ф а зе, т. к . р а знос ть хода от с ходс твенных точек эти х зондо точк и Р р а вна λ/2; с ледова тельно, а мпли туда р езульти р ую щи х к олеба ни й в точк е Р р а вна ϕ=ϕ1–ϕ2+ϕ3–ϕ4+… , где ϕi – а мпли туды к олеба ни й, возбужда емых в точк е Р втор и чными и с точни к а ми , на ходящи ми с я в пр едела х i – ой зоны; т. к . с увели чени ем i увели чи ва етс я р а с с тояни е l, с пр а ведли во с оотношени е ϕ1>ϕ2>ϕ3>ϕ4>..., к р оме того, с огла с но пр и нци па Гю йгенс а – Ф р енеля ϕi=0.5(ϕi–1+ϕi+1), поэтому а мпли туда к олеба ни й в точк е Р пр и бли женно р а вна ϕ≈ϕ1/2, т. е. р езульти р ую щее дейс тви е вс его отк р ытого волнового ф р онта р а вно полови не дейс тви я пер вой (центр а льной) зоны Ф р енеля. Пользуяс ь зона ми Ф р енеля, поле с мещени й в пр ои звольной точк е Р пр и р а с пр ос тр а нени и с ф ер и чес к ой монохр ома ти чес к ой волны в однор одной с р еде вычи с ляю т с ледую щи м обр а зом. У р а внени е волны пр едс та вляетс я в ви де: ϕr =
ϕ 0 iω ( t − r V ) e , r
(68)
где ϕ0 – а мпли туда с мещени й на р а с с тояни и от и с точни к а , р а вном еди ни це; V – с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я ф р онта волны; r – р а с с тояни е от точк и с р еды Р до и с точни к а . Пус ть S (Ри с . 12) пр едс та вляет мгновенное положени е ф р онта волны, О – и с точни к волны. Поле с мещени й в пр ои звольной точк е Q, на ходящейс я на волновом ф р онте S, с учетом геометр и чес к ого р а с хождени я опр едели тс я выр а жени ем: ϕr =
ϕ 0 iω t0 ϕ 0 iω r0 e = e r0 r0
V
=
ϕ 0 ikr0 e , r0
(69)
где r0 – р а с с тояни е точк и Q от и с точни к а О ; t0 – вр емя пр обега . В к ла д в поле с мещени й возмущени я, внос и мого ма лым элементом ф р онта dS с центр ом в точк е Q, р а вен: dϕ ( P ) = K (ψ )
ϕ 0 ikr0 ikl e e , r0l
(70)
где l=QP – р а с с тояни е от точк и P до точк и Q; K(ψ) – нек отор ый к оэф ф и ци ент, учи тыва ю щи й и зменени я а мпли туд втор и чных волнв за ви с и мос ти от на пр а влени я l; ψ – угол между нор ма лью к ф р онту волны в точк е Q и на пр а влени ем l. Полное поле с мещени й в точк е Р р а вно с умме возмущени й, с озда ва емых вс еми зона ми Ф р енеля:
34 ϕ ( P) =
eikr0 eikl K (ψ ) dS . ∫ r0 S l
(71)
Пос к ольк у вк ла ды пос ледова тельных зонФ р енеля обр а зую т зна к опер еменный р яд, вычи с лени е и нтегр а ла (71) пр и води т к выр а жени ю : ϕ ( P ) = iλ K1 (ψ )
ϕ 0 ik ( r0 + b ) 1 e = ϕ1 ( P ) . r0 + b 2
(72)
Из (72) с ледует, что полное возмущени е в точк е Р р а вно полови не возмущени я, обус ловленного дейс тви ем пер вой зоны Ф р енеля. К а к с ледует и з и зложенного, зоны Ф р енеля и с пользую тс я пр и р а с чете и нтенс и внос ти волн. Интегр ал Ки р х го ф а, ф о р м у л а Пу ассо на
Стр огое ма тема ти чес к ое док а за тельс тво пр и нци па Гю йгенс а -Ф р енеля вытек а ет и з и с с ледова ни я, выполненного Г.Р. К и р хгоф ом10. Согла с но пос леднему, ук а за нный пр и нци п являетс я пр и бли жени ем общей и нтегр а льной ф ор мулы, в к отор ой поле с мещени й в точк е Р выр а жа етс я чер ез зна чени я и с к омой вели чи ны (потенци а ла и ли век тор а с мещени й) и ее пер вой пр ои зводной по нор ма ли , за да нных во вс ех точк а х за мк нутой повер хнос ти S, ок р ужа ю щей точк у Р: ϕ ( P) =
1 4π
∫ S
∂ 1 1 ∂ϕ ϕ ∂ n R − R ∂ n ds,
(73)
где R – р а с с тояни е от точек повер хнос ти S до точк и на блю дени я Р; ϕ – зна чени я потенци а ла и ли к омпонент с мещени я в точк а х, на ходящи хс я на повер хнос ти S. В общем с луча е р а с пр ос тр а нени я ус та нови вши хс я волн и нтегр а л (73) пр и ни ма ет более с ложный ви д: ϕ ( P, t ) =
1 4π
∫ S
∂ 1 1 ∂ R ∂ϕ 1 ∂ϕ [ I ] − − ds, ∂ n R VR ∂ n ∂ t R ∂ n
(74)
где I(P, t) – зна чени е вели чи ны в точк е Р в момент вр емени t; к ва др а тные с к обк и в подынтегр а льном выр а жени и озна ча ю т, что зна чени я вели чи нбер утс я в момент вр емени ti=t–R/V в с вязи с тем, что возмущени е в точк у на блю дени я пр и ходи т с нек отор ым за позда ни ем. Ф ор мулу (74) на зыва ю т ди фра кци он н ы м и н т е гра лом Ки рхгофа . Э та ф ор мула позволяет вычи с лять поле с мещени й в пр ои звольной точк е с р еды, ес ли и звес тны зна чени я вели чи ни и х пр ои зводных по нор ма ли и вр емени во вс ех точк а х пр ои звольной за мк нутой повер хнос ти , ок р ужа ю щей эту точк у. Пус ть S пр едс та вляет с обой с ф ер и чес к ую повер хнос ть р а ди ус ом R, а точк а на блю дени я Р р а с положена в центр е с ф ер ы. Пола га я в ф ор муле (74), где t’ – вр емя, необходи мое для р а с пр ос тр а нени я возмущени я от повер хнос ти с ф ер ы до ее центр а , и пр и ни ма я во вни ма ни е, что ∂ ∂R = − ∂ ∂n , ф ор мулу (74) можно пр еобр а зова ть к ви ду: ∂ϕ ∂ ϕ ( P, t ) = t ′ + ( t [ϕ ]) , ∂t ∂t
(75)
где ϕ и ∂ϕ ∂t – с р едни е зна чени я ф унк ци й ϕ и ∂ϕ ∂t на повер хнос ти с ф ер ы р а ди ус а R.
10
К и р хгоф Гус та в Робер т (1824–1887), немецк и й ф и зи к , и нос тр а нный член-к ор р . Петер бур гс к ой А Н (с 1862 г.). Т р уды по меха ни к е и ма тема ти чес к ой ф и зи к е
35 В ыр а жени е (75) на зыва ю т форм улой Пуа ссона . Интегр а л К и р хгоф а и ф ор мула Пуа с с она являю тс я теор ети чес к ой ос новой для получени я с ейс ми чес к и хи зобр а жени й (ди на ми чес к и х с ейс ми чес к и х р а зр езов).
14. ПО
В Е Р Х Н О С ТН Ы Е В О ЛН Ы
По вер х но стны е во л ны Р э л ея
В безгр а ни чной упр угой с р еде с ущес твую т тольк о пр одольные и попер ечные волны. К огда в с р еде и мею тс я гр а ни цы р а здела , на к отор ых ф и зи чес к и е с войс тва меняю тс я, к р оме объ емных возни к а ю т та к на зыва емые пов е рхност ны е в олны . Сущес твова ни е одного и з ти пов та к и х волн, получи вши х на и менова ни е по и мени и с с ледова теля, было теор ети чес к и обос нова но Д ж.У . Рэле я являетс я с ущес твова ни е и х у повер хнос ти Земля-возлеем11. Гла вной ос обеннос тью в олн Р э дух, на зыва емой с вободной в с вязи с тем, что с и лы с цеплени я в воздухе чр езвыча йно ма лы по с р а внени ю с с и ла ми с цеплени я в гр унте, т. е. на повер хнос ти Земли отс утс твую т на пр яжени я. Э к с пер и мента льно ус та новлено, что с глуби ной а мпли туда с мещени й в волна х Рэлея быс тр о за туха ет, убыва я по эк с поненци а льному за к ону (Ри с . 13). Смещени я в волне Рэлея и мею т с ос та вляю щи е, па р а ллельные и пер пенди к уляр ные гр а ни це полупр ос тр а нс тва . Следова тельно, вдоль гр а ни цы р а с пр ос тр а няю тс я к а к пр одольные, та к и попер ечные SV с мещени я; и х на ложени е обр а зует повер хнос тную волну. Рэлей р а с с мотр ел с луча й га р мони чес к и х к олеба ни й, для к отор ых потенци а лы пр одольных и попер ечных с мещени й могут быть за пи с а ны в ви де:
ϕ = A ( z ) exp iω r ψ = B ( z ) exp i где VR – с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я повер хнос тной волны, A(z), B(z) – а мпли тудные ф унк ци и . Б ыло с дела но пр едположени е, что эти ф унк ци и убыва ю т с глуби ной по эк с поненци а льному за к ону: Ри с . 13. В олны Рэлея. а – теор ети чес к и пр едс к а за нное дви жени е ча с ти цы на повер хнос ти твер дого полупр ос тр а нс тва ; б – р еа льное дви жени е ча с ти цы на повер хнос ти Земли ; в – попер ечный р а зр ез, демонс тр и р ую щи й дви жени е ча с ти ц на повер хнос ти и на глуби не для твер дого полупр ос тр а нс тва
11
A( z) = e где α1, α2 – дейс тви тельные положи тельные чи с ла . Потенци а лы в (76) должны
Рэлей (Рейли ) Д жонУ и льям (1842–1919), а нгли йс к и й ф и зи к , оди ни з ос новоположни к ов теор и и к олеба ни й, и нос тр а нный член-к ор р . Петер бур гс к ой А Н (с 1896 г.). Ф унда мента льные тр уды по а к ус ти к е и др . Л а ур еа т Н обелевс к ой пр еми и (1904 г.)
36 удовлетвор ять волновым ф унк ци ям (27 и 28): V ∇ϕ = 2 P
2
2 2r ∂ ϕ ∂ψ 2 2r , . ψ = V S∇ ∂ t2 ∂ t2
(78)
Имея в ви ду, что на пр яжени я на с вободной повер хнос ти (z=0) р а вны нулю , и подс та вляя (76) и (77) в (78), получи м выр а жени я для к оэф ф и ци ентов α: α12 =
ω 2 VP2 2 ω 2 VS2 − 1 , α 2 = 2 2 − 1 . VP2 VR2 VS VR
(79)
Т р а ек тор и и с мещени я ча с ти ц в повер хнос тной волне Рэлея пр едс та вляю тс я элли пс а ми . Д ля подтвер ждени я та к ого пр едположени я с ледует и меть в ви ду, что к омпоненты с мещени й в повер хнос тной волне выр а жа ю тс я с оотношени ями : ∂ϕ ∂ψ Y ∂ϕ ∂ψ Y − ,w = + . ∂x ∂z ∂z ∂x r Подс та ви в зна чени я потенци а лов ϕ и ψ и з (76) в (80) и и мея пр и этом в ви ду , что u=
(80)
exp iω ( t − x VR ) = cos ω ( t − x VR ) + sin ω ( t − x VR ) . получи м зна чени я к омпонент с мещени я на повер хнос ти Земли (пр и z=0): u =α1sin ω ( t − x VR ) ; w=α 2cos ω ( t − x VR ) .
(81)
В (81) мни мые с ла га емые отбр ошены. Д еля левые ча с ти обои х ур а внени й на α1 и α2 с оответс твенно, а за тем, возводя в к ва др а т левые ча с ти и с к ла дыва я оба ур а внени я, получи м: u 2 w2 + = 1. α12 α 22
(82)
Ф а зова я с к ор ос ть повер хнос тных волнVR
Д р угой ти п повер хнос тных волн, получи вши х на зва ни е в олн Ляв а , обр а зуетс я в том с луча е, к огда на упр угом полупр ос тр а нс тве за лега ет тонк и й с лой с о с к ор ос тью попер ечных волнV0S, зна чи тельно меньшей с к ор ос ти попер ечных волнV1S в упр угом полупр ос тр а нс тве. О ни пр едс та вляю т с умма р ные к олеба ни я, обр а зова нные с ложени ем с мещени й попер ечной волны многок р а тно отр а зи вшейс я от вер хней и ни жней гр а ни ц тонк ого пла с та . Ск ор ос ть волнЛ ява за ви с и т от ча с тоты и на ходи тс я в пр едела х 0.9 V0S (вер хни е ча с тоты) до 0.9 V1S (ни жни е ча с тоты). В с ейс мор а зведк е повер хнос тные волны пр едс та вляю т помехи , меша ю щи е выделени ю и пр ос лежи ва ни ю полезных волн, обр а зова нных на глуби нных гр а ни ца х.
УС Л О A Aв E
В Н Ы Е О Б О ЗН А Ч Е Н И Я
а мпли туда волны. ви ди ма я а мпли туда волны. энер ги я упр угой (с ейс ми чес к ой) волны; модуль Ю нга .
37 F|| F⊥ I L Q QX, QY, QZ R R, l R, ξ, ζ S T Tв VP VR VS Vгр Vк Vф X, Y, Z d1, d2, d3 dm dS dΩ e eXX, eYY, eZZ eXY, eXZ, eYZ f fв i
k kв n p pXX, pYY, pZZ pXY, pXZ, pYZ t u, v, w vв x, y, z ∆Fs ∆S ∆w ∆x, ∆y, ∆z
с и ла , пр и ложенна я по к а с а тельной к повер хнос ти тела . с и ла , пр и ложенна я по нор ма ли к повер хнос ти тела . век тор с мещени я. дли на уча с тк а ф р онта волны. объ емна я внешняя с и ла . пр оек ци и объ емных с и л на к оор ди на тные ос и , отнес енные к еди ни це ма с с ы. р а ди ус -век тор . р а ди ус с ф ер ы. с ф ер и чес к и е к оор ди на ты. нек отор а я к онечна я повер хнос ть. пер и одк олеба ни й. ви ди мый пер и одк олеба ни й. с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я пр одольных волн. с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я повер хнос тной волны Рэлея. с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я попер ечных волн. гр уппова я с к ор ос ть волны. к а жуща яс я с к ор ос ть волны. с к ор ос ть р а с пр ос тр а нени я ф р онта волны. ос и дек а р товой с и с темы к оор ди на т. на пр а вляю щи е к ос и нус ы век тор а по ос ям X, Y, Z. элемента р на я ма с с а . элемента р на я повер хнос ть. элемента р ный объ ем. угол выхода с ейс ми чес к ого луча . относ и тельные р а с тяжени я (с жа ти я) с р еды в на пр а влени и ос ей. относ и тельные с дви ги с р еды в плос к ос тях XOY, XOZ, YOZ. ци к ли чес к а я ча с тота волны. ви ди ма я ци к ли чес к а я ча с тота волны. мни ма я еди ни ца , волновое чи с ло.
−1 .
ви ди мое волновое чи с ло. нор ма ль к элемента р ной площа дк е. на пр яжени е. нор ма льные на пр яжени я вдоль ос ей X, Y, Z. к а с а тельные на пр яжени е в плос к ос тях XOY, XOZ, YOZ. вр емя. к омпоненты век тор а с мещени й по ос ям дек а р товой с и с темы. ви ди ма я пр ос тр а нс твенна я ча с тота . к оор ди на ты точк и . р а внодейс твую ща я повер хнос тных с и л. элемента р на я площа дк а . и зменени е с мещени я ча с ти ц вдоль ос и Z. нек отор ый к онечный и нтер ва л вдоль ос ей X, Y, Z.
38 Ω α γ δ θ λ λв λи µ ν σ τ r τ
нек отор ый к онечный объ ем. к оэф ф и ци ент поглощени я энер ги и волны; угол па дени я с ейс ми чес к ого луча . угол с дви га пр и с дви говых деф ор ма ци ях. дек р емент поглощени я энер ги и волны. ди ла та ци я. дли на волны. ви ди ма я дли на волны. к оэф ф и ци енты упр угос ти Л а ме. к оэф ф и ци ент Пуа с с она . плотнос ть с р еды. вр емя пр и хода волны в пр ои звольную точк у упр угой с р еды. гр а ди ент поля вр емен.
ϕ ϕв χ r ψ
с к а ляр ный потенци а л поля с мещени й; ф а за волны. ви ди ма я ф а за волны. к р угова я пр ос тр а нс твенна я ча с тота и ли к р уговое волновое чи с ло. век тор ный потенци а л поля с мещени й.
ω r ω ωв ∇
к р угова я ча с тота волны. с дви гова я с ос та вляю ща я деф ор ма ци й. ви ди ма я к р угова я ча с тота волны. опер а тор Л а пла с а (ла пла с и а н).
ЛИ Т Е Р
А Т УР А
1. Альпи н Л.М ., Д ае в Д .С ., Кари нск и й А.Д . Т еор и я полей, пр и меняемых в р а зведочной геоф и зи к е: У чебни к для вузов. – М ., Н едр а , 1985. – С.327-399. 2. Знаме нск и й В .В . О бщи й к ур с полевой геоф и зи к и : У чебни к для вузов. – М ., Н едр а , 1988. – С. 224-243, 283-293. 3. Кудрявце в Ю .И. Т еор и я полей и ее пр и менени е в геоф и зи к е: У чебни к для вузов. – Л ., Н едр а , 1988.– С. 272-232. 4. О вчи нни к ов И.К. Т еор и я поля. Изда ни е втор ое, пер ер а бота нное. – М ., Н едр а , 1979. – С. 274-332. 5. С аваре нск и й Е.Ф . Сейс ми чес к и е волны. – М ., Н едр а , 1972. – С. 130-228. 6. С аваре нск и й Е.Ф ., Ки рнос Д .П . Э лементы с ейс мологи и и с ейс мометр и и . – М ., Гос . и зд-во техни к о-теор . ли тер ., 1949. – С. 54-77. 7. Ш е ри ф ф Р.Е., Г е лдарт Л.П . Сейс мор а зведк а. Т . 1. Ис тор и я, теор и я и получени е да нных. М .: М и р , 1987. – С. 69-107.