Расчет мощностей и электромагнитных сил в установках индукционного нагрева: Учебное пособие

Министерство общего и профессионального образования РФ Уральский государственный технический университет

Ф.Н.Сарапулов

РАСЧЕТ МОЩНОСТЕЙ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИЛ В УСТАНОВКАХ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА

Учебное пособие

Екатеринбург 1998

ББК 31.27 С 44 УДК 621.313.333 Рецензенты: кафедра общей электротехники Уральской государственной горно-геологической академии (зав. кафедрой д-р техн. наук Г.С.Хронусов), д-р техн. наук В.П.Рубцов Автор: Ф.Н.Сарапулов С 44 РАСЧЕТ МОЩНОСТЕЙ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИЛ В УСТАНОВКАХ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА: Учебное пособие / Ф.Н.Сарапулов. Екатеринбург: УГТУ, 1998. 89 с. ISBN 5-230-06525-7

Учебное пособие содержит описание наиболее распространенных аналитических методов расчета электромагнитных полей, мощностей и электромагнитных сил в многослойных структурах, к которым относятся, как правило, установки индукционного нагрева. Предлагается простой алгоритм решения данной задачи на основе теории цепей, позволяющий синтезировать схему замещения устройства в виде каскадного соединения в общем случае нелинейных пассивных и активных Е-Н-четырехполюсников. Указания предназначены для студентов всех форм обучения специальности 180500 - Электротехнологические установки и системы. Библиогр. 15 назв. Табл. 3. Рис. 22.

C

2302040000 − 66 Без объявл. 7M2(03)

© Уральский государственный технический университет, 1998 2

ВВЕДЕНИЕ В учебном пособии приводится описание аналитических методов расчета электромагнитного поля и мощностей в элементах устройств индукционного нагрева объектов и сред. Следует отметить, что в инженерной практике (см., например, прил. 4) обычно используются упрощенные методики определения потерь в объектах термообработки на основе идеализированных графических зависимостей и эмпирических коэффициентов. В ряде случаев это может привести к чрезмерно большим погрешностям в результате расчета. К тому же при использовании такого подхода зачастую теряется физическое понимание процессов, происходящих в установках технологического нагрева, и путей эффективного влияния на их развитие. Вместе с тем современный уровень компьютерной вооруженности специалиста позволяет ему решать электромагнитные и тепловые задачи в более общей постановке, используя методики разных уровней сложности, точности и трудоемкости. Ниже рассматривается решение задачи проникновения электромагнитной волны в многослойную среду с различными свойствами и размерами слоев. Легко показать, что к такой структуре сводится любое устройство индукционного нагрева. На первых шагах задача решается в прямоугольной системе координат. Для многих практических установок это вполне допустимо, в других случаях выбирается иная система координат, наиболее соответствующая топологии устройства [4, 5, 7]. В качестве примера в прил. 2 показано решение задачи в цилиндрической системе координат.

1. ПЛОСКАЯ ВОЛНА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В основу анализа положены следующие допущения: - Рассматривается плоская волна электромагнитного поля (ЭМП) в многослойной структуре, состоящей из чередующихся проводящих (полупроводящих) и диэлектрических слоев бесконечной протяженности. Свойства материалов принимаются одинаковыми в пределах каждого слоя. Изменение магнитной проницаемости µ и удельной электрической проводимости γ при насыщении и нагреве металла учитывается введением эквивалентных µ и γ слоя. Точность такого эквивалентирования может быть повышена более подробным разбиением среды на слои. - Магнитодвижущая сила индуктора задается или в виде бесконечно тонкого токового слоя с одинаковой линейной нагрузкой на поверхности многослойной структуры, или равномерно распределенной плотностью тока в зоне индуктора с конечной шириной. Оценка влияния конечных размеров установки на результаты расчета производится в дальнейшем на основе более сложных численных моделей и здесь не рассматривается. Как известно [1, 2, 3] , при отсутствии свободных зарядов ( diV D = 0 ) уравнение в частных производных для вектора напряженности электрического поля линейной cреды записывается [3]

3

E

изотропной и

∂E ∂ 2E , ∇ E = µγ + µε ∂t ∂ t2 2

(1)

где µ , γ , ε - магнитная проницаемость, удельная электрическая проводимость и диэлектрическая проницаемость cреды;

∂2 ∂2 ∂2 - оператор Лапласа в прямоугольных координатах. ∇ = + + ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 2

Для синусоидально изменяющегося во времени ЭМП

E& m = E& m e j(ω t +ψ E ) ,

(2)

где E& m , ψ E - комплексная амплитуда и начальная фаза напряженности Е. С учетом (2) уравнение (1) для i-го слоя среды принимает вид

∇ 2 E& mi = Г i2 E& mi ,

(3)

где

Г i = jωµ i (γ i + jωε i ) =

υi =

1

µ iε i 2

Для плоской волны (рис. 1) ∇ =

jα i2

ω2 − 2 υi

.

(4)

α i2 = ωµiγ i .

,

∂2 и вектор E имеет лишь одну проекцию ∂ z2

E& mx = E& m . Тогда уравнение (3) записывается d 2 E& mi dz 2

= Г i2 E& mi .

(5)

Напряженность магнитного поля (МП) и плотность тока, согласно уравнениям Максвелла [1, 2, 3], связаны с E& mi соотношениями:

4

∂ E& mi ∂ H& mi = −µ ∂ z ∂t

и J& mi = γE& mi .

Решение (5) согласно [1, 2, 3]

E& mi = Ai e Г i z + Bi e − Г i z , Гi 1 dE& mi H& mi = − = jωµ i dz jωµ i

−Г iz Гiz ⎛ ⎜⎜ Ai e − Bi e ⎝

⎫ ⎪ ⎞⎬ ⎟⎟.⎪ ⎠⎭

(6)

1.1. Волна в проводящем полупространстве ( ε = 0 ) На границе полупространства задана напряженность МП H& ms , равная линейной & = wI& l , нагрузке индуктора - полному току на единицу длины по координате у: A И И И где w , I&И , l И - число витков, ток и длина индуктора по у. При

z→∞

ЭМП затухает, т.е. H m → 0 , и из (6) получаем

(риc.2,а)

H& m = H& ms e − Г z , E& m = E& ms e − Г z , J& m = J& ms e − Г z , где E& ms =

(7)

jωµ & H ms , J& ms = α H& ms - напряженность и плотность тока на границе по-

α

лупространства;

Г = α = jωµγ = ( 1 + j)k ,

k = ωµγ 2 = 1 δ , так как для проводящей среды

ωε → 0 , например для меди γ 10 −9 ε = ≈ 0. γ 4π ⋅ 9 ⋅ 58 ⋅ 106

В мгновенных значениях напряженности магнитного Н и электрического из (7) записываются в виде

5

Е полей

H = H ms e −kz sin (ω t + ψ S − kz ) ,

⎫ ⎪ ⎬ ωµ π ⎛ ⎞ E= H ms e −kz sin⎜ ω t + ψ S − kz + ⎟ .⎪ 4⎠ ⎭ γ ⎝

Из (8) следует, что волна

стью

υM

(8)

Н перемещается в направлении координаты z со скоро-

υM =

ω k

(9)

= 2ω µγ .

Действительно, если в (8) подставить z = υ M ⋅ t , то фаза синусоиды записывается так: ω t + ψ S − kz = ω t + ψ S − ω t = ψ S = const , т.е. значение H ms sinψ S синусоиды (как и ее амплитуды) с течением времени t оказывается на расстоянии z = − kz

ω k

t от

поверхности полупространства, затухнув в e раз. Длина волны при этом λM = 2π k , а коэффициент затухания ее амплитуды равен k. Величину

δ = 2 ωµγ

называют эквивалентной глубиной проникновения

ЭМП в металлическое полупространство, так как можно считать, что в слое такой толщины плотность тока постоянна и равна o J& J& 1∞& & J э = ∫ J ms e −α z dz = (1 − j ) ms = ms e − j45 , δ0 2 2

(10)

1 & | J ms | . Интеграл в этом выражении означает полный ток полупро2 странства, приходящийся на единицу длины по координате у, или линейную нагрузку

а ее модуль | J& э |= среды

A& = jэ ⋅ δ = I&m . Единичное электрическое сопротивление металлического полупространства (в расчете на единицу длины по осям х и у, рис. 2, б) для тока I&m (линейной нагрузки)

E& jωµ α 1 + j (1 + j ) ωµ . = = = Z (1) = R(1) + jX (1) = ms = γ γδ γ H& ms Г 2

6

(11)

Это сопротивление одновременно представляет собой волновое сопротивление среды

z c = Z Mem

π E& m α ωµ j 4 = = = e = Z (1) . H& m γ γ

Например, для меди при частоте

f = 50 Гц имеем | Z Cu |= 2 ,7 ⋅ 10 −6

(12)

Ом, для

µ > 1200 µ o имеем | Z Fe |> 100 | Z Cu | . Если учесть непостоянство µ стали и ap aq потери на гистерезис, то R(1) = и X (1) = , где a p = 1,4 ; a q = 0 ,85 [3, 4] . γδ γδ

стали с

Магнитный поток на единицу длины по координате

х

∞ µ Ф& m(1) = ∫ µ H& ms e −α z = H& ms = (1 − j )

α

0

µ & H ms . 2ωγ

(13)

Комплексное единичное магнитное сопротивление (в расчете на единицу длины & m(1) по осям х и у) для потока Ф

(14)

где R(1)M - магнитное сопротивление материала в обычном понимании; X (1)M соответствует потерям на вихревые токи в металле. 2 Вектор Пойнтинга для удельной (на 1 м ) мощности внутри металла

| H ms |2 − 2 k z 1⎛ & ∗ ⎞ . S z (1) = ⎜ E m H m ⎟ = Z (1) e 2 2⎝ ⎠

(15)

При z = 0 вектор представляет собой удельную полную мощность, поступающую в полупространство через единицу поверхности,

7

(через параметры

(через параметры

электрической цепи)

(16)

магнитной цепи)

2 Активная удельная мощность, Вт/м , поступающая в полупространство, в общем

случае

P(1) = a p

ωµ H m2 s 1 2 (J m Z (1)M ) , ⋅ = a pω Фm(1) 2γ 2 2

(17)

где a p ≈ 1 для немагнитного и a p ≈ 1,4 для ферромагнитного материала [3]. Реактивная мощность соответственно

Q(1) = a q

ωµ H m2 S 2 (Re Z (1)M ) , ⋅ = a qω Ф M(1) 2γ 2

(18)

где a q = 1 для немагнитного и a q ≈ 0 , 85 для ферромагнитного материала. Мгновенное значение удельного усилия по оси z вычисляется как сила Ампера, действующая в данный момент времени на ток выделенного из металла провода единичного сечения и единичной длины, расположенного на расстоянии z от поверхности, ∗ ⎞⎛ ∗⎞ 1⎛ f ( z ,t ) = j(t , z )B (t , z ) = Re J& Re B& = ⎜ J& + J ⎟⎜ B& + B ⎟ , 4⎝ ⎠⎝ ⎠

jψ jω t − kz − jkz где J& = γE& = γE ms e E e e e ;

B& = µH ms e jψ H e jω t e − kz e − jkz .

8

Выполнив некоторые преобразования в выражении для усилия, получаем

[(

) (

1 f ( z ,t ) = γµE ms H ms e − 2 kz e j(ψ E −ψ H ) + e − j(ψ E −ψ H ) + e j(2ω t − 2 kz +ψ E +ψ H ) + 4 ∗ ⎞ ⎤ 1 ⎡ ⎛ + e − j(2ω t − 2 kz +ψ E +ψ H ) = γµ ⎢ Re⎜ E& m H m ⎟ + Re(E& m H& m )⎥ = 2 ⎣ ⎝ (15а) ⎠ ⎦

)]

1 = γµE ms H ms e − 2 kz [cos (ψ E − ψ H ) + cos (2ω t − 2kz + ψ E + ψ H )] = 2 = F уд ( z ) + F уд ( z ,t ). Первое слагаемое (15а) дает среднее за период усилие, а второе – переменную составляющую, пульсирующую с двойной частотой во времени. С другой стороны, из (15) имеем принимает вид

1 ⎛& ∗ ⎞ Re⎜ E m H m ⎟ = Pz (1) , и среднее усилие в (15а) 2 ⎝ ⎠

F уд ( z ) = γµPz (1) = γµP(1)e − 2 z δ = F уд e − 2 z δ ,

(15б)

т.е. среднее усилие в точке z отличается от входной удельной активной мощности в этой точке PZ (1) в (µγ ) раз. Полное удельное усилие (сжимающее металл давление) в точке z получается интегрированием удельного усилия от z=0 до z. Например, для среднего за период давления

Pсж ( z ) =

µγP(1) =

)

(15в)

δ

F уд – максимальное давление в металле (при z > 2 ,5δ ), 2 2 = γµP(1) - максимальное усилие (на поверхности полупространства).

где Pсжm =

F уд

δ

(

1 z ⎛& ∗ ⎞ µγ ∫ Re⎜ E m H m ⎟dz = − Pсжm 1 − e − 2 z δ , 2 0 ⎝ ⎠

На рис. 2,в показаны зависимости F уд ( z ) F уд и Pсж ( z ) Pсжm от координаты z (см. также [7]).

1.2. Волна в диэлектрическом полупространстве (γ = 0 ) В этом случае Г = jω

где

υ=

1

µε

µε = jω υ ,

- скорость распространения волны в диэлектрике, например для воз-

духа 9

υ=

1

µ oε o

=c=

1 4π ⋅ 10

−7

⋅ 8 ,854 ⋅ 10

= 3 ⋅ 10 8 м/с .

− 12

Напряженности магнитного и электрического полей

⎫ , ⎪⎪ ⎬ ω −j z ⎪ = µυH& ms e υ ,⎪⎭

H& m = H& ms e E& m или в “волновой” записи

ω υ

−j z

ω ⎛ H = H& ms sin⎜ ω t + ψ S − υ ⎝

(19)

⎞ z⎟. ⎠

(19 a)

Волновое сопротивление диэлектрика

Z (1) = Z Д =

E& m = µυ = H& m

µ ε.

Для воздуха Z в = µo ε o = 377 Ом, для трансформаторного масла Z мac = 243 Ом. Длина волны в воздухе при f= 50 Гц составляет λ = c f = 6000 км. Как видно, в идеальном диэлектрике волна не затухает при движении по координате z.

1.3. Волна в полупроводниковой среде ( γ ≠ 0 , ε ≠ 0 )

В этом случае где k =

γ ⎞ ⎛ Г = jk = jω µε ⎜ 1 − j ⎟ = jω ε µ , ωε ⎠ ⎝

β − jα ,

ω β= 2υ

ε =ε− j

γ ω

γ2 ω 1+ 2 2 +1 , α = 2υ ε ω

γ2 1+ 2 2 −1 , ε ω

- так называемая комплексная диэлектрическая проницаемость.

10

Выражения (19) для напряженностей ЭМП принимают вид

⎫ H& m = H& ms e − jk z , ⎪ & m H& ms − jk z ⎬ H E& m = e ,⎪ = Z (1) Z (1) ⎭ где

(20)

Z (1) = µ ε = ξ e jψ ,

1

ψ = arctg (α β ) , ξ = µυ 4

1+

2

γ ε 2ω 2

,

или в “волновой” записи

H = H ms e −α z sin(ω t +ψ S − β z ) , ⎫ ⎪ ⎬. H ms − α z E= e sin(ω t +ψ S − β z − ψ ).⎪ ς ⎭

(20а)

Как видно, волны затухают при движении по координате z. При

γ =0

(нет токов проводимости) получаем случай 2.

При

ε =0

(нет токов смещения) получаем случай 1.

Комплексная диэлектрическая проницаемость вводится также в случае [1, 2], если имеются потери энергии при изменении поляризации диэлектрика

ε= где

D& = ε e − jδ д , & E

δ д называют углом диэлектрических потерь.

Введение комплексной ε позволяет исследовать диэлектрический нагрев среды с помощью рассматриваемых далее методов расчета.

11

Следует отметить также, что для учета потерь на магнитный гистерезис вводят комплексную магнитную проницаемость

µ = B& H& .

2. непосредственный метод расчета электромагнитного поля в многослойной системе

2.1. ДВУХСЛОЙНОЕ ПРОВОДЯЩЕЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО В этом случае рассмотренное в п.1.1 полупространство, обладающее свойствами µ 2 , γ 2 , покрыто проводящим слоем металла толщиной d с другими свойствами µ1 , γ 1 . В соответствии с (6) решения для напряженностей электромагнитного поля в слоях записываются

(

1 H& m1 = − A1eα 1z − B1e −α 1z z c1 H& m 2 = −

1 z c2

(A e 2

α 2z

− B2 e

)

−α 2 z

)

⎫ при 0 < z < d ,⎪ ⎪ ⎬ при z>d⎪ ⎪⎭

(21)

и

E& m1 = A1eα 1z + B1e −α 1z , ⎫⎪ ⎬ E& m 2 = A2 eα 2 z + B2 e −α 2 z ,⎪⎭ где

α 1 = (1 + j) k1 = Г 1 ; α 2 = (1 + j) k 2 = Г 2 ; z c1,2 = k1 =

1

δ1

(21а)

jω µ 1,2 Г 1,2

;

= ωµ1γ 1 2 ; k 2 = ωµ 2γ 2 2 .

Граничные условия на границах слоев сводятся к следующим соотношениям тангенциальных составляющих напряженностей [1, 2, 3]:

H 1t = H 2t , E1t = E 2 t . Кроме того, A2 = 0 , так как ЭМП затухает в слое 2 при z → ∞ . Из (21) при z = 0 и z = d с учетом (22) можно записать [3] 12

(22)

A1 + B1 = E& ms1 , B1 µ 1k 2 + µ 2 k 1 2α 1d z c 2 + z c1 2α 1d 1 ⋅e = ⋅ e 2α 1d , = ⋅e = M 12 z c 2 − z c1 A1 µ 2 k1 − µ 1k 2

z − z c1 где M 12 = c 2 . z c 2 + z c1

Принимаем, что при z = 0

⎞ ⎞ A1 ⎛ e 2α 1 d 1 ⎛ B1 & ⎟, ⎜ ⎜ ⎟ ( ) H m1 0 = H ms1 = A1 − 1 1 = − ⎟ z ⎜ M ⎟ z c1 ⎜⎝ A1 c1 ⎝ 12 ⎠ ⎠ z c1 H ms откуда A1 = . ⎞ ⎛ e 2α 1d ⎜ − 1⎟ ⎟ ⎜ M ⎠ ⎝ 12 В результате из (21)

(

⎛ α z e 2α 1d −α z ⎞ eα 1 (d − z ) − M 12 e −α 1 (d − z ) H m1 1 ⎜e 1 − =− e 1 ⎟= α 2 d ⎜ ⎟ 1 H ms1 M 12 ⎛e ⎞⎝ eα 1d − M 12 e −α 1d ⎠ ⎜ − 1⎟ ⎜ M ⎟ ⎝ 12 ⎠

)

. (21б)

Единичное электрическое сопротивление двухслойного проводника

E& ms1 Z (1) = H& ms1

При

d

δ1

z µ 2 k1 thα 1d + c 2 chα 1d z c1 µ 1k 2 jωµ 1 A1 + B1 α 1 . (23) = = = z c1 z c2 α 1 B1 − A1 γ 1 chα d + µ 2 k1 shα d thα 1d + 1 1 1 z c1 µ 1k 2 shα 1d +

>> 1 (толщина верхнего слоя превышает глубину проникновения) выра-

жение (23) превращается в (12) для однослойного проводника Z (1)c = α 1 рами среды γ 1 , µ1 . Отношение сопротивлений двухслойного (23) и однослойного с

µ 2γ 1 chα 1d Z (1) µ 1γ 2 . водников записывается как = Z (1)1c µ 2γ 1 chα 1d + shα 1d µ 1γ 2 shα 1d +

13

γ 1 с парамет-

γ 1 , µ1 (11) про-

Если однослойный проводник имеет γ 2 , µ 2 , то отношение сопротивлений

Z (1) Z (1)1c

=

α 1 γ 2 shα 1d + γ 1 µ 2 γ 2 µ 1 chα 1d . ⋅ ⋅ α 2 γ 1 chα 1d + γ 1 µ 2 γ 2 µ 1 shα 1d

Расчет мощностей производится по (16) с учетом (23).

2.2. ТРЕХСЛОЙНАЯ СИСТЕМА Рассматриваем систему рис.4, в которой среда 1 и 3 - диэлектрик (например, воздух), 2 и 4 - металлы с разными свойствами. Решение для напряженностей поля записывается согласно (6). Из граничных условий на границах I, II, III и при z → ∞ с учетом (22) получаем A4 = 0 , а также

E& m 2 = A2 + B2 = E& ms , H& m 2

⎫ ⎪ справедливо при z = 0 , α2 ( A2 − B2 ) = H& ms ,⎬⎪ = jωµ 2 ⎭

E& m 2 = E& m 3 и H& m 2 = H& m 3 ,

справедливо при z = d , т.е.

A2 eα 2d + B2 e −α 2d = A3 e Г 3d + B3 e − Г 3d ,

)

(

(24)

(

α2 Г A2 eα 2d − B2 e −α 2d = 3 A3 e Г 3d − B3 e − Г 3d µ2 µ3

⎫ ⎪ ⎬ ,⎪ ⎭

)

(25)

при z = d + a справедливо E& m 3 = E& m 4 и H& m 3 = H& m 4 , т.е.

A3 e Г 3 (d + a ) + B3 e − Г 3 (d + a ) = B4 e −α 4 (d + a ) , −

Г3

µ3

⎫ ⎪ ⎬ α A3 e Г 3 (d + a ) − B3 e − Г 3 (d + a ) = 4 B4 e −α 4 (d + a ) .⎪ µ4 ⎭

)

(

После решения (24), (25), (26) находим постоянные

A2 =

jωµ 2 H& ms , α 2 (1 − B2 A2 )

14

(27)

B2 Cα 2 − µ 2 2α 2 d = e , A2 Cα 2 + µ 2

где

[ ( ) ( )] C= )− µ α (1 + e )] Г [µ Г (1 − e µ3 µ4 Г 3 1 + e 2 Г 3 a − µ3α 4 1 − e 2 Г 3 a 3

4

3

2Г 3 a

3

4

2Г 3 a

B3 µ 3 α 4 + µ 4 Г 3 2 Г 3 (d + a ) e , = A3 µ 4 Г 3 − µ 3 α 4 B2 − 2α 2d e A 2 A3 = A2 e (α 2 − Г 3 )d , B3 − 2 Г 3 d 1+ e A3 1+

B4 = A3 e

( Г 3 +α 4 )(d + a ) ⎡ B3 − 2 Г 3 (d + a ) ⎤ ⎢1 + A e ⎥. 3 ⎣ ⎦

⎫ ,⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

(28)

Входная удельная мощность определяется аналогично (15) при z = 0 с учетом (24)

S (1) = P(1) + jQ(1) =

∗ ⎞ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎞ γ ⎛ 1⎛ & ⎜ E ms ⋅ H ms ⎟ = 2∗ ⎜ A& 2 A2 − A& 2 B2 + B& 2 A2 − B& 2 B2 ⎟ . (29) 2⎝ ⎠ 2α ⎝ ⎠ 2

3. ВОЛНОВОЙ МЕТОД РАСЧЕТА [1, 2, 3]

3.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Этот метод использует представление решений для Н и Е слоя в виде сумм падающих, отраженных и преломленных волн (рис.5,а), что следует из (6). Действительно, в пространстве 1 (рис. 5,б), согласно (6), существуют падающая волна

E пад = E p1 ( z ) = B1e jω t e − Г 1z , движущаяся вправо (в направлении оси z) со скоро-

стью

ω k1 , а также встречная волна E omp = E01 (z ) = A1 e jω t e Г 1z , движущаяся с такой

же скоростью в обратном направлении и называемая отраженной. Отраженная волна связана с падающей коэффициентом отражения M omp , т.е. E& omp = M omp E& naд ,

H& omp = − M omp H& naд . Падающая волна частично проникает в пространство 2 с коэффи-

15

циентом преломления N np и называется преломленной или проникающей [2, 3]

E& np = N npE E& naд , H& np = N npH H& naд . Из граничных условий (22) можно записать для тангенциальных составляющих напряженностей ЭМП при z = 0 :

E& naд + E& omp = E& np , ⎫⎪ ⎬ H& naд + H& omp = H& np ⎪⎭ или

E& naд + M omp E& naд = E& np , ⎫⎪ ⎬. H& naд − M omp H& naд = H& np ,⎪⎭

(30)

Комплексные амплитуды напряженностей падающих и преломленных волн каждого слоя связаны волновым сопротивлением слоя (12), т.е. для первого и второго слоев

z c1 = Z (1)1 = E& m1 z = Z ( ) = E& m 2 c2

12

H& m1 = E& m naд H& m naд = jωµ1 Г 1 ,⎫⎪ ⎬ H& m 2 = E& m np H& m np = jωµ 2 Г 2 . ⎪⎭

(31)

Далее индекс (1) единичного сопротивления опускаем. После деления уравнений в (30) с учетом (31) получаем

1 + М 12 z c1 = z c 2 , 1 − М 12 где коэффициент отражения волны в среде 1 от границы 12 (z = 0)

M 12

E& omp H& omp z c 2 − z c1 = =− = , E& naд H& naд z c 2 + z c1

(32)

а затем

⎫ E& np 2z c2 N 12 = , ⎪ = 1 + M 12 = E& naд z c 2 + z c1 ⎪ ⎬ H& np 2 z c1 ⎪ N 12 H = = 1 − M 12 = . H& naд z c 2 + z c1 ⎪⎭

16

(33)

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ ВОЛНОВОГО МЕТОДА ДЛЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ СТРУКТУРЫ В действительности имеет место многократное отражение волны от обеих границ слоя, в результате чего напряженности (6) ЭМП получаются суммированием бесконечного количества волн, двигающихся по оси z в прямом и встречном направлениях. В среде 1 (рис. 5,б , z < 0) −Г z Сумма первичной падающей волны E& mp 1 = E& msp e 1 ,

Г z Г z отраженной волны E& mo1 = E& mp 1( z =0 ) ⋅ M 12 e 1 = E& msp ⋅ M 12 ⋅ e 1 , бесконечного ряда волн, обусловленных внутренним отражением в среде 2 и сводящихся

к E msp N 12 M 23 N 21 σ e

−2 Г 2 d Г 1 z e ,

дает [3, 4]

[

]

E& m1 (z ) = E& msp e − Г 1z + M 12 e Г 1z + N 12 M 23 N 21σ e −2 Г 2d e Г 1z , где

σ=

1 1 − M 23 M 21e − 2 Г 2d

(34)

- коэффициент, полученный при суммировании бесконеч-

ного ряда отраженных волн;

N 12 = 1 + M 12 = M 21 =

z c1 − z c 2 z c1 + z c 2

2 z c2 z c1 ; ; N 21 = 2 z c1 + z c 2 z c1 + z c 2 z − z c2 - коэффициенты преломления и отражения на ; M 23 = c 3 z c3 + z c 2

границах соответствующих слоев, приведенные в верхней части рис. 5,б. Там же показана схема отражения, преломления и суперпозиции волн. В среде 2 (0
σ e − Г 2z ,

- влево E& msp N 12 M 23 т.е.

σ e − Г 2 d e − Г 2 (d − z ) ,

[ [

] ]

⎫ E& mz (z ) = E& msσ e − Г 2 z + M 23 e − Г 2d e − Г 2 (d − z ) ,⎪ ⎬ ( ) − Г z − Г d − Г d − z H& mz (z ) = H& msσ e 2 − M 23 e 2 e 2 ,⎪⎭ где E& ms = E& msp N 12 , H& ms =

γ2 & E . α 2 ms

17

(35)

Напряженности магнитного поля на “входной” (z = 0) и “выходной” (z волны сторонах слоя 12 и 23 из (35) выражаются в виде

H& m 2 (0 ) = H& m 2 (d ) =

1 − M 23 e − 2 Г 2 d

1 - M 23 M 21e − 2 Г 2 d 1 − M 23

= d) для

H& ms ,

e Г 2 d - M 23 M 21e − 2 Г 2 d

H& ms = H m 2 (0 )

1 − M 23

e − 2 Г 2 − M 23 M 21e − 2 Г 2 d

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ .⎪ ⎪ ⎭

(36) После подстановки M 21 и M 23 в (35) получаем

H& m 2 ( z ) = H& ms

⎛ z c2 ⎞ z c 3 sh Г 2 (d − z ) + z c 2 ch Г 2 (d − z ) ⎜⎜1 + ⎟⎟ , (37) z ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ z z z c1 ⎠ z c 3 ⎜⎜ 1 + c 2 ⋅ c 2 ⎟⎟ sh Г 2 d + z c 2 ⎜⎜ 1 + c 3 ⎟⎟ch Г 2 d ⎝ z c 3 z c1 ⎠ z c1 ⎠ ⎝ ⎝

или

H& m 2 ( z ) = H& ms

z c2 ch Г 2 (d − z ) ⎛ z c2 ⎞ z c3 ⎜⎜1 + ⎟ z c1 ⎟⎠ z c3 ⎞ z c2 ⎛ z c2 ⎞ ⎝ ⎟ sh Г 2 d + ⎜1 + ⎟ch Г 2 d ⋅ z c1 ⎟⎠ z c 3 ⎜⎝ z c1 ⎟⎠

sh Г 2 (d − z ) + ⎛ z ⎜⎜ 1 + c 2 z c3 ⎝

(37а) Коэффициент ослабления волны при прохождении ее через слой 2 на основании (36) и (37а)

H& m 2 (d ) 1 − M 23 1 = Г d = . (38) d − Г z c3 H& m 2 (0 ) e 2 − M 23 e 2 sh Г 2 d + ch Г 2 d z c2 d Поскольку для металла Г 2 = (1 + j )k 2 и Г 2 d = (1 + j ) = (1 + j ) d ∗ , то с учетом [9] k oc =

δ2

sh Г 2 d = sh d ∗ cos d ∗ + jch d ∗ sin d ∗ и ch Г 2 d = ch d ∗ cos d ∗ + jsh d ∗ sin d ∗ получаем

k oc =

где d ∗ = d

1 z c3 (sh d∗ cos d∗ + jch d∗ sin d∗ ) + (ch d∗ cos d∗ + jsh d∗ sin d∗ ) zc2

δ 2 = dk 2 - отношение толщины слоя к глубине проникновения ЭМП.

18

,

При z c1 >> z с 2 , z c 3 >> z a (например, слои 1 и 3 заполнены диэлектриком, а 2 - металлом) и z 2 = α 2 γ 2 имеем M 23 = M 21 = 1 . Тогда из (35), (37а) для напряженности магнитного поля и плотности тока в слое 2 получаем

shα 2 (d − z ) H& m 2 ( z ) = H& ms , shα 2 d J& m 2 ( z ) = γ 2 E& m 2 ( z ) = α 2 H& ms

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ chα 2 (d − z ) ⎪ . ⎪⎭ shα 2 d

(39)

В этом случае напряженность и плотность тока на поверхности 1 - 2 слоя 2 (z = 0)

H& m 2 (0 ) = H& ms , J& m 2 (0 ) = α 2 H& ms cthα 2 d = γ 2 E& m 2 (0 ) , а на поверхности 2 - 3 (z = d) соответственно

H& m 2 (d ) = 0 , J& m 2 (d ) = α 2 H& ms shα 2 d .

& полностью затухает в слое. СлеПри этом k oc оказывается равным 0, т.е. волна H дует отметить также, что в (35) H& ms является напряженностью магнитного поля на поверхности слоя в случае его бесконечно большой толщины d, что видно из (36) при d → ∞ . С большой точностью, однако, она равна напряженности поля на поверхности слоя и в случае его ограниченной толщины [3]. Схема отражения и наложения волн ЭМП показана на рис. 6. При этом магнитное поле Н отражается от границы с противоположным знаком, а электрическое Е - с совпадающим [3]. Распределение плотности активной мощности (в единице объема, Вт/м3) в слое [3]

w2 ( z ) =

1 2γ 2

J& m ( z )

2

ϕ 1 ωµ 2 H& ms = d 2γ 2 2

2

,

ch 2k 2 (d − z ) + cos 2k 2 (d − z ) , поскольку из (39) с учетом ch 2k 2 d − cos 2k 2 d с.181, 364] модуль J& m ( z ) записывается как где

ϕ 1 = 2k 2 d

19

(40)

[9,

J& m ( z ) = k 2 H ms

sh 2 k 2 (d − z ) + cos 2 k 2 (d − z ) sh 2 k 2 d + sin 2 k 2 d

sh 2k 2 (d − z ) + cos 2k 2 (d − z ) . ch 2k 2 d − cos 2k 2 d

= k 2 H ms

Удельная мощность, поступающая через единицу поверхности на расстоянии z от границы слоя, определяется из вектора Пойнтинга с учетом (39) и α = (1 + j) δ ∗ ⎡ ⎤ 1 ⎡ & ∗ ⎤ 1 2 α ⎢ chα (d − z ) s h α (d − z )⎥ S (1)2 ( z ) = ⎢ E m H m ⎥ = H ms = ∗ ⎥ 2⎣ γ ⎢ shα d ⎦ 2 shα d ⎦ ⎣

(

)( )(

(1− j)(d − z ) δ − e −(1− j)(d − z ) δ ⋅ e (1+ j)(d − z ) δ + e −(1+ j)(d − z ) δ 1 2 (1 + j) e = H ms γδ 2 e (1− j)d δ − e −(1− j)d δ e (1+ j)d δ − e −(1+ j)d δ

(

)

)

= (40a)

= P(1)2 ( z ) + jQ(1)2 (z ),

⎛ d −z⎞ ⎛ d −z⎞ sh⎜ 2 ⎟ + sin⎜ 2 ⎟ 1 ⎛& ⎞ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ P(1)2 ( z ) = Re⎜ E m H m ⎟ = P(1) - активная «входная» 2d 2d 2 ⎝ ⎠ − cos ch ∗

где

δ

δ

мощность;

⎛ d −z⎞ ⎛ d −z⎞ sh⎜ 2 ⎟ − sin⎜ 2 ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ Q(1)2 ( z ) == P(1) - реактивная «входная» мощность; 2d 2d ch − cos

δ

P(1) =

1

γδ

2 H ms

2

δ

- активная удельная мощность, поступающая в слой при его бес-

конечной толщине (17). В общем случае удельная мощность слоя, приходящаяся на единицу поверхности, Вт/м , определяется из вектора Пойнтинга (15) как разность его значений при z = 0 и z = d. 2

Из (35) для напряженности E& m 2 при z = 0 и z = d получаем

E& m 2 (0 ) = E& ms E& m 2 (d ) = E& ms

1 + M 23 e − 2 Г 2d

1 − M 23 M 21e − 2 Г 2d 1 + M 23

,

e Г 2d − M 23 M 21e − Г 2d

20

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ .⎪ ⎪ ⎭

(36a)

Если (36) и (36а) подставить в (15) и принять вещественными коэффициенты

M 23 и M 21 [3], то удельная мощность, “входящая” в слой при z = 0, выразится в виде

S (1) (0 ) = =

2 H ms

2

H& ms

2

2

(1 + j )k 2 γ2

(

)( )(

)

α2 1 + M 23 e − 2(1+ j )k2d 1 − M 23 e − 2(1− j )k2d = γ 2 1 − M M e − 2(1+ j )k2d 1 − M M e − 2(1− j )k2d 23 21 23 21

(

e

2 k2d

− j2 M 23 sin 2k 2 d

e 2 k2d − 2 M 23 M 21 cos 2k 2 d

2 − 2 k2d − M 23 e 2 2 − 2 k2d + M 23 M 21 e

)

(40а)

,

а мощность, «выходящая» из слоя, при z = d соответственно 2 2 H ms 1 − M 23 (1 + j)k 2 . (40б) S (1) (d ) = 2 2 − 2 k2d γ 2 e 2k2d − 2 M 23 M 21 cos 2k 2 d + M 23 2 M 21 e

Тогда удельная мощность слоя 2 равна

S (1)2 = S (1) (0 ) − S (1) (d ) = P(1)2 + jQ(1)2 .

(40в)

2 Активная удельная мощность слоя 2, Вт м ,

P(1)2 = χ 2

где

χ2 =

2 ωµ 2 H ms , 2γ 2 2

2 −2 k 2 d 2 e 2 k2d − M 23 e + 2 M 23 sin 2k 2 d − 1 + M 23 2 2 − 2 k2d e 2 k2d + M 21 M 23 e − 2 M 21 M 23 cos 2k 2 d

(41)

.

В частном случае при M 21 = M 23 = 1

χ2 =

sh 2k 2 d + sin 2k 2 d . ch 2k 2 d − cos 2k 2 d

Реактивная удельная мощность слоя 2 соответственно

Q(1)2 = ξ2

2 ωµ 2 H ms , 2γ 2 2

21

(42)

где

ξ2 =

2 −2 k 2 d 2 e 2 k2d − M 23 e − 2 M 23 sin 2k 2 d − 1 + M 23 2 2 − 2 k2d e 2 k2d + M 21 M 23 e − 2 M 21 M 23 cos 2k 2 d

,

или в частном случае, при M 21 = M 23 = 1 ,

χ2 =

sh 2k 2 d − sin 2k 2 d . ch 2k 2 d − cos 2k 2 d

Коэффициент мощности определяется как

cos ϕ 2 = Зависимости

χ2 χ 22

+ξ

2

.

(43)

χ 2 , ξ2 , cos ϕ приведены на рис. 7.

ЕСЛИ ВЫРАЗИТЬ µ 2 = µ 2∗ µ 0 = µ 2∗ 4π 10 −7 , ГН/М; ω = 2πf ;

γ2 =

1

ρ2

И ПРИНЯТЬ В СООТВЕТСТВИИ С [7] ИЗ ГРАНИЧНЫХ УС-

ЛОВИЙ «ИНДУКТОР-ДЕТАЛЬ» (ПРИ ИХ ПЛОТНОМ ПРИЛЕГАНИИ) H ms = 2 I 1 w1,0 - ДЕЙСТВУЮЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ АМПЕРВИТКОВ НА ЕДИНИЦУ ДЛИНЫ ПО КООРДИНАТЕ У, ТО (41) ПРИМЕТ ВИД

P(1)2 =

1 4π 10 −7 2π (I 1 w10 )2 ρ 2 µ 2∗ fχ = 2 ⋅ 10 −6 ( I 1 w10 )2 ρ 2 µ 2∗ f χ [кВт/м 2 ] . 2 (41а)

Полученное выражение совпадает с приведенным в [7]. В соответствии с (15а) и учетом (40а) можно найти распределение по z нормального среднего усилия в слое [7]

F уд ( z ) = µγP(1)2 ( z ) = F уд

⎛ d −z⎞ ⎛ d −z⎞ sh⎜ 2 ⎟ + sin⎜ 2 ⎟ ⎝ δ ⎠ ⎝ δ ⎠ 2d 2d ch − cos

δ

(40б)

δ

и давления

⎡ ⎛ d − z ⎞⎤ ⎛ d −z⎞ ⎢ ch ⎜ 2 δ ⎟ − cos ⎜ 2 δ ⎟ ⎥ ⎠⎥ . ⎠ ⎝ Pcж ( z ) = µγ ∫ P(1)2 ( z )dz =Pсжт ⎢1 − ⎝ 2d 2d ⎥ ⎢ 0 ch − cos ⎥⎦ ⎢⎣ δ δ z

22

(40в)

На рис. 6,б показаны распределения F уд ( z ) F уд , Pсж ( z ) Pсжт [7], где наибольшее дав2 ление при z = δ , H м :

Pсжт =

δ 2

µγP(1) = 62 ⋅ 10 − 8 H s2 µ .

(40г)

В среде 3 (z > d) Волна в среде 3 образуется вследствие наложения поля E& msp N 12 , проникающего в среду 2, а также суммы его многократных отражений в среде 2

- E& msp N 12σ , прелом-

ленных на границе 2 - 3 с коэффициентом N 23 и приобретающих на поверхности z = d −Г d со стороны среды 3 равнодействующее значение E& msp N 12σe 2 N 23 . Она перемещает-

ся вправо с коэффициентом e

− Г 2 ( z −d )

, т.е.

( ) E& m 3 ( z ) = E& msp N 12 N 23σ e − Г 2d e − Г 3 z −d .

(44)

3.3. Система с произвольным количеством слоев Ограничимся лишь рис. 8 [3], поясняющим процедуру расчета и суперпозицию волн E& и H& в такой системе.

4. МЕТОД Е-Н-ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ [8] Запишем уравнения (6) для i-го слоя в виде

E& m(i ) ( z ) = Ai e − Г i z + Bi e Г i z ,

(

1 H& m(i ) ( z ) = Ai e − Г i z − Bi e Г i z z ci где

z ci = Z (1)i =

z ci = (1 + j ) k i γ i .

jωµ i Гi

-

волновое

сопротивление

23

⎫ ⎪ ⎬ ,⎪ ⎭

)

(45)

i-го слоя. Для металла

Начало координат расположено на «входной» стороне слоя, поэтому при z = 0

E& 1(im) = Ai + Bi ,

⎫ ⎪ ⎬ 1 1 ( ) H 1im = Ai − Bi ,⎪ z ci z ci ⎭ откуда

Ai =

(

)

(

)

1 & (i ) 1 E1m + z ci H& 1(im) , Bi = E& 1(im) − z ci H& 1(im) . 2 2

Подстановка постоянных Ai , Bi в (45) дает

E& m(i ) ( z ) = E& 1(im) ch Г i z − z ci H& 1(im) sh Г i z , ⎫ ⎪ ⎬ − 1 ( ) ( ) H& m(i ) (z ) = E& 1im sh Г i z + H& 1im ch Г i z .⎪ z ci ⎭

(46)

При z = d i (на «выходной» стороне слоя «i»)

E& 2(im) = E& 1(im) ch Г i d i − z ci H& 1(im) sh Г i d i , ⎫ ⎪ ⎬ 1 H& 2(im) = E& 1(im) sh Г i d i + H& 1(im) ch Г i d i .⎪ z ci ⎭

(47)

Система уравнений (47) соответствует пассивному четырехполюснику (рис. 9),

(i ) (i ) (i ) (i ) входными величинами которого являются E& 1m , H& 1m , выходными - E& 2 m , H& 2 m , а z ci носит название характеристического сопротивления четырехполюсника.

(i ) (i ) Поскольку выходные величины E& 2 m , H& 2 m являются одновременно входными величинами (i + 1) четырехполюсника, то цифры 1 и 2 в индексах можно опустить и записать (47) в матричной форме

ch Г i d i − z ci sh Г i d i ⎤ ⎡ E& m(i +1) ⎤ ⎡⎢ ⎡ E& m(i ) ⎤ ⎥ ×⎢ ⎢ (i +1) ⎥ = ⎢ sh Г i d i ⎥ ⎥ − ch Г d & & m(i ) ⎥ i i H ⎢⎣ H m ⎥⎦ ⎢ ⎢ ⎦ z ci ⎣ ⎦⎥ ⎣

(48)

Можно также выразить величины i-го четырехполюсника через величины (i+1) четырехполюсника ( обратные зависимости). 24

ch Г i d i z ci sh Г i d i ⎤ ⎡ E& m(i ) ⎤ ⎡⎢ ⎡ E& m(i +1) ⎤ ⎡ Ai Bi ⎤ ⎡ E& m(i +1) ⎤ ⎡ E& m(i +1) ⎤ ⎥ ×⎢ ⎢ (i ) ⎥ = ⎢ sh Г i d i ⎥=⎢ ⎥ × ⎢ & (i +1) ⎥ = [Ti ] × ⎢ & (i +1) ⎥ ,(48а) ( i +1 ) ⎥ ch Г d & & C D i i ⎢⎣ H m ⎥⎦ ⎢ z ⎢H ⎥ ⎣ i i ⎦ ⎢⎣ H m ⎥⎦ ⎢⎣ H m ⎥⎦ ci ⎣ ⎦⎥ ⎣ m ⎦ где постоянные четырехполюсника (элементы матрицы [Ti ] )

Ai = ch Г i Di ,

⎫ ⎪ Bi = z ci sh Г i d i , ⎬ Ci = sh ( Г i Di ) z ci .⎪⎭

(49)

Для слоев, расположенных слева от обмотки индуктора (рис. 12), их величины обозначены штрихами, уравнения связи входных величин с выходными идентичны (48), т.е.

′ ′ ⎡ - z ci ′ sh Г i ′d i ′ ⎤ ⎡ (i +1)′ ⎤ ⎡ (i )′ ⎤ ⎢ch Г i d i ⎥ Em ⎥. ⎢Em ⎥ = ⎢ ′ ′ ⎥×⎢ ⎢ ⎢ (i )′ ⎥ ⎢ − sh Г i d i ch Г ′d ′ ′ ⎥ ⎢ H (i +1) ⎥⎥ i i ′ ⎣⎢ H m ⎦⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣ m ⎦ z ci ⎣ Параметры Т-образного i-го четырехполюсника (рис. 9,б) можно выразить через его постоянные Ai , Bi , C i , Di согласно [1, 8]

ch Г i d i − 1 ⎫ z ci = z ci th (0 ,5 Г i d i ),⎪ sh Г i d i ⎬ ⎪ = z ci sh Г i d i . ⎭

z Ai = z Bi

(49a)

Если слой заполнен сторонним током с плотностью jcтm , то четырехполюсник является активным и параллельно его среднему сопротивлению z Bi включается источник тока

(i ) J& m , являющегося по своему смыслу и размерности линейной плотностью тока или ли-

нейной нагрузкой активной зоны (например, обмотки индуктора) [8].

(i ) j J& m = cтm sh Г i d i . Гi

(49б)

Входное сопротивление i-го четырехполюсника выражается в виде [1, 8]

z iвх =

z i +1,вх + z ci th Г i d i E& m(i ) z , = ci (i ) & z th Г d z + Hm i +1,вх i i ci 25

(50)

(i +1) & (i +1) Hm где входное сопротивление (i+1) четырехполюсника z i +1,вх = E& m (далее индекс «вх» опускаем). Если (i+1) слой представляет собой металлическое полупространство (или его толщина d i +1 в 2-3 раза превышает глубину проникновения ЭМП δ i +1 ) и имеет волновое сопротивление (11)

jωµ i +1

z c ,i +1 =

α i +1

=

α i +1 (1 + j)k i +1 = = z i +1 , γ i +1 γ i +1

то входное сопротивление (50) i-го четырехполюсника, соответствующее двухслойному проводящему полупространству, записывается как

shα i d i +

zi =

где

(µ i + 1 k i µ i k i + 1 ) = ( z i + 1

µ i +1 k i chα i d i µ i k i +1

αi , γ i µ i +1k i shα d + chα d i i i i µ i k i +1

(50а)

z ci ) ;

(α i γ i ) = z ci . Легко видеть, что это выражение совпадает с (23). Если обозначить k i d i = d i∗ , т.е. α i d i = (1 + j )d i∗ , и учесть, что

(z i +1

z ci ) = γ i µ i +1 γ i +1 µ i ,

то (50а) можно записать в виде

sh[(1 + j )d i∗ ] + z i = z ci

где z ci =

(1 + j )d i∗ γ i di

γ i µ i +1 ch[(1 + j )d i∗ ] γ i +1 µ i

γ i µ i +1 sh[(1 + j )d i∗ ] + ch[(1 + j )d i∗ ] γ i +1 µ i

,

(50б)

.

В случае d i∗ → 0 , что справедливо, когда i-й слой очень тонок d i → 0 , а глубина проникновения

δi =

1 велика, то ki 26

⎛z ⎞ 0 + ⎜⎜ i +1 ⎟⎟ ⋅ 1 ⎝ z ci ⎠ = z , z i ≈ z ci i +1 0 +1 т.е. входное сопротивление становится равным сопротивлению (i+1) слоя. С учетом (50) выражения (46) можно записать в виде

⎞ ⎛ z ch Г i (d i − z ) + z ci sh Г i (d i − z ) ⎫ z , ⎪ E& m(i ) ( z ) = E& m(i ) ⎜⎜ ch Г i z − ci sh Г i z ⎟⎟ = E& m(i ) i + 1 z ch Г d z sh Г d + z i i +1 i i ci i i ⎪ ⎠ ⎝ ⎬ (51 ⎞ ⎛ ( ) ( ) z sh Г d z z ch Г d z − + − z i i ci i i .⎪ H& m(i ) ( z ) = H& m(i ) ⎜⎜ ch Г i z − i sh Г i z ⎟⎟ = H& m(i ) i + 1 ⎪ z i + 1 sh Г i d i + z ci ch Г i d i z ci ⎠ ⎝ ⎭ )

Из (51) можно записать

H m(i ) ( z )

zi zi ⎞ −Г iz ⎛ z i ⎞⎤ 1 ⎡ Г iz ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟⎥ = = − = − + + ch Г z sh Г z e 1 e 1 ⎢ i i ⎜ ⎟ ⎜ ( i) z 2 z z Hm ic ⎠⎦ ic ⎠ ci ⎝ ⎝ ⎣

=

eГi

(d i − z )

− M 23 e − Г i

(d i − z )

e Г i di − M 23 e − Г i di

,

z − z ci . где M 23 = i +1 z i +1 + z ci

Легко видеть, что полученное выражение совпадает с (21,б).

(i ) (i ) (i ) (i ) При z = 0: E& m (0 ) = E& m , H& m (0 ) = H& m .

⎫ ,⎪ ⎪ ⎬ z ( ) ( ) i i ci H& m (d i ) = H& m .⎪ z i + 1 sh Г i d i + z ci ch Г i d i ⎪⎭ E& m(i ) (d i ) = E& m(i )

При z = d i :

z i +1 z i + 1ch Г i d i + z ci sh Г i d i

(51а) Коэффициент ослабления Н i-м слоем

27

k oc

H& m(i ) (d i ) 1 = = z i +1 H& m(i ) sh Г i d i + ch Г i d i z ci

,

что совпадает с (38). Если z i +1 >> z ci , например за слоем металла «i» следует диэлектрическая среда «i+1» с большим «входным сопротивлением», то

sh Г i (d i − z ) ⎫ H& m(i ) ( z ) = H& m(i ) , sh Г i (d i ) ⎪⎪ ⎬ ( ) ch Г d z − ( ) ( ) i i i i E& m (z ) = E& m ,⎪ ch Г i (d i ) ⎪⎭

(51б)

а значения напряженностей при z = d (на «выходе» слоя)

H& m(i ) (d i ) = 0 , E& m(i ) (d i ) = E& m(i +1) ch Г i d i , т.е. волна Н полностью затухает внутри слоя. Следует отметить, что (51) совпадает с (37) при z c1 >> z c 2 и z c1 >> z c 3 , а (51б) – с (39). Мощность, поступающая на входные зажимы i-го четырехполюсника, в соответствии с (15) при z = 0 2

( ) H& m(i ) 1 & (i ) ∗ i (i ) S (1) (0 ) = E m H m = zi . 2 2 Подставим в (52) выражение (50) для z i с учетом того, что согласно [9]

th Г i d i =

cos 2k i d i + jsin 2k i d i − e −2 ki di

cos 2k i d i + jsin 2k i d i + e − 2 ki di

(52)

.

В результате получаем

S ((1i )) (0 ) =

=

=

H& m(i )

2

2

2

(1 + j )k i

2

2

γi

1+

z ci z i +1

th Г i d i

th Г i d i +

z ci

=

z i +1

(1 + j )k i

a cos 2k i d i + ja sin 2k i d i + be − 2 ki di

(1 + j )k i

2 − 2 ki d i e 2 ki di − j2 M 23 sin 2k i d i − M 23 e

γi

2 H& m(i )

H& m(i )

γi

a cos 2k i d i + ja sin 2k i d i − be − 2 ki di

=

2 − 2 ki d i e 2 ki di − 2 M 23 cos 2k i d i + M 23 e

28

(53)

,

⎛

⎞

z

⎛

z

⎞

где a = ⎜⎜ 1 + ci ⎟⎟ , b = ⎜⎜ 1 − ci ⎟⎟. z i +1 ⎠ z i +1 ⎠ ⎝ ⎝

M 23 =

b z i +1 − z ci = a z i +1 + z ci

- коэффициент отражения типа (32) по терминологии вол-

нового метода; приближенно считаем его вещественным [3, 4]. Мощность, снимаемая с выходных зажимов i-го четырехполюсника, в соответствии с (15) при z = d i ∗ (i ) ∗ (i ) 2 1 & (i ) 1 & (i ) 1 & (i ) (i ) S (1) (d i ) = E m (d i ) H m (d i ) = H m (d i ) z i +1 = H m (d i ) H m (d i )z i +1 , (54) 2 2 2

где с учетом (51а)

H& m(i ) (d i ) = H& m(i )

βi 1 = 2 β i H& m(i ) ki d i kd sh Г i d i + β i ch Г i d i (1 + β i )e kidi e j − (1 − β i )e −kidi e − j i i (55)

β i = z ci z i +1 , H& m(i ) (d i )z i +1 = H& m(i ) (d i ).

Выражая

1 − βi =

β i через M 23 как β i =

1 − M 23 2 , 1 + βi = = a, 1 + M 23 1 + M 23

2 M 23 = b и подставляя результат в (55), получаем 1 + M 23

H& m(i ) (d i ) = H& m(i )

1 − M 23 e

Г i di

− M 23 e

− Г i di

,

(55а)

что совпадает с (36). Если считать M 23 вещественным числом [3, 4], то из (55) ∗ (i ) Hm

(d i ) =

∗ (i ) Hm

2β i

ae ki di e − jki di

− be −ki di e jki di

.

Подстановка (55) и (56) в (54) дает

(i )

S1 (d i ) = z ci

H& m(i ) 2

(4 β

2

e

2 ki d i

α2

)

2 − 2 ki di e − 2 M 23 cos 2k i d i + M 23

29

,

(56)

где

4β a2

4 (1 − M 23 ) (1 + M 23 )2 2 = = 1 − M 23 , и окончательно (1 + M 23 ) 4 (i )

S1 (d i ) =

H& m(i ) 2

2

(1 + j)ki γi

2 1 − M 23

2 − 2 ki di e 2 ki di − 2 M 23 cos 2k i d i + M 23 e

.

(57)

Если в (40а) и (40б) принять M 21 = 1 , что характерно для случая заполнения слоя 1 диэлектриком, то эти выражения совпадут с (53) и (57) соответственно. Следует отметить, что полученные приближенные выражения для мощностей (53) и (57) обычно не используются в расчетах методом Е-Н-четырехполюсников, поскольку алгоритм вычислений предусматривает определение параметров всех четырехполюсников, а также их входных сопротивлений, напряженностей и мощностей по точным формулам (49), (49а), (49б), (50), (48), (48а), (52), (54). Если имеется многослойная система, то ее схема замещения на основе Е-Н-четырехполюсников получается путем их каскадного включения соответственно слоям системы (рис. 10). (1) (1) (k ) (k ) В этом случае входные величины E& m , H& m связаны с величинами E& m , H& m последнего слоя как

⎡ E& m(k ) ⎤ ⎡ E& m(k ) ⎤ ⎡ E& m(1) ⎤ ⎢ (1) ⎥ = [T1 ] ⋅ [T2 ]...[Tk −1 ] ⎢ (k ) ⎥ = [TΣ ] ⎢ (k ) ⎥ , ⎢⎣ H& m ⎥⎦ ⎢⎣ H& m ⎥⎦ ⎢⎣ H& m ⎥⎦

(58)

или

E& m(1) = ( AΣ z ck + BΣ )H& m(k ) , ⎫⎪ ⎬ H& m(1) = (CΣ z ck + DΣ )H& m(k ) .⎪⎭

(58а)

(1) Если H& m задана как линейная нагрузка индуктора, то

H& m(k ) = H& m(1) (CΣ z ck + DΣ ),⎫⎪ ⎬ ⎪⎭ E& m(k ) = z ck H& m(k ) .

(59)

(i ) (i ) Далее определяются E& m , H& m на входной поверхности каждого слоя, а также (i ) (i ) входные сопротивления слоев z i = E& m H m и выделяющиеся в слоях мощности ∗ (i ) ⎞ ⎛ (i ) ∗ (i ) (i ) (i +1) & & ⎜ S (1) = 0 ,5 E m H m − E m H m ⎟ . ⎜ ⎟

⎝

⎠

30

(60)

5. ФОРМУЛЯР РАСЧЕТА МОЩНОСТЕЙ МЕТОДОМ Е-Н-ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

5.1. Задаются: Частота питающего тока f, Гц; линейная нагрузка индуктора AИ , А/м;

2 или его плотность тока jИ , А/м ; толщина и длина обмоточного слоя d И , l И , м; коэффициент заполнения медью обмоточного слоя k З ; толщина i-го слоя d i , м; свойства среды слоя (табл. 1)

⎧ µ i , Гн/м , ⎪⎪ -1 -1 ⎨γ i , Ом ⋅ м , ⎪ε , Ф/м . ⎪⎩ i

длина слоя li , м; средний диаметр слоя в случае цилиндрической конструкции Dicp , м.

ТАБЛИЦА 1 Материал слоя Титан Нержавеющая сталь Электротехническая сталь Сталь

γ ⋅ 10 − 6 ,Ом −1 ⋅ м −1 0,62 1,1 ... 2 2 ... 4 7 ... 10

1 1 3000 ≥ 1200 o

Никель Алюминий Медь Диэлектрик (воздух)

(1 при t = 800 C ) 11,5 34 ... 38 42 ... 58 −12 Ф

ε 0 = 8 ,854 ⋅ 10

5.2. Рассчитываются параметры и постоянные четырехполюсников

Параметры 31

µ ∗ = (µ µ 0 )

м

o

(1 при t = 800 C ) 20 1 1 −7 Гн

µ 0 = 4π ⋅ 10

м

а) для металла

Г i = d i = (1 + j)k i , где k i = ЭМП

δ i ).

ωµi γ i 2 = 1 δ i ;

d i∗ = k i d i - относительная толщина слоя (в долях от глубины проникновения

z ci

⎧ (1 + j)d i ∗ = (1 + j)RЭ (1)d i ∗ , ⎪ γ d ωµ i ⎪ i i = (1 + j) =⎨ jω 2γ i ⎪ jωµ i d i . = ⎪⎩ (1 + j)d i ∗ (1 + j)R M (1)d i ∗

ch[(1 + j)d i ∗ ] − 1 cos d i ∗ + jsin d i ∗ − e − d i∗ = th[0 ,5(1 + j)d i ∗ ] = sh[(1 + j)d i ∗ ] cos d i ∗ + jsin d i ∗ − e − d i∗ ch[(1 + j)d i ∗ ] = chd i ∗ cos d i ∗ + jshd i ∗ sin d i ∗ , sh[(1 + j)d i ∗ ] = shd i ∗ cos d i ∗ + jchd i ∗ sin d i ∗ .

⎫ ,⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

[9]

В случае d i∗ → 0 , т.е. толщина слоя намного меньше глубины проникновения ЭМП [9],

th[0 ,5(1 + j)d i ∗ ] ≈ 0 ,5(1 + j)d i∗, ⎫ ⎪ ch[(1 + j)d i ∗ ] ≈ 1, ⎬ ⎪ sh[(1 + j)d i ∗ ] ≈ (1 + j)d i ∗ . ⎭ б) для диэлектрика

Г i = jk i , где k i = ω µ i ε i = ω υ i . d i∗ = k i d i = ωd i υ i ,

z ci = µ i ε i =

d i∗ ωµ i d i = , ωε i d i d i∗

32

d i ∗ − 1 cos d i ∗ + jsin d i ∗ − 1 ⎫ = , jsin d i ∗ cos d i ∗ + jsin d i ∗ + 1 ⎪ ⎪⎪ chjd i ∗ = cos d i ∗ , ⎬ ⎪ shjd i ∗ = jsin d i ∗ . ⎪ ⎪⎭

th (0 ,5 jd i ∗ ) =

В случае d i∗ → 0 :

th(0 ,5 jd i ∗ ) ≈ 0 ,5 jd i ∗ ,⎫ ⎪ chjd i ∗ ≈ 1, ⎬ ⎪ shjd i ∗ ≈ jd i ∗ . ⎭

Постоянные четырехполюсников а) для металла

Ai = Di = ch[(1 + j )d i∗ ],

Bi = z ci sh[(1 + j )d i∗ ] = Ci =

jωµ i d i sh[(1 + j )d i∗ ] , (1 + j )d i∗

γ idi 1 sh[(1 + j )d i∗ ] = sh[(1 + j )d i∗ ] . (1 + j )d i∗ z ci

В случае d i∗ → 0 :

Ai = 1,

⎫ ⎪ Bi = jωµ i d i ,⎬ Ci = γ i d i . ⎪⎭ б) для диэлектрика

Ai = Di = cos d i∗ , Bi = j z ci sin d i∗ = Ci = j

jωµ i d i sin d i∗ , d i∗

ωε d 1 sin d i∗ = j i i sin d i∗ . z ci d i∗

33

[9]

В случае d i∗ → 0 :

Ai = Di = 1, ⎫ ⎪ Bi = jωµ i d i ,⎬ Ci = jωε i d . ⎪⎭

Сопротивления Т-образных четырехполюсников (рис. 9,б) а) для металла

z Ai = z ci th[0 ,5(1 + j)d i∗ ] = z Bi =

jωµ i d i th[0 ,5(1 + j)d i∗ ] , (1 + j)d i∗

(1 + j)d i∗ z ci = . sh[(1 + j)d i∗ ] γ i d i sh[(1 + j)d i∗ ]

В случае d i∗ → 0 :

z Ai ≈ j0 ,5ωµ i d i = 0 ,5 z Bi ≈

jω = 0 ,5 jωL(1) , RM (1)

1 = RЭ (1) . γ idi

Физический смысл сопротивлений поясняет рис. 11, где

RM (1) =

1 - магнитное сопротивление участка слоя в направлении Н едиµi d i ⋅ 1

ничных глубины и длины, а

jRω

M (1 )

= jωL(1) = jX (1) - соответствующая ему реактивность;

RЭ (1) =

1 - электрическое сопротивление единичного участка слоя в наγ idi ⋅ 1

правлении E& . б) для диэлектрика

z Ai = z ci th[0 ,5 jd i∗ ] = z Bi =

ωµ i d i d i∗

th(0 ,5 jd i∗ ) ,

d z ci 1 = i∗ . sh[jd i∗ ] ωε i d i jsin d i∗ 34

В случае d i∗ → 0 :

z Ai = j0 ,5ωµ i d i = 0 ,5 z Bi =

1 jωε i d i

где C (1) =

jω = 0 ,5 jωL(1) , RM (1)

1 , ωC(1)

= −j

εd i ⋅ 1 1

- емкость единичного участка (рис. 11) в направлении E& .

Источник тока индуктора Если заданы плотность тока в проводе, а также размеры обмоточного слоя и его коэффициент заполнения медью, то ток источника тока (линейная нагрузка индуктора) выражается как

j k d J& mИ = mn з И sh(jd И ∗ ) , jd И ∗ где d И ∗ = ω

µИ ε И d И = kИ d И .

Если обмоточный слой не содержит ферромагнитных зубцов (например, катушка индуктора расположена в воздухе), то µ И = µ 0 , ε И = ε 0 . В случае d И ∗ → 0 : J mИ = jmИ d И k з = AИm .

5.3. Изображается схема замещения системы с каскадным включением четырехполюсников соответственно расположению слоев (рис. 10).

5.4. Выполняется расчет схемы замещения (при этом схема максимально (i ) упрощается) с определением H& m по (59) и (48а). 5.5. Рассчитываются мощности «слоев» на единицу поверхности по (60) и на полную поверхность

S (i ) = πd icp li S ((1i )) .

35

6. ПРИМЕР РАСЧЕТА

Рассматривается плоская волна в многослойной системе, изображенной на рис. 12. Характеристики слоев: 3 ′ и 5 - диэлектрическое полупространство (µ 3′ = µ 5 = µ 0 ,ε 3′ = ε 5 = ε 0 ) ;

2 ′ - шихтованный сердечник из электротехнической стали γ 2′ = 0 , µ 2′ = 3000 µ 0 , d 2′ = 2 ⋅ 10 − 2 м ;

(

)

(

)

1′ - диэлектрик d 1′ = 1 ⋅ 10 −2 м , ε 1′ = ε 0 , µ 1′ = µ 0 ; 0 - многовитковая обмотка индуктора, размещенная в диэлектрике ⎛⎜ d = 7 ⋅ 10 − 2 м , j = 4 ⋅ 10 −6 А/м 2 , k = 0 ,35 , ε , µ ⎞⎟ ; n з 0 0 ⎝ 0 ⎠ 1 - теплоизоляционный слой из диэлектрического материала 2 - корпус из нержавеющей стали ⎛⎜ d = 5 ⋅ 10 − 3 м , γ = 10 6 Ом - 1 ⋅ м - 1 , µ = µ ⎞⎟ ; 2 0 ⎝ 2 ⎠

(

(d1 = 4,2 ⋅ 10−3 м);

)

3 - диэлектрик d 3 = 2 ,8 ⋅ 10 −3 м , γ 3 = 0, µ 3 = µ 0 ; 4 - стальной вторичный элемент устройства d 4 = 5 ⋅ 10 −3 м , γ 4 = 7 ⋅ 10 6 1 Ом ⋅ м , µ 4 = 240 µ 0 , сталь насыщена и нагрета в незначительной степени, при увеличении температуры γ 4 может быть скоррек-

(

тирована с помощью температурного коэффициента).

Расчет параметров четырехполюсников (по слоям) слой 3 ′

k 3′ = ω µ0 ε 0 = 314 4 ⋅ 10 −7 ⋅ 8 ,854 ⋅ 10 −12 = 1,05 ⋅ 10 −6 м −1 , 1 υ 3′ = = 3 ⋅ 10 8 м/с,

µ0ε 0

z c′ 3 = µ 0 ε 0 = 377 Ом = z в (1) .

36

слой 2 ′

k 2′ = ωµ 2′ γ 2′ 2 = 0 , d 2′ ∗ = d 2′ k 2′ = 0 , −7 −2 z ′ AZ = j 0 ,5ω ⋅ µ 2′ d 2′ = j 0 ,5 ⋅ 314 ⋅ 3000 ⋅ 4π ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ 10 ≈ 0 ,

1

z ′ BZ = γ ′ d ′ = ∞ . 2 2

слой 1′ k1′ = k 3′ = 1,05 ⋅ 10 − 6 м - 1 ,

υ 1′ = υ 3′ = 3 ⋅ 10 8 м/c ,

d 1′∗ = 1,05 ⋅ 10 −6 ⋅ 1 ⋅ 10 −2 = 1,05 ⋅ 10 −8 ≈ 0 , −7 −2 z ′ A1 = j 0 ,5 ⋅ 3,14 ⋅ 4π ⋅ 10 ⋅ 1 ⋅ 10 ≈ 0 ,

1

z ′ B1 = j314 ⋅ 8 ,854 ⋅ 10 −12 ⋅ 1 ⋅ 10 −2 = ∞ . слой 0 k 0 = k 3′ = 1,05 ⋅ 10 −6 1/м,

υ 0 = 3 ⋅ 10 8

м/с,

d 0∗ = 1,05 ⋅ 10 −6 ⋅ 7 ⋅ 10 −2 ≈ 0 ,

z ∗A0 ≈ 0 , z B 0 = ∞ . Четырехполюсник активный, в нем имеется источник тока

J& mИ = A& И = J& mИ d 0 k з = 2 ⋅ 4 ⋅ 10 6 ⋅ 7 ⋅ 10 −2 ⋅ 0 б 35 = 13б 8 ⋅ 10 4

слой 1 k1 = k 3′ = 1,05 ⋅ 10 −6 м −1 ,

υ 1 = υ 3′ = 3 ⋅ 10 8

м/с,

d 1∗ = 1,05 ⋅ 10 −6 ⋅ 4 ,2 ⋅ 10 −3 ≈ 0 ,

z A1 ≈ 0 , z B1 = ∞ .

37

А/м.

слой 2

ωµ 2γ 2

k2 =

314 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 10 6 = = 14 м −1 , 2

2 ω 314 υ2 = = = 22 ,4 м/с – скорость волны в корпусе, k2 14 1 δ2 = = 71,4 ⋅ 10 −3 м – глубина проникновения ЭМП в нержавеющую сталь, k2 d 2∗ = k 2 d 2 = 14 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 = 7 ,0 ⋅ 10 −2 ,

z c2

ωµ 2 314 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 = (1 + j) = (1 + j) = (1 + j)14 ⋅ 10 −6 Ом, 6 2γ 2 2 ⋅ 10

z A2 = z c 2 ⋅ так как

[

] − 1 = (1 + j )14 ⋅ 10 sh[(1 + j )7 ⋅ 10 ]

ch (1 + j )7 ⋅ 10 − 2

−2

[ [

−6

j 0 ,0049 = j 0 ,98 ⋅ 10 −6 Ом, (1 + j )0 ,07

] ]

⎧⎪ch (1 + j)7 ⋅ 10 − 2 = ch0 , 07 ⋅ cos 0 ,07 + jsh0 , 07 ⋅ sin 0 , 07 = 1 + j 0 , 0049 = A2 , ⎨ ⎪⎩ sh (1 + j)7 ⋅ 10 − 2 = sh0 , 07 ⋅ cos 0 , 07 + jch0 , 07 ⋅ sin 0 , 07 = (1 + j)0 ,07 = C 2 z c 2 , или по приближенной формуле при d 2∗ → 0

z A2 = j 0 ,5ωµ 2 d 2 = j 0 ,5 ⋅ 314 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 = j 0 ,98 ⋅ 10 −6 Ом,

z B2 =

z c2 1 = C 2 sh (1 + j ) 7 ⋅ 10 − 2

[

]

=

(1 + j )14 ⋅ 10 −6 (1 + j )0 ,07

или по приближенной формуле при d 2∗ → 0

1 1 −4 = 6 = 2 ⋅ 10 Ом, γ 2 d 2 10 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 1 C2 = = 5 ⋅ 10 3 Ом −1 . z B2 z B2 =

слой 3 k 3 = k 3′ = 1,05 ⋅ 10 −6 м −1 , 38

= 2 ,0 ⋅ 10 −4 Ом,

υ 3 = υ 3′ = 3 ⋅ 10 8 м/с,

d 3∗ = 1,05 ⋅ 10 −6 ⋅ 2 ,8 ⋅ 10 −3 ≈ 0 , z A3 = 0 , z B 3 = ∞.

слой 4

314 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 240 ⋅ 7 ⋅ 10 6 k4 = = 560 м −1 , 2 314 υ4 = = 0 ,56 м/с, 560 δ 4 = 0 ,0018 м. Можно считать, что поле полностью затухает в ферромагнитном слое, так как d 4 = 5 мм > δ 4 = 1,8 мм.

z c 4 = (1 + j )

314 ⋅ 240 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 2 ⋅ 7 ⋅ 10 6

= (1 + j )82 ,22 ⋅ 10 −6

Ом.

Синтез схемы замещения Четырехполюсники включаются каскадно в соответствии с чередованием слоев устройства, (рис. 13,а). С учетом рассчитанных выше параметров схему можно упростить и привести к виду рис. 13,б.

(i ) Расчет H& m На основании (50)

z 2 вх

E& m(2 ) z + z c 2 th[(1 + j )d 2∗ ] = = (2 ) = z c 2 c 4 z c 4 th[(1 + j )d 2∗ ] + z c 2 H& m

= z c2

[ [

] [ ] [

] ]

z c4 ch (1 + j )7 ⋅ 10 − 2 + sh (1 + j )7 ⋅ 10 − 2 z c2 = z c4 −2 −2 sh (1 + j )7 ⋅ 10 + ch (1 + j )7 ⋅ 10 z c2

= (1 + j )14 ⋅ 10

−6

(1 + j )82 ⋅ 10 −6 + (1 + j )14 ⋅ 10 −6 ⋅ (1 + j )7 ⋅ 10 −2 (1 + j )82 ⋅ 10 −6 ⋅ (1 + j )7 ⋅ 10 −2 + (1 + j )14 ⋅ 10 −6

= (70 ,28 + j 40 )10 −6 Ом.

39

=

ИЗ (48А) ЗАПИСЫВАЕМ

[

]

[

]

1 H& m(2 ) = sh (1 + j )7 ⋅ 10 − 2 E& m(3 ) + ch (1 + j )7 ⋅ 10 − 2 H& m(3 ) . z c2 (3 ) (3 ) (3 ) (4 ) (3 ) (4 ) С учетом (50) E& m = z c 4 H& m , так как E& m = E& m и H& m = H& m .

В результате напряженность магнитного поля на поверхности 4-го слоя

H& m(3 ) = H& m(4 ) = = H& m(1)

H& m(2 ) = H& m(1)

[

] [

z c4 sh (1 + j )7 ⋅ 10 − 2 + ch (1 + j )7 ⋅ 10 − 2 z c2 1

(1 + j )82 ,22 ⋅ 10

−6

⋅ 5 ⋅ 10 + (1 + j0,0049 ) 3

]

=

= H& m(1) (0 ,65 − j0 ,19 ),

а ее модуль

H& m(3 ) = 0 ,677 H& m(1) , (1)

причем H& m = AИ

2 = 13,8 ⋅ 10 4 А/м.

Расчет мощностей 2 Удельная «погонная» мощность, передаваемая в слой 1 и далее, BA м ,

13,8 2 ⋅ 10 8 ( ( 1) 2) ( 1) 2 1 S (1) = S (1) = H m z 2вх = ⋅ 10 − 6 (70 ,28 + j40 ) = . 2 2 = 670900 ,005 + j382000. 2 Удельная мощность, передаваемая в слой 4, BA м ,

S ((14)) =

H m(3 )

82 ,22 ⋅ 10 −6 (1 + j ) = 0 ,46

2 = 361100 + j361100.

13,8 2 ⋅ 10 8 (82,22 + j82,22) ⋅ 10 −6 = 2

Полная мощность, передаваемая в слой 1 и далее, кВА,

S (1) = S ((11))πD1ср l1 = (670900 ,5 + j382000 )π ⋅ 0 ,096 ⋅ 0 ,07 = 14 ,16 + j8 ,02 . 40

Полная мощность, передаваемая в слой 4, кВА,

S (4 ) = S ((14))πD4 ср l4 = (3611 + j3611)π ⋅ 0 ,085 ⋅ 0 ,07 = 6 ,86 + j6 ,86 . Коэффициент ослабления магнитного поля слоем 2 (корпусом устройства)

k oc =

H& m(3 ) H& m(1)

= 0 ,677.

Активная мощность (потери) в обмотке индуктора

⎛ j2 PИ = ⎜⎜ ⎝ γ cИ

⎞ 4 2 ⋅ 10 12 ⎟k з s И πDcpИ = ⋅ 0 ,35 ⋅ π ⋅ 0 ,19 ⋅ 0 ,05 ⋅ 0 ,07 = 234 Вт. 6 ⎟ 50 ⋅ 10 ⎠

Полная активная мощность устройства

PΣ = P (1) + PИ = 14 ,16 + 0 ,23 = 14 ,39 кВт.

Примечание. В соответствии с (П 4.2) по методике [7, 11] и учетом ослабления (1) на 2 получаем поля путем домножения I 1 w10 = H k oc

(

P((14) ) = 2 ⋅ 10 −6 (k oc I 1 w10 )2

)

µ r4 f Fпл = γ4

= 2 ⋅ 10 −6 ⋅ 0 ,677 2 ⋅ 9 ,8 2 ⋅ 10 8

41

240 ⋅ 50 7 ⋅ 10

6

⋅ 1 = 363 ,96 кВт/м 2 .

Приложение 1 ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА БЕГУЩЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ В МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛОСКОЙ СТРУКТУРЕ

П 1.1. Случай неподвижных слоев структуры По-прежнему не учитывается ограниченность размеров устройства вдоль слоев по осям х и у, т.е. не принимаются во внимание продольный и поперечный краевые эффекты [8]. Плотность тока в слое индуктора задана в виде волны, бегущей по координате у, (рис. П1.1)

⎛ y ⎞⎟ jИ (t , y ) = J mИ sin(ω t − ay ) = J mИ sin ω ⎜ t − , ⎜ υ yo ⎟ ⎝ ⎠

где a =

(П 1.1)

π , ω = 2πf ; τ

τ - длина полуволны (полюсное деление индуктора); ω υ yo = = 2τf - скорость движения волны по координате у. a

В комплексной форме (П1.1) записывается как

J& Иt = J& mИ (t , y ) = J& mИ e j (ω t −ay ) .

(П 1.2)

Все электромагнитные величины в любом i-м слое также являются бегущими по у волнами. При этом плотность тока J& i и напряженность электрического поля E& i в каждом слое имеют только составляющие по оси х, а напряженность магнитного поля H& i – составляющие по осям у и z [8], т.е.

r r r r r r r r r H i = e y H& yi + e z H& zi , Ei = e x E& xi = e x E& i , J = e x J& xi = e x J& i , r

r

(П 1.3)

r

где e x , e y , e z – единичные векторы по осям х, у и t (рис. 1), а индексы m амплитудных значений опущены. С учетом (П 1.2) можно записать

∂E& i (t , y ) = jωE& i (t , y ), ∂t ∂E& i (t , y ) = − jaE& i (t , y ). ∂y

(П 1.4)

Тогда подстановка (П 1.4) в оператор Лапласа в (1) дает уравнение (5), в котором 42

Г i2

ω2 = a − 2 + jα i2 , υi 2

(П 1.5)

2

т.е. в сравнении с (4) добавляется слагаемое a . Легко видеть, что при τ → ∞ (бесконечно «длинная» волна) a → 0 и (П 1.5) сводится к (4) для плоской волны. Решение (5) для E& i дает первое выражение в (6), т.е.

E& i = Ai e Г i z + Bi e − Г i z .

(П 1.6)

С другой стороны, согласно [2],

r r 1 1 Hi = − rotEi = jωµ i jωµ i

⎡ r ⎛ ∂E& i ⎢ − e y ⎜⎜ ⎝ ∂z ⎣

⎞ r ⎛ ∂E& i ⎟⎟ + e z ⎜⎜ ⎠ ⎝ ∂y

⎞⎤ ⎟⎟⎥ , ⎠⎦

(П 1.7)

или с учетом (П 1.6) и (П 1.4)

(

)

Г ⎫ H& yi = H& i = − i Ai e Г i z − Bi e − Г i z ⎪ jωµ i ⎪ ⎬. a ⎪ H& zi = − E& i ⎪⎭ µ iω

(П 1.8)

Из (П 1.6) и (П 1.8) следует, что H& zi можно всегда вычислить через E& i , т.е. достаточно записать систему (6) для E& i и H& yi = H& i , в которой Г i подставить из (П 1.5). Выражения (49), (49а), (52), (54) для параметров и мощностей Е-Н-четырехполюсников в данном случае внешне не изменяются. Вместе с тем подстановка в них Г i из (П 1.5) ведет к принципиально иным количественным и качественным результатам по сравнению со случаем плоской волны. Действительно, для плоской волны в диэлектрике

ωd i ω di = j ≈ 0( для υi 3 ⋅ 10 8

Г i di = j

воздуха )

,

и из (38), (38а) получаем k oci = 1 , т.е. волна в слое диэлектрика толщиной d i не затухает, что лишь еще раз подтверждает вывод разд. 3.

43

Для случая же бегущей волны в диэлектрике

Г idi = a 2 −

ω2 π d ≈ d , i τ i υ i2

и имеем

k oci =

1 πd i

πd z i +1 + ch i sh z ci τ τ

< 1.

(П 1.9)

Например, если слой «i+1» заполнен металлом, а слой «i» толщиной d i =

τ - диπ

электриком (в частности, медью и воздухом соответственно), то для плоской волны

z i +1 z ci

=

2 ,7 ⋅ 10 −6 =0, 377

а для бегущей волны

jωµ i +1 z i +1 = z ci a 2 + jα i2+1

a 2 − ω 2ε i µ i jωµ i

2 1 − υ yo ε i µi µ i +1 = ≈ 0 (П 1.10) 2 µ i 1 + υ yo γ i +1 µ i +1 7

(например, υ yo = 2τf = 2 ⋅ 0 ,05 ⋅ 50 = 5 м/с, γ i +1 = 5 ⋅ 10 Ом

µ i +1 = 4π ⋅ 10 −7 Гн/м). Поскольку ad i =

−1 −1 м ,

πτ = 1 и выполняется (П 1.10), то из (П 1.9) получаем τπ k oci =

1 = 0 ,66 . ch1

Таким образом, слой воздуха толщиной в одну треть полюсного деления индуктора ослабляет напряженность магнитного поля на 34%. П 1.2. Случай движущихся слоев

Если i-й слой движется в направлении оси у со скоростью

υ yi , то уравнения Мак-

свелла записываются в виде [2] r r ⎫ rotH i = J i , r r r ⎪⎪ J i = γ i E i + jωε i E i + ε i rot E i xV i ,⎬ v v ⎪ rotE i = − jωµ i H i − µ i rot H i xV i . ⎪⎭

(

44

(

)

)

(П 1.11)

r

r

r

Если учесть условие (П 1.3) для векторов E , H и J , то (П 1.11) превращаются в следующие соотношения: r ⎫ ∂H& zi ∂H& yi − из 1 − го и 2 − го rotH i = − = γ i E& xi + jωε i E& xi + jε iυ yi aE& xi ,⎪ ∂y ∂z ⎪ ⎪⎪ & ∂E xi − из 3 − го = (− jωµ i + jaυ yi µ i )H& yi = − jωs i µ i H& yi , ⎬ (П 1.12) ∂z ⎪ a a ⎪ H& zi = − E& xi = E& xi . ⎪ µ i ω − aυ yi µ i µ i ωs i ⎪⎭ После подстановок последних выражений (П 1.12) в первое с учетом (П 1.4) имеем

d 2 E& xi = (a 2 + jωs i µ i γ i − ω 2 s i2 ε i µ i )E& xi , dz 2

или

d 2 E& i dz 2

где Г i = a 2 −

υ yo

a

= Г i2 E& i ,

(П 1.13)

ω 2 s i2 + jµ i γ i ω s i , υ i2

1.14)

si = 1 −

2

υ yi = 1 −

(П

υ yi - скольжение i-го слоя, υ yo

ω 2πfτ = = 2τf - скорость поля, индекс «х» опущен. π

Нетрудно видеть, что при неподвижном слое υ yi = 0 , si = 1 и (П 1.14) превращается в (П 1.5). Мощность, выделяющаяся в i-м слое, определяется из вектора Пойнтинга (52), (54) ∗ ∗ ⎞ ⎛ S i = 0 ,5⎜ E& i H i − E& i +1 H i +1 ⎟ . ⎝ ⎠

(П 1.15)

Мощность необратимых преобразований энергии в i-м слое на единицу поверхно2 сти [8], Вт/м (П 1.16) Pi = Re S i , 2

в том числе мощность электрических потерь, Вт/м ,

Pэi = Pi si .

(П 1.17)

При этом часть активной мощности слоя превращается в механическую мощность пере2 мещения слоя со скольжением si , Вт/м , 45

PMxi = Pi (1 − si ) .

(П 1.18)

Электромагнитная сила, действующая в направлении оси у и приходящаяся на еди2 ницу поверхности [8], Н/м

Fi =

Pi (1 − si )

υ yi

=

Pi

υ yo

Pi a = Pi . 2τf ω

=

(П 1.19)

Таким образом, рассматриваемое устройство является одновременно электротермическим и электромеханическим преобразователем энергии (линейным двигателем). П 1.3. Аналитические выражения для основных величин [15]

На основе (П 1.6), (П 1.8) выражения для напряженностей поля в слое i в неподвижной системе координат записываются как

E& xi = Ai e

Гiz

(

+ Bi e

−Г iz

,

1 H& yi = − Ai e Г i z − Bi e − Г i z z ci a & H& zi = − E xi .

ωµ i

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ,⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

)

(П 1.20)

Неизвестные постоянные интегрирования Ai , Bi определяются из решения алгебраической системы уравнений, полученных с помощью 2-го и 3-го уравнений (П 1.20) на основании граничных условий для всех границ между слоями. Граничные условия выражают неизменность нормальных индукций при переходе через границу и скачок тангенциальных напряженностей магнитного поля на величину сторонней линейной токовой нагрузки между слоями, т.е.

B& zi = µ i H& zi = B& zi + 1 = µ i + 1 H& z ,i + 1 ,⎫⎪ ⎬ H& yi − H& y ,i + 1 = J& mi , ⎪⎭

(П 1.21)

и после подстановки координаты границы z i в (П 1.20)

Ai e Г i zi + Bi e − Г i zi − Ai + 1e Г i zi − Bi + 1e − Г i zi = 0 , −

(

)

(

1 1 Ai e Г i zi − Bi e − Г i zi + Ai + 1e Г i +1zi − Bi + 1e − Г i zi z ci z ci + 1

)

⎫ ⎪ ⎬ = J mi .⎪ ⎭

(П 1.22)

46

Аналитическое решение системы (П 1.22) целесообразно получить при количестве слоев не более трех. Соответствующие выражения приведены в [15]. Рассматривается трехслойная система с бесконечно тонким слоем стороннего тока на поверхности индуктора: подобласть 1, z < 0 - магнитопровод с

γ = 0 , µ = µ ′ , при z = 0 выполняются

граничные условия (П 1.21), т.е. B z (0 ) непрерывно и H& y (+ 0 ) − H& y (− 0 ) = J& mИ , где

J& mИ = AИ - токовая линейная нагрузка индуктора, а также H = 0 при z → −∞ ; подобласть 2, 0 ≤ z ≤ d - проводящий слой с

ция B z (α ) и напряженность H& y (α ) непрерывны; подобласть 3, z > d - среда над слоем с ность H = 0 .

γ = γ , µ = µ , при z = α

индук-

γ = γ ′′ , µ = µ ′′ , при z → ∞ напряжен-

П 1.3.1. Выражения для индукций и напряженностей [15]

Если магнитная проницаемость магнитопровода индуктора слоем немагнитная и непроводящая (γ ′′ = 0 , µ ′′ = µ 0 ) , то

µ ′ = ∞ , а среда над

jaµAИ aµsh Г (d − z ) + Г µ0 ch Г (d − z ) ⎫ ,⎪ B& z = − Г aµch Г d + Г µ0 sh Г d ⎪ ( ) ( ) − + − µ µ a ch Г d z Г sh Г d z ⎪ 0 , ⎬ B& y = µA& И aµch Г d + Г µ0 sh Г d ⎪ ⎪ ω E& x = − B z . ⎪ a ⎭

(П 1.23)

Если бесконечную магнитную проницаемость имеет не только магнитопровод (µ ′ = ∞ ) , но и среда над слоем (µ ′′ = ∞ ) , то

jaµAИ ch Г (d − z ) ⎫ B& z = − ,⎪ Г sh Г d ⎪ ⎬ sh Г (d − z ) & ⎪ & . B y = µAИ ⎪⎭ sh Г d

Если проводящий слой представляет собой полупространство (П 1.23) после некоторых преобразований получаем

jaµA& И − Г z & B& z = − e , B y = µA& И e − Г z . Г 47

(П 1.24)

(d → ∞ ) ,

то из

(П 1.25)

В случае холостого хода (проводящего слоя нет, т.е.

γ = 0 , µ = µ 0 ) имеем

B& z = − jµ 0 A& И e − az , B& y = µ 0 A& И e − az .

(П 1.26)

Поле холостого хода индуктора без магнитопровода (γ ′ = 0 , µ ′ = µ 0 ) в два раза слабее поля при наличии сердечника, так как при этом образуются одинаковые поля в рабочем (но пустом) пространстве z > 0 и в полупространстве z < 0 :

µ A& jµ A& B& z = − 0 И e −az , B& y = 0 И e −az . 2 2

(П 1.27)

П 1.3.2. Особенности магнитного поля в проводящем слое при двустороннем индукторе [15]

В этом случае среда над слоем является также индуктором, на поверхности котороjϕ

& e , где ϕ - угол сдвига фаз токов го размещен токовый слой с линейной нагрузкой A И верхнего индуктора по сравнению с токами нижнего. Начало координат поместим в середине расстояния между индукторами. Тогда расчетная модель имеет следующие подобласти:

δ

- нижний индуктор с γ = 0 , µ = µ ′ ; граничные условия 2 ⎛ δ ⎞ ⎛ δ⎞ ⎛ δ ⎞ B⎜ − ⎟ непрерывно, H& y ⎜ − + 0 ⎟ − H& y ⎜ − − 0 ⎟ = A& И e jϕ ; ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ подобласть 1, z < −

подобласть 2, −

δ 2

подобласть 3, x >

≤z≤

δ 2

δ 2

- рабочее пространство с

- верхний индуктор с

γ =γ , µ = µ;

γ = 0 , µ = µ ′ ; граничные условия -

⎛δ ⎞ ⎛δ ⎞ ⎛δ ⎞ B⎜ ⎟ непрерывно, H& y ⎜ − 0 ⎟ − H& y ⎜ + 0 ⎟ = A& И . ⎝2 ⎠ ⎝2⎠ ⎝2 ⎠ Кроме того H = 0 при x → ±∞ . Если магнитная проницаемость обоих магнитопроводов

µ ′ = ∞ , то

jaµA& И ⎡ ⎛δ ⎞⎤ ⎫ ⎛δ ⎞ jϕ & Bz = ch Г z + e ch Г − z + ⎜ ⎟⎥ ,⎪ ⎜ ⎟ Г sh Гδ ⎢⎣ ⎝2 ⎠⎦ ⎪ ⎝2 ⎠ ⎬ µA& И ⎡ ⎞⎤ ⎪ ⎛δ ⎞ jϕ ⎛δ & By = sh Г ⎜ + z ⎟ + e sh Г ⎜ − z ⎟⎥ . sh Гδ ⎢⎣ ⎠⎦ ⎪⎭ ⎝2 ⎠ ⎝2 48

(П 1.28)

При согласном включении индукторов

jaµA& И & Bz = Г

(ϕ = 0 )

ch Г z sh Г z , B& y = µA& И . ⎛ δ⎞ ⎛ δ⎞ sh⎜ Г ⎟ sh⎜ Г ⎟ 2 ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠

(П 1.29)

Если принять, что толщина слоя δ вдвое больше толщины d слоя при одностороннем индукторе и µ ′′ = ∞ (П 1.3.1), и учесть, что в данном случае двустороннего индуктора начало координат по z смещено в середину зазора, то нетрудно обнаружить, что (П 1.24) и (П 1.29) совпадают. Это вполне закономерно, поскольку в случае двустороннего индуктора плоскость симметрии проходит по средней линии слоя, а в случае одностороннего индуктора ферромагнитная среда за слоем является магнитным шунтом (как идеальный второй сердечник с µ ′ = ∞ и без обмотки). При встречном включении

jaµA& И B& z = Г

(ϕ = π )

ch Г z sh Г z a & =− E x , B& y µA& И = . sω ⎛ δ⎞ ⎛ δ⎞ ch⎜ Г ⎟ ch⎜ Г ⎟ 2 ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠

При холостом ходе (пустом зазоре δ с µ′ = ∞ : - для согласного включения индукторов

B& z = jµ 0 AИ

(П 1.30)

γ = 0 ) и ферромагнитных сердечниках с

ch az sh az , B& y = µ 0 AИ ; ⎛ δ⎞ ⎛ δ⎞ sh⎜ a ⎟ sh⎜ a ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠

(П 1.31)

- для встречного включения

B& z = jµ 0 AИ

sh az ch az , B& y = µ 0 AИ . ⎛ δ⎞ ⎛ δ⎞ ch ⎜ a ⎟ ch ⎜ a ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠

(П 1.32)

При холостом ходе и согласном включении индукторов, не имеющих магнитопроводов (γ = 0 , µ = µ 0 , µ ′ = µ 0 ) , aδ 2

⎫ ch az , ⎪⎪ ⎬ aδ −− ⎪ B& y = µ 0 AИ e 2 sh az .⎪⎭ B& z = jµ 0 AИ e

49

−

(П 1.33)

П 1.3.3. Выражения для мощностей и усилий в металлическом полупространстве

Компоненты индукции определяются в соответствии с (П 1.25) при замене в них для общего случая линейной нагрузки AИ тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля на поверхности полупространства H& 0 с учетом (П 1.2)

H& 0 t = H& 0 e j(ω t −ay ) = H 0 e

jψ H

e j(ω t −ay ) ,

(П 1.34)

т.е.

jaµH& 0 jψ H j(ω t − ay ) − Г z ⎫ B& zt = − e e e ,⎪ Г ⎬ ψ j ( ) j ω t − ay − Г z ⎪ B& yt = µH& 0 e H e e , ⎭

(П 1.34а)

а напряженность и плотность тока выражаются в виде

jωµ ω ⎫ E& t = E& e j(ω t − ay ) = − B& zt = H 0 e jψ H e − Г z e j(ω t − ay ) ,⎪ a Г ⎬ ⎪ J& t = γ (E& t + υB& zt ) = γsE& t . ⎭

(П 1.34б)

Распределение плотности активной мощности (потерь в единице объема) в соответствии с (40)

W ( z ) = ∆p ( z ) = где Г = a ( N + jM ), N =

ε0 =

µγω

a2 ε = ε0s ,

1 2

H 02

1 1 &2 ω 2 s 2 µ 2γ 2 J = 2γ 2 Г

∗⎞ ⎛ −⎜⎜ Г + Г ⎟⎟ z ⎠ , e ⎝

( 1 + ε + 1), M = 12 ( 1 + ε − 1) 2

2

,

- электромагнитная добротность устройства,

∗

Г = a 2 1 + ε 2 , Г + Г = 2aN , Г Г = Г 2 = a 2 (1 + jε ) = a 2 1 + ε 2 e 1 N − jM = . Г a 1+ε 2 2

(П 1.35)

jarctg ε

,

Мощность, поступающую в металл через единицу площади на расстоянии z от поверхности (удельная входная мощность), выражается с помощью вектора Пойнтинга как

50

∗

1⎛ ⎞ S (1) ( z ) = ⎜ E& t H yt ⎟ = 2⎝ ⎠

∗

1⎛ & ⎞ 1 ⎜E Hy ⎟ = 2⎝ ⎠ 2

jωµH 02 Г

∗⎞ ⎛ −⎜⎜ Г + Г ⎟⎟ z ⎠ e ⎝

H 02 a ε (M + jN ) − 2 aNz e = , 2 γ s 1+ε 2 (П 1.36)

причем активная мощность

P(1) ( z ) =

ωµH 02 2

∗⎞ ⎛ ⎛ ⎜⎜ Г + Г ⎟⎟ z ⎞ − ⎜1 ⎝ ⎟ H 02 aM ⎠ Jm⎜ e ⎟= 2 γs Г ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

ε 1+ε 2

e − 2 aNz .

(П 1.36а)

Мгновенное значение нормального удельного усилия (плотности усилия по координате z) в соответствии с (15а) записывается в виде

f z ( z ,t ) =

1 ⎛& ∗⎞ 1 Re⎜ B yt J t ⎟ + Re(B& yt J& t ). 2 ⎝ ⎠ 2

(П 1.37)

Первое слагаемое (П 1.37), равное среднему за период значению усилия, преобразуется следующим образом ∗⎞ ⎛ ⎡ −⎜⎜ Г + Г ⎟⎟ z ⎤ 1 ⎛ ⎞ ωsµ γ 2 ⎢ j ⎝ ⎠ ⎥= f z = Re⎜ B& y J ⎟ = H 0 Re − ∗ e ⎢ ⎥ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎢⎣ Г ⎥⎦ .

∗

2

(П 1.37а)

H 02 ε µaM = e − 2 aNz = sµγP(1) (z ). 2 1+ε 2 и отличается от (15б) наличием множителя s (что понятно, поскольку частота токов в металле ωs в s раз отличается от частоты тока индуктора ω ) и видом зависимости от z. Второе слагаемое (П 1.37) характеризует пульсирующую составляющую нормального удельного усилия

1 Re(B& yt J& t ) = 2 1 ⎡ 1 = Re ⎢ µH 0 e jψ H e − Г z e j(ω t −ay ) jωsµγ H 0 e 2 ⎣ Г fz (t ) =

jψ H

⎤ e − Г z e j(ω t −ay ) ⎥ = ⎦

(П 1.37б)

H 02 ε = µaM e − 2 aNz cos (2ω t − 2ay + 2ψ H − 2aMz ). 2 1+ε 2 Мгновенное значение тангенциального (тягового, направленного по оси у) усилия

51

1 ⎛& ∗⎞ 1 f y (z ,t ) = Re⎜ B zt J t ⎟ + Re(B& zt J& t ). 2 ⎝ ⎠ 2

(П 1.38)

После подстановки B& zt и J& t для среднего за период тягового усилия (первое слагаемое) получаем ∗

H 02

1 ⎛ 1 ⎞ f y = Re⎜ B& z J ⎟ = − aω sµ 2γ 2 2 ⎝ 2 ⎠ Г

∗⎞ ⎛ −⎜⎜ Г + Г ⎟⎟ z ⎠ e ⎝

H 02 ε =− aµ e − 2 aNz .(П 2 1+ε 2 1.38а)

Из сравнения (П 1.35) и (П 1.38а) видно, что

fy =

W ( z )a ∆p (z ) 1 = , ω s s υ0

(П 1.38б)

где υ 0 = 2τ f - скорость движения магнитного поля относительно неподвижного индуктора. Структура выражения (П 1.38б) для f y вполне согласуется с теорией асинхронного двигателя: произведение тягового усилия на синхронную скорость дает электромагнитную мощность, а умножение последней на скольжение приводит к выражению для потерь во вторичном элементе двигателя. Второе слагаемое (П 1.38) характеризует пульсирующую с двойной частотой во времени составляющую тягового усилия

⎡ e − 2 Г z j(2ω t − 2 ay + 2ψ H ) ⎤ H 02 1 2 & & aω sµ γ Re ⎢ 2 e fy (t ) = Re(B zt J t ) = ⎥= 2 2 Г ⎦ ⎣ H 02 ε = aµ e − 2 aNz cos (2ω t + 2ψ H − 2ay − arctgε − 2aMz ). 2 1+ε 2

(П 1.38в)

Интегральное среднее за период тяговое усилие, действующее на перпендикулярный поверхности полупространства призматический столбик с поперечным сечением b × l (размеры по осям х и у, рис. 2б) и бесконечной длиной по оси z, определяется как ∞b l

∞

F y = ∫ ∫ ∫ fy dz dx dy =bl ∫ fy dz = FБ F y , 000

(П 1.39)

0

2

где FБ = H 0 lbµ - базисное усилие,

Fy =

ε 2 1+ε 2 2 1 2

1

( 1 + ε + 1) 2

1 = 2 52

1+ε 2 −1

(

2 1+ε 2

)

- относительное значение тягового усилия. (П 1.39а)

Относительное значение интегрального среднего за период нормального усилия вычисляется аналогично с помощью выражения

1⎛ 1 F z = ⎜⎜ 1 − 4⎝ 1+ε 2

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

(П 1.39б)

Далее приводим выражения лишь для средних за период значений усилий. Из (П 1.36) можно выразить коэффициент мощности

cos ϕ =

P(1) S (1)

=

M N2 +M2

( 1 + ε − 1) 2

=

24 1 + ε 2

.

(П 1.40)

П 1.3.4. Выражения для усилий, действующих на слой толщиной d, [15]

Компоненты среднего за период удельного усилия по осям y и z вычисляются как [2, 15].

aγωsµ 2 H 02 aµsh Г (d − z ) + Г µ 0 ch Г (d − z )

⎫ fy = ⎪ 2 2 2Г aµch Г d + Г µ 0 sh Г d ⎪ ⎪ γµ 2 H 02 ⎪ f z= Jm { Г [aµsh Г (d − z ) + Г µ 0 ch Г (d − z )]⋅ [aµch Г (d − z ) + ⎬. (П 1.41) 2 2Г ⎪ ⎪ 2 + Г µ 0 sh Г (d − z )]∗ } / aµch Г d + Г µ 0 sh Г d ⎪ ⎪ ⎭ 2

В [15] выражения для интегральных относительных усилий приводятся в функции относительных величин: 2

ω i = Г d = a + jω = α 1 + jε , πd 1 α = ad = , ω = µγωsd 2 , ε = µγωs 2 , µ = µ 0 µ τ a

и имеют вид

53

[

][

⎧ ⎨ ω i ω i shω i + a µchω i ω i chω i + a µ shω i 1 ⎩ Fy = f dz a Jm = ∫ y 2 µH 02 0 2 ω i ω i shω i + α µchω i d

[

]

⎧ 2 2 2 2 a ω i chω i + a µ shω i + a ⎛⎜ µ − 1 ⎞⎟ω i ⎪ 1⎪ ⎝ ⎠ F z = ⎨1 − 2 4⎪ ω i ω i shω i + a µchω i ⎪⎩

[

]

2

⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭

]∗ ⎫⎬ ⎫⎪

⎭⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬. (П ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭ 1.41а)

Базисное значение усилия

Fбаз

H 02 µV = , d

где V - объем слоя. П 1.3.5. Усилия для слоя в двустороннем индукторе

Принимается, что на поверхностях слоя действует тангенциальная компонента на-

jϕ пряженности поля H& 0 и − H& 0 e , в общем случае не равная линейной плотности тока

jϕ

& или верхнего − A& e индукторов. нижнего A И И Выражения для составляющих плотности усилия в слое определяются с учетом (П 1.28) и (П 1.34), если δ заменить d, ⎫ fy = ⎪ 2 2 Г sh Г d ⎪ ⎪ γωsµ 2 H 02 1⎡ ⎞⎤ ⎪ ⎛d ⎞ jϕ ⎛d fz = Jm ⎢ch Г ⎜ + z ⎟ + e ch Г ⎜ − z ⎟⎥ ×⎬. 2 Г⎣ ⎠⎦ ⎪ ⎝2 ⎠ ⎝2 2 sh Г d ⎪ ∗ d d ⎡ ⎤ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎪ × ⎢ sh Г ⎜ + z ⎟ + e jϕ sh Г ⎜ − z ⎟⎥ ⎪ ⎠⎦ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎣ ⎭ aγωsµ 2 H 02

⎛d ⎞ ⎛d ⎞ ch Г ⎜ + z ⎟ + e jϕ ch Г ⎜ − z ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠

2

(П 1.42)

Интегральные относительные усилия выражаются в функции параметров

ω i = β 1 + jβ 2 =

2 Гd ad = a + jω = a 1 + jε , a = , 2 2

54

2

1 ⎛d ⎞ где ω = µγωs ⎜ ⎟ , ε = µγωs , в следующем виде, [15], для согласного (ϕ = 0 ) и a2 ⎝2⎠ встречного (ϕ = π ) включения индукторов соответственно:

[

]= a

⎫ β 2 sh 2 β 1 + β 1 sin 2 β 2 ⎪ 1 F y согл = H 02 ∫ fy dz = ⎪ 2 2 2 µ ( ) β β β β ch 2 cos 2 + − d 1 2 1 2 ω ω sh i i ⎪ − 2 ⎬ ∗ ⎪ a Jm ω i сhω i shω i β 2 sh 2 β 1 − β 1 sin 2 β 2 ⎪ F y встр = =a 2 2 2 ⎪ β 1 + β 2 (ch 2 β 1 + cos 2 β 2 ) ω i сhω i ⎭ d 2

a Jm ω i shω i chω i ∗

[

]

(

(

)

)

(П 1.43) При произвольном угле сдвига фаз

ϕ

токов верхнего и нижнего индукторов уси-

лие является линейной комбинацией F у согл и F у встр .

Fy =

(1 + cos ϕ )F у согл + (1 − cos ϕ )F у встр .

(П 1.44)

2

Поперечная составляющая интегрального усилия при произвольном в виде

ϕ

( β 12 − β 22 ) sh 2 β 1 sin 2 β 2 F z = sin ϕ 2 (β 1 + β 22 )(sh 2 2β 1 + sin 2 β 2 ) .

выражается

(П 1.44а)

Как видно, при ϕ = 0 или ϕ = π распределение поля симметрично относительно середины слоя z = 0 , поэтому Fz = 0 . П 1.3.6. Учет ослабления поля в зазоре между индуктором и проводящим слоем

Рассмотрим ослабление поля в зазоре δ 0 между односторонним индуктором, имеющим магнитопровод с бесконечной магнитной проницаемостью, и проводящим слоем толщиной d, имеющим характеристики γ и µ = µ µ 0 . Пространство над слоем заполнено непроводящей немагнитной средой. В этом случае отношение напряженности на границе слоя H yo к линейной токовой нагрузке индуктора A0 выражается в виде, [15],

H& yo A0

(

{ (

)

(

)

= 2Г a µ + Г e Гd + a µ − Г e −Гd

)

]

(

− a µ − Г e − aδ 0 e Г d − a µ − Г

} {(a µ + Г ) [(a µ + Г ) e aδ

0

−

) [(a µ − Г ) e aδ − (a µ + Г ) e −aδ ] e Г d }. 0

55

0

(П 1.45)

Для проводящего полупространства, отделенного от индуктора на расстояние из (П 1.45) при d → ∞ получаем

H& yo

2Г

=

.

(a µ + Г ) e aδ − (a µ − Г ) e −aδ В [15] показано, что отношение (H yo A0 ) слабо зависит от ω A0

0

0

δ0 ,

(П 1.46)

и d

τ , т.е. от ха-

рактеристик слоя. Если ω невелико, ослабление поля в зазоре можно рассчитывать, как при холостом ходе индуктора (отсутствии проводящего слоя)

(H& yo

A0 ) = e − aδ 0 = e −πδ 0 τ .

(П 1.47)

⎛ ⎝

П 1.3.7. Особенности расчета при малом зазоре ⎜ d =

Для индукций в слое при малых d =

δ 2

δ

⎞ << τ ⎟ 2 ⎠

→ 0 и µ = µ 0 из (п 1.24) получаем

B& y = 0 ,

где

ε=

ω sµ 0 γ a2

µ A& jaµ 0 A& И =j 0 И , B& z = Г (Г d ) a (1 + jε )d

(П 1.48)

.

Для плотности тангенциального усилия при d → 0 и

fy =

aγω sµ 02 H& 0 2

2Г d

2

µ = µ 0 из (1.41) получаем 2

1 µ0 ε ⎛ H 0 ⎞ = ⎜ ⎟ , 2 a 1+ε 2 ⎝ d ⎠

(П 1.49)

& , так как слой заполняет все пространство между сторонами индуктора. где H& 0 = A И Полученные выражения совпадают с приведенными в [8] и характеризуют индукционные преобразователи энергии с «поперечным» полем, имеющим лишь компоненту индукции по оси z (поперек слоя вторичного элемента). К ним, в частности, относятся линейные асинхронные двигатели транспортных средств [8].

56

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА УСТРОЙСТВА В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

П 2.1. Расчет параметров четырехполюсников и напряженностей на их зажимах

Если кольцевая обмотка индуктора создает бегущее вдоль оси у синусоидальное магнитное поле, то в соответствии с рис. П 2.1 и [8] оно характеризуется следующими компонентами напряженности магнитного поля H , электрического E , плотности тока J , векторного магнитного потенциала A

H = e y H& y + e r H& r , E = eϕ E& , J = eϕ J& , A = eϕ A& .

(П 2.1)

Основное уравнение для комплексной амплитуды векторного магнитного потенциала k-го слоя записывается [8]

d 2 A& km

d ( Г k r )2 2

2

+

⎛ 1 dA& km 1 ⎞⎟ & − ⎜1 + Akm = 0 , Г k r d ( Г k r ) ⎜⎝ ( Г k r )2 ⎟⎠

(П 2.2)

2

где Г k = jωµ k γ k sk − ω µ k ε k + a k аналогично (П 1.14); a k = π τ k , s k - скольжение слоя.

& e j(ω t −ak y ) eϕ и При этом в неподвижной системе координат Akm (r , y ,t ) = A km представляет собой бегущую по оси у волну (как и H km , E& km ). Если α k = 0 , получаем случай плоской волны. Решение (П 2.2) имеет вид

A& km = C k I 1 ( Г k r ) + D k K 1 ( Г k r ) ,

(П 2.3)

где I 1 ( Г k r ) и K 1 ( Г k r ) – модифицированные функции Бесселя первого порядка соответственно первого и второго рода; C k , D k - постоянные интегрирования.

& и H& = 1 1 ∂ rA& , то Если учесть [8], что E& km = − jωA km km km

µ k r ∂r

(

)

E& km = − jω C k I 1 ( Г k r ) − jω D k K 1 ( Г k r ), ⎫ ⎪ Г Г ⎬ H& km = k C k I 0 ( Г k r ) − k D k K 0 ( Г k r ),⎪ µk µk ⎭ 57

(П 2.4)

где I 0 ( Г k r ) и K 0 ( Г k r ) - модифицированные функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка. Нетрудно видеть, что в случае плоской волны решение (П 2.4) совпадает с [2, 5].

Для внешней полубесконечной области с ростом r → ∞ поле должно затухать, поэтому

( ) ⎫⎪⎪ ⎬ Г ′ ′ r ),⎪ ′ ( = − D K Г () ⎪⎭ µ′

′ (r ) = − jωDk′ K 1 Г k ′ r , E& km ′ H& km

k

r

k

k

0

(П 2.5)

k

а «входное» (поверхностное) сопротивление области

( ) ( )

( ) ( )

jωµ k′ K 1 Г k ′ r K 1 Г k ′r ′ ′ zk = = z ck . ′ Г k ′ K Г ′r K0 Г k r k 0

(П 2.6)

Выражая с помощью (П 2.4) E& и H& на «входной» и «выходной» сторонах слоя «i», получаем уравнения, аналогичные (47). Для внешних относительно обмотки 0 индуктора слоев входные величины выражаются через выходные (индекс «m» опускаем)

ri′E& i′ = Г i ′ri′b4′ i (ri′+ 1 E& i′+ 1 ) + jωµ i′ri′+ 1 ri′b2′ i (H& i′+ 1 ),⎫ ⎪⎪ 2 ⎬ Г i′ ′ & & & H i′ = b3′ i (ri′+ 1 Ei′+ 1 ) + Г i ri′+ 1b1′i (H i′+ 1 ) ⎪ ⎪⎭ jωµ i

( )

(П 2.7)

или выходные через входные

′ ri′+1 ⎤ ⎡ Г i ri′+1b1′i ⎥ ⎢ 2 ⎥ = ⎢ Г i′ b3′ i ⎥⎦ ⎢ − ⎣⎢ jωµ i

⎡ E& i′+1 ⎢ ⎢ ⎢⎣ H& i′+1

где

− jωµ i′ri′+1 ri′b2′ i ⎤ ⎡ ri′E& i′ ⎤ ⎥ ⎢ ⎥, ⎥×⎢ ⎥ ⎥ ⎢& ⎥ Г i ′ri′b4′ i H′ ⎦⎥ ⎣ i ⎦

( )

( ( ( (

) ) ) )

( ( ( (

) ) ) )

( ( ( (

) ) ) )

( ( ( (

) ) ) )

b1′ i = K 0 Г i ′ ri′− 1 I 1 Г i ′ ri′ + I 0 Г i ′ ri′− 1 K 1 Г i ′ ri′ , ⎫ ⎪ ⎪ b2′ i = K 1 Г i ′ ri′− 1 I 1 Г i ′ ri′ − I 1 Г i ′ ri′− 1 K 1 Г i ′ ri′ , ⎪ ⎬ b3′ i = K 0 Г i ′ ri′− 1 I 0 Г i ′ ri′ − I 0 Г i ′ ri′− 1 K 0 Г i ′ ri′ ,⎪ ⎪ ′ ′ ′ ′ b4′ i = K 1 Г i ri′− 1 I 0 Г i ri′ + I 1 Г i ri′− 1 K 0 Г i ri′ . ⎪ ⎭ 58

(П 2.8)

(П 2.9)

Для внутренних слоев входные величины выражаются через выходные

− jωµ i ri +1 ri b2i ⎤ ⎡ ri +1 E& i +1 ⎤ ⎡ ri E& i ⎤ ⎡ Г i ri b1i ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 2 = × ( ) Г ⎢ ⎥ ⎢− i b ⎥ Г i ri +1b4 i ⎥ ⎢ ⎢⎣ H& i ⎥⎦ ⎢⎣ jωµ i 3i ⎥⎦ ⎢⎣ H& i +1 ⎥⎦

(П 2.10)

или выходные через входные

⎡ ri + 1 E& i + 1 ⎤ ⎡ A1i ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥=⎢ ⎢⎣ H i + 1 ⎥⎦ ⎣⎢ A3i

A2i ⎤ ⎡ ri E& i ⎤ ⎥ ⎥×⎢ ⎥, ⎥ ⎢ A4i ⎦⎥ ⎢⎣ H i ⎥⎦

(П 2.11)

A1i = Г i ri + 1b4 i ,

где

⎫ A2i = jωµ i ri + 1 ri b2i = z ci ri + 1 ri Г i b2i ,⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎬ Гi Гi A3i = b3i = b3i , ⎪ jωµ i z ci ⎪ ⎪⎭ A4 i = Г i ri b1i .

(П

2.12) Параметры четырехполюсников рис. П 2.2 выражаются в виде

z jωµ 1 = 2 i = ci , A3i Г i b3i Г i b3i

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ z ci (Г i ri + 1b4i − 1),⎪⎬ z α i = ( A1i − 1)z β i = Г i b3i ⎪ ⎪ z z γ i = ( A4 i − 1)z β i = ci ( Г i ri b1i − 1). ⎪ Г i b3i ⎪⎭

zβ i =

(П 2.13)

Дальнейший расчет аналогичен рассмотренному в разделе 6. Следует отметить также, что некоторые особенности связаны с исследованием активных слоев устройства. В рамках этой работы они, однако, не рассматриваются. П 2.2. Аналитические выражения для основных величин в трехслойной системе [15]

Расчетная модель индуктора (с ферромагнитным магнитопроводом или без него) представляет собой цилиндр с токовой линейной нагрузкой

A& 0

на его внутренней поверхности. Внутреннее пространство

59

является рабочим и имеет характеристики скоростью υ y

= 2τf (1 − s ) =

ω a

γ

и

µ . В общем случае оно движется в направлении оси у со

(1 − s ) .

Структура модели 1:

подобласть 1, r ≤ R - рабочее пространство с γ = γ и µ = µ , при r = R справедливы – непрерывность B r и H& (R − 0 ) − H& (R + 0 ) = A = A& e j(ω t −ay ) (далее множитель e j(ω t −ay ) y

ϕ

y

0

опускаем);

подобласть 2, r > R - магнитопровод с γ = 0 , µ = µ ′ , & (∞ ) = 0 . при r → ∞ справедливо H Если индуктор имеет магнитопровод с µ ′ = ∞ , то [15] ⎫ jaµA& 0 I 1 ( Г r ) a B& r = = − E&ϕ ,⎪ Г I 0 (Г R ) ωs ⎪ ⎬ ( ) I Г r 0 ⎪ B& y = µA0 . ⎪⎭ I 0 (Г R ) Поле холостого хода (

γ = 0 , µ = µ 0 ) при наличии магнитопровода с µ ′ = ∞ :

I (ar ) a ⎫ B& r = jµ0 A0 1 = − E& ϕ ,⎪ ω I 0 (aR ) ⎪ ⎬ I 0 (ar ) ⎪ & B y = µ0 A0 ⎪⎭ I 0 (aR ) и без магнитопровода ( µ ′ = µ 0 , σ ′ = 0 ): a ⎫ B& r = jaµ 0 RA0 K 1 (aR )I 1 (ar ) = − E&ϕ ,⎪ ω ⎬ ⎪⎭ B& z = aµ 0 RA0 K 1 (aR )I 0 (ar ). r=

(П 2.14)

(П 2.15)

(П 2.16)

При расчете усилий в общем случае принимается, что на поверхности индуктора с радиусом R1 ≤ R действует осевая составляющая напряженности H& y R1 = H& 0 e j (ω t −ay ) . Компоненты плотности усилия [15]

( )

⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎡ ⎛ ∗ ⎞⎤ ⎬ Jm ⎢ Г I 0 ( Г r )I 1 ⎜⎜ Г r ⎟⎟⎥ ⎪ ⎝ ⎠⎦ ⎪ ⎣ .⎪ 2 I 0 ( Г R1 ) ⎪⎭ 2

asωγµ 2 H 02 I 1 ( Г r ) fy = , 2 I 0 ( Г R1 ) 2Г

fr=

sωγµ 2 H 02 2Г

2

60

(П 2.17)

Относительное интегральное усилие, действующее на отрезок цилиндра объемом V

= πR12 l , вы-

ражается далее в функции относительных параметров 2

ω i = Г R1 = a ω = a 1 + jε где

a = aR1 ; ω = µγωsR12 ; ε = µγωs

Fy =

1 a2

;

( ) ( )

∗ 2aJm ⎡ω i I 0 ω i I 1 ⎛⎜ ω i ⎞⎟⎤ ⎢⎣ F 2 R1 ⎝ ⎠⎥⎦ . = ∫ fy dr = 2 2 µ V H 0 0 ω i I0 ω i

R1

4 R1 µH 02

,

(П 2.18)

Радиальная компонента усилия равна нулю, так как система симметрична относительно оси у. Структура модели 2:

подобласть 1, r < R1 - внутреннее пространство с γ = 0 & y (R1 ) ; при r = R непрерывны B (R ) и H 1

r

r = R2

µ = µ1 ,

1

подобласть 2, R1 ≤ r ≤ R2 при

и

- полый цилиндр с

задана напряженность

γ =γ , µ = µ

,

H y (R2 ) = H& 0 e j(ω t −ay ) (поворачивающий множитель

далее опускаем). Если индуктор двусторонний и его обмотки расположены вне и внутри полого цилиндра, то напряженности поля задаются на внешней и внутренней поверхностях цилиндра как

H& (R1 ) = − H& 0 e j (ω t − ay + ϕ ) ,⎫⎪ ⎬ ⎪⎭ H& (R2 ) = H& 0 e j (ω t − ay ) .

(П 2.19)

Относительное интегральное усилие вычисляется интегрированием плотности усилия по радиусу цилиндра

F= где объем V

(

F 2 R2 VµH 02

=

R2

4 R2

(

R22

−

R12

)

∫ frdr ,

(П 2.20)

µH 02 R1

)

= π R22 − R12 l .

Выражения усилия для характерных случаев имеют вид [15]: а) индуктор односторонний, пространство внутри цилиндра ( r средой с

< R1 ) заполнено непроводящей

µ1 = µ 1 µ0 :

Fy =

{

2aR1 Jm Г R2 [ AI 0 ( Г R2 ) + BK 0 ( Г R2 )] [ AI 1 ( Г R2 ) − BK 1 ( Г R2 )]∗

(1 −

R12

R22

) Г R [AI 2

0

61

( Г R2 ) + BK 0 ( Г R2 )]

2

}

, (П 2.21)

где A = aR1 K 1 ( Г R1 )I 0 (aR1 ) + µ 1 Г R1 K 0 ( Г R1 )I 1 (aR1 ),⎫ ⎪

⎬ B = aR1 I 1 ( Г R1 )I 0 (aR1 ) − µ 1 Г R1 I 0 ( Г R1 )I 1 (aR1 ). ⎪⎭

(П 2.22)

б) индуктор односторонний, пространство внутри цилиндра заполнено идеальным ферромагнетиком с бесконечной магнитной проницаемостью µ 1 = ∞ :

⎧⎪ F y = 2aR2 Jm ⎨ Г R2 [K 0 ( Г R1 )I 0 ( Г R2 ) − I 0 ( Г R1 )K 0 ( Г R2 )] × [K 0 ( Г R1 )I 1 ( Г R2 ) + ⎪⎩

} {(

+ I 0 ( Г R1 )K 1 ( Г R2 )]∗ / 1 − R12 R22

) Г R2 [K0 (Г R1 )I 0 (Г R2 ) − I 0 (Г R1 )K0 (Г R2 )] 2 ⎫⎬⎭. (П 2.23)

в) индуктор двусторонний:

Fy =

(1 − R

2aR2

2 1

)

R22 Г R2

2

⎡ Г R2 M ∗ ± Г R1 N ∗ ⎤ Jm ⎢ ⎥, ∗ S ⎣ ⎦

(П 2.24)

где M = I 1 ( Г R2 )K 0 ( Г R1 ) + I 0 ( Г R1 )K 1 ( Г R2 ) ± 1 Г R2 , ⎫

⎪ N = ± I 0 ( Г R2 )K 1 ( Г R1 ) ± I 1 ( Г R1 )K 0 ( Г R2 ) + 1 Г R1 ,⎬ ⎪ S = I 0 ( Г R2 )K 0 ( Г R1 ) − I 0 ( Г R1 )K 0 ( Г R2 ). ⎭

Верхний знак относится к согласному включению сторон индуктора ( ϕ = π ).

(П 2.25)

(ϕ = 0 ) , а нижний – к встречному

Ослабление поля зазором между внешним односторонним индуктором с радиусом R и сплошным цилиндром с радиусом

R2

нейной нагрузке индуктора

и характеристиками

A0

γ

и

µ

характеризуется отношением

H y0

к токовой ли-

[15]:

а) индуктор имеет магнитопровод с

H y0 A0

µ′ = ∞ :

( ) ( )

1 ⎡ a I1 ω i = ⎢− a ⎢ ωi I ωi 0 ⎣

⎤ S 2 + S4 ⎥ ⎥⎦

−1

;

(П 2.26)

б) индуктор не имеет магнитопровода

H y0 A0

( ) ( )

⎧ 1 ⎪ a I1 ω i = ⎨ a ⎪ ω i I1 ω i ⎩

( ) ( )

( ) ( )

⎡K a ′ S ⎤ ⎡K a ′ S ⎤ 0 1 0 3 S − − − S ⎢ 2⎥ ⎢ 4⎥ ⎢⎣ K 1 a ′ ⎥⎦ ⎢⎣ K 1 a ′ ⎥⎦

62

⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭

−1

,

(П 2.27)

( ) ( ′ )+ K0 (a )I 1 (a ′ ) ; S 2 = I 0 (a ) K0 (a ′ )+ K0 (a )I 0 (a ′ ) , ⎫⎪ ⎪ S 3 = I 1 (a ) K 1 (a ′ ) − K 1 (a )I 1 (a ′ ) ; S 4 = I 1 (a ) K 0 (a ′ )+ K 1 (a )I 0 (a ′ ) , ⎬ .(П 2.28)

где S1 = I 0 a K 1 a

⎪ ⎪ ⎭

a ′ = aR .

Наличие цилиндра слабо влияет на

H y 0 A0

, поэтому при небольших значениях

ω

распределе-

ние поля можно принимать таким же, как при холостом ходе [15]:

H z 0 A0 = I 0 (aR2 ) I 0 (aR ) ;

(П 2.29)

(µ ′ = ∞ ) , включение сторон согласное (ϕ = 0 ) , полый цилиндр толщиной d с γ и µ , зазор с каждой стороны слоя цилиндра (δ − d ) z : в) индуктор двусторонний с магнитопроводами

H y0 где

a ′ = aδ z .

A0

(

)

(

)

⎡ ⎤ aµ sh a ′− a cthω i ⎥ = ⎢ch a ′− a + ωi ⎣ ⎦

63

−1

,

(П 2.30)

Приложение 3 ДВУСТОРОННЕЕ ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ [4]

Отличие данного случая от рассмотренных ранее поясняет рис. П 2.1. Если ранее мощность поступала в слой лишь с одной стороны, как показано на рис. П 3.1,а, с помощью вектора Пойнтинга S(0), то в данном случае мощность поступает с двух сторон (рис. П 3.1,б и П 3.1,в). Соотношение мощностей S(0) и S(d) определяется соотношением H mS 1 и H mS 2 на поверхностях слоя. Чаще всего рассматриваются симметричные случаи: - на рис. П 3.1,б H mS 1 = H mS 2 (симметрия), а E mS 1 = − E mS 2 (антисимметрия); - на рис. П 3.1,в H mS 1 = − H mS 2 (антисимметрия), а E mS 1 = E mS 2 (симметрия).

Реально первому случаю соответствует слой сердечника индуктора с заданным магнитным потоком через него, а второму – шина с заданным током. Рассмотрим названные случаи отдельно.

П 3.1. Базовый случай одностороннего падения волны В соответствии с (21 б) и учетом обозначений и нумерации, принятых на рис. П 3.1,а, для слоя 2 можем записать

e H& m ( z ) = H mS 1

Г 2 (d − z )

− M 23 e − Г 2 (d − z )

e Г 2d − M 23 e − Г 2d

(П 3.1)

и для плотности тока

e Г 2 (d − z ) + M 23 e − Г 2 (d − z ) − ∂H& m ( z ) & . = Г 2 H mS 1 J m (z ) = Г 2d − Г 2d ∂z e − M 23 e

(П 3.2)

При z 2 << z1 и z 2 << z 3 , т. е. M 23 = 1 , получаем [4]

sh Г 2 (d − z ) H& m (z ) = H mS 1 , sh Г 2 d

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ( ) ch Г d z − 2 J& m ( z ) = Г 2 H mS 1 ,⎪ ⎪⎭ ch Г 2 d

(П 3.3)

H& m (0 ) = H& mS 1 , H m (d ) = 0 ,

⎫ ⎪ 1 ⎬ & ,⎪ J m (0 ) = Г 2 H mS 1cth Г 2 d , J m (d ) = Г 2 H mS 1 sh Г 2 d ⎭

активная мощность в слое 64

(П 3.4)

2 ωµ 2 H mS 1 , P2 = P (0 ) − P (d ) = χ 2γ 2 2 sh 2kd + sin 2kd где χ = ; ch 2kd − cos 2kd

(П 3.5)

k = ωµ 2γ 2 2 . Реактивная мощность в слое 2 ωµ 2 H mS 1 , Q 2 = Q (0 ) − Q (d ) = ξ 2γ 2 2

где

ξ=

(П 3.6)

sh 2kd − sin 2kd . ch 2kd − cos 2kd П 3.2. Случай 2 (симметрия H mS 1 и H mS 2 ) – сердечник

Решение для H& m ( z ) (рис. П 3.2,б) находим наложением двух решений – (П 3.1) для прямой волны и аналогичного решения для обратной волны, которое получается из (П

z − z cz 3.1) при замене координаты z на (d − z ) = z ′ и M 23 на M 21 = 1 . z 1 + z cz

В результате имеем

e H& m ( z ) = H mS 1

Г 2 (d − z )

− M 23 e − Г 2 (d − z )

e Г 2d − M 23 e − Г 2d

+ H mS 2

e Г 2 z − M 21e − Г 2 z

e Г 2d − M 21e − Г 2d

. (П 3.7)

При полной симметрии (когда H mS 1 = H mS 2 , z 1 = z 3 и M 21 = M 23 )

H& m ( z ) = H mS 1

d d −Г 2 ⎞ ⎛d ⎞⎛⎜ Г 2 2 2 ⎟ − M 23 e 2ch Г 2 ⎜ − z ⎟ e ⎟ ⎝2 ⎠⎜⎝ ⎠

(П 3.8)

e Г 2d − M 23 e − Г 2d

и для плотности тока

J& m (z ) = Г 2 H mS 1

d d −Г 2 ⎞ ⎛d ⎞⎛⎜ Г 2 2 2 ⎟ 2 sh Г 2 ⎜ − z ⎟ e − M 23 e ⎟ ⎝2 ⎠⎜⎝ ⎠

e Г 2d − M 23 e − Г 2d

65

.

(П 3.9)

В случае M 23 = 1

(z 3 >> z c 2 )

[4]

⎛d ⎞ ⎫ ch Г 2 ⎜ − z ⎟ ⎪ ⎝2 ⎠, ⎪ H& m ( z ) = H mS 1 d ⎪ ch Г 2 ⎪ 2 ⎬ ⎛d ⎞ ⎪ sh Г 2 ⎜ − z ⎟ ⎝2 ⎠ ,⎪ J& m (z ) = Г 2 H mS 1 ⎪ d ⎪ sh Г 2 ⎭ 2

(П 3.10)

H& m (0 ) = H mS 1 , H m (d ) = H mS 1 ,

⎫ ⎪ ⎬. d d J& m (0 ) = Г 2 H mS 1th Г 2 , J& m (d ) = − Г 2 H mS 1th Г 2 .⎪ 2 2 ⎭

(П 3.11)

Активная мощность в слое

P2 = 2 P (0 ) = ξ где

ξ=

ωµ 2 2 H mS 1 = ξ Pбаз , 2γ 2

(П 3.12)

shkd − sin kd . chkd + cos kd

Реактивная мощность в слое

Q 2 = 2Q (0 ) = ψ где ψ =

ωµ 2 2 H mS 1 , 2γ 2

(П 3.13)

shkd + sin kd . chkd + cos kd

П 3.3. Случай 3 (антисимметрия H mS 1 и H mS 2 ) – шина

Решение получается из (П 3.7) - рис. П 3.2,в - при смене знака перед H mS 2 . Если к тому же H mS 1 = H mS 2 и M 21 = M 23 , получаем

66

H& m (z ) = H mS 1

d d −Г 2 ⎞ ⎛d ⎞⎛⎜ Г 2 2 2 ⎟ 2 sh Г 2 ⎜ − z ⎟ e + M 23 e ⎜ ⎟ ⎝2 ⎠⎝ ⎠

e

Г 2d

− M 23 e

− Г 2d

(П 3.14)

и для плотности тока d d −Г 2 ⎞ ⎛d ⎞⎛⎜ Г 2 2 2 ⎟ + M 23 e 2ch Г 2 ⎜ − z ⎟ e ⎟ ⎝2 ⎠⎜⎝ ⎠. & J m ( z ) = Г 2 H mS 1 Г 2d − Г 2d e − M 23 e

В случае M 23 = 1

(П 3.15)

(z 3 >> z c 2 ) [4] ⎛d ⎞ ⎫ sh Г 2 ⎜ − z ⎟ ⎪ ⎝2 ⎠, ⎪ H& m ( z ) = H mS 1 d ⎪ sh Г 2 ⎪ 2 ⎬ ⎛d ⎞ ⎪ ch Г 2 ⎜ − z ⎟ ⎝2 ⎠ ,⎪ J& m ( z ) = Г 2 H mS 1 ⎪ d ⎪ sh Г 2 ⎭ 2

H m (0 ) = H mS 1 ,

(П 3.16)

H m (d ) = − H mS 1 ,

⎫ ⎪ Г 2d Г 2d ⎬ J m (0 ) = Г 2 H mS 1cth , J m (d ) = Г 2 H mS 1cth . 2 2 ⎪⎭

(П 3.17)

Активная мощность в шине

P1 = 2 P (0 ) = η

где

η=

ωµ 2 2 H mS 1 , 2γ 2

(П 3.18)

shkd + sin kd 2 = kR ; chkd − cos kd kd

kR =

R ~ kd shkd + sin kd = R= 2 chkd − cos kd

(П

3.19) - коэффициент увеличения активного сопротивления шины при переменном токе (при f = 0 имеем k R = 1 ).

67

Реактивная мощность в шине

Q 2 = 2Q (0 ) = χ где

ωµ 2 2 H mS 1 , 2γ 2

(П 3.20)

shkd − sin kd kd = kX ; chkd − cos kd 3 X 3 shkd − sin kd = = X 0 kd chkd − cos kd

χ= kX

(П

3.21) - коэффициент уменьшения реактивного сопротивления шины при переменном токе (при f = 0 получаем k X = 1 );

X 0 - реактивное сопротивление при равномерной плотности тока. Зависимости относительных мощностей ξ и ψ , имствованы из [4] и приведены на рис. П 3.2 и П 3.3.

68

η

и

χ

для указанных случаев за-

Приложение 4 РАСЧЕТ МОЩНОСТЕЙ ПРИ ИНДУКЦИОННОМ НАГРЕВЕ НА ОСНОВЕ [11]

Методика расчета мощностей и КПД установки индукционного нагрева на основе [11] сводится к следующим операциям. 1. Расчет эквивалентной глубины проникновения волны, м,

∆ э = 503 ρ µ r f,

где

(П 4.1)

ρ - удельное сопротивлением металла, Ом⋅м; µ r - относительная магнитная проницаемость слоя (для диэлектрика µ r = 1 ). 2

2

2. Удельные мощности, приходящиеся на 1 м поверхности нагреваемого тела, 2

кВт/м и кВ⋅А/м ,

активная

Pуд = 2 ⋅ 10 − 6 (I 1 w1,0 )2 ρµ r f Fпл.ц ,

реактивная Q уд = 2 ⋅ 10 − 6 (I 1 w1,0 )2

⎫ ⎪ ⎬ ρµ r f Gпл .ц ,⎪⎭

(П 4.2)

где зависимости Fпл .ц , Gпл .ц приведены на рис. П 4.1;

∆ пл - толщина плоского нагреваемого изделия; r0 - радиус наружной поверхности цилиндрической детали; I 1 w1,0 - ампервитки на единицу длины индуктора. Для

полуограниченного

тела

(

(или

плиты

)

с

относительной

толщиной

2 ∆ пл ∆ э ≥ 3 ) и для цилиндров с r0 2 ∆ э ≥ 10 можно принять Fпл.ц = Gпл .ц = 1 , т.е. Pуд = Q уд , а коэффициент мощности

cos ϕ =

Pуд 2 Pуд

2 + Q уд

= 0 ,707 .

(П 4.3)

Для сравнительно «тонких» плит и «тонких» цилиндров Fпл.ц и Gпл .ц определяются по рис. П 4.1, при этом

cos ϕ пл.ц =

(

1

1 + Gпл.ц Fпл .ц

)

2

.

(П 4.4)

3. Для отыскания удельной погонной мощности, т.е. мощности на единицу длины нагреваемого цилиндрического тела, следует (П 4.2) умножить на площадь боковой поверхности цилиндра S 4 = π d 0 l и разделить на длину цилиндра l.

69

Получим для Pп , кВт/м, и Q П , квар/м, соответственно

Pп = 6 ,2 ⋅ 10 − 6 (I 1 w1,0 )2 d 0 ρµ r f Fц , ⎫⎪ ⎬ Qп = 6 ,2 ⋅ 10 − 6 (I 1 w1,0 )2 d 0 ρµ r f Gц .⎪⎭

(П 4.5)

4. Удельные погонные потери мощности в цилиндрическом индукторе определяются так же, как и мощности в нагреваемом цилиндре. Необходимо лишь учесть коэффициент заполнения индуктора проводниковым материалом k зи = hвит .и τ вит .и :

Pпи = 6 ,2 ⋅ 10 − 6 (I 1 w1,0 )2

dи k зи

Qпи = 6 ,2 ⋅ 10 − 6 (I 1 w1,0 )2

dи k зи

⎫

ρ и f Fи , ⎪ ⎪ ⎬ ρ и f Gи ,⎪ ⎪⎭

(П 4.6)

где hвит .и - высота витка индуктора;

τ вит .и - шаг намотки витков. Для

уменьшения

потерь

в

индукторе

желательно

иметь

2 ∆ и ≥ 2 ,7 ∆ эи и ∆ и ≥ 1,35 ∆ эи .

Fпл = 1 , т.е.

5. Электрический КПД системы «индуктор – нагреваемое тело»

ηэ =

Pп 1 = . Pп + Pпи 1 + Pпи Pп

(

При больших частотах, когда r0 помощью выражения

η э пр =

(П 4.7)

)

2 ∆ э ≥ 7 , предельный КПД можно найти с

1 d 1+ и d 0 k зи

ρ и µ rи ρµ r

,

(П 4.8)

η э и cos ϕ уменьшаются с ростом зазора между деталью и индуктором и уменьшением k зи .

причем

При снижении ди и

ρ и µ rи ρµ r КПД растет (обычно индуктор выполняется из ме-

µ rи = 1 ).

70

Приложение 5 РАСЧЕТ НАГРЕВАТЕЛЬНОГО УСТРОЙСТВА СТАЛЬНОГО ЦИЛИНДРА [12, 13, 14]

На рис. П 5.1 показаны система «цилиндрический индуктор – стальной цилиндр» и ее электрическая схема замещения (б). Основные обозначения: l1 , l 2 - длины индуктора и заготовки; d 1 , d 2 - диаметры индуктора и заготовки; z m 2 - магнитное сопротивление стального цилиндра (заготовки); RmS и Rm 0 - магнитные сопротивления, соответствующие потокам рассеяния в зазоре между индуктором и металлом и вне системы; U& , I и напряжение питания и ток индуктора; w – число его витков. На схеме рис. П 5.1,б показаны соответствующие магнитным сопротивлениям рис. П 5.1,а электрические сопротивления, а также сопротивления R1 и X 1m обмотки индуктора.

Схема расчета [14] 1. Определяем глубину проникновения поля в индуктор и в сталь, м

∆ = 503 ρ µ f . 2. Задаемся размерами индуктора (внутренний радиус r1 и длина l1 ) и определяем активное и реактивное сопротивления пустого медного индуктора, Ом,

R1 = 1,75 ⋅ 10 −6

r1 f w 2 k R1 , l1

X 1 = 24 ,8 ⋅ 10 −8

fr12 w 2 , l1 + 0 ,9 r1

где k R1 - коэффициент, учитывающий увеличение сопротивления при малых толщинах стенки индуктора. 3. Определяем активное и реактивное сопротивления заготовки, Ом,

R2 = 8 ,6 X 2m

ρ 2 r2

,

∆ 2 l2 ρ r = 6 ,28 2 2 . ∆ 2 l2

71

4. Находим индуктивные сопротивления в зазоре X s и обратного замыкания магнитного потока X 0 , Ом,

X s = 24 ,8 ⋅ 10 X 0 = 24 ,8 ⋅ 10

−8

−8

r12 − r22 f , l2

r12 k X 1 f , l1 − l 2 k X 1

где с некоторым приближением

1

kX1 ≈

r 1 + 0 ,9 1 l1

.

Коэффициент приведения параметров

C=

X 02

R22

+ ( X 0 + X s + X 2m )

2

.

5. Сопротивления нагруженного индуктора, Ом,

R = R1 + w 2 CR2 ,

⎡ R22 + ( X s + X 2 m )2 ⎤ X = w C ⎢ X s + X 2m + ⎥, X 0 ⎣⎢ ⎦⎥ 2

Z = R2 + X 2 . 6. Электрический КПД

ηэ =

R − R1 . R

7. Коэффициент мощности

cos ϕ = R Z . 8. Активная и реактивная мощности индуктора, кВт и квар,

P= Q=

U2 2

Z U2 Z

2

R ⋅ 10 −3 , X ⋅ 10 −3 .

72

9. Ток индуктора, А,

Iи = U Z .

10. Число витков. Если число витков заранее неизвестно, то в расчете полагаем w = 1 и затем число витков находим по формуле

w=

U R′ , Z ′ P ⋅ 10 −3

где Z ′ и R ′ – сопротивления при w = 1 . При расчете глубины проникновения поля в сталь следует учитывать зависимости ее ρ и µ от температуры и напряженности магнитного поля Н [12]. Усредненная температурная зависимость удельного сопротивления (для ст.45) приведена ниже

t ,o C ....................

20

100

200

300

400

500

600

ρ ;10 −7 , Ом⋅м .....

1,89

2,38

3,12

3,99

5,04

6,26

7,7

µ

Магнитная проницаемость

o

стали является функцией Н и t , C , т.е.

а) для области сильных полей ( H > 4 ⋅ 10

3

А/м) усредненная зависимость

µ (H )

стали:

H ⋅ 10 3 , А/м .......

µ

.........................

H ⋅ 10 3 , А/м .......

µ

.........................

4

8

15,9

23,9

39,9

79,7

159,4

299

164

89,2

63,3

39,7

21,0

11,1

239,1

318,8

358,7

398,5

477

557

7,8

6,1

5,5

5,1

4,4

3,9

o

б) до t = 500 − 600 C падает до нием

µ

o

снижается с ростом t , C незначительно, а затем резко

( )

µ = 1 при точке Кюри ( ~ 770 o C ); зависимость µ t oC описывается выражеµ t = 1 + (µ 20 − 1)ϕ (t ) ,

µ 20 - относительная магнитная проницаемость стали при 20 o C для заданного значения Н; ϕ (t ) - функция, вводящая поправку на температуру и заданная графиком рис. П 5.2. где

73

Рис. 1. Система координат и направления векторов напряженностей ЭМП

РИС. 3. ДВУХСЛОЙНАЯ МЕТАЛЛИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА

74

Рис. 2. Распределение напряженности H m и плотности тока J m (а), относительных удельных сил F уд и давлений Pсж (в) в металлическом полупространстве и его единичный участок (б)

75

Рис. 4. Трехслойная структура

а

б Рис. 5. Векторы напряженностей и Пойнтинга для падающей, отраженной и преломленной волн ЭМП (а), а также схема отражения и преломления волн (б) 76

Рис. 6. Схема суперпозиции волн (а), а также зависимости относительных

удельных сил F уд и давлений Pсж (б) в металлическом слое

77

Рис. 7. Зависимости cos ϕ , удельных активной

χ

и реактивной

ξ

мощностей металлического слоя от его относительной толщины kd =

78

d

δ

= d∗

РИС. 8. СХЕМА СУПЕРПОЗИЦИИ ВОЛН ЭМП В МНОГОСЛОЙНОЙ СИСТЕМЕ

а

б Рис. 9. Четырехполюсник слоя (а) и его Т-образная схема замещения (б)

Рис. 10. Каскадное включение четырехполюсников

79

Рис. 11. Единичный участок слоя и его магнитное и электрическое сопротивления

РИС. 12. РАСЧЕТНАЯ ОБЛАСТЬ

80

Рис. 13. Полная (а) и упрощенная (б) схемы замещения расчетной области рис. 12

81

РИС. П 1.1. БЕГУЩАЯ ВОЛНА ПЛОТНОСТИ ТОКА ИНДУКТОРА

РИС. П 2.1. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ МНОГОСЛОЙНАЯ СТРУКТУРА

82

РИС П 2.2. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ СЛОЯМ РИС. П 3.1

83

Рис. П 3.1. Варианты одностороннего (а) распространения волны, а также двустороннего при симметрии (б) и антисимметрии (в) Н в слое

Рис. П 3.3. Зависимости от kd активной η , реактивной χ мощностей, а также cos ϕ , коэффициентов изменения активного и реактивного сопротивлений шины при переменном токе

Рис. П 3.2. Зависимости относительных активной ξ и реактивной ψ мощностей, а также cos ϕ от kd при симметрии Н в слое (пунктиром показаны кривые для ферромагнитного слоя)

84

Рис. П 4.1. Зависимости Fпл.ц , G пл .ц от относительной толщины пластины и относительного радиуса детали

85

а

б

Рис. П 5.1. Схема замещения (б) системы индуктор – металл (а) по методу расчета по магнитному потоку

Рис. П 5.2. Зависимость

ϕ

o

от температуры стали t ,C

86

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Л.: Энергоатомиздат, 1981. Т.1. 536 с. 2. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Л.: Энергоатомиздат, 1981. Т.2. 416 с. 3. Туровский Я. Техническая электродинамика. /Пер. с польск. М.: Энергия, 1974. 488 с. 4. Туровский Я. Электромагнитные расчеты элементов электрических машин /Пер. с польск. М.: Энергоатомиздат, 1986. 200 с. 5. Расчет электромагнитных полей в магнитопроводах. Методические указания и расчетно-графические работы по курсу «теоретические основы электротехники»/В.М.Валек, А.Л.Виницкий, А.А.Янко-Триницкий. Свердловск: УПИ, 1986. 40 с. 6. Болотов А.В., Шепель Г.А. Электротехнологические установки: Учеб. для вузов по спец. «Электроснабжение промпредприятий». М.: Высшая школа, 1988. 336 с. 7. Вайнберг А.М. Индукционные плавильные печи. М.: Энергия, 1967. 496 с. 8. Линейные асинхронные двигатели /О.Н.Веселовский, А.Ю.Коняев, Ф.Н.Сарапулов. М.:Энергоатомиздат, 1981. 256 с. 9. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. 544 с. 10. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков /Пер. с англ. М.:Мир, 1986. 229 с. 11. Электротехнологические промышленные установки: Учебное пособие. /Под ред. А.Д.Свенчанского. М.: Энергоатомиздат, 1982. 398 с. 12. Кувалдин А.Б. Индукционный нагрев магнитной стали на промышленной частоте//Итоги науки и техники. Электротехнология. 1976. Т.2. М., 82 с. 13. Слухоцкий А.Е., Рыскин С.Е. Индукторы для индукционного нагрева. Л.:Энергия, 1974. 280 с. 14. Шамов А.Н., Бодажков В.А. Проектирование и эксплуатация высокочастотных установок. Л.: Машиностроение, 1974. 280 с. 15. Круминь Ю.К. Основы теории и расчета устройств с бегущим магнитным полем. Рига: Зинатне, 1983. 278 с.

87

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.

ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................... ПЛОСКАЯ ВОЛНА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ................................. 1.1. Волна в проводящем полупространстве ( ε

= 0 ) ................................... 1.2. Волна в диэлектрическом полупространстве (γ = 0 ) ........................ 1.3. Волна в полупроводниковой среде ( γ ≠ 0 , ε ≠ 0 ) .............................. 2.

3 5 9 10

НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В МНОГОСЛОЙНОЙ СИСТЕМЕ ..................................................................................

12

2.1. Двухслойное проводящее полупространство ...........................................

12 14

2.2. ТРЕХСЛОЙНАЯ СИСТЕМА) ........... ...................................................................... 3.

3

ВОЛНОВОЙ МЕТОД РАСЧЕТА [1, 2, 3] ....................................................................

3.1. Общие положения .........................................................................................

15

15

3.2. Применение волнового метода для трехслойной структуры ............... 17

4. 5.

6.

3.3. СИСТЕМА С ПРОИЗВОЛЬНЫМ КОЛИЧЕСТВОМ СЛОЕВ ..........................................

23

МЕТОД Е-Н-ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ [8] .................................................

23

ФОРМУЛЯР РАСЧЕТА МОЩНОСТЕЙ МЕТОДОМ Е-Н-ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ .......................................................................

31

ПРИМЕР РАСЧЕТА ............................................................................................

36

Приложение 1. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА БЕГУЩЕГО МАГНИТНОГО

42

ПОЛЯ В МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛОСКОЙ СТРУКТУРЕ ........ П 1.1. Случай неподвижных слоев структуры ........................................

88

42

П 1.2. Случай движущихся слоев ............................................................. П 1.3. Аналитические выражения для основных величин [15] ............ П 1.3.1. Выражения для индукций и напряженностей [15] ...... П 1.3.2. Особенности магнитного поля в проводящем слое при двустороннем индукторе [15] ........................................ П 1.3.3. Выражения для мощностей и усилий в металлическом полупространстве ............................................................. П 1.3.4. Выражения для усилий, действующих на слой толщиной d [15] ............................................................... П 1.3.5. Усилия для слоя в двустороннем индукторе ................. П 1.3.6. Учет ослабления поля в зазоре между индуктором и проводящим слоем ....................................................... П 1.3.7. Особенности расчета при малом зазоре

44

46

47 48 50 53 54 55

δ ⎞ ⎛ ⎜ d = << τ ⎟ ................................................................. 56 2 ⎠ ⎝

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА УСТРОЙСТВА 57 В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ ................................................ П 2.1. Расчет параметров четырехполюсников и напряженностей на их зажимах .......................................................................................

57

П 2.2. Аналитические выражения для основных величин

в трехслойной системе [15] ..........................................................

59 64

Приложение 3. ДВУСТОРОННЕЕ ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ [4] ...... П 3.1. Базовый случай одностороннего падения волны ......................... 64 П 3.2. Случай 2 (симметрия H mS 1 и H mS 2 ) – сердечник .................... 65 П 3.3. Случай 3 (антисимметрия H mS 1 и H mS 2 ) – шина ..................... 66

Приложение 4. РАСЧЕТ МОЩНОСТЕЙ ПРИ ИНДУКЦИОННОМ

69

НАГРЕВЕ НА ОСНОВЕ [11] ......................................................

Приложение 5. РАСЧЕТ НАГРЕВАТЕЛЬНОГО УСТРОЙ89

71

СТВА СТАЛЬНОГО ЦИЛИНДРА [12, 13, 14] .....................................

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ............................................................

90

87

Федор Никитич Сарапулов

РАСЧЕТ МОЩНОСТЕЙ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИЛ В УСТАНОВКАХ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА

Редактор издательства - И.Г.Южакова Компьютерный набор - Л.С.Гробова

ЛР № 0203/5 от 23.12.96 г.

Подписано в печать 03.07.98 Формат 60 х 841/8 Бумага типогр. Уч.-изд.л. 5,0

Офсетная печать Тираж 100

Заказ 66

Издательство УГТУ

620002, г.Екатеринбург, ул.Мира, 19.

ЗАО УМЦ УПИ 620002, г.Екатеринбург, ул.Мира, 17.

Усл.п.и.л. 5,23 Цена «С»