Министерство общего и профессионального образования РФ Уральский государственный технический университет
Ф.Н.Сарапулов
...
10 downloads
268 Views
1MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Министерство общего и профессионального образования РФ Уральский государственный технический университет
Ф.Н.Сарапулов
РАСЧЕТ МОЩНОСТЕЙ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИЛ В УСТАНОВКАХ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА
Учебное пособие
Екатеринбург 1998
ББК 31.27 С 44 УДК 621.313.333 Рецензенты: кафедра общей электротехники Уральской государственной горно-геологической академии (зав. кафедрой д-р техн. наук Г.С.Хронусов), д-р техн. наук В.П.Рубцов Автор: Ф.Н.Сарапулов С 44 РАСЧЕТ МОЩНОСТЕЙ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИЛ В УСТАНОВКАХ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА: Учебное пособие / Ф.Н.Сарапулов. Екатеринбург: УГТУ, 1998. 89 с. ISBN 5-230-06525-7
Учебное пособие содержит описание наиболее распространенных аналитических методов расчета электромагнитных полей, мощностей и электромагнитных сил в многослойных структурах, к которым относятся, как правило, установки индукционного нагрева. Предлагается простой алгоритм решения данной задачи на основе теории цепей, позволяющий синтезировать схему замещения устройства в виде каскадного соединения в общем случае нелинейных пассивных и активных Е-Н-четырехполюсников. Указания предназначены для студентов всех форм обучения специальности 180500 - Электротехнологические установки и системы. Библиогр. 15 назв. Табл. 3. Рис. 22.
C
2302040000 − 66 Без объявл. 7M2(03)
© Уральский государственный технический университет, 1998 2
ВВЕДЕНИЕ В учебном пособии приводится описание аналитических методов расчета электромагнитного поля и мощностей в элементах устройств индукционного нагрева объектов и сред. Следует отметить, что в инженерной практике (см., например, прил. 4) обычно используются упрощенные методики определения потерь в объектах термообработки на основе идеализированных графических зависимостей и эмпирических коэффициентов. В ряде случаев это может привести к чрезмерно большим погрешностям в результате расчета. К тому же при использовании такого подхода зачастую теряется физическое понимание процессов, происходящих в установках технологического нагрева, и путей эффективного влияния на их развитие. Вместе с тем современный уровень компьютерной вооруженности специалиста позволяет ему решать электромагнитные и тепловые задачи в более общей постановке, используя методики разных уровней сложности, точности и трудоемкости. Ниже рассматривается решение задачи проникновения электромагнитной волны в многослойную среду с различными свойствами и размерами слоев. Легко показать, что к такой структуре сводится любое устройство индукционного нагрева. На первых шагах задача решается в прямоугольной системе координат. Для многих практических установок это вполне допустимо, в других случаях выбирается иная система координат, наиболее соответствующая топологии устройства [4, 5, 7]. В качестве примера в прил. 2 показано решение задачи в цилиндрической системе координат.
1. ПЛОСКАЯ ВОЛНА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В основу анализа положены следующие допущения: - Рассматривается плоская волна электромагнитного поля (ЭМП) в многослойной структуре, состоящей из чередующихся проводящих (полупроводящих) и диэлектрических слоев бесконечной протяженности. Свойства материалов принимаются одинаковыми в пределах каждого слоя. Изменение магнитной проницаемости µ и удельной электрической проводимости γ при насыщении и нагреве металла учитывается введением эквивалентных µ и γ слоя. Точность такого эквивалентирования может быть повышена более подробным разбиением среды на слои. - Магнитодвижущая сила индуктора задается или в виде бесконечно тонкого токового слоя с одинаковой линейной нагрузкой на поверхности многослойной структуры, или равномерно распределенной плотностью тока в зоне индуктора с конечной шириной. Оценка влияния конечных размеров установки на результаты расчета производится в дальнейшем на основе более сложных численных моделей и здесь не рассматривается. Как известно [1, 2, 3] , при отсутствии свободных зарядов ( diV D = 0 ) уравнение в частных производных для вектора напряженности электрического поля линейной cреды записывается [3]
3
E
изотропной и
∂E ∂ 2E , ∇ E = µγ + µε ∂t ∂ t2 2
(1)
где µ , γ , ε - магнитная проницаемость, удельная электрическая проводимость и диэлектрическая проницаемость cреды;
∂2 ∂2 ∂2 - оператор Лапласа в прямоугольных координатах. ∇ = + + ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 2
Для синусоидально изменяющегося во времени ЭМП
E& m = E& m e j(ω t +ψ E ) ,
(2)
где E& m , ψ E - комплексная амплитуда и начальная фаза напряженности Е. С учетом (2) уравнение (1) для i-го слоя среды принимает вид
∇ 2 E& mi = Г i2 E& mi ,
(3)
где
Г i = jωµ i (γ i + jωε i ) =
υi =
1
µ iε i 2
Для плоской волны (рис. 1) ∇ =
jα i2
ω2 − 2 υi
.
(4)
α i2 = ωµiγ i .
,
∂2 и вектор E имеет лишь одну проекцию ∂ z2
E& mx = E& m . Тогда уравнение (3) записывается d 2 E& mi dz 2
= Г i2 E& mi .
(5)
Напряженность магнитного поля (МП) и плотность тока, согласно уравнениям Максвелла [1, 2, 3], связаны с E& mi соотношениями:
4
∂ E& mi ∂ H& mi = −µ ∂ z ∂t
и J& mi = γE& mi .
Решение (5) согласно [1, 2, 3]
E& mi = Ai e Г i z + Bi e − Г i z , Гi 1 dE& mi H& mi = − = jωµ i dz jωµ i
−Г iz Гiz ⎛ ⎜⎜ Ai e − Bi e ⎝
⎫ ⎪ ⎞⎬ ⎟⎟.⎪ ⎠⎭
(6)
1.1. Волна в проводящем полупространстве ( ε = 0 ) На границе полупространства задана напряженность МП H& ms , равная линейной & = wI& l , нагрузке индуктора - полному току на единицу длины по координате у: A И И И где w , I&И , l И - число витков, ток и длина индуктора по у. При
z→∞
ЭМП затухает, т.е. H m → 0 , и из (6) получаем
(риc.2,а)
H& m = H& ms e − Г z , E& m = E& ms e − Г z , J& m = J& ms e − Г z , где E& ms =
(7)
jωµ & H ms , J& ms = α H& ms - напряженность и плотность тока на границе по-
α
лупространства;
Г = α = jωµγ = ( 1 + j)k ,
k = ωµγ 2 = 1 δ , так как для проводящей среды
ωε → 0 , например для меди γ 10 −9 ε = ≈ 0. γ 4π ⋅ 9 ⋅ 58 ⋅ 106
В мгновенных значениях напряженности магнитного Н и электрического из (7) записываются в виде
5
Е полей
H = H ms e −kz sin (ω t + ψ S − kz ) ,
⎫ ⎪ ⎬ ωµ π ⎛ ⎞ E= H ms e −kz sin⎜ ω t + ψ S − kz + ⎟ .⎪ 4⎠ ⎭ γ ⎝
Из (8) следует, что волна
стью
υM
(8)
Н перемещается в направлении координаты z со скоро-
υM =
ω k
(9)
= 2ω µγ .
Действительно, если в (8) подставить z = υ M ⋅ t , то фаза синусоиды записывается так: ω t + ψ S − kz = ω t + ψ S − ω t = ψ S = const , т.е. значение H ms sinψ S синусоиды (как и ее амплитуды) с течением времени t оказывается на расстоянии z = − kz
ω k
t от
поверхности полупространства, затухнув в e раз. Длина волны при этом λM = 2π k , а коэффициент затухания ее амплитуды равен k. Величину
δ = 2 ωµγ
называют эквивалентной глубиной проникновения
ЭМП в металлическое полупространство, так как можно считать, что в слое такой толщины плотность тока постоянна и равна o J& J& 1∞& & J э = ∫ J ms e −α z dz = (1 − j ) ms = ms e − j45 , δ0 2 2
(10)
1 & | J ms | . Интеграл в этом выражении означает полный ток полупро2 странства, приходящийся на единицу длины по координате у, или линейную нагрузку
а ее модуль | J& э |= среды
A& = jэ ⋅ δ = I&m . Единичное электрическое сопротивление металлического полупространства (в расчете на единицу длины по осям х и у, рис. 2, б) для тока I&m (линейной нагрузки)
E& jωµ α 1 + j (1 + j ) ωµ . = = = Z (1) = R(1) + jX (1) = ms = γ γδ γ H& ms Г 2
6
(11)
Это сопротивление одновременно представляет собой волновое сопротивление среды
z c = Z Mem
π E& m α ωµ j 4 = = = e = Z (1) . H& m γ γ
Например, для меди при частоте
f = 50 Гц имеем | Z Cu |= 2 ,7 ⋅ 10 −6
(12)
Ом, для
µ > 1200 µ o имеем | Z Fe |> 100 | Z Cu | . Если учесть непостоянство µ стали и ap aq потери на гистерезис, то R(1) = и X (1) = , где a p = 1,4 ; a q = 0 ,85 [3, 4] . γδ γδ
стали с
Магнитный поток на единицу длины по координате
х
∞ µ Ф& m(1) = ∫ µ H& ms e −α z = H& ms = (1 − j )
α
0
µ & H ms . 2ωγ
(13)
Комплексное единичное магнитное сопротивление (в расчете на единицу длины & m(1) по осям х и у) для потока Ф
(14)
где R(1)M - магнитное сопротивление материала в обычном понимании; X (1)M соответствует потерям на вихревые токи в металле. 2 Вектор Пойнтинга для удельной (на 1 м ) мощности внутри металла
| H ms |2 − 2 k z 1⎛ & ∗ ⎞ . S z (1) = ⎜ E m H m ⎟ = Z (1) e 2 2⎝ ⎠
(15)
При z = 0 вектор представляет собой удельную полную мощность, поступающую в полупространство через единицу поверхности,
7
(через параметры
(через параметры
электрической цепи)
(16)
магнитной цепи)
2 Активная удельная мощность, Вт/м , поступающая в полупространство, в общем
случае
P(1) = a p
ωµ H m2 s 1 2 (J m Z (1)M ) , ⋅ = a pω Фm(1) 2γ 2 2
(17)
где a p ≈ 1 для немагнитного и a p ≈ 1,4 для ферромагнитного материала [3]. Реактивная мощность соответственно
Q(1) = a q
ωµ H m2 S 2 (Re Z (1)M ) , ⋅ = a qω Ф M(1) 2γ 2
(18)
где a q = 1 для немагнитного и a q ≈ 0 , 85 для ферромагнитного материала. Мгновенное значение удельного усилия по оси z вычисляется как сила Ампера, действующая в данный момент времени на ток выделенного из металла провода единичного сечения и единичной длины, расположенного на расстоянии z от поверхности, ∗ ⎞⎛ ∗⎞ 1⎛ f ( z ,t ) = j(t , z )B (t , z ) = Re J& Re B& = ⎜ J& + J ⎟⎜ B& + B ⎟ , 4⎝ ⎠⎝ ⎠
jψ jω t − kz − jkz где J& = γE& = γE ms e E e e e ;
B& = µH ms e jψ H e jω t e − kz e − jkz .
8
Выполнив некоторые преобразования в выражении для усилия, получаем
[(
) (
1 f ( z ,t ) = γµE ms H ms e − 2 kz e j(ψ E −ψ H ) + e − j(ψ E −ψ H ) + e j(2ω t − 2 kz +ψ E +ψ H ) + 4 ∗ ⎞ ⎤ 1 ⎡ ⎛ + e − j(2ω t − 2 kz +ψ E +ψ H ) = γµ ⎢ Re⎜ E& m H m ⎟ + Re(E& m H& m )⎥ = 2 ⎣ ⎝ (15а) ⎠ ⎦
)]
1 = γµE ms H ms e − 2 kz [cos (ψ E − ψ H ) + cos (2ω t − 2kz + ψ E + ψ H )] = 2 = F уд ( z ) + F уд ( z ,t ). Первое слагаемое (15а) дает среднее за период усилие, а второе – переменную составляющую, пульсирующую с двойной частотой во времени. С другой стороны, из (15) имеем принимает вид
1 ⎛& ∗ ⎞ Re⎜ E m H m ⎟ = Pz (1) , и среднее усилие в (15а) 2 ⎝ ⎠
F уд ( z ) = γµPz (1) = γµP(1)e − 2 z δ = F уд e − 2 z δ ,
(15б)
т.е. среднее усилие в точке z отличается от входной удельной активной мощности в этой точке PZ (1) в (µγ ) раз. Полное удельное усилие (сжимающее металл давление) в точке z получается интегрированием удельного усилия от z=0 до z. Например, для среднего за период давления
Pсж ( z ) =
µγP(1) =
)
(15в)
δ
F уд – максимальное давление в металле (при z > 2 ,5δ ), 2 2 = γµP(1) - максимальное усилие (на поверхности полупространства).
где Pсжm =
F уд
δ
(
1 z ⎛& ∗ ⎞ µγ ∫ Re⎜ E m H m ⎟dz = − Pсжm 1 − e − 2 z δ , 2 0 ⎝ ⎠
На рис. 2,в показаны зависимости F уд ( z ) F уд и Pсж ( z ) Pсжm от координаты z (см. также [7]).
1.2. Волна в диэлектрическом полупространстве (γ = 0 ) В этом случае Г = jω
где
υ=
1
µε
µε = jω υ ,
- скорость распространения волны в диэлектрике, например для воз-
духа 9
υ=
1
µ oε o
=c=
1 4π ⋅ 10
−7
⋅ 8 ,854 ⋅ 10
= 3 ⋅ 10 8 м/с .
− 12
Напряженности магнитного и электрического полей
⎫ , ⎪⎪ ⎬ ω −j z ⎪ = µυH& ms e υ ,⎪⎭
H& m = H& ms e E& m или в “волновой” записи
ω υ
−j z
ω ⎛ H = H& ms sin⎜ ω t + ψ S − υ ⎝
(19)
⎞ z⎟. ⎠
(19 a)
Волновое сопротивление диэлектрика
Z (1) = Z Д =
E& m = µυ = H& m
µ ε.
Для воздуха Z в = µo ε o = 377 Ом, для трансформаторного масла Z мac = 243 Ом. Длина волны в воздухе при f= 50 Гц составляет λ = c f = 6000 км. Как видно, в идеальном диэлектрике волна не затухает при движении по координате z.
1.3. Волна в полупроводниковой среде ( γ ≠ 0 , ε ≠ 0 )
В этом случае где k =
γ ⎞ ⎛ Г = jk = jω µε ⎜ 1 − j ⎟ = jω ε µ , ωε ⎠ ⎝
β − jα ,
ω β= 2υ
ε =ε− j
γ ω
γ2 ω 1+ 2 2 +1 , α = 2υ ε ω
γ2 1+ 2 2 −1 , ε ω
- так называемая комплексная диэлектрическая проницаемость.
10
Выражения (19) для напряженностей ЭМП принимают вид
⎫ H& m = H& ms e − jk z , ⎪ & m H& ms − jk z ⎬ H E& m = e ,⎪ = Z (1) Z (1) ⎭ где
(20)
Z (1) = µ ε = ξ e jψ ,
1
ψ = arctg (α β ) , ξ = µυ 4
1+
2
γ ε 2ω 2
,
или в “волновой” записи
H = H ms e −α z sin(ω t +ψ S − β z ) , ⎫ ⎪ ⎬. H ms − α z E= e sin(ω t +ψ S − β z − ψ ).⎪ ς ⎭
(20а)
Как видно, волны затухают при движении по координате z. При
γ =0
(нет токов проводимости) получаем случай 2.
При
ε =0
(нет токов смещения) получаем случай 1.
Комплексная диэлектрическая проницаемость вводится также в случае [1, 2], если имеются потери энергии при изменении поляризации диэлектрика
ε= где
D& = ε e − jδ д , & E
δ д называют углом диэлектрических потерь.
Введение комплексной ε позволяет исследовать диэлектрический нагрев среды с помощью рассматриваемых далее методов расчета.
11
Следует отметить также, что для учета потерь на магнитный гистерезис вводят комплексную магнитную проницаемость
µ = B& H& .
2. непосредственный метод расчета электромагнитного поля в многослойной системе
2.1. ДВУХСЛОЙНОЕ ПРОВОДЯЩЕЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО В этом случае рассмотренное в п.1.1 полупространство, обладающее свойствами µ 2 , γ 2 , покрыто проводящим слоем металла толщиной d с другими свойствами µ1 , γ 1 . В соответствии с (6) решения для напряженностей электромагнитного поля в слоях записываются
(
1 H& m1 = − A1eα 1z − B1e −α 1z z c1 H& m 2 = −
1 z c2
(A e 2
α 2z
− B2 e
)
−α 2 z
)
⎫ при 0 < z < d ,⎪ ⎪ ⎬ при z>d⎪ ⎪⎭
(21)
и
E& m1 = A1eα 1z + B1e −α 1z , ⎫⎪ ⎬ E& m 2 = A2 eα 2 z + B2 e −α 2 z ,⎪⎭ где
α 1 = (1 + j) k1 = Г 1 ; α 2 = (1 + j) k 2 = Г 2 ; z c1,2 = k1 =
1
δ1
(21а)
jω µ 1,2 Г 1,2
;
= ωµ1γ 1 2 ; k 2 = ωµ 2γ 2 2 .
Граничные условия на границах слоев сводятся к следующим соотношениям тангенциальных составляющих напряженностей [1, 2, 3]:
H 1t = H 2t , E1t = E 2 t . Кроме того, A2 = 0 , так как ЭМП затухает в слое 2 при z → ∞ . Из (21) при z = 0 и z = d с учетом (22) можно записать [3] 12
(22)
A1 + B1 = E& ms1 , B1 µ 1k 2 + µ 2 k 1 2α 1d z c 2 + z c1 2α 1d 1 ⋅e = ⋅ e 2α 1d , = ⋅e = M 12 z c 2 − z c1 A1 µ 2 k1 − µ 1k 2
z − z c1 где M 12 = c 2 . z c 2 + z c1
Принимаем, что при z = 0
⎞ ⎞ A1 ⎛ e 2α 1 d 1 ⎛ B1 & ⎟, ⎜ ⎜ ⎟ ( ) H m1 0 = H ms1 = A1 − 1 1 = − ⎟ z ⎜ M ⎟ z c1 ⎜⎝ A1 c1 ⎝ 12 ⎠ ⎠ z c1 H ms откуда A1 = . ⎞ ⎛ e 2α 1d ⎜ − 1⎟ ⎟ ⎜ M ⎠ ⎝ 12 В результате из (21)
(
⎛ α z e 2α 1d −α z ⎞ eα 1 (d − z ) − M 12 e −α 1 (d − z ) H m1 1 ⎜e 1 − =− e 1 ⎟= α 2 d ⎜ ⎟ 1 H ms1 M 12 ⎛e ⎞⎝ eα 1d − M 12 e −α 1d ⎠ ⎜ − 1⎟ ⎜ M ⎟ ⎝ 12 ⎠
)
. (21б)
Единичное электрическое сопротивление двухслойного проводника
E& ms1 Z (1) = H& ms1
При
d
δ1
z µ 2 k1 thα 1d + c 2 chα 1d z c1 µ 1k 2 jωµ 1 A1 + B1 α 1 . (23) = = = z c1 z c2 α 1 B1 − A1 γ 1 chα d + µ 2 k1 shα d thα 1d + 1 1 1 z c1 µ 1k 2 shα 1d +
>> 1 (толщина верхнего слоя превышает глубину проникновения) выра-
жение (23) превращается в (12) для однослойного проводника Z (1)c = α 1 рами среды γ 1 , µ1 . Отношение сопротивлений двухслойного (23) и однослойного с
µ 2γ 1 chα 1d Z (1) µ 1γ 2 . водников записывается как = Z (1)1c µ 2γ 1 chα 1d + shα 1d µ 1γ 2 shα 1d +
13
γ 1 с парамет-
γ 1 , µ1 (11) про-
Если однослойный проводник имеет γ 2 , µ 2 , то отношение сопротивлений
Z (1) Z (1)1c
=
α 1 γ 2 shα 1d + γ 1 µ 2 γ 2 µ 1 chα 1d . ⋅ ⋅ α 2 γ 1 chα 1d + γ 1 µ 2 γ 2 µ 1 shα 1d
Расчет мощностей производится по (16) с учетом (23).
2.2. ТРЕХСЛОЙНАЯ СИСТЕМА Рассматриваем систему рис.4, в которой среда 1 и 3 - диэлектрик (например, воздух), 2 и 4 - металлы с разными свойствами. Решение для напряженностей поля записывается согласно (6). Из граничных условий на границах I, II, III и при z → ∞ с учетом (22) получаем A4 = 0 , а также
E& m 2 = A2 + B2 = E& ms , H& m 2
⎫ ⎪ справедливо при z = 0 , α2 ( A2 − B2 ) = H& ms ,⎬⎪ = jωµ 2 ⎭
E& m 2 = E& m 3 и H& m 2 = H& m 3 ,
справедливо при z = d , т.е.
A2 eα 2d + B2 e −α 2d = A3 e Г 3d + B3 e − Г 3d ,
)
(
(24)
(
α2 Г A2 eα 2d − B2 e −α 2d = 3 A3 e Г 3d − B3 e − Г 3d µ2 µ3
⎫ ⎪ ⎬ ,⎪ ⎭
)
(25)
при z = d + a справедливо E& m 3 = E& m 4 и H& m 3 = H& m 4 , т.е.
A3 e Г 3 (d + a ) + B3 e − Г 3 (d + a ) = B4 e −α 4 (d + a ) , −
Г3
µ3
⎫ ⎪ ⎬ α A3 e Г 3 (d + a ) − B3 e − Г 3 (d + a ) = 4 B4 e −α 4 (d + a ) .⎪ µ4 ⎭
)
(
После решения (24), (25), (26) находим постоянные
A2 =
jωµ 2 H& ms , α 2 (1 − B2 A2 )
14
(27)
B2 Cα 2 − µ 2 2α 2 d = e , A2 Cα 2 + µ 2
где
[ ( ) ( )] C= )− µ α (1 + e )] Г [µ Г (1 − e µ3 µ4 Г 3 1 + e 2 Г 3 a − µ3α 4 1 − e 2 Г 3 a 3
4
3
2Г 3 a
3
4
2Г 3 a
B3 µ 3 α 4 + µ 4 Г 3 2 Г 3 (d + a ) e , = A3 µ 4 Г 3 − µ 3 α 4 B2 − 2α 2d e A 2 A3 = A2 e (α 2 − Г 3 )d , B3 − 2 Г 3 d 1+ e A3 1+
B4 = A3 e
( Г 3 +α 4 )(d + a ) ⎡ B3 − 2 Г 3 (d + a ) ⎤ ⎢1 + A e ⎥. 3 ⎣ ⎦
⎫ ,⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
(28)
Входная удельная мощность определяется аналогично (15) при z = 0 с учетом (24)
S (1) = P(1) + jQ(1) =
∗ ⎞ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎞ γ ⎛ 1⎛ & ⎜ E ms ⋅ H ms ⎟ = 2∗ ⎜ A& 2 A2 − A& 2 B2 + B& 2 A2 − B& 2 B2 ⎟ . (29) 2⎝ ⎠ 2α ⎝ ⎠ 2
3. ВОЛНОВОЙ МЕТОД РАСЧЕТА [1, 2, 3]
3.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Этот метод использует представление решений для Н и Е слоя в виде сумм падающих, отраженных и преломленных волн (рис.5,а), что следует из (6). Действительно, в пространстве 1 (рис. 5,б), согласно (6), существуют падающая волна
E пад = E p1 ( z ) = B1e jω t e − Г 1z , движущаяся вправо (в направлении оси z) со скоро-
стью
ω k1 , а также встречная волна E omp = E01 (z ) = A1 e jω t e Г 1z , движущаяся с такой
же скоростью в обратном направлении и называемая отраженной. Отраженная волна связана с падающей коэффициентом отражения M omp , т.е. E& omp = M omp E& naд ,
H& omp = − M omp H& naд . Падающая волна частично проникает в пространство 2 с коэффи-
15
циентом преломления N np и называется преломленной или проникающей [2, 3]
E& np = N npE E& naд , H& np = N npH H& naд . Из граничных условий (22) можно записать для тангенциальных составляющих напряженностей ЭМП при z = 0 :
E& naд + E& omp = E& np , ⎫⎪ ⎬ H& naд + H& omp = H& np ⎪⎭ или
E& naд + M omp E& naд = E& np , ⎫⎪ ⎬. H& naд − M omp H& naд = H& np ,⎪⎭
(30)
Комплексные амплитуды напряженностей падающих и преломленных волн каждого слоя связаны волновым сопротивлением слоя (12), т.е. для первого и второго слоев
z c1 = Z (1)1 = E& m1 z = Z ( ) = E& m 2 c2
12
H& m1 = E& m naд H& m naд = jωµ1 Г 1 ,⎫⎪ ⎬ H& m 2 = E& m np H& m np = jωµ 2 Г 2 . ⎪⎭
(31)
Далее индекс (1) единичного сопротивления опускаем. После деления уравнений в (30) с учетом (31) получаем
1 + М 12 z c1 = z c 2 , 1 − М 12 где коэффициент отражения волны в среде 1 от границы 12 (z = 0)
M 12
E& omp H& omp z c 2 − z c1 = =− = , E& naд H& naд z c 2 + z c1
(32)
а затем
⎫ E& np 2z c2 N 12 = , ⎪ = 1 + M 12 = E& naд z c 2 + z c1 ⎪ ⎬ H& np 2 z c1 ⎪ N 12 H = = 1 − M 12 = . H& naд z c 2 + z c1 ⎪⎭
16
(33)
3.2. ПРИМЕНЕНИЕ ВОЛНОВОГО МЕТОДА ДЛЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ СТРУКТУРЫ В действительности имеет место многократное отражение волны от обеих границ слоя, в результате чего напряженности (6) ЭМП получаются суммированием бесконечного количества волн, двигающихся по оси z в прямом и встречном направлениях. В среде 1 (рис. 5,б , z < 0) −Г z Сумма первичной падающей волны E& mp 1 = E& msp e 1 ,
Г z Г z отраженной волны E& mo1 = E& mp 1( z =0 ) ⋅ M 12 e 1 = E& msp ⋅ M 12 ⋅ e 1 , бесконечного ряда волн, обусловленных внутренним отражением в среде 2 и сводящихся
к E msp N 12 M 23 N 21 σ e
−2 Г 2 d Г 1 z e ,
дает [3, 4]
[
]
E& m1 (z ) = E& msp e − Г 1z + M 12 e Г 1z + N 12 M 23 N 21σ e −2 Г 2d e Г 1z , где
σ=
1 1 − M 23 M 21e − 2 Г 2d
(34)
- коэффициент, полученный при суммировании бесконеч-
ного ряда отраженных волн;
N 12 = 1 + M 12 = M 21 =
z c1 − z c 2 z c1 + z c 2
2 z c2 z c1 ; ; N 21 = 2 z c1 + z c 2 z c1 + z c 2 z − z c2 - коэффициенты преломления и отражения на ; M 23 = c 3 z c3 + z c 2
границах соответствующих слоев, приведенные в верхней части рис. 5,б. Там же показана схема отражения, преломления и суперпозиции волн. В среде 2 (0
σ e − Г 2z ,
- влево E& msp N 12 M 23 т.е.
σ e − Г 2 d e − Г 2 (d − z ) ,
[ [
] ]
⎫ E& mz (z ) = E& msσ e − Г 2 z + M 23 e − Г 2d e − Г 2 (d − z ) ,⎪ ⎬ ( ) − Г z − Г d − Г d − z H& mz (z ) = H& msσ e 2 − M 23 e 2 e 2 ,⎪⎭ где E& ms = E& msp N 12 , H& ms =
γ2 & E . α 2 ms
17
(35)
Напряженности магнитного поля на “входной” (z = 0) и “выходной” (z волны сторонах слоя 12 и 23 из (35) выражаются в виде
H& m 2 (0 ) = H& m 2 (d ) =
1 − M 23 e − 2 Г 2 d
1 - M 23 M 21e − 2 Г 2 d 1 − M 23
= d) для
H& ms ,
e Г 2 d - M 23 M 21e − 2 Г 2 d
H& ms = H m 2 (0 )
1 − M 23
e − 2 Г 2 − M 23 M 21e − 2 Г 2 d
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ .⎪ ⎪ ⎭
(36) После подстановки M 21 и M 23 в (35) получаем
H& m 2 ( z ) = H& ms
⎛ z c2 ⎞ z c 3 sh Г 2 (d − z ) + z c 2 ch Г 2 (d − z ) ⎜⎜1 + ⎟⎟ , (37) z ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ z z z c1 ⎠ z c 3 ⎜⎜ 1 + c 2 ⋅ c 2 ⎟⎟ sh Г 2 d + z c 2 ⎜⎜ 1 + c 3 ⎟⎟ch Г 2 d ⎝ z c 3 z c1 ⎠ z c1 ⎠ ⎝ ⎝
или
H& m 2 ( z ) = H& ms
z c2 ch Г 2 (d − z ) ⎛ z c2 ⎞ z c3 ⎜⎜1 + ⎟ z c1 ⎟⎠ z c3 ⎞ z c2 ⎛ z c2 ⎞ ⎝ ⎟ sh Г 2 d + ⎜1 + ⎟ch Г 2 d ⋅ z c1 ⎟⎠ z c 3 ⎜⎝ z c1 ⎟⎠
sh Г 2 (d − z ) + ⎛ z ⎜⎜ 1 + c 2 z c3 ⎝
(37а) Коэффициент ослабления волны при прохождении ее через слой 2 на основании (36) и (37а)
H& m 2 (d ) 1 − M 23 1 = Г d = . (38) d − Г z c3 H& m 2 (0 ) e 2 − M 23 e 2 sh Г 2 d + ch Г 2 d z c2 d Поскольку для металла Г 2 = (1 + j )k 2 и Г 2 d = (1 + j ) = (1 + j ) d ∗ , то с учетом [9] k oc =
δ2
sh Г 2 d = sh d ∗ cos d ∗ + jch d ∗ sin d ∗ и ch Г 2 d = ch d ∗ cos d ∗ + jsh d ∗ sin d ∗ получаем
k oc =
где d ∗ = d
1 z c3 (sh d∗ cos d∗ + jch d∗ sin d∗ ) + (ch d∗ cos d∗ + jsh d∗ sin d∗ ) zc2
δ 2 = dk 2 - отношение толщины слоя к глубине проникновения ЭМП.
18
,
При z c1 >> z с 2 , z c 3 >> z a (например, слои 1 и 3 заполнены диэлектриком, а 2 - металлом) и z 2 = α 2 γ 2 имеем M 23 = M 21 = 1 . Тогда из (35), (37а) для напряженности магнитного поля и плотности тока в слое 2 получаем
shα 2 (d − z ) H& m 2 ( z ) = H& ms , shα 2 d J& m 2 ( z ) = γ 2 E& m 2 ( z ) = α 2 H& ms
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ chα 2 (d − z ) ⎪ . ⎪⎭ shα 2 d
(39)
В этом случае напряженность и плотность тока на поверхности 1 - 2 слоя 2 (z = 0)
H& m 2 (0 ) = H& ms , J& m 2 (0 ) = α 2 H& ms cthα 2 d = γ 2 E& m 2 (0 ) , а на поверхности 2 - 3 (z = d) соответственно
H& m 2 (d ) = 0 , J& m 2 (d ) = α 2 H& ms shα 2 d .
& полностью затухает в слое. СлеПри этом k oc оказывается равным 0, т.е. волна H дует отметить также, что в (35) H& ms является напряженностью магнитного поля на поверхности слоя в случае его бесконечно большой толщины d, что видно из (36) при d → ∞ . С большой точностью, однако, она равна напряженности поля на поверхности слоя и в случае его ограниченной толщины [3]. Схема отражения и наложения волн ЭМП показана на рис. 6. При этом магнитное поле Н отражается от границы с противоположным знаком, а электрическое Е - с совпадающим [3]. Распределение плотности активной мощности (в единице объема, Вт/м3) в слое [3]
w2 ( z ) =
1 2γ 2
J& m ( z )
2
ϕ 1 ωµ 2 H& ms = d 2γ 2 2
2
,
ch 2k 2 (d − z ) + cos 2k 2 (d − z ) , поскольку из (39) с учетом ch 2k 2 d − cos 2k 2 d с.181, 364] модуль J& m ( z ) записывается как где
ϕ 1 = 2k 2 d
19
(40)
[9,
J& m ( z ) = k 2 H ms
sh 2 k 2 (d − z ) + cos 2 k 2 (d − z ) sh 2 k 2 d + sin 2 k 2 d
sh 2k 2 (d − z ) + cos 2k 2 (d − z ) . ch 2k 2 d − cos 2k 2 d
= k 2 H ms
Удельная мощность, поступающая через единицу поверхности на расстоянии z от границы слоя, определяется из вектора Пойнтинга с учетом (39) и α = (1 + j) δ ∗ ⎡ ⎤ 1 ⎡ & ∗ ⎤ 1 2 α ⎢ chα (d − z ) s h α (d − z )⎥ S (1)2 ( z ) = ⎢ E m H m ⎥ = H ms = ∗ ⎥ 2⎣ γ ⎢ shα d ⎦ 2 shα d ⎦ ⎣
(
)( )(
(1− j)(d − z ) δ − e −(1− j)(d − z ) δ ⋅ e (1+ j)(d − z ) δ + e −(1+ j)(d − z ) δ 1 2 (1 + j) e = H ms γδ 2 e (1− j)d δ − e −(1− j)d δ e (1+ j)d δ − e −(1+ j)d δ
(
)
)
= (40a)
= P(1)2 ( z ) + jQ(1)2 (z ),
⎛ d −z⎞ ⎛ d −z⎞ sh⎜ 2 ⎟ + sin⎜ 2 ⎟ 1 ⎛& ⎞ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ P(1)2 ( z ) = Re⎜ E m H m ⎟ = P(1) - активная «входная» 2d 2d 2 ⎝ ⎠ − cos ch ∗
где
δ
δ
мощность;
⎛ d −z⎞ ⎛ d −z⎞ sh⎜ 2 ⎟ − sin⎜ 2 ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ Q(1)2 ( z ) == P(1) - реактивная «входная» мощность; 2d 2d ch − cos
δ
P(1) =
1
γδ
2 H ms
2
δ
- активная удельная мощность, поступающая в слой при его бес-
конечной толщине (17). В общем случае удельная мощность слоя, приходящаяся на единицу поверхности, Вт/м , определяется из вектора Пойнтинга (15) как разность его значений при z = 0 и z = d. 2
Из (35) для напряженности E& m 2 при z = 0 и z = d получаем
E& m 2 (0 ) = E& ms E& m 2 (d ) = E& ms
1 + M 23 e − 2 Г 2d
1 − M 23 M 21e − 2 Г 2d 1 + M 23
,
e Г 2d − M 23 M 21e − Г 2d
20
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ .⎪ ⎪ ⎭
(36a)
Если (36) и (36а) подставить в (15) и принять вещественными коэффициенты
M 23 и M 21 [3], то удельная мощность, “входящая” в слой при z = 0, выразится в виде
S (1) (0 ) = =
2 H ms
2
H& ms
2
2
(1 + j )k 2 γ2
(
)( )(
)
α2 1 + M 23 e − 2(1+ j )k2d 1 − M 23 e − 2(1− j )k2d = γ 2 1 − M M e − 2(1+ j )k2d 1 − M M e − 2(1− j )k2d 23 21 23 21
(
e
2 k2d
− j2 M 23 sin 2k 2 d
e 2 k2d − 2 M 23 M 21 cos 2k 2 d
2 − 2 k2d − M 23 e 2 2 − 2 k2d + M 23 M 21 e
)
(40а)
,
а мощность, «выходящая» из слоя, при z = d соответственно 2 2 H ms 1 − M 23 (1 + j)k 2 . (40б) S (1) (d ) = 2 2 − 2 k2d γ 2 e 2k2d − 2 M 23 M 21 cos 2k 2 d + M 23 2 M 21 e
Тогда удельная мощность слоя 2 равна
S (1)2 = S (1) (0 ) − S (1) (d ) = P(1)2 + jQ(1)2 .
(40в)
2 Активная удельная мощность слоя 2, Вт м ,
P(1)2 = χ 2
где
χ2 =
2 ωµ 2 H ms , 2γ 2 2
2 −2 k 2 d 2 e 2 k2d − M 23 e + 2 M 23 sin 2k 2 d − 1 + M 23 2 2 − 2 k2d e 2 k2d + M 21 M 23 e − 2 M 21 M 23 cos 2k 2 d
(41)
.
В частном случае при M 21 = M 23 = 1
χ2 =
sh 2k 2 d + sin 2k 2 d . ch 2k 2 d − cos 2k 2 d
Реактивная удельная мощность слоя 2 соответственно
Q(1)2 = ξ2
2 ωµ 2 H ms , 2γ 2 2
21
(42)
где
ξ2 =
2 −2 k 2 d 2 e 2 k2d − M 23 e − 2 M 23 sin 2k 2 d − 1 + M 23 2 2 − 2 k2d e 2 k2d + M 21 M 23 e − 2 M 21 M 23 cos 2k 2 d
,
или в частном случае, при M 21 = M 23 = 1 ,
χ2 =
sh 2k 2 d − sin 2k 2 d . ch 2k 2 d − cos 2k 2 d
Коэффициент мощности определяется как
cos ϕ 2 = Зависимости
χ2 χ 22
+ξ
2
.
(43)
χ 2 , ξ2 , cos ϕ приведены на рис. 7.
ЕСЛИ ВЫРАЗИТЬ µ 2 = µ 2∗ µ 0 = µ 2∗ 4π 10 −7 , ГН/М; ω = 2πf ;
γ2 =
1
ρ2
И ПРИНЯТЬ В СООТВЕТСТВИИ С [7] ИЗ ГРАНИЧНЫХ УС-
ЛОВИЙ «ИНДУКТОР-ДЕТАЛЬ» (ПРИ ИХ ПЛОТНОМ ПРИЛЕГАНИИ) H ms = 2 I 1 w1,0 - ДЕЙСТВУЮЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ АМПЕРВИТКОВ НА ЕДИНИЦУ ДЛИНЫ ПО КООРДИНАТЕ У, ТО (41) ПРИМЕТ ВИД
P(1)2 =
1 4π 10 −7 2π (I 1 w10 )2 ρ 2 µ 2∗ fχ = 2 ⋅ 10 −6 ( I 1 w10 )2 ρ 2 µ 2∗ f χ [кВт/м 2 ] . 2 (41а)
Полученное выражение совпадает с приведенным в [7]. В соответствии с (15а) и учетом (40а) можно найти распределение по z нормального среднего усилия в слое [7]
F уд ( z ) = µγP(1)2 ( z ) = F уд
⎛ d −z⎞ ⎛ d −z⎞ sh⎜ 2 ⎟ + sin⎜ 2 ⎟ ⎝ δ ⎠ ⎝ δ ⎠ 2d 2d ch − cos
δ
(40б)
δ
и давления
⎡ ⎛ d − z ⎞⎤ ⎛ d −z⎞ ⎢ ch ⎜ 2 δ ⎟ − cos ⎜ 2 δ ⎟ ⎥ ⎠⎥ . ⎠ ⎝ Pcж ( z ) = µγ ∫ P(1)2 ( z )dz =Pсжт ⎢1 − ⎝ 2d 2d ⎥ ⎢ 0 ch − cos ⎥⎦ ⎢⎣ δ δ z
22
(40в)
На рис. 6,б показаны распределения F уд ( z ) F уд , Pсж ( z ) Pсжт [7], где наибольшее дав2 ление при z = δ , H м :
Pсжт =
δ 2
µγP(1) = 62 ⋅ 10 − 8 H s2 µ .
(40г)
В среде 3 (z > d) Волна в среде 3 образуется вследствие наложения поля E& msp N 12 , проникающего в среду 2, а также суммы его многократных отражений в среде 2
- E& msp N 12σ , прелом-
ленных на границе 2 - 3 с коэффициентом N 23 и приобретающих на поверхности z = d −Г d со стороны среды 3 равнодействующее значение E& msp N 12σe 2 N 23 . Она перемещает-
ся вправо с коэффициентом e
− Г 2 ( z −d )
, т.е.
( ) E& m 3 ( z ) = E& msp N 12 N 23σ e − Г 2d e − Г 3 z −d .
(44)
3.3. Система с произвольным количеством слоев Ограничимся лишь рис. 8 [3], поясняющим процедуру расчета и суперпозицию волн E& и H& в такой системе.
4. МЕТОД Е-Н-ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ [8] Запишем уравнения (6) для i-го слоя в виде
E& m(i ) ( z ) = Ai e − Г i z + Bi e Г i z ,
(
1 H& m(i ) ( z ) = Ai e − Г i z − Bi e Г i z z ci где
z ci = Z (1)i =
z ci = (1 + j ) k i γ i .
jωµ i Гi
-
волновое
сопротивление
23
⎫ ⎪ ⎬ ,⎪ ⎭
)
(45)
i-го слоя. Для металла
Начало координат расположено на «входной» стороне слоя, поэтому при z = 0
E& 1(im) = Ai + Bi ,
⎫ ⎪ ⎬ 1 1 ( ) H 1im = Ai − Bi ,⎪ z ci z ci ⎭ откуда
Ai =
(
)
(
)
1 & (i ) 1 E1m + z ci H& 1(im) , Bi = E& 1(im) − z ci H& 1(im) . 2 2
Подстановка постоянных Ai , Bi в (45) дает
E& m(i ) ( z ) = E& 1(im) ch Г i z − z ci H& 1(im) sh Г i z , ⎫ ⎪ ⎬ − 1 ( ) ( ) H& m(i ) (z ) = E& 1im sh Г i z + H& 1im ch Г i z .⎪ z ci ⎭
(46)
При z = d i (на «выходной» стороне слоя «i»)
E& 2(im) = E& 1(im) ch Г i d i − z ci H& 1(im) sh Г i d i , ⎫ ⎪ ⎬ 1 H& 2(im) = E& 1(im) sh Г i d i + H& 1(im) ch Г i d i .⎪ z ci ⎭
(47)
Система уравнений (47) соответствует пассивному четырехполюснику (рис. 9),
(i ) (i ) (i ) (i ) входными величинами которого являются E& 1m , H& 1m , выходными - E& 2 m , H& 2 m , а z ci носит название характеристического сопротивления четырехполюсника.
(i ) (i ) Поскольку выходные величины E& 2 m , H& 2 m являются одновременно входными величинами (i + 1) четырехполюсника, то цифры 1 и 2 в индексах можно опустить и записать (47) в матричной форме
ch Г i d i − z ci sh Г i d i ⎤ ⎡ E& m(i +1) ⎤ ⎡⎢ ⎡ E& m(i ) ⎤ ⎥ ×⎢ ⎢ (i +1) ⎥ = ⎢ sh Г i d i ⎥ ⎥ − ch Г d & & m(i ) ⎥ i i H ⎢⎣ H m ⎥⎦ ⎢ ⎢ ⎦ z ci ⎣ ⎦⎥ ⎣
(48)
Можно также выразить величины i-го четырехполюсника через величины (i+1) четырехполюсника ( обратные зависимости). 24
ch Г i d i z ci sh Г i d i ⎤ ⎡ E& m(i ) ⎤ ⎡⎢ ⎡ E& m(i +1) ⎤ ⎡ Ai Bi ⎤ ⎡ E& m(i +1) ⎤ ⎡ E& m(i +1) ⎤ ⎥ ×⎢ ⎢ (i ) ⎥ = ⎢ sh Г i d i ⎥=⎢ ⎥ × ⎢ & (i +1) ⎥ = [Ti ] × ⎢ & (i +1) ⎥ ,(48а) ( i +1 ) ⎥ ch Г d & & C D i i ⎢⎣ H m ⎥⎦ ⎢ z ⎢H ⎥ ⎣ i i ⎦ ⎢⎣ H m ⎥⎦ ⎢⎣ H m ⎥⎦ ci ⎣ ⎦⎥ ⎣ m ⎦ где постоянные четырехполюсника (элементы матрицы [Ti ] )
Ai = ch Г i Di ,
⎫ ⎪ Bi = z ci sh Г i d i , ⎬ Ci = sh ( Г i Di ) z ci .⎪⎭
(49)
Для слоев, расположенных слева от обмотки индуктора (рис. 12), их величины обозначены штрихами, уравнения связи входных величин с выходными идентичны (48), т.е.
′ ′ ⎡ - z ci ′ sh Г i ′d i ′ ⎤ ⎡ (i +1)′ ⎤ ⎡ (i )′ ⎤ ⎢ch Г i d i ⎥ Em ⎥. ⎢Em ⎥ = ⎢ ′ ′ ⎥×⎢ ⎢ ⎢ (i )′ ⎥ ⎢ − sh Г i d i ch Г ′d ′ ′ ⎥ ⎢ H (i +1) ⎥⎥ i i ′ ⎣⎢ H m ⎦⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣ m ⎦ z ci ⎣ Параметры Т-образного i-го четырехполюсника (рис. 9,б) можно выразить через его постоянные Ai , Bi , C i , Di согласно [1, 8]
ch Г i d i − 1 ⎫ z ci = z ci th (0 ,5 Г i d i ),⎪ sh Г i d i ⎬ ⎪ = z ci sh Г i d i . ⎭
z Ai = z Bi
(49a)
Если слой заполнен сторонним током с плотностью jcтm , то четырехполюсник является активным и параллельно его среднему сопротивлению z Bi включается источник тока
(i ) J& m , являющегося по своему смыслу и размерности линейной плотностью тока или ли-
нейной нагрузкой активной зоны (например, обмотки индуктора) [8].
(i ) j J& m = cтm sh Г i d i . Гi
(49б)
Входное сопротивление i-го четырехполюсника выражается в виде [1, 8]
z iвх =
z i +1,вх + z ci th Г i d i E& m(i ) z , = ci (i ) & z th Г d z + Hm i +1,вх i i ci 25
(50)
(i +1) & (i +1) Hm где входное сопротивление (i+1) четырехполюсника z i +1,вх = E& m (далее индекс «вх» опускаем). Если (i+1) слой представляет собой металлическое полупространство (или его толщина d i +1 в 2-3 раза превышает глубину проникновения ЭМП δ i +1 ) и имеет волновое сопротивление (11)
jωµ i +1
z c ,i +1 =
α i +1
=
α i +1 (1 + j)k i +1 = = z i +1 , γ i +1 γ i +1
то входное сопротивление (50) i-го четырехполюсника, соответствующее двухслойному проводящему полупространству, записывается как
shα i d i +
zi =
где
(µ i + 1 k i µ i k i + 1 ) = ( z i + 1
µ i +1 k i chα i d i µ i k i +1
αi , γ i µ i +1k i shα d + chα d i i i i µ i k i +1
(50а)
z ci ) ;
(α i γ i ) = z ci . Легко видеть, что это выражение совпадает с (23). Если обозначить k i d i = d i∗ , т.е. α i d i = (1 + j )d i∗ , и учесть, что
(z i +1
z ci ) = γ i µ i +1 γ i +1 µ i ,
то (50а) можно записать в виде
sh[(1 + j )d i∗ ] + z i = z ci
где z ci =
(1 + j )d i∗ γ i di
γ i µ i +1 ch[(1 + j )d i∗ ] γ i +1 µ i
γ i µ i +1 sh[(1 + j )d i∗ ] + ch[(1 + j )d i∗ ] γ i +1 µ i
,
(50б)
.
В случае d i∗ → 0 , что справедливо, когда i-й слой очень тонок d i → 0 , а глубина проникновения
δi =
1 велика, то ki 26
⎛z ⎞ 0 + ⎜⎜ i +1 ⎟⎟ ⋅ 1 ⎝ z ci ⎠ = z , z i ≈ z ci i +1 0 +1 т.е. входное сопротивление становится равным сопротивлению (i+1) слоя. С учетом (50) выражения (46) можно записать в виде
⎞ ⎛ z ch Г i (d i − z ) + z ci sh Г i (d i − z ) ⎫ z , ⎪ E& m(i ) ( z ) = E& m(i ) ⎜⎜ ch Г i z − ci sh Г i z ⎟⎟ = E& m(i ) i + 1 z ch Г d z sh Г d + z i i +1 i i ci i i ⎪ ⎠ ⎝ ⎬ (51 ⎞ ⎛ ( ) ( ) z sh Г d z z ch Г d z − + − z i i ci i i .⎪ H& m(i ) ( z ) = H& m(i ) ⎜⎜ ch Г i z − i sh Г i z ⎟⎟ = H& m(i ) i + 1 ⎪ z i + 1 sh Г i d i + z ci ch Г i d i z ci ⎠ ⎝ ⎭ )
Из (51) можно записать
H m(i ) ( z )
zi zi ⎞ −Г iz ⎛ z i ⎞⎤ 1 ⎡ Г iz ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟⎥ = = − = − + + ch Г z sh Г z e 1 e 1 ⎢ i i ⎜ ⎟ ⎜ ( i) z 2 z z Hm ic ⎠⎦ ic ⎠ ci ⎝ ⎝ ⎣
=
eГi
(d i − z )
− M 23 e − Г i
(d i − z )
e Г i di − M 23 e − Г i di
,
z − z ci . где M 23 = i +1 z i +1 + z ci
Легко видеть, что полученное выражение совпадает с (21,б).
(i ) (i ) (i ) (i ) При z = 0: E& m (0 ) = E& m , H& m (0 ) = H& m .
⎫ ,⎪ ⎪ ⎬ z ( ) ( ) i i ci H& m (d i ) = H& m .⎪ z i + 1 sh Г i d i + z ci ch Г i d i ⎪⎭ E& m(i ) (d i ) = E& m(i )
При z = d i :
z i +1 z i + 1ch Г i d i + z ci sh Г i d i
(51а) Коэффициент ослабления Н i-м слоем
27
k oc
H& m(i ) (d i ) 1 = = z i +1 H& m(i ) sh Г i d i + ch Г i d i z ci
,
что совпадает с (38). Если z i +1 >> z ci , например за слоем металла «i» следует диэлектрическая среда «i+1» с большим «входным сопротивлением», то
sh Г i (d i − z ) ⎫ H& m(i ) ( z ) = H& m(i ) , sh Г i (d i ) ⎪⎪ ⎬ ( ) ch Г d z − ( ) ( ) i i i i E& m (z ) = E& m ,⎪ ch Г i (d i ) ⎪⎭
(51б)
а значения напряженностей при z = d (на «выходе» слоя)
H& m(i ) (d i ) = 0 , E& m(i ) (d i ) = E& m(i +1) ch Г i d i , т.е. волна Н полностью затухает внутри слоя. Следует отметить, что (51) совпадает с (37) при z c1 >> z c 2 и z c1 >> z c 3 , а (51б) – с (39). Мощность, поступающая на входные зажимы i-го четырехполюсника, в соответствии с (15) при z = 0 2
( ) H& m(i ) 1 & (i ) ∗ i (i ) S (1) (0 ) = E m H m = zi . 2 2 Подставим в (52) выражение (50) для z i с учетом того, что согласно [9]
th Г i d i =
cos 2k i d i + jsin 2k i d i − e −2 ki di
cos 2k i d i + jsin 2k i d i + e − 2 ki di
(52)
.
В результате получаем
S ((1i )) (0 ) =
=
=
H& m(i )
2
2
2
(1 + j )k i
2
2
γi
1+
z ci z i +1
th Г i d i
th Г i d i +
z ci
=
z i +1
(1 + j )k i
a cos 2k i d i + ja sin 2k i d i + be − 2 ki di
(1 + j )k i
2 − 2 ki d i e 2 ki di − j2 M 23 sin 2k i d i − M 23 e
γi
2 H& m(i )
H& m(i )
γi
a cos 2k i d i + ja sin 2k i d i − be − 2 ki di
=
2 − 2 ki d i e 2 ki di − 2 M 23 cos 2k i d i + M 23 e
28
(53)
,
⎛
⎞
z
⎛
z
⎞
где a = ⎜⎜ 1 + ci ⎟⎟ , b = ⎜⎜ 1 − ci ⎟⎟. z i +1 ⎠ z i +1 ⎠ ⎝ ⎝
M 23 =
b z i +1 − z ci = a z i +1 + z ci
- коэффициент отражения типа (32) по терминологии вол-
нового метода; приближенно считаем его вещественным [3, 4]. Мощность, снимаемая с выходных зажимов i-го четырехполюсника, в соответствии с (15) при z = d i ∗ (i ) ∗ (i ) 2 1 & (i ) 1 & (i ) 1 & (i ) (i ) S (1) (d i ) = E m (d i ) H m (d i ) = H m (d i ) z i +1 = H m (d i ) H m (d i )z i +1 , (54) 2 2 2
где с учетом (51а)
H& m(i ) (d i ) = H& m(i )
βi 1 = 2 β i H& m(i ) ki d i kd sh Г i d i + β i ch Г i d i (1 + β i )e kidi e j − (1 − β i )e −kidi e − j i i (55)
β i = z ci z i +1 , H& m(i ) (d i )z i +1 = H& m(i ) (d i ).
Выражая
1 − βi =
β i через M 23 как β i =
1 − M 23 2 , 1 + βi = = a, 1 + M 23 1 + M 23
2 M 23 = b и подставляя результат в (55), получаем 1 + M 23
H& m(i ) (d i ) = H& m(i )
1 − M 23 e
Г i di
− M 23 e
− Г i di
,
(55а)
что совпадает с (36). Если считать M 23 вещественным числом [3, 4], то из (55) ∗ (i ) Hm
(d i ) =
∗ (i ) Hm
2β i
ae ki di e − jki di
− be −ki di e jki di
.
Подстановка (55) и (56) в (54) дает
(i )
S1 (d i ) = z ci
H& m(i ) 2
(4 β
2
e
2 ki d i
α2
)
2 − 2 ki di e − 2 M 23 cos 2k i d i + M 23
29
,
(56)
где
4β a2
4 (1 − M 23 ) (1 + M 23 )2 2 = = 1 − M 23 , и окончательно (1 + M 23 ) 4 (i )
S1 (d i ) =
H& m(i ) 2
2
(1 + j)ki γi
2 1 − M 23
2 − 2 ki di e 2 ki di − 2 M 23 cos 2k i d i + M 23 e
.
(57)
Если в (40а) и (40б) принять M 21 = 1 , что характерно для случая заполнения слоя 1 диэлектриком, то эти выражения совпадут с (53) и (57) соответственно. Следует отметить, что полученные приближенные выражения для мощностей (53) и (57) обычно не используются в расчетах методом Е-Н-четырехполюсников, поскольку алгоритм вычислений предусматривает определение параметров всех четырехполюсников, а также их входных сопротивлений, напряженностей и мощностей по точным формулам (49), (49а), (49б), (50), (48), (48а), (52), (54). Если имеется многослойная система, то ее схема замещения на основе Е-Н-четырехполюсников получается путем их каскадного включения соответственно слоям системы (рис. 10). (1) (1) (k ) (k ) В этом случае входные величины E& m , H& m связаны с величинами E& m , H& m последнего слоя как
⎡ E& m(k ) ⎤ ⎡ E& m(k ) ⎤ ⎡ E& m(1) ⎤ ⎢ (1) ⎥ = [T1 ] ⋅ [T2 ]...[Tk −1 ] ⎢ (k ) ⎥ = [TΣ ] ⎢ (k ) ⎥ , ⎢⎣ H& m ⎥⎦ ⎢⎣ H& m ⎥⎦ ⎢⎣ H& m ⎥⎦
(58)
или
E& m(1) = ( AΣ z ck + BΣ )H& m(k ) , ⎫⎪ ⎬ H& m(1) = (CΣ z ck + DΣ )H& m(k ) .⎪⎭
(58а)
(1) Если H& m задана как линейная нагрузка индуктора, то
H& m(k ) = H& m(1) (CΣ z ck + DΣ ),⎫⎪ ⎬ ⎪⎭ E& m(k ) = z ck H& m(k ) .
(59)
(i ) (i ) Далее определяются E& m , H& m на входной поверхности каждого слоя, а также (i ) (i ) входные сопротивления слоев z i = E& m H m и выделяющиеся в слоях мощности ∗ (i ) ⎞ ⎛ (i ) ∗ (i ) (i ) (i +1) & & ⎜ S (1) = 0 ,5 E m H m − E m H m ⎟ . ⎜ ⎟
⎝
⎠
30
(60)
5. ФОРМУЛЯР РАСЧЕТА МОЩНОСТЕЙ МЕТОДОМ Е-Н-ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
5.1. Задаются: Частота питающего тока f, Гц; линейная нагрузка индуктора AИ , А/м;
2 или его плотность тока jИ , А/м ; толщина и длина обмоточного слоя d И , l И , м; коэффициент заполнения медью обмоточного слоя k З ; толщина i-го слоя d i , м; свойства среды слоя (табл. 1)
⎧ µ i , Гн/м , ⎪⎪ -1 -1 ⎨γ i , Ом ⋅ м , ⎪ε , Ф/м . ⎪⎩ i
длина слоя li , м; средний диаметр слоя в случае цилиндрической конструкции Dicp , м.
ТАБЛИЦА 1 Материал слоя Титан Нержавеющая сталь Электротехническая сталь Сталь
γ ⋅ 10 − 6 ,Ом −1 ⋅ м −1 0,62 1,1 ... 2 2 ... 4 7 ... 10
1 1 3000 ≥ 1200 o
Никель Алюминий Медь Диэлектрик (воздух)
(1 при t = 800 C ) 11,5 34 ... 38 42 ... 58 −12 Ф
ε 0 = 8 ,854 ⋅ 10
5.2. Рассчитываются параметры и постоянные четырехполюсников
Параметры 31
µ ∗ = (µ µ 0 )
м
o
(1 при t = 800 C ) 20 1 1 −7 Гн
µ 0 = 4π ⋅ 10
м
а) для металла
Г i = d i = (1 + j)k i , где k i = ЭМП
δ i ).
ωµi γ i 2 = 1 δ i ;
d i∗ = k i d i - относительная толщина слоя (в долях от глубины проникновения
z ci
⎧ (1 + j)d i ∗ = (1 + j)RЭ (1)d i ∗ , ⎪ γ d ωµ i ⎪ i i = (1 + j) =⎨ jω 2γ i ⎪ jωµ i d i . = ⎪⎩ (1 + j)d i ∗ (1 + j)R M (1)d i ∗
ch[(1 + j)d i ∗ ] − 1 cos d i ∗ + jsin d i ∗ − e − d i∗ = th[0 ,5(1 + j)d i ∗ ] = sh[(1 + j)d i ∗ ] cos d i ∗ + jsin d i ∗ − e − d i∗ ch[(1 + j)d i ∗ ] = chd i ∗ cos d i ∗ + jshd i ∗ sin d i ∗ , sh[(1 + j)d i ∗ ] = shd i ∗ cos d i ∗ + jchd i ∗ sin d i ∗ .
⎫ ,⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
[9]
В случае d i∗ → 0 , т.е. толщина слоя намного меньше глубины проникновения ЭМП [9],
th[0 ,5(1 + j)d i ∗ ] ≈ 0 ,5(1 + j)d i∗, ⎫ ⎪ ch[(1 + j)d i ∗ ] ≈ 1, ⎬ ⎪ sh[(1 + j)d i ∗ ] ≈ (1 + j)d i ∗ . ⎭ б) для диэлектрика
Г i = jk i , где k i = ω µ i ε i = ω υ i . d i∗ = k i d i = ωd i υ i ,
z ci = µ i ε i =
d i∗ ωµ i d i = , ωε i d i d i∗
32
d i ∗ − 1 cos d i ∗ + jsin d i ∗ − 1 ⎫ = , jsin d i ∗ cos d i ∗ + jsin d i ∗ + 1 ⎪ ⎪⎪ chjd i ∗ = cos d i ∗ , ⎬ ⎪ shjd i ∗ = jsin d i ∗ . ⎪ ⎪⎭
th (0 ,5 jd i ∗ ) =
В случае d i∗ → 0 :
th(0 ,5 jd i ∗ ) ≈ 0 ,5 jd i ∗ ,⎫ ⎪ chjd i ∗ ≈ 1, ⎬ ⎪ shjd i ∗ ≈ jd i ∗ . ⎭
Постоянные четырехполюсников а) для металла
Ai = Di = ch[(1 + j )d i∗ ],
Bi = z ci sh[(1 + j )d i∗ ] = Ci =
jωµ i d i sh[(1 + j )d i∗ ] , (1 + j )d i∗
γ idi 1 sh[(1 + j )d i∗ ] = sh[(1 + j )d i∗ ] . (1 + j )d i∗ z ci
В случае d i∗ → 0 :
Ai = 1,
⎫ ⎪ Bi = jωµ i d i ,⎬ Ci = γ i d i . ⎪⎭ б) для диэлектрика
Ai = Di = cos d i∗ , Bi = j z ci sin d i∗ = Ci = j
jωµ i d i sin d i∗ , d i∗
ωε d 1 sin d i∗ = j i i sin d i∗ . z ci d i∗
33
[9]
В случае d i∗ → 0 :
Ai = Di = 1, ⎫ ⎪ Bi = jωµ i d i ,⎬ Ci = jωε i d . ⎪⎭
Сопротивления Т-образных четырехполюсников (рис. 9,б) а) для металла
z Ai = z ci th[0 ,5(1 + j)d i∗ ] = z Bi =
jωµ i d i th[0 ,5(1 + j)d i∗ ] , (1 + j)d i∗
(1 + j)d i∗ z ci = . sh[(1 + j)d i∗ ] γ i d i sh[(1 + j)d i∗ ]
В случае d i∗ → 0 :
z Ai ≈ j0 ,5ωµ i d i = 0 ,5 z Bi ≈
jω = 0 ,5 jωL(1) , RM (1)
1 = RЭ (1) . γ idi
Физический смысл сопротивлений поясняет рис. 11, где
RM (1) =
1 - магнитное сопротивление участка слоя в направлении Н едиµi d i ⋅ 1
ничных глубины и длины, а
jRω
M (1 )
= jωL(1) = jX (1) - соответствующая ему реактивность;
RЭ (1) =
1 - электрическое сопротивление единичного участка слоя в наγ idi ⋅ 1
правлении E& . б) для диэлектрика
z Ai = z ci th[0 ,5 jd i∗ ] = z Bi =
ωµ i d i d i∗
th(0 ,5 jd i∗ ) ,
d z ci 1 = i∗ . sh[jd i∗ ] ωε i d i jsin d i∗ 34
В случае d i∗ → 0 :
z Ai = j0 ,5ωµ i d i = 0 ,5 z Bi =
1 jωε i d i
где C (1) =
jω = 0 ,5 jωL(1) , RM (1)
1 , ωC(1)
= −j
εd i ⋅ 1 1
- емкость единичного участка (рис. 11) в направлении E& .
Источник тока индуктора Если заданы плотность тока в проводе, а также размеры обмоточного слоя и его коэффициент заполнения медью, то ток источника тока (линейная нагрузка индуктора) выражается как
j k d J& mИ = mn з И sh(jd И ∗ ) , jd И ∗ где d И ∗ = ω
µИ ε И d И = kИ d И .
Если обмоточный слой не содержит ферромагнитных зубцов (например, катушка индуктора расположена в воздухе), то µ И = µ 0 , ε И = ε 0 . В случае d И ∗ → 0 : J mИ = jmИ d И k з = AИm .
5.3. Изображается схема замещения системы с каскадным включением четырехполюсников соответственно расположению слоев (рис. 10).
5.4. Выполняется расчет схемы замещения (при этом схема максимально (i ) упрощается) с определением H& m по (59) и (48а). 5.5. Рассчитываются мощности «слоев» на единицу поверхности по (60) и на полную поверхность
S (i ) = πd icp li S ((1i )) .
35
6. ПРИМЕР РАСЧЕТА
Рассматривается плоская волна в многослойной системе, изображенной на рис. 12. Характеристики слоев: 3 ′ и 5 - диэлектрическое полупространство (µ 3′ = µ 5 = µ 0 ,ε 3′ = ε 5 = ε 0 ) ;
2 ′ - шихтованный сердечник из электротехнической стали γ 2′ = 0 , µ 2′ = 3000 µ 0 , d 2′ = 2 ⋅ 10 − 2 м ;
(
)
(
)
1′ - диэлектрик d 1′ = 1 ⋅ 10 −2 м , ε 1′ = ε 0 , µ 1′ = µ 0 ; 0 - многовитковая обмотка индуктора, размещенная в диэлектрике ⎛⎜ d = 7 ⋅ 10 − 2 м , j = 4 ⋅ 10 −6 А/м 2 , k = 0 ,35 , ε , µ ⎞⎟ ; n з 0 0 ⎝ 0 ⎠ 1 - теплоизоляционный слой из диэлектрического материала 2 - корпус из нержавеющей стали ⎛⎜ d = 5 ⋅ 10 − 3 м , γ = 10 6 Ом - 1 ⋅ м - 1 , µ = µ ⎞⎟ ; 2 0 ⎝ 2 ⎠
(
(d1 = 4,2 ⋅ 10−3 м);
)
3 - диэлектрик d 3 = 2 ,8 ⋅ 10 −3 м , γ 3 = 0, µ 3 = µ 0 ; 4 - стальной вторичный элемент устройства d 4 = 5 ⋅ 10 −3 м , γ 4 = 7 ⋅ 10 6 1 Ом ⋅ м , µ 4 = 240 µ 0 , сталь насыщена и нагрета в незначительной степени, при увеличении температуры γ 4 может быть скоррек-
(
тирована с помощью температурного коэффициента).
Расчет параметров четырехполюсников (по слоям) слой 3 ′
k 3′ = ω µ0 ε 0 = 314 4 ⋅ 10 −7 ⋅ 8 ,854 ⋅ 10 −12 = 1,05 ⋅ 10 −6 м −1 , 1 υ 3′ = = 3 ⋅ 10 8 м/с,
µ0ε 0
z c′ 3 = µ 0 ε 0 = 377 Ом = z в (1) .
36
слой 2 ′
k 2′ = ωµ 2′ γ 2′ 2 = 0 , d 2′ ∗ = d 2′ k 2′ = 0 , −7 −2 z ′ AZ = j 0 ,5ω ⋅ µ 2′ d 2′ = j 0 ,5 ⋅ 314 ⋅ 3000 ⋅ 4π ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ 10 ≈ 0 ,
1
z ′ BZ = γ ′ d ′ = ∞ . 2 2
слой 1′ k1′ = k 3′ = 1,05 ⋅ 10 − 6 м - 1 ,
υ 1′ = υ 3′ = 3 ⋅ 10 8 м/c ,
d 1′∗ = 1,05 ⋅ 10 −6 ⋅ 1 ⋅ 10 −2 = 1,05 ⋅ 10 −8 ≈ 0 , −7 −2 z ′ A1 = j 0 ,5 ⋅ 3,14 ⋅ 4π ⋅ 10 ⋅ 1 ⋅ 10 ≈ 0 ,
1
z ′ B1 = j314 ⋅ 8 ,854 ⋅ 10 −12 ⋅ 1 ⋅ 10 −2 = ∞ . слой 0 k 0 = k 3′ = 1,05 ⋅ 10 −6 1/м,
υ 0 = 3 ⋅ 10 8
м/с,
d 0∗ = 1,05 ⋅ 10 −6 ⋅ 7 ⋅ 10 −2 ≈ 0 ,
z ∗A0 ≈ 0 , z B 0 = ∞ . Четырехполюсник активный, в нем имеется источник тока
J& mИ = A& И = J& mИ d 0 k з = 2 ⋅ 4 ⋅ 10 6 ⋅ 7 ⋅ 10 −2 ⋅ 0 б 35 = 13б 8 ⋅ 10 4
слой 1 k1 = k 3′ = 1,05 ⋅ 10 −6 м −1 ,
υ 1 = υ 3′ = 3 ⋅ 10 8
м/с,
d 1∗ = 1,05 ⋅ 10 −6 ⋅ 4 ,2 ⋅ 10 −3 ≈ 0 ,
z A1 ≈ 0 , z B1 = ∞ .
37
А/м.
слой 2
ωµ 2γ 2
k2 =
314 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 10 6 = = 14 м −1 , 2
2 ω 314 υ2 = = = 22 ,4 м/с – скорость волны в корпусе, k2 14 1 δ2 = = 71,4 ⋅ 10 −3 м – глубина проникновения ЭМП в нержавеющую сталь, k2 d 2∗ = k 2 d 2 = 14 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 = 7 ,0 ⋅ 10 −2 ,
z c2
ωµ 2 314 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 = (1 + j) = (1 + j) = (1 + j)14 ⋅ 10 −6 Ом, 6 2γ 2 2 ⋅ 10
z A2 = z c 2 ⋅ так как
[
] − 1 = (1 + j )14 ⋅ 10 sh[(1 + j )7 ⋅ 10 ]
ch (1 + j )7 ⋅ 10 − 2
−2
[ [
−6
j 0 ,0049 = j 0 ,98 ⋅ 10 −6 Ом, (1 + j )0 ,07
] ]
⎧⎪ch (1 + j)7 ⋅ 10 − 2 = ch0 , 07 ⋅ cos 0 ,07 + jsh0 , 07 ⋅ sin 0 , 07 = 1 + j 0 , 0049 = A2 , ⎨ ⎪⎩ sh (1 + j)7 ⋅ 10 − 2 = sh0 , 07 ⋅ cos 0 , 07 + jch0 , 07 ⋅ sin 0 , 07 = (1 + j)0 ,07 = C 2 z c 2 , или по приближенной формуле при d 2∗ → 0
z A2 = j 0 ,5ωµ 2 d 2 = j 0 ,5 ⋅ 314 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 = j 0 ,98 ⋅ 10 −6 Ом,
z B2 =
z c2 1 = C 2 sh (1 + j ) 7 ⋅ 10 − 2
[
]
=
(1 + j )14 ⋅ 10 −6 (1 + j )0 ,07
или по приближенной формуле при d 2∗ → 0
1 1 −4 = 6 = 2 ⋅ 10 Ом, γ 2 d 2 10 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 1 C2 = = 5 ⋅ 10 3 Ом −1 . z B2 z B2 =
слой 3 k 3 = k 3′ = 1,05 ⋅ 10 −6 м −1 , 38
= 2 ,0 ⋅ 10 −4 Ом,
υ 3 = υ 3′ = 3 ⋅ 10 8 м/с,
d 3∗ = 1,05 ⋅ 10 −6 ⋅ 2 ,8 ⋅ 10 −3 ≈ 0 , z A3 = 0 , z B 3 = ∞.
слой 4
314 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 240 ⋅ 7 ⋅ 10 6 k4 = = 560 м −1 , 2 314 υ4 = = 0 ,56 м/с, 560 δ 4 = 0 ,0018 м. Можно считать, что поле полностью затухает в ферромагнитном слое, так как d 4 = 5 мм > δ 4 = 1,8 мм.
z c 4 = (1 + j )
314 ⋅ 240 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 2 ⋅ 7 ⋅ 10 6
= (1 + j )82 ,22 ⋅ 10 −6
Ом.
Синтез схемы замещения Четырехполюсники включаются каскадно в соответствии с чередованием слоев устройства, (рис. 13,а). С учетом рассчитанных выше параметров схему можно упростить и привести к виду рис. 13,б.
(i ) Расчет H& m На основании (50)
z 2 вх
E& m(2 ) z + z c 2 th[(1 + j )d 2∗ ] = = (2 ) = z c 2 c 4 z c 4 th[(1 + j )d 2∗ ] + z c 2 H& m
= z c2
[ [
] [ ] [
] ]
z c4 ch (1 + j )7 ⋅ 10 − 2 + sh (1 + j )7 ⋅ 10 − 2 z c2 = z c4 −2 −2 sh (1 + j )7 ⋅ 10 + ch (1 + j )7 ⋅ 10 z c2
= (1 + j )14 ⋅ 10
−6
(1 + j )82 ⋅ 10 −6 + (1 + j )14 ⋅ 10 −6 ⋅ (1 + j )7 ⋅ 10 −2 (1 + j )82 ⋅ 10 −6 ⋅ (1 + j )7 ⋅ 10 −2 + (1 + j )14 ⋅ 10 −6
= (70 ,28 + j 40 )10 −6 Ом.
39
=
ИЗ (48А) ЗАПИСЫВАЕМ
[
]
[
]
1 H& m(2 ) = sh (1 + j )7 ⋅ 10 − 2 E& m(3 ) + ch (1 + j )7 ⋅ 10 − 2 H& m(3 ) . z c2 (3 ) (3 ) (3 ) (4 ) (3 ) (4 ) С учетом (50) E& m = z c 4 H& m , так как E& m = E& m и H& m = H& m .
В результате напряженность магнитного поля на поверхности 4-го слоя
H& m(3 ) = H& m(4 ) = = H& m(1)
H& m(2 ) = H& m(1)
[
] [
z c4 sh (1 + j )7 ⋅ 10 − 2 + ch (1 + j )7 ⋅ 10 − 2 z c2 1
(1 + j )82 ,22 ⋅ 10
−6
⋅ 5 ⋅ 10 + (1 + j0,0049 ) 3
]
=
= H& m(1) (0 ,65 − j0 ,19 ),
а ее модуль
H& m(3 ) = 0 ,677 H& m(1) , (1)
причем H& m = AИ
2 = 13,8 ⋅ 10 4 А/м.
Расчет мощностей 2 Удельная «погонная» мощность, передаваемая в слой 1 и далее, BA м ,
13,8 2 ⋅ 10 8 ( ( 1) 2) ( 1) 2 1 S (1) = S (1) = H m z 2вх = ⋅ 10 − 6 (70 ,28 + j40 ) = . 2 2 = 670900 ,005 + j382000. 2 Удельная мощность, передаваемая в слой 4, BA м ,
S ((14)) =
H m(3 )
82 ,22 ⋅ 10 −6 (1 + j ) = 0 ,46
2 = 361100 + j361100.
13,8 2 ⋅ 10 8 (82,22 + j82,22) ⋅ 10 −6 = 2
Полная мощность, передаваемая в слой 1 и далее, кВА,
S (1) = S ((11))πD1ср l1 = (670900 ,5 + j382000 )π ⋅ 0 ,096 ⋅ 0 ,07 = 14 ,16 + j8 ,02 . 40
Полная мощность, передаваемая в слой 4, кВА,
S (4 ) = S ((14))πD4 ср l4 = (3611 + j3611)π ⋅ 0 ,085 ⋅ 0 ,07 = 6 ,86 + j6 ,86 . Коэффициент ослабления магнитного поля слоем 2 (корпусом устройства)
k oc =
H& m(3 ) H& m(1)
= 0 ,677.
Активная мощность (потери) в обмотке индуктора
⎛ j2 PИ = ⎜⎜ ⎝ γ cИ
⎞ 4 2 ⋅ 10 12 ⎟k з s И πDcpИ = ⋅ 0 ,35 ⋅ π ⋅ 0 ,19 ⋅ 0 ,05 ⋅ 0 ,07 = 234 Вт. 6 ⎟ 50 ⋅ 10 ⎠
Полная активная мощность устройства
PΣ = P (1) + PИ = 14 ,16 + 0 ,23 = 14 ,39 кВт.
Примечание. В соответствии с (П 4.2) по методике [7, 11] и учетом ослабления (1) на 2 получаем поля путем домножения I 1 w10 = H k oc
(
P((14) ) = 2 ⋅ 10 −6 (k oc I 1 w10 )2
)
µ r4 f Fпл = γ4
= 2 ⋅ 10 −6 ⋅ 0 ,677 2 ⋅ 9 ,8 2 ⋅ 10 8
41
240 ⋅ 50 7 ⋅ 10
6
⋅ 1 = 363 ,96 кВт/м 2 .
Приложение 1 ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА БЕГУЩЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ В МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛОСКОЙ СТРУКТУРЕ
П 1.1. Случай неподвижных слоев структуры По-прежнему не учитывается ограниченность размеров устройства вдоль слоев по осям х и у, т.е. не принимаются во внимание продольный и поперечный краевые эффекты [8]. Плотность тока в слое индуктора задана в виде волны, бегущей по координате у, (рис. П1.1)
⎛ y ⎞⎟ jИ (t , y ) = J mИ sin(ω t − ay ) = J mИ sin ω ⎜ t − , ⎜ υ yo ⎟ ⎝ ⎠
где a =
(П 1.1)
π , ω = 2πf ; τ
τ - длина полуволны (полюсное деление индуктора); ω υ yo = = 2τf - скорость движения волны по координате у. a
В комплексной форме (П1.1) записывается как
J& Иt = J& mИ (t , y ) = J& mИ e j (ω t −ay ) .
(П 1.2)
Все электромагнитные величины в любом i-м слое также являются бегущими по у волнами. При этом плотность тока J& i и напряженность электрического поля E& i в каждом слое имеют только составляющие по оси х, а напряженность магнитного поля H& i – составляющие по осям у и z [8], т.е.
r r r r r r r r r H i = e y H& yi + e z H& zi , Ei = e x E& xi = e x E& i , J = e x J& xi = e x J& i , r
r
(П 1.3)
r
где e x , e y , e z – единичные векторы по осям х, у и t (рис. 1), а индексы m амплитудных значений опущены. С учетом (П 1.2) можно записать
∂E& i (t , y ) = jωE& i (t , y ), ∂t ∂E& i (t , y ) = − jaE& i (t , y ). ∂y
(П 1.4)
Тогда подстановка (П 1.4) в оператор Лапласа в (1) дает уравнение (5), в котором 42
Г i2
ω2 = a − 2 + jα i2 , υi 2
(П 1.5)
2
т.е. в сравнении с (4) добавляется слагаемое a . Легко видеть, что при τ → ∞ (бесконечно «длинная» волна) a → 0 и (П 1.5) сводится к (4) для плоской волны. Решение (5) для E& i дает первое выражение в (6), т.е.
E& i = Ai e Г i z + Bi e − Г i z .
(П 1.6)
С другой стороны, согласно [2],
r r 1 1 Hi = − rotEi = jωµ i jωµ i
⎡ r ⎛ ∂E& i ⎢ − e y ⎜⎜ ⎝ ∂z ⎣
⎞ r ⎛ ∂E& i ⎟⎟ + e z ⎜⎜ ⎠ ⎝ ∂y
⎞⎤ ⎟⎟⎥ , ⎠⎦
(П 1.7)
или с учетом (П 1.6) и (П 1.4)
(
)
Г ⎫ H& yi = H& i = − i Ai e Г i z − Bi e − Г i z ⎪ jωµ i ⎪ ⎬. a ⎪ H& zi = − E& i ⎪⎭ µ iω
(П 1.8)
Из (П 1.6) и (П 1.8) следует, что H& zi можно всегда вычислить через E& i , т.е. достаточно записать систему (6) для E& i и H& yi = H& i , в которой Г i подставить из (П 1.5). Выражения (49), (49а), (52), (54) для параметров и мощностей Е-Н-четырехполюсников в данном случае внешне не изменяются. Вместе с тем подстановка в них Г i из (П 1.5) ведет к принципиально иным количественным и качественным результатам по сравнению со случаем плоской волны. Действительно, для плоской волны в диэлектрике
ωd i ω di = j ≈ 0( для υi 3 ⋅ 10 8
Г i di = j
воздуха )
,
и из (38), (38а) получаем k oci = 1 , т.е. волна в слое диэлектрика толщиной d i не затухает, что лишь еще раз подтверждает вывод разд. 3.
43
Для случая же бегущей волны в диэлектрике
Г idi = a 2 −
ω2 π d ≈ d , i τ i υ i2
и имеем
k oci =
1 πd i
πd z i +1 + ch i sh z ci τ τ
< 1.
(П 1.9)
Например, если слой «i+1» заполнен металлом, а слой «i» толщиной d i =
τ - диπ
электриком (в частности, медью и воздухом соответственно), то для плоской волны
z i +1 z ci
=
2 ,7 ⋅ 10 −6 =0, 377
а для бегущей волны
jωµ i +1 z i +1 = z ci a 2 + jα i2+1
a 2 − ω 2ε i µ i jωµ i
2 1 − υ yo ε i µi µ i +1 = ≈ 0 (П 1.10) 2 µ i 1 + υ yo γ i +1 µ i +1 7
(например, υ yo = 2τf = 2 ⋅ 0 ,05 ⋅ 50 = 5 м/с, γ i +1 = 5 ⋅ 10 Ом
µ i +1 = 4π ⋅ 10 −7 Гн/м). Поскольку ad i =
−1 −1 м ,
πτ = 1 и выполняется (П 1.10), то из (П 1.9) получаем τπ k oci =
1 = 0 ,66 . ch1
Таким образом, слой воздуха толщиной в одну треть полюсного деления индуктора ослабляет напряженность магнитного поля на 34%. П 1.2. Случай движущихся слоев
Если i-й слой движется в направлении оси у со скоростью
υ yi , то уравнения Мак-
свелла записываются в виде [2] r r ⎫ rotH i = J i , r r r ⎪⎪ J i = γ i E i + jωε i E i + ε i rot E i xV i ,⎬ v v ⎪ rotE i = − jωµ i H i − µ i rot H i xV i . ⎪⎭
(
44
(
)
)
(П 1.11)
r
r
r
Если учесть условие (П 1.3) для векторов E , H и J , то (П 1.11) превращаются в следующие соотношения: r ⎫ ∂H& zi ∂H& yi − из 1 − го и 2 − го rotH i = − = γ i E& xi + jωε i E& xi + jε iυ yi aE& xi ,⎪ ∂y ∂z ⎪ ⎪⎪ & ∂E xi − из 3 − го = (− jωµ i + jaυ yi µ i )H& yi = − jωs i µ i H& yi , ⎬ (П 1.12) ∂z ⎪ a a ⎪ H& zi = − E& xi = E& xi . ⎪ µ i ω − aυ yi µ i µ i ωs i ⎪⎭ После подстановок последних выражений (П 1.12) в первое с учетом (П 1.4) имеем
d 2 E& xi = (a 2 + jωs i µ i γ i − ω 2 s i2 ε i µ i )E& xi , dz 2
или
d 2 E& i dz 2
где Г i = a 2 −
υ yo
a
= Г i2 E& i ,
(П 1.13)
ω 2 s i2 + jµ i γ i ω s i , υ i2
1.14)
si = 1 −
2
υ yi = 1 −
(П
υ yi - скольжение i-го слоя, υ yo
ω 2πfτ = = 2τf - скорость поля, индекс «х» опущен. π
Нетрудно видеть, что при неподвижном слое υ yi = 0 , si = 1 и (П 1.14) превращается в (П 1.5). Мощность, выделяющаяся в i-м слое, определяется из вектора Пойнтинга (52), (54) ∗ ∗ ⎞ ⎛ S i = 0 ,5⎜ E& i H i − E& i +1 H i +1 ⎟ . ⎝ ⎠
(П 1.15)
Мощность необратимых преобразований энергии в i-м слое на единицу поверхно2 сти [8], Вт/м (П 1.16) Pi = Re S i , 2
в том числе мощность электрических потерь, Вт/м ,
Pэi = Pi si .
(П 1.17)
При этом часть активной мощности слоя превращается в механическую мощность пере2 мещения слоя со скольжением si , Вт/м , 45
PMxi = Pi (1 − si ) .
(П 1.18)
Электромагнитная сила, действующая в направлении оси у и приходящаяся на еди2 ницу поверхности [8], Н/м
Fi =
Pi (1 − si )
υ yi
=
Pi
υ yo
Pi a = Pi . 2τf ω
=
(П 1.19)
Таким образом, рассматриваемое устройство является одновременно электротермическим и электромеханическим преобразователем энергии (линейным двигателем). П 1.3. Аналитические выражения для основных величин [15]
На основе (П 1.6), (П 1.8) выражения для напряженностей поля в слое i в неподвижной системе координат записываются как
E& xi = Ai e
Гiz
(
+ Bi e
−Г iz
,
1 H& yi = − Ai e Г i z − Bi e − Г i z z ci a & H& zi = − E xi .
ωµ i
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ,⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
)
(П 1.20)
Неизвестные постоянные интегрирования Ai , Bi определяются из решения алгебраической системы уравнений, полученных с помощью 2-го и 3-го уравнений (П 1.20) на основании граничных условий для всех границ между слоями. Граничные условия выражают неизменность нормальных индукций при переходе через границу и скачок тангенциальных напряженностей магнитного поля на величину сторонней линейной токовой нагрузки между слоями, т.е.
B& zi = µ i H& zi = B& zi + 1 = µ i + 1 H& z ,i + 1 ,⎫⎪ ⎬ H& yi − H& y ,i + 1 = J& mi , ⎪⎭
(П 1.21)
и после подстановки координаты границы z i в (П 1.20)
Ai e Г i zi + Bi e − Г i zi − Ai + 1e Г i zi − Bi + 1e − Г i zi = 0 , −
(
)
(
1 1 Ai e Г i zi − Bi e − Г i zi + Ai + 1e Г i +1zi − Bi + 1e − Г i zi z ci z ci + 1
)
⎫ ⎪ ⎬ = J mi .⎪ ⎭
(П 1.22)
46
Аналитическое решение системы (П 1.22) целесообразно получить при количестве слоев не более трех. Соответствующие выражения приведены в [15]. Рассматривается трехслойная система с бесконечно тонким слоем стороннего тока на поверхности индуктора: подобласть 1, z < 0 - магнитопровод с
γ = 0 , µ = µ ′ , при z = 0 выполняются
граничные условия (П 1.21), т.е. B z (0 ) непрерывно и H& y (+ 0 ) − H& y (− 0 ) = J& mИ , где
J& mИ = AИ - токовая линейная нагрузка индуктора, а также H = 0 при z → −∞ ; подобласть 2, 0 ≤ z ≤ d - проводящий слой с
ция B z (α ) и напряженность H& y (α ) непрерывны; подобласть 3, z > d - среда над слоем с ность H = 0 .
γ = γ , µ = µ , при z = α
индук-
γ = γ ′′ , µ = µ ′′ , при z → ∞ напряжен-
П 1.3.1. Выражения для индукций и напряженностей [15]
Если магнитная проницаемость магнитопровода индуктора слоем немагнитная и непроводящая (γ ′′ = 0 , µ ′′ = µ 0 ) , то
µ ′ = ∞ , а среда над
jaµAИ aµsh Г (d − z ) + Г µ0 ch Г (d − z ) ⎫ ,⎪ B& z = − Г aµch Г d + Г µ0 sh Г d ⎪ ( ) ( ) − + − µ µ a ch Г d z Г sh Г d z ⎪ 0 , ⎬ B& y = µA& И aµch Г d + Г µ0 sh Г d ⎪ ⎪ ω E& x = − B z . ⎪ a ⎭
(П 1.23)
Если бесконечную магнитную проницаемость имеет не только магнитопровод (µ ′ = ∞ ) , но и среда над слоем (µ ′′ = ∞ ) , то
jaµAИ ch Г (d − z ) ⎫ B& z = − ,⎪ Г sh Г d ⎪ ⎬ sh Г (d − z ) & ⎪ & . B y = µAИ ⎪⎭ sh Г d
Если проводящий слой представляет собой полупространство (П 1.23) после некоторых преобразований получаем
jaµA& И − Г z & B& z = − e , B y = µA& И e − Г z . Г 47
(П 1.24)
(d → ∞ ) ,
то из
(П 1.25)
В случае холостого хода (проводящего слоя нет, т.е.
γ = 0 , µ = µ 0 ) имеем
B& z = − jµ 0 A& И e − az , B& y = µ 0 A& И e − az .
(П 1.26)
Поле холостого хода индуктора без магнитопровода (γ ′ = 0 , µ ′ = µ 0 ) в два раза слабее поля при наличии сердечника, так как при этом образуются одинаковые поля в рабочем (но пустом) пространстве z > 0 и в полупространстве z < 0 :
µ A& jµ A& B& z = − 0 И e −az , B& y = 0 И e −az . 2 2
(П 1.27)
П 1.3.2. Особенности магнитного поля в проводящем слое при двустороннем индукторе [15]
В этом случае среда над слоем является также индуктором, на поверхности котороjϕ
& e , где ϕ - угол сдвига фаз токов го размещен токовый слой с линейной нагрузкой A И верхнего индуктора по сравнению с токами нижнего. Начало координат поместим в середине расстояния между индукторами. Тогда расчетная модель имеет следующие подобласти:
δ
- нижний индуктор с γ = 0 , µ = µ ′ ; граничные условия 2 ⎛ δ ⎞ ⎛ δ⎞ ⎛ δ ⎞ B⎜ − ⎟ непрерывно, H& y ⎜ − + 0 ⎟ − H& y ⎜ − − 0 ⎟ = A& И e jϕ ; ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ подобласть 1, z < −
подобласть 2, −
δ 2
подобласть 3, x >
≤z≤
δ 2
δ 2
- рабочее пространство с
- верхний индуктор с
γ =γ , µ = µ;
γ = 0 , µ = µ ′ ; граничные условия -
⎛δ ⎞ ⎛δ ⎞ ⎛δ ⎞ B⎜ ⎟ непрерывно, H& y ⎜ − 0 ⎟ − H& y ⎜ + 0 ⎟ = A& И . ⎝2 ⎠ ⎝2⎠ ⎝2 ⎠ Кроме того H = 0 при x → ±∞ . Если магнитная проницаемость обоих магнитопроводов
µ ′ = ∞ , то
jaµA& И ⎡ ⎛δ ⎞⎤ ⎫ ⎛δ ⎞ jϕ & Bz = ch Г z + e ch Г − z + ⎜ ⎟⎥ ,⎪ ⎜ ⎟ Г sh Гδ ⎢⎣ ⎝2 ⎠⎦ ⎪ ⎝2 ⎠ ⎬ µA& И ⎡ ⎞⎤ ⎪ ⎛δ ⎞ jϕ ⎛δ & By = sh Г ⎜ + z ⎟ + e sh Г ⎜ − z ⎟⎥ . sh Гδ ⎢⎣ ⎠⎦ ⎪⎭ ⎝2 ⎠ ⎝2 48
(П 1.28)
При согласном включении индукторов
jaµA& И & Bz = Г
(ϕ = 0 )
ch Г z sh Г z , B& y = µA& И . ⎛ δ⎞ ⎛ δ⎞ sh⎜ Г ⎟ sh⎜ Г ⎟ 2 ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠
(П 1.29)
Если принять, что толщина слоя δ вдвое больше толщины d слоя при одностороннем индукторе и µ ′′ = ∞ (П 1.3.1), и учесть, что в данном случае двустороннего индуктора начало координат по z смещено в середину зазора, то нетрудно обнаружить, что (П 1.24) и (П 1.29) совпадают. Это вполне закономерно, поскольку в случае двустороннего индуктора плоскость симметрии проходит по средней линии слоя, а в случае одностороннего индуктора ферромагнитная среда за слоем является магнитным шунтом (как идеальный второй сердечник с µ ′ = ∞ и без обмотки). При встречном включении
jaµA& И B& z = Г
(ϕ = π )
ch Г z sh Г z a & =− E x , B& y µA& И = . sω ⎛ δ⎞ ⎛ δ⎞ ch⎜ Г ⎟ ch⎜ Г ⎟ 2 ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠
При холостом ходе (пустом зазоре δ с µ′ = ∞ : - для согласного включения индукторов
B& z = jµ 0 AИ
(П 1.30)
γ = 0 ) и ферромагнитных сердечниках с
ch az sh az , B& y = µ 0 AИ ; ⎛ δ⎞ ⎛ δ⎞ sh⎜ a ⎟ sh⎜ a ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
(П 1.31)
- для встречного включения
B& z = jµ 0 AИ
sh az ch az , B& y = µ 0 AИ . ⎛ δ⎞ ⎛ δ⎞ ch ⎜ a ⎟ ch ⎜ a ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠
(П 1.32)
При холостом ходе и согласном включении индукторов, не имеющих магнитопроводов (γ = 0 , µ = µ 0 , µ ′ = µ 0 ) , aδ 2
⎫ ch az , ⎪⎪ ⎬ aδ −− ⎪ B& y = µ 0 AИ e 2 sh az .⎪⎭ B& z = jµ 0 AИ e
49
−
(П 1.33)
П 1.3.3. Выражения для мощностей и усилий в металлическом полупространстве
Компоненты индукции определяются в соответствии с (П 1.25) при замене в них для общего случая линейной нагрузки AИ тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля на поверхности полупространства H& 0 с учетом (П 1.2)
H& 0 t = H& 0 e j(ω t −ay ) = H 0 e
jψ H
e j(ω t −ay ) ,
(П 1.34)
т.е.
jaµH& 0 jψ H j(ω t − ay ) − Г z ⎫ B& zt = − e e e ,⎪ Г ⎬ ψ j ( ) j ω t − ay − Г z ⎪ B& yt = µH& 0 e H e e , ⎭
(П 1.34а)
а напряженность и плотность тока выражаются в виде
jωµ ω ⎫ E& t = E& e j(ω t − ay ) = − B& zt = H 0 e jψ H e − Г z e j(ω t − ay ) ,⎪ a Г ⎬ ⎪ J& t = γ (E& t + υB& zt ) = γsE& t . ⎭
(П 1.34б)
Распределение плотности активной мощности (потерь в единице объема) в соответствии с (40)
W ( z ) = ∆p ( z ) = где Г = a ( N + jM ), N =
ε0 =
µγω
a2 ε = ε0s ,
1 2
H 02
1 1 &2 ω 2 s 2 µ 2γ 2 J = 2γ 2 Г
∗⎞ ⎛ −⎜⎜ Г + Г ⎟⎟ z ⎠ , e ⎝
( 1 + ε + 1), M = 12 ( 1 + ε − 1) 2
2
,
- электромагнитная добротность устройства,
∗
Г = a 2 1 + ε 2 , Г + Г = 2aN , Г Г = Г 2 = a 2 (1 + jε ) = a 2 1 + ε 2 e 1 N − jM = . Г a 1+ε 2 2
(П 1.35)
jarctg ε
,
Мощность, поступающую в металл через единицу площади на расстоянии z от поверхности (удельная входная мощность), выражается с помощью вектора Пойнтинга как
50
∗
1⎛ ⎞ S (1) ( z ) = ⎜ E& t H yt ⎟ = 2⎝ ⎠
∗
1⎛ & ⎞ 1 ⎜E Hy ⎟ = 2⎝ ⎠ 2
jωµH 02 Г
∗⎞ ⎛ −⎜⎜ Г + Г ⎟⎟ z ⎠ e ⎝
H 02 a ε (M + jN ) − 2 aNz e = , 2 γ s 1+ε 2 (П 1.36)
причем активная мощность
P(1) ( z ) =
ωµH 02 2
∗⎞ ⎛ ⎛ ⎜⎜ Г + Г ⎟⎟ z ⎞ − ⎜1 ⎝ ⎟ H 02 aM ⎠ Jm⎜ e ⎟= 2 γs Г ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
ε 1+ε 2
e − 2 aNz .
(П 1.36а)
Мгновенное значение нормального удельного усилия (плотности усилия по координате z) в соответствии с (15а) записывается в виде
f z ( z ,t ) =
1 ⎛& ∗⎞ 1 Re⎜ B yt J t ⎟ + Re(B& yt J& t ). 2 ⎝ ⎠ 2
(П 1.37)
Первое слагаемое (П 1.37), равное среднему за период значению усилия, преобразуется следующим образом ∗⎞ ⎛ ⎡ −⎜⎜ Г + Г ⎟⎟ z ⎤ 1 ⎛ ⎞ ωsµ γ 2 ⎢ j ⎝ ⎠ ⎥= f z = Re⎜ B& y J ⎟ = H 0 Re − ∗ e ⎢ ⎥ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎢⎣ Г ⎥⎦ .
∗
2
(П 1.37а)
H 02 ε µaM = e − 2 aNz = sµγP(1) (z ). 2 1+ε 2 и отличается от (15б) наличием множителя s (что понятно, поскольку частота токов в металле ωs в s раз отличается от частоты тока индуктора ω ) и видом зависимости от z. Второе слагаемое (П 1.37) характеризует пульсирующую составляющую нормального удельного усилия
1 Re(B& yt J& t ) = 2 1 ⎡ 1 = Re ⎢ µH 0 e jψ H e − Г z e j(ω t −ay ) jωsµγ H 0 e 2 ⎣ Г fz (t ) =
jψ H
⎤ e − Г z e j(ω t −ay ) ⎥ = ⎦
(П 1.37б)
H 02 ε = µaM e − 2 aNz cos (2ω t − 2ay + 2ψ H − 2aMz ). 2 1+ε 2 Мгновенное значение тангенциального (тягового, направленного по оси у) усилия
51
1 ⎛& ∗⎞ 1 f y (z ,t ) = Re⎜ B zt J t ⎟ + Re(B& zt J& t ). 2 ⎝ ⎠ 2
(П 1.38)
После подстановки B& zt и J& t для среднего за период тягового усилия (первое слагаемое) получаем ∗
H 02
1 ⎛ 1 ⎞ f y = Re⎜ B& z J ⎟ = − aω sµ 2γ 2 2 ⎝ 2 ⎠ Г
∗⎞ ⎛ −⎜⎜ Г + Г ⎟⎟ z ⎠ e ⎝
H 02 ε =− aµ e − 2 aNz .(П 2 1+ε 2 1.38а)
Из сравнения (П 1.35) и (П 1.38а) видно, что
fy =
W ( z )a ∆p (z ) 1 = , ω s s υ0
(П 1.38б)
где υ 0 = 2τ f - скорость движения магнитного поля относительно неподвижного индуктора. Структура выражения (П 1.38б) для f y вполне согласуется с теорией асинхронного двигателя: произведение тягового усилия на синхронную скорость дает электромагнитную мощность, а умножение последней на скольжение приводит к выражению для потерь во вторичном элементе двигателя. Второе слагаемое (П 1.38) характеризует пульсирующую с двойной частотой во времени составляющую тягового усилия
⎡ e − 2 Г z j(2ω t − 2 ay + 2ψ H ) ⎤ H 02 1 2 & & aω sµ γ Re ⎢ 2 e fy (t ) = Re(B zt J t ) = ⎥= 2 2 Г ⎦ ⎣ H 02 ε = aµ e − 2 aNz cos (2ω t + 2ψ H − 2ay − arctgε − 2aMz ). 2 1+ε 2
(П 1.38в)
Интегральное среднее за период тяговое усилие, действующее на перпендикулярный поверхности полупространства призматический столбик с поперечным сечением b × l (размеры по осям х и у, рис. 2б) и бесконечной длиной по оси z, определяется как ∞b l
∞
F y = ∫ ∫ ∫ fy dz dx dy =bl ∫ fy dz = FБ F y , 000
(П 1.39)
0
2
где FБ = H 0 lbµ - базисное усилие,
Fy =
ε 2 1+ε 2 2 1 2
1
( 1 + ε + 1) 2
1 = 2 52
1+ε 2 −1
(
2 1+ε 2
)
- относительное значение тягового усилия. (П 1.39а)
Относительное значение интегрального среднего за период нормального усилия вычисляется аналогично с помощью выражения
1⎛ 1 F z = ⎜⎜ 1 − 4⎝ 1+ε 2
⎞ ⎟. ⎟ ⎠
(П 1.39б)
Далее приводим выражения лишь для средних за период значений усилий. Из (П 1.36) можно выразить коэффициент мощности
cos ϕ =
P(1) S (1)
=
M N2 +M2
( 1 + ε − 1) 2
=
24 1 + ε 2
.
(П 1.40)
П 1.3.4. Выражения для усилий, действующих на слой толщиной d, [15]
Компоненты среднего за период удельного усилия по осям y и z вычисляются как [2, 15].
aγωsµ 2 H 02 aµsh Г (d − z ) + Г µ 0 ch Г (d − z )
⎫ fy = ⎪ 2 2 2Г aµch Г d + Г µ 0 sh Г d ⎪ ⎪ γµ 2 H 02 ⎪ f z= Jm { Г [aµsh Г (d − z ) + Г µ 0 ch Г (d − z )]⋅ [aµch Г (d − z ) + ⎬. (П 1.41) 2 2Г ⎪ ⎪ 2 + Г µ 0 sh Г (d − z )]∗ } / aµch Г d + Г µ 0 sh Г d ⎪ ⎪ ⎭ 2
В [15] выражения для интегральных относительных усилий приводятся в функции относительных величин: 2
ω i = Г d = a + jω = α 1 + jε , πd 1 α = ad = , ω = µγωsd 2 , ε = µγωs 2 , µ = µ 0 µ τ a
и имеют вид
53
[
][
⎧ ⎨ ω i ω i shω i + a µchω i ω i chω i + a µ shω i 1 ⎩ Fy = f dz a Jm = ∫ y 2 µH 02 0 2 ω i ω i shω i + α µchω i d
[
]
⎧ 2 2 2 2 a ω i chω i + a µ shω i + a ⎛⎜ µ − 1 ⎞⎟ω i ⎪ 1⎪ ⎝ ⎠ F z = ⎨1 − 2 4⎪ ω i ω i shω i + a µchω i ⎪⎩
[
]
2
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
]∗ ⎫⎬ ⎫⎪
⎭⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬. (П ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭ 1.41а)
Базисное значение усилия
Fбаз
H 02 µV = , d
где V - объем слоя. П 1.3.5. Усилия для слоя в двустороннем индукторе
Принимается, что на поверхностях слоя действует тангенциальная компонента на-
jϕ пряженности поля H& 0 и − H& 0 e , в общем случае не равная линейной плотности тока
jϕ
& или верхнего − A& e индукторов. нижнего A И И Выражения для составляющих плотности усилия в слое определяются с учетом (П 1.28) и (П 1.34), если δ заменить d, ⎫ fy = ⎪ 2 2 Г sh Г d ⎪ ⎪ γωsµ 2 H 02 1⎡ ⎞⎤ ⎪ ⎛d ⎞ jϕ ⎛d fz = Jm ⎢ch Г ⎜ + z ⎟ + e ch Г ⎜ − z ⎟⎥ ×⎬. 2 Г⎣ ⎠⎦ ⎪ ⎝2 ⎠ ⎝2 2 sh Г d ⎪ ∗ d d ⎡ ⎤ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎪ × ⎢ sh Г ⎜ + z ⎟ + e jϕ sh Г ⎜ − z ⎟⎥ ⎪ ⎠⎦ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎣ ⎭ aγωsµ 2 H 02
⎛d ⎞ ⎛d ⎞ ch Г ⎜ + z ⎟ + e jϕ ch Г ⎜ − z ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠
2
(П 1.42)
Интегральные относительные усилия выражаются в функции параметров
ω i = β 1 + jβ 2 =
2 Гd ad = a + jω = a 1 + jε , a = , 2 2
54
2
1 ⎛d ⎞ где ω = µγωs ⎜ ⎟ , ε = µγωs , в следующем виде, [15], для согласного (ϕ = 0 ) и a2 ⎝2⎠ встречного (ϕ = π ) включения индукторов соответственно:
[
]= a
⎫ β 2 sh 2 β 1 + β 1 sin 2 β 2 ⎪ 1 F y согл = H 02 ∫ fy dz = ⎪ 2 2 2 µ ( ) β β β β ch 2 cos 2 + − d 1 2 1 2 ω ω sh i i ⎪ − 2 ⎬ ∗ ⎪ a Jm ω i сhω i shω i β 2 sh 2 β 1 − β 1 sin 2 β 2 ⎪ F y встр = =a 2 2 2 ⎪ β 1 + β 2 (ch 2 β 1 + cos 2 β 2 ) ω i сhω i ⎭ d 2
a Jm ω i shω i chω i ∗
[
]
(
(
)
)
(П 1.43) При произвольном угле сдвига фаз
ϕ
токов верхнего и нижнего индукторов уси-
лие является линейной комбинацией F у согл и F у встр .
Fy =
(1 + cos ϕ )F у согл + (1 − cos ϕ )F у встр .
(П 1.44)
2
Поперечная составляющая интегрального усилия при произвольном в виде
ϕ
( β 12 − β 22 ) sh 2 β 1 sin 2 β 2 F z = sin ϕ 2 (β 1 + β 22 )(sh 2 2β 1 + sin 2 β 2 ) .
выражается
(П 1.44а)
Как видно, при ϕ = 0 или ϕ = π распределение поля симметрично относительно середины слоя z = 0 , поэтому Fz = 0 . П 1.3.6. Учет ослабления поля в зазоре между индуктором и проводящим слоем
Рассмотрим ослабление поля в зазоре δ 0 между односторонним индуктором, имеющим магнитопровод с бесконечной магнитной проницаемостью, и проводящим слоем толщиной d, имеющим характеристики γ и µ = µ µ 0 . Пространство над слоем заполнено непроводящей немагнитной средой. В этом случае отношение напряженности на границе слоя H yo к линейной токовой нагрузке индуктора A0 выражается в виде, [15],
H& yo A0
(
{ (
)
(
)
= 2Г a µ + Г e Гd + a µ − Г e −Гd
)
]
(
− a µ − Г e − aδ 0 e Г d − a µ − Г
} {(a µ + Г ) [(a µ + Г ) e aδ
0
−
) [(a µ − Г ) e aδ − (a µ + Г ) e −aδ ] e Г d }. 0
55
0
(П 1.45)
Для проводящего полупространства, отделенного от индуктора на расстояние из (П 1.45) при d → ∞ получаем
H& yo
2Г
=
.
(a µ + Г ) e aδ − (a µ − Г ) e −aδ В [15] показано, что отношение (H yo A0 ) слабо зависит от ω A0
0
0
δ0 ,
(П 1.46)
и d
τ , т.е. от ха-
рактеристик слоя. Если ω невелико, ослабление поля в зазоре можно рассчитывать, как при холостом ходе индуктора (отсутствии проводящего слоя)
(H& yo
A0 ) = e − aδ 0 = e −πδ 0 τ .
(П 1.47)
⎛ ⎝
П 1.3.7. Особенности расчета при малом зазоре ⎜ d =
Для индукций в слое при малых d =
δ 2
δ
⎞ << τ ⎟ 2 ⎠
→ 0 и µ = µ 0 из (п 1.24) получаем
B& y = 0 ,
где
ε=
ω sµ 0 γ a2
µ A& jaµ 0 A& И =j 0 И , B& z = Г (Г d ) a (1 + jε )d
(П 1.48)
.
Для плотности тангенциального усилия при d → 0 и
fy =
aγω sµ 02 H& 0 2
2Г d
2
µ = µ 0 из (1.41) получаем 2
1 µ0 ε ⎛ H 0 ⎞ = ⎜ ⎟ , 2 a 1+ε 2 ⎝ d ⎠
(П 1.49)
& , так как слой заполняет все пространство между сторонами индуктора. где H& 0 = A И Полученные выражения совпадают с приведенными в [8] и характеризуют индукционные преобразователи энергии с «поперечным» полем, имеющим лишь компоненту индукции по оси z (поперек слоя вторичного элемента). К ним, в частности, относятся линейные асинхронные двигатели транспортных средств [8].
56
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА УСТРОЙСТВА В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
П 2.1. Расчет параметров четырехполюсников и напряженностей на их зажимах
Если кольцевая обмотка индуктора создает бегущее вдоль оси у синусоидальное магнитное поле, то в соответствии с рис. П 2.1 и [8] оно характеризуется следующими компонентами напряженности магнитного поля H , электрического E , плотности тока J , векторного магнитного потенциала A
H = e y H& y + e r H& r , E = eϕ E& , J = eϕ J& , A = eϕ A& .
(П 2.1)
Основное уравнение для комплексной амплитуды векторного магнитного потенциала k-го слоя записывается [8]
d 2 A& km
d ( Г k r )2 2
2
+
⎛ 1 dA& km 1 ⎞⎟ & − ⎜1 + Akm = 0 , Г k r d ( Г k r ) ⎜⎝ ( Г k r )2 ⎟⎠
(П 2.2)
2
где Г k = jωµ k γ k sk − ω µ k ε k + a k аналогично (П 1.14); a k = π τ k , s k - скольжение слоя.
& e j(ω t −ak y ) eϕ и При этом в неподвижной системе координат Akm (r , y ,t ) = A km представляет собой бегущую по оси у волну (как и H km , E& km ). Если α k = 0 , получаем случай плоской волны. Решение (П 2.2) имеет вид
A& km = C k I 1 ( Г k r ) + D k K 1 ( Г k r ) ,
(П 2.3)
где I 1 ( Г k r ) и K 1 ( Г k r ) – модифицированные функции Бесселя первого порядка соответственно первого и второго рода; C k , D k - постоянные интегрирования.
& и H& = 1 1 ∂ rA& , то Если учесть [8], что E& km = − jωA km km km
µ k r ∂r
(
)
E& km = − jω C k I 1 ( Г k r ) − jω D k K 1 ( Г k r ), ⎫ ⎪ Г Г ⎬ H& km = k C k I 0 ( Г k r ) − k D k K 0 ( Г k r ),⎪ µk µk ⎭ 57
(П 2.4)
где I 0 ( Г k r ) и K 0 ( Г k r ) - модифицированные функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка. Нетрудно видеть, что в случае плоской волны решение (П 2.4) совпадает с [2, 5].
Для внешней полубесконечной области с ростом r → ∞ поле должно затухать, поэтому
( ) ⎫⎪⎪ ⎬ Г ′ ′ r ),⎪ ′ ( = − D K Г () ⎪⎭ µ′
′ (r ) = − jωDk′ K 1 Г k ′ r , E& km ′ H& km
k
r
k
k
0
(П 2.5)
k
а «входное» (поверхностное) сопротивление области
( ) ( )
( ) ( )
jωµ k′ K 1 Г k ′ r K 1 Г k ′r ′ ′ zk = = z ck . ′ Г k ′ K Г ′r K0 Г k r k 0
(П 2.6)
Выражая с помощью (П 2.4) E& и H& на «входной» и «выходной» сторонах слоя «i», получаем уравнения, аналогичные (47). Для внешних относительно обмотки 0 индуктора слоев входные величины выражаются через выходные (индекс «m» опускаем)
ri′E& i′ = Г i ′ri′b4′ i (ri′+ 1 E& i′+ 1 ) + jωµ i′ri′+ 1 ri′b2′ i (H& i′+ 1 ),⎫ ⎪⎪ 2 ⎬ Г i′ ′ & & & H i′ = b3′ i (ri′+ 1 Ei′+ 1 ) + Г i ri′+ 1b1′i (H i′+ 1 ) ⎪ ⎪⎭ jωµ i
( )
(П 2.7)
или выходные через входные
′ ri′+1 ⎤ ⎡ Г i ri′+1b1′i ⎥ ⎢ 2 ⎥ = ⎢ Г i′ b3′ i ⎥⎦ ⎢ − ⎣⎢ jωµ i
⎡ E& i′+1 ⎢ ⎢ ⎢⎣ H& i′+1
где
− jωµ i′ri′+1 ri′b2′ i ⎤ ⎡ ri′E& i′ ⎤ ⎥ ⎢ ⎥, ⎥×⎢ ⎥ ⎥ ⎢& ⎥ Г i ′ri′b4′ i H′ ⎦⎥ ⎣ i ⎦
( )
( ( ( (
) ) ) )
( ( ( (
) ) ) )
( ( ( (
) ) ) )
( ( ( (
) ) ) )
b1′ i = K 0 Г i ′ ri′− 1 I 1 Г i ′ ri′ + I 0 Г i ′ ri′− 1 K 1 Г i ′ ri′ , ⎫ ⎪ ⎪ b2′ i = K 1 Г i ′ ri′− 1 I 1 Г i ′ ri′ − I 1 Г i ′ ri′− 1 K 1 Г i ′ ri′ , ⎪ ⎬ b3′ i = K 0 Г i ′ ri′− 1 I 0 Г i ′ ri′ − I 0 Г i ′ ri′− 1 K 0 Г i ′ ri′ ,⎪ ⎪ ′ ′ ′ ′ b4′ i = K 1 Г i ri′− 1 I 0 Г i ri′ + I 1 Г i ri′− 1 K 0 Г i ri′ . ⎪ ⎭ 58
(П 2.8)
(П 2.9)
Для внутренних слоев входные величины выражаются через выходные
− jωµ i ri +1 ri b2i ⎤ ⎡ ri +1 E& i +1 ⎤ ⎡ ri E& i ⎤ ⎡ Г i ri b1i ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 2 = × ( ) Г ⎢ ⎥ ⎢− i b ⎥ Г i ri +1b4 i ⎥ ⎢ ⎢⎣ H& i ⎥⎦ ⎢⎣ jωµ i 3i ⎥⎦ ⎢⎣ H& i +1 ⎥⎦
(П 2.10)
или выходные через входные
⎡ ri + 1 E& i + 1 ⎤ ⎡ A1i ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥=⎢ ⎢⎣ H i + 1 ⎥⎦ ⎣⎢ A3i
A2i ⎤ ⎡ ri E& i ⎤ ⎥ ⎥×⎢ ⎥, ⎥ ⎢ A4i ⎦⎥ ⎢⎣ H i ⎥⎦
(П 2.11)
A1i = Г i ri + 1b4 i ,
где
⎫ A2i = jωµ i ri + 1 ri b2i = z ci ri + 1 ri Г i b2i ,⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎬ Гi Гi A3i = b3i = b3i , ⎪ jωµ i z ci ⎪ ⎪⎭ A4 i = Г i ri b1i .
(П
2.12) Параметры четырехполюсников рис. П 2.2 выражаются в виде
z jωµ 1 = 2 i = ci , A3i Г i b3i Г i b3i
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ z ci (Г i ri + 1b4i − 1),⎪⎬ z α i = ( A1i − 1)z β i = Г i b3i ⎪ ⎪ z z γ i = ( A4 i − 1)z β i = ci ( Г i ri b1i − 1). ⎪ Г i b3i ⎪⎭
zβ i =
(П 2.13)
Дальнейший расчет аналогичен рассмотренному в разделе 6. Следует отметить также, что некоторые особенности связаны с исследованием активных слоев устройства. В рамках этой работы они, однако, не рассматриваются. П 2.2. Аналитические выражения для основных величин в трехслойной системе [15]
Расчетная модель индуктора (с ферромагнитным магнитопроводом или без него) представляет собой цилиндр с токовой линейной нагрузкой
A& 0
на его внутренней поверхности. Внутреннее пространство
59
является рабочим и имеет характеристики скоростью υ y
= 2τf (1 − s ) =
ω a
γ
и
µ . В общем случае оно движется в направлении оси у со
(1 − s ) .
Структура модели 1:
подобласть 1, r ≤ R - рабочее пространство с γ = γ и µ = µ , при r = R справедливы – непрерывность B r и H& (R − 0 ) − H& (R + 0 ) = A = A& e j(ω t −ay ) (далее множитель e j(ω t −ay ) y
ϕ
y
0
опускаем);
подобласть 2, r > R - магнитопровод с γ = 0 , µ = µ ′ , & (∞ ) = 0 . при r → ∞ справедливо H Если индуктор имеет магнитопровод с µ ′ = ∞ , то [15] ⎫ jaµA& 0 I 1 ( Г r ) a B& r = = − E&ϕ ,⎪ Г I 0 (Г R ) ωs ⎪ ⎬ ( ) I Г r 0 ⎪ B& y = µA0 . ⎪⎭ I 0 (Г R ) Поле холостого хода (
γ = 0 , µ = µ 0 ) при наличии магнитопровода с µ ′ = ∞ :
I (ar ) a ⎫ B& r = jµ0 A0 1 = − E& ϕ ,⎪ ω I 0 (aR ) ⎪ ⎬ I 0 (ar ) ⎪ & B y = µ0 A0 ⎪⎭ I 0 (aR ) и без магнитопровода ( µ ′ = µ 0 , σ ′ = 0 ): a ⎫ B& r = jaµ 0 RA0 K 1 (aR )I 1 (ar ) = − E&ϕ ,⎪ ω ⎬ ⎪⎭ B& z = aµ 0 RA0 K 1 (aR )I 0 (ar ). r=
(П 2.14)
(П 2.15)
(П 2.16)
При расчете усилий в общем случае принимается, что на поверхности индуктора с радиусом R1 ≤ R действует осевая составляющая напряженности H& y R1 = H& 0 e j (ω t −ay ) . Компоненты плотности усилия [15]
( )
⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎡ ⎛ ∗ ⎞⎤ ⎬ Jm ⎢ Г I 0 ( Г r )I 1 ⎜⎜ Г r ⎟⎟⎥ ⎪ ⎝ ⎠⎦ ⎪ ⎣ .⎪ 2 I 0 ( Г R1 ) ⎪⎭ 2
asωγµ 2 H 02 I 1 ( Г r ) fy = , 2 I 0 ( Г R1 ) 2Г
fr=
sωγµ 2 H 02 2Г
2
60
(П 2.17)
Относительное интегральное усилие, действующее на отрезок цилиндра объемом V
= πR12 l , вы-
ражается далее в функции относительных параметров 2
ω i = Г R1 = a ω = a 1 + jε где
a = aR1 ; ω = µγωsR12 ; ε = µγωs
Fy =
1 a2
;
( ) ( )
∗ 2aJm ⎡ω i I 0 ω i I 1 ⎛⎜ ω i ⎞⎟⎤ ⎢⎣ F 2 R1 ⎝ ⎠⎥⎦ . = ∫ fy dr = 2 2 µ V H 0 0 ω i I0 ω i
R1
4 R1 µH 02
,
(П 2.18)
Радиальная компонента усилия равна нулю, так как система симметрична относительно оси у. Структура модели 2:
подобласть 1, r < R1 - внутреннее пространство с γ = 0 & y (R1 ) ; при r = R непрерывны B (R ) и H 1
r
r = R2
µ = µ1 ,
1
подобласть 2, R1 ≤ r ≤ R2 при
и
- полый цилиндр с
задана напряженность
γ =γ , µ = µ
,
H y (R2 ) = H& 0 e j(ω t −ay ) (поворачивающий множитель
далее опускаем). Если индуктор двусторонний и его обмотки расположены вне и внутри полого цилиндра, то напряженности поля задаются на внешней и внутренней поверхностях цилиндра как
H& (R1 ) = − H& 0 e j (ω t − ay + ϕ ) ,⎫⎪ ⎬ ⎪⎭ H& (R2 ) = H& 0 e j (ω t − ay ) .
(П 2.19)
Относительное интегральное усилие вычисляется интегрированием плотности усилия по радиусу цилиндра
F= где объем V
(
F 2 R2 VµH 02
=
R2
4 R2
(
R22
−
R12
)
∫ frdr ,
(П 2.20)
µH 02 R1
)
= π R22 − R12 l .
Выражения усилия для характерных случаев имеют вид [15]: а) индуктор односторонний, пространство внутри цилиндра ( r средой с
< R1 ) заполнено непроводящей
µ1 = µ 1 µ0 :
Fy =
{
2aR1 Jm Г R2 [ AI 0 ( Г R2 ) + BK 0 ( Г R2 )] [ AI 1 ( Г R2 ) − BK 1 ( Г R2 )]∗
(1 −
R12
R22
) Г R [AI 2
0
61
( Г R2 ) + BK 0 ( Г R2 )]
2
}
, (П 2.21)
где A = aR1 K 1 ( Г R1 )I 0 (aR1 ) + µ 1 Г R1 K 0 ( Г R1 )I 1 (aR1 ),⎫ ⎪
⎬ B = aR1 I 1 ( Г R1 )I 0 (aR1 ) − µ 1 Г R1 I 0 ( Г R1 )I 1 (aR1 ). ⎪⎭
(П 2.22)
б) индуктор односторонний, пространство внутри цилиндра заполнено идеальным ферромагнетиком с бесконечной магнитной проницаемостью µ 1 = ∞ :
⎧⎪ F y = 2aR2 Jm ⎨ Г R2 [K 0 ( Г R1 )I 0 ( Г R2 ) − I 0 ( Г R1 )K 0 ( Г R2 )] × [K 0 ( Г R1 )I 1 ( Г R2 ) + ⎪⎩
} {(
+ I 0 ( Г R1 )K 1 ( Г R2 )]∗ / 1 − R12 R22
) Г R2 [K0 (Г R1 )I 0 (Г R2 ) − I 0 (Г R1 )K0 (Г R2 )] 2 ⎫⎬⎭. (П 2.23)
в) индуктор двусторонний:
Fy =
(1 − R
2aR2
2 1
)
R22 Г R2
2
⎡ Г R2 M ∗ ± Г R1 N ∗ ⎤ Jm ⎢ ⎥, ∗ S ⎣ ⎦
(П 2.24)
где M = I 1 ( Г R2 )K 0 ( Г R1 ) + I 0 ( Г R1 )K 1 ( Г R2 ) ± 1 Г R2 , ⎫
⎪ N = ± I 0 ( Г R2 )K 1 ( Г R1 ) ± I 1 ( Г R1 )K 0 ( Г R2 ) + 1 Г R1 ,⎬ ⎪ S = I 0 ( Г R2 )K 0 ( Г R1 ) − I 0 ( Г R1 )K 0 ( Г R2 ). ⎭
Верхний знак относится к согласному включению сторон индуктора ( ϕ = π ).
(П 2.25)
(ϕ = 0 ) , а нижний – к встречному
Ослабление поля зазором между внешним односторонним индуктором с радиусом R и сплошным цилиндром с радиусом
R2
нейной нагрузке индуктора
и характеристиками
A0
γ
и
µ
характеризуется отношением
H y0
к токовой ли-
[15]:
а) индуктор имеет магнитопровод с
H y0 A0
µ′ = ∞ :
( ) ( )
1 ⎡ a I1 ω i = ⎢− a ⎢ ωi I ωi 0 ⎣
⎤ S 2 + S4 ⎥ ⎥⎦
−1
;
(П 2.26)
б) индуктор не имеет магнитопровода
H y0 A0
( ) ( )
⎧ 1 ⎪ a I1 ω i = ⎨ a ⎪ ω i I1 ω i ⎩
( ) ( )
( ) ( )
⎡K a ′ S ⎤ ⎡K a ′ S ⎤ 0 1 0 3 S − − − S ⎢ 2⎥ ⎢ 4⎥ ⎢⎣ K 1 a ′ ⎥⎦ ⎢⎣ K 1 a ′ ⎥⎦
62
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
−1
,
(П 2.27)
( ) ( ′ )+ K0 (a )I 1 (a ′ ) ; S 2 = I 0 (a ) K0 (a ′ )+ K0 (a )I 0 (a ′ ) , ⎫⎪ ⎪ S 3 = I 1 (a ) K 1 (a ′ ) − K 1 (a )I 1 (a ′ ) ; S 4 = I 1 (a ) K 0 (a ′ )+ K 1 (a )I 0 (a ′ ) , ⎬ .(П 2.28)
где S1 = I 0 a K 1 a
⎪ ⎪ ⎭
a ′ = aR .
Наличие цилиндра слабо влияет на
H y 0 A0
, поэтому при небольших значениях
ω
распределе-
ние поля можно принимать таким же, как при холостом ходе [15]:
H z 0 A0 = I 0 (aR2 ) I 0 (aR ) ;
(П 2.29)
(µ ′ = ∞ ) , включение сторон согласное (ϕ = 0 ) , полый цилиндр толщиной d с γ и µ , зазор с каждой стороны слоя цилиндра (δ − d ) z : в) индуктор двусторонний с магнитопроводами
H y0 где
a ′ = aδ z .
A0
(
)
(
)
⎡ ⎤ aµ sh a ′− a cthω i ⎥ = ⎢ch a ′− a + ωi ⎣ ⎦
63
−1
,
(П 2.30)
Приложение 3 ДВУСТОРОННЕЕ ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ [4]
Отличие данного случая от рассмотренных ранее поясняет рис. П 2.1. Если ранее мощность поступала в слой лишь с одной стороны, как показано на рис. П 3.1,а, с помощью вектора Пойнтинга S(0), то в данном случае мощность поступает с двух сторон (рис. П 3.1,б и П 3.1,в). Соотношение мощностей S(0) и S(d) определяется соотношением H mS 1 и H mS 2 на поверхностях слоя. Чаще всего рассматриваются симметричные случаи: - на рис. П 3.1,б H mS 1 = H mS 2 (симметрия), а E mS 1 = − E mS 2 (антисимметрия); - на рис. П 3.1,в H mS 1 = − H mS 2 (антисимметрия), а E mS 1 = E mS 2 (симметрия).
Реально первому случаю соответствует слой сердечника индуктора с заданным магнитным потоком через него, а второму – шина с заданным током. Рассмотрим названные случаи отдельно.
П 3.1. Базовый случай одностороннего падения волны В соответствии с (21 б) и учетом обозначений и нумерации, принятых на рис. П 3.1,а, для слоя 2 можем записать
e H& m ( z ) = H mS 1
Г 2 (d − z )
− M 23 e − Г 2 (d − z )
e Г 2d − M 23 e − Г 2d
(П 3.1)
и для плотности тока
e Г 2 (d − z ) + M 23 e − Г 2 (d − z ) − ∂H& m ( z ) & . = Г 2 H mS 1 J m (z ) = Г 2d − Г 2d ∂z e − M 23 e
(П 3.2)
При z 2 << z1 и z 2 << z 3 , т. е. M 23 = 1 , получаем [4]
sh Г 2 (d − z ) H& m (z ) = H mS 1 , sh Г 2 d
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ( ) ch Г d z − 2 J& m ( z ) = Г 2 H mS 1 ,⎪ ⎪⎭ ch Г 2 d
(П 3.3)
H& m (0 ) = H& mS 1 , H m (d ) = 0 ,
⎫ ⎪ 1 ⎬ & ,⎪ J m (0 ) = Г 2 H mS 1cth Г 2 d , J m (d ) = Г 2 H mS 1 sh Г 2 d ⎭
активная мощность в слое 64
(П 3.4)
2 ωµ 2 H mS 1 , P2 = P (0 ) − P (d ) = χ 2γ 2 2 sh 2kd + sin 2kd где χ = ; ch 2kd − cos 2kd
(П 3.5)
k = ωµ 2γ 2 2 . Реактивная мощность в слое 2 ωµ 2 H mS 1 , Q 2 = Q (0 ) − Q (d ) = ξ 2γ 2 2
где
ξ=
(П 3.6)
sh 2kd − sin 2kd . ch 2kd − cos 2kd П 3.2. Случай 2 (симметрия H mS 1 и H mS 2 ) – сердечник
Решение для H& m ( z ) (рис. П 3.2,б) находим наложением двух решений – (П 3.1) для прямой волны и аналогичного решения для обратной волны, которое получается из (П
z − z cz 3.1) при замене координаты z на (d − z ) = z ′ и M 23 на M 21 = 1 . z 1 + z cz
В результате имеем
e H& m ( z ) = H mS 1
Г 2 (d − z )
− M 23 e − Г 2 (d − z )
e Г 2d − M 23 e − Г 2d
+ H mS 2
e Г 2 z − M 21e − Г 2 z
e Г 2d − M 21e − Г 2d
. (П 3.7)
При полной симметрии (когда H mS 1 = H mS 2 , z 1 = z 3 и M 21 = M 23 )
H& m ( z ) = H mS 1
d d −Г 2 ⎞ ⎛d ⎞⎛⎜ Г 2 2 2 ⎟ − M 23 e 2ch Г 2 ⎜ − z ⎟ e ⎟ ⎝2 ⎠⎜⎝ ⎠
(П 3.8)
e Г 2d − M 23 e − Г 2d
и для плотности тока
J& m (z ) = Г 2 H mS 1
d d −Г 2 ⎞ ⎛d ⎞⎛⎜ Г 2 2 2 ⎟ 2 sh Г 2 ⎜ − z ⎟ e − M 23 e ⎟ ⎝2 ⎠⎜⎝ ⎠
e Г 2d − M 23 e − Г 2d
65
.
(П 3.9)
В случае M 23 = 1
(z 3 >> z c 2 )
[4]
⎛d ⎞ ⎫ ch Г 2 ⎜ − z ⎟ ⎪ ⎝2 ⎠, ⎪ H& m ( z ) = H mS 1 d ⎪ ch Г 2 ⎪ 2 ⎬ ⎛d ⎞ ⎪ sh Г 2 ⎜ − z ⎟ ⎝2 ⎠ ,⎪ J& m (z ) = Г 2 H mS 1 ⎪ d ⎪ sh Г 2 ⎭ 2
(П 3.10)
H& m (0 ) = H mS 1 , H m (d ) = H mS 1 ,
⎫ ⎪ ⎬. d d J& m (0 ) = Г 2 H mS 1th Г 2 , J& m (d ) = − Г 2 H mS 1th Г 2 .⎪ 2 2 ⎭
(П 3.11)
Активная мощность в слое
P2 = 2 P (0 ) = ξ где
ξ=
ωµ 2 2 H mS 1 = ξ Pбаз , 2γ 2
(П 3.12)
shkd − sin kd . chkd + cos kd
Реактивная мощность в слое
Q 2 = 2Q (0 ) = ψ где ψ =
ωµ 2 2 H mS 1 , 2γ 2
(П 3.13)
shkd + sin kd . chkd + cos kd
П 3.3. Случай 3 (антисимметрия H mS 1 и H mS 2 ) – шина
Решение получается из (П 3.7) - рис. П 3.2,в - при смене знака перед H mS 2 . Если к тому же H mS 1 = H mS 2 и M 21 = M 23 , получаем
66
H& m (z ) = H mS 1
d d −Г 2 ⎞ ⎛d ⎞⎛⎜ Г 2 2 2 ⎟ 2 sh Г 2 ⎜ − z ⎟ e + M 23 e ⎜ ⎟ ⎝2 ⎠⎝ ⎠
e
Г 2d
− M 23 e
− Г 2d
(П 3.14)
и для плотности тока d d −Г 2 ⎞ ⎛d ⎞⎛⎜ Г 2 2 2 ⎟ + M 23 e 2ch Г 2 ⎜ − z ⎟ e ⎟ ⎝2 ⎠⎜⎝ ⎠. & J m ( z ) = Г 2 H mS 1 Г 2d − Г 2d e − M 23 e
В случае M 23 = 1
(П 3.15)
(z 3 >> z c 2 ) [4] ⎛d ⎞ ⎫ sh Г 2 ⎜ − z ⎟ ⎪ ⎝2 ⎠, ⎪ H& m ( z ) = H mS 1 d ⎪ sh Г 2 ⎪ 2 ⎬ ⎛d ⎞ ⎪ ch Г 2 ⎜ − z ⎟ ⎝2 ⎠ ,⎪ J& m ( z ) = Г 2 H mS 1 ⎪ d ⎪ sh Г 2 ⎭ 2
H m (0 ) = H mS 1 ,
(П 3.16)
H m (d ) = − H mS 1 ,
⎫ ⎪ Г 2d Г 2d ⎬ J m (0 ) = Г 2 H mS 1cth , J m (d ) = Г 2 H mS 1cth . 2 2 ⎪⎭
(П 3.17)
Активная мощность в шине
P1 = 2 P (0 ) = η
где
η=
ωµ 2 2 H mS 1 , 2γ 2
(П 3.18)
shkd + sin kd 2 = kR ; chkd − cos kd kd
kR =
R ~ kd shkd + sin kd = R= 2 chkd − cos kd
(П
3.19) - коэффициент увеличения активного сопротивления шины при переменном токе (при f = 0 имеем k R = 1 ).
67
Реактивная мощность в шине
Q 2 = 2Q (0 ) = χ где
ωµ 2 2 H mS 1 , 2γ 2
(П 3.20)
shkd − sin kd kd = kX ; chkd − cos kd 3 X 3 shkd − sin kd = = X 0 kd chkd − cos kd
χ= kX
(П
3.21) - коэффициент уменьшения реактивного сопротивления шины при переменном токе (при f = 0 получаем k X = 1 );
X 0 - реактивное сопротивление при равномерной плотности тока. Зависимости относительных мощностей ξ и ψ , имствованы из [4] и приведены на рис. П 3.2 и П 3.3.
68
η
и
χ
для указанных случаев за-
Приложение 4 РАСЧЕТ МОЩНОСТЕЙ ПРИ ИНДУКЦИОННОМ НАГРЕВЕ НА ОСНОВЕ [11]
Методика расчета мощностей и КПД установки индукционного нагрева на основе [11] сводится к следующим операциям. 1. Расчет эквивалентной глубины проникновения волны, м,
∆ э = 503 ρ µ r f,
где
(П 4.1)
ρ - удельное сопротивлением металла, Ом⋅м; µ r - относительная магнитная проницаемость слоя (для диэлектрика µ r = 1 ). 2
2
2. Удельные мощности, приходящиеся на 1 м поверхности нагреваемого тела, 2
кВт/м и кВ⋅А/м ,
активная
Pуд = 2 ⋅ 10 − 6 (I 1 w1,0 )2 ρµ r f Fпл.ц ,
реактивная Q уд = 2 ⋅ 10 − 6 (I 1 w1,0 )2
⎫ ⎪ ⎬ ρµ r f Gпл .ц ,⎪⎭
(П 4.2)
где зависимости Fпл .ц , Gпл .ц приведены на рис. П 4.1;
∆ пл - толщина плоского нагреваемого изделия; r0 - радиус наружной поверхности цилиндрической детали; I 1 w1,0 - ампервитки на единицу длины индуктора. Для
полуограниченного
тела
(
(или
плиты
)
с
относительной
толщиной
2 ∆ пл ∆ э ≥ 3 ) и для цилиндров с r0 2 ∆ э ≥ 10 можно принять Fпл.ц = Gпл .ц = 1 , т.е. Pуд = Q уд , а коэффициент мощности
cos ϕ =
Pуд 2 Pуд
2 + Q уд
= 0 ,707 .
(П 4.3)
Для сравнительно «тонких» плит и «тонких» цилиндров Fпл.ц и Gпл .ц определяются по рис. П 4.1, при этом
cos ϕ пл.ц =
(
1
1 + Gпл.ц Fпл .ц
)
2
.
(П 4.4)
3. Для отыскания удельной погонной мощности, т.е. мощности на единицу длины нагреваемого цилиндрического тела, следует (П 4.2) умножить на площадь боковой поверхности цилиндра S 4 = π d 0 l и разделить на длину цилиндра l.
69
Получим для Pп , кВт/м, и Q П , квар/м, соответственно
Pп = 6 ,2 ⋅ 10 − 6 (I 1 w1,0 )2 d 0 ρµ r f Fц , ⎫⎪ ⎬ Qп = 6 ,2 ⋅ 10 − 6 (I 1 w1,0 )2 d 0 ρµ r f Gц .⎪⎭
(П 4.5)
4. Удельные погонные потери мощности в цилиндрическом индукторе определяются так же, как и мощности в нагреваемом цилиндре. Необходимо лишь учесть коэффициент заполнения индуктора проводниковым материалом k зи = hвит .и τ вит .и :
Pпи = 6 ,2 ⋅ 10 − 6 (I 1 w1,0 )2
dи k зи
Qпи = 6 ,2 ⋅ 10 − 6 (I 1 w1,0 )2
dи k зи
⎫
ρ и f Fи , ⎪ ⎪ ⎬ ρ и f Gи ,⎪ ⎪⎭
(П 4.6)
где hвит .и - высота витка индуктора;
τ вит .и - шаг намотки витков. Для
уменьшения
потерь
в
индукторе
желательно
иметь
2 ∆ и ≥ 2 ,7 ∆ эи и ∆ и ≥ 1,35 ∆ эи .
Fпл = 1 , т.е.
5. Электрический КПД системы «индуктор – нагреваемое тело»
ηэ =
Pп 1 = . Pп + Pпи 1 + Pпи Pп
(
При больших частотах, когда r0 помощью выражения
η э пр =
(П 4.7)
)
2 ∆ э ≥ 7 , предельный КПД можно найти с
1 d 1+ и d 0 k зи
ρ и µ rи ρµ r
,
(П 4.8)
η э и cos ϕ уменьшаются с ростом зазора между деталью и индуктором и уменьшением k зи .
причем
При снижении ди и
ρ и µ rи ρµ r КПД растет (обычно индуктор выполняется из ме-
µ rи = 1 ).
70
Приложение 5 РАСЧЕТ НАГРЕВАТЕЛЬНОГО УСТРОЙСТВА СТАЛЬНОГО ЦИЛИНДРА [12, 13, 14]
На рис. П 5.1 показаны система «цилиндрический индуктор – стальной цилиндр» и ее электрическая схема замещения (б). Основные обозначения: l1 , l 2 - длины индуктора и заготовки; d 1 , d 2 - диаметры индуктора и заготовки; z m 2 - магнитное сопротивление стального цилиндра (заготовки); RmS и Rm 0 - магнитные сопротивления, соответствующие потокам рассеяния в зазоре между индуктором и металлом и вне системы; U& , I и напряжение питания и ток индуктора; w – число его витков. На схеме рис. П 5.1,б показаны соответствующие магнитным сопротивлениям рис. П 5.1,а электрические сопротивления, а также сопротивления R1 и X 1m обмотки индуктора.
Схема расчета [14] 1. Определяем глубину проникновения поля в индуктор и в сталь, м
∆ = 503 ρ µ f . 2. Задаемся размерами индуктора (внутренний радиус r1 и длина l1 ) и определяем активное и реактивное сопротивления пустого медного индуктора, Ом,
R1 = 1,75 ⋅ 10 −6
r1 f w 2 k R1 , l1
X 1 = 24 ,8 ⋅ 10 −8
fr12 w 2 , l1 + 0 ,9 r1
где k R1 - коэффициент, учитывающий увеличение сопротивления при малых толщинах стенки индуктора. 3. Определяем активное и реактивное сопротивления заготовки, Ом,
R2 = 8 ,6 X 2m
ρ 2 r2
,
∆ 2 l2 ρ r = 6 ,28 2 2 . ∆ 2 l2
71
4. Находим индуктивные сопротивления в зазоре X s и обратного замыкания магнитного потока X 0 , Ом,
X s = 24 ,8 ⋅ 10 X 0 = 24 ,8 ⋅ 10
−8
−8
r12 − r22 f , l2
r12 k X 1 f , l1 − l 2 k X 1
где с некоторым приближением
1
kX1 ≈
r 1 + 0 ,9 1 l1
.
Коэффициент приведения параметров
C=
X 02
R22
+ ( X 0 + X s + X 2m )
2
.
5. Сопротивления нагруженного индуктора, Ом,
R = R1 + w 2 CR2 ,
⎡ R22 + ( X s + X 2 m )2 ⎤ X = w C ⎢ X s + X 2m + ⎥, X 0 ⎣⎢ ⎦⎥ 2
Z = R2 + X 2 . 6. Электрический КПД
ηэ =
R − R1 . R
7. Коэффициент мощности
cos ϕ = R Z . 8. Активная и реактивная мощности индуктора, кВт и квар,
P= Q=
U2 2
Z U2 Z
2
R ⋅ 10 −3 , X ⋅ 10 −3 .
72
9. Ток индуктора, А,
Iи = U Z .
10. Число витков. Если число витков заранее неизвестно, то в расчете полагаем w = 1 и затем число витков находим по формуле
w=
U R′ , Z ′ P ⋅ 10 −3
где Z ′ и R ′ – сопротивления при w = 1 . При расчете глубины проникновения поля в сталь следует учитывать зависимости ее ρ и µ от температуры и напряженности магнитного поля Н [12]. Усредненная температурная зависимость удельного сопротивления (для ст.45) приведена ниже
t ,o C ....................
20
100
200
300
400
500
600
ρ ;10 −7 , Ом⋅м .....
1,89
2,38
3,12
3,99
5,04
6,26
7,7
µ
Магнитная проницаемость
o
стали является функцией Н и t , C , т.е.
а) для области сильных полей ( H > 4 ⋅ 10
3
А/м) усредненная зависимость
µ (H )
стали:
H ⋅ 10 3 , А/м .......
µ
.........................
H ⋅ 10 3 , А/м .......
µ
.........................
4
8
15,9
23,9
39,9
79,7
159,4
299
164
89,2
63,3
39,7
21,0
11,1
239,1
318,8
358,7
398,5
477
557
7,8
6,1
5,5
5,1
4,4
3,9
o
б) до t = 500 − 600 C падает до нием
µ
o
снижается с ростом t , C незначительно, а затем резко
( )
µ = 1 при точке Кюри ( ~ 770 o C ); зависимость µ t oC описывается выражеµ t = 1 + (µ 20 − 1)ϕ (t ) ,
µ 20 - относительная магнитная проницаемость стали при 20 o C для заданного значения Н; ϕ (t ) - функция, вводящая поправку на температуру и заданная графиком рис. П 5.2. где
73
Рис. 1. Система координат и направления векторов напряженностей ЭМП
РИС. 3. ДВУХСЛОЙНАЯ МЕТАЛЛИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА
74
Рис. 2. Распределение напряженности H m и плотности тока J m (а), относительных удельных сил F уд и давлений Pсж (в) в металлическом полупространстве и его единичный участок (б)
75
Рис. 4. Трехслойная структура
а
б Рис. 5. Векторы напряженностей и Пойнтинга для падающей, отраженной и преломленной волн ЭМП (а), а также схема отражения и преломления волн (б) 76
Рис. 6. Схема суперпозиции волн (а), а также зависимости относительных
удельных сил F уд и давлений Pсж (б) в металлическом слое
77
Рис. 7. Зависимости cos ϕ , удельных активной
χ
и реактивной
ξ
мощностей металлического слоя от его относительной толщины kd =
78
d
δ
= d∗
РИС. 8. СХЕМА СУПЕРПОЗИЦИИ ВОЛН ЭМП В МНОГОСЛОЙНОЙ СИСТЕМЕ
а
б Рис. 9. Четырехполюсник слоя (а) и его Т-образная схема замещения (б)
Рис. 10. Каскадное включение четырехполюсников
79
Рис. 11. Единичный участок слоя и его магнитное и электрическое сопротивления
РИС. 12. РАСЧЕТНАЯ ОБЛАСТЬ
80
Рис. 13. Полная (а) и упрощенная (б) схемы замещения расчетной области рис. 12
81
РИС. П 1.1. БЕГУЩАЯ ВОЛНА ПЛОТНОСТИ ТОКА ИНДУКТОРА
РИС. П 2.1. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ МНОГОСЛОЙНАЯ СТРУКТУРА
82
РИС П 2.2. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ СЛОЯМ РИС. П 3.1
83
Рис. П 3.1. Варианты одностороннего (а) распространения волны, а также двустороннего при симметрии (б) и антисимметрии (в) Н в слое
Рис. П 3.3. Зависимости от kd активной η , реактивной χ мощностей, а также cos ϕ , коэффициентов изменения активного и реактивного сопротивлений шины при переменном токе
Рис. П 3.2. Зависимости относительных активной ξ и реактивной ψ мощностей, а также cos ϕ от kd при симметрии Н в слое (пунктиром показаны кривые для ферромагнитного слоя)
84
Рис. П 4.1. Зависимости Fпл.ц , G пл .ц от относительной толщины пластины и относительного радиуса детали
85
а
б
Рис. П 5.1. Схема замещения (б) системы индуктор – металл (а) по методу расчета по магнитному потоку
Рис. П 5.2. Зависимость
ϕ
o
от температуры стали t ,C
86
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Л.: Энергоатомиздат, 1981. Т.1. 536 с. 2. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Л.: Энергоатомиздат, 1981. Т.2. 416 с. 3. Туровский Я. Техническая электродинамика. /Пер. с польск. М.: Энергия, 1974. 488 с. 4. Туровский Я. Электромагнитные расчеты элементов электрических машин /Пер. с польск. М.: Энергоатомиздат, 1986. 200 с. 5. Расчет электромагнитных полей в магнитопроводах. Методические указания и расчетно-графические работы по курсу «теоретические основы электротехники»/В.М.Валек, А.Л.Виницкий, А.А.Янко-Триницкий. Свердловск: УПИ, 1986. 40 с. 6. Болотов А.В., Шепель Г.А. Электротехнологические установки: Учеб. для вузов по спец. «Электроснабжение промпредприятий». М.: Высшая школа, 1988. 336 с. 7. Вайнберг А.М. Индукционные плавильные печи. М.: Энергия, 1967. 496 с. 8. Линейные асинхронные двигатели /О.Н.Веселовский, А.Ю.Коняев, Ф.Н.Сарапулов. М.:Энергоатомиздат, 1981. 256 с. 9. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. 544 с. 10. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков /Пер. с англ. М.:Мир, 1986. 229 с. 11. Электротехнологические промышленные установки: Учебное пособие. /Под ред. А.Д.Свенчанского. М.: Энергоатомиздат, 1982. 398 с. 12. Кувалдин А.Б. Индукционный нагрев магнитной стали на промышленной частоте//Итоги науки и техники. Электротехнология. 1976. Т.2. М., 82 с. 13. Слухоцкий А.Е., Рыскин С.Е. Индукторы для индукционного нагрева. Л.:Энергия, 1974. 280 с. 14. Шамов А.Н., Бодажков В.А. Проектирование и эксплуатация высокочастотных установок. Л.: Машиностроение, 1974. 280 с. 15. Круминь Ю.К. Основы теории и расчета устройств с бегущим магнитным полем. Рига: Зинатне, 1983. 278 с.
87
ОГЛАВЛЕНИЕ
1.
ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................... ПЛОСКАЯ ВОЛНА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ................................. 1.1. Волна в проводящем полупространстве ( ε
= 0 ) ................................... 1.2. Волна в диэлектрическом полупространстве (γ = 0 ) ........................ 1.3. Волна в полупроводниковой среде ( γ ≠ 0 , ε ≠ 0 ) .............................. 2.
3 5 9 10
НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В МНОГОСЛОЙНОЙ СИСТЕМЕ ..................................................................................
12
2.1. Двухслойное проводящее полупространство ...........................................
12 14
2.2. ТРЕХСЛОЙНАЯ СИСТЕМА) ........... ...................................................................... 3.
3
ВОЛНОВОЙ МЕТОД РАСЧЕТА [1, 2, 3] ....................................................................
3.1. Общие положения .........................................................................................
15
15
3.2. Применение волнового метода для трехслойной структуры ............... 17
4. 5.
6.
3.3. СИСТЕМА С ПРОИЗВОЛЬНЫМ КОЛИЧЕСТВОМ СЛОЕВ ..........................................
23
МЕТОД Е-Н-ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ [8] .................................................
23
ФОРМУЛЯР РАСЧЕТА МОЩНОСТЕЙ МЕТОДОМ Е-Н-ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ .......................................................................
31
ПРИМЕР РАСЧЕТА ............................................................................................
36
Приложение 1. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА БЕГУЩЕГО МАГНИТНОГО
42
ПОЛЯ В МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛОСКОЙ СТРУКТУРЕ ........ П 1.1. Случай неподвижных слоев структуры ........................................
88
42
П 1.2. Случай движущихся слоев ............................................................. П 1.3. Аналитические выражения для основных величин [15] ............ П 1.3.1. Выражения для индукций и напряженностей [15] ...... П 1.3.2. Особенности магнитного поля в проводящем слое при двустороннем индукторе [15] ........................................ П 1.3.3. Выражения для мощностей и усилий в металлическом полупространстве ............................................................. П 1.3.4. Выражения для усилий, действующих на слой толщиной d [15] ............................................................... П 1.3.5. Усилия для слоя в двустороннем индукторе ................. П 1.3.6. Учет ослабления поля в зазоре между индуктором и проводящим слоем ....................................................... П 1.3.7. Особенности расчета при малом зазоре
44
46
47 48 50 53 54 55
δ ⎞ ⎛ ⎜ d = << τ ⎟ ................................................................. 56 2 ⎠ ⎝
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА УСТРОЙСТВА 57 В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ ................................................ П 2.1. Расчет параметров четырехполюсников и напряженностей на их зажимах .......................................................................................
57
П 2.2. Аналитические выражения для основных величин
в трехслойной системе [15] ..........................................................
59 64
Приложение 3. ДВУСТОРОННЕЕ ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ [4] ...... П 3.1. Базовый случай одностороннего падения волны ......................... 64 П 3.2. Случай 2 (симметрия H mS 1 и H mS 2 ) – сердечник .................... 65 П 3.3. Случай 3 (антисимметрия H mS 1 и H mS 2 ) – шина ..................... 66
Приложение 4. РАСЧЕТ МОЩНОСТЕЙ ПРИ ИНДУКЦИОННОМ
69
НАГРЕВЕ НА ОСНОВЕ [11] ......................................................
Приложение 5. РАСЧЕТ НАГРЕВАТЕЛЬНОГО УСТРОЙ89
71
СТВА СТАЛЬНОГО ЦИЛИНДРА [12, 13, 14] .....................................
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ............................................................
90
87
Федор Никитич Сарапулов
РАСЧЕТ МОЩНОСТЕЙ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИЛ В УСТАНОВКАХ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА
Редактор издательства - И.Г.Южакова Компьютерный набор - Л.С.Гробова
ЛР № 0203/5 от 23.12.96 г.
Подписано в печать 03.07.98 Формат 60 х 841/8 Бумага типогр. Уч.-изд.л. 5,0
Офсетная печать Тираж 100
Заказ 66
Издательство УГТУ
620002, г.Екатеринбург, ул.Мира, 19.
ЗАО УМЦ УПИ 620002, г.Екатеринбург, ул.Мира, 17.
Усл.п.и.л. 5,23 Цена «С»