Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях: Методические указания к решению задач

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Мальцев Ю.Ф., Латуш Л.Т., Махно В.И.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач “Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях” для студентов физического факультета

Ростов-на-Дону 2007

Методические указания разработаны кандидатом физико-математических наук, доцентом кафедры общей физики Ю.Ф. Мальцевым, Л.Т. Латуш, В.И. Махно.

Ответственный редактор

профессор А.С. Богатин

Компьютерный набор и верстка

доцент Л.Т. Латуш

Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического факультета ЮФУ, протокол № от 2007 г.

2

Попадая в электрические и магнитные поля заряженные частицы оказываются под действием определенных сил и изменяют свое первоначальное движение. Изучая эти движения можно определить отношение заряда к массе q/m и отсюда получить ценные сведения о природе этих частиц. Воздействуя на потоки электронов и ионов электрическими и магнитными полями можно управлять этими потоками, т.е. изменять их силу и направление движения, это лежит в основе действия различных важных электронных приборов (осциллографов, электронных микроскопов, ускорителей заряженных частиц, телевизионных трубок и др.). 1. Однородное электрическое поле

Пусть частица, двигавшаяся со скоростью v0 вдоль оси х, попадает в электрическое поле. Предполагается, что зазор между пластинами мал по сравнению с их длиной l. Ось у параллельна полю, т.е. Еу = Е. Магнитного поля нет. На заряженную частицу действует только сила электрического поля и направлена она вдоль оси у.

y

q +

x

Траектория движения частицы лежит в плоскости ху и уравнения движения принимают вид: dv y q dv x = 0; = E dt dt m 3

Движение происходит под действием постоянной силы и подобно движению горизонтально брошенного тела в поле сил тяжести. Поэтому ясно, что частица будет двигаться по параболе. Вычислим угол ϑ , на который отклонится пучок частиц после прохождения через конденсатор. Интегрируя первое уравнение, находим vx =

dx = const = v0 dt

Интегрирование второго уравнения дает ⎛q⎞ v y = ⎜ ⎟ Et + C ⎝m⎠

где t = l/v0 – время нахождения частицы в поле. При t = 0 v0 =0, следовательно С=0, и окончательно vy =

dy q l = E dt m v0

Угол отклонения найдем из выражения tgϑ =

dy dy = dx dt

dx q l = E dt m v0

Отклонение пучка существенно зависит от удельного заряда частицы. 2. Однородное магнитное поле Рассмотрим теперь случай, когда нет электрического поля, но имеется магнитное поле. Пусть частица обладающая начальной скоростью v0, попадает в магнитное поле с индукцией В. Это поле однородно и перпендикулярно к скорости v0. Из формулы F = q[vB] следует, что действующая на частицу сила всегда перпендикулярна к скорости движения частицы. Это значит, что работа этой силы всегда равна нулю. Следовательно, модуль скорости и энергия частицы остаются постоянными при движении. Модуль силы F=qvB также остается постоянным. Эта сила, будучи перпендикулярной к направлению движения, является центростремительной силой. Но движение под действием постоянной по модулю цен4

тростремительной силы есть движение по окружности. Радиус этой окружности определяется из условия: mv 2 = qvB , r

откуда v (q m )B

r=

Кругообразное движение заряженных частиц в магнитном поле обладает важной особенностью: период обращения не зависит от энергии частицы. Действительно, период обращения равен T=

2πr , v

подставляя сюда r, имеем T=

Частота ω =

2π 1 ⎛⎜ q ⎞⎟ B ⎝ m⎠

2π ⎛ q ⎞ = ⎜ ⎟ B называется циклотронной частотой. Если начальная скоT ⎝m⎠

рость частица составляет некоторый угол α с направлением поля, то в этом случае удобно разложить скорость v0 на две составляющие, одна из которых vτ = v0 cos α параллельна полю, а другая vn = v0 sin α перпендикулярна полю. На частицу действует сила Лоренца, обусловленная составляющей vn , и и частица движется по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной полю. Составляющая vτ не вызывает появления добавочной силы, поэтому в направлении поля частица движется по инерции, равномерно, со скоростью vτ = v0 cos α . В результате сложения обоих движений частица будет двигаться по цилиндрической спирали. Шаг винта этой спирали равен h = vτT = v0T cos α . Подставляя вместо Т его выражение имеем h=

2πv0 cos α (q m ) ⋅ B

5

Задача 1. В момент t = 0 из одной пластины плоского конденсатора вылетел электрон с пренебрежительно малой скоростью. Между пластинами приложено ускоряющее напряжение, меняющееся во времени по закону U = εt , где ε = 100 В/с. Расстояние между пластинами l = 5 см. С какой скоростью электрон полетит к противоположной пластине? Запишем второй закон Ньютона: ma = eE . Учитывая, что E = U l = εt l

исходное

уравнение можно записать в виде dv e εt = dt m l

отсюда, после интегрирования v=

e ε t2 mt 2

С другой стороны l = ∫ vt = l t = v 3 t2 =

e ε t3 2m l 3

отсюда

9l 2 v2

Подставим это в ( ) e ε 9l 2 m l 2v 2 9 e εl v3 = 2m 9εle м = 16 ⋅10 3 v=3 2m с

v=

где е = 1,6⋅10-19 Кл, m = 9,1⋅1031 Кл. Задача 2. Протон, ускоренный разностью потенциалов U = 500 кВ, пролетает поперечное магнитное поле с индукцией В = 0,51 Тл. Толщина области с полем d = 10 см. Найти угол α отклонения протона от первоначального направления. 6

В магнитном поле на электрон действует сила Лоренца,

B

α

перпендикулярная скорости. Электрон начнет двигаться по

R

окружности радиуса R. Так как диаметр окружности больше α

v

толщины области с полем, то электрон вылетает из этой области по касательной к окружности. Итак Fлор = Fц .с . , evB =

mv 2 , R

R=

mv eB

При ускорении электрона в электрическом поле eU =

mv 2 2mU , v= , 2 m

тогда R=

1 2mU B e

Из рисунка ⎛ e ⎞ ⎟ = 30° α = arcsin⎜⎜ dB ⎟ 2mv ⎝ ⎠

Задача 3. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 1 кВ, движется в однородном магнитном поле под углом α = 0° к вектору В, модуль которого В = 29 мТл. Найти шаг винтовой траектории электрона. В этом случае удобно разложить скорость v0 на две составляющие, одна из которых vn

v0

vt = v0 cos α

параллельна

полю,

а

другая

vn = v0 sin α перпендикулярна к полю. На частицу дейст-

вует сила Лоренца, Обусловленная составляющей vn, и

α vt

B

частица движется по окружности, лежащей в плоскости перпендикулярной к полю. Составляющая vt не вызыва-

7

ет появления добавочной силы, так как сила Лоренца при движении частицы параллельно полю равна нулю. Поэтому в направлении поля частица движется по инерции, равномерно, со скоростью vt = v0 cos α . В результате сложения обоих движений частица будет двигаться по цилиндрической спирали. Шаг винта этой спирали h = vtT = v0T cos α . Найдем Т: mvn2 = evn B; R

vn =

eBR . m

С другой стороны vn =

2πR . T

T=

2πm . eB

Из двух последних формул находим

Шаг винта спирали h=

2πv0 m cos α eB

Так как электрон ускоряется разностью потенциалов U, то mv02 = eU ; 2

v0 =

2eU m

Окончательно имеем h=

2eU 2πm ⋅ ⋅ cos α = m eB

2mU 2π ⋅ ⋅ cos α = 2 см e B

3. Определение удельного заряда электронов методом магнитной фокусировки Отклонение, испытываемое заряженными частицами в электрическом и магнитном полях, существенно зависят от удельного заряда частиц. Поэтому, из-

8

меряя это отклонение, можно определить удельный заряд частиц q m . Если скорость частиц известна, то достаточно измерить лишь одно из отклонений – либо в магнитном, либо в электрическом поле. Примером такого подхода может служить метод магнитной фокусировки для определения удельного заряда электронов. Электроны с заданной скоростью проходят через диафрагму, которая имеет кольцевую щель, причем центр соответствующей ей окружности лежит на оси пучка. Эта диафрагма пропускает только те электроны, которые движутся по образующим конуса с углом раскрытия 2α.

в к

Вся система находится внутри цилиндрической 1

2

э

стеклянной трубки, из которой выкачан воздух. На

трубку снаружи надевается длинная катушка (соленоид), создающая внутри трубки однородное магнитное поле с известной индукцией В, направленной параллельно оси пучка. В этом случае электрон движутся по цилиндрическим спиралям и попадают на люминисцирущий экран Э. На рис.

К – накаленная проволока.

Ускоряющее электрическое поле создается между проволокой и диафрагмой Д1. Все электроны, вышедшие из диафрагмы под одним и тем же углом α, вновь пересекут ось пучка на расстояниях h, 2h и т.д., где h – шаг винта спирали. В этих точках сечение пучка будет наименьшим, т.е. в них электронный пучок будет фокусироваться. Если изменять магнитное поле или скорость электронов, то первоначальное размытое изображение пучка на экране будет периодически стягиваться в ярко светящееся пятнышко. Если расстояние между Д1 и экраном Э равно h, то пучок будет таким как показано на рисунке. Задача 4. Слабо расходящийся пучок нерелятивистских заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов U выходит из точки А вдоль оси прямого соленоида. Пучок фокусируется на расстоянии l от точки А при двух последователь-

9

ных значениях индукции магнитного поля В1 и В2. Найти удельный заряд q m частиц. Определим скорости вдоль поля vt = v0 cos α и перпендикулярно полю vn = v0 sin α . По условию задачи угол α очень мал, поэтому cosα ≈ 1 и vt ≈ v . В плос-

кости перпендикулярной направлению поля В имеет место равенство Fлор = Fц .с . или qvn B =

mv 2 qBR 2πR 2π . Для vn имеем vn = . Итак T = . Для двух значений = R m T ⎛⎜ q ⎞⎟ B ⎝ m⎠

поля имеем

T1 B2 B = ; T2 = 1 T1 . T2 B1 B2

Согласно условию на пути l укладывается целое число шагов для Т1 и Т2 l = vnT1 = v(n + 1)T2 = v(n + 1)

B1 T1 . B2

Перепишем это в следующем виде l=

B1 B vnT1 + 1 vT1 , B2 B2

l=

B1 B l + 1 vT1 . B2 B2

Отсюда ⎞ l⎛B T1 = ⎜⎜ 2 − 1⎟⎟ . v ⎝ B1 ⎠

Учитывая, что T1 =

2π ⎛⎜ q ⎞⎟ B ⎝ m⎠ 1

запишем q U 2πvB q m = = m B1l (B2 − B1 ) l (B2 − B1 ) 2π 2

10

(1)

Здесь учтено, что v =

2qU . Возведя равенство (1) в квадрат, получим m 2

2 ⎛ q ⎞ ⎛ q ⎞ 8π U . ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ 2 ⎝ m ⎠ ⎝ m ⎠ l (B2 − B1 )

Окончательно имеем 8π 2U ⎛q⎞ ⎜ ⎟= 2 ⎝ m ⎠ l (B2 − B1 )

Задача 5. Пучок нерелятивистских заряженных частиц проходит не отклоняясь через область А, в которой созданы поперечные взаимно-перпендикулярные электрическое и магнитное поля с напряженностью Е и индукцией В. Если магнитное поле выключить, след пучка на экране Э сместится на ∆x .Зная расстояния а и b, найти удельный заряд q m . Чтобы частица могла пройти через область А не отклоняясь, ее скорость, параллельная обкладкам конденсатора, должна соответствовать условию v = мя . . . . .

∆х

. А. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . а

конденсатора

a aD = . Смещение d перпендиv E

∆ х1

t1 =

d

кулярно обкладкам конденсатора d=

qE βt 2 , где ускорение β = . То2 m

qa 2 B 2 . Скорость перпендигда d = 2mE

b Э

частицы из конденсатора v⊥ = βt1 =

пролета

E , а вреB

кулярная обкладкам

при вылете

qaB . Время нахождения частицы в области b m

11

qabB 2 b bB равно t 2 = = . Отсюда ∆x = v⊥ t 2 = . Смещение частицы на экране, при v E mE

выключенном поле ∆x = d + ∆x1; ∆x =

qa 2 B 2 qabB 2 q B 2 a(a + 2b ) . + = 2mE mE m 2E

Окончательно: q 2 E∆x = m a (a + 2b )B 2

Задача 6. Из точки, лежащей на оси прямого соленоида, вылетает нерелятивистский электрон со скоростью v под углом к оси. Индукция магнитного поля В. Найти расстояние r от оси до точки попадания электрона на экран, расположенный перпендикулярно к оси на расстоянии l от точки А. Скорость электрона, перпендикулярную полю В обозначим v⊥ = v0 sin α , а параллельную полю v = cos α . Скорость v⊥ определяет вращательное движение по окружности радиуса R (на рис а) она обозначена пунктиром). Плоскость окружности перпендикулярна полю и точка О ее центр. На рис.б точкой М обозначено положение электрона на этой окружности, когда электрон сместится вдоль поля на расстояние l. Радиус

окружности

v sin α . Время движения R= ⎛e⎞ B⎜ ⎟ ⎝m⎠

электрона t =

l . Периv cos α

од обращения по окружно2π сти T = . Имея ввиду e B m

М R О

R

r ϕ

А О В

рис.а

( )

12

рис.б

А

( )

e Bl 2π r ϕ что ω = , найдем угол ϕ = ωt = m . Из рис.(б) найдем = R sin . Для расстояT v cos α 2 2

ния r получим

( )

e 2v sin α ⎡⎢ m Bl ⎤⎥ sin r= ⎢ 2v cos α ⎥ Be m ⎣ ⎦

( )

4. Определение удельного заряда β - частиц

Радиоактивные вещества самопроизвольно испускают из недр своих ядер различные излучения. Среди этих излучений имеются так называемые β - частицы, представляющие собой поток отрицательно заряженных электронов, движущихся с большой скоростью. В том, что эти частицы действительно являются электронами, удалось установить с помощью следующего опыта. Радиоактивный препарат (РП) испускает β - частицы, которые движутся в вакууме в узком зазоре между пластинами плоского конденсатора и попадают на фотопластинку Ф. Весь прибор помещается в сильное магнитное поле, перпендикулярное к направлению электрического поля и к направлению движения частиц. Частицы, движущиеся между пластинами конденсатора, находятся под действием электрического и магнитного полей. Чтобы частица могла пройти через конденсатор она не должна отклоняться, а значит полная сила, действующая на частицу, должна равняться нулю. Итак Fэл − Fмаг = 0 , т.е. eE = evB . Отсюда находим v =

E . Частицы, имеющие B

другие скорости, попадают на пластины и выбывают из пучка, так что за конденсатором получается пучок β - частиц с одинаковой скоростью. За пределами конденсатора на пучок действует только магнитное поле, и пучок изгибается по окружности. Радиус этой окружности находится из условия

13

mv 2 = evB 2

Отсюда r=

Если

изменить

mv E = e eB B2 m

( )

направление

обоих полей Е и В на противо-

z

положные, то пучок будет искривляться в другую сторону. +

Радиус окружности r можно определить,

измеряя

смещение

пучка z1 на фотопластинке и

z1 O

х

РП x1

зная расстояние х1 от края кон-

Ф

денсатора до пластинки. Тогда уравнение круговой траектории частиц относительно точки О есть (z − r )2 + x 2 = r 2 . Полагая x = x1 , z = z1 получим для радиуса x12 + z12 r= 2z1

Таким образом, зная Е, В, х1 и z2 можно найти e E = 2 m rB

Измерения показали, что измеренная величина

e зависела от скорости частиц. m

Она оказалась тем меньше, чем больше скорость частиц. Учет зависимости массы частиц от скорости m=

14

m0 1− v

2

c2

показал, что постоянной должна оставаться не величина

e , где m0 масса покояm0

щегося электрона. Удельный заряд покоящегося электрона оказался равен 1,76⋅1011 Кл/кг. Задача 7. Нерелятивистская заряженная частица пролетает электрическое поле цилиндрического конденсатора и затем попадает в однородное поперечное магнитное поле с индукцией В. В конденсаторе частица движется по дуге окружности, в магнитном поле – по полуокружности радиуса r. Разности потенциалов на конденсаторе U, радиусы обкладок а и b. Найти скорость частицы и ее удельный заряд q/m. Когда частица попадает в пространство конденсатора ее скорость перпендикулярна q

полю Е. Так как, по условию, частица движется по дуге окружности, то имеет место равенство qE =

r

mv 2 r

Выражение для Е в цилиндрическом конВ

денсаторе имеет вид E =

λ , где λ - за2πε0 r

ряд на единицу длины. Учитывая, что b

U

a

b r ln a

U = ∫ Edr , из последних двух формул получим E =

v2 =

. Из первой формулы

qEr q U = ⋅ . В магнитном поле скорость частицы по модулю не меняется и m m ln b a

имеет место равенство qvB =

mv 2 qBr →v= . Квадрат этой скорости приравняем к r m

15

2 q q U ее величине, полученной выше v 2 = ⎛⎜ ⎞⎟ B 2r 2 = ⋅

m ln (b a )

⎝m⎠

и для v =

q . Отсюда ⎛⎜ ⎞⎟ = ⎝m⎠

U

B 2 r 2 ln (b a )

U br ln (b a )

Задача 8. Пучок нерелятивистских протонов проходит, не отклоняясь, через область, в которой созданы однородные поперечные электрическое и магнитное поля с Е = 120 кВ/м и В = 50 мТл. Затем пучок попадает на заземленную мишень. Найти силу, с которой пучок действует на мишень, если ток в пучке I = 0,8 мА. Так как по условию пучок не отклоняется, то evB = eE . Отсюда v = E B . Согласно второму закону Ньютона, и так как на мишени скорость электронов равна нулю F=

∆P mvN = t t

За время t на мишень попадает N = nSvt частиц, где n – концентрация частиц в пучке, S - сечение пучка. Ток в пучке I = envS, тогда N = F=

mvI . l

F=

mEI = 20 мкН . eE

Заменим

скорость,

полученным

выше

It . С учетом этого l

выражением

и

тогда

Задача 9. С поверхности цилиндрического провода радиуса а, по которому течет ток I, вылетает электрон с начальной скоростью v0, перпендикулярной поверхности провода. На какое максимальное расстояние удалится электрон от оси провода, прежде чем повернуть обратно под действием магнитного поля тока? Частица вылетает по направлению r с поверхности провода. Пусть k и i единичные вектора соответственно вдоль оси z и радиус-вектора r. Единичный вектор j определим как j=[ki]. Со стороны магнитного поля тока I на электрон будет действовать сила Лоренца Fл = e[vB] и j будет единичным вектором магнитной индукции, т.е В=Вj. Радиус-вектор электрона в некоторый момент времени

16

R = ri + zk . Электрон постоянно находится в плос-

кости, содержащей вектора i и k, тогда

z

eµ 0 I µ0I [(r&i + z&k )j] = j и Fл = 2 πr 2 πr eµ 0 I (r&[ij] + z& [kj]) = eµ 0 I (r&k − z&i ) = 2 πr 2 πr

B=

I

Здесь v = r&i + z&k и i = −[kj] . Запишем второй закон

r k

Ньютона для электрона Fл = ma , где a = &r&i + &z&k : r i

ϕ

eµ 0 I (r&k − z&i ) = m&z&k + m&r&i 2πr

y

r r

x

r j r i

Это векторное равенство можно заменить двумя скалярными

r r

eµ 0 I r& = m&z& 2πr eµ I − 0 = m&r& 2πr

ϕ x

(2) (3)

Из этих двух уравнений найдем &z& r& =− &r& z&

или

r&&r& = − z&&z&

Последнее равенство можно переписать

( )

( )

1 d 2 1 d 2 r& = − z& 2 dt 2 dt

Отсюда r& 2 + z& 2 = const

Из начальных условий при t = 0 имеем r& = v0 и z& = 0 , т.е. const = v0. Итак r& 2 + z& 2 = v02

Из выражения (2) eµ 0 I dr ⋅ = &z&dt 2πm r

Интегрируя, получим

17

(4)

eµ 0 I ln r = z& + C 2πm

При t = 0 имеем z& = 0 и r = a . Тогда C=

eµ 0 I ln a 2πm

и &z& =

eµ 0 I ⎛ r ⎞ ln⎜ ⎟ 2πm ⎝ a ⎠

При максимальном удалении электрона в момент t = τ имеем r = 0 и z& = v0 из (4 ) .

Итак eµ 0 I ⎛ rmax ⎞ ln⎜ ⎟ = v0 2πm ⎝ a ⎠

Обозначая b =

eµ 0 I имеем 2πm

⎛r ⎞ v ln⎜ max ⎟ = 0 ⎝ a ⎠ b

Отсюда rmax =

v0 a⋅e b

Задача 10. Узкий пучок одинаковых ионов с удельным зарядом q/m, имею-

щих различные скорости, входит в точке О в область, где созданы однородные параллельные электрическое и магнитное поля с напряженностью Е и индукцией В. Направление пучка в точке О совпадает с осью х. На расстоянии l от точки О

находится плоский экран, ориентированный перпендикулярно к оси х. Найти уравнение следа ионов на экране. Показать, что при z<
y Е В

щийся ион F = qE + q[vB ]

v О

х

Проекции векторов на оси E(0, E,0), B(0, B,0), v(v x ,0,0) . Тогда

z

18

Fx = − qv z B = mv&x ; Fz = qv x B = mv&z ; Fy = qE = mv& y .

Умножая второе уравнение на мнимую единицу и складывая с первым, находим v&x + iv& z =

iqB (vx + iv z ) m

Обозначим P = v x + iv z , тогда dP iqB dP iqB = = dt P; P m dt m

После интегрирования, получим vx + vz

iqB t = Ce m

qB qB ⎞ ⎛ t + sin t⎟ = C ⎜ cos m m ⎠ ⎝

(5)

Из начальных условий при t= 0: v x = v; v y = 0; v z = 0 . Учитывая (5), видно, что C=v, а действительные и мнимые части (5) соответственно v x и v z qB qB qB t ; v z = v sin t; v y = t; m m m v qB ⎛ qB ⎞ x = ∫ v cos⎜ t ⎟dt = sin t; qB m ⎝ m ⎠ m v qB ⎛ qB ⎞ z = ∫ v sin⎜ t ⎟dt = − cos t + C1; qB m ⎝ m ⎠ m

v x = v cos

При t = 0, z = 0. Тогда z=

v qB

⎡ ⎛ qB ⎞⎤ ⎢1 − cos⎜ m t ⎟⎥; ⎝ ⎠⎦ ⎣

m qB qB 2 y=∫ tdt = t . 2m m

Итак ⎛ qB ⎞ x⎜ ⎟ m v= ⎝ ⎠ ; ⎛ qB ⎞ sin ⎜ t ⎟ ⎝m ⎠

1

⎛ 2my ⎞ 2 ⎟⎟ . t = ⎜⎜ qE ⎝ ⎠

19

Подставляем это в выражение для z qB ⎞ ⎛ x⎜1 − cos t⎟ m ⎠ ⎝ . z= qB sin t m

Используя формулы тригонометрии 1 − cos 2α = 2 sin 2 α и sin2α = 2sinαcosα выражение для z можно привести к виду z=

Где α =

x ⋅ 2 sin 2 α x sin ε = = xtgα 2 sin α cos α cos α

qBt . 2m

При x=l координаты z на плоскости экрана имеет выражение z = ltg ⎛⎜

qBt ⎞ ⎟ . Подста⎝ 2m ⎠

⎛ 2my ⎞ ⎟⎟ , тогда z = ltg ⎝ qE ⎠

вим в него величину t = ⎜⎜

⎛ qB 2 y ⎞ ⎟ . Для z<
⎛ qB 2 y ⎞ ⎞ ⎛ ⎟. Тогда y = ⎜ 2mE ⎟ z 2 и мы но заменить значением самого угла, т.е. z = l ⎜⎜ ⎜ qB 2l 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ 2mE ⎠

получили уравнение параболы.

20