Περιοδικ κδοση
Nο 4
∆EKEMBPIOΣ 1997
Περιοδικ κδοση
Nο 4
∆EKEMBPIOΣ 1997
E π™∞°ø°π∫∞ εδοτικ ς µας ο κος βρ σκετ...
7 downloads
520 Views
3MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Περιοδικ κδοση
Nο 4
∆EKEMBPIOΣ 1997
Περιοδικ κδοση
Nο 4
∆EKEMBPIOΣ 1997
E π™∞°ø°π∫∞ εδοτικ ς µας ο κος βρ σκεται στην ευχριστη θση να σας πληροφορσει, τι η ανταπ κριση των εκπαιδευτικ ν στα 3 προηγο µενα τε χη των “Εκπαιδευτικ ν ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΩΝ” που χουν δη κυκλοφορσει, ταν πολ µεγλη (το 3ο τε χος διενεµθη σε 5.000 αντ τυπα). Το γεγον ς αυτ δηλ νει τι οι στ χοι µας αγγ ζουν τους διδακτικο ς προβληµατισµο ς των εκπαιδευτικ ν µας και επιβεβαι νει την επιτυχ α της προσπθειας του Ο κου µας να συµβλει µε την κδοση του περιοδικο στην εκπαιδευτικ διαδικασ α στο Γυµνσιο και στο Λ κειο. Αισθαν µενοι την υποχρωση που συνεπγεται η επιτυχ α αυτ, θα συνεχ σουµε να διανµουµε δωρεν και τα επ µενα τε χη. Τα τε χη µπορο ν οι εκπαιδευτικο να τα προµηθε ονται δωρεν απ τα βιβλιοπωλε α µας. ;ταν δεν τα βρ σκουν µπορο ν να τα ζητσουν, µε επιστολ τους συµπληρ νοντας το νθετο ερωτηµατολ γιο, να αποστλλονται στο σχολε ο τους.
O
Πελαγ α Zτη O ÂΉÔÙÈÎfi˜ Ì·˜ Ô›ÎÔ˜, ÁÈ· Ó· οÓÂÈ ÈÔ ÂӉȷʤÚÔ˘Û· ÙË «Û˘˙‹ÙËÛË» ̤۷ ·fi ÙÔ˘˜ «EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ‡˜ ¶ƒ√µ§∏ª∞∆π™ª√À™», ı· Û·˜ ‰ˆÚ›˙ÂÈ ‚È‚Ï›· ÙˆÓ ÂΉfiÛÂÒÓ ÙÔ˘ (Ù· ÔÔ›· ı· ÂÈϤÍÂÙ ÂÛ›˜) ·Í›·˜ 10.000 ‰Ú¯. ÁÈ· οı ÚfiÙ·Û‹ Û·˜ Ô˘ ı· ‰ËÌÔÛȇÂÙ·È.
Aγαπητο συνδελφοι, κδοση των «Eκπαιδευτικ ν ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΩΝ», ε ναι µια σηµαντικ πρωτοβουλ α του Eκδοτικο O κου ZHTH στην προσπθει του να συµβλει στην επιτυχ α της εκπαιδευτικς διαδικασ ας µσα στο Γυµνσιο και στο Λ κειο. Eµε ς, οι επιστηµονικο υπε θυνοι των «Eκπαιδευτικ ν ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΩΝ», γνωρ ζαµε τις δυσκολ ες που χει να ττοιο εγχε ρηµα, αλλ πιστε αµε τι µε τη δικ σας συµβολ θα µπορο σαµε να προσφρουµε πολ τιµη βοθεια στο µαχ µενο εκπαιδευτικ µας. Πρπει να σας δηλ σουµε, απ τη θση αυτ, τι δικαιωθκαµε πρα απ κθε προσδοκ α.
H
Τον ζοντας και πλι τους στ χους µας θα επαναλβουµε τι επιδι κουµε: ◆ Oι «Eκπαιδευτικο ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ» να αποτελσουν στα χρια σας να σηµαντικ βοθηµα στην εκπαιδευτικ πρξη και ◆ να ε ναι νας πρακτικ ς, χρσιµος και σ ντοµος οδηγ ς, ο οπο ος θα εξυπηρετε καθαρ διδακτικο ς σκοπο ς, εν θα µπορε επ σης να χρησιµοποιηθε και απ τους µαθητς. Για το λ γο αυτ επιδι κουµε τα παρουσιαζ µενα θµατα να προρχονται, κατ προτεραι τητα, απ ερεθ σµατα και προτσεις σας. Θεωρο µε αυτον ητο τι οι προτσεις σας, τις οπο ες η Συντακτικ Eπιτροπ θεωρε κατλληλες, θα δηµοσιε ονται επ νυµα. Περιµνοντας την ανταπ κρισ σας Mε εκτ µηση
TÔ ÂÚÈÔ‰ÈÎfi ÌÔÚ›Ù ӷ ÙÔ ˙ËÙ‹ÛÂÙ ·fi Ù· ‚È‚ÏÈԈϛ·: ●
●
EΉfiÛÂȘ ZHTH AÚÌÂÓÔÔ‡ÏÔ˘ 27, 546 35 £ÂÛÛ·ÏÔÓ›ÎË TËÏ. (031) 203.720, Fax: (031) 211.305 «ŒÓˆÛË EΉÔÙÒÓ BÈ‚Ï›Ô˘ £ÂÛÛ·ÏÔӛ΢» ™ÙÔ¿ ÙÔ˘ BÈ‚Ï›Ô˘ (¶ÂÛÌ·˙fiÁÏÔ˘ 5), 105 64 Aı‹Ó· TËÏ.-Fax: (01) 32 11 097
Oδηγ ες προς τους συγγραφε ς των προτσεων ➧
➧
➧
H κταση της παρουσ ασης ενς θµατος δε θα πρπει να υπερβα νει τις 4 σελ δες του εντπου, τουλχιστον στις θετικς επιστµες. H χρησιµοπο ηση της διατπωσης, της ορολογ ας και των συµβολισµ ν των εγκεκριµνων διδακτικ ν βιβλ ων της ∆ευτεροβθµιας Eκπα δευσης ε ναι υποχρεωτικ. H προσφυγ στη βοθεια εννοι ν και µεθδων, που ε ναι εκτς της διδακτας λης, οπωσδποτε µως απ το "µεσο περιβλλον" της, θα πρπει να ε ναι περιορισµνη και να επισηµα νεται τι ε ναι εκτς διδακτας λης. Στην περ πτωση αυτ µια βιβλιογραφικ αναφορ θα ε ναι πολ χρσιµη.
Eιδικτερα, κατ την παρουσ αση θα πρπει, εφσον ε ναι εφικτ και απαρα τητο, ➧ να επισηµα νονται οι επιδιωκµενοι στχοι, ➧ να δ νεται το απαρα τητο πληροφοριακ υλικ µε αναφορ στα διδακτικ βιβλ α, ➧ να γ νονται οι κατλληλες διδακτικς υποδε ξεις, ➧ να γ νονται εκε νες οι αποδε ξεις που υποδεικνουν µεθδους επεξεργασ ας θεµτων επ λυσης προβληµτων και ➧ να υποδεικνονται εκε να τα σηµε α, που ε ναι δυνατν να ξεφγουν λθη.
Γε ργιος Παντελ δης Kαθηγητς EMΠ
Âȉ‹ Ë Û‡ÓÙ·ÍË ÙÔ˘ ÂÚÈÔ‰ÈÎÔ‡ Ì·˜ ηٷÎχ˙ÂÙ·È ·fi ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì ÎÚÈÙÈΤ˜ ÙÔ˘ ÙÚfiÔ˘ ·ÚÔ˘Û›·Û˘ Ù˘ ‡Ï˘ ÛÙ· Û¯ÔÏÈο ‚È‚Ï›·, Ì ·Û΋ÛÂȘ ‹ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ χÛÂȘ ÌÈ·˜ ¿ÛÎËÛ˘ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ Û·˜ ÂÈÛËÌ¿ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ì¤Û· ÛÙÔ˘˜ ÛÙfi¯Ô˘˜, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ı¤ÛÂÈ ÔÈ EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ› ¶ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌÔ›, ‰ÂÓ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÙ·È ➧ Ë ÎÚÈÙÈ΋ ÙˆÓ ÂÁÎÂÎÚÈÌ¤ÓˆÓ Û¯ÔÏÈÎÒÓ ‚È‚Ï›ˆÓ Î·È ÙˆÓ ÌÂıfi‰ˆÓ ‰È‰·Ûηϛ·˜ (ÂÎÙfi˜ Î·È ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ Ï¿ıÔ˜), ÁÈ·Ù› ı· ÚÔηϤÛÔ˘Ì ۇÁ¯˘ÛË ÛÙÔÓ Ì·¯fiÌÂÓÔ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎfi, Ô‡ÙÂ Î·È ➧ Ë ·Ú¿ıÂÛË ·Û΋ÛÂˆÓ ‹ fiÛÔ ÙÔ ‰˘Ó·ÙfiÓ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚˆÓ Ï‡ÛÂˆÓ Î¿ÔÈˆÓ ·Û΋ÛÂˆÓ ·ÊÔ‡ ·˘Ùfi ηχÙÂÙ·È ·fi ÙÔ ÌÂÁ¿ÏÔ ·ÚÈıÌfi ‚ÔËıËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ΢ÎÏÔÊÔÚÔ‡Ó.
E
™Ùfi¯Ô˜ Ì·˜ Â›Ó·È Ô Û¯ÔÏÈ·ÛÌfi˜ Î·È Ë ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ (ÛÙ· Ï·›ÛÈ· Ù˘ ¢Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ·˜ Eη›‰Â˘Û˘) ·Ó¿Ï˘ÛË ıÂÌ¿ÙˆÓ, ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ Î·È Ê·ÈÓÔÌ¤ÓˆÓ Ô˘ Â͢ËÚÂÙÔ‡Ó Î·ı·Ú¿ ‰È‰·ÎÙÈÎÔ‡˜ ÛÎÔÔ‡˜ ηıÒ˜ Î·È ·Û΋ÛÂˆÓ ‹ χÛÂˆÓ Ô˘ ˘Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ó ÌÂıfi‰Ô˘˜ Î·È ÙÚfiÔ˘˜ ·ÓÙÈÌÂÙÒÈÛ˘ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È Î·Ù¿ ÙËÓ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈ΋ ‰È·‰Èηۛ·.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
M ÂÎÙ›ÌËÛË °ÂÒÚÁÈÔ˜ ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë˜
3
5
°. ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë˜
H ÂÊ·ÙÔ̤ÓË Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú·ÛÙ¿Ûˆ˜ ÌÈ·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜
8
¢. KÚ·‚‚·Ú›Ù˘
°ÂÓÈÎÂ˘Ì¤ÓË ·ÓÈÛfiÙËÙ· Bernoulli
9
°. £ˆÌ·˝‰Ë˜
MÈ· ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË Ù˘ ‰È‰·Ûηϛ·˜ Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ÛÙËÓ A' §˘Î›Ԣ
13
N. §·ÌÚfiÔ˘ÏÔ˜
™˘Ó¤¯ÂÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘
14
£. •¤ÓÔ˜
EÍÈÛÒÛÂȘ ŒÏÏÂȄ˘ Î·È YÂÚ‚ÔÏ‹˜
15
°. ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë˜
X·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈΤ˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ Ù˘ ÂÎıÂÙÈ΋˜ Î·È Ù˘ ÏÔÁ·ÚÈıÌÈ΋˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜
17
¢. K˘ÚÈ¿ÎÔ˜
¢˘Ó·ÌÈÎfi ÙˆÓ Â‰›ˆÓ Î·È ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÙˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ
21
°. °ÈÔ˘‚·ÓÔ‡‰Ë˜
¶ÚÔˆÛÙÈΤ˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ - ™˘ÛÙ‹Ì·Ù· ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ Ì¿˙·˜
24
¶. I·ÎÒ‚Ô˘
¢ˆÚÂ¿Ó Ù·Í›‰È· ̤۷ Û ۋڷÁÁ˜ Û 42 min ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘!
25
¢. ∆ÛÈÒÏ˘
¶ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË Ù˘ Ê˘ÛÈ΋˜ ̤۷ ·fi ÔÏÏÔ‡˜ Î·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ‰ÚfiÌÔ˘˜
27
K. Tۛ˘
XËÌÈΤ˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ
33
A. B¿Ú‚ÔÁÏ˘
EηÙfi ¯ÚfiÓÈ· ·fi ÙËÓ ·Ó·Î¿Ï˘„Ë ÙÔ˘ P·‰›Ô˘
35
P. °Î·ÓÙÛ›‰Ô˘
EÚˆÙ‹ÛÂȘ ‚ÈÔÏÔÁ›·˜
37
√Ì. ÂÚÁ. XÚ. TÛÔÏ¿ÎË "ŒÎıÂÛË - ŒÎÊÚ·ÛË" , °Ú·Ùfi˜ ÏfiÁÔ˜ - T˘ÔÏÔÁ›· ÙˆÓ ·Û΋ÛˆÓ
42
¢. ¶·Û¯·Ï›‰Ë˜
°Ú·ÌÌ·ÙÈ΋ Ù˘ ·Ú¯·›·˜ EÏÏËÓÈ΋˜ ÁÏÒÛÛ·˜. ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ÁÈ· Ù· ‰›¯ÚÔÓ· ÙˆÓ ÚËÌ¿ÙˆÓ
45
K. NÙÔ‡ÚÔ˜
§·ÙÈÓÈο §˘Î›Ԣ. Yԉ›ÁÌ·Ù· ·Û΋ÛˆÓ
7
°. ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë˜
Y¿Ú¯ÂÈ Î·Ì‡ÏË ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ô˘ ηχÙÂÈ Î¿ı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ [0, 1] ¥ [0, 1];
16
£. •¤ÓÔ˜
MÔÚԇ̠·fi ÙÔ ÚfiÛËÌÔ Ù˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ Û’ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Ó· ·ÔÊ·Óıԇ̠ÁÈ· ÙË ÌÔÓÔÙÔÓ›· ÛÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ;
M ∞£∏ª∞∆π∫∞
H ∂º∞¶∆√ª∂¡∏ ∆∏™ °ƒ∞ºπ∫∏™ ¶∞ƒ∞™∆∞™∂ø™ ªπ∞™ ™À¡∞ƒ∆∏™∂ø™ TÔ˘ °. ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë, K·ıËÁËÙ‹ E.M.¶ÔÏ˘Ù¯Ó›Ԣ
™
ÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ‚È‚Ï›Ô (AÓ¿Ï˘ÛË °¢ §˘Î›Ԣ) ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È Ë ÂÊ·ÙÔ̤ÓË Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú·ÛÙ¿Ûˆ˜ ÌÈ·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ˆ˜ ÔÚȷ΋ ı¤ÛË ËÌÈ¢ıÂÈÒÓ, Ì ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ· ÁˆÌÂÙÚÈο. ŸÙ·Ó Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ x0 (˘ÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ÔÚÈṲ̂ÓË Û ‰È¿ÛÙËÌ· ¢ Î·È ÙÔ x0Œ¢), ÙfiÙ ˆ˜ ÂÊ·ÙÔ̤ÓË Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú·ÛÙ¿Ûˆ˜ Ù˘ f ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô A(x0, f(x0)) ÔÚ›˙ÂÙ·È (ÛÂÏ. 137) Ó· Â›Ó·È Ë Â˘ı›· (*)
y = f(x0) + f¢(x0)(x – x0).
Œ¯ÔÓÙ·˜ ˘fi„Ë ÙË ¯Ú‹ÛË Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ Ù˘ ·ʋ˜ Î·È Ù˘ ÂÊ·ÙÔ̤Ó˘, Ô˘ ÛÙËÓ Î·ıÔÌÈÏÔ‡ÌÂÓË ÛËÌ·›ÓÔ˘Ó «‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Ôχ ÎÔÓÙ¿», «ÌfiÏȘ ·ÎÔ˘ÌÔ‡Ó», Ù›ıÂÓÙ·È Ù· ·ÎfiÏÔ˘ı· ÂÚˆÙ‹Ì·Ù·: ●
¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ÂÚÌËÓ›· Î·È ‰È·Ù‡ˆÛË ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ;
●
°È·Ù› ÔÈ Â˘ı›˜ Â1, Â2, Â3, Â4 (Û¯. 1) ‰ÂÓ Â›Ó·È ÂÊ·ÙÔ̤Ó˜ Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ f(x) =
y Â3
Â4 Â1 1
2–x, x>1 ; x,
x≤1
O
£· ÚÔÛ·ı‹ÛÔ˘ÌÂ Â‰Ò Ó· Ô‰ËÁËıԇ̠ÛÙÔÓ ·Ó·Ï˘ÙÈÎfi ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ÂÊ·ÙÔ̤Ó˘ Î·È Ó· ··ÓÙ‹ÛÔ˘Ì ÛÙ· ·Ú·¿Óˆ ÂÚˆÙ‹Ì·Ù·.
H
ÂÊ·ÙÔ̤ÓË (*), Ô˘ Â›Ó·È Ë Â˘ı›· Ë ÔÔ›· ÂÚÓ¿ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô A Î·È ¤¯ÂÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ‰È¢ı‡ÓÛˆ˜ f¢(x0), Â›Ó·È Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ g(x) = f(x0) + f¢(x0)(x – x0).
°È· Ó· ÂÚÌËÓ‡ÛÔ˘Ì fiÛÔ "ÎÔÓÙ¿" ÛÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ x0 ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f, g ı· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÙË Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿ ÙÔ˘ ËÏ›ÎÔ˘
2
1
x
™¯.1
ÈÛ¯‡ÂÈ lim (f(x) – g(x)) = f(x0) – g(x0) = f(x0) – f(x0) = 0.
xÆx0
EÍ¿ÏÏÔ˘, ·fi ÙËÓ (#) ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ÁÈ· οı Â>0, ¤ÛÙˆ Â=10–3, ˘¿Ú¯ÂÈ ‰(Â)>0 Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙ ÁÈ· οı xŒ¢ Ì |x–x0|<‰(Â) Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ < 10 x–x f(x) – g(x)
–3
0
‹
f(x) – g(x) x – x0
|f(x) – g(x)| < 10–3 |x – x0|,
fiÙ·Ó ÙÔ xÆx0. E›Ó·È ‡ÎÔÏÔ Ó· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì fiÙÈ (#)
Â2
2
f(x) – g(x) lim = 0. xÆx0 x – x0
TÈ ÛËÌ·›ÓÂÈ fï˜ Ë ÈÛfiÙËÙ·
Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ f(x)–g(x) Ù›ÓÂÈ Ù·¯‡ÙÂÚ· ÛÙÔ 0 ·fi fi,ÙÈ ÙÔ |x–x0|. EÔ̤ӈ˜ "ÎÔÓÙ¿" ÛÙÔ x0 Ë ·Ï‹ ÁÚ·ÌÌÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË g(x) = f(x0) + f¢(x0)(x – x0)
f(x) – g(x) lim = 0; xÆx0 x – x0 EÂȉ‹ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x)–g(x) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ x0
ÌÔÚ› Ó· ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÂÈ ÙËÓ f(x) Ì ÈηÓÔÔÈËÙÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË (Û¯. 2).
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
5
∏
∂ º∞¶∆√ª∂¡∏
∆∏™
° ƒ∞ºπ∫∏™ ¶ ∞ƒ∞™∆∞™∂ø™
y
ªπ∞™
™ À¡∞ƒ∆∏™∂ø™
y f
f f(x)–g(x)
|f(x)–g(x)|
g g
O
x
x0
x
x
x
O ™¯.3
™¯.2
OÚÈÛÌfi˜: ¢›ÓÔÓÙ·È ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f, g ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÛÙÔ X Î·È Û˘Ó¯›˜ ÛÙÔ x0ŒX. £· ϤÌ fiÙÈ ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f, g ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È ÛÙÔ x0, fiÙ·Ó f(x) – g(x) lim = 0. xÆx0 x – x0
(**)
1. Afi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· (**) Î·È ÂÂȉ‹ ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f, g Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ ÛÙÔ x0 ¤ÂÙ·È lim (f(x) – g(x)) = f(x0) – g(x0) = 0,
¶ÚfiÙ·ÛË: ¢›ÓÂÙ·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ¢ Î·È x0Œ¢. TfiÙÂ Ë Â˘ı›· g(x) = f(x0) + ·(x–x0) ÂÊ¿ÙÂÙ·È Ù˘ f ÛÙÔ x0, fiÙ·Ó, Î·È ÌfiÓÔ fiÙ·Ó, Ë f Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ x0 Î·È · = f¢(x0). Afi‰ÂÈÍË: Afi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜
xÆx0
‰ËÏ. f(x0) = g(x0), Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÁÈ· Ó· ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È ‰‡Ô Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÛÙÔ x0 Ú¤ÂÈ Ó· ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô A(x0, f(x0)). 2. K·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ Â›Ó·È ¿ÌÂÛË Ë ‰È·›ÛÙˆÛË fiÙÈ ÔÈ ‰È·ÊÔÚ¤˜ f(x)–g(x) Ù›ÓÔ˘Ó Ù·¯‡ÙÂÚ· ÛÙÔ 0 ·fi fi,ÙÈ ÔÈ ‰È·ÊÔÚ¤˜ x–x0, fiÙ·Ó ÙÔ xÆx0. 3. AÓ ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f, g Î·È ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ g, h ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È ÛÙÔ x0, ÙfiÙÂ Î·È ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f, h ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È ÛÙÔ x0. A˘Ùfi Â›Ó·È ¿ÌÂÛË Û˘Ó¤ÂÈ· ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙˆÓ ÔÚ›ˆÓ Î·È Ù˘ ÈÛfiÙËÙÔ˜: f(x) – h(x) lim = xÆx0 x – x0 f(x) – g(x) g(x) – h(x) = lim + lim = 0. xÆx0 x – x xÆx0 x – x0 0 EÔ̤ӈ˜, Ë ÂÊ·ÙÔ̤ÓË Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú·ÛÙ¿Ûˆ˜ ÌÈ·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô A(x0, f(x0)) Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÌÈ· ¢ı›· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ g(x) = f(x0) + ·(x – x0)
6
Î·È Ó· ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ (**). M ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ· Ë ·ÏÔ‡ÛÙÂÚË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô˘ ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ (**). °È· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ‡·Ú͢ Ù˘ ÂÊ·ÙÔ̤Ó˘ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÚfiÙ·ÛË:
f(x) – f(x0) – ·(x – x0) f(x) – g(x) lim = lim = xÆx x – x0 x – x0 0
xÆx0
f(x) – f(x0) –· = lim xÆx0 x – x0
¤¯Ô˘ÌÂ: ñ AÓ Ë f Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì ·Ô‰Â›ÍÂÈ (‚Ï. #) fiÙÈ ÁÈ· · = f¢(x0) ÔÈ f, g ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È. ñ AÓ ÔÈ f, g ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È, ÙfiÙ ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· f(x) – f(x0) lim –·=0 x – x0
xÆx0
ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Î·È f¢(x0) = ·. ™˘Ì¤Ú·ÛÌ·: ¢È·ÈÛÙÒÛ·Ì fiÙÈ, fiÙ·Ó Ë f Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË, Ë ÂÊ·ÙÔ̤ÓË (*) ˘¿Ú¯ÂÈ, Â›Ó·È ÌÔÓ·‰È΋ Î·È ÚÔÛÂÁÁ›˙ÂÈ ÈηÓÔÔÈËÙÈο ÙȘ ÙÈ̤˜ Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜. ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË: OÈ Â˘ı›˜ Ô˘ ÂÚÓÔ‡Ó ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô A(1, 1) (Û¯. 1) ¤¯Ô˘Ó Â͛ۈÛË g(x) = 1+·(x–1), Ô˘ ÁÈ· ·=0 Â›Ó·È Ë Â1, ÁÈ· ·=1 Ë Â2, ÁÈ· ·=–1 Ë Â3 Î·È ÁÈ· 0<·<1 Ë Â4. TÔ ËÏ›ÎÔ 1–·, x≤1 f(x) – g(x) = x – x0 –1–·, x>1
‰ÂÓ ¤¯ÂÈ fiÚÈÔ ÁÈ· ηÌÈ¿ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·. ™˘ÓÂÒ˜ ηÌÈ¿ ·fi ÙȘ ¢ı›˜ g(x) = 1+·(x–1) ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ (**). A˘Ùfi Û'˘Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÚfiÙ·ÛË, ‹Ù·Ó ·Ó·ÌÂÓfiÌÂÓÔ ·ÊÔ‡ Ë f(x) ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ x=1.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
M ∞£∏ª∞∆π∫∞ TÔ Û¯fiÏÈÔ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı› ÛÙԯ‡ÂÈ Ó· ÂÓËÌÂÚÒÛÂÈ ÙÔ ‰È‰¿ÛÎÔÓÙ· Î·È ‰ÂÓ Ú¤ÂÈ Ó· ·ÚÔ˘ÛÈ·ÛÙ› ÛÙÔ Ì¿ıËÌ·: ™ËÌ›ˆÛË: ŸÙ·Ó Ë ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË Ù˘ f Ì ÙȘ ÙÈ̤˜ Ù˘ ÁÚ·ÌÌÈ΋˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ g(x) = f(x0)+f¢(x0)(x–x0) ‰ÂÓ Â›Ó·È ÈηÓÔÔÈËÙÈ΋, ÙfiÙ ηٷʇÁÔ˘Ì Û ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ·ÓˆÙ¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡.
OÚÈÛÌfi˜: ¢›ÓÔÓÙ·È ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f, h ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈ̘ ÛÙÔ x0Œ¢. £· ϤÌ fiÙÈ ÔÈ f, h ¤¯Ô˘Ó ·ʋ ‰Â˘Ù¤Ú·˜ ٿ͈˜ fiÙ·Ó ÙfiÛÔ ÔÈ f, h, fiÛÔ Î·È ÔÈ f¢, h¢ ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È ÛÙÔ x0, ‰ËÏ. f(x) – h(x) lim = 0 xÆx0 x – x0
ηÈ
f¢(x) – h¢(x) lim = 0. xÆx0 x – x0
‰ËÏ.
· = f¢(x0),
ηÈ
f¢(x) – h¢(x) lim = xÆx0 x – x0 f¢(x) – f¢(x) – 2b(x–x0) lim = f¢¢(x0) – 2b = 0, xÆx0 x – x0 f¢¢(x0) . b = 2
‰ËÏ.
EÔ̤ӈ˜, Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹ f¢¢(x0) h(x) = f(x0) + f¢(x0)(x – x0) + (x–x0)2 . 2 Afi ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ô˘ ÔÚ›ÛÙËÎÂ Ë h ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ
ŒÙÛÈ ÁÈ· Ó· ¤¯ÂÈ Ë ·Ú·‚ÔÏ‹
f(x) – h(x) lim =0 (x – x0)2
h(x) = f(x0) + ·(x – x0) + b(x – x0)2 Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ·ʋ ‰Â˘Ù¤Ú·˜ ٿ͈˜ ı· Ú¤ÂÈ: f(x) – h(x) lim = x – x0
xÆx0
f(x) – f(x0) – ·(x–x0) – b(x–x0)2 lim = f¢(x0) – · = 0, xÆx0 x – x0
xÆx0
(¯ÚËÛÈÌÔÔÈ›ÛÙ ÁÈ· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· de L’Hospital), Ô˘ ÛËÌ·›Ó·È fiÙÈ ÔÈ ‰È·ÊÔÚ¤˜ f(x)–h(x) Ù›ÓÔ˘Ó Ù·¯‡ÙÂÚ· ÛÙÔ 0 ·fi fi,ÙÈ ÙÔ (x–x0)2, ‰ËÏ. Ù·¯‡ÙÂÚ· ·fi fi,ÙÈ ÔÈ ‰È·ÊÔÚ¤˜ x–x0. EÔ̤ӈ˜ ÔÈ ÙÈ̤˜ h(x) ÚÔÛÂÁÁ›˙Ô˘Ó ÈηÓÔÔÈËÙÈÎfiÙÂÚ· ÙȘ ÙÈ̤˜ f(x) ·fi fi,ÙÈ ÔÈ Ù˘ g(x).
◆
Y¿Ú¯ÂÈ Î·Ì‡ÏË ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘
∞˘Ùfi ÙÔ ÁÓˆÚ›˙·ÙÂ
Ô˘ ηχÙÂÈ Î·ı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ [0, 1] ¥ [0, 1] TÔ˘ °. ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë, K·ıËÁËÙ‹ ∂.ª.¶ÔÏ˘Ù¯Ó›Ԣ
·ıËÌ·ÙÈο ÌÈ· η̇ÏË ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ‰‡Ô Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ x = x(t), y = y(t) ÔÚÈṲ̂Ó˜ Û’ ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· I = [·, ‚] Î·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ° = {(x(t), y(t))Œó2, t Œ[·, ‚]}. EÛÊ·Ï̤ӷ ÛÙËÓ Î·ıÔÌÈÏÔ˘Ì¤ÓË ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì η̇ÏË ÙÔ ›¯ÓÔ˜ Ù˘, ‰ËÏ. ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ °. MÂÙ¿ ·fi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ·˘Ùfi ÙÔ ·Ú·¿Óˆ ÂÚÒÙËÌ· ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: TÔ ›¯ÓÔ˜ ÌÈ·˜ η̇Ï˘ ÌÔÚ› Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ [0, 1] ¥ [0, 1]; H ·˘ÙÔÓfiËÙË ÂÚÌËÓ›· fiÙÈ ÌÈ· η̇ÏË ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ Ë ÙÚԯȿ ÂÓfi˜ ÎÈÓÔ‡ÌÂÓÔ˘ ÛËÌ›Ԣ, Ô˘ ‰ÂÓ Î¿ÓÂÈ ¿ÏÌ·Ù·, ‰ËÏ. Ì·ıËÌ·ÙÈο, Ë Û˘Ó¯‹˜ ÂÈÎfiÓ· ÂÓfi˜ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜, ›¯Â ·Ú·Ï·Ó‹ÛÂÈ ÙfiÛÔ ÙÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ fiÛÔ Î·È ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜. ◊Ù·Ó ÏÔÈfiÓ ÌÈ· ¤ÎÏËÍË, fiÙ·Ó Ô Giuseppe Peano (1858-1932) ÙÔ 1890 ηٷÛ··Û ÌÈ· η̇ÏË Ô˘ ÔÙ¤ ‰Â ı· ÌÔÚÔ‡Û ӷ ıˆÚËı› ˆ˜ Ù¤ÙÔÈ·, ·ÊÔ‡ ÙÔ ›¯ÓÔ˜ Ù˘ "ηχÙÂÈ" Ï‹Úˆ˜ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿ÁˆÁÔ. MÈ· Ù¤ÙÔÈ· η̇ÏË ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î·Ì‡ÏË Peano. O David Hilbert ηٷÛ··Û ÙÔ 1891 ÌÈ· η̇ÏË Peano, Ù˘ ÔÔ›·˜ Ë ·ÎÚÈ‚‹˜ Û˘Ó¯‹˜ "‰È·‰ÚÔÌ‹", Ô˘ ηχÙÂÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ, ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ·Ô‰Ôı›. MÔÚԇ̠fï˜ Ó· ¿ÚÔ˘Ì ÌÈ· ȉ¤· Ù˘ "‰È·‰ÚÔÌ‹˜" ÚÔÛÂÁÁ›˙ÔÓÙ¿˜ ÙËÓ Ì ÌÈ· ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ P1, P2, …, PÓ, … ¶·Ú·ı¤ÙÔ˘Ì ÙȘ ÁÚ·ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ P1, P2 Î·È P3, Ô˘ Û˘Ó‰¤Ô˘Ó Ù· ΤÓÙÚ· ÙˆÓ 41=4, 42=16 Î·È 43=64 ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·,
M
21
6
5
22 25
20
23
24
27 36
18 29
4
7
8
11
15
0
2
1
13
14
28 35
44
47 12
31
11
12
32
10 53
13 2
6 57
3
51
52
9 54
7
15
33 46 48
55
8 14 1
0
40
39
43
34 45
19 16 17 30
3
42
38 41
26 37
10
9
50
49
61
62
56
4
5 58
59
60
63
ÛÙ· ÔÔ›· ‰È·ÈÚԇ̠ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ [0, 1]¥[0, 1]. ™ËÌ›ˆÛË: TÔ ›¯ÓÔ˜ Ù˘ η̇Ï˘ Peano ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ 1 ÂÓÒ ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [0, 1] ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ 0. ™‡Ìʈӷ Ì ¤Ó· ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ L.E.J. Brouwer (1911) ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ ·ÌÊÈÌÔÓÔÛ‹Ì·ÓÙË Î·È ·ÌÊÈÛ˘Ó¯‹˜ ·ÂÈÎfiÓÈÛË (ÙÔÔÏÔÁÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË) ÙÔ˘ [0, 1] ÛÙÔ [0, 1]¥[0, 1] ÁÈ·Ù› ÙfiÙ ı· ›¯·Ó ÙËÓ ›‰È· ‰È¿ÛÙ·ÛË. BÈ‚ÏÈÔÁÚ·Ê›·: 1. Karl Strubecker,Einführung in die Höhere Mathematik II, München-Wien 1967. 2. M. Nicolescu, N. Dinculeanu, S. Marcus, Manual de Analizà Mathematicà II, Bucuresti 1964.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
◆ 7
ª ∞£∏ª∞∆π∫∞
°ENIKEYMENH ANI™OTHTA BERNOULLI TÔ˘ ¢. ∫Ú·‚‚·Ú›ÙË, K·ıËÁËÙ‹ E.M.¶ÔÏ˘Ù¯Ó›Ԣ
™
ÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ‚È‚Ï›Ô (AÓ¿Ï˘ÛË °¢ §˘Î›Ԣ) ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· Bernoulli:
°È· ·>–1, Î·È Î¿ıÂ Ó Œƒ * ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ· Bernoulli: (1 + ·)Ó ≥ 1 + Ó·.
°ÂÓÈÎÂ˘Ì¤ÓË ·ÓÈÛfiÙËÙ· Bernoulli: ·) AÓ x>–1, ÙfiÙ ÁÈ· οı ٌó Ì Ù≥1 ÈÛ¯‡ÂÈ: (*)
(1 +
≥ 1 + Ùx.
‚) AÓ x>–1, ÙfiÙ ÁÈ· οı ٌó Ì 0<Ù<1 ÈÛ¯‡ÂÈ: (**)
(1 +
(·ÓÙ. ÍŒ(0, x) à (0 +•))
Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙÂ f(x) – f(0) = f¢(Í)(x – 0) ‹ (#)
f(x) = f(0) + f¢(Í)x = 1 + f¢(Í)x.
·) EÂȉ‹ ÁÈ· Ù>1 ÈÛ¯‡Ô˘Ó f¢(x) = Ù(1 + x)Ù–1 =
<Ù, ·Ó –1<x<0 >Ù, ·Ó
x>0
·fi ÙËÓ (#) ÚÔ·ÙÂÈ f(x) > 1 + Ùx, ‰ËÏ. (1 + x)Ù>1 + Ùx.
EȉÈÎfiÙÂÚ·, Ë (*) ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· ÙŒƒ*.
x)Ù
H f Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· I = (–1, +•). TfiÙ ÁÈ· οı xŒ(–1, +•), Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ £ÂÒÚËÌ· M¤Û˘ TÈÌ‹˜ ÙÔ˘ ¢È·ÊÔÚÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡ ÁÈ· ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [x, 0], ·Ó x<0 (·ÓÙ. [0, x], ·Ó x>0), ˘¿Ú¯ÂÈ ÍŒ(x, 0) à (–1, 0)
∏ ·ÓÈÛfiÙËÙ· ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÁÈ· ·=–1. H ·fi‰ÂÈÍ‹ Ù˘ Á›ÓÂÙ·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ·ÁˆÁ‹˜. E‰Ò ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘ÌÂ, ˆ˜ ¤Ó· ¯Ú‹ÛÈÌÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÂÊ·ÚÌÔÁ‹˜ ÙˆÓ ·Ú·ÁÒÁˆÓ, ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· Bernoulli ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, Ô˘ Ô ÂÎı¤Ù˘ Ó ‰ÂÓ Â›Ó·È ¤Ó·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ·ÏÏ¿ ¤Ó·˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜.
x)Ù
f(x) = (1 + x)Ù, x>–1, Ù>0.
AÓ Ù>1, ÙfiÙ ÛÙËÓ ·Ô‰ÂÈÎÙ¤· Û¯¤ÛË ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ·, ÌfiÓÔ fiÙ·Ó x=0. ‚) EÂȉ‹ ÁÈ· 0<Ù<1, ‰ËÏ. Ù–1<0, ÈÛ¯‡Ô˘Ó
≤ 1 + Ùx. f¢(x) = Ù(1 + x)Ù–1 =
Afi‰ÂÈÍË: H ÈÛfiÙËÙ· ÛÙËÓ (*) ÈÛ¯‡ÂÈ, fiÙ·Ó Ù=1 ηıÒ˜ Î·È fiÙ·Ó x=0, ÂÓÒ ÛÙËÓ (**) fiÙ·Ó x=0, ÁÈ’ ·˘Ùfi, ¯¿ÚÈÓ ·ÏfiÙËÙ·˜, ‰Â ı· Û˘ÌÂÚÈÏ¿‚Ô˘Ì ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ÛÙËÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ÌÂϤÙË. £ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË
>Ù, ·Ó –1<x<0 <Ù, ·Ó
x>0
·fi ÙËÓ (#) ÚÔ·ÙÂÈ f(x) < 1 + Ùx, ‰ËÏ. (1 + x)Ù < 1 + Ùx.
◆
EK¢O™EI™ ñ EKTY¶ø™EI™
ñ T¯ÓÈο (TÔÔÁڿʈÓ, ¶ÔÏ. M˯·ÓÈÎÒÓ, °ÂˆfiÓˆÓ Î.Ï.)
8
ñ º˘ÛÈ΋˜ ñ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ñ XËÌ›·˜ ñ EÈÛÙËÌÔÓÈο ‰È·ÊfiÚˆÓ ıÂÌ¿ÙˆÓ
ZËÙ‹ÛÙ ӷ Û·˜ ÛÙ›ÏÔ˘Ì ÙÔÓ ·Ó·Ï˘ÙÈÎfi ÙÈÌÔηٿÏÔÁfi Ì·˜. EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
ÁÈ· ÙÔ °YMNA™IO ÙÔ §YKEIO-TE§ Î·È ÙȘ ¢E™ME™
M ∞£∏ª∞∆π∫∞
MIA ¢IAºOPETIKH ¶PO™E°°I™H TH™ ¢I¢A™KA§IA™ TH™ A¶O§YTH™ TIMH™ ™THN Aã§YKEIOY TÔ˘ °È¿ÓÓË X. £ˆÌ·˝‰Ë, ¢Ú ¢È‰·ÎÙÈ΋˜ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, 1Ô §‡ÎÂÈÔ HÏÈÔ‡ÔÏ˘
ÂÒÙÂÚ˜ ·ÓÙÈÏ‹„ÂȘ ÁÈ· ÙË ‰È‰·Ûηϛ· Î·È Ì¿ıËÛË: OÈ ·ÓÙÈÏ‹„ÂȘ ÁÈ· ÙË Ì¿ıËÛË Ô˘ ΢ÚÈ·Ú¯Ô‡Ó Ù· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ¯ÚfiÓÈ· ÙË ¢È‰·ÎÙÈ΋ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ¤¯Ô˘Ó ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ÛÂÈ ¤Ó· Ó¤Ô “ÙÔ›Ô” ÛÙË ‰È‰·Ûηϛ·: Ô Ì·ıËÙ‹˜ ‰ÂÓ ıˆÚÂ›Ù·È “·Ô‰¤ÎÙ˘” ÌÈ·˜ ¤ÙÔÈÌ˘ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ıˆڛ·˜ ·ÏÏ¿ Û˘ÌÌÂÙ¤¯ÂÈ ÂÓÂÚÁ¿ ÛÙËÓ ÔÈÎÔ‰fiÌËÛ‹ Ù˘ ̤۷ ·fi ÂȉÈΤ˜ ηٷÛÙ¿ÛÂȘ-ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·. Afi ÙËÓ ¿ÏÏË ÌÂÚÈ¿, Ô Î·ıËÁËÙ‹˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È “·Ó·ÌÂÙ·‰fiÙ˘” ·ÏÏ¿ ÔÚÁ·ÓˆÙ‹˜ Î·È ÂÌ„˘¯ˆÙ‹˜ Ù¤ÙÔÈˆÓ Î·Ù·ÛÙ¿ÛˆÓ, Ô˘ ‰›ÓÂÈ È‰¤Â˜ Î·È Î·ıÔ‰ËÁ› ÙË ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ. OÈ ·Ú¯¤˜ ·˘Ù¤˜ Û˘ÓÈÛÙÔ‡Ó, Û ÁÂÓÈΤ˜ ÁÚ·Ì̤˜, ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ Á‡Úˆ ·fi ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ˘ÏÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Ù· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ¯ÚfiÓÈ· ÛËÌ·ÓÙÈο ÚÔÁÚ¿ÌÌ·Ù· ÌÂÙ·ÚÚ‡ıÌÈÛ˘ Ù˘ ‰È‰·Ûηϛ·˜ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Û ‰È¿ÊÔÚ˜ ¯ÒÚ˜. OÈ Ó¤Â˜ ·˘Ù¤˜ ·ÓÙÈÏ‹„ÂȘ, ÛÙÔ ‚·ıÌfi Ô˘ ı· ·ÊÔÌÔȈıÔ‡Ó ·fi Ù· ›ÛËÌ· Û¯ÔÏÈο Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· Î·È ÙË Î·ıËÌÂÚÈÓ‹ ‰È‰·ÎÙÈ΋ Ú¿ÍË, ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÌÂÙ·‚¿ÏÏÔ˘Ó ÚÈ˙Èο ÙËÓ Î·ıÈÂڈ̤ÓË ÂÈÎfiÓ· ÁÈ· ÙË ‰È‰·Ûηϛ· Î·È Ì¿ıËÛË ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. £· ÂȯÂÈÚ‹ÛÔ˘Ì ÛÙ· ÂfiÌÂÓ· Ó· ·ÔÛ·ÊËÓ›ÛÔ˘Ì ÙȘ Û˘Ó¤ÂȘ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ Ó¤ˆÓ ·ÓÙÈÏ‹„ˆÓ, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ˆ˜ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜.
N
·Ú·‰ÔÛȷ΋ ‰È‰·Ûηϛ· Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜: OÈ ·ÓÙÈÏ‹„ÂȘ ÁÈ· ÙË Ì¿ıËÛË Ô˘ ΢ÚÈ·Ú¯Ô‡Ó Ù· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ¯ÚfiÓÈ· ÙË ¢È‰·ÎÙÈ΋ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈ ‰È‰·Ûηϛ· ·˘Ù‹˜ Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ ·ÎÔÏÔ˘ı› ·Ú·‰ÔÛȷο ÌÈ· “ÙÚÈÌÂÚ‹” ÔÚ›·, Ë ÔÔ›· ηıÈÂÚÒıËΠ‰ÈÂıÓÒ˜ ÙËÓ ÂÚ›Ô‰Ô Ù˘ ÌÂÙ·ÚÚ‡ıÌÈÛ˘ ÙˆÓ “N¤ˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ” (·Ú¯¤˜ Ù˘ ‰ÂηÂÙ›·˜ ÙÔ˘ 1960) ÁÈ· Ó· ˘ÔÛÙËÚȯÙ› ‰È‰·ÎÙÈο Ë Û˘ÛÙËÌ·ÙÈ΋ ‰È‰·Ûηϛ· Ù˘ AÓ¿Ï˘Û˘ Ô˘ ÂÈÛ¿ÁÔÓÙ·Ó ÙfiÙ ÛÙË ‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ· Âη›‰Â˘ÛË. AÚÎÂÙ¤˜ ¤Ú¢Ó˜ Ô˘ ¤ÁÈÓ·Ó Ù· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ¯ÚfiÓÈ· (‚Ï. [4]) ¤¯Ô˘Ó ·ÏËı‡ÛÂÈ ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ ‰È‰·ÎÙÈ΋ ÂÌÂÈÚ›·, Ô˘ Û˘ÌÌÂÚ›˙ÔÓÙ·È fiÛÔÈ ‰È‰¿ÛÎÔ˘Ó M·ıËÌ·ÙÈο ÛÙÔ §‡ÎÂÈÔ. H Û˘ÓÙÚÈÙÈ΋ ÏÂÈ„ËÊ›· ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ ‰˘ÛÎÔχÂÙ·È ÂÍ·ÈÚÂÙÈο Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂÈ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ÂΛ Ô˘ Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈο
H
··Ú·›ÙËÙË: ‰ËÏ·‰‹ ÛÙÔ ¯ÂÈÚÈÛÌfi ÙˆÓ ·ÓÈÛÔÙÈÎÒÓ Û¯¤ÛÂˆÓ Ô˘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙË “Ú·¯ÔÎÔÎηÏÈ¿” ÙˆÓ Â„ÈÏÔÓÙÈÎÒÓ ÔÚÈÛÌÒÓ Î·È ·Ô‰Â›ÍÂˆÓ Ù˘ AÓ¿Ï˘Û˘. ¶·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ fï˜ ȉȷ›ÙÂÚÔ ÂӉȷʤÚÔÓ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÔÈ ÂÚÌËÓ›˜ Î·È Ë “·fi‰ÔÛË Â˘ı˘ÓÒÓ” ÁÈ’ ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ·ÔÙ˘¯›· ÂÛÙÈ¿˙ÔÓÙ·È Î˘Ú›ˆ˜ ÛÙÔ Ï·›ÛÈÔ Ù˘ ‰È‰·Ûηϛ·˜. ™ÙÔ °˘ÌÓ¿ÛÈÔ ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë ·ÔÎÏÂÈÛÙÈ΋ ÂÓ·Û¯fiÏËÛË Ì ÙËÓ ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ Û˘ÁÎÂÎÚÈÌ¤ÓˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Î·È Ì ·Û΋ÛÂȘ ÙÔ˘ ›‰Ô˘˜ “N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ Ω–3Ω+Ω+5Ω–Ω–6Ω”, ηÏÏÈÂÚÁ› ÙËÓ ·ÓÙ›ÏË„Ë fiÙÈ “·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ¯ˆÚ›˜ ÙÔ ÚfiÛËÌfi ÙÔ˘”. A˘Ù‹ Ë “ÁÓÒÛË”, Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ÈηÓÔÔÈËÙÈ΋ ÁÈ· Ù· ˙ËÙ‹Ì·Ù· Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ Â›Â‰Ô ÙÔ˘ °˘ÌÓ·Û›Ô˘, ÛÙ·ıÂÚÔÔÈÂ›Ù·È Î·È Á›ÓÂÙ·È ·ÚÁfiÙÂÚ· ÛÙÔ §‡ÎÂÈÔ ¤Ó· ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ÂÌfi‰ÈÔ ÁÈ· Ó· ηٷÓÔËı› Ô ÁÂÓÈÎfi˜ ÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜-Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘: ΩxΩ =
x
·Ó
x≥0
–x ·Ó
x<0
Afi ÙËÓ ¿ÏÏË ÌÂÚÈ¿, ÔÈ ·Û΋ÛÂȘ Â›Ï˘Û˘ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Ì ·fiÏ˘Ù˜ ÙÈ̤˜ ÛÙËÓ Aã§˘Î›Ԣ, Ô˘ Û˘Óԉ‡ÔÓÙ·È ·fi ‰È·‰Èηۛ˜ “·ÔÌ¿ÎÚ˘ÓÛ˘” ÙÔ˘ Û˘Ì‚fiÏÔ˘ Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ (.¯. ›Ó·Î˜ ÚÔۋ̈Ó), ηÏÏÈÂÚÁÔ‡Ó ÙËÓ ·ÓÙ›ÏË„Ë fiÙÈ Ë ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú¿ ¤Ó· “ۇ̂ÔÏÔ Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ʇÁÂÈ”. MÈ· Ù¤ÙÔÈ· ·ÓÙ›ÏË„Ë fï˜ ‰ÂÓ ‚ÔËı¿ ηıfiÏÔ˘ ÛÙËÓ Î·Ù·ÓfiËÛË ÙˆÓ ·ÓÈÛÔÙÈÎÒÓ Û¯¤ÛÂˆÓ Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÔÓÙ·È Ì ÙËÓ ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ Û˘Ì‚fiÏÔ˘ Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜, ÛÙȘ Ôԛ˜ ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô fi¯È ÌfiÓÔ ‰ÂÓ “ʇÁÂÈ” ·ÏÏ¿ Á›ÓÂÙ·È Ô˘ÛÈ·ÛÙÈÎfi ÂÚÁ·ÏÂ›Ô ÙÔ˘ ·ÏÁ‚ÚÈÎÔ‡ ÏÔÁÈÛÌÔ‡. Ÿˆ˜ ‰Â›¯ÓÔ˘Ó ÏÔÈfiÓ ·˘Ù¤˜ ÔÈ ÂÚÌËÓ›˜ ÁÈ· ÙȘ ‰˘ÛÎÔϛ˜ ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ, Ë “ÛÂÈÚÔÂȉ‹˜” ‰È‰·Ûηϛ· Ô˘ ¤¯ÂÈ ˘ÈÔıÂÙËı› fi¯È ÌfiÓÔ ‰ÂÓ ‰È¢ÎÔχÓÂÈ ÙË Ì¿ıËÛË ·ÏÏ¿ ÂÈÛ¿ÁÂÈ ÁÓÒÛÂȘ-ÂÌfi‰È· ÁÈ· ÙËÓ ÂȉȈÎfiÌÂÓË ¯Ú‹ÛË Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ÛÙËÓ AÓ¿Ï˘ÛË. Ò˜ Ú¤ÂÈ Ó· ‰È‰¿ÛÎÂÙ·È Ë ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹; T· ·Ú·¿Óˆ, ıˆÚÔ‡ÌÂÓ· ·fi ÙË ÛÎÔÈ¿ ÙˆÓ ÓÂÒÙÂÚˆÓ ·ÓÙÈÏ‹„ÂˆÓ Ô˘ ·Ó·Ê¤Ú·ÌÂ, ÂÈ‚¿ÏÏÔ˘Ó ÌÈ· ÚÈ˙È΋ ·ÏÏ·Á‹ ÙÔ˘ Ï·ÈÛ›Ô˘ ‰È‰·Ûηϛ·˜ Ù˘
¶
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
9
ª π∞ ¢ π∞º√ƒ∂∆π∫∏ ¶ ƒ√™∂°°π™∏
∆∏™
¢ π¢∞™∫∞§π∞™
·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜. Œ¯ÔÓÙ·˜ ˆ˜ ‚·ÛÈÎfi ·ÏÏ¿ ·ÒÙÂÚÔ ‰È‰·ÎÙÈÎfi ÛÙfi¯Ô Ó· ηٷÓÔ‹ÛÔ˘Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔÓ ÙÚfiÔ ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ˘ Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ÛÙË ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë AÓ¿Ï˘ÛË, ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Î·Ù’ ·Ú¯‹Ó ηӤӷ˜ ÏfiÁÔ˜ ÂÈÛ·ÁˆÁ‹˜ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ ÛÙÔ °˘ÌÓ¿ÛÈÔ. OÈ Î·ÓfiÓ˜ ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ ÙˆÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ‰È·Ù˘ˆıÔ‡Ó ÂÍ›ÛÔ˘ (·Ó fi¯È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ) ηٷÓÔËÙ¿ ¯ˆÚ›˜ ηÌÌÈ¿ ·Ó·ÊÔÚ¿ ÛÙËÓ ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹! E›Û˘, ÔÈ ‚·ÛÈΤ˜ ·ÓÈÛÔÙÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÔÓÙ·È Ù˘Èο Ì ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ (fiˆ˜ .¯. Ë ÙÚÈÁˆÓÈ΋ ·ÓÈÛfiÙËÙ·) ·ÔÎÙÔ‡Ó ÓfiËÌ· ̤۷ ÛÙÔ Ï·›ÛÈÔ Ù˘È΋˜ ‰È·Ú·ÁÌ¿Ù¢Û˘ ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈÎÒÓ Ù¯ÓÈÎÒÓ (.¯. ÂÎÙÈÌ‹ÛÂȘ ÛÊ·ÏÌ¿ÙˆÓ), ÚÔ¤ÎÙ·ÛË ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ˘‹ÚÍ·Ó ÈÛÙÔÚÈο ÔÈ Â„ÈÏÔÓÙÈΤ˜ Ù¯ÓÈΤ˜ Ù˘ AÓ¿Ï˘Û˘. ¢ÂÓ ‚Ï¤Ô˘Ì ÏÔÈfiÓ Î·Ó¤Ó· ÏfiÁÔ ÌÈ·˜ ıˆÚËÙÈ΋˜ ‰È·Ú·ÁÌ¿Ù¢Û˘ ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ÛÙËÓ Aã§˘Î›Ԣ Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ô˘ Á›ÓÂÙ·È Û‹ÌÂÚ·, ‰ËÏ·‰‹ ÙÂÏ›ˆ˜ ·ÔÎÔÌ̤ÓË ·fi ÙË ‰È‰·Ûηϛ· ÙˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ Ù˘ Û‡ÁÎÏÈÛ˘ Î·È ÙÔ˘ ÔÚ›Ô˘. E‰Ò ‚¤‚·È· Ù›ıÂÙ·È ÙÔ Â‡ÏÔÁÔ ÂÚÒÙËÌ·: ¶fiÙÂ Î·È Ì ÔÈfiÓ ÙÚfiÔ ı· ÂÈÛ¿ÁÔ˘Ì ÁÈ· ÚÒÙË ÊÔÚ¿ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜; H ·¿ÓÙËÛË Â›Ó·È, ηٿ ÙËÓ ¿Ô„‹ Ì·˜, ·Ï‹ Î·È Û‡ÓıÂÙË Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ·. H ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ı· Á›ÓÂÈ ÙË ÛÙÈÁÌ‹ Ô˘ Ë ¤ÓÓÔÈ· ·˘Ù‹ Â›Ó·È Ú¿ÁÌ·ÙÈ ··Ú·›ÙËÙË Î·È ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÌÔÚÔ‡Ó Û¯ÂÙÈο ‡ÎÔÏ· Ó· ·ÓÙÈÏËÊıÔ‡Ó ÙËÓ ·Ó·ÁηÈfiÙËÙ· Î·È ÙÔ ÚfiÏÔ Ù˘. ¶ÔÈ¿ ˙ËÙ‹Ì·Ù· fï˜ Ù˘ Û¯ÔÏÈ΋˜ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ‡Ï˘ ·Ó·‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ó ·˘Ù¿ Ù· ÛÙÔȯ›·; Œ¯ÔÓÙ·˜ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈ‹ÛÂÈ ·ÏÏÔ‡ (‚Ï. [4]) ÌÈ· ÏÂÙÔÌÂÚ‹ ÈÛÙÔÚÈ΋ Î·È ‰È‰·ÎÙÈ΋ ·Ó¿Ï˘ÛË Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜, ÈÛÙ‡ԢÌ fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙÚ›· Ù¤ÙÔÈ· ˙ËÙ‹Ì·Ù· ÛÙ· ÔÔ›· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁËıÔ‡Ó Î·Ù·ÛÙ¿ÛÂȘ-ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ ·Ó·‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ó ÙË ÛËÌ·Û›· ·˘Ù‹˜ Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜.
A ÙËÙ·
fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ Î·È Ú›˙˜. TÔ ÚÒÙÔ ˙‹ÙËÌ· ¤¯ÂÈ Û¯¤ÛË Ì ÙÔ ÌÔÓfiÙÈÌÔ ÙÔ˘ Û˘Ì‚fiÏÔ˘ Ù˘ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋˜ Ú›˙·˜ Î·È Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ Ì ÙËÓ ÈÛfix2 = x .
™ÙËÓ ÂÓfiÙËÙ· ÙÔ˘ Û¯ÔÏÈÎÔ‡ ‚È‚Ï›Ô˘ Ô˘ ‰È·Ú·ÁÌ·Ù‡ÂÙ·È ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ, ·˘Ù‹ Ë ÈÛfiÙËÙ· ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÌÈ· ·Ï‹ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ Ù˘ ‹‰Ë ÁÓˆÛÙ‹˜ (·fi ÙÔ °˘ÌÓ¿ÛÈÔ!) ¤ÓÓÔÈ·˜ Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜. T· Ú¿ÁÌ·Ù· fï˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÙfiÛÔ ·Ï¿ fiÛÔ ı¤ÏÂÈ Ó· ÈÛÙ‡ÂÈ Ë ‰È‰·Ûηϛ·, ·Ó Ï¿‚Ô˘Ì ˘fi„Ë ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ Ô˘ “ÂÈ̤ÓÔ˘Ó” fiÙÈ x2 = ΩxΩ,
10
·ÏÏ¿ Î·È ÙËÓ ·Ô‰Ô¯‹ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ ηٿ ÙÔ ·ÚÂÏıfiÓ ·fi ÙÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ (‚Ï. [5]). TÔ ˙‹ÙËÌ· Ù˘ ÌÔÓÔÙÈÌ›·˜ ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ ‰ÂÓ ·ÔÙÂÏ› “·Ï‹ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹” ·ÏÏ¿, ·ÓÙ›ıÂÙ·, ÚÔÛʤÚÂÈ ¤Ó· η-
∆∏™
∞ ¶√§À∆∏™ ∆ πª∏™
™∆∏¡
∞’ § À∫∂π√À
Ù¿ÏÏËÏÔ Ï·›ÛÈÔ ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌÔ‡ ̤۷ ·fi ÙÔ ÔÔ›Ô Ô ÁÂÓÈÎfi˜ ÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ÚÔ‚¿ÏÏÂÈ ˆ˜ ·Ó·ÁηÈfiÙËÙ· (οÙÈ ·Ó¿ÏÔÁÔ, fiˆ˜ ı· ‰Ô‡Ì ·Ú·Î¿Ùˆ, Û˘Ó¤‚Ë Î·È ÈÛÙÔÚÈο). ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ Ó· ·ÓÙÈÛÙÚ·Ê› Ë ‰È‰·ÎÙÈ΋ ·ÎÔÏÔ˘ı›· Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Û‹ÌÂÚ· Î·È Ë ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ Ó· Á›ÓÂÈ ÁÈ· ÚÒÙË ÊÔÚ¿ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô fiÔ˘ ı›ÁÂÙ·È Ë ÌÔÓÔÙÈÌ›· ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ. AÊÔ‡ ÂÍËÁ‹ÛÔ˘Ì ÁÈ·Ù› ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ÌfiÓÔ Ë ıÂÙÈ΋ ÙÈÌ‹ ÌÈ·˜ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋˜ Ú›˙·˜ (ÛÙÔ Û¯ÔÏÂ›Ô ·˘Ùfi ı· ÌÔÚÔ‡Û .¯. Ó· Á›ÓÂÈ Ì ÙËÓ ·Ú·Ù‹ÚËÛË fiÙÈ ÔÈ 1 6 = +4 Î·È 1 6 = –4 Ô‰ËÁÔ‡Ó ÛÙÔ ·ÔÈÛfiÙËÙ˜ Ù¤ÏÂÛÌ· +4 = –4), ı¤ÙÔ˘Ì ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ ÂÍ‹˜ ÂÚÒÙËÌ·: “M ÙÈ ÈÛÔ‡Ù·È ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ x2 fiÙ·Ó ÙÔ x Â›Ó·È ÌÈ· ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ Ô˘ ‰È·ÙÚ¤¯ÂÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ;” AÊÔ‡ Û˘˙ËÙËıÔ‡Ó ‰È¿ÊÔÚ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ, ȉȷ›ÙÂÚ· Ë “Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈο” ·Ó·ÌÂÓfiÌÂÓË ·¿ÓÙËÛË x2 = x Î·È ÂÍÂÙ·ÛÙ› Ë ÚÔ¸fiıÂÛË Î¿Ùˆ ·fi ÙËÓ ÔÔ›· ·˘Ù‹ ÈÛ¯‡ÂÈ, ÙfiÙ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ÚÔ¸Ôı¤ÛÂȘ ÁÈ· Ó· ÊÙ¿ÛÔ˘Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ (Ì ÙËÓ Î·Ù¿ÏÏËÏË, ÂÓÓÔ›ٷÈ, ‰È‰·ÎÙÈ΋ ·Ú¤Ì‚·ÛË) ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· fiÙÈ Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È x ·Ó x≥0 x2 = –x ·Ó x<0
A˘Ù‹ Â›Ó·È ÌÈ· ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ¤ÎÊÚ·ÛË “‰ÈÏÔ‡ Ù‡Ô˘”, ÙËÓ ÚÒÙË ›Ûˆ˜ Ô˘ Û˘Ó·ÓÙÔ‡Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜, Ô˘ ‰›ÓÂÈ Â˘Î·Èڛ˜ ÁÈ· Û˘˙‹ÙËÛË ¿Óˆ ÛÙË “ÌÔÚÊÔÏÔÁ›·” ÙˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ, ÙÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜ ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Î.Ï.. E›Ó·È ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi fiÙÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛÂ Ô Cauchy ÛÙ· ̤۷ ÙÔ˘ 19Ô˘ ·ÈÒÓ·, ÁÈ· Ó· ηٷÔÏÂÌ‹ÛÂÈ ÙȘ ·ÓÙÈÏ‹„ÂȘ Ô˘ Û˘Û¯¤ÙÈ˙·Ó ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ì ÙÔ Â›‰Ô˜ Ù˘ ·Ó·Ï˘ÙÈ΋˜ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘. EÌ›˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ı¤ÛÔ˘ÌÂ Â‰Ò ÙÔ ˙‹ÙËÌ· ÌÈ·˜ ÈÔ “ÔÈÎÔÓÔÌÈ΋˜” ¤ÎÊÚ·Û˘ Î·È ÙËÓ ·Ó¿ÁÎË ÂÓfi˜ Ó¤Ô˘ Û˘Ì‚fiÏÔ˘, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ı· Ì·˜ Ô‰ËÁ‹ÛÂÈ ÛÙËÓ ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ Ù˘ “Ó¤·˜ ¤ÓÓÔÈ·˜”:
x2 =
x
·Ó
x≥0
–x ·Ó
x<0
= ΩxΩ
M¤¯ÚÈ Â‰Ò ¤¯Ô˘Ì ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂÈ ÙÔ ˙‹ÙËÌ· Ù˘ ÌÔÓÔÙÈÌ›·˜ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎÒÓ ÚÈ˙ÒÓ ÁÈ· Ó· “ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì” ̤ۈ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ ÁÂÓÈÎfi ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜. £ÂˆÚԇ̠fï˜ fiÙÈ Ë ·Ó·ÁηÈfiÙËÙ· Î·È Ë ·˘ÙÔÓÔÌ›· Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ ‰ÂÓ Â‰Ú·ÈÒÓÔÓÙ·È ÈηÓÔÔÈËÙÈο ÌfiÓÔ Ì¤Û· ·fi ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ˙‹ÙËÌ·. K·Ù’ ·Ú¯‹Ó, ÁÈ· Ó· ‰ÈηÈÔÏÔÁËı› Ë ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ fiÚÔ˘ “·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹”, ı· Ú¤ÂÈ Ó· Á›ÓÂÈ Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ Ë ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ ·Ú·¿Óˆ ÔÚÈÛÌÔ‡ ÛÂ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ¤¯ÂÈ ˆ˜ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙËÓ “·Ô‰¤ÛÌÂ˘Û‹” ÙÔ˘˜ ·fi ÙÔ ·ÚÓËÙÈÎfi ÚfiÛËÌÔ (Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÂÚÌËÓ›·: “·Ôχˆ
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
M ∞£∏ª∞∆π∫∞ = ·Ô‰ÂÛ̇ˆ” Î·È “·fiÏ˘ÙÔ˜ = ·‰¤ÛÌ¢ÙÔ˜”). ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· fï˜ ı· Ú¤ÂÈ Ó· Ê·ÓÂÚˆı› Ë ÏÂÈÙÔ˘ÚÁÈÎfiÙËÙ· Ù˘ Ó¤·˜ ¤ÓÓÔÈ·˜ Î·È Û ¿ÏÏ· ˙ËÙ‹Ì·Ù·. fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ Î·È ·ÓÈÛfiÙËÙ˜: TÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ˙‹ÙËÌ· ·fi ÙË Û¯ÔÏÈ΋ ‡ÏË Ô˘ ·Ó·‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ Â›Ó·È Ô ÏÔÁÈÛÌfi˜ ÙˆÓ ·ÓÈÛÔًوÓ, ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô ÔÈ ‰˘ÛÎÔϛ˜ ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ ˆ˜ ÁÓˆÛÙfiÓ Â›Ó·È ÙÂÚ¿ÛÙȘ. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Û ÌÈ· ¤Ú¢ӷ Ô˘ ‰ËÌÔÛȇ۷Ì ÚfiÛÊ·Ù· (‚Ï. [6]), ÂÏ¿¯ÈÛÙÔÈ ÌfiÓÔ Ì·ıËÙ¤˜ Ù˘ Aã§˘Î›Ԣ ‹Ù·Ó Û ı¤ÛË Ó· ··ÓÙ‹ÛÔ˘Ó ÛˆÛÙ¿ ÛÙÔ ÂÚÒÙËÌ· “ÙÈ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÚÔ·ÙÂÈ ÁÈ· ÙÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ x Î·È y ·fi ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· x2 < y2; ” A˘Ùfi ·ÎÚÈ‚Ò˜ fï˜ ÙÔ ÂÚÒÙËÌ· ˘‹ÚÍ ÈÛÙÔÚÈο ¤Ó· ·fi Ù· ÚÒÙ· ˙ËÙ‹Ì·Ù· ÛÙ· ÔÔ›· ÂÌÊ·Ó›ÛÙËÎÂ, ۯ‰fiÓ Ì ˘ÔÓÔÔ‡ÌÂÓÔ ÙÚfiÔ, Ë ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜. O Lagrange ‹Ù·Ó Ô ÚÒÙÔ˜ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ ÛÙ· ̤۷ ÙÔ˘ 18Ô˘ ·ÈÒÓ· ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ›‰Ô˘˜ “·Ó x2 < y2 ÙfiÙ x < y, ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ·fi Ù· ÚfiÛËÌ·”, Û ÂÚÁ·Û›Â˜ ÙÔ˘ ÛÙȘ Ôԛ˜ ¤Î·Ó ÂÎÙÂٷ̤ÓË ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ ·ÓÈÛÔًوÓ. H ÚÔËÁËı›۷ ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ̤۷ ·fi ÙÔ ˙‹ÙËÌ· Ù˘ ÌÔÓÔÙÈÌ›·˜ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎÒÓ ÚÈ˙ÒÓ, Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ÙËÓ Â˘Î·ÈÚ›· Ó· ‰È¢ڇÓÔ˘Ì ÙÔ ÚfiÏÔ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜, ÚÔÙ›ÓÔÓÙ·˜ ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÂÚÒÙËÌ· ˆ˜ ¤Ó· Úfi‚ÏËÌ· ÚÔ˜ ‰ÈÂÚ‡ÓËÛË. MÔÚԇ̠ӷ ·Ú¯›ÛÔ˘Ì ·˘Ù‹ ÙË ‰ÈÂÚ‡ÓËÛË Ì ÙËÓ ·ÓÙÈηٿÛÙ·ÛË Û˘ÁÎÂÎÚÈÌ¤ÓˆÓ ÙÈÌÒÓ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ x Î·È y ÛÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· x2 < y2, ÙËÓ ·fiÚÚÈ„Ë Ù˘ “‡ÏÔÁ˘” ·¿ÓÙËÛ˘ fiÙÈ “·Ó x2 < y2 ÙfiÙ x < y” Î·È Ó· ηٷϋÍÔ˘ÌÂ, ‰ÈÂÚ‡ÓÔÓÙ·˜ ‰È·‰Ô¯Èο ÙËÓ Î·Ù¿ÛÙ·ÛË ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌÔ‡, Û ÌÈ· “Ù˘È΋” ÂÍ·ÁˆÁ‹ ÙÔ˘ Û¯ÂÙÈÎÔ‡ ·ÔÙÂϤÛÌ·ÙÔ˜:
A
x2
<
y2
fi < fi ΩxΩ < ΩyΩ x2
y2
fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ Î·È ·fiÛÙ·ÛË: TÔ ÙÚ›ÙÔ ˙‹ÙËÌ· Ô˘ ·Ó·‰ÂÈÎÓ‡ÂÈ ÙÔ ÚfiÏÔ Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ÛÙÔ Â›Â‰Ô Ù˘ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ‡Ï˘ Ù˘ Aã§˘Î›Ԣ, Â›Ó·È Ë ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ 2 ÛËÌ›ˆÓ ÛÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ¢ı›·. A˘Ù‹ Û˘Ó‰¤ÂÙ·È Î·È Û‹ÌÂÚ· Ì ÙËÓ ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ÛÙ· ‚È‚Ï›· ÙÔ˘ °˘ÌÓ·Û›Ô˘ Î·È ÙÔ˘ §˘Î›Ԣ, ·ÏÏ¿ ̤ÓÂÈ ·Ó·¿ÓÙËÙÔ ÙÔ ÂÚÒÙËÌ·: “°È·Ù› Ú¤ÂÈ Ó· ÂÎÊÚ¿ÛÔ˘Ì ·Ó·Ï˘ÙÈο ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË 2 ÛËÌ›ˆÓ ÛÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ¢ı›·;” TÔ ÂÚÒÙËÌ· ·Ú·¤ÌÂÈ ‚¤‚·È· ÛÙËÓ ÙÔÔÏÔÁ›· ÙÔ˘ R Î·È ÙÂÏÈο ÛÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Û‡ÁÎÏÈÛ˘, ·ÏÏ¿ ·˘Ù¿ Ù· ˙ËÙ‹Ì·Ù· ‰ÂÓ ·ÊÔÚÔ‡Ó ÙËÓ ‡ÏË Ù˘ Aã§˘Î›Ԣ. MÈ· ¿ÏÏË Â‡ÏÔÁË ·¿ÓÙËÛË ÌÔÚ› Ó· ‰Ôı› ·Ó Ë ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ Û˘Ó‰˘·ÛÙ› (fiˆ˜ Û˘Ó¤‚Ë ÈÛÙÔÚÈο) Ì ÙËÓ ·Ó¿ÁÎË ·Ó·Ï˘ÙÈ΋˜ ·ÓÙÈÌÂÙÒÈÛ˘ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Ù˘ E˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. ŒÙÛÈ Ë ÚÒÙË ÂÌÊ¿ÓÈÛË Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜-·fiÛÙ·-
A
Û˘ ı· Û˘Ó‰˘·ÛÙ› Ì ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ÛËÌ·ÓÙÈÎÒÙ·ÙÔ˘ Ù‡Ô˘ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ 2 ÛËÌ›ˆÓ ÛÙÔ Â›Â‰Ô, fiÔ˘ ¤¯Ô˘Ì ÌÈ· Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈ΋ ÁÂӛ΢ÛË Ù˘ Û¯¤Û˘ Ωx1 – x2Ω= (x 1–x2)2 ÛÙËÓ 2 d(A, B) = (x x2 )2–( y1–y 1– 2 )
̤ۈ ÙÔ˘ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜. H Û‡Ó‰ÂÛË ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ Î·È ·fiÛÙ·Û˘ ·ÔÙÂÏ› ÙÔ ‚·ÛÈÎfi Ï·›ÛÈÔ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ı· ÎÈÓËı› ·fi Â‰Ò Î·È ¤Ú· Ë ‰È‰·Ûηϛ·. OÈ ÎÏ·ÛÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ, ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‹ ·ÓÈÛÒÛÂˆÓ Ì ·fiÏ˘Ù˜ ÙÈ̤˜, Ô˘ ·ÓÙÈÌÂÙˆ›˙Ô˘Ì ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ Ù¯ÓÈΤ˜ “·ÔÌ¿ÎÚ˘ÓÛ˘ ÙˆÓ ·ÔÏ‡ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ”, ·ÔÎÙÔ‡Ó ÙÂÏ›ˆ˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÓfiËÌ· fiÙ·Ó ıˆÚËıÔ‡Ó ·fi ÙËÓ ÙÔÔÏÔÁÈ΋ ÔÙÈ΋ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ¿Óˆ ÛÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ¢ı›·. T· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó Â›Ó·È ÂÓ‰ÂÈÎÙÈο:
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· · AÓ –1 < x < 4, Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ∞ = Ωx+1Ω+Ωx–4Ω £ÂˆÚÒÓÙ·˜ fiÙÈ ·˘Ù‹ Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ ÙÔ˘ x ·fi ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ -1 Î·È 4, ÙfiÙ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ·ÚÈıÌËÙÈ΋˜ ¢ı›·˜ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì ·Ì¤Ûˆ˜ fiÙÈ ÁÈ· οı x ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙ· 1 Î·È 4, ı· Â›Ó·È A=5.
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ‚ N· Ï˘ı› Ë Â͛ۈÛË ∞ = Ωx+2Ω+Ωx–2Ω (‹: N· ‚ÚÂıÔ‡Ó ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ ÙÔ˘˜ ·fi ÙÔ –2 Î·È ÙÔ 2 ÈÛÔ‡Ù·È Ì 6) AÓ Ï¿‚Ô˘Ì ˘fi„Ë fiÙÈ Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ –2 ·fi ÙÔ 2 Â›Ó·È 4, ÙfiÙ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ·ÚÈıÌËÙÈ΋˜ ¢ı›·˜ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ÔÈ x=–3 Î·È x=3.
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Á N· Ï˘ı› Ë ·Ó›ÛˆÛË Ωx–2Ω> 3 E‰Ò ˙ËÙÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ Ë ·fiÛÙ·Û‹ ÙÔ˘˜ ·fi ÙÔ 2 Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ÙÔ 3. EÓÙÔ›˙ÔÓÙ·˜ ÛÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ¢ı›· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙÔ 2 ·ÎÚÈ‚Ò˜ 3 ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ï‡ÛË Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ Â›Ó·È Î¿ı x Ì –1 < x < 5.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
11
ª π∞ ¢ π∞º√ƒ∂∆π∫∏ ¶ ƒ√™∂°°π™∏
∆∏™
¢ π¢∞™∫∞§π∞™
™Ù· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ·˘Ù¿ Á›ÓÂÙ·È, fiˆ˜ ‚Ï¤Ô˘ÌÂ, ÌÈ· Û˘Ó¯‹˜ ÚÔÛÊ˘Á‹ ÛÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ¢ı›·. A˘Ùfi˜ Ô ÙÚfiÔ˜ Â›Ï˘Û˘ ¤¯ÂÈ ·ÛÊ·ÏÒ˜ ‰È‰·ÎÙÈ΋ ·Í›· ÁÈ· ÙËÓ ÂÍÔÈΛˆÛË ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ Ì ÙË Û¯¤ÛË ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ Î·È ·fiÛÙ·Û˘, ·ÏÏ¿ Ô‡Ù ÂÈı˘ÌËÙfi˜ Ô‡Ù ÂÊÈÎÙfi˜ Â›Ó·È Û fiϘ ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ·ÚfiÌÔÈˆÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ. AÓÙ› Ó· ηٷʇÁÔ˘Ì fï˜ Û Ù¯ÓÈΤ˜ “·ÔÌ¿ÎÚ˘ÓÛ˘ ÙˆÓ ·ÔÏ‡ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ”, ÌÔÚԇ̠ӷ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ·˘Ù¿ Ù· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÁÈ· Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì ÙË ÛËÌ·Û›· Ù˘ ‰È·Ù‡ˆÛ˘ ÁÂÓÈÎÒÓ ıˆÚËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ÂÈÙÚ¤Ô˘Ó ÙËÓ ÂÓÈ·›· ‰È·Ú·ÁÌ¿ÙÂ˘Û‹ ÙÔ˘˜. ¶.¯., Ë Â›Ï˘ÛË Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ Ω2x–3Ω<5 Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ ÚÔ¸Ôı¤ÙÂÈ ÙÔ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi 3 5 Ù˘ ÛÙË ÌÔÚÊ‹ x – < Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÌÈ· 2 2 Ì¿ÏÏÔÓ ÎÔ˘Ú·ÛÙÈ΋ ·Ó·˙‹ÙËÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ ÛÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ¢ı›·. ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì ·ÓÙ›ıÂÙ· Ó· ÙÔÓÈÛÙ›, Ì ·ÊÂÙËÚ›· ¤Ó· Ù¤ÙÔÈÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë ·Ó¿ÁÎË Î·È Ë ÛÔ˘‰·ÈfiÙËÙ· ÁÂÓÈÎÒÓ ·ÔÙÂÏÂÛÌ¿ÙˆÓ fiˆ˜ Ë È‰ÈfiÙËÙ· ΩxΩ< ı ¤ –ı < x < ı. OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Û˘Ó¿ÁÔ˘Ó ·˘Ù‹Ó ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· Ì ·ÊÂÙËÚ›· ÙË Û¯¤ÛË ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜-·fiÛÙ·Û˘ ÛÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ¢ı›· Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó· ÂȉÈÒÍÔ˘Ó ÌÈ· Ù˘È΋ ·fi‰ÂÈÍË ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜. O ÁÂÓÈÎfi˜ ¯·Ú·ÎÙ‹Ú·˜ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ȉÈfiÙËÙ·˜ Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ¯ÂÈÚÈÛÙԇ̠·ÓÈÛÔÙÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ Ì “·ÊËÚË̤ÓÔ” ÙÚfiÔ (‰ËÏ·‰‹, ¯ˆÚ›˜ Ó· ηٷʇÁÔ˘Ì οı ÊÔÚ¿ ÛÙËÓ ÂÔÙ›· Ù˘ ·ÚÈıÌËÙÈ΋˜ ¢ı›·˜), ·ÎfiÌË Î·È Ó· ÙË ıˆڋÛÔ˘Ì ˆ˜ ÌÈ· “‰È·‰Èηۛ· ··ÏÏ·Á‹˜ ·fi ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜”. H ‰È·ÊÔÚ¿ ·fi ÙÔ˘˜ ·Ú·‰ÔÛÈ·ÎÔ‡˜ “›Ó·Î˜ ÚÔۋ̈Ӕ Â›Ó·È fiÙÈ Ë “··ÏÏ·Á‹” ·˘Ù‹ Á›ÓÂÙ·È Ì ÙÚfiÔ Û˘Ó‹ ÚÔ˜ ÙË ¯Ú‹ÛË Ù˘ Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ÛÙËÓ AÓ¿Ï˘ÛË, ¯ˆÚ›˜ Ó· ηÏÏÈÂÚÁÂ›Ù·È Ë Ì˯·ÓÈÛÙÈ΋ ·ÓÙ›ÏË„Ë fiÙÈ “Ù· ·fiÏ˘Ù· ¿ÓÙÔ٠ʇÁÔ˘Ó”. £· ÌÔÚÔ‡Û·Ì ›Ûˆ˜, ·fi Â‰Ò Î·È ¤Ú·, Ó· οÓÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ “ÙÔÏÌËÚ¤˜” ‰È‰·ÎÙÈΤ˜ ÚÔÂÎÙ¿ÛÂȘ Î·È Ó· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ٷ ÏÂÔÓÂÎÙ‹Ì·Ù· Ô˘ ÚÔÛʤÚÂÈ Ë ·Ó·Ï˘ÙÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ Ì ¯Ú‹ÛË Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÌÔÚԇ̠ӷ ‰ÒÛÔ˘Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ·Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ ÙˆÓ ÛËÌÂÈÔÛ˘ÓfiÏˆÓ Ù˘ ·ÚÈıÌËÙÈ΋˜ ¢ı›·˜: ·Ó ÙÔ ·ÓÔÈÎÙfi ‰È¿ÛÙËÌ· (·, ‚) ıˆÚËı› ˆ˜ Ô ÁˆÌÂÙÚÈÎfi˜ ÙfiÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘ ·ÚÈıÌËÙÈ΋˜ ¢ı›·˜, Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÏÈÁfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ ÙÔ˘, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ ÂӉȷʤÚÔ˘Û· Û¯¤ÛË
Ω
Ω
·+‚ ‚–· {x / · < x < ‚} = x / x – < 2 2
12
(‚Ï. [7])
MÔÚԇ̠›Û˘ Ó· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ‰È¿ÊÔÚ· ÛËÌÂÈÔÛ‡ÓÔÏ· ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÔÓÙ·È ·Ó·Ï˘ÙÈο Ì ۯ¤ÛÂȘ Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ Ù˘ ·fi-
∆∏™
∞ ¶√§À∆∏™ ∆ πª∏™
™∆∏¡
∞’ § À∫∂π√À
Ï˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜: ΩxΩ+ΩyΩ= 2,
ΩxΩ x – x
2
ΩyΩ 2 + y – = 4, y
ΩxΩ ΩyΩ + = 2, y = ΩyΩË̯ x y
‚Ï. [8])
A˘Ù¿ Ù· ÂȉÈο ı¤Ì·Ù· (Î·È ÔÏÏ¿ ¿ÏÏ· Ô˘ ı· ÌÔÚÔ‡Û·Ó Ó· ·Ó·ÊÂÚıÔ‡Ó) Û¯ÂÙ›˙ÔÓÙ·È ¿ÌÂÛ· Ì ¯ÚÔÓÈÎÔ‡˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜, ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ˜ ÌÈ·˜ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˘ Ù¿Í˘ Î.Ï.. ™Â οı ÂÚ›ÙˆÛË fï˜ ¤¯Ô˘Ó ·Û‡ÁÎÚÈÙ· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi Î·È ‰È‰·ÎÙÈÎfi ÂÚȯfiÌÂÓÔ ·fi ÙËÓ ·ÛÎËÛÈÔÏÔÁ›· Ô˘ Û˘Óԉ‡ÂÈ ·Ú·‰ÔÛȷο ÙË ‰È‰·Ûηϛ· Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ÛÙËÓ Aã§˘Î›Ԣ. ¶ÚÈÓ ·fi ÙË ‰È‰·Ûηϛ· Ù˘ AÓ¿Ï˘Û˘ Ë ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ Â›Ó·È ÌÈ· ·Ï‹, ‚ÔËıËÙÈ΋ ¤ÓÓÔÈ· Î·È ‰ÂÓ Ú¤ÂÈ Ó· ÌÂÁ·ÏÔÔÈԇ̠ÙÔ ÚfiÏÔ Ù˘ Ì ÚfiˆÚ˜ ‹ ·Ú·Ï·ÓËÙÈΤ˜ ÂÂÎÙ¿ÛÂȘ. Ÿˆ˜ ‚Ï¤Ô˘Ì ÏÔÈfiÓ, ÌÔÚ› Ó· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁËı› ÌÈ· ‰È‰·ÎÙÈ΋ ·ÎÔÏÔ˘ı›· Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ÏÂÈÙÔ˘ÚÁÈο ÙȘ ¤ÓÓÔȘ Ù˘ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋˜ Ú›˙·˜, Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜ Î·È Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘. A˘Ùfi fï˜ ÚÔ¸Ôı¤ÙÂÈ Ó· ηٷÚÁ‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÔÏ˘‰È¿Û·ÛË Ù˘ Û¯ÔÏÈ΋˜ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ‡Ï˘ Û “·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ˜” ÂÓfiÙËÙ˜ ÁÈ· Ù· “·fiÏ˘Ù·”, ÙȘ “Ú›˙˜” ‹ ÙȘ “Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ” Î·È Ó· ÂÈÛ¿ÁÔ˘ÌÂ Û˘ÛÙËÌ·ÙÈο ÛÙË ‰È‰·Ûηϛ· Ì·˜ ÂΛӘ ÙȘ ηٷÛÙ¿ÛÂȘ- ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ ·Ó·‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ó ÙÔ ÓfiËÌ· ÙˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ.
¶APA¶OM¶E™ 1] National Council of Teachers of Mathematics: Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, Virginia 1989. [2] National Council of Teachers of Mathematics: Professional Standards for Teaching Mathematics. Reston, Virginia 1991. [3] National Council of Teachers of Mathematics: Assessment Standards for School Mathematics. Reston, Virginia 1995. [4] £ˆÌ·˝‰Ë˜, °.: ¢È‰·ÎÙÈ΋ ÌÂÙ·ÙfiÈÛË Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÂÓÓÔÈÒÓ Î·È ÂÌfi‰È· Ì¿ıËÛ˘ (Ë ÂÚ›ÙˆÛË Ù˘ ·fiÏ˘Ù˘ ÙÈÌ‹˜). ¢È‰·ÎÙÔÚÈ΋ ‰È·ÙÚÈ‚‹. TÌ‹Ì· M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ A.¶.£, £ÂÛÛ·ÏÔÓ›ÎË 1995. [5] £ˆÌ·˝‰Ë˜, °.: “NfiÌÈ̘” ·ÓÙÈÏ‹„ÂȘ Î·È “Ï¿ıË” ÛÙ· Û¯ÔÏÈο M·ıËÌ·ÙÈο. ¶Ú·ÎÙÈο ÙÔ˘ Û˘Ó‰ڛԢ: T· M·ıËÌ·ÙÈο ÛÙËÓ Eη›‰Â˘ÛË Î·È ÙËÓ KÔÈÓˆÓ›·, ÛÛ. 27-45. ¶·È‰·ÁˆÁÈÎfi TÌ‹Ì· ¢.E. ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ AıËÓÒÓ, Aı‹Ó· 1996. [6] £ˆÌ·˝‰Ë˜ °.: E›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi˜ Ô “ÈÛÙÔÚÈÎfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÈÛÌfi˜” ÛÙË ‰È‰·Ûηϛ· Î·È Ì¿ıËÛË Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÂÓÓÔÈÒÓ; H ÂÚ›ÙˆÛË Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ ÛÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ¢ı›·. EÚ¢ÓËÙÈ΋ ¢È¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ¢È‰·ÎÙÈ΋˜ ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, Ù. 2, ÛÛ. 3-38. [7] Anderson, K. & Hall, D.: Elementary Real Analysis. McGrawHill, Tokyo 1972. [8] Smogorzhevsky, A.S.: Method of Coordinates. Mir Publishers, Moscow 1980.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
◆
M ∞£∏ª∞∆π∫∞
™À¡∂Ã∂π∞ ™À¡∞ƒ∆∏™∏™ TÔ˘ N. §·ÌÚfiÔ˘ÏÔ˘, M·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡
£
ÂÔ̤ӈ˜ Ë Û¯¤ÛË Ωf(x)–f(x0)Ω< ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· οı Â>0. °È· Ó· ·ÓÙÈÌÂÙˆ›ÛÔ˘Ì ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ‰ÒÛÔ˘Ì ÙÔ ÁÂÓÈÎfi ÔÚÈÛÌfi Ù˘ Û˘Ó¯›·˜, Ô˘ ÂÌÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ˘˜ ·Ú·Î¿Ùˆ ÔÚÈÛÌÔ‡˜:
OÚÈÛÌfi˜ 1: ŒÛÙˆ ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ¢ Î·È x0Œ¢. £· ϤÌ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ x0, fiÙ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ
OÚÈÛÌfi˜. ŒÛÙˆ ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ A Î·È x0ŒA. £· ϤÌ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ x0, fiÙ·Ó ÁÈ· οı Â>0 ˘¿Ú¯ÂÈ ‰>0 Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ÁÈ· οı xŒA Ì Ωx–x0Ω<‰, Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ
· Û¯ÔÏÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜ Ù˘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ ÌÈ·˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ‚È‚Ï›Ô AÓ¿Ï˘ÛË °¢ §˘Î›Ԣ Î·È ı· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÂΛӘ Ô˘ ‰ÂÓ ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÙËÎ·Ó Û’ ·˘Ùfi.
lim f(x) = f(x0).
Ωf(x)–f(x0)Ω<Â.
xÆx0
OÚÈÛÌfi˜ 2: ŒÛÙˆ ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ¢ Î·È x0Œ¢. £· ϤÌ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ x0, fiÙ·Ó ÁÈ· οı Â>0 ˘¿Ú¯ÂÈ ‰>0 Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ÁÈ· οı xŒ¢ Ì Ωx–x0Ω < ‰, Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ Ωf(x)–f(x0)Ω < Â. OÈ ‰‡Ô ÔÚÈÛÌÔ›, fiˆ˜ ‰È·Ù˘ÒıËÎ·Ó ÁÈ· ‰È¿ÛÙËÌ·, Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔÈ: ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, Ë ÚÔ¸fiıÂÛË fiÙÈ «Ë f Â›Ó·È ÔÚÈṲ̂ÓË ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ¢ Î·È x0Œ¢» Î·È Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ˘fi„Ë ÙË ÛËÌ›ˆÛË Ù˘ ÛÂÏ. 50 ÙÔ˘ Û¯ÔÏÈÎÔ‡ ‚È‚Ï›Ô˘, ÈηÓÔÔÈ› ÙȘ ÚÔ¸Ôı¤ÛÂȘ ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ÔÚ›Ô˘ Ù˘ f ÛÙÔ x0 Ì fiÚÈÔ l=f(x0) (‚Ï. ÛÂÏ. 49). TÔ ÂÚÒÙËÌ· Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ Â›Ó·È: TÈ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ fiÙ·Ó ÙÔ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ A ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰È¿ÛÙËÌ·; TfiÙÂ
1 2
TÔ x0 ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÌÂÌÔӈ̤ÓÔ1 ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ A ηÈ
TÔ x0 ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Û˘ÛÛˆÚ‡Ûˆ˜2 ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ A, fiˆ˜ ÛÙȘ ÂȉÈΤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÙÔ˘ 0 ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ Û‡ÓÔÏ·: 1 1 A1 = {–1, – ,… , – ,…} » {0}, 2 n 1 1 A2 = [–2, 0] » {…, , …, , 1}, n 2 1 1 1 1 A3 = {–1, – ,… , – ,…} » {0} » {…, ,… , , 1}. 2 n n 2 ™ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ‰ÂÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜, ·ÊÔ‡ Ë ÚÔ¸fiıÂÛË Ó· Â›Ó·È ÙÔ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ‰È¿ÛÙËÌ· ‰ÂÓ ÈηÓÔÔÈ›ٷÈ. °È· ÙÔ ÌÂÌÔӈ̤ÓÔ ÛËÌÂ›Ô x0 ı· ÌÔÚÔ‡Û·Ì ӷ ıˆڋÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë f ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ (ÂÎÊ˘ÏÈṲ̂ÓÔ) ‰È¿ÛÙËÌ· [x0, x0], ÔfiÙ ۇÌʈӷ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi 2 ÙÔ x0, ÁÈ· ηٿÏÏËÏÔ ‰, Â›Ó·È ÙÔ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ f Ô˘ ÈηÓÔÔÈ› ÙË Û¯¤ÛË Ωx–x0Ω<‰ ηÈ
K·È Ë ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ Û˘ÛÛˆÚ‡Ûˆ˜ ·ÓÙÈÌÂÙˆ›˙ÂÙ·È Â›Û˘ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ·˘Ùfi, ÁÈ·Ù› ÂΛÓÔ Ô˘ ÂӉȷʤÚÂÈ Â›Ó·È Ù· ÛËÌ›· xŒA ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ Ωx–x0Ω<‰. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1 °È· ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË
h(x) =
0, ·Ó x≤0 1 x, ·Ó x = n
ÙÔ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Â›Ó·È 1 1 A = (–•, 0]»{…, , …, ,1} n 2 Î·È ÙÔ 0 Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Û˘ÛÛˆÚ‡Ûˆ˜ (fi¯È ÂÛˆÙÂÚÈÎfi) ÙÔ˘ A. H Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È ÚÔÊ·ÓÒ˜ Û˘Ó¯‹˜ Û οı ÛËÌÂ›Ô x0<0. 1 E›Û˘ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û οı ÛËÌÂ›Ô x0 = , nŒƒ, ·ÊÔ‡ ·˘n Ù¿ Â›Ó·È ÌÂÌÔӈ̤ӷ ÛËÌ›· ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ h. T¤ÏÔ˜, ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Û˘ÛÛˆÚ‡Ûˆ˜ 0 ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Â›Ó·È Â›Û˘ 1 Û˘Ó¯‹˜, ·ÊÔ‡ ÁÈ· Â>0 ˘¿Ú¯ÂÈ ÌŒƒ Ì <Â, ÔfiÙ ÁÈ· Ì 1 1 ‰ = Î·È Î¿ı xŒA Ì Ωx–0Ω<‰ = ÈÛ¯‡ÂÈ Ì Ì Ωh(x)–h(0)Ω =
Ω0–0Ω = 0, x≤0
Ωx–0Ω = ΩxΩ, x>0
1 < <Â. Ì
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2 H Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) =
x2, x ÚËÙfi˜
0, x ¿ÚÚËÙÔ˜
Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ ó Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÌfiÓÔ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô 0, ÂÓÒ ‰ÂÓ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û ηӤӷ ¿ÏÏÔ ÛËÌ›Ô. E›Û˘ ÛÙÔ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ Ô˘ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜, ‰ËÏ. ÙÔ 0, Â›Ó·È Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË. Œ¯Ô˘ÌÂ Û˘ÓÂÒ˜ ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ô˘ Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Û’ ¤Ó· ÌfiÓÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ Î·È ·ÔÙÂÏ› ·¿ÓÙËÛË ÛÙÔ ÂÚÒÙËÌ· Ô˘ Ù¤ıËΠÛÙÔ Ù‡¯Ô˜ 3 ÙˆÓ EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÒÓ ¶ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌÒÓ.
◆
1. ŒÓ· ÛËÌÂ›Ô x0ŒA ϤÌ fiÙÈ Â›Ó·È ÌÂÌÔӈ̤ÓÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ A, fiÙ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ‰È¿ÛÙËÌ· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ I = (x0–‰, x0+‰) Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ I«A = {x0}. 2. ŒÓ· ÛËÌÂ›Ô · ϤÌ fiÙÈ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Û˘ÛÛˆÚ‡Ûˆ˜ ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ A, fiÙ·Ó Û οı ‰È¿ÛÙËÌ· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ (·–‰, ·+‰) ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ A. TÔ · ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú·›ÙËÙÔ Ó’ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ A.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
13
ª ∞£∏ª∞∆π∫∞
E•I™ø™EI™ E§§EIæH™ ∫∞π Y¶EPBO §H™ TÔ˘ £. •¤ÓÔ˘, K·ıËÁËÙ‹ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ M.E.
1
™ÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ‚È‚Ï›Ô Ù˘ °¢ §˘Î›Ԣ (ÕÏÁ‚ڷ Î·È AÓ·Ï˘ÙÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›·, ¨5.3) ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È Ë ÚfiÙ·ÛË:
¶ÚfiÙ·ÛË 1*: AÓ M(x, y) Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¤ÏÏÂȄ˘ Ì ÂÛٛ˜ E¢(–Á, 0) Î·È E(Á, 0) Î·È ÛÙ·ıÂÚfi ¿ıÚÔÈÛÌ· 2·, Ì ·>Á>0, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ: x2 y2 2 + 2 = 1, · ‚ fiÔ˘ ‚>0 ηÈ
‚2
=
AӷʤÚÂÙ·È ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô fiÙÈ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊfi Ù˘, ¯ˆÚ›˜ Ó· ·Ú·Ù›ıÂÙ·È Ë ·fi‰ÂÈÍ‹ Ù˘. ™Ùfi¯Ô˜ ÙÔ˘ ¿ÚıÚÔ˘ ·˘ÙÔ‡ Â›Ó·È Ó· ‰ÒÛÔ˘Ì ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ·ÓÙÈÛÙÚfiÊÔ˘. M ÙËÓ Â˘Î·ÈÚ›· ·˘Ù‹ ı· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì ÙË Û˘ÓÔÏÈ΋ ÚfiÙ·ÛË Î·È ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙfiÛÔ ÙÔ "¢ı‡" fiÛÔ Î·È ÙÔ "·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ" Ù˘ ÚfiÙ·Û˘: ¶ÚfiÙ·ÛË 1: ¢›ÓÂÙ·È Ë ¤ÏÏÂÈ„Ë C Ì ÂÛٛ˜ E¢(–Á, 0) Î·È E(Á, 0) Î·È ÛÙ·ıÂÚfi ¿ıÚÔÈÛÌ· 2·, Ì ·>Á>0. ŒÓ· ÛËÌÂ›Ô M(x, y) Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¤ÏÏÂȄ˘, fiÙ·Ó, Î·È ÌfiÓÔ fiÙ·Ó, x2 y2 2 + 2 = 1, · ‚
Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ M(x, y) ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ù˘ ¤ÏÏÂȄ˘ C. TfiÙ (ME¢)+(ME) = 2·
=
4·2
2 ¤ (x + Á + )2 y2 Ø (x –Á )+ y2 = 2·2–(x2+y2+Á2).
(Y„ÒÓÔ˘Ì ٷ ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÁÔ. £· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ·Ú·Î¿Ùˆ ÁÈ·Ù› Ë ÈÛfiÙËÙ· Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË Ì ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›·) (*)
¤ [(x2+y2+Á2)+2Áx] Ø [(x2+y2+Á2)–2Áx] =
2
°È· ÙËÓ Â͛ۈÛË Ù˘ ˘ÂÚ‚ÔÏ‹˜ (¨5.4) ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì ÙËÓ ÚfiÙ·ÛË:
¶ÚfiÙ·ÛË 2: ¢›ÓÂÙ·È Ë ˘ÂÚ‚ÔÏ‹ C Ì ÂÛٛ˜ E¢(–Á, 0) Î·È E(Á, 0) Î·È ÛÙ·ıÂÚ‹ ‰È·ÊÔÚ¿ 2·, Ì Á>·>0. ŒÓ· ÛËÌÂ›Ô M(x, y) Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ˘ÂÚ‚ÔÏ‹˜, fiÙ·Ó, Î·È ÌfiÓÔ fiÙ·Ó,
fiÔ˘ ‚>0 Î·È ‚2 = Á2–·2. Afi‰ÂÈÍË: ŒÛÙˆ M(x, y) ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ Ù˘ ˘ÂÚ‚ÔÏ‹˜ C. TfiÙÂ:
¤ ((x + Á)2+ y2 – (x –Á )2+ y2)2 = 4·2 ¤
+ y2 Ø (x )2+ y2 (x + Á) 2 –Á
= (x2+y2+y2) – 2·2
(*)
¤ ·2(x2+y2+Á2)–Á2x2 = ·4 ¤ (·2–Á2)x2+·2y2 = ·2(·2–Á2) ¤ –‚2x2+·2y2 = –·2‚2 x2 y2 ¤ 2 – 2 = 1 · ‚
(*) x2 y2 H ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›· ¤ ÈÛ¯‡ÂÈ ·ÊÔ‡ ÁÈ· ÙËÓ 2 – 2 = 1 Â›Ó·È · ‚ x2≥·2, ÔfiÙÂ
= 4·4+(x2+y2+Á2)2–4·2(x2+y2+Á2) ¤ ·2(x2+y2+Á2)–Á2x2 = ·4 ¤ (·2–Á2)x2+·2y2 = ·2(·2–Á2) ¤ ‚2x2+·2y2 = ·2‚2
14
(‚2–y2)≥0.
)2 + y2 – (x )2 + y2| = 2· ¤ |(x + Á –Á
¤ (x+Á)2 + y2 + (x–Á)2 + y2 + Ø
·ÙÔ˘Ó fiÙÈ x2≤·2 Î·È y2≤‚2, ‰ËÏ. (·2–x2)≥0 ηÈ
|(ME¢)–(ME)| = 2·
2 ¤ (x + Á + )2 y2 + (x –Á )+ y2 = 2·
+
x2 y2 ·ÊÔ‡ ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· 2 + 2 = 1 (Ô˘ Â›Ó·È Ë ˘fi· ‚ ıÂÛË ÚÔ˜ ÙËÓ Î·Ù‡ı˘ÓÛË ·˘Ù‹ Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢) ÚÔ-
x2 y2 2 – 2 = 1, · ‚
fiÔ˘ ‚>0 Î·È ‚2 = ·2–Á2.
2 (x –Á )+ y2
(*)
H ÈÛÔ‰˘Ó·Ì›· ¤ ÚÔ˜ ÙËÓ Î·Ù‡ı˘ÓÛË "‹", Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ¿ÚıÚÔ "ÕÚÚËÙ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Î·È ·ÓÈÛÒÛÂȘ", EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ› ¶ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌÔ›, Ù‡¯Ô˜ 2, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙ·Ó 2·2–( x2+y2+Á2) ≥ 0. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, 2·2–(x2+y2+Á2) = (·2–x2)+(‚2–y2) ≥ 0,
·2–Á2.
2(x + Á + )2 y2
x2 y2 ¤ 2 + 2 = 1. · ‚
(x2+y2+y2) – 2·2 = (x2–·2) + y2+(Á2–·2) ≥ 0.
◆
* ∏ ‰È·Ù‡ˆÛË Ù˘ ÚfiÙ·Û˘ ÛÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ‚È‚Ï›Ô Â›Ó·È ÂÚÈÁÚ·ÊÈ΋ Î·È ÁÈ’ ·˘Ùfi ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ÌÈÎÚ‹ ‰È·ÊÔÚ¿ Ì ·˘Ù‹Ó Ô˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ì ‰Ò.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
M ∞£∏ª∞∆π∫∞
X∞ƒ∞∫∆∏ƒπ™∆π∫∂™ ∞¡π™√∆∏∆∂™ ∆∏™ ∂∫£∂∆π∫∏™ Î·È Ù˘ §√°∞ƒπ£ªπ∫∏™ ™À¡∞ƒ∆∏™∂ø™ TÔ˘ °. ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë, ∫·ıËÁËÙ‹ ∂.ª.¶ÔÏ˘Ù¯Ó›Ԣ
N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÁÈ· ÙËÓ ÂÎıÂÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË E(x) = ex ÈÛ¯‡Ô˘Ó: x2 1. ex > 1 + x + , ÁÈ· x>0, 2!
x2 x3 ‰ËÏ. 1 + x + + < ex. 2! 3! Afi ÙȘ 1, 1· Î·È 2, ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÔÈ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜. M¿ÏÈÛÙ·, ÂÂȉ‹ F3¢(x)<0 ÁÈ· x>0 ¤ÂÙ·È ·ÎfiÌË Î·È Ë ·ÓÈÛfiÙËÙ·: x2 x3 ex > 1 + x + + . 2! 3!
x2 x3 x2 2. 1 +x + + < ex < 1+x+ , ÁÈ· οı x<0. 2! 3! 2!
¶·Ú·Ù‹ÚËÛË: OÈ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÛÙȘ ÁÂÓÈΤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ:
Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË
AÓ Û˘Ì‚ÔÏ›ÛÔ˘Ì ÌÂ
I. X·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈΤ˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ Ù˘ ÂÎıÂÙÈ΋˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜
F3(x) < F3(0) = 1,
x2 xn En(x) = 1+x+ +…+ , ÙfiÙÂ: 2! n!
x2 1 + x + 2! , F2(x) = x e
(i) °È· x>0 Î·È Î¿ı nŒƒ ÈÛ¯‡ÂÈ: ex > En(x),
Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ ó Ì ·Ú¿ÁˆÁÔ
(ii) °È· x<0 Î·È Î¿ı nŒƒ ÈÛ¯‡Ô˘Ó:
1 F2¢(x) = = –x2 Ø x . 2!e
ex > E2n–1(x),
°È· οı xŒó, Ì xπ0, Â›Ó·È F2¢(x)<0, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë F2(x) Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ Êı›ÓÔ˘Û· ÛÙ· ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· [0, +•) Î·È (–•, 0], ‰ËÏ·‰‹ ÛÙÔ ó. EÔ̤ӈ˜ 1. °È· x>0 ÈÛ¯‡ÂÈ F2(x) < F2(0) = 1,.‰ËÏ. x2 1 + x + < ex. 2!
ex < E2n(x)
°È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙˆÓ ·ÓÈÛÔÙ‹ÙˆÓ ·˘ÙÒÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ, Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ, ÙȘ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ E (x) , Fn(x) = n ex
fiÔ˘
x2 xn En(x) = 1+x+ +…+ , 2! n! Ù˘ ÔÔ›·˜ Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ›ӷÈ
1·. °È· x<0 ÈÛ¯‡ÂÈ F2(x)>F2(0) = 1, ‰ËÏ. x2
1 + x + > ex. 2! £ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË
En–1(x)ex – En(x)ex 1 = –xn Ø x . Fn¢(x) = 2 x e n!e EÚÁ·˙fiÌÂÓÔÈ, fiˆ˜ Î·È ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜, ·›ÚÓÔ˘Ì ÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜.
x2 x3 1 + x + + 2! 3! F3(x) = , x e Ë ÔÔ›· Â›Ó·È Â›Û˘ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ ó Ì ·Ú¿ÁˆÁÔ (fiÌÔÈ·, fiˆ˜ Î·È ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜) 1 F3¢ (x) = –x3 Ø x . 3!e 2. °È· x<0 ÈÛ¯‡ÂÈ F3¢ (x)>0, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë F3(x) Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (–•, 0]. EÔ̤ӈ˜ ÁÈ· οı x<0 ÈÛ¯‡ÂÈ:
II. X·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈΤ˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ Ù˘ ÏÔÁ·ÚÈıÌÈ΋˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ln(1+x) N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÁÈ· ÙË ÏÔÁ·ÚÈıÌÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË L(x) = ln(1+x) ÈÛ¯‡Ô˘Ó: x2 x2 x3 1. x– < ln(1+x) < x– + , ÁÈ· οı x>0 2! 2! 3! x2 x3 2. ln(1+x) < x– + , ÁÈ· οı –1<x<0. 2! 3!
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
15
ª ∞£∏ª∞∆π∫∞ 1 1 Gn¢(x) = – Ln¢(x) = … = (–x)n Ø . 1+x 1+x
K·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ÌÔÚÔ‡Ó ÔÈ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ Ó· ÁÂÓÈ΢ıÔ‡Ó:
1. °È· –1<x<0 Î·È Î¿ı nŒƒ* Â›Ó·È Gn¢(x) > 0, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë G n (x) Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ (–1, 0], ‰ËÏ. Gn(x)
AÓ Û˘Ì‚ÔÏ›ÛÔ˘Ì Ì x2 xn Ln(x) = x– +…+ (–1)n–1 , 2! n!
ÙfiÙ (i) °È· –1<x<0 Î·È Î¿ı nŒƒ* ÈÛ¯‡ÂÈ:
Gn(x) = ln(1+x)–Ln(x)<0 ‹ ln(1+x) < Ln(x).
ln(1+x) < Ln(x).
2. ·) °È· x>0 Î·È n ¿ÚÙÈÔ˜, ‰ËÏ. Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 2n, ›¢ (x)>0, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë G2n(x) Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ Ó·È G2n
(ii) °È· x>0 Î·È Î¿ı nŒƒ* ÈÛ¯‡Ô˘Ó: ln(1+x) < L2n–1(x), ln(1+x) > L2n(x) Afi‰ÂÈÍË: £· ÛÎÈ·ÁÚ·Ê‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙˆÓ ÁÂÓÈÎÂ˘Ì¤ÓˆÓ ·ÓÈÛÔًوÓ, Ô˘ ÛÙËÓ ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ n=1,2 Î·È 3 Ì·˜ ‰›ÓÔ˘Ó ÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ 1 Î·È 2. £ÂˆÚԇ̠ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Gn(x) = ln(1+x) – Ln(x), Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (–1, +•) Ì ·Ú¿ÁˆÁÔ
·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ [0, +•). EÔ̤ӈ˜, G2n(x) > G2n(0) = 0, ‰ËÏ. ln(1+x) > L2n(x). 2. ‚) °È· x>0 Î·È n ÂÚÈÙÙfi˜, ‰ËÏ. Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 2n–1, Â›Ó·È G¢2n–1(x) < 0, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ G2n–1(x) Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ Êı›ÓÔ˘Û· ÛÙÔ [0, +•). EÔ̤ӈ˜ G2n–1(x) < G2n–1(0) = 0, ‰ËÏ. ln(1+x) < L2n–1(x).
◆
MÔÚԇ̠·fi ÙÔ ÚfiÛËÌÔ Ù˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ Û’ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Ó· ·ÔÊ·Óıԇ̠ÁÈ· ÙË ÌÔÓÔÙÔÓ›· ÛÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ; (EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ› ¶ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌÔ›, Ù‡¯Ô˜ 2, ÛÂÏ. 10)
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÛÙËÓ ÂÚÒÙËÛË
TÔ˘ £. •¤ÓÔ˘, K·ıËÁËÙ‹ M.E.
H Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) =
1 x 1+2x Ø ËÌ , x 0,
xπ0 x=0
Â›Ó·È ÚÔÊ·ÓÒ˜ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË, ÔfiÙÂ Î·È Û˘Ó¯‹˜, Û οı xπ0 Ì ·Ú¿ÁˆÁÔ 1 1 f¢(x) = 1 + 4x Ø ËÌ – 2 Ø Û˘Ó . x x y 0,2
y2=x(1+2x)
0,1
–0,2
–0,1
1 y=x(1+2xsin x )
0,1
0,2
f¢(x)
= 1 – 2 = –1Æ –1 π 1. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ Û¯ÔÏÈ·ÛÌfi Ù˘ ÂÚˆÙ‹Ûˆ˜ ‰ÂÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ·ÔÊ·Óıԇ̠·Ó Ë f Â›Ó·È ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ (–Â, Â) ÙÔ˘ x0=0, ·ÊÔ‡ ÁÈ· οı 1 1 1 ·1 = > ·2 = , > ·3 = 2Ó 2(Ó + 1) + 2Ó + 2 2 Ù· ÔÔ›· ÁÈ· ·ÚÎÂÙ¿ ÌÂÁ¿ÏÔ Ó ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ (–Â, Â) ÈÛ¯‡Ô˘Ó
y1=x(1–2x)
0
‰ÂÓ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ x 0 =0, ·ÊÔ‡ ÁÈ· ÙËÓ 1 ·ÎÔÏÔ˘ı›· xÓ = , Ô˘ Ù›ÓÂÈ ÛÙÔ 0, ÈÛ¯‡ÂÈ 2Ó 1 4 f¢(xÓ) = f¢ = 1 + Ø ËÌ(2Ó) – 2ØÛ˘Ó(2Ó) = 2Ó 2Ó
H
f(·2) > f(·1) Î·È f(·3) < f(·1).
x
–0,1
¶·Ú·ÙËÚ›ÛÙÂ, Ë ÂÊ·ÙÔ̤ÓË Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú·ÛÙ¿Ûˆ˜ Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô (0, 0) Â›Ó·È Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ y=x ¿Óˆ ÛÙËÓ ÔÔ›· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Ù· ÛËÌ›· Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú·ÛÙ¿Ûˆ˜ 1 Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙ· ÛËÌ›· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·1 = , ‰ËÏ. Ë 2Ó ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ‰È·ÂÚÓ¿ ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ f. T· ÛËÌ›· Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú·ÛÙ¿Ûˆ˜ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙ· ÛË1 Ì›· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ , ÎŒƒ, ·Ó‹ÎÔ˘Ó ¿Óˆ ÛÙËÓ 2Î + 2
–0,2
·Ú·‚ÔÏ‹ y = x(1+2x). AÓ¿ÏÔÁ·, Ù· ÛËÌ›· Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ™ÙÔ ÛËÌ› x0=0 Â›Ó·È Â›Û˘ ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË Ì ·Ú¿ÁˆÁÔ
f(x) – f(0) f(x) 1 f¢(0) = lim = lim = lim 1 + 2x Ø ËÌ = 1>0. xÆ0 xÆ0 x xÆ0 x–0 x
16
1 ÛÙ· ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ ·Ú·‚ÔÏ‹ y = x(1–2x). 2Î – 2
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
◆
º À™π∫∏
¢YNAMIKO TøN ¶E¢IøN Î·È ¢YNAMIKH ENEP°EIA TøN ™øMATøN TÔ˘ ¢.™. K˘ÚÈ¿ÎÔ˘, AÓ·ÏËÚˆÙ‹ K·ıËÁËÙ‹ TÔ̤· º˘ÛÈ΋˜ ™ÙÂÚ¿˜ K·Ù¿ÛÙ·Û˘, TÌ‹Ì· º˘ÛÈ΋˜, A.¶.£.
T
· ‰›· ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔÓ ‰È· ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ‚·ÛÈ΋˜ ÚÔ¤Ï¢Û˘ Û ÛÒÌ·Ù· Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Ì·ÎÚÈ¿ ·fi ÙȘ ËÁ¤˜ ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌˆÓ. A˘Ù¤˜ ÔÈ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÔÊ›ÏÔÓÙ·È ÛÙËÓ ‡ÏË Î·È ˘·ÎÔ‡Ô˘Ó Û ÔÚÈṲ̂ÓÔ˘˜ ÓfiÌÔ˘˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ·ÏÏËÏÔÂȉڿÛÂȘ ÙˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ (‰ËÏ·‰‹ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙȘ ȉÈfiÙËÙ¤˜ ÙÔ˘˜). ™ÙËÓ Î·ÙËÁÔÚ›· ·˘Ù‹ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÙÔ ‚·Ú˘ÙÈÎfi Î·È ÙÔ ËÏÂÎÙÚÈÎfi ‰›Ô, Ù· ÔÔ›· ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙ÔÓÙ·È Î·È ˆ˜ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈο, ÁÈ·Ù› Ë ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÙÔ˘˜ Á›ÓÂÙ·È Ì ÙÔ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ̤ÁÂıÔ˜ Ù˘ ¤ÓÙ·Û˘ ÙÔ˘ ‰›Ô˘. H ¤ÓÙ·ÛË Û ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÏfiÁÔ ÙÔ˘ ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ÚÔ˜ ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ ˘fiıÂÌ· (Ì¿˙· ‹ ËÏÂÎÙÚÈÎfi ÊÔÚÙ›Ô) Î·È Ê˘ÛÈο ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ÈÛÔ‡Ù·È ·ÚÈıÌËÙÈο Ì ÙË ‰‡Ó·ÌË Ô˘ ·ÛÎÂ›Ù·È ÛÙË ÌÔÓ¿‰· ÙÔ˘ ˘Ôı¤Ì·ÙÔ˜. OÚÈṲ̂ӷ ‰›· ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙ÔÓÙ·È Â›Û˘ ˆ˜ ‰˘Ó·ÌÈο, ‰ËÏ·‰‹ ÚÔ¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ‰˘Ó·ÌÈÎfi. °ÂÓÈÎÒ˜, ÙÔ ‰˘Ó·ÌÈÎfi Â›Ó·È ÌÈ· ·ÚÈıÌËÙÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘, V = V(x, y, z, t). ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ÙÔ ‰˘Ó·ÌÈÎfi Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘, ÙfiÙÂ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË V = V(x, y, z) ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ ÌÔÓfiÙÈÌ· ÙÔ ‰˘Ó·ÌÈÎfi ‰›Ô, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ë ÌÔÚÊ‹ ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·ÌÂÙ¿‚ÏËÙË, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Â‰›Ô Â›Ó·È ÛÙ·ÙÈÎfi. TÔ ÛÙ·ÙÈÎfi ‰›Ô Â›Ó·È Â‰›Ô Û˘ÓÙËÚËÙÈÎÒÓ (‰È·ÙËÚËÙÈÎÒÓ) ‰˘Ó¿ÌˆÓ. TÔ ¤ÚÁÔ ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ ¿Óˆ ÛÙÔ ÛÒÌ· Ô˘ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı› ÙÔ ÛÒÌ·, ·ÏÏ¿ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔÓ ·fi ÙËÓ ·Ú¯È΋ Î·È ÙÂÏÈ΋ ı¤ÛË ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜. ŒÙÛÈ ÙÔ ¤ÚÁÔ ÁÈ· ÎÏÂÈÛÙ‹ ‰È·‰ÚÔÌ‹ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó. TÔ ‚·Ú˘ÙÈÎfi ‰›Ô Î·È ÙÔ ËÏÂÎÙÚÈÎfi (ÛÙ·ÙÈÎÒÓ ÊÔÚÙ›ˆÓ) Â›Ó·È ÛÙ·ÙÈο. T¤ÏÔ˜, ÔÈ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ·ÌÊÔÙ¤ÚˆÓ ÙˆÓ Â‰›ˆÓ Ô˘ ÚÔ¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÛËÌÂȷΤ˜ ËÁ¤˜ Â›Ó·È ÎÂÓÙÚÈΤ˜, ÁÈ·Ù› fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ ÓfiÌÔ˘˜ Ù˘ ·ÁÎfiÛÌÈ·˜ ¤Ï͢ ÙÔ˘ Newton Î·È Ù˘ ËÏÂÎÙÚÔÛÙ·ÙÈ΋˜ ¤Ï͢ ‹ ¿ˆÛ˘ ÙÔ˘ Coulomb mm F = –G 122 r^ , r
1 qq F1 = –F2 = ± 122 r^, 4Â0 r
ÔÈ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ‰ÚÔ˘Ó Î·Ù¿ ÙË ‰È‡ı˘ÓÛË Ù˘ ¢ı›·˜ Ô˘ ÂÓÒÓÂÈ Ù· ·ÏÏËÏÔÂȉÚÒÓÙ· ÛÒÌ·Ù· Î·È Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘˜ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙËÓ ·fiÛÙ·Û‹ ÙÔ˘˜ (™¯. 1). m1 q1
r^
r
F
r^ F1
r
F2
m2 q2
™¯‹Ì· 1. OÈ ‚·Ú˘ÙÈΤ˜ Î·È ÔÈ ËÏÂÎÙÚÔÛÙ·ÙÈΤ˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ Â›Ó·È ÎÂÓÙÚÈΤ˜.
ŸÙ·Ó ¤Ó· ÛÒÌ· ÂÈÛ·¯ı› ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡ ‰›Ô˘, ·ÔÎÙ¿ ÂÍ·ÈÙ›·˜ ÙÔ˘ ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡ ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·, Ô˘ ÁÈ· Ù· ÛÙ·ÙÈο ‰›· Â›Ó·È ÌÔÓfiÙÈÌË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ ı¤Û˘ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜. °È’ ·˘Ùfi Î·È ÌÂÚÈΤ˜ ÊÔÚ¤˜ Ë ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ϤÁÂÙ·È Î·È ı¤ÛÂÈ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·1. ¶Ú¤ÂÈ Ó· ÚÔÛ¤ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë ¤ÓÙ·ÛË Î·È ÙÔ ‰˘Ó·ÌÈÎfi Â›Ó·È ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο ÌÂÁ¤ıË ÙÔ˘ ‰›Ô˘ Ô˘ ÂÚÈÁÚ¿ÊÔ˘Ó ÙÔ Â‰›Ô Î·È ‰ÂÓ ÂÍ·ÚÙÒÓÙ·È ·fi ÙËÓ ·ÚÔ˘Û›· ‹ fi¯È ÛˆÌ¿ÙˆÓ Î·È Ë ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ·ÔÎÙ¿Ù·È ·fi ·˘Ù¿. T· ‰‡Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÌÂÁ¤ıË ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙ· ÛÒÌ·Ù·. EÂȉ‹ Ô Ì˯·ÓÈÛÌfi˜ ‰È·Î›ÓËÛ˘ Ù˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ Â›Ó·È ÙÔ ¤ÚÁÔ, Â›Ó·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ Ë ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Û¯ÂÙ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ ¤ÚÁÔ ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ ÙÔ˘ ‰›Ô˘.
OÚÈÛÌfi˜: H ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÛÒÌ·ÙÔ˜ ̤۷ Û ‰›Ô Û˘ÓÙËÚËÙÈÎÒÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ ÔÚ›˙ÂÙ·È Î·Ù¿ Ù¤ÙÔÈÔ ÙÚfiÔ ÒÛÙÂ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ Ù˘ ÙÈÌ‹˜ Ù˘ ÛÙËÓ ·Ú¯È΋ ı¤ÛË A Ì›ÔÓ ÙËÓ ÙÈÌ‹ Ù˘ ÛÙËÓ ÙÂÏÈ΋ ı¤ÛË B ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ Ó· Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙÔ ¤ÚÁÔ ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ ÙÔ˘ ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡ ‰›Ô˘. E¢(A) – E¢(B) = W(AÆB). Afi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ·˘Ùfi ‚Á·›ÓÔ˘Ó Ù· ·ÎfiÏÔ˘ı· Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù·:
·) H ÔÛfiÙËÙ· E¢ ¤¯ÂÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ Î·È ÁÈ’ ·˘Ùfi ¿ÏψÛÙ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·.
1. O fiÚÔ˜ ·˘Ùfi˜ ·ÓÙ·ÔÎÚ›ÓÂÙ·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ÚÔ˜ ÙË Ê˘ÛÈ΋ ηٿÛÙ·ÛË Ù˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ Û ËÚÂÌ›·, ÂÓÒ Ô fiÚÔ˜ ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ΛÓËÛ˘. A˘Ùfi Ê·›ÓÂÙ·È Î·È ·fi ÙËÓ ÍÂÓfiÁψÛÛË ‚È‚ÏÈÔÁÚ·Ê›·, fiÔ˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Ô fiÚÔ˜ potential (‰˘ÓËÙÈ΋) ·ÓÙ› ÙÔ˘ fiÚÔ˘ dynamic, dynamical (‰˘Ó·ÌÈ΋). BÏ¤Â Î·È °.K. Aı·Ó·ÛÈ¿‰Ë, E›ÙÔÌË º˘ÛÈ΋, Aı‹Ó· 1944.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
17
¢ À¡∞ªπ∫√
∆ø¡
¶ ∂¢πø¡
∫∞π
¢ À¡∞ªπ∫∏ ∂ ¡∂ƒ°∂π∞
‚) H ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Ù˘ ‰˘Ó·ÌÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ Â›Ó·È ›ÛË Î·È ·ÓÙ›ıÂÙË ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘ ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌˆÓ. ø˜ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ ıˆÚÂ›Ù·È ¿ÓÙÔÙÂ Ë ÙÂÏÈ΋ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜ Ì›ÔÓ ÙËÓ ·Ú¯È΋ ÙÈÌ‹. flÛÙ ¢E¢ = E¢(B) – E¢(A) = –W(AÆB). EÂȉ‹ ÛÙÔ ÛÒÌ· ÌÔÚ› Ó· ÂÓÂÚÁÔ‡Ó Î·È ¿ÏϘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ, ÙË ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Ù˘ ‰˘Ó·ÌÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÙËÓ ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ¿ÓÙÔÙ ·fi ÙÔ ¤ÚÁÔ ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ ÙÔ˘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘ ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡ ‰›Ô˘.
Á) Afi ÙÔ ıÂÒÚËÌ· Ù˘ ÎÈÓËÙÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ·fi ÙË Ê‡ÛË Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ (Û˘ÓÙËÚËÙÈ΋ ‹ fi¯È), ¢EK = EK(B)–EK(A) = W(AÆB), ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Ù˘ ‰˘Ó·ÌÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È ›ÛË Î·È ·ÓÙ›ıÂÙË Ù˘ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ù˘ ÎÈÓËÙÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜, W(AÆB) = ¢EK = –¢E¢. E·ÎfiÏÔ˘ıÔ, Ë ·Ú¯‹ ‰È·Ù‹ÚËÛ˘ Ù˘ ÔÏÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÙˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ ÛÙ· Û˘ÓÙËÚËÙÈο ‰›· (ÂÍÔ‡ Î·È Ë ÔÓÔÌ·Û›· ÙÔ˘˜).
‰) ¢ÂÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· ÔÚÈÛÙÔ‡Ó ·fiÏ˘Ù˜ ÙÈ̤˜ ‰˘Ó·ÌÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜, ·Ú¿ ÌfiÓÔÓ ‰È·ÊÔÚ¤˜ (‹ ÌÂÙ·‚ÔϤ˜) Ù˘. °È· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi, Î·È ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙË Ê‡ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜, ÔÚ›˙Ô˘Ì ·˘ı·›ÚÂÙË ÛÙ¿ıÌË ÌˉÂÓÈ΋˜ ‰˘Ó·ÌÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÔÔ›· ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙË ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Û ¿ÏϘ ı¤ÛÂȘ ÙÔ˘ ‰›Ô˘. AÓ .¯. Â›Ó·È E¢(A)=0, ÙfiÙÂ
1.
H ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Û ÔÌÔÈÔÁÂÓ¤˜ ‰›Ô E = ÛÙ·ı.
OÌÔÈÔÁÂÓ¤˜ ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ÙÔ ‚·Ú˘ÙÈÎfi ‰›Ô ÎÔÓÙ¿ ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ù˘ Á˘. H ¤ÓÙ·ÛË ÙÔ˘ ‰›Ô˘ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹ ηٿ ‰È‡ı˘ÓÛË, ÊÔÚ¿ Î·È Ì¤ÙÚÔ Î·È ¤Ó· ÈÛÔ‰˘Ó·ÌÈÎfi ›‰Ô, Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ ÛÙȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ‰˘Ó·ÌÈΤ˜ ÁÚ·Ì̤˜ ÛÙ·ıÂÚ‹˜ ˘ÎÓfiÙËÙ·˜, Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ˆ˜ ÛÙ¿ıÌË ÌˉÂÓÈ΋˜ ‰˘Ó·ÌÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜, .¯. Ë ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ù˘ Á˘. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1 ™ÙÔ Û¯‹Ì· 2, ¤Ó· ÛÒÌ· Ì¿˙·˜ m ·Ó·Áο˙ÂÙ·È ·fi ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ó· ÎÈÓËı› ηٿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ Ù˘¯·›·˜ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜ AB. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ ‚¿ÚÔ˘˜ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ Î·È Ë ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Ù˘ ‰˘Ó·ÌÈ΋˜ ÙÔ˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜. B
Ÿˆ˜ Ë ¤ÓÙ·ÛË ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È ·fi ÙË ‰‡Ó·ÌË ÛÙË ÌÔÓ¿‰· ÙÔ˘ ˘Ôı¤Ì·ÙÔ˜, ¤ÙÛÈ Î·È ÙÔ ‰˘Ó·ÌÈÎfi ÙÔ˘ ‰›Ô ÔÚ›˙ÂÙ·È ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ˆ˜ Ô ÏfiÁÔ˜ Ù˘ ‰˘Ó·ÌÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi ÚÔ˜ ÙÔ ˘fiıÂÌ· (.¯. Ì¿˙· ‹ ÊÔÚÙ›Ô). ™ÙÔ ‚·Ú˘ÙÈÎfi ‰›Ô ÙÔ ‰˘Ó·ÌÈÎfi ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙË ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ÌÔÓ¿‰· Ì¿˙·˜, ÂÓÒ ÛÙÔ ËÏÂÎÙÚÈÎfi ‰›Ô ÙÔ ‰˘Ó·ÌÈÎfi ÈÛÔ‡Ù·È ·ÚÈıÌËÙÈο Ì ÙË ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ÌÔÓ¿‰· ÙÔ˘ ıÂÙÈÎÔ‡ ÊÔÚÙ›Ô˘. EÔ̤ӈ˜, fiÛ· ·Ó·Ê¤Ú·Ì ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜ ÁÈ· ÙË ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÙˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÁÈ· ÙÔ ‰˘Ó·ÌÈÎfi ÙˆÓ Â‰›ˆÓ. ŒÙÛÈ ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ ¤ÓÙ·Û˘‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡ Î·È ‰‡Ó·Ì˘-‰˘Ó·ÌÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ Â›Ó·È fiÌÔȘ, ·ÊÔ‡ Ô Û˘Ó‰ÂÙÈÎfi˜ ÎÚ›ÎÔ˜ Â›Ó·È ÙÔ ¤ÚÁÔ ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌˆÓ2, ∂V ∂V ∂V E = – x^ + y^ + z^ ∂x ∂y ∂z ηÈ
18
∂E¢ ∂E¢ ∂E¢ F = – x^ + y^ + z^ . ∂x ∂x ∂x
™ øª∞∆ø¡
H ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ÌÂÁÂıÒÓ ‰˘Ó·ÌÈÎfi ‹ ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙË Ê‡ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜. ™ÙË M˯·ÓÈ΋ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ Û˘Ó‹ıˆ˜ ÙË ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·, ÂÓÒ ÛÙÔÓ HÏÂÎÙÚÈÛÌfi, ÂÂȉ‹ Ú·ÎÙÈο ÂӉȷʤÚÂÈ Ë ¤ÌÌÂÛË Ì¤ÙÚËÛË ÙÔ˘ ËÏÂÎÙÚÈÎÔ‡ ‰›Ô˘, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ ‰˘Ó·ÌÈÎfi. N· ·Ó·Ê¤ÚÔ˘Ì ٤ÏÔ˜ fiÙÈ, ÙÔ Ì·ÁÓËÙÈÎfi ‰›Ô B ·ÛΛ ‰˘Ó¿ÌÂȘ Û ÎÈÓÔ‡ÌÂÓ· ÊÔÚÙ›· Ô˘ Ë ‰È‡ı˘ÓÛ‹ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Ù·¯‡ÙËÙ· ÙˆÓ ÊÔÚÙ›ˆÓ (F = qu ¥ B), ‰ËÏ·‰‹ ÛÙË ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë ÌÂÙ·ÙfiÈÛË. EÔ̤ӈ˜ ÙÔ ¤ÚÁÔ ÙˆÓ Ì·ÁÓËÙÈÎÒÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó Î·È ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÓfiËÌ· Ó· ÌÈÏ¿Ì ÁÈ· ‰˘Ó·ÌÈÎfi Î·È ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÛÙÔ Ì·ÁÓËÙÈÎfi ‰›Ô. AÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜.
E¢(B) = –W(AÆB).
∆ø¡
¢s ¢h Ê h^
m
h
;;;;; A
E¢ = 0
h0
™¯‹Ì· 2. TÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ ‚¿ÚÔ˘˜ ÙˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜ Ô˘ ‰È·ÁÚ¿ÊÔ˘Ó.
§‡ÛË: Ÿˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È, ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ B ÂÓÂÚÁ› Â‰Ò ˆ˜ ·ÓıÈÛÙ¿ÌÂÓË ‰‡Ó·ÌË. EÔ̤ӈ˜ ÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎfi ÁÈ· ÙÔ ÛÒÌ·. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ ÁÈ· ÙË ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë ÌÂÙ·ÙfiÈÛË ¢s ÙÔ ¤ÚÁÔ Â›Ó·È ¢W = B¢sÛ˘ÓÊ = –B¢h, ÂÂȉ‹ Ë ÁˆÓ›· Ê Â›Ó·È ·Ì‚Ï›·. BÏ¤Ô˘Ì ›Û˘ fiÙÈ, ÙÔ ¤ÚÁÔ ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ÚÔ‚ÔÏ‹˜ ¢h Ù˘ ÌÂÙ·ÙfiÈÛ˘ ¢s ¿Óˆ ÛÙË ÛÙ·ıÂÚ‹ ‰È‡ı˘ÓÛË ÙÔ˘ ‚¿ÚÔ˘˜. ™˘ÓÂÒ˜ W(AÆB) = – B¢h = –B ¢h = –B(h – h0) = –mg(h – h0). TÔ ¤ÚÁÔ Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜ Î·È ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙËÓ ·Ú¯È΋ Î·È ÙÂÏÈ΋ ı¤ÛË. ÕÚ· ÙÔ ÔÌÔÈÔÁÂÓ¤˜ ‰›Ô (ÛÙ·ıÂÚ‹˜ ‰‡Ó·Ì˘) Â›Ó·È Û˘ÓÙËÚËÙÈÎfi, ˘¿Ú¯ÂÈ ‰˘Ó·ÌÈÎfi Î·È Ë ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Ù˘ ‰˘Ó·ÌÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·fi ÙÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ÙÔ˘ ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡ ‰›Ô˘, E¢(B) – E¢(A) = –W(AÆB) = mg(h–h0).
2. OÈ Ù‡ÔÈ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÁÈ· ÙËÓ ÏËÚfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ ÌfiÓÔÓ. TÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ ∂ ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙ÂÈ ÙË ÌÂÚÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
º À™π∫∏ AÓ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô A ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ¤‰·ÊÔ˜ (h0=0) ÙfiÙ ηٿ Û˘Óı‹ÎË Â›Ó·È E¢(A) = 0 Î·È Ë ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÛÙÔ B ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ›ÛË Ì E¢(B) = mgh.
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2 M¿˙· m Â›Ó·È ÂÍ·ÚÙË̤ÓË ÛÙËÓ ¿ÎÚË ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ Î·È ÌÔÚ› Ó· ÔÏÈÛı·›ÓÂÈ Û ÔÚÈ˙fiÓÙÈÔ Â›Â‰Ô ¯ˆÚ›˜ ÙÚÈ‚‹. AÓ ÙÔ ÂÏ·Ù‹ÚÈÔ ·Ú¯Èο ¤¯ÂÈ ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˜, fiÛÔ Â›Ó·È ÙÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ·Û΋ÛÔ˘Ì ÒÛÙÂ Ë Ì¿˙· Ó· ÌÂÙ·ÎÈÓËı› ηٿ +xm ¯ˆÚ›˜ Ó· ÂÈÙ·¯˘Óı›; ¶fiÛË ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ·¤ÎÙËÛÂ; ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ηٷÚÁԇ̠ÙËÓ Â͈ÙÂÚÈ΋ ‰‡Ó·ÌË Î·È ·Ê‹ÓÔ˘Ì ÙË Ì¿˙· Ó· Ù·Ï·ÓÙˆı› ˘fi ÙËÓ Â›‰Ú·ÛË Ù˘ °¢E. N· ÌÂÏÂÙËı› Ë ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ¿ Ù˘ ÛÙ· ‰È¿ÊÔÚ· ÛÙ¿‰È· ΛÓËÛ˘.
F
FÂÍ m
–xmÆ0,
iv.
xm
F
¢s F
‹
m
O
F = –kx > 0.
W>0
xm
F = –kx > 0.
™’ ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Â›Ó·È ¢s > 0,
1 2 , W = kxm 2
E¢(0) – E¢(–xm) = –W
1 2 1 2 = – kxm , E¢(0) – kxm 2 2
E¢(0) = 0.
F F F
3. °ÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ÎÂÓÙÚÈ΋˜ ‰‡Ó·Ì˘
F
W<0 –xm
m
O
xm
F F W>0
iv
m
W<0 F
iii
¢s
0Æ–xm,
iii.
2, EÓÙÂÏÒ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ¤¯Ô˘Ì ¢s<0, W = –ó kxm 1 2 1 2 E¢(–xm)–E¢(0) = –W = kxm , E¢(–xm) = kxm . 2 2 BÏ¤Ô˘Ì fiÙÈ ·ÔÙ·ÌȇÂÙ·È ¿ÏÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÔÛfi ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÛÙË Ì¿˙·.
WÂÍ>0 O
F = –kx < 0.
MÂÙ¿ ÙËÓ Î·Ù¿ÚÁËÛË Ù˘ FÂÍ, Ë °¢E ·Ó·Áο˙ÂÈ ÙË Ì¿˙· Û ·ÚÌÔÓÈ΋ Ù·Ï¿ÓÙˆÛË (‰ÂÓ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙÚÈ‚¤˜). H ÌÂÙ·ÙfiÈÛË ¢s Â›Ó·È ÙÒÚ· ·ÚÓËÙÈ΋ Î·È ÙÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ F ıÂÙÈÎfi, 1 2 . W = kxm 2 °È· ÙË ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Ù˘ ‰˘Ó·ÌÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì 1 2 1 2 E¢(0)–E¢(xm) = –W ‹ E¢(0)– kxm = – kxm , E¢(0)=0, 2 2 fiˆ˜ Î·È ·Ó·Ì¤ÓÔ˘ÌÂ.
FÂÍ ¢s
xmÆ0,
ii.
F
ii
¢s
°È· ÈÛÔÙ·¯‹ ΛÓËÛË ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÛÙË Ì¿˙· m Â͈ÙÂÚÈ΋ ‰‡Ó·ÌË FÂÍ Ô˘ Â›Ó·È Û˘Ó¯Ҙ ·ÓÙ›ıÂÙË Ù˘ °¢E, FÂÍ = –F Î·È FÂÍ = kx. EÂȉ‹ Ë ÌÂÙ·ÙfiÈÛË ¢s Â›Ó·È ıÂÙÈ΋, ÙÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ FÂÍ Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi, ÂÓÒ Ù˘ F Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎfi. ™Â οı ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ ¤ÚÁÔ Î·Ù¿ ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ‰›ÓÂÙ·È, ηٿ Ù· ÁÓˆÛÙ¿, ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˘ ÛÎÈ·Ṳ̂Ó˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜. flÛÙ 1 2 1 2 WÂÍ = kxm , W = – kxm . 2 2 H ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Ù˘ ‰˘Ó·ÌÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·fi ÙÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ °¢E, ‰ËÏ·‰‹ 1 2 E¢(xm) – E¢(0) = –W = kxm . 2 EÂȉ‹ ÙÔ O Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÈÛÔÚÚÔ›·˜ (F=0), Ë ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÛÙÔ O Â›Ó·È ÂÏ¿¯ÈÛÙË Î·È Î·Ù¿ Û˘Óı‹ÎË ÙËÓ ·›ÚÓÔ˘Ì ›ÛË Ì Ìˉ¤Ó, E¢(0)=0. ™˘ÓÂÒ˜ 1 2 E¢(xm) = kxm . 2
F = –kx.
H ‰‡Ó·ÌË Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁË Ù˘ ·ÔÌ¿ÎÚ˘ÓÛ˘ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ·fi ÙËÓ ËÁ‹ Î·È Ì¿ÏÈÛÙ· ·ÓÙ›ıÂÙ˘ ÊÔÚ¿˜. ™Â ÌÈ· ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈṲ̂ÓË Â˘ı›· (¿ÍÔÓ·˜) Ë ·ÔÌ¿ÎÚ˘ÓÛË x ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ ‹ ·ÚÓËÙÈ΋. T¤ÙÔÈ· Â›Ó·È Ë ‰‡Ó·ÌË Ô˘ ·ÛÎÂ›Ù·È Û ̿˙· ÚÔۉ‰Â̤ÓË ÛÙËÓ ¿ÎÚË ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘, ÙÔ ÔÔ›Ô ·Ú·ÌÔÚÊÒÓÂÙ·È Ì¤Û· ÛÙ· fiÚÈ· ÂÏ·ÛÙÈÎfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘ (ÓfiÌÔ˜ ÙÔ˘ Hooke). H ΛÓËÛË Ù˘ Ì¿˙·˜ Û ÔÚÈ˙fiÓÙÈÔ Â›Â‰Ô ¯ˆÚ›˜ ÙÚÈ‚‹ ·ÔÙÂÏ› ÎÏ·ÛÛÈÎfi ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë ·Ó¿Ù˘ÍË ÙÔ˘ ı¤Ì·ÙÔ˜ fï˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ÂÈÙ˘¯‹˜. ™¯ÂÙÈο ‰Â›Ù ÙÔ ‚È‚Ï›Ô Ê˘ÛÈ΋˜ Ù˘ °¢ §˘Î›Ԣ Î·È ÙËÓ ·Û˘Ó¤ÂÈ· (·Û˘Ìʈӛ·) Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜ ÙˆÓ ÛÂÏ. 16 Î·È 374. H °¢E Ô˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È ·fi ÂÏÎÙÈÎfi ΤÓÙÚÔ Â›Ó·È ÌÈ· ÎÂÓÙÚÈ΋ ‰‡Ó·ÌË Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Û˘ÓÙËÚËÙÈ΋.
i
0Æxm, FÂÍ > 0, F = –kx < 0.
i.
2. °Ú·ÌÌÈ΋ ‰‡Ó·ÌË Â·Ó·ÊÔÚ¿˜ (°¢E),
;; ;; ;;
§‡ÛË: AÓ·ÊÂÚfiÌÂÓÔÈ ÛÙÔ Û¯‹Ì· 3 ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ:
F –xm
O
xm
™¯‹Ì· 3. AÓ¿ÏÔÁ· Ì ÙË ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ Î·È Ù˘ ÌÂÙ·ÙfiÈÛ˘ ÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi ‹ ·ÚÓËÙÈÎfi.
YÔı¤ÙÔ˘Ì ÛËÌÂȷ΋ ËÁ‹ ÙÔ˘ ‰›Ô˘ Î·È ÁÈ· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘ ÚÔ‚¿ÏÏÔ˘Ì ¿ÏÈ ÙË ÌÂÙ·ÙfiÈÛË ¢s ¿Óˆ ÛÙË ‰È‡ı˘ÓÛË Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ F(r). Afi ÙÔ Û¯‹Ì· 4 Ê·›ÓÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ ÛÙÔȯÂÈ҉˜ ¤ÚÁÔ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ¢W = F(r)¢sÛ˘ÓÊ = F(r)¢r. EÂȉ‹ ÙfiÛÔ Ë ‰È‡ı˘ÓÛË Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ fiÛÔ Î·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ·ÏÏ¿˙Ô˘Ó Û˘Ó¯Ҙ, ‰ÂÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ¤ÚÁÔ W(AÆB) Ì ÙÔÓ ·Ïfi ÙÚfiÔ ÙÔ˘ ·-
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
19
¢ À¡∞ªπ∫√
∆ø¡
¶ ∂¢πø¡
∫∞π
¢ À¡∞ªπ∫∏ ∂ ¡∂ƒ°∂π∞
¢r
A
m ¢S
Ê
B
rA
™ øª∞∆ø¡
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 3 T¯ÓËÙfi˜ ‰ÔÚ˘ÊfiÚÔ˜ Ì¿˙·˜ 4 kg ÂÎÙÔ͇ÂÙ·È ÂÊ·ÙÔÌÂÓÈο ·fi ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ù˘ Á˘ Î·È ‰È·ÁÚ¿ÊÂÈ ÂÏÏÂÈÙÈ΋ ÙÚԯȿ. H ̤ÁÈÛÙË ·fiÛÙ·Û‹ ÙÔ˘ ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Ù˘ Á˘ Â›Ó·È ›ÛË Ì 3R fiÔ˘ R Ë ·ÎÙ›Ó· Ù˘ Á˘. ¶fiÛË Â›Ó·È Ë ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÙÔ˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÛÙË ı¤ÛË ·˘Ù‹; ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ ‚·Ú˘ÙÈ΋˜ ‰‡Ó·Ì˘ ÁÈ’ ·˘Ù‹ ÙË ÌÂٷΛÓËÛË; AÓ Ë ·Ú¯È΋ ÙÔ˘ Ù·¯‡ÙËÙ· ›ӷÈ
F(r)
r
∆ø¡
,5 g u0 = 1 0R fiÛË Â›Ó·È Ë Ù·¯‡ÙËÙ¿ ÙÔ˘ ÛÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË 3R;
r‚
r^ U0
O M 3R
™¯‹Ì· 4. H ÎÂÓÙÚÈ΋ ‰‡Ó·ÌË ‰Ú· ÛÙË ‰È‡ı˘ÓÛË Ù˘ ¢ı›·˜ ÙˆÓ ·ÏÏËÏÔÂȉÚÒÓÙˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ Î·È Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙËÓ ·fiÛÙ·Û‹ ÙÔ˘˜.
Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜ 1. XÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· ηٷʇÁÔ˘Ì ÛÙ· ÔÚÈṲ̂ӷ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·Ù· ÙˆÓ ·ÓˆÙ¤ÚˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. AÓ ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ‚·Ú˘ÙÈÎfi ‰›Ô ÚÔÂÚ¯fiÌÂÓÔ ·fi ÛËÌÂȷ΋ Ì¿˙· M, ÙfiÙÂ Ë ‰‡Ó·ÌË ¿Óˆ ÛÙËÓ Â›Û˘ ÛËÌÂȷ΋ Ì¿˙· m Â›Ó·È Mm F(r) = –G 2 r Î·È ÙÔ ¤ÚÁÔ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ›ÛÔ ÌÂ
1 1 W(AÆB) = GMm – . rB rA EÂȉ‹ Ë ‰‡Ó·ÌË ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È ÁÈ· rÆ•, ıˆÚԇ̠ÙË ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Ìˉ¤Ó Û ¿ÂÈÚË ·fiÛÙ·ÛË ·fi ÙËÓ ËÁ‹, E¢(•)=0. EÔ̤ӈ˜ Ë ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Û ·fiÛÙ·ÛË r ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ Â͛ۈÛË
m
™¯‹Ì· 5. TÔ ÂÚ›ÁÂÈÔ ÙÔ˘ ‰ÔÚ˘ÊfiÚÔ˘ Â›Ó·È R Î·È ÙÔ ·fiÁÂÈfi ÙÔ˘ 3R.
§‡ÛË: O ‰ÔÚ˘ÊfiÚÔ˜ m ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ÁË ıˆÚÂ›Ù·È ÛËÌÂÈ·Îfi ÛÒÌ· (˘ÏÈÎfi ÛËÌ›Ô), ÂÓÒ Ë ÁË M ¤¯ÂÈ ÂÂÚ·Ṳ̂Ó˜ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ. ™Â ÌÈ· Ù¤ÙÔÈ· ÂÚ›ÙˆÛË ÁÈ· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙÔ˘ ‚·Ú˘ÙÈÎÔ‡ ‰›Ô˘ ¯ˆÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ ÛÒÌ· Û ÛÙÔȯÂÈÒ‰ÂȘ Ì¿˙˜ ¢m Î·È ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙËÓ ·Ú¯‹ Ù˘ ·ÏÏËÏ›·˜ ÁÈ· Ù· › ̤ÚÔ˘˜ ‰›·. AÓ ÙÔ ÛÒÌ· Â›Ó·È ÛÊ·ÈÚÈÎfi Î·È ÔÌÔÈÔÁÂÓ¤˜, fiˆ˜ ηٿ ηϋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ıˆÚԇ̠ÙË ÁË, ÙfiÙ ÙÔ ‚·Ú˘ÙÈÎfi ÙÔ˘ ‰›Ô Â›Ó·È ÙÔ ›‰ÈÔ Ì ·˘Ùfi ˘ÏÈÎÔ‡ ÛËÌ›Ԣ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜ Î·È ¤¯ÂÈ Ì¿˙· ÙË Ì¿˙· ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜. ™‡Ìʈӷ Ì ٷ ·Ú·¿Óˆ, Ë ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÙÔ˘ ‰ÔÚ˘ÊfiÚÔ˘ ÛÙÔ ·fiÁÂÈÔ Ù˘ ÙÚԯȿ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È Mm 5,983 ¥ 1024 ¥ 4 = E¢(3R) = –G = –6,67 ¥ 10–11 3R 3 ¥ 6,368¥106 = –8,356 ¥ 107 J. TÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ ‚·Ú˘ÙÈ΋˜ ‰‡Ó·Ì˘ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ Ù˘ ‰˘Ó·ÌÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÙÔ˘ ‰ÔÚ˘ÊfiÚÔ˘ ÛÙȘ ‰‡Ô ı¤ÛÂȘ,
GMm GMm W(RÆ3R) = E¢(R) – E¢(3R) = – – = R 3R = –2.507 ¥ 108 + 8,356 ¥ 107 = –1,671 ¥ 108 J.
Mm E¢(r) = –G . r
AÓÙ›ÛÙÔȯ· Ë ¤ÓÙ·ÛË Î·È ÙÔ ‰˘Ó·ÌÈÎfi ÙÔ˘ ‚·Ú˘ÙÈÎÔ‡ ‰›Ô˘ Â›Ó·È F M EB = = –G 2 r^, m r E (r) –W(•Ær) M V(r) = ¢ = = –G . m m r ™˘ÓÂÒ˜, ÙÔ ‰˘Ó·ÌÈÎfi Û οÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ‰›Ô˘ Â›Ó·È ·ÚÈıÌËÙÈο ›ÛÔ Ì ÙÔ ·ÓÙ›ıÂÙÔ ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘ Ù˘ ‚·Ú˘ÙÈ΋˜ ‰‡Ó·Ì˘ ÁÈ· ÙË ÌÂÙ·ÊÔÚ¿ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ Ì¿˙·˜ ·fi ÙÔ ¿ÂÈÚÔ Ì¤¯ÚÈ ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ÛËÌ›Ô3.
3. A˘Ùfi˜ Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡ Â›Ó·È ÁÂÓÈÎfi˜, ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË fï˜ ÙÔ˘ ‚·Ú˘ÙÈÎÔ‡ ‰›Ô˘ Â›Ó·È Î·È Ô Ï¤ÔÓ Â‡ÛÙÔ¯Ô˜, ÁÈ·Ù› Ë ‚·Ú˘ÙÈ΋ ‰‡Ó·ÌË Â›Ó·È ÂÏÎÙÈ΋ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Ô˘‰¤ÔÙ ı· ÌÂÙ¤ÊÂÚ ·Ê’ ·˘Ù‹˜ οÔÈÔ ÛÒÌ· ÛÙÔ ¿ÂÈÚÔ. ™¯ÂÙÈο ‚Ϥ ÛÂÏ. 90 ÙÔ˘ Û¯ÔÏÈÎÔ‡ ‚È‚Ï›Ô˘.
20
M
U
E¢(r)–E¢(•)= –W(•Ær), ‰ËÏ·‰‹
R
TÔ ¤ÚÁÔ Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎfi, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ÛÒÌ· (‰ÔÚ˘ÊfiÚÔ˜) ‰··Ó¿ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÁÈ· Ó· ˘ÂÚÓÈ΋ÛÂÈ ÙË ‚·Ú˘ÙÈ΋ ‰‡Ó·ÌË Ô˘ ÙÔ ¤ÏÎÂÈ ÚÔ˜ ÙË ÁË. °È· ÙËÓ ›‰È· ÌÂٷΛÓËÛË, Ë ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Ù˘ ÎÈÓËÙÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ Â›Ó·È ›ÛË Î·È ·ÓÙ›ıÂÙË Ù˘ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ù˘ ‰˘Ó·ÌÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜. flÛÙ EK(3R) – EK(R) = –{E¢(3R) – E¢(R)} ‹ EK(3R) + E¢(3R) = EK(R) + E¢(R). H ÙÂÏÂ˘Ù·›· ‰ÂÓ Â›Ó·È Ù›ÔÙ ¿ÏÏÔ ·Ú¿ Ë Â͛ۈÛË ¤ÎÊÚ·Û˘ Ù˘ ‰È·Ù‹ÚËÛ˘ Ù˘ Ì˯·ÓÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÙÔ˘ ‰ÔÚ˘ÊfiÚÔ˘. ¶ÚÔ·ÙÂÈ ÏÔÈfiÓ fiÙÈ u2 = u20 + (2lm){E¢(R) – E¢(3R)} ‹
GM 1 u2 = 1,5g0R – 2 1 – . R 3 H ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË Ù˘ ‚·Ú‡ÙËÙ·˜ Â›Ó·È ›ÛË ·ÚÈıÌËÙÈο Ì ÙËÓ ¤ÓÙ·ÛË ÙÔ˘ ‰›Ô˘. ™ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ù˘ Á˘ Â›Ó·È GM GM fi = g0R. g0 = R2 R u AÓÙÈηıÈÛÙÒÓÙ·˜, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì u = 0 . 3
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
◆
º À™π∫∏
¶ƒ√ø™∆π∫∂™ ¢À¡∞ª∂π™ ™À™∆∏ª∞∆∞ ª∂∆∞µ§∏∆∏™ ª∞∑∞™ TÔ˘ °. °ÈÔ˘‚·ÓÔ‡‰Ë, º˘ÛÈÎÔ‡
H
ÚÔÒıËÛË ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ›‰Ô˘˜ Ô¯‹Ì·ÙÔ˜ –·˘ÙÔÎÈÓ‹ÙÔ˘, ÏÔ›Ô˘, ·ÂÚÔÏ¿ÓÔ˘– ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ‰Ú¿Û˘ - ·ÓÙ›‰Ú·Û˘. H ¤ÏÈη ÙÔ˘ ÏÔ›Ô˘ ÛÚÒ¯ÓÂÈ ÙÔ ÓÂÚfi (‰Ú¿ÛË) Î·È ÙÔ ÓÂÚfi ÂÔ̤ӈ˜ ÛÚÒ¯ÓÂÈ ÙËÓ ¤ÏÈη (·ÓÙ›‰Ú·ÛË), ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ÏÔ›Ô. ŒÓ· ·˘ÙÔΛÓËÙÔ ÛÚÒ¯ÓÂÈ ÙÔ ¤‰·ÊÔ˜ Ì ÙȘ Úfi‰Â˜ ÙÔ˘, ÔfiÙ ÙÔ ¤‰·ÊÔ˜ ÛÚÒ¯ÓÂÈ ÙÔ ·˘ÙÔΛÓËÙÔ. H ÚÔÒıËÛË ÂÓfi˜ ‰È·ÛÙËÌfiÏÔÈÔ˘ ÛÙÔ ÎÂÓfi ‰È¿ÛÙËÌ· Â›Ó·È ÌÈ· Ôχ ÈÔ ‰‡ÛÎÔÏË ˘fiıÂÛË ÎÈ ·˘Ùfi ÁÈ·Ù› ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Ù›ÔÙ· ·Ôχو˜ ¿Óˆ ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ó· ·ÛÎËı› ÒıËÛË (‰‡Ó·ÌË), ÒÛÙ ӷ ÚÔÎÏËı› ·ÓÙ›‰Ú·ÛË. ŒÙÛÈ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙˆÓ ‰È·ÛÙËÌÔÏÔ›ˆÓ ÚÔ˘ÎÂÙÒÓ - ˘Ú·‡ÏˆÓ Î.Ï. ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· ÚÔÛʤÚÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÔ fi¯ËÌ· ¤Ó· ̤ÛÔ ¿Óˆ ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ó’ ·Û΋ÛÂÈ ÙËÓ ÒıËÛË. A˘Ùfi ÙÔ Ì¤ÛÔ Â›Ó·È Ù· ·¤ÚÈ· ÂÍ·ÁˆÁ‹˜. H Ì˯·Ó‹ Ù˘ ÚÔ˘Î¤Ù·˜, ·Ú¿ÁÂÈ ÌÈ· ÌÂÁ¿ÏË ÔÛfiÙËÙ· ıÂÚÌÒÓ ·ÂÚ›ˆÓ ˘fi ˘„ËÏ‹ ›ÂÛË, Ù· ÔÔ›· ÚÔ¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ Î·‡ÛË ˘ÁÚÒÓ ‹ ·ÂÚ›ˆÓ η˘Û›ÌˆÓ Û ı¿Ï·ÌÔ Î·‡Û˘ Î·È Î·ÙfiÈÓ ÂÎÙÔ͇ÂÈ ·˘Ù¿ Ù· ·¤ÚÈ· Ì ÌÂÁ¿ÏË Ù·¯‡ÙËÙ· ·fi ÙËÓ Ô˘Ú¿ Ù˘ ÚÔ˘Î¤Ù·˜. H ÚÔ˘Î¤Ù· ˆı› Ù· ·¤ÚÈ· ÚÔ˜ Ù· ›Ûˆ (‰Ú¿ÛË) Î·È Ù· ·¤ÚÈ· ˆıÔ‡Ó Ì ‰‡Ó·ÌË ›ÛÔ˘ ̤ÙÚÔ˘ ÙËÓ ÚÔ˘Î¤Ù· ÚÔ˜ Ù· ÂÌÚfi˜ (·ÓÙ›‰Ú·ÛË). A˘Ùfi ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› Û·Ó ¤Ó·˜ Ì˯·ÓÈÛÌfi˜ ·Ó¿ÎÚÔ˘Û˘, fiˆ˜ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ‰ËÏ·‰‹ ¤Ó· ˘ÚÔ‚fiÏÔ ·Ó·Ë‰¿ÂÈ ÚÔ˜ Ù· ›Ûˆ fiÙ·Ó ÂÎÙÔ͇ÂÈ ¤Ó· ‚Ï‹Ì· ÚÔ˜ Ù· ÂÌÚfi˜. °È· Ó· ÌÔÚ¤ÛÔ˘Ì ӷ ‚Úԇ̠ÌÈ· ·Ï‹ Â͛ۈÛË Î›ÓËÛ˘ ÌÂÏÂÙÒÓÙ·˜ ÙÔ Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ, ·˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ù· ۈ̷ٛ‰È· ÙˆÓ ·ÂÚ›ˆÓ Ô˘ ÂÎÙÔ͇ÔÓÙ·È ·fi ÙË ÚÔ˘Î¤Ù· ¤¯Ô˘Ó fiÏ· ÙËÓ ›‰È· Ù·¯‡ÙËÙ· ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ÚÔ˘Î¤Ù· (˘Û¯ÂÙ) Î·È ÎÈÓÔ‡ÓÙ·È fiÏ· ÚÔ˜ ÙËÓ ›‰È·, ÚÔ˜ Ù· ›Ûˆ, ηÙ‡ı˘ÓÛË. A˘Ù‹ Ë ˘fiıÂÛË ‚¤‚·È· ‰ÂÓ Â›Ó·È Ôχ Ú·ÏÈÛÙÈ΋, ·ÊÔ‡: ·) Ù· ·¤ÚÈ· ÂÍ·ÁˆÁ‹˜ ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ· ÂÚȤ¯Ô˘Ó ۈ̷ٛ‰È· Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ Ù·¯‡ÙËÙ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ ‰ËÏ·‰‹ Ì›· ηٷÓÔÌ‹ Ù·¯˘Ù‹ÙˆÓ Î·È ‚) Ù· ·¤ÚÈ· ·˘Ù¿ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ Ù¿ÛË Ó· ·ÏÒÓÔ˘Ó ÂÁηÚÛ›ˆ˜ Ì ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· ¤¯Ô˘Ó Î·È Ì›· ηٷÓÔÌ‹ ‰È¢ı‡ÓÛˆÓ. ¶·Ú’ fiÏ· ·˘Ù¿ fï˜, Ë ˘fiıÂÛË Ô˘ οӷÌ ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ¿Ú· Ôχ ηϋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ·Ó ˆ˜ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÈÌ‹ Ù˘ ˘Û¯ÂÙ, ÏËÊı› Ë Ì¤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· ÂÎÙfiÍ¢Û˘.
AÓ·Ï˘ÙÈ΋ ÌÂϤÙË ÙÔ˘ Ê·ÈÓÔ̤ÓÔ˘ ŒÛÙˆ ‡Ú·˘ÏÔ˜ Ô˘ ÂÎÙÔ͇ÂÙ·È Î·Ù·ÎfiÚ˘Ê· ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ Û ¤Ó· ÔÌÔÁÂÓ¤˜ ‚·Ú˘ÙÈÎfi ‰›Ô. H ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ·¤Ú· ·Ú·Ï›ÂÙ·È. ™ÙÔ Û¯. 1 ‚Ï¤Ô˘Ì ¤Ó· ‡Ú·˘ÏÔ Î¿ÔÈ· ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t ÌÂÙ¿ ÙËÓ ÂÎÙfiÍ¢ÛË, fiÔ˘ Ë Ì¿˙· ÙÔ˘ (Ì·˙› Ì ٷ η‡ÛÈÌ· Ô˘ ÙÔ˘ ¤¯Ô˘Ó ·ÔÌ›ÓÂÈ) Â›Ó·È m Î·È Ë Î·Ù·ÎfiÚ˘ÊË ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ Ù·¯‡ÙËÙ¿ ÙÔ˘ Â›Ó·È ˘. H Û˘ÓÔÏÈ΋ ÙÔ˘ ÔÚÌ‹ ·˘Ù‹ ÙË ÛÙÈÁÌ‹ Â›Ó·È APX JÔÏ = mØ˘ .
(1)
U + ¢U m – ¢m
M U ¢m
™¯‹Ì· 1
U¢
™¯‹Ì· 2
™’ ¤Ó· Ôχ ÌÈÎÚfi ¯ÚÔÓÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ· dt, ÌÈ· Ì¿˙· ·ÂÚ›ˆÓ dm ¤¯ÂÈ ÂÎÙÔÍ¢Ù› ·fi ÙÔÓ ‡Ú·˘ÏÔ. ŒÛÙˆ ˘Û¯ÂÙ Ë ÚÔ˜ Ù· οو Û¯ÂÙÈ΋ Ù·¯‡ÙËÙ· ÙˆÓ ·ÂÚ›ˆÓ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ‡Ú·˘ÏÔ. TfiÙÂ Ë Ù·¯‡ÙËÙ· ÙˆÓ ·ÂÚ›ˆÓ ˘¢ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ÁË ı· ›ӷÈ: Æ
Æ
Æ
˘ Û¯ÂÙ = ˘ ¢ – ˘ fi –˘Û¯ÂÙ = ˘¢ – ˘ fi ˘¢ = ˘ – ˘Û¯ÂÙ .
EÔ̤ӈ˜ Ë ÔÚÌ‹ ÙˆÓ ·ÂÚ›ˆÓ ı· ›ӷÈ: J·ÂÚ = dm Ø ˘¢ = dm Ø (˘ – ˘Û¯ÂÙ)
(2)
™ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ¯ÚÔÓÈÎÔ‡ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ dt, Ë Û˘ÓÔÏÈ΋ Ì¿˙· ÙÔ˘ ˘Ú·‡ÏÔ˘ (Ì·˙› Ì ٷ η‡ÛÈÌ¿ ÙÔ˘) ¤¯ÂÈ ÌÂȈı› Î·È ¤¯ÂÈ Á›ÓÂÈ m–dm, ÂÓÒ Ë Ù·¯‡ÙËÙ¿ ÙÔ˘ ¤¯ÂÈ ·˘ÍËı› Î·È ¤¯ÂÈ Á›ÓÂÈ ˘+d˘. ŒÙÛÈ Ë ÔÚÌ‹ ÙÔ˘ ˘Ú·‡ÏÔ˘ ÙÒÚ· ı· ›ӷÈ:
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
21
¶ ƒ√ø™∆π∫∂™
¢À¡∞ª∂π™
J˘Ú = (m – dm)(˘ + d˘)
- ™ À™∆∏ª∞∆∞
= dm Ø ˘¢ + (m – dm)(˘ + d˘) fi
TE§ = dm(˘ – ˘Û¯ÂÙ) + (m – dm)(˘ + d˘) JÔÏ
Æ
Æ
J APXÔÏ + ø ÂÍ = J TE§ÔÏ . £ÂˆÚÒÓÙ·˜ ıÂÙÈ΋ ÊÔÚ¿ ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ Î·È ·›ÚÓÔÓÙ·˜ ˘fi„ÈÓ Ì·˜ ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (1) Î·È (4), Ë ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Û¯¤ÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È: m˘ – mg Ø dt = dm(˘ – ˘Û¯ÂÙ) + (m – dm)(˘ + d˘) fi fi –mgdt = –m˘ / + ˘dm / – dmØ˘Û¯ÂÙ + m˘ /+ + md˘ – ˘dm / – dm Ø d˘ fi fi –mgdt = md˘ – dm Ø ˘Û¯ÂÙ – dm Ø d˘.
Æ
Æ
™F = m Ø Á fi FÚ – B = m Ø Á fi ¢m fi Ø ˘Û¯ÂÙ – m Ø g = m Ø Á fi ¢t ¢m Ø ˘Û¯ÂÙ ¢t fi Á = – g m
(9)
H ÙÂÏÂ˘Ù·›· Û¯¤ÛË Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ÙËÓ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ÙÔ˘ ˘Ú·‡ÏÔ˘ οı ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ Î·È Â›Ó·È ·Ôχو˜ ›‰È· Ì ÙË Û¯¤ÛË (6). K·ıÒ˜ Ô ‡Ú·˘ÏÔ˜ ·Ó‚·›ÓÂÈ, Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ g ÂÏ·Ù¢m ÙÒÓÂÙ·È. AÓ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ Î·È ¢t ˘Û¯ÂÙ ·Ú·Ì¤ÓÔ˘Ó ÛÙ·ıÂÚ¤˜, ÂÓÒ Û›ÁÔ˘Ú· Ë Û˘ÓÔÏÈ΋ Ì¿˙· m ÙÔ˘ ˘Ú·‡ÏÔ˘ ÂÏ·ÙÙÒÓÂÙ·È ÏfiÁˆ ÂÍ·ÁˆÁ‹˜ ÙˆÓ ·ÂÚ›ˆÓ, ÙfiÙ ·fi ÙË Û¯¤ÛË (9) Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË Á ÙÔ˘ ˘Ú·‡ÏÔ˘ ı· ·˘Í¿ÓÂÈ Û˘Ó¯Ҙ, ̤¯ÚȘ fiÙÔ˘ ÂÍ·ÓÙÏËıÔ‡Ó Ù· η‡ÛÈÌ¿ ÙÔ˘.
YÔÏÔÁÈÛÌfi˜ Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ˘Ú·‡ÏÔ˘ οı ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ Afi ÙË Û¯¤ÛË (6) ‰È·ÈÚÒÓÙ·˜ Ì ÙÔ m ı· ¤¯Ô˘ÌÂ:
(5) fi –mgdt = md˘ – dm˘ – dm Ø ˘Û¯ÂÙ fi (6)
A˜ ‰Ô‡Ì ·Ó·Ï˘ÙÈο ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ù˘ ÙÂÏÂ˘Ù·›·˜ Û¯¤Û˘. d˘ O fiÚÔ˜ Â›Ó·È Ë ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ÙÔ˘ ˘Ú·‡ÏÔ˘ Î·È dt d˘ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ m Ø = m Ø Á ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÙË Û˘ÓÔÏÈ΋ dt ‰‡Ó·ÌË Ô˘ ·ÛÎÂ›Ù·È ¿Óˆ ÛÙÔÓ ‡Ú·˘ÏÔ. dm O fiÚÔ˜ Ø ˘Û¯ÂÙ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ Î·Ù·ÎfiÚ˘ÊË dt ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ ÚÔˆÛÙÈ΋ ‰‡Ó·ÌË Ô˘ ·ÛÎÂ›Ù·È ÛÙÔÓ ‡Ú·˘ÏÔ ‰ËÏ·‰‹ dm FÚ = Ø˘Û¯ÂÙ dt
(8)
(5)
TÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ dm Ø d˘ ÌÔÚ› Ó· ·Ú·ÏËÊı› ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ¿Ú· Ôχ ÌÈÎÚfi, ¿Ú· ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ·ÌÂÏËÙ¤Ô Û ۯ¤ÛË Ì ÙÔ˘˜ ¿ÏÏÔ˘˜ fiÚÔ˘˜. ŒÙÛÈ:
d˘ dm fi m = ˘Û¯ÂÙ – mg dt dt
Æ
K·Ù·Ï‹Í·Ì ‰ËÏ·‰‹ ÛÙÔÓ ÁÓˆÛÙfi 2Ô ÓfiÌÔ ÙÔ˘ N‡وӷ. EÔ̤ӈ˜, ËÁ·›ÓÔÓÙ·˜ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·:
(4)
EÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· flıËÛ˘ - OÚÌ‹˜ ÁÈ· ÙÔ ¯ÚÔÓÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ· dt ‰ËÏ·‰‹ ·fi ÙË ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t ¤ˆ˜ ÙË ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t+dt. AÓ ıˆڋÛÔ˘Ì ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ·¤Ú· ·ÌÂÏËÙ¤·, ÙfiÙÂ Ë ÌÔÓ·‰È΋ Â͈ÙÂÚÈ΋ ‰‡Ó·ÌË Ô˘ ·ÛÎÂ›Ù·È ÛÙÔÓ ‡Ú·˘ÏÔ Â›Ó·È ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ ÙÔ˘. ŒÙÛÈ: Æ
Æ
mØÁ = FÚ – B fi ™F = m Ø Á .
(3)
EÔ̤ӈ˜ Ë Û˘ÓÔÏÈ΋ ÔÚÌ‹ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ‡Ú·˘ÏÔ˜ - η˘Û·¤ÚÈ· ÙË ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t+dt, fiˆ˜ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (2) Î·È (3) ı· ›ӷÈ: TE§ JÔÏ
ª∂∆∞µ§∏∆∏™ ª∞∑∞™
(7)
dm O fiÚÔ˜ ·˘Ùfi˜ Ø ˘Û¯ÂÙ Â›Ó·È Ô Ú˘ıÌfi˜ Ì ÙÔÓ dt ÔÔ›Ô ÔÚÌ‹ ÌÂٷʤÚÂÙ·È ÛÙÔÓ ‡Ú·˘ÏÔ ·fi Ù· ·¤ÚÈ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÂÎÙÔÍ¢Ù›. ŒÙÛÈ Ë Û˘ÓÔÏÈ΋ ‰‡Ó·ÌË Ô˘ ·ÛÎÂ›Ù·È ÛÙÔÓ ‡Ú·˘ÏÔ Â›Ó·È Ë ‰È·ÊÔÚ¿ Ù˘ ÚÔˆÛÙÈ΋˜ ‰‡Ì·Ë˜ FÚ Î·È ÙÔ˘ ‚¿ÚÔ˘˜. EÔ̤ӈ˜ ·fi ÙË Û¯¤ÛË (6), ¤¯ˆ:
d˘ ˘Û¯ÂÙ dm dm = Ø – g fi d˘ = ˘Û¯ÂÙ – gdt. (10) dt m dt m ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, ÔÏÔÎÏËÚÒÓÔÓÙ·˜ ÙË Û¯¤ÛË (10), ÌÔÚԇ̠ӷ ‚Úԇ̠ÌÈ· Û¯¤ÛË Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ˘Ú·‡ÏÔ˘ οı ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ Î·È Ù˘ Ì¿˙·˜ m Ô˘ ÙÔ˘ ·Ô̤ÓÂÈ. TÒÚ·, ÙÔ dm Â›Ó·È ÌÈ· ıÂÙÈ΋ ÔÛfiÙËÙ· Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙË Ì¿˙· ÙˆÓ ·ÂÚ›ˆÓ Ô˘ ÂÎÙÔ͇ÂÙ·È Û ¯ÚÔÓÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ· dt, ÔfiÙÂ Ë ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Ù˘ Ì¿˙·˜ ÙÔ˘ ˘Ú·‡ÏÔ˘ ÛÙÔ ›‰ÈÔ ¯ÚÔÓÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ· ı· Â›Ó·È –dm. ¢ËÏ·‰‹ Ú¤ÂÈ ÛÙË Û¯¤ÛË (10) Ó· ·ÏÏ¿ÍÔ˘Ì ÙÔ ÚfiÛËÌÔ ÙÔ˘ fiÚÔ˘ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ dm. ŒÛÙˆ m0 Î·È ˘0 Ë Û˘ÓÔÏÈ΋ Ì¿˙· ÙÔ˘ ˘Ú·‡ÏÔ˘ (Ì·˙› Ì ٷ η‡ÛÈÌ·) Î·È Ë Ù·¯‡ÙËÙ¿ ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÙË ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t=0. TfiÙÂ:
˘
m
d˘ = –
˘0
dm ˘Û¯ÂÙ – m0 m
gdt fi t
0
m fi ˘ – ˘0 = –˘Û¯ÂÙ ln – gt fi m0 m fi ˘ = ˘0 – ˘Û¯ÂÙ ln – gt m0
22 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
(11)
º À™π∫∏
YÔÏÔÁÈÛÌfi˜ Ù˘ Ì¿˙·˜ ÙÔ˘ ˘Ú·‡ÏÔ˘ (Ì·˙› Ì ٷ ÂÓ·ÔÌ›ӷÓÙ· η‡ÛÈÌ·), οı ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t ŒÛÙˆ m0 Ë ·Ú¯È΋ Ì¿˙· ÂÓfi˜ ˘Ú·‡ÏÔ˘ (Ì·˙› Ì ¢m Ù· η‡ÛÈÌ·) ÙË ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t=0 Î·È = · Ô ¢t Ú˘ıÌfi˜ ÂÎÙfiÍ¢Û˘ Ù˘ Ì¿˙·˜ ÙˆÓ Î·˘Û·Ú›ˆÓ. TfiÙÂ Ô ‡Ú·˘ÏÔ˜ ÚÔÊ·ÓÒ˜ Û ¯ÚÔÓÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ· t, ı· ¤¯ÂÈ ¯¿ÛÂÈ Ì¿˙· m¢ = · Ø t, ÂÔ̤ӈ˜ ı· ÙÔ˘ ¤¯ÂÈ ·ÔÌ›ÓÂÈ Ì¿˙· m = m0 – m¢ fi m = m0–· Ø t
‚) N· ‚ÚÂı› Ë Ù·¯‡ÙËÙ· Î·È Ë ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ÙÔ˘ ˘Ú·‡ÏÔ˘ 4 min ÌÂÙ¿ ÙËÓ ˘ÚÔ‰fiÙËÛË, ·Ó ÎÈÓÂ›Ù·È Î·Ù·ÎfiÚ˘Ê· Î·È ıˆڋÛÔ˘Ì ÙËÓ ¤ÓÙ·ÛË ÙÔ˘ ‚·Ú˘ÙÈÎÔ‡ ‰›Ô˘ Ù˘ Á˘ ÛÙ·ıÂÚ‹ Î·È ›ÛË Ì 10 m/sec2.
§‡ÛË ¢m ·) FÚ = Ø ˘Û¯ fi FÚ = 200 Ø 200 fi FÚ = 4 Ø 104N. ¢t TÔ ·Ú¯ÈÎfi ‚¿ÚÔ˜ ÙÔ˘ ˘Ú·‡ÏÔ˘ ÙË ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t=0 ›ӷÈ: B0 = m0 Ø g fi B0 = 5 Ø 104 Ø 10 fi B0 = 5 Ø 105 N. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ FÚ
(12)
FÚ
ÂÔ̤ӈ˜ Ô ‡Ú·˘ÏÔ˜ ˘ÚÔ‰ÔÙ›ٷÈ, ·ÏÏ¿ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ÍÂÎÈÓ‹ÛÂÈ. TË ÛÙÈÁÌ‹ Ô˘ ÍÂÎÈÓ¿ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ
AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË - Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· B
H ÚÔˆÛÙÈ΋ ‰‡Ó·ÌË Ô˘ ·ÛÎÂ›Ù·È ÛÙÔÓ ‡Ú·˘ÏÔ Â›Ó·È: ¢m FÚ = Ø ˘Û¯ÂÙ ¢t ¢m fiÔ˘ = Ô Ú˘ıÌfi˜ ÂÎÙfiÍ¢Û˘ Ù˘ Ì¿˙·˜ ÙˆÓ ¢t η˘Û·ÂÚ›ˆÓ
1
˘Û¯ÂÙ = Ë Û¯ÂÙÈ΋ Ù·¯‡ÙËÙ· ÙˆÓ Î·˘Û·ÂÚ›ˆÓ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ‡Ú·˘ÏÔ.
2
H ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ÙÔ˘ ˘Ú·‡ÏÔ˘ οı ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t, ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ 2Ô ÓfiÌÔ ÙÔ˘ N‡وӷ: ¢m Ø ˘Û¯ÂÙ ¢t Á = – g m
fiÔ˘ m = Ë Ì¿˙· ÙÔ˘ ˘Ú·‡ÏÔ˘ (Ì·˙› Ì ٷ ÂÓ·ÔÌ›ӷÓÙ· η‡ÛÈÌ·), ÙË ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t.
3
H Ù·¯‡ÙËÙ· ÙÔ˘ ˘Ú·‡ÏÔ˘ οı ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË: m ˘ = ˘0 – ˘Û¯ÂÙ ln – gt . m0
4
H Ì¿˙· Ô˘ ·Ô̤ÓÂÈ ÛÙÔÓ ‡Ú·˘ÏÔ (Ì·˙› Ì ٷ η‡ÛÈÌ·) Û ¯ÚfiÓÔ t ›ӷÈ: m = m0 – · Ø t
FÚ=B Î·È ÂÂȉ‹ Ë ÚÔˆÛÙÈ΋ ‰‡Ó·ÌË Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹, ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÌÂȈı› Ë Ì¿˙· ÙÔ˘ ˘Ú·‡ÏÔ˘, ¿Ú· Î·È ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ ÙÔ˘, Â΂¿ÏÏÔÓÙ·˜ ·¤ÚÈ·. ŒÙÛÈ ı· ¤¯Ô˘Ì ÙË ÛÙÈÁÌ‹ Ô˘ ·Ú¯›˙ÂÈ Ó· ·Ó˘„ÒÓÂÙ·È:
B = FÚ = 4 Ø 104 N fi mØg = 4 Ø 104 fi m = 4 Ø 103 Kgr. ¢ËÏ·‰‹ ÙË ÛÙÈÁÌ‹ Ô˘ ÍÂÎÈÓ¿, ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÙÔ˘ ¤¯ÂÈ ·ÔÌ›ÓÂÈ Ì¿˙· m = 4 Ø 103 Kgr. Ÿˆ˜ ¤¯Ô˘Ì ·Ô‰Â›ÍÂÈ fï˜, Ë Û¯¤ÛË Ù˘ Ì¿˙·˜ Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ Â›Ó·È: ¢m m = m0 – Øt fi 4 Ø 103 = 5 Ø 104 – 200 Ø t fi ¢t 5 Ø 104 – 4 Ø 103 fi t = fi t = 230 sec. 200 ‚) H Ù·¯‡ÙËÙ· ÙÔ˘ ˘Ú·‡ÏÔ˘, ·Ô‰Â›Í·Ì fiÙÈ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË: m ˘ = ˘0 – ˘Û¯ÂÙ ln – gt m0 fiÔ˘ ˘0=0, ¢m m = m0 t fi m = 5 Ø 104 – 200 Ø 240 fi m = 2Ø103 Kgr ¢t Î·È t = 240–230 = 10 sec. ÕÚ· Ë ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Û¯¤ÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È: 2 Ø 103 1 ˘ = –200 ln 4 –10 Ø 10 fi ˘ = –200 ln –100 fi 5 Ø 10 25 fi ˘ = 200 ln25 – 100 fi ˘ = 400 ln 5 – 100.
fiÔ˘ m0 = Ë ·Ú¯È΋ Ì¿˙· ÙË ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÌÁ‹ t=0 ¢m · = = Ô Ú˘ıÌfi˜ ÂÎÙfiÍ¢Û˘ Ù˘ Ì¿˙·˜ ¢t ÙˆÓ Î·˘Û·ÂÚ›ˆÓ. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ŒÓ·˜ ‡Ú·˘ÏÔ˜ ¤¯ÂÈ ·Ú¯È΋ Ì¿˙· m0 = 5 Ø 104 Kgr Î·È ˘ÚÔ‰ÔÙ›ٷÈ. T· ·¤ÚÈ· ‚Á·›ÓÔ˘Ó ·fi ÙÔÓ ‡Ú·˘ÏÔ Ì ۯÂÙÈ΋ Ù·¯‡ÙËÙ· 200 m/sec ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ‡Ú·˘ÏÔ Î·È Ë Ì¿˙· ¢m ÙˆÓ ·ÂÚ›ˆÓ Ô˘ ‚Á·›ÓÔ˘Ó Î¿ı sec Â›Ó·È 200 Kgr. ·) N· ‚ÚÂı› Ë ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ ηٿ ÙËÓ ÔÔ›· ·Ú¯›˙ÂÈ Ó· ·Ó˘„ÒÓÂÙ·È Ô ‡Ú·˘ÏÔ˜.
AÓ ln 5 õ 1,61 ÙfiÙ ˘ = 400 Ø 1,61 – 100 fi ˘ = 298,39 m/sec H ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ÙÔ˘ ˘Ú·‡ÏÔ˘, ·Ô‰Â›Í·Ì fiÙÈ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË: ¢m Ø ˘Û¯ÂÙ ¢t 200 Ø 200 Á = – g fi Á = – 10 fi m 2 Ø 103 4 Ø 104 fi Á = 3 – 10 fi Á = 10 m/sec2. 2 Ø 10
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
◆
23
º À™π∫∏
¢øPEAN TA•I¢IA ME™A ™E ™HPA°°E™ ™E 42 min ANE•APTHTA TH™ A¶O™TA™H™! TÔ˘ ¶. I·ÎÒ‚Ô˘, º˘ÛÈÎÔ‡
Y
¿Ú¯ÂÈ ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· Ó· Ù·ÍÈ‰Â‡Ô˘Ì ÌÂٷʤÚÔÓÙ·˜ Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· ÌÂÁ¿Ï˜ ÔÛfiÙËÙ˜ ÂÌÔÚÂ˘Ì¿ÙˆÓ, Ì ÌˉÂÓÈÎfi ÂÓÂÚÁÂÈ·Îfi ÎfiÛÙÔ˜ (‰ˆÚ¿Ó), ·fi ÙËÓ Aı‹Ó· ÛÙË £ÂÛÛ·ÏÔÓ›ÎË ‹ ·fi ÙË £ÂÛÛ·ÏÔÓ›ÎË ÛÙË N¤· YfiÚÎË Î·È Ì¿ÏÈÛÙ· ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ·fi ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜, Ô ¯ÚfiÓÔ˜ ÙÔ˘ Ù·ÍȉÈÔ‡ Ó· Â›Ó·È ÌfiÓÔ 42 min ÂÚ›Ô˘;
+
O
T = 2Ø
Ê B
5024 T = (min) Æ T = 83,73 84 (min) 60
H ÌÂٷΛÓËÛË ·fi ÙË ÌÈ· fiÏË ÛÙËÓ ¿ÏÏË ı· Á›ÓÂÙ·È Û ¯ÚfiÓÔ t = T/2, ‰ËÏ·‰‹ Û t 42 (min).
Afi‰ÂÈÍË Ù˘ Û¯¤Û˘ Ù˘ ÂÚÈfi‰Ô˘:
24
£ÂˆÚԇ̠fiÙÈ Ë ·ÎÙ›Ó· Ù˘ Á˘ Â›Ó·È R=6400 Km Î·È Ë ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË Ù˘ ‚·Ú‡ÙËÙ·˜ ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ù˘ Á‹˜ g0 = 10 m/sec2.
x
K R
£ÂˆÚԇ̠ÙË ÁË ·Î›ÓËÙË, „˘¯Ú‹, ÔÌÔÁÂÓ‹ ÛÊ·›Ú·. AÔ‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È Â›Û˘ fiÙÈ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ˘ Ù˘ ‚·Ú‡ÙËÙ·˜ ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi Ù˘ Á˘ ‰›ÓÂÙ·È g0 ·fi ÙË Û¯¤ÛË: g = Ø „, fiÔ˘ „ Ë ·fiÛÙ·ÛË ·fi ÙÔ R ΤÓÙÚÔ Ù˘ Á˘ (‚Ï. A ÙfiÌÔ AÛ΋ÛÂȘ º˘ÛÈ΋˜ Î·È ° ÙfiÌÔ ÛÂÏ. 239-240 ¶. I·ÎÒ‚Ô˘, EΉfiÛÂȘ ZHTH). ŒÛÙˆ ÌÈ· Ù˘¯·›· Û‹Ú·ÁÁ· .¯. Aı‹Ó·˜-¶ÂΛÓÔ˘ Î·È ¤Ó· ÛÒÌ· Ì¿˙·˜ m Ô˘ ÂÎÙÚ¤ÂÙ·È Î·Ù¿ Ù˘¯·›· ·ÔÌ¿ÎÚ˘ÓÛË x ·fi ÙËÓ £IT. g0 ™FÂ·Ó = –m Ø gA Ø ËÌÊ = –mØ Ø x Ø ËÌÊ = R g0 „ g0 x = –m ØØ „ = –m ØØ R x R
™FÂ·Ó = –D Ø „
0
‹
BÛ˘ÓÊ
¶ÂΛÓÔ
.000 gR Æ T = 2 Ø (3,14)
6.4 0 10
(sec) 0 Æ T = 5024 (sec)
Aı‹Ó·
Ê
H ·¿ÓÙËÛË Û’ ·˘Ùfi ÙÔ ÂÚÒÙËÌ· Â›Ó·È Ó·È! ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› ¤Ó· ÌÂÙ·ÊÔÚÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· Ô˘ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› Ô¯‹Ì·Ù·, ¯ˆÚ›˜ Ì˯·Ó¤˜, Ù· ÔÔ›· ı· ÌÂٷʤÚÔ˘Ó ·ÓıÚÒÔ˘˜ Î·È ˘ÏÈο ·fi ÙÔ ¤Ó· ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ Ï·Ó‹ÙË ÛÙÔ ¿ÏÏÔ ‰ˆÚÂ¿Ó Î·È Û ¯ÚÔÓÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ· ÂÚ›Ô˘ 42 min, ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜. ™ÙÔ ÌÂÙ·ÊÔÚÈÎfi ·˘Ùfi Û‡ÛÙËÌ· ı· ηٷÛ΢·ÛÙÔ‡Ó ˘fiÁÂȘ Ï›˜ Û‹Ú·ÁÁ˜, ÔÈ Ôԛ˜ ı· Û˘Ó‰¤Ô˘Ó, Û·Ó ¯ÔÚ‰¤˜ Ô˘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙËÓ Á‹ÈÓË ÛÊ·›Ú·, ‰È¿ÊÔÚ˜ fiÏÂȘ ÙÔ˘ Ï·Ó‹ÙË. H ÌÈ· ¿ÎÚË Ù˘ οı ۋڷÁÁ·˜ ı· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙËÓ fiÏË A Î·È ÙËÓ ¿ÏÏË ¿ÎÚË ÛÙËÓ fiÏË B. M¤Û· ÛÙȘ Û‹Ú·ÁÁ˜ ı· ÎÈÓÔ‡ÓÙ·È Î·Ù¿ÏÏËÏ· Ô¯‹Ì·Ù·, ÂÎÙÂÏÒÓÙ·˜ ÁÚ·ÌÌÈ΋ ·ÚÌÔÓÈ΋ Ù·Ï¿ÓÙˆÛË, Ì ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Ô˘ ı· ÙÔ˘˜ ·Ú¤¯ÂÈ ÙÔ Û˘ÓÙËÚËÚÈÎfi ‚·Ú˘ÙÈÎfi ‰›Ô Ù˘ Á˘. ŒÙÛÈ Î¿ı fi¯ËÌ· ı· ÍÂÎÈÓ¿ÂÈ Ì ÌÈ· ÌÈÎÚ‹ ÒıËÛË ·fi ÙËÓ ¿ÎÚË Î¿ı ۋڷÁÁ·˜ Î·È ı· ÛÙ·Ì·Ù¿ÂÈ ÌfiÓÔ ÙÔ˘ ÛÙËÓ ¿ÏÏË ¿ÎÚË Ù˘ Û‹Ú·ÁÁ·˜. H ÂÚ›Ô‰Ô˜ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ÁÚ·ÌÌÈ΋˜ ·ÚÌÔÓÈ΋˜ Ù·Ï¿ÓÙˆÛ˘ ı· Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙË ·fi ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ‹ ÙÔ ‚¿ıÔ˜ Ù˘ Û‹Ú·ÁÁ·˜ Î·È ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ Â›Ó·È ›ÛË ÌÂ
„ B ËÌÊ A
(1) (2)
g Afi (1) Î·È (2) Æ D = m Ø0 (3) Î·È R
(3) m R T = 2 Ø Ø –––Æ T = 2 Ø Ø . D g0
H ̤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ Ù˘ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛ˘ Ù˘ Ù·Ï¿ÓÙˆÛ˘ ı· ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È ÛÙȘ ·ÎÚ·›Â˜ ı¤ÛÂȘ Î·È ı· Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙËÓ g0, ¿Ú· ¤Ó·˜ ˘ÁÈ‹˜ ̤ÛÔ˜ ¿ÓıÚˆÔ˜ ÌÔÚ› Ó· ·ÓÙ¤ÍÂÈ Ù· Ù·Í›‰È· ·˘Ù¿. B¤‚·È· ÔÈ Î·Ù·Û΢¤˜ Ù¤ÙÔÈˆÓ ÛËÚ¿ÁÁˆÓ ÂÌÔ‰›˙ÔÓÙ·È ·fi ÁˆÏÔÁÈÎÔ‡˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜. ◆
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
º À™π∫∏
¶PO™E°°I™H TH™ ºY™IKH™ ME™A A¶O ¶O§§OY™ KAI ¢IAºOPETIKO Y™ ¢POMOY™ TÔ˘ ¢. ∆ÛÈÒÏË, º˘ÛÈÎÔ‡
T
· ÈÔ ÛËÌ·ÓÙÈο ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ ΢ÚÈ·Ú¯Ô‡Ó Û‹ÌÂÚ· ÛÙË ‰È‰·Ûηϛ· Ù˘ º˘ÛÈ΋˜ Û ÙÔÈÎfi ·ÏÏ¿ Î·È Â˘Ú‡ÙÂÚÔ Â›Â‰Ô Â›Ó·È Ù· ÂÍ‹˜: 1ÔÓ, Ë Û¯ÂÙÈ΋ ·‰È·ÊÔÚ›· ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ ÁÈ· ÙÔ Ì¿ıËÌ· Ù˘ º˘ÛÈ΋˜ Î·È 2ÔÓ, ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ ÁÓÒÛË Ô˘ ·Ô¯ÙÔ‡Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÛÙÔ Û¯ÔÏÂ›Ô ÂÍÔ˘‰ÂÙÂÚÒÓÂÙ·È ÁÚ‹ÁÔÚ· Î·È Û ۇÓÙÔÌÔ ¯ÚÔÓÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ· Ù· ·È‰È¿ Í·Ó·Á˘Ú›˙Ô˘Ó ÛÙȘ ȉ¤Â˜ Ô˘ ›¯·Ó ÚÈÓ ‰È‰·¯ÙÔ‡Ó Ê˘ÛÈ΋. ÕÔ„‹ ÌÔ˘ Â›Ó·È fiÙÈ ÔÈ Ú›˙˜ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ "Û‡Ó‰ÚÔÌÔ" ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ, Ó· ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó ÙÔÓ ÎfiÛÌÔ Û ‰‡Ô ̤ÚË: ÛÙÔÓ ÎfiÛÌÔ ÙÔ˘ Û¯ÔÏ›Ԣ fiÔ˘ "ÈÛ¯‡Ô˘Ó" ÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ› ÓfiÌÔÈ Î·È ÛÙÔÓ ÎfiÛÌÔ Ù˘ ηıËÌÂÚÈÓ‹˜ ˙ˆ‹˜ fiÔ˘ "·Ú·‰fi͈˜" ‰ÂÓ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ› ÓfiÌÔÈ ·ÏÏ¿ ¤Ó· ·Î·Ù·ÓfiËÙÔ Û˘ÓÔı‡ÏÂ˘Ì· Ê˘ÛÈÎÒÓ Î·È ÎÔÈÓˆÓÈÎÒÓ Ê·ÈÓÔÌ¤ÓˆÓ Ô˘ Ù· ηٷϷ‚·›ÓÔ˘Ó ÌfiÓÔ Î¿ÔÈÔÈ ÂȉÈÎÔ›. TÔ Úfi‚ÏËÌ· Â›Ó·È ‰‡ÛÎÔÏÔ, ·ÏÏ¿ fi¯È ¿Ï˘ÙÔ, ·Ó ÛÎÂÊÙԇ̠fiÙÈ ÙÔ Û‡Ó‰ÚÔÌÔ ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û ¿ÌÂÛË Û¯¤ÛË ·ÏÏËÏÂÍ¿ÚÙËÛ˘ Ì ÙÔ Û‡Ó‰ÚÔÌÔ ÙÔ˘ ÛËÌÂÚÈÓÔ‡ ÔÏÈÙÈÛÌÔ‡, Ô ÔÔ›Ô˜ "‰È·ÌÂÚÈÛÌ·ÙÔÔ›ËÛÂ" ÙÔ ¯ÒÚÔ Î·È ÙÔ ¯ÚfiÓÔ: ·fi ÙË ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ¯ÒÚÔ˜ ·Ó·„˘¯‹˜, ‚ÈÔÌ˯·ÓÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹, ·ÓÂÈÛÙËÌ·Îfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Î·È ·fi ÙËÓ ¿ÏÏË ÒÚ· ‰Ô˘ÏÂÈ¿˜, Ë̤Ú˜ ‰È·ÎÔÒÓ Î.Ï. E›Ó·È Ô‰˘ÓËÚfi ·ÏÏ¿ Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ ÙÔ Û¯ÔÏÂ›Ô ÛÙ· Ì¿ÙÈ· ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È Û·Ó ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎfi "ÁΤÙÔ" ÛÙÔ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ÂÈÛ¯ˆÚ‹ÛÂÈ Ë Î·ıËÌÂÚÈÓ‹ ˙ˆ‹ Î·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ¤Ó· "ÁΤÙÔ" Ô˘ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ‰È·¯˘ı› ÛÙËÓ ÎÔÈÓˆÓÈ΋ ˙ˆ‹. ŒÙÛÈ Ë ¿Ô„Ë ÙÔ˘ ‰·ÛοÏÔ˘ Ô˘ ı¤ÏÂÈ ¤Ó· Û¯ÔÏÂ›Ô ·ÓÔȯÙfi ÛÙÔ Ê˘ÛÈÎfi Î·È ÎÔÈÓˆÓÈÎfi ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓ Â›Ó·È "·ÈÚÂÙÈ΋" ÛÙË ¯ÂÈÚfiÙÂÚË Î·È ·ÓÂÍ‹ÁËÙË ÛÙËÓ Î·Ï‡ÙÂÚË ÂÚ›ÙˆÛË. TÔ ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎfi ÌÂıÔ‰ÔÏÔÁÈÎfi ÌÔÓÙ¤ÏÔ Ô˘ ÔÈÎÔ‰ÔÌÂ›Ù·È ·ÔÎÏÂÈÛÙÈο ÛÙÔ ÂȉÈο ηٷÛ΢·Ṳ̂ÓÔ Û¯ÔÏÈÎfi ÂÚÁ·ÛÙ‹ÚÈÔ (›Ûˆ˜ ÌÂÏÏÔÓÙÈο ÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ› Ó· ÂÈÓÔ‹ÛÔ˘Ó ÁÈ’ ·˘Ùfi ÙÔÓ fiÚÔ "ÌÔÓԉȿÛÙ·ÙÔ ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎfi ÌÔÓÙ¤ÏÔÓ") Â›Ó·È ÙfiÛÔ ·ÛÙ·ı¤˜ fiÛÔ Â›Ó·È ÌÔÓԉȿÛÙ·ÙÔ. TÔ "ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎfi ÌÔÓÙ¤ÏÔ" Ô˘ ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÌÂÙ·ÊÚ¿˙ÂÙ·È Î·È Û·Ó "ÌÔÓÙ¤ÏÔ Âη›‰Â˘Û˘" Â›Ó·È ÌÈ· ÔÚÁ·ÓˆÌ¤ÓË ‰ÔÌ‹ Ô˘ ÁÈ· Ó· ÂÈ‚ÈÒÛÂÈ, Ú¤ÂÈ ÔˆÛ-
‰‹ÔÙ ӷ ÛÙËÚȯı› ÛÙËÓ ÔÈÎÈÏfiÙËÙ· ÙˆÓ ·ÏÏËÏÂȉڿÛÂˆÓ ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘ Ì ÙËÓ ˙ˆÓÙ·Ó‹ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·. ™ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÌÔ˘ "TO T™IPKO TH™ ºY™IKH™", ÔÈ ¯¿Ú·Î˜, ÔÈ ÎÚÂÌ¿ÛÙÚ˜, Ù· Ì‹Ï·, Ù· ΤÚÌ·Ù·, ÔÈ ÛÎԇ˜… Â›Ó·È ÌÂÚÈο ·fi Ù· ·Ï¿ ̤۷ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒ ÁÈ· ÙËÓ ÂÎÙ¤ÏÂÛË ÙˆÓ ÂÈÚ·Ì¿ÙˆÓØ ÚˆÙfiÙ˘Â˜ Ì·ıËÛȷΤ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ ÛÙ‹ÓÔÓÙ·È Ì ˘ÏÈÎfi ·fi ÙÔÓ ·ıÏËÙÈÛÌfi, ÙËÓ ÈÛÙÔÚ›· Î·È ÙÔÓ Î·ıËÌÂÚÈÓfi Ù‡ÔØ ÛÙÔȯ›· ·fi ÙÔÓ EÏÏËÓÈÎfi ÔÏÈÙÈÛÌfi Û˘ÌÏËÚÒÓÔ˘Ó ÙÔ fiÏÔ ÙÔ›Ô ÙˆÓ ‰Ú·ÛÙËÚÈÔًوÓ. ™Â fiϘ ۯ‰fiÓ ÙȘ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ Û˘Ì‚ÈÒÓÂÈ Ë ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ ·˘ÛÙËÚfiÙËÙ· Ì ÙÔ XIOYMOP. ¶·Ú·ı¤Ùˆ 3 ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ ·fi ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÌÔ˘ Ô˘ ÚÔ·Ó¤ÊÂÚ·. ÕÏÏÔÈ ‰ÚfiÌÔÈ ›‰ÈÔÈ ¯ÚfiÓÔÈ ÙËÓ ÁˆÓ›· ÂÓfi˜ ÙÚ·Â˙ÈÔ‡ ‚¿ÏÙ ¤Ó· ΤÚÌ·Ø ›Ûˆ ·fi ·˘Ùfi ÙÔÔıÂÙ›ÛÙ ¤Ó· ¯¿Ú·Î·, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ¤Ó· ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ Ó· ÚÔÂͤ¯ÂÈ ·fi ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈØ Ì ÙÔ ‰Â›¯ÙË ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ¯ÂÚÈÔ‡ Û·˜ ·Ù›ÛÙ ÙÔÓ ¯¿Ú·Î· ÎÔÓÙ¿ ÛÙËÓ ÌÈ· ÙÔ˘ ¿ÎÚË, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ ÌÔÚ› Ó· ÂÚÈÛÙÚ¤ÊÂÙ·È ·Ú·Û‡ÚÔÓÙ·˜ ÙÔ Î¤ÚÌ·Ø ¿Óˆ ÛÙÔÓ ¯¿Ú·Î· Î·È ÎÔÓÙ¿ ÛÙËÓ ¿ÏÏË ¿ÎÚË ÙÔ˘ ÙÔÔıÂÙ›ÛÙ ¤Ó· ¿ÏÏÔ Î¤ÚÌ·, fiˆ˜ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙÔ Û¯‹Ì·. M ¤Ó· ‚È‚Ï›Ô ¯Ù˘¿Ì ÙÔ ¯¿Ú·Î· (ÙÔ ¯Ù‡ËÌ· Ó· Â›Ó·È ÎÔÊÙfi Î·È ÂÏ·ÊÚfi). MÂÙ¿ ÙÔ ¯Ù‡ËÌ·, ÙÔ Î¤ÚÌ· Ô˘ ‹Ù·Ó ÛÙÔ ¯¿Ú·Î· οÓÂÈ ÂχıÂÚË ÙÒÛË, ÂÓÒ ÙÔ ¿ÏÏÔ ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ‚ÔÏ‹. AÓ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ·Ú¯‹ ·ÓÂÍ·ÚÙËÛ›·˜ ÙˆÓ ÎÈÓ‹ÛˆÓ, Ù· ‰˘Ô ΤÚÌ·Ù· Ú¤ÂÈ Ó· ¯Ù˘‹ÛÔ˘Ó ÙÔ ¤‰·ÊÔ˜ Û˘Á¯ÚfiÓˆ˜, ·ÊÔ‡ ¤Ê˘Á·Ó ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ ‡„Ô˜ ÙËÓ ›‰È· ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹.
™
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
¢√KIMA™TE TO. 25
¶ ƒ√™∂°°π™∏
∆∏™
º À™π∫∏™
¶ √§§√À™
ª∂™∞ ∞¶√
∫∞π
¢ π∞º√ƒ∂∆π∫√À™ ¢ ƒ√ª√À™
H ÍÂÎÔ‡Ú·ÛË ÂÓfi˜ Á·˚‰¿ÚÔ˘
H ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ ÎÚ·ÛÈÔ‡
ŒÓ·˜ ¯ˆÚÈÎfi˜, ÁÈ· Ó· ÌË ÎÔ˘Ú¿ÛÂÈ ÙÔ ÊÔÚو̤ÓÔ Á¿È‰·Úfi ÙÔ˘, ‹Ú ÙÔ ÊÔÚÙ›Ô ÛÙÔ˘˜ ÒÌÔ˘˜ ÙÔ˘ Î·È ·Ó¤‚ËΠÛÙÔ Á¿È‰·ÚÔ. EÍËÁ›ÛÙ Ì fiÚÔ˘˜ º˘ÛÈ΋˜ ÙÔ Ï¿ıÔ˜ ÙÔ˘ ¯ˆÚÈÎÔ‡.
ŒÓ·˜ ÁÚ·ÊÈÎfi˜ Ù‡Ô˜ ÙˆÓ TÚÈοψÓ, Ï¿ÙÚ˘ ÙÔ˘ ¢ÈfiÓ˘ÛÔ˘, ÌÂÙ¿ ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ÌÔ˘Î¿ÏÈ ÎÚ·ÛÈÔ‡ ηٷÛ··˙ ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ "̷ڷʤÙÈ": ™Â ¿Ó ÊÂÏÏfi οÚʈÓ ‰˘Ô ÈÚÔ‡ÓÈ·, ÙÔ ¤Ó· ·fi ÙË ÌÈ· ÌÂÚÈ¿ Î·È ÙÔ ¿ÏÏÔ ·fi ÙËÓ ¿ÏÏË, fiˆ˜ ‰Â›¯ÓÂÈ Ë ÂÈÎfiÓ·Ø Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· ÙÔ˘ ÊÂÏÏÔ‡ ÂÚÓÔ‡Û ÌÈ· ηÚÊ›ÙÛ·. K·ÙfiÈÓ ÛÙ‹ÚÈ˙ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ÊÂÏÏfi˜-ÈÚÔ‡ÓÈ· ¿Óˆ Û ¤Ó· ÌÔ˘Î¿ÏÈ, ¤ÙÛÈ Ô˘ Ó· ·ÎÔ˘Ì¿ Ë Ì‡ÙË Ù˘ ηÚÊ›ÙÛ·˜ ÛÙÔ Î·¿ÎÈ ÙÔ˘ ÌԢηÏÈÔ‡. T¤ÏÔ˜ ¤‚·˙ Û ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· Î·È ÙÔ ¿ÊËÓÂØ ·˘Ùfi Á‡ÚÈ˙Â-Á‡ÚÈ˙Â… Î·È ÛÙ·Ì·ÙÔ‡Û ÌÂÙ¿ ·fi Ôχ ÒÚ·.
A¿ÓÙËÛË TÔ ÙÛÔ˘‚¿ÏÈ ‰¤¯ÂÙ·È ·fi ÙË °Ë ÌÈ· ‰‡Ó·ÌË B1, ηٷÎfiÚ˘ÊË ÚÔ˜ Ù· Î¿ÙˆØ ÂÂȉ‹ fï˜ ÈÛÔÚÚÔ› Ú¤ÂÈ Ó· ‰¤¯ÂÙ·È Î·È ÌÈ· ‰‡Ó·ÌË A1 ·ÓÙ›ıÂÙË Ù˘ B1. O ÌfiÓÔ˜ Ô˘ ÌÔÚ› Ó· ·Û΋ÛÂÈ ÙË ‰‡Ó·ÌË A1 ÛÙÔ ÙÛÔ˘‚¿ÏÈ Â›Ó·È Ô ¿ÓıÚˆÔ˜Ø ¤ÙÛÈ Ô ¿ÓıÚˆÔ˜ ı· ‰¤¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÙÛÔ˘‚¿ÏÈ ÏfiÁˆ ·ÓÙ›‰Ú·Û˘ ÌÈ· ‰‡Ó·ÌË A 2 ·ÓÙ›ıÂÙË Ù˘ A 1 (A2=A1=B1). O ¿ÓıÚˆÔ˜ ÂÎÙfi˜ Ù˘ A2 ‰¤¯ÂÙ·È Î·È ÙËÓ ‰‡Ó·ÌË B2 ·fi ÙË °ËØ ÂÂȉ‹ fï˜ Ô ¿ÓıÚˆÔ˜ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ÈÛÔÚÚÔ‹ÛÂÈ Î¿Ùˆ ·fi ÙËÓ Â›‰Ú·ÛË ‰˘Ô ηٷÎfiÚ˘ÊˆÓ ÚÔ˜ Ù· οو ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ (A2 Î·È B2), Ú¤ÂÈ Ó· ‰¤¯ÂÙ·È Î·È ÌÈ· ¿ÏÏË ‰‡Ó·ÌË N 1 ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ: N1=A2+B2. O ÌfiÓÔ˜ Ô˘ ÌÔÚ› Ó· ·Û΋ÛÂÈ ÙËÓ ‰‡Ó·ÌË N1 Â›Ó·È Ô Á¿È‰·ÚÔ˜, ÔfiÙÂ Ô Á¿È‰·ÚÔ˜ ı· ‰¤¯ÂÙ·È ·fi ÙÔÓ ¿ÓıÚˆÔ ÌÈ· ‰‡Ó·ÌË N2, ·ÓÙ›ıÂÙË Ù˘ N1. ŒÙÛÈ ÏÔÈfiÓ Ô Á¿È‰·ÚÔ˜ ‰¤¯ÂÙ·È ÙÒÚ· ‰‡Ó·ÌË N2=B1+B2, ·ÓÙ› Ù˘ ‰‡Ó·ÌË B1 Ô˘ ı· ‰¤¯ÔÓÙ·Ó ·Ó ‰ÂÓ ·Ó¤‚·ÈÓÂ Î·È Ô ¿ÓıÚˆÔ˜!
§¤Ù ӷ Û˘ÓÙËÚÔ‡Û ÙËÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ Ë "‰‡Ó·ÌË" ÙÔ˘ ÎÚ·ÛÈÔ‡; A¿ÓÙËÛË TÔ "̷ڷʤÙÈ" ·ÎÔ˘Ì¿ Ì ÙË Ì‡ÙË Î·È ÙÔ ÌÔ˘Î¿ÏÈ ·Ó Î·È ·ÛΛ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ·˘Ù¤˜ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÔ‡Ó ·ÌÂÏËÙ¤· ÚÔ‹ ÏfiÁˆ Ù˘ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ÌÈÎÚ‹˜ ·fiÛÙ·Û˘, ÔfiÙ ‰È·ÙËÚÂ›Ù·È Ë ÛÙÚÔÊÔÚÌ‹.
◆
¶§HPEI™ ™EIPE™ ºY™IKH™ ÁÈ· ÙÔ §‡ÎÂÈÔ Î·È ÙȘ ¢¤Û̘
ΓIΩPΓOY ATPEI∆H
Γ. ΓIOYBANOY∆HΣ
AΣKHΣEIΣ ΦYΣIKHΣ TAΞINOMHΣH - MEΘO∆OΛOΓIA - TEXNIKEΣ Π. IAKΩBOY ΦYΣIKH A' ΛYKEIOY 1 & 2
ΠETPOY Γ. IAKΩBOY
AΣKHΣEIΣ ΦYΣIKHΣ TAΞINOMHΣH - MEΘO∆OΛOΓIA - TEXNIKEΣ ΠETPOY Γ. IAKΩBOY
ΘEΣΣAΛONIKH
Hλεκτρικ κυκλµατα συνεχος ρεµατος (Mνιµη - Mετα ατικ κατσταση) Hλεκτροµαγνητικ Eπαγωγ Θερµοδυναµικ Eναλλασσµενα ρεµατα
Kινητικ θεωρ#α των αερ#ων
Hλεκτροµαγνητικ θεωρ#α
Tαλαντσεις
Kµατα ΓIA MAΘHTEΣ - ΦOITHTEΣ - KAΘHΓHTEΣ TOMOΣ B'
ΘEΣΣAΛONIKH 1992
EK∆OΣEIΣ ZHTH
ΓIA MAΘHTEΣ - ΦOITHTEΣ - KAΘHΓHTEΣ
TOMOΣ Γ'
EK∆OΣEIΣ ZHTH
TOMOΣ 1ος
°È· ÙËÓ 1Ë Î·È 2Ë ‰¤ÛÌË
TOMOΣ 2ος
°. °IOYBANOY¢H™
°È· ÙËÓ 1Ë Î·È 2Ë ‰¤ÛÌË ΠEPIEXEI:
¶ETPO™ °. IAKøBOY ¶ETPO™ °. IAKøBOY
A' §YKEIOY A' §YKEIOY TOMO™
TOMO™
TOMOΣ A' - B' EK∆OΣH
HΛEKTPIΣMOΣ KYKΛΩMATA ΣYNEXOYΣ PEYMATOΣ HΛEKTPOMAΓNHTIKH EΠAΓΩΓH ENAΛΛAΣΣOMENO PEYMA
ΠPOBΛHMATA ΦYΣIKHΣ ΠPOBΛHMATA ΦYΣIKHΣ
°' §˘Î›Ԣ
TAΞINOMHΣH - MEΘO∆OΛOΓIA - TEXNIKEΣ
ΓIA MAΘHTEΣ - ΦOITHTEΣ - KAΘHΓHTEΣ
EPΩTHΣEIΣ KPIΣEΩΣ και ΓPAΦIKEΣ ΠAPAΣTAΣEIΣ στη ΦYΣIKH Γ' ΛYKEIOY
°ÈÒÚÁÔ˘ °ÈÔ˘‚·ÓÔ‡‰Ë
ΠETPOY Γ. IAKΩBOY
AΣKHΣEIΣ ΦYΣIKHΣ TAΞINOMHΣH - MEΘO∆OΛOΓIA - TEXNIKEΣ AΣKHΣEIΣ ΦYΣIKHΣ
ΓIΩPΓOY ATPEI∆H MHXANIKH EPΓO-ENEPΓEIA OPMH-KPOYΣH ΠE∆IA ∆YNAMEΩN KINHΣEIΣ ΣE ΠE∆IA ∆YNAMEΩN
ΦYΣIKH Γ' ΛYKEIOY
ENEP°EIA KINHMATIKH£EPMOTHTA ¢YNAMIKH
EÚˆÙ‹ÛÂȘ ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù·ÓfiËÛË Ù˘ ıˆڛ·˜ EÚˆÙ‹ÛÂȘ ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù·ÓfiËÛË ÙÔ˘ Ù˘ Û¯ÔÏÈÎÔ‡ ıˆڛ·˜ ‚È‚Ï›Ô˘ ÙÔ˘ Û¯ÔÏÈÎÔ‡ ‚È‚Ï›Ô˘ OÈ Ï‹ÚÂȘ χÛÂȘ OÈ Ï‹ÚÂȘ χÛÂȘ ‰Ú·ÛÙËÚÈÔًوÓ, ÂÚˆÙ‹ÛÂˆÓ & ·Û΋ÛÂˆÓ ‰Ú·ÛÙËÚÈÔًوÓ, ÂÚˆÙ‹ÛÂˆÓ ÙÔ˘ Û¯ÔÏÈÎÔ‡ ‚È‚Ï›Ô˘ & ·Û΋ÛÂˆÓ ÙÔ˘ Û¯ÔÏÈÎÔ‡ ‚È‚Ï›Ô˘ MÂıÔ‰ÔÏÔÁ›· MÂıÔ‰ÔÏÔÁ›· T·ÍÈÓfiÌËÛË T·ÍÈÓfiÌËÛË ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ T¯ÓÈΤ˜ T¯ÓÈΤ˜ EÚˆÙ‹ÛÂȘ KÚ›Ûˆ˜ EÚˆÙ‹ÛÂȘ KÚ›Ûˆ˜ Î·È §˘Ì¤Ó˜ Î·È ÕÏ˘Ù˜ AÛ΋ÛÂȘ §˘Ì¤Ó˜ Î·È ÕÏ˘Ù˜ AÛ΋ÛÂȘ ÁÈ· Ù· TE™T A•IO§O°H™H™
Περι χει λα τα κεφλαια 1-12 ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓
ŸÏË Ë ıˆڛ· ·Ó·Ï˘Ì¤ÓË Û ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ T˘ÔÏfiÁÈÔ ™ÙÔȯ›· ıˆڛ·˜ Ì ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ MÂıÔ‰ÔÏÔÁ›· ÁÈ· ÙË Ï‡ÛË ÙˆÓ ·Û΋ÛˆÓ
&
ΣTOIXEIA ΘEΩPIAΣ MEΘO∆OΛOΓIA EPΩTHΣEIΣ ΘEΩPIAΣ TYΠOΛOΓIO ΛYMENA ΠAPA∆EIΓMATA ΛYMENA ΠPOBΛHMATA ΠPOBΛHMATA ΓIA ΛYΣH
£E™™A§ONIKH 1996
ΠEPIEXEI: ΣTOIXEIA ΘEΩPIAΣ MEΘO∆OΛOΓIA EPΩTHΣEIΣ ΘEΩPIAΣ TYΠOΛOΓIO ΛYMENA ΠAPA∆EIΓMATA ΛYMENA ΠPOBΛHMATA ΠPOBΛHMATA ΓIA ΛYΣH
TOMO™ 1 ●
EP°O - ENEP°EIA
●
OPMH - KPOY™H
●
¶E¢IA ¢YNAMEøN
● KINH™EI™ ™E 110 ˘Ô‰ÂÈÁÌ·ÙÈο & ÌÂıÔ‰Èο Ï˘Ì¤Ó˜ ·Û΋ÛÂȘ ¶E¢IA ¢YNAMEøN 33 ‰È‰·ÁÌ·Ù¿ÎÈ· ● TA§ANTø™EI™ 600 ¿Ï˘Ù˜ ·Û΋ÛÂȘ Ì ··ÓÙ‹ÛÂȘ ● KYMATA ŸÏ· Ù· £¤Ì·Ù· ıˆڛ·˜ Î·È ·Û΋ÛÂˆÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÌÂÈ Û ¶·ÓÂÏÏ·‰ÈΤ˜ EÍÂÙ¿ÛÂȘ
£E™™A§ONIKH
™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ‚È‚Ï›Ô ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ‚È‚Ï›Ô
26 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
£E™™A§ONIKH 1996
Γ. ATPEI∆HΣ ΦYΣIKH (1η-2η ∆EΣMH) T.1: MHXANIKH, T.2: HΛEKTPIΣMOΣ Yπ κδοση: T.3: ΘEPMO∆YNAMIKH, NOMOI AEPIΩN TAΛANTΩΣEIΣ, KYMATA
à ∏ª∂π∞
XHMIKE™ ANTI¢PA™EI™ ∆Ô˘ K. A. TÛ›Ë, K·ıËÁËÙ‹ Ù˘ K‚·ÓÙÈ΋˜ XËÌ›·˜ ÙÔ˘ A.¶.£.
1. EI™A°ø°H È ¯ËÌÈΤ˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ, ‰ËÏ·‰‹ ÔÈ ÌÂÙ·ÙÚÔ¤˜ ÙˆÓ ‰È·ÊfiÚˆÓ ¯ËÌÈÎÒÓ Ô˘ÛÈÒÓ Û ¿ÏϘ Ô˘Û›Â˜, ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙËÓ Ô˘Û›· Ù˘ ¯ËÌ›·˜. ø˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘, Ë ÂÍÔÈΛˆÛË ÙÔ˘ ÛÔ˘‰·ÛÙ‹ Ì ÙȘ ¯ËÌÈΤ˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ·ÔÙÂÏ› ··Ú·›ÙËÙË ÚÔ¸fiıÂÛË ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù·ÓfiËÛË ÙÔ˘ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ù˘ ¯ËÌ›·˜. E›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ, fï˜, Ó· Ì¿ıÂÈ Î·Ó›˜ ¤Ó·Ó ÙÂÚ¿ÛÙÈÔ ·ÚÈıÌfi ¯ËÌÈÎÒÓ ·ÓÙȉڿÛÂˆÓ Ô˘ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ Ë ÂÈÛÙ‹ÌË Ù˘ ¯ËÌ›·˜, ¯ˆÚ›˜ οÔÈ· Û˘ÛÙËÌ·ÙÔÔ›ËÛ‹ ÙÔ˘˜; H ·¿ÓÙËÛË, Ê˘ÛÈο, Â›Ó·È fi¯È. E˘Ù˘¯Ò˜, fï˜, fiˆ˜ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Û οı ÂÈÛÙ‹ÌË, ¤ÙÛÈ Î·È ÛÙË ¯ËÌ›· Ë Û˘ÛÙËÌ·ÙÔÔ›ËÛË ÙˆÓ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂˆÓ Ô‰ËÁ› ÛÙËÓ ·Ó·ÁÓÒÚÈÛË ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÚÔÙ‡ˆÓ ¯ËÌÈÎÒÓ ·ÓÙȉڿÛÂˆÓ Ô˘ ‚ÔËı¿ÂÈ ÛËÌ·ÓÙÈο ÛÙËÓ Â˘ÎÔÏfiÙÂÚË Î·Ù·ÓfiËÛ‹ ÙÔ˘˜. EÈϤÔÓ, Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ÚԂϤ„Ô˘Ì ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÔÏÏÒÓ ¿ÏÏˆÓ ·ÓÙȉڿÛÂˆÓ ÙˆÓ ¯ËÌÈÎÒÓ Ô˘ÛÈÒÓ. °È· Ó’ ·ÔÎÙ‹ÛÂÈ Î·Ó›˜ ÌÈ· ÂÈÎfiÓ· Ù˘ ÙÂÚ¿ÛÙÈ·˜ ÛËÌ·Û›·˜ ÙˆÓ ¯ËÌÈÎÒÓ ·ÓÙȉڿÛÂˆÓ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ·Ú¿ Ó’ ·Ó·ÏÔÁÈÛÙ› ÙË Û‡Á¯ÚÔÓË ÂÈÛÙ‹ÌË ÙˆÓ ˘ÏÈÎÒÓ Ë ÔÔ›·, Ì ‚¿ÛË ÙȘ ¯ËÌÈΤ˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ, Ì·˜ ·Ú¤¯ÂÈ ÏËıÒÚ· ·ÏÒÓ Î·È ¤Í˘ÓˆÓ ˘ÏÈÎÒÓ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÛÙËÓ Î·ıËÌÂÚÈÓ‹ Ì·˜ ˙ˆ‹. AÏÏ¿ Î·È ÛÙȘ ÂÈÛً̘ Ù˘ Ê·ÚÌ·ÎÔÏÔÁ›·˜, Ù˘ ÌÔÚȷ΋˜ ‚ÈÔÏÔÁ›·˜ Î·È Ù˘ ‚ÈÔÙ¯ÓÔÏÔÁ›·˜ ÔÈ ¯ËÌÈΤ˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ Â›Ó·È ·˘Ù¤˜ Ô˘ ·›˙Ô˘Ó ÙÔÓ ÚˆÙ‡ÔÓÙ· ÚfiÏÔ. ¶ÔÏϤ˜ Ì¿ÏÈÛÙ· ·fi ÙȘ ¯ËÌÈΤ˜ ·˘Ù¤˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ Â›Ó·È È‰È·›ÙÂÚ· ÔχÏÔΘ Î·È Ô Ì˯·ÓÈÛÌfi˜ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô Û˘Ì‚·›ÓÔ˘Ó Â›Ó·È ·ÎfiÌË Û¯Â‰fiÓ ¿ÁÓˆÛÙÔ˜.
O
2. TY¶OI XHMIKøN ANTI¢PA™EøN ‰È›ۉ˘ÛË ÛÙË Ê‡ÛË ÙˆÓ ¯ËÌÈÎÒÓ ·ÓÙȉڿÛÂˆÓ Ì·˜ ‰Â›¯ÓÂÈ fiÙÈ Û ÌÈ· ¯ËÌÈ΋ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË, Ô˘ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ÙËÓ ·ÏÏËÏ›‰Ú·ÛË ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ¯ËÌÈÎÒÓ Ô˘ÛÈÒÓ Î·È ÙÔ Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi οÔÈˆÓ ¿ÏÏˆÓ Ô˘ÛÈÒÓ, ·˘Ùfi Ô˘ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ· Â›Ó·È Ë ‰È¿Û·ÛË ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ‰ÂÛÌÒÓ Î·È Ô Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ οÔÈˆÓ ¿ÏÏˆÓ Ó¤ˆÓ ‰ÂÛÌÒÓ. OÈ ‰ÈÂÚÁ·Û›Â˜ ·˘Ù¤˜ Ô˘ Û˘Ì‚·›ÓÔ˘Ó ÛÙȘ ¯ËÌÈΤ˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ·ÎÔ-
∏
ÏÔ˘ıÔ‡Ó Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ ÚfiÙ˘·, Ù· ÔÔ›· Î·È Î·ıÔÚ›˙Ô˘Ó ÙÔÓ Ù‡Ô Ù˘ ¯ËÌÈ΋˜ ·ÓÙ›‰Ú·Û˘. T· ÚfiÙ˘· ÙˆÓ ¯ËÌÈÎÒÓ ·ÓÙȉڿÛˆÓ, ‹ Ì ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ· ÔÈ Ù‡ÔÈ ÙˆÓ ¯ËÌÈÎÒÓ ·ÓÙȉڿÛÂˆÓ Ô˘ Û˘Ó·ÓÙԇ̠ÛÙË ¯ËÌ›· ı· ÌÔÚÔ‡Û·Ó Ó· Ù·ÍÈÓÔÌËıÔ‡Ó Û ‰‡Ô ÌÂÁ¿Ï˜ ηÙËÁÔڛ˜, Ô˘ Â›Ó·È ÔÈ ÂÍ‹˜: 1. ÔÈ ÌÂÙ·ıÂÙÈΤ˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ, ‹ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ·ÓÙ·ÏÏ·Á‹˜ Î·È 2. ÔÈ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ÌÂÙ·ÊÔÚ¿˜ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ ™ÙËÓ ÚÒÙË Î·ÙËÁÔÚ›· ÙˆÓ ¯ËÌÈÎÒÓ ·ÓÙȉڿÛÂˆÓ ÂΛÓÔ ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Â›Ó·È ÌÈ· ·Ï‹ ·ÓÙ·ÏÏ·Á‹ ÙˆÓ Î·ÙÈfiÓÙˆÓ Î·È ÙˆÓ ·ÓÈfiÓÙˆÓ ÙˆÓ Ô˘ÛÈÒÓ Ô˘ ·ÓÙȉÚÔ‡Ó ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ÁÈ· Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÔ˘Ó Ù· ÚÔ˚fiÓÙ·. ™ÙȘ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ‰ÂÓ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Î·ÌÈ¿ ÌÂÙ·ÊÔÚ¿ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ ·fi ÙÔ ¤Ó· ·ÓÙȉÚÒÓ Û˘ÛÙ·ÙÈÎfi ÛÙÔ ¿ÏÏÔ. ŒÓ· ÁÂÓÈÎfi ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È ·fi ÙË ¯ËÌÈ΋ Â͛ۈÛË: AB + XY Æ AY + XB
(1)
Ÿˆ˜ Â›Ó·È Ê·ÓÂÚfi, ÛÙËÓ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ·˘Ù‹ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Ú¿ÁÌ·ÙÈ ÌÈ¿ ·ÌÔÈ‚·›· ·ÓÙ·ÏÏ·Á‹ ÙˆÓ Î·ÙÈfiÓÙˆÓ A+ Î·È X+, ηıÒ˜ Î·È ÙˆÓ ·ÓÈfiÓÙˆÓ B– Î·È Y–. ™ËÌÂÈÒÛÙ ÙË ‰È¿Û·ÛË ÙˆÓ ‰ÂÛÌÒÓ A–B Î·È X–Y Î·È ÙË ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ›· ÙˆÓ Ó¤ˆÓ ‰ÂÛÌÒÓ A–Y Î·È X–B. AÓÙȉڿÛÂȘ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ Ù‡Ô˘ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ¤˜ Î·È ˆ˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ‰ÈÏ‹˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘ Î·È ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙÔ Î˘ÚÈfiÙÂÚÔ Â›‰Ô˜ ÌÂÙ·ıÂÙÈÎÒÓ ·ÓÙȉڿÛˆÓ.
A+ B– +
X+
Y–
– A+ Y + X+ B–
EÈÎ. 1. ™¯ËÌ·ÙÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÌÈ·˜ ÌÂÙ·ıÂÙÈ΋˜ ·ÓÙ›‰Ú·Û˘. OÈ ÌÂÙ·ıÂÙÈΤ˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ¤˜ Î·È ˆ˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ·ÓÙ·ÏÏ·Á‹˜, ‹ Î·È ˆ˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ‰ÈÏ‹˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘.
ŸÌˆ˜, fiÙ ÌÔÚ› Ó· Û˘Ì‚Â› ÌÈ· ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ‰ÈÏ‹˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘, Ë Ì ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ·, ÔÈ¿ Â›Ó·È Ù· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÂΛӷ Ô˘ Ì·˜ ÂÈÙÚ¤Ô˘Ó Ó· ÚԂϤ„Ô˘Ì ·Ó ÌÈ· ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ‰ÈÏ‹˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘ ı· Û˘Ì‚Â› ‹ fi¯È; MÈ· ·ÓÙ›‰Ú·ÛË, ÏÔÈfiÓ, ‰ÈÏ‹˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ:
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
27
à ∏ªπ∫∂™ ∞ ¡∆π¢ƒ∞™∂π™ 1. fiÙ·Ó ¤Ó· ·fi Ù· ÚÔ˚fiÓÙ· Ù˘ ·ÓÙ›‰Ú·Û˘ Â›Ó·È ÌÈ· ÂÏ¿¯ÈÛÙ· ‰È˚ÛÙ¿ÌÂÓË (ÈÔÓÈ˙fiÌÂÓË) Ô˘Û›·, fiˆ˜ .¯. ÙÔ H2O,
CaCO3(s) + 2HCl(aq) Æ Æ CaCl2(aq) + CO2(g)+H2O(l)
(4)
2. fiÙ·Ó ¤Ó· ·fi Ù· ÚÔ˚fiÓÙ· Ù˘ ·ÓÙ›‰Ú·Û˘ Â›Ó·È ›˙ËÌ·, ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ÛÙÂÚÂfi ·‰È¿Ï˘ÙÔ ÛÙÔ ‰È·Ï‡ÙË Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÛÙËÓ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË Î·È 3. fiÙ·Ó ¤Ó· ·fi Ù· ÚÔ˚fiÓÙ· Ù˘ ·ÓÙ›‰Ú·Û˘ Â›Ó·È ·¤ÚÈÔ ÙÔ ÔÔ›Ô ·ÔÌ·ÎÚ‡ÓÂÙ·È ·fi ÙÔ ¯ËÌÈÎfi Û‡ÛÙËÌ·.
EÈÎ. 4. AÓÙ›‰Ú·ÛË Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡ ·ÂÚ›Ô˘. H ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ÙÔ˘ ·ÓıÚ·ÎÈÎÔ‡ ¯·ÏÎÔ‡, CuCO3, Ì ¤Ó· Ô͇, Ô‰ËÁ› ÛÙÔ Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi ·ÂÚ›Ô˘ CO2.
M ‚¿ÛË Ù· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ·˘Ù¿ ÔÈ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ‰ÈÏ‹˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘ ‰È·ÎÚ›ÓÔÓÙ·È ÛÂ, 1. ·ÓÙȉڿÛÂȘ ÔͤԘ-‚¿Ûˆ˜, Ô˘ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ¤˜ Î·È ˆ˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ÂÍÔ˘‰ÂÙ¤ÚˆÛ˘, fiÔ˘ ¤Ó· ·fi Ù· ÚÔ˚fiÓÙ· Â›Ó·È ÙÔ H2O. ¶.¯., HA(aq) + MOH(aq) Æ MA(aq) + H2O(l)
(2) ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1 TÈ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË Û˘Ì‚·›ÓÂÈ (·Ó Û˘Ì‚·›ÓÂÈ) ηٿ ÙËÓ ·Ó¿ÌÂÈÍË ˘‰·ÙÈÎÒÓ ‰È·Ï˘Ì¿ÙˆÓ KCl Î·È NaNO3;
EÈÎ. 2. H ÔÁÎÔ̤ÙÚËÛË ÔͤԘ-‚¿Ûˆ˜ ÛÙËÚ›˙ÂÙ·È Û ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ÔͤԘ-‚¿Ûˆ˜ (·ÓÙ›‰Ú·ÛË ÂÍÔ˘‰ÂÙ¤ÚˆÛ˘). TÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ·ÓÙ›‰Ú·Û˘ ‰È·ÈÛÙÒÓÂÙ·È Ì ÙËÓ ·ÏÏ·Á‹ ÙÔ˘ ¯ÚÒÌ·ÙÔ˜ ÌÈ·˜ Ô˘Û›·˜ Ô˘ ϤÁÂÙ·È ‰Â›ÎÙ˘ (ÛÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂÚ›ÙˆÛË Ô ‰Â›ÎÙ˘ Â›Ó·È Ë Ê·ÈÓÔÏÔÊı·Ï½ÓË).
§‡ÛË: TfiÛÔ ÙÔ KCl fiÛÔ Î·È ÙÔ NaNO3 Â›Ó·È ¿Ï·Ù· ¢‰È¿Ï˘Ù· ÛÙÔ ÓÂÚfi fiÔ˘ ˘Ê›ÛÙ·ÓÙ·È Ï‹ÚË ‰È¿ÛÙ·ÛË Û ÈfiÓÙ· (ÈÛ¯˘ÚÔ› ËÏÂÎÙÚÔχÙ˜): KCl(s) + H2O(l) Æ K+(aq) + Cl–(aq) NaNO3(s) + H2O(l) Æ Na+(aq) + NO3–(aq) AÓ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÌÔÚ› Ó· Û˘Ì‚Â› ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ‰ÈÏ‹˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘, KCl + NaNO3 Æ KNO3 + NaCl ÙfiÙ ٷ ÚÔ˚fiÓÙ· ı· Â›Ó·È KNO3 Î·È NaCl, Ù· ÔÔ›· ›Û˘ Â›Ó·È ¿Ï·Ù· ¢‰È¿Ï˘Ù· ÛÙÔ ÓÂÚfi, fiÔ˘ ˘Ê›ÛÙ·ÓÙ·È Ï‹ÚË ‰È¿ÛÙ·ÛË Û ÈfiÓÙ· (ÈÛ¯˘ÚÔ› ËÏÂÎÙÚÔχÙ˜): KNO3(s) + H2O(l) Æ K+(aq) + NO3–(aq)
2. ·ÓÙȉڿÛÂȘ ηı›˙ËÛ˘, ÛÙȘ Ôԛ˜ ¤Ó· ·fi Ù· ÚÔ˚fiÓÙ· ηıÈ˙¿ÓÂÈ ÛÙÔ ‰È¿Ï˘Ì· Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ ·‰È¿Ï˘ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡, ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÁÂÓÈο ›˙ËÌ·. ¶.¯., NaCl(aq)+AgNO3(aq) Æ AgCl(s)+NaNO3(aq) (3)
EÈÎ. 3. AÓÙ›‰Ú·ÛË Î·ı›˙ËÛ˘. H ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ÙÔ˘ ÓÈÙÚÈÎÔ‡ ÌÔχ‚‰Ô˘, Pb(NO3)2, Ì ÙÔ ıÂÈÔ‡¯Ô Ó¿ÙÚÈÔ, Na 2 S, Ô‰ËÁ› ÛÙÔ Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi È˙‹Ì·ÙÔ˜ ıÂÈÔ‡¯Ô˘ ÌÔχ‚‰Ô˘ PbS, ¯ÚÒÌ·ÙÔ˜ Ì·‡ÚÔ˘.
NaCl(s) + H2O(l) Æ Na+(aq) + Cl–(aq) H Û˘ÓÔÏÈ΋, ÏÔÈfiÓ, ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ÁÚ·ÊfiÌÂÓË Ì ÙËÓ ÈÔÓÈ΋ Ù˘ ÌÔÚÊ‹, K+(aq) + Cl–(aq) + Na+(aq) + NO3–(aq) Æ Æ K+(aq) + NO3–(aq) + Na+(aq) + Cl–(aq) ‰Â›¯ÓÂÈ ÙËÓ ·ÚÔ˘Û›· ÛÙÔ ‰È¿Ï˘Ì· fiÏˆÓ ÙˆÓ ÈfiÓÙˆÓ Ì ÙËÓ ÂÊ˘‰·ÙˆÌ¤ÓË ÙÔ˘˜ ÌÔÚÊ‹, ÔfiÙ ‰ÂÓ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Î·ÌÈ¿ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. EÍ¿ÏÏÔ˘ ÁÈ· ÙËÓ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ·˘Ù‹ ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·Ó¤Ó· ·fi Ù· ÙÚ›· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· Ô˘ ηıÔÚ›˙Ô˘Ó, ·Ó ÌÈ· ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ‰ÈÏ‹˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘ ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ ‹ fi¯È.
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2 TÈ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË Û˘Ì‚·›ÓÂÈ (·Ó Û˘Ì‚·›ÓÂÈ) ηٿ ÙËÓ ·Ó¿ÌÂÈÍË ˘‰·ÙÈÎÒÓ ‰È·Ï˘Ì¿ÙˆÓ HClO4 Î·È NaOH; §‡ÛË: TÔ HClO4 Â›Ó·È ÈÛ¯˘Úfi Ô͇ Ô˘ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È Ï‹ÚË ‰È¿ÛÙ·ÛË ÛÙÔ ÓÂÚfi. TÔ NaOH Â›Ó·È ÌÈ· ÈÛ¯˘Ú‹ ‚¿ÛË Ô˘ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È Â›Û˘ Ï‹ÚË ‰È¿ÛÙ·ÛË ÛÙÔ ÓÂÚfi: HClO4(aq) Æ H+(aq) + ClO4–(aq) NaOH(aq) Æ Na+(aq) + OH–(aq)
28
3. ·ÓÙȉڿÛÂȘ Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡ ·ÂÚ›Ô˘, ÛÙȘ Ôԛ˜ ¤Ó· ·fi Ù· ÚÔ˚fiÓÙ· Â›Ó·È ·¤ÚÈÔ Î·È ÂÎχÂÙ·È ·fi ÙÔ ‰È¿Ï˘Ì· Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ Ê˘Û·Ï›‰ˆÓ. ¶.¯.,
AÓ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÌÔÚ› Ó· Û˘Ì‚Â› ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ‰ÈÏ‹˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘, HClO4(aq) + NaOH(aq) Æ NaClO4(aq) + H2O(l) ÙfiÙ ٷ ÚÔ˚fiÓÙ· ı· Â›Ó·È NaClO4(aq) Î·È H2O(l), ·fi Ù· ÔÔ›·
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
à ∏ª∂π∞ ÙÔ NaClO4(aq) Â›Ó·È ¿Ï·˜ ¢‰È¿Ï˘ÙÔ ÛÙÔ ÓÂÚfi, fiÔ˘ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È Ï‹ÚË ‰È¿ÛÙ·ÛË Û ÈfiÓÙ·, NaClO4(aq) + H2O(l) Æ Na+(aq) + ClO4–(aq) ÂÓÒ ÙÔ H2O(l) Â›Ó·È ÌÈ· ÂÏ¿¯ÈÛÙ· ‰È˚ÛÙ¿ÌÂÓË Ô˘Û›· (ÚÒÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ). EÔ̤ӈ˜, ı· Û˘Ì‚Â› ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ‰ÈÏ‹˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘ Ù˘ ÚÒÙ˘ ηÙËÁÔÚ›·˜ (·ÓÙ›‰Ú·ÛË ÔͤԘ-‚¿Ûˆ˜, ‹ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ÂÍÔ˘‰ÂÙ¤ÚˆÛ˘). H ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ·˘Ù‹ ÁÚ¿ÊÂÙ·È Ì ÙËÓ ÈÔÓÈ΋ Ù˘ ÌÔÚÊ‹ ˆ˜,
ÂÓÒ ÙÔ H2S(g) Â›Ó·È ·¤ÚÈÔ ÙÔ ÔÔ›Ô ·ÔÌ·ÎÚ‡ÓÂÙ·È ·fi ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· (ÙÚ›ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ). EÔ̤ӈ˜, ı· Û˘Ì‚Â› ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ‰ÈÏ‹˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘ Ù˘ ÙÚ›Ù˘ ηÙËÁÔÚ›·˜ (·ÓÙ›‰Ú·ÛË Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡ ·ÂÚ›Ô˘). H ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ·˘Ù‹ ÁÚ¿ÊÂÙ·È Ì ÙËÓ ÈÔÓÈ΋ Ù˘ ÌÔÚÊ‹ ˆ˜, 2H+(aq) + 2Cl–(aq) + 2Na+(aq) + S2–(aq) Æ Æ 2Na+(aq) + 2Cl–(aq) + H2S(g) ‹ ·ÁÓÔÒÓÙ·˜ Ù· ÈfiÓÙ· ı·٤˜ ·›ÚÓÂÈ ÙËÓ Èfi ·Ï‹ Ù˘ ÌÔÚÊ‹,
H+(aq) + ClO4–(aq) + Na+(aq) + OH–(aq) Æ Æ
Na+(aq)
+
ClO4–(aq)
2H+(aq) + S2–(aq) Æ H2S(g) + H2O(l)
‹ ·ÁÓÔÒÓÙ·˜ Ù· ÎÔÈÓ¿ Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ÈfiÓÙ· (Ù· ÈfiÓÙ· ·˘Ù¿ Ô˘ ‰Â Û˘ÌÌÂÙ¤¯Ô˘Ó ÛÙËÓ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÈfiÓÙ· ı·٤˜) ·›ÚÓÂÈ ÙËÓ Èfi ·Ï‹ Ù˘ ÌÔÚÊ‹, H+(aq) + OH–(aq) Æ H2O(l) ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 3 TÈ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË Û˘Ì‚·›ÓÂÈ (·Ó Û˘Ì‚·›ÓÂÈ) ηٿ ÙËÓ ·Ó¿ÌÂÈÍË ˘‰·ÙÈÎÒÓ ‰È·Ï˘Ì¿ÙˆÓ Pb(NO3)2 Î·È Na2S; §‡ÛË: O ÓÈÙÚÈÎfi˜ ÌfiÏ˘‚‰Ô˜, Pb(NO3)2, Î·È ÙÔ Na2S Â›Ó·È ¿Ï·Ù· ¢‰È¿Ï˘Ù· ÛÙÔ ÓÂÚfi fiÔ˘ ˘Ê›ÛÙ·ÓÙ·È Ï‹ÚË ‰È¿ÛÙ·ÛË Û ÈfiÓÙ·,
ÙË ‰Â‡ÙÂÚË Î·ÙËÁÔÚ›· ÙˆÓ ¯ËÌÈÎÒÓ ·ÓÙȉڿÛÂˆÓ ÂΛÓÔ ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Â›Ó·È ÌÈ· ÌÂÙ·ÊÔÚ¿ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ ·fi ÙÔ ¤Ó· ·ÓÙȉÚÒÓ Û˘ÛÙ·ÙÈÎfi ÛÙÔ ¿ÏÏÔ. ŸÙ·Ó Ë ÌÂÙ·ÊÔÚ¿ ·˘Ù‹ ÙˆÓ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ ‰ÂÓ Û˘Óԉ‡ÂÙ·È ·fi ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Ù˘ ¯ËÌÈ΋˜ Û‡ÛÙ·Û˘ ÙˆÓ Ô˘ÛÈÒÓ Ô˘ Û˘ÌÌÂÙ¤¯Ô˘Ó ÛÙËÓ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË, ÔÈ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·ÓÙȉڿÛÂȘ ·ÓÙ·ÏÏ·Á‹˜ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ. ¶.¯.,
™
e
Pb(NO3)2(aq) + H2O(l) Æ Pb++(aq) + 2NO3–(aq) Na2S(aq) + H2O(l) Æ 2Na+(aq) + S2–(aq) AÓ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÌÔÚ› Ó· Û˘Ì‚Â› ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ‰ÈÏ‹˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘, Pb(NO3)2(aq) + Na2S(aq) Æ PbS(s) + 2NaNO3(aq) ÙfiÙ ٷ ÚÔ˚fiÓÙ· ı· Â›Ó·È PbS(s) Î·È NaNO3(aq), ·fi Ù· ÔÔ›· ÙÔ NaNO3(aq) Â›Ó·È ¿Ï·˜ ¢‰È¿Ï˘ÙÔ ÛÙÔ ÓÂÚfi, fiÔ˘ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È Ï‹ÚË ‰È¿ÛÙ·ÛË Û ÈfiÓÙ·, NaNO3(aq) + H2O(l) Æ Na+(aq) + NO3–(aq) ÂÓÒ o PbS(s) Â›Ó·È ›˙ËÌ· ·‰È¿Ï˘ÙÔ ÛÙÔ ÓÂÚfi (‰Â‡ÙÂÚÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ). EÔ̤ӈ˜, ı· Û˘Ì‚Â› ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ‰ÈÏ‹˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘ Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ ηÙËÁÔÚ›·˜ (·ÓÙ›‰Ú·ÛË Î·ı›˙ËÛ˘). H ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ·˘Ù‹ ÁÚ¿ÊÂÙ·È Ì ÙËÓ ÈÔÓÈ΋ Ù˘ ÌÔÚÊ‹ ˆ˜, Pb++(aq) + 2NO3–(aq) + 2Na+(aq) + S2–(aq) Æ Æ PbS(s) + 2Na+(aq) + 2NO3–(aq) ‹ ·ÁÓÔÒÓÙ·˜ Ù· ÈfiÓÙ· ı·٤˜ ·›ÚÓÂÈ ÙËÓ Èfi ·Ï‹ Ù˘ ÌÔÚÊ‹, Pb++(aq) + S2–(aq) Æ PbS(s)
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 4 TÈ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË Û˘Ì‚·›ÓÂÈ (·Ó Û˘Ì‚·›ÓÂÈ) ηٿ ÙËÓ ·Ó¿ÌÂÈÍË ˘‰·ÙÈÎÒÓ ‰È·Ï˘Ì¿ÙˆÓ HCl Î·È Na2S; §‡ÛË: To ˘‰ÚԯψÚÈÎfi Ô͇, HCl, Â›Ó·È ÈÛ¯˘Úfi Ô͇ Ô˘ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È Ï‹ÚË ‰È¿ÛÙ·ÛË ÛÙÔ ÓÂÚfi, HCl(aq) Æ H+(aq) + Cl–(aq)
Fe2+
*Fe3+
+
*Fe3+ + Fe2+ (5)
ÂÓÒ fiÙ·Ó Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Ù˘ ¯ËÌÈ΋˜ Û‡ÛÙ·Û˘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÁÂÓÈο ·ÓÙȉڿÛÂȘ ÔÍÂȉԷӷÁˆÁ‹˜, ‹ ·ÓÙȉڿÛÂȘ redox. 2e Sn2+
2Fe3+
+
Sn4+ + 2Fe2+ (5)
™ËÌÂÈÒÛÙ fiÙÈ ÔÈ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ·ÓÙ·ÏÏ·Á‹˜ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÌÈ· ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ÙˆÓ ·ÓÙȉڿÛÂˆÓ ÔÍÂȉԷӷÁˆÁ‹˜, ·ÊÔ‡ οı ÌÂÙ·ÊÔÚ¿ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ Û ÌÈ· ¯ËÌÈ΋ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ÔÍÂȉԷӷÁˆÁ‹˜. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ô fiÚÔ˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ÌÂÙ·ÊÔÚ¿˜ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ Â›Ó·È Û˘ÓÒÓ˘ÌÔ˜ Ì ÙÔÓ fiÚÔ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ÔÍÂȉԷӷÁˆÁ‹˜. AÓ¿ÏÔÁ·, ÙÒÚ·, Ì ÔÚÈṲ̂ӷ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο ÁÓˆÚ›ÛÌ·Ù· ÙˆÓ ·ÓÙȉڿÛÂˆÓ ÌÂÙ·ÊÔÚ¿˜ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ ·˘Ù¤˜ ‰È·ÎÚ›ÓÔÓÙ·È ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ ›‰Ë: 1. ·ÓÙȉڿÛÂȘ Û‡ÓıÂÛ˘, ‹ ·ÓÙȉڿÛÂȘ Û˘Ó‰˘·ÛÌÔ‡, ÛÙȘ Ôԛ˜ ·ÏÔ‡ÛÙÂÚ˜ ¯ËÌÈΤ˜ Ô˘Û›Â˜ Û˘Ó‰˘¿˙ÔÓÙ·È ÁÈ· Ó· ‰ÒÛÔ˘Ó ˆ˜ ÚÔ˚fiÓÙ· ÔÏ˘ÏÔÎfiÙÂÚ˜ ¯ËÌÈΤ˜ Ô˘Û›Â˜. ¶.¯.,
ÂÓÒ ÙÔ Na2S Â›Ó·È ¿Ï·˜ ¢‰È¿Ï˘ÙÔ ÛÙÔ ÓÂÚfi fiÔ˘ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È Â›Û˘ Ï‹ÚË ‰È¿ÛÙ·ÛË ÛÙÔ ÓÂÚfi,
Mg(s) + Cl2(g) Æ MgCl2(s)
(7)
Na2S(aq) + H2O(l) Æ 2Na+(aq) + S2–(aq)
4Fe(s) + 3O2(g) Æ 2Fe2O3(s)
(8)
AÓ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÌÔÚ› Ó· Û˘Ì‚Â› ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ‰ÈÏ‹˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘, 2HCl(aq) + Na2S(aq) Æ 2NaCl(aq) + H2S(g) ÙfiÙ ٷ ÚÔ˚fiÓÙ· ı· Â›Ó·È NaCl(aq) Î·È H2S(g), ·fi Ù· ÔÔ›· ÙÔ NaCl(aq) Â›Ó·È ¿Ï·˜ ¢‰È¿Ï˘ÙÔ ÛÙÔ ÓÂÚfi, fiÔ˘ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È Ï‹ÚË ‰È¿ÛÙ·ÛË Û ÈfiÓÙ·,
2. ·ÓÙȉڿÛÂȘ ·ÔÛ‡ÓıÂÛ˘, ‹ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ‰È¿Û·Û˘, ÛÙȘ Ôԛ˜ ·fi ÔÏ˘ÏÔÎfiÙÂÚ˜ ¯ËÌÈΤ˜ Ô˘Û›Â˜ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ·ÏÔ‡ÛÙÂÚ˜. ¶.¯.,
NaCl(aq) + H2O(l) Æ Na+(aq) + Cl–(aq)
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
2HgO(s) Æ 2Hg(l) + O2(g)
(9)
2HI(g) Æ H2(g) + I2(g)
(10)
29
à ∏ªπ∫∂™ ∞ ¡∆π¢ƒ∞™∂π™
EÈÎ. 5. AÓÙ›‰Ú·ÛË ·ÔÛ‡ÓıÂÛ˘. H ı¤ÚÌ·ÓÛË ÙÔ˘ ÔÍÂȉ›Ô˘ ÙÔ˘ ˘‰Ú·ÚÁ‡ÚÔ˘, HgO, Ô‰ËÁ› ÛÙË ‰È¿Û·Û‹ ÙÔ˘ Û Hg Î·È O2.
3. ·ÓÙȉڿÛÂȘ ·Ï‹˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘, ÛÙȘ Ôԛ˜ ¤Ó· ¿ÙÔÌÔ, ‹ ÌÈ· ÔÌ¿‰· ·ÙfiÌˆÓ ·ÓÙÈηıÈÛÙ¿ ¤Ó· ¿ÏÏÔ ¿ÙÔÌÔ, ‹ ÌÈ· ¿ÏÏË ÔÌ¿‰· ·ÙfiÌˆÓ Û ÌÈ· ¤ÓˆÛ‹ ÙÔ˘˜. ¶.¯., Mg(s) + 2HCl(aq) Æ MgCl2(aq) + H2(g)
(11)
2AgNO3(aq) + Cu(s) Æ Cu(NO3)2(aq) + 2Ag(s)
(12)
ÛÂȘ Ô˘ ‰Â ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÂÓÙ·¯ıÔ‡Ó ÛÙȘ ·Ú·¿Óˆ ηÙËÁÔڛ˜. T¤ÏÔ˜, ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÛËÌÂÈÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ÌÈ· ÁÂÓÈÎfiÙÂÚË ‰È¿ÎÚÈÛË ÙˆÓ ¯ËÌÈÎÒÓ ·ÓÙȉڿÛÂˆÓ ÛÙËÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ Â›‰Ô˜ ÙˆÓ ¯ËÌÈÎÒÓ Ô˘ÛÈÒÓ Ô˘ Û˘ÌÌÂÙ¤¯Ô˘Ó Û’ ·˘Ù¤˜, ‰ËÏ·‰‹ ÛÙÔ ·Ó ÔÈ Ô˘Û›Â˜ Â›Ó·È ËÏÂÎÙÚÔχÙ˜ (ÈÔÓÈΤ˜ ÂÓÒÛÂȘ) ‹ Â›Ó·È ÌÔÚȷΤ˜ ÂÓÒÛÂȘ. ŒÙÛÈ, ÏÔÈfiÓ, ÔÈ ¯ËÌÈΤ˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ÌÔÚ› Ó· ›ӷÈ: 1. ÈÔÓÈÎÔ‡ Ù‡Ô˘, ‹ fiˆ˜ ·ÏÏÈÒ˜ ϤÁÔÓÙ·È ÈÔÓÈΤ˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ, ÛÙȘ Ôԛ˜ ÔÈ Ô˘Û›Â˜ Ô˘ ·ÓÙȉÚÔ‡Ó Â›Ó·È ÈÔÓÈΤ˜ Î·È Î·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ· Ë ·ÓÙ›‰Ú·ÛË Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ¯ÒÚ· ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÈfiÓÙˆÓ ÙˆÓ ÈÔÓÈÎÒÓ Ô˘ÛÈÒÓ Î·È 2. ÌÔÚÈ·ÎÔ‡ Ù‡Ô˘, ‹ fiˆ˜ ·ÏÏÈÒ˜ ϤÁÔÓÙ·È ÌÔÚȷΤ˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ, ÛÙȘ Ôԛ˜ ÔÈ Ô˘Û›Â˜ Ô˘ ·ÓÙȉÚÔ‡Ó Â›Ó·È ¿ÙÔÌ· ‹ ÌfiÚÈ· Î·È Î·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ· Ë ·ÓÙ›‰Ú·ÛË Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ¯ÒÚ· ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ ‹ ÌÔÚ›ˆÓ ÙˆÓ ÌÔÚÈ·ÎÒÓ Ô˘ÛÈÒÓ.
3. KA£APE™ IONIKE™ E•I™ø™EI™ ÙȘ ¯ËÌÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ô˘ ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ó ÙȘ ÈÔÓÈΤ˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÈÔÓÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È Â›Ù fiÏ· Ù· ›‰Ë ÙˆÓ ÈfiÓÙˆÓ Ô˘ Û˘ÌÌÂÙ¤¯Ô˘Ó ÛÙËÓ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË (Ï‹Ú˘ ÈÔÓÈ΋ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË), ›Ù ÌfiÓÔÓ ÂΛӷ Ô˘ ‰ÂÓ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÈfiÓÙ· “ı·٤˜”. ™ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÂÚ›ÙˆÛË ÔÈ ¯ËÌÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙȘ ÔÓÔÌ·˙fiÌÂÓ˜ ηı·Ú¤˜ ÈÔÓÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Î·È Â›Ó·È ·˘Ù¤˜ Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Ì·˜ ‰ÒÛÔ˘Ó Î¿ı ÏËÚÔÊÔÚ›· ÁÈ· ÙËÓ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË. ŸÌˆ˜, ÙÈ Ú¤ÂÈ Ó· ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÁÈ· Ó· ÁÚ¿„Ô˘Ì ÌÈ· ηı·Ú‹ ÈÔÓÈ΋ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË; K·Ù’ ·Ú¯‹Ó Ú¤ÂÈ Ó· ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ fiÏÔÈ ÔÈ ÈÛ¯˘ÚÔ› ËÏÂÎÙÚÔχÙ˜ ÛÙ· ˘‰·ÙÈο ÙÔ˘˜ ‰È·Ï‡Ì·Ù· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ϋÚË ‰È¿ÛÙ·ÛË ÛÙ· ÈfiÓÙ· ÙÔ˘˜ Î·È Â›Ó·È Ù· ÈfiÓÙ· ÂΛӷ Ô˘ ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ÛÙËÓ Â͛ۈÛË. E›Û˘, Ú¤ÂÈ Ó· ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ fiÏÔÈ ÔÈ ·ÛıÂÓ›˜ ËÏÂÎÙÚÔχÙ˜ ÛÙ· ˘‰·ÙÈο ÙÔ˘˜ ‰È·Ï‡Ì·Ù· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û Ôχ ÌÈÎÚ‹ ‰È¿ÛÙ·ÛË ÛÙ· ÈfiÓÙ· ÙÔ˘˜, Ì ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È Ì ÙË ÌÔÚȷ΋ ÙÔ˘˜ ÌÔÚÊ‹. M ÙË ÌÔÚȷ΋ ÌÔÚÊ‹ ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È Â›Û˘ Î·È ÔÈ ·‰È¿Ï˘Ù˜ ÛÙÔ ÓÂÚfi Ô˘Û›Â˜ (È˙‹Ì·Ù·), ηıÒ˜ Î·È Ù· ·¤ÚÈ·. T¤ÏÔ˜, ÔÈ ÈÔÓÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÈÛÔ˙˘ÁÈṲ̂Ó˜ ÙfiÛÔ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙ· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ Â͛ۈÛ˘, fiÛÔ Î·È ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ÊÔÚÙ›Ô. TÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ·ÔÙÂÏ› ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· Ù˘ ËÏÂÎÙÚÔÔ˘‰ÂÙÂÚfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ¯ËÌÈÎÒÓ ·ÓÙȉڿÛˆÓ, Ô ÔÔ›Ô˜ ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: ™Â ÌÈ¿ ÈÔÓÈ΋ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ Î·È ÙÔ Â›‰Ô˜ ÙˆÓ ÊÔÚÙ›ˆÓ ÛÙ· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÙÔ ›‰ÈÔ. ™Â ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÙÔ ›‰ÈÔ, Ô ÈÛÔ˙˘ÁÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ÊÔÚÙ›Ô˘ Á›ÓÂÙ·È Ì ÙËÓ ÚÔÛı‹ÎË ÁÈ· ÌÂÓ Ù· ıÂÙÈο ÊÔÚÙ›· ηÙÈfiÓÙˆÓ ˘‰ÚÔÁfiÓÔ˘, H+, ÁÈ·
™
EÈÎ. 6. AÓÙ›‰Ú·ÛË ·Ï‹˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘. H ÔÍ›‰ˆÛË ÙÔ˘ ÌÂÙ·ÏÏÈÎÔ‡ ¯·ÏÎÔ‡ ·fi ÈfiÓÙ· ·ÚÁ‡ÚÔ˘ ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ·Ï‹˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘.
4. ·ÓÙȉڿÛÂȘ ÔχÏÔ΢ ÌÔÚÊ‹˜. E›Ó·È fiϘ ÔÈ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ÌÂÙ·ÊÔÚ¿˜ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ Ô˘ ‰ÂÓ ˘¿ÁÔÓÙ·È ÛÙ· ÙÚ›· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ›‰Ë, fiˆ˜ Â›Ó·È .¯. ÔÈ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ·ÓÙ·ÏÏ·Á‹˜ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ Î·È ÔÈ ÁÂÓÈΤ˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ ÔÍÂȉԷӷÁˆÁ‹˜. ¶.¯., 6KOH(aq) + 3Cl2(g) Æ Æ KClO3(aq) + 5KCl(aq) + 3H2O(l)
(13)
K2Cr2O7(aq) + 14HCl(aq) Æ Æ 2CrCl3(aq) + 2KCl(aq) + 3Cl2(g) + 7H2O(l)
30
(14)
™ËÌÂÈÒÛÙÂ, fiÙÈ Ë ·Ú·¿Óˆ ‰È¿ÎÚÈÛË ÙˆÓ ·ÓÙȉڿÛÂˆÓ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·fiÏ˘ÙË. øÛÙfiÛÔ, fï˜, Â›Ó·È Ôχ ¯Ú‹ÛÈÌË ÁÈ· ÙËÓ Â˘ÎÔÏfiÙÂÚË Î·Ù·ÓfiËÛ‹ ÙÔ˘˜. Y¿Ú¯Ô˘Ó ·ÓÙȉڿÛÂȘ Ô˘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Û˘Ó‰˘·ÛÌfi ÙˆÓ ·Ú·¿Óˆ Ù‡ˆÓ ·ÓÙȉڿÛÂˆÓ Î·È ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÓÙȉڿ-
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
à ∏ª∂π∞ ‰Â Ù’ ·ÚÓËÙÈο ÊÔÚÙ›· ·ÓÈfiÓÙˆÓ ˘‰ÚÔÍ˘Ï›Ô˘ OH– (·Ó·ÊÂÚfiÌÂÓÔÈ Ê˘ÛÈο ¿ÓÙÔÙ Û ˘‰·ÙÈο ‰È·Ï‡Ì·Ù·). OÚÈṲ̂ӷ ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ÙÔ˘ ÙÚfiÔ˘ ÁÚ·Ê‹˜ ÙˆÓ Î·ı·ÚÒÓ ÈÔÓÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‰fiıËÎ·Ó Û ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·. A˜ ‰Ô‡ÌÂ, fï˜, ÌÂÚÈο ·ÎfiÌË ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·.
BaCO3(s) + 2HCl(aq) Æ BaCl2(aq) + CO2(g) + H2O(l) TÔ ·ÓıÚ·ÎÈÎfi ‚¿ÚÈÔ, BaCO3, Â›Ó·È ¿Ï·˜ ÛÙÂÚÂfi ·‰È¿Ï˘ÙÔ ÛÙÔ ÓÂÚfi. To ˘‰ÚԯψÚÈÎfi Ô͇, HCl, Â›Ó·È ÈÛ¯˘Úfi Ô͇ Ô˘ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È Ï‹ÚË ‰È¿ÛÙ·ÛË ÛÙÔ ÓÂÚfi, HCl(aq) Æ H+(aq) + Cl–(aq) TÔ BaCl2 Â›Ó·È ¿Ï·˜ ¢‰È¿Ï˘ÙÔ ÛÙÔ ÓÂÚfi, fiÔ˘ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È Ï‹ÚË ‰È¿ÛÙ·ÛË,
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 5 N· ÁÚ·ÊÔ‡Ó Ë ÌÔÚȷ΋, ÈÔÓÈ΋ Î·È Î·ı·Ú‹ ÈÔÓÈ΋ Â͛ۈÛË Ù˘ ·ÓÙ›‰Ú·Û˘ ‰ÈÏ‹˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘ Na2S(aq) Î·È ÙÔ˘ Cu(NO3)2(aq). TÈ Ù‡Ô˜ ·ÓÙ›‰Ú·Û˘ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ; §‡ÛË: H ÌÔÚȷ΋ Â͛ۈÛË Ù˘ ·ÓÙ›‰Ú·Û˘ ÙÔ˘ Na2S(aq) Ì ÙÔ Cu(NO3)2(aq) ÁÚ¿ÊÂÙ·È: Na2S(aq) + Cu(NO3)2(aq) Æ CuS(s) + 2NaNO3(aq)
BaCl2(aq) + H2O(l) Æ Ba2+(aq) + 2Cl–(aq) ÂÓÒ ÙÔ CO2 Â›Ó·È ·¤ÚÈÔ, ÙÔ ÔÔ›Ô ·ÔÌ·ÎÚ‡ÓÂÙ·È ·fi ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· Î·È ÙÔ H2O(l) ÌÈ· ÂÏ¿¯ÈÛÙ· ‰È˚ÛÙ¿ÌÂÓË Ô˘Û›·. EÔ̤ӈ˜, Ë ÈÔÓÈ΋ Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È, BaCO3(s) + 2H+(aq) + 2Cl–(aq) Æ Æ Ba2+(aq) + 2Cl–(aq) + CO2(g) + H2O(l) ÂÓÒ Ë Î·ı·Ú‹ ÈÔÓÈ΋ Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È,
TÔ Na2S Â›Ó·È ¿Ï·˜ ¢‰È¿Ï˘ÙÔ ÛÙÔ ÓÂÚfi, fiÔ˘ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È Ï‹ÚË ‰È¿ÛÙ·ÛË,
BaCO3(s) + 2H+(aq) Æ Ba2+(aq) + CO2(g) + H2O(l)
Na2S(aq) + H2O(l) Æ 2Na+(aq) + S2–(aq)
H Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ·ÓÙ›‰Ú·ÛË Â›Ó·È ÌÈ· ·ÓÙ›‰Ú·ÛË Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡ ·ÂÚ›Ô˘.
O ÓÈÙÚÈÎfi˜ ¯·ÏÎfi˜, Cu(NO3)2, Â›Ó·È Â›Û˘ ¿Ï·˜ ¢‰È¿Ï˘ÙÔ ÛÙÔ ÓÂÚfi, fiÔ˘ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È Ï‹ÚË ‰È¿ÛÙ·ÛË, ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 7
Cu(NO3)2(aq) Æ Cu2+(aq) + 2NO3–(aq) Afi Ù· ÚÔ˚fiÓÙ· Ù˘ ·ÓÙ›‰Ú·Û˘ Ô ıÂÈÔ‡¯Ô˜ ¯·ÏÎfi˜, CuS, Â›Ó·È ›˙ËÌ· (ÛÙÂÚÂfi, ·‰È¿Ï˘ÙÔ ÛÙÔ ÓÂÚfi) ÂÓÒ ÙÔ NaNO3 Â›Ó·È ¿Ï·˜ ¢‰È¿Ï˘ÙÔ ÛÙÔ ÓÂÚfi, fiÔ˘ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È Ï‹ÚË ‰È¿ÛÙ·ÛË, NaNO3(aq) Æ Na+(aq) + NO3–(aq)
N· ÁÚ·ÊÔ‡Ó Ë ÌÔÚȷ΋, ÈÔÓÈ΋ Î·È Î·ı·Ú‹ ÈÔÓÈ΋ Â͛ۈÛË Ù˘ ·ÓÙ›‰Ú·Û˘ ‰ÈÏ‹˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘ Fe(OH)2(s) Î·È ÙÔ˘ HCl(aq). TÈ Ù‡Ô˜ ·ÓÙ›‰Ú·Û˘ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ; §‡ÛË: H ÌÔÚȷ΋ Â͛ۈÛË Ù˘ ·ÓÙ›‰Ú·Û˘ ÙÔ˘ Fe(OH)2(s) Ì ÙÔ HCl(aq) ÁÚ¿ÊÂÙ·È:
EÔ̤ӈ˜, Ë ÈÔÓÈ΋ Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È,
Fe(OH)2(s) + 2HCl(aq) Æ FeCl2(aq) + 2H2O(l)
2Na+(aq) + S2–(aq) + Cu2+(aq) + 2NO3–(aq) Æ Æ CuS(s) +
2Na+(aq)
+
2NO3–(aq)
ÂÓÒ Ë Î·ı·Ú‹ ÈÔÓÈ΋ Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È, S2–(aq) + Cu2+(aq) Æ CuS(s)
TÔ ˘‰ÚÔÍ›‰ÈÔ ÙÔ˘ Ûȉ‹ÚÔ˘, Fe(OH)2, Â›Ó·È ÌÈ· ‚¿ÛË ÛÙÂÚ‹ ·‰È¿Ï˘ÙË ÛÙÔ ÓÂÚfi. To ˘‰ÚԯψÚÈÎfi Ô͇, HCl, Â›Ó·È ÈÛ¯˘Úfi Ô͇ Ô˘ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È Ï‹ÚË ‰È¿ÛÙ·ÛË ÛÙÔ ÓÂÚfi, HCl(aq) Æ H+(aq) + Cl–(aq)
H Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ·ÓÙ›‰Ú·ÛË Â›Ó·È ÌÈ· ·ÓÙ›‰Ú·ÛË Î·ı›˙ËÛ˘.
ME£O¢O§O°πA °PAº∏™ TøN KA£APøN IONIKøN E•I™ø™EøN ♣ A‰È¿Ï˘Ù˜ ÛÙÔ ÓÂÚfi Ô˘Û›Â˜, ·¤ÚȘ Ô˘Û›Â˜, ·ÛıÂÓ›˜ ËÏÂÎÙÚÔχÙ˜ Î·È ÌÔÚȷΤ˜ Ô˘Û›Â˜ ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È Ì ÙÔ ¯ËÌÈÎfi ÙÔ˘˜ Ù‡Ô. ♣ IÛ¯˘ÚÔ› ËÏÂÎÙÚÔχÙ˜ ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ ÙˆÓ ÈfiÓÙˆÓ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÛÙ· ˘‰·ÙÈο ÙÔ˘˜ ‰È·Ï‡Ì·Ù· ♣ °Ú¿„Ù fiÏ· Ù· ¯ËÌÈο ›‰Ë Ô˘ ··ÓÙÔ‡Ó ÛÙ· ˘‰·ÙÈο ‰È·Ï‡Ì·Ù· ÙˆÓ Ô˘ÛÈÒÓ Ô˘ ı’ ·ÓÙȉڿÛÔ˘Ó. ♣ °Ú¿„Ù ٷ ÚÔ˚fiÓÙ· Ù˘ ·ÓÙ›‰Ú·Û˘. ♣ A·Ï›„·Ù ٷ ÈfiÓÙ· ı·٤˜ Î·È ÈÛÔ˙˘Á›ÛÙ ÙË ¯ËÌÈ΋ Â͛ۈÛË ÙfiÛÔ ˆ˜ ÚÔ˜ Ù· ¯ËÌÈο ›‰Ë, fiÛÔ Î·È ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ÊÔÚÙ›Ô.
O ‰È¯ÏˆÚÈÔ‡¯Ô˜ Û›‰ËÚÔ˜, FeCl2, Â›Ó·È ¿Ï·˜ ¢‰È¿Ï˘ÙÔ ÛÙÔ ÓÂÚfi, fiÔ˘ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È Ï‹ÚË ‰È¿ÛÙ·ÛË, FeCl2(aq) + H2O(l) Æ Fe2+(aq) + 2Cl–(aq) ÂÓÒ ÙÔ H2O(l) ÌÈ· ÂÏ¿¯ÈÛÙ· ‰È˚ÛÙ¿ÌÂÓË Ô˘Û›·. EÔ̤ӈ˜, Ë ÈÔÓÈ΋ Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È, Fe(OH)2(s) + 2H+(aq) + 2Cl–(aq) Æ Æ Fe2+(aq) + 2Cl–(aq) + 2H2O(l) ÂÓÒ Ë Î·ı·Ú‹ ÈÔÓÈ΋ Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È, Fe(OH)2(s) + 2H+(aq) Æ Fe2+(aq) + 2H2O(l) H Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ·ÓÙ›‰Ú·ÛË Â›Ó·È ÌÈ· ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ÂÍÔ˘‰ÂÙ¤ÚˆÛ˘.
4. ¶APATHPøNTA™ TI™ XHMIKE™ ANTI¢PA™EI™
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 6 N· ÁÚ·ÊÔ‡Ó Ë ÌÔÚȷ΋, ÈÔÓÈ΋ Î·È Î·ı·Ú‹ ÈÔÓÈ΋ Â͛ۈÛË Ù˘ ·ÓÙ›‰Ú·Û˘ ‰ÈÏ‹˜ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘ BaCO3(s) Î·È ÙÔ˘ HCl(aq). TÈ Ù‡Ô˜ ·ÓÙ›‰Ú·Û˘ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ; §‡ÛË: H ÌÔÚȷ΋ Â͛ۈÛË Ù˘ ·ÓÙ›‰Ú·Û˘ ÙÔ˘ BaCO3(s) Ì ÙÔ HCl(aq) ÁÚ¿ÊÂÙ·È:
˜ ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ÙÒÚ· ÙÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜ Ì ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÌÔÚԇ̠ӷ Ì¿ıÔ˘ÌÂ, ·Ó Û’ ¤Ó· ‰È¿Ï˘Ì· Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ‹ fi¯È ÌÈ· ¯ËÌÈ΋ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË. M ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ·, ı· ÁÓˆÚ›ÛÔ˘Ì ÙȘ ÂӉ›ÍÂȘ ÂΛӘ Ô˘ Ì·˜ ‚‚·ÈÒÓÔ˘Ó ÁÈ· ÙÔ ·Ó Û’ ¤Ó· ‰È¿Ï˘Ì· Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ‹
∞
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
31
à ∏ªπ∫∂™ ∞ ¡∆π¢ƒ∞™∂π™ fi¯È ÌÈ· ¯ËÌÈ΋ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË. OÈ ÂӉ›ÍÂȘ ·˘Ù¤˜, fiˆ˜ Â›Ó·È Ê˘ÛÈÎfi, ı· Ú¤ÂÈ Ó· ‚·Û›˙ÔÓÙ·È Û οÔÈ· ÔÚ·Ù‹ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Ô˘ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÛÙÔ ¯ËÌÈÎfi Û‡ÛÙËÌ·, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È ‰˘Ó·Ù‹ Ë ·Ú·ÎÔÏÔ‡ıËÛË Ù˘ ÂͤÏÈ͢ Ù˘ ¯ËÌÈ΋˜ ·ÓÙ›‰Ú·Û˘ Ì “Á˘ÌÓfi” Ì¿ÙÈ. øÛÙfiÛÔ, fï˜, ·ÎfiÌË Î·È fiÙ·Ó ‰Â Û˘Ì‚·›ÓÔ˘Ó ÔÚ·Ù¤˜ ÌÂÙ·‚ÔϤ˜ ·˘Ùfi ‰ÂÓ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ¯ËÌÈ΋ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË. AÏ¿, ÔÈ ÌÂÙ·‚ÔϤ˜ ·˘Ù¤˜ ··ÈÙÔ‡Ó ÙË ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛË ¿ÏÏˆÓ Ù¯ÓÈÎÒÓ ÁÈ· ÙËÓ ·Ú·Ù‹ÚËÛ‹ ÙÔ˘˜. £· ÂÚÈÔÚ›ÛÔ˘ÌÂ, fï˜, ÙË Û˘˙‹ÙËÛË ÌfiÓÔ ÛÙËÓ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ÂӉ›ÍÂˆÓ ÂÎÂ›ÓˆÓ Ô˘ ÛÙËÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙȘ ÔÚ·Ù¤˜ ÌÂÙ·‚ÔϤ˜ Î·È Â›Ó·È ÔÈ ·Ú·Î¿Ùˆ: – ™¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ ·‰È¿Ï˘ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ ÚÔ˚fiÓÙÔ˜(›˙ËÌ·). ¶.¯., Ca2+(aq)
+ CO3
2–(aq)
Æ CaCO3(s)
Zn(s) + Cu2+(aq) Æ Zn2+(aq) + Cu(s)
(15) (16)
– ™¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ ·ÂÚ›Ô˘ ÚÔ˚fiÓÙÔ˜. ¶.¯. S2–(aq)
+ 2H3
O+(aq)
Æ 2H2O(aq) + H2S(g) (17)
CaCO3(s) + 2H3O+(aq) Æ Æ Ca2+(aq) + 3H2O + CO2(g)
(18)
– MÂÙ·‚ÔÏ‹ Ù˘ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜ ÙÔ˘ ¯ËÌÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜. ¶.¯., H2SO4(l) + H2O(aq) Æ Æ H3O+(aq) + HSO4–(aq) + Q (19) ¶ÚÔÛÔ¯‹, Ë ¤Ó‰ÂÈÍË ·˘Ù‹ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·fiÏ˘ÙË, ·ÊÔ‡ Î·È ÔÏÏ¿ Ê˘ÛÈο Ê·ÈÓfiÌÂÓ· Û˘Óԉ‡ÔÓÙ·È ·fi ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Ù˘ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜. – AÏÏ·Á‹ ÙÔ˘ ¯ÚÒÌ·ÙÔ˜ ÙÔ˘ ¯ËÌÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜. ¶.¯., Cr2O72–(aq) + 3H2C2O4(aq) + 8H3O+(aq) Æ Î›ÙÚÈÓÔ Æ 2Cr3+(aq) + 6CO2(g) + 15H2O (20) Ú¿ÛÈÓÔ Cu2+(aq) + 4NH3(aq) Æ Cu(NH3)42+(aq) ·ÓÔȯÙfi ‚·ı‡ ÌϤ ÌϤ
– K·Ù·Ó¿ÏˆÛË ÂÓfi˜ ÛÙÂÚÂÔ‡ ·ÓÙȉÚÒÓÙÔ˜ Û˘ÛÙ·ÙÈÎÔ‡. ¶.¯.,
(21)
◆
Xηµεα
K. TΣIΠHΣ XHMEIA: I. ATOMA KAI MOPIA II. KATAΣTAΣEIΣ THΣ Y§HΣ Yπ %κδοση: III. XHMIKEΣ ANTI∆PAΣEIΣ
I. ?τοµα @ M ρια
Kωνσταντνος A. Tσπης
AÓ·ÛÙ¿ÛÈÔ˜ B¿Ú‚ÔÁÏ˘ ∆Ô ‰›ÙÔÌÔ ¤ÚÁÔ ªÂÁ¿ÏÔÈ ÃËÌÈÎÔ› ¤Ú¯ÂÙ·È Ó· ıÂڷ‡ÛÂÈ ÌÈ· ¤ÏÏÂÈ„Ë Ù˘ ∂ÏÏËÓÈ΋˜ ‚È‚ÏÈÔÁÚ·Ê›·˜. ∞fi ÙȘ ÛÂÏ›‰Â˜ ÙÔ˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÔÓÙ·È ¿Óˆ ·fi 70 ¯ËÌÈÎÔ›, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ Ì ٷ ÂÈÙ‡ÁÌ·Ù¿ ÙÔ˘˜ ¤ÁÚ·„·Ó ÈÛÙÔÚ›·. ™ÙÔÓ ÚÒÙÔ ÙfiÌÔ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È Î˘Ú›ˆ˜ ÔÈ ¯ËÌÈÎÔ› ÙÔ˘ 19Ô˘ ·ÈÒÓ·, ÂÓÒ Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ÛÙÔ˘˜ ¯ËÌÈÎÔ‡˜ ÙÔ˘ 20Ô‡ ·ÈÒÓ·. ∏ ·ÚÔ˘Û›·ÛË Á›ÓÂÙ·È ¯ˆÚ›˜ ÂÎÙÂÓ‹ Û¯fiÏÈ· ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎÔ‡ ¯·Ú·ÎÙ‹Ú·, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È Î·Ù·ÏËÙ‹ ·ÎfiÌË Î·È ·fi ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜. ∂ÈϤÔÓ, ÙÔÓ›˙ÂÙ·È Ë ÚÔÛˆÈÎfiÙËÙ· ÙˆÓ ÂÈÛÙËÌfiÓˆÓ, Ì ·Ó·ÊÔÚ¤˜ ÛÙȘ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈΤ˜, ÎÔÈÓˆÓÈΤ˜ Î·È ÈÛÙÔÚÈΤ˜ Û˘Óı‹Î˜ Ù˘ ÂÔ¯‹˜ ÙÔ˘˜. ¢È·‚¿˙ÔÓÙ·˜ ÁÈ· ÙË ˙ˆ‹ ÙÔ˘˜ –‹ ·ÎÚÈ‚¤ÛÙÂÚ· ÁÈ’ ·˘Ùfi Ô˘ ·ÔηÏԇ̠ÛÙ¿ÛË ˙ˆ‹˜– ÂÎÙfi˜ ·fi ÙËÓ ·fiÎÙËÛË Ó¤ˆÓ ÁÓÒÛˆÓ, ÈηÓÔÔÈÂ›Ù·È Ô Û˘Ó·ÈÛıËÌ·ÙÈÎfi˜ Ì·˜ ÎfiÛÌÔ˜ Î·È ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÔ‡ÓÙ·È ÚfiÙ˘·, Û ÌÈ· ÂÔ¯‹ Ô˘ ÙfiÛÔ Ì·˜ ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È.
32 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
à ∏ª∂π∞
E∫∞∆√ Xƒ√¡π∞ ∞¶√ ∆∏¡ A¡∞∫∞§Àæ∏ ∆√À P∞¢π√À TÔ˘ AÓ·ÛÙ¿ÛÈÔ˘ B¿Ú‚ÔÁÏË, K·ıËÁËÙ‹ OÚÁ·ÓÈ΋˜ XËÌ›·˜ ÙÔ˘ A.¶.£.
™
Ô˘‰·›· ÂÈÛÙËÌÔÓÈο ÁÂÁÔÓfiÙ· ÛËÌ¿‰Â„·Ó ÙÔ 1898: Ì ‰È·ÊÔÚ¿ Ï›ÁˆÓ ÌfiÓÔ ÌËÓÒÓ, ·Ó·Î·Ï‡ÊıËÎ·Ó Ù· ‰‡Ô ÚÒÙ· Ú·‰ÈÂÓÂÚÁ¿ ÛÙÔȯ›·, ÙÔ ÔÏÒÓÈÔ Î·È ÙÔ Ú¿‰ÈÔ. ◊Ù·Ó ÙÔ ÂÈÛÙ¤Á·ÛÌ· ÎÔÈ·ÛÙÈ΋˜ ÂÚÁ·Û›·˜ ‰‡Ô ¯ÚfiÓˆÓ, fiÔ˘ ÚˆÙ·ÁˆÓÈÛÙÈÎfi ÚfiÏÔ Â›¯Â Ì›· Ó·ڋ ¶Ôψӛ‰· Ô˘ ÂÎÔÓÔ‡Û ÙË ‰È‰·ÎÙÔÚÈ΋ Ù˘ ‰È·ÙÚÈ‚‹, Ë M·Ú›· ™ÎÏÔÓÙfi‚Ûη-KÈÔ˘Ú› ‹ M·ÓÙ¿Ì KÈÔ˘Ú›, fiˆ˜ ¤ÁÈÓ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ÁÓˆÛÙ‹. OÈ ÚˆÙfiÁÓˆÚ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ Ó¤ˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ η٤ÏËÍ·Ó ÙÔ˘˜ ÂÈÛÙ‹ÌÔÓ˜, ÂÓÒ Ë ÌÔÓ·‰È΋ ÚÔÛˆÈÎfiÙËÙ· Ù˘ M·ÓÙ¿Ì KÈÔ˘Ú› ‰ÂÓ ¿ÚÁËÛ ӷ Û˘Ó·Ú¿ÛÂÈ Ï‹ıË ÎfiÛÌÔ˘. H ÈÛÙÔÚ›· ·Ú¯›˙ÂÈ Ì ÌÈ· ¿ÏÏË ÛÔ˘‰·›· ·Ó·Î¿Ï˘„Ë, ÙË Ì˘ÛÙËÚÈÒ‰Ë ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏ›· ÂÓfi˜ ÔÚ˘ÎÙÔ‡ ÙÔ˘ Ô˘Ú·Ó›Ô˘, ÙÔ˘ ÈÛÛÔ˘Ú·Ó›ÙË, Ô˘ ÂÈÛ‹Ì·ÓÂ Ô °¿ÏÏÔ˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ Henri Becquerel, ÙÔ 1896. TÔ Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ ·Ó·Î·Ï‡ÊıËΠ·fi ¤Ó· Ù˘¯·›Ô ÁÂÁÔÓfi˜ Î·È ÔÓÔÌ¿ÛıËΠڷ‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ·. TÔÓ Î·ÈÚfi ÂΛÓÔ Ë M·ÓÙ¿Ì KÈÔ˘Ú› ›¯Â ÌfiÏȘ ÔÏÔÎÏËÚÒÛÂÈ ÙȘ ÛÔ˘‰¤˜ Ù˘ ÛÙË ™ÔÚ‚fiÓË. E›¯Â ¿ÚÂÈ Ì ¿ÚÈÛÙ· ‰‡Ô Ù˘¯›·, º˘ÛÈ΋˜ Î·È M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, ·ÏÏ¿ Ë ¤ÊÂÛ‹ Ù˘ ÁÈ· ¤Ú¢ӷ ÙËÓ ÒıËÛ Û οÙÈ ·Ú¿ÙÔÏÌÔ ÁÈ· ÙËÓ ÂÔ¯‹ Ù˘: Ó· ÂȉÈÒÍÂÈ ÙË Û˘Ó¤¯ÈÛË ÙˆÓ ÛÔ˘‰ÒÓ Ù˘ Ì ÙËÓ ÂÎfiÓËÛË ‰È‰·ÎÙÔÚÈ΋˜ ‰È·ÙÚÈ‚‹˜. H ÌÂϤÙË ÙÔ˘ Ê·ÈÓÔ̤ÓÔ˘ Ù˘ Ú·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ·ÔÙ¤ÏÂÛ ÙËÓ ÂÈÏÔÁ‹ Ù˘, Ì ÙËÓ ÂÓı¿ÚÚ˘ÓÛË Î·È Û˘Ì·Ú¿ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ Û˘˙‡ÁÔ˘ Ù˘ ¶ÈÂÚ KÈÔ˘Ú›, Ô˘ ‹Ù·Ó ‹‰Ë ‰fiÎÈÌÔ˜ Ê˘ÛÈÎfi˜. O KÈÔ˘Ú› ·Ó·ÁÓÒÚÈÛ ۇÓÙÔÌ· ÙÔ ÂӉȷʤÚÔÓ Ô˘ ·ÚÔ˘Û›·˙·Ó ÔÈ ¤Ú¢Ó˜ Ù˘ Û˘˙‡ÁÔ˘ ÙÔ˘ Î·È ·ÔÊ¿ÛÈÛ ӷ ÂÁηٷÏ›„ÂÈ ÙȘ ‰ÈΤ˜ ÙÔ˘ ¤Ú¢Ó˜, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ‚ÔËı‹ÛÂÈ ÛÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÙˆÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ Û˘Ó¯Ҙ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÔÓÙ·Ó. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ÙÔ ı¤Ì· Ô˘ ›¯Â ‰È·Ï¤ÍÂÈ Ë M·ÓÙ¿Ì KÈÔ˘Ú› ‹Ù·Ó ÚÔÎÏËÙÈÎfi Î·È ·ÚÔ˘Û›·˙ ÌÂÁ¿Ï˜ ‰˘ÛÎÔϛ˜, ·ÎÚÈ‚Ò˜ fï˜ ÁÈ’ ·˘Ùfi ¿ÍÈ˙ ӷ ÌÂÏÂÙËı›, ηıÒ˜ ÔÈ ÚÔÈÎÈṲ̂ÓÔÈ ÂÚ¢ÓËÙ¤˜ ÂÎχÔÓÙ·È ·fi Ù· ‰‡ÛÎÔÏ· ı¤Ì·Ù·. Afi ÙËÓ ·Ú¯‹ ¤ÁÈÓ ʷÓÂÚfi fiÙÈ Ë Ú·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ· ‰ÂÓ ÔÊÂÈÏfiÙ·Ó ÌfiÓÔ ÛÙÔ Ô˘Ú¿ÓÈÔ, ÂÂȉ‹ ·˘Ù‹ Ì ÙÔÓ Î·ı·ÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ÔÚ˘ÎÙÔ‡ ÌÂȈÓfiÙ·Ó. ŒÚÂÂ Û˘ÓÂÒ˜ Ó· Û˘Ó˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÔÈÔ Ó¤Ô ÛÙÔȯ›Ô, ÛÙÔ ÔÔ›Ô Î˘Ú›ˆ˜ ÔÊÂÈÏfiÙ·Ó Ë Ú·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ·. O ÚÒÙÔ˜ ÛÙfi¯Ô˜ ‹Ù·Ó ÏÔÈfiÓ Ë ·ÔÌfiÓˆÛË ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘. OÈ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ› ·Ê‹ÓÔ˘Ó Ó· ‰È·Ê·Ó› fiÙÈ ÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÔÚ˘ÎÙfi Û ·Ó·ÏÔÁ›· ÂÚ›Ô˘ 1%. ¶Ô‡ Ó· ‹ÍÂÚ·Ó fiÙÈ ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ‰‡Ô Ó¤· ÛÙÔȯ›· Ì ·Û‡ÁÎÚÈÙ· ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·ÚÔ˘Û›·: Ë ÂÚÈÂÎÙÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ Ú·‰›Ô˘ Â›Ó·È 0,000025% (¤Ó· ÁÚ·ÌÌ¿ÚÈÔ Û ٤ÛÛÂÚȘ ÙfiÓÓÔ˘˜) Î·È ÙÔ˘ ÔÏˆÓ›Ô˘ 2.500 ÊÔÚ¤˜ ÏÈÁfiÙÂÚË! AÏ‹ıÂÈ·, ı· ÂȯÂÈÚÔ‡Û·Ó ¿Ú·Á ÙËÓ ·ÔÌfiÓˆÛË ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ, ·Ó ‹ÍÂÚ·Ó Ì ÙÈ ›¯ÓË Â›¯·Ó Ó· ·Ï¤„Ô˘Ó; ŸÏË Ë ÌÂÙ¤ÂÈÙ· ÚÔÛ¿ıÂÈ¿ ÙÔ˘˜ Ì·˜ ›ıÂÈ fiÙÈ Ó·È, ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ·ÓÙÈÍÔfiÙËÙ· ı· ÙËÓ ÍÂÂÚÓÔ‡Û·Ó, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÂÙ‡¯Ô˘Ó ÙÔ ÛÙfi¯Ô ÙÔ˘˜. H ›ÔÓË ‰È·‰Èηۛ· Ù˘ ·ÔÌfiÓˆ-
Û˘ ÙÔ˘ Ú·‰›Ô˘, fiÙ·Ó Ë ÈÛÙÔÚ›· ¤ÁÈÓ ¢ڇÙÂÚ· ÁÓˆÛÙ‹, ¤Î·Ó ÙÔ BÏ·ÓÙÈÌ›Ú M·ÁÈ·Îfi‚ÛÎÈ Ó· ÙËÓ ·ÚÔÌÔÈÒÛÂÈ Ì ÙËÓ Ô›ËÛË, fiÔ˘: …ÁÈ· ÌÈ· ÌfiÓÔ Ï¤ÍË ÏÈÒÓÂȘ ¯ÈÏÈ¿‰Â˜ ÙfiÓÓÔ˘˜ ÁψÛÛÈÎfi ÌÂÙ¿ÏÏÂ˘Ì·. OˆÛ‰‹ÔÙÂ, ‹Ù·Ó ÌÈ· ‰‡ÛÎÔÏË ÂÔ¯‹ ÁÈ· ÙËÓ ¤Ú¢ӷ, ¯ˆÚ›˜ ˘ÔÙÚÔʛ˜ Ô‡Ù ÔÈÎÔÓÔÌÈ΋ ÂÓ›Û¯˘ÛË ÁÈ· ÂÍÔÏÈÛÌfi Î·È ·Ó·ÏÒÛÈÌ·. H M·Ú›· ÂÚÁ·˙fiÙ·Ó ·ÌÈÛı› Î·È Ô ¶ÈÂÚ Â›¯Â ¤Ó· ̤ÙÚÈÔ ÌÈÛıfi ·ÓÂÈÛÙËÌÈ·ÎÔ‡. ŸÏ· Ù· ¤ÍÔ‰· ¤Ú ӷ ÏËÚÒÓÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ˘ÛÙ¤ÚËÌ¿ ÙÔ˘˜. O ¯ÒÚÔ˜ Ô˘ ÙÔ˘˜ ›¯Â ‰È·ÙÂı› ÁÈ· ÂÚÁ·ÛÙ‹ÚÈÔ ‹Ù·Ó ÌÈ· ·Ú¿Áη Ì ¯ˆÌ¿ÙÈÓÔ ‰¿Â‰Ô. ŸÙ·Ó ¤‚Ú¯Â, ¤ÛÙ·˙ ÓÂÚ¿ Î·È ÙÔ ¯ÂÈÌÒÓ· Ë ÌÈÎÚ‹ ÛfiÌ· ‰ÂÓ ·ÚÎÔ‡Û ÁÈ· Ó· ÁÏ˘Î¿ÓÂÈ ÙËÓ ·ÁˆÓÈ¿. °È· ηϋ ÙÔ˘˜ Ù‡¯Ë, fiÙ·Ó ·Ú¿ÁÁÂÈÏ·Ó ¤Ó·Ó ÙfiÓÓÔ ÈÛÛÔ˘Ú·Ó›ÓË ·fi Ù· ÔÚ˘¯Â›· Ù˘ BÔËÌ›·˜, Ë ‰È‡ı˘ÓÛË Ù˘ Âȯ›ÚËÛ˘ ÙÔ˘˜ Ù· ‰È¤ıÂÛ ‰ˆÚÂ¿Ó Î·È ÂÈ‚·Ú‡ÓıËÎ·Ó ÌfiÓÔ Ì ٷ ÌÂÙ·ÊÔÚÈο. H ¿ÏÈ ÙˆÓ ¯ËÌÈÎÒÓ Ì ÙËÓ ‡ÏË ¤¯ÂÈ Û˘Ó‹ıˆ˜ ÌÂÙ·ÊÔÚÈ΋ ¤ÓÓÔÈ·, fï˜ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ù˘ M·ÓÙ¿Ì KÈÔ˘Ú› ÂÚfiÎÂÈÙÔ ÁÈ· ΢ÚÈÔÏÂÍ›·. H ÙÂÚ¿ÛÙÈ· ÔÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÌÂÙ·Ïχ̷ÙÔ˜ ¤Ú ӷ ˘ÔÛÙ› ÚÔηٷÚÎÙÈ΋ ÂÂÍÂÚÁ·Û›· ·fi ÙËÓ ›‰È·, Û η˙¿ÓÈ· Ô˘ ¤ÛÙËÓ ÛÙËÓ ·˘Ï‹ ÙÔ˘ ÂÚÁ·ÛÙËÚ›Ô˘. H ¯ÂÈÚˆÓ·ÎÙÈ΋ ÂÚÁ·Û›· ‹Ù·Ó ÎÔÈ҉˘ Î·È Î·ÓÔÓÈο ı· ¤Ú ӷ ÁÈÓfiÙ·Ó ·fi ÂÚÁ¿ÙË. K·ıÒ˜ fï˜ ‰ÂÓ ˘‹Ú¯Â ÙÚfiÔ˜ Ó· ÏËÚˆı› ÚÔÛˆÈÎfi, fiÏ· ÂÚÓÔ‡Û·Ó ·fi Ù· ¯¤ÚÈ· Ù˘. AÚÁfiÙÂÚ·, fiÙ·Ó ‚ÂÏÙȈıÔ‡Ó Ù· ÔÈÎÔÓÔÌÈο ÙÔ˘˜, ı· ÚÔÛÏ¿‚Ô˘Ó ‚ÔËıfi Ì ‰Èο ÙÔ˘˜ ¤ÍÔ‰·. AÍ›˙ÂÈ Ó· ÛËÌÂȈı› Â‰Ò Ë ¯ÂÈÚÔÓÔÌ›· Ô˘ ¤Î·ÓÂ Ë M·ÓÙ¿Ì KÈÔ˘Ú› ÌfiÏȘ ΤډÈÛ ٷ ÚÒÙ· Ù˘ ¯Ú‹Ì·Ù·. K·Ù¿ ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· ÙˆÓ ÛÔ˘‰ÒÓ Ù˘ ›¯Â ÌÈ· ÌÈÎÚ‹ ˘ÔÙÚÔÊ›· ·fi ÙËÓ ¶Ôψӛ·. EÂȉ‹ ÙËÓ Â›¯Â ıˆڋÛÂÈ ˆ˜ ‰¿ÓÂÈÔ ÙÈÌ‹˜, Ì ÙËÓ ÚÒÙË Â˘Î·ÈÚ›· ¤Û¢Û ӷ ÂÈÛÙÚ¤„ÂÈ Ù· ¯Ú‹Ì·Ù·, ÒÛÙ ӷ ˆÊÂÏËı› οÔÈÔ˜ ·ÎfiÌË ÊÔÈÙËÙ‹˜. T· ÚÒÙ· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Î·È Ë ·Ó·ÎÔ›ÓˆÛË Ù˘ ·Ó·Î¿Ï˘„˘ ÙˆÓ Ó¤ˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ¤ÁÈÓ·Ó Ì ÂÏ¿¯ÈÛÙ˜ ÔÛfiÙËÙ˜ Ô˘ ‰ÂÓ ‹Ù·Ó Î·Ó ÔÚ·Ù¤˜. ŸÌˆ˜ ÔÈ ·Ô‰Â›ÍÂȘ Ù˘ ·ÚÔ˘Û›·˜ ÙÔ˘˜ ‹Ù·Ó ·Î·Ù·Ì¿¯ËÙ˜ ηÈ, Û ·ÓÙ›ıÂÛË Ì ¿ÏϘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ, ‰ÂÓ ˘‹ÚÍ·Ó ·ÓÙÈÚÚ‹ÛÂȘ ·fi ÙËÓ ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ ÎÔÈÓfiÙËÙ·. ŸÙ·Ó ÂÈÙ¤ÏÔ˘˜, Ù¤ÛÛÂÚ· ¯ÚfiÓÈ· ·ÚÁfiÙÂÚ·, ¤ÁÈÓÂ Ë ·ÔÌfiÓˆÛË ÙÔ˘ Ú·‰›Ô˘ Û ۯÂÙÈο ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ˜ ÔÛfiÙËÙ˜ –¤Ó· ‰¤Î·ÙÔ ÙÔ˘ ÁÚ·ÌÌ·Ú›Ô˘– ÌÂÙÚ‹ıËÎ·Ó Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ· ‰È¿ÊÔÚ˜ ȉÈfiÙËÙ¤˜ ÙÔ˘. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë Ú·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ¿ ÙÔ˘ ‹Ù·Ó ‰‡Ô ÂηÙÔÌ̇ÚÈ· ÊÔÚ¤˜ ÈÛ¯˘ÚfiÙÂÚË ·fi ÂΛÓË ÙÔ˘ Ô˘Ú·Ó›Ô˘. Ÿˆ˜ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Ì fiÏ· Ù· Ú·‰ÈÂÓÂÚÁ¿ ÛÙÔȯ›·, ÙÔ Ú¿‰ÈÔ Î·Ù¿ ÙËÓ ·Ú·ÌÔÓ‹ ÙÔ˘ ÂÎχÂÈ ıÂÚÌfiÙËÙ· Î·È ÌÂÙ·ÛÙÔȯÂÈÒÓÂÙ·È Û ¿ÏÏ· Ú·‰ÈÂÓÂÚÁ¿ ÛÙÔȯ›·, ÛÙ· ÔÔ›· Û˘ÁηٷϤÁÂÙ·È Î·È ÙÔ Ôχ ÂÈΛӉ˘ÓÔ ·¤ÚÈÔ Ú·‰fiÓÈÔ. TÂÏÈο, ÌÂÙ¿ ·fi ·ÚÎÂÙ¿ ÂηÙÔÌ̇ÚÈ· ¯ÚfiÓÈ·, ÙÔ Ú¿‰ÈÔ ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È ÛÙÔ ÌË Ú·‰ÈÂÓÂÚÁfi ÌfiÏ˘‚‰Ô. H ·ÏÏËÏ›‰Ú·ÛË Ù˘ ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏ›·˜ ÙÔ˘ Ú·‰›Ô˘ Ì ÙËÓ ‡ÏË ·Ú¿ÁÂÈ ÂӉȷʤÚÔÓÙ· Ê·ÈÓfiÌÂÓ·, fiˆ˜ ÙËÓ ·ÔÛ‡ÓıÂÛË ÙÔ˘ ÓÂÚÔ‡ (Ú·‰ÈfiÏ˘ÛË) Î·È ÙÔ ÊˆÛÊÔÚÈÛÌfi. ™ÙËÓ ÚÒÙË ·fi ÙȘ ÔÎÙÒ ‚ÈÔÁڷʛ˜ Ù˘ M·ÓÙ¿Ì KÈÔ˘Ú›, ÁÚ·Ì̤ÓË ·fi ÙËÓ ÎfiÚË Ù˘ E‡·, ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È Ë ·ÎfiÏÔ˘ıË ˘Ô‚ÏËÙÈ΋ ÛÎËÓ‹. MÈ· Ó‡¯Ù·,
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
33
E ∫∞∆√ X ƒ√¡π∞
∞¶√ ∆∏¡
A ¡∞∫∞§Àæ∏
∆√À
P ∞¢π√À
ÛÙÈÎÔ‡˜ ÛÎÔÔ‡˜. ŒÙÛÈ, ÔÚÁ·ÓÒÓÂÈ ÎÈÓËÙ¤˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ Ô˘ ÂÈÛÚˆÁ̤ÓÔÈ ·fi ÌÈ· ·Î·Ù·Ó›ÎËÙË ·ÚfiÚÌËÛË, ÔÈ KÈÔ˘Ú› ÂÈÛΤÙÔÓÙ·È Ù· ÓÔÛÔÎÔÌ›· ÛÙÔ Ì¤ÙˆÔ, ÌÂ Û˘ÌÌÂÙÔ¯‹ Ù˘ ›‰È·˜ ÛΤÙÔÓÙ·È ÙÔ ÂÚÁ·ÛÙ‹ÚÈfi ÙÔ˘˜. K·ıÒ˜ ·ÓÔ›ÁÔ˘Ó ÙËÓ fiÚÙ·, Î·È Ù˘ ÎfiÚ˘ Ù˘ IÚ¤Ó. AÎfiÌË, ı· ‰ÒÛÂÈ ÛÙÔ ÎÚ¿ÙÔ˜ Ù· ¯Ú‹Ì··ÓÙÈÎÚ›˙Ô˘Ó ¤Ó· Ì·Á¢ÙÈÎfi ı¤·Ì·: ̤۷ ÛÙÔ ÛÎÔÙ¿‰È, ÔÈ ÔχÙÈÙ· Ô˘ Ù˘ ›¯·Ó ·ÔÌ›ÓÂÈ ·fi ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ‚Ú·‚Â›Ô NÔÌ¤Ï ÁÈ· ̘ Ú·‰ÈÔ‡¯Â˜ Ô˘Û›Â˜ ÙÔ˘˜, ÙÔÔıÂÙË̤Ó˜ Û ÌÔ˘Î·Ï¿ÎÈ·, ›ÙȘ ÔÏÂÌÈΤ˜ ·Ó¿ÁΘ. ¶ÚÔÛʤÚÂÈ ·ÎfiÌË Î·È Ù· ÌÂÙ¿ÏÏÈ¿ Ù˘, Ó·È ·Ú·‰È·Ṳ̂Ó˜ ¿Óˆ Û ڿÊÈ· Î·È ÙÚ·¤˙È· Î·È Ï¿ÌÔ˘Ó ÔÈ ·˘Ù¿ fï˜ ‰Â ı· Á›ÓÔ˘Ó ‰ÂÎÙ¿. ʈÛÊÔÚ›˙Ô˘Û˜ Á·Ï·˙ˆ¤˜ ÛÈÏÔ˘¤Ù˜ ÙÔ˘˜, ÌÔÈ¿˙ÔÓÙ·˜ Û·Ó Ó· O fiÏÂÌÔ˜ οÔÙ ÙÂÏÂÈÒÓÂÈ Î·È ÔÈ ¤Ú¢Ó˜ Í·Ó·Ú¯›˙Ô˘Ó. H ·ÈˆÚÔ‡ÓÙ·È. M·ÓÙ¿Ì KÈÔ˘Ú› ¤¯ÂÈ ÙÒÚ· ·˘ÍË̤Ó˜ ‰ÈÔÈÎËÙÈΤ˜ ¢ı‡Ó˜, ÛÙȘ O ʈÛÊÔÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ Ú·‰›Ô˘ Á›ÓÂÙ·È ÈÔ ¤ÓÙÔÓÔ˜, fiÙ·Ó Ë Ôԛ˜ ·ÓÙ·ÔÎÚ›ÓÂÙ·È Ì ÂÈÙ˘¯›·. H ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ Ù˘ ‰Ú··ÎÙÈÓÔ‚ÔÏ›· ÂȉڿÛÂÈ Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ ηٿÏÏËϘ Ô˘Û›Â˜. ™ÙËÓ ÛÙËÚÈfiÙËÙ· ‚Ú›ÛÎÂÈ ·‹¯ËÛË Î·È ÛÙËÓ AÌÂÚÈ΋, fiÔ˘ ‰ÈÔÚÁ··Ú¯‹ ·˘Ù‹ ‚·Û›ÛÙËÎ·Ó Ù· ÚÔÏfiÁÈ· Ì ʈÛÊÔÚ›˙ÔÓÙ˜ ‰Â›ÎÙ˜. ÓÒÓÂÙ·È ¤Ó·˜ ÌÂÁ¿ÏÔ˜ ¤Ú·ÓÔ˜ ÁÈ· Ó· ‰ˆÚËı› ÛÙÔ ÿ‰Ú˘Ì· ¤Ó· H ÈÔ ÂӉȷʤÚÔ˘Û· ‰Ú¿ÛË ÙÔ˘ Ú·‰›Ô˘ ‹Ù·Ó fï˜ Ë Î·Ù·ÁÚ·ÌÌ¿ÚÈÔ Ú·‰›Ô˘. AÎÔÏÔ˘ı› ÌÈ· ÂÚÈԉ›·, ηٿ ÙËÓ ÔÔ›· ÛÙÚÔÊ‹ ·fi ÙËÓ ¤ÓÙÔÓË ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏ›· ÙÔ˘ ÙˆÓ ˙ˆ˚ÎÒÓ ÈÛÙÒÓ, Ì ÂÈÛΤÙÂÙ·È ÔÏϤ˜ AÌÂÚÈηÓÈΤ˜ fiÏÂȘ Î·È ·Ó·ÎËÚ‡ÛÛÂÙ·È ·˘ÍË̤ÓË ·ÔÙÂÏÂÛÌ·ÙÈÎfiÙËÙ· ÁÈ· Ù· ηÚÎÈÓÈο ·ÙÙ·Ú·. ™ÙȘ ¢ÂÚÁ¤ÙÚÈ· ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÈÓÔ˘ Á¤ÓÔ˘˜. TÔ˘˜ AÌÂÚÈηÓÔ‡˜ Û˘ÁÎÈÓ› ÚÒÙ˜ ıÂڷ›˜ ÙÔ˘ ηÚΛÓÔ˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËΠˆ˜ ËÁ‹ ڷȉȷ›ÙÂÚ· Ë ÛÙ¿ÛË ˙ˆ‹˜ Ù˘ ‰È¿ÛËÌ˘ ÂÈÛÙ‹ÌÔÓÔ˜: Ë ÂÚÈÊÚfi‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÙÔ Ú¿‰ÈÔ, ÚÔÙÔ‡ ·ÓÙÈηٷÛÙ·ı› ·fi ÙÔ Ôχ ÊıËÓËÛË ÚÔ˜ ÙË ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ ¯Ú‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ù· ˘ÏÈο ·Á·ı¿, Ë ·ÊÔÓfiÙÂÚÔ Ù¯ÓËÙfi Ú·‰ÈÂÓÂÚÁfi ÎÔ‚¿ÏÙÈÔ. °È· οÔÈÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ›ۛˆÛË Û ¤Ó· ÓÂ˘Ì·ÙÈÎfi ¿ıÔ˜, Ô fiıÔ˜ ÁÈ· ÙËÓ Â͢ËÚ¤ÙËÛË ¯·Ó ΢ÎÏÔÊÔÚ‹ÛÂÈ Î·È Ú·‰ÈÔ‡¯Â˜ Îڤ̘ ˆ˜ ηÏÏ˘ÓÙÈο! ¢˘ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘. OÈ ÂΉËÏÒÛÂȘ Ï·ÙÚ›·˜ Êı¿ÓÔ˘Ó Û ÛËÌÂ›Ô ˘ÛÙÂÛÙ˘¯Ò˜, ÂÎÙfi˜ ·fi ıÂڷ¢ÙÈÎfi, ÙÔ Ú¿‰ÈÔ Â›Ó·È Â›Û˘ ηÚÎÈÚ›·˜, ¯ˆÚ›˜ Ë ›‰È· Ó· ÂËÚ·ÛÙ›, ·Ú¿ ÌfiÓÔ Ó· ÎÔ˘Ú·ÛÙ›. ™Â ÓÔÁfiÓÔ. TÔÓ ÚÒÙÔ Î·ÈÚfi ‰ÂÓ Â›¯·Ó ÂÎÙÈÌËı› ÛˆÛÙ¿ ÔÈ Î›Ó‰˘ÓÔÈ ÌÂÚÈΤ˜ ÙÂÏÂÙ¤˜ fiÔ˘ ·Ó·ÁÔÚ‡ÂÙ·È Â›ÙÈÌÔ˜ ‰È‰¿ÎÙˆÚ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·fi ÙËÓ ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏ›·, Ì ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙËÓ ÚfiÎÏËÛË Î·ÚΛÓÔ˘ Û ı¤ÛË Ó· ·Ú·ÛÙ› Î·È ·Ó·Ï·Ì‚¿ÓÂÈ Ó· ÙËÓ ·ÓÙÈÚÔۈ‡ÛÂÈ Û ÔÏÏÔ‡˜ ÂÚ¢ÓËÙ¤˜. H M·ÓÙ¿Ì KÈÔ˘Ú›, Ë ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÎfiÚË ÌÈ· ·fi ÙȘ ÎfiÚ˜ Ù˘. Ÿˆ˜ ı· ¤ÏÂÁ ·ÚÁfiÙÂÚ· Ô Einstein, «Ë Ù˘ IÚ¤Ó Î·È ¿ÏÏÔÈ ˘‹ÚÍ·Ó ı‡Ì·Ù· ·˘Ù‹˜ Ù˘ ¿ÁÓÔÈ·˜. M·ÓÙ¿Ì KÈÔ˘Ú› Â›Ó·È ÙÔ ÌfiÓÔ ·fi Ù· ¤Ó‰ÔÍ· Ï¿ÛÌ·Ù· Ô˘ Ë H ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Ù˘ ‰È‰·ÎÙÔÚÈ΋˜ ‰È·ÙÚÈ‚‹˜ Ù˘ M·ÓÙ¿Ì KȉfiÍ· ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ‰È·Êı›ÚÂÈ». Ô˘Ú› ¿ÚÁËÛ ·ÚÎÂÙ¿, ·ÊÔ‡ ÔÏÔÎÏËÚÒıËΠÌfiÏȘ ÙÔ 1903. TËÓ T· ¯ÚfiÓÈ· Ô˘ ·ÎÔÏÔ‡ıËÛ·Ó ‹Ù·Ó ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÈο, ·ÏÏ¿ Ù· ›‰È· fï˜ ¯ÚÔÓÈ¿ ÙÈÌ‹ıËΠ̠ÙÔ ‚Ú·‚Â›Ô NÔÌ¤Ï º˘ÛÈ΋˜ Ì·˙› ÂÍÂȉÈÎÂ˘Ì¤Ó· ÂÈÛÙËÌÔÓÈο Ù˘ ÂÈÙ‡ÁÌ·Ù· ‰ÂÓ ÚÔÛʤÚÔÓÙ·È Ì ÙÔ Û‡˙˘Áfi Ù˘ Î·È ÙÔÓ Becquerel. H ·Ó·fiÊ¢ÎÙË ‰ËÌÔÛÈfiÁÈ· ·Ó·ÊÔÚ¿. OÈ ÙÈ̤˜ Û˘Ó¯›ÛÙËÎ·Ó Î·È ‹Ù·Ó Ë ÚÒÙË Á˘Ó·›Î· ÙËÙ· ‹Ù·Ó Ôχ ÈÔ ¤ÓÙÔÓË ·fi fi,ÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Û‹ÌÂÚ· Î·È ÁÈ· ¤Ó· Ô˘ ÂÍÂϤÁË Aη‰ËÌ·˚Îfi˜ ÛÙË ‰‡ÛÎÔÏË °·ÏÏÈ΋ Aη‰ËÌ›·, ¯ˆ‰È¿ÛÙËÌ· ÂÈ‚Ú·‰‡ÓıËÎ·Ó ÔÈ Ú˘ıÌÔ› ÂÚÁ·Û›·˜ ÙÔ˘˜. H M·Ú›· Ú›˜ Ì¿ÏÈÛÙ· Ó· οÓÂÈ ÙȘ ηıÈÂڈ̤Ó˜ ÂÈÛΤ„ÂȘ ÛÙÔ˘˜ ÂÎϤ·Ú·ÔÓȤٷÈ: «OÈ ÙÈ̤˜ Î·È Ë ‰fiÍ· ¤¯Ô˘Ó ÂÓÙÂÏÒ˜ ¯·ÓÙ·ÎÒÛÂÈ ÎÙÔÚ¤˜ Ù˘. O ı¿Ó·Ùfi˜ Ù˘ ÚÔ‹Ïı ·fi Ï¢¯·ÈÌ›·, ÙÔ 1934, Û ÙË ˙ˆ‹ Ì·˜», ÂÓÒ Ô ¶ÈÂÚ Â›Ó·È ÈÔ ·fiÏ˘ÙÔ˜: «OÓÂÈÚ‡ÔÌ·È ¤Ó·Ó ËÏÈΛ· 67 ÂÙÒÓ. ¶ÚÈÓ Ï›Á· ¯ÚfiÓÈ· ÁÓÒÚÈÛÂ Î·È ÌÈ· ÌÂÙ·ı·Ó¿ÙÈ· ÙÈÙfiÔ, fiÔ˘ Ó· ··ÁÔÚ‡ÔÓÙ·È ÔÈ ‰È·Ï¤ÍÂȘ, Î·È ÔÈ ‰ËÌÔÛÈÔÁÚ¿Ì‹: ˘‹ÚÍÂ Ë ÚÒÙË Á˘Ó·›Î·, Ù· ÔÛÙ¿ Ù˘ ÔÔ›·˜ ÌÂٷʤÚıËÊÔÈ Ó· Â›Ó·È ˘fi ‰ÈˆÁÌfi». ¶·ÚfiÏÔ Ô˘ ÙÔ ‰ÈηÈÔ‡ÓÙ·È, ·ÚÓÔ‡Î·Ó ÛÙÔ ¶¿ÓıÂÔ, Î·È ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÙÒÚ· Ì·˙› Ì ÂΛӷ ÙˆÓ ÂÈÊ·ÓÙ·È Ó· ¿ÚÔ˘Ó ‰›ÏˆÌ· ¢ÚÂÛÈÙ¯ӛ·˜ ÁÈ· ÙË ‰È·‰Èηۛ· ·ÔÓ¤ÛÙÂÚˆÓ °¿ÏψÓ. ÌfiÓˆÛ˘ ÙÔ˘ Ú·‰›Ô˘, ÂÂȉ‹ ÈÛÙÂ‡Ô˘Ó fiÙÈ ·˘Ùfi ı· ‹Ù·Ó ·ÓÙ›◆ ıÂÙÔ ÚÔ˜ ÙÔ ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎfi Ó‡̷. K¿ÔÙ ٷ ÊÒÙ· Ù˘ ‰ËÌÔÛÈfiÙËÙ·˜ ÛÙÚ¤ÊÔÓÙ·È ·ÏÏÔ‡ Î·È ÔÈ KÈÔ˘Ú› ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Û˘Ó¯›ÛÔ˘Ó ·ÂÚ›Û·ÛÙÔÈ ÙȘ ¤Ú¢Ӥ˜ ÙÔ˘˜, ηıÒ˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÏÏ¿ ·ÎfiÌË ÂӉȷʤÚÔÓÙ· ı¤Ì·Ù· ÁÈ· ‰ÈÂÚ‡ÓËÛË. H M·Ú›· ¤¯ÂÈ ÙÒÚ· ‰ÈÔÚÈÛÙ› ÂÈÌÂÏ‹ÙÚÈ· Î·È Ô ¶ÈÂÚ ¤¯ÂÈ ÂÎÏÂÁ› ηıËÁËÙ‹˜. •·ÊÓÈο fï˜ ¤Ú¯ÂÙ·È Ô ı¿Ó·ÙÔ˜, ·fi ÌÈ· ¿Ì·Í· Ô˘ ·Ú·Û‡ÚÂÈ ÙÔÓ ¶ÈÂÚ, ÙÔ 1906. AÎÔÏÔ˘ı› ÁÈ· ÙË M·Ú›· ÌÈ· ÂÚ›Ô‰Ô˜ ÂÚÈÛ˘ÏÏÔÁ‹˜ Î·È ·ÊÔÛ›ˆÛ˘ ÛÙȘ ÎfiÚ˜ Ù˘. ŸÙ·Ó Ù˘ ÚÔÙ›ÓÔ˘Ó ÌÈ· ÙÈÌËÙÈ΋ Û‡ÓÙ·ÍË ·ÚÓȤٷÈ, ı· ‰Â¯ı› fï˜ ÙËÓ ÂÎÏÔÁ‹ Ù˘ ˆ˜ ηıËÁ‹ÙÚÈ·˜, ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ¶ÈÂÚ. ◊Ù·Ó Ë ÚÒÙË Î·ıËÁ‹ÙÚÈ· ÛÙË °·ÏÏ›· Î·È ›Ûˆ˜ Û fiÏÔ ÙÔÓ ÎfiÛÌÔ. Afi ÙË ı¤ÛË ·˘Ù‹ ı· Û˘Ó¯›ÛÂÈ Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ˙‹ÏÔ ÙË ‰ÈÂÚ‡ÌËÛË ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙÔ˘ Ú·‰›Ô˘, ÒÛÙ Û ϛÁ· ¯ÚfiÓÈ·, ÙÔ ∏ Á·ÏÏÈ΋ ΢‚¤ÚÓËÛË Ù›ÌËÛ ÚfiÛÊ·Ù· ÙÔ ˙‡˙Ô˜ ∫ÈÔ˘Ú› Ì ÙË ¤Î‰ÔÛË ÙÔ˘ ·Ú·¿Óˆ ¯·ÚÙÔÓÔÌ›ÛÌ·ÙÔ˜ ÙˆÓ 500 ÊÚ¿ÁΈÓ. 1910, ‚Ú·‚‡ÂÙ·È Î·È ¿ÏÈ Ì ÙÔ ‚Ú·‚Â›Ô NÔÌ¤Ï XËÌ›·˜ ÁÈ’ ·˘Ù¤˜ ÙȘ Ӥ˜ ¤Ú¢Ó˜. EÓ Ùˆ ÌÂٷ͇, ¤¯ÂÈ Û˘ÁÎÂÓÙÚÒÛÂÈ ¤Ó· ÔÏfiÎÏËÚÔ ÁÚ·ÌÌ¿ÚÈÔ Ú·‰›Ô˘, Ô˘ ·ÔÙÂÏ› ÚÔÛˆÈ΋ Ù˘ ÂÚÈÔ˘Û›·. ¶·ÚfiÏÔ Ô˘ Ë ·Í›· ÙÔ˘ Â›Ó·È ÙÂÚ¿ÛÙÈ·, Î·È ı· ÌÔÚÔ‡Û ӷ ÙÔ Ô˘Ï‹ÛÂÈ, ‰Â ‰ÈÛÙ¿˙ÂÈ Ó· ÙÔ ‰ˆÚ›ÛÂÈ ÛÙÔ ÂÚÁ·ÛÙ‹ÚÈÔ. A˘Ùfi ÙÔ Ú¿‰ÈÔ ı· ηٷϋÍÂÈ ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÛÙÔ IÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ P·‰›Ô˘, ¤Ó· ›‰Ú˘Ì· Ì ÂÚ¢ÓËÙÈÎÔ‡˜ Î·È ıÂڷ¢ÙÈÎÔ‡˜ ÛÎÔÔ‡˜ Ô˘ ›‰Ú˘ÛÂ Ë °·ÏÏÈ΋ ΢‚¤ÚÓËÛË, Ì ‰È¢ı‡ÓÙÚÈ· ÙË M·ÓÙ¿Ì KÈÔ˘Ú›. T· ¯ÚfiÓÈ· Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó ÛËÌ·‰Â‡ÂÈ Ô ¶ÚÒÙÔ˜ ¶·ÁÎfiÛÌÈÔ˜ ¶fiÏÂÌÔ˜. H M·ÓÙ¿Ì KÈÔ˘Ú› Â›Ó·È ‹‰Ë 47 ÂÙÒÓ, ·ÏÏ¿ ÛÙÚ·Ù‡ÂÙ·È Ì ÂÓıÔ˘ÛÈ·ÛÌfi ÁÈ· ÙËÓ ÎÔÈÓ‹ ˘fiıÂÛË. H ÂÌÂÈÚ›· Ù˘ Ì ÙȘ ·ÎÙÈÓÔ‚Ôϛ˜ ÙËÓ Î¿ÓÂÈ Ó· ∏ ¿ÏÏË fi„Ë ÙÔ˘ ¯·ÚÙÔÓÔÌ›ÛÌ·ÙÔ˜ ¤¯ÂÈ Â›Û˘ ¯ËÌÈÎfi ¯·Ú·ÎÙ‹Ú·. ÚԂϤ„ÂÈ ÙË ¯ÚËÛÈÌfiÙËÙ· ÙˆÓ ·ÎÙ›ÓˆÓ X ÁÈ· ‰È·ÁÓˆ-
34
∆Ô ¿ÚıÚÔ ·˘Ùfi Â›Ó·È ÌÈ· Û˘Ì‡ÎÓˆÛË ·fi ÙË ‚ÈÔÁÚ·Ê›· Ù˘ ª·ÓÙ¿Ì ∫ÈÔ˘Ú›, Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ Û˘ÁÁڷʤ· «ªÂÁ¿ÏÔÈ ÃËÌÈÎÔ›: ∏ ÃÚ˘Û‹ ∂Ô¯‹», ∂ΉfiÛÂȘ ∑∏∆∏
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
B π√§√°π∞
∂ƒø∆∏™∂π™ µπ√§√°π∞™ T˘ ƒ. °Î·ÓÙÛ›‰Ô˘, µÈÔÏfiÁÔ˘
¶ÔÈÔ˜ Ô BÈÔÏÔÁÈÎfi˜ ÚfiÏÔ˜ ÙˆÓ Û˘Ì‚ÈˆÙÈÎÒÓ ‚·ÎÙËÚ›ˆÓ; A¿ÓÙËÛË: ñ ™Â ÔÚÈṲ̂ӷ „¿ÚÈ·, fiˆ˜ Â›Ó·È ÙÔ Photoblepharon Û˘Ì‚ÈÔ‡Ó ÊˆÛÊÔÚ›˙ÔÓÙ· ‚·ÎÙ‹ÚÈ· ÛÙ· ÔÔ›· ·Ú·ÙËÚÂ›Ù·È ÙÔ Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ ÙÔ˘ ‚ÈÔʈÙÈÛÌÔ‡. TÔ Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ ÙÔ˘ ‚ÈÔʈÙÈÛÌÔ‡ Â›Ó·È Û¯ÂÙÈÎfi Ì ÙËÓ ·ÂÚfi‚È· ΢ÙÙ·ÚÈ΋ ·Ó·ÓÔ‹. ™ÙÔ ‚ÈÔʈÙÈÛÌfi ̤ÚÔ˜ Ù˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ Ô˘ ÚÔ¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ·ÂÚfi‚È· ·Ó·ÓÔ‹ ¯ÚËÛÈ̇ÂÈ ÁÈ· ÙË ‰È¤ÁÂÚÛË Î·Ù¿ÏÏËÏÔ˘ ÌÔÚ›Ô˘, ÙÔ ÔÔ›Ô ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ·ӤگÂÙ·È ÛÙËÓ Î·ÓÔÓÈ΋ ÙÔ˘ ηٿÛÙ·ÛË ÂΤÌÔÓÙ·˜ ¤Ó· ʈÙfiÓÈÔ (οÙÈ ‰ËÏ·‰‹ ·Ó¿ÏÔÁÔ Ì ÙÔ ¯ËÌÂÈÔʈÛÊÔÚÈÛÌfi). T· Û˘Ì‚ÈˆÙÈο ‚·ÎÙ‹ÚÈ· ÛÙÔ Photoblepharon ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ηٿÏÏËÏÔ «Û·Î›‰ÈÔ» οو ·’ ÙÔ Ì¿ÙÈ. TÔ ÊˆÙÂÈÓfi Û‹Ì· Á›ÓÂÙ·È ÔÚ·Ùfi ÛÙÔ ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓ ¯¿ÚË Û’ ¤Ó· «‚ϤʷÚÔ» Ô˘ ‰È·ı¤ÙÂÈ Ô ÔÚÁ·ÓÈÛÌfi˜ ·˘Ùfi˜ Î·È ÙÔ ÔÔ›Ô ÌÔÚ› Ó· ·ÓÔÈÁÔÎÏ›ÓÂÈ Î·Ù¿ ‚Ô‡ÏËÛË. ™ÙÔ Photoblepharon ·ÏÏ¿ Î·È Û’ ¿ÏÏ· „¿ÚÈ· ÙˆÓ ‚·ıÈÒÓ ÓÂÚÒÓ, Ô ‚ÈÔʈÙÈÛÌfi˜ ÌÔÚ› Ó· ·›ÍÂÈ ÚfiÏÔ ‰ÔÏÒÌ·ÙÔ˜ ηıÒ˜ ÙÔ ÊˆÙÂÈÓfi Û‹Ì· «‚Ú›ÛÎÂÙ·È» Û ÛËÌÂ›Ô ÎÔÓÙ¿ ÛÙÔ ÛÙfiÌ· ÙÔ˘˜ ÔfiÙ ÚÔÛÂÏÎ‡Ô˘Ó Ì’ ·˘Ùfi ÙÔÓ ÙÚfiÔ ÙË Ï›· ÙÔ˘˜. AÓ Î·È Û ÔÏϤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ‰ÂÓ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ ÚfiÏÔ˘ ÙÔ˘, Ô ‚ÈÔʈÙÈÛÌfi˜ Û˘Ó‹ıˆ˜ ·›˙ÂÈ ÛÙȘ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÚfiÏÔ ·Ó·ÁÓÒÚÈÛ˘, ‰ÔÏÒÌ·ÙÔ˜ ‹ ÚÔÂȉÔÔ›ËÛ˘. ñ H ·Ó¿Ù˘ÍË ÙˆÓ Ê˘ÙÒÓ ÂÍ·ÚٿٷÈ, ÂÎÙfi˜ ÙˆÓ ¿ÏψÓ, Î·È ·fi ÙËÓ ·ÚÔ¯‹ ·˙ÒÙÔ˘ ·fi ÙÔ ¤‰·ÊÔ˜. TÔ ¿˙ˆÙÔ ·Ú¤¯ÂÙ·È Â›ÙÂ Û·Ó Ï›·ÛÌ· ‹ Â›Ó·È ÚÔ˚fiÓ ÌÈÎÚԂȷ΋˜ ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ›·˜. T· Ê˘Ù¿ ‰ÂÓ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ó Î·Ù¢ı›·Ó ÙÔ ¿˙ˆÙÔ Ù˘ ·ÙÌfiÛÊ·ÈÚ·˜. OÚÈṲ̂ÓÔÈ fï˜ ÌÈÎÚÔÔÚÁ·ÓÈÛÌÔ› ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ÈηÓfiÙËÙ· Ó· ‰ÂÛÌÂ‡Ô˘Ó ÙÔ ·¤ÚÈÔ ¿˙ˆÙÔ Û ¯ËÌÈΤ˜ ÂÓÒÛÂȘ Ô˘ ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ·fi Ù· Ê˘Ù¿ Û·Ó ËÁ‹ ·˙ÒÙÔ˘. T¤ÙÔÈ· Û˘Ì‚ÈˆÙÈο ‚·ÎÙ‹ÚÈ· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙȘ Ú›˙˜ ÙˆÓ „˘¯·ÓıÒÓ (Ê·ÛfiÏÈ·, ʷΤ˜ Î.¿.). A˘ÙÔ› ÔÈ ÌÈÎÚÔÔÚÁ·ÓÈÛÌÔ›, ηٿ Û˘Ó¤ÂÈ· ÂÌÏÔ˘Ù›˙Ô˘Ó ÙÔ ¤‰·ÚÔ˜, ÛÙÔ ÔÔ›Ô Î·ÏÏÈÂÚÁÔ‡ÓÙ·È, Ì ÙÔ ¿˙ˆÙÔ Ù˘ ·ÙÌfiÛÊ·ÈÚ·˜.
°ÓˆÚ›˙ÔÓÙ·˜ Ù· ·Ú·¿Óˆ ÔÈ Î·ÏÏÈÂÚÁËÙ¤˜ .¯. ÛÈÙËÚÒÓ, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÙËÓ ·ÌÂÈ„ÈÛÔÚ¿, ‰ËÏ·‰‹ ÙËÓ ÂÓ·ÏÏ·Á‹ ÙˆÓ Î·ÏÏÈÂÚÁÔ‡ÌÂÓˆÓ Ê˘ÙÒÓ, ·ÚÂÌ‚¿ÏÏÔÓÙ·˜ ÛÙ· ÛÈÙËÚ¿ „˘¯·Óı‹. ñ ™ÙÔÓ ·ÓıÚÒÈÓÔ ÔÚÁ·ÓÈÛÌfi ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ·ÚÔ˘Û›· ÙÔ˘˜ Û ÌfiÓÈÌË ‚¿ÛË ÌÈ· ÏËıÒÚ· ÌË ·ıÔÁfiÓÙˆÓ ÌÈÎÚÔ‚›ˆÓ. A˘Ù¿ ˙Ô˘Ó Û˘Ì‚ÈˆÙÈο ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ ÔÊÂÏÔ‡ÓÙ·È Î·È Ù· ›‰È· Î·È Ô ÍÂÓÈÛÙ‹˜ ÙÔ˘˜. T¤ÙÔÈÔÈ ÌÈÎÚÔÔÚÁ·ÓÈÛÌÔ› Ô˘ ˙Ô˘Ó Â›Ù ÛÙÔ ‰¤ÚÌ· ›Ù ÛÙȘ ‰È¿ÊÔÚ˜ ÎÔÈÏfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ .¯. ÛÙÔ ÛÙfiÌ·, ÛÙÔ ·¯‡ ¤ÓÙÂÚÔ, Û˘Ì‚¿ÏÏÔ˘Ó ÛÙËÓ ¿Ì˘Ó¿ ÙÔ˘ ηıÒ˜ ‰ÚÔ˘Ó ·ÓÙ·ÁˆÁÈÛÙÈο ÛÙËÓ ÂÁηٿÛÙ·ÛË ·ıÔÁfiÓˆÓ. OÚÈṲ̂ӷ ‚·ÎÙ‹ÚÈ· .¯. ÙÔ˘ ·¯¤Ô˜ ÂÓÙ¤ÚÔ˘ ·Ú¿ÁÔ˘Ó ÚÔ˚fiÓÙ· ¯Ú‹ÛÈÌ· ÁÈ· ÙÔÓ ÔÚÁ·ÓÈÛÌfi ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô Û˘Ì‚ÈÔ‡Ó .¯. ÙË ‚ÈÙ·Ì›ÓË K, ·Ó¿ÚÎÂÈ· Ù˘ ÔÔ›·˜ Ô‰ËÁ› ÛÙËÓ ·‰˘Ó·Ì›· ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ Ó· ÊÙÈ¿ÍÂÈ ÚÔıÚÔÌ‚›ÓË. H ÚÔıÚÔÌ‚›ÓË ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ÛÙËÓ ‹ÍË ÙÔ˘ ·›Ì·ÙÔ˜ Î·È ·Ô˘Û›· Ù˘ ÚÔηÏ› ·ÈÌÔÚÚ·Á›Â˜. Afi ÙËÓ ¿ÏÏË, Ù· ›‰È· Ù· ‚·ÎÙ‹ÚÈ· ÔÊÂÏÔ‡ÓÙ·È ÁÈ·Ù› ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó Â‡ÎÔÏ· ÙÚÔÊ‹ ηıÒ˜ Î·È ÚÔÛÙ·Û›· ÛÙÔ ÛÒÌ· ÙÔ˘ ÍÂÓÈÛÙ‹. ñ °È· ÙËÓ Î·Ù·ÔϤÌËÛË ÌÈ·˜ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˘ ·ÚÚÒÛÙÈ·˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÔÚÔ› (.¯. ·ÓÙÈÙÂÙ·ÓÈÎfi˜ ÔÚfi˜) ·Ú·Û΢¿ÛÌ·Ù· ‰ËÏ·‰‹ Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ¤ÙÔÈÌ· ·ÓÙÈÛÒÌ·Ù·. T· ·ÓÙÈÛÒÌ·Ù· Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ Ô ·ÓÙÈÙÂÙ·ÓÈÎfi˜ ÔÚfi˜ ÚÔ¤Ú¯ÔÓÙ·Ó ·fi ÙÔ ·›Ì· ·ÏfiÁˆÓ, ÛÙÔ ÛÒÌ· ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Û˘Ì‚ÈÒÓÂÈ ÙÔ ‚·ÎÙ‹ÚÈÔ Ô˘ ÚÔηÏ› ÙÔÓ Ù¤Ù·ÓÔ. (™‹ÌÂÚ· Ù· ·ÓÙÈÛÒÌ·Ù· ÙˆÓ ÔÚÒÓ ·ÔÌÔÓÒÓÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ·ÓıÚÒÈÓÔ ·›Ì·). H ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ÔÚÒÓ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ¤Ó· ›‰Ô˜ ·ıËÙÈ΋˜ ·ÓÔÛ›·˜ ÌÂÙ¿ ÙËÓ ÚÔÛ‚ÔÏ‹ ÙÔ˘ ·fi ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ÌÈÎÚfi‚ÈÔ-·ÓÙÈÁfiÓÔ. H ÚÔÛÎfiÏÏËÛË ÙˆÓ ·ÓÙÈÛˆÌ¿ÙˆÓ ¿Óˆ ÛÙ· ·ÓÙÈÁfiÓ· ÚÔηÏ› ›Ù ÙËÓ ÂÍÔ˘‰ÂÙ¤ÚˆÛ‹ ÙÔ˘˜, ›Ù ÙË Ï‡ÛË ÙÔ˘˜ ‹ ‰È¢ÎÔχÓÂÈ ÙË Ê·ÁÔ΢ÙÙ¿ÚˆÛ‹ ÙÔ˘˜ ·fi Ù· Ê·ÁÔ·ÙÙ·Ú· ÙÔ˘ ÔÚÁ·ÓÈÛÌÔ‡.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
35
µ π√§√°π∞ ¶ÔÈ· ÁÔÓ›‰È· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ê˘ÏÔÛ‡Ó‰ÂÙ· Î·È ÙÈ ÁÓˆÚ›˙ÂÙ ÁÈ· ÙÔÓ ÙÚfiÔ ÎÏËÚÔÓfiÌËÛ˘ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÁÔÓȉ›ˆÓ; K¿ÓÙ ÙȘ ··Ú·›ÙËÙ˜ ‰È·ÛÙ·˘ÚÒÛÂȘ, ‰›ÓÔÓÙ·˜ ¤Ó· ‰ÈÎfi Û·˜ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·. A¿ÓÙËÛË: ñ T· Ê˘ÏÂÙÈο ¯ÚˆÌÔÛÒÌ·Ù· X Î·È Y Â›Ó·È ·ÓÈÛÔÌÂÁ¤ıË ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. TÔ X Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Î·È ÙÔ Y ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÔÏÏ¿ ÁÔÓ›‰È· Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ X ¯ÚˆÌfiۈ̷ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ·ÏÏËÏfiÌÔÚÊ· ÛÙÔ Y. T· ÁÔÓ›‰È· Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ X ¯ÚˆÌfiۈ̷ Î·È Û’ ÂΛÓË ÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÛÙÔ Y ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ê˘ÏÔÛ‡Ó‰ÂÙ· Î·È ÎÏËÚÔÓÔÌÔ‡ÓÙ·È Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÙÚfiÔ ·’ fi,ÙÈ Ù· ÁÔÓ›‰· Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙ· ·˘ÙÔÛÒÌ·Ù·. °È· Ù· Ê˘ÏÔÛ‡Ó‰ÂÙ· ÁÔÓ›‰È· ‰ÂÓ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ ÓfiÌÔÈ ÙÔ˘ Mendel. ñ ŒÛÙˆ · ¤Ó· ˘ÔÏÂÈfiÌÂÓÔ Ê˘ÏÔÛ‡Ó‰ÂÙÔ ÁÔÓ›‰ÈÔ ÛÙË Drosophila Ô˘ ηıÔÚ›˙ÂÈ ÙÔ Ï¢Îfi ¯ÚÒÌ· ÙˆÓ Ì·ÙÈÒÓ Ù˘, Î·È A ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ˘ÂÚ¤¯ˆÓ ·ÏÏËÏfiÌÔÚÊfi ÙÔ˘ Ô˘ ηıÔÚ›˙ÂÈ ÙÔ ÎfiÎÎÈÓÔ ¯ÚÒÌ·.
· = Ï¢Îfi ¯ÚÒÌ· A = ÎfiÎÎÈÓÔ ¯ÚÒÌ·
(F1 ¥F1)P1: X ∞À
¥
X AX ·
(ÎfiÎÎÈÓ·)
(ÎfiÎÎÈÓ·)
Á·Ì¤Ù˜: X ∞, Y
X ∞, X ·
F2 : X ∞ X A X ∞ X ·
X∞À
X ·À
ÎfiÎÎÈÓ· ÎfiÎÎÈÓ· ÎfiÎÎÈÓ·
ÏÂ˘Î¿
B AÓ ·fi Ù· ‰È·ÛÙ·˘ÚÔ‡ÌÂÓ· ¿ÙÔÌ· ÙÔ ·ÚÛÂÓÈÎfi ¤¯ÂÈ ÎfiÎÎÈÓ· Ì¿ÙÈ· Î·È ÙÔ ıËÏ˘Îfi ÏÂ˘Î¿ ÙfiÙ ÔÈ Ê·ÈÓfiÙ˘ÔÈ ÛÙËÓ F1 Î·È F2 ı· Â›Ó·È ÙÂÏ›ˆ˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ›. ¥
P: X ∞À
X ·X ·
(ÎfiÎÎÈÓ·)
(ÏÂ˘Î¿)
Á·Ì¤Ù˜: X ∞, Y
X·
F1 : X ∞ X ·
X ·À
ÎfiÎÎÈÓ·
ÏÂ˘Î¿
(F1 ¥F1)P1: X ∞À
¥
X AX ·
(ÏÂ˘Î¿)
(ÎfiÎÎÈÓ·)
∆· ¿ÙÔÌ· ¤¯Ô˘Ó ÃÃ Ê˘ÏÂÙÈο ¯ÚˆÌÔÛÒÌ·Ù·.
Á·Ì¤Ù˜: X ·, Y
X ∞, X ·
∆· ¿ÙÔÌ· ¤¯Ô˘Ó ÃY Ê˘ÏÂÙÈο ¯ÚˆÌÔÛÒÌ·Ù·.
F2 : X ·X A
X ·X ·
X∞À
X ·À
ÎfiÎÎÈÓ·
ÏÂ˘Î¿
ÎfiÎÎÈÓ·
ÏÂ˘Î¿
ñ º˘ÏÔηıÔÚÈÛÌfi˜ ÛÙË Drosophila:
ñ ¶Èı·ÓÔ› Ê·ÈÓfiÙ˘ÔÈ Î·È ÁÔÓfiÙ˘ÔÈ ÙˆÓ ·ÙfïÓ: ÎfiÎÎÈÓ· Æ Ã∞ Ã∞ ‹ Ã∞ ÷ ÏÂ˘Î¿
Æ Ã· ÷
Æ Ã· À
(∆Ô ˘ÔÏÂÈfiÌÂÓÔ Ê˘ÏÔÛ‡Ó‰ÂÙÔ ÁÔÓ›‰ÈÔ ·, ÂÂȉ‹ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ·ÏÏËÏfiÌÔÚÊÔ, Û˘ÌÂÚÈÊÂÚ¤Ù·È Û·Ó ÂÈÎÚ·Ù¤˜ ÛÙ· ·ÚÛÂÓÈο ¿ÙÔÌ·)
A P:
(ÏÂ˘Î¿)
Á·Ì¤Ù˜: X ·, Y F1 : X ∞ X · ÎfiÎÎÈÓ·
™ÙËÓ F2 ÁÂÓÈ¿ Ù· ıËÏ˘Î¿ ı· ¤¯Ô˘Ó Ù· ÌÈÛ¿ ÎfiÎÎÈÓ· Ì¿ÙÈ· Î·È Ù· ÌÈÛ¿ ÏÂ˘Î¿. ∆· ·ÚÛÂÓÈο, ›Û˘, ÌÈÛ¿ ı· ¤¯Ô˘Ó ÎfiÎÎÈÓ· Î·È ÌÈÛ¿ ı· ¤¯Ô˘Ó ÏÂ˘Î¿.
™ÙËÓ A ÂÚ›ÙˆÛË Ô ·ÚÛÂÓÈÎfi˜ ÁÔÓÈfi˜ ʤÚÂÈ ÙÔ Ê˘ÏÔÛ‡Ó‰ÂÙÔ ˘ÔÏÂÈfiÌÂÓÔ ÁÔÓ›‰ÈÔ
ñ º˘ÏÔÛ‡Ó‰ÂÙË ÎÏËÚÔÓÔÌÈÎfiÙËÙ·: X ·À
¢È·ÛÙ·‡ÚˆÛË ·ÚÛÂÓÈÎÔ‡ ·ÙfiÌÔ˘ Ì ÎfiÎÎÈÓ· Ì¿ÙÈ· Ì ıËÏ˘Îfi Ì ÏÂ˘Î¿ Ì¿ÙÈ· ÛÙËÓ F1 ÁÂÓÈ¿ ı· ‰ÒÛÂÈ fiÏ· Ù· Ì ÎfiÎÎÈÓ· Ì¿ÙÈ· Î·È fiÏ· Ù· Ì ÏÂ˘Î¿.
¶·Ú·Ù‹ÚËÛË:
ÎfiÎÎÈÓ· Æ Ã∞ À ÏÂ˘Î¿
™ÙËÓ F2 ÁÂÓÈ¿ Ù· ÌÂÓ ıËÏ˘Î¿ ı· ¤¯Ô˘Ó ÎfiÎÎÈÓ· Ì¿ÙÈ· ÂÓÒ Ù· ·ÚÛÂÓÈο, ÌÈÛ¿ ı· ¤¯Ô˘Ó ÎfiÎÎÈÓ· Î·È ÌÈÛ¿ ÏÂ˘Î¿ Ì¿ÙÈ·.
¥
X AX ∞ (ÎfiÎÎÈÓ·)
X∞ X∞À ÎfiÎÎÈÓ·
¢È·ÛÙ·‡ÚˆÛË ·ÚÛÂÓÈÎÔ‡ ·ÙfiÌÔ˘ Ì ÏÂ˘Î¿ Ì¿ÙÈ· Ì ÔÌfi˙˘ÁÔ ıËÏ˘Îfi Ì ÎfiÎÎÈÓ· Ì¿ÙÈ· ÛÙËÓ F1 ÁÂÓÈ¿ ı· ‰ÒÛÂÈ fiÏ· Ù· ¿ÙÔÌ·, ·ÚÛÂÓÈο Î·È ıËÏ˘Î¿, Ì ÎfiÎÎÈÓ· Ì¿ÙÈ·.
AÚ¯ÈÎÔ› ÁÔÓ›˜: P: ˘ÔÏÂÈfiÌÂÓÔ ¥ ΢ڛ·Ú¯Ô ÁÓÒÚÈÛÌ· ÁÓÒÚÈÛÌ· ™ÙËÓ B ÂÚ›ÙˆÛË Ô ıËÏ˘Îfi˜ ÁÔÓÈfi˜ ʤÚÂÈ ÙÔ Ê˘ÏÔÛ‡Ó‰ÂÙÔ ˘ÔÏÂÈfiÌÂÓÔ ÁÔÓ›‰ÈÔ, Û ÔÌfi˙˘ÁË Î·Ù¿ÛÙ·ÛË. AÚ¯ÈÎÔ› ÁÔÓ›˜: P: ΢ڛ·Ú¯Ô ÁÓÒÚÈÛÌ·
¥ ˘ÔÏÂÈfiÌÂÓÔ ÁÓÒÚÈÛÌ·
AÓ ÙÔ ÁÓÒÚÈÛÌ· ‹Ù·Ó ·˘ÙÔÛˆÌÈÎfi ÔÈ Ê·ÈÓfiÙ˘ÔÈ ÙˆÓ ·ÔÁfiÓˆÓ ÛÙËÓ A Î·È ÛÙË B ÂÚ›ÙˆÛË ı· ‹Ù·Ó ÔÈ ›‰ÈÔÈ.
◆
36 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
º π§√§√°π∫∞
«EK£E™H-∂KºPA™H» °PA¶TO™ §O°O™ TY¶O§O°IA TøN A™KH™EøN Afi ÙËÓ ÔÌ¿‰· ‰Ô˘ÏÂÈ¿˜ ÙÔ˘ Î. XÚ. TÛÔÏ¿ÎË
3. ™‡ÓÙ·ÍË
∞¢ §˘Î›Ԣ EÓÙ¿ÛÛˆ ¤Ó· ÁÚ·Ùfi ΛÌÂÓÔ ÛÙÔ ÂÈÎÔÈÓˆÓÈ·Îfi ÙÔ˘ Ï·›ÛÈÔ Ú¯›˙ˆ ÙËÓ «·Ó¿ÁÓˆÛË» ÂÓfi˜ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ ÂÓÙÔ›˙ÔÓÙ·˜ Ù· ÛÙÔȯ›· Ù˘ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋˜ ÙÔ˘ ÂÚ›ÛÙ·Û˘: ÙÔÓ ÔÌfi, ÙÔ ‰¤ÎÙË, ÙÔ ÛÎÔfi, ÙÔ Ì¤ÛÔ (ÚÔÊ. ‹ ÁÚ·Ùfi˜ ÏfiÁÔ˜), ÙÔÓ ÙfiÔ, ÙÔ ¯ÚfiÓÔ, ÙË ÁψÛÛÈ΋ ÔÈÎÈÏ›·, ÙÔ Â›‰Ô˜ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ (.¯. ‰È·ÊËÌÈÛÙÈÎfi ΛÌÂÓÔ, Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› ÙËÓ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ Î·È ÙËÓ ÂÈıÒ). OÏÔÎÏËÚÒÓˆ ÙËÓ «·Ó¿ÁÓˆÛË», ÌÂÙ¿ ÙȘ ÂÈ̤ÚÔ˘˜ ÂÚÁ·Û›Â˜, Ì ÙË Û˘ÓÔÏÈ΋ ıÂÒÚËÛË Î·È ÙËÓ ·ÍÈÔÏfiÁËÛË ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘, Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ¿ÓÙÔÙ ˘fi„Ë ÙȘ ·Ú·Ì¤ÙÚÔ˘˜ Ù˘ ÂÈÎÔÈÓˆÓ›·˜.
A
EÈÛËÌ·›Óˆ Î·È ‰ÈηÈÔÏÔÁÒ ÙËÓ ÂÈÏÔÁ‹: ÛÙËÓ ÂÓÂÚÁËÙÈ΋ / ·ıËÙÈ΋ Û‡ÓÙ·ÍË, ÛÙÔ ÚËÌ·ÙÈÎfi ¯ÚfiÓÔ / ÚfiÛˆÔ / ¤ÁÎÏÈÛË, ÛÙÔ Ì·ÎÚÔÂÚ›Ô‰Ô ‹ fi¯È ÏfiÁÔ, ÛÙÔÓ ·Ú·Ù·ÙÈÎfi ‹ ˘ÔÙ·ÎÙÈÎfi ÏfiÁÔ, ÛÙ· ÔÓÔÌ·ÙÈο ‹ ÚËÌ·ÙÈο Û‡ÓÔÏ·, ÛÙ· ÛËÌ›· Ù˘ ÛÙ›Í˘.
4. §ÂÍÈÏfiÁÈÔ Î·È ‰È·Ù‡ˆÛË – EÚÌËÓ‡ˆ ϤÍÂȘ, ·ÓÙÈηıÈÛÙÒ ÌÂ Û˘ÓÒÓ˘Ì·, ‚Ú›ÛΈ ·ÓÙÒÓ˘Ì·, – ÂÓÙÔ›˙ˆ ÙȘ ÚÔÙÈÌ‹ÛÂȘ Û ÏfiÁȘ ‹ Ï·˚Τ˜ ϤÍÂȘ, Û ΢ÚÈÔÏÂÎÙÈ΋ ‹ ÌÂÙ·ÊÔÚÈ΋ ¯Ú‹ÛË Ù˘ ÁÏÒÛÛ·˜, Û ÂȉÈÎfi ÏÂÍÈÏfiÁÈÔ, fiÚÔ˘˜ Î.Ù.Ï. – AÍÈÔÏÔÁÒ ÙËÓ ·ÎÚ›‚ÂÈ· Î·È ÙË Û·Ê‹ÓÂÈ· ÙÔ˘ ÏÂÍÈÏÔÁ›Ô˘.
5. ⁄ÊÔ˜
I. ¢IABAZø 1. ¶ÂÚȯfiÌÂÓÔ EÈÛËÌ·›Óˆ (Î·È Î·Ù·ÓÔÒ): – Ù· fiÚÈ· Ù˘ ÁÏÒÛÛ·˜ Î·È ÙË ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÈÎfiÙËÙ¿ Ù˘, – ÙȘ ÁψÛÛÈΤ˜ ÔÈÎÈϛ˜ Î·È ÙË ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘˜, – ÙȘ ȉȷÈÙÂÚfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÁÚ·ÙÔ‡ Î·È ÙÔ˘ ÚÔÊÔÚÈÎÔ‡ ÏfiÁÔ˘, – ÙȘ ·Ú·Ì¤ÙÚÔ˘˜ ÙÔ˘ ‰È·ÏfiÁÔ˘ Î·È Ù· ›‰Ë ÙÔ˘, – Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ÂÚÈÁÚ·ÊfiÌÂÓÔ˘ «·ÓÙÈÎÂÈ̤ÓÔ˘» Î·È ÙËÓ fiÚÁ¿ÓˆÛ‹ ÙÔ˘˜, – ÙËÓ ÔÙÈ΋ ÁˆÓ›· Î·È ÙÔ Û¯fiÏÈÔ ÛÙËÓ ÂÚÈÁÚ·Ê‹, – Ù· ‚·ÛÈο ÛÙÔȯ›· Ù˘ ·Ê‹ÁËÛ˘ (ÙfiÔ˜, ¯ÚfiÓÔ˜, ÚfiÛˆ·, ·›ÙÈ· Î·È Û˘Ó¤ÂȘ ÂÓfi˜ Û˘Ì‚¿ÓÙÔ˜), – Ù· ‰È¿ÊÔÚ· ·ÊËÁËÌ·ÙÈο ›‰Ë, ÙÔ ·ÊËÁËÌ·ÙÈÎfi ÂÚȯfiÌÂÓÔ Î·È ÙËÓ ·ÊËÁËÌ·ÙÈ΋ Ú¿ÍË, ÙÔ˘˜ ·ÊËÁËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜, ÙËÓ ÔÙÈ΋ ÁˆÓ›· ÛÙËÓ ·Ê‹ÁËÛË.
2. OÚÁ¿ÓˆÛË ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ – EÓÙÔ›˙ˆ Ù· ‚·ÛÈο ̤ÚË (ÚfiÏÔÁÔ˜-·ÚÈÔ Ì¤ÚԘ›ÏÔÁÔ˜) Î·È ÙȘ ÓÔËÌ·ÙÈΤ˜ ÂÓfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘, – ‰›Óˆ Ï·ÁÈfiÙÈÙÏÔ˘˜ ÛÙȘ ·Ú·ÁÚ¿ÊÔ˘˜ ‹ ÛÙȘ ÓÔËÌ·ÙÈΤ˜ ÂÓfiÙËÙ˜, – ÂÈÛËÌ·›Óˆ ÙË ÏÔÁÈ΋ ‰È¿ÚıÚˆÛË ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ Î·È Î¿Óˆ ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ·, – Û¯ÔÏÈ¿˙ˆ ÙË Û˘ÓÔ¯‹ ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ (‰È·ÚıÚˆÙÈΤ˜ ϤÍÂȘ), – ÂÈÛËÌ·›Óˆ ÙËÓ ÔÚÁ¿ÓˆÛË ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ Ì ·ÈÙÈÔÏfiÁËÛË Î·È Ì ·Ó·ÏÔÁ›·.
X·Ú·ÎÙËÚ›˙ˆ ÙÔ ‡ÊÔ˜ ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ì ‚¿ÛË Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ (Û‡ÓÙ·ÍË, ÔÚÁ¿ÓˆÛË, ÏÂÍÈÏfiÁÈÔ, ·ÎÚ›‚ÂÈ·, Û·Ê‹ÓÂÈ· Î.Ù.Ï.), Î·È Ì ‚¿ÛË Ù· ÛÙÔȯ›· Ù˘ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋˜ ÂÚ›ÛÙ·Û˘ (ÔÌfi˜, ‰¤ÎÙ˘, ÛÎÔfi˜, ›‰Ô˜ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ Î.Ù.Ï.).
II. °PAºø A. M ‚¿ÛË ¤Ó· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Î›ÌÂÓÔ 1. ¶ÂÚȯfiÌÂÓÔ – °Ú¿Êˆ Ì›· ÂÚ›ÏË„Ë, – ·Ó·Ù‡ÛÛˆ ÌÈ· ÊÚ¿ÛË, Ì›· ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ ¤Ó· Âȯ›ÚËÌ· Î.Ù.Ï., – ÌÂÙ·Û¯ËÌ·Ù›˙ˆ ¤Ó· ΛÌÂÓÔ (·Ú·Ì¤ÓÂÈ, ‰ËÏ·‰‹, ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÚȯfiÌÂÓÔ, ·ÏÏ¿ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È ÙÔ Â›‰Ô˜ ÏfiÁÔ˘ ‹/Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ· ÛÙÔȯ›· Ù˘ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋˜ ÂÚ›ÛÙ·Û˘), .¯. ÂÓfiÙËÙ· «°ÏÒÛÛ· Î·È ÁψÛÛÈΤ˜ ÔÈÎÈϛ˜», ·Û΋ÛÂȘ Û. 79, 80, 91 Î.Ù.Ï.Ø ÂÓ. «§fiÁÔ˜», ·Û΋ÛÂȘ Û. 16, 18, 34 Î.Ù.Ï.Ø ÂÓ. «¶ÂÚÈÁÚ·Ê‹» Û. 13, 17, 48 Î.Ù.Ï.Ø ÂÓ. «AÊ‹ÁËÛË» Û. 6, 8, 18, 30 Î.Ù.Ï.
2. OÚÁ¿ÓˆÛË ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ – XˆÚ›˙ˆ ÙÔ Î›ÌÂÓÔ Û ·Ú·ÁÚ¿ÊÔ˘˜, – Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÌÂÙ·‚·ÙÈΤ˜ ϤÍÂȘ, Ù·ÎÙÔÔÈÒ ÙË Û˘ÓÔ¯‹ ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘, – ·Ó·Ù‡ÛÛˆ ¤Ó· ΛÌÂÓÔ Ì οÔÈ· ·fi ÙȘ ÌÂıfi‰Ô˘˜ ·Ó¿Ù˘Í˘ (·ÈÙÈÔÏfiÁËÛË, ·Ó·ÏÔÁ›· Î.Ù.Ï.).
3. ™‡ÓÙ·ÍË – MÂÙ·ÙÚ¤ˆ ÙË Û‡ÓÙ·ÍË: ÙËÓ ÂÓÂÚÁËÙÈ΋ ʈӋ ÛÂ
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
37
∂ ∫£∂™∏ - ∂ ∫ºƒ∞™∏ ·ıËÙÈ΋ ‹ ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ, ÙËÓ ¤ÁÎÏÈÛË, ÙÔ ¯ÚfiÓÔ, ÙÔ ÚËÌ. ÚfiÛˆÔ Î.Ù.Ï., Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ˘fi„Ë ÙËÓ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋ ÂÚ›ÛÙ·ÛË, – Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙË ÛÙ›ÍË.
4. §ÂÍÈÏfiÁÈÔ – ™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÎÂÓ¿, οӈ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›Â˜ ÛÙË ÛËÌ·Û›· ÙˆÓ Ï¤ÍˆÓ, ÎÏÈÌ·ÎÒÓˆ ÙȘ ϤÍÂȘ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙË ÛËÌ·Û›· ÙÔ˘˜ Î.Ù.Ï., – Û¯ËÌ·Ù›˙ˆ ÊÚ¿ÛÂȘ Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ ϤÍÂȘ, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ ÁψÛÛÈÎfi Ï·›ÛÈÔ, – ÂÈϤÁˆ Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒ ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ ÏÂÍÈÏfiÁÈÔ ÁÈ· ¤Ó· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Î›ÌÂÓÔ, Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ˘fi„Ë ÙËÓ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋ ÂÚ›ÛÙ·ÛË.
– – – – – – – –
– –
5. ⁄ÊÔ˜ MÂÙ·‚¿Ïψ / ÌÂÙ·Û¯ËÌ·Ù›˙ˆ ÙÔ ‡ÊÔ˜ ÂÓfi˜ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙËÓ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋ ÂÚ›ÛÙ·ÛË.
ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÔÚÁ·ÓÒÓÂÙ·È Ë Â›‰ËÛË, ÙËÓ ÔÙÈ΋ ÁˆÓ›· ÙÔ˘ ‰ËÌÔÛÈÔÁÚ¿ÊÔ˘, Ù· ‰È¿ÊÔÚ· ‚ÈÔÁÚ·ÊÈο ›‰Ë, ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ Î·È ÙÔ Û¯fiÏÈÔ (¿ÌÂÛÔ ‹ ¤ÌÌÂÛÔ) ÛÙ· ›‰Ë ·˘Ù¿, ÙËÓ ÔÙÈ΋ ÁˆÓ›· ÙÔ˘ ÔÌÔ‡ ÛÙ· ‚ÈÔÁÚ·ÊÈο ›‰Ë, ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙËÓ ·ÚÔ˘Û›·ÛË Î·È ÙËÓ ÎÚÈÙÈ΋, Ù· Û˘ÛÙ·ÙÈο ÛÙÔȯ›· Ù˘ ·ÚÔ˘Û›·Û˘-ÎÚÈÙÈ΋˜, Ù· ‰È¿ÊÔÚ· ›‰Ë Ù˘ ·ÚÔ˘Û›·Û˘-ÎÚÈÙÈ΋˜ (ı¿ÙÚÔ˘, ‚È‚Ï›Ô˘, ÎÈÓËÌ·ÙÔÁÚ¿ÊÔ˘, ÌÔ˘ÛÈ΋˜, ÂΉËÏÒÛÂˆÓ Î.Ù.Ï.), Ù· ·ÚÈ· ÛËÌ›· Î·È ÙË ÏÔÁÈ΋ ‰È¿ÚıÚˆÛË ÂÓfi˜ ÎÂÈ̤ÓÔ˘, ÙË ‰È·‰Èηۛ· Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÂ›Ù·È ÁÈ· ÙȘ ÛËÌÂÈÒÛÂȘ, ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Î·È ÙËÓ ÂÚ›ÏË„Ë (·fi ÁÚ·Ùfi Î·È ÚÔÊÔÚÈÎfi ÏfiÁÔ).
2. OÚÁ¿ÓˆÛË ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘
B. EχıÂÚË ·Ó¿Ù˘ÍË ÂÓfi˜ ı¤Ì·ÙÔ˜ (§·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ¿ÓÙÔÙ ˘fi„Ë ÙËÓ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋ ÂÚ›ÛÙ·ÛË): ·) Ì οÔÈÔ˘˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜ (ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ¤ÎÙ·ÛË, ÙÔ ÏÂÍÈÏfiÁÈÔ Î.Ù.Ï.), ‚) ¯ˆÚ›˜ ηӤӷ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi. EÓ‰ÂÈÎÙÈο ‰›ÓÔÓÙ·È Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ›‰Ë ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘, Ù· ÔÔ›· ηÏÔ‡ÓÙ·È ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Ó· ·Ú·Á¿ÁÔ˘Ó ÛÙȘ ‰È¿ÊÔÚ˜ ÂÓfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘: ● Ì›· ·›ÙËÛË ● ÚfiÛÎÏËÛË ● ·Ó·ÎÔ›ÓˆÛË Û ÂÊËÌÂÚ›‰· / ÂÚÈÔ‰ÈÎfi ● ·Ó·ÊÔÚ¿ ● ÂÈÛÙÔÏ‹ Û ›ÛËÌÔ / ÊÈÏÈÎfi ÚfiÛˆÔ ● ¤Ó· ·ÔÏÔÁÈÛÌfi ÌÈ·˜ ÂΉ‹ÏˆÛ˘, ÌÈ·˜ Û˘Ó‰ڛ·Û˘ Î.Ù.Ï. ● Ì›· Ì‹Ó˘ÛË ● ·ÁÁÂÏ›· ÛÙÔ ‰ÈηÛÙ‹ÚÈÔ ● ‰È·Ê‹ÌÈÛË ● ¤Ó· ‰È·ÊËÌÈÛÙÈÎfi Ê˘ÏÏ¿‰ÈÔ ● (·Ïfi) ΛÌÂÓÔ Ì ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎfi ‡ÊÔ˜ ● ÌÈ· ÂÈÛ‹ÁËÛË Û ¤Ó· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ı¤Ì· ● ¤Ó· ¿ÚıÚÔ fiÔ˘ ÂÎı¤Ùˆ Î·È ·ÈÙÈÔÏÔÁÒ ÙȘ ·fi„ÂȘ ÌÔ˘*
µ¢ §˘Î›Ԣ
3. ™‡ÓÙ·ÍË EÓÙÔ›˙ˆ Î·È ·ÈÙÈÔÏÔÁÒ ÙËÓ ÂÈÏÔÁ‹ (ÙÔ˘ ÔÌÔ‡): – ÛÙËÓ ÂÓÂÚÁËÙÈ΋ ‹ ·ıËÙÈ΋ ʈӋ, ÛÙÔ ÚËÌ·ÙÈÎfi / ¯ÚfiÓÔ / ¤ÁÎÏÈÛË, ÛÙÔÓ Ì·ÎÚÔÂÚ›Ô‰Ô, ‹ fi¯È, ÏfiÁÔ, ÛÙËÓ ·Ú¿Ù·ÍË ÛÙ· ÔÓÔÌ·ÙÈο ‹ ÚËÌ·ÙÈο Û‡ÓÔÏ·, – ÛÙ· ÛËÌ›· Ù˘ ÛÙ›Í˘.
4. §ÂÍÈÏfiÁÈÔ Î·È ‰È·Ù‡ˆÛË – EÚÌËÓ‡ˆ ÙȘ ϤÍÂȘ, ·ÓÙÈηıÈÛÙÒ ÌÂ Û˘ÓÒÓ˘Ì·, ‚Ú›ÛΈ ·ÓÙÒÓ˘Ì·, – ÂÓÙÔ›˙ˆ ÙËÓ ÚÔÙ›ÌËÛË ÙÔ˘ ÔÌÔ‡ Û ÏfiÁȘ ‹ Ï·˚Τ˜ ϤÍÂȘ, ÛÙËÓ Î˘ÚÈÔÏÂÎÙÈ΋ ‹ ÌÂÙ·ÊÔÚÈ΋ ¯Ú‹ÛË Ù˘ ÁÏÒÛÛ·˜, Û ÂȉÈÎfi ÏÂÍÈÏfiÁÈÔ, fiÚÔ˘˜ Î.Ù.Ï., – ·ÍÈÔÏÔÁÒ ÙËÓ ·ÎÚ›‚ÂÈ· Î·È ÙË Û·Ê‹ÓÂÈ· ÙÔ˘ ÏÂÍÈÏÔÁ›Ô˘.
5. ⁄ÊÔ˜
I. ¢IABAZø 1. ¶ÂÚȯfiÌÂÓÔ EÓÙÔ›˙ˆ (Î·È Î·Ù·ÓÔÒ): – ÙÔ Û¯fiÏÈÔ Î·È ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ Û ÌÈ· ›‰ËÛË,
38
– EÓÙÔ›˙ˆ Ù· ‚·ÛÈο ̤ÚË (ÚfiÏÔÁÔ˜, ·ÚÈÔ Ì¤ÚÔ˜, ›ÏÔÁÔ˜) Î·È ÙȘ ÓÔËÌ·ÙÈΤ˜ ÂÓfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘, – ‰›Óˆ Ï·ÁÈfiÙÈÙÏÔ˘˜ ÛÙȘ ·Ú·ÁÚ¿ÊÔ˘˜ ‹ ÛÙȘ ÓÔËÌ·ÙÈΤ˜ ÂÓfiÙËÙ˜, – ÂÈÛËÌ·›Óˆ ÙË ÏÔÁÈ΋ ‰È¿ÚıÚˆÛË ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ Î·È Î¿Óˆ ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ·, – Û¯ÔÏÈ¿˙ˆ ÙË Û˘ÓÔ¯‹ ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ (‰È·ÚıÚˆÙÈΤ˜ ϤÍÂȘ), – ÂÈÛËÌ·›Óˆ ÙËÓ ÔÚÁ¿ÓˆÛË ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ Ì ۇÁÎÚÈÛË, ·ÓÙ›ıÂÛË, ÔÚÈÛÌfi, ‰È·›ÚÂÛË, ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·.
X·Ú·ÎÙËÚ›˙ˆ ÙÔ ‡ÊÔ˜ ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ì ‚¿ÛË: – Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ (Û‡ÓÙ·ÍË, ÏÂÍÈÏfiÁÈÔ, ÔÚÁ¿ÓˆÛË, Û·Ê‹ÓÂÈ·, ·ÎÚ›‚ÂÈ·, Î.Ù.Ï.), – Ù· ÛÙÔȯ›· Ù˘ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋˜ ÂÚ›ÛÙ·Û˘ (ÙÔ ‰¤ÎÙË, ÙÔ ÛÎÔfi, ÙÔ Â›‰Ô˜ ÏfiÁÔ˘ Î.Ù.Ï.).
* I‰È·›ÙÂÚË ÛËÌ·Û›· ‰›ÓÂÙ·È Û ٤ÙÔÈ· ΛÌÂÓ·, fiÔ˘ ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÂÎı¤ÙÔ˘Ó Î·È ·ÈÙÈÔÏÔÁÔ‡Ó, Ì ÙËÓ Î·Ù¿ÏÏËÏË ÂȯÂÈÚËÌ·ÙÔÏÔÁ›·, ÙȘ ·fi„ÂȘ ÙÔ˘˜ ÁÈ· ¤Ó· ı¤Ì·. T· ΛÌÂÓ· ·˘Ù¿ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ¿ÚÔ˘Ó, ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÙË ÌÔÚÊ‹ ¿ÚıÚˆÓ Û ۯÔÏÈ΋ ÂÊËÌÂÚ›‰·.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
º π§√§√°π∫∞ .¯. ÌÈ· ›‰ËÛË Ì ÔÈΛÏÔ ÂÚȯfiÌÂÓÔ
II. °PAºø A. M ‚¿ÛË ¤Ó· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Î›ÌÂÓÔ
●
Û¯ÔÏÈ¿˙ˆ ¤Ó· ÁÂÁÔÓfi˜ Ù˘ ÂÈηÈÚfiÙËÙ·˜ Û ÂÎÙÂٷ̤ÓÔ Î›ÌÂÓÔ .¯. ¤Ó· ¿ÚıÚÔ Û ۯÔÏÈ΋ ÂÊËÌÂÚ›‰·
●
¤Ó· ΛÌÂÓÔ Ô˘ Ó· Â͈ÙÂÚÈ·ÂÈ ÙȘ ÛΤ„ÂȘ Î·È Ù· Û˘Ó·ÈÛı‹Ì·Ù¿ ÌÔ˘ .¯. ÛÂÏ›‰Â˜ ËÌÂÚÔÏÔÁ›Ô˘
●
¤Ó· ΛÌÂÓÔ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÂÚÈÁڿʈ ÙÔÓ Â·˘Ùfi ÌÔ˘ ‹ «Û˘ÛÙ‹Óˆ» οÔÈÔ ¿ÏÏÔ ÚfiÛˆÔ Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ˘fi„Ë ÙÔ ÛÎÔfi ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô Áڿʈ ÙÔ Î›ÌÂÓÔ Î·È ÙÔ ‰¤ÎÙË ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô ÙÔ ·Â˘ı‡Óˆ .¯. ¤Ó· (·˘ÙÔ)‚ÈÔÁÚ·ÊÈÎfi ÛËÌ›ˆÌ·, ÙËÓ ·˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ‹ ÛÔ˘, ÌÈ· Û˘ÛÙ·ÙÈ΋ ÂÈÛÙÔÏ‹
●
¤Ó· ΛÌÂÓÔ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ˆ / ·ÛÎÒ ÎÚÈÙÈ΋ Û οÔÈÔ «·ÓÙÈΛÌÂÓÔ» (‚È‚Ï›Ô, ı¤·ÙÚÔ, ÎÈÓËÌ·ÙÔÁÚ¿ÊÔ, ÌÔ˘ÛÈ΋ Î.Ù.Ï.) ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ ‡ÊÔ˜ Î·È ÊÚÔÓÙ›˙ÔÓÙ·˜ ÁÈ· ÙËÓ ·ÔÙÂÏÂÛÌ·ÙÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ .¯. Ì›· ·ÚÔ˘Û›·ÛË / ÎÚÈÙÈ΋ ‚È‚Ï›Ô˘, ı·ÙÚÈ΋˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘, ÎÈÓËÌ·ÙÔÁÚ·ÊÈÎÔ‡ ¤ÚÁÔ˘, ‰›ÛÎÔ˘ ÌÔ˘ÛÈ΋˜, ‰È·ÊfiÚˆÓ ÂΉËÏÒÛÂˆÓ Î.Ù.Ï.
●
¤Ó· ΛÌÂÓÔ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÂÎı¤Ùˆ Î·È ·ÈÙÈÔÏÔÁÒ ÙȘ ·fi„ÂȘ ÌÔ˘ ÁÈ· ¤Ó· ı¤Ì·
1. ¶ÂÚȯfiÌÂÓÔ – AÔÌÔÓÒÓˆ ÙÔ Î·›ÚÈÔ Î·È ÙÔ Ô˘ÛÈ҉˜ ·fi ¤Ó· ΛÌÂÓÔ Î·È ÙÔ Î·Ù·Áڿʈ Ì ÙÚfiÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ Î·È ÚÔÛˆÈÎfi, ÎÚ·ÙÒ, ‰ËÏ·‰‹, ÛËÌÂÈÒÛÂȘ ·fi ¤Ó· ΛÌÂÓÔ ‹/Î·È Î¿Óˆ Ì›· ÂÚ›ÏË„Ë ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘, – οӈ ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÂÓfi˜ ÎÂÈ̤ÓÔ˘, – ·Ó·Ù‡ÛÛˆ ÌÈ· ÊÚ¿ÛË, Ì›· ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ, ¤Ó· Âȯ›ÚËÌ· ·fi ¤Ó· ΛÌÂÓÔ, – ÌÂÙ·Û¯ËÌ·Ù›˙ˆ ¤Ó· ΛÌÂÓÔ (·Ú·Ì¤ÓÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÚȯfiÌÂÓÔ, ·ÏÏ¿ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È ÙÔ Â›‰Ô˜ ÏfiÁÔ˘ ‹/Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ· ÛÙÔȯ›· Ù˘ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋˜ ÂÚ›ÛÙ·Û˘).
2. OÚÁ¿ÓˆÛË ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ – XˆÚ›˙ˆ ÙÔ Î›ÌÂÓÔ Û ·Ú·ÁÚ¿ÊÔ˘˜, – Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙȘ ‰È·ÚıÚˆÙÈΤ˜ ϤÍÂȘ - Ù·ÎÙÔÔÈÒ ÙË Û˘ÓÔ¯‹ ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘, – ·Ó·Ù‡ÛÛˆ ¤Ó· ΛÌÂÓÔ Ì οÔÈ· ·fi ÙȘ ÌÂıfi‰Ô˘˜ ·Ó¿Ù˘Í˘ (·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·ÓÙ›ıÂÛË, ÔÚÈÛÌfi, ‰È·›ÚÂÛË Î.Ù.Ï.).
3. ™‡ÓÙ·ÍË – ÌÂÙ·ÙÚ¤ˆ ÙË Û‡ÓÙ·ÍË (·fi ÂÓÂÚÁËÙÈ΋ Û ·ıËÙÈ΋ ʈӋ ‹ ÙÔ ·ÓÙ›ıÂÙÔ, ·fi ·Ú¿Ù·ÍË Û ˘fiÙ·ÍË), ·ÏÏ¿˙ˆ ÙËÓ ¤ÁÎÏÈÛË, ÙÔ ¯ÚfiÓÔ, ÙÔ ÚËÌ·ÙÈÎfi ÚfiÛˆÔ Î.Ù.Ï., Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ˘fi„Ë ÙËÓ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋ ÂÚ›ÛÙ·ÛË, – Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙË ÛÙ›ÍË.
4. §ÂÍÈÏfiÁÈÔ – ™˘ÌÏËÚÒÓˆ Ù· ÎÂÓ¿, οӈ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›Â˜ ÛÙȘ ϤÍÂȘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ÛËÌ·Û›· ÙÔ˘˜, ÎÏÈÌ·ÎÒÓˆ ÙË ÛËÌ·Û›· ÙˆÓ Ï¤ÍˆÓ, – Û¯ËÌ·Ù›˙ˆ ÊÚ¿ÛÂȘ Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ ϤÍÂȘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ ÁψÛÛÈÎfi Ï·›ÛÈÔ, – ÂÈϤÁˆ Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒ ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ ÏÂÍÈÏfiÁÈÔ ÁÈ· ¤Ó· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Î›ÌÂÓÔ, Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ˘fi„Ë ÙËÓ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋ ÂÚ›ÛÙ·ÛË.
5. ⁄ÊÔ˜ MÂÙ·ÙÚ¤ˆ ÙÔ ‡ÊÔ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙËÓ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋ ÂÚ›ÛÙ·ÛË.
B. EχıÂÚË ·Ó¿Ù˘ÍË ÂÓfi˜ ı¤Ì·ÙÔ˜ (§·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ¿ÓÙÔÙ ˘fi„Ë ÙËÓ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋ ÂÚ›ÛÙ·ÛË): ·) Ì οÔÈÔ˘˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜ (ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ¤ÎÙ·ÛË, ÙÔ ÏÂÍÈÏfiÁÈÔ Î.Ù.Ï.), ‚) ¯ˆÚ›˜ ηӤӷ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi Áڿʈ: ● ÌÈ· Û‡ÓÙÔÌË ·Ê‹ÁËÛË Û¯ÂÙÈο Ì ÙËÓ ÂÈηÈÚfiÙËÙ·, Ì ‚¿ÛË ÙÔ ÌÔÓÙ¤ÏÔ Ù˘ ‰ËÌÔÛÈÔÁÚ·ÊÈ΋˜ ›‰ËÛ˘, ÙË Û¯ÔÏÈ¿˙ˆ
.¯. ¤Ó· ¿ÚıÚÔ Û ۯÔÏÈÎfi ÂÚÈÔ‰ÈÎfi.
°¢ §˘Î›Ԣ EÓÙ¿ÛÛˆ ¤Ó· ÁÚ·Ùfi ΛÌÂÓÔ ÛÙÔ ÂÈÎÔÈÓˆÓÈ·Îfi Ï·›ÛÈÔ AÚ¯›˙ˆ ÙËÓ «·Ó¿ÁÓˆÛË» ÂÓfi˜ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ ÂÓÙÔ›˙ÔÓÙ·˜ Ù· ÛÙÔȯ›· Ù˘ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋˜ ÙÔ˘ ÂÚ›ÛÙ·Û˘: ÙÔÓ ÔÌfi, ÙÔ ‰¤ÎÙË, ÙÔ ÛÎÔfi, ÙÔ Ì¤ÛÔ (ÚÔÊ. ‹ ÁÚ·Ùfi˜ ÏfiÁÔ˜), ÙÔÓ ÙfiÔ, ÙÔ ¯ÚfiÓÔ, ÙË ÁψÛÛÈ΋ ÔÈÎÈÏ›·, ÙÔ Â›‰Ô˜ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ (.¯. ‰È·ÊËÌÈÛÙÈÎfi ΛÌÂÓÔ, Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› ÙËÓ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ Î·È ÙËÓ ÂÈıÒ). OÏÔÎÏËÚÒÓˆ ÙËÓ «·Ó¿ÁÓˆÛË», ÌÂÙ¿ ÙȘ ÂÈ̤ÚÔ˘˜ ÂÚÁ·Û›Â˜, Ì ÙË Û˘ÓÔÏÈ΋ ıÂÒÚËÛË Î·È ÙËÓ ·ÍÈÔÏfiÁËÛË ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘, Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ¿ÓÙÔÙ ˘fi„Ë ÙȘ ·Ú·Ì¤ÙÚÔ˘˜ Ù˘ ÂÈÎÔÈÓˆÓ›·˜.
I. ¢IABAZø 1. ¶ÂÚȯfiÌÂÓÔ – EÓÙÔ›˙ˆ ÙÔ ı¤Ì·, ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ Û˘ÁÁڷʤ·, ÙÔ ·Ô‰ÂÈÎÙÈÎfi ˘ÏÈÎfi (ÂȯÂÈÚ‹Ì·Ù·, ÙÂÎÌ‹ÚÈ· Î.Ù.Ï. Ì ٷ ÔÔ›· ˘ÔÛÙËÚ›˙ÂÙ·È Ë ı¤ÛË), ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·, – ·Ó·Ï‡ˆ ÙÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜ Î·È Ù· ̤۷ ÂÈıÔ‡˜ Î·È Ù· ·ÍÈÔÏÔÁÒ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÂÈÛÙÈÎfiÙËÙ¿ ÙÔ˘˜.
2. OÚÁ¿ÓˆÛË – EÓÙÔ›˙ˆ Ù· ‚·ÛÈο ̤ÚË (ÚfiÏÔÁÔ˜ - ·ÚÈÔ Ì¤ÚÔ˜ - ›ÏÔÁÔ˜) Î·È ÙȘ ÓÔËÌ·ÙÈΤ˜ ÂÓfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘, – ‰›Óˆ Ï·ÁÈfiÙÈÙÏÔ˘˜ ÛÙȘ ·Ú·ÁÚ¿ÊÔ˘˜ ‹ ÛÙȘ ÓÔË-
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
39
∂ ∫£∂™∏ - ∂ ∫ºƒ∞™∏ Ì·ÙÈΤ˜ ÂÓfiÙËÙ˜, – ÂÈÛËÌ·›Óˆ ÙË ÏÔÁÈ΋ ‰È¿ÚıÚˆÛË ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ Î·È Î¿Óˆ ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ·, – Û¯ÔÏÈ¿˙ˆ ÙË Û˘ÓÔ¯‹ ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ (‰È·ÚıÚˆÙÈΤ˜ ϤÍÂȘ), – ÂÈÛËÌ·›Óˆ ÙËÓ ÔÚÁ¿ÓˆÛË ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ / ·Ú·ÁÚ¿ÊÔ˘ Ì ·ÈÙÈÔÏfiÁËÛË, ·ÓÙ›ıÂÛË, ÔÚÈÛÌfi, ‰È·›ÚÂÛË Î.Ù.Ï.
3. ™‡ÓÙ·ÍË EÈÛËÌ·›Óˆ Î·È ·ÈÙÈÔÏÔÁÒ ÙËÓ ÚÔÙ›ÌËÛË: – Û ÂÓÂÚÁËÙÈ΋ / ·ıËÙÈ΋ Û‡ÓÙ·ÍË, Û ÚËÌ·ÙÈÎfi ¯ÚfiÓÔ / ÚfiÛˆÔ / ¤ÁÎÏÈÛË, Û ̷ÎÚÔÂÚ›Ô‰Ô, ‹ fi¯È, ÏfiÁÔ, Û ·Ú·Ù·ÎÙÈÎfi ‹ ˘ÔÙ·ÎÙÈÎfi ÏfiÁÔ, Û ÔÓÔÌ·ÙÈο ‹ ÚËÌ·ÙÈο Û‡ÓÔÏ·, – Û ÛËÌ›· ÛÙ›Í˘.
4. §ÂÍÈÏfiÁÈÔ Î·È ‰È·Ù‡ˆÛË – EÚÌËÓ‡ˆ ϤÍÂȘ, ·ÓÙÈηıÈÛÙÒ ÌÂ Û˘ÓÒÓ˘Ì·, ‚Ú›ÛΈ ·ÓÙÒÓ˘Ì·, – ÂÓÙÔ›˙ˆ ÙȘ ÚÔÙÈÌ‹ÛÂȘ Û ÏfiÁȘ ‹ Ï·˚Τ˜ ϤÍÂȘ, Û ΢ÚÈÔÏÂÎÙÈ΋ ‹ ÌÂÙ·ÊÔÚÈ΋ ¯Ú‹ÛË Ù˘ ÁÏÒÛÛ·˜, Û ÂȉÈÎfi ÏÂÍÈÏfiÁÈÔ, fiÚÔ˘˜ Î.Ù.Ï., – ·ÍÈÔÏÔÁÒ ÙËÓ ·ÎÚ›‚ÂÈ· Î·È ÙË Û·Ê‹ÓÂÈ· ÙÔ˘ ÏÂÍÈÏÔÁ›Ô˘, – ÂÓÙÔ›˙ˆ ÙÔÓ ÙfiÓÔ (‹ÈÔ, ·fiÏ˘ÙÔ, Ô˘‰¤ÙÂÚÔ, ¯ıÚÈÎfi, ‰ÔÁÌ·ÙÈÎfi, ‰È·ÏÂÎÙÈÎfi Î.Ù.Ï.) ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘.
5. ⁄ÊÔ˜ X·Ú·ÎÙËÚ›˙ˆ ÙÔ ‡ÊÔ˜ ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘: – Ì ‚¿ÛË Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ (Û‡ÓÙ·ÍË, ÔÚÁ¿ÓˆÛË, ÏÂÍÈÏfiÁÈÔ, ·ÎÚ›‚ÂÈ·, Û·Ê‹ÓÂÈ·, ÙfiÓÔ˜ ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ Î.Ù.Ï.), – Ì ‚¿ÛË Ù· ÛÙÔȯ›· Ù˘ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋˜ ÂÚ›ÛÙ·Û˘ (ÔÌfi˜, ‰¤ÎÙ˘, ÛÎÔfi˜, ›‰Ô˜, ÏfiÁÔ˘ Î.Ù.Ï.).
II. °PAºø A. M ‚¿ÛË ¤Ó· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Î›ÌÂÓÔ 1. ¶ÂÚȯfiÌÂÓÔ – °Ú¿Êˆ ÌÈ· ÂÚ›ÏË„Ë, – ·Ó·Ù‡ÛÛˆ ÌÈ· ÊÚ¿ÛË, Ì›· ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ, ¤Ó· Âȯ›ÚËÌ· Î.Ù.Ï., – ÌÂÙ·Û¯ËÌ·Ù›˙ˆ ¤Ó· ΛÌÂÓÔ (·Ú·Ì¤ÓÂÈ, ‰ËÏ·‰‹, ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÚȯfiÌÂÓÔ, ·ÏÏ¿ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È ÙÔ Â›‰Ô˜ ÏfiÁÔ˘ ‹/Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ· ÛÙÔȯ›· Ù˘ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋˜ ÂÚ›ÛÙ·Û˘), – ·Ó·Ù‡ÛÛˆ ÙËÓ ·ÓÙ›ıÂÙË ¿Ô„Ë ·fi ·˘Ù‹Ó ÙÔ˘ Û˘ÁÁڷʤ·, – ·Ó·Ù‡ÛÛˆ Ù· ˘¤Ú Î·È Ù· ηٿ ÌÈ·˜ ¿Ô„˘ Î·È Î·Ù·Ï‹Áˆ Û ۇÓıÂÛË.
2. OÚÁ¿ÓˆÛË ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ 40
– XˆÚ›˙ˆ ÙÔ Î›ÌÂÓÔ Û ·Ú·ÁÚ¿ÊÔ˘˜,
– Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÌÂÙ·‚·ÙÈΤ˜ ϤÍÂȘ - Ù·ÎÙÔÔÈÒ ÙË Û˘ÓÔ¯‹ ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘, – ·Ó·Ù‡ÛÛˆ ¤Ó· ΛÌÂÓÔ Ì οÔÈ· ·fi ÙȘ ÌÂıfi‰Ô˘˜ ·Ó¿Ù˘Í˘ (·ÈÙÈÔÏfiÁËÛË, ·ÓÙ›ıÂÛË Î.Ù.Ï.).
3. ™‡ÓÙ·ÍË – MÂÙ·ÙÚ¤ˆ ÙË Û‡ÓÙ·ÍË: ÙËÓ ÂÓÂÚÁËÙÈ΋ ʈӋ Û ·ıËÙÈ΋ ‹ ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ, ÙËÓ ¤ÁÎÏÈÛË, ÙÔ ¯ÚfiÓÔ, ÙÔ ÚËÌ·ÙÈÎfi ÚfiÛˆÔ Î.Ù.Ï., Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ˘fi„Ë ÙËÓ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋ ÂÚ›ÛÙ·ÛË, – Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙË ÛÙ›ÍË.
4. §ÂÍÈÏfiÁÈÔ – ™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÎÂÓ¿, οӈ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›Â˜ ÛÙË ÛËÌ·Û›· ÙˆÓ Ï¤ÍˆÓ, – ÎÏÈÌ·ÎÒÓˆ ÙȘ ϤÍÂȘ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙË ÛËÌ·Û›· ÙÔ˘˜ Î.Ù.Ï., – Û¯ËÌ·Ù›˙ˆ ÊÚ¿ÛÂȘ Ì ÔÚÈṲ̂Ó˜ ϤÍÂȘ, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ Ù· ηٿÏÏËÏÔ ÁψÛÛÈÎfi Ï·›ÛÈÔ, – ÂÈϤÁˆ Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒ ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ ÏÂÍÈÏfiÁÈÔ ÁÈ· ¤Ó· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Î›ÌÂÓÔ, Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ˘fi„Ë ÙËÓ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋ ÂÚ›ÛÙ·ÛË.
5. ⁄ÊÔ˜ MÂÙ·‚¿Ïψ ÙÔ ‡ÊÔ˜ ÂÓfi˜ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙËÓ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋ ÂÚ›ÛÙ·ÛË.
B. EχıÂÚË ·Ó¿Ù˘ÍË ÂÓfi˜ ı¤Ì·ÙÔ˜ (§·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ¿ÓÙÔÙ ˘fi„Ë ÙËÓ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋ ÂÚ›ÛÙ·ÛË): ·) Ì οÔÈÔ˘˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜ (ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ¤ÎÙ·ÛË, ÙÔ ÏÂÍÈÏfiÁÈÔ Î.Ù.Ï.), ‚) ¯ˆÚ›˜ ηӤӷ ÂÚÈÔÚÈÛÌfi Áڿʈ ‰È¿ÊÔÚ· ΛÌÂÓ·, Û‡ÓÙÔÌ· ‹ ÂÎÙÂÓ¤ÛÙÂÚ·, Ì ÛÎÔfi Ó· ›ۈ ÚÔÛ¤¯ÔÓÙ·˜ ÙÔ Â›‰Ô˜ ÙˆÓ ÂȯÂÈÚËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒ Î·È ÙËÓ ÂÁ΢ÚfiÙËÙ¿ ÙÔ˘˜: .¯. ● οӈ ÌÈ· «ÂÎÛÙÚ·Ù›·» ÁÈ· ÙËÓ ÂÓË̤ڈÛË ÙÔ˘ ÎÔÈÓÔ‡ Û’ ¤Ó· ˙ˆÙÈÎfi ı¤Ì· ● ‚Ú›ÛΈ, ˆ˜ Û˘Ó‹ÁÔÚÔ˜, Ù· ÂȯÂÈÚ‹Ì·Ù·, ÁÈ· Ó· ˘ÂÚ·Û›Ûˆ ÙÔÓ Î·ÙËÁÔÚÔ‡ÌÂÓÔ ● ›ıˆ, Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÔÏÈÙÈÎÔ‡ Û ¤Ó· ÂÌfiÏÂÌÔ ÎÚ¿ÙÔ˜ ÙÔ˘˜ Û˘ÌÔϛ٘ ÌÔ˘ Ó· ‰Â¯ÙÔ‡Ó ÙËÓ ÂÈÚ‹ÓË ● οӈ Ì›· ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë ¤Ú¢ӷ Î·È ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ˆ Ù· ÔÚ›ÛÌ·Ù·, ÙÂÎÌËÚȈ̤ӷ, Û ¤Ó· ·Ïfi ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎfi ΛÌÂÓÔ ● Áڿʈ (·Ï¿) ΛÌÂÓ· Ì ‰ÔÎÈÌȷ΋ ÌÔÚÊ‹, ΢ڛˆ˜ Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ ·Ô‰ÂÈÎÙÈÎÔ‡ ‰ÔÎÈÌ›Ô˘ Î.Ô.Î.
EÚˆÙ‹ÛÂȘ ● ¢È·Ù˘ÒÛÙ Ì ‰Èο Û·˜ ÏfiÁÈ· ÙÔ ÛÎÔfi ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÁÚ¿ÊÙËΠÙÔ ‰ÔΛÌÈÔ. ● ¢ÒÛÙ ¤Ó·Ó Ï·ÁÈfiÙÈÙÏÔ Û ηı¤Ó· ·fi Ù· ‰ÔÌÈο ÙÌ‹Ì·Ù· ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘. ● ¢ÒÛÙ ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÙÔ˘ ‰ÔÎÈÌ›Ô˘.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
º π§√§√°π∫∞ ● ¶·ÚÔ˘Û›·Û ÙËÓ ·Ô‰ÂÈÎÙÈ΋ ‰È·‰Èηۛ· ÙÔ˘ ‰ÔÎÈÌ›Ô˘: ›ıÂÈ; ‰ÂÓ Â›ıÂÈ; ● ¶·ÚÔ˘Û›·Û ÙË ‰È΋ ÛÔ˘ ı¤ÛË ÙÂÎÌËÚȈ̤ÓË. ● YÔÛÙ‹ÚÈÍ ÙËÓ ·ÓÙ›ıÂÙË ı¤ÛË ·fi ÂΛÓË ÙÔ˘ Û˘ÁÁڷʤ·. ● ¶·ÚÔ˘Û›·Û ÙÔ ı¤Ì· (X) ÙÔÓ›˙ÔÓÙ·˜ Î·È ÙȘ ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ˆ˜ Ô˘‰¤ÙÂÚÔ˜ ·Ó·Ï˘Ù‹˜. ● ¶·Ú·ÎÔÏÔ‡ıËÛ ̤۷ ÛÙÔ ‰ÔΛÌÈÔ ÙËÓ ÎÏÈ̿ΈÛË ÙˆÓ ÂȯÂÈÚËÌ¿ÙˆÓØ Ë ÔÚ›· ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Ù· ·ÛıÂÓ¤ÛÙÂÚ· ÛÙ· ÈÛ¯˘ÚfiÙÂÚ·; ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË; οÔÈ· ¿ÏÏË; ● Œ¯ÂÈ ÙÔ ‰ÔΛÌÈÔ / Ë ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ˜ ÂÓfiÙËÙ·; ¢ËÏ·‰‹ Û¯ÂÙ›˙ÔÓÙ·È fiϘ ÔÈ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘/Ù˘ Ì ÙËÓ Î‡ÚÈ· ȉ¤·; M‹ˆ˜ ÌÂÛÔÏ·‚Ô‡Ó ¿Û¯ÂÙ˜ ·ÚÂÌ‚¿ÛÂȘ/·ÚÂÓı¤ÛÂȘ; ● ¶Ò˜ ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È Ë ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ˜ (X): Ì ÏÂÙÔ̤ÚÂȘ, Ì ÂÂÍ‹ÁËÛË, Ì ·ÈÙÈÔÏfiÁËÛË, Ì ÔÚÈÛÌfi, Ì ‰È·›ÚÂÛË, Ì ۇÁÎÚÈÛË Î·È ·ÓÙ›ıÂÛË, Ì ·Ó·ÏÔÁ›·, ÌÂ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi οÔÈˆÓ ·fi ÙȘ ·Ú·¿Óˆ ÌÂıfi‰Ô˘˜; ● °Ú¿„ ¿ÏÈ ÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ (·) ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÙÚfiÔ ·Ó¿Ù˘Í˘. ● °Ú¿„ ¿ÏÈ ÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ fiÛÔ ÌÔÚ›˜ ÏÈÁfiÙÂÚ˜ –ÙȘ ÈÔ ··Ú·›ÙËÙ˜– ϤÍÂȘ. ● •·Ó·Ï¿Û ÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ ·Ú¯›˙ÔÓÙ·˜ ·fi ÙËÓ Î·Ù·ÎÏ›‰·. ● AÓ¿Ï˘Û ÙÔ ÚfiÏÔ Ù˘ ·Ú·ÁÚ¿ÊÔ˘ (X) ·) ¶ÔÈ· ·Ó¿ÁÎË Â͢ËÚÂÙ›; ‚) ¶Ò˜ ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ› ̤۷ ÛÙÔ ‰ÔΛÌÈÔ; Á) ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ‰ÔÌ‹ Ù˘; ‰) YÔÛÙ‹ÚÈÍ ٷ ·ÓÙ›ıÂÙ· ·fi ÂΛӷ Ô˘ ·Ó·Ù‡ÛÛÔÓÙ·È ÛÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ. ● Œ¯ÂÈ Ë ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ˜ (X) Û˘ÓÔ¯‹; OÈ ÏÂÙÔ̤ÚÂȤ˜ Ù˘ ηٷٿÛÛÔÓÙ·È Ì¤Û· ÛÙÔ ¯ÚfiÓÔ; ̤۷ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ; ‹ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó Û˘ÏÏÔÁÈÛÙÈ΋ ÔÚ›·; TÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ÛËÌ·›ÓÂÈ: ·) Ô Û˘ÁÁڷʤ·˜ ·Ú¯›˙ÂÈ Ì ÌÈ· ÁÂÓÈ΋ ÎÚ›ÛË Î·È ¤ÂÈÙ· ÚÔÛÎÔÌ›˙ÂÈ ÙȘ ÏÂÙÔ̤ÚÂȘ (·Ú·ÁˆÁ‹)Ø ‚) Ô Û˘ÁÁڷʤ·˜ ÍÂÎÈÓ¿ÂÈ ·fi Ù· ÂÈ̤ÚÔ˘˜ Î·È ‡ÛÙÂÚ· ‰›ÓÂÈ ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· (·ÁˆÁ‹)Ø Á) Ô Û˘ÁÁڷʤ·˜ Û˘ÌÂÚ·›ÓÂÈ ·fi οÙÈ ÙÔ ÌÂÚÈÎfi ÁÈ· ¿ÏÏÔ Â›Û˘ ÌÂÚÈÎfi (·Ó·ÏÔÁ›·). ● AÓ·˙‹ÙËÛÂ Î·È ·ÍÈÔÏfiÁËÛ ÙȘ ÌÂÙ·‚·ÙÈΤ˜ ϤÍÂȘ Î·È ÊÚ¿ÛÂȘ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Ì¤Û· Û ÌÈ· ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ ‹ Ô˘ ÌÂÙ·‚È‚¿˙Ô˘Ó ·fi ÙË ÌÈ· ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ ÛÙËÓ ¿ÏÏË. ● ™ËÌ›ˆÛ ϤÍÂȘ Î·È ÊÚ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ‰ÔÎÈÌ›Ô˘ Ô˘ ÚÔ¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙË ÏfiÁÈ· ·Ú¿‰ÔÛË. XÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ Û ÊÚ¿ÛÂȘ fiÛÔ ÌÔÚ›˜ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·fi ·˘Ù¤˜. ● N· ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÂȘ ÛÙË (X) ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ϤÍÂȘ Ì ¿ÏϘ Û˘ÓÒÓ˘Ì˜. ● ™ËÌ›ˆÛ ÙȘ ϤÍÂȘ ‹ ÙȘ ÊÚ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ‰ÔÎÈÌ›Ô˘ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Û˘Ó˘Ô‰ËψÙÈο (ÌÂÙ·ÊÔÚÈο). ● ™ËÌ›ˆÛ ÙȘ ÂȉÈΤ˜ ϤÍÂȘ (ÂȉÈÎfi ÏÂÍÈÏfiÁÈÔ) Ì ÙȘ Ôԛ˜ ϤÎÂÙ·È Ô ÂÓÓÔÈÔÏÔÁÈÎfi˜ ÈÛÙfi˜ ÙÔ˘ ‰ÔÎÈÌ›Ô˘. ● °Ú¿„ ¿ÏÈ ÙÔÓ ÚfiÏÔÁÔ: ·) Û ÈÔ ‹ÈÔ Î·È ‚) Û ·fiÏ˘ÙÔ ÙfiÓÔ. ● EÈÛ‹Ì·Ó ¯ˆÚ›· ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ô˘ ‰ËÏÒÓÔ˘Ó ÙË ‰ÔÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ· ‹ ÙË ‰È·ÏÂÎÙÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ ‰ÔÎÈÌ›Ô˘.
● MÂϤÙËÛ ÙÔ ‡ÊÔ˜ ÙÔ˘ ‰ÔÎÈÌ›Ô˘ Î·È ÛËÌ›ˆÛÂ, ·Ó ¤¯ÂÈ ÎÔÈÓÔÙԛ˜, Ï·ÙÂÈ·ÛÌÔ‡˜, ·ӷϋ„ÂȘ, ÛˆÊÚÔÓÈÛÙÈο Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· Î.Ù.Ï. ● ¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‰È·ÎÚ›ÓÂȘ ·Ó ÂÈÎÚ·Ù› ÛÙÔ ‰ÔΛÌÈÔ Ë ÏÔÁÈ΋ ¯Ú‹ÛË Ù˘ ÁÏÒÛÛ·˜ ‹ Ë Û˘ÁÎÈÓËÛȷ΋. TÂÎÌËÚ›ˆÛ ÙËÓ ¿Ô„‹ ÛÔ˘ Ì ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·. ● Z‹ÙËÛ ÙȘ ϤÍÂȘ Î·È ÙȘ ÊÚ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó Û˘ÁÎÈÓËÛÈ·Îfi ‹ ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎfi ÙfiÓÔ.
°PA¶TO™ §O°O™ AÍÈÔÏfiÁËÛË: TÈ ˙ËÙԇ̠·fi ¤Ó· «Î·Ïfi» ΛÌÂÓÔ; ø˜ ÚÔ˜ ÙÔ ÂÚȯfiÌÂÓÔ – ÏËÚfiÙËÙ·, ‰ËÏ. ·Ú΋ ·Ó¿Ù˘ÍË ÙÔ˘ ı¤Ì·ÙÔ˜ Û fiÏÔ ÙÔ˘ ÙÔ ‚¿ıÔ˜ Î·È ÙÔ Ï¿ÙÔ˜, – ÂÓfiÙËÙ·, ‰ËÏ. ¿ÌÂÛË Û¯¤ÛË ÙÔ˘ ÂÚȯÔ̤ÓÔ˘ Ì ÙÔ ı¤Ì·, – ÙÂÎÌËÚ›ˆÛË ÙˆÓ ı¤ÛÂˆÓ Ì ÂÈÛÙÈο Î·È ÔÚı¿ ÂȯÂÈÚ‹Ì·Ù·, – ÚˆÙÔÙ˘›· ȉÂÒÓ. ø˜ ÚÔ˜ ÙË ‰È¿ÚıÚˆÛË ÙˆÓ ÛΤ„ˆÓ/ÙËÓ ·Ú¯ÈÙÂÎÙÔÓÈ΋ ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ – ÏÔÁÈ΋ ·ÏÏËÏÔ˘¯›· ÙˆÓ ÓÔËÌ¿ÙˆÓ, – Û˘ÓÔ¯‹ ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘, – ÂÈÛÙÈ΋ ηٿٷÍË ÙˆÓ ÂȯÂÈÚËÌ¿ÙˆÓ Û ÎÏÈ̷Έً ÌÔÚÊ‹, – ·ÔÙÂÏÂÛÌ·ÙÈ΋ ‰È¿ÎÚÈÛË ÙˆÓ ·Ú·ÁڿʈÓ, – ÚÔÛˆÈÎfi ÛÙ˘Ï. ø˜ ÚÔ˜ ÙË ¯Ú‹ÛË Ù˘ ÁÏÒÛÛ·˜ – Û·Ê‹ÓÂÈ·, – ·ÎÚ›‚ÂÈ·, – ÏÂÎÙÈÎfi - ÂÎÊÚ·ÛÙÈÎfi ÏÔ‡ÙÔ, – Ù‹ÚËÛË ÙˆÓ ÁÚ·ÌÌ·ÙÈÎÔÛ˘ÓÙ·ÎÙÈÎÒÓ Î·ÓfiÓˆÓ, – ÛˆÛÙ‹ ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘ ÛÙ›Í˘, – ηٿÏÏËÏÔ ‡ÊÔ˜ ÁÈ· ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Î›ÌÂÓÔ. ø˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋ ÂÚ›ÛÙ·ÛË – ›ÁÓˆÛË ÙÔ˘ ÛÎÔÔ‡ ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÁÚ¿ÊÂÙ·È ÙÔ Î›ÌÂÓÔ Î·È ·ÓÙ·fiÎÚÈÛË Û’ ·˘ÙfiÓ, – ÁÓÒÛË ÙˆÓ ·Ó·ÁÎÒÓ ÙÔ˘ ·ÎÚÔ·ÙËÚ›Ô˘ (‰¤ÎÙË) Î·È ·ÓÙ·fiÎÚÈÛË Û’ ·˘Ù¤˜, – ·ÔÙÂÏÂÛÌ·ÙÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ (= Ó· ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ› ·ÔÙÂÏÂÛÌ·ÙÈο ̤۷ ÛÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋ ÂÚ›ÛÙ·ÛË). ŸÏ˜ ÔÈ ·Ú·¿Óˆ ·Ú¿ÌÂÙÚÔÈ ı· Ú¤ÂÈ, ÂÔ̤ӈ˜, Ó· Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È ˘fi„Ë, fiÙ·Ó ·ÍÈÔÏÔÁԇ̠¤Ó· ÁÚ·Ùfi ΛÌÂÓÔ. A˜ ÚÔÛ¯ıÔ‡Ó È‰È·›ÙÂÚ· ÔÈ ·Ú¿ÌÂÙÚÔÈ Ù˘ ηٷÏÏËÏfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ‡ÊÔ˘˜, Ù˘ ·ÔÙÂÏÂÛÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ Î·È Ù˘ ›ÁÓˆÛ˘ ÙÔ˘ ÛÎÔÔ‡ ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÁÚ¿ÊÂÙ·È ÙÔ Î›ÌÂÓÔ, ÔÈ Ôԛ˜ Û¯ÂÙ›˙ÔÓÙ·È ¿ÌÂÛ· Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ÂÈÎÔÈÓˆÓȷ΋˜ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ˘.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
◆
41
º π§√§√°π∫∞
°PAMMATIKH TH™ APXAIA™ E§§HNIKH™ °§ø™™A™
¶∞ƒ∞∆∏ƒ∏™∂π™ °π∞ ∆∞ ¢πÃ√¡∞ ∆ø¡ ƒ∏ª∞∆ø ¡ * TÔ˘ ¢. ¶·Û¯·Ï›‰Ë, ºÈÏÔÏfiÁÔ˘
1)
Tα δχρονα α, ι, υ στις καταλξεις των ρηµτων εναι ραχα: π.χ. λυσα*ν, ρα*ν.
5)
* νενοµσθαι, * * κτλ. νοµζω, τ κοµζον
Eξα#ρεση: H κατληξη –ας της µετοχς αρσενικο γνους χει το α µακρ απ αντκταση: λ σα*ντ–ς > λ σα@ς, στ @ντ–ς > στ @ς.
Eξαιρονται: σα ρµατα δηλ νουν χο κραυγ: φρ ζω, κρ ζω, #λολ ζω, τρζω, σζω, γρ ζω, λελζω, κτλ. (α @ , υ @ , ι @ ) π.χ. κρ!ξαι (απαρ.), τ τρ(ζον.
Tο –α εναι µακρ, ταν προρχεται απ συναρεση: τµα@ (< τµα-ε), τιµν (< τιµ -ειν). 2)
Tα ρ µατα σε –ω %χουν το υ@ µακρ:
6)
λ ω, λε, λσον, δ ω, δε, τ δον τσι και: δακρ ω, ξαρτ ω, θ ω, δρ ω, σχ ω, κωλ ω, µην ω, µ ω, φ ω. α) )
γ)
3)
4)
Eξαιρ%σεις: χουν το υ: Πντοτε ραχ: ρ ω, κλ ω. Bραχ (υ@), ταν η συλλα πριν απ αυτ εναι ραχχρονη: !ν ω !ν τω, !ρ ω !ρ τω, µεθ ω, ταν ω. Bραχ (υ@), ταν χουν παρλληλους τπους σε –υµι: δεικν *ω (δεκνυ@µι), µειγν *ω (µεγνυ@µι), #λλ *ω ($λλυ@µι). Tα ρµατα θω και λω χω το υ@ (µακρ), στον ενεστ τα και παρατατικ και µπροστ απ το σ της κατληξης: θ σω, λ σω, θυσα, λυσα, λυσ µην (υ@) κτλ. Mπροστ απ λλο σµφωνο το υ εναι ραχ (υ*): τ%θυ@κα, τ%θυ@µαι, τεθ *µην, τυ*θ&σοµαι, τ *θην, λ%λυ*κα, λ%λυ*µαι, λελ *µην κτλ. Tο ρµα δω χει το υ µακρ (υ)@ παντο εκτς απ το µσο παρακεµενο και υπερσυντλικο και τον παθητικ µλλοντα και αριστο (υ*): δ @ω, δυ@ον, δ @σω, δυ@σα, δυ@ν, δ%δυ@κα, δεδ @κειν. αλλ: δ%δυ*µαι, δυ*θ&σοµαι, δ *θην.
42
Tα ρµατα σε –ζω χουν το δχρονο της παραλγουσας ραχ:
Tα ρµατα που λγουν σε (–ττω) χουν το δχρονο της παραλγουσας ραχ: πχ. τ τ *ττον, τ *ττε, τετ *χθαι. Eξαιρονται: χουν την παραλγουσα µακρ τα ρµατα πρ ττω, κηρ ττω, φρττω, θρ ττω (α,@ υ,@ ι )@ : Π.χ. τ πρττον, πρττε, πεπρχθαι, τ κηρττον, τ κηρξαν, κεκηρχθαι κτλ.
7)
Tα ρµατα που λγουν σε (–πτω) χουν το δχρονο της παραλγουσας ραχ: π.χ.θ πτοµαι – τεθ * φ θαι, τ θ πτον, θ πτε, *πτε, τ *πτον, *ψον, *ψαι (απαρ.) Eξαιρονται: Tα ρµατα ππτω, /πτω, νπτω, κ πτω, που χουν την παραλγουσα µακρ (ι @, υ@): π.χ. π(πτε, τ π(πτον, ρρ(φθαι, κψαι (απαρ.).
8)
Tα ρµατα σε (–ιω)
χουν το ι λλοτε ραχ
(σθ*ω, τ*ω, φθ*ω, !τ*ω, µαστ*ω κ..) και λλοτε µακρ (πρω, χρω, κυλω, µηνω κ..). Σηµ. Στην ΓAE του M. Oικονµου αναφρεται τι το τω χει το (ι @) (§285).
9)
Tα ρµατα που λγουν σε –ινω, –υνω, –ιρω και –υρω* χουν το δχρονο της παραλγουσας µακρ στον ενεστ τα, παρατατικ και αριστο ενεργητικ και µσης φωνς: π.χ. κρ(νε, σρε, τ κρ(νον, (απαρ.) κρ(ναι, !µναι, #ξναι, αλλ: κεκρσθαι (ι )* , 0ξ νθαι (υ)* (παρακεµενος).
* ∞fiÛ·ÛÌ· ·fi ÙÔ Ó¤Ô ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ ¢. ¶·Û¯·Ï›‰Ë, «°Ú·ÌÌ·ÙÈ΋ Ù˘ ∞Ú¯·›·˜ ∂ÏÏËÓÈ΋˜ °ÏÒÛÛ·˜ - £ÂˆÚ›· Î·È ∞Û΋ÛÂȘ», ∂ΉfiÛÂȘ ∑∏∆∏.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
º π§√§√°π∫∞
* ω και φθν* ω χουν το ι * Eξα#ρεση: Tα ρµατα τν ραχ µνο στον ενεστ τα, παρατατικ και µσο παρακεµενο: τνε, τ τνον, φθνε, τ φθνον. *
Σηµε#ωση: Aρχικ τα ρµ. σε –ινω, –υνω, –ιρω, –υρω, εχαν την παραλγουσα ραχχρονη: κρι@ν-iω>κρι@ν-νω>κρ@νω (αντκταση: ι* > ι @) τσι και οκτ*ρ-iω>οκτ*ρ-ρω>οκτ@ρω κτλ. Eπσης: κρι*ν-σα>κρι*ν-να>κρι@να κτλ.
10) $σα συνηρηµνα ρµατα σε –ω διατηρον το χαρακτρα α σε λους τους χρνους τον τρπουν σε α µακρ (α@): σαι, σθαι, εσθαι. Eξα#ρεση: Tα ρµατα γελ2, χαλ2, θλ2, σπ2 χουν παντο το α ραχ (α*): σπ σαι, σπ σθαι, γελ σαι (απαρ.) 11) Tα ενρινληκτα και υγρληκτα ρµατα που χουν µονοσλλαο θµα µε φωνεν ε τρπουν το ε σε α* στο µσο παρακεµενο και υπερσυντλικο (µερικ και στην ενεργητικ φων): φθερω (θ. φθ%ρ-), φθα*ρκα, φθα*ρµαι (απαρ. φθ *ρθαι), στ%λλω (θ. στ%λ-), στα * λ κα, στα * λ µαι (απαρ. στ *λθαι), σπερω (θ. σπ%ρ-), σπα*ρκα, σπα*ρµαι, τενω, (θ. τ%ν-), τ%τα * κ α, τ%τα * µ αι (απαρ. τετ *σθαι), στρ%φω, στραµµαι (απαρ. στρ *φθαι), τρ%πω, τ%τραµµαι (απαρ. τετρ *φθαι). τσι και ο παθητικς µλλοντας και παθητικς αριστος ¢ των ρηµτων: κπλ&ττοµαι, σ&ποµαι, τ&κοµαι, κλ%πτω, τρ%πω, τρ%φω, πλ%κω, στρ%φω, χουν α*: π.χ.
κλα*π&σοµαι, τρα*π&σοµαι, τρα*φ&σοµαι, πλ%κοµαι στρα*φ&σοµαι, κπλα*γ&σοµαι, σα*π&σοµαι, τα*κ&σοµαι,
κλ *πην τρ *πην τρ *φην πλ *κην στρ *φην ξεπλ *γην σ *πην τ *κην
12) χουν το δχρονο της παραλγουσας ραχ: 1. Tα ρµατα σε –λλω (π.χ. !γ λλω, λλε, τ λλον, σφ λλω, σφαλµαι). 2. Tα ρµατα σε –νω (π.χ. τυγχ νω, τ λαγχ νον, λ χε, λ θε).
3. Tα ρµατα σε –νυµι (εκτς απ τους τπους: δεκνυ@, δεικν ς, δεικνσα) κ.., δες §13). 13) Tο υ εναι µακρ στους παρακτω τπους των ρηµτων σε –υµι: – ¢ εν. προστ.: δεκνυ@, – ενικς αριθµς παρατ.: δεκνυ@ν, δεκνυ@ς, δεκνυ@, – ενικς αρ. οριστ. ενεστ.: δεκνυµι, δεκνυς, δεκνυσι, @ , –υσ@ α, –υσ@ ι): – στους τπους των µετοχ ν (–υς 3 δεικν ς, 4 δεικνσα, το(ς δεικνσι (απ6 απο ολ& του -ντ και αναπλ. %κταση υ * > υ@). 14) Tα περισστερα αφωνληκτα ρµατα (χαρακτρας: κ, γ, χ - π, , φ - τ, δ, θ) χουν το δχρονο της παραλγουσας ραχ: π.χ. 8γ-ω, 8γε, τ 8γον 8ρχ-ω, 8ρχε, 8ρξαι (απαρ.) γρ φ-ω, γρ φε, τ γρ φον, γρ ψον (προστ.)
* * τ πθον. * πθε, πεθ-ω, πιθ-ον, Eξα#ρεση: Tα ρµατα θλ ω, τρ ω, ρθω (= εµαι γεµτος), φρ γω (ξερανω), ψ χω χουν την παραλγουσα (ι @, υ@) µακρ: π.χ. θλ( ε, θλ(ψαι, τρ( ε, τ%τριµ@ µαι – τετρ(φθαι κτλ. 15) Στον α¢ ενεργητικ παρακεµενο και υπερσυντλικο το –υκα, –υκειν χει το υ µακρ (υ@), ταν εναι µακρ στον ενεστ τα και µλλοντα. Συνθως εναι ραχ (υ*): λ%λυ*κα, τ%θυ*κα, κ%χυ*κα, αλλ δ%δυ@κα, π%φυ@κα. 16) $ταν ο ρηµατικς τπος του παρακειµνου χει αττικ αναδιπλασιασµ, ττε το υ εναι ραχ (υ*): π.χ. #ρ9ρυ*χα. 17) $ταν ο ενεστ τας λγει σε –ζω, το –υ στον παρακεµενο και υπερσυντλικο εναι ραχ: π.χ. κλ ζω – κ%κλυκα (υ*). 18) Oι καταλξεις –υµαι, –υµην στο µσο παρακεµενο και υπερσυντλικο χουν το υ γενικ µακρ (υ@): τρ ω – τ%τρυµαι (απαρ. τετρσθαι), π%πνυµαι, αλλ: λ%λυ*µαι (λ ω), κ%χυ*µαι (χ%ω), τ%θυ*µαι (θ ω), δ%δυ*µαι (δ ω) το υ ραχ (υ*). 19) H κατληξη
–θην
χει γενικ το υ ραχ
(υ*): π.χ. λ θην, χ θην, δρ θην (υ*).
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
43
¶ ∞ƒ∞∆∏ƒ∏™∂π™
°π∞ ∆∞
20) Στο συνηρηµνο ενεργητικ µλλοντα, τον αρ. ¢ και παθ. αρ. ¢ (και τα παργωγα) το υ της παραλγουσας εναι ραχ (υ*): π.χ. !µυν2, φυγον (φ γε), τυχον (τ χε), ψ γην (ψ χω), κρ ην, φυ*γ& (υ*). 21) H κατληξη –(α*)ναι παρνει οξεα:
χει το α ραχ (α*) και
στ ναι, πιµπλ ναι, τεθν ναι, :στ ναι (:στηκ%ναι) κτλ. Eξαιρε#ται το δρναι (αρ. ¢ δραν – διδρ σκω). 22) Oι καταλξεις
–ι*κα, –ι*κειν
χουν το ι ραχ
(ι *): α) ταν ο ενεστ τας λγει σε –#*ζω –#*σσω (–#ττω), ) ταν χει χαθε το κ: δ%δια* , γ) ταν υπρχει αττικς αναδιπλασιασµς: !λ&* λιφα.
¢ πÃ√¡∞
∆ø¡
ƒ ∏ª∞∆ø¡
23) Oι καταλξεις –α@µαι, –α@µην χουν κατ καννα το α µακρ (α@): δ%δρα@µαι, :9ρα@µαι κ.. αλλ: τ%τα * µαι (τ%τα * κα) του τενω, λ&λα * µαι (λ&λα*κα) του λα νω και στα ρµατα του ενεστ τα δ να*µαι, µ ρνα*µαι, π%τα*µαι. 24) Oι καταλξεις –α*σµαι, –α*µµαι χουν το α * * συνθως ραχ: κ%κλα σµαι, σπα σµαι, π%φα*σµαι, τ%θρα*µµαι, τ%τρα*µµαι, στρα*µµαι. 25) Oι καταλξεις –#*θην
χουν συνθως το ι
ραχ (#*): κλ*θην, κρ*θην. 26) Tο δχρονο φωνεν του ενεργητικο και παθητικο παρακειµνου και του παθητικο αορστου α¢ των ρηµτων κρνω, πλ νω, τενω εναι ραχ: (τενω) τ%τα * κ α, τ%τα * µ αι, τ * θ ην, (κρνω) κ%κρι*κα, κ%κρι*µαι, κρ*θην, (πλ νω), π%πλυ*κα, π%πλυ*µαι, πλ *θην. ◆
A. I. ΓIAΓKOΠOYΛOY
ΣYNTAKTIKO της
ΛATINIKHΣ ΓΛΩΣΣAΣ
B¢ EK∆OΣH EK¢O™EI™ ΘEΣΣAΛONIKH 1995 £E™™A§ONIKH 1995
44 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
º π§√§√°π∫∞
§ATINIKA §YKEIOY À¶O¢EI°MATA A™KH™EøN TÔ˘ ∫. ¡ÙÔ‡ÚÔ˘, ºÈÏfiÏÔÁÔ˘
ÔÈÔ˜ Û˘ÛÙËÌ·ÙÈο ·Ú·ÎÔÏÔ˘ı› Ù· ı¤Ì·Ù· ÙˆÓ §·ÙÈÓÈÎÒÓ Ù· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ¯ÚfiÓÈ· ‰È·ÈÛÙÒÓÂÈ ÌÈ· ·ÏÏ·Á‹ ÊÈÏÔÛÔÊ›·˜ ÛÙËÓ ÂÈÙÚÔ‹ ÂÈÏÔÁ‹˜ ıÂÌ¿ÙˆÓ. H ·ÏÏ·Á‹ ·˘Ù‹ ÂÓÙÔ›˙ÂÙ·È Î˘Ú›ˆ˜ ÛÙÔ Û˘ÓÙ·ÎÙÈÎfi, ÙÔ ÔÔ›Ô Î·Ï‡ÙÂÈ È· ¤Ó· ¢ڇ Ê¿ÛÌ· ·Û΋ÛˆÓ, Ô˘ ··ÈÙ› Û˘ÛÙËÌ·ÙÈ΋ ÚÔÂÙÔÈÌ·Û›· ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· Â›Ó·È Ô ˘Ô„‹ÊÈÔ˜ Û ı¤ÛË Ó· ·ÓÙÈÌÂÙˆ›ÛÂÈ Ì ÂÈÙ˘¯›· ÙË ‰ÔÎÈÌ·Û›· ÙˆÓ ÂÍÂÙ¿ÛˆÓ. TÔ Â›Â‰Ô ·˘Ùfi ÙˆÓ ··ÈÙ‹ÛÂˆÓ Ï‹Úˆ˜ ηχÙÂÈ ÙÔ ‚È‚Ï›Ô §ATINIKA §YKEIOY, K. NTOYPOY, ÂΉfiÛÂȘ ZHTH, 1997, ·ÔÛ¿ÛÌ·Ù· ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ·Ú·Ù›ıÂÓÙ·È. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÛÙ·¯˘ÔÏÔÁÔ‡ÓÙ·È ·fi ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ˘Ô‰Â›ÁÌ·Ù· ·Û΋ÛÂˆÓ Ô˘ ·ÓÙ·ÔÎÚ›ÓÔÓÙ·È ÛÙÔ Â›Â‰Ô ÙˆÓ ÂÍÂÙ¿ÛˆÓ. OÈ ·Û΋ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÂÓ‰ÂÈÎÙÈΤ˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ ·Ú·‰ÂÈÁÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ÂÌÂÚȤ¯ÔÓÙ·È Î·È Û˘ÛÙËÌ·ÙÈο ·Ó·Ï‡ÔÓÙ·È ÛÙÔ ÂÓ ÏfiÁˆ ‚È‚Ï›Ô.
Ÿ
Tum adulescens ruit certatum (·ÈÙÈ·ÙÈ΋ ÛÔ˘›ÓÔ˘) Tum adulescens ruit ad certandum ( ad+aÈÙ. ÁÂÚÔ˘Ó‰›Ô˘) Tum adulescens ruit certandi causa ( causa + ÁÂÓÈ΋ ÁÂÚÔ˘Ó‰›Ô˘)
Á.
multas imagines nobis reliquerunt non solum ad intuendum (ÛÂÏ. 212) multas imagines nobis reliquerunt non solum ut intueremur (ÙÂÏÈ΋ ÚfiÙ·ÛË) multas imagines nobis reliquerunt non solum quas intueremur (·Ó·ÊÔÚÈÎÔÙÂÏÈ΋ ÚfiÙ·ÛË) multas imagines nobis reliquerunt non solum intuitum (·ÈÙ. ÛÔ˘›ÓÔ˘) multas imagines nobis reliquerunt non solum ad intuendum* (ad + ·ÈÙ. ÁÂÚÔ˘Ó‰›Ô˘) multas imagines nobis reliquerunt non solum intuendi causa* (causa + ÁÂÓ. ÁÂÚÔ˘Ó‰›Ô˘)
1. ¢H§ø™H TOY ™KO¶OY ÌÂÙ¿ ·fi Ú‹Ì·Ù· ΛÓËÛ˘ - °EPOYN¢IAKH E§•H
·.
filiola eius ad complexum patris cucurrit (ÛÂÏ. 172)
filiola eius cucurrit ut complecteretur patrem (ÙÂÏÈ΋ ÚfiÙ·ÛË) filiola eius cucurrit quae complecteretur patrem (·Ó·ÊÔÚÈ΋-ÙÂÏÈ΋ ÚfiÙ·ÛË) filiola eius cucurrit complexum patrem (ÛÔ˘›ÓÔ) filiola eius cucurrit ad complectendum patrem* (ÂÌÚfiıÂÙÔ ÁÂÚÔ‡Ó‰ÈÔ Ì ·ÈÙ.) filiola eius cucurrit complectendi causa (patrem) (causa+ÁÂÓ. ÁÂÚÔ˘Ó‰›Ô˘) ™ã·˘Ù‹ ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ¤¯Ô˘Ì ˘Ô¯ÚˆÙÈ΋ ÁÂÚÔ˘Ó‰È·Î‹ ¤ÏÍË, ‰ËÏ. ad complectendi patris
‚.
Tum adulescens in certamen ruit (ÛÂÏ. 209)
Tum adulescens ruit ut certaret (ÙÂÏÈ΋ ÚfiÙ·ÛË) Tum adulescens ruit qui certaret (·Ó·ÊÔÚÈÎÔÙÂÏÈ΋ ÚfiÙ·ÛË)
2. METATPO¶H ¶POTA™H™ ™E METOXH
·.
N· ÌÂÙ·ÙÚ·Ô‡Ó ÔÈ ˘ÔÁÚ·ÌÌÈṲ̂Ó˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Û ÌÂÙÔ¯¤˜ (ÛÂÏ.169, 173, 178, 205)
Hannibal omnes gentes Hispaniae bello superavit et Saguntum vi expugnavit: Hannibal omnibus gentibus Hispaniae bello superatis Saguntum vi expugnavit Postea Alpes, quae Italiam ab Gallia seiungunt, cum elephantis transiit: Postea Alpes Italiam ab Gallia seiungentes cum elephantis transiit Postquam XIV annos in Italia complevit Carthaginienses eum revocaverunt: XIV annis in Italia completis a Hannibale Carthaginienses eum revocaverunt
‚.
Terror animos militum invaserat et exercitus fiduciam amiserat: Animis militum invasis terrore
* AÓ ıˆÚËı› ˆ˜ ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ ÙˆÓ ÂÌÚÔı¤ÙˆÓ ÁÂÚÔ˘Ó‰›ˆÓ ÙÔ multas imagines ı· ¤¯Ô˘Ì ˘Ô¯ÚˆÙÈ΋ ÁÂÚÔ˘Ó‰È·Î‹ ¤ÏÍË, ‰ËÏ. ı· Á›ÓÂÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·: ad intuendas multas imagines // intuendarum causa multarum imaginum
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
45
§ ∞∆π¡π∫∞ § À∫∂π√À exercitus fiduciam amiserat Quia ille metum vicerat, imperator adversarios vincere potuit: Victo metu ab illo imperator adversarios vincere potuit
Á.
Cum civitas bellum gerit , magistratus creantur: civitate bellum gerente , magistratus creantur Germani vinum a mercatoribus ad se importari non sinunt, quod ea re remollescunt homines Germani vinum a mercatoribus ad se importari non sinunt ea re remollescentibus hominibus
‰.
quotiescumque avis non respondebat, sutor dicere solebat: ave/i non respondente sutor dicere solebat cum Octavianus Romam rediret, homo quidam ei occurrit: Octaviano Romam redeunti homo quidam occurrit
3. ANA§Y™H METOXøN
·. N· ÌÂÏÂÙËıÔ‡Ó Ù· Û˘ÓÙ·ÎÙÈο Ê·ÈÓfiÌÂÓ· Î·È Ó·
audivisset // Postquam Caesar salutationem audivit
4. METATPO¶H ENEP°HTIKH™ ™YNTA•H™ ™E ¶A£HTIKH KAI ANTI™TPOºA
·.
A. Regulus scripsit ab eo desertum esse rus (ÛÂÏ 219): Is (mercenarius meus) rus deseruit
‚.
nihil illis pater reliquerat (ÛÂÏ. 219): nihil illis a patre relictum erat
Á.
Numquam ego hostem iudicabo Marium // Semper tamen meminero urbem Romam et Italiam a Mario conservatam esse (ÛÂÏ. 231) Numquam Marius hostis a me iudicabitur // Semper tamen meminero Marium urbem Romam et Italiam conservavisse
‰.
atque id quod a Caesare scriptum est, habe semper in memoria (ÛÂÏ. 233): atque id quod Caesar scripsit, habe semper in memoria
Â.
Curat et providet ne nostra consilia ab hostibus cognoscantur // Haec a quodam milite conspicitur et ad Ciceronem defertur (ÛÂÏ.242) Curat et providet ne nostra consilia hostes cognoscant Hanc quidam miles conspicit et ad Ciceronem defert
·Ó·Ï˘ıÔ‡Ó Û ‰Â˘ÙÂÚ‡ԢÛ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ï·Ì‚·ÓÔ̤ÓÔ˘ ˘fi„Ë ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ Ù˘ ·ÚÈ·˜ ÚfiÙ·Û˘ (ÛÂÏ. 191) Brenno duce: I‰ÈfiÌÔÚÊË ·Ê·ÈÚÂÙÈ΋ ·fiÏ˘ÙË (‰ËÏÒÓÂÈ ¯ÚfiÓÔ) Ì ˘ÔΛÌÂÓÔ ÙÔ Brenno Î·È ÙÔ duce ηÙËÁÔÚËÌ·ÙÈÎfi ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi Cum Brennus dux esset ...everterunt deletis legionibus: I‰È¿˙Ô˘Û· ·Ê·ÈÚÂÙÈ΋ ·fiÏ˘ÙË (·ÓÙ› Û˘ÓËÌ̤Ó˘) ¯ÚÔÓÈ΋ ÌÂÙÔ¯‹ Cum Galli legiones delevissent ... everterunt...
‚.
Caesar ex captivis cognoscit quae apud Ciceronem gerantur quantoque in periculo res sit: Quae apud Ciceronem geruntur quantoque in perculo res est?
‚.
Tum cuidam ex equitibus Gallis prsuadet ut ad Ciceronem epistulam deferat: Ad Ciceronem epistulam defer
Á.
Curat et providet ne, intercepta epistula, nostra consilia ab hostibus cognoscantur: intercepta epistula nostra consilia ab hostibus ne cognoscuntor
‰.
In literris scribit se cum legionibus celeriter adfore: Ego cum legionibus celeriter adero
Â.
Gallus constituit ut tragulam mitteret: tragulam mittam
ÛÙ. Ille milites adhortatur ut salutem sperent: salutem N· ·Ó·Ï˘ı› Ë ÌÂÙÔ¯‹ Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ‰˘Ó·ÙÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜ (ÛÂÏ. 205)
audita salutatione: Cum Caesar salutationem 46
·.
N· ·Ó·Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ÌÂÙÔ¯¤˜ Û ‰Â˘ÙÂÚ‡ԢÛ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ (ÛÂÏ. 191)
divisam: qui in exilio fuerat propter praedam..., quae non aequio iure divisa erat absens: Tum Camillus, etsi aberat, dictator est factus interemptis: Cum Camillus eos interemisset ... recepit ‹ Postquam Camillus eos interemit... appensum: Aurum, quod illic appensum erat , civitati nomen dedit rogatus: Post hoc factum rediit in exilium, unde tamen reversus est, postquam rogatus est abeuntes: Is Gallos, dum iam abeunt, secutus est ( Û˘Ó¯È˙fiÌÂÓË Ú¿ÍË) ‹ Is Gallos, cum iam abirent, secutus est (ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÙˆÓ ¯ÚfiÓˆÓ)
Á.
5. ¶§A°IO™ §O°O™ (ÌÂÙ·ÙÚÔ‹ Ï·Á›Ô˘ Û ¢ı‡ Î·È Â˘ı‡ Û ϿÁÈÔ)
sperate
˙.
Legatum monet ut, si adire non possit, epistulam ad amentum tragulae adliget et intra castra abiciat:
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
º π§√§√°π∫∞
Ë.
si adire non poteris epistulam ad amentum tragulae adliga et intra castra abice (ÛÂÏ. 242)
7. TPO¶H Y¶O£ETIKOY §O°OY ™TA A§§A EI¢H
Catilina a Cicerone ex urbe expulsus est. Ab Antonio, altero consule, Catilina ipse proelio victus interfectus est: ·)N· ÌÂÙ·Ùڷ› Ë ·ıËÙÈ΋ Û‡ÓÙ·ÍË Û ÂÓÂÚÁËÙÈ΋ ‚) N· ÂÍ·ÚÙËı› ·fi ÙÔ Sallustius tradit (ÛÂÏ. 188)
·.
·) Cicero Catilinam ex urbe expulit. Antonius, alter consul, Catilinam ipsum proelio victum interfecit ‚) Sallustius traxit Catilinam a Cicerone ex urbe expulsum esse et ab Antonio, altero consule, eum ipsum proelio victum interfectum esse
ı.
Gaius Sallustius tradit multos etiam milites Romanos in eadem cruentissima pugna occisos esse, multos autem graviter vulneratos esse: Multi etiam milites Romani in eadem cruentissima pugna occisi sunt, multi autem graviter vulnerati sunt
6. METATPO¶H ¶A£HTIKH™ ¶EPIºPA™TIKH™ ™YZY°IA™ ™E ENEP°HTIKH KAI ANTI™TPOºA
·. ‚.
Vim hostium cavere debetis: cavenda est vobis (ÛÂÏ. 163)
Si haberet Asia suspicionem quandam luxuriae, Murenam laudare deberemus (ÌË Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÛÙÔ ·ÚfiÓ) Si habuisset ... Murenam laudare debuissemus ( ÌË Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÛÙÔ ·ÚÂÏıfiÓ) Si habeat Asia ... Murenam laudare debeamus (‰˘Ó·Ùfi ‹ Èı·Ófi)
‚.
Neminem credideritis patriae consulturum esse, nisi vos ipsi patriae consulueritis: N· ÌÂÙ·Ùڷ› Ô Ï¿ÁÈÔ˜ ÏfiÁÔ˜ Û ¢ı‡ Î·È Ó· Ùڷ› Ô ˘ÔıÂÙÈÎfi˜ ÏfiÁÔ˜ ÛÙ· ¿ÏÏ· ›‰Ë (ÛÂÏ.198)
nemo consulet, nisi vos ipsi patriae consulueritis (·ÓÔȯً ˘fiıÂÛË) nemo consuleret / consuluisset, nisi vos ipsi patriae consuleretis / consuluissetis (ÌË Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi) nemo consulat, nisi vos ipsi patriae consulatis (‰˘Ó·Ùfi, Èı·Ófi)
8. A¶A°OPEY™H
Vis hostium
·.
N· ·ÓÙÈηٷÛÙ·ı› Ë ·ıËÙÈ΋ ÂÚÈÊÚ·ÛÙÈ΋ Û˘˙˘Á›· ·fi ÙÔ debeo + ··Ú¤ÌÊ·ÙÔ (ÛÂÏ. 214)
omnia sunt excitanda tibi uni: Tu unus omnia excitare debes comprimendae (erant) libidines tibi: Tu libidines comprimere debebas omnia vobis vincienda fuerunt: Vos omnia vincire debuistis
N· ·ÓÙÈηٷÛÙ·ı› ÙÔ debeo + ··Ú¤ÌÊ·ÙÔ ·fi ÙËÓ ·ıËÙÈ΋ ÂÚÈÊÚ·ÛÙÈ΋ Û˘˙˘Á›·
NÔs bella vitare (·ÔʇÁˆ) debemus: Bella vitanda sunt nobis Vos pacem expetere debebatis: Pax expetenda erat vobis vulneribus mederi debes:Vulneribus medendum est a te ( ÙÔ ÔÈËÙÈÎfi ·›ÙÈÔ Ù›ıÂÙ·È Û ÂÌÚfiıÂÙË ·Ê·ÈÚÂÙÈ΋ ÁÈ· Ó· ·ÔÊ¢¯ı› Ë Û‡Á¯˘ÛË)
Noli spectare quanti homo sit: N· ÂÎÊÚ·ÛÙ› Ë ··ÁfiÚ¢ÛË Ì ¿ÏÏÔ ÙÚfiÔ & Ó· ÂÍ·ÚÙËı› Ë ÚfiÙ·ÛË ·fi ÙÔ orabam illum (ÛÂÏ. 202)
Ne spectaveris quanti homo sit orabam illum ne spectaret quanti homo esset (ÔÈ ‚Ô˘ÏËÙÈΤ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ, fiÙ·Ó Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈΤ˜, ÂÈÛ¿ÁÔÓÙ·È Ì ÙÔ ne Î·È ÂÎʤÚÔÓÙ·È Ì ˘ÔÙ·ÎÙÈ΋ ÂÓÂÛÙÒÙ· ‹ ·Ú·Ù·ÙÈÎÔ‡)
‚.
Subveniendum erat reipublicae (a te): Tu rei publicae subvenire debebas
Á.
Si habet Asia suspicionem quandam luxuriae, Murenam laudare debemus:(ÛÂÏ. 208)
Opibus urbis nolite confidere // Neminem credideritis patriae consulturum esse: N· ‰Ôı› Ë ··ÁfiÚ¢ÛË Ì ¿ÏÏÔ ÙÚfiÔ
Ne opibus urbis confisi sitis // nolite credere patriae aliquem consulturum esse
9. Bã OPO™ ™Y°KPI™H™
·.
ut nihil ei gratius possit esse quam recuperatio fugitivi: ut nihil ei gratius possit esse recuperatione fugitivi
‚.
Ea puella nihil umquam festivius vidi: Nihil umquam festivius quam eam puellam vidi
◆ 47 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
NEA E
K¢O™H
™TAYPOY °. IOY§I¢H
A§°EBPIKE™ ¢OME™ ¢IANY™MATIKOI XøPOI - ¶INAKE™ °PAMMIKA ™Y™THMATA - I¢IOME°E£H TETPA°øNIKE™ MOPºE™ ™HMEIAKOI XøPOI - TANY™TE™
ΘEΣΣAΛONIKH
