Физический практикум по атомной и ядерной физике. Ч.3

ФИЗИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ ПО АТОМНОЙ И ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ Часть 3

Издательство Калининградского государственного университета 2004

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ ПО АТОМНОЙ И ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ Часть 3 Учебно-методическое пособие

Калининград Издательство Калининградского государственного университета 2004

1

УДК 539.1(075.8):539.18 ББК 22.38я73 Ф 505 Печатается по решению Редакционно-издательского совета Калининградского государственного университета. Ф 505 Физический практикум по атомной и ядерной физике: Учебно-методическое пособие. Ч. 3./ Авт.сост.: К.П. Корнев, И.П. Корнева, А.В. Пец – Калининград: Изд-во КГУ, 2004. – с. ISBN 5-88874-233-3 Даны описания пяти лабораторных работ по атомной физике. Предназначено для студентов дневного и вечернего отделений физического факультета.

Авторы-составители: К.П. Корнев, кандидат физ.-мат. наук, доцент; И.П. Корнева, кандидат техн. наук; доцент; А.В. Пец, кандидат физ.-мат. наук, доцент.

УДК 539.1(075.8):539.18 ББК 22.38я73 ISBN 5-88874-233-3

© Издательство КГУ, 2004

2

Лабораторная работа № 3 ИЗУЧЕНИЕ СПЕКТРА АТОМА ВОДОРОДА Цели: 1. Изучение сериальных закономерностей и экспериментальное определение длин волн в спектре испускания атомарного водорода. 2. Вычисление постоянных Ридберга и Планка. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Спектры излучения или поглощения разряженных атомарных газов линейчатые. Спектральная линия атома занимает узкую, практически монохроматическую, область на шкале частот. Типичное значение естественной ширины спектральной линии атома по порядку величины составляет (10-10 – 10-8 ) Гц. Наблюдаемая ширина спектральных линий определяется также характеристиками используемого спектрального прибора. Существуют определенные закономерности в расположении спектральных линий. Например, длины волн спектра атома водорода хорошо описываются эмпирической формулой:

1 1 ⎞ ⎛ 1 = R ⋅⎜ 2 − 2 ⎟ λ n ⎠ ⎝m

,

(1)

где R=109677,576 см-1 - постоянная Ридберга; целые числа m и n принимают значения m = 1,2,3, ...; n = m+1, m+2, m+3, ... . Серией водородоподобных атомов называют совокупность спектральных линий, длины волн которых удовлетворяют формуле (1) при m=const. Каждая серия характеризуется головной лиm2 . Приближаясь к фиоленией (n=m+1) и фиолетовой границей серии: λ min = R товой границе серии спектральные линии сгущаются. В спектре атома водорода принято выделять следующие серии: Лаймана (m=1), Бальмера (m=2), Пашена (m=3), Брэккета (m=4), Пфунда (m=5), Хэмфри(m=6), Хансена-Стронга(m=7). Серия Лаймана целиком попадает в область вакуумного ультрафиолета. В оптическом диапазоне находится серия Бальмера, а в инфракрасной области лежат серии с m ≥ 3. Электромагнитное излучение с частотами большими фиолетовой границы серии Лаймана приводит к ионизации атома водорода. Соотношение (1) называют обобщенной формулой Бальмера в честь швейцарского физика Иоганна Бальмера, который в 1885г. открыл указанную закономерность для видимой части спектра испускания водорода. Оптические спектры многоэлектронных атомов имеют более сложный характер. Поиск закономерностей в расположении спектральных линий облегчает комбинационный принцип Ридберга-Ритца:

3

ν = T (m) - T (n),

(2)

где ν - частота спектральной линии, а числа Т (m) и Т (n) называют спектральными термами атома. Расположение линий в атомных спектрах может быть объяснено только на основе квантовых представлений. Согласно квантовой механике энергия электронов в атоме принимает не непрерывный, а дискретный ряд значений. Состояние атома с определенным значением энергии Еn называют стационарным и на энергетической шкале ему соответствует энергетический уровень. Спектральная линия возникает в результате квантового перехода атома с одного уровня на другой. Энергия квантового перехода идет на излучение или поглощение кванта света hν, где h - постоянная Планка. Поэтому частота спектральной линии равна разности энергий уровней стационарных состояний атома (правило частот Бора):

ν=

En − Em h

,

(3)

Формула (3) позволяет найти связь термов с энергией стационарных состояний атома: Т (n) = - Еn / h. В 1913 г. Нильс Бор, используя принцип соответствия и соотношения (1), (3), впервые теоретически рассчитал величину постоянной Ридберга:

m ⋅ M 2π 2 e 4 R= ⋅ m + M ch 3

(4)

где е - заряд электрона; m - его масса; М - масса ядра атома; с - скорость света. Формула (4) может быть получена и на основе квантовой механики. Если не учитывать релятивистские эффекты, то энергия уровней атома водорода определяется одним квантовым числом n, называемым главным квантовым числом: En = −

chR 13.6 = − 2 эВ ; 2 n n

n = 1,2,3,...

(5)

На рис. 1. изображены энергетические уровни атома водорода, а стрелками показаны квантовые переходы, соответствующие сериям Лаймана, Бальмера, Пашена.

4

Рис. 1. Спектральные переходы в атоме водорода ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ Описание установки Монохроматор УМ -2. Для измерения длин волн спектральных линий в работе используется стеклянно-призменный монохроматор-спектрометр УМ-2, предназначенный для спектральных исследований в диапазоне от 0,38 до 1,00 мкм. В состав прибора входят следующие основные части (см. рис. 2.).

Рис.2 Оптическая схема спектрометра УМ-2 1. Входная щель 1 снабжена микрометрическим винтом 9, который позволяет открывать щель на нужную ширину. 2. Объектив коллиматора 2 перемещается винтом 8, что позволяет фокусировать объектив относительно щели. Фокусировка для спектральных линий разного цвета различна. 3. На подвижном столике 6 установлена спектральная призма 3, склеенная из трех призм, крайние из которых изготовлены из флинта, а средняя - из крона. 4. Поворотный столик 6 вращается вокруг вертикальной оси при вращении барабана 7. Барабан проградуирован в градусах. Отсчет показаний барабана ведется по риске, нанесенной на левой стороне скользящего по шкале бараба5

на указателя. При вращении барабана за счет поворота призмы в поле зрения окуляра 5 появляются различные участки спектра. 5. В зрительной трубе расположены объектив 4 и окуляр 5. Объектив 4 дает изображение входной щели 1 в своей фокальной плоскости, в которой размещен указатель 10. Сверху на зрительной трубе расположен колпачок, откинув который можно слегка подсветить указатель, когда он плохо виден при рассмотрении линий с маленькой интенсивностью. Освещенность указателя регулируется вращением обоймы со светофильтрами различной плотности ( на рис.2 это не показано). 6. При работе с монохроматором источники света располагаются как можно ближе к щели 1. При подготовке монохроматора к наблюдениям обратите внимание на фокусировку. Для четкого изображения спектральных линий необходимо сначала получить резкое изображение острия указателя 10 посредством перемещения окуляра. Затем, осветив щель ртутной лампой, нужно получить ясное изображение спектральных линий, подстраивая фокусировку винтом 8. Для уменьшения погрешности отсчета по барабану ширину щели надо делать по возможности малой, однако для наблюдения слабых линий ее приходится несколько расширять. Глаз лучше фиксирует слабые линии в движении, поэтому для обнаружения таких линий полезно слегка поворачивать барабан в обе стороны от среднего положения. Источники света. Для получения эталонного спектра применяют ртутную или неоновую газоразрядную лампу. Для получения спектра водорода используют газоразрядную трубку, наполненную водородом. ВНИМАНИЕ! На газоразрядную трубку подается высокое напряжение порядка 20 кВ. При горении ртутной лампы в колбе развивается большое давление, поэтому зажженную лампу лучше не перемещать с места на место. Градуировка спектрометра. Для градуировки применяют ртутную или неоновую лампу. Таблица спектральных линий находится на рабочем месте. В этой же таблице указаны относительные интенсивности линий, определенные визуально. Градуировочную кривую надо строить в крупном масштабе на миллиметровой бумаге. Иногда при построении графика некоторые экспериментальные точки оказываются смещенными от плавной кривой. Чаще всего такие "выбросы" свидетельствуют о неправильной расшифровке спектра. По оси Х откладывают градусные деления барабана, а по оси Y - длины волн соответствующих линий. Водородная трубка. В спектре водородной трубки наряду с линиями атомарного спектра наблюдаются линии молекулярного водорода. Начать поиск нужных линий удобно с красной линии Нα. Вторая линия Нβ - зелено-голубая (цвета морской волны). В промежутке между ними располагаются красножелтые и зеленые сравнительно слабые линии молекулярного спектра водорода. Третья линия Нγ - фиолетово-синяя, перед ней наблюдаются две слабые 6

размазанные полосы молекулярного спектра синего цвета. Четвертая линия Нδ - фиолетовая, ее не всегда удается увидеть. Порядок выполнения работы 1. Ознакомьтесь по инструкции, находящейся на рабочем месте, с порядком включения и выключения спектральных ламп. 2. Проградуируйте монохроматор по спектрам ртути или неона. Учтите, что любая механическая система имеет люфт (свободный ход). Поэтому при снятии положения эталонных линий вращайте барабан в одном направлении. Затем верните барабан в исходное положение и повторите измерения. Длины волн эталонных линий и соответствующие показания шкалы барабана занесите в таблицу 1. Постройте градуировочный график. Таблица 1. Градуировка УМ-2 по эталонному спектру λ, Ангстрем

Хэталона ( показания шкалы барабана ) 1 2 3

среднее значение Хэталона

… 3. Включите водородную лампу. Измерьте по шкале барабана спектрометра положения Х водородных линий серии Бальмера: Нα, Нβ, Нγ и если видна, то и Нδ. Заполните таблицу 2. Таблица 2. Положения спектральных линий водорода Х, деления шкалы барабана среднее значение название Х 1 2 3 4 5 Нα Нβ Нγ 4. Оцените длины волн водородных линий следующими способами: 1) по градуировочному графику; 2) методом линейной и квадратичной интерполяции [6]. Сравните эти способы нахождения длин волн, поясните причины их различий, оцените погрешности. 5. Вычислите постоянную Ридберга, используя формулу (1). Для этого надо решить систему уравнений:

⎛ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 1 ⎞ 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ ⎟, ; R = R ⎜ 2 − 2 ⎟; = R ⎜⎜ 2 − = − 2 ⎟ 2 ⎟ 2 ⎜ λα m n λ m λ m (n + 1) ⎠ γ (n + 2) ⎠ ⎝ ⎠ β ⎝ ⎝ составленную из уравнений трех соседних спектральных линий Нα , Нβ , Нγ .

7

(6)

Методы вычислений R приведены в приложении. 6. По полученным данным рассчитайте по формуле (1) длину волны Нδ, а по формуле (4) - значение постоянной Планка. Сравните их значения с табличными. Оцените погрешность экспериментального определения указанных величин. Список рекомендуемой литературы 1. Шпольский Э. В. Атомная физика.- М.: Наука, 1984. т. 1, §§ 103-112, 114. 2. Шпольский Э.В. Атомная физика.- М.: Наука, 1984. т. 2, гл. 5. 3. Савельев И.В. Курс общей физики.- М.: Наука, т.3. 4. Нильс Бор. О строении атомов и молекул. Избранные научные труды. - М.: Наука, 1970. т. 1, с. 84-106. 5. Тригг Дж. Физика XX века: ключевые эксперименты. - М.: Мир,1978,гл.7. 6. Корнев К.П., Корнева И.П., Пец А.В. Физический практикум по атомной и ядерной физике: Уч.-методическое пособие. ч.2.- Калининград: Изд-во КГУ, 2002. Стр. 82, 83. Контрольные вопросы 1. Чему равен по порядку величины размер атома, ядра? Каков будет диаметр ядра, если атом увеличить до размеров лаборатории? 2. Сформулируйте закономерности в спектре атома водорода (обобщенная формула Бальмера, комбинационный принцип, терм атома водорода). 3. Связь термов атома с энергиями стационарных состояний. 4. Расчет постоянной Ридберга на основе постулатов Бора и принципа соответствия. Запишите формулу для постоянной Ридберга в системе СИ, СГСЕ. 5. Каким физическим принципам противоречит представление о движении электрона в атоме по орбите? Когда можно говорить о траектории электрона? 6. Опишите качественно картину изменения плотности вероятности распределения электрона (электронного облака) в атоме водорода при переходе его из основного состояния в состояния с n=2, n=3, где n-главное квантовое число. 7. Каков физический смысл квантовых чисел n, l, ml в теории БораЗоммерфельда и в волновой квантовой механике? 8. Нарисуйте диаграмму спектральных переходов атома водорода. Почему обычно только серия Лаймана наблюдается в спектре поглощения? Как оценить потенциал ионизации водорода по спектральным данным?

8

Приложение Способы вычисления постоянной Ридберга Графический. Полагаем в формулах (6) m=2 (почему?). Тогда уравнения (6) определяют три функциональные зависимости R от n. Постройте графики этих зависимостей в одной системе координат. Координаты точек пересечения полученных кривых дают возможные значения постоянной Ридберга и квантового числа n. Масштаб и диапазон изменения переменной n выбирайте таким, чтобы точки пересечения кривых четко разделялись. Численный. Находим из системы (6) уравнение для определения квантового числа n: n=

2 ⎛ ν 2 − ν1 2n + 3 ⎞ ⎟⎟ - 1 ⎜⎜ ν ν 2n 1 − + 2 ⎠ ⎝ 3

,

(7)

где ν = 1 / λ - обратная длина волны, 1→ α, 2→ β, 3→ γ. Нелинейное уравнение (7) можно решить методом последовательных итераций. Точность численного расчета искомых величин определяется погрешностью используемых экспериментальных данных. Начальное значение итерации по n задайте исходя из физического анализа задачи. Величину постоянной Ридберга затем определите по формуле:

n 2 (n + 1) R = ( ν 2 − ν1 ) 2n + 1

2

9

.

(8)

Лабораторная работа № 4 ОПЫТ ФРАНКА И ГЕРЦА Цели: 1. Изучение столкновения электронов с атомами. 2. Экспериментальное определение первого потенциала возбуждения атомов ртути. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ В 1913 году Нильс Бор ввел в физику представление об устойчивых (стационарных) состояниях атома, находясь в которых атом не излучает и не поглощает энергии. Изменение же энергии системы "происходит не непрерывно, как это принимается в обычной электродинамике, а только при переходе системы из одного стационарного состояния в другое." Одним из первых экспериментов, подтверждающих существование стационарных состояний, является опыт Франка и Герца по возбуждению атомов электронным ударом. Схема опыта представлена на рис.1.

Рис. 1. Схема опыта Франка и Герца Исследуемый разреженный одноатомный газ, в данном случае пары ртути, заполнял баллон трех электродной лампы. Источником электронов служил нагретый катод. Давление паров ртути, задаваемое температурой газа, выбирали таким, чтобы длина свободного пробега электрона была во много раз меньше расстояния между катодом и сеткой. Поэтому электрон испытывал большое количество столкновений с атомами ртути, прежде чем долететь до сетки под действием ускоряющего потенциала U. Между сеткой и третьим электродом (коллектором) создавали небольшую, около 1В, задерживающую разность потенциалов V. Если кинетическая энергия К электрона, достигшего сетки, оказывалась меньше еV, то долететь до коллектора он не мог. Таким образом, ток коллектора, измеряемый микроамперметром, регистрировал поток электронов с энергией К > еV , где е – элементарный заряд. 10

Измерения показали (рис.2.), что на кривой зависимости тока коллектора I от напряжения на сетке U имеется ряд эквидистантных максимумов, отстоящих друг от друга на расстоянии ΔU = U3 – U2 = U2 – U1 ≈ 4,9 B.

Рис.2. Вольт-амперная характеристика прибора Франка и Герца Объясняется это тем, что, когда U < U1, энергии электрона не хватает для перевода атома ртути в новое стационарное состояние, и столкновения электронов с атомам являются упругими. При упругом ударе электрон практически не теряет кинетической энергии, т.к. его масса в тысячи раз меньше массы атома. С увеличением U кинетическая энергия электронов растет, а значит возрастает ток коллектора. При U ≅ U1 энергии электрона, долетевшего до сетки, становится достаточной для перевода атома ртути в первое возбужденное состояние. Столкновения электронов с атомами вблизи сетки становятся неупругими, и электроны, почти полностью потеряв кинетическую энергию, не могут преодолеть задерживающий потенциал между сеткой и коллектором. Это приводит к первому уменьшению I. При дальнейшем увеличении ускоряющего напряжения U электроны, испытавшие неупругие столкновения, вновь набирают кинетическую энергию, достаточную для преодоления задерживающего потенциала. Ток коллектора снова возрастает с ростом напряжения U. Следующее уменьшение тока происходит тогда, когда в лампе возникают две области неупругих столкновений электронов с атомами: одна находится посредине пути от катода до сетки, а вторая - вблизи сетки. В опыте Франка и Герца возбуждается ближайшее к основному стационарное состояние атома. Для определения положения более высоких уровней энергии атомов разработаны специальные экспериментальные методы [1]. Краткое описание метода двух сеток дано в приложении. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ Схема измерительной установки изображена на рис.3. Ее основным элемен-

11

том является трехэлектродная лампа 3, в баллон которой, после откачки воздуха, введено несколько капелек ртути. Лампа помещена в термостат, позволяющий устанавливать и поддерживать необходимую для опыта температуру.

Рис.3. Блок-схема измерительной установки Питание накала катода осуществляется от однополупериодного выпрямителя, собранного на диоде Д1 . Эффективное (действующее) значение тока накала измеряют амперметром 2 и регулируют реостатом R1. Зависимость тока накала катода IH от времени изображена на эпюре А (рис 4).

Рис.4. Зависимость тока катода и ускоряющего напряжения от времени В интервалы времени, когда ток через катод не течет, на электроды катодсетка подают нарастающий линейно со временем импульс напряжения U = kt, где t - время, k - скорость нарастания (крутизна) импульса (см. эпюру В на рис.4). В эти же интервалы времени с помощью осциллографа 5 снимают вольтамперную характеристику лампы. Такой способ исследования позволяет исключить влияние на измерения ВАХ неэквипотенциальности катода. Длительность интервала времени, когда на катоде нет падения напряжения, невелика, и температура, а значит эмиссионная способность катода за это время практически не меняется. Пилообразные импульсы напряжения, создаваемые генератором 1, имеют длительность несколько миллисекунд и частоту повторения 50 Гц. Сопротив12

лением R2 устанавливают амплитуду импульса. Предусмотрена возможность регулирования в небольших пределах длительности импульса. Запуск генераторов осуществляется сигналом, снимаемым с диода Д2, включенного противоположно по полярности диоду Д1. Вырабатываемые генератором синхроимпульсы используют для запуска развертки луча осциллографа в моменты времени t0 (см. эпюру В на рис.4). Осциллограф работает в ждущем режиме. Внутренняя развертка осциллографа обеспечивает равномерное движение луча вдоль оси X. Переключатель П (см.рис.3) позволяет подключить вход Y осциллографа или на измерение тока коллектора (точнее: падения напряжения на входном сопротивлении осциллографа, пропорционального I ), или на определение коэффициента k – положение "б". В первом случае на экране осциллографа наблюдают зависимость тока коллектора от ускоряющего напряжения, а во втором - форму импульса ускоряющего напряжения. Источником задерживающего потенциала в цепи сетка - коллектор является батарея Б. Величину V задерживающего напряжения регулируют потенциометром R3 и измеряют вольтметром 4. Примечание. Так как сетка лампы заземлена, то зависимость I = I (U) на экране осциллографа перевернута. Поэтому, когда речь будет идти о максимумах и спадах тока коллектора, следует иметь ввиду его абсолютное значение. Задания 1. Ознакомьтесь с описанием к осциллографу и инструкцией к измерительной установке, находящейся на рабочем месте. 2. Установите чувствительность осциллографа по Y равной 5 В/дел, а скорость развертки 0.5 мс. Включите осциллограф, дайте ему прогреться минут десять. Вход Y осциллографа должен быть резистивным. Переведите переключатель П (см. рис.3) в положение "а". Получите на экране осциллографа изображение импульса ускоряющего напряжения. Установите длительность импульса равной 4-5 мс и амплитуду ≈20 В. 3. На различных участках экрана осциллографа измерьте крутизну k пилообразного импульса. Под крутизной понимается отношение приращения напряжения к отрезку времени на котором это приращение произошло. Величину k определите в единицах В/(деления по оси X). Результаты усредните. 4. Включите термостат. Дождитесь нагрева до рабочей температуры баллона лампы. В ходе опытов поддерживайте температуру в пределах 1050-1100С. 5. Переведите переключатель П в положение "б" (см. рис.3). Установите ток накала лампы IН≈0.95А. Увеличьте чувствительность по каналу Y. Получите на экране осциллографа изображение вольтамперной характеристики (ВАХ) лампы. Проследите за поведением ВАХ при изменении V и IH. Подбором IH и чувствительности осциллографа по Y добейтесь формы ВАХ, подобной показанной на рис. 5.

13

Рис.5. Вольт-амперная характеристика, наблюдаемая на экране осциллографа. Точка 0 соответствует моменту времени t0, указанному на рис. 4. Примечание. Максимумы коллекторного тока, начиная с третьего, бывают расщепленными. Это обусловлено тем, что атомы ртути могут переходить не только в первое возбужденное состояние, но и во второе (экстремум х3′ на рис.5), энергия которого отличается от первого примерно на 1,8 эВ. 6. Определите положения xn (в делениях шкалы Х осциллографа) максимумов коллекторного тока для различных значений задерживающего напряжения V. Зарисуйте наблюдаемые ВАХ. 7. По формулам: ϕn = k ( xn – xn-1 ), n ≥ 2; ϕ1=kx1 рассчитайте расстояние между соседними максимумами коллекторного тока в вольтах. 8. Результаты измерений занесите в таблицу: V, В

x1, дел

x2, дел

x3, дел

k, В/дел

ϕ1, В

ϕ2, В

ϕ3, В

… Используя весь массив полученных чисел {ϕn} вычислите среднее значение и погрешность определения первого потенциала ϕ возбуждения исследуемого атома. Величину ϕ выразите в электронвольтах. Список рекомендуемой литературы 1. Шпольский Э.В. Атомная физика - М.: Наука, 1984. Т. 1, §§ 91-97. 2. Сивухин Д.В. Атомная и ядерная физика. Ч.1. Атомная физика.М.:Наука.,1986. § 14. 3. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, Т. 3. 4. Тригг Дж. Решающие эксперименты в современной физике.-M.: Мир, 1974, гл.6. 5. Портис А. Физическая лаборатория. - М.: Наука, 1978, с. 266-270.

14

Контрольные вопросы 1. Сформулируйте постулаты Бора. 2. Почему на вольтамперной характеристике прибора Франка и Герца наблюдаются максимумы тока, от чего зависит их количество, ширина, высота? 3. Нарисуйте схему квантовых переходов атомов в опыте Франка и Герца. Оцените длину волны излучения, возникающего при обратных переходах в атомах ртути. Почему не возбуждаются высшие энергетические уровни атома? 4. Опишите видоизменения опытов, позволяющие определять высшие потенциалы возбуждения (критические потенциалы) атомов. В чем состоят различия между потенциалом возбуждения и ионизационным потенциалом атома? 5. Почему в предлагаемой лабораторной установке нить накала лампы разогревается импульсным током? Какие возникнут искажения ВАХ на экране осциллографа, если катод питать переменным напряжением 6,3В частотой 50Гц? 6. Как формируется изображение вольтамперной характеристики исследуемой трех электродной лампы на экране осциллографа? Изменится ли это изображение, если на сетку лампы подавать импульсы напряжения не пилообразной формы? Какого рода искажения ВАХ следует ожидать? Приложение Метод двух сеток Для перевода атома в возбужденное состояние требуется энергия равная или большая ΔЕ12 = Е2 - Е1. Здесь Е1 – энергия основного состояния, Е2 – энергия уровня ближайшего к основному (его часто называют резонансным уровнем ). Наименьшие значения величины ΔЕ12 наблюдаются у атомов щелочных металлов, а наибольшие у атомов инертных газов. Например, для натрия она составляет 2,12эВ, для гелия – 21эВ, для ртути – 4,9эВ. Когда кинетическая энергия электрона меньше ΔЕ12 столкновения электрона с атомами будут упругими. Электрон в несколько тысяч раз легче ядра атома. Поэтому скорость электрона после упругого столкновения с атомом будет меняться не по величине, а только по направлению. В плотных газах электрон сталкивается с атомами очень часто. Но не смотря на это кинетическая энергия электрона, по мере движения к сетке, будет расти. Увеличение кинетической энергии продолжается до тех пор, пока столкновения с атомами будут упругими. Когда энергия электрона достигнет величины равной первому потенциалу возбуждения - ΔЕ12, атом, в результате столкновения, перейдет в возбужденное состояние. Электрон потеряет энергию движения. Поэтому высшие уровни энергии атома в опыте Франка и Герца практически не возбуждаются. Идея метода двух сеток состоит в создании ситуации, когда уже на длине L свободного пробега электрон набирает энергию позволяющую перевести атом на более высокие уровни, чем резонансный уровень. Математически это означает, что в экспериментальной установке реализуется неравенство:

15

dU L > ΔE12 dz

,

(1)

где градиент ускоряющего напряжения U берется вдоль направления эмиттерсетка, обозначенного как ось z. Увеличения средней длины свободного пробега можно добиться уменьшением плотности (давления) газа в баллоне лампы. Однако при этом вероятность столкновений электронов с атомами резко падает и амплитуды скачков тока на ВАХ (см. рис.2) будут мало заметны и сравнимы с шумами. На практике поступают иначе: увеличивают градиент ускоряющего напряжения в зазоре эмиттерсетка. Одна из схем эксперимента показана на рис.6. Основное отличие от установки Франка и Герца состоит во введение в прибор двух сеток: С1 и С2. Ускоряющее напряжение U подается на сетку С1, которую размещают очень близко к эмиттеру, на расстоянии d < L. Поэтому электроны, вылетающие из катода, ускоряются до нужных значений энергии практически не сталкиваясь с атомами газа. Столкновения с атомами происходят в пространстве между сетками. Чтобы на столкновения не влияли электрические поля, сетки С1 и С2 замыкают между собой. На практике роль двух сеток может играть “клетка Фарадея” [1,2]. Таким образом, в методе двух сеток ускорение электронов до нужных значений энергии осуществляют в зазоре эмиттер – первая сетка. Столкновения же с атомами происходят внутри области ограниченной сетками С1 и С2. Электроны испытавшие столкновения затем вылавливаются коллектором. Метод позволяет разделять уровни возбуждения атома, отстоящие друг от друга на десятые доли эВ.

Рис.6. Метод двух сеток

16

Лабораторная работа № 5 ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ МАГНИТНОГО РЕЗОНАНСА Цели. 1. Получить угловую зависимость частоты магнитного резонанса в монокристалле Mg-Mn феррита. 2. Определить g-фактор электрона и константу поля магнитной анизотропии. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Многие вещества при помещении их в постоянное магнитное поле приобретают способность поглощать энергию электромагнитных волн. Это поглощение достигает максимальных значений на определенных частотах, зависящих от напряженности магнитного поля, в котором находятся атомы вещества. Явления такого рода получили общее название - магнитный резонанс. Обнаружено много разновидностей магнитных резонансов. Например, электронный парамагнитный резонанс (ЭПР), ядерный магнитный резонанс (ЯМР). В данной работе изучается ферромагнитный резонанс (ФМР), возникающий в результате взаимодействия высокочастотного магнитного поля с магнитными моментами атомов ферромагнетика. Исследование магнитного резонанса в монокристалле Мg-Мn феррита является целью настоящей работы. Явление ФМР предсказал в 1911 году русский физик В.К. Аркадьев. Первые экспериментальные резонансные кривые ферромагнетиков получены Дж. Гриффитсом (J. Griffiths) и Е.К. Завойским в 1946 году. Современная теория магнитного резонанса в ферромагнетиках была создана благодаря работам Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшица, Ч. Киттеля (C.Kittel). Для объяснения магнитного резонанса удобно использовать квантовую теорию расщепления магнитным полем энергетических уровней атома. Рассмотрим случай слабого магнитного поля, когда магнитную часть энергии атома можно записать в нижеследующем виде [1-3]: W = gμ H m 0 J

,

(1)

где g - фактор Ланде (другие часто встречаемые названия: фактор спектроскопического расщепления, же-фактор), μ 0 - магнетон Бора, H –магнитное поле, действующее на атом. Магнитное квантовое число m J принимает 2J+1 различное значение:

m J = − J, − J + 1, ... , J .

(2)

Здесь J - квантовое число полного момента импульса атома. Таким образом, энергетический уровень атома в магнитном поле расщепляется на (2J+1) экви17

дистантных подуровня (см. рис.1), которые называют зеемановскими. Расстояние между соседними зеемановскими подуровнями равно g μ0H Совокупность этих подуровней образует зеемановский мультиплет данного атомного уровня.

Рис.1. Зеемановское расщепление энергетического уровня иона Мn++. Еа - энергия иона в отсутствии магнитного поля Н; ε - расстояние между соседними подуровнями в зеемановском мультиплете. Квантовые переходы внутри зеемановского мультиплета и приводят к кругу явлений, называемых магнитными резонансами. Необходимо учитывать, что возможные переходы ограничены правилами отбора по магнитному квантовому числу. В дипольном приближении эти правила отбора имеют следующий вид: Δm J = 0, ± 1 .

(3)

Поскольку внутри зеемановского мультиплета значения магнитного квантового числа различны, то при магнитном резонансе реализуются только переходы с Δm J = ± 1 . Из теории [1-3] известно, что каждому типу магнитного перехода соответствует определенная поляризация возникающего излучения. Например, при переходах пи-типа ( Δm J = 0 ) высокочастотное магнитное поле h направлено вдоль постоянного магнитного поля Н. При сигма-переходах ( Δm J = ±1 ), поле h перпендикулярно Н. Поэтому, согласно принципу взаимности процессов излучения и поглощения, магнитная составляющая h высокочастотного поля, вызывающего переходы внутри зеемановского мультиплета, должна быть перпендикулярна подмагничивающему постоянному полю Н. Таким образом получаем одно из необходимых условий возникновения магнитного резонанса:

h ⊥Н .

(4)

Другое условие найдем из правила Бора для частоты фотона поглощаемого 18

(излучаемого) квантовой системой:

ω=

W ′′ − W′ μ μ ε = g 0 H m′J′ − m′J = g 0 H . = h h h h

(5)

Здесь ε = W ′′ − W ′ - изменение магнитной энергии системы при квантовом переходе. Полученная формула определяет связь частоты ω магнитного резонанса с величиной Н постоянного магнитного поля (в месте нахождения атома) и величиной магнитного момента атома g μ 0 . Будет ли вещество при магнитном резонансе поглощать или излучать электромагнитные волны зависит от относительной заселенности зеемановских подуровней. Дело в том, что вероятность вынужденных (индуцированных) переходов между соседними подуровнями одинакова как для переходов с излучением, так и с поглощением фотона. Иными словами, в случае равной населенности уровней, вещество было бы прозрачным для электромагнитного излучения. При термодинамическом равновесии число атомов на уровне уменьшается с ростом энергии E уровня: ⎛ E ⎞ N(E) ~ exp⎜ − ⎟ , ⎝ kT ⎠

(6)

где k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура. Таким образом, в обычных условиях число атомов на верхних уровнях меньше чем на нижних. Говорят, что реализуется нормальная заселенность уровней. Если же на уровне с большим значением энергии число атомов превышает их количество на нижнем, то говорят об инверсной заселенности уровней. При нормальной заселенности интегральные потоки квантовых переходов “вверх” (поглощение фотонов) будут идти интенсивнее переходов “вниз“ с испусканием фотонов. Вещество будет поглощать электромагнитные волны. Таким образом, чтобы при магнитном резонансе наблюдалось поглощение электромагнитного поля, необходимо поддерживать нормальную заселенность зеемановских подуровней. В твердых телах механизм поддержки нормальной заселенности осуществляется, в основном, посредством спин-решеточных взаимодействий [4]. Через спин-решеточный канал возбужденные атомы передают большую часть своей энергии не фотонам, а колебаниям кристаллической решетки (фононам), а затем переходят на нижние энергетические уровни (см. рис.2). Устанавливается динамическое равновесие между квантовыми переходами “вверх” и “вниз”, поддерживающее в среднем нормальную заселенность уровней. Энергия высокочастотного поля будет непрерывно поглощаться веществом, нагревая его. При совпадении частоты электромагнитного поля с частотой резонанса (5) интенсивность поглощения будет максимальной.

19

Рис.2. Механизм динамической поддержки нормальной заселенности уровней при магнитном резонансе. 1- поглощение фотона, 2 – безизлучательный переход, Q – количество тепла передаваемое магнитной подсистемой кристаллической решетке. При больших мощностях высокочастотного излучения, сигнал магнитного резонанса может пропасть. Возникает эффект насыщения резонанса. Его объясняют выравниванием населенностей зеемановских подуровней. Если создать и поддерживать инверсную заселенность зеемановских подуровней, то при выполнении условий магнитного резонанса (4), (5) вещество будет не поглощать, а наоборот усиливать электромагнитное излучение. Получается так называемый микроволновый квантовый усилитель. Система обратной связи позволяет превратить его в квантовый генератор. Квантовый генератор работающий в области СВЧ называют мазером. Отметим, что магнитный резонанс является эффектом, родственным зеемановскому. Различие состоит в том, что при эффекте Зеемана переходы совершаются между зеемановскими мультиплетами различных атомных уровней. Поэтому эффект Зеемана наблюдают в области оптических частот. В случае магнитного резонанса квантовые переходы идут внутри зеемановского мультиплета и сопровождаются поглощением фотонов значительно более низких частот. Для типичных значений напряженности магнитного поля: 100 кА/м, частоты магнитного резонанса соответствуют сантиметровым СВЧ волнам частой порядка 10ГГц. Особенности магнитного резонанса в кристаллах

В работе используется монокристалл Мg-Мn феррита в форме тонкой пластинки, вырезанной параллельно кристаллографической плоскости (001). Внешнее постоянное магнитное поле H направлено вдоль плоскости пластины. В этом случае формула для расчета частоты резонанса имеет вид [4 ]: ω= где величина

gμ o H эфф , h

H эфф = H + 2π M +

1 (3 + 5cos4θ ) H a 4

20

(7)

(8)

называется эффективным магнитным полем. Входящие в неё знаки имеют следующий смысл: Н - напряженность постоянного магнитного поля, в котором находится образец; М - намагниченность насыщения; θ - угол между направлением внешнего магнитного поля Н и кристаллографической осью (001); На поле магнитной анизотропии. Сравнение формулы (5) с (7), (8) позволяет сделать вывод, что действующее на атом внутри вещества эффективное магнитное поле может существенно отличаться от внешнего поля Н. Это обусловлено тем, что магнитные моменты атомов взаимодействуют не только с окружающим образец магнитным полем (1-ое слагаемое в (8)), но и друг с другом, создавая свои внутренние поля. Энергия взаимодействия между магнитными моментами зависит от формы образца, и симметрии кристаллической решетки. 2-ое слагаемое в формуле (8) описывает влияние на частоту резонанса размагничивающего поля тонкой пластинки. 3-е слагаемое в (8) является проявлением эффекта магнитной анизотропии. Величина соответствующего внутреннего магнитного поля зависит от ориентации магнитного момента относительно кристаллографических осей. Угловая зависимость частоты резонанса отражает симметрию расположения атомов в исследуемой плоскости. Из-за большой величины намагниченности М ферромагнетиков, внутренние магнитные поля могут конкурировать по величине с внешним магнитным полем Н. Величина плотности магнитного момента исследуемого образца равна: M = (215 ± 5)Гс .

(9)

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ Описание измерительной установки

В работе используется метод наблюдения магнитного резонанса, при котором частота электромагнитного поля поддерживается постоянной. Блок-схема измерительной установки представлена на рис.3.

21

Рис.3. Блок - схема спектрометра магнитного резонанса. 1. Обмотки питания полюсов электромагнита. 2. Генератор СВЧ. 3. Волновод. 4. Проходной резонатор. 5. Исследуемый образец. 6. Детектор сигнала СВЧ на выходе проходного резонатора. 7. Измеритель напряжения на детекторе СВЧ. 8. Источник питания электромагнита. 9. Электронно-цифровой вольтметр. СВЧ–генератор 2 настраивают на частоту проходного резонатора 4, в котором находится исследуемый образец 5. Когда образец не поглощает энергии, практически вся СВЧ-мощность поступает через проходной резонатор 4 на детектор 6. В ходе эксперимента плавно меняют величину Н магнитного поля, создаваемого электромагнитом 1. При значении Н, удовлетворяющем условию магнитного резонанса - формулы (7), (8), наблюдается интенсивное поглощение радиочастотного излучения образцом, что обнаруживается по уменьшению сигнала 7, снимаемого с СВЧ-детектора 6. Источником СВЧ волн является генератор Г4-32А. Резонатор изготовлен из отрезка прямоугольного волновода сечением 29 × 13мм и длиной 101 мм. В нем возбуждается электромагнитная волна типа Н105, то есть на его длине укладывается пять магнитных полуволн (см. рис. 4). Рабочая частота резонатора составляет примерно 9,065 ГГц.

Рис.4. Распределение силовых линий магнитного поля h в СВЧ-резонаторе. 1 - отверстие для ввода образца в резонатор; 2 - окна связи; 3 - линии магнитного поля h.

22

Связь с резонатором осуществляется через симметричные окна связи, изготовленные из листовой латуни толщиной 0,2 мм. Ширина окон связи подобрана опытным путем так, чтобы реализовать максимальную чувствительность спектрометра, и составляет 5 мм. Резонатор размещен между полюсами электромагнита так, чтобы магнитная составляющая h СВЧ поля была перпендикулярна полю Н, создаваемому электромагнитом. С помощью специального держателя исследуемый образец вводится в круглое отверстие 1, вырезанное в узкой стенке резонатора напротив пучности переменного магнитного поля. Вращением держателя осуществляется изменение ориентации образца относительно поля электромагнита. При этом направление Н всегда параллельно плоскости образца. Угол поворота образца можно определить по специальной нониусной шкале с погрешностью не хуже 0,1 градуса. Источник питания 8 (рис. 3) позволяет плавно менять напряженность магнитного поля электромагнита от 100 до 200 кА/м. Величина поля определяется по показаниям цифрового вольтметра ВК2-20, подключенного к одной из обмоток электромагнита. Зависимость напряженности Н магнитного поля от напряжения U на вольтметре имеет, как показал эксперимент, линейный характер: H = (6,25 ⋅ U + 11,4) ⋅ 10 4 А м ,

H = (78,8 ⋅ U + 144) Эрстед ,

(СИ);

(10)

(СГСМ),

где U измеряется в вольтах. Средняя квадратичная погрешность линейной аппроксимации (10), составляет 560 А/м или 7 Э, при коэффициенте надежности 0,95 ПОМНИТЕ, что после включения и прогрева (~10 мин) цифровой вольтметр необходимо прокалибровать. Порядок выполнения работы

1. Ознакомьтесь с техническими описаниями приборов, входящих в установку. 2. Перед включением установки в сеть проверьте, чтобы ручки и переключатели находились в следующих положениях: а) аттенюатор выхода генератора СВЧ - закрыт (указатель "ослабление" стоит у метки 100); б) движок шкалы – “измерение частоты” установлен в крайнее, против часовой стрелки, положение; в) регулятор блока питания электромагнита находится в положении, соответствующему наименьшему выходному напряжению. 3. Включить, после разрешения лаборанта, все электронные приборы и дать им прогреться в течение 20 минут.

23

4. Провести калибровку цифрового вольтметра. 5. Перейти к выполнению заданий. Задание 1. Настроить генератор на частоту проходного резонатора. Регулятором - "ослабление" мощности СВЧ добиться появления сигнала на СВЧ-диоде (индикатор 7 см. рис. 3). Частота генератора установлена близко к рабочей частоте резонатора (примерно 9,065 ГГц). Поэтому достаточно лишь немного подстроить генератор ручкой с надписью "отражатель". С ее помощью меняют напряжение на отражателе клистрона, что вызывает изменение частоты генератора. Подстройка сводится к установлению такого положения ручки "отражатель", при котором величина напряжения на СВЧ-диоде максимальна. Затем регулятором - "ослабление" установить оптимальное, для наблюдения резонанса, напряжение на СВЧ-диоде. Практически это соответствует максимальному допустимому отклонению стрелки индикатора 7 напряжения на диоде. Измерьте частоту генератора его внутренним волномером. Для этого, вращением ручки с надписью "измерение частоты" добейтесь максимального показания индикатора волномера. Этот момент соответствует совпадению частоты калиброванного резонатора генератора с частотой генерируемых им колебаний. Частота определяется по круговой шкале волномера в единицах – МГц. ВНИМАНИЕ! После измерения частоты генератора вернуть движок шкалы волномера в крайнее, против часовой стрелки, положение. В противном случае, возникнет система двух связанных резонаторов и сигнал на СВЧ-диоде будет нестабилен. Задание 2. Определить угловую зависимость резонансного поля. Установите начальное угловое положение держателя образца, равное 0 градусов. Найдите напряжение U электромагнита, при котором значение величины сигнала на СВЧ-диоде наименьшее. Проведите измерения U для углов от 0о до 360о с шагом 5 градусов. Полученные значения напряжений занесите в табл.1.

Табл.1. Угловая зависимость резонансного поля Н в плоскости (001) монокристалла Mg-Mn феррита. ϕ , град

U, В

Н, Эрстед

0 5 … 355 По формуле (10) пересчитайте U в напряженность Н резонансного магнитного поля. Результаты измерений Н как функции угла ϕ представьте в виде графика H = H(ϕ ) и таблицы 1. 24

Задание 3. Определить кристаллографическую ориентацию образца в держателе. Выполнив задание 2, Вы обнаружите, что угловая зависимость поля магнитного резонанса имеет периодический характер. Максимумы и минимумы Н повторяются через каждые 90 градусов. Такое поведение Н характерно для кристаллов кубической симметрии, когда постоянное магнитное поле параллельно плоскости (001). При ориентации магнитного поля в других плоскостях, вид угловой зависимости Н будет иной. Причем симметрия этой зависимости характеризует расположение атомов в исследуемой кристаллографической плоскости. Указанный факт используют на практике для определения кристаллографической структуры вещества. Известно, что для применяемых в работе монокристаллов Mg-Mn феррита (точная химическая формула Mg 0,6 Mn 0,4 Fe 2 O 4 ) ось легкого намагничивания совпадает с кристаллографическим направлением [100]. Это означает, что минимум резонансного поля наблюдается тогда, когда магнитное поле электромагнита параллельно кристаллографическим осям типа [100], а максимумы – когда поле параллельно [110]. Используя эту информацию определите ориентации осей [100] и [110] исследуемого кристалла относительно держателя образца. Результаты представьте в виде таблиц 2 и 3.

Таблица 2. Результаты измерений ориентации оси [100]. Номер минимума резонансного поля 1 … 4

Нmin, Эрстед

ϕ n , град

H min = (H min ) ср ± ΔH min , Эрстед

Таблица 3. Результаты измерения ориентации оси [110]. Номер максимума резонансного поля 1 … 4

Нmax, Эрстед

ϕ n , град

H max = (H max ) ср ± ΔH max , Эрстед

Задание 4. Рассчитать g-фактор и поле Ha магнитной анизотропии. Величины g и На найти путем решения системы уравнений: 25

ωh ⎧ ⎪ H min = gμ − 2π M − 2H a , ⎪ o ⎨ ⎪ H = ωh − 2π M + 1 H . min a ⎪⎩ gμ o 2

(11)

Оценить погрешность определения g и На. Вычисления удобно выполнять в единицах системы СГС. Значения необходимых фундаментальных констант:

μ0 = 9, 27 ⋅10−21 эрг ⋅ Гс −1 , h = 6, 63 ⋅10−27 эрг ⋅ с . Сравните полученные результаты с табличными данными. Сисок рекомендуемой литературы

1. Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, Т.3. 2. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. – М : Наука, 1978. 3. Белый М.У., Охрименко Б.А. Атомная физика. – Киев, 1984 4. Гуревич А.Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках. – М.: Наука, 1973. 5. Тарасов Л.В. Физические основы квантовой электроники (оптический диапазон) – М.: Советское радио. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое магнитный резонанс? Чем отличается явление магнитного резонанса от эффекта Зеемана? 2. Изобразите схему квантовых переходов при магнитном резонансе. Выведите формулу для частоты резонанса. 3. Оцените частоты, соответствующие квантовым переходам при магнитном резонансе и при эффекте Зеемана. Каким длинам волн они соответствуют? 4. Почему для наблюдения явления магнитного резонанса действующее на образец высокочастотное магнитное поле ориентируют перпендикулярно постоянному подмагничивающему полю? 5. Почему при магнитном резонансе вещество поглощает энергию электромагнитного поля? Изобразите схематически процессы преобразования энергии при магнитном резонансе. 6. Методы наблюдения и виды магнитных резонансов. 7. Применения магнитного резонанса в науке и технике. 8. Спонтанное и вынужденное излучения, их свойства. 9. Методы создания инверсной заселенности. 10. Принципы работы квантового усилителя и генератора.

26

Лабораторная работа № 6 ИЗМЕРЕНИЕ КОНТАКТНОЙ РАЗНОСТИ ПОТЕНЦИАЛОВ МЕЖДУ ПОЛУПРОВОДНИКАМИ

Цели: 1. Получить вольтамперные характеристики р-n перехода для различных температур. 2. Определить зависимость дифференциального сопротивления перехода от температуры. 3. Оценить контактную разность потенциала в германиевом диоде. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

В металлах и полупроводниках электроны внешних оболочек атомов отрываются от ядер и приобретают способность перемещаться внутри объема образца. Такие электроны называют электронами проводимости. Электроны проводимости обладают рядом свойств, отличающих их от электронов, движущихся в свободном пространстве. Например, у них иная масса. Возникновение новых свойств обусловлено двумя обстоятельствами. Во-первых, твердое тело для электронов проводимости является "потенциальным ящиком". Следствием этого факта является квантования импульса и энергии электрона проводимости в твердом теле [1,2]. Во-вторых, потенциальный рельеф электрического поля ионов, в котором движутся электроны проводимости, не является гладким и представляет собой сложное пространственное расположение лагун и впадин (см. рис.1).

Рис.1. Периодический потенциал электрического поля, в котором движется электрон проводимости в кристалле. Для наглядности изображена модель одномерного кристалла, состоящего из цепочки одинаковых атомов. Взаимодействие электрона проводимости с кристаллическим потенциалом приводит к изменению массы электрона и образованию энергетических зон [1,2]. Расстояние между соседними подуровнями внутри энергетической зоны очень мало и составляет около 10-12 эВ. В металлах валентная зона заполнена не полностью и остается много близко расположенных свободных уровней. Электроны проводимости легко перемещаются, изменяя свой суммарный импульс. Поэтому металлы характеризуются малыми значениями электрического сопротивления. Валентную зону в металлах называют зоной проводимости 27

Иная картина заполнения зон реализуется в полупроводниках. В чистых полупроводниках при Т = 0 К валентная зона полностью занята, а соседняя свободная зона отделена от валентной зоны энергетической щелью, называемой запрещенной зоной. Ширина запрещенной зоны Ес составляет при температуре Т=300 К у кремния Ес=1,14 эВ, у германия – Еc=0,67 эВ. Поэтому при низких температурах ( kТ<< Еc , где k - постоянная Больцмана ) полупроводники плохо проводят электрический ток. При более высоких температурах термическое возбуждение переводит часть электронов из валентной зоны в ближайшую свободную зону. Электроны, попавшие в свободную зону, легко перемещаются по кристаллу и возникает электронная проводимость полупроводника. Потому в полупроводниках свободную зону, ближайшею к валентной, называют зоной проводимости. Вклад в проводимость чистых полупроводников вносят в равной степени как термические электроны, так и дырки - свободные места остающиеся в валентной зоне. Перемещение дырки в валентной зоне эквивалентно перемещению в пространстве положительного заряда. Такая проводимость называется дырочной. В условиях теплового равновесия распределение электронов по энергиям описывается распределением Ферми - Дирака:

f (E) =

1 1 + exp[(E − μ ) / kT ]

(1)

В этой формуле Е - энергия электрона, k - постоянная Больцмана, Т - температура в градусах Кельвина, μ - энергия Ферми или электрохимический потенциал электронного газа. Функция Ферми (1) определяет вероятность того, что уровень с энергией Е занят электроном. Распределение Ферми-Дирака обобщает принцип Паули на случай отличных от нуля температур. При Т = 0 К график функции Ферми имеет вид прямоугольной ступеньки, показанной на рис.2а. В металлах занятый уровень с наибольшим значением энергии называют уровнем Ферми, а величина его энергии - энергией Ферми εF при нуле градусов Кельвина. Для большинства материалов значение εF составляет (1-10) эВ. Соответствующая этим энергиям температура TF = εF / k называется температурой Ферми и составляет десятки тысяч градусов. С увеличением температуры край ступеньки размывается (см. рис. 2б). При энергии, равной химическому потенциалу, значение функции Ферми f(Е) равно 0,5. Ширина размытия ступеньки составляет по порядку величины kТ.

28

Рис.2. Графики функции Ферми при различных температурах. Для температур во много раз меньших TF зависимостью энергии Ферми от температуры можно пренебречь. В тепловое движение вступают только электроны расположенные на уровнях вблизи энергии Ферми. Их относительное количество, пропорциональное отношению Т / TF , очень мало и электронный газ называют вырожденным. В чистом полупроводнике энергия Ферми располагается посредине щели, разделяющей валентную зону и зону проводимости [1,3,5]. Поэтому в полупроводниках, в отличие от металлов, понятие – уровень Ферми не имеет прямого смысла и используется как способ задания положения функции распределения на энергетической оси. Отсчитывать энергию носителей тока в полупроводнике принято от вершины валентной зоны (см. рис.3).

Рис.3. Расположение уровня Ферми и функция распределения электронов в чистом полупроводнике. Вычислим для комнатной температуры значение функции f(Е) вблизи нижнего края зоны проводимости у германия. Подставляя в формулу (1) значения ( Ec - μ ) = 0,5 Ec = 0,34 эВ и замечая, что при комнатных температурах kТ=(1/40) эВ, найдем: ⎛ Ec − μ ⎞ −7 f герм ≈ exp ⎜ − ⎟ = ехр (− 0,34 ⋅ 40 ) ≈ 5,6 ⋅ 10 . kT ⎝ ⎠ У кремния значение f (Ec) оказывается еще на три порядка меньше. Таким образом, доля электронов, принимающих участие в собственной

29

проводимости полупроводников, при комнатной температуре очень мала. Рассмотрим теперь полупроводник n-типа, то есть полупроводник, в который введены доноры – примесные атомы, создающие дополнительные "локальные" уровни в запрещенной зоне вблизи дна зоны проводимости, как это изображено на рис.4а. Донорами являются обычно внедренные в кристалл атомы пятой группы периодической системы Д.И. Менделеева.

Рис.4. Энергетическая схема полупроводника: а) n-типа; б) р-типа; в) n-pперехода, находящегося в тепловом равновесии. При очень низких температурах локальные уровни заполнены электронами, принадлежащими донорным атомам. Энергия донорных уровней столь мало отличается от энергии уровней, находящихся около дна проводящей зоны, что при комнатных температурах функция Ферми на этом расстоянии почти не меняется. В то же время количество уровней в зоне проводимости на много порядков превосходит количество донорных уровней (числа уровней относятся, грубо говоря, как плотности примесных и основных атомов). Поэтому донорные уровни при комнатных температурах опустошаются, а электроны с них переходят в зону проводимости. Проводимость примесного полупроводника nтипа практически является электронной. В полупроводник вводят не только донорные, но и акцепторные примеси. Это 30

делается путем внедрения атомов третьей группы периодической системы. Атомы третьей группы создают в запрещенной зоне локальные уровни вблизи верхнего края валентной зоны (рис.4б), которые при низких температурах оказываются пустыми. При комнатных температурах эти уровни заполняются электронами, переходящими из валентной зоны. В валентной зоне возникает при этом дырочная проводимость. Такие полупроводники называются полупроводниками р-типа. Обозначим равновесную концентрацию электронов (то есть число электронов в единице объема) в зоне проводимости через n, а концентрацию дырок в валентной зоне – p. При обычных температурах для германия и кремния выполняется неравенство: Еc >> kT. Можно показать[3-6], что тогда концентрация электронов в зоне проводимости равна:

⎛ m kT ⎞ n = 2⎜ e 2 ⎟ ⎝ 2π h ⎠

3

2

⋅ ехр( −

Ec − εF ) kT

,

(2)

.

(3)

а концентрация дырок в валентной зоне:

⎛ m p kT ⎞ ⎟ p = 2 ⎜⎜ 2 ⎟ 2π h ⎝ ⎠

3

2

⋅ ехр(-

εF ) kT

Здесь me , mp – эффективные массы электронов и дырок соответственно. Найдем произведение концентрации электронов в зоне проводимости на концентрацию дырок в валентной зоне. Из (2) и (3) получаем: 3

3 ⎛ Ec ⎞ ⎛ kT ⎞ 2 ⋅ exp⎜ − ( ) n⋅p = 4⎜ m m ⋅ ⎟ ⎟ e p 2 kT 2π h ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(6)

Произведение np , как видно, не зависит от положения уровня Ферми и полностью определяется температурой Т, эффективными массами носителей тока и шириной запрещенной зоны Ес. Соотношение (6) справедливо и при внедрении в полупроводник примесей, не зависимо от их типа и количества. Вычислим теперь отношение концентрации носителей. Имеем:

n ⎛⎜ m e ⎞⎟ = p ⎜⎝ m p ⎟⎠

3

2

⎡ 2ε − E c ⎤ ⋅ exp ⎢ F ⎥ ⎦ ⎣ kT

31

.

(7)

Носители заряда, число которых в кристалле преобладает, называются основными носителями, а носители, содержащиеся в меньшем количестве не основными. В полупроводниках n-типа основными носителями являются электроны, а в полупроводниках р-типа - дырки. Формула (7) позволяет оценить положение уровня Ферми в полупроводниках n- и p-типов. Будем считать, что массы электронов и дырок одинаковы. Тогда из (7) находим:

εF =

⎛n⎞ Ec + kT ⋅ ln⎜⎜ ⎟⎟ 2 ⎝p⎠

.

(8)

Из (8) следует, что в чистых полупроводниках, когда n=p, энергия Ферми находится по середине запрещенной зоны. В полупроводнике n-типа электронная концентрация больше дырочной и энергия Ферми смещена к зоне проводимости: εF>Ec /2. Для полупроводников с дырочной проводимостью: p>n, энергия Ферми сдвинута вниз к валентной зоне. Приведем полупроводники n- и р-типа в соприкосновение друг с другом. В момент установления контакта происходит встречная диффузия основных носителей тока через пограничный слой; при этом дырки и электроны рекомбинируют друг с другом. Вблизи перехода в n-области положительные ионы донорной примеси, заряд которых теперь не компенсируется электронами, образуют положительный пространственный заряд. Соответственно в р-области отрицательные ионы акцепторной примеси, заряд которых теперь не компенсируется дырками, образуют отрицательный заряд. Таким образом возникает контактная разность потенциалов - потенциальный барьер, препятствующий дальнейшей диффузии основных носителей. Равновесие наступает при такой высоте потенциального барьера, когда положения уровней Ферми в обеих областях совпадают, как это изображено на рис.4в. В области n-p перехода возникает слой, обедненный носителями тока. Существование обедненного слоя можно понять из рассмотрения рис.4в. В nобласти уровень Ферми располагается далеко от валентной зоны и поблизости от зоны проводимости. Вероятность заполнения уровней валентной зоны близка к единице, а вероятность заполнения уровней зоны проводимости заметно отлична от нуля. В этой области много электронов и мало дырок. В р-области наблюдается обратная картина. В области n-p перехода уровень Ферми проходит вдалеке как от валентной зоны, так и от зоны проводимости. Эта область поэтому бедна как электронами, так и дырками (см. рис.5) и обладает большим электрическим сопротивлением.

32

Рис.5 Концентрация электронов и дырок в области n - p - перехода. Оценим разность потенциалов, возникающую в области n-p перехода. При расчете будем для определенности считать что концентрации доноров в nобласти и акцепторов в p-области равны друг другу. При равной концентрации акцепторов и доноров смещение уровня Ферми вверх в n-области равно смещению этого уровня вниз в р-области. Разность потенциалов ϕ в области n-p перехода поэтому равна: 1 eϕ = 2 (ε F − E C ) = 2 ε F − E C . (9) 2 В формуле (9) энергия уровней, как обычно, отсчитывается от верхнего края валентной зоны. Величина 0,5Ес определяет несмещенное положение уровня Ферми. Подставим (9) в (7): 3

2 n ⎛⎜ m e ⎞⎟ ⎡ eϕ ⎤ = ⋅ exp ⎢ ⎥ p ⎜⎝ m p ⎟⎠ ⎣ kT ⎦

.

Логарифмируя (10), находим искомую разность потенциалов ϕ: 3 ⎡ ⎤ kT ⎢ n ⎛ m p ⎞ 2 ⎥ ⎟ ϕ= ln ⋅ ⎜ . e ⎢ p ⎜⎝ m e ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦

(10)

(11)

При Т = 300К величина контактной разности потенциалов может составлять 0,35В у германиевого перехода и 0,7В у кремниевого. Эта разность потенциалов приложена к тонкому переходному слою толщиной порядка 10-5см. Один из способов определения величины контактной разности потенциалов состоит в исследовании вольтамперной характеристики диода при различных температурах Т. Можно показать [3-5], что суммарный ток электронов и дырок, протекающих через диод, равен:

⎛ еϕ ⎞ ⎡ ⎛ еV ⎞ ⎤ I = A ⋅ ехр⎜ ⎟ − 1⎥ ⎟ ⋅ ⎢ехр⎜ ⎝ kT ⎠ ⎣ ⎝ kT ⎠ ⎦

33

.

(12)

Температурное изменение коэффициента А определяется тепловой скоростью носителей тока, которая пропорциональна корню квадратному от абсолютной температуры Т. V - напряжение на диоде. Нелинейный характер вольтамперной характеристики n-p перехода позволяет использовать его для выпрямления переменного тока (полупроводниковые диоды). В качестве полупроводниковых диодов используются как переходы, образованные полупроводниками n- и p-типа, так и контакты металла с полупроводником. В последнем случае весь объемный заряд в области перехода сосредоточен в полупроводнике. Выражение (12) справедливо и для контакта металл-полупроводник. Материалом для выпрямительных диодов служат германий и кремний. Диоды выпускаются на токи от нескольких миллиампер до сотен ампер. Для германиевых n-p переходов предельная рабочая температура 75оС, а для кремниевых 150оС. Формула (12) при малых V может быть упрощена. Разлагая экспоненту в (12) в ряд Тейлора по V, получаем:

I = A⋅

eϕ eV ⋅ ехр( − ) . kT kT

Таким образом, при небольших V ( порядка нескольких мВ ) ток, проходящий через n-p переход, пропорционален напряжению. Деля V на I найдем сопротивление перехода:

R=

kT ⎡eϕ ⎤ ⋅ ехр ⎢ ⎥ eA ⎣k T⎦

.

(13)

Прологарифмируем (13) и явно выделим в получаемом соотношении зависимость от температуры:

ln ( R ) = const +

eϕ 1 1 ⋅ ln ( T ) + ⋅ k T 2

(14)

Таким образом, на фоне медленного логарифмического изменения должна наблюдаться линейная зависимость ln(R) от обратной температуры. Этот результат используется в работе для экспериментального определения значения контактной разности потенциалов ϕ. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ Описание установки

Схема экспериментальной установки изображена на рис. 6.

34

Рис. 6. Блок-схема экспериментальной установки. Е - источник постоянного тока; К1 - ключ включения питания схемы; К2 - ключ установки полярности напряжения на исследуемом диоде Д; R1 , R2 - потенциометры грубой и плавной регулировки напряжения на диоде; Т – термостат. Порядок выполнения работы

1. Соберите измерительную схему. 2. Включите в сеть 220 В источник постоянного тока, микроамперметр, цифровой вольтметр. 3. Измерьте три раза вольтамперную характеристику (ВАХ) исследуемого диода при комнатной температуре. Измерение ВАХ проводите вблизи нуля напряжения в диапазоне от -10мВ до 10мВ. Количество точек слева и справа от нуля берите не меньше трех. Интервал между точками по напряжению надо установить как можно меньше, но раз в 10 превышающем шумы измерительного прибора. 4. Включите нагревательный элемент термостата в сеть 220 В. 5. Снимите ВАХ диода вблизи нуля напряжения для различных температур: от комнатной до 70 оС шагом 10 оС. Измерения выполняйте или в процессе нагрева или охлаждения диода. При этом для каждой температуры проведите серии измерений ВАХ. Учтите, что процесс нагрева инерционен, то есть после отключения системы нагрева температура в термостате еще изменится на 2-3 оС и только спустя несколько минут наступит тепловое равновесие, когда и надо приступить к измерению ВАХ. С ростом температуры сопротивление диода уменьшается. Поэтому диапазон изменения напряжения сужается. Интервал между точками и в этом

35

случае выбирайте таким, чтобы число точек слева и справа от нуля было не меньше трех. 6. После выполнения работы: а) выключите измерительные приборы; б) отключите нагреватель термостата от сети; в) откройте дверцу термостата и когда температура в нем понизится до 35 оС можете покинуть рабочее место. Обработка результатов

1. Для каждой температуры постройте графики ВАХ исследуемого диода. 2. Определите дифференциальное сопротивление R диода вблизи V=0. Для этого в точке на оси напряжений, где I=0, проведите касательную к графику ВАХ и по отношению приращений наклона (см. формулу на рис.7) вычислите R.

Рис.7. Метод определения дифференциального сопротивления. 2. Составьте таблицу значений R и ln R для разных температур. 3. Постройте график зависимости у=ln R от обратной температуры х=1/Т. 4. Методом наименьших квадратов (см. Приложение 1) определите коэффициенты и их погрешности для линейной аппроксимации:

y = a + b⋅x

построенного графика: 5. По формуле:

ϕ=

k⋅b e

(15)

оцените величину контактной разности потенциалов и погрешность её определения. В (15) k - постоянная Больцмана, е - элементарный заряд. Список рекомендуемой литературы

1. Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука.

36

2. Епифанов Г.И. Физика твердого тела. – М.: Высшая школа, 1977, §§ 43-46, 74,75. 3. Орешкин П.Т. Физика полупроводников и диэлектриков. – М.: Высшая школа, 1977, §29. 4. Бушманов Б.Н., Хромов Ю.А. Физика твердого тела. – М.: Высшая школа, 1971, гл. 4, § 8; гл. 5, § 6. 5. Шалимова К.В. Физика полупроводников. – М.: Энергоатомиздат, 1985. 6. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. – М.: Наука, 1978. Контрольные вопросы

1. Зонная теория твердых тел (металлы, диэлектрики, полупроводники). Числовые характеристики зон (ширина, плотность уровней, их количество). Энергия Ферми, зависимость от температуры, числовые значения. 2. Почему сопротивление полупроводников с увеличением температуры уменьшается, а у металлов возрастает? По какому закону? 3. Физические механизмы возникновение контактной разности потенциалов np переходов, её числовые значения для германиевых, кремниевых диодов. 4. Физический смысл внешней и внутренней контактной разности потенциалов. 5. Омические и выпрямляющие контакты. 6. Зависимость сопротивления контактов от температуры.

37