Применение линейной алгебры в экономике. Методическое пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИКЕ Методическое пособие

Составители: Е.Г.Васильева, Л.И.Инхеева, М.Д. Улымжиев

Издательство ВСГТУ Улан-Удэ – 2004

3

4

В работе изложен кратко теоретический материал, касающийся применения основных понятий линейной алгебры к экономическим задачам. Приведены примеры решения задач и задания для самостоятельной работы.

Ключевые слова: линейная алгебра, матрица, вектор, собственный вектор, собственные значения, системы линейных уравнений, метод Гаусса.

Рецензия На методическое пособие «Применение линейной алгебры в экономике» для студентов экономических специальностей, выполненную к.ф-м.н., и.о.доц. Улымжиевым М.Д., к.ф-м.н., и.о.доц. Васильева Е.Г., ст. преп. Инхеевой Л.И. В работе изложен кратко теоретический материал, касающийся применения основных понятий линейной алгебры к экономическим задачам. Приведены примеры решения задач и задания для самостоятельной работы. Содержание работы соответствует ГОСВО ЕН. Данная работа удовлетворяет всем требованиям к методическим пособиям и рекомендуется к изданию в РИО ВСГТУ.

Рецензент: к.ф-м.н., доц. Дашиева С.С.

3

4

1.МАТРИЦЫ. Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики - матричная алгебра – имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное – компактной матричной форме. С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.): Ресурсы Электроэнергия Трудовые ресурсы Водные ресурсы

Отрасли экономики Промышленность Сельское хоз-во 5,3 4,1 2,8 2,1 4,8 5,1

может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:  5,3 4,1   A=  2,8 2,1  4,8 5,1   В данной записи, например, матричный элемент a11 = 5,3 показывает, сколько электроэнергии употребляет промышленность, а элемент a 22 = 2,1 - сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство. Задача 1.1.

3

Предприятие выпускает продукцию трех видов: P1 , P2 , P3 и использует сырье двух типов: S1 , S 2 . Нормы расхода сырья характеризуются матрицей: 2 3    A=  5 2 0  , 1 4   

Где каждый элемент aij (i=1,2,3; j= 1,2) показывает, сколько единиц сырья j-го типа расходуется на производство единицы продукции i-го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой C = (100 80 130), Стоимость единицы каждого типа сырья (ден.ед.) – матрицейстолбцом:  30  B=   .  50  Решение 1.1. Затраты первого сырья составляют S1 = 2 ⋅ 100 + 5 ⋅ 80 + 1 ⋅ 130 = 730 ед. и 2-го -S 2 = 3 ⋅ 100 + 2 ⋅ 80 + 4 ⋅ 130 = 980 ед., поэтому матрица-строка затрат сырья S может быть записана как произведение:  2 3   S = C ⋅ A = (100 80 130) 5 2  = (730 980) . 1 4  

4

Тогда общая стоимость сырья Q = 730 ⋅ 30 + 980 ⋅ 50 = 70900 ден.ед. может быть записана в матричном виде: Q = S ⋅ B = (CA) B = (70900) . Общую стоимость сырья можно вычислить и в другом порядке: вначале вычислим матрицу стоимостей затрат сырья на единицу продукции, т.е. матрицу:  210   2 3    30   R = A ⋅ B =  5 2   =  250 ,  1 4  50   230     

а затем общую стоимость сырья:  210    Q = C ⋅ R = (100 80 130 ) 250  = (70900 ).  230    Задача 1.2(для самостоятельного решения).

Предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье двух типов. Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого вида заданы матрицей:  2 1 3  . A=   1 3 4 Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей B=(10 15). Каковы общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого вида, 200 единиц продукции второго вида и 150 единиц продукции третьего вида? Ответ: 28000.

5

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Ниже приведены три задачи, для решения которых нужно составить системы уравнений. Задача 2.1. Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок, при этом используется сырье трех типов: S1 , S 2 , S 3 . Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви, объем расхода сырья на один день заданы таблицей: Нормы расхода сырья на одну Расход Виды пару, усл.ед. сырья сырья на Сапоги Кроссовки Ботинки 1 день, усл.ед. 5 3 4 2700 S1 2 1 1 900 S2 3 2 2 1600 S3

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви. Решение 2.1. Пусть x1 , x 2 , x3 -ежедневный объем выпуска сапог, кроссовок и ботинок соответственно. Составим систему уравнений:

5 x1 + 3x 2 + 4 x3 = 2700,   2 x1 + x 2 + x3 = 900, 3x + 2 x + 2 x = 1600. 2 3  1 Отсюда x1 = 200, x 2 = 300, x3 = 200.

6

Задача 2.2. С двух заводов поставляются автомобили для двух автохозяйств, потребности которых соответственно 200 и 300 машин. Первый завод выпустил 350 машин, а второй – 150 машин. Известны затраты на перевозку машин с завода в каждое автохозяйство (см. таблицу): Затраты на перевозку в автохоз-во, Завод ден.ед. 1 2 1 15 20 2 8 25 Минимальные затраты на перевозку равны 7950 ден.ед. Найти оптимальный план перевозок машин. Ответ: (50;300;150;0). Задача 2.3. Имеются три банка, каждый из которых начисляет вкладчику определенный годовой процент (свой для каждого банка). В начале года 1/3 вклада размером 6000 ден.ед. вложили в банк 1, 1/2 вклада – в банк 2 и оставшуюся часть – в банк 3 и к концу года сумма этих вкладов возросла до 7250 ден.ед. Если бы первоначально 1/6 вклада положили в банк 1, 2/3 - в банк 2 и 1/6 вклада – в банк 3, то к концу года сумма вклада составила бы 7200 ден.ед.; если бы 1/2 вклада положили в банк 1, 1/6 – в банк 2 и 1/3 вклада – в банк 3, то сумма вкладов в конце года составила бы вновь 7250 ден.ед. Какой процент выплачивает каждый банк? Ответ: 25%, 20%, 15%. 3. МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА МНОГООТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКИ (БАЛАНСОВЫЙ АНАЛИЗ). Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике, связанный с

7

эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями. Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В.Леонтьевым. Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутри производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления. Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год). Введем следующие обозначения: xi - общий (валовой) объем продукции i-ой отрасли (i=1,2,…,n.); xij - объем продукции i-ой отрасли, потребляемой j-ой отраслью в процессе производства (i,j=1,2,…,n); y i - объем конечного продукта i-ой отрасли для непроизводственного потребления.

8

Так как валовой объем продукции любой i-ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, то xi = ( xi1 + xi 2 + Κ + xin ) + y i , (i = 1,2,Κ , n ). Эти уравнения (их n штук) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения имеют стоимостное выражение. Введем коэффициенты прямых затрат: aij = xij / x j , (i, j = 1,2,Κ , n ) , показывающие затраты продукции i-ой отрасли на производство единицы стоимости j-ой отрасли. Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты aij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е. xij = aij x j , (i, j = 1,2,Κ , n ), вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной. Теперь соотношения баланса примут вид: xi = (ai1 x1 + ai 2 x 2 + Κ + ain x n ) + y i , (i = 1,2,Κ , n ), Обозначим  x1   a11 a12 Λ a1n   y1         x2   a 21 a 22 Λ a 2 n  y  , Y =  2 , X =  , A =   Μ Λ Λ Λ Λ Μ       x  a  y   n  1n a 2 n Λ a nn   n где X - вектор валового выпуска;

9

A - матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица); Y - вектор конечного продукта. Тогда соотношения баланса можно записать в виде: X = AX+Y. Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X , который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. Перепишем матричное уравнение в виде: (E - A)X = Y. Если матрица (E - A) невырожденная, т.е. ее определитель не равен нулю, то X = ( E − A) −1 Y . Матрица S = ( E − A) −1 называется матрицей полных затрат. Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы S = {sij }, будем задаваться единичными векторами конечного продукта: 1  0 0       0 1 0 Y1 =   , Y2 =   , Κ , Yn =   . Μ Μ Μ       0  0 1       Тогда соответствующие векторы валового выпуска будут:  s11   s12   s1n         s 21   s 22  s  Y1 =   , Y2 =   , Κ , Yn =  2 n  . Μ Μ Μ       s  s  s   n1   n2   nn 

10

Следовательно, каждый элемент s ij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i-ой отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-ой отрасли. В соответствии с экономическим смыслом задачи значения xi должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях y i и aij . Матрица A называется продуктивной, если для любого вектора Y существует решение X уравнения (E - A)X = Y. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной. Существует несколько критериев продуктивности матрицы A. Один из них говорит о том, что матрица A продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы. Задача 3.1. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период в усл.ден.ед.: Отрасль Конеч- Валовый Потребление выпуск Энерге- Машино- ный тика строение продукт Произ- Энерге7 21 72 100 водство тика Машино12 15 123 150 строение Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне.

11

Решение 3.1. Имеем x1 = 100, x 2 = 150, x11 = 7, x12 = 21, x 21 = 12, x 22 = 15,

y1 = 72, y 2 = 123. По формуле aij = xij / x j находим коэффициенты прямых затрат: a11 = 0.7, a12 = 0.14, a 21 = 0.12, a 22 = 0.1. Т.е. матрица прямых затрат  0.07 0.14   A =   0.12 0.1  имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности. max{0.17 + 0.12; 0.14 + 0.1} = max{0.19; 0.24} = 0.24 < 1. Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле X = ( E − A) −1 Y . Напишем матрицу полных затрат S = ( E − A) −1 :  0.93 − 0.14  . E − A =  0.9   − 0.12 Так как E − A = 0.8202, то 1  0.9 0.14   . 0.8202  0.12 0.93  По условию вектор конечного продукта: 144  . Y =  123  S = E−A

−1

=

Тогда по формуле X = ( E − A) −1 Y получаем вектор валового выпуска:

12

1  0.9 0.14 144   179    = , 0.8202  0.12 0.93 123  160.5  т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл.ед., а в машиностроительной – до 160,5 усл.ед. Задача 3.2.(для самостоятельного решения). В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл.ед.: Отрасль КонечВаловой Потребление ный выпуск 1 2 продукт Произ1 100 160 240 500 водство 2 275 40 85 400 Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если продукт первой отрасли должен увеличиться в 2 раза, а второй отрасли – на 20%. Ответ: (945,6; 691,2). X =

4.ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОБМЕНА (МОДЕЛЬ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ). В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящей к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли). Пусть имеется n стран S1 , S 2 ,Κ , S n , национальный доход каждой из которых равен соответственно x1 , x 2 ,Κ , x n .

Обозначим коэффициентами aij долю национального дохода, которую страна S j тратит на покупку товаров у страны S i . Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е. a1 j + a 2 j + Κ + a nj = 1 ( j = 1,2, Κ , n) 13

Рассмотрим матрицу  a11 a12 Λ a1n     a 21 a 22 Λ a 2 n  , A= Λ Λ Λ Λ    a  a Λ a n2 nn   n1 которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с предыдущим равенством сумма элементов любого столбца матрицы A равна 1. Для любой страны S i (i = 1,2,Κ , n) выручка от внутренней и внешней торговли составляет pi = ai1 x1 + ai 2 x 2 + Κ + ain x n . Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны S i , т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода pi ≥ xi (i = 1,2,Κ , n).

Если считать, что pi > xi (i = 1,2,Κ , n), то получаем систему неравенств:  a11 x1 + a12 x 2 + Κ + a1n x n > x1 , a x + a x + Κ + a x > x  21 1 22 2 2n n 2  ΛΛΛΛΛΛ  a n1 x1 + a n 2 x 2 + Κ + a nn x n > x n . Сложив все неравенства системы, получим после группировки: x1 (a11 + a 21 + Κ + a n1 ) + x 2 (a12 + a 22 + Κ + a n 2 ) + Κ + + x n (a1n + a 2 n + Κ + a nn ) > x1 + x 2 + Κ + x n

14

Учитывая, что выражения в скобках равны единице, мы приходим к противоречивому неравенству x1 + x 2 + Κ + x n > x1 + x 2 + Κ + x n . Таким образом, неравенство pi > xi (i = 1,2,Κ , n ) невозможно, и условие pi ≥ xi принимает вид pi = xi (i = 1,2, Κ , n ). (С экономической точки зрения это понятно, так как все страны не могут получать прибыль.) Вводя вектор x = (x1 , x 2 ,Κ , x n ) национальных доходов стран, получим матричное уравнение AX=X, где X - матрица-столбец из координат вектора x, т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы A, отвечающего собственному значению, равному единице. Задача 4.1. Структурная матрица торговли трех стран S1 , S 2 , S 3 имеет вид: 1 / 3 1 / 4 1 / 2    A = 1 / 3 1 / 4 1 / 2  . 1 / 3 1 / 4 0    Найти национальные доходы стран для сбалансированной торговли. Решение 4.1. Находим собственный вектор X, отвечающий собственному значению, равному единице. Решаем уравнение (A-E)X = 0 или систему:  − 2 / 3 1 / 4 1 / 2  x1   0        1 / 3 − 1 / 2 1 / 2  x 2  =  0   1/ 3 1 / 4 − 1  x3   0   15

методом Гаусса.  − 2 / 3 1/ 4 1/ 2 | 0   1 − 3 / 2 3 / 2 | 0      3/ 4 − 3 | 0→  1/ 3 − 1/ 2 1/ 2 | 0  →  1  1/ 3 1 / 4 − 1 | 0   − 2 3 / 4 3 / 2 | 0    1 − 3/ 2 3/ 2 | 0  1 − 3/ 2 3/ 2 | 0     →  0 9 / 4 − 9 / 2 | 0→  0 9 / 4 − 9 / 2 | 0 →  0 − 9 / 4 9 / 2 | 0  0 0 0 | 0      1 − 3/ 2 3/ 2 | 0  , →   0 9 / 4 − 9 / 2 | 0 т.е. ранг матрицы системы r=2. 1 − 3/ 2 отличен от нуля. Определитель 0 9/4 Поэтому можно оставить в левой части переменные x1 и x 2 , которые возьмем за основные. Оставшуюся (неосновную) переменную x3 перенесем в правую часть. В результате получим систему:  x1 − 3 2 x 2 = − 3 2 x3 ,  9 9 4 x 2 = 2 x3 .  3 Откуда x 2 = 2 x3 и x1 = x 3 . 2 Задавая неосновной переменной произвольное значение x3 = c , найдем бесконечное множество решений системы: 3 x1 = c, x 2 = 2c, x3 = c. 2

16

Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национальных 3 доходов X = ( c; 2c; c), т.е. при соотношении национальных 2 доходов стран (3/2):2:1 или 3:4:2. Задача 4.2.(для самостоятельного решения) Найти соотношение цен трех товаров, если наборы этих x1 = (6; 2; 4), x 2 = (1; 8; 9), x3 = (3; 5; 9) имеют товаров одинаковую стоимость. Ответ: 15:10:6. Литература 1. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. – М.: ИНФРА-М,1999. 2. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. – М.: ЮНИТИ, 1997. 3. Сборник задач по высшей математике для экономистов под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2002.

Подписано в печать 13.09.2004 г. Формат 60х84 1/16. Усл. печ. л. 1,16, уч.изд. л. 0,8. Тираж 70 экз. Заказ № 128. Издательство ВСГТУ. г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40, в. © ВСГТУ, 2004 г.