МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИКЕ Методическое пособие
Составител...
68 downloads
100 Views
220KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИКЕ Методическое пособие
Составители: Е.Г.Васильева, Л.И.Инхеева, М.Д. Улымжиев
Издательство ВСГТУ Улан-Удэ – 2004
3
4
В работе изложен кратко теоретический материал, касающийся применения основных понятий линейной алгебры к экономическим задачам. Приведены примеры решения задач и задания для самостоятельной работы.
Ключевые слова: линейная алгебра, матрица, вектор, собственный вектор, собственные значения, системы линейных уравнений, метод Гаусса.
Рецензия На методическое пособие «Применение линейной алгебры в экономике» для студентов экономических специальностей, выполненную к.ф-м.н., и.о.доц. Улымжиевым М.Д., к.ф-м.н., и.о.доц. Васильева Е.Г., ст. преп. Инхеевой Л.И. В работе изложен кратко теоретический материал, касающийся применения основных понятий линейной алгебры к экономическим задачам. Приведены примеры решения задач и задания для самостоятельной работы. Содержание работы соответствует ГОСВО ЕН. Данная работа удовлетворяет всем требованиям к методическим пособиям и рекомендуется к изданию в РИО ВСГТУ.
Рецензент: к.ф-м.н., доц. Дашиева С.С.
3
4
1.МАТРИЦЫ. Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики - матричная алгебра – имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное – компактной матричной форме. С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.): Ресурсы Электроэнергия Трудовые ресурсы Водные ресурсы
Отрасли экономики Промышленность Сельское хоз-во 5,3 4,1 2,8 2,1 4,8 5,1
может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям: 5,3 4,1 A= 2,8 2,1 4,8 5,1 В данной записи, например, матричный элемент a11 = 5,3 показывает, сколько электроэнергии употребляет промышленность, а элемент a 22 = 2,1 - сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство. Задача 1.1.
3
Предприятие выпускает продукцию трех видов: P1 , P2 , P3 и использует сырье двух типов: S1 , S 2 . Нормы расхода сырья характеризуются матрицей: 2 3 A= 5 2 0 , 1 4
Где каждый элемент aij (i=1,2,3; j= 1,2) показывает, сколько единиц сырья j-го типа расходуется на производство единицы продукции i-го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой C = (100 80 130), Стоимость единицы каждого типа сырья (ден.ед.) – матрицейстолбцом: 30 B= . 50 Решение 1.1. Затраты первого сырья составляют S1 = 2 ⋅ 100 + 5 ⋅ 80 + 1 ⋅ 130 = 730 ед. и 2-го -S 2 = 3 ⋅ 100 + 2 ⋅ 80 + 4 ⋅ 130 = 980 ед., поэтому матрица-строка затрат сырья S может быть записана как произведение: 2 3 S = C ⋅ A = (100 80 130) 5 2 = (730 980) . 1 4
4
Тогда общая стоимость сырья Q = 730 ⋅ 30 + 980 ⋅ 50 = 70900 ден.ед. может быть записана в матричном виде: Q = S ⋅ B = (CA) B = (70900) . Общую стоимость сырья можно вычислить и в другом порядке: вначале вычислим матрицу стоимостей затрат сырья на единицу продукции, т.е. матрицу: 210 2 3 30 R = A ⋅ B = 5 2 = 250 , 1 4 50 230
а затем общую стоимость сырья: 210 Q = C ⋅ R = (100 80 130 ) 250 = (70900 ). 230 Задача 1.2(для самостоятельного решения).
Предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье двух типов. Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого вида заданы матрицей: 2 1 3 . A= 1 3 4 Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей B=(10 15). Каковы общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого вида, 200 единиц продукции второго вида и 150 единиц продукции третьего вида? Ответ: 28000.
5
2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Ниже приведены три задачи, для решения которых нужно составить системы уравнений. Задача 2.1. Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок, при этом используется сырье трех типов: S1 , S 2 , S 3 . Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви, объем расхода сырья на один день заданы таблицей: Нормы расхода сырья на одну Расход Виды пару, усл.ед. сырья сырья на Сапоги Кроссовки Ботинки 1 день, усл.ед. 5 3 4 2700 S1 2 1 1 900 S2 3 2 2 1600 S3
Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви. Решение 2.1. Пусть x1 , x 2 , x3 -ежедневный объем выпуска сапог, кроссовок и ботинок соответственно. Составим систему уравнений:
5 x1 + 3x 2 + 4 x3 = 2700, 2 x1 + x 2 + x3 = 900, 3x + 2 x + 2 x = 1600. 2 3 1 Отсюда x1 = 200, x 2 = 300, x3 = 200.
6
Задача 2.2. С двух заводов поставляются автомобили для двух автохозяйств, потребности которых соответственно 200 и 300 машин. Первый завод выпустил 350 машин, а второй – 150 машин. Известны затраты на перевозку машин с завода в каждое автохозяйство (см. таблицу): Затраты на перевозку в автохоз-во, Завод ден.ед. 1 2 1 15 20 2 8 25 Минимальные затраты на перевозку равны 7950 ден.ед. Найти оптимальный план перевозок машин. Ответ: (50;300;150;0). Задача 2.3. Имеются три банка, каждый из которых начисляет вкладчику определенный годовой процент (свой для каждого банка). В начале года 1/3 вклада размером 6000 ден.ед. вложили в банк 1, 1/2 вклада – в банк 2 и оставшуюся часть – в банк 3 и к концу года сумма этих вкладов возросла до 7250 ден.ед. Если бы первоначально 1/6 вклада положили в банк 1, 2/3 - в банк 2 и 1/6 вклада – в банк 3, то к концу года сумма вклада составила бы 7200 ден.ед.; если бы 1/2 вклада положили в банк 1, 1/6 – в банк 2 и 1/3 вклада – в банк 3, то сумма вкладов в конце года составила бы вновь 7250 ден.ед. Какой процент выплачивает каждый банк? Ответ: 25%, 20%, 15%. 3. МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА МНОГООТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКИ (БАЛАНСОВЫЙ АНАЛИЗ). Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике, связанный с
7
эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями. Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В.Леонтьевым. Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутри производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления. Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год). Введем следующие обозначения: xi - общий (валовой) объем продукции i-ой отрасли (i=1,2,…,n.); xij - объем продукции i-ой отрасли, потребляемой j-ой отраслью в процессе производства (i,j=1,2,…,n); y i - объем конечного продукта i-ой отрасли для непроизводственного потребления.
8
Так как валовой объем продукции любой i-ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, то xi = ( xi1 + xi 2 + Κ + xin ) + y i , (i = 1,2,Κ , n ). Эти уравнения (их n штук) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения имеют стоимостное выражение. Введем коэффициенты прямых затрат: aij = xij / x j , (i, j = 1,2,Κ , n ) , показывающие затраты продукции i-ой отрасли на производство единицы стоимости j-ой отрасли. Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты aij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е. xij = aij x j , (i, j = 1,2,Κ , n ), вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной. Теперь соотношения баланса примут вид: xi = (ai1 x1 + ai 2 x 2 + Κ + ain x n ) + y i , (i = 1,2,Κ , n ), Обозначим x1 a11 a12 Λ a1n y1 x2 a 21 a 22 Λ a 2 n y , Y = 2 , X = , A = Μ Λ Λ Λ Λ Μ x a y n 1n a 2 n Λ a nn n где X - вектор валового выпуска;
9
A - матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица); Y - вектор конечного продукта. Тогда соотношения баланса можно записать в виде: X = AX+Y. Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X , который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. Перепишем матричное уравнение в виде: (E - A)X = Y. Если матрица (E - A) невырожденная, т.е. ее определитель не равен нулю, то X = ( E − A) −1 Y . Матрица S = ( E − A) −1 называется матрицей полных затрат. Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы S = {sij }, будем задаваться единичными векторами конечного продукта: 1 0 0 0 1 0 Y1 = , Y2 = , Κ , Yn = . Μ Μ Μ 0 0 1 Тогда соответствующие векторы валового выпуска будут: s11 s12 s1n s 21 s 22 s Y1 = , Y2 = , Κ , Yn = 2 n . Μ Μ Μ s s s n1 n2 nn
10
Следовательно, каждый элемент s ij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i-ой отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-ой отрасли. В соответствии с экономическим смыслом задачи значения xi должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях y i и aij . Матрица A называется продуктивной, если для любого вектора Y существует решение X уравнения (E - A)X = Y. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной. Существует несколько критериев продуктивности матрицы A. Один из них говорит о том, что матрица A продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы. Задача 3.1. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период в усл.ден.ед.: Отрасль Конеч- Валовый Потребление выпуск Энерге- Машино- ный тика строение продукт Произ- Энерге7 21 72 100 водство тика Машино12 15 123 150 строение Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне.
11
Решение 3.1. Имеем x1 = 100, x 2 = 150, x11 = 7, x12 = 21, x 21 = 12, x 22 = 15,
y1 = 72, y 2 = 123. По формуле aij = xij / x j находим коэффициенты прямых затрат: a11 = 0.7, a12 = 0.14, a 21 = 0.12, a 22 = 0.1. Т.е. матрица прямых затрат 0.07 0.14 A = 0.12 0.1 имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности. max{0.17 + 0.12; 0.14 + 0.1} = max{0.19; 0.24} = 0.24 < 1. Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле X = ( E − A) −1 Y . Напишем матрицу полных затрат S = ( E − A) −1 : 0.93 − 0.14 . E − A = 0.9 − 0.12 Так как E − A = 0.8202, то 1 0.9 0.14 . 0.8202 0.12 0.93 По условию вектор конечного продукта: 144 . Y = 123 S = E−A
−1
=
Тогда по формуле X = ( E − A) −1 Y получаем вектор валового выпуска:
12
1 0.9 0.14 144 179 = , 0.8202 0.12 0.93 123 160.5 т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл.ед., а в машиностроительной – до 160,5 усл.ед. Задача 3.2.(для самостоятельного решения). В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл.ед.: Отрасль КонечВаловой Потребление ный выпуск 1 2 продукт Произ1 100 160 240 500 водство 2 275 40 85 400 Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если продукт первой отрасли должен увеличиться в 2 раза, а второй отрасли – на 20%. Ответ: (945,6; 691,2). X =
4.ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОБМЕНА (МОДЕЛЬ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ). В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящей к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли). Пусть имеется n стран S1 , S 2 ,Κ , S n , национальный доход каждой из которых равен соответственно x1 , x 2 ,Κ , x n .
Обозначим коэффициентами aij долю национального дохода, которую страна S j тратит на покупку товаров у страны S i . Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е. a1 j + a 2 j + Κ + a nj = 1 ( j = 1,2, Κ , n) 13
Рассмотрим матрицу a11 a12 Λ a1n a 21 a 22 Λ a 2 n , A= Λ Λ Λ Λ a a Λ a n2 nn n1 которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с предыдущим равенством сумма элементов любого столбца матрицы A равна 1. Для любой страны S i (i = 1,2,Κ , n) выручка от внутренней и внешней торговли составляет pi = ai1 x1 + ai 2 x 2 + Κ + ain x n . Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны S i , т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода pi ≥ xi (i = 1,2,Κ , n).
Если считать, что pi > xi (i = 1,2,Κ , n), то получаем систему неравенств: a11 x1 + a12 x 2 + Κ + a1n x n > x1 , a x + a x + Κ + a x > x 21 1 22 2 2n n 2 ΛΛΛΛΛΛ a n1 x1 + a n 2 x 2 + Κ + a nn x n > x n . Сложив все неравенства системы, получим после группировки: x1 (a11 + a 21 + Κ + a n1 ) + x 2 (a12 + a 22 + Κ + a n 2 ) + Κ + + x n (a1n + a 2 n + Κ + a nn ) > x1 + x 2 + Κ + x n
14
Учитывая, что выражения в скобках равны единице, мы приходим к противоречивому неравенству x1 + x 2 + Κ + x n > x1 + x 2 + Κ + x n . Таким образом, неравенство pi > xi (i = 1,2,Κ , n ) невозможно, и условие pi ≥ xi принимает вид pi = xi (i = 1,2, Κ , n ). (С экономической точки зрения это понятно, так как все страны не могут получать прибыль.) Вводя вектор x = (x1 , x 2 ,Κ , x n ) национальных доходов стран, получим матричное уравнение AX=X, где X - матрица-столбец из координат вектора x, т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы A, отвечающего собственному значению, равному единице. Задача 4.1. Структурная матрица торговли трех стран S1 , S 2 , S 3 имеет вид: 1 / 3 1 / 4 1 / 2 A = 1 / 3 1 / 4 1 / 2 . 1 / 3 1 / 4 0 Найти национальные доходы стран для сбалансированной торговли. Решение 4.1. Находим собственный вектор X, отвечающий собственному значению, равному единице. Решаем уравнение (A-E)X = 0 или систему: − 2 / 3 1 / 4 1 / 2 x1 0 1 / 3 − 1 / 2 1 / 2 x 2 = 0 1/ 3 1 / 4 − 1 x3 0 15
методом Гаусса. − 2 / 3 1/ 4 1/ 2 | 0 1 − 3 / 2 3 / 2 | 0 3/ 4 − 3 | 0→ 1/ 3 − 1/ 2 1/ 2 | 0 → 1 1/ 3 1 / 4 − 1 | 0 − 2 3 / 4 3 / 2 | 0 1 − 3/ 2 3/ 2 | 0 1 − 3/ 2 3/ 2 | 0 → 0 9 / 4 − 9 / 2 | 0→ 0 9 / 4 − 9 / 2 | 0 → 0 − 9 / 4 9 / 2 | 0 0 0 0 | 0 1 − 3/ 2 3/ 2 | 0 , → 0 9 / 4 − 9 / 2 | 0 т.е. ранг матрицы системы r=2. 1 − 3/ 2 отличен от нуля. Определитель 0 9/4 Поэтому можно оставить в левой части переменные x1 и x 2 , которые возьмем за основные. Оставшуюся (неосновную) переменную x3 перенесем в правую часть. В результате получим систему: x1 − 3 2 x 2 = − 3 2 x3 , 9 9 4 x 2 = 2 x3 . 3 Откуда x 2 = 2 x3 и x1 = x 3 . 2 Задавая неосновной переменной произвольное значение x3 = c , найдем бесконечное множество решений системы: 3 x1 = c, x 2 = 2c, x3 = c. 2
16
Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национальных 3 доходов X = ( c; 2c; c), т.е. при соотношении национальных 2 доходов стран (3/2):2:1 или 3:4:2. Задача 4.2.(для самостоятельного решения) Найти соотношение цен трех товаров, если наборы этих x1 = (6; 2; 4), x 2 = (1; 8; 9), x3 = (3; 5; 9) имеют товаров одинаковую стоимость. Ответ: 15:10:6. Литература 1. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. – М.: ИНФРА-М,1999. 2. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. – М.: ЮНИТИ, 1997. 3. Сборник задач по высшей математике для экономистов под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2002.
Подписано в печать 13.09.2004 г. Формат 60х84 1/16. Усл. печ. л. 1,16, уч.изд. л. 0,8. Тираж 70 экз. Заказ № 128. Издательство ВСГТУ. г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40, в. © ВСГТУ, 2004 г.