Физика. Раздел 3. ''Магнитостатика. Электромагнетизм'': Основные законы и формулы: Методические указания к решению задач

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ЗАОЧНЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра физики

ФИЗИКА Раздел 3. Магнитостатика. Электромагнетизм. Основные законы и формулы. Методические указания к решению задач.

Факультеты все Специальности все

Санкт-Петербург 1997

1

Утверждено редакционно-издательским советом института. УДК 53(07) Физика. Раздел 3. "Магнитостатика. Электромагнетизм". Основные законы и формулы. Методические указания к решению задач. - СПб.:СЗПИ, 1997, - 19 с., ил. 3. Данное учебно-методическое пособие содержит основные законы и формулы физики, рекомендации к решению задач, примеры решения задач и рекомендуемую литературу по разделу "Магнитостатика. Электромагнетизм", а также справочные таблицы. Пособие составлено в соответствии с программой по физике для инженерных специальностей высших учебных заведений. Рассмотрено на заседании кафедры физики. Одобрено методической комиссией факультета радиоэлектроники. Рецензенты: кафедра физики СЗПИ (и.о.зав.каф. физики В.А.Подхалюзин, канд. техн. наук, доц.); А.Г.Дмитриев, докт. физ.-мат. наук, проф. каф. экспериментальной физики СПбГТУ. Составители: В.А.Подхалюзин, канд. техн. наук, доц. А.Я.Поляков, ст.преп. Научные редакторы: Ю.А.Карташов, канд. техн. наук, проф. И.В.Попов, канд. физ.-мат. наук, доц.

Предисловие Цель настоящего учебно-методического пособия - оказание помощи студентам СЗПИ всех специальностей в изучении курса физики. Основной учебный материал пособия содержит шесть разделов физики,изданных отдельными брошюрами: 1. Физические основы механики. 2. Электростатика. Постоянный электрический ток. 3. Магнитостатика. Электромагнетизм. 4. Колебания и волны. Волновая оптика. 5. Молекулярная физика. Термодинамика. механики. 6. Квантовая оптика. Физика атома. Элементы квантовой Физика твердого тела. Физика атомного ядра. В каждом из разделов приведены основные формулы и примеры решения задач. Кроме того, в пособии даны общие методические указания, список рекомендуемой учебной литературы и справочные таблицы. Общие методические указания к решению задач, выполнению и оформлению контрольных работ 1. В зависимости от объема изучаемого курса физики студенты выполняют разное число контрольных работ: - односеместровый курс физики - две конрольные работы; - двухсеместровй курс физики - три контрольные работы; - трехсеместровый курс физики - пять контрольных работ. 2. Контрольные работы выполняются в школьной тетради, на обложке которой приводятся сведения о студенте (фамилия, имя, отчество, факультет, шифр, номер специальности), а также номер контрольной работы, номер варианта и номера всех задач контрольной работы. 3. Условие каждой задачи переписывается полностью, без сокращений. 4. Решения сопровождаются подробными пояснениями, с обязательным использованием рисунков, выполненных чертежными инструментами. При этом оставляются поля и промежутки не менее 10 мм между строками для замечаний преподавателя. 5. Последовательность решения задач: а) вводятся буквенные обозначения всех используемых физических величин; б) под рубрикой "Дано" кратко записывается условие задачи с переводом единиц в систему СИ; 3

в) приводится рисунок, поясняющий условие; г) формулируются физические законы и обосновываются возможности их использования при решении данной задачи; д) на основе сформулированных законов составляются уравнения для искомых величин в системе СИ; е) находятся решения этих уравнений и выводятся рабочие формулы в общем виде; ж)по рабочим формулам проверяется размерность искомых величин; и) проводятся вычисления (с точностью не более 2-3 значащих цифр) в системе СИ. Числовые значения величин записываются в виде десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой, умноженной на соответствующую степень десяти. 6. В конце контрольной работы приводится список использованной литературы. Выполненная контрольная работа сдается на рецензию преподавателю по крайней мере за одну-две недели до экзамена (зачета) по физике. После рецензирования вносятся исправления в решения задач в соответствии с замечаниями преподавателя. Исправленные решения помещаются в конце тетради с контрольной работой, которая сдается на повторную рецензию. Зачет по контрольной работе принимается преподавателем в процессе собеседования по правильно решенной и отрецензированной контрольной работе. Литература Основная 1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики М.: Высшая школа, 1989. 2. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.2. М.: Наука, 1982, 1988. Дополнительная 3. Комаровских К.Ф. и др. Электромагнетизм. Текст лекций. Л.: СЗПИ. 1990. 4. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука. 1990. 5. Чертов А.Б., Воробьев А.А. Задачник по физике. М.: Высшая школа. 1988, 1991.

4

МАГНИТОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ И ВЕЩЕСТВЕ Основные законы и формулы

r r Связь магнитной индукции B с напряженностью H магнитного поля (МП) r r B = µµ0H, где µ - относительная магнитная проницаемость изотропной среды (в вакууме µ = 1); µ0 - магнитная постоянная (µ0 = 4π.10-7 Гн/м). Магнитная индукция в центре кругового витка с током µµ 0I B= , 2R где R - радиус кругового витка, I - сила тока. Магнитная индукция поля длинного прямого проводника с током µµ 0I B= 2πr0 , где r0 - расстояние от оси проводника до точки, в которой определяется магнитная индукция. Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током, (рис.1) µµ 0 I B= (cos cos  4 πr0

r r Направление вектора B обозначено точкой - это значит, что вектор B направлен перпендикулярно плоскости рисунка "к нам". При симметричном расположении концов провода относительно точки, в которой определяется индукция: cos  cos  cos . Тогда B=

µ µ 0I cos  2 π r0

Магнитная индукция поля внутри длинного соленоида с током: а) в центре соленоида В = µµ0In, б) на краю соленоида В = µµ0In/2, где n = N/l - число витков, приходящееся на единицу длины (N - число витков соленоида, l - длина соленоида). Сила, действующая на элемент проводника с током длиной dl, (закон Ампера) 5

r r r dF = I d l × B

[

]

или

dF = I dlB sin

,

где α - угол между направлением тока в элементе проводника и вектором магнитной индукции В. В случае однородного МП и прямого отрезка проводника длиной l модуль силы Ампера суть F= IBl sin  Сила взаимодействия, приходящаяся на единицу длины каждого из двух длинных прямолинейных параллельных проводов с токами I1 и I2, µµ 0 I 1I 2 , F= 2πd где d - расстояние между проводами. Магнитный момент плоского контура сrтоком r p m = I Sn , r где n - единичный вектор нормали к плоскости контура; I - сила тока, протекающего по контуру; S - площадь контура. Вращающий момент, действующий на контур с током в однородном МП, r r r М = p mB или М = p mB sin , r r где α - угол между векторами p m и B . Сила (сила Лоренца), действующая на движущийся заряд в МП, r rr F = q VB или F = q VB sin , r r V скорость заряженной частицы; α угол между векторами V и где r B . Магнитный поток: а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле, r r Φ = BdS = Bn dS ,

[ ] [ ]

∫

∫

(S)

(S)

r r r где dS = dSn ; n - единичный вектор нормали к элементу поверхности dS; r r Bn = B cos - проекция вектора B на направление нормали n ; α - угол r r между вектором B и нормалью n . б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное магнитное поле, Φ = BnS = BS cos  Потокосцепление (полный магнитный поток) катушки индуктивности Ψ = NΦ , где N - число витков катушки. 6

Формула верна для соленоида и тороида, когда N витков плотно прилегают друг к другу. Работа по перемещению замкнутого контура с током в МП А = I∆Ф = I(Ф2 - Ф1), где Ф1 и Ф2 - магнитные потоки через контур в начальном и конечном положении. Примеры решения задач

Пример1. По двум бесконечно длинным параллельным проводникам в воздухе текут в одинаковом направлении токи I1 и I2. Провода расположены на расстоянии 5 см друг от друга. Найти величину тока I1, если индукция МП в точке, равноудалённой от обоих проводов на 3,5 см, равна 3.10-5 Тл, а сила тока I2 равна 2 А.Дано: l = 5 см = 5.10-2 м I2 = 2 А r1 = r2 = 3,5 см = 3,5.10-2 м В = 3.10-5 Тл ___________________ I1 - ? Решение. Используем принцип суперпозиции

r r r B = В1 + В 2 ,

µµ 0 I 1 µµ 0 I 2 = = B B 1 2 где 2πr1 , 2πr2 . Для расчета результирующего МП используем теорему косинусов B = ( B12 + B22 + 2B1B2 cos )1/2 , (1) r r где α - угол между векторами B1 и B2 . r r B B направлены по касательным к силовым линиям в Вектора 1 и 2 точках, отстоящих от токов I1 и I2 на расстояния r1 и r2 соответственно. r r B B и равен уголу β между Поэтому угол α между векторами 1 2 сторонами треугольника на рис.2, т.к. это углы со взаимоперпендикулярными сторонами r12 + r22 − l2 cos = cos  , 2r1r2 7

2 ⋅ 3,52 − 52 ≈ −0,02041 . cos = 2 ⋅ 3,52 Подставляя в (1) выражения для В1 и В2 и учитывая, что r1=r2, получим µµ 0 2 2 B= ⋅ ( I + I + 2I1I2 cos )1/2 . 2πr 1 2 Отсюда ⎛ B ⋅ 2πr ⎞ ⎟ I12 + I22 + 2I1I2 ⋅ сos = ⎜ ⎝ µµ 0 ⎠

2

и

I 12

+ I 1 ⋅ (2I2 cos +

I 22

⎛ B ⋅ 2 πr ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ µµ 0 ⎠

2

= 0.

Подставляя данные из условия, получим I - 0,0816.I1 - 23,56 = 0 ; 2 1

0,0816 ± 0,08162 + 4 ⋅ 23,56 0,0816 ± 9,71 = I1 = . 2 2 Так как отрицательное значение тока I1 соответствует противоположному по отношению к I2 направлению протекания, то оно не является решением по условию задачи. Таким образом, I1 = ( 9,79/2 ) А = 4,895 А. Ответ: I1 = 4,895 А = 4,90 А.

Пример 2. Напряженность МП в центре квадратной рамки с током равна 30 А/м. Найти силу тока, протекающего по рамке, если длина её сторон 10 см. Дано: квадратная рамка Н = 30 А/м а = 10 см = 10-1 м ________________ I-? Решение. Известно, что напряженность МП связана с вектором магнитной индукции соотношением r r µµ 0 H = B . −7

−5

Отсюда В = 1⋅ 4π ⋅ 10 ⋅ 30 = 3.77 ⋅ 10 Тл . В центре рамки все вектора магнитной индукци, соответствующие МП токов, которые протекают по разным сторонам рамки, одинаковы по 8

величине и направлению. Поэтому В = 4В1, где В1 - магнитная индукция МП, созданного током в одной из сторон, µµ 0I B1 = ⋅ 4πr0 2cos  где r0 - расстояние от центра рамки до любой из сторон, r0 = a/2 = 5 см = 0,05 м. 0 Угол α для квадратной рамки равен 450 и сos 45 =

2 . 2

Тогда

B⋅a ⋅ π µµ 0 I ⋅ 2 или I = . π⋅a / 2 2 2µµ 0 Произведем вычисления, подставив все данные в системе СИ , В = 3,77.10-5 Тл; a = 0,1 м; µ = 1; µ0 = 4π.10-7 Гн/м. B = 4B1 =

I=

3,77 ⋅ 10 − 5 ⋅ 0 ,1 ⋅ 3 ,14 2 2 ⋅ 1 ⋅ 4 π ⋅ 10 − 7

= 3 ,33 А .

Проверим размерность: Гн А 1 [B] ⋅ [a] ⋅ [ π] = м ⋅ 1 м ⋅ м = 1А . Гн [µ ] ⋅ [µ 0 ] м Пример 3. Индукция МП в центре медного кольца с током равна 10-5 Тл. Найти площадь сечения кольца, если при приложении к его концам разности потенциалов в 0,2 В, по кольцу течёт ток силой 2 А. Удельное сопротивление меди ρ м = 1,7.10-8 Ом.м. Дано: медное кольцо В = 10-5 Тл U = 0,2 В I=2А ρ м = 1,7.10-8 Ом.м _____________ S-? Решение. Индукция МП в центре кольца с током µµ 0 I B= 2R 0 .

9

(1)

Из закона Ома имеем US U U , (2) = = l ρl R ρ⋅ S где l = 2πR0 - длина кольца, R0 - радиус кольца; R - сопротивление кольца. Тогда, подставляя (3) в (2), получим I ⋅ ρ ⋅ 2πR 0 = US . Следовательно, US R0 = I ⋅ ρ ⋅ 2π и µµ 0 2πρI 2 B= . 2US I=

Из последней формулы находим сечение µµ 0 πρI 2 . S= BU Подставим числовые данные: 1⋅ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ π ⋅ 17 . ⋅ 10 −8 ⋅ 4 S= = 1341 ⋅ 10 −7 м2 = 0,134 мм2. . −5 10 ⋅ 0.2 Проверим размерность: Гн 2 ⋅ Ом ⋅ м ⋅ А 2 µ ρ ⋅ ⋅ I [ 0] [ м] ГН ⋅ А Гн ⋅ А [S] = B ⋅ U = м Тл ⋅ В = Тл = Гн А = м2 . [ ][ ] ⋅ м м

[]

Пример 4. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 50 В, влетает в однородное МП под углом 300 к линиям индукции. Определить величину вектора магнитной индукции, если радиус винтовой линии, по которой движется электрон, равен 10 см. Дано: U = 50 В α = 300 R = 10 см = 10-1 м ______________ В-?

10

Решение. В МП электрон под действием силы Лоренца участвует в двух движениях: равномерном движении в направлении, совпадающем с силовыми линиями МП и движении по окружности в плоскости, перпендикулярной силовым линиям. Равномерное движение просходит со скоростью v|| = v0 сos , а движение по окружности характеризутся скоростью v ⊥ = v0 sin  Движение по окружности совершается под действием силы Лоренца, которая является центростремительной, 2 mv ⊥ F^ = ma n = , R где R - радиус окружности. Учитывая, что сила Лоренца равна F^ = ev ⊥ B , получаем соотношение mv ⊥ B= . (1) eR Величина скорости электрона определяется пройденной разностью потенциалов 2 mv 0 . eU = 2

2eU 2eU v⊥ = и . m m Тогда, в соответствии с формулой (1), находим Отсюда

v0 =

sinα 2mU R e Подставим числовые данные, переводя величины в систему СИ, B=

sin 300 2 ⋅ 50 ⋅ 9,1⋅ 10 −31 1 9,1 −5 = ⋅ ⋅ = 119 10 , ⋅ 10 −4 Тл . −19 0,1 0,2 16 , , ⋅ 10 16 Проверим размерность

B=

1[м] 1/ 2 [B] 1/ 2

1/ 2 −1/ 2 к г) (Д ж) ( =

м⋅ A ⋅c [R ][Kл] 1/ 2 1 к г⋅ м Н ⋅ = = Тл. 2 м⋅A А ⋅м с

(к г⋅ м ⋅ к г ⋅ м) 1/ 2 = = м⋅А ⋅с

11

⎛ к г ⋅ м ⋅ к г ⋅ м⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ с2 м⋅ А ⋅с

1/ 2

=

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ Основные законы и формулы

Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея) dΨ =− . i dt Разность потенциалов на концах прямого проводника, движущегося со скоростью v в однородном МП U = ϕ 1 − ϕ 2 = Blv sin α, r r где l - длина проводника, α - угол между векторами v и B . Индуктивность контура Ψ L= . I ЭДС самоиндукции dI s = −L . dt Индуктивность соленоида L = µµ0n2V, где n = N / l - число витков N, приходящееся на единицу длины l соленоида, V - объем соленоида. Мгновенное значение силы тока при замыкании цепи R ⎛ − 1t ⎞ ⎜1 − e L ⎟ , I= ⎟ R 1 ⎜⎝ ⎠

ε

ε

ε

ε

где - ЭДС источника, L - индуктивность цепи, сопротивление цепи, t - время, прошедшее после замыкания. Мгновенное значение силы тока при размыкании цепи −

R2 L

t

R1 -

I = I 0e , где I0 - сила тока в цепи в момент размыкания, L и R2 - индуктивность и сопротивление цепи размыкания (с учетом межконтактного сопротивления выключателя), t - время, прошедшее после размыкания. Энергия МП контура с током LI 2 W= . 2 12

Объемная плотность энергии магнитного поля (энергия единицы объема МП) BH µµ 0H2 w= = . 2 2 Примеры решения задач.

Пример1. В центре плоской круговой рамки, состояшей из 50 витков радиусом 20 см, находится маленькая рамка, состоящая из 100 витков площадью 1 см2. Маленькая рамка вращается вокруг одного из диаметров большой рамки с постоянной угловой скоростью 300 рад/с. Найти максимальное значение ЭДС индукции, если в обмотке рамки течет ток силой 10 А. Дано: N1 = 50 N2 = 100 R = 20 см = 0,2 м S =1 см2 = 10-4 м2 ω = 300 рад/с I = 10 А ______________

ε

max=

? Решение. При вращении маленькой рамки непрерывно изменяется угол r α между вектором B и нормалью к плоскости рамки и, следовательно, изменяется магнитный поток Ф, пронизывающий маленькую рамку. В рамке возникает ЭДС индукции, мгновенное значение которой, по закону Фарадея, равно dΨ dФ , = −N2 (1) i = − dt dt где Ψ = N2Ф - потокосцепление. Так как размеры маленькой рамки малы по сравнению с размерами большой рамки, то поле в пределах маленькой рамки можно считать однородным. Магнитную индукцию В этого поля можно выразить через индукцию поля в центре рамок I B = N1µµ 0 . (2) 2R

ε

13

Для однородного поля магнитный поток, пронизывающий маленькую рамку, равен Ф = ВS cosα. С учетом того, что при вращении рамки с постоянной угловой скоростью мгновенное значение угла α = ωt, получим Ф = ВS cosα = BS cosωt. Подставив в формулу (1) выражение для Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции

ε = N BSω sinωt. i

2

Максимальное значение ЭДС индукции равно

ε

imax

= N1BSω.

Учитывая формулу (2), получим

I = N N µµ Sω . i max 1 2 0 2R Выразим все величины в единицах СИ: R = 0,2 м; S = 10-4 м2; I = 10 А; ω = 300 рад/с; µ0 = 4π.10-7 Гн/м; µ = 1. Произведя вычисления, получим 10 . ⋅ 314 , ⋅ 10 −7 10 −4 ⋅ 300 = 4,7 ⋅ 10 −3 B. i max = 50 ⋅ 100 ⋅ 14 2 ⋅ 0,2 ε

ε

Пример2. Контур в виде квадрата со стороной 10 см находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,5 мТл так, что его плоскость составляет угол 300 c силовыми линиями поля. Какой заряд протечет по контуру при выключении магнитного поля? Сопротивление контура 1 мОм. Дано: а = 10 см = 10-1 м В = 0,5 мТл = 5.10-4 Тл β = 300 R =1 мОм = 1.10-3 Ом. __________________ q=? Решение. При выключении магнитного поля магнитный поток Ф, пронизывающий контур, меняется. В контуре возникает ЭДС индукции, мгновенное значение которой по закону Фарадея равно dФ = − . i dt

ε

14

Мгновенное значение силы индукционного тока определяется по закону Ома

I=

ε

i

=−

R За время dt по контуру протечет заряд

1 dФ . R dt

1 dФ. R Проинтегрировав это выражение, найдем полный заряд dq = Idt = −

1 q=− R

Ф2

∫

dФ =

1 (Ф1 − Ф 2 ) R

Ф1

Для однородного магнитного поля начальный магнитный поток равен Ф1 = BS cosα, и нормалью к плоскости контура где α - угол между вектором 2 (рис.3), S = а - площадь квадрата. Из рисунка видно, что α = 900 - β. Следовательно, cosα = sinβ. Конечный магнитный поток Ф2 = 0. Таким образом,

BS sin β Ba 2 sin β = . q= R R Произведя вычисления, получим q=

5⋅ 10−4 ⋅ 01 ,2 3 −3

2⋅ 1⋅ 10

, ⋅ 10−3 Кл . = 43

Проверим, дает ли расчетная формула единицу заряда. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы измерений: 1 Н ⋅ 1 м2 1Н ⋅ 1 м ⋅ 1 А ⋅ 1 с 1В / м ⋅ 1 А ⋅ 1 с [B][a 2 ] 1Тл ⋅ 1м 2 = = = = = [R ] 1 Ом 1 м / с ⋅ 1 Кл ⋅ 1 В / а 1 Кл ⋅ 1 В 1В / м

= 1 Кл. Пример3. Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока 4А магнитный поток равен 4мкВб. Определить индуктивность соленоида и энергию его МП. Дано: N = 1200 I =4А 15

Ф = 4 мкВб = 4.10-6 Вб _________________ L-?W-? Решение: Индуктивность L связана с потокосцеплением Ψ и силой тока I соотношением Ψ = LI . (1) В свою очередь, потокосцепление можно найти через поток Ф и число витков N (когда витки плотно прилегают друг к другу) Ψ = NФ . (2) Из формул (1) и (2) находим индуктивность соленоида NФ L= . (3) I Энергия МП соленоида 1 W = LI 2 . 2 Выразив L согласно (3), получим 1 W = NФI . 2 Подставим в формулы значения физических величин и произведем вычисления: 12 , ⋅ 10 3 ⋅ 6 ⋅ 10 −6 L= = 18 , ⋅ 10 −3 Гн = 18 , м Гн ; 4 1 W = ⋅ 12 , ⋅ 103 ⋅ 6 ⋅ 10 −6 ⋅ 4 = 144 , ⋅ 10 −2 Дж = 14,4 мДж. 2

16

СПРАВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ Удельное сопротивление металлов

Металл Алюминий Железо Нихром

Удельное сопротивление (Ом.м) 2,8.10-8 9,8.10-8 1,1.10-6

Металл Медь Серебро

Удельное сопротивление (Ом.м) 1,7.10-8 1,6.10-8

Основные физические постоянные (округленные значения) Физическая постоянная Заряд электрона Масса электрона Заряд протона Масса протона Заряд -частицы Масса -частицы

Обозначение

Значение

e me p mp q m

- 1,6. 10-19 Кл 9,11.10-31 кг 1,6. 10-19 Кл 1,67.10-27 кг 3,2.10-19 Кл 6,64.10-27 кг

17