СВОБОДНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

ÑÂÎÁÎÄÍÎÅ ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÅ ÏÎËÅ Þ. Ì. Áåëîóñîâ Ðàññìîòðèì îïèñàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Ïðåæäå âñåãî íàïîìíèì, ÷òî ìîæíî ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ðàçäåëèòü, êàê áû, íà äâà òèï: ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå êàêèìè-ëèáî èñòî÷íèêàìè, è ñâîáîäíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, êîòîðîå ñóùåñòâóåò ñàìî ïî ñåáå Ïîëå, ñîçäàâàåìîå èñòî÷íèêîì, îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâàìè èñòî÷íèêà è åìó ñîîòâåòñòâóåò â êâàíòîâîé ìåõàíèêå îïåðàòîð, êîòîðûé îïèñûâàåò èñòî÷íèê. Íàïðèìåð, îïåðàòîð ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà îïðåäåëÿåòñÿ ˆ, ò.å. âñå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ áóîïåðàòîðîì ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ~µ ˆ ñ äðóãèìè äóò ñëåäîâàòü èìåííî èç êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé îïåðàòîðà ~µ îïåðàòîðàìè. Îïåðàòîðó çàðÿäà â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñîîòâåòñòâóåò ïðîñòîå óìíîæåíèå íà ñîîòâåòñòâóþùèé çàðÿä, ïîýòîìó îïåðàòîð ñòàòè÷åñêîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè åñòü ïðîñòî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò. Ñîâåðøåííî èíà÷å ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñâîáîäíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå. Ïîñêîëüêó îíî ñóùåñòâóåò íåçàâèñèìî îò êàêèõ-ëèáî äðóãèõ (êâàíòîâûõ) ñèñòåì è ñàìî ïî ñåáå ïðåäñòàâëÿåò êâàíòîâóþ ñèñòåìó, òî äîëæíî îïèñûâàòüñÿ ñâîèì ãàìèëüòîíèàíîì. Èòàê, äëÿ îïèñàíèÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå, ñëåäóåò: 1. îïðåäåëèòü åãî ãàìèëüòîíèàí, äëÿ ÷åãî 2. íåîáõîäèìî ïîíÿòü, ÷òî æå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îáîáùåííûé èìïóëüñ è êîîðäèíàòà ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ è, íàêîíåö, 3. ïîíÿòü, ÷òî æå òàêîå ñîñòîÿíèå ïîëÿ, ò.å. êàêîé ïîëíûé íàáîð ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ñëåäóåò âûáðàòü äëÿ îïèñàíèÿ ïîëÿ. Íà÷íåì ñ ïîñëåäíåãî. Ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì |ψi, êîòîðûé â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè åñòü âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ: hr|ψi. Ñâîáîäíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ñàìî ïî ñåáå åñòü âîëíà, è ïîëíîñòüþ çàäàåòñÿ âåêòîðíûì ïîòåíöèàëîì A(r, t), ïîýòîìó âîçíèêàåò èñêóøåíèå âçÿòü åãî â êà÷åñòâå âîëíîâîé ôóíêöèè, òåì áîëåå ÷òî îí óäîâëåòâîðÿåò âîëíîâîìó óðàâíåíèþ, ò.å. óðàâíåíèþ Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà äëÿ ÷àñòèöû ñ íóëåâîé ìàññîé. Îäíàêî ýòî áûëî áû ãðóáîé îøèáêîé, ïîòîìó ÷òî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë åñòü ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èb t) è ïîëó÷èòü íà, êîòîðîé ìû äîëæíû ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå îïåðàòîð A(r, b t)|ψi. A(r, t) = hψ|A(r, Çàìåòèì, ÷òî, íàïèñàâ |ψi, ìû ïðåäïîëàãàåì ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå ïîëÿ, íî â îáùåì ñëó÷àå ìû íå ìîãëè ÿâíî çàïèñàòü ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå äàæå äëÿ ÷àñòèöû. Ïðîäâèíóòüñÿ â ýòîì íàïðàâëåíèè íàì ïîìîã ôóíäàìåíòàëüíûé ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè, áëàãîäàðÿ êîòîðîìó ìû ìîãëè ïðåäñòàâèòü ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå â âèäå ñóïåðïîçèöèè îïðåäåëåííûõ ñîñòîÿíèé, êîòîðûå ìû çàòåì ïðåäñòàâèëè êàê áàçèñèíûå, ïðè÷åì ýòè áàçèñíûå âåêòîðû ìîãëè îïèñûâàòü è

1

ñîñòîÿíèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû |pi. Íàïðèìåð, X |ψi = ap |pi. p

 ýòîì ñëó÷àå ñðåäíåå çíà÷åíèå êàêîé-ëèáî ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû åñòü X hf i = fp,p0 a∗p ap0 . p,p0

Âñïîìíèì èç êóðñà Òåîðèÿ ïîëÿ ÷òî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ïðîèçâîëüíîãî ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ïëîñêèì âîëíàì  ýëåìåíòàðíûì ðåøåíèÿì âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ: Z dkdω A(r, t) = Akω exp (i(kr − ωt)) . (1) (2π)4  òàêîì ñëó÷àå àìïëèòóäû Ôóðüå Akω ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê çíà÷åíèå îïåðàòîðà âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà â áàçèñå ýëåìåíòàðíûõ ñîñòîÿíèé ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ  ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëíàõ. Ïëîñêàÿ âîëíà îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì 4-âîëíîâûì âåêòîðîì, íóëåâàÿ êîìïîíåíòà êîòîðîãî ðàâíà ω = c|k|, è ïîëÿðèçàöèåé.1 Èñõîäÿ èç ñêàçàííîãî, ìîæíî äëÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ ïîëÿ âñåãäà çàïèñàòü X ak,α |k, αi. |ψi = (2) k,α

Çäåñü |k, αi  âåêòîð áàçèñíîãî ñîñòîÿíèÿ (ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû), α îáîçíà÷àåò åå ïîëÿðèçàöèþ.  äàëüíåéøåì íàì áóäåò íå î÷åíü óäîáíî ïðîâîäèòü ðàññóæäåíèÿ è âû÷èñëåíèÿ äëÿ íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà ýëåìåíòàðíûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïîýòîìó ïåðåéäåì ê äèñêðåòíîìó, êàê ýòî îáû÷íî äåëàåòñÿ. À èìåííî: áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîëå çàêëþ÷åíî â êóáå î÷åíü áîëüøèõ, íî êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ L, à íà âñå ïðîñòðàíñòâî ïðîäîëæèì ðåøåíèå, èñïîëüçóÿ ïåðèîäè÷åñêèå óñëîâèÿ íà ãðàíèöå. Ýòî ýêâèâàëåíòíî ïðîöåäóðå çàïîëíåíèÿ âñåãî ïðîñòðàíñòâà îäèíàêîâûìè êóáàìè, êîòîðàÿ íàì íåîáõîäèìà äëÿ ïîëó÷åíèÿ êîíå÷íîé ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé ïîëÿ. Äåéñòâèòåëüíî, íàêëàäûâàÿ ïåðèîäè÷åñêèå óñëîâèÿ íà ïëîñêèå âîëíû, ïîëó÷àåì, ÷òî âîëíîâîé âåêòîð ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ

k=

2π (nx , ny , nz ) , L

ãäå nx , ny , nz −

öåëûå ÷èñëà.

Êàæäûé íàáîð öåëûõ ÷èñåë nx , ny , nz ñîîòâåòñòâóåò ñâîåìó ýëåìåíòàðíîìó ñîñòîÿíèþ.  ñëó÷àå L → ∞ èçìåíåíèå âîëíîâîãî âåêòîðà ìåæäó ñîñåäíèìè ñîñòîÿíèÿìè ∆k → 0 è ñïåêòð ñòàíîâèòñÿ êâàçèíåïðåðûâíûì.  ýòîì ñëó÷àå 1 Íàïîìíèì,

÷òî ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà îáÿçàòåëüíî ïîëÿðèçîâàíà.  ïðîèçâîëüíîì ñëó÷àå ïîëÿðèçàöèÿ ýëëèïòè÷åñêàÿ, â ÷àñòíîì  öèðêóëÿðíàÿ (ëåâàÿ èëè ïðàâàÿ) ëèáî ëèíåéíàÿ.

2

óäîáíî ãîâîðèòü î ÷èñëå ñîñòîÿíèé â èíòåðâàëå èçìåíåíèÿ âîëíîâîãî âåêòîðà ∆ki : L ∆ni = ∆ki . 2π Ïîëíîå ÷èñëî âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ïðè èçìåíåíèè âîëíîâîãî âåêòîðà â èíòåðâàëå îò k äî k + ∆k åñòü

∆n = 2∆nx ∆ny ∆nz = 2

L3 V ∆kx ∆ky ∆kz = 2 ∆k. 3 (2π) (2π)3

(3)

Çäåñü ìíîæèòåëü 2 ó÷èòûâàåò äâå ðàçëè÷íûõ ïîëÿðèçàöèè. Òàêèì îáðàçîì âèäèì, ÷òî ÷èñëî ñîñòîÿíèé ïðîïîðöèîíàëüíî îáúåìó êóáà, è ïîýòîìó â áåñêîíå÷íîì ïðîñòðàíñòâå íàì ïðèøëîñü áû ñòîëêíóòüñÿ ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ ðàíüøå âðåìåíè. Ïîýòîìó âñå âû÷èñëåíèÿ ôîðìàëüíî ïðîâîäÿòñÿ â äëÿ êóáà êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ, íî â îêîí÷àòåëüíûõ (ôèçè÷åñêèõ) ðåçóëüòàòàõ ìû îáÿçàòåëüíî äîëæíû ïîëîæèòü V → ∞. Ïåðåïèøåì òåïåðü ôîðìóëó (1) ðàçëîæåíèÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà äëÿ äèñêðåòíîãî ñïåêòðà ïëîñêèõ âîëí è îòíåñåì ÿâíóþ âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü â ôóðüå-àìïëèòóäó: X Ak (t)eikr . A(r, t) = (4) k

Àìïëèòóäû Ôóðüå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ ïîïåðå÷íîñòè ïîëÿ divA = 0:

(kAk ) = 0. Êðîìå òîãî, èç âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò òàêæå

¨ k + c2 k 2 Ak = 0. A

(5)

Ïåðåéäåì ê îïðåäåëåíèþ ãàìèëüòîíèàíà. Äëÿ ýòîãî ñïåðâà çàïèøåì ýíåðãèþ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ: Z ¡ 2 ¢ 1 U= E + H2 dV. (6) 8π Â íàøåì ïðåäñòàâëåíèè ïîëÿ èìåþò âèä

1 ∂A 1 X ˙ ikr = Ak e , c ∂t c k X H = rotA = i [k × Ak ]eikr . E = −

k

Äàëåå, íàïðèìåð, äëÿ êâàäðàòà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ èìååì:

E2 =

1 X ˙ ˙ i(k+k0 )r , Ak Ak0 e c2 k,k0

3

(7) (8)

îòêóäà ïîëó÷àåì Z 0

ei(k+k )r dV = V δk,−k0 = V δkx ,−kx0 δky ,−ky0 δkz ,−kz0 , ò.å. k0 = −k. Ïîñêîëüêó âåêòîð A(r, t) äåéñòâèòåëåí, îò äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ X X A∗−k eikr . A∗ (r, t) = A(r, t) = A∗k e−ikr = k

k

Èíûìè ñëîâàìè

A∗k = A−k .

Ñîîòâåòñòâåííî,

H2 = −

(9)

X 0 [k × Ak ][k0 × Ak0 ]ei(k+k )r k,k0

ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ ïîïåðå÷íîñòè ïëîñêîé âîëíû è ñîîòíîøåíèÿ (9) ïðèâîäèò ê ïðîñòîìó âûðàæåíèþ X k2 Ak A∗k . H2 = k

Îêîí÷àòåëüíî äëÿ ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ èìååì: ´ V X³ ˙ ˙ ∗ 2 2 ∗ A A + k c A A U= k k k k . 8πc2

(10)

k

Òàêèì îáðàçîì, íàì óäàëîñü ðàçëîæèòü ýíåðãèþ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ñóììó ïàðöèàëüíûõ"ýíåðãèé îò êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî êîëåáàíèÿ (ñîñòîÿíèÿ). Îäíàêî âûðàæåíèå (10) çàïèñàíî ÷åðåç êîìïëåêñíûå âåëè÷èíû, êîòîðûå íå ìîãóò áûòü íåïîñðåäñòâåííî ñîïîñòàâëåíû íàáëþäàåìûì ôèçè÷åñêèì âåëè÷èíàì. Ïåðåïèøåì âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà (4)â íåñêîëüêî äðóãîì âèäå, ïîä÷åðêèâàþùåì åãî äåéñòâèòåëüíîñòü: X¡ ¢ A(r, t) = αk (t)eikr + αk∗ (t)e−ikr , k

ãäå

αk (t) ∝ e−iωk t ,

Òîãäà

ωk = ck.

¡ ¢ ∗ Ak (t) = αk (t) + α−k (t)

(11)

è, ñîîòâåòñòâåííî,

¡ ¢ ¡ ¢ ˙ k (t) = −ick αk (t) − α∗ (t) = −iωk αk (t) − α∗ (t) . A −k −k Ê ñîæàëåíèþ òàê çàïèñàííûå âûðàæåíèÿ ïî-ïðåæíåìó íå ìîãóò áûòü ïîñòàâëåíû â ñîîòâåòñòâèå íàáëþäàåìûì îáîáùåííûì êîîðäèíàòàì, ïîñêîëüêó A∗k = A−k , à äîëæíî áûòü Q∗k = Qk . 4

Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (11) â ôîðìóëó (10) è, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì ñîñòîÿíèÿì, ïîëó÷àåì V X 2 U= ωk αk αk∗ . (12) 2πc2 k

Ââåäåì òåïåðü íîâûå äåéñòâèòåëüíûå âåëè÷èíû r V Qk = (αk (t) + αk∗ (t)) , è 2 4πc r V ˙ k. Pk = −iωk (αk (t) − αk∗ (t)) = Q 4πc2

(13)

Ñ íîâûìè âåëè÷èíàìè (13) âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè ïðèíèìàåò âèä çíàêîìîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû X1¡ ¢ X U= P2k + ωk2 Q2k = (14) Uk . 2 k

k

Âèäèì, ÷òî ýíåðãèÿ U (14) êàê ôóíêöèÿ ïåðåìåííûõ Qk è Pk óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì Ãàìèëüòîíà:

∂U ˙ k, = Q ∂Pk ∂U ˙ k. = ωk2 Qk = −P ∂Qk

(15)

Òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî âûðàæåíèå (14) åñòü êëàññè÷åñêèé ãàìèëüòîíèàí ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, à âåëè÷èíû Qk è Pk  ñîîòâåòñòâåííî îáîáùåííûå êîîðäèíàòû è èìïóëüñ. Ïðè÷åì ó ïîëÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû. ˙k = Q ¨ k äëÿ íåçàâèñèìûõ ýëåìåíòàðíûõ ñîñòîÿíèé ïîëÿ ïîëóÏîñêîëüêó P ÷àåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ: ¨ k + ω 2 Qk = 0. Q (16) k Ñèñòåìà óðàâíåíèé (16) òîæäåñòâåííà óðàâíåíèþ äëÿ ïîëÿ. Òàêèì îáðàçîì, âìåñòî íåïðåðûâíîé ïåðåìåííîé A(r, t) ïîëå îïèñûâàåòñÿ äèñêðåòíûìè ïåðåìåííûìè Qk . Ïîñêîëüêó ïëîñêèå âîëíû ïîïåðå÷íû, äëÿ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ïîëó÷àåì àíàëîãè÷íîå ñîîòíîøåíèå: (k, Qk ) = 0, ò.å. äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî êîëåáàíèÿ ñóùåñòâóåò äâå ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíòû â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé âîëíîâîìó âåêòîðó k : X Qk = e1 Qk1 + e2 Qk2 , è Q2k = Q2k1 + Q2k2 = (17) Q2kα . α

Çäåñü èíäåêñ α õàðàêòåðèçóåò äâå íåçàâèñèìûõ ïîëÿðèçàöèè. Â ïåðåìåííûõ Qk è Pk ýíåðãèÿ ïîëÿ åñòü åãî ãàìèëüòîíèàí U ≡ H, ïîýòîìó X ¢ 1¡ 2 H= Hk,α , ãäå Hk,α = Pkα + ωk2 Q2kα . (18) 2 k,α

5

Òàêèì îáðàçîì êëàññè÷åñêèé ãàìèëüòîíèàí (18) ðàâåí ñóììå íåçàâèñèìûõ ñëàãàåìûõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýíåðãèè êàæäîé äèñêðåòíîé ïåðåìåííîé. Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê êâàíòîâîìó ãàìèëüòîíèàíó, ñëåäóåò îïðåäåëèòü êëàññè÷åñêèå ñêîáêè Ïóàññîíà íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, à çàòåì çàìåíèòü êëàññè÷åñêèå âåëè÷èíû îïåðàòîðàìè, ïîñòàâèâ èì â ñîîòâåòñòâèå ïðàâèëüíûå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ. ¶ X µ ∂Pk,α ∂Qk,β ∂Pk,α ∂Qk,β {Pk,α , Qk,β } = − = δα,β . ∂Pk0 ,α0 ∂Qk0 ,α0 ∂Qk0 ,α0 ∂Pk0 ,α0 0 0 k ,α

Òåïåðü, ñîãëàñíî ïðèíöèïó ñîîòâåòñòâèÿ ìîæíî çàïèñàòü îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ: ´ X X1³ 2 2 b2 b b b (19) H= Hk,α = P + ωk Qkα , 2 kα k,α

ãäå

k,α

h i bk0 ,β = −i~δk,k0 δα,β . Pbk,α , Q

(20)

Äàëåå çàäà÷à ðåøàåòñÿ òàê æå, êàê äëÿ îäíîìåðíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà, åñëè ïîëîæèòü ôîðìàëüíî ìàññó m = 1. Ââåäåì áåçðàçìåðíûå ïåðåìåííûå r 1 b ωk b pˆk,α = √ Pk,α , qˆk,α = Qk,α (21) ~ ~ωk è ñîîòâåòñòâóþùèå íåýðìèòîâû ïîâûøàþùèå è ïîíèæàþùèå îïåðàòîðû

1 ak,α = √ (ˆ qk,α + iˆ pk,α ) , 2

1 a+ qk,α − iˆ pk,α ) . k,α = √ (ˆ 2

(22)

Êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû (20), îïåðàòîðû (22) óäîâëåòâîðÿþò êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì: £ ¤ ak,α , a+ (23) k,β = δk,k0 δα,β . Îïåðàòîðû ak,α è a+ k,α ñâÿçàíû ñ îïåðàòîðàìè ââåäåííûõ ðàíåå êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä â ðàçëîæåíèè âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà î÷åâèäíûì ñîîòíîøåíèåì: s 2π~c2 α ˆ k,α = ak,α . (24) V ωk Ñàì æå îïåðàòîð âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü â âèäå s X 2π~c2 ¡ ¢ ∗ −ikr b t) = + ak,α eα eikr . A(r, a+ k,α eα e V ωk

(25)

k,α

Íàêîíåö, ãàìèëüòîíèàí ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå µ ¶ X 1 + b= (26) H ~ωk ak,α ak,α + . 2 k,α

6

Ïîñêîëüêó ãàìèëüòîíèàí (26) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ãàìèëüòîíèàíîâ íåçàâèñèìûõ ïîäñèñòåì, âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ïîëÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:2 Y |Ψi = (27) |nk,α i, k,α

ãäå

a+ k,α ak,α |nk,α i = nk,α |nk,α i.

Çäåñü nk,α = 0, 1, 2, . . .  öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî. Ñîîòâåòñòâåííî µ ¶ X 1 E= Ek,α , ãäå Ek,α = ~ωk nk,α + . 2

(28)

(29)

k,α

Âèäíî, ÷òî ýíåðãèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, â öåëîì ìîæåò èçìåíÿòüñÿ íåïðåðûâíî, îäíàêî â êàæäîé ñòåïåíè ñâîáîäû èçìåíÿåòñÿ íà âåëè÷èíó, êðàòíóþ ~ωk , ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé êâàíòîâàíà. Ýòè êâàíòû íàçûâàþò ôîòîíàìè. Âîçâðàùàÿñü ê îïðåäåëåíèþ P ýíåðãèè ïîëÿ (29), âèäèì, ÷òî ýíåðãèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ E0 = Emin = k,α ~ωk /2 = ∞. Òàêèì îáðàçîì ìû âñòðåòèëèñü ñ ðàñõîäèìîñòüþ, êîòîðóþ íåîáõîäèìî óñòðàíèòü.  äàííîì ñëó÷àå âñå ïðîñòî (õîòÿ è ñìåøíî ñ òî÷êè çðåíèÿ êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêè): ïîñêîëüêó ïîëó÷åííàÿ ∞ âñåãäà îäíà è òà æå èçìåíèì (ïåðåíîðìèðóåì) íà÷àëî îòñ÷åòà äëÿ ýíåðãèè èìåííî íà ýòó, õîòÿ è áåñêîíå÷íóþ âåëè÷èíó: ýíåðãèþ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ïîëÿ.  îñíîâíîì ñîñòîÿíèè íåò íè îäíîãî ýëåìåíòàðíîãî âîçáóæäåíèÿ, è îíî íàçûâàåòñÿ âàêóóìîì. Òåïåðü ìîæíî îêîí÷àòåëüíî çàïèñàòü ãàìèëüòîíèàí ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ: X b= ~ωk a+ H (30) k,α ak,α . k,α

Ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ îïðåäåëÿþòñÿ ÷èñëîì ôîòîíîâ ñ ðàçëè÷èíûìè âîëíîâûìè âåêòîðàìè è ïîëÿðèçàöèÿìè:

|Ψi = |nk1 ,α1 , nk2 ,α2 , . . . i.

(31)

+ a+ ki ,αi |Ψi = aki ,αi |nk1 ,α1 nk2 ,α2 , . . . nki ,αi + 1, . . . i = p = nki ,αi + 1|nk1 ,α1 nk2 ,α2 , . . . nki ,αi + 1, . . . i, aki ,αi |Ψi = aki ,αi |nk1 ,α1 nk2 ,α2 , . . . nki ,αi − 1, . . . i = √ = nki ,αi |nk1 ,α1 nk2 ,α2 , . . . nki ,αi − 1, . . . i.

(32)

Ñîîòâåòñòâåííî

2 Òàêàÿ

çàïèñü ñîñòîÿíèÿ, ñòðîãî ãîâîðÿ íåâåðíà, îäíàêî ïîñêîëüêó äëÿ íàñ âàæíà òîëüêî ñåïàðàáåëüíîñòü ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé, à íèãäå áîëüøå â òàêîì âèäå ìû ñîñòîÿíèå çàïèñûâàòü íå áóäåì, òî äàííàÿ íåñòðîãîñòü çíà÷åíèÿ íå èìååò.

7

Ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå ïîëÿ ìîæíî ïîëó÷èòü, ïîäåéñòâîâàâ ñîîòâåòñòâóþùèì ÷èñëîì ðàç ïîâûøàþùèì îïåðàòîðîì íà îñíîâíîå, âàêóóìíîå ñîñòîÿíèå: ¢nk ,α ¡ i i Y a+ ki ,αi p |0i. |Ψi = (33) + 1)! (n k ,α i i i Îïåðàòîðû a+ ki ,αi è aki ,αi íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî îïåðàòîðàìè ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ ôîòîíîâ.

8