ÑÂÎÁÎÄÍÎÅ ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÅ ÏÎËÅ Þ. Ì. Áåëîóñîâ Ðàññìîòðèì îïèñàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ì...
7 downloads
168 Views
161KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ÑÂÎÁÎÄÍÎÅ ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÅ ÏÎËÅ Þ. Ì. Áåëîóñîâ Ðàññìîòðèì îïèñàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Ïðåæäå âñåãî íàïîìíèì, ÷òî ìîæíî ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ðàçäåëèòü, êàê áû, íà äâà òèï: ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå êàêèìè-ëèáî èñòî÷íèêàìè, è ñâîáîäíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, êîòîðîå ñóùåñòâóåò ñàìî ïî ñåáå Ïîëå, ñîçäàâàåìîå èñòî÷íèêîì, îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâàìè èñòî÷íèêà è åìó ñîîòâåòñòâóåò â êâàíòîâîé ìåõàíèêå îïåðàòîð, êîòîðûé îïèñûâàåò èñòî÷íèê. Íàïðèìåð, îïåðàòîð ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà îïðåäåëÿåòñÿ ˆ, ò.å. âñå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ áóîïåðàòîðîì ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ~µ ˆ ñ äðóãèìè äóò ñëåäîâàòü èìåííî èç êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé îïåðàòîðà ~µ îïåðàòîðàìè. Îïåðàòîðó çàðÿäà â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñîîòâåòñòâóåò ïðîñòîå óìíîæåíèå íà ñîîòâåòñòâóþùèé çàðÿä, ïîýòîìó îïåðàòîð ñòàòè÷åñêîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè åñòü ïðîñòî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò. Ñîâåðøåííî èíà÷å ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñâîáîäíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå. Ïîñêîëüêó îíî ñóùåñòâóåò íåçàâèñèìî îò êàêèõ-ëèáî äðóãèõ (êâàíòîâûõ) ñèñòåì è ñàìî ïî ñåáå ïðåäñòàâëÿåò êâàíòîâóþ ñèñòåìó, òî äîëæíî îïèñûâàòüñÿ ñâîèì ãàìèëüòîíèàíîì. Èòàê, äëÿ îïèñàíèÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå, ñëåäóåò: 1. îïðåäåëèòü åãî ãàìèëüòîíèàí, äëÿ ÷åãî 2. íåîáõîäèìî ïîíÿòü, ÷òî æå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îáîáùåííûé èìïóëüñ è êîîðäèíàòà ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ è, íàêîíåö, 3. ïîíÿòü, ÷òî æå òàêîå ñîñòîÿíèå ïîëÿ, ò.å. êàêîé ïîëíûé íàáîð ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ñëåäóåò âûáðàòü äëÿ îïèñàíèÿ ïîëÿ. Íà÷íåì ñ ïîñëåäíåãî. Ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì |ψi, êîòîðûé â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè åñòü âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ: hr|ψi. Ñâîáîäíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ñàìî ïî ñåáå åñòü âîëíà, è ïîëíîñòüþ çàäàåòñÿ âåêòîðíûì ïîòåíöèàëîì A(r, t), ïîýòîìó âîçíèêàåò èñêóøåíèå âçÿòü åãî â êà÷åñòâå âîëíîâîé ôóíêöèè, òåì áîëåå ÷òî îí óäîâëåòâîðÿåò âîëíîâîìó óðàâíåíèþ, ò.å. óðàâíåíèþ Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà äëÿ ÷àñòèöû ñ íóëåâîé ìàññîé. Îäíàêî ýòî áûëî áû ãðóáîé îøèáêîé, ïîòîìó ÷òî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë åñòü ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èb t) è ïîëó÷èòü íà, êîòîðîé ìû äîëæíû ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå îïåðàòîð A(r, b t)|ψi. A(r, t) = hψ|A(r, Çàìåòèì, ÷òî, íàïèñàâ |ψi, ìû ïðåäïîëàãàåì ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå ïîëÿ, íî â îáùåì ñëó÷àå ìû íå ìîãëè ÿâíî çàïèñàòü ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå äàæå äëÿ ÷àñòèöû. Ïðîäâèíóòüñÿ â ýòîì íàïðàâëåíèè íàì ïîìîã ôóíäàìåíòàëüíûé ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè, áëàãîäàðÿ êîòîðîìó ìû ìîãëè ïðåäñòàâèòü ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå â âèäå ñóïåðïîçèöèè îïðåäåëåííûõ ñîñòîÿíèé, êîòîðûå ìû çàòåì ïðåäñòàâèëè êàê áàçèñèíûå, ïðè÷åì ýòè áàçèñíûå âåêòîðû ìîãëè îïèñûâàòü è
1
ñîñòîÿíèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû |pi. Íàïðèìåð, X |ψi = ap |pi. p
 ýòîì ñëó÷àå ñðåäíåå çíà÷åíèå êàêîé-ëèáî ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû åñòü X hf i = fp,p0 a∗p ap0 . p,p0
Âñïîìíèì èç êóðñà Òåîðèÿ ïîëÿ ÷òî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ïðîèçâîëüíîãî ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ïëîñêèì âîëíàì ýëåìåíòàðíûì ðåøåíèÿì âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ: Z dkdω A(r, t) = Akω exp (i(kr − ωt)) . (1) (2π)4  òàêîì ñëó÷àå àìïëèòóäû Ôóðüå Akω ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê çíà÷åíèå îïåðàòîðà âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà â áàçèñå ýëåìåíòàðíûõ ñîñòîÿíèé ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëíàõ. Ïëîñêàÿ âîëíà îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì 4-âîëíîâûì âåêòîðîì, íóëåâàÿ êîìïîíåíòà êîòîðîãî ðàâíà ω = c|k|, è ïîëÿðèçàöèåé.1 Èñõîäÿ èç ñêàçàííîãî, ìîæíî äëÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ ïîëÿ âñåãäà çàïèñàòü X ak,α |k, αi. |ψi = (2) k,α
Çäåñü |k, αi âåêòîð áàçèñíîãî ñîñòîÿíèÿ (ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû), α îáîçíà÷àåò åå ïîëÿðèçàöèþ.  äàëüíåéøåì íàì áóäåò íå î÷åíü óäîáíî ïðîâîäèòü ðàññóæäåíèÿ è âû÷èñëåíèÿ äëÿ íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà ýëåìåíòàðíûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïîýòîìó ïåðåéäåì ê äèñêðåòíîìó, êàê ýòî îáû÷íî äåëàåòñÿ. À èìåííî: áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîëå çàêëþ÷åíî â êóáå î÷åíü áîëüøèõ, íî êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ L, à íà âñå ïðîñòðàíñòâî ïðîäîëæèì ðåøåíèå, èñïîëüçóÿ ïåðèîäè÷åñêèå óñëîâèÿ íà ãðàíèöå. Ýòî ýêâèâàëåíòíî ïðîöåäóðå çàïîëíåíèÿ âñåãî ïðîñòðàíñòâà îäèíàêîâûìè êóáàìè, êîòîðàÿ íàì íåîáõîäèìà äëÿ ïîëó÷åíèÿ êîíå÷íîé ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé ïîëÿ. Äåéñòâèòåëüíî, íàêëàäûâàÿ ïåðèîäè÷åñêèå óñëîâèÿ íà ïëîñêèå âîëíû, ïîëó÷àåì, ÷òî âîëíîâîé âåêòîð ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ
k=
2π (nx , ny , nz ) , L
ãäå nx , ny , nz −
öåëûå ÷èñëà.
Êàæäûé íàáîð öåëûõ ÷èñåë nx , ny , nz ñîîòâåòñòâóåò ñâîåìó ýëåìåíòàðíîìó ñîñòîÿíèþ.  ñëó÷àå L → ∞ èçìåíåíèå âîëíîâîãî âåêòîðà ìåæäó ñîñåäíèìè ñîñòîÿíèÿìè ∆k → 0 è ñïåêòð ñòàíîâèòñÿ êâàçèíåïðåðûâíûì.  ýòîì ñëó÷àå 1 Íàïîìíèì,
÷òî ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà îáÿçàòåëüíî ïîëÿðèçîâàíà.  ïðîèçâîëüíîì ñëó÷àå ïîëÿðèçàöèÿ ýëëèïòè÷åñêàÿ, â ÷àñòíîì öèðêóëÿðíàÿ (ëåâàÿ èëè ïðàâàÿ) ëèáî ëèíåéíàÿ.
2
óäîáíî ãîâîðèòü î ÷èñëå ñîñòîÿíèé â èíòåðâàëå èçìåíåíèÿ âîëíîâîãî âåêòîðà ∆ki : L ∆ni = ∆ki . 2π Ïîëíîå ÷èñëî âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ïðè èçìåíåíèè âîëíîâîãî âåêòîðà â èíòåðâàëå îò k äî k + ∆k åñòü
∆n = 2∆nx ∆ny ∆nz = 2
L3 V ∆kx ∆ky ∆kz = 2 ∆k. 3 (2π) (2π)3
(3)
Çäåñü ìíîæèòåëü 2 ó÷èòûâàåò äâå ðàçëè÷íûõ ïîëÿðèçàöèè. Òàêèì îáðàçîì âèäèì, ÷òî ÷èñëî ñîñòîÿíèé ïðîïîðöèîíàëüíî îáúåìó êóáà, è ïîýòîìó â áåñêîíå÷íîì ïðîñòðàíñòâå íàì ïðèøëîñü áû ñòîëêíóòüñÿ ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ ðàíüøå âðåìåíè. Ïîýòîìó âñå âû÷èñëåíèÿ ôîðìàëüíî ïðîâîäÿòñÿ â äëÿ êóáà êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ, íî â îêîí÷àòåëüíûõ (ôèçè÷åñêèõ) ðåçóëüòàòàõ ìû îáÿçàòåëüíî äîëæíû ïîëîæèòü V → ∞. Ïåðåïèøåì òåïåðü ôîðìóëó (1) ðàçëîæåíèÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà äëÿ äèñêðåòíîãî ñïåêòðà ïëîñêèõ âîëí è îòíåñåì ÿâíóþ âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü â ôóðüå-àìïëèòóäó: X Ak (t)eikr . A(r, t) = (4) k
Àìïëèòóäû Ôóðüå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ ïîïåðå÷íîñòè ïîëÿ divA = 0:
(kAk ) = 0. Êðîìå òîãî, èç âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò òàêæå
¨ k + c2 k 2 Ak = 0. A
(5)
Ïåðåéäåì ê îïðåäåëåíèþ ãàìèëüòîíèàíà. Äëÿ ýòîãî ñïåðâà çàïèøåì ýíåðãèþ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ: Z ¡ 2 ¢ 1 U= E + H2 dV. (6) 8π Â íàøåì ïðåäñòàâëåíèè ïîëÿ èìåþò âèä
1 ∂A 1 X ˙ ikr = Ak e , c ∂t c k X H = rotA = i [k × Ak ]eikr . E = −
k
Äàëåå, íàïðèìåð, äëÿ êâàäðàòà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ èìååì:
E2 =
1 X ˙ ˙ i(k+k0 )r , Ak Ak0 e c2 k,k0
3
(7) (8)
îòêóäà ïîëó÷àåì Z 0
ei(k+k )r dV = V δk,−k0 = V δkx ,−kx0 δky ,−ky0 δkz ,−kz0 , ò.å. k0 = −k. Ïîñêîëüêó âåêòîð A(r, t) äåéñòâèòåëåí, îò äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ X X A∗−k eikr . A∗ (r, t) = A(r, t) = A∗k e−ikr = k
k
Èíûìè ñëîâàìè
A∗k = A−k .
Ñîîòâåòñòâåííî,
H2 = −
(9)
X 0 [k × Ak ][k0 × Ak0 ]ei(k+k )r k,k0
ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ ïîïåðå÷íîñòè ïëîñêîé âîëíû è ñîîòíîøåíèÿ (9) ïðèâîäèò ê ïðîñòîìó âûðàæåíèþ X k2 Ak A∗k . H2 = k
Îêîí÷àòåëüíî äëÿ ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ èìååì: ´ V X³ ˙ ˙ ∗ 2 2 ∗ A A + k c A A U= k k k k . 8πc2
(10)
k
Òàêèì îáðàçîì, íàì óäàëîñü ðàçëîæèòü ýíåðãèþ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ñóììó ïàðöèàëüíûõ"ýíåðãèé îò êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî êîëåáàíèÿ (ñîñòîÿíèÿ). Îäíàêî âûðàæåíèå (10) çàïèñàíî ÷åðåç êîìïëåêñíûå âåëè÷èíû, êîòîðûå íå ìîãóò áûòü íåïîñðåäñòâåííî ñîïîñòàâëåíû íàáëþäàåìûì ôèçè÷åñêèì âåëè÷èíàì. Ïåðåïèøåì âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà (4)â íåñêîëüêî äðóãîì âèäå, ïîä÷åðêèâàþùåì åãî äåéñòâèòåëüíîñòü: X¡ ¢ A(r, t) = αk (t)eikr + αk∗ (t)e−ikr , k
ãäå
αk (t) ∝ e−iωk t ,
Òîãäà
ωk = ck.
¡ ¢ ∗ Ak (t) = αk (t) + α−k (t)
(11)
è, ñîîòâåòñòâåííî,
¡ ¢ ¡ ¢ ˙ k (t) = −ick αk (t) − α∗ (t) = −iωk αk (t) − α∗ (t) . A −k −k Ê ñîæàëåíèþ òàê çàïèñàííûå âûðàæåíèÿ ïî-ïðåæíåìó íå ìîãóò áûòü ïîñòàâëåíû â ñîîòâåòñòâèå íàáëþäàåìûì îáîáùåííûì êîîðäèíàòàì, ïîñêîëüêó A∗k = A−k , à äîëæíî áûòü Q∗k = Qk . 4
Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (11) â ôîðìóëó (10) è, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì ñîñòîÿíèÿì, ïîëó÷àåì V X 2 U= ωk αk αk∗ . (12) 2πc2 k
Ââåäåì òåïåðü íîâûå äåéñòâèòåëüíûå âåëè÷èíû r V Qk = (αk (t) + αk∗ (t)) , è 2 4πc r V ˙ k. Pk = −iωk (αk (t) − αk∗ (t)) = Q 4πc2
(13)
Ñ íîâûìè âåëè÷èíàìè (13) âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè ïðèíèìàåò âèä çíàêîìîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû X1¡ ¢ X U= P2k + ωk2 Q2k = (14) Uk . 2 k
k
Âèäèì, ÷òî ýíåðãèÿ U (14) êàê ôóíêöèÿ ïåðåìåííûõ Qk è Pk óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì Ãàìèëüòîíà:
∂U ˙ k, = Q ∂Pk ∂U ˙ k. = ωk2 Qk = −P ∂Qk
(15)
Òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî âûðàæåíèå (14) åñòü êëàññè÷åñêèé ãàìèëüòîíèàí ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, à âåëè÷èíû Qk è Pk ñîîòâåòñòâåííî îáîáùåííûå êîîðäèíàòû è èìïóëüñ. Ïðè÷åì ó ïîëÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû. ˙k = Q ¨ k äëÿ íåçàâèñèìûõ ýëåìåíòàðíûõ ñîñòîÿíèé ïîëÿ ïîëóÏîñêîëüêó P ÷àåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ: ¨ k + ω 2 Qk = 0. Q (16) k Ñèñòåìà óðàâíåíèé (16) òîæäåñòâåííà óðàâíåíèþ äëÿ ïîëÿ. Òàêèì îáðàçîì, âìåñòî íåïðåðûâíîé ïåðåìåííîé A(r, t) ïîëå îïèñûâàåòñÿ äèñêðåòíûìè ïåðåìåííûìè Qk . Ïîñêîëüêó ïëîñêèå âîëíû ïîïåðå÷íû, äëÿ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ïîëó÷àåì àíàëîãè÷íîå ñîîòíîøåíèå: (k, Qk ) = 0, ò.å. äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî êîëåáàíèÿ ñóùåñòâóåò äâå ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíòû â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé âîëíîâîìó âåêòîðó k : X Qk = e1 Qk1 + e2 Qk2 , è Q2k = Q2k1 + Q2k2 = (17) Q2kα . α
Çäåñü èíäåêñ α õàðàêòåðèçóåò äâå íåçàâèñèìûõ ïîëÿðèçàöèè. Â ïåðåìåííûõ Qk è Pk ýíåðãèÿ ïîëÿ åñòü åãî ãàìèëüòîíèàí U ≡ H, ïîýòîìó X ¢ 1¡ 2 H= Hk,α , ãäå Hk,α = Pkα + ωk2 Q2kα . (18) 2 k,α
5
Òàêèì îáðàçîì êëàññè÷åñêèé ãàìèëüòîíèàí (18) ðàâåí ñóììå íåçàâèñèìûõ ñëàãàåìûõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýíåðãèè êàæäîé äèñêðåòíîé ïåðåìåííîé. Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê êâàíòîâîìó ãàìèëüòîíèàíó, ñëåäóåò îïðåäåëèòü êëàññè÷åñêèå ñêîáêè Ïóàññîíà íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, à çàòåì çàìåíèòü êëàññè÷åñêèå âåëè÷èíû îïåðàòîðàìè, ïîñòàâèâ èì â ñîîòâåòñòâèå ïðàâèëüíûå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ. ¶ X µ ∂Pk,α ∂Qk,β ∂Pk,α ∂Qk,β {Pk,α , Qk,β } = − = δα,β . ∂Pk0 ,α0 ∂Qk0 ,α0 ∂Qk0 ,α0 ∂Pk0 ,α0 0 0 k ,α
Òåïåðü, ñîãëàñíî ïðèíöèïó ñîîòâåòñòâèÿ ìîæíî çàïèñàòü îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ: ´ X X1³ 2 2 b2 b b b (19) H= Hk,α = P + ωk Qkα , 2 kα k,α
ãäå
k,α
h i bk0 ,β = −i~δk,k0 δα,β . Pbk,α , Q
(20)
Äàëåå çàäà÷à ðåøàåòñÿ òàê æå, êàê äëÿ îäíîìåðíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà, åñëè ïîëîæèòü ôîðìàëüíî ìàññó m = 1. Ââåäåì áåçðàçìåðíûå ïåðåìåííûå r 1 b ωk b pˆk,α = √ Pk,α , qˆk,α = Qk,α (21) ~ ~ωk è ñîîòâåòñòâóþùèå íåýðìèòîâû ïîâûøàþùèå è ïîíèæàþùèå îïåðàòîðû
1 ak,α = √ (ˆ qk,α + iˆ pk,α ) , 2
1 a+ qk,α − iˆ pk,α ) . k,α = √ (ˆ 2
(22)
Êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû (20), îïåðàòîðû (22) óäîâëåòâîðÿþò êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì: £ ¤ ak,α , a+ (23) k,β = δk,k0 δα,β . Îïåðàòîðû ak,α è a+ k,α ñâÿçàíû ñ îïåðàòîðàìè ââåäåííûõ ðàíåå êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä â ðàçëîæåíèè âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà î÷åâèäíûì ñîîòíîøåíèåì: s 2π~c2 α ˆ k,α = ak,α . (24) V ωk Ñàì æå îïåðàòîð âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü â âèäå s X 2π~c2 ¡ ¢ ∗ −ikr b t) = + ak,α eα eikr . A(r, a+ k,α eα e V ωk
(25)
k,α
Íàêîíåö, ãàìèëüòîíèàí ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå µ ¶ X 1 + b= (26) H ~ωk ak,α ak,α + . 2 k,α
6
Ïîñêîëüêó ãàìèëüòîíèàí (26) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ãàìèëüòîíèàíîâ íåçàâèñèìûõ ïîäñèñòåì, âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ïîëÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:2 Y |Ψi = (27) |nk,α i, k,α
ãäå
a+ k,α ak,α |nk,α i = nk,α |nk,α i.
Çäåñü nk,α = 0, 1, 2, . . . öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî. Ñîîòâåòñòâåííî µ ¶ X 1 E= Ek,α , ãäå Ek,α = ~ωk nk,α + . 2
(28)
(29)
k,α
Âèäíî, ÷òî ýíåðãèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, â öåëîì ìîæåò èçìåíÿòüñÿ íåïðåðûâíî, îäíàêî â êàæäîé ñòåïåíè ñâîáîäû èçìåíÿåòñÿ íà âåëè÷èíó, êðàòíóþ ~ωk , ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé êâàíòîâàíà. Ýòè êâàíòû íàçûâàþò ôîòîíàìè. Âîçâðàùàÿñü ê îïðåäåëåíèþ P ýíåðãèè ïîëÿ (29), âèäèì, ÷òî ýíåðãèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ E0 = Emin = k,α ~ωk /2 = ∞. Òàêèì îáðàçîì ìû âñòðåòèëèñü ñ ðàñõîäèìîñòüþ, êîòîðóþ íåîáõîäèìî óñòðàíèòü.  äàííîì ñëó÷àå âñå ïðîñòî (õîòÿ è ñìåøíî ñ òî÷êè çðåíèÿ êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêè): ïîñêîëüêó ïîëó÷åííàÿ ∞ âñåãäà îäíà è òà æå èçìåíèì (ïåðåíîðìèðóåì) íà÷àëî îòñ÷åòà äëÿ ýíåðãèè èìåííî íà ýòó, õîòÿ è áåñêîíå÷íóþ âåëè÷èíó: ýíåðãèþ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ïîëÿ.  îñíîâíîì ñîñòîÿíèè íåò íè îäíîãî ýëåìåíòàðíîãî âîçáóæäåíèÿ, è îíî íàçûâàåòñÿ âàêóóìîì. Òåïåðü ìîæíî îêîí÷àòåëüíî çàïèñàòü ãàìèëüòîíèàí ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ: X b= ~ωk a+ H (30) k,α ak,α . k,α
Ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ îïðåäåëÿþòñÿ ÷èñëîì ôîòîíîâ ñ ðàçëè÷èíûìè âîëíîâûìè âåêòîðàìè è ïîëÿðèçàöèÿìè:
|Ψi = |nk1 ,α1 , nk2 ,α2 , . . . i.
(31)
+ a+ ki ,αi |Ψi = aki ,αi |nk1 ,α1 nk2 ,α2 , . . . nki ,αi + 1, . . . i = p = nki ,αi + 1|nk1 ,α1 nk2 ,α2 , . . . nki ,αi + 1, . . . i, aki ,αi |Ψi = aki ,αi |nk1 ,α1 nk2 ,α2 , . . . nki ,αi − 1, . . . i = √ = nki ,αi |nk1 ,α1 nk2 ,α2 , . . . nki ,αi − 1, . . . i.
(32)
Ñîîòâåòñòâåííî
2 Òàêàÿ
çàïèñü ñîñòîÿíèÿ, ñòðîãî ãîâîðÿ íåâåðíà, îäíàêî ïîñêîëüêó äëÿ íàñ âàæíà òîëüêî ñåïàðàáåëüíîñòü ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé, à íèãäå áîëüøå â òàêîì âèäå ìû ñîñòîÿíèå çàïèñûâàòü íå áóäåì, òî äàííàÿ íåñòðîãîñòü çíà÷åíèÿ íå èìååò.
7
Ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå ïîëÿ ìîæíî ïîëó÷èòü, ïîäåéñòâîâàâ ñîîòâåòñòâóþùèì ÷èñëîì ðàç ïîâûøàþùèì îïåðàòîðîì íà îñíîâíîå, âàêóóìíîå ñîñòîÿíèå: ¢nk ,α ¡ i i Y a+ ki ,αi p |0i. |Ψi = (33) + 1)! (n k ,α i i i Îïåðàòîðû a+ ki ,αi è aki ,αi íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî îïåðàòîðàìè ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ ôîòîíîâ.
8