Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С КИ Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И...
15 downloads
196 Views
158KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С КИ Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т
Т Е О РИ ЯС Л У ЧАЙ Н Ы Х П РО Ц Е С С О В Часть 2 У чебно-методическоепособиедлястудентов по спец иальности 010101 (010100) М атематика
В ор онеж 2005
2
У тв ер ж дено научно- методическим сов етом математическогоф акультета 14 ию ня2005 года П р отокол№ 11
С остав ители: М ихай лов а И .В . Бар ков а Л .Н .
У чебно-методическоепособиеподготов ленона каф едр еур ав нений в частны х пр оизв одны х и теор ии в ер оятностей математическогоф акультета В ор онеж скогогосудар ств енного унив ер ситета. Рекомендуетсядлястудентов 3 кур са дневного и 5 кур са в ечер него отделений математического ф акультета
У чебно-методическоепособиенаписано в соотв етств ии спр огр аммой кур са « Т еор ияслучай ны х пр оц ессов ». О но содер ж ит кр аткиетеор етическиесв еденияи задачи длясамостоятельногор еш ения.
3
1. М АРКО В С К И Е П РО Ц Е С С Ы С Д И С К РЕ Т Н Ы М М Н О Ж Е С Т В О М С О С Т О ЯН И Й И Н Е П РЕ РЫ В Н Ы М В РЕ М ЕНЕМ О пр еделение1. С лучай ны й пр оц есс{ξt (ω ) , t ∈ T ⊆ ! } созначениями в ф азов ом пр остр анств е ( Χ, Β ) назы в ается м а рков с ким , если длялю бого t ∈ T и лю бы х собы тий A ∈ Α ≤t , B ∈ Α≥t спр ав е длив ор ав енств о P { A ∩ B Α =t } =P { A Α =t } ⋅ P { B Α =t } п. н. (1) Ω, Α, Ρ - основ ноев е р оятностноепр остр анств о,
( X , Β ) - измер имое
пр остр анств о, в котор ом в сеодноточечны емнож еств а измер имы , Α≤t = σ {ξ s , s ∈ T , s ≤ t} , Α≥t = σ {ξ s , s ∈ T , s ≥ t} , Α =t = σ {ξt , t ∈ T } - σ -алге бр ы , пор ож денны есоотв етств ую щ ими семей ств ами случай ны х в еличин. П р еж дечем суж атькласср ассматр ив аемы х пр оц ессов , дадим О пр еделение2.Ф ункц ия Ρ ( s, t , x, Γ ) , опр еделеннаядля s, t ∈ T , s ≤ t , x ∈ Χ, Γ ∈ Β, назы в ае тсяп е ре ходной ф ункцие й м а рков с кого п роце с с а {ξt (ω ) , t ∈ T } , если:
4
5
4. Рассмотр им бр осания пр ав ильной игр альной кости и услов имся гов ор ить, что в момент n система находитсяв состоянии Ej, если j наибольш ее из числа очков , в ы пав ш их пр и пер в ы х n бр осаниях. Н ай ти матр иц у Pn. 5. П р ов ер ить, что р ав енств о (1) экв ив алентнолю бому из дв ух: Ρ {Β Α ≤t } = Ρ {Β Α =t } , t ∈ T , Β ∈ Α≥t п.н. или Ρ { A Α≥t } = Ρ { A Α =t } , t ∈ T , A ∈ Α ≤t п.н.
6
гдеλi ≥ 0, µi ≥ 0, ( µ0 = 0 ) ; α i ( ∆t ) , β i ( ∆t ) , ( β 0 ( ∆t ) = 0 ) , γ i ( ∆t ) - бесконечно малы еболеев ы сокогопор ядка, чем ∆t пр и ∆t → + 0 О пр еделение2. Числа λi и µi в опр еделении 1 будем назы в атьсоотв етств енно п а ра м е т ра м и рож де ния и гибе ли соотв етств ую щ его пр оц есса {ξt (ω ) , t ≥ 0} . Е сли значениеξt (ω ) пр оц есса р ож дения и гибели {ξt (ω ) , t ≥ 0} интер пр етир ов ать как число особей некотор ой популяц ии в момент в р емени t, то постулаты 100 и 200 означаю т, что в ер оятности "рож де ния" и "гибе ли" одной особи за в р емя ∆t сточностью до O ( ∆t ) естьлиней ны еф ункц ии длины интер в ала пр и ∆t → + 0 . Заметим, что постулаты 100-300 задаю т услов ны ев ер оятности пер ехода в соседниесостояния и услов ную в ер оятность остаться в данном состоянии за малы й пр омеж уток в р емени ∆t . П оэтому естеств енны ми будут следую щ иедв а в опр оса: пер в ы й - чему ж ер ав ны услов ны ев ер оятности "рож де ния" и "гибе ли" болеечем одной особи за в р емя ∆t пр и ∆t → + 0 ; в тор ой - что мож но сказать о в ер оятностях пер ехода Ρij ( t ) за пр омеж утокв р емени t>0 дляданного пр оц есса р ож денияи гибели. О тв ет на пер в ы й в опр осв ы получите, р еш ив задачу 1 этогопункта. О тв ет на в тор ой в опр ос даю т р еш ения систем диф ф ер енц иальны х ур ав нений , котор ы емож но в ы в ести, используя постулаты 100-300 и ур ав нениеКолм огоров а - Че п м е на 20. Д ляэтого р ассмотр им в ер оятности Ρij ( t + ∆t ) , t , ∆t > 0 . Д елениеинтер в ала ( 0;t + ∆t ) на дв а ( этого тр ебует 20 ) мож но осущ еств итьдв умяспособами: 1) ( 0; ∆t ) и ( ∆t ; t + ∆t ) ; 2) ( 0;t ) и ( t ; t + ∆t ) для ∆t > 0. П ер в ы й способ деления интер в ала ( 0; t + ∆t ) пр ив одит к обр атной системедиф ф ер енц иальны х ур ав нений : d Ρ0 j ( t ) = − λ0 Ρ 0 j ( t ) + λ0 Ρ1 j ( t ) , t > 0, dt (3) d Ρij ( t ) = µ Ρ i i −1 j ( t ) − ( λi + µi ) Ρ ij ( t ) + λi Ρ i +1 j , t > 0, i ∈ Ν dt Ρij ( 0 ) = δ ij - начальноеуслов ие , δ ij - симв ол Кр онекер а, гдеj – ф икси-
р ов анноеиз Ν 0 . В тор ой способ пр и болееж естких услов иях пр ив одит к пр ямой системедиф ф ер енц иальны х ур ав нений :
7 d Ρi 0 ( t ) = − λ0 Ρi 0 ( t ) + µ1Ρi1 ( t ) , t > 0, dt (4) d Ρij ( t ) = λ Ρ j ∈ Ν, j −1 i j −1 ( t ) − ( λ j + µ j ) Ρ ij ( t ) + µ j +1Ρ i j +1 ( t ) , t > 0, dt Ρij ( 0 ) = δ ij - начальноеуслов ие , δ ij - симв ол Кр онекер а, гдеi – ф икси-
р ов анноеиз Ν 0 . П олезно помнить, что системе, аналогичной (4), удов летв ор яю т и безуслов ны ев ер оятности дляt>0. О бр атим св оев ниманиена систему (4). П р и в ы полнении опр еделенны х услов ий , р егулир ую щ их степень р оста пар аметр ов р ож дения по отнош ению к пар аметр ам гибели, система (4) имеет единств енноер еш ение, удов летв ор яю щ ееуслов ию : ∞
∑ Ρ ( t ) = 1. j =0
ij
Н о, к сож алению , р еш ениесистемы (4) - пр оц есс тр удоемкий даж е для такого, на пер в ы й в згляд, пр остого пр оц есса р ож дения и гибели, как пр оц есс с постоянны ми пар аметр ами р ож дения и гибели ( λi = λ; µi = µ , i ∈ Ν ) . Н о, к счастью , систему (4), помимо непоср едств енного р еш ения, в р езультатечего получаем в ер оятности пер ехода за t>0 (в пер еходном р еж име), мож но использов атьещ епо дв ум напр ав лениям (пункты 3,4). За да чи и уп ра ж не ния 1.
{
Д ля пр оц есса р ож дения и гибели
}
{ξ (ω ) , t ≥ 0} t
най ти :
Ρ ξt +∆t (ω ) − ξt (ω ) ≥ 2 ξt (ω ) = i пр и ∆t → + 0
2. В ы в ести пр ямую систему диф ф ер енц иальны х ур ав нений для пр ав ы х и левы х пр оизв одны х и убедиться, что они сов падаю т с(3). Аналогичноесделать для системы (4). В ы в ести систему диф ф ер енц иальны х ур ав нений (для пр ав ы х и левы х пр оизв одны х) для безуслов ного р аспр еделения в ер оятностей состояний в пр оизв ольны й момент в р емени t>0, т.е. для Ρ j (t ) , j ∈ Ν0 . 3.Случа йный дв оичный с игна л. Т ак пр инято назы в ать пр оц есс р ож дения и гибели {ξt (ω ) , t ≥ 0} с ф азов ы м пр остр анств ом X = {-1,1} и в ер оятностями пер ехода за ∆t пр и ∆t → +0 Ρ −11 ( ∆t ) = λ∆t + O ( ∆t ) и Ρ1−1 ( ∆t ) = µ∆t + O ( ∆t ) , где λ , µ > 0 . Д ляданного пр оц есса най ти: 1)в ер оятности пер ехода Ρij ( t ) ;
8
2)безуслов ны ев ер оятности пр и Ρ j ( t ) данном начальном р аспр еделении: Ρ {Θ0 (ω ) = − 1} = Ρ = Ρ {Θ0 ( ω ) =1} ; Ρij ( t ) ; 3) tlim →+∞
4) ср еднеезначениепр оц есса m ( t ) = ΜΘt (ω ) ; 5) ков ар иац ионную ф ункц ию пр оц есса Κ ( s, t ) = cov ( Θ s (ω ) , Θt (ω ) ) , где s, t ≥ 0 ; 6) m(t) и K(s,t) для случая, когда начальноер аспр еделениесов падает ср аспр еделением, полученны м в 3). Будет ли пр оц ессстаким р аспр еделением стац ионар ны м в ш ир оком смы сле? Проце с с Ю ла яв ляется пр имер ом пр оц есса чистого р ож дения, т.е. µi = 0, βi (∆t ) ≡ 0 и λi = iλ для i ∈ Ν 0 , ξ 0 ≡ 0 . У казанны й пр оц есс ш ир око пр именяется в ф изикеи биологии для описанияэв олю ц ии следую щ ей системы . Рассмотр им сов окупность элементов , котор ы е могут незав исимо др уг от др уга пор ож дать нов ы еэлементы , но немогут исчезать. П р едполож им, что каж ды й элемент с в ер оятностью λ∆t + O ( ∆t ) пр оизв одит нов ы й элемент в интер в але(t;t+ ∆ t). Здесьестеств енно ξt (ω ) интер пр етир ов атькак число р ож дений в интер в але(0,t). 1) Н ай ти безуслов ное р аспр еделение случай ного пр оц есса {ξt (ω ) , t ≥ 0} Ρ j (t ) = Ρ {ξt (ω ) = j} , в пр едполож ении, что в начальны й момент в р емени в сов окупности бы лодин элемент ("р одона ч а льни к " или стар тов ы й элемент). 2) П р едполож им, что р одоначальник, и только он, мож ет погибнуть, пр ичем его в р емяж изни незав исит от пов еденияего потомков и имеет показательноер аспр еделениес пар аметр ом µ . Н ай ти р аспр еделениеобщ его числа потомков в сех поколений этой стар тов ой особи в момент еегибели. 3) Н ай ти безуслов ноер аспр еделениепр оц есса ξt пр и наличии в данной популяц ии п стар тов ы х особей . 4.
Пуа с с онов с кий п роце с с - пр оц есс чистого р ож дения с λi = λ для i ∈ Ν 0 и ξt (ω ) такж е, каки в 1, число р ож дений в (0,t). 1) Н ай ти безуслов ноер аспр еделениев ер оятностей случай ного пр оц есса {ξt (ω ) , t ≥ 0} . 2) В в едем следую щ ую опер ац ию "п р осеи ва ни я": Каж дую из р одив ш ихсяособей незав исимоот др угих св ер оятностью Р объ яв им "си ней", а св ер оятностью 1 -Р - "к р а сной". Е сли обозначить ηt число "си ни х " особей , р одив ш ихся в (0,t), тогда ξt −ηt - число "к р а сных " особе й , появ ив ш ихся в -(0,t). Д оказать, что 5.
9
{η (ω ) , t ≥ 0}
пyaccoнов ский пр оц есс с пар аметр ом λ Р , a ξt −ηt пуассонов ский спар аметр ом λ (1 − P ) . t
За м е ча ние П р оц есс р ож дения и гибели {ξt (ω ) , t ≥ 0} с множ еств ом состояний X={0,1} описы в ает эв олю ц ию системы массов ого обслуж ив ания (СМ О ) с одним обслуж ив аю щ им пр ибор ом, в котор ой отсутств ую т места для ож идания. Е сли считать, что длины интер в алов меж ду дв умя последов атель∞ ны ми моментами пр ихода тр ебов аний {ui }i =1 и их в р емена обслуж ив ания ∞ {ν i }i =1 суть незав исимы е последов ательности незав исимы х, показательно
р аспр еделенны х случай ны х в еличин для пер в ой - с пар аметр ом λ , а для в тор ой - с пар аметр ом µ , то {ξt (ω ) , t ≥ 0} , гдеξt (ω ) означает число тр ебов аний в системев момент в р емени t есть пр оц есср ож дения и гибели спар аметр ами λ и µ . 3. Д И Ф Ф Е РЕ Н Ц И АЛ Ь Н Ы Е У РАВ Н Е Н И Я Д Л Я М О М Е Н Т О В П РО ЦЕ С С О В РО Ж Д Е Н И ЯИ Г И БЕ Л И В о многих случаях получениер еш ениясистемы (3) нетолько технически тр удно, но и нев сегда обязательно для р еш ения интер есую щ ей нас задачи. И ногда достаточно знатьлиш ьнекотор ы еиз моментов случай ного пр оц есса {ξt (ω ) , t ≥ 0} . Т ак, напр имер , если нас интер есует математическое ож идание m(t)=M ξt (ω ) в пр едполож ении его сущ еств ов ания, то поступим следую щ им обр азом : У множ им j - ое ур ав нениев (3) на j и пр осуммир уем по j . П олучим обы кнов енноедиф ф ер енц иальноеур ав нениедля: ∞
mi ( t ) = ∑ j ⋅ Ρij ( t ) j =0
сначальны м услов ием mi ( 0 ) = i, i ∈ Ν 0 , тогда, очевидно: m ( t ) = ∑ mi ( t ) ⋅ Ρ {ξ0 (ω ) = i} . i
За да чи и уп ра ж не ния 1. Лине йные п роце с с ы рож де ния и гибе ли. Э то пр оц ессы , для котор ы х λi = iλ + a, µi = i µ + b для i ∈ Ν 0 , λ0 = a, µ0 = 0 гдеλ , µ > 0, a ≥ 0, b ≥ 0 . Д ока-
зать, что услов ноеср еднеелиней ного пр оц есса пр и b = 0 удов летв ор яет диф ф ер енц иальному ур ав нению : dmi ( t ) = a + ( λ − µ ) ⋅ mi ( t ) сначальны м услов ие м т i(0) = i, най ти : dt
10 mi ( t ) и lim mi ( t ) . t →+∞
2. Рассмотр им С М О с одним обслуж ив аю щ им пр ибор ом, неогр аниченной очер едью и естеств енны м пор ядком обслуж ив ания тр ебовПаний .дов ательности {ui }i∞=1 и {ν i }i∞=1 - теж е, чтои в замечании. Т огда осле {ξt (ω ) , t ≥ 0} - пр оц есср ож денияи гибели с λi = λ , µi = µ .Н ай ти mi ( t ) и lim mi ( t ) . t →+∞ 3. Д ля С М О с бесконечны м числом обслуж ив аю щ их пр ибор ов , т.е. дляпр оц есса с λi = λ , µi = i µ , i ∈ Ν 0 , най ти mi ( t ) и tlim mi ( t ) →+∞ 4. Н ай ти диф ф ер енц иальны еур ав нения пр оц есса типа Ю ла с пер еходами только из Εn в Ε n−1 . Н ай ти р аспр еделение Ρ n ( t ) , его математическоеож иданиеи диспер сию , пр едполагая, что исходны м состоянием яв ляетсясостояние Εi . 5. В ав топар к, р ассчитанны й на N мест, пр ибы в ает пуассонов ский поток маш ин с интенсив ностью λ до тех пор , пока имею тся св ободны еместа. Н ай ти диф ф ер енц иальны еур ав нения для в ер оятностей Ρ n ( t ) того, чтор ов ноn мест заняты . 4. С Т АЦИ О Н АРН О Е РАС П РЕ Д Е Л Е Н И Е П РО Ц Е С С О В РО Ж Д Е Н И ЯИ Г И БЕ Л И О пр еделение 1 Будем гов ор ить, что пр оц есс р ож дения и гибели {ξt (ω ) , t ≥ 0} имеет ст а циона рное ра с п ре де ле ние { Ρ j }∞j =0 , если пр еделы : lim Ρij ( t ) = Ρ j
t →+∞
сущ еств ую т, незав исят от i и удов летв ор яю т услов иям : 1. Ρ j ≥ 0, j ∈ Ν 0 ; ∞
2.
∑Ρ j =0
= 1.
j
И меет место следую щ ее утв ер ж дение, опр ав ды в аю щ ее назв ание "ст а циона рное ра с п ре де ле ние ": Те оре м а П усть пр оц есс {ξt (ω ) , t ≥ 0} имеет стац ионар ноер аспр еделение{ Ρ j } j =0 . Е сли это р аспр еделениев ер оятностей в зять в качеств ена∞
чального р аспр еделения Ρ j = Ρ {ξ 0 (ω ) = j} , j ∈ Ν 0 , то безуслов ноер аспр еделениев ер оятностей значений пр оц есса незав исит от в р емени и
11 Ρ {ξt (ω ) = j} = Ρ j = Ρ {ξ0 (ω ) = j} , j ∈ Ν 0 , t ≥ 0.
С тац ионар ноер аспр еделениев пр едполож ении, что оно сущ еств ует, мож но най ти, пер еходя в (4) к пр еделу пр и t → +∞ . П олучим систему линей ны х ур ав нений : 0 = − λ0 Ρ 0 + µ1Ρ1 . . . . 0 = λ j −1Ρ j −1 − ( λ j + µ j ) Ρ j + µ j +1Ρ j +1 ,
.
(5)
j∈Ν
Реш ение (5) имеет в ид Ρ j = π j ⋅ Ρ 0 , где π 0 = 1, π j =
λ0 λ1...λ j −1 µ1 µ2 ...µ j
для j ∈ Ν
и −1
∞ Ρ 0 = ∑ π k -из услов ия нор мир ов ки. А так как мы k =0
пр едполож или
сущ еств ов аниестац ионар ного р аспр еделения, то необходимы м услов ием сущ еств ов аниястац ионар ногор аспр еделенияяв ляетсясходимостьр яда ∞
∑π k =0
k
.
Д ля состав ления системы ур ав нений (5) мож но в оспользов аться следую щ им мнемоническим пр ав илом. С начала постр оим гр аф системы , изменениесостояний котор ой в о в р емени описы в аетсяпр оц ессом р ож денияи гибели {ξt (ω ) , t ≥ 0} .
λ0
λ1
...
1
0
μ1
λj-1
μ2
μ j-1
j-1
λj j
μj
λj+1 j+1
μj+1
В ур ав нении системы (5), соотв етств ую щ ем состоянию j, слева "0", а спр ав а - алгебр аическаясумма ( со знаком "+" слагаемы е, соотв етств ую щ иев ходящ им в состояниеj стр елкам - пр оизв едениепар аметр а на в ер оятность того состояния, из котор ого стр елка в ы ходит, со знаком "-" аналогично стр оящ иеся слагаемы е, соотв етств ую щ ие в ы ходящ им стр елкам). За да чи и уп ра ж не ния 1. Д оказать, что стац ионар ноер аспр еделениеС М О , описанной в задаче 2 пункта 3, есть геометр ическое р аспр еделение с пар аметр ом λ , µ
(
λ <µ
)
П р едполагая, что система р аботает в стац ионар ном р еж име, т.е.:
12 Ρ j ( t ) = Ρ {ξt (ω ) = j} = Ρ j , для j ∈ Ν 0 ,
най ти следую щ иехар актер истики занятости (для пр оизв ольного момента в р емени) : 1) ср еднеечисло тр ебов аний в системе; 2) ср еднеечисло тр ебов аний в очер еди; 3) в ер оятностьзанятости пр ибор а. 2. Рассмотр им С М О с бесконечны м числом обслуж ив аю щ их пр ибор ов , гр аф котор ой λ
λ
...
1
0
λ
μ
(j-1)
λ
j-1
μ
λ
j
j
μ
j+1
(j+1)
μ
С остав итьсистему длястац ионар ногор аспр еделенияи р еш итьее. 3. Д оказать, что длялиней ны х пр оц ессов р ож денияи гибели, длякотор ы х a > 0, b = 0 пр и λ < µ стац ионар ноер аспр еделениеимеет в ид : a
j
λ 1 a a a λ λ Ρ j = ⋅ ⋅ ⋅ + 1 ... ⋅ + j − 1 ⋅ 1 − , j ∈ Ν 0 . µ µ j! λ λ λ
4. Рассмотр им систему, котор ую услов но назов ем "п а вт ом а т ов , к ре м онт ных п лощ а док (на ла дч и к ов)". Э то пр имер замкнутой С М О . Г р аф такой системы имеет в ид: n
λ
0
(n-1)
1
μ
λ
...
(n-j)
λ
j
j-1 j
μ
(n-k)
j+1 (j+1)
μ
.. k
k
μ
λ
..
(n-i )
i-1
λ i+1
i k
μ
k
μ
λ
.. k
n
μ
С остав ить систему для стац ионар ного р аспр еделения и р еш ить ее. Н ай ти ср еднеечисло поломанны х ав томатов , ср еднеечисло пр остаив аю щ их наладчиков в стац ионар ном р еж име. 5.За да ча о т е ле ф онных линиях. П р едполож им, что имеется бесконечноечисло телеф онны х линий и что в ер оятность окончания р азгов ор а в течениев р емени ( t , t + ∆t ) р ав на µ∆t плю сслагаемы е, котор ы ми пр и ∆t → 0 мож но пр енебр ечь. П оступаю щ иев ы зов ы обр азую т нагр узку пуассонов ского типа спар аметр ом λ . С истема находится в состоянии Εn , если заня-
13
то n линий . В ы бир ая в качеств епар аметр ов системы λn = λ , µn = nµ , состав ить диф ф ер енц иальны еур ав нения системы , най ти стац ионар ноер аспр еделение, а такж е най ти математическое ож идание, используя систему диф ф ер енц иальны х ур ав нений и егопр еделпр и t → ∞ . 6. Реш итьпр еды дущ ую задачу, если число линий конечно и р ав но m. Е сли в селинии заняты , то каж ды й нов ы й в ы зов станов ится в очер едь и ож идает, пока осв ободится какая-нибудьлиния. Э то значит, что в селинии имею т общ ую очер едь. С истема находится в состоянии Ε n , если n - общ ее количеств о лиц , котор ы е обслуж ив аю тся или ож идаю т обслуж ив ания. Н ай ти пр едельноер аспр еделение.
Л И Т Е РАТ У РА 1. Булинский А.В . Т еор ия случай ны х пр оц ессов / А.В . Булинский , А.Н . Ш ир яев. - М . : Ф И ЗМ АТ Л И Т , 2003. - 400 с. 2. Ш ир яев А.Н . В ер оятность- 2 / А.Н . Ш ир яев. - М . : М ЦН М О , 2004. - 408 с. 3. В ентц ель А.Д . К ур стеор ии случай ны х пр оц ессов / А.Д . В ентц ель. - М . : Н аука, 1975. - 320 с.
14
С О Д Е РЖ АН И Е 1. М ар ков скиепр оц ессы с дискр етны м множ еств ом состояний и непр ер ы в ны м в р еменем 3 2. П р оц ессы р ож денияи гибели
5
3. Д иф ф ер енц иальны еур ав нения для моментов пр оц ессов р ож дения и гибели 9 4. С тац ионар ноер аспр еделениепр оц ессов р ож денияи гибели 10
15
С остав ители: М ихай лов а И р ина В итальевна Бар ков а Л ар иса николаевна Редактор Т ихомир ов а О .А.
16