Теория случайных процессов: Учебно-методическое пособие. Часть 2

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С КИ Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

Т Е О РИ ЯС Л У ЧАЙ Н Ы Х П РО Ц Е С С О В Часть 2 У чебно-методическоепособиедлястудентов по спец иальности 010101 (010100) М атематика

В ор онеж 2005

2

У тв ер ж дено научно- методическим сов етом математическогоф акультета 14 ию ня2005 года П р отокол№ 11

С остав ители: М ихай лов а И .В . Бар ков а Л .Н .

У чебно-методическоепособиеподготов ленона каф едр еур ав нений в частны х пр оизв одны х и теор ии в ер оятностей математическогоф акультета В ор онеж скогогосудар ств енного унив ер ситета. Рекомендуетсядлястудентов 3 кур са дневного и 5 кур са в ечер него отделений математического ф акультета

У чебно-методическоепособиенаписано в соотв етств ии спр огр аммой кур са « Т еор ияслучай ны х пр оц ессов ». О но содер ж ит кр аткиетеор етическиесв еденияи задачи длясамостоятельногор еш ения.

3

1. М АРКО В С К И Е П РО Ц Е С С Ы С Д И С К РЕ Т Н Ы М М Н О Ж Е С Т В О М С О С Т О ЯН И Й И Н Е П РЕ РЫ В Н Ы М В РЕ М ЕНЕМ О пр еделение1. С лучай ны й пр оц есс{ξt (ω ) , t ∈ T ⊆ ! } созначениями в ф азов ом пр остр анств е ( Χ, Β ) назы в ается м а рков с ким , если длялю бого t ∈ T и лю бы х собы тий A ∈ Α ≤t , B ∈ Α≥t спр ав е длив ор ав енств о P { A ∩ B Α =t } =P { A Α =t } ⋅ P { B Α =t } п. н. (1) Ω, Α, Ρ - основ ноев е р оятностноепр остр анств о,

( X , Β ) - измер имое

пр остр анств о, в котор ом в сеодноточечны емнож еств а измер имы , Α≤t = σ {ξ s , s ∈ T , s ≤ t} , Α≥t = σ {ξ s , s ∈ T , s ≥ t} , Α =t = σ {ξt , t ∈ T } - σ -алге бр ы , пор ож денны есоотв етств ую щ ими семей ств ами случай ны х в еличин. П р еж дечем суж атькласср ассматр ив аемы х пр оц ессов , дадим О пр еделение2.Ф ункц ия Ρ ( s, t , x, Γ ) , опр еделеннаядля s, t ∈ T , s ≤ t , x ∈ Χ, Γ ∈ Β, назы в ае тсяп е ре ходной ф ункцие й м а рков с кого п роце с с а {ξt (ω ) , t ∈ T } , если:

4

5

4. Рассмотр им бр осания пр ав ильной игр альной кости и услов имся гов ор ить, что в момент n система находитсяв состоянии Ej, если j наибольш ее из числа очков , в ы пав ш их пр и пер в ы х n бр осаниях. Н ай ти матр иц у Pn. 5. П р ов ер ить, что р ав енств о (1) экв ив алентнолю бому из дв ух: Ρ {Β Α ≤t } = Ρ {Β Α =t } , t ∈ T , Β ∈ Α≥t п.н. или Ρ { A Α≥t } = Ρ { A Α =t } , t ∈ T , A ∈ Α ≤t п.н.

6

гдеλi ≥ 0, µi ≥ 0, ( µ0 = 0 ) ; α i ( ∆t ) , β i ( ∆t ) , ( β 0 ( ∆t ) = 0 ) , γ i ( ∆t ) - бесконечно малы еболеев ы сокогопор ядка, чем ∆t пр и ∆t → + 0 О пр еделение2. Числа λi и µi в опр еделении 1 будем назы в атьсоотв етств енно п а ра м е т ра м и рож де ния и гибе ли соотв етств ую щ его пр оц есса {ξt (ω ) , t ≥ 0} . Е сли значениеξt (ω ) пр оц есса р ож дения и гибели {ξt (ω ) , t ≥ 0} интер пр етир ов ать как число особей некотор ой популяц ии в момент в р емени t, то постулаты 100 и 200 означаю т, что в ер оятности "рож де ния" и "гибе ли" одной особи за в р емя ∆t сточностью до O ( ∆t ) естьлиней ны еф ункц ии длины интер в ала пр и ∆t → + 0 . Заметим, что постулаты 100-300 задаю т услов ны ев ер оятности пер ехода в соседниесостояния и услов ную в ер оятность остаться в данном состоянии за малы й пр омеж уток в р емени ∆t . П оэтому естеств енны ми будут следую щ иедв а в опр оса: пер в ы й - чему ж ер ав ны услов ны ев ер оятности "рож де ния" и "гибе ли" болеечем одной особи за в р емя ∆t пр и ∆t → + 0 ; в тор ой - что мож но сказать о в ер оятностях пер ехода Ρij ( t ) за пр омеж утокв р емени t>0 дляданного пр оц есса р ож денияи гибели. О тв ет на пер в ы й в опр осв ы получите, р еш ив задачу 1 этогопункта. О тв ет на в тор ой в опр ос даю т р еш ения систем диф ф ер енц иальны х ур ав нений , котор ы емож но в ы в ести, используя постулаты 100-300 и ур ав нениеКолм огоров а - Че п м е на 20. Д ляэтого р ассмотр им в ер оятности Ρij ( t + ∆t ) , t , ∆t > 0 . Д елениеинтер в ала ( 0;t + ∆t ) на дв а ( этого тр ебует 20 ) мож но осущ еств итьдв умяспособами: 1) ( 0; ∆t ) и ( ∆t ; t + ∆t ) ; 2) ( 0;t ) и ( t ; t + ∆t ) для ∆t > 0. П ер в ы й способ деления интер в ала ( 0; t + ∆t ) пр ив одит к обр атной системедиф ф ер енц иальны х ур ав нений : d Ρ0 j ( t )  = − λ0 Ρ 0 j ( t ) + λ0 Ρ1 j ( t ) , t > 0,   dt (3)   d Ρij ( t ) = µ Ρ i i −1 j ( t ) − ( λi + µi ) Ρ ij ( t ) + λi Ρ i +1 j , t > 0, i ∈ Ν  dt Ρij ( 0 ) = δ ij - начальноеуслов ие , δ ij - симв ол Кр онекер а, гдеj – ф икси-

р ов анноеиз Ν 0 . В тор ой способ пр и болееж естких услов иях пр ив одит к пр ямой системедиф ф ер енц иальны х ур ав нений :

7 d Ρi 0 ( t )  = − λ0 Ρi 0 ( t ) + µ1Ρi1 ( t ) , t > 0,  dt (4)   d Ρij ( t ) = λ Ρ j ∈ Ν, j −1 i j −1 ( t ) − ( λ j + µ j ) Ρ ij ( t ) + µ j +1Ρ i j +1 ( t ) , t > 0,  dt Ρij ( 0 ) = δ ij - начальноеуслов ие , δ ij - симв ол Кр онекер а, гдеi – ф икси-

р ов анноеиз Ν 0 . П олезно помнить, что системе, аналогичной (4), удов летв ор яю т и безуслов ны ев ер оятности дляt>0. О бр атим св оев ниманиена систему (4). П р и в ы полнении опр еделенны х услов ий , р егулир ую щ их степень р оста пар аметр ов р ож дения по отнош ению к пар аметр ам гибели, система (4) имеет единств енноер еш ение, удов летв ор яю щ ееуслов ию : ∞

∑ Ρ ( t ) = 1. j =0

ij

Н о, к сож алению , р еш ениесистемы (4) - пр оц есс тр удоемкий даж е для такого, на пер в ы й в згляд, пр остого пр оц есса р ож дения и гибели, как пр оц есс с постоянны ми пар аметр ами р ож дения и гибели ( λi = λ; µi = µ , i ∈ Ν ) . Н о, к счастью , систему (4), помимо непоср едств енного р еш ения, в р езультатечего получаем в ер оятности пер ехода за t>0 (в пер еходном р еж име), мож но использов атьещ епо дв ум напр ав лениям (пункты 3,4). За да чи и уп ра ж не ния 1.

{

Д ля пр оц есса р ож дения и гибели

}

{ξ (ω ) , t ≥ 0} t

най ти :

Ρ ξt +∆t (ω ) − ξt (ω ) ≥ 2 ξt (ω ) = i пр и ∆t → + 0

2. В ы в ести пр ямую систему диф ф ер енц иальны х ур ав нений для пр ав ы х и левы х пр оизв одны х и убедиться, что они сов падаю т с(3). Аналогичноесделать для системы (4). В ы в ести систему диф ф ер енц иальны х ур ав нений (для пр ав ы х и левы х пр оизв одны х) для безуслов ного р аспр еделения в ер оятностей состояний в пр оизв ольны й момент в р емени t>0, т.е. для Ρ j (t ) , j ∈ Ν0 . 3.Случа йный дв оичный с игна л. Т ак пр инято назы в ать пр оц есс р ож дения и гибели {ξt (ω ) , t ≥ 0} с ф азов ы м пр остр анств ом X = {-1,1} и в ер оятностями пер ехода за ∆t пр и ∆t → +0 Ρ −11 ( ∆t ) = λ∆t + O ( ∆t ) и Ρ1−1 ( ∆t ) = µ∆t + O ( ∆t ) , где λ , µ > 0 . Д ляданного пр оц есса най ти: 1)в ер оятности пер ехода Ρij ( t ) ;

8

2)безуслов ны ев ер оятности пр и Ρ j ( t ) данном начальном р аспр еделении: Ρ {Θ0 (ω ) = − 1} = Ρ = Ρ {Θ0 ( ω ) =1} ; Ρij ( t ) ; 3) tlim →+∞

4) ср еднеезначениепр оц есса m ( t ) = ΜΘt (ω ) ; 5) ков ар иац ионную ф ункц ию пр оц есса Κ ( s, t ) = cov ( Θ s (ω ) , Θt (ω ) ) , где s, t ≥ 0 ; 6) m(t) и K(s,t) для случая, когда начальноер аспр еделениесов падает ср аспр еделением, полученны м в 3). Будет ли пр оц ессстаким р аспр еделением стац ионар ны м в ш ир оком смы сле? Проце с с Ю ла яв ляется пр имер ом пр оц есса чистого р ож дения, т.е. µi = 0, βi (∆t ) ≡ 0 и λi = iλ для i ∈ Ν 0 , ξ 0 ≡ 0 . У казанны й пр оц есс ш ир око пр именяется в ф изикеи биологии для описанияэв олю ц ии следую щ ей системы . Рассмотр им сов окупность элементов , котор ы е могут незав исимо др уг от др уга пор ож дать нов ы еэлементы , но немогут исчезать. П р едполож им, что каж ды й элемент с в ер оятностью λ∆t + O ( ∆t ) пр оизв одит нов ы й элемент в интер в але(t;t+ ∆ t). Здесьестеств енно ξt (ω ) интер пр етир ов атькак число р ож дений в интер в але(0,t). 1) Н ай ти безуслов ное р аспр еделение случай ного пр оц есса {ξt (ω ) , t ≥ 0} Ρ j (t ) = Ρ {ξt (ω ) = j} , в пр едполож ении, что в начальны й момент в р емени в сов окупности бы лодин элемент ("р одона ч а льни к " или стар тов ы й элемент). 2) П р едполож им, что р одоначальник, и только он, мож ет погибнуть, пр ичем его в р емяж изни незав исит от пов еденияего потомков и имеет показательноер аспр еделениес пар аметр ом µ . Н ай ти р аспр еделениеобщ его числа потомков в сех поколений этой стар тов ой особи в момент еегибели. 3) Н ай ти безуслов ноер аспр еделениепр оц есса ξt пр и наличии в данной популяц ии п стар тов ы х особей . 4.

Пуа с с онов с кий п роце с с - пр оц есс чистого р ож дения с λi = λ для i ∈ Ν 0 и ξt (ω ) такж е, каки в 1, число р ож дений в (0,t). 1) Н ай ти безуслов ноер аспр еделениев ер оятностей случай ного пр оц есса {ξt (ω ) , t ≥ 0} . 2) В в едем следую щ ую опер ац ию "п р осеи ва ни я": Каж дую из р одив ш ихсяособей незав исимоот др угих св ер оятностью Р объ яв им "си ней", а св ер оятностью 1 -Р - "к р а сной". Е сли обозначить ηt число "си ни х " особей , р одив ш ихся в (0,t), тогда ξt −ηt - число "к р а сных " особе й , появ ив ш ихся в -(0,t). Д оказать, что 5.

9

{η (ω ) , t ≥ 0}

пyaccoнов ский пр оц есс с пар аметр ом λ Р , a ξt −ηt пуассонов ский спар аметр ом λ (1 − P ) . t

За м е ча ние П р оц есс р ож дения и гибели {ξt (ω ) , t ≥ 0} с множ еств ом состояний X={0,1} описы в ает эв олю ц ию системы массов ого обслуж ив ания (СМ О ) с одним обслуж ив аю щ им пр ибор ом, в котор ой отсутств ую т места для ож идания. Е сли считать, что длины интер в алов меж ду дв умя последов атель∞ ны ми моментами пр ихода тр ебов аний {ui }i =1 и их в р емена обслуж ив ания ∞ {ν i }i =1 суть незав исимы е последов ательности незав исимы х, показательно

р аспр еделенны х случай ны х в еличин для пер в ой - с пар аметр ом λ , а для в тор ой - с пар аметр ом µ , то {ξt (ω ) , t ≥ 0} , гдеξt (ω ) означает число тр ебов аний в системев момент в р емени t есть пр оц есср ож дения и гибели спар аметр ами λ и µ . 3. Д И Ф Ф Е РЕ Н Ц И АЛ Ь Н Ы Е У РАВ Н Е Н И Я Д Л Я М О М Е Н Т О В П РО ЦЕ С С О В РО Ж Д Е Н И ЯИ Г И БЕ Л И В о многих случаях получениер еш ениясистемы (3) нетолько технически тр удно, но и нев сегда обязательно для р еш ения интер есую щ ей нас задачи. И ногда достаточно знатьлиш ьнекотор ы еиз моментов случай ного пр оц есса {ξt (ω ) , t ≥ 0} . Т ак, напр имер , если нас интер есует математическое ож идание m(t)=M ξt (ω ) в пр едполож ении его сущ еств ов ания, то поступим следую щ им обр азом : У множ им j - ое ур ав нениев (3) на j и пр осуммир уем по j . П олучим обы кнов енноедиф ф ер енц иальноеур ав нениедля: ∞

mi ( t ) = ∑ j ⋅ Ρij ( t ) j =0

сначальны м услов ием mi ( 0 ) = i, i ∈ Ν 0 , тогда, очевидно: m ( t ) = ∑ mi ( t ) ⋅ Ρ {ξ0 (ω ) = i} . i

За да чи и уп ра ж не ния 1. Лине йные п роце с с ы рож де ния и гибе ли. Э то пр оц ессы , для котор ы х λi = iλ + a, µi = i µ + b для i ∈ Ν 0 , λ0 = a, µ0 = 0 гдеλ , µ > 0, a ≥ 0, b ≥ 0 . Д ока-

зать, что услов ноеср еднеелиней ного пр оц есса пр и b = 0 удов летв ор яет диф ф ер енц иальному ур ав нению : dmi ( t ) = a + ( λ − µ ) ⋅ mi ( t ) сначальны м услов ие м т i(0) = i, най ти : dt

10 mi ( t ) и lim mi ( t ) . t →+∞

2. Рассмотр им С М О с одним обслуж ив аю щ им пр ибор ом, неогр аниченной очер едью и естеств енны м пор ядком обслуж ив ания тр ебовПаний .дов ательности {ui }i∞=1 и {ν i }i∞=1 - теж е, чтои в замечании. Т огда осле {ξt (ω ) , t ≥ 0} - пр оц есср ож денияи гибели с λi = λ , µi = µ .Н ай ти mi ( t ) и lim mi ( t ) . t →+∞ 3. Д ля С М О с бесконечны м числом обслуж ив аю щ их пр ибор ов , т.е. дляпр оц есса с λi = λ , µi = i µ , i ∈ Ν 0 , най ти mi ( t ) и tlim mi ( t ) →+∞ 4. Н ай ти диф ф ер енц иальны еур ав нения пр оц есса типа Ю ла с пер еходами только из Εn в Ε n−1 . Н ай ти р аспр еделение Ρ n ( t ) , его математическоеож иданиеи диспер сию , пр едполагая, что исходны м состоянием яв ляетсясостояние Εi . 5. В ав топар к, р ассчитанны й на N мест, пр ибы в ает пуассонов ский поток маш ин с интенсив ностью λ до тех пор , пока имею тся св ободны еместа. Н ай ти диф ф ер енц иальны еур ав нения для в ер оятностей Ρ n ( t ) того, чтор ов ноn мест заняты . 4. С Т АЦИ О Н АРН О Е РАС П РЕ Д Е Л Е Н И Е П РО Ц Е С С О В РО Ж Д Е Н И ЯИ Г И БЕ Л И О пр еделение 1 Будем гов ор ить, что пр оц есс р ож дения и гибели {ξt (ω ) , t ≥ 0} имеет ст а циона рное ра с п ре де ле ние { Ρ j }∞j =0 , если пр еделы : lim Ρij ( t ) = Ρ j

t →+∞

сущ еств ую т, незав исят от i и удов летв ор яю т услов иям : 1. Ρ j ≥ 0, j ∈ Ν 0 ; ∞

2.

∑Ρ j =0

= 1.

j

И меет место следую щ ее утв ер ж дение, опр ав ды в аю щ ее назв ание "ст а циона рное ра с п ре де ле ние ": Те оре м а П усть пр оц есс {ξt (ω ) , t ≥ 0} имеет стац ионар ноер аспр еделение{ Ρ j } j =0 . Е сли это р аспр еделениев ер оятностей в зять в качеств ена∞

чального р аспр еделения Ρ j = Ρ {ξ 0 (ω ) = j} , j ∈ Ν 0 , то безуслов ноер аспр еделениев ер оятностей значений пр оц есса незав исит от в р емени и

11 Ρ {ξt (ω ) = j} = Ρ j = Ρ {ξ0 (ω ) = j} , j ∈ Ν 0 , t ≥ 0.

С тац ионар ноер аспр еделениев пр едполож ении, что оно сущ еств ует, мож но най ти, пер еходя в (4) к пр еделу пр и t → +∞ . П олучим систему линей ны х ур ав нений :  0 = − λ0 Ρ 0 + µ1Ρ1  . . . .   0 = λ j −1Ρ j −1 − ( λ j + µ j ) Ρ j + µ j +1Ρ j +1 ,

.

(5)

j∈Ν

Реш ение (5) имеет в ид Ρ j = π j ⋅ Ρ 0 , где π 0 = 1, π j =

λ0 λ1...λ j −1 µ1 µ2 ...µ j

для j ∈ Ν

и −1

 ∞  Ρ 0 =  ∑ π k  -из услов ия нор мир ов ки. А так как мы  k =0 

пр едполож или

сущ еств ов аниестац ионар ного р аспр еделения, то необходимы м услов ием сущ еств ов аниястац ионар ногор аспр еделенияяв ляетсясходимостьр яда ∞

∑π k =0

k

.

Д ля состав ления системы ур ав нений (5) мож но в оспользов аться следую щ им мнемоническим пр ав илом. С начала постр оим гр аф системы , изменениесостояний котор ой в о в р емени описы в аетсяпр оц ессом р ож денияи гибели {ξt (ω ) , t ≥ 0} .

λ0

λ1

...

1

0

μ1

λj-1

μ2

μ j-1

j-1

λj j

μj

λj+1 j+1

μj+1

В ур ав нении системы (5), соотв етств ую щ ем состоянию j, слева "0", а спр ав а - алгебр аическаясумма ( со знаком "+" слагаемы е, соотв етств ую щ иев ходящ им в состояниеj стр елкам - пр оизв едениепар аметр а на в ер оятность того состояния, из котор ого стр елка в ы ходит, со знаком "-" аналогично стр оящ иеся слагаемы е, соотв етств ую щ ие в ы ходящ им стр елкам). За да чи и уп ра ж не ния 1. Д оказать, что стац ионар ноер аспр еделениеС М О , описанной в задаче 2 пункта 3, есть геометр ическое р аспр еделение с пар аметр ом λ , µ

(

λ <µ

)

П р едполагая, что система р аботает в стац ионар ном р еж име, т.е.:

12 Ρ j ( t ) = Ρ {ξt (ω ) = j} = Ρ j , для j ∈ Ν 0 ,

най ти следую щ иехар актер истики занятости (для пр оизв ольного момента в р емени) : 1) ср еднеечисло тр ебов аний в системе; 2) ср еднеечисло тр ебов аний в очер еди; 3) в ер оятностьзанятости пр ибор а. 2. Рассмотр им С М О с бесконечны м числом обслуж ив аю щ их пр ибор ов , гр аф котор ой λ

λ

...

1

0

λ

μ

(j-1)

λ

j-1

μ

λ

j

j

μ

j+1

(j+1)

μ

С остав итьсистему длястац ионар ногор аспр еделенияи р еш итьее. 3. Д оказать, что длялиней ны х пр оц ессов р ож денияи гибели, длякотор ы х a > 0, b = 0 пр и λ < µ стац ионар ноер аспр еделениеимеет в ид : a

j

λ 1 a a  a   λ λ Ρ j =   ⋅ ⋅ ⋅  + 1 ... ⋅  + j − 1 ⋅  1 −  , j ∈ Ν 0 .   µ  µ  j! λ  λ   λ

4. Рассмотр им систему, котор ую услов но назов ем "п а вт ом а т ов , к ре м онт ных п лощ а док (на ла дч и к ов)". Э то пр имер замкнутой С М О . Г р аф такой системы имеет в ид: n

λ

0

(n-1)

1

μ

λ

...

(n-j)

λ

j

j-1 j

μ

(n-k)

j+1 (j+1)

μ

.. k

k

μ

λ

..

(n-i )

i-1

λ i+1

i k

μ

k

μ

λ

.. k

n

μ

С остав ить систему для стац ионар ного р аспр еделения и р еш ить ее. Н ай ти ср еднеечисло поломанны х ав томатов , ср еднеечисло пр остаив аю щ их наладчиков в стац ионар ном р еж име. 5.За да ча о т е ле ф онных линиях. П р едполож им, что имеется бесконечноечисло телеф онны х линий и что в ер оятность окончания р азгов ор а в течениев р емени ( t , t + ∆t ) р ав на µ∆t плю сслагаемы е, котор ы ми пр и ∆t → 0 мож но пр енебр ечь. П оступаю щ иев ы зов ы обр азую т нагр узку пуассонов ского типа спар аметр ом λ . С истема находится в состоянии Εn , если заня-

13

то n линий . В ы бир ая в качеств епар аметр ов системы λn = λ , µn = nµ , состав ить диф ф ер енц иальны еур ав нения системы , най ти стац ионар ноер аспр еделение, а такж е най ти математическое ож идание, используя систему диф ф ер енц иальны х ур ав нений и егопр еделпр и t → ∞ . 6. Реш итьпр еды дущ ую задачу, если число линий конечно и р ав но m. Е сли в селинии заняты , то каж ды й нов ы й в ы зов станов ится в очер едь и ож идает, пока осв ободится какая-нибудьлиния. Э то значит, что в селинии имею т общ ую очер едь. С истема находится в состоянии Ε n , если n - общ ее количеств о лиц , котор ы е обслуж ив аю тся или ож идаю т обслуж ив ания. Н ай ти пр едельноер аспр еделение.

Л И Т Е РАТ У РА 1. Булинский А.В . Т еор ия случай ны х пр оц ессов / А.В . Булинский , А.Н . Ш ир яев. - М . : Ф И ЗМ АТ Л И Т , 2003. - 400 с. 2. Ш ир яев А.Н . В ер оятность- 2 / А.Н . Ш ир яев. - М . : М ЦН М О , 2004. - 408 с. 3. В ентц ель А.Д . К ур стеор ии случай ны х пр оц ессов / А.Д . В ентц ель. - М . : Н аука, 1975. - 320 с.

14

С О Д Е РЖ АН И Е 1. М ар ков скиепр оц ессы с дискр етны м множ еств ом состояний и непр ер ы в ны м в р еменем 3 2. П р оц ессы р ож денияи гибели

5

3. Д иф ф ер енц иальны еур ав нения для моментов пр оц ессов р ож дения и гибели 9 4. С тац ионар ноер аспр еделениепр оц ессов р ож денияи гибели 10

15

С остав ители: М ихай лов а И р ина В итальевна Бар ков а Л ар иса николаевна Редактор Т ихомир ов а О .А.

16