В О РО НЕ Ж СК И Й ГО С У Д А РСТ В Е ННЫ Й У НИ В Е РСИ Т Е Т
Р еш ение за да ч п о о п т ике в курсе о б щ ей ф изики...
8 downloads
276 Views
261KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
В О РО НЕ Ж СК И Й ГО С У Д А РСТ В Е ННЫ Й У НИ В Е РСИ Т Е Т
Р еш ение за да ч п о о п т ике в курсе о б щ ей ф изики Ч а ст ь2 У ч е бно-м е т оди ч е с кое пос оби е
С пеци а ль н о ст и : 010701 (010400) – Ф и зи ка 010801 (013800) – Р а д и о ф и зи ка и элект ро н и ка 010803 (014100) – М и кро элект ро н и ка и по лупро во д н и ко вые при бо ры
В О РО НЕ Ж 2005
2 У тве рж де нонаучно-ме тоди че ски м сове том фи зи че ского факульте та Протокол № 8 от 28.09.2005 г. С остави те ли : Че рнышоваТ .Д ., Гри дне в А .Е . У че бно-ме тоди че ское пособи е подготовле но на кафе дре общ е й фи зи ки фи зи че ского факульте та В ороне ж ского государстве нного уни ве рси те та. Ре коме ндуе тся для студе нтов 2 курса дне вного обуче ни я и 3 курса очно-заочного обуче ни я по спе ц и альности : 010701 (010400) – «Ф и зи ка», 010801 (013800) – «Ради офи зи ка и эле ктрони ка», 010803 (014100) – «М и кроэле ктрони ка и полупроводни ковые при боры»
3 В В Е Д Е НИ Е Ц е ль данного пособи я – помочь студе нтам научи ться ре шать задачи по курсу опти ки по те ме «Д и фракц и я ». Подробно рассматри ваю тся анали з и ре ше ни е наи боле е ти пи чных при ме ров, анали ти че ски й и графи че ски й ме тоды ре ше ни я . Пре длож е ны задачи для самостоя те льной работы. Д иф ра кцией све та называю т отклоне ни е направле ни я распростране ни я све товой волны от пря моли не й ного в сре де с ре зки ми не однородностя ми (отве рсти я , края экранов и др.), что свя зано с наруше ни е м законов ге оме три че ской опти ки . Я вле ни е ди фракц и и при води т к оги бани ю све товыми волнами пре пя тстви й и прони кнове ни ю све та в область ге оме три че ской те ни . Ре ше ни е задачи ди фракц и и (нахож де ни е распре де ле ни я и нте нси вности све та в зави си мости от угла ди фракц и и ) в рамках эле ктромагни тной те ори и своди тся к нахож де ни ю ре ше ни я си сте мы уравне ни й М аксве лла при опре де ле нных грани чных услови я х. О днако, такой подход при води т к слож ным мате мати че ски м расче там. В практи че ски важ ных случая х задача мож е т быть ре ше на с и спользовани е м при нц и паГю й ге нса-Ф ре не ля . Д и ф ра к ц и я Ф ренеля . П ри нц и п Г ю йг енса -Ф ренеля Д ля объ я сне ни я я вле ни я ди фракц и и Ф ре не льдополни л при нц и п Гю й ге нса и де е й и нте рфе ре нц и и втори чных волн. В соотве тстви и с при нц и пом Гю й ге нса-Ф ре не ля для нахож де ни я и нте нси вности в прои звольной точке наблю де ни я P не обходи мо просумми ровать все коле бани я , при ходя щ и е в эту точку от втори чных и сточни ков. Д ля подсчёта и нте нси вности Ф ре не ль пре длож и л ме тод де ле ни я фронтаволны натаки е зоны, чтоволны от сосе дни х зонпри ходя т в
r0+3λ/2
R
r0+λ r0+λ/2
S*
P 1-я зона Ф ре не ля 2-я зона Ф ре не ля 3-я зона Ф ре не ля
Ри с.1. Разби е ни е накольц е вые зоны Ф ре не ля .
r0
4 точку наблю де ни я в проти вофазе . С умми ровани е эти х волнвозмож но и з-за и х коге ре нтности . Ни ж е при води тся задача, позволя ю щ ая най ти свя зь ме ж ду ради усами зон, расстоя ни я ми от и сточни ка до пре грады – отве рсти я и от отве рсти я до точки наблю де ни я , чи слом зони дли ной волны. На ри с. 1 показано разби е ни е накольц е вые зоны Ф ре не ля . Задача 1. В ычи сли ть ради усы зонФ ре не ля ρk сфе ри че ской волны ради усом R для точки , отстоя щ е й от и сточни ка монохромати че ски х волндли ной λ на расстоя ни и R+r0, учи тывая , что R>>λ и r0>>λ. Ре ше ни е Зоны Ф ре не ля и ме ю т форму коле ц с ц е нтром в точке О (см. ри с. 2). Пусть че ре зточку А проходи т k-тая зона Ф ре не ля , и ме ю щ ая ради ус ρk. Расстоя ни е АP A
ρk
R S
r0+kλ/2
P
C
*
hk R
r0
Ри с.2. К выводу формулы для ради уса зонФ ре не ля . от края этой зоны до точки наблю де ни я P равно rk = r0+kλ/2. И зтре угольни ков SAC и АPС находи м: λ ρ k2 = R 2 − ( R − hk )2 ; ρ k2 = ( r0 + k )2 − ( r0 + hk )2 . (1) 2 k λ r0 О тсю да hk = ; подстави в значе ни е hk в (1), получи м ради ус k2( R + r0 ) той зоны Ф ре не ля : ρ k =
k λ r0 R . r0 + R
(2)
ρ k2 ( r0 + R ) И з(2) чи сло зонФ ре не ля k опре де ля е тся так: k = . (3) r0 Rλ Е сли падаю щ ая волна плоская , то формулы для ради уса k-той зоны Ф ре не ля и чи сла зонk, открытых для точки наблю де ни я P, запи шутся сле дую щ и м ρ k2 образом: ρ k = k λ r0 ; (2’); k= . (3’) λ r0 Е сли чи сло зонФ ре не ля , укладываю щ и хся в отве рсти и не че тное , то на экране в ц е нтре ди фракц и онной карти ны наблю дае тся све тлое пя тно, е сли че тное , то пя тнов ц е нтре буде т те мным.
5 Задача 2. Д и фракц и я наблю дае тся на расстоя ни и l от точе чного и сточни ка монохромати че ского све та (λ = 0,5 мкм). Посе ре ди не ме ж ду и сточни ком све та и экраном находи тся не прозрачный ди ск ди аме тром d=5 мм. О пре де ли те расстоя ни е l, е сли ди ск закрывае т только пе рвую зону Ф ре не ля . Ре ше ни е kRr0λ И зве стно, что ρ k2 = ; по услови ю R = r0 = l / 2 , k=1, ρ1=d/2; r0 + R r0 λ λ l d2 2 тoгда ρ k = = и l= . 2 4 λ В ычи сле ни я даю т: l=50 м. Задача 3. Тонкая ме талли че ская пласти нка и ме е т круглое отве рсти е ди аме тром d=4 мм. На пласти нку падае т паралле льный пучок луче й (λ = 0,5 мкм). Л и нза с фокусным расстоя ни е м 1 м, располож е нная вбли зи пласти нки , даёт на экране ди фракц и онную карти ну. С ве тлое и ли тёмное пя тно буде т наблю даться в ц е нтре этой карти ны? Ре ше ни е Л и нза вве де на для того, чтобы ди фракц и онная карти на наблю далась боле е чётко. Паралле льный пучок сходи тся в фокусе ли нзы. Подсчи тае м чи сло ρ k2 (r0 + R ) ; при R → ∞ формула зонФ ре не ля , укладываю щ и хся в отве рсти и : k = Rr0λ ρ k2 ρ k2 = . В ычи сле ни я даю т: k = 8. (r0 = f, т.к. ли нза располоr0λ f λ ж е на у пласти нки , f - фокусное расстоя ни е .) Чи сло зончётное , поэтому в ц е нтре наблю дае тся тёмное пя тно.
при ме т ви д: k =
Г ра ф и ч еск и й м етод К оле бани е , создавае мое в точке наблю де ни я достаточно узкой зоной волнового фронта (ме ньше й , че м одна зона Ф ре не ля ), и зображ ае тся ве ктором, ве ли чи на которого пропорц и ональна ампли туде коле бани й , а угол, отсчи тывае мый проти в часовой стре лки , ме ж ду эти м ве ктором и гори зонтальной осью чи сле нно раве нфазе коле бани я . Е сли слож и ть ве кторы от каж дой эле ме нтарной зоны (с уче том и зме не ни я фазы), то суммарный ве ктор, сое ди ня ю щ и й началои коне ц ц е почки , даст суммарное коле бани е в точке наблю де ни я . Е сли пе рвую зону Ф ре не ля разде ли ть на ше сть узки х зон, то ди аграмма буде т выгля де тьтак, как показано на ри с. 3. С уммарное коле бани е A1 пре дставля е т собой ве кторную сумму a1, a2, a3, a4, a5, a6. Е сли эле ме нтарные зоны взя ть достаточно узки ми , то ломаные пре вратя тся в плавные кри вые . В случае полностью открытого волнового фронта эти кри вые будут и ме ть ви д спи рали . В е ктор, сое ди ня ю щ и й начало и коне ц спи рали , опре де ли т ве ли чи ну и фазу суммарного коле бани я . И з ри с. 4 ви дно, что при полностью открытом волновом
a6 А1
B
6
a5 a4 a3 a2
A1 A∞
a1 O
Ри с.3.
Ри с. 4. С пи ральФ ре не ля .
фронте (чи сло зонФ ре не ля равно бе сконе чности ) ампли туда A∞ при бли зи те льноравнаполови не ампли туды A1. Проти вополож ное направле ни е касате льных в точках О и B сви де те льствуе т о том, что коле бани я , созданные края ми зоны Ф ре не ля , и ме ю т фазовый сдви г1800 и соотве тстве нноразностьходаλ/2. Задача 4. О тве рсти е ради уса ρ0 осве щ ае тся нормально падаю щ е й плоской волной ампли туды A0 дли ной λ. И ссле довать каче стве нно распре де ле ни е и нте нси вности вдольоси отве рсти я . Ре ше ни е Чи сло де й ствую щ и х зон в точке наблю де ни я P для падаю щ е й плоской волны (R→∞) обратно пропорц и онально расстоя ни ю r0 ме ж ду экраном с отве рсти е м и точкой P: ρ 02 k= . При k=1 r01=ρ2/λ. λ r0 Зафи кси руе м полож е ни е экрана с отве рсти е м и для начала отодви не м точку наблю де ни я достаточно дале ко от экрана на расстоя ни е r0>ρ2/λ. Б уде м посте пе нно при бли ж ать точку P к отве рсти ю , одновре ме нно рассматри вая спи раль Ф ре не ля . В е ктор, характе ри зую щ и й ампли туду ре зульти рую щ е го коле бани я в точке P, ве де т се бя сле дую щ и м образом: начало ве ктора находи тся в начале спи рали (т. О на ри с. 5a), а второй коне ц ве ктора плавно пе ре ме щ ае тся по спи рали , сове ршая вращ е ни е проти в часовой стре лки . Пока открывае тся пе рвая зона, и нте нси вность в точке P уве ли чи вае тся и дости гае т макси мума до I=A012 при полностью открытой пе рвой зоне (ри с. 5a). При k=2 r02=ρ2/2λ=r01/2. Д але е , при бли ж ая точку наблю де ни я к экрану с отве рсти е м, буде м наблю дать плавное уме ньше ни е и нте нси вности до ми ни мума, соотве тствую щ е го двум открытым зонам Ф ре не ля (ри с.5б). При дальне й ше м уме ньше ни и r0 и нте нси вность вновь возрастае т (коне ц ве ктора ре зульти рую щ е й ампли туды начи нае т опи сыватьвторой ви ток спи рали ) и дости гае т второго макси мума при тре х открытых зонах (осве щ е нность при этом не сколько ме ньше , че м при одной открытой зоне ). В торой ми ни мум наблю дае тся при k=4 (осве щ е нностьбуде т не сколько больше , че м при k=2). Д альне й ше е уме ньше ни е r0 буде т сопровож даться че ре довани е м макси мумов (для не че тных k) и ми ни му-
7
A1
A2
а) O
б)
O
Ри с. 5. Пе ре ме щ е ни е конц а ве ктора ре зульти рую щ е й ампли туды по ме ре открывани я а) пе рвой зоны Ф ре не ля ; б) второй зоны Ф ре не ля . мов (для че тных k). С ростом поря дка k осве щ е нностьпосле довате льно убывае т в макси мумах в ря ду k=1,3,5,7… и после довате льно возрастае т в ря ду ми ни мумов k=2,4,6,8… . Наконе ц , при достаточно большом чи сле открытых зон(при k→∞, а практи че ски при k>20) и нте нси вность сосе дни х макси мумов и ми ни мумов станови тся не отли чи мой , а в си лу ги пе рболи че ской зави си мости k от r0 при уме ньше ни и r0 экстре мумы сме ня ю т другдруга все чащ е . I 4I0 7
5
I0 6 0
0,2
одна зона
три зоны
две зоны
4 0,4
0,6
0,8
1
r0
Ри с. 6. Зави си мостьи нте нси вности от расстоя ни я доотве рсти я . О пи санная си туац и я соотве тствуе т пре де льному пе ре ходу к случаю ге оме три че ской опти ки , когда k→∞ , т.е . при полностью открытом волновом фронте . При этом ампли туда коле бани й в два раза, а и нте нси вность све та в че тыре раза ме ньше , че м в случае одной открытой зоны Ф ре не ля . Зави си мость I(r0) для плоской волны в случае ρ2=λ, 1 ≤ k ≤ 20 показанана ри с. 6. Задача4. Д и ск и зсте кла с показате ле м пре ломле ни я n для дли ны волны λ закрывае т полторы зоны Ф ре не ля для наблю дате ля в точке P. При какой толщ и не ди ска h осве щ е нностьв точке P буде т наи больше й . Ре ше ни е И зобрази м на спи рали Ф ре не ля и нте ре сую щ и е нас ве кторы в отсутстви е сте кля нного ди ска. В е ктор A∞ соотве тствуе т ампли туде коле бани й в точке на-
8 блю де ни я при полностью открытом волновом фронте . Э тот ве ктор мож но пре дстави тькак сумму ве ктора A1.,5, соотве тствую щ е го пе рвым полутора зонам Ф ре не ля , и ве ктораAост, соотве тствую щ е говсе м остальным зонам.
A1,5
A1,5
Aост. A∞
5π 4
Aост.
Ри с. 7. Запаздывани е коле бани й по фазе при нали чи и прозрачного ди ска. И з-за нали чи я ди ска коле бани я от пе рвых полутора зонФ ре не ля будут при ходи ть в точку наблю де ни я с запаздывани е м по фазе . На спи рали Ф ре не ля запаздывани е по фазе мы и зображ ае м поворотом ве ктора проти в часовой стре лки . Д ля того чтобы и нте нси вность в точке P была макси мальной , коле бани я от пе рвых полутора зони от все го оставше гося волнового фронта долж ны оказаться си нфазными . О че ви дно, что ве ктор A1,5 долж е нпове рнуться проти в часовой стре лки на угол 5π/4+2πm, а соотве тствую щ ая разностьфазопре де ли тся так: 2π 2π 5π δ = k∆ = ∆= ( n − 1 )h = + 2π m λ λ 4 О тсю да толщ и насте кля нногоди скадолж на удовле творя тьсоотноше ни ю : 5 2m + λ 4 h= . 2 ( n − 1) Полагая m=0,1,2,3,… получи м ря д значе ни й толщ и ны ди ска, при которых в точке P буде т наблю даться макси мальная осве щ е нность. Зонна я пла сти нк а Е сли на пути распространя ю щ е й ся све товой волны установи ть пласти нку, в которой для точки наблю де ни я будут закрыты все че тные (и ли все не че тные ) зоны Ф ре не ля , то получи м значи те льное уве ли че ни е и нте нси вности све та; такую пласти нку называю т а мп лит удно й зо нно й. В графи че ском ме тоде ре ше ни я показана спи раль, состоя щ ая и зучастков (ве кторов ампли туд от сосе дни х зон, сдви нутых по фазе ). Е сли спи ральразве рнуть в пря мую , то и нте нси вность, как отме че но выше , уве ли чи вае тся . Д ля дости ж е ни я этого не обходи мо сглади тьступе ньки , в ре зультате получи тся ли нза. Е сли на зонную пласти нку падае т паралле льный пучок луче й , то, прой дя е е , онсоби рае тся в точке , называе мой фокусом. Зонная пласти нка дае т и зобра-
9 ж е ни е и сточни ка, т.е . де й ствуе т как ли нза. Д ля данного λ наблю даю тся фокусы разных поря дков, е сли в пре де лах каж дого кольц а укладывае тся лю бое не че тное чи сло зонФ ре не ля k=2m+1. Полож е ни е эти х фокусов опре де ля ю т по формуле : f1 fi = при m=0,1,2… ; i- номе р фокуса; так, при m=0 k=2m+1=1, и 2m + 1 fi= f1, при m=1 и k=3 f2= f1/3 и т.д. Задача 5. На зонную пласти нку падае т плоская монохромати че ская волна с λ=0,5 мкм. О пре де ли тьради ус пе рвой зоны Ф ре не ля , е сли расстоя ни е от зонной пласти нки доме станаблю де ни я r0 =1 м. Ре ше ни е kRr0λ ρ k2 = r0 + R При паде ни и плоской волны R→∞ и тогдаρ k2 = kr0λ . О тсю да, подставля я чи сле нные значе ни я , находи м ρ1=707 мкм. Задача 6. Ф азовая зонная пласти нка дае т наи боле е я ркое и зображ е ни е све тя щ е гося объ е кта, удале нного от не е на 3 м, на расстоя ни и 2 м от свое й пове рхности . Где получи тся и зображ е ни е и сточни ка, е сли е го отодви нуть в бе сконе чность? Ре ше ни е Е сли и сточни к отодви нуть в бе сконе чность, то и зображ е ни я получи тся в фокусах зонной пласти нки . И спользуя услови е задачи , мож но опре де ли ть фокусное расстоя ни е при k=1 ( см. те оре ти че ское вве де ни е ): Rr0 3⋅ 2 f1 = = = 1,2 м. R + r0 3 + 2 Задача 7. На края х не прозрачного ди ска с ради усом ρ = 2,5 мм и ме ю тся не ровности ве ли чи ной 10 мкм. На расстоя ни и R = 1 м от не го находи тся точе чный и сточни к S. Д и фракц и онная карти на наблю дае тся на экране за ди ском, при чём, пя тно Пуассона ви дно в том случае , е сли не ровности пе ре крываю т вне шню ю открытую зону не боле е че м на одну че тве рть е ё ши ри ны. К аково ми ни мальное расстоя ни е от ди ска до экрана, на котором мож но ви де тьэто пя тно? (λ=0,5 мкм). Ре ше ни е На ри с. 8 ме ж ду S и точкой наблю де ни я P поме щ ённе прозрачный круглый ди ск так, что онзакрывае т k пе рвых зонФ ре не ля . В точку P при ходя т волны от (k+1), (k+2) и т.д. зон, и ампли туда в точке P A = ak+1 - ak+2 + ak+3 - … = a ≈ k +1 . Э краннаблю де ни я пе рпе нди куля ре нли ни и SP. Е сли k закрытых зонма2 ло, то ak+1 мало отли чае тся от a1. Д ля точки P’(см. ри с.) ли ни я SP’не я вля е тся осью си мме три и ди ска. Поэтому в точке P’ закрое тся часть (k+1) зоны, одновре ме нно открое тся часть k-той зоны, что при ве дёт к ослабле ни ю и нте нси вно-
10 сти в P’. При не котором полож е ни и P’ и нте нси вность стане т равной 0. При сме щ е ни и , когда пе ре крывае тся часть(k+2) зоны, а открывае тся часть(k-1), и нте нси вность возрастае т до макси мума. Таки м образом, в ц е нтре для лю бого k (чётного и ли не чётного) пя тно све тлое . Е сли k достаточно большое , то около пя тна наблю дае тся областьге оме три че ской те ни и в узкой области на е ёграни ц е – че ре дую щ и е ся све тлые и тёмные кольц а. Т .к. при этом ak+1 << a1, то A, равa ное k +1 , мало, е сли ж е k мало, то область те ни практи че ски не наблю дае тся , 2 как и при отсутстви и пре грады. ρ 2 (r + R ) kRr0λ ρk, ρk-1 – ради усы k-той и (k-1) зон, при чём ρ k2 = ,k= k 0 (1) r0 + R Rr0λ λ b B
ли н за
ϕ L
O А
l
Ри с.8. Д и фракц и я Ф раунгофе ранащ е ли . И спользуя (1), получи м: 12 kr0 Rλ k −1 k −1 1 1 ρ k − ρ k −1 = = 1 − ≈ 1 − + ... , то 1 − , так как r0 + R k k 2k k kr0 Rλ ρ k = , r0 + R 2k 1 1 ρ по услови ю ∆ρ = l , т.е . ⋅ = l (3). 4 4 2k И з(1), (2) и (3): r0 Rλ 8l ρ k R ; вычи сле ни я даю т r0 = 0,67 м. = l и r0 = 8 ρ k (r0 + R) λ k − 8l ρ k ρ k − ρ k −1 =
1 2k
О тве т: r0 = 67 см.
(2)
11 Д и ф ра к ц и я Ф ра унг оф ера Д и фракц и я Ф раунгофе ра– этоди фракц и я в паралле льных лучах. В случае одной щ е ли (см. ри с. 8) ши ри ной b в направле ни и ϕ буде т ми ни мум осве щ ённости при услови и bsin ϕ = ± mλ; m называе тся поря дком ди фракц и и (m = 1, 2, … ). И нте нси вность в направле ни и ϕ опре де ля е тся формуsin 2 u πb sin ϕ , а I0 – и нте нси вностьв ц е нтре ди фракц и онной лой : I = I 0 2 , где u = u λ карти ны (при ϕ = 0). В случае N щ е ле й (см. ри с. 8) на карти ну ди фракц и и на каж дой и зщ е ле й накладывае тся и нте рфе ре нц и я N пучков. И нте нси вностьв направле ни и ϕ опре sin 2 u sin 2 N β πb де ля е тся сле дую щ и м образом: I = I 0 2 ⋅ , где u = sin ϕ , 2 sin β u λ πd β= sin ϕ ; d – пе ри од ре шётки . У слови е главных макси мумов - sin ϕ = mλ/d, λ услови я ми ни мумов – и з-зади фракц и и : sin ϕ = mλ/b, и з-заи нте рфе ре нц и и : sin ϕ = mλ/dN, где m не равно0 и не кратно N. С и сте ма N щ е ле й с d = const называе тся ампли тудной ди фракц и онной ре шёткой и характе ри зуе тся λ а) разре шаю щ е й способностью R = = mN , ∆λ dϕ m б) угловой ди спе рси е й D = = . d λ d cos ϕ Задача 1. На узкую щ е льши ри ной b = 0,05 мм падае т нормальный монохромати че ски й све т с λ = 694 нм. О пре де ли те угол ди фракц и и , соотве тствую щ и й полосе второго поря дка. Ре ше ни е bsin ϕ = ± (2m + 1)λ/2 = 5λ/2; отсю даϕ = 2°. Задача 2. М онохромати че ски й све т с дли ной волны λ = 0,6 мкм падае т на дли нную пря моугольную щ е ль ши ри ной b = 12 мкм под углом α0 = 45° к е ` нормали . О пре де ли те угловое полож е ни е пе рвых ми ни мумов, располож е нных пообе стороны ц е нтральногофраунгофе ровамакси мума. Ре ше ни е Разность хода ме ж ду падаю щ и ми и ди фраги рую щ и ми лучами (см. ри с. 9) опре де ля е тся формулой : Δ = AB – CD = b(sin α - sin α0). В случае макси мума при m = +1 и ме е м: b(sin α+1 - sin α0) = λ, откуда sin α+1 = sin α0 + λ/b; при m = -1 и ме е м: b(sin α-1 - sin α0) = - λ, откуда sin α-1 = sin α0 - λ/b. Най дя си нусы, опре де ли м α+1 и α-1: α+1 = arcsin (sin 45° + 0,6/12) = 49°12’; α-1 = arcsin (sin 45° - 0,6/12) = 41°6’. О тве т: α+1 = 49°12’, α-1 = 41°6’.
12 b α0
b bsinα0 α0
α0 α
α0
α0 α
α
bsinα
bsinα0 α0 α
α
bsinα
α ∆= bsinα + bsinα0
∆= bsinα - bsinα0
Ри с.9. Д и фракц и я Ф раунгофе рана щ е ли . Наклонное паде ни е све та. Задача3. Сравни те наи большую разре шаю щ ую способностьдля красной ли ни и кадми я (λ=644 нм) двух ди фракц и онных ре ше ток оди наковой дли ны (l=5 мм), норазных пе ри одов (d1= 4 мкм, d2= 8 мкм). Ре ше ни е Разре шаю щ ая способность ди фракц и онной ре ше тки опре де ля е тся выраж е ни е м : R = mN, где N- чи сло щ е ле й (и нте рфе ри рую щ и х пучков), m – поря док ди фракц и и . И спользуя услови я главных макси мумов, мож но запи сать: d1sin ϕmax= m1maxλ; d2 sin ϕmax = m2maxλ. Так как sin ϕmax = 1, то m1max = d1/λ, m2max = d2/λ. У чи тывая , что N1 = l/d1, а N2 = l/d2, для разре шаю щ е й способности получи м: R1max = m1maxN1, R2max = m2maxN2. В ычи сле ни я даю т m1max = 6, m2max = 12, N1 = 1250, N2 = 625; R1max = 7500, R2max = 7500. О тве т: R1max = 7500, R2max = 7500. Проанали зи руй те получе нный ре зультат. Задача4. На щ е ль ши ри ною b=0,1 мм нормально падае т пучок све та от монохромати че ского и сточни ка с λ=0,5 мкм. О пре де ли тьши ри ну ц е нтрального макси мума в ди фракц и онной карти не , прое кти руе мой с помощ ью ли нзы, находя щ е й ся не посре дстве ннозащ е лью . Расстоя ни е от ли нзы до экрана L=1 м. Ре ше ни е Ш и ри на ц е нтрального макси мума зани мае т область ме ж ду двумя ми ни мумами (ри с.9). И скомая ве ли чи на l мож е т быть опре де ле на и зтре угольни ка АО В сле дую щ и м образом: l = Ltgϕ ; 2 угол ϕ для ми ни мумов пе рвого поря дка бывае т настолько мал, что tgϕ мож но заме ни ть sinϕ, который мож но най ти и з услови я наблю де ни я ми ни мума в ди фракц и онной карти не :
13 mλ mλ . И з(1) и (2): l = 2 L = 1, 2 см . b b Задача 10. О пре де ли ть угловую ди спе рси ю ди фракц и онной ре ше тки для λ= 589 нм в спе ктре пе рвого поря дка. Постоя нная ре ше тки d=2,5 мкм. Ре ше ни е Запи ше м услови е главных макси мумов: d sin ϕ = mλ . Проди ффе ре нц и руе м: d cosϕ dϕ = md λ , тогда: dϕ m m = = , d λ d cos ϕ d 1 − sin 2 ϕ sin ϕ =
но sin ϕ = dϕ = dλ
mλ , сле довате льно d m
m 2λ 2 d 1− 2 d
=
m d 2 − m 2λ 2
= 4,1
ра д . м
За да ч и для са м ост оя тельног о реш ени я Ва ри а нт1. 1.Д и фракц и я наблю дае тся на расстоя ни и 1 м от точе чного и сточни ка монохромати че ского све та (λ=0,5 мкм). Посе ре ди не ме ж ду и сточни ком све та и экраном находи тся ди афрагма с круглым отве рсти е м. О пре де ли те ради ус отве рсти я , при котором ц е нтр ди фракц и онных коле ц на экране я вля е тся наи боле е те мным. О тве т: ρ=0,5 мм. 2. О пре де ли те ради ус тре тье й зоны Ф ре не ля для случая плоской волны. Расстоя ни е от волновой пове рхности до точки наблю де ни я равно 1,5 м. Д ли на волны λ=0,6 мкм. О тве т: ρ3=1,64 мм. 3. На ди афрагму с круглым отве рсти е м ди аме тром d=5 мм падае т нормально паралле льный пучок све та с дли ной волны λ=0,6 мкм. О пре де ли те расстоя ни е от точки наблю де ни я до отве рсти я , е сли отве рсти е открывае т две зоны Ф ре не ля , три зоны Ф ре не ля . О тве т: 5,21 м; 3,47 м. 4. Д и ск и зсте кла с показате ле м пре ломле ни я n для дли ны волны λ закрывае т полторы зоны Ф ре не ля для наблю дате ля в точке P. При какой толщ и не ди скаh осве щ е нностьв точке P буде т ми ни мальной . 5. Постоя нная d ди фракц и онной ре ше тки дли ной l=2,5 см равна 5 мкм. О пре де ли те разность дли нволн, разре шае мую этой ре ше ткой , для све та с дли ной волны λ=0,5 мкм в спе ктре второгопоря дка.
14 6. О пре де ли те дли ну волны, для которой ди фракц и онная ре ше тка с постоя нной d=3 мкм в спе ктре второго поря дка и ме е т угловую ди спе рси ю Dϕ=7 *105 рад/м. О тве т: λ=457 нм. 7. На ди фракц и онную ре ше тку нормально падае т монохромати че ски й све т с дли ной волны λ=600 нм. О пре де ли те наи больши й поря док спе ктра, получе нный с помощ ью этой ре ше тки , е сли е е постоя нная d = 2 мкм. 8. На ди фракц и онную ре ше тку с постоя нной d=5 мкм под углом ϑ= 300 падае т монохромати че ски й све т с дли ной волны λ=0,5 мкм. О пре де ли те угол ϕ ди фракц и и для главного макси мума тре тье гопоря дка. О тве т: ϕ= 53038’. 9. У зки й паралле льный пучок монохромати че ского и злуче ни я падае т на грань кри сталла с расстоя ни е м ме ж ду е го атомными плоскостя ми d=0,3 нм. О пре де ли те дли ну ре нтге новского и злуче ни я , е сли под углом ϑ=300 к плоскости грани наблю дае тся ди фракц и онный макси мум пе рвогопоря дка. О тве т: λ=300 пм. 10. На ди фракц и онную ре ше тку дли ной l=15 мм, соде рж ащ ую N=3000 штри хов, падае т нормально монохромати че ски й све т с дли ной волны λ=550 нм. О пре де ли те :1) чи сло макси мумов, наблю дае мых в спе ктре ди фракц и онной ре ше тки ; 2) угол, соотве тствую щ и й после дне му макси муму. Ва ри а нт2 1. Точе чный и сточни к све та (λ = 0,5 мкм) располож е нна расстоя ни и R = 1 м пе ре д ди афрагмой с круглым отве рсти е м ди аме тра d = 2 мм. О пре де ли те расстоя ни е r0 от ди афрагмы до точки наблю де ни я , е сли отве рсти е открывае т три зоны Ф ре не ля . О тве т: r0 = 2 м. 2. О пре де ли те ради ус че тве ртой зоны Ф ре не ля , е сли ради ус второй зоны Ф ре не ля для плоскоговолнового фронтараве н2 мм. О тве т: ρ4=2,83 мм. 3. На экранс круглым отве рсти е м падае т паралле льный пучок монохромати че ского све та с дли ной волны λ=0,5 мкм. Т очка наблю де ни я находи тся на оси отве рсти я на расстоя ни и r0=1,5 м от не го. О пре де ли те макси мум и ли ми ни мум, наблю дае тся в ц е нтре ди фракц и онной карти ны 4. На экранс круглым отве рсти е м ради усом r=1,2 мм нормально падае т паралле льный пучок монохромати че ского све та с дли ной волны λ=0,6 мкм. О пре де ли те расстоя ни е от отве рсти я до точки на е го оси , где мож но наблю дать наи боле е те мное пя тно. О тве т: 5. Д и ск и зсте кла с показате ле м пре ломле ни я n для дли ны волны λ закрывае т полторы зоны Ф ре не ля для наблю дате ля в точке P. При какой толщ и не ди скаh осве щ е нностьв точке P буде т такой ж е , как и в отсутстви и ди ска. 6. Д и фракц и онная ре ше тка и ме е т N=1000 штри хов и постоя нную ре ше тку d=10 мкм. О пре де ли те угловую ди спе рси ю для угла ди фракц и и ϕ=300 в
15 спе ктре тре тье го поря дка. Най ди те разре шаю щ ую способность ди фракц и онной ре ше тки в спе ктре пя того поря дка. О тве т: Dϕ=3,46 *105 рад/м; R=5000. 7. У гловая ди спе рси я ди фракц и онной ре ше тки для λ=500 нм в спе ктре второго поря дка равна 4,08*105 рад/м. О пре де ли те постоя нную ди фракц и онной ре ше тки . 8. На ди фракц и онную ре ше тку нормально падае т монохромати че ски й све т с дли ной волны λ=0,5 мкм. На экран, находя щ и й ся от ре ше тки на расстоя ни и L=1 м, с помощ ью ли нзы прое кти руе тся ди фракц и онная карти на, при че м пе рвый главный макси мум наблю дае тся на расстоя ни и l=15 см от ц е нтрального. О пре де ли тьчи слоштри хов на1 см ди фракц и онной ре ше тки . 9. К акой долж на быть толщ и на плоскопаралле льной сте кля нной пласти нки (n=1,55), чтобы в отраж е нном све те макси мум второго поря дка для λ=0,65 мкм наблю дался под те м ж е углом, что и у ди фракц и онной ре ше тки с постоя нной d=1 мкм. О тве т: x=577 нм. 10. У зки й пучок ре нтге новского и злуче ни я с дли ной волны λ=245 пм падае т под не которым углом скольж е ни я на е сте стве нную граньмонокри сталла NaCl (M=58,5*10-3 кг/моль), плотностькоторого ρ=2,16 г/см3. О пре де ли те угол скольж е ни я , е сли при зе ркальном отраж е ни и наблю дае тся макси мум второго поря дка. О тве т: ϑ=60018’.
Л и тера т ура 1. К али те е вски й Н.И . В олновая опти ка / Н.И . К али те е вски й . – М . : В ысш. школа, 1995. – 462 с. 2. Л андсбе ргГ.С. О пти ка/ Г.С. Л андсбе рг. – М . : Ф и зматли т, 2003. – 848 с. 3. И родов И .Е . Задачи по общ е й фи зи ке / И .Е . И родов. – М . : Наука, 2001. – 368 с. 4. М атве е в А .Н. О пти ка/ А .Н. М атве е в. - М . : В ысш. школа, 1985. 5. Ф ри ш С.Э . К урс общ е й фи зи ки / С.Э . Ф ри ш, А .В . Ти море ва. – М . : Ф и зматги з, 1962. – Т . 3. - 608 с. 6. С борни к задач по общ е му курсу фи зи ки . О пти ка / под ре д. Д .В . С и вухи на. – М . : Наука, 1977. - 320 с.
С остави те ли : Че рнышоваТ амараД ани ловна, Гри дне в А ле ксандр Е вге нье ви ч Ре дактор Т и хоми рова О .А .