Решение задач по оптике в курсе общей физики: Учебно-методическое пособие. Часть 2

В О РО НЕ Ж СК И Й ГО С У Д А РСТ В Е ННЫ Й У НИ В Е РСИ Т Е Т

Р еш ение за да ч п о о п т ике в курсе о б щ ей ф изики Ч а ст ь2 У ч е бно-м е т оди ч е с кое пос оби е

С пеци а ль н о ст и : 010701 (010400) – Ф и зи ка 010801 (013800) – Р а д и о ф и зи ка и элект ро н и ка 010803 (014100) – М и кро элект ро н и ка и по лупро во д н и ко вые при бо ры

В О РО НЕ Ж 2005

2 У тве рж де нонаучно-ме тоди че ски м сове том фи зи че ского факульте та Протокол № 8 от 28.09.2005 г. С остави те ли : Че рнышоваТ .Д ., Гри дне в А .Е . У че бно-ме тоди че ское пособи е подготовле но на кафе дре общ е й фи зи ки фи зи че ского факульте та В ороне ж ского государстве нного уни ве рси те та. Ре коме ндуе тся для студе нтов 2 курса дне вного обуче ни я и 3 курса очно-заочного обуче ни я по спе ц и альности : 010701 (010400) – «Ф и зи ка», 010801 (013800) – «Ради офи зи ка и эле ктрони ка», 010803 (014100) – «М и кроэле ктрони ка и полупроводни ковые при боры»

3 В В Е Д Е НИ Е Ц е ль данного пособи я – помочь студе нтам научи ться ре шать задачи по курсу опти ки по те ме «Д и фракц и я ». Подробно рассматри ваю тся анали з и ре ше ни е наи боле е ти пи чных при ме ров, анали ти че ски й и графи че ски й ме тоды ре ше ни я . Пре длож е ны задачи для самостоя те льной работы. Д иф ра кцией све та называю т отклоне ни е направле ни я распростране ни я све товой волны от пря моли не й ного в сре де с ре зки ми не однородностя ми (отве рсти я , края экранов и др.), что свя зано с наруше ни е м законов ге оме три че ской опти ки . Я вле ни е ди фракц и и при води т к оги бани ю све товыми волнами пре пя тстви й и прони кнове ни ю све та в область ге оме три че ской те ни . Ре ше ни е задачи ди фракц и и (нахож де ни е распре де ле ни я и нте нси вности све та в зави си мости от угла ди фракц и и ) в рамках эле ктромагни тной те ори и своди тся к нахож де ни ю ре ше ни я си сте мы уравне ни й М аксве лла при опре де ле нных грани чных услови я х. О днако, такой подход при води т к слож ным мате мати че ски м расче там. В практи че ски важ ных случая х задача мож е т быть ре ше на с и спользовани е м при нц и паГю й ге нса-Ф ре не ля . Д и ф ра к ц и я Ф ренеля . П ри нц и п Г ю йг енса -Ф ренеля Д ля объ я сне ни я я вле ни я ди фракц и и Ф ре не льдополни л при нц и п Гю й ге нса и де е й и нте рфе ре нц и и втори чных волн. В соотве тстви и с при нц и пом Гю й ге нса-Ф ре не ля для нахож де ни я и нте нси вности в прои звольной точке наблю де ни я P не обходи мо просумми ровать все коле бани я , при ходя щ и е в эту точку от втори чных и сточни ков. Д ля подсчёта и нте нси вности Ф ре не ль пре длож и л ме тод де ле ни я фронтаволны натаки е зоны, чтоволны от сосе дни х зонпри ходя т в

r0+3λ/2

R

r0+λ r0+λ/2

S*

P 1-я зона Ф ре не ля 2-я зона Ф ре не ля 3-я зона Ф ре не ля

Ри с.1. Разби е ни е накольц е вые зоны Ф ре не ля .

r0

4 точку наблю де ни я в проти вофазе . С умми ровани е эти х волнвозмож но и з-за и х коге ре нтности . Ни ж е при води тся задача, позволя ю щ ая най ти свя зь ме ж ду ради усами зон, расстоя ни я ми от и сточни ка до пре грады – отве рсти я и от отве рсти я до точки наблю де ни я , чи слом зони дли ной волны. На ри с. 1 показано разби е ни е накольц е вые зоны Ф ре не ля . Задача 1. В ычи сли ть ради усы зонФ ре не ля ρk сфе ри че ской волны ради усом R для точки , отстоя щ е й от и сточни ка монохромати че ски х волндли ной λ на расстоя ни и R+r0, учи тывая , что R>>λ и r0>>λ. Ре ше ни е Зоны Ф ре не ля и ме ю т форму коле ц с ц е нтром в точке О (см. ри с. 2). Пусть че ре зточку А проходи т k-тая зона Ф ре не ля , и ме ю щ ая ради ус ρk. Расстоя ни е АP A

ρk

R S

r0+kλ/2

P

C

*

hk R

r0

Ри с.2. К выводу формулы для ради уса зонФ ре не ля . от края этой зоны до точки наблю де ни я P равно rk = r0+kλ/2. И зтре угольни ков SAC и АPС находи м: λ ρ k2 = R 2 − ( R − hk )2 ; ρ k2 = ( r0 + k )2 − ( r0 + hk )2 . (1) 2 k λ r0 О тсю да hk = ; подстави в значе ни е hk в (1), получи м ради ус k2( R + r0 ) той зоны Ф ре не ля : ρ k =

k λ r0 R . r0 + R

(2)

ρ k2 ( r0 + R ) И з(2) чи сло зонФ ре не ля k опре де ля е тся так: k = . (3) r0 Rλ Е сли падаю щ ая волна плоская , то формулы для ради уса k-той зоны Ф ре не ля и чи сла зонk, открытых для точки наблю де ни я P, запи шутся сле дую щ и м ρ k2 образом: ρ k = k λ r0 ; (2’); k= . (3’) λ r0 Е сли чи сло зонФ ре не ля , укладываю щ и хся в отве рсти и не че тное , то на экране в ц е нтре ди фракц и онной карти ны наблю дае тся све тлое пя тно, е сли че тное , то пя тнов ц е нтре буде т те мным.

5 Задача 2. Д и фракц и я наблю дае тся на расстоя ни и l от точе чного и сточни ка монохромати че ского све та (λ = 0,5 мкм). Посе ре ди не ме ж ду и сточни ком све та и экраном находи тся не прозрачный ди ск ди аме тром d=5 мм. О пре де ли те расстоя ни е l, е сли ди ск закрывае т только пе рвую зону Ф ре не ля . Ре ше ни е kRr0λ И зве стно, что ρ k2 = ; по услови ю R = r0 = l / 2 , k=1, ρ1=d/2; r0 + R r0 λ λ l d2 2 тoгда ρ k = = и l= . 2 4 λ В ычи сле ни я даю т: l=50 м. Задача 3. Тонкая ме талли че ская пласти нка и ме е т круглое отве рсти е ди аме тром d=4 мм. На пласти нку падае т паралле льный пучок луче й (λ = 0,5 мкм). Л и нза с фокусным расстоя ни е м 1 м, располож е нная вбли зи пласти нки , даёт на экране ди фракц и онную карти ну. С ве тлое и ли тёмное пя тно буде т наблю даться в ц е нтре этой карти ны? Ре ше ни е Л и нза вве де на для того, чтобы ди фракц и онная карти на наблю далась боле е чётко. Паралле льный пучок сходи тся в фокусе ли нзы. Подсчи тае м чи сло ρ k2 (r0 + R ) ; при R → ∞ формула зонФ ре не ля , укладываю щ и хся в отве рсти и : k = Rr0λ ρ k2 ρ k2 = . В ычи сле ни я даю т: k = 8. (r0 = f, т.к. ли нза располоr0λ f λ ж е на у пласти нки , f - фокусное расстоя ни е .) Чи сло зончётное , поэтому в ц е нтре наблю дае тся тёмное пя тно.

при ме т ви д: k =

Г ра ф и ч еск и й м етод К оле бани е , создавае мое в точке наблю де ни я достаточно узкой зоной волнового фронта (ме ньше й , че м одна зона Ф ре не ля ), и зображ ае тся ве ктором, ве ли чи на которого пропорц и ональна ампли туде коле бани й , а угол, отсчи тывае мый проти в часовой стре лки , ме ж ду эти м ве ктором и гори зонтальной осью чи сле нно раве нфазе коле бани я . Е сли слож и ть ве кторы от каж дой эле ме нтарной зоны (с уче том и зме не ни я фазы), то суммарный ве ктор, сое ди ня ю щ и й началои коне ц ц е почки , даст суммарное коле бани е в точке наблю де ни я . Е сли пе рвую зону Ф ре не ля разде ли ть на ше сть узки х зон, то ди аграмма буде т выгля де тьтак, как показано на ри с. 3. С уммарное коле бани е A1 пре дставля е т собой ве кторную сумму a1, a2, a3, a4, a5, a6. Е сли эле ме нтарные зоны взя ть достаточно узки ми , то ломаные пре вратя тся в плавные кри вые . В случае полностью открытого волнового фронта эти кри вые будут и ме ть ви д спи рали . В е ктор, сое ди ня ю щ и й начало и коне ц спи рали , опре де ли т ве ли чи ну и фазу суммарного коле бани я . И з ри с. 4 ви дно, что при полностью открытом волновом

a6 А1

B

6

a5 a4 a3 a2

A1 A∞

a1 O

Ри с.3.

Ри с. 4. С пи ральФ ре не ля .

фронте (чи сло зонФ ре не ля равно бе сконе чности ) ампли туда A∞ при бли зи те льноравнаполови не ампли туды A1. Проти вополож ное направле ни е касате льных в точках О и B сви де те льствуе т о том, что коле бани я , созданные края ми зоны Ф ре не ля , и ме ю т фазовый сдви г1800 и соотве тстве нноразностьходаλ/2. Задача 4. О тве рсти е ради уса ρ0 осве щ ае тся нормально падаю щ е й плоской волной ампли туды A0 дли ной λ. И ссле довать каче стве нно распре де ле ни е и нте нси вности вдольоси отве рсти я . Ре ше ни е Чи сло де й ствую щ и х зон в точке наблю де ни я P для падаю щ е й плоской волны (R→∞) обратно пропорц и онально расстоя ни ю r0 ме ж ду экраном с отве рсти е м и точкой P: ρ 02 k= . При k=1 r01=ρ2/λ. λ r0 Зафи кси руе м полож е ни е экрана с отве рсти е м и для начала отодви не м точку наблю де ни я достаточно дале ко от экрана на расстоя ни е r0>ρ2/λ. Б уде м посте пе нно при бли ж ать точку P к отве рсти ю , одновре ме нно рассматри вая спи раль Ф ре не ля . В е ктор, характе ри зую щ и й ампли туду ре зульти рую щ е го коле бани я в точке P, ве де т се бя сле дую щ и м образом: начало ве ктора находи тся в начале спи рали (т. О на ри с. 5a), а второй коне ц ве ктора плавно пе ре ме щ ае тся по спи рали , сове ршая вращ е ни е проти в часовой стре лки . Пока открывае тся пе рвая зона, и нте нси вность в точке P уве ли чи вае тся и дости гае т макси мума до I=A012 при полностью открытой пе рвой зоне (ри с. 5a). При k=2 r02=ρ2/2λ=r01/2. Д але е , при бли ж ая точку наблю де ни я к экрану с отве рсти е м, буде м наблю дать плавное уме ньше ни е и нте нси вности до ми ни мума, соотве тствую щ е го двум открытым зонам Ф ре не ля (ри с.5б). При дальне й ше м уме ньше ни и r0 и нте нси вность вновь возрастае т (коне ц ве ктора ре зульти рую щ е й ампли туды начи нае т опи сыватьвторой ви ток спи рали ) и дости гае т второго макси мума при тре х открытых зонах (осве щ е нность при этом не сколько ме ньше , че м при одной открытой зоне ). В торой ми ни мум наблю дае тся при k=4 (осве щ е нностьбуде т не сколько больше , че м при k=2). Д альне й ше е уме ньше ни е r0 буде т сопровож даться че ре довани е м макси мумов (для не че тных k) и ми ни му-

7

A1

A2

а) O

б)

O

Ри с. 5. Пе ре ме щ е ни е конц а ве ктора ре зульти рую щ е й ампли туды по ме ре открывани я а) пе рвой зоны Ф ре не ля ; б) второй зоны Ф ре не ля . мов (для че тных k). С ростом поря дка k осве щ е нностьпосле довате льно убывае т в макси мумах в ря ду k=1,3,5,7… и после довате льно возрастае т в ря ду ми ни мумов k=2,4,6,8… . Наконе ц , при достаточно большом чи сле открытых зон(при k→∞, а практи че ски при k>20) и нте нси вность сосе дни х макси мумов и ми ни мумов станови тся не отли чи мой , а в си лу ги пе рболи че ской зави си мости k от r0 при уме ньше ни и r0 экстре мумы сме ня ю т другдруга все чащ е . I 4I0 7

5

I0 6 0

0,2

одна зона

три зоны

две зоны

4 0,4

0,6

0,8

1

r0

Ри с. 6. Зави си мостьи нте нси вности от расстоя ни я доотве рсти я . О пи санная си туац и я соотве тствуе т пре де льному пе ре ходу к случаю ге оме три че ской опти ки , когда k→∞ , т.е . при полностью открытом волновом фронте . При этом ампли туда коле бани й в два раза, а и нте нси вность све та в че тыре раза ме ньше , че м в случае одной открытой зоны Ф ре не ля . Зави си мость I(r0) для плоской волны в случае ρ2=λ, 1 ≤ k ≤ 20 показанана ри с. 6. Задача4. Д и ск и зсте кла с показате ле м пре ломле ни я n для дли ны волны λ закрывае т полторы зоны Ф ре не ля для наблю дате ля в точке P. При какой толщ и не ди ска h осве щ е нностьв точке P буде т наи больше й . Ре ше ни е И зобрази м на спи рали Ф ре не ля и нте ре сую щ и е нас ве кторы в отсутстви е сте кля нного ди ска. В е ктор A∞ соотве тствуе т ампли туде коле бани й в точке на-

8 блю де ни я при полностью открытом волновом фронте . Э тот ве ктор мож но пре дстави тькак сумму ве ктора A1.,5, соотве тствую щ е го пе рвым полутора зонам Ф ре не ля , и ве ктораAост, соотве тствую щ е говсе м остальным зонам.

A1,5

A1,5

Aост. A∞

5π 4

Aост.

Ри с. 7. Запаздывани е коле бани й по фазе при нали чи и прозрачного ди ска. И з-за нали чи я ди ска коле бани я от пе рвых полутора зонФ ре не ля будут при ходи ть в точку наблю де ни я с запаздывани е м по фазе . На спи рали Ф ре не ля запаздывани е по фазе мы и зображ ае м поворотом ве ктора проти в часовой стре лки . Д ля того чтобы и нте нси вность в точке P была макси мальной , коле бани я от пе рвых полутора зони от все го оставше гося волнового фронта долж ны оказаться си нфазными . О че ви дно, что ве ктор A1,5 долж е нпове рнуться проти в часовой стре лки на угол 5π/4+2πm, а соотве тствую щ ая разностьфазопре де ли тся так: 2π 2π 5π δ = k∆ = ∆= ( n − 1 )h = + 2π m λ λ 4 О тсю да толщ и насте кля нногоди скадолж на удовле творя тьсоотноше ни ю : 5   2m +  λ 4 h= . 2 ( n − 1) Полагая m=0,1,2,3,… получи м ря д значе ни й толщ и ны ди ска, при которых в точке P буде т наблю даться макси мальная осве щ е нность. Зонна я пла сти нк а Е сли на пути распространя ю щ е й ся све товой волны установи ть пласти нку, в которой для точки наблю де ни я будут закрыты все че тные (и ли все не че тные ) зоны Ф ре не ля , то получи м значи те льное уве ли че ни е и нте нси вности све та; такую пласти нку называю т а мп лит удно й зо нно й. В графи че ском ме тоде ре ше ни я показана спи раль, состоя щ ая и зучастков (ве кторов ампли туд от сосе дни х зон, сдви нутых по фазе ). Е сли спи ральразве рнуть в пря мую , то и нте нси вность, как отме че но выше , уве ли чи вае тся . Д ля дости ж е ни я этого не обходи мо сглади тьступе ньки , в ре зультате получи тся ли нза. Е сли на зонную пласти нку падае т паралле льный пучок луче й , то, прой дя е е , онсоби рае тся в точке , называе мой фокусом. Зонная пласти нка дае т и зобра-

9 ж е ни е и сточни ка, т.е . де й ствуе т как ли нза. Д ля данного λ наблю даю тся фокусы разных поря дков, е сли в пре де лах каж дого кольц а укладывае тся лю бое не че тное чи сло зонФ ре не ля k=2m+1. Полож е ни е эти х фокусов опре де ля ю т по формуле : f1 fi = при m=0,1,2… ; i- номе р фокуса; так, при m=0 k=2m+1=1, и 2m + 1 fi= f1, при m=1 и k=3 f2= f1/3 и т.д. Задача 5. На зонную пласти нку падае т плоская монохромати че ская волна с λ=0,5 мкм. О пре де ли тьради ус пе рвой зоны Ф ре не ля , е сли расстоя ни е от зонной пласти нки доме станаблю де ни я r0 =1 м. Ре ше ни е kRr0λ ρ k2 = r0 + R При паде ни и плоской волны R→∞ и тогдаρ k2 = kr0λ . О тсю да, подставля я чи сле нные значе ни я , находи м ρ1=707 мкм. Задача 6. Ф азовая зонная пласти нка дае т наи боле е я ркое и зображ е ни е све тя щ е гося объ е кта, удале нного от не е на 3 м, на расстоя ни и 2 м от свое й пове рхности . Где получи тся и зображ е ни е и сточни ка, е сли е го отодви нуть в бе сконе чность? Ре ше ни е Е сли и сточни к отодви нуть в бе сконе чность, то и зображ е ни я получи тся в фокусах зонной пласти нки . И спользуя услови е задачи , мож но опре де ли ть фокусное расстоя ни е при k=1 ( см. те оре ти че ское вве де ни е ): Rr0 3⋅ 2 f1 = = = 1,2 м. R + r0 3 + 2 Задача 7. На края х не прозрачного ди ска с ради усом ρ = 2,5 мм и ме ю тся не ровности ве ли чи ной 10 мкм. На расстоя ни и R = 1 м от не го находи тся точе чный и сточни к S. Д и фракц и онная карти на наблю дае тся на экране за ди ском, при чём, пя тно Пуассона ви дно в том случае , е сли не ровности пе ре крываю т вне шню ю открытую зону не боле е че м на одну че тве рть е ё ши ри ны. К аково ми ни мальное расстоя ни е от ди ска до экрана, на котором мож но ви де тьэто пя тно? (λ=0,5 мкм). Ре ше ни е На ри с. 8 ме ж ду S и точкой наблю де ни я P поме щ ённе прозрачный круглый ди ск так, что онзакрывае т k пе рвых зонФ ре не ля . В точку P при ходя т волны от (k+1), (k+2) и т.д. зон, и ампли туда в точке P A = ak+1 - ak+2 + ak+3 - … = a ≈ k +1 . Э краннаблю де ни я пе рпе нди куля ре нли ни и SP. Е сли k закрытых зонма2 ло, то ak+1 мало отли чае тся от a1. Д ля точки P’(см. ри с.) ли ни я SP’не я вля е тся осью си мме три и ди ска. Поэтому в точке P’ закрое тся часть (k+1) зоны, одновре ме нно открое тся часть k-той зоны, что при ве дёт к ослабле ни ю и нте нси вно-

10 сти в P’. При не котором полож е ни и P’ и нте нси вность стане т равной 0. При сме щ е ни и , когда пе ре крывае тся часть(k+2) зоны, а открывае тся часть(k-1), и нте нси вность возрастае т до макси мума. Таки м образом, в ц е нтре для лю бого k (чётного и ли не чётного) пя тно све тлое . Е сли k достаточно большое , то около пя тна наблю дае тся областьге оме три че ской те ни и в узкой области на е ёграни ц е – че ре дую щ и е ся све тлые и тёмные кольц а. Т .к. при этом ak+1 << a1, то A, равa ное k +1 , мало, е сли ж е k мало, то область те ни практи че ски не наблю дае тся , 2 как и при отсутстви и пре грады. ρ 2 (r + R ) kRr0λ ρk, ρk-1 – ради усы k-той и (k-1) зон, при чём ρ k2 = ,k= k 0 (1) r0 + R Rr0λ λ b B

ли н за

ϕ L

O А

l

Ри с.8. Д и фракц и я Ф раунгофе ранащ е ли . И спользуя (1), получи м: 12 kr0 Rλ  k −1  k −1  1  1 ρ k − ρ k −1 = = 1 −  ≈ 1 − + ... , то 1 −  , так как r0 + R  k  k 2k  k kr0 Rλ ρ k = , r0 + R 2k 1 1 ρ по услови ю ∆ρ = l , т.е . ⋅ = l (3). 4 4 2k И з(1), (2) и (3): r0 Rλ 8l ρ k R ; вычи сле ни я даю т r0 = 0,67 м. = l и r0 = 8 ρ k (r0 + R) λ k − 8l ρ k ρ k − ρ k −1 =

1 2k

О тве т: r0 = 67 см.

(2)

11 Д и ф ра к ц и я Ф ра унг оф ера Д и фракц и я Ф раунгофе ра– этоди фракц и я в паралле льных лучах. В случае одной щ е ли (см. ри с. 8) ши ри ной b в направле ни и ϕ буде т ми ни мум осве щ ённости при услови и bsin ϕ = ± mλ; m называе тся поря дком ди фракц и и (m = 1, 2, … ). И нте нси вность в направле ни и ϕ опре де ля е тся формуsin 2 u πb sin ϕ , а I0 – и нте нси вностьв ц е нтре ди фракц и онной лой : I = I 0 2 , где u = u λ карти ны (при ϕ = 0). В случае N щ е ле й (см. ри с. 8) на карти ну ди фракц и и на каж дой и зщ е ле й накладывае тся и нте рфе ре нц и я N пучков. И нте нси вностьв направле ни и ϕ опре sin 2 u sin 2 N β πb де ля е тся сле дую щ и м образом: I = I 0 2 ⋅ , где u = sin ϕ , 2 sin β u λ πd β= sin ϕ ; d – пе ри од ре шётки . У слови е главных макси мумов - sin ϕ = mλ/d, λ услови я ми ни мумов – и з-зади фракц и и : sin ϕ = mλ/b, и з-заи нте рфе ре нц и и : sin ϕ = mλ/dN, где m не равно0 и не кратно N. С и сте ма N щ е ле й с d = const называе тся ампли тудной ди фракц и онной ре шёткой и характе ри зуе тся λ а) разре шаю щ е й способностью R = = mN , ∆λ dϕ m б) угловой ди спе рси е й D = = . d λ d cos ϕ Задача 1. На узкую щ е льши ри ной b = 0,05 мм падае т нормальный монохромати че ски й све т с λ = 694 нм. О пре де ли те угол ди фракц и и , соотве тствую щ и й полосе второго поря дка. Ре ше ни е bsin ϕ = ± (2m + 1)λ/2 = 5λ/2; отсю даϕ = 2°. Задача 2. М онохромати че ски й све т с дли ной волны λ = 0,6 мкм падае т на дли нную пря моугольную щ е ль ши ри ной b = 12 мкм под углом α0 = 45° к е ` нормали . О пре де ли те угловое полож е ни е пе рвых ми ни мумов, располож е нных пообе стороны ц е нтральногофраунгофе ровамакси мума. Ре ше ни е Разность хода ме ж ду падаю щ и ми и ди фраги рую щ и ми лучами (см. ри с. 9) опре де ля е тся формулой : Δ = AB – CD = b(sin α - sin α0). В случае макси мума при m = +1 и ме е м: b(sin α+1 - sin α0) = λ, откуда sin α+1 = sin α0 + λ/b; при m = -1 и ме е м: b(sin α-1 - sin α0) = - λ, откуда sin α-1 = sin α0 - λ/b. Най дя си нусы, опре де ли м α+1 и α-1: α+1 = arcsin (sin 45° + 0,6/12) = 49°12’; α-1 = arcsin (sin 45° - 0,6/12) = 41°6’. О тве т: α+1 = 49°12’, α-1 = 41°6’.

12 b α0

b bsinα0 α0

α0 α

α0

α0 α

α

bsinα

bsinα0 α0 α

α

bsinα

α ∆= bsinα + bsinα0

∆= bsinα - bsinα0

Ри с.9. Д и фракц и я Ф раунгофе рана щ е ли . Наклонное паде ни е све та. Задача3. Сравни те наи большую разре шаю щ ую способностьдля красной ли ни и кадми я (λ=644 нм) двух ди фракц и онных ре ше ток оди наковой дли ны (l=5 мм), норазных пе ри одов (d1= 4 мкм, d2= 8 мкм). Ре ше ни е Разре шаю щ ая способность ди фракц и онной ре ше тки опре де ля е тся выраж е ни е м : R = mN, где N- чи сло щ е ле й (и нте рфе ри рую щ и х пучков), m – поря док ди фракц и и . И спользуя услови я главных макси мумов, мож но запи сать: d1sin ϕmax= m1maxλ; d2 sin ϕmax = m2maxλ. Так как sin ϕmax = 1, то m1max = d1/λ, m2max = d2/λ. У чи тывая , что N1 = l/d1, а N2 = l/d2, для разре шаю щ е й способности получи м: R1max = m1maxN1, R2max = m2maxN2. В ычи сле ни я даю т m1max = 6, m2max = 12, N1 = 1250, N2 = 625; R1max = 7500, R2max = 7500. О тве т: R1max = 7500, R2max = 7500. Проанали зи руй те получе нный ре зультат. Задача4. На щ е ль ши ри ною b=0,1 мм нормально падае т пучок све та от монохромати че ского и сточни ка с λ=0,5 мкм. О пре де ли тьши ри ну ц е нтрального макси мума в ди фракц и онной карти не , прое кти руе мой с помощ ью ли нзы, находя щ е й ся не посре дстве ннозащ е лью . Расстоя ни е от ли нзы до экрана L=1 м. Ре ше ни е Ш и ри на ц е нтрального макси мума зани мае т область ме ж ду двумя ми ни мумами (ри с.9). И скомая ве ли чи на l мож е т быть опре де ле на и зтре угольни ка АО В сле дую щ и м образом: l = Ltgϕ ; 2 угол ϕ для ми ни мумов пе рвого поря дка бывае т настолько мал, что tgϕ мож но заме ни ть sinϕ, который мож но най ти и з услови я наблю де ни я ми ни мума в ди фракц и онной карти не :

13 mλ mλ . И з(1) и (2): l = 2 L = 1, 2 см . b b Задача 10. О пре де ли ть угловую ди спе рси ю ди фракц и онной ре ше тки для λ= 589 нм в спе ктре пе рвого поря дка. Постоя нная ре ше тки d=2,5 мкм. Ре ше ни е Запи ше м услови е главных макси мумов: d sin ϕ = mλ . Проди ффе ре нц и руе м: d cosϕ dϕ = md λ , тогда: dϕ m m = = , d λ d cos ϕ d 1 − sin 2 ϕ sin ϕ =

но sin ϕ = dϕ = dλ

mλ , сле довате льно d m

m 2λ 2 d 1− 2 d

=

m d 2 − m 2λ 2

= 4,1

ра д . м

За да ч и для са м ост оя тельног о реш ени я Ва ри а нт1. 1.Д и фракц и я наблю дае тся на расстоя ни и 1 м от точе чного и сточни ка монохромати че ского све та (λ=0,5 мкм). Посе ре ди не ме ж ду и сточни ком све та и экраном находи тся ди афрагма с круглым отве рсти е м. О пре де ли те ради ус отве рсти я , при котором ц е нтр ди фракц и онных коле ц на экране я вля е тся наи боле е те мным. О тве т: ρ=0,5 мм. 2. О пре де ли те ради ус тре тье й зоны Ф ре не ля для случая плоской волны. Расстоя ни е от волновой пове рхности до точки наблю де ни я равно 1,5 м. Д ли на волны λ=0,6 мкм. О тве т: ρ3=1,64 мм. 3. На ди афрагму с круглым отве рсти е м ди аме тром d=5 мм падае т нормально паралле льный пучок све та с дли ной волны λ=0,6 мкм. О пре де ли те расстоя ни е от точки наблю де ни я до отве рсти я , е сли отве рсти е открывае т две зоны Ф ре не ля , три зоны Ф ре не ля . О тве т: 5,21 м; 3,47 м. 4. Д и ск и зсте кла с показате ле м пре ломле ни я n для дли ны волны λ закрывае т полторы зоны Ф ре не ля для наблю дате ля в точке P. При какой толщ и не ди скаh осве щ е нностьв точке P буде т ми ни мальной . 5. Постоя нная d ди фракц и онной ре ше тки дли ной l=2,5 см равна 5 мкм. О пре де ли те разность дли нволн, разре шае мую этой ре ше ткой , для све та с дли ной волны λ=0,5 мкм в спе ктре второгопоря дка.

14 6. О пре де ли те дли ну волны, для которой ди фракц и онная ре ше тка с постоя нной d=3 мкм в спе ктре второго поря дка и ме е т угловую ди спе рси ю Dϕ=7 *105 рад/м. О тве т: λ=457 нм. 7. На ди фракц и онную ре ше тку нормально падае т монохромати че ски й све т с дли ной волны λ=600 нм. О пре де ли те наи больши й поря док спе ктра, получе нный с помощ ью этой ре ше тки , е сли е е постоя нная d = 2 мкм. 8. На ди фракц и онную ре ше тку с постоя нной d=5 мкм под углом ϑ= 300 падае т монохромати че ски й све т с дли ной волны λ=0,5 мкм. О пре де ли те угол ϕ ди фракц и и для главного макси мума тре тье гопоря дка. О тве т: ϕ= 53038’. 9. У зки й паралле льный пучок монохромати че ского и злуче ни я падае т на грань кри сталла с расстоя ни е м ме ж ду е го атомными плоскостя ми d=0,3 нм. О пре де ли те дли ну ре нтге новского и злуче ни я , е сли под углом ϑ=300 к плоскости грани наблю дае тся ди фракц и онный макси мум пе рвогопоря дка. О тве т: λ=300 пм. 10. На ди фракц и онную ре ше тку дли ной l=15 мм, соде рж ащ ую N=3000 штри хов, падае т нормально монохромати че ски й све т с дли ной волны λ=550 нм. О пре де ли те :1) чи сло макси мумов, наблю дае мых в спе ктре ди фракц и онной ре ше тки ; 2) угол, соотве тствую щ и й после дне му макси муму. Ва ри а нт2 1. Точе чный и сточни к све та (λ = 0,5 мкм) располож е нна расстоя ни и R = 1 м пе ре д ди афрагмой с круглым отве рсти е м ди аме тра d = 2 мм. О пре де ли те расстоя ни е r0 от ди афрагмы до точки наблю де ни я , е сли отве рсти е открывае т три зоны Ф ре не ля . О тве т: r0 = 2 м. 2. О пре де ли те ради ус че тве ртой зоны Ф ре не ля , е сли ради ус второй зоны Ф ре не ля для плоскоговолнового фронтараве н2 мм. О тве т: ρ4=2,83 мм. 3. На экранс круглым отве рсти е м падае т паралле льный пучок монохромати че ского све та с дли ной волны λ=0,5 мкм. Т очка наблю де ни я находи тся на оси отве рсти я на расстоя ни и r0=1,5 м от не го. О пре де ли те макси мум и ли ми ни мум, наблю дае тся в ц е нтре ди фракц и онной карти ны 4. На экранс круглым отве рсти е м ради усом r=1,2 мм нормально падае т паралле льный пучок монохромати че ского све та с дли ной волны λ=0,6 мкм. О пре де ли те расстоя ни е от отве рсти я до точки на е го оси , где мож но наблю дать наи боле е те мное пя тно. О тве т: 5. Д и ск и зсте кла с показате ле м пре ломле ни я n для дли ны волны λ закрывае т полторы зоны Ф ре не ля для наблю дате ля в точке P. При какой толщ и не ди скаh осве щ е нностьв точке P буде т такой ж е , как и в отсутстви и ди ска. 6. Д и фракц и онная ре ше тка и ме е т N=1000 штри хов и постоя нную ре ше тку d=10 мкм. О пре де ли те угловую ди спе рси ю для угла ди фракц и и ϕ=300 в

15 спе ктре тре тье го поря дка. Най ди те разре шаю щ ую способность ди фракц и онной ре ше тки в спе ктре пя того поря дка. О тве т: Dϕ=3,46 *105 рад/м; R=5000. 7. У гловая ди спе рси я ди фракц и онной ре ше тки для λ=500 нм в спе ктре второго поря дка равна 4,08*105 рад/м. О пре де ли те постоя нную ди фракц и онной ре ше тки . 8. На ди фракц и онную ре ше тку нормально падае т монохромати че ски й све т с дли ной волны λ=0,5 мкм. На экран, находя щ и й ся от ре ше тки на расстоя ни и L=1 м, с помощ ью ли нзы прое кти руе тся ди фракц и онная карти на, при че м пе рвый главный макси мум наблю дае тся на расстоя ни и l=15 см от ц е нтрального. О пре де ли тьчи слоштри хов на1 см ди фракц и онной ре ше тки . 9. К акой долж на быть толщ и на плоскопаралле льной сте кля нной пласти нки (n=1,55), чтобы в отраж е нном све те макси мум второго поря дка для λ=0,65 мкм наблю дался под те м ж е углом, что и у ди фракц и онной ре ше тки с постоя нной d=1 мкм. О тве т: x=577 нм. 10. У зки й пучок ре нтге новского и злуче ни я с дли ной волны λ=245 пм падае т под не которым углом скольж е ни я на е сте стве нную граньмонокри сталла NaCl (M=58,5*10-3 кг/моль), плотностькоторого ρ=2,16 г/см3. О пре де ли те угол скольж е ни я , е сли при зе ркальном отраж е ни и наблю дае тся макси мум второго поря дка. О тве т: ϑ=60018’.

Л и тера т ура 1. К али те е вски й Н.И . В олновая опти ка / Н.И . К али те е вски й . – М . : В ысш. школа, 1995. – 462 с. 2. Л андсбе ргГ.С. О пти ка/ Г.С. Л андсбе рг. – М . : Ф и зматли т, 2003. – 848 с. 3. И родов И .Е . Задачи по общ е й фи зи ке / И .Е . И родов. – М . : Наука, 2001. – 368 с. 4. М атве е в А .Н. О пти ка/ А .Н. М атве е в. - М . : В ысш. школа, 1985. 5. Ф ри ш С.Э . К урс общ е й фи зи ки / С.Э . Ф ри ш, А .В . Ти море ва. – М . : Ф и зматги з, 1962. – Т . 3. - 608 с. 6. С борни к задач по общ е му курсу фи зи ки . О пти ка / под ре д. Д .В . С и вухи на. – М . : Наука, 1977. - 320 с.

С остави те ли : Че рнышоваТ амараД ани ловна, Гри дне в А ле ксандр Е вге нье ви ч Ре дактор Т и хоми рова О .А .