Экономико-математические модели: Учебно-методические материалы для специальностей ''Бухгалтерский учет, анализ и аудит'', ''Финансы и кредит'' экономического факультета. Часть 1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Косолапова Н.А., Муравьева М.П.

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

(учебно-методические материалы для специальностей: «бухгалтерский учет, анализ и аудит», «финансы и кредит» экономического факультета)

Часть 1

Ростов-на-Дону 2007 3

Методические материалы разработаны кандидатом технических наук, доцентом кафедры экономической кибернетики Н.А. Косолаповой, преподавателем Муравьевой М.П.

Ответственный редактор

к.э.н., доцент Лазарева Е.И.

Компьютерный набор и верстка

преподавателя Муравьевой М.П.

Печатается в соответствии с решением кафедры экономической кибернетики экономического факультета ЮФУ, протокол № 10 от 25.06. 2007 г.

4

СОДЕРЖАНИЕ Введение

4

Календарно-тематический план

5

Содержание дисциплины

6

Вопросы для обсуждения на практических занятиях

10

Лабораторная работа

22

Темы рефератов и докладов

28

Итоговый контроль знаний

29

5

ВВЕДЕНИЕ Знание экономики, а тем более управление ею немыслимо без знания математики. Этот факт хорошо известен уже со средних веков. Однако только значительное ускорение экономических процессов в ХХ веке потребовало использования

в

решении

ежедневных

проблем

бизнеса

не

только

арифметических, но и статистических методов, математического моделирования. Современный специалист в области экономики должен уметь свободно ориентироваться в экономико-математическом инструментарии, применяемом для решения тех или иных проблем, возникающих в практической деятельности. Грамотно построенная модель позволяет

специалисту

предвидеть

и

проконтролировать ситуацию, основываясь не только на опыте и интуиции, но и на достоверном анализе данных. Предметом изучения являются процессы, происходящие в микро- и макроэкономических системах. Цель курса: сформировать у студентов представление о возможностях моделирования процессов, происходящих в экономических системах микро- и макроуровня, и принятия, на основе анализа построенных моделей, эффективных решений

по

вопросам

определения

стратегии

поведения

потребителя,

деятельности фирмы, разработки макроэкономической политики. Учебная задача

курса состоит в том, чтобы путем расширения и

углубления знаний студентов по основным разделам микро- и макроэкономики научить студентов использовать экономико-математические модели принятии решений в конкретных экономических ситуациях. Формы проведения занятий: лекции, практические занятия. Продолжительность курса: 68 часов Формы контроля: промежуточный контроль - лабораторная и контрольные работы; 6

при

итоговый контроль: - экзамен в конце семестра. В результате изучения данной дисциплины студент должен: Иметь

представление:

о

современном

экономико-математическим

инструментарии, применяемом для моделирования процессов, происходящих в экономике на микро- и макроуровне. Знать: о различных модификациях моделей поведения потребителей и фирм в условиях совершенной и несовершенной конкуренции, моделей экономической динамики и экономического роста. Уметь: анализировать различные процессы, происходящие в реальной экономике с помощью изученного экономико-математического инструментария. Курс рассчитан на 34 часа лекционных часов, 34 часа практических занятий. Данный курс является логическим продолжением и развитием курсов "Микроэкономика", "Макроэкономика" и "Экономико-математические методы ". Календарно-тематический план № 1 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9

Наименование разделов и тем Всего часов 2 3 Модели поведения потребителей 12 и рыночный спрос Фирма в условиях совершенной 8 конкуренции. Моделирование деятельности 8 фирмы в условиях рынка несовершенной конкуренции Модели общего 10 экономического равновесия Статическая и динамическая 10 модели межотраслевого баланса Моделирование совокупного 8 потребления Моделирование инвестиций 4 Модели экономического роста 8 Итого 68

7

Из них аудиторных занятий Лекции Практические 4 5 6 6 4

4

6

2

4

6

4

6

4

4

2 4 34

2 4 34

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕМА 1 МОДЕЛИ ПОВЕДЕНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ И РЫНОЧНЫЙ СПРОС Потребительские

предпочтения.

Принцип

рационального

поведения.

Аксиомы рационального выбора. Полезность. Функция полезности, ее виды (линейная, квазилинейная, Кобба—Дугласа, Леонтьева, CES), их экономическая интерпретация и сравнение. Монотонное преобразование функции полезности. Оптимум потребителя. Экономическая интерпретация множителя Ла гранжа. Краевое решение. Кривая "цена—потребление". Выведение функции спроса из функции полезности. Эффект замещения и дохода по Слуцкому и Хиксу. Функции и кривые компенсированного

спроса.

Уравнение

Слуцкого. Перекрестные

эффекты

изменения цены, замещения и дохода. Уравнение Слуцкого для перекрестных эффектов и "обобщенное" уравнение Слуцкого. Асимметрия перекрестных эффектов. Общие и чистые субституты и комплементы. Кривая "доходпотребление", кривые Энгеля. Индивидуальный и рыночный спрос, проблема агрегирования. Концепция эластичности. Прямая эластичность спроса по цене: точечная и дуговая. Эластичность компенсированного спроса. Эластичность спроса по доходу. Уравнение Слуцкого в коэффициентах эластичности. Перекрестная эластичность спроса.

Перекрестная

эластичность

замещения.

Уравнение

Слуцкого

в

коэффициентах перекрестной эластичности. Соотношения между различными коэффициентами эластичности спроса.

8

ТЕМА 2 ФИРМА В УСЛОВИЯХ СОВЕРШЕННОЙ КОНКУРЕНЦИИ Технология и производственная функция (ПФ). Основные виды ПФ. Аксиомы ПФ. Карты изоквант и норма технологического замещения. Отдача от масштаба производства. Эластичность производства. Эластичность замещения. Производственная функция и технический прогресс. Определение издержек. Функции издержек. Квазипостоянные издержки. Факторы,

минимизирующие

издержки.

Оптимум

фирмы

при

линейных

технологиях и ломаных изоквантах. Путь расширения фирмы в краткосрочном и долгосрочном периодах. Природа фирмы и гипотеза максимизации прибыли. Функция прибыли. Изопрофитная

линия.

Концепция

выявленной

прибыльности.

Выгода

производителя в краткосрочном и долгосрочном аспектах. ТЕМА 3 МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ФИРМЫ В УСЛОВИЯХ РЫНКА НЕСОВЕРШЕННОЙ КОНКУРЕНЦИИ Рыночные структуры и их классификация. Условия возникновения и существования монополии. Выбор монополиста в краткосрочном и долгосрочном периодах. Регулирование монополии. Подходы к классификации моделей олигополии. Предположительные вариации.

Дуополия

-

как

частный

случай

олигополии.

Олигополия,

ориентированнная на выпуск как стратегическую переменную: модели Курно и Стэкльберга. Определение равновесного объема производства и равновесных цен. Распространение выводов дуополии на случай F фирм. Геометрическая интерпретация.

9

ТЕМА 4 МОДЕЛИ ОБЩЕГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ Взаимосвязь

между

основными

элементами

микроэкономики

потребителями и фирмами. Общее и частичное равновесие.

-

Обмен и

эффективность распределение ресурсов. Диаграмма Эджуорта. Контрактная кривая. Кривые потребительских возможностей. Излишек спроса и предложения. Равновесные цены при условии существования избыточного спроса. Нахождение общего равновесия путем последовательного изменения цен. Закон Вальраса. Основные

проблемы

микроэкономического

равновесия:

существование,

достижимость, устойчивость, эффективность. Неоклассическая

модель

общего

экономического

равновесия.

Производство, распределение и использование национального дохода. Равновесие на рынке товаров и услуг. Равновесие на финансовых рынках. Последствия бюджетно-налоговой

политики.

Влияние

на

равновесие

изменения

инвестиционного спроса. ТЕМА 5 СТАТИЧЕСКАЯ И ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА Балансовый метод планирования. Межотраслевой баланс (МОБ). Основные направления использования МОБ. Системы показателей МОБ производства и распределения

продукции.

Экономико-математическая

модель

МОБ

производства и распределения продукции. Уравнения МОБ. Основные допущения модели. Валовый и конечный продукт. Общая схема МОБ. МОБ в натуральном и стоимостном выражении. Система коэффициентов модели. Свойства и структура матриц

МОБ.

Динамические свойства коэффициентов полных и косвенных

затрат. Коэффициенты полных затрат как показатели взаимосвязи валового и конечного продукта. Методы расчета коэффициентов полных затрат.

10

МОБ и проблемы труда. Балансы труда в системе МОБ. Структура коэффициентов полных трудовых затрат. МОБ общественного продукта в трудовых измерителях. ТЕМА 6 МОДЕЛИРОВАНИЕ СОВОКУПНОГО ПОТРЕБЛЕНИЯ Функция потребления Кейнса. Теория межвременного выбора. Функция совокупного потребления как равнодействующая решений различных групп потребителей. Теория межвременного выбора и гипотеза жизненного цикла. Гипотеза постоянного дохода. ТЕМА 7 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНВЕСТИЦИЙ Кейнсианский Неоклассическая

подход

модель

к

моделированию

инвестиций.

функции

Инвестиции

в

инвестиций.

основные

фонды

предприятий, в жилищное строительство, в запасы. Рынок ценных бумаг

q

Тобина. Модель взаимосвязи неоклассической модели и q Тобина. Модели с учетом лага капитальных вложений. Распределенные лаги. ТЕМА 8 МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА Модель Харрода-Дамара и ее модификации. Модель Солоу и ее модификации. Неполнота модели Солоу. Модель Солоу с накоплением человеческого капитала. Модель с эндогенным учетом технологического прогресса. Модель Рамсея - модель оптимизации экономического роста. Модель Фон-Неймана как модель расширяющейся экономики. "Золотое правило" экономического роста.

11

ВОПРОСЫ ДЛЯ ОБСУЖДЕНИЯ НА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЯХ. ТЕМА 1 МОДЕЛИ ПОВЕДЕНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ И РЫНОЧНЫЙ СПРОС 1. Предположение о предпочтениях потребителя. 2. Функции полезности и их свойства. 3. Решение задачи максимизации функции полезности при наличии бюджетного ограничения методом Лагранжа. 4. Функции спроса на продукты, зависящие от дохода, от уровня полезности. 5. Анализ влияния изменения дохода потребителя на его равновесие, «Доход Потребление» и линии Энгеля. 6. Анализ изменения цен одного продукта на рыночное равновесие потребителя в условиях компенсации его дохода (по Слуцкому и Хиксу). Уравнение Слуцкого. 7. Эластичность спроса по Маршаллу и компенсированного спроса. 8. Уравнение Слуцкого в коэффициентах эластичности. Примеры решения задач. 1. Определите, какое количество товаров х и у будет приобретать потребитель, чтобы максимизировать полезность, если его доход 45 д.е., цена товара х 1,5 д.е., цена товара у 7, 5 д.е. Функция полезности имеет вид U ( x , y ) = x 2 + y 2 Использовать метод множителей Лагранжа. Дано: U ( x, y ) = x 2 + y 2 I=45 Px=1,5 Py=7,5 Найти: x=? y=? Решение: Бюджетное ограничение имеет вид: 1,5*x+7,5*y=45 12

Составляем функцию Лагранжа: L = x 2 + y 2 − λ (1,5 x + 7,5 y − 45) Находим первые производные функции Лагранжа по x, y, λ L x′ = 2 x − 1, 5 λ L ′y = 2 y − 7 , 5 λ

L λ′ = − (1, 5 x + 7 , 5 y − 45 )

Приравняем первые производные к 0 и получим систему вида: 2x-1,5 λ=0 2y-7,5 λ=0 1,5*x+7,5*y=45 Решая полученную систему, находим, что: x=45/39 y=225/39 Ответ: потребитель, чтобы максимизировать полезность, будет приобретать 45/39 единиц товара x и 225/39 единиц товара y. 2. Индивид покупает 10 единиц товара х и 4 единицы товара у, имея доход, равный 200 д.е. Найти цены товаров х и у, если известно, что предельная норма замены равна 0,1. Дано: X=10 Y=4 M=200 MRS=0, 1 Найти: Px и Py Решение:

Px MRS= Py Следовательно: 0,1=

Px Py

P y = 10 P x Тогда: Px x + Py y = M P x 10 + P y 4 = 200

13

Px10 + 10Px 4 = 200 Px=4 Py=40 Ответ: цены товаров х и у равны 4 и 40 соответственно. 3. Определите, какое количество товаров х и у будет приобретать потребитель, чтобы максимизировать полезность, если его доход 28 д.е., цена товара х 2 д.е., цена товара у 14 д.е., Функция полезности имеет вид U(x, y) = ln x + ln y . Не использовать метод множителей Лагранжа. Дано: PX=2 PY=14 M=28 U ( x , y ) = ln x + ln y

Найти: x, y Решение:

Px MUx = Py MU y Следовательно: 2 y = 14 x

x=7y Тогда: т.к. P x x + P y y = M 14y+ 14y=28 y=1, x=7. Ответ: потребитель, чтобы максимизировать полезность, будет приобретать 7 единиц товара x и 1 единицу товара y. 4. Индивид покупает 8 единиц товара х и 4 единицы товара у. Найти его доход, если известно, что цена товара х равна 2 д.е., а предельная норма замены равна 0,5. Дано: x=8 y=4 Px=2 MRS=0,5 14

Найти: M Решение:

Px MRS= P y 2 0,5= P y Py=4 Следовательно: т.к. P x x + P y y = M 2 *8+ 4 *4=M M=32 Ответ: доход потребителя равен 32 ден.ед. Задачи для самостоятельного решения. 1. Определите, какое количество товаров х и у будет приобретать потребитель, чтобы максимизировать полезность, если его доход 300 д.е., цена товара х 25 д.е., цена товара у 10 д.е., Функция полезности имеет вид U ( x, y ) = x1 / 2 y . Использовать метод множителей Лагранжа. 2. Спрос на товар задан функцией Х = 3 + 5Р. Определите, при какой цене коэффициент ценовой эластичности спроса = 1/3. 3. Определите, какое количество товаров х и у будет приобретать потребитель, чтобы максимизировать полезность, если его доход 378 д.е., цена товара х 27 д.е., цена товара у 9 д.е., Функция полезности имеет вид U ( x, y ) = ( xy)1 / 2 . Использовать метод множителей Лагранжа. 4. Определите, какое количество товаров х и у будет приобретать потребитель, чтобы максимизировать полезность, если его доход 100 д.е., цена товара х 4 д.е., цена товара у 2 д.е., Функция полезности имеет вид U ( x, y ) = x 2 y 3 . Использовать метод множителей Лагранжа. 5. Спрос на товар задан функцией X = 4 MP x / Pу , Рх = 3, Ру= 1, М=25. Определите: -ценовую эластичность спроса по товару Х, -перекрестную эластичность спроса на товар Х по цене товара У. -эластичность спроса на товар Х по доходу. 6. Индивид покупает 4 единиц товара х и 9 единицы товара у, имея доход, равный 100 д.е. Найти цены товаров х и у, если известно, что предельная норма замены равна 4. 7. Определите, какое количество товаров х и у будет приобретать потребитель, чтобы максимизировать полезность, если его доход 150 д.е., цена товара х 5 15

д.е., цена товара у 2 д.е., Функция полезности имеет вид U ( x, y ) = x 2 y . Не использовать метод множителей Лагранжа. 8. Спрос на товар задан функцией X = 7 Px 1 / 5 Py4 / 5 .Определите: ценовую эластичность спроса по товару Х и перекрестную эластичность спроса на товар Х по цене товара У: Рх = 3, Ру= 2. 9. Индивид покупает 25 единиц товара х и 4 единицы товара у. Найти его доход, если известно, что цена товара y равна 11 д.е., а предельная норма замены равна 4/11.

Литература: Основная 1 Вэриан,

Хэл

Р.

Микроэкономика.

Промежуточный

уровень.

Современный подход: учеб. для вузов/ Хэл Р Вэриан. - М.: ЮНИТИ, 1997.Гл. 2, 3, 4, 5, 8 – С. 37-41, 72-85, 91-102, 157-168, 174-176. 2 Гальперин, В.М. Микроэкономика: учеб. для вузов/ В.М. Гальперин, С.М. Игнатьев, В.И. Моргунов. - СПб.: Экономическая школа, 1994, 1996. В 2 т. Т. 1. – Гл.3 - С. 104-142. 3 Замков, О.О. Математические методы в экономике: учеб. для вузов/ О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных.– М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Изд-во «ДИС», 2002г. 4 Фомин, Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: учеб. для вузов/ Г.П. Фомин - 2-е изд., перераб. и доп.-М.: Финансы и статистика, 2005г. 5 Хайман, Д.Н. Современная микроэкономика: анализ и применение: учеб. для вузов/ Д.Н. Хайман - М.: Финансы и статистика, 1992. В 2.т. Т. 1.Гл. 3, 4 - С.59-68, 74-77, 98-113.

16

Дополнительная: 1 Теория потребительского выбора: Лекции 13,14, 15, 16. -

СПб.:

Экономическая школа, Вып.2, 1992. 2

Суверенитет и рациональность потребителя/ Т. Скитовски // Теория

потребительского поведения и спроса: Лекции - СПб: Экономическая школа, 1993- С.370-376. 3 Райцин, В.Я. Модели планирования уровня жизни: учеб. для вузов/ В.Я. Райцин - М.: Экономика, 1984.- Гл.7. ТЕМА 2 ФИРМА В УСЛОВИЯХ СОВЕРШЕННОЙ КОНКУРЕНЦИИ 1. Технология и производственная функция. Основные виды производственных функций. Производственная функция и технический прогресс 2. Карты изоквант и норма технологического замещения. Эластичность выпуска по ресурсу. Эластичность производства. 3. Определение набора ресурсов, максимизирующего прибыль в случае долгосрочного и краткосрочного промежутков. 4. Максимизация объема выпускаемой фирмой продукции при ограничениях на используемые ею ресурсы. 5. Минимизация издержек фирмы при фиксированном объеме выпускаемой ею продукции в случае долговременного и краткосрочного промежутков. 6. Функции условного спроса на ресурсы со стороны фирмы. 7. Линии долговременного и краткосрочного развития фирмы. Примеры решения задач. 1. Производство мебели характеризуется производственной функцией КоббаДугласа Q = 2 K 1 / 4 L3 / 4 1.Сколько единиц готового продукта можно получить, используя 4 ед. труда и 4 ед. капитала. 2. Определите сколько мебели можно произвести, если увеличить в 4 раза количество труда и количество капитала. 17

3. Какой отдачей от масштаба характеризуется производство мебели? Дано: Q = 2 K 1 / 4 L3 / 4

K=L=4 Найти: Q(K,L), Q(4K,4L) Решение: 1.Q(K,L)=2*41/4 43/4=8 2.Q(4K,4L)= 2*(4*4)1/4 (4*4)3/4 =32 3. Q(4K,4L)= 2*(4*4)1/4 (4*4)3/4 =4*8 Ответ: 1.Используя 4 ед. труда и 4 ед. капитала можно получить8 единиц готового продукта. 2.Если увеличить в 4 раза количество труда и количество капитала можно произвести 32 единицы мебели. 3.При увеличении в 4 раза количества используемого труда и капитала выпуск увеличивается также в 4 раза, что свидетельствует о постоянной отдаче от расширения масштабов производства. 2. Производство мебели характеризуется производственной функцией КоббаДугласа Q = AK α Lβ и характеризуется тем, что средний продукт труда в 4 раза выше предельного продукта труда, а предельный продукт капитала составляет 75% от среднего продукта капитала. Известно, что, используя 5 ед. труда и 5 ед. капитала, можно получить 25 единиц готового продукта. Найдите параметры функции а, в, А. Дано: Q = AK α Lβ

K=L=5 Q(K,L)=25 APL=4MPL MPK=0,75 APK Найти: α, β, А Решение: Найдем сначала a, в: MPK 0,75APK = =0,75 APK APK MP MPL 2.β =EL= L = =0,25 APL 4 MPL

1.α=EK=

3.Подставив найденные значения α и β в функцию Кобба-Дугласа при условии, что K=L=5, а Q(K,L)=25, можем найти А. 18

25=А*50,7550,25 52=А*51 А=5 Ответ: параметры производственной функцией Кобба-Дугласа Q = AK α Lβ равны 1.α =0,75, 2.β =0,25, 3.А=5 3.Производство мебели характеризуется производственной 2 / 3 1/ 3 функцией Q = K L . В течение недели затрачивается 200 часов труда 200 часов работы оборудования. Определите: -объем производства мебели в неделю, -на сколько часов следует увеличить продолжительность работы оборудования, чтобы выпуск не изменился, если количество труда сокращается на 1 час, -на сколько часов следует увеличить труд рабочих, чтобы выпуск не изменился, если продолжительность работы оборудования сокращается на 1 час. Дано: Q = K 2 / 3 L1 / 3

K=L=200 Найти: 1.Q(K,L) 2.MRTSLK 3.MRTSKL Решение: 1.Q(K,L)= 2002/3 2001/3=200 2.MRTSLK=

/ 2 / 3 −2 / 3 1 L MPL QL 3 K = =1/2 = MPK QK / 23 K −1 / 3 L1 / 3

/ −1 / 3 1 / 3 2 L MPK QK 3 K 3.MRTSKL= = 1 2 / 3 − 2 / 3 =2 = / MPL QL L 3 K

Ответ: -объем производства мебели в неделю равен 200единиц, -следует увеличить продолжительность работы оборудования на пол часа, чтобы выпуск не изменился, если количество труда сокращается на 1 час, -следует увеличить труд рабочих на 2 часа, чтобы выпуск не изменился, если продолжительность работы оборудования сокращается на 1 час.

19

Задачи для самостоятельного решения. 10. Производство мебели характеризуется производственной функцией КоббаДугласа Q = 8K 2 / 5 L3 / 5 . Сколько единиц готового продукта можно получить, используя 5 ед. труда и 5 ед. капитала. Определите сколько мебели можно произвести, если увеличить в 2 раза количество труда и количество капитала. Какой отдачей от масштаба характеризуется производство мебели? 11. Производство мебели характеризуется производственной 4/ 7 3/ 7 функцией Q = K L . В течение недели затрачивается 50 часов труда 50 часов работы оборудования. Определите: -объем производства мебели в неделю, -на сколько часов следует увеличить продолжительность работы оборудования, чтобы выпуск не изменился, если количество труда сокращается на 1 час, -на сколько часов следует увеличить труд рабочих, чтобы выпуск не изменился, если продолжительность работы оборудования сокращается на 1 час. Литература: Основная: 1 Интрилигатор,

М.

Математические

методы

оптимизации

и

экономическая теория: учеб. для вузов/ М. Интрилигатор пер. с англ. Г.И. Жуковой, Ф.Я. Кельмана. – М.: Айрис-пресс, 2002г. 2 Замков, О.О. Математические методы в экономике: учеб. для вузов/ О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных.– М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Изд-во «ДИС», 2002г. 3 Вэриан,

Хэл

Р.

Микроэкономика.

Промежуточный

уровень.

Современный подход: учеб. для вузов/ Хэл Р Вэриан. - М.: ЮНИТИ, 1997.Гл. 17-21.- С. 340-350, 357-358, 360-362. 4 Гальперин, В.М. Микроэкономика: учеб. для вузов/ В.М. Гальперин, С.М. Игнатьев, В.И. Моргунов. - СПб.: Экономическая школа, 1994, 1996. В 2 т. - Гл. 7, 8, 9- Т.1- С. 267-290, 321-343 – Т.2- С. 36- 47. 20

5 Хайман, Д.Н. Современная микроэкономика: анализ и применение: учеб. для вузов/ Д.Н. Хайман - М.: Финансы и статистика, 1992. В 2 т.Т. 1. Гл. 6, 7.- С. 201-205, 207-213, 216- 230, 238-243, 252-256. Дополнительная: 1 Пиндайк, Р., Микроэкономика: учеб. для вузов/ Р. Пиндайк, Д. Рубинфельд - М.: Экономика, Дело, 1992. - Гл. 6 2 Хайман, Д.Н. Современная микроэкономика: анализ и применение: учеб. для вузов/ Д.Н. Хайман - М.: Финансы и статистика, 1992. .- Гл. 8,9. 3 Шаль, А.В. Производственные функции: учеб. пособие для вузов/ А.В. Шаль – Ростов н/Д.: УПЛ РГУ, 2005.- Гл. 1, 2. ТЕМА 3 МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ФИРМЫ В УСЛОВИЯХ РЫНКА НЕСОВЕРШЕННОЙ КОНКУРЕНЦИИ 1. Сравнительный

анализ

различных

видов

рынков

несовершенной

конкуренции. 2. Монопольное равновесие в краткосрочном и долгосрочном периодах. 3. Совершенная ценовая дискриминация и ценовая дискриминация монополии на сегментированных рынках. 4. Рекламная деятельность при монополистической конкуренции. 5. Модели дуополии и олигополии. Альтернативные цели деловой фирмы. Литература: Основная: 1 Интрилигатор,

М.

Математические

методы

оптимизации

и

экономическая теория: учеб. для вузов/ М. Интрилигатор пер. с англ. Г.И. Жуковой, Ф.Я. Кельмана. – М.: Айрис-пресс, 2002г. 21

2 Вэриан,

Хэл

Р.

Микроэкономика.

Промежуточный

уровень.

Современный подход: учеб. для вузов/ Хэл Р Вэриан.- Гл. 23, 25, 26.- С. 446449, 492-494, 496-499, 502-516. 3 Гальперин, В.М. Микроэкономика: учеб. для вузов/ В.М. Гальперин, С.М. Игнатьев, В.И. Моргунов.- СПб.: Экономическая школа, 1994, 1996. В 2 т. Т. 2.- Гл. 9-11.- С.77-97, 168-192. 4 Хайман, Д.Н. Современная микроэкономика: анализ и применение: учеб. для вузов/ Д.Н. Хайман - М.: Финансы и статистика, 1992. В 2-х т. Т. 2.Гл. 10, 11.- С. 7-9, 11-13, 83-87. Дополнительная: 1 Пиндайк, Р., Микроэкономика: учеб. для вузов/ Р. Пиндайк, Д. Рубинфельд - М.: Экономика, Дело, 1992.- Гл. 6 – 8. 2 Хайман, Д.Н. Современная микроэкономика: анализ и применение: учеб. для вузов/ Д.Н. Хайман - М.: Финансы и статистика, 1992. В 2-х т. Т. 2Гл. 12 ТЕМА 4 МОДЕЛИ ОБЩЕГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ 1. Классический и неоклассический подход к нахождению общего равновесия. 2. Договорная линия, «ядро» экономики обмена и оптимальность по Парето. 3. Кривые потребительских возможностей. Излишек спроса и предложения. 4. Основные проблемы микроэкономического равновесия: существование, достижимость, устойчивость, эффективность. 5. Анализ производства с помощью диаграммы Эджворта. 6. Одновременное равновесие в сфере потребления и сфере производства. 7. Понятие об общем экономическом равновесии в условиях несовершенной конкуренции.

22

Литература: Основная: 1 Интрилигатор,

М.

Математические

методы

оптимизации

и

экономическая теория: учеб. для вузов/ М. Интрилигатор пер. с англ. Г.И. Жуковой, Ф.Я. Кельмана. – М.: Айрис-пресс, 2002г. 2 Вэриан,

Хэл

Р.

Микроэкономика.

Промежуточный

уровень.

Современный подход: учеб. для вузов/ Хэл Р Вэриан.- Гл. 28 - С. 541-546, 549551, 555-562. 3 Гальперин, В.М. Микроэкономика: учеб. для вузов/ В.М. Гальперин, С.М. Игнатьев, В.И. Моргунов.- СПб.: Экономическая школа, 1994, 1996. В 2 т. Т. 2. - Гл. 15. - С. 395-425. 4 Хайман, Д.Н. Современная микроэкономика: анализ и применение: учеб. для вузов/ Д.Н. Хайман - М.: Статистика, 1992. В 2-х т. Т. 2. - Гл. 16.С.234-249. 5 Гальперин, В.М. Макроэкономика: учеб. для вузов/ В.М. Гальперин, П.И. Гребенников и др. - СПб.: Изд-во СПбГУЭФ., 1997.- Гл. 8. – С. 152-176. Дополнительная: 1 Пиндайк, Р., Микроэкономика: учеб. для вузов/ Р. Пиндайк, Д. Рубинфельд - М.: Экономика, Дело, 1992.- Гл. 6 – 8. 2 Хайман, Д.Н. Современная микроэкономика: анализ и применение: учеб. для вузов/ Д.Н. Хайман - М.: Статистика, 1992.- Гл. 16, 17. 3 Шагас, Н.Л. Макроэкономика-2. Краткосрочный аспект: учеб. для вузов/ Н.Л. Шагас, Туманова Е.А.- М.: Экономический факультет МГУ, ТЕИС, 1999.- Гл.2.

23

ТЕМА 5 СТАТИЧЕСКАЯ И ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА 1. Материальный баланс, баланс труда и финансовый баланс. 2. Таблица межотраслевых связей. 3. Экономико-математическая модель статического межотраслевого баланса. 4. Коэффициент прямых и полных материальных затрат. Способы их вычисления. 5. Продуктивность матрицы коэффициентов прямых материальных затрат. 6. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса затрат труда. 7. Коэффициенты прямой и полной фондоемкости. Порядок их расчета на основе модели межотраслевого баланса. 8. Динамическая межотраслевая балансовая модель. 9. Использование метода «затраты - выпуск» для расчета прогнозных вариантов экономического развития и соответствующих им систем национального счетоводства. Литература: Основная: 1 Федосеев, В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели: учеб. для вузов/ под ред. В.В. Федосеева– М.: ЮНИТИ, 1999.- Гл.5 С.231-260. 2 Гранберг, А.Г. Динамические модели народного хозяйства: учеб. для вузов/ А.Г. Гранберг - М.: Экономика, 1986.- Гл. 6-8 – С. 150-180, 194-203. 3 Аганбегян, А.Г. Использование народнохозяйственных моделей в планировании: учеб. для вузов / под ред. А.Г. Аганбегяна - М.: Экономика, 1975.- Гл. 1- С. 24-36.

24

Дополнительная: 1 Котов, И.В. Моделирование народнохозяйственных процессов: учеб. для вузов / под ред. Котова И.В.- Л.:, 1990. – Гл. 3 2 Ведута, Е.Н. Согласование балансовых и оптимизационных плановых расчетов в народном хозяйстве: учеб. для вузов / Е.Н. Ведута - М.: МИНХ им. Г.В. Плеханова, 1986.- Гл. 4. ТЕМА 6 МОДЕЛИРОВАНИЕ СОВОКУПНОГО ПОТРЕБЛЕНИЯ 1 Функция потребления Кейнса. 2 Модель межвременного выбора И. Фишера 3 Функция потребительского спроса и функция частных сбережений. 4 Гипотезы жизненного цикла и постоянного дохода. 5 Возможности учета решений различных групп потребителей в функции совокупного потребления. Примеры решения задач. Спрос на товар задан функцией X = 5 Px1 / 3 Py2 / 3 .Определите: 1. ценовую эластичность спроса по товару Х, 2. перекрестную эластичность спроса на товар Х по цене товара У. Дано: X = 5Px1 / 3 Py2 / 3

Найти: E px =? E py =? Решение: E px =

P 1 dX p x = 5 Px −2 / 3 Py 2 / 3 × 1 / 3x 2 / 3 =1/3 * dp x X 3 5 Px Py

E py =

P dX p y 2 * = 5 Px 1 / 3 Py −1 / 3 × 1 / 3y 2 / 3 =2/3 3 dp y X 5 Px Py

Ответ: 1. ценовая эластичность спроса по товару Х=1/3, 2. перекрестная эластичность спроса на товар Х по цене товара У= 2/3. 25

Задачи для самостоятельного решения 12. Ценовая эластичность спроса на нефть в точке краткосрочного равновесия составляла -1/3, а ценовая эластичность предложения нефти в этой же точке составляла 2/3. Каковы были бы размеры дефицита нефти в случае установления правительством максимально допустимой цены на нефть на уровне 1,5 долл. за баррель? 13. Пусть доход Иванова в первом и втором периодах равен 10. Реальная ставка процента составляет 30%. Функция полезности Иванова Y=C1C2. - Постройте бюджетное ограничение. - Найдите оптимальный уровень потребления в первом и втором периодах. - Определите значение функции полезности в оптимальной точке. 14. Пусть выпуск в стране описывается производственной функцией вида Y =K1/2 L1/2. -Определить зависимость производительности труда от капиталовооруженности. -Пусть запас капитала равен 50000 и численность работающих составляет 10000. Вычислите производительность труда, используя первоначальную и полученную в п. а производственные функции. -Предположим, что каждый год снашивается 15% капитала. Какой должна быть норма сбережения, для того чтобы данный уровень капиталовооруженности оказался устойчивым? Примеры решения задач. Спрос на товар задан функцией Х = 5 + 2Р. Определите, при какой цене коэффициент ценовой эластичности спроса = 1/5. Дано: X=5+2p Ep=1/5 Найти: p=? Решение: Ep=

dX p * dp X

Следовательно: 1/5=2*

p 5+ 2p

10p=5+2p P=5/8 26

Ответ: при цене P=5/8 коэффициент ценовой эластичности спроса = 1/5. Литература: Основная: 1 Мэнкью, Н.Г. Макроэкономика: учеб. для вузов/ Н.Г. Мэнкью - М.: Изд-во МГУ, 1994.- Гл. 15.- С. 574-576, 580- 590, 592- 600, 602-606. 2 Сакс, Д.Д. Макроэкономика. Глобальный подход: учеб. для вузов/ Д.Д. Сакс, Ф.Л. Ларрен - М.: Дело, 1996. - Гл. 4.- С. 111-121, 125-130, 136-138. Дополнительная: 1 Котов, И.В. Моделирование народнохозяйственных процессов: учеб. для вузов / под ред. Котова И.В.- Л., 1990. – Гл. 1. ТЕМА 7 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНВЕСТИЦИЙ 1. Подходы к моделированию инвестиций. 2. Теория q Тобина. 3. Особенности моделирования инвестиций в различные экономические объекты. 4. Моделирование рынка ценных бумаг. Литература: Основная: 1 Шагас, Н.Л., Макроэкономика-2. Долгосрочный аспект: учеб. для вузов/ Н.Л. Шагас, Е.А. Туманова - М.: Экономический факультет МГУ, ТЕИС, 1999.- Гл.4. 2 Мэнкью, Н.Г. Макроэкономика: учеб. для вузов/ Н.Г. Мэнкью - М.: Изд-во МГУ, 1994.- Гл. 17.- С. 639-657, 660-664.

27

3 Сакс, Д.Д. Макроэкономика. Глобальный подход: учеб. для вузов/ Д.Д. Сакс, Ф.Л. Ларрен - М.: Дело, 1996. – Гл. 5.- С. 144-145, 152-156, 170172. Дополнительная: 1 Монахов, А.В. Математические методы анализа экономики: учеб. для вузов/ А.В. Монахов - СПб.: Питер, 2002.- Гл. 2 ТЕМА 8 МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА 1. Модель Харрода-Домара

как модель анализа различных сценариев

экономического роста. 2. Оценка влияния на экономический рост роста населения, сбережений и технологического прогресса. Модель Солоу. Литература: Основная: 1 Мэнкью, Н.Г. Макроэкономика: учеб. для вузов/ Н.Г. Мэнкью - М.: Изд-во МГУ, 1994. - Гл. 4.- С. 144-178. 2 Сакс, Д.Д. Макроэкономика. Глобальный подход: учеб. для вузов/ Д.Д. Сакс, Ф.Л. Ларрен - М.: Дело, 1996. - Гл. 18.- С. 603-605, 610-620 Дополнительная: 1 Монахов, А.В. Математические методы анализа экономики: учеб. для вузов/ А.В. Монахов - СПб.: Питер, 2002.- Гл. 2 2 Столерю Л. Равновесие и экономический рост: учеб. для вузов/ Л. Столерю - М.: 1974. - Гл.12, 13. 3 Шагас, Н.Л., Макроэкономика-2. Долгосрочный аспект: учеб. для вузов/ Н.Л. Шагас, Е.А. Туманова - М.: Экономический факультет МГУ, ТЕИС, 1999- Гл.5. 28

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ПОТРЕБЛЕНИЯ При разработке плана заказа путевок для отдыха коллектива фирмы проведены исследования потребностей сотрудников фирмы в путевках по туристическим маршрутам (q1) и путевках санаторно-курортного лечения (q2). В результате проведенного анализа получена зависимость денежных средств, вносимых сотрудниками за путевки, от числа указанных видов. Определить: 1. Может ли эта зависимость служить целевой функцией потребления. 2. В случае положительного ответа на предыдущий вопрос построить карты безразличия и потребления. 3. Выполнить имитационные расчеты вариантов потребления путевок при условиях: а) предложение останется на прежнем уровне; б) предложение возрастет на 10 единиц. 4. Построить общую функцию спроса на путевки и функции спроса по их видам, используя средние цены путевок p1 и p2 и заданные значения общей функции спроса: а) Z= 10 000; б) Z= 100 000. 5. Провести анализ функции спроса, используя показатели эластичности по доходу, цене и замещению. Таблица 1 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ: № п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Функция потребления U (q1 , q2 ) U= 50q1-q12+20q2-q22 U= 20+q12+20q2-q22 U= 2q10,2q20,8 U= 15q1-q12+20q2-30q22 U=4q12+30q2 U= q1-10q12-30q22 U= 0,5q10,2q20,8 U= 5q12+6q2-q22 U= 2q1-q12+2q2-3q22 U= 70q1-q12+50q2-q22 U= 3q10,25q20,75 U= 50q1-7q12+40q2-9q22

50 40 35 60 40 70 50 30 40 50 80 40 29

Средние цены p1 p2 120 100 80 170 200 250 300 400 200 150 120 140

ПРОДОЛЖЕНИЕ ТАБЛИЦЫ 1 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ: № п/п 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Функция потребления U (q1 , q2 ) U= q1-40q12-15q22 U= q1-q12-10q22 U= 70q1-q12+60q2-q22 U= 2q10,1q20,9 U= 12q1+0,4q22 U= 7q1-6q12+6q2-5q22 U= 5q1-8q12+q2-6q22 U= 80q1-q12+40q2-q22 U= 0,6q10,4q20,6 U= 2q1+4q22 U= q1-q12+q2-q22 U= 3q1-20q12+7q2-10q22 U= 30q1-q12+40q2-q22 U= 0,7q10,3q20,7

Средние цены p1 p2 90 200 30 250 40 100 60 140 70 160 50 170 80 120 90 130 100 110 80 160 65 200 75 160 70 300 80 450

ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ И ДОКЛАДОВ 1. Функция полезности фон Неймана-Моргенштерна. 2. Измерение выгоды потребителя. 3. Концепция выявленных предпочтений. 4. Уравнение Слуцкого в коэффициентах эластичности. 5. Предложение конкурентной отрасли в краткосрочном и долгосрочном периодах. 6. Моделирование

предложения

конкурентных

фирм,

имеющих

альтернативные цели. 7. Модель распределения времени между досугом и работой. 8. Использование

коэффициентов

эластичности

для

прогнозирования

изменений равновесной цены под воздействием факторов сдвига кривых спроса и предложения. 9. Модели монополистической конкуренции. 30

10. Модель экономики Робинзона Крузо. 11. Функции общественного благосостояния. 12. Моделирование кругооборота денежных средств в закрытой экономике. 13. Методы расчета источников экономического роста. 14. Анализ факторов экономического роста в России. ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ Вопросы к экзамену. 1. Экономико-математическая

модель:

понятие,

структура,

проблемы

построения. 2. Предпочтения потребителей. Предположения о них. 3. Функция полезности, ее свойства и кривые безразличия. 4. Бюджетное ограничение. Оптимум потребителя. 5. Функции индивидуального спроса. Однородность как ее свойство. 6. Кривая «цена-потребление» и кривая спроса. 7. Кривые «доход потребление» и кривые Энгеля. 8. Эффекты дохода и замещения по Слуцкому. 9. Уравнение Слуцкого. 10. Эффекты замещений и дохода по Хиксу. 11. Подходы к моделированию деятельности фирмы. 12. Понятия производственной функции и технологии. Основные виды ПФ. Пространство затрат. 13. Аксиомы ПФ. 14. Закон убывающей отдачи затрат. 15. Доход от расширения масштаба производства. 16. Эластичность производства. Эластичность замещения. 17. Геометрическая интерпретация возможностей замещения в случае двух затрат и дохода от расширения масштаба производства. 31

18. Геометрическая иллюстрация закона убывающей доходности. 19. Неоклассическая теория фирмы: предположения модели. 20. Неоклассическая теория фирмы: математическая постановка модели, как задачи нелинейного программирования. 21. Понятие изоквант и изокост. 22. Кривые общих, средних и предельных издержек производства. 23. Поведение фирмы в условиях монопольного рынка. Функция Лангранжа и нахождение оптимального решения. 24. Поведение фирмы в условиях олигополии. Предположительная вариация. 25. Дуополия Курно. 26. Классический подход к нахождению общего экономического равновесия. 27. Основные проблемы микроэкономического равновесия: существование, достижимость, устойчивость, эффективность. 28. Неоклассический подход к нахождению общего равновесия. 29. Избыточный спрос и предложение. 30. Балансовый метод планирования. 31. Межотраслевой баланс (МОБ). Основные направления использования МОБ. 32. Системы показателей МОБ производства и распределения продукции. 33. Экономико-математическая модель МОБ производства и распределения продукции. 34. Система коэффициентов модели МОБ. Свойства и структура матриц МОБ. 35. Динамические свойства коэффициентов полных и косвенных затрат. 36. Коэффициенты полных затрат как показатели взаимосвязи валового и конечного продукта. Методы расчета коэффициентов полных затрат. 37. МОБ и проблемы труда. Балансы труда в системе МОБ. Структура коэффициентов полных трудовых затрат. 38. Функция потребления Кейнса и ее модификация. 32

39. Модель межвременного выбора. 40. Предельная склонность к потреблению по накопленному богатству. 41. Гипотеза постоянного дохода. 42. Неокейнсианская модель инвестиций. 43. Неоклассическая модель инвестиций в основные фонды предприятия. 44. Q показатель Тобина. 45. Модель акселератора. 46. Модель Солоу. Неполнота модели Солоу. 47. Модель Солоу с накоплением человеческого капитала. 48. Модель Харрода-Дамара и ее модификации. 49. Модель Рамсея - модель оптимизации экономического роста. 50. Модель Фон-Неймана как модель расширяющейся экономики. 51. "Золотое правило" экономического роста. Методические материалы к темам курса. Тема 1. Моделирование в экономике и его использование в развитии и формализации экономической теории Современная экономическая теория, как на микро-, так и на макроуровне, включает как естественный, необходимый элемент математические модели и методы. Использование математики в экономике позволяет, во-первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов, изучение столь сложного объекта предполагает высокую степень абстракции. Во - вторых, из четко сформулированных исходных данных и соотношений

методами

дедукции

можно

получать

выводы,

адекватные

изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки. В-третьих, методы математики и статистики позволяют индуктивным путем получать новые знания об объекте: оценивать форму и параметры зависимостей его переменных, 33

в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям. Наконец, вчетвертых, использование языка математики позволяет точно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать ее понятия и выводы. Математические

модели

использовались

с

иллюстративными

и

исследовательскими целями еще Ф.Кенэ (1758 г., "Экономическая таблица"), А.Смитом (классическая макроэкономическая модель), Д.Рикардо (модель международной торговли). В XIX веке большой вклад в моделирование рыночной экономики внесла математическая школа (Л.Вальрас, О.Курно, В.Парето, Ф.Эджворт и др ). В XX веке математические методы моделирования применялись очень широко, с их использованием связаны практически все работы, удостоенные Нобелевской премии по экономике (Д.Хикс, Р.Солоу, В.Леонтьев, П Самуэльсон и др.). Развитие микроэкономики, макроэкономики, прикладных дисциплин связано со все более высоким уровнем их формализации. Основу для этого заложил пpoгpecc в области прикладной математики - теории игр, математического программирования, математической статистики. В России в начале XX века большой вклад в математическое моделирование экономики внесли В.К.Дмитриев и Е.Е.Слуцкий. В 1930-е - 50-е годы в этой области не наблюдалось прогресса вследствие идеологических ограничений тоталитарного режима.

В

1960-е

-

80-е

годы

экономико-математическое

направление

возродилось (В.С.Немчинов, В.В.Новожилов, Л.В.Канторович), но было связано в основном

с

попытками

формально

описать

"систему

оптимального

функционирования социалистической экономики" (СОФЭ, Н П.Федоренко, С.С Шаталин

и др.). Строились многоуровневые системы моделей народно-

хозяйственного планирования, оптимизационные модели отраслей и предприятий. Сейчас важной задачей является моделирование процессов переходного периода. Любое экономическое исследование всегда предполагает объединение теории (экономической модели) и практики (статистических данных). Мы используем теоретические модели для описания и объяснения наблюдаемых 34

процессов и собираем статистические данные с целью эмпирического построения и обоснования моделей. Экономические модели. Понятие экономической модели. Для изучения различных экономических явлений экономисты используют их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями. Примерами экономических моделей являются модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных, факторных и финансовых рынках и многие другие. Строя модели, экономисты определяют существенные факторы, определяющие исследуемое явление и отбрасывают детали, несущественные для решения поставленной проблемы. Формализация

основных

особенностей

функционирования

экономических

объектов позволяет оценить возможные последствия воздействия на них и использовать такие оценки в управлении. Роль моделей в экономической теории и принятии решений Экономические модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на основе этого предсказать поведение объекта при изменении каких-либо параметров. Предсказание будущих изменений, например, повышение обменного курса, ухудшение экономической конъюнктуры, падение прибыли может опираться лишь на интуицию. Однако при этом могут быть упущены, неправильно определены или неверно оценены важные взаимосвязи экономических показателей, влияющие на рассматриваемую ситуацию. В модели все взаимосвязи переменных могут быть оценены количественно, что позволяет получить более качественный и надежный прогноз. Для любого экономического субъекта возможность прогнозирования ситуации означает, прежде всего, получение лучших результатов или избежание потерь, в том числе и в государственной политике.

35

Неполнота экономической модели По своему определению любая экономическая модель абстрактна и, следовательно, неполна, поскольку, выделяя наиболее существенные факторы, определяющие

закономерности

функционирования

рассматриваемого

экономического объекта, она абстрагируется от других факторов, которые, несмотря на свою относительную малость, все же в совокупности могут определять не только отклонения в поведении объекта, но и само его поведение. Так, в простейшей модели спроса считается, что величина спроса на какой-либо товар определяется его ценой и доходом потребителя. На самом же деле на величину спроса оказывает также влияние ряд других факторов: вкусы и ожидания потребителей, цены на другие товары, воздействие рекламы, моды и так далее. Обычно предполагают, что все факторы, не учтенные явно в экономической

модели,

оказывают

на

объект

относительно

малое

результирующее воздействие в интересующем нас аспекте. Состав учтенных в модели факторов и ее структура могут быть уточнены в ходе совершенствования модели. Математическая модель и ее основные элементы. Экзогенные и эндогенные переменные, параметры. Виды зависимостей экономических переменных и их описание. Уравнения, тождества, неравенства и их системы Математическая модель экономического объекта - это его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков. Гомоморфное отображение объединяет группы отношений элементов изучаемого объекта в аналогичные отношения элементов модели. Иными словами, модель - это условный образ объекта, построенный для упрощения его исследования. Предполагается, что изучение модели дает новые знания об объекте, либо позволяет определить наилучшие решения в той или иной ситуации. 36

Для

описания

основных

видов

элементов

экономической

модели

рассмотрим конкретную ситуацию и построим соответствующую ей модель. Пусть имеется фирма, выпускающая несколько видов продукции. В процессе производства используются три вида ресурсов: оборудование, рабочая сила и сырье; эти ресурсы однородны, количества их известны и в данном производственном цикле увеличены быть не могут. Задан расход каждого из ресурсов на производство единицы продукции каждого вида. Заданы цены продуктов. Нужно определить объемы производства с целью максимизации стоимости произведенной продукции (или, в предположении, что вся она найдет сбыт на рынке - общей выручки от реализации). Для решения поставленной задачи нужно построить математическую модель, наполнить ее информацией, а затем провести по ней необходимые расчеты. Вначале при построении модели нужно определить индексы, экзогенные и эндогенные переменные и параметры. В нашей задаче свой индекс должен иметь каждый вид продукции (пусть это индекс i, меняющийся от 1 до n), а также вид ресурсов (если мы обозначаем их одной переменной; пусть в нашей задаче ресурсы обозначены разными переменными). Далее опишем экзогенные переменные - те, которые задаются вне модели, т.е. известны заранее, и параметры - это коэффициенты уравнений модели. Часто экзогенные переменные и параметры в моделях не разделяют. В рассматриваемой задаче заданы экзогенные переменные - имеющиеся количества оборудования К, рабочей силы L и сырья R, заданы параметры - коэффициенты их расхода на единицу i-й продукции ki ,li и ri соответственно. Цены продуктов pi также известны. Далее вводятся обозначения для эндогенных переменных - тех, которые определяются в ходе расчетов по модели и не задаются в ней извне. В нашем случае - это неизвестные объемы производства продукции каждого i-го шага: обозначим их хi .

37

Закончив описание переменных и параметров, переходят к формализации условий задачи, и описанию ее допустимого множества и целевой функции (если таковая имеется). В нашей задаче допустимое множество – это совокупность всех вариантов

производства,

обеспеченных

имеющимися

ресурсами.

Оно

описывается с помощью системы неравенств.

∑k x

k1 x1 + k 2 x 2 + ... + k n x n ≤ K ,

i

i

≤ K,

i

l1 x1 + l 2 x 2 + ... + l n x n ≤ L ,

или

∑l x

i

≤ L,

∑r x

i

≤R

i

i

r1 x1 + r2 x 2 + ....rn x n ≤ R ,

i

i

К

этим

ограничениям

по

ресурсам

добавляются

требования

неотрицательности переменных xi≥0. Если бы какой-то ресурс нужно было израсходовать полностью (например, полностью занять всю рабочую силу), соответствующее неравенство превратилось бы в уравнение. Это сузило бы допустимое множество и, возможно, исключило из него первоначально наилучшее решение. Если модель является оптимизационной (а данная модель такова), то наряду с

ограничениями должна быть выписана целевая функция, т.е.

максимизируемая

или минимизируемая величина, отражающая интересы

принимающего решения субъекта. Для данной задачи максимизируется величина p1 x1 + p 2 x 2 + ... + p n x n , или

∑px i

i

→ max

i

Поставленная задача далеко не всегда хорошо описывает ситуацию и соответствует задачам лица принимающего решение (ЛПР). В действительности по крайней мере: − Ресурсы до некоторой степени взаимозаменяемы; − Затраты не строго пропорциональны выпуску (есть затраты, не связанные с объемом выпуска; предельные затраты меняются); − Объемы ресурсов не строго фиксированы, они могут покупаться, браться или сдаваться в аренду; 38

продаваться и

− Внутри

каждого

вида

ресурсов

можно

выделить

составляющие,

функционально или качественно различные, в той или иной мере заменяющие или дополняющие друг друга и по-разному влияющие на объем выпуска; − Цена продукта может зависеть от объема его касается цены ресурса; − Фирма может использовать одну из конечного набора технологий (или сочетание нескольких таких технологий); − Различные единицы получаемой прибыли могут иметь разную ценность для лица принимающего решения (что обусловлено, например, особенностями налоговой системы); − Интересы и предпочтения субъекта не ограничиваются максимизацией объема прибыли,

поэтому

целевая

функция

должна

учитывать

и

другие

количественные и качественные показатели; − Для субъекта реально решаемая задача не ограничивается одним моментом или периодом времени, важны динамические взаимосвязи; − На ситуацию могут воздействовать случайные факторы, которые необходимо принять во внимание. Многие разделы экономической теории посвящены изучению, описанию и моделированию перечисленных аспектов на различных уровнях хозяйственной деятельности, с той или иной степенью детализации и в различных сочетаниях. Основные типы моделей Математические модели, используемые в экономике, можно подразделять на классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта, цели моделирования и используемого инструментария: модели макро- и микроэкономические,

теоретические

и

прикладные,

оптимизационные

и

равновесные, статические и динамические. Макроэкономические модели описывают экономику как единое целое, связывая между собой укрупненные материальные и финансовые показатели: 39

ВНП, потребление, инвестиции, занятость, процентную ставку, количество денег и другие. Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики, либо поведение отдельной такой составляющей в рыночной среде. Вследствие разнообразия типов экономических элементов

и

форм

их

взаимодействия

на

рынке,

микроэкономическое

моделирование занимает основную часть экономико-математической теории. Наиболее

серьезные

теоретические

результаты

в

микроэкономическом

моделировании в последние годы получены в исследовании стратегического поведения фирм в условиях олигополии с использованием аппарата теории игр. Теоретические модели позволяют изучать общие свойства экономики и ее характерных элементов дедукцией выводов из формальных предпосылок Прикладные модели дают возможность оценить параметры функционирования конкретного экономического объекта и сформулировать рекомендации для принятия практических решении. К прикладным относятся прежде всего эконометрические модели, оперирующие числовыми значениями экономических переменных и позволяющие статистически значимо оценивать их на имеющихся наблюдений. В

моделировании

рыночной

экономики

особое

место

занимают

равновесные модели. Они описывают такие состояния экономики, когда результирующая всех сил, стремящихся вывести ее из данного состояния, равна нулю. В нерыночной экономике неравновесие по одним параметрам (например, дефицит) компенсируется другими факторами (черный рынок, очереди и т.п.). Равновесные модели дескриптивны, описательны. В нашей стране долгое время преобладал нормативный подход в моделировании, основанный на оптимизации. Оптимизация в теории рыночной экономики присутствует в основном на микроуровне (максимизация полезности потребителем или прибыли фирмой); на макроуровне результатом рационального выбора поведения экономическими субъектами оказывается некоторое состояние равновесия. 40

В моделях статических описывается состояние экономического объекта в конкретный момент или период времени; динамические модели включают взаимосвязи

переменных

во

времени.

В

статических

моделях

обычно

зафиксированы значения ряда величин, являющихся переменными в динамике, например, капитальных ресурсов, цен и т.п. Динамическая модель не сводится к простой сумме ряда статических, а описывает силы и взаимодействия в экономике, определяющие ход процессов в ней. Динамические модели обычно используют аппарат дифференциальных и разностных уравнений, вариационного исчисления. Детерминированные модели предполагают жесткие функциональные связи между переменными модели. Стохастические модели допускают наличие случайных

воздействий

на

исследуемые

показатели

и

используют

инструментарий теории вероятностей и математической статистики для их описания.

РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЕДЕНИЕ ХОЗЯЙСТВА И ЭКОНОМИКА Проблема рационального ведения хозяйства Основной задачей экономики является рациональное ведение хозяйства, рациональная деятельность (economizing), т.е. распределение ограниченных ресурсов для достижения поставленных целей. Вследствие ограниченности ресурсов приходится выбирать тот или иной вариант их использования. При разумном выборе можно достичь определенных целей, не превышая пределов, обусловленных

ограниченностью

ресурсов.

К

задачам,

связанным

с

рациональным ведением хозяйства, рассматриваемым в последующих главах книги, относится, например, распределение дохода на цели потребления и на сбережения, распределение общей суммы расходов на потребление между различными

видами

товаров

и

услуг. 41

В

каждом

из

этих

примеров

соответствующие ресурсы — доход или суммы, расходуемые на потребление, — не беспредельны; напротив, они ограничены, и в обоих случаях приходится выбирать один из возможных вариантов распределения. Проблема рационального ведения хозяйства может рассматриваться с точки зрения применения к экономике метода математической оптимизации. Задачу математической оптимизации можно сформулировать как определение таких значений некоторых переменных величин, удовлетворяющих ряду ограничений, при которых достигается максимум определенной функции. В качестве переменных в задачах рационального ведения хозяйства выступают те «инструменты», с помощью которых осуществляется конкретное распределение. Конкурирующие цели, поставленные в задаче, объединяются в целевую функцию — функцию, максимум которой требуется найти, а ограничения,

отражающие

недостаток

ресурсов,

определяют

множество

инструментальных величин, удовлетворяющих всем условиям. Это множество называют допустимым множеством (opportunity set). Итак, математически задача рационального ведения хозяйства является задачей отбора из множества возможных вариантов таких значений инструментальных величин, при которых целевая функция достигает максимума. Основные экономические организации (институты) Экономика в целом представляет собой совокупность определенных институтов, каждый из которых решает стоящую перед ним проблему рационального ведения хозяйства. Во всякой реальной экономике существует масса подобных организаций, однако объектом изучения экономической науки является

лишь

несколько

наиболее

типичных

и

представленных

в

идеализированном виде институтов. В число таких институтов входят: Потребители (домашние хозяйства): отдельные лица или группы лиц с общим доходом, расходуемым на потребление (как правило, это семьи).

42

Фирмы:

предприятия

(единоличная

собственность,

товарищества,

акционерные общества), производящие товары или услуги для продажи другим фирмам или конечным потребителям. Профессиональные

союзы:

группы

людей,

работающих

по

найму,

организованные для того, чтобы заключать с предпринимателями коллективные договоры для выполнения определенных задач. Правительственные

организации:

политические

учреждения,

часто

обладающие важными экономическими функциями. Экономическая наука Экономику можно рассматривать как науку о применении методов рациональной

деятельности

хозяйственных

институтов.

Таким

образом,

экономическая наука рассматривает распределение ограниченных ресурсов на различные цели в домашнем хозяйстве, в фирме и в ряде других институтов. Некоторые экономисты ограничивают экономическую науку исключительно изучением процессов рационального ведения хозяйства. Такое определение оказывается одновременно и слишком общим, и слишком узким. Чрезмерная общность такого определения состоит в том, что оно охватывает многие явления, которые по традиции в экономике не исследуются, в том числе некоторые формальные

задачи

из

области

математики,

как,

например,

задачи,

рассматриваемые в частях II и IV настоящей книги. С другой стороны, при таком определении экономической науки из ее сферы исключаются институты, традиционно рассматривавшиеся экономистами в так называемой описательной, или «институциональной» экономике. Данное здесь определение объединяет формальную математическую задачу оптимизации экономической деятельности с институциональным описанием основных экономических организаций.

43

Таблица 2

Потребитель как институт рационального ведения хозяйства Классическая экономическая

Неоклассический и

теория

другие методы экономической теории

Целевая

Функция полезности потребителя, Полезность зависит и от

функция

зависящая от уровней потребления будущего, и от текущего всех товаров и услуг

потребления, от досуга и т. д.

Средства

Уровни потребления всех товаров Сбережения.

(инcтрументы) и услуг

Выбор профессии

Ограничения Финансовые ограничения: общие

Заданы кривые предложе-

расходы на товары и услуги не

ния, а не цены

могут превышать сумму дохода;

(монопсония)

цены на товары и услуги и объем дохода заданы Таблица 3 Фирма как институт рациональной экономической деятельности Классическая экономическая

Неоклассический и

теория

другие методы экономической теории

Целевая

Функция прибыли фирмы (валовой Для тех предприятий,

функция

доход минус издержки), зависящая управляющие которых не от выпуска продукции и от затрат

являются владельцами,

факторов

целевой функцией может быть объем продаж

Средства

Уровни выпуска продукции и

(инструменты) затрат факторов

Уровень рекламной деятельности. Товарноматериальные запасы

44

Продолжение таблицы 3 Классическая экономическая

Неоклассический и

теория

другие методы экономической теории

Ограничения

Технологическое ограничение:

Задана кривая спроса, а

выпуск продукции зависит от

не цены на выпускаемую

затрат факторов

продукцию (монополия).

(производственная функция)

Заданы кривые предложения, а не цены на затраты факторов (монопсония). Прибыль не может снизиться ниже определенного уровня. Действия фирм (олигополия)

Нормативные Приравнивайте предельные правила

Используйте для

доходы от продуктов к ценам

конкуренции не только

соответствующих факторов по

цены, но и другие

сем видам затрат

способы, например рекламу. Используйте товарно-материальные запасы так, чтобы обеспечить стабильность производства, несмотря на колебания уровня продаж

45

В

таблице

2-3

представлен

процесс

рациональной

экономической

деятельности потребителя, фирмы, профессионального союза и федерального правительства США, описанный в терминах целевой функции, средств (инструментальных величин) и ограничений. Таблица

4

Профессиональный

союз

как

институт

рациональной

экономической деятельности Целевая функция

Зависит от занятости и от ставок заработной платы членов профсоюза

Средства (инструменты)

Заключение

коллективного

предпринимателем.

Прием

договора новых

с

членов,

забастовка, бойкот Ограничения

Предложение труда и спрос на труд как на фактор производства.

Сопротивление

предпринимателя

при ведении переговоров. Правовые ограничения Нормативные правила

При

заключении

предъявляйте

коллективных

повышенные

договоров

первоначальные

требования. Угрожайте проведением забастовок, время от времени бастуйте, чтобы сделать угрозу реальной Таблица 5 Федеральное правительство США как институт рациональной экономической деятельности Целевая функция

Правительственные благосостояния», производства,

«функции зависящие

покупательной

социального от

занятости, способности

населения, экономического роста, циклических процессов, доходов 46

несправедливого

распределения

Продолжение таблицы 5 Средства (инструменты)

Правительственные «функции социального благосостояния», зависящие от занятости, производства, покупательной способности населения, экономического роста, циклических процессов, несправедливого распределения доходов

Ограничения

Спрос и

предложение

в

экономике

США;

платежный баланс; правовые ограничения Нормативные правила

Автоматические которых

стабилизаторы,

автоматически

нежелательные (например,

помощью

компенсируются

изменения

страхование

с

в по

экономике безработице).

Крупные программы или учреждения (например, программа социального обеспечения, Управление по делам ветеранов войны)

ТЕОРИЯ ЛИЧНОГО ПОТРЕБЛЕНИЯ Одним из основных элементов экономической теории является домашнее хозяйство

(потребитель),

определяемое

как

группа

индивидуумов,

распределяющая свой доход на покупку и потребление товаров и услуг. Проблема рационального ведения хозяйства потребителя (см. табл. 2) заключается в решении вопроса о том, какое количество каждого наличного товара или услуг он должен приобрести при заданных ценах и известном доходе. Объектом анализа данной главы является отдельный потребитель такого типа.

47

Пространство товаров Поведение потребителя, рассматриваемое с точки зрения рационального ведения хозяйства, математически выражается в выборе некоторой точки из «пространства товаров». Под товаром мы будем понимать некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте. Предположим, существует конечное число наличных товаров n количества каждого из них, приобретенные потребителем, характеризуются набором товаров X = ( x1 , x 2 ,....., x n ) ′,

т. е. n-мерным вектором-столбцом, в котором хj обозначает количество j-гo блага, приобретенного потребителем, j=1,2,…,n. Будем считать, что все товары обладают свойством произвольной делимости, так что может быть куплено любое неотрицательное количество каждого из них. Тогда все возможные наборы товаров являются векторами пространства товаров. C = { X = ( x1 , x 2 ,..., x n )′ x j ≥ 0, j = 1,2,...., n}

Таким образом, пространство С является неотрицательным ортантом евклидова пространства, замкнутым и выпуклым множеством. Отношение предпочтения Выбор потребителем некоторого набора товаров отчасти зависит от его вкусов.

Они

характеризуются

слабым

отношением

предпочтения,

«предпочтительнее, чем» или «равноценен», которое записывается знаком f . Это отношение является одним из основных понятий теории потребления. Таким образом, запись x f y, где х и у являются наборами товаров (точками пространства товаров С), означает, что рассматриваемый потребитель либо предпочитает набор х набору у, либо не делает между ними различий, т. е. х, по крайней мере, так же хорош, как и у, согласно вкусам этого покупателя. Тогда можно определить понятия безразличия и строгого предпочтения в терминах слабого отношения предпочтения: наборы 48

товаров х и у безразличны для потребителя (записывается х ~ у) тогда и только тогда, когда каждый из них предпочтительнее или безразличен по отношению к другому, т. е. х ~ у, если и только если х f у и y f x

(1)

и потребитель предпочитает набор х набору у (записывается x f y), если и только если х предпочтительнее или безразличен у, а у не предпочтителен или не безразличен х. x f у, если и только если х f у, а отношение у f х несправедливо.

(2)

В дальнейшем будет предполагаться, что слабое отношение предпочтения удовлетворяет двум основным аксиомам. Первая

них утверждает, что это

отношение является совершенной полуупорядоченностыо в пространстве товаров С. Отношение называется совершенным, если для двух данных наборов х и у из С справедливо одно из двух: либо х f у, либо y f x (либо одновременно). Это означает, что в пространстве товаров нет таких «пробелов», в которых предпочтения не существуют. Иными словами, потребитель может сравнить два любых набора товаров х и у и указать, который для него предпочтительнее, то есть x f у, y f x, х ~ у). Отношение называется полуупорядоченным, если оно транзитивно, т е. для трех заданных наборов х, у и z из С выполняется условие: если х f у и y f z, то x f z, что

выражает

совместимость

предпочтений

(или

непротиворечивость

потребительских взглядов). Отношение f называется рефлексивным, если для любого набора х из С xf x Очевидно, что если отношение предпочтения совершенно, то оно рефлексивно. 49

Отношение, обладающее свойствами транзитивности и рефлексивности, называется полуупорядоченностъю. Из первой основной аксиомы, утверждающей, что слабое отношение предпочтения товаров,

является

вытекает,

что

совершенной отношение

полуупорядоченностью безразличия

является

пространства отношением

эквивалентности, которое транзитивно, так как при заданных х, у и z из С, если х ~ у и y ~ z, то x~ z (если x f у, y f z, то x f z) рефлексивно, так как при заданном х из С х ~ x (каждый набор блага не хуже самого себя) и симметрично, так как при заданных х и у из С х ~ у означает у ~ х. Для доказательства, например, транзитивности заметим, что х ~ у и у ~ z означают по определению безразличия, что х f у и y f z и что

z f y и у f x.

Тогда по транзитивности слабого отношения предпочтения x f z и z f x, из чего вытекает х ~ z . Будучи отношением эквивалентности, отношение безразличия подразделяет пространство товаров на классы эквивалентности — попарно непересекающиеся подмножества, называемые множествами безразличия, каждое из которых состоит из всех наборов, безразличных (эквивалентных с точки зрения данного потребителя) заданному набору х. I x = { y ∈ C y ~ x}

(3)

Вторая основная аксиома утверждает, что слабое отношение предпочтения непрерывно, т е предпочтительные множества, каждое из которых состоит из всех таких наборов, которые предпочитаются или безразличны заданному набору х Px = { y ∈ C y f x} ,

(4)

и непредпочтительные множества, каждое из которых состоит из всех наборов, для которых заданный набор х предпочтителен или безразличен 50

NPx = { y ∈ C x f y} ,

(5)

являются замкнутыми множествами пространства товаров для любого набора х. По этой аксиоме оба множества содержат все граничные точки, причем для обоих множеств граничные точки образуют множество безразличия Ix, равное пересечению. Px ∩ NPx

Из

двух

основных

аксиом

совершенной

полуупорядоченности

и

непрерывности следует, что существует непрерывная действительная функция

U (⋅) , определенная на пространстве товаров С, называемая функцией полезности, для которой U ( x) ≥ U ( y ) , только, если x

f y.

Конечно, если такая функция полезности существует, то она не единственна. Так, например, возьмем любой луч в пространстве товаров, который проходит через начало координат. Примем в качестве полезности какого-либо набора расстояние от начала координат до точки на луче, которая принадлежит тому же множеству безразличия, что и рассматриваемый набор. С другой стороны, в качестве функции полезности одинаково хорошо может сложить любая монотонная строго возрастающая функция расстояния вдоль луча и вообще, если U(x) является функцией полезности, то ею же является и ϕ [U ( x ) ] , где

φ — строго возра-

стающая функция ( φ ′ > 0 ). Таким образом, aU(x)+b, где а и b — константы и а > 0, так же как и eU(x), могут выступать в качестве функции полезности. На самом деле

образовать

функцию

полезности

можно

с

помощью

любого

последовательного множества чисел, которому поставлены в соответствие множества безразличия таким образом, что число соответствующее «более высокому» множеству безразличия (в направлении предпочтения), является большим, чем число, соответствующее «более низкому». Такую функцию иногда называют порядковой функцией полезности, а значения, принимаемые этой функцией, — порядковыми полезностями. 51

Остальные аксиомы можно сформулировать либо в терминах отношения предпочтения, либо в терминах функции полезности. Аксиома ненасыщения (в терминах отношения предпочтения) утверждает, что для данных двух наборов x и y из C x ≥ y (т.е.x j ≥ y j для всех j) влечет x f y,

х ≥ у и x ≠ y влечет x f y Таким образом, если х содержит не меньшее количество каждого товара, чем у, то х должен быть предпочтительнее или равноценен у, в то время как если х содержит не меньшее количество каждого товара, а одного товара содержит больше, чем у, то х должен быть предпочтительнее у. В терминах функции полезности аксиома ненасыщения утверждает: х ≥ у, влечет U(x) ≥ U(y), х ≥ у и x ≠ y влечет U(x) > U(y). Будем считать U(x) дифференцируемой, тогда аксиома ненасыщения требует, чтобы все первые частные производные функции полезности, называемые предельными полезностями, были положительными. ∂U ∂U ∂U ∂U ( x) = MU ( x) = ( ( x), ( x),...., (n)) > 0 . ∂x ∂x n ∂x1 ∂x 2

Таким образом, в любой точке пространства товаров возрастание потребления любого товара при постоянном потреблении всех остальных товаров приводит к увеличению полезности. MU j ( x) =

∂U ( x) > 0, j = 1,2,....n ∂x j

Следующая

аксиома

строгой

выпуклости

утверждает

в

терминах

отношения предпочтения, что если х и у — различные наборы в С, такие, что y f x, то ау + (1 — а)х f х для всех а, 0 < а < 1, 52

(6)

где выпуклая комбинация αy

j

+ (1 − α ) x

множество

ау + (1 — а)х является набором, состоящим из

единиц товара j,

j

предпочтений,

j=1,2,…n. На рис.1 иллюстрируется

удовлетворяющее

этой

аксиоме,

где

граница,

множество безразличия для х, называется кривой безразличия; y 1 f x и y 1 ~ x в терминах функции полезности (предположение выпуклости) означает, что Pa = { y ∈ C U ( y ) ≥ a}

является строго выпуклым для всех действительных чисел a, или равнозначно

U (⋅) является строго квазивогнутой. x2 Y

1

Множество предпочтений Px =[ y єC /y ≥x]

α y 1 + (1 − α ) x

x

α y 2 + (1 − α ) x

Кривая безразличия

Y2

x1

Рисунок 1- Множество предпочтений для n=2 Более сильное утверждение этой аксиомы, которое используется ниже, состоит в том, что при предположении, что U (⋅) является дважды дифференцируемой и имеет непрерывные вторые частные производные, матрица Гессе, состоящая из вторых частных производных, отрицательно определена.

53

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ∂ 2U H = (x) = ⎜ 2 ∂ x1 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ∂ 2U ∂ 2U (x)L (x) ⎟ ∂ x1∂ x 2 ∂ x1∂ x n ⎟ ⎟ 2 2 2 ∂ U ∂ U ∂ U ⎟ x x L (x) ( ) ( ) ⎟ ∂ x 2 ∂ x1 ∂x 2 x n ∂ x 22 ⎟ M ⎟ ⎟ ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U ⎟ x (x) (x)L ( ) ∂ x n ∂ x1 ∂x n ∂x 2 ∂ x n2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ∂ 2U (x) ∂ x 12

Это означает, что функция полезности строго вогнута. В частности, ∂ 2U ( x) < 0, ∂x 2j

(7)

j = 1,2,...n,

т.е. предельная полезность любого товара уменьшается по мере того, как продукт потребляется. Это допущение получило название закона Госсена. Таблица 6

Примеры функций полезности

Тип функции

Функции полезности

Ограничение

полезности Квадратичная

Логарифмическая (Бернулли)

Постоянной эластичности

U ( x) = ax +

U (x) =

n

∑a j =1

a + x′B > 0

1 x ′Bx 2

j

B отрицательно определена

log( x j − x j )

aj 1−b U ( x) = ∑ (x j − x j ) j j =1 1 − b j n

54

aj > 0

⎫⎪ ⎬ x j > x j ≥ 0 ⎪⎭ j = 1, 2 ,..., n

⎫ ⎪ 0 < bj <1 ⎬ ⎪ x j > x j ≥ 0⎭ j = 1, 2 ,..., n aj > 0

В таблице 6 приведены три типа функций полезности, соответствующие принятым

допущениям.

Заметим,

что

потребленные

количества

x

в

квадратическом случае должны быть ограничены; тогда будет удовлетворяться аксиома ненасыщения. Заметим также, что функция полезности с постоянной эластичностью сводится к логарифмической функции полезности по мере того, как все bj приближаются к единице; в этом случае MU j = a j ( x j − x j ) −1 ,

j = 1,2,...n. .

55