М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и Ф и зи ч е ски й ф а культе т Ка ф е др а те о р е ти ч е ско й ф и зи ки
З а да чипо к в а нт о в о й м еха ник е Ч а ст ь 1 М е то ди ч е ско е по со б и е к пр а кти ч е ски м за няти ям по кур су «Ква нто ва я ме ха ни ка » для студе нто в ф и зи ч е ско го ф а культе та спе ц. 200200, 010400 и 071500 дне вно го и ве ч е р не го о тде ле ни й
Авто р ы : А.Н. Алма ли е в, И.В. Ко пы ти н, А.С . Ко р не в, Т.А. Чур а ко ва
Во р о не ж 2002
2 С о дер жа ние 1. Во лно ва я ф ункци я. Опе р а то р ы ..................................................................3 2. С о б стве нны е ф ункци и и со б стве нны е зна ч е ни я о пе р а то р о в...................7 3. Изме р и мо сть ф и зи ч е ски х ве ли ч и н ............................................................13 4. С о о тно ше ни е не о пр е де ле нно сте й ф и зи ч е ски х ве ли ч и н ..........................17 5. Ди ф ф е р е нци р о ва ни е о пе р а то р о в по вр е ме ни . Инте гр а лы дви же ни я в ква нто во й ме ха ни ке .............................................20 6. Ур а вне ни е Ш р е ди нге р а ..............................................................................23 П р едисло в ие На сто ящ е е по со б и е пр е дна зна ч е но для студе нто в-ф и зи ко в все х спе ци а льно сте й. Оно со ста вле но в со о тве тстви и с пр о гр а ммо й М и нвуза РФ по кур су «Ква нто ва я ме ха ни ка ». П о со б и е вклю ч а е т ше сть р а зде ло в, со де р жа щ и х о сно вны е те о р е ти ч е ски е по ло же ни я вво дно й ч а сти кур са , а та кже ме то ди ч е ски е ука за ни я к р е ше ни ю за да ч . Ка жды й р а зде л на ч и на е тся с кр а тко го те о р е ти ч е ско го вве де ни я, в ко то р о м пр и ве де ны о сно вны е по ло же ни я те мы , да ле е по др о б но р а зб и р а ю тся не ско лько ти по вы х за да ч , пр и во ди тся б о льшо е ко ли ч е ство за да ч р а зли ч но й сте пе ни сло жно сти для са мо сто яте льно го р е ше ни я.
Осно вны е ф и зи ч е ски е ко нста нты , не о б хо ди мы е пр и р е ше ни и за да ч : по сто янна я П ла нка
h = 1,054 ⋅ 10−34 Дж·с
ма сса эле ктр о на
m = 9,11 ⋅ 10−31 кг
б о р о вски й р а ди ус
a 0 = h2/ me2 = 0,529 ⋅ 10−10 м
за р яд эле ктр о на 1 эВ = 1,6 ⋅10−19 Дж
e = 1,6 ⋅10−19 Кл
3 1. В о лно в а я ф унк ция. О пер а т о р ы С о сто яни е си сте мы (ч а сти цы ) в ква нто во й ме ха ни ке о пр е де ляе тся во лно r во й ф ункци е й ψ ( r , t ) , являю щ е йся ф ункци е й ко о р ди на ти вр е ме ни . Ф и зи ч е r ски й смы сл пр и это м и ме е тне са ма во лно ва я ф ункци я, а ве ли ч и на | ψ (r, t) |2 , пр е дста вляю щr а я ве р о ятно сть на йти ч а сти цу в эле ме нте о б ъе ма dV в о кр е стно сти то ч ки r в мо ме нтвр е ме ни t , т.е . r r dW (r, t) = | ψ (r, t) |2 dV . (1) Инте гр и р о ва ни е (1) по все му пр о стр а нству на о сно ва ни и те о р е мы сло же ни я ве р о ятно сте й до лжно да ть ве р о ятно сть до сто ве р но го со б ы ти я, т.е . 1: r 2 (2) ∫ | ψ (r, t) | dV = 1 . r Э то усло ви е на зы ва е тся но р ми р о вко й, а ф ункци я ψ ( r , t ) , удо вле тво р яю щ а я е му, — но р ми р о ва нно й. Во лно ва я ф ункци я до лжна удо вле тво р ять та к на зы ва е мы м "ста нда р тны м" усло ви ям, т.е . б ы ть о дно зна ч но й, не пр е р ы вно й и ко не ч но й во все х то ч ка х пр о стр а нства . Для то го ч то б ы устр а ни ть пр о ти во р е ч и е ме жду ко р пускуляр ны м и во лно вы м о пи са ни е м явле ни й, о ка за ло сь не о б хо ди мы м вве сти спе ци а льны й по стула т, та к на зы ва е мы й пр и нци п супе р по зи ци и : е сли ква нто ва я си сте ма (ч а сти ца ) мо же тна хо ди ться в со сто яни ях, о пи сы ва е мы х во лно вы ми ф ункци ями ψ1 , ψ 2 , K ψ n , то и х ли не йна я ко мб и на ци я (супе р по зи ци я)
ψ = ∑ a nψ n n
та кже являе тся во лно во й ф ункци е й, о пи сы ва ю щ е й во змо жно е со сто яни е си сте мы . Зде сь a n — пр о и зво льны е по сто янны е . П р и нци п супе р по зи ци и вскр ы ва е тма те ма ти ч е скую пр и р о ду ква нто во го со сто яни я, о н ука зы ва е т на то , ч то со сто яни е си сте мы до лжно о пи сы ва ться не ко то р ы м ве кто р о м — ве кто р о м со сто яни я, являю щ и мся эле ме нто м ли не йно го пр о стр а нства . П р и это м мо жно р а ссма тр и ва ть о пе р а ци ю пе р е хо да о т о дно го ве кто р а со сто яни я (во лно во й ф ункци и ) к др уго му ве кто р у со сто яни я. С и мво ли ч е ски эту о пе р а ци ю мо жно пр е дста ви ть ка к р е зульта т де йстви я на ψ не ко то р о го о пе р а то р а : € = ψ' . Lψ Опе р а то р о м на зы ва е тся со во купно сть ма те ма ти ч е ски х де йстви й, по зво ляю щ и х по луч и ть и з да нно й ф ункци и др угую ф ункци ю .
4 Алге б р а о пе р а то р о в € на зы ва е тся суммо й о пе р а то р о в C € и B € (C €=A €+B €) , е сли для 1. Опе р а то р C пр о и зво льно й ф ункци и ψ вы по лняе тся со о тно ше ни е :
€ψ . €ψ = A €ψ + B C € и € на зы ва е тся пр о и зве де ни е м двух о пе р а то р о в A 2. Опе р а то р C € B) € , е сли вы по лняе тся р а ве нство : ( C€ = A
€ B
€ψ = A € (B €ψ) , C где ψ — пр о и зво льна я ф ункци я. С на ч а ла де йствуе то пе р а то р , сто ящ и й б ли €. же к ф ункци и ψ , а за те м на это тр е зульта тде йствуе то пе р а то р A €B €B € ≠ BA € € , т.е . A € − BA € € ≠ 0 . Е сли вы по лняе тся р а ве нстВ о б щ е м случ а е A € на зы ва ю т ко ммути р ую щ и ми , в пр о €B € − BA € € = 0 , то о пе р а то р ы A € и B во A
€B € B] € − BA € € = [A, € на зы ва ти вно м случ а е — не ко ммути р ую щ и ми . Опе р а то р A €и B € . Оч е ви дно , ч то вы по лняе тся р а ве нство е тся ко ммута то р о м о пе р а то р о в A €, B €] . €] = −[B €, A [A € = 1 ) , е сли пр и е го де йстви и на € на зы ва е тся е ди ни ч ны м (A 3. Опе р а то р A пр о и зво льную ф ункци ю ψ вы по лняе тся со о тно ше ни е : € = ψ. Aψ €=B €) , е сли для пр о и зво льно й 4. Два о пе р а то р а на зы ва ю тся р а вны ми ( A ф ункци и ψ и ме е тме сто со о тно ше ни е : €ψ = B €ψ . A € на зы ва е тся нуле вы м ( A € = 0 ) , е сли р е зульта те го де йстви я на 5. Опе р а то р A пр о и зво льную ф ункци ю ψ е сть 0: €ψ = 0 . A € о пр е де ляе тся 6. Де йстви те льна я це ла я по ло жи те льна я сте пе нь n о пе р а то р а A со о тно ше ни е м:
€n ψ = A € ⋅A € ⋅K ⋅ A € A 14 243 ψ . n раз
В ква нто во й ме ха ни ке ка ждо й ф и зи ч е ско й (на б лю да е мо й) ве ли ч и не ста ви тся в со о тве тстви е не ко то р ы й о пе р а то р F€ . П р и это м зна ни е но р ми r р о ва нно й во лно во й ф ункци и ψ ( r , t ) не ко то р о го со сто яни я по зво ляе твы ч и сли ть ср е дне е зна ч е ни е ко о р ди на ты , и мпульса и др уги х ф и зи ч е ски х ве ли ч и н в это м со сто яни и : r r < F > = ∫ ψ* (r, t) F€ψ (r,t) dV . (3)
5 Опе р а то р ы ф и зи ч е ски х ве ли ч и н до лжны б ы ть ли не йны ми (ч то б ы вы по лнялся пр и нци п супе р по зи ци и ) и са мо со пр яже нны ми (эр ми то вы ми ). Э р ми то во сть не о б хо ди ма для то го , ч то б ы ср е дни е зна ч е ни я ф и зи ч е ски х ве ли ч и н, со о тве тствую щ и е эти м о пе р а то р а м, б ы ли де йстви те льны ми . У сло ви е са мо со пр яже нно сти (эр ми то во сти ) и ме е тви д:
∫ ψ1 F€ψ2dV = ∫ ψ2 F€ ψ1dV . *
* *
Ф ункци и ψ1 и ψ 2 до лжны удо вле тво р ять ста нда р тны м усло ви ям. П р и ве де м ви д о пе р а то р о в о сно вны х ф и зи ч е ски х ве ли ч и н. r r r = r . Он со впа да е тсо зна ч е ни е м ко о р ди на ты , е го 1. Опе р а то р ко о р ди на ты : € де йстви е на ф ункци ю сво ди тся к о б ы ч но му умно же ни ю это й ф ункци и на ко о р ди на ту. r r ∂ r ∂ r ∂ r 2. Опе р а то р и мпульса : p€ = −ih∇ = − ih ( i +j + k ) — ве кто р ны й о пе ∂x ∂y ∂z р а то р , и ме ю щ и й пр о е кци и : r p€x = − ih ∂ ∂x ; p€y = − ih ∂ ∂y; p€z = − ih ∂ ∂z , и p€2 = p€2x + p€2y + p€2z . r r r 3. Опе р а то р мо ме нта ко ли ч е ства дви же ни я L€ = € r × p€ — ве кто р ны й о пе р а то р , пр о е кци и ко то р о го мо гутб ы ть по луч е ны и з о пр е де ли те ля: r r r i j k r€ L= x y z ;
[ ]
p€x
p€y
p€z
L€x = y p€z − z p€y ; L€y = z p€x − x p€z ; L€ z = x p€ y − y p€x ; L€2 = L€2x + L€2y + L€2z ; в сф е р и ч е ско й и ли ци ли ндр и ч е ско й си сте ма х ко о р ди на т L€z = − ih ∂ ∂ϕ. r 4. Опе р а то р ки не ти ч е ско й эне р ги и T€ = p€2 2m и ли 1 ∂2 ∂2 h2 2 h2 ∂ 2 2 2 2 € T= (p€x + p€y + p€z ) = − ∇ =− ( + + ). 2m 2m 2m ∂x 2 ∂y2 ∂z 2 r 5. Опе р а то р по те нци а льно й эне р ги и U( r ) — ска ляр ны й о пе р а то р , со впа да ю щ и й со сво и м зна ч е ни е м. € (га ми льто ни а н) H € = T€ + U(rr ) . 6. Опе р а то р по лно й эне р ги и H 2 r € = − h ∇2 + U(r) H . 2m
6 П р и ве де м ко ммута ци о нны е со о тно ше ни я ме жду о пе р а то р а ми о сно вны х ф и зи ч е ски х ве ли ч и н (и нде ксы i, j, k пр и ни ма ю тзна ч е ни я 1, 2, 3 и со о тве тствую тпр о е кци ям x, y, z в де ка р то во й си сте ме ко о р ди на т):
[ri , r j ] = 0 ;
[p€i , p€j ] = 0 ;
[ri , L€ j ] = i h εijk rk ;
€i ,L€2 ] = 0 ; [L
€ j ] = ih εijk p€k ; [p€i , L
[ri , p€j ] = ih δij ; €i , L€ j ] = i h εijk L €k . [L
Зде сь εijk — е ди ни ч ны й а нти си мме тр и ч ны й те нзо р 3 р а нга ;
εijk
0,е сли со впа да ю т2 и ли все 3 и нде кса i,j,k ; 1, е сли и нде ксы i, j, k пр и ч е тно й пе р е ста но вке пр и хо дятк = по сле до ва те льно сти 1,2,3; −1, е сли и нде ксы i, j, k пр и не ч е тно й пе р е ста но вке пр и хо дятк по сле до ва те льно сти 1,2,3 . Ра ссмо тр и м пр и ме р ы .
П р и ме р 1. Вы ч и сли ть ко ммута то р о пе р а то р о в ко о р ди на ты x и ки не ти ч е ско й эне р ги и T€ . Р еш ение.
r p€2 1 1 € [x, T] = [ x, ]= [x, (p€2x + p€2y + p€2z )] = ([x, p€2x ] + [x, p€2y ] + [x, p€2z ]) = 2m 2m 2m 1 = [ x, p€2x ] , та к ка к [x, p€2y ] = [x, p€2z ] = 0 . 2m П о де йствуе м о пе р а то р о м [x, p€2x ] на пр о и зво льную ф ункци ю ϕ(x) : [x, p€2x ] ϕ(x) = x p€2x ϕ(x) − p€2x x ϕ(x) = −h 2 [
d2
(x ϕ(x))] = dx 2 d d = − h 2[ ϕ ' ' − ( ϕ + xϕ' ) ] = − h 2 (ϕ ' ' − 2ϕ ' − ϕ ' ' ) = 2h 2 ϕ ; dx dx 2 € = h d = ih p€ . та ки м о б р а зо м, [x, T] x m dx m П р и ме р 2. До ка за ть эр ми то во сть о пе р а то р а p€ x . dx 2
ϕ(x) −
d2
Р еш ение. Не о б хо ди мо до ка за ть р а ве нство сле дую щ и х и нте гр а ло в: ∞
∫
−∞
ψ1∗ p€x
ψ2 dx =
∞
∫ ψ2 p€x ψ1 dx , *
−∞
пр и ч е м ф ункци и ψ1 и ψ2 удо вле тво р яю т
ста нда р тны м усло ви ям. Инте гр и р о ва ни е по ч а стям и нте гр а ла , сто ящ е го сле ва , да е т:
7
−ih ∫ ψ1∗ =
∞
∂ ψ2 dx = −ih [ψ1* ψ 2 ∂x
∫ ψ2 p€x ψ1 dx ; зде сь мы *
+∞ −∞
− ∫ ψ2
∂ * ∂ * ψ1 dx] = ∫ ψ 2 ih ψ1 dx = ∂x ∂x
и спо льзо ва ли р а ве нство нулю ф ункци й ψ1 , ψ 2 на
*
−∞
б е ско не ч но сти . Та ки м о б р а зо м, о пе р а то р p€x эр ми то в. З а да чидля са м о ст о ят ельно го р еш ения 1. П р о ве р и ть ли не йно сть о пе р а то р а ко мпле ксно го со пр яже ни я. 2. П р о ве р и ть са мо со пр яже нно сть о пе р а то р а Л а пла са . ∧
3. П о ка за ть, ч то сумма пр о и зво льно го о пе р а то р а A и е го со пр яже нно го о пе р а то р а е сть са мо со пр яже нны й о пе р а то р . 4. На йти о пе р а то р , эр ми то во со пр яже нны й пр о и зве де ни ю двух о пе р а то ∧
∧+ ∧
∧
+
ро в A и B ( B A ) . 5. На йти о пе р а то р , эр ми то во со пр яже нны й о пе р а то р у ∧
∂n ∂x n
∧
n n ∂ . ( −1) n ∂ x ∧
∧
6. До ка за ть, ч то е сли о пе р а то р ы A и B эр ми то вы , то о пе р а то р ы A + B и ∧∧
∧ ∧
A B + BA та кже эр ми то вы . ∧
∧2
∧
∧
∧
∧
∧
7. П о ка за ть, ч то [A, B ] = 2 B , е сли [A, B ] = 1 . 8. П о ка за ть, ч то пр о и зво льны й о пе р а то р мо жно пр е дста ви ть в ви де : ∧
∧
∧
F = A + i B , где A и B — эр ми то вы о пе р а то р ы . ∧
∧
9. Опе р а то р F не эр ми то в. В та ко м случ а е о пе р а то р F
2
б уде т эр ми то -
∧
вы м? (эр ми то ва и а нти эр ми то ва ч а сти F ко ммути р ую т). 10. На йти ко ммута то р о пе р а то р а x и о пе р а то р а Л а пла са . ( 2∂ ∂x ) . € = p€2 2m + U(x) : 11. Вы ч и сли ть ко ммута то р ы для га ми льто ни а на H ∧
∧
∧
∧
∧
2 а ) [H, x] ; б ) [H, px ] ; в) [H, p x ] . ∧
∧
( ih p x m ; ih dU dx ; 2ih px dU dx + h2 d 2 U dx 2 ) . ∧ r r r 12. Вы р а зи ть о пе р а то р па р а лле льно го пе р е но са Tar ψ(r ) = ψ( r + a ) ч е р е з rr ф ункци ю о пе р а то р а и мпульса . exp (i a p€ / h) .
(
)
13. На йти р е зульта т де йстви я о пе р а то р а exp ( kx
( ψ [ ( k +1 ) x ] ) .
d ) на ф ункци ю ψ(x) . dx
8
r 14. На йти о пе р а то р б е ско не ч но ма ло го по во р о та во кр угна пр а вле ни я n и r€ r r€ вы р а зи ть е го ч е р е з о пе р а то р мо ме нта и мпульса L . ( 1 + i nL dϕ h ) . 2. С о бст в енные ф унк цииисо бст в енные зна чения о пер а т о р о в С о б стве нны е ф ункци и и со б стве нны е зна ч е ни я о пе р а то р о в о пр е де ляю тся и з ур а вне ни я:
€ψ = A ψ , A n n n
(4)
где A n — ко нста нта , не за ви сящ а я о тко о р ди на ты . Э то ур а вне ни е в за ви си мо сти о тви да о пе р а то р а мо же тпр е дста влять со б о й ди ф ф е р е нци а льно е , тр а нсце нде нтно е ур а вне ни е и ли си сте му ли не йны х а лге б р а и ч е ски х ур а вне ни й. За да ч а на со б стве нны е ф ункци и и со б стве нны е зна ч е ни я ф о р мули р уе тся та ки м о б р а зо м, ч то б ы со б стве нны е ф ункци и ψ n удо вле тво р яли ста нда р тны м усло ви ям (ко не ч но сть, о дно зна ч но сть, не пр е р ы вно сть). Э то мо же т пр и ве сти к о гр а ни ч е ни ю на со б стве нны е зна ч е ни я A n , т.е . р е ше ни я ур а вне ни я (4) б удутсущ е ство ва ть не пр и все х зна ч е ни ях A, а ли шь пр и не ко то р ы х и зб р а нны х: A1 , A 2 ,K A n K С о о тве тствую щ и е р е ше €, а ни я (4) ψ , ψ ,K ψ на зы ва ю тся со б стве нны ми ф ункци ями о пе р а то р а A 1
2
n
зна ч е ни я A1 , A 2 ,K A n — со б стве нны ми зна ч е ни ями . С о во купно сть все х со б стве нны х зна ч е ни й о пе р а то р а на зы ва е тся е го спе ктр о м. С пе ктр мо же тб ы ть ди скр е тны м, ко гда во змо жны ли шь о тде льны е зна ч е ни я A1 , A 2 ,K A n K (ве ли ч и на A ква нтуе тся), ли б о не пр е р ы вны м, ко гда во змо жны все зна ч е ни я A в не ко то р о м и нте р ва ле . П р и это м эр ми то в о пе р а то р все гда и ме е тде йстви те льны й спе ктр ( A n = A*n ) в случ а е ди скр е тно го спе ктр а и A = A∗ в случ а е не пр е р ы вно го спе ктр а ). В ква нто во й ме ха ни ке по стули р уе тся, ч то эти со б стве нны е зна ч е ни я и являю тся те ми во змо жны ми зна ч е ни ями ф и зи ч е ско й ве ли ч и ны , ко то р ы е мо жно на б лю да ть экспе р и ме нта льно . В то м случ а е , ко гда о дно му со б стве нно му зна ч е ни ю со о тве тствую тне ско лько ли не йно не за ви си мы х со б стве нны х ф ункци й, спе ктр о пе р а то р а на зы ва е тся вы р о жде нны м. Чи сло эти х ф ункци й на зы ва е тся кр а тно стью вы р о жде ни я. В за ви си мо сти о т ха р а кте р а спе ктр а (ди скр е тны й и ли не пр е р ы вны й) со б стве нны е ф ункци и о б ла да ю тсле дую щ и ми сво йства ми : а ) случ а й ди скр е тно го спе ктр а . 1. Ор то но р ми р о ва нно сть: ∞
1, m = n . * ψ ( ξ ) ψ ( ξ ) d ξ = δ ; δ = (5) m n mn mn ∫ 0, m ≠ n . −∞ Инте гр а л б е р е тся по все й о б ла сти и зме не ни я пе р е ме нны х ξ , о тко то р ы х за ви сятсо б стве нны е ф ункци и .
9 2. С и сте ма со б стве нны х ф ункци й лю б о го эр ми то ва о пе р а то р а являе тся по лно й, т.е . лю б а я ф ункци я ψ(ξ) , о пр е де ле нна я в то й же о б ла сти пе р е ме нны х и по дч и няю щ а яся те м же гр а ни ч ны м усло ви ям, ч то и со б стве нны е ф ункци и ψ1, ψ 2 ,K ψ n ,K, мо же тб ы ть пр е дста вле на в ви де
ψ(ξ) = ∑ cn ψ n ( ξ) , где cn =
(6)
n
∞
∫ ψn (ξ) ψ(ξ) dξ . *
(7)
−∞
У сло ви е по лно ты мо жно за пи са ть и на ч е :
∑ ψn ( ξ ) ψ*n ( ξ' ) = δ(ξ − ξ' ) .
(8)
n
δ(ξ − ξ' )
— де льта -ф ункци я Ди р а ка .
б ) случ а й не пр е р ы вно го спе ктр а . 1. С о б стве нны е ф ункци и , пр и на дле жа щ и е р а зны м со б стве нны м зна ч е ни ям F и F' , о р то го на льны и но р ми р о ва ны на δ -ф ункци ю : ∞
∫ ψF (ξ) ψF′ (ξ) dξ = δ(F − F′) . *
(9)
-∞
2. С во йство по лно ты и ме е тви д:
ψ(ξ) =
∞
∫ c(F) ψ F (ξ) dF ,
(10)
-∞
где
c(F) = и ли , а на ло ги ч но (8):
∞
∫ ψ F ( ξ) ψ ( ξ) dξ *
(11)
−∞ ∞
∫ ψF ( ξ′) ψF ( ξ) dF = δ( ξ − ξ′) . *
(12)
-∞
П р и ве де м сво йства Ди р а ка δ( x ) . Де льта -ф ункци я о пр е де ляе тся со о тно ше ни ями : 0, x ≠ 0 δ(x) = ; ∞, x = 0 ∞
∫ f ( x ) δ ( x − a ) dx = f ( a )
-∞
;
∞
∫ δ ( x ) dx = 1 .
−∞
Ви дно , ч то о на и ме е т р а зме р но сть о б р а тную р а зме р но сти а р гуме нта . δ ф ункци я о пр е де ле на за да ни е м пр а ви л и нте гр и р о ва ни я е е пр о и зве де ни й с не пр е р ы вны ми ф ункци ями . δ -ф ункци ю Ди р а ка мо жно пр е дста ви ть в ви де пр е де ло в:
10
sin ( Lx ) ; x π L→∞
1) δ ( x ) = lim
1 α . 2 2 α→0 π α + x П о ле зны м являе тся р а ве нство (р а зло же ни е δ -ф ункци и в и нте гр а л Ф ур ье ): 2) δ(x) = lim
∞
∫e
ikx
dk = 2π δ(x) .
−∞
δ( x ) являе тся ч е тно й ф ункци е й: δ ( x ) = δ (− x ) . П р и ве де нны е ни же р а ве нства спр а ве дли вы , е сли и х пр и ме нять в ка ч е стве мно жи те ле й по д зна ко м и нте гр а ла : δ(x) x = 0 ; δ(ax)=δ(x) a ; f ( x ) δ( x − a ) = f ( a )δ( x − a ). Вы ч и сле ни е и нте гр а ло в, со де р жа щ и х пр о и зво дную де льта – ф ункци и , пр о и зво ди тся и нте гр и р о ва ни е м по ч а стям с уч е то м пе р е ч и сле нны х ни же сво йств. П о это му ∞
∫ δ ' ( x ) F ( x ) dx = −F ' ( 0 ) .
−∞
П р о и зво дна я δ ' ( x ) удо вле тво р яе тсо о тно ше ни ю : xδ ' ( x ) = − δ ( x ) . r Тр е хме р на я δ -ф ункци я δ ( r ) о пр е де ляе тся р а ве нство м: rr r −3 i k⋅ r 3 δ ( r ) = δ ( x ) δ ( y ) δ ( z ) = ( 2π ) ∫ e d k . Ра ссмо тр и м пр и ме р ы . П р и ме р 1. Ре ши ть за да ч у на со б стве нны е ф ункци и и со б стве нны е зна ч е ни я о пе р а то р а пр о е кци и мо ме нта ко ли ч е ства дви же ни я на о сь z (L€z ) . Р еш ение. В де ка р то вы х ко о р ди на та х L€z = x p€y − y p€x , о дна ко на и б о ле е пр о сто й ви д это то пе р а то р и ме е тв сф е р и ч е ски х ко о р ди на та х: L€z = −ih ∂ ∂ϕ , где по ляр ны й уго л ϕ ме няе тся в пр е де ла х о т0 до 2π . Та ки м о б р а зо м, за да ч а на со б стве нны е ф ункци и и со б стве нны е зна ч е ни я сво ди тся к р е ше ни ю ур а вне ни я: ∂ψ (ϕ ) − ih = L z ψ (ϕ ) . ∂ϕ Об щ е е р е ше ни е это го ур а вне ни я и ме е тви д: ψ(ϕ) = C exp ( iL z ϕ h ) , пр и это м на м не о б хо ди мы то лько те ф ункци и , ко то р ы е удо вле тво р яю тста нда р тны м усло ви ям (ко не ч но сть, не пр е р ы вно сть, о дно зна ч но сть). Ви дно , ч то
11 пр и лю б ы х Lz ф ункци я ψ (ϕ) б уде то гр а ни ч е нно й и не пр е р ы вно й. Тр е б о ва ни е о дно зна ч но сти ψ (ϕ) = ψ (ϕ + 2π ) да е т: exp ( i L z ϕ h ) = exp [ i L z ( ϕ + 2π) /h ] , и ли
exp (i2π L z h ) = 1 .
Отсю да сле дуе т, ч то L z = hm , где m = 0, ± 1, ± 2, K, т.е . ве ли ч и на пр о е кци и угло во го мо ме нта ква нтуе тся и , сле до ва те льно , ψ m (ϕ) = C exp ( im ϕ h ) . Но р ми р о во ч на я ко нста нта о пр е де ляе тся и з усло ви я: 2π
∫
ψ*m (ϕ) ψ m (ϕ) dϕ = C2
2π
0
∫ dϕ = 1 ,
т.е . C = ( 2π ) −1 2 .
0
Око нч а те льно по луч а е м на б о р со б стве нны х ф ункци й
ψ m (ϕ) = ( 2π ) −1 2e imϕ и спе ктр со б стве нны х зна ч е ни й: L z = hm , где
m = 0, ± 1, ± 2, K
П о ско льку ка ждо му со б стве нно му зна ч е ни ю со о тве тствуе тто лько о дна со б стве нна я ф ункци я, спе ктр о пе р а то р а L z не вы р о жде н. На б о р со б стве нны х ф ункци й являе тся по лны м. Де йстви те льно : ∞
∑
m =−∞
∗ ψm ( ϕ)
1 ∞ −imϕ imϕ' ψm (ϕ ') = ∑ e e = δ(ϕ − ϕ ' ) . 2π m =−∞
П р и ме р 2. Наrйти со б стве нны е ф ункци и и со б стве нны е зна ч е ни я о пе р а то р а ко о р ди на ты r . Р еш ение. Для и х на хо жде ни я не о б хо ди мо р е ши ть сле дую щ е е ур а вне ни е : r r r r r r r ψ r' (r) = r ' ψ r' (r) r Зде сь ψ rr' ( r) е сть со б стве нна я ф ункци я о пе р а то р а ко о р ди на ты , со о тве тстr вую щ а я со б стве нно му зна ч е ни ю r' r. Очr е ви дно , ч то это му ур а вне ни ю удо вле тво р яе т е ди нстве нно е р е ше ни е : δ(r − r') . С пе ктр со б стве нны х зна ч е ни й не пр е р ы ве н, на б о р со б стве нны х ф ункци й о б ла да е т сво йства ми о р то но р ми р о ва нно сти и по лно ты : r 3 rr rr 3 r r * r ∫ ψ rr′ (r ) ψ rr′′ (r ) d r = ∫ δ(r-r′) δ( r-r′′) d r = δ(r′-r′′) ;
r r r *r r r ( r ) d 3r = δ(r -r ) . ψ (r ) ψ r 1 r 2 1 2 ∫ П р и ме р 3. Ре ши ть за да ч у на со б стве нны е ф ункци и и со б стве нны е зна ч е ни я о пе р а то р а пр о е кци и и мпульса p€x . Р еш ение. С о ста ви м ур а вне ни е на со б стве нны е ф ункци и и со б стве нны е зна ч е ни я для о пе р а то р а p€x : dψ (x) −ih = p x ψ (x) . dx
12 Об щ е е р е ше ни е е сть: ψ px (x) = C ei px x h . С та нда р тны е усло ви я не на кла ды ва ю тни ка ки х о гр а ни ч е ни й на о б ла сть со б стве нны х зна ч е ни й. Та ки м о б р а зо м, спе ктр о пе р а то р а p€x не пр е р ы вны й. Опр е де ли м но р ми р о во ч ную по сто янную : ∞
∫
ψ*p (x) ψ p (x) dx
=C
∞
2
−∞
p − p′ − i x (p − p′ )/h 2 e dx = C 2 π δ = δ(p − p′) . ∫ h −∞
С уч е то м и зве стны х сво йств δ -ф ункци и C = (2πh )−1 2 . Око нч а те льно , со б стве нны е ф ункци и :
ψ p (x) = (2πh) −1 2eipx
h
.
С пе ктр о пе р а то р а — все де йстви те льны е ч и сла . С о б стве нны е ф ункци и удо вле тво р яю т сво йству по лно ты : ∞
∫ ψp (x) ψp (x) dp = δ(x − x′) . *
−∞
С ле дуе т о тме ти ть, ч то для ф о р ма льно по хо жи х по ви ду о пе р а то р о в ( p€x и L€z ) по луч и ли сь р а зли ч ны е р е зульта ты , ч то о б усло вле но о тли ч и е м в о б ла стях о пр е де ле ни я эти х о пе р а то р о в. З а да чидля са м о ст о ят ельно го р еш ения 1. На йти со б стве нны е ф ункци и и со б стве нны е зна ч е ни я о пе р а то р о в: d2 2 d d d а ) x + d dx ; б ) sin ; в) exp ( i a ) ; г) + ; dϕ dϕ dx 2 x dx ( ψ = C exp (λx − x 2 2) ; спе ктр не пр е р ы вны й ;
ψ = eimϕ , λ = sin (im) ; ψ = eimϕ , λ = a − nm ; ψ(x) = C sin (β x) x , β — лю б о е ве щ е стве нно е ч и сло ). ∧ 2
∧
∧
2. Э р ми то в о пе р а то р F удо вле тво р яе т со о тно ше ни ю F = c F , где c — ве щ е стве нно е ч и сло . Ка ко вы со б стве нны е зна ч е ни я это го о пе р а то р а ? 3. До ка за ть, ч то со б стве нна я ф ункци я ψ (x) = c exp ( − x 2 2 ) являе тся ∧
со б стве нно й ф ункци е й о пе р а то р а L = − d 2 dx 2 + x 2 и на йти со о тве тствую щ е е со б стве нно е зна ч е ни е . 4. На йти со б стве нны е ф ункци и и со б стве нны е зна ч е ни я о пе р а то р а L€ = p€x + x ( ψ = C exp ( [ − i ( x − f) (2h ) ] , f — пр о и зво льно е ве щ е стве нно е ч и сло ).
13 5. П о ка за ть, ч то со б стве нны е зна ч е ни я о пе р а то р а ква др а та лю б о й ф и зи ч е ско й ве ли ч и ны не о тр и ца те льны . 3. Изм ер им о ст ь ф изическ их в еличин В р е зульта те и зме р е ни я ф и зи ч е ско й ве ли ч и ны F в лю б о м пр о и зво льно м со сто яни и си сте мы ψ до лжно по луч а ться о дно и з со б стве нны х зна ч е ни й о пе р а то р а F€ , со о тве тствую щ е го это й ф и зи ч е ско й ве ли ч и не . В р а зло же ни и но р ми р о ва нно й во лно во й ф ункци и ψ по о р то но р ми р ва нно й си сте ме со б стве нны х ф ункци й ψ n о пе р а то р а F€ ф и зи ч е ско й ве ли ч и ны F
ψ = ∑ a nψn n
зна ч е ни я | a n | р а вны ве р о ятно сти о б на р ужи ть си сте му в со сто яни и ψ n , т.е . ве р о ятно сти то го , ч то пр и и зме р е ни и F е е зна ч е ни е о ка же тся р а вны м Fn . П р и это м ∑ | a n |2 = 1 . 2
n
В случ а е , ко гда ве ли ч и на F и ме е тне пр е р ы вны й спе ктр , а со б стве нны е ф ункци и о пе р а то р а F€ но р ми р о ва ны на δ -ф ункци ю , вы р а же ни е | a F |2 пр е дста вляе тсо б о й пло тно сть ве р о ятно сти dWF, F+ dF о б на р ужи ть ве ли ч и ну F в и нте р ва ле со б стве нны х зна ч е ни й [F, F+dF]:
dWF, F+dF = | a F |2 dF . С р е дне е зна ч е ни е ф и зи ч е ско й ве ли ч и ны F в да нно м со сто яни и си сте мы мо жно пр е дста ви ть в ви де :
< F > = ∑ |a n |2 Fn , n
и спо льзуя о пр е де ле ни е ср е дне го зна ч е ни я (3), р а зло же ни е ψ = ∑ a n ψ n и усn
∧
ло ви е F ψ n = Fn ψ n . В то м случ а е , ко гда си сте ма на хо ди тся в со сто яни и с во лно во й ф ункци е й ψ , со впа да ю щ е й с о дно й и з со б стве нны х ф ункци й ψ n о пе р а то р а F€ , ср е дне е зна ч е ни е ф и зи ч е ско й ве ли ч и ны F со впа да е тс со о тве тствую щ и м со б стве нны м зна ч е ни е м Fn . В о б щ е м случ а е сущ е ствуе тр а зб р о с во змо жны х зна ч е ни й и зме р яе мо й ве ли ч и ны о тср е дне го зна ч е ни я, ха р а кте р и зуе мы й ди спе р си е й (ср е дни м ква др а ти ч ны м о ткло не ни е м): ∧
< ( ∆F )2 > = ∫ ψ∗ ( < F − F > )2ψdξ =< F 2 > − < F >2 . Ра ссмо тр и м пр и ме р ы .
14 П р и ме р 1. С и сте ма на хо ди тся в со сто яни и , ко то р о е о пи сы ва е тся во лно во й ϕ ф ункци е й ψ (ϕ) = A e 3i cos (2ϕ) . Опр е де ли ть, ка ки е зна ч е ни я Lz и с ка ко й ве р о ятно стью б удут по являться пр и и зме р е ни и . Опр е де ли ть та кже < Lz > , ( < Lz > ) 2 и < L2z> . Р еш ение. П р и на хо жде ни и во змо жны х зна ч е ни й Lz , а та кже ве р о ятно сти и х по явле ни я на экспе р и ме нте , мо жно во спо льзо ва ться о б щ и м р е це пто м, р а ссч и та в и нте гр а лы : 2π
∫ ψ (ϕ) ψm∗ (ϕ) dϕ ,
am = где ψ m (ϕ) = (2π)
−1 2 imϕ
e
0
— со б стве нны е ф ункци и о пе р а то р а L€z . То гда ве ли -
ч и ны | a m | 2 да дути ско мы е ве р о ятно сти . Одна ко в да нно м случ а е мо жно во спо льзо ва ться б о ле е пр о сты м спо со б о м. П р е дста ви м ф ункци ю ψ (ϕ) в ви де р яда :
ψ (ϕ) = ∑ a m ψ m (ϕ) , m
ч то все гда мо жно сде ла ть, уч и ты ва я сво йство по лно ты на б о р а со б стве нны х ф ункци й о пе р а то р а L€z . Для cos (2ϕ) во спо льзуе мся ф о р муло й Э йле р а в ви ϕ
ϕ
де ( e2i + e−2i ) / 2 . То гда
ϕ ϕ A(2π)1 2 e5i ei ψ (ϕ) = + . 12 12 2 (2 π ) (2 π ) Ви дно , ч то в р а зло же ни и пр и сутствую тто лько два не нуле вы х ко эф ф и ци е нта a m : a1 = a 5 = A(2π)1 2 2 . С ле до ва те льно , в экспе р и ме нте б удут по являться
зна ч е ни я Lz = h и 5h с р а вны ми ве р о ятно стями A 2 π 2 . Для о пр е де ле ни я но р ми р о во ч но й ко нста нты A сущ е ствую т две во змо жно сти . П е р ва я — вы ч и сли ть по о б щ и м пр а ви ла м и нте гр а л: 2π
∗
∫ψ
(ϕ) ψ (ϕ) dϕ = 1 ,
0
вто р а я — во спо льзо ва ться усло ви е м −1 2
∑ | a m |2 = 1 , ч то в да нно м случ а е m
П о луч а е м πA = 1, A = π и , сле до ва те льно , a1 = a5 = 1/ 2 . П р и вы ч и сле ни и < L z > во спо льзуе мся ф о р муло й: 1 1 < Lz > = ∑ | a m | 2 (mh ) = 5h + h = 3h , 2 2 m 2
то гда < Lz > 2 = 9h 2 . Ана ло ги ч но для < Lz 2 > :
пр о щ е .
15
1
1
∑ |a m | 2 (mh)2 = 2 (25h2 ) + 2 h 2 = 13h2 . m
Об р а ти м вни ма ни е на не р а ве нство < Lz > 2 ≠ < L2z > .
r П р и ме р 2. Ча сти ца на хо ди тся в со сто яни и , о пр е де ляе мо м ф ункци е й ψ (r) . r Опр е де ли ть пло тно сть ве р о ятно сти то го , ч то ч а сти ца на хо ди тся в то ч ке r . Р еш ение. Из сво йства по лно ты на б о р а со б стве нны х ф ункци й о пе р а то р а r r r r r r (ψ rr ' ( r ) = δ (r − r ') ) сле дуе т, ч то ψ ( r ) мо жно пр е дста ви ть в ви де : r r r 3 ψ ( r ) = ∫ δ (r − r ') a rr ' d r ' . То гда ква др а т мо дуля ко эф ф и ци е нта р а зло же ни я a rr ка к р а з да е т нужную пло тно сть ве р о ятно сти . Ко эф ф и ци е нт a rr о пр е де ляе тся вы р а же ни е м: r r r r a rr ' = ∫ δ (r − r ') ψ ( r ) d 3r = ψ ( r ') .
Та ки м о б р а зо м, ве р о ятно сть о б на р уже ни я ч а сти цы в о кр е стно сти то ч ки r r r r р а вна W ( r ) = |ψ ( r )|2d 3r , ч то со гла суе тся с ф и зи ч е ски м смы сло м ква др а та мо дуля во лно во й ф ункци и . П р и ме р 3. С и сте ма на хо ди тся в со сто яни и ψ (x) = A exp ( −x 2 2a 2 + ik 0x) . Опр е де ли ть < x > , < p x > . На йти о б ла сть ло ка ли за ци и ч а сти цы и ве р о ятно сть о б на р ужи ть у не е и мпульс px . Р еш ение. Опр е де ли м о б ла сть ло | ψ(x) |2 ка ли за ци и ч а сти цы . Изве стно , ч то ве ли ч и на | ψ (x) |2 о пр е де ляе т пло тно сть ве р о ятно сти о б на р ужи ть ч а сти цу в то ч ке x . В да нно м 0 x δx случ а е т.е . | ψ (x)|2 = A2 exp ( − x 2 a 2 ) , пло тно сть ве р о ятно сти да е тся р а спр е де ле ни е м Га усса . П о луши р и на это го р а спр е де ле ни я (р а ссто яни е по о си а б сци сс о тто ч ки ма кси мума ф ункци и x = 0 до то ч ки , в ко то р о й ф ункци я спа да е т в e р а з) δ x = a, т.е . па р а ме тр a ука зы ва е тна сте пе нь ло ка ли за ци и ч а сти цы вб ли зи нуля. Но р ми р о вка A о пр е де ляе тся усло ви е м: ∞
∫
−∞
| ψ (x)|2dx = A 2
∞
∫
e− x
2 a2
dx = A 2 (a 2 π)1 2 = 1 .
−∞
Отсю да A 2 = (a 2 π) −1 2 . (М ы во спо льзо ва ли сь зна ч е ни е м и нте гр а ла П уа ссо ∞
на :
∫
−∞
e-αx dx = 2
π ). α
16 Для < x > по о пр е де ле ни ю по луч а е м: ∞
<x>=
∞
∗
∫ ψ (x) x ψ (x) dx = A ∫ e 2
−∞
− x2 a2
xdx = 0 .
−∞
Ана ло ги ч но для < p x > :
< px > = A = ihA 2
∞
∫e
−∞
∞
∫e
2
− x2 2a2 − ik0x ( − ih
−∞
2 ∂ ) e− x ∂x
2a2 + ik0 x
dx =
− x2 2a2 − ik0 x − x2 2a2 + ik0 x 2x e 2
− ik0 dx = hk0 . a
Для на хо жде ни я р а спр е де ле ни я по и мпульса м пр е дста ви м ψ (x) в ви де р а зло же ни я по со б стве нны м ф ункци ям о пе р а то р а p€x :
ψ p (x) =
ip x −1 2 h (2πh) e ; ∞
ψ (x) =
(p x ≡ p ) .
∗
∫ c(p) ψp (x) dp ,
−∞
где и ско мы е ко эф ф и ци е нты c(p) и ме ю тви д:
c (p) = (2πh)
−1 2
∞
A ∫ e− x
2 2a2 + i (k − k) x 0
dx ; (k = p h ) .
−∞
До по лняя вы р а же ни е в по ка за те ле экспо не нты до по лно го ква др а та , по луч и м:
c (p) = A (2πh)
−1 2 − a2 (k0 − k)2/2
e
∞
∫
e −[ x − i (k0− k) a
2]2 2a2
dx = A ah −1 2e − a
2 (k − k)2/ 2 0 .
−∞
(за ме ти м, ч то не смо тр я на ко не ч ны й сдви гв мни мую о б ла сть, и нте гр а л пр е дста вляе тсо б о й и нте гр а л П уа ссо на ). A 2 −a2 (k − p h )2 2 0 Ве ли ч и на | c (p) | dp = e dp е сть ве р о ятно сть о б на р ужи ть 2πh у ч а сти цы и мпульс в и нте р ва ле [p, p+dp]. | c (p)|2 гр а ф и ч е ски та кже мо же тб ы ть пр е дста вле на в ви де р а спр е де ле ни я Га усса с це н| c(p) |2 тр о м в то ч ке p = hk 0 . П о луши р и на это го р а спр е де ле ни я δp = 1 a, т.е . о б р а тна я δ x , ч то не по ср е дстве нно 0 p связа но с со о тно ше ни е м не о пр е hk 0 δp
17 де ле нно сте й (см. сле дую щ и й р а зде л). Че м то ч не е и зве стно ме сто по ло же ни е ч а сти цы , те м б о льше не о пр е де ле нно сть в ве ли ч и не е е и мпульса , и на о б о р о т. Л е гко пр о ве р и ть, ч то ∞
∫ | c (p)| dp = 1 . 2
−∞
З а да чидля са м о ст о ят ельно го р еш ения 1. Ча сти ца , дви жущ а яся в о дно ме р но й пр ямо уго льно й по те нци а льно й яме с б е ско не ч но вы со ки ми сте нка ми , на хо ди тся в о сно вно м со сто яни и с во лно во й ф ункци е й ψ (x) = ( 2 l )1 2sin ( πx l ) . На йти ве р о ятно сть на хо жде ни я ч а сти цы в о б ла сти l 3 < x < 2l 3. (W = 0,61). 2. На йти на и б о ле е ве р о ятно е зна ч е ни е ко о р ди на ты x для си сте мы , ко то р а я о пи сы ва е тся во лно во й ф ункци е й ψ (x) = A x exp ( − α2 x 2 2 ) . ( x H. B. = 1 α ) .
3. Ча сти ца на хо ди тся в со сто яни и с во лно во й ф ункци е й ψ (x) = A exp ( −αx 2 2 ) . Опр е де ли ть пло тно сть ве р о ятно сти то го , ч то пр и и зме р е ни и у ч а сти цы б уде то б на р уже н и мпульс p. ( |c(p)|2 = (απh2 )−1 2 exp ( p2 [2αh2 ] ) ). 4. Вы ч и сли ть ср е дни е зна ч е ни я (∆x) 2 и (∆p) 2 для ч а сти цы , на хо дящ е йся в со сто яни ях: а ) ψ (x) = ( 2 l )1 2sin ( πx l ) ; б ) ψ (x) = A exp (α2 x 2 ).
( < (∆x) 2 > = (1 −6 π2 ) l 2 12 ,
2
< ( ∆p) 2 > = ( πh l ) ;
< ( ∆x) 2 > = 1 4 α2 , < ( ∆p) 2 > = α2h2 ) . 5. Опр е де ли ть во змо жны е со б стве нны е зна ч е ни я ве ли ч и на L z и и х ве р о ятно сти для си сте мы , на хо дящ е йся в со сто яни и : а ) ψ(ϕ) = Asin 2ϕ ; б ) ψ (ϕ) = A (1 + sinϕ) . ( L z = 0, 2h ; W0 = 2 3 , W+2 = W−2 = 1 6 . Lz = 0, h ; W0 = 2 3 , W+1 = W−1 = 1 6 ) . 4. С о о т но ш ение нео пр еделенно ст ей ф изическ их в еличин ∧
∧
Е сли о пе р а то р ы F и G двух ф и зи ч е ски х ве ли ч и н F и G не ко ммути р ую т, то эти ве ли ч и ны не мо гутб ы ть то ч но и зме р е ны о дно вр е ме нно (в о дно м и то м же со сто яни и ). В лю б о м со сто яни и си сте мы ме жду ди спе р си ями эти х ве ли ч и н сущ е ствуе тсо о тно ше ни е не о пр е де ле нно сте й:
< (∆F)2 > < (∆G)2 > ≥
∧ ∧ 1 < [ F, G ] > 2 , 4
(13)
18 ∧
∧
€ = FG € € — ко ммута то р о пе р а то р о в F и G . € G] € € − GF где [F, Изве стно , ч то ко ммута то р о пе р а то р о в ф и зи ч е ски х ве ли ч и н в кла сси ч е ско м пр е де ле до лже н о б р а щ а ться в нуль, а по то му ве ли ч и на е го до лжна б ы ть пр о по р ци о на льна h . П о это му пр а ва я ч а сть (13) пр о по р ци о на льна h 2 . В ч а стно сти , для о пе р а то р а ко мпо не нты и мпульса и со о тве тствую щ е й ко о р ди на ты , на пр и ме р , p x и x, ∧
[ p x , x ] = − ih и со о тно ше ни е не о пр е де ле нно сте й для эти х ве ли ч и н и ме е тви д (в это м ч а стно м случ а е о но на зы ва е тся со о тно ше ни е м не о пр е де ле нно сте й Ге йзе нб е р га ):
< (∆p x ) 2 > < (∆x) 2 > ≥ h2 4 .
(14)
Оно о зна ч а е т, ч то для со сто яни я, в ко то р о м ч а сти ца ло ка ли зо ва на в о б ла сти пр о стр а нства ∆x , во змо жны й р а зб р о с зна ч е ни й е е и мпульса (о ко ло ср е дне го зна ч е ни я) за клю ч е н в о б ла сти ∆p x , о пр е де ляе мо й со о тно ше ни е м: ∆p x ≥ h / ∆x . С о о тве тстве нно мо но хр о ма ти ч е ска я во лна с о пр е де ле нны м зна ч е ни е м и мпульса (∆p x → 0 ) до лжна за по лнять все пр о стр а нство ( ∆x → ∞ ) . С о о тно ше ни е не о пр е де ле нно сте й мо жно и спо льзо ва ть для о це нки ср е дне го зна ч е ни я ки не ти ч е ско й эне р ги и ч а сти цы , дви жущ е йся в о гр а ни ч е нно й о б ла сти пр о стр а нства . В это м случ а е мо жно по ло жи ть < x > =< p > = 0 , то гда
(∆x) 2 = x 2 и (∆p) 2 = p 2 . Е сли a — ли не йны й р а зме р о б ъе ма , в ко то р о м ло ка ли зо ва на ч а сти ца , то с уч е то м (14) по луч а е м: < p2 > h2 . = 2m 8ma 2 П р и и спо льзо ва ни и со о тно ше ни я не о пр е де ле нно сте й (13) ва жно по м< E min > =
∧
∧
ни ть, ч то са мо со пр яже нны е о пе р а то р ы F и G до лжны б ы ть о пр е де ле ны на о дно м и то м же мно же стве ф ункци й. Ра ссмо тр и м пр и ме р ы . П р и ме р 1.
Для
ч а сти цы ,
2 2 x A e− x 2a + i k0 ,
ψ (x) = ли ч и н x и p x .
со сто яни е
ко то р о й
за да е тся
ф ункци е й
пр о ве р и ть со о тно ше ни е не о пр е де ле нно сте й для ве -
Р еш ение. За пи ше м со о тно ше ни е не о пр е де ле нно сте й для ко о р ди на ты и и мпульса : < (∆x) 2 > < (∆px ) 2 > ≥ h2 4 . П р и это м < (∆x) 2> =< (x − < x > )2 > = < x 2 > и
19 ∧
< (∆p) 2 > = < ( p − < p > ) 2 > = < p€2x − 2p€x < px > + < px > 2 > = < p2x > − < px > 2 = < p2x > − ( hk0 ) , та к ка к < x > = 0 и < px > 2 = hk0 (см. П р и 2
ме р 3 р а зде ла 3). С ле до ва те льно , не о б хо ди мо р а ссч и та ть < x 2 > и < p2x > . П о о пр е де ле ни ю ,
<x >= A 2
∞
2
∫e
−x2 a2 2
x dx .
−∞
Вы ч и сли м это ти нте гр а л ме то до м ди ф ф е р е нци р о ва ни я по па р а ме тр у α и нте ∞
гр а ла П уа ссо на ∞
∫e
−∞
∫
e-αx dx = ( π/α ) 2
12
−∞ ∞
: ∞
∂ −αx2 π1 2α −3 2 ∂ ∂ 12 − αx2 x dx = − ∫ e dx = − e dx ( π α ) = − = . ∫ ∂α α α 2 ∂ ∂ −∞ −∞
−αx2 2
( )
В р е зульта те , по дста ви в но р ми р о вку A = a 2 π
−1 4
, на йде нную в ука за нно м
пр и ме р е для это й ф ункци и , по луч и м < x 2 > = a 2 2. Ра ссч и та е м те пе р ь ве ли ч и ну < p2 > : ∞
2 ∂ 2 − x 2 / 2a 2 + ik x 0 dx = e − h ∫ 2 ∂x −∞ ∞ 2 1 h2 − x2 a 2 x 2 2 2 =A ∫ e - 2 + i k0 − 2 dx = 2 + h k 0 . a 2a a −∞ Око нч а те льно по луч а е м: a 2 h2 2 2 < (∆x) > < (∆p) > = = h2 4 , 2 2 2a ч то по зво ляе тне по ср е дстве нно уб е ди ться в спр а ве дли во сти со о тно ше ни я не о пр е де ле нно сте й.
=A 2
2
e− x
2
/ 2a 2 − ik0x
З а да чидля са м о ст о ят ельно го р еш ения 1. Оце ни ть не о пр е де ле нно сть ско р о сти эле ктр о на в а то ме во до р о да , по ла га я р а зме р а то ма по р ядка 0,1 нм. С р а вни ть по луч е нно е зна ч е ни е со ско р о стью эле ктр о на на пе р во й б о р о вско й о р б и те . ( ∆v ≅ 105 м с ). 2. Оце ни ть с по мо щ ью со о тно ше ни я не о пр е де ле нно сте й эне р ги ю связи эле ктр о на в о сно вно м со сто яни и а то ма во до р о да и со о тве тствую щ е е р а ссто яни е эле ктр о на о тядр а . ( Е СВ ≅ 13,6 эB; r ≅ 0,510−8см ).
20 3. М и кр о ч а сти ца ма ссы m на хо ди тся в о дно ме р но й по те нци а льно й яме с б е ско не ч но вы со ки ми сте нка ми ши р и но й L. Оце ни те ми ни ма льно во змо жную эне р ги ю ч а сти цы , е сли ∆x ∆p x ≥ πh . ( π2 h2 / (2mL2 ) ). 5. Диф ф ер енцир о в а ние о пер а т о р о в по в р ем ени. Инт егр а лы дв ижения в к в а нт о в о й м еха ник е С р е дне е зна ч е ни е ф и зи ч е ско й ве ли ч и ны являе тся в о б щ е м случ а е ф ункци е й вр е ме ни . П р о и зво дна я ср е дне го зна ч е ни я < F > по вр е ме ни являе тся ср е дни м зна ч е ни е м не ко то р о го о пе р а то р а , ко то р ы й по о пр е де ле ни ю на зы ва е тся пр о и зво дно й ф и зи ч е ско й ве ли ч и ны по вр е ме ни : d dF = < >, dt dt ∧
∧
dF ∂F 1 ∧ ∧ = + [ F, H ] . d t ∂ t ih
где ∧ ∧
(15)
∧ ∧
Опе р а то р ( F H − H F ) / ih на зы ва е тся ква нто во й ско б ко й П уа ссо на . ∧
Е сли о пе р а то р F ф и зи ч е ско й ве ли ч и ны F не за ви си тявно о твр е ме ни и ко ммути р уе тс га ми льто ни а но м, то со гла сно (15) е е ср е дне е зна ч е ни е не ме няе тся со вр е ме не м, т.е . F являе тся и нте гр а ло м дви же ни я. С ущ е ство ва ни е и нте гр а ло в дви же ни я те сно связа но с си мме тр и е й га ми льто ни а на . Де йстви те льно , е сли га ми льто ни а н и нва р и а нте н о тно си те льно ∧
не ко то р о го пр е о б р а зо ва ни я, о сущ е ствляе мо го о пе р а то р о м F, то пр и усло ви и ∧
∂ F / ∂ t = 0 ф и зи ч е ска я ве ли ч и на F б уде ти нте гр а ло м дви же ни я. Из (15) сле дуе т со хр а не ни е эне р ги и для за мкнуты х си сте м (та к ка к в ∧
это м случ а е ∂ H / ∂ t = 0 , и га ми льто ни а н ко ммути р уе тса м с со б о й). Е сли га ми льто ни а н си сте мы не ме няе тся пр и сдви ге вдо ль ка ко го -ли б о на пр а вле ни я и ли по во р о та во кр угка ко й-ли б о о пр е де ле нно й о си , то б удутсо хр а няться со о тве тстве нно пр о е кци я и мпульса на это на пр а вле ни е и ли пр о е кци я мо ме нта ко ли ч е ства дви же ни я на вы де ле нную о сь. За ко ны со хр а не ни я во зни ка ю т не то лько для не пр е р ы вны х си мме тр и й га ми льто ни а на . На ли ч и е у га ми льто ни а на ди скр е тны х си мме тр и й пр и во ди т в ква нто во й ме ха ни ке к со хр а не ни ю р яда мульти пли ка ти вны х ф и зи ч е ски х ве ли ч и н, ко то р ы е (в о тли ч и е о та дди ти вны х и мпульса и мо ме нта ко ли ч е ства дви же ни я) не и ме ю та на ло га в кла сси ч е ско й ме ха ни ке . Та к, и нва р и а нтно сть га ми льто ни а на о тно си те льно пр е о б р а зо ва ни я пр о стр а нстве нно й и нве р си и r r ( r → − r ) пр и во ди тк со хр а не ни ю ч е тно сти во лно во й ф ункци и о тно си те льно та ко й за ме ны ко о р ди на т. Ра ссмо тр и м пр и ме р ы .
21
r r П р и ме р 1. С о ста ви ть о пе р а то р ско р о сти v€ = d r dt и о пе р а то р уско р е ни я r r€ 1 dp€ a= . m dt Р еш ение. Во спо льзуе мся о б щ и м вы р а же ни е м для ди ф ф е р е нци р о ва ни я о пе р а € = pr€2 / 2m + V ( rr,t ) , ∂ rr ∂t = 0 и пр и это м то р о в по вр е ме ни (15). Та к ка к H r r rV − Vr = 0 , то по луч и м: r r r r r r p€2 dr 1 r € 1 r € r € r € € = r, T = i x, T + j y, T + k z, T , где r = i x + j y + kz и T = — dt i h ih 2m о пе р а то р ки не ти ч е ско й эне р ги и . До ста то ч но р а ссч и та ть то лько ко ммута то р x€, T€ . Он б ы л на йде н в пр и i h p€x . ме р е 1 р а зде ла 1: x€,T€ = m r r r dr 1 r 1r В р е зульта те : = ip€x + jp€y + kp€z = p€ . dt m m r r v П р и р а сч е те о пе р а то р а уско р е ни я уч те м, ч то ∂ p€ /∂ t = 0 и [p€2 / 2m, p€] = 0 , r сле до ва те льно , не о б хо ди мо р а ссч и та ть ко ммута то р [V, p€] . Для это го r по де йствуе м и м на пр о и зво льную ф ункци ю ϕ ( r ) : r r€ r r r r r r r r [V, p] ϕ (r) = − ih V (r)∇ϕ (r) − ϕ (r)∇ V (r) = ih (∇ V) ϕ (r) . r r r r dp€ = −∇ V = F€ , где F€ — о пе р а то р си лы , де йствую щ е й на ч а сти цу. Отсю да dt r 1r Око нч а те льно : a = F€ . m За ме ти м, ч то в о тли ч и е о т кла сси ч е ско го со о тно ше ни я ме жду ф и зи ч е ски ми ве ли ч и на ми , по луч е нно е ур а вне ни е являе тся о пе р а то р ны м.
[ ]
{ [ ] [ ] [ ]}
[ ]
(
)
П р и ме р 2. До ка за ть, ч то е сли по те нци а льна я эне р ги я сте пе нны м о б р а зо м за r r ви си т о т ко о р ди на ты ( U(r) = αr n , где r = r ), то для лю б о го ста ци о на р но го со сто яни я сущ е ствуе тсвязь ме жду ср е дни ми зна ч е ни ями ки не ти ч е ско й и по те нци а льно й эне р ги е й: 2 < T > = n < U > (те о р е ма о ви р и а ле ). Р еш ение. Ра ссмо тр и м по лную пр о и зво дную по вр е ме ни о тска ляр но го пр о и зrr ве де ни я о пе р а то р о в r p€ . П о луч и м: r r d r r€ d r r€ dp€ r ( r p) = p + r. dt dt dt В пр е ды дущ е м пр и ме р е б ы ло по ка за но , ч то r r r r r d r p€ dp€ = ; = −∇U( r ) . dt m dt
22 То гда
r r d r r€ p€2 r r − r ∇ U (r ) . ( r p) = dt m r r У ч и ты ва я ви д по те нци а льно й эне р ги и , р а ссч и та е м ∇ U ( r ) . Вы ч и сле ни я пр о ве де м в сф е р и ч е ско й си сте ме ко о р ди на т: r r ∂ r 1 ∂ r 1 ∂ rv n −1r r n ∇ = e + e + e ; r ∇U (r) = nα r er r = nα r = nU . r θ ϕ ∂r r ∂θ r sinϕ ∂ϕ r d r r€ p€2 − nU . Та ки м о б р а зо м, (r p) = dt m Уср е дни м это р а ве нство по пр о и зво льно му ста ци о на р но му со сто яни ю r d r r€ p€2 r r −iEt h > −n < U > . ψ (r,t) = ϕ(r) e : < (r p) > = < dt m В со о тве тстви и с о пр е де ле ни е м по лно й пр о и зво дно й ф и зи ч е ско й ве ли ч и ны по вр е ме ни по луч и м:
rr d r r€ (r p) > = d < r p€ > /dt ; dt та к ка к р е ч ь и де то ста ци о на р ны х со сто яни ях, то о ч е ви дно : r r r€ r − iEt h 3 d r r€ d < r p > = ∫ ϕ (r) eiEt h (r p) ϕ(r) e d r =0. dt dt r p€2 И о ко нч а те льно по луч а е м 2 < T > = n < U > , где уч те но , ч то = 2T€ . m <
З а да чидля са м о ст о ят ельно го р еш ения 1. На йти , ка ки е и з ме ха ни ч е ски х ве ли ч и н и ли и х ко мб и на ци и (эне р ги я, пр о е кци и и ква др а тмо ме нта ко ли ч е ства дви же ни я, пр о е кци и и мпульса , ч е тно сть) со хр а няю тся пр и дви же ни и б е сспи но вы х за р яже нны х ч а сти ц в сле дую щ и х по лях: 1) пр и сво б о дно м дви же ни и ; 2) в по ле б е ско не ч но го о дно р о дно го ци ли ндр а с о сью z; 3) в по ле б е ско не ч но о дно р о дно й пло ско сти (x, y); 4) в по ле о дно р о дно го ша р а ; 5) в по ле б е ско не ч но й о дно р о дно й по лупло ско сти (x, z), z > 0 ; 6) в по ле двух то ч е ч ны х за р ядо в; 7) в о дно р о дно м пе р е ме нно м по ле ; 8) в по ле р а вно ме р но за р яже нно го пр ямо го пр о во да с пе р е ме нны м за р ядо м; 9) в по ле о дно р о дно го тр е хо сно го элли псо и да ; 10) в по ле б е ско не ч но й о дно р о дно й ци ли ндр и ч е ско й ви нто во й ли ни и ; ( E, L z + ap z 2 πh ; a — ша гви нта );
23 11) в по ле о дно р о дно го ко нуса ; 12) в по ле кр уго во го то р а ; 13) в по ле U (z,t) = a (t) z . 2. П о ка за ть, ч то е сли ф и зи ч е ски е ве ли ч и ны f1, f 2 (со о тве тствую щ и е о пе р а ∧
∧
то р ы f1 и f 2 ) ∧ ∧
∧ ∧
являю тся ∧ ∧
и нте гр а ла ми
дви же ни я,
то
о пе р а то р а м
∧ ∧
f1 f 2 + f 2 f1 и i ( f1 f 2 − f 2 f1 ) со о тве тствую т ф и зи ч е ски е ве ли ч и ны , являю щ и е ся и нте гр а ла ми дви же ни я. 6. Ур а в нение Ш р едингер а Ур а вне ни е на и ме ньше го по р ядка , ко то р о му удо вле тво р яе т во лно ва я ф ункци я, о пи сы ва ю щ а я сво б о дно е дви же ни е , и ме е тви д: r r ∂ ψ (r, t) ∧ = H 0 ψ (r, t) , ih (16) ∂t ∧ r r r i rr где ψ (r, t) = A exp (pr − Et) ; H 0 = p€2 /2m ; E = p2/2m . h В ква нто во й ме ха ни ке по стули р уе тся, ч то за ви си мо сть во лно во й ф ункци и о твр е ме ни для пр о и зво льно го дви же ни я ч а сти цы (си сте мы ) о пи сы ва е тся ∧
ур а вне ни е м (16) с за ме но й H 0 на га ми льто ни а н, со о тве тствую щ и й это му дви же ни ю . Та ки м о б р а зо м, о сно вно е ур а вне ни е ква нто во й ме ха ни ки (ур а вне ни е Ш р е ди нге р а ) и ме е тви д: r r ∂ ψ (r, t) ∧ = H ψ (r, t) , (17) ih ∂t ∧ r r r где H = p€2 /2m + U(r,t) ; U(r , t) — по те нци а льна я эне р ги я си сте мы (ч а сти цы ). Ре ше ни е ур а вне ни я Ш р е ди нге р а до лжно удо вле тво р ять ста нда р тны м усло ви ям. П р и это м тр е б о ва ни е не пр е р ы вно сти со хр а няе тся и в те х случ а ях, r ко гда са мо по ле U(r , t) и ме е т по ве р хно сти р а зр ы ва . На та ко й по ве р хно сти до лжны о ста ва ться не пр е р ы вны ми ка к са ма ф ункци я, та к и е е пе р ва я пр о и зво дна я по ко о р ди на те . ∧
В то м случ а е , ко гда га ми льто ни а н H не за ви си тявно о твр е ме ни , т.е . ∧ r ∂ H / ∂ t = 0 , и , сле до ва те льно , U = U( r ) — по те нци а льна я эне р ги я си сте мы (ч а сти цы ), ур а вне ни е Ш р е ди нге р а (17) до пуска е т р е ше ни е с р а зде ле нны ми пе р е ме нны ми : r r ψ (r, t) = ψ (r) ϕ(t) . В р е зульта те (17) р а спа да е тся на два ур а вне ни я:
24
r r € (r) Hψ = Eψ (r) ; ih
∂ϕ = Eϕ (t) ; ∂t
i ϕ (t) = exp − Et . h
(18) (19)
У р а вне ни е (18) пр е дста вляе т со б о й ур а вне ни е на со б стве нны е ф ункци и и € , сле до ва те льно , со сто ясо б стве нны е зна ч е ни я о пе р а то р а по лно й эне р ги и H ни я, удо вле тво р яю щ и е ур а вне ни ю (18), и ме ю то пр е де ле нную эне р ги ю . Та ки е со сто яни я на зы ва ю тся ста ци о на р ны ми , а ур а вне ни е (18) на зы ва ю т ста ци о на р ны м ур а вне ни е м Ш р е ди нге р а . Во лно ва я ф ункци я ста ци о на р но го со сто яни я е сть: r r ψ (r,t) = ψ (r) e−iEt/h . П е р е ч и сли м о со б е нно сти ста ци о на р ны х со сто яни й: - за ви си мо сть во лно вы х ф ункци й ста ци о на р ны х со сто яни й о твр е ме ни о дно зна ч но о пр е де ляе тся зна ч е ни е м эне р ги и в это м со сто яни и ; - пло тно сть ве р о ятно сти и пло тно сть то ка ве р о ятно сти не за ви сят о т вр е ме ни ; - ср е дне е зна ч е ни е лю б о й ф и зи ч е ско й ве ли ч и ны , о пе р а то р ко то р о й явно не за ви си то твр е ме ни , являе тся по сто янны м; - ве р о ятно сть о б на р ужи ть о пр е де ле нно е зна ч е ни е ф и зи ч е ско й ве ли ч и ны не за ви си то твр е ме ни . П ло тно сть то ка ве р о ятно сти . Из ур а вне ни я Ш р е ди нге р а (17) с га ми льто ни а но м ∧ h2 2 H=− ∇ + U (x, y, z, t) 2m сле дуе тур а вне ни е не пр е р ы вно сти : r ∂ρ + divj = 0 , ∂t где ρ — пло тно сть ве р о ятно сти о б на р ужи ть ч а сти цу в то ч ке с ко о р ди на та ми (x, y, z) в мо ме нтвр е ме ни t, а ве кто р r r ih ∗r j=− (ψ ∇ψ − ψ ∇ψ ∗ ) 2m по сво е му смы слу пр е дста вляе т со б о й пло тно сть то ка ве р о ятно сти . Та ки м о б р а зо м, ве р о ятно ст r rь ч а стиrце пр о йти за е ди ни цу вр е ме ни ч е р е з пло щ а дку Δ σ р а вна dW dt = ( j n) Δ σ ( n — е ди ни ч ны й ве кто р но р ма ли к Δ σ ). Е сли во лно ва я ф ункци я пр е дста вле на в ви де r r ψ = A(r,t) eiϕ(r,t) , где A и ϕ — де йстви те льны е ф ункци и , то r h r j = ρ ∇ϕ , m
25 и о тли ч ны й о т нуля то к ве р о ятно сти сущ е ствуе т то лько в то м случ а е , е сли во лно ва я ф ункци я и ме е тза ви сящ ую о тко о р ди на тф а зу (е сли ψ — де йстви r те льна , т.е . ϕ = 0 то j = 0 та кже ). П р и ме р 1. Ре ши ть ста ци о на р но е ур а вне ни е Ш р е ди нге р а для ч а сти цы ма ссы m, дви жущ е йся в о дно ме р но й пр ямо уго льно й по те нци а льно й яме с б е ско не ч но вы со ки ми сте нка ми . Р еш ение. П о те нци а льна я эне р ги я и ме е тви д:
U(x)
0, е сли 0 < x < l ; U (x) = ∞, е сли x ≥ l , x ≤ 0 .
x 0 l Ча сти ца не мо же тпр о ни ка ть в о б ла сть с б е ско не ч но й по те нци а льно й эне р ги е й, и з ч е го сле дуе т, ч то в о б ла сти x < 0 и x > l во лно ва я ф ункци я то жде стве нно р а вна нулю , ч то не по ср е дстве нно сле дуе т и з ф и зи ч е ско го смы сла ква др а та мо дуля во лно во й ф ункци и . Тр е б о ва ни е не пр е р ы вно сти во лно во й ф ункци и во все й о б ла сти пр и во ди т к усло ви ю ψ (0) = ψ (l ) = 0 . Ур а вне ни е Ш р е ди нге р а в о б ла сти 0 < x < l и ме е т ви д:
−
h2 d 2 ψ (x) = Eψ ( x ) . 2m dx 2
Вве де м о б о зна ч е ни е : k 2 = 2mE /h2 , то гда это ур а вне ни е пр и ме тви д:
d2 ψ 2
+ k 2 ψ = 0.
dx Ре ше ни е это го ур а вне ни я мо жно пр е дста ви ть ка к ли не йную ко мб и на ци ю экспо не нти ли в ви де ко мб и на ци и си нусо в и ко си нусо в. В то м случ а е , ко гда дви же ни е пр о и схо ди тв о гр а ни ч е нно й о б ла сти пр о стр а нства (ф и ни тно е дви же ни е ), удо б не е по льзо ва ться сле дую щ и м пр е дста вле ни е м: ψ (x) = A sin (kx) + Bcos (kx) ; гр а ни ч но е усло ви е ψ (0) = 0 пр и во ди т к то му, ч то B = 0. Из усло ви я ψ (l ) = Asin (kl ) = 0 сле дуе т k l = π n , где n = 1, 2, 3… . С ле дуе то тме ти ть, ч то зна ч е ни я A = 0 и ли n = 0 то жде стве нно о б р а щ а ю т во лно вую ф ункци ю в нуль во все й о б ла сти , ч то со о тве тствуе тслуч а ю о тсутстви я ч а сти цы . С уч е то м вве де нно го о б о зна ч е ни я эне р ге ти ч е ски й спе ктр пр и ни ма е тви д: E n = n 2 π 2 h2 /(2m l 2) . Ви дно , ч то со во купно сть со б стве нны х зна ч е ни й о б р а зуе т ди скр е тны й спе ктр , и это по зво ляе тна м но р ми р о ва ть во лно вую ф ункци ю на 1: l
2
|A|
∫ sin 0
2
( nπx l ) dx = 1, о тсю да A = ( 2 l )1 2 ,
и но р ми р о ва нна я во лно ва я ф ункци я пр и ни ма е тви д:
26
ψ n (x) = (2 l )1 2 sin(nπx l ) . П о ско льку сущ е ствуе твза и мно о дно зна ч но е со о тве тстви е ме жду со б стве нны ми ф ункци ями и со б стве нны ми зна ч е ни ями , эне р ге ти ч е ски й спе ктр ч а сти цы не вы р о жде н. П р и ме р 2. Ча сти ца ма ссы m на хо ди тся в о дно ме р но м по те нци а льно м по ле U(x), по ка за нно м на р и сунке , где U (0) = ∞ . На йти во змо жны е ур о вни эне р ги и ч а сти цы в о б ла сти E < U 0 . Р еш ение. Ра зо б ье м всю о б ла сть дви же ни я ч а сти цы на две : 0 ≤ x ≤ l — о б ла сть 1 и x > l — о б ла сть 2. За пи ше м ур а вне ни е Ш р е ди нге р а в ка ждо й и з эти х о б ла сте й:
U(x) E 1
U0
2
0
x
l
ψ 1// (x) + k12 ψ 1 (x) = 0, k12 = 2mE / h 2 ; ψ 2// (x) − k 22 ψ 2 (x) = 0, k 22 = (U 0 − E) и х о б щ и е р е ше ни я:
2m h2
;
ψ2 (x) = Ce− k2x + D ek2x
ψ 1 (x) = A sin (k1x) + Bcos (k1x) ;
до лжны удо вле тво р ять ста нда р тны м усло ви ям. Из усло ви я ψ1 (0) = 0 сле дуе т, ч то B = 0. Что б ы во лно ва я ф ункци я о ста ва ла сь всю ду ко не ч но й, не о б хо ди мо со б лю де ни е усло ви я D = 0. Тр е б о ва ни е не пр е р ы вно сти во лно во й ф ункци и и е е пр о и зво дно й по ко о р ди на те в то ч ке x = l пр и во ди тк си сте ме ли не йны х о дно р о дны х а лге б р а и ч е ски х ур а вне ни й для о пр е де ле ни я ко эф ф и ци е нто в A и C: A sin (k1l ) = Ce− k2l ;
A k1 cos (k1l ) = − k2 Ce− k2l . Для то го ч то б ы р е ше ни е б ы ло не тр и ви а льны м, не о б хо ди мо по тр е б о ва ть о б р а щ е ни я в нуль о пр е де ли те ля:
sin (k1l )
− e − k 2l − k 2l
= 0.
k1 cos (k1l ) k2 e В р е зульта те по луч а е м тр а нсце нде нтно е ур а вне ни е : tg (k1l) = − k1 k 2 , р е ша ть ко то р о е б уде м гр а ф и ч е ски . Вве де м о б о зна ч е ни я l2 k1l = y, p2 = 2mU0 2, , по сле ч е го h это ур а вне ни е пр и ни ма е т ви д:
tg (y) = − y/ (p2 − y2 )1 2 .
π 2 0
π
3π 2
2π
5π 2 y
27 Гр а ф и ч е ско е и зо б р а же ни е пр а во й и ле во й ч а сте й это го ур а вне ни я пр е дста вле но на р и сунке . В за ви си мо сти о тве ли ч и ны p, ко то р а я о пр е де ляе тся па р а ме тр а ми ямы l и U 0 (ши р и на и глуб и на ), по луч а е м р а зли ч но е ко ли ч е ство р е ше ни й. В случ а е , ко гда p < π 2 , связа нно го со сто яни я не сущ е ствуе т. Е сли π 2 < p < 3π 2 , сущ е ствуе тто лько о дно связа нно е со сто яни е . Та ки м о б р а зо м с уве ли ч е ни е м па р а ме тр а p ко ли ч е ство связа нны х со сто яни й р а сте т. П р и ме р 3. Ча сти ца , дви га ясь в по ло жи те льно м на пр а вле ни и о си x, па да е тна по те нци а льны й по р о г: 0 пр и x < 0 V (x) = ; V(x) V0 пр и x > 0 Ра ссмо тр е в случ а и E > V0 и E < V0 , на йти ко эф ф и ци е нты V0 пр о хо жде ни я D и о тр а же ни я R E 1 2 ч а сти ц. 0 x Р еш ение. Та к ка к V (x) и ме е т ска ч о к ко не ч но й ве ли ч и ны в то ч ке x = 0, то , о б о зна ч и в о б ла сть x < 0 ка к о б ла сть 1, а о б ла сть x > 0 ка к о б ла сть 2, со ста ви м и р е ши м ур а вне ни е Ш р е ди нге р а для эти х о б ла сте й и со шье м эти р е ше ни я, т.е . пр и р а вняе м в то ч ке р а зр ы ва по те нци а ла ф ункци и и и х пе р вы е пр о и зво дны е . Ра ссмо тр и м случ а й E > V0 . В о б ла сти 1 дви же ни е ч а сти цы о пи сы ва е тся ур а вне ни е м:
d 2 ψ 1 (x) dx
2
+ k12 ψ 1 (x) = 0 , где k 21 = 2mE/ h 2 ;
е го р е ше ни е и ме е тви д: ψ1 (x) = C1ei k1x + C2 e− i k2x . Ана ло ги ч но е ур а вне ни е по луч а е м для о б ла сти 2:
d 2 ψ 2 (x) dx
2
+ k 22 ψ 2 (x) = 0 , где k 22 = 2m ( E − V0 ) / h2 .
Е го р е ше ни е б уде т: ψ 2 (x) = C3ei k2x + C4e − i k2x . С ле дуе тза ме ти ть, ч то по лна я эне р ги я ч а сти цы пр и пе р е хо де и з о б ла сти 1 в о б ла сть 2 со хр а няе тся. У сло ви я сши ва ни я да ю т:
ψ 1 (0) = ψ 2 (0) ; C1 + C 2 = C3 + C 4 ;
ψ 1'(0) = ψ 2' (0) ; ik1 ( C1 − C2 ) = ik 2 (C3 − C4 ) ;
П р о а на ли зи р уе м сла га е мы е , вхо дящ и е в ψ 1 и ψ 2 . x
C1ei k1 —
о пи сы ва е т ч а сти цы , ко то р ы е дви жутся в по ло жи те льно м на -
пр а вле ни и о си x, т.е . па да ю щ и е ч а сти цы ; C2e−i k1 — x
со о тве тствуе т о тр а x
же нны м ч а сти ца м, дви жущ и мся в о б р а тно м на пр а вле ни и ; C3ei k2 —
28 пр о ше дши м ч а сти ца м. В то же вр е мя о тр а же нны х ч а сти ц во вто р о й о б ла сти не т, сле до ва те льно , ко эф ф и ци е нт C4 = 0. Опр е де ли м ко эф ф и ци е нты о тр а же ни я и пр о хо жде ни я ка к о тно ше ни я со о тве тствую щ и х пло тно сте й то ко в:
R=
|jо тр | jпа д
,
D=
jпр о ш jпа д
.
Ра ссч и та е м пло тно сти то ко в по ф о р муле :
ih dψ ∗ dψ j= − ψ∗ ψ . 2m dx dx П о дста вляя со о тве тствую щ и е во лно вы е ф ункци и , по луч и м:
hk1 hk hk | C1| 2 ; jо тр = − 1 | C2 | 2 ; jпр о ш = 2 | C3 | 2 . m m m Та ки м о б р а зо м, на м для вы ч и сле ни я R и D не о б хо ди мо на йти о тно ше ни я C 2 / C1 и C3 / C1 , ко то р ы е о пр е де ли м и з си сте мы : jпа д =
1 + C 2 / C1 = C3 / C1 ;
ik1 (1 − C 2 / C1 ) = ik 2C3 / C1 .
Отсю да ср а зу на хо ди м:
R=
|C2| 2 |C1|2
=
(k1 − k 2 )2 (k1 + k 2 )
; 2
D=
4k1k 2 ( k1 + k 2 )2
.
Оч е ви дно , ч то всле дстви е со хр а не ни я ч и сла ч а сти ц R + D = 1. Ра ссмо тр и м случ а й E < V0 . В о б ла сти 1 р е ше ни е о ста е тся те м же , по это му за пи ше м ур а вне ни е Ш р е ди нге р а то лько для о б ла сти 2:
d 2 ψ 2 (x) 2
+ k 2 ψ 2 (x) = 0 , где k 2 = 2m ( V0 − E ) / h2 .
dx Ре ше ни е б уде ти ме ть ви д:
ψ (x) = C3e − k x + C4e k x. Из тр е б о ва ни я ко не ч но сти во лно во й ф ункци и сле дуе т, ч то C4 = 0. Оч е ви дно , ч то вы р а же ни я для R и D мо гут б ы ть по луч е ны путе м за ме ны k 2 на i k . В р е зульта те б уде м и ме ть: | k − i k |2 R= 1 =1 , D = 0, | k1 + i k |2 т.е . на б лю да е тся по лно е о тр а же ни е па да ю щ и х ч а сти ц. На йде м эф ф е кти вную глуб и ну пр о ни кно ве ни я ч а сти цы по д б а р ье р l eff , т.е . р а ссто яни е о тгр а ни цы б а р ье р а до то ч ки , в ко то р о й пло тно сть ве р о ятно сти на хо жде ни я ч а сти цы W (x) уме ньша е тся в e р а з:
29
W (x) = |ψ 2 (x)|2 ≈ e−2k x , т.е . l eff = 1 2 k . Л и не йны й га р мо ни ч е ски й о сци ллято р Ра ссмо тр и м о дну и з ва жны х за да ч ква нто во й ме ха ни ки — за да ч у о ли не йно м га р мо ни ч е ско м о сци ллято р е . В это м случ а е ч а сти ца дви же тся в по ле 1 U (x) = m ω 2 x 2 (m — ма сса ч а сти цы , ω — ч а сто та ) и ста ци о на р но е ур а вне 2 ни е Ш р е ди нге р а до пуска е тто ч но е р е ше ни е . Ре ше ни е кла сси ч е ско го ур а вне ни я дви же ни я ч а сти цы в это м случ а е и ме е тви д: x (t) = a cos (ωt + ϕ) . С о о тве тствую щ а я си сте ма на зы ва е тся га р мо ни ч е ски м о сци ллято р о м, а ста ци о на р но е ур а вне ни е Ш р е ди нге р а , о пи сы ва ю щ е е о дно ме р но е дви же ни е ква нто во й ч а сти цы , и ме е тви д:
h 2 d 2 mω 2 2 x ψ (x) = E ψ (x) . + − 2 2 2m dx Тр е б о ва ни я ко не ч но сти во лно во й ф ункци и и о б р а щ е ни я е е в нуль пр и x → ± ∞ пр и во дят к ква нто ва ни ю эне р ги и . В р е зульта те эне р ге ти ч е ски й спе ктр пр и ни ма е тви д: E n = hω (n + 1 2 ) ; n = 0, 1, 2 K , а со о тве тствую щ и е со б стве нны е ф ункци и е сть:
ψ n (x) = [n! 2 n π ]−1 2 H n ( ξ)
− ξ2/ 2
;
где ξ= x x 0 ; x 0 = ( h mω )1 2 ; H n ( ξ) — по ли но м Э р ми та . Инва р и а нтно сть га ми льто ни а на о тно си те льно пр е о б р а зо ва ни я пр о стр а нстве нно й и нве р си и пр и во ди т к то му, ч то во лно вы е ф ункци и ста ци о на р ны х со сто яни й о б ла да ю т о пр е де ле нно й ч е тно стью — ч е тны м n со о тве тствую т ч е тны е со сто яни я, а не ч е тны м — не ч е тны е со сто яни я. Де йстви те льно , на пр и ме р , H 0 ( ξ) = 1 ; H1 ( ξ) = 2ξ; H 2 ( ξ) = 4ξ2 − 2 , а в о б щ е м случ а е ψ n ( − x ) = ( −1) ψ n ( x ) . Для по ли но мо в Э р ми та сущ е ствуе тпр о сто е р е кур р е нтно е со о тно ше ни е : n
1 ξH n ( ξ) = nH n −1 ( ξ) + H n +1 ( ξ) . 2 С ле дуе тпо дч е р кнуть, ч то ми ни ма льна я эне р ги я га р мо ни ч е ско го о сци ллято р а (эне р ги я о сно вно го со сто яни я) о тли ч на о тнуля (E 0 = hω 2 ) , в то вр е мя ка к по кла сси ч е ско й те о р и и о на р а вна нулю .
30 Л е гко по ка за ть, ч то ср е дни е зна ч е ни я ко о р ди на ты и и мпульса в лю б о м ста ци о на р но м со сто яни и га р мо ни ч е ско го о сци ллято р а р а вны нулю . Де йстви те льно , в си лу ч е тно сти вы р а же ни я ψ *n xψ n = xψ 2n ,
<x>=
∞
∫ ψ n x ψ n dx = 0 *
−∞
и < ( ∆x) > =< x > − < x > = < x 2 > ; а на ло ги ч но , и спо льзуя гр а ни ч ны е усло ви я на б е ско не ч но сти , по луч и м: 2
2
2
∞
∞
dψ 1 < p >= −ih ∫ ψ n n dx = − i h |ψ |2 = 0; dx 2 −∞ −∞
т.е . < ( ∆p) 2 > =< p 2 > . П о ка же м, ч то по явле ни е в те о р и и Ш р е ди нге р а нуле во й эне р ги и те сны м о б р а зо м связа но с со о тно ше ни е м не о пр е де ле нно сте й, ко то р о е в на ше м случ а е и ме е тви д: < x 2> < p 2 > ≥ h 2 4 . (20) П о лна я эне р ги я р а вна :
E == Испо льзуя (20), по луч а е м:
< p 2 > mω 2 + < x2 > . 2m 2
h2 mω 2 < x 2 > E≥ + . 2 8m < x 2 >
(21)
Отсю да ви дно , ч то ни пр и ка ки х зна ч е ни ях < x 2 > эне р ги я не о б р а щ а е тся в нуль. П р и р а вни ва я нулю пр о и зво дную по < x 2 > о тпр а во й ч а сти (21), на йде м зна ч е ни е < x 2 > , пр и ко то р о м до сти га е тся ми ни мум E: < x 2 > = h 2mω ; то гда E ≥ hω 4 + hω 4 = hω 2 ; т.е . E min = hω 2 = E0 . С ущ е ство ва ни е ко не ч но й нуле во й эне р ги и у га р мо ни ч е ско го о сци ллято р а являе тся о дни м и з на и б о ле е ха р а кте р ны х пр о явле ни й во лно вы х сво йств ч а сти ц. Нуле ва я эне р ги я E 0 б ы ла о б на р уже на экспе р и ме нта льно в о пы та х по р а ссе яни ю р е нтге но вско го и злуч е ни я в кр и ста лла х пр и ни зки х те мпе р а тур а х. П р и ме р 4. Для о дно ме р но го га р мо ни ч е ско го о сци ллято р а , по лна я эне р ги я ко то р о го р а вна 7hω /2 , вы ч и сли ть ср е дню ю ки не ти ч е скую эне р ги ю . Р еш ение. Ре ша ть эту за да ч у мо жно , и спо льзуя о б ы ч ную ф о р мулу для вы ч и сле ни я ср е дне го зна ч е ни я ф и зи ч е ско й ве ли ч и ны :
< T> = ∫
ψ n∗ (x)
∧2
p ψ n (x) dx , 2m
31 но для это го не о б хо ди мо зна ть во лно вую ф ункци ю во зб ужде нно го со сто яни я о сци ллято р а . Испо льзо ва ни е те о р е мы о ви р и а ле по зво ляе тзна ч и те льно упр о сти ть р е ше ни е . Зна я спе ктр о сци ллято р а ( E = hω ( n + 1 2 ) ), ви ди м, ч то си сте ма на хо ди тся в ста ци о на р но м со сто яни и с n = 3. Уч и ты ва я ви д по те нци а льно й эне р ги и — U (x) = mω 2 x 2 2 , по луч а е м со о тно ше ни е : < T > = < U > . 7 П о лна я эне р ги я си сте мы E = T + U , где E = hω . Та ки м о б р а зо м, и ме е м 2 си сте му и з двух ур а вне ни й: < T > =< U > ; 7 2 hω =< T > + < U > . 7 Отсю да на хо ди м: < T > = hω . 4 З а да чидля са м о ст о ят ельно го р еш ения 1. До ка за ть, ч то в ста ци о на р но м со сто яни и ди скр е тно го спе ктр а ср е дне е зна ч е ни е пр о е кци и и мпульса р а вно нулю . 2. Га ми льто ни а н за р яже нно й ч а сти цы , дви жущ е йся в ма гни тно м по ле , r r € = ( pr€2 − e A) 2 / 2m , где A — о пе р а то р ве кто р -по те нци а ла и ме е т ви д: H c r ма гни тно го по ля, являю щ и йся ф ункци е й ко о р ди на т. На йти о пе р а то р v ско р о сти ч а сти цы в ма гни тно м по ле и пр а ви ла ко ммута ци и о пе р а то р о в р а зли ч ны х ко мпо не нтско р о сти ме жду со б о й. 3. Для ч а сти цы в б е ско не ч но глуб о ко й по те нци а льно й яме вы ч и сли ть ср е дню ю си лу, с ко то р о й ч а сти ца де йствуе тна ка ждую и з сте но к ямы в о сно вно м со сто яни и . ( F = π2 h2 /(m l 3 ) ) . 4. На йти р е ше ни е вр е ме нно го ур а вне ни я Ш р е ди нге р а для сво б о дно й ч а сти цы , дви жущ е йся с и мпульсо м p в по ло жи те льно м на пр а вле ни и о си x. 5. На йти с по мо щ ью ур а вне ни я Ш р е ди нге р а эне р ги ю га р мо ни ч е ско го о сци ллято р а с ч а сто то й ω в ста ци о на р ны х со сто яни ях: а ) ψ (x) = A exp ( − a 2 x 2 ) ; б ) ψ (x) = B x exp ( − a 2 x 2 ) , где a, A, B — по сто янны е ( E = hω 2 ; E = 3 2 hω ). 6. Ча сти ца с ма ссо й m и эне р ги е й E па да е т на пр ямо уго льны й по те нци а льны й б а р ье р U (x) = U 0 пр и 0 < x < a , и U(x) = 0 пр и x < 0 и x > a. На йти ко эф ф и ци е нт пр о хо жде ни я D и ко эф ф и ци е нт о тр а же ни я R для случ а е в E > U 0 и E < U 0 . −1
4E ( E − U 0 ) U 2 sin 2 k0a 12 D = 1 + 0 ; R = 1 + 2 2 ; k = [2m (E − U 0 )] / h . U 0 sin k 0a 4E ( E − U 0 ) 7. Ча сти ца на хо ди тся в о сно вно м со сто яни и ψ(x) = A exp ( − α2 x 2 /2) в о дно ме р но м по те нци а льно м по ле U (x) = kx 2 / 2 . Опр е де ли ть ве р о ятно сть пр е б ы ва ни я ч а сти цы вне кла сси ч е ски х гр а ни ц по ля. ( W = 0,049).
32 Лит ер а т ур а 1. Бло хи нце в Д.И. Осно вы ква нто во й ме ха ни ки . — М .: Вы сша я шко ла , 1976. — 620 с. 2. Да вы до в А.С . Ква нто ва я ме ха ни ка . — М .: На ука , 1973. — 704 с. 3. Л а нда у Л .Д., Л и ф ши ц Е .М . Ква нто ва я ме ха ни ка . — М .: На ука , 1989. — Т.III: Ква нто ва я ме ха ни ка . — 768 с. 4. Га ли цки й В.М ., Ка р на ко в В.М ., Ко га н В.И. За да ч и по ква нто во й ме ха ни ке . — М .: На ука , 1981. — 648 с. 5. С б о р ни к за да ч по те о р е ти ч е ско й ф и зи ке / Л .Г. Гр е ч ко , В.И. С уга ко в, О.Ф . То ма се ви ч и др . — М .: Вы сша я шко ла , 1972. — 336 с. 6. Ф лю гге З. За да ч и по ква нто во й ме ха ни ке . — М .: М и р , 1975. — Т.1. — 342 с. 7. С е р о ва Ф .Г., Я нки на А.А. С б о р ни к за да ч по те о р е ти ч е ско й ф и зи ке . М .: П р о све щ е ни е . 1979. — 160 с. 8. Ир о до в И.Е . За да ч и по ква нто во й ф и зи ке . М .: Вы сша я шко ла . 1991. — 173 с. Авто р ы : Алма ли е в Але кса ндр Ни ко ла е ви ч Ко пы ти н Иго р ь Ва си лье ви ч Ко р не в Але ксе й С та ни сла во ви ч Чур а ко ва Та тьяна Але ксе е вна Ре да кто р Т ихом ир ова О .А .
