Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1: Учебное пособие для менеджеров и экономистов

УДК 51:658.01 (075)

Казанцев Э.Ф. Математика. Раздел 1. Дискретная математика (тетрадь 1.1): Учебно-методическое пособие для менеджеров и экономистов. — М.: Международный университет в Москве, 2005. — 53 с. Раздел 1 учебно-методического пособия посвящен некоторым вопросам дискретной математики. Тетрадь 1 содержит основные сведения из теории множеств и комбинаторного анализа. Может быть использовано как рабочая тетрадь при самостоятельной работе с домашними заданиями и как справочник для менеджера и экономиста по прикладной математике. Для студентов Международного университета в Москве, обучающихся по экономическим и управленческим специальностям.

© Международный университет в Москве, 2005 © Э.Ф.Казанцев, 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Историческая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1 Теория множеств 1.1.1 Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.2 Операции на множествах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.3 Алгебра множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.4 Уравнения с множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.5 Упорядоченные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.1.6 Специальные бинарные отношения . . . . . . . . . . . . . 26 Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . 29 1.1.7 Нечеткие множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . 41

1.2 Комбинаторный анализ 1.2.1 Правила суммы и произведения . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.2.2 Размещения, сочетания, перестановки . . . . . . . . . . . 43 1.2.3 Разбиения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.2.4 Метод включения и исключения . . . . . . . . . . . . . . . 49 Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . 50 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемое учебно-методическое пособие отвечает требованиям государственного образовательного стандарта по курсу «математика» для специальностей 060400 (финансы и кредит), 061000 (государственное и муниципальное управление), 061100 (менеджмент организации). Пособие состоит из шести разделов: 1. Дискретная математика 2. Математический анализ 3. Линейная алгебра 4. Теория вероятностей и математическая статистика 5. Математические модели в экономике Все разделы разбиты, для удобства, на отдельные тетради, каждая из которых будет заканчиваться итоговой контрольной. С одной стороны, данное пособие предполагает постоянную работу с ним студента на аудиторных (лекциях, семинарах) и самостоятельных занятиях — для этого специально оставлены чистые страницы и даны соответствующие задания. С другой стороны, пособие может служить студенту в качестве справочника по тем разделам математики, которые потребуются экономисту или менеджеру в его дальнейшей деятельности. Данное пособие нельзя рассматривать как учебник, скорее — это рабочая тетрадь для систематической работы студента, который должен обязательно научиться самостоятельно работать и с лекционным материалом, и с научной литературой. Кафедра прикладной математики Международного университета в Москве надеется, что совместная работа студентов и преподавателей позволит постоянно улучшать и совершенствовать данное пособие на пользу следующим поколениям студентов. Поэтому будем благодарны за любые замечания и дополнения (наш e-mail: [email protected]). Заведующий кафедрой прикладной математики МУМ, доктор физико-математических наук, профессор Казанцев Э.Ф.

ВВЕДЕНИЕ Математика (по-гречески буквально — «знание») — это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Но чтобы исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо отделить их от содержания. В результате мы приходим к так называемой абстрактной математике. И чем больше развивается абстрактная математика, тем больше ее приложений мы используем в рамках, так называемой прикладной математики. Существует и обратный процесс — потребности практики или других наук приводят к появлению новых математических методов. Однако это всегда мешало формированию математики как независимой, самостоятельной абстрактной науки — о чем мечтает любой профессиональный математик. Хотя большая часть математики была создана благодаря потребностям практики, в первую очередь — физики, название «прикладная математика» во многом условно, так как математики постоянно стремятся создать свою науку, такую же фундаментальную, как физика. У физики есть объективные правила игры — законы природы, есть объективный критерий правильности теории — опыт, есть четко сформулированная цель — Единая теория всех частиц и полей. Физика единственная из всех наук, которая четко сформулировала систему своих основных понятий: материальной точки, пространства, движения, скорости и так далее. Благодаря этому ей удалось успешно пройти длинный и сложный путь от основных понятий до общих принципов. Однако обусловленный успехами физики технический прогресс опережает биологические возможности человека в осмыслении его негативных последствий. Физику можно достаточно строго разделить на теоретическую (дающую предсказания) и экспериментальную (проверяющую эти предсказания). Долгое время физический эксперимент был единственным критерием правильности физической теории. Но для многих современных физических теорий постановка эксперимента стала невозможной (например, в теории Вселенной), поэтому правильность таких теорий может быть подтверждена только непротиворечивостью используемой математики. Таким образом, у прикладной математики (долгое время «обслуживающей» теоретическую физику) появился свой собственный критерий правильности — абстрактная («чистая») математика. В этой связи, позиции теоретической физики и прикладной математики (которую иногда называют теоретической математикой) чрезвычайно сблизились и даже часто эти названия воспринимаются как синонимы. В на5

стоящее время прикладная математика стремится придать физическим теориям, страдающим недостатком математической строгости, необходимую им непротиворечивость, восполняя, таким образом, отсутствующий экспериментальный критерий правильности. Именно это обстоятельство обуславливает необходимость создания такого курса прикладной математики для экономистов, который служил бы проводником к более строгим критериям абстрактной математики. Как известно, критерий — это количественная оценка цели, ее аппроксимация, и он должен как можно больше соответствовать сходству с целью, чтобы оптимизация системы по критерию соответствовала максимальному приближению к цели. К сожалению, глобальная цель, которую физика для себя сформулировала достаточно четко, в математике еще не созрела. Современная математика растет стремительно и непрерывно, не зная, типичных для физики, кризисов и перестроек, обогащая нас все новыми идеями и фактами. Но любая деятельность, лишенная цели, тем самым теряет и смысл. Не имея цели, математика не может выработать и представление о своей форме, ей остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее, расширение по всем направлениям. Справедливости ради следует заметить, что отсутствие цели и смысла относится почти ко всей деятельности современного человечества. Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика, по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, благодаря которой может направлять свое развитие. Она должна, следовательно, заимствовать цель извне и вероятней всего это должно произойти на основе все большего сближения теоретической физики и теоретической математики. Исторически первыми зачатками математики были арифметика, геометрия, алгебра и тригонометрия, развитие которых полностью определялось практическими потребностями человека (VI в. до н.э. – XVI в. н.э.). Этот период можно назвать периодом статической математики (числа, величины, фигуры и так далее). В XVII веке появились первые идеи описать математическим языком явления движения или изменения. Самостоятельным предметом изучения математики становится сама зависимость между величинами. На первый план выдвигается понятие функции. Появилась возможность ввести в явном виде идею бесконечности, с парадоксами которой столкнулись еще философы древних веков (например, парадокс черепахи и Ахиллеса). Строго говоря, идея бесконечности привела к введению по6

нятия непрерывной функции, которое позволило построить дифференциальное исчисление, получившего название математического анализа, хотя точнее надо было бы все это назвать непрерывной (бесконечной) математикой. Причем новые понятия в математическом анализе получали свое оправдание будто бы в соответствии с реальными соотношениями действительного мира. Так, например, реальность понятия производной вытекала из реальности понятия скорости в механике, хотя это далеко не очевидно. Парадоксально, но до XIX века никто не обратил внимания на тот факт, что реальный мир состоит из дискретных объектов и понятие непрерывной функции не имеет никаких аналогов в реальном мире. Бурное развитие математики в XIX веке заставило обратить внимание на необходимость логического обоснования математики, т.е. необходимо было критически пересмотреть ее исходные положения (аксиомы). Как мы уже отмечали, критерием правильности математики может быть только ее непротиворечивость. Однако до сих пор идет сильное отставание математики в строгом логическом обосновании многих математических методов, широко применяемых в современной теоретической физике, где много ценных результатов получается при помощи незаконных математических приемов. Только в конце XIX века сложился стандарт требований к логической строгости развития математических теорий. Этот стандарт основан на теоретико-множественной концепции строения любой математической теории. С этой точки зрения любая математическая теория имеет дело с дискретным множеством объектов, связанных между собой некоторыми логическими отношениями. Новый стандарт позволил не только обосновать многие математические теории, но и систематизировать их. Однако вопрос цели в математике по-прежнему оставался открытым, вызывая головную боль у философски думающих математиков. Тем не менее в конце XIX века определился круг интересов так называемой дискретной (конечной) математики, основные разделы которой (теория матриц, теория групп, теория множеств, математическая логика, теория вероятностей, теория алгоритмов и так далее) разрабатывались еще в XVII–XVIII вв. одновременно с элементами непрерывной математики. Само деление математики на непрерывную и дискретную достаточно условно, так как в настоящее время происходит интенсивный обмен идей и методов между ними. Правильней было бы говорить о становлении в XX веке новой современной математики, существенно отличающейся от классической математики XVII–XIX вв., 7

хотя, к сожалению, еще большинство школ и вузов придерживаются методики преподавания математики по канонам, не изменившимся со времен Архимеда. В XX веке появились новые направления в науке, требующие своих специфических математических теорий, такие, как информатика, программирование, вычислительные методы с применением ЭВМ. От физики поступил заказ на развитие и обоснование суперструнных теорий, где пришлось отказаться от основного понятия классической физики и математики — понятия математической точки. Можно сказать, что на рубеже XXI века математика уже вместе с физикой переживает очередной острейший кризис, совпадающий с кризисом мировоззрения и самого человечества. В настоящее время фрагмент структуры математики можно представить следующим образом:

Первичной основой математики служит теория множеств. Понятие множества, строго говоря, не определяется. Приближенно множеством можно считать любое собрание объектов, мыслимое как единое целое. Категории — это совокупность однотипных математических объектов и морфизмов между этими объектами. Теория категорий играет в математике роль параллельную и дополнительную к роли теории множеств. Топология — раздел математики, имеющий своим назначением выяснение и исследование идеи непрерывности. В настоящее время 8

понятие непрерывного отображения предполагает только, что точки и множества рассматриваемой фигуры могут находиться в некотором интуитивно ясном отношении близости, отличном от отношения принадлежности. Такие фигуры называются топологическими пространствами. Алгебраические системы — это множество с определенными на нем операциями и отношениями. Алгебраическая система называется алгеброй (общей, универсальной, абстрактной), если множество отношений пусто, и — моделью, если пусто множество операций. Математическая логика — раздел математики посвященный изучению доказательств оснований математики. На основе математической логики были построены различные системы аксиоматической теории множеств. Наиболее известная из них — система Цермело-Френкеля. Прикладное значение математической логики — конструкция ЭВМ. В современной математике приняты следующие обозначения чисел: N — натуральные числа (0; 1; 2; ...), P — простые числа (2; 3; 5; 7; 11; ...), Z — целые числа (... – 3; –2; –1; 0; 1; 2; 3;...), Q — рациональные числа (... –3,1; –2,5; –1,1; 0; 1,2; 2,3; 3,5 ...), R — действительные числа (добавляются числа типа 3 2 ), GR — гипердействительные (трансфинитные) числа (добавляются бесконечно малые и бесконечно большие числа). Наиболее часто мы будем сталкиваться с понятиями операции, отношения и отображения. Понятие операции интуитивно ясно на примере хорошо известных операций сложения и умножения. Это бинарные операции. Примером унарной операции является отрицание. Отношения устанавливают связь между множествами. Примерами отношения могут служить следующие: 1) принадлежность элемента к множеству « Î »; 2) принадлежность подмножества к множеству « Ì »; 3) отношения порядка: меньше « < »; больше « > »; равно « = » и др. Отображения — это закон, по которому каждому элементу x некоторого заданного множества X сопоставляется однозначно определенный элемент y другого заданного множества Y, и пишут f : X®Y. Если множества состоят из чисел, то вместо термина «отображение» применяют термин «функция» и пишут y = f ( x ). Если заданы три множества X, Y, Z и есть два отображения f : X®Y и g : Y®Z, то существует отображе9

ние h : X®Z, которое называется композицией, или суперпозицией, или произведением отображений f и g, и обозначается f o g. Фундаментальными понятиями математики являются также понятия ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности. Ассоциативность — это сочетательный закон для операции, выражаемый тождеством: (a* b)*c = a*(b*c), где * обозначает какую-либо операцию. Коммутативность — это переместительный закон для операции, выражаемый тождеством: a* b = b*a. Дистрибутивность — это распределительный закон для двух операций, выражаемый тождеством: a*(b · c) = a* b · a*c, где * и · — произвольные бинарные операции. Одним из главных разделов математики является алгебра. Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций {j1 K jn }, то есть система A = (M ; j1 K jn ) называется алгеброй. Множество М называется носителем алгебры. Вектор арности операций алгебры называется ее типом. Совокупность операций называется сигнатурой. Пример 1: алгебра (R; +; ×) называется полем действительных чисел R. Сигнатура алгебры (+; ×), обе операции сложение (+) и умножение () × бинарны, следовательно ее тип (2,2). Пример 2: алгебра ({0,1}; Ø, &, Ú ) называется булевой. Сигнатура ее (Ø, &, Ú ), операции конъюнкции (&) и дизъюнкции (Ú ) бинарны, операция отрицания (Ø) унарна, следовательно ее тип (1,2, 2). Пример 3: алгебра (U ; È, Ç, Ø) называется алгеброй множеств (Кантора). U — универсальное множество. Сигнатура алгебры (È, Ç, Ø), операции объединения (È) и пересечения (Ç) бинарны, отрицание — унарно, следовательно ее тип (2,2,1). 10

Из приведенных примеров видно, что алгебр, в принципе, может быть огромное количество. Особенно ясно это видно из следующего примера. Пример 4: пусть дано множество N p = {0, 1, 2, K p -1}. Определим на этом множестве операции Å — («сложение по модулю p») и Ä — («умножение по модулю p») следующим образом: a Å b = c; a Ä b = d, где c и d — остатки от деления на p чисел (a + b) и (a × b) соответственно. Например, если p = 7, то N 7 = {0,1,2,3, 4,5,6}. Тогда 3 Å 4 = [(3 + 4) 7] = 0 (нет остатка); 4 Å 6 = [(4 + 6) 7] = 3 (остаток от деления 10 на 7); 3 Ä 4 = [(3 × 4) 7] = 5 (остаток от деления 12 на 7) и так далее. Если p — простое число, алгебра (N p ; Å, Ä) называется конечным полем характеристики p. Данная алгебра нашла свое практическое применение в современной криптографии. Аналогичная алгебра на множестве {0,1} — ({0,1}; Å, &) — играет чрезвычайно важную роль в математической логике — это алгебра Жегалкина. Пример 5: алгебра Жегалкина. Ее сигнатура (Å, &), p = 2, операции «сложение по модулю 2» и конъюнкция & — бинарны, следовательно тип алгебры — (2,2). Сложение по модулю 2 выглядит так: 0 Å 1 = [(0 +1) 2] = 1, 1 Å 1 = [(1 +1) 2] = 0. Кроме вышеприведенных к классу фундаментальных алгебр относятся также группы, кольца, поля, решетки и др. Навести порядок в этом необозримом море различных алгебр помогает свойство гомоморфизма, которым обладают алгебры одного и того же типа. Гомоморфизм — это одно из наиболее важных понятий в математике. Пусть даны две алгебры: A = (K ; j1 ; K ; j p ) и B = (M ; y 1 ; K ; y p ) одинакового типа. Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В называется отображение G:K ® M с сохранением операции, удовлетворяющее условию:

[ (

G: ji K j1 ,K K jl ( i )

)] = y [G:( K ),K , G:(K )] i

j1

jl ( i )

(1)

для всех i =1,K p. Здесь l(i) — арность операций j i и y i (она должна быть одинакова). Смысл условия (1) состоит в том, что результат будет одинаков независимо от того, выполнена ли сначала операция j i в алгебре А и затем произведено отображение G в алгебру В, либо сначала произ11

ведено отображение G алгебры А в алгебру В, а затем в алгебре В выполнена соответствующая операция y i . Изоморфизмом алгебры А на алгебру В называется взаимно-однозначный гомоморфизм. В этом случае существует обратное отображение G -1 :K ® M , также взаимно-однозначное. Если алгебры А и В изоморфны, то элементы и операции алгебры В можно переименовать так, что алгебра В совпадет с алгеброй А. Если A = B, то изоморфизм называется автоморфизмом. Пример 6: рассмотрим алгебры (N ; +, ×) и (N 7 ; Å, Ä), где N — бесконечное множество натуральных чисел. Определим отображение G7 :N ® N 7 следующим образом: G7 (n) равно остатку от деления числа n на 7, то есть, если n = 7a + b (b< 7), то G7 (n) = b. Про ве рим ус ло вие го мо мор физ ма (1): пусть n1 = 7a1 + b1 ; n 2 = 7a2 + b2 . Для сложения: G7 (n1 + n 2 ) = G7 (b1 + b2 ) = b1 Å b2 = G7 (n1 ) Å G7 (n 2 ). Для умножения: G7 (n1 × n 2 ) = G7 (b1 × b2 ) = b1 Ä b2 = G7 (n1 ) Ä G7 (n 2 ), то есть условие (1) выполнено, значит G7 — гомоморфизм. Не трудно показать, что G7 не является изоморфизмом. Полученный результат интересен тем, что возможен гомоморфизм бесконечной алгебры в конечную. Пример 7: рассмотрим алгебры (R+ ; ×) и (R; +), где R+ — положительное подмножество всех действительных чисел R. Отображение a ® log a является изоморфизмом для данных алгебр. Условие (1) имеет вид: log(a × b) = log a + log b. С другими важными понятиями современной математики мы познакомимся позже в конкретных случаях их применения. К сожалению, огромное количество новых правил в современной математике отпугивает от нее множество людей, формируя общую неприязнь к математике, что в гуманитарной сфере даже возводится в ранг достоинства. Это происходит видимо потому, что человек изначально воспринимает только ту информацию, которая доступна его пониманию. Именно особое понимание природы на уровне интуиции определяет принадлежность человека к физике, хотя опыт показывает, что зачастую с трудом достигнутое понимание рано или поздно оказывается ложным. В математике ситуация несколько другая, здесь все основные 12

понятия — это правила игры, к которым надо привыкнуть, а не понять. В традиционной (школьной) математике мы привыкли оперировать числами, для которых были сформулированы одни правила. Сейчас мы будем иметь дело с более сложными объектами, которые будут описываться, например, матрицами. И здесь уже будут действовать другие правила. Например, для чисел мы твердо усвоили, что если a × b = 0, то или a = 0, или b = 0. Для матриц это не так. Если a и b — матрицы и a × b = 0, то может быть и a ¹ 0 и b ¹ 0: æ0 1ö æ1 0ö çç ÷÷ × çç ÷÷ = 0. è0 0ø è0 0ø Объекты, удовлетворяющие такому новому правилу, называются делителями нуля.

РАЗДЕЛ 1. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Элементы дискретной математики возникли в глубокой древности. Типичными для того периода были задачи, связанные со свойствами целых чисел — Диофант (III век), и приведшие затем к созданию теории чисел — Л. Эйлер (1707–1783), К. Гаусс (1777–1855). Позже (XVII–XVIII века), в основном в связи с игровыми задачами, появились элементы комбинаторного анализа и дискретной теории вероятностей — Б. Паскаль (1623 — 1662), П. Ферма (1601–1665). Затем (XVIII–XIX века) возникли важнейшие понятия алгебры, такие как группа, поле, кольцо и др. — Ж. Лагранж (1763–1813), Э. Галуа (1811–1832), имевшие, по существу, дискретную природу. В середине XIX века Л. Эйлер заложил основы теории графов, которая в дальнейшем привела к созданию эффективных методов решения транспортных задач. Тогда же появилась теория матриц — У. Гамильтон (1805–1865), А. Кэлли (1821–1895), К. Вей ер шт расс (1815–1897). Теорию множеств разработал Г. Кантор (1845–1918), которая встретила со стороны его современников резкое сопротивление, но впоследствии оказала большое влияние на развитие математики. Теория множеств является фундаментом ряда новых математических дисциплин. Постепенно теоретико-множественные методы находят все большее применение и в классических частях математики — дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, теория вероятностей и др. Однако в вопросах обоснования математики, теория множеств сама нуждается в обосновании применяемых в ней методов рассуждения. Более того, все логические трудности, связанные с обоснованием математического учения о бесконечности, при переходе на точку зрения общей теории множеств, приобретают лишь большую остроту. Стремление к строгости математических рассуждений привело к появлению (XIX–XX века) математической логики — Дж. Буль (1815–1864), О. Морган (1806–1871), Э. Пост (1897–1954), И. И. Жегалкин (1869–1947), К. Гедель (1906–1978). Наибольшего развития дискретная математика достигла (XX век) в связи с запросами практики, приведшими к появлению новых наук — кибернетики, теории кодирования, теории алгоритмов, теории автоматов и др. — Н. Винер (1894–1964), К. Шеннон (1916–1989), А. Черч (1903–1992), А. Тьюринг (1912–1954). 14

1.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 1.1.1 Основные понятия 1) Под множеством S будем понимать любое собрание определенных и различных между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества S. Пример: множество целых чисел, множество студентов, присутствующих на лекции (даже если их нет — это пустое множество), множество точек на плоскости и так далее. 2) Символ Î обозначает отношение принадлежности элемента. Запись x Î S обозначает, что «элемент x принадлежит множеству S». Если x не принадлежит множеству S, то пишут x Ï S , или x Î S . 3) Если множество содержит конечное число элементов, говорят, что оно конечно; в противном случае множество называется бесконечным. 4) Множества A и B считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Записывается A = B. В противном случае A ¹ B. Данное правило называется принципом объемности. Пример. Множество A всех положительных четных чисел равно множеству B положительных целых чисел представленных в виде суммы двух положительных нечетных чисел. Действительно: Если x Î A, то x = 2 m; тогда x = (2 m -1) +1, то есть x Î B. Если x Î B, то x = (2p – 1) + + (2q – 1) = 2( p + q – 1), то есть x Î A. Таким образом x Î A и x Î B, или x Î B и x Î A, значит A = B. 5) Если элементами множества являются объекты a1,..., an, то оно обозначается {a1,..., an}. Примеры: а) множество четных чисел: P = {2,4,6,8}; б) множество трехзначных чисел в двоичной системе: B3 = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}. 15

6) В силу принципа объемности {2, 4, 6} = {4, 2, 6} = {2, 4, 4, 6}, но {{1, 2}} ¹ {1, 2}, т.к. единственным элементом множества {{1,2}} является множество {1, 2}, а множество {1, 2} состоит из двух элементов: чисел 1 и 2. 7) Другим способом задания множества является так называемая, «форма от x». Обозначается: A = { x | P ( x )}. Пример: {x | x — четное число} — бесконечное множество четных чисел. 8) Символ Í обозначает отношение включения между множествами: пишут A Í B — если каждый элемент из A принадлежит B; говорят: «B содержит A» или «A есть подмножество B». Если A Í B и A ¹ B, то говорят, что A есть собственное подмножество B, и пишут A Ì B. Пример: {1, 2} Ì {1, 2, 3, 4}. Свойства включения: а) A Í A; б) если A Í B, B Í C, то A Í C — свойство транзитивности; в) если A Í B и B Í A, то A = B. Не смешивать отношения принадлежности и включения : 1 Î {1} и {1} Í {{1}}, но неверно, что 1 Î {{1}}, так как единственным элементом множества {{1}} является {1}, а не 1. 9) Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается Æ. Пустое множество есть подмножество любого множества. 10) Множеством подмножеств A (мно же ст вом-сте пе нью) на зыва ет ся множе ство P ( A), элемента ми которого являют ся подмноже ст ва A. Пустое множество Æ также является элементом P ( A). Пример: Если A = {1, 2, 3}, то P(A) = {Æ; {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2,3}, А}. Если множество A состоит из n элементов, то множество P(A) состоит из 2n элементов. 16

1.1.2 Операции на множествах 1) Объединением множеств A и B называется множество A È B, все элементы которого являются элементами множества A или B: A È B = {x | x Î A или x Î B}. 2) Пересечением множеств A и B называется множество A Ç B, элементы которого являются элементами обоих множеств A и B: A Ç B = {x | x Î A и x Î B}. Очевидно, что A Ç B Í A Í A È B и A Ç B Í B Í A È B. Если A Ç B = Æ, то такие множества называются непересекающимися. 3) Относительным дополнением множества A до множества B, называется множество B \ A всех тех элементов множеств B, которые не принадлежат множеству A: B \ A = {x | x Î A и x Î B}. 4) Симметрической разностью множеств A и B называется множество A Å B = (A \ B) È (B \ A) — это множество элементов, принадлежащих или A или B. Его также называют дизъюнктивной суммой. 5) Если все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого множества U, то это множество U называется универсальным. 6) Абсолютным дополнением множества A называется множество A всех тех элементов U, которые не принадлежат множеству A: A = U / A. 7) Наглядное представление об операциях на множествах какоголибо универсального множества U дают диаграммы Эйлера. Универсальное множество U изображают в виде прямоугольника, а его подмножества — в виде кругов внутри прямоугольника (рисунок 1.1.1):

включение А Í U

объединение А È В

пересечение А Ç В

17

относительное дополнение В \ А

дизъюнктивная сумма А Å В

абсолютное дополнение A

Рис. 1.1.1 Круги Эйлера

1.1.3 Алгебра множеств Для любых подмножеств A, B и C универсального множества U выполняются следующие тождества: коммутативность: 1) А È В = В È А; 1") А Ç В = В Ç А; ассоциативность: 2) А È (В È С) = (А È В) È С; 2") А Ç (В Ç С) = (А Ç В) Ç С; дистрибутивность: 3) А È (В Ç С)=(А È В) Ç (А È С); 3") А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С); 4) А È Æ = А; 4") А Ç U = А; 5) А È A= U; 5") А Ç A = Æ; 6) А È А = А; 6") А Ç А = А; 7) А È U = U; 7") А Ç Æ = Æ; законы де Моргана: 8) A È B = A Ç B; 8") A Ç B = A È B; законы поглощения: 9) А È (А Ç В) = А; 9") А Ç (А È В) = А; 10) Æ =U; 10") U = Æ. Данные тождества доказываются с помощью принципа объемности. 18

Пример 1. Доказательство тождества 3): А È (В Ç С) = = (А È В) Ç (А È С). Сначала покажем, что А È (В Ç С) Í (А È В) Ç (А È С). Действительно, если x Î А È (В Ç С), то x Î А или x Î В Ç С. Если x Î А, то x Î А È В и x Î А È С. Следовательно x Î (А È В) Ç (А È С). Если x Î В Ç С, то x Î В и x Î С. Отсюда x Î В È А и x Î С È А, а значит x Î (А È В) Ç (А È С). Теперь покажем, что (А È В) Ç (А È С) Í А È (В Ç С). Если x Î (А È В) Ç (А È С), то x Î А È В и x Î А È С. Следовательно x Î А или x Î В и x Î С, то есть x Î В Ç C. Отсюда x Î А È (В Ç С). Таким образом по принципу объемности, если N НМ, а М Í N, то N = М. Тождества можно доказывать путем преобразований: Пример 2. Доказательство тождества 6): А È А = А; А È А = (А È А) Ç U = (А È А) Ç (А È A ) = А È (А Ç A) = А È Æ = А. Дополнительные тождества: 11) если A È B = U и A Ç B = Æ, то B = A; 12) B \ A = B Ç A; 13) А Å В = (А Ç B ) È (A Ç В); 14) A = U \ A; 15) A = A (инволюция); 16) А Å В = В Å А; 17) (А Å В) Å С = А Å (В Å С); 18) A Å Æ = Æ Å A = A; 19) A Ì B, если и только если A Ç B = A или A È B = B или A Ç B = Æ; 20) A = B, если и только если (А Ç B ) È (A Ç В) = Æ. Алгебра множеств — это аналог обычной алгебры действительных чисел. Одним из разделов алгебры множеств являются тождественные преобразования, с помощью которых можно упрощать различные выражения. Пример: а) (А Ç В Ç С) È (A Ç С) È (B Ç С) = (А Ç В Ç С) È È [(A ÈB ) Ç С] = [(А Ç В) È (A È B )] È С = [(А Ç В) È (A Ç B)] Ç С = = U Ç С = С; 19

б) (М \ N) Ç (N \ М) = (M ÇN ) Ç (N Ç M ) = M Ç (N Ç N) Ç M = MÇÆM =Æ 1.1.4 Уравнения с множествами 1) Уравнение может содержать известные множества A1, A2,..., An и подлежащие определению множества X1, X2, ..., Xm. Пусть в уравнение входит одно неизвестное множество X. Требуется ответить на вопрос, при каких условиях уравнение имеет решение и каково это решение. Решение уравнения с одним неизвестным множеством X основывается на последовательности тождественных преобразований: а) В соответствии с тождествами 13) и 20) уравнение преобразуется в дизъюнктивную сумму его левой и правой частей, которая приравнивается пустому множеству. б) Полученное уравнение преобразуется к виду: (М Ç Х) È (N Ç X ) = = Æ, где M и N — известные множества, не содержащие X. (Любое уравнение приводится к такому виду). в) Так как объединение множеств пусто только при условии, что каждое из них также пустое множество, преобразованное уравнение можно записать в виде системы двух уравнений: M Ç X = Æ и N È X = Æ. г) Полученная пара уравнений (а следовательно, и исходное уравнение) имеет смысл тогда и только тогда, когда N Ì X и X Ì M (тождество 19). Это значит, что условием существования решения является N Ì M (свойство транзитивности отношения включения). А решением уравнения является любое множество X такое, что N Ì X Ì M . Пример: X È C = D. а) [(X È C) Ç D ] È [(X È C) Ç D] = Æ. б) [(X È C) Ç D ] È [(X È C) Ç D] = [(X Ç D) È (C Ç D )] È [X Ç C Ç D] = = (X Ç D ) È [(C Ç D ) Ç (X È X )] È [D Ç C Ç X ] = (D Ç X) È (C Ç D Ç X) È È (C Ç D Ç X ) È (D Ç C Ç X ) = {[D È (C Ç D )] Ç X} È {[(C Ç D ) È (D Ç C )] Ç Ç X } = (D Ç X) È [(C Å D) Ç X ] =Æ. 20

в) D Ç X = Æ и (C Å D) Ç X = Æ. г) условие существования решения : C Å D Ì X и X Ì D; то есть C ÅD Ì D или C Ì D. Причем, решением будет множество X такое, что C Å D Ì X Ì D. Если C Ì D, то C Ç D = Æ и C Å D = Æ и (C Å D) = Æ È (C Ç D) = = D Ç C = D \ C, поэтому D \ C Ì X Ì D. Следовательно, любое множество X, которое входит в D и содержит дополнение множества C до D, является решением уравнения X È C =D; 2) С помощью кругов Эйлера можно доказывать основные тождества множеств. Пример: А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С). Изобразим правую и левую части этого тождества с помощью кругов Эйлера (рисунок 1.1.2):

A È (B Ç C) (B Ç C) — это пересечение В и С A È (B Ç C) — это А и пересечение В и С \\\\\\

(A È B) Ç (A È C) (А È С) — это и А и С – штрих / / / / / (А È В) — это А и В – штрих \ \ \ \ \ (A È B) Ç (A È C) — это область с двойной штриховкой

Рис. 1.1.2

Видно, что слева и справа заштрихованные области совпадают. 3) С помощью кругов Эйлера можно выполнять тождественные преобразования: Пример: (А Ç В Ç С) È (A Ç С) È (B Ç С) (рис. 1.1.3). 21

а) Обозначим наклонной штриховкой выражение А Ç В Ç С – их общая часть — //////. б) Обозначим вертикальной штриховкой выражение A Ç C — все C кроме A — | | | | | | |. в) Обозначим горизонтальной штриховкой выражение B Ç C — все C кроме B — ÍÍÍÍÍ. г) Теперь надо объединить все заштрихованные области. Видно, что заштрихована только область C. Значит: (А Ç В Ç С) È (A Ç С) È È (B Ç С) = С.

Рис. 1.1.3

1.1.5 Упорядоченные множества 1) Совокупность, состоящая из двух элементов x и y, расположенных в определённом порядке называется упорядоченной парой <x, y>. Две пары <x, y> и считаются равными тогда и только тогда, когда x = u, y = v. Упорядоченная n-ка элементов x1 ... xn обозначается <x1, ... , xn> и по определению есть <x1, ... , xn–1, xn>. 2) Бинарным (или двуместным) отношением r называется множество упорядоченных пар. Если r есть некоторое отношение и пара <x, y> принадлежит этому отношению, то наряду с записью <x, y> Î r, употребляется запись xry. Элементы x и y называются координатами (или компонентами) отношения r. n-нар ным от но ше нием назы вает ся множе ство упоря дочен ных n-ок. 22

3) Областью определения бинарного отношения r называется множество D(r) = {x | существует такое y, что xry}. Областью значений бинарного отношения r называется множество R(r) = {y | существует такое x, что xry}. 4) Прямым произведением множеств X и Y называется совокупность всех упорядоченных пар <x, y> таких, что x Î X и y Î Y. Обозначается прямое произведение множеств X и Y через X ´ Y. Каждое отношение r есть подмножество прямого произведения некоторых множеств X и Y таких, что D(r) Í X и R(r) Í Y. Если X =Y, то говорят, что r есть отношение на множестве X. Пример: a) Пусть X = {1, 2, 3}; Y = {0, 1}, тогда X ´Y = {<1,0>, <1,1>, <2,0>, <2,1>, <3,0>, <3,1> }, Y ´ X = {<0,1>, <0,2>, <0,3>, <1,1>, <1,2>, <1,3>} при этом X ´ Y ¹ ¹ Y ´ X. б) Пусть X — множество точек отрезка [0, 1], а Y — множество точек отрезка [1, 2]. Тогда X ´ Y — множество точек квадрата [0,1] ´ [1,2] с вершинами (0,1); (0,2); (1,1); (1,2). 5) Для бинарных отношений обычным образом определены операции объединения, пересечения и так далее. 6) Обратным отношением для r называется отношение –1

r

= {<x, y> | Î r}.

7) Композицией отношений r1 и r2 называется отношение r2 o r1 = {<x, z> | существует такое y, что <x, y> Î r1 и Î r2}. 8) Свойства: a) (r–1 )–1 = r; б) (r 2 o r1 ) -1 = r1-1 o r -2 1 . 9) Бинарное отношение f называется функцией, если из <x, y> Î f и <x, z> Î f, следует, что y = z. 23

10) Поскольку функции являются бинарными отношениями, а те являются множествами, то к ним применим принцип объёмности, то есть: две функции f и g равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Область определения функции обозначается Df, а область её значений — Rf. 11) Если Df = X и Rf Í Y, то говорят, что функция f задана на множестве X со значениями во множестве Y и осуществляет отображение множества X во множество Y (или устанавливает соответствие между множествами X и Y). Это отображение обозначается: f : X ® Y. Пример: а) отношение {<1,2>, <2,3>, <ð,D>} — это функция; б) отношение {<1,2>, <1,3>, <2,4>} — не является функцией; в) отношение { x2 + 2x+1 | x — действительное число} — это функция, которую обычно обозначают y = x2 + 2x + 1. 12) Назовём f n-местной функцией из X в Y, если f : X n ® Y. Тогда пишем y = f(x1,..., xn) и говорим, что y — значение функции при значениях аргументов x1,..., xn. 13) Пусть f : X®Y. Функция (отображение) f называется инъективной, если для любых x1; x2; y из y = f (x1) и y = f (x2) следует, что x1 = x2 (<x1,y> Î f и <x2,y> Î f, то x1 = x2). 14) Функция (отображение) f называется сюръективной, если для любого элемента y Î Y существует элемент x Î X такой, что y = f (x). 15) Функция (отображение) f называется биективной, если f одновременно сюръективна и инъективна. Если существует биективная функция f : X®Y, то говорят, что f осуществляет взаимнооднозначное соответствие между множествами X и Y. Пример: Рассмотрим функции, отображающие множество действительных чисел R во множество действительных чисел: fi : R ® R, i = 1, 2, 3. а) функция f1(x) = ex — инъективна, но не сюръективна; б) функция f2(x) = x2 — сюръективна, но не инъективна; в) функция f3(x) = 2x+1– биективна (рис. 1.1.4). 24

Рис. 1.1.4 Инъективная (а), сюръективная (б) и биективная (в) функции

16) Композиция двух функций f и g есть отношение g o f = {<x,z> | существует такое y, что xfy и ygz}. Композиция двух функций есть функция. При этом, если f : X ® Y; g:Y ® Z, то g o f : X ® Z. Действительно, если <x,y> Î g o f и <x,z> Î g o f, то существует такое u, что xfu, ugy, и существует такое v, что xfv и vgz. Поскольку f — функция, то u = v. Поскольку g — функция, то y = z, и, следовательно, g o f — функция. Композиция двух биективных функций есть биективная функция. 17) Тождественным отображением множества X в себя называется отображение ex: X ® X такое, что для любого x Î X, ex(x) = x. Тогда, если f : X®Y, то ey o f = f, f o ex = f. 18) f -1 называется обратной функцией (обратным отображением). Отображение f : X ® Y имеет обратное отображение f -1:Y ® X тогда и только тогда, когда f — биекция. Для того, чтобы обратное отношение f -1 было функцией, достаточно инъективности функции f. 19) Свойства инъективных функций f и g: a) (f -1)-1 = f; б) (g o f)-1 = f -1 o g-1. 25

Свойства биективной функции f: а) (f -1 o f) = eх; б) (f o f -1) = eх. 1.1.6 Специальные бинарные отношения А. Отношение эквивалентности 1) Отношение r на множестве X называется рефлексивным, если для любого элемента x Î X выполняется xrx. 2) Отношение r на множестве X называется симметричным, если для любых x, y Î X, из xry следует yrx. 3) Отношение r на множестве X называется транзитивным, если для любых x, y, z Î X, из xry и yrz следует xrz. 4) Рефлексивное, симметричное и транзитивное отображение на множестве X называется отношением эквивалентности на множестве X. Пример: а) отношение равенства на множестве целых чисел есть отношение эквивалентности; б) отношение подобия на множестве треугольников есть отношение эквивалентности; в) отношение x y на множестве действительных чисел не рефлексивно, не симметрично, но транзитивно; г) отношение принадлежности к группе студентов на множестве студентов института — отношение эквивалентности. Итак, пусть r — отношение эквивалентности на множестве X. 5) Классом эквивалентности, порождённым элементом x, называется подмножество множества X, состоящее из тех элементов y Î X, для которых xry, и обозначается [ x ]: [ x ] = {y | y Î X и xry}. Пример: для отношения принадлежности к группе студентов классом эквивалентности является множество студентов этой группы. 26

6) Пусть r — отношение эквивалентности на множестве X. Тогда: а) если x Î X, то x Î [ x ]; б) если x, y Î X и xry, то [ x ] = [ y ] (то есть класс эквивалентности порождается любым своим элементом). 7) Разбиением множества X называется совокупность попарно непересекающихся подмножеств X таких, что каждый элемент множества X принадлежит одному и только одному из этих подмножеств. Пример: а) X = {1, 2, 3, 4, 5}. Тогда разбиение множества X: {{1,2}, {3,5}, {4}}. б) пусть X — множество студентов института. Тогда разбиение X — это, например, совокупность студенческих групп. 8) Всякое разбиение множества X определяет на X отношение эквивалентности r (xry) тогда и только тогда, когда x и y принадлежат одному подмножеству разбиения. 9) Всякое отношение эквивалентности r определяет разбиение множества X на классы эквивалентности относительно этого отношения. 10) Совокупность классов эквивалентности элементов множества X по отношению эквивалентности r называется фактор-множеством X по отношению r и обозначается: X / r. 11) Отношение r на множестве X называется антисимметричным, если для любых x, y Î X из xry и yrx следует x = y.

Б. Отношение порядка 1) Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением частичного порядка на множестве X и обозначается символом: ¶. Пример: а) Отношение x ¶ y на множестве действительных чисел есть отношение частичного порядка; 27

б) Во множестве подмножеств универсального множества U отношение A Í B есть отношение частичного порядка; в) Схема организации подчинения в учреждении есть отношение частичного порядка на множестве должностей. 2) Отношение частичного порядка на множестве X, для которого любые два элемента сравнимы, то есть для любых x, y Î X x ¶ y или y ¶ x, называется отношением линейного порядка. Предыдущий пример: а) — это отношение линейного порядка; а пример б) — таковым не является. 3) Мы определили тип отношений, используя интуитивное понятие порядка (кто главнее). Пусть на множестве X задано отношение частичного порядка r. Как теперь сравнить пары элементов из множества X, то есть как задать отношение частичного порядка на множестве X´X (как сравнить подчинённых различных отделов)? Один из возможных способов состоит в следующем: на множестве X´X определим отношение P условием: P Û arc и brd. Отношение P есть отношение частичного порядка. Оно называется отношением Парето. 4) Множество X с заданным на нём частичным (линейным) порядком называется частично (линейно) упорядоченным. Обозначим x p y, если x ¶ y и x ¹ y. Говорят, что элемент y покрывает элемент x. 5) Частично упорядоченное множество можно представить в виде схемы, в которой каждый элемент изображается точкой на плоскости, и если y покрывает x, то точки x и y соединяют отрезком, причём точку x располагают ниже точки y. Такие схемы называются диаграммами Хассе. Пример: а) Пусть A = {1, 2, 3}. На множестве P(A) рассмотрим отношение «быть подмножеством». Множество P(A) содержит восемь элементов: {Æ,{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}. Ему соответствует диаграмма Хассе (рисунок 1.1.5); 28

б) Пусть X = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. На этом множестве рассматривается отношение частичного порядка: «xy Û y делится на x»; Ему соответствует диаграмма Хассе (рисунок 1.1.6).

Рис. 1.1.5

Рис. 1.1.6

в) На множестве X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} рассматривается отношение линейного порядка £ . На диаграмме Хассе (рисунок 1.1.7):

Рис. 1.1.7

6) Два частично упорядоченные множества X и Y называются изоморфными, если существует биекция j : X ® Y, сохраняющая отношение частичного порядка. Предыдущий пример: а) и б) — это изоморфные частично упорядоченные множества. 7) Всякое частично упорядоченное множество X изоморфно некоторой системе подмножеств множества X, частично упорядоченной отношением включения. Задания для самостоятельной работы: 1) Какие из приведенных ниже соотношений неверны? а) x Î {2, a, x}; б) 3 Î {1, 2, 3, 4}; 29

в) x Î {1, sin x}; г) {x, y} Î {a, {x, y}, b}; 2) Равны ли между собой множества A и B? а) A = {2, 5, 4}; B = {5, 4, 2}; б) A = {1, 2, 4, 2}; B = {1,2,4}; в) A = {2, 4, 5}; B = {2, 4, 3}; г) A = {1, {2, 5}, 6}; B = {1, {5, 2}, 6}; д) A = {1, 2, 5, 6}; B = {1, 2, 5, 6}; 3) В каких отношениях находятся между собой следующие три множества: A = {1, 3}; B – множество нечетных положительных чисел; C – множество решений уравнения x2 — 4x + 3 = 0? 4) Приняв множество первых 20 натуральных чисел в качестве универсального множества, запишите следующие его подмножества: A – четных чисел; B – нечетных чисел; C – квадратов чисел; D – простых чисел. В каких отношениях находятся эти подмножества между собой? 5) Доказать тождества: а) (A Ç E ) È (A Ç E) = A; б) (A È B) Ç A = A ; в) (A Ç B Ç C) È (A Ç B Ç C) = B Ç C; г) (A Ç B) È B = A È B; д) A È (B \ A) = A È B; е) A Ç (B \ A) = Æ ж) А \ (A Ç B) =A \ B з) (A Ç E ) È (A Ç E) È (A Ç E)=A È E е) (A È E ) Ç (А È E) Ç (А È E) Ç (E È A) =Æ и) (A Ç E Ç C Ç I) È (A Ç C) È (E Ç C) È (C Ç I)=C 6) С помощью кругов Эйлера доказать тождества: а) (N \ M) Ç (M \ N) = Æ б) A \ (A \ B) = B \ (B \ A); в) (A \ B) \ C = (A \ C) \ (B \ C).

30

1.1.7. Нечеткие множества Пожалуй, наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах будущих поколений представляет сегодня одну из важнейших проблем науки. Значительное продвижение в этом направлении сделано более 40 лет тому назад профессором Калифорнийского университета (Беркли) Лотфи А. Заде (Lotfi A. Zadeh). Его работа «Fuzzy Sets», появившаяся в 1965 году, заложила основы моделирования интеллектуальной деятельности человека и явилась начальным толчком к развитию новой математической теории. Основанные на этой теории методы построения компьютерных нечетких систем существенно расширяют области применения компьютеров. В последнее время нечеткое управление является одной из самых активных и результативных областей исследований применения теории нечетких множеств. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов, или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Экспериментально показано, что нечеткое управление дает лучшие результаты, по сравнению с получаемыми при общепринятых алгоритмах управления. 1) Пусть U — универсальное множество, x — элемент U, а R — некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества U, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар A = {m A ( x ) x}, где mA(х) — характеристическая функция, принимающая значение 1, если x удовлетворяет свойству R, и 0 — в противном случае. Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из U нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества U оп ре де ляет ся как мно же ст во упо рядо ченных пар A = {m A ( x ) x}, где mA(х) — характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M=[0,1]). 31

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M={0,1}, то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество. Пример: Пусть U = {x1, x2, x3, x4, x5 }, M = [0,1]; A — нечеткое множество, для которого mA(x1)=0,3; mA(x2)=0; mA(x3)=1; mA(x4)=0,5; mA(x5)=0,9. Тогда A можно представить в виде: A = {0,3 x 1 ; 0 x 2 ; 1 x 3 ; 0,5 x 4 ; 0,9 x 5 } или

A=

x1

x2

x3

x4

x5

0,3

0

1

0,5

0,9

2) Основные характеристики нечетких множеств Пусть M = [0,1] и A — нечеткое множество с элементами из универсального множества U и множеством принадлежностей M. а) величина sup m A ( x ) называется высотой нечеткого множества A. xÎU

Нечеткое множество A нормально, если его высота равна 1, т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 (sup m A ( x ) = 1). При xÎU

sup m A ( x ) < 1 нечеткое множество называется субнормальным. xÎU

б) нечеткое множество пусто, если "x ÎU m A ( x ) = 0. Непустое субнор маль ное множе ство можно норма лизовать по формуле m A ( x) m A ( x) = sup m A ( x ) xÎU

в) нечеткое множество унимодально, если m A ( x ) =1 только на одном x из U. г) Носителем нечеткого множества A является обычное подмножество со свойством mA(x) > 0, т.е. носитель A = { x / m A ( x ) > 0} "x ÎU. д) элементы x ÎU , для которых mA(x)=0,5 называются точками перехода множества A. 32

Примеры: а) Пусть U ={0,1,2,..,10}, M=[0,1]. Нечеткое множество «несколько»: «несколько»={0 , 5 / 3 ; 0 , 8 / 4 ; 1 / 5 ; 1 / 6 ; 0 , 8 / 7 ; 0 , 5 / 8 }; его характеристики: высота=1, носитель={3,4,5,6,7,8}, точки перехода — {3,8}. б) Пусть U={0,1,2,3,...,n,...}. Нечеткое множество «малый»: ì ï 1 ï «малый» = ím «малый» (n) = 2 æ n ö ï 1+ç ÷ ï è 10 ø î

ü ï ï n ý. ï ï þ

в) Пусть U = {1,2,3,...,100} и соответствует понятию «возраст», тогда нечеткое множество «молодой»: ì1, x Î[125 , ] ï 1 ï m «молодой» ( x ) = í , x ³ 25. 2 ï æ x — 25 ö ï1 + ç 5 ÷ ø î è г) Пусть U= {Запорожец, Жигули, Мерседес,....} — множество марок автомобилей, а U ¢ = [0, ¥ ) — универсальное множество «стоимость», тогда на U ¢ мы можем определить нечеткие множества типа: «для бедных», «для среднего класса», «престижные», с функциями принадлежности типа:

Рис. 1.1.8 Графическое представление множества марок автомобилей

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из U в данный момент времени, мы тем самым определим на U ¢ нечеткие множества с этими же названиями. Так, например, нечеткое множество «для бедных», заданное на универсальном множестве U={Запорожец, Жигули, Мерседес,....} выглядит следующим образом: 33

Рис. 1.1.9 Нечеткое множество «автомобиль для бедных»

Аналогично можно определить Нечеткое множество «скоростные», «средние», «тихоходные» и так далее. 3) О методах построения функций принадлежности нечетких множеств. В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого xÎU значение mA(x), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и так далее, или когда выделяются полярные значения. Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1. Например, в задаче распознавания лиц можно выделить следующие шкалы:

34

0

1

x1

высота лба

низкий

широкий

x2

профиль носа

курносый

горбатый

x3

длина носа

короткий

длинный

x4

разрез глаз

узкие

широкие

x5

цвет глаз

светлые

темные

x6

форма подбородка

остроконечный

квадратный

x7

толщина губ

тонкие

толстые

x8

цвет лица

темный

светлый

x9

очертание лица

овальное

квадратное

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает m A ( x ) Î[01 , ], формируя векторную функцию принадлежности {mA(x1), mA(x2),... mA(x9)}. При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: «этот человек лысый» или «этот человек не лысый», тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение m«лысый» (данного лица). Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например, mA(xi) = wi, i=1,2,...,n, то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A={aij}, где aij=wi / wj (операция деления). На практике эксперт сам формирует матрицу A, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали aij = 1/aij, т.е. если один элемент оценивается в a раз сильнее чем другой, то этот последний должен быть в 1/a раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению вида Аw=lmaxw, где lmax — наибольшее собственное значение матрицы A. Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным. 4) Операции над нечеткими множествами а) Включение. Пусть A и B — нечеткие множества на универсальном множестве U. Говорят, что A содержится в B, если "x ÎU m A ( x ) £ m B ( x ). Обозначение: A Ì B. Иногда используют термин «доминирование», то есть в случае когда A Ì B, говорят, что B доминирует A. б) Равенство. A и B равны, если "x ÎU m A ( x ) = m B ( x ). Обозначение: A=B. в) Дополнение. Пусть M=[0,1], A и B — нечеткие множества, заданные на U. A и B дополняют друг друга, если "x ÎU m A ( x ) = 1 - m B ( x ). Обозначение: B = A или A = B . Очевидно, что ( A ) = A. (Дополнение определено для M=[0,1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного M). 35

г) Пересечение. A Ç B — наименьшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B, m A Ç B ( x ) = min(m A ( x ),m B ( x )). д) Объединение. АÈВ — наибольшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности: m A È B ( x ) = min(m A ( x ),m B ( x )). е) Относительное дополнение. A \ B = A Ç B с функцией принадлежности: m A \ B ( x ) = m A Ç B ( x ) = min(m A ( x ), 1— m B ( x )). ж) Дизъюнктивная сумма A Å B = ( A \ B) È (B \ A) = ( A È B) È ( A Ç B) с функцией принадлежности:

}

m A \ B ( x ) = max {[min(m A ( x ), 1— m B ( x ))] ; [min(1— m A ( x ), m B ( x ))] . Примеры: Пусть даны нечеткие множества: A = {0,4 x 1 ; 0,2 x 2 ; 0 x 3 ; 1 x 4 }; B = {0,7 x 1 ; 0,9 x 2 ; 01 , x 3 ; 1 x 4 }; C = {01 , x 1 ; 1 x 2 ; 0,2 x 3 ; 0,9 x 4 }. а) Здесь: A Ì B, то есть A содержится в B или B доминирует A, С несравнимо ни с A, ни с B, т.е. пары {A, С} и {B, С} — пары недоминируемых нечетких множеств. б) A ¹ B ¹ C. в) A = {0,6 x 1 ; 0,8 x 2 ; 1 x 3 ; 0 x 4 }; B = {0,3 x 1 ; 01 , x 2 ; 0,9 x 3 ; 0 x 4 }. г) A Ç B = {0,4 x 1 ; 0,2 x 2 ; 0 x 3 ; 1 x 4 }. д) A È B = {0,7 x 1 ; 0,9 x 2 ; 01 , x 3 ; 1 x 4 }. е) AB = A Ç B = {0,3 x 1 ; 01 , x 2 ; 0 x 3 ; 0 x 4 }; B — A = A Ç B = {0,6 x 1 ; 0,8 x 2 ; 01 , x 3 ; 0 x 4 }. ж) A Å B = {0,6 x 1 ; 0,8 x 2 ; 01 , x 3 ; 0 x 4 }. 36

5) Наглядное представление операций над нечеткими множествами. Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения mA(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы U (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если U по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

Рис. 1.1.10 Графическое представление операций над нечеткими множествами

На верхней части рисунка заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству A и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A. На нижней даны A, A Ç A, A È A. 6) Свойства операций È и Ç. Пусть А, В, С — нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства: A Ç B = B Ç Aü ý — коммутативность; A È B = B È Aþ ( A Ç B) Ç С = A Ç (B Ç A)ü ý — ассоциативность; ( A È B) È C = A È (B È A)þ 37

A Ç A = Aü ý – идемпотентность; A È A = Aþ A Ç (B È С ) = ( A Ç B) È ( A Ç C )ü ý — дистрибутивность; A È (B Ç C ) = ( A È B) Ç ( A È C )þ A È Æ = A, где Æ — пустое множество, т.е. mÆ(x) = 0 "xÎU; A Ç Æ = Æ; A Ç U = A, где U — универсальное множество; A È U = U; A Ç B = A È B üï ý — теоремы де Моргана. A È B = A Ç B ïþ В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае: A Ç В ¹ Æ, A È В ¹ U. Это, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств (рис. 1.1.10 ). 7) Алгебраические операции над нечеткими множествами а) Алгебраическое произведение A и B обозначается A×B и определяется так: "xÎU mA×B(x)=mA(x)·mB(x). б) Алгебраическая сумма этих множеств обозначается A +$ B и определяется так: "xÎU m A +$ B = m A ( x ) + m B ( x ) - m A ( x )m B ( x ). Для операций {×, +$ } выполняются свойства: A×B = B × A ü ý — коммутативность; A +$ B = B +$ A þ ( A × B) × С = A × (B × A) ü ý — ассоциативность; $ $ $ $ ( A + B) + C = A + (B + A)þ A × Æ = Æ, A +$ Æ = A, A × U = A, A +$ U =U ; 38

A × B = A +$ B üï ý — теоремы де Моргана. A +$ B = A × B ïþ Не выполняются свойства идемпотентности и дистрибутивности: A× A ¹ A ü ý, A +$ A ¹ A þ A × (B +$ С ) ¹ ( A × B) +$ ( A × C ) ü ý, A +$ (B × C ) ¹ ( A +$ B) × ( A +$ C )þ а также A · В ¹ Æ, A +$ A ¹ U . Для примера докажем закон де Моргана A × B = A +$ B . Обозначим mA(x) через a, mB(x) через b. Тогда в левой части закона де Моргана имеем: 1– ab, а в правой: (1 - a) + (1 - b) - (1 - a)(1 - b) = 1 - a +1 - b + a + b - ab = 1 - ab. Таким образом, левая и правая части совпадают. Докажем, что свойство дистрибутивности не выполняется, то есть A × (B +$ C ) ¹ ( A × B) +$ ( A × C ). Для левой части имеем: a(b + c - bc) = ab + ac - abc; для правой: ab + ac - (ab)(ac) = ab + ac + a 2 bc. Это означает, что дистрибутивность не выполняется при a ¹ a2. г) На основе операции алгебраического произведения (по крайней мере для целых a эта основа очевидна) определяется операция возведения в степень a нечеткого множества A, где a — положительное число. Нечеткое множество A a определяется функцией принадлежности m aA . Частным случаем возведения в степень являются: CON(A) = A2 — операция концентрирования, DIL(A) = A0,5 — операция растяжения, которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями. 39

Рис. 1.1.11 Графическое представление операции возведения в степень принадлежности нечеткого множества A.

8) Расстояние между нечеткими множествами Пусть A и B — нечеткие подмножества универсального множества U. Введем понятие расстояния r( A, B) между нечеткими множествами. При введении расстояния обычно предъявляются следующие требования: а) r( A, B) > 0 — неотрицательность; б) r( A, B) = r( A, B)– симметричность; в) r( A, B) < r( A,C ) + r(C , B). К этим трем требованиям можно добавить четвертое: r( A, A) = 0. Определим следующие расстояния по формулам: Расстояние Хемминга (или линейное расстояние): n

r( A, B) = å|m A ( x i )— m B ( x i )|. i =1

Очевидно, что r( A, B) Î[0, n]. Евклидово или квадратичное расстояние: n

e( A, B) =

å( m

2

A

[

]

( x i )— m B ( x i )) , e( A, B) Î 0, n .

i =1

Относительное расстояние Хемминга: r( A, B) =

1 n å|m A ( x i )— m B ( x i ),| r( A, B) Î[0, 1]. n i =1

Относительное евклидово расстояние: e( A, B) = 40

1 n

n

å( m i =1

2

A

( x i )— m B ( x i )) , e( A, B) Î[0, 1].

Задания для самостоятельной работы: Даны нечеткие множества: А = {0,3|х; 0,5| у; 0,7|z}; В = {1,0|x; 0,6| y; 0,4|z} Найти: а) A È E, А Ç Е, A, E б) A \ Е, E \ A, E \ A в) A Å E, A Å E г) A Ç E, E È A д) A · E, E · A е) e(A,E), r(A,E)

1.2. КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ Основная задача комбинаторики — пересчет и перечисление элементов в конечных множествах. Если нас интересует сколько элементов, принадлежащих заданному конечному множеству, обладает некоторым свойством или заданным набором свойств, то это задача пересчета. Если для каких-либо целей необходимо выделить все элементы множества, удовлетворяющие заданным свойствам, то это задача перечисления. 1.2.1 Правила суммы и произведения 1) Пусть Х — конечное множество, состоящее из n элементов. Тогда говорят, что объект x из X может быть выбран n способами, и пишут |x|= n. Пусть X1,...,Xk — попарно непересекающиеся множества, то есть Xi Ç Xj = Æ при i ¹ j. Тогда, очевидно выполняется равенство: k

UX i =1

k

i

= å| X i |. i =1

В комбинаторике этот факт называется правилом суммы. Для k = 2 оно формулируется следующим образом: Если объект x может быть выбран m способами, а объект y — другими n способами, то выбор «либо x, либо y» может быть осуществлен (m + n) способами. 2) Другим часто применяемым в комбинаторике правилом является правило произведения. Если объект x может быть выбран m способами и после каждого из таких выборов объект y в свою очередь может быть выбран n способами, то выбор упорядоченной пары <x, y> может быть осуществлен (m + n) способами. В общем случае правило произведения формулируется следующем образом. Если объект x1 может быть выбран n1 способами, после чего объект x2 может быть выбран n2 способами и для любого i, где 2 £ i £ m -1, после выбора объектов x1, ..., xi объект xi+1 может быть выбран ni+1 способами, то выбор упорядоченной последовательности из m объектов, <x1, x2, ..., xm> может быть осуществлен (n1 n2 ... nm) способами. 42

1.2.2 Размещения, сочетания и перестановки 1) Набор элементов x1, x2, ..., xm из множества X = {x1, ..., xn} называется выборкой объема m из n элементов или, иначе, (n, m)-выборкой. Выборка называется упорядоченной, если порядок следования элементов в ней задан. Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком следования элементов, считаются различными. Если порядок следования элементов в выборке не является существенным, то такая выборка называется неупорядоченной. 2) В выборках могут допускаться или не допускаться повторения элементов. Упорядоченная (n,m)-выборка, в которой элементы могут повторяться, называется (n,m)-размещением с повторениями. Если элементы упорядоченной (n, m)-выборки попарно различны, то она называется (n,m)-размещением без повторений или просто (n, m)-размещением. Будем, кроме того (n,n)-размещения без повторений называть перестановками множества X. Неупорядоченная (n,m)-выборка, в которой элементы могут повторяться, называется (n,m)-сочетанием с повторениями. Если элементы неупорядоченной (n,m)-выборки попарно различны, то она называется (n,m)-сочетанием без повторений или просто (n,m)-сочетанием. Заметим, что любое (n,m)-сочетание можно рассматривать как m-элементное подмножество n-элементного множества. Пример: Пусть Х = {1, 2, 3}. Тогда: а) <1,1>, <1,2>, <1,3>, <2,1>, <2,2>, <2,3>, <3,1>, <3,2>, <3,3> — это (3,2)-размещения с повторениями; б) <1,2>, <1,3>, <2,1>, <2,3>, <3,1>, <3,2> — это <3,2>-размещения; в) {1,2}, {1,3}, {2,3} — это (3,2)-сочетания. Число (n,m)-размещений с повторениями обозначаем через Anm , а без повторений — через Anm . Число перестановок n-элементного множества обозначаем через Pn (то есть Pn = Ann ). Число (n,m)-сочетаний с повторениями обозначаем через C nm , а без повторений — через C nm . Утверждение 1: Anm = nm. Действительно, каждое (n,m)-размещение с повторениями является упорядоченной последовательностью длины m, причем каждый 43

член этой последовательности может быть выбран любым из n способов, откуда по обобщенному правилу произведения и получаем требуемую формулу. В дальнейшем для большей общности формул будем считать, что 0!=1. Утверждение 2: Anm = n (n – 1) ... (n – m + 1) = n! / (n – m)!, при n £ m; Anm = 0, при m > n. Рассмотрим случай, когда m £ n (случай m > n очевиден). Каждое (n,m)-размещение без повторений является упорядоченной последовательностью длины m, члены которой попарно различны и выбираются из множества с n элементами. Тогда первый член этой последовательности может быть выбран n способами, после каждого выбора первого члена последовательности второй член может быть выбран (n – 1) способами и т.д. Соответственно после каждого выбора первого и так далее. (m – 1)-го членов последовательности m-й член может быть выбран n – (m – 1) = n – m + 1 способами, откуда по обобщенному правилу произведения и получаем требуемую формулу. Следствие: Pn = Anm = n (n – 1) ... 1 = n! Утверждение 3: C nm = Anm / m! = n! ((n – m)! m), при m £ n; C nm = 0, при m > n. Рассмотрим нетривиальный случай, когда m £ n. Каждое (n,m)-сочетание можно упорядочить m! способами. Объединение получаемых таким образом попарно непересекающихся множеств (n,m)-размещений для всех возможных (n,m)-сочетаний очевидно, даст все (n,m)-размещения. Тогда по правилу суммы имеем Anm = C nm m! (здесь суммирование производится по всем (n,m)-сочетаниям без повторений), откуда: C nm = Anm /m!. 44

Утверждение 4: C nm = C nm+ m +1 . Каждому (n,m)-сочетанию B с повторениями, составленному из элементов множества X = x1, ..., xn поставим в соответствие вектор a(B) длины n + m + 1 из m нулей и n – 1 единиц такой, что число нулей, находящихся между (i – 1)-й и i-й единицами, где 2 £ i £ n – 1, будет равно числу элементов хi, входящих в сочетание B, а число нулей, стоящих перед первой единицей (после (n – 1)-й единицы), равно числу элементов х1, (соответственно xn), входящих в сочетание B. Это соответствие между (n,m)-сочетаниями с повторениями и векторами с (n – 1) единицами и m нулями взаимно однозначно. С другой стороны, число векторов с (n – 1) единицами и m нулями равно числу m-элементных множеств (номеров нулевых компонентов в векторах), являющихся подмножествами (n + m + 1)-элементарного множества {1, 2, ..., n + m – 1} (множества всех номеров компонент в векторах), то есть числу (n + m – 1, m)-сочетаний без повторений. Таким образом, C nm = C nm+ m +1 . Утверждение 5: Обозначим через Y x множество всех отображений f: X®Y. Пусть |X| = m; |Y | = n. Тогда |Y x| = Anm = nm = |Y|x. Утверждение 6: Пусть |X | = m; |Y | = n. Тогда число всех инъективных отображений f: X ® Y равно Anm . Следствие: Для Sn – множества всех биективных отображений n-элементного множества в себя имеем: |Sn| = Ann = Pn = n! Пример 1. Сколькими способами можно раскрасить квадрат, разделенный на четыре части (рисунок 1.2.1), пятью цветами: 1

2

4

3 Рис. 1.2.1

а) допуская окрашивание разных частей в один цвет; б) ес ли раз лич ные час ти ок ра ши ва ют ся раз ны ми цве та ми? Бу дем рас смат ри вать ка ж дое рас кра ши ва ние как функ цио наль ное ото бра же ние мно же ст ва но ме ров час тей квадра та X = {1, 2, 3, 4} в множе ство цветов Y, где |Y | = 5. То гда, ис поль зуя ут вер жде ние 5 и 6, име ем: 45

а) 54 = 625; б) 5! / (5 – 4)! = 120. Пример 2. Сколькими способами можно выбрать 5 номеров из 36? Нас интересует количество неупорядоченных (36, 5)-выборок без повторений, то есть (36, 5)-сочетаний. Используя утверждение 3, получа5 ем, что требуемое число способов равно C 36 = 376992. Пример 3. В скольких случаях при игре в «Спортлото» (угадывание 5 номеров из 36) будут правильно выбраны: а) ровно три номера; б) ровно 4 номера; в) ровно 5 номеров; г) не менее 3 номеров ? Решение: а) 3 из 5 «правильных» номеров можно выбрать C53 способами, а 2 оставшихся «неправильных» номера — C 312 способами. Далее по правилу произведения получаем, что искомое число равно: C53 C 312 = 5!

5! 31! × = 4650. 3! × 2! 29! × 2!

В остальных случаях соответственно имеем: 1 б) C54 C 31 = 151; в) £ 1; г) 4650 + 153 + 1 = 4806. Пример 4. В скольких случаях при выборе из колоды в 52 карты 10 карт среди них окажутся все 4 туза? Исключив из рассмотрения тузы, получим, что выбираются 6 карт из 48, а такой выбор можно осуществить C 486 способами: C 486 =

48! = 12181512. 42 !× 6!

Пример 5. Имеется 30 монет достоинством 1, 2, 3 копейки. Сколько существует различных комбинаций монет (например, 3 монеты по 1 копейке, 17 — по 2 копейки, 10 — по 3 копейки)? По условиям задачи требуется определить количество неупорядоченных выборок с повторениями объема 30 из множества объема 3, 46

то есть число (3, 30) — сочетаний с повторениями. Используя утверждение 4 получаем, что искомое число равно: C 330 = C 330+ 30 -1 = C 3230 = 496. 1.2.3 Разбиения Подсчитаем число разбиений конечного множества X, где X = n, на k подмножеств X1, X2, ..., Xk (k ³ 1) таких, что каждое Xi содержит ni элеk

ментов, то есть U X i = X ; X i Ç X j = Æ; при i ¹ j; |Xi| = |ni|, i = 1, 2, ..., k. i =1

k

Очевидно, что при этом å n ! = n. Отметим, что для некоторых ноi =1

меров i возможно Xi = Æ. Число указанных разбиений при фиксированных ni обозначим через C nn 1 Kn k . Утверждение 7: n Kn k

Cn 1

=

n! . n1 ! K n k

Как отмечалось ранее, каждое из множеств Xi можно рассматривать как сочетание без повторений. Предварительно докажем справедливость формулы C nn 1 Kn k = C nn 1 C nn-2 n 1 KC nn-k n 1 -K- n k - 1 . Действительно, для образования сочетания, соответствующего множеству X1, могут быть использованы все элементы множества X, то есть множество X1 может быть выбрано C nn 1 способами. После выбора X1 множество X2 может быть выбрано C nn-2 n 1 способами (так как X2 является подмножеством множества X \ X1 и |X \ X1| = n – n1), и для любого i, где 2 £ i £ k, после выбора множеств X1, ..., Xi–1 множество Xi может быть выбрано C nn-i n 1 -K- n i - 1 способами. Но тогда по правилу произведения выбор упорядоченной последовательности множеств X1, ...,Xk можно осуществить n n C n 1 C nn-2 n 1 KC n -k n 1 -K- n k - 1 способами, то есть формула доказана. Используя теперь эту формулу, а так же утверждение 3 и производя необходимые сокращения, получаем, что доказываемое утверждение справедливо. Пример 1. В студенческой группе, состоящей из 25 человек, при выборе профорга за выдвинутую кандидатуру проголосовали 12 человек, против — 10, воздержались — 3. Сколькими способами могло быть проведено такое голосование? 47

Решение: Пусть X – множество студентов в группе, X1 – множество студентов, проголосовавших за выдвинутую кандидатуру, X2 — множество студентов, воздержавшихся от голосования. Тогда, |X| = 25, |X1| = 12, |X2| = 10, |X2| = 3, X = X1 È X2 È X3; Xi Ç Xj = Æ при i ¹ j, а следовательно, 12,10, 3 искомое число равно C 25 . Используя утверждение 7, получаем: 12,10, 3 C 25 =

25! = 1487285800. 12 ! ×10! × 3!

Утверждение 8: Число C nn 1 Kn k , где ni ³ 0, равно числу (k,n)-размещений с повторениями, среди элементов которых содержится n1 элементов 1-го типа, n2 элементов 2-го типа и так далее, nk элементов k-го типа. Пример 2. Сколькими способами можно раскрасить квадрат, разделенный на 9 частей (рисунок 1.2.2), четырьмя цветами таким образом, чтобы в первый цвет были окрашены 3 части, во второй — 2, в третий — 3, в четвертый — 1? 1

2

3

6

5

4

7

8

9

Рис. 1.2.2

Решение: Пусть X – множество цветов, где |X | = 4. Тогда каждое раскрашивание, рассматриваемое как последовательность цветов, в которые окрашиваются пронумерованные части квадрата, является упорядоченной выборкой с повторениями объема 9 из множества X, то есть (4,9) — размещение с повторениями. При этом нас интересуют размещения с заданной комбинацией элементов (3 элемента — первый цвет, 2 — второй, 3 — третий, 1 — четвертый). Но тогда, используя утверждение 8, получаем, что искомое число равно: C 93, 2, 3,1 = 48

9! = 5040. 3! × 2! × 3!

1.2.4 Метод включения и исключения 1) Нахождение числа элементов суммы множеств A и B. Обозначим N(A) — количество элементов множества A. N(B) — количество элементов множества B, тогда очевидно: N ( A È B) = N ( A) + N (B) - N ( A Ç B), так как общие элементы ( A Ç B) будут перечислены дважды. Для числа элементов суммы трех множеств: N ( A È B È C ) = N { A È (B È C )} = N ( A) + N (B È C ) - N {( A Ç B) È ( A Ç C )} = N ( A) + N (B) + N (C ) - N (B Ç C ) -{N ( A Ç B) + N ( A Ç C ) - N [( A Ç B) Ç ( A Ç C ]} = = N ( A) + N (B) + N (C ) - N ( A Ç B) - N ( A Ç C ) - N (B Ç C ) + N ( A Ç B Ç C ). Пример. Каждый студент группы — либо девушка (А), либо блондин (В), либо любит математику (С). Пусть в группе — 20 девушек(А), из них 12 блондинок и одна любит математику. Всего в группе 24 блондина (В), математику из них любят 12, а всего студентов (девушек и юношей), которые любят математику (С) — 17, из них 6 девушек. Сколько студентов в данной группе? Решение: А — множество девушек, В — блондинов, С — любят математику. Тогда надо найти N ( A È B È C ). A Ç B — множество блондинок; A Ç C — множество девушек, которые любят математику; B Ç C — множество всех блондинов, которые любят математику; A Ç B Ç C — множество блондинок, которые любят математику, тогда: N ( A È B È C ) = 20 + 24 + 17 – (12 + 6 + 12) + 1 = 32. Общая формула: N ( A1 È K È An ) = N ( A1 ) + K + N ( An ) - {N ( A1 Ç A2 ) + N ( A1 Ç A3 ) + K + N ( An -1 Ç An )} + +{N ( A1 Ç A2 Ç A3 ) + N ( A1 Ç A2 Ç A4 ) + K + N ( An — 2 Ç An —1 Ç An )} - K K + (-1) n -1 N ( A1 Ç K Ç An ), 49

или N ( An È K È An ) = (-1) n -1 S k ( A1 K An ), где S k ( A1 K An ) есть сумма чисел N ( i 1 Ç K Ç Ai k ) по всем возможным пересечениям. Задания для самостоятельной работы: 1) Сколькими способами можно раскрасить квадрат, разделенный на 4 части пятью цветами: а) допуская окрашивание разных частей в один цвет (повторение); 1 2 б) если различные части окрашиваются разными цветами (без повторений); 4

3

E = {12 , ,3,4,5} k = 4. 4 5

а) A = 5 4 = 625; 5! б) A54 = = 5! = 120. (5 - 4)!

2) Сколькими способами можно выбрать 5 из 36? Это сочетание 36 × 35 × 34 × 33 × 32 5 без повторений: C 36 = = 376962. 1× 2 × 3 × 4 × 5 3) В скольких случаях при игре в «Спортлото» (5 из 36) будут правильно выбраны: а) 3 номера, б) 4 номера, в) 5 номеров: а) C53 – выбор 3-х правильных номеров, C 32 – выбор 2-х неправильных; 5! 31! Итого: C53 × C 312 = × = 4650; 3! × 2 ! 29! × 2 ! 1 б) C54 × C 31 = 155; в) C55 × C 300 = 1. 4) В скольких случаях при выборе из колоды в 52 карты 10 карт среди них окажутся все 4 туза. Исключив из рассмотренного туза, получим, что выбираются 43 × 44 × 45 × 46 × 47 × 48 6 карт из 48, то есть C 486 = 48! 42 !× 6! = . 1× 2 × 3 × 4 × 5 × 6 50

5) Имеется 30 монет достоинством 1, 2 и 3 копейки. Сколько существует различных комбинаций монет? Иными словами, требуется определить количество подмножеств с повторениями из множества 3 по 30, то есть число сочетаний с повторениями C 330 = C 330+ 30 -1 = C 3230 = 496.

ЛИТЕРАТУРА 1. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. М.: Наука, Физматлит, 2000. 2. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. М.: Энергоатомиздат, 1989. 3. Москинова Г.И. Дискретная математика (математика для менеджера в примерах и упражнениях). М.: Логос, 2000. 4. Нефедов Н.В., Осипова В.А. Курс дискретной математики. М.: МАИ, 1992. 5. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1979.

Эдуард Федорович Казанцев МАТЕМАТИКА РАЗДЕЛ 1. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА (Тетрадь 1.1)

Учебно-методическое пособие Печатается по решению Редакционно-издательского совета Международного университета в Москве Компьютерная верстка и дизайн: Д.А.Глазков Печатается в авторской редакции Подписано в печать 14.04.05 Гарнитура Times New Roman Формат 60´90 1/16 Бумага офсетная. Печать ризографическая Усл. печ. л. 3,2. Тираж 150 экз. Изд. № 19 Издательский дом Международного университета в Москве Москва, Ленинградский проспект, 17 Международный университет в Москве Тел. (095) 250-45-42