Алгебра и логика, 39, N 5 (2000), 547-566
УДК 510.5
ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ В ^ - С Т Е П Е Н Я Х ПО ПЕРЕЧИСЛИМОСТИ*)
И. Ш . К А Л И М У Л Л И Н
Множество А Си сводится по перечислимости к В С и (или е-сводигпся) и записывается как А <е В, если существует перечислимое множе ство W такое, что для всех х £ и выполняется х £ А <Ф (3F - конечное множество)[{ж, F) £ W k F С В]
(*)
(здесь конечное множество F отождествляется со своим номером в кано нической нумерации всех конечных множеств). Классы эквивалентности, индуцированной предпорядком < е , называются степенями по перечис лимости (или е~степенями). В данной работе мы будем рассматривать только так называемые Д^-е-степени, т. е. степени, содержащие некоторое множество из класса Д^-арифметической иерархии. Если фиксировать некоторое рекурсивно перечислимое (р. п.) множе ство Wi, i £ о;, то (*) при W = Wi будет определять некоторый оператор А = Ф,-(В) = <&f, который называется оператором перечисления (или еоператором). Тогда для всех A,fl C w имеем А < е В & А = Ф,-(В) для некоторого г £ а;. Элементы Wi называются также аксиомами оператора Фг\ Поскольку задание множества аксиом эквивалентно заданию соответ ствующего е-оператора, будем отождествлять в данном контексте Wi и Ф;. Совокупность Д§-е-степеней (как и совокупность всех степеней) яв ляется полурешеткой относительно порядка <, полученного из предпоряд*'Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования РФ.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
548
И. Ш.
Калимуллин
ка < е . Кроме того, полурешетка Д^-е-степеней обладает наибольшим эле ментом 0fe = deg e (&'), где К = {х : х Е W x }. Эффективная аппроксимация {К,Ле,*€ом K(#) = liminf, Ve>s(x)5 всех Е^-множеств будет выбрана таким образом, что если А Е Д§» то существу ет е Е CJ такое, что Л (ж) = lim* К,* (я) для всех ж € и>. Такие аппроксимации будем называть Д^-аппроксимациями. Через Ф4?5 обозначается е-оператор с множеством аксиом И^>, т. е. Ф|?5 аппроксимирует в некотором смысле оператор Ф, на шаге s. Без огра ничений общности можно считать, что для всех 5, г, у, ж и всех конечных множеств F выполняется у £ F & (x,F)E
Ф,>=>у < s.
Если i? — некоторое выражение, вычисляемое в ходе конструкции, то вычисленное на шаге s выражение R будем обозначать через R[s]. Остальные обозначения в данной работе будут полностью соответ ствовать принятым в [1]. Все конструкции в настоящей работе будут оперировать с деревом стратегий Т = CJ
и такую, что для всех <т, т £ Т и s £ и выполняется n(a^s^r)
> s и п(а^т) ^ п(а). Часто
будем использовать число п(а) как свидетель ст-стратегии. Степень по перечислимости Ь е > 0 е является относительным допол нением вниз для е-степени а*,, если а е П Ь е = 0 е . Аналогично, е-степень b e < Qfe называется относительным дополнением вверх для е-степени а е , если а е U Ь е = 0^. На существование относительных дополнений для естепеней ниже 0'е указывают следующие результаты (см. [2, 3]): 1) каждая ненулевая Д^-е-степень имеет Д^-относительное дополне ние вверх,
Относительные дополнения в Д° -степенях
549
2) каждая неполная А^-е-степень а е имеет Е^-относительное допол нение вниз. Однако, как показывает следующая теорема, результат 2 нельзя обобщить, построив А 2 ~ о т н о с и т е л ь н о е Дополнение вниз даже для П^ степе ней. Доказательство, которое здесь приводится, требует 0'"-приоритетных рассуждений. Т Е О Р Е М А 1. Существует неполная П^-е-степень, не имеющая относительного дополнения вниз в А^-степенях по перечислимости. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно построить d-p. п. множество А — = А\ — А2 (где Ai,A2 являются р. п. множествами) и р. п. множество В, удовлетворяя требованиям: Ре • {Уе.зУаеш является Д^-аппроксимацией и V€ не будет р. п. мно жеством => (ЗГ,Л)[Г Л = Лу« к Av* еА°2к
{ЩТА
ф Wi)) (здесь Г и Л -
некоторые операторы перечисления). Опишем основной модуль для требования Ne: 1) Держим некоторый свидетель у в дополнении В; 2) Ждем появления некоторого конечного множества F такого, что (у, F) б Ф е И & F C A[s]; 3) Перечисляем у в В и запрещаем перечислять элементы F в Л 2 (сохраняя неравенство В (у) = 0 ^ 1 = Ф^(у)). Возможные выходы этой стратегии обозначим как 0 и 1: 0 — соот ветствует п. 3, в данном случае имеем ФА - В ф 0 ; 1 — соответствует п. 2, тогда В ~ ФА ф 0 . Ясно, что здесь все выходы конечны. Введем для требования Ре подтребования Реу. Peti:
ГА=Ау<ф1У>.
Если левая часть требования Р€ верна для некоторого е, необходимо вы полнить все подтребования вида Ре?;, где г £ а;. Опишем основной модуль для удовлетворения одного подтребования Pejt-. Работа будет осуществляться по циклам ж, где х £ и. Каждому ци-
550
И. Ш. Ка^пимуллин
клу х сопоставляем свидетель (ж, г). Каждому открытому циклу х соответ ствует перечисление аксиомы {(я, г), {х}) в Л е . Пусть на некотором шаге s для любого открытого цикла х верно TA((x)i))[s]
= Wi,«((s>0)>
тог
Да
открываем все не открытые ранее циклы у ^ s. В противном случае будем говорить, что Ре>|- дшгошлизировано,
и новые циклы открывать не будем.
Ради сохранения равенства ЛУе = ГА для каждого открытого цикла ж, удо влетворяющего условию (х, г) £ (Л^е — ГА)[«], выбираем в (е, г)~м столбце достаточно большое число j x и перечисляем его в А\. Далее, определяем новую аксиому {{я, г), {jx}) в Г. С другой стороны, если найдется откры тый на шаге s цикл х такой, что (я, г) 6 (Г"4 - Л ^ ) ^ ] , то перечисляем в As} является А^-аппроксимацией. По уже доказанному либо Ve — р. п. множество, либо подтребование P e?J , начиная с некоторого шага, окажется диагонализованным.
551
Относительные дополнения в А% -степенях
Легко видеть, что в последнем случае будет истинным выход 1. Следова тельно, V€ рекурсивно перечислимо. Таким образом, из истинности бесконечного выхода 0 следует, что требование Р е удовлетворено, и не имеет смысла под этим выходом рабо тать с другими подтребованиями P e j {j 6 и). Удовлетворение отрицательных требований Nk {к G и>) под выходом О не вызывает трудностей, так как можно заранее считать, что столбец множества А, в котором работает подтребование Pejt-, является пустым. Для одновременного удовлетворения всех требований будем работать на дереве Т = u; <w . Вершины дерева Т будем прикреплять (или назна чать) к определенным (под)требованиям, причем это назначение будет не априорным, как обычно, а будет происходить в процессе построения множества А. Если вершина а 6 a><w прикреплена к подтребованию Р е ,, то <т-стратегия работает аналогично основному модулю для P e ,j, с той лишь разни цей, что теперь числа j x выбираются в столбце иД™^, и каждому откры тому циклу х соответствует свидетель (х,п(сг)). Если вершина а прикреплена к Ре,о то а называется
Ре-вершиной.
Каждой Ре~вершине а поставим в соответствие операторы Г^ и Aff, кото рые необходимы для удовлетворения Р е . Вершина а1 является подчиненной Ре-вершине <т, если выполняются следующие условия: i) о С <т'; ii) о1 прикреплена к подтребованию Ре,, для некоторого г G и\ Ш) не существует Ре-вершины г такой, что а С г С а1. Только в этом случае сг'-стратегия будет участвовать при построении Та и Л*. Конструкция, приведенная ниже, будет удовлетворять наши усло вия за счет работы с вершинами, которые назначены этими требованиями. Бесконечную строку из CJW, которая расположена левее всех бесконечных строк е таких, что конструкция работает со всеми вершинами а С е, назо вем истинным путем конструкции; другие бесконечные строки назовем ложными путями. Выполнение требований будет гарантироваться теперь
552
И. Ш.
Калимуллин
их выполнением на вершинах истинного пути. Трудность состоит в том, что теперь необходимо корректировать построение IV и Аа на вершине <т', даже если а1 лежит на ложном пути. Однако, когда а1 на самом деле ока зывается правее истинного пути, сг'-стратегия будет инициализироваться; при этом для всех открытых циклов ^-'-стратегии можно перечислять в IV и Л^ аксиомы ((ж, п(<т7)), 0 ) , и с этого момента, число {#, п(а')) будет всегда лежать и в Г ^ и в Л^ е . Поэтому равенство Г^ = Л^е не будет нарушаться в точке {я, ?г(сг')). Отметим, что если некоторая а-стратегия инициализируется в про цессе конструкции, то к ней мы уже более не возвращаемся. Вместо этого для реализации конечных выходов Ре>,-стратегий (е, г £ и) будем работать на новых, еще не задействованных в конструкции ветвях дерева (именно для этого работаем с деревом u;
£ (Л^е — Г^)[$],
то перечисляем в А\ достаточно большое число j x из иМ*')] и определяем аксиому ((ж, n(ar))1 {jx}) в операторе I V Если же (#, п(а')) 6 (Г^ — A^ e )[s], то перечисляем в А 2 все элементы из ДМ*')]^]. Когда же последнее будет повторяться бесконечно много раз, это, возможно, приведет к нарушениям правых (относительно а') стратегий, в том числе и лежащих на истинном пути. Однако в этом случае существует открытый цикл х а'-стратегии такой, что V€)S(x) (если <т'-стратегия рабо тает с подтребованием Ре,«) меняет свое значение бесконечно много раз, и следовательно, требование Р€ выполняется автоматически (так как {V^?e} не является Д^-аппроксимацией). Поэтому на ветвях правее, чем а', перед тем, как удовлетворять отрицательные требования Ney будем рассматри-
Относительные дополнения в Д^-степенях
553
вать на дереве "проверочные псевдотребования" Р"/. P^'i : (3 открытый цикл х <7'~стратегии)[ит5УеД#) Т]Если такое "псевдотребование44 выполняется, то, во-первых, Р е так же выполняется и нет необходимости под этим выходом удовлетворять другие подтребования вида Р е у (г' 6 и); во-вторых, можно заново начать удовлетворять все требования Ре/ при е' > е (назначая под таким выходом новую Ре/-вершину); и, в-третьих, отрицательные требования меньшего приоритета могут теперь не запрещать числа из п(сг')-столбца, поскольку заведомо дН»')] = 0 . Однако для успешного удовлетворения этих от рицательных требований необходимо рассмотреть на дереве "псевдотре бования44 всех лежащих левее Р-стратегий, у которых соответствующая Р-вершина находится на истинном пути. Поэтому под каждым выходом Р ^ будем назначать на дереве еще не рассмотренные "псевдотребования44 Pf\, где е ^ е (т. е. назначение "псевдотребований" будем начинать с боль ших е). КОНСТРУКЦИЯ. Ш а г s = 0: В0 = 0 , А0 = 0 , 80 = А. Ш а г s+1: 8s+\ будем определять через конечное число этапов £ ^ 0, определяя на каждом из них конечную строку 8ь8+1. Э т а п t = 0: *J +1 = A. Э т а п £ + 1 : инициализируем все (еще не инициализированные) стра тегии а С 5в/ для всех s' ^ s, лежащие правее 5* +1 . С л у ч а й 1: <5*+1 прикреплена к подтребованию Ре?1, причем 8*8+1 под чинена Ре-вершине а. 1) ЕСЛИ <5*+1 не диагонализовано на шаге s+1, то открываем все еще не открытые циклы с номером ^ s. Для каждого вновь открытого цикла х перечисляем в Л^ аксиомы вида ((ж, п(£* +1 )), {ж}). 2) Проверяем, выполняется ли следующее условие:
{Зх)[(хМЪ+1))€№-Т2Щ Если да, то, выбрав минимальный такой я, перечисляем в А\ достаточ но большое j x из п(5£+1)-столбца и определяем новую аксиому в Г^ вида
«*>»(йн)>. Ш)- Тог Д а <*.«(**.+i)> e (г*)[* +1] - (г*~^)[« +1].
554
И. Ш.
Калимуллин
3) Пусть s' ^ s — наибольший шаг такой, что ^ + 1 С 58>, если та f
кой s существует, в противном случае, если s + 1 — первый шаг работы £*+1-стратегии, определяем s' — 0. Если (ж,п(^ + 1 )) 6 ^2,u+i - А2,г* Для некоторых x,u, sf < u < s (это может случиться из-за работы некоторо го "псевдотребования" P e J +1 , расположенного на дереве правее <^ +1 ),
TO
определяем <J*+J = <JJ+1 0 и переходим к этапу t + 2. В противном случае переходим к п. 4. 4) Если выполняется (Зх)[(х,п(51+1))е(Г^-А^)[8}], то перечисляем в A2,s+i все числа из столбца с номером гс(£*+1), ранее перечисленные в Ai|e+i> тогда (a?»n(5J+1)) ^ (Г^)[з + 1]) и определяем ^«+1 ^ ^4-1 0. В противном случае <$*+} = <^+i^n> г Д е ^ > 0 — наименьшее натуральное число, при котором стратегия <^+i^ n
еш е н е
>
инициализиро
валась. Переходим к этапу t + 2. С л у ч а й 2: <£J+1 прикреплена к "псевдотребованию" Р£^ и стратегия af подчинена Ре-вершине а. 1) Проверяем, выполняется ли условие:
(з*ж*,п(<7')>е(лГ«-г^)М]. Если да, то, выбрав минимальный такой ж, перечисляем в A l t S + i достаточ но большое 2х из п(<^+1)-столбца и определяем новую аксиому в IV вида ({x,n(a')),{jx}). 2) Выберем наибольший шаг s' ^ «5 такой, что <5*+1 С 6st, если такой s ; существует, в противном случае определяем s1 = 0. Если (ж,п(сг/)) £ Е ^2,u+i - ^2,« для некоторых ж, w, 5; < u < $ (это возможно из-за рабо ты некоторого другого "псевдотребования" P^i, расположенного на дереве правее <$J+1), то определяем 618^\ = <^+i 0 и переходим к этапу £ + 2. В противном случае переходим к п. 3. 3) Если выполняется (Зх)[(х,п(а'))е(Г?-А?)[в}],
Относительные дополнения в /^-степенях
555
то перечисляем в A2,s+i все числа из столбца с номером n(5J + 1 ), ранее перечисленные в Ai,«+i» и определяем &г£\ = 5*+1 0. В противном случае полагаем 8*8^\ = fJ + 1 A n, где п > 0 — наименьшее натуральное число, при котором стратегия £* +1 ~д еще не инициализировалась. Переходим к этапу t + 2. С л у ч а й 3: 5J +1 = 7 прикреплена к требованию Ne. Если свидетель У-у ==dfn ^(т) У ж е перечислен в J3, то определяем ^ + i = ^5+i 0* Если же у 7 Е (S)[s], проверяем, существует ли конечное множество F С A[s] такое, ЧТО ( y 7 5 F ) 6 Ф е , 5 И
1) Р П а Д п ^ ] = 0 при всех а, удовлетворяющих условию а 0 С 5£ +1 ; 2) F П си^'М — 0 при всех а', для которых найдется стратегия <т, прикрепленная к "псевдотребованию" i ^ (при некоторых е, г € си) и удо влетворяющая условию а ОС ^+1* Если да, то перечисляем у7 в В8+х и определяем ££Ц = £J +1 0. В противном случае <$*** = <5*+1 1. Переходим к этапу t + 2. С л у ч а й 4: <SJ+1 еще ни к чему не прикреплена. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Стратегию а (не инициализированную ранее) бу дем называть активной на вершине г, если a) сг < L r, b) а прикреплена к Ре?4 для некоторых е, г £ си, c) <7 подчинена некоторой Ре-вершине т\ С г, d) не существует гг, ri С Г2 С г, прикрепленной к "псевдотребова нию" Р£ •. С л у ч а й 4а: существуют активные стратегии на <5*+1. Пусть е — наибольшее натуральное число такое, что существует активная стратегия на <5*+1, прикрепленная к подтребованию Pe>i для некоторого г Е си. Выбе рем любую (например, с наименьшим номером п(а)) активную стратегию а на £3+1? прикрепленную к Ре>г при некотором г. Тогда прикрепляем <S*+1 к "псевдотребованию" Р^-. Определяем 5 5 + 1 = <$*+1 и переходим к шагу 5 + 2. С л у ч а й 4Ь: не существует активных стратегий на <SJ+1. Обозначим
И, Ш.
556
Калимуллин
через Rp множество тех пар (е, г), для которых подтребование Ре?г "влечет" размещение на дереве, а именно, a) не существует вершины т, прикрепленной к P e j / или Р£{, при неко торых г', а1 и такой, что г ОС <JJ+1, b) (Va С *J+1)[(7 прикреплена к Pe,i => [[(Эг)(Э(е',*'»[(7 С г~0 С С <J*+1 & е' < е & г прикреплена к Р е /у] V [(3r)(3cr , )(3(e , ,i / »[(r С г^О С С £*+1 & е' < е & т прикреплена к J ^ ,•,]]]. Аналогично, обозначим через Ддг множество, состоящее из тех е, для которых не существует вершины а С <^+1, прикрепленной к ЛГе. Выберем наименьший элемент m в множестве Rjy ф P p . Если m = = 2е, то прикрепляем £*+1 к требованию ЛГе. Если же m = 2(е,г) + 1, то прикрепляем <J*+1 к подтребованию Ре^. Полагаем 88+\ равным <$*+1 и переходим к шагу 5 + 2. Инициализация
стратегии а на шаге s означает, что в дальнейшем
мы не будем работать с вершиной сг, т. е. а £ 8t при t ^ s. Кроме того, если а прикреплена к некоторому подтребованию Р е>| , то мы перечисляем на этом шаге в Г г и Л г аксиомы ((я,7г(а)),0) для всех открытых ранее стратегией а циклов с номером х. (Здесь г — это Р е -вершина, которой подчинена стратегия ст.) Описание конструкции завершено. Положим А = lims А8 = \im8(Aii8 — А2}8), В = (J e P e . Л Е М М А 1. Существует 8 = lim inf 5 £ s . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем существование £(ar) = lim inf5<Je(ar) индукцией по a; G и. Пусть 8\x = lim infs55[a; существует. Предположим, что 5 e (#) = n, n > 0, для некоторого s и s' = (/xs' > s)[<5s|~:z = £y|V). Из описания конструкции следует, что либо Ss>(x) — п, либо 88>(х) = 0. Таким образом, существует 8{х) = lim mi888{x). Лемма доказана. Л Е М М А 2. Для любой конечной строки а С 8 найдется конечная строка т, а С г С 8, без активных стратегий на ней. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поставим в соответствие каждой строке а С 8 число /(сг), равное - 1 , если не существует активных стратегий на <т, и равное е ^ 0 в противном случае, где е — наибольший индекс, при котором
Относительные дополнения в /^-степенях
557
существует активная стратегия на ст, прикрепленная к подтребованию Р е ^ для некоторого г £ w. Докажем лемму индукцией по величине /(сг). Если / ( а ) == - 1 , то для а лемма, очевидно, верна.. Предположим, что лемма доказана для всех а С <5, таких, что f(cr) < е при некотором е ^ 0. Пусть теперь сг С С i и е = / С*7) ^ 0. Из конструкции следует, что строка а прикреплена к "псевдотребованию" Р%\ для некоторой активной стратегии а'. Теперь, если а 0 С г и г назначена к Ре/,,-', г А е е' > е> т о существует г, <7 О С г С г , назначенная к Р с / )0 (т. е. Ре/-вершине), поскольку (е', г') ^ (е',0), и г не может быть активной на вершине о+ = о- 5(|<т|). Поэтому либо /(<т + ) = е, причем количество активных стратегий на а + , прикрепленных к подтребованиям РС)<7- при различных j , будет на единицу меньше, чем на а, либо /(У + ) < е. Производя в первом случае достаточное число аналогичных рассуждений (переходя от <7+ к (&*)* и т. д.), перейдем в конечном итоге к некоторой вершине W D о, ~о С £, такой, что Д<т) < е. В силу индукционого предположения, примененного к <т, для <т лемма остается верной. Л Е М М А 3. Для каждого х G u выполняется: a) Существует о С 6 прикрепленная к Nx. b) Если х = (е,г), то найдется г С 5, прикрепленная к Ре>1-, при чем для любой вершины а, а 0 С <5, прикрепленной либо к Pe',i>, либо к некоторому "псевдотребованию" Р£, in где ef < е, справедливо а С г. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем п. а и b индукцией по х. Предполо жим, что для х' < х лемма верна. Обозначим через ох> и тх> вершины, лежащие на <$, и удовлетворяющие п. а и b соответственно при xf < х. ПуСТЬ (Цг'<:г
С
CTl C
S Д Л Я Н е К О Т О
Р О Й <Т\.
Предположим, что для х п. а не выполняется ни при одном а С S. Найдем по лемме 2 вершину о2 Э <т\, лежащую на S и такую, что на о2 нет активных стратегий. Из конструкции следует, что в этом случае а2 будет прикреплена к требованию Nx. Получили противоречие. Выберем наименьшую (относительно упорядочения С) строку <7з Э Э ег1? лежащую на S и такую, что п. а выполняется для х. Предположим
558
И. UI.
Калимуллин
теперь, что п. b не выполняется ни для одного т С $ при х = (е, г). Пусть вершина о±, ст3 С <J\ С $< выбрана так, что для всех а, подчиненных Ре/>г-/ или Р£ f.,, при некоторых г', а7 и е' < с, удовлетворяющих условию а О С £, справедливо а С <т4. Как и ранее, по лемме 2 найдем вершину о$ Э а^ ле жащую на 8, без активных стратегий. Тогда а 5 будет прикреплена (исходя из конструкции) к подтребованию Рс>|-. Следовательно, п. b выполняется при г = as, что противоречит нашему предположению. Лемма доказана. Л Е М М А 4. Требования Ne выполняются для всех е Е ш. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть а С S удовлетворяет условию п. а в утверждении леммы 3 при х — е. Предположим, что а-стратегия пере числяет на шаге s свидетель уа — п(а) в В. Тогда на шаге s все задей ствованные ранее стратегии г > а будут инициализированы и потому не будут перечислять элементы из F в Аъ* Пусть теперь т < а является Ре>у-стратегией, которая подчинена Ре/-вершине, лежащей на 6. На а нет активных стратегий, и поэтому либо г С <т, либо некоторая вершина г9 С о прикреплена к PJ, jV. Если в первом случае т О С <т, то F , по конструкции, не содержит элементов из столбца иДп(гМ. Если же г^тг С cr, n > 0, то элементы множества F не будут перечисляться r-стратегией в Аг, иначе а-стратегия инициализируется. Аналогичные рассуждения имеют место также и во втором случае. Следовательно, F С А, и ^ G Ф^1 — В. Предположим, что сг-стратегия не перечисляет уа- в В. Тогда А П ПаДп(гМ = 0 при всех г, удовлетворяющих условию г О С а. Аналогично, AfW n ( r 'M = 0 при всех г', для которых найдется стратегия г, прикреплен ная к "псевдотребованию" Р^ (при некоторых е, г 6 о;) и удовлетворяющая условию г О С <т. Поэтому у<г € В - ф£. Лемма доказана. Л Е М М А 5. Требование Ре выполняется для всех е Е и>. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Ve = lime Ve,5 и Уе не является р. п. Пусть г С S удовлетворяет условию п. b в лемме 3 при х = (е, 0). Поскольку при построении оператора Л г выполнялось условие (4x)(VF)[(x,F)
e A T ^ ( F = 0 V F = {a:})],
нетрудно заметить, что Ajfe 6 Д^.
Относительные дополнения в Д§-степенях
559
Докажем сначала равенство Г^ = Л^ е . Для этого достаточно пока зать, что Г^ П аДп(*М = Л^е П иД"^)] при всех а Э т, прикрепленных к подтребованиям Ре,« (г G W ) , T , е. если а подчинена Ре-вершине г. С л у ч а й 1: если a >i <$, то а-стратегия будет инициализирована на некотором шаге, и следовательно, (ж,п(<т)) Е Ff П Af для всех открытых ранее циклов а-стратегий. С л у ч а й 2: если а С <$, то а-стратегия (или некоторая другая стра тегия, лежащая на дереве правее а и прикрепленная к псевдотребованию Р£г) будет ликвидировать все возникающие неравенства Г^((ж, п(а))) ф ф Л^е({х, п[а)У) для всех своих открытых циклов х (см. п. 2, 4 случая 1 и п. 1,3 случая 2 конструкции). Это не может происходить бесконечное число раз, так как в противном случае для каждого х Е ш х Е Ve <^> (3s) [а С S8 & цикл х открыт на шаге s & (ж, а) Е Wi,J, и следовательно, Уе является р« п. Значит, начиная с некоторого шага ра венство Г^ = Л^е окончательно установится на всех натуральных числах вида (ж,п(а)), где х — открытый цикл а-стратегии. Более того, так как Ve не является р. п., это возможно только в том случае, если Ре>, ока жется диагонализированным начиная с некоторого шага (т. е. установится неравенство Г^ ф Wi на некотором аргументе вида (ж,п(а)), где х — от крытый цикл а-стратегии). Следовательно подтребование Ре,*, к которому прикреплено а, выполнено. С л у ч а й 3: если же а <£ S и а остается не инициализированной в процессе конструкции, то а-стратегия будет активной на некоторой вер шине ai, г С (Т\ С 5. По лемме 2 найдутся a 2 , ai С eв и существу-
560
И. Ш.
Калимуллин
ет лишь конечное число шагов s, для которых а С 88, Таким образом, ТА = Л Ч По лемме 3, для каждого г е и найдется вершина а; С (5, прикреп ленная к P€ii. Ясно, что для некоторого г0 Е си выполняется <У{ D т при всех г ^ г'о. Тогда, если г ^ го, <т, подчинена Ре-вершине г, и следовательно, Ре58 выполняется для оператора Г г (см. случай 2 выше). Однако если г < го, то существует г* ^ г0, для которого Wy = И7,. Значит, Г^ ^ ^
Для
всех
i G w. Лемма доказана. В силу лемм 4 и 5 построенные нами множества Аи В удовлетворяют требованиям Ре и Лге. Следовательно, теорема 1 доказана. С Л Е Д С Т В И Е . Пусть ь : Ъ? -> Ъе — каноническое
вложение
тьюринговых степеней в степени по перечислимости. Тогда существует минимальная
пара тьюринговых степеней а^, bj- < 0^ такая, что i(ar)
и ь{Ът) не образуют минимальной
пары в е-степенях, причем
степень
а? может быть выбрана рекурсивно перечислимой. Таким образом, ь не сохраняет операцию взятия наибольшей нижней грани даже в
^-сте
пенях. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть а е — это П\-степень, найденная в пре дыдущей теореме. Поэтому а е = ^(ат) для некоторой р. п. степени a j . Все тьюринговые степени ниже Oj имеют дополнение, и найдется степень Ъ? такая, что а т U Ът = 0' г , a j ПЪт = 0 j . Поскольку а е = I(SLT) не имеет относительного дополнения вниз в Д^-е-степенях и ь(Ът) является Д^-естепенью, а^ и b j — искомые. Легко видеть, что идея доказательства теоремы 1 не может быть адаптирована к случаю, когда требуется построить низкую Д^-е-степень а е (вместо требования а е < 0^), не имеющую Д^-относительного допол нения вниз. Как показывает следующая теорема, эта трудность является существенной и такую степень построить невозможно. Т Е О Р Е М А 2. Каждая низкая е-сшепень имеет дополнение вниз в
А^-е-степенях.
В доказательстве теоремы 2 используется следущее
относительное
Относительные дополнения в А^-степенях П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 1. Пусть U = {Ue}eeu тивный набор /^-множеств
561
- некоторый эффек
(т. е. существует вычислимая
функция
/(e) такая, что Ue = {/(e)}*). Тогда найдется ненеречислимое Д^-лшожеетво А такое, что для всех е G и выполняется Ue перечислимо <==> Ue < e А. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 2. Пусть Ъе - низкая степень и В € Е Ь е . В этом случае существует аппроксимация множества J3, В = lime JBS, такая, что Фе = lim5 Ф^| для всех е е и. Тогда набор множеств Q = = {С : С <е В} = {<&f : е Е w} удовлетворяет условиям предложения 1. Следовательно, существует Д^-множество А > е 0 , для которого С <еАкС
<еВ<=>С~е0
при всех С С и?. Значит а е > 0 е и а е П Ь е — 0 е , где а е = deg(A), что и требовалось показать. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО предложения 1. Пусть для 1С = {E/i}i6u, выпол няются условия предложения. Построим множество А, удовлетворяющее для всех е, г, j £ и) требованиям Ре : А ф We, %,-> : Ui = Ф/ = * (ЭГ(,-Л р. п.) [С/,- - Т<,- л ] . Стратегия выполнения требований вида F e очевидна: держим неко торый свидетель х в множестве А до тех пор, пока х не перечислится в We, Если же последнее случится, то выбрасываем х из А. В любом случае имеем А(х) ф We(x). Для выполнения требования N^^
достаточно перечислять на шаге
« следующие числа у в T^jy. если у G Е/,> и (j/,F> G Ф^>, F С А„ для некоторого F , причем если на шаге t > s имеют место у £ U^t и F <£ At, то необходимо вернуть в А все элементы из F и запрещать F в А до тех пор, пока у снова не окажется в £/, (до этого момента новые элементы в T^j^ не перечисляются). Конечно, это вызовет конфликт со стратегией Р€ (когда Ре имеет меньший приоритет по сравнению с Л 7 ^ ) , так как возможно, что свидетель х является элементом F . Чтобы избежать этого, поступим
562
И. Ш. Кгипимуллин
следующим образом: если у £ Ui}U) u > t, то на шаге и + 1 свидетель х выбрасываем из В и ждем, когда либо у £ J7t-jt;, либо {y,Ff)
e Ф^„,
F ' С Л„, где v > м. В последнем случае Ff уже не содержит свидетель ж, и поэтому в дальнейшем будем восстанавливать F1 вместо F в А; лишь тогда мы начнем перечислять в T<»,j) новые элементы. В первом случае опять востанавливаем F в А и т. д.; это не может повторяться бесконечное число раз, поскольку [/, = \\ms Ui}3. Следовательно, либо в конечном итоге имеет место неравенство Ui(y) ф Ф^(у), либо найдется F ' , (у, F') 6 Ф^, такой, что х $ F*. КОНСТРУКЦИЯ. Ш а г
Шаг
s = 0: £0 = А, А0 = 0 , ^ , 0 = 0 для всех
5 + 1 : пусть 63 и А5 уже построены. Инициализируем тогда
все стратегии а = oTvTfi >L SS1 где и ^ s. (Инициализация стратегии а, CTGT,
на шаге 5 означает, что в дальнейшем не будем возвращаться к ее
работе. Кроме того, если длина строки а нечетна, то полагаем Av(n(a))
= 1
для всех v ^ s.) Определим As+\ и £5+1 через этапы £, 0 ^ t ^ 5. На каждом этапе £ будем строить конечное множество Аг8+1 и вершину <$J+1 G Г, которые будут "аппроксимировать" значения A s +i и £s+i- А именно, как только все этапы t (0 ^ t ^. s) закончат свою работу, определим А8+\ равным Л£ + 1 , а Э т а п £ = 0: $° +1 = А,А° +1 = А,. Э т а п £ + 1 — 2(i,j) + 1 (что эквивалентно \6*8+1\ — 2(i,j)):
пусть
cr = Sls+l уж:е определено. С л у ч а й 1: Г„,, П Ф ^ + 1 ^ IV,, П 17,> Определим Л ^
= А* +1 и
£*+* = <S*+]/"m, где m > 0 — наименьшее положительное число такое, что стратегия £*+]^ ш
еш е н е
>
инициализирована на шаге s.
С л у ч а й 2:Т <Т , 3 ПФ^ +1 = Г^ПС/,> & Г,,,-£/,-,, ф 0 . Определим для каждого конечного множества F значение функции m(F, s) как наимень шую а (Е Г (относительно приоритетного, или, что то же самое, лексико графического упорядочения вершин дерева <) такую, что \а\ = 2е + 1 для некоторого е, а-стратегия не инициализирована на шаге s и п(<т) £ FnW e ,*'
Относительные дополнения в Д^-степеяях
563
Если такое а отсутствует, то полагаем m(F, s) = +00. Выберем конечное множество F исходя из следующих требований: 1) п(т) £ F — А* +1 для всех т < <т; A*
UF +1
2) Т^а — Ui,8 С Ф^*
(существование таких F будет следовать из
самого построения р. п. множества Т а ); 3) значение m(F, s) — наибольшее из всех F , удовлетворяющих усло виям 1 и 2. Полагаем А^Ц = А£ +1 U F . Инициализируем все стратегии где
T G T H O < W ^ S ,
G^VTT,
и определяем 81^\ равным a (s + 1).
С л у ч а й 3: Т,,, П Ф ^ + 1 = Т^8 П UifS к Т„,, С С/,,,. Пусть р е Г наименьшая (относитетельно лексикографического порядка) строка, удо влетворяющая следующим условиям: I) \р\ = 2е + 1, II) р-стратегия еще не инициализирована, III) <т~0 С р и IV) n(p) Е A*t* П We,s - А*, для некоторого s9 ^ s такого, что <5*+1 С 88< и <$*+1~0 g <$v, где s' < v ^ s. Если n(p) g A* +1 , то определяем 5*;Ц = cr 0, А*;Ц = A* +1 и перечисляем At+J
в TayS+i наименьшее x G $ j j + 1 П U^8 ~ Ta,8, когда такое число х суще ствует. В противном случае определим 818\\ ~ a (s + 1), при этом все стратегии вида а^и^т (О < w ^ s, т € Т) инициализируются, и полагаем А ^ х = А* +1 — {п(р)} (мы исключаем свидетель р-стратегии из А, так как <7~стратегия нарушила стратегию р) поместив ранее п(р) в А). Этап
t + 1 = 2е + 2 (т.е. | ^ + 1 | = 2е + 1): если n(*J +1 ) £ We>„
держим п(<5<+1) в А ^ и полагаем <$J*J = £*+1 1. В противном случае держим та(5£+1) в дополнении к А*+*, и £*+* = <$£+i~0. После того, как все этапы £, 0 ^ £ ^ s, закончат работу и £| + 1 , А* +1 будут определены, полагаем А я + 1 = AJ +1 и Sa+1 = <JJ+1. Описание кон струкции завершено. Л Е М М А 1. Существует 6 = limiiife £в. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Предположим,
что
существование
lim inf, <$, [ж = 6\х уже доказано для некоторого х б а;. Докажем су ществование liminf, £*[(& + 1). В случае нечетного ж это не представляет трудности, поскольку 58(х) е {0,1} для всех s > x. Допустим теперь, что х четно. Пусть имеется бесконечное число шагов s, для которых
564 ($\х)
И. Ш.
Калимуллин
О С S8\(x + 1), это означает, что каждая попытка диагонализации
(т. е. попытка сохранить неравенства \]{ ф Ф^ на некотором элементе у, ранее перечисленном в Тцх) будет безуспешной и, как легко видеть, Xm\\v&8b8\{x + 1) = ($Г#) 0. В противном случае <5[#-стратегия диагонализирует U{ против Ф^ на некотором у (Е Т$^х и, следовательно, liuimi35s\(x
+ 1) = (£|~ш)^т, где га > 0.
В силу леммы 1 бесконечную строку S £ шш будем называть истин ным путем конструкции. Л Е М М А 2. Существует limsAs(x)
для любого х 6 оо,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим сначала, что если х ф п(а) для всех а 6 Т. то х не является свидетелем ни одной Р-стратегии. Поэто му А8(х) ~ 0 для всех s ^ 0. Предположим теперь, что х = п{а), где а £ Т. Достаточно рассмотреть случай, когда а < <5, в противном случае сг-стратегия инициализировалась бы на некотором шаге, и lim5 A8(x) ~ 1. Докажем существование lim3As(x)
при х = п(<т), а < 5, методом
индукции. Пусть для всех <т', & < <т < <S, предел lims A s (n(a')) определен. Докажем это для сг, |<т| = 2е + 1 (если |а| четно, то As(n(cr)) = 0 для всех шагов s). Выберем шаг si, такой, что A8{n{af)) = ASl (п(<т')) для всех <т' < <т, где 5 ^ 5i (Отметим, что такой шаг существует, так как имеется лишь конечное число вершин а' < а и af С 58 для некоторого s). Заметим, что если п(а) £ We, то lims А8(п(а))
= 1. Будем считать,
что п(<т) Е И^ Я2 , б'2 > s\. Пусть Т\, Г2,..., г^ — перечисление всех строк дерева Т таких, что г,- 0 С <7 и |г,| — нечетно, где 1 ^ г ^ к (т. е. г,- — все iV-стратегии над а, дающие бесконечный выход над а). Без ограничений общности можем считать, что гг 0 С г,-+1, 1 ^ г < fc. Ясно, что на существование lims A8(n(a)) влияет только работа стра тегий ту, 1 $С г ^ к; остальные стратегии, расположенные над ст, могут лишь инициализировать сг, положив навсегда п(а) в А8. Рассмотрим работу стратегии т\. Пусть |TI| = 2{i,j) + 1. Так как \\m8 Ui,8(y) существует для любого у и новые элементы перечисляются остратегией в Та только после того, как п(а) выбрасывается стратегией г,
565
Относительные дополнения в А^-степенях поэтому найдется шаг s > s2 такой, что m(F,s) n(a) £ F) и T^s С &j*8*1
> а (и, следовательно,
где t = |ri|. Это означает, что ^-стратегия
может добиться включения TTuS С [/,-, не восстанавливая число п(а) в А на этапе t шага 5 + 1. Но она это может сделать позднее, при условии, что некоторая стратегия г,-, 1 < г ^ fc, поместит n(, где |ri| = £, причем перечисление х в Ф?-*+1 требует оракула F С АД Х такого, что п(<т) £ F . Таким образом, каждая стратегия г, изменяет значение А8(п(а)) конечное число раз и провоцирует подобные изменения стратегиями rj, где 1 ^ / < г. С другой стороны, г, не провоцирует стратегии г/, г < / ^ fc, изменять значения А8(п(а)),
так как если гг- изменяет As(n(a))
на шаге s,
то <^ Э Ti^m, где m > 0. Поскольку стратегий г, имеется лишь конечное чисто, значение As(n(a)) установится окончательно с некоторого момента. Отметим, что если а С £, то limt9 Л5(п(сг)) = 0 т. е. Р-стратегия <7 не нарушается стратегиями старшего приоритета. Лемма доказана. В силу леммы 2 множество А = {ж : (3s) (Vt ^ s)[# 6 A t ]} принадле жит классу A°. Докажем, что множество А действительно удовлетворяет всем нашим требованиям. Л Е М М А 3, Требование N^j^ выполняется для всех i,j £ о;. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть 5 - истинный путь и к = 2<г, j ) . Суще ствуют две возможности: 1) <$(&) = 0, в этом случае Ui = IV[(fc+i) является р. п. (где TS\(k+i) = ивг^Г(^+1).*)'
и
^(«.i> выполняется; 2) <J(fc) = т для
некоторого га > 0, это означает, что мы провели успешную диагонализацию, г. е. Ui ф Ф^ на некотором элементе из Т)$|-(д.+1\. Лемма доказана. Л Е М М А 4. Требование Ре выполняется для всех е £ и. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть снова S - истинный путь, к = 2е + 1 и ст = 5[(fc + 1). Из доказательства леммы 2 следует, что АГ-стратегии г, о Э г 0, не нарушают работу стратегии а. Поэтому, если 6(к) = 1, то п(а) £ А - W e . Если же 5(к) = 0, то гс(а) 6 VFe - А. Лемма, а вместе с ней и предложение 1 полностью доказаны. Отметим, что простой релятивизацией доказательства предложе-
566
И, Ш.
Калимуллин
ния 1 можно показать, что если а е — низкая степень, то любую е-степень с е < а е можно представить в виде а е ПЬ е , где Ь е — некоторая Д^-е~степень, отличная от с е . Автор искренне благодарит своего научного руководителя М. М. Арсланова за его неоценимую помощь при подготовке статьи.
ЛИТЕРАТУРА 1. R.LSoare, Recursively enumerable sets and degrees, Berlin, Springer-Verlag, 1987. 2. S.B. Cooper, A.Sorbi, X. Yi, Cuppping and noncupping in the enumeration degrees of £§ sets, Ann. Pure Appl. Logic, 1996, 82, N3, 317-342. 3. S. B. Cooper, A. Sorbi, Capping in the enumeration degrees below 0^, to appear.
Адрес автора: КАЛИМУЛЛИН Искандер Шагитович, РОССИЯ, г. Казань, ул. Университетская, 17, НИИ математики и механики при Казанском гос. ун-те. e-mail: [email protected]
Поступило 1 апреля 1999 г.
