Приоритетный национальный проект «Образование» Южный федеральный университет Факультет математики, механики и компьютерн...
9 downloads
200 Views
2MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Приоритетный национальный проект «Образование» Южный федеральный университет Факультет математики, механики и компьютерных наук
В.С. Пилиди Электронное учебное пособие
Математический анализ
Определенный интеграл Числовые ряды Несобственные интегралы
Ростов-на-Дону 2009
ç
è
Управляющие клавиши Результат
Действие
Включить/выключить оглавление F4 Вся страница
Ctrl+L
Предыдущий экран
PgUp
Следующий экран
PgDn
Первая страница
Home
Последняя страница
End
Следующая страница
→
Предыдущая страница
←
Следующий вид
Alt + →
Предыдущий вид
Alt + ←
Увеличить
Ctrl + «знак равенства»
Уменьшить
Ctrl + «дефис»
ç
è
Глава 1. Определенный интеграл 1. Предварительные соображения Предположим, что функция f определена и непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на этом отрезке неотрицательные значения. Рассмотрим фигуру, ограниченную осью Ox , прямыми x = a , x = b и линией y = f ( x) , a ≤ x ≤ b . Эта фигура называется криволинейной трапецией (см.
рисунок ниже).
Рассмотрим набор точек {xi }ik=0 , удовлетворяющих условиям: a = x0 < x1 < < xk = b.
На каждом из отрезков [ xi , xi +1 ] , i = 0 , 1, …, k − 1 выберем произвольную точку ξi и рассмотрим прямоугольник с основанием [ xi , xi +1 ] и высо-
Глава 1
4
Определенный интеграл
ç
è
Риман
той f (ξi ) (прямоугольник, выделенный красным цветом на рисунке). Площадь этого прямоугольника равна f (ξi )( xi +1 − xi ) . Беря объединение таких прямоугольников, мы получим «ступенчатую» фигуру, площадь которой равна сумме площадей составляющих ее прямоугольников, то есть величине k −1
∑ f (ξi )( xi+1 − xi ) .
(∗)
i =0
ЗАМЕЧАНИЕ. Мы не нумеруем формулы. В случае необходимости они отмечаются знаком (∗) и (∗∗). Ссылки на такие формулы всегда относятся к текущей или предыдущей странице. Если все более «измельчать» деление отрезка [a, b] на составляющие его малые отрезки, то получающаяся ступенчатая фигура будет все лучше приближать криволинейную трапецию. В качестве меры, определяющей мелкость такого деления, естественно взять наибольшую из длин отрезков [ xi , xi +1 ] . Если суммы вида (∗) стремятся к некоторой величине S при ус-
ловии, что точки ξi выбираются произвольным образом и «мелкость» деления отрезка [a, b] стремится к нулю, то величину S естественно считать площадью рассматриваемой криволинейной трапеции. Суммы вида (∗) лежат в основе обсуждаемого ниже понятия определенного интеграла.
2. Определение интеграла Римана Пусть [a, b] — произвольный отрезок на вещественной прямой. Разбиением λ отрезка [a, b] называется произвольная конечная система его точек λ = {xi }ik=0 , k = k (λ ) , такая, что a = x0 < x1 < < xk = b . Каждый из
Глава 1
5
Определенный интеграл
ç
è
отрезков [ xi , xi +1 ] , i = 0 , 1 , k − 1 называется отрезком разбиения λ . Введем следующее обозначение для длин отрезков разбиения: ∆xi= xi +1 − xi , i= 0,1, , k − 1.
| λ | max ∆xi , наНаибольшая из длин отрезков разбиения то есть величина = 1≤i ≤k
зывается мелкостью (или диаметром) разбиения λ . Множество всех разбиений отрезка [a, b] будем обозначать через Λ ([a, b]) . Пусть = λ {xi }ik=0 ∈ Λ ([a, b]) . На каждом из отрезков [ xi , xi +1 ] , i = 0, 1,…, k − 1 выберем произвольную точку ξi . Обозначим: ξ = {ξi }ik=−01 . Будем говорить, что набор точек ξ подчинен разбиению λ и записывать наличие такого соотношения так: ξ | λ . Пусть f — некоторая функция, определенная на отрезке [a, b] . Выберем произвольное разбиение = λ {xi }ik=0 ∈ Λ ([a, b]) и произвольный набор точек ξ | λ . Сумма S ( = f ; λ ,ξ )
k −1
∑ f (ξi )∆xi
называется интегральной сум-
i =0
мой Римана функции f на отрезке [a, b] . Сам этот отрезок будем считать фиксированным, и поэтому зависимость интегральных сумм от этого отрезка отмечать не будем. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что интегральные суммы S ( f ; λ , ξ ) сходятся к числу I при условии | λ |→ 0 , если по любому числу ε > 0 найдется такое δ > 0 , что для любого разбиения λ ∈ Λ ( I ) , удовлетворяющего условию | λ |< δ , и для любого набора точек ξ , ξ | λ выполняется неравенство
Глава 1
6
Определенный интеграл
ç
è
| S ( f ; λ , ξ ) − I |< ε .
(∗)
ЗАМЕЧАНИЕ. Приведенное определение близко к определению сходимости последовательности. Отличие состоит в том, что вместо натурального числа n , значения S ( f ; λ , ξ ) зависят от разбиений λ , которые должны «все больше и больше измельчаться», и величина S ( f ; λ , ξ ) зависит еще от одного параметра, набора точек, подчиненного разбиению λ. Кроме условия ξ | λ , на набор точек ξ не налагается никаких других ограничений. В этом случае говорят, что неравенство (∗) выполняется равномерно по всем наборам точек ξ , удовлетворяющим условию ξ | λ . Как и в случае сходимости последовательности, легко доказать, что если интегральные суммы S ( f ; λ , ξ ) сходятся к некоторому числу I при условии | λ |→ 0 , то это число находится однозначно. Число I будем называть пределом интегральных сумм при условии | λ |→ 0 и обозначать следующим образом: Если предел
lim S ( f ; λ , ξ ) .
|λ|→0, ξ |λ
lim S ( f ; λ , ξ ) существует, то он называется опреде-
|λ|→0, ξ |λ
ленным интегралом Римана функции f по отрезку [a, b] и обозначается b
следующим образом:
∫ f ( x ) dx . Функцию
f при этом называют интегри-
a
руемой по Риману на отрезке [a, b] . В дальнейшем определенный интеграл Римана будем называть просто определенным интегралом, а функцию, интегрируемую по Риману — интегрируемой (на данном отрезке) функцией. В тех случаях, когда рассматривается фиксированная функция f , вместо S ( f ; λ , ξ ) будем писать S (λ , ξ ) .
Глава 1
7
Определенный интеграл
ç
è
Приведем пример вычисления определенного интеграла, исходя только из его определения. Покажем, что для любого отрезка [a, b] выполняется равенство b
∫ dx=
b−a.
a
Подынтегральная функция f ( x) ≡ 1 , x ∈ [a, b] . Рассмотрим произвольное разбиение λ ∈ Λ ([a, b]) , λ = {xi }ik=0 , выберем произвольный набор точек ξ , ξ | λ и найдем соответствующую интегральную сумму: k −1
k −1
S (λ , ξ ) = ∑ f (ξi )∆xi = ∑ ∆xi = b − a.
=i 0 =i 0
Здесь учтено, что функция f тождественно равна единице и, что сумма длин всех отрезков разбиения равна длине всего отрезка [a, b] , то есть величине b − a . Отсюда следует, что и предел частичных сумм при | λ |→ 0 равен b − a . Справедливо следующее утверждение. ТЕОРЕМА 1. Если функция f интегрируема на отрезке [a, b] , то она ограничена на этом отрезке. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что
lim S (λ , ξ ) = I . Выберем та-
|λ|→0, ξ |λ
кое δ > 0 , чтобы для любого разбиения λ ∈ Λ ([a, b]) , удовлетворяющего условию | λ |< δ , и любого набора точек ξ , ξ | λ выполнялось неравенство | S (λ , ξ ) − I |< 1 , или
Глава 1
8
Определенный интеграл
ç
è
I − 1 < S (λ , ξ ) < I + 1.
(∗)
Зафиксируем произвольное разбиение λ {xi }ik=0 ∈ Λ ([a, b]) , удовлетво= ряющее условию | λ |< δ . Покажем, что функция f ограничена на каждом из отрезков разбиения [ xi , xi +1 ] , i = 0 , 1, …, k − 1. Отсюда будет следовать, что эта функция ограничена на всем отрезке [a, b] . Рассмотрим, например, отрезок [ x0 , x1 ] . Для каждого из отрезков разбиения, кроме выделенного, то есть отрезков [ xi , xi +1 ] , i = 1 , 2, …, k − 1 выберем и зафиксируем принадлежащую ему точку ξi . Пусть ξ0 — произвольная точка выделенного отрезка [ x0 , x1 ] . Запишем в явном виде интегральную сумму в (∗) с данным набором точек ξ = {ξi }ik=−01 и выделим слагаемое, отвечающее отрезку [ x0 , x1 ] : k −1
I − 1 < f (ξ0 )∆x0 + ∑ f (ξi )∆xi < I + 1. i =1
Обозначая = J
k −1
∑ f (ξi )∆xi , из последних неравенств получаем: i =1
I − 1 < f (ξ0 )∆x0 + J < I + 1 .
Отсюда следует, что выполняется неравенство 1 1 ( I − J − 1) < f (ξ0 ) < ( I − J + 1) . ∆x0 ∆x0
В силу произвольности точки ξ0 ∈ [ x0 , x1 ] , мы доказали, что функция f ограничена на отрезке [ x0 , x1 ] . Аналогично доказывается, что она ограничена
Глава 1
9
Определенный интеграл
ç
è
Дирихле
на произвольном отрезке разбиения и, следовательно, на всем отрезке [a, b] . Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Условие ограниченности функции, будучи необходимым для интегрируемости функции, не является достаточным. Действительно, рассмотрим на отрезке [0,1] функцию Дирихле: x 1,если число рациональное, D( x) = x 0,если число иррационально.
Возьмем произвольное разбиение λ ∈ Λ ([0,1]) . Выберем набор точек ξ | λ , состоящий из рациональных чисел. Тогда для всех значений ξi выполняется равенство D(ξi ) = 1 и, следовательно, S ( D; λ , ξ ) =
k −1
k −1
∑ D(ξi )∆xi = ∑ ∆xi =
1.
=i 0 =i 0
Беря все числа ξi иррациональными, получим, что S ( D; λ , ξ ) = 0 . Это означает, что
lim S ( D; λ , ξ ) не существует, то есть функция D( x) не являет-
|λ|→0, ξ |λ
ся интегрируемой на отрезке [0,1] . Свойство интегрируемости функции на некотором отрезке сохраняется, если изменить произвольным образом значения функции в конечном числе точек этого отрезка. Более точно, справедливо следующее утверждение. ТЕОРЕМА 2. Предположим, что функции f и g определены на промежутке [a, b] и для всех x ∈ [a, b] , кроме, возможно, конечного числа то-
Глава 1
10
Определенный интеграл
ç
è
чек, выполняется равенство f ( x) = g ( x) . Функция f интегрируема на отрезке [a, b] тогда и только тогда, когда на этом отрезке интегрируема функция g . При выполнении этих условий имеет место равенство b
b
a
a
∫ f ( x) dx = ∫ g ( x) dx. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно ограничиться случаем, когда значения функций f и g совпадают для всех x ∈ [a, b] , кроме точки x = c для некоторого c ∈ [a, b] . Очевидно, теорема будет доказана, если мы покажем, что из интегрируемости функции g следует интегрируемость функции f и имеет место равенство интегралов. Выберем произвольное разбиение λ ∈ Λ ([a, b]) и рассмотрим набор точек ξ | λ . Если при этом c ∉ ξ , то выполняется равенство S ( f ; λ ,ξ ) = S ( g; λ ,ξ ) .
Допустим, что c ∈ ξ . Тогда совпадают все слагаемые интегральных сумм S ( f ; λ , ξ ) и S ( g ; λ , ξ ) , кроме слагаемых, соответствующих отрезку разбиения, содержащему точку c . Обозначим длину этого отрезка через ∆. Тогда получаем: S ( f ; λ , ξ ) − S ( g ; λ= , ξ ) f (c) ⋅ ∆ − g (c)= ⋅ ∆ ( f (c) − g (c)) ⋅ ∆.
(∗)
Имеет место неравенство ∆ ≤| λ | , поскольку ∆ — длина одного из отрезков разбиения λ , а | λ | — наибольшая из длин всех отрезков разбиения λ. Тогда из соотношения (∗) следует, что | S ( f ; λ , ξ ) − S ( g ; λ , ξ ) |≤ K ⋅ | λ |,
Глава 1
11
Определенный интеграл
ç
è
где введено обозначение= K | f (c ) − g (c ) | . Полученное неравенство остается верным и для случая c ∉ ξ , поскольку тогда левая часть равна нулю. Перепишем это неравенство следующим образом: S ( g ; λ , ξ ) − K ⋅ | λ |≤ S ( f ; λ , ξ ) ≤ S ( g ; λ , ξ ) + K ⋅ | λ | .
(∗∗)
Допустим, что функция g интегрируема на промежутке [a, b] , то есть существует I = lim S ( g ; λ , ξ ) . Учитывая, что |λ|→0, ξ |λ
lim ( S ( g ; λ , ξ ) ± K ⋅ | λ |) = I,
|λ|→0, ξ |λ
из (∗∗) находим, что
lim S ( f ; λ , ξ ) = I , то есть функция f интегрируема
|λ|→0, ξ |λ
на отрезке [a, b] и имеет место равенство b
b
a
a
∫ f ( x) dx = ∫ g ( x) dx. Теорема доказана.
3. Критерий интегрируемости функции В этом разделе будет дан критерий интегрируемости функции и доказана интегрируемость функций некоторых классов. Поскольку мы доказали, что неограниченная функция интегрируемой не является, будут рассматриваться только ограниченные функции.
Глава 1
12
Определенный интеграл
ç
è
Дарбу
Предположим, что функция f определена и ограничена на отрезке [a, b] . Выберем произвольное разбиение = λ {xi }ik=0 ∈ Λ ([a, b]) . Введем следующие обозначения: = mi ( f , λ ) inf{ f ( x) : xi ≤ x ≤ xi +1}, = M i ( f , λ ) sup{ f ( x) : xi ≤ x ≤ xi +1},
где i = 0 , 1 , …, k − 1. В дальнейшем обозначения M i ( f , λ ) будем сокращать до M i . Аналогично будем поступать для обозначения mi ( f , λ ) . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Верхней суммой Дарбу называется сумма S∗( = f ;λ)
k −1
∑ M i ∆xi . i =0
Нижней суммой Дарбу называется сумма S∗ ( f= ;λ)
k −1
∑ mi ∆xi . i =0
Если ясно, какая функция имеется в виду, обозначение S ∗ ( f ; λ ) будем сокращать до S ∗ (λ ) . Аналогично для нижней суммы Дарбу. Отметим следующие свойства сумм Дарбу. 1°. Для любого разбиения λ отрезка [a, b] и любого подчиненного этому разбиению набора точек ξ , выполняется неравенство S∗ ( f ; λ ) ≤ S ( f ; λ , ξ ) ≤ S ∗ ( f ; λ ).
Глава 1
13
Определенный интеграл
ç
è
Действительно, пусть λ = {xi }ik=0 , ξ = {ξi }ik=−01 . Тогда для любого i = 0,
1 , …, k − 1 имеет место соотношение ξi ∈ [ xi , xi +1 ] и, следовательно, выполняется неравенство mi =
inf
xi ≤ x≤ xi +1
f ( x) ≤ f (ξi ) ≤ sup = f ( x) M i . xi ≤ x≤ xi +1
Умножая каждое из полученных неравенств mi ≤ f (ξi ) ≤ M i i = 0 , 1, …, k − 1 на положительное число ∆xi и суммируя по i от 0 до k − 1, находим: k −1
k −1
k −1
=i 0 =i 0
=i 0
∑ mi ∆xi ≤ ∑ f (ξi )∆xi ≤ ∑ M i ∆xi .
Это и есть доказываемое соотношение. 2°. Для любого разбиения λ выполняются соотношения = S ∗ ( f ; λ ) su = p( S f ; λ , ξ ), S∗ ( f ; λ ) in fS ( f ; λ , ξ ). ξ ,ξ |λ
ξ ,ξ |λ
(∗)
ЗАМЕЧАНИЕ. Точная верхняя и точная нижняя грани берутся по всем наборам точек ξ , подчиненным разбиению λ . Докажем, например, первое соотношение. Пусть λ = {xi }ik=−01 . Выберем произвольное число ε > 0 . В силу определения точной верхней грани, для каждого i = 0 , 1 , …, k − 1 найдется такая точка ξi ∈ [ xi , xi +1 ] , что выполняется неравенство f (ξi ) > M i − ε . Набор этих точек ξ = {ξi }ik=−01 подчинен разбиению λ . Умножая каждое из неравенств f (ξi ) > M i − ε на положительное число ∆xi , получаем:
Глава 1
14
Определенный интеграл
ç
è
f (ξi )∆xi > M i ∆xi − ε∆= xi , i 0,1,, k − 1.
Суммируем последние неравенства по всем значениям i : k −1
k −1
k −1
∑ f (ξi )∆xi > ∑ M i ∆xi − ∑ ε∆xi ,
=i 0
=i 0 =i 0
то есть k −1
S ( f ; λ ,ξ ) > S ( f ; λ ) − ε ∑ = ∆xi S ∗ ( f ; λ ) − ε (b − a ). ∗
i =0
Учитывая произвольность ε > 0 , неравенство S ( f ; λ , ξ ) ≤ S ∗ ( f ; λ ) и определение точной верхней грани, получаем окончательное соотношение: S ∗ ( f ; λ ) = su Sp( f ; λ , ξ ) . ξ |λ
Пусть λ ∈ Λ ([a, b]) . Разбиение λ1 этого отрезка называется измельчением разбиения λ , если каждая точка множества λ принадлежит множеству λ1 . В этом случае множество λ просто является подмножеством множества λ1 . Для обозначения этого факта будем использовать обычные теоретико-множественные обозначения: λ ⊂ λ1 . 3°. Если λ1 ⊂ λ2 , то S ∗ ( f ; λ2 ) ≤ S ∗ ( f ; λ1 ) , S∗ ( f ; λ2 ) ≥ S∗ ( f ; λ1 ) . Иначе говоря, при измельчении разбиения верхняя сумма Дарбу может только уменьшиться, а нижняя — только увеличиться.
Глава 1
15
Определенный интеграл
ç
è
Рассмотрим первое из указанных соотношений. Очевидно, достаточно ограничиться случаем, когда разбиение λ2 получается из разбиения λ1 путем добавления одной точки. Предположим, что λ1 = {xi }ik=0 , a = x0 < x1 < < xk = b
и между точками xl и xl +1 добавляется точка x′ , то есть разбиение λ2 состоит из точек a = x0 < x1 < < xl < x′ < xl +1 < < xk = b .
При переходе от разбиения λ1 к разбиению λ2 изменяется только один из отрезков разбиения: вместо отрезка [ xl , xl +1 ] возникают два отрезка: [ xl , x′] и [ x′, xl +1 ] . Введем следующие обозначения: M i = sup
xi ≤ x≤ xi +1
f ( x) , ∆xi= xi +1 − xi , i = 0 , 1, …, k − 1,
′′ xl +1 − x′ . M ′ = sup f ( x) , M ′′ = sup f ( x) , ∆′ = x′ − xl , ∆= xl ≤ x≤ x′
x′≤ x≤ xl +1
Из вложения [ xl , x′] ⊂ [ xl , xl +1 ] следует, что имеет место соотношение M ′ = sup f ( x) ≤ sup f ( x) =M l . xl ≤ x≤ x′
xl ≤ x≤ xl +1
Аналогично получаем вторую оценку: M ′′ ≤ M l . Кроме того, выполняется равенство ∆′ + ∆′′ = ∆xl . Выделяя в сумме S ∗ (λ2 ) слагаемые, соответствующие отрезкам [ xl , x′] и [ x′, xl +1 ] , получаем: S ∗ (λ2 ) = M 0∆x0 + M1∆x1 + + M l −1∆xl −1 + M ′∆′ + M ′′∆′′ +
Глава 1
16
Определенный интеграл
ç
è
+ M l +1∆xl +1 + + M k −1∆xk −1 ≤
≤ M 0∆x0 + M1∆x1 + + M l −1∆xl −1 + M l (∆ + ∆′′) + ′ =∆l
+ M l +1∆xl +1 + + M k −1∆xk −1 =
= M 0∆x0 + M1∆x1 + + M l −1∆xl −1 + M l ∆xl + + M l +1∆xl +1 + + M k −1∆xk −1 = S ∗ (λ1 ).
В приведенных соотношениях выделенные красным цветом слагаемые оцениваются сверху с учетом доказанных выше соотношений M ′ ≤ M l и M ′′ ≤ M l . Полученные слагаемые выделены синим цветом. Аналогично доказывается второе соотношение. 4°. Для любых разбиений λ1 , λ2 ⊂ Λ ([a, b]) выполняется неравенство S∗ (λ1 ) ≤ S ∗ (λ2 ).
Действительно, рассмотрим разбиение λ ⊂ Λ ([a, b]) , получаемое путем объединения всех точек разбиений λ1 и λ2 . Тогда λ1 ⊂ λ0 , λ2 ⊂ λ0 и, S∗ (λ1 )
≤
по свойству 3
S∗ (λ0 )
≤
по свойству 1
S ∗ (λ0 )
≤
по свойству 3
S ∗ (λ2 ).
Критерий интегрируемости функции дается следующей теоремой. ТЕОРЕМА 3. Пусть f — определенная на отрезке [a, b] ограниченная функция. Тогда следующие условия равносильны:
Глава 1
17
Определенный интеграл
ç
è
1) функция f интегрируема на отрезке [a, b] ; 2) по любому ε > 0 найдется такое δ > 0 , что для любого разбиения λ отрезка [a, b] , удовлетворяющего условию | λ |< ε , выполняется неравенство S ∗ (λ ) − S∗ (λ ) < ε . b
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) ⇒ 2) Обозначим: I = ∫ f ( x) dx . Выберем произa
вольное число ε > 0 и найдем такое δ > 0 , что для любого разбиения λ ∈ Λ ([a, b]) , удовлетворяющего условию | λ |< δ , и любого набора точек ξ , ξ | λ выполняется неравенство | S (λ , ξ ) − I |< ε . Последнее неравенство перепишем так: I − ε < S (λ , ξ ) < I + ε . Зафиксируем произвольное разбиение λ ∈ Λ ([a, b]) , удовлетворяющее условию | λ |< ε . Неравенство S (λ , ξ ) < I + ε выполняется для любого набора точек ξ , ξ | λ . Беря в левой части этого неравенства точную верхнюю грань по всем наборам точек ξ указанного вида, получаем, что sup S (λ , ξ ) ≤ I + ε , то есть S ∗ (λ ) ≤ I + ε . Аналогично из неравенства
ξ ,ξ |λ
I − ε < S (λ , ξ ) находим, что S∗ (λ ) ≥ I − ε . Тогда выполняется неравенство ∗ S (λ ) − S∗ (λ ) ≤ ( I + ε ) − ( I − ε ) = 2ε . ≤ I +ε
≥ I −ε
В силу произвольности ε , требуемое утверждение доказано. 2) ⇒ 1) Для любых разбиений λ1 , λ2 ∈ Λ ([a, b]) в силу свойства 4º сумм Дарбу, выполняется неравенство S∗ (λ1 ) ≤ S ∗ (λ2 ) . Переходя в левой части неравенства к точной верхней грани по всем разбиениям λ1 при про-
Глава 1
18
Определенный интеграл
ç
è
извольном фиксированном λ2 , получаем, что sup S∗ (λ1 ) ≤ S ∗ (λ2 ) . Теперь, λ1
беря в правой части последнего неравенства точную нижнюю грань по всем разбиениям λ2 , получаем: sup S∗ (λ1 ) ≤ inf S ∗ (λ2 ) . λ2
λ1
Обозначим: I∗ = sup S∗ (λ ) , I ∗ = inf S ∗ (λ ) , где точные верхняя и нижλ
λ
няя грани берутся по всем разбиениям отрезка [a, b] . Мы доказали, что имеет место неравенство I∗ ≤ I ∗ . Для произвольного разбиения λ ∈ Λ ([a, b]) по определению точной верхней и точной нижней граней имеют место оценки S∗ (λ ) ≤ I∗ , I ∗ ≤ S ∗ (λ ) .
Комбинируя эти неравенства и неравенство I∗ ≤ I ∗ , находим, что S∗ (λ ) ≤ I∗ ≤ I ∗ ≤ S ∗ (λ ).
(∗)
Из этого неравенства следует оценка 0 ≤ I ∗ − I∗ ≤ S ∗ (λ ) − S∗ (λ ) .
Находящаяся в правой части разность S ∗ (λ ) − S∗ (λ ) может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора разбиения λ . Тогда из последнего не∗ равенства получаем, что I ∗ = I∗ . Обозначим: = I I= I∗ .
Из (∗) получаем, что для любого разбиения λ ∈ Λ ([a, b]) выполняется неравенство S∗ (λ ) ≤ I ≤ S ∗ (λ ). Для произвольного набора точек ξ , подчи-
Глава 1
19
Определенный интеграл
ç
è
ненного разбиению λ , имеет место неравенство S∗ (λ ) ≤ S (λ , ξ ) ≤ S ∗ (λ ) . Из двух полученных соотношений следует, что обе величины S (λ , ξ ) и I попадают в отрезок [ S∗ (λ ), S ∗ (λ )] . Следовательно, выполняется неравенство | S (λ , ξ ) − I |≤ S ∗ (λ ) − S∗ (λ ) .
Отсюда вытекает, что
(∗)
lim S (λ , ξ ) = I . Действительно, выберем
|λ|→0,ξ |λ
произвольное ε > 0 и найдем такое δ > 0 что для всех разбиений λ , удовлетворяющих условию | λ |< δ , выполняется неравенство S ∗ (λ ) − S∗ (λ ) < ε . Тогда для тех же λ и наборов точек ξ , ξ | λ из (∗) получаем, что | S (λ , ξ ) − I |< ε .
В силу произвольности ε , доказательство завершено.
4. Колебание функции Пусть f —определенная и ограниченная на промежутке I . Колебанием функции f на этом промежутке называется величина = ω ( f , I ) sup f ( x) − inf f ( x). x∈I
x∈I
Графическая интерпретация колебания изображена на следующем рисунке. Предполагается, что функция f непрерывна на отрезке [a, b] . На рисунке красная прямая задается уравнением ymax , где ymax = max f ( x) , зеa ≤ x≤b
леная прямая имеет уравнение y = ymin , ymin = min f ( x) . a ≤ x≤b
Глава 1
20
Определенный интеграл
ç
è
Отметим некоторые свойства колебания. 1°. Колебание функции является неотрицательным числом. Если
ω ( f , I ) = 0 , то функция является постоянной на промежутке I . Действительно, обозначим: M = sup f ( x) , m = inf f ( x) . Тогда M ≥ m x∈I
x∈I
и, следовательно, ω ( f , I ) = M − m ≥ 0 . Если ω ( f , I ) = 0 , то M = m . Добавляя сюда неравенство m ≤ f ( x) ≤ M , x ∈ I , получаем, что для произвольного x ∈ I M =≤ m f ( x) ≤ M , откуда следует, что f ( x) = M , x ∈ I . 2°. Имеет место равенство
ω ( f , I ) =sup{| f ( x′) − f ( x′′) |: x′, x′′ ∈ I }. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если функция f является постоянной на промежутке I , то левая и правая части доказываемого соотношения равны нулю, и, следовательно, равенство имеет место.
Глава 1
21
Определенный интеграл
ç
è
Будем предполагать, что функция f постоянной не является. Обозначим: M = sup f ( x) , m = inf f ( x) . Тогда ω ( f , I= ) M − m . Кроме того, в x∈I
x∈I
силу свойства 1°, M − m > 0 . Покажем, что правая часть доказываемого равенства тоже равна M − m . Для любых x′ , x′′ ∈ I выполняются неравенства m ≤ f ( x′) ≤ M , m ≤ f ( x′′) ≤ M .
Отсюда получаем: f ( x′)− f ( x′′) ≤ M − m, ≤M
≥m
f ( x′)− f ( x′′) ≥ m − M . ≥m
≤M
(Под оцениваемыми слагаемыми указаны и выделены красным цветом используемые неравенства). Объединяем полученные неравенства: m − M ≤ f ( x′) − f ( x′′) ≤ M − m,
то есть, | f ( x′) − f ( x′′) |≤ M − m.
Выберем произвольное число ε , удовлетворяющее условию 0 < ε <
(∗) M −m 2
и найдем такие точки x0′ , x0′′ ∈ I , что f ( x0′ ) > M − ε ,
f ( x0′′ ) < m + ε .
Тогда f ( x0′ ) − f ( x0′′ ) > M − ε − (m + ε ) = M − m − 2ε . Учитывая неравенство
Глава 1
22
Определенный интеграл
ç
è
M − m − 2ε > 0 ,
отсюда находим, что f ( x0′ ) − f ( x0′′ ) > 0 , и из полученного соотношения следует, что | f ( x0′ ) − f ( x0′′ ) |> M − m − 2ε .
В силу произвольности ε (ограничение ε <
(∗∗)
M −m здесь несущественно, 2
важно, что число ε можно взять сколь угодно близким к нулю), из соотношений (∗) и (∗∗) получаем, что sup{| f ( x′) − f ( x′′) |: x′, x′′ ∈ I } = M − m.
Свойство доказано. 3°. Имеет место неравенство ω (| f |, I ) ≤ ω ( f , I ) . Напомним, что для любых a , b ∈ имеет выполняется неравенство | a | − | b | ≤| a − b | .
Применяя это неравенство, для произвольных x′ , x′′ ∈ I находим: | f ( x′) | − | f ( x′′) | ≤| f ( x′) − f ( x′′) | .
Отсюда следует, что
ω= (| f |, I ) su p{ | f ( x′) | − | f ( x′′) | : x′, x′′ ∈ I } ≤ ≤ sup {| f ( x′) − f ( x′′) |: x′, x′′ ∈ I } = ω ( f , I ).
Свойство доказано.
Глава 1
23
Определенный интеграл
ç
è
Для функции f , определенной и ограниченной на отрезке [a, b] , и разбиения = λ {xi }ik=0 ∈ Λ ([a, b]) положим
ωi ( f , λ ) = ω ( f ;[ xi −1, xi ]) , i = 1 , 2, …, k . Введем следующее обозначение: S= ω ( f ,λ)
k −1
∑ωi ( f )∆xi . Как и выше, i =1
будем сокращать это обозначение до Sω (λ ) , считая функцию f фиксированной. Аналогично вместо ωi ( f , λ ) будем писать ωi . Из равенств
ω = M i − mi , i = 0 , 1, …, k − 1 i ∗ получаем что имеет место равенство S= ω (λ ) S (λ ) − S∗ (λ ) .
Теперь критерий интегрируемости функции может быть переформулирован следующим образом. ТЕОРЕМА 4. Для функции f , определенной и ограниченной на отрезке [a, b] , следующие условия равносильны: 1) функция f интегрируема на отрезке [a, b] ; 2) для любого ε > 0 найдется такое δ > 0 , что для любого разбиения
λ ∈ Λ ([a, b]) , удовлетворяющего условию | λ |< δ , выполняется неравенство Sω (λ ) < ε . ЗАМЕЧАНИЕ. Условие 2) теоремы может быть переписано следующим образом: lim Sω (λ ) = 0 . |λ|→0
Глава 1
24
Определенный интеграл
ç
è
5. Свойства интегрируемых функций Перейдем теперь к анализу некоторых свойств интегрируемых функций. ТЕОРЕМА 5. Если функция f интегрируема на отрезке [a, b] , то функция | f | также интегрируема на этом отрезке и имеет место оценка b
b
a
a
∫ f ( x) dx ≤ ∫ | f ( x) | dx. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем произвольное разбиение λ ∈ Λ ([a, b]),
λ = {xi }ik=−01 . Введем следующие обозначения: ]), ωi ω (| f |,[ xi , xi= = ωi ω ( f ,[ xi , xi +1= +1 ]), i 0,1,, k − 1.
В силу свойства 3º колебания функции, для любого i из указанного диапазона имеет место оценка ωi ≤ ωi . Тогда для интегральных сумм получаем следующие неравенства: 0 ≤ Sω (| f |; λ= )
k −1
k −1
∑ωi ∆xi ≤ ∑ωi ∆x=i
=i 0 =i 0
Sω ( f ; λ ).
(∗)
Воспользуемся критерием интегрируемости функции. Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое δ > 0 , что для всех разбиений λ ∈ Λ ([a, b]), удовлетворяющих условию | λ |< δ , выполняется неравенство Sω ( f ; λ ) < ε . Отсюда и из соотношения (∗) для тех же разбиений λ получаем неравенство Sω (| f |; λ ) < ε . В силу произвольности числа ε , из критерия интегри-
Глава 1
25
Определенный интеграл
ç
è
руемости функции выводим, что функция | f | интегрируема на отрезке [a, b]. Для произвольного разбиения λ ∈ Λ ([a, b]) , λ = {xi }ik=−01 и набора точек ξ | λ имеем: S ( f ;= λ ,ξ )
k −1
k −1
∑
∑
f (ξi )∆xi ≤ | =i 0 =i 0
Переходя в неравенстве
f (ξi )= | ∆xi S (| f |; λ , ξ ).
S ( f ; λ , ξ ) ≤ S (| f |; λ , ξ ) к пределу при
| λ |→ 0 , получаем искомое соотношение для интегралов.
Теорема доказана. ТЕОРЕМА 6. Если функции f и g интегрируемы на отрезке [a, b] , то для любых α , β ∈ функция α f + β g также интегрируема на этом отрезке, и имеет место равенство b
b
b
a
a
a
∫ (α f ( x) + β g ( x)) dx = α ∫ f ( x) dx + β ∫ g ( x) dx. . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим:= h( x) α f ( x) + β g ( x) , x ∈ [a, b] . Выберем произвольное разбиение λ ∈ Λ ([a, b]) , λ = {xi }ik=0 и рассмотрим произвольный набор точек ξ , ξ | λ . Преобразуем интегральную сумму для функции h : S (h; λ= ,ξ )
k −1
)∆xi ∑ h(ξi =
k −1
∆xi ∑ (α f (ξi ) + β g (ξi ))=
=i 0 =i 0
Глава 1
26
Определенный интеграл
ç
è
k −1
k −1
= α ∑ f (ξi )∆xi + β ∑ g (= ξi )∆xi α S ( f ; λ , ξ ) + β S ( g ; λ , ξ ).
=i 0 =i 0
Из полученного равенства = S (h; λ , ξ ) α S ( f ; λ , ξ ) + β S ( g ; λ , ξ )
и существования пределов ществование предела
lim S ( f ; λ , ξ ) и
|λ|→0, ξ |λ
lim S ( g ; λ , ξ ) следует су-
|λ|→0, ξ |λ
lim S (h; λ , ξ ) и равенство
|λ|→0, ξ |λ
lim S (h; λ , ξ ) α lim S ( f ; λ , ξ ) + β lim S ( g ; λ , ξ ), = |λ|→0, ξ |λ
|λ|→0, ξ |λ
|λ|→0, ξ |λ
то есть указанное в формулировке равенство интегралов. Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Обычно используются следующие частные случаи доказанного соотношения: b
b
b
a
a
a
∫ ( f ( x) ± g ( x)) dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx , b
b
a
a
∫ α f ( x) dx = α ∫ f ( x) dx. ТЕОРЕМА 7. Если функции f и g интегрируемы на отрезке [a, b] , то функция fg также интегрируема на этом отрезке. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Введем следующие обозначения:
I = [ a, b] , h( x ) = f ( x ) g ( x ) , x ∈ I .
Глава 1
27
Определенный интеграл
ç
è
Из интегрируемости функций f и g следует их ограниченность. Выберем такую константу C , что для всех x ∈ I выполняются оценки | f ( x) |≤ C , | g ( x) |≤ C.
Для произвольных точек x′ , x′′ ∈ I имеем: h( x′) − h(= x′′) f ( x′) g ( x′) − f ( x′′) g (= x′′)
= ( f ( x′) − f ( x′′)) g ( x′) + f ( x′′)( g ( x′) − g ( x′′)).
Отсюда следует, что | h( x′) − h( x′′) |≤| f ( x′) − f ( x′′) | ⋅ | g ( x′) | + | f ( x′′) | ⋅ | g ( x′) − g ( x′′) |≤ ≤ C ⋅ | f ( x′) − f ( x′′) | +C ⋅ | g ( x′) − g ( x′′) |≤
≤ C ⋅ (ω ( f , I ) + ω ( g , I )).
Из полученного соотношения | h( x′) − h( x′′) |≤ C ⋅ (ω ( f , I ) + ω ( g , I )) и свойства 2º колебания функции вытекает оценка
ω (h, I ) ≤ C ⋅ (ω ( f , I ) + ω ( g , I )) .
(∗)
Выберем произвольное разбиение λ ∈ Λ ([a, b]) , λ = {xi }ik=0 . Введем обозначения: = ωi ω= (h,[ xi , xi +1 ]), ωi′ ω ( f ,[ xi , xi +1 ]), = ωi′′ ω ( g ,[ xi , xi= +1 ]), i 0,1,, k − 1.
Из неравенства (∗) вытекает оценка ωi ≤ C ⋅ (ωi′ + ωi′′) , i = 0 , 1, …, k − 1. Отсюда получаем:
Глава 1
28
Определенный интеграл
ç
è
Sω (h, λ= )
k −1
k −1
k −1
= i 0=i 0
∑ωi ∆xi ≤ C ⋅ ∑ωi′∆xi + ∑ωi′′∆xi=
=i 0
= C ⋅ ( Sω ( f , λ ) + Sω ( g , λ )).
Из оценки 0 ≤ Sω (h, λ ) ≤ C ⋅ ( Sω ( f , λ ) + Sω ( g , λ ))
и равенств lim Sω ( f , λ ) = 0 , lim Sω ( g , λ ) = 0 следует, что lim Sω (h, λ ) = 0. |λ|→0
|λ|→0
|λ|→0
В силу критерия интегрируемости функции, функция h интегрируема на отрезке [a, b] . Теорема доказана. Если функция f интегрируема на некотором отрезке, то функция 1 f может оказаться неограниченной и, следовательно, неинтегрируемой на этом отрезке. В качестве примера можно указать функцию f ( x) = x на отрезке [0,1] . УПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что если функция f интегрируема на отрезке I , а функция g = 1 f определена и ограничена на этом отрезке, то функция g интегрируема на отрезке I . УКАЗАНИЕ. Доказать, что для любого разбиения λ отрезка I выполняются оценки вида ωi ( g ) ≤
1 ωi ( f ) . C2
ЗАМЕЧАНИЕ. Обратите внимание, что в обозначениях предыдущего упражнения ограниченность функции g равносильна следующему усло-
Глава 1
29
Определенный интеграл
ç
è
вию: существует такая положительная константа α , что для всех x ∈ I выполняется неравенство | f ( x) |≥ α .
6. Достаточные условия интегрируемости функции Из критерия интегрируемости функции получим некоторые достаточные условия интегрируемости. ТЕОРЕМА 8. Функция, монотонная на отрезке, интегрируема на этом отрезке. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что функция f возрастает на отрезке [ a, b ] . Исключая тривиальный случай, будем считать, что эта функция не является постоянной. Пусть λ ∈ Λ ([a, b]) , λ = {xi }ik=0 . В силу возрастания функции f , имеют место соотношения ), mi f (= = M i f ( xi +1= xi ), i 0,1,, k − 1.
Отсюда получаем, что для тех же значений индекса i выполняются равенства = ωi f ( xi +1 ) − f ( xi ) . Учитывая, что ωi ≥ 0 , ∆xi > 0 , i = 0 , 1, …, k − 1, получаем: k −1
k −1
=i 0 =i 0
=i 0
Sω (λ= )
k −1
∑ωi ∆x=i ∑ ( f ( xi+1) − f ( xi )∆xi ≤| λ | ⋅∑ ( f ( xi+1) − f ( xi ))=
= | λ | ( f ( x1 ) − f ( x0 ) + f ( x2 ) − f ( x1 ) + + f ( xk ) − f ( = xk −1 )) = | λ | ( f ( xk ) − f ( x0 ))= | λ | ( f (b) − f (a )) ,
Глава 1
30
Определенный интеграл
ç
è
и окончательно, Sω (λ ) ≤| λ | ( f (b) − f (a )).
Выберем произвольное ε > 0 . Положим δ =
ε f (b) − f (a )
(∗) . Тогда для любого
разбиения λ ∈ Λ ([a, b]) , удовлетворяющего условию | λ |< δ , из (∗) получаем, что Sω (λ ) < ε . В силу произвольности ε , функция f интегрируема на отрезке [a, b] . Теорема доказана. ТЕОРЕМА 9. Функция, непрерывная на отрезке, интегрируема на этом отрезке. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что функция f непрерывна на отрезке [ a, b ] . В силу теоремы Кантора, эта функция равномерно непрерывна на данном отрезке. Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое δ > 0, чтобы для любых точек x′ , x′′ ∈ [a, b] , удовлетворяющих неравенству | x′ − x′′ |< δ , выполнялось неравенство | f ( x′) − f ( x′′) |< ε . Тогда для любого
разбиения λ отрезка [a, b] , удовлетворяющего условию | λ |< δ , имеем:
ωi ( f ) ≤ ε , i = 0 , 1, …, k − 1. Действительно, для любых точек x′, x′′ ∈ [ xi , xi +1 ] выполняется неравенство | x′ − x′′ |≤| xi +1 − xi |≤| λ |< δ и, следо-
вательно, | f ( x′) − f ( x′′) |< ε . В силу свойства 2° колебания функции, имеет место оценка = ωi ωi ( f ) ≤ ε . Тогда для тех же разбиений λ получаем: k −1
iτ
∑ωi ∆xi ≤ ε ∑ ∆xi=
=i 1 =i 1
ε (b − a ) .
Глава 1
31
Определенный интеграл
ç
è
Учитывая произвольность числа ε , из критерия интегрируемости выводим, что функция f является интегрируемой. Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ. Предположим, что функция f определена на отрезке [a, b] , непрерывна во всех точках интервала (a, b) и имеет односторонние пределы в концах отрезка [a, b] . Тогда функция f интегрируема на отрезке [a, b] . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Определим функцию g на отрезке [a, b] условиями: g ( x) = f ( x) , если a < x < b , g (a ) = lim f ( x) , g (b) = lim f ( x) . Тогда x →a + 0
x→b−0
функция g непрерывна на отрезке [a, b] . Действительно, во всех внутренних точках этого отрезка она непрерывна, в силу непрерывности функции f . Из соотношения = g (a)
= lim f ( x)
x →a + 0
lim g ( x), следует непрерыв-
x →a + 0
ность слева функции g в точке a . Аналогично получаем ее непрерывность справа в точке b . По доказанной теореме функция g интегрируема на отрезке [a, b] . Остается заметить, что значения функций f и g могут отличаться не более, чем в двух точках. В силу теоремы 2, функция f интегрируема на отрезке [a, b] . Следствие доказано. ПРИМЕР. Рассмотрим на произвольном отрезке [a, b] функцию f ( x) = x . Эта функция непрерывна на указанном отрезке и, следовательно, b
b2 − a 2 . интегрируема на нем. Покажем, что ∫ x dx = 2 a
Глава 1
32
Определенный интеграл
ç
è
Для доказательства мы будем рассматривать интегральные суммы специального вида и найдем их предел при | λ |→ 0 . Выберем произвольное разбиение λ = {xi }ik=0 отрезка [a, b] . Для каждого i = 0 , 1, …, k − 1 положим ξi =
xi + xi +1 (то есть возьмем в качестве ξi 2
середину отрезка разбиения [ xi , xi +1 ] ). В силу неравенства xi <
xi + xi +1 < xi +1, i = 0,1,, k − 1, 2
набор точек ξ = {ξi }ik=−01 подчинен разбиению λ . Найдем соответствующую интегральную сумму: S (λ , ξ = )
k −1
k −1
xi +1 + xi ⋅ ( xi +1 − xi = ) 2 0
∑ f (ξi )∆x=i ∑ξi ∆x=i ∑
=i 0
=
k −1
=i 0 =i
1 k −1 2 1 2 ( xi +1 − xi2 = ) ( x1 − x02 + x22 − x12 + + xk2 − xk2−1= ) ∑ 2 i =0 2
b2 − a 2 1 2 2 = ( xk − x0 )= . 2 2
Предел рассматриваемых интегральных сумм (то есть интегральных сумм b2 − a 2 с набором точек ξ специального вида) при | λ |→ 0 равен . Отсюда 2
вытекает доказываемое соотношение. УПРАЖНЕНИЕ 1. Пользуясь приемом предыдущего примера, доказать, что при 0 ≤ a < b имеет место равенство
Глава 1
33
Определенный интеграл
ç
è
b
2 ∫ x dx = a
b3 − a 3 . 3
УКАЗАНИЕ. Положить
ξi =
xi2+1 + xi +1xi + xi2 , 3
доказать, что xi ≤ ξi ≤ xi +1 . УПРАЖНЕНИЕ 2. Доказать, что при 0 ≤ a < b для любого n ∈ имеет место равенство b
∫x a
n +1
b n+1 − a n+1 dx = . n +1
7. Свойства определенного интеграла как функции промежутка интегрирования ТЕОРЕМА 10. Предположим, что a , b , c ∈ и a < b < c . Тогда следующие условия равносильны: 1) функция f интегрируема на отрезке [a, c] ; 2) функция f интегрируема на каждом из отрезков [a, b] , [b, c] . При выполнении этих условий выполняется равенство c
b
c
a
a
b
f ( x) dx ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx. ∫=
Глава 1
34
Определенный интеграл
ç
è
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) ⇒ 2). Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое δ > 0 , что из условий λ ∈ Λ ([a, c]) , | λ |< δ вытекает неравенство Sω (λ ,[a, c]) < ε . Пусть λ0 — разбиение отрезка [a, b] , удовлетворяющее
условию | λ0 |< ε . Добавим к набору точек разбиения λ0 точки отрезка
[b, c] так, чтобы при этом получилось разбиение λ отрезка [a, c] , удовлетворяющее условию | λ |< δ . Допустим, что λ0 = {xi }ik=0 , λ = {xi }li =0 . Как и выше, вводим колебания функции f не отрезках разбиения λ (отрезка [a, c] ): ωi = ω ( f ,[ xi , xi +1 ]) , i = 0 , 1, …, l − 1 . Тогда имеем: = Sω (λ0 ,[a, b])
k −1
l −1
∑ωi ∆xi ≤ ∑ωi ∆x=i
=i 0 =i 0
Sω (λ ,[a, c]) < ε .
Из оценки Sω (λ0 ,[a, b]) < ε по критерию интегрируемости функции выводим, что функция f является интегрируемой на отрезке [a, b] . Аналогично рассматривается отрезок [b, c] . 2) ⇒ 1) Предположим, что функция f интегрируема на каждом из отрезков [a, b] , [b, c] . Тогда она ограничена на каждом из этих отрезков, а, следовательно, и на всем отрезке [a, c] . Выберем такую константу M , что для любого x ∈ [a, c] выполняется неравенство | f ( x) |≤ M . Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое δ > 0 , чтобы выполнялись следующие условия: для любого λ1 ∈ Λ ([a, b]) , такого, что | λ1 |< δ выполняется неравенство Sω (λ1,[a, b]) < ε ; для любого λ2 ∈ Λ ([b, c]) , такого, что | λ2 |< δ выполняется неравенство Sω (λ2 ,[b, c]) < ε .
Глава 1
35
Определенный интеграл
ç
è
Уменьшая в случае необходимости число δ , будем считать, что выполняется неравенство δ ≤ ε . Возьмем любое разбиение λ ∈ Λ ([a, c]) , удовлетворяющее условию | λ |< δ . Найдем оценки для величины Sω (λ ,[a, c]) . Эти оценки будут разными, в зависимости от того, находится или нет промежуточная точка b среди точек разбиения λ . СЛУЧАЙ 1. Точка b находится среди точек разбиения λ . Обозначим через λ1 ( λ2 ) множество всех точек разбиения λ , попадающих в отрезок [a, b] (соответственно, в отрезок [b, c] ). Тогда λ1 ( λ2 ) будет разбиением соответствующего отрезка. Очевидно, что выполняется оценка | λ1 |≤| λ | (потому, что каждый из отрезков разбиения λ1 является в то же время и отрезком разбиения λ ). Поэтому выполняется оценка | λ1 |< δ . Из аналогичных соображений получаем, что | λ2 |< δ . Допустим,
что λ = {xi }ik=0 , . λ1 = {xi }li =0 , λ2 = {xi }ik=l . Обращаем внимание читателя, что имеет место равенство xk = b , и эта точка является последней точкой разбиения λ1 и первой точкой разбиения λ2 . Далее имеем, Sω (λ ,[a, c]) =
k −1
l −1
k −1
∑ωi ∆x=i ∑ωi ∆xi + ∑ωi ∆x=i
=i 0 =i 0 =i l
= Sω (λ1,[a, b]) + Sω (λ2 ,[b, c]).
Из оценок | λ1 |< δ , | λ2 |< δ следует, что Sω (λ1,[a, b]) < ε , Sω (λ2 ,[b, c]) < ε
и, следовательно, Sω (λ ,[a, c]) < 2ε .
Глава 1
36
Определенный интеграл
ç
è
СЛУЧАЙ 2. Точка b не является одной из точек разбиения λ . Рассмотрим множество всех точек разбиения λ , попадающих в отрезок [a, b] . Добавляя к этому множеству точку b , мы получим разбиение отрезка [a, b] , которое обозначим через λ1 . Отметим, что выполняется неравенство | λ1 |< δ . Действительно, все отрезки разбиения λ1 , кроме последнего, совпадают с одним из отрезков разбиения λ . Поэтому длины этих отрезков меньше, чем δ . Последний отрезок разбиения λ1 является частью отрезка разбиения λ . Следовательно, длина этого последнего отрезка также меньше, чем δ . Аналогично, добавляя к точкам разбиения λ , попадающим в отрезок [b, c] , точку b , получим разбиение отрезка [b, c] , которое обозначим через λ2 . По аналогии с предыдущим случаем доказывается, что | λ2 |< δ . Рассмотрим отрезок I разбиения λ , внутри которого находится точка b . Этот отрезок делится точкой b на два отрезка, которые мы обозначим через I ′ и I ′′ (см. рисунок ниже).
Рассмотрим сумму Sω (λ ,[a, c]) и сравним ее с суммой Sω (λ1,[a, b]) + Sω (λ2 ,[b, c]) .
Для перехода от одного выражения к другому нужно в сумме Sω (λ ,[a, c]) удалить слагаемое, отвечающее отрезку I разбиения λ , заменив его двумя слагаемыми, отвечающими отрезкам I ′ и I ′′ разбиений λ1 и λ2 соответст-
Глава 1
37
Определенный интеграл
ç
è
венно. Обозначим через ω , ω ′ , ω ′′ колебания функции f на отрезках I , I ′ и I ′′ соответственно. Как обычно, через | I | обозначается длина отрезка I . Тогда, в силу сказанного, имеет место соотношение Sω (λ ,[a, c]) − ω ⋅ | I | +ω ′⋅ | I ′ | +ω ′′⋅ | I ′′ |= Sω (λ1,[a, b]) + Sω (λ2 ,[b, c]).
Красным цветом в формуле показано удаляемое слагаемое, а зеленым цветом — два добавляемых слагаемых. Отсюда получаем: ′⋅ | I ′ | − ω ′′⋅ | I ′′ | ≤ Sω= (λ ,[a, c]) Sω (λ1,[a, b]) + Sω (λ2 ,[b, c]) + ω ⋅ | I | − ω ≥0
≥0
≤ Sω (λ1,[a, b]) + Sω (λ2 ,[b, c]) + ω ⋅ | I | .
Неравенство возникает после отбрасывания двух выделенных красным цветом слагаемых. Остается заметить, что, как и в предыдущем случае, выполняется неравенство Sω (λ1,[a, b]) + Sω (λ2 ,[b, c]) < 2ε . Кроме того, имеют место неравенства ω ≤ 2M , | I |< δ ≤ 2ε . Окончательно получаем оценку Sω (λ ,[a, c]) < 2ε + 4 M ε .
Итак, в любом из двух случаев выполняется оценка Sω (λ ,[a, c]) < 2ε + 4 M ε .
В силу произвольности ε , из критерия интегрируемости функции следует, что функция f интегрируема на отрезке [a, c] . Перейдем теперь к соотношениям, связывающим интегралы. Выберем произвольное разбиение λ ∈ Λ ([a, c]) , удовлетворяющее дополнительному условию b ∈ λ . Выберем набор точек ξ , подчиненный разбиению λ.
Глава 1
38
Определенный интеграл
ç
è
Рассмотрим интегральную сумму
l −1
∑ f (ξi )∆xi .
Разбивая сумму в правой
i =0
части на две суммы, соответствующие каждому из двух отрезков [a, b] и
[b, c] , получаем: l −1
)∆xi ∑ f (ξi=
k −1
l −1
∑ f (ξi )∆xi + ∑ f (ξi )∆xi .
=i 0 =i 0 =i k
В правой части находятся интегральные суммы для функции f на отрезках [a, b] и [b, c] соответственно. Переходя к пределу при условиях
| λ |→ 0 , b ∈ λ , получаем искомое соотношение для интегралов. Теорема полностью доказана. b
Выше мы рассматривали определенный интеграл
∫ f ( x) dx в предпоa
ложении, что a < b . Понятие определенного интеграла может быть расширено на случай других соотношений между верхним и нижним пределами. Предположим, что функция f определена и интегрируема на некотором отрезке I . Для a , b ∈ I , a > b полагаем по определению b
a
a
a
b
a
− ∫ f ( x) dx, ∫ f ( x) dx = 0 . ∫ f ( x) dx =
Тогда утверждение теоремы может быть обобщено на такой случай. СЛЕДСТВИЕ ТЕОРЕМЫ 10. Предположим, что функция f интегрируема на некотором отрезке I . Тогда для любых a , b , c ∈ I выполняется равенство
Глава 1
39
Определенный интеграл
ç
è
c
b
c
a
a
b
f ( x) dx ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx. ∫=
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Случай a < b < c рассмотрен в самой теореме. Рассмотрим случай, когда a < c < b . Применяя теорему, получаем: b
c
b
a
a
c
f ( x) dx ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx. ∫=
Меняя местами пределы интегрирования во втором интеграле в правой части, получаем: b
c
c
a
a
b
f ( x) dx ∫ f ( x) dx − ∫ f ( x) dx . ∫=
Перенося второй интеграл в правой части равенства в левую часть, получим требуемое утверждение. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Теорема 10 позволяет найти еще один расширить класс интегрируемых функций. Приведем сначала следующее определение. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция, определенная на отрезке I , называется кусочно-непрерывной на этом промежутке, если она непрерывна всюду на I , кроме конечного числа точек, в которых имеет разрывы первого рода. ТЕОРЕМА 11. Функция, кусочно-непрерывная на отрезке, интегрируема на этом отрезке. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ограничимся предположением, что функция f определена на отрезке [a, b] и непрерывна всюду, кроме одной точки c ,
Глава 1
40
Определенный интеграл
ç
è
a < c < b . Рассмотрим сужение функции f на отрезок [a, c] . Эта функция
непрерывна во всех точках x , a ≤ x < c и существует предел lim f ( x) . В x→c −0
силу следствия теоремы 9, функция f интегрируема на отрезке [a, c]. Аналогично получаем, что она интегрируема на отрезке [c, b] . Из теоремы 10 выводим, что функция f интегрируема на отрезке [a, b] . Теорема доказана.
8. Теорема о среднем для определенного интеграла Рассмотрим сначала некоторые неравенства для определенных интегралов. ТЕОРЕМА 12. Предположим, что функция f определена и интегрируема на отрезке [a, b] и для всех x ∈ [a, b] выполняется неравенство f ( x) ≥ 0 . Тогда
b
∫ f ( x) dx ≥ 0 . a
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем произвольное разбиение λ отрезка [a, b], возьмем произвольный набор точек ξ , ξ | λ и рассмотрим соответствующую интегральную сумму
k −1
∑ f (ξi )∆xi . Все слагаемые под знаком суммы i =0
являются неотрицательными. Поэтому
k −1
∑ f (ξi )∆xi ≥ 0 . Переходя к пределу i =0
при | λ |→ 0 получаем требуемое неравенство для определенного интеграла.
Глава 1
41
Определенный интеграл
ç
è
Вейерштрасс
Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ. Предположим, что функции f и g определены и интегрируемы на отрезке [a, b] и для всех x ∈ [a, b] выполняется неравенство f ( x) ≤ g ( x) . Тогда
b
b
a
a
∫ f ( x) dx ≤ ∫ g ( x) dx .
Действительно, для любого x ∈ [a, b] выполняется неравенство g ( x) − f ( x) ≥ 0 . b
В силу предыдущего свойства, ∫ ( g ( x) − f ( x)) dx ≥ 0 , и следовательно, a
b
b
∫ g ( x) dx − ∫ f ( x) dx ≥ 0 a
.
a
Справедливо следующее утверждение. ТЕОРЕМА 13 (ТЕОРЕМА
О СРЕДНЕМ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА).
Пусть функция f определена и непрерывна на отрезке [a, b] . Тогда существует точка ξ ∈ [a, b] , такая, что b
∫ f ( x) dx=
(b − a ) f (ξ ).
a
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу теоремы Вейерштрасса, функция, непрерывная на отрезке, достигает на этом отрезке своего максимального и минимального значений. Обозначим: = M max{ f ( x) : a ≤ x= ≤ b} , m min{ f ( x) : a ≤ x ≤ b} .
Глава 1
42
Определенный интеграл
ç
è
Для любого x ∈ [a, b] имеет место неравенство m ≤ f ( x) ≤ M . Тогда из следствия теоремы 12 получаем: b
b
b
a
a
a
∫ m dx ≤ ∫ f ( x) dx ≤ ∫ M dx , b
m(b − a ) ≤ ∫ f ( x) d ≤xM (b − a ) . a
Деля все части выписанных неравенств на положительное число b − a , получаем неравенство: b
1 m≤ f ( x) dx ≤ M . b − a ∫a
По теореме о промежуточном значении непрерывной функции, существует точка ξ ∈ [a, b] , для которой выполняется равенство b
1 f ( x) dx = f (ξ ), b − a ∫a
или b
∫ f ( x) dx=
(b − a ) f (ξ ).
a
Теорема доказана. Прежде, чем формулировать следствие теоремы, напомним следующее определение. Пусть a , b ∈ . Будем говорить, что число x ∈ лежит между a и b , если a ≤ x ≤ b при a ≤ b и a ≤ x ≤ b при b ≤ a . Если a ≠ b ,
Глава 1
43
Определенный интеграл
ç
è
будем говорить, что число x ∈ лежит строго между a и b , если a < x < b при a < b и b < x < a при b < a .
СЛЕДСТВИЕ. Предположим, что функция f определена и непрерывна на промежутке I . Тогда для любых точек a , b этого промежутка существует точка ξ , лежащая между a и b , такая, что b
∫ f ( x) dx=
(b − a ) f (ξ ).
a
Случай a < b рассмотрен в теореме. Допустим, что a > b . Применим теорему к функции f , непрерывной на отрезке [b, a ] : для некоторой точки ξ , лежащей между a и b , выполняется равенство a
∫ f ( x) dx=
(a − b) f (ξ ).
b
Умножая обе части последнего соотношения на −1 , получаем требуемое соотношение. В случае a = b полагаем ξ = a , и требуемое соотношение будет выполняться. Дадим геометрическую интерпретацию теоремы о среднем. Предположим, что функция f определена и непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на этом отрезке неотрицательные значения. Левая часть равенства b
∫ f ( x) dx=
(b − a ) f (ξ ),
a
как было сказано выше, есть площадь криволинейной трапеции, определяемой неравенствами a ≤ x ≤ b , 0 ≤ y ≤ f ( x) . Правая часть — это площадь
Глава 1
44
Определенный интеграл
ç
è
Лейбниц
Ньютон
прямоугольника с тем же основанием, что и криволинейная трапеция, и высотой f (ξ ) . Теорема утверждает, что существует точка ξ , для которой площади этих двух фигур равны.
9. Формула Ньютона-Лейбница В этом разделе мы выведем так называемую основную формулу интегрального исчисления. Докажем сначала следующее утверждение. ТЕОРЕМА 14. Предположим, что функция f определена и непрерывна на промежутке I . Тогда функция F , определяемая на этом промеx
жутке формулой F ( x) = ∫ f (t ) dt , где c ∈ I — любая фиксированная точка, c
дифференцируема в каждой точке x ∈ I и имеет место равенство F ′( x) = f ( x) .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем произвольную точку x ∈ I и выберем величину ∆x ≠ 0 , такую, что x + ∆x ∈ I . Тогда x +∆x
F ( x + ∆= x) − F ( x)
x
∫
f (t ) dt −= ∫ f (t ) dt
c
c
x +∆x
∫
f (t ) dt.
x
Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, получаем: F ( x + ∆x) − F = ( x) f (ξ )∆x,
где точка ξ лежит между точкам x и x + ∆x .
Глава 1
45
Определенный интеграл
ç
è
Тогда F ( x + ∆x) − F ( x) = f (ξ ). ∆x
(∗)
Точка ξ зависит от ∆x (точка x считается фиксированной, поэтому зависимость ξ от x мы не рассматриваем). При ∆x → 0 точки ξ= ξ (∆x) , находящиеся между точкам x и x + ∆x , стремятся к x . В силу непрерывности функции f , из (∗) получаем, что F ( x + ∆x) − F ( x) = f ( x). ∆x→0 ∆x lim
Теорема доказана. x
ЗАМЕЧАНИЕ. Определенный интеграл вида
∫ f (t ) dt ,
x ∈ I называется
c
интегралом с переменным верхним пределом. СЛЕДСТВИЕ 1. Предположим, что функция f определена и непрерывна на промежутке I . Тогда она имеет первообразную на этом промежутке. Действительно, возьмем произвольную точку c ∈ I . Тогда первообx
разной, в силу теоремы, будет функция
∫ f (t ) dt , x ∈ I . c
СЛЕДСТВИЕ 2. Предположим, что функция f непрерывна на отрезке [a, b] , F — первообразная этой функции на этом отрезке. Тогда справедлива формула
b
)d x ∫ f ( x= a
F (b) − F (a ) .
Глава 1
46
Определенный интеграл
ç
è
x
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу теоремы, функция Φ ( x) = ∫ f (t ) dt , x ∈[a, b] a
является первообразной функции f . Первообразная функции находится с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Поэтому имеет место равенство Φ ( x)= F ( x) + C , x ∈ [a, b] с некоторой постоянной C , или, более подробно, x
∫ f (t ) dt =F ( x) + C ,
x ∈ [a, b].
(∗)
a
Подставляя в последнее соотношение x = a , получаем: F (a ) + C = 0, или C = − F (a ) . Тогда соотношение (∗) может быть переписано так: x
F ( x) − F (a ), ∫ f (t ) dt =
x ∈ [a, b].
a
Подставляя в последнее соотношение x = b , получаем доказываемое равенство. b
Формула
)d x ∫ f ( x=
F (b) − F (a ) носит название формулы Ньютона-
a
b
Лейбница. Обычно используется обозначение F (b) − F (a ) = F ( x) a (или боx =b
лее точное F (b) − F (a ) = F ( x) x=a ), и формула Ньютона-Лейбница приобреb
тает вид
∫ f ( x) dx = F ( x) a . Еще более выразительной является следующая b
a
запись этой формулы, в которой подчеркивается связь между определенным и неопределенным интегралами:
Глава 1
47
Определенный интеграл
ç
è
b
∫
f ( x) dx =
a
(∫
f ( x) dx
)
b
. a
ЗАМЕЧАНИЕ. Формула Ньютона-Лейбница остается в силе и без предположения, что a < b . Действительно, допустим, что a > b . Тогда для функции, интегрируемой на отрезке с концами a и b имеем: b
∫ f ( x) d a
a
x= − ∫ f ( x) d x= −( F (a) − F (b)) = F (b) − F (a) = F ( x) a . b
b
Здесь равенство, выделенное красным цветом, имеет место по определению интеграла в случае, когда нижний предел больше верхнего, равенство, выделенное синим цветом, имеет место по формуле НьютонаЛейбница. Случай a = b тривиален.
10. Методы вычисления определенных интегралов Перейдем к некоторым методам вычисления определенных интегралов. В случае неопределенных интегралов рассматривались метод замены переменной и метод интегрирования по частям. Эти же методы рассматриваются и в данном случае. ТЕОРЕМА 15. Предположим, что функция f определена и непрерывна на отрезке [a, b] , функция ϕ определена и непрерывно дифференцируема на отрезке с концами A и B , все значения функции ϕ принадлежат отрезку [a, b] и выполняются соотношения ϕ ( A) = a , ϕ ( B) = b . Тогда имеет место равенство
Глава 1
48
Определенный интеграл
ç
è
b
B
a
A
∫ f ( x) dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) dt. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что A < B , то есть функция ϕ определена и непрерывно дифференцируема на отрезке [ A, B] . Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Возьмем произвольную первообразную F функции f на отрезке [a, b] . Тогда имеет место равенство b
)d x ∫ f ( x=
F (b) − F (a ).
a
В силу условий, наложенных на функцию ϕ , функция f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) определена и непрерывна на отрезке [ A, B] . По теореме о производной сложной функции выполняется равенство F ′(ϕ (t )) = f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) , t ∈ [ A, B] , то есть функция F является первообразной функции f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) на указанном отрезке. Поэтому выполняется равенство B
F (ϕ (t )) A = F (ϕ ( B )) − F (ϕ ( A)) = F (b) − F (a ). ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) dt = B
A
Мы доказали требуемое соотношение. Случай A > B рассматривается аналогично. Единственное изменение здесь — вместо отрезка [ A, B] рассматривается отрезок [ B, A] . Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. В отличие от случая замены переменной в неопределенном интеграле, здесь не предполагается монотонность функции ϕ , по-
Глава 1
49
Определенный интеграл
ç
è
скольку обратное преобразование, то есть переход к исходной переменной, не требуется. ТЕОРЕМА 16. Предположим, что функции u и v определены и непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b] . Тогда имеет место равенство b
)v′( x) d x ∫ u ( x=
b u ( x )v ( x ) a
a
b
− ∫ u′( x)v( x) d x. a
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся равенством (u ( x)v( x))′ = u′( x)v( x) + u ( x)v′( x),
x ∈ [a, b].
Оно означает, что функция uv является первообразной функции u′v + uv′ на указанном отрезке. Отсюда, применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем: b
(u ( x)v( x)) a , ∫ (u′( x)v( x) + u ( x)v′( x)) d x= b
a
b
b
a
a
(u ( x)v( x)) a . ∫ u′( x)v( x) dx + ∫ u ( x)v′( x) d x= b
Перенося интеграл, выделенный красным, в правую часть равенства, получаем искомое соотношение. Теорема доказана.
Глава 1
50
Определенный интеграл
ç
è
11. Приложения определенного интеграла В этом разделе будут рассмотрены некоторые приложения полученных выше результатов к задачам о вычислении площади плоской фигуры и длины дуги. Предположим, что функция f определена и непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на этом отрезке неотрицательные значения. Рассмотрим соответствующую криволинейную трапецию, то есть фигуру, ограниченную осью Ox , прямыми x = a , x = b и линией y = f ( x) , a ≤ x ≤ b . Обозначим эту фигуру через F0 . Пусть λ = {xi }ik=0 — произвольное разбиение отрезка [a, b] . Сужение функции f на произвольный отрезок разбиения [ xi , xi +1 ] , i = 0 , 1, …, k − 1 является непрерывной функцией и, в силу теоремы Вейерштрасса, в некоторой точке α i ∈ [ xi ,xi +1 ] принимает свое наибольшее значение на этом отрезке, а в некоторой точке βi ∈ [ xi , xi +1 ] — свое наименьшее значение. Введем наборы точек α = {α i }ik=−01 , β = {βi }ik=−01 . Тогда выполняются соотношения α | λ , β | λ . Для каждого i = 0 , 1, …, k − 1 рассмотрим прямоугольник с основанием [ xi , xi +1 ] и высотой f (α i ) и прямоугольник с тем же основанием и высотой f ( βi ) . Площади этих прямоугольников равны соответственно f (α i )∆xi и f ( βi )∆xi , где ∆xi= xi +1 − xi . На следующем рисунке приведены
фрагмент рассматриваемой криволинейной трапеции и эти прямоугольники. Верхняя сторона прямоугольника с высотой f (α i ) выделена красным цветом, прямоугольника с высотой f ( βi ) — зеленым цветом.
Глава 1
51
Определенный интеграл
ç
è
Введем на плоскости следующие фигуры: F+ (λ ) — объединение всех прямоугольников с основанием [ xi , xi +1 ] и высотой f (α i ) , F− (λ ) — объединение всех прямоугольников с основанием [ xi , xi +1 ] и высотой f ( βi ). Тогда для любого разбиения λ введенные фигуры и рассматривае-
мая криволинейная трапеция F0 связаны соотношением F− (λ ) ⊂ F0 ⊂ F+ (λ ) .
Площадь фигуры F+ (λ ) равна сумме площадей всех составляющих ее прямоугольников, то есть величине
k −1
∑ f (αi )∆xi . Отметим, что это интегральi =0
ная сумма S ( f ; λ ,α ) . Аналогично получаем, что площадь фигуры F− (λ ) равна
k −1
∑ f (βi )∆xi , то есть интегральной сумме S ( f ; λ , β ) . i =0
Функция f , непрерывная на отрезке [a, b] , интегрируема на этом отb
резке. Обозначим: I = ∫ f ( x) dx . В силу непрерывности функции f , выa
полняются соотношения
Глава 1
52
Определенный интеграл
ç
è
lim S ( f ; λ ,α ) I= , lim S ( f ; λ , β ) I , = |λ|→0
|λ|→0
то есть при | λ |→ 0 площади фигур F− (λ ) и F+ (λ ) стремятся к одной и той же величине. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Общий предел значений S ( f ; λ ,α ) и S ( f ; λ , β ) при
| λ |→ 0 называется площадью криволинейной трапеции F0 . В силу сказанного выше, площадь рассматриваемой криволинейной b
трапеции равна
∫ f ( x) dx . a
ЗАМЕЧАНИЕ. При более строгом подходе вводятся понятия квадрируемой фигуры на плоскости и ее площади. Приведем схему одного из вариантов такого подхода. Будем предполагать, что нам известно понятие площади многоугольника, то есть фигуры, ограниченной замкнутой ломаной линией. Площадь многоугольника F будем обозначать через S ( F ). Произвольная фигура F0 на плоскости называется квадрируемой, если су+ +∞ ществуют последовательности {Fn− }n+∞ =1 и {Fn }n =1 многоугольников, обла-
дающие следующими свойствами: для любого n ∈ выполняются вложения Fn− ⊂ F0 ⊂ Fn+ и имеет место равенство lim S ( Fn− ) = lim S ( Fn+ ) . Поn→+∞
n→+∞
следнее значение считается площадью квадрируемой фигуры F0 . Отметим, что это определение нуждается в обосновании: нужно показать, что указанный предел не зависит от выбора последовательностей {Fn− }n+∞ =1 и {Fn+ }n+∞ =1 , обладающих приведенными свойствами.
Вернемся к введенному выше понятию площади криволинейной трапеции. При любом разбиении λ отрезка [a, b] фигуры F− (λ ) и F+ (λ ) яв-
Глава 1
53
Определенный интеграл
ç
è
ляются многоугольниками, связанными с рассматриваемой криволинейной трапецией соотношением F− (λ ) ⊂ F0 ⊂ F+ (λ ) . Одинаковые пределы площадей этих многоугольников при | λ |→ 0 мы и назвали площадью этой криволинейной трапеции. При этом не анализировались другие способы приближения криволинейной трапеции многоугольниками «снаружи» и «изнутри». Остановимся теперь совсем кратко на других вариантах вычислений площадей плоских фигур. Предположим, что даны две функции f и g , которые определена и непрерывны на отрезке [a, b] , причем для любого x ∈ [a, b] выполняется неравенство g ( x) ≤ f ( x) . Рассмотрим фигуру, ограниченную осью Ox , прямыми x = a , x = b и линиями y = f ( x) , y = g ( x) , a ≤ x ≤ b . На приводимом ниже рисунке эта фигура ограничена линиями синего цвета.
Площадь данной фигуры является разностью площадей криволинейных трапеций ABFE и ABDC , то есть разности
Глава 1
54
Определенный интеграл
ç
è
b
b
b
a
a
a
∫ f ( x) dx − ∫ g ( x) dx =∫ ( f ( x) − g ( x)) dx. ЗАМЕЧАНИЕ. Полученная формула найдена в предположении, что обе функции f и g принимают на отрезке [a, b] неотрицательные значения (поскольку была использована формула для нахождения площади криволинейной трапеции, выведенная именно при таком предположении). Однако формула для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя линиями, остается в силе и без предположения о том, что функции f и g принимают неотрицательные значения. Действительно, в последнем случае найдется такая положительная константа c , что функции f + c и g + c принимают на отрезке [a, b] положительные значения. При этом анализируемая фигура сдвинется на c единиц параллельно оси ординат (см. рисунок ниже). Площади фигуры сохраняется при параллельном переносе.
Применяя к фигуре, полученной после сдвига (и имеющей ту же площадь, что и исходная фигура), приведенную выше формулу, находим, что эта площадь равна
Глава 1
55
Определенный интеграл
ç
è
b
b
b
a
a
a
∫ ( f ( x) + c) dx − ∫ ( g ( x) + c) dx= ∫ ( f ( x) − g ( x)) dx, то есть формула для нахождения площади остается верной и в рассматриваемом случае. Перейдем теперь к вопросу о площади криволинейного сектора. Выберем на плоскости полярную систему координат и введем кривую, заданную в этой системе координат уравнением r = f (ϕ ) , α ≤ ϕ ≤ β ,
где 0 ≤ α < β ≤ 2π , f — функция, определенная и непрерывная на отрезке
[α , β ] и принимающая всюду на этом отрезке неотрицательные значения. Рассмотрим на плоскости фигуру, ограниченную данной линией и лучами ϕ = α , ϕ = β . Эта фигура называется криволинейным сектором (см. рисунок ниже). Обозначим рассматриваемый криволинейный сектор через F0 .
В случае криволинейной трапеции рассматриваемая фигура приближалась объединением прямоугольников. Криволинейный сектор мы будем при-
Глава 1
56
Определенный интеграл
ç
è
ближать объединением круговых секторов. Напомним, что площадь кругового сектора радиуса R с центральным углом ϕ (как всегда, измеряемым в радианах) равна
1 2 R ϕ. 2
Пусть λ = {ϕi }ik=0 — произвольное разбиение отрезка [α , β ] . Предположим, что сужение функции f на отрезок разбиения [ϕi ,ϕi +1 ] , i = 0 , 1, …, k − 1 принимает свое наибольшее значение на этом отрезке в точке
α i ∈ [ϕi ,ϕi +1 ] , а в точке βi ∈ [ϕi ,ϕi +1 ] принимает свое наименьшее значение. Обозначим
f (α i ) = M i ,
f ( βi ) = mi . Введем наборы точек α = {α i }ik=−01,
β = {βi }ik=−01 . Тогда выполняются соотношения α | λ , β | λ . Для каждого i = 0 , 1, …, k − 1 рассмотрим круговой сектор радиуса M i , ограниченный лучами ϕ = ϕi и ϕ = ϕi +1 . Площадь такого сектора равна
1 2 M i ∆ϕi , где ∆ϕi = ϕi +1 − ϕi . Обозначим через F+ (λ ) объединение 2
всех таких секторов. Тогда площадь фигуры F+ (λ ) равна сумме составляющих ее круговых секторов, то есть равна k −1
k −1 1 2 1 = M ∆ ϕ ∑ 2 i i ∑ 2 f (αi )2 ∆ϕi . =i 0 =i 0
1 Это интегральная сумма S f 2 ; λ ,α . Аналогично для каждого 2 i = 0 , 1, …, k − 1 рассматриваем круговые секторы радиуса mi , ограничен-
ные лучами ϕ = ϕi и ϕ = ϕi +1 . Площадь такого сектора равна
1 2 mi ∆ϕi . 2
Пусть через F− (λ ) — объединение всех таких секторов. Тогда площадь фигуры F− (λ ) равна
Глава 1
57
Определенный интеграл
ç
è
k −1
k −1 1 2 1 1 2 mi ∆ϕi ∑ f ( β= S f 2 ; λ , β . ∑ 2= i ) ∆ϕi 2 =i 0 =i 0 2
Остается заметить, что для любого разбиения λ отрезка [α , β ] выполняется соотношение F− (λ ) ⊂ F0 ⊂ F+ (λ ) и, кроме того, для площадей фигур F− (λ ) и F+ (λ ) выполняется соотношение β
1 1 1 lim S f 2 ; λ ,α lim S f 2;λ, β f (ϕ ) 2 dϕ . = = ∫ |λ|→0 2 |λ|→0 2 2α
1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Общий предел значений S f 2 ; λ ,α и S f 2 ; λ , β 2 2
при | λ |→ 0 называется площадью криволинейного сектора F0 . В силу сказанного, площадь рассматриваемого криволинейного секβ
1 тора равна ∫ f (ϕ ) 2 dϕ . 2α
Перейдем к примерам. ПРИМЕР. Найти площадь, ограниченную эллипсом, задаваемым каx2 y 2 ноническим уравнением 2 + 2 = 1. a b
РЕШЕНИЕ. В силу симметричности эллипса относительно осей координат, достаточно вычислить площади фигуры, ограниченной эллипсом и находящейся в первой координатной четверти.
Глава 1
58
Определенный интеграл
ç
è
Уравнение части эллипса, находящейся в первой четверти, имеет вид: b x2 y 1 − 2 , 0 ≤ x ≤ a, = a a
и площадь указанной части эллипса находим как площадь криволинейной трапеции: a
a
b 2 b 2 ⋅ ∫ a 2 − x 2 dx. ∫ a a − x dx = a 0 0
В последнем интеграле выполним замену переменной: x = a sin t , 0 ≤ t ≤ Тогда π 2
a
∫
a − x dx = 2
2
0
∫
π 2
a − a sin t d (a sin t ) = a 2
2
2
0
1 + cos 2t a2 π a ∫ dt =(t + sin 2t ) 0 = 2 2 0
∫ cos 0
π 2
2
2
2
π a2
=. 4
2
t dt =
π 2
.
Глава 1
59
ç
Определенный интеграл è
Окончательно находим формулу для нахождения площади S рассматриваемого эллипса: b π a2 S =4⋅ ⋅ = π ab. a 4
ПРИМЕР. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x 2 и y= x + 3 .
РЕШЕНИЕ. Найдем точки пересечений указанных линий. Для этого рассматриваем систему уравнений y = x 2 , y= x + 2.
Исключаем неизвестную y : x 2= x + 2 , x 2 − x − 2 = 0 . Отсюда находим абсциссы точек пересечения: x1 = −1 , x2 = 2 . При −1 < x < 2 выполняется неравенство x + 2 > x 2 , то есть точки прямой находятся выше точек параболы с теми же абсциссами (см. рисунок ниже).
Глава 1
60
Определенный интеграл
ç
è
Теперь находим искомую площадь: 2
1 2 x3 9 2 S= ∫ ( x + 2 − x ) dx= x + 2 x − = . 3 2 2 −1 2
−1
ПРИМЕР. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией = r cos3ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π .
РЕШЕНИЕ. Точки кривой соответствуют тем и только тем значениям полярного угла ϕ , для которых выполняется неравенство sin 3ϕ ≥ 0 , то есть значениям ϕ , принадлежащим промежуткам [0, π 3] , [2 π 3, π ] , [4π 3,5π 3] . При этом площади всех трех «лепестков» рассматриваемой
фигуры совпадают (см. рисунок ниже).
Глава 1
61
Определенный интеграл
ç
è
Площадь половины одного из «лепестков», то есть одной шестой части фигуры, равна π 6
∫ 0
π 6
1 2 1 1 − cos 6ϕ 1 sin 6ϕ sin 3ϕ dϕ = dϕ = ϕ − ∫ 2 2 0 2 4 6
π 6
0
π
. = 24
Отсюда получаем, что площадь всей фигуры равна π 4 . Рассмотрим вопрос о вычислении длины дуги кривой. Площадь фигуры определялась как предел площадей более простых фигур, приближающих данную в некотором смысле. В случае кривых на плоскости поступают аналогично, приближая произвольную кривую ломаной, длина которой определяется как сумма длин составляющих ее звеньев. Перейдем к точным определениям. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предположим, что функции ϕ и ψ непрерывны на некотором отрезке [a, b] . Множество точек координатной плоскости L , задаваемое условием = L {(ϕ (t ),ψ (t )) : t ∈ [a, b]} ,
называется непрерывной кривой на плоскости. Рассмотрим указанную в определении кривую L . Выберем произвольное разбиение λ = {ti }ik=0 отрезка [a, b] и рассмотрим последовательность точек M i = (ϕ (ti ),ψ (ti )) , i = 0 , 1, …, k этой кривой. Соединяя отрезком каждую точку M i с точкой M i +1 при i = 0 , 1, …, k − 1, получим некоторую ломаную на плоскости, которую будем обозначать через Lλ . Обо-
Глава 1
62
Определенный интеграл
ç
è
значим через ( Lλ ) длину этой ломаной, то есть сумму длин составляющих ее отрезков, звеньев этой ломаной. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Непрерывная кривая на плоскости называется спрямляемой, если существует предел lim ( Lλ ) . В этом случае указанный пре|λ|→0
дел называется длиной кривой L . Длину спрямляемой кривой L будем обозначать ( L) . Прежде, чем доказывать теорему о вычислении длины спрямляемой кривой, докажем следующее вспомогательное утверждение. ЛЕММА. Для любых вещественных a , b , c имеет место оценка a 2 + c2 − b2 + c2 ≤| a − b | .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если a= b= 0 , то доказываемое соотношение, очевидно, имеет место. Допустим, что числа a и b не обращаются в ноль одновременно. Умножая и деля разность
a 2 + c 2 − b 2 + c 2 на сопряженное
выражение, находим: a +c − b +c ≤ 2
2
2
= |a −b|
| a 2 − b2 |
2
a 2 + c2 + b2 + c2 |a +b|
a +c + b +c 2
2
2
2
=
.
Оценим дробь в правой части. Учтем следующие соотношения:
| a + b |≤| a | + | b | ,
(∗)
Глава 1
63
Определенный интеграл
ç
è
a 2 + c 2 + b 2 + c 2 ≥ a 2 + b 2 =| a | + | b | .
Следовательно, |a +b| a +c + b +c 2
2
2
2
≤ 1,
и из (∗) получаем искомое неравенство. Лемма доказана. ТЕОРЕМА 17. Предположим, что кривая на плоскости задается условием L {(ϕ (t ),ψ (t )) : t ∈ [a, b]}, где функции ϕ и ψ определены и непре= рывно дифференцируемы на отрезке [a, b] . Тогда кривая L является спрямляемой, и ее длина может быть найдена по формуле b
= ( L)
∫
(ϕ ′(t )) 2 + (ψ ′(t )) 2 dt.
a
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Следуя определению спрямляемой кривой, выберем произвольное разбиение λ = {ti }ik=0 отрезка [a, b] , введем последовательность точек M i = (ϕ (ti ),ψ (ti )) , i = 0 , 1, …, k и соединим отрезком каждую точку M i с точкой M i +1 при i = 0 , 1, …, k − 1. Длину отрезка M i M i +1 находим по формуле | M i M i +1=|
(ϕ (ti +1 ) − ϕ (ti )) 2 + (ψ (ti +1 ) − ψ (ti )) 2 .
Тогда длина ломаной Lλ , которая получается путем последовательного соединения этих отрезков, равна
Глава 1
64
Определенный интеграл
ç
è
( L= λ)
k −1
k −1
∑| M i M= i +1 | ∑
=i 0 =i 0
(ϕ (ti +1 ) − ϕ (ti )) 2 + (ψ (ti +1 ) − ψ (ti )) 2
Применяя к каждой из разностей ϕ (ti +1 ) − ϕ (ti ) , i = 0 , 1, …, k − 1 формулу конечных приращений, получаем: ϕ (ti +1 ) − ϕ (ti ) = ϕ ′(ξi )∆ti , где ξi — некоторая точка, принадлежащая отрезку [ti , ti +1 ] , ∆ti = ti +1 − ti . Набор точек
ξ = {ξi }ik=−01 подчинен разбиению λ . Аналогично, рассматривая разность ψ (ti +1 ) − ψ (ti ) находим точки ηi ∈ [ xi , xi +1 ] , для которых выполняется равенство ψ (ti +1 ) − ψ (ti ) = ψ ′(ηi )∆ti . Набор точек η = {ηi }ik=−01 также подчинен разбиению λ . Учитывая полученные соотношения, преобразуем формулу для нахождения ( Lλ ) : ( L= λ)
k −1
∑ i =0
(ϕ ′(ξi )) 2 + (ψ ′(ηi )) 2 ∆ti .
Преобразуем последнюю сумму следующим образом: = ( Lλ )
k −1
∑
′(ηi )) 2 ∆ti (ϕ ′(ξi )) 2 + (ψ=
k −1
∑
=i 0 =i 0 k −1
+∑ i =0
(
(ϕ ′(ξi )) 2 + (ψ ′(ξi )) 2 ∆ti +
)
(ϕ ′(ξi )) 2 + (ψ ′(ηi )) 2 − (ϕ ′(ξi )) 2 + (ψ ′(ξi )) 2 ∆ti .
Первое слагаемое в правой части является интегральной суммой S ( (ϕ ′) 2 + (ψ ′) 2 , λ , ξ ) .
Обозначая второе слагаемое через R(λ , ξ ,η ) , полученное соотношение переписываем так:
Глава 1
65
Определенный интеграл
ç
è
( Lλ ) =S ( (ϕ ′) 2 + (ψ ′) 2 , λ , ξ ) + R(λ , ξ ,η ).
(∗)
Найдем предел выражения в правой части при | λ |→ 0 . Функция (ϕ ′(t )) 2 + (ψ ′(t )) 2
непрерывна на отрезке [a, b] и, следовательно, интегрируема на этом отрезке. Поэтому выполняется равенство b
lim S ( (ϕ ′) + (ψ ′) , λ , ξ ) = ∫ (ϕ ′(t )) 2 + (ψ ′(t )) 2 dt. 2
|λ|→0
2
a
Для анализа R(λ , ξ ,η ) , пользуясь леммой, получаем оценку: = | R(λ , ξ ,η ) |
k −1
∑ i =0
k −1
(ϕ ′(ξi )) 2 + (ψ ′(ηi )) 2 − (ϕ ′(ξi )) 2 + (ψ ′(ξi )) 2 ∆ti ≤ k −1
≤ ∑ |ψ ′(ηi ) − ψ ′(ξi ) | ∆ti ≤ ∑ ω (ψ ′,[ti , ti +1 ])∆ti ,
=i 0 =i 0
где, как и выше, через ω (ψ ′,[ xi , xi +1 ]) обозначено колебание функции ψ ′ на отрезке [ xi , xi +1 ] . Учтем, что функция ψ ′ является непрерывной на отрезке [a, b] . Выберем произвольное ε > 0 . В силу теоремы Кантора, найдется такое δ > 0 , что для любых t1 , t2 ∈ [a, b] , удовлетворяющих условию | t1 − t2 |< δ выполняется неравенство |ψ ′(t1 ) − ψ ′(t2 ) |< ε . Возьмем произвольное разбиение λ отрезка [a, b] , удовлетворяющее условию | λ |< δ . Для любого i = 0 , 1, …, k − 1 имеем:
Глава 1
66
Определенный интеграл
ç
è
, ti +1 ]) sup{|ψ ′(τ1 ) − ψ ′(τ 2 ) |: ti ≤ τ1,τ 2 ≤ ti +1} ≤ ε . ω (ψ ′,[ti =
Действительно, имеет место неравенство | ti +1 − ti |≤| λ |< δ , следовательно, любые точки τ1 , τ 2 ∈ [ti , ti +1 ] удовлетворяют неравенству | τ1 − τ 2 |< δ . Тогда |ψ ′(τ1 ) − ψ ′(τ 2 ) |< ε ,
и указанная точная верхняя грань не превосходит ε (используя непрерывность функции ψ ′ , легко доказать, что эта оценка является строгой). Тогда для произвольного разбиения λ , удовлетворяющего условию | λ |< δ , получаем оценку k −1
k −1
| R(λ , ξ ,η ) |≤ ∑ ω (ψ ′,[ti , ti +1 ])∆ti ≤ ε ∑ ∆ti= ε (b − a ).
=i 0 =i 0
Отсюда следует, что lim S (λ , ξ ,η ) = 0 , и окончательно находим: |λ|→0
b
= lim ( Lλ )
|λ|→0
∫
(ϕ ′(t )) 2 + (ψ ′(t )) 2 dt.
a
Полученное соотношение доказывает, что кривая L является спрямляемой, и дает формулу для нахождения ее длины. Теорема доказана. Рассмотрим частные случаи вычисления длины дуги. Предположим, что кривая L задана уравнением, разрешенным относительно y : y = f ( x) , a ≤ x ≤ b , где функция f непрерывно дифференци-
Глава 1
67
Определенный интеграл
ç
è
руема на отрезке [a, b] . Тогда эта же кривая может быть задана параметрическими уравнениями = x t, = y f (t ), a ≤ t ≤ b .
Применяя теорему, получаем, что данная кривая является спрямляемой, и ее длина может быть найдена по формуле b
b
2 ( L) = ∫ 1 + ( f ′(t )) dt = ∫ 1 + ( f ′( x)) dx. 2
a
a
Предположим, что кривая L задается уравнением в полярной системе координат: r = f (ϕ ) , α ≤ ϕ ≤ β . Учитывая соотношения x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , связывающие декартовы и полярные координаты, находим па-
раметрические уравнения рассматриваемой кривой: = x f (ϕ= )co ϕs, y f (ϕ )sin ϕ , α ≤ ϕ ≤ β .
Функции f (ϕ )cos ϕ , f (ϕ )sin ϕ непрерывно дифференцируемы на отрезке [α , β ] . После элементарных выкладок находим: (( f (ϕ )cos ϕ )′) 2 + (( f (ϕ )sin ϕ )′) 2 = = ( f ′(ϕ )co ϕs − f (ϕ )sin ϕ ) 2 + ( f ′(ϕ )sin ϕ + f (ϕ )co ϕs) 2 = = ( f (ϕ )) 2 + ( f ′(ϕ )) 2 ,
и тогда β
= ( L)
∫
α
( f (ϕ )) 2 + ( f ′(ϕ )) 2 dϕ .
ç
è
Глава 2. Числовые ряды 1. Основные определения Пусть {an }+∞ n=1 — некоторая числовая последовательность. Рядом (или, точнее, числовым рядом), составленным из элементов этой последовательности, называется выражение a1 + a2 + + an + , или
+∞
∑ an .
От
n =1
обычной суммы, составленной из конечного числа слагаемых, это выражение отличается наличием бесконечного числа слагаемых. Наша задача состоит в том, чтобы придать этой сумме смысл, сопоставив ей при некоторых дополнительных предположениях числовое значение. Введем в рассмотрение следующие конечные суммы: S1 = a1, S2 = a1 + a2 , S3 = a1 + a2 + a3 , , S n = a1 + a2 + + an ,, n
или Sn = ∑ ak , n ∈ . Суммы Sn называются частичными суммами расk =1
сматриваемого ряда. Числа an , n ∈ , называются членами рассматриваемого ряда.
Глава 2
69
Числовые ряды
ç
è
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовой ряд
+∞
∑ an
называется сходящимся, если по-
n =1
следовательность его частичных сумм {Sn }+∞ n=1 сходится. В этом случае суммой указанного ряды называют число S = lim Sn и пишут n→+∞
+∞
∑ an = S . n=1
Если последовательность частичных сумм {Sn }+∞ n=1 расходится, то ряд +∞
∑ an
называется расходящимся.
n =1
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Обратим внимание читателя, что выражение
+∞
∑ an n =1
может обозначать как сам ряд, так и его сумму. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Как и в случае числовых последовательностей, иногда удобно предполагать, что члены ряда проиндексированы неотрицательными целыми числами или целыми числами n , удовлетворяющими условию n ≥ m при некотором целом (и не обязательно неотрицательном) значе-
нии m . ПРИМЕР. Пусть q — произвольное вещественное число. Рассмотрим числовой ряд
+∞
∑ q n . Рассмотрим сначала случай
q ≠ 1. Частичные суммы
n =0
ряда имеют следующий вид:
1 − q n+1 1 1 Sn = ∑ q = = − ⋅ q n+1. 1− q 1− q 1− q k =0 n
k
(∗)
Глава 2
70
Числовые ряды
ç
è
Здесь применена формулу для суммирования геометрической прогрессии. Из полученной формулы следует, что последовательность {Sn }+∞ n=1 сходится в том и только том случае, когда сходится последовательность {q n }+∞ n=0 . Мы знаем, что эта последовательность сходится тогда и только тогда, когда | q |< 1 , и в этом случае lim q n = 0 . Для этих значений q из формулы (∗) n→+∞
находим: lim Sn = n→+∞
1 . 1− q
Остается рассмотреть случай q = 1 . При этом условии Sn= n + 1 , и последовательность {Sn }+∞ n=1 расходится. Окончательный вывод: рассматриваемый ряд сходится тогда и только тогда, когда | q |< 1 и при этом условии +∞
1
∑ qn = 1 − q .
n =0
ПРИМЕР. Рассмотрим ряд 1 − 1 + 1 − 1 + , или
+∞
∑ (−1)n . Тогда
n =0
S0 = 1, S1 = 1 − 1 = 0, S2 = 1 − 1 + 1 = 1, S3 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0, Последовательность частичных сумм имеет следующий вид: 1, 0, 1, 0, … . Эта последовательность является расходящейся и, следовательно, рассматриваемый ряд расходится. ПРИМЕР. Рассмотрим ряд
+∞
1
∑ ln 1 + n . Тогда n=1
n +1 an= ln = ln( n + 1) − ln n, n
Глава 2
71
Числовые ряды
ç
è
Sn = a1 + a2 + + an = = (ln 2 − ln1) + (ln 3 − ln 2) + + ln( n + 1) − ln n= ln( n + 1).
Учитывая, что ln( n + 1) → +∞ при n → +∞ , отсюда получаем, что рассматриваемый ряд расходится. ЗАМЕЧАНИЕ. По определению сходимость ряда равносильна сходимости последовательности его частичных сумм. Более того, для любой последовательности {Sn }+∞ n=1 существует ряд, для которого она является последовательностью его частичных сумм. Действительно, из соотношений
S1 = a1, S2 = a1 + a2 , S3 = a1 + a2 + a3 , S n = a1 + a2 + + an ,, получаем:
a1 = S1, a2 = S2 − S1, a3 = S3 − S2 , an = Sn − Sn−1, . Очевидно, что исходная последовательность {Sn }+∞ n=1 как раз и будет последовательностью частичных сумм для ряда
+∞
∑ an
с членами указанного ви-
n =1
да. Более того, сходимость ряда по определению совпадает со сходимостью его частичных сумм. Поэтому исследование рядов — это, по существу, другая форма исследования последовательностей. Однако эта форма оказывается во многих случаях более удобной. Перейдем теперь к рассмотрению некоторых свойств рядов. 1°. Если ряд
+∞
∑ an n =1
сходится, то lim an = 0 . n→+∞
Глава 2
72
Числовые ряды
ç
è
Предположим, что lim Sn = A . Учитывая, что lim Sn+1 = A , получаn→+∞
n→+∞
an ем: lim= n→+∞
lim ( Sn+1 −= Sn ) 0, что и требовалось доказать.
n→+∞
Приведенное утверждение означает, что условие lim an = 0 является n→+∞
необходимым для сходимости ряда
+∞
∑ an . Достаточным это условие не явn =1
ляется, что видно из приведенного выше примера расходящегося ряда +∞
1
1
ln 1 + = 0. ∑ ln 1 + n , для которого выполняется условие nlim →+∞ n n=1
Если в ряде
+∞
∑ an
отбросить первые m членов, то получаемый ряд
n =1
+∞
∑
n= m+1
an называется остатком исходного ряда. Введем следующие обозна-
чения: n
n
n= 1
n= m+1
Sn = ∑ ak , n =1,2,, Sn(m) =∑ ak , n =m + 1, m + 2, . Тогда для n ≥ m + 1 выполняется равенство Sn = a1 + a2 + + am + am+1 + am+ 2 + + an = Sm + Sn( m ) . Sm
Sn( m )
Приводимые ниже два свойства рядов используют полученное соотношение
Sn = Sm + Sn( m ) , n ≥ m + 1.
(∗)
Глава 2
73
Числовые ряды
ç
è
2°. Если ряд
+∞
∑ an n =1
таток
+∞
∑
n= m+1
сходится, то для любого m ∈ сходится его ос-
an , причем lim
k →+∞
+∞
∑
n= m+1
ak = 0 . Если остаток ряда
+∞
∑
n= m+1
an схо-
дится для некоторого m ∈ , то сходится и исходный ряд. Из соотношения (∗) следует, что для фиксированного m ∈ из существования одного из двух пределов lim Sn , lim Sn( m ) вытекает сущестn→+∞
n→+∞
вование другого. Отсюда вытекают оба сформулированных утверждения. 3°. Если ряд
+∞
+∞
∑ an сходится, то lim
m→+∞
n =1
При любом m ∈ ряд
+∞
∑
n= m+1
∑
n= m+1
an = 0 .
an является сходящимся, в силу преды+∞
дущего свойства. Обозначим: S = ∑ an . Переходя в соотношении (∗) к n =1
S Sm + пределу при n → +∞ , получаем: = +∞
∑
n= m+1
+∞
∑
n= m+1
an , то есть
an = S − Sm , m ∈ .
0. Остается заметить, что lim Sm = S и, следовательно, lim ( S − Sm ) = m→+∞
4°. Если ряд
+∞
∑ an n =1
сходится, и
+∞
+∞
сходится, то для любого c ∈ ряд
∑ can = c∑ an .
n 1= n 1 =
m→+∞
+∞
∑ can n =1
также
Глава 2
74
Числовые ряды
ç
è
Коши
Действительно, обозначим через Sn и Sn , n ∈ , частичные суммы этих рядов. Тогда, очевидно, Sn = cSn , и lim Sn = c ⋅ lim Sn . n→+∞
+∞
+∞
5°. Если ряды ∑ an и
∑ bn
n =1
и имеет место равенство
n→+∞
сходятся, то сходятся ряды
n =1
+∞
∑ (an ± bn ) n=1
+∞
+∞
+∞
∑ (an ± bn )= ∑ an ± ∑ bn .
= n 1
= n 1= n 1
Для доказательства достаточно рассмотреть частичные суммы рядов: имеет место равенство n
n
n
∑ (ak ± bk )= ∑ ak ± ∑ bk ,
= k 1
= k 1= k 1
n= 1,2, .
При n → +∞ существуют пределы обеих сумм в правой части. Отсюда +∞
∑ (an ± bn )
следует сходимость рядов
и соответствующие соотношения
n=1
для их сумм.
2. Критерий Коши сходимости ряда Следующее утверждение дает необходимое и достаточное условие сходимости числового ряда. ТЕОРЕМА 1 (КРИТЕРИЙ КОШИ). Следующие условия эквивалентны: 1) числовой ряд
+∞
∑ an n =1
сходится;
Глава 2
75
Числовые ряды
ç
è
2) по любому ε > 0 найдется такое N , что для любых n ≥ N , p = 1 , 2 , … выполняется неравенство
n+ p
∑
k = n +1
ak < ε .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Эта теорема является непосредственным следствием критерия Коши сходимости числовой последовательности. Действиn
. Сходимость тельно, введем следующее обозначение: Sn = ∑ ak , n ∈ k =1
рассматриваемого ряда по определению равносильна сходимости последовательности {Sn }+∞ n=1 . В силу критерия Коши сходимости последовательности, последовательность {Sn }+∞ n=1 сходится в том и только том случае, когда по любому ε > 0 найдется такое N , что для любых n ≥ N , p = 1 , 2 , … выполняется неравенство | Sn+ p − Sn+1 |< ε . Остается заметить, что имеет место равенство
Sn+ p −= Sn+1
n+ p
∑
k = n +1
ak , n ∈ = , p 1,2. .
Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. В силу приведенного критерия, расходимость ряда +∞
∑ an n =1
равносильна следующему условию: существует такое ε 0 > 0 , что
для любого N ∈ найдутся такие n ≥ N и p ∈ , что n+ p
∑
k = n +1
ak ≥ ε 0 .
В качестве иллюстрации можно рассмотреть гармонический ряд
Глава 2
76
Числовые ряды
ç
è
+∞
1
∑ n. n=1
1 Полагаем ε 0 = . Беря любое n ≥ N и полагая p = n , получаем 2 n+ p
1 ∑ k= k= n +1
2n
1 1 1 1 1 1 = + ++ ≥ n⋅ = . 2n 2n 2 n +1 n + 2 k= n +1 k
∑
Следовательно, гармонический ряд является расходящимся.
3. Ряды с неотрицательными членами В этом разделе мы рассмотрим случай рядов, все члены которых удовлетворяют одному и только одному из следующих двух условий: an ≥ 0 ,
an ≤ 0 . Такие ряды принято называть знакопостоянными. Путем умножения всех членов ряда на −1 , ряды, члены которых удовлетворяют второму условию, преобразуются в ряды, удовлетворяющие первому условию и наоборот. В курсе математического анализа принято ограничиваться рассмотрением рядов, члены которых удовлетворяют условию an ≥ 0 . ТЕОРЕМА 2. Ряд
+∞
∑ an
с неотрицательными членами сходится в том
n =1
и только том случае, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим последовательность частичных сумм n
рассматриваемого ряда: Sn = ∑ ak . Из соотношения Sn+= 1 S n + an +1 , n ∈ k =1
Глава 2
77
Числовые ряды
ç
è
и неотрицательности членов ряда следует, что рассматриваемая последовательность частичных сумм является возрастающей. Остается напомнить, что, возрастающая последовательность является сходящейся в том и только том случае, когда она ограничена сверху. Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Читателю предлагается убедиться в справедливости следующего варианта критерия сходимости ряда с неотрицательными членами: ряд
∞
∑ an
с неотрицательными членами сходится в том и только том
n =1
случае, когда некоторая подпоследовательность последовательности его частичных сумм ограничена сверху. ТЕОРЕМА 3 (ПРИЗНАК двух рядов
+∞
+∞
n =1
n =1
∑ an и ∑ bn
СРАВНЕНИЯ РЯДОВ).
Предположим, что члены
с неотрицательными членами удовлетворяют ус-
ловию an ≤ bn n = 1,2, . Тогда 1) из сходимости ряда
+∞
∑ bn
следует сходимость ряда
n =1
2) из расходимости ряда
+∞
∑ an ; n =1
+∞
∑ an следует расходимость ряда n =1
+∞
∑ bn . n =1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Введем следующие обозначения для частичных сумм рядов:
= An
n
n
ak , Bn ∑ bk , ∑=
= k 1= k 1
n ∈ .
Глава 2
78
Числовые ряды
ç
è
Из условия, наложенного на члены ряда, следует, что для всех n ∈ выполняется неравенство An ≤ Bn . Остается заметить, что если ряд
+∞
∑ bn n =1
сходится, то, в силу предыдущей теоремы, последовательность его частичных сумм {Bn }+∞ n=1 ограничена сверху, то есть существует такая константа C , что для всех n ∈ выполняется неравенство Bn ≤ C . Тогда для всех n ∈ выполняется и неравенство An ≤ C и, в силу той же теоремы, ряд +∞
∑ an
сходится. Мы доказали свойство 1). Свойство 2) является логически
n =1
равносильным свойству 1). Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если члены двух рядов
+∞
∑ an n=1
и
+∞
∑ bn
с неотрицатель-
n =1
ными членами удовлетворяют условию an ≤ bn , говорят, что второй ряд (то есть
+∞
∑ bn )
мажорирует первый (или члены первого ряда мажорируюся
n =1
членами второго ряда). ЗАМЕЧАНИЕ 2. Равносильность свойств 1) и 2) имеет место и в том случае, когда неравенство an ≤ bn выполняется не для всех значений n , а для всех достаточно больших значений n . Для доказательства такого варианта достаточно рассмотреть остатки рядов, начиная с подходящего номера. ТЕОРЕМА 4 (ПРИЗНАК положим, что для рядов
СРАВНЕНИЯ РЯДОВ В ПРЕДЕЛЬНОЙ ФОРМЕ).
+∞
∑ an и n =1
+∞
∑ bn n =1
Пред-
с положительными членами суще-
Глава 2
79
Числовые ряды
ç
è
an . Тогда эти ряды n→+∞ bn
ствует конечный положительный предел c = lim сходятся или расходятся одновременно.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем такое N , что для всех n ≥ N , выполняется неравенство
an ≤ c + 1. Тогда для тех же значений n выполняется нераbn
венство an ≤ (c + 1)bn . Если ряд
+∞
∑ bn сходится, то сходится ряд n =1
+∞
∑ (c + 1)bn , n=1
и из предыдущей теоремы (точнее, в из ее варианта, указанного в замеча+∞
∑ an . Подчеркнем, что здесь ис-
нии к теореме) следует сходимость ряда
n =1
an . n→+∞ bn
пользовалась только конечность предела lim
Предположим, что сходится ряд
+∞
∑ an
и 0 < c < +∞ . Тогда из сущест-
n =1
an 1 = , в силу доказанного, получаем, что схоn→∞ bn c
вования соотношения lim дится ряд
∞
∑ bn . n =1
Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Внимательное рассмотрение доказательства теоремы позволяет дать следующее ее уточнение. Предположим, что для рядов +∞
∑ an n =1
и
+∞
∑ bn
с положительными членами существует конечный или бес-
n =1
an . Тогда n→+∞ bn
конечный предел c = lim
Глава 2
80
Числовые ряды
ç
è
1) если c = 0 , то из сходимости ряда
+∞
∑ bn
следует сходимость ряда
n =1
+∞
+∞
n =1
n =1
∑ an , а из расходимости ряда ∑ an 2) если 0 < c < +∞ , то ряды
следует расходимость ряда
+∞
∑ bn ; n =1
+∞
∑ an и n =1
+∞
∑ bn
сходятся или расходятся
n =1
одновременно; +∞
∑ an
3) если c = +∞ , то из сходимости ряда
следует сходимость
n =1
ряда
+∞
∑ bn , а из расходимости ряда n =1
да
+∞
∑ bn
следует расходимость ря-
n =1
+∞
∑ an . n =1
ПРИМЕР. Снова рассмотрим гармонический ряд
+∞
1
∑ n . Учтем, что при n=1
1 1 n → +∞ имеет место эквивалентность ln 1 + ~ , или n n 1 ln 1 + n = 1. lim 1 n→+∞ n
Выше была доказана расходимость ряда
+∞
1
∑ ln 1 + n . Отсюда и из предыn=1
дущей теоремы следует расходимость гармонического ряда.
Глава 2
81
Числовые ряды
ç
è
ПРИМЕР. Исследовать на сходимость ряд
+∞
∑ ( e1 n − 1) . n =1
В силу условия
1 > 0 , получаем, что e1 n − 1 > 0 , n ∈ , рассматриn
ваемый ряд состоит из положительных членов. Остается заметить, что, в 1 при n → +∞ (или, для более точного соn
силу эквивалентности e1 n − 1 ~
поставления с формулировкой теоремы), соотношения e1 n − 1 lim =1 1 n→∞ n
следует, что рассматриваемый ряд и гармонический ряд
+∞
1
∑n
сходятся или
n=1
расходятся одновременно. Следовательно, рассматриваемый ряд, расходится. ПРИМЕР. Рассмотрим ряд
+∞
1
∑ nα
в предположении, что 0 < α < 1 . Из
n =1
оценки ряд
+∞
1 1 ≥ , n ∈ и расходимости гармонического ряда следует, что nα n
1
∑ nα n=1
при указанных значениях параметра α также расходится.
Глава 2
82
Числовые ряды
ç
è
Д'Аламбер
4. Признак д’Аламбера ТЕОРЕМА 5 (ПРИЗНАК Д’АЛАМБЕРА). Пусть
+∞
∑ an
— ряд с положи-
n =1
тельными членами. 1) Если существуют число q , 0 < q < 1 и такой номер N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство
an+1 ≤ q , то рассматриваемый ряд an
сходится. 2) Если существует такой номер N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство
an+1 ≥ 1 , то рассматриваемый ряд расходится. an
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Заменяя рассматриваемый ряд его остатком, можно предполагать, что неравенство чений n . Тогда
an+1 ≤ q выполняется для всех знаan
a a2 ≤ q , a2 ≤ a1 ⋅ q , и далее: 3 ≤ q , a3 ≤ a2 ⋅ q ≤ a1 ⋅ q 2 , … . a2 a1
Методом полной математической индукции легко доказать, что для любого n ∈ выполняется неравенство an ≤ a1 ⋅ q n−1 . Отсюда и из сходимости ряда
+∞
∑ a1 ⋅ q n−1 следует сходимость ряда n =1
+∞
∑ an . n =1
2) Если, для всех n ≥ N выполняется неравенство этих значений n an ≤ an+1 , и получаем: 0 < aN ≤ aN +1 ≤ aN + 2 ≤ .
an+1 ≥ 1 , то для an
Глава 2
83
Числовые ряды
ç
è
Отсюда следует, что необходимое условие сходимости ряда lim an n→∞
выполняться не может и, следовательно, ряд расходится. Обычно признак д’Аламбера применяется в следующей форме. ТЕОРЕМА 6 (ПРИЗНАК Д’АЛАМБЕРА В ПРЕДЕЛЬНОЙ ФОРМЕ). Пусть
+∞
∑ an n =1
— ряд с положительными членами. Если существует конечный предел an+1 , n→+∞ an
q = lim
то рассматриваемый ряд сходится, если q < 1 и расходится, если q > 1 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что q < 1 . Выберем произвольное число Q , удовлетворяющее неравенству q < Q < 1 и найдем такое N , что an+1 < Q для всех n ≥ N . Тогда по предыдущей теореме рассматриваемый an
ряд сходится. Если q > 1 , то существует такое N , что
an+1 > 1 для всех n ≥ N , и, an
снова применяя предыдущую теорему, получаем, что ряд расходится. Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Утверждение последней теоремы может быть не-
an+1 = +∞ , то ряд также является расходяn→+∞ an
сколько уточнено: если lim
Глава 2
84
Числовые ряды
ç
è
щимся. Действительно, в этом случае неравенство
an+1 > 1 также выполняan
ется для всех достаточно больших значений n . ЗАМЕЧАНИЕ 2. Отметим также, что как для сходящегося, так и расхоan+1 может вообще не существовать. Наn→+∞ an
дящегося ряда предел q = lim пример, ряд
2n (2 + (−1) n−1 ) ∑ 3n n=1 +∞
+∞
2n мажорируется сходящимся рядом ∑ 3 ⋅ n и, следовательно, сходится. Од3 n=1 нако
an+1 a 3 = 2 , если n четное, n+1 = , если n нечетное, и, следовательно, an an 4
an+1 не существует. n→+∞ an lim
Приведем некоторые примеры. +∞
an ПРИМЕР. Рассмотрим ряд ∑ в предположении, что a > 0 . Восn =1 n! пользуемся признаком д’Аламбера (в предельной форме): a n+1 (n + 1)! lim= n→+∞ an n!
и ряд является сходящимся.
a = 0, lim n→+∞ n + 1
Глава 2
85
Числовые ряды
ç
è
ПРИМЕР. Рассмотрим ряд
+∞
n!
∑ nn . Тогда n =1
(n + 1)! −n 1 (n + 1) n+1 1 lim lim 1 + =< 1, = n! n→+∞ n→+∞ n e n n
и ряд сходится. ЗАМЕЧАНИЕ. Случай q = 1 не рассматриваемся в признаке д’Аламбера. В этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться. Действительно, для (расходящегося) гармонического ряда имеем: 1 n +1 lim = n→+∞ 1 n
n lim = 1. n→+∞ n + 1
С другой стороны, как будет доказано ниже, ряд
+∞
1
∑ n2
сходится. Для этого
n=1
ряда соответствующий предел существует и также равен единице.
5. Признак Коши ТЕОРЕМА 7 (ПРИЗНАК КОШИ). Пусть
+∞
∑ an n =1
ми членами.
— ряд с неотрицательны-
Глава 2
86
Числовые ряды
ç
è
1) Если существуют число q , 0 < q < 1 и такой номер N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство
n
an ≤ q , то рассматриваемый ряд
сходится. 2) Если существует такой номер N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство
n
an ≥ 1, то рассматриваемый ряд расходится.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Заменяя рассматриваемый ряд его остатком, можно предполагать, что неравенство
n
an ≤ q выполняется для всех зна-
чений n . Тогда для всех n ∈ выполняется оценка an ≤ q n , рассматриваемый ряд
+∞
∑ an
мажорируется сходящимся рядом и, следовательно, сходит-
n =1
ся. 2) Если, для всех n ≥ N выполняется неравенство
n
an ≥ 1, то для
этих значений n an ≥ 1 , необходимое условие сходимости ряда lim an = 0 n→+∞
выполняться не может и, следовательно, ряд расходится. Теорема доказана. Признак Коши обычно применяется в следующей форме. ТЕОРЕМА 8 (ПРИЗНАК КОШИ В ПРЕДЕЛЬНОЙ ФОРМЕ). Пусть
+∞
∑ an
— ряд
n =1
с неотрицательными членами. Если существует конечный предел q = lim
n→+∞
n
an , то рассматриваемый ряд расходится, если q < 1 и сходит-
ся, если q > 1 .
Глава 2
87
Числовые ряды
ç
è
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что q < 1 . Выберем произвольное число Q , удовлетворяющее неравенству q < Q < 1 и найдем такое N , что n
an < Q для всех n ≥ N . Тогда по предыдущей теореме рассматриваемый
ряд сходится. Если q > 1 , то существует такое N , что
n
an > 1 для всех n ≥ N , и,
снова применяя предыдущую теорему, получаем, что ряд расходится. Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Как и в случае признака д’Аламбера в предельной форме, утверждение последней теоремы может быть несколько уточнено: если lim
n→+∞
n
an = +∞ , то ряд также является расходящимся. Действительно,
в этом случае неравенство
n
an > 1 также выполняется для всех достаточно
больших значений n . ЗАМЕЧАНИЕ 2. В случае, когда lim
n
n→+∞
an = 1 ряд может как сходиться,
так и расходиться. ЗАМЕЧАНИЕ 3. Признак Коши сильнее признака д’Аламбера в слеan+1 , n→+∞ an
дующем смысле: можно доказать, что если существует предел lim то существует и предел lim
n→+∞
n
an , и эти пределы равны. Поэтому, если
an+1 = 1 , то уже нет смысла пытаться применить признак Коши. С друn→∞ an lim
an+1 не существует, в то вреn→+∞ an
гой стороны, возможна ситуация, когда lim
Глава 2
88
Числовые ряды
ç
è
мя как lim
n→+∞
n
an существует. Например, для рассмотренного выше ряда
2n (2 + (−1) n−1 ) существует предел ∑ n 3 n=1 +∞
lim
n→+∞
n
2n (2 + (−1) n−1 ) 2 = , 3 3n
и ряд сходится по признаку Коши. Отметим также, что применение признака д’Аламбера является зачастую технически более удобным. n2
+∞
n +1 ПРИМЕР. Рассмотрим ряд ∑ . n + 2 n =1
Применяем признак Коши:
n2
n +1 lim n = n→+∞ n + 2
1 1 + n
n
n +1 lim = n→+∞ n + 2
lim
n→+∞
n
=
n 2 2 2
1 + n
1 < 1. e
Следовательно, ряд сходится.
6. Интегральный признак Предположим, что функция f определена и непрерывна на промежутке [1, +∞) , принимает на этом промежутке положительные значения и является убывающей. Пусть F — произвольная первообразная функ-
Глава 2
89
Числовые ряды
ç
è
ции f . Отметим, что функция F строго возрастает на рассматриваемом промежутке (поскольку ее производная положительна). ТЕОРЕМА 9. Ряд
+∞
∑ f (n) сходится в том и только том случае, когда n=1
существует конечный предел lim F ( x) . x→+∞
Прежде, чем доказывать теорему, сделаем некоторые замечания. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Первообразная функции определяется ей с точностью до произвольной постоянной. Однако, если существует предел lim F ( x) x→+∞
для некоторой первообразной F ( x) , то для любой другой первообразной, необходимо имеющей вид F ( x) + C , где C — некоторая константа, соответствующий предел тоже существует. Иначе говоря, условие существования предела первообразной не зависит от выбора этой первообразной. ЗАМЕЧАНИЕ 2. В силу возрастания первообразной F условие существования конечного предела может быть заменено условием ограниченности первообразной на промежутке [1, +∞) . ЗАМЕЧАНИЕ 3. Рассмотрим для функции f первообразную специальx
ного вида, именно полагаем F ( x) = ∫ f (t ) dt (поскольку мы предположили, 1
что функция непрерывна на промежутке [1, +∞) , последний определенный x
интеграл существует. Если существует конечный предел
lim
x→+∞
∫ f (t ) dt , 1
функция f называется интегрируемой в несобственном смысле на промежутке [1, +∞) , а сам предел называется несобственным интегралом и обо-
Глава 2
90
Числовые ряды
ç
è
+∞
значается следующим образом:
∫
f (t ) dt . Говорят также, что в этом случае
1
указанный несобственный интеграл сходится. Теория таких интегралов будет рассматриваться ниже. Отметим здесь, что в этих терминах интегральный признак может быть переформулирован так. Ряд
+∞
∑ f ( n)
сходится в том и только том случае, когда сходится
n=1
+∞
несобственный интеграл
∫
f (t ) dt .
1
Перейдем теперь к доказательству теоремы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРИЗНАКА. Введем следующие обоn
значения: an = f (n) , Sn = ∑ ak , n = 1 , 2, … . k =1
Для произвольного числа k ∈ , и произвольной точки x ∈ [k , k + 1] , в силу убывания функции f , имеем: f (k + 1) ≤ f ( x) ≤ f (k ).
Беря определенный интеграл от k до k + 1 , и пользуясь простейшими свойствами интеграла, отсюда получаем: k +1
∫ k
и далее:
k +1
f (k + 1) dx ≤
∫ k
k +1
f ( x) dx ≤
∫ k
f (k ) dx,
Глава 2
91
Числовые ряды
ç
è
k +1
f (k + 1) ≤
∫
f ( x) d x≤ f (k ), k ∈ ,
k
то есть k +1
ak +1 ≤
∫
f ( x) dx ≤ ak , k ∈ ,
k
Выберем произвольное n ∈ и просуммируем полученные неравенства для значений k = 1 , 2, …, n :
a2 + a3 + + an+1 ≤ 2
3
≤ ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx + + 1
2
n +1
∫
f ( x) dx ≤
n
≤ a1 + a2 + + an ,
то есть n +1
Sn+1 − a1 ≤
∫
f ( x) dx ≤ Sn ,
1
или, применяя формулу Ньютона-Лейбница,
Sn+1 − a1 ≤ F (n + 1) − F (1) ≤ Sn , n ∈ .
(∗)
Предположим, что существует конечный предел lim F ( x) = c . Тогда, в x→+∞
силу строгого возрастания функции F ( x) , для любого x ∈ [1, +∞) имеет место оценка F ( x) < c , и из (∗) получаем:
Глава 2
92
Числовые ряды
ç
è
Sn+1 ≤ F (n + 1) − F (1) + a1 ≤ c − F (1) + a1, n ∈ .
Последовательность частичных сумм ряда с положительными членами ограничена сверху, и, следовательно, этот ряд сходится. Обратно. Предположим, что ряд
+∞
∑ an
сходится. Тогда последова-
n =1
тельность {Sn }+∞ n=1 его частичных сумм ограничена сверху. Предположим, что Sn ≤ C для некоторой константы C и всех n ∈ . Тогда из (∗) получаем:
F (n + 1) ≤ Sn + F (1) ≤ C + F (1), n ∈ . Выполняется также неравенство F (1) ≤ C + F (1) , то есть для любого натурального n выполняется оценка F (n) ≤ C + F (1) . Остается заметить, что для произвольного x ∈ [1, +∞) , в силу возрастания функции F ( x) имеет место оценка F ( x) ≤ F ( x ) ≤ C + F (1), поскольку x ∈ . Функция F ( x) строго возрастает на промежутке [1, +∞) и ограничена сверху. Следовательно, существует конечный предел lim F ( x) . x→+∞
Теорема доказана. ПРИМЕР. Рассмотрим ряд
+∞
1
∑ nα , α > 0 . Мы доказали выше, что при n=1
0 < α ≤ 1 этот ряд расходится. Покажем, как этот ряд может быть проана-
лизирован с помощью интегрального признака.
Глава 2
93
Числовые ряды
ç
è
Рассмотрим функцию f ( x) =
1 , x ≥ 1 . Предположим, что α ≠ 1. xα
x1−α функции f ( x) . Эта Введем в рассмотрение первообразную F ( x) = 1−α
первообразная имеет конечный предел (равный нулю), если α > 1 и бесконечный предел, если 0 < α < 1 . Таким образом, ряд сходится, если α > 1 и расходится, если 0 < α < 1 . При α = 1 первообразная имеет вид F ( x) = ln x , это неограниченная функция на промежутке [1, +∞) и, следовательно, ряд расходится при α = 1 . ПРИМЕР. Рассмотрим ряд
+∞
1
∑ n ln β n , β ∈ .
n=2
Введем функцию f ( x) =
1 , x ≥ 2 . Эта функция принимает поx ln β x
ложительные значения и убывает, начиная с некоторого места. Если β ≠ 1 ,
ln1−β x то первообразная рассматриваемой функции имеет вид F ( x) = . Она 1− β имеет конечный предел при x → +∞ в том и только том случае, когда
β > 1. Если β = 1, то F ( x) = ln ln x , эта функция не является ограниченной на промежутке [2, +∞) . Окончательно получаем, что рассматриваемый ряд сходится при β > 1 и расходится при β ≤ 1 . УПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что ряд
+∞
1
∑ nα ln β n , α , β ∈ сходится, если
n=2
α > 1 при любом значении β или α = 1 , β > 1 (последнее доказано в предыдущем примере) и расходится при остальных значениях параметров.
Глава 2
94
Числовые ряды
ç
è
7. Ряды с произвольными членами В этом разделе будут рассмотрены числовые ряды без предположений о знаках их членов. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовой ряд
+∞
∑ an
называется абсолютно сходящим-
n =1
ся, если сходится числовой ряд
+∞
∑| an | . n =1
Отметим некоторые свойства абсолютно сходящихся рядов. 1°. Абсолютно сходящийся ряд является сходящимся. Для произвольного n ∈ полагаем:
an+
a0, если an ,если n ≥ − 0, = a n an < 0, n 0,если , −aесли
a0, n ≥ an < 0.
Для любого n имеет место неравенство an+ ≥ 0 и выполняется одно из равенств
an+
=| an | или
an+
= 0 , и, следовательно, 0 ≤
an+
≤ | an | . Ряд
+∞
∑ an+ , соn =1
ставленный из неотрицательных членов, мажорируется сходящимся рядом +∞
∑| an | и, следовательно, сходится. Аналогичные аргументы справедливы n =1
для ряда
+∞
∑ an− . Остается заметить, что для любого n имеет место равенстn =1
во a= an+ − an− , исходный ряд сходится как разность двух сходящихся ряn дов.
Глава 2
95
Числовые ряды
ç
è
УПРАЖНЕНИЕ. Вывести сходимость абсолютно сходящегося ряда из критерия Коши, пользуясь оценкой n+ p
n+ p
∑ ak ≤ ∑ | ak |,
n, p ∈ .
= k n= k n
ЗАМЕЧАНИЕ. Ниже будут приведены примеры рядов, которые сходятся, но не сходятся абсолютно. Таким является например, ряд 1 1 1 + − + . 2 3 4
1−
Доказательства следующих двух свойств предоставляются читателю. 2°. Если числовой ряд
+∞
∑ an
абсолютно сходится, а последователь-
n =1
ность
{bn }+∞ n=1
ограничена, то ряд
+∞
∑ anbn
сходится абсолютно.
n =1
3°. Если числовые ряды
+∞
∑ an и n =1
любых α , β ∈ числовой ряд
+∞
∑ bn
сходятся абсолютно, то для
n =1
+∞
∑ (α an + β bn ) также сходится абсолютно. n=1
8. Знакочередующиеся ряды ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд
+∞
∑ (−1)n−1 an , где an > 0 для всех n ∈ называется n =1
знакочередующимся (или знакопеременным).
Глава 2
96
Числовые ряды
ç
è
ТЕОРЕМА 10 (ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА). Если последовательность положительных чисел
{an }+∞ n=1
убывает и сходится к нулю, то ряд
+∞
∑ an
схо-
n =1
дится. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как обычно, через Sn обозначаем частичные сумn
мы рассматриваемого ряда: Sn = ∑ ak . Рассмотрим частичные суммы ряда k =1
с четными номерами:
S2 n = a1 − a2 + a3 − a4 + + a2 n−1 − a2 n , n ∈ . Группируя слагаемые в правой части следующим образом
S2 n =a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) − − (a2 n−2 − a2 n−1 ) − a2 n
(∗)
и учитывая, что по условию выполняются неравенства
a2 − a3 ≥ 0 , a4 − a5 ≥ 0 , a2 n−2 − a2 n−1 ≥ 0 , a2 n > 0 из (∗) получаем, что для любого n ∈ выполняется неравенство S2 n < a1. С другой стороны, из соотношения S2 n+ 2 =S2 n + a2 n+1 − a2 n+ 2 и неравенства a2 n+1 − a2 n+ 2 ≥ 0 находим, что для любого n ∈ выполняется неравенство S2 n ≤ S2 n+ 2 . Итак, последовательность {S2 n }+∞ n=1 возрастающая и ограниченная сверху. Следовательно, эта последовательность сходится. Обозначим:
S = lim S2 n . Из равенства n→+∞
S2 n= +1 S 2 n + a2 n+1 ,
n∈
и соотношения
lim an = 0 вытекает, что lim S2 n+1 = S . Тогда получаем, что lim Sn = S .
n→+∞
n→+∞
n→+∞
Глава 2
97
Числовые ряды
ç
è
Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ. В условиях теоремы для любого n ∈ справедливы неравенства
S2 n ≤ S ≤ S2 n+1, | S − Sn |≤ an+1, +∞
где S = ∑ an . n =1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Последовательность S2n возрастает и сходится к числу S . Отсюда вытекает, что для любого n ∈ имеет место неравенство
S2n ≤ S . Из соотношения S2 n+1 = S2 n−1 − (a2 n − a2 n+1 ) вытекает, что последовательность {S2 n+1}n+∞ 1 является убывающей. Учитывая, что lim S 2 n +1 = S , = n→+∞
отсюда выводим, что для любого n ∈ выполняется неравенство S2 n+1 ≥ S . Объединяем полученные соотношения: для любого n ∈
S2 n ≤ S ≤ S2 n+1.
(∗)
Выражаем здесь каждую из частичных сумм через предшествующую: S2 n−1 − a2 n ≤ S ≤ S2 n + a2 n+1.
Отсюда с учетом (∗) получаем: 0 ≤ S2 n−1 − S ≤ a2 n , 0 ≤ S − S2 n ≤ a2 n+1 . Это и означает, что для любого n ∈ выполняется оценка | S − Sn |≤ an+1 . Следствие доказано.
Глава 2
98
Числовые ряды
ç
è Дирихле
Абель
(−1) n−1 ПРИМЕР. Рассмотрим ряд ∑ в предположении, что α > 0 . Поα n n =1 +∞
+∞
1 следовательность α монотонно сходится к нулю. Отсюда следует, n n=1 что данный ряд является сходящимся. Напомним, что он сходится абсолютно только при α > 1 .
9. Признаки Абеля и Дирихле В этом разделе приводятся еще два признака сходимости рядов. Сначала докажем одно важное неравенство. Предположим, что n ∈ , ak , bk , k = 1 , 2, …, n — вещественные числа, причем последовательность {ak }nk =1 является монотонной. Мы выведем некоторую оценку для суммы
n
∑ ak bk .
Обозначим эту сумму че-
k =1
рез S . k
Предположим, что n > 1 . Введем следующие обозначения: Bk = ∑ bi , i =1
k = 1 , 2, …, n , то есть
B1 = b1 , B2= b1 + b2 ,
B3 = b1 + b2 + b3 ,
Глава 2
99
Числовые ряды
ç
è
................................. Bn = b1 + b2 + bn .
Отсюда получаем: b1 = B1 ,
b= B2 − B1 , 2 b= B3 − B2 , 3 .................................
b= Bn − Bn−1 . n Тогда
S=
n
∑ ak bk = k =1
a1b1 + a2b2 + + anbn =
= a1B1 + a2 ( B2 − B1 ) + a3 ( B3 − B2 ) + + an ( Bn − Bn−1 ).
Раскрывая скобки и группируя слагаемые с одинаковыми множителями Bi , отсюда получаем:
S = (a1 − a2 ) B1 + (a2 − a3 ) B2 + + (an−1 − an ) Bn−1 + an Bn . Обозначим: B = max | Bk | . Тогда получаем: 1≤k ≤n
| S |= | (a1 − a2 ) B1 + (a2 − a3 ) B2 + + (an−1 − an ) Bn−1 + an Bn |≤ ≤| (a1 − a2 ) B1 | + | (a2 − a3 ) B2 | + + | (an−1 − an ) Bn−1 | + | an Bn |=
Глава 2
100
Числовые ряды
ç
è
= | a1 − a2 | ⋅ | B1 | + | a2 − a3 | ⋅ | B2 | + + | an−1 − an | ⋅ | Bn−1 | + | an | ⋅ | Bn |≤ ≤| a1 − a2 | ⋅B + | a2 − a3 | ⋅B + + | an−1 − an | ⋅B + | an | ⋅B = ≤ (| a1 − a2 | + | a2 − a3 | + + | an−1 − an | + | an |) B.
Имеет место равенство
| a1 − a2 | + | a2 − a3 | + + | an−1 − an |= | a1 − an | . Действительно, если последовательность {ak }nk =1 является убывающей, то
a1 − a2 ≥ 0 , a2 − a3 ≥ 0 , …, an−1 − an ≥ 0 , | a1 − a2 | + | a2 − a3 | + + | an−1 − an |= = a1 − a2 + a2 − a3 + + an−1 − an = a1 − an =| a1 − an |, поскольку a1 − an ≥ 0 . Случай возрастающей последовательности анализируется аналогично. С учетом полученного равенства продолжаем оценку:
S ≤ (| a1 − an | + | an |) B ≤ (| a1 | +2 | an |) B. Окончательная оценка выглядит следующим образом: n
∑ ak bk k =1
≤ (| a1 | +2 | an |) B.
Глава 2
101
Числовые ряды
ç
è
Мы доказали ее в предположении, что n > 1 . Очевидно, что она остается верной и при n = 1 . Сформулируем окончательный результат. ТЕОРЕМА 11. Предположим, что n ∈ , {ak }nk =1 — монотонная числовая последовательность, {bk }nk =1 — произвольная числовая последовательность. Тогда имеет место оценка n
k
∑
∑
ak bk ≤ (| a1 | +2 | an |) ⋅ max bi 1≤k ≤n = k 1 =i 1
.
ЗАМЕЧАНИЕ. Приведенное в теореме неравенство называется неравенством Абеля. Неравенство Абеля позволяет доказать следующие признаки сходимости рядов. ТЕОРЕМА 12 (ПРИЗНАК ДИРИХЛЕ). Предположим, что последовательность {an }+∞ n=1 монотонная и сходится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда
+∞
∑ bn
ограничена. Тогда ряд
n =1
+∞
∑ anbn
сходится.
n =1
n
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим: c = sup ∑ bk . Выберем произвольное n∈ k =1
ε > 0 и найдем такое N , чтобы для всех n ≥ N выполнялось неравенство | an |< ε . Выберем произвольные n ≥ N и p = 1 , 2, … . Применяя неравенство Абеля к последовательностям {ak }nk += np+1 и {bk }nk += np+1 , получаем: n+ p
∑
n+ q
∑
bk ≤ 3cε . 1≤ q≤ p k= n+1 k= n+1 ak bk ≤ (| an+1 | +2 | an+ p |) ⋅ max
Глава 2
102
Числовые ряды
ç
è
В силу произвольности ε , из критерия Коши сходимости ряда выводим сходимость ряда
+∞
∑ anbn . n =1
Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Признак Лейбница является следствием признака Дирихле. Действительно, предположим, что последовательность {an }+∞ n=1 положительных чисел монотонно сходится к нулю. Рассмотрим последовательность bn = (−1)
n −1
, n ∈ . Частичные суммы ряда
+∞
∑ bn
принимают по-
n =1
следовательно значения 1 и 0 , следовательно, они образуют ограниченную +∞
bn последовательность. В силу признака Дирихле, ряд ∑ an=
+∞
∑ (−1)n an
= n 1= n 1
сходится. ТЕОРЕМА 13 (ПРИЗНАК АБЕЛЯ). Предположим, что последовательность +∞
{an }+∞ n=1
∑ anbn
монотонная и ограниченная, а ряд
+∞
∑ bn
сходится. Тогда ряд
n =1
сходится.
n =1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим: c = sup | an | . Выберем произвольное n∈
ε > 0 . В силу сходимости ряда
+∞
∑ bn , из критерия Коши получаем, что суn =1
ществует такое N , что для всех n ≥ N и p = 1 , 2, … выполняется неравенство
n+ p
∑ bk
k = n+1
< ε . Зафиксируем числа n и p , удовлетворяющие указанным
Глава 2
103
Числовые ряды
ç
è
условиям. Применяя неравенство Абеля к последовательностям {ak }nk += np+1 и
{bk }nk += np+1 , получаем: n+ p
∑
n+ q
∑
bk ≤ 3cε . 1≤ q≤ p k= n+1 k= n+1 ak bk ≤ (| an+1 | +2 | an+ p |) ⋅ max
В силу произвольности ε , из критерия Коши сходимости ряда выводим сходимость ряда
+∞
∑ anbn . n =1
Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Признак Абеля может быть переформулирован следующим образом: если члены сходящегося числового ряда умножить на соответствующие элементы ограниченной монотонной последовательности, то полученный ряд будет сходиться. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Признак Абеля, как и признак Лейбница, может быть выведен из признака Дирихле. Действительно, предположим, что последовательность
{an }+∞ n=1
монотонная и ограниченная, а ряд
+∞
∑ bn
сходится. По-
n =1
следовательность {an }+∞ n=1 является сходящейся. Обозначим: a = lim an . n→+∞
Воспользуемся равенством anbn =(an − a )bn + abn , n ∈ .
(∗)
0 , а последовательность частичных сумм ряда Учтем, что lim (an − a ) = n→+∞
+∞
∑ bn n =1
является сходящейся и, следовательно, ограниченной. Поэтому чи-
Глава 2
104
Числовые ряды
ç
è
словой ряд
+∞
∑ (an − a)bn
сходится по признаку Дирихле. И сходимости ря-
n=1
да
+∞
∑ bn
вытекает сходимость ряда
n =1
+∞
∑ abn . Теперь из равенства (∗) вывоn =1
дим сходимость ряда
+∞
∑ anbn . n =1
ПРИМЕР. Рассмотрим ряд
+∞
∑ (−1)n−1 n =1
arctg n . Применяем признак Абеn
(−1) n−1 ля. Ряд ∑ сходится по признаку Лейбница, последовательность n n =1 +∞
{arctg n}+∞ n=1 монотонно возрастает и ограничена сверху числом
π 2
. Следо-
вательно, рассматриваемый ряд сходится. +∞
arctg n ЗАМЕЧАНИЕ. Можно показать, что последовательность n n=1 является монотонной (и, разумеется, сходится к нулю). Отсюда, в силу признака Лейбница, вытекает сходимость рассмотренного выше ряда. Однако такой вариант решения является несколько более сложным, чем приведенный выше.
ç
è
Глава 3. Несобственные интегралы При рассмотрении определенных интегралов мы рассматривали функции, определенные на отрезке, и необходимым условием существования определенного интеграла была ограниченность функции. В этом разделе будет рассмотрено расширение понятия определенного интеграла на случай неограниченной области определения и неограниченной функции.
1. Определение несобственного интеграла Предположим, что функция f определена на промежутке [a, +∞) и при любом M > a интегрируема на отрезке [a, M ] . Если существует пре+∞
M
дел lim
M →+∞
∫ a
f ( x) dx , то он обозначается через
∫
f ( x) dx и называется не-
a
собственным интегралом от функции f по промежутку [a, +∞) . В этом случае говорят, что последний интеграл является сходящимся, а функция f называется интегрируемой (в несобственном смысле) по промежутку [a, +∞) . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если функция f определена на промежутке [a, +∞) и при любом M > a интегрируема на отрезке [a, M ] , будем говорить, что эта функция локально интегрируема на промежутке [a, +∞) .
Глава 3
106
Несобственные интегралы
ç
è
Отметим, в частности, что если функция f непрерывна на промежутке [a, +∞) , то она локально интегрируема на этом промежутке. Действительно, для любого M > a функция f непрерывна на отрезке [a, M ] (точнее говоря, сужение этой функции является непрерывным на этом отрезке) и, следовательно, интегрируема на этом отрезке. ЗАМЕЧАНИЕ. Имеются многочисленные аналогии между утверждениями, касающимися сходимости числовых рядов, и сходимости несобственных интегралов рассматриваемого вида. Отметим, одно утверждение из теории рядов, которое не имеет точного аналога для несобственных интегралов. Напомним, что если числовой ряд
+∞
∑ an
сходится, то выполняется
n =1
соотношение lim an = 0 . В случае несобственных интегралов из сходимоn→+∞ +∞
сти интеграла
∫
f ( x) dx не следует с необходимостью, что lim f ( x) = 0. x→+∞
a
Например, можно доказать, что сходится несобственный интеграл +∞
∫ sin x
2
dx , однако при x → +∞ подынтегральная функция не стремится к
0 +∞
нулю. Более того, в случае сходимости интеграла
∫
f ( x) dx функция f
a
может даже оказаться неограниченной на промежутке [a, +∞) (хотя при любом M > a она является ограниченной на промежутке [a, M ] , поскольку она интегрируема на этом промежутке). +∞
УПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что если несобственный интеграл
∫ a
сходится, то для любого h > 0 имеет место следующее равенство:
f ( x) dx
Глава 3
107
Несобственные интегралы
ç
è
M +h
lim
M →+∞
∫
f ( x) dx .
M
УПРАЖНЕНИЕ. Рассмотрим функцию f , задаваемую на промежутке [1, +∞) условием
n,если f ( x) = 0,если
n≤ x≤n+ , n+
1 n3
1 < x <1.n + n3 +∞
для n = 1 , 2,… . Доказать, что несобственный интеграл
∫
f ( x) dx сходится
1
и равен
+∞
1
∑ n2 . Обратите внимание, что подынтегральная функция является n=1
неограниченной на промежутке [1, +∞) . ПРИМЕР. Проанализируем сходимость несобственного интегра+∞
ла
∫ 1
dx . xα Функция
1 непрерывна на промежутке [1, +∞) и, следовательно, xα
локально интегрируема на этом отрезке. Предположим сначала, что α ≠ 1. Тогда M
dx x1−α 1 (1 − M 1−α ) . = ∫ xα 1 −= α 1 1−α 1 M
Глава 3
108
Несобственные интегралы
ç
è
При M → +∞ величина 1 − M 1−α имеет (конечный) предел в том и только том случае, когда α > 1 . При этом lim (1 − M 1−α ) = 1. Итак, при α > 1 расM →+∞
сматриваемый несобственный интеграл сходится, и имеет место равенство +∞
∫ 1
dx 1 = . xα 1 − α
При α < 1 указанный несобственный интеграл расходится. Остается проанализировать случай α = 1 . В этом случае M
dx M = x 1 ln M → +∞ ∫ x ln = 1
при M → +∞ . Следовательно, несобственный интеграл в этом случае расходится. Окончательно получаем, что несобственный интеграл сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1 . +∞
ПРИМЕР. Рассмотрим интеграл
∫ 0
Функция
dx . x +1 2
1 непрерывна на промежутке [0, +∞) и, следовательно, x +1 2
локально интегрируема на нем. Далее, M
dx M = = x arctg arctg M . ∫ x2 + 1 0 0
Глава 3
109
Несобственные интегралы
ç
è
Остается заметить, что lim arctg M =
π
M →+∞
2
и, следовательно, рассматривае+∞
мый несобственный интеграл сходится и
∫ 0
π dx = . x +1 2 2
Приведенные примеры являются частным случаем следующего общего подхода. Предположим, что функция f определена и непрерывна на промежутке [a, +∞) . Обозначим через F произвольную первообразную функции f на промежутке [a, +∞) . 1 Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем: M
∫
f (= x) d x F ( M ) − F (a ).
a
M
Отсюда следует, что предел lim
M →+∞
∫
f ( x) dx существует в том и только том
a
случае, когда существует предел lim F ( M ) , и при выполнении этих усM →+∞
ловий имеет место равенство: +∞
= ∫ f ( x) d x a
lim F ( M ) − F (a ).
M →+∞
) F (+∞) , последнюю формулу перепишем так: Обозначая lim F ( M= M →+∞
x
1
Такой первообразной является, например, функция F ( x ) = ∫ f (t ) dt , a ≤ x < +∞ . a
Глава 3
110
Несобственные интегралы
ç
è
+∞
∫
f ( x) d=x F (+∞) − F (a ),
a
+∞
или
∫
+∞
f ( x) dx = F ( x) a . Мы получили формулу Ньютона-Лейбница для
a
неограниченного промежутка.
Отметим теперь некоторые свойства несобственных интегралов. +∞
1°. Предположим, что сходится несобственный интеграл
∫
f ( x) dx.
a
+∞
Тогда для любого b > a сходится несобственный интеграл
∫
f ( x) dx и
b
имеет место равенство +∞
b
+∞
f ( x) dx ∫ f ( x) dx + ∫ ∫= a
a
f ( x) dx.
b
Действительно, для M > b , имеет место следующее соотношение: M
b
M
a
a
b
M
M
b
b
a
f ( x) dx ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx, ∫=
откуда следует, что
f ( x) dx ∫ ∫=
f ( x) dx − ∫ f ( x) dx. a
Глава 3
111
Несобственные интегралы
ç
è
M
В силу этого соотношения, из существования предела lim
M →+∞
∫
f ( x) dx вы-
a
M
текает существование предела lim
M →+∞
+∞
+∞
b
a
f ( x) dx ∫ ∫=
∫
f ( x) dx и равенство
b
b
f ( x) dx − ∫ f ( x) dx, a
равносильное доказываемому соотношению. 2°. Предположим, что функция f определена и локально интегрируема на промежутке [a, +∞) . Если для некоторого b > a сходится несобст+∞
венный интеграл
∫
f ( x) dx , то сходится и несобственный инте-
b
+∞
грал
∫
f ( x) dx .
a
Доказательство аналогично предыдущему случаю, и мы его опускаем. ЗАМЕЧАНИЕ. Обращаем внимание читателя на некоторые изменения в формулировках. В случае свойства 1° не требовалось локальной интегрируемости функций: если говорится о сходимости несобственного интегра+∞
ла
∫
f ( x) dx , то по определению функция f должна быть локально интег-
a
рируема на промежутке [a, +∞) . В случае свойства 2° из сходимости несоб+∞
ственного интеграла
∫ b
f ( x) dx следует, что функция f локально интегри-
Глава 3
112
Несобственные интегралы
ç
è
руема на промежутке [b, +∞) . Условие локальной интегрируемости этой функции на промежутке [a, +∞) гарантирует ее интегрируемость на отрезке [a, b] . +∞
+∞
∫
3°. Если сходятся несобственные интегралы
f ( x) dx и
a
∫ g ( x) dx , a
то для любых α , β ∈ сходится несобственный интеграл +∞
∫ (α f ( x) + β g ( x)) dx a
и имеет место равенство +∞
∫ (α f ( x) + β g ( x)) dx= a
α
+∞
∫
f ( x) dx + β
a
+∞
∫ g ( x) dx. a
Действительно, для любого M > a функции f и g интегрируемы на отрезке [a, M ] . Тогда на этом отрезке интегрируема функция α f + β g и имеет место следующее равенство: M
∫ (α f ( x) + β g ( x)) dx = a
M
M
a
a
α ∫ f ( x) dx + β ∫ g ( x) dx.
Переходя к пределу при M → +∞ , получаем, что интеграл +∞
∫ (α f ( x) + β g ( x)) dx a
сходится, и имеет место требуемое соотношение. Отметим также следующее простое утверждение.
Глава 3
113
Несобственные интегралы
ç
è
4°. Если для всех x ∈ [a, +∞) выполняется неравенство f ( x) ≤ g ( x) и +∞
∫
несобственные интегралы
+∞
∫ g ( x) dx сходятся, то
f ( x) dx ,
a
a
+∞
+∞
∫
f ( x) dx ≤
a
∫ g ( x) dx. a
2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций Перейдем к рассмотрению частного случая неотрицательных подынтегральных функций. Нам потребуется следующее утверждение, являющееся точным аналогом критерия сходимости возрастающих последовательностей. ЛЕММА. Для функции f , определенной и возрастающей на промежутке [a, +∞) , следующие условия равносильны: 1) существует предел lim f ( x) ; x→+∞
2) функция f является ограниченной на промежутке [a, +∞) . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1)⇒2). Допустим, что
lim f ( x) = A . Выберем
x→+∞
произвольную точку x0 ∈ [a, +∞) . В силу возрастания функции f , для любого значения x ≥ x0 выполняется неравенство f ( x0 ) ≤ f ( x) . Переходя здесь к пределу при x → +∞ , находим, что f ( x0 ) ≤ A . В силу произвольности точки x0 , функция f ограничена на рассматриваемом промежутке.
Глава 3
114
Несобственные интегралы
ç
è
2)⇒1). Обозначим = A sup{ f ( x) : a ≤ x < +∞} . Выберем произвольное
ε > 0 . По определению точной верхней грани, найдется такое значение x0 ∈ [a, +∞) , что f ( x0 ) > A − ε . Тогда для любого x ≥ x0 имеем: f ( x) ≥ f ( x0 ) > A − ε ,
то есть для этого значения x выполняется соотношение A − ε < f ( x) ≤ A. Отсюда следует, что | f ( x) − A |< ε . В силу произвольности ε , это означает, что lim f ( x) = A . x→+∞
Лемма доказана. Перейдем к анализу сходимости несобственных интегралов. Предположим, что функция f определена, локально интегрируема на промежутке [a, +∞) и всюду принимает неотрицательные значения. Тогда функция M
F (M ) =
∫ f ( x) dx ,
M ≥ a является возрастающей. В силу леммы, сущест-
a
вование предела lim F ( M ) равносильно ограниченности функции F на M →+∞
промежутке [a, +∞) . Это утверждение позволяет доказать признаки сравнения, аналогичные признакам сравнения для знакопостоянных рядов. ТЕОРЕМА 1 (ПРИЗНАК
СРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ).
Предположим, что функции f и g определены и локально интегрируемы на промежутке [a, +∞) . Допустим, что обе эти функции принимают только неотрицательные значения, и для любого x ∈ [a, +∞) выполняется неравенство f ( x) ≤ g ( x) . Тогда:
Глава 3
115
Несобственные интегралы
ç
è
+∞
∫ g ( x) dx
1) если несобственный интеграл
сходится, то несобст-
a +∞
венный интеграл
∫
f ( x) dx также сходится;
a +∞
2) если несобственный интеграл
∫
f ( x) dx расходится, то несобст-
a +∞
венный интеграл
∫ g ( x) dx также расходится. a
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим: M
= F (M )
∫
M
f (= x) dx, G ( M )
a
∫ g ( x) dx,
M ≥ a.
a
Из условия теоремы следует, что для любого M ≥ a выполняется неравен+∞
ство F ( M ) ≤ G ( M ) . Если несобственный интеграл
∫ g ( x) dx
сходится, то
a
функция G ограничена на промежутке [a, +∞) . Тогда на этом промежутке ограничена и функция F . Следовательно, несобственный интеграл +∞
∫
f ( x) dx сходится. Мы доказали свойство 1). Свойство 2) является логи-
a
чески равносильным свойству 1) Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Выше было отмечено, что сходимость несобственного +∞
интеграла
∫ a
f ( x) dx равносильна сходимости несобственного интеграла
Глава 3
116
Несобственные интегралы
ç
è
+∞
∫
f ( x) dx для некоторого (а тогда и для любого) b > a . Поэтому утвержде-
b
ние теоремы остается в силе, если функции f и g принимают неотрицательные значения, начиная с некоторого места (то есть для всех x ≥ c при некотором c > a ) и, если неравенство f ( x) ≤ g ( x) также выполняется, начиная с некоторого места. При выполнении этих условий мы будем ссылаться на предыдущую теорему без особых оговорок. Дадим теперь признак сравнения для несобственных интегралов в предельной форме. ТЕОРЕМА 2. Предположим, что функции f и g определены на промежутке [a, +∞) , принимают на этом промежутке положительные знаf ( x) > 0 . Тогда несобственные x→+∞ g ( x )
чения и существует конечный предел lim +∞
+∞
интегралы
∫
f ( x) dx и
∫ g ( x) dx сходятся или расходятся одновременно. a
a
f ( x) . Существует такое N , x→+∞ g ( x )
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим A = lim
что для всех x ≥ N выполняется неравенство
f ( x) ≤ A + 1 . Тогда для этих g ( x)
значений x получаем: f ( x) ≤ ( A + 1) g ( x) . Из этого неравенства и сходимо+∞
сти интеграла
∫ ( A + 1) g ( x) dx , в силу предыдущей теоремы, вытекает схоa +∞
димость интеграла
∫ a
f ( x) dx .
Глава 3
117
Несобственные интегралы
ç
è
g ( x) 1 следует, что сходи= x→+∞ f ( x ) A
Из доказанного и соотношения lim +∞
мость интеграла
∫
+∞
f ( x) dx влечет сходимость интеграла
a
∫ g ( x) dx . a
Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Разумеется, теорема остается в силе, если неравенства f ( x) > 0 , g ( x) > 0 выполняются для всех достаточно больших значений x.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Как и в случае признака сравнения в предельной форме для знакопостоянных рядов, утверждение теоремы может быть уточнеf ( x) f ( x) = +∞ . В первом = 0 или lim x→+∞ g ( x ) x→+∞ g ( x )
но, если допустить случаи lim
+∞
случае из сходимости интеграла
∫ g ( x) dx
следует сходимость интеграла
a +∞
∫
f ( x) dx (обращаем внимание читателя, что в первой части доказательст-
a
ва теоремы условие A > 0 не используется). Более того, в этом случае достаточно предполагать, что функция f принимает, начиная с некоторого места неотрицательные значения, поскольку отношение
g рассматриf +∞
ваться не будет. Во втором случае из сходимости интеграла
∫
f ( x) dx сле-
a +∞
дует сходимость интеграла
∫ g ( x) dx . Детальный анализ этих случаев преa
доставляется читателю.
Глава 3
118
Несобственные интегралы
ç
è
СЛЕДСТВИЕ
ТЕОРЕМЫ.
Предположим, что функция f определена и
локально интегрируема на промежутке [a, +∞) , принимает на этом промежутке положительные значения и для некоторого α > 0 выполняется равенство lim xα f ( x) = C , где C > 0 . Тогда при α > 1 несобственный инx→+∞
+∞
теграл
∫
f ( x) dx сходится, а при α ≤ 1 расходится.
a
Это утверждение вытекает из полученных выше условий сходимости +∞
несобственного интеграла
∫ 1
dx . Напомним, что этот интеграл сходится xα
при α > 1 и расходится при α ≤ 1 . Условие
lim xα f ( x) = C может быть переформулировано в сле-
x→+∞
дующих терминах: если при x → +∞ имеет место эквивалентность f ( x) ~
C
xα
, где C > 0 , то при α > 1 несобственный интеграл
+∞
∫
f ( x) dx
a
сходится, а при α ≤ 1 расходится. ПРИМЕР. Докажем сходимость несобственного интеграла +∞
∫ 0
2 x 2 − 3x − 4 dx . x4 + 2 x2 + 1
В силу равенства x 4 + 2 x 2 + 1= ( x 2 + 1) 2 , знаменатель дроби при x ≥ 0 является положительным. Отсюда следует, что подынтегральная функция определена и непрерывна при x ≥ 0 . Поскольку 2 x 2 − 3 x − 4 → +∞ при x → +∞ , числитель дроби, а, значит, и подынтегральная функция, начиная
с некоторого места становятся положительными. Из сказанного следует,
Глава 3
119
Несобственные интегралы
ç
è
что подынтегральная функция определена и непрерывна при x ≥ 0 и положительна, начиная с некоторого места. Учитывая, что при x → +∞ имеют место эквивалентности 2 x 2 − 3x − 4 ~ 2 x 2 , x 4 + 2 x 2 + 1 ~ x 4 ,
для подынтегральной функции при x → +∞ получаем: 2 x 2 − 3x − 4 2 x 2 2 ~ = 2. x4 + 2 x2 + 1 x4 x
В силу приведенного выше следствия теоремы, интеграл является сходящимся. УПРАЖНЕНИЕ. Проанализировать сходимость несобственного интеграла +∞
∫ e
ln β x dx , α , β ∈ R . xα
УКАЗАНИЕ. При β ≠ 0 не существует функции вида
C , эквивалентxα
ной подынтегральной функции при x → +∞ . Для анализа сходимости при
α ≠ 1 можно воспользоваться следующей оценкой: для любого ε > 0 существует такая константа C = C (ε ) , что для всех x ≥ 1 имеет место неравенство ln x ≤ Cxε . В случае α = 1 можно найти первообразную подынтегральной функции и с ее помощью решить вопрос о сходимости.
Глава 3
120
Несобственные интегралы
ç
è
3. Признаки сходимости несобственного интеграла в общем случае Прежде всего, приведем общий критерий сходимости несобственного интеграла. ТЕОРЕМА 3 (КРИТЕРИЙ КОШИ ЛА).
СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРА-
Предположим, что функция f определена и локально интегрируема +∞
на промежутке [a, +∞) . Несобственный интеграл
∫
f ( x) dx сходится в
a
том и только том случае, когда выполняется следующее условие: по любому ε > 0 найдется такое N > a , что для любых M1 , M 2 ≥ N выполняется неравенство
M2
∫
f ( x) dx < ε .
M1
+∞
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сходимость несобственного интеграла
∫
f ( x) dx
a
по определению равносильна существованию предела функции M
F (M ) =
∫ f ( x) dx a
при M → +∞ . Воспользуемся критерием Коши существования предела функции при M → +∞ . Согласно этому критерию, предел lim F ( M ) суM →+∞
ществует в том и только том случае, когда по любому ε > 0 найдется такое N , что для любых M1 , M 2 ≥ N выполняется неравенство
| F ( M 2 ) − F ( M1 ) |< ε .
Глава 3
121
Несобственные интегралы
ç
è
Остается заметить, что F ( M 2 ) − F ( M1= )
M2
∫
f ( x) dx −
a
M1
∫
f ( x) dx =
a
M2
∫
f ( x) dx.
M1
Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ. Предположим, что функция f определена и локально интегрируема на промежутке [a, +∞) . Если сходится несобственный ин+∞
теграл
∫ | f ( x) | dx ,
+∞
то сходится несобственный интеграл
a
имеет место оценка
∫
f ( x) dx и
a +∞
∫
+∞
f ( x) dx ≤
a
∫ | f ( x) | dx . a
+∞
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сходимость несобственного интеграла
∫
f ( x) dx
a
вытекает из критерия Коши. Действительно, выберем произвольное ε > 0 и найдем такое N , чтобы для любых M1 M 2 ≥ N выполнялось неравенство M2
∫ | f ( x) | dx < ε
M1
(модуль интеграла мы не пишем, поскольку интеграл является неотрицательным). Тогда для тех же M1 , M 2 имеем: M2
∫
M1
f ( x) dx ≤
M2
∫ | f ( x) | dx < ε .
M1
Снова используя критерий Коши, находим, что несобственный интеграл
Глава 3
122
Несобственные интегралы
ç
è
+∞
∫
f ( x) dx
a
сходится. Для любого M > a имеет место оценка M
M
∫
f ( x) dx ≤ ∫ | f ( x) | dx.
a
a
Переходя здесь к пределу при M → +∞ , находим требуемое соотношение для несобственных интегралов. Следствие доказано. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предположим, что функция f локально интегрируема на промежутке [a, +∞) . Если сходится несобственный интеграл +∞
∫ | f ( x) | dx , a
то говорят, что +∞
1) интеграл
∫
f ( x) dx сходится абсолютно;
a
2) функция f абсолютно интегрируема (в несобственном смысле) на промежутке [a, +∞) . В терминах приведенного определения следствие предыдущей теоремы может быть переформулировано так: из абсолютной интегрируемо-
Глава 3
123
Несобственные интегралы
ç
è
сти в несобственном смысле функции f на промежутке [a, +∞) вытекает ее интегрируемость в несобственном смысле на этом промежутке. Обратное утверждение в общем случае является неверным. соответствующий пример будет приведен ниже. ЗАМЕЧАНИЕ. Без требования локальной интегрируемость функции f приведенное выше следствие является неверным: если сходится несобст+∞
венный интеграл
∫ | f ( x) | dx , то по определению несобственного интеграa
ла функция | f | должна быть локально интегрируема на промежутке [a, +∞) . Однако при этом функция f может не обладать последним свойством. Рассмотрим следующий пример. Определим на промежутке [0, +∞) следующую функцию: e − x ,если число рациональное; x f ( x) = −x −e ,если число xиррациональное.
Тогда функция | f ( x) |= e − x , x ≥ 0 является интегрируемой на промежутке [0, +∞) : +∞
∫ 0
e
−x
M
dx =
lim
M →+∞
−x ∫ e dx = 0
lim (−e − x )
M →+∞
M 0
=
lim (1 − e − M ) = 1.
M →+∞
Однако функция f не является интегрируемой ни на каком промежутке вида [a, M ] при любом M > a . Для доказательства этого снова воспользуемся функцией Дирихле, задаваемой на всей вещественной оси условием:
Глава 3
124
Несобственные интегралы
ç
è
1,если число D( x) = 0,если число
x рационально, x иррационально.
Легко проверить, что имеет место равенство
= f ( x) e − x D( x) − e − x (1 − D( x)), a ≤ x ≤ M . После очевидных преобразований получаем: = f ( x) e − x (2 D( x) − 1), a ≤ x ≤ M .
Если бы функция f была интегрируемой на отрезке [a, M ] , то на этом отрезке была бы интегрируема функция 2 D( x) − 1 (как произведение интегрируемых функций D( x) и e x ). Тогда из соотношения = D( x)
1 ((2 D( x) − 1) + 1), a ≤ x ≤ M 2
получаем, что на отрезке [a, M ] интегрируема функция D( x) . Выше (глава 1) было доказано, что функция Дирихле не является интегрируемой ни на каком отрезке. Из признака сравнения несобственных интегралов и следствия предыдущей теоремы вытекает следующее утверждение. ТЕОРЕМА 4. Предположим, что функции f и g определены на промежутке [a, +∞) и выполняются следующие условия: 1) для всех x ∈ [a, +∞) | f ( x) |≤ g ( x) ;
Глава 3
125
Несобственные интегралы
ç
è
+∞
2) сходится несобственный интеграл
∫ g ( x) dx ; a
3) функция f локально интегрируема на промежутке [a, +∞) . Тогда функция f абсолютно интегрируема в несобственном смысле на промежутке [a, +∞) и выполняется неравенство +∞
∫ a
+∞
f ( x) dx ≤
∫ g ( x) dx. a
По аналогии со случаем числовых рядов приведем признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов. В случае числовых рядов было использовано неравенство Абеля. Приведем аналогичное утверждение для случая интегралов. Предположим, что выполнены следующие условия: 1) функция f непрерывна на отрезке [a, b] . 2) функция g определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке [a, b] . Введем обозначения: x
F ( x) = ∫ f (t ) dt , a ≤= x ≤ b , C max{F ( x) : a ≤ x ≤ b}. a
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:
Глава 3
126
Несобственные интегралы
ç
è
b
b
a
a
∫ f ( x) g ( x) d x= ∫ F ′( x) g ( x) d
b x= F ( x) g ( x) a
b
− ∫ F ( x) g ′( x) d x= a
b
= F (b) g (b) − ∫ F ( x) g ′( x) dx. a
Здесь было учтено, что F (a ) = 0 . Рассмотрим последний интеграл: b
b
a
a
∫ F ( x) g ′( x) dx ≤ ∫ | F ( x) g ′( x) | dx = b
b
=∫ | F ( x) |⋅ | g ′( x) | dx ≤ C ∫ | g ′( x) | dx. a
≤C
a
Функция g монотонна на отрезке [a, b] . Поэтому выполняется одно из двух условий: 1) для всех x ∈ [a, b] g ′( x) ≥ 0 и, следовательно, | g ′( x) |= g ′( x) ; 2) для всех x ∈ [a, b] g ′( x) ≤ 0 и, следовательно, | g ′( x) |= − g ′( x) . В первом случае b
b
| dx ∫ g ′( x= ) dx ∫ | g ′( x)= a
g (b) − g (a ).
a
Во втором случае b
b
a
a
− ∫ g ′( x) dx = g (a ) − g (b). ∫ | g ′( x) | dx =
Глава 3
127
Несобственные интегралы
ç
è
Учитывая, что в первом случае g (b) ≥ g (a ) , а во втором g (b) ≤ g (a ) , полученным соотношениям можно придать единообразный вид: b
| dx ∫ | g ′( x)=
| g (b) − g (a ) | .
a
Комбинируя полученные соотношения, находим: b
b
a
a
F (b) g (b) − ∫ F ( x) g ′( x) dx ≤ ∫ f ( x) g ( x) dx =
b
≤| F (b) g (b) | + ∫ F ( x) g ′( x) d x≤ C ⋅ | g (b) | +C ⋅ | g (b) − g (a ) |≤ a
≤ C ⋅ | g (b) | +C ⋅ (| g (b) | + | g (a ) |) = C ⋅ (| g (a ) | +2 | g (b) |).
Выпишем окончательную оценку, которую будем называть неравенством Абеля для определенного интеграла: b
∫ f ( x) g ( x) dx ≤ C ⋅ (| g (a) | +2 | g (b) |), a
где C max{F ( x) : a ≤ x ≤ b} . = Перейдем теперь к признакам сходимости несобственных интегралов. ТЕОРЕМА 5 (ПРИЗНАК ДИРИХЛЕ). Предположим, что выполняются следующие условия:
Глава 3
128
Несобственные интегралы
ç
è
1) функция f непрерывна на промежутке [a, +∞) и имеет на этом промежутке ограниченную первообразную; 2) функция g непрерывно дифференцируема и монотонна на промежутке [a, +∞) ; 3) lim g ( x) = 0 . x→+∞
+∞
Тогда несобственный интеграл
∫
f ( x) g ( x) dx сходится.
a
ЗАМЕЧАНИЕ. Если функция f имеет на промежутке [a, +∞) ограниченную первообразную, то есть существует ее первообразная F0 на этом промежутке, являющаяся ограниченной, то любая первообразная этой функции на указанном промежутке будет также ограниченной, поскольку она может быть представлена в виде F0 + C с некоторой константой C. x
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ. Обозначим: F ( x) = ∫ f (t ) dt , x ≥ a . Функa
ция F ограничена на промежутке [a, +∞) . Обозначим: C = sup F ( x) . Выбеx≥a
рем произвольное ε > 0 и найдем такое N , что для любого M ≥ N выполняется неравенство | g ( x) |< ε . Тогда для произвольных M1 , M 2 ≥ N , применяя неравенство Абеля, получаем: M2
∫
f ( x) g ( x) dx ≤ 3Cε ,
M1
поскольку выполняются неравенства | g ( M1 ) |< ε , | g ( M 2 ) |< ε .
Глава 3
129
Несобственные интегралы
ç
è
В силу произвольности ε , из критерия Коши сходимости несобственного +∞
интеграла, получаем, что несобственный интеграл
∫
f ( x) g ( x) dx сходится.
a
Теорема доказана. ТЕОРЕМА 6 (ПРИЗНАК АБЕЛЯ). Предположим, что выполняются следующие условия: 1) функция f непрерывна на промежутке [a, +∞) и несобственный +∞
интеграл
∫
f ( x) dx сходится;
a
2) функция g непрерывно дифференцируема, монотонна и ограничена на промежутке [a, +∞) ; +∞
Тогда несобственный интеграл
∫
f ( x) g ( x) dx сходится.
a
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим: K = sup g ( x) . Выберем произвольное x≥a
ε > 0 . В силу критерия Коши сходимости несобственного интеграла, существует такое N , что для любых M1 , M 2 ≥ N выполняется неравенство M2
∫
f ( x) dx < ε .
(∗)
M1
Зафиксируем произвольные числа M1 , M 2 ≥ N . Предположим сначала, что x
M1 < M 2 . Рассмотрим первообразную F ( x) =
∫ M1
f (t ) dt функции f на про-
Глава 3
130
Несобственные интегралы
ç
è
межутке [ M1, M 2 ] . Для произвольного x ∈ [ M1, M 2 ] выполняется неравенство x ≥ N и, в силу соотношения (∗), выполняется неравенство | F ( x) |< ε . Тогда, применяя неравенство Абеля, получим: M2
∫
f ( x) g ( x) dx ≤ 3K ε .
M1
Если M 2 < M1 , то, в силу доказанного, M2
M1
M1
M2
= ∫ f ( x) g ( x) dx
∫
f ( x) g ( x) dx ≤ 3K ε .
Учитывая произвольность ε , из критерия Коши сходимости несобственного интеграла получаем требуемое утверждение. Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Как и в случае числовых рядов, признак Абеля может быть выведен из признака Дирихле. Действительно, предположим, что выполнены условия формулировки признака Абеля. Из условий, наложенных на функцию g , следует, что существует предел lim g ( x) . Обозначим этот x→+∞
предел через α . Воспользуемся тождеством = f ( x) g ( x) f ( x)( g ( x) − α ) + α f ( x),
x ∈ [a, +∞).
(∗)
Функция f ( x)( g ( x) − α ) интегрируема на промежутке [a, +∞) по признаку Дирихле. Проверим выполнение условий этого признака.
Глава 3
131
Несобственные интегралы
ç
è
+∞
Из существования несобственного интеграла
∫
f ( x) dx следует, что
0 x
первообразная F ( x) = ∫ f (t ) dt , x ≥ a функции f является ограниченной. a +∞
= K Действительно, обозначим
f ( x) dx ∫= 0
lim F ( x). Тогда найдется та-
M →+∞
кое M > a , что для всех x ≥ M выполняется неравенство | F ( x) − K |< 1, то есть K − 1 < F ( x ) < K + 1,
и функция F ограничена на промежутке [ M , +∞) 1. Функция F непрерывна на промежутке [a, M ] . Из теоремы Вейерштрасса следует, что на этом промежутке она ограничена. Окончательно получаем, что функция F ограничена на промежутке [a, +∞) . Для применимости признака Дирихле к функции f ( x)( g ( x) − α ) на промежутке [a, +∞) остается заметить, что на этом промежутке функция g ( x) − α непрерывна, монотонна и имеет место
0. равенство lim ( g ( x) − α ) = x→+∞
Обращаясь к тождеству (∗) и учитывая, что функция α f ( x) интегрируема на промежутке [a, +∞) , получаем требуемое утверждение. +∞
ПРИМЕР. Покажем, что несобственный интеграл
∫ 0
sin x dx сходится, x
но не является абсолютно сходящимся.
Это свойство локальной ограниченности функции, рассмотренное нами ранее в случае предела функции в конечной точке. 1
Глава 3
132
Несобственные интегралы
ç
è
ЗАМЕЧАНИЕ. При рассмотрении функции
sin x всегда предполагаетx
ся, что в точке x = 0 , являющейся точкой устранимого разрыва, функция полагается равной единице. После этого данная функция становится непрерывной на всей вещественной оси. В силу непрерывности функции
sin x при x ≥ 0 , она локально интегx
рируема на промежутке [0, +∞) . Для доказательства сходимости рассматриваемого интеграла достаточно доказать, что сходится интеграл +∞
∫
π
sin x dx . x
Для этого воспользуемся признаком Дирихле. Полагаем: = f ( x) sin x, = g ( x)
1 , x
x ≥ π.
Проверяем условия признака Дирихле. 1) функция f непрерывна на промежутке [π , +∞) и имеет на этом промежутке ограниченную первообразную; В проверке нуждается только утверждение о первообразной. При x ≥ π имеет место равенство x
(− cos t ) π = − cos x − 1. ∫ sin t dt =
π
Отсюда для тех же x имеем:
x
Глава 3
133
Несобственные интегралы
ç
è
x
| cos x − 1|≤| cos x | +1 ≤ 2, ∫ sin t dt =−
x ≥ π.
π
2) функция g непрерывно дифференцируема и монотонна на промежутке [π , +∞) ; 3) lim g ( x) = 0 . x→+∞
Эти свойства, очевидно, выполняются для рассматриваемой функции g . +∞
В силу признака Дирихле, несобственный интеграл
∫
π
sin x dx схоx
дится. Тогда, как было отмечено выше, сходится несобственный интеграл +∞
∫ 0
sin x dx . x +∞
Покажем теперь, что несобственный интеграл
∫
π
sin x dx не сходится x
абсолютно. Для этого достаточно показать, что первообразная функции sin | x | на промежутке [π , +∞) не является ограниченной. Обозначим: x x
= F ( x)
sin t dt , x ≥ π t π
∫
и покажем, что F (π n) → +∞ при n → +∞ . Действительно,
Глава 3
134
Несобственные интегралы
ç
è
πn
| sin t | F (π n) ∫= dt = t π
Функция ϕ (t ) =
n −1 π ( k +1)
∑ ∫ k =1
πk
| sin t | dt. t
(∗)
1 монотонно убывает на промежутке [π , +∞) . Для t
любого t ∈ [π k , π (k + 1)] из оценки t ≤ π (k + 1) следует, что
1 1 . От≥ t π (k + 1)
сюда получаем: π ( k +1)
∫
πk
| sin t | 1 dt ≥ π (k + 1) t
π ( k +1)
∫
| sin t | dt =
πk
π
π
1 1 = = π + = | sin( k t ) | dt | sin t | dt π (k + 1) ∫0 π (k + 1) ∫0 π
1 1 2 π = = − = sin t dt ( cos t ) . 0 π (k + 1) ∫0 π (k + 1) π (k + 1) Учитывая полученную оценку, из (∗) находим: n −1
2 2 n−1 1 F (π n) ≥ ∑ = ∑ k + 1. π k + π ( 1) = k 1= k 1 Остается заметить, что сумма n −1
1
1
1
1
∑ k +1 = 2 + 3 ++ n k =1
является частичной суммой расходящегося ряда
Глава 3
135
Несобственные интегралы
ç
è
+∞
1
1
1
1
∑ k +1 = 2 + 3 ++ n + k =1
n −1
1
∑ k + 1 = +∞ . Поэтому n→+∞
с положительными членами и, следовательно, lim
k =1
выполняется соотношение lim F (π n) = +∞ , доказательство завершено. n→+∞
В заключение остановимся еще на других случаях несобственных интегралов по неограниченным промежуткам. Предположим, что функция f определена на промежутке (−∞, a ] и для любого M < a интегрируема на промежутке [ M , a] . Если существует a
предел
lim
M → −∞
∫
a
f ( x) dx , то он обозначается через
∫
f ( x) dx и называется
−∞
M
несобственным интегралом от функции f по промежутку (−∞, a ] . В этом случае говорят, что последний интеграл является сходящимся, а функция f называется интегрируемой (в несобственном смысле) по промежутку (−∞, a ] . К таким интегралам с соответствующими изменениями применимы все утверждения, полученные для несобственных интегралов по промежутку [a, +∞) . Если функция f определена на всей вещественной +∞
∫
оси и существуют несобственные интегралы
0
f ( x) dx и
0
∫
f ( x) dx , то не-
−∞
собственный интеграл от функции f по всей вещественной оси определяется равенством: +∞
f ( x) dx ∫ ∫=
−∞
+∞
0
−∞
f ( x) dx +
∫ 0
f ( x) dx.
Глава 3
136
Несобственные интегралы
ç
è
В этом случае говорят, что функция f интегрируема (в несобственном смысле) по всей вещественной оси.
4. Интегралы от неограниченных функций Предположим, что функция f интегрируема на отрезке [a, b] . В этом b
случае выполняется равенство lim
λ →+0
∫
a +λ
b
f ( x) dx = ∫ f ( x) dx. Действительно, a
обозначим: M = sup f ( x) . Для числа λ , удовлетворяющего условию a ≤ x≤b
0 < λ < b − a , имеем: a +λ
b
b
a
a +λ
∫ f ( x) dx − ∫
f ( x) dx = ∫ f ( x) dx. a
Отсюда следует, что b
a +λ
b
f ( x) dx ∫ f ( x) dx − ∫ = ∫ a
a +λ
a
a +λ
f ( x) dx ≤
∫
| f ( x) | dx ≤ M ⋅ λ → 0
a
при λ → +0 . b
Оказывается, что предел lim
λ →+0
∫
f ( x) dx может существовать и для функ-
a +λ
ции f , не являющейся ограниченной на промежутке [a, b] , и, следовательно, не являющейся интегрируемой на этом промежутке в обычном смысле. Чтобы иметь возможность рассматривать такой предел, функция f долж-
Глава 3
137
Несобственные интегралы
ç
è
на быть определена и интегрируема на любом промежутке вида [a + λ , b] при произвольном значении λ , удовлетворяющем условию 0 < λ < b − a . Предположим, что функция f определена на промежутке (a, b] и удовлетворяет следующим условиям: 1) эта функция является неограниченной на промежутке (a, b] ; 2) при любом λ , удовлетворяющем условию 0 < λ < b − a , функция f интегрируема на отрезке [a + λ , b] (и, следовательно, ограничена на этом отрезке). b
Если существует предел lim
λ →+0
∫
f ( x) dx , то он обозначается че-
a +λ
b
∫ f ( x) dx
рез
и называется несобственным интегралом от функции f по
a
промежутку [a, b] . В этом случае говорят, что последний интеграл является сходящимся, а функция f называется интегрируемой (в несобственном смысле) по промежутку [a, b] . ЗАМЕЧАНИЕ. Условия 1) и 2) выполняются, например, если функция f определена и непрерывна на промежутке (a, b] . Тогда при любом значении λ , удовлетворяющем условию 0 < λ < b − a , эта функция непрерывна на отрезке [a + λ , b] и, следовательно, интегрируема на этом отрезке. ПРИМЕР. Рассмотрим вопрос о сходимости несобственного интегра1
ла
dx ∫ xα , α > 0 . 0
Глава 3
138
Несобственные интегралы
ç
è
Функция
1 непрерывна на промежутке (0,1] и, следовательно, инxα
тегрируема на любом промежутке [λ ,1] , 0 < λ < 1 . Предположим сначала, что α ≠ 1 . Тогда 1
dx x1−α 1 1−α = = ∫ xα 1 − α 1 − α (λ − 1). λ λ 1
При λ → +0 величина λ1−α − 1 имеет (конечный) предел в том и только том случае, когда 1 − α > 0 , то есть α < 1 . При этом lim (λ1−α − 1) = 1. Итак, при λ →+0
0 < α < 1 рассматриваемый несобственный интеграл сходится, и имеет ме-
сто равенство 1
dx
∫ xα
=
0
1 . 1−α
При α > 1 указанный несобственный интеграл расходится. Если α = 1 , то для любого λ > 0 1
dx 1 ∫ x = ln x λ = − ln λ → +∞ λ при λ → +0 . Следовательно, несобственный интеграл в этом случае расходится. Окончательно получаем, что несобственный интеграл сходится при
α < 1 и расходится при α ≥ 1 . Аналогично находим, что несобственный интеграл
Глава 3
139
Несобственные интегралы
ç
è
b
dx ∫ ( x − a)α , −∞ < a < b < +∞ , α > 0 a сходится при 0 < α < 1 и расходится при α ≥ 1 . Приведенный в предыдущем примере подход может быть обобщен следующим образом. Предположим, что функция f определена и непрерывна на промежутке (a, b] . Обозначим через F произвольную первообразную функции f на этом промежутке Выберем произвольное число λ , удовлетворяющее условию 0 < λ < b − a Применим формулу Ньютона-Лейбница к функции f на промежутке [a + λ , b] : b
∫
f ( x) d x= F (b) − F (a + λ ).
a +λ
b
Отсюда следует, что предел lim
λ →+0
∫
f ( x) dx существует в том и только том
a +λ
случае, когда существует предел lim F (a + λ ) , и при выполнении этих усλ →+0
ловий имеет место равенство: b
∫ f ( x) d a
x= F (b) − lim F (a + λ ). λ →+0
Обозначая, как обычно, lim F (a + λ ) = F (a + 0) , последнюю формулу пеλ →+0
репишем так:
Глава 3
140
Несобственные интегралы
ç
è
b
∫ f ( x) d
x= F (b) − F (a + 0),
a
b
или
∫ f ( x) dx = F ( x) a+0 . b
Мы получили формулу Ньютона-Лейбница для
a
случая неограниченной функции. Для рассматриваемого случая остаются в силе все приведенные выше свойства несобственных интегралов по неограниченному промежутку. Их доказательства несущественно отличаются от предыдущего случая. Поэтому мы остановимся лишь на формулировках основных результатов. ТЕОРЕМА 7 (ПРИЗНАК
СРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ).
Предположим, что функции f и g определены на промежутке (a, b] и интегрируемы на отрезке [a + λ , b] для любого λ , удовлетворяющего условию 0 < λ < b − a . Допустим, что обе эти функции принимают только неотрицательные значения, и для любого x ∈ (a, b] выполняется неравенство f ( x) ≤ g ( x) . Тогда: b
1) если несобственный интеграл
∫ g ( x) dx сходится, то несобственa
b
ный интеграл
∫ f ( x) dx также сходится; a
b
2) если несобственный интеграл
∫ f ( x) dx a
b
венный интеграл ∫ g ( x) dx расходится. a
расходится, то несобст-
Глава 3
141
Несобственные интегралы
ç
è
ТЕОРЕМА 8 (ПРИЗНАК
СРАВНЕНИЯ В ПРЕДЕЛЬНОЙ ФОРМЕ).
Предполо-
жим, что функции f и g определены на промежутке (a, b] и интегрируемы на отрезке [a + λ , b] для любого λ , удовлетворяющего условию 0 < λ < b − a . Допустим, что обе эти функции принимают на промежутке
( a, b]
только
положительные
значения
f ( x) > 0 . Тогда несобственные интегралы lim x →a + 0 g ( x )
и
существует
b
∫ f ( x) dx
предел
b
и
a
∫ g ( x) dx
схо-
a
дятся или расходятся одновременно. СЛЕДСТВИЕ
ТЕОРЕМЫ.
Предположим, что функция f определена на
промежутке (a, b] , принимает на этом промежутке положительные значения и интегрируемы на отрезке [a + λ , b] для любого λ , удовлетворяющего условию 0 < λ < b − a . Предположим, что для некоторого α > 0 выполняется равенство lim ( x − a )α f ( x) = C , где C > 0 . Тогда при α < 1 неx →a + 0
b
собственный интеграл
∫ f ( x) dx сходится, а при α ≥ 1 расходится. a
Условие lim ( x − a )α f ( x) = C может быть переформулировано так: x →a + 0
если при x → a + 0 имеет место эквивалентность f ( x) ~
C > 0, то при 0 < α < 1 несобственный интеграл
C , где ( x − a )α
b
∫ f ( x) dx
сходится, а при
a
α ≥ 1 расходится. ПРИМЕР. Рассмотрим вопрос о сходимости несобственного интеграла
Глава 3
142
Несобственные интегралы
ç
è
1
(sin x )3 ∫ 1 − cos x dx . 0 Числитель и знаменатель подынтегральной функции непрерывны на промежутке [0,1] , причем знаменатель не обращается в ноль при x > 0 . Отсюда следует, что подынтегральная функция непрерывна на промежутке (0,1]. При x → 0 имеют место следующие эквивалентности: sin x ~ x, 1 − cos x ~
1 2 x . 2
Отсюда получаем, что при x → +0 (sin x )3 ( x )3 2 ~ = 12 . 1 2 1 − cos x x x 2
В силу следствия предыдущей теоремы, рассматриваемый интеграл сходится. ТЕОРЕМА 9 (КРИТЕРИЙ КОШИ ЛА).
СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРА-
Предположим, что функция f определена на промежутке (a, b] и
интегрируема на отрезке [a + λ , b] для любого λ , удовлетворяющего условию 0 < λ < b − a . Несобственный интеграл
b
∫ f ( x) dx
сходится в том и
a
только том случае, когда выполняется следующее условие: по любому
ε > 0 найдется такое δ , 0 < δ < b − a , что для любых λ1 , λ2 , удовлетворяющих условию 0 < λ1 < δ , 0 < λ2 < δ имеет место неравенство
Глава 3
143
Несобственные интегралы
ç
è
a +λ2
∫
f ( x) dx < ε .
a +λ1
СЛЕДСТВИЕ. Предположим, что функция f определена на промежутке (a, b] и интегрируема на отрезке [a + λ , b] для любого λ , удовлетворяющего условию 0 < λ < b − a . Если сходится несобственный интеb
грал ∫ | f ( x) | dx , то сходится несобственный интеграл a
место оценка
b
∫ f ( x) dx
и имеет
a b
b
a
a
∫ f ( x) dx ≤ ∫ | f ( x) | dx .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если сходится несобственный интеграл b
∫ | f ( x) | dx , a
то говорят, что b
1) интеграл
∫ f ( x) dx сходится абсолютно; a
2) функция f абсолютно интегрируема (в несобственном смысле) на промежутке [a, b] . ТЕОРЕМА 10. Предположим, что функции f и g определены на промежутке [a, +∞) и выполняются следующие условия: 1) для всех x ∈ [a, +∞) | f ( x) |≤ g ( x) ;
Глава 3
144
Несобственные интегралы
ç
è
+∞
2) сходится несобственный интеграл
∫ g ( x) dx ; a
3) для любого λ , удовлетворяющего условию 0 < λ < b − a функция f интегрируема на отрезке [a + λ , b] . Тогда функция f абсолютно интегрируема в несобственном смысле на промежутке [a, b] и выполняется неравенство b
b
a
a
∫ f ( x) dx ≤ ∫ g ( x) dx. ТЕОРЕМА 11 (ПРИЗНАК ДИРИХЛЕ). Предположим, что выполняются следующие условия: 1) функция f непрерывна на промежутке (a, b] и имеет на этом промежутке ограниченную первообразную; 2) функция g непрерывно дифференцируема и монотонна на промежутке (a, b] ; 3) lim g ( x) = 0 . x →a + 0
b
Тогда несобственный интеграл
∫ f ( x) g ( x) dx сходится. a
ТЕОРЕМА 12 (ПРИЗНАК АБЕЛЯ). Предположим, что выполняются следующие условия:
Глава 3
145
Несобственные интегралы
ç
è
1) функция f непрерывна на промежутке (a, b] и несобственный b
интеграл
∫ f ( x) dx сходится; a
2) функция g непрерывно дифференцируема, монотонна и ограничена на промежутке (a, b] ; b
Тогда несобственный интеграл
∫ f ( x) g ( x) dx сходится. a
ЗАМЕЧАНИЕ. Мы рассмотрели случай, когда функция имеет особенность на левом конце промежутка интегрирования. Аналогично рассматривается случай, когда функция имеет особенность на правом конце промежутка.
ç
è
Обратно
Исторические сведения Абель Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) Норвежский математик. Доказал теорему о неразрешимости уравнения выше четвертой степени в радикалах. В математике используются термины «абелевы интегралы», «абелевы группы».
Дополнения
147
ç
Исторические сведения è
Обратно
Д’Аламбер Жан Лерон д’Аламбер (1717 – 1783) Французский математик и философ. Сформулировал важный принцип механики, названный его именем. Вместе с Д. Дидро редактировал знаменитую французскую «Энциклопедию».
Дополнения
148
ç
Исторические сведения è
Обратно
Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) Немецкий математик. Исследования Вейерштрасса посвящены математическому анализу, теории функций, вариационному исчислению, дифференциальной геометрии. В линейной алгебре разработал теорию элементарных делителей, используемую в теории матриц при нахождении матрицы жордановой нормальной формы.
Дополнения ç
149
Исторические сведения è
Обратно
Дарбу Жан Гастон Дарбý (1842–1917). Французский математик. Выполнил работы по дифференциальной геометрии, теории интегрирования, алгебре, механике.
Дополнения
150
ç
Исторические сведения è
Обратно
Дирихле Петер Густав Лежён Дирихле (1805 – 1859) Немецкий математик. Создатель аналитической теории чисел. Выполнил важные работы по теории функций.
Дополнения
151
Исторические сведения
ç
è
Обратно
Коши Огюстен Луи Коши (1789 – 1857) Французский математик. Создатель теории функций комплексного переменного. Проводил исследования по теории дифференциальных уравнений. Коши первым дал строгое определение сходимости ряда. Он является автором классических курсов математического анализа.
Дополнения
152
ç
Исторические сведения è
Обратно
Лейбниц Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716). Немецкий философ и математик. Наряду с Ньютоном ему принадлежит заслуга в создании дифференциального и интегрального исчисления. Обозначение
dy принадлежит именно Лейбницу. dx
Дополнения
153
Исторические сведения
ç
è
Обратно
Ньютон Исаак Ньютон (1643–1727). Английский физик, механик, астроном, математик. Занимался оптикой, положил начало современной спектроскопии. Главный труд – «Математические начала натуральной философии». Для разрешения проблем механики значительно усовершенствовал математические методы. Разработал основы дифференциального и интегрального исчисления. Его труды оказали огромное влияние на дальнейшее развитие науки. Независимо дифференциальное и интегральное исчисление было разработано Г.Лейбницем.
Дополнения
154
Исторические сведения
ç Обратно
Риман Георг Фридрих Бернхард Риман (1826 – 1866). Немецкий математик. Один из создателей теории функций комплексного переменного. Проводил исследования по теории рядов, теории чисел, теории дифференциальных уравнений и неевклидовой геометрии. Работы Римана оказали огромное влияние на дальнейшее развитие математики. С его именем связано большое количество математических объектов: только что введенный интеграл Римана, риманова геометрия, сфера Римана, риманова поверхность, геометрия Римана. До сих пор не решена знаменитая задача о нулях так называемой дзета-функции Римана.