Математический анализ. Определенный интеграл. Числовые ряды. Несобственные интегралы: Учебное пособие

Приоритетный национальный проект «Образование» Южный федеральный университет Факультет математики, механики и компьютерных наук

В.С. Пилиди Электронное учебное пособие

Математический анализ

Определенный интеграл Числовые ряды Несобственные интегралы

Ростов-на-Дону 2009

ç

è

Управляющие клавиши Результат

Действие

Включить/выключить оглавление F4 Вся страница

Ctrl+L

Предыдущий экран

PgUp

Следующий экран

PgDn

Первая страница

Home

Последняя страница

End

Следующая страница

→

Предыдущая страница

←

Следующий вид

Alt + →

Предыдущий вид

Alt + ←

Увеличить

Ctrl + «знак равенства»

Уменьшить

Ctrl + «дефис»

ç

è

Глава 1. Определенный интеграл 1. Предварительные соображения Предположим, что функция f определена и непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на этом отрезке неотрицательные значения. Рассмотрим фигуру, ограниченную осью Ox , прямыми x = a , x = b и линией y = f ( x) , a ≤ x ≤ b . Эта фигура называется криволинейной трапецией (см.

рисунок ниже).

Рассмотрим набор точек {xi }ik=0 , удовлетворяющих условиям: a = x0 < x1 <  < xk = b.

На каждом из отрезков [ xi , xi +1 ] , i = 0 , 1, …, k − 1 выберем произвольную точку ξi и рассмотрим прямоугольник с основанием [ xi , xi +1 ] и высо-

Глава 1

4

Определенный интеграл

ç

è

Риман

той f (ξi ) (прямоугольник, выделенный красным цветом на рисунке). Площадь этого прямоугольника равна f (ξi )( xi +1 − xi ) . Беря объединение таких прямоугольников, мы получим «ступенчатую» фигуру, площадь которой равна сумме площадей составляющих ее прямоугольников, то есть величине k −1

∑ f (ξi )( xi+1 − xi ) .

(∗)

i =0

ЗАМЕЧАНИЕ. Мы не нумеруем формулы. В случае необходимости они отмечаются знаком (∗) и (∗∗). Ссылки на такие формулы всегда относятся к текущей или предыдущей странице. Если все более «измельчать» деление отрезка [a, b] на составляющие его малые отрезки, то получающаяся ступенчатая фигура будет все лучше приближать криволинейную трапецию. В качестве меры, определяющей мелкость такого деления, естественно взять наибольшую из длин отрезков [ xi , xi +1 ] . Если суммы вида (∗) стремятся к некоторой величине S при ус-

ловии, что точки ξi выбираются произвольным образом и «мелкость» деления отрезка [a, b] стремится к нулю, то величину S естественно считать площадью рассматриваемой криволинейной трапеции. Суммы вида (∗) лежат в основе обсуждаемого ниже понятия определенного интеграла.

2. Определение интеграла Римана Пусть [a, b] — произвольный отрезок на вещественной прямой. Разбиением λ отрезка [a, b] называется произвольная конечная система его точек λ = {xi }ik=0 , k = k (λ ) , такая, что a = x0 < x1 <  < xk = b . Каждый из

Глава 1

5

Определенный интеграл

ç

è

отрезков [ xi , xi +1 ] , i = 0 , 1 , k − 1 называется отрезком разбиения λ . Введем следующее обозначение для длин отрезков разбиения: ∆xi= xi +1 − xi , i= 0,1, , k − 1.

| λ | max ∆xi , наНаибольшая из длин отрезков разбиения то есть величина = 1≤i ≤k

зывается мелкостью (или диаметром) разбиения λ . Множество всех разбиений отрезка [a, b] будем обозначать через Λ ([a, b]) . Пусть = λ {xi }ik=0 ∈ Λ ([a, b]) . На каждом из отрезков [ xi , xi +1 ] , i = 0, 1,…, k − 1 выберем произвольную точку ξi . Обозначим: ξ = {ξi }ik=−01 . Будем говорить, что набор точек ξ подчинен разбиению λ и записывать наличие такого соотношения так: ξ | λ . Пусть f — некоторая функция, определенная на отрезке [a, b] . Выберем произвольное разбиение = λ {xi }ik=0 ∈ Λ ([a, b]) и произвольный набор точек ξ | λ . Сумма S ( = f ; λ ,ξ )

k −1

∑ f (ξi )∆xi

называется интегральной сум-

i =0

мой Римана функции f на отрезке [a, b] . Сам этот отрезок будем считать фиксированным, и поэтому зависимость интегральных сумм от этого отрезка отмечать не будем. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что интегральные суммы S ( f ; λ , ξ ) сходятся к числу I при условии | λ |→ 0 , если по любому числу ε > 0 найдется такое δ > 0 , что для любого разбиения λ ∈ Λ ( I ) , удовлетворяющего условию | λ |< δ , и для любого набора точек ξ , ξ | λ выполняется неравенство

Глава 1

6

Определенный интеграл

ç

è

| S ( f ; λ , ξ ) − I |< ε .

(∗)

ЗАМЕЧАНИЕ. Приведенное определение близко к определению сходимости последовательности. Отличие состоит в том, что вместо натурального числа n , значения S ( f ; λ , ξ ) зависят от разбиений λ , которые должны «все больше и больше измельчаться», и величина S ( f ; λ , ξ ) зависит еще от одного параметра, набора точек, подчиненного разбиению λ. Кроме условия ξ | λ , на набор точек ξ не налагается никаких других ограничений. В этом случае говорят, что неравенство (∗) выполняется равномерно по всем наборам точек ξ , удовлетворяющим условию ξ | λ . Как и в случае сходимости последовательности, легко доказать, что если интегральные суммы S ( f ; λ , ξ ) сходятся к некоторому числу I при условии | λ |→ 0 , то это число находится однозначно. Число I будем называть пределом интегральных сумм при условии | λ |→ 0 и обозначать следующим образом: Если предел

lim S ( f ; λ , ξ ) .

|λ|→0, ξ |λ

lim S ( f ; λ , ξ ) существует, то он называется опреде-

|λ|→0, ξ |λ

ленным интегралом Римана функции f по отрезку [a, b] и обозначается b

следующим образом:

∫ f ( x ) dx . Функцию

f при этом называют интегри-

a

руемой по Риману на отрезке [a, b] . В дальнейшем определенный интеграл Римана будем называть просто определенным интегралом, а функцию, интегрируемую по Риману — интегрируемой (на данном отрезке) функцией. В тех случаях, когда рассматривается фиксированная функция f , вместо S ( f ; λ , ξ ) будем писать S (λ , ξ ) .

Глава 1

7

Определенный интеграл

ç

è

Приведем пример вычисления определенного интеграла, исходя только из его определения. Покажем, что для любого отрезка [a, b] выполняется равенство b

∫ dx=

b−a.

a

Подынтегральная функция f ( x) ≡ 1 , x ∈ [a, b] . Рассмотрим произвольное разбиение λ ∈ Λ ([a, b]) , λ = {xi }ik=0 , выберем произвольный набор точек ξ , ξ | λ и найдем соответствующую интегральную сумму: k −1

k −1

S (λ , ξ ) = ∑ f (ξi )∆xi = ∑ ∆xi = b − a.

=i 0 =i 0

Здесь учтено, что функция f тождественно равна единице и, что сумма длин всех отрезков разбиения равна длине всего отрезка [a, b] , то есть величине b − a . Отсюда следует, что и предел частичных сумм при | λ |→ 0 равен b − a . Справедливо следующее утверждение. ТЕОРЕМА 1. Если функция f интегрируема на отрезке [a, b] , то она ограничена на этом отрезке. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что

lim S (λ , ξ ) = I . Выберем та-

|λ|→0, ξ |λ

кое δ > 0 , чтобы для любого разбиения λ ∈ Λ ([a, b]) , удовлетворяющего условию | λ |< δ , и любого набора точек ξ , ξ | λ выполнялось неравенство | S (λ , ξ ) − I |< 1 , или

Глава 1

8

Определенный интеграл

ç

è

I − 1 < S (λ , ξ ) < I + 1.

(∗)

Зафиксируем произвольное разбиение λ {xi }ik=0 ∈ Λ ([a, b]) , удовлетво= ряющее условию | λ |< δ . Покажем, что функция f ограничена на каждом из отрезков разбиения [ xi , xi +1 ] , i = 0 , 1, …, k − 1. Отсюда будет следовать, что эта функция ограничена на всем отрезке [a, b] . Рассмотрим, например, отрезок [ x0 , x1 ] . Для каждого из отрезков разбиения, кроме выделенного, то есть отрезков [ xi , xi +1 ] , i = 1 , 2, …, k − 1 выберем и зафиксируем принадлежащую ему точку ξi . Пусть ξ0 — произвольная точка выделенного отрезка [ x0 , x1 ] . Запишем в явном виде интегральную сумму в (∗) с данным набором точек ξ = {ξi }ik=−01 и выделим слагаемое, отвечающее отрезку [ x0 , x1 ] : k −1

I − 1 < f (ξ0 )∆x0 + ∑ f (ξi )∆xi < I + 1. i =1

Обозначая = J

k −1

∑ f (ξi )∆xi , из последних неравенств получаем: i =1

I − 1 < f (ξ0 )∆x0 + J < I + 1 .

Отсюда следует, что выполняется неравенство 1 1 ( I − J − 1) < f (ξ0 ) < ( I − J + 1) . ∆x0 ∆x0

В силу произвольности точки ξ0 ∈ [ x0 , x1 ] , мы доказали, что функция f ограничена на отрезке [ x0 , x1 ] . Аналогично доказывается, что она ограничена

Глава 1

9

Определенный интеграл

ç

è

Дирихле

на произвольном отрезке разбиения и, следовательно, на всем отрезке [a, b] . Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Условие ограниченности функции, будучи необходимым для интегрируемости функции, не является достаточным. Действительно, рассмотрим на отрезке [0,1] функцию Дирихле: x 1,если число рациональное, D( x) =  x 0,если число иррационально.

Возьмем произвольное разбиение λ ∈ Λ ([0,1]) . Выберем набор точек ξ | λ , состоящий из рациональных чисел. Тогда для всех значений ξi выполняется равенство D(ξi ) = 1 и, следовательно, S ( D; λ , ξ ) =

k −1

k −1

∑ D(ξi )∆xi = ∑ ∆xi =

1.

=i 0 =i 0

Беря все числа ξi иррациональными, получим, что S ( D; λ , ξ ) = 0 . Это означает, что

lim S ( D; λ , ξ ) не существует, то есть функция D( x) не являет-

|λ|→0, ξ |λ

ся интегрируемой на отрезке [0,1] . Свойство интегрируемости функции на некотором отрезке сохраняется, если изменить произвольным образом значения функции в конечном числе точек этого отрезка. Более точно, справедливо следующее утверждение. ТЕОРЕМА 2. Предположим, что функции f и g определены на промежутке [a, b] и для всех x ∈ [a, b] , кроме, возможно, конечного числа то-

Глава 1

10

Определенный интеграл

ç

è

чек, выполняется равенство f ( x) = g ( x) . Функция f интегрируема на отрезке [a, b] тогда и только тогда, когда на этом отрезке интегрируема функция g . При выполнении этих условий имеет место равенство b

b

a

a

∫ f ( x) dx = ∫ g ( x) dx. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно ограничиться случаем, когда значения функций f и g совпадают для всех x ∈ [a, b] , кроме точки x = c для некоторого c ∈ [a, b] . Очевидно, теорема будет доказана, если мы покажем, что из интегрируемости функции g следует интегрируемость функции f и имеет место равенство интегралов. Выберем произвольное разбиение λ ∈ Λ ([a, b]) и рассмотрим набор точек ξ | λ . Если при этом c ∉ ξ , то выполняется равенство S ( f ; λ ,ξ ) = S ( g; λ ,ξ ) .

Допустим, что c ∈ ξ . Тогда совпадают все слагаемые интегральных сумм S ( f ; λ , ξ ) и S ( g ; λ , ξ ) , кроме слагаемых, соответствующих отрезку разбиения, содержащему точку c . Обозначим длину этого отрезка через ∆. Тогда получаем: S ( f ; λ , ξ ) − S ( g ; λ= , ξ ) f (c) ⋅ ∆ − g (c)= ⋅ ∆ ( f (c) − g (c)) ⋅ ∆.

(∗)

Имеет место неравенство ∆ ≤| λ | , поскольку ∆ — длина одного из отрезков разбиения λ , а | λ | — наибольшая из длин всех отрезков разбиения λ. Тогда из соотношения (∗) следует, что | S ( f ; λ , ξ ) − S ( g ; λ , ξ ) |≤ K ⋅ | λ |,

Глава 1

11

Определенный интеграл

ç

è

где введено обозначение= K | f (c ) − g (c ) | . Полученное неравенство остается верным и для случая c ∉ ξ , поскольку тогда левая часть равна нулю. Перепишем это неравенство следующим образом: S ( g ; λ , ξ ) − K ⋅ | λ |≤ S ( f ; λ , ξ ) ≤ S ( g ; λ , ξ ) + K ⋅ | λ | .

(∗∗)

Допустим, что функция g интегрируема на промежутке [a, b] , то есть существует I = lim S ( g ; λ , ξ ) . Учитывая, что |λ|→0, ξ |λ

lim ( S ( g ; λ , ξ ) ± K ⋅ | λ |) = I,

|λ|→0, ξ |λ

из (∗∗) находим, что

lim S ( f ; λ , ξ ) = I , то есть функция f интегрируема

|λ|→0, ξ |λ

на отрезке [a, b] и имеет место равенство b

b

a

a

∫ f ( x) dx = ∫ g ( x) dx. Теорема доказана.

3. Критерий интегрируемости функции В этом разделе будет дан критерий интегрируемости функции и доказана интегрируемость функций некоторых классов. Поскольку мы доказали, что неограниченная функция интегрируемой не является, будут рассматриваться только ограниченные функции.

Глава 1

12

Определенный интеграл

ç

è

Дарбу

Предположим, что функция f определена и ограничена на отрезке [a, b] . Выберем произвольное разбиение = λ {xi }ik=0 ∈ Λ ([a, b]) . Введем следующие обозначения: = mi ( f , λ ) inf{ f ( x) : xi ≤ x ≤ xi +1}, = M i ( f , λ ) sup{ f ( x) : xi ≤ x ≤ xi +1},

где i = 0 , 1 , …, k − 1. В дальнейшем обозначения M i ( f , λ ) будем сокращать до M i . Аналогично будем поступать для обозначения mi ( f , λ ) . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Верхней суммой Дарбу называется сумма S∗( = f ;λ)

k −1

∑ M i ∆xi . i =0

Нижней суммой Дарбу называется сумма S∗ ( f= ;λ)

k −1

∑ mi ∆xi . i =0

Если ясно, какая функция имеется в виду, обозначение S ∗ ( f ; λ ) будем сокращать до S ∗ (λ ) . Аналогично для нижней суммы Дарбу. Отметим следующие свойства сумм Дарбу. 1°. Для любого разбиения λ отрезка [a, b] и любого подчиненного этому разбиению набора точек ξ , выполняется неравенство S∗ ( f ; λ ) ≤ S ( f ; λ , ξ ) ≤ S ∗ ( f ; λ ).

Глава 1

13

Определенный интеграл

ç

è

Действительно, пусть λ = {xi }ik=0 , ξ = {ξi }ik=−01 . Тогда для любого i = 0,

1 , …, k − 1 имеет место соотношение ξi ∈ [ xi , xi +1 ] и, следовательно, выполняется неравенство mi =

inf

xi ≤ x≤ xi +1

f ( x) ≤ f (ξi ) ≤ sup = f ( x) M i . xi ≤ x≤ xi +1

Умножая каждое из полученных неравенств mi ≤ f (ξi ) ≤ M i i = 0 , 1, …, k − 1 на положительное число ∆xi и суммируя по i от 0 до k − 1, находим: k −1

k −1

k −1

=i 0 =i 0

=i 0

∑ mi ∆xi ≤ ∑ f (ξi )∆xi ≤ ∑ M i ∆xi .

Это и есть доказываемое соотношение. 2°. Для любого разбиения λ выполняются соотношения = S ∗ ( f ; λ ) su = p( S f ; λ , ξ ), S∗ ( f ; λ ) in fS ( f ; λ , ξ ). ξ ,ξ |λ

ξ ,ξ |λ

(∗)

ЗАМЕЧАНИЕ. Точная верхняя и точная нижняя грани берутся по всем наборам точек ξ , подчиненным разбиению λ . Докажем, например, первое соотношение. Пусть λ = {xi }ik=−01 . Выберем произвольное число ε > 0 . В силу определения точной верхней грани, для каждого i = 0 , 1 , …, k − 1 найдется такая точка ξi ∈ [ xi , xi +1 ] , что выполняется неравенство f (ξi ) > M i − ε . Набор этих точек ξ = {ξi }ik=−01 подчинен разбиению λ . Умножая каждое из неравенств f (ξi ) > M i − ε на положительное число ∆xi , получаем:

Глава 1

14

Определенный интеграл

ç

è

f (ξi )∆xi > M i ∆xi − ε∆= xi , i 0,1,, k − 1.

Суммируем последние неравенства по всем значениям i : k −1

k −1

k −1

∑ f (ξi )∆xi > ∑ M i ∆xi − ∑ ε∆xi ,

=i 0

=i 0 =i 0

то есть k −1

S ( f ; λ ,ξ ) > S ( f ; λ ) − ε ∑ = ∆xi S ∗ ( f ; λ ) − ε (b − a ). ∗

i =0

Учитывая произвольность ε > 0 , неравенство S ( f ; λ , ξ ) ≤ S ∗ ( f ; λ ) и определение точной верхней грани, получаем окончательное соотношение: S ∗ ( f ; λ ) = su Sp( f ; λ , ξ ) . ξ |λ

Пусть λ ∈ Λ ([a, b]) . Разбиение λ1 этого отрезка называется измельчением разбиения λ , если каждая точка множества λ принадлежит множеству λ1 . В этом случае множество λ просто является подмножеством множества λ1 . Для обозначения этого факта будем использовать обычные теоретико-множественные обозначения: λ ⊂ λ1 . 3°. Если λ1 ⊂ λ2 , то S ∗ ( f ; λ2 ) ≤ S ∗ ( f ; λ1 ) , S∗ ( f ; λ2 ) ≥ S∗ ( f ; λ1 ) . Иначе говоря, при измельчении разбиения верхняя сумма Дарбу может только уменьшиться, а нижняя — только увеличиться.

Глава 1

15

Определенный интеграл

ç

è

Рассмотрим первое из указанных соотношений. Очевидно, достаточно ограничиться случаем, когда разбиение λ2 получается из разбиения λ1 путем добавления одной точки. Предположим, что λ1 = {xi }ik=0 , a = x0 < x1 <  < xk = b

и между точками xl и xl +1 добавляется точка x′ , то есть разбиение λ2 состоит из точек a = x0 < x1 <  < xl < x′ < xl +1 <  < xk = b .

При переходе от разбиения λ1 к разбиению λ2 изменяется только один из отрезков разбиения: вместо отрезка [ xl , xl +1 ] возникают два отрезка: [ xl , x′] и [ x′, xl +1 ] . Введем следующие обозначения: M i = sup

xi ≤ x≤ xi +1

f ( x) , ∆xi= xi +1 − xi , i = 0 , 1, …, k − 1,

′′ xl +1 − x′ . M ′ = sup f ( x) , M ′′ = sup f ( x) , ∆′ = x′ − xl , ∆= xl ≤ x≤ x′

x′≤ x≤ xl +1

Из вложения [ xl , x′] ⊂ [ xl , xl +1 ] следует, что имеет место соотношение M ′ = sup f ( x) ≤ sup f ( x) =M l . xl ≤ x≤ x′

xl ≤ x≤ xl +1

Аналогично получаем вторую оценку: M ′′ ≤ M l . Кроме того, выполняется равенство ∆′ + ∆′′ = ∆xl . Выделяя в сумме S ∗ (λ2 ) слагаемые, соответствующие отрезкам [ xl , x′] и [ x′, xl +1 ] , получаем: S ∗ (λ2 ) = M 0∆x0 + M1∆x1 +  + M l −1∆xl −1 + M ′∆′ + M ′′∆′′ +

Глава 1

16

Определенный интеграл

ç

è

+ M l +1∆xl +1 +  + M k −1∆xk −1 ≤

≤ M 0∆x0 + M1∆x1 +  + M l −1∆xl −1 + M l (∆ + ∆′′) + ′ =∆l

+ M l +1∆xl +1 +  + M k −1∆xk −1 =

= M 0∆x0 + M1∆x1 +  + M l −1∆xl −1 + M l ∆xl + + M l +1∆xl +1 +  + M k −1∆xk −1 = S ∗ (λ1 ).

В приведенных соотношениях выделенные красным цветом слагаемые оцениваются сверху с учетом доказанных выше соотношений M ′ ≤ M l и M ′′ ≤ M l . Полученные слагаемые выделены синим цветом. Аналогично доказывается второе соотношение. 4°. Для любых разбиений λ1 , λ2 ⊂ Λ ([a, b]) выполняется неравенство S∗ (λ1 ) ≤ S ∗ (λ2 ).

Действительно, рассмотрим разбиение λ ⊂ Λ ([a, b]) , получаемое путем объединения всех точек разбиений λ1 и λ2 . Тогда λ1 ⊂ λ0 , λ2 ⊂ λ0 и, S∗ (λ1 )

≤



по свойству 3

S∗ (λ0 )

≤



по свойству 1

S ∗ (λ0 )

≤



по свойству 3

S ∗ (λ2 ).

Критерий интегрируемости функции дается следующей теоремой. ТЕОРЕМА 3. Пусть f — определенная на отрезке [a, b] ограниченная функция. Тогда следующие условия равносильны:

Глава 1

17

Определенный интеграл

ç

è

1) функция f интегрируема на отрезке [a, b] ; 2) по любому ε > 0 найдется такое δ > 0 , что для любого разбиения λ отрезка [a, b] , удовлетворяющего условию | λ |< ε , выполняется неравенство S ∗ (λ ) − S∗ (λ ) < ε . b

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) ⇒ 2) Обозначим: I = ∫ f ( x) dx . Выберем произa

вольное число ε > 0 и найдем такое δ > 0 , что для любого разбиения λ ∈ Λ ([a, b]) , удовлетворяющего условию | λ |< δ , и любого набора точек ξ , ξ | λ выполняется неравенство | S (λ , ξ ) − I |< ε . Последнее неравенство перепишем так: I − ε < S (λ , ξ ) < I + ε . Зафиксируем произвольное разбиение λ ∈ Λ ([a, b]) , удовлетворяющее условию | λ |< ε . Неравенство S (λ , ξ ) < I + ε выполняется для любого набора точек ξ , ξ | λ . Беря в левой части этого неравенства точную верхнюю грань по всем наборам точек ξ указанного вида, получаем, что sup S (λ , ξ ) ≤ I + ε , то есть S ∗ (λ ) ≤ I + ε . Аналогично из неравенства

ξ ,ξ |λ

I − ε < S (λ , ξ ) находим, что S∗ (λ ) ≥ I − ε . Тогда выполняется неравенство ∗ S (λ ) − S∗ (λ ) ≤ ( I + ε ) − ( I − ε ) = 2ε .  ≤ I +ε

≥ I −ε

В силу произвольности ε , требуемое утверждение доказано. 2) ⇒ 1) Для любых разбиений λ1 , λ2 ∈ Λ ([a, b]) в силу свойства 4º сумм Дарбу, выполняется неравенство S∗ (λ1 ) ≤ S ∗ (λ2 ) . Переходя в левой части неравенства к точной верхней грани по всем разбиениям λ1 при про-

Глава 1

18

Определенный интеграл

ç

è

извольном фиксированном λ2 , получаем, что sup S∗ (λ1 ) ≤ S ∗ (λ2 ) . Теперь, λ1

беря в правой части последнего неравенства точную нижнюю грань по всем разбиениям λ2 , получаем: sup S∗ (λ1 ) ≤ inf S ∗ (λ2 ) . λ2

λ1

Обозначим: I∗ = sup S∗ (λ ) , I ∗ = inf S ∗ (λ ) , где точные верхняя и нижλ

λ

няя грани берутся по всем разбиениям отрезка [a, b] . Мы доказали, что имеет место неравенство I∗ ≤ I ∗ . Для произвольного разбиения λ ∈ Λ ([a, b]) по определению точной верхней и точной нижней граней имеют место оценки S∗ (λ ) ≤ I∗ , I ∗ ≤ S ∗ (λ ) .

Комбинируя эти неравенства и неравенство I∗ ≤ I ∗ , находим, что S∗ (λ ) ≤ I∗ ≤ I ∗ ≤ S ∗ (λ ).

(∗)

Из этого неравенства следует оценка 0 ≤ I ∗ − I∗ ≤ S ∗ (λ ) − S∗ (λ ) .

Находящаяся в правой части разность S ∗ (λ ) − S∗ (λ ) может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора разбиения λ . Тогда из последнего не∗ равенства получаем, что I ∗ = I∗ . Обозначим: = I I= I∗ .

Из (∗) получаем, что для любого разбиения λ ∈ Λ ([a, b]) выполняется неравенство S∗ (λ ) ≤ I ≤ S ∗ (λ ). Для произвольного набора точек ξ , подчи-

Глава 1

19

Определенный интеграл

ç

è

ненного разбиению λ , имеет место неравенство S∗ (λ ) ≤ S (λ , ξ ) ≤ S ∗ (λ ) . Из двух полученных соотношений следует, что обе величины S (λ , ξ ) и I попадают в отрезок [ S∗ (λ ), S ∗ (λ )] . Следовательно, выполняется неравенство | S (λ , ξ ) − I |≤ S ∗ (λ ) − S∗ (λ ) .

Отсюда вытекает, что

(∗)

lim S (λ , ξ ) = I . Действительно, выберем

|λ|→0,ξ |λ

произвольное ε > 0 и найдем такое δ > 0 что для всех разбиений λ , удовлетворяющих условию | λ |< δ , выполняется неравенство S ∗ (λ ) − S∗ (λ ) < ε . Тогда для тех же λ и наборов точек ξ , ξ | λ из (∗) получаем, что | S (λ , ξ ) − I |< ε .

В силу произвольности ε , доказательство завершено.

4. Колебание функции Пусть f —определенная и ограниченная на промежутке I . Колебанием функции f на этом промежутке называется величина = ω ( f , I ) sup f ( x) − inf f ( x). x∈I

x∈I

Графическая интерпретация колебания изображена на следующем рисунке. Предполагается, что функция f непрерывна на отрезке [a, b] . На рисунке красная прямая задается уравнением ymax , где ymax = max f ( x) , зеa ≤ x≤b

леная прямая имеет уравнение y = ymin , ymin = min f ( x) . a ≤ x≤b

Глава 1

20

Определенный интеграл

ç

è

Отметим некоторые свойства колебания. 1°. Колебание функции является неотрицательным числом. Если

ω ( f , I ) = 0 , то функция является постоянной на промежутке I . Действительно, обозначим: M = sup f ( x) , m = inf f ( x) . Тогда M ≥ m x∈I

x∈I

и, следовательно, ω ( f , I ) = M − m ≥ 0 . Если ω ( f , I ) = 0 , то M = m . Добавляя сюда неравенство m ≤ f ( x) ≤ M , x ∈ I , получаем, что для произвольного x ∈ I M =≤ m f ( x) ≤ M , откуда следует, что f ( x) = M , x ∈ I . 2°. Имеет место равенство

ω ( f , I ) =sup{| f ( x′) − f ( x′′) |: x′, x′′ ∈ I }. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если функция f является постоянной на промежутке I , то левая и правая части доказываемого соотношения равны нулю, и, следовательно, равенство имеет место.

Глава 1

21

Определенный интеграл

ç

è

Будем предполагать, что функция f постоянной не является. Обозначим: M = sup f ( x) , m = inf f ( x) . Тогда ω ( f , I= ) M − m . Кроме того, в x∈I

x∈I

силу свойства 1°, M − m > 0 . Покажем, что правая часть доказываемого равенства тоже равна M − m . Для любых x′ , x′′ ∈ I выполняются неравенства m ≤ f ( x′) ≤ M , m ≤ f ( x′′) ≤ M .

Отсюда получаем: f ( x′)− f ( x′′) ≤ M − m, ≤M

≥m

f ( x′)− f ( x′′) ≥ m − M . ≥m

≤M

(Под оцениваемыми слагаемыми указаны и выделены красным цветом используемые неравенства). Объединяем полученные неравенства: m − M ≤ f ( x′) − f ( x′′) ≤ M − m,

то есть, | f ( x′) − f ( x′′) |≤ M − m.

Выберем произвольное число ε , удовлетворяющее условию 0 < ε <

(∗) M −m 2

и найдем такие точки x0′ , x0′′ ∈ I , что f ( x0′ ) > M − ε ,

f ( x0′′ ) < m + ε .

Тогда f ( x0′ ) − f ( x0′′ ) > M − ε − (m + ε ) = M − m − 2ε . Учитывая неравенство

Глава 1

22

Определенный интеграл

ç

è

M − m − 2ε > 0 ,

отсюда находим, что f ( x0′ ) − f ( x0′′ ) > 0 , и из полученного соотношения следует, что | f ( x0′ ) − f ( x0′′ ) |> M − m − 2ε .

В силу произвольности ε (ограничение ε <

(∗∗)

M −m здесь несущественно, 2

важно, что число ε можно взять сколь угодно близким к нулю), из соотношений (∗) и (∗∗) получаем, что sup{| f ( x′) − f ( x′′) |: x′, x′′ ∈ I } = M − m.

Свойство доказано. 3°. Имеет место неравенство ω (| f |, I ) ≤ ω ( f , I ) . Напомним, что для любых a , b ∈  имеет выполняется неравенство | a | − | b | ≤| a − b | .

Применяя это неравенство, для произвольных x′ , x′′ ∈ I находим: | f ( x′) | − | f ( x′′) | ≤| f ( x′) − f ( x′′) | .

Отсюда следует, что

ω= (| f |, I ) su p{ | f ( x′) | − | f ( x′′) | : x′, x′′ ∈ I } ≤ ≤ sup {| f ( x′) − f ( x′′) |: x′, x′′ ∈ I } = ω ( f , I ).

Свойство доказано.

Глава 1

23

Определенный интеграл

ç

è

Для функции f , определенной и ограниченной на отрезке [a, b] , и разбиения = λ {xi }ik=0 ∈ Λ ([a, b]) положим

ωi ( f , λ ) = ω ( f ;[ xi −1, xi ]) , i = 1 , 2, …, k . Введем следующее обозначение: S= ω ( f ,λ)

k −1

∑ωi ( f )∆xi . Как и выше, i =1

будем сокращать это обозначение до Sω (λ ) , считая функцию f фиксированной. Аналогично вместо ωi ( f , λ ) будем писать ωi . Из равенств

ω = M i − mi , i = 0 , 1, …, k − 1 i ∗ получаем что имеет место равенство S= ω (λ ) S (λ ) − S∗ (λ ) .

Теперь критерий интегрируемости функции может быть переформулирован следующим образом. ТЕОРЕМА 4. Для функции f , определенной и ограниченной на отрезке [a, b] , следующие условия равносильны: 1) функция f интегрируема на отрезке [a, b] ; 2) для любого ε > 0 найдется такое δ > 0 , что для любого разбиения

λ ∈ Λ ([a, b]) , удовлетворяющего условию | λ |< δ , выполняется неравенство Sω (λ ) < ε . ЗАМЕЧАНИЕ. Условие 2) теоремы может быть переписано следующим образом: lim Sω (λ ) = 0 . |λ|→0

Глава 1

24

Определенный интеграл

ç

è

5. Свойства интегрируемых функций Перейдем теперь к анализу некоторых свойств интегрируемых функций. ТЕОРЕМА 5. Если функция f интегрируема на отрезке [a, b] , то функция | f | также интегрируема на этом отрезке и имеет место оценка b

b

a

a

∫ f ( x) dx ≤ ∫ | f ( x) | dx. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем произвольное разбиение λ ∈ Λ ([a, b]),

λ = {xi }ik=−01 . Введем следующие обозначения: ]), ωi ω (| f |,[ xi , xi= = ωi ω ( f ,[ xi , xi +1= +1 ]), i 0,1,, k − 1.

В силу свойства 3º колебания функции, для любого i из указанного диапазона имеет место оценка ωi ≤ ωi . Тогда для интегральных сумм получаем следующие неравенства: 0 ≤ Sω (| f |; λ= )

k −1

k −1

∑ωi ∆xi ≤ ∑ωi ∆x=i

=i 0 =i 0

Sω ( f ; λ ).

(∗)

Воспользуемся критерием интегрируемости функции. Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое δ > 0 , что для всех разбиений λ ∈ Λ ([a, b]), удовлетворяющих условию | λ |< δ , выполняется неравенство Sω ( f ; λ ) < ε . Отсюда и из соотношения (∗) для тех же разбиений λ получаем неравенство Sω (| f |; λ ) < ε . В силу произвольности числа ε , из критерия интегри-

Глава 1

25

Определенный интеграл

ç

è

руемости функции выводим, что функция | f | интегрируема на отрезке [a, b]. Для произвольного разбиения λ ∈ Λ ([a, b]) , λ = {xi }ik=−01 и набора точек ξ | λ имеем: S ( f ;= λ ,ξ )

k −1

k −1

∑

∑

f (ξi )∆xi ≤ | =i 0 =i 0

Переходя в неравенстве

f (ξi )= | ∆xi S (| f |; λ , ξ ).

S ( f ; λ , ξ ) ≤ S (| f |; λ , ξ ) к пределу при

| λ |→ 0 , получаем искомое соотношение для интегралов.

Теорема доказана. ТЕОРЕМА 6. Если функции f и g интегрируемы на отрезке [a, b] , то для любых α , β ∈  функция α f + β g также интегрируема на этом отрезке, и имеет место равенство b

b

b

a

a

a

∫ (α f ( x) + β g ( x)) dx = α ∫ f ( x) dx + β ∫ g ( x) dx. . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим:= h( x) α f ( x) + β g ( x) , x ∈ [a, b] . Выберем произвольное разбиение λ ∈ Λ ([a, b]) , λ = {xi }ik=0 и рассмотрим произвольный набор точек ξ , ξ | λ . Преобразуем интегральную сумму для функции h : S (h; λ= ,ξ )

k −1

)∆xi ∑ h(ξi =

k −1

∆xi ∑ (α f (ξi ) + β g (ξi ))=

=i 0 =i 0

Глава 1

26

Определенный интеграл

ç

è

k −1

k −1

= α ∑ f (ξi )∆xi + β ∑ g (= ξi )∆xi α S ( f ; λ , ξ ) + β S ( g ; λ , ξ ).

=i 0 =i 0

Из полученного равенства = S (h; λ , ξ ) α S ( f ; λ , ξ ) + β S ( g ; λ , ξ )

и существования пределов ществование предела

lim S ( f ; λ , ξ ) и

|λ|→0, ξ |λ

lim S ( g ; λ , ξ ) следует су-

|λ|→0, ξ |λ

lim S (h; λ , ξ ) и равенство

|λ|→0, ξ |λ

lim S (h; λ , ξ ) α lim S ( f ; λ , ξ ) + β lim S ( g ; λ , ξ ), = |λ|→0, ξ |λ

|λ|→0, ξ |λ

|λ|→0, ξ |λ

то есть указанное в формулировке равенство интегралов. Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Обычно используются следующие частные случаи доказанного соотношения: b

b

b

a

a

a

∫ ( f ( x) ± g ( x)) dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx , b

b

a

a

∫ α f ( x) dx = α ∫ f ( x) dx. ТЕОРЕМА 7. Если функции f и g интегрируемы на отрезке [a, b] , то функция fg также интегрируема на этом отрезке. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Введем следующие обозначения:

I = [ a, b] , h( x ) = f ( x ) g ( x ) , x ∈ I .

Глава 1

27

Определенный интеграл

ç

è

Из интегрируемости функций f и g следует их ограниченность. Выберем такую константу C , что для всех x ∈ I выполняются оценки | f ( x) |≤ C , | g ( x) |≤ C.

Для произвольных точек x′ , x′′ ∈ I имеем: h( x′) − h(= x′′) f ( x′) g ( x′) − f ( x′′) g (= x′′)

= ( f ( x′) − f ( x′′)) g ( x′) + f ( x′′)( g ( x′) − g ( x′′)).

Отсюда следует, что | h( x′) − h( x′′) |≤| f ( x′) − f ( x′′) | ⋅ | g ( x′) | + | f ( x′′) | ⋅ | g ( x′) − g ( x′′) |≤ ≤ C ⋅ | f ( x′) − f ( x′′) | +C ⋅ | g ( x′) − g ( x′′) |≤

≤ C ⋅ (ω ( f , I ) + ω ( g , I )).

Из полученного соотношения | h( x′) − h( x′′) |≤ C ⋅ (ω ( f , I ) + ω ( g , I )) и свойства 2º колебания функции вытекает оценка

ω (h, I ) ≤ C ⋅ (ω ( f , I ) + ω ( g , I )) .

(∗)

Выберем произвольное разбиение λ ∈ Λ ([a, b]) , λ = {xi }ik=0 . Введем обозначения: = ωi ω= (h,[ xi , xi +1 ]), ωi′ ω ( f ,[ xi , xi +1 ]), = ωi′′ ω ( g ,[ xi , xi= +1 ]), i 0,1,, k − 1.

Из неравенства (∗) вытекает оценка ωi ≤ C ⋅ (ωi′ + ωi′′) , i = 0 , 1, …, k − 1. Отсюда получаем:

Глава 1

28

Определенный интеграл

ç

è

Sω (h, λ= )

k −1

 k −1

k −1



=  i 0=i 0



∑ωi ∆xi ≤ C ⋅  ∑ωi′∆xi + ∑ωi′′∆xi=

=i 0

= C ⋅ ( Sω ( f , λ ) + Sω ( g , λ )).

Из оценки 0 ≤ Sω (h, λ ) ≤ C ⋅ ( Sω ( f , λ ) + Sω ( g , λ ))

и равенств lim Sω ( f , λ ) = 0 , lim Sω ( g , λ ) = 0 следует, что lim Sω (h, λ ) = 0. |λ|→0

|λ|→0

|λ|→0

В силу критерия интегрируемости функции, функция h интегрируема на отрезке [a, b] . Теорема доказана. Если функция f интегрируема на некотором отрезке, то функция 1 f может оказаться неограниченной и, следовательно, неинтегрируемой на этом отрезке. В качестве примера можно указать функцию f ( x) = x на отрезке [0,1] . УПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что если функция f интегрируема на отрезке I , а функция g = 1 f определена и ограничена на этом отрезке, то функция g интегрируема на отрезке I . УКАЗАНИЕ. Доказать, что для любого разбиения λ отрезка I выполняются оценки вида ωi ( g ) ≤

1 ωi ( f ) . C2

ЗАМЕЧАНИЕ. Обратите внимание, что в обозначениях предыдущего упражнения ограниченность функции g равносильна следующему усло-

Глава 1

29

Определенный интеграл

ç

è

вию: существует такая положительная константа α , что для всех x ∈ I выполняется неравенство | f ( x) |≥ α .

6. Достаточные условия интегрируемости функции Из критерия интегрируемости функции получим некоторые достаточные условия интегрируемости. ТЕОРЕМА 8. Функция, монотонная на отрезке, интегрируема на этом отрезке. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что функция f возрастает на отрезке [ a, b ] . Исключая тривиальный случай, будем считать, что эта функция не является постоянной. Пусть λ ∈ Λ ([a, b]) , λ = {xi }ik=0 . В силу возрастания функции f , имеют место соотношения ), mi f (= = M i f ( xi +1= xi ), i 0,1,, k − 1.

Отсюда получаем, что для тех же значений индекса i выполняются равенства = ωi f ( xi +1 ) − f ( xi ) . Учитывая, что ωi ≥ 0 , ∆xi > 0 , i = 0 , 1, …, k − 1, получаем: k −1

k −1

=i 0 =i 0

=i 0

Sω (λ= )

k −1

∑ωi ∆x=i ∑ ( f ( xi+1) − f ( xi )∆xi ≤| λ | ⋅∑ ( f ( xi+1) − f ( xi ))=

= | λ | ( f ( x1 ) − f ( x0 ) + f ( x2 ) − f ( x1 ) +  + f ( xk ) − f ( = xk −1 )) = | λ | ( f ( xk ) − f ( x0 ))= | λ | ( f (b) − f (a )) ,

Глава 1

30

Определенный интеграл

ç

è

и окончательно, Sω (λ ) ≤| λ | ( f (b) − f (a )).

Выберем произвольное ε > 0 . Положим δ =

ε f (b) − f (a )

(∗) . Тогда для любого

разбиения λ ∈ Λ ([a, b]) , удовлетворяющего условию | λ |< δ , из (∗) получаем, что Sω (λ ) < ε . В силу произвольности ε , функция f интегрируема на отрезке [a, b] . Теорема доказана. ТЕОРЕМА 9. Функция, непрерывная на отрезке, интегрируема на этом отрезке. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что функция f непрерывна на отрезке [ a, b ] . В силу теоремы Кантора, эта функция равномерно непрерывна на данном отрезке. Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое δ > 0, чтобы для любых точек x′ , x′′ ∈ [a, b] , удовлетворяющих неравенству | x′ − x′′ |< δ , выполнялось неравенство | f ( x′) − f ( x′′) |< ε . Тогда для любого

разбиения λ отрезка [a, b] , удовлетворяющего условию | λ |< δ , имеем:

ωi ( f ) ≤ ε , i = 0 , 1, …, k − 1. Действительно, для любых точек x′, x′′ ∈ [ xi , xi +1 ] выполняется неравенство | x′ − x′′ |≤| xi +1 − xi |≤| λ |< δ и, следо-

вательно, | f ( x′) − f ( x′′) |< ε . В силу свойства 2° колебания функции, имеет место оценка = ωi ωi ( f ) ≤ ε . Тогда для тех же разбиений λ получаем: k −1

iτ

∑ωi ∆xi ≤ ε ∑ ∆xi=

=i 1 =i 1

ε (b − a ) .

Глава 1

31

Определенный интеграл

ç

è

Учитывая произвольность числа ε , из критерия интегрируемости выводим, что функция f является интегрируемой. Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ. Предположим, что функция f определена на отрезке [a, b] , непрерывна во всех точках интервала (a, b) и имеет односторонние пределы в концах отрезка [a, b] . Тогда функция f интегрируема на отрезке [a, b] . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Определим функцию g на отрезке [a, b] условиями: g ( x) = f ( x) , если a < x < b , g (a ) = lim f ( x) , g (b) = lim f ( x) . Тогда x →a + 0

x→b−0

функция g непрерывна на отрезке [a, b] . Действительно, во всех внутренних точках этого отрезка она непрерывна, в силу непрерывности функции f . Из соотношения = g (a)

= lim f ( x)

x →a + 0

lim g ( x), следует непрерыв-

x →a + 0

ность слева функции g в точке a . Аналогично получаем ее непрерывность справа в точке b . По доказанной теореме функция g интегрируема на отрезке [a, b] . Остается заметить, что значения функций f и g могут отличаться не более, чем в двух точках. В силу теоремы 2, функция f интегрируема на отрезке [a, b] . Следствие доказано. ПРИМЕР. Рассмотрим на произвольном отрезке [a, b] функцию f ( x) = x . Эта функция непрерывна на указанном отрезке и, следовательно, b

b2 − a 2 . интегрируема на нем. Покажем, что ∫ x dx = 2 a

Глава 1

32

Определенный интеграл

ç

è

Для доказательства мы будем рассматривать интегральные суммы специального вида и найдем их предел при | λ |→ 0 . Выберем произвольное разбиение λ = {xi }ik=0 отрезка [a, b] . Для каждого i = 0 , 1, …, k − 1 положим ξi =

xi + xi +1 (то есть возьмем в качестве ξi 2

середину отрезка разбиения [ xi , xi +1 ] ). В силу неравенства xi <

xi + xi +1 < xi +1, i = 0,1,, k − 1, 2

набор точек ξ = {ξi }ik=−01 подчинен разбиению λ . Найдем соответствующую интегральную сумму: S (λ , ξ = )

k −1

k −1

xi +1 + xi ⋅ ( xi +1 − xi = ) 2 0

∑ f (ξi )∆x=i ∑ξi ∆x=i ∑

=i 0

=

k −1

=i 0 =i

1 k −1 2 1 2 ( xi +1 − xi2 = ) ( x1 − x02 + x22 − x12 +  + xk2 − xk2−1= ) ∑ 2 i =0 2

b2 − a 2 1 2 2 = ( xk − x0 )= . 2 2

Предел рассматриваемых интегральных сумм (то есть интегральных сумм b2 − a 2 с набором точек ξ специального вида) при | λ |→ 0 равен . Отсюда 2

вытекает доказываемое соотношение. УПРАЖНЕНИЕ 1. Пользуясь приемом предыдущего примера, доказать, что при 0 ≤ a < b имеет место равенство

Глава 1

33

Определенный интеграл

ç

è

b

2 ∫ x dx = a

b3 − a 3 . 3

УКАЗАНИЕ. Положить

ξi =

xi2+1 + xi +1xi + xi2 , 3

доказать, что xi ≤ ξi ≤ xi +1 . УПРАЖНЕНИЕ 2. Доказать, что при 0 ≤ a < b для любого n ∈  имеет место равенство b

∫x a

n +1

b n+1 − a n+1 dx = . n +1

7. Свойства определенного интеграла как функции промежутка интегрирования ТЕОРЕМА 10. Предположим, что a , b , c ∈  и a < b < c . Тогда следующие условия равносильны: 1) функция f интегрируема на отрезке [a, c] ; 2) функция f интегрируема на каждом из отрезков [a, b] , [b, c] . При выполнении этих условий выполняется равенство c

b

c

a

a

b

f ( x) dx ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx. ∫=

Глава 1

34

Определенный интеграл

ç

è

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) ⇒ 2). Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое δ > 0 , что из условий λ ∈ Λ ([a, c]) , | λ |< δ вытекает неравенство Sω (λ ,[a, c]) < ε . Пусть λ0 — разбиение отрезка [a, b] , удовлетворяющее

условию | λ0 |< ε . Добавим к набору точек разбиения λ0 точки отрезка

[b, c] так, чтобы при этом получилось разбиение λ отрезка [a, c] , удовлетворяющее условию | λ |< δ . Допустим, что λ0 = {xi }ik=0 , λ = {xi }li =0 . Как и выше, вводим колебания функции f не отрезках разбиения λ (отрезка [a, c] ): ωi = ω ( f ,[ xi , xi +1 ]) , i = 0 , 1, …, l − 1 . Тогда имеем: = Sω (λ0 ,[a, b])

k −1

l −1

∑ωi ∆xi ≤ ∑ωi ∆x=i

=i 0 =i 0

Sω (λ ,[a, c]) < ε .

Из оценки Sω (λ0 ,[a, b]) < ε по критерию интегрируемости функции выводим, что функция f является интегрируемой на отрезке [a, b] . Аналогично рассматривается отрезок [b, c] . 2) ⇒ 1) Предположим, что функция f интегрируема на каждом из отрезков [a, b] , [b, c] . Тогда она ограничена на каждом из этих отрезков, а, следовательно, и на всем отрезке [a, c] . Выберем такую константу M , что для любого x ∈ [a, c] выполняется неравенство | f ( x) |≤ M . Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое δ > 0 , чтобы выполнялись следующие условия:  для любого λ1 ∈ Λ ([a, b]) , такого, что | λ1 |< δ выполняется неравенство Sω (λ1,[a, b]) < ε ;  для любого λ2 ∈ Λ ([b, c]) , такого, что | λ2 |< δ выполняется неравенство Sω (λ2 ,[b, c]) < ε .

Глава 1

35

Определенный интеграл

ç

è

Уменьшая в случае необходимости число δ , будем считать, что выполняется неравенство δ ≤ ε . Возьмем любое разбиение λ ∈ Λ ([a, c]) , удовлетворяющее условию | λ |< δ . Найдем оценки для величины Sω (λ ,[a, c]) . Эти оценки будут разными, в зависимости от того, находится или нет промежуточная точка b среди точек разбиения λ . СЛУЧАЙ 1. Точка b находится среди точек разбиения λ . Обозначим через λ1 ( λ2 ) множество всех точек разбиения λ , попадающих в отрезок [a, b] (соответственно, в отрезок [b, c] ). Тогда λ1 ( λ2 ) будет разбиением соответствующего отрезка. Очевидно, что выполняется оценка | λ1 |≤| λ | (потому, что каждый из отрезков разбиения λ1 является в то же время и отрезком разбиения λ ). Поэтому выполняется оценка | λ1 |< δ . Из аналогичных соображений получаем, что | λ2 |< δ . Допустим,

что λ = {xi }ik=0 , . λ1 = {xi }li =0 , λ2 = {xi }ik=l . Обращаем внимание читателя, что имеет место равенство xk = b , и эта точка является последней точкой разбиения λ1 и первой точкой разбиения λ2 . Далее имеем, Sω (λ ,[a, c]) =

k −1

l −1

k −1

∑ωi ∆x=i ∑ωi ∆xi + ∑ωi ∆x=i

=i 0 =i 0 =i l

= Sω (λ1,[a, b]) + Sω (λ2 ,[b, c]).

Из оценок | λ1 |< δ , | λ2 |< δ следует, что Sω (λ1,[a, b]) < ε , Sω (λ2 ,[b, c]) < ε

и, следовательно, Sω (λ ,[a, c]) < 2ε .

Глава 1

36

Определенный интеграл

ç

è

СЛУЧАЙ 2. Точка b не является одной из точек разбиения λ . Рассмотрим множество всех точек разбиения λ , попадающих в отрезок [a, b] . Добавляя к этому множеству точку b , мы получим разбиение отрезка [a, b] , которое обозначим через λ1 . Отметим, что выполняется неравенство | λ1 |< δ . Действительно, все отрезки разбиения λ1 , кроме последнего, совпадают с одним из отрезков разбиения λ . Поэтому длины этих отрезков меньше, чем δ . Последний отрезок разбиения λ1 является частью отрезка разбиения λ . Следовательно, длина этого последнего отрезка также меньше, чем δ . Аналогично, добавляя к точкам разбиения λ , попадающим в отрезок [b, c] , точку b , получим разбиение отрезка [b, c] , которое обозначим через λ2 . По аналогии с предыдущим случаем доказывается, что | λ2 |< δ . Рассмотрим отрезок I разбиения λ , внутри которого находится точка b . Этот отрезок делится точкой b на два отрезка, которые мы обозначим через I ′ и I ′′ (см. рисунок ниже).

Рассмотрим сумму Sω (λ ,[a, c]) и сравним ее с суммой Sω (λ1,[a, b]) + Sω (λ2 ,[b, c]) .

Для перехода от одного выражения к другому нужно в сумме Sω (λ ,[a, c]) удалить слагаемое, отвечающее отрезку I разбиения λ , заменив его двумя слагаемыми, отвечающими отрезкам I ′ и I ′′ разбиений λ1 и λ2 соответст-

Глава 1

37

Определенный интеграл

ç

è

венно. Обозначим через ω , ω ′ , ω ′′ колебания функции f на отрезках I , I ′ и I ′′ соответственно. Как обычно, через | I | обозначается длина отрезка I . Тогда, в силу сказанного, имеет место соотношение Sω (λ ,[a, c]) − ω ⋅ | I | +ω ′⋅ | I ′ | +ω ′′⋅ | I ′′ |= Sω (λ1,[a, b]) + Sω (λ2 ,[b, c]).

Красным цветом в формуле показано удаляемое слагаемое, а зеленым цветом — два добавляемых слагаемых. Отсюда получаем: ′⋅ | I ′ | − ω ′′⋅ | I ′′ | ≤ Sω= (λ ,[a, c]) Sω (λ1,[a, b]) + Sω (λ2 ,[b, c]) + ω ⋅ | I | − ω    ≥0

≥0

≤ Sω (λ1,[a, b]) + Sω (λ2 ,[b, c]) + ω ⋅ | I | .

Неравенство возникает после отбрасывания двух выделенных красным цветом слагаемых. Остается заметить, что, как и в предыдущем случае, выполняется неравенство Sω (λ1,[a, b]) + Sω (λ2 ,[b, c]) < 2ε . Кроме того, имеют место неравенства ω ≤ 2M , | I |< δ ≤ 2ε . Окончательно получаем оценку Sω (λ ,[a, c]) < 2ε + 4 M ε .

Итак, в любом из двух случаев выполняется оценка Sω (λ ,[a, c]) < 2ε + 4 M ε .

В силу произвольности ε , из критерия интегрируемости функции следует, что функция f интегрируема на отрезке [a, c] . Перейдем теперь к соотношениям, связывающим интегралы. Выберем произвольное разбиение λ ∈ Λ ([a, c]) , удовлетворяющее дополнительному условию b ∈ λ . Выберем набор точек ξ , подчиненный разбиению λ.

Глава 1

38

Определенный интеграл

ç

è

Рассмотрим интегральную сумму

l −1

∑ f (ξi )∆xi .

Разбивая сумму в правой

i =0

части на две суммы, соответствующие каждому из двух отрезков [a, b] и

[b, c] , получаем: l −1

)∆xi ∑ f (ξi=

k −1

l −1

∑ f (ξi )∆xi + ∑ f (ξi )∆xi .

=i 0 =i 0 =i k

В правой части находятся интегральные суммы для функции f на отрезках [a, b] и [b, c] соответственно. Переходя к пределу при условиях

| λ |→ 0 , b ∈ λ , получаем искомое соотношение для интегралов. Теорема полностью доказана. b

Выше мы рассматривали определенный интеграл

∫ f ( x) dx в предпоa

ложении, что a < b . Понятие определенного интеграла может быть расширено на случай других соотношений между верхним и нижним пределами. Предположим, что функция f определена и интегрируема на некотором отрезке I . Для a , b ∈ I , a > b полагаем по определению b

a

a

a

b

a

− ∫ f ( x) dx, ∫ f ( x) dx = 0 . ∫ f ( x) dx =

Тогда утверждение теоремы может быть обобщено на такой случай. СЛЕДСТВИЕ ТЕОРЕМЫ 10. Предположим, что функция f интегрируема на некотором отрезке I . Тогда для любых a , b , c ∈ I выполняется равенство

Глава 1

39

Определенный интеграл

ç

è

c

b

c

a

a

b

f ( x) dx ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx. ∫=

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Случай a < b < c рассмотрен в самой теореме. Рассмотрим случай, когда a < c < b . Применяя теорему, получаем: b

c

b

a

a

c

f ( x) dx ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx. ∫=

Меняя местами пределы интегрирования во втором интеграле в правой части, получаем: b

c

c

a

a

b

f ( x) dx ∫ f ( x) dx − ∫ f ( x) dx . ∫=

Перенося второй интеграл в правой части равенства в левую часть, получим требуемое утверждение. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Теорема 10 позволяет найти еще один расширить класс интегрируемых функций. Приведем сначала следующее определение. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция, определенная на отрезке I , называется кусочно-непрерывной на этом промежутке, если она непрерывна всюду на I , кроме конечного числа точек, в которых имеет разрывы первого рода. ТЕОРЕМА 11. Функция, кусочно-непрерывная на отрезке, интегрируема на этом отрезке. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ограничимся предположением, что функция f определена на отрезке [a, b] и непрерывна всюду, кроме одной точки c ,

Глава 1

40

Определенный интеграл

ç

è

a < c < b . Рассмотрим сужение функции f на отрезок [a, c] . Эта функция

непрерывна во всех точках x , a ≤ x < c и существует предел lim f ( x) . В x→c −0

силу следствия теоремы 9, функция f интегрируема на отрезке [a, c]. Аналогично получаем, что она интегрируема на отрезке [c, b] . Из теоремы 10 выводим, что функция f интегрируема на отрезке [a, b] . Теорема доказана.

8. Теорема о среднем для определенного интеграла Рассмотрим сначала некоторые неравенства для определенных интегралов. ТЕОРЕМА 12. Предположим, что функция f определена и интегрируема на отрезке [a, b] и для всех x ∈ [a, b] выполняется неравенство f ( x) ≥ 0 . Тогда

b

∫ f ( x) dx ≥ 0 . a

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем произвольное разбиение λ отрезка [a, b], возьмем произвольный набор точек ξ , ξ | λ и рассмотрим соответствующую интегральную сумму

k −1

∑ f (ξi )∆xi . Все слагаемые под знаком суммы i =0

являются неотрицательными. Поэтому

k −1

∑ f (ξi )∆xi ≥ 0 . Переходя к пределу i =0

при | λ |→ 0 получаем требуемое неравенство для определенного интеграла.

Глава 1

41

Определенный интеграл

ç

è

Вейерштрасс

Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ. Предположим, что функции f и g определены и интегрируемы на отрезке [a, b] и для всех x ∈ [a, b] выполняется неравенство f ( x) ≤ g ( x) . Тогда

b

b

a

a

∫ f ( x) dx ≤ ∫ g ( x) dx .

Действительно, для любого x ∈ [a, b] выполняется неравенство g ( x) − f ( x) ≥ 0 . b

В силу предыдущего свойства, ∫ ( g ( x) − f ( x)) dx ≥ 0 , и следовательно, a

b

b

∫ g ( x) dx − ∫ f ( x) dx ≥ 0 a

.

a

Справедливо следующее утверждение. ТЕОРЕМА 13 (ТЕОРЕМА

О СРЕДНЕМ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА).

Пусть функция f определена и непрерывна на отрезке [a, b] . Тогда существует точка ξ ∈ [a, b] , такая, что b

∫ f ( x) dx=

(b − a ) f (ξ ).

a

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу теоремы Вейерштрасса, функция, непрерывная на отрезке, достигает на этом отрезке своего максимального и минимального значений. Обозначим: = M max{ f ( x) : a ≤ x= ≤ b} , m min{ f ( x) : a ≤ x ≤ b} .

Глава 1

42

Определенный интеграл

ç

è

Для любого x ∈ [a, b] имеет место неравенство m ≤ f ( x) ≤ M . Тогда из следствия теоремы 12 получаем: b

b

b

a

a

a

∫ m dx ≤ ∫ f ( x) dx ≤ ∫ M dx , b

m(b − a ) ≤ ∫ f ( x) d ≤xM (b − a ) . a

Деля все части выписанных неравенств на положительное число b − a , получаем неравенство: b

1 m≤ f ( x) dx ≤ M . b − a ∫a

По теореме о промежуточном значении непрерывной функции, существует точка ξ ∈ [a, b] , для которой выполняется равенство b

1 f ( x) dx = f (ξ ), b − a ∫a

или b

∫ f ( x) dx=

(b − a ) f (ξ ).

a

Теорема доказана. Прежде, чем формулировать следствие теоремы, напомним следующее определение. Пусть a , b ∈  . Будем говорить, что число x ∈  лежит между a и b , если a ≤ x ≤ b при a ≤ b и a ≤ x ≤ b при b ≤ a . Если a ≠ b ,

Глава 1

43

Определенный интеграл

ç

è

будем говорить, что число x ∈  лежит строго между a и b , если a < x < b при a < b и b < x < a при b < a .

СЛЕДСТВИЕ. Предположим, что функция f определена и непрерывна на промежутке I . Тогда для любых точек a , b этого промежутка существует точка ξ , лежащая между a и b , такая, что b

∫ f ( x) dx=

(b − a ) f (ξ ).

a

Случай a < b рассмотрен в теореме. Допустим, что a > b . Применим теорему к функции f , непрерывной на отрезке [b, a ] : для некоторой точки ξ , лежащей между a и b , выполняется равенство a

∫ f ( x) dx=

(a − b) f (ξ ).

b

Умножая обе части последнего соотношения на −1 , получаем требуемое соотношение. В случае a = b полагаем ξ = a , и требуемое соотношение будет выполняться. Дадим геометрическую интерпретацию теоремы о среднем. Предположим, что функция f определена и непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на этом отрезке неотрицательные значения. Левая часть равенства b

∫ f ( x) dx=

(b − a ) f (ξ ),

a

как было сказано выше, есть площадь криволинейной трапеции, определяемой неравенствами a ≤ x ≤ b , 0 ≤ y ≤ f ( x) . Правая часть — это площадь

Глава 1

44

Определенный интеграл

ç

è

Лейбниц

Ньютон

прямоугольника с тем же основанием, что и криволинейная трапеция, и высотой f (ξ ) . Теорема утверждает, что существует точка ξ , для которой площади этих двух фигур равны.

9. Формула Ньютона-Лейбница В этом разделе мы выведем так называемую основную формулу интегрального исчисления. Докажем сначала следующее утверждение. ТЕОРЕМА 14. Предположим, что функция f определена и непрерывна на промежутке I . Тогда функция F , определяемая на этом промеx

жутке формулой F ( x) = ∫ f (t ) dt , где c ∈ I — любая фиксированная точка, c

дифференцируема в каждой точке x ∈ I и имеет место равенство F ′( x) = f ( x) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем произвольную точку x ∈ I и выберем величину ∆x ≠ 0 , такую, что x + ∆x ∈ I . Тогда x +∆x

F ( x + ∆= x) − F ( x)

x

∫

f (t ) dt −= ∫ f (t ) dt

c

c

x +∆x

∫

f (t ) dt.

x

Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, получаем: F ( x + ∆x) − F = ( x) f (ξ )∆x,

где точка ξ лежит между точкам x и x + ∆x .

Глава 1

45

Определенный интеграл

ç

è

Тогда F ( x + ∆x) − F ( x) = f (ξ ). ∆x

(∗)

Точка ξ зависит от ∆x (точка x считается фиксированной, поэтому зависимость ξ от x мы не рассматриваем). При ∆x → 0 точки ξ= ξ (∆x) , находящиеся между точкам x и x + ∆x , стремятся к x . В силу непрерывности функции f , из (∗) получаем, что F ( x + ∆x) − F ( x) = f ( x). ∆x→0 ∆x lim

Теорема доказана. x

ЗАМЕЧАНИЕ. Определенный интеграл вида

∫ f (t ) dt ,

x ∈ I называется

c

интегралом с переменным верхним пределом. СЛЕДСТВИЕ 1. Предположим, что функция f определена и непрерывна на промежутке I . Тогда она имеет первообразную на этом промежутке. Действительно, возьмем произвольную точку c ∈ I . Тогда первообx

разной, в силу теоремы, будет функция

∫ f (t ) dt , x ∈ I . c

СЛЕДСТВИЕ 2. Предположим, что функция f непрерывна на отрезке [a, b] , F — первообразная этой функции на этом отрезке. Тогда справедлива формула

b

)d x ∫ f ( x= a

F (b) − F (a ) .

Глава 1

46

Определенный интеграл

ç

è

x

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу теоремы, функция Φ ( x) = ∫ f (t ) dt , x ∈[a, b] a

является первообразной функции f . Первообразная функции находится с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Поэтому имеет место равенство Φ ( x)= F ( x) + C , x ∈ [a, b] с некоторой постоянной C , или, более подробно, x

∫ f (t ) dt =F ( x) + C ,

x ∈ [a, b].

(∗)

a

Подставляя в последнее соотношение x = a , получаем: F (a ) + C = 0, или C = − F (a ) . Тогда соотношение (∗) может быть переписано так: x

F ( x) − F (a ), ∫ f (t ) dt =

x ∈ [a, b].

a

Подставляя в последнее соотношение x = b , получаем доказываемое равенство. b

Формула

)d x ∫ f ( x=

F (b) − F (a ) носит название формулы Ньютона-

a

b

Лейбница. Обычно используется обозначение F (b) − F (a ) = F ( x) a (или боx =b

лее точное F (b) − F (a ) = F ( x) x=a ), и формула Ньютона-Лейбница приобреb

тает вид

∫ f ( x) dx = F ( x) a . Еще более выразительной является следующая b

a

запись этой формулы, в которой подчеркивается связь между определенным и неопределенным интегралами:

Глава 1

47

Определенный интеграл

ç

è

b

∫

f ( x) dx =

a

(∫

f ( x) dx

)

b

. a

ЗАМЕЧАНИЕ. Формула Ньютона-Лейбница остается в силе и без предположения, что a < b . Действительно, допустим, что a > b . Тогда для функции, интегрируемой на отрезке с концами a и b имеем: b

∫ f ( x) d a

a

x= − ∫ f ( x) d x= −( F (a) − F (b)) = F (b) − F (a) = F ( x) a . b

b

Здесь равенство, выделенное красным цветом, имеет место по определению интеграла в случае, когда нижний предел больше верхнего, равенство, выделенное синим цветом, имеет место по формуле НьютонаЛейбница. Случай a = b тривиален.

10. Методы вычисления определенных интегралов Перейдем к некоторым методам вычисления определенных интегралов. В случае неопределенных интегралов рассматривались метод замены переменной и метод интегрирования по частям. Эти же методы рассматриваются и в данном случае. ТЕОРЕМА 15. Предположим, что функция f определена и непрерывна на отрезке [a, b] , функция ϕ определена и непрерывно дифференцируема на отрезке с концами A и B , все значения функции ϕ принадлежат отрезку [a, b] и выполняются соотношения ϕ ( A) = a , ϕ ( B) = b . Тогда имеет место равенство

Глава 1

48

Определенный интеграл

ç

è

b

B

a

A

∫ f ( x) dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) dt. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что A < B , то есть функция ϕ определена и непрерывно дифференцируема на отрезке [ A, B] . Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Возьмем произвольную первообразную F функции f на отрезке [a, b] . Тогда имеет место равенство b

)d x ∫ f ( x=

F (b) − F (a ).

a

В силу условий, наложенных на функцию ϕ , функция f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) определена и непрерывна на отрезке [ A, B] . По теореме о производной сложной функции выполняется равенство F ′(ϕ (t )) = f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) , t ∈ [ A, B] , то есть функция F является первообразной функции f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) на указанном отрезке. Поэтому выполняется равенство B

F (ϕ (t )) A = F (ϕ ( B )) − F (ϕ ( A)) = F (b) − F (a ). ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) dt = B

A

Мы доказали требуемое соотношение. Случай A > B рассматривается аналогично. Единственное изменение здесь — вместо отрезка [ A, B] рассматривается отрезок [ B, A] . Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. В отличие от случая замены переменной в неопределенном интеграле, здесь не предполагается монотонность функции ϕ , по-

Глава 1

49

Определенный интеграл

ç

è

скольку обратное преобразование, то есть переход к исходной переменной, не требуется. ТЕОРЕМА 16. Предположим, что функции u и v определены и непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b] . Тогда имеет место равенство b

)v′( x) d x ∫ u ( x=

b u ( x )v ( x ) a

a

b

− ∫ u′( x)v( x) d x. a

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся равенством (u ( x)v( x))′ = u′( x)v( x) + u ( x)v′( x),

x ∈ [a, b].

Оно означает, что функция uv является первообразной функции u′v + uv′ на указанном отрезке. Отсюда, применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем: b

(u ( x)v( x)) a , ∫ (u′( x)v( x) + u ( x)v′( x)) d x= b

a

b

b

a

a

(u ( x)v( x)) a . ∫ u′( x)v( x) dx + ∫ u ( x)v′( x) d x= b

Перенося интеграл, выделенный красным, в правую часть равенства, получаем искомое соотношение. Теорема доказана.

Глава 1

50

Определенный интеграл

ç

è

11. Приложения определенного интеграла В этом разделе будут рассмотрены некоторые приложения полученных выше результатов к задачам о вычислении площади плоской фигуры и длины дуги. Предположим, что функция f определена и непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на этом отрезке неотрицательные значения. Рассмотрим соответствующую криволинейную трапецию, то есть фигуру, ограниченную осью Ox , прямыми x = a , x = b и линией y = f ( x) , a ≤ x ≤ b . Обозначим эту фигуру через F0 . Пусть λ = {xi }ik=0 — произвольное разбиение отрезка [a, b] . Сужение функции f на произвольный отрезок разбиения [ xi , xi +1 ] , i = 0 , 1, …, k − 1 является непрерывной функцией и, в силу теоремы Вейерштрасса, в некоторой точке α i ∈ [ xi ,xi +1 ] принимает свое наибольшее значение на этом отрезке, а в некоторой точке βi ∈ [ xi , xi +1 ] — свое наименьшее значение. Введем наборы точек α = {α i }ik=−01 , β = {βi }ik=−01 . Тогда выполняются соотношения α | λ , β | λ . Для каждого i = 0 , 1, …, k − 1 рассмотрим прямоугольник с основанием [ xi , xi +1 ] и высотой f (α i ) и прямоугольник с тем же основанием и высотой f ( βi ) . Площади этих прямоугольников равны соответственно f (α i )∆xi и f ( βi )∆xi , где ∆xi= xi +1 − xi . На следующем рисунке приведены

фрагмент рассматриваемой криволинейной трапеции и эти прямоугольники. Верхняя сторона прямоугольника с высотой f (α i ) выделена красным цветом, прямоугольника с высотой f ( βi ) — зеленым цветом.

Глава 1

51

Определенный интеграл

ç

è

Введем на плоскости следующие фигуры: F+ (λ ) — объединение всех прямоугольников с основанием [ xi , xi +1 ] и высотой f (α i ) , F− (λ ) — объединение всех прямоугольников с основанием [ xi , xi +1 ] и высотой f ( βi ). Тогда для любого разбиения λ введенные фигуры и рассматривае-

мая криволинейная трапеция F0 связаны соотношением F− (λ ) ⊂ F0 ⊂ F+ (λ ) .

Площадь фигуры F+ (λ ) равна сумме площадей всех составляющих ее прямоугольников, то есть величине

k −1

∑ f (αi )∆xi . Отметим, что это интегральi =0

ная сумма S ( f ; λ ,α ) . Аналогично получаем, что площадь фигуры F− (λ ) равна

k −1

∑ f (βi )∆xi , то есть интегральной сумме S ( f ; λ , β ) . i =0

Функция f , непрерывная на отрезке [a, b] , интегрируема на этом отb

резке. Обозначим: I = ∫ f ( x) dx . В силу непрерывности функции f , выa

полняются соотношения

Глава 1

52

Определенный интеграл

ç

è

lim S ( f ; λ ,α ) I= , lim S ( f ; λ , β ) I , = |λ|→0

|λ|→0

то есть при | λ |→ 0 площади фигур F− (λ ) и F+ (λ ) стремятся к одной и той же величине. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Общий предел значений S ( f ; λ ,α ) и S ( f ; λ , β ) при

| λ |→ 0 называется площадью криволинейной трапеции F0 . В силу сказанного выше, площадь рассматриваемой криволинейной b

трапеции равна

∫ f ( x) dx . a

ЗАМЕЧАНИЕ. При более строгом подходе вводятся понятия квадрируемой фигуры на плоскости и ее площади. Приведем схему одного из вариантов такого подхода. Будем предполагать, что нам известно понятие площади многоугольника, то есть фигуры, ограниченной замкнутой ломаной линией. Площадь многоугольника F будем обозначать через S ( F ). Произвольная фигура F0 на плоскости называется квадрируемой, если су+ +∞ ществуют последовательности {Fn− }n+∞ =1 и {Fn }n =1 многоугольников, обла-

дающие следующими свойствами: для любого n ∈  выполняются вложения Fn− ⊂ F0 ⊂ Fn+ и имеет место равенство lim S ( Fn− ) = lim S ( Fn+ ) . Поn→+∞

n→+∞

следнее значение считается площадью квадрируемой фигуры F0 . Отметим, что это определение нуждается в обосновании: нужно показать, что указанный предел не зависит от выбора последовательностей {Fn− }n+∞ =1 и {Fn+ }n+∞ =1 , обладающих приведенными свойствами.

Вернемся к введенному выше понятию площади криволинейной трапеции. При любом разбиении λ отрезка [a, b] фигуры F− (λ ) и F+ (λ ) яв-

Глава 1

53

Определенный интеграл

ç

è

ляются многоугольниками, связанными с рассматриваемой криволинейной трапецией соотношением F− (λ ) ⊂ F0 ⊂ F+ (λ ) . Одинаковые пределы площадей этих многоугольников при | λ |→ 0 мы и назвали площадью этой криволинейной трапеции. При этом не анализировались другие способы приближения криволинейной трапеции многоугольниками «снаружи» и «изнутри». Остановимся теперь совсем кратко на других вариантах вычислений площадей плоских фигур. Предположим, что даны две функции f и g , которые определена и непрерывны на отрезке [a, b] , причем для любого x ∈ [a, b] выполняется неравенство g ( x) ≤ f ( x) . Рассмотрим фигуру, ограниченную осью Ox , прямыми x = a , x = b и линиями y = f ( x) , y = g ( x) , a ≤ x ≤ b . На приводимом ниже рисунке эта фигура ограничена линиями синего цвета.

Площадь данной фигуры является разностью площадей криволинейных трапеций ABFE и ABDC , то есть разности

Глава 1

54

Определенный интеграл

ç

è

b

b

b

a

a

a

∫ f ( x) dx − ∫ g ( x) dx =∫ ( f ( x) − g ( x)) dx. ЗАМЕЧАНИЕ. Полученная формула найдена в предположении, что обе функции f и g принимают на отрезке [a, b] неотрицательные значения (поскольку была использована формула для нахождения площади криволинейной трапеции, выведенная именно при таком предположении). Однако формула для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя линиями, остается в силе и без предположения о том, что функции f и g принимают неотрицательные значения. Действительно, в последнем случае найдется такая положительная константа c , что функции f + c и g + c принимают на отрезке [a, b] положительные значения. При этом анализируемая фигура сдвинется на c единиц параллельно оси ординат (см. рисунок ниже). Площади фигуры сохраняется при параллельном переносе.

Применяя к фигуре, полученной после сдвига (и имеющей ту же площадь, что и исходная фигура), приведенную выше формулу, находим, что эта площадь равна

Глава 1

55

Определенный интеграл

ç

è

b

b

b

a

a

a

∫ ( f ( x) + c) dx − ∫ ( g ( x) + c) dx= ∫ ( f ( x) − g ( x)) dx, то есть формула для нахождения площади остается верной и в рассматриваемом случае. Перейдем теперь к вопросу о площади криволинейного сектора. Выберем на плоскости полярную систему координат и введем кривую, заданную в этой системе координат уравнением r = f (ϕ ) , α ≤ ϕ ≤ β ,

где 0 ≤ α < β ≤ 2π , f — функция, определенная и непрерывная на отрезке

[α , β ] и принимающая всюду на этом отрезке неотрицательные значения. Рассмотрим на плоскости фигуру, ограниченную данной линией и лучами ϕ = α , ϕ = β . Эта фигура называется криволинейным сектором (см. рисунок ниже). Обозначим рассматриваемый криволинейный сектор через F0 .

В случае криволинейной трапеции рассматриваемая фигура приближалась объединением прямоугольников. Криволинейный сектор мы будем при-

Глава 1

56

Определенный интеграл

ç

è

ближать объединением круговых секторов. Напомним, что площадь кругового сектора радиуса R с центральным углом ϕ (как всегда, измеряемым в радианах) равна

1 2 R ϕ. 2

Пусть λ = {ϕi }ik=0 — произвольное разбиение отрезка [α , β ] . Предположим, что сужение функции f на отрезок разбиения [ϕi ,ϕi +1 ] , i = 0 , 1, …, k − 1 принимает свое наибольшее значение на этом отрезке в точке

α i ∈ [ϕi ,ϕi +1 ] , а в точке βi ∈ [ϕi ,ϕi +1 ] принимает свое наименьшее значение. Обозначим

f (α i ) = M i ,

f ( βi ) = mi . Введем наборы точек α = {α i }ik=−01,

β = {βi }ik=−01 . Тогда выполняются соотношения α | λ , β | λ . Для каждого i = 0 , 1, …, k − 1 рассмотрим круговой сектор радиуса M i , ограниченный лучами ϕ = ϕi и ϕ = ϕi +1 . Площадь такого сектора равна

1 2 M i ∆ϕi , где ∆ϕi = ϕi +1 − ϕi . Обозначим через F+ (λ ) объединение 2

всех таких секторов. Тогда площадь фигуры F+ (λ ) равна сумме составляющих ее круговых секторов, то есть равна k −1

k −1 1 2 1 = M ∆ ϕ ∑ 2 i i ∑ 2 f (αi )2 ∆ϕi . =i 0 =i 0

1  Это интегральная сумма S  f 2 ; λ ,α  . Аналогично для каждого 2  i = 0 , 1, …, k − 1 рассматриваем круговые секторы радиуса mi , ограничен-

ные лучами ϕ = ϕi и ϕ = ϕi +1 . Площадь такого сектора равна

1 2 mi ∆ϕi . 2

Пусть через F− (λ ) — объединение всех таких секторов. Тогда площадь фигуры F− (λ ) равна

Глава 1

57

Определенный интеграл

ç

è

k −1

k −1 1 2 1 1  2 mi ∆ϕi ∑ f ( β= S  f 2 ; λ , β . ∑ 2= i ) ∆ϕi 2  =i 0 =i 0 2

Остается заметить, что для любого разбиения λ отрезка [α , β ] выполняется соотношение F− (λ ) ⊂ F0 ⊂ F+ (λ ) и, кроме того, для площадей фигур F− (λ ) и F+ (λ ) выполняется соотношение β

1  1  1 lim S  f 2 ; λ ,α  lim S  f 2;λ, β  f (ϕ ) 2 dϕ . = = ∫ |λ|→0  2  |λ|→0  2  2α

1  1  ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Общий предел значений S  f 2 ; λ ,α  и S  f 2 ; λ , β  2  2 

при | λ |→ 0 называется площадью криволинейного сектора F0 . В силу сказанного, площадь рассматриваемого криволинейного секβ

1 тора равна ∫ f (ϕ ) 2 dϕ . 2α

Перейдем к примерам. ПРИМЕР. Найти площадь, ограниченную эллипсом, задаваемым каx2 y 2 ноническим уравнением 2 + 2 = 1. a b

РЕШЕНИЕ. В силу симметричности эллипса относительно осей координат, достаточно вычислить площади фигуры, ограниченной эллипсом и находящейся в первой координатной четверти.

Глава 1

58

Определенный интеграл

ç

è

Уравнение части эллипса, находящейся в первой четверти, имеет вид: b x2 y 1 − 2 , 0 ≤ x ≤ a, = a a

и площадь указанной части эллипса находим как площадь криволинейной трапеции: a

a

b 2 b 2 ⋅ ∫ a 2 − x 2 dx. ∫ a a − x dx = a 0 0

В последнем интеграле выполним замену переменной: x = a sin t , 0 ≤ t ≤ Тогда π 2

a

∫

a − x dx = 2

2

0

∫

π 2

a − a sin t d (a sin t ) = a 2

2

2

0

1 + cos 2t a2 π a ∫ dt =(t + sin 2t ) 0 = 2 2 0

∫ cos 0

π 2

2

2

2

π a2

=. 4

2

t dt =

π 2

.

Глава 1

59

ç

Определенный интеграл è

Окончательно находим формулу для нахождения площади S рассматриваемого эллипса: b π a2 S =4⋅ ⋅ = π ab. a 4

ПРИМЕР. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x 2 и y= x + 3 .

РЕШЕНИЕ. Найдем точки пересечений указанных линий. Для этого рассматриваем систему уравнений  y = x 2 ,   y= x + 2.

Исключаем неизвестную y : x 2= x + 2 , x 2 − x − 2 = 0 . Отсюда находим абсциссы точек пересечения: x1 = −1 , x2 = 2 . При −1 < x < 2 выполняется неравенство x + 2 > x 2 , то есть точки прямой находятся выше точек параболы с теми же абсциссами (см. рисунок ниже).

Глава 1

60

Определенный интеграл

ç

è

Теперь находим искомую площадь: 2

1 2 x3  9 2 S= ∫ ( x + 2 − x ) dx=  x + 2 x −  = . 3 2 2 −1 2

−1

ПРИМЕР. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией = r cos3ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π .

РЕШЕНИЕ. Точки кривой соответствуют тем и только тем значениям полярного угла ϕ , для которых выполняется неравенство sin 3ϕ ≥ 0 , то есть значениям ϕ , принадлежащим промежуткам [0, π 3] , [2 π 3, π ] , [4π 3,5π 3] . При этом площади всех трех «лепестков» рассматриваемой

фигуры совпадают (см. рисунок ниже).

Глава 1

61

Определенный интеграл

ç

è

Площадь половины одного из «лепестков», то есть одной шестой части фигуры, равна π 6

∫ 0

π 6

1 2 1 1 − cos 6ϕ 1 sin 6ϕ  sin 3ϕ dϕ = dϕ = ϕ −  ∫ 2 2 0 2 4 6 

π 6

0

π

. = 24

Отсюда получаем, что площадь всей фигуры равна π 4 . Рассмотрим вопрос о вычислении длины дуги кривой. Площадь фигуры определялась как предел площадей более простых фигур, приближающих данную в некотором смысле. В случае кривых на плоскости поступают аналогично, приближая произвольную кривую ломаной, длина которой определяется как сумма длин составляющих ее звеньев. Перейдем к точным определениям. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предположим, что функции ϕ и ψ непрерывны на некотором отрезке [a, b] . Множество точек координатной плоскости L , задаваемое условием = L {(ϕ (t ),ψ (t )) : t ∈ [a, b]} ,

называется непрерывной кривой на плоскости. Рассмотрим указанную в определении кривую L . Выберем произвольное разбиение λ = {ti }ik=0 отрезка [a, b] и рассмотрим последовательность точек M i = (ϕ (ti ),ψ (ti )) , i = 0 , 1, …, k этой кривой. Соединяя отрезком каждую точку M i с точкой M i +1 при i = 0 , 1, …, k − 1, получим некоторую ломаную на плоскости, которую будем обозначать через Lλ . Обо-

Глава 1

62

Определенный интеграл

ç

è

значим через ( Lλ ) длину этой ломаной, то есть сумму длин составляющих ее отрезков, звеньев этой ломаной. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Непрерывная кривая на плоскости называется спрямляемой, если существует предел lim ( Lλ ) . В этом случае указанный пре|λ|→0

дел называется длиной кривой L . Длину спрямляемой кривой L будем обозначать ( L) . Прежде, чем доказывать теорему о вычислении длины спрямляемой кривой, докажем следующее вспомогательное утверждение. ЛЕММА. Для любых вещественных a , b , c имеет место оценка a 2 + c2 − b2 + c2 ≤| a − b | .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если a= b= 0 , то доказываемое соотношение, очевидно, имеет место. Допустим, что числа a и b не обращаются в ноль одновременно. Умножая и деля разность

a 2 + c 2 − b 2 + c 2 на сопряженное

выражение, находим: a +c − b +c ≤ 2

2

2

= |a −b|

| a 2 − b2 |

2

a 2 + c2 + b2 + c2 |a +b|

a +c + b +c 2

2

2

2

=

.

Оценим дробь в правой части. Учтем следующие соотношения:

| a + b |≤| a | + | b | ,

(∗)

Глава 1

63

Определенный интеграл

ç

è

a 2 + c 2 + b 2 + c 2 ≥ a 2 + b 2 =| a | + | b | .

Следовательно, |a +b| a +c + b +c 2

2

2

2

≤ 1,

и из (∗) получаем искомое неравенство. Лемма доказана. ТЕОРЕМА 17. Предположим, что кривая на плоскости задается условием L {(ϕ (t ),ψ (t )) : t ∈ [a, b]}, где функции ϕ и ψ определены и непре= рывно дифференцируемы на отрезке [a, b] . Тогда кривая L является спрямляемой, и ее длина может быть найдена по формуле b

= ( L)

∫

(ϕ ′(t )) 2 + (ψ ′(t )) 2 dt.

a

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Следуя определению спрямляемой кривой, выберем произвольное разбиение λ = {ti }ik=0 отрезка [a, b] , введем последовательность точек M i = (ϕ (ti ),ψ (ti )) , i = 0 , 1, …, k и соединим отрезком каждую точку M i с точкой M i +1 при i = 0 , 1, …, k − 1. Длину отрезка M i M i +1 находим по формуле | M i M i +1=|

(ϕ (ti +1 ) − ϕ (ti )) 2 + (ψ (ti +1 ) − ψ (ti )) 2 .

Тогда длина ломаной Lλ , которая получается путем последовательного соединения этих отрезков, равна

Глава 1

64

Определенный интеграл

ç

è

( L= λ)

k −1

k −1

∑| M i M= i +1 | ∑

=i 0 =i 0

(ϕ (ti +1 ) − ϕ (ti )) 2 + (ψ (ti +1 ) − ψ (ti )) 2

Применяя к каждой из разностей ϕ (ti +1 ) − ϕ (ti ) , i = 0 , 1, …, k − 1 формулу конечных приращений, получаем: ϕ (ti +1 ) − ϕ (ti ) = ϕ ′(ξi )∆ti , где ξi — некоторая точка, принадлежащая отрезку [ti , ti +1 ] , ∆ti = ti +1 − ti . Набор точек

ξ = {ξi }ik=−01 подчинен разбиению λ . Аналогично, рассматривая разность ψ (ti +1 ) − ψ (ti ) находим точки ηi ∈ [ xi , xi +1 ] , для которых выполняется равенство ψ (ti +1 ) − ψ (ti ) = ψ ′(ηi )∆ti . Набор точек η = {ηi }ik=−01 также подчинен разбиению λ . Учитывая полученные соотношения, преобразуем формулу для нахождения ( Lλ ) : ( L= λ)

k −1

∑ i =0

(ϕ ′(ξi )) 2 + (ψ ′(ηi )) 2 ∆ti .

Преобразуем последнюю сумму следующим образом: = ( Lλ )

k −1

∑

′(ηi )) 2 ∆ti (ϕ ′(ξi )) 2 + (ψ=

k −1

∑

=i 0 =i 0 k −1

+∑ i =0

(

(ϕ ′(ξi )) 2 + (ψ ′(ξi )) 2 ∆ti +

)

(ϕ ′(ξi )) 2 + (ψ ′(ηi )) 2 − (ϕ ′(ξi )) 2 + (ψ ′(ξi )) 2 ∆ti .

Первое слагаемое в правой части является интегральной суммой S ( (ϕ ′) 2 + (ψ ′) 2 , λ , ξ ) .

Обозначая второе слагаемое через R(λ , ξ ,η ) , полученное соотношение переписываем так:

Глава 1

65

Определенный интеграл

ç

è

( Lλ ) =S ( (ϕ ′) 2 + (ψ ′) 2 , λ , ξ ) + R(λ , ξ ,η ).

(∗)

Найдем предел выражения в правой части при | λ |→ 0 . Функция (ϕ ′(t )) 2 + (ψ ′(t )) 2

непрерывна на отрезке [a, b] и, следовательно, интегрируема на этом отрезке. Поэтому выполняется равенство b

lim S ( (ϕ ′) + (ψ ′) , λ , ξ ) = ∫ (ϕ ′(t )) 2 + (ψ ′(t )) 2 dt. 2

|λ|→0

2

a

Для анализа R(λ , ξ ,η ) , пользуясь леммой, получаем оценку: = | R(λ , ξ ,η ) |

k −1

∑ i =0

k −1

(ϕ ′(ξi )) 2 + (ψ ′(ηi )) 2 − (ϕ ′(ξi )) 2 + (ψ ′(ξi )) 2 ∆ti ≤ k −1

≤ ∑ |ψ ′(ηi ) − ψ ′(ξi ) | ∆ti ≤ ∑ ω (ψ ′,[ti , ti +1 ])∆ti ,

=i 0 =i 0

где, как и выше, через ω (ψ ′,[ xi , xi +1 ]) обозначено колебание функции ψ ′ на отрезке [ xi , xi +1 ] . Учтем, что функция ψ ′ является непрерывной на отрезке [a, b] . Выберем произвольное ε > 0 . В силу теоремы Кантора, найдется такое δ > 0 , что для любых t1 , t2 ∈ [a, b] , удовлетворяющих условию | t1 − t2 |< δ выполняется неравенство |ψ ′(t1 ) − ψ ′(t2 ) |< ε . Возьмем произвольное разбиение λ отрезка [a, b] , удовлетворяющее условию | λ |< δ . Для любого i = 0 , 1, …, k − 1 имеем:

Глава 1

66

Определенный интеграл

ç

è

, ti +1 ]) sup{|ψ ′(τ1 ) − ψ ′(τ 2 ) |: ti ≤ τ1,τ 2 ≤ ti +1} ≤ ε . ω (ψ ′,[ti =

Действительно, имеет место неравенство | ti +1 − ti |≤| λ |< δ , следовательно, любые точки τ1 , τ 2 ∈ [ti , ti +1 ] удовлетворяют неравенству | τ1 − τ 2 |< δ . Тогда |ψ ′(τ1 ) − ψ ′(τ 2 ) |< ε ,

и указанная точная верхняя грань не превосходит ε (используя непрерывность функции ψ ′ , легко доказать, что эта оценка является строгой). Тогда для произвольного разбиения λ , удовлетворяющего условию | λ |< δ , получаем оценку k −1

k −1

| R(λ , ξ ,η ) |≤ ∑ ω (ψ ′,[ti , ti +1 ])∆ti ≤ ε ∑ ∆ti= ε (b − a ).

=i 0 =i 0

Отсюда следует, что lim S (λ , ξ ,η ) = 0 , и окончательно находим: |λ|→0

b

= lim ( Lλ )

|λ|→0

∫

(ϕ ′(t )) 2 + (ψ ′(t )) 2 dt.

a

Полученное соотношение доказывает, что кривая L является спрямляемой, и дает формулу для нахождения ее длины. Теорема доказана. Рассмотрим частные случаи вычисления длины дуги. Предположим, что кривая L задана уравнением, разрешенным относительно y : y = f ( x) , a ≤ x ≤ b , где функция f непрерывно дифференци-

Глава 1

67

Определенный интеграл

ç

è

руема на отрезке [a, b] . Тогда эта же кривая может быть задана параметрическими уравнениями = x t, = y f (t ), a ≤ t ≤ b .

Применяя теорему, получаем, что данная кривая является спрямляемой, и ее длина может быть найдена по формуле b

b

2 ( L) = ∫ 1 + ( f ′(t )) dt = ∫ 1 + ( f ′( x)) dx. 2

a

a

Предположим, что кривая L задается уравнением в полярной системе координат: r = f (ϕ ) , α ≤ ϕ ≤ β . Учитывая соотношения x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , связывающие декартовы и полярные координаты, находим па-

раметрические уравнения рассматриваемой кривой: = x f (ϕ= )co ϕs, y f (ϕ )sin ϕ , α ≤ ϕ ≤ β .

Функции f (ϕ )cos ϕ , f (ϕ )sin ϕ непрерывно дифференцируемы на отрезке [α , β ] . После элементарных выкладок находим: (( f (ϕ )cos ϕ )′) 2 + (( f (ϕ )sin ϕ )′) 2 = = ( f ′(ϕ )co ϕs − f (ϕ )sin ϕ ) 2 + ( f ′(ϕ )sin ϕ + f (ϕ )co ϕs) 2 = = ( f (ϕ )) 2 + ( f ′(ϕ )) 2 ,

и тогда β

= ( L)

∫

α

( f (ϕ )) 2 + ( f ′(ϕ )) 2 dϕ .

ç

è

Глава 2. Числовые ряды 1. Основные определения Пусть {an }+∞ n=1 — некоторая числовая последовательность. Рядом (или, точнее, числовым рядом), составленным из элементов этой последовательности, называется выражение a1 + a2 +  + an + , или

+∞

∑ an .

От

n =1

обычной суммы, составленной из конечного числа слагаемых, это выражение отличается наличием бесконечного числа слагаемых. Наша задача состоит в том, чтобы придать этой сумме смысл, сопоставив ей при некоторых дополнительных предположениях числовое значение. Введем в рассмотрение следующие конечные суммы: S1 = a1, S2 = a1 + a2 , S3 = a1 + a2 + a3 ,  , S n = a1 + a2 +  + an ,, n

или Sn = ∑ ak , n ∈  . Суммы Sn называются частичными суммами расk =1

сматриваемого ряда. Числа an , n ∈  , называются членами рассматриваемого ряда.

Глава 2

69

Числовые ряды

ç

è

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовой ряд

+∞

∑ an

называется сходящимся, если по-

n =1

следовательность его частичных сумм {Sn }+∞ n=1 сходится. В этом случае суммой указанного ряды называют число S = lim Sn и пишут n→+∞

+∞

∑ an = S . n=1

Если последовательность частичных сумм {Sn }+∞ n=1 расходится, то ряд +∞

∑ an

называется расходящимся.

n =1

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Обратим внимание читателя, что выражение

+∞

∑ an n =1

может обозначать как сам ряд, так и его сумму. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Как и в случае числовых последовательностей, иногда удобно предполагать, что члены ряда проиндексированы неотрицательными целыми числами или целыми числами n , удовлетворяющими условию n ≥ m при некотором целом (и не обязательно неотрицательном) значе-

нии m . ПРИМЕР. Пусть q — произвольное вещественное число. Рассмотрим числовой ряд

+∞

∑ q n . Рассмотрим сначала случай

q ≠ 1. Частичные суммы

n =0

ряда имеют следующий вид:

1 − q n+1 1 1 Sn = ∑ q = = − ⋅ q n+1. 1− q 1− q 1− q k =0 n

k

(∗)

Глава 2

70

Числовые ряды

ç

è

Здесь применена формулу для суммирования геометрической прогрессии. Из полученной формулы следует, что последовательность {Sn }+∞ n=1 сходится в том и только том случае, когда сходится последовательность {q n }+∞ n=0 . Мы знаем, что эта последовательность сходится тогда и только тогда, когда | q |< 1 , и в этом случае lim q n = 0 . Для этих значений q из формулы (∗) n→+∞

находим: lim Sn = n→+∞

1 . 1− q

Остается рассмотреть случай q = 1 . При этом условии Sn= n + 1 , и последовательность {Sn }+∞ n=1 расходится. Окончательный вывод: рассматриваемый ряд сходится тогда и только тогда, когда | q |< 1 и при этом условии +∞

1

∑ qn = 1 − q .

n =0

ПРИМЕР. Рассмотрим ряд 1 − 1 + 1 − 1 +  , или

+∞

∑ (−1)n . Тогда

n =0

S0 = 1, S1 = 1 − 1 = 0, S2 = 1 − 1 + 1 = 1, S3 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0, Последовательность частичных сумм имеет следующий вид: 1, 0, 1, 0, … . Эта последовательность является расходящейся и, следовательно, рассматриваемый ряд расходится. ПРИМЕР. Рассмотрим ряд

+∞



1

∑ ln 1 + n  . Тогда n=1

 n +1 an= ln  = ln( n + 1) − ln n,  n 

Глава 2

71

Числовые ряды

ç

è

Sn = a1 + a2 +  + an = = (ln 2 − ln1) + (ln 3 − ln 2) +  + ln( n + 1) − ln n= ln( n + 1).

Учитывая, что ln( n + 1) → +∞ при n → +∞ , отсюда получаем, что рассматриваемый ряд расходится. ЗАМЕЧАНИЕ. По определению сходимость ряда равносильна сходимости последовательности его частичных сумм. Более того, для любой последовательности {Sn }+∞ n=1 существует ряд, для которого она является последовательностью его частичных сумм. Действительно, из соотношений

S1 = a1, S2 = a1 + a2 , S3 = a1 + a2 + a3 , S n = a1 + a2 +  + an ,, получаем:

a1 = S1, a2 = S2 − S1, a3 = S3 − S2 , an = Sn − Sn−1, . Очевидно, что исходная последовательность {Sn }+∞ n=1 как раз и будет последовательностью частичных сумм для ряда

+∞

∑ an

с членами указанного ви-

n =1

да. Более того, сходимость ряда по определению совпадает со сходимостью его частичных сумм. Поэтому исследование рядов — это, по существу, другая форма исследования последовательностей. Однако эта форма оказывается во многих случаях более удобной. Перейдем теперь к рассмотрению некоторых свойств рядов. 1°. Если ряд

+∞

∑ an n =1

сходится, то lim an = 0 . n→+∞

Глава 2

72

Числовые ряды

ç

è

Предположим, что lim Sn = A . Учитывая, что lim Sn+1 = A , получаn→+∞

n→+∞

an ем: lim= n→+∞

lim ( Sn+1 −= Sn ) 0, что и требовалось доказать.

n→+∞

Приведенное утверждение означает, что условие lim an = 0 является n→+∞

необходимым для сходимости ряда

+∞

∑ an . Достаточным это условие не явn =1

ляется, что видно из приведенного выше примера расходящегося ряда +∞



1



1

ln 1 +  = 0. ∑ ln 1 + n  , для которого выполняется условие nlim →+∞  n n=1

Если в ряде

+∞

∑ an

отбросить первые m членов, то получаемый ряд

n =1

+∞

∑

n= m+1

an называется остатком исходного ряда. Введем следующие обозна-

чения: n

n

n= 1

n= m+1

Sn = ∑ ak , n =1,2,, Sn(m) =∑ ak , n =m + 1, m + 2, . Тогда для n ≥ m + 1 выполняется равенство Sn = a1 + a2 +  + am + am+1 + am+ 2 +  + an = Sm + Sn( m ) .   Sm

Sn( m )

Приводимые ниже два свойства рядов используют полученное соотношение

Sn = Sm + Sn( m ) , n ≥ m + 1.

(∗)

Глава 2

73

Числовые ряды

ç

è

2°. Если ряд

+∞

∑ an n =1

таток

+∞

∑

n= m+1

сходится, то для любого m ∈  сходится его ос-

an , причем lim

k →+∞

+∞

∑

n= m+1

ak = 0 . Если остаток ряда

+∞

∑

n= m+1

an схо-

дится для некоторого m ∈  , то сходится и исходный ряд. Из соотношения (∗) следует, что для фиксированного m ∈  из существования одного из двух пределов lim Sn , lim Sn( m ) вытекает сущестn→+∞

n→+∞

вование другого. Отсюда вытекают оба сформулированных утверждения. 3°. Если ряд

+∞

+∞

∑ an сходится, то lim

m→+∞

n =1

При любом m ∈  ряд

+∞

∑

n= m+1

∑

n= m+1

an = 0 .

an является сходящимся, в силу преды+∞

дущего свойства. Обозначим: S = ∑ an . Переходя в соотношении (∗) к n =1

S Sm + пределу при n → +∞ , получаем: = +∞

∑

n= m+1

+∞

∑

n= m+1

an , то есть

an = S − Sm , m ∈  .

0. Остается заметить, что lim Sm = S и, следовательно, lim ( S − Sm ) = m→+∞

4°. Если ряд

+∞

∑ an n =1

сходится, и

+∞

+∞

сходится, то для любого c ∈  ряд

∑ can = c∑ an .

n 1= n 1 =

m→+∞

+∞

∑ can n =1

также

Глава 2

74

Числовые ряды

ç

è

Коши

Действительно, обозначим через Sn и Sn , n ∈  , частичные суммы этих рядов. Тогда, очевидно, Sn = cSn , и lim Sn = c ⋅ lim Sn . n→+∞

+∞

+∞

5°. Если ряды ∑ an и

∑ bn

n =1

и имеет место равенство

n→+∞

сходятся, то сходятся ряды

n =1

+∞

∑ (an ± bn ) n=1

+∞

+∞

+∞

∑ (an ± bn )= ∑ an ± ∑ bn .

= n 1

= n 1= n 1

Для доказательства достаточно рассмотреть частичные суммы рядов: имеет место равенство n

n

n

∑ (ak ± bk )= ∑ ak ± ∑ bk ,

= k 1

= k 1= k 1

n= 1,2, .

При n → +∞ существуют пределы обеих сумм в правой части. Отсюда +∞

∑ (an ± bn )

следует сходимость рядов

и соответствующие соотношения

n=1

для их сумм.

2. Критерий Коши сходимости ряда Следующее утверждение дает необходимое и достаточное условие сходимости числового ряда. ТЕОРЕМА 1 (КРИТЕРИЙ КОШИ). Следующие условия эквивалентны: 1) числовой ряд

+∞

∑ an n =1

сходится;

Глава 2

75

Числовые ряды

ç

è

2) по любому ε > 0 найдется такое N , что для любых n ≥ N , p = 1 , 2 , … выполняется неравенство

n+ p

∑

k = n +1

ak < ε .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Эта теорема является непосредственным следствием критерия Коши сходимости числовой последовательности. Действиn

. Сходимость тельно, введем следующее обозначение: Sn = ∑ ak , n ∈  k =1

рассматриваемого ряда по определению равносильна сходимости последовательности {Sn }+∞ n=1 . В силу критерия Коши сходимости последовательности, последовательность {Sn }+∞ n=1 сходится в том и только том случае, когда по любому ε > 0 найдется такое N , что для любых n ≥ N , p = 1 , 2 , … выполняется неравенство | Sn+ p − Sn+1 |< ε . Остается заметить, что имеет место равенство

Sn+ p −= Sn+1

n+ p

∑

k = n +1

ak , n ∈ = , p 1,2.  .

Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. В силу приведенного критерия, расходимость ряда +∞

∑ an n =1

равносильна следующему условию: существует такое ε 0 > 0 , что

для любого N ∈  найдутся такие n ≥ N и p ∈  , что n+ p

∑

k = n +1

ak ≥ ε 0 .

В качестве иллюстрации можно рассмотреть гармонический ряд

Глава 2

76

Числовые ряды

ç

è

+∞

1

∑ n. n=1

1 Полагаем ε 0 = . Беря любое n ≥ N и полагая p = n , получаем 2 n+ p

1 ∑ k= k= n +1

2n

1 1 1 1 1 1 = + ++ ≥ n⋅ = . 2n 2n 2 n +1 n + 2 k= n +1 k

∑

Следовательно, гармонический ряд является расходящимся.

3. Ряды с неотрицательными членами В этом разделе мы рассмотрим случай рядов, все члены которых удовлетворяют одному и только одному из следующих двух условий: an ≥ 0 ,

an ≤ 0 . Такие ряды принято называть знакопостоянными. Путем умножения всех членов ряда на −1 , ряды, члены которых удовлетворяют второму условию, преобразуются в ряды, удовлетворяющие первому условию и наоборот. В курсе математического анализа принято ограничиваться рассмотрением рядов, члены которых удовлетворяют условию an ≥ 0 . ТЕОРЕМА 2. Ряд

+∞

∑ an

с неотрицательными членами сходится в том

n =1

и только том случае, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим последовательность частичных сумм n

рассматриваемого ряда: Sn = ∑ ak . Из соотношения Sn+= 1 S n + an +1 , n ∈  k =1

Глава 2

77

Числовые ряды

ç

è

и неотрицательности членов ряда следует, что рассматриваемая последовательность частичных сумм является возрастающей. Остается напомнить, что, возрастающая последовательность является сходящейся в том и только том случае, когда она ограничена сверху. Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Читателю предлагается убедиться в справедливости следующего варианта критерия сходимости ряда с неотрицательными членами: ряд

∞

∑ an

с неотрицательными членами сходится в том и только том

n =1

случае, когда некоторая подпоследовательность последовательности его частичных сумм ограничена сверху. ТЕОРЕМА 3 (ПРИЗНАК двух рядов

+∞

+∞

n =1

n =1

∑ an и ∑ bn

СРАВНЕНИЯ РЯДОВ).

Предположим, что члены

с неотрицательными членами удовлетворяют ус-

ловию an ≤ bn n = 1,2, . Тогда 1) из сходимости ряда

+∞

∑ bn

следует сходимость ряда

n =1

2) из расходимости ряда

+∞

∑ an ; n =1

+∞

∑ an следует расходимость ряда n =1

+∞

∑ bn . n =1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Введем следующие обозначения для частичных сумм рядов:

= An

n

n

ak , Bn ∑ bk , ∑=

= k 1= k 1

n ∈  .

Глава 2

78

Числовые ряды

ç

è

Из условия, наложенного на члены ряда, следует, что для всех n ∈  выполняется неравенство An ≤ Bn . Остается заметить, что если ряд

+∞

∑ bn n =1

сходится, то, в силу предыдущей теоремы, последовательность его частичных сумм {Bn }+∞ n=1 ограничена сверху, то есть существует такая константа C , что для всех n ∈  выполняется неравенство Bn ≤ C . Тогда для всех n ∈  выполняется и неравенство An ≤ C и, в силу той же теоремы, ряд +∞

∑ an

сходится. Мы доказали свойство 1). Свойство 2) является логически

n =1

равносильным свойству 1). Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если члены двух рядов

+∞

∑ an n=1

и

+∞

∑ bn

с неотрицатель-

n =1

ными членами удовлетворяют условию an ≤ bn , говорят, что второй ряд (то есть

+∞

∑ bn )

мажорирует первый (или члены первого ряда мажорируюся

n =1

членами второго ряда). ЗАМЕЧАНИЕ 2. Равносильность свойств 1) и 2) имеет место и в том случае, когда неравенство an ≤ bn выполняется не для всех значений n , а для всех достаточно больших значений n . Для доказательства такого варианта достаточно рассмотреть остатки рядов, начиная с подходящего номера. ТЕОРЕМА 4 (ПРИЗНАК положим, что для рядов

СРАВНЕНИЯ РЯДОВ В ПРЕДЕЛЬНОЙ ФОРМЕ).

+∞

∑ an и n =1

+∞

∑ bn n =1

Пред-

с положительными членами суще-

Глава 2

79

Числовые ряды

ç

è

an . Тогда эти ряды n→+∞ bn

ствует конечный положительный предел c = lim сходятся или расходятся одновременно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем такое N , что для всех n ≥ N , выполняется неравенство

an ≤ c + 1. Тогда для тех же значений n выполняется нераbn

венство an ≤ (c + 1)bn . Если ряд

+∞

∑ bn сходится, то сходится ряд n =1

+∞

∑ (c + 1)bn , n=1

и из предыдущей теоремы (точнее, в из ее варианта, указанного в замеча+∞

∑ an . Подчеркнем, что здесь ис-

нии к теореме) следует сходимость ряда

n =1

an . n→+∞ bn

пользовалась только конечность предела lim

Предположим, что сходится ряд

+∞

∑ an

и 0 < c < +∞ . Тогда из сущест-

n =1

an 1 = , в силу доказанного, получаем, что схоn→∞ bn c

вования соотношения lim дится ряд

∞

∑ bn . n =1

Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Внимательное рассмотрение доказательства теоремы позволяет дать следующее ее уточнение. Предположим, что для рядов +∞

∑ an n =1

и

+∞

∑ bn

с положительными членами существует конечный или бес-

n =1

an . Тогда n→+∞ bn

конечный предел c = lim

Глава 2

80

Числовые ряды

ç

è

1) если c = 0 , то из сходимости ряда

+∞

∑ bn

следует сходимость ряда

n =1

+∞

+∞

n =1

n =1

∑ an , а из расходимости ряда ∑ an 2) если 0 < c < +∞ , то ряды

следует расходимость ряда

+∞

∑ bn ; n =1

+∞

∑ an и n =1

+∞

∑ bn

сходятся или расходятся

n =1

одновременно; +∞

∑ an

3) если c = +∞ , то из сходимости ряда

следует сходимость

n =1

ряда

+∞

∑ bn , а из расходимости ряда n =1

да

+∞

∑ bn

следует расходимость ря-

n =1

+∞

∑ an . n =1

ПРИМЕР. Снова рассмотрим гармонический ряд

+∞

1

∑ n . Учтем, что при n=1

 1 1 n → +∞ имеет место эквивалентность ln 1 +  ~ , или  n n  1 ln 1 +  n = 1. lim  1 n→+∞ n

Выше была доказана расходимость ряда

+∞



1

∑ ln 1 + n  . Отсюда и из предыn=1

дущей теоремы следует расходимость гармонического ряда.

Глава 2

81

Числовые ряды

ç

è

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость ряд

+∞

∑ ( e1 n − 1) . n =1

В силу условия

1 > 0 , получаем, что e1 n − 1 > 0 , n ∈  , рассматриn

ваемый ряд состоит из положительных членов. Остается заметить, что, в 1 при n → +∞ (или, для более точного соn

силу эквивалентности e1 n − 1 ~

поставления с формулировкой теоремы), соотношения e1 n − 1 lim =1 1 n→∞ n

следует, что рассматриваемый ряд и гармонический ряд

+∞

1

∑n

сходятся или

n=1

расходятся одновременно. Следовательно, рассматриваемый ряд, расходится. ПРИМЕР. Рассмотрим ряд

+∞

1

∑ nα

в предположении, что 0 < α < 1 . Из

n =1

оценки ряд

+∞

1 1 ≥ , n ∈  и расходимости гармонического ряда следует, что nα n

1

∑ nα n=1

при указанных значениях параметра α также расходится.

Глава 2

82

Числовые ряды

ç

è

Д'Аламбер

4. Признак д’Аламбера ТЕОРЕМА 5 (ПРИЗНАК Д’АЛАМБЕРА). Пусть

+∞

∑ an

— ряд с положи-

n =1

тельными членами. 1) Если существуют число q , 0 < q < 1 и такой номер N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство

an+1 ≤ q , то рассматриваемый ряд an

сходится. 2) Если существует такой номер N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство

an+1 ≥ 1 , то рассматриваемый ряд расходится. an

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Заменяя рассматриваемый ряд его остатком, можно предполагать, что неравенство чений n . Тогда

an+1 ≤ q выполняется для всех знаan

a a2 ≤ q , a2 ≤ a1 ⋅ q , и далее: 3 ≤ q , a3 ≤ a2 ⋅ q ≤ a1 ⋅ q 2 , … . a2 a1

Методом полной математической индукции легко доказать, что для любого n ∈  выполняется неравенство an ≤ a1 ⋅ q n−1 . Отсюда и из сходимости ряда

+∞

∑ a1 ⋅ q n−1 следует сходимость ряда n =1

+∞

∑ an . n =1

2) Если, для всех n ≥ N выполняется неравенство этих значений n an ≤ an+1 , и получаем: 0 < aN ≤ aN +1 ≤ aN + 2 ≤  .

an+1 ≥ 1 , то для an

Глава 2

83

Числовые ряды

ç

è

Отсюда следует, что необходимое условие сходимости ряда lim an n→∞

выполняться не может и, следовательно, ряд расходится. Обычно признак д’Аламбера применяется в следующей форме. ТЕОРЕМА 6 (ПРИЗНАК Д’АЛАМБЕРА В ПРЕДЕЛЬНОЙ ФОРМЕ). Пусть

+∞

∑ an n =1

— ряд с положительными членами. Если существует конечный предел an+1 , n→+∞ an

q = lim

то рассматриваемый ряд сходится, если q < 1 и расходится, если q > 1 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что q < 1 . Выберем произвольное число Q , удовлетворяющее неравенству q < Q < 1 и найдем такое N , что an+1 < Q для всех n ≥ N . Тогда по предыдущей теореме рассматриваемый an

ряд сходится. Если q > 1 , то существует такое N , что

an+1 > 1 для всех n ≥ N , и, an

снова применяя предыдущую теорему, получаем, что ряд расходится. Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Утверждение последней теоремы может быть не-

an+1 = +∞ , то ряд также является расходяn→+∞ an

сколько уточнено: если lim

Глава 2

84

Числовые ряды

ç

è

щимся. Действительно, в этом случае неравенство

an+1 > 1 также выполняan

ется для всех достаточно больших значений n . ЗАМЕЧАНИЕ 2. Отметим также, что как для сходящегося, так и расхоan+1 может вообще не существовать. Наn→+∞ an

дящегося ряда предел q = lim пример, ряд

2n (2 + (−1) n−1 ) ∑ 3n n=1 +∞

+∞

2n мажорируется сходящимся рядом ∑ 3 ⋅ n и, следовательно, сходится. Од3 n=1 нако

an+1 a 3 = 2 , если n четное, n+1 = , если n нечетное, и, следовательно, an an 4

an+1 не существует. n→+∞ an lim

Приведем некоторые примеры. +∞

an ПРИМЕР. Рассмотрим ряд ∑ в предположении, что a > 0 . Восn =1 n! пользуемся признаком д’Аламбера (в предельной форме): a n+1 (n + 1)! lim= n→+∞ an n!

и ряд является сходящимся.

a = 0, lim n→+∞ n + 1

Глава 2

85

Числовые ряды

ç

è

ПРИМЕР. Рассмотрим ряд

+∞

n!

∑ nn . Тогда n =1

(n + 1)! −n 1 (n + 1) n+1  1 lim lim 1 +  =< 1, = n! n→+∞ n→+∞  n e n n

и ряд сходится. ЗАМЕЧАНИЕ. Случай q = 1 не рассматриваемся в признаке д’Аламбера. В этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться. Действительно, для (расходящегося) гармонического ряда имеем: 1 n +1 lim = n→+∞ 1 n

n lim = 1. n→+∞ n + 1

С другой стороны, как будет доказано ниже, ряд

+∞

1

∑ n2

сходится. Для этого

n=1

ряда соответствующий предел существует и также равен единице.

5. Признак Коши ТЕОРЕМА 7 (ПРИЗНАК КОШИ). Пусть

+∞

∑ an n =1

ми членами.

— ряд с неотрицательны-

Глава 2

86

Числовые ряды

ç

è

1) Если существуют число q , 0 < q < 1 и такой номер N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство

n

an ≤ q , то рассматриваемый ряд

сходится. 2) Если существует такой номер N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство

n

an ≥ 1, то рассматриваемый ряд расходится.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Заменяя рассматриваемый ряд его остатком, можно предполагать, что неравенство

n

an ≤ q выполняется для всех зна-

чений n . Тогда для всех n ∈  выполняется оценка an ≤ q n , рассматриваемый ряд

+∞

∑ an

мажорируется сходящимся рядом и, следовательно, сходит-

n =1

ся. 2) Если, для всех n ≥ N выполняется неравенство

n

an ≥ 1, то для

этих значений n an ≥ 1 , необходимое условие сходимости ряда lim an = 0 n→+∞

выполняться не может и, следовательно, ряд расходится. Теорема доказана. Признак Коши обычно применяется в следующей форме. ТЕОРЕМА 8 (ПРИЗНАК КОШИ В ПРЕДЕЛЬНОЙ ФОРМЕ). Пусть

+∞

∑ an

— ряд

n =1

с неотрицательными членами. Если существует конечный предел q = lim

n→+∞

n

an , то рассматриваемый ряд расходится, если q < 1 и сходит-

ся, если q > 1 .

Глава 2

87

Числовые ряды

ç

è

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что q < 1 . Выберем произвольное число Q , удовлетворяющее неравенству q < Q < 1 и найдем такое N , что n

an < Q для всех n ≥ N . Тогда по предыдущей теореме рассматриваемый

ряд сходится. Если q > 1 , то существует такое N , что

n

an > 1 для всех n ≥ N , и,

снова применяя предыдущую теорему, получаем, что ряд расходится. Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Как и в случае признака д’Аламбера в предельной форме, утверждение последней теоремы может быть несколько уточнено: если lim

n→+∞

n

an = +∞ , то ряд также является расходящимся. Действительно,

в этом случае неравенство

n

an > 1 также выполняется для всех достаточно

больших значений n . ЗАМЕЧАНИЕ 2. В случае, когда lim

n

n→+∞

an = 1 ряд может как сходиться,

так и расходиться. ЗАМЕЧАНИЕ 3. Признак Коши сильнее признака д’Аламбера в слеan+1 , n→+∞ an

дующем смысле: можно доказать, что если существует предел lim то существует и предел lim

n→+∞

n

an , и эти пределы равны. Поэтому, если

an+1 = 1 , то уже нет смысла пытаться применить признак Коши. С друn→∞ an lim

an+1 не существует, в то вреn→+∞ an

гой стороны, возможна ситуация, когда lim

Глава 2

88

Числовые ряды

ç

è

мя как lim

n→+∞

n

an существует. Например, для рассмотренного выше ряда

2n (2 + (−1) n−1 ) существует предел ∑ n 3 n=1 +∞

lim

n→+∞

n

2n (2 + (−1) n−1 ) 2 = , 3 3n

и ряд сходится по признаку Коши. Отметим также, что применение признака д’Аламбера является зачастую технически более удобным. n2

+∞

 n +1  ПРИМЕР. Рассмотрим ряд ∑   . n + 2   n =1

Применяем признак Коши:

n2

 n +1  lim n   = n→+∞  n + 2 

 1 1 +   n

n

 n +1  lim  = n→+∞  n + 2 

lim

n→+∞ 

n

=

n 2 2 2 

 1 +  n     

1 < 1. e

Следовательно, ряд сходится.

6. Интегральный признак Предположим, что функция f определена и непрерывна на промежутке [1, +∞) , принимает на этом промежутке положительные значения и является убывающей. Пусть F — произвольная первообразная функ-

Глава 2

89

Числовые ряды

ç

è

ции f . Отметим, что функция F строго возрастает на рассматриваемом промежутке (поскольку ее производная положительна). ТЕОРЕМА 9. Ряд

+∞

∑ f (n) сходится в том и только том случае, когда n=1

существует конечный предел lim F ( x) . x→+∞

Прежде, чем доказывать теорему, сделаем некоторые замечания. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Первообразная функции определяется ей с точностью до произвольной постоянной. Однако, если существует предел lim F ( x) x→+∞

для некоторой первообразной F ( x) , то для любой другой первообразной, необходимо имеющей вид F ( x) + C , где C — некоторая константа, соответствующий предел тоже существует. Иначе говоря, условие существования предела первообразной не зависит от выбора этой первообразной. ЗАМЕЧАНИЕ 2. В силу возрастания первообразной F условие существования конечного предела может быть заменено условием ограниченности первообразной на промежутке [1, +∞) . ЗАМЕЧАНИЕ 3. Рассмотрим для функции f первообразную специальx

ного вида, именно полагаем F ( x) = ∫ f (t ) dt (поскольку мы предположили, 1

что функция непрерывна на промежутке [1, +∞) , последний определенный x

интеграл существует. Если существует конечный предел

lim

x→+∞

∫ f (t ) dt , 1

функция f называется интегрируемой в несобственном смысле на промежутке [1, +∞) , а сам предел называется несобственным интегралом и обо-

Глава 2

90

Числовые ряды

ç

è

+∞

значается следующим образом:

∫

f (t ) dt . Говорят также, что в этом случае

1

указанный несобственный интеграл сходится. Теория таких интегралов будет рассматриваться ниже. Отметим здесь, что в этих терминах интегральный признак может быть переформулирован так. Ряд

+∞

∑ f ( n)

сходится в том и только том случае, когда сходится

n=1

+∞

несобственный интеграл

∫

f (t ) dt .

1

Перейдем теперь к доказательству теоремы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРИЗНАКА. Введем следующие обоn

значения: an = f (n) , Sn = ∑ ak , n = 1 , 2, … . k =1

Для произвольного числа k ∈  , и произвольной точки x ∈ [k , k + 1] , в силу убывания функции f , имеем: f (k + 1) ≤ f ( x) ≤ f (k ).

Беря определенный интеграл от k до k + 1 , и пользуясь простейшими свойствами интеграла, отсюда получаем: k +1

∫ k

и далее:

k +1

f (k + 1) dx ≤

∫ k

k +1

f ( x) dx ≤

∫ k

f (k ) dx,

Глава 2

91

Числовые ряды

ç

è

k +1

f (k + 1) ≤

∫

f ( x) d x≤ f (k ), k ∈ ,

k

то есть k +1

ak +1 ≤

∫

f ( x) dx ≤ ak , k ∈ ,

k

Выберем произвольное n ∈  и просуммируем полученные неравенства для значений k = 1 , 2, …, n :

a2 + a3 +  + an+1 ≤ 2

3

≤ ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx +  + 1

2

n +1

∫

f ( x) dx ≤

n

≤ a1 + a2 +  + an ,

то есть n +1

Sn+1 − a1 ≤

∫

f ( x) dx ≤ Sn ,

1

или, применяя формулу Ньютона-Лейбница,

Sn+1 − a1 ≤ F (n + 1) − F (1) ≤ Sn , n ∈ .

(∗)

Предположим, что существует конечный предел lim F ( x) = c . Тогда, в x→+∞

силу строгого возрастания функции F ( x) , для любого x ∈ [1, +∞) имеет место оценка F ( x) < c , и из (∗) получаем:

Глава 2

92

Числовые ряды

ç

è

Sn+1 ≤ F (n + 1) − F (1) + a1 ≤ c − F (1) + a1, n ∈ .

Последовательность частичных сумм ряда с положительными членами ограничена сверху, и, следовательно, этот ряд сходится. Обратно. Предположим, что ряд

+∞

∑ an

сходится. Тогда последова-

n =1

тельность {Sn }+∞ n=1 его частичных сумм ограничена сверху. Предположим, что Sn ≤ C для некоторой константы C и всех n ∈  . Тогда из (∗) получаем:

F (n + 1) ≤ Sn + F (1) ≤ C + F (1), n ∈ . Выполняется также неравенство F (1) ≤ C + F (1) , то есть для любого натурального n выполняется оценка F (n) ≤ C + F (1) . Остается заметить, что для произвольного x ∈ [1, +∞) , в силу возрастания функции F ( x) имеет место оценка F ( x) ≤ F (  x ) ≤ C + F (1), поскольку  x  ∈  . Функция F ( x) строго возрастает на промежутке [1, +∞) и ограничена сверху. Следовательно, существует конечный предел lim F ( x) . x→+∞

Теорема доказана. ПРИМЕР. Рассмотрим ряд

+∞

1

∑ nα , α > 0 . Мы доказали выше, что при n=1

0 < α ≤ 1 этот ряд расходится. Покажем, как этот ряд может быть проана-

лизирован с помощью интегрального признака.

Глава 2

93

Числовые ряды

ç

è

Рассмотрим функцию f ( x) =

1 , x ≥ 1 . Предположим, что α ≠ 1. xα

x1−α функции f ( x) . Эта Введем в рассмотрение первообразную F ( x) = 1−α

первообразная имеет конечный предел (равный нулю), если α > 1 и бесконечный предел, если 0 < α < 1 . Таким образом, ряд сходится, если α > 1 и расходится, если 0 < α < 1 . При α = 1 первообразная имеет вид F ( x) = ln x , это неограниченная функция на промежутке [1, +∞) и, следовательно, ряд расходится при α = 1 . ПРИМЕР. Рассмотрим ряд

+∞

1

∑ n ln β n , β ∈  .

n=2

Введем функцию f ( x) =

1 , x ≥ 2 . Эта функция принимает поx ln β x

ложительные значения и убывает, начиная с некоторого места. Если β ≠ 1 ,

ln1−β x то первообразная рассматриваемой функции имеет вид F ( x) = . Она 1− β имеет конечный предел при x → +∞ в том и только том случае, когда

β > 1. Если β = 1, то F ( x) = ln ln x , эта функция не является ограниченной на промежутке [2, +∞) . Окончательно получаем, что рассматриваемый ряд сходится при β > 1 и расходится при β ≤ 1 . УПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что ряд

+∞

1

∑ nα ln β n , α , β ∈  сходится, если

n=2

α > 1 при любом значении β или α = 1 , β > 1 (последнее доказано в предыдущем примере) и расходится при остальных значениях параметров.

Глава 2

94

Числовые ряды

ç

è

7. Ряды с произвольными членами В этом разделе будут рассмотрены числовые ряды без предположений о знаках их членов. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовой ряд

+∞

∑ an

называется абсолютно сходящим-

n =1

ся, если сходится числовой ряд

+∞

∑| an | . n =1

Отметим некоторые свойства абсолютно сходящихся рядов. 1°. Абсолютно сходящийся ряд является сходящимся. Для произвольного n ∈  полагаем:

an+

a0, если an ,если n ≥ − 0,  = a   n an < 0, n 0,если , −aесли

a0, n ≥ an < 0.

Для любого n имеет место неравенство an+ ≥ 0 и выполняется одно из равенств

an+

=| an | или

an+

= 0 , и, следовательно, 0 ≤

an+

≤ | an | . Ряд

+∞

∑ an+ , соn =1

ставленный из неотрицательных членов, мажорируется сходящимся рядом +∞

∑| an | и, следовательно, сходится. Аналогичные аргументы справедливы n =1

для ряда

+∞

∑ an− . Остается заметить, что для любого n имеет место равенстn =1

во a= an+ − an− , исходный ряд сходится как разность двух сходящихся ряn дов.

Глава 2

95

Числовые ряды

ç

è

УПРАЖНЕНИЕ. Вывести сходимость абсолютно сходящегося ряда из критерия Коши, пользуясь оценкой n+ p

n+ p

∑ ak ≤ ∑ | ak |,

n, p ∈ .

= k n= k n

ЗАМЕЧАНИЕ. Ниже будут приведены примеры рядов, которые сходятся, но не сходятся абсолютно. Таким является например, ряд 1 1 1 + − + . 2 3 4

1−

Доказательства следующих двух свойств предоставляются читателю. 2°. Если числовой ряд

+∞

∑ an

абсолютно сходится, а последователь-

n =1

ность

{bn }+∞ n=1

ограничена, то ряд

+∞

∑ anbn

сходится абсолютно.

n =1

3°. Если числовые ряды

+∞

∑ an и n =1

любых α , β ∈  числовой ряд

+∞

∑ bn

сходятся абсолютно, то для

n =1

+∞

∑ (α an + β bn ) также сходится абсолютно. n=1

8. Знакочередующиеся ряды ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд

+∞

∑ (−1)n−1 an , где an > 0 для всех n ∈  называется n =1

знакочередующимся (или знакопеременным).

Глава 2

96

Числовые ряды

ç

è

ТЕОРЕМА 10 (ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА). Если последовательность положительных чисел

{an }+∞ n=1

убывает и сходится к нулю, то ряд

+∞

∑ an

схо-

n =1

дится. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как обычно, через Sn обозначаем частичные сумn

мы рассматриваемого ряда: Sn = ∑ ak . Рассмотрим частичные суммы ряда k =1

с четными номерами:

S2 n = a1 − a2 + a3 − a4 +  + a2 n−1 − a2 n , n ∈ . Группируя слагаемые в правой части следующим образом

S2 n =a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) −  − (a2 n−2 − a2 n−1 ) − a2 n

(∗)

и учитывая, что по условию выполняются неравенства

a2 − a3 ≥ 0 , a4 − a5 ≥ 0 , a2 n−2 − a2 n−1 ≥ 0 , a2 n > 0 из (∗) получаем, что для любого n ∈  выполняется неравенство S2 n < a1. С другой стороны, из соотношения S2 n+ 2 =S2 n + a2 n+1 − a2 n+ 2 и неравенства a2 n+1 − a2 n+ 2 ≥ 0 находим, что для любого n ∈  выполняется неравенство S2 n ≤ S2 n+ 2 . Итак, последовательность {S2 n }+∞ n=1 возрастающая и ограниченная сверху. Следовательно, эта последовательность сходится. Обозначим:

S = lim S2 n . Из равенства n→+∞

S2 n= +1 S 2 n + a2 n+1 ,

n∈

и соотношения

lim an = 0 вытекает, что lim S2 n+1 = S . Тогда получаем, что lim Sn = S .

n→+∞

n→+∞

n→+∞

Глава 2

97

Числовые ряды

ç

è

Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ. В условиях теоремы для любого n ∈  справедливы неравенства

S2 n ≤ S ≤ S2 n+1, | S − Sn |≤ an+1, +∞

где S = ∑ an . n =1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Последовательность S2n возрастает и сходится к числу S . Отсюда вытекает, что для любого n ∈  имеет место неравенство

S2n ≤ S . Из соотношения S2 n+1 = S2 n−1 − (a2 n − a2 n+1 ) вытекает, что последовательность {S2 n+1}n+∞ 1 является убывающей. Учитывая, что lim S 2 n +1 = S , = n→+∞

отсюда выводим, что для любого n ∈  выполняется неравенство S2 n+1 ≥ S . Объединяем полученные соотношения: для любого n ∈ 

S2 n ≤ S ≤ S2 n+1.

(∗)

Выражаем здесь каждую из частичных сумм через предшествующую: S2 n−1 − a2 n ≤ S ≤ S2 n + a2 n+1.

Отсюда с учетом (∗) получаем: 0 ≤ S2 n−1 − S ≤ a2 n , 0 ≤ S − S2 n ≤ a2 n+1 . Это и означает, что для любого n ∈  выполняется оценка | S − Sn |≤ an+1 . Следствие доказано.

Глава 2

98

Числовые ряды

ç

è Дирихле

Абель

(−1) n−1 ПРИМЕР. Рассмотрим ряд ∑ в предположении, что α > 0 . Поα n n =1 +∞

+∞

1  следовательность  α  монотонно сходится к нулю. Отсюда следует, n  n=1 что данный ряд является сходящимся. Напомним, что он сходится абсолютно только при α > 1 .

9. Признаки Абеля и Дирихле В этом разделе приводятся еще два признака сходимости рядов. Сначала докажем одно важное неравенство. Предположим, что n ∈  , ak , bk , k = 1 , 2, …, n — вещественные числа, причем последовательность {ak }nk =1 является монотонной. Мы выведем некоторую оценку для суммы

n

∑ ak bk .

Обозначим эту сумму че-

k =1

рез S . k

Предположим, что n > 1 . Введем следующие обозначения: Bk = ∑ bi , i =1

k = 1 , 2, …, n , то есть

B1 = b1 , B2= b1 + b2 ,

B3 = b1 + b2 + b3 ,

Глава 2

99

Числовые ряды

ç

è

................................. Bn = b1 + b2 + bn .

Отсюда получаем: b1 = B1 ,

b= B2 − B1 , 2 b= B3 − B2 , 3 .................................

b= Bn − Bn−1 . n Тогда

S=

n

∑ ak bk = k =1

a1b1 + a2b2 +  + anbn =

= a1B1 + a2 ( B2 − B1 ) + a3 ( B3 − B2 ) +  + an ( Bn − Bn−1 ).

Раскрывая скобки и группируя слагаемые с одинаковыми множителями Bi , отсюда получаем:

S = (a1 − a2 ) B1 + (a2 − a3 ) B2 +  + (an−1 − an ) Bn−1 + an Bn . Обозначим: B = max | Bk | . Тогда получаем: 1≤k ≤n

| S |= | (a1 − a2 ) B1 + (a2 − a3 ) B2 +  + (an−1 − an ) Bn−1 + an Bn |≤ ≤| (a1 − a2 ) B1 | + | (a2 − a3 ) B2 | +  + | (an−1 − an ) Bn−1 | + | an Bn |=

Глава 2

100

Числовые ряды

ç

è

= | a1 − a2 | ⋅ | B1 | + | a2 − a3 | ⋅ | B2 | +  + | an−1 − an | ⋅ | Bn−1 | + | an | ⋅ | Bn |≤ ≤| a1 − a2 | ⋅B + | a2 − a3 | ⋅B +  + | an−1 − an | ⋅B + | an | ⋅B = ≤ (| a1 − a2 | + | a2 − a3 | +  + | an−1 − an | + | an |) B.

Имеет место равенство

| a1 − a2 | + | a2 − a3 | +  + | an−1 − an |= | a1 − an | . Действительно, если последовательность {ak }nk =1 является убывающей, то

a1 − a2 ≥ 0 , a2 − a3 ≥ 0 , …, an−1 − an ≥ 0 , | a1 − a2 | + | a2 − a3 | +  + | an−1 − an |= = a1 − a2 + a2 − a3 +  + an−1 − an = a1 − an =| a1 − an |, поскольку a1 − an ≥ 0 . Случай возрастающей последовательности анализируется аналогично. С учетом полученного равенства продолжаем оценку:

S ≤ (| a1 − an | + | an |) B ≤ (| a1 | +2 | an |) B. Окончательная оценка выглядит следующим образом: n

∑ ak bk k =1

≤ (| a1 | +2 | an |) B.

Глава 2

101

Числовые ряды

ç

è

Мы доказали ее в предположении, что n > 1 . Очевидно, что она остается верной и при n = 1 . Сформулируем окончательный результат. ТЕОРЕМА 11. Предположим, что n ∈  , {ak }nk =1 — монотонная числовая последовательность, {bk }nk =1 — произвольная числовая последовательность. Тогда имеет место оценка n

k

∑

∑

ak bk ≤ (| a1 | +2 | an |) ⋅ max bi 1≤k ≤n = k 1 =i 1

.

ЗАМЕЧАНИЕ. Приведенное в теореме неравенство называется неравенством Абеля. Неравенство Абеля позволяет доказать следующие признаки сходимости рядов. ТЕОРЕМА 12 (ПРИЗНАК ДИРИХЛЕ). Предположим, что последовательность {an }+∞ n=1 монотонная и сходится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда

+∞

∑ bn

ограничена. Тогда ряд

n =1

+∞

∑ anbn

сходится.

n =1

n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим: c = sup ∑ bk . Выберем произвольное n∈ k =1

ε > 0 и найдем такое N , чтобы для всех n ≥ N выполнялось неравенство | an |< ε . Выберем произвольные n ≥ N и p = 1 , 2, … . Применяя неравенство Абеля к последовательностям {ak }nk += np+1 и {bk }nk += np+1 , получаем: n+ p

∑

n+ q

∑

bk ≤ 3cε . 1≤ q≤ p k= n+1 k= n+1 ak bk ≤ (| an+1 | +2 | an+ p |) ⋅ max

Глава 2

102

Числовые ряды

ç

è

В силу произвольности ε , из критерия Коши сходимости ряда выводим сходимость ряда

+∞

∑ anbn . n =1

Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Признак Лейбница является следствием признака Дирихле. Действительно, предположим, что последовательность {an }+∞ n=1 положительных чисел монотонно сходится к нулю. Рассмотрим последовательность bn = (−1)

n −1

, n ∈  . Частичные суммы ряда

+∞

∑ bn

принимают по-

n =1

следовательно значения 1 и 0 , следовательно, они образуют ограниченную +∞

bn последовательность. В силу признака Дирихле, ряд ∑ an=

+∞

∑ (−1)n an

= n 1= n 1

сходится. ТЕОРЕМА 13 (ПРИЗНАК АБЕЛЯ). Предположим, что последовательность +∞

{an }+∞ n=1

∑ anbn

монотонная и ограниченная, а ряд

+∞

∑ bn

сходится. Тогда ряд

n =1

сходится.

n =1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим: c = sup | an | . Выберем произвольное n∈

ε > 0 . В силу сходимости ряда

+∞

∑ bn , из критерия Коши получаем, что суn =1

ществует такое N , что для всех n ≥ N и p = 1 , 2, … выполняется неравенство

n+ p

∑ bk

k = n+1

< ε . Зафиксируем числа n и p , удовлетворяющие указанным

Глава 2

103

Числовые ряды

ç

è

условиям. Применяя неравенство Абеля к последовательностям {ak }nk += np+1 и

{bk }nk += np+1 , получаем: n+ p

∑

n+ q

∑

bk ≤ 3cε . 1≤ q≤ p k= n+1 k= n+1 ak bk ≤ (| an+1 | +2 | an+ p |) ⋅ max

В силу произвольности ε , из критерия Коши сходимости ряда выводим сходимость ряда

+∞

∑ anbn . n =1

Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Признак Абеля может быть переформулирован следующим образом: если члены сходящегося числового ряда умножить на соответствующие элементы ограниченной монотонной последовательности, то полученный ряд будет сходиться. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Признак Абеля, как и признак Лейбница, может быть выведен из признака Дирихле. Действительно, предположим, что последовательность

{an }+∞ n=1

монотонная и ограниченная, а ряд

+∞

∑ bn

сходится. По-

n =1

следовательность {an }+∞ n=1 является сходящейся. Обозначим: a = lim an . n→+∞

Воспользуемся равенством anbn =(an − a )bn + abn , n ∈ .

(∗)

0 , а последовательность частичных сумм ряда Учтем, что lim (an − a ) = n→+∞

+∞

∑ bn n =1

является сходящейся и, следовательно, ограниченной. Поэтому чи-

Глава 2

104

Числовые ряды

ç

è

словой ряд

+∞

∑ (an − a)bn

сходится по признаку Дирихле. И сходимости ря-

n=1

да

+∞

∑ bn

вытекает сходимость ряда

n =1

+∞

∑ abn . Теперь из равенства (∗) вывоn =1

дим сходимость ряда

+∞

∑ anbn . n =1

ПРИМЕР. Рассмотрим ряд

+∞

∑ (−1)n−1 n =1

arctg n . Применяем признак Абеn

(−1) n−1 ля. Ряд ∑ сходится по признаку Лейбница, последовательность n n =1 +∞

{arctg n}+∞ n=1 монотонно возрастает и ограничена сверху числом

π 2

. Следо-

вательно, рассматриваемый ряд сходится. +∞

 arctg n  ЗАМЕЧАНИЕ. Можно показать, что последовательность    n n=1 является монотонной (и, разумеется, сходится к нулю). Отсюда, в силу признака Лейбница, вытекает сходимость рассмотренного выше ряда. Однако такой вариант решения является несколько более сложным, чем приведенный выше.

ç

è

Глава 3. Несобственные интегралы При рассмотрении определенных интегралов мы рассматривали функции, определенные на отрезке, и необходимым условием существования определенного интеграла была ограниченность функции. В этом разделе будет рассмотрено расширение понятия определенного интеграла на случай неограниченной области определения и неограниченной функции.

1. Определение несобственного интеграла Предположим, что функция f определена на промежутке [a, +∞) и при любом M > a интегрируема на отрезке [a, M ] . Если существует пре+∞

M

дел lim

M →+∞

∫ a

f ( x) dx , то он обозначается через

∫

f ( x) dx и называется не-

a

собственным интегралом от функции f по промежутку [a, +∞) . В этом случае говорят, что последний интеграл является сходящимся, а функция f называется интегрируемой (в несобственном смысле) по промежутку [a, +∞) . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если функция f определена на промежутке [a, +∞) и при любом M > a интегрируема на отрезке [a, M ] , будем говорить, что эта функция локально интегрируема на промежутке [a, +∞) .

Глава 3

106

Несобственные интегралы

ç

è

Отметим, в частности, что если функция f непрерывна на промежутке [a, +∞) , то она локально интегрируема на этом промежутке. Действительно, для любого M > a функция f непрерывна на отрезке [a, M ] (точнее говоря, сужение этой функции является непрерывным на этом отрезке) и, следовательно, интегрируема на этом отрезке. ЗАМЕЧАНИЕ. Имеются многочисленные аналогии между утверждениями, касающимися сходимости числовых рядов, и сходимости несобственных интегралов рассматриваемого вида. Отметим, одно утверждение из теории рядов, которое не имеет точного аналога для несобственных интегралов. Напомним, что если числовой ряд

+∞

∑ an

сходится, то выполняется

n =1

соотношение lim an = 0 . В случае несобственных интегралов из сходимоn→+∞ +∞

сти интеграла

∫

f ( x) dx не следует с необходимостью, что lim f ( x) = 0. x→+∞

a

Например, можно доказать, что сходится несобственный интеграл +∞

∫ sin x

2

dx , однако при x → +∞ подынтегральная функция не стремится к

0 +∞

нулю. Более того, в случае сходимости интеграла

∫

f ( x) dx функция f

a

может даже оказаться неограниченной на промежутке [a, +∞) (хотя при любом M > a она является ограниченной на промежутке [a, M ] , поскольку она интегрируема на этом промежутке). +∞

УПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что если несобственный интеграл

∫ a

сходится, то для любого h > 0 имеет место следующее равенство:

f ( x) dx

Глава 3

107

Несобственные интегралы

ç

è

M +h

lim

M →+∞

∫

f ( x) dx .

M

УПРАЖНЕНИЕ. Рассмотрим функцию f , задаваемую на промежутке [1, +∞) условием

 n,если f ( x) =  0,если 

n≤ x≤n+ , n+

1 n3

1 < x <1.n + n3 +∞

для n = 1 , 2,… . Доказать, что несобственный интеграл

∫

f ( x) dx сходится

1

и равен

+∞

1

∑ n2 . Обратите внимание, что подынтегральная функция является n=1

неограниченной на промежутке [1, +∞) . ПРИМЕР. Проанализируем сходимость несобственного интегра+∞

ла

∫ 1

dx . xα Функция

1 непрерывна на промежутке [1, +∞) и, следовательно, xα

локально интегрируема на этом отрезке. Предположим сначала, что α ≠ 1. Тогда M

dx x1−α 1 (1 − M 1−α ) . = ∫ xα 1 −= α 1 1−α 1 M

Глава 3

108

Несобственные интегралы

ç

è

При M → +∞ величина 1 − M 1−α имеет (конечный) предел в том и только том случае, когда α > 1 . При этом lim (1 − M 1−α ) = 1. Итак, при α > 1 расM →+∞

сматриваемый несобственный интеграл сходится, и имеет место равенство +∞

∫ 1

dx 1 = . xα 1 − α

При α < 1 указанный несобственный интеграл расходится. Остается проанализировать случай α = 1 . В этом случае M

dx M = x 1 ln M → +∞ ∫ x ln = 1

при M → +∞ . Следовательно, несобственный интеграл в этом случае расходится. Окончательно получаем, что несобственный интеграл сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1 . +∞

ПРИМЕР. Рассмотрим интеграл

∫ 0

Функция

dx . x +1 2

1 непрерывна на промежутке [0, +∞) и, следовательно, x +1 2

локально интегрируема на нем. Далее, M

dx M = = x arctg arctg M . ∫ x2 + 1 0 0

Глава 3

109

Несобственные интегралы

ç

è

Остается заметить, что lim arctg M =

π

M →+∞

2

и, следовательно, рассматривае+∞

мый несобственный интеграл сходится и

∫ 0

π dx = . x +1 2 2

Приведенные примеры являются частным случаем следующего общего подхода. Предположим, что функция f определена и непрерывна на промежутке [a, +∞) . Обозначим через F произвольную первообразную функции f на промежутке [a, +∞) . 1 Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем: M

∫

f (= x) d x F ( M ) − F (a ).

a

M

Отсюда следует, что предел lim

M →+∞

∫

f ( x) dx существует в том и только том

a

случае, когда существует предел lim F ( M ) , и при выполнении этих усM →+∞

ловий имеет место равенство: +∞

= ∫ f ( x) d x a

lim F ( M ) − F (a ).

M →+∞

) F (+∞) , последнюю формулу перепишем так: Обозначая lim F ( M= M →+∞

x

1

Такой первообразной является, например, функция F ( x ) = ∫ f (t ) dt , a ≤ x < +∞ . a

Глава 3

110

Несобственные интегралы

ç

è

+∞

∫

f ( x) d=x F (+∞) − F (a ),

a

+∞

или

∫

+∞

f ( x) dx = F ( x) a . Мы получили формулу Ньютона-Лейбница для

a

неограниченного промежутка.

Отметим теперь некоторые свойства несобственных интегралов. +∞

1°. Предположим, что сходится несобственный интеграл

∫

f ( x) dx.

a

+∞

Тогда для любого b > a сходится несобственный интеграл

∫

f ( x) dx и

b

имеет место равенство +∞

b

+∞

f ( x) dx ∫ f ( x) dx + ∫ ∫= a

a

f ( x) dx.

b

Действительно, для M > b , имеет место следующее соотношение: M

b

M

a

a

b

M

M

b

b

a

f ( x) dx ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx, ∫=

откуда следует, что

f ( x) dx ∫ ∫=

f ( x) dx − ∫ f ( x) dx. a

Глава 3

111

Несобственные интегралы

ç

è

M

В силу этого соотношения, из существования предела lim

M →+∞

∫

f ( x) dx вы-

a

M

текает существование предела lim

M →+∞

+∞

+∞

b

a

f ( x) dx ∫ ∫=

∫

f ( x) dx и равенство

b

b

f ( x) dx − ∫ f ( x) dx, a

равносильное доказываемому соотношению. 2°. Предположим, что функция f определена и локально интегрируема на промежутке [a, +∞) . Если для некоторого b > a сходится несобст+∞

венный интеграл

∫

f ( x) dx , то сходится и несобственный инте-

b

+∞

грал

∫

f ( x) dx .

a

Доказательство аналогично предыдущему случаю, и мы его опускаем. ЗАМЕЧАНИЕ. Обращаем внимание читателя на некоторые изменения в формулировках. В случае свойства 1° не требовалось локальной интегрируемости функций: если говорится о сходимости несобственного интегра+∞

ла

∫

f ( x) dx , то по определению функция f должна быть локально интег-

a

рируема на промежутке [a, +∞) . В случае свойства 2° из сходимости несоб+∞

ственного интеграла

∫ b

f ( x) dx следует, что функция f локально интегри-

Глава 3

112

Несобственные интегралы

ç

è

руема на промежутке [b, +∞) . Условие локальной интегрируемости этой функции на промежутке [a, +∞) гарантирует ее интегрируемость на отрезке [a, b] . +∞

+∞

∫

3°. Если сходятся несобственные интегралы

f ( x) dx и

a

∫ g ( x) dx , a

то для любых α , β ∈  сходится несобственный интеграл +∞

∫ (α f ( x) + β g ( x)) dx a

и имеет место равенство +∞

∫ (α f ( x) + β g ( x)) dx= a

α

+∞

∫

f ( x) dx + β

a

+∞

∫ g ( x) dx. a

Действительно, для любого M > a функции f и g интегрируемы на отрезке [a, M ] . Тогда на этом отрезке интегрируема функция α f + β g и имеет место следующее равенство: M

∫ (α f ( x) + β g ( x)) dx = a

M

M

a

a

α ∫ f ( x) dx + β ∫ g ( x) dx.

Переходя к пределу при M → +∞ , получаем, что интеграл +∞

∫ (α f ( x) + β g ( x)) dx a

сходится, и имеет место требуемое соотношение. Отметим также следующее простое утверждение.

Глава 3

113

Несобственные интегралы

ç

è

4°. Если для всех x ∈ [a, +∞) выполняется неравенство f ( x) ≤ g ( x) и +∞

∫

несобственные интегралы

+∞

∫ g ( x) dx сходятся, то

f ( x) dx ,

a

a

+∞

+∞

∫

f ( x) dx ≤

a

∫ g ( x) dx. a

2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций Перейдем к рассмотрению частного случая неотрицательных подынтегральных функций. Нам потребуется следующее утверждение, являющееся точным аналогом критерия сходимости возрастающих последовательностей. ЛЕММА. Для функции f , определенной и возрастающей на промежутке [a, +∞) , следующие условия равносильны: 1) существует предел lim f ( x) ; x→+∞

2) функция f является ограниченной на промежутке [a, +∞) . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1)⇒2). Допустим, что

lim f ( x) = A . Выберем

x→+∞

произвольную точку x0 ∈ [a, +∞) . В силу возрастания функции f , для любого значения x ≥ x0 выполняется неравенство f ( x0 ) ≤ f ( x) . Переходя здесь к пределу при x → +∞ , находим, что f ( x0 ) ≤ A . В силу произвольности точки x0 , функция f ограничена на рассматриваемом промежутке.

Глава 3

114

Несобственные интегралы

ç

è

2)⇒1). Обозначим = A sup{ f ( x) : a ≤ x < +∞} . Выберем произвольное

ε > 0 . По определению точной верхней грани, найдется такое значение x0 ∈ [a, +∞) , что f ( x0 ) > A − ε . Тогда для любого x ≥ x0 имеем: f ( x) ≥ f ( x0 ) > A − ε ,

то есть для этого значения x выполняется соотношение A − ε < f ( x) ≤ A. Отсюда следует, что | f ( x) − A |< ε . В силу произвольности ε , это означает, что lim f ( x) = A . x→+∞

Лемма доказана. Перейдем к анализу сходимости несобственных интегралов. Предположим, что функция f определена, локально интегрируема на промежутке [a, +∞) и всюду принимает неотрицательные значения. Тогда функция M

F (M ) =

∫ f ( x) dx ,

M ≥ a является возрастающей. В силу леммы, сущест-

a

вование предела lim F ( M ) равносильно ограниченности функции F на M →+∞

промежутке [a, +∞) . Это утверждение позволяет доказать признаки сравнения, аналогичные признакам сравнения для знакопостоянных рядов. ТЕОРЕМА 1 (ПРИЗНАК

СРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ).

Предположим, что функции f и g определены и локально интегрируемы на промежутке [a, +∞) . Допустим, что обе эти функции принимают только неотрицательные значения, и для любого x ∈ [a, +∞) выполняется неравенство f ( x) ≤ g ( x) . Тогда:

Глава 3

115

Несобственные интегралы

ç

è

+∞

∫ g ( x) dx

1) если несобственный интеграл

сходится, то несобст-

a +∞

венный интеграл

∫

f ( x) dx также сходится;

a +∞

2) если несобственный интеграл

∫

f ( x) dx расходится, то несобст-

a +∞

венный интеграл

∫ g ( x) dx также расходится. a

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим: M

= F (M )

∫

M

f (= x) dx, G ( M )

a

∫ g ( x) dx,

M ≥ a.

a

Из условия теоремы следует, что для любого M ≥ a выполняется неравен+∞

ство F ( M ) ≤ G ( M ) . Если несобственный интеграл

∫ g ( x) dx

сходится, то

a

функция G ограничена на промежутке [a, +∞) . Тогда на этом промежутке ограничена и функция F . Следовательно, несобственный интеграл +∞

∫

f ( x) dx сходится. Мы доказали свойство 1). Свойство 2) является логи-

a

чески равносильным свойству 1) Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Выше было отмечено, что сходимость несобственного +∞

интеграла

∫ a

f ( x) dx равносильна сходимости несобственного интеграла

Глава 3

116

Несобственные интегралы

ç

è

+∞

∫

f ( x) dx для некоторого (а тогда и для любого) b > a . Поэтому утвержде-

b

ние теоремы остается в силе, если функции f и g принимают неотрицательные значения, начиная с некоторого места (то есть для всех x ≥ c при некотором c > a ) и, если неравенство f ( x) ≤ g ( x) также выполняется, начиная с некоторого места. При выполнении этих условий мы будем ссылаться на предыдущую теорему без особых оговорок. Дадим теперь признак сравнения для несобственных интегралов в предельной форме. ТЕОРЕМА 2. Предположим, что функции f и g определены на промежутке [a, +∞) , принимают на этом промежутке положительные знаf ( x) > 0 . Тогда несобственные x→+∞ g ( x )

чения и существует конечный предел lim +∞

+∞

интегралы

∫

f ( x) dx и

∫ g ( x) dx сходятся или расходятся одновременно. a

a

f ( x) . Существует такое N , x→+∞ g ( x )

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим A = lim

что для всех x ≥ N выполняется неравенство

f ( x) ≤ A + 1 . Тогда для этих g ( x)

значений x получаем: f ( x) ≤ ( A + 1) g ( x) . Из этого неравенства и сходимо+∞

сти интеграла

∫ ( A + 1) g ( x) dx , в силу предыдущей теоремы, вытекает схоa +∞

димость интеграла

∫ a

f ( x) dx .

Глава 3

117

Несобственные интегралы

ç

è

g ( x) 1 следует, что сходи= x→+∞ f ( x ) A

Из доказанного и соотношения lim +∞

мость интеграла

∫

+∞

f ( x) dx влечет сходимость интеграла

a

∫ g ( x) dx . a

Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Разумеется, теорема остается в силе, если неравенства f ( x) > 0 , g ( x) > 0 выполняются для всех достаточно больших значений x.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Как и в случае признака сравнения в предельной форме для знакопостоянных рядов, утверждение теоремы может быть уточнеf ( x) f ( x) = +∞ . В первом = 0 или lim x→+∞ g ( x ) x→+∞ g ( x )

но, если допустить случаи lim

+∞

случае из сходимости интеграла

∫ g ( x) dx

следует сходимость интеграла

a +∞

∫

f ( x) dx (обращаем внимание читателя, что в первой части доказательст-

a

ва теоремы условие A > 0 не используется). Более того, в этом случае достаточно предполагать, что функция f принимает, начиная с некоторого места неотрицательные значения, поскольку отношение

g рассматриf +∞

ваться не будет. Во втором случае из сходимости интеграла

∫

f ( x) dx сле-

a +∞

дует сходимость интеграла

∫ g ( x) dx . Детальный анализ этих случаев преa

доставляется читателю.

Глава 3

118

Несобственные интегралы

ç

è

СЛЕДСТВИЕ

ТЕОРЕМЫ.

Предположим, что функция f определена и

локально интегрируема на промежутке [a, +∞) , принимает на этом промежутке положительные значения и для некоторого α > 0 выполняется равенство lim xα f ( x) = C , где C > 0 . Тогда при α > 1 несобственный инx→+∞

+∞

теграл

∫

f ( x) dx сходится, а при α ≤ 1 расходится.

a

Это утверждение вытекает из полученных выше условий сходимости +∞

несобственного интеграла

∫ 1

dx . Напомним, что этот интеграл сходится xα

при α > 1 и расходится при α ≤ 1 . Условие

lim xα f ( x) = C может быть переформулировано в сле-

x→+∞

дующих терминах: если при x → +∞ имеет место эквивалентность f ( x) ~

C

xα

, где C > 0 , то при α > 1 несобственный интеграл

+∞

∫

f ( x) dx

a

сходится, а при α ≤ 1 расходится. ПРИМЕР. Докажем сходимость несобственного интеграла +∞

∫ 0

2 x 2 − 3x − 4 dx . x4 + 2 x2 + 1

В силу равенства x 4 + 2 x 2 + 1= ( x 2 + 1) 2 , знаменатель дроби при x ≥ 0 является положительным. Отсюда следует, что подынтегральная функция определена и непрерывна при x ≥ 0 . Поскольку 2 x 2 − 3 x − 4 → +∞ при x → +∞ , числитель дроби, а, значит, и подынтегральная функция, начиная

с некоторого места становятся положительными. Из сказанного следует,

Глава 3

119

Несобственные интегралы

ç

è

что подынтегральная функция определена и непрерывна при x ≥ 0 и положительна, начиная с некоторого места. Учитывая, что при x → +∞ имеют место эквивалентности 2 x 2 − 3x − 4 ~ 2 x 2 , x 4 + 2 x 2 + 1 ~ x 4 ,

для подынтегральной функции при x → +∞ получаем: 2 x 2 − 3x − 4 2 x 2 2 ~ = 2. x4 + 2 x2 + 1 x4 x

В силу приведенного выше следствия теоремы, интеграл является сходящимся. УПРАЖНЕНИЕ. Проанализировать сходимость несобственного интеграла +∞

∫ e

ln β x dx , α , β ∈ R . xα

УКАЗАНИЕ. При β ≠ 0 не существует функции вида

C , эквивалентxα

ной подынтегральной функции при x → +∞ . Для анализа сходимости при

α ≠ 1 можно воспользоваться следующей оценкой: для любого ε > 0 существует такая константа C = C (ε ) , что для всех x ≥ 1 имеет место неравенство ln x ≤ Cxε . В случае α = 1 можно найти первообразную подынтегральной функции и с ее помощью решить вопрос о сходимости.

Глава 3

120

Несобственные интегралы

ç

è

3. Признаки сходимости несобственного интеграла в общем случае Прежде всего, приведем общий критерий сходимости несобственного интеграла. ТЕОРЕМА 3 (КРИТЕРИЙ КОШИ ЛА).

СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРА-

Предположим, что функция f определена и локально интегрируема +∞

на промежутке [a, +∞) . Несобственный интеграл

∫

f ( x) dx сходится в

a

том и только том случае, когда выполняется следующее условие: по любому ε > 0 найдется такое N > a , что для любых M1 , M 2 ≥ N выполняется неравенство

M2

∫

f ( x) dx < ε .

M1

+∞

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сходимость несобственного интеграла

∫

f ( x) dx

a

по определению равносильна существованию предела функции M

F (M ) =

∫ f ( x) dx a

при M → +∞ . Воспользуемся критерием Коши существования предела функции при M → +∞ . Согласно этому критерию, предел lim F ( M ) суM →+∞

ществует в том и только том случае, когда по любому ε > 0 найдется такое N , что для любых M1 , M 2 ≥ N выполняется неравенство

| F ( M 2 ) − F ( M1 ) |< ε .

Глава 3

121

Несобственные интегралы

ç

è

Остается заметить, что F ( M 2 ) − F ( M1= )

M2

∫

f ( x) dx −

a

M1

∫

f ( x) dx =

a

M2

∫

f ( x) dx.

M1

Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ. Предположим, что функция f определена и локально интегрируема на промежутке [a, +∞) . Если сходится несобственный ин+∞

теграл

∫ | f ( x) | dx ,

+∞

то сходится несобственный интеграл

a

имеет место оценка

∫

f ( x) dx и

a +∞

∫

+∞

f ( x) dx ≤

a

∫ | f ( x) | dx . a

+∞

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сходимость несобственного интеграла

∫

f ( x) dx

a

вытекает из критерия Коши. Действительно, выберем произвольное ε > 0 и найдем такое N , чтобы для любых M1 M 2 ≥ N выполнялось неравенство M2

∫ | f ( x) | dx < ε

M1

(модуль интеграла мы не пишем, поскольку интеграл является неотрицательным). Тогда для тех же M1 , M 2 имеем: M2

∫

M1

f ( x) dx ≤

M2

∫ | f ( x) | dx < ε .

M1

Снова используя критерий Коши, находим, что несобственный интеграл

Глава 3

122

Несобственные интегралы

ç

è

+∞

∫

f ( x) dx

a

сходится. Для любого M > a имеет место оценка M

M

∫

f ( x) dx ≤ ∫ | f ( x) | dx.

a

a

Переходя здесь к пределу при M → +∞ , находим требуемое соотношение для несобственных интегралов. Следствие доказано. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предположим, что функция f локально интегрируема на промежутке [a, +∞) . Если сходится несобственный интеграл +∞

∫ | f ( x) | dx , a

то говорят, что +∞

1) интеграл

∫

f ( x) dx сходится абсолютно;

a

2) функция f абсолютно интегрируема (в несобственном смысле) на промежутке [a, +∞) . В терминах приведенного определения следствие предыдущей теоремы может быть переформулировано так: из абсолютной интегрируемо-

Глава 3

123

Несобственные интегралы

ç

è

сти в несобственном смысле функции f на промежутке [a, +∞) вытекает ее интегрируемость в несобственном смысле на этом промежутке. Обратное утверждение в общем случае является неверным. соответствующий пример будет приведен ниже. ЗАМЕЧАНИЕ. Без требования локальной интегрируемость функции f приведенное выше следствие является неверным: если сходится несобст+∞

венный интеграл

∫ | f ( x) | dx , то по определению несобственного интеграa

ла функция | f | должна быть локально интегрируема на промежутке [a, +∞) . Однако при этом функция f может не обладать последним свойством. Рассмотрим следующий пример. Определим на промежутке [0, +∞) следующую функцию: e − x ,если число рациональное; x f ( x) =  −x −e ,если число xиррациональное.

Тогда функция | f ( x) |= e − x , x ≥ 0 является интегрируемой на промежутке [0, +∞) : +∞

∫ 0

e

−x

M

dx =

lim

M →+∞

−x ∫ e dx = 0

lim (−e − x )

M →+∞

M 0

=

lim (1 − e − M ) = 1.

M →+∞

Однако функция f не является интегрируемой ни на каком промежутке вида [a, M ] при любом M > a . Для доказательства этого снова воспользуемся функцией Дирихле, задаваемой на всей вещественной оси  условием:

Глава 3

124

Несобственные интегралы

ç

è

1,если число D( x) =  0,если число

x рационально, x иррационально.

Легко проверить, что имеет место равенство

= f ( x) e − x D( x) − e − x (1 − D( x)), a ≤ x ≤ M . После очевидных преобразований получаем: = f ( x) e − x (2 D( x) − 1), a ≤ x ≤ M .

Если бы функция f была интегрируемой на отрезке [a, M ] , то на этом отрезке была бы интегрируема функция 2 D( x) − 1 (как произведение интегрируемых функций D( x) и e x ). Тогда из соотношения = D( x)

1 ((2 D( x) − 1) + 1), a ≤ x ≤ M 2

получаем, что на отрезке [a, M ] интегрируема функция D( x) . Выше (глава 1) было доказано, что функция Дирихле не является интегрируемой ни на каком отрезке. Из признака сравнения несобственных интегралов и следствия предыдущей теоремы вытекает следующее утверждение. ТЕОРЕМА 4. Предположим, что функции f и g определены на промежутке [a, +∞) и выполняются следующие условия: 1) для всех x ∈ [a, +∞) | f ( x) |≤ g ( x) ;

Глава 3

125

Несобственные интегралы

ç

è

+∞

2) сходится несобственный интеграл

∫ g ( x) dx ; a

3) функция f локально интегрируема на промежутке [a, +∞) . Тогда функция f абсолютно интегрируема в несобственном смысле на промежутке [a, +∞) и выполняется неравенство +∞

∫ a

+∞

f ( x) dx ≤

∫ g ( x) dx. a

По аналогии со случаем числовых рядов приведем признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов. В случае числовых рядов было использовано неравенство Абеля. Приведем аналогичное утверждение для случая интегралов. Предположим, что выполнены следующие условия: 1) функция f непрерывна на отрезке [a, b] . 2) функция g определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке [a, b] . Введем обозначения: x

F ( x) = ∫ f (t ) dt , a ≤= x ≤ b , C max{F ( x) : a ≤ x ≤ b}. a

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Глава 3

126

Несобственные интегралы

ç

è

b

b

a

a

∫ f ( x) g ( x) d x= ∫ F ′( x) g ( x) d

b x= F ( x) g ( x) a

b

− ∫ F ( x) g ′( x) d x= a

b

= F (b) g (b) − ∫ F ( x) g ′( x) dx. a

Здесь было учтено, что F (a ) = 0 . Рассмотрим последний интеграл: b

b

a

a

∫ F ( x) g ′( x) dx ≤ ∫ | F ( x) g ′( x) | dx = b

b

=∫ | F ( x) |⋅ | g ′( x) | dx ≤ C ∫ | g ′( x) | dx.  a

≤C

a

Функция g монотонна на отрезке [a, b] . Поэтому выполняется одно из двух условий: 1) для всех x ∈ [a, b] g ′( x) ≥ 0 и, следовательно, | g ′( x) |= g ′( x) ; 2) для всех x ∈ [a, b] g ′( x) ≤ 0 и, следовательно, | g ′( x) |= − g ′( x) . В первом случае b

b

| dx ∫ g ′( x= ) dx ∫ | g ′( x)= a

g (b) − g (a ).

a

Во втором случае b

b

a

a

− ∫ g ′( x) dx = g (a ) − g (b). ∫ | g ′( x) | dx =

Глава 3

127

Несобственные интегралы

ç

è

Учитывая, что в первом случае g (b) ≥ g (a ) , а во втором g (b) ≤ g (a ) , полученным соотношениям можно придать единообразный вид: b

| dx ∫ | g ′( x)=

| g (b) − g (a ) | .

a

Комбинируя полученные соотношения, находим: b

b

a

a

F (b) g (b) − ∫ F ( x) g ′( x) dx ≤ ∫ f ( x) g ( x) dx =

b

≤| F (b) g (b) | + ∫ F ( x) g ′( x) d x≤ C ⋅ | g (b) | +C ⋅ | g (b) − g (a ) |≤ a

≤ C ⋅ | g (b) | +C ⋅ (| g (b) | + | g (a ) |) = C ⋅ (| g (a ) | +2 | g (b) |).

Выпишем окончательную оценку, которую будем называть неравенством Абеля для определенного интеграла: b

∫ f ( x) g ( x) dx ≤ C ⋅ (| g (a) | +2 | g (b) |), a

где C max{F ( x) : a ≤ x ≤ b} . = Перейдем теперь к признакам сходимости несобственных интегралов. ТЕОРЕМА 5 (ПРИЗНАК ДИРИХЛЕ). Предположим, что выполняются следующие условия:

Глава 3

128

Несобственные интегралы

ç

è

1) функция f непрерывна на промежутке [a, +∞) и имеет на этом промежутке ограниченную первообразную; 2) функция g непрерывно дифференцируема и монотонна на промежутке [a, +∞) ; 3) lim g ( x) = 0 . x→+∞

+∞

Тогда несобственный интеграл

∫

f ( x) g ( x) dx сходится.

a

ЗАМЕЧАНИЕ. Если функция f имеет на промежутке [a, +∞) ограниченную первообразную, то есть существует ее первообразная F0 на этом промежутке, являющаяся ограниченной, то любая первообразная этой функции на указанном промежутке будет также ограниченной, поскольку она может быть представлена в виде F0 + C с некоторой константой C. x

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ. Обозначим: F ( x) = ∫ f (t ) dt , x ≥ a . Функa

ция F ограничена на промежутке [a, +∞) . Обозначим: C = sup F ( x) . Выбеx≥a

рем произвольное ε > 0 и найдем такое N , что для любого M ≥ N выполняется неравенство | g ( x) |< ε . Тогда для произвольных M1 , M 2 ≥ N , применяя неравенство Абеля, получаем: M2

∫

f ( x) g ( x) dx ≤ 3Cε ,

M1

поскольку выполняются неравенства | g ( M1 ) |< ε , | g ( M 2 ) |< ε .

Глава 3

129

Несобственные интегралы

ç

è

В силу произвольности ε , из критерия Коши сходимости несобственного +∞

интеграла, получаем, что несобственный интеграл

∫

f ( x) g ( x) dx сходится.

a

Теорема доказана. ТЕОРЕМА 6 (ПРИЗНАК АБЕЛЯ). Предположим, что выполняются следующие условия: 1) функция f непрерывна на промежутке [a, +∞) и несобственный +∞

интеграл

∫

f ( x) dx сходится;

a

2) функция g непрерывно дифференцируема, монотонна и ограничена на промежутке [a, +∞) ; +∞

Тогда несобственный интеграл

∫

f ( x) g ( x) dx сходится.

a

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим: K = sup g ( x) . Выберем произвольное x≥a

ε > 0 . В силу критерия Коши сходимости несобственного интеграла, существует такое N , что для любых M1 , M 2 ≥ N выполняется неравенство M2

∫

f ( x) dx < ε .

(∗)

M1

Зафиксируем произвольные числа M1 , M 2 ≥ N . Предположим сначала, что x

M1 < M 2 . Рассмотрим первообразную F ( x) =

∫ M1

f (t ) dt функции f на про-

Глава 3

130

Несобственные интегралы

ç

è

межутке [ M1, M 2 ] . Для произвольного x ∈ [ M1, M 2 ] выполняется неравенство x ≥ N и, в силу соотношения (∗), выполняется неравенство | F ( x) |< ε . Тогда, применяя неравенство Абеля, получим: M2

∫

f ( x) g ( x) dx ≤ 3K ε .

M1

Если M 2 < M1 , то, в силу доказанного, M2

M1

M1

M2

= ∫ f ( x) g ( x) dx

∫

f ( x) g ( x) dx ≤ 3K ε .

Учитывая произвольность ε , из критерия Коши сходимости несобственного интеграла получаем требуемое утверждение. Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Как и в случае числовых рядов, признак Абеля может быть выведен из признака Дирихле. Действительно, предположим, что выполнены условия формулировки признака Абеля. Из условий, наложенных на функцию g , следует, что существует предел lim g ( x) . Обозначим этот x→+∞

предел через α . Воспользуемся тождеством = f ( x) g ( x) f ( x)( g ( x) − α ) + α f ( x),

x ∈ [a, +∞).

(∗)

Функция f ( x)( g ( x) − α ) интегрируема на промежутке [a, +∞) по признаку Дирихле. Проверим выполнение условий этого признака.

Глава 3

131

Несобственные интегралы

ç

è

+∞

Из существования несобственного интеграла

∫

f ( x) dx следует, что

0 x

первообразная F ( x) = ∫ f (t ) dt , x ≥ a функции f является ограниченной. a +∞

= K Действительно, обозначим

f ( x) dx ∫= 0

lim F ( x). Тогда найдется та-

M →+∞

кое M > a , что для всех x ≥ M выполняется неравенство | F ( x) − K |< 1, то есть K − 1 < F ( x ) < K + 1,

и функция F ограничена на промежутке [ M , +∞) 1. Функция F непрерывна на промежутке [a, M ] . Из теоремы Вейерштрасса следует, что на этом промежутке она ограничена. Окончательно получаем, что функция F ограничена на промежутке [a, +∞) . Для применимости признака Дирихле к функции f ( x)( g ( x) − α ) на промежутке [a, +∞) остается заметить, что на этом промежутке функция g ( x) − α непрерывна, монотонна и имеет место

0. равенство lim ( g ( x) − α ) = x→+∞

Обращаясь к тождеству (∗) и учитывая, что функция α f ( x) интегрируема на промежутке [a, +∞) , получаем требуемое утверждение. +∞

ПРИМЕР. Покажем, что несобственный интеграл

∫ 0

sin x dx сходится, x

но не является абсолютно сходящимся.

Это свойство локальной ограниченности функции, рассмотренное нами ранее в случае предела функции в конечной точке. 1

Глава 3

132

Несобственные интегралы

ç

è

ЗАМЕЧАНИЕ. При рассмотрении функции

sin x всегда предполагаетx

ся, что в точке x = 0 , являющейся точкой устранимого разрыва, функция полагается равной единице. После этого данная функция становится непрерывной на всей вещественной оси. В силу непрерывности функции

sin x при x ≥ 0 , она локально интегx

рируема на промежутке [0, +∞) . Для доказательства сходимости рассматриваемого интеграла достаточно доказать, что сходится интеграл +∞

∫

π

sin x dx . x

Для этого воспользуемся признаком Дирихле. Полагаем: = f ( x) sin x, = g ( x)

1 , x

x ≥ π.

Проверяем условия признака Дирихле. 1) функция f непрерывна на промежутке [π , +∞) и имеет на этом промежутке ограниченную первообразную; В проверке нуждается только утверждение о первообразной. При x ≥ π имеет место равенство x

(− cos t ) π = − cos x − 1. ∫ sin t dt =

π

Отсюда для тех же x имеем:

x

Глава 3

133

Несобственные интегралы

ç

è

x

| cos x − 1|≤| cos x | +1 ≤ 2, ∫ sin t dt =−

x ≥ π.

π

2) функция g непрерывно дифференцируема и монотонна на промежутке [π , +∞) ; 3) lim g ( x) = 0 . x→+∞

Эти свойства, очевидно, выполняются для рассматриваемой функции g . +∞

В силу признака Дирихле, несобственный интеграл

∫

π

sin x dx схоx

дится. Тогда, как было отмечено выше, сходится несобственный интеграл +∞

∫ 0

sin x dx . x +∞

Покажем теперь, что несобственный интеграл

∫

π

sin x dx не сходится x

абсолютно. Для этого достаточно показать, что первообразная функции sin | x | на промежутке [π , +∞) не является ограниченной. Обозначим: x x

= F ( x)

sin t dt , x ≥ π t π

∫

и покажем, что F (π n) → +∞ при n → +∞ . Действительно,

Глава 3

134

Несобственные интегралы

ç

è

πn

| sin t | F (π n) ∫= dt = t π

Функция ϕ (t ) =

n −1 π ( k +1)

∑ ∫ k =1

πk

| sin t | dt. t

(∗)

1 монотонно убывает на промежутке [π , +∞) . Для t

любого t ∈ [π k , π (k + 1)] из оценки t ≤ π (k + 1) следует, что

1 1 . От≥ t π (k + 1)

сюда получаем: π ( k +1)

∫

πk

| sin t | 1 dt ≥ π (k + 1) t

π ( k +1)

∫

| sin t | dt =

πk

π

π

1 1 = = π + = | sin( k t ) | dt | sin t | dt π (k + 1) ∫0 π (k + 1) ∫0 π

1 1 2 π = = − = sin t dt ( cos t ) . 0 π (k + 1) ∫0 π (k + 1) π (k + 1) Учитывая полученную оценку, из (∗) находим: n −1

2 2 n−1 1 F (π n) ≥ ∑ = ∑ k + 1. π k + π ( 1) = k 1= k 1 Остается заметить, что сумма n −1

1

1

1

1

∑ k +1 = 2 + 3 ++ n k =1

является частичной суммой расходящегося ряда

Глава 3

135

Несобственные интегралы

ç

è

+∞

1

1

1

1

∑ k +1 = 2 + 3 ++ n + k =1

n −1

1

∑ k + 1 = +∞ . Поэтому n→+∞

с положительными членами и, следовательно, lim

k =1

выполняется соотношение lim F (π n) = +∞ , доказательство завершено. n→+∞

В заключение остановимся еще на других случаях несобственных интегралов по неограниченным промежуткам. Предположим, что функция f определена на промежутке (−∞, a ] и для любого M < a интегрируема на промежутке [ M , a] . Если существует a

предел

lim

M → −∞

∫

a

f ( x) dx , то он обозначается через

∫

f ( x) dx и называется

−∞

M

несобственным интегралом от функции f по промежутку (−∞, a ] . В этом случае говорят, что последний интеграл является сходящимся, а функция f называется интегрируемой (в несобственном смысле) по промежутку (−∞, a ] . К таким интегралам с соответствующими изменениями применимы все утверждения, полученные для несобственных интегралов по промежутку [a, +∞) . Если функция f определена на всей вещественной +∞

∫

оси и существуют несобственные интегралы

0

f ( x) dx и

0

∫

f ( x) dx , то не-

−∞

собственный интеграл от функции f по всей вещественной оси определяется равенством: +∞

f ( x) dx ∫ ∫=

−∞

+∞

0

−∞

f ( x) dx +

∫ 0

f ( x) dx.

Глава 3

136

Несобственные интегралы

ç

è

В этом случае говорят, что функция f интегрируема (в несобственном смысле) по всей вещественной оси.

4. Интегралы от неограниченных функций Предположим, что функция f интегрируема на отрезке [a, b] . В этом b

случае выполняется равенство lim

λ →+0

∫

a +λ

b

f ( x) dx = ∫ f ( x) dx. Действительно, a

обозначим: M = sup f ( x) . Для числа λ , удовлетворяющего условию a ≤ x≤b

0 < λ < b − a , имеем: a +λ

b

b

a

a +λ

∫ f ( x) dx − ∫

f ( x) dx = ∫ f ( x) dx. a

Отсюда следует, что b

a +λ

b

f ( x) dx ∫ f ( x) dx − ∫ = ∫ a

a +λ

a

a +λ

f ( x) dx ≤

∫

| f ( x) | dx ≤ M ⋅ λ → 0

a

при λ → +0 . b

Оказывается, что предел lim

λ →+0

∫

f ( x) dx может существовать и для функ-

a +λ

ции f , не являющейся ограниченной на промежутке [a, b] , и, следовательно, не являющейся интегрируемой на этом промежутке в обычном смысле. Чтобы иметь возможность рассматривать такой предел, функция f долж-

Глава 3

137

Несобственные интегралы

ç

è

на быть определена и интегрируема на любом промежутке вида [a + λ , b] при произвольном значении λ , удовлетворяющем условию 0 < λ < b − a . Предположим, что функция f определена на промежутке (a, b] и удовлетворяет следующим условиям: 1) эта функция является неограниченной на промежутке (a, b] ; 2) при любом λ , удовлетворяющем условию 0 < λ < b − a , функция f интегрируема на отрезке [a + λ , b] (и, следовательно, ограничена на этом отрезке). b

Если существует предел lim

λ →+0

∫

f ( x) dx , то он обозначается че-

a +λ

b

∫ f ( x) dx

рез

и называется несобственным интегралом от функции f по

a

промежутку [a, b] . В этом случае говорят, что последний интеграл является сходящимся, а функция f называется интегрируемой (в несобственном смысле) по промежутку [a, b] . ЗАМЕЧАНИЕ. Условия 1) и 2) выполняются, например, если функция f определена и непрерывна на промежутке (a, b] . Тогда при любом значении λ , удовлетворяющем условию 0 < λ < b − a , эта функция непрерывна на отрезке [a + λ , b] и, следовательно, интегрируема на этом отрезке. ПРИМЕР. Рассмотрим вопрос о сходимости несобственного интегра1

ла

dx ∫ xα , α > 0 . 0

Глава 3

138

Несобственные интегралы

ç

è

Функция

1 непрерывна на промежутке (0,1] и, следовательно, инxα

тегрируема на любом промежутке [λ ,1] , 0 < λ < 1 . Предположим сначала, что α ≠ 1 . Тогда 1

dx x1−α 1 1−α = = ∫ xα 1 − α 1 − α (λ − 1). λ λ 1

При λ → +0 величина λ1−α − 1 имеет (конечный) предел в том и только том случае, когда 1 − α > 0 , то есть α < 1 . При этом lim (λ1−α − 1) = 1. Итак, при λ →+0

0 < α < 1 рассматриваемый несобственный интеграл сходится, и имеет ме-

сто равенство 1

dx

∫ xα

=

0

1 . 1−α

При α > 1 указанный несобственный интеграл расходится. Если α = 1 , то для любого λ > 0 1

dx 1 ∫ x = ln x λ = − ln λ → +∞ λ при λ → +0 . Следовательно, несобственный интеграл в этом случае расходится. Окончательно получаем, что несобственный интеграл сходится при

α < 1 и расходится при α ≥ 1 . Аналогично находим, что несобственный интеграл

Глава 3

139

Несобственные интегралы

ç

è

b

dx ∫ ( x − a)α , −∞ < a < b < +∞ , α > 0 a сходится при 0 < α < 1 и расходится при α ≥ 1 . Приведенный в предыдущем примере подход может быть обобщен следующим образом. Предположим, что функция f определена и непрерывна на промежутке (a, b] . Обозначим через F произвольную первообразную функции f на этом промежутке Выберем произвольное число λ , удовлетворяющее условию 0 < λ < b − a Применим формулу Ньютона-Лейбница к функции f на промежутке [a + λ , b] : b

∫

f ( x) d x= F (b) − F (a + λ ).

a +λ

b

Отсюда следует, что предел lim

λ →+0

∫

f ( x) dx существует в том и только том

a +λ

случае, когда существует предел lim F (a + λ ) , и при выполнении этих усλ →+0

ловий имеет место равенство: b

∫ f ( x) d a

x= F (b) − lim F (a + λ ). λ →+0

Обозначая, как обычно, lim F (a + λ ) = F (a + 0) , последнюю формулу пеλ →+0

репишем так:

Глава 3

140

Несобственные интегралы

ç

è

b

∫ f ( x) d

x= F (b) − F (a + 0),

a

b

или

∫ f ( x) dx = F ( x) a+0 . b

Мы получили формулу Ньютона-Лейбница для

a

случая неограниченной функции. Для рассматриваемого случая остаются в силе все приведенные выше свойства несобственных интегралов по неограниченному промежутку. Их доказательства несущественно отличаются от предыдущего случая. Поэтому мы остановимся лишь на формулировках основных результатов. ТЕОРЕМА 7 (ПРИЗНАК

СРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ).

Предположим, что функции f и g определены на промежутке (a, b] и интегрируемы на отрезке [a + λ , b] для любого λ , удовлетворяющего условию 0 < λ < b − a . Допустим, что обе эти функции принимают только неотрицательные значения, и для любого x ∈ (a, b] выполняется неравенство f ( x) ≤ g ( x) . Тогда: b

1) если несобственный интеграл

∫ g ( x) dx сходится, то несобственa

b

ный интеграл

∫ f ( x) dx также сходится; a

b

2) если несобственный интеграл

∫ f ( x) dx a

b

венный интеграл ∫ g ( x) dx расходится. a

расходится, то несобст-

Глава 3

141

Несобственные интегралы

ç

è

ТЕОРЕМА 8 (ПРИЗНАК

СРАВНЕНИЯ В ПРЕДЕЛЬНОЙ ФОРМЕ).

Предполо-

жим, что функции f и g определены на промежутке (a, b] и интегрируемы на отрезке [a + λ , b] для любого λ , удовлетворяющего условию 0 < λ < b − a . Допустим, что обе эти функции принимают на промежутке

( a, b]

только

положительные

значения

f ( x) > 0 . Тогда несобственные интегралы lim x →a + 0 g ( x )

и

существует

b

∫ f ( x) dx

предел

b

и

a

∫ g ( x) dx

схо-

a

дятся или расходятся одновременно. СЛЕДСТВИЕ

ТЕОРЕМЫ.

Предположим, что функция f определена на

промежутке (a, b] , принимает на этом промежутке положительные значения и интегрируемы на отрезке [a + λ , b] для любого λ , удовлетворяющего условию 0 < λ < b − a . Предположим, что для некоторого α > 0 выполняется равенство lim ( x − a )α f ( x) = C , где C > 0 . Тогда при α < 1 неx →a + 0

b

собственный интеграл

∫ f ( x) dx сходится, а при α ≥ 1 расходится. a

Условие lim ( x − a )α f ( x) = C может быть переформулировано так: x →a + 0

если при x → a + 0 имеет место эквивалентность f ( x) ~

C > 0, то при 0 < α < 1 несобственный интеграл

C , где ( x − a )α

b

∫ f ( x) dx

сходится, а при

a

α ≥ 1 расходится. ПРИМЕР. Рассмотрим вопрос о сходимости несобственного интеграла

Глава 3

142

Несобственные интегралы

ç

è

1

(sin x )3 ∫ 1 − cos x dx . 0 Числитель и знаменатель подынтегральной функции непрерывны на промежутке [0,1] , причем знаменатель не обращается в ноль при x > 0 . Отсюда следует, что подынтегральная функция непрерывна на промежутке (0,1]. При x → 0 имеют место следующие эквивалентности: sin x ~ x, 1 − cos x ~

1 2 x . 2

Отсюда получаем, что при x → +0 (sin x )3 ( x )3 2 ~ = 12 . 1 2 1 − cos x x x 2

В силу следствия предыдущей теоремы, рассматриваемый интеграл сходится. ТЕОРЕМА 9 (КРИТЕРИЙ КОШИ ЛА).

СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРА-

Предположим, что функция f определена на промежутке (a, b] и

интегрируема на отрезке [a + λ , b] для любого λ , удовлетворяющего условию 0 < λ < b − a . Несобственный интеграл

b

∫ f ( x) dx

сходится в том и

a

только том случае, когда выполняется следующее условие: по любому

ε > 0 найдется такое δ , 0 < δ < b − a , что для любых λ1 , λ2 , удовлетворяющих условию 0 < λ1 < δ , 0 < λ2 < δ имеет место неравенство

Глава 3

143

Несобственные интегралы

ç

è

a +λ2

∫

f ( x) dx < ε .

a +λ1

СЛЕДСТВИЕ. Предположим, что функция f определена на промежутке (a, b] и интегрируема на отрезке [a + λ , b] для любого λ , удовлетворяющего условию 0 < λ < b − a . Если сходится несобственный интеb

грал ∫ | f ( x) | dx , то сходится несобственный интеграл a

место оценка

b

∫ f ( x) dx

и имеет

a b

b

a

a

∫ f ( x) dx ≤ ∫ | f ( x) | dx .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если сходится несобственный интеграл b

∫ | f ( x) | dx , a

то говорят, что b

1) интеграл

∫ f ( x) dx сходится абсолютно; a

2) функция f абсолютно интегрируема (в несобственном смысле) на промежутке [a, b] . ТЕОРЕМА 10. Предположим, что функции f и g определены на промежутке [a, +∞) и выполняются следующие условия: 1) для всех x ∈ [a, +∞) | f ( x) |≤ g ( x) ;

Глава 3

144

Несобственные интегралы

ç

è

+∞

2) сходится несобственный интеграл

∫ g ( x) dx ; a

3) для любого λ , удовлетворяющего условию 0 < λ < b − a функция f интегрируема на отрезке [a + λ , b] . Тогда функция f абсолютно интегрируема в несобственном смысле на промежутке [a, b] и выполняется неравенство b

b

a

a

∫ f ( x) dx ≤ ∫ g ( x) dx. ТЕОРЕМА 11 (ПРИЗНАК ДИРИХЛЕ). Предположим, что выполняются следующие условия: 1) функция f непрерывна на промежутке (a, b] и имеет на этом промежутке ограниченную первообразную; 2) функция g непрерывно дифференцируема и монотонна на промежутке (a, b] ; 3) lim g ( x) = 0 . x →a + 0

b

Тогда несобственный интеграл

∫ f ( x) g ( x) dx сходится. a

ТЕОРЕМА 12 (ПРИЗНАК АБЕЛЯ). Предположим, что выполняются следующие условия:

Глава 3

145

Несобственные интегралы

ç

è

1) функция f непрерывна на промежутке (a, b] и несобственный b

интеграл

∫ f ( x) dx сходится; a

2) функция g непрерывно дифференцируема, монотонна и ограничена на промежутке (a, b] ; b

Тогда несобственный интеграл

∫ f ( x) g ( x) dx сходится. a

ЗАМЕЧАНИЕ. Мы рассмотрели случай, когда функция имеет особенность на левом конце промежутка интегрирования. Аналогично рассматривается случай, когда функция имеет особенность на правом конце промежутка.

ç

è

Обратно

Исторические сведения Абель Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) Норвежский математик. Доказал теорему о неразрешимости уравнения выше четвертой степени в радикалах. В математике используются термины «абелевы интегралы», «абелевы группы».

Дополнения

147

ç

Исторические сведения è

Обратно

Д’Аламбер Жан Лерон д’Аламбер (1717 – 1783) Французский математик и философ. Сформулировал важный принцип механики, названный его именем. Вместе с Д. Дидро редактировал знаменитую французскую «Энциклопедию».

Дополнения

148

ç

Исторические сведения è

Обратно

Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) Немецкий математик. Исследования Вейерштрасса посвящены математическому анализу, теории функций, вариационному исчислению, дифференциальной геометрии. В линейной алгебре разработал теорию элементарных делителей, используемую в теории матриц при нахождении матрицы жордановой нормальной формы.

Дополнения ç

149

Исторические сведения è

Обратно

Дарбу Жан Гастон Дарбý (1842–1917). Французский математик. Выполнил работы по дифференциальной геометрии, теории интегрирования, алгебре, механике.

Дополнения

150

ç

Исторические сведения è

Обратно

Дирихле Петер Густав Лежён Дирихле (1805 – 1859) Немецкий математик. Создатель аналитической теории чисел. Выполнил важные работы по теории функций.

Дополнения

151

Исторические сведения

ç

è

Обратно

Коши Огюстен Луи Коши (1789 – 1857) Французский математик. Создатель теории функций комплексного переменного. Проводил исследования по теории дифференциальных уравнений. Коши первым дал строгое определение сходимости ряда. Он является автором классических курсов математического анализа.

Дополнения

152

ç

Исторические сведения è

Обратно

Лейбниц Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716). Немецкий философ и математик. Наряду с Ньютоном ему принадлежит заслуга в создании дифференциального и интегрального исчисления. Обозначение

dy принадлежит именно Лейбницу. dx

Дополнения

153

Исторические сведения

ç

è

Обратно

Ньютон Исаак Ньютон (1643–1727). Английский физик, механик, астроном, математик. Занимался оптикой, положил начало современной спектроскопии. Главный труд – «Математические начала натуральной философии». Для разрешения проблем механики значительно усовершенствовал математические методы. Разработал основы дифференциального и интегрального исчисления. Его труды оказали огромное влияние на дальнейшее развитие науки. Независимо дифференциальное и интегральное исчисление было разработано Г.Лейбницем.

Дополнения

154

Исторические сведения

ç Обратно

Риман Георг Фридрих Бернхард Риман (1826 – 1866). Немецкий математик. Один из создателей теории функций комплексного переменного. Проводил исследования по теории рядов, теории чисел, теории дифференциальных уравнений и неевклидовой геометрии. Работы Римана оказали огромное влияние на дальнейшее развитие математики. С его именем связано большое количество математических объектов: только что введенный интеграл Римана, риманова геометрия, сфера Римана, риманова поверхность, геометрия Римана. До сих пор не решена знаменитая задача о нулях так называемой дзета-функции Римана.