Diskretna matematika

CW- Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i sveučilišna biblioteka, Zagreb UDK

510 l 512 (075.8) 519.1 (075.8)

ŽUBRINIĆ, Darko Diskretna matematika Zagreb: ELEMENT, 2001.

l

Darko Žubrinić.

Bibliografija.

ISBN

953-197-525-6

l. Diskretna matematika - Udžbenik

410524013

ISBN 953-197-525-6

-

l. izd.

-

v

Darko Zubrinić

DISKRETNA MATEMATIKA

2. izdanje

Zagreb,

2002.

@ Darko Žubrinić, 2001.

Prof. dr.

Urednik

sc.

Neven Elezović

Recenzenti

Prof. dr. sc. Andrej Dujella Doc. dr. sc. Mario-Osvin Pavčević Prof. dr. sc. Dimitrije Ugrin-Šparac Crteži, slog i prijelom

Element, Zagreb Design ovitka

Palete, Zagreb

Nakladnik

Zagreb, Republike Austrije ll tel. 01/37-777-37, 01/37-777-44, 01/37-777-52 faks 01/37-736-41 http:jjwww.element.hr/ e-mail: [email protected] ELEMENT,

1isak

Ekološki glasnik, Donja Lomnica

Nijedan dio ove knjige oe smije se preslikavati niti umnažati

na bilo koji način, bez pismenog dopu!tenja nakladnika.

PREDGOVOR Moguće je tek približno opisati što sve obuhvaća diskretna matematika. Ona se bavi relacijama na konačnim skupovima, rekurzivnim relacijama, algoritmima, matematičkom logikom, Booleovim algebrama, kombinatorikom, particijama, teorijom grafova, raznim diskretnim algebarskim struktu­ rama (npr. konačnim grupama, prstenima, poljima), itd. Algebarskom strukturom zovemo bilo koji skup na kojem je definirana barem jedna operacija (obično binama). Pojam 'diskretne' matematike zahtijeva pojašnjenje. Njen temelj čine 'diskretni' skupovi. Tu obično mislimo na a) skup koji ima konačno mnogo elemenata (konačan skup), npr. skup {0, l}, {l, 2, 3}, skup slova abecede, skup znakova na tipkovnici računala, b) ili beskonačan skup čiji se elementi mogu poredati u slijed (prebrojiv skup). Takvi su npr. skupovi prirodnih i cijelih brojeva. Vidjet ćemo da se elementi skupa realnih brojeva ne mogu poredati u slijed. Uvođenjem struktura poput grupe, prstena, polja itd. dat ćemo i primjere koji ne spadaju u diskretnu matematiku, a koji dobro ilustriraju odgovarajuće pojmove. Pojam 'diskretan' stoji nasu­ prot pojmu 'kontinuiran' (neprekinut). Npr. skup realnih brojeva R je 'kontinuiran', dok je skup cijelih brojeva Z diskretan. Slično, za neku funkciju kažemo da je diskretna ako je skup njenih vrijednosti diskretan skup. Razumije se, 'diskretnu' i 'kontinuiranu' matematiku nije moguće strogo odijeliti. Npr. moguće su i funkcije koje su dijelom diskretne, a dijelom kontinuirane. Mnogi rezultati diskretne matematike dobivaju se uz pomoć diferencijalnog računa, dakle metodama 'kontinuirane' matematike, i obratno. y

y=J(n)

• l l l l

• l l l l l l l l

' l l l l l

y

• l l l l l l l l l l l l 4

n

y=J(x)

�

Sl. l. Diskretna i neprekinutafunkcija.

Knjiga je namijenjena studentima druge godine Fakulteta elektrotehnike i računalstva u Zag­ rebu, koji su već odslušali kolegij Linearne algebre na prvoj godini studija, i koji dakle već vladaju pojmovima kao što su grupa, vektorski prostor, matrica. Ta činjenica je jako olakšala pripremu ove knjige. Iako je temeljna svrha knjige diskretna matematika, mnoge definicije obuhvaćaju i primjere koji nisu diskretni, npr. grupa, prsten, polje. Stoga su pored 'diskretnih' primjera navedeni i neki najvažniji 'nediskretni' primjeri. Knjiga je pisana vrlo mekano, tako da ju velikim dijelom mogu čitati bez većih poteškoća i učenici srednjih škola. Tek tu i tamo nađe se poneki primjer iz linearne algebre (npr. vektorski prostori), ili iz diferencijalnog računa koji srednjoškolac može preskočiti. Knjiga obuhvaća diskretnu.matematiku za studente računalstva na Fakultetu elektrotehnike i računalstva u znatno većem opsegu (i dubini) nego što je programom predviđeno. Elementi diskretne matematike predaju se tijekom jednog semestra, s dva sata predavanja tjedno i dva sata vježbanja. Hrvatski štioc bi se sigurno j ako iznenadio kada bi vidio udžbenik matematike [Fudzisava, Kasami] za studente elektrotehnike t smjer telekomunikacije) u Japanu. On je za japanskog studenta vrlo zahtjevan, u mnogo većoj mjeri nego što je ova knjiga. Treba upozoriti i na jednu veliku prazninu: u knjizi nije niti dotaknuta teorija grafova (koja programom i nije predviđena). Vjerujem da će se kroz kratko vrijeme pojaviti i samostalan kolegij i udžbenik za studente elektrotehnike i računalstva koji će tu prazninu popuniti. Preporučam da čitajući ovu knjigu imate stalno olovku i papir pri ruci, radi provjera i vlastitog eksperimentiranja.

Pojedine tvrdnje nose nazive teoremi, propozicije, leme. Teoremom (stavkom) zovemo neku važniju tvrdnju, dok je lema pomoćna tvrdnja, priprema za dokaz nekog teorema ili propozicije. Propozicija po važnosti stoji negdje između teorema i leme. Korolarom zovemo posljedak nekog teorema ili propozicije. Oznaka Teorem 3 označava treći teorem u tekućem odjeljku, a Teorem 5.2.3 označava Teorem 3 u Odjeljku 5.2. Slično za propozicije, leme, korolare i primjere. Kraj dokaza označavamo sa Q.E.D. (lat.quod erat demonstrandum- što je i trebalo dokazati). U decimalnom zapisu realnih brojeva rabit ćemo radije decimalnu točku nego decimalni zarez. Knji gu je otipkao sam autor rabeći Knuthov tipografski sistem lEX (i netrivijalnu nadogradnju ostvarenu u poduzeću ELEMENT), koji je zaštitni znak American Mathematical Society. O 'fEX-u vidi http: l /www. tugboat. org. Zahvaljujem prof. dr. Nevenu Elezoviću na sugestiji da se ova knjiga napiše, i poduzeću ELE­ MENT na ugodnoj i vrlo efikasnoj suradnji. Nulto izdanje knjige objavljeno je 1997. g. Recenzenti prvog izdanja, prof. dr. Andrej Dujella, doc. dr. Mario Pavčević i prof. dr. Dimitrije Ugrin-šparac, pomogli su mi brojnim opaskama i sugestijama. Prof. dr. Dimitrije Ugrin-Sparac pružio mi je dra­ �ocjenu pomoć uvidom u Cutlandovu knjigu. Pomoć oko literature i stryčnu pomoć dobio sam od t abecednim redom) mr Andreje Aglić, prof. dr. Lea Budina, prof. dr. Zeljka Butkovića, prof. dr. Vladimira Ćepulića, prof. dr. Maria Esserta, mr :leljka Hanjša, dipl. ing.Igora Jelaske, mr. Miroslava Lojena, prof.dr. Ljube Marangunića, prof. dr. Dragutina Svrtana, prof. dr. Mladena Vukovića. Veliku zahvalnost dugujem mr Andrei Aglić i doc. dr. Mariu Pavčeviću na dopuštenju da izbor zadataka s rješenjima s pismenih ispita na FER-u (Fakultetu elektrotehnike i računalstva) bude uvršten u ovu knjigu. U otklanjanju nekih pogrešaka pomogli su mi i studenti. Svima velika hvala! Razumije se, odgovornost za propuste leži jedino na autoru. .

.

.

Zagreb, veljače 200J.

Tablica približne međuzavisnosti poglavlja: J

1\

13-2

3

5

6

9

7 -8

\41 1\

'

'

JO

'

'

'

12

ll

Pisanje grčkih slova je isto tako lagano kao n. Samo otipkaš isto tako lagano kao $\pi$. -Leslie LAMPORT, The IbTIYC Document Preparation System (1983) . • .

Ne samo moćno oružje u borbi za opstanak, matematika je simbol naše intelektualne snage, i jamstvo da te se ljudski duh vazda boriti za uzvi�ene ciljeve. -Danilo BLANUŠA (1903-1987)

SADRŽAJ l. Skupovi

......... . l.l. Algebra skupova .. . 1.2. Kartezijev produkt skupova 1.3. Ekvipotentni skupovi, kardinalni broj . 1.4. Prebrojivi skupovi i njihovo kodiranje 1.5. Neprebrojivost skupa realnih brojeva

2. Uvod u matematičku logiku .

.... Algebra sudova . . . . . . . . . Tautologije, pravila zaključivanja Skupovni prikaz algebre sudova . Booleove algebre . . . .. . . . . Booleove funkcije . . . . . . . . Disjunktivna i konjunktivna normalna forma Logički sklopovi . Predikatni račun ... ........ 3. Cijeli brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Dje1jivost, najveća zajednička mjera . 3.2. Euklidov algoritam . . . . . . . . . . . 3.3. Prosti brojevi, osnovni teorem aritmetike 3.4. Kongruencije po modulu n . . . . . . 3.5. Mtibiusova funkcija i formula inverzije 3.6. Eulerova funkcija . .. ... . .. . . 4. Binarne relacije .. . . . . . . . . . . . .. . 4.1. Refleksivne, simetrične, tranzitivne relacije . 4.2. Relacija ekvivalencije .... . .. . 4.3. Razredi ekvivalencije, particija skupa . 4.4. Još neki primjeri ... . 4.5. Relacija poretka . ... . .. . .. .. 4.6. Hasseov dijagram relacije poretka... 4.7. Mreže ... . . . . . . . .. . . . .. . . 4.8. Skupovni prikaz konačnih Booleovih algebara 4.9. Operacije s binarnim relacijama . 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8.

.

S. Binarne operacije

. .. . . . . . . . . 5.1. Definicija i primjeri . . . . . . . 5.2. Poljska i obrnuta poljska notacija

6.

7.

Uvod u kombinatoriku

. .. . .... Pravilo produkta . . . . ..... Varijacije, permutacije i kombinacije bez ponavljanja Permutacije, varijacije i kombinacije s ponavljanjem . Cikličke permutacije . . . . .. . .. Formula uključivanja- isključivanja Funkcije izvodnice. Dirichletov princip. Rekurzivne relacije . . . 7.1. Fibonaccijev slijed. 7.2. Asimptotsko ponašanje sljedova; oznake O, Q, e . 7.3. Linearne rekurzivne relacije .. . . . . . 7.4. Nehomogene rekurzivne relacije . .. . 7.5. Primjeri rješavanja Eulerovom metodom 7.6. Rješavanje s pomoću funkcija izvodnica 7.7. Diskretni dinamički sistemi . ... . . . 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7.

.

l l 6 6 9 ll 14 14 20 26 27 30 32 35 38

44 44 46

49 55 57 59 63 63

64

65 68 71 74 76 79 82 86 86 89 91

91

95 98 . 104 . 107 . 112 . 123 . 128 . 128 . 132 . 138 . 142 . 144 . 147 . 149

8. Operatori diferencije i pomaka .

8.1. 8.2. 8.3. 8.4.

. 156 . 156 .158 .160 . 161

.

Definicija i temeljna svojstva . Veza s operatorom pomalca .. Veza s operatorom deriviranja . . . . . Diferencijske (relrurzivne) jednadžbe .

9. Grupe

....... .. . 9.1. Definicija grupe . . . . . . . . . . . . .. . . 9.2. Neki primjeri grupa ............. . 9.3.Cikličke grupe . .. . . . .... ... . . . . 9.4. Primitivni korijen iz jedinice, Eulerova kongruencija. 9.5. Podgrupe, Lagrangeov teorem..... 9.6. Normalne podgrupe, kvocjentne grupe . 9. 7. Homomorfizmi i izomorfizmi grupa .. 9.8. Kartezijev produkt grupa ........ 9.9. Simetrične grupe (grupe permutacija). 9.10. Grupe simetrija

10. Prsteni i polja ..... .

.163 .163 . 166 . 169 .. . 172 .174 . . . 176 . . . 178 . . . .183 .185 .189 .195

10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10.7.

.195 . Prsteni . . . . .. . 197 Integralna domena . . . .198 Polja . .. . . . . . .. .200 Homomorfizmi i izomorfizmi prstena . . . . . 203 . Karakteristika prstena . .. . .. . .. . Ideal prstena .. . . ..... . . .. ... . . . . . .. .. ...... 204 . .. 205 Kvocjentni prsten po idealu .

11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6.

Definicija prstena polinoma . . . . . . Euklidov algoritam za polinome . . lreducibilni (nerastavljivi) polinomi K vocjentno polje prstena polinom.a Pro§irenja polja ... . . . . . Konačna (Galoisova) polja ..

11. Prsten polinomi

. . . . .. . . . . . . . . .

. . . . . . . . 12. 1 . Temeljne osobitosti algoritama

12. Složenost algoritama

12.2. Složenost potenciranja ... . . 12.3. Složenost Euldidova algoritma 12.4. Mjehuričasto sortiranje .. . . 12.5. Brzo sortiranje .............. 12.6. Sortiranje spajanjem (merge-sort) ... . 12.7. Procjena minimalne složenosti sortiranja 12.8. Memorijska složenost algoritama ..

.. 13.1. SNBR-stroj ............. 13.2. Izračunljive funkcije . . . . . . . . . 13.3. Odlučivi predikati ......... . 13.4. Kodiranje funkcija i predikata ... . 13.5. Primitivno rekurzivne funkcije ... 13.6.Halting problem (problem zaustavljanja)

13. SNBR-stroj, izrarunljive funkcije .

14. Dodatak

. . ... . . . . . . . 14.1. Kratki sažetak . . . . . . 14.2. Zadatci s pismenih ispita 14.3. Rje§enja zadataka

. .. 2f17 ... 2f17

.. .209 .. .211 . . . . . . . 213 ...... . 217 . 222 .. . .. . ... . . 229 . 229 .233 . 233 .239 . 241 . 244

..247

.... . 248

. . 250 .. .250 . 255 .258 .260 .263 .266 ..269 .269 .274 .279

Literatura . . ..

.291

Kazalo imena . .

.292

Kazalo pojmova .

.294

l. l .

ALGEBRA SKUPOVA

l

l.

Skupovi

skupa

Temeljne definicije i oznake.

Pod pojmom razumijevamo bilo koju množinu elemenata. Npr.: (a) skup svih prirodnih brojeva { 1 , 2, 3, . . } ; (b) skup svih cijelih brojeva Z={ . . , -2, -l, O, 1, 2, };

N=

... E , gdje su a, b E Z i b :j:. O ); skup svih realnih brojeva R; on sadrži sve racionalne, kao i brojeve poput /2, n= 3. 14 . . . , e = 2 . 7 1 828 . . . , q, = up= 1 .618 . . . , koji nisu racionalni;

(e) racionalnih brojeva

(d)

.

.

Q (elementi su mu razlomei

C, koji sadrži sve z = x + takve da su x, i imaginarna jedinica za koju se definira da je i2 = -l . iy,

(e) skup kompleksnih brojeva pri čemu je

y E

R,

Te vrlo važne skupove upoznali smo u osnovnoj i srednjoj školi. Povijesno, za njihovo uvođenje trebala su duga stoljeća mukotrpnog i vrlo složenog znanstvenog razvoja, osobito za nulu, negativne cijele brojeve i kompleksne brojeve. Skup realnih brojeva strogo je definiran tek u 1 9. stoljeću. Moguće je promatrati i skup svih neprekinutih realnih funkcija realne varijable

= x2

)

(elementi tog golemog skupa su funkcije, npr. y + l , sin 2x , eX , kao i skup studenata FER-a koji su do ovog trenutka položili barem jedan ispit, skup ovisnika o drogi u Hrvatskoj (volio bih da bude prazan, te da nikada ne budete njegov 'element'), skup svih invalida u Hrvatskoj, itd.

Neka je X bilo koji unaprijed učvršćen skup koji želimo promatrati, tzv. univer­ zalni skup. U njemu gledamo podskupove A, B, C itd. (skupove i podskupove obično označavamo velikim slovima). Činjenicu da element x pripada skupu A bilježimo sa x E A (ponekad i sa A x , tj. skup sadrži element x ). Ako x nije u A, onda pišemo x f{. A . Skupove obično zadajemo na dva načina: 3

A

a) popisivanjem njegovih elemenata, ako je to moguće: npr.

A= {l, 2, 3}, ili

l . SKUPOVI

2

A

EX EX A= ER: =

koji b) opisno, s pomoću nekog svojstva. Točnije, skup svih elemenata x imaju neku vlastitost P(x) označavamo sa {x : P(x)} . Npr. ako je = i vlastitost P(x) označava da je x tg x , onda je {x x tg x} skup svih realnih rješenja jednadžbe x tg x. Skup racionalnih brojeva možemo Z, O} . opisati kao Q H; Skup ne ovisi o poretku elemenata u njegovu zapisu, kao niti o tome ima li ponavljanja nekog elementa: npr. {l, 2, 3} {3, 2, l } {2, 2, 3, 3, 3, l } . Sljedeća definicija je jasna: kažemo da je skup skupa B ako je A sadržan u B, tj. ako za svaki element x vrijedi da ako je x onda je x B. Pišemo B. Znak zovemo znakom (uključivanja). Ako je B, onda kažemo da je B nadskup od , što možemo pisati i kao B 2 . Očevidno je za bilo koji skup Ako je B i :;6 B, onda kažemo da je pravi podskup od B. Važan podskup od je onaj koji ne sadrži niti jedan element, tzv. Označavamo ga sa 0 . Smatramo da za svaki skup vrijedi 0 tj. prazan skup je sadržan u svakom skupu. Također smatramo da postoji samo jedan prazan skup. PRIMJEDBA l. Mogući su i skupovi koji kao svoje elemente sadrže druge sku­ pove. Npr. skup { { } } ima kao element skup {a } , tj. {a } ne sadrži element Isto tako skup 0 ne sadrži niti jedan element, dok skup { 0 } sadrži jedan element (element mu je prazan skup).

X R

=

A�

: a, b E

=

= = A podskup EX E A, inkluzije A A A� A

�

A�A

b :;6

=

A=

A.

X

A

� A,

A= a a : a (j_ A .

E A� A prazan skup.

E A . Skup A

Radi potpunosti, čitatelja ćemo vrlo sažeto podsjetiti još i na neke temeljne poj­ move u vezi s funkcijama. Neka su zadana dva neprazna skupa i B. Funkcijom elementu iz polaznog skupa f iz u B, zovemo pravilo (postupak) kojim element iz skupa B, koji označavamo sa J( i zovemo pridružujemo elementa u skupu B. Funkciju označavamo sa J -t B. Funkcija se često zove još i preslikavanje. Umjesto = f( ponekad pišemo i Kao što smo rekli, ne može nekom biti pridruženo više -ova iz B, nego samo jedan, koji zovemo f(a). Ali, neki b E B može funkcijom J biti pridružen dvama ili više različitih elemenata iz Za zadanu funkciju J : -t B skup zove se domena, a skup B kodomena funkcije. Ako je f( onda zovemo argumentom funkcije, a vrijednošću od f za argument . Skup poredanih dvojaca f( zove se graf funkcije J. Kad kažemo onda nam to znači da je prvi element, i J( B drugi element u dvojcu Za dvije funkcije J -t B i g : kažemo da su jednake ako imaju iste domene, tj. = iste kodomene, tj. B i za sve vrijedi Npr. dvije funkcije f : i : Z zadane na 'isti' način: f(x) x2 + l i g(x) x2 + l , smatramo različitim funkcijama jer su im domene različite. Slijed (ili niz) u skupu je bilo koja funkcija J: V rijednosti te funkcije su f(n) = tj. redom ... , pa slijed često označavamo i na ovaj način: Slika funkcije J: -t B definira se kao skup { ( B: } , tj. kao skup svih B koji su 'pogođeni' s nekim uz pomoć funkcije. Za funkciju J : -t B kažemo da je surjekcija ako je njena slika jednaka čitavoj kodomeni, tj. f( = . Riječima: f je surjekcija ako za svaki B postoji takav da je J(

A A slikom

A a

svakom

točno jedan a

b

A

a) a EA

A.

:A

a) ,

a �---+ b. b

A b = a) , a b a (a, a)) poredani dvojac, aEA a) E (a, /(a)) . : Ar r A 2 -t B2 aEA Ar A2 , f(a) = g(a) . N -t N g r =-tBN2 , = = N -t A . A an E A , ar, a2 , a3 , (an ) . A /(A) = ! a) E a E A bE aEA A A) B bE aEA b = a) .

3

l . l . ALGEBRA SKUPOVA

B

Svaki element kodomene je 'pogođen' s bar jednim elementom domene A. : A -+ B kažemo da je injekcija ako različitim vrijednostima Za funkciju argumenta pridružuje različite vrijednosti u slici, tj.

f

ako je To je isto što i zahtijevati da

a l rf az, onda je !(al ) rf !(az) .

a1 = az . a l = az svaku !(al) = f(az) . f f- 1 f- 1 (b) = a onda i samo onda ako vrijedi f(a) = b. lnverzna funkcija je također bijekcija. Jasno je da između dva skupa A i B s konačno mnogo elemenata postoji bijekcija f : A -+ B onda i samo onda ako skupovi A i B imaju isti broj elemenata. Bijekcija f : A-+A, tj. iz skupa A u samog sebe. često se zove permutacija (pre­ mjestba) skupa A. Jedna vrlo važna permutacija skupa A je identiteta id : A -+ A, koja sve elemente u A ostavlja nepromijenjenim: id(a) = a . Permutacijama je posvećen Odjeljak 9.9. Za dvije funkcije f : A -+ B i g : B-+ e (primijetite da su 'ulančane' preko sku­ pa B), definirana je nova funkcija gof : A-+ e, zadana sa (gof)(a) = g(!(a)) . Zove se kompozicija (slaganje) funkcija f i g. Za kompoziciju triju (ulančanih) funkcija vrijedi zakon asocijativnosti: ako je h : e-+ D, onda imamo h o (g of) = (h o g) of. Pretpostavimo li da je f : A -+ B bijekcija, očevidno vrijedi f-1 o f = idA (identiteta na skupu A) i f o f- 1 id8 (identiteta na skupu B). Ako je zadana još jedna bijekcija, g B -+ e, onda je g o f A-+ e također bijekcija. Vrijedi sljedeće važno pravilo za nalaženje inverza kompozicije dviju bijekcija: (g o /) -1 = f- l o g - l . f(at) = !(az) , f:

onda je ako je lnjektivna funkcija 'ne lijepi' različite elemente iz skupa A u isti element iz B. Pri­ A -+ B vrijedi da iz funkciju mijetite da za slijedi Funkcija : A -+ B koja je istodobno injekcija i surjekcija zove se bijekclja. U : B -+A na sljedeći način: tom slučaju možemo definirati inverznu funkciju

=

:

:

U ovoj knjizi često će nam se pojavljivati pojam n faktorijela, n!, koji se za n O definira kao O ! = l , a za bilo koji prirodni broj n kao umnožak n uzastopnih prirodnih brojeva od l do n: n!= n(n- l) ...2 l. l)!= (n+ l)·n!. Npr. l!= l, 2!= 2, 3! 6 , 4! 24, 5!= 120 itd. Vrijedi , koji se definira za Isto tako važan će nam biti pojam binomnog koeficijenta nenegativne cijele brojeve n i uz uvjet � n sa: (�) =:= l, a za l � k � n stavljamo l) n(n- l) ...(n n . k!

=

= k

=

(k) =

m = k!(:�k)! ,

·

(n+ m

k

-k+

k

Primijetite da u brojniku imamo padajući umnožak točno prirodnihbrojeva, počevši od n. Lako se provjeri da je i vrijedi svojstvo simetrije: (�) Npr.

7 - 7 - 7·6·5 -

( ) (3) - 3-Z·l 4

35

·

= (11�k) .

l . SKUPOVI

4

Uobičajene kratke oznake za zbroj i produkt n realnih brojeva a1, a2, ..., a11 su n a;= a1a2 ... an. a; = a1 + a2 + ... +

n an , IJ

L i= l

i= l

Algebra skupova. Kažemo da su skupovi A i B jednaki ako vrijedi A � B i B � A . U tom slučaju pišemo A= B. Unijom skupova A i B sadržanih u univerzalnom skupu X zovemo skup e svih elemenata x takvih da je A ili B (moguće je da je i u oba skupa). Pišemo e = A U B. Presjek skupova A i B je skup D svih elemenata takvih da je A i B. Označavamo ga sa D = A n B {skup zajedničkih elemenata u A i B). Ovdje smo namjerno istaknuli da je skupovna operacija U povezana sa veznikom ili, a operacija n sa veznikom i. Za dva skupa A i B kažemo da su disjunktni ako im je presjek prazan, tj. AnB= 0. Za veći broj {'familiju' ) skupova kažemo da čine disjunktnufamiliju skupova, ako se niti koja dva skupa iz familije ne sijeku. Npr. tri skupa A , B i e čine disjunktnu familiju ako su A n B, A n e i B n e prazni skupovi. Razlika skupova A i B je skup E svih elemenata x za koje je x E A i x � B. Oznaka je E= A \ B. Ako je A podskup univerzalnog skupa X , onda definiramo komplement A skupa A sa A = X \ A. Važno je primijetiti da komplement ovisi i o izboru univerzalnog skupa, tj. ispravnije bi bilo reći 'kome!ement skupa A u skupu X'. Očevidno je komplement od A jednak opet A, dotično A= A. Isto tako je jasno da vrijedi A\B= An 'li. Komplement skupa A često se označava i sa Ac ili "'A.

xE

xE

x

xE

x

xE

.

X A

Sl.

J.J.

A

Komplenumt skupa

A.

DEFINICIJA. Za bilo koji skup X možemo definirati skup koji kao svoje elemente sadrži sve podskupove od X . Skup svih podskupova od X zovemo partitivni skup od X . Označava se često sa P(X) , ali mi ćemo radije rabiti oznaku . Razlog je sljedeći: ako skup X ima n elemenata, onda partitivni skup irna točno elemenata (vidi Teorem 6. 1.5). Npr. za skup X = je skup od sljedećih = 8 elemenata: 0,

2x

2n {l} , {l, 2, 3} 2x 23 {2}. {3}. {l, 2}. {2, 3}. {l, 3}. {l, 2, 3} . Kao što vidimo, elementi partitivnog skupa su podskupovi od X. Npr. 0 E 2x, X E 2x . Na partitivnom skupu definirane su tri osnovne operacije: (i) dvije operacije U (unija) i n {presjek) koje dvarnaelementirna A, B E P{X) pri­ 2x

družuju treći element iz P(X). To su tzv. biharne operacije na X (opća definicija binarne operacije bit će dana u Poglavlju 5). {ii) operaciju komplementiranja A �---+ A, koja je unama operacija, tj. operacija sa samo jednom varijablom A P{X) .

E

l . l . ALGEBRA SKUPOVA

5

X

A UB

A

X

A nB

Sl. 1.2. Unija i presjek skupova.

Nije teško dokazati da na partitivnom skupu P(X) vrijede neka jednostavna pravila s obzirom na tri navedene operacije: U , n i komplementiranje u X.

Teorem 1. Neka su A, B, e E 2x. Vrijede ova pravila algebre skupova:

A U A=A, A n A=A; asocijativnost: (A U B) U e=A U (B U C), (A n B) n e=A n (B n e); komutativnost: A u B=B u A, A n B = B n A: distributivnost: An(Bue) = (AnB) U (AnC) , AU (BnC)= (AUB)n(AUC); DeMorganove formule : A u B=A nJi, A n B=AUB; A U 0=A, A n X=A, A U X = X, A n 0= 0; komplementiranost: A U A = X, A n A = 0; involutivnost komplementiranja: A=A.

(l) idempotentnost operacija unije i presjeka:

(2) (3) (4) (5) (6) (7)

(8) (9)

PRIMJEDBA 2. Iz teorema je vidljivo da sva navedena pravila algebre skupova imaju svojstvo dualnosti: ako u jednom pravilu zamijenimo svuda U sa n i obrat­ no, i isto tako 0 sa X i obratno, dobivamo također valjano pravilo algebre skupova. Na taj način se iz jednog zakona distribucije dobiva drugi - njemu dualan, iz jedne DeMorganove formule druga (i obratno). PRIMJEDBA 3 . Zbog svojstva asocijativnosti opravdano je umjesto A U (B U e) pisati kraće A U B U e, i taj izraz računati na bilo koji od dva načina navedena u (2). Isto vrijedi i za A n B n e. PRIMJEDBA 4. Ako imamo veći broj skupova A1 , ... , An , onda umjesto A1 U ... u An pišemo kraće uk= lAk . Slično i za presjek n. Ako imanro beskonačan slijed (niz) skupova (An ) , n = l, 2, ... , onda njihovu uniju označavamo sa Ub1Ak i slično za presjek. PRIMJEDBA 5. U gornjem teoremu je dobro primijetiti da je 0 najmanji, a X najveći element u sljedećem smislu: za svaki podskup A u X vrijedi 0 � A � X. PRIMJER l . Dokažimo za ilustraciju samo DeMorganovu formulu A n B= A UB u prethodnom teoremu. U tu svrhu dokažimo najprije da je skup na lijevoj strani jed­ nakosti podskup skupa na desnoj strani. Neka je x A n B , tj. x A n B . Onda je x A x B Uer x nije u oba skupa istodobno, vidi Sliku 1.2 desno). Dakle x A x B, tj. x A U B. Time smo dokazali da je A n B � A U B. Obratna inkluzija dokazuje se na sličan način.

fl. ili fl. E ili E

E

E

fl.

l . SKUPOVI

6

U matematici je pojam Kartezijeva produkta skupova od iznimne važnosti, jer se susreće posvuda. DEFINICIJA. Ako su A1 , ... , An neprazni skupovi, onda definiramo Kartezijev produkt At x Az x ... x A11

n

ak

a1 , az, . . . , an )

E Ak za sve takvih da je kao skup svih poredanih -teraca ( Taj se skup označava kraće sa IJk=I Ak. k= l, . . Kartezijev umnožak dvaju skupova dobro je gledati kao 'pravokutnik' razapet sa . Pri tom su A1 horizontalno i Az vertikalno, čiji su elementi točke oblika ( koordinatne vrijednosti. Vidi Sliku 6. 1. Za tri skupa dobivamo 'kvadar' itd. i Korisno je znati da se Kartezijev umnožak skupova može opisati i na drugi, rav­ nopravan način. Akoje (at, ... , an) E TIZ=t Ak. onda taj n-terac možemo promatrati Uk=IAk takvu da je f(k) =ak i kao funkciju f: { l , . . f(k)EAk (*) Uk= Ak sa tim svojstvom (*) odreduje Obratno, svaka funkcija f : {1, I = f(k). Dru­ iz Kartezijeva produkta, gdje je pripadni n-terac gim riječima, Kartezijev produkt skupova može se definirati i kao skup svih funkcija f: {l, . . Uk=IAk sa svojstvom (*) . Wil­ � PoviJESNA CRTICA � Pojam funkcije uveo je 1694. g. ( 1707-1783), od {1646-1716), a u modernom smislu kojeg potječe i oznaka f(x) . Oznake e i :J za relaciju podskupa i nadskupa među skupovima, kao i princip dualnosti u matematičku logiku, uveo je njemački mate­ (1841-1911). Oznaku E za element skupa, zatim binarne matičar (1858operacije U i n za uniju i presjek skupova uveo je Talijan 1932). Ćesto je korisno skupove označavati s pomoću Vennovih dijagrama, nazvanih (1834-1923), vidi npr. Sliku 1.2. prema engleskom rnatematičaru

. ,n.

a1

a 1 , az)

az

. , n}--+

(ar, . . . , an)

. . . , n} --+

ak

. , n}--+

Leonhard Euler

helm Leibniz

Ernst Schroder

Gottfried

Giuseppe Peano

Johnu Vennu

U ovom i daljnjim odjeljcima bit će nam vrlo važni pojmovi kao što su injektivna, surjektivna i bijektivna funkcija, te pojam slijeda. DEFINICIJA. Za neprazan skup A kažemo da je konačan ako postoji prirodan A . Broj zovemo kardinalni broj skupa A broj i bijekcija f : {l , 2, i označavamo ga sa lAl· Kažemo još da A irna elemenata. U tom slučaju skup A I je moguće zapisati kao A = := f(k), k = l , . . . gdje je prazan skup 0 smatramo konačnim skupom s kardinalnim brojem O. Za skup A kažemo da je beskonačan ako nije konačan. Postoje dvije osnovne vrste beskonačnih skupova: (i) za beskonačan skup A kažemo da je prebrojiv ako se skup njegovih elemenata A= može

n

n . . . , n} --+ n {at . az, . . . , an} ,

ak

·

poredati u beskonačan slijed:

{ar, az, a3 , . . . } .

,n.

1.3. EKVIPOTENTNI SKUPOVI, KARDINALNI BROJ

7

(ii) za beskonačan skup A kažemo da je neprebrojiv ako se ne može poredati u slijed. Jasno je da je prebrojiv skup. Vidjet ćemo kasnije da je čak i skup racionalnih brojeva Q prebrojiv, kao i to da je skup neprebrojiv. Ponekad je korisno znati ovo jednostavno svojstvo: ako je skup A i ako je J : A -t A injektivna funkcija, onda je J i surjekcija (dakle bijekcija), i obratno. To slijedi odmah iz ove propozicije.

N

R

konačan

Propozicija 1. Neka su A i B konačni skupovi koji imaju isti broj elemenata,

tj. IAI= !Bl . Funkcija J :A

-t

B je injektivna onda i samo onda ako je surjektivna.

DOKAZ. Neka je J injektivna funkcija. Onda skupovi A i f(A) imaju isti broj ele­ menata, dotično IAI= IJ(A)I. Zbog IAI= !Bl je onda IJ(A)I = !Bl . Odavde zajedno sa J(A) � B, i jer je B konačan skup, slijedi J(A) = B, dakle J je surjekcija. Obratno, neka je J surjekcija. Onda je IAI � IJ(A)I = !Bl , pa zbog IAI = !Bl imamo IAI= IJ(A)I. Kako je A konačan skup, to znači da je J injekcija. Q.E.o. Može se pokazati da beskonačni skupovi nemaju ovo svojstvo. Štoviše, skup A je beskonačan onda i samo onda ako postoji bijekcija na neki njegov pravi podskup, vidi Primjer 2 niže. Kao što smo rekli, za beskonačan skup A kažemo da je prebrojiv ako se njegovi članovi mogu poredati u slijed: A= ...} Ekvivalentno tome, skup A je prebroji v ako postoji bijekcija J : -t A. Doista, ako je A = {al, a2, ... , ak, . . .} prebrojiv skup, onda možemo definirati bijekciju J: N-+ A sa J(k) =ak. Obratno, ako j e J: N-+ A bijekcija, onda skup A možemo poredati u

N

{a1, a2,

slijed (niz) stavljajući ak := J(k) .

J

-t

,

2N {2, 4,

}

= 6, . je prebrojiv, jer je bijekcija (provjerite) . Općenitije, svaki beskonačan pod­

PRIMJER l . Skup svih parnih brojeva

: N 2N, J(k) = 2k

.

. .

skup skupa prirodnih brojeva je prebroj iv, jer se očevidno se može poredati u slijed brojeva po veličini, vidi Teorem 3 niže. A što bi bio kardinalni broj skupa koji je beskonačan? Da bismo došli do tog pojma, prirnijetimo da skup A ima elemenata onda i samo onda ako postoji bijekcija s A na skup {1, Definirajmo zato najprije pojam ekvipotentnosti među skupovima.

2, . . . , n} .

n

DEFINICIJA. Kažemo da je skup A ekvipotentan Qednakobrojan) sa skupom B ako postoji bijekcija J :A -t B . Ekvipotentnost je zapravo jedna relacija među skupovima, o kojima će više riječi biti u Poglavlju ·

Teorem

4.

2. Označimo svojstvo da je skup A ekvipotentan sa skupom B oznakom A "' B Ekvipotentnost ima ova temeljna svojstva: (i) refleksivnost: A "' A za svaki skup A ; (ii) simetričnost: ako je A "' B, onda je i B "' A ; (iii) tranzitivnost: ako je A "' B i B "' e, onda je A "' e. .

DoKAZ. (i) Identiteta id : A -t A, id(x) = x , je bijekcija; (ii) ako je J : A -t B bijekcija, onda je i inverznafunkcija J-1 :B -t A također bijekcij a; (iii) Ako su funk­ cije J : A -t B i g : B -t e bijekcije, onda je i njihova kompozicija g o J : A -t e također bijekcija. Q.E.o.

}.

8

SKUPOVI

Jasno je da za konačne skupove A i B njihova ekvipotentnost znači upravo to da imaju isti broj elemenata. Broj elemenata konačnog skupa zovemo kardinalni broj skupa. Razumno je na sličan način definirati i kardinalni broj za beskonačne skupove.

A

DEFINICIJA. Za skupove i B kažemo da imaju isti kardinalni broj ako su ekvipotentni, dotično ako postoji bijekcija s jednog na drugi. Pišemo lA l = IBI . Ako je zadan konačan skup A = {a., onda je njegov kardinalni broj jednak n : IAI =

. . . , an },

n.

DEFINICIJA. Ako je skup A prebrojiv, onda njegov kardinalni broj označavamo sa N o i zovemo "alef nula" (prema prvom slovu N "alef" hebrejskoga pisma), i pi­ šemo lA l = N o . Kardinalni broj skupa R realnih brojeva označavamo sa e i zovemo kontinuum. Pišemo IRI = e . Kardinalne brojeve bilo koja dva skupa A i B možemo uspoređivati ovako. Ka­ žemo da je IAI � IBI (i čitamo: kardinalni broj skupa A je manji ili jednak od kardinalnog broja skupa B ) ako postoji funkcija j : A -t B . To je isto što i reći da je skup A ekvipotentan s nekim podskupom B (i to upravo sa /(A) ) . Ukoliko je lA l � lBl i skupovi A i B nisu ekvipotentni, onda pišemo lA l < IBI . Ako su skupovi A i B konačni, onda IAI � IBI izražava uobičajen odnos � (manje ili jednako) između broja elementa skupa A i broja elemenata skupa B .

injektivna

Može se pokazati

da ako je IAI � IBI (tj. skup A je ekvipotentan nekom podskupu od B) i

IBI � IAI (tj. skup B je ekvipotentan nekom podskupu A ) , onda postoji i bijekcija izmedu skupova A i B, tj. IAI = !Bl. Za beskonačne skupove ova tvrdnja zove se Schroder-Bernsteinov teorem, i njen dokaz nije jednostavan, vidi (Papić, str. 55]. Naravno, za konačne skupove A i B ova je tvrdnja očevidna

Jasno je da vrijedi N e R, pa je dakle N o � e . Kasnije ćemo pokazati da ne postoji bijekcija sa skupa N na R, odakle će slijediti da su ova dva beskonačna kardinalna broja međusobno različita, tj. N o < e (vidi Teorem 1.5.1).

2, 3, 2N skup koji je ekvipotentan

PRIMJER 2. Budući da postoji bijekcija sa N= {1, . ..} na (skup svih ) , onda je INI = j2NI = No . Dakle imamo Kod konačnih skupova se tako što ne može dogoditi. Takvu vlastitost imaju svi beskonačni skupovi, i samo oni. Evo još tri slična primjera: (i) Skupovi (-1, i R su ekvipotentni. Dovoljno je vidjeti da je funkcija f: R-t zadana sa f(x) = th x bijekcija. (ii) Bilo koja dva otvorena intervala u R oblika (a, b) i ( e, su ekvipotentna. Naime, funkcija j: b) -t ( e, definirana sa f(x) = � (x-a)+ e je bijekcija (pravac kroz točke A(a, e) i B(b, u ravnini). (iii) Skupovi N i njegov pravi podskup {5, 6, 7, . . .} su ekvipotentni, jer je funkcija pomaka j(k)= k+ bijekcija među njima. parnih broj eva

svom pravom podskupu! l) (-l, l) (a,

d)

d)

d)

4

U dokazu sljedećeg teorema rabit ćemo očevidnu činjenicu da svaki podskup sku­ pa prirodnih brojeva ima minimalni element.

Teorem 3. Svaki beskonačan podskup prebrojiva skupa je prebrojiv.

DoKAZ. Umjesto skupa A = {a t , a2, .. .} dovoljno je tvrdnju dokazati za N = . ..}. Neka je dakle A=N i B beskonačan podskup od N. Odaberimo najma­ nji prirodni broj bt u B. Zatim iz B izbacimo bt i gledamo najmanji element b2 u preostalom skupu B \ {b1} Neka je zatim b3 najmanji prirodni broj u B \ {bt, b2}, itd. Nije teško provjeriti da je funkcija j : N -t B definirana sa j( = bk bijekcija, Q.E.o. pa je B prebrojiv skup.

{l, 2,

•

k)

1.4. PREBROJIVI SKUPOVI I NJIHOVO KODIRANJE

9

A f:A-N f(A) f : A f(A) ,

PRIMJEDBA l. Iz prethodnog teorema vidimo da će neki skup biti prebrojiv onda i samo onda ako postoji injektivno preslikavanje čija je slika beskonačan podskup od Naime ako gledamo kao funkciju -t onda je bijekcija i skup je prebrojiv. Sljedeće svojstvo imaju samo beskonačni skupovi.

N.

f

f

f(A)

Teorem 4. Neka je A beskonačan skup i K njegov konačan podskup. Onda su

A i A \ K ekvipotentni, tj. JA l = JA \ K l . DOKAZ. Neka je K = {a1, . . . , ak} . Kako je A beskonačan skuJJ, onda postoji prebro­ jiv podskup S, koji sadrži K, tj. S = {a . . . , ak, ak+ 1 , . . . } . Funkcija f : A - A\ K definirana kao identiteta na A \ S i kao pomak za k na slijedu S: f (x) = { x,ai+k, zaza xx E Aa;\ES,S, skupovi

b

=

je očevidno bijekcija.

Q.E.D.

PRIMJER 3 . Na temelju ovog stavka imamo zanimljiv zaključak: skupovi [0, 1]. (0, l], (0, l) su ekvipotentni. PRIMJEDBA 2. Spomenimo da se kardinalni broj skupa u literaturi često oz­ načava i sa cardA ili jjA umjesto

A

JA J .

Rabeći Primjedbu 1.3.1 možemo lako dokazati da je npr. skup k-teraca prirodnih brojeva prebrojiv. Štoviše, vrijedi

Nk svih poredanih

N u N2 u N3 u ... je prebrojiv. Drugim riječima, skup svih konačnih sljedova prirodnih brojeva je prebrojiv. DOKAZ. Odaberimo slijed prostih brojeva P l 2, pz 3, P3 5, P4 7, Ps ll itd. (prosti brojevi definirani su u Odjeljku 3.3). Skup prostih brojeva je beskonačan, vidi Teorem 3.3.7 (Euklid). Definirajmo funkciju f : A N sa nk !(n 1 , n1 · · · , nk) - P 1 · · · Pk · Teorem 1. Skup A

=

=

=

=

=

=

-t

_

Dokažimo da je ova funkcija injekcija. Neka je f(n i , . . . , nk) = f(mb . . . , mi) , tj. p�1 ... p�k = p;n1 . . . p? . Kako imamo jednakost brojeva koji su rastavljeni na proste

faktore, prema osnovnom teoremu aritmetike (Teorem 3.3.5) slijedi da je k = j i n; = m; za sve i = l, ... , k. Time je injektivnost od f dokazana. Slika preslikavanja f je očevidno beskonačan skup (već za ')ednočlane" sljedove n je skup pripadnih vrijednosti oblika f(n) 2 n , dakle beskonačan skup). Tvrdnja slijedi iz Primjedbe 1 . 3 . 1 .

=

f:A-N

Q.E.D.

DEFINICIJA. Funkcija iz dokaza prethodnog teorema zove se kodi· ranje skupa Npr. trojcu ( 6, 14, 9 ) bit će pridružen kOd 2631459.

A.

l. SKUPOVI

lO

PRIMJEDBA l. Skup svih konačnih sljedova cijelih brojeva je prebrojiv. Kako je skup svih konačnih sljedova sastavljenih samo od O i njegov beskonačan podskup, onda je i on prebrojiv. Čine ga sljedovi nula i jedinica oblika: O, 101, 1101001 itd. Pokazuje se da je skup svih beskonačnih sljedova nula i jedinica neprebrojiv, do­ tično ima kardinalni broj e (dakle ekvipotentan je saR; vidi sljedeći odjeljak).

l

Teorem 2. Skupovi cijelih brojeva

Z i racionalnih

brojeva Q su prebrojivi.

DOKAZ. (i) Najprije ćemo skup svih pozitivnih cijelih brojeva preslikati bijektivno u skup svih parnih prirodnih brojeva, a zatim negativne cijele brojeve i nulu bijektivno u neparne prirodne brojeve. To radi funkcija f Z -+ definirana sa zak> O, zak�O, koja je očevidno bijekcija. (ii) Dovoljno je pronaći injektivnu funkciju f Q -+ vidi Teorem Možemo ju lako konstruirati kodiranjem. Svaki racionalan broj x je odreden s tri podatka: predznakom p ili brojnikom m E i nazivnikom n E N. Pretpostavit ćemo da su brojnik i nazivnik skraćeni do kraja (tj. bez zajedničkog dje­ je injektivna, litelja > l ) . F unkcij a f: Q -+ N definirana saj(p!f!) = što se dobiva odmah iz osnovnog teorema aritmetike (Teorem ako je f(pz ), onda je dakle pz 1 , = mr= mz , nr= n 2 , dot·� Q.E.D. teno !!!l = �

:

{ 2k f(k)= 2lkl+ l

N

:

(+l

7i;

!(PI�)=

-l),

No

N,

1.3.3.

zp+I3m5n 3.3.5). Naime 2Pt+I3m15nt 2P2+I3m25n2, PI+ l= + PInt P2,12•

PRIMJEDBA 2. Prebrojivost skupa Z cijelih brojeva može se lako dokazati i kodiranjem. Pokušajte. I prebrojivost skupa Q racionalnih brojeva može se dokazati izravno, tako da se poreda u slijed. Racionalne brojeve pišemo u obliku ±!!! i slažemo ih u slijed ovako: najprije pišemo nulu, zatim poredamo sve pozitivne racionalne brojeve kojima je zbroj brojnika i nazivnika jednak f, poredamo sve negativne racionalne brojeve kojima je zbroj brojnika i nazivnika jednak : -} , pišemo sve pozitivne racionalne brojeve kojima je zbroj broj nika i nazivnika jed­ nak ! , f, poredamo sve negativne racionalne brojeve kojima je zbroj brojnika i nazivnika 2 J"ednak -2' - T '

n

(l) (2) (2') ( 3) ( 3')

2: -2

3:

3·

.

l

l , -l

itd. Dakle skup racionalnih brojeva Q može s e poredati u slijed ovako O, !, . 2 l 3 , 2, 3 l . 2 2 , 3 , . d. Pri tom se neki od rac10na l J m ro l "h b , eva , , , 2 • -T � T 2 T - � - 2 -T T i ponavljaju. Time je dokazano da vrijedi IQI = Sljedeća slika pokazuje kako se pozitivni racionalni brojevi mogu poredati u slijed: •

-

tt

No.

1 .5. NEPREBROJIVOST SKUPA REALNIH BROJEVA

J

J

J

1-2 2

J

l

J

J

4

J

/ /

/

ll

/

2

2

/

J

2

J

3- 4" 2

J

/

�. 4

J

I. 4

J

4

4

1.. 4

J

2

Sl.

1.3.

kontinuum

Kao što smo rekli, kardinalni broj skupa realnih brojeva R zovemo (kažemo da realnih brojeva ima kontinuum), a kardinalni broj skupa prirodnih brojeva zovemo No (alef nula). Zbog N e R je očevidno No � e. Sljedeći teorem pokazuje da je No e . Skupovi realnih i racionalnih brojeva su oba beskonačni, ali ne podjed­ nako. Pokažimo da je skup realnih brojeva 'više beskonačan' nego skup racionalnih.

#

1.

Teorem (Georg Cantor) Skup R je neprebrojiv, tj. nije ekvipotentan sa sku­ pom N. Drugim riječima vrijedi No < e, tj. skup realnih brojeva ne može se poredati u slijed.

DOKAZ. (Cantorov dijagonalni postupak) Pretpostavimo suprotno, tj. da je skup R prebrojiv. Već smo vidjeli da je R ekvipotentan s intervalom (0, l], pa se onda i skup (0, l] može poredati u slijed: (0, l] = . } . Prikažimo ove brojeve u deci­ malnom zapisu. Taj prikaz nije jednoznačan, jer se npr. broj s konačnim decimalnim prikazom 0.31 može pisati i u obliku beskonačnog decimalnog prikaza 0.30999 . Za svaki broj iz (0, lJ rabit ćemo, radi jednoznačnosti, njegov beskonačan decimalni prikaz. Onda vrijedi

{x., x2 ,

.

.

. .

.

x 1 O.ana 12a 13 . . . x2 = O.a2 1 a22a23 . . X3 = O.a31a32a33 . . . , gdje su aij znamenke između O i 9. Pogledajmo sada slijed znamenaka a 11 , a22 , a33 itd. na "dijagonali" u gornjem decimalnom prikazu. Odaberimo slijed znamenaka bn iz skupa {l, . . . , 9} na ovaj način: znamenka b 1 neka je odabrana tako da bude različita od an , b2 različita od a22 itd. Onda je broj b := O.b 1 b2 b3 . . različit od x1 (ne podudaraju se u prvoj decimali), isto tako b# x2 (ne podudaraju se u drugoj decimali), itd. Stoga b fl. {x 1 , x2 , x3 . . } = (0, lJ. To je kontradikcija, jer decimalni prikaz od b pokazuje da je b E (O, lJ =

.

.

.

.

. Q.E.o.

12

l. SKUPOVI

PRIMJEDBA l. Gledajući brojeve iz intervala [0, 1] u binarnom zapisu, nije teško vidjeti da je na isti način i skup svih beskonačnih sljedova sastavljenih samo od nula i jedinica (npr. 0101 10 ) neprebrojiv. PRIMJEDBA 2 . Vidjeli smo da ako je A � N , onda je A ili konačan ili prebrojiv skup. Postavlja se pitanje vrijedi li nešto slično i za skup A za koji je . . .

N � A � R, tj . slijedi li odavde da je nužno IAI= No ili IAI = e? Ta se hipoteza zove Ili možda postoji skup A takav da je No < lAl < e, tj. postoji

Cantorova

hipoteza kontinuuma.

kardinalni broj koji je strogo između No i e? Neočekivan odgovor na to pitanje dao je 1964. g. Navedeni problem je To znači da se hipoteza kontinuuma ne može niti dokazati niti opovrgnuti s pomoću preostalih aksioma teorije skupova. Drugim riječima, moguća je jedna suvisla teorija skupova u kojoj će hipoteza kontinuuma vrijediti (tj. nema kardinalnog broja između No i e), a moguća je isto tako i druga suvisla teorija skupova u kojoj hipoteza kontinuuma neće vrijediti. Hipoteza kontinuuma ne može se izvesti iz standardne aksiomatike teorije skupova, pa se ona sama može postulirati kao nezavisan aksiom teorije skupova, ili pak se može postulirati njena negacija.

Paul Cohen

neodlučiv.

Problem je sličan kao kod znamenitog petog Euklidova aksioma (aksioma o paralelama kroz zadanu točku u ravnini prolazi točno jedan pravac paralelan sa zadanim pravcem): može li se peti -

Euklidov aksiom izvesti iz prva četiri? Pokazuje se da ne može. Pažljivo razmatranje tog pitanja dovelo je do otkrića neeuklidskih geometrija (Lobačevski, i još ranije Gauss).

PRIMJEDBA 3 . Skup svih racionalnih brojeva Q je prebrojiv (Teorem 1.4.2), skup svih realnih je neprebrojiv (Teorem dakle skup svih iracionalnih brojeva R\ Q (tj. realnih brojeva koji nisu racionalni) je neprebrojiv, točnije, jR\ Ql = e. Iracionalni brojevi su točno oni čiji decimalni prikaz nije periodičan. Može se dokazati da je i IC! = e, dotično skupovi C i R su ekvipotentni. .Štoviše, za svaki prirodan broj vrijedi IRni = e, gdje je Rn skup svih poredanih -teraca realnih brojeva. Još jedan važan prebrojiv skup koji je sadržan u (neprebrojivom) skupu realnih brojeva čini skup algebarskih brojeva.

l),

n

n

DEFINICIJA. Za realan broj a kažemo da je algebarski broj ako postoji polinom P(x) s cjelobrojnim koeficijentima takav da je P(a)= O. Primjeri algebarskih brojeva su svi racionalni brojevi � , gdje je a E N , b E Z (nultočka od ax b ) , .,fi (nultočka od x2 2 ), Vi (nultočka od x3 2) , {jz+ J377 (lako možete naći polinom s cjelobrojnim koeficijentima čija je ovo -

-

-

nultočka), itd.itd. Vrijedi ovakav iznenađujuć rezultat:

Propozicija 2. Skup svih algebarskih brojeva je (samo) prebrojiv.

DOKAZ. Svakom polinomu s cjelobrojnim koeficijentima možemo pridružiti konačan slijed njegovih cjelobrojnih koeficijenata. Kako je to pridruživanje injektivno, i skup konačnih sljedova cijelih brojeva prebrojiv (po Teoremu onda je i skup svih polinoma s cjelobrojnim koeficijentima prebrojiv, tj. možemo ga poredati u slijed: Pt, Pz, . . . Svakom od tih polinoma pripada konačno mnogo kompleksnih nuho­ čaka (najviše onoliko koliki je stupanj pripadnog polinoma; Gaussov ) Prebrojivost skupa svih tih nultočaka (algebarskih brojeva) može se pokazati "nadovezivanjem". Npr. ako je polinom četvrtog stupnja s nul-točkama

P3 , algebre .

l.7.l),

Pt

osnovni teorem zu Zt2 , ,

1.5. NEPREBROJIVOST SKUPA REALNIH BROJEVA

13

l , 2, 3, 4 , ako je Pz polinom desetog Z2 1Z22 . . . zz, 10 , pridružujemo im brojeve 5, 6, . . . 1 4 , itd.

z 1 3 , z1 4 , onda im pridružimo prirodne brojeve

stupnja s nultočkama

Q.E.D.

DEFINICIJA. Realni brojevi koji nisu algebarski zovu se transcendentni brojevi. Na temelju prethodne propozicije zaključujemo da je skup transcendentnih broje­ va (čak) neprebrojiv. To nije baš u skladu s činjenicom da smo do sada upoznali samo dva od njih: i Ima ih međutim još, poput 2 v'J , ln 2 , sin l (vidi povijesnu crticu na str. 222). Jedan neprebrojiv skup transcendentnih brojeva može se konstruirati ovako: x = 2::::� 1 tJ:;r , gdje je {0, l } i skup svih koji su jednaki l je bes­ konačan. Da je svaki od tih brojeva transcendentan, dokazao je francuski matematičar ( 1809-1 882). Njihova neprebrojivost je jasna: svakom x možemo bijektivno pridružiti slijed ( ) nula i jedinica (taj skup sljedova je neprebrojiv ).

n e.

all E

Joseph Liouville

a11

all

Richard Dedekind Galileo Galilei

� POV IJES N A CRTICA � Nijemac ( 1 838-1916) bio je prvi koji je beskonačan skup definirao kao onaj koji je ekvipotentan sa svojim pravim podskupom. To svojstvo je znao već ( 1564-1642) za skup prirodnih brojeva. Opći pojam kardinalnog broja za bilo koji beskonačan skup uveo je Georg za INI . On je dokazao da je �O -<: e , tj. da ( 1845-1918), kao i oznaku ne postoji bijekcija između N i R (tj. skup realnih brojeva se ne može poredati u sli­ jed), rabeći svoj znameniti dijagonalni postupak. Georg Cantor je i jedan od osnivača teorije skupova. Srednjovjekovni matematičari smatrali su paradoksom činjenicu da dva segmenta različitih duljina imaju isti broj elemenata. Nejasnoće je riješio Cantor uvođenjem relacije ekvipotentnosti među skupovima. On je pokazao da npr. skupovi N e P(N) e P(P(N)) e . imaju kardinalne brojeve koji su ne samo svi beskonač­ ni, nego i međusobno različiti: . . . (vidi [Papić, Teorem 3.20] ). Dokaz da je broj iracionalan prvi je dao ( 1728-1777), a dokaz da je on čak transcendentan dao je tek 1 882. g. njemački matematičar Johann Lin­ ( 1 852-1932). Transcendentnost broja dokazao je francuski matematičar { 1822-1901 ) . Dokazi su vrlo složeni. Važnu ulogu u razvoju moderne teorije skupova imali su među inim engleski ma­ tematičar { 1872-1970) i austrijski matematičar (rođen u Brnu u današnjoj Ćeškoj, 1906-- 1 978).

�o

Cantor

.

n

demann Charles Hermite Bertrand Russel

.

No < N 1 < N 2 < Johann Lambert e

Kurt GiMel

Beskonačno! Niti koje drugo pitanje nije nikada toliko duboko dirnulo duh čovjeka

-David HILBERT ( 1 862-1943)

Prema legendi, sv. Augustin je, §ečući uz obalu mora, i razmWjajući o beskonačnom, ugledao dijete koje je poku§avalo isprazniti ocean uz pomoć jedne §koljke. . .

[Kad su ga pitali koliko ima godina.] Imao sam x godina u godini

x2

.

-Augustus DeMORGAN ( 1806-1871)

2. UVOD U LOGIKU

14

2.

Uvod u logiku

U svakodnevnom govoru služimo se rečenicama. Evo nekih primjera: a) Vukovar je grad u Hrvatskoj. b) Zagreb je zapadnije od Beča. e) Učka je najviša planina u Hrvatskoj. d) Koliko je sati? (doista, Zagreb je malo zapadnije od Beča, nešto Rečenice pod a) i b) su m). Rečenica d) je takva (Dinara, manje od 1 ° ). Rečenica pod e ) da o njenoj istinitosti ili lažnosti ne možemo uopće govoriti. Klasična matematička logika bavi se samo onim rečenicama koje su ili istinite ili Jažne.

istinite nije istinita

1830

istinita lažna.

Svakom sudu A ili DEFINICIJA. Sud je bilo koja rečenica koja je ili pridružujemo vrijednost T ako je istinit (od engleskog TRUE = istina) , a vrijednost .l ako je lažan. Kratice T - .l čitamo kao "istina" - "laž". Vrijednost istinitosti suda i zovemo semantička vrijednost ili istinitostna vrijednost. A označavamo sa Dakle -r(A) ·= T znači da je semantička vrijednost od A jednaka T , tj. sud A istinit .

-r(A)

PRIMJER l . = T. (a) Ako sa označimo sud cos = - 1 , onda je O, vrijedi -r(B) = .l . (b) Za sud B koji glasi cos (e) Rečenica = {prirodni broj 2 je pozitivan, a negativan} je sud, i to lažan, tj.

A

n=

n

-r(A) 3

C -r(C) = .l . (d) Rečenica D= {Ako skup ima n elemenata, onda on ima 2n podskupova} je is­ tinita, tj. -r(D ) = T . Za dokaz vidi Teorem 6.1.5. (e) Rečenica E = {Svaki paran prirodan broj veći od 2 je zbroj dva prosta broja} je sud, ali još uvijek nije poznato je li on istinit ili lažan. Taj već dugo nerješen pro­ blem poznat je kao Goldbachova hipoteza. (f ) Rečenica F = {za sve a i b vrijedi ab = ba } nije sud, jer nije spomenuto iz kojeg skupa su a i b, i kako je definirano množenje. Npr. ako su a i b iz R (realni brojevi), onda je sud F istinit, a ako su a i b iz skupa kvadratnih matrica reda n = 2 , onda je F lažan sud .

15

2. 1 . ALGEBR A SUDOVA

PRIMJEDB A l . U literaturi se umjesto T i .l za "istina" i "laž" često rabe oznake l i O. I mi ćemo se ponekad njima služiti. Umjesto .l često se rabi i F (FALSE engl. krivo, lažno). Nerijetko se sudovi označavaju i malim slovima.

Booleove operacije sa sudovima. Matematičku logiku ne zanima formalni sadržaj suda A , već samo njegova istinitostna (semantička) vrijednost. Stoga ćemo umjesto -r A ( ) = T pisati jednostavno A = T , a umjesto -r A ( ) = .l samo A = .l . Od sada ćemo, dakle, bilo koji sud A promatrati kao koja ima točno dvije moguće vrijednosti: A = T (istina) ili A = .l (laž). Npr. sud A opisan sa cos n = - l matematička logika 'vidi' samo kao T dotično A = T . Pogledajmo neke od najvažnijih operacija sa sudovima. One će biti opisane s pomoću tzv. semantičkih tablica (tablica istinitosti).

varijablu

,

DEFINICIJA. Negacija suda A je sud koji označavamo sa •A . Sud •A je istinit ako je A lažan, a lažan ako je A istinit. Čitamo ga kao "ne A " ili "non A ". Pripadna tablica istinitosti je:

A, A' ,

Umjesto oznake •A za negaciju suda rabe se često i ovakve oznake: "'A . Negacija je tzv. unarna logička operacija na skupu {T, _q , tj . ima samo jednu varijablu A : A t-t •A . Sljedeća tablica pokazuje da postoje ukupno četiri unarne operacije: A .l T

fi (A) .l .l

( ) fz A .l T

Funkcija !3 je negacija: !J (A) = •A .

!J A ( ) T .l

T T

Pogledajmo sada neke od najvažnijih binarnih logičkih operacija sa sudovima. Ovdje sudovima A i B pridružujemo jedan novi sud. Vidjet ćemo da postoji ukupno 1 6 logičkih operacija. Opišimo neke od najvažnijih.

dvama binarnih

DEFINICIJA. Konjunkcija sudova A i B je sud koji se označava sa A 1\ B . Sud A 1\ B čitamo kao "A i B ", "A et B ". Konjunkciju A 1\ B definiramo s pomoću semantičke tablice u ovisnosti od istinitostnih vrijednosti sudova A i B :

A .l .l T T

B .l T .l T

A /\ B .l .l .l T

Vidimo da je sud A 1\ B istinit jedino ako je istinit i sud A i sud B . Umjesto A 1\ B rabi se i oznaka A&B , A · B .

2. UVOD U LOGIKU

16

A B

A V B,

DEFINICIJA. Disjunkcija sudova i je sud koji označavamo sa i čitamo ili vel Veznik "ili" treba ovdje shvatiti u inkluzivnom (uklju­ čivom) smislu, tj. dopušta se da bude moguće također i Drugim riječima taj i lažna. veznik shvaćamo kao ili/i. Sud je lažan jedino ako su oba suda Sud zove se inkluzivna (uključiva) disjunkcija jer je istinit i u slučaju kada su i istiniti. Evo semantičke tablice:

"A B", "A

B".

"A B".

AVB

AVB A B

A B

A B AVB l_ l_ T T

l_ T l_ T

l_ T T T

Zadnji redak pokazuje inkluzivnost ove disjunkcije. Ponekad se umjesto oznaka

A +B.

A V B rabi i

A B je sud koji označavamo A Y. B je istinit jedino ako je

DEFINICIJA. Ekskluzivna disjunkcija sudova i sa: B i čitamo "ili ili B ", "aut aut Sud istinit, a drugi lažan: jedan od sudova i

A�

A B

A

A

B".

A B A Y.B l_ l_ T T

l_ T ..l T

l_ T T l_

Zadnji redak pokazuje ekskluzivnost (isključivost) ove disjunkcije. PRIMJEDBA 2 . U hrvatskom jeziku veznik "ili" irna češće značenje ekskluzivne disjunkcije nego inkluzivne. Evo primjera: a) "sutra će biti kiša ili (sutra će biti) snijeg". Obično mislimo da će biti samo kiša ili samo snijeg (ekskluzivna disjunkcija), iako može biti i oboje (inkluzivna disjunkcija). b) "prednost za sjedalo u tramvaju imaju osobe koje su penzioneri ili invalidi". Do­ tična osoba može biti i jedno i drugo (inkluzivni ili). e) "prednost pri zapošljavanju ima osoba koja znade engleski ili njemački jezik". Može znati i oba jezika (inkluzivni ili) .

A =? B

A

B", "A

DEFINICIJA. Implikacija čita se kao "iz slijedi implicira (irna za posljedak) je posljedak od Definicija implikacije dana je ovom tablicom istinitosti:

B", "B

A ".

A B A =? B ..l l_ T T

l_ T l_ T

T T l_ T

A =? B

A

Vrijedi primijetiti da je implikacija lažna jedino ako je sud istinit, a Sud je istinit čim je sud lažan, bez obzira na semantičku vrijednost suda (vidi prva dva retka). Drugim riječima, točno je, tj. istina je da "iz laži slijedi bilo što (istina ili laž)".

B lažan (vidi treći redak).

B

A =? B

A

2.1. ALGEBRA SUDOVA

17

PRIMJER 2. Evo jednostavan primjer koji će to pojasniti. Sud A neka je l = - l (lažan sud u skupu realnih brojeva), a B neka je sud " l = l " (istinit sud). Je li sud A :::} B istinit? Jest, i to je lako vidjeti: kvadrirajmo l = -l pa ćemo dobiti l = l . Na ovom primjeru vidimo sljedeće: istina je da "iz lažne izjave slijedi istina", tj. r(..L :::} T) = T . Vidi drugi redak u tablici. PRIMJEDBA 3. U srednjoj školi smo mnoge algebarske identitete dokazivali na taj način da ih računanjem sveđerno na neki poznat, istinit identitet (npr. na O = O ili l = l ). Ipak, kao što pokazuje prethodni primjer, takav dokaz nije dobar. Dokaz će biti proveden ako još pokažemo da vrijedi slijed implikacija, tj. da iz istinitog identiteta slijedi početni, koji želimo dokazati. U suprotnom se može lako doći do pogrešnih zaklju�aka. Implikacija A :::} B rabi se vrlo često, pa nije čudno da se ona čita na još nekoliko načina (najčešće prva tri): a) Ako je A , onda je B . b) A je dovoljan uvjet za B . e ) B je nuždan uvjet za A . d) B je je A . e) A je je B .

obrnut

onda ako samo onda ako

PRIMJER 3 . Pogledajte sve ove inačice na primjeru sudova A = "pada kiša" i B = "oblačno je". P RIMJER 4. Neka je A ovaj sud: "Siniša je građanin Vukovara", a B neka je sud "Siniša je državljanin Hrvatske". (i) Je li A nuždan ili dovoljan uvjet za B ? (ii) Je li B nuždan ili dovoljan uvjet za A ? Napišite odgovarajuću imptikaciju.

L::, 1 an

B

konvergira , a PRIMJER 5 . Neka je A sud "red neka je sud " lirnn--. oo = O". (i) Je li A nuždan ili dovoljan uvjet za B ? (ii) Je li B nuždan ili dovoljan uvjet za A ? Napišite odgovorajuću implikaciju. Za implikaciju se u literaturi često rabi i oznaka A -+ B .

an

"

DEFINICIJA. Ekvivalencija A <=? B dvaju sudova A i B je sud koji čitamo kao "A je ekvivalentan sa B ". Riječ 'ekvivalencija' u hrvatskom jeziku ima značenje 'jednakovrijedan, ravnopravan'. Odgovarajuća semantička tablica izgleda ovako: A l. l. T T

B l. T l. T

A <=? B T l. l. T

Sud A <=? B je istinit jedino ako su vrijednosti istinitosti od A i B jednake. Iz tablica istinitosti vidimo da je A Y. B = • A ( <=? B) . Spomenimo još dvije binarne operacije koje se ponekad pojavljuju u primjenama: DEFINICIJA. (a) Shefferova operacija A ·r B (čitaj: A šefer B ), ima značenje "nije istodobno A i B ". Po definiciji, ona je lažna onda i samo onda ako su A i B istiniti.

2.

18

Uvoo u LOGIKU

lukasijevič

B ), ima značenje "niti je (b) Lukasiewiczeva operacija A l B (čitaj: A A niti je B ". Po definiciji, ona je istinita onda i samo onda ako su A i B lažni. A l. l. T T

B l. T l. T

AiB T T T l.

AlB T l. l. l.

B l. T l. T

A l. l. T T

Sljedeća tablica pokazuje da postoji ukupno 1 6 binarnih logičkih operacija sa :sudovima:

A l. l. T T

B l. T l. T

ft l. l. l. l.

Iz l. l. l. T

13 l. l. T l.

/4 l. l. T T

/s l. T l. l.

!6 l. T l. T

h ls fg Ito /n /12 !B /t4 !t s ft6 l. T T l.

l. T T T

T l. l. l.

T l. l. T

T l. T l.

T l. T T

T T l. l.

T T l. T

T T T l.

T T T T

Vidimo da je Iz konjunkcija, tj. fz(A, B) = A 1\ B . Operacija h je ekskluzivna disjunkcija, /s disjunkcija, flo ekvivalencija, ft4 implikacija, fi s i su Shefferova i Lukasiewiczeva operacija respektivno . Na sličan način mogu se pored unamih i binarnih logičkih operacija definirati i n ­ sa sudovima. n -arna logička operacija bilo kojem poredanom n -tercu (A t . . . . , A n ) sastavljenom od n sudova pridružuje novi sud /(A t , . . . , An) . Vidjet ćemo kasnije da je broj svih n -teraca, sastavljenih samo od T ili l. , jednak točno z n (Korolar 6. 1 .4). A ukupan broj n -arnih operacija jednak je broju poredanih zn -teraca sastavljenih od znakova T , l. kojima možemo popunjavati desni stupac z semantičke tablice, dakle z n .

fg

arne logic"'ke operacije

PRIMJER 6. Pogledajmo temarnu operaciju (tj. operaciju triju logičkih varija­ bla), zadanu formulom: /(A t , Az, A 3 ) = •(At Az) =? A 3 . Ona se može zadati i s pomoću semantičke tablice, sa svojih logičkih vrijednosti za 8 mogućih trojaca (At . Az, A 3 ) . Ukupan broj temarnih operacija je zs= Z56 . Kao što smo vidjeli, n -ame operacije mogu se zadavati na dva ravnopravna na­ čina: a) semantičkom tablicom, b) formulom u kojoj se na n sudova primijenjuju osnovne logičke operacije navedene gore. U slučaju b) kažemo da je n -ama operacija tj. kao složen sud. zadana rm m

8

fo ulo algebre sudova,

v

P

DEFINICIJA . Kažemo da su dvije formule i Q algebre sudova logički ekviva­ lentne ako imaju isti broj varijabla i podjednake tablice istinitosti. Pišemo = Q .

P

PRIMJER 7 . Možete se lako uvjeriti da je npr.: A =? B =: •A V B , •(A =? B) =: A 1\ •B , A {::} B =: (A =? B) 1\ (B =? A) , A � B =: •(A {:} B) , A i B = -,(A 1\ B) , stoga se Shefferov operator zove još NI opertor (engl. NAND), f ) A l B = -,(A V B) , stoga se Lukasiewiczev operator zove još NILI operator (engl. NOR). Rabi se i naziv

a) b) e) d) e)

Peirceov operator.

2. 1 . ALGEBRA SUDOVA

19

b

b,

Poznato je da u izrazu a + · e , gdje su a , e realni brojevi, izračunavanje provodimo određenim poretkom . Koristimo najprije operaciju · , a zatim + . Dakle poredak po rastućoj snazi vezivanja je dogovorno ovaj: + , Kad bi npr. + vezivao e . Dogovor o snazi vezivanja uvodi se jače od · rezultat bi bio jednak ( a + zbog uštede u pisanju zagrada (opširnije vidi u Odjeljku 5.2). Slično je i kod logičkih operacija. Poredak logičkih operacija po opadajućoj snazi vezivanja je dogovorno:

,

b)

· .

·

-., A, V, ::::} , To nam omogućuje da znatno smanjimo uporabu zagrada . Npr. nezgrapnu logičku formulu u tri varijable [((-.A) V B) ::::} (A A e)] ::::} (B A e) možemo zahvaljujući gornjem dogovoru pisati kraće i preglednije kao [-.A V B ::::} A A CJ B A e, i pritom uglastu zagradu ne smijemo izostaviti . Razumije se, ima situacija gdje se zagrade uopće ne smiju izostavljati, kao npr. u -.(A A B) , ili (A v B) A e. Isto tako dogovorno umjesto -, (-.A) pišemo samo -.-.A . Očevidno vrijedi -.-.A =: A . {:} .

::::}

Kao što smo već rekli, matematičku logiku ne zanima formalni sadržaj nekog suda, nego samo njegova semantička vrijednost (vrijednost istinitosti) . Tako je npr. sud O = l ::::} "površina kruga je ,.Z

n"

također moguć (i istinit!).

sve

Od velikog je interesa znati one logičke operacije s pomoću kojih se mogu izraziti formule algebre sudova. DEFINICIJA . Sistem izvodnica (generatora) algebre sudova je skup Booleovih

operacija algebre sudova (s bilo koliko varijabla) s pomoću kojih se može napisati bilo koja formula algebre sudova. Nije teško vidjeti d� su sistemi izvodnica algebre sudova npr. (a) { --., 1\} , (b) (e) Štoviše, oni su minimalni, tj. niti koji njihov pravi podskup nije više sistem izvodnica. Minimalni sistem izvodnica algebre sudova zovemo bazom algebre sudova.

{-., v} ,

{ -., ::::} } .

A

B

PRIMJER 8. Za ilustraciju, prikažimo binarnu operaciju ekvivalencije {:} samo s pomoću logičkih operacija -, i Rabeći e ) i a) iz prethodnog primje­ ra, dobivamo {:} DeMorganova formula nam daje: A

V. A B = (-.A v B) (-.B v A) . A {;:} B =: -.[-.(-.A V B) V -.(-.B V A)] .

Zanimljivo je da postoji baza algebre sudova sa samo jednim elementom: {i} , gdje je j Shefferova binama operacija (NI). Isto vrijedi i za Lukasiewiczevu binarnu operaciju (NILI). Nije teško pokazati da su to jedine jednočlane baze algebre sudova, vidi [Devide, str. 1 5 1 J. Vidi također zadatak Bl. l u Poglavlju 15. Usporedbom odgovarajućih tablica istinitosti vrlo je lako dokazati sljedeći jedno­ stavan, ali važan teorem.

{l}

Teorem

1 . Vrijede ova pravila algebre sudova: (l) idempotentnost operacija disjunkcije i konjunkcije:

(2) (3) (4) (5)

A VA = A , A AA = A ; (A V B) V e =: A V (B V e) , (A A B) A e =: A A (B A e) A V B =: B V A , A A B =: B A A ; AA(Bve) (AAB) V (AAe) , AV(BAe) =: (AVB)A(Ave) ; -.(A V B) =: -.A A -.B, -.(A A B) =: -.A V -.B ; A V =: A , A A =: A ,

asocijativnost: komutativnost: distributivnost: DeMorganove formule: (6) T .l

=:

;

2. UVOD U LOGIKU

20

A V T = T , A 1\ l. = l. ; A V ·A = T , A 1\ ·A = l. ; ••A = A .

(7) (8) komplementiranost: (9) pravilo dvostruke negacije:

PRIMJEDBA 4. Iz teorema je vidljivo da sva navedena pravila algebre sudova imaju svojstvo dualnosti: ako u jednom pravilu zami jenimo svuda sa i obratno, i isto tako l. sa i obratno, dobivamo takoder valjano pravilo algebre sudova. Na taj način se iz jednog zakona distribucije dobiva drugi - njemu dualan, iz jedne DeMor­ ganove formule druga (i obratno).

V 1\

T

A (B V e)

PRIMJEDBA 5. Zbog svojstva asocijativnosti opravdano je umjesto v pisati kraće v v i taj izraz računati na bilo koji od dva načina navedena u (2). Isto vrijedi i za PRIMJEDBA 6 . Ako imamo veći broj sudova 1 . . . . onda umjesto 1 Slično i za konjunkciju pišemo kraće

A B e, A 1\ B 1\ e. Vk= IAk . . . . V An PRIMJER 9 .

A

1\ .

, An ,

A V

Vrijedi pravilo obrata po kontrapoziciji, tj.:

A B = •B •A. B •A = ••B V ·A = B V •A = A B = •A V B. •A V B = A B injektivna a, b E f a = f(b) a = b. 1\ V +. l A+ e) = (A+ B) · (A+ C) A , e, =>

=>

U dokazu koristimo => Imamo => => . . Razumije se, dokaz možemo provesti i s pomoću tablica istinitosti. ako za X iz uvjeta Za ilustraciju, kažemo da je funkcija J : X -+ Y a l= b slijedi j( a ) l= j( b) . Obratom po kontrapoziciji dobivamo da je funkcija injek­ tivna ako iz ( ) slijedi PRIMJEDBA 7 . Već smo rekli da se u literaturi umjesto često rabi oznaka (um­ nožak), a umjesto oznaka Svojstva algebre sudova opisana u Teoremu navode na pomisao da su pravila potpuno ista kao i kod realnih brojeva. To dijelom jest tako, ali ne sasvim. Vid i npr. drugi zakon distribucije: pravilo (B· B, ali za realne brojeve ne. vrijedi za sudove ·

·

P

DEFINICIJA . Za neku formulu algebre sudova kažemo da je tautologija ako je idenitički istinita, tj. U tom slučaju pišemo i čitamo " je tautologija". Formula F algebre sudova koja je identički lažna zove se (protuslovlje): . Formula je kontradikcija onda i samo onda ako je ..., p tautologija. Q PRIMJEDBA l . Očevidno za dvije formule algebre sudova i Q vrijedi onda i samo onda ako je sud {:} Q tautologija. Na taj način iz Teorema 2.1 . 1 dobi­ vamo odmah veći broj primjera tautologija. Npr. {:} je tautologija, v v tj. F {:}

P= T.

F = l.

F

P

•(A B) ·A 1\ B ·

f= P, P kontradikcija P •(A B) •A 1\ B

P=

·

.

PRIMJEDBA 2 . Prema pravilu dualnosti za svaku tautologiju može se odmah na­ pisati njoj dualna tautologija. Evo nekih važnijih tautologija koje se lako dokazuju s pomoću tablica istinitosti ili algebarski (uporabom Teorema 2. 1 . 1 ). a) (zakon isključenja trećeg, tj. svaki sud je ili istinit ili lažan, trećega nema, tj. lat.

f= A V A ·

tertium non datur);

2.2. b)

e)

d) e) f)

21

TAUTOLOGIJE, PRAVILA ZAKLJUČIVANJA

l= (A => B) 1\ (B => C) => (A => C) (tranzitivnost implikacije ili pravilo silogil= •(A 1\ •A) (zakon neproturječnosti) ; l= ••A {:} A (zakon dvostruke negacije) ; l= (A => B) � (•B => •A) (pravilo kontrapozicije); l= A V (A 1\B) {:} A i dualno l= A 1\ (A V B) {:} A (zakoni apsorpcije ili upijanja).

zma) 1 ;

DEFINICIJA. Algebra sudova je skup S svih sudova zajedno s tri operacije na S : dvije binarne v , , i jednom unamom ..., . Svojstva te algebre u potpunosti su opisana s devet svojt>tava navedenih u Teoremu 2. 1 . 1 .

1\

PRIMJER l . Dokažimo pravilo silogizma (svojstvo tranzitivnosti) algebarski, do­ tično rabeći devet svojstava iz Teorema 2. 1 . 1 :

(A => B) 1\ (B => C) => (A => C) := ( •A V B) 1\ (·B V C) => ( •A V C) := •[(•A V B) 1\ (•B V C)J V (•A V C) = [•(•A V B) V •(•B V C)J V ( •A V C) := (A 1\ •B) V (B 1\ •C) V (·A V C) := [•A V (A 1\ ·B)] V [C V (B 1\ •C)] := [T 1\ (•A V •B)] V [(C V B) 1\ Tj := T 1\ [(•A V •B) V (C V B)] := T 1\ T := T.

Ovo j e još uvijek kraće nego računati tablicu istinitosti sa 23 = 8 redaka (toliko ima trojaca s vrijednostima ili l_ ).

(A, B, C)

T

A

DEFINICIJA. Kažemo da je sud logički posljedak (zaključak) sudova ako iz pretpostavke da su svi sudovi 1 , . . n istiniti slijedi da je i sud Pišemo

P . ,P Pi > · · · , Pn f= A.

Sudovi čak).

P1, . . . , P,. zovu s e premise (pretpostavke) , a sud

A

P1. . . . , P,. A istinit.

j e konzekvenca (zaklju-

P1 , . . . , P,. l= A , ondaje f= P1 1\ . . . /\Pn => A , i obratno. DOKAZ. Neka je P 1 , . . . , Pn l= A . Pretpostavimo da P 1 1\ . . . 1\ Pn => A nije logija. Onda je moguće odabrati semantičke vrijednosti' za P1 , . . . , Pn tako da vrijedi P1 1\ . . . 1\ P,. = i A = l_ . To je nemoguće, jer je onda P1 = . . . = P,. = i A := Obratno, neka je Pt 1\ . . . 1\ Pn A tautologija. Ako je Pt onda mora biti i A = Time je dokazano da P1. . . . , P,. l= A . Teorem 1. Ako vrijedi

tauto­

l_.

T

T

T.

=}

A => B, B => e F= A => e.

Grč. syllogismos - zaldjučak.

P,.

=

T,

Q.E.D.

PRIMJEDBA 3 . Pravilo silogizma može se zapisati i ovako: 1

= . . . =

2.

22

UVOD U LOGIKU

Tradicionalni zapis pravila silogizma izgleda ovako: A '* B B '* C A '* C Jednostavan primjer: Premisa: Ako bude lijepo vrijeme, željko će ići pecati ribu. Premisa: Ako željko ode pecati ribu, imat ćemo odličan riblji paprikaš. Zaključak:

Ako bude lijepo vrijeme, imat ćemo odličan riblji paprikaš.

Propozicija 2. Za sudove A i B vrijedi

A, A '* B F B. Takvo pravilo zaključivanja zove se modus ponens ili pravilo otkidaoja 2

•

Ako su premise istinite, tj. A = T i A '* B = T , onda mora bi ti i B = T (vidi tablicu istinitosti za '* ) . Dokaz možemo lako provesti i s pomoću tablice istinitosti za A 1\ (A '* B) '* B , Q.E.D. koja je identički istinita, tj. tautologija. DoKAZ.

F= A

PRIMJEDBA 4. Prema torne, modus ponens je ekvivalentan s ovom tautologijom: 1\ (A =:!>- B) =:!>- B . Tradicionalni zapis modusa ponensa izgleda ovako: A '* B A B __

PRIMJER 2 . Zaključivanje po pravilu modus ponens: Premisa: Ako bude lijepo vrijeme, željko će ići pecati ribu. Premisa: Lijepo je vrijeme. Zaključak:

željko će ići pecati ribu.

PRIMJEDBA 5 . Kada se u svakodnevnom govoru kaže da "iz A slijedi B ", onda se to obično shvaća u smislu f= A '* B , tj. je da iz A slijedi B . To medutim nije isto što i sama logička formula A '* B , koja može biti i lažna. Često se u literaturi rabi oznaka A '* B , a da se pritom misli zapravo na f= A '* B . Slično i za {::} . PRIMJEDBA 6. Modus ponens čuva tautologije u smislu da ako su A i A '* B tautologije, onda je to i B . Doista, ako je A = T i (A '* B) = T , onda po tablici istinitosti za '* dobivamo da mora biti i B = T .

istina

PRIMJER 3 . U svakom logičkom posljedku smijemo pojedine sudove na svim mjestima zamijeniti sa nekim drugim. Isto tako smijemo pojedine sudove zamijeniti sa njima logički ekvivalentnima. Npr. u modusu ponensu A '* B, A f= B možemo A zamijeniti sa ·B , B sa ·A . Dobivamo ·B '* •A, •B f= •A . Zbog pravila kontrapozicije onda vrijedi A '* B, ·B F ·A. 2 Lat. modus ponens - način koji postavlja, utvrđuje da nešto jest; poner komponirati - skladati.

-

postavljati, klasti. Odatle i riječ

2.2.

TAUTOLOGIJE, PRAVILA ZAKLJUČIVANJA

23

Ovo pravilo zaključivanja zove se modus tollens. 3 tollens glasi:

Tradicionalni zapis za modus

Evo jednostavan primjer za modus tollens: Premisa: Premisa: Zaključak:

Ako bude lijepo vrijeme, željko će ići pecati ribu. željko nije otišao pecati ribu. Vrijeme nije lijepo.

tertium non datur) se iskazuje na

PRIMJER 4. Pravilo isključenja trećeg (lat. sljedeći način:

A V B, -.B f= A.

A

Doista, ako je V B istina i -.B istina (dakle B je laž), onda mora biti je istina ili laž, trećega nema) . Mali primjer s našim željkom z'Varaždina:

A

Premisa: Premisa: Zaključak:

A

istina (jer

željko je u Varaždinu ili u Zagrebu. željko nije u Varaždinu. željac je u Zagrebu.

PRIMJER 5. Jedan obiteljski primjer. Ako je Ante raspložen, onda njegova su­ pruga Blaženka pjeva. Ante je raspoložen, ili je kćerkica Cika nemirna (inkluzivni ili, tj. moguće je i oboje) . Ako je Cika nemirna, onda sinčić Damir ne može spavati. Damir, međutim spava sasvim dobro. Prema tome Blaženka pjeva. Provjerimo je li ovo zaključivanje dobro, tako da priču formaliziramo. Uvedimo četiri suda: = "Ante je raspoložen", = "Blaženka pjeva", = "Cika je nemirna", = "Damir spava". Dovoljno je vidjeti da vrijedi ovo pravilo zaključivanja:

A

D

B

e

A ::::} B, A V e, e ::::} -.D, D f= B.

Dokaz možemo provesti na nekoliko načina. a) S pomoću tablica istinitosti možemo dokazati da je

(A ::::} B) /\ (A V e) /\ (e ::::} -.D) /\ D ::::} B 16 A , B , e, D ).

tautologija. Kako imamo četiri osnovna suda, tablica bi imala 24 = redaka (na toliko načina mogu se dva znaka T i smjestiti na četiri mjesta za T o je jednostavan, ali dugotrajan posao. b) Ovu tautologiju možemo dokazati algebarski, rabeći samo osnovna svojstva algebre sudova. Doista, s pomoću = -,p V DeMorganove formule i distri-

l.

P ::::} Q

•

3

Q,

Lat. modus tollens - način koji oduzimlje, odnosi (utvrđuje da nešto nije).

2.

24

butivnosti, dobivamo da je:

UVOD U LOGIKU

(A B) 1\ (A V e) 1\ (e D) 1\ D B •[( •A V B) 1\ (A V e) 1\ ( e V •D) 1\ D] V B (A 1\ •B) V (•A 1\ •C) V (e 1\ D) V •D V B [(A 1\ B) V B] V (•A 1\ •C) V [(e V •D) 1\ T] := [(A V B) 1\ Tj V [(•A 1\ •e) V Cj V •D (A V B) V (•A V e) V •D T, jer je u zadnjem retku A V •A = T , i svi veznici su spojeni znakom V , vidi svojstvo :=

:::}

:::}

:=

:=

:::}

·

-,

·

:=

:=

7), Teorem 2.1.1. e ) Sasvim kratak dokaz tautologije može se u nekoliko koraka provesti s pomoću

pravila otkidanja (modusa ponensa): :::} :::} (po pravilu kontrapozicije); 2) -,e (po modusu ponensu); (po pravilu isključenja trećeg), i na kraju 3) V 4) A =? B, A l= B (po modusu ponensu). d) Prethodno rj ešenje je najbliže onom koje bismo inače proveli izravno. Budući da Damir dobro spava, onda Cika nije nemoguća. Prema tome Ante je raspoložen. Dakle Blaženka pjeva 1

l) e D f= D .e D => .e, D f= A e, .e f= A , ·

•

Mnoge tvrdnje u matematici su oblika

kont:rapozicije

ili indirektno,

f= A

:::}

B.

Ćesto se dokazUju

tj. tako da pokažemo istinitost tvrdnje

pravilom

•B

:::}

•A .

Ilustrirajmo indirektnu metodu (dokaz kontrapozicijom) na sljedećem jednostavnom primjeru.

Propozicija 3. Neka je

paran broj.

n

bilo koji cijeli broj. Akoje

n2 paran broj onda je i n

DOKAZ. Dokažimo ovu tvrdnju indirektno, tj. kontrapozicijom (i to detaljno). Ozna­

A sud "n2 je paran broj" i sa B sud "n je paran broj". Treba dokazati da je B istinita tvrdnja. Dokazat ćemo njoj ekvivalentnu tvrdnju: •B •A je istina. A Pretpostavimo dakle da je •B istina, tj. B je laž. Dokažimo da je onda •A istina (tj. A laž). Ako je B lažna tvrdnja, onda je n neparan, tj. n 2k + l za neki k E Z . Dakle n2 2(2� + 2k) + l je također neparan broj, tj. A je laž. Na sličan način bismo dokazali da ako je n2 neparan broj, onda je i n neparan broj: kad bi n bio paran, onda bi n2 bio paran. Mnoge matematičke tvrdnje dokazuju se kontradikcijom tj. "od suprotnog". Toč­ nije, dokaz kontradikcijom zasniva se na pravilu kontradikcije (protuslovlja): •A l= A. Riječima, ako je točno da negacija suda A implicira laž (kontradikciju), onda je sud A istinit. Ovakvo zaključivanje zove se reductio ad absurdum - svođenje na protu­ čimo sa :::}

:::}

=

=

Q.E.o.

:::} ..l

slovlje.

Ilustrirajmo metodu kontradikcije za dokaz poznate tvrdnje da broj onalan.

V2

nije raci­

1 Izvanredno duhovite, pa i zakučaste logičke zadatke naći ćete u knjizi Mirka Polonija: Matematifke razbi­ brige za nove radoznal ce, Element, Zagreb, 1995. Lijepi poklon za svaki uzrast.

2.2.

TAUTOLOGIJE, PRAVILA ZAKLJUČIVANJA

25

Propozicija 4. Ne postoji racionalan broj čiji je kvadrat jednak 2 (tj. broj

je iracionalan).

A

v'2

DOKAZ. Označimo sa sud " v'2 nije racionalan broj". Pretpostavimo, protivno tvrdnji propozicije, da je istinit. Onda postoje N takvi da je 2 = (!Ji) Možemo bez gubitka općenitosti uzeti da su brojevi i u razlomku !Ji , tj. bez zajedničkog faktora. Onda je broj 2 paran, pa prema prethodnoj propoziciji zaključujemo da je i paran, tj. 2k za neki k N . Odav­ 2� , pa je i broj paran: 21 za neki N . Dakle de je (2k) 2 , tj. kao posljedak tvrdnje dobivamo da i imaju zajednički faktor 2 . Budući da i po pretpostavci nemaju zajednički faktor, dobili smo kontradikciju .l . Prema Q.E.D. tome sud je istinit.

2 = n2

m n

2. m2 n do2 kraja skraćeni m = n m= E n= lE

•A

m, n E

m

n2 = •A

n m n

A

PRIMJEDBA 7. Sve tvrdnje u matematici (stavci ili teoremi, propozicije, leme) su oblika

dokazao,

A t , A2, . . . An F B.

A 1 , . . . , An

Da bi se neki stavak pretpostavi se da su sudovi istiniti i pokaže da oni za logičku posljedicu imaju neki sud Pri tom se mogu rabiti i bilo koje druge već poznate, istinite tvrdnje. Zatim se dokaže da p itd. Tako dobivamo slijed zaključaka. Ako je nakon konačno mnogo koraka dobiveno da f= zovemo koracima u dokazu. Proonda slijed sudova (međutvrdnja) vedba dokaza, tj. konstrukcija slijeda koji vodi do zaključka je umjetnost za sebe. Ona se velikim dijelom uči na primjerima i svladava iskustvom. Izbor međukoraka koji najbrže i najelegantnije vode do zaključka stvaralački je proces koji se ne može općenito opisati. PRIMJEDBA 8 . Valja naglasiti veliku razliku u značenju ekvivalencije sudova {::} , koja predstavlja među sudovima, i logičke ekvivalencije = koja predstavlja (odnos) među formulama algebre sudova. Slično za implikaciju => i logički posljedak . U literaturi se ponekad operacije implikacije i ekivalencije označavaju sa -t i f4 , a logički posljedak i logička ekvivalencija sa => i {::} , umjesto i =.

B1 At, A2, . . . , An, B 1 B2, .

At, A2, . . . , An, B t. . . . , Bk B, B 1 , B2, . . . Bk, B B1, . . . , Bk, B

B

binarnu operaciju binarnu relaciju f= f=

� PoviJESNA CRTICA � Prvo sistematsko proučavanje logičkog zaklju­ čivanja započeo je još grčki filozof ( 384-327 prije Krista). Temelje simbo­ ličke logike u modernom smislu položio je njemački matematičar ( 1646-17 1 6) . Važne prinose razvoju matematičke logike dali su škotski ma­ tematičar ( 1 806-1871 ) i engleski matematičari ( 1 8 1 5-1 864) , ( 1 872-1970) . DeMorgan je uveo i pojam matematičke indukcije, kao i poznate logičke formule koje nose njegovo ime: V = = i V Oznaku A za negaciju suda uveo je 1 870. g. američki ( 1 839-1914) . matematičar Spomenimo još dva važna njemačka matematičara iz ranog razdoblju razvoja ma­ tematičke logike: ( 1 861-1947 ) ( 1 862-1943 ) , posljednji univerzalni matematičar koji je vladao svim važnim matematičkim disciplinama.

Aristotel

Gottfried Wilhelm George Boole •(A B) •A 1\ •B

Leibniz

Augustus DeMorgan BertrandRussel •(A 1\ B) ·A •B. Charles Sanders Peirce Gottlieb Frege

iDavidHilbert

2.

26

UVOD U LOGIKU

Neka je X univerzalni skup u kojem gledamo podskupove . Na temelju Teorema 1. 1 . 1 i 1 .2 . 1 vidimo da logičkim operacijama sa sudovima na prirodan način odgovaraju operacije među skupovima (na lijevoj strani A i B su sudovi, a na desnoj - skupovi): disjunkcija A V B A U B unija A n B presjek konjunkcija A 1\ B A komplement u X negacija ·A AUB implikacija A =? B log. ekvivalencija A � B (A u B) n (B u A) AĐ.B := (A n B) U (B n A) ekskl. disjunkcija A Y.. B šefer (NI) A j B AnB lukasijevič (NILI) A l B AUB istina X univerzalni skup laž .l. 0 prazan skup Analogija između logičkih operacija i operacija sa skupovima A i B vidljiva je i iz

T

sljedećeg:

A n B = {x E X : x E A /1. x E B}, A U B = {x E X : x E A V x E B}, A = {x E X : •(x E A)}, A U B = {x E X : x E A =? x E B}, AĐ.B = {x E X : x E A Y.. x E B}. Logičke DeMorganove formule automatski prelaze u DeMorganove formule na razini skupova: A u B = A n B, A n B = A u B. Logička pravila apsorpcije (upijanja, vidi Primjedbu 2.2.2. f) prelaze u pravilo apsorp­ cije za skupove koja su očevidna (nacrtajte Vennov dijagram): A U (A n B) = A, A n (A U B) = A. Dokaz je li neka formula algebre sudova tautologija možemo provesti tako da ju preve­ demo u odgovarajuću skupovnu formulu, i zatim provjerimo je li rezultat univerzalni skup X . Logičkoj operaciji A Y.. B (ekskluzivni ili) odgovara među skupovima: AĐ.B , koja se definira kao: AĐ.B = (A U B) \ (A n B). dotično x E AĐ.B ako je x u A ili u B , ali ne u oba skupa, ili u logičkoj oznaci x E A Y.. x E B . Naziv simetrična razlika dolazi zbog AĐ.B = BM .

simetrična diferencija

� P OVIJESNA CRTICA � DeMorganove zakone na razini skupova znao je

već i Duns Scottus (1265-1308), franjevac i filozof iz Škotske. Poznavao ih je i Indijac Raghunahta početkom 16. st.

2.4. BOOLEOVE ALGEBRE

27

Kao što smo vidjeli, Teoremi 1. 1. 1 i 2. 1 . 1 imaju u bitnom potpuno isti sadržaj. To motivira sljedeću apstraktnu definiciju.

O

DEFINICIJA. Nekaje B skup u kojem su istaknuta dva različita elementa (nula) i Uedan), te neka su zadane dvije binarne operacije (zbrajanje) i (množenje), te jedna unama operacija - na B (komplementiranje). Skup B zajedno s ove tri operacije zove se Booleova algebra ako su ispunjena sljedeća svojstva: operacija zbrajanja i množenja: (2) · ( 3) (4) (5) DeMorganove formule: a · b, a + b; (6) (7) (8)

l

+

·

(l) idempotentnost a + a = a, a a = a ; asoeijativnost: (a + b) + e = a + (b + e) , (a · b) · e = a · (b · e) ; komutativnost: a + b = b + a , a b = b a ; distributivnost: a (b + e) = a b + a · e , a + (b . e) = (a + b) . (a + e) ; a+b= a·b= a + O = a, a · l = a, a + l = l , a · O = O; komplementiranost: a+ a = l' aa = o ; (9) involutivnost komplementiranja; a = a . Booleova algebra se obično definira (malo učenije) kao poredani šesterac (B, +, · , -, O, l) , tako da su ispunjena gore navedena svojstva (1)-( 9). Često se Booleovu algebru označava kratko samo sa B , ako su na njoj već poznate dvije binarne operacije + i , jedna unama - , te istaknuti elementi O i l . ·

·

·

·

·

PRIMJEDBA 1 . Iz definicije je vidljivo da sva navedena pravila Booleove algebre imaju svojstvo dualnosti: ako u jednom pravilu zamijenimo svuda sa i obratno, i isto tako sa l i obratno, dobivamo također valjano pravilo algebre sudova. Na taj način se iz jednog zakona distribucije dobiva drugi - njemu dualan, iz jedne DeMor­ ganove formule druga (i obratno) itd. PRIMJEDBA 2 . Neka od svojstava navedenih u definiciji Booleove algebre su zapravo suvišna. Točnije, pokazuje se da su dovoljni samo uvjeti (3), (4), (6) i a svi ostali uvjeti slijede iz njih (vidi [Grimaldi, Teorem 1 5.3]). Da bismo za neku strukturu dokazali da je Booleova algebra, dovoljno je provjeriti samo svojstva (3), (4), (6) i (8).

+ ·

O

(8),

O l a + ab = a, a(a + b) = a,

Propozicija 1 . a) Elementi i u Booleovoj algebri B odredeni su jednozna­ čno. b) U svakoj Booleovoj algebri vrijede pravila apsorpcije :

koja su jedna drugoj dualna.

Ot Ot + Ot Ot = a + ab = a · l + ab = a(l + b) = a · l = a . PRIMJER l . Iz svojstava ( 6) i (7) se lako vidi da u svakoj Booleovoj algebri mora vrijediti l + l = l , l + O = O + l = l , O + O = O, l · l = l , l O = O · l = O, O · O = O . Iz (6) i (8) slijedi svojstvo komplementiranja: o = l, T = o.

DOKAZ. a) Neka su i 02 dvije nule u B . Onda iz svojstva ( 6) imamo 02 = i 02 02 , odakle iz komutativnosti zbrajanja slijedi 02 . Slično i za Q.E.D. jedinicu. b) Vrijedi

+ Ot =

·

2. UvoD U LOGIKU

28

= O + = l, = · l = O.

Doista, O O T T Najmanja moguća Booleova algebra je dvočlana: ona sadrži samo elemente

l.

Oi

PRIMJER 2 . Kao što smo već naveli, matematička logika poistovjećuje sud sa svojom istinitostnom vrijednošću, pa algebru sudova možemo gledati kao dvočlanu Booleovu algebru u kojoj su zadane binarne logičke operacije V kao zbraja­ nje, kao množenje i unama -, kao komplementiranje. Jedinica u toj algebri je a nula je Drugi važan primjer Booleove algebre jest algebra podskupova (2x, U, n, - ) , gdje je bilo koji skup. Ova Booleova algebra ima 2IXI elemenata (vidi Teorem Zbrajanje elementa je definirano kao unija podskupova od (tj. elemenata iz 2X , a produkt kao presjek. Njena jedinicaje a nula je 0 . Iz ovog primjera vidimo da Booleovih algebara ima beskonačno mnogo.

1\

6.1.5). )

{..l, T}

T,

..l . X

X

X,

X = {x} {x}

PRIMJER 3 . Ako je jednočlan skup, onda je pripadnu algebru pods­ kupova 2X { 0, {x} } moguće poistovjetiti s dvočlanom algebrom Element 0 u 2x { 0, } identificiramo sa u zatim sa i razumije se, n sa 1\ , U sa v i - sa -, . Preciznije, ta se identifikacija provodi s pomoću pojma izomorfizma Booleovih algebara. =

=

B = {..l, T} . {x} T ,

..l B,

(B1 , +,

(82 , +, ·, - ) . B1 i B2 (l)

DEFINICIJA. Neka su zadane dvije Booleove algebre ·, - ) i funkciju f : B 1 ____. 112 kažemo d.a je iz01norl'izam Booleovih algebara ako je bijekcija i za sve a, E vrijedi Za

b B1

f (a · b) = f(a ) · f(b) !(ii) = f(a).

(2) Primijetimo da smo binarne operacije zbrajanja, koje su općenito različite, u Booleovim algebrama B t i z , označili istim znakom Isto tako množenje i komplementiranje.

B

+.

B1 B2 = {T, .l} {0, l} .

B = B2 1

PRIMJER 4. Najmanja Booleova algebra sadrži samo dva elementa: -t de­ Možete se lako uvjeriti da je za funkcija J : finirana sa .1 , izomorfizam Booleovih algebara. Prema tome algebru sudova možemo poistovjetiti s algebrom Jasno je da su svake dvije dvočlane Booleove algebre međusobno izomorfne. Zato možemo reći da, gledano do na izomorfizam, postoji samo jedna Booleova algebra s dva elementa. Nju ćemo u daljnjem standardno označavati sa ·, - ) , iako u konkretnom slučaju ona može imati drugačije elemente: npr. ili 0, ili nešto treće (vidi npr. podalgebru u malo niže, Primjer 5).

{0, l} .

/(0) =

/(1) = T

B1

( {O, l}, +, {..l, T} { {x} }

{l, 30} D3o

B B2 izomorfizam Booleovih algebara, onda /(a + b) = /(a) + /(b), /(O r ) = 02 , /(1 t ) = 12. DoKAZ. a) Rabeći DeMorganove formule imamo a + b = a + b = a · b . S pomoću (2 ) dobivamo J(a + b) = /(ii · b) = f (a) · J (b) = f(a) + f (b) = J(a ) + f(b) = f(a) + f(b) . b) Najprije je /(O t ) = /(O I · O t ) = /(O J ) · /(Ot ) = /(O t ) · /(O t ) = 02 , a zatim /( l J ) = /(OI ) = /(Ot ) = 02 = l2 . Propozicija 2. Ako je j

vrijedi

:

1 -t

Q.E.o.

2.4.

29

BOOLEOVE ALGEBRE

PRIMJEDBA 3 . Za Booleove algebre B1 i Bz između kojih postoji izomorfizam J : B1 --+ Bz kažemo da su Običaj je da se takve Booleove algebre poisto­ vjećuju (identificiraju). Poistovjećivanje se ostvaruje upravo s pomoću izomorfizma J : svaki E B1 poistovjećujemo sa J( E Bz , pri čemu izomorfizam J na prirodan operacije , + i - iz jedne Booleove algebre u drugu. Točnije, produktu način u algebri B1 produkt J( J( u Bz , zbroju E B1 odgovara J(a) +J(b) E Bz , a komplementu a E B1 odgovara J(a) E B . 2 PRIMJER 5 . Neka je skup svih djelitelja broja 30 : B = {l , 2 , 3 , 5 , 6 , 1 0 , 15 , 30} . Definirajmo biname operacije · i +. te unamu operaciju - na B sa: Nzm = najveća zajednička mjera od i = najmanji zajednički višekratnik od i + = nzv 30

izomorfne.

a·b

a prenosi

a) a) · b)

·

odgovara

a·b= a b a = -a .

D3o (a, b) (a, b)

a+b

a b, a b,

Rabeći osnovni teorem aritmetike Qedinstvenost rastava prirodnog broja na proste fak­ tore) nije teško provjeriti da je +, - ) doista Booleova algebra. Primijetite da je nula u toj algebri broj l E a jedinica broj 30 . Za ilustraciju, DeMorganova formula b u našem primjeru izgleda ova­ ko Nzm = nzv Dokaz ove formule može se provesti izravno, ali dosta mučno. Međutim, kao što ćemo vidjeti u sljedećem primjeru, ova algebra je izomorfna algebri podskupova tročlanog skupa, u kojoj znamo da DeMorganova formula vrijedi. Dakle vrijedi i u Iz istog razloga vrijedi asocijativnost, distributivnost itd. Na analogan način vrijedi da je (skup svih djelitelja od Booleova al­ gebra onda i samo onda ako se m može dobiti kao umnožak međusobno različitih prostih brojeva (tj. nije djeljiv s kvadratom nekog prirodnog broja > l ). Npr. = 30 = 2 3 5 je dopustiv, ali = 12 22 • 3 nije. Naime, broj 2 nema komplement u : 2 +2 2 +6 = 6 , a ne 12 . Vidi također Primjer 4. 7.4 i Primjer 4.7.5.

(DJo, · , D3o ,

(a, b)

(a, b) .

D3o .

m

· · D12

a · b = a+

Dm

m

=

m

m)

=

PRIMJER 6 . Označimo sa B Booleovu algebru podskupova tročlanog skupa s tj. B 2 { a,b, c} = 0, uobičajenim operacijama presjeka, unije i komplementa. Ona ima 2 8 elementa. Pokažimo da je ta Booleova algebra izomorfna s algebrom iz prethodnoga primje­ ra. Najprije ako je J : --+ B izomorfizam, onda on mora preslikati nulu u 'nulu' : J( l ) 0 , i 'jedinicu ' u 'jedinicu ' : J(30) = . Brojevima 2 , 3 , 5 možemo i Kako je 6 nzv (2, 3) = 2 + 3 (zbrajamo u pridružiti redom tri elementa Booleovoj algebri !) onda mora biti J(6) = J(2 + 3) J(2) U J(3) i slično J( 10) Time je izomorfizam u potpunosti definiran. J( l5) Zaključujemo da algebru možemo poistovjetiti s algebrom podskupova tročlanog skupa. Posebno, to znači da će i u vrijediti DeMorganova formula. Doista, za definirajmo skupove A = J( i B = J( E Onda vrijedi (primijetite da ako je J izomorfizam Booleovih algebara, onda je to i g := f- 1 ):

{ {a} , {b} , {e} , {a, b} , {a, e} , {b, e}3 , {a, b, e} } , = D3o D30 = {a, b, e} a, b e. = D3o = = {a, b} , = {a, e} , = {b, e} . D30 D30 a, b D3o a) b) . {a, b, e}

,

=

'

'

a · b = g(A) · g(B) = g(A n B) = g(A u B) = g(A ) + g(B) = a + b. Gore opisani izomorfizam J : D30 B međutim nije jedini mogući, jer smo elementima 2 , 3 , 5 mogli pridružiti elemente a , b, e u bilo kojem od ukupno 6 poredaka: (a, b, e) , (a, e, b) , (b, a, e) , (b, e, a) , (e, a, b) , (e, b, a) . Prema tome --+

između ovih dviju Booleovih algebara postoji ukupno 6 različitih izomorfizama.

2. UVOD U LOGIKU

30

PRIMJEDBA 4 . Prirodno je uvesti još jednu važnu definiciju, iako nam ona neće biti ovdje od važnosti.

Br Br B Br B. a, b E B1 a + b, a · b,

(B, +, ·, -, O, l) Br ,

DEFINICIJA. Kažemo da je podalgebra Booleove algebre ako je � i ako je Booleova algebra s obzirom na sve tri operacije naslijeđene iz algebre To znači da primjenom operacija na elemente iz rezultat ostaje u dotično iz slijedi a E

Br

Br .

PRIMJER 7. Svaka Booleova algebra ima kao svoju trivijalnu podalgebru skup

{0, l } koji je ujedno i najmanja moguća algebra. Odredimo najmanju Booleovu podalgebru B od D30 koja sadrži 2 . Mora biti 2 = 15 E B . Lako se provjeri da je B = { 1 , 2, 1 5, 30} . Postoji ukupno pet podalgebara (nađite ih). ,

Jasno je da izomorfizam f dviju Boolevih algebara preslikava podalgebru jed­ ne Booleove algebre u podalgebru druge. Tako će npr. gore spomenutoj podalgebri 2, 15, u D30 odgovarati (putem izomorfizma opisanog u prethodnom primjeru) sljedeća podalgebra u 2{a, b,c} : { 0 , }. Pokazuje se da je svaka konačna Booleova algebra izomorfna nekoj algebri sku­ pova (2A , u, n, -) . Vidi Odjeljak Prema tome proučavanje konačnih Booleovih algebara može se svesti na proučavanje algebara skupova.

{l,

30}

{a} , {b, c} , {a, b, c}

4.9.

(B, +,

U ovom odjeljku će nam ·, ) svuda označavati najmanju Booleovu algeb­ ru koja sadrži samo nulu i jedinicu: Logičko zbrajanje i množenje (ili Booleovo zbrajanje i množenje) u ovoj algebri definirani su sa -

B = {0, l} .

o + o = o, o + l = l + o = l + l = l, l . l = l, l . o = o . l = o . o = o. Zavisno od potrebe, vrijednosti O i l ove dvočlane Booleove algebre možemo interpretirati i kao naponska stanja u nekom sklopu na nekom mjestu (O = nema napona, l = irna napona), ili kao otvoren i zatvoren kontakt na sklopki. Naponska

interpretacija je u temelju logičkih sklopova, jer se informacije kodiraju najčešće na­ ponski, koje se u Booleovoj algebri opisuju sljedovirna nula i jedinica.

n

F B" B,

DEFINICIJA. Booleova funkcija je bilo koja funkcija varijabla : --+ gdje je . Zove se još i n -arna logička operacija. Njene varijable označavat ćemo sa x . . . x" .

B = {O, l} r,

x, Sl.

Teorem

1.

2.1.

x.

=D:

F

F(x� ... , x.)

Booleova funkcija kao ulamo-izlazni sistem.

Booleovih funkcija od n varijabla ima ukupno 22n

B" = B

B

•

DoKAZ. Elementi skupa x . . . x su poredani n -terci nula i jedinica, kojih irna ukupno 211 (na prvo mjesto u n -tercu možemo staviti dva broja, zatim na drugo,

2.5. BOOLEOVE

31

FUNKCIJE

n

n

treće, itd. do -tog mjesta) . Bilo koja Booleova funkcija svakom takvom -tercu pridruži ili l Nu, onda je ukupan broj Booleovih funkcija -+ jednak

O

F : Bn

.

2n -teraca nula i jedinica, dakle 22n Za n = l dobivamo 221 = 4 Booleovih funkcija jedne varijable:

broju poredanih

B

Q.E.n.

•

o o o l l o l o l l Za n = 2 dobivamo 222 = 24 = 16 Booleovih funkcija dviju varijabla: 0 0 1 1

0 1 0 1

0 0 0 0

0 0 0 1

Vrijednosti

0 0 1 0

0 0 1 1

(xl , x2 )

0 1 0 0

0 1 0 1

0 1 1 0

0 1 1 1

1 1 l l l l l 0 o o o l l l 0 o l l o o l 0 l o l o l o

l l l l

pišemo u leksikografskom ("rastućem") poretku. Uspored­

bom sa semantičkim tablicama i z algebre sudova vidimo daje npr. Fz(x 1 , xz)

=

xrxz ,

F7 (x1 , x2 ) = x 1 '!. x2 , Fs(xt , x2 ) = x1 + x2 , Fw(xt , x2 ) = (x l {::> x2 ) , F14 (x 1 , x2 ) = (x l => x2 ) , Ft6 (xt, x2 ) = l (tj. F16 je tautologija) . PRIMJER l . Skup B' svih Booleovih funkcija F : Bn B je također Booleova algebra s obzirom na operacije + i - definirane po točkama. Za F, G E B' defini­ -+

ramo F + G , F G i F sa:

,

·

·

(F + G)(x l , . . . , Xn ) = F(x., . . . , Xn ) + G(x., . . . , Xn ) , (F · G)(xt , . . . , Xn ) = F(x1 , . . . , Xn ) · G(x1 , . . . , Xn ) , F(x1 , . . . , xn ) = F(x., . . . , xn ) Ova Booleova algebra irna 22n elemenata (vidi Teorem l ) . Zove se slobodna Boo­ leova algebra. Za n = 2 ona sadrži 222 = 24 = 16 elemenata. Za n = 3 sadrži 223 = 28 = 256 elemenata, za n = 4 sadrži 22 = 2 16 = 65 536 . Za n = 8 sadrži više od 1077 elemenata a za n = 9 više od 10 1 54 . Usput, fizičari procjenjuju da ·

,

4

1080 .

ukupni broj atoma u vidljivom svemiru iznosi oko Booleovih funkcija samo s devet varijabla ima mnogo više! Kažemo da broj Booleovih funkcija varijabla, tj. broj 22n , ima kombinatomu ekspoloziju u ovisnosti o

n.

un

2. UVOD U LOGIKU

32

Svaka Booleova funkcija može se zadati tablicom. Cilj nam je pokazati da se svaka Booleova funkcija može na vrlo jednostavan način opisati samo s pomoću ope­ racija Booleove algebre + , , - . Ilustriraj mo to na jednostavnom primjeru. Neka je Booleova funkcija zadana tablicom:

F = F(x i , x2 , x3 )

·

XI o o o o l l l l

X2 o o l l o o l l

XJ o l o l o l o l

F o l o o l l o l l

Pogledajmo samo one retke kojima odgovara vrijednost , dakle najprije drugi redak. Trojcu O, l ) pridružimo izraz Njegova vrijednost jednaka je l onda i samo onda ako je O, l ) , u ostalim slučajevima je vrijednost j ednaka O . Pogledajmo zbroj svih takvih izraza:

(0,

Xt X2X3 . (xi, x2, x3 ) = (0, XtX2X3 + XtX2X3 + X tX2X3 + XtX2X3 .

l l.

Navedeni zbroj jednak je l jedino ako je vrijednost nekog urnnoškajednaka , dotično ako je u odgovarajućem retku u tablici vrijednost Booleove funkcije jednaka Prema tome, gornji izraz jednak je upravo Produkt varijabla poput koji odgovara troj cu ( općenito -tercu) na kojem je u tablici Booleove funkcije, zovemo mintenn funkcije Prema tome

F(x., x2 , x3 ) . x1 x2x3 n F=l F. Booleova funkcija F jednaka je zbroju svojih minterma. Ista procedura vrijedi i općenito. Da bismo ju točno opisali, bit će nam od koristi 0 sljedeća oznaka. Neka je x E B = {0, l} . Onda definiramo x = x , x 1 x . Npr. 1° = 0, 0° = 1 . Teorem 1 . Neka je F : Bn B Booleova funkcija i J skup svih elemenata (el , . . . , e11) E Bn za koje je F(et, . . . , en ) = l . Ondaje F(xt, . . . , xn) :::::: L (x�1 x�"). =

-+

• • .

(et , ...en ) EJ Ovakav izraz za formulu zove se disjunktivna normalna forma Bo­ oleove funkcije Ovdje pojam disjunkcije ima značenje logičkog zbrajanja + u Booleovoj algebri. � PRIMJEDBA l . U terminima algebre sudova, disjifhktivna normalna forma iz-

F.

gleda ovako:

pri čemu su

F(x t , . . . , xn)

F(xl , . . . , Xn) =

X t, . . . , x11 sudovi.

2.6. DISJUNKTIVNA I KONJUNKTIVNA NORMALNA FORMA

33

U gornjem primjeru se na isti način može vidjeti da je dovoljno gledati samo retke na kojima je da bi se dobila konjunktivna forma. Prvom retku tablice odgovara izraz inače On je jednak jedino za je vrijednost Na sličan način kao i gore zaključujemo da je

F = O, x 1 + xz + x3 . O (xi , xz, x3) = (0, O, O) , l. F(x t , xz, x3 ) = (xi + xz + x3)(x , + Xz + x3)(x 1 + Xz + x3)(x1 + Xz + x3). Naime, izraz n a desnoj strani jednak j e O jedino ako j e barem jedna zagrada jednaka O. A disjunkcija ima vrijednost O jedino ako su sve komponente jednake O. Zbroj varijabla poput Xt + Xz + x3 koji odgovara trojcu (općenito n -tercu) na kojem je F = O u tablici Booleove funkcije, zovemo maxterm funkcije F. Prema tome Booleova funkcija jednaka je umnošku svojih maksterma. Općenito, možemo formulirati ovakav rezultat koji je dualan gornjem teoremu:

F : Bn - B Booleova funkcija i K = {k E Bn : F(k) = O} . Onda se Booleova funkcija može prikazati u konjunktivnoj normalnojformi: F(xt, . . . , Xn ) = IT (x�1 + . . . + x�n ). Teorem 2. Nekaje

kE

K

Konjunkcija ovdje ima značenje logičkog množenja u Booleovoj algebri. PRIMJEDBA 2 .

Na sličan način, u terminima algebre sudova imamo

F(xt, . . . , Xn ) = 1\ (x�1 V . . . V x�n ).

kE

K

Korisno je uvesti i pojam dualne Booleove funkcije.

F Bn - B Booleova funkcija. Dualna Booleovafunkcija n od F je funkcija F* : B - B definirana sa F* (xi, . . . , xn ) = F(xt . . . . , xn ) Propozicija 4. Operacija dualnostije involutivna, tj. (F*)* = F. DEFINICIJA.

Neka je

:

--:------.,.

Tv_!dnja slijedi neposredno iz svojstva involutivnosti operacije komplementi­ ranja, tj . iz

DOKAZ.

x=x: (F* ) * (x l, . . , Xn) = F*(x l, . . , Xn ) = F(xt, . . . , Xn) = F(xt, . . . , xn). Propozicija 5 . a) Operacije zbrajanja + i množenja u ljJooleovoj algebri s u .

.

·

jedna drugoj dualne. b) Operacija komplementiranja - je involutivna.

DOKAZ. a) Operacija množenja F je binama Booleova funkcija: F(xt, xz) x 1 x2 . Onda je i F* binama Booleova funkcija, i vrijedi: F*(x 1 , xz) = F(x1, xz) = x1 -:x2 = x , + xz. Kao što vidimo, binama operacija F* j e zbrajanje u Booleovoj algebri. Prema tome funkcija dualna množenjuje zbrajanje u Booleovoj algebri. Odavde zbog involutivno­ sti slijedi (F*)* = F. Drugim riječima, operacija dualna zbrajanju je množenje. b) Za G(x) = x je G*(x) = G(x) = x = x = G(x) .za x = O, l , tj. G* = G. ·

=

·

=

Q.E.D.

2. UVOD U LOGIKU

34

1\

PRIMJER l . Na isti način vidimo da su i logičke operacije V i jedna drugoj dualne: V* = /\* = v . Operacija negacijeje involutivna (samodualna) : ...,* = ..., . PRIMJEDBA 3 . Za Booleove funkcije F : B" ---> je važan problem odre­ đivanja njihove Taj se postupak provodi s pomoću tzv. Kamaugh-ovih (č. Kamoovih) dijagrama. Minimalnost se pritom shvaća u smi­ slu najmanjeg mogućeg broja logičkih operacija · + , koje ulaze u prikaz od F(x1 , . . . , x11 ) . U ovoj knjizi taj problem nećemo rješavati.

1\ , minimalne disjunktivne forme.

B

,

-

Problem ispunjivosti. Problem ispunjivosti za Booleovu funkciju F : B" ---> B je slje­ deći: postoji li baremjedan n -terac (xt , . . . , x11) E B11 takav daje F(xt, . . . , x11 ) = l ? Ilustrirajmo taj problem s pomoću dva duhovita primjera koji potječu od legen­ darnog profesora Danila Blanuše vidi njegovu Višu matematiku, II-l , Zagreb,

(1903-1987),

1965, str. 347.

PRIMJER 2. U nekoj gostionici skupili se mladići i djevojke na pokladnu zabavu. Gazdarica kaže mladićima: "Svaki će dobiti besplatnu bocu šampanjca ako ispuni ova tri uvjeta: ( l ) Ako pleše s crnkom ili pleše sa mnom (inkluzivno ili) onda mora plesati s kono­ baricom i ne smije plesati s plavušom. (2) Ako ne pleše s konobaricom ili ako pleše s crnkom, onda ne smije plesati sa mnom, ali mora s plavušom. (3) Mora plesati sa mnom, ali ne smije s konobaricom, osim ako pleše s crnkom, ali ne s plavušom." Pitanje glasi: što mora učiniti mladić da besplatno dobije bocu šampanjca? Prirodno je uvesti u igru sljedeće sudove: P = "mladić pleše s plavušom", e = "mladić pleše s crnkom", K = "mladić pleše s konobaricom", G = "mladić pleše s gazdaricom". Prema uvjetima zadatka, traže se vrijednosti istinitosti sudova P, e, K, G tako da sud

1\ 1\

1\ P) 1\ 1\

1\

(e v G ::::} K P) (K v e ::::} G (e P ::::} G K) bude istinit (ispunjiv), ako je to uopće moguće. Primijetite da uvjet koji započinje sa "osim ako" u treba gledati kao negaciju. Bit će nam praktičnije da sudove gledamo kao Booleove varijable: x := P , y : = e , z : = K , u : = G , i pritom operaciju v i pišemo kao + i respektivno. Kao što znamo, vrijedi b) = (a + b) . Odavde slijedi: F(x, y, z, u) = (y + z ::::} .zX)(:Z + y ...u.x)(yx ::::} uz) = (y + z + .zX)(:Z + y + iix ) (yx + uz) = (yz + .zX)(zy + U.X)(yx + uz) . Množeći svaki sa svakim dobivamo zbroj od = 8 minterma. Svaki od minterma sadrži umnožak xx ili yy ili zz , koji su svi . Prema tome je F = tj . jednakost F(x, y, z, u) = nije ispunjiva ni za koji izbor vrijednosti (x, y , z, u) E Ir . Spretna gazdarica zapravo nije ništa riskirala: njena tri uvjeta su neispunjiva (protuslovna) .

(3)

1\

(a ::::}

222 O ·

l

·

·

O,

2.7. LOGIČKI SKLOPOVI

35

PRIMJER 3. Pogledajmo drugi Blanušin primjer 'iz života' . Neki mladoženja poslije vjenčanja reče svojoj ženi: "Draga moja, dobro ćemo se slagati ako s obzirom na ručkove ispuniš ova tri uvjeta: Ako ne daš kruh na stol, moraš dati sladoled. Ako daš kruh i sladoled, ne smiješ dati krastavca. Ako daš krastavce ili (inkluzivno) ne daš kruha, onda ne smiješ dati sladoleda." Treba vidjeti jesu li svi ovi uvjeti zajedno ispunjivi, i ako jesu, kako ih se može ispuniti. Prirodno je uvesti Booleove varijable, slično kao u prethodnom primjeru: "žena daje kruh na stol", y "žena daje krastavce na stol", "žena daje sladoled na stol". Ispunjivost sva ova tri uvjeta svodi se na ispunjivost sljedeće Booleove funkcije: y, (x x x z)(x Množeći svaki sa svakim dobivamo zbroj od 2 - 3 - 2 12 minterma. Rabe�i zatim , dobivamo nakon malog računa: x y, Ovo pokazuje da je jednadžba y y, z) ispunjiva, npr. za kada je prvi minterm jednak l . Da bi u obitelji bila 'mirna kuća' , dovoljno j e dakle na stol staviti kruh a ne staviti krastavce i sladoled ( y = z = O ) . U ovom slučaju mogu se opisati ne samo dovoljni uvjeti za ispunjivost problema, nego čak nužni i dovoljni uvjeti. Naime vrijedi = y, z) · yz . Dakle za ispunj ivost jednakosti y , z) = nužno je i dovoljno da bude i yz . Dakle žena mora dati na stol kruh, i ne smije na stol staviti istodobno krastavce i sladoled (nego samo jedno od toga ili niti jedno). � P OVIJESNA CRTICA � Booleove algebre i Booleve funkcije uveo je en­ gleski matematičar George Boo/e ( 1815-1864) . Zanimlj ivo je daje on bio samouk, tj. nije imao sustavnog matematičkog obrazovanja.

(l) (2) (3)

x= = z=

F(x, z) = =? z)(xz =? y)(y + =? z) = (x + z)(xz + y)(y + + z) = (x + + z + y)(yx + z). =

x = O, zz = O

F(x, z) = xy z + xz + xy + xyz. x = l , = O, z = O, F(x, = l (x = l ), F(x, = xz(y + l) + xy( l + z) xz + xy = x(z + y) = x l F(x, x=l =l

Sudu

-r(x) = l

teče.

x

ćemo pridružiti prekidač, kojeg ćemo također označiti s (istina), onda neka kroz prekidač teče struja, a ako je -r(x )

=

Sl.

_/ _

2.2.

x . Ako je O, neka ne

x=l

Stanja sklopke: O (isključena) i l (uključena).

x

Jasno je da konjunkciji y odgovara serijski spoj prekidača (vidi sliku). Naime, struja prolazi jedino ako prolazi kroz oba prekidača i y (vidi tablicu istinitosti za ·

x

2. UVOD U LOGIKU

36

konjunkciju x y ) . Logičkoj disjunkciji x + y odgovara paralelni spoj prekidača x i y , jer struja ne teče jedino ako ne teče niti kroz niti kroz y . ·

x

X X

y

---o-----o-- Xy Sl.

2.3.

x+y

y Konjunkcija (l-sklop) i disjunkcija (/Ll-sklop) prekidača.

l

Kao što vidimo, "prekidačka logika" ostvaruje logička stanja O ili sa "struja ne teče" ili "struja teče". Prekidačka logika se danas u praksi rabi vrlo rijetko, za razliku od "naponske logike", koja stanja ili ostvaruje ovisno o tome ima li ili nema napona. Točnije, logičko stanje O ostvaruje se dogovorno stanjem od O V, a logičko stanje l naponom od 5 V (ponekad ISV). Logičke operacije konjunkcije i disjunkcije ostvaruju se s pomoću gotovih, mikroskopskih logičkih sklopova, čije su standardne oznake:

O

;

=D- xy l - sklop Sl.

2.4.

l

napona

- x+y ; =D JU - sklop

Osnovni logički sklopovi.

sklop zove se I-sklop, a desni ILI-sklop (engl. AND-gate i OR-gate). Za di­ sjunkciju (i konjunkciju) vrijedi zakon asocijativnosti + + z) = + + z. Sklopovska realizacija izgleda ovako (uz jednake odgovarajuće ulaze z u oba sklopa, izlazna stanja će biti ista):

Lijevi

x (y

X � � x+(y+z) Sl.

2.5.

(x y) x, y,

� � (x+y)+z

Zakon asocijativnosti.

Razumno je bilo koji od ova dva ravnopravna sklopa s tri (Hi više) ulaza označiti kraće sa:

-�+z � ==DLogičko zbrajanje. Sl. 2.6.

x

Sklop koji realizira logičku negaciju, tj. koji stanju E {0, l } pridružuje :X , zove se On jednostavno mijenja logičko stanje = O (nema napona) u logičko stanje x = l (irna napona), a = u x = O . Označava se sa:

invertor.

x l

x

2.7. LOGIĆKI SKLOPOVI

37

Sl.

2. 7.

Invertor.

Invertor ćemo u sklopovima kratko označavati samo s kružićern. Npr. lijevi sklop na slici ćemo kraće označavati s desnim (naziv mu je NILI sklop, engl . NOR):

; =D---t>o- x+y ; =U- x+y Sl.

2.8. Oznaka

invertora kružićem.

Na analogan način označava se NI sklop (engl. NAND) , koji odgovara Booleovoj funkciji xy . S pomoću logičkih sklopova mogu se realizirati vrlo složeni logički izrazi koji ovise o velikom broju varijabla.

DEFINICIJA . Za dva logička sklopa kažemo da su ekvivalentni sklopovi ako imaju isti broj ulaznih varijabla, te ako uz ista ulazna stanja daju jednake izlaze. PRIMJER l . Dva ekvivalentna sklopa možemo realizirati na jednostavnom prim­ jeru DeMorganove formule x + y = :x · y :

; =D- xy Sl.

2.9.

; =D- x+y

Ekvivalentni logic'Ki sklopovi (desno je NIL/ sklop).

Iako su lijevi i desni sklop međusobno ekvivalentni, desni je bolji jer irna jedan invertor manje.

PRIMJER 2. Lijeva i desna strana relacije x(y + z) = xz + yz može se realizirati s pomoću sljedeća dva ekvivalentna sklop11: X y

Sl. tri).

2. JO.

z

Dva ekvivalentna sklopa.

Vidimo da je lijeva shema jednostavnija (irna samo dva sklopa, dok desna irna

PRIMJER 3 . Rabeći disjunktivnu i konjunktivnu normalnu formu iz primjera u Odjeljku 2.6 možemo izgraditi dva odgovarajuća ekvivalentna logička sklopa:

2.

38

UVOD U LOGIKU

� --�----�----­ Xz � ---H�-�--�-++� ---H�--�----+.--­

� ----�----�--­ Xz � ----�-44�--++�-+.--�----��--�----+.--­

F(x1,x2,x3) Sl. 2.11. Dva ekvivalentna logička sklopa.

F(x1 ,x2,x3)

PRIMJEDBA l . Logički sklopovi ulaze u sastav mikroprocesora, koji se danas rabe najviše u računalima, i čine njihovo "srce". Nalaze se na maloj silicijskoj pločici (npr. veličine 5 x 5 mm na mikroprocesoru. Izrađuju se postupcima tzv. planarne (ravninske) tehnologije na siliciju. Svaki osnovni logički sklop (ILI-sklop, I-sklop, invertor) sadrži ne više tranzistora (zapravo, kao osnovni sklopovi projektiraju se NILI-sklop, Nl-sklop i invertor). Dimenzije logičkih sklopova su mikroskopske: oko 0.35 mikrometara {mikrometar ili mikron = milijunti dio metra). To znači da će se njihova gustoća (tj . broj osnovnih sklopova po kvadratnom centimetru) mjeriti sto­ tinama tisuća, pa i milijunima! Opisana svojstva odgovaraju stanju iz g. Buran napredak tehnologije iz godine u godinu poboljšava vlastitosti logičkih sklopova.

2) od 4-5

1997.

U matematici se vrlo često susreću rečenice s jednom ili više varijabUi, takve da ako za varijable uzmemo konkretne vrijednosti onda one postaju sudovi. Npr. rečenica je prost broj" ima jednu varijablu E N . Nazovimu tu rečenicu sa Onda je očevidno P(5) sud, i to istinit, a je lažan sud. Rečenicu y= gdje su y E R , označimo sa y) . Ona nije sud, ali za konkretne vrijednosti i y postaje sud (tj. istinita ili lažna). Npr. = .l , dok je = Ovi jednostavni primjeri motiviraju sljedeću definiciju.

"x

x,

P(x,

x P(6)

P(O, O)

P( · P(x) .

P(x) . "x + l ", x P(2, -l) T . x

DEFINICIJA. Predikat je funkcija ) koja s4kom elementu iz nekog skupa (domene predikata) D pridružuje sud Skup svih elemenata domene D na kojem je predikat istinit zove se karakteristični skup predikata. Karakteristični skup pre­ dikata jednoznačno određuje taj predikat s obzirom na njegove istinitostne vrijednosti. Kažemo da je predikat ( ) ako ima jednu varijablu E D . Dv ­ predikat y) ima dvije varijable E D 1 , y E Dz , dok ima varijabla X E = ... Skup D = D 1 x . . . x Dn zove se Jasno je da n -mjesni predikat možemo gledati i kao jednomjesni predikat, s elementima domene koji su poredani -terci.

mjesni n predikata.

P x jednomjestan P(x, x k Dk , k l, , n. n

x o n -mjesni predikat domena

2.8. PREDIKATNI RAČUN

39

Ako semantička vrijednost (vrijednost istinitosti) predikata ne ovisi o nekoj va­ rijabli, onda se ta varijabla zove Npr. ako sa P(x, y) označimo predikat "x � l ", gdje su x, y E R , onda je varijabla y fiktivna. PRIMJEDBA l . Za svaku varijablu zadanog predikata pretpostavlja se da je poz­ nat odgovarajući skup (domena) iz kojeg varijabla poprima svoje vrijednosti. Za razne varijable to mogu biti različiti skupovi. Npr. u predikatu P(x, y) definiranom kao "y je djeljiv s x" možemo uzeti x E N i y E Z . Rabeći operacije V , 1\ , -., možemo iz jednostavnijih predikata graditi formule predikatnog računa, koje su opet predikati. Npr. -,P(x) V Q(x, y) ::::> R(x, y, z ) . Ova složena formula ima tri varijable: x , y i z . Osim ovih triju operacija algebre sudova možemo uvesti još dvije važne logičke operacije s predikatirna.

fiktivna varijabla.

DEFINICIJA. Neka je P(x) predikat i x iz zadane domene D . Onda sa Vx P(x) označavamo koji je istinit onda i samo onda ako je sud P( istinit za svaki E D . Sud Vx P(x) čitamo "za svaki x vrijedi P(x) ", "za sve x je P(x) ". Simbol V zovemo univerzalnim kvantifikatorom. Na sličan način sa :lx P(x) označavamo sud koji je istinit ako postoji baremjedan element E D za koji je sud P( istinit. Sud 3x P(x) čitamo "postoji x tako da vrijedi P(x) ". Simbol 3 je egzistencijalni kvantifikator (kvantifikator postojanja). PRIMJEDBA 2. Znak V je obrnuti A, od njemačkog Alle (svi). Oznaka 3 je obrnuti E, od njemačkog Existieren. Ponekad ćemo P(x) (koji je predikat) gledati i kao sud ako je x zadani element domene . PRIMJEDBA 3 . Svaki sud može se smatrati predikatom s nula varijabla. Izraz Vx P(x) je doista sud, jer je primjenom kvantifikatora V varijabla x (potroše­ na). Slično i za 3x P(x) . Općenito, ako je P(x 1 , . . . , xn) predikat s domenom D = D1 x . . x Dn , a in­ deks učvršćen, onda možemo umjesto n -terca (xi , . . . . . . , xn) gledati n -terac .. slobodna varijabla, a ostale su vrijed­ u kojem je nosti učvršćene u odgovarajućim skupovima. Tako dobivamo jednomjesni predikat P(at , . . . - t s varijablom E D; . Na taj način izraz ... Vxi P( postaje sud. Prema tome, izraz Vxi P(X t . . . . , Xi- J , Xi, l • . . . , Xn ) je predikat od n - l varijablii, koji o (varijabla x; je kvantifikato­ rom). Iz više predikata možemo graditi formule predikatnog računa rabeći logičke ope­ racije -., , v , 1\ , ::::> itd., kao i s pomoću V ,

sud

a

a)

a

a)

i , Xi, (a 1 , . . . , ai- t. Xi, ai+l • . , an ) Xi , ai . Xi, ai+ l• . . . , an) Xi a., . . . , ai- l, Xi, ai+ l , , an ) ne ovisi

Xi+ Xi

vezana .

vezana

3. DEFINICIJA. Kažemo da je neki nastup varijable x; u formuli predikatnog računa vezan ako uz nju dolazi kvantifikator Vxi ili :!xi . Inače kažemo daje nastup varijable Xi slobodan. Npr. formula predikatnog računa Vx (P(x, y) :Jz Q(z, t)] ovisi samo o varijabla­ ma y i t, jer su x i z vezane. U formuli Vx P(x) 3y Q(x, y) je prvi nastup varijable v

1\

x (onaj u P(x) ) vezan, a drugi (onaj u Q(x, y) ) slobodan. PRIMJEDBA 4. Semantička (istinitostna) vrijednost suda Vx P(x) ovisi o pre­ dikatu P(x) . Predikatom je određena i domena D iz koje uzimamo x . U sluča­ ju kad je potrebno istaknuti domenu predikata, često ćemo pisati (Vx E D)P(x) i (:lx E D)P(x) .

2. UVOD U LOGIKU

40

PRIMJER l . Promotrimo sudove Vx P(x) i 3x P(x) s domenom Dt = {a } . Sud P(a) može imati samo jednu od dvije semantičke vrijednosti: T (istina) ili .l (laž). Gledajmo zato jedina dva moguća jednomjesna predikata s jednočlanom domenom: P1 (x) i P2(x) , takva da je Pt{a) = T i P2(a) = .l . Iz tablice P(x) VxP(x) 3xP(x) T Pt �) T .l P2 (x) .l vidimo da su sudovi Vx P(x) i 3x P(x) logički ekvivalentni ako je predikat P(x) de­ finiran nad jednočlanom domenom. 2. To međutim nije općenito slučaj za dvočlanu domenu D = {a, b} , gdje postoje ukupno četiri predikata:

X

a b

P1 (x) P2 (x) P3 (x) P4(x) T T

T .l

.l T

.l .l

P(x) VxP(x) 3xP(x) Pt (x) T T T P2 (x) .l T P3(x) .l P4(x) .l .l Semantička tablica pokazuje da sudovi Vx P(x) i 3x P(x) nisu uvijek logički ekvivalentni (npr. za P = P2 ili P3 ) . Razumije se, u primjenama će domena D predikata P(x) biti često i beskonačan skup (npr. N , R itd.). Za dvije formule predikatnog računa kažemo da su logički ekvivalentne ako za

svaki predikat s pomoću kojih su definirane, i za svaki izbor vrijednosti iz domena predikata, dobivamo ekvivalentne sudove. Pedsjetimo se, za sudove A i B pišemo A = B ako su logički ekvivalentni (imaju jednaku istinitostnu vrijednost). Istu oznaku rabimo i za logički ekvivalentne formule predikata. Navedimo sljedeći jednostavan i važan rezultat.

P(x) P(x) = 3x -,P(x) , ..,3x P(x) = Vx -,P(x) . DoKAZ. Neka je D domena predikata P(x) . Pretpostavimo da je -,'fx P(x) istinit sud. Onda je Vx P(x) lažan. Dakle postoji element a iz domene D takav da je sud P(a) lažan. Onda je sud -,P(a) istinit, paje istinit �ud 3x -,P(x) . Slično i u slučaju kad je sud -,'fx P(x) lažan. Tvrdnja {b) dokazuje se-ha isti način. PRIMJEDBA 5 . Vidimo da je sud Vx P(x) lažan čim je za makar jedan jedini element x iz domene njemu pripadajući sud P(x) lažan. Sud 3x P(x) je lažan ako je za sve x iz domene pripadajući sud P(x) lažan. PRIMJEDBA 6 . Sud Vx [3y P(x, y )] označavamo kraće sa Vx 3y P(x, y) . Njego­ va negacija je 3x Vy -,P(x, y) . PRIMJEDBA 7. Gornji teorem predstavlja generalizaciju uobičajenih DeMorga­ novih formula za sudove. Doista, ako neki predikat P(x) ima dvočlanu domenu Teorem 1 . Vrijede ove ĐeMorganove fonnule za predikate

(a) -Nx (b)

:

Q.E.o.

41

2.8. PREDIKATNI RAČUN

= {a, b} , te ako definiramo sudove A := P(a) i B := P(b) , onda je očevidno VxP(x) = P(a) 1\ P(b) = A 1\ B i :lx -,P(x) = -,P(a) V -,p(b) = -,A V -,B . Iz tvrdnje (a) u Teoremu l dobivamo DeMorganovu formulu za sudove: -,(A 1\ B) = -,A V -,B . Gornji teorern generalizira DeMorganove formule na slučaj kad imamo eventual­ no beskonačno mnogo sudova u konjunkciji, jer svaki P(x) je sud za neki određeni x E D . Sud Vx P(x) može se gledati i kao beskonačna konjunkcija sudova: Vx P(x) = P(x t ) 1\ P(xz) 1\ . . . , gdje su x1, xz, . . . E D . U literaturi se ponekad susreće i ovakva oznaka: Vx P(x) = 1\xEDP(x) . Slično, sud 3x P(x) označava ovaj sud: P(xl) V P(xz) V . . . , pa možemo pisati 3x P(x) = Vx EDP(x) . PRIMJER 2 . Za funkciju f : X - Y kažemo da je injektivna ako je sljedeći sud istinit: (Vx1 E X)(Vxz E X) (/(x i ) = f(xz) => = xz),

D

XI

ili što je isto (obratom po kontrapoziciji),

(Vx1 E X)(Vxz E X) (xl # xz => f(x i ) # f(xz) ). Kažemo daje funkcija f surjektivna ako je ovaj sud istinit: (Vy E Y)(:Jx E X) f(x) = y. PRIMJER 3 . U temeljnom kursu matematičke analize upoznali smo pojam kon­ vergencije. Za slijed realnih brojeva (an ) kažemo da je konvergentan, ako postoji a E R tako da za svaki E > O postoji broj no E N takav da za svaki n E N iz pretpostavke n > no slijedi lan - al < E . U tom sl učaju pišemo liiiln-.oo an a. 1

=

Drugim riječima,

(an) je konvergentan (:Ja E R)(VE > 0)(3no E N)(Vn E N)( n > no => lan - al < E). Za slijed koji nije konvergentan kažemo da je divergentan . Prema tome, uzimajući u obzir činjenicu da je ..,(A => B) = A 1\ ..,B , dobivamo na temelju prethodnog teorema ovakav zaključak: slijed (an ) je divergentan -,[(:Ja E R)(VE > 0)(3no E N)(Vn E N)(n > no => lan - a i < E )] = (Va E R)(3E > O)(Vno E N)(3n E N)(n > no 1\ ian - a i ;:::: E). , Riječima, slijed (an ) je divergentan ako za svaki a E R postoji > O tako da za svaki E N postoji n E N takav da je n > no i lan - a l � E To znači da je slijed (a") divergentan ako za svaki a E R postoji E > O i neki beskonačan podslijed slijeda (an ) čiji su članovi udaljeni od a za barem Promotrite za vježbu tu situaciju na primjeru slijeda an = l + (-l ) n (nađite neki podslijed kao gore npr. za a = l i E = 1 ). P RIMJER 4. Kao što znamo, za funkciju f : R - R kažemo da je neprekinut& u točki a E R ako vrijedi (VE > 0)(38 > O)(Vx E R)( lx - a i < c5 => if(x) - /(a) i < E). U tom slučaju pišemo limx-+ f(x) = f(a) . Vrlo je važan i treći kvantifikator po x , koji se često zaboravlja. Slično kao i u prethodnom primjeru, funkcija f je prekinuta u toc1ci a ako (:JE > O)(Vc5 > 0)(3x E R)( ix - a i < c5 1\ lf(x) - f(a) l ;:::: E ) . slijed

_

E

no

•

E.

a

1

Naziv swjekcija dolazi od franc. sur

=

na,

i lat. jacere

=

baciti.

2. UVOD U LOGIKU

42 Promislite sami što ova rečenica zapravo kaže.

\lx 3y R(x, y) 3y \lx R(x, y)

nisu me­ i PRIMJER 5. Nije teško vidjeti da sudovi đusobno logički ekvivalentni, ali drugi ima za logičku posljedicu prvi. Uzmemo li npr. R i predikat onda je prvi sud istinit (dovoljno je za definiran sa > . Drugi sud nije istinit, jer ne postoji realan broj koji svaki uzeti recimo bi bio veći od svih E R . Prema tome tvrdnje općenito nisu ekvivalentne, što više, nije općenito istinita. :::::} primjer pokazuje da implikacija Međutim, obratna implikacija je uvijek istinita (tautologija), što se može lako takav da istinit sud, onda postoji pokazati. Doista, ako je Prema tome za je \:ly P(a, y) istinit sud, dotično P( a, y) je istinit za svaki y E je . istinit sud, tj. sud za koji je svaki postoji (i to istinit. Na taj način može se lako pokazati da vrijedi:

D=

y x,

R(x, y) y = x+ l ) x

x

x

y

y

\lx 3y R(x, y) 3y \lx R(x, y) x = a E D1 3x Vy R(x, y) D2 • Vy 3x P(x, y) P(x, y) x = a)

Teorem 2.

(a) Vx\lyR(x, y) =. Vy\lxR(x, y) . (b) 3x 3yR(x, y) = 3y 3xR(x, y) . (e) 3x\lyR(x, y) � \ly 3xR(x, y) . (d) \lx 3y R(x, y) l= 3y 3x R(x, y) .

P(x) x D A P(x) A = {x E D : P(x)}, ili točnije A = {x E D : P(x) = T} . Neka je npr. D = {x E N : x � 3 } i P(x) sljedeći predikat "postoje tri prirodna broja a ' b i takva da je rr + Ir = � ". Tvrdnja da je za ovaj predikat skup A prazan (tj. da ne postoji traženi trojac prirodnih brojeva niti za koji eksponent x � 3 ) čini sadržaj znamenitog Velikog Fermatovog Običaj je da se s pomoću predikata zadaju i skupovi. Ako je zadan predikat onda on definira skup svih onih elemenata E za koje je pripadni s domenom istinit: sud (*)

D,

e

problema ( 17. st.) . Riješen je tek 1995. g., i to potvrdno (Andrew Wiles iz Velike Britanije). U vezi sa zadavanjem skupova kao u ( * ) zanimljivo je navesti poznati skup svih skupova koji nisu Russelov paradoks, otkriven 1903. Neka je svoj element, tj. , nije prazan jer npr. . Skup dakle Postavlja se pitanje je li je jedan , onda bi iz definicije skupa slijedilo da Kad bi bilo od -ova), što je protuslovlje. Po pravilu isključenja trećeg zaključujemo da mora biti •

S A f/: A .

A = {S : S � S} {l} E A . AEA

A f/: A,

S {l} � {l} A � A (A

A A A EA? A

A

A E A,

Sada dolazi paradoks: ako je onda iz definicije skupa slijedi što je opet protuslovlje. Prema torne skup nije dobro definiran, iako je formalno definiran kao u ( * ) .

A

A

iz prethodnoga primjera, Za univerzalni skup X , u kojem je definiran skup prirodno je uzeti "skup svih skupova". Pokazuje se međutim da ne postoji skup svih skupova. Doista, kada bi X bio skup svih skupova, onda bi i 2x bio skup (partitivni od X ) , pa bi imali 2x � X , dakle 12x 1 � lX I . skup od X , tj. skup svih To je međutim u protuslovlju s poznatim općim Cantorovim stavkom o kardinalnim brojevima: kardinalni broj partitivnog skupa od X je strogo veći od kardinalnog skupa od X , tj. 12x 1 > lX I , koji navodimo bez dokaza. Tvrdnja je jasna za konačne skupove, ali za beskonačne skupove potreban je poseban dokaz. Dokaz se zasniva na maloj

podskupova

2.8.

43

PREDIKATNI RAČUN

modifikaciji Cantorovog dijagonalnog postupka iz dokaza Teorema Teorem

3.20].

1.5.1, vidi (Papić,

Otkrivena je čitava jedna klasa paradoksa u teoriji skupova. Stanje stvari možda je najbolje opisao francuski matematičar ovim duhovitim riječima: "Bog postoji jer je matematika neprotuslovna. A đavo postoji jer to nitko ne može dokazati". Paradoksi doveli su do potrebe revizije nekih od temeljnih metoda i rezultata u matematici. To je među ostalim dovelo do intenzivnog razvoja matema­ tičke logike i teorije skupova u stoljeću. Sličan Russelovom paradoksu je poznati koji se sastoji u sljedećem: "Ovo što sada izričem je laž". Pita se je li ova rečenica istinita ili lažna? Pogledajmo. Kad bi bila istinita, onda bi prema onom što tvrdi morala biti lažna. A kad bi bila lažna, onda bi ono što je izrečeno morala biti istina, a ne laž. U oba slučaja dobivamo kontradikciju. Ovaj paradoks potječe još od grčkog filozofa iz st. prije Krista. Dakako, prema našoj općoj definiciji suda, rečenica "Ovo što sada izričem je laž" nije sud. PRIMJEDBA 8 . Spomenimo usput jednu važnu granu matematičke logike u kojoj se kao logičke vrijednosti dopuštaju ne samo i l (istina i laž), nego i bilo koja vrijednost između i tj. dopuštaju se i 'djelomične istine', dotično sudovi koji su više istiniti ili manje istiniti. To je tzv. neizrazita logika (engl. fuzzy logic), čije ideje nalaze mnoštvo primjena u praksi.

Andre Weil (1906 - 1998)

teorije skupova

20.

paradoks lašca Eubulidoa,

4.

O l,

O

� POVIJESNA CRTICA � Kvantifikatore V i 3 je u matematiku uveo nje­ mački matematičar ( i nezavisno od njega američki mate­ matičar ( . Naziv tautologija potječe od austrijskog filozofa Više o povijesti istraživanja u teoriji sku­ pova i matematičkoj logici pogledajte u izvrsnoj knjizi [Devide] .

Friedrich Frege 1848-1925) Charles Sanders Peirce 1839-1914) Ludwiga Wittgensteina ( 1889-1951).

Postoje problemi čijem rješavanju bih dao neizmjerno veće značenje nego matematici, npr. pouci u etici, odnosu prema Bogu, ili o sudbini i našoj budućnosti; ali njihovo rješavanje leži posve izvan područja �ti;

- Karl Friedrich GAUSS ( 1777-1855} Reductio ad absurdum, koji je Euklid toliko volio, jednoje od najjačih oružja u matemalici. Ovoje mnogo veći gambit nego u §ahu: §ahist može ponuditi pje§aka kao žrtvu ili � remi, dok matematičar nudi cijelu igru!

- Godfrey H. HARDY ( 1877 - 1947}

Bez pojmova, metoda i rezultata koje su pronašle prethodne generacijejoš od grčke Antike, nemoguće je razumjeti ciljeve i dostignuća matematike u posljednjih 50 godina. Logika je higijena s kojom matematičar održava svoje ideje zdravima i jakima

-Hermann WEYL ( 1885 - 1955)

Matematikaje koncentrirana logika.

- Danilo BLANUŠA ( 1903-1987)

3. CUELI BROJEVI

44

3.

Cijeli brojevi

{

O,

Skup cijelih brojeva poznajemo još iz osnovne škole: Z = . , -3, -2, - l, l , 2, 3, . } Svrha ovog poglavlja je podsjetiti čitatelja na neke temeljne pojmove iz teorije brojeva i dati pregled nekih od najvažnijih rezultata. .

.

.

. .

DEFINICIJA. Neka su a i b cijeli brojevi. Kažemo da a dijeli b ako je a 'l O b je višekratnik od a {tj. postoji k E Z tako da je b = ka ). U tom slučaju pišemo a l b i čitamo "a dijeli b". Broj a zovemo djeliteljem broja b . i

Uobičajena oznaka za " a dijeli b " u literaturi je a l b . Susreće se, istina vrlo rijetko, i oznaka a\b koja je bez sumnje bolja (ona se rabi i u znamenitom djelu [Knuth]).

Propozicija 1 . Relacija "dijeliti" ima sljedeća tri osnovna svojstva:

refleksivnost:

a O ala; alb bla a ±b. Ako su a i b prirodni a b tranzitivnost: a l b b l al DoKAZ. ( l ) je jasno. ( 2) Budući da je b ka i a lb za neke k, l E z ' slijedi b klb. Zbog b l a je b 'l O, dakle kl l nakon skraćivanja. Brojevi k i l su cijeli, odakle slijedi da je ili k l l ili k l - l . {3) Zbog b ka i lb je {lk)a, dotično a l PRIMJER l . Ako su a, b, E Z , onda iz a l b i a l sl�i a l b ± D EFIN ICIJ A . Ako su a, b, d E Z takvi da d l a, d l b, onda d zovemo zajedničkim djeliteljem od a i b. Ako je barem jedan od brojeva a ili b različit od O, onda postoji i najveći zajednički djelitelj d, kojeg zovemo najvećom zajedničkom mjerom od a i b. Označavamo ga sa Nzm (a, b) . Ako je d djelitelj od a i b, onda je i -d njihov djelitelj. Dakle Nzm (a, b) je uvijek pozitivan broj. Najmanji zajednički višekratnik cijelih brojeva a i b, različitih od nule, defini­ ramo kao najmanji prirodni broj čiji su djelitelji a i b. Označavamo ga sa nzv {a, b) . za svaki cijeli broj 'l vrijedi (1) (2) za svaka dva cijela broja iz i slijedi brojevi, onda slijedi = (antisimetričnost); (3) ako i e , onda e . =

=

=

e =

=

=

=

e =

e

=

=

=

=

e.

e

Q.E.D.

e.

3. 1 . DJELJIVOST, NAJVEĆA ZAJEDNIČKA MJERA

45

PRIMJER 2 . Očevidno je Nzm (a, b) = Nzm (b, a) , Nzm (a, b) = Nzm ( i ai, l b i ) , i slično za nzv. Npr. Nzm ( -6, -8) = Nzm ( 6, 8) = 2 , nzv ( -6, -8) = nzv ( 6, 8) = 24 . U Propoziciji 3.3.8 ćemo pokazati da vrijedi nzv (a, b) = paje dovoljno proučavati samo vlastitosti najveće zajedničke mjere. PRIMJEDBA l . Ako su a i b prirodni brojevi, onda je očevidno

N�ta,b) ,

Nzm (a, b) � min{a, b} � max{a, b} � nzv (a, b).

N.

PRIMJER 3 . Očevidno je Nzm (a, O) = a za sve a E PRIMJER 4. Neka su a E i b E z . Onda iz a l b slijedi Nzm (a, b) = a . Tvrdnju je lako dokazati. Naime, budući da a dijeli istodobno a i b , onda je a najveći mogući djelitelj ta dva broja, tj. njihova najveća zajednička mjera. P RIMJEDBA 2 . Najveća zajednička mjera Nzm ( · , ·) i najmanji zajednički više­ kratnik nzv ( , ) mogu se na sličan način definirati i za bilo koji konačan skup cijelih brojeva at , . . . , an : Nzm (at , . . . , an) . nzv (at , . . . , an)

N

·

·

Propozicija 2. Pretpostavimo da su svi brojevi u jednakosti

a 1 + a2 + . . . + ar = bt + b2 + . . . + bs cijeli. Ako se zna da su svi brojevi u ovoj jednakosti, osim jednoga, djeljivi sa onda je i preostali broj djeljiv sa

d.

DOKAZ. Ako se npr. zna da su svi brojevi osim a 1 djeljivi sa a 1 = -a2 - . . . - ar + b + . . . + bs djeljiv sa

t

d.

Teo rem 3. (O dijeljenju) Neka su zadani a E Z i b E q E Z i r E {0, l , . . . , b - l } takvi daje a = bq + r. Broj q zove se kvocijent pri dijeljenju a sa b , a r ostatak.

d E N,

d, onda je i broj Q.E.D.

N. Onda postojejedincati

DOKAZ. Označimo sa h , k E Z , skup svih cijelih brojeva koji leže u poluotvorenom intervalu [kb, (k + l )b) . Kako je unija svih lk jednaka Z i svi lk su međusobno disjunktni, postoji broj k = q E Z takav da je a E lq . Iz definicije intervala lq slijedi da je O � r := a - qb < b , tj. r E {0, l , . . . , b - 1 } . Dakle traženi prikaz a = bq + r postoji. o

r

b

...

2b

qb

a

Sl. 3. 1. Algoritam dijeljenja: a = qb + r .

(q+l)b

D a bi pokazali da je taj prikaz jedincat, neka pored ovog rastava postoji još jedan: a = bq1 + r1 , gdje je q1 E Z i rt E {0, l , . . . , b - l } . Onda je r - r1 = b(q - qt ) , tj. b l r - r1 . Kako je ir - r1 1 E {0, l, . . . , b - l } i b dijeli jedino nulu u tom skupu, Q.E.D. mora biti r - r1 = O , tj. r = r1 . Odavde slijedi zatim i q = q1 .

5

5

P RIMJER 5 . Za a = 1 6 i b = je 1 6 = 3 · + l , tj. q = 3 i r = l . Za a = - 1 6 i b = je -16 = ( -4) · + 4 , tj. q = -4 i r = 4 . Za a = 1 6 i b = 8 je q = 2 i r = O , jer je 16 = 2 8 = 2 · 8 + O . Za a = 3 i b = je q = O i r = 3 , jer je 3 = O · + 3 . Sljedeća propozicija bit će nam od velike važnosti u daljnjem.

5

5

5

·

5

3. CIJELI BROJEVI

46

S a, b S

Propozicija 4. Neprazan podskup skupa cijelih brojeva koji je zatvoren s ob­ jednak je ili { O } E E slijedi zirom na operaciju oduzimanja (tj. iz E } ili skupu svih cjelobrojnih višekratnika nekog prirodnog broja (ovaj skup kraće označavamo sa

a - b S) m: S = {km : k Z

mZ). DOKAZ. Dokažimo najprije da je S zatvoren i s obzirom na operaciju zbrajanja. Ne­ ka su a, b E S . Onda je O = a - a E S, dakle i -b = O - b E S, a zatim i a + b = a - (-b) E S . Isto tako iz prethodnog vidimo da ako je neki element b sadržan u S, onda je i -b E S Pretpostavimo da S sadrži cijeli broj a i- O . Kako je i -a E S, skup S sadrži -a . Neka je m najmanji pozitivan broj u S. Dokabw-cmjcdan pozitivan broj : a žimo da je S = mZ. a) Najprije treba dokazati da je mZ � S. Doista, iz m E S slijedi 2m = m + m E S, 3m = 2m + m E S itd. Slično, -m = O - m E S, -2m = -m - m E S, -3m = -2m - m E S itd. b) Dokažimo da je S � mZ. Neka je n S. Treba vidjeti da je n mZ. U tu svrhu podijelimo n sa m : n = mq + r , gdje je q E Z i r E {0, l, . . . , m - l } . Zbog n, mq E S je r = n - E S. Dakle r mora biti jednak O , jer u protivnom m ne bi bio najmanji pozitivan broj u S (vrijedi r < m). Stoga je n = mq E mZ. ili

·

E

E

mq

Q.E.D.

Vrlo je važan postupak za nalaženje najveće zajedničke mjere dvaju brojeva, (knjiga Pro­ poznat kao Euklidov algoritam. Opisan je u Euklidovu djelu Postupak se zasniva na sljedećem rezultatu. pozicija l i

Elementi

2).

a, b, q,

Z a = bq +

7,

Propozicija 1 . Neka su r . Onda je svaki zajed­ i r E i r . Posebno, vrijedi ujedno i zajednički djelitelj od i nički djelitelj od Nzm (b, r) . Nzm (a,

a b

b) =

b

d E N dijeli a i b u relaciji a = bq + r , onda d dijeli i 3.1.2). Obratno, ako d dijeli b i r , onda na isti način d l a .

DOKAZ. Ako Propoziciju

r (vidi Q.E.D.

Teorem 2. (Euklidov algoritam za nalaženje najveće zajedničke mjere dvaju bro­ jeva) Neka je E Promatrajmo slijed ostataka rk koji se dobivaju kako i E je opisano u Teoremu 3. 1 . 3 o dijeljenju:

a Z b N. a = bq1 + rz O � rz < 'b = rzqz + r3 0 � r3 < rz,

Pretpostavimo daje rz > O rk > O i rk+ l O , i vrijedi

=

(l)

(tj. b ne dijeli a). Onda postoji indeks k E N takav daje Nzm (a, b) = rk .

3.2. EUKLIDOV ALGORITAM

47

DOKAZ. Iz gornjih nejednakosti vidimo daje slijed rk opadajuć: b > rz > r3 > r4 > . . . � O . Kako je slijed omeđen odozdol s nulom, te kako se radi o cijelim broje­

vima, onda mora postajati indeks za koji će odgovarajući r biti jednak nula, recimo rk+ 1 = O , a prethodni rk > O , gdje je rk-Z = rk- I qk- 1 + rk O < rk < rk- I , ( l' ) rk- l = rk qk . Prema prethodnoj propoziciji imamo Nzm (a, b) = Nzm (b, rz) , Nzm (b, rz) = Nzm (rz, r3 ) , Nzm (rz, r3 ) = Nzm (r3 , r4 ) , . . . , Nzm (rk- z, rk-d = Nzm(rk-J , rk ) . Prema tome je Nzm (a, b) = Nzm (rk- 1 , rk ) = rk , gdje smo u zadnjoj jednakosti Q.E.D. koristili činjenicu da rk l rk- l . PRIMJEDBA l . U Euklidovu algoritmu smo pretpostavili da je b > O . Za nala­ ženje najveće zajedničke mjere bilo koja dva cijela broja a i b ta pretpostavka nije bitno ograničenje, jer vrijedi Nzm (a, b) = Nzm (lal, l bl) . Primijetite isto tako da ako su a i b prirodni brojevi takvi da je a < b , onda zbog a = b O + a (tj. r = a ) nakon prvog koraka u Euklidovom algoritmu a i b jednostavno zamijene mjesta, i dalje se dijeli b sa a . Prema tome razumno je na početku Euklidova algoritma među dva broja za koja tražimo Nzm (a, b) uzeti za a broj koji je veći od b . ·

PRIMJEDBA 2 . Kvocijent je moguće opisati s pomoću operacije "najveće cije­ lo": najveći cijeli dio LxJ realnog broja x je najveći cijeli broj q koji je :.:::; x . Npr. L3.9J = 3 , LnJ = 3 , L-nJ = - 4 , L1J = 1 . Prirnijetimo da je kvocijent q kod dijeljenja a sa b jednak upravo broju L �J (naj­ veći cijeli dio od � ), jer zbog a = bq + r i O � r < b vrijedi: L� J = Lq + i J = q . Ostatak r pri dijeljenju a sa b označava se sa a mod b . Prema tome možemo pisati: a

=

b

·

la/ bJ + (a

..__.."

kvocijent

mod

b)

�

ostatak

Z i d E N takvi da d l a i d l b . Onda d l Nzm (a, b) . DOKAZ. Rabeći prvu jednakost u (l) dobivamo da d l rz (Propozicija 3.1.2), zatim iz Korolar 3. Neka su

a, b E

druge dobivamo d l r3 itd., da bi na kraju iz ( l ' ) dobili da d l rk

=

Nzm (a , b ) .

Q.E.n.

PRIMJER l . Za a = 190 i b = 34 nađimo najveću zajedničku mjeru. Vidimo da je ona sigurno višekratnik od 2 , jer su oba broja parna. Provedimo Euklidov algoritam: podijeli 190 sa 34: 190 = 34 5 + 20, podijeli 34 sa 20: 34 = 20 l + 14, podijeli 20 sa 14: 20 = 14 · l + 6, (3) podijeli 14 sa 6: 14 = 6 2 + 2, podijeli 6 sa 2: 6 = 2 · 3. Prema tome j e Nzm (190, 34) = 2 . Rabeći (l) možemo uzastopnim uvrštavanjem sve ostatke izraziti kao cjelobrojnu linearnu kombinaciju brojeva a i b : rz = a + ( -ql )b ·

·

·

r3 = b - rzqz = ( -qz)a + (l + qtqz)b

3. CUELI BR01EVI

48

s, t E Z takvi da je rk = sa + th, tj. : Nzm (a, b) = sa + th

Na kraju dobivamo da postoje

Vrijedi međutim i više:

a b cijeli brojevi koji nisu oba jednaki O . Onda je mini­ S := {sa + th : s, t E Z} jednak Nzm (a, b) . Drugim b) = min{sa + th : s, t E Z, sa + th > 0}.

Teorem 4. Neka su i malan pozitivan broj u skupu riječima Nzm (a,

S j e zatvoren s obzirom n a operaciju uk = ska + tkb E S, k = l, 2, onda je i: U t - u2 = (st - s2 )a + (tt - t2 )b E S. Zbog S f. {O} prema Propoziciji 3.1 .4 za minimalni pozitivan broj u skupu S vrijedi S = mZ . Kako su b S ( np . = l a + O · b ) , onda dijeli a i b, pa iz Korolara 3 zaključujemo da dijeli i Nzm (a, b) : ! Nzm (a b) . S druge strane, po definiciji skupa S postoje s, t E Z takvi da je = sa + th. Iz Budući da Nzm (a, b) l a i Nzm (a, b) l b, onda odavde slijedi da Nzm (a, b) l svojstva antisimetričnosti relacije djeljivosti l onda dobivamo = Nzm (a, b) (vidi

DoKAZ. Rabit ćemo Propoziciju 1 .4. Skup oduzimanja cijelih brojeva, dotično ako su

a,

m

r

E

a

m

·

m

,

m

m

m

Propoziciju 3 . 1 . 1 ) .

m.

Q.E.D.

s t

b) = sa + th nisu (a, b) = (s + b)a + (t - a )b.

PRIMJEDBA 3 . Cijeli brojevi i za koje vrijedi Nzm (a, određeni jednoznačno, jer je npr. onda i Nzm

PRIMJER 2 . Euklidov algoritam daje zapravo opis efektivnog postupka kojim se može doći do odgovarajućih i za koje je Nzm Pogledajmo taj postupak na primjeru 190 i 34 . Krećemo od prve relacije u (3) računajući redom ostatke i dalje uzastopce uvrštavajući:

s t (a, b) = sa + tb. a= b= 20 = a - 5 · b, 14 = b - 20 = -a + 6 · b, 6 = 20 - 14 = 2 · a - l l b, 2 = 14 - 2 · 6 = (-l - 4) · a + (6 + 2 ll) b. Prema tome je 2 = ( -5) · a + 28 · b. DEFINICIJA. Za cijele brojeve a i b kažemo da su relativno prosti ako je Nzm (a, b) = l , tj . jedini zajednički djelitelj im je l . Relativno prosti brojevi a i b ne mogu se skratiti u razlomku � . Npr. 9 i 14 su relativnđtprosti. ·

·

·

Sljedeća dva rezultata su intuitivno jasna:

Propozicija S. Ako su

onda

bj .

a, b,

e

E

Z

takvi da su

a i b relativno prosti i b l ac,

e

b l ac

q E Z tako da je ac = qb. Po prethodnom teoremu pos­ sa + th = l . Množenjem sa dobivamo sac + tbc = b(sq + tc) = tj. b l

DoKAZ. Zbog postoji Z tako da vrijedi toje a nakon uvrštavanja

s, t E

e

e,

e.

e,

Q.E.D.

3.3.

49

PROSTI BROJEVI, OSNOVNI TEOREM ARITMETIKE

a, b Z (ea, cb) = (a, b) . b, =� =l

Propozicija 6. Neka su E i e E N. (i) Onda vrijedi Nzm e · Nzm (ii) Ako e l i e l onda je Nzm ( � , �) Nzm (a, dobivamo Nzm (�, � ) .

a b)

·

Nzm (a,

b) .

Posebno, za

b (l)

d=

DOKAZ. (i) Možemo bez gubitka općenitosti pretpostaviti da je pozitivan. U pos­ tupku provođenja Euklidova algoritma pomnožimo sve relacije u sa e . Onda i prelaze u i svi r -ovi u dok q -ovi ostaju isti. Dobivamo dakle Euklidov algoritam za i (primijetite da je pritom O � < e i- I ). Prema Teoremu 2 je onda Nzm Međutim je Nzm (a, što dokazuje tvrdnju. (ii) Zbog (i) je e · Nzm ( �, �) Nzm (e � , e � ) Nzm (a, Q.E.D.

b

ea cb, ea cb (ea, cb) = erk .

cr,

PRIMJER 3. Nzm ( 190, 34 )

=

=

rk =

a

eri r b) , = b) .

2 · Nzm (95, 17 ) .

S pomoću gornjih rezultata moguće je rješavati najjednostavniju diofantsku jed­ nadžbu - onu prvog stupnja u dvije varijable: (4 ) Pritom su e zadani cijeli brojevi, a traže se Jješenja i u skupu cijelih brojeva (ili u skupu prirodnih brojeva) . Sljedeći rezultat govori kada ova diofantska jednadžba irna Jješenja, a kada ne.

ax + by = c.

a, b,

x y

a, b

Propozicija 9. Neka su i e zadani cijeli brojevi. Diofantska jednadžba (4) ima rješenje onda i s�o onda ako Nzm l e.

(a, b) DOKAZ. Ako postoji cjelobrojno rješenje x , y jednadžbe (4) , onda Nzm (a, b) dijeli lijevu stranu od (4 ) , dakle i desnu. Obratno, pretpostavimo da Nzm (a, b) l e , tj. postoji k E Z tako da je e k · Nzm (a, b) . Jednadžba ax 1 + by 1 = Nzm (a, b) irna cjelobrojno rješenje x 1 , y 1 (vidi Teorem 4). Množenjem sa k dobivamo a(kxr) + b(ky t ) = kNzm (a, b) = e , pa slijedi da je x = kx 1 , y = ky 1 Jješenje jednadžbe (4) . PRIMJER 4 . Jednadžba 6x+9y = l l nema cjelobrojnih rješenjajer Nzm (6, 9 ) 3 ne dijeli l l . Jednadžba 6x + 9y = 12 ima rješenja. =

Q.E.D.

=

U ovom odjeljku promatramo samo skup prirodnih brojeva. Djelitelje nekog broja

a E N gledat ćemo samo u skupu prirodnih brojeva. Prirodni broj a > · 1 uvijek dva djelitelja: l i a . Zovemo ih trivijalnim djeliteljima. DEFINICIJA. Za prirodan broj p > l kažemo da je prost broj (prim.:broj) ako su mu jedini djelitelji l i p (tj. ima samo trivijalne djelitelj e). Za broj a > l koji nije irna

prost broj (tj. posjeduje netrivijalne djelitelje) kaže se da je složen broj.

PRIMJER l . Navedimo prvih nekoliko prostih brojeva: 2 , 3 , 5 , 7 , l l , 1 3 , 17 , 19 , 23 , 29 , 3 1 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 , 109 , 1 1 3 , 127 , 1 3 1 , 1 37 , 139 , 149 , 1 5 1 , 157 , 163 , 167 , 173 ,

3. CIJELI BROJEVI

50 179, 181 , 191 , 193 , 197, 199, 21 1 , 223, 227, 229 7. a. faktorima aEN a. fakto i acijo b, E N, a. l N l; ( 2 2 2 3, 6, 9, 12 . . . ; 3 (

. . . Skup svih prostih brojeva je beskonačan, što će biti pokazano kasnije (vidi Teorem ) gdje su Prikaz broja zovemo još i Djelitelj e od Ako je djelitelj prost broj, zvat m prirodnog broja rz zovemo e ćemo ga prostim djeliteljem (ili prostim faktorom) od PRIMJER 2. Eratostenovo sito predstavlja jednostavan postupak kojim proste brojeve dobivamo tako da u križamo i sve one brojeve koji su složeni: l ) križamo broj ( ) zaokružimo broj i križamo sve njegove višekratnike koji ga slijede: 4, . . . ; broj je prost; zaokružimo ga i križamo sve njegove višekratnike koji ga (3) prvi preostali broj je je prost broj ; slijede: 4) 4 je već prekrižen, kao i svi njegovi višekratnici; itd. Zaokruženi brojevi koji preostaju su upravo prosti brojevi. Prirnijetimo da ako gle­ onda damo samo konačan podskup skupa prirodnih brojeva, npr. od do n = je postupak opisan Eratostenovim sitom zapravo algoritam (tj. završava u konačno mnogo koraka), i Eratostenovo sito može se prograrnirati.

a = bc, b

6

106 ,

l

Cilj nam je sada dokazati osnovni teorem aritmetike o postojanju jednoznačnog rastava svakog prirodnog broja na proste djelitelje. U tu svrhu trebat će nam nekoliko pomoćnih rezultata.

a p

Lema 1. Neka je prirodan broj, je veći od l . Onda je prost broj.

a > l i nekaje p najmanji djelitelj od a koji

DOKAZ. Dokaz provodimo kontradikcijom (od suprotnog). Pretpostavimo dakle sup­ Onda su q i r djelitelji od koji su qr , q, r rotno, tj. da je složen broj : To je kontradikcija s minimalnošću djelitelja manji od Q.E.o.

p.

p=

p

> l.

a

p.

p je ili Nzm (p, a) = l ili p l a . DOKAZ. Jedini djelitelji od p su l i p. Zato je ili Nzm (p, a) = l ili Nzm (p, a) = p. U drugom slučaju p l a. Propozicija 3. Ako je p prost broj i p l ab , onda p l a ili p l b . DOKAZ. Pretpostavimo da prva alternativa nije ispunjena, tj. neka p ne dijeli a. Zbog prethodne leme je onda Nzm (p, a) = l . Kako p l ab onda iz Propozicije 3.2.5 dobi­ vamo da p l b. Lema 2. Za svaki prost broj

Q.E.o.

Q.E.D.

Odavde odmah slijedi: Korolar 4. Ako je

takav da

p l ai .

p prost broj i p l a1 az . . . an , onda postoji barem jedan ai p

m

k E {l, 2, . . . , p - l}

. Dokažimo da je PRIMJER 3 . Neka je prost broj i tj. djeljiv sa Zbog pa Lijeva strana je djeljiva sa k) ! je k! Na . nije djeljiv sa jer je prost broj i mora biti i desna. Broj biti mora Onda prema Propoziciji nije djelj iv sa isti način niti

p, p l m . m = (:� p! = k!(p - k)! m . p p k! p. (p - k)! ��� � p.

p, k! = l 2 . . k. m 3.2.5 . ·

3.3.

PROSTI BROJEVI, OSNOVNI TEOREM ARITMETIKE

Sl

Teorem 5. (Rastav na proste djelitelje, Osnovni teorem aritmetike) Za svaki pri­

rodan broj

PI

a > l postoji jedincat rastav na proste djelitelje a -- Par l Pzaz · Pkak

Pk

•

· ·

Pia , DOKAZ. Neka je q1 najmanji prosti faktor od a, tj. a = q 1 a 1 . Ako je a 1 > l i qz najmanji prosti faktor broja a 1 , onda je a 1 = qz az , tj. a = q 1 qz az . Nastavljajući dalje vidimo da će zbog a > a 1 > az > . . . nakon konačno mnogo koraka biti a rastavljen na proste faktore: a = qiqz qn . Neki od prostih brojeva qk mogu biti i jednaki. Nakon grupiranja po veličini dobivamo rastav kao u teoremu.

gdje su svi različiti prosti brojevi koji dijele poredani po < pz < . . . < u rastavu. veličini. Pritom zovemo kratnošću odgovarajućeg prostog broja

ai

· · ·

a

Dokažimo da je rastav broja na proste faktore jedincat (do na njihov poredak). Pretpostavimo da imamo još jedan rastav na m prostih faktora: r1 tj.:

a = rz . . . r ,

m qi qz . . . qn = rtrz . . . rm . Kako q i dijeli lijevu stranu, on dijeli i desnu, pa prema prethodnom korolaru on dijeli neki od r -ova, npr. r1 : q 1 l r1 . Međutim r1 je prost broj i q 1 > l , pa slijedi da je qr = r1 . Podijelimo jednakost sa q1 lijevo i desno: qz . . . qn = rz . . , rm . Nastavljamo dalje na isti način sa qz . Nakon konačno mnogo koraka dobivamo da mora biti n = i qi = za sve i . PRIMJER 4 . Evo nekih rastava prirodnih brojeva na proste djelitelje: 30 = 5 ·.6 = . 3z , 2 . 3 . 5 , 5 6 8 . 23 , m

7

=

Q.E.n.

r;

.

=

7

99

=

9

ll

=

2 2=

. ll

19

=

19 .

PRIMJER 5 . Dokažimo da je log iracionalan broj. U suprotnom bi postojali tj. lO"' = zn , prirodni brojevi m i n takvi da je log � . Onda je tj. To je međutim protuslovlje s Teoremom jer on tvrdi da je rastav prirodnog broja na proste djelitelje jedincat.

zmsm = zn .

Korolar 6. Djelitelja prirodnog broja

faktore,

PI

<

pz <

. . .<

a=

10m/n = 2, 5,

�1 p�2

p

Pk , ima ukupno (ar + l)(az + l) . . . (ak + 1). •

.

•

�t

p

'j:

rastavljenog na proste

�,

t 1 pri čemu je /J; E DOKAZ. Svaki djelitelj ima oblik p� p . . .p Dakle broj djelitelja jednak je broju poredanih n-teraca vrijednosti. Njihov f3z . /3,1 ) , gdje svaki može poprimiti bilo koju ukupan broj je . Q.E.D.

{0, l, . . . , ai } . ((31 , . .

d od a

d= od a

(ai + l)(azfJi+ l) . . . (ak + l)

od ai + l

60, 6 10 = 2 3 · 2 5 zZ · 3 5 60 (2 + 1)(1 + 1)(1 +. l) = 12 . l , 2, 4, 5 , 6, 10, 12, 15 , 20, 30, (seksagezimDlni sustav, od 6 = 360° .

a da ih ne izračunavamo. Rastavi­ PRIMJER 6 . Nađimo broj djelitelja broja mo 60 na proste djelitelje: 60 = · = · · . Dakle svih djelitelja od ima ukupno Ovdje ih možemo lako sve ispisati: 3, i 60 . Činjenica da broj 60 ima razmjemo velik broj različitih djelitelja bio je poznat i nekim starim narodima, npr. Babiloncirna, tako da su 60 rabili kao bazu za računanje, a ne deset a ne decimalni; lat. seksagezimus - šezdeseti) . Ostatak takvog računanja imamo i danas: jedan sat irna 60 minuta, minuta ima 60 sekunda, puni kut ima x 60 Sljedeći važan rezultat bio je poznat već i starim Grcima: ·

3. CIJELI BROJEVI

52 Teorem 7. (Euklid) Skup svih prostih brojeva je beskonačan.

DoKAz. Dokaz ćemo provesti kontradikcijom (od suprotnog). Pretpostavimo dak�e suprotno, tj. da je skup P svih prostih brojeva konačan: P = {Ph . . . , Pk } . Tvr�nJa će biti dokazana ako uspijemo dobiti proturječje (kontradikciju). Pogledajmo broJ

a = P IP2 · · · Pk + l. On nije djeljiv niti sa kojim od p -ova, jer je ostatak pri dijeljenju sa p; jednak uvijek l . Prema Osnovnom teoremu aritmetike (Teorem 5), a ima rastav na proste faktore a=

q�' . . . q�n . Niti koji od prostih brojeva qi nije u P , a to je proturječje s definici­

jom skupa P .

Q.E.D.

PRIMJER 7. Neka su

k b

fJk

a = Pat , Paz · · · Pka ' - P{J,r PIh 2 · · · Pk 2 rastavi na proste faktore prirodnih brojeva a i gdje su P I , P2 • . . . , Pk svi prosti faktori od i zajedno (tako da neki a; ili (j; mogu biti i nula). Definirajmo mi := min{ a;, (j;} , Mi := max{ ai , (j;} . Onda vrijedi -

a b

b,

a, b) Mt M2 a, b,

Mk

(I) nzv ( = P t p2 . . . Pk . Analogne relacije vrijede i za više prirodnih brojeva e. . .. PRIMJEDBA l . Pokazuje se da je ovakav način nalaženja Nzm (a, krajnje ne­ efikasan, daleko složeniji nego onaj koji je opisan Euklidovim algoritmom. Razlog je taj što je postupak rastavljanja brojeva a i na proste faktore kompliciran. S druge strane, prethodni primjer omogućuje da vrlo lako dokažemo sljedeći rezultat.

b)

b

Propozicija 8. IZmeđu najveće zajedničke mjere i najmanjeg zajedničkog više­ kratnika dvaju prirodnih brojeva a i postoji sljedeća jednostavna veza:

b ab nzv (a, b) = Nzm (a, b)

DoKAZ. Očevidno je a;

+ (j; = m; + M; , pa iz ( l ) dobivamo

ab = p�' +fJ, . . . p�k+fJk = p�1+Mt . . . p:k+Mk = Nzm (a, b) · nzv (a, b). Q.E.D.

Propozicija 9. Ako a l e ,

tivno prosti, onda

ab l

bl

e

onda nzv

p

DoKAZ. Neka je prost broj takav da je Kako obje potencije dijele e , onda je takvih brojeva. Tvrdnja slijedi iz

b.

(a, b) l df\.Posebno, ako su a i b rela­

e.

(1).

pa' djelitelj od a i pa2 prosti djelitelj od pmax{al> az} djelitelj od dakle i produkt e,

Q.E.o.

PRIMJEDBA 2 . Slično kao za dva cijela broja, najveću zajedničku mjeru možemo definirati i za veći broj prirodnih brojeva . . , an kao najveći pozitivni zajednički djelitelj svih tih brojeva. Tvrdnja Propozicije ne vrijedi međutim za više od dva broja.

a., .

8

3.3. PROSTI BROJEVI, OSNOVNI TEOREM ARITMETIKE

53

ar, . . . , a11 E Z takvi da nisu svi istodobnojednaki O . Nzm(ar, . . . , a11) jednak broju d11 u slijedu: dz := Nzm (ar, az), d3 := Nzm(dz, a3), . . . dn := Nzm(dn- r, an) · Slično, nzv(ar, . . . , an) je jednak broju mn u slijedu mz := nzv(ar, az ) m3 := nzv(mz, a3), . . . mn := nzv(mn- r. an) · DOKAZ. Lako se vidi je dn djelitelj svih ar, . . . , an (provjerite). Nadalje, ako je d bilo koji zajednički djelitelj brojeva ar, . . . , a11 onda on dijeli dakako i ar , az . Iz Korolara 3.2.3 slijedi da d l dz , zatim na sličan način d l d3 itd. Na kraju d l dn Prema tome dn je najveći zajednički djelitelj od ar, . . . , an . Q.E.D. PRIMJEDBA 3. Može se pokazati da za n -ti prosti broj Pn u slijedu 2 , 3 , 5 , 7 , l l , 1 3 , 17 . . . vrijedi Pn "" n ln n, n gdj� na� ozn�a ,..., �nači da je limn--+= /( n = l . Drugim riječima, slijed prostih broJeva Ima as1mptouku n ln n. Isto tako, ako broj svih prostih brojeva koji su � x Propozicija 1 0. Neka su

Ondaje

,

,

.

� oo

označimo sa n(x) , onda je

n(x) ""

X

lnx '

x�

oo .

(2)

Najstarija poznata egipatska matematička knji­ ga je Ahmesova računica, nastala između 1 800. i 1600. g. prij e Krista, s vrlo spretnim računanjem u bazi 60 . Pojam relativno prostih brojeva poznavali su ne samo stari Grci, nego i stari Kinezi. Znameniti grčki matematičar Euklid, koji je živio na prijelazu iz 4. u 3. stoljeće prije Krista (dakle prije skoro 2400 godina), uveo je u svom djelu ··elemen­ ti" definiciju prostoga broja. Tu je dokazano da je skup prostih brojeva beskonačan. Spomenuti Euklidovi "Elementi" spadaju medu najvažnija djela u povijesti čovječan­ stva, i najprevodenije su djelo u povijesti poslije Biblije. Postoji i hrvatski prijevod, a dostupni su i putem Interneta, vidi http : l /www . hr /darko/mat/matlink . html . Pojam iracionalnoga broja bio je poznat pitagorejcima jo� u 4. st. prije Krista, koji su već tada znali da .fi nije racionalan broj, a svakako Euklidu. Eratostenovo sito potječe od grčkog matematičara Eratostena iz 3. st. prije Krista. Eratosten je bio knjižničar znamenite knjižnice u Aleksandriji. On je prvi izračunao opseg Zemlje. Od antičkih matematičara treba spomenuti još i Diofanta iz Aleksandrije s prijelaza iz 3. stoljeća u 4., koji je rješavao algebarske jednadžbe s cjelobrojnim koeficijentima, čija se rješenja traže u skupu cijelih brojeva. Neki od mnogobrojnih primjera takvih jednačaba su: a) 6x + 9y = 12 ; linearnu diofantsku jednadžbu ax + by = e (gdje su a , b , e zadani cijeli brojevi, a x i y su cjelobrojne nepoznanice) prvi je znao u potpunosti rješavati već indijski matematičar Brahmagupta iz 6.st. b) xz - 2yz = l ; Pellovu jednadžbu xz - d · yz = l (d je zadani prirodni broj, a x i y su cjelobrojne nepoznanice) uveo je u europsku matematiku Pierre Fermat. Jednadžba nosi naziv po engleskom matematičaru Johnu Pellu bez valjanih raz­ loga. Tu jednadžbu u potpunosti je riješio još u 12. st. Indijac Bhaskam, koji radi takoder i s negativnim brojevima. e) xz + y2 = zz ; rješenja su Pitagorini trojci (x, y, z) , npr. (3, 4, 5) , (5, 1 2, 1 3) , ( 1 99, 19800, 19801 ) . Mnoge Pitagorine trojce znali su još stari Babilonci 1600. � POVIJESNA CRTICA �

3. CIJELI BROJEVI

54

g. prije Krista. Potpuno ih je proučio grčki matematičar Diofant u svom djelu Aritmetika iz g. N , � ; to je tzv. Fermato� problem, prema d) xn yn zn za zadani za koji je tek g., nakon oko tn 1 pol stoljeća, engleski matematičar dokazao da nema rješenja. Rješavanje ovog teškog problema doprinijelo je razvoju mnogih područja matematike. Algebarske jednadžbe s nepoznanicama u skupu cijelih brojeva se u čast Di�fa�ta zovu vezi s diofantskim jednadžbama poznat je des�ti Hilbertov problem: postoji li algoritam za rješavanje diofantskih jednačaba? Negattvan odgovor na ovaj izvanredno težak problem dao je ruski matematičar V.

250. nE + = Fermatu 1601-1665, Andrew Wiles

Pierr�

n 3 1995.

diofantske jednadžbe. U

Jurij Matijasevič 1970. Osnovni teorem aritmetike prvi je formulirao i dokazao Carl Friedrich Gauss 1801. g. Od Gaussa potječe i naziv imaginarna jedinica i kompleksan broj, s kojima se računalo već u 16. stoljeću. Teorem o razdiobi prostih brojeva izražen sa (2) nas­ lutio je još Gauss, a strogo su ga dokazali francuski matematičar Jacques Hl}damard ( 1 865-1963) 1 896. g. i nezavisno od njega belgijski matematičar Charles de la Vallee Poussin (1866-1962) 1899. g. Švicarski matematičar Leonhard Euler (1707-1783) dokazao je daje zbroj recip­ ročnih vrijednosti slijeda prostih brojeva beskonačan: ! + t + ! + � + t\ + . . . = oo . Ruski matematičar Pafnutij Ljvovič Čebišev (1821-1894) je 1850. g. dokazao da za svaki prirodan broj n postoji barem jedan prost broj između n i 2n (dokaz možete vidjeti u [Pavković, Veljan], str. 530). Oba ova rezultata profinjuju činjenicu daje skup prostih brojeva beskonačan. Skup prirodnih brojeva strogo je definirao 1891. g. talijanski matematičar Giuseppe Peano (1858-1932) s pomoću sljedećih pet jednostavnih aksioma: (i) l E N ; (ii) ako je n E N , onda je n + l E N ; (iii) ako je n + l = + l onda je n = (iv) nema prirodnog broja sa svojstvom l = n + l (dotično, jedinica nema prethod­ nika u N ) ; (v) (aksiom matematičke indukcije) ako je A podskup skupa prirodnih brojeva takav da vrijedi (a) l E A (baza indukcije), (b) iz n E A slijedi n + l E A (korak indukcije), onda je A = N . g., rođen 1947.

m

m;

Kod Francuza, koji su kao narod velike tradicije u znanosti i kulturi u svemu osebujni, skup prirodnih brojeva dogovorno počinje sa Kod nas (kao i u većem dijelu svijeta) počinje sa stvari, i Peanova._.originalna aksiomatika započinjala je s aksiomom (i) ' N , a umjesto četvrtog ahioma bio je aksiom: (iv)' nema prirodnog broja takvog da je (dotično, nula nema prethodnika u N ). Mnogi matematičari radije broje predmete od nula nego od jedan. Npr. tisuću karata u garderobi se ponekad numerira brojevima od 000 do . Dakako, onda je ukupan broj za jedan veći od zadnjeg broja. Veliki poljski matematičar je navodno na jednom svom putovanju ustanovio da mu nedostaje dio prtljage. "Ma ne, dragi !", reče mu supruga, "Svih šest komada je tu." "Nemoguće", odgovori Sierpinski, "Brojio sam nekoliko puta. Evo još jednom: nula, jedan, dva, tri, četiri, pet". Vidi [Conway, Guy, str. i Primjer

n

OE

O.

l. U

O=n+ l

999

pinski

265]

6.1.1.

Waclaw Sier­

··

3.4. KONGRUENCIJE PO MODULU N

55

r

b

Ostatak pri dijeljenju cijelog broja a s prirodnim brojem označava se i sa a mod Kao što znamo, vrijednosti ostatka a mod mogu biti samo O, l, . Npr.: mod = mod = O mod = l, 17 mod 5 = 2, - l l mod =

b.

b

8 15 121

. . , b- 1 .

5 3, 5 , 5 5 4.

b

n

DEFINICIJA . Kažemo da su cijeli brojevi a i kongruentni po modulu (ili E N , ako je razlika a djeljiva sa tj. l a tom slučaju �odulo ) ptšemo a= (mod )

n,n

-b b

n,

i čitamo " a je kongruentan b po modulu (modulo) Propozicija

n, n

n ".

- b. U

To je isto što i reći

1. Kongruencija po modulu n ima sljedeća svojstva:

n;

a -

b E nZ .

(i) refleksivnost: x = x (mod ) (ii) simetričnost: ako je x = y (mod n) , ondaje y := x (mod n) ; (iii) tranzitivnost: akoje x = y (mod ) i y = z (mod ) ondaje x = z (mod

n

n

nn

n,

n) .

DOKAZ. (i) Broj dijeli x - x = O ; (ii) ako dijeli x - y onda n dijeli i broj - (x -y) = y -x ; (iii) ako dijeli x-y i y-z , onda dijeli i (x-y ) + (y -z) = x -z .

n

Q.E.D.

PRIMJER Očevidnoje 8 = 3 (mod 5) , 15 = O (mod 5) , 121 = l (mod 5) , 17 = 2 (mod 5) , - l l = 4 (mod 5) , -8 = 52 (mod 6) . PRIMJER 2. Ako su r1, r2 E {0, l , . . . , n - l } takvi da je rt = r2 (mod n ) , l.

r1 r2 . rt - r2

onda je = Doista, ako je recimo = O. biti

r1 � r2 , onda je O � r1 -r2 < n, pa zbog n l r1 -r2 mora PRIMJER 3 . Kongruencija a = b (mod n ) je ekvivalentna tome da brojevi a i b pri dijeljenju sa n E N daju isti ostatak. Da bi to dokazali, neka je a = nq1 + r1 , O � rt < n, (1 ) b nq2 + r2, O � r2 < n. Pretpostavimo da vrijedi a = b (mod n ) . Onda iz a = r1 (mod n ) i b = r2 (mod n ) slijedi zbog tranzitivnosti i simetričnosti relacije kongruencije da je rt = r2 (mod n ) . Tvrdnja r1 = r2 slijedi iz prethodnog primjera. Obratno, ako vrijedi ( l ) sa r1 r2 , onda oduzimanjem dobivamo a - b = n (q l -q2 ) , dakle a = b (mod n ) =

=

.

·

Spomenimo još dva vrlo jednostavna, ali važna rezultata o kongruencijama među cijelim brojevima.

56

3. CIJELI BROJEVI

a1 = b1 (mod n) i a2 = hz (mod n) , gdje je n E N , a1 + a2 = bt + b2 (mod n) , a1 a2 = btbz (mod n) . nk i az - hz nl, za neke k, l E Z, onda vrijedi DoKAZ. (i) Kako je a 1 - b 1 (a1 +az) - (b t + hz) = (a t - bd + (az - b2 ) = n(k+l), tj. n l (at + a2 ) - (b1 + b2 ) . (ii) Na sličan način je a1az (b t + nk)( hz + nl) btbz + n(b t l + bzk + kln) , tj. n l a 1 az - btbz . Korolar 3. Akoje a = b (mod n) i k, l E Z bilo koji cijeli brojevi, onda vrijedi: (i) a + nk = b + nl (mod n) , (ii) ak = bk (mod n ) , (iii) d" = ll" (mod n) za svaki prirodni broj m. (iv) p(a) = p(b) (mod n) za bilo koji polinom p(x) = amxm + . . . + a 1 x + ao s cjelobrojnim koeficijentima a; . DoKAZ. Prva dva svojstva slijede iz prethodne propozicije, jer vrijedi: (i) nk = nl (mod n) , naime n l n ( k - l) ; (ii) k = k (mod n) . Svojstvo (iii) slijedi iz Propozicije Z( ii), množenjem kongruencije (mod n) same sa sobom m puta. Svojstvo (iv) Propozicija 2. Ako je

onda vrijedi: (i) (ii)

=

=

=

=

Q.E.D.

a = b

slijedi odmah iz (iii), (ii) i Propozicije 2(i).

Q.E.D.

PRIMJEDBA l . Drugim riječima, kongruencije se mogu zbrajati, množiti, svakoj se strani smije dodavati cjelobrojni višekratnik od kongruencija se smije množiti s konstantom.

n,

PRIMJER 4. Nadimo ostatak pri dijeljenju golemog broja 246 sa 7 ' tj. 246 mod 7 . Ostatak je jedan od brojeva . . , 6 . Primijetimo daje 23 (mod 7) . Odavde je (23) 1 5 1 15 (mod 7) ' dotično 245 l (mod 7) . Prema tome je 246 = 2 - 245 2 (mod 7) , pa je traženi ostatakjednak 2 .

O, 1 , .

=

=l

=

=

PRIMJER 5 . Dobro je poznato sljedeće svojstvo prirodnih brojeva: neki prirodan broj je dj eljiv s 9 onda i samo onda ako mu je zbroj znamenaka u dekadskom prikazu (tj. u bazi djeljiv s 9 . Npr. 26 937 je djeljiv s 9 jer je 2 6 9 3 7 = 27 djeljiv s 9 . Isto pravilo vrijedi općenito i za djeljivost s 3 . Da bismo to dokazali, primijetimo da je svaki prirodni broj = , 9} , moguće zapisati kao = gdje je = Iz OČevidne kongruencije 1 (nwJ. 9) , primjenom Korolara 3(iv), dobivamo (mod 9) , tj. (mod 9) , odakle odmah slijedi tvrdnja. Štoviše, zadnja kongruencija pokazuje da je ostatak pri dijeljenju bilo kojeg broja s 9 isti kao i ostatak pri dijeljenju zbroja znamenaka od s 9 . Isto (mod 3) . svojstvo vrijedi i za broj 3 , jer onda krećemo sa 1

n

lO)

a; E {0, l, . . . a} X + ao . p(lO) = p(l)

n

dijeljenjem a=b n) . =l 5) (k, n) l ,

n p( lO) , 0 ::: l n = am + · . ."+at +ao

+ + + + n (am . .m. a+1 ao. .h. o+, p(x) amX

0= l

n

ak = bk 5) .

n)

A što je s kongruencija? Nije općenito istina da iz (mod slijedi (mod Evo jedan primjer: vrijedi 3 · · (mod Međutim 3 (mod nije istina jer 2 = 3 - nije dijeljiv sa = tj. ako su brojevi i relativno prosti, onda pravilo Ipak, ako je Nzm skraćivanja vrijedi.

l

5=l 5 5. k n

�

57

3.5. MOBIUSOVA FUNKCIJA I FORMULA INVERZIJE

EZ

a,

ak = bk (mod n) i a = b (mod n) .

E

i n N takvi da je b, k Propozicija 4. Neka su Nzm (k, n) = l . Onda kongruenciju smijemo skratiti s k , tj. vrijedi DOKAZ. Budući da

n l a - b.

n i k(a - b) i Nzm (n, k) = l , onda iz Propozicije 3.2.5 slijedi da Q.E.D.

ak

PRIMJEDBA 2. Lako se vidi da vrijedi i malo općenitiji rezultat: ako je = bl (mod n) i Nzm (k, n ) = l , k = (mod n) , onda je a = b (mod n) . Naime zbog k = (mod n) je bk = (mod n) , pa je onda = bk (mod n) , upravo kao u propoziciji. Ćitatelju preporučamo da svakako konzultira odličnu zbirku zadataka [Pavković, Dakić, Mladinić].

l

bl

l

ak

� P oviJESNA CRTICA � Pojam kongruencije uveoje znameniti njemački (1777-1855). Teorija brojeva od velike je važnosti matematičar i u kriptografiji (matematičkoj teoriji šifriranja) koja se bavi zaštitnim mjerama za prijenos raznih podataka.

Carl Friedrich Gauss

Mobiusova funkcija, zajedno s fonnulom inverzije, ima veliku važnost u teoriji brojeva i kombinatorici. Primjena formule inverzije bit će ilustrirana kasnije na prob­ lemu nalaženja broja cikličkih permutacija (Odjeljak 6.4). DEFINICIJA. Mobiusova funkcija JL : N --+

R je funkcija koja prirodnom broju

n s pripadnim rastavom na proste djelitelje n = p�1 . . . p;k pridružuje vrijednost: JL(n)

=

{

( - l )k , o,

ako je at = . . . = ak = l , inače.

Takoder definiramo JL ( l ) = l . Riječima, ako n posjeduje djelitelj koji je kva­ drat nekog prirodnoga broja većeg od l , onda je vrijednost Mobiusove funkcije a inače je ± l , ovisno o tome je li ukupan broj prostih djelitelja pa­ jednaka JL (6) = JL(2 3) = ( - 1 )2 = l , ran ili neparan. Npr. JL (4) = JL (22 ) = 3 . 5) = ( - 1 )3 = - l . Neke vrijednosti Mobiusove funkcije su JL (30) = prikazane tablicom.

O, J.L(2 .

O,

2 -l

3 -1

4 o

5 -1

6 l

·

7 -1

8 o

9 o

10 l

U dokazu teorema inverzije bit će nam od koristi sljedeći jednostavan rezultat. Propo�cija 1 . Za sve prirodne brojeve

n>l

:z:::> (d) = o. din

vrijedi

3. CIJELI BROJEVI

58

d broja n. DoKAZ. Neka je n = pr1 . . . p�k rastav broja n na proste djelitelje i definirajmo svaki djelitelj d broja n = p�1 . . . /l.k koji nije djelitelj od n' = PI .(d. . P=k . O.ZaPrema n'vrijedi tome je JJ ) (d) = L JJ (d) . L JJ din d i n' Uzmimo djelitelj d koji je produkt r različitih prostih brojeva iz skupa {PI , . . . , Pk } . Takvih djelitelja irna ukupno (� , tj. koliko i r -članih podskupova k -članog skupa (vidi Teorem 6.2.2). Za svaki od njih je JJ (d) (-l Y . Odavde je -l re). L JJ (d) = dLi � JJ (d) = I) =O din r Indeks r O odgovara djelitelju d = l . Posljednji zbroj jednak je nula: dovoljno je u binornni teorem (l + x ) k = I:�=O (�)xr staviti x = -l . R. (Mobiusov teorem inverzije) Zadane su dvije funkcije j, g : N Ako za svaki n E N vrijedi (l) f(n) = L g(d), Zbraja se po svim pozitivnim djeliteljima

=

=

Q.E.D.

--+

Teorem 2.

din

onda je

g(n) = L JJ (d)f ( a) ·

(2)

din

i obratno.

(l). Onda je !( � ) = Ld' i a g(d' ) ' dakle (d)J(a ) = L JJ (d) L g(d') . L JJ din din d' i a Budući da d' l a , tj. a = d'r , onda je n = dd' r, tj. d' je djelitelj od n. Za učvršćeni od n broj d je djelitelj od -j; = dr . Prema to� zamjenom poretka djelitelj zbrajanja dobivamo L JJ (d) L g(d') = d'Li n g(d') L JJ (d) . din Ako je -j; > l , onda je prema gornjoj lemi drugi zbroj jednak O. Ako je -j; = l , dotično d' = n, onda je nutarnji zbroj jednak JJ ( l) = l , a vanjski ima samo jedan član, i to upravo g( n ) . Obratan smjer dokazuje se na sličan način.

DoKAZ. Pretpostavimo da vrijedi

d'

Q.E.D.

3.6. EULEROVA FUNKCIJA

59

Mnogo općenitiju inačicu formule inverzije možete vidjeti u [Veljan]. Više poda­ taka iz teorije brojeva čitatelj može naći u udžbeniku [Pavković, Veljan]. J.L potječe od njemačkog ma­ tematičara ( 1790-1 868). Mobius je bio znanstvenik širokih interesa, s radovima u astronomiji, mehanici, optici, statici, projektivnoj geo­ metriji i teoriji brojeva. Ipak, najpoznatiji je po otkriću znamenite dobije se tako da uzmemo usku pravokutnu papirnatu vrpcu, te krajeve spojimo nakon što smo ih okrenuli. Mravac koji šeće po površini te plohe može lako doći na 'suprotnu' stranu, bez prelaženja ruba. U tom smislu ta ploha ima samo jednu stranu, a ne dvije! Ta ploha ima jednu jedinu rubnu krivulju, a ne dvije (provjerite) ! Formulu inverzije su prvi dokazali 1857. g. i 1 857. Zanimljivo poopćenje je 1964. g. otkrio američki matematičar talijanskoga po­ drijetla Iz njega se kao vrlo specijalan slučaj može dobiti formula uključivanja - isključivanja (o formuli uključivanja - isključivanja vidi Odjeljak 6.5).

� PoviJESNA CRTICA � Definicija funkcije

Augusta Ferdinanda Mobiusa

Mobiusove vrpce:

Joseph Liouville

Richard Dedekind

Gian Carlo Rota.

Sl. 3.2. Mobiusova vrpca (crtež �.C. Eschera, 1898-1972).

Eulerova funkcija ima važnu ulogu u teoriji brojeva i teoriji kodiranja.

N

N

n n l = l. PRIMJER Vrijedi qJ(20) = 8 jer su brojevi k = l, 3, 7, 9, l l, 13, 17, 1 9 manji

DEFINICIJA. Funkcija qJ : --+ koja prirodnom broju pridružuje broj prirodnih brojeva koji su < i relativno prosti sa zove se Eulerova funkcija. Definiramo qJ ( )

n

1.

od 20 i relativno prosti sa 20 .

3. CIJELJ BROJEVI

60

Nije teško vidjeti da Eulerova funkcija ima sljedeću zanimljivu vlastitost:

n = l: ({J(d). dj n

Na desnoj strani zbrajamo po svim djeliteljima d zadanog broja n . Ovaj rezultat poznat je kao Gaussova formula. Ona je zapravo gotovo očevidna. Evo primjer koji to dobro pokazuje u slučaju n = . Pogledajmo svih dvanaest razlomaka oblika A , 4 2 3 5 6 7 s 9 JO l l 12 Nakon skrać"IvanJa dob"tvamo . TI TI , TI , TI , TI , TI , TI , TI , TI , TI TI .

12

,

a

12 6 4

l

iz

2

l 6

3

3

l

4

2

4

5

6

-&

l

3

Teorem 1 . Ako

7

8

fz

9 3

4

2

3

l 2

l

·

,

10 l l 12

({J(d) 4

2 2 2

5 6

t

n ima rastav na proste faktore n = p�1 ({J(n) = n ( t - ;.)

·

... (t - �) ·

• • •

l l

Ea ({J(d) = 12

p�1 , onda je

DoKAZ. Na formulu n = Ea l 11 ({J( d) možemo primijeniti teorem inverzije, stavljajući f(n) = n i g(n) = ({J(n) . Onda je

({J(n) = 2: JJ.(d)�d = n - 2: !!... + 2: � - . . . i Pi i<j PiPi din = n ( l ;.) . . . ( l

- �) .

-

Q.E.D.

Kombinatorički dokaz istoga rezultata (s pomoću formule uključivanja - isklju­ čivanja) možete vidjeti u Primjeru 6.5.3.

2

({1(20)

20(1 - !)(1 - ! ) 8 .

= = ({1 ( 2 5) = PRIMJER 2. a) , b) Ako je p prost broj , onda je ({J (p) = p - l jer su svi brojevi l , . . . , p - l relativno prosti sa p. � e) Za n = pa , a E je ({J(pa) = pa ( l pl) = pa - pa - I Ovo je moguće dokazati izravno. Broj svih brojeva koji su < pa i nisu relativno prosti sa pa jednak je pa- t - l . To su naime svi brojevi čiji zajednički faktor sa pa je barem p, tj. oblika = p r , gdje je p r < pa . Ovdje r poprima bilo koju vrijednost < pa - l , a takvih ima pa - I _ l . Prema tome je ({J(pa) jednak ukupnom broju brojeva manjih pa umanjenom za broj onih koji nisu relativno prosti sa pa : ·

N,

k

od

·

·

k

-

({J(pa) = (pa _ l ) _ (pa - I _ l) = pa _ Pa - 1 .

.

2,

3.6. EULEROVA FUNKCIJA

61

m i n relativno prosti brojevi, onda Eulerova funkcija q> ima q>(mn) q>(m)q>(n) .

Korolar 2. Ako su multiplikativno svojstvo:

=

m i n imaju rastave na proste faktore m = p�l . . . p�l , n = Jil . . . /r' , onda kako je Nzm (m, n) l , slijedi da je mn pa1 p�1Ji1 /!.' rastav na proste faktore od mn , pri čemu imamo ukupno l+ r raz\ičitih prostih brojeva u skupu {Pt, . . . , Pt, qt , . . , q,} . Prema prethodnom teoremu je q>(mn) = mn ( l - P_!_) ql . ( 1 - _!_) t . . . (l - Pt_!_) ( 1 - _!_) q, = q>(m)q>(n). DoKAZ. Ako

=

=

•

• • •

. •

.

·

.

.

Q.E.D.

rp(20) q>(5

22 - 2)

q>(5)rp(4) (5 -

= = = 8. PRIMJER 3 . l) · ( · 4) = Jedan od osnovnih rezultata o Eulerovoj funkciji je tzv. Eulerova kongruencija.

Teorem 3. (Eulerova kongruencija) Ako su

jevi, onda je

a'P(n)

;;

l

a i n relativno prosti prirodni bro­

(mod n) .

{rt , . . . , rq�(n) } skup svih ostataka iz skupa {l, 2, . . . n . Po definiciji Eulerove funkcije ima ih rp(n) . Pogle­ (l) rq�(n)a mod . , Oni su također svi sadržani u {l, . . . , n - l} , i niti jedan nije nula, jer su r; i relativno prosti sa n . Lako je vidjeti da su brojevi dobiveni u (l) svi međusobno različiti: ako za neke x, y E S vrijedi (xa mod ) (ya mod ) onda je xa = ya (mod n) , dakle y (mod n) jer su a i n relativno prosti (kongruenciju u tom slučaju možemo podijeliti s a, vidi Propoziciju 3.4.4) i odatle x y (vidi Primjer 3.4.2). Kako ih ima također (n) , i svi su relativno prosti sa n , onda se skup u (l) podudara sa skupom S. Prema tome je umnožak svih brojeva u S isti kao i u (l): (rta mod n)(r2 a mod n) . . . (rq�(n) a mod n) rtr2 . . . rq�(n) · ,n­

DOKAZ. Označimo sa S = koji su relativno prosti sa dajmo ostatke

l}

n.

..

a

n

x =

=

n ,

=

,

q>

=

Budući da su svi pojedini članovi u urnnošku na lijevoj strani kongruentni redom sa po modulu vrijedi

n, rt a , r2a , . . . , rq�(n) a (rt a)(r2 a) . . . (rq�(n) a) r1 r2 . . . rq�(n) =

tj.

(mod n) , (mod n ) .

r; 3.4.4

n,

Na koncu, svi su relativno prosti s dakle i njihov umnožak, pa rabeći opet Propoziciju možemo gornju kongruenciju skratiti s tim umnoškom. Dobivamo Q.E.D. = (mod n ) .

aq�(n) l

3. CIJELI BROJEVI

62

Korolar 4. (Mali Fermatov stavak) Ako je p prost broj, onda za svaki

vrijedi p

l aP - a, tj.

aP = a

(mod p).

aEN (2)

a nije višekratnik od p , ondaje aP- l = l (mod p) . DoKAZ. Ako je a višekratnik od onda je tvrdnja ( 2) trivijalna. Pretpostavimo zato da a nije višekratnik od p . Onda su a i p relativno prosti. Kako je qJ (p) = - l , iz Eulerove kongruencije (Teorem 3) dobivamo ap- t = l (mod p) . Tvrdnja (2) slijedi

Posebno, ako

p,

množenjem kongruencije s

p

a.

Q.E.D.

Drugi ookaz Eulerove kongruencije dobiven metodama teorije grupa pogledajte u

Teoremu 9.4.3. Drugi dokaz Malog Fermatovog stavka, koji se zasniva na poopćenju binornne formule (multinomna formula, Teorem dan je u Propoziciji

6.3.2),

6.3.3.

� PoviJESNA CRTICA � Naziv Eulerova funkcije danje učast švicarskom

Leonhardu Euleru (1707- 1783), 22 500

trul.tetrul.tičaru jednom od najistaknutijih i najplodni­ jih matematičara u povijesti. Radovi su mu objavljena tijekom st. u knjige na ukupno stranica! Euler je vrlo poznat i po negativnom rješenju znamenitog problema nalaženja šetnje u pruskome gradu Konigsbergu (danas Kalinjingrad u Ru­ siji), tako da se na svaki od njegovih sedam mostova kroči samo jednom. Time je započela teorija grafova kao ozbiljna matematička disciplina. Francuski matematičar (po zanimanju pravnik!) t( došao je do otkrića kongruencije navedene u još godine

(2)

20.

73

Pierre Ferma 160 1- 1665) 1640.

Do dana današnjega matematičari su uzalud polru!avali naći nekakav red u slijedu prostih brojeva, i ima razloga vjerovati da je to tajna u koju ljudski um nikada neće prodrjeti.

.- Leonhard EULER ( 1707 - 1783)

Matematika je kraljica znanosti, a teorija brojeva je kraljica matematike.

[iz Gaussova pisma Lobačevskom]

Konačno, prekjučer sam uspio - ne zbog mojih velikih napora, nego milo§ću Gospodina. Kao iznenadniJ'ljesak munje, zagonetka je rije§ena. Nisam u stanju reći §toje bila nit koja'Jll_povezala ono §to sam odprije znao s onim §to je učinilo moj uspjeh mogućim. Znadete da pi§em sporo. To je uglavnom zato jer nisam zadovoljan sve dok ne katem §to je moguće vi§e sa §to je moguće manje riječi, a pisati sateto oduzimlje mnogo vi§e vremena nego pisati op§irno.

- Karl Friedrich GAUSS (1777-1855)

Cijeleje brojeve stvorio dragi Bog, a sve ostalo djeloje čovjeka!

- Leopold KRONECKER ( 1823- 1891)

4. 1 . REFLEKSIVNE, SIMETRIČNE, TRANZITIVNE RELACIJE

63

4.

Binarne relacije

Svakodnevno smo okruženi mnogobrojnim relacijama na raznim skupovima, s pomoću kojih se definira "odnos" između dva elementa nekog skupa (prvog i drugog) . Evo nekih "relacija" definiranih na skupu svih ljudi (zadanih na parovima od dvoje ljudi x i y ) : biti jednako star kao ( x je jednako star kao y ) biti stariji od, biti mlađi od, biti viši od, biti lakši od, biti brži od, ne biti sporiji od, imati istu boju očiju kao, biti obrazovaniji od, biti zaljubljen u, biti brat od, biti majka od, biti rođen u istom mjestu kao, biti iste nacionalnosti kao, biti u vezi putem Interneta sa, itd.itd. ,

DEFINICIJA. Binama relacija na skupu X je bilo koji neprazan podskup p � X x X . Kažemo da su elementi x i y u relaciji p (ili x je u relaciji s y ) ako je (x, y) E p . U tom slučaju pišemo xp y . P RIMJEDBA Riječ binama (relacija) znači da imamo "odnos" p između dva elementa, pri čemu je važno znati koji je prvi, a koji drugi. Može se naime dogoditi da bude xp y , a da ne bude y p x Isto tako može dogoditi da ne bude niti xp y niti y px. U tom slučaju kažemo da su x i y neusporedivi (po dotičnoj relaciji). DEFINICIJA. Za binarnu relaciju p na X kažemo da je (i) refleksivna ako vrijedi (Vx E X) x p x ; (ii) simetrična ako vrijedi (Vx, y E X)(x p y => y px) ; (ii') antisimetrična ako vrijedi (Vx, y E X)(x p y 1\ y px => x = y) (iii) tranzitivna ako vrijedi (Vx, y, z E X)(x py 1\ p z => xp z) . 1.

.

se

y

Provjerite za vježbu koje su od relacija navedenih na skupu svih ljudi refleksivne, koje simetrične, koje antisimetrične, a koje tranzitivne. Svaka refleksivna relacija sadrži "dijagonalu" u skupu X x X . Naziv simetrične i antisimetrične relacije jasan je sa slike.

4. BINARNE RELACIJE

64

X

X

X

X

Sl. 4.1. Simetrična i antisimetrična relacija.

p zadana na skupu X zove se funkcija ako za svaki x E X (tj . relacijom je svakom pridružen jedincat y ) . Drugim riječima, iz xp Y I i xp Y2 slijedi Y I = Y2 . Tu relaciju obično označavamo sa J : X X, y = J(x) . Obratno, svaka funkcija J : X X također određuje relaciju p. Prirodno je p definirati tako da je x p y onda i samo onda ako je y = J(x) . PRIMJER l . Relacija

postoji jedincat y G

x

X takav da je x p y

-+

'

-+

Uvedimo sada jednu osobito važnu relaciju:

p�X X

DEFINICIJA. Binarna relacija x zove se relacija ekvivalencije ako je refleksivna, simetrična i tranzitivna, tj. ako za sve y i z u X vrijedi: (a) (b) iz X i X slijedi X , i z slijedi z. (e ) iz

xpx , py y p xp y y p

x,

=y xp

PRIMJEDBA l . Pojam "relacije ekvivalencije" treba dobro razlikovati od logičke operacije ekvivalencije <=> među sudovima, koja je binarna operacija (operacija s dvije varijable). Pogledajmo nekoliko jednostavnih primjera relacije ekvivalencije.

PRIMJER l . Ovaj primjer je osobito važan. Neka je zadan prirodan broj n E N X = z . Kažemo da je xpy ako je x = y (mod n) , tj. ako n ! x - y (n dijeli x - y ). Kao što smo vidjeli u Propoziciji 3.4. 1 , kongru�ija = modulo n je relacija i

,#.

ekvivalencije.

PRIMJER 2. Spomenimo nekoliko primjera relacija ekvivalencije koje znamo još iz osnovne škole. l . Na skupu svih trokuta u ravnini možemo definirati binarnu relaciju sličnosti "' među trokutima. Za dva trokuta kažemo da su (i pišemo MBC "' !::.DEF ) ako su im odgovarajući kutovi jednaki. Onda su i odgovarajuće stranice propor­ cionalne s istim faktorom proporcionalnosti.

X

slični

4.3. RAZREDI EKVIVALENCIJE, PARTICIJA SKUPA

65

X

2.

Na skupu svih trokuta u ravnini možemo definirati binarnu relaciju sukladnosti (kongruentnosti) � među trokutima. Za dva trokuta kažemo da su sukladna (kon­ gruentna) ako su im odgovarajuće stranice jednake duljine. Drugim riječima, dva su trokuta sukladna ako se jedan iz drugog može dobiti gibanjem (svako gibanje trokuta u ravnini može se može realizirati s pomoću njegove translacije, rotacije i simetrije u ravnini). bilo koja familija skupova (tj. skup čiji su elementi PRIMJER 3. Neka je skupovi). Podsjetimo se, za skup ka�emo da je ekvipotentan Uednakobrojan) sa ::::: B . skupom B ako postoji bijekcija J : -+ B . Tu relaciju označavamo sa ::::: Relacija ekvipotentnosti skupova je relacija ekvivalencije, vidi Teorem

X

A A

:A 1.3.2.

Čitatelja možda zbunjuje z�to u ovom primjeru nismo X definirali jednostavno kao skup svih sku­ pova. Razlog leži u poznatom paradoksu teorije skupova: pokazuje se da skup svih skupova ne postoji! Vidi završne primjedbe u Odjeljku 2.8 .

PRIMJER 4 . Spomenimo još dvije jednostavne, ali korisne relacije ekvivalencije iz matematičke analize. l . Neka je skup svih funkcija J : (- l , l ) -+ takvih da je J(x) i za x i i limx--..o J(x) = o . Za J, g E kažemo da je J(x) g(x) kad X -+ o ako je Korisno je znati da je relacija ekvivalencije na = l Relacija limx--..o vrijedi npr. X sinx tr - l ln(l + x) kad X -+ 0 . Isto tako X X + x3 , kad x -+ Za > s pozitivnim članovima, tj. Neka je skup svih redova l:� 1 L:� I ako dva reda iz kažemo da su ekvivalentna, i pišemo L:� l postoji = lirnn--.. oo � i i oo . Pokazuje se da vrijedi ovaj važan teorem o uspoređivanju redova: ako su dva reda iz X ekvivalentna. onda ili oba konvergi­ l:� 1 * . Kako drugi red divergira raju, ili oba divergiraju. Npr. l:� 1 n2: 1 (harmonijski red), onda divergira i prvi. PRIMJEDBA 2. Prirnijetimo da u relaciji ekvivalencije poredak elemenata nije važan: zbog simetričnosti je svejedno pišemo li x p y ili y p x . U literaturi je vrlo umjesto sa p , tako da možemo često običaj relaciju ekvivalencije označavati i sa pisati X y .

X

�

O. X

2.

l

rv

rv

.

rv

rv

X.

rv

rv

an

X

O,

O

R

X

On

l O,

rv

an O. bn '

rv

rv

rv

U ovom odjeljku ćemo pokazati sljedeću vrlo jednostavnu, ali iznimno važ�u činjenicu: svakoj relaciji ekvivalencije pripada točno određen rastav skupa na dts­ i obratno. Ti disjunktni podskupovi zovu se junktne podskupove (particija skupa razredi (klase) ekvivalencije. Razred (klasa) ekvivalen­ DEFINICIJA. Neka je p relacija ekvivalencije na cije [x] elementa x E je skup svih elemenata iz koji su u relaciji s x . Dakle [x] je podskup od definiran sa [xj = {y E : y p x}. Zbog x p x je uvijek x E [x] . Bilo koji element y iz [x] � ove se [x] .

X

X)

X

X

X

X

X.

reprezentant razreda

4. BINARNE RELACIJE

66

X.

EX

Teorem 1 . Neka je p relacija ekvivalencije na Onda za sve x, y vrijedi ili [x] = [y] ili [x] n [y] = 0 . Pritom je x p y onda i samo onda ako je [x] = [y] .

=

[yj . Ako DOKAZ. Pretpostavimo da je [xj n [yj =/= 0 . Trebamo dokazati da je [xj z [x] n [y] , onda je x p z i z p y . Zbog tranzitivnosti dobivamo daje postoji z x p y , tj. x E [y] . Prema tome je opet zbog tranzitivnosti [x] � [y] . Na isti način se Q.E.D. pokazuje i y [x] , tj. [y] � [x] . Dakle [x] = [y] .

E X, E E

X [xl

[y]

ox

oy

Sl. 4.2. Particija skupa određena relacijom ekivalencije.

PRIMJEDBA l . Svi elementi u istom razredu su međusobno "ravnopravni" s obzi­ rom na relaciju ekvivalencije. Drugim riječima, kada govorimo o razredu ekvivalencije [x] onda njegov element x nije ni na koji način "glavni" reprezentant razreda, nego samo jedan od ravnopravnih predstavnika u skupu [x] . ,

U sljedećoj definiciji pojavljuje se pojam familije, koji će kod nas biti ništa drugo nego sinonim za pojam skupa. Rabi se obično kada je riječ o skupu indeksa (familija indeksa) ili o nekom skupu čiji su elementi skupovi (familija skupova). Razlog za uvođenje ovog pojma je više jezične naravi: da se izbjegne nezgrapan izraz "skup skupova", radije se govori o "familiji skupova".

DEFINICIJA. Kažemo da familija podskupova {AdiEl od junktni rastav) skupa ako vrijedi

X

X

X čini particiju {dis-

(i) = UiEIA i , {ii) Ai n Aj = 0 za sve i, j i =l= j , tj. familija podskupovaje disjunktna. Ponekad ćemo i sam prikaz skupa UiEIAi kao disjunktne unije podskupova Ai zvati particijom od

E l,

X.

X=

X.

PRIMJEDBA 2. Neka je p relacija ekvivalencije na Teorem 2 kaže upravo to da je familija podskupova { [x]}xEX particija skupa Sljedeći stavak predstavlja obrat prethodnoga te�ma. On pokazuje da svaka particija skupa na prirodan način određuje relaciju �kvivalencije čiji razredi ekvi­ valencije se podudaraju s podskupovima iz particije.

X.

X

Teorem 2. Neka je {AdiEl particija skupa X. Definirajmo relaciju p na skupu X tako da je x p y onda i samo onda ako x i y pripadaju istom skupu iz particije, tj. postoji i E l tako da je x, y E Ai . Onda je p relacija ekvivalencije. Pripadni razredi

ekvivalencije podudaraju se sa skupovima Ai .

DoKAZ. Tvrdnja je očevidna.

67

4.3. RAZREDI EKVIVALENCIJE, PARTICIJA SKUPA

X

AI

AJ

Az ox

o

y

Sl. 4.3. Relacija ekvivalencije određena particijom: xpy . DEFINICIJA. Ako je p relacija ekvivalencije na skupu X , onda skup svih pri­ padnih razreda ekvivalencije zovemo kvocjentni skup od X s obzirom na relaciju p i označavamo sa X/p : Xjp = { [x] }xEX Prema prethodnom teorem vidimo da je kvocjentni skup zapravo isto što i particija skupa X s obzirom na relaciju ekvivalencije p . Početniku je pri prvom susretu vjerojatno teško naviknuti se da razred ekvivalencije [x) , koji je podskup u X gleda kao jedan jedini element kvocjentnog skupa Elementi u X se zapravo "gru­ piraju" u disjunktne skupine (razrede) prema nekom zajedničkom svojstvu. U istom razredu nalaze se samo međusobno "srodni" (ekvivalentni) elemenati. Npr. ako je X skup učenika neke škole i p relacija "pohađati isti razred", onda je Xjp skup svih razreda u školi. Razred ekvivalencije [x) jednak je razredu u kojem je učenik x . ,

PRIMJER l . Neka je X skup svih ljudi na kugli zemaljskoj. Za dva čovjeka x i reći ćemo da su u relaciji p ako su državljani iste države (pretpostavljamo da nitko nema dvojno državljanstvo, te da se granice ne mijenjaju s vremenom 1 . Razred [x] je skup svih državljana one države kojoj pripada osoba x . Kvocjentni skup Xfp može se poistovjetiti sa skupom svih država u svijetu (svakom razredu [x] pridružimo onu državu čiji je x državljan; pridruživanje je očevidno bijektivno) : X/p � D .

y

)

D

PRIMJER 2 . Kvocjentni skup doista može biti i beskonačan. Uzmimo X = e i definirajmo relaciju p ovako: z1 p z2 ako je Re z1 = Re z2 . Lako se vidi da je to re­ lacija ekvivalencije, a kvocjentni !'kup Cjp jednak je familiji pravaca u kompleksnoj ravnini, koje su paralelne s imaginarnom osi.

PRIMJER 3. Promatrajmo sada iznimno važnu relaciju kongruencije = modulo

n na skupu z i odredimo kvocjentni skup z;= . Da bi odredili razred ekvivalencije [x] , podijelimo x sa n . Neka je kvocijent pri dijeljenju jednak q, a ostatak j�ak r : x = qn + r . Znamo da je ostatak r sadržan u skupu {O, l , . . . , n l } . .l(ako Je x = r (mod n) , onda je [x] = [r] . Prema tome je Z = [O] [1] . . . U [n - 1 ] . Ova unija j e disjunktna, jer niti koja dva različita ostatka iz skupa {O, l , . . . , n l } nisu kongruentna modulo n (razlika im je manja od n po apsolutnoj vrijednosti, pa nije djeljiva sa n). Prema tome vrijedi ovaj jednostavan, ali važan rezultat: -

U

U

-

l Kada je u jednoj anketi znameniti matematičar Steinhaus iz Lavova (1887-1972, Lviv, Ukrajina) bio upitan koliko puta je putovao preko granice, odgovorio je: "Niti jednom. Ali je granica mene prešla tri puta!"

68

4. BINARNE RELACIJE

=

Propozicija 3. Kvocjentni skup na skupu cijelih brojeva po relaciji kongruencije modulo n jednak je sljedećem n -članom skupu: =

{ [0], [1], . . . , [n - l] } Taj skup zove se kvocjentni skup ostataka modulo n , ili skup razreda ostataka pri dijeljenju sa n . Razredi ekvivalencije izgledaju ovako: [O] = { qn : q E Z} [l] = { qn + l : q E Z}

z;=

[n - l] = {qn + (n - l ) : q E Z} . Razred [r] , gdje j e r E {0, l, . . . , n - l } , sadrži skup svih onih prirodnih brojeva koji dijeljenjem sa n daju ostatak jednak r , tj. brojeve oblika qn + r , q E Z . Korisno je definirati skup nZ svih cjelobrojnih višekratnika broja n sa nZ = {kn : k E Z} . Onda particiju (rastav) skupa cijelih brojeva u Propoziciji 3 možemo pisati i ovako: Z = nZ U { nZ + l } U . . . U { nZ + (n - l ) }. Primijetimo da su dva broja x, y E Z u relaciji, tj. [x] = [y] , onda i samo onda ako je x - y E nZ . Npr. budući da je ( - l ) - (n - l) = -n nZ , onda je [- l] = [n - l] , i slično [-2] = [n - 2] itd. Za n = 2 imamo Zf:::: = { [OJ, [l] } , dotično Z = [O]U[l] , pri čemu je [OJ = { . . . -l, l, -2, O, 2, . . } skup svih parnih cijelih brojeva, a [l] = { . . . . . } skup svih neparnih. Ovdje je npr. [- l] = [l] .

E

-4, 5,

4,

.

.

, 3,

, -3,

Neke relacije ekvivalencije poznajemo iz osnovne i srednje škole (provjerite) : (a) p = "biti paralelan sa", na skupu X svih pravaca u ravnini. Ako je p neki pravac, onda je [p] familija (snop) svih pravaca paralelnih sa p . Skup svih takvih snopova međusobno paralelenih pravaca [p] čini kvocjentni skup X/p . (b) p = "biti koncentričan sa" - na skupu svih kružnica u zadanoj ravnini R2 Ako je k neka kružnica, onda je [k] skup kružnica u ravnini koje su s njom koncentrič­ ne. Kvocjentni skup Xfp ima za elemente upravo takve familije koncentričnih kružnica. Relacija "biti okomit na" definirana na skupu svih pravaca u ravnini (ili prostoru) nije refleksivna, simetrična je, i nije tranzitivna. PRIMJEDBA l . Neobično je važno pitanje može li Iii: kvocjentni skup na ne­ ki način jednostavnije opisati, tako da se njegovi elemen�ijektivno poistovjete s elementima nekog drugog, jednostavnijeg skupa. Ovo bijektivno poistovjećivanje (relaciju ekvipotentnosti) među skupovima označavamo sa :::: . llustrirajmo to na pret­ hodnom primjeru (vidi također i gornji primjer s državama): (a' ) Neka je u ravnini R2 zadan koordinatni sustav. Svakoj familiji [p] paralelnih pravaca možemo pridružiti kut kojega pravac p (ili bilo koji drugi reprezentant •

69

4.4. Još NEKI PRIMJERI

dotičnog razreda) zatvara s pozitivnim smjerom x -osi. Moguće vrijednosti toga kuta su iz intervala [0, i pridruživanje je očevidno bijektivno: svakom razredu pripada jednoznačno određen kut i svakom kutu pripada jednoznačno određen razred paralelnih pravaca. Tom bijekcijom možemo poistovjetiti kvocjentni skup Dakle Xfp -:::: [0, ) Xfp s intervalom [0, (b' ) Bilo koja familija koncentričnih kružnica [k] u skupu X svih kružnica u ravnini je jednoznačno određena svojim zajedničkim središtem. Jasno je da svakoj točki u ravnini odgovara točno jedna familija koncentričnih kružnica i obratno. Prema tome postoji bijekcija sa skupa Xfp na ravninu Svaku familiju koncent­ ričnih kružnica [k] možemo poistovjetiti sa zajedničkim središtem u ravnini koje dotičnu familiju određuje. Dakle Xfp -::::

n) ,

n) .

n.

R2 .

R2 .

Neke važne primjere identifikacije kvocjentnih skupova vidjet ćemo kasnije u teoriji grupa.

PRIMJER l . Kvocjentni skup Zf=. = { [Oj, [lj, . . . , [n - l] } , gdje je =. kongru­ encija modulo među cijelim brojevima, može se očevidno poistovjetiti s -članim skupom {0, l, . . . - l } sljedećom bijekcijom: [O] t-t O , [lj t-t l , itd. Dakle: z;= -:::: {0, . . .

n

n

,n

l, , n - l}. PRIMJER 2. Na skupu realnih brojeva R promatrajino relaciju ,...., definiranu sa x ,...., y ako je x - y E Z . Razredi ekvivalencije su [x] = x + Z . Kvocjentni skup se može poistovjetiti sa jedini čnom kružnicom S1 = {z E e Izl = l} u kompleksnoj ravnini: svakom [x] E Rj,...., pridružimo kompleksni broj e2nxi . Pridru­ živanje tp Rf,...., S1 , tp([x] ) = e2nxi je dobro definirano: ako je [x] = [y] onda k E Z , tj. e2nxi = e21rYie2kni = e21fYi , dakle tp( [x] ) = tp([y] ) . Slično je x - y i , dotično ez.rry se dokazuje injektivnost: ako je tp([x] ) tp([y] ) onda je e2nxi e2n(x-y)i l , dakle x - y E Z , ili [x] = [y] . Sutjektivnosrje očevidna. PRIMJER 3. Označimo sa X skup svih usmjerenih dužina AR u tj. skup svih :

:

=

--+

=

=

=

R3 ,

poredanih dvojaca točaka A i B u prostoru. Točku A zovemo početak, a B dočetak

ili kraj usmjerene dužine. Definirajmo relaciju ,...., na X ovako: AB cD onda i samo onda ako se polovište dužine AD podudara s polovištem dužine BC (ako točke A, B, C, D ne leže na istom pravcu, onda je to i:sto Sto i reći da je Cetverokut AIJDC paralelogram). Vrlo lako se vidi da je relacija ekvivalencije medu usmjerenim dužinama (provjerite). Razredi ekvivalencije [AR] zovu se vektori, tj. Xf,.... je skup rv

rv

vektora. Vektor [AA ] (početak i dočetak su isti za svaki reprezentant razreda) zove se ---t Običaj je razred [ AB ] označiti samo s pomoću nekog svog reprezentanta, npr. upravo sa AR . Činjenicu da je AB cD pišemo obično kao AB = cD , iako

nul-vektor.

rv

---t

to nije sasvim ispravno (bilo bi bolje [ AB]

=

--t

[ CD ] ).

PRIMJEDBA 2. U razredu [AR] usmjerenih dužina ekvivalentnih sa AB postoji i reprezentant OO s početkom u ishodištu O u (vektor OO zove se točke D s obzirom na ishodište O ). Lako se vidi da je tako definirano pridruživanje

R3

radij-vektor

4. BINARNE RELACIJE

70

[ABJ

�---+ D bijekcija iz kvocjentnog skupa

Xf p

na skup točaka iz

R3 .

Prema tome

skup vektora može se poistovjetiti sa skupom točaka u prostoru (odnosno sa skupom radij-vektora točaka), tj .

� RJ . p -

x1 Primijetite usput da je početni prostor

3

3

X

svih usmjerenih dužina zapravo šesterodi­

menzionalan: X = R x R = R6 (skup poredanih dvojaca točaka u prostoru), a kvocjentni skup, tj. prostor vektora - trodimenzionalan.

" PRIMJER 4. U kolegiju Linearna algebra upoznali smo relaciju sličnosti matrica na skupu M11 svih kvadratnih matrica reda s realnim (ili kompleksnim) koeficijen­ tima (vidi [Elezović] ) . Za dvije matrice A i B kažemo da su slične, i pišemo A "" B , ako postoji regularna (invertibilna) matrica T (tzv. matrica sličnosti između A i B )

n

·

takva da vrijedi

B = r- IAT .

Relacija sličnosti matrica je relacija ekvivalencije:

(i) refleksivnost: A "" A vrijedi uz T = I Uedinična matrica), jer je A =

r 1 AI ;

A "" B , tj. B = r- 1A T , onda je TB = AT, dakle A = TBT- 1 = (T-1 ) - I Br- I , pa je B "' A s matricom sličnosti r- I ; (iii) tranzitivnost: ako je A "" B i B "" e s matricama sličnosti S i T respektivno, onda je e = r- 1 BT = r- I (s- IAS)T = (ST) -1A(ST) . Dakle A "' e s matri­ com sličnosti ST . Jedan je od osnovnih zadataka Linearne algebre da opiše kvocjentni skup Mn ( R )j"" (ii) simetričnost:

ako je

n

ili . Mn ( C )j"" , gdje je M11 skup (vektorski prostor) svih kvadratnih matrica reda s koeficijentima iz R ili C . Točnije, cilj je da se pronađe reprezentant u razredu [AJ kojeg je moguće što je lakše opisati. Pokazuje se da kada dopuštamo kompleksne koeficijente, onda u svakom razredu ekvivalencije postoji matrica kao njegov reprezentant, tj . svaka je matrica slična nekoj gornjoj trokutastoj matrici s kompleksnim koeficijentima (Vidi [Elezović, Teorem Vrijedi i mnogo više - svaka je matrica slična svojoj Jordanovoj formi, koja ima elemente eventualno ra­ zličite od nule samo na glavnoj i sporednoj dijagonali. Slučaj kada dopuštamo samo realne koeficijente je složeniji. O Jordanovoj formi i problemima dijagonalizacije vidi opsežno djelo prof. dr. Svetozara Kurepe "Konačno dimenzionalni vektorski prostori i primjene", Školska knjiga, Zagreb,

gornja trokutasta 9.3]).

1967.

PRIMJER 5 . Relacija logičke ekvivalencije = je �evidno relacija ekvivalencije na skupu X svih sudova (primijetimo da je X doista Jolem, beskonačan skup, koji sadrži praktički cijelu matematiku) : za sve sudove A , B , e vrijedi: (i) A = A (ref­ leksivnost relacije = ), (ii) ako je A = B , onda je B = A (simetričnost), (iii) ako je A := B i B =: e onda je A := e (tranzitivnost). Postavlja se pitanje što je kvocjentni

E

Xf:= ? Kako je svaki sud isitinit ili lažan, onda za svaki sud A X vrijedi ili T ili A = .1. , tj . ili [AJ = [TJ ili [AJ = [..LJ . Prema tome kvocjentni skup je dvočlan: Xj= = { [T], [.l.] } . On se dakako može poistovjetiti s najmanjom Booleo­ vom algebrom {T, .1. } : x;= � {T, .1. } . skup =

A

Prethodnih nekoliko primjera poistovjećivanja kvocjentnih skupova s jednostav­ nijima vodi na ovakvu definiciju.

4.5. RELACIJA PORETKA

71

p f : /p / [x] f(x) smislena? Ne uvijek. Naime ako x i y pripadaju istom razredu ekvivalencije onda je [x] = [y] , pa po definiciji od J mora biti f(x) = J([x]) = J([y]) = f(y) . Ovo daje i odgovor na naše pitanje: Da bi funkcija J bila dobro definirana mora biti f(x) = f(y) čimje xpy. Drugim riječima, funkcija f mora na svakom razredu ekvivalencije [x] � X biti kons­ tantna. Ako je taj uvjet ispunjen, onda kažemo da je funkcija J, J([x]) = f(x) dobro definirana. Definicija od J ne ovisi o izboru reprezentanta iz razreda ekvivalencije [x] . Za ilustraciju vidi Primjer 2 gore.

DEFINICIJA. Neka je relacija ekvivalencije na skupu X i H bilo koji skup. Ako je : X -+ H neka funkcija, postavlja se pitanje je li nova funkcija A X -+ H, A ( ) =

f

Ovakva se situacija vrlo često susreće kod raznih struktura: grupa, prstena, polja, vektorskih prostora itd. U poglavlju o grupama imat ćemo nekoliko važnih primjera.

Druga vrlo važna relacija na skupu X je relacija poretka.

p

DEFINICIJA. Binama relacija � X x X zove se relacija parcijalnog poretka ako je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna, tj. X, za sve (a) (b) iz i , slijedi z. z slijedi i ( e) iz Tu relaciju često označavamo sa � , i kažemo daje (X, �) parcijalno poredan skup.

xE xpx x py y px xp y y p

x=y xp

PRIMJER l . Relacija < je relacija parcijalnog (djelomičnog)

oretka na skupu

p R (kao i na bilo kojem njegovom podskupu). Njoj odgovara poluravnina u određena nejednakošću x � y .

R x R,

R

Sl. 4.4. Relacija poretka �

u

R.

Iako se relacija ekvivalencije i relacija poretka razlikuju samo u jednom od tri definicijska svojstava, razlika među njima je golema. To se vidi i po tome što je jedina na X koja je istodobno relacija ekvivalencije i relacija poretka zapravo relacija

p

4. BINARNE RELACIJE

72

X.

relacija jednakosti = na Relacija jednakosti na istodobno simetrična i antisimetrična (provjerite).

X je naime jedina relacija koja je

R

R

Sl.

4.5. Relacija jednalwsti u

R.

PRIMJER 2. Drugi važan primjer relacije parcijalnog poretka jest relacija � (in­ kluzija) na partitivnom skupu = 2x . Drugim riječima, A p B ako je A � B . Iz ovog primjera vidljivo je zašto se govori o "djelomičnom" (parcijalnom) poretku. Može se naime dogoditi da su neka dva elementa A i B iz 2x neusporediva, tj. uopće nisu u relaciji (dovoljno je uzeti dva neprazna i disjunktna podskupa A i B od Još jedan primjer parcijalno poredanog skupa je skup svih funkcija J : R - R . Za J, g E kažemo daje J � g akoje J(x) � g(x) za sve x E R . Funkcije J(x) = O i g(x) = x su neusporedive.

P(X)

X ).

X

X

(X,

Ako u parcijalno poredanom skupu � ) za neka dva elementa vrijedi x � y i x 'l y , onda to kraće zapisujemo sa x < y . Primijetimo da relacija < nije relacija parcijalnog poretka jer nije refleksivna, mada jest antisimetrična (Qrovjerite !) (tranzi­ tivna. Slova hrvatske latinične abecede čine skup =:_ { A, B, e, C, Ć, D, . . . , Z} koji je poredan na prirodan način: A < B < e < . . . < Z. Uvedimo j oš nekoliko važnih definicija vezanih uz parcijalno poredane skupove.

X

(X,

S X. S

DEFINICIJA. Neka je � ) parcijalno poredan skup i � Kažemo da je element x E dolnja međa skupa ako je x � s za sve s E (primijetite da dolnja međa ne mora biti u Za skup kažemo da je odozdol omeđen ako skup ima bar jednu dolnju među u

X

S).

X.

S S

X S, X S S najveća

S

S,

DEFINICIJA. Element x E (ako postoji) zovemo infimumom skupa i oz­ načavamo sa inf ako vrijedi: (a) x = inf je dolnja međa od (b) za svaku dolnju među y E skupa vrijedi y � inf Drugim riječima, inf je dolnja međa skupa u PRIMJEDBA l . lnfimum skupa je jednoznačno određen. Ako je naime XJ = inf i x2 = inf onda su zbog (a) oba dolnje međe, pa zbog (b) mora biti x1 � xz i x2 � x 1 . Dakle x 1 = x2 . Ako je skup takav da je njegov infimum sadržan upravo u skupu onda se inf zove minimum skupa i označava sa min Npr. za X = R i = l ) je inf = O . Minimum skupa ne postoji. Skup sl = l ) posjeduje minimum, i jednak je o Na sličan način se definiraju gornja međa skupa supremum sup i max

S

S,

S. S X.

S

S,

S

S

[0,

S S (0,

S,

S.

S

o

S

S,

S

S.

DEFINICIJA. Za parcijalno poredan skup (X, �) kažemo da je totalno (ili line­ amo) poredan ako za svaki x, y E vrijedi x � y ili y � x , tj. svaka dva elementa su usporediva. U uporabi je još jedan sugestivan naziv: � je lanac.

X

4.5. RELACIJA PORETKA

73

(X, �) takav da svaki njegov neprazni da je dobro pm-edan skup. (N, �) je dobro poredan, dok skupovi (Z, �) , (Q, �) ,

DEFINICIJA. Ako je totalno poredan skup podskup ima minimalni element, onda kažemo PRIMJER 3. Skup

�) nisu (npr. nemaju minimalni element). PRIMJER 4. Partitivni skup zX , gdje X ima barem dva elementa, nije totalno poredan (lanac), jer disjunktni podskupovi nisu usporedivi. Za A, B E zx je očevidno (R,

inf{A, B} = A n B , sup{A, B} = A U B .

N

PRIMJER 5 . Relacija djeljivosti l na skupu prirodnih brojeva je relacija par­ cijalnog poretka l znači da dijeli refleksivna je, antisimetrična i tranzitivna. Za dokaz vidi Propoziciju 3 . 1 . 1 .

(a b

a

b):

(Xt, �) (Xz, �) . (X xXz, �) (at. az) � (bt , hz) a1 � bt Xt az � bz

DEFINICIJA. Neka s u zadana dva parcijalno poredana skupa i Kartezijev produkt parcijalno poredanih sk�pova definira se kao skup 1 . Pritom za elemente kažemo daje ako je nejednakost ispunjena po komponentama, dotično u skupu i u skupu Slično i za Kartezijev produkt većeg broja parcijalno poredanih skupova.

(a1, az), (b1, hz) E Xt x Xz

Xz .

T x, y) u ravnini R x R koje su � (0, O) jednak

PRIMJER 6 . Skup svih točaka ( je prvom kvadrantu: � O i � O .

x

y

(X1, �) (Xz, �) , X1 x Xz (at, az) ,

DEFINICIJA. Neka su zadani parcijalno poredani skupovi i svaki sa svojom relacijom poretka. Onda na Kartezijevu produktu defini­ ramo drugu relaciju poretka, tzv. relaciju leksikografskoga poretka. Za kažemo daje akoje ispunjenjedan od sljedeća dva uvjeta: l) t i bilo kakvi), i Lako je vidjeti da je to doista relacija poretka. Leksikografski poredak može Kažemo da je se slično definirati i na Kartezijevu produktu

(bt , bz) E Xt x Xz at < b (az hz 2) a1 = b t az � hz .

(a., az) � (bt , bz)

X1 x Xz x . . . x Xn . (ai , az, . . . , an) � (bt , bz, . . . , bn) ako je ispunjen neki od sljedećih uvjeta: l ) a 1 < bt (az, . . . , a11 i bz, . . . , bn bilo kakvi), 2) a 1 = b1 i az < hz (a3, . . . , an i b3, . . . , bn bilo kakvi), 3) a1 = b t , az = hz , a3 < b3 , n) a 1 = bt , az = hz, . . . , an - I = bn - I , an � bn . PRIMJER 7. a) Neka je X1 = Xz = N. Onda je ( l , 5) < (3, 2) < (3, 5) . b) Neka je X skup svih velikih slova hrvatske abecede, poredan u uobičajenom poretku. Označimo sa x5 = X x X x X x X x X skup svih "riječi" od pet slova. Onda je npr. TRAVA < VA11M , VLADO < VLAST, BHKSM < BHPAA . Leksikografski poredak riječi znači upravo to da će u leksikonu (ili rječniku) riječ VATRA E X5 doći poslije TRAVA E x5 Leksikografski poredak riječi je uobičajen u encikl�pedijama, kazalima (indeksima) knjiga kao što je ova, te u svakom popisu imena, naztva. e ) Neka je skup svih točaka T(x, y) u ravnini Rz snabdjeven leksik�grafskim poretkom. Uvjerite se da je skup svih točaka koje su � (0, O) jednak desnoJ polurav­ nini x � O , bez negativnog dijela y osi. n

•

4. BINARNE RELACIJE

74

Neka je X konačan skup i � relacija parcijalnog poretka na X . Relaciju poretka možemo grafički predočiti u ravnini s pomoću tzv. Hasseova dijagrama na sljedeći način. Prikažemo sve elemente X kao točke u ravnini. Neka je < , i to tako da između i ne postoji niti jedan X , tj. iz � � slijedi = ili = U tom slučaju kažemo da element element Iz točke povlačimo spojnicu do svake točke koja pokriva Točke crtamo vodoravne razine točke u ravnini. Sa Hasseovim dijagramom konačnog skupa je pripadna relacija poretka potpuno određena. Ako za bilo koje točke X vrijedi < onda na Hasseovom dijagramu to znači da je točka iznad razine točke , i od do dolazi se nekom linijom (koja-spaja točke između i Hasseovim dijagramom mogu se i zadavati parcijalno poredani skupovi. PRIMJER l . U ovom primjeru je X podskup skupa prirodnih brojeva, a relaci­ ja poretka � je "biti djelitelj od", tj. x � znači a) X = { 1, 2, 4, 8} ; b) X = {2, 3 , 5, 10, 12, 24} ; e ) X = { 1 , 2, 3, 5, 1 0, 15, 30} (skup svih osam djelite­ lja broja 30 ).

iznad a b, a b

x y x

xE zE y pokriva

x

8

uzlaznom

y

b)

4

x.

6,

e)

30

6 12

2 2 l 2

3

Sl.

5

y

xly:

24

JO

z x z y.

a, b E a a b).

b

7,

a)

x y

x z y x. y

•

7

/ � xx �/ JO

15

3

5

l

4.6. Hasseovi dijagrami.

U primjeru b) vidimo da je sup{2, 3} = 1 2 , inf{ 1 0, 12} = 2 . Skup X nema niti mi­ nimum niti maksimum. Vrijednosti inf{2, 3} i sup{ lO, 12} ne postoje. U primjerima a) i e ) postoje minimum i maksimum skupa X .

PRIMJER 2 . Pogledajmo Hasseov dijagram partitivnog skupa 2 {a,b,c} (partitivni skup tročlanog skupa), poredanog inkluzijom � .

75

4.6. HASSEOV DIJAGRAM RELACIJE PORETKA

{a,b,c}

/ �

{a,b}

{a,c}

{b,c}

{aj

{b}

(e}

xx

Sl.

�/ ,

4. 7. Hasseov dijagram.

Vidimo da su Hasseovi dijagrami za skup djelitelja broja 30 i partitivni skup tročlanog skupa zapravo "isti". To motivira sljedeću definiciju. DEFINICIJA. Za parcijalno poredan skup (X, �) kažemo da je izomorfan parci­ jalno poredanom skupu (Y, �) ako postoji bijekcija J : X -+ Y koja čuva poredak, dotično vrijedi:

(Vx, y E X ) ( x � y

{=:::}

J(x) � J(y) ).

Izomorfne parcijalno poredane skupove poistovjećujemo. To znači da nam u nekom parcijalno poredanom skupu nisu od važnosti nazivi njegovih elemenata, nego njihovi međuodnosi. a) Neka je X skup svih osam djelitelja od 30 , parcijalno poredan relacijom djelji­ vosti. Neka je Y = 2{a, b, c} , tj. skup svih osam podskupova tročlanog skupa {a, b, e} , parcijalno poredan inkluzijom � . Onda je funkcija J : X -+ Y zadana sa

J(2) = {a},

/(6) � {a, b},

J( 1 ) = 0, J(3) = { b},

/(1 0 ) � {a, e},

J(5) = { e},

f( 1 5) � {b, e} ,

J(30) = {a, b, e } izomorfizam parcijalno poredanih skupova X i Y . Vidi odgovarajuće Hasseove dija­

grame u prethodna dva primjera. b) Parcijalno poredan skup (Z, �) (koji je zapravo dobro poredan) je izomorfan skupu ( 2Z, �) . Traženi izomorfizam J : Z -+ 2Z je J( x) = 2x . Ako je x � y , onda je 2x � 2y i obratno. Parcijalno poredan skup (Z, �) nije izomorfan sa (Q, �) . Iako postoji bijekcija sa Z na Q (oba su prebrojiva, vidi Teorem 1.4.2), ona nikada ne čuva poredak. PRIMJER 3. Kartezijev produkt dobro poredanih skupova ne mora biti dobro poredan. Npr. neka je X = {0, 1 } , O < l , i Y = {d, g} , d < i Elementi (O, ( 1 , d) nisu usporedivi u X x Y .

g.

g)

76

o Sl.

[J

g

l

d X

4.8.

y

(l,d

(O, d)

4. BINARNE RELACIJE

( l g) ,

(O, g) XX Y

Karrezijev produkt parcijalno poredanih

skupova.

Ako Kartezijev produkt u ovom primjeru poredamo leksikografski, onda će rezul­ tirajući Hasseov dijagrambiti izomorfan onome iz Primjera l.a). I općenito, Kartezijev produkt bilo koja dva dobro poredana skupa, snabdjeven leksikografskim poretkom, je dobro poredan.

PRIMJER 4. Kartezijevim produktom skupova X = {0, l} i Y = {d, g, l, r} , zadanih Hasseovim dijagramima na slici, dobivamo parcijalno poredan skup koji je očevidno izomorfan skupu djelitelja broja 30 . ( l,g)

l

o

d

X

Sl.

y

(l ,l)

(l r) ,

(O, l)

(O,r) (O,d)

XXY

4. 9. Kartezijev produkt parcijalno poredanih skupova.

Vrijedi primijetiti da je parcijalno poredan skup Y zapravo izomorfan sa X x X (vidi prethodni primjer). Prema tome je parcijalno poredan skup djelitelja broja 30 izomorfan sa X3 = X x X x X . To objašnjava zašto je struktura Hasseova dijagrama oblika 'kocke'.

U neke parcijalno poredane skupove možemo na prirodan način uvesti binarne operacije zbrajanja i množenja koje su lijepo usklađene s relacijom poretka.

DEFINICIJA. Parcijalno poredan skup (X, �) zove se mreža 1 ako za svaki par elemenata a, b X postoji sup{a, b} i inf{a, b} . Na taj način možemo uvesti dvije

E

rektka, Nesumnjivo prildadnijem nazivu 'mreža' priklonili smo se slijedeći Danila Blan�u 1 Engl. lattice ("Vi�a matematika" ). -

77

4.7. MREžE

binarne operacije u parcijalno poredani skup X : sup{

a + b = a, b}, ab = inf{a, b}.

PRIMJER l . Primjeri mreža su partitivni skup

(2x , �) (pripadna operacija zbra­

janja u mreži je unija, a operacija produktaje presjek), skup cijelih brojeva Z {zbrajanje i množenje dvaju elemenata su minimum i maksimum). Zbog ovog zadnjeg primjera, i sličnih, često se zbrajanje i množenje u mreži označavaju sa V i pa i sa U i n . Parcijalno poredan skup zadan slikom 4.6.{b) nije mreža.

1\ ,

U mreži svaki dvočlani podskup irna infimum (supremum), dakle i svaki konačni skup. Medutim može se dogoditi da neki beskonačan podskup mreže nema infimum ili supremum. Takav je slučaj kod {Z, �) skup Z nema niti infimum niti supremum, a njegov podskup N ima samo infimum.

DEFINICIJA. Parcijalno poredan skup {X, � ) je potpuna mreža ako svaki nje­ gov podskup {konačan ili beskonačan) posjeduje infimum i supremum. Svaka potpuna mreža onda irna element inf X koji se zove nula i sup X koji se zove jedinica.

30,l

PRIMJER 2 . Skup N prirodnih brojeva irna nulu u mreži jednaku , dok jedi­ nice nema. Mreža svih djelitelja od s relacijom 2, 6, je potpuna mreža u kojoj je nula djeljivosti kao relacijom poretka � ako je mreže jednaka l , a jedinica mreže je 30 . Ako je X neka mreža, onda operacije i definirane na X imaju neka od poznatih vlastitosti, koje se lako dokazuju.

D30 = { l, (a3, 5, b 10, 15_, a30}l b ), + · ·

na potpunoj mreži {X, �) vrijede ova svojstva: a + b = b + a , ab = (komutativnost); b)e) a((aa++b)b)+=e a,= aa ++ (b+ e),a (apsorptivnost (ab)c = a(bc)ili(asocijativnost); ab = svojstvo upijanja); d) a + a = a, aa = a (idempotentnost); e) a + O = a, a · l = a. Teorem 1 . Za operacije + i

a)

ba

Dokaz ove tvrdnje je vrlo jednostavan. A što je sa distributivnošću zbrajanja prema množenju u mreži? Ona općenito ne vrijedi ! PRIMJER 3 . Promotrimo parcijalno poredani skup X

svojim Hasseovim dij agrarnom na

slici.

= {0, l, a, b, e, d} zadan

o

Sl. 4.10. Mreža fwja nije distributivna Ta mreža nije distributivna:

a(b+ e) = a · l = a, ab + ac = O+ O = O.

PRIMJEDBA l. Nedistributivne mreže se pojavljuju u teoriji grupa (definiciju grupe vidi u Poglavlju 9). Skup X je skup svih podgrupa neke grupe G, a relacija poretka je relacija :::;; (''biti podgrupa") među podgrupama Nedistributivnu mrežu dobivamo npr. za grupu permutacija G = S3

4. BINARNE RELACIJE

78

koja ima 6 elemenata (vidi Odjeljak 9.9). Ta grupa ima šest podgrupa koje možemo zapisati s pomoću ciklusa : ((l ) ) , A = ((l, 2) ) , B = (( 1 , 3 )) , C ((2, 3 ) ) , D (( 1 , 2, 3)) , S3 . Pripadna mreža je iwmorfna onoj na gornjoj slici. =

=

DEFINICIJA. Za potpunu mrežu (X, �) kažemo da je distributivna mreža ako u njoj vrijede zakoni distribucije:

a(b + e) = ab + ac, a + bc = (a + b)(a + e). PRIMJER 4 . Promotrimo skup D 12 svih djelitelja broja 12 : D 12 = {l, 2, 3 , 4, 6, 12} poredan relacijom djeljivosti, tj. a � b znači da a J b. Pripadni Hasseov dijagram je na slici.

12

1 \6

4

1 / 31

2

\l J

12

Sl. 4. 11. Distributivna mrežn D . je distributivna mreža. Njegova nula je broj , a jedinica je broj 12 . Skup Neka su i · operacije supremuma i infimuma respektivno. Onda je npr. 12 2 Na sličan način je i · 3 3) , provjerite. Mreža D30 je također distributivna. Ona je naime izomorfna s partitivnim skupom 2{a,b,c} snabdjevenim s relacijom podskupa � kao relacijom poretka, koji je očevidno distributivna mreža. Slično je i za bilo koji prirodan broj skup svih djelitelja od distributivna mreža s obzirom na relaciju djeljivosti kao relaciju poretka.

D + 12

l 6(4 + 3) = 6 . = 6, 6 . 4 + 6 . 3 = + 3 = 6. 6 + 4 = (6 + 4)(6 +

n

Dn

n

Potpuna, distributivna mreža (X, �) je struktura na kojoj se na prirodan način definiraju binarne operacije · , i koja je po svojim vlastitostima bliska Booleovoj algebri. Nedostaje još samo operacija komplementiranja.

+,

DEFINICIJA. Za element a u potpunoj mreži (X, �) kažemo da je komplement elementa ako je i ·a Ako svaki element ima komplement, onda a mrežu X zovemo komplementiranom mrežom.

a + = l a = O. PRIMJER 5 . Mreža D 12 nije komplementirana, npr. a = 2 nema komplement. Nije teško vidjeti da ako je distributivna mreža komplementirana, onda je komple­ mentiranje određeno na jednoznačan način. Doista, ako elementu a odgovaraju dva komplementa a' i a" onda je O = aa' = aa" , l = a + a' = a + a" . Prema tome je a' = a' + O = a' + aa" = (a' + a)(a' + a") = l(a' + a") = a' + a" . Na isti način je a" = a" + 0 = a" + aa' = (a" + a)(a" + a') = l(a" + a') = a" + a' , dakle a' = a" . Distributivna i komplementirana potpuna mreža (X, �) je očevidno Booleova algebra (vidi njenu opću definiciju): (X, +, ·, -, O, l) . U sljedećem odjeljku vidjet ćemo da vrijedi i obratno: svaka Booleova algebra (B, +, ) na prirodan način definira odgovarajuću distributivnu mrežu (B, �) . a

,

·,

-

4.8. SKUPOVNI PRIKAZ KONAČNIH BOOLEOVIH ALGEBARA

79

Da bismo lakše dokazali teorem o skupovnom prikazu konačnih Booleovih alge­ bara, trebat će nam nekoliko novih pojmova. DEFINICIJA. Neka je (B , + , · , -) Booleova algebra. Za a, b E B kažemo da je a � b ako je ab = a . PRIMJER l . Ako je B = 2x algebra svih podskupova zadanog skupa onda za e, D E 2x relacija e � D , tj. e n D = e , znači upravo to da je e � D .

X,

Propozicija 1 . Neka su a, b, e, d bilo koji elementi Booleove algebre B . Rela� na B ima sljedeće vlastitosti. Relacija � na B je relacija parcijalnog poretka. a � b onda i samo onda akoje a + b = b . ako je a � b i e � d , ondaje ac � bd . ab = inf{ a, b} , a + b = sup{a, b} . a � b onda i samo onda akoje b � a . DOKAZ. (i) Refleksivnost relacije � je jasna: aa = a , tj. a � a . Antisimetričnost: a � b i b � a znači ab = a i ba = b , pa zbog komutativnosti množenja slijedi a = b . Tranzitivnost: ako j e a � b i b � tj. ab = a i bc = b , onda je ac = (ab)c = a(bc) = ab = a , dakle a � e . (ii) Ako je a � b tj. ab = a , onda je a + b = ab + b = b po pravilu upijanja (vidi Propoziciju 2.4. 1). Obratno, iz a + b = b slijedi ab = a(a + b) = a , opet po pravilu apsorpcije. onda je (ac)(bd) = (iii) Ako je a � b i e � d , dotično ab = a i cd = (ab)(cd) = ac , ac � bd . (iv) Dokažimo prvu jednakost. Najprije, element ab je dolnja međa od a i b . Npr. ab � a jer je (ab)a = aab = ab , i slično ab � b . Dokažimo da je ab najveća dolnja međa, tj. infimum od {a, b} . Ako je ai b , onda je zbog (iii) e � ah , pa po definiciji infimurna slijedi ab = inf{a, b} . Slično se dokazuje i druga jednakost. (v) Iz a � b , tj. ab = a , slijedi ab = a , tj. a + b = a . Tvrdnja slijedi iz (ii): Q.E.D. b � a. Obratno, iz b � a iz netom dokazanog slijedi a = a � b = b .

cija (i) (ii) (iii) (iv) (v)

e,

e,

e� e�

P RIMJER 2 .

Vrlo l�ko je dokazati da iz

a

� b i

"

� d "lije
" + ..-

'E

b + d.

Npr. ovako: zbog (v) je b � a i d � e , zbog (iii) je zatim b · d � a · e , pa opet iz (v) slijedi a + = a · e � b d = b + d . DEFINICIJA. Element a f u Booleovoj algebri B zove se atom Booleove algebre ako iz x � a slijedi x ::::: ili x = a . Drugim riječima, atomi su oni elementi f koji pokrivaju nulu. P RIMJER 3 . U algebri 2{a,b,c} svih 23 = 8 podskupova tročlanog skupa {a, b, e} atomi su svi jednočlani podskupovi {a} , { b} , { e} . Doista, ako je e � {a} , onda je e = 0 ili e = {a} . Pogledajte što su atomi na odgovarajućem Hasseovom dijagramu. P RIMJER 4. Nije teško vidjeti da svaka konačna Booleova algebra ima neprazan skup atoma.

e

O

·

OO

4. BINARNE RELACIJE

80

Lema 2. Neka je B konačna Booleova algebra. Za svaki x ;fi O u B postoji atom a takav daje a � x .

DOKAZ. U suprotnom bi postojao x i neki a1 < x , a1 ;fi O koji nije atom, zatim bi za a1 postojao az < a1 koji nije atom, itd. Dobivamo beskonačan slijed a1, az, . . . , a to je kontradikcija s konačnošću algebre B . Q.E.D. Lema 3. Ako je a atom i a � x , onda a � :X i obratno.

X

= 0 , dakle DOKAZ. Neka je a � x . Kad bi bilo a � :X imali bi a = a · X � X a = a . O = O , što je proturječje sa a ;fi O . Obratno, ako je a � :X , onda je a:x -:fi a . Kako je a atom i ax <: a , imamo ax = o . Odavde je a = a(x + x) = ax + a:x = ax , Q.E.D. dakle a � X Sada dolazimo do vrlo zanimljivog teorema o skupovnom prikazu (reprezentaciji) konačnih Booleovih algebara. Teorem zapravo pokazuje da se proučavanje konačnih Booleovih algebara može svesti na proučavanje algebara skupova. •

•

Teorem 4. (Skupovni prikaz konačnih Booleovih algebara) Neka je (B, +,

· ,

-

) konačna Booleova algebra i A pripadni skup svih atoma. Onda je Booleva algebra B izomorfna s algebrom skupova zA .

DoKAZ. Prema Lemi Z je A ;fi 0 . Konstruirajmo funkciju f : B --+ zA sa f(x) = {a A : a � x} , tj. f(x) je skup svih atoma koji su � x . Dokažimo da je to traženi izomorfizam Booleovih algebara. (i) f je injektivna. Doista, neka su x, y B , x ;fi y . Onda je ili x � y ili y � x , recimo x � y , tj. xy ;fi x . Dakle xy ;fi O . Naime u suprotnom bi bilo x = x(y + y) = xy + xy = xy , tj. x � y , kontradikcija. Prema Lemi Z postoji atom a takav da je a � xy � x , dakle a f(x) . S druge strane je a � xy � y , dakle prema Lemi onda a � y tj. a fl. f(y ) . . Time smo dokazali da je f(x) ;fi f(y) . (ii) Funkcija J je surjektivna. Neka je A' = {at . . . . , an} E zA (tj. A' � A ). Definiraj mo x = a 1 + . . . + an i dokažimo da je f(x) = A' . Zbog ai � x za sve vrijedi A' � f(x) . Obratno, ako je a f(x) onda je a � x , tj. a = ax = aa1 + . . . + aan· Kad bi bili svi aai = O bio bi a = O. Dakle postoji za koji je aai ;fi O . Budući da je a atom i aai � a , onda je aai = a , tj. a � ai . Međutim a i ai su oba atomi, pa je a = ai E A' . Dakle vrijedi i obratna inkluzija: f(x) � A' . Time smo dokazali da je f(x) = A' . (iii) Funkcija f je izomorfizam. Treba najprije dokazati daje f(xy) = f(x) nj(y) za sve x, y B . Neka je a f(xy) . Onda je a � xy . Pokažimo da vrijedi a � x i a � y . Doista, kad bi bilo npr. a � x , onda bi zbog Leme imali a � :X , što bi zajedno sa a � xy povlačilo a � :X · (xy) = O , tj. a = O , a to je protuslovlje. Dakle a f(x) i a f(y) , tj. a f(x) n j(y) . Time smo dokazali inkluziju f(xy) � f(x) n j(y) . Obratno, neka je a f(x) n f(y) , tj. a � x i a � y . Onda je a � xy , tj. a f(xy) . Time je dokazana obratna inkluzija: f(x) n f(y) � f(xy) . Preostaje još vidjeti daje f(x) = f(x) . Neka je a /(:X) , tj. a � :X . Kad bi bilo a � x , imali bi a � xx = O tj. a = p , što je nemoguće. Dakle a � x , tj. a f(x) . Odavde slijedi /(:X) � f(x) .

E

E

E

3

i,

E

i

E

E

E

E

E

3

E

E

E

E

81

4.8. SKUPOVNI PRIKAZ KONAČNIH BOOLEOVIH ALGEBARA

Obratno, neka je a E J(x) . Onda a � x, pa iz Leme 3 slijedi a � Znači Q.E.D. a E J(x) . Time smo dokazali da je J(x) � J(x) . PRIMJEDBA l . Svaki izomorfizam Booleovih algebara J : B 1 Bz čuva nejed­ nakosti, tj. iz x � y u B 1 slijedi J(x) � J(y) u Bz . Dokaz je trivijalan: zbog xy = x je J(x)J(y) = J(xy) = J(x) . PRIMJEDBA 2. Svaki izomorfizam Booleovih algebara prebacuje atome jedne algebre u atome druge. Dokaz te tvrdnje je lagan. Ako je J : B 1 Bz izomorfizam algebara i a 1 atom u B 1 , onda je az := J(a 1 ) atom u Bz . Naime ako je xz � az i xz # O , onda je x 1 := J- 1 (xz) � J- 1 (az) = a 1 i x 1 # O , dakle x 1 = a 1 , tj. xz = J(xi) = J(a i ) = az . PRIMJER 5 . Skup D30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} svih djelitelja broja 30 je Booleova algebra s obzirom na nzv ( ) i Nzm ( ) kao binarne operacije zbrajanja 30 i množenja, i komplementiranje a = a . Ona je izomorfna sa skupovnom algebrom 2{a, b, c} . Atomi od D30 su elementi 2, 3, 5 . x.

---+

·

---+

·

,

·

·

,

·

Iz prethodnog teorema odmah dobivamo sljedeći zanimljiv zaključak.

B ima 2n elemenata, pri čemu je n B . Svake dvije konačne algebre s istim brojem elemenata međusobno

Korolar 5. Svaka konačna Booleova algebra

broj atoma od su izomorfne.

=

DoKAZ. a) Ovdje rabimo činjenicu daje j2A I 2IA I , koja će biti dokazana u Teoremu Vrijedi j2A j 2 IA I = 2n . b) Ako su i dvije algebre s istim brojem elemenata 2n , s pripadnim n -članim skupovima atoma A 1 i Az , onda po prethodnom teoremu postoje izomor­ fizmi Booleovih algebara fl : B I � 2A1 i h : Bz � zAz MedUtim Booloove algebre skupova 2At i 2A2 međusobno su izomorfne. Dovoljno je uzeti bilo ko­ ju bijekciju r A1 ---+ Az , i s pomoću te funkcije definirati a : 2At ---+ 2Az sa a(A ' ) y(A ' ) E 2Az . Vrlo lako je provjeriti da je a izomorfizam. Prema tome ---+ funkciju (3 : definiramo tako da sljedeći dijagram bude komutativan: 2A 1 � 2Az

6.1.5.

!B l = = B 1 Bz

•

=

:

B 1 Bz ,

·

Bz 1 (3 = Jz-

Bl

=

To znači da je a o h h o (3 , tj. izomorfizarna takoder izomorfizam.

--+

{3

o

a o h . Očevidno je kompozicija Q.E.D.

D1 2

6

PRIMJER 6 . Skup iz Primjera 4.7.4 nije Booleova algebra jer irna eleme­ nata (nije oblika 2n ). Tvrdnja teorema ne vrijedi općenito za beskonačne Booleove algebre. Postoje naime i prebrojive Booleove algebre, koje nisu izomorfne sa 2A niti za koji skup A .

B

N

PRIMJER 7. Označimo sa skup svih podskupova od koji su ili konačni, ili im je komplementkonačan skup. To je Booleova algebra s obzirom na operacije unij�, . znamo da Je presjeka i komplementa. Ona irna prebroj ivo mnogo elemenata (štovtše, skup svih konačnih sljedova prirodnih brojeva prebrojiv). ·

4. BINARNE RELACIJE

82

nije ekvipotentan niti kojem skupu oblika zA . Ako je skup A preb­ Skup rojiv, onda je zA neprebrojiv: za najmanji beskonačan kardinalan broj l{o je naime z No = e > l{o , vidi [Papić, Teorem 3.Z5].

B

Ipak, beskonačne Booleove algebre imaju također skupovni prikaz, ali ne više tako točno opisan kao kod konačnih algebara. Tvrdnju navodimo bez dokaza.

B

Teorem 6. (M.H. Stone) Svaka beskonačna Booleova algebra je izomorfna nekoj podalgebri algebre skupova zx za neki skup X . Točnije, postoji neki skup X i partitivnog skupa zx takav da je podskup u, n, -) algebra koja je izomorfna sa B .

(B',

B'

PRIMJER 8 . Prebrojiva algebra skupova zN , koja je neprebrojiva.

B iz prethodnog primjera je podalgebra algebre

u zaključku, vidjeli smo daje svaka Booleova algebra zapravo parcijalno poredan skup, s prirodno definiranom relacijom poretka, u kojem za svaka dva elementa postoji supremum i infimum. Dakle svaka Booleova algebra je mreža: Booleove algebre e mreže e parcijalno poredani skupovi

PRIMJER 9 . Primjer mreže koja nije Booleova algebra je već i tročlani skup X = {0, a, l } , uz a = , s prirodnim poretkom O < a < l . Očevidno ne postoji komplement od a , dotično element a X takav da je aa = O i a + a = l . Naime za bilo koji izbor a X je baremjedan od dvaju izraza aa ili a + a jednak a (provjerite gledajući a = o, a, l ). PRIMJEDBA 3. Na Booleovim algebrama imamo definirana dva pojma izomorfi­ zma: a) izomorfizam f : B 1 --+ Bz Booleovih algebara i b) izomorfizam odgovarajućih parcijalno poredanih skupova. Nije teško vidjeti da se ta dva pojma podudaraju.

!

E

E

� POVIJESNA CRTICA � M.H. Stone { 1 903), američki matematičar, ot­ krio je teorem o skupovnoj reprezentaciji Booleovih algebara 1936. g.

x, x : x E x y.

X} , zovemo Binarnu relaciju !:J. na skupu X definiranu sa !:J. = { ( ) relacijom jednakosti na X , tj. !:J.y vrijedi jedino ako je = Ta se relacija zove i dijagonala u X x X . Ona je zapravo "pravac" = u X x X , i očevidno je relacija ekvivalencije. Radi se dakako o relaciji = na X (označavmo ju radije sa !:J. nego = , jer ju gledamo kao podskup od X x X ) . Sljedeća dva pojma predstavljaju poopćenje dobro poznatih pojmova kompozicije i inverzne funkcije na X .

x

y x

p1 p2

na skupu X definiramo novu re­ i DEFINICIJA . Za dvije zadane relacije laciju - kompoziciju relacija - kao skup svih ( y) X x X za koje postoji o X takav da je i y . U sažetijem zapisu: = { ( ) X x X : ( X)( o }.

zE

P pz x p 1 z z pz I Pl pz x, y E

x, E 3z E x Pl z 1\ zpzy

83

4.9. OPERACIJE S BINARNIM RELACIJAMA

PI o p2

: X X,

Ako su ove dvije relacije zapravo funkcije II i h � onda relaciji odgovara funkcija h o ft . Naime = (jz ft vrijedi onda i samo onda ako za z : = II imamo = h (z) .

(x)

o )(x)

y

y

p X

DEFINICIJA. Za relaciju na definiramo inverznu relaciju onda i samo onda ako je šemo

x p- I y

y px : I p- = {(x, y) E X x X : (y, x) E p}.

p- 1 tako da pi­

Vrlo lako je pokazati da, slično kao i za funkcije, vrijedi

PI (pz PJ ) = (Pl Pz) PJ, (Pl Pz ) - 1 = P2 1 o P} 1 . Podskup p skupa X x X je očevidno simetričan podskupu p 1 s obzirom na dijagonalu 11 . Sljedeća jednostavna propoziciju opisuje refleksivnost, simetričnost, antisimetričnost i tranzitivnost relacije p s pomoću dijagonale inverzne relacije I p- i kompozicije p o p . Propozicija 4. Neka je p relacija na skupu X, tj. p e X x X. (i) Relacija p je refleksivna onda i samo onda ako je 11 � p . (ii) Relacija p je simetrična onda i samo onda ako vrijedi p = p - 1 . (ii) ' Relacija p je antisimetrična onda i samo onda ako je p n p - I = 11 . (iii) Relacija p je tranzitivna onda i samo onda ako je p o p � p . 0

0

0

0

0

-

L\ ,

DOKAZ. Dokažimo samo (iii), ostalo ostavljamo za vježbu čitatelju. Neka je relacija tranzitivna. Da bi dokazali inkluziju, uzmimo E Po definiciji kompozicije relacija postoji z tako da je ziz pa iz tranzitivnosti slijedi tj. E Time je dokazano da vrijedi Obratno, neka vrijedi Da bi dokazali tranzitivnost relacije, neka je z . Onda po definiciji kompozicije vrijedi z) E Kako je Q.E.D. onda vrijedi i z) E tj. z .

p xp y , (x, y) p . p o p � p. xp y i y p (x, p, x p

xp

py , p o p � p. (x, pop .

(x, y) p o p .

pop � p ,

p � p o p. (x, y) p

PRIMJER l . Za svaku relaciju koja je refleksivna vrijedi Doista, E Zbog refleksivnosti je E što zajedno sa E odaberimo irna za posljedak E (ovdje ima ulogu z -a iz definicije kompozicije • relacija). Dakle za svaku refleksivnu i tranzitivnu relaciju, a onda i za svaku relaciju ekvi­ = valencije i relaciju parcijalnog poretka, vrijedi

(x, y) p . (x, y) p o p

x

(x, x) p ,

p op p. PRIMJER 2 . Razumije se, nije uvijek p o p � p , u što se možemo uvjeriti već na jednostavnom primjeru funkcija na X, koje su takoder relacije. Uzmimo X = R i defi­ nirajmo funkciju p : R � R, p(x) = x+l , tj. x p (x+l). Ondaje (pop)(x) = x+2, tj. x (p o p) (x + 2) . Relacija (funkcija) p nije niti simetrična, niti tranzitivna. PRIMJEDBA l . U ovom poglavlju definirali smo binarne relacije p � X2 • Mo­ guće je definirati i ternarnu relaciju p � X3 , i općenito n -arne relaciju p kao p � xn , gdje je xn Kartezijev produkt n kopija skupa X, dotično skup svih poreda­ nih n -teraca elemenata iz X. PRIMJER 3 . Za tri broja x, y, z E R možemo reći da su u (temamoj) relaciji p na skupu X = R ako je 2x + y - z = l . Tvrdnja (x, y, z) E p ekvivalentna je s tvrdnjom da točka (x, y, z) leži u ravnini p u prostoru R3 .

4. BINARNE RELACIJE

84

X = R3

A, B

Za tri točke možemo reći da su u relaciji ako leže i C u prostoru na istom pravcu. Relacija "ležati na istom pravcu" je za tri točke temama relacija, a za točaka -arna relacija. PRIMJEDBA 2. Moguće su ne samo n -arne relacije, nego i relacije s beskonačno mnogo varijabla. Takve su npr. na skupu realnih brojeva, o kojima će biti riječi kasnije. Radi se o beskonačnim sljedovima realnih brojeva međusobno poveznih rekurzivnom relacijom. PRIMJEDBA 3. Binarne relacije mogu se definirati i općenitije, ne nužno na istom skupu nego i na različitim skupovima X i tj. kao podskupovi od x Onda govorimo o relaciji "iz X u slično kao i kod funkcija. Npr. ako je skup svih točaka u nekoj ravnini i skup svih pravaca u ravnini, onda možemo definirati sljedeću relaciju između točaka i pravaca : "točka leži na pravcu (tzv. relacija incidencije, tj. pripadanja). Ovdje se više ne može govoriti o refleksivnosti, simetričnosti ili tranzitivnosti takve relacije. Bilo koja funkcija f : X Y specijalan je slučaj relacije iz X u Y . Relacija je opisana grafom funkcije u x Slično kao i za funkcije : X -t (koje su također relacije iz u , prirodno definirati i (područje vrijednosti) relacije iz u kao skupove

n

n

rekurzivne relacije

X,

X

p

Y"

Y,

p

,

Y

y"

x

y

X Y. x

J X Y. J Y X Y) domenu Đ(p) sliku 'R(p) p X Y Đ(p) = {x E X : (3y E Y)xpy}, 'R(p) = {y E Y : (3x E X)xpy}. ----+

y

� ( p)

: : : : (J

l l l

l l l

Sl. 4. 12.

:lJ( p)

X

Domena i područje vrijednosti relacije

p.

Relacije se pojavljuju i u društvenim znanostima, u psihologiji i sociologiji. U školskom razredu se ponekad medu učenicima sprovodi anketa u kojoj treba odgovoriti na pitanje poput: "S kim bi u razredu najviše volio sjediti u istoj klupi?" Na temelju takve ankete, tzv. sociograma, mogu se dobiti zanimljivi podatci o razredu - tko je najpopularniji, tko je usamljen itd. Relacija p ''htjeti sjediti sa" na skupu X svih učenika nekog nije refleksivna (po definiciji), a ne mora biti niti simetrična, niti tranzitivna. =

� PoVIJESNA CRTICA � Relacija ekvivalencije je toliko temeljan pojam da je besmisleno tražiti tko ju je prvi na ovaj ili onaj način rabio. Ona se nalazi u samom temelju ljudskog razmišljanja. Relacije ekvivalencije mogu se naći i u glaz­ bi. Npr. poistovjećivanjem tonova koji se u dur-ljestvici razlikuju za oktavu ili njen višekratnik (npr. tona c1 s tonom C2 itd.) dobivamo zapravo samo sedam različitih stupnjeva diatonske dur-ljestvice: C, H . Relaciju sličnosti na skupu tro­ kuta uveo je vjerojatno još starogrčki matematičar koji je živio oko 625-547. g. prije Krista. Pojam funkcije uveo je W. ( 1 646-17 16) u diferencijalnom računu. Oznaku za funkciju prvi je rabio švicarski matematičar ( 1707- 1 783).

Euler

y = J(x)

D, E, F, G, A, Tales, G. Leibniz

Leonhard

4.9. OPERACIJE S BINARNIM RELACIJAMA

85

Robert Recorde

Znak jednakosti = uveo je u matematiku engleski matematičar ( 1 5 1 0-1558) u prvoj algebri izdanoj na engleskom jeziku (u Londonu 1577. g. pod naslovom iz razloga "što ništa ne može biti većma jednako nego dva usporedna mala poteza". Relacije > (veće od) i < (manje od) potječu iz 17. st. (T. London, 1 63 1 ) . Pojam dobro poredana skupa potječe od ( 1 845-1918). Hasseove dijagrame uveo je njemački matematičar ( 1898-1979).

Cantora Hasse

Brusilo oštroumnosti), Harriot,

Georga Helmut

Nemoguće je biti matematičar, a da nisi u du�i i pjesnik.

- Sofia KOVALEVSKAYA ( 1 850.. 1 89 1 )

Matematičari ne proučavaju objekte, nego samo relacije medu objektima. - Jules Henry J>OINCAJ:U3 ( H l :J-l, l�)

Matematička znanost je po mojem mi�ljenju nedjeljiva cjelina, organizam čija je vitalnost uvjetovana povezano�ću njenih dijelova.

- David HILBERT (1862-1943)

Poredjezika i glazbe, matematika je jedna od glavnih manifestacija slobodne stvaralačke snage ljudskoga i univerzalno sredstvo za razumijevanje svijeta uz pomoć teorijskih konstrukcija.

uma,

- Hermann WEYL (1885-1955)

Istaknuta osobitost matematikeje da se zanima jeruno relacijama melJu nedetiniranim pojmovima. -

lli

Wi

am

(Vilim) FELLER ( 1906-1970)

5.

86

BINARNE OPERACIJE

5.

Binarne operacije

DEFINICIJA. Binama operacija na skupu G je bilo koja funkcija dviju varijabla o : G G --+ G . Vrijednost te funkcije na poredanom paru (x, y) označavamo sa x o y ili kratko samo sa xy . PRIMJEDBA l . Dobro primijetite veliku razliku između pojma binarne i binarne Binarnu operacija treba shvatiti kao "množenje" kojim dvama ele­ mentima skupa G pridružujemo treći element. S druge strane, binarna relacija na G je jednostavno podskup Kartezijeva produkta G G .

x

operacije

relacije.

x

PRIMJER l . Tijekom c;losadanjeg školovanja upoznali smo neke temeljne binar­ ne operacije s pomoću kojih dvama elementima nekog skupa G pridružujemo treći element. Evo nekih primjera: (l) operacija zbrajanja realnih brojeva ( G = o = + (2) množenje realnih brojeva o (3) zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva ( G = e ); ) (4) najveća zajednička mjera dvaju prirodnih brojeva ( G = N , o b = Nzm = vektorski produkt dvaju vektora u G = ) zbrajanje vektora u produkt dvaju vektora nije binarna operacija, jer ovdje dvama vektorima pridružujemo skalar (realan broj), a ne vektor; ( 6) zbrajanje pravokutnih matrica tipa m n ( G = Mmn , + B ); množenje kvad­ ratnih matrica tipa n x n ( G = Mnn , · B ); --+ npr. J(x, y) = (7) vrijednost bilo koje funkcije dviju varijabla J : eX sin y , G = x o y = J(x, y) ; kompozicija dviju funkcija ( G je skup svih funkcija iz skupa S u samog sebe); konvolucija * dviju kvadratno integrabilnih funkcija J i g : --+ ( G je vek­ torski prostor kvadratno integrabilnih funkcija iz u e , a operacija konvolucije * je definirana sa (J * g )(x) JR J(x - y)g (y) dy ) ;

(5)

Rn ;

skalami

R, a b a b); (a b = a · b); a x A

(8) (9)

R,

=

A RxR

R

(a, b) ; R3 (aob axb ;

R,

R R

87

5 . 1 . DEFINICIJA I PRIMJERI

(lO)

o= o=

disjunkcija V , konjunkcija 1\ u algebri svih sudova G , V, 1\ , ili opće­ nitije - zbrajanje i množenje u bilo kojoj Booleovoj algebri; vidi tablicu zbrajanja i množenja za dvočlanu Booleovu algebru itd.itd.

B = {0, l} ;

y x·y x+y o o o l o l l o o l l l l l

X o o

PRIMJEDBA 2. Implikacija

=

=}

je također binama operacija na skupu G ili laž .l , slično kao i kod binarnih operacija V i 1\ . Vrijednost od A =} B je .l jedino ako je A = B .l . Treba upozoriti da se u svakodnevnom govoru, kada govorimo "iz A slijedi B", redovito misli na logičku posljedicu A l= B , tj. da iz A slijedi B". Dakle A =} B nema kod nas isto značenje kao i u svakodnevnom govoru. Ipak, i u ovoj knjizi na mnogo mjesta rabimo uzrečicu " .. .iz toga slijedi ..." u smislu logičke posljedice l= (tj. "istina je da iz toga slijedi ..." ). Istaknimo još jednom da je =} binama na skupu sudova, dok je l= (shvaćena u smislu A l= B ) binama Na isti način je i � (ekvivalen­ cija dvaju sudova) binama operacija, dok je = (logička ekvivalencija dvaju sudova) binama relacija.

{T, } , čija vrijednost je istina T .l

T, =

"istina je

operacija

relacija.

o

DEFINICIJA. Skup G zajedno s binarnom operacijom zove se grupoid. Struč­ nije se još kaže da je grupoid poredani dvojac (G, , gdje je binama operacija. PRIMJEDBA 3. Može se govoriti kratko i o grupoidu G , pod uvjetom da znamo operaciju koja mu pripada. Slično i za strukture koje će biti uvedene kasnije (npr. grupa, polje, prsten).

o)

o

o

DEFINICIJA. Za podskup A od G kažemo da je grupoid s obzirom na binarnu operaciju naslijeđenu iz G ako za svaki E A vrijedi E A , dotično produkt dvaju elementa iz A ostaje u skupu A . U tom slučaju kažemo još da je skup A zatvoren s obzirom na operaciju

o

x, y

o

x oy

•

PRIMJER 2. Skup R je grupoid s obzirom na zbrajanje realnih brojeva. Dvojac +) ima također strukturu grupoida. Podskup A = {O, l, 2} nije grupoid s obzirom na zbrajanje naslijeđeno iz R (npr. 2 + 2 rf: A ). Skup prirodnih brojeva N je zatvoren s obzirom na binarne operacije zbrajanja i

(z,

množenja, ali nije s obzirom na oduzimanje i dijeljenje.

o

U daljnjem ćemo radi jednostavnosti binarnu operaciju označavati jednostavno sa . i zvati "množenje" (iako u konkretnom slučaju to može biti zapravo zbrajao)� brojeva, kompozicija funkcija itd. ). Vrijednost pisat ćemo kratko kao x y th samo

xoy

xy .

·

DEFINICIJA. a) Polugrupa je grupoid (G, ·) u kojem je binama operacija aso­ E G vrijedi: cijativna, dotično za sve

x, y, z

b) Monoid je polugrupa (G,

·

x(yz) = (xy)z.

·) u kojoj postoji element e takav da za sve x ex = xe = x.

E

G vrijedi

5. BINARNE OPERACIJE

88

e

Element zove se jedinični ili neutralni element. PRIMJEDBA 4. Ako je binarna operacija zapisana aditivno, kao + , onda se ne­ utralni element zove (nul-element) i označava sa O . Svojstvo asocijativnosti polugrupe možemo zapisati na poznat način: + (y + z) = + y) + z .

nula

aditivne

x

(x

(G,

PRIMJER 3. Provjerite sami koji su poredani dvojci · ) iz Primjera l polug­ rupe. Koji od njih imaju jedinični element? U definiciji monoida ne tvrdi se da postoji jedan jedini jedinični element, ali to možemo lako dokazati. Prepe2ieija 1 . S:vaki

mon ojd jrna točno jedan jedinični element.

e ee' = e' x = e' ), e' = e.

DoKAZ. Pretpostavimo da osim jediničnog elementa imamo još jedan jedinični el­ ment Kako je onda je (stavi a zbog Q.E.D. za x dobijemo Prema tome je

e' . =e

ex = xe = x, ee' = e .

e'x = xe' = x

PRIMJER 4. Neka je X bilo koji skup i promatrajmo pripadni partitivni skup

G = 2x .

zx, (zx,

e= e=

U) je monoid. Jedinični element je 0. a) Dvojac ( b) Dvojac n) je monoid. Jedinični element je X. Općenito, ako j e zadana bilo koja Booleova algebra (B, +, ·, -, O, (B, +) i (B, ·) monoidi čiji su jedinični elementi O i l respektivno.

l),

onda su

slova.

PRIMJER 5 . Neka je X bilo koji skup simbola, koje interpretiramo kao Riječ na X je konačan slijed elemenata skupa X . Npr. ako je X e} , onda su riječi na X . Skup svih riječi označavamo sa X* . Definirajmo sada binarnu operaciju · na skupu X* . Ako su i dvije riječi, onda neka je riječ dobivena tako da najprije napišemo redom sva slova riječi i odmah do njih desno nadovežemo slova riječi U gornjem primjeru je Ovakva binama operacija zove se konkatenacija ( ulančavanje, nadovezivanje) riječi. Trivijalno je provjeriti da je konkatenacija asocijativna operacija. Provjerite to na primjeru Time smo dobili polugrupu (X* , · ) svih riječi koja se zove slobodna polugrupa. Slobodnoj polugrupi X* možemo pridružiti još jedan element (riječ) koji se zove Jasno je da se konkatenacijom s praznom riječi ništa ne mijenja: za svaki E X* , uključujući i Prema tome je neutralni element, čime X* postaje monoid s obzirom na operaciju konkatenacije. PRIMJEDBA 5. Na istom skupu može biti definirano i više različitih binarnih operacija. U diskretnoj matematici proučavaju se dotično skup snabdjeven s jednom ili više operacija (unamim, binarnim itd.) i relacijama na u kojima je skup konačan ili prebrojiv skup. Primjeri takovih struktura su Booleova algebra, parcijalno poredan skup, grupoid, polugrupa, vektorski prostor, kasnije ćemo upoznati druge važne strukture kao što su grupa, prsten, polje.

= {a, b,

S = aaac, T = ababba, U = abacbb ST

S T S ST = aaacababba.

T.

T(SU) = (TS) U .

prazna riječ. .AT = TA. = T

.A

T

T = .A .

G

G

.A

matematic'ke strukture,

G

� POVIJESNA CRTICA � Oznake za binarne operacije zbrajanja zimanja - uvedene su prvi put u djelu pod naslovom Leipzig 1489.

aritmetike,

J. Widmana

G

+ i odu­

Pregled trgovac'ke

5.2. POLJSKA I OBRNUTA POLJSKA NOTACIIA

89

između dviju pripadnih varijabla a + b, a - b, a · b, afb.

Označavanje u kojem binama operacija dolazi zove se infix notacija. Takve su npr.

Poljska notacija. Za zbrajanje realnih brojeva ponekad je korisno rabiti oznaku Doista, zbrajanje je binama operacija, tj. funkcija s dvije varijable Štoviše, moguće je i daljnje pojednostavnjenje u kojem se sasvim ispuštaju zagrade: +ab. Takva se oznaka zove prefiks označavanje {notacija). Binarna operacija je svojih dviju varijabla. Slično, {i) -ab označava razliku (ii) · ab označava {iii) /ab označava kvocjent {iv) i ab označava eksponencijalnu funkciju Ovakav način označavanja algebarskih izraza zove se još i poljska notacija. Na­ ziv je dobio u čast poljskog {zapravo ukrajinskog) matematičara { 1 878-1956). Zanimljivo je da se svaki algebarski izraz u kojemu se pojavljuju binarne operacije zbrajanja oduzimanja - , množenja dijeljenja j , i potenciranja i , može prevesti u poljsku notaciju bez uporabe zagrada! PRIMJER Izraz u poljskoj notaciji dobije se tako da zadani izraz najprije imamo +bc, i zatim tome treba dodati dakle

+(a, b) .

a, b E R. ispred

a · b;

a - b; afb ;

ab .

Jana Lukasiewieza

+,

·,

l. a + (b + e) gledamo sdesna na lijevo: a, +a+bc. Izraz (a+b) +e prevodimo u poljsku notaciju tako da najprije uzmemo i njemu e

dodamo +ab, dakle ++abc. Prema tome, zakon asocijativnosti za zbrajanje realnih brojeva u poljskoj notaciji izgleda ovako {čitati slijeva na desno!):

c ac besmislen, jer + mora imati dvije varijable (ovdje ima samo Slično i

za

množenje:

·

a·

b

+a+bc=++abc .

= ·

·

b

.

Prit:n.ijetite da je zapis a.+b

b).

u

a·

poljskoj notaciji

PRIMJER 2. Izraz � u poljskoj notaciji postaje · a/bc, a njemu jednaki izraz lle postaje · j bca Izrazu ah odgovara u poljskoj notaciji l · abc. Pogledajmo malo složentji primjer. Lijevo je zadani izraz, a desno pripadna poljska notacija, koju ispisujemo f)g+h t-t +/-a i bed i +ef+gh ·

a

.

sdesna na lijevo: a--bc + (e + d

Prevođenje izraza u poljsku notacija možemo provesti postupno ovako:

a - bc + e + f g+h = a - (l bc) + +ef +gh ( ) ) ( d d -a( bc) = + r (+ef)( +gh)

!

/( -a(l bc))d+ r (+ ef)( +gh) = + (/(-a( l bc))d)(l ( +ef)(+gh)) = +/-albcdl +ef+gh =

5. BINARNE OPERACIJE

90

Obratno, ako je algebarski izraz zadan u poljskoj notaciji, prevodimo ga u uo­ bičajeni oblik opet čitanjem sdesna na lijevo. U izrazu +l -a l bed l +ef+gh čitamo redom:

g + h, e + J, 3) (ec + f)C+h ' +h ' 4) b ' (e + J)C 5) a - bc , (e + J)C+h , 6) � . (e + J)g+h , 7) a-;,{'"' + (e + !)8+11 . l)

2)

Obrnuta poljska notacija. Moguća je i postflX notacija ili obrnuta poljska notacija,

poslije pripadnih dviju varijabla: a+b ab+, ab-, a-b a·b ab·, ab/, afb ab abl . Zakon asocijativnosti za zbrajanje a+ (b + ) = (a+ b) + u postfix oznakama bio bi

u kojoj binarna operacija dolazi

1---+

l-+

l-+ l-+ l-+

e

e

abc++=ab+c+. Algebarski izraz iz posljednjeg primjera u postfix oblik izgleda ovako: abc j -d/ ef+gh+ l + .

Obrnuta poljska notacija se u primjenama rabi čak i češće nego poljska notacija. Ona je naime prirodnija, jer najprije upisujemo varijable, a tek onda operacije koje na njih djeluju. ·

Pisanjem algebarskih izraza u poljskoj i obrnutoj poljskoj notaciji ne samo da nam više ne trebaju zagrade, nego čak niti pravilo sve jačeg vezivanja u slijedu binarnih operacija ± , , j , l . Uporaba poljske notacije je važna kod kompilacija kompjutorskih programa. Ra­ čunalo kod kompilacije pretvara svaki upisani algebarski izraz u poljsku notaciju. Ta notacija je za čovjeka dosta teško 'čitljiva', ali za računalo idealna. ·

"Očevidno" je najopasnija riječ u matematici.

- Eric Temple BELL ( 1883-1960)

Većina umjetnosti - kao slikarstvo, kiparstvo, glazba, imaju emocionalnu privlačnost za široku publiku. To nije slučaj s matematikom; ovu umjetnost mogu cijeniti jedino matematičari.

- Cornelius LANCZOS ( 1893-1974)

6. 1 . PRODUKTNO PRAVILO

91

6.

Uvod u kombinatoriku

Kombinatorika je grana matematike koja se među inim bavi i problemom nalaže­ nja kardinalnog broja konačnih skupova, zadanih na vrlo različite načine. Pogledajmo nekoliko najjednostavnijih primjera prebrojavanja.

PRIMJER l . Neka su m i n cijeli brojevi i m � n . Cijelih brojeva izmedu m i n uključivo (tj. svih i takvih daje m � i � n), ima ukupno n - (m - l ) = n - m + l . DoKAZ. Ako je m = l onda je tvrdnja jasna: brojeva i takvih da je l � i � n ima ukupno n, što je u skladu s tvrdnjom. U nejednakosti m � i � n oduzimljemo m - l nakon čega dobivamo l <j< m + l , gdje je j i - (m - l ) . Broj i -ova u prvom 'intervalu' jednak je broju j -ova u drugom, dakle n m + l . =

n -

,

Q.E.D.

-

Npr. cijelih brojeva između lO i 20 uključivo ima ukupno 20 - 9 = l l . Između -5 i 8 uključivo irna ih 8 - ( -6) 14 . U Odjeljku 1 .3.2 definirali smo pojam najvećeg cijelog dijela realnog broja x , koji

=

se označava sa Najveće cijelo od elemenata raznih skupova.

LxJ .

n

x

se često pojavljuje prigodom prebrojavanja ·

PRIMJER 2. Neka su k i zadani prirodni brojevi. Onda svih cjelobrojnih višekratnika od k sadržanih između l i uključivo, ima ukupno

n

n

L!J .

DoKAZ. Ako je l � kq � za neki prirodni broj q , onda je q -ova jednak je najvećem cijelom broju koji je � i , dakle

i � q � I Broj takvih

L 1J .

n

n,

.

Q.E.D.

PRIMJER 3. Neka su m i cijeli brojevi, m � i k zadani prirodni broj. Onda svih cjelobrojnih višekratnika od k koji su između m i uključivo, ima ukupno

liJ - l

m; 1

J

·

n

UVOD U KOMBINATORJKU

6.

92

U intervalu [m, n] postoji isti broj višekratnika broja k kao i u intervalu tran­ slatiranom za kq, tj. u [m + kq, n + kq] , gdje je q bilo koji cijeli broj. Stoga možemo bez gubitka općenitosti pretpostaviti da su m � l i n � l . Prirnijetite da se izraz LIJ - L? J ne mijenja ako zarnijenimo m sa m + kq i n sa n + kq . Prema Primjeru 2 u intervalu [l, n] postoji ukupno L {J višekratnika od k, dok ih u intervalu [1, m - l] ima L l J . Prema tome u intervalu [m, n] ima ih ukupno L {J - L ? J , jer u otvorenom intervalu (m - l, m) ne postoji niti jedan cjelobrojni Q.E.D. višekratnik od k . Koliko ima parnih brojeva između 12 i 50 uključivo? Ima ih L J - L J = 25 - 5 = 20 . Najjednostavniji kombina­ Kardinalni broj nekog skupa označavamo sa torički princip jest pravilo zbrajanja: + !Bl . i B disjunktni, onda vrijedi U Bl = • ako su konačni skupovi koji nisu skupova unije slučaj na Ovo očevidno svojstvo će kasnije biti poopćeno nužno disjunktni (Odjeljak 6.5 ) . Jedan od temeljnih rezultata na kojem se zasniva dvaju prebrojavanje skupova jest daje broj elemenata u Kartezijevu produktu x skupovajednak urnn ošku

DoKAZ.

nk

121

52°

IA I .

A

lA

A

lA l

A 1 A2

IA •I · IA2l ·

Al

Sl. 6.1. Kardinalni broj Kartezijeva produkta skupova. Propozicija 1. Neka su

IA · I · IA2 1 ·

A 1 i A2 konačni skupovi.

Onda vrijedi

IA 1 A 2 l = x

DoKAZ. Da bi prebrojili koliko ima poredanih dvojaca (xi, x ) , učvrstimo element x2 = a2 E A2 . Onda je broj elemenata oblika (xi, a2 ) isti2 kao i broj elementa x l E A 1 , dakle lA d . Kako je taj broj dvojaca (x., a2 ) isti za svaki a2 E A 2 , onda je ukupan broj dvojaca (x., x2 ) jednak 1A t i · IA 2 1 · · Q.E.D.

Ova se tvrdnja može razumjeti i ovako: ako se neki postupak može obaviti na m načina, a svaki od postupaka irna n mogućih ishoda, onda je ukupan broj mogućih ishoda jednak m n . Poopćenje gornjeg rezultata predstavlja sljedeći važan stavak koji govori o kardinalnom broju Kartezijeva produkta skupova.

·

A 1 , , An neprazni skupovi s konačno ( ) Ani = lA d . . . lAni ,

Teorem 2. (Produktno pravilo) Neka su mnogo elemenata. Onda je

l

ili kraće Tit= l

DOKAZ.

IA I Ak i = Tit= l lAk i ·

X . . . X

Rabit ćemo matematičku indukciju po

lA d = lA d (baza indukcije).

. • •

*

n.

Za

n

=

l

tvrdnja je istinita:

6. 1.

PRODUKTNO PRAVILO

93

Prepostavimo da tvrdnja ( * ) vrijedi za neki prirodan broj n (induktivna pret­ postavka). Dokažimo da onda vrijedi i za l , tj. (induktivni korak ). Očevidno Kartezijev produkt I možemo poistovjetiti s Kartetj. sa zijevim produktom dvaju skupova i možemo poistovjetiti sa poredaDoista, svaki poredani 1 -terac ...

n+

lA t i · . . lAni · IAn+ I l

lAt x . . . x An x An+ I I =

At x . . . x An x An+ At x . . . xAn An+ I , (At x . . . xAn) xAn+ I · n+ (xi, , Xn, Xn+ 1) nim dvojcem ((xi, . . . , Xn), Xn+ I ) elementa (xi. . . . , Xn ) iz At x . . . xAn i Xn+ iz An . Prema prethodnoj propozicijije onda I (At x . . . xAn ) xA n+ I I = lA t x . . . xAn i · IAn+ I I · Tvrdnja slijedi odmah iz induktivne prepostavke, jer je onda izraz na desnoj strani jednak ( IA 1I · . . . · lA n i ) · IAn+ ! l = TI�!: lAt i · Neka su A i B dva neprazna, konačna skupa. Označimo sa BA skup svih funkcija J : A -+ B . Postavlja se pitanje koliko elemenata ima skup � ? Sljedeći stavak daje odgovor na to pitanje, a ujedno daje i objašnjenje za neobičnu oznaku BA . Teorem 3. Neka su A i B konačni skupovi. Onda vrijedi l� l = IB I IAI . DOKAZ. Neka je A = {ai . . . . , a11} , dotično IA I = n . Prema prethodnom teoremu n n skup B := B x . . . x B ima I B i = I B I IA I elemenata. Prema tome tvrdnja će biti n dokazana ako pokažemo da skupovi � i B imaju isti broj elemenata, tj. ako kons­ n truiramo bijekciju a : BA -+ B . Dovoljno je za f E � (tj . f : A -+ B ) definirati a(!) = (!(at ), . . . ,J(an)) E B". a(g), onda je Da je a injekcija, to je jasno, jer ako su J, g E � i a(!) f(ak ) = g (at) za sve k = l, . . . , n, tj. J = g . n Surjektivnost je također jasna: odaberi mo bilo koji element (h t , . . . , bn) E B . Onda možemo definirati funkciju f E � sa J( at) := ht . Dakle a(!) = (bi, . . . , ht ) . l

Q.E.o.

=

Q.E.D.

PRIMJEDBA l .

Dokaz teorema možemo riječima opisati vrlo kratko ovako. Bilo

načina. /(a2) na IB I J : A -+ B može vrijednost !(ad J(n a") . Prema produktnom pravilu onda funkciju f možemo zadati na m · m . . . m = m načina, tj . l� l = IB I IAI .

koja funkcija također, itd. do

= m

poprimiti

Korolar 4. . Broj poredanih različita elementa) jednak je zn .

n -teraca sastavljenih od O

i l (ili neka druga dva

DOKAZ. Tvrdnja slijedi neposredno iz prethodnog teorema uz

B = {0, l } .

A=

{at. . . . , an

}

i

Q.E.D.

PRIMJER 4.

(a)

nula i jedinica, a za

n=

Za

n=

n = 4 dobiyamo da postoji Z4 = 16 poredanih četveraca 1 0 dobivamo već Z10 = 10Z4 poredanih deseteraca nula i 27

jedinica. Za Z70 imamo z 0 poredanih Z70 -teraca nula i jedinica. To je više od 8° 1 0 , koliko iznosi procijenjeni broj atoma u vidljivom svemiru ! Vidimo da problem prebroj avanja -teraca nula i jedinica, opisan funkcijom poput zn (eksponencijalna funkcija), ima kombinatomu eksploziju. (b) U glavnoj memoriji računala podatci se smještavaju u �emorijske ćelije. Sv�: ka ćelija ima svoju Kod nekih računala adresa se sastOJI od osam znakova koJI se zovu a vrijednost znaka (bita) je nula ili jedan. Naziv 'bit' dolazi od engl.

n

hitovi,

adresu.

6. UVOD U KOMBINATORIKU

94

Claude Shannon

binary digit, tj. binama znamenka O ili l , a uveo gaje (1916--2001 ) . Svaki takav osmerac bitova, tj. poredani slijed od osam nula i jedinica, zove se (engl. byte). Ukupan broj baj tova iznosi prema produktnom pravilu 28 = 256 . Prema tome postoji ukupno 256 memorijskih ćelija u koje se informacije mogu smjestiti. Neka računala rabe dvo-bajtno adresiranje, tj. adresa memorijske ćelije sastoji se od 2 uzastopna bajta. Za njih je ukupan broj adresa jednak 256 256 = 65 536 . Neka računala pak koriste adresiranje ćelija sa četiri bajta, pa je ukupan broj adresa dostupnih za pohranjivanje informacija u memorijske ćelije jednak 2564 = 4 294 967 296 .

bajt

·

P RIMJER 5. Automobilske tablice sadrže ime grada, zatim tri znamenke i još dva slova abecede. Koliko je takvih tablica moguće napraviti za Vukovar i Dubrovnik zajedno? Svaka od tri znamenke može imati neku od lO vrijednosti O, l, 2, . . . , 9 . Svako od dva preostala slova može imati jedno od 22 vrijednosti: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, R, S, T, U, V, Z. Prema produktnom pravilu je broj mogućih tablica samo za jedan grad jednak 1 03 222 484 000 . Za dva grada će vrijednost biti dvostruka. Kao i obično, za zadani skup X definiramo 2x od X (dakle uključujući i 0 i X ) . Zovemo ga partitivni skup od X . Oznaka 2x za partitivni skup od X je posljedak sljedećeg važnog stavka: ·

=

skup svihpodskupova

Teorem S. Nekaje X konačan skup. Onda vrijedi 12x 1 = 2 IXI .

DoKAZ. a) Neka je X = {xr , . . . , xn } Dokažimo da postoji bijekcija iz partitivnog skupa 2x na skup {0, l }11 svih poredanih n -teraca nula i jedinica. Definirajmo F : 2x ---+ {0, l }" podskupa A E 2x skupa X na sljedeći način. Ako je A = 0 stavljamo F(A ) = (0, . . . , O) . Ako je A f. 0 , onda neka je F(A) n -terac u kojem jedinice dolaze na k-tom mjestu u n -tercu onda i samo onda ako je xk E A (a inače nula). Npr. za A = {xr , x3, x4} stavljamo F(A) = (l, O, l, l, O, . . . , O) . Vrijednost F(A) je n -terac koji predstavlja kod skupa A . Funkcija F je očevidno injektivna, jer ako su A, B E 2x i F(A) = F(B) onda je A = B . Funkcija je surjektivna jer za svaki n -terac iz {0, 1}11 možemo očitati skup A koji je n -tercem kodiran (ako je na k -tom mjestu jedinica, onda je xk E A , a ako je nula onda Xk rf. A ). b) Kako je F : 2x ---+ {O, 1 }11 bijekcija, onda je l2x l = i {O, l }"i = 211 = 2 IXI ,

kodiranjem

gdje smo u predzadnjoj jednakosti rabili Teorem 2.

Q.E.D.

P RIMJEDBA 2 . Vrlo detaljan dokaz koji smo sproveli svodi se ukratko na slje­ deće: broj podskupova n -članog skupa jednak je broju poredanih n -teraca nula i jedinica. Kako na svakom mjestu u n -tercu dolaze po dvije moguće vrijednosti ( O ili l ), ukupan broj n -teraca iznosi prema produktnom pravilu 211 • PRIMJEDBA 3 . Kodiranje skupa A izvršili smo u dokazu prethodnog stavka s pomoću konačnog slijeda nula i jedinica. Taj slijed se može gledati i kao funkcija kA : X ---+ {O, l } , definirana sa ako je x E A , kA (x) = ako je x rf. A .

{ �:

6.2. VARIJACIJE, PERMUTACIJE I KOMBINACIJE BEZ PONAVLJANJA

95

Ova funkcija zove se karakterističnafunkcija skupa A . To je funkcija koja 'raspozna­ je' skup A . PRIMJEDBA 4. Dobro je poznato da za sve prirodne brojeve n vrijedi nejedna­ kost 2n > n (to se lako dokazuje indukcijom). Drugim riječima, za bilo koji konačni skup X vrijedi 12x1 > lX I . Ova tvrdnja je očevidna, jer partitivni skup 2x sadrži medu inim i sve jednočlane podskupove od X, kojih ima upravo l X I . Zanimljivo je da nejednakost 1 2x1 > lX I vrijedi i za beskonačne skupove, vidi [Papić, Teorem 3.20]. Za beskonačne skupove X kardinalni broj partitivnog skupa način vrijedi npr. 2No = (skup svih beskonačnih 2x se označava sa 2 IXI . Na taj sljedova nula i jedinica {0, l } N ima kardinalitet vidi Primjedbu 1.5.1 ). Propozicija 6. Neka je zadan prirodan broj n . Kardinalni broj skupa Booleovih funkcija F Bn - B , gdje je B = {O, l} , jednak je 22n . DOKAZ. Tražimo zapravo IBAI , gdje je A = B'1 • Zbog Teorema 2 je IA I = 2n . Iz Teorema 5 dobivamo da je l � l = I B I IA I 22n . 2 PRIMJER 6 . Booleovih funkcija s dvije varijable ima ukupno 22 = 24 = 16, s 3 4 tri varijable 22 = 28 = 256, a s četiri varijable ima 22 = 216 = 65 536. Booleovih funkcija s osam varijabla ima više od 1077 , a s devet varijabla više od 10 1 54 • Već smo spomenuli procjenu fizičara da ukupni broj atoma u vidljivom svemiru iznosi oko 1080 . Kao što vidimo, imamo kombinatomu eksploziju. Funkcija 22n raste mnogo brže od eksponencijalne funkcije 2n , pa čak i od faktorijelne n! . e

e;

:

=

Q.E.D.

Opisat ćemo najprije neke osnovne metode prebrojavanja za dvije vrste objck.ata:

permutacije skupovi i tzv. multiskupovi,

poredane n­

kao specijalan slučaj), tj. a) varijacije (koje uključuju i elemenata nekog konačnog skupa, u kojima j e dakle poredak bitan, kod kojih poredak b) kombinacije, gdje se prebroj avaju elemenata nije bitan. , Svaki od ovih objekata može biti dvojak: Varijacije i kombinacije bez ponavlja­ nja, i varijacije i kombinacije s ponavljanjem.

terce

A. Varijacije bez ponavljanja, permutacije.

DEFINICIJA. Varijacijom bez ponavljanja reda k n -članog skupa A = { a , . . . , an } , k � n, zovemo bilo koji poredani k -terac različitih elemenata iz An n. 1 U slučaju kada imamo k = n, tj. kada gledamo poredane -terce n -članog s��� pa, onda takve varijacije zovemo permutacijama -članog skupa. Svaku permutaClJU skupa An možemo poistovjetiti sa nekom bijekcijom f An - An . n

n

:

6. UVOD U KOMBINATORIKU

96

= {l,

PRIMJER l . Ako je npr. AJ 2, 3} , onda za k = 2 imamo šest poredanih dvojaca: (1, 2) , (1, 3) , (2, 1 ) , (2, 3) , (3, 1 ) , (3, 2) (p�šemo ih u leks�kogr�fsko� poretku, tj. u "rastućem" slijedu). Za k = 3 imamo ovih šest poredamh trojaca tj. Npr. permu­ (3, 2) , (3, 2, 3, 2) , (2, 3) , (2, 3, permutacija: 2, 3) , taciji (3, 2, odgovara bijekcija f : AJ --+ AJ definirana sa /( 1 ) = 3 , /(2) = 2 , j(3) Opširnije o permutacijama vidi u Odjeljku 9.9.

= l.

l) ,

l,

(l,

(l, l)

n

l) .

l,

n l) = n -n ) n! .

Teorem 1. Broj varijacija reda k ::::; skupa od elemenata, tj. broj poredanih k -teraca različitih elemenata iz -članog skupa, jednak je ! ...( k+ ( k ! Ukupan broj permutacija -članog skupa jednakje

n n(n - l) n

n-

n

DOKAZ. Ako smo u nekom k -tercu na prvo mjesto stavili neki od elemenata, onda na drugo mjesto možemo staviti bilo koji od preostalih elemenata, na treće bilo koji od preostalih 2 , itd., na zadnje bilo koji od preostalih n k + l . Prema produktnom pravilu onda imamo ukupno 2) k + varijacija bez ponavljanja reda k . Odavde za k = dobivamo odmah i broj permutacija. Q.E.D. n

-

n- l n(n - l )(n - . . . (n -

-l)

n PRIMJER 2 . Neka je A = {aJ, . . . , ak } , B = { b. , . . . , bn } i k ::::; n . Onda je broj svih injektivnih funkcija J A B jednak n(n - l) . . . (n - k + l) . Doista, za injektivnu funkciju f možemo vrijednost !(a i ) birati na n načina, zatim j(a2 ) na n - l načina,. . . , j(ak) na n - k + l načina, pa tvrdnja slijedi iz produktnog pravila. Ako je k > n onda očevidno nema niti jedne injektivne funkcije iz A u B . PRIMJEDBA l . Broj n! raste mnogo brže nego bilo koja eksponencijalna funkci­ ja, jer vrijedi npr. ;� O kad n . Broj l O! = 3 628 800 jednak je začudo točno :

--+

--+

--+

oo

broju sekunda u šest tjedana. Broj l l ! veći je od broja sekunda u godini, a 13! je veći od broja sekunda u stoljeću. Broj 60! veći je od 1080 , koji, kao što smo već rekli, predstavlja procjenu broja atoma u vidljivom svemiru! Prema tome, broj permutacija -članog skupa, tj. broj n! , ima kombinatornu eksploziju.

n

B. Kombinacije bez ponavljanja.

n=

DEFINICIJA. Kombinacija bez ponavljanja reda k n -članog skupa A Dakle kombinacija bez ponav­ ljanja je samo drugi naziv za podskup skupa.

{a 1 , . . . , an } je bilo koji njegov k -člani podskup.

n n) (n) ·.= n(n - l) . . . (n - k + l) .

Teorem 2. Broj k -članih podskupova -članog skupa (dotično broj kombinacija bez ponavljanja reda k , k ::::; jednakje

k

k!

poredanih

n(n - l) . . . (n n(n - l) . . . (n - l)

DOKAZ. Prema prethodnom stavku svih k -teraca ima k+ Neka je neki takav k -terac. Svaka od njegovih k! permutacija definira isti skup . . To znači da skup od ukupno k+ poredanih k-teraca možemo grupirati u množine od po k! varijacija od kojih svaka određuje isti skup. Dakle ukupan broj k -članih podskupova iznosi Q.E.D.

l).

(a., . . . , ak) {a 1 , . ak } .

n(n-l). .\n-k+l ) .

97

6.2. VARIJACIJE, PERMUTACIJE I KOMBINACIJE BEZ PONAVLJANJA

k = O , kojemu odgovara prazan skup, jer je

PRIMJEDBA 2. Tvrdnja vrijedi i za po definiciji (�) =

l.

k :::; n

=

PRIMJEDBA 3 . Kao što znamo, za o :::; vrijedi m k!(:�k) ! . Odavde odmah dobivamo svojstvo simetričnosti binornnih koeficijenata: (�) = (n� k) . To se može lako dokazati i kombinatorički. Doista, svakom od -članih podskupova skupa { } možemo bijektivno pridružiti -člani komplement, a njih n ima ( �k) . Zbog bijektivnosti je njihov broj isti.

a1 , . . . , a

n

(n - k)

Propozicija 3. Za sve

DoKAZ.

n, k

E

N

mk

k :::; n vrijedi (�) = (nk" 1 ) + (�=D

l) Prvi način. Tvrdnju je lako dokazati algebarski: (nk) = k!(nn!- k)! = k!(nn!- k)! ( n--n-k + ;;k ) - 1)! = (n - 1 ) + (n - 1 ) = k!(n(n--k1)!- l)! + (k -(nl)!(n k k- 1 - k)!

n

2 ) Dokažimo istu tvrdnju na drugi način - kombinatorički. Učvrstimo jedan od elemenata (recimo prvi) u n -članom skupu. Izbor k od ukupno n elemenata možemo provesti na jedan od sljedeća dva načina: a) ili odabiremo elemenata od prvog, a to je isto što i odabrati eleme­ nata među preostalih elemenata; to možemo učiniti na (nk načina; b) ili odabiremo elemenata tako da je među njima i prvi . Tome očevidno odgovara elemenata, što se može elemenata među preostalih zapravo odabir izvršiti na (�=D načina. U Odjeljku 6.6 (o funkcijama izvodnicama) vidjet ćemo i treći, vrlo jednostaQ.E.D. van dokaz ove tvrdnje (vidi Primjer 6.6.5). S pomoću gornje relacije između binornni h koeficijenata gradi se znameniti Pas­ calov trokut broj eva (k) (bilo bi ga ispravnije zvati Kineski trok.ut, jer su ga Kinezi znali davno prije Pascala):

k k

n- l

različitih

k

1)

n- l

k- l

3)

(�)

@

.

@ m

@ m

l m (1)

m

@

@

(�)

@

.

(!)

l

l

x, y E

Propozicija 4. (Binornna formula) Za sve

k=O

6 n

x, y E R vrijedi

x + y)n = t (�)�yn-k.

(

2

4

.. ... ... .. Binomni koeficijenti su povezani s izračunom produkta od za bilo koje R.

(x + y )(x + y) . . . (x + y ) ,

l

l l 3

l l 3

binoma

4

l

l

(x + y )n =

6. UVOD U KOMBINATORIKU

98

n,

DOKAZ. Tvrdnja se može dokazati indukcijom po pri čemu onda treba rabiti i pret­ hodnu propoziciju. Ovdje ćemo dati vrlo jednostavan kombinatorički dokaz. Doista, u izrazu

(x + y)'1 = (x + y)(x + y) . . . (x + y) će nakon množenja opći član imati oblik q:J'yn- k , gdje je q konstanta koju želimo odrediti. Produkt :xf'y'z -k može se dobiti tako da uzmemo k elemenata x od n binama x + y u umnošku (x + y )" . Tih k elemenata možemo odabrati na bilo koji način među n binama, dakle na m načina. Element y se nakon toga uzimlje iz preostalih n - k binoma. Prema tome je q = (�) . PRIMJEDBA 4 . Važan specijalan slučaj dobivamo za x = y = l : 2" = + +...+ . G) (:) (�) Na desnoj strani i o zapravo zbroj broja k -članih podskupova n -članog skupa za k = O (čemu odgovara prazan skup), k = l (svi jednočlani podskupovi) itd. do n . Vidimo da su zapravo uključeni svi podskupovi n članog skupa. Dakle gornja relacija pokazuje da partitivni skup n -članog skupa ima 2" elemenata, štq znamo već od prije (vidi Teorem 6.1.5). Iz Propozicije 4 za x = -l i y = l dobivamo n) = O. i)-ll ( k k=O Q.E.o.

mam

tu

A. Permutacije s ponavljanjem.

DEFINICIJA. Zadan je skup od k elemenata Ak = {at, . , ak } . Promatramo poredane n -terce elemenata tog skupa u kojima se element a. 1. pojavljuje n1 puta, a2 n2 -puta itd., pri čemu je dakako n1 + n2 + . . . + nk n . Takve n -terce zovemo pennutacijama n -tog reda s ponavljanjem. Permutirati znači premjestiti, permuta­ sve

=

cija je premještaj.

A2 = {0,

k=

a 1 = O,

PRIMJER l. Neka je zadan dvočlani skup l} (tj. 2, l, 2 . Skup svih permutacija trećeg reda s ponavljanjem ima tri elementa: ( l, l) , (l, l) , (l, l, ) . Vidimo da se ovdje radi zapravo o broju dvočlanih podskupova tročlanog skupa (prisjetite se kodiranja u dokazu Teorema 6.1 .5), kojih ima @ = 3 . Na isti način za skup , l } je odgovarajući broj permutacija -toga reda, uz i jednak "1 "2 ·

az = l ) i neka je n = 3 , n1 = n1 = k n2 = n - k,

O,

nz =

{O k ·'(nn_:_k)' = .....!f-. . ·

·

O,

O

n

6.3 . PERMUTACIJE, VARIJACIJE I KOMBINACIJE S PONAVLJANJEM

99

.

Teorem 1 . Broj permutacija n -tog reda k -članog skupa {a�. . . . , ak} u kojima se element ai pojavljuje ni puta, i = l, . . . , k , n = n1 + , . . + nk , jednak je ,

n!

DoKAZ.

Ukupan broj permutacija od n = n1 + . . . +nk elemenata jednak je n! . Među tim poredanim n -tercirna irna i jednakih, jer se npr. a 1 pojavljuje n1 puta. Gledajmo najprije kao da su svi od n elemenata međusobno različiti (npr. neka početni skup ima k elemenata A, B, C . . . , i gledajmo n 1 elemenata A 1 , . . . , A11 1 , nz elemenata B1. . . . , B112 itd). Promatrajmo sve moguće permutacije n -članog skupa S = {A l , . . . , A nl ' B 1 , . . . , Bn2, . . . }.

S.

Neka j e X skup svih permutacija skupa Vrijedi lXI = n! . Za permutacije P l i pz iz X reći ćemo da su ekvivalentne i pisati P l p pz , ako daju istu permutaciju s ponavljanjem. Lako se vidi da je p relacija ekvivalencije na skupu X svih permutacija. Različitim razredima ekvivalencije pripadaju različite permutacije, pa je traženi broj permutacija jednak upravo broju razreda ekvivalencije, tj. l x/p l · Npr. za n = 5 i k = 2 (tj. za dvočlani skup {A , B } ) permutirajući ABAAB imamo najprije 3 ! permutacija u kojima permutiramo samo A -ove, i koje ne mijenjaju ništa: A 1B1AzA3Bz A 1B 1A � zBz A zB1A1A3Bz A2B1AJA3B1 A3B1A 1A zBz A3B1AzA 1 Bz .

Svakoj od ovih permutacija odgovara još 2! permutacija koje premještaju B -
E

S

tih razreda je upravo broj koji tražimo, označimo ga s r . Proc:'ukt broJa ��em�­ nata u pojedinom razredu i broja razreda jednak je ukupnom broJU permutactJa, tj. Q.E.D. (nl ! . . . nk !) · r = n! , odakle odmah slijedi tvrdnja.

T(

PRIMJER 2. U ravnini je zadana cjelobrojna koordinatna mreža i točka m, n) , Koliko irna različitih stepenastih uzlaznih staza od točke 0(0, O) gdje je m, n do duž koordinatne mreže? Svakom stazom porničemo se za jedno mjesto u desno (D) ili za jedno mjesto gore (G).

T

E N.

6. UVOD U KOMBINATORIKU

100

T(3,2)

T(3,2)

O

D G D G

O

D

Sl. 6.2. Stepenaste staze od O

T m

D

G

D

D G

do T .

Svaka takva staza od točke O do može se jednoznačno opisati slijedom poput da bi se došlo , u kojem se nalazi točno koraka i točno koraka do toCke T . Npr. za T(3, 2) od O do T može se doći stazama itd. (vidi Sliku 6.2.). Prema tome ukupan broj staza jednak je broju poredanih -teraca sastav­ ! . Npr. za ljenih od D -ova i G -ova. On je jednak 3, Z je traženi broj staza jednak 3�i1 10 .

DGDDG . . .

D

GGDDD, GDDDG m

(�:)

n =

n

G, DDDGG, DGDGD, (m + n) m= n=

PRIMJEDBA l . Kao što smo vidjeli iz dokaza binornnog teorema, u potenciji (x tj. u (x y)(x broj načina na koji možemo odabrati k . . . (x x -ova (i time k -a) jednak je upravo koeficijentu uz u binornnom raz­ voju, tj. broju m . Slično vrijedi i za trinome z i općenito, za multinome

+ y)n ,

+

n- y X} + Xz + . . . + Xk :

+ y) ,

+ y)

X+y+

x_kyn-k

Teorem 2. (Multinornni teorem) Broj načina na koji u potenciji

+ xz + . . . + xk)'' možemo odabrati n1 puta varijablu X , nz puta varijablu xz , . . . ,nk puta varijablu Xk , i to po jednu iz svakog od n faktora,I n 1 + nz + . . . nk = n, jednakje n! . n l !nz! . . . nk! To je upravo multinomni koeficijent uz x�1 x�2 . . . x�k u razvoju (x1 + xz + . . . + xk)n , (x i

tj. :

Zbrajamo po svim k -tercima cijelih brojeva

. . . + nk = n .

n1 , nz, . . . , nk � O takvim daje n l + nz +

DoKAZ. Tvrdnja slijedi neposredno iz Teorema

l.

Q.E.D.

6.3. PERMUTACIJE, VARIJACIJE I KOMBINACIJE S PONAVLJANJEM PRIMJEDBA 2 . Za k

101

= 2 dobivamo upravo binomni teorem:

PRIMJEDBA 3 . Multinomna formula može se zapisati vrlo sažeto i pregledno s . . pomoću tzv. multiindeksa. Uvedimo oznaku n ) zatim multiin­ E N� , duljina multiindeksa deks := al a2 ak ! a · multinomm koefiCIJent ( an ) .- a !�n!... Onda po multinoak ! . 1 mnom teoremu vrijedi:

a (ai, az, . . . , ak ) x .- x1 Xz . . . xk ,

'

·

x := (xi, xz, . , x , la l := a1 + az + . . . + at .

"

·-

(xi +xz + . . . +xkt = L=n (:) x . gdje se zbraja po svim multiindksima a = ( a1, . . . , ak ) duljine n. Multinomna formula bit će nam važno sredstvo u rješavanju kombinatoričkih pro­ a

lal

blema s pomoću funkcija izvodnica (vidi Primjer 6.6.3).

PRIMJER 3. (a) Kvadrat trinoma jednakje:

(x1 + xz + x3 )z � (2.�.0) xi + (o.�.o) x� + (o.�.2) x� + C.�.o) x•xz + (l,�,l) xtx3 + (o.�,l ) xzx3 = 2!0!0! x1 + 0!2!0! xz + 0!0!2! x3 2! 2! 2! l !l !O! XtXz + l!O!l ! XIX3 + O!l !l ! XzX3 = xi + X� + X� + 2xtXz + 2xtX3 + 2xzX3 · Koeficijent (b) Zadan je polinom (a + b + c) 3 trećeg stupnja u varijablama a, b, Z 3 jednak je (z, �. 1 ) = Z �l1 = uz a u njegovu razvoju (e ) Koeficijent uz a3��3 u r2!Zvoju polinoma (a+b+c) z8 jednakje (3, ��z3 ) = - Z8·Z1 ·Z6·25·24 - 982 800 . Z8! 6·2 2!

2

2!

2

2!

2

+

e.

!

e

!

·

N"f23!

Multinomna formula omogućuje da se izravno dokaže poznati Mali Fermatov stavak (koji također lako slijedi iz Eulerove kongruencije, vidi Korolar 3.6.4) : Propozicija 3. (Mali Fermatov stavak) Akoje p prost broj, onda za svaki k E vrijedi p kP - k , tj. kP = k (mod p) .

l

N

6.

102 Ako k nije višekratnik od p , onda vrijedi kP- I =

DoKAZ. Promotrimo multinomni stavak za stavljajući X I = . . . l Dobivamo

= Xk = .

l

UVOD U KOMBINATORIKU

(mod p) .

(xi + . . . +Xk)P = x{ + . . . + xf + ostatak ,

kP = k + ostatak . U ostatku se pojavljuje zbroj multinomnih koeficijenata oblika n 1 (nk ! u kojima je u ostatk� n1 + . . . +nk = p, i nj < p za sve j = l, . . k . Svaki multinomniukoeficijent u. osta koeficijenata multinomnih od koji bilo � !'rost bro� je prirodni broj. Uzmimo (svakt nj ! u naztvmku p (koji je djelitelj brojnika), nije djelitelj niti kojeg od faktora prosti faktor od nj! je < p ). Zaključujemo �a) e svak� m��tinomni ko�ficijent � ��­ tatku djeljiv sa p, dakle i cijeli ostatak. Drugt d10 tvrdnJe shjedt odmah tz PropoziCIJe Q.E.D. 3.4.4, skraćivanjem sa k . .

B. Varijacije s ponavljanjem. DEFINICIJA. Varijacija s ponavljanjem k -tog reda n -članog skupa

An =

je svaki poredani k -terac elemenata iz An . Bilo koji element u k ­ tercu može se i ponavljati. Npr. za A 2 = {O, l } i k = 3 imamo ovih osam varijacija s ponavljanjem trećeg reda: (0, O, O) , (0, O, l) , (0, l, O) , (0, l, l ) , (l, O, O) , (l, O, l) , (l, l, O) , (l, l, l) . Zapisali smo ih u leksikografskom poretku.

{a., . . . , an }

Teorem 4. Poredanih

k -teraca n -članog skupa ima ukupno n" .

DOKAZ. Skup svih varijacija s ponavljanjem jednak je

dukt k skupova) . Prema Teoremu 6.1 .2 vrijedi

C. Kombinacije s ponavljanjem.

An = a

IA n

An

pro­ An (Kartezijev k Ani = lAn i = � .

x ... x

x . . . x

Q.E.D.

an } . Kombinacija s ponavljanje k -tog neporedani k -terac elemenata iz An . ��!Clanovi

DEFINICIJA. Neka je { ., . . . , reda -član og skupa je bilo koji

n

An

k -teraca mogu se ponavljati. Broj kombinacija s ponavljanjem jednak je broju načina biranja k predmeta od ukupno n, s koliko god ponavljanja istog predmeta u kombinaciji. PRIMJER 4. Neka je A 4 = {ah a2 , a3 , a4 } i k = 6 . "Neporedan" šesterac možemo interpretirati kao blok (tzv. multiskup), npr. a1a 1 a2a4a4a4 • "Neporedanost" znači da šesterac poistovjećujemo (identificiramo) sa a4a 1 a4a4a2a 1 , tj. važan namje samo broj pojavljivanja elemenata, a ne i njihov poredak. ·

Primijetimo da multiskup a 1 a l aza4a4a4 , tj. "skup" u kojem su moguća višestruka pojavljivanja nekog elementa (kratnici, multipli), nije isto što i pripadni skup {a a a .

l 2 4} ,

,

Zgodno je kombinacije s ponavljanjem zapisivati i ovako. Skupimo iste elemente u kombinaciji u grupe, jedan za drugim, i odijelima grupe vertikalnom crtom. U gornjem primjeru je pripadni šesterac moguće zapisati kao

a l a l l a2 l l a4a4a4

6.3.

103

PERMUTACIJE, VARIJACIJE l KOMBINACIJE S PONAVLJANJEM

Element a3 se ne pojavljuje, pa njemu odgovara prazna grupa, odijeljena uzastopnim pregradama. Svakoj kombinaciji s ponavljanjem k -tog reda odgovara poredani k -terac cijelih brojeva O , za koji je jednak broju pojavljivanja elementa u kom­ binaciji, l, . . . i vrijedi

xi1=, . . . , Xn ,�n ,

x; a; Xt + . . . +xn = k. Na gornjem primjeru je x 1 = 2 , xz = l , x3 = O , x4 = 3 . Obratno, svakom poredanom k -tercu (xi, . . . , xn ) E N0 za koju je ispunjen uvjet ( *) odgovara ne­ poredani k-terac u kojem se a; pojavljuje x; puta. Prema tome, broj kombinacija s ponavljanjem reda k skupa od n elemenatajednakje broju cjelobrojnih, nenegativnih rješenja jednadžbe (*) , dotično broju poredanih k -teraca (xt, . . . , Xn ) E N0 za koje vrijedi ( *) .

Teorem S. Broj kombinacija s ponavljanjem

je

An

k -tog reda n -članog skupa jednak

DOKAZ. Svaki element skupa u kombinaciji s ponavljanjem označit ćemo zvjez­ dicom. Da bismo znali točno o kojem elementu je riječ, koristit ćemo i pregrade. Odaberimo dakle k zvjezdica i l pregradu (ukupno l mjesta), između kojih ćemo stavljati zvjezdice. Npr. kombinacija je jednoznačno odre­ đena sa * * ' * '' * **

k+na1 a 1 aza4a4a4

n-

Broj ponavljanja zvjezdica odijeljenih susjednim pregradama odgovara kratnosti pri­ padnog elementa. Razmještaj zvjezdica na bilo koje od l ) mjesta (preostala mjesta su za pregrade) može se obaviti na načina, jer toliko ima k -članih Q.E.D. podskupova - l) -članog skupa.

k + (n 1 k+ ( � ) (k + n 4 1 u gornjem primjeru imamo ukupno ( +�- ) = (�) = m = n:� = 84 kombik

-

nacija šestog reda skupa od četiri elementa.

PRIMJEDBA 4. Sasvim drugačiji dokaz Teorema 5 bit će dan u Primjeru 6.6.7 s pomoću metode funkcije izvodnice. PRIMJER 5 . a) Na koliko načina možemo iznos od pet kovanica od pojedne kune podijeliti između troje djece? iznosi za prvo, drugo i treće dijete, onda se traži zapravo broj Ako su 5 (dakle 3 , 5 ). rješenjajednadžbe nenegativnih cjelobrojnih, Traženi broj jednak je G G 21 . b) Isto pitanje kao gore, ali uz uvjet da svako dijete dobije barem jednu kunu. Znači od pet kuna moramo svakom djetetu dati odmah po jednu, pa ostaju dvije kune (i) 6 . za podjelu. Traženi broj je e ) Isto kao pod a), ali uz uvjet da prvo dijete mora dobiti bar jednu kunu, a drugo bar dvije. Dakle moramo dati odmah tri kune, pa ostaju dvije kune za raspodjelu na 6. djecu. Rješenje je < 5, PRIMJER 6 . Koliko cjelobrojnih rješenja irna nejednakost

x 1 , x2 , x3

Xt +xz +x3 1 + e �- ) = ) = ) = e + �- I ) =

e+�- 1 ) =

Xt . Xz,Xj � 0.

=

n = k=

=

Xt + xz + x3

6. UVOD U KOMBINATORIKU

104

l+ + - l + + - l + + - l + + - l = X35I +x. 2 +x3 = k k = l, b) Drugo rješenje. Kako tražimo cjelobrojna rješenja, nejednakost je ekvivalentna sa x 1 + x2 + x3 ::;; 4 , a ova pak sa XI + X2 + X3 + X4 = 4, pri čemu je x 1 ,x2 ,x3 ,x4 � O. Ovdjeje X4 = 4-xi - X2 - XJ � O pomoćna varijabla. + 1 Broj rješenja je (4 !- ) = (I) = G) = 35 . a) Prvo rješenje. Ukupan broj rješenja jednak je broju rješenja jednačaba 0, 2, 3, 4 , tj. za e� ) e� ) ej ) e: )

Postupak b) je očevidno bolji, jer omogućuje da se, za razliku od rješenja a), vrlo lako riješi problem ako je na desnoj strani nejednakosti velik broj, recimo 500 umjesto 5. � POVIJESNA CRTICA � Formulu za kvadrat binoma znao je već (oko trećeg stoljeća prije Krista). Činjenica da je broj permutacija n -članog sku­ pa jednak n! bila je poznata već u 5. stoljeću prije Krista. Prvi važniji radovi koji se odnose na kombinatoriku potječu od švicarskog matematičara ( 1654-1705), jednog od osam matematičara iz poznate obitelji Bemoulli, i od francu­ ( 1623-1662). Binomnu formulu prvi je formulirao skog matematičara 18 12. g. Najstarija poznata 1676. g. Strogi dokaz dao je tek uporaba binomnog koeficijenta potječe iz Indije, iz 10. stoljeća (Indijac lako je binomna formula bila poznata znatno ranije, oznaku binomnog koeficijenta m iz Austrije. Pascalov uveo je tek 1 826. g. malo poznati trokut detaljno je istražio Blaise Pascal 1654. g. Ono što danas zovemo Pascalovim i kineski algebraičar trokutom znali su još 1472. g. arapski matematičar (oko 1 303). Oznaku L za zbroj uveo je još 1772. g. francuski matematičar ( 1736-1 8 1 3 ). Mali Fermatov stavak dobio je naziv po velikom fran­ ( 1601 - 1665), koji je po zanimanju bio pravnik cuskom matematičaru (radovi su mu objavljeni tek poslije smrti). Oznaku n! za faktorijele uveo je francuski 1808. g. matematičar

Euklid

Jakoba Bernoullija

Isaac Newton

Shi-Lie Joseph Lagrange

Blaise Pascala

K.F. Gauss

Halayndha).

Andreas von Ettingshausen al-Kaši

Chu

Pierre Fermatu Christian Kramp

llustrirajmo pojam cikličke (kružne) permutacije na sljedećem primjeru. PRIMJER l . Na koliko različitih načina može petero ljudi 2, 3, 4, 5 sjesti na pet sjedala za okruglim stolom? Dva kružna razmještaja za stolom smatramo istim ako se jedan iz drugog može dobiti rotacijom. Odaberimo neku stolicu za stolom kao početnu i razmjestimo 5 osoba počevši od tog sjedala u smjeru obratnom od kretanja kazaljke na satu (tj. u pozitivnom kružnom smjeru). To možemo obaviti na 5 ! načina. Takvi razmještaji međutim nisu svi među­ sobno različiti, jer npr. razmještaj 12345 postovjećujemo sa 2345 1 , 345 1 2 , 45 1 23 , 51234 . Dakle permutaciji 1 2345 odgovara ukupno pet onih koje daju isti kružni raz­ mještaj. Isto vrijedi i za bilo koju drugu permutaciju. Prema tome ako sa označimo 5! , tj. ukupan broj cikličkih razmještaja, onda je 5 · t 4! 24 .

l,

rs =

rs rs = = =

U ovom rješenju imamo u igri zapravo jednu relaciju ekvivalencije na skupu X koji se sastoji od svih 5 ! spomenutih necikličkih permutacija. Reći ćemo da su dvije necikličke permutacije i .

p1 P2

6.4. CIKLIČKE PERMUTACIJE

105

ekvivalentne, tj. p ako daju isti kružni razmještaj. Onda je broj elemenata u kvocjentnom skupu Xjp jednak upravo broju kružnih razmještaja (cikličkih permutacija). Kako svaki razred

PI P2 ,

ekvivalencije ima po 5 elemenata, vrijedi l Xfp l = t

= 24 .

Vrijedi i općenito: n osoba može se razmjestiti na n stolica oko okruglog stola, na rn = � = (n načina. Ekvivalentno tome, broj različitih ogrlica koje možemo složiti od n bisera u n različitih boja jednak je (n .

- l)!

- l)!

Jednostavniji način gledanja je ovaj. Pretpostavimo da su sjedala označena s l do n u kružno­ me slijedu. Neka prva osoba sjedne na prvo sjedalo. Preostalih n l mjesta možemo popuniti na (n - l ) ! načina, i to je ukupan broj cikličkih razmještaja.

-

PRIMJER 2. Pogledajmo jednu zanimljivu primjenu Mobiusove formule inverzi­ je u kombinatorici. U prethodnom primjeru vidjeli smo da je broj cikličkih (kružnih) rasporeda od n različitih elemenata jednak (n . Nađimo sada broj Tk (n) svih cikličkih nizova od n elemenata, koje biramo s ponavljanjem iz skupa od k elemenata. Pitanje je ekvivalentno sljedećem: imamo ogrlicu na koju slažemo n bisera u k boja. Bisere vadimo iz kutije s dovoljnim brojem bisera za svaku od k boja. Ogrlicu stavljamo u obliku kružnice na ravninu. Pitanje je koliko različitih ogrlica od n bisera možemo sastaviti? Taj broj je upravo Tk (n) . Pritom dvije ogrlice smatramo istim ako je poredak boja bisera na jednoj ogrlici isti kao i na drugoj ogrlici nakon neke njene rotacije oko središta. Ako slažemo ogrlicu s n = 4 bisera u najviše k = 2 boje a i onda imamo šest različitih ogrlica (cikličkih perrnutacija):

- l)!

b,

aaaa, aaab, abab, aabb, abbb, bbbb.

Odgovarajuće ogrlice prikazane su na slici. (a \ a a \__a / Sl. 6.3.

(a (a (b b (b \ \ \ \ ( ) a a a a a b a b \__ b / \__ b/ "- b/. \__ b / \__b / Sve ogrlice s četiri bisera u najviše dvije boje a i b .

Prijeđimo na opći slučaj. Označimo bisere na kružnici sa bi, b2 , . . . , bn , gledano u pozitivnom kružnom smjeru (obratnom od kretanja kazaljke na satu). Nakon n-tog bisera dolazi opet prvi. Tom rasporedu odgovara n nizova bisera na pravcu:

bt, b2 , , h b bn b2, b3 , . . . , bn , bi · · .

n-

bn , bi, · · · , hn

-

{l)

I·

Svakom od ovih n rasporeda na pravcu odgovara isti kružni raspored bisera na ogrlici. Ako su svi biseri iste boje, onda se svih n nizova u podudara. Zato uvedimo pojam perioda ogrlice. Period ogrlice je najmanji broj takav se kružni slijed bi, b2, . . . bn dobiva � -strukim ponavljanjem bilo kojih uzastop­ nih bisera ogrlice, npr. bi, b2 , . . . , bd · Za ilustraciju, cildičkom slijedu osam bisera jabjabjabjah i odgovara period 2 ( a odgovara biseru s jednom bojom, b biseru s drugom). Kružnom slijedu bisera jabbcjabbcl odgovara period d = 4 . Ako je period ogrlice jednak onda je među n nizova u samo d njih me: đusobno različito (npr. prvih dok se daljnji ponavljaju). Označimo sa Mk (d) broJ

(l)

d,

d,

dd

(l)

da

6. UVOD U KOMBINATORIKU

106

n

k

različitih ogrlica u boja, koje imaju točno bisera, i čiji period je jednak je odgovarajući broj različitih nizova bisera na pravcu duljine i s periodom

n

Onda dd.jednak

d · MUkupan k(d) . broj nizova od n bisera na pravcu, sa k mogućih boja (s ponavljanjem) jednak je . Očevidno je period d djelitelj od n, dakle: /(' = L d . Mk (d). din = n Mk(n) , gdje je k čvrst. Zbog = i g(n) f(n) prirnijeniti formulu inverzije (Teorem 3.5.2): n·Mk (n ) = g(d) možemo n) = l:dlnfunkcije f(Definirajmo 'Ed l n JJ(d)ka , tj. (2) Mk (n) = !n L JJ(d)k a , din je dakle broj ogrlica od n bisera (u k boja) s periodom n. Ogrlica od n bisera može imati bilo koji period d, pri čemu d 1 n: Tk(n) = L Mk(d) . din (MacMahon) Broj ogrlica sa n bisera najviše k zadanih bojajednak je Tk (n) = -nl L ({J(d)Jć'ld . din DoKAZ. Dakako, zbog (2) možemo pisati Mk (d) = � L:d' l d JJ ( f,) �' . Prema tome je Tk (n) = L Mk (d) = L � L JJ(:,) �' din d' ld din = "L �' "L JJ(:,) . �· d' ln d' ld ln gdje smo zamijenili poredak dviju suma. U zadnjoj sumi se zbraja po svim d takvim da d' l d i d l n. Uvedimo sada zamjenu varijabla t' := -!Jr , t := � umjesto d i d' . Onda je d' l n ekvivalentno uvjetu t' l n, a d' l d l n je ekvivalentno uvjetu t l t' l n. Na taj način dobivamo: JJ(� ) . � Tk (n) = t1Ll J('/t' L t t1 n = � L J('! ' L JJ (� ) . t = � L ({J(t')Jć'l'' , t' ln t' l n tit' gdje smo u zadnjoj jednakosti rabili ({J(t') = I:, l t' JJ ( � ) · t , vidi dokaz Teorema 3.6. 1 . k!'

k!'

·

n

gdje je JA. MObiu:sova funkcija. Ovo

u

Teorem 1 .

·

·

l

Q.E.D.

6. 5 . FORMULA UKLJUĆIVANJA I ISKLJUĆIVANJA

= T2 2 1 + 2 + 2)=

107

n

PRIMJER 3 . Za k 2 (najviše dvije boje) i = 4 bisera dobivamo pre­ ma MacMahonovoj formuli
+

·

2+

1 )]

� PoviJESNA CRTICA � Teorem l dokazao je 1 892. g. britanski časnik (1854-1929). Pitanje nalaženja broja cikličkih permutacija moguće je vrlo elegantno riješiti s pomoću metode prebrojavanja koju je 1937. g. uveo ame­ rički matematičar mađarskoga podrijetla (1887-1985). Danas je to dio neobično zanimljive Polya-Redfieldove teorije, koja rabi metode teorije grupa, vidi [Veljan] .

P.A. MacMahon

i

George Polya

broj konačnog skupa A označavamo kao i obično sa lA l · Ako su A 1 konačni skupovi, onda je očevidno A2 Kardinalni ( ) IA I UA2I = lA ti + IA2I - IA1 n A2I*

Sl.

6.4. Formula uključivanja i isključivanja za dva skupa.

A 1 n A2 IA 1 n A2 1 . lAtl + IA 2I IA I UA2 UA3 I =lA-tilA+t nIA21 +-IAIA3 I n A I - IA2 n A I A2I 3 + lA t nA2 nA3 I 1· 3 Naime elementi iz A 1 n A 2 n A 3 se u zbroju na desnoj strani jednakosti broje triput u prvom retku, zatim oduzimlju triput u drugom retku, pa zato treba dodati lA nA 2 nA 3 1·

Doista, na desnoj strani se u izrazu elementi iz presjeka br�J e Lako se vidi da vrijedi analogna formula za UniJU dvaput, pa treba oduzeti tri skupa:

Moguć je i drugi dokaz, koji se zasniva na trostrukoj primjeni ( * ) :

lAt U A2 U A3 1 = = = =

1

I(At U A2) U AJ I IA1 u A21 + IA31 - I(A1 u A2) n A31 (IA1 1 + IA21 - IA1 n A21) + IA31 - I (A1 n A3) u (A2 n A3 ) I lAt i + IA2I + IA31 - 1At n A2 I - [IA1 n A31 + IA2 n A31 - IA1 n A2 n A31].

6. Uvoo u KOMBINATORIKU

108

Sl. 6.5. Formula uključivanja i isključivanja za tri skupa. Vrijedi i znatno općenitiji rezultat, u kojem se kardinalni broj unije skupova dobiva s

pomoću kardinalnih brojeva svih međusobnih presjeka. su (a)

Teorem 1 . (Formula uključivanja i isključivanja ili Sylvesterova formula) Neka

A 1 , . . . , An konačni skupovi sadržani u X. Onda vrijedi: n lA t U . . . U Ani = L jA; I - L jA; n Aji i=l

l�i<j�n

+ L jA; n Aj n Ak j - . . . + (-l r- 1 1A 1 n . . . n Anl · l�i<j
(b)

n

!At n . . . n Ani = lX I - L jA;j + L IAi n Aj ! i=l

l�i<j�n

L jA; n Aj n Akl + . . . + (-lriA t n . . . n Anl ·

l�i<j
Pritom L I :( i<j:(n znači da se zbraja po svim parovima (i,j) takvim da je i < j : ( 1 , 2) , ( 1, 3) . . . , ( 1, n) , (2, 3) , . . . , (n - l , n) . Slično i za preostale sume. Npr. za n 3 je ,

Li<j cij

=

c1 2 + c13 + cz3

=

·

n. n.n

Za = 2 tvrdnja je jasna (vidi DOKAZ. (a) Rabit ćemo matematičku indukciju po Dokažimo da vrijedi i za gore). Pretpostavimo da tvrdnja u teoremu vrijedi za l Najprije je

n+

.

lA t U . . . U An U An+ d = j (A t U . . . U An) U An+l l = lA U . . . U Ani + IAn+ t i - I (At u . . . U An) n An+ tl = lA U . . . U Ani + IAn+ l i - I (At n An+ l ) U . . . u (An n An+ t )l.

6.5. FORMULA UKLJUĆIVANJA I ISKLJUĆIVANJA

109

=

jer tvrdnja vrijedi za uniju dva skupa (tj. za n 2 ). Sada možemo iskoristiti induktiv­ nu pretpostavku na dva izraza u zadnjem retku, jer se pojavljuju unije od n skupova: ll

IA J U . . . U An U An+I i = l:: IAi l - L IAi n Ajl + L IAi n Aj n Akl I �i<J�n I�i<J
-

I

-

Q.E.o.

PRIMJER l . Koliko ima prirodnih brojeva koji su � 100 i djeljivi sa 3 ili 5 ili 7 ? skupove brojeva iz 2, . . . ? 100} . Označimo sa i . ..N�ka je sa 3 , 5 , 7 respekttvno. U ovom primjeru traži se dJelJIVIh u u 14 , 33 , 20 , Vrijedi = = 6, = 4, = 2, pa prema Teoremu l (a) imamo:

X X = {l, A1 , A2 AJ IA 1 A2 A JI1 · !AJI = L !f>J = IA 2I L�J = IA 1I = L�J = AI i n A2I = LWJ AI 1 n AJI = LWJ IA2 n AJI = L.WJ iA I n A2 n AJI = L :�J = O, iA I U A2 U AJI = IA 1I + IA2I + !A JI - IA I n A2 i - IA 1 nAJI - !A 2 n A JI ) + lA t n A2 n A3I = 67 - 12 + 0 55. =

PRIMJER 2. (Montmort, Euler, 18. st.) Pitamo se koliko ima permutacija bez ponavljanja J skupa 2, 2, . . . , n} takvih da je J(k) # k za sve k Takve permutacije u kojima niti jedan element ne stoji na svome mjestu zovemo 2, 3} je (tzv. deranžmani). Npr. za n = 3 permutacija (3, 2) skupa nered, a permutacija (3, 2, l ) nije, jer je J(2 ) 2 . Cilj nam je prebrojiti sve takve permutacije općenito. 2, . . . , n} . Za bilo koji učvršćeni Označimo sa skup svih permutacija skupa � � n, bit će zgodno uvesti skup koji sadrži sve permutacija J kod kojih je -ta komponenta fiksna (nepromijenjena), tj. J( = Drugim riječima, definiramo :J {J Traženi broj deranžmana iznosi = n! (ukupan broj permutacija n -članog skupa, vidi Teorem 6.2.1). Vrijedi 2, . . . , n} . Broj Odaberimo bilo koji k -člani podskup h predstavlja broj permutacija kod kojih je J(ii ) = ij za sve = 2, . . . , k . Kako su za svaki J komponente i , . . . , it fiksne, preostaje nam n - k slobodnih komponenata za permutiranje. Pripadnih permutacija irna (n - k) ! .

{l,

redima

i, l i i

. . . n A;k l

=

{l, A; i) i. A; = E X (i) = i}. IAI n A2 n . . . n Ani · lXI {i i2 , . . . , ik } � { l, E A i1 n Ai2 n . . . nAit 1

l,

= l, . . . , n? ne­ {l,

X

IAi1 nA;2 n j l,

6. UVOD U KOMBINATORIKU

110

k

i1 , . . . , ik od n mogućih (vidi Teo­ k fiksnih komponenata jednak

Budući da imamo m načina odabira položaja rem 6.2.2), onda je broj svih permutacija s (barem)

. Z: . IAi, n Ai2 n . . . n Aikl = (�

,, < ...
)

(n - k) ! =

�: .

Prema Teoremu l (b) dobivamo da je broj deranžmana dn jednak: n! n! n! n n! kn! + + . . . + (-1) dn = n ! + . . . + ( - 1 ) n! ! 3 ! 2! 1! n ( - l )k . k=O Primijetimo da nam � daje postotak nereda među svim permutacijama. Kako je prema MacLaurinovoj formuli ex = L�o onda za X = - l dobivamo: dn l ---+ � 0 . 368 . . . , n ---+ oo . n. Ovo pokazuje da možemo pisati dn � Doista je neobično da se u ovom prob­ lemu pojavljuje broj Za broj deranžmana vrijedi dn = n(n - l ) ! (2::�:6 ( , odakle dobiva­ + ( -n

k

--- n .' "'"' L.,.; k!

e- 1

e.

h

.

n!e- 1 .

1t

T)

mo da slijed (dn) možemo opisati s pomoću sljedeće jednostavne rekurzivne relacije: n dn = ndn- l + (- l ) , n � 2, d 0.

1=

PRIMJER 3. (Problem šešira) Šestero ljudi je na koncert došlo sa šeširima. U

garderobi su se šeširi izmiješali, pa je svaki vlasnik šešira nakon koncerta uzimao po

jedan ne brinući kome pripada. Kolika je vjerojatnost da niti jedan nije uzeo svoj šešir? Š est šešira može se odabrati na 6! načina, a postoji d6 načina tako da nitko nije uzeo svoj šešir. Tražena vjerojatnost iznosi: d6 = l - _!_ + _!_ - _!_ + _!_ - _!_ + _!_ � 0.36788 . . . l! 2! 3 ! 4 ! 5 ! 6! 6! Ovo pokazuje da � vrlo brzo konvergira prema � 0.368 . . .

e- 1 PRIMJER 4 . Nekaje A = {ai, . . . , am } i B = {b., . . . , bn } i m � n . Označimo skup svih surjektivnih funkcija iz A u B sa Sur (A, B) . On nije prazan jer je m � n. Tražimo broj surjektivnih funkcija iz A u B . Neka je X BA skup svih funkcija iz A u B . Broj njegovih elemenata jednak je l X I = nm , vidi Teorem 6. 1 .3. Označimo sa Ai, i = l, 2, . . . n , skup svih funkcija J E BA koje ne sadrže element bi u svojoj slici, tj. Ai = {J E X : bi fl. J(A)}. Onda je skup svih surjektivnih funkcija jednak A1 n . . . n An . Kardinalni broj tog skupa tražimo uz pomoć Teorema l (b). Odaberimo bilo koji k -člani podskup { i 1 , . . . , ik} � { l , . . . , n} . Onda je IAi1 n . . . n Aikl jednak broju funkcija J E sA za koje svaki J(aj) , j l, . . . , m poprima vrijednosti koje su različite od bi1 , . . . , bik , tj. ukupno n - k mogućih vrijednosti. Takvih funkcija ima (n - k) m , vidi Teorem 6. 1 .3. Svakom od m k -članih =

=

6.5. FORMULA UKLJUČIVANJA I ISKLJUČIVANJA

Ill

. . , h} od {l, . . . , n} odgovara (n - k)m takvih funkcija. Prema lAt n . . . nAn i = nm - (�) (n - l)m + (;) (n - 2)m - . . . {i 1 ,

podskupova . Teoremu (b) je:

l

tj.

I Sur (A, B) I

= i)-l)k G) (n - k)m. k=O

Drugi dokaz ove tvrdnje može se dobiti s pomoću funkcija izvodnica (vidi Primjedbu 6.6.2 niže). PRIMJEDBA l . Gore navedeni broj Sur (A, B) može se shvatiti i kao broj načina na koje možemo predmeta smjestiti u kutija tako, da svaka kutija sadrži barem jedan predmet. Doista, ako su x 1 , . . . predmeti iz A koje stavljamo u kutije y 1 , , y11 iz B , onda svakom takvom razmještaju predmeta u ku­ tije odgovara funkcija iz A u B koja predmetima pridružuje odgovarajuće kutije. Broj načina na koje možemo predmeta smjestiti u kutija (koje ne razlikujemo), tako da nijedna ne bude prazna, jednak je .

l n različitih , Xm

l

m različitih . surjektivna .

m različitih n istovrsnih S(m, n) = �n. I)-l)k (nk) (n - k)m. k=O Naime svakoj surjektivnoj razdiobi m predmeta u n istovrsnih kutija odgovara n! i razdioba u n različitih kutija. Za ilustraciju, neka s u zadana tri predmeta X t, dvije kutije tj. m = 3 , n = 2. Ako kutije i razlikujemo, onda npr. raz­ razlikujemo od razdiobe predmeta diobu predmeta u kutiju i u kutiju u kutiju i u kutiju Ako kutije i ne razlikujemo, onda gornje dvije razdiobe ( = 2!) u dvije istovrsne kutije ne razlikujemo. Broj S(m, n) zove se Stirlingov broj druge vrste. PRIMJER 5 . Dokažimo još jednom Teorem 3.6. 1 , rabeći isključivanja. Podsjetimo se, �p(n) je broj prirodnih brojeva koji su n i relativno prosti sa n. Tvrdi se ovo: ako n Ima rastav na proste Ič:U!..tore n = p 1 . . . Pt , on Je �p(n) = n ( l - ;J . . ( l - ;1 ) . DRUGI DOKAZ. Označimo X = {l, 2, . . . , n}. Neka je Ai skup svih brojeva u X djeljivih sa Pi , i = l, . . . , l: Ai = {m E X pž l m} · lativno p�sti sa n su oni koji nemaju niti jedan J!.i kao sv�� Brojevi iz X koji su � djelitelj, tj. iz skupa A1 n . . . n A 1 . Prema tome je �p( n) = l_ At Ati· Rabeći Teorem l (b) vidimo da je: �p(n) = n - Li IAi l + Li<j IAi n Aji - . . + (-l)t iA t n Az n . . . nAt i · Jedini brojevi u X koji su djeljivi sa Pi su Pi, 2pi, . . . , ffiPi, dakle IA i l = #f . Skup Ai n Aj predstavljaju svi brojevi iz X koji su djeljivi sa Pi i Pj, dakle sa PiPj, a to su Y I , Y2 ,

x 1 , xz

x 1 , xz

Y2

x3

y1

YI .

YI

x3

Y2

YI

x2, x3

Y2

Y2

Formulu uključivanja i

•

•

<"�l-

•

al

<

.

:

n ... n

.

al

da .

6. UVOD U KOMBINATORIKU

112

PiPj, 2p;pj, . . . ,

P;�j PiPj . Prema tome je jA; n Aji P;�j , itd. Odavde slijedi =

((J(n) = n - "2:i P�i + "2:i<j P�iPj - . . . + (- 1 )1 PI P2n· · · Pl = n ( l - "2: _!_ + "2: -1- - . . . + (- 1 )/ ) · i Pi

PIP2 · · · Pl

i<j PiPj

Odmah se vidi da je gornji izraz u okrugloj zagradi jednak urnnošku

( : J ( :J ( �J . l

l

-

...

-

l

-

Q.E.D.

� POVIJESNA CRTICA � Prvu inačicu Formule uključivanja i isključiva­ nja dao je Abraha"' de Moivre (1667-1754). Modemu formulaciju tog rezultata dao (1814- 1897). je američki matematičar engleskoga podrijetla 1692- 1770) bio je škotski matematičar, suradnik Isaaca Newtona.

James James Sylvester Colin Stirling ( O MacLaurin (1698- 1746), po kojem je nazvan razvoj funkcije f(x) = I:�o f(�!( ) ·x11 u red potencija po x , bio je također škotski matematičar (istine radi, za taj razvoj je znao jo� prije njega Stirling, pa i Euler). Mala digresija: znadete li da Mac ili Mc kod Iraca i Skota znači - "sin od"?

Osnovna svojstva. Funkcije izvodnice predstavljaju moćno sredstvo u kombinatorici. CJ, . . . Cilj namje da ga zapišemo u što je Neka je zadan slijed realnih brojeva moguće sažetijem obliku. Pokazuje se da je to moguće napraviti s pomoću funkcija.

c0, cz,

DEFINICIJA . Funkcija

oo

g(x) = L CnX11

(l)

n=O

zove se funkcija izvodnica slijeda

(c11)n;;?: O ili generirajuća funkcija slijeda.

h(x) I:�0 c11�� g(x)

= DEFINICIJA. Funkcija zove se eksponencijalna funkcija izvodnica slijeda (cn)n;;?:: O . slijeda realnih brojeva treba "gledati" kao sažet zapis Funkcij u izvodnicu onda ona prema Macslijeda (c11) 11;;?:o . Doista, ako znamo funkciju izvodnicu

c11

g(x) ,

g(n�!(O) . Slično, za

h(x)

c11 h("l(O) .

= je = Laurinovoj formuli određuje slijed Varijabla za ove redove je samo formalna, tj. ne zanima nas pitanje konvergencije reda.

x

113

6.6. FUNKCUE IZVODNICE

Funkcije izvodnice rabe se u bitnom za ove dvije vrste problema: a) za prebroj avanje podskupova i multiskupova (kombinacija kod kojih poredak ele­ menata nije važan); tu se rabi funkcija izvodnica g(x) , b) za prebrojavanje konačnih sljedova (varijacije i permutacije, kod kojih je poredak elemenata važan); tu se rabi eksponencijalna funkcija izvodnica. A. Svojstvo linearnosti. Pretpostavimo da slijedu (a11 ) 11� o pripada funkcija iz­ vodnica f(x) 2::�0 a11x11 , a slijedu funkcija izvodnica g(x) = I::,0 b"x" . Neka su A i J.t zadani realni brojevi. Onda slijedu (Aa11 J.t b11 ) 11�o . . . ) odgovara funkcija izvodnica .?.J(x) J.tg(x) 2:�0(Aa11 J.tb")x" .

(b" )1 �o

= J.tbo, .?. a1 + J.tbt .

+

+

= (.?.ao + +

=

deriviranja i integriranja. Ako je g(x) funkcija izvodnica slijeda , onda formalnim deriviranjem iz (l) dobivamo: (ck )kB.�O Pravilo 1 g' (x) = ct + 2c2x + 3c3x2 + . . . = 2 )n + l)c11+ I X • 11=0 +l Posebno, kako je x · g'(x) = 2::� 0(n + l)c11+ I x" = 2::� 1 nc11x11 = I::,0 nc11x11 , funkcija izvodnica za slijed (n · c11) 1 �o = (0, Ct , 2c2 , 3cJ , . . . ) glasi x g'(x) . Formalnim integriranjem iz (l) dobivamo r g(t) dt = COX + 1 c1x2 + 1 c2x3 . . . = � l c11_ 1x" . 2 3 lo n= ;; tj. ft g( t) dt je funkcija izvodnica slijeda (0, co, !c t . lc2 , . . . ) . Funkciju izvodnicu zadanog slijeda tražimo, ako je moguće, u tzv. zatvorenoj oo

·

� l

formi, tj. ne u obliku reda, nego izraženu s pomoću elementarnih funkcija. Pogledajmo neke primjere.

PRIMJER l . bilo koja konstanta. Funkcija izvodnica beskonačnog slijeda (a) Neka je E 11 . . jednaka je J(x) I::,0 c"x l �cx , tj. zatvorena forma funkcije izvodnice navedenog slijedajednakaje �ex . Posebno, funkcija izvodnica slijeda . . . je l,

e R

l, e, �, . l, l, l�x :

=

1

=

oo

1 2 " -1 - x = l +x+x + . . . = L n=O x .

(2)

(b) Formalnim deriviranjem prethodne jednakosti dobivamo funkciju izvodnicu slije­ : da

l, 2, 3, . . .

oo

l = l + 2x + 3x2 + . . . = L (i + l )xi (3) ( 1 - x) 2 i=O (e ) Neka je a bilo koji realan broj, i k E No. Definirajmo binomni koeficijent: (ak ) .= a( a - l) ...k!( a - k + l ) , (ao) = l . ·

6. UVOD U KOMBINATORIKU

114

Upamtimo dobro, u brojniku imamo umnožak točno Slijed realnih brojeva za počevši od izvodnicu:

k brojeva koji se smanjuju

(� ) , k = O, l, 2, . . . , ima kao funkciju

a.

l,

( l + x)a = 1 + (�)x + (�)xz + . . . = k=f= (�)xk .

(4)

O

Red na desnoj strani zove se binomni red. Da bismo to dokazali, krenimo od

f(x) = E�o 1(i,(O) xk funkcije f(x) u red po­ = l + x ) a je f(k) (x) = a( a - l ) . . . (a - k + (x) x.k J dakle f(i!(O) = (�) . Timeje (4) dokazano. U važnom specijalnom , l)slučaju ( l+x)aa = -n, gdje je n prirodan broj, iz (4) dobivamo f:(- l)k (n + � - l ) xk, k=O

poznatog MacLaurinova razvoja ( Za funkciju tencija po

( l + x) -11

(5 )

=

jer je

(6)

= (-n)(-n- 1 );. (-n-k+ I) = ( -l l (n+k- l ).,. (n+ l)n = ( -l)k (n+�- 1 ) . Lako se vidi da svojstvo (a) slijedi iz ( 5 ) za n = l zamjenom x u -x. Svojstvo 1 k1 (b) se dobiva iz (5) za n = 2 zamjenom x -x ,jer je (k! ) = ( ! ) = k + l . Za bilo koji realan broj, primijetimo (�) gdje binomnog ( (-z) ) ( VZ(VZ-1) (YZ) 1 .5) 1 .5·0.5 ·( -0.5) · ( - 1.5) - !ZS ' da J· e z = 5 = O' z . . . . .. ( - 3) = ( - 3) · ( -4) · ( -5 Naime,

(-;z)

u

3

je

koeficijenta 4

ilustraciju

3!

'

4

9

) = -) lO .

vrlo

_

-

a

'

4

_

-

4!

lako se provjen IZ defiTIIC!Je da za svak"1

C. Pravilo pomaka. Zgodno je znati sljedeća pravila. Neka je izvodnica slijeda . . . , i zadani prirodni broj. funkcija izvodnica slijeda (a) Onda je

co, c1 , cz, xkg(x)

k

0, . . . , 0 , Co, C I , Cz, . . .'

_____.,

(l),

..1._

( a k" 1 + (k�{) , što za a = n znamo i iz Propozicije 6.2.3.

a E R vrijedi (k) = (d) Slijed O, l, !, j, . . . ima ovu funkciju izvodnicu: oo l l l l ln -- = x + -xz + - x3 + · · · = """"' - x11 · 1 -x 2 3 nL...= l.- n Dobiva se odmah iz (a) formalnom integracijom od O do x.

Ovdje je, vidi

_

k

nula oo

xkg(x) = L 11=0

C11X11+k

oo

= L Ci-kXi .

i=k

(7)

g(x) funkcija

115

6.6. FUNKCIJE IZVODNICE

q, ck+ l • . . . ima funkciju izvodnicu1 ct + Ck+ IX + ct+zxz + . . . , tj.: g(x) - co - qx -k . . . - q_I xk- - X-k "' C 1Xn -_ L Cj+kX . X n=k j=O D. Množenje funkcija izvodnica. Pretpostavima da je g1 (x) funkcija izvodnica slijeda ao, a 1 , az, . . . i gz(x) funkcija izvodnica slijeda bo, b 1 , hz, . Onda je gl (x) gz(x) = (ao + a1x + azxz + . . . )(bo + b1x + bzxz + . . ) z = (aobo) + (aobi + a1 bo)x + (aobz + a 1 b 1 + azbo)x + . . . , tj. g l (x) gz (x) je funkcija izvodnice slijeda so, s 1 , sz, . . . , gdje je Sn = k=LO akbn-k = aobn + a1 bn- I + . . . + a11bo. Slijed (s11 )11 � o zove se konvolucija sljedova (an)11 �o i (bn) n � O . Ako je bn = l , onda je g z(x) = l �x , i sn = ao + a 1 + . . . + an . Odavde odmah dobivamo sljedeće svojstvo. E. Operator sumiranja. Akoje g(x) = a + a 1 x + azxz + . . . funkcija izvodnica slijeda (an)1 �o , onda se funkcija izvodnica pripadnog slijeda parcijalnih suma dobiva jednostavno množenjem sa l �x : . l z (8) 1 _ x g(x) = ao + (ao + a1 )x + (ao + a1 + az)x + . . . PRIMJER 2. (a) Kao što znamo iz Primjera l (a), g(x) = l � je funkcija izvod­ 1 2 funkcija 1 nica slijeda l, l, l, . . Onda iz (8) dobivamo da je 1 -x g(x) = -(1 x) izvodnica slijeda l, l + l, l + l + l, . . , tj. ( l - x)- z = 1 + 2x + 3xz + . . smo još jednom dokazali svojstvo (3). (b) Rabeći (8) i (7), imamo: l l H,.A , -- ln -- = X + ( l + zI )Xz + (l + zl + I )X3 + . = 1 -x 1 -x tj. dobili smo funkciju izvodnicu slijeda harmonijskih brojeva, H,. = l + ! + . . . + � , n � l. (b) Slijed

oo

L.....

oo

J

1

. .

·

.

.

·

ll

0

·

x

. .

·

.

. .

3

. .

"oo Lm=l

Tune

JI

Primjene funkcija izvodnica. PRIMJER 3. U košari se nalazi 7 jabuka, koje trebaju podijeliti Cika, Vjeran i Slavica. Pritom Cika treba dobiti barem 3 jabuke, Vjeran najviše 2 , a Slavica barem dvije, ali najviše četiri. Na koliko se načina može raspodijeliti 7 jabuka? Nađimo funkciju izvodnicu za broj raspodjela jabuka. Označimo sa c 1 i odgovarajući broj jabuka koje dobiju redom Cika, Vje­ ran i Slavica. Kao što vidimo, traži se zapravo broj cjelobrojnih rješenja (tj. poredanih trojaca (q , jednadžbe:

cz, c3 ))

, cz c3

C] + Cz + CJ = 7,

6. UVOD U KOMBINATORIKU

116

uz uvjete

Ct

� 3,

2,

Cz ::;;

4.

2 ::;; CJ ::;;

Najprije ćemo svakoj pojedinoj osobi pridružiti po jednu funkciju izvodnicu za broj jabuka koje može dobiti, i to na sljedeći način: 1 . Cika će dobiti tri četiri pet. . . jabuka, pa joj pridružujemo funkciju izvodnicu

3 +x4 + xs + . ili. . ili x 2. Vjeran dobiva najviše 2 jabuke, tj. nula ili jednu ili dvije. Pripadna funkcija izvodnica je x0 + x 1 + x2 . Pritom ćemo x0 pisati kao l , gdje x0 = l odgovara slučaju kada Vjeran ne dobiva niti jednu jabuku. 3. Slavica će dobiti dvije ili tri ili četiri jabuke, pa je pripadna funkcija izvodnica jednaka x2 + x3 + x4 . Promatrajmo umnožak g(x) = (x3 +x4 +x5 + . . . ) ( 1 +x+x2) (x2 +x3 +x4) . ·

�

·

�--�---J

Slavica Vjeran Tvrdimo da je to upravo funkcija izvodnica za broj raspodjela jabuka. Uvjerimo se u da je traženi broj raspodjela od sedam jabuka jednak upravo koeficijentu ispred razvoju funkcije po potencijamo od Doista, ako npr. iz prvog umnoška u uzmemo član iz drugog i iz trećeg to odgovara slučaju kada Cika dobiva četiri jabuke, Vjeran jednu i Slavica dvije. Broj svih takvih kombinacija produkata kojima se u gornjem produktu dobiva potencija jednak je upravo traženom broju mogućih raspodjela sedam jabuka. Kako je Cika

g(x) x4 ,

x. 2 x,

x1

7 xg(x)

x7

g(x) = x5(1 + x + x2 + . . . ) ( 1 + x + x2)2, onda je koeficijent uz x7 u g(x) jednak koeficijentu uz x2 u izrazu h(x) = (l + x + � + . . . )(1 + x + x2 )(1 + x + x2 ). Taj koeficijent možemo odrediti na nekoliko načina. PRVI NAČIN. Koeficijent uz x2 u razvoju h(x) jednak je 6 , jer se u umnošku ostvaruje na ovih šest načina: l l x2 , l x x, l x2 l , x l x, x x l , x2 l l . Traženi broj raspodjela jabuka jednak je 6 . ·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

DRUGI NAČIN. Vjerojatno najefikasniji način za određivanje traženog broja te­ melji se na primjeni multinomne formule (Teorem 6.3.2). Primijetimo daje koeficijent u Naime, u uz u isti kao i koeficijent uz možemo 'odsjeći ' dio reda . koji sadrži potencije � 3 , jer one ne utječu na Koeficijent uz koeficijent uz u jednak je prema multinomnoj formuli (vidi također Primjer 6.3.3(b) ) :

2 ( l + x + x2 ) 3 . h(x) x l + x + x2 + . . x2 x2 (l + x + x2 )3 e.�' o) + (2, �. l ) = 1 !�:0! + 2 !�: 1 ! = 6" TREĆI NAČIN . Možemo postupiti i ovako. Prirnijetimo da je h(x) = 1 �x ( l + . Rabeći svojstvo (8) onda dobivamo da je koeficijent uz x2 u h(x) is­ xti +kaox2 i)2zbroj 2 svih koeficijenata u izrazu (l + x + x2 ) do potencije x2 Rabeći (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (vidi Primjer 6.3.3(a)), dobivamo (9) (l + x + x2 )2 l + 2x + 3x2 + 2x3 + x4, x2 h(x)

•

•

=

117

6.6. FUNKCUE IZVODNICE

+ + =

pa je traženi broj jednak l 2 3 6 . Pogledajmo koje su to razdiobe jabuka u ovom primjeru (ovakve tablice će rijetko kada imati smisla graditi, jer će često biti vrlo velike):

C3t Cz CJ4 3 3

o

l

2

C4t Czo CJ3

3 2

4 5

l o

2 2

Primijetite da nam funkcija izvodnica daje čak i više informacija nego što se tražilo. Npr. ako imamo ukupno 5 jabuka u košari, možemo ih raspodijeliti samo na koji je l način, jer koeficijentu uz u odgovara slobodni koeficijent u jednak l . Pripadna raspodjela je (3, O, 2) . Ako imamo ukupno 6 jabuka, onda ih možemo raspodijeliti na tri načina: koe­ , koji je isti kao koeficijent uz u ficijentu uz odgovara koeficijent uz u dakle 3 . Drugi način je da tražimo zbroj razvoju 2 koeficijenata uz i X U (9).

h(x),

x5 g(x)

x� (l + x)3 ,

x h(x)

x0 x

l+

Matematički računalni alati kao što su Mathematica ili Matlab omogućuju da se za funkciju g(x) zapisanu kao produkt polinoma vrlo lako očita koeficijent uz bilo koju potenciju od x , a da se sama funkcija g(x) simbolički ne izračunava. To je od znatne koristi ako imamo polinome s velikim brojem članova.

bez ponavljanja od n g(x) =za mbrojzakombinacija 0 � k � n , Ck 0 za k > n . g(x) = (�) + G) x + . . . + (:) xk + . . . + (:)�. Dakle g(x) = (l + ) i je njena v n Obratno, ako krenemo od funkcije g(x) = (x0 + x 1 ) n onda je koeficijent xk jednak = m . Znamo već od prije da on predstavlja broj k -članih podskupova n -članog skupa, tj. broj kombinacija bez ponavljanja reda k, vidi Teorem 6.2.2. Po�e­ dajmo to isto na drugi način u slučaju n = 3 , za skup A 3 = {ar, az, a3} . Promotnmo izraz (l + a1x)(l + azx){ l + a3x) =l + (ar + az + a3 )x 2 + (ar az + ara3 + aza3 )x + arazaJX3. uz xk određen skupom svih k -članih podskupova skupa od AVidimo ,3 k =daO, jel , koeficijent 2, 3 : koeficijent uz xo = l (slobodni koeficijent) odgovarajednom praznom skupu, tj. skupu 0 ; koeficijent uz x 1 je a 1 +az +a3 , koji odgovara trimajednočlanim podskupovima {ar }. {az } , {az3}; koeficijent uz x je a 1 a2 + a1 a3 + aza3 , koji odgovara trima dvočlanim podsku­ povima { ar,az } , { ar,a3} , {az, a3}; koeficijent uz x3 je a 1 aza3 , koji odgovarajednom tročlanom skupu {a r , az, a3} . PRIMJER 4 . Funkcija izvodnica elemenata je funkcija izvodnica slijeda Imamo

x n,

q

•

•

•

•

to

Ck

zat ore a forma

=

,

uz

6. UVOD U KOMBINATORIKU

118

Prema tome broj k -članih podskupova, k = O, l, 2, 3, dobit će se kao koeficijent uz xk u izrazu xk za a1 = a2 = a3 = l , tj. kao koficijent g(x) = ( l + x)3 = 2l + 3x + 3x2 + x3 . Značenje izraza ( l + x) 3 = l + 3x + 3x + x3 kao funkcije izvodnice postaje još jasnije ako ga gledamo u obliku: uz

{!}k {!} {!}�{*'' } x

u (l Slično je i koeficijent uz reda k skupa od elemenata.

n

+ x)

'1

jednak broju kombinacija bez ponavljanja

PRIMJER 5 . S pomoću funkcija izvodnica možemo dati izvanredno jednostavan n = (l + x ) . dokaz identiteta {1) = (n -;: I ) + (1=!) . Doista. promatrajmo polinom Koeficijent uz jednak je G) . Kako je = (l = (l ( n n ) u (l jednak n k" , a koeficijent uz , onda je koeficijent uz l ) l l n u x (l x ) - jednak je koeficijentu uz xk- u izrazu x ) n - l , dakle (�=D . Odavde odmah slijedi tvrdnja.

n-!(1 +x) g(x) +x) 1) xk + x 1 (1 +

k x x(k + x 1 x +

g(x)

+x)n- 1 +

PRIMJER 6. Pogledajmo kakvo kombinatoričko značenje imaju koeficijenti u iz-

(10) g(x) = (1 + x + x2 )(1 + x)(1 + x). Prornatrajmo skup A 3 = { a 1 , a2 , a3 } (broj elemenata jednak je broju faktora u g (x )) i izraz (1+atx+afx2 )(1 +a2x)(1 +a3x) = l +(at +a2+a23)x+(af+a31a2 +a2 t a3+a2a3 )x2 + (a1 a2a3 +a1 a2 +a21 a3)x +a1a2a3x . U njemu koeficijent uz xk odgovara kombinacijama reda k skupa A 3 u kojima se a1višeponavlja najviše dvaput (vidi prvi faktor na lijevoj strani u ( 10)), te a2 i a3 naj­ jedanput (vidi druga dva faktora u ( 1 0 )) . Dakle funkcija izvodnica za ovakve kombinacije je određena sa ( 1 0 ) . Koeficijent uz xk u ( 1 0) jednak je upravo broju odgovarajućih kombinacija. Broj kombinacija dobiven s pomoću funkcije izvodnice

razu

4

{:,}·{!} {!}�{ � }

može se gledati i na ovaj način:

TEMELJNO PRAVILO. Vidimo da je općenito funkcija izvodnica za broj kombinacija (s ponavljanjem) skupa od elemenata jednaka urnnošku od fak­ tora. Ako zahtijevamo da se -ti element u kombinaciji pojavljuje ili samo puta, ili puta, . . . , ili puta, onda i -ti faktor u funkciji izvodnici ima oblik (xn l xn2 xnj ) .

i

n a;

n nt

+ n2+ . . . + nj PRIMJER (de Moivre) Zadan je skup od n elemenata. Promatrajmo broj kombinacija ponavlj anjem reda k od n elemenata (tj. broj neporedanih k -teraca 7.

s

6.6. FUNKCIJE IZVODNICE

n

119

n + x + xz +0 . =. . )

O elemenata iz -članog skupa). Element a1 se u kombinaciji može pojaviti . puta l puta puta itd. Njemu odgovara izraz ( l Isto tako i svakom drugom elementu a a3, . . . , a11 Prema tome, funkcija izvodnica za broj kombinacija s ponavljanjemjednaka je

ili n 1 =

ili nz = 2

z 1 - ) n = (1 -x) -n . g(x) = (l +x+xz + . . . )" = ( 1 -x k Traženi broj je koeficijent uz x u MacLaurinovu razvoju od g(x) Rabeći funkciju izvodnicu (5), zamjenom x u -x dobivamo: (1 -x)-" = f (n + k l) xk . . k=O k Traženi koeficijent uz x , tj. broj neporedanih k -teraca elemenata iz n -članog skupa, + ,

•

.

k

-

(" ;-•)

je . Time je ponovno dokazan Teorem 6.3.5, i to sasvim drugom metodom, s pomocu funkcije izvodnice.

lz +

2z + . . . + nz

PRIMJER 8. Pokažimo kako se uz pomoć funkcija izvodnica može zbroj dobiti kao funkcija od u zatvorenoj formi. Krećemo od, vidi Primjer l (b):

n g(x) := ( 1 -xl )Z = l + 2x + 3xz + . . . Onda je (x · g(x))' = (x + 2xz + 3x3 + . . . )' = I z + 2zx + 3Zx3 + 4Zx3 + . . . funkcija izvodnica slijeda l z , 2z , 3Z, . . . Zbog svojstva ( 8) je izraz l l+X 1 -x · (x · g(x)) = (1 -x)4 jednak l z + (l Z + 2Z)x + (l Z + 2Z 3Z )xZ slijeda l z , l z + 2z , l z + 2z + 3z , . . Prema tome zbroj Sn = l z + zZ + ···+ "2 jednak je koeficijentu uz x"- 1 u MacLaurinovu razvoju od (l +x)( l x)- • binornni red (4 ) dobivamo (l +x)(l -x) -4 = (1 +x) . [ (�4) + (�4)(-x) + (-;4)(-x)z+ ] . Koeficijent uz x"- 1 jednak je, vidi također (6), Sn = (n-=.\ ) ( -1)"- l + (n-=.\) ( -l)n-Z = (4 + (nn -- 1l ) - l ) + (4 + (nn -- 2)2 - l ) = (nn+- 21 ) + (nn+- 2l ) = (n + 2) + (n + l ) = (n + 2)(n + l)n + (n + l)n(n - 1) . 3! 3! 3z z 3 Prema tome je l + 2 + . . . nz = !n(n + 1)(2n + 1). Za drugi dokaz, uz pomoć rekurzivnih relacija, vidi Primjer 7. 5 . 2 . .

+

1

+

. . . .

tj . dobili smo funkciju izvodnicu

. .

-

4

Rabeći

. . .

6. UVOD U KOMBINATORIKU

120

PRIMJER 9. Ukupno 2k + l zečića treba rasporediti u 3 kaveza tako da niti u jednom kavezu ne bude više od k zečića, k E N (zečiće međusobno ne razlikujemo). Na koliko načina se to može učiniti? Gornja zadaća je ekvivalentna ovoj: na koliko se načina može neparan broj 2k + l napisati kao zbroj tri pribrojnika (razlikujući i poredak pribrojnika), tako da niti jedan od njih nije veći od k . Npr. za k = 4 imamo 9 = 4 + 4 + l (tri načina), 9 = 4 + 3 + 2 (šest načina), 9 = 3 + 3 + 3 Uedan način), dakle broj 9 možemo prikazati na ukupno deset načina. 1 u polinomu Pokazat ćemo da je traženi broj jednak koeficijentu uz 3 k g(x) = ( l + x + . . . + x ) . Doista, traženi broj rasporeda zečića u tri kaveza jednak dobiva množenjem triju polinoma l + x + . . . + xk . je broju načina na koji se Razlog je taj što svakom od tih triju polinoma odgovara neki broj zečeva (nula, jedan, dva, . . . ili k ) koji su smješteni u odgovarajući kavez. Prema poznatoj formuli za zbroj geometrijskog slijeda imamo

x2k+

x2k+I

g(x) =

(

l -

xk+l

l -x

)

3

+

= ( l - 3xk+ l + 3x2k 2 - x3k+3 ) ( 1 - x) - 3

+

= ( l - 3xk+I + 3x2k+2 - x3k 3 ) ( 1 + x + x2 + . . . ) 3 . u ( l - x)-3 minus Prema tome, koeficijent uz x2k+ I jednak je koeficijentu uz 3 k tri puta koeficijent uz x u ( l - x) - (to su jedina dva načina na koji se x2k+ I može realizirati u gornjem izrazu), dakle

(

3 + (2k + l) - 1 2k + 1

) ( -3

3+k- l k

x2k+I

) ( ) ( ) c ; ) e; ) 2k + 3 2k + 1 k 3

=

=

-3

_3

k+2 k 2

=

k(k

; I) _

. PR:IMJER 10 . (Euler) Promotrimo ovakav kombinatorički problem. Zadan je pnrodm broJ n . Njegovom zvat ćemo bilo koji rastav na pribrojnike u skupu prirodnih brojeva (pritom npr. za n = 3 rastave 3 = 2 + 1 i 3 = l + 2 poistovjećujemo). Označimo broj particija sa p(n) . ( l ) p ( l ) = l U er imamo samo jedan rastav l = l ), (2) p (2) = 2 Uer 2 = 2 , l + l ), (3) p (3) = 3 Uer 3 = 3 , 1 + 2 , 1 + 1 + 1 ), (4) p(4) = 5 Uer 4 = 4 , 1 + 3 , 2 + 2 , 1 + 1 + 2 , l + l + l + l ), itd. Neka je

particijom

g (x ) = l + p( l )x + p(2)x2 + . . . = l +

oo

L P(n)xn n= I

funkcija izvodnica za broj particija od n (tj. za slijed brojeva en = p(n) ) . Razmotrimo ilustracije radi najprije particije broja n čiji pribrojnici nisu veći od 5 . Dakle n = k1 · l + k2 2 + k3 3 + k4 4 + k5 5, gdje k; ;?: O označava broj ponavljanja pribroj nika = l, 2, 3, 4, 5 . Onda je ·

·

·

i, i

x = (x 1 ll (x2 )k2 (x3 )k3 (x4 )k4 (x5 )ks . n

·

121

6.6. FUNKCUE IZVODNICE

n n x n xn g(x) = l + x + x2 + + x2 + x4 + . . . ) + x5 + x10 + . . . ) l · l 2· l 3· l · l · = l -x l -x l -x l l -x5

Broj particija broja (s pribrojnicima ::,;; 5 ) jednak je očevidno broju takvih faktori­ zacija od . Općenito, ukupni broj takvih particija broja jednak je koeficijentu uz u izrazu { . . . ){1 . . . {l - x4

Ako ne ograničimo vrijednost pribrojnika, onda je funkcija izvodnica za slijed jednaka

p(n)

PRIMJER l l . {Euler) Slično kao u prethodnom primjeru nije teško vidjeti da je funkcija izvodnica za broj particija od u kojima su svi pribrojnici različiti, tj. svaki se pojavljuje najviše jedanput, jednaka

n g(x) = {l+x){l+x2 ){l+x3 ) . . . = IJ(l+xi ) = l+x+x2 +2.x3 +2.x4 +3x5+4x6+ . . . =l CXl

i

Eksponencijalna funkcija izvodnica. Kao što smo već rekli, eksponencijalna funk­ cija izvodnica rabi se u problemima prebrojavanja gdje je poredak pojedinih elemenata važan. funkcija izvodnica za broj varijacija bez ponavljanja reda od elemenata jednaka je

n Eksponencijalna n n (n) k k n' x · . h(x) = {; (n - k)! k! = {; k x = {l + x)n .

k

n

Eksponencijalna funkcija izvodnica za broj varijacija s ponavljanjem -članog skupa jednaka je

(';!)k = ea . n �k = 2: h(x) = l: k=O k=O CXl

k

CXl

'

Ilustrirajmo njenu primjenu na dva primjera.

4

PRIMJER 12. Na koliko se načina mogu poredati po slova iz riječi MAMICA'? U Međimurju i na otoku Krku "mamica" znači "baka". U riječi se pojavljuju četiri slova: A , {svako dvaput), I, C. Kako nam je poredak bitan, svakom slovu pridružit ćemo eksponencijalnu funkciju izvodnicu: , koj.i odgov�a s!u�aje­ 1 . slovu A pridružujemo polinom drugog stupnja: pohnom pndruzuJemo Isti dvaput. jednom puta nula virna kad se A pojavljuje i slovu M koje se pojavljuje najviše dvaput. 2. Slovima I i C, koja se pojavljuju najviše jednom, pridružujemo polinom

M

ili

l +x.

ili l + x + %.

x0 +x1 =

6. UVOD U KOMBINATORIKU

122

Tvrdimo da je funkcija izvodnica pridružena nalaženju broja svih četveraca iz zadatka jednaka

h(x) = [I +x + �:] · [I +x + ��] · (l +x) · ( l +x), �

A

,____..., ..__... ..__... I C M

(2)

te da je traženi broj jednak upravo koeficijentu uz �� . Da bismo to vidjeli, pogledajmo najprije broj svih traženih permutacija za pojedine grupe od po 4 slova (vidi Teorem 6.3. 1 ) :

AAIC AAIM AACM AAMM

4! 4! 4! 2!4!2!

ACIM 4! ACMM 2T AIMM 2T CIMM 2T

4! 4! 4!

2T

2T 2T

Da bismo vidjeli kako odgovarajući brojevi ulaze u koeficijent ispred �� , pogledajmo sljedeća dva slučaja od njih ukupno osam (vidi tablicu). a) Uzmimo �� iz prvog i drugog faktora u (2) (uzimamo AA i MM), te broj l iz trećeg i četvrtog faktora u (2) (iz preostala dva uzimamao samo l , tj. nema I . . . . . da Je . 1f 1f · l · l 1 C) . V"1 d"1mo da Je . koefilClJent .. N! . pnrrnJetlte uz �! jednak upravo broju permutacija s ponavljanjem u tablici za AAMM, tj. To su u leksikografskom poretku AAMM, AMAM, AMMA, MAAM, 20_!

x2 x2

4

= 2TITx4 = 4' · x4,4

= 6.

MAMA, MMAA. b) Slovima AAIC odgovaraju sljedeći polinomi:

% iz prvog faktora u (2) za AA,

l iz. drugog (M se ne pojavljuje),4 x iz trećeg za I, x iz četvrtog za C. Vidimo x 4' x4, . nrrnJetlte . koe lClJent . . uz x4, Je 2 . . . . da Je . dnak da Je l x x = x1f4 = il 4 upravo broju permutacija s ponavljanjem za AAIC, tj. � = 12 (vidi tablicu). To su u leksikografkom poretku AACI, AAIC, ACAI, Ad AlAC, AICA, CAAI, 2T ·

·

·

CAIA, CIAA, IAAC, lACA, ICAA.

p

fi

A,

Promatrajući na sličan način kako se sve može dobiti koeficijent �� u (2) , vidimo daje ukupan broj traženih permutacija reda 4 jednak zapravo koeficijentu uz u (2), po�oženom sa 4! . Koeficijent uz u (2)jednakje pa Je traženi broj 4! 4 ! 4! 4! 4! � 4! 4' 102• 2! 2 ! 2! 2! 2 ! 2!2! 2 ! kao što pokazuje i tablica.

4 x �+l+if+tr+if+if+ 2,�, +if, x4 + .+ + + + + +

PRIMJER 1 3 . Ćetvero djece dobilo je ukupno lO različitih igračaka. Svako di­ jete treba dobiti barem jednu igračku. Na koliko načina se može obaviti raspodjela l O različitih igračaka među četvero djece? Označimo četvero djece sa A, B, C, D. Svako dijete mora primiti barem jednu igračku, tj. jednu ili dvije ili tri ili četiri . . . Svakom klincu pripada funkcija izvodnica �� 3� . . . (primijetite da za broj igračaka imamo samo ograničenje odozdol -

x+ + +

6.7.

DIRICHLETOV PRINCIP

barem

123

dijete dobiva jednu igračku). Prema tome, možemo promatrati funkciju izvod­ nicu za početni problem:

h(x) = (x + �� + ;� + . . .) 4 .

Iz poznatog razvoja funkcije pa vrijedi

ex - l

'

ex u MacLaurinov red znamo da je x + ��. + �� + . . . =

h( ) = (eX - 1)4 = L4 (:)eh(-l)k = =O2x k 3 4 = e x - 4e x + 6e - 4tr + l . Koeficijent uz ' u razvoju h(x ) u red potencija po jednak je 4 4 4 I O - 4 . 3 10 + 6 . 2 10 - 4 . l i O = L( -l) k ( ) (4 - k) I O . k=O k

.

x

x

.

PRIMJEDBA l . Ako s A označimo skup igračaka i s B skup djece, onda bilo kojem rasporedu igračaka među djecom, takvom da svako dijete dobije barem jednu igračku, jednoznačno odgovara funkcija J : A -+ B, i obratno. Ako je IAI = i IRI = i ondaje broj funkcija J : A -t B jednak, kao što smo vidjeli s pomoću Formule uključivanja i isključivanja (Primjer 6.5.4):

n m � n, surjektivnasurjektivnih n ISur (A, B) l = I) -1)k ( ) (n - k) m . k k=O az Skica za drugi = 10 i n = 4 ) broj surjektivnih funkcija jednak je koeficijentu uz �� u razvoju mfunkcije h( ) = (ex - l )n u red potencija. � PoVIJESNA CRTICA � Vrijednosti Fibonaccijeva slijeda u zatvorenoj formi uz pomoć funkcije izvodnice dobioje 1718.g.Abrahamde Moivre ( 1 667- 1754) Primjene metode funkcija izvodnica jako je razvio Leonhard Euler ( 1707- 1783). Vidi također na kraju Odjeljka 7 .6. m

dok

x

:

te tvrdnje je zapravo dana u rje5enju prethodnog primjera (z;a

.

Ovo ćemo poglavlje završiti s vrlo jednostavnim kombinatoričkim principom. koji nalazi primjene u mnogim područjima matematike, pa čak i u matematičkoj analizi.

(Dirichletov princip) Neka je n predmeta smjeiteno n > m. Onda postoji kutija s barem 2 predmeta. Teorem 1 .

u m

kutija i

DoKAZ. Ova tvrdnja je očevidna. Doista, kad bi u svakoj od m kutija bio najviše jedan predmet, onda bi u svim kutijama bilo najviše m predmeta. što je kontradikcija Q.E.D. sa

n > m.

6. UVOD U KOMBINATORIKU

124

Ovaj princip nosi još i naziv "princip smješ�a�a?ja u ladice", ili )rinci� �olu­ binjaka" (engl. pigeonhole principle). Npr. ako cetm goluba slete u tn golubmJaka, onda će u jednom od njih biti bar dva goluba. Taj princip može se izreći i na ovaj ekvivalentan način.

A --+ B

IA I > IB I .

Teorem 2. Neka je f : funkcija između konačnih skupova i Onda f nije injekcija, tj. postoje dva različita elementa E takva da je =

a 1 , a2 A

!(at) f(a2 )

A

B IA I = n a f(a) . a1 , a2 , !(a t ) f(a2 ) .

DOKAZ. Gledajmo kao skup od predmeta i kao skup od Zbog a f kao funkciju koja 'predmetu' pridružuje 'kutiju ' = tj. kutiji biti pridružena dva predmeta

I B I = m kutija, n > m će nekoj Q.E.D.

PRIMJER l . Među bilo kojih 13 ljudi bar dvojica su rođena istoga mjeseca. Doi­ sta, svakom od 1 3 ljudi ('predmeta' ) možemo pridružiti neki od 12 mjeseci ('kutija' ), pa će barem dvojici biti pridružen isti mjesec. PRIMJER 2. Zadano je l OO različitih prirodnih brojeva. Onda postoje dva među njima čija razlika je djeljiva sa 99 . Razlika dvaju brojeva je djeljiva sa 99 onda i samo onda ako oba pri dijeljenju sa 99 daju isti ostatak, vidi Primjer 3.4.3. Pokažimo da postoje takva dva broja. Svakom od sto odabranih brojeva ('predmeta' ) pridružimo ostatak ('kutiju ' ) pri dijeljenju sa 99 . Ostatak poprima vrijednosti r = O, l , . . . , 98 , dakle njih 99 . Onda među sto brojeva postoje dva kojima je pridružen isti ostatak. PRIMJER 3. U skupu od prvih osam brojeva l, 2, . . , 8 odaberemo njih pet. Dokažimo da među tih pet postoje dva čiji zbroj je jednak 9 . Zbroj 9 dobiva se za svaki od ova 4 dvočlana podskupa početnog skupa: 8} , 7} , C = 6} , = {4, 5} . Svakom od 5 odabranih brojeva (predmeta) možemo pridružiti točno jedan od ova 4 podskupa (kutija) u ko­ jem se on nalazi. Prema tome postoje dva broja kojima će biti pridružen isti skup. Zbroj ta d va broja je 9 . .

A = {l,

B = {2,

{3,

D

PRIMJER 4 . Među brojevima od l do 20 odaberemo njih osam. Dokažimo da postoje bar dva tročlana podskupa tog osmeročlanog skupa koji daju isti zbroj eleme­ nata. Prirnijetimo najprije da postoji m = 8·j;6 56 tročlanih podskupova osmero­ članog skupa (vidi Teorem 6.2.2). Koje vrijednosti mogu poprimiti zbrojevi njihovih elemenata? Najmanji mogući zbroj je l + 2 + 3 6 , a najveći 20 + 19 + 18 = 57 . Prema tome različitih mogućih zbrojeva ima ukupno 57 - 6 + l = 52 (vidi Primjer 6.1 .1 ). Pridružujući svakom od 56 tročlanih podskupova ('predmeta' ) jedan od 52 moguća zbroja ('kutije' ), vidimo da će postojati bar dva s istim zbrojem.

= =

PRIMJER 5. U pravilnom šesterokutu, duljine stranice l , odabrano je sedam točaka. Onda postoje bar dvije čija udaljenost nije veća od

l.

6.7. DIRICHLETOV PRINCIP

125

Sl.

6.6.

Pravilni šesterokut možemo podijeliti na 6 jednakostraničnih trokuta. Svakoj od sedam točaka ( 'predmeta' ) pridružimo jedan od 6 trokuta (kutija) u kojem se nalazi. Onda postoje dvije točke koje su unutar istoga trokuta. Kako je osnovica jednakostra­ ničnog trokuta duljine l , onda je udaljenost medu njima � l .

Poopćeni Dirichletov princip. Ako imamo n = 2m + l predmeta smještenih u m kutija, onda će u nekoj kutiji biti barem 3 predmeta. Naime kad bi ih u svakoj bilo � 2 , njihov ukupan broj bio bi � 2m . Na sličan način može se dobiti poopćenje Dirichletova principa. Teorem 3. (Poopćeni Dirichletov princip) Ako je n predmeta smješteno u m J + l predmeta. kutija, onda postoji kutija koja sadrži barem L

n;;;1

n;;;I

J predmeta. Onda je DoKAz. Pretpostavimo suprotno, da svaka kutija sadrži � L ukupan broj predmeta u m kutija < m l n;; j � m · ";; = n - l , što je pcotuslovlje. ·

1

1

Q.E.D.

J + l � 2 , tj. postoji kutija PRIMJER 6 . Za n > m , tj. n - l � m , imamo L s bar dva predmeta (Teorem l ). Ako je n = 2m + l , onda postoji kutija s barem L ;;; J + l = 3 predmeta.

n;;;I

n1

Teorem 4. Neka je j : A -+ B funkcija među konačnim skupovima, n = IAI , m = lB l . Onda postoji element E B u koji se preslika barem L n;;;1 J + l elemenata iz A .

b

PRIMJER 7. U bijelom Zagrebu gradu u 30 najvećih zgrada živi 61 327 stanara. Onda postoji zgrada s barem 2045 stanara. Doista, ovdje je n = 61 327 i m = 30 , pa postoji zgrada sa barem l 11;;;1 J + l = L� J + l = L2044.2J + l = 2045 stanara. Usput, zna se i više od toga: u zagre­ bačkoj mamutici (naselje Travno) živi oko 7000 ljudi. PRIMJER 8. Medu svim stanarima iz prethodnog zadatka irna barem L� J + l = 8761 onih koji su rođeni istoga dana u tjednu.

Evo jedne zanimljive primjene Dirichletova principa u matematičkoj analizi.

6. UVOD U KOMBINATORIKU

126 Teorem 5. Nekaje zadan kut a

E R (u radijanima) i slijed kompleksnih brojeva

(an ) zadan rekurzivnom relacijom an+ 1 = an, ao E s l , gdje je s = E e : = l } jedinična kružnica u kompleksnoj ravnini. Ako je kut a nesumjerljiv sa 2n ' tj. � nije racionalan broj� onda je slijed v(an ) �t u S1 • Točnije, svaki interval na kružnici kako god male duljine e > O sadrži neki an .

I {z

ea i

Izl

eaia0

nastaje iz ao rotacijom za kut a oko ishodišta, pa DOKAZ. Kompleksni broj 1 je a11 = e'' ao , tj. an nastaje iz ao rotacijom za Očevidno . čitav slijed ostaje u S kut na oko ishodišta. Podijelimo kružnicu S 1 na n poluotvorenih intervala (lukova) lo, lt , . . . , ln- 1 .. 2n n 4n ) , . 2n ) , [ n' . redOm kUtOVl. l. Z mterv ala [O, n jednakih du1J. l.fla, kOjtma OdgovaraJU

ai

· ·

· ,

[ 2(n� l)n , 2n) .

Sl.

6. 7.

Pogledajmo kompleksne brojeve ao, a 1 , . . . , a11 E S1 generirane sa ao E S1 . Dokažimo da su svi različiti, tj. ima ih n + l . Doista, kad bi bilo = at za neke tj. = l , dakle (l - k)a = 2mn za neki k, l , k < l , imali bi = m E Z , dotično � = t'!.!- E Q, a to je kontradikcija. Budući da imamo n + l brojeva ao, a 1 , . . . , a11 u ukupno n intervala, onda po Dirichletovu principu postoji interval lj koji sadrži barem dva od njih: neka su to i k < l . To znači da za razliku njihovih argumenata D = (l - k) a vrijedi O < D < 2; Stavljajući = l - k imamo da je kompleksni broj

ekaiao etaiao , e(l-k)ai k

ak az,

•

d

ak

az-k e

(j j ad = = ao generiran sa ao , dakle i slijed a2d, a3d itd. čiji argumenti su redom cp + D , cp + 2D , cp + 3D itd. Zbog D < svaki od n intervala lj sadrži neki od elemenata toga slijeda, dakle i slijeda ao, a 1 , a2 , . . . . Odatle lako dobivamo da je slijed (a11) gust u S1 • Doista, odaberimo bilo koji interval duljine luka e > O na kružnici. Onda za dovoljno velik n vrijedi 2; < e , tako da će dotični E -interval sadržavati neki od n intervala lj , dakle i neki element Q.E.o. slijeda ao, at, . . . .

2;

PRIMJEDBA l . Uvjet nesumjerljivosti brojeva a i 2n , tj. 2� � Q, bit će ispu­ njen ako je npr. a racionalan broj. Razlog je taj što je n iracionalan broj. Štoviše, pokazuje se da n nije čak niti algebarski broj (realni brojevi koji nisu algebarski zovu

6.7. DIRICHLETOV PRINCIP

127

se transcendentni brojevi). Zato a može biti i bilo koji algebarski broj , npr. ,Ji (definicija algebarskih i transcendentnih realnih brojeva dana je u Odjeljku 1 .5). PRIMJEDBA 2. Zbog nesumjerljivosti brojeva a = l i 2n je infkEN l si n k ! = O . Da bismo to vidjeli, prirnijetimo da skup svih kutova od k radijana daje slijed kom­ pleksnih brojeva (an ) na kružnici S1 . On je određen kutom a = l i početnom vrijednošću ao = l točno kako je opisano u prethodnom teoremu. Taj slijed je gust u S 1 , pa za svaki okoliš oko l E postoji n tako da je a11 u tom okolišu. Budući daje a11 = e"i i l = e2tnni , zaključujemo da za svaki e > O postoje m E N i E N takvi da je ln - 2mn ! < e . Broj n je dakle e -blizu nultočke funkcije sinus. Npr., postoji prirodan broj n za koji je l sin nl < 0.00 1 . Prirnijetimo da za svaki n E N vrijedi sin n i- O . PRIMJEDBA 3 . Na sličan način dokazuje se i ovo. Odaberimo bilo koji iraciona­ lan broj e . Onda za svaki e > O postoje m, n E N takvi da je jn - mej < e . Razlog je taj što su brojevi l i e nesumjerljivi. Intuitivno to znači da ako koračamo korakom jedinične duljine d = l po ravnom putu sa poprečnim žljebovima kako god male širine e > O , koji su na međusobnoj udaljenosti e , nesumjerljivoj s duljinom našega koraka (tj. Q ), onda ćemo prije ili kasnije sigurno 'nagaziti ' na žlijeb. PRIMJEDBA 4 . Ako je zadan iracionalan broj e E R i slijed an definiran sa an+l = (an + e) - La,, + ej , onda je slijed (a,1) gust u [0, l] s bilo kojim počet­ nim a0 E [0, l] . Neki brojevi e za koje se znade da su iracionalni su -.../2 , -.../3 , n , e . . . Očevidno je svaki broj oblika e + iracionalan, ako je e iracionalan i racionalni, O . Odatle lako slijedi da je skup iracionalnih brojeva R \ Q gust u R . Osim toga, znamo da iracionalnih brojeva irna više nego racionalnih (vidi Odjeljak 1 .5). PRIMJEDBA 5. Od literature na hrvatskom jeziku čitatelju preporučamo da za daljnji studij kombinatoričkih problema konzultirate opsežno djelo [Veljan] , te odličnu (i izvanredno duhovitu) zbirku zadataka [Cvitković] .

S1

n

� fl.

q1 i-

q1

·

qz

q 1,2

� POVIJESNA CRTICA � Dirichletov prinicip dobio j e naziv po njemač­ kom matematičaru Peteru Lejeuene Dirichletu ( 1 805-1 859). Postoje dalekosezna poopćenja Dirichletova principa koja čine tzv. Ramseyevu t�oriju ' �a�':anu �rema en­ . . vtdt [VelJan] . gleskom matematičaru Franku Ramseyu (1903-1930). O tOJ teonJt

Ne bi li se glazba mogla opisati kao matematika osjećaja, a matematika kao glazba uma?

- James SYLVESTER (1814-1897}

Ekspertje onaj tko poznaje najgore pogre§ke

u

svom području, i kako ih Zaobići.

- Werner HEISENBERG {1901-1976)

Kucajte, i otvorit će vam se!

- Mt 7,7

7.

128

REKURZIVNE RELACIJE

7.

Rekurzivne rel�cije

Navedimo najprije klasičan primjer rekurzivne relacije povezane s problemom razmnožavanja zečeva. Pretpostavimo da svaki par zečica - zec (starih bar 2 mjeseca) dobiju tijekom svakog sljedećeg mjeseca par mladih: zeca i zečicu. Ako je na početku postojao samo jedan par l , postavlja se pitanje koliko će parova j,, biti nakon mjeseci (pretpostavljamo da zečevi ne umiru). Da bi se dobio traženi broj parova živih u -tom mjesecu, treba broju paro­ va živih do l ) -vog mjeseca fn - 1 dodati broj novorođenih koji dolaze od svih parova koliko ih je živjelo dva mjeseca ranije: fn fn - 1 fn- Ova relacija je primjer rekurzivne relacije: -ti član slijeda fn određen je s pomoću prethodna dva (lat. recursus - natrag trčati; pribjeći). Dakle l , II l (nakon prvog l l (nakon dva mjeseca rođen je novi par zeče­ mjeseca živi samo isti par), va), h ft 3 itd. Slijed prirodnih brojeva fn , O, l, 2 , . . . određen je jednoznačno s dvije početne vrijednosti l , II l i rekurzivnom relacijom: fn - 1 2, 3, . Nakon 12 mjeseci imat ćemo 233 parova zečeva. Brojevi definirani na gornji način zovu se po talijanskom matematičaru Fibonacciju iz 13. st. (čitaj Fibonači). Danas je običaj da se Fibonaccijev slijed definira neznatno drukčije.

/o =

J,,_2

J,,

(n -

n

n

= + 2 n Jo = = h = + =h+ = /o = = n = J,, = + /,1-2, n = J,, /12 = Fibonaccijevi brojevi Fibonaccijev slijed (Fn ) definira se s početnim vrijednostima Fo =DEFINICIJA. O , F1 = l i rekurzivnom relacijom Fn = Fn- 1 + Fn- 2 • n = 2, 3, . . . Jasno je da su svi Fn ovim relacijama jednoznačno određeni, sadržani u No , te da je slijed Fn rastući: F2 = F1 + Fo = l , F3 = F2 + F1 = 2 , F4 = F3 + F2 = 3 , Fs F4 + F3 = 5 itd. n O l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 l l 12 13 .

.

.

=

l

l

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

233

7 l FIBONACCIJEV SLIJED .

129

.

Propozicija 1. (A. de Moivre, 1 8.st.) Za Fibonaccijev slijed ( ovakva 'zatvorena formula ': l l+ l_ l, 11 = v'5

2VS) " - ( 2v's) "] ,

Fn )11ENo

vrijedi

(l) n = O, 2, . . . DOKAZ. Zanemarivši na trenutak početne vrijednosti Fo i F1 , pokušajmo potražiti rje­ šenje Fibonaccijeve rekurzivne relacije F,1 = Fil- l + F11 _ 2 , n � 2, u obliku Fil = x" (tzv. Eulerova supstitucija). Onda je x11 = x" - 1 + xn -2 , tj. x11- 2 (x2 - x - 1 ) = O. Pretpostavimo da je x =/:- O . Slijed F,1 = xll je rješenje rekurzivne relacije onda i samo onda ako je x2 - x - l = O,

[(

F

tj.

= l +2v'5 x2 = 1 -2v'5 Prema tome su F�l ) = C+fS) " i F�2) = u�r rješenja rekurzivne relacije Fil = Fn- 1 + Fll-2 . Lako se vidi da je onda i linearna kombinacija G11 = ". Fil( l ) + J.I.F1(12) 1 1 1 također rješenje za bilo koje A , E R. Doista, ako Fil( ) = F( ) 1 + F11( )2 pomnožimo .. - F11(2_) 1 + Fll( 2-) 2 sa . zbrOJtmo, sa , Fll( 2) dob.tvamo G,1 = G11_t + Gn-2 . Odredimo A i tako da budu ispunjeni početni uvjeti Fo = O i F1 = l . Početni uvjeti daju sustav A + = O, A 1 +20 + I-20 = l , čijim rješavanjem dobivamo _ Xt

1

J.1.

1 ""

J.1.

...!... i AVS

J.1. -

...!... . VS

-

ll-

J.1. 1

J.1.

J.1.

·

•

Q.E.D.

Fil

može se lako dokazati i PRIMJEDBA l . Valjanost zatvorene formule ( 1 ) za indukcijom po . Međutim gornji dokaz, koji potječe od Eulera, je takav da on daje i postupak za nalaženje same zatvorene forme. Kasnije ćemo vidjeti originalan. vrlo zanimljiv dokaz de Moivrea, s pomoću funkcija izvodnica. Vidi Odjeljak 7.6. opisani prethodnim teoremom PRIMJEDBA 2. Vrijedi primijetiti da su brojevi to nije odmah jasno. Može doista prirodni brojevi (ili 0), mada iz samog izraza za se lako vidjeti da je

n

Fn

Fn

Fn+ l = F11

l+ v's :::::: 1 .618 . . . lim 2 1-+oo 1 Taj broj zove se zlatni prerez. Važan je u arhitekturi i slikarstvu. Naziv je uveo

Leonardo da Vinci, božanski omjer

iako je taj broj bio poznat i mnogo ranije, još u antičkoj Grčkoj. Rabio se također i naziv (Luca Pacioli, 16. st.).

Za dužinu duljine v + m sastavljenu od dvije dužine, od kojih je veći dio duljine v i manji dio duljine m , kažemo da je podijeljena po zlatnom prerezu ako je omjer duljina većeg i manjeg dijela jednak omjeru duljine cijele dužine prema većem dijelu. Drugim riječima � vtm . Za x 'ffi je 2 1.618 . Mnoge naše onda x l + :} , dotično x - x - l O ( x > O ), dakle x 'ffi Bašćanska mamenita i čak pa prereza, predromaničke crkvice građene su po kompoziciji zlatnoga ploča. =

=

=

=

�

Sljedeći korolar može biti od koristi za lako izračunavanje

=

=

=

Fn s bilo kojim n.

7. REKURZIVNE RELACIJE

130

Fn nu Fibonaccijevom slijedu jednak je cijelom broju koji je najbliži broju Js (�) . Slijed F11 ima eksponencijalni rast. Korolar 2. Broj

a=� F11 = Js a11 - {3'1 )

� - 0.618 . . . . Primijetite � 1 .618 . . . i f3 DOKAZ. Označimo < l oo , jer je l teži prema nuli kad slijed ( da u relaciji ima eksponencijalni rast: Odavde vidimo da

Fn

Fn

Js a11 kad n --+

tj . odmah iz: "'

I

= l-z"'5

13n

n --+

/31

·

Fn = l , tm ---+ ati 11 oo _!_ vl5 l.

oo .

Isti zaključak, kao i prvu tvrdnju u korolaru, dobivamo

n

l j n - '1 n i = l /3 l � < ! . a a /3 F" - _!_0 an i = _ .;s � .;s 2 A �

n

Q.E.D.

PRIMJER l . Na koliko različitih načina možete ostvariti uspon na stepenica, ako se odjednom kroči jednu ili dvije stepenice. Pritom dva uspona smatramo jedna­ kim ako ih kročimo točno istim stepenicama. Označimo traženi broj uspona duž stepenica sa . Onda je očevidno l mogućih uspona na stepenica možete započeti na 2 , u3 == 3 . Neki od jedan od sljedeća dva načina: a) kročivši samo jednu stepenicu, nakon čega preostaje - l stepenica, gdje je uspon moguć na načina; b) kročivši dvije stepenice, nakon čega preostaje u11_z mogućih uspona. Prema tome je tj . + . Npr. ako imamo 30 stepenica, + == onda postoji preko l 300 000 mogućih uspona, a za 50 stepenica mogućih uspona ima preko 20 milijarda. Ako ne vjerujete, provjerite s pomoću Korolara 2.

uz =

Un

un-l Un = Un-l

u11_z ,

n

u11

n un

u1 = ,

n

Fn l

Fibonacci

� PoviJESNA CRTICA � je ovaj slijed opisao 1202. g. Pravo mu je ime Leonardo Pisano, a ime Fibonacci dolazi od sin Bonaccia. Fibonaccijevi brojevi pojavljuju se u proučavanju pravilnosti u rasporedu listova (za­ pravo peteljka) na granama biljaka, rasporedu cvjetića i latica, što je primijetio još poznati njemački astronom 161 1 . g. Takova pojava zove se tilotak­ sija. Npr.

Filius Bonaccii,

Johannes Kepler

kod brijesta imamo � -filotaksiju, tj. uzastopni listovi su mu na suprotnoj strani, sa zakretom pola punoga kuta; 2. kod bukve i lješnjaka imamo � -filotaksiju, tj. listovi su raspoređeni spiralno duž grane s kutom zakreta od ! punoga kuta, gledajući od lista do lista; 3. hrast i marelica imaju � -filotaksiju; 4. topola i kruška imaju i -filotaksiju 5. vrba i badem imaju -filotaksiju, itd. U brojniku i nazivniku raspoznajemo članove Fibonaccijeva slijeda l , 2 , 3 , 5 , 8 , 1 3 itd., dotično razlomci (dijelovi punog kuta) su oblika FF" S takvim rasporedom n+2 listova na grani, biljka dobiva najviše svjetlosti. Vrlo je zanimljiva i lijepa dvostruko l.

(3

•

131

7 . l . FIBONACCIJEV SLIJED

spiralna zrnata struktura suncokretova cvijeta, koja također ima veze s Fibonaccijevim brojevima: u smjeru kazaljke na satu ima ukupno = 55 spirala, a u obrnutom = 34 (vidi Sliku 7.2). Kod cvijeta tratinčice imamo = 34 spirala u jednom smjeru, a = 2 1 u drugom (opet uzastopni Fibonaccijevi brojevi). Sličnu pojavu imamo i kod cvjetače (karfiola), češera, ananasa i nekih vrsti kaktusa. Treba reći da se analogije s Fibonaccijevim brojevim ne mogu nalaziti baš posvuda u botanici. Spiralni zavoji na puževoj kućici su također povezani s Fibonaccijevim brojevima (vidi Sliku 7. 1 ) . Raspored latica na cvijetu ruže pokazuje vezu s a zlatnim prerezom. Vidi pre­ krasne knjige s opsežnim prikazom filotaksije u [Conway - Guy] i [Prusinkiewicz Lindenmayer].

F9

F10 Fg

F8

�

Pretpostavlja se da je zlatni prerez t; = :::::: 1 .618 u svojim skulpturama rabio i znameniti starogrčki kipar (oko 5 1 0--438. prije Krista). Oznaka t; dana je njemu u čast. Postoje razne geometrijske konstrukcije toga broja. On ima zanimljivo svojstvo = t; - tj. za t; = 1 .618 . . . je = 0.618 . . . . Pravokutnici čije se duljine stranice odnose kao dva uzastopna Fibonaccijeva bro­ ja ( i , J , lJ- . --+ t; ) smatraju se ugodnima za oko (estetičnim, vidi sliku 7 . 1 ). Renesansni prozori su također građeni po principu zlatnoga prereza: omjer visine i širine bio je t; :::::: 1 .62 . O važnosti Fibonaccijevih brojeva u matematici govori i postojanje specijalizira­ nog matematičkog žurnala Oni su važni i u proučavanju složenosti Euklidova algoritma, vidi Odjeljak 12.3.

Fidija

!

!

l,

. .

Fibonacci Quaterly. 13

3 8

Sl. 7. 1.

Fiboflllccijevi brojevi i pu!.eva kuć'u:a

7. REKURZIVNE RELACIJE

132

Sl. 7.2. Cvijet suncokreta.

U suvremenom računalstvu važnu ulogu ima problem određivanja složenosti (kompleksnosti) pojedinih algoritama. Složenost algoritma se iskazuje asimptots­ kim ponašanjem slijeda koji predstavlja gornju ogradu za broj računskih operacija zbrajanja i množenja (ili broja usporedba) dovoljnih da bi se algoritam realizirao. Kompleksnost algoritma se definira na razne načine, ovisno o problemu: u ovisnosti od ulaznih podataka (npr. a i u Euklidovu algoritmu za nalaženje najveće zajedničke mjere Nzm ili od broja ulaznih podataka (npr. kod Gaussova algoritama za rješavanje linearnog sustava jednačaba s nepoznanica, itd).

an

bn n n Skup R" svih poredanih n -teraca realnih brojeva može se gledati i kao skup svih konačnih sljedova od n realnih brojeva. Na nj erim su definirane dvije operacije: jedna (a, b)),

binama - zbrajanje n -teraca (po komponentama), i druga operacija - rnnoženje sa skalarom (brojem), također po komponentama. Ova se definicija lako prenosi i na realnih (ili kompleksnih) brojeva. Označimo beskonačan slijed . . . realnih brojeva sa ili (moguće je da sljedovi počnu i s nekim drugim indeksom, recimo l . Binarnu opera­ ciju zbrajanja sljedova i definiramo kao zbrajanje po komponentama:

beskonačne sljedove

ao, all az

)

(an) (a11 )n;;::o

(a11) (b11) (an) + (b" ) (an + bn), a rnnoženje sa skalarom A E R sa A.(a11 ) = (A a11 ) . Npr. (l, 2, 3, 4, ) + ( - l , l, - l , l . . . ) = (0, 3, 2, 5, . . . ) , 3 ( l, 2, 3, 4, . . . ) = (3, 6, 9, 12, . . . ) . Skup svih beskonačnih sljedova realnih brojeva je vektorski prostor =

...

·

7.2.

AsiMPTOTSKO PONAŠANJE SLJEDOVA; OZNAKE 0 , {l, 0

133

nad poljem R . Primijetite usput da je on beskonačno-dimenzionalan,jer je skup vek­ tora (1, O, O, . . . (0, O, . . . (0, O, itd., linearno nezavisan i beskonačan. raste brže od slijeda Jasno je da slijed definiran sa 1000n za dovoljno velike Qer kvadratna funkcija raste brže od linearne). S druge strane logaritamska funkcija raste sporije od bilo koje linearne funkcije, pa npr. slijed == za do­ lOO ln n + 12 raste sporije od voljno veliki točnije lim11-+oo 3; O (skicirajte grafove odgovarajućih funkcija). Ove usporedbe vode do pojma asimptotske dominiranosti.

eo = bn =

), e1 = l, ). e2 = l, . . . ) (a11 )n� l n an = rfion2 dn)n� I , dn 1�n (cn)n� I , c11 = ( n, = DEFINICIJA. Kažemo da slijed (an) asimptotski dominira slijed (bn) ako po­ stoje konstante no, M > O takve da je (I) lbn l � Mlanl , za sve n � no . PRIMJER l . Slijed a11 = TlxJn2 asimptotski dominira slijed b11 = l OOOn , jer je npr. l bnl � lOO i anl za sve n � 100000 . Gore navedeni slijed (en ) je asimptotski dominirao sa slijedom (dn) (vidi svojstvo 4. u Propoziciji l niže). DEFINICIJA . Označimo sa O(an ) skup svih sljedova (b11 ) koji su asimptotski dominirani zadanim slijedom (an). Skup O(a11) zovemo veliki O od a11 • lako bi činjenicu da slijed (an) asimptotski dominira slijed (b" ) bilo ispravnije pisati kao (bn) E O(an), radije ćemo rabiti tradicionalnu oznaku (bn) = O(an ) , joS kraću ( 2) bn = O(an ) · Prema tome ( 2) je samo kraći zapis za (l ) . PRIMJER 2. a) Ako je b11 = O( l), onda to po definiciji znači da je slijed (bn ) omeđen (tu je a11 = l za sve n). b) Obratno, ako je slijed (bn ) omeđen, onda postoji M > O tako da je Ibn l � M = M l za sve n, tj. b11 = O( l) . DEFINICIJA. Pišemo b11 = Q (an) , tj. b11 je veliki omega od an, ako slijed bn tj. asimptotski dorninira slijed Oznaku Q rabimo ukoliko želimo brzinu rasta slijeda b11 ocijeniti odozdol, a oznaku O ako ju želimo ocijeniti odozgor. DEFINICIJA. Ukoliko je istodobno b11 = O(an) i an = O(bn ), tj. postoje pozi­ tivne konstante M 1 i M2 i no E N tako da za sve n � no vrijedi Mtianl � lbnl � M2lanl , onda činjenicu zapisujemo kraće sa b11 = E>(an) i čitamo: bn je veliki theta od ai nan. Jasno, onda je i an = E>(bn). Drugim riječima, ako sljedovi an i bn teže u +oo oo. onda an i bn rastu asimptotski 'istom brzinom' kad n = e(bn)' =akoO(a,.)je en = Ako su )., E R i bn = O(an ), Cn = O(a11 } onda je i ).b,. + 2. Relacija asimptotske dominiranosti medu sljedovima je O(bn) i bn = O(an ), ondaje Cn = O(an ). 3. Akoje b;1 = O(an) i d11 = O(en), ondaje bndn = O(ancn). 4. Ako postoji lim11-+ oo l � l < oo , ondaje bn = O( an) ili

·

a11 ,

a11

=

O(b11) . Npr. n2 - 10 = O.(n) , n log n = O.(n) .

tu

-+

l.

Propozicija 1.

J.lC,. t:ranzitivna:

J.l

.

·

7 . REKURZIVNE RELACIJE

134 5. Ako je o < limn-+oo

l� l < oo ' onda je an = e(bn ) .

(l).

DOKAZ. Treba svuda provjeriti ocjenu za n � no , s dovoljno velikim �o . . za sve n � no , s dovolJno vehkim no . je 2. Zbog za sve n � no s dovoljno velikim i je 3. Zbog no , dakle 4. Kako za slijed kvocjenata postoji limes, onda je on omeđen odozgor, tj. postoji dotično M > O tako da vrijedi jfJ,J JQ,;T > O dobivamo limll-+oo l < oo , pa Iz lim11-+oo 5. Iz 4. slijedi Q.E.D. slijedi opet zbog 4. pronađe što jednostavniji slijed Svrha oznake O je da se za zadani slijed Oznaka O i opisuje brzinu rasta (asimptotiku) slijeda koji dominira nam omogućuje da asimptotsko ponašanje sljedova opišemo samo s pomoću onog što je doista najbitnije, odbacujući sve nezanimljive detalje. To pokazuje sljedeći primjer.

l.

jA. b11 + ,u cni ::;; (l A. l + i,ui )M i anl ) a (l)(l) lenilbnl::;;::;;M1Mldbnla11 ::;;i (Mldnl1 M::;;2 MI nl2 lcnl lbndni ::;; M1M2iancn i · ::;; M, I bn l ::;; M i ani · b11 = O(a11) . l�l an = O(b11) . (b11) (bn ) (a11)

.

�l

(b,,) .

PRIMJER 3. (a) 5n3 + n2 + 20 = 8(n3) . Ovo pokazuje daje s lijeve strane slijed čija brzina rasta je reda n3 (kubična). (b) In n = O(n) jer zbog limn-+oo = O (L'Hospitalovo pravilo) postoji >O l za sve n E N . Drugim riječima, ln n raste ne brže od linear­ takav daje � ne funcije (nacrtajte grafove funkcija In n i n ). Lako se vidi da nije In n = E>(n) , jer nije n u oo kada O( ln n) . Logaritamska funkcija ln n n - oo , sporije od ne , gdje je > O bilo koja konstanta (koliko god blizu nule !): In n = O(nc) . (e ) Ako je Pr (n) = Crnr Cr-lnr- I + . . . + i co , Cr =j:. O , polinom r -tog stupnja u varijabli n , ondaje Pr (n) = E>(nr ) , jer je lim,H oo j E (0, oo) (vidi svojstvo 5 iz prethodne propozicije). Riječima: polinom r-tog stupnja jednak je e(nr ) ' tj. raste brzinom nr . (d) 5n3 + n2 + In n = E>(n3 ) , In n + 50 O(y'n) (upotrijebite svojstva 5 i 4 iz prethodne propozicije i L'Hospitalovo pravilo). (e) U Primjeru 6.6.8 vidjeli smo da vrijedi )(2n n = n(n n n3 ! n . Stoga je 22 E>(n3) . Još točnije, vrijedi: n2 +2 n = n3 E>(n ) ' što treba shvatiti kao

1�1n

n ::;; M

=

M

raste vrlo sporo

e

c r+

+

IP���ll = je,

= 1 2 + 22 + . . . + 2 � + l + l) = 2 2 l +! + 1 + + ...+ = 21 2 + . . . + 2 l + 2 (1 2 + 22 + . . . + n2 ) - ! n3 = E>(n2 ). PRIMJEDBA l . Gledajući O(an ) kao skup sljedova asimptotski dominiranih sa (an ) , očevidno vrijedi O( l) O(Iog n) O( n) O( n log n) O(n2 ) O(n3) 0(2n ) O( n!). 2 2 Sve inkluzije slijede iz Propozicije l (svojstvo 4). Npr. druga inkluzija slijedi pri­ lo� n mjenom L' Hospitalovog pravila: lim -+oo � = O . Limesi ostalih uzastopnih e

e

e

e

e

n kvocjenata su također nula. Zadnja inkluzija dobiva se iz 211 2. 2.2...2 <2 n! · 2 · 3 . .n 2 3 n 3

=l

.

= �l . � . ( � . . })

e

( � r-2 - o,

e

n - oo.

7.2. ASIMPTOTSKO PONAŠANJE SLJEDOVA; OZNAKE 0 , {}, 8

135

DEFINICIJA . Za slijed (b11) realnih brojeva kažemo da ima (najviše):

a) logaritamski rast ako je b11 = O(log n ). Svejedno je pišemo li O(In n) ili O (log n) , jer je log n = :{o .

O(n) , kvadratični rast za b11 = O( n') ( r E N je neki eksponent), e) eksponencijalni rast za b11 = O( a") ( a > l ), d) faktorijelni rast ako je b11 = O(n!) .

b) linearni rast ako je b11 = polinomijalni rast za b11 =

O(n2 ) , općenito

S obzirom na brzinu rasta, osobito su važne ove dvije vrste sljedova: oni koji imaju najviše polinomijalni rast, tj. a11 = O(n') za neki r E N , i oni koji imaju barem eksponencijalni rast, tj. a11 = Q( za neki l . Slijed barem eksponencijalnog rasta ima brzinu rasta veću od bilo kojeg slijeda s polinomijalnim rastom. Naime, za svaki r E N i i svaki l. vrijedi n' = O(

a")

a")

a> a>

PRIMJER 4 . Već smo vidjeli da Fibonaccijev slijed F11 ima eksponencijalnu br­ zinu rasta, jer vrijedi lim11___, = � = E (0, oo ) , gdje je = � 1 . 68 > l . Prema tome je Fn = E>( vidi Propoziciju l (svojstvo 5 ).

a") ,

Js

a up

PRIMJER 5 . U analizi nekih algoritama pojavljuje se n -ta parcijalna suma har­ mon�j �kog reda, H11 = l + + . . . + � . Podsjetimo se, hannonijski red Lb ! l ima zbroj jednak oo . Brojevi H11 zovu se harmonijski brojevi. Nije teško vidjeti cfa je

!

l + -2l + . . . + -nl = E> (ln n ) .

(4)

Najprije, Riemannov integral J� � dx = ln n može se odozgor aproksimirati gornjom integralnom sumom (funkcija j(x) = � je opadajuća) : Sn = L:�;:f j(xk)(xk+ l -xk ) , x 1 = l , x11 = n . Stavljajući xk = k dobivamo S11 = H11 - � > In n . Broj Sn možemo gledati kao površinu unije n - l pravokutnika dobivenu pripadnom subdi­ vizijom intervala [1, n] (vidi sliku). Budući da je f(x) opadajuća funkcija, slijed S11 - ln n = S11 - ft f(x) dx je rastući, jer je to upravo dio površine unije pravokutnika koji je iznad grafa funkcije j(x) , vidi Sliku 7.3 lijevo. Ako pokažemo da je taj rastući slijed omeđen odozgor, dobit ćemo prema poz­ natom teoremu o konvergenciji u skupu realnih brojeva da je on konvergentan. Po­ gledajmo dolnju integralnu sumu sn = Lk=2 j(xk )(xk - Xk- d uz Xk = k. Onda je sn - � = Sn - l (vidi Sliku 7.3): Sn bez lijevog pravokutnika daje istu po­ vršinu kao sn bez desnog pravokutnika. Kako je j(x) opadajuća funkcija, imamo s11 < Jt j(x) dx = ln dakle Sn - ln < Sn - s11 = l - � < l .

n,

n

Prema tome postoji limes y = liffin___,= (Sn - In n) = lim11___, = (Hn - In n) . Taj broj se zove Eulerova konstanta: y � 0.57721 . . . Dakle limn-+= � = l , i odavde slijedi (4), vidi Propoziciju l (svojstvo 5 ).

7.

136

REKURZIVNE RELACIJE

y

y

X

X Sl. 7.3.

Ovaj primjer pokazuje ne samo da je harmonijski red 2::� 1 � divergentan, nego i mnogo više od toga: brzina divergencije reda je logaritamska, tj. vrlo spora. Npr., Hwoo � 7 .49 , HuxJO ooo � 14.39 . Može se dokazati i malo više od toga:

l

Hn = In n + y + - + O(n- 2 ) Zn Da je neki slijed (en ) reda veličine O(n- 2 ) , to znači da teži k O barem kvadratnom brzinom kada n - oo : en i � K · n- 2 za sve n � l . Za rnisterioznu Eulerovu konstantu y još se uvijek ne znaje li iracionalan broj ili racionalan. Većina stručnjaka vjeruje da je čak transcendentan.

J

Francuski matematičar de la Vallee Poussin 1 899. g. dokazao je sljedeći zanimljiv rezultat: ako broj n dijelimo sa svim prostim brojevima p od 2 do n - l , onda srednja vrijednost (aritmetička sredina) brojeva � - L� J teži prema y kad n - oo

(a ne prema ! kao što bi se moglo očekivati). Npr. za n = 43 dijeljenjem s pro­ stim brojevima p = 2, 3, 5, 7, . . . , 41 imamo 4] = 21 ! , � = 14l , ? = 8 � , 4{ = 6� , . . . , !i = 1 }1 . Aritmetička sredina brojeva ! , j , � , � , . . . , ir iznosi

0.57416

o o

o o

PRIMJER 6 . Navedimo jedan vrlo zanimljiv primjer za kartaše (ili igrače domi­ na), koji u sebi sadrži matematiku i fiziku (statiku). Primjer potječe od Sharpa iz 1954. g. (vidi [Graham, Knuth, Patashnik] , str. 27 3 ). Pretpostavimo da smo uzeli špil od n karata, koji stavljamo na rub stola. Koliko možemo taj špil karata gurnuti preko ruba stola {vidi sliku), a da se ne sruši? Pokazat ćemo da se može gurnuti od ruba stola koliko god želimo daleko, pod uvjetom da imamo dovoljan broj karata. Nevjerojatno, zar ne? Pretpostavimo da je svaka karta duljine 2 , te da su sve iste težine (npr. l). Ako imamo jednu kartu, onda ju možemo gurnuti najdalje do polovice (do njena težišta), tj . za l .

7.2. AsiMPTOTSKO PONAŠANJE SLJEDOVA; OZNAKE 0 , {l, 8

Sl.

137

7.4.

Postavimo vertikalnu os uz najudaljeniju kartu od ruba stola. Ako imamo dvije karte, označimo sa dt = O udaljenost prve karte od osi, sa d2 udaljenost druge karte od osi. Da bi zajedničko težište karata bilo točno na udaljnosti d3 prema zakonu o sačuvanju statičkog momenta (s obzirom na vertikalnu os) mora biti

,

d d3 = ( l + l ) + (d2 + l ) = l + 2 = � = l + ! 2 2 2 2' Naime udaljenost težišta prve karte od osi je upravo d1 + l = l , težišta druge d2 + l . Prisjetimo se, ako u ravnini imamo k tijela s masama m 1 , . . . , mk (kod nas = l ) , čija težišta su udaljenih od zadane osi za X J , . . . , Xk , onda je zajedničko težište udaljeno od te osi dobivamo da je

k

m1,�:!:::!::rt .

Na sličan način kao za dvije karte (vidi sliku) onda

dk+l -

n

k

(d! -t- 1 ) -t-

. .

k

.

-t- (dt -t- 1 )

za sve . Doista, za = to je jasno jer mi upravo želimo da težište bude na samom rubu stola. A što je sa k + l -vom kartom? Pa nju možemo gledati upravo kao čvrstu podlogu (stol) na kojoj sjedi karata. Odavde slijedi gornja formula. Prema tome je kdk+l = k + (dl + . . . + dk-l + dk)

k

(k - l)dk = k - 1 + (dt + . . . + dk- I)· (k - l )dk = l + d�co tj.

Oduzimanjem dobivamo

kd1c+1 -

l

dlc+ I = dk + k' Iz ove rekurzivne relacijeje očevidno = dk- l + 6 + l = . . . = l + ! + · · ·+l Hk . Prema tome špil od karata viriti će nakon naginjanja najviše dn+ I = Hn In + y od ruba stola, a da se ne sruši. Npr., H1 ooo ooo :::::: 14.39 , tj. špil od milijun karata može

dk+ 1

n

=

:::::: n

viriti preko ruba stola malo više nego sedam duljina jedne karte.

PRIMJER 7. U numeričkoj matematici važnu ulogu ima StirliJicoa fOI'Biula, koja daje aproksimaciju od

n! :

n! :::::: y'2n1i ( ;)" Točnije, pokazuje se da vrijedi limn-oo dn( 211'n n)"

n!

= = l . Prema tome je e n 9( "fo( �) ) . Doista je nevjerojatno da se ovdje pojavljuju zajedno brojevi n i e .

n!: + V2im ( ; )" � n! � V2im (;r nn

Može se dokazati da vrijedi i ovakva precizna ograda za

l

7. REKURZIVNE RELACIJE

138

PRIMJEDBA 2. Vrlo lako je provjeriti da je relacija fn = O(g" ) među sljedovi­ ma (f,1 ) i (g11 ) refleksivna i tranzitivna. Ta relacija nije simetrična (dakle niti relacija ekvivalencije). Npr. n = O(n2 ) , ali n2 l O(n) . Nije niti antisimetrična (dakle niti relacija poretka). Npr. vrijedi n2 + n = O(n2 ) i n2 = O(n2 + n) , ali (n2 + n) l (n2 ) . Drugim riječima, iz fn = O(gn ) i g11 = O(f,1 ) općenito ne slijedi (/n ) = (g" ) . Primijetite da znak ( · ) = O( · ) nije jednakost. Npr., vrijedi n = O(n) i n + 1 = O(n) , ali odatle ne slijedi da je n = n + Razlog što se ovakva po­ malo zbunjujuća oznaka ipak zadržala jest dugotrajna i čvrsta tradicija. Spomenimo još oznaku "mali o" koja se često rabi u literaturi.

l.

� O.

DEFINICIJA. Pišemo b11 = o(a11 ) , tj. b11 je mali o od a11 , ako je lirn,z-+ oo = Za velike n je slijed bn l "bitno manji" od ia11 1 . Npr. n + = o(n2 ) , ali nije

l I lRadi lakšeg pamćenja zgodno je dati usporedbe sljedova (b") i (a ) u analogiji

n2 + = o(n2 ) .

s usporedbama realnih brojeva b i

"

a:

t----+

O(an ) b � a, E>(a,,) b = a, bn = Q(an ) b ;;:: a, bn = o(a" ) b < a. � PoviJESNA CRTICA � Dokaz da harmonijski red divergira dao je P. Mengoli ( 1626- 1686 ) iz Bologne. Oznaku "veliki O" uveo je Paul Bachmann ( 183 71920}, dok je "mali o " uveo Edmond LAndau ( 1877- 1938 ) . Stirlingova formula dobila ja naziv po Jamesu Stirlingu ( 1692- 1770 ) engleskom maternatičaru, suradniku Isaaca Newtona. Istine radi, znao ju je prije njega škotski matematičar Colin Macl.Aurin ( 1698-1746) . I obratno, MacLaurinovu formulu znao je još ranije Stirling, pa i Euler. b" = b" =

t----+ t----+ t----+

Promatrat ćemo samo linearne rekurzivne relacije s konstantnim koeficijentima. Opći oblik rekurzivne relacije reda r je

an = q a11- l + c2an- 2 + . . . + Cran- r + f(n), n ;;:: r. (1) gdje su q , c2 . . . , cr zadani realni (ili kompleksni) koeficijenti, Cr l O, a f(n) je zadana funkcija koja prirodnim brojevima n ;;:: r pridružuje realne (ili kompleksne) brojeve. Nepoznanica u rekurzivnoj relaciji je slijed (an ) 11 � o . Kao što vidimo, ovdje je n -ti član slijeda (an ) određen s vrijednostima r pret­ hodnih članova: an - I . an - 2 • . . . , a11- r , tj. rekurzivno. Ako je zadano r početnih vrijednosti ao, a 1 , . . . , ar- l , onda s pomoću možemo izračunati redom sve dalj­ nje članove slijeda: ar, ar+l , . . . , an, . . , dakle sve a,1 Cilj je da se jednadžba ( l ) riješi po a11 , tj. da se uz zadane početne uvjete ao, a 1 , . . . , ar- l odredi opći, n -ti član rekurzivno zadanog slijeda an u tzv. zatvorenoj formi, tj. kao eksplicitna funkcija od n . PRIMJER l . Rekurzivna relacije an = a11 _ l + a11 _ 2 , n ;;:: 2 je reda r = 2 . Za početne vrijednosti ao = O, a 1 = dobivamo Fibonaccijev slijed, a njeno rješenje u zatvorenoj formi opisano je Propozicijom 7 l. .

l

(l) (l)

.l.

•

7 3 LINEARNE REKURZIVNE RELACIJE .

139

.

Linearne, homogene rekurzivne relacije s konstantnim koeficijentima. Za rekur­ zivnu relaciju ( l ) kažemo da je homogena ako je /(n) = O za sve n . Dakle imamo an = CJan- 1 + c2an-2 + . . . + c,an- r , n ;;;:: r. (2) Iz sljedeće propozicije bit će jasno zašto se ovakve rekurzivne relacije zovu homoge­ nim. Propozicija 1. Ako za dva slijeda ( a� ) i (a;: ) , n ;;;:: O , vrijedi homogena rekur­ zivna relacija (2), onda vrijedi i za njihovu linearnu kombinaciju (Aa;, + J.W�) , gdje su A , J..l bilo koji skalari (realni ili kompleksni brojevi).

DOKAZ. Pomnožimo a;, = CJ a:1_ 1 + c2a:1_ 2 + . . . + c,a:,_ , sa A , i zatim a;: = CJ a�- I + c2a�_ 2 + . . . + c,d,:_ , sa J..l . Zbrajanjem dobivamo bn = c1 bn- 1 + c2bn-2 + Q.E.D. . . . + Crbn- r , gdje je bn = Aa;, + J..l a� .

PRIMJEDBA l . Prethodna propozicija kaže zapravo da je skup svih rješenja ho­ mogene rekurzivne relacije vektorski potprostor prostora svih sljedova (an )n�o . Nije teško vidjeti da je njegova dimenzija � r . Doista, znamo da je svaki slijed (a" )n>0 "... preko rekurzivne relacije ( Z ) jednoznačno određen ako se znade prvih r početnih vrijednosti a0, al> . . . , a,_ 1 . Prema tome imamo surjektivni linearni operator A : R' --+ X, A(ao , a 1 , . . . , a,_ J ) = (an)n�O' sa r -dimenzionalnog prostora R' svih r -teraca početnih vrijednosti na vektorski pros­ tor X svih rješenja (an) rekurzivne jedandžbe ( l ) , koji je potprostor prostora svih slje­ dova. Vrlo lako je vidjeti da za linearne operatore vrijedi dimA(R') � dim(R') = r (vidi [Elezović, Teorem 8.6] ). Prema tome dimenzija prostora svih rješenja manja je ili jednaka r . Vidjet ćemo malo niže da je dimenzija vektorskog prostora rješenja zapravo jednaka redu r rekurzivne jednadžbe. PRIMJEDBA 2. Primjer homogene, linearne rekurzivne relacije reda r = Z je Fn = Fn-1 + Fn-2 , n � Z , a nehomogene Fn = F11-l + 3Fn- 2 + zn , n � Z . Primjer nehomogene, linearne rekurzivne relacije s varijabilnim (nekonstantnim) koeficijentima je Fn = n3 Fn- I + Fn-2 + zn , n � Z . Primjer nelinearne rekurzivne relacije je a11 = Zan- I ( l - an- I ) , n � l , jer desna strana ovisi kvadratno o an- l . Da bismo riješili homogenu rekurzivnu relaciju ( Z ) , krenimo metodom "pokušaja i promašaja". Do općeg rješenja ćemo doći tako da najprije potražimo rješenje an u jednom vrlo specijalnom obliku, s pomoću Eulerove supstitucije:

o

a11 = xn Broj X =f:. odredit ćemo uvrštavanjem u ( Z ) : X1 = CJ Xn - l + c2:r'-2 + . . . + c,xn- r . Dijeljenjem sa xn - r =f:. O dobivamo tzv. karakterističnu jednadžbu rekurzivne rela­ cije ( Z ) : 2 ( 3) Xr - C! Xr- l - C2Xr- - . . . - Cr = 0 ·

Kako se radi o polinomu r -tog stupnja, on prema Osnovnom teoremu algebre (Ga­ ussov teorem) ima u skupu kompleksnih brojeva r korijena x 1 , . . . , x, (rač�.maj�ć� � kratnost, jer možda su neki međusobno jednaki). Zbog e, =f:. O su nužno svt razhč1ti od O . Ti će nam korijeni omogućiti da dođemo do općega rješenja rekurzivne relacije ( Z ) . Promotrimo dva slučaja.

7.

140

REKURZIVNE RELACIJE

Slučaj r različitih korijena karakteristične jednadžbe. U ovom slučaju se opće rješenje a" homogene rekurzivne relacije ( 2) s konstantnim koeficijentima dobiva kao linearna kombinacija od r rješenja x'k , k = l, . . , r . .

Teorem 2. Neka su x 1 , . . . , Xr karakteristični korijeni i pretpostavimo da su svi međusobno različiti. Onda je opće rješenje homogene rekurzivne jednadžbe (2) jed­ nako Jinearnoj kombinaciji (4) a" = A tx} + . . . + ArX�, n = O, l, 2, . . .

gdje su

At, . . . , Ar

bilo koji kompleksni koeficijenti.

DoKAZ. Neka je (a" ) neko rješenje od (2) . Slijed (a" ) je potpuno određen jednadž­ bom (2) i sa r svojih početnih vrijednosti ao, at, . . . , ar - I koje su unaprijed zadani kompleksni brojevi. Znamo da a" zadan sa (4) ispunjava rekurzivnu relaciju (2) za sve n � r . Treba još samo vidjeti da je moguće pronaći koeficijente At, . . . , Ar tako da budu ispunjeni i početni uvjeti za n = O, l, . . . , r - l :

At + . . . + Ar = ao

, r- 1 + ArXr = ar - l · To je linearan sustav r jednačaba s r nepoznanica A 1 , . . . , Ar . Determinanta tog sustava je Vandermondeova determinanta (vidi [Elezović] ) : 1 A, } Xr} - + .

l

Xt

l X2

·

.

l

•

•

•

Xr

. . r:._ l r:._ x l x2 l . . . Xrr- 1

j>i

Kako su svi korijeni x; međusobno različiti, onda je i determinanta sustava =F o . Prema tome sustav je jednoznačno rješiv po At, . . . , Ar . Q.E.D.

Slučaj kada postoje višestruki korijeni karakteristične jednadžbe. Promotrimo primjer homogene rekurzivne relacije a" = 6an-1 - 9a11-2 , n = 2, 3, . . .

Njena karakteristična jednadžba je x2 - 6x + 9 = O , pa imamo jedan dvostruki kori­ jen: x1,2 = 3 . Jedno pripadno rješenje rekurzivne relacije je a" = 3" . Neposrednom provjerom vidi se da imamo još jedno rješenje: a" = n 3" . Lako se vidi da onda linearnom kombinacijom dobivamo opće rješenje: a" = A t · 3" + A2 n · 3" . Doista, taj slijed ispunjava zadanu rekuzivnu relaciju za n = 2, 3, . . . . Ako su po­ četne vrijednosti ao i a 1 zadani brojevi, onda rješavajući sustav At + A2 · O = a0 , At 3 + A2 · 9 = a1 dobivamo vrijednosti koeficijenata A 1 , A2 . Ovaj postupak može se provesti općenito. U tu svrhu treba nam najprije vrlo jednostavan, ali koristan pomoćni rezultat. ·

·

·

7.3. LINEARNE REKURZIVNE RELACIJE

141

Lema 3. Akoje kompleksni broj x0 k -struki korijen polinoma P(x) , onda je on (k - l ) -struki korijen derivacije P'(x) .

DoKAZ. Po definiciji je broj x0 k -struki korijen polinoma P(x) onda i samo onda ako je on djeljiv sa (x - x0 )/c , tj. može se napisati kao P(x) = (x - x0 )k Q(x) , gdje je Q(x) također polinom. Onda deriviranjem produkta dobivamo P'(x) = (x -xo)k- I [kQ(x) + (x-xo)Q'(x)] . tj. polinom P'(x) je djeljiv sa (x -x0 )1c-I . Q.E.D. Propozicija 4. Akoje xo

od k sljedova

k -struki korijen karakterističnejednadžbe, onda svaki _ nk- Ixo" a ' "

predstavlja rješenje homogene rekurzivne relacije (2).

DOKAZ. Dokaz ćemo sprovesti samo za k = 3 . U općem slučaju ideja je ista. Neka je dakle xo trostruki korijen karakterističnoga polinoma

P(x) = Xr - Ct Xr- l - c2xr- 2 - . . . - Cr . To znači da je P(x) = (x - xo)3 Q(x) , pa je xo trostruki korijen i od polinoma P,. (x) = X11- rP(x) = X11 - CI XII- I - C2Xn- 2 - . . . - CrXn-r . Prema prethodnoj lemi je onda xo dvostruki korijen polinoma Pn(x) , dakle i od X · Pn(x) = nxn - Ct (n - l )x"- 1 - c2 (n - 2)xn- 2 - . . . - cr (n - r)xn-r . ( ) Opet prema prethodnoj lemi je x0 jednostruki korijen od [xP,1 (x)] ' , dakle i od x · [xPn(x)]' = n2x'1 - ci (n - 1) 2x'1- l - c2 (n - 2)2xn-2 - . . . - cr (n - r) 2xn-r . Za x = xo je dakle vrijednost tog polinoma nula, tj. n2x� = c1 (n - 1) 2x�- I + c2(n 2)2x�- 2 + . . . + cr ( n - r) 2x�-r . Time je dokazano da je slijed an = n2xQ rješenje rekurzivne relacije (2) za n = r, r + l, . . . Isto tako uvrštavajući x = xo u izraz ( ) Q.E.D. dobivamo da je i slijed an = nx0 rješenje relacije (2). *

*

Teorem 5. Neka su X I , . . . , Xm svi različiti korijeni karakteristične jednadžbe (3) homogene rekurzivne relacije (2), odgovarajućih kratnosti kt, . . . , km . Rješenje a�) od (2) , koje odgovara korijenu x; kratnosti k; , je linearna kombinacija sljedećih k; sljedova: x�1 , nxf , . . . , nk; - I x�1 • Drugim riječima , (i) n/ci-L.J! 1 i _ 11.1 ( )x'!J + 11.1 2(i) ru;-'! + . . . + Ale; ...... 0' an(i) �i ' n :::; kompleksni koeficijenti. Opće rješenje, u kojem ćemo imati pri čemu su A. i) , . . . ukupno r = k1 + . . . + km slobodnih koeficijenata, dobiva se kao (l) + (m) __

:

, "-l:)

an = an +

· · ·

an ·

SKICA DOKAZA. Dokaz je potpuno analogan kao i za slučaj različitih korijena (krat­ nosti l ). Pritom se umjesto Vandermondeove determinante dobiva tzv. generalizirana Vandermondeova determinanta koja je također "# Vidi [Veljan], str. 186. Q.E.D.

O.

7. REKURZIVNE RELACIJE

142

PRIMJEDBA 3 , Pretpostavimo da karakteristična jednadžba ima konjugirano kompleksni par korijena x ± cos cp ± sin cp) kratnosti k , uz b "l O (računajući kratnost imamo onda ukupno 2k korijena). Njemu odg?vara 2k homogene jednadžbe. Ona se dobivaju s pomoću de Mmvreove formule: �x" � (cos mp + sin cp) , i zatim odvajanjem realnih i imaginarnih dijelova:

= a ih = r(

rješenja = r1

i

realnih

i n r" cos ncp, nr" cos ncp, , k- 1 smncp, . . . , n smncp . sm ncp, Naime vrlo lako je vidjeti da ako je (a11 ) slijed kompleksnih brojeva koji je rješe­ nje homogene jednadžbe (2) s realnim koeficijentima, onda su i dva slijeda (Re an ) i (Im b11) također rješenja. Npr. Re a" = Re (ct an - l + c2an -2 + . . . + Cran - r) = c1 Rea11- 1 + c2Rea11-2 + . . . + CrRe an-r · PRIMJEDBA 4. Na temelju prethodnog teorema vidimo da se opće rješenje ho­ mogene rekurzivne jednadžbe (2) i u ovom slučaju dobiva kao linearna kombinacija r JI r

JI

·

nr

o

• •

·

linearno nezavisnih sljedova. Drugim riječima,

JI

r

·

skup svih rješenja je r -dimenzionalni

prostor sljedova. PRIMJEDBA 5 . Ćitatelj koji znade rješavati homogene linearne diferencijalne jednadžbe (s varijablom s konstantnim koeficijentima sigurno vidi da je njihovo rješavanje potpuno analogno rješavanju homogenih linearnih rekurzivnih relacija s konstantnim koeficijentima. U oba slučaja polazi se od karakterističnih polinoma, koji se dobivaju kao polinomi u x supstitucijom za homogene diferen­ cijalne jednadžbe, dotično :rz za homogene rekurzivne relacije. Korijenu x0 karakteristične jednadžbe koji ima kratnost k pridružujemo k odgovarajućih linearno nezavisnih rješenja: eXo' , , . . . , rk- I eXo' za diferencijalne jednadžbe, odkl " JI · ·· nosno x0 , ru.0 x0 za rekurztvne reI' aciJe.

t)

an =

__

a11 = ,y(. . t). , n= n tč01

y(t) = č1

Promotrimo linearne rekurzivne relacije s konstantnim koeficijentima koje su ne­ homogene, tj. + +...+ + (5 ) Pritom je + . . . } --+ C zadana funkcija. Ideja za njeno rješavanja je ista kao i za rješavanje linearnih sustavajednačaba.

an = Cta11- I c2an-2 Cran-r f(n), n � r. f : {r, r l, o Nekaje (a�, ) ) opće rješenje pripadne homogene rekurzivne rela­ cije (2) opisano prethodnim teoremom (Teorem 7.3.5). Pretpostavimo da znamo neko partikularno rješenje (a!fl) od (5). Ondaje opće rješenje (a11 ) nehomogenejednadžbe (5) zbroj općeg rješenja homogene rekurzivne relacije (2) i partikularnog rješenja od Propozicija 1 .

(5):

(6) DoKAZ. Slijed zadan sa ( 6) je rješenje nehomogene rekurzivne relacije zbog svojstva linearnosti: budući da slijed ispunjava homogenu rekurzivnu relaciju (2) i !f

a�O)

al

7 4 NEHOMOGENE REKURZIVNE RELACIJE .

143

.

(an )

nehomogenu, onda zbrajanjem (2) i (5) dobivamo da ispunjava nehomogenu relaciju (2) - provjerite. Dokažimo da se svako tješenje od (5) može napisati u obliku (6). Neka je (an) neko tješenje od (5). Istu relaciju ispunjava i partikularno rješenje (,; pa oduzima­ njem dobivamo da {,; ispunjava homogenu rekurzivnu relaciju (2). Kako je o svako njeno rješenje oblika �, , onda je {,; � odakle slijedi (6). Q.E.D.

a,1 - a ) a)

a l,

an - a ) = a O) ,

PRIMJEDBA l . Rezultat sličan ovome vrijedi i za druge tipove nehomogenih li­ nearnih jednačaba: a) Opće tješenje nehomogene matrične jednadžbe (sistema linearnih jednačaba) b je oblika x xo + Xp , gdje je xo opće tješenje homogene jednadžbe O , a Xp partikularno rješenje nehomogene (vidi [Elezović, Teorem 4.2]). b) Opće tješenje nehomogene linearne diferencijalne jednadžbe Ly = f( t ) , gdje je pripadni linearni diferencijalni operator, je oblika y(t) y0(t) + Yp(t) , gdje je Yo(t) rješenje homogene jednadžbe Ly = O , a Yp(t) partikularno rje�enje. Nalaženje partikularnog rješenja može biti vrlo teško, čak i teže nego nalaženje općeg tješenja homogene jednadžbe. U nekim specijalnim tipovima funkcije f(n) , slično kao i kod linearnih diferencijalnih jednačaba, postoje odgovarajući recepti za nalaženje partikularnog rješenja. Evo nekih u slučaju kad je f(n) polinom u varijabli n , ili eksponencijalna funkcija u n .

AxAx ==

=

=

L

Teorem 2. (Partikularno rješenje nehomogene jednadžbe) (i) Neka je nehomogeni dio f(n) rekurzivne relacije (5) zadan kao polinom k -tog stupnja u n . Ako x l nije korijen karakteristične jednadžbe x' c 1xr- I r c2x 2 - - e, O , onda (5) ima partikularno rjegenje kojeje takoder polinom k -tog stupnja u n : . . .

==

-

an = Ao + A I n + �

·

·

·

-

+ Aknk ,

al

gdje se konstante A; odreduju uvrštavanjem (,; u (5) i izjednačavanjem koefici­ jenata uz iste potencije od n . Ako x = l jest korijen karakteristične jednadžbe, i to kratnosti m , onda (5) posjeduje partikularno rješenje oblika:

a{,;) = Aonm + A t nm+l + . . . + Aknm+k _ (ii) Neka je nehomogeni dio od (5) eksponenecijalna funkcija u n , tj. j(n) = e · � . Ako x = b nije korijen karakteristične jednadžbe, onda postoji partikularno rješenje oblika a(,;l = A -111 Ako x = b jest korijen karakteristične jednadžbe, i to onda možemo uzeti a(,;l = Anm� . kratnosti Evo još jednom sadržaj teorema u obliku tablice. Ako x = l (u zadnjem slučaju u tablici uzirnljemo x = b ) nije korijen karakteristične jednadžbe onda partikularno tješenje nalazimo ovako: J(n) aAl[' m,

•

e (konstanta) en Pk (n) e-�

An + B Qk (n) A-�

7. REKURZIVNE RELACIJE

144

Ako x = l (u zadnjem slučaju u tablici uzimljemo x = b ) jest korijen karak­ teristične jednadžbe kratnosti m , onda odgovarajuće izraze iz prethodne tablice treba pomnožiti s nm : a}f1 J(n) A · nm e (konstanta)

Cn Pk (n) Cif'

nm(An + B) nm · Qk (n) Anmll'

Može se dogoditi da je f(n) u (5) zadan kao zbroj konačnog broja izraza poput onih na lijevoj strani tablice, npr. f(n) = 5 · n2 + 7 · 3n . Onda treba rješavati dvije različite nehomogene jednadžbe: l . za j1 (n) = 5 n2 partikularno rješenje tražimo u obliku a�I l = An2 + Bn + C (uz pretpostavku da x = l nije korijen karakteristične jednadžbe), a koeficijente A, B, C nađemo tako da taj izraz uvrstimo u nehomogenujednadžbu (5) sa !I (n) umjesto f (n) , 2. za nehomogenu jednadžbu (5) sa Jz( n ) = 7 · 3" tražimo partikularno rješenje u obliku a�2) = A · 311 (uz pretpostavku da x = 3 nije korijen karakteristične jednadžbe), i konstantu A nađemo uvrštavanjem u (5). Partikularno rješenje početne jednadžbe je onda zbroj partikularnih rješenja pojedinih nehomogenih jednačaba: a�) = a�fil + a�2) , a opće rješenje je onda an = a�O) + a�) , gdje je a�O) opće rješenje homogene jednadžbe. ·

PRIMJER

l.

Promotrimo jednostavnu rekurzivnu relaciju prvoga reda:

an = a11- I + n - l, n � l, (7) uz početni uvjet ao = O . Pripadna homogena jednadžba je a11 = a11_ 1 , njena ka­ rakteristična jednadžba je x = l , a opće rješenje homogene je a�O) = A l n = A (konstanta) . Kako je x = l korijen karakteristične jednadžbe kratnosti m = l , partikularno rješenje od (7) tražimo u obliku a�) = n(An + B) . Uvrštavanjem u (7) dobivamo: n(An + B) = (n - l)[A(n - l ) + B] + n - l .

.

-2A

n2, n, n° slijedi A = A , B = + B + 1, o) +a�) = A + ! n(n l ) , B = - ! , dakle an = a� O n = O, l , 2, . . . . Iz početnog uvjeta a0 = O vidimo da mora biti a� ) = A = O , dakle an = !n(n - l ) ; n = O, l, 2, . . . . Uspoređivanjem koeficijenata uz O = A -B - 1 . Rješenje je A = ! ,

Jednu primjenu spomenute rekurzivnejednadžbe vidjet ćemo na primjeru proble­ ma složenosti algoritma mjehuričastog sortiranja brojeva (vidi Odjeljak 12.4).

Spomenutu rekurzivnu relaciju moguće je rije�iti izravno, rabeći znameniti Gaussov trik (Gauss ga je otkrio kao dječarac od samo 9 godina). Najprije je = an- l + (n - l ) =

a11

145

7.5. PRIMJERI RJEŠAVANJA EULEROVOM METODOM

a11_z +(n- 2) +(n- l) ao + l + 2 + . . . +(n-l), an (n -l l) ++ (n-2 2) ++ ++ (n - I ) an n + n + + n 2an 2an n(n- I ) , an = !n(n - l). PRIMJER 2. Nađimo zbroj 1 2 +22 + . . . +n2 u zatvorenoj formi, tj. kao zatvorenu z z z funkciju od n E N . Označimo Dn = l + 2 + . . . + n . Onda je ispunjena linearna, nehomogena rekurzivna relacija Dn = an - l + nz, n � l , ao = O. koju možemo lako riješiti. Karakteristična jednadžba je - = O. Rješe­ 0 1 nje homogene jednadžbe je a!, ) = A 1' = A gdje je A konstanta. Ka­ ko je korijen = l kratnosti = l , partikularno rješenje tražimo u obliku a!f'l = Aon + Atnz + Azn3 , vidi Teorem 7.4. l (ii). Uvrštavanjem u rekurzivnu re­ z laciju dobivamo Aon +At n + Azn3 = Ao(n - l) + At (n - 1) 2 + Az(n - 1) 3 + n2 = z + Azn3 • Izjednačava­ 2A t + 3Az)nod +n (i -2At 9Az + l)n (njem -Ao koeficijenata +At -Az) +uz(Aoiste- potencije rješavanjem pripadnog sustava dobivamo Ao = � , A , = ! , Az = ! tj. Dn = a�O) + a!f'l = A + � + !n+ !nz . Zbog početnog uvjeta ao = O je A = O, dakle a,1 = �n(n + l) (2n + l ) . Problem je moguće riješiti i s pomoću funkcija izvodnica, vidi Primjer 6.6.8. =

načina:

. . .

nakon čega zbroj zapisujemo na dva

=

l

Dakle

tj.

=

x

x

m

·

l

,

,

PRIMJER 3. Na rekurzivne relacije vodi jedna prastara igra iz Vijetnama, poznata pod nazivom Hanojski tornjevi. Pretpostavimo da imamo kružnih koluta s malom rupom u sredini. Svi koluti su raznih polumjera. Na ravnoj podlozi nalaze se zabodena tri štapića. Na jedan od njih su položeni koluti tako da je kolut većeg polumjera uvijek ispod koluta manjeg polumjera. Igra se sastoji u sljedećem: sve kolute treba prenijeti jedan po jedan na treći štapić, ali tako da niti u kojem trenutku ne bude veći kolut iznad manjega. Pritom bilo koji od tri štapića možemo rabiti za privremeno smjeiHavanje koluta. Koliki je najmanji broj a11 potrebnih prijenosa, da se svih koluta s prvog štapića prenese na treći? Pokušajte najprije sami naći odgovor za prijenos četiri koluta na slici.

n

n

Sl. 7.5. Hanojski tornjevi. ·

Opišimo broj prijenosa induktivno. (i) Za l Qedan kolut) dovoljan je samo jedan prijenos na treći štapić, tj.

n=

D

t = l.

7. REKURZIVNE RELACIJE

146

(ii) Pretpostavimo da znademo obaviti prijenos od n kolutova. Za prijenos n + l koluta sa prvog štapića na treći štapić možemo učiniti sljedeće: (a) prenijeti najprije gornjih n koluta sa prvog štapića na drugi (uku�no an p�­ jenosa; ako znamo prenijeti n koluta na treći štapić, onda znamo 1 na drugi); (b) prenijeti preostali, najveći kolut s a prvog štapića na treći U edan prijenos); (e) prenijeti n kolutova sa drugog štapića na treći. Prema tome je (8) an+ l an + l, a1 = l . Ova rekurzivna jednadžba je linearna, prvog stupnja i nehomogena. Karakteristična jednadžba je x Rješenje pripadne homogene jednadžbe an+l an je O . Budući da X = l nije rješenje karakteristične jednadžbe, partikularno a� ) = A rješenje a!fl nehomogene jednadžbe je konstanta = 2A + l , tj. = - l . Prema tome opće rješenje nehomogene jednadžbe je oblika an = A l . Kako je a1 = l , tj. A . - l = l , imamo A = l . Prema tome je an = zn - l , n E N.

=2

nz . 2 = O.

=2

A: A

2

·

2'' - A

l . Zapravo, mi smo gore dokazali samo nejednakost an+l � 2liasen +PRIMJEDBA l , jer za n koluta je dovoljno obaviti 2an + l prijenosa. Pitanje je može n + l koluta prenijeti na treći štapić uz još manji broj prijenosa? Ne može.

Naime, za bilo koji prijenos koluta na treći štapić u nekom trenutku moramo prenijeti i najveći od n + l koluta, pa tada n koluta već mora biti preneseno na drugi štapić (za što nam treba barem an prijenosa). Sada najveći kolut prenesemo na treći štapić, a zatim nam treba još barem an prijenosa da bi dovršili slaganje. Time je dokazana obratna nejednakost: an+ 1 � an + l . Kao što vidimo, broj prijenosa an raste eksponencijalno s brojem koluta n . Npr. za 64 treba nam - l prijenosa. Č ak kada bi netko mogao obaviti milijun prijenosa u sekundi, trebalo bi mu oko 5 845 stoljeća da 64 koluta prenese s prvoga na treći štapić! Za prijenosa, a to je procjena koluta trebalo bi nam više od broja atoma u cijelom vidljivom svemiru! Web adresa http : l /www . prairiefrontier . com/ games/tower /tower . html vam omogućuje da se poigrate s Hanojskim tornjevima, i 'osjetite ' eksponencijalnu složenost ovog algoritma već kod malog broja koluta. Rekurzivnu relaciju (8) moguće je lako riješiti i izravno: an 2an- l + l 2(2an -2+ l)+ l zn-l 2n - l . n - 1 a + 2n -2 + . . . + 2 + l zn - l + . . . + 2 + l "ž=T 22 an �2 + 2 + l 2 l PRIMJER 4. Davor je posudio iznos od S kuna, koji mora vraćati u jednakim iznosima tijekom m vremenskih intervala (npr. m mjeseci, ili m godina). Koliki iznos mora Davor platiti na kraju svakog od m vremenskih intervala, ako je iznos kamate za svaki period jednak k > (tj. lOOk%). Označimo sa an iznos koji Davor duguje na kraju n -tog vremenskog intervala, n = l, . . . , m . Pritom je ao = S i a111 Onda vrijedi an+ l = an + kan - P, (8 ) jer na kraju (n + l ) -vog vremenskog intervala Davor duguje iznos koji je jednak iznosu dugovanom na kraju n -tog intervala, uvećanom za kamate k · an , i umanjen za iznos P isplaćen do kraja n -tog mjeseca. a) Karakteristična jednadžba od ( 8) je x - ( l + k) = Pripadna homogena O O O · J'ednadžba an( +) l { l + k)an( ) irna rJ'ešenJe a11( ) = y ( l + k)11

n=

270

264

2

1080 =

=

. . .

P

O

O,

=

=

=

=

=

=

= O.

O. •

=

7 .6. RJEŠAVANJE S POMOĆU FUNKCIJA IZVODNICA

147

b) Neko partikularno rješenje početne, nehomogene jednadžbe (8 ) tražimo u obliku konstante a11 = A , jer je nehomogeni član u ( 8 ) konstanta -P . Imamo A = ( l + k)A - P , tj. A = f . Prema tome je a11 = a� ) + A = y(l + k)" + f . Zbog a = S je Y + f = S , tj. Y = S - t , a zbog am = 0 imamo (S - f )( l + k)'n + t = 0 . Odavde slijedi

o

o

P = kS

+ k)m . ( l + k)m - l (l

U ovom ćemo odjeljku na primjeru Fibonaccijeva slijeda ilustrirati kako se do rješenja neke rekurzivne relacije može doći s pomoću redova, tj. s pomoću funkcija izvodnica. Prije toga jedna mala primjedba u vezi sa znakom zbrajanja E . Zbroj ao + a1 + . . . + am možemo zapisati na nekoliko načina:

m m m+ l L an = L On- I = L an- l , 11- 1 =0 n=O n= I .1 na s 1" čan nač " "'m ""m ""m+ l m L...m= a11 = L...m 2=0 a11_ 2 = L...J11=22 a11- 2 . O u sumi beskonačna, onda je naravno oo

oo

Ak .

. . o je gornja graruca

m

oo

L a" = L all- l = L an- 2 · 11=2 n=O n= I Krenimo dakle sa Fibonaccijevim slijedom ( F11 ) zadanim početnim vrijednostima Fo = O , F = i rekurzivnom relacijom F11 = Fn- 1 + F11_ 2, n � 2.

t l

(l)

Da bismo došli do pripadne funkcije izvodnice oo

g(x) = n=L F11x11

(2)

O

Fibonaccijeva slijeda, pomnožimo rekurzivnu jednadžbu sa do oo : oo

oo

L FnXn = L Fn- l Xn + L Fn- 2Xn 11=2 n=2 n=2 n-2 :x a-1 + 2 "' = X "' LJ Fn -1 ' LJ Fn-2X n=2 n=2 n = x "' LJ F11Xn + x2 "' LJ FnX . n=O n=I = + 2 x. oo

oo

Dakle

oo

x" i zbrojimo od

x

oo

oo

g(x) Fo - Ftx x[g(x) - Fo] x g( ) �

n =

2

7. REKURZIVNE RELACIJE

148 Odavde zbog jednaka:

Fo = O i Ft =

l slijedi da je funkcija izvodnica Fibonaccijeva slijeda X

g(x) = 1 - x - x2 '

(3)

x.

Kvad­ Da bismo dobili F" u zatvorenoj formi, treba (3) razviti u red potencija po -t ratni polinom u nazivniku ima dva korijena X t , 2 = 10" Bit će zgodno rabiti rastav kvadratnog polinoma - /h), = (l l

.

- ax)(l

- x - x2

a = 1 +20 , f3 = t -20 .

Kako je u (3) stupanj polinoma u brojniku manji od gdje je moguće je pisati s pomoću stupnja polinoma u nazivniku, racionalnu funkciju parcijalnih razlomaka:

g(x)

g(x) = ( l - ax)(x l - f3x) = l -c1ax + l -c2/3x ·

Da bismo odredili konstante

C1 i C2

,

pomnožimo ovu relaciju s nazivnikom:

x = Ct ( l - f3x) + C2 ( l - ax). Budući da relacija vrijedi za sve x, možemo međusobno izjednačiti odgovarajuće ko­ eficijenate uz x i slobodne koeficijente s lijeve i desne strane jednakosti: Rješenje tog sustava je

Ct + C2 = O, -/3Ct - aC2 = l . Ct = l / J5 , C2 = - l / J5 . Prema tome je '

oo

oo

- - -1 -] = �5 [z)ax)'' - z)13xt] g(x) = �5 [-1 l f3x l - ax II= O II=O = L -(a" - f3")x". v

oo

-

v

l

11= 0 y'5 Uspoređivanjem koeficijenata sa (2) dobivamo opet de Moivreovu formulu u Propo­ ziciji 7 . 1 . 1 : F"

=

)s( a" - /3").

� POVIJESNA CRTICA � Alexandre T. Vandennonde ( l735-1796), po ko­ jemu je dobila naziv Vandermondeova determinanta, bio je francuski matematičar. x 2 Fibonaccijeva slijeda F" našli su Joseph LagranFunkciju izvodnicu = 1 -x-x ge i Abraham de Moivre još u 1 8.st. To je omogućilo da se nade i zatvorena forma za Fn Funkcije izvodnice prvi je sustavno koristio američki matematičar engleskoga podrijetla James Sylvester ( 1 8 14-1897). Rekurzivne relacije nalaze primjene u teoriji vjerojatnosti, fizici, elektrotehnici, računalstvu, pa čak i u društvenim znanostima (so­ ciologija, psihologija). Važne primjene imaju i u ispitivanju složenosti algoritama (vidi Poglavlje 12). Problem hanojskih kula opisao je i popularizirao francuski matematičar Edouard Lucas 1 883. g. Funkcije izvodnice vrlo su važne i u teoriji vjerojatnosti, što je prikazano u znamenitoj monografiji Probability theory and its applications /, čiji autor je William (Vilim) Feller ( 1 906-1970), rođen i školovan u Zagrebu, suradnik Johna von Neumanna u Princetonu. Rekurzivne relacije se često zovu i diferencijske jednadžbe. Razlog za to bit će jasan kasnije (vidi Odjeljak 8.4).

g(x)

•

-

7.7. DISKRETNI DINAMIĆKI SISTEMI

149

Cilj je ovog odjeljka uvesti neke od temeljnih ideja teorije diskretnih dinamičkih sistema opisanih rekurzivnim relacijama. Rekurzivne relacije koje promatramo bit će reda r = l , dotično oblika

a"+� = f(a11), n =

O, l, 2, . . .

(l)

Pritom je f : R --+ R zadana neprekinuta funkcija, ne nužno linearna tj. ne nužno oblika f(x) = ax + {3 . Slijed (a11) određen je u potpunosti samo svojom početnom vrijednošću ao :

ao, a 1 = f(ao) , az = f(at) = f(f(ao)) , a3 = f(az ) = f(f(f(ao))) , . . . Obično indeks n predočujemo kao vrijeme. Na taj način slijed (a") možemo gledati kao vremenski razvojni (evolucioni) proces koji je putem ( l ) potpuno određen počet­ nom vrijednošću a0 u trenutku Slijed realnih brojeva (a11) koji je rješenje rekurzivne relacije (l) možemo gle­

O.

dati kao trajektoriju (putanju) na realnom pravcu određenu početnim položajemo

ao . Možemo zamisliti točku koja se giblje po pravcu tako da skače slijedom točkama ao, a 1 , az . . . u trenutcima n = l, 2 . . . Rekurzivnu relaciju (l), u kojoj desna strana ovisi samo o položaju a11 , a ne i o vremenu n (za razliku od a11+ t = g(a11 , n) ), zovemo diskretnim dinamičkim

O,

sistemom.

PRIMJER l . Rekurzivne relacije (i) a11+I = ! a" + 3 , (ii) a11+ I = a" , (iii) a11+ t = a11 + l , (iv ) a11+I = -a11 + 2 , (v) a11+I = 2a" - 4 , (vi) a11+ 1 = ../2 + a11 , ao � (vii) a11+ I = 2a11( l - a11) , definiraju diskretne dinamičke sisteme. S druge strane I (viii) rekurzivna relacija a11+ 1 = a11 + (-ll )" nije dinamički sistem, jer nije oblika desna strana ovisi ne samo o n -tom položaju a11 , nego 1 o trenutiru n .

O,

•

(l):

DEFINICIJA. Trajektoriju (a11) određenu jednadžbom ( l ) zovemo stacionarnom (nepomičnom) trajektorijom ili stacionarnim rješenjem ako je slijed (a,.) kons­ tantan, tj. a0 = a 1 = az = . . . Stacionamu trajektoriju možemo kao konstantan slijed poistovjetiti s odgovarajućom stacionarnom (nepomičnom) to&om a diskretnog dinamičkog sistema (l).

E

Propozicija 1 . Točka a R je stacionarna točka diskretnog dinamičkog sistema (l) onda i samo onda akoje a rješenjejednadžbe (2) a = f(a).

DOKAZ. Tvrdnja je očevidna: ako je točka a stacionarna onda za ao = a a0 = a1 , dotično a0 = f(ao) . Obratno, ako je a = f(a) , onda za ao = a a0 = f(a0) = a1 , dakle a2 = f(a t ) = f(ao) = ao itd.

vrijedi vrijedi Q.E.o.

7. REKURZIVNE RELACIJE

150

P RIMJER 2. Pogledajmo stacionarne točke u prethodnom primjeru: (i) stacio­ narna točka je 6 , (ii) svaka točka E R je stacionarna, (iii) nema stacionarnih točaka, jer je jednadžba l nemoguća, (iv) 2 tj. l , (v) 2, (vi) iz /2 slijedi - l otpada 2 O , dakle 2 (rješenje jer je negativno; uvijek je > O ), (vii) iz slijedi da postoje dvije stacionarne točke: Oi PRIMJEDBA l . U rekurzivnoj relaciji u Primjeru l (viii) pojam stacionarnog rje­ (-�)n šenjaje besmislen, tj. ne postoji. Naime ne postoji tako da jednadžba vrijedi za sve n .

a= a a = a2 + a = -a + a= a = +a a -a- = a11 a = 2a(l - a) a 1 = az = J ,

a= a=

a=

a = a+

a

a11)

ao

Od interesa je znati kako se ponašaju trajektorije ( čiji se početni položaj nalazi blizu stacionarne točke. U tu svrhu uvedimo važan pojam stabilnosti diskretnog dinamičkog sistema.

a

DEFINICIJA. Kažemo da je stacionarna (nepomična) točka diskretnog dina­ sistema ( 1 ) asim.ptotski stabilna (kraće - stabilna), ako za svaki početni položaj dovoljno blizu točki vrijedi da odgovarajuća trajektorija teži prema dotično -+ kad n -+ oo . Točnije, stacionarna točka je stabilna ako postoji okoliš točke takav za svaki početni iz tog okoliša pripadna trajektorija (a11) konvergira prema tj. lim11_.00 U suprotnom kažemo da je stacionarna točka nestabilna. Drugim riječima, za svaki okoliš oko postoji iz tog okoliša takav da pripadna trajektorija (a11 ) ne konvergira prema (to znači da je ili lim11-+oo ne postoji). ili lillln-+oo Ako za stacionarnu točku vrijedi da je limn-+oo za svaki početni ao (ne nužno samo iz malog okoliša oko onda kažemo da je točka globalno stabilna. Očevidno je u tom slučaju točka jedina stacionarna točka diskretnog dinamičkog sistema. mičkog

ao a11

a

a

a

a, a a

da

a11 = a .

ao

a

a,

a

ao

a a11 '# a

a ), a

an = a

an

a

Gore smo uveli pojam asimptotske stabilnosti. Pojam stabilnosti je zapravo nešto općenitiji od asimptotske. Za naše potrebe će ovakav pojam stabilnosti biti sasvim dovoljan.

Propozicija 2. Akoje trajektorija

je

a stacionarna točka.

(a" ) takva da postoji a := lillln oo a" , onda .....

DOKAZ. Zbog neprekinutosti funkcije J vrijedi = j( lim lim

f(a)

n---+oo an) = n-+oo f(an) = nlim -+ oo an+l = a.

Q.E.O.

U daljnjem pretpostavljamo da je funkcija J neprekinuto diferencijabilna. Teorem 3. (o stabilnosti) Neka je a stacionarna točka slijeda zadanog sa an+ l = J(an) · Ako je IJ'(a) l < l onda je točka a stabilna, a akoje l!'(a) l > l , ondaje točka a nestabilna. DoKAZ. a) Zbog l!'(a) l < l postoji pozitivan broj q < l i neki okoliš l = (a - s, a + s) oko stacionarne točke a takav da za sve x E l vrijedi IJ'(x)l � q < l . Zbog Lagrangeova teorema o srednjoj vrijednosti za svaki x E l postoji E l između x i a tako da je J(x) - J(a) = J'(x)(x - a) , dakle IJ(x) - J(a) l � qlx - a i . Zbog J(a) = a je IJ(x) - a i � qjx - al < qs < s, .X

7. 7. DISKRETNI DINAMIČKI SISTEMI

151

tj. f(x) E I . Slično je 1/(/(x)) - al � q lf(x) - al � q2 lx - al itd . Za x = ao E I je dakle la11 - al � t/1 lao - al -+ O , tj. a11 -+ a kad n -+ oo . b) Ako je l!'(a)l onda postoji okoliš I oko a u kojem je 1/'(x)l � q pa na sličan način dobivamo da za svaki početni ao E I , ao ::fi a vrijedi da pripadna trajektorija (a11 ) divergira: la" - al � iflao - al -+ oo , dotično la" l -+ oo . Q.E.D.

> l,

>l

PRIMJEDBA 2. Prethodni teorem ne govori ništa o slučaju kad je !'(a) = ± l . On je često vrlo delikatan, i treba ga ispitati posebno. PRIMJEDBA 3. Iz dokaza gornjega teorema vidi se da će područje stabilnosti oko stacionarne točke a , tj. skup svih točaka a0 E R za koje pripadne trajektorije teže prema a , sadržavati interval I oko a na kojemje l!'(x)l < l . P RIMJER 3. Područje stabilnosti za sistem a11+ 1 = ..jZ + a11 , ao � O , sa sta­ cionarnom točkom a = je čitav skup I = [0, oo ) : za svaki ao E l za pripadnu trajektoriju (a11 ) vrijedi a11 -+ 2 . Doista, f'(x) = !(2 + x) - 1 12 pa za sve x E I vrijedi

2

lf' (x)l � /1(0) =

l M"

2v2

<

l.

Da je stacionarna točka a = 2 ne samo lokalno stabilna, nego i globalno, tj. n a cijelom skupu = [0, oo) odakle uzimamo vrijednosti za ao , moguće je vidjeti i izravno, bez primjene Teorema 2. Doista, za svaki ao E l pripadni slijed an konvergira prema a 2 monotono. Točnije, za ao E (0, 2) vrijedi an j 2 , a za ao > 2 vrijedi an ! 2 kad n --+ oo Dokažimo tvrdnju za ao E (O, 2) . a) Slijed (an) je omeđen odozgor sa 2 (i odozdol sa O ). To se vidi odmah indukcijom: B. Baza indukcije: Za n = O je ao < 2 . K. Korak indukcije: pretpostavimo da je an < 2 za neki n . Onda je 2 + an < 4 , pa korijenova­ njem dobivamo an+ 1 < 2 . b) Slijed (a11 ) je monotono rastući, dotično an < an+ l . Dokaz provodimo takoder indukci­ l

=

.

jom: B. Baza indukcije: nejednakost a < a1 = y'2 + a je ekvivalentna sa a5 - ao - 2 < O , dotično sa ao E ( - l , 2) , što j e istina. K. Korak indukcije: pretpostavimo da je an < an+ 1 za neki n . Onda je z + an <::: Z + an+ 1 • pa korijenovanjem dobivamo an + l < an +2 . Kako je slijed (an ) omeđen i monotono rastući za a E (O, 2) , onda prema poznatom teoremu iz matematičke analize on konvergira, tj. postoji limes L = limn-+oo an . Zbog a;, = 2 + an vrijedi

o

o

o

2 = (n-+oo lim an ) 2 = nlim a;, = 2 + n lim an = 2 + L, -+oo -+oo

L

pa rješavanjem kvadratne jednadžbe po L dobivamo L = 2 (drugo rješenja L negativno). U slučaju > 2 postupak je potpuno analogan.

=

-l otpada jerje

a0 Moguća je i geometrijska konstrukcija slijeda točaka an određenih sa početnom vrijednošću a0 i rekurzivnom relacijom an+ l = f(an ) . Ovaj postupak je važan radi

kvalitativnog ispitivanja stabilnosti stacionarnih točaka diskretnog dinamičkog sistema: (a) Najprije u ravnini x, y nacrtamo pravac p . . . y = x i krivulju f . . . y = f(x) . Ako se sijeku, onda je prema Propoziciji apscisa svakog presjecišta očevidno stacionarna točka. (b) Vrijednosti slijeda (an ) određene početnim položajem ao crtamo na x osi ovako. Iz početnog položaja ao idemo okomito do grafa f, zatim odavde vodoravno do

l

152

7.

REKURZIVNE RELACIJE

pravca p , i onda natrag okomito do x osi. Dobivena točka je a 1 (provjerite). Do točke a2 dolazi se na isti način, ali sada sa a 1 kao početnom. ltd. Na taj način dobivamo trajektoriju ao, a 1 , a2, . na x osi koja pripada početnom položaju ao . .

.

PRIMJER 4. Ilustrirajmo ovaj postupak najprije na primjeru linearne rekurzivne jednadžbe: (3) n = O, l , . . . Tu su a i /3 zadani realni brojevi. Zbog f(x) = ax + /3 je stacionarna točka od (3) rješenje jednadžbe x = ax + /3 , tj. a = 1 (uz uvjet da je a "l l ) . Pitanje stabilnosti stacionarne točke a ovdje ovisi samo o vrijednosti !'(a) = a .

�a

a) slučaj kad je i a i < l je globalno stabilan. l al


X

Sl. 7.6. b) slučaj kad je l a l > l je nestabilan: l al >

l

y

X

Sl. 7. 7.

e) u slučaju kad je a = l i /3 "l O nema stacionarne točke (uvjerite se sami s pomoću dijagrama). Za a = l i /3 = O, tj. an+ l = a11 , sve su točke a E R stacionarne. Prema našoj definiciji niti jedna nije (asimptotski) stabilna. d) Slučaj kad je a = - l daje trajektorije koje su sve periodične: trajektorija (an ) poprima naizmjence samo položaje ao i a 1 Ovaj slučaj takoder nije (asimptot­ ski) stabilan . •

153

7.7. DISKRETNI DINAMIĆKI SISTEMI

a=

-1 y

a2

X

J

a3

Sl. 7.8.

DEFIN�CI� A. Trajketoriju (a,1 ) diskretnog dinamičkog sustava zovemo 2 -periodia1 ), 3 -periodičnom ako je nom ako Je jednaka ao, a . , ao, a 1 . . . (gdje je ao � Jednaka ao, a 1 , a2, ao, a1, a2 , . . . , gdje su ao, a 1 , a2 različite točke, itd. v

:j:.

PRIMJER 5 . U

slučaju nelinearne rekur;z;ivne rel acije

balna stabilnost stacionarne točke

"'n"t"l

a = 2 jako dobro vidi grafički.

�

yf2 + "'n

se

5lo­

Sl. 7.9.

PRIMJEDBA 4. Valjanost gore navednog teorema o stabilnosti može se intuitivno shvatiti i ovako. Za x blizu stacionarne točke a funkciju y = f(x) možemo zamijeniti s tangentom u točki a : y = j(a) + f'(a)(x - a) . Prema tome je diskretni dinamički sistem an+I = j(an ) 'blizak' lineariziranom dinamičkom sistemu:

an+ l = / (a)(an - a) + f(a). Ovdje je a = f' (a) . Ako je l!'(a)l < odgovarajuća stacionarna točka u linearnom

l,

9

sistemu je stabilna, 'dakle' i u početnom. Usporedi sliku 7 sa slikom 7 .6. PRIMJEDBA 5. Analiza ponašanja linearnog dinamičkog sistema (3) može se izvršiti i njenim izravnim rješavanjem. Karakteristična jednadžba je A - a = O , tj. o A = a . Rješenje homogene jednadžbe je a� ) = aoa" , a partikularno nalazilno lako .

.

7.

154

REKURZIVNE RELACIJE

u obliku a!fl = An + B, pa nakon uspoređivanja koeficijenata u (3) dobivamo da je 11 opće rješenje (uz uvjet a f. l ) jednako a11 = ao a + 1�a . Drugim riječima, rješenje linearne rekurzivne relacije (3) je oblika

an = aoa11 + a,

gdje je a stacionarno rješenje. Pretpostavimo da je ao t O. Kako za lal < l vrijedi 11 da a -t O, onda a11 -t a kad n -t oo , dotično a je stabilna točka. Ako je l a l > l , 11 onda lal -t oo , pa a11 divergira, tj. a je nestabilno rješenje. Za a = imamo -periodično rješenje a11 = (-l ) 11ao + a , koje naizmjence poprima samo vrijednosti a - ao i a + ao . PRIMJER 6 . Pogledajmo jedan nelineami primjer koji dolazi iz biologije. Za­ mislimo da u trenutku n imamo biološku koloniju od a11 bakterija. Ako se ona razmnožava brzinom a > l u jedinici vremena, onda će njihov broj u trenutku n + l biti a11+ I = aa11 • Ako je u trenutku n = O njihov početni broj bio ao (shvaćeno kao ao tisuća ili ao milijuna bakterija), onda će očevidno vrijediti a11 = a11ao . Zbog pretpostavke a > l broj bakterija a11 eksponencijalno raste: a11 -t oo , kad n -t oo ( 'demografska eksplozija' kolonije). Pretpostavimo zato da u koloniji postoje i neki utjecaji odumiranja, i to zbog jednostavnosti oblika -aa� . Tako dolazimo do modela razmnožavanja bakterija opisanih tzv. logističkom jednadžbom a11+ I = aa11 - aa?, . Prvi član na desnoj strani je faktor rasta, a drugi je faktor odumiranja. Stacionarne točke nelineamog dinamičkog sustava

2

-

an+ l = aa11(1 a11), n = O, l, -·

1

2, . . .

su rješenja jednadžbe x = ax( l - x) . Jedno rješenje je a = O (koje nije zanimljivo) a drugo a = l l. > O Uer je a > l ). Ispitajmo za koje vrijednosti parametra brzine rasta kolonije a je stacionarna toč­ k.a a = 1 fi stabilna. Prema Teoremu 3 o stabilnosti dovoljno je da bude If' (a) l < l , gdje je f(x) = ax - ax2 • Dakle dovoljno je da bude - l < a - 2aa < l . Uvrš­ tavajući a dobivamo - l < -a + < l . Rješavanjem desne jednakosti dobivamo a > l , a lijeve a < 3 Dakle točka a = l - � je stabilna ako je -

-

2

.

Pogledajmo primjer sa namoj točki a ) .

a=

l < a < 3.

2.7 na slici (točku a0 odabiremo dovoljno blizu stado­

Sl. 7. 10.

X

J

Na sličan način iz teorema dobivamo da je točka

a

nestabilna ako je

a

>

3.

155

7.7. DISKRETNI DINAMIČKI SISTEMI

+

Pokazuje se da je rekurzivna relacija nestabilna i za a = 3 . Za a E (3, l J6) pojavljuju se dva nova -periodička rješenja koja osciliraju oko stacionarne točke a , i to sve bliže točki a što j e a bliže 3 . Ta pojava zove se bifurkacija (grananje) periodičnih rješenja, počevši od a = 3 . Za vrijednosti u nekom intervalu desno od l J6 � 3.449 dolazi to novoga grananja {bifurkacije): pojavljuju se četiri nova 4 -periodična rješenja, zatim ubrzo osam novih 8 -periodičkih itd., umnožavajući se sve više u beskonačnom slijedu sve manjih intervala do a � 3.57 . Ovaj slijed bi­ furkacija periodičkih trajektorija kod kojih dolazi do udvostručenja perioda zove se

2

+

Feigenbaumov slijed.

a>

Za skoro sve vrijednosti 3.57 imamo nestabilnost koja se očituje u pojavi kaosa, tj. kaotičnih trajektorija (an ) za početni položaj ao blizu točke a . To znači da se vrijednosti a,j ponašaju gotovo kao slučajno odabrane vrijednosti na pravcu, iako je jednadžba deterministička, tj. svaki se položaj an može efektivno izračunati s pomoću rekurzivne relacije. Pojava udvostručenja perioda i kaosa kod logističke jednadžbe može se dobro vidjeti i isprobati na ovoj web adresi: http : // info . lboro . ac . uk/departments/ma/gallery/doubling

Proučavanje stabilnosti stacionarnih točaka i periodičkih trajektorija diskretnih dinamičkih sustava je općenito vrlo složeno. Ovdje su promatrani samo neki najjed­ nostavniji nelinearni primjeri.

Mehanika je raj za matematičke znanosti, jer uz njenu pomoć se dolazi do matematičkih plodova. Niti koje ljudsko istraživanje ne može se zvati pravom znano§ću ako se ne može dokazati matematički. . . Leonardo da VINCI ( 1452-1519)

Matematika ne leži ukopana usred kontinenta egzaktnih znanosti; ona je na njegovim obalamJJ, uz ocean umjetnosti. - Vladimir DEVIDE ( 1925)

Tražite, i naći ćete!

- Mt 7,7

8. OPERATORI DIFERENCIJE l POMAKA

156

8.

Operatori diferencije i pomaka

Svrha je ovog poglavlja uvesti i opisati glavna svojstva dvaju jednostavnih, ali važnih operatora, koji djeluju na realne funkcije realne varijable, i vrijednosti su im opet funkcije. To su operatori diferencije i pomaka, koji se često pojavljuju u raznim primjenama. Označimo sa 9' vektorski prostor svih funkcija J : R � R . U tom vektorskom prostoru funkcije J, E 9' zbrajamo po točkama, tj. J + E 9' je funkcija definirana sa (! + = + E R. Primijetite da se na lijevoj strani operacija + odnosi na zbrajanje funkcija, a na desnoj na zbrajanje realnih brojeva. Množenjem funkcije J sa skalarom li E R dobivamo funkciju A/ definiranu sa (A · /)(x) = A · J(x) (na lijevoj strani je množenje skalara i funkcije, a na desnoj množenje skalara, tj. realnih brojeva). U prostoru 9' imamo istaknute dvije funkcije koje ćemo označiti sa O (nul­ funkcija) i Uedinična funkcija): = O, = Primijetite dobro da rabimo istu oznaku za različite stvari: na lijevoj strani od = O je funkcija O, a na desnoj broj O . Slično za =

g

g)(x) J(x) g(x), x

g

·

l

l(x) l .

O(x)

x

l(x)O(x) l .

x+h

Sl. 8.1. Operator diferencije.

DEFINICIJA. Neka je h > O učvršćen realan broj. Preslikavanje 6.11 : 9' � 9' zovemo operatorom prve diferencije ako je definirano na sljedeći način. Odaberimo

8.1. DEFINICIJA, TEMELJNA SVOJSTVA

157

funkciju f E :.f . Vrijednost !:J.h na f je funkcija I:J.hf E :.f definirana sa

(11,J)(x) = f(x + h) - f(x) . Dalje definiramo operator druge diferencije /1� = !:J.h

o

!:J.h kao kompoziciju

operatora. Točan opis djelovanja ovog operatora daje mali račun:

11Y(x) = [!:J.h(!:J.hf)] (x) = (!:J.hf)(x + h) - (!:J.hf)(x) = [f(x + 2h) - f(x + h)] - [f(x + h) - f(x) ] = f (x + 2h) - 2f(x + h) + f(x). Uvedimo još i važan operator identitete na :.f : to je operator I : :.f --+ :.f , definiran sa I(!) = f . Operator I svaku funkciju J E :.f ostavlja na miru. Induktivno se zatim može definirati operator n -te diferencije /1� = !:J.h o (11/:- 1 ) za sve n � l , pri čemu dogovorno definiramo 112 = I . Očevidno je 11/�11� = 11�117: = !:J.'f:+n za sve m, n E N0 .

Rabitćemo i oznaku llhf(x) umjesto (!lhf)(x) . Oboje je kratica za [!lh(f)](x) . Često se vrijednosti linearnih operatora poput !lh označavaju kraće sa ll1J umjesto !lh(f) .

Propozicija 1 . Nekaje n

E No . Preslikavanje 111: : :.f --+ :.f je linearni operator.

DOKAZ. Dokažimo tvrdnju za n = l . Opći slučaj se zatim lako dokaže indukcijom, jer je kompozicija linearnih operatora opet linearni operator. Treba dakle dokazati da za svaki a , f3 E R i j, g E :.f vrijedi

!:J.h(af + f3g) = a!:J.hf + f3 11hK · Da bismo to dokazali treba provjeriti da se lijeva i desna strana (koje su funkcije iz prostora :.f ) podudaraju za sve x E R :

[!:J.h(af + f3g)] (x) = (af + f3g)(x + h) - (af + f3g)(x) = [af(x + h) + f3g(x + h)] - [af(x) + f3g(x)] = a!:J.hf(x) + f3!111g(x) = [a!11J + f3 !111g] (x). Propozicija 2. Operator diferencije ima sljedeća svojstva: (a) Ako je J E :.f konstantna funkcija, onda je !11J = O . (b) Ako je J E :.f polinom n -tog stupnja, f(x) = ao + a 1 x + . . . + anx" , onda je Ay . (x ) = an n '. hn , LlAn+ 1 f(x) = O. Ll h

Q.E.D.

an #- O ,

DoKAZ. (a) Za f(x) = e je !:J.hf(x) = f(x + h) - f(x) = e - e = O . k (b) Pogledajmo najprije funkciju Kk (x) = x . Onda je po binomnom teoremu k k 1 !111gk(x) = (x + h) - xk = kx - h + . . . , pri čemu točkice stoje umjesto članova s 2 2 manjim potencijarna varijable X . Slično je onda !:J.�gk(x) = k(k - l)xk- h + . . . itd. Na kraju je !:J.�gk(x) = k!hk (konstanta) i 11!+ 1 Kk(x) = O . Prema tome za n > k je !:J.�gk(x) = O . Tvrdnja slijedi iz linearnosti operatora 11i: :

11Y(x) = aol1/! l + a 1 !1/!g1 (x) + a2!1/!g2(x) + . . . + an11/!gn(x) = ann!hn .

Q.E.D.

8. OPERATORI DIFERENCIJE I POMAKA

158

Navedimo još dva svojstva, koja se lako provjeravaju. Za svaki

[L\ 1 (/g)] (x) = [L\hf(x)] g(x) + f(x + h) L\11g(x). Ako je g(x) -::/:- O za sve x E R, onda je g(x) -f(x)L\IJg(x) . L\1 (L)g (x) = [L\hf(x)]g(x)g(x + h)

je

/,g E i x E R 9"

L\1

Prethodna propozicija i posljednja dva svojstva pokazuju da operator diferencije ima slična svojstva kao i operator deriviranja fx . Prisjetimo se isto tako i same defi­ nicije derivacije funkcije J u točki

x: df = lim f(x + h) -f(x) = lim L\JJ(x) . h-+0 h dx h-+0 h

za učvršćeni broj h E R funkciji . Operator pomaka E11 pridružuje funkciju E1J E zadanu sa f E DEFINICIJA Ehf(x) = f(x + h). Za h > O je očevidno graf funkcije E1J pomaknut s obzirom na graf funkcije J za h ulijevo. Doista, točka (x, y ) je na grafu funkcije y = f(x) onda i samo onda ako je točka (x - h, y) na grafu funkcije = EJJ(x) = f(x + h) . 9"

9"

:

9" --+ 9"

y

y

Sl. 8.2. Operator pomaka

ElJ (u lijevo za

X

h).

E� = Eh Eh je operator pomaka za 2h : [EY](x) = [Eh (EIJ!)](x) = (E,J)(x + h) = f(x + 2h). Na sličan način je operator n -tog pomaka E/: zapravo operator pomaka za nh: E'IJ(x) = f(x + nh). Očevidno je E/: E'f: = Ei� Ei: = Eh+ n . pomaka Eh je linearni operator, dotično za sve a, f3 E R i j, g EOperator vrijedi E�z(af + fjg) = aEIJ! + f3Ehg. Naime, za sve x E R vrijedi [E�z (af + fj g)] (x) = (aj+ fj g)(x + h) = aj(x + h) + fjg(x + h) = aE,J(x) + f3E11g(x) = (aE�zf + fJEIJg)(x). Operator

o

o

9"

:

o

9" --+ 9"

8.2. VEZA S OPERATOROM POMAKA

159

Vrlo lako je provjeriti i relaciju llJ.

= Eh - l.

J E 9" i x E R vrijedi J(x) = (Ehi)(x) - (IJ)(x) (�hJ) (x) = J(x = (Ehi - IJ)(x) = [(Eh - I)J](x). Kako to vrijedi za sve x , onda je �hi = (Eh - !)J. Ova pak relacija vrijedi za sve J E 9" pa je �h = Eh - I Odavde se s pomoću binornne formule lako dobije korisna veza između potencija operatora diferencije �h i operatora pomaka Eh : Doista, za bilo koji

,

+ h) -

.

Eh = (�h + It = Zbog

E},J(x) = J(x

Propozicija

1.

t. G) ��r-k = t. G) ��-

+ kh) imamo ovaj zaključak: Za svaku funkciju f

�'/J(x) =

:

R

--+

R

vrijedi

I)-l)n-k (�) J(x + kh)

(1)

= t G)AfJ(x).

( 2)

k=O

f(x + nh)

k=O

Propozicija 2. Operator pomaka komutira s operatorom diferencije:

�h o Eh .

Eh o �h =

x E R i svaki J E 9" vrijedi [(Eh o �h)J](x) = [Eh (�hi)](x) = �,J(x + h) = J(x J(x o Eh)J](x). Eh = [(�h x) = )](x) Eh E,J( = i(x [�( i Time smo pokazali d a relacija [(Eh o�h)J] (x) = [( 6.,. oEh)J] (x) vrijedi za sve paje (Eho�h)J = (�hoEh)J. Ova pak relacija vrijedi za sve J E 9" , paje Eho� = flJ.oEh . DoKAZ. Za svaki

+ 2h) - + h)

+ h) -

x.

Q.E.D.

PRIMJEDBA l . Primijetimo da je operator pomaka Eh : 9" -+ 9" regularan {in­ vertibilan). Inverzni operator je E_h , jer je Eh o E-h = E_h o Eh = E-h+h = Eo = I . S druge strane, linearni operator 6.,. : 9" -+ 9" nije invertibilan jer nije niti injektivan: npr. za svaku konstantnu funkciju e je �hc = e - e = Što više, jezgra operatora diferencije flJ. (tj. pripadni nul-potprostor) je skup svih periodičkih funkcija J E 9" koje su perioda

h.

O.

8.

160

OPERATORI DIFERENCIJE I POMAKA

Označimo sa T vektorski prostor svih funkcija f : R -+ R koje se mogu razviti u Taylorov red u svakoj točki x E R . Očevidno je T � !f . Taylorov razvoj funkcije j u red potencija oko točke x izgleda ovako: oo x) (3) f(x

n)

j( ( h". + h) = "' LJ n!

n D0== j +

11=0

__

=g

=

Uvedimo operator -te derivacije !Y' {in : T -+ T , lY'f , pri čemu definiramo l (identiteta na T). To je očevidno linearni operator, jer je a!Y' {3/Y'g za sve j, g E T, a, {3 E R . Relaciju (3) može­ IY'( {Jg) mo pisati pomoću operatora pomaka za u obliku

aj +

�n=O

�11=0

h h" IY'j(x) IY'f(x) " Ehf(x) = h = LJ n! LJ n!

L=

Izraz E�o �D" shvaćamo kao linearni operator koji djeluje na funkcije j E T . U analogiji sa MacLaurinovim razvojem eksponencijalne funkcije č = L�o �� mo­ e'10 • Prema tome je (Ehf)(x) žemo ovaj operator zapisati kao (e'ID!)(x) za sve x E R , tj. E1J e''0j za sve j E T . Odavde slijedi

L=

=

=

Eh = e"v.

Time smo uspostavili zanimljivu vezu između operatora pomaka E11 i operatora deri­ viranja

D

= :f:.: . Iz lih = Eh -

l

slijedi

Propozicija 1 . Izmedu operatora diferencija i operatora deriviranja matranih na prostoru funkcija T postoji ovakva veza: e'ID - l.

PRIMJEDBA l .

D = 1; pro­

!l.h = Za h = O je O D = O nul-operator na T i e0D = I . ·

PRIMJEDBA 2. Formu1a (2) se može dovesti u analogiju sa spomenutom Tay­ lorovom formulom (3) za razvoj funkcije u red potencija oko x . Doista, stavimo l u (2) i uvedimo oznaku za padajuće faktorijele:

h=

J

(n)k = n(n - l ) . (n - k + 1). G) = ey '1' . Kako je (n ) k = O za k � n + l , relacija (2) se može napisati . .

Onda j e kao diskretna Tay orova formula: f(x

+ n) = f: !l.t;�x) (n)k . k= l

8.4. DIFERENCIJSKE (REKURZIVNE) JEDNADŽBE

161

Isto tako, nije teško vidjeti da operator sumiranja I: ima sljedeću analogiju s opera­ torom integriranja J :

b- 1 (b)n+ l ""' LJ (x) 11 = n+ l x=a

(a )n+ l . n+ l

_

Dakako, brojevi a , b i x u desnoj jednakosti su prirodni brojevi.

Operator diferencije L\ 1 (uzirnljemo dakle h = l ), označavat ćemo kraće sa L\ :

L\f(x) = f(x + l ) - f(x ). Ovdje ćemo promatrati funkcije f i z No u R, a ne i z R u R. Za takve funkcije također vrijedi Propozicija 8.3.1. Bilo koju funkciju f : No --+ R možemo gledati i kao slijed (f(n))"�o . Pod linearnom diferencijskom jednadžbom s konstantnim koeficijentima pod­ razumijevamo jednadžbu oblika

L\kf(n) = btl\k- l f(n) + . . . + bk- I L\f(n ) + bkf(n) + e(n), n = O, l , 2, . . . (4) pri čemu su bt . . . . , bk zadani realni brojevi, i (e(n))"� o zadani slijed. Nepoznanica je funkcija (slijed) f : No --+ R , koja tu jednadžbu ispunjava za sve n E No . Ako je bk =l- O , kažemo da je (4) diferencijska jednadžba k -tog stupnja po g . Ako je e( n) = O, onda jednadžbu ( zovemo homogenom diferencijskom jednadžbom.

4)

Rabeći relaciju ( l ), uz h l zapisati kao rekurzivna relacija: =

,

vidimo da se diferencijska jednadžba (4) može

f(n + k) = ctf(n + (k - l ) ) + . . . + q_ tf(n + l ) + ckf(n) + e 1 (n),

n = O, l, 2

...

Njeno rješavanje upoznali smo u Odjeljcima 7.3-7.6. Vrijedi i obratno: svaka rekurzivna relacija može se prikazati kao diferencij­ ska jednadžba. Doista, neka je (a" )n :;;:0 neki slijed realnih brojeva. Definirajmo L\a11 = a"+ I - a" . Diferenciju L\ možemo shvatiti i kao operator koji djeluje na skup svih sljedova: L\( a" ) = (an+ I - a" ) . Operator pomaka E definiran sa Ea" = an+ I može se također shvatiti kao operator pomaka koji djeluje na skupu svih sljedova: E(a" ) = (a"+ t ) , točnije

E(a0, a 1 , az , . . . ) = (at . az , a3 , . . . ). Označimo li sa l identitetu na skupu svih sljedova, onda je očevidno L\a" = a"+ 1 - a11 = Ea" - la11 = (E - I)a" , tj. L\ = E - l . Prema tome je E = l + L\ . Rekurzivnu relaciju

On+r = CtOn+r- 1 + . . . + CrOn + J,l > n � O, u kojoj pretpostavljamo da je cr =j:. O ( r je red rekurzivne relacije), možemo zapisati kao (l + L\Ya" = c1 (1 + L\y- 1 a" + . . . + cra11 + j" . Primjenom binomne formule dobivamo nakon sređivanja

L\ra11 = dt l\r- l a" + . . . + dran + j",

n�

O.

162

8. OPERATORI DIFERENCIJE I POMAKA

Drugim riječima, svaka linearna rekurzivna relacija ekvivalentna je s linearnom diferencijskom jednadžbom.

P RIMJER l . Npr. rekurzivna jednadžba a11+ = 3a11+1 + 2a11 je ekvivalentna sa z (I + li) Za11 = 3(/ + li)a11 + 2a11 , tj. sa diferencijskomjednadžbom liza11 = lia11 + 4a11 • Diferencijska jednadžba drugog reda liza11 = -lia11 + a11 uz početne uvjete ao = O , a 1 = l daje Fibonaccijev slijed a11 • Doista, iz (E - I)za11 = -(E - I)a11 + a11 , rabeći

(E - !fan = Ezan - 2Ean + Ian = a11+ Z - 2a11+1 + an, (E - I)a11 = Ea11 - la11 = a11+ 1 - an, dobivamo nakon sređivanja rekurzivnu relaciju Fibonaccijeva slijeda: a11+z = a11+ 1 + a,. , n � O . � PoVIJESNA CRTICA � Račun diferencija nastao je u

17. 18.

i st. rješa­ vanjem problema interpolacije funkcija u numeričkoj matematici. Ima važne primjene u numeričkom rješavanju običnih i parcijalnih diferencijalnih jednačaba, diskretnoj Laplaceovoj transformaciji. Primjene nalazi u ekonomiji, pa čak i u psihologiji i soci­ ologiji.

Tko se razumije u poziv učitelja, učinit će da njegovi učenici imaju svoj mir i budu radosni, da imaju vremena za odmor, da budu ozbiljni i strogi spram samih sebe.

- LY BU VEl (Kina, 3. st. prije Krista)

Pokretač matematike nije zaključivanje, nego mašta. - Augustus DeMORGAN

( 1 806-1871)

9. 1 . DEFINICUA GRUPE

163

9.

Grupe

Pojam grupe omogućuje da "mjerimo" simetričnost nekog skupa u ravnini ili u prostoru. Ona je važna i u pitanjima klasifikacije elementarnih čestica, olakšava razumijevanje mnogih fizikalnih pojava. Važne su njene primjene u kemiji, u proble­ mima povezanim s nalaženjem grupa simetrija kristalnih rešetaka kemijskih spojeva (tzv. kristalografskih grupa), a također i u nalaženju broja izomera kemijskih spojeva. Grupe imaju i važne primjene u kombinatorici (grupe permutacija, teorija grafova), kriptografiji, teoriji algebarskog kodiranja signala u telekomunikacijama, itd. Teško bi bilo pronaći neko područje matematike gdje se grupe ne pojavljuju. Teorija grupa je važna u ispitivanju rješivosti algebarskih jednačaba jedne varijable, n -tog stupnja.

DEFINICIJA. Grupa je monoid (G, · ) u kojem je svaki element inYertibilan, tj. za svaki a E G postoji element iz G kojeg ćemo označiti sa a - I , takav da vrijedi

aa- I = a- I a = e. Element a- I zove se inverzni element od a .

Zbog svoje važnosti, navedimo još jednom 'detaljnu definiciju grupe. Poredani dvojac (G, ) u kojem je binarna operacija na G , zovemo grupom ako su ispunjeni ovi uvjeti: ( I ) za sve a, b E G vrijedi ab E G (grupoidnost), (2) za sve a, b, e E G vrijedi a(bc) = (ab)c (asocijativnost), (3) postoji jedinični (neutralni) element e , tj. za sve x E G vrijedi ae = ea = a , (4) za svaki a postoji inverzni element a- I , takav da vrijedi aa- I = a - I a = e . PRIMJEDBA l . Svojstvo grupoidnostije, razumije se, sadržano u definiciji binar­ ne operacije, ali navodimo ga posebno jer se na njega često zaboravlja. ·

,

·

DEFINICIJA. Za grupu (G, ·) kažemo daje komutativna ili Abelova grupa ako za sve a, b E G vrijedi ab = ba . Naziv je dobila u čast norveškog matematičara Nielsa Abela.

9. GRUPE

164

PRIMJEDBA 2. Apstraktna grupa (G, ·) se pomalo neprecizno zove "multipli­ kativna" grupa. U njoj operaciju · zovemo "množenjem", iako u konkretnoj situaciji to može biti zbrajanje, kompozicija funkcija itd. Ako je u nekoj Abelovoj grupi binarna operacija zapisana aditivno, dotično ako je zadana grupa (G, +) , onda grupu zovemo aditivnom grupom. Po dogovoru svaka je aditivna grupa Abelova Neutralni element aditivne grupe zovemo nula (i označavamo sa O ), a inverzni element od a označavamo sa -a umjesto sa a - 1 i zovemo suprotni element. Navedimo sada neka osnovna svojstva grupa. Propozicija 1 . Inverzni element a - 1 od

a je jedincat, tj. ne mogu postojati dva a . Vrijedi (a - 1 ) - 1 = a . DoKAZ. fa) Pretpostavimo da a ima za inverze a' i a" , tj. aa' = a'a = e i aa" = a') a = e . Onda je a' = a'e = a'(aa") = (a'a)a" = ea" = a" . (b) In­ verz od a - 1 je prema (a) jedincat, i jednak je a jer vrijedi a- 1 a = aa - 1 = e . Q.E.D. različita inverzna elementa od

·) grupa. (invertiranje produkta) Za sve a, b E G Propozicija 2. Neka je (G,

(a)

vrijedi 1 (ab)- = b- l a- 1 .

(b) (pravilo skraćivanja) Za sve a, b, e E G iz uvjeta sličan način iz ea = cb slijedi a = b .

ac = bc

slijedi

a = b.

Na

DOKAZ. (a) Vrijedi (ab) ( b- 1 a - 1 ) = abb- 1 a - 1 = aa- 1 = e i slično (b- 1 a - 1 )(ab) = e . Tvrdnja slijedi iz definicije inverznog elementa i činjenice da je jedincat, vidi Pro­ poziciju l . (b) Množeći jednakost ac = bc sa c- 1 s desne strane (tj. računajući acc- 1 = bcc- 1 ), dobivamo a = b . Q.E.o.

DEFINICIJA. Ako je n prirodan broj, onda se u grupi (G, elementa a E G sa a11 := a · . . . · a , a-11 := (a- 1 )11 , a0 := e .

·)

definira potencija

Propozicija 3. U svakoj grupi (G, · ) vrijede ova jednostavna pravila potencira­ nja za sve a E G , m, n E Z : (a) a111a11 = d11+11 ; posebno, potencije zadanog a E G međusobno komutiraju:

(b)

a111a11 = a111111 d11 ; 1 1 11 1 (a ) = a 1 ;

(e) akoje grupa komutativna, onda za sve

a, b E G

vrijedi

(ab)11 = a11b" .

Dokaz ove tvrdnje je vrlo jednostavan (s pomoću indukcije), pa ga ispuštamo. U dokazu tvrdnje (e) je zahtjev komutativnosti bitan: npr. (ab)2 = (ab) (ab) = a ( ba )b = a(ab)b = a2 b2 • Za nekomutativne grupe ta tvrdnja ne vrijedi.

Potenciji a11 računatoj u multiplikativnoj grupi odgovara u aditivnoj Abelovoj grupi množenje broja n sa a koje se definira na prirodan način sa na := a + . . . + a . Potenciji a -11 odgovara izraz ( -n)a := - (na ) , a potenciji a0 := e odgovara izraz Oa := O (Pažnja! Dvije vrlo različite stvari smo označili istom oznakom: nula na

9. 1 . DEFINICIJA GRUPE

165

lijevoj strani jednakosti u Oa = O je cijeli broj, a nula na desnoj strani je nul-element u aditi vnoj grupi G ). Navedimo još jednom zapis svojstava iz prethodne propozicije, ali za aditivnu grupu (G, +) . Za sve a, b E G , m, n E Z vrijedi: (a) (b) (e )

ma + na = (m + n)a , m(na) = (mn)a , n(a + b) = na + nb .

DEFINICIJA. Za grupu (H, · ) kažemo daje podgrupa grupe (G, · ) ako je H � G i binarna operacija · na H je naslijeđena od binarne operacije definirane na G . Pi­ šemo (H, ) � (G, · ) , ili kraće H � G (ako se znade o kojoj je binarnoj operaciji riječ). Svaka grupa (G, · ) irna dvije trivijalne podgrupe: jediničnu podgrupu {e} i podgrupu G . Podskup H je podgrupa grupe G onda i samo onda ako za sve a, b E H vrijedi ab - 1 E H , vidi Propoziciju ·

·

9.5 .1.

D EFINICIJA. Ako j e grupa G konačna (tj. ima konačno mnogo elemenata), onda broj njenih elemenata zovemo red grupe i označavamo sa IGI .

� PoviJESNA CRTICA � Prvi je s nulom kao brojem računao indijski ma­

tematičar Bakšali još u 2.st. Pojam apstraktne grupe uveo je engleski matematičar Arthur Cayley ( 1 821-1 895). Od njega potječu tablice množenja grupa (Cayleyeve tablice), sistematsko proučavanje grupa permutacija, kao i proučavanje matrica i kvaterni ona iz perspektive teorije grupa. Naziv Abelova grupa dan je u čast norveškog matematičara Nielsa Abela Abel je najviše poznat po svojim istraživanjima problema rješivosti algebarskih jed­ načaba anX' + an - 1 x"- 1 + . . . a l x + ao = O , an =f O , ak E C , s pomoću radikala. To znači izraziti korijene jednadžbe samo s pomoću osnovnih računskih operacija: zb­ rajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i korjenovanja na koeficijenatirna ·ak . Npr. za jednadžbu prvog stupnja ax + b = O , a ;j. O korijen je x = - � , za jednadžbu drugog stupnja ax 2 + bx + e = O također imamo rješenje izraženo s pomoću radikala:

( 1802-1829).

x1,2 =

±�

b Slična formula postoji za jednadžbe trećega stupnja (Cardanove formule) i četvrtoga stupnja (Abelove formule). Abel je pronašao primjere polinoma stupnja n � čiji se korijeni ne mogu izraziti s pomoću radikala, iako po Gaussovu osnovnom teoremu algebre znamo da kompleksni korijeni postoje! Naravno, neke specijalne jednadžbe stupnja n � mogu se riješiti s pomoću radikala, npr. x5 = O , dok se recimo x5 - x - = O ne može. O tome će više riječi biti u Odjeljku (vidi komentare o Galoisovoj teoriji). Valja spomenuti istaknute hrvatske matematičare Zvonimira Janka (profesora u Heidelbergu), poznatog po važnim radovima iz teorije konačnih grupa, te Dragana Miličića (SAD) i Marka Tadića (PMF, Zagreb) čiji se radovi odnose na tzv. teoriju reprezentacija grupa, koja je važna u fizici. Mnoštvo zanimljivih podataka iz povijesti matematike naći ćete u djelu "Matematički rječnik" Ivice Gusića (izd. Element, -

5

.

l

5

11.6

1995).

9. GRUPE

166

Neki primjeri konačnih Abelovih grupa. PRIMJER l . a) Grupa samo s jednim elementom zove se trivijalna grupa: To su npr. ({l}, ·) i ( {0}, +) , gdje · i + gledamo kao operacije nasli­ jeđene iz skupa realnih brojeva. b) Grupa ( {-l, 1}, ·) je reda dva. Skup {l, - l , i, -i} je grupa s obzirom na množenje kompleksnih brojeva, i njen red je četiri. e) Prethodni primjer je specijalni slučaj grupe C11 n -tih korijena iz jedinice s obzirom na množenje kompleksnih brojeva, i to za n = 2 i n = 4 . Njenih n elemenata su kompleksni brojevi zo, ZI, . . . , Z11 - 1 E C definirani sa

( {e}, ·) .

2kn 2kn Zk = COS n + l. SlO. n , k = 0, 1 , . . . , n - 1 . Oni čine vrhove pravilnog n -terokuta jedinične kružnice u kompleksnoj ravnini, i = l je jedinični element. Grupa n -tih korijena iz jedinice može se opisati i na drugi način. Označimo E := cos 2:: + i sin �� . Onda je po de Moivreovoj formuli Ek = cos 2kn + i sin 2kn dakle e11 = {l , E, E2 , . . . , E11- 1 } i vrijedi En = l . Inverz elementa Ek jednakje E11 -k jer je Ek E11 -k = En = l . Drugim riječima, (Ek) - 1 = E11 -k . lnverzni element od Ek je njemu konjugirano kompleksni broj Ek , jer je E k Ek = (Ee)k = l k = l (za sve kompleksne brojeve z na jediničnoj kružnici vrijedi zz = lzl 2 = l ). Prema tome inverz od Ek dobiva se geometrijski -

-

zo

ll

ll

'

jednostavno njegovim zrcaljenjem s obzirom na realnu os u Gaussovoj ravnini.

X

Sl. 9. 1.

n -ti korijeni iz jedinice.

� � � �

� �

� . . . , Cs � C 10 �

Očevidno je C1 Cz C4 Cs . . , C3 C6 C1 2 i komutativne. Czo . . . itd. Sve ove grupe su konačne U Odjeljku 9.9. definirat ćemo konačne grupe permutacija sve nekomutativne za n � 3 .

�

.

S11

reda

n! , koje su

9.2.

NEKI PRIMJERI GRUPA

167

Neki primjeri beskonačnih Abelovih grupa. PRIMJER 2. a) Iz srednje škole znamo neke skupove koji su aditivne grupe: Propozicija 3. 1 .4 nam zapravo kaže da svaka podgrupa aditivne grupe cijelih brojeva Z ima oblik nZ , n = O, l, 2, . . . . b) Skup an svih poredanih n -teraca realnih brojeva je grupa s obzirom na zbraja­ nje vektora (zbrajanje vektora se definira kao zbrajanje po komponentama). Očevidno je an � an+ 1 , jer an možemo shvatiti kao podskup od an+ 1 tako da element vektor (xi , . . . , Xn ) E an poistovjetimo (identificiramo) s vektorom (xi , . . . , Xn , O) E an+ l . e ) Skup svih kompleksnih brojeva na jediničnoj kružnici u e je grupa s obzirom na množenje. Označava se sa S 1 . Očevidno je e11 � S1 za svaki n E N . d) Bit će korisno da uvedemo oznaku Q* = Q \ {O} , i slično za a , e . Onda možemo navesti nekoliko grupa s obzirom na operaciju množenja brojeva: Q* � a* � e* . Grupa Q* sadrži multiplikativnu podgrupu {-l, l } . Isto tako je en � S1 � e* .

Z � Q � a � e.

PRIMJER 3. Neka je Q[ v'2] skup svih realnih brojeva oblika a + bVl gdje su koeficijenti a i b racionalni brojevi. Taj skup je aditivna Abelova grupa. Grupoidnost je jasna: za dva elementa uk = ak + bk v'2 E Q[ v'2J , k = l, 2 je + uz = (al + az) + (b l + bz)v'2 E Q (v'2] . Asocijativnostje naslijeđena iz aditivne grupe a . Nul-element je, razumije se, O = O + O VZ E Q[ v'2] , a suprotni element od a + bVl je -a - bVl = (-a) + ( -b) Vl E Q[ VZ] .

Ut

PRIMJEDBA l . Korisno je usput primijetiti da je skup Q[VZ] vektorski prostor nad poljem racionalnih brojeva. To znači da su koeficijenti s kojima množimo vektore iz Q [ VZ] racionalni brojevi (opću definiciju vektorskog prostora nad poljem a vidi u [Elezović] ; ista definicija se može dati ako umjesto polja skalara a imamo polje skalara Q , ili čak bilo koje drugo polje; opća definicija polja bit će dana u Odjeljku

10.3).

Doista, upravo smo provjerili da je Q [v'2] aditivna Abelova grupa, a ostala svoj­ stva vektorskog prostora su naslijeđena iz a : za sve koeficijente a, b E Q i vektore u, v E Q[VZ] vrijedi (a + b)u = au + bu, a(u + v) = au + av, (ab)u = a(bu) ,

lu = u .

Vektorski prostor Q[v'2] nad poljem Q je dvodimenzionalan jer npr. brojevi (vektori) l i v'2 čine njegovu bazu: a) l i vlz su linearno nezavisni: za koeficijente a, b E Q iz a · l + bVl = O slijedi a = b = O (u protivnom bi bilo v'2 = - � E Q , a znamo da v'2 nije racionalan broj). b) l i v'2 razapinju vektorski prostor Q[ VZ] po definiciji: svaki njegov element je oblika a · l + b Vl za neke a, b E Q .

PRIMJER 4. Promotrimo sada skup Q[ VZ]* : = Q[ VZ] \ {O} . Tvrdimct da je on multiplikativna grupa. Grupoidnostje lako provjeriti: za uk = ak + bk VZ E Q[VZ]* , k = l, 2 vrijedi u 1 u2 = (aiaz + 2btbz) + (ai bz +azbt ) VZ E Q[VZ]* . Asocijativnost množenja je naslijeđena iz a . Neutralni element je l = l + O · v'2 . Inverzni element

9. GRUPE

168 ·

od

a + b../2 je očevidno

1

l

1 "' , ali treba još provjeriti je li on u Q [../2]* :

a+bv 2

.

a - b../2 = a + -b h E Q [v'z] * . a + b../2 a + b../2 a - b../2 a2 - 2b2 a2 - 2b2 Pritom je a - b../2 i O , jer u suprotnom bi imali .Ji = E E Q , što je protuslovlje s =

činjenicom da je broj .Ji iracionalan. PRIMJEDBA 2. Na sličan način mogu se konstruirati aditivne Abelove grupe Q [ v'3] , Q[ VS] , pa i za bilo koji iracionalan broj a : Q [ a] (sve su to adi tivne pod­ grupe od R , ima ih dakle neprebrojivo mnogo), kao i multiplikativne Abelove grupe Q[vG]* , Q[vl5]* (multiplikativne podgrupe od R* ). Primijetite daje uz sličnu kons­ trukciju skup R[i] {a + bi : a, b E R} , i2 - l , jednak skupu kompleksnih brojeva C . Ako ga gledamo kao vektorski prostor s koeficijentima iz polja realnih brojeva, onda je on dvodimenzionalan (baza mu je npr. , i). PRIMJEDBA 3 . Moguće je definirati i aditivnu Abelovu grupu Q [ ../2, vG] = {a + b...;2 + cv'3 E R : a, b, e E Q} (koja je štoviše trodimenzionalan vektorski prostor nad poljem racionalnih brojeva). To je najmanja (s obzirom na inkluziju kao relaciju poretka) aditivna podgrupa od R koja sadrži skup Q i elemente .Ji i v'3 . Skup Q[...;2, VJ]* = Q[v'2, v'3] \ {O} nije grupa s obzirom na rnnoženje, jer nije ispunjeno svojstvo grupoidnosti: npr. ../2 · v'3 = v'6 Q[../2, v'3]* . =

=

l

fl.

Primjeri nekomutativnih beskonačnih grupa. Sve gore navedene grupe su komu­

tativne. Navedimo sada nekoliko nekomutativnih grupa. PRIMJER 5 . l) Skup svih regularnih (invertibilnih) kvadratnih matrica s realnim koeficijentima reda n � 2 je grupa s obzirom na rnnoženje matrica. Označava se sa GL(n, R) i zove se opća linearna grupa (GL dolazi od engl. general linear = opća li­ nearna). Neutralni element je jedinična matrica l . Svojstvo grupoidnosti je posljedak činjenice da je produkt regularnih matrica opet regularna matrica. To slijedi lagano iz Binet-Cauchyjeva teorema: detAB = detA · det B (vidi [Elezović]). Ta grupa je beskonačna i nekomutativna. Ona ima mnoštvo podgrupa. Navedimo neke: (a) grupa regularnih gornjih trokutastih matrica (grupoidnost slijedi iz činjenice daje produkt gornjih trokutastih matrica opet gornja trokutasta); (b) grupa matrica čija je determinanta jednaka , zove se specijalna linearna grupa i označava sa SL(n, R) ; grupa matrica čija je determinantajednaka l ili - l (svoj­ stvo grupoidnosti u oba slučaja slijedi neposredno iz Binet-Cauchyjeva teorema), ( e ) grupa ortogonalnih matrica (A je ortogonalna ako je AA T = A TA = l ) ; provje­ rimo grupoidnost: (AB)(AB) T = ABBTA T = AA T = l ). Ta se grupa označava sa O(n) . (d) grupa ortogonalnih matrica čija je determinanta jednaka l zove se specijalna ortogonalna grupa i označava sa SO( n) . (e) grupa dijagonalnih regularnih matrica (grupoidnost: produkt dijagonalnih matrica je opet dijagonalna matrica). Ova je grupa komutativna.

l

2) Neka je zadan skup X i neka je G skup svih bijekcija f : X --+ X . Taj skup je grupa s obzirom na kompoziciju funkcija kao binarnu operaciju, i zove se grupa

9.3. CIKLIČKE GRUPE

169

pennutacija skupa X. Elementi te grupe (bijekcije iz X na X ) zovu se permuta­ cije skupa X. Neutralni element je identična funkcija (ili identiteta) e : X � X, e(x) = x. Inverzni element bijekcije J E G je inverzna funkcija J- 1 : X � X, koja je također bijekcija, dakle J- 1 E G . Ta grupa je općenito nekomutativna, već kad je X tročlan skup (vidi Primjer 9.9.2). Za X = R i J(x ) = x3 , g(x) = x + l su J i g bijekcije (uvjerite se!), i J o g =f. g o J jer je (! o g)(x) = J(x + l) = (x + ) 3 , a (g o J) (x) = g(x3 ) = x3 + l . Ako je skup X beskonačan, onda je i pripadna grupa perrnutacija skupa X beskonačna. Ako je lXI = n , onda je J Gl = n! (vidi Teorem i za n � 3 grupa G je nekomutativna. Više o toj važnoj grupi vidi u Odjeljku 9.9.

1

6.2.1),

DEFINICIJA. U grupi (G, · ) uzmimo element a i promatrajmo skup {ak : k E Z} . Lako je provjeriti da je to podgrupa grupe G . Označavamo ju sa

(a> {ak : k E Z } . To je očevidno najmanja (s obzirom na inkluziju) podgrupa grupe G koja sadrži a kao svoj element. Podgrupu (a) zovemo podgrupom geneririranom (proizvedenom) elementom a . Element a zovemo generatorom te podgrupe. =

e.

DEFINICIJA. Neka je (G, ) grupa i a E G , a =f. Ako za neki prirodan broj n vrijedi an = e , onda najmanji takav n zovemo redom elementa a i označavamo sa n = JaJ . Ako je a reda n , onda je inverz elementa ak jednak a''-k , jer je ak aR-k = e : (ak ) -1 = an -k . ·

DEFINICIJA. Za grupu (G, ·) kažemo da je ciklička grupa ako postoji element

a E G takav da je G = (a) , tj. svaki x E G se može napisati u obliku potencije x = ak za neki k E Z : G = {ak : k E Z} . Element a zove se generator cikličke grupe G . Kažemo da je ciklička grupa G generirana elementom a . Ako je generator a konačnog reda n , onda je ciklička grupa reda n : G = {e, a, a2 , . . . , an - l } . Ako je ak =f. e za sve E N , onda je G beskonačna ciklička grupa: G = { . . . , a -2 , a - 1 , e, a, a2 , . } . Takva je npr. aditivna grupa cijelih brojeva Z , koja je generirana elementom l : z = { . . . ' -2, -l' o, l' 2, . . . } = (l> . Budući da elementi oblika uk i a1 , k, l E Z međusobno komutiraju, zaključujemo

k

da je svaka ciklička grupa komutativna.

.

. .

9.

170

GRUPE

PRIMJER l . Multiplikativna grupa C11 svih n -tih korijena iz jedinice je ciklička grupa: Cn = {l, e, ez, . . . , e11- 1 } . Generirana je elementom e = cos �� + i sin z:; . Za n = 2 dobijemo grupu C = {-l, l} , za n = 4 grupu C4 = {l, -l, i, -i} . z Prirnijetite da je grupa C4 generirana elementima i , ali i sa -i (oba su reda četiri), dok -l nije generator. PRIMJER 2. Vrlo je važna aditivna grupa ostataka pri dijeljenju sa n : Zn = {0, l, . . . , n - l } , sa binarnom operacijom definiranom kao zbrajanje po modulu n . Za a, b E Zn definiramo da je a + b jednak ostatku pri dijeljenju zbroja a + b (kao

kod cijelih brojeva) sa n . (i) Osobito je važna grupa Z2 koja ima samo dva elementa: O i l . U njoj je l l = O . Drugim riječima, l je generator te grupe, i to reda 2 . Isto tako vidimo da je suprotni element od l jednak l tj. -l = l .

+

,

x

y

x+y

o o

o l o

o

l l l

l l

+

ili

o

l

o

o o

l

l l

o

(ii) Grupa Z3 ima tri elementa: O, l, 2 . Njen generator je element l , koji je reda tri, jer je l + l = =f. O i l + l + l = O . Isto tako zbog l + = O vidimo da je -l = i = l . Grupa Z3 je generirana i sa 2 .

2

2 -2 2

+ o l

2

o o l

2

l l

2 o

22 o

l

Teorem 1. Neka je p prost broj. Skup

z; = {

1, 2, . . . , p - 1 }

je grupa s obzirom na binarnu operaciju množenja po modulu p . Umnožak elemenata a i b E z; definiramo kao ostatak dobiven kada se umnožak ab (izračunat na uobi­ čajen način u skupu N) podijeli sa p : a b = ab mod p . ·

DoKAZ. Označimo tu binarnu operaciju sa o samo za potrebe ovog dokaza, da bismo ju razlikovali od običnog množenja u skupu cijelih brojeva. (i) Najprije, ne može biti a o b = O (broj nula inače može biti jedan od mogućih ostataka pri dijeljenju sa p ), jer u ab ni a ni b nisu djeljivi sa prostim brojem p . Time je dokazana grupoidnost. (ii) Da bi dokazali asocijativnost, odaberimo a, b, e E Zp . Zbog a o b = ab (mod p ) i (a o b) o e := (a o b)e (mod p) je (a o b) o e := (a o b)e := (ab)e (mod p) . Na sličan načinje a o (bo e) = a(bc) (mod p) . Prema tome je (a o b) o e = a o (bo e) (mod p) , tj. broj r = l(a o b) o e - a o (b o c)l je djelj iv sa p . Kako je r kao razlika ostataka sadržan u skupu {0, l, . . , p - l } , među kojima je jedino O djeljiva s p , onda mora biti r = O , tj. (a o b) o c = a o (b o c) . (iii) Jedinični element jednak je l . ·

.

171

9.3. CIKLIČKE GRUPE

(iv) Dokažimo postojanje inverza za bilo koji a E z; . Kako je p prost broj, onda su a i p relativno prosti, tj. Nzm (a, p) = l . Prema Teoremu 3.2.4 onda postoje k, l E Z takvi da je l = ka + lp, tj. ka =: l (mod p) . Stavimo li /( = k mod p E z; , onda je i IĆa (mod p) ' tj. /( o a = l u grupi z; . Dakle a - 1 = /( .

=:

ka

=:

l

Q.E.D.

PRIMJEDBA l. Postojanje inverza za svaki element a E z; može se dokazati izravno, bez uporabe Teorema 3.2.4. Promatrajmo svih p - l produkata l o a, 2 o a, . . . (p - l) o a . Kad bi svi bili različiti od broja l , tj. sadržani u skupu {2, . . . , p - l } , onda bi po Dirichletovu principu (Teorem 6.7 . l ) barem dva bila međusobno jednaka:

i o a =j o a, za neke i < j, i, j E {l, . . . , p - l } . To znači da je ia = ja (mod p) , dotično p l (j - i)a . Budući da je p prost broj, on dijeli ili j - i ili a . Međutim broj p ne dijeli niti j - i > O Uer je j - i :::;; p - l ) niti a < p , što je protuslovlje. PRIMJEDBA 2. Jasno je da je Z� multiplikativna grupa jedino ako je prost broj. Npr. za Z6 je 2 · 3 = O rt Z6 . Za ilustraciju, tablica množenja u grupi Zj izgleda ovako (primijetite da je 2 · 2 = l , dakle 2 - 1 = 2 ):

n

Običaj je tablicu množenja u nekoj grupi (G, ) zvati Cayleyevom tablicom. ·

PRIMJER 3 . U dokazu prethodnog teorema je zapravo opisana i konstrukcija in­ verznog elementa a- 1 = /( . Provedimo to na primjeru grupe Zj7 = {l, 2, . . . , 36} . Broj p = 37 je prost. Nađimo 14 - 1 u toj grupi. Da bismo došli do prikaza ka+lp = l , gdje je a = 14 , provedimo Euklidov algoritam: ( l ) p = 2a + 9 (nakon dijeljenja p sa a ); (2) a = l · 9 + 5 (nakon dijeljenja a = 14 sa 9 ); (3) 9 = l · 5 + 4 (nakon dijeljenja 9 sa 5 ) ; (4) 5 = l · 4 + l (nakon dijeljenja 5 sa 4 ). Iz { l ) je 9 = p - 2a , pa uvrštavanjem u ( 2 ) dobivamo a = (p - 2a) + 5 . Zatim odavde izračunamo ostatak 5 i uvrstimo u (3), te na kraju iz (3) izračunamo ostatak 4 i uvrstimo u (4). Dobiva se Sa - 3p = l . Dakle Sa = l u grupi Z37 , tj.

a - 1 = 14- 1 = S.

Zadatak je moguće rješavati i tako da računamo redom sve produkte l · 14, l . Taj j e postupak općenito mnogo manje efikasan od primjene Euklidova algoritma. Vidi Teorem 12.3.4.

2 · 14 , . . . , 36 · 14 u Z37 , dok ne dobijemo

9. GRUPE

172

Pogledajmo točnije koji su to elementi konačne cikličke grupe koji generiraju ci­ jelu grupu. Podsjetimo se: grupu e11 čine svi n -ti korijeni iz jedinice. Ima ih ukupno n , i u Gaussovoj ravnini predstavljaju one kompleksne brojeve koji leže u vrhovima pravilnog n -terokuta upisanog u jediničnu kružnicu oko ishodišta: cos �n + i sin �n , k = O, l , . . . , n - l . DEFINICIJA. Svaki n -ti korijen iz jedinice koji je generator cikličke grupe e11 zove se primitivni n -ti korijen iz jedinice. PRIMJER l . Element E = cos �� + i sin z;: je primitivni n -ti korijen iz jedinice. Sljedeća propozicija opisuje točno koji još elementi cikličke grupe e11 mogu biti pri­ mitivni korijeni. Propozicija 1 . a) Element E k E e11 je primitivni n -ti korijen iz jedinice onda i samo onda ako su

n i k relativno prosti. Primitivnih korijena ima q>(n) , gdje je q>(n) Eulerova funkcija. b) Neka je n prost broj. Svi elementi iz e11 koji su =P l , su primitivni korijeni. DOKAZ. a) Prema Teoremu 3.2.4 je Nzm (k, n) = l onda i samo onda ako postoje a, f3 E Z takvi da je ak + f3n = l , tj. ak = l (mod n) . Ovo je ekvivalentno sa

� 1 . tj . � f: <�k > _ K.alcoje � generator od en . to onda znači daje (Ek ) = en . (�k ) a tj. Ek je također generator grupe e11 • =

Prirodnih brojeva k < n koji su relativno prosti sa n ima, kao što znamo, q>(n) (vidi Odjeljak 3.6). b) Ako je n prost broj, onda je svaki k = l, 2, . . . , n - l relativno prost sa n .

Q.E.D.

Iz propozicije zaključujemo na isti način sljedeće: •

Element k E Zn je generator aditivne grupe Z11 onda i samo onda ako su k i n relativno prosti. Ako je n prost broj, onda je svaki njegov element koji je =P O , ujedno i generator grupe Z11 •

PRIMJER 2. Vrijedi q>(20) = 8 jer su brojevi k = 1, 3, 7, 9, l l, 13, 17, 19 manji od 20 i relativno prosti sa 20 . Ti brojevi su generatori grupe z20 , i isto tako E k su primitivni korijeni iz jedinice u grupi e20 , E = cos �� + i sin �� .

Eulerova kongruencija. Eulerova funkcija pojavljuje se u znamenitoj Eulerovoj kon­ gruenciji koja je od velike važnosti u primjenama u teoriji brojeva. Za njen dokaz trebat će nam jednostavan pomoćni rezultat, koji je i sam za sebe zanimljiv.

173

9.4. PRIMITIVNI KORIJENI IZ JEDINICE, EULEROVA KONGRUENCIJA Lema 2. Neka je (X, ) bilo koji monoid (polugrupa s jedinicom podskup I (X ) svih invertibilnih elemenata u X grupa. ·

e).

Onda je

DOKAZ. Treba dokazati samo grupoidnost od !(X) , jer u monoidu vrijedi asocijativ­ nost i postoji neutralni element e . Ako su a, b /(X) onda je (ab) - I = b- I a -I Q.E.D. (dokaz je isti kao i u grupi, vidi Propoziciju 2), dakle ab /(X) . Sljedeći primjer pokazuje da skup svih generatora aditivne grupe Zn čini multi­ plikativno grupu s obzirom na množenje po modulu n .

E

E

PRIMJER 3 . Promatrajmo skup Zn = {0, l , 2, . . . , n - l} kao monoid s obzirom na množenje elemenata po modulu n ( 'zaboravimo' operaciju zbrajanja, koja također postoji na tom skupu). Onda je /(Z11) grupa s obzirom na množenje po modulu n . Ona sadrži elemente iz Zn koji su relativno prosti sa n (dokaz je isti kao u Propoziciji 1), pa je red te grupe cp( n) , tj.

I I(Zn )l = cp(n).

Multiplikativna grupa !( Zn ) općenito nije ciklička. Npr. J(Z2o) = {1, 3, 7, 9, ll, 13, 17, 19} . Ta grupa ima
8

·

=

·

4

8,

=

=

8.

Teorem 3. (Eulerova kongruencija) Za bilo koje relativno proste brojeve N vrijedi sljedeća kongruencija:

alf' (n) = l

a, n E

(mod n) .

DOKAZ. Označimo grupu !( Zn ) sa G . Ona ima cp(n ) elemenata. Stavimo r := a mod n. Zbog Nzm (a, n) = l je Nzm (r, n) l (vidi Propoziciju 3.2.1). Isto kao u dokazu Teorema 9.3.1 vidimo da postoji k! E Zn takav da je k!r = l (množenje po modulu n ) , dakle r je invertibilan: r E G . =

tj.

PremaLagrangeovu teoremu (vidi Teorem 9. 5 .3 niže) u grupi G vrijedi ,-�P(n) l , (mod n ) . Zbog a = r (mod n ) je onda i alf' (n) = rlf' (n ) = l {mod n ) . =

rlf' (n ) = l

Q.E.D.

PRIMJEDBA l . Elementaran dokaz Eulerove kongruencije vidi u Teoremu 3.6.3. Njezin specijalan slučaj je Mali Fermatov stavak (Korolar 3.6.4).

EN

PRIMJER 4. Ako su p i q različiti prosti brojevi i a Nzm (a, pq) = l (tj. a je relativno prost sa p i q ), onda zbog cp{pq) (p - l)(q - l ) iz Eulerove kongruencije slijedi

a(p- I ) (q- I) = l

takav da je

= cp(p)cp(q) =

(mod pq). Ovaj rezultat je od važnosti u kriptografiji (matematičkoj teoriji šifriranja).

9. GRUPE

174

Kao što smo rekli, za podskup H � G kažemo da je podgrupa grupe G ako je (H, . ) grupa s obzirom na operaciju naslijeđenu iz grupe G . U tom slučaju pišemo H � G . Naravno, svaka podgrupa sadrži jedinični element e grupe G . Svaka grupa G ima dvije trivijalne podgrupe: {e} � G i G � G . Za bilo koju drugu podgrupu od G kažemo da je netrivijalna. ·

PRIMJER l . (i) Primjeri podgrupa od e s obzirom na operaciju zbrajanja su:

{O} � Z � Q � R � e . Sama aditivna grupa Z ima bezbroj podgrupa: sve su oblika nZ (vidi Propoziciju 3.1.4) . (ii) Podgrupe multiplikativne grupe e* = e \ {O} su npr. {l} � {l, - l } � Q* � R* � e* . I grupa jedinične kružnice s 1 je podgrupa od e* . Prirnijetite da ima­ mo i multiplikativno grupu R+ = (0, oo) koja sadrži multiplikativno podgrupu Q� = R� n Q . (iii) Nekeod multiplikativnih podgrupa grupe GL(n, R) regularnih matrica tipa n x n s realnim koeficijentima su: {I} � SL(n, R) � GL(n, R) , zatim O(n) � GL(n, R) itd. (G, ) grupa i H neprazan podskup od G . H je podgrupa od G onda i samo onda ako za sve a, b E H ab- 1 E H . (ii) Presjek dviju ili više podgrupa od G je opet podgrupa od G . Propozicija 1 . Neka je

(i) Skup

·

vrijedi

DOKAZ. (i) Pretpostavimo da za sve a, b E H vrijedi ab- 1 E H . Ako je a E H , onda j e e = aa - 1 E H . Prema tome ako j e a E H onda je i a - 1 = ea- 1 E H . Asocijativnost množenja na H je naslijeđena iz G . Preostaje još provjeriti samo grupoidnost množenja na H : ako su a, b E H , onda je ab = a ( b- 1 ) - l E H . Dakle H � G . Obratan smjer je očevidan. (ii) Neka su H1 i Hz podgrupe od G . Onda za a, b E H1 nHz vrijedi ab- 1 E H 1 Q.E.D. i ab- I E Hz , dakle ab- I E H1 n Hz . ·

PRIMJEDBA l . Ako je G aditivna grupa s binarnom operacijom + , onda je neprazan skup H podgrupa od G onda i samo onda ako je zatvoren s obzirom na oduzimanje elemenata, tj. sve a, b E H vrijedi a - b E H .

Z su nZ = {nk : k E Z} , pri dobivamo trivijalne podgrupe, a za n � 2 netrivijalne.

Propozicija 2. Jedine podgrupe aditivne grupe

čemu je

n E No . Za n = O i l

DoKAZ. Prema prethodnoj propoziciji, neprazan podskup H aditivne grupe Z je pod­ grupa onda i samo onda ako je zatvoren s obzirom na oduzimanje elemenata. Tvrdnja Q.E.n. slijedi odmah iz Propozicije 3.1.4. Sljedeći važan rezultat kaže da je red podgrupe djelitelj reda konačne grupe.

9.5. PODGRUPE, LAGRANGEOV TEOREM

175

H � G i grupa G konačna. Onda je red podgrupe iHi djelitelj od iGi . (ii) Za svaki a E G je pripadni red iai djelitelj od iGi . (i)

Teorem 3. (Lagrange) Neka je

DoKAZ. Ideja dokaza je sljedeća. Konstruirat ćemo jednu relaciju ekvivalencije p na skupu G takvu da svi pripadni razredi ekvivalencije imaju isti broj elemenata, i to upravo iH i . Kako razredi ekvivalencije čine particiju (disjunktni rastav) skupa G, odavde će slijediti da j e broj elemenata grupe G jednak broju razreda pomnoženom s brojem iHi elemenata u svakom razredu, tj. red iGi je djeljiv sa iHi . Za dva elementa a, b E G reći ćemo da su u relaciji, tj. a p b, ako je ab- 1 E H , dotično ako postoji element h E H tako da je ab- 1 = h . (a) Relacija p je relacija ekvivalencije: (i) refleksivnost: za svaki a E G je a p a , jer je aa - 1 = e E H ; (ii) simetričnost: ako je a p b , tj. ab- 1 = h E H , onda je i ba - 1 = (ab- 1 ) - 1 = h - 1 E H , tj. b p a ; (iii) tranzitivnost: ako je a pb i b p e , tj . ab- 1 = h 1 E H i bc- 1 = hz E H , onda je i ac- 1 = (ab - 1 )(bc- 1 ) = h t hz E H . (b) Pogledajmo pripadne razrede ekvivalencije s obzirom na ovu relaciju. Da bi našli razred ekvivalencije koji sadrži a E G, primijetimo da je x p a ekvivalentno sa xa- l = h E H , tj. sa x = ha za za neki h E H . Prema tome je

[a] = {x E G : xp a} = {ha : h E H} =: Ha . Odavde je vidljivo da je [e] = He = H . Dokažimo da svaki razred [a] = Ha ima isti broj elemenata kao i H . Definirajmo funkciju j : H � Ha sa f(h) = ha . Ako pokažemo da je ova funkcija bij ekcija, onda će biti i Hi = i Hai za sve a E G . Da bi dokatali injektivnost, neka je f(ht) = j(hz) . Onda je hta = hza , pa skraćivanjem s a u grupi G dobivamo h 1 = hz . Surjektivnost je jasna, jer svaki element iz Ha je oblika ha = j( h) za neki h E H . G

Ha1

Ha3

Ha2 o

Sl. 9.2. Particija grupe

(e) Partitivni skup

G/p

e

H

G po podgrupi

H.

G ima oblik: GJp = {[a t ]. [az], . . . , [ak]} · tj. unija G = Ha 1 U Haz U . . . U Hak je disjunktna. Svaki od k razreda ekvivalencije ima točno iHi elemenata, dakle iGi = k · iHi , tj. broj iHi dijeli broj iGi . (ii) Ako je a E G i njegov red jednak m = iai , onda je ciklička podgrupa H =
9.

176

GRUPE

PRIMJEDBA 2. Značenje relacije ekvivalencije p u dokazu bit će jasnije pog­ ledamo li kako ona izgleda u slučaju aditivne grupe (G, +) . Umjesto ab- 1 imamo a - b , pa je ovdje a p b ako je a - b E H . Riječima, dva elementa iz aditivne grupe G su u relaciji ako im je razlika sadržana u podgrupi H . Ćesto se onda kaže da je "a kongruentan b modulo H" (tj. s obzirom na podgrupu H ). Razlog za to vidljiv j e iz sljedećeg, već poznatog primjera. PRIMJER dotično

2.

Ako gledamo grupu

Z

i njenu podgrupu svih višekratnika od

n,

H = nZ = { . . . , -2n, -n, O, n, 2n, . . . }, onda je uvjet a - b E H ekvivalentan sa n l a - b, tj. a je kongruentan b po modulu a b (mod ) Dakako, grupa Z je beskonačna, ali dobro ilustrira opću ideju.

n:

=

n.

Ova relacija bit će nam uskoro važna za definiranje tzv. kvocjentnih grupa po podgrupi.

Korolar 4. Akoje (G, · ) grupa prostog reda (tj. !Gl je prost broj), onda G ima samo trivijalne podgrupe {e} i G . Svaka grupa prostog reda je ciklička i generirana bilo kojim svojim elementom a ::j:. e . DOKAZ. Ako je = prost broj, onda on ima kao svoje djelitelje jedino i Prema Lagrangeovom teoremu red bilo koje podgrupe od može imati vrijednosti

!Gl p l ili p , pa je ili H = {e} ili H = G . Dakle grupa G = (a) j e ciklička.

l p. H G Ako je a ::j:. e onda vrijedi H = (a) = G.

Q.E.D.

PRIMJER 3 . Ako je p prost broj, p = 2, 3, 5, 7, l l, . . . , onda aditivna grupa Zp sa zbrajanjem po modulu p ima samo trivijalne podgrupe {O} i Zp . Aditivna grupa Z4 = {0, l , 2, 3} sa zbrajanjem modulo 4 posjeduje netrivijalnu podgrupu H = {O, 2} reda dva. U njoj je 2 + 2 = O , tj. -2 = 2 . � PoVIJESNA CRTICA � Lagrangeov teorem nosi naziv po francuskom matematičaru Josephu Lagrangeu ( 1736-1813).

DEFINICIJA. Neka je H podgrupa grupe G, i a bilo koji zadani element u G. Skup oblika aH = {ah E G : h E H} zove se lijevi susjedni razred od a , a skup Ha = {ha E G : h E H} desni susjedni razred od a . Zbog e E H oba razreda sadrže

a.

Teorem 1 . Skup svih desnih razreda po podgrupi H predstavlja particiju grupe Isto tako i skup lijevih razreda. Postoji prirodna bijekcija sa skup'a svih desnih razreda na skup svih lijevih. Posebno, ako je G konačna grupa, onda je broj desnih razreda jednak broju lijevih.

G.

DOKAZ. Dokaz je isti kao i za Lagrangeov teorem (Teorem 9.5.3). Lako se vidi daje Q.E.D. pridruživanje aH r-+ Ha bijekcija iz skupa lijevih na skup desnih razreda.

9.6. NORMALNE PODGRUPE, KVOCJENTNE GRUPE

177

DEFINICIJA. Neka je H � G . Ako za sve a E G vrijedi Ha = aH , tj. ako je svaki desni susjedni razred jednak odgovarajućem lijevom, onda se H zove normalna podgrupa grupe G . Pišemo H � G . Rabit ćemo oznaku

[a] = Ha.

Lako se provjeri da je presjek dviju (ili više) normalnih podgrupa opet normal­ na podgrupa. Svaka podgrupa Abelove grupe (G, +) je normalna podgrupa jer je

H + a = a + H.

G grupu Definirat ćemo množenje tih razreda (podskupova!) s obzirom na koje će skup svih razreda biti nova grupa, tzv. kvocjentna grupa. U toj grupi elementi su razredi. U sljedećem teoremu ćemo uz pomoć zadane normalne podgrupe od

G rastaviti na disjunktnu uniju podskupova (razreda).

sa

Teorem 2. Nekaje

H normalna podgrupa grupe G i a b � ab- l E H.

rv

relacija na

G definirana

rv

Kvocjentni skup Gj je grupa s obzirom na operaciju množenja razreda definiranu sa Ha · Hb = H(ab) , tj. ·

rv

[a] · [b] = [ab]. Dobivena grupa označava se sa G/H i zove se kvocjentna grupa grupe G po podgrupi H . Ako je grupa G Abelova, onda je i GfH Abelova. Ako je G konačna grupa, onda je l GfH = I GIJIH I .

l

DOKAZ. a) Treba najprije vidjeti da je množenje razreda dobro definirano, tj. neovi­ sno o izboru reprezentanata. Treba provjeriti da iz [a] = [a 1 ] i [b] = [b 1 ] slijedi [ab] = [a l bi] · Doista, zbog aa} 1 , bb} 1 E H postoje h, k E H takvi da je a = ha 1 i b = kb1 . Odavde je ab = h(a l k)b l . Zbog Ha 1 = a 1 H postoji t E H tako da je a 1 k = taJ . Prema tome je ab = (ht)a l bJ . Zbog ht E H slijedi da je ab a1b 1 , tj. rv

[ab] = [a i bi] .

G

[aj o

a

[b] o

b

[ ah j o

ah

H o

e

Sl. 9.3. Množenje elemenata (susjednih razreda)

u

kvocjentnoj grupi.

GfH slijedi iz ([a][b])[c] = [ab][c] = [(ab)c] = [a(bc)] = [a][bc] = [a]([b][c]) e ) Neutralni element je [e] = He = H . d) Inverzni element od [a] je [a- 1 ] , tj. [a] - 1 = [a- I]. Doista, [a] [a- 1 ] = [aa- 1 ] = [e] . Zadnja tvrdnja slijedi iz Lagrangeova teorema (Teo­ rem 9.5.3). Q.E.D. b) Asocijativnost množenja na

9. GRUPE

178

H je nonnalna podgrupa grupe G onda i samo onda ako (l) a- 1 Ha � H. Pritom je skup a - 1 Ha definiran kao {a - 1 ha E G : h E H} .

za

Propozicija 3. Grupa

sve

aEG

vrijedi

DoKAZ. Ako je H :::;! G , onda je aH = Ha , tj. a- 1 Ha = H. Obratno, ako vrijedi (l), onda množenjem s a slijeva dobivamo

Ha � aH

za sve a E G . Zamjenom a sa a - 1 dobivamo (a - 1 ) - 1 Ha- 1 Množenjem s a sdesna dobivamo obratnu inkluziju:

(2)

� H, tj. aHa -1 � H.

(3) aH � Ha. Q.E.D. Iz (2) i (3) slijedi aH = Ha za sve a E G, dotično H :::;! G . PRIMJER L U grupi (Z, +) uzmimo element n E N i prornatrajrno podgrupu (n) = nZ . Za a, b E Z vrijedi a - b E (n) onda i samo onda akoje a = b (mod n) . Prema torne kvocjentna grupa ima točno n elemenata: Zf(n) = {(0), [1), . . . , [n - 1)}, i zove se grupa razreda ostataka po modulu n .

Hornornorfizarn grupa predstavlja važno sredstvo s pomoću kojega možemo us­ poređivati različite grupe. DEFINICIJA. Neka su (G, ) i (H, ) dvije grupe. Preslikavanje J : G -t H zove se homomorfizam grupa ako za sve a, b E G vrijedi ·

(i) (ii)

Propozicija 1 .

·

J(ab) = J(a)J(b). Ako je J : G -t H homomortizam grupa, onda je

J( e) = e , J(a)- 1 = J(a- I ) .

J(e) = J(ee) = J(e)J(e) , pa množenjem sa J(e) - 1 (ii) Za svaki a E G vrijedi J(a- 1 )J(a) = J(aa - 1 ) = J(e) = e.

DOKAZ. (i) Vrijedi

J(e) = e.

dobivamo Q.E.D.

Propozicija 2. Neka je J : G -t H homomortizam grupa. (i) Skup kerJ := {a E G : J(a) = e} je nonnalna podgrupa grupe G . Zove se jezgra homomortizma J. (ii) Homomortizam J je injektivan onda i samo onda ako je ker J = {e} .

9.7. HOMOMORFIZMI I IZOMORFIZMI GRUPA

(iii) Slika f(A) := {!(a) E

H : a E G}

179

homomorflzma f je podgrupa grupe H .

DOKAZ. (i) Neka je e E K := kerf. Onda za bilo koji a E G vrijedi f(a - 1 ea) f(a)- 1 j(e)f(a) = f(a)- 1 j(a) = e , tj. a- 1 ea E K . Time smo dokazali da je a- 1 Ka � K , tj. K :::) G (vidi Propoziciju 9.6.3). (ii) Neka je f injektivni homomorfizam. Ako je f(a) = e onda zbog f(e) = e imamo j(a) = f(e) , pa slijedi a = e , tj. kerf = {e} . Obratno, neka je kerf = {e} . Ako je f(a) = f(b ) , onda je f(ab- 1 ) = f(a)f(b)- 1 = e , pa je ab- 1 = e , tj. a = b . (iii) Ako su x, y E f(A) , onda je x = j(a) i y = j( b) za neke a, b E G . Prema Q.E.D. tome je xy - 1 = f(a)f(b)- 1 = f(ab- 1 ) E f(A) . Sljedeća važna definicija omogućit će nam da poistovjetimo grupe koje se s obzi­ rom na svoje binarne operacije "ponašaju" na isti način. =

DEFINICIJA. Homomorfizam f : G ---+ H dviju grupa G i H zovemo izomor­ fizam grupa ako je f bijekcija. Kažemo da su grupe G i H izomorfne i pišemo

G � H.

Da bi dokazali da je f : G ---+ H izomorfizam, dovoljno je provjeriti da je J homomorfizam, ker f = {e} (injektivnost od J ) i smjektivnost. Grupe G i H koje su međusobno izomorfne, s motrišta teorije grupa se ne razliku­ ju, tj. možemo ih smatrati smatrati "jednakim". Poistovjećivanje vr5i upravo funkcija J: a) G i H imaju isti kardinalni broj ( ! je bijekcija); b) množenje u grupama G i H vrši se na potpuno isti način, dotično umnošku ab u grupi G odgovara umnožak f(a)f(b) u grupi H . Ako su dvije konačne grupe G i H izomorfne, onda su pripadne Cayleyeve tab­ lice množenja 'iste'. Točnije, umnošku ab u tablici množenja grupe G će odgovarati upravo umnožak f(a)f(b) u tablici množenja grupe H . PRIMJER l . Očevidno je Zz � Cz , pri čemu je Zz {O, l } aditivna grupa (sa zbrajanjem po modulu 2 ), a C = { - l , l } multiplikativna grupa. Izomorfizam f : Zz ---+ Cz je definiran sa f(O) = l , f(l ) = - l . =

Dakako, može se dogoditi da postoji i više različitih izomorfizarna između dvije zadane grupe. Propozicija 3. (i) Ako su J : G ---+ H i g : H ---+ K homomorflzmi (izomorflzmi) grupa, onda je i g o f : G ---+ K hmnomorflzam (izomorflzam). (ii) Ako je J izomorflzam, onda je i J- 1 izomorflzam.

DOKAZ. (i) Za svaki a, b E G je (g o f)(ab) = glf(ab)] = glf(a)f(b)] = g(! (a) ) . g(! (b)) = (g o f)(a) (g o j)(b) . Ako su J i g bijekcije, onda je i g o f bijekcija. (ii) Kako je f bijekcija, onda je i j- 1 : H ---+ G bijekcija. Treba pokazati da je j- 1 homomorfizam. Odaberimo x, y E H , i neka je a = f- 1 (x) i b = f- 1 (y) . Onda je f- 1 (xy) = f- 1 (/(a)f(b)) = J- 1 (/(ab)) = ab = J- 1 (x)f- 1 (y) . Q.E.D. ·

9. GRUPE

180

Propozicija 4. Relacija izomorfnosti među grupama je relacija ekvivalencije

među grupama.

DOKAZ. (i) Refleksivnost: G ::: G za bilo koju grupu G , jer je identiteta I : G --+ G , = x , traženi izomorfizam iz G u G . (ii) Simetričnost: ako je G ::: H , tj. postoji izomorfizam f : G --+ H , onda je prema prethodnoj propoziciji j- 1 : H --+ G također izomorfizam, tj. H ::: G . (iii) Tranzitivnost: ako su G ::: H i H ::: K, tj. postoje izmorfizrni f : G --+ H i Q.E.o. g : H --+ K, onda je i g o f : G --+ K izomorfizam, tj. G ::: K.

l(x)

PRIMJEDBA l . Ako je (G, ) ciklička grupa generirana nekim svojim elemen­ tom a , i f : G --+ H homomorfizam, onda je f u potpunosti određen samo svojom vrijednošću j(a) na generatoru a . Doista, svaki drugi element od G je oblika a11 za neki n E Z , pa je f(a'1 ) = f(a)" . Ako je f : G --+ H izomorfizam, onda je nužno i H ciklička grupa, generirana sa ·

J(a) .

PRIMJEDBA 2. Ako je f : G --+ H izomorfizam grupa i a E G element reda m , onda je j(a) također reda m u grupi H . Doista f(a) m = J(am ) = J(e) = e . Kad bi bilo f(a )11 = e za neki n , l < n < m , imali bi f(a" ) = e, tj. a'' = f- 1 (e) = e, što je nemoguće. Ako su grupe G i H izomorfne, onda su ili obje komutativne ili obje nekomuta­ tivne. PRIMJER 2. Grupe Z11 i C11 su međusobno izomorfne. Izomorfizam ostvaruje preslikavanje J : zli --+ Cn definirano sa !(l) = E ' gdje je l generator aditivne grupe Zn , a 8 je n -ti korijen iz jedinice oblika E = cos 2:; + i sin 2:; . Za k E Zn vrijedi f(k) = /(1 + . . . + l) = /( 1 ) . . . j(l) = Ek . Lako se vidi da ima ukupno qJ (n) različitih izomorfizama J : Zn --+ Cn , pri čemu je ({J(n) Eulerova funkcija. Dovoljno je definirati f( l ) = ei , j E {l, 2, . . . , n - l } , gdje je j relativno prost sa n .

•

PRIMJER 3. Podgrupa H = {0, 2} aditivne grupe Z4 = {0, l, 2, 3} (zbrajanje po modulu 4) je izomorfna grupi Zz = {0, l } (zbrajanje po modulu 2 ). Izomorfizam ostvaruje preslikavanje f : H --+ Zz definirano sa /(2) = l . U tom smislu je onda Zz ::: H � Z4 , pa možemo smatrati da je Zz podgrupa grupe Z4 .

Uvedimo još neke specijalne tipove homomorfizama. DEFINICIJA. Ako je f : G --+ H surjektivni homomorfizam grupa, onda kažemo da je f epimorfizam. Injektivni homomorfizam zove se monomorfizam. PRIMJEDBA 3. Ako je f : G --+ H monomorfizam, onda je grupa G oče­ vidno izomorfna s podgrupom j( G) grupe H (izomorfizam je 7 : G --+ j( G) , /(a) = j(a) ). Kažemo kraće da je s pomoću monomorfizrna f grupa G uložena kao podgrupa u grupu H : G ::: /(G) � H.

Monomorfizam

f zovemo ulaganje grupe G u grupu H .

PRIMJER 4 . Označimo sa Aut (G) skup svih izomorfizama f koji preslikavaju grupu G u samu sebe. Izomorfizme f : G --+ G zovemo automorfizmima. - Skup

9.7.

HOMOMORFIZMI I IZOMORFIZMI GRUPA

181

svih automorfizama od G je grupa s obzirom na kompoziciju kao binarnu operaciju. Doista, grupoidnost je jasna (kompozicija izomorfizama je izomorfizam), neutralni element je identiteta na G , inverzni element od j je j-1 Ta grupa zove se grupa automorfizama grupe G . Npr. Aut (Zn ) je grupa koja ima cp(n) elemenata. Naime, svaki automorfizam j je jednoznačno određen svojom vrijednošću na generatoru l . Stavljajući j( l) = k, gdje je k E Zn i Nzm (k, n) = l dobivamo izomorfizam jer je k također generator cikličke grupe (Zn , +) . Lako se provjeri da je pridruživanje k �---+ ik izomorfizam grupe /(Zn ) na grupu automorfizama Aut (Zn ) . Sljedeći teorem o izomorfizmu je od iznimne važnosti. Bit će nam od koristi u Poglavlju l l . •

Teorem 5. (Teorem o izomorfizmu) Neka je j : G -+ H epimorfizam. Onda su grop� Glker J i H izomorfne. Prirodni izomorfizam tih grupa ostvaruje preslikavanje J : Gfkerj -+ H, ]([a]) = f(a).

DOKAZ. a) Neka je K = kerj . Funkcija J je dobro definirana. Naime ako je [ai] = [az] , tj. a 1 i az su iz istog susjednog razreda, onda je a1 a2 1 E K, tj. f(at )f(az) - 1 = f(a ta2 1 ) = e . Dakle imamo f(at ) = !(az) b) Preslikavanje J je homomorfizam:

]([a][h]) = ]([ah]) = f(ah) = f(a)f(h) = ]([a])] ([h]). e) Injektivnost: akoje ]([a]) = e , dotično f(a) = e , ondaje a E K, tj. [a] = [e] .

d) Surjektivnost od J je očevidna jer j je po pretpostavci surjektivna funkcija.

Q.E.D.

PRIMJER 5 . Definirajmo homomorfizam aditivnih grupa f : Z � Zn sa j( l ) = l . Ako je x > O , onda je j(x) = j(l ) + . . . + /( 1 ) (imamo x pribroj­ nika) . Prema tome je f(x) jednak ostatku pri dijeljenju x sa n . Isto i za x < O . Znači j je epimorfizam. Očevidno iz j(x) = O slijedi da je x višekratnik od n , dotično kerj = nZ =: (n) . Odavde prema prethodnom teoremu zaključujemo da je

Zf(n) � Zn. Ova je tvrdnja zapravo očevidna jer znamo da je Zf(n) = {[0], [l], . . . [n - l]} , gdje je [k] = k + nZ . P RIMJER 6 . Ako je H normalna podgrupa grupe G , moguće je definirati kano­ nski epimorfizam p grupe G na kvocjentnu grupu GfH sa p : G -+ GfH , p(a) = [a]. Kako je [ah] = [a][h] , tj. p(ah ) = p(a)p(h) , funkcija p je doista homomorfizam. Jezgra tog homomorfizma je skup svih a E G za koje je p(a) = [e] , tj. [a] = [e] , tj. a = ae- 1 E H . Drugim riječima, ker p = H . Jasno je da je taj homomorfizam surjektivan, dotično epimorfizam. Npr. preslikavanje p : Z -+ Zfnz definirano sa p(a) = [a] = a + nZ je kanonski epimorfizam.

9. GRUPE

182 Još neki primjeri homomorfizama.

PRIMJER 7 . Funkcija sgn : R* -+ { - l , l } definirana sa sgn(x) = l za x > O i sgn(x) = - l za x < O je epimorfizam multiplikativnih grupa. Jezgra mu je R+ = (0, oo ) , pa je R*fR+ ::::= { - l , l } .

PRIMJER 8 . Funkcija f : C* -+ R+ definirana sa /(z) = Izl je epimorfizam multiplikativnih grupa, jer kao što znamo, vrijedi lz1z2l = lz1 l · lz2 l · Jezgra mu je jednaka S 1 (grupa jedinične kružnice u C ), pa je C*fsi ::::= R+ . PRIMJER 9 . Funkcija f : R -+ (0, oo) definirana sa f(x) = cr , gdje je a > 0 zadani realan broj, ima svojstvo cr+Y craY ' tj. f(x + y) f(x )f(y) . Drugim ri­ ječima, eksponencijalna funkcija je izomorfizam aditivne grupe R na multiplika. ivnu grupu R+ (0, oo ) . lnverzna funkcija f- 1 (x ) = loga x je također izomorfizam, i to iz multiplikativne grupe (O, oo) na aditivo u grupu R : loga(x y) = loga x + loga y . =

=

=

·

PRIMJER

lO .

Multiplikativna grupa

n je izomorfna sa (R*) n .

G svih regularnih dijagonalnih matrica reda

PRIMJER l l . Multiplikativna grupa S 1 jedinične kružnice u C je izomorfna sa grupom S0(2) svih kvadratnih matrica reda 2 , oblika

[

Doista, funkcija

J S1 :

-t

S0(2)

c?s q> - sin q> SlO (/) COS (/) definirana sa

].

f(eirp)

=

poznatih tUgonometrijskih identiteta homomorfizam:

f(eirp eiljf) = f(ei( rp+ ljl ) ) = =

[

[

C?S (/) - sin (/) SlO (/) COS (/)

c?s(q> + 1/f) - sin(q> + 1/1 ) sm(q> + 1/f) cos(q> + 1/1 )

c?s q> - sin q> � q> � q>

[ �]

[

][

c?S l/f - sio l/l � 1/1 � 1/1

]

]

je zbog

] = J(irp )f(eiljf).

f(eirp) = l = 6 slijedi q> = 2kn , tj. eirp = l . Surjektivnost je 2 očevidna. Grupa S0(2) je izomorfna s grupom rotacija ravnine R oko ishodišta. PRIMJER 12. Može se pokazati da je specijalna ortogonalna grupa S0(3) , koja sadrži sve matrice reda 3 takve da je AA T = l i detA = l , izomorfna s grupom svih Injektivnost: iz

rotacija prostora R3 oko osi koje prolaze kroz ishodište. Npr. rotaciji oko osi z za kut q> odgovara matrica A E S0(3) definirana sa: cos q> - sin q> O A = sin q> cos q> O . o l o

[

]

PRIMJER 13. Funkcija det : GL(n, R) -+ R* je epimorfizam multiplikativnih grupa. Ona je homomorfizam jer po Binet - Cauchyjevu teoremu je det(AB) = det(A) det(B) , vidi (Elezović] . Surjektivnost slijedi iz činjenice da za svaki realan broj x :j:. O vrijedi da dijagonalna matrica s elementima x, 1 , . . . , l na dijagonali, ima

9.8.

KARTEZIJEV PRODUKT GRUPA

183

determinantu jednaku x . Kako je kerf = SL(n, R) za f(A) := det A , prema teoremu o izomorfizmu dobivamo da je

GL(n, R)fSL(n, R) R*. GL(n, R)fSL(n, R) R* ovih grupa :=

Izomorfizam J }( [A] ) = det A .

-t

ostvaruje preslikavanje

PRIMJER 14. Na kraju jedan 'neobičan' primjer. Neka je (B, +, ·, -, o, l ) Boo­ leova algebra. Onda su (B, +) i (B, · ) Abelove grupe. One su međusobno izomorfne: izomorfizam ostvaruje funkcija komplementiranja f : (B, +) -t (B, · ) , f(x) = x . Naime ona je homomorfizam, jer f(x + y ) = f(x) f(y) je isto što i x + y = x · (DeMorganovo pravilo!). Injektivnost je jasna: ako je f(x) = x = l , onda je x = O . Surjektivnost slijedi iz involutivnosti: za svaki x je f(x) = f = x .

y

·

DEFINICIJA. Neka su (G, ·) i (H, · ) dvije grupe. Kartezijev produkt grupa sadrži sve poredane dvojce (g, h) takve da je g E G i h E H . Množenje dvojaca definirano je na prirodan način, kao množenje po komponentama: (gi, h 1 ) · (gz, hz) = (gigz, h 1 hz). Lako je provjeriti da je G x H grupa: jedinični element je (e 1 , ez) , a inverz od (g, h) je (g, h) - 1 = (g - 1 , h - 1 ) . Na sličan način definira se Kartezijev produkt većeg broja grupa. Jasno je da je Kartezijev produkt Abelovih grupa opet Abelova grupa.

(G x H, ·)

PRIMJER

l.

Grupa

z2

X

z2

ima četiri elementa o

:=

(O, O) .

a

: = (O. l ) .

b := ( l , O) , e := ( l , l) . Binarna operacija na Zz je zbrajanje, dakle i na Kartezijevu produktu. Zove se Kleinova grupa. Npr. a + b = (O, l ) + (l, O) = ( l , l ) = e itd.

Cayleyeva tablica zbrajanja u Kleinovoj grupi izgleda ovako (provjerite):

O a b e O O a b e a a O e b b b e O a e e b a O

+

Kleinova grupa Zz x Zz sa zbrajanjem dvojaca kao binarnom operacijom, ima dvočlanu podgrupu generiranu elementom a = (0, l ) : a + a = O . Podgrupa {0, a } je očevidno izomorfna sa Zz , pa možemo reći da je Zz podgrupa Kleinove grupe. Kleinova grupa nije izomorfna sa Z4 , mada imaju isti broj elemenata. Naime izomorfizam grupa čuva red elementa, a niti koji element =l- O u Kleinovoj grupi nije reda četiri: svi su reda 2 . P RIMJER 2 . S pomoću Kartezijeva produkta možemo dobiti bezbroj novih grupa:

Zz X Zs X Zn ' z X Z, Rn ' s1 X GL(2, R) . . . s uobičajenim binarnim operacijama. G

PRIMJEDBA l . U Cayleyevoj tablici (tablici množenja) bilo koje konačne grupe se u svakom retku i stupcu tablice nalaze svi elementi grupe, tj. u svakom retku i

9. GRUPE

184

svakom stupcu su svi elementi međusobno različiti. To je posljedak bijektivnosti funk­ cije x t-t ax množenja elemenata x E G sa zadanim a E G . Injektivnost vrijedi jer iz ax = by slijedi x = y , a surjektivnost vrijedi jer za svaki y E G je y = a( a- 1 y) . Ćitatelj pri prvom čitanju može preostali dio ovog odjeljka preskočiti. DEFINICIJA. U aditivnoj Abelovoj grupi (G, +) može se uvesti i pojam direktne sume podgrupa A i B , koji je analogon Kartezijeva produkta. Pišemo G = A EĐ B ako su A i B podgrupe od G te ako je (i) G = A + B , pri čemu definiramo A + B := {a + b E G : a E A A b E B} ; (ii) A n B = Kažemo da je grupa G prikazana kao direktna suma svojih podgrupa A i B . Vrlo je lako vidjeti da je rastav bilo kojeg elementa x E G u obliku x = a + b jedincat. Naime, ako imamo još jedan rastav x = a 1 + b 1 , onda iz a + b = a1 + b 1 slijedi a - a 1 = b 1 - b E A n B = { } , dakle a = a 1 i b = b 1 . Stoga je

{O}.

O

X

A EĐ B :::::: A B,

gdje izomorfizam ovih dviju grupa ostvaruje preslikavanje a + b t-t (a, b) , u što se mo!ete lako sami uvjeriti. Time je uspostavljena jasna veza između direktne sume i Kartezijeva (ili direktnog) produkta. PRIMJEDBA 2. Razumije se, isti zaključak o jednoznačnom rastavu imamo i u slučaju Abelove grupe G u kojoj je binarna operacija zadana kao množenje. U (i) i (ii) treba samo + zamijeniti sa · , te a - a 1 sa aa} 1 . Ako su A i B podgrupe multiplikativne Abelove grupe G , onda uz pretpostavke (i) G = AB i (ii) A n B = {e} vrijedi da je

AB � A x B .

P RIMJEDBA 3 . U literaturi se često i sam Kartezijev produkt aditivnih Abelovih grupa G x H označava kao direktna suma G EĐ H . Razlog je sljedeći. Za bilo koje dvije aditivne Abelove grupe G i H je G x H = (G x {0}) EĐ ( { 0} x H) Naime svaki element (x, y) iz G x H ima jedincat rastav (x, y) = (x, ) + (0, y) . Bu­ dući daje G x { } :::::: G , s prirodnim izomorfizmom (x, t-t x , i slično {O} x H � H , onda možemo gornju jednakost shvatiti kao G x H = G EĐ H , uz očevidno poistovje­ ćivanje grupe G sa G x {O} i H sa {O} x H .

O

O)

O

P RIMJER 3 . Multiplikativna Abelova grupa l(Zzo) = {l, 3, 7, 9, l l, 13, 17, 19} s množenjem po modulu n = 20 irna nekoliko Abelovih podgrupa, koje smo vidjeli u Primjeru 9.4.5. Neke od njih su <3) = {1, 3, 7, 9} � Z4 , <J l) = {1, l l } � Zz i <19) = {l , 19} � Zz . Presjek svake dvije od navedene tri podgrupe grupe /(Zzo) je trivijalan, dotično {l} . Kako je npr. O) ·
l(Zzo) � z4 X Zz.

/(Zzo) sadrži i Kleinovu grupu kao svoju podgrupu: {l, l l } · {l, 19} = {l, 9, l l, 19} :::::: Zz x Zz . PRIMJEDBA 4. Svaka konačna ciklička grupa Zn je izomorfna Kartezijevu pro­ duktu Z a1 x . . . x Z ak , gdje je n = pf1 . . p�k rastav broja n na proste faktore. Ta Pt Pk će tvrdnja biti dokazana u Teoremu 10.4.5. Primijetite da grupa

.

9.9. SIMETRIČNE GRUPE (GRUPE PERMUTACIJA) PRIMJER 4. Preslikavanje J : morfizam grupa. Iz f(x) = e2nxi = tj. x E Z . Dakle ker f = Z , pa je

pravca na kružnicu.

185

(S1 , ) zadano sa f(x ) = e2nxi je epi­ l slijedi da postoji E Z tako da je x = Rjz :::: S1 Preslikavanje f zove se

(R, +)

---t

·

2n 2kn, namatanje

k

•

g

Na sličan način je preslikavanje : (R x R, +) ---t (S 1 x S1 , · ) zadano sa f(x, y) = ( e2nxi, e21C)'i ) epimorfizam produktnih grupa s jezgrom Z x Z , pa je R X Rjz X z :::: S 1 X S1 . Grupa S 1 X S 1 zove se Ona se geome­ trijski poistovjećuje s automobilskom zračnicom.

grupa torusa. � POV IJESNA CRTI CA � Felix Klein (1849- 1925), istaknuti njemački matematičar, poznat po Kleinovoj grupi i Kleinovoj boci, imao je velik utjecaj na razvoj modeme geometrije.

n

2, . . .. , ,n}.n}

DEFINICIJA. Neka je zadan skup od elemenata { l, Permutacijom (premjestbom) tog skupa zovemo bilo koju bijekciju f : {l, . . ---t {l, . . Skup svih permutacija -članog skupa označavamo sa S,1 Običaj je da se razdioba vrijednosti permutacije zapisuje sažeto u obliku tablice:

n

.

•

J=

, n} .

( /(1l ) /(2)2 .. .. .. f(nn ) ) ·

2, 3} ima ukupno 3 ! = 6 permutacija: h = ( 11 22 33 ) ' h = ( 1 2 3 ) h = ( 1 2 3 ) /4 = (� ; i) , /s = ( � i � ) , !6 = ( � � i) · Primijetite da je permutacija h identiteta (oznaka id). Razumije se, umjesto permu­ tacija skupa {l, 2, . . . , n} mogli smo gledati permutacije bilo kojeg n -članog skupa } permutacija uvodimo operaciju množenja kao kompoziciju permu­ . . . , ansvih {ai . az,Na skupu PRIMJER l . Tročlani skup

{l,

1 3 2

'

2 1 3

'

.

tacija, tj. fg ima značenje f o g : funkcija.

(fg)(x) = f[g(x)] . Inverz od f je zapravo inverzna

n n!,

DEFINICIJA. Skup Sn svih permutacija -članog skupa je grupa s obzirom na kompoziciju permutacija kao binarnu operaciju. Grupu Sn zovemo simetričnom gru- . pom ili grupom permutacija. Ona je reda tj. sadrži elemenata (vidi Teorem Jedinični element u Sn je identiteta.

6.2.1).

n!

PRIMJER 2 . Uzmimo fs i

j6 iz prethodnog primjera. Onda je =A fs/6 = � i � · � � Npr. (/s/6 )(1) = fs lf6 (1 ) ] = /s ( 3 ) = itd. Na sličan način možete se uvjeriti da je /6/S = h , dakle /s/6 i= !6!5 . Prema tome simetrična grupa S3 , koja ima

( ) ( i ) = (� i � ) 2

6

9. GRUPE

186

elemenata, nije komutativna. To je ujedno i grupa najmanjeg mogućeg reda koja je nekomutativna. Neutralni element je (identiteta). Inverz elementa /s računamo postupno, tako da jednostavno zarnijenimo retke:

ft fs- 1 = ( � I � ) - I = (i � �) = ( � � i) = 14· Drugim riječima, vrijedi /s · /4 = /4 · !s = ft . Isto tako, lako se vidi daje h · h = ft , tj. permutacija h je involutivna (sama sebi inverz: fz- l = h ). Prepuštamo vam da sami popunite Cayleyevu tablicu množenja za grupu (za to će vam trebati olovka i S3

papir):

!I h h /4 !s 16

fi fi h

h /4 !s 16

h h !I

h !3

!4 /4

!s !s

!6 !6

ft fth

h

Nekomutativnost grupe s3 očituje se u tome da Cayleyeva tablica množenja nije si­ metrična s obzirom na glavnu dijagonalu. Iz tablice množenja vidimo da je podskup h od S3 zapravo podgrupa, i to izomorfna sa Zz . Lako se vidi da je grupa S1 (grupa permutacija jednočlanog skupa izo­ morfna s jednočlanom grupom . Grupa Sz (grupa permutacija dvočlanog skupa { l , 2} ) je izomorfna sa Zz = {0, l } .

{!I , }

{l})

{e}

Množenje fg permutacija f i g se u literaturi često sprovodi na obrnut način, tj. tako da na x naprije djeluje f , a zatim g . Djelovanje funkcije f na x će se uz takav dogovor označavati sa xf, a ne f(x) . Umjesto g(f(x)) pisat će se xfg . Takvom označavanju mnogi autori daju prednost iz očevidnih razloga: kraće je i prirodnije (najprije uzimamo element x pa tek onda na njega djelujemo s funkcijom f ) . Npr. uz takvo množenje imali bi !s/6

=

( � i i) · ( � � i ) = ( � � i) = h

·

U literaturi je zato uvijek potrebno provjeriti na koji način je autor uveo množenje permutacija Kod nas će množenje biti kompozicija funkcija u tradicionalnom smislu.

Sljedeći teorem pokazuje da se proučavanje svake grupe može svesti na prouča­ vanje simetrične grupe, tj. grupe permutacija.

n je izomorfna nekoj DOKAZ. Korak A. Neka je G = {ai. . . . , a11 }. Svakom elementu a E G možemo pridružiti permutaciju skupa G : a 1 az . . . fa = ( aal aa . . ) z To je doista permutacija skupa G jer je funkcija fa G --+ G definirana sa !a (x) = ax bijekcija: (i) injektivnost: iz fa(x) = fa (Y) slijedi ax = ay, pa množenjem s a -I slijeva dobivamo x = y . Teorem 1 . (Cayley) Svaka konačna grupa (G, · ) reda podgrupi grupe permutacija Sn .

.

.

:

9.9. SIMETRIČNE GRUPE (GRUPE PERMUTACIJA)

187

{ ii) surjektivnost: za svaki zadani y E G je relacija ax = y ispunjena sa x = a- 1 y , tj. fa (x) = ax = y . Korak B. Prirodno je gledati preslikavanje F : G � Sn, F(a) = fa· Dokažimo da je F monomorfizam grupa: a) F je homomorfizam, tj. vrijedi F(ab) = F(a) o F(b) . Budući da su lijevo i desno funkcije, da bi tu jednakost dokazali treba gledati njihove vrijednost na bilo kojem x E G i vidjeti da su one jednake: [F(ab)] (x) = !ab (x) = (ab)x = a(bx) = !a (bx) = fa{fb (x)) = Ua o !b )(x) = [F(a) o F(b)] (x). b) Za injektivnost homomorfizma F dovoljno je vidjeti da iz F(a) = I Qedinični element u Sn je identiteta I ) slijedi a = e , vidi Propoziciju 9.7.2(ii). Doista, iz F (a) = I slijedi [F(a)] (x) = I(x) = x za sve x E G , tj. fa (x) = x , tj. ax = x . Nakon množenja sa x- 1 sdesna dobivamo a = e . Korak C. Kako je F : G � Sn monomorfizam grupa, onda je grupa G izomorfna Q.E.D. sa slikom F(G) , koja je podgrupa od Sn (Propozicija 9.7.2(iii)).

PRIMJEDBA l . Tvrdnja prethodnog teorema vrijedi i za beskonačne grupe: svaka beskonačna grupa G je izomorfna nekoj podgrupi grupe permutacije skupa G . Dokaz je gotovo isti kao gore. DEFINICIJA. Permutacija skupa S = { l, 2, . . . , n} u kojoj za elemente { b 1 , . . . , bk} � S vrijedi b 1 �----+ hz, hz �----+ b3, . . . , bk- I �----+ bk, bk �----+ b t. i x x za sve ostale x E S , zove se ciklus ( k -ciklus ili kružna permutacija). Ciklus označavamo sa (bi , hz, . . . , bk). Specijalan slučaj je l -ciklus (b) koji je zapravo idenititeta, tj. x �----+ x za sve x E S .

�----+

PRIMJER

3.

Ciklus

( 1, 2) E S3

treba shvatiti kao permutaciju

( l , 2) = Ciklus (3) označava identitetu: (3) =

(� i �)

o

( � � � ) = id.

Očevidno je (a 1 , az, . . . , ak )- 1 = (ak, . . . , az, a i ) . Ne zaboravimo, ovdje in­ vertiranje shvaćamo kao nalaženje inverzne funkcije. Shvaćajući potenciranje kao k -struku kompoziciju iste funkcije, očevidno je (a1 , az, . . . , ak )k = id, tj. ciklus (a 1 , az, . . . , ak) je permutacija reda k . Broj k zovemo duljinom ciklusa. Svaka permutacija može se na jednoznačan način (do na poredak ciklusa) prika­ zati kao produkt disjunktnih ciklusa. Nije teško vidjeti da je red bilo koje permuta��je jednak najmanjem zajedničkom višekratniku duljina svih njegovih ciklusa. Npr. vnJe­ di

( � i � : � � �)

= { l , 2)o (3) o (4 , 6, 5) o (7) = { l, 2) o (4 , 6, 5) = (4, 6, 5 ) o ( l , 2),

9. GRUPE

188

6

i ta je permutacija reda Nzm ( 3, 2) = Za cikluse J = (a l > . . . , ak ) i g = (b t . . . . , bt) kažemo da su disjunktni ako su odgovarajući skupovi {a t , . . . , ak } i {bt, . . . , bt} disjunktni. U tom je slučaju očevidno Jg = gJ . PRIMJE.R 4 . Za n � 3 grupa Sn je neabelova (nekomutativna) . Doista, pogle­ J-

(

Jg -

(

dajmo permutacije

Onda je Jg =P gJ :

1 2 3 ...

l 3 2 ..

.

1 2 3 ... 2 3 1 ...

),

g-

),

gJ -

(

1 2 3 ... 3 2 1 ...

(

).

1 2 3 ... 3 1 2 ...

)

.

Činjenica da je Sn nekomutativna za n � 3 može se vidjeti i ovako. Grupa S3 može se gledati kao podgrupa grupe Sn . Doista, permutaciji J E S3 , koja je definirana na skupu { l , 2, 3} možemo injektivno pridružiti permutaciju ) E Sn takvu da je

)(x) = f(x) za x = 1, 2, 3 , )(x ) = x za x � 4 : A J

=

(

l 2 3 4 5 ... j( l ) /( 2 ) /(3) 4 5 . . .

)

.

Grupa )(S3 ) je podgrupa od Sn koja je izomorfna sa nekomutativnom grupom S3 . Drugim riječima, grupu S3 možemo poistovjetiti sa podgrupom )(S3) od Sn . Kako je S3 nekomutativna podgrupa od Sn , onda je i Sn je nekomutativna. Iz ove male diskusije vidimo da uz odgovarajuće poistovjećivanje imamo slijed podgrupa, koje :su počevši od S3 sve nekomutativne: Sz � S3 � . . . � Sn � . . . DEFINICIJA. Permutacija koja je 2 -ciklus zove se transpozicija. Transpozici­ ja (zamjena) je permutacija koja samo zamijeni položaj dvaju elemenata n -članog skupa, a ostale ostavlja na miru . Očevidno je (ai, az) z = (at, az)(at, az) = id, tj. (at , az) - 1 = (at , az) . Transpozicija je involutivna funkcija, tj. jednaka svom inverzu. Npr. u S3 imamo tri transpozicije: ( l , 2) , ( 1 , 3) , ( 2, 3) . To su permutacije !J , J6 i h u prijašnjim oznakama. Propozicija 2. Svaka permutacija iz grupe transpozicija, ne nužno disjunktnih.

Sn

može se prikazati kao produkt

DoKAZ. Nije teško vidjeti da se svaka permutacija može se napisati kao produkt di­ sjunktnih ciklusa. Prema tome dovoljno je vidjeti da je svaki ciklus moguće napisati kao produkt (kompoziciju) 2 -ciklusa:

(at , az, . . . , ak ) = (at, az)(az , a3 ) . . . (ak- t , ak ) · Q.E.D.

Ista permutacija se može na mnogo načina prikazati kao produkt transpozicija. Npr. ( l , 2, 3 , 4) = ( 1 , 2) ( 2, 3) ( 3 , 4) , ( l , 2, 3 , 4) = (1, 4) ( 1 , 3) ( 1 , 2) ( 1 , 2, 3 , 4) = ( l , 4)( 1 , 3) ( 2, 4) (4, 2) ( 1 , 2) itd. Može se dokazati sljedeće važno svojstvo permuta­ cija:

9. 10. GRUPE SIMETRIJA

189

•

Ako je neka permutacija prikazana kao produkt parnog broja transpozicija, onda se ona ne može dobiti kao produkt neparnog broja transpozicija. Isto vrijedi i za obratan paritet. Prema tome ima smisla sljedeća definicija. DEFINICIJA . Za permutaciju f E Sn kažemo da je parna permutacija ako se može dobiti kao produkt (kompozicija) parnog broja transpozicija. Ako se f može dobiti kao produkt neparnog broja transpozicija, onda kažemo da je f neparna permu­ tacija. Teorem 3. (i) Skup svih parnih permutacija f E Sn je podgrupa simetrične grupe Sn . Označava se sa An i zove se alternirajuća grupa stupnja n . (ii) Njen redjednak . zn l '. . je

DOKAZ. (i) Ako su /, g E A n , onda permutacija fg također ima paran broj tran­ spozicija, tj. fg E A n (grupoidnost). Neutralni element je identiteta id na skupu { 1 , 2, . . . , n} . Ona je parna permutacija, jer je npr. ( 1 ) = ( 1 , 2)( 1 , 2) . Neka je f = (a r , az)(a3 , a4 ) . . . (ak- r ak ) E An . Onda je, vidi Propoziciju 9.2. 1 (a), /- 1 = [(a r , az)(a3 , a4) . . . (ak- l ak)t 1 - (ak- l , ak) - r . . . ( a3, a4 )- r ca., az ) - r = (ak- h ak ) . . . (a3 , a4 )(ar , az) E An . (ii) Dovoljno je dokazati da postoji bijekcija q> : An --+ Sn \ An sa skupa parnih na skup neparnih permutacija. Definirajmo q>(!) = f . ( 1 , 2). Ta funkcija je dobro definirana, jer je broj transpozicija u f · (1, 2) neparan. Ona je injektivna, jer iz q>(!) = q>(g) , tj. iz f · (1, 2) = g · (1, 2) , slijedi nakon množenja sa transpozicijom (l, 2) (sdesna) da je f = g . Surjektivnost je također jasna: za bilo koji h E Sn \ An je J := h · ( 1 , 2) E An i Q.E.o. vrijedi q>(!) = h · ( 1 , 2)( 1 , 2) = h . _

Slično kao što s pomoću realnih brojeva možemo mjeriti površinu skupova u rav­ nini, tako i s pomoću grupe možemo "mjeriti" simetričnost nekog skupa u ravnini (ili u prostoru). To se provodi tako da skupu pridružimo odgovarajuću grupu simetrije, koju ćemo definirati niže (ne miješati sa pojmom simetrične grupe!). Najprije definiramo jedan pojam koji vodi na opis grupe simetrije cijele ravni­ ne R2 . DEFINICIJA. lzometrija (ili gibanje) ravnine RZ je bilo koja bijekcija f : }tl --+ R2 koja čuva udaljenost među točkama, tj. za svaki x, y E R2 je ispunjeno svojstvo izometričnosti:

d(/(x), /(y)) = d(x, y).

9. GRUPE

190

Pritom d(x, y) označava udaljenost od točke x do y . Budući da je svaka izometrija ujedno bijekcija, ona je i permutacija skupa Rz (ravnine). PRIMJEDBA 1 . Svaka izometrija ima i svojstvo neprekinutosti: ako Xn -+ x u ravnini Rz , onda d(J(xn ), /(x)) = d(x11, x) -+ O kad n -+ oo , tj. f(xn ) -+ f(x) ·

PRIMJER l . U ravnini imamo tri osnovne vrste izometrija: (i) rotacija J : Rz -+ Rz za kut a oko neke točke O ; (ii) translacija bilo koje točke u ravnini Rz za vektor b ; (iii) zrcaljenje s obzirom na zadani pravac u ravnini. Može se dokazati da se svaka izometrija (gibanje) ravnine može dobiti kao kom­ pozicija navedena tri tipa izometrija. Teorem 1. Skup G(Rz ) svih izometrija ravnineje grupa s obzirom na kompozi­ ciju funkcija kao binarnu operaciju.

DoKAZ. a) Da bi dokazali grupoidnost ove strukture, uzmimo dvije izometrije G(R2) i pokažirno da je fg

f:=

bijekcija, a izometričnost slijedi iz:

d ( (fg)(x), (fg)(y)) za sve x, y E Rz .

=

j, g E

G(RZ) . Doista, fg je kao kompozicija bijekcija

d (J(g(x)), f(g(y)))

=

d (g(x), g(y))

opet

= d(x, y),

b) Asocijativnost kompozicije vrijedi za funkcije i općenito. e) Neutralni element je identiteta na Rz , koja je očevidno izometrija. d) Inverzni element izmetrije J je inverzna funkcija j- 1 . Ona je također izome­ trija, jer inverzna funkcija bijekcije je opet bijekcija, a svojstvo izometričnosti za j- 1 je ispunjeno. Stavimo li naime x' = j- 1 (x ) i y' = j- 1 (y ) , vrijedi

d (J- 1 (x), J- 1 (y))

=

d(x', y') = d (J(x'), J(y')) = d(x, y ). Q.E.D.

Grupa G(RZ ) nije konačna: postoji bezbroj rotacija oko točke O , translacija, i

simetrija ravnine. To su tri beskonačne podgrupe grupe izometrija. Grupa izometrija nije komutativna. Npr. ako je j rotacija ravnine oko ishodišta za kut n ( 1 80° ), i g translacija za vektor r, onda za x = (0, l ) imamo g(J(x)) = g( -x) = O , ali f(g(x )) = !( 2x) = 2x tj. fg -# gf (nacrtajte sliku). Sada bismo svakom podskupu A ravnine Rz htjeli pridružiti 'mjeru ' za njenu simetričnost (grupu simetrija) . -

,

DEFINICIJA. Neka je A bilo koji podskup od Rz . Skup svih izometrija J : Rz -+ Rz koje prevode skup A na samog sebe, dotično f(A) = A , zove se grupa simetrija skupa A . Vrlo lako se provjeri da je taj skup doista grupa s obzirom na kompoziciju izometrija kao binarnu operaciju. Označava se sa GA(Rz ) , ili kraće • sa GA · PRIMJEDBA 2. Grupa simetrija skupa A je podgrupa simetrična grupe (grupe svih permutacija) skupa A , i općenito se one ne podudaraju. Može se kraće reći da je grupa izometrija zapravo grupa onih permutacija skupa A koje čuvaju udaljenost među točkama.

191

9. 10. GRUPE SIMETRIJA

P RIMJER 2. Grupa simetrija jednakostraničnog trokuta je određena permutaci­ jama vrhova. Sastoji se od tri rotacije: rotacije r1 oko središta trokuta za kut od 0° (identiteta), rotacije rz za trećinu punog kuta ( 120° ) i rotacije r3 za dvije trećine punoga kuta ( 240° = -120° ), i od tri osne simetrije. Da bismo ih točnije opisali, označimo vrbove sa l, 2, 3 . Onda ove izometrije možemo opisati samo s pomoću odgovarajućih permutacija vrhova koje čuvaju udaljenost, zapisane s pomoću ciklusa: r1

l

= (l), rz = (l, 2, 3), r3 = (l, 3, 2).

L ®® l

2

�

l

2

Sl. 9.4. Rotacije trokuta.

2

�

Izometrija koja pripada osnoj simetriji s obzirom na os kroz vrh stranice 12 je s3 = (l, 2) . Slično imamo SJ =

(2, 3),

Sz =

( 1 , 3),

SJ =

3

i polovište

( 1, 2 ) ,

3

l

2

Sl. 9.5. Osne simetrije jednakostraničnog trokuta.

tj. ukupno šest izometrija. Dakle grupa izometrija jednakostraničnog trokuta A je jednaka simetričnoj grupi s3 :

Zaključujemo da svaka permutacija triju vrhova jednakostraničog trokuta čuva udalje­ nost među točkama. Možemo reći da je jednakostraničan trokut 'bogat' simetrijama. P RIMJER 3. Ako pak uzmemo jednakokračan trokut A (koji nije jednakostrani­ čan), ondaje pripadna grupa simetrija znatno siromašnija. Ona ima samo dva elementa: identitetu i simetriju s obzirom na vertikalnu os, tj . ( 12) . Dakle je GA = Zz .

9. GRUPE

192

3

Sl. 9.6. Grupa simetrija jednakokračnog trokuta.

Trokut A koji ima sve stranice različitih duljina nema nikakvih simetrija osim identitete. Stoga je pripadna grupa simetrija samo trivijalna: GA = {(l)} . P RIMJER 4. Ako uzmemo kvadrat A s vrhovima l , 2, 3, onda imamo kao grupu svih izometrija četiri rotacije i četiri simetrije (nacrtaj sliku): ( rt ) (l) , rotacija kvadrata za 0° , tj. identiteta (neutralni element); ( rz ) (l, 2 , 3, 4) , rotacija za I ; ( r3 ) ( 1, 3)(2, rotacija za 2 · I = n (ili zrcaljenje kvadrata s obzirom na središte); ( r4 ) (l, 4, 3, 2 ) , rotacija za 3 � , tj. rotacija za - � ; ( l , 2)(3, 4) , zrcaljenje kvadrata s obzirom na vertikalnu os simetrije; ( ( sz ) ( l , 4)(2, 3) , zrcaljenje s obzirom na horizontalnu os simetrije; ( s3 ) ( l , 3) , zrcaljenje kvadrata s obzirom na glavnu dijagonalu; ( s4 ) (2, 4) , zrcaljenje s obzirom na sporednu dijagonalu.

4,

4),

·

s1 )

4.-----..---� 3

l 2 Sl. 9. 7. Osne simetrije kvadrata.

Primijetite da je ova grupa izometrija reda osam, tj. prava je podgrupa grupe permutacija S4 koja ima 4! = 24 elementa. To znači da postoje permutacije vrhova četverokuta koje nisu izometrične. Npr. za permutaciju J = (1, 2) je /(1) = 2 , /(4) = 4 . Ona nije izometrična, jer je d( l, 4) = a (duljina osnovice kvadrata), dok je d(/(1), /(4)) = d(2, 4) = a ../i . Ipak, kvadrat ima relativno bogatu (osmeročlanu) • grupu simetrija. Možete se sami lako uvjeriti da ta grupa simetrija ima četveročlanu podgrupu { rt, r3, s1 , sz } koja je izomorfna Kleinovoj grupi. P RIMJ EDBA 3. Kleinova grupa može se modelirati i na jednom jednostavnom skupu funk­ ·

cija. Neka su ft

:

R* R, i --+

fi (x)

=

=

x,

l, 2, 3, 4 funkcije zadane sa l

fz(x) = , IJ(x) -

X

=

-x, j4 (x) =

l

- - .

X

193

9. 10. GRUPE SIMETRIJA

Skup G = Ut , Jz, lJ, /4 } je grupa s obzirom na kompoziciju funkcija kao binarnu operaciju i Cayleyeva tablica nmoženja (komponiranja) je 'ista' kao kod Kleinove grupe, vidi Primjer 9.8. 1 : o

ft ft h h /4

h /4 ft h Preslikavanje a : Zz x Zz --+ G definirano sa a(O) ft h h /4

h ft /4 h

14 h h ft = ft , a(a) = h . a(b) = !J , a(c) = h

je izomorfizam grupa. Prema tome G je također Kleinova grupa.

---.--. 3 4 r--l l l l l l l ---------------r - - ------------1 l l l l l l

2 Sl. 9.8. Grupa simetrija pravokutnika (Kleinova grupa). l

PRIMJER 5 . Pravokutnik {koji nije kvadrat) ima siromašniju grupu simetrija od kvadrata. Označimo vrhove pravokutnika sa l , 2, 3, 4 {vidi sliku). Promotrimo četiri jednostavne geometrijske transformacije koje prevode pravokutnik u samog sebe kao skup: identiteta zrcaljenje d s obzirom na horizontalnu os simetrije, zrcaljenje b' s obzirom na vertikalnu os, i rotacija za 1 80° oko središta pravokutnika. Taj skup je grupa s obzirom na kompoziciju transformacija. Vrijedi a'd = e' , (tj. a' je samom sebi inverz) a'b' = {doista, zrcaljenje s obzirom na središte dobiva se zrcaljenjem s b1 , itd. Na taj način se vrlo lako obzirom na y os, i zatim s obzirom na x os), a1c1 dobiva sljedeća tablica množenja u grupi simetrija pravokutnika:

e' ,

e'

e'

=

e

'

a' b' e'

e' e'

a' b' ' e

a' a'

b' b'

e'

e'

' e

b'

e' ' e

e'

b' a' e'

'

a

U ovoj tablici 'raspoznajemo' zapravo Kleinovu grupu, jer se tablica zbrajanja u Kleinovoj grupi Zz x Zz , vidi Primjer 9.8. 1 , i tablica množenja (komponiranja) u grupi G4 = d, b', transformacija pravokutnika ponašaju na potpuno isti način:

{e',

+ o a b

e

e'}

o a b e o a b e a o e b b e o a e b a o

-

' e ' e

a' a'

b' b'

e' e'

b'

d

e'

a' b'

a' b'

e' e' e' ' e

e'

e' b'

a'

e'

Točnije, obje grupe su međusobno izomorfne. Izomorfizam ostvaruje bijektivno ' preslikavanje f : Zz x Zz --+ G4 , definirano sa /{0) = e , f(a) = a' , f(b) = b' i

9. GRUPE

194

j(

e) =

f(a a+ b b) = a'b'

'' f(a b) = f(a)!(a bb)

e' . Ćinjenica da npr. zbroju u lijevoj tablici odgovara produkt u desnoj je upravo izražena time da je , dotično + . + Grupu G4 također zovemo Kleinovom grupom, jer međusobno izomorfne grupe poi­ stovjećujemo (iako se Zz x Zz i G4 kao četveročlani skupovi jako razlikuju). Očevidno su ove četiri transformacije pravokutnika jednoznačno određene trans­ formacijama samo četiri vrha pravokutnika, tj. odgovarajućim permutacijama skupa {l, 2, 3 , 4} . Stoga možemo pisati:

e' = (l), a' = (l, 4)(2, 3), b' = (l, 2)(3, 4), e' = (l, 3)(2, 4) Kao što vidimo, grupa G4 je podgrupa simetrične grupe S4 , koja je reda 4! = 24 .

Grupa simetrija romba (koji nije kvadrat) je također Kleinova grupa: ona sadrži identitetu, dva zrcaljenja s obzirom na dijagonale i centralnu simetriju. PRIMJER 6. Paralelogram (koji nije romb) je siromašniji simetrijama od pravo­ kutnika (a pogotovo od kvadrata). Njegova grupa simetrija je samo dvočlana: sastoji se od identitete i rotacije za 1 80° (nacrtajte sliku), a to je grupa koja je izomorfna sa

Zz .

PRIMJER 7. Moguće je računati i grupe simetrija raznih drugih likova u ravnini, kao što su peterokut, peterokraka zvijezda, elipsa, hiperbola, parabola, pravac, kružni­ ca itd. (zadnja dva skupa imaju beskonačne grupe simetrija). PRIMJEDBA 3 . Jasno je da se grupe simetrija GA mogu gledati i za skupove A u trodimenzionalnom prostoru R3 , pa čak i u prostorima Rn . PRIMJEDBA 4. Grupe simetrija pojavljuju se vrlo često u fizici. U kemiji su va­ žne tzv. kristalografske grupe. Naime pokazuje se da je poznavanjem grupe simetrija kristalne rešetke kemijskih spojeva moguće opisati neka njihova kemijska svojstva. Kristalografskih grupa ima ukupno točno 23 0 .

� P OVIJESNA CRTICA � Svaka grupa G ima dvije trivijalne

normalne

normalne

podgrupe: {e} i G . Ako su to jedine podgrupe od G , onda kažemo da je G jednostavna grupa (engl. simple group). Proučavanje konačnih grupa može se svesti na proučavanje jednostavnih grupa. Jedine jednostavne grupe koje su Abelove su (Zp, +) , gdje je prost broj. Međutim, jednostavne grupe koje nisu Abelove su vrlo složene (pomalo šaljiva tvrdnja, ali istinita). Npr. najmanja među takvim grupama je altemirajuća grupa A5 , koja ima ! 5 ! 60 elemenata. Problem (a time i svih konačnih) riješen je tek početkom 80-tih godina 20.st. Problem se sastoji u opisivanju jednostavnih ko­ načnih grupa na Točnije, za svaki prirodni broj treba odrediti sve međusobno neizomorfne grupe reda . Dobar pokazatelj golemog napora uloženog u rješavanje tog problema jest činjenica da je on proučavao tijekom više desetljeća u oko 500 članaka na oko l O 000 stranica. Važan doprinos rješavanju problema klasifikacije konačnih grupa dao je i jedan istaknuti hrvatski matematičar koji radi na znamenitom matematičkom institutu u Heidelbergu. On je otkrio jednu jedno­ stavnu grupu koja se po njemu zove irna 175 560 elemenata. Kasnije je otkrio još dvvije, od kojih jedna irna 86 77 5 571 046 077 562 880 elemenata (tzv. sporadične grupe ili monstrumi) . Na Svjetskom matematičkom kongresu održanom u Nici 1972.g. održao je jedno od četiri plenarnih (glavnih) predavanja.

p = klasifikacije jednostavnih grupa do izomorjizam. n

Jankova grupa-

svihn

Zvonimir Janko,

10. 1 . PRSTEN!

195

10.

Prsteni i polja

Na skupu realnih brojeva R definirane su dvije poznate binarne operacije: zbraja­ nje i množenje. Isto tako i na skupu Zn , zatim na skupu kvadratnih matrica reda n itd. Postoji veliko mnoštvo struktura koje se sastoje upravo od jednog skupa i dvije binarne operacije na njemu, koje imaju mnoga zajednička svojstva. To motivira sljedeću opću definiciju.

. 1

0 zajedno s dvije binarne operacije + R koje zovemo zbrajanje i množenje elemenata prstena, tako da vrijedi: (R, +) je Abelova grupa, tj . za sve a, b, e E R vrijedi a) asocijativnost zbrajanja: (a + b) + e = a + (b + e) ; b) postoji element O E R (nula) tako da je a + O = O + a = a ; e ) za svaki a E R postoji suprotni element -a E R , tako da je a + (-a) = (- a) + a = O ; d) komutativnost zbrajanja: a + b = b + a . (R, ) je polugrupa, tj. množenje na R je asocijativno: (ab)c = a (bc) ;

DEFINICIJA. Prsten je bilo koji skup R #

·

l)

na

2) 3)

·

operacije zbrajanja i množenja su međusobno usklađene zakonima distribucije, tj. za sve a, b, e E R vrijedi:

a(b + e) = ab + ac,

(a + b)c = ac + bc.

Često kraće kažemo da se prsten definira kao poredani trojac (R, +, ) tako da vrijede gornja svojstva. Ako je jasno koje su operacije na prstenu definirane, govorimo samo o prstenu R . Isto tako kažemo da je S potprsten prstena R ako je S � R i S je prsten s operacijama naslijeđenim iz R . Svaki prsten R ima dva trivijalna potprstena: i R . Ako prsten sadrži jedinični element e s obzirom na množenje (tj . za sve a E R je e a = a e = a ) , onda ga zovemo prstenom s jedinicom. ·

{O}

·

·

PRIMJEDBA l . Primijetite da operacija množenja u prstenu ne mora biti komu­ tativna. Ako jest, onda govorimo o komutativnom prstenu. Kao i obično, dogovorno uzimamo da operacija množenja na prstenu ima veću moć vezivanja od zbrajanja. Npr. izraz ab + ac označava (ab) + (ac) , a ne a(b + a)c .

10. PRSTEN! I POLJA

196 Propozicija 1 . U svakom prstenu vrijedi

-ab .

O · a = a · O = O , a · {-b) = (-a) · b =

DOKAZ. Iz O · a = (O + O) · a = O · a + O · a dobivamo oduzimanjem O · a lijevo i desno da vrijedi O a = O . Druga tvrdnja slijedi također iz zakona distribucije: ·

a · (-b) + ab = a(-b + b) = a · O = O .

Q.E.D.

Oznaka R za prsten dolazi od engl. ili njem. Ring - prsten.

PRIMJER l . Važan primjer je prsten cijelih brojeva (Z, +, ·) . Vrlo je lako uvjeriti se da su jedini njegovi potprsteni oblika nZ , n = O, l , 2, . . . {vidi Propoziciju 3.1.4). Npr. za n = 2 dobivamo potprsten parnih cijelih brojeva. Prsten nZ je najmanji (s obzirom na inkluziju) potprsten prstena Z koji sadrži broj Prsten Z je sadržan u prstenima Q , R i e . Prsten e sadrži tzv. Gaussov prsten Z[i] , koji se sastoji od svih kompleksnih brojeva a + bi čije obje komponente a i b su cjelobrojne.

n.

l, . . . , nn.- l},

P RIMJER 2. Prsten (Zn , +, ·) pri čemu je Zn = {0, a zbrajanje i množenje su po modulu zove se prsten ostataka po modulu Svojstva distri­ butivnosti se lako provjeravaju. Element a u tom prstenu je invertibilan onda i samo onda ako su a i relativno prosti (vidi Odjeljak 9.4).

n,

n

PRIMJER 3. Skup Z[J2] svih realnih brojeva oblika a+ bJ2 , gdje su a, b E Z , je prsten s obzirom na uobičajeno zbrajanje i množenje realnih brojeva. Doista, skup je zatvoren spram ove dvije operacije: ako su x = a + bJ2 i y = e + dJ2 E Z[ J2] , onda je i

x + y = (a + e) + (b + d)../2 E Z[../2], xy = (ac + 2bd) + (ad + bc)../2 E Z[../2] . Ovaj prsten sadrži potprsten cijelih brojeva Z . Na sličan način, prsten Q je potprsten od Q[J2] . PRIMJER 4. Skup svih kvadratnih matrica Mn {R) reda � 2 s realnim ko­ eficijentima, uz uobičajene operacije zbrajanja i množenja matrica, je nekomutativan prsten. On je ujedno i vektorski prostor s realnim koeficijentima, dimenzije 2

n, n

n

•

P RIMJER 5 . U nekomutativnom prstenu R ne vrijede uobičajena pravila iz algeb­ re: (ab)n = (ab)(ab) . . . (ab) =j:. d'� , gdje je a, b E R , E N . Isto tako kvadrat binoma treba računati sasvimdrugačije: (a+b)2 = (a+b)(a+b) = a(a+b)+b(a+b) = a2 + ab + ba + b2 Ako je prsten komutativan, onda je (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2 , i općenitije, vrijedi binomna formula (a + b)n = Lk=O md'�- k . Dakako, u svakom prstenu R je (am t = � za sve a E R , m, E N .

n

•

n

PRIMJER 6 . Neka je {B, +, ·, -, O, l) bilo koja Booleova algebra. Onda je BBooleova + , ·) prsten: (B, +) je Abelova grupa i vrijede zakoni distribucije. Stoga algebra često još zove i Booleov prsten. Npr. partitivni skup B = zx skupa

(

,

se

X je prsten s obzirom na uniju i presjek kao operacije zbrajanja i množenja u prstenu.

Zbog svojstva dualnosti u Booleovoj algebri, možemo definirati i drugi prsten sa istim skupom kao operacijom zbrajanja u prstenu! Pogledajte dobro: nul element u tom prstenu je l , a jedinični element je O . Distributivnost takoder vrijedi:

B , ali s obzirom na + kao operacijom množenja, i

·

10.2. INTEGRALNA DOMENA

197

a + bc = (a + b) (a + e) . Oba prstena se mogu poistovjetiti s pomoću pojma izomorfizma prstena (vidi definiciju u Odjeljku 10.4).

J : R ---+ R je prsten s obzirom na zbrajanje i po toc"kama. Točnije, J + g i Jg ćemo definirati sa: (j + g)(x) := J(x) + g(x), (jg)(x) := J(x)g(x). Nul-element tog prstena je funkcija O : R ---+ R definirana sa O(x) = O (na desnoj strani je realan broj O , a na lijevoj funkcija O ). Umjesto prstena funkcija J : R ---+ R mogu se gledati i bilo koje druge realne funkcije J : D ---+ R , gdje je D bilo koji

PRIMJER 7. Skup svih funkcija rnnoženje funkcija definirano

neprazan skup.

f�oo IJ(x)i z dx <

PRIMJER 8. Skup LZ (R) svih funkcija R ---+ R za koje je oo (i uz još jedan vrlo slabi uvjet - izmjerivost, koji je u praksi uvijek ispunjen) je prsten s obzirom na zbrajanje funkcija po točkama i 'množenje' funkcija i definirano kao konvolucija = Prsten L (R je komutativan: = To je ujedno i vektorski prostor s realnim koeficijentima.

J:

J * g : (j * g)(x) J * g g * J.

Jzg

f�00J(t)g(x - t) dt .

)

DEFINICIJA. Moguće je definirati i Kartezijev produkt prstena R i S . To je prsten R x S sa zbrajanjem i množenjem parova uvedenim na prirodan način - po komponentama:

(rt , s l ) + (rz, sz )

=

(rt + rz, SJ + sz),

(rt , S J )(rz, sz)

=

(rt rz, s tsz)-

Lako s e provjeri da j e to doista prsten. Na taj se način dobiva mnoštvo novih prstena. PRIMJEDBA 2 . U linearnoj algebri imali smo strukturu vektorskog prostora ) Ta se struktura bitno razlikuje od prstena (R, ) u jednom 'detalju': rnnoženje u vektorskom prostoru je definirano kao množenje vektora sa skalarom. Za vektorski prostor je polje skalara unaprijed zadano: obično je to R , ali može biti i drugo, npr. Q . Dakle množenje u vektorskom prostoru je funkcija : R x X ---+ X , a ne binarna operacija : X x X ---+ X kao u prstenu.

(X, +,

·

+,

.

·

·

·

PRIMJER 9 . Ipak, vidimo da će prsten R biti vektorski prostor u slučaju kad je polje skalara podskup skupa R . Npr. skup Q[ v'2] svih realnih brojeva oblika a+ bVZ , a, b E Q je prsten, ali i vektorski prostor nad poljem racionalnih brojeva Q . Njegova dimenzija jednaka je (vidi Primjedbu Skup svih funkcija : R ---+ R je prsten, ali i vektorski prostor s koeficijentima iz R . Taj vektorski prostor je beskonačno - dimenzionalan.

2

J

9.2.1).

DEFINICIJA. Za element a i O u komutativnom prstenu R kažemo da je djeli­ telj nule ako postoji b i O takav da je ab = O . Dakako, onda je i b djelitelj nule. PRIMJEDBA l . Zahtjev da prsten bude komutativan u ovoj definiciji je razumljiv, jer je npr. u prstenu kvadratnih matrica reda 2 moguće naći matrice A i O i B i O takve da je AB = O ali BA

i O . Dovoljno je uzeti A

=

[g �J

i B

=

[g bJ .

10. PRSTEN! I POLJA

198

=

PRIMJER l . U komutativnom prstenu Z6 vrijedi 2 · 3 0 , pa su 2 i 3 djelitelji nule. Kao što vidimo, prsten Zn ima djelitelje nule onda i samo onda ako je složen broj. Zanimljivo je da Z2 nema djelitelje nule, ali prsten Z2 X Z2 irna, i tO (0, l) i ( l , O) , jer je (0, l) · ( 1 , 0) (0, 0) .

n

=

DEFINICIJA. Komutativni prsten s jedinicom e koji nema djelitelja nule zovemo integralnom domenom. Drugim riječima, iz =:: slijedi ili

ab O

a = O b = O.

n

PRIMJER 2 . Prsten Zn je integralna domena onda i samo onda ako je prost broj. Prsteni Z , Q , R , C su također integralne domene. Prsten kvadratnih matrica Mn(R) , � 2 nije integralna domena jer nije komutativan.

n

O, ondadesnog vrijedi pravilo lijevog skraćivanja. a, tj. iz- ab = ac slijedi b = Vrijedia =l-i pravilo DOKAZ. Iz ab - ac = O slijedi a( b - ) = O. Kako D nema djelitelja nule i a =l- O, mora biti b O tj. b = PRIMJER 3. Svojstvo skraćivanja ne vrijedi u Z6 . Doista, tu je 2 3 = 2 O. Propozicija 1 . Akoje D integralna domena i e.

skraćivanja sa

e =

e

e.

Q.E.D.

·

·

\ {O} O. DEFINICIJA. Komutativan prsten F u kojem je skup = F \ {O} grupa s ob­ zirom na množenje, zove se polje. Drugim riječima, polje je integralna domena u kojoj svaki element =j:. O ima mul­ tiplikativni inverz. Oznaka F dolazi od engl. field = polje. Pojam polja (F, + , ) predstavlja generalizaciju pojma skupa realnih brojeva, za­ jedno s operacijama zbrajanja i množenja realnih brojeva. Kao što kod realnih brojeva i o definirane razlomke i , gdje su a, b E R i b =j:. O , tako i u bilo kojem polju F možemo definirati razlomak . � := ab- 1 , a,b E F, b =f. O. Budući da je polje F komutativno s obzirom na množenje, onda je i � = ]jJ , b, =j:. O : � · � (ab- 1 )(cd- 1 ) acd- l b- 1 (ac)(bd) - 1 = ac bd Možete s e sami lako uvjeriti da u svakom polju F vrijedi a) pravilo skraćivanja � = i ,.uz uvjet da su b, l- O, b) pravilo zbrajanja razlomaka s vođenjem na zajednički nazivnik: a + za b, d =l- O. PRIMJER l . Skup Zn je polje onda i samo onda ako je n prost broj: Z2 {O, l} , Z3 , Zs , Z7 , Zu , Z13 ,. . . . Prirnijetite da su sva ova polja konačna. Polje Z2 je Ako je R integralna domena, onda je pripadni skup R*

obzirom na množenje, jer se ne može dogoditi da bude

a

=/= O ,

=

R zatvoren s b =/= O i ab =

F*

·

mam

e

=

=

=

�-

e

·

1i

e _ ad+lx a - -,;a

=

najmanje polje, jer svako polje mora sadržavati bar dva elementa: nulu i jedinicu.

10.3. POLJA

199

Primjeri beskonačnih polja su Q , R , C , i mnoga druga. Skup Z nije polje, jer jedino i imaju inverze s obzirom na množenje. Valja primijetiti da vrijede sljedeći odnosi:

-l l

polja

e

integralne domene

e

komutativni prsteni

e prsteni.

Npr. svako polje je integralna domena. Obratno ne vrijedi općenito. Ipak, ako je integralna domena konačna, onda vrijedi i obrat.

Propozicija 1 . Svaka konačna integralna domena D je polje.

DoKAZ. Treba dokazati da svaki a E D* = D\ {0} ima inverz s obzirom na množenje, tj . postoji b E D* tako da je ab = e . a) Funkcija fa : D -+ D zadana sa fa(x ) = ax je bijekcija. Injektivnost: iz fa (x ) = fa(Y ) slijedi ax = ay , tj . x = y (vidi prethodnu propoziciju). Kako je skup D konačan, onda je fa surjekcija, dakle bijekcija (vidi Propoziciju 1 .3. 1 ). b) Zbog surjektivnosti od fa postoji b E D takav da je fa( b) = e , tj . ab = e . Q.E.D. Drugim riječima, b je inverz od a . Iz prethodne propozicije još jednom dobivamo da je Z11 polje onda i samo onda ako je n prost broj . Zapravo, gornji dokaz je gotovo isti kao i u primjedbi nakon dokaza Teorema 9.2.1 .

PRIMJER 2 . Prsten Z4 nije integralna domena, dakle niti polje, jer je 2 · 2 = 0 . Nije teško provjeriti daje sljedeća struktura = {0, e, a, b } reda zapravo polje s obzirom na zbrajanje

GF(4)

O O O

+ e

e

a b

e e

a a

O

O e

b b a

b

b

a b

a

4

e

O

i množenje definirano sa (u tablici množenja ne pišemo produkte su oni

O):

e a

e e a

b b

a a b e

O · x jer znamo da

b b e a

( GF(4

Primijetite da je ) , +) grupa koja je izomorfna Kleinovoj grupi, a multip­ likativna )*, ) je očevidno izomorfna aditivnoj grupi (Z3 , + ) .

(GF(4

·

F

PRIMJEDBA l . Može se pokazati da svako konačno polje ima red oblika JI , gdje je p prost broj (vidi Teorem 1 1.6. 1 ). I obratno, za svaki n = JI postoji polje tog reda.

F

Na prvi pogled izgleda zbunjujuće da je aditivna grupa (GF(4), +) zapravo izomorfna Klei­ novoj grupi (Zz x Zz, +) , s elementima O = (0, O) , e = (l, l) , a = (l, O) , b = (0, l ) . S druge strane, u produktnom prstenu (Zz x Zz, +, · ) vrijedi ah = O , a ne e kao u drugoj tablici. To poka­ zuje da prsten Zz x Zz nije izomorfan sa prstenom (poljem) GF( 4) , iako su aditivne strukture oba prstena međusobno izomorfne (Kleinove grupe). Opširnije o polju GF(4) vidi u Primjeru 1 1.6. 1 . Definiciju izomorfizma prstena vidi niže.

10. PRSTEN! I POLJA

200

Ft(eti. FzO) inikada nije (0, ez) je O), Ft Fz DEFINICIJA. Kažemo da je K potpolje polja F ako je K � F i K je polje s obzirom na operacije zbrajanje i množenja naslijeđene iz F. U tom slučaj kažemo da je polje F proširenje polja K . Propozicija Podskup K polja F je potpolje od F onda i samo onda ako vrijedi (a) e E K , (b) b E K slijedi a - b E K , (e) iz a, b E K* slijedi ab- t E K* . DoKAZ. Iz (a) slijedi da je K =1- 0 . Svojstvo (b) pokazuje da je K aditivna grupa, a svojstvo (e ) pokazuje da je K* multiplikativna grupa (vidi Propoziciju 9. 5 .1 ) . PRIMJER 4 . Svako polje sadrži nulu i jedinicu. To dakako ne znači da svako polje sadrži Zz = {O, l} kao potpolje. Npr. polje Z3 = {0, l, 2} ne sadrži potpolje izomorfno sa Zz jer aditivna grupa polja Z3 , točnije - grupa (Z3 , +), irna prema Lagrangeovom teoremu samo trivijalne podgrupe: {O} i � . PRIMJER 5 . Prsten Z[ J2] nije polje, jer npr. 2 nema inverz s obzirom na mno­ ženje u tom skupu. Međutim prsten Q [ J2] jest polje. Doista, svaki = a + bJ2 takav da je =1- O, a, b E Q, je invertibilan: bJ2 a + -b h2 Q[h2] . = a + bv'2 . aa -- bv'2 aZ - 2bZ aZ - 2bZ Pritom je a - b../2 =1- O, jer bi u suprotnom dobili da je .Ji = afb racionalan broj. Vrijedi Q e Q[../2] e R . Prirnijetite da je Q [ ../2] najmanje proširenje polja Q � R koje sadrži element v'2. PRIMJER 3 . Lako se vidi da Kartezijev produkt dvaju polja polje (za razliku od grupa i prstena). Doista, produkt elemenata nije čak niti integralna domena. {0, tj. x •

2.

iz

a,

Q.E.o.

x

x

x

_1

I

E

=

j

DEFINICIJA. Neka su R i S dva prstena. Kažemo da j e funkcija : R -+ S homomorifzam prsten& ako je usklađena s operacijama zbrajanja i množenja u pes­ tenima:

j(a + b) =j(a) + j(b), j(ab) = j(a)j(b)

a, b

za sve E R . Operacije zbrajanja i množenja na lijevim stranama ovih jednakosti definirane su u prstenu R , a na desnim stranama u prstenu S . Budući da je homo­ morfizam aditivnih Abelovih grupa, onda vrijedi i Ako je homomorfizam bijektivan, zovemo ga izomorfizmom prsten&, a za R i S kažemo da su međusobno izomorfni. Prstene koji su međusobno izomorfni poistovjećujemo. Kao i kod grupa, surjektivni homomorfizam prstena zovemo epimorfizmom, a injektivni - monomorfizmom. Izomorfizam prstena R na samog sebe zovemo auto­ morfizmom prstena R . Npr. identiteta na R je automorfizam.

j

j(O) = O j( -a) = -j(a).j

10.4. HOMOMORFIZMI I IZOMORFIZMI PRSTEN A

R

201

Propozicija 3. Neka su prsteni i S međusobno izomorfni. . (i) Ako ima jedinicu , onda i S ima jedinicu (ii) Ako je komutativan prsten, onda je i S komutativan. (iii) Akoje polje, ondaje i S polje.

R

R R

er

e2 = !(er )

rj(s).: r : = /s = f(et)f(r) = j(err) = f(r) = s, se2 = l . Prsten Z ima jedinicu, ali prsten 2Z nema (kao niti bilo koji nZ za n =1- lToPRIMJER ).jeTonaznači da prsteni Z i 2Z nisu međusobno izomorfni, tj. bitno se razlikuju. prvi pogled paradoksalno,jer znamo da su aditivne grupe (Z, +) i (2Z, +) međusobno izomorfne: izomorfizam aditivnih grupa ostvaruje funkcija j : Z -+ 2Z, je naime bijekcija i vrijedi j(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = f(x) j(doka)je+=/(a j(2xb).)j(. Ona Međutim funkcija j nije dobro usklađena s množenjem: f(ab) = 2ab, b) = (2a) (2b) = 4ab. Na sličan način vidimo da niti koji prsten nZ, , nije izomorfan s prstenom Z. n =l- lŠtoviše, nije teško vidjeti da niti koja dva prstena mZ i nZ nisu međusobno izo­ morfna za m =1- n. Za m = O i n = l to je jasno. Neka je zato m =l- O, l i n =l- O, l , pretpostavimo da je m < n. Kad bi postojao izomorfizam prstena j : mZ -+ nZ, imali bi: f(m)f(m) = f(m2) = f(m + m + . . . + m) = J(m) + f(m) + . . . + f(m) = mf(m). Zbog j(m) =l- O je /(m) = m. To je međutim nemoguće jer m � nZ. Prema tome, niti koja dva različita potprstena prstena (Z, +, ) nisu međusobno izomorfna. S druge strane, svake dvije netrivijalne podgrupe (tj. =l- {O} ) grupe (Z, +) su međusobno izomorfne, jer su sve izomorfne sa Z . PRIMJER 2 . Na isti način pokazuje se da je idenititeta na mZ jedini automorfi­ zam prstena mZ za bilo koji m E N . S druge strane, prsten Z[J2] ima osim identitete još jedan automorfizam: j : Z[vlz] -+ Z[vlz] , j(a + bvlz) = a - bv'Z. Naime J je očevidno bijekcija i za x = a + bv'Z, y = e + d.Ji vrijedi: f(x + y) = (a + e) - (b+ d)v'z = f(x) + f(y), j(xy ) = (ac + 2bd) - (bc+ ad) ..Ji = f(x)f(y). PRIMJER 3. Prsteni Z[v'z] i Z[v'3] nisu međusobno izomorfni. Doista, kad bi postojao izomorfizam j, onda bi bilo /( vlz)/( vlz) = !( v'zv'z) = /(2) = f(l) + j(l) = 2, tj. J(.Ji) = ±v'z, a v'2 f/:. Z[v'3]. Kad bi naime postojali a,dabjeEv'3Z takvi da je v'2 = a + bv'3, onda bismo kvadriranjem ove jednakost dobili racionalan broj. DOKAZ. (i) Neka je R -+ S izomorfizam prstena. Odaberimo bilo koji s E S i definirajmo Onda je e2 i slično e , tj. e2 je jedinica u S . Ostale tvrdnje se dokazuju slično. Q.E.o.

"'

m

·

PRIMJER 4. Zanimljivo je da se polje kompleksnih brojeva može poistovjetiti s jednim potprstenom prstena M2(R) kvadratnih matrica reda Doista, preslikavanje

j : C -+ M2(R),

2. j(a + bi) = [ � -� J

1 0. PRsTENI 1 POLJA

202

f(ZIZM2)(R)= !(ZI )f(z2) , ZI + z2) = !(z + f(z2). 2 [ � -�J = a [ 6 �J + b [ � -6 J =: al+ bl Izravnim množenjem se dobiva da za matricu J = [ � -6 J vrijedi 12 = J J = -l, dotično matrica J se ponaša kao imaginarna jedinica. To se može vidjeti i ovako: J2 = J(i)2 = f(i2) =J(-1) -f(l) -1 . Ostatak pri dijeljenju cijelog broja x sa m E N označavamo sa x mod m . Npr. 17 mod 3 2 , - 17 mod 3 l 18 mod 3 O . Lako je provjeriti da za x, y E Z vrijedi (x + y) mod m = (x mod m) +m (y mod m), (l) (xy) mod m = (x mod ) m (y mod m), gdje s u + zbrajanje i množenje p o modulu m u Zm. Isto tako znamo od prije da ako su m i n relativno prosti, onda iz x = y (mod m) i x = y (mod n) slijedi x = y

je monomorfizam prstena, tj. j je injekcija i (nakon malog računa) j( t) Prema tome j( C) je potprsten od koji je izomorfan sa poljem C . Primijetite usput da je

·

=

=

=

=

,

=

m ·

m, ·m

(mod mn) (ako je x - y djeljiv sa m i sa n , onda je djeljiv i sa nzv (m, n) = mn , vidi Propoziciju 3.3.9).

PRIMJER

: Z +-+yZm) = fdefinirano m je epi­ J f(x (x) f(y) je (x) +m f(ysa) f(x) f(xy)==x mod

5. Preslikavanje morfizam prstena. Činjenica da je upravo drugi zapis za (l).

f

·m

Propozicija 4. Neka su m i n relativno prosti prirodni brojevi. Onda je pr­

s prstenom Zm Z11 Izomortizam prstenfi ostvaruje funkcija ZmnZmn-+izomorfan Zm Zn definirana sa f(x) (x mod m, x mod n) . Dokažimo najprije da je J bijekcija. Injektivnost: pretpostavimo da je . Onda je x = y (mod m) i x = y (mod n) , vidi Primjer 3.4.3. Kako su (x) = f(y) fDOKAZ. m i n relativno prosti, onda je i x = y (mod mn) , tj. x y u Zmn . Surjektivnost: neka je (x, y ) E Zm Zn . Onda za E Zmn (rnnoženje u dotičnom prstenu) vrijedi f( ) = (x, y) . Dokažimo da je J homomorfizam prstena: f(x +mn y ) = ((x + y) mod m, (x + y) mod n) = ((x mod m) +m (y mod m) , (x mod n) +n (y mod n)) (x mod m, x mod n) + (y mod m, y mod m) f(x) + f(y).

sten J:

x

x

=

xy

•

=

x

xy

=

=

Na isti se način dokazuje usklađenost funkcije j s množenjem. Na temelju prethodne propozicije dobivamo sljedeći rezultat:

=

Q.E.D.

Teorem 5. Neka je n prirodan broj i n p�1 . . . p�k pripadni rastav na proste faktore. Onda je prsten izomorfan prstenu z a, X X z ak .

Zn

Pt

• • •

Pk

10.5.

KARAKTERISTIKA PRSTENA

203

R

Podsjetimo se da za element a u prstenu možemo definirati produkt sa n E N na ovaj način: na = a + a + . . . + a ( n pribrojnika). Isto tako za bilo koji n E N definiramo ( -n )a = - (na ) , i naravno Oa = O . Vrlo lako se vidi da onda za svaki n E Z i svaki a, b E vrijedi:

R

(na )b = n(ab)

= a(nb) . Npr. za n E N je (na)b = (a + a + . . . + a)b = ab + ab + . . . + ab = n (ab) = a(b + b + . . . + b) = a(nb) . DEFINICIJA. Neka je R bilo koji prsten. Ako postoji prirodan broj n takav da za sve a E R vrijedi na = O , onda najmanji takav n zovemo karakteristikom prstena R. Ako je prsten R takav da n s tim svojstvom ne postoji, onda kažemo da je R karakteristike nula.

Pretpostavirno da je R prsten s jedinicom e . Ako je karakteristika prstena jednaka n E N , onda je ne = O . Obratno, ako je ne = O , onda je na = n (ea) = ( ne )a = Oa = O . Prema torne, za prsten s jedinicom (dakle i za polje) karakteristika se može definirati kao najmanji n E N za koji je ne = O . Ako takav n ne postoji, prsten je karakteristike

O.

PRIMJER l . Prsten cijelih brojeva Z je karakteristike

·

O , jer je n l =f. O

n E N . Iz istog razloga su i polja Q , R i C karakteristike nula.

za sve

Karakteristika prstena Zn (sa zbrajanjem i množenjem po modulu n ) jednaka je l =f. O za sve = l, . . , n - l . Ako je Zn integralna domena, onda je n prost broj (i obratno). Ovo vrijedi i u općenitijoj situaciji.

n , jer je n · l = l + l + . . . + l = O , a

k·

k

.

Propozicija 1 . Ako je D integralna domena onda je pripadna karakteristika ili prost broj ili O . DoKAZ. Neka je e E D jedinica u prstenu i pretpostavirno da je karakteristika n =f. O . Zbog l · e = e =f. O je n > l . Dokažimo da je broj n prost. Pretpostavirno suprotno: n = rs tako da je l < r < n i l < s < n . Vrijedi ( re)(se ) = ( rs)( ee) = ne = O . Kako je D integralna domena, mora biti re = O ili se = O . U oba slučaja dobivamo protuslovlje s činjenicom da je n najmanji prirodni broj za koji je ne = O . Prema Q.E.D. torne n mora biti prost broj.

Propozicija 2. Neka je D integralna domena. a) Ako je D karakteristike D sadrži potprsten izomorfan prstenu Z . b) Akoje D karakteristike p , onda D sadrži potprsten izomorfan sa Zp .

O,

DOKAZ. a) Definirajrno funkciju f : Z __... D sa /(n) = ne . Dovoljno je dokazati da je f injektivni hornornorfizam prstena. Injektivnost je jasna: ako je /(n) = f(m) . onda je ne = me tj. (n - m)e = Kako je D karakteristike mora biti n - m = O , tj. n = m . Za m, n E Z je f(m + n) = (m + n )e = me + ne = J( m) + J(n) , i f(mn ) = (mn) e = (me)(ne) = f(m)f(n ) . Prema torne, injektivna slika /(Z) je potprsten od D koji je izornorfan sa Z .

O.

O,

10. PRSTEN! I POLJA

204

a). iste.

b) Dokaz se provodi sa J Lako se provjeri da ako su PRIMJER

2.

Prsten Zz

x

:

Zp

-+

D,

J(n) = ne

na vrlo sličan način kao u Q.E.D.

R i S izomorfni prsteni, onda su njihove karakteristike Zz je karakteristike 2 , dok je prsten Z4 karakteristike

4 . Prema tome oni nisu izomorfni. Od prije znamo da čak niti pripadne aditivne grupe (Kleinova grupa i ciklička grupa) nisu međusobno izomorfne.

PRIMJER 3. Može se lako vidjeti da ako m i n nisu relativno prosti, dotično Nzm (m, n) = d > l , onda prsteni Zmn i Zm x Zn nisu izomorfni. Doista karakte­ ristike ovih dvaju prstena nisu iste. Karakteristika prstena Zm11 iznosi mn . S druge strane, jedinica u Zm x Zn je e = (l, l) , i vrijedi ":te = (a . m . l , !j . n . l) = (0, 0), tj. karakteristika prstena Zm

x

Zn je �

':

'

(može se vidjeti da iznosi točno

!!JP ).

Ako je zadan homomorfizam dvaju prstena J : R -+ S , onda definiramo jezgru ker J kao skup svih x E R takvih da je J(x) = O , tj. kao skup svih nul-točaka homo­ morfizma J . Slično kao što j e jezgra homomorfizma dviju grupa - podgrupa, i to normalna, tako je i jezgra homomorfizma dvaju prstena - potprsten, i to ideal, koji ćemo sada definirati. DEFINICIJA. Potprsten l prstena R zove se ideal u R ako je ar, ra E l za sve (a ne samo za r E l , u tom slučaju bi l bio samo potprsten). Svaki prsten R ima dva trivijalna ideala: {O} i R. Ako je prsten komutativan, dovoljno je zahtijevati da bude samo ar E l .

aE

l i sve r E R

PRIMJER l . Prsten parnih cijelih brojeva 2Z je ideal u skupu Z svih cijelih brojeva, jer je produkt parnog i bilo kojeg drugog cijelog broja opet paran. Prsten Z nije ideal u prstenu Q , niti je Q ideal u R . Propozicija 1 . Neka je J : R -+ S homomorfizam prstena. (a) Jezgra ker J je ideal u R. (b) J je monomorfizam prstena onda i samo onda ako je kerJ = O . (e) Slika od J je potprsten prstena S .

DoKAZ. (a) Kako je J homomorfizam aditivnih grupa R i S , onda je ker J aditivna podgrupa grupe (R, +) . Da bi dokazali da je kerJ ideal, odaberimo a E kerJ i r E R . Onda s·u ar, ra E ker J , jer je J(ar) = J(a)J(r) = OJ(r) = O, i slično J(ra) = O . (b) Ako je ker J = O , onda je f monomorfizam aditivnih grupa R i S , i obratno (vidi Propoziciju 9.7.2(ii)).

10.7. KVOCJENTNI PRSTEN PO IDEALU

205

J homomorfizam aditivnih grupa, onda je J(R) aditivna podgrupa od J(R) zatvoren spram množenja. Za s 1 , s2 E J(R) je s 1 = J(rt) i s2 = J(r2 ) . Prema tome je s 1 s2 = J(rt )J(r2 ) = J(rt r2 ) E J(R) . PRIMJER 2 . Neka je J : Z Zn preslikavanje zadano sa J(x) = x mod n. Kako je J homomorfizam prstena, onda je ker J = nZ ideal. Svaki potprsten u Z je oblika nZ , pa je onda svaki potprsten u Z ideal. DEFINICIJA. Nekaj e R komutativan prsten i a E R zadani element. Definirajmo skup (a) svih 'višekratnika' elementa a u R : (a) = {ra E R : r E R}. Skup (a) je ideal jer l) za ra, sa E (a) vrijedi ra - sa = (r - s)a E (a); 2) za ra E (a) i bilo koji s E R vrijedi s(ra) = (sr)a E (a). Ideal oblika (a) zove se glavni ideal u prstenu R . To je najmanji ideal u R koji sadrži element a. Prsten u kojem je svaki ideal glavni zove se prsten glavnih ideala. PRIMJER 3 . Prsten cijelih brojeva Z je prsten glavnih ideala. PRIMJER 4. Ako je F polje, jedini mogući ideali su trivijalni ideali {O} i F . Doista, neka je l ideal u F koji je -# {O } , tj. postoji a E l, a -# O . Dokažimo da je l = F . Kako je l ideal, onda je e = aa- 1 E /. Za svaki r E R onda vrijedi r = er E l. Prema tome je l = R . ( e ) Kako je

S . Treba još samo vidjeti daje skup

.

Q.E.D.

--+

l

u prstenu R,

Ako je ideal onda je l aditivna podgrupa grupe (R, +) . Prema tome je dobro definirana kvocjentna grupa Rf! , čiji elementi su razredi ekvivalencije s obzirom na relaciju "' definiranu na skupu R ovako: onda i samo onda ako je .J . Razredi ekvivalencije su oblika = Drugim riječima, jednakost vrijedi onda i samo onda ako je tj.

[a]a-b = [b],E a + l = b + l,

[a] a+ l.a "' ab - b E /.

Propozicija 1 . Neka je I ideal u prstenu R i neka je Rf1 kvocjentna grupa aditivnih grupa. Definirajmo sada operacije zbrajanja i množenja na Rf . Ako je Rf! , definiramo:

I [a] = a + l, [b] = b + l E (a + I) + (b + /) = (a + b) + I, tj. [a] + [b] = [a + b], (a + l)(b + l) = ab + I, tj. [a] [b] = [ab], Onda je trojac ( Rf! , +, ) prsten. Zove se kvocjentni prsten prstena R po idealu I. ·

DOKAZ. Znamo da je Rf1 aditivna grupa. Treba najprije vidjeti da je ninoženje raz­ reda dobro definirano, tj. neovisno o izboru predstavnika razreda. Ako je

[ad = [a2], [bd = [b2],

(1)

10. PRSTEN! I POLJA

206

[a1 bd = [azbz] . Zbog ( I ) je a1 - az = e E I b1 - bz = d a1 b1 -azbz = (az + c) (bz +d) - azbz = azd + cbz + cd E I, i odavde je [a 1 bi ] = [az bz] . Time je dokazano da je množenje dobro definirano. Primijetite da smo ovdje bitno koristili da je I ideal, a ne samo potprsten od R.

moramo pokazati. da je onda E I . Dakle

Dokaz daljnjih svojstava je rutinski. Npr. asocijativnost i distributivnost:

[a]([b][c] ) = [a] [bc] = [a(bc)] = [(ab)c] = [ab][c] = ([a][b] ) [c], [a] ( [b] + [e] ) = [a] · [b + e] = [a(b + e)] = [ab + ac] = [ab] + [ac] [a][b] + [a][c] . =

Na isti se način dokazuje drugi zakon distribucije. Nula u kvocjentnom prstenu je (OJ

= I.

Q.E.D.

U teoriji grupa upoznali smo teorem o izomorfizmu grupa (Teorem puno analogan rezultat vrijedi i na razini teorije prstena.

J : R -+ S

9.7.5). Pot­

Propozicija 2. Neka je epimorfizam prstena (surjektivni homomor­ ker f . Onda je kvocjentni prsten I izomorfan s

Rf

prstenom S. Prirodni izomorfizam ovih prstena definiranje sa: J : Rfi -+ S, ]( [a] ) = J(a). tvrdnja dokazuje se na potpuno isti način kao u teoriji grupa (Teorem 9.7.5), s Ova time da ovdje imamo aditivne grupe R i S, a ne multiplikativne. Za sve ]( [a] + [b]) =]( [a] ) + ]( [b]). Multiplikativno svojstvo izomor­ [a], [b] E Rfi vrijedi fizma J prstena Rf! i S je lako dokazati: fizam). Označimo l

=

DoKAZ.

}([a] [b]) = }([ah] ) = f(ab)

=

f(a)f(b) = f([a] )f([b] ).

Q.E.D.

J : Z -+ Zn Z J(a) = a Z fnz n R R R f! R Zfi zz :::::: Z12 3[ ][4] = [12] = [0] . a[ Z] = a + 12Z. � POVIJESNA CRTICA � Važne priloge teoriji prstena dali su njemački matematičari C.F. Gauss (on je definirao i prsten Z[i] , koji se u njegovu čast zove Ga­ ussov prsten), zatim Ernst Kummer (1810-1893 ) i Wilhelm Dedekind (1831-1918) . Ovaj zadnji poznat je i po tome što je uveo strogu, aksiomatsku definiciju realnih brojeva. Važne priloge teoriji prstena dala je također Emmy Noether (1882- 1935) . Kao ženi bio joj je zabranjen pristup habilitacijskom ispitu u Erlangenu (tj. drugom PRIMJER l . Funkcija definirana sa mod n je epimorfi­ su izomorfni. i zam prstena, i ker Dakle prsteni prstena po idealu Ako je komutativni prsten, ondaje i kvocjentni prsten I takoder komutativan. S druge strane, ako je integralna domena, kvocjentni prsten ne mora biti integralna domena. Npr. je integralna domena, a nije. Naime Ovdje je

J = nZ.

doktorskom ispitu za nastavno zvanje), jer bi inače imala pravo kao prva žena ući u Sveučilišni Senat na Gottingenu. David Hilbert, član Senata u Gottingenu, je na to primijetio: "Pa nije Senat kupaonica. . . ". Zalaganjem Felixa Kleina i Davida Hilberta bila joj kasnije ipak dopušiena habilitacija. Algebraje darežljiva - često daje više nego što se od nje traži. - Jean D' ALAMBERT (1717-1783)

l l. l . DEFINICIJA PRSTENA POLINOMA

207

ll.

Prsten polinoma

Formalne polinome (i formalne redove potencija) već smo upoznali u svezi rje­ šavanja nekih kombinatoričkih problema s pomoću funkcija izvodnica. Njihovi koe­ ficijenti bili su prirodni i racionalni brojevi. Ovdje ćemo definirati mnogo općenitiju klasu formalnih polinoma, čiji koeficijenti mogu biti iz bilo kojeg komutativnog prs­ tena. Oni su zajedno s teorijom konačnih (ili Galoisovih) polja od velike važnosti u telekomunikacijama, u tzv. algebarskoj teoriji kodiranja signala.

R komutativan prsten s jedinicom i a0, a1 , . . . , an E R. f(x) = ao + a1x + . . . + anxn zove se formalni polinom s koeficijentima iz prstena R , ili kraće, polinom nad R . Ako u polinomu f(x) uz neki monom stoji samo xl , onda ga gledamo kao l ·xl·, gdje je l jedinica u prstenu R. Ponekad ćemo l označavati i sa e . Primijetite da x nije element iz R, tj. x je samo formalna varijabla. Sto­ ga 'zbrajanje' i 'množenje' u izrazu f(x) nema zapravo nikakvo značenje. Poli­ nom J(x) u tom slučaju smatramo jednostavno sažetim zapisom beskonačnog slijeda (ao, a1 , . . . , an, O, O, . . . ) elemenata iz R. DEFINICIJA. Ako u polinomu f(x) = ao+a 1 x+ . . . +anxn vrijedi an =l O , onda kažemo da je f(x) po linom n -tog stupnja, i an je vodeći koeficijent polinoma. Skup svih formalnih polinoma s koeficijentima iz R označavamo sa R[x] . dva polinoma iz R[x] kažemo da su jednaki ako su im koeficijenti uz odgovorajuće potencije od x isti. DEFINICIJA. Ako je x E R , onda operacije u J( ) postaju smislene, i j( ) postaje element iz R. Element E R zovemo nultočkom ili korijenom polinoma f(x) u prstenu R ako je J( ) O . Za nultočku E R kažemo da je kratnosti k ako je polinom f(x) moguće napisati u obliku f(x) (x - c)k q(x), DEFINICIJA. Neka je

Izraz

Za

= e

e

e

e

=

e

=

·

e

l l . PRSTEN POLINOMA

208

pri čemu je q(x) E R[x] i q(c) =/:. O , tj. e nije korijen polinoma q(x) . Skup polinoma R[x] uvijek sadrži R kao svoj podskup. Doista, svaki element a0 E R može se gledati kao konstantan polinom. PRIMJER l . Ako polinom f(x) = x2 + l definiramo nad prstenom a) R = C , onda f(x) irna nultočke jer je j(i) = O j( -i) = O , b) R = Z2 , onda f(x) ima nultočku l , jer je j( l ) = O (vidjet ćemo niže da je ta nul-točka dvostruka), e) R = z5 , onda f(x) ima nultočke 2 i 3, jer je !(2) = O i !(3) = O , a za c = 0, 1, 4 je f( c) =f:. O .

±i,

PRIMJER 2 . Ako je p prost broj, onda je svaki a E Zp korijen polinoma xP - x E Zp[x] , dotično vrijedi aP - a = O, Va E Zp . Doista, za a = O tvrdnja je jasna. Pretpostavimo da je a =/:. O , tj. a E z; . Kako je z; multiplikativna grupa (s množenjem po modulu p ) i red grupe jednak p - l onda mora biti aP- l = l (to je jednostavan posljedak Lagrangeova teorema, vidi Teorem 9.5.3). Prema tome je aP = a , tj. aP - a = O . Vidimo da je tvrdnja u ovom primjeru zapravo ekvivalentna s Malim Fermatovim stavkom: ako je a bilo koji cijeli broj i p prost broj, onda je aP = a (mody) . Njega smo već dokazali na dva načina (vidi Korolar 3.6.4 i Propoziciju 6.33). Stoviše, za svaki � E N i a E Zn je arp (n) = l , čim je Nzm (a, n) = l (vidi Eulerovu kongruen­ ciju u Teoremu 3.6.3 ili Teoremu 9.4.3). ,

Cilj namje sada da K [x) organiziramo u prsten, tj. da uvedemo operacije zbrajanja i množenja polinoma. Dva polinorna iz R[x] zbrajamo tako da zbrojimo odgovarajuće koeficijente uz iste potencije od x . Točnije, ako je f(x) = ao + a1x + . . . + amxm i g(x) = bo + b 1 x + . . . + bnxn , onda definiramo max{m,n } f(x) + g (x) = L (aj + bj )J , j= l gdje stavljamo aj = O ako je j > m i bj = O za j > n . Na sličan način definiramo i množenje polinorna: f(x)g(x) = aobo + (at bo + aobt)x + . . . + ambnxm+n . Pritom je koeficijent uz xk jednak k aobk + a t bk- I + . . . + akbo = L ajbk-j· (l) j=O Prirnijetite da je zbroj indeksa u svakom pribrojniku isti, i jednak k . Svaki element a iz R može se gledati kao polinom u kojem imamo samo slobodni koeficijent, tj. f(x) = a je konstantan polinom. Polinom O zovemo nul-polinom. Su­ protni element of f(x) je polinom -f(x) koji irna koeficijente suprotnoga predznaka od f(x) . Vrlo lako se provjeri da je skup svih polinoma R[x] prsten s obzirom na ovako definirano zbrajanje i množenje polinoma. Prsten R[x] zove se prsten polinomi.

1 1.2. EUKLIDOV ALGORITAM ZA POLINOME

209

Propozicija 1 . Ako je R komu tativan prsten, onda je R[xl takoder komutativan prsten. Ako je R integralna domena, onda je i R[xl integralna domena.

Z[xl je (l + x + x2 ) + (-3 + 2x) = -2 + 3x + x2 . U Z2 [xl 2 je (l + x + x ) + (l + x2 ) = (l + l) + x + (l + l )x2 = x , jer je l + l = O . Na sličan način u Zz[xl vrijedi (l +xf = (l +x)(l + x) = l + ( 1 + l)x + x2 = l + x2 . Odavde slijedi da je x = - l = l dvostruka nul-točka polinoma l + x2 nad Z2 . P RIMJER 4 . Na skupu R00 svih beskonačnih sljedova ) elemena­ PRIMJER 3. U

a = (a0, a1 , . . . (ak ) (bk ) (co, c1 , . .

ta komutativnog prstena R možemo definirati zbrajanje po komponentama i množenje kao Ako su zadani sljedovi E R00 , onda njihovu i . ) određen konvoluciju (produkt) definiramo kao slijed (q) = sa (l). Nije teško vidjeti da j e (R00, +, * ) komutativan prsten. Prsten R[xl je u taj prsten s pomoću monomorfizma prstena y : R[xl --+ R00 zadanog sa y( O, O, . ) . To znači da svaki formalni = + +...+ polinom f(x) E R[xl možemo poistovjetiti s odgovarajućim slijedom koeficijenata u prstenu R00

konvoluciju sljedova.(a ) * (b ) k k

ulo­

ženao a 1x

a"x" ) (ao, a1 1 . . . , a" , . . (! * g)(x) Jf�*00g J(t)g(x - t) dt .J, g a* b a = (ak) b= (bk ), •

Prisjetimo se konvolucije definirana sa konvolucije

=

sljedova

dviju funkcija i

: R --+ R , koja je (uz neke uvjete na J i g ) Ova definicija je u potpunoj analogiji s definicijom koja je dana sa ( l ) : L:j=O

(a* b)k =

ajbk-j.

Ako je F polje, onda F[xl dakako nije polje, nego samo prsten s jedinicom. Npr. polinom l · x nema multiplikativnog inverza u F[xl .

U daljnjem će nam skup koeficijenata polinoma biti polje F, tj. promatramo prs­ ten polinorna nad F . Označimo stupanj polinoma f(x) E F[xl sa degj. Npr. deg (x2 + l) = 2 . Za konstantan polinom dogovorno stavljamo da je stupnja nula.

poljem

DEFINICIJA. Za formalni polinom g(x) E F[x] kažemo da dijeli polinom f(x) ako postoji polinom q (x) takav da je j(x) = g(x )q (x) . Polinom g(x) je djelitelj ili faktor od f(x) , i pišemo g(x) l j(x) . Moguće je formulirati Euklidov algoritam za dijeljenje polinorna koji je je potpu­ no analogan algoritmu za dijeljenje cijelih brojeva, uz gotovo isti dokaz. Teorem 1 . (Dijeljenje polinorna) Ako su j(x) , g(x) E F[.l<] polinomi nad po­ ljem F i g(x) =F O , onda postoje jedincati polinomi q (x) i r(x) iz F[xl takvi da vrijedi f(x) = g(x) q(x) + r(x), deg r(x) < degg(x) .

a

Polinom

r(x)

q (x)

u prethodnom teoremu zovemo kvocijent polinorna f(x) i

ostatak. Usporedi s Teoremom 3.1 .3.

g(x) ,

l l. PRSTEN POLINOMA

210

(x(e E F[x] i e E F, onda je ostatak pri (x sa x - e (x = (x - e)q(x) +/(e). r E F: f(x = (x - e)q(x) + r. r(x) x = e f(e = r. 3 +x+ x+ l PRIMJER l . x Z2[x] Z2 l + l = O , = (x

Propozicija 2. {O ostatku) Ako je f ) dijeljenju polinoma f ) jednak f ) : f )

{l)

DOKAZ. Kakoje deg {x - e) = l ondaje ostatak polinom nultog stupnja, dotično konstanta Stavljajući dobivamo ) )

Q.E.D.

prstenu

l sa

Pogledajmo primjer dijeljenja polinoma (podsjetimo se da u vrijedi tj. - l

u

l ):

+ l)

x3 + x + = {x2 + Zx)(x. + + f(x) x3 + =x + + + = g(x) x + x 2 PRIMJER 2. Ostatak pri dijeljenju polinoma x3 -2x2 + 4x + 3 E Zs[x] l l) 2 + 4 + 3) 5 l. Propozicija 3. Ako je f(x) polinom nad poljem F, onda je polinom x - e djelitelj od f(x) onda i samo onda akoje J(e) = O .

Drugim riječima, vrijedi l ) l . Algebarske opera­ l cije s koeficijentima polinoma provodimo u polju Primijetimo da, kako polinom = l = - l , ostatak je prema Propoziciji 2 = l dijelimo sa jednak f( l ) l l l l. jednak je J{

= {l -

mod

sa x -

=

DoKAZ. Tvrdnja slijedi odmah iz { 1 ).

Q.E.D.

DEFINICIJA. Za polinom kažemo da je normaliziran ako mu je vodeći koefici­ jent jednak jedinici u polju Ako je i an vodeći koeficijent, onda je a;; f(x) normalizirani polinom. Gornja definicija nam omogućuje da formuliramo rezultat koji je potpuno analogan {zajedno sa svojim dokazom) odgovarajućoj tvrdnji u prstenu cijelih brojeva {vidi Korolar 3.2.3).

f(x) E F[x]

F.

1

EF

koji nisu oba nula, onda postoji EEF[F[xx]] polinomi f(x), g(x) d(x) takav da vrijedi: d(x) l f(x) od f(x) i g(x); d(x) l g(x) , tj. d(x)f(x)je djelitelj h(x) (x), ondaje h(x) l d(x) , tj. d(x) je najvi­ g šeg mogućeg stupnja. DEFINICIJA. najve­ zajednička mjera f(x) g(x).d(x)

Teorem 4. Ako su jedincat normalizirani polinom (a) i (b) akoje

ća

djelitelj polinoma

i

Normalizirani polinom polinoma i

iz prethodnog teorema zove se

Vrijedi i ovaj rezultat, koji također već znamo na razini cijelih brojeva, uz vrlo sličan dokaz (vidi Teorem 3.2.4):

1 1 .3. IREDUCIBILNI (NERASTAVLJIVI) POLINOMI

211

Teorem 5. Neka su j(x) i g(x) polinomi nad poljem F koji nisu istodobno jednaki nul-polinomu. Ako je d(x) njihova najveća zajednička mjera, onda postoje polinomi s(x) i t(x) nad poljem F takvi daje d(x) = s(x) · f(x) + t(x) · g(x).

Polinomi s(x) i t(x) nisu jednoznačno određeni, i mogu se dobiti s pomoću Eu­ klidova algoritma na potpuno analogan način kao i kod nalaženja najveće zajedničke mjere cijelih brojeva b (vidi Teorem Najveća zajednička mjera dvaju polinorna nad poljem F može se pronaći na potpuno analogan način kao i najveća zajednička mjera cijelih brojeva s pomoću Euk­ lidova algoritma. Euklidovim algoritmom izračunavamo slijed polinoma f(x) , g(x) , rt (x) (ostatak pri dijeljenju f(x) sa g(x) ), rz(x) (ostatak pri dijeljenju g(x) sa rt (x) ), . . . rk (x) , rk+ I (x) (ostatak pri dijeljenju rk- I (x) sa rk(x) }, dok ne dođemo do ostatka koji je nul-polinom rk+ I (x) = O . Onda je d(x) = rk(x) , gdje je vodeći koeficijent od rk(x) .

a,

3.2.2).

ck' 1

ck

PRIMJER 3 . Ilustrirajmo to na primjeru dvaju polinorna f(x), g(x) E Z3 [x) , gdje 2 2 3 je f(x) = x + 2x + g(x) = x + 2x + l . Kod računanja u Z3 rabimo - 2 = l , -1

= 2, 2 · 2 = 1.

2,

(i) Dijeljenjem f(x) sa g(x) slijedi f(x) = xg(x) + r1 (x) , gdje je rt (x) = 2x + 2 . (ii) Dijeljenjem g(x) sa r1 (x) slijedi g(x) = 2xr1 (x) + r2 (x) , gdje je r2(x) = x + l . (iii) Dijeljenjem rz(x) sa r1 (x) slijedi r2(x) = 2r1 (x) + 0 . Prema tome, Nzm (f(x), g(x)) = rz(x) = x + l . Iz (i) je rt (x) = f(x) - xg(x) . Uvrštavanjem u (ii) dobivamo r2 (x) = g(x) - 2xr1 (x) = g(x) - 2x[f(x) - xg(x)] , tj .: 2 x + l = 2x · f(x) + (2x + l ) · g(x).

Da bismo točno definirali pojam ireducibilnosti polinorna, uvedimo najprije po­ jam proporcionalnosti polinorna. Neka je (F, +, ) bilo koje polje. Za dva polinoma f(x ), g(x) E F[x) kažemo da su nad F ako postoji konstanta e E F , e =j:. O , takva da je j(x) = e · g(x) . Npr. polinomi x2 + l i 3x2 3 su proporcionalni nad poljem R . Ako je zadan bilo koji polinom f(x) E F[x) , onda postoji samo jedan normalizirani polinom (polinom s vodećim koeficijentom jedan) koji je njemu 1 proporcionalan. To je polinom j(x) , pri čemu je vodeći koeficijent od f(x) .

proporcionalni

a;;

·

+

an

DEFINICIJA. Za polinom j(x) E F[x) koji je barem prvoga stupnja, kažemo da je ireducibilan (nerastavljiv) ako iz rastava f(x) = g(x)h(x) slijedi da je jedan od polinorna g(x) , h(x) nultoga stupnja (tj . konstanta iz F ). Dakle drugi je onda proporcionalan sa f(x) . Ako polinom f(x) nije ireducibilan, kažemo da je reducibilan, dotično rastavljiv na produkt dvaju polinoma od kojih niti jedan nije konstantan. P RIMJEDBA l . lreducibilni polinomi u prstenu F[x] igraju onu ulogu koju imaju prosti brojevi u prstenu cijelih brojeva Z .

l l . PRSTEN POLINOMA

212

PRIMJER l . Polinom x2 - 2 je ireducibilan nad poljem Q . Isti polinom je reducibilan nad poljem R : x2 - 2 = (x - Vl)(x + Vl) . PRIMJER 2 . Polinom x2 + l je a) ireducibilan nad poljem R , b) reducibilan nad poljem e : x2 + l = (x - i)(x + i) . e ) reducibilan nad poljem Zz , jerje (x+ l ) 2 = (x+ l)(x+ l ) = x2 + (l + l)x+ l = x2 + l . Jednakost x2 + l = (x + l ) 2 = (x - l ) 2 pokazuje da je e = l nultočka polinoma x2 + l , i to kratnosti dva. d) reducibilan nad Z5 , jer je (x + 2)(x + 3) = x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 = x2 + l .

Kao što vidimo, pojam reducibilnosti polinoma jako ovisi o izboru polja F. Slje­ deći rezultat daje jednostavan kriterij ireducibilnosti za kvadratne i kubne polinome s koeficijentima iz bilo kojeg polja.

F . Ako je "l O za sve e E F, onda je polinom f(x) ireducibilan. DOKAZ. Kad bi f(x) bio reducibilan, bio bi oblika f(x) = p(x ) q (x) gdje polinom p(x) i q(x) nisu konstante. Kako je f(x) stupnja 2 ili 3 , onda je barem jedan od ta dva polio oma linearan, dotično oblika ax + b, pa je e = -ba - l E F nultočka od Q.E.n. f(x) . To je protuslovlje. j( e)

Propozicija 1 . Neka je f(x) kvadratni ili kubni polinom nad poljem

PRIMJEDBA 2 . Tvrdnja nije točna za polinome četvrtog i višeg stupnja. Npr. za reducibilan, a ipak je J( e) # O za sve

F = R je polinom f(x) = (x2 + l )(x2 + l)

X E K.

PRIMJER 3 . Neka je F = Z7 i g(x) = x2 + l . Vidimo da je g{O) = l , g{l ) = 2 , g( 2) = 5 , g(3) = 3 , g{4) = 3 , g(5) = 4 , g(6) = 2 , tj. je g(e) "l O za sve e E � . Prema Propoziciji l zaključujemo daje polinom x2 + l ireducibilan nad poljem � -

Navedimo neke rezultate o formalnim polinomima iz F[x] koji su u potpunoj analogiji s odgovarajućim rezultatima u prstenu cijelih brojeva Z {Poglavlje 3). Oni pokazuju da pojmu prostog broja odgovara ireducibilni polinom, a pojmu složenog broja odgovara reducibilni polinom. Dokazi su vrlo slični, pa ih ovdje ispuštamo.

Propozicija 2. Nekaje F polje i f(x), g(x) E F [x] . Pretpostavimo dajepolinom ireducibilan. Ako p(x) I J(x)g(x) , onda p(x) l f(x) ili p(x) l g(x) . Općenitije, ako ireducibilni polinom p(x) dijeli produkt fl(x)fz(x) . . . fk(x) , onda p(x) dijeli baremjedan od polinoma fi(x) .

p(x)

Usporedite s Propozicijom 3.3.3. Sljedeći teorem je zapravo u potpunoj analogiji s odgovarajućim teoremom o jednoznačnom rastavu prirodnog broja na umnožak pro­ stih brojeva {do na poredak faktora) , vidi Teorem 3.3 . 5. Teorem 3. {Faktorizacija polinoma) Svaki polinom stupanj je barem jedan, ima rastav oblika

f(x) = anPI (x)pz(x) . . . p" (x)

f(x)

nad poljem F , čiji

1 1 .4. KVOCIENTNO POLJE PRSTENA POLINOMA

213

pn cemu je an vodeći koeficijent od f(x) , a Pi (x) su ireducibilni i nonnalizirani polinomi (vodeći koeficijent im je jedan). Ovaj rastav polinoma f(x) na ireducibilne faktore je jedincat do na poredak članova.

PRIMJER 4. Polinom 2x4 - 4x2 - 6 ima ovakve rastave na produkt ireducibilnih

polinoma u ovisnosti od polja F u kojem ga gledamo: a) f(x) = 2{x2 - 3){x2 + l) u Q[x] ; b) f(x) = 2(x - J3)(x + J3){x2 + l) u R[x] ; e ) f(x) = 2(x - J3)(x + J3)(x - i)(x + i) u C[x] ; d) f(x) = 2{x2 - 3){x2 + l) u Z7 [x] ; doista, polinorni x2 + l i x2 - 3 = x2 + 4 su nerastavljivi nad Z7 . To lako slijedi iz Propozicije l. Naime, uvrštavajući redom x = O, l, 2, 3, 4, 5, 6 dobivamo da je x2 + l f:. O (vidi Primjer 3), i isto tako x2 + 4 f:. O .

Kao što smo već vidjeli, postoje polja F u kojima nema svaki polinom nultočku. Npr. polinom x2 - 3 nema nultočku u polju Q , ali ima u većem polju R. Polinom x2 + l nema nultočku u polju R , ali ima u većem polju e . DEFINICIJA. Za polje F kažemo daje algebarski zatvoreno ako svaki polinom nad F ima barem jednu nultočku.

Prema Gaussovu osnovnom teoremu algebre, svaki polinom nad e { tj . s kom­ pleksnim koeficijentima) ima barem jednu nultočku. Drugim riječima, polje C je algebarski zatvoreno. Dokaz te činjenice može se naći u knjizi Hrvoja Kraljevića i Svetozara Kurepe: "Matematička analiza IV". Polje R nije algebarski zatvoreno jer npr. polinom x2 + l nema niti jednu nultočku u R . Pitanje na koje sada želimo odgovoriti je postoji li za svaki polinom f(x) nad zadanim poljem F neko proširenje polja F u kojem f(x) ima bar jednu nul-točku? Odgovor je potvrdan. Prvi korak u dokazu te činjenice daje sljedeći teorem. U dokazu tog teorema rabit ćemo pojam glavnog ideala I = (p(x)) u F[x] . Pri­ sjetimo se (vidi Odjeljak 10.6), ideal (p(x) ) je skup svih višekratnika polinoma p(x) u F[x] , tj. skup svih polinoma u F[x] koji su djeljivi sa p(x) : (p(x)) = p(x) · F[x] .

K

E F[x] . Kvocjentni prsten F[x]f(p(x) ) je polje onda i samo onda akoje polinom p(x) ireducibilan. Teorem 1 . Neka je F polje i

p(x)

DoKAZ. Označimo glavni ideal (p(x) ) prstena F[x] sa l . a) Pretpostavimo da je F[x]fi polje. Dokažimo da je p(x) ireducibilan po­ linom. Pretpostavimo suprotno, tj. p(x) = a(x)b(x) , gdje a(x) i b(x) nisu konstantni polinorni. Svaki polinom u I ima stupanj barem deg p(x) . Kako je deg a{x), deg b{x) < deg p(x) , onda a(x), b(x) i I . Prema tome pripadni elementi

ll.

214

PRSTEN POLINOMA

[a(x)] = a(x) +l i [b(x)] = b(x) +l u polju F[x]fl su različiti od nula [O] = 0+1 = l , pa je stoga i njihov produkt [a(x )] [b (x)] "# [0] . To je međutim proturječje sa [a(x)] [b(x)] = [a(x)b(x)] = [p(x)] = [0] . Primijetite naime da je p(x) - O = p(x) E l ( O je nul-polinom), pa je [p(x)] = [O] . b) Obratno, pretpostavimo da je po linom p(x) ireducibilan. Dokažimo da je kvocjentni prsten polje. Kako je prsten F[x] komutativan, onda je i kvocjentni prsten F[x]fl komutativan. Isto tako element [e] = e + l je jedinica u kvocjentnom prstenu, jer za svaki [!(x)] E F[x]fl vrijedi [e] [f(x)] = [e · f(x)] = [!(x)] . Da bi dokazali da je F[x]fl polje, treba još samo vidjeti da je svaki element [!(x)] E F [x]fl * invertibilan. Kako je [!(x)] "# [O] , tj. f(x) = f(x) - O � l ,

)

(

onda f(x) nije višekratnik od p(x) u F[x] . Odavde zbog ireducibilnosti polinoma p(x) zaključujemo da je najveća zajednička mjera polinoma p(x) i f(x) jednaka e . Prema Teoremu 1 1 .2.5 postoje k(x ), l(x) E F[x] tako da vrijedi: e = k(x) p(x) + l(x) · f(x). Prema tome je e - l(x)f(x) = k(x)p(x) E l, i odavde [e] = [l(x)f(x]) , tj. [l(x)][f(x)] = [e] . To znači da je [f(x)] invertibilan: [f(x)]- 1 Q.E.o. [l(x)] . U izračunavanju kvocjentnih polja i prstena od koristi će nam biti sljedeći rezultat. Primijetite da polinom p(x) ne mora biti ireducibilan. ·

=

Teorem 2. Neka je F polje i p(x) E F[x] polinom n -tog stupnja, n � l . Oz­ načimo sa I (p(x)) pripadni glavni ideal u F[x] . a) Onda za svaki polinom [f(x)] E F[xJ;1 vrijedi [f(x)] = [r(x)], (l) pri čemu je r(x) ostatak pri dijeljenju f(x) sa p(x) , tj. f(x) = q(x )p(x) + r(x) , deg r(x) < n . b) Polinom r(x) za koji vrijedi relacija (1) je u skupu svih polinoma stupnja < n određen jednoznačno. Točnije, postoji jedinca t polinom oblika r(x) = bo + b1 x + . . . + bn lx"- 1 za koji vrijedi (1). e) Funkcija ({J : F � F[x]fl zadana sa ({J( a) = [a] = a + l je monomorflzam, tj. polje F možemo poistovjetiti s potpoljem ({J(F) kvocjcntnogprstena F[x]fl · Na taj način kvocjentni prsten K = F[x]fl možemo smatrati proširenjem polja F . =

DoKAz. a) Zbog f(x) - r(x) = q(x)p(x) E l je [f(x)] = [r(x)] . b) Nekaje [f(x)] = [r(x)] i [!(x)] = [q (x)] , gdje su r(x) i q (x) polinomi stup­ nja manjeg od n . Iz [r(x)] = [rl (x)] slijedi r(x) - r1 (x) E l , tj. p(x) l r(x) - r1 (x) . Kako je polinom r(x) - r1 (x) stupnja manjeg od n = degp(x) , zaključujemo da mora biti r(x) - r1 (x) = O , tj. r(x) = r1 (x) . e) Provjera homomorfnosti od qJ je lagana. Za sve a, b E F vrijedi: ({J(a + b) = [a + b] = [a] + [b] = ({J(a) + ({J(b), qJ (ab) = [ab] = [a] [b] = qJ (a) qJ ( b) .

215

1 1 .4. KVOCJENTNO POLJE PRSTENA POLINOMA

Da bi dokazali injektivnost od cp , neka je cp(a) = [O] . Onda je [a] = [O] , tj. a E l , odakle slijedi p(x) a . Kako je p(x) polinom stupnja n :;?: l i a E F, mora biti Q.E.D. a = O . Dakle ker cp = {O} , tj. cp je injekcija.

l

PRIMJER l . Definirajmo ideal l = (x2 + l) u prstenu R [x] . Ostatak pri di­ jeljenju polinoma f(x) = x3 + 2x2 + 3x + l E R[x] sa p(x) = x2 + l jednak je r(x) = 2.x - l , a kvocijent je q(x) = x + 2 :

x3 + 2x2 + 3x + l = (x2 + l)(x + 2) + (2.x - 1). Prema tome j e f(x) = r(x) (mod I) , što j e drugi zapis za f(x) - r(x) E l. Drugim riječima, vrijedi lf(x)] = [r(x)] , dotično [x3 + 2x2 + 3x + l] = [2x - I]. Polinom 2.x - l je jedini polinom stupnja < 2 = deg (x2 - l) , koji je ekvivalentan sa f(x) po modulu l , tj. f(x) - (2.x - l) E l . PRIMJER 2 . Pokažimo da je kvocjentni prsten R [x]f(x2 + l) (koji sadrži R ) izomorfan s poljem e . Kvocjentni prsten, kao što vidimo iz prethodnog teorema, sa­ drži zapravo razrede ekvivalencije koji pripadaju polinomima prvog stupnja: [a + bx] . Osim toga, svaki element lf(x)] se može napisati u tom obliku na jedan jedini način. Stoga je dobro definirano preslikavanje:

y : R[x]j1 -+ e, y ([a + bx]) = a + bi, pri čemu stavljamo l = (x2 + l) . Bijektivnost od y je očevidna. Aditivno svojstvo je jednostavno provjeriti. Nekaje r1 (x) = a + bx i r2 (x) = c + dx . Onda je r ( h (x)] + [rz(x)]) = y ([(a + e) + (b + d)x]) = (a + e) + (b + d)i = (a + bi) + (e + di) = y ([rl (x)]) + y ([rz(x}l ).

Za provjeru multiplikativnog svojstva treba najprije primijetiti da je x2 -t- l E I , p<1 jc [x2 + l] = [O] , tj. [xf + [l] = [O] , dakle [x] 2 - [ 1 ] . Prema tome element [x] ponaša se kao imaginarna jedinica u kvocjentnom prstenu R[x]j1 . Provjerimo sada multiplikativno svojstvo od y : =

y([rl (x)][rz(x)]) = y([r1 (x)rz(x)]) = y([ac + (ad + bc)x + bdx2]) = y ( [ac + (ad + bc)x] + [bd][x2] ) = y([ac + (ad + bc)x] - [bd] ) = y ( [(ac - bd) + (ad + bc)x]) (ac - bd) + (ad + bc)i = (a + bi)(e + di) = y ([rl (x)]) · y ([rz(x)]). =

Time j e dokazano da j e kvocjentni prsten zapravo polje, koje j e izomorfno s poljem kompleksnih brojeva e . Pogledajmo za ilustraciju polinom [ l] + z2 s koeficijentima iz polja K = F [x]fl . Kako je varijabla x već 'potrošena' u definiciji polja K , uveli smo novu formalnu varijablu z . Izračunajmo vrijednost tog polinoma za z = [x] :

[1] + [x] 2 = [1] - [l] = [0], tj. [x] je nultočka polinoma [l] + z2 u kvocjentnom polju K . Na isti način je i - [x] nultočka. Primijetite da je kvocjentno polje K proširenje polja R. Polinom l + z2

216

l l . PRSTEN POLINOMA

K

nema niti jedne nul točke u R, a u ima dvije. Općenitiji rezultat koji generalizira ovaj primjer, bit će dan u sljedećem odjeljku. Vidjeli smo da prsten F[x] ima mnoga svojstva koja su vrlo slična svojstvima prstena cijelih brojeva Z . Kao što znamo, svi ideali u Z su glavni, dotično oblika (n) = nZ . Isto vrijedi i za prsten polinoma F[x] . u

Teorem 3. Ako je F polje, onda je F[x] prsten glavnih ideala, tj. svaki ideal F[x] je oblika (p(x) ) za neki polinom p(x) nad F .

I

DOKAZ. a) Pretpostavimo daje ideal I različit od {O} i F[x] . Onda je I =/= (e) , gdje je e konstantan polinom u F[x] , e E F e F[x] . Doista, očevidno za e = O vrijedi (O) = {O} , a za e =/= O imamo (e) = e · F[x] = F[x] . Naime za svaki f(x) E F[x] vrijedi f(x) = e · e- 1 j(x) E (e) . Neka je p(x) bilo koji nekonstantni polinom u I najmanjeg mogućeg stupnja. Kako je p(x) nekonstantan, stupanj mu je � l Dokažimo da je I = (p(x) ) , odakle će slijediti da je s vaki ideal glavni. a) Kako je p(x) E I , onda je (p(x) ) � I . b) Obratno, neka je j(x) E I . Dokažimo da je djeljiv sa p(x) , tj. sadržan u (p(x) ) . Prema Euklidovu algoritmu se polinom f(x) može podijeliti sa p(x) : .

f(x) = q(x)p(x) + r(x) , deg r(x) < deg p(x). Pritom je q(x) E F[x) kvocjent, a r(x) ostatak. Kako je f(x) E I i q (x)p(x) onda je i r(x) = f(x) - q (x)p(x) E I.

E I,

Odavde slijedi da je r(x) djeljiv sa p(x) . Međutim, polinom p(x) je nekonstantni polinom minimalnog stupnja u I , a deg r(x) < degp(x) , pa da bi bilo r(x) E I , mora biti r(x) = O . Prema tome je f(x) = q(x )p(x) E (p(x) ) . Time je dokazano da je I � (p(x) ) . Q.E.D. Iz a) i b) slijedi da je I = (p(x)) . PRIMJEDBA l . Prsten F[x] svih polinoma s koeficijentima iz polja F sadrži polje F kao svoj podskup (kao konstantne polinome). Prema tome, F[x] se može gledati i kao vektorski prostor nad poljem F . Doista, operacija zbrajanja polinoma u F[x] je već definirana, a rnnoženje polinoma j(x) = ao + a 1 x + . . . + anX' E F[x] sa skalarom e E F definiramo na prirodan način:

e · f(x) = eao + ea 1x + . . . + ean�-

Vektorski prostor F[x] je beskonačno-dimenzionalan. Jednu bazu mu čini beskonačan slijed monoma l, x, x2 , : a) ti su monomi linearno nezavisni, jer ako je neka njihova linearna kombinacija ao l + a 1 x + . . . + anxn jedanaka nul-polinomu u F[x] onda je ao = a1 = . . . = • • •

·

Dn .

,

b) svaki polinom f(x) se može napisati kao njihova linearna kombinacija, s koeficijentima iz F ,

Gotovo svi rezultati koje smo naučili iz linearne algebre (vidi [Elezović]) mogu se bez ikakvih poteškoća prenijeti s vektorskih prostora X nad poljem realnih brojeva na vektorske prostore nad bilo kojim poljem F . Tako je npr. moguće gledati vektorski

1 1 .5. PROŠIRENJA POLJA

217

prostor matrica Mm11 (F) nad poljem F (tj. s koeficijentima iz Polje F može biti Z2 , Z3 , Q , Q[ J2] itd. Kvocjentni prsten

F[x]f(p(x))

F), vektore iz F11 itd.

je prsten �stataka polinorna f(x)

E F[x] po mo­ ZJ(n) , (n) = nZ ,

dulu l = (p(x)) , na sličan način kao što je kvocjentni prsten prsten ostataka cijelih brojeva po modulu To nam pokazuje Teorem 2.

n.

Kvocjentni prsten F[xJ; (p(x)) može se poistovjetiti sa prstenom F[x]n svih po­ linoma stupnja � l , gdje je = deg p(x) Pritom umnožak polinoma r1 (x) i ·r2 (x) u tom prstenu definiramo kao ostatak pri dijeljenju polinoma r1 (x)r2 (x) E F[x] sa p(x) . Izomorfizam prstena F[x]J (p(x)) i F[x] n ostvaruje funkcija koja razredu

n

[f(x)] E F[x]/(p(x))

n

-

.

pridružuje ostatak

r(x)

pri dijeljenju polinoma f(x) sa

p(x) .

Na taj način imamo još jednu paralelu sa prstenom ostataka cijelih brojeva: kao što je ZJ(n) � Z11 , tako je i F[x]J (p(x)) � F[x]11 • Prsten Z11 sadrži elemente O, l, . . . l , sa zbrajanjem i množenjem po modulu n , a prsten F[x]11 sve polinome oblika + a 1 x + . . . + 11 _ l xn l sa množenjem po modulu p(x) i zbrajanjem po komponentama.

, nao

a

-

Kvocjentni skup F[x]j(p(x)) možemo također gledati kao konačno-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem F . Njegova dimenzija jednaka je = degp(x) , jer se može poistovjetiti s vektorskim prostorom polinoma F[x]11 stupnja < n . Jedna baza u F[x]11 je l, x, . . . , xn- 1 •

n

proširenjem polja

Podsjetimo se da polje K zovemo F ako je F potpolje polja K . Operacije množenja i zbrajanja na F su naslijeđene iz K . Kazat ćemo da je K proširenje polja F i u općenitijem slučaju, kada postoji potpolje polja K koje je izomorfno sa F . Drugim riječima, K je proširenje polja F ako se F može uložiti u K s pomoću nekog monomorfizrna polja y : F K . Vrlo lako je provjeriti da ako su K1 i K2 potpolja od K , onda je i presjek K n K2 potpolje. Naime K1 n K2 je aditivna podgrupa od K, a (Kt n K2 ) * = Ki n Kž je multiplikativna grupa. Na isti način se dokazuje daje i presjek bilo kojeg broja potpolja od K o�t polje. -+

t

DEFINICIJA. Neka je F potpolje polja K . Odaberimo element a E K i proma­ trajmo najmanje (s obzirom na inkluziju) polje F(a) koje sadrži polje F i element a . Polje F( a) može se dobiti kao presjek svih potpolja polja K koja sadrže F i a (među njima je i K ). Ovako definirano proširenje polja F s pomoću jednog elementa a E K zove se jednostavno proširenje polja F. ·

l l . PRSTEN POLINOMA

218

r-------, K

a

F(d}

Sl. 1 1. 1. jednostavno proširenje polja.

Na potpuno analogan način može se definirati i proširenje F( a1 , . . . , ak ) kao minimalno polje koje sadrži F i skup { a1 , . . . , ak} . Očevidno je

F � F(at ) � F(at, az) � . . . � F(a1 , az, . . . , ak ).

Ako je a E K \ F, onda je očevidno F pravi podskup polja F( a) , a ako je a E F, onda je F(a) = F . Za a E K uvedimo i prsten F[a] najmanji potprsten polja K koji sadrži F i a . Vrlo je lako vidjeti da je -

F[a] = {!(a) : f(x) E F[x]}.

Riječima, prsten F [a] je skup svih onih elemenata iz K koji se mogu dobiti kao f(a) = aoa + a1a + . . . + an an , gdje su ak E F. Očevidno je F � F[a] � F(a). Vrlo j e lako vidjeti da se polje F(a) dobiva kao skup svih elementa iz K oblika f( a )g( a ) - 1 , pri čemu su f(x ), g(x) E F[x] i g( a) =l O . Drugim riječima, F( a) je polje 'kvocjenata' polinoma u a , tj. elementi polja F( a) dobivaju se uzastopnom pri­ mjenom operacija zbrajanja, množenja i invertiranja elementa skupa F U {a} . Naime element f( a )g( a )- 1 možemo gledati kao 'razlomak' ���� , dobiven nakon primjene ovakvih operacija svođenjem na 'zajednički nazivnik' .

PRIMJER l . Polje racionalnih brojeva Q j e potpolje polja R . Onda je, kao što { a + b../2 : a, b E Q} prsten. To je ne samo prsten, nego i polje (vidi Primjer 10.3.5). Dakle Q [ v'2] = Q( v'2) . Na sličan način je i smo vidjeli, skup Q[ ../2]

=

R[i] = {a + bi : a, b E R} = R( i) = C .

DEFINICIJA. Neka je polje K proširenje polja F . (i) Za element a E K kažemo da je algebarski nad F ako postoji polinom f(x) E F[x] različit od nul-polinoma, takav da je f(a) = O . Polje F(a) u tom slučaju zovemo jednostavnim algebarskim proširenjem polja F . (ii) Za element a E K kažemo da je transcendentan nad poljem F ako nije alge­ barski, tj. ako za svaki polinom f(x) nad F vrijedi f( a) =l O . Polje F( a) u tom slučaju zovemo transcendentnim proširenjem polja F . Riječima, za element a E K kažemo da j e algebarski ako postoji polinom s koeficijentima iz polja F koji poništava a Ako takav polinom ne postoji, kažemo da je a transcendentan nad F . Dakako, ako je a transcendentan, onda je nužno a E K \ F, jer su elementi polja F svi algebarski nad F : bilo koji e E F je nultočka polinoma f(x) = x - e E F[x] . .

1 1 .5. PRošiRENJA POLJA

219

PRIMJER 2. Što su elementi koji su algebarski nad poljem racionalnih brojeva (kraće - algebarski brojevi), gledani u polju realnih brojeva R ? To su nultočke bilo kojeg polinoma koji je f:. O , s racionalnim koeficijentima poput x2 - l , x2 + l , x6 - 4x3 - l itd. Primjeri su ..fi (korijen polinoma x2 - 2 ) ,
svih

polinoma s ejelobrojnim koeficijentima. Naime, svaki polinom f(x) nad Q , dotič­ no s racionalnim koeficijentima, možemo pomnožiti sa produktom e svih nazivnika racionalnih koeficijenata u f(x) . Time dobivamo polinom e · f(x) s cjelobrojnim koeficijentima koji ima iste nul-točke kao i f(x) . PRIMJEDBA l . Za skup algebarskih brojeva (nad poljem Q) sadržanih u R , vidjeli smo već u Propoziciji 1 .5.2 da j e prebrojiv. Kako j e skup realnih brojeva neprebrojiv (Cantorov teorem, Teorem 1 .5.1), onda je skup transcendentnih brojeva neprebrojiv. Naime, lako se vidi da je unija dva prebrojiva skupa opet prebrojiva. Može se dosta lako pokazati da prebrojivost skupa algebarskih brojeva irna slje­ deći posljedak. Ako na slučajan način način odaberemo bilo koji realan broj, onda je gotovo sigurno da će to biti transcendentan broj (tj. vjerojatnost je jednaka l ). Naše iskustvo s transcendentnim brojevima je mnogo siromašnije nego s algebarskim brojevima, pa nam se zato čini da transcendentnih ima mnogo manje od algebarskih. Upravo suprotno! Neki od važnijih transcendentnih brojeva su n , e , ln 2 . Jedan neprebrojiv skup transcendentnih brojeva naveden je već u Odjeljku 1 .5. Dokaz da je neki broj trans­ cendentan (kao npr. n ) je često vrlo težak. PRIMJER 3 . Za razumijevanje sljedećeg teorema trebat će nam primjer polja F(x) svih racionalnih funkcija s koeficijentima iz polja F. Neka su f(x), g(x) E F[x] dva polinoma nad poljem F i g(x) f:. O , tj. g(x) nije nul-polinom. Onda definiramo racionalnu funkciju � jednostavno kao formalni kvocijent dvaju formalnih polinorna u varijabli x . Kako su i konstante a, b E F također polinomi, onda pod kvocijentom E smatramo element ab - l E F . Zbrajanje i množenje takvih razlomaka obavljamo na uobičajen način:

f(x) + p(x) g(x) q(x) --

--

=

f(x) q(x) + g(x)p(x) , f(x) · -p(x) f(x)p(x) . g(x) q(x) g(x) q(x) = g(x) q(x) --

Rezultat je u oba slučaja opet racionalna funkcija (kvocijent polinoma) s, koeficijen­ tima iz F. Skup svih racionalnih funkcija nad F označavamo sa F(x) . Taj skup je s obzirom na navedene operacije zbrajanja i množenja polje, koje zovemo poljem racionalnih funkcija F(x) . Polje F(x) je očevidno proširenje polja F, jer je a = � za svaki a E F . Primijetite da je zapravo F e F[x] e F(x).

220

l l . PRSTEN POLINOMA

Teorem 1 . Neka je K proširenje polja F i element a E K transcendentan nad poljem F . a) Prsten F[al je onda izomorfan prstenu F[xl svih polinoma nad F . b) Polje F( a ) je izomorfno polju F(x) svih racionalnih funkcija nad F .

DOKAZ. a) Preslikavanje qJ : F[xl ---+ F[al , zadano sa ({J(j(x)) = j(a ) je izomor­ fizam prsteria. Jasno je da je qJ epimorfizam (surjektivni homomorfizam). Jedino mjesto gdje nam treba pretpostavka da je a transcendentan je dokaz injektivnosti od ({J , tj. ker qJ = {0} . Doista, ako je qJ(j(x)) = O , onda je f( a) = O . Kako je a transcendentan, onda je jedini polinom koji poništava a jednak nul-polinomu O , tj.

f(x) = O .

b) Slično kao u a) se provjeri da je funkcija l/f : F(x) ---+ F(a) , definirana sa l/f ( ) = f(a)g(a) - 1 , izomorfizam polja. Primijetite da je g( a) -:j:. O za sve poli­ Q.E.D. nome g(x) koji nisu = O , upravo zbog transcendentnosti elementa a .

"ffit

PRIMJER 4. Prethodni teorem pokazuje da transcendentan element nad poljem F možemo gledati gotovo kao formalnu varijablu x u prstenu polinoma F[xl ili u polju kvocjenata F(x) . Kako je n E R transcendentan broj nad Q , polje Q( n) je transcendentno nad Q . Prema prethodnom teoremu ono je izomorfno sa poljem raci­ onalnih funkcija (kvocjenata polinoma) Q(x) . Polje Q(n) sadrži sve realne brojeve oblika , gdje je g(x) različit od nul-polinorna, tj.:

��=�

!(n) ao + a 1 n + . . . + am nm -- = g( n) bo + b1 n + . . . + bn nm '

pri čemu su a;, bj E Q . Slična tvrdnja vrijedi i za transcendentne brojeve e � 2.71 828 . . . , ln 2 itd. Posljedak sljedećeg teorema je da za bilo koji polinom nad F postoji proširenje polja F u kojem taj polinom posjeduje korijen. Npr. polinom x2 - 2 nad Q nema korijen u Q , ali ima u R . Polinom x2 + l nad poljem R nema korijen u R , ali ima u polju e . Teorem 2. Neka je F polje i p(x) E F[xl ireducibilan polinom nad F . a) Onda je polje F [xl;(p(x)) proširenje polja F .

b) Polinom p(z)

E F [zl

posjeduje barjedan korijen

aE

F [xl/(p(x)) .

e) Kvocjentno polje F[xl!(p(x)) izomorfno je polju svih polinoma nad F stup­ nja � n - l , n = deg p . Točnije, svaki element [f(x)l kvocjentnog polja F[xl; (p(x)) može se poistovjetiti s polinomom r( a) stupnja � n - l , gdje je r(x) ostatak pri dijeljenju f (x) sa p(x) : r( a)

= bo + b1 a + . . . + bn -I an - I .

Pri tom su b; E F i a je bilo koji korijen polinoma p(z) iz b). Elemente r1 ( a) i r2 ( a) u tom polju zbrajamo po komponentama, a množimo po modulu p( a) : umnožak r1 ( a)r2 ( a) jednakje ostatku pri dijeljenju uobičajenog umnoška poli­ noma r1 ( a) i r2 ( a) sa p( a) .

1 1 .5. PROŠIRENJA POLJA

221

DOKAZ. Neka je I =

(p(x)) ideal generiran sa p(x) , dotično I je skup svih polinoma iz F[x] djeljivih sa p(x) : I = p(x) · F[x] . Kako je polinom p(x) ireducibilan, onda je prsten F[x] f(p(x)) polje (Teorem 1 1 .4. 1 ) . a) Polje F[x]fi j e proširenje polja F jerj e a �--+ [a] = a + I monomorfizam iz F u F[x]fi . Drugim riječima, svaki a E F možemo poistovjetiti sa [a] E F[x]fi (vidi Teorem 1 1 .4.2). b) Dokazat ćemo daje element a := [x] E F[x]fi , [x] = x+ I , korijen polinoma p(z) = ao + a1 z + . . . + anzn . Najprije, budući da polje F poistovjećujemo sa potpoljem kvocjentnoga polja F[x]fi , onda umjesto p(z) = a0 + a 1 z + . . . + anzn pišemo

p(z) = [ao] + [a i] Z + . . . + [an]z . Odavde lako zaključujemo da je a nul-točka polinoma p(z) : p( a ) = p ([x] ) = [ao] + [ai ][x] + . . . + [an][xr = [ao + a 1 x + . . . + anx"] = [p(x)] = [O]. Zadnja jednakost slijedi iz p(x) - O = p(x) E I . e) Zbog f(x) = p(x)q(x) + r(x) je f(x) - r(x) = p(x)q(x) E I ( q(x) je kvoci­ jent pri dijeljenju f(x) sa p(x) ), dakle lf(x)] = [r(x)] = [bo + b1 x + . . . + bnxn ] = [bo] + [bt][x] + . . . + [bn][x] n . Q.E.D. Tvrdnja slijedi nakon poistovjećivanja [b;] sa b; , a = [x] . "

Korolar 3. Za svaki polinom j(x) E F[x] postoji polje koje je proširenje polja ima korijen. Uzastopnim proširivanjem polja s novim korijenima dolazimo do polja F(at, . . . , am ) u kojem po/inom f(x) ima rastav:

F, u kojem f(x)

f(x) = an (x - aJ ) . . . (x - an ) ·

f(x) = anPI (x) . . · Pk (x) rastav polinoma f(x) na umnožak norma­ liziranih polinoma p;(x) koji su ireducibilni nad F. Prema Teoremu 2 za ireducibilni polinom p 1 (x) postoji korijen a koji se nalazi u nekom proširenju F(a) polja F . Prema tome je f(a) = anPI (a) . . . pm (a) = O. Pritom je P I(x) = (x - a)q(x) . Nastavljajući dalje sa q(x) i ostalima p; -ovima, dolazimo uzastopnim proširivanjem Q.E.D. polja F s novim korijenima do tvrdnje teorema. DOKAZ. Nekaje

DEFINICIJA. Proširenje F( at . az , . . . , an) polja F u kojem polinom f(x) nad F ima rastav oblika f(x) = a11(x - a1 )(x - az ) . . . (x - an ) zove se polje razlaganja ili korijensko polje polinoma f(x) E F[x] . Može se pokazati da su svaka dva polja razlaganja polinoma f(x) međusobno izomorfna. PRIMJER 5 . Polinom p(x) = xZ - 2 je ireducibilan (nerastavljiv) nad Q . Kao što znamo, onda kvocjentno polje Q[x]f(xz 2) sadrži korijen a polinoma xZ - 2 . Budući daje stupanj polinoma p(x) jednak n = 2 , onda se prema Teoremu 2 elementi kvocjentnog polja mogu poistovjetiti s polinomima prvog stupnja u a : _

r(a) = a + ba, a, b E Q.

l l . PRSTEN POLINOMA

222

=

=

Vrijedi p ( a ) a 2 - 2 = O , tj. a2 2 , pa onda polinome oblika r(a) možemo međusobno množiti po modulu p( a ) kraće tako, da rabimo tu relaciju. Npr.: (3 2 a )(l a ) 3 a - 2a 2 3 a 4 - l a. Nađimo sada ( l a ) - 1 a u tom polju. Mora biti ( l - a )( a) l , l . Odavde je a - 2b = l i tj. a + (b - a)a - ba 2 = l , tj. O , tj. -l , - l . Dakle ( l - a ) - 1 - l - a . Q( vtz) , koje Kvocjentno polje Q [x]f(x2 2) je izomorfno polju Q[ vtz] predstavlja najmanje polje u R koje sadrži polje Q i korijen J2 (korijensko polje polinoma x2 - 2 ). Izomorfizam ova dva polja ostvaruje pridruživanje vtz, E Q. ba �---+ Na isti način kao malo prije je (3 2 vtz)(l Vz) = - l - v'z, ( 1 - v'z) - 1 - 1 - v'z.

b-a=

+ - = = - - = - = a+b a+b = (a 2b ) + (b - a)=a = a= b= = _

a+ +

a+b -

a, b

=

Gelf o nd je 1934. g. pokazao da je broj ab transcendentan ako je a algebarski broj različit od O i l , i b iracionalan algebarski

� P OVIJESNA CRTICA � A./.

broj (Gelfondov teorem; do istog rezultata je 1935. g., nezavisno od Gelfonda, došao i Th. Schneider). Npr. brojevi 2v'2 , 2v'J su transcendentni. Pokazuje se da su brojevi oblika � , sin x , cos x , tgx , shx , ch x , th x trans­ cendentni za sve algebarske brojeve x koji su f. O (npr. sin l , cos vtz ). Brojevi log x , arc sin x , arc cos x , arc tg x , ar sh x , ar ch x , ar th x su transcendentni za sve algebarske brojeve x koji su f. O i f. l (npr. log 2 , arc sin J2 ). Vidi Ivan Niven: Mathematical Association of America, 1956., str. 131. Rabeći Propoziciju 1 .5.2 nije teško vidjeti da svi ovdje navedeni transcendentni brojevi čine prebrojiv skup. Jedan neprebrojiv skup transcendentnih brojeva opisan je na str. 13 (Liouvilleovi brojevi).

Irrational Numbers,

Pretpostavimo da je K proširenje polja F. Onda je K i vektorski prostor nad poljem F , pa time imamo definiranu operaciju zbrajanja : K x K -+ K i množenje skalara iz F i vektora iz K , tj. · : F x K -+ K . Dimenziju vektorskog prostora K nad poljem F označava se sa dimFK (često i sa [K : F] ). Npr. vektorski prostor Q( vtz) nad poljem Q ima dimenziju 2 , jer je npr. { l , vtz} baza u tom prostoru. Slično je i dimRC = 2 , jer je npr. {l, i} baza u prostoru C nad poljem R . Dakako, dimcC l , jer je npr. { l } baza u prostoru C nad poljem e . Vektorski prostor R nad poljem Q je beskonačno-dimenzionalan. Npr. beskona­ čan skup { l , n, n2 , . } je linearno nezavisan. Doista, zbog transcendentnosti broja

+

=

.

.

1 1 .6. KONAĆNA (GALOISOVA) POLJA

223

ao · 1 + a 1 nrc + . . . + an rcn = O, ai E ao = a1 = . . . = an = O , rc, . . . , rc !F l F. Teorem 1 . a) Neka je F bilo koje konačno polje. Onda je !Fl = � , pri čemu je p prost broj i n E N . Adi tivna grupa (F, +) izomorfnaje s aditivnom grupom (Zp )n , a multiplikativna grupa (F*, · ) je ciklička. b) Obratno, za svaki broj oblika � , gdje je p prost broj i n E N , postoji polje F rc

nad Q iz Q , slijedi su linearno nezavisni nad Q za svaki n . tj . 'vektori' l , U sljedećem teoremu sa označavamo red polja, tj . broj elemenata u

reda � . Svaka dva polja reda � su međusobno izomorfna. SKICA DOKAZA. a) Karakteristika konačnog polja

F

O, F

F p. p Zp

ne može biti jer bi inače sadržavao potprsten izomorfan sa (vidi Propoziciju 10.5.2), pa bi bio beskonačan. Iz Propozicije 10.5 .1 dobivamo da je karakteristika polja jednaka prostom broju Iz Propozicije 10.5.2 slijedi da onda postoji potpolje od izomorfno sa Promatraj mo sada F kao vektorski prostor nad poljem Z (to možemo jer je Z potpolje od Pretpostavimo da je dimenzija vektorskog prostora nad poljem t, je{ je konačan skup, vrijedi n < oo . Neka je baza jednaka n . u Onda se s može jednoznačno napisati u obliku linearne kombinacije:

Z

F F

F ).

F.

F � �EF

p

Zp .

F {e 1 , . . . , en }

a = A l el + . . . + An en , pri čemu su Ai E Zp . Svakom a E F možemo bijektivno pridružiti poredani n -terac komponenata (At . . . . , An ) E (Zp)n . To pridruživanje je očevidno izomorfizam adi­ tivnih Abelovih grupa (F, +) i (Zp)n . Prema tome je također (rabimo i produktno pravilo, vidi Teorem 6.1 .2): !F l = I(Zp tl = I Zpl n = Pn · b) Može se pokazati da za svaki n � l postoji polinom q (x ) E Zp[x] n -tog stupnja koji je ireducibilan nad Zp (ovo je jedino mjesto koje ostavljamo bez dokaza). Onda je Zp[x]J( q (x ) ) polje koje je proširenje polja Zp , i u njemu polinom q (z) posjeduje baremjedan korijen a (vidi Teorem 1 1 .4. 1 i Teorem 1 1 .4.2). Svaki element polja Zp[x]j( q(x)) možemo poistovjetiti sa (l)

bi E Zp . (bo, b 1 , . . . , bn -1 ) E (Zp)n

gdje su N a isti način kao u a ) zaključujemo da j e broj elemenata kvocjent­ nog polja jednak � . Naime opet po produktnom pravilu (Teorem 6.1 .2), toliko ima Q.E.Dt n -teraca koji određuju

r(a) .

DEFINICIJA. Bilo koje konačno polje zove se Galoisovo polje (Galois čitaj kao Gaioa). Svako od njih je reda � , gdje je p prost broj, n Kako su svaka dva Galoisova polja reda � međusobno izomorfna, onda ima smisla to polje označiti sa

E N.

GF

GF(pn ).

Oznaka dolazi od engl. Galois field. U sljedeća dva primjera izračunat ćemo Galoisova polja reda 4 i 9 : i Ponovimo još jednom konstrukciju polja : l . naći ireducibilan polinom ( ) stupnja n ; 2. . U tom polju zbrajamo po komponentama, a množimo po modulu ( ) . Varijabla je formalna.

qx

GF(22 ) GF(3 2 ) . GF(�) GF(�) = {b+ bl a + . . . + bn - 1 an - l : bi E Zp} a q za

224

l l. PRSTEN POLINOMA

= l + x + xz E Zz [x] je ireducibilan nad poljem Zz . Naime radi se o kvadratnom polinomu, = 2 , pa ireducibilnost slijedi iz činjenice što p(x) nema nultočke u Zz (vidi Propoziciju 1 1 .3. 1): p(O) = l, p(l ) = l . Prema tome svaki element kvocjentnoga polja Zz[x]f(xz + x + 1) može se poistov­ jetiti s polinomom r( a) stupnja � - l = l po a : r( a) = a + ba, a, b E Zz. Proširenje Zz (a) polja Zz u kojem p( a) ima korijen dobiva se za sve moguće vri­ jednosti a, b E Zz = {0, l } : Zz( a) = {0, l, a, l + a}. Primijetite da prva dva elementa čine potpolje Zz polja Zz( a) . Zbrajanje elemenata u polju Zz( a) obavlja se na uobičajen način. Cayleyeva PRIMJER l . Polinom p(x)

n

n

tablica zbrajanja izgleda ovako:

a l+a l a l l+a l l l+a a O a l O a l+a l+a l+a a l o Množenje tih elemenata obavljamo po modulu p( a) . Kako je p( a) = aZ + a + l = O , tj. aZ = -l - l · a = l + a (primijeti da je -l = l u Zz ), onda množenje po modulu p( a) možemo skratiti tako da rabimo aZ = l + a . Vrijedi a( l + a) = a + az � a + (1 + a) = l + (l + l)a = l, a · a = l + a, ( 1 + a)(l + a) = l + (1 + l)a + a z = l + O + (I + a) = a. Na taj način dobivamo 3 3 tablicu množenja za Zz (a) { l, l + a} . l a l+a l l a l+a a a l+a l a l l+a l+a Kao što vidimo, aditivna grupa Zz (a) je izomorfna s Kleinovom grupom Zz x Zz , dok je multiplikativna grupa (Zz (a)*, ) ciklička, izomorfna sa z3 Time je u potpu­ nosti opisano Galoisovo polje GF(2Z) reda 4 : GF(2Z) = Zz(a) = {0, l, a, l + a} . PRIMJER 2 . Kvadratni polinom p(x) = l + xZ E Z3 [xf je ireducibilan nad z3 jer nema nultočke u Z 3 (vidi Propoziciju 1 1 .3.1): p(O) = l , p(l) = 2, p(2) = 2. Polinom p(x) = l + xz je stupnja n = 2 , pa se kvocjentno polje Z3 [x]f( 1 + xz ) može poistovjetiti sa poljem Z3 ( a) koje sadrži sve polinome r( a) stupnja � l= l: r(a) = a + ba , a, b E Z3 . +

o o

o

x

=

·

a,

•

n -

225

1 1.6. KONAĆNA (GALOISOVA) POLJA

Broj elementa u Z3 (a) jednak je p" = 32 = 9 . Elementi se dobivaju uvrštavanjem svih 9 mogućih izbora poredanih dvojaca koeficijenata a, b E Z3 = {0, l, 2} :

Z3 (a) = {0, l, 2, a, 2a, l + a, l + 2a, 2 + a, 2 + 2a}. Primijetite da prva tri elementa čine potpolje z3 od Z3 ( a) . Sada je vrlo la­ ko konstruirati 9 x 9 tablicu zbrajanja za Z3 ( a) i 8 x 8 tablicu množenja za Z3 (a)* = Z3 (a) \ {O} . Npr. (l + 2a) + (l + a) = 2 + 3a = 2 . Kod množenja rabimo p( a) = O , dotično a 2 + l = O , tj. a2 = - l = 2 . Npr.: (1 + 2a) (1 + a) = l + 3a + 2a2 = l + O · a + 4 = 2. ·

Navedimo Cayleyevu tablicu zbrajanja u aditivnoj grupi GF(9) :

o

+

l 2 a 2a +a l 2+a 2+2a

o o

l 2 a 2a l+a 1+2a 2+a 2+2a

l l 2 o l+a 1 +2a 2+a 2+2a a 2a

2 2 o l 2+a 2+2a a 2a l+a 1+2a

a a l+a 2+a 2a o 1+2a l 2+2a 2

l+a l+a 2+a a 1+2a o l a 2+2a l l+a 2 2a 2 2+a o

2a 2a 1+2a 2+2a

1+2a 1+2a 2+2a 2a l l+a 2 2+a o a

2+a 2+a a l+a 2+2a 2 2a o 1+2a l

2+2a 2+2a 2a 1 +2a 2 2+2a

o

a l l+a

i tablicu množenja u tnultiplikativnoj grupi GF(9)* :

l 2 a 2a l+a 1+2a 2+a 2+2a

l l 2 a 2a l+a 1+2a 2+a 2+2a

2 2 l 2a a 2+2a 2+a 1+2a l+a

a a 2a 2 l 2+a l+a 2+2a 1+2a

2a 2a a l 2 1+2a 2+2a l+a 2+a

l+a l+a 2+2a 2+a 1+2a 2a 2 l a

1+2a 1+2a 2+a l+a 2+2a 2 a 2a l

2+a 2+a 1+2a 2+2a l+a l 2a a 2

2+2a 2+2a l+a 1+2a 2+a a l 2 2a

Time je u potpunosti opisano Galoisovo polje GF(32 ) . PRIMJEDBA l . U slučaju da je ireducibilni polinom p(x) višeg stupnja n , onda, kao što znamo, elemente r1 (a) i r2 (a) Galoisovog polja GF(p") = Zp(a) množi­ mo tako da nađemo ostatak pri dijeljenju njihova "uobičajenog" umnoška sa p( a) . Ponovimo još jednom, polinomi r1 (a) i r2 ( a) su polinomi stupnja � n - l , s koefi­ cijentima iz Zp , vidi ( l). PRIMJEDBA 2. Primijetimo da je GF(p) = Zp . Polje GF(p"') je proširenje polja Zp . Što više, može se pokazati da je polje GF(p"') proširenje polja GF(pk ) onda i samo onda ako je m višekratnik od k .

l l . PRSTEN POLINOMA

226

Crtica o teoriji kodiranja. Teorija konačnih polja pojavljuje se i u problemima ko­ diranja i dekodiranja binarnih signala (sljedova nula i jedinica), koje je uveo američki matematičar (1916-2001). Opišimo jedan od problema teorije ko­ diranja na jednostavnom primjeru. Pretpostavimo da su pošiljatelj i primatelj signala (koji se šalju u obliku slijeda nula i jedinica), međusobno povezani nekim telekomu­ nikacijskim kanalom. Neka su npr. slova i kodirana s O i l respektivno. Onda će 'riječ' ba biti kodirana sa l O , i odaslana kanalom primatelju. Međutim u kanalu dolazi do smetnja, pa se može dogoditi da primatelj umjesto odaslanog koda lO primi npr. l l . Odaslana poruka bit će pročitana sasvim krivo, kao bb . Zato se može pos­ tupiti tako da se slovo kodira sa pet nula OOOOO , a b sa pet jedinica 1 1 1 1 1 . Ako smetnje nisu previše velike, primatelj će primiti nešto poput 1 1 101 00010 . Primatelj poruke može tvrditi s priličnom da je odaslani kod bio 1 1 1 1_1 OOOOO , i dekodirati ga sa Međutim ako su smetnje u kanalu velike, primatelj će primiti npr. 001 10 10101 , čije dekodiranje je gotovo nemoguće. Problem teorije kodiranja je da uspostavi ravnotežu između dva zapravo suprotna zahtjeva: a) da kOd bude što je točnije dekodiran; b) da kod bude što je moguće brže prenesen. Prvi zahtjev teži usložnjavanju koda, dok drugi teži njegovu pojednostavnjivanju. U teoriji kodiranja važnu ulogu imaju matrice s elementima iz polja Z2 , teorija ko­ načnih grupa, prsteni polinoma Z2[x] , zajedno s teorijom vjerojatnosti. Kodovi se definiraju na taj način da mogu sami u izvjesnoj mjeri popravljati pogreške do kojih dolazi zbog smetnja prilikom prijenosa podataka. Osnovne ideje u teoriji kodiranja možete vidjeti u [Durban], a temeljit prikaz daje opsežna monografija [Berlekamp].

Claude Shannon

a b

a

vjerojatnošću

ba.

a

� POVIJESNA CRTICA � Za polinomnujednadžbu ao+a1x+ . . . + nXn = O s realnim koeficijentima, tj. E R, kažemo daje rješiva u radikalima ako se svaki samo uporabom njen korijen u e može izraziti s pomoću koeficijenata konačno mnogo operacija zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i vađenja -tog

ai

lcorjemt,

n

�

N

_

Npr. jednadžba ax + b 2

=

ao, al > . . . ' an

O je rješiva s pomoću radikala: x

-b±e.

n

= - � , jednadžba

ax + bx + e = o također: X} 2 = Kvadratne jednadžbe su u nekim specijalnim slučajevima znali riješiti i stari abilonci i Egipćani. Polinomna jednadžba trećeg i četvrtog stupnja može se također riješiti s pomoću radikala. To su još u 16. st. pokazali Talijani Odgovarajuća rješenja poznata su, ne baš pravedno, pod nazivom Cardanove i Abelove formule. O rješavanju algebarskih jednačaba trećeg i četvrtog stupnja vidi u knjizi Danila Blanuše: "Viša matematika, 11- 1 , str. 599--622. Početkom 19. st. su Talijan i Norvežanin H. pokazali da postoje polinomijalne jednadžbe stupnja � 5 koje nisu rješive u radikalima. Takva je npr. jednadžba x5 - x - l = O . Budući da među polinomima -tog stupnja ima i onih koji se mogu riješiti s pomoću radikala (npr. x = O ) , prirodnoje postaviti pitanje nalaženja nužnih i dovoljnih uvjeta pod kojima će bilo koja polinomna jednadžba biti rješiva u radikalima. Tek je Francuz u prvoj polovici 19. st. dokazao da je polinomna jednadžba rješiva onda i samo onda ako je pripadna rješiva. Da .) bismo točno definirali tu grupu, opišimo najprije pojam rješive grupe. Za grupu

del Ferro, Tartaglia i Ferrari. Paulo Ruffini n

Evariste Galois

n

Niels Abel n

Galoisova grupa

(G,

1 1 .6. KONAČNA (GALOISOVA) POLJA

227

kažemo da je rješiva ako postoji konačan slijed podgrupa oblika

(tj . Gi-1

{e} = Go � G1 � . . . � Gn = G, normalna podgrupa u Gi za sve i) tako da je kvocjentna grupa

Abelova (komutativna). Da bismo opisali Galoisovu grupu polinoma f(x ) nad od f(x) sa 1 E Neka je

a , . . . , an e .

G if G i- t

R, označimo sve nultočke

K = R(al , . . . , an) � e

e

korijenska polje (polje razlaganja) polinoma f(x) . To je minimalno polje u koje sadrži polje R i sve korijene Kao što znamo, K zovemo bilo koji izomorfizam a : ---+ Skup svih automorfizama čini grupu s obzirom na kompoziciju kao binarnu opera­ ciju Uedinični element je identiteta na inverzni element je inverzna funkcija). Skup svih automorfizama a : ---+ K za koje je aiR identiteta na potpolju R , tj . za koje je a(x) = x za sve x E R , je podgrupa grupe automorfizama polja K . Ona se zove Galoisova grupa polja s obzirom na potpolje R, i označava se sa � . Galois je u bitnom dokazao ovakav teorem:

a1 , . . . , an . automoifizmom polja

K.

K

K,

K K

teorem

2. Neka je f(x) polinom nad R . Jednadžba f(x) = O je rješiva radika1inuymda i samo onda ako je pripadna Galoisova grupa GR rješiva.

u

Za svaki n � 5 postoji polinom f(x) n -tog stupnja čija pripadna Galoisova gru­ pa � je simetrična grupa Sn (grupa permutacija n -članog skupa) . Pokazuje se da grupa Sn nije rješiva za n � 5 , pa onda iz navedenoga teorema slijedi da odgovarajuća polinomna jednadžba f(x) O nije rješiva u radikalima.

=

l=

Npr. jednadžba x5 O ima za pripadnu Galoisovu grupu cikličku grupu Z4 , koja je rješiva. Prema Galoisovu teoremu ova je jednadžba rješiva u radikalima (i to

l=

je dobro poznato) . Galoisova grupa jednadžbe x5 - x O je simetrična grupa S 5 (njen red je 5 ! 1 20 ). Pokazuje se da ova grupa nije rješiva, pa prema Galoisovom teoremu jednadžba nije rješiva u radikalima. Francuz ( 181 1 - 1832) poginuo je vrlo mlad u jednom dvoboju, sa svega 2 1 godinom. Noć uoči dvoboja je u obliku zabilješki izložio pristup problemu rješivosti algebarskih jednačaba, koji danas čini temelj tzv. Galoisove teorije. Dugo vremena su te njegove bilješke ostale neprimjećene i neshvaćene. Smatra se jednim od osnivača teorije grupa.

=

Evariste Galois

Uz pomoć teorije polja rješavaju se i sljedeća tri znamenita geometrijska proble­ ma, koje su postavili još stari Grci u 5. st. prije Krista. Mnogo kasnije, tek u 19. st. (dakle nakon skoro 2 500 godina) , dokazano je da su sva tri zapravo nerješiva. Metode dokaza su vrlo slične kao i kod proučavanja rješivosti algebarskih jednačaba s pomoću radikala. a)

Problem duplikacije kocke. Problem se sastoji u tome da se samo s pomoću rav­

l , konstruira stranica Duljina stranice je onda x = Vz , dotično

nala i šestara, znajući da je duljina stranice kocke jednaka

V=

kocke dvostrukog volumena 2. rješenje jednadžbe x3 - 2 O . Pokazuje se da dužinu takve duljine nije moguće konstruirati s pomoću ravnala i šestara.

=

228

l l . PRSTEN POLINOMA

v�

Liv l

X

Sl. 11.2. Duplikacija kocke.

b) Problem trisekcije kuta. Može li se bilo koji zadani kut podijeliti na tri jed­ naka dijela samo s pomoću ravnala i šestara? Pokazuje se da to nije uvijek moguće: npr. za kut a = 60° . Lako se vidi da je takva konstrukcija izvediva onda i samo onda ako se može konstruirati dužina duljine x = cos � . Vrijedi cos a = 4 cos3 � - 3 cos � . Za a = 60° je onda ! = 4x3 - 3x , tj. 8x3 6x l = O . Pokazuje se da se s pomoću ravnala i šestara ne može kons­ truirati dužina čija bi duljina x bila rješenje ove jednadžbe. -

-

x l

Sl. 11.3. Trisekcija kuta e) Problem kvadrature kruga. Ako je zadan krug polumjera l , treba s pomoću ravnala i šestara konstruirati kvadrat (tj. pripadnu osnovicu duljine x ) , tako da mu

je površina jednaka površini kruga, tj. x2 = I2n. Pokazuje se da se dužina duljine x n ne može konstruirati (pa čak niti y'n ). To je u svezi s transcendentnošću broja n, koju je dokazao Lindemann 1 882. g. =

G D X

Sl. 11.4. Kvadratura kruga.

Znanost je sastavljena od činjenica, kao i kuća od kamenja. Ali, neka hrpa činjenica je znanost ništa više nego što neka hrpa kamenja čini kuću.

- Jules Henri POINCARE (1854-1912)

12. 1 . TEMELJNE OSOBITOSTI ALGORITAMA

229

12.

Složenost algoritama

Ako ste ikada sami pripremali neko jelo, onda vam sigurno neće biti teško shva­ titi barem približno što je to algoritam. Svaki recept, naime, predstavlja opis nekog postupka - algoritma. Algoritmi su doslovce posvuda oko nas: algoritam za priJ?remu iločkog traminca, orehnjače, paškog sira, izradbu tamburice, gradnju _broda i�d.itd. Važna osobitost algoritma je da se izvršava u konačno mnogo koraka, iako možda jako mnogo, ovisno o složenosti problema. Jasno je da je algoritam za gradnju ·n'ekog velikog broda mnogo složeniji od algoritma za izradbu zakovice, tj. broj operacija za realizaciju prvoga je mnogo veći nego broj operacija za realizaciju drugoga (primi­ jetimo međutim da bez zakovice broda ne bi niti bilo). Organizacija svakog posla, poduzeća, škole, pa i sam život, skopčani su s algoritmima. Tijekom dosadanjeg školovanja upoznali smo razne matematičke algoritme (postupke): a) za zbrajanje prirodnih brojeva, b) za množenje prirodnih brojeva, e ) Euklidov algoritam za nalaženje najveće zajedničke mjere dvaju prirodnih brojeva, d) algoritam za deriviranje polinoma, e) Gaussov algoritam za rješavanje sustava m linearnih jednačaba s n nepoznanica, f) Cramerov algoritam za rješavanje sustava n lineamihjednačaba s n nepoznanica, g) Eratostenovo sito za nalaženje prostih brojeva između l i zadanog n , itd. U slučajevima a), b) i e ) imamo ulazne (početne) podatke koje predstavljaju dva broja a, b N , a izlaz (rezultat) provedbe algoritma su a + b , a · b , Nzm (a, b) . U slučaju d) ulaz predstavlja polinom P(x) = akxk sa zadanim koeficijentima ak , a izlaz njegova derivacija P'(x) , odredena s koeficijentima bk = (k + l )ak+I uz xk , k = O, l, . . . , n - l . U slučaju Gaussova ili Cramerova algoritma za rješavanje sustava Ax = b ulaz predstavlja matrica koeficijenata sustava A = (aij) i komponente vektora b , a izlaz rješenje (vektor) x . Za Eratostenovo sito ulaz je n , a izlaz skup svih prostih brojeva između l i n . Formalno se algoritam prikazuje kao ulazno - izlazni sistem.

E

L:k==O

12. SLOŽENOST ALGORITAMA

230

ulaz

lL

• --l

-

__.�----·

stro�

_ _

_

izlaz

-_ Sl. 12. 1. Ulamo-izlami sistem.

Euklidov algoritam

PRIMJER l . Opišimo još jednom (vidi Teorem 3.2.2). Ulaz čine dva prirodna broja Algoritam za nalaženje naj veće zajedničke mjere može se opisati u tri koraka (instrukcija) :

a, b.

El. E2. E3.

a

b r= b a

r.

[Nađi ostatak.] Podijeli sa i ostatak označi sa [Ostatak je nula?] Ako je O , algoritam završava s odgovorom [Zamijeni.] Nazovi iznos sa i iznos sa (točnije, se na korak E l .

r

Zamjena

b. a := b , b := r ) i vrati

b

�

ne nadi ostatak

a, b

ostatak = O

da

Nzm (a,b)

Sl. 12.2. Dijagram toka Euklidava algoritma za nalaženje Nzm (a, b) . Algoritam započinje instrukcijom (naredbom) El . Sljedeća instrukcija je E2, koja se izvršava ako je O . Ako je O , prelazimo na instrukciju E3. U uglaste zagrade smo stavili najsažetiji opis pojedinih instrukcija. Obratimo pažnju na još jedan mali detalj u ovom algoritmu. Ako je < onda će ostatak biti pa će nakon instrukcije E3 vrijednosti za i s kojima započinje instrukcija El biti jednostavno zamijenjene, tako da smo u situaciji gdje je > To možemo riješiti elegantnije i tako da algoritmu dodamo na sam početak još i nultu instrukciju

r=

r =j:.

a,

a b

EO [Osiguraj da bude a � b .]

a b a

b.

a < b , zamijeni vrijednosti varijabla a i b . a zamijeniti s novom vri­ b, a b a � b, i čitamo "vrijednost varijable a zamijeni trenutnom vrijednošću varijable b". , Oznaka b a nije preporučljiva, jer dovodi do zabune. Trebaju izbjegavati. Na taj način instrukcija E3 predstavlja naredbu "a � b i b � r". Primijetite da je poredak naredaba važan, jer se npr. naredbom "b � r i zatim a � b" dobiva nešto sasvim drugo. Doista, najprije je b zamijenjen s vrijednošću r (čime je stara vrijednost od b izgubljena), i zatim je a zamijenjen s novim b , tj . irna vrijednost r . Dakle nakon izvršenja ove instrukcije i a i b imaju vrijednost r . Zamjena vrijednosti varijabHi a i b u instrukciji EO može se izvršiti uvođenjem nove (pomoćne) varijable pri čija svrha je da privremeno sačuva vrijednost varija­ ble a : " pri � a , a � b, b � pri Ako je

Ako algoritmom želimo prethodnu vrijednost varijable jednošću varijable onda umjesto := pišemo i

1---4

v

v,

v

"

.

12. 1 . TEMELJNE OSOBITOSTI ALGORITAMA

231

Pojam algoritma je u modernom značenju vrlo blizak pojmovima kao što su re­

cept, proces, metoda, tehnika, procedura, rutina .

Često je vrlo teško ući u sadržaj i razumjeti u svim detaljima algoritam koji je pisao netko drugi. Najbolji način da se to postigne je da se algoritam testira s nekim određenim ulaznim vrijednostima, tj. da se pogleda kako on sa tim ulazom funkcionira u svim detaljima. Dakako, to treba raditi često i na papiru s olovkom u ruci. Algoritmi se ne mogu čitati kao roman. Pogledajmo kako funkcionira Euklidov algoritam opisan slijedom instrukcija El, E2, E3 na primjeru a = 190 i b = 34 ( i predstavlja broj petlje u provedbi algoritma; usporedi s Primjerom 3.2.1):

a b r 190 34 20 2 34 20 14 3 20 14 6 4 14 6 2 5 6 2 O. l

ova:

Temeljne osobitosti algoritma kao slijeda propisanih postupaka i naredaba su

l ) postojanje ulaznih podataka (ulaz, engl. input). Podatci se daju na poCetku, prije

nego što algoritam započinje s radom. Euklidov algoritam npr. irna za ulaz bilo koji par prirodnih brojeva: a i b . Gaussov algoritam za rješavanje sustava n jednačaba s n nepoznanica ima n2 + n ulaznih podataka: n2 za matricu sustava i n za desne strane jednačaba. 2) postojanje izlaza (output). Rezultat provedbe algoritma ovisno o ulazu može biti broj (kao kod Euklidova algoritma), odluka "da" ili "ne", vektor (npr. od n brojeva, kao kod rješavanja sustava n jednačaba s n nepoznanica) itd. 3) određenost - svaka naredba u algoritmu mora biti jednoznačno određena, tj. ne­ dvosmislena. 4) konačnost- broj koraka u kojem se algoritam provodi je uvijek konačan, ali ovisan o ulaznim podatcima. 5 ) efektivnost- dotično provedivost algoritma u razumnom, konačnom vremenu. Pojam algoritma je jedan od onih koji spadaju među temeljne u matematici. Takav je npr. i pojam skupa. Pojam algoritma se ne može definirati precizno, s pomoću još osnovnijih pojmova, već se daje samo opis glavnih svojstva.

Složenost algoritama. Pretpostavimo radi jednostavnosti da je dimenzija ulaznih po­ dataka nekog algoritma izražena samo s jednim brojem n E N (npr. proračun n! , rastav broja n na proste faktore itd.). Za računalstva je onda važno pitanje kolika je složenost (kompleksnost) algoritma u ovisnosti o n . Ona se obično definira kao pro­ cjena broja računskih operacija (množenja, zbrajanja itd.) dovoljnih da se algoritam izvrši, u ovisnosti od ulaznog podatka n . Označimo li taj broj sa h(n) , onda je od iznimne važnosti znati je li kompleksnost h (n) : a) logarjtamskog rasta, tj. h(n) = E>(log2 n) , b) linearnog, kvadratičnog, kubičnog, (polinornijalnog) rasta, tj. h( n) = E> (nr ) , gdje je r neki eksponent, r = l, 2, 3 . . . ,

12. SLOŽENOST ALGORITAMA

232

e) eksponencijalnog rasta, tj. h(n) = E>( an) , a > l d) faktorijelnog rasta, tj. h(n) = E>(n!) . ili neka druga. U računalstvu se algoritam smatra dobrim (primjenjivim) ako je kompleksnost h(n) najviše polinomijalnog rasta (što manjeg stupnja, to bolje). Algoritmi koji imaju eksponencijalnu kompleksnost, a pogotovu fakt6rijelnu, smatraju se nepovoljnim za primjenu, tj. za njihovu primjenu treba previše vremena (osim ako je ulaz n malen). Općenito je ispitivanje složenosti algoritama težak matematički problem. On često zahtijeva suptilnu analizu unutarnje strukture algoritma (programa) i njegova ponaša­ nja u ovisnosti od ulaznih podataka. Ovdje će nas uglavnom zanimati samo tzv. vremenska složenost algoritama (procjena duljine vremena izvedbe u ovisnosti. od ulaznih podataka), za razliku od prostorne (memorijske) složenosti koja se odnosi na količinu memorijskog prostora dovoljnog da se izvrši algoritamska procedura u ovisnosti od ulaza. O memorijskoj složenosti vidi Odjeljak 1 2.8. Izvjestan osjećaj za složenost algoritama može dati ova tablica vrijednosti nekih funkcija u ovisnosti od n : n

log n

n

n log n

8 16

3 4 6

8 16

24 36 384

64

64

n! 64

256 4096

512 4096 262 144

256 6.5 . 104 1 .84 . 10 1 9

40 300 > 2 . 10 1 3 > 1089

Vrijedi ovdje spomenuti da npr. 10 12 sekunda čini više od 20 000 godina. Broj 64 ! wso . koliko iznosi procjena za broj atoma u vidljivom svemiru!

j e veći od

PRIMJER 2 . Zamislimo algoritam koji pronalazi i ispisuje sve poredane n -terce sastavljene od n nula i jedinica (bitova). Kao što znamo, ima ih 2n (vidi Teorem 6. 1 .5 ) . Nije teško konstruirati takav algoritam: dovoljno je n -terac ispisuje u lek­ sikografskom poretku. Ulazni podatak za primjenu algoritma je n . Razumno je kao mjeru kompleksnosti algoritma uzeti upravo broj n -teraca, tj. 2n . Složenost je dakle eksponencijalna. Za n = 64 (što znači da uzimamo razmjerno mali skup) uvest ćemo daljnju pretpostavku da imamo neko super-računalo koje određuje svaki 64 -terac u jednoj mikro-sekundi (milijuntom dijelu sekunde). Onda će za nalaženje svih 64 -teraca trebati 264 mikrosekundi, što iznosi približno 5 845 stoljeća (ili 584.5 tisućljeća) ! Koliko bi trajalo ispisivanje svih tih 264 � 1 .84 101 9 sljedova bitova, nemojte niti pitati. Ovo je ilustracija koja se odnosi na algoritam eksponencijalne složenosti. Fak­ torijelna složenost algoritma je još mnogo gora.

da

·

PRIMJER 3 . Za proračuna Fibonaccijeva slijeda zadanog sa Fn = Fn - 1 + Fn - 2 , n � 2 , Fo = O , F1 = l , moguće je Fn izračunati s pomoću algoritma u kojem imamo petlju u kojoj se F; = Fi- l + Fi- 2 vrti n - 2 puta, od i = 2 do i = n , pa je složenost algoritma linearna: h(n) = n - 2 . Broj operacija zbrajanja jednak je broju prolaza kroz petlju. PRIMJEDBA l . Za rješavanje linearnog sustava n jednačaba s n nepoznanica Cramerovim pravilom (tu treba računati n + l determinantu, a i determinanta sustava mora biti =j:. O ) imamo složenost algoritma reda (n + l ) ! . Složenost ovdje shvaćamo

12.2. SLOŽENOST POTENCIRANJA

233

kao ukupan broj operacija množenja i zbrajanja. Prisjetite se npr. što treba računati da bi se našla determinanta reda n = 3 . Naime proračun samo jedne determinante reda n je numerički izvanredno težak postupak u kojem imamo čak n! umnožaka od po n elemenata. Prema tome Cramerov algoritam za nalaženje rješenja linearnih sustava od n jednačaba s n nepoznanica ima čak faktorijelnu složenost. Za primjene na računalu je potpuno neupotrebljiv, iako se može vrlo lako programirati. Detaljnije vidi u [Elezović, Odjeljak 2 . ]. S druge strane, navedeni sustav može se rješavati s pomoću Gaussova algoritma, čija je složenost h(n) (ukupan broj operacija množenja i zbrajanja) samo kubična, tj. h(n) = E>(n3 ) . Za dokaz vidi [Elezović, Odjeljak 2.4] . Tako će npr. linearni sustav od 20 jednačaba s 20 nepoznanica Guassovim algo­ ritmom biti na računalu riješen u djeliću sekunde ( 2

4

Binarni prikaz prirodnih brojeva. Standardna zadaća od važnosti u računalstvu je pretvaranje prirodnih brojeva iz dekadskoga sustava (prikaza u bazi lO) u binarni (pri­ kaz u bazi 2 ). Taj se prikaz dobiva uzastopnim dijeljenjem sa dva. Točnije, možemo opisati program BINARNI za pretvaranje dekadskog prikaza broja n u binarni, koji će odrediti sve binarne znamenke (bitove) broja n : l . Učitaj n , stavi i = l . 2. Podijeli n sa 2 , nađi kvocijent q i ostatak r ; spremi r kao ai := r . 3. Ako je q = O , zaustavi program. 4. Stavi n := q . 5 . Stavi i := i + l , prijeđi na korak 2. Na kraju treba ispisati broj n s pomoću bitova: n = ak . . . a 1 ao . Taj zapis shva­ ćamo kao n = a0 + at2 + . . . + ak 2k , pri čemu je ai E {0, l } , ak = l . Brojač i nam treba zbog ispisa brojeva ai . Pogledajmo kako se program ponaša na jednostavnom primjeru n = 27 :

ol

r n q 27 13 l = a0 13 6 l = a1 2 6 3 O = a2 3 3 l l = a3 l = a4 3 Prema tomeje 27 = ao+ai2+az 22 +a3 2 +a4 24 = 1 +2 1 +23 +24 , tj. 27 = l lOll z . Razumno je broj operacija dijeljenja broja n kod izvršavanja algoritma BINARNI zvati njegovom složenošću h(n) . Taj broj dijeljenja jednak je broju binarnih zname­ naka (bitova) broja n . Sljedeća propozicija kaže da je složenost ovog algoritma samo logaritamska: h{n) = Llog2 nJ + l , dakle vrlo povoljna.

4 l o

12. SLOŽENOST ALGORITAMA

234

Propozicija 1 . Neka je zadan broj n E N u dekadskom prikazu. Onda u binar­ nom prikazu on ima točno B = Llog2 nJ + l

znamenaka (bita).

DoKAZ. Neka je k najveći prirodni broj takav da je 2k � n < 2k+ 1 Broj znamenaka u binarnom zapisu broja n jednak je k + l , jer računamo svih k + l potencija baze 2 u binarnom prikazu broja n , od nulte do k -te: n = ao + a1 2 1 + . . . + ak 2k , a; = O ili l , ak - = l . Logaritimirajući ovu nejednakost po bazi 2 dobivamo Q.E.D. k = logz 2k � logz n < logz 2k+ l = k + l dotično k = Llogz nJ . .

'

PRIMJEDBA l . Sličan rezultat vrijedi uz isti dokaz i za bilo koju bazu. Npr. broj znamenaka u decimalnom prikazu broja n (tj. u bazi 10 ) jednakje Llog nJ + l .

Potenciranje prirodnim brojem n . Neka je zadan realan broj a > O i n E N . Vrlo jednostavan algoritam za izračunavanje broja an zasniva se na petlji "računaj članove slijeda x; := x; · a, gdje i = l, . . , n , x1 := a ". Dakako, Xn = an je dobiven nakon n - l uzastopnih množenja (toliki je i broj prolaza kroz petlju), pa je složenost jednaka h( n) = n - l , tj. h(n) = 9(n) . Nazovimo taj algoritam sa POTENCIRANJE. Zanimljivo je da postoji algoritam koji isti problem rješava uz bitno manju slože­ nost, koja je samo logaritmska po n . Ideja se sastoji u sljedećem. Pogledajmo najprije problem nalaženja an u slučaju kad je n = 2k . Onda možemo pisati .

(1) � = ( . . . (az ) z . . . ) z . gdje se u eksponentu broj 2 pojavljuje k puta. Na temelju ovog identiteta vidimo da možemo proračun � programirati s pomoću petlje koja će sadržavati samo k uza­ stopnih kvadriranja broja a . Kako je n = 2k , složenost ovog algoritma je u ovom slučaju jednaka g( n) = k = log2 n , tj. logaritamska je. Ovu je ideju moguće modificirati tako da se dobije jednostavan algoritam za izra­ čunavanje an , i to logaritamske složenosti za bilo koji n , ne nužno oblika 2k . Tu će se pojaviti odgovarajuća petlja. Pogledajmo za ilustraciju broj x = a27 , tj. n = 27 . Napišimo eksponent u binarnom obliku: 27 = 24 + 23 + 2 1 + l . Onda je 2 l6 . as . a2 . a. x = a 1 = az4 . az3 . az . a = a 6 Za a 1 nam trebaju 4 množenja tj. uzastopna kvadriranja broja a , kao što smo vidjeli gore. Među njima su dobiveni i as i a2 . Zatim imamo još tri množenja, dakle ukupno samo sedam množenja. To je znatna ušteda spram 26 množenja koja bismo imali u prvom algoritmu potenciranja. Ideja za konstrukciju algoritma BRZO-POTENCIRANJE koja će izračunavati n x = a je da se iskoristi program BINARNI. Tu nam više neće trebati brojač i , jer kao što smo vidjeli u primjeru za n = 27 , potenciju n valja samo prevesti u binarni oblik. U taj program ćemo jednostavno uložiti još naredbe (instrukcije): l. Uč_itaj a , n , i stavi x : = l . Iza drugog koraka u programu BINARNI treba u slučaju r = l broj x pomnožiti sa

a:

12.2. SLOŽENOST POTENCIRANJA

235

2.5. Ako je r = l , stavi x := x * a . Nakon koraka 5 treba zatim udvostručiti eksponent od a : 5.5 Stavi a := a * a . Tako dobivamo program BRZO-POTENCIRANJE: l. Učitaj a , n , i stavi x := l . 2. Podijeli n sa 2 , nađi kvocijent i ostatak r ; 2.5 Ako je r = l , stavi x := x * a . 3. Ako je = O , zaustavi program. 4. Stavi n := 5.5. Stavi a : = a * a i prijeđi na korak 2. Pogledajmo što se u programu događa kada je n = 27 : n r a x O 27 1 3 l a a l 13 6 l a2 a3 4 2 6 3 O a a3 3 3 l l a8 a ll 4 l O l a 1 6 a27 .

q

q q.

q

Analiza algoritma brzog potenciranja. U programu BRZO-POTENCIRANJE ima­ mo računske operacije jedino u sljedeća tri koraka: 2. (dijeljenje), 2.5. (množenje) i 5.5. (množenje). Broj tih operacija označimo sa h(n) . To je mjera za složenost dotičnog algoritma. Pri svakom prolazu kroz petlju provodi se dijeljenje u koraku 2. Taj broj jednak je Llog2 nJ + l , vidi Propoziciju l. Prema tome ukupan broj operacija u izvođenju programa nije veći od trostruke vrijednosti: h(n) � 3( Llog2 nJ + 1 ) . Odavde slijedi da j e složenost algoritma brzog potenciranja (najviše) logaritamska: Propozicija 2. Složenost algoritma brzog potenciranjaje h(n) = O(log2 n).

Prirodno je pitati se može li se ova procjena za h(n) još poboljšati. Pokazat ćemo da ne može, tj. vrijedi h( n) = 8(log2 n) . U tu svrhu pogledajmo najgore moguće slučajeve za izbor broja n (pretpostavljamo da broj a ne utječe na složenost algoritma). To su one vrijednosti broja n kod kojih će se množenja u koraku 2.5 i 5.5 realizirati u svakoj petlji (osim u zadnjoj za 5.5), tj. kad su svi ostatci r = l . To odgovara slučaj u kad n nema niti jedne nule u binarnom zapisu, i tada imamo jednakost: h(n) = 3 Llog2 nJ + 2 . Ocjena je dakle optimalna. Stoviše, netom navedena primjedba nam omogućuje da h(n) izračunamo sasvim točno. Naime, množenje u koraku 2. programa brzog potenciranja realizira se u svakoj od Llog2 nJ + l petlja. Množenje u koraku 5.5. se realizira u svakoj petlji osim u zadnjoj, kad je = O . A korak 2.5. se realizira onoliko puta koliko ima jedinica u binarnom za­ pisu broja n . ,Označimo taj broj sa n1 . Onda je h(n) = ( Llog2 nJ + l ) + Llog2 nJ + nl , tj. h(n) = _2 Llog2 nJ + � + n1 . Uvijek je l � n l � Llog2 nJ + l .

q

12. SLOŽENOST ALGORITAMA

236

U cijelom ovom odjeljku a i b su prirodni brojevi, a � b . Opišimo još jednom Euklidov algoritam: l . Učitaj a i b , a � b , stavi q := La/bJ i r := a - q * b . 2. Ako je r = O onda zaustavi program, i ispiši Nzm = b . 3. Stavi a := b , b := r i prijeđi na korak l . Složenost Euklidova algoritma definiramo kao ukupni broj h(a, b) računskih operacija dijeljenja i množenja u njegovoj provedbi. Označimo sa H(a, b). ukupni broj petlja u Euklidovu algoritmu za nalaženje Nzm (a, b) , a � b . U svakoj petlji u koraku l . izvršavamo po jedno dijeljenje i jedno množenje. Pretpostavljamo da zamjena varijabHi ne utječe na složenost. Prema tome vrijedi Lema 1 . Složenost h(a, b) Euklidova algoritma jednaka je dvostrukom broju petlja, tj. h( a, b) = 2H(a, b) .

Pokazat ćemo da je složenost Euklidova algoritma h(a, b) ovisi logaritamski o manjem broju b , tj. h(a, b) = O(log b) , i to neovisno o a � b . Zanimljivo je i pomalo mistično da će nas do rješenja dovesti Fibonaccijevi bro­ jevi! Pogledajmo na jednostavnom primjeru kako izgleda Euklidov algoritam za dva uzastopna Fibonaccijeva broja a = F12 = 144 i b = F11 = 89 : 144 = l . 89 + 55, B9

�

l

-

55 + 34,

55 = l . 34 + 21, 34 = l . 21 + 13, 21 = l . 1 3 + 8, 13 = l . 8 + 5, 8 = l . 5 + 3, 5 = 1 · 3 + 2, 3 = l . 2 + l, 2 = l · 2 + o. Pojedine jednadžbe tijekom provedbe Euklidova algoritma, kao u ( * ), zvat ćemo Euklidskim jednadžbama. Kao što vidimo, imamo ukupno 10 dijeljenja. Primi­ jetite da su svi ostatci također Fibonaccijevi brojevi ! To je jasno: iz jednakosti Fn = l · Fn- 1 + Fn-2 slijedi da dijeljenjem broja Fn sa Fn- l dobivamo u svakom koraku kvocijent l i ostatak Fn- Z . Iz ovog primjera je jasno da će to vrijediti i općenito:

ja

Lema 2. Euklidov algoritam treba za dijeljenje dva uzastopna Fibonaccijeva bro­

Ft+2 i Ft+ l

točno

k petlja.

PRIMJEDBA l . Usput vidimo da je najveća zajednička mjera bilo koja dva uzas­ topna Fibonaccijeva broja jednaka l , jer je zadnji ne-nul ostatak u ( *) jednak l . Može se međutim dokazati i mnogo jači rezultat, koji prihvaćamo bez dokaza:

12.3. SLOŽENOST EUKLIDOVA ALGORITMA

237

Teorem 3. (Lame, 1845.) Najmanji prirodni broj a koji pri dijeljenju sa b � a daje ne više od k Euklidskih jednačaba kao u ( * ) (tj. petlja u Euklidovu algoritmu) jednak je a = Fk+2 . Jedini broj b � Fk+2 koji pritom daje točno k Euklidskih jednačabaje b = Fk+ l .

Znademo da Fibonaccijev slijed ima eksponencijalni rast, tj. Fn = 9( an ) , + l ::::::: 1 .618 (štoviše, znademo da je F11 upravo jednak prirod­ gdje je a = nom broju koji je najbliži an , vidi Korolar 7.1 .2). To pokazuje da će Euklidov algoritam biti barem logaritamske složenosti u ovisnosti od b . Doista, za Fibo­ naccijev broj b := Fk+ l ::::::: ak+ 1 dobivamo da je broj pripadnih petlja jednak k = loga ak+ 1 - l ::::::: loga b - l = O(log b) . Vidi također Lemu l. Sada ćemo, također u z pomoć Fibonaccijeva slijeda, dokazati da složenost Eu­ klidova algoritma nije više nego logaritamska po b . To će značiti da logiuitamska složenost Euklidova algoritma predstavlja najbolju moguću ocjenu složenosti. U do­ kazu Lameova teorema, glavnog rezultata ovog odjeljka, slijedimo [Pavković, Veljan], str. 566.

q

Teorem 4. (Lame) Neka je a � b . Onda je broj petlja (dijeljenja) u Euklidovu algoritmu za nalaženje Nzm (a, b ) manji ili jednak od peterostrukog broja znamenaka u decimalnom prikazu broja b , tj. H(a, b) � S( llog bJ

+

1).

DoKAZ. a ) Rabimo sljedeću nejednakost za Fibonaccijeve brojeve: (l) Fn+5 > lOFn , n � 2 Doista, za n = 2 j e F7 = 1 3 > 10F2 = lO . Neka j e n � 3. Zbog rekurzivne definicije Fibonaccijeva slijeda vrijedi

Fn+ 5 = Fn +4 + Fn+3 = 2Fn+ 3 + Fn+ 2 = 3Fn +2 + 2F11+ 1 = 5Fn+ l + 3Fn = 8Fn + 5Fn - l· Slijed (Fn ) je neopadajući, pa vrijedi Fn = Fn- 1 + Fn- 2 � 2Fn-l · Onda zbog 4Fn - l � 2Fn - l vrijedi Fn+5 = 8Fn + 5Fn- l > 8Fn + 4Fn - l � l OFn (uvjet n � 3 trebao nam je kod stroge nejednakosti). Time je ( l ) dokazano. Indukcijom po s je vrlo lako pokazati da vrijedi (2) Fn+5s > lOSFn , n � 2, s E N. Doista, za s = l tvrdnja vrijedi. Ako tvrdnja (2) vrijedi za neki s , onda vrijedi i za s + l , jer je Fn+5 (s+1 ) = F(n+5 ) +5s > I OSFn+ S > l OS+ 1 Fn . b) Neka je no := a � b = n 1 . Neka je broj petlja (koraka, ili dijeljenja) u Euklidovu algoritmu za računanje Nzm (a, b) jednak k . Onda je no = lJl n t + n2 , n t = q2n2 + n3 , nk- 2 = qknk- 1 + nk, nk- l = qknk. Očevidno je qk � 2 , jer za qk = l dobivamo nk- l = nk , što je nemoguće: nk je ostatak pri dijeljenju broja nk-2 sa nk- l , dakle nk < nk- l .

12. SLOŽENOST ALGORITAMA

238 Prema tome je dobivamo

nk- I

==

qknk ;;::: 2nk

;;::: 2

==

F3 .

Odavde zbog

Fz

==

l

�

nk

nk- Z ;;::: nk- I + nk ;;::: F3 + Fz F4, nk- 3 ;;::: nk- Z + nk- I ;;::: F4 + F3 Fs , ==

==

n 1 ;;::: Fk+l·

;;::: l + E n 1 ;;::: Fk+ t ;;::: Fz+ss . (2) n 1 ;;::: lOSFz ws n 1 < lOs => k � Ss. Drugim riječima, ako n 1 == b ima najviše s decimalnih znamenaka, onda je k � Ss . Q.E.D.

Ss , pa iz gornje nejed­ N vrijedi k > Ss , onda j e k Ako za neki s nakosti dobivamo zaključujemo da je implikacija Iz istinita. Obratom po kontrapoziciji onda dobivamo daje k > Ss => = istinita implikacija

Sljedeća propozicija dokazuje da ostatci u Euklidovu algoritmu vrlo brzo padaju prema nuli, i to čak eksponencijalnom brzinom. To iznenađujuće svojstvo je očevidno povezano s time da broj petlja H(a, b) u Euklidovu algoritmu ovisi logaritamski o b , kao što smo pokazali u prethodnom teoremu.

;;::: b i provedimo Euklidov algoritam. Onda za ostatak rz u drugoj Euklidskojjednadžbi vrijedi rz < � i dalje induktivno Propozicija 5. Neka je a

r2n < zbn .

,

DOKAZ. a) Napišimo samo prve dvije Euklidske jednadžbe:

= q 1 b + r1 , b = qz rt + rz.

a

rz < r1 < b. Promotrimo dva slučaja. rz r1 � � , pa je tvrdnja dokazana. Pretpostavimo da je r1 > � . Onda je 2r1 > b , pa iz druge Euklidske jednadžbe vidimo mora biti qz = l (ne može biti qz = O jer je r1 < b ). Prema tome je b = r1 + rz , tj . rz = b r1 < b � = � . b) Iz netom dokazanog slijedi r4 < 1- < � , r6 < � < i , i dalje induktivno: r2n < fn . Slijed ostatka opada (barem) eksponencij alnom brzinom. Q.E.o. Pritom i z definicije dijeljenja znamo d a j e Pretpostavimo da je � � . Onda je <

r1

-

-

U svrhu precizne analize složenosti Euklidova algoritma za izračunavanje najveće zajedničke mjere Nzm (a, b) , a ;;::: b , definirali smo H(a, b) kao broj petlja kroz koje algoritam treba proći. Određivanje složenosti H(a, b) Euklidova algoritma kao funkcije od a i još je uvijek otvoren problem, tj. ne zna se kako općenito izgleda izraz H(a, b) . Više o problemu složenosti Euklidova algoritma vidi u [Knuth

b

II].

� PoVIJESNA CRTICA � Gabriel Lame ( 1 797-1870), francuski matema­ tičar, do svojih glavnih rezultata došao je 1 844. i 1 84S. g.

12.4. MJEHURIČASTO SORTIRANJE (BUBBLE SORT)

239

Neka je zadan poredani n -terac prirodnih brojeva a 1 , . . . , an . Opišimo,edan popularan algoritam koji te brojeve razvrstava (sortira) po veličini, u rastućem slijedu. Ideja je vrlo jednostavna. Zapišimo početni n -terac kao listu A [1] , . . . , A [n] . Evo kako izgleda MJEHURIĆASTO-SORTIRANJE zapisano s pomoću programa u Pas­ calu: begin for i : = 1 to n-1 do for j : = n downto i+1 do if A [j ] < A [j -1] then begin priv : = A [j - 1] ;

end ;

A [j - 1] : = A [j ] ; A [j ] : = pri v ; end

Program ima dvije petlje, vanjsku po varijabli i , a nutarnju po varijabli j . Realna va­ rijabla pri v rabi se za privremeni smještaj vrijednosti od AU- l] , prigodom zamjene vrijednosti od AU - l] u vrijednost od AU] , da se ne izgubi. Korak i = l sastoji se u tome da se na prvo mjesto u listi dovede najmanji od n brojeva (ili bilo koji od najmanjih, ako ih je više). U koraku i = 2 maknemo najmanji broj i ponovimo istu stvar za preostalih n l brojeva. Postupak nastavljamo do i = n - l , kada preostanu dva broja. Nakon njihova sortiranja, razvrstavanje početne liste je dovršeno. Pogledajmo sada detaljniji opis: Korak i = l . Korak i = l ostvarujemo tako da gledamo n brojeva A [1] , . . . , A [n] . (j = n) Broj A [n] usporedimo sa A [n-1] . Ako je A [n] < A [n-1] , onda zamijenimo sadržaj od A [n] i A [n-1] . Prelazimo na sljedeći korak. (j = n - l ) usporedimo A [n-1] sa A [n-2] i opet zamijenimo sadržaje lista akoje A[n-1] < A [n-2] . Nastavljamo dalje sve do -

(j = 2) Uspoređivanjem A [2] i A [1] eventualnom zamjenom dobivamo najmanji ele­ ment kao A [1] u listi. Korak i = 2 U ovom koraku izbacimo A [ 1] i gledamo listu n- 1 brojeva A [2] , . . . , A [n] . Ponavljamo istu priču sa j = n, n - l, . . . , 3 . Nastavljamo po i sve do Korak i = n - l Ovdjeje A [n-1] , A [n] . Imamojoš samo jedno uspoređivanje j = n . Dobiveni n -terac A [1] , . . . , A [n] predstavlja rješenje problema. Ovaj algoritam ima slikovit naziv (engl. Naziv je jasan iz primje­ ra koji slijedi, gdje je a 1 = 6 , az = 8 , a3 = 3 a4 = 5 , as = 7 . Prikažimo djelovanje algoritma za ovakove ulazne podatke. U vertikalnim stupcima su parovi brojeva koji se uspoređuju podebljani. Uokvirene su redom vrijednosti za A [1] , . . . , A [6] koje daju rješenje. Te vrijednosti predstavljaju mjehuriće koji su u svakom koraku isplivali na površinu, i daju sortiranu listu. Podebljani su oni parovi brojeva (okomiti), koji se tijekom obavljanja programa uspoređuju.

mjehuričasto sortiranje

bubble sort).

,

12. SLOŽENOST ALGORITAMA

240

l : A[l) j= 5 4 3 2 6 6 6 6 8 8 8 3 1[A[4�]l 53 35 35 58 A[S] 7 7 7 7 i = 2: j = 5 4 3 A[A[23J] 68 86 65 56 A[A[4SJ] 57 57 78 78 i = 3: j = 5 4 AAA[3[4S 876 768 678 i = 4: {�] A[SJ ;8 EE

i=

3 6 8 5

7

l

Cilj namje sada definirati složenost algoritma mjehuričastog sortiranja. Prirodno je složenošću ovog algoritma zvati broj h(n) svih usporedba parova brojeva kod sor­ tiranja n brojeva. Taj broj se, prema danom algoritmu, sastoji od a) n - usporedba parova u prvom koraku i = n (za j = n, n - . . . , 2 ) , i b) od broja usporedba preostalih n - l brojeva A (2] , . . . , A [n] , a njih ima ukupno h(n Prema tome je (l) h(n) = h(n - l) + n -

l

l,

l) .

l.

Kako za n = l imamo listu od samo jednog broja, nemamo što uspoređivati, pa je = O . Ovo je upravo rekurzivna relacija (7) koju smo rješavali u Odjeljku 7.5 (vidi Primjer 7.5.1). Dakle bt

h(n)

=

l

2 n(n - 1).

Prema tome, složenost algoritma mjehuričastog sortiranja je kvadratna po n, tj. jed­ naka 9(n2) . Očevidno h(n) možemo gledati i kao mjeru za vremensku složenost navedenog algoritma sortiranja. Postoje još efikasniji algoritmi sortiranja od opisa­ noga. Optimalan algoritam sortiranja liste od n brojeva ima složenost reda veličine O(n log n) (vidi Odjeljak 1 2.7). Razni algoritmi sortiranja koji se pojavljuju u prim­ jenama od velike su važnosti u računalstvu.

12.5. BRZO SORTIRANJE (QUICK SORT)

241

U algoritam sortiranja koji ćemo sada opisati ugrađen je mehanizam "slučajnog odabira" elemenata. Srednja složenost (koju ćemo definirati niže) je reda veličine 8 (n log2 n) , što je bitno povoljnije nego kod mjehuričastog sortiranja, koje je kvadrat­ ne složenosti, tj. 8 (n2 ) . Opišimo taj algoritam. Cilj je poredati listu od n brojeva po veličini. Računalo najprije na slučajan način odabere neki element a iz liste. Ako lista sadrži samo jedan broj, onda se nema što raditi. U suprotnom se broj a uspoređuje sa svakim od preostalih n - l elemenata. Zatim se tih n - l elemenata podijeli u dva skupa elemenata: na one koji su manji od a , i na one koji su veći (ako a najveći element, onda je drugi skup prazan; ako je a najmanji, onda je prvi prazan). Potpuno isti postupak nastavljamo sa dva nova skupa (na slučajan način biramo novi element u svakom od njih). P RIMJER l . Uzmimo listu od n = 6 brojeva: ( 5, 4, 2, 3, 6, l) . Ako je na sluča­ jan način odabran broj a = 3 , onda nakon 5 uspoređivanja dobivamo dvije nove liste: (2, l ), 3, (5, 4, 6)� Sada u lijevoj listi odaberemo na slučajan način jedan element, npr. l , pa usporedbom sa 2 dobijemo listu ( l , 2) . Ako je u desnoj listi na slučajan način odabran broj 6 , onda nakon dva uspoređi­ vanja dobijem listu (5, 4) . Još jedan slučajan odabir elementa i jedno uspoređivanje daje listu (4, 5) . Dakle u ovom slučaju imamo sljedećih nekoliko koraka: l . (5, 4, 2, 3, 6, l) , slijedi slučajan odabir i uspoređivanje 2. (2, 1 ) , 3 , (5, 4, 6) , 3. (2) , l , 3 , (5, 4, 6) , 4. l , 2 , 3 , (5, 4, 6) , 5. 1 , 2 , 3 , (5, 4) , 6 , 6. l , 2 , 3 , (5) , 4 , 6 . 7. l , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Ukupan broj usporedba jednak je 5 + l + 2 + l = 9 . To je znatna ušteda spram metode mjehuričastog sortiranja, u kojoj trebamo !n(n - l ) = 1 5 usporedba.

Pogledajmo sada najbolji mogući slučaj. Npr. ako imamo 7 brojeva, onda najma­ nji broj usporedba imamo kad biramo srednji element u listi (ovdje treći po veličini) . Nakon šest usporedba možemo dobiti dvije grupe o d po tri elementa, pa opet biramo srednji element. Imamo još dvije usporedbe za svaku grupu, dakle ukupno 6+ 2· 2 = 10 usporedba. 7 3

-

·

3

•

l -

.

-

Sl. 12.3.

Općenito, ako imamo problem sortiranja

·

-

n = 2k l -

elemenata, onda u prvom

12.

242

koraku imamo

n-l

SLOŽENOST ALGORITAMA

usporedba. Ukupan broj usporedba je:

k-I k k k k 2 2 I L zi = 1)2 2) (k 2 + . . . (2 + 2) 2(2 + 2) (2 i= l k = (k - 1)2 - 2 (2k- t - l ) k = (k - 2)2 + 2 . Kako je n = 2k - l , onda je k - 2 = O(log2 n) , 2k = n + l = O(n) , pa je broj usporedba u najboljem slučaju reda veličine O( n log2 n) . Pogledajmo sada najgori mogući slučaj. Najveći broj usporedba imamo ako je na slučajan način odabran upravo najmanji ili najveći element promatrane liste u svakom koraku, tako da trebamo izvršiti najveći broj usporedba, tj. njih (n - l ) + (n - 2) + . . . + l = !n (n - l ) = 8(n2 ) . Taj broj odgovara upravo mjehuričastom sortiranju. 7

•

6

•

5

•

4

• •

3 --

2

.

J

Sl. 12.4.

h(

Definirajmo srednju složenost n) brzog sortiranja kao aritmetičku sredinu bro­ ja usporedba koja odgovara svim mogućim ishodima slučajnih odabira elemenata u realizaciji algoritma. Teorem 1 . Srednja složenost algoritma brzog sortiranja liste od

naka je

n

brojeva jed­

h(n) = e (n logz n) .

h(O) O , h( l ) O , h( 2) l . Kod provedbe algoritma sorti­ ranja imamo nakon slučajnog odabira broja a najprije n - l usporedba s preostalim elementima. U sljedećem koraku, ako lista lijevo od a ima k - l elemenata, a desno n onda trebamo još l) + (n - k) usporedba. Međutim slučajnom odabiru elementa a mogu odgovarati bilo koje dvije liste sa k - l i n - k elemenata, k = l , 2, . . . , n . Prema tome srednja vrijednost je

DOKAZ. Očevidno je

k,

=

h(k - h

=

=

.12.5.

BRZO SORTIRANJE (QUICK SORT)

� L:k= dh(k - l ) + h(n - k)] , tj.

243

ll

Ll n-1 -L r

l h(n) = n - l + -n )h(k - l) + h( n - k)] k= 2 =n- l + h(r). n =

O

, an := L:;;:ci h(r) an+l - an,�Un+l - a11 = n - l + -n2 · an, tj. n+2 a1 +l - --a = n - l. n ". Ovo je linearna, nehomogena rekurzivna relacija. Ona nije s konstantnim koeficijen­ tima (vidi koeficijent ispred an ), pa ne možemo rabiti metode iz Poglavlja 7. Pokušajmo, ako je moguće, relaciju pornnožiti sa nekim faktorom ovisnim o n , tako da lijeva strana postane razlika dvaju uzastopnih članova novoga slijeda. To ,. rnnozenJem sa (n+I)(l n+2 : mozemo post1c1 ) 2 3 - -U__:.:_n = n - l = -(n + l )(n + 2) n(n + l) (n + l )(n + 2) n + 2 n + l Stavimo bn := n(:� l . Onda je ) bn+l - bn = n +3 2 - n +2 l . Ovo nije rekurzivna relacija konačnog stupnja po h(n) ali zamjenom dobivamo h(n) =

y

•

y

•

___,...

-.,..

Ovo je linearna nehomogena rekurzivna jednadžba s konstantnim koeficijentima, koja se ne može lako riješiti s pomoću recepata za nalaženje partikularnog rješenja (vidi tablicu u Odjeljku 7.4). Zato idemo izravno:

n- 1 n- 1 3 2 bn - b1 = L= (bk+ l - bk) = L=l ( k + 2 - k + 1) k l n l nk l = 3 L k + l - 2 L= k · k 2 k=2 Neka je Hn := l + ! + . . . + � n -ti harmonijski broj. Onda je l:k=2 m = Hn - l - 1 + n!1 i L:k=2 l = Hn - l . Zbog b1 = � = � = O je bn = 3(Hn - � + ;;h) - 2(Hn - l) = Hn + ;d:-r -: � Dakle �an = (n + l)bn = (n + l)Hn + 3 - � (n + l ) , i odavde: h(n) = n - l + �an = n - l + 2(n + l)Hn + 6 - 5(n + l) = -4n + 2(n + l)Hn.

12. SLOŽENOST ALGORITAMA

244

Kako je Hn = 8(ln n) (vidi Primjer 7.2.5), onda je h(n) 8(n log2 n) .

8(n ln n) , tj. h(n) =

=

Q.E.D.

� PoVIJESNA CRTICA � Metodu brzog sortiranja (quick sort) otkrio je C.A.R. Hoare 1962.g.

Jedna učiteljica trebala je kod kuće, nakon ispravljanja školskih zadaća iz hrvats­ koga jezika, sve učeničke zadaće složiti po abecednom poretku. Bilo je dosta zadaća, njih 31 , pa je zamolila svoje dvoje djece za pomoć, tj. da svako složi po abecedi 'polovicu' zadaća. Prvo dijete dobilo je zadatak da složi po prezimenima abecednim poretkom ukupno 16 dobivenih zadaća, a drugo 15 . Nakon što su dvije skupine zadaća bile poredane, trebalo je te dvije liste nekako spojiti da se dobije jedna lista zadaća sortirana abecednim poretkom. Evo kako je mama postupila. Najprije je svako dijete pročitalo prvo prezime u svojoj listi zadaća. Mama je uzela onu školsku zadaću čije ime dolazi u abecednom poretku prije (to će biti ujedno i prva zadaća u završnoj listi zadaća). Zatim su opet djeca čitala prva dva imena i mama je opet uzela zadaću s prezimenom koje dolazi prije. Itd. . . Naravno, i svako dijete je moglo postupiti na sličan način. Daje jedno dijete našlo svoje dvije 'žrtve' (dva prijatelja ili možda dva mlađa brata), onda je moglo svakom dati po 8 zadaća i zatim složiti svojih 16 zadaća na isti način. Opisana metoda poznata je kao podijeli (posao) pa vladaj. Grubo rečeno, ona se sastoji u tome da se početni problem podijeli na dva lakša problema. Na isti način možemo sortirati i liste sastavljene od bilo kakvih slova abecede ili riječi, kao i liste sastavljene od prirodnih, pa i realnih brojeva. Opišimo ga detaljno na primjeru prirodnih brojeva. Algoritam za sortiranje brojeva spajanjem (MERGESORT) je još brži od algo­ ritma BRZO-SORTIRANJE. Najprije listu od n brojeva podijelimo u dvije podliste,

lijevu i desnu, koje imaju (skoro) isti broj elemenata: naime isti broj elemenata ako je Zatim ove dvije liste rastavljamo na isti način na dvije nove podliste, itd. Spajanje obavljamo ovako. Neka su u nekom trenutku lijeva i desna lista takve da su im elementi već poredani po veličini. Ako su to liste

n paran, a r + l i r elemenata ako je n neparan, n = 2r + l

.

(a t , . . . , al ), (b i . . . . , bd ) ,

onda uspoređujemo najprije a1 i b 1 Manji element brišemo iz pripadne liste i stav­ ljamo u listu sortiranih elemenata, a veći ostavljamo. U svakom koraku uspoređujemo samo prva dva elementa u listama i manji dodajemo listi sortiranih elemenata. Za gornje dvije liste imat ćemo najviše l + d - l usporedba parova (moguće je i < : npr. za l = l i d = 10 imamo samo jednu usporedbu; za liste (1, 2) i (3, 4) dvije). •

PRIMJER l . Uzmimo listu ( 5, 4, 2, 3, 6, l) . Ona raspolavljanjem prelazi u dvije liste (5, 4, 2) i (3, 6, l) . Lijeva prelazi u (5, 4) i (2) . Zatim (5, 4) prelazi u (5) i (4) .

12.6. SORTIRANJE SPAJANJEM (MERGE SORT)

245

(5,4, 2)

(3, 6, 1)

.l

\

(5,4)(2)

(3,6) (1)

l \

(5,4)

l \

1\

(l)

(3, 6)

(2)

1\

(5)

(4)

(3)

(6)

(5)

(4)

(3)

(6)

\l (4,5)

(2)

\l

\l (3,6)

(l)

\l

(2,4,5)

( 1,3,6)

\

l

( 1,2,3,4,5,6)

Sl. 12.5.

Sada idemo prema nazad i spajamo liste. Uspoređivanjem ( 5) i (4) dobivamo listu (4, 5) . Uspoređivanjem prvih elemenata broj 2 ide na početak sortirane liste, nakon čega druga lista ostaje prazna. Listu (4, 5) , koja se nema više sa čime uspoređivati, jednostavno dodajemo (spajamo) uz element 2 . Dobivamo listu (2, 4, 5) . Desna lista prelazi u (3, 6) i ( l ) , i na sličan način uz dva uspoređivanja dobivamo listu (l, 3, 6) Na kraju u razvrstanim listama (2, 4, 5) i ( l , 3, 6) , najprije uspoređujemo 2 i l . Broj l ide na početak sortirane liste, i zatim prelazimo na usporedbu prvih elemenata u (2, 4, 5) i (3, 6) , itd. Na kraju sortirana lista postaje l, 2, 3, 4, 5 , 6 . Ukupan broj usporedba je 1 0 .

Definirajmo složenost h(n) ovog algoritma kao ukupni broj usporedba za sorti­ ranje liste od n brojeva. Teorem 1 . Algoritam sortiranja spajanjem ima složenost

h(n)

= O(n log2 n).

DoKAZ. Očc;vidno je h( l ) = o, h( 2r) ::;:; 2h( r) + (2r - 1 ) , h (2r + l) ::;:; h(r + l) + h(r) + 2r.

(l)

Npr. u zadnjoj relaciji, ako imamo n = 2r + l brojeva, onda nakon razdiobe u dvije liste (lijevu i desnu) od r + l i r elemenata imamo h(r + l) i h(r) odgovarajućih usporedba, a na kraju još preostaje najviše (r + l) + r - l = 2r usporedba članova lijeve i desne liste. Dokaz teorema provodimo u dva koraka.

12.

246

(A) Dokažimo najprije indukcijom po koji unaprijed odabran broj, vrijedi

n

da za sve

h(n) � (k - 1)2k + l.

SLOŽENOST ALGORITAMA

n � 2k , gdje je k E N bilo (2)

Za n = l to je jasno. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za sve brojeve koji su manji od zadanog n (induktivna pretpostavka). Dokažimo da onda vrijedi i za n . Promotrimo dvije mogućnosti. a) Ako je n paran, tj. n = 2r, onda je r < n i zbog n � 2k imamo r � 2k- l . Po induktivnoj pretpostavci, prirnijenjenoj na h(r) , vrijedi

h(n) = h(2r) � 2h(r) + 2r - l � 2[(k - 2)2k- l + l] + 2k - l = (k - 1)2k + l. b ) Ako je n neparan broj, tj. n = 2r + l , onda iz n � 2k slijedi r, r + l � 2k- l , pa možemo primijeniti pretpostavku indukcije: h(r), h(r + l) � (k - 2)2k- l + l .

Prema tome je

h(n) � h(r + l) + h(r) + 2r � 2[(k - 2)2k- l + l] + 2r = (k - 2)2k + n + l � (k - 2 ) 2k + 2k + l = (k - 1)2k + l . Time je nejednakost (2) dokazana. (B) Da bismo dobili traženu ocjenu, odaberimo bilo koji prirodan broj n . Odabe­ rimo zatim k tako daje 2k- l < n � 2k . Ondaje 2k < 2n i vrijedi k- l < log2 n � n . Prema tome je h(n) � (k - 1)2k + l < (Iog2 n)(2n) + l , što dokazuje da je Q.E.D. h(n) = O(n log2 n) . PRIMJEDBA l . Potrebno je i dodatno vrijeme za početnu subdiviziju prije samog sortiranja spajanjem (vidi Sliku 12.5 iznad crtkane linije)� Na analogan način kao u dokazu Teorema 2 pokazuje se da za n brojeva treba također samo O(n log2 n) koraka. PRIMJEDBA 2 . Dvije rekurzivne nejednakosti u (l) koje su dane za parne i ne­ parne brojeve, mogu se zapisati samo s pomoću jedne: h( n) � h( Ln/2J ) + h( fn/21 ) + (n - l ) , n � 2 . Pritom je rxl tzV. najmanje cijelo Od X , tj. najmanji cijeli broj koji je )! x (npr. f2.4l ::: 3 ). Ova rekurzivna relacija se u literaturi često zapisuje sasvim sažeto u obliku h(n) � 2 · h(n/2) + (n - 1),

gdje namje 2 h(n/2) kratica za zbroj h( Ln/2J) + h ( fn/21 ) . U primjenama gdje se rabi metoda "podijeli pa vladaj" pojavljuju se vrlo općenite rekurzivne relacije oblika (3) h(n) = a · h(n/b) + f(n), gdjejef(n) zadani slijed brojeva iz No , a i b su zadani prirodni brojevi, a a·h(nfb) se interpretira kao neki zbroj od ukupno a pribrojnika, od kojih je svaki oblika h( ln/bJ ) ili h ( fn/bl ) . Takva rekurzivna relacija dobiva se kod algoritama gdje se problem veličine n dijeli na a manjih problema, od kojih je svaki veličine n/b . Brzina rasta rješenja h(n ) opisana je sljedećim teoremom koji navodimo bez dokaza (vidi [Cera­ nen, Leiserson, Rivest, str. 62-72]). ·

Theorem 2. Neka su a i b prirodni brojevi, a � l , b > l , i neka je h(n) rješenje rekurzivne relacije (3). (a) Akoje f(n) = O(n10gb a-E ) za neku konstantu E > O , ondaje h(n) = 8(n10gb a) . (b) Akoje J(n) = e(n10gb a) , ondaje h(n) = e (n10gb a log2 n) .

12.7. PROCJENA MINIMALNE SLOŽENOSTI SORTIRANJA

247

(e) Ako.je f(n) = Q(n10gb a+ E ) za neku konstantu E > O , i akoje af(n/b) � cf(n) za neku konstantu e < l i sve n � no za neki no , ondaje h(n) = E>(f(n)) .

Teorem l odgovara slučaju kad je

a = b = 2 u Teoremu 2(b).

U posljednja dva algoritma sortiranja dobili smo složenost algoritma reda veličine O(n logz n) . Postavlja se pitanje može li se naći još bolji algoritam? Sljedeći teorem kaže da ne može. Teorem 1 . Označimo sa s(n ) najmanji broj usporedba dovoljnih da se sortira

lista od n brojeva. Onda je je optimalan.

2s(n) � n! . Algoritam sortiranja spajanjem (merge-sort)

DOKAZ. Odaberimo bilo koju listu od n brojeva (a 1 , . . . , an ) i pogledajmo svih mo­ gućih n! poredaka. Svaka usporedba nekih dvaju elemenata (npr. az i a5 ) ima dva moguća ishoda az < a5 ili az � a5 . Prema tome skup svih n! lista možemo podijeliti u dva podskupa: skup onih lista kod kojih je a2 < as i skup onih kod kojih je a2 > as . Na sličan način, sa r zadanih usporedba različitih parova lista dobivamo particiju od disjunktnih podskupova skupa svih n! lista. Npr. za tri usporedbe, recimo izmedu az i a5 , zatim az i a6 , i a5 i a6 , imamo particiju od = 8 podskupova skupa svih n! lista koje su određene sa: l . az < a5 , az < a6 , a5 < a6 , az < a5 , az < a6 , a5 � a6 , 3 . az < a5 , az � a6 , a5 < a6 ,

2'

23

2.

8. az � a5 , az � a6 , a5 � a6 . Da bismo sa r usporedba bili u stanju razlikovati svih n! lista, r mora biti do­ voljno velik, tj. barem takav daje � n! . Najmanji takav r je upravo s(n) . Drugim riječima mora vrijediti � n! . Odavde je s(n) � Iogz n! = :L:�=1 logz r . Parcijalnom integracijom dobivamo J1n ln x dx = x In x 11 - J1n dx = n In n-n+ l tj. n in n = J1n in x dx + n - l . Budući da za x > e vrijedi ln x > l , onda za n > e imamo fen ln x dx > fen l dx = n . Dakle za n > e je n In n = ft ln x dx + n - l < J1n ln x dx + fen ln x dx - l = J1n ln x dx + e , gdje je e = - Jt ln x dx - l Znači, n in n = o(Jt ln x dx) . Funkcija lnx je monotono rastuća na [ l, n] , pa vrijedi J1n Inx dx � :L:�=1 ln r (pogledajte Sn na Slici Tranzitivnost relacije ( ) = O(·) nam daje n ln n = : Odade konačno sli­ O(:L:�= l ln r) , tj. n lnn = O(:L:�= I logz r) , jer je In n = jedi s( n) � :L:�= 1 logz n � K · n In n za sve n � no i neku konstantu K . Time je dokazano da složenost problema sortiranja ima red veličine barem n logz n . Q.E.D.

2'

2s(n)

,

2

7.2).

,

·

·

��:;

.

� PoviJESNA CRTICA � Algoritam sortiranja spajanjem (merge-sort) ot­ krio je John von Neumann još 1938. g.

12. SLOŽENOST ALGORITAMA

248

Do sada smo složenost algoritama promatrali isključivo u smislu vremenske slo­ ženosti, tj. kao broj računskih operacija dovoljnih da se program realizira ako je ulaz veličine n . Cilj je ovog odjeljka da razmotri i memorijsku složenost algoritma, tj . složenost algoritma izraženu s pomoću broja bitova B koje ulaz u binarnom prikazu zauzima u računalu. Broj bitova u binarnom prikazu broja n jednak je prema Propo­ ziciji B = Llog2

n

12.2.1

nJ + l.

Ova relacija nam omogućuje da složenost algoritma izrazimo kao funkciju od B , tj . kao funkciju memorijskog prostora kojeg zauzimaju ulazni podatci. Kako je log2 n < B = Llog2 nj log2 n onda je tj .

+l�

+ l, n < 28 � 2n , 1 28- � n < 28.

Drugim riječima, ako broj B svih bitova broja n raste linearno, onda sam broj n raste ekponencijalno, kao i obratno. Stoga je razumno definirati memorijsku složenost m(B) nekog algoritma na sljedeći način:

28 ,

m(B)

:=

h(28),

gdje je h(n) vremenska složenost algoritma. Strogo govoreći, to znači da će za primijenjeno računalstvo klasa 'dobrih' algori­ tama (u smislu memorijske kompleksnosti) biti samo oni koji su najviše logaritamskog rasta u vremenskom smislu.

PRIMJER l . Euklidov algoritam za nalaženje Nzm (a, , a msku vremensku složenost h( a) = O(Iog2 a) , vidi Teorem memorijska složenost (složenost u ovisnosti o B ) linearnoga rasta:

b) � b ima logarita­ 12.3.4. Prema tome je

m(B)

=

h(28) = O(B) .

Riječima, složenost Euklidova algoritma ovisi linearno o broju bitova koje zauzima binarni prikaz broja

a

u memoriji računala.

PRIMJER 2 . Slično, i BRZO-POTENCIRANJE ima složenost linearnog rasta u

ovisnosti o B :

h(28 ) � 3 (log2 n + l) 3(B + 1). Ali za (sporo) POTENCIRANJE imamo h(n) = n - l , tj . m (B) = h(28 ) = 28 - l, m (B)

=

=

dakle složenost algoritma je eksponencijalna.

PRIMJER 3. Kod algoritma brzog sortiranje susreće se vremenska složenost reda = O( n log2 n) . Za n = 28 dobivamo više nego eksponencijalnu me­ morijsku složenost: m( B) = B · 28 . veličine m(B)

� POVIJESNA CRTICA � Pojam algoritma pojavio se u uporabi tek pede­

20.

setih godina st., prije je rabljen naziv 'algorisam' . Naziv je uveden prema imenu znamenitog arapskog matematičara i astronoma uzbečkog podrijetla al-Khwarizmija (780-850) koji je živio u Bagdadu (u današnjem Iraku). Puno ime mu je Abu Ja'far

12.8.

MEMORIJSKA SLOŽENOST ALGORITAMA

249

Muhamed ibn Musa al-Khwarizmi, što znači "otac Ja'farov Muhamed, sin Mojsijev (Musa = Mojsije), građanin iz Khwarizm-a" (danas grad u Uzbekistanu). Naziv al­ gebra dolazi od al jahr, koji je sadržan u naslovu njegove knjige "Kitab al-jabr w'al muquabala" iz 885. g. ("Pravila postavljanja i pretvorbi"). Knjiga je prevedena na latinski u 13. st., i imala je dubok utjecaj na razvoj europske matematike u razdoblju Renesanse. Prijevodom te knjige stigle su u Europu i arapske brojke O, l, 2, . . . Na prevođenju al-Khwarismijeva djela ''Tablice" s arapskog jezika na latinski radio je među inim i Hennan Dalmatin, znameniti hrvatski intelektualac iz 12. st. rodom iz Istre. Među prve osobe za koje se zna da je dala opis algoritma u modernom slilislu spada Ada Byron ( 1815- 1852), kćer pjesnika Lorda Byrona. Ona je surađivala sa Charlesom Babbageom ( 1792-1871) u razvoju njegova pra-računala, kao i na ideji tzv. "analitičkog stroja". Imenom te ljepotice, poznate i kao Countess of Lovelace, nazvan je jedan programski jezik (ADA). Prvu informaciju o složenosti Euklidova algoritma dobio je G. lAme 1844. g. proučavajući Fibonaccijeve brojeve (vidi Teorem 12.3.3). O problemima sortiranja vidi opsežnu monografiju [Knuth III] .

Nadahnuće je potrebno u geometriji, isto kao i u pjesni§tvu. -

Aleksandar PUSKIN (1799-1837)

Matematičar koji nije pomalo i pjesnik nikada neće biti potpun matematičar.

- Karl WEIERSTRASS ( 1815-1897)

Pravaje matematika uvijek bila i lijepa, a prava je umjetnost uvijek bila i istinita. - Vladimir DEVIDE ( 1925)

13 . SNBR-STROJ, IZRAĆUNLJIVE FUNKCIJE

250

13.

SN BR-stroj, izračun ljive funkcije

U ovom ćemo poglavlju izložiti osnovne pojmove teorije izračunljivih funkcija i odlučivih predikata. Uglavnom ćemo slijediti pristup kao u [Cutland] . Mogli bismo pomisliti da, čim je zadana bilo koja funkcija f : N -+ N , onda automatski imamo i "efektivni postupak" za izračunavanje njenih vrijednosti f(n) . Sljedeći jednostavan primjer pokazuje daje pojam "efektivne izračunljivosti" suptilan. PRIMJER l . Poznato je da broj v'2 u svom decimalnom zapisu nije periodičan, jer nije racionalan. Postavlja se ovakvo pitanje: ima li za zadani n E N broj v'2 igdje n uzastopnih petica iza decimalnog zareza? Ako definiramo funkciju ako postoji n uzastopnih petica, f(n) = O, ako ne postoji n uzastopnih petica, onda se pitanje može sročiti ovako: kolika je vrijednost funkcije f(n) za zadani n ? Npr. da bismo izračunali /( 12) , trebalo bi broj .Ji računati na sve veći i veći broj decimala. Ako naiđemo na 12 uzastopnih petica, onda je /( 12) = l . Međutim da bismo zaključili da vrij edi /( 12) = O , trebali bismo, čini se, znati v'2 na svim decimalnim mjestima, što vjerojatno nikada nećemo znati. Ovo dakako ne isključuje mogućnost da se vrijednost /(12) možda može izračunati nekim drugim postupkom. Na ovom primjeru vidi se da vrijednosti f(n) općenito "nisu izračunljive", tj. nema efektivnog postpuka za izračunavanje f(n) . Pojam izračunljive funkcije može se točno uvesti uz pomoć stroja s neograničenim brojem registara, koji ćemo opisati niže.

{ l,

Stroj s neograničenim brojem registara (kraće: SNBR-stroj) je vrlo blizak današnjem načinu gledanja na "idealizirano računalo". SNBR-stroj sastoji se od be­ skonačne trake koja sadrži registre (pretince) Rt , R2 , . . . od kojih svaki sadrži u bilo kojem trenutku neki prirodan broj ili nulu. Neka registar Rn sadrži broj rn :

251

1 3. 1 . SNBR-STROJ

Sadržaj registara je u početnom trenutku zadan, i mijenja se u vremenskom slijedu u konačno ili beskonačno mnogo koraka s pomoću prograMQ . Svaki program P sadrži konačno mnogo instrukcija (naredaba). One mogu imati samo jedan od sljedeća četiri oblika: l ) Nul-instrukcija Z(n) za zadani n E No na traci mijenja sadržaj n -tog registra Rn iz rn u O . Oznaka Z( n) dolazi od engl. zero = nula. Stanje, odnosno sadržaj registara na traci u nekom zadanom trenutku (koraku pri , izvođenju programa) zovemo konfiguracijom SNBR-stroja. Npr. ako je konfiguracija u nekom trenutku jednaka

7

25

8� l l l

l

onda nakon instrukcije Z(2) ona postaje Rt

Rz

R3

7

o

80

R4 ll

2) Instrukcija sijed� S(n) u n -tom registru Rn povećava njegov sadržaj r11 za l , dotično u rn + l , 'a sadržaj ostalih registara ne mijenja. Rezultat promjene rn u rn + l označava se često sa rn := rn + l . Npr.

7

o

80

l ll l

S(4)

--+

7

o

80

12

3) Instrukcija transfera (prijenosa) T(m, n) prenosi sadržaj rm registra Rm u registar Rn , gdje se rn zamjenjuje sa rm . Svi preostali registri ostaju nepromije­ njeni, uključujući i Rm . Npr.

7

o

80

12

T(4, l ) --+

12

o

80

12

Moguć je i prijenos T(n, n) , koji na traci "ne mijenja ništa". 4) Instrukcija skoka J(m, n, q) odnosi se na "uvjet" u izvršavanju samoga prog­ rama P , koji je ništa drugo nego konačan slijed instrukcija. Izvršiti instrukciju J(m, n, q) u programu P znači sljedeće: a) ako je rm = rn onda SNBR-stroj prelazi na izvršenje q-te instrukcije prog­ rama P ; b) ako je rm "l- rn onda SNBR-stroj prelazi na sljedeću instrukciju u programu, koja dolazi neposredno nakon J(m, n, q) . PRIMJEDBA l . Instrukcija J(n, n, q) u programu P naređuje bezuvjetni prijelaz na q -tu instrukciju programa, jer je rn = rn istina. Oznaka J(m, n, q) dolazi od engl. jump = skok. Kao mali sažetak, pogledajmo još jednom ove temeljne četiri instrukcije i njihov sažeti zapis: l ) nul-instrukcija Z(n) , rn := O ; 2) instrukcija 'sljedbe S(n) , rn := rn + l ;

13. SNBR-STROJ, IZRAČUNLJIVE FUNKCUE

252

instrukcija transfera (prijenosa) T(m, n) , r11 := rm (ili R11 +-- rm ); 4) instrukcija skoka J(m, n, q) : ako j e r111 = r11 idi na q -tu instrukciju u programu, a ako je rm =l- r11 idi na sljedeću.

3)

Prve tri instrukcije zovemo aritmetic1dm instrukcijama. instrukcija ( s E N ):

Program se sastoji od s

h , h, . . . , ls pri čemu je svaka naredba h jedna od četiri navedena tipa instrukcija. Kad je zadana početna konfiguracija (ulaz):

najprije se primjenjuje instrukcija h programa P , zatim instrukcija h , itd., osim ako neka od instrukcija nije skok. Primijetimo da je u programu posljednja instrukcija ls , ali ona ne mora biti i posljednja prilikom izvršavanja. Program P se zaustavlja s nekom instrukcijom jedino ako nema sljedeće naredbe u programu. To se može dogoditi na jedan od ova tri načina: (i) ako je posljednja instrukcija ls aritmetička; (ii) ako je h = J(m, n, q) , rm = r11 i q > s ; (iii ) ako je posljednja instrukcija oblika ls = J(m, n, q) , uz Nakon što program

figuracije (izlaza):

P

rm =j:. r11 •

"obradi" početnu konfiguraciju, dolazi se do završne kon­

PRIMJEDBA 2 . Može se dogoditi da za neku početnu konfiguraciju izvedba pro­ grama P "upadne u petlju" tako da nikada ne završi. PRIMJER 2. Pogledajmo kako program P definiran instrukcijama

11

J( l, 2, 6)

S(2) l3 S(3) 14 J( l, 2, 6) 15 J( l, l, 2) 16 T(3, l) /2

253

1 3 . 1 . SNBR-STROJ

djeluje na neku početnu konfiguraciju (ulaz):

R1 Rz R3 6 4 o 6 4 o

R4

6

5

6

Uer je

q

1-

r2 )

Uer je

r1

1-

rz )

Uer je

r1

=

rz )

o l ...

/l

o l ...

Iz

o

o l ...

13

5

l

o l ...

14

6

5

l

o l ...

ls

6

6 6

l

o l ...

Iz

l

o l ...

13

6 6 6

2

o l ...

/4

2

o l ...

h

2

o l ...

STOP

6 6 2

2

Navedeni program može se zadati i s pomoću dijagrama toka. START da

STOP Sl. 13.1.

Možete se sami lako uvjeriti da gornji program s početnom konfiguracijom nikada ne završava. Program upada u petlju u kojoj se registar Rz stalno povećava: rz = 5, 6, 7, . . .

3, 5, . . .

13. SNBR-STROJ, IZRAČUNLJIVE FUNKCIJE

254

PRIMJER 3 . Sljedeći jednostavan program predstavlja zapravo petlju, i nikada ne završava, neovisno o početnoj konfiguraciji:

lt S( l) [z 1(1, l, l) START

Sl. 13.2.

PRIMJEDBA 3 . Ako imamo zadanu funkciju J : No -t No te ako postoji program za svaki x , onda se za početnu konfiguraciju (ulaz) uzima

P koji izračunava J(x)

Rr Rz R3 R4 l X l 0 l O l O l .. l dotično x se smještava u prvi registar R1 U postupku izvršenja programa "puni se" i .

•

nekoliko sljedećih registara, koji odgovaraju vrijednostima pomoćnih varijabla defini­ ranih u programu P s pomoću kojih dolazimo do vrijednosti J(x) . "Pomoćni registri" (nekoliko njih desno od R 1 ) definiraju stanja SNBR-stroja. U završnoj konfiguraciji (izlazu) rr, rz, . . . broj rr predstavlja rezultat, dotično broj rr = J(x) . Ako se radi o programu koji za ulaz ima dvije varijable (npr. za izračun funkcije J(x, y) , J : No x No -+ No ), onda dakako varijable x i y smještavamo u registre R 1 i Rz , a daljnji registri će biti pomoćnog karaktera, tj. opisivat će stanje SNBR-stroja u svakom koraku. Uvedimo sada neke oznake. Neka je P program i (a 1 , az, . ) početna konfigu­ racija (ulaz). Izvršenje programa na toj konfiguraciji (sa svim koracima) označavamo sa P(a 1 , az, . . . ) a) Sa P(at, az, . . . ) ! ćemo označiti da se izvršenje programa P na toj konfiguraciji .

.

.

završava u konačno mnogo koraka.

b) Ako izvršenje programa

P(at , az,

. . .

) T.

P na toj konfiguraciji nikada ne završava, onda pišemo

Obično je početna konfiguracija takva da počevši od nekog registra svi daljnji (ar, . . . , an , O, O, . . . ) . U tom slučaju umjesto P(aJ . . . . , an , O, O, . . ) pišemo kraće P(aJ. . . . , an ) . Prema tome P(ar, . . . , an ) l znači da P(a r , . . . , an , O, O, . . . ) 1 . Za proračun koji s nekom početnom konfiguracijom završava u konačno mnogo koraka kažemo da konvergira, a za onaj koji nikada ne završava kažemo da divergira.

sadrže samo nule, tj. početna konfiguracija je oblika .

PRIMJER 4. Program u Primjeru 2 konvergira za svaku početnu konfiguraciju u kojoj je ar � az . Ako je ar < az , onda program na dotičnoj konfigura­ ciji divergira. Npr. P(3, 5) l , a P(6, 4) 1 .

ar, az, . . .

2SS

1 3.2. lzRAĆUNLJIVE FUNKCIJE

Spajanje programa. U programiranju je uobičajena ideja ulaganja poznatih programa u nove programe (potprogrami, rutine). Npr. s pomoću dva programa P i Q možemo konstruirati novi program PQ takav da vrijedi sljedeće: (i) Početna konfiguracija programa PQ je najprije početna konfiguracija za program

P.

(ii) Izlazna konfiguracija od P je ulazna konfiguracija za program Q . (iii) Izlazna konfiguracija od Q je ujedno i izlazna konfiguracija od PQ . Kako izgleda zapis programa PQ ? Pretpostavimo da smo ispisali redom sve instrukcije od P i zatim odmah sve instrukcije za Q . Ako program P = It, . . . , ls sadrži instrukciju skoka J(m, n, q) sa q > s , onda će program iz P skočiti na neku instrukciju iz Q (ili izvan nje). Da bi program PQ djelovao kako smo opisali u (ii), mora biti q = s + l , tj. J(m, n, s + l) izvršava skok na prvu naredbu programa Q . DEFINICIJA. Kažemo daje program P = lt, . . . , ls u standardnom obliku ako za svaku naredbu skoka J(m, n, q) programa P vrijedi q � s + l . Pretpostavimo da smo program P promijenili u program P* u kojem će sve na­ redbe skoka J(m, n, q) sa q > s + l biti promijenjene u J(m, n, s + l ) . Programi P i P* uz iste ulazne konfiguracije imaju očevidno iste izlazne konfiguracije. Ti programi su međusobno ekvivalentni. Jedina od četiri temeljnih instrukcija koja uključuje skok na neku drugu instruk­ ciju je naredba skoka J(m, n, q) . Ako ona ulazi u potprogram Q, onda u programu PQ nju treba promijeniti u J(m, n, s + q) . DEFINICIJA. Neka su P i Q programi duljina s i t respektivno, zadani u stan­ dardnom obliku. Spoj ili konkatenacija programa P i Q je program PQ koji se sastoji od slijeda instrukcija lt, . . . , ls, ls+ l , . . . , ls+ t gdje je P = h , . , ls , a ls+l , . . . , ls+ t su redom instrukcije programa Q u kojima je svaka instrukcija skoka J(m, n, q) za­ mijenjena J(m, n, s + q) . ,

.

.

Grubo rečeno, za funkciju J : N0 -+ No kažemo da je izračunljiva ako postoji program koji njenu vrijednost izračunava za bilo koju zadanu početnu konfiguraciju (x1 , , Xn, O, O . . . ) u konačno mnogo koraka, i rezultat J(xb . . . , xn ) smještava na kraju izvršenja programa u prvi registar. Općenitije, pogledajmo funkciju n varijabla J : Đ(f) -+ No , gdje je Đ(f) � N0 . Skup Đ(f) je domena funkcije J, dotično J ne mora biti definirana na cijelom NO . • . .

DEFINICIJA. Neka je zadana funkcija J : Đ(f)

-+ No , Đ(f) � N0 . a) Neka je P zadani program i (a l , . . . , an ) E Đ(f) , te b E No . (al ) Kažemo da proračun P(ab . . , an ) konvergiraprema b ako P(ab . . . , an ) ! .

i u konačnoj konfiguraciji je b u registru R1 . (a2) Kažemo da program P izračunava funkciju J ako za sve (a i. . . , an ) i vrijedi P(ai, . . . , an ) ! b {::::::> (ai. . . , an ) E Đ(f) l\ J(ai. . . . , an ) = b. .

.

b

13. SNBR-STROJ, IZRAĆUNLJIVE FUNKCIJE

256

Posebno, to znači da P( ah

. . . , an

Đ(J) .

) l onda i samo onda akoje (

a . , . . . , an

)E

b) Za funkciju J : Đ(J) ---+ No , Đ(J) � N0 kažemo da je SNBR-izračunljiva (kraće: izračunljiva) ako postoji program P koji izračunava J . Propozicija 1 . Sljedeće funkcije su izračunljive:

a) nul-funkcija J : No ---+ No , J(x) = O ; b) funkcija sljedbe J : No ---+ No , J(x) = x + l ; e) funkcija projekcije Uf : N() ---+ No ' u:'(xr' . . . ' Xj , . . . ' Xn ) = terca na i -tu komponentu); d) zbrajanje J : N5

---+

Xj

(projekcija

n­

No , J(x, y) = x + y .

DOKAZ. a) Ovu funkciju izračunava program koji se sastoji samo od naredbe Z( l ) :

l

X

l

0

l0

Z( l) ---+

l ...

e

X

l 0 l 0

S( l )

l ···

o o

S( l ) :

b) Ovu funkciju izračunava program l

o

---+

l x+ l l O l O l

) Funkcija je izračunljiva s pomoću programa T( i, l ) : l

Xj

l

l Xj l · · · l

Xj

l

l

X}

l

·

·

·

·

·

·· ·

·

l

Xn

l0l

l

Xn

l0l

·

· ·

T(i, l )

d) Neka je zadana početna konfiguracija l

X

l

Y l

0 l

Vrijednost x + y ćemo u prvom registru dobiti tako da broju x u R 1 dodamo jedinicu točno y puta, tj. y -strukom primjenom operacije S(l ) . Registar R3 ćemo pritom rabiti kao brojač koji govori koliko puta smo već dodali jedinicu. U k -tom koraku imat ćemo ovakvu situaciju na traci: l x+k l y l k i O I

k = l , 2, . . , y .

Treći registar R3 pritom predstavlja stanje procesa: ako je r3 = k , onda je proces u k -tom stanju. Kada je stanje jednako y , tj. r3 = rz , računanje treba zaustaviti. Opišimo algoritam za izračunavanje zbroja dvaju brojeva zadanih u prva dva registra početne konfiguracije, i to najprije s pomoću dijagrama toka:

13.2. lzRAČUNLJIVE FUNKCIJE

257

START

>-da _ _

STOP

Sl. 13.3.

Dijagram toka će nam pomoći da lakše napišemo program koji izračunava zbroj bilo koja dva broja smještena u prva dva registra početne konfiguracije:

h

1(3, 2, 5)

/4

J( l ,

Iz S( l ) h S( 3 )

l, l )

Primijetite da ako je r1 = rz onda instrukcijom h skačemo na petu instrukciju, koje nema, što znači zaustavljanje procesa računanja (STOP). Instrukcija /4 realizira petlju, dotično bezuvjetan skok sa h na h budući da je uvjet rt = rt u instrukciji Q.E.D. J( l , l, l) uvijek istinit. Primjeri nekih izračunljivih funkcija su l) funkcija koja prirodnim brojevima a i b pridružuje produkt ab. 2) funkcija koja prirodnim brojevima a i b pridružuje ostatak a mod b pri dijelje,. nju a : b . 3 ) Nzm (a, b) , tj. funkcija dviju varijabla koja prirodnim brojevima a i b pridru­ žuje najveću zajedničku mjeru Nzm (a, b) . Ona se realizira s pomoću Euklidova algoritma. 4) Funkcija koja dvama polinomima f(x) i g(x) (čiji su koeficijenti prirodni broje­ vi) pridružuje produkt f(x)g(x) . Polinom f(x) = ao+a tx + . . . + anx" možemo poistovjetiti sa n+ l koeficijentom ao, a 1 , , an , i slično za g(x) . Početna kon­ figuracija za unos podataka koji odreduju f(x) i g(x) sastoji se od n = degf(x) , m = degg(x) u prva dva registra, zatim stavljamo n + l koeficijent od f(x) i m+ l koeficijent od g(x) . Produkt f(x)g(x) je polinom stupnja (m+ l)+(n+ l) , pa za njegov prikaz rezerviramo prvih m+ n+ 2 registara u završnoj konfiguraciji, a daljnje koristimo kao pomoćne. Niže će biti opisan postupak kodiranja, koji omogućuje da se mogu množiti i polinomi s cjelobrojnim koeficijentima, pa čak i s koeficijentima iz Q . 6) Funkcija koja polinomima f(x) i g(x) pridružuje ostatak pri dijeljenju f(x) : g(x) . ,

,

• • •

13. SNBR-STROJ, IZRAČUNLJIVE FUNKCIJE

258

7) Funkcija koja polinomima J(x) i g(x) pridružuje najveću zajedničku mjeru Nzm (!(x ) , g(x) ) . Umjesto koeficijenata iz No možemo u prethodnim primjerima koeficijente i operacije zbrajanja + i množenja · gledati u polju Zz , pa čak i u polju Zp (p je prost broj), ili još općenitije - u bilo kojem konačnom (Galoisovom) polju GF(pm) . Dobivene funkcije su također izračunljive. Može se dokazati da ako je funkcija jedne varijable izračunljiva, onda je dovoljno imati na raspolaganju samo tri registra. PRIMJEDBA l . Nije poznato je li funkcija J(n) iz Primjera 13.1.1 (u svezi sa decimalnim prikazom za v'z ) izračunljiva ili ne. Po svojoj prilici nije, tj. ne postoji program P koji bi izračunavao J(n) za svaki n . Nove izračunljive funkcije mogu se dobiti iz poznatih s pomoću metode supstitu­ cije. Pokazuje se da vrijedi ovakav teorem (vidi [Cutland] ) : Teorem 2. Ako s u J : N� -+ No i gi : N0 -+ No , i = l , . . . , k izračunljive funkQ.ije, onda je i složena funkcija h : N0 -+ No definirana supstitucijom h(x) = J(g t (x) , . . . , gk(x)) izračunljiva. Pritom je x = (xi , . . . , xn ) . Još neke od izračunljivih funkcija su lx -yi , n! , min{a, b} , max{a, b} , Eulerova funkcija fP(n) itd., pri čemu sve varijable uzimamo iz skupa prirodnih brojeva.

Složenost SNBR-programa. Složenošću (kompleksnošću) algoritma P za izraču­ navanje vrijednosti funkcije J(x ) , x E No prirodno je zvati slijed (a�P) ) nEN , pri čemu je a�) broj koraka u izvršenju programa P s početnom konfiguracijom (n, O, O, . . . ) . Bilo bi prirodno definirati kompleksnost izračunljive funkcije J kao kompleks­ nost 'optimalnog' programa P za izračunavanje funkcije J . Optimalnog u smislu da pripadni slijed a�P) ima najmanju 'brzinu rasta' . Zanimljivo je da postoje izračunljive funkcije za koje ne postoji optimalan program P koji ih izračunava, tj. ne postoji program 'minimalne' složenosti. Još je zanimljivije da postoje izračunljive funkcije koliko god želimo velike za­ dane složenosti. Točnije, za svaki slijed {an) takav da an -+ oo (koliko god brzo!) postoji izračunljiva funkcija J : No -+ No takva da za svaki pripadni program P koji ju izračunava vrijedi a�P) > an . Vidi [Cutland], str. 212-214.

U matematici je vrlo čest problem da se "odluči" (odredi pomoću efektivnog postupka) imaju li neki prirodni brojevi neko zadano svojstvo ili ne. PRIMJER l . Jesu li zadani prirodni brojevi x i y relativno prosti (tj. broj l im je jedini zajednički djelitelj) ili nisu? Ako nam O označava "laž", a l "istinu", onda se to pitanje svodi na "izračun" funkcije J : No x No -+ No definirane sa l ako su x i y relativno prosti, J(x, Y ) = ako x i y nisu re1ativno prosti .

{ o,'

1 3.3. 0DLUĆIVI PREDIKAT!

259

Prema tome možemo reći da je svojstvo, odnosno dvomjesni predikat "x i y su re­ lativno prosti" odlučiv onda i samo onda ako je funkcija f(x, y) izračunljiva. Ovo motivira sljedeću definiciju. DEFINICIJA. Neka je Q(x 1 , , Xn) neki n -mjesni predikat definiran na do­ meni Đ(Q) � N() . Karakteristična funkcija predikata Q(x 1 , . . . , Xn) je funlccija kQ : Đ(f) � N0 -+ No definirana sa • • •

kQ(Xt . . . . , Xn ) =

{ �:

ako je Q(x1 , . . . , x11) istina, ako je Q(x t , . . . , xn) laž.

DEFINICIJA. Kažemo daje predikat Q(x t . . . . , xn ) SNBR-odlučiv (kraće: odlu­ čiv) akoje njegova karakteristična funkcija kQ izračunljiva. Za predikat Q(x 1 , , Xn ) kažemo daje neodlučiv ako kQ nije izračunljiva. . . •

PRIMJER 2 . Ovi jednomjesni i dvomjesni predikati su odlučivi: a) x < y , b) x "l 5 , e) x j e neparan broj, d) x "l y . Složeniji predikati za koje se pokazuje da su odlučivi su l) prirodni brojevi x i y su relativno prosti (njena odluči vost se svodi na izračunlji­ vost funkcije Nzm (x, y) ). 2) Polinomi f(x) i g(x) s cjelobrojnim koeficijentima su relativno prosti (ovaj pre­ dikat irna (n + l) + (m + l) varijabHi). Odlučivost ovog predikata svodi se na izračunljivost funkcije Nzm (f(x ), g(x)) . U zadnja dva primjera možemo imati i koeficijente iz nekog lconačnog (Galoiso­ vog) polja GF(r/") .

Sljedeći teorem, koji navodimo bez dokaza, omogućuje da dobijemo mnoštvo novih izračunljivih funkcija. Teorem 1 . Neka su ft . . . . , Jk : N() -+ No izračunljivefunkcijei Q1 (x), . . . , Qk (x) odlučivi predikati na domeni N() , tako da za svaki x vrijedi točno jedan Qi(X) , tj. samo jedanje istinit sud. Onda je i funkcija g : N0 -+ No definirana sa

g(x) takoder izračunljiva.

=

{�

I (x),

ako vrijedi

Q l (x) ,

fk (x) ,

ako vrijedi

Qk(x) ,

:

PRIMJER 3. Može se pokazati da su predikati ' a l b ' ( a je djelitelj broja b ) i ' a j e prost broj' odlučivi, dotično pripadne karakteristične funkcije l, ako je a prost broj, . l, ako j� a l b , pr (a) = dj (a, b) = _ _ prost broJ, _ O, O, ako niJe a l b , ako a niJe su izračunijive.

{

{

13. SNBR-STROJ, IZRAČUNLJIVE FUNKCIJE

260

Do sada smo imali SNBR-stroj koji operira samo s prirodnim brojevima, kao i funkcije i predikate koji ovise o prirodnim brojevima. Ako su predikati ili funkcije zadani na drugoj domeni D , onda ćemo pretpostaviti da postoji eksplicitno zadana,

efektivna injektivna funkcija

a : D -+ No.

To znači da je skup D ili konačan ili prebrojiv. Funkciju a zovemo funkcijom ko­ diranja domene D . Element d E D je kodiran s pomoću jednoznačno odredenog prirodnog broja a( d) . Inverzna funkcija

a- I : a(D) -+ D

a(D) � No , zove se funkcija dekodiranja. Neka je D = Z . Skup cijelih brojeva možemo kodirati funkcijom

koja je definirana na skupu PRIMJER l .

a : Z -+ No koja će injektivno (čak bijektivno) preslikati sve pozitivne cijele brojeve

u parne, a negativne u neparne:

{ 2n,2lnl - 1),

za n � O , za n < O . Inverzna funkcija se također može opisati efektivnom formulom: ako je m paran, a - 1 (m) := 1( ) ako je m neparan. -2 m + l ,

a(n) : =

{ �.

Ako imamo zadanu bilo koju funkciju f : Đ(f) -+ D definiranu na domeni Đ(f) � D , onda se i ona može kodirati s pomoću funkcije J* : Đ(f*) -+ No , Đ(J* ) � No , definirane tako da je sljedeći dijagram komutativan:

d L J(d)

al

a(d)

-t

la

a (f(d))

* tj. J*( a(d)) = a(f(d)) . Ovaj dijagran{ (kao i dolnji) točno pokazuje kako se s po­ moću funkcije kodiranja a definicija funkcije f "prenosi" sa skupa D u skup No . Očevidno je Đ(j*) = a(Đ(j)) . Neka je x E D{!* ) . Onda postoji jedincati d E D tako da je x = a(d) , tj. d = a - 1 (x) . Prema tome vrijedi f*(x) = a (f(d)) = a (J(a - 1 (x)) ) = (a o f o a -1 )(x) , tj.: J* = a o f o a - 1 • Ova je relacija vidljiva odmah i iz komutativnog dijagrama koji definira J* : Đ(f) L D

la

al

Đ(J* ) -t No J*

1 3.4. KODIRANJE FUNKCIJA I PREDIKATA

Komutativnost dijagrama se očituje u J* o a =

261 a oJ.

Dakle J*

= a o J o a-

1

.

DEFINICIJA. Kažemo da je funkcija J : Đ(J) --+ D , Đ(J) � D , izračunljiva ako je pripadna funkcija J* : Đ(j* ) --+ No , Đ(j* ) � No , izračunljiva. Nije teško pokazati da je definicija dobra, tj. ne ovisi o izboru funkcije kodiranja domene. Uz vrlo jednostavnu modifikaciju moguće je definirati i izračunljivost funkcija koje djeluju među različitim skupovima J : D1 --+ D2 Skupovi cijelih i racionalnih brojeva su prebrojivi i postoje eksplicitno zadane, efektivne injektivne funkcije koje te skupove preslikavaju u N . Stoga možemo kodiranjem ispitati izračunljivost bilo koje funkcije J : Z --+ Z , ili J : Q --+ Q , kao i funkcija više varijabla s vrijednostima iz Z ili Q . Isto kao i za izračunljive funkcije, moguće je kodirati i predikat Q definiran na prebrojivoj domeni D . Pretpostavimo da znamo neku funkciju kodiranja a : D --+ No . S pomoću nje možemo predikat Q prenijeti s domene D na domenu u No tako da definiramo predikat Q* sa Q* (n) = Q( a - 1 (n)) , n E No . Kažemo da je predikat Q odlučiv ako je predikat Q* odlučiv. Ponovno, pokazuje se da definicija odlučivosti predikata ne ovisi o izboru funkcije kodiranja. To znači da ako uzmemo dvije funkcije kodiranja a1 i az , te ako je d = a} 1 (m) = az- 2 (n) E D , onda su istinitostne vrijednosti pripadnih predikata Qi (m) = Q(a1 1 (m)) i Qž(n) = Q(az 1 (n) iste. •

Svaka funkcija J : N() --+ No u n varijabla može se kodirati kao funkcija J* : No --+ No (s domenom D � No ) koja ima jednu jedinu varijablu! To je vrlo lako ostvariti postupkom opisanim u dokazu Propozicije 1 .4.1. PRIMJER 2 . Funkcija Nzm (a, b) je funkcija dviju varijabla Nzm (·, N . Par (a, b) E N2 možemo kodirati ovako: 2 b a : N --+ N, a (a, b) = 2a3 .

·

)

:

NxN --+

Na taj način umjesto funkcije dviju varijabla Nzm ( - , ·) možemo gledati funkciju J* : D --+ N , D e N , jedne jedine varijable: D = {2a3b : a, b E N} . Dakako, ona je definirana sa f*(2a3 b ) := Nzm (a, b) . Izračunljivost funkcije Nzm ( , ·) ekvivalentna je izračunljivosti ovako definirane funkcije J* . ·

.

Prema tome, proučavanje svake izračunljive (ili neizračunljive) funkcije n va­ rijabla ili predikata s n varijabla (s prebrojivom domenom D ) , može se svesti na proučavanje odgovarajuće funkcije iz No u No , tj. na proučavanje funkcija jedne jedine varijable. Neodlučivost problema rješivosti diofantskih jednačaba. Hilbertov 10. prob­ lem postavljen na Prvom svjetskom matematičkom kongresu u Parizu 1900. g., glasi ovako: • Zadan je polinom p (x 1 , , xn ) s cjelobrojnim koeficijentima, u n varijabla XI , , Xn Onda se jednadžba p(xl, . . . , Xn ) = O zove diofantska jednadžba. Pitanje je postoji li efektivna procedura koja određuje ima li diofantska jednadžba rješenje ili nema? Npr. jednadžba xi + x� - x� = O ima rješenja (i to bezbroj, Pitagorini trojci), a xi - 2 = O nema niti jedno. Godine 1970. g. je tada vrlo mladi ruski matematičar • •

• • •

•

•

13 .

262

SNBR-STROJ, IZRAČUNLJIVE FUNKCIJE

Matijasevič dokazao da ne postoji tražena efektivna procedura, tj. problem je neod­ lučiv. Točnije, predikat Q(p) = "diofantska jednadžba p(x l , . . . , Xn ) = O posjeduje

rješenje" je neodlučiv.

Problem rješivosti na grupama. Neka je G bilo koja grupa i S = {g l , g2 , . . . } podskup od G . Riječ nad skupom S je bilo koji izraz kao npr. r = g�g 1 1 g2g�g 1 2 E G . • Problem riječi za G , a s obzirom na zadani podskup S, sastoji se u problemu odluč ivosti predikata Q( r) = " r = e", pri čemu je e jedinični element u G . Pokazuje se da je za konačne grupe problem riječi odlučiv. Godine 1955. je ruski matematičar Novikov dokazao da postoje grupe u kojima je problem riječi neodlučiv. Odlučivost u računu sudova. Račun sudova je odlučiv. To znači da postoji efektivna procedura takva da za svaku formulu računa sudova F (s bilo kojim ko­ načnim brojem varijabla) možemo reći je li ona tautologija ili ne. Drugim riječima, predikat Q(F) = " F = je odlučiv. Algoritam za rješavanje toga problema dobro poznajemo: on je opisan konstrukcijom tablice istinitosti za formulu F .

T"

Neodlučivost predikatnog računa (prvoga reda). Problem posve analogan pret­ hodnome može se postaviti i za predikatne formule. Pokazuje se međutim da ne postoji efektivna procedura koja bi za svaku formulu F predikatnog računa (u koju osim lo­ gičkih simbola računa sudova dolaze i kvantifikatori i 3 ) mogla odlučiti je li F = ili ne. Točnije, predikat Q(F) = "F = čija varijabla je predikatna formula F , je neodlučiv. Dokaz se može naći u [Cutland, str. 1 1 1].

T ",

V

T

Problem ispunjivosti. Problem ispunj ivosti je vrlo jednostavno formulirati. Do danas je ostao još uvijek neriješen, unatoč velikim naporima mnogih istraživača. n• Postoji li algoritam polinomijalne složenosti koji za Booleovu funkciju F : s B , B = {O, l } pronalazi barem jedan (ako postoji) element (a 1 , . . . , an ) E Bn takav da je F(at, . . . , an) = l ? Problem izgleda doista jednostavan. Dovoljno je uzeti sve vrijednosti a iz skupa sn , i redom ih testirati, recimo u leksikografskom poretku. Međutim skup sn ima 2" eletn.enata, pa je složenost ovog algorittn.a eksponencijalna: treba obaviti 2n testiranja vrijednosti F(a) , da se pronađe (ili ne pronađe) neki a E sn za koji je F(a) = l . Nije teško napisati program za njegovo rješavanje. Problem ispunjivostije prema tome odlučiv. Vidi neke primjere problema ispunjivosti vidi Odjeljku 2.6. Prirodno je pokušati pronaći neki spretan algoritam koji će do odgovora na ovaj problem doći samo uz polinomijalnu složenost u ovisnosti o n . To bi značilo pronaći (at, . . . , an ) takav da je F(at, . . . , an ) = l , a da se ne ispituje svih zn mogućih vrijednosti od a E sn , nego samo 'polinomijalno mnogo' (u ovisnosti o n ). Do danas takav algoritam nije pronađen. Svi pokušaji eksperata ostali su bezuspješni. Većina njih sluti- da takav algoritam i ne postoji. Dokazati (ili pak opovrgnuti) tu slutnju predstavlja zapanjujuće težak matematički problem. lako je sam problem, kao što vidimo, sasvim jednostavno formulirati. Gore spomenuti problem ispunjivosti spada u grupu tzv. NP-potpunih problema (točnu formalnu definiciju vidi npr. u [Truss] ). Temeljni, još uvijek neriješen problem modernog teorijskog računalstva je postoji li algoritam polinomijalne složenosti za bilo koji od NP-potpunih problema. Taj problem se često zapisuje kao P=NP?. Pri­ torn je P klasa problema koji se mogu riješiti s pomoću algoritma samo polinomijalne složenosti. Većina stručnjaka sluti da za NP-potpune probleme općenito ne postoji

1 3.5. PRIMITIVNO REKURZIVNE FUNKCIJE

263

algoritam polinomijalne složenosti. Naime, do sada su poznati samo algoritmi eks­ ponencijalne složenosti. Među takve probleme spada i poznati problem trgovačkog putnika. Pokazuje se da su svi NP-potpuni problemi međusobno ekvivalentni. To znači da ako za jedan od njih postoji algoritam polinomijalne složenosti, onda postoji i za sve ostale. Među vodeće svjetske stručnjake u pitanjima složenosti algoritama spada američki matematičar Richard Karp, koji je 1972.g. pokazao da postoji zapravo veliko mnoštvo NP-potpunih problema koji su važni u primjenama. Opišimo ukratko u čemu se sastoji problem trgovačkog putnika. Zadano je n gradova tako da se znadu udaljenosti između svaka dva. Trgovac želi obići svih n gradova tako da put započinje i završava u istom gradu, a svaki od preostalih n - l gradova posjeti samo jednom. Pritom se zahtijeva da i ukupna duljina prijeđenoga puta među gradovima bude minimalna. Do danas još uvijek nije poznato neko 'efikasno' rješenje ovog problema tj. algoritam polinomijalne složenosti po n . Opširnije vidi u [Veljan] . Isti problem minimizacije puta pojavljuje se npr. i kao čisto tehnološki problem kod pripreme tiskanih pločica u elektronici. � POVIJESNA CRTICA � Vrlo različite definicije izračunljivih funkcija uveli su Kurt GOde[ i Stephen Kleene ( 1 936. g.), Alonzo Church ( 1936.), Alan Turing (1936.), Emil Post ( 1 943.), Andrei A. Markov ( 1952.), Shepherdson i Sturgis (1963.). Pokazalo se da su sve ove različite definicije izračunljivih funkcija međusobno ekvi­ valentne (vidi [Cutland)).

U ovom odjeljku uvest ćemo jednu važnu klasu izračunljivih funkcija. DEFINICIJA. Kažemo da je funkcija f : N� -+ No primitivno rekurzivna ako ima sljedeća svojstva: a) Tri temeljne funkcije al ) nul-funkcija Z : No -+ N0 , Z(x) = O , a2) funkcija sljedebe S : No -+ No , S(x) = x + l , a3) projekcija na i -tu komponentu ur : N3 -+ No , U?(x l ' . . . ' Xn ) = Xj , su primitivno rekurzivne; b) Svojstvo kompozicije: ako su ft, . . . , fm : N3 -+ No , g : N0 -+ No primitivno rekurzivne, onda je i kompozicija h : N3 -+ No primitivno rekurzivna: e)

h(xt, . . . , xn ) = g(ft(xt, . . . , xn ), . . . , Jm (Xt, . . . , xn )) ; Svojstvo primitivne rekurzije: ako su f : N3 -+ No , g : N�+2 -+ No primitivno rekurzivne, onda je i funkcija h : N�+ l -+ No zadana induktivno po zadnjoj varijabli sa

h(x l , . . . , Xn , O) = f(x., . . . , Xn ) h (x., . . . , Xn, y + l ) = g (x 1 , . . _. , Xn , y, h (x 1 , . . . , Xn, y)) .

Kraće rečeno, funkcija je primitivno rekurzivna ako se može dobiti iz triju temelj­ nih funkcija primjenom pravila kompozicije i primitivne rekurzije. Primijetite da funkcija h ima n + l varijabla, f ih ima n , a g ukupno n + 2 .

13.

264 PRIMJER 1 . Zbrajanje funkcija:

SNBR-STROJ, IZRAČUNLJIVE FUNKCIJE

a : Rz -+ R , a(x, y) = x + y je primitivno rekurzivna

a (x, O) = X = uf (x), a(x, y + l) = x + y + l = S(a(x, y)) = S(Uj (x, y, a(x, y))) . Funkcija S o uj je primitivno rekurzivna zbog svojstva kompozicije. PRIMJER 2. Množenje h : Rz -+ R, h(x, y) = xy je primitivno rekurzivna funkcija:

h(x, O) = O = Z(x), h(x, y + l) = x + xy = g(x, y, h(x, y)), g(x, y, z) := a(Ur(x, y, z), uj(x, y, z)) također primitivno rekurzivna

pri če�u je zbog svojstva kompozicije i prethodnoga primjera.

PRIMJER 3. Konstantna funkcija f(x) = l je primitivno rekurzivna: f(x) = Na sličan način, zbog svojstva kompozicije je i bilo koja druga kons­ tantna funkcija f : No -+ No je primitivno rekurzivna.

l = S(Z (x)) .

D : No -+ No definirana sa x = O, D (x) = xO, - 1, za za x > O , je primitivno rekurzivna. Doista, vrijedi D(x) = H(Z(x), Uf (x)) , pri čemu je PRIMJER 4. Funkcija

{

H(x, O) = O = Z(x ),

H(x, y + l) = Ui (x, y, H(x, y)) . Ova je funkcija vrlo korisna jer omogućuje da se konstruiraju nove primitivno rekur­ zivne funkcije s pomoću uvjeta "ako je . . . onda".

h : R2 -+ R definirana sa x - y za x y ' h (x, y) = x O za x < y ,

PRIMJER 5 . Funkcija

..:.

je prirnitivno rekurzivna, jer je

Y= {

'

,

�

h(x, y) = X = Uf(x) h (x, y + l ) = x ..:.. (y + l ) = (x ..:.. y ) ..:. l = h (x, y ) ..:. l = D ( h(x, y )), gdje je g (x, y, z ) = ( D o uj)(x, y, z) . Navedimo bez dokaza glavni rezultat ovog odjeljka.

Teorem 1 . Svaka primitivno rekurzivna funkcija je izračunljiva.

Za temeljne funkcije tvrdnju smo već dokazali u Propoziciji 13.2.1. A za funkcije dobivene kao kompozicije ili rekurzije primitivnih rekurzivnih funkcija dokaz se spro­ vodi indukcijom, točnije, tzv. strukturnom indukcijom: npr. pretpostavi se da tvrdnja vrijedi za /1 , . . . , fn i g kao u svojstvu b) definicije primitivno rekurzivnih funkcija, i zatim se dokaže da vrijedi i za h .

1 3.5. PRIMITIVNO REKURZIVNE FUNKCIJE

265

PRIMJER 6. Rabeći prethodne primjere i Teorem l može se pokazati da su slje­ deće funkcije primitivno rekurzivne: 2x , x! , xY , x mod y , x 2 + y4 + 3 , lx - y 1 , Llog(x + l)J itd. Skup svih primitivno rekurzivnih funkcija je iznimno bogat, ali ne pokriva sve izračunljive funkcije. PRIMJEDBA l . Treba dobro razlikovati pojam primitivno rekurzivne funkcije od pojma rekurzivne relacije Uednadžbe). PRIMJER 7. Postoje primjeri funkcija koje su izračunljive, a nisu primitivno re­ kurzivne. Može se pokazati da je takva npr. Ackennannova funkcija Ack : N� -t No definirana sa: y + l, za = O, x' za l i y O, Ack (x, y, ) = O, za = 2 i y = O, z a z � 3 i y = O, l, Ack (x, y + l, l) = Ack (x, Ack (x, y, z + 1 ), z)

{

z

z z z

=

=

z+

Ackermannova funkcija izgleda dosta pitomo: može se lako programirati, dakle izra­ čunljiva je. Može se međutim pokazati da ona raste po svojim varijablama brže nego bilo koja primitivno rekurzivna funkcija. Prema tome ona nije primitivno rekurzivna, vidi [Cutland]. Posebno, to znači da ona raste brže od bilo koje eksponencijalne funk­ cije, pa čak i od faktorijelne (vidi Primjer 6). Što to znači da Ackermannova funkcija raste brže od bilo koje primitivno rekur­ zivne funkcije? Pogledajmo za ilustraciju sljedeći primjer. Nije teško vidjeti da je funkcija

j( n) = 2

2z

··

z

}n brojeva

primitivno rekurzivna. Doista, za nju je f(x) g( U[ (x, y) , Ui (x, y)) , i g(x, y) je zadana sa

= g(x, x) ,

pri čemu je

g(x, x)

g(x, O) = x = S(S(x)), g(x, y + l) = 2g (x,y)_ Funkcija j(n) raste brže od bilo koje eksponencijalne funkcije, pa čak i od faktorijelne (n!) . Za ilustraciju, već za n = 5 vrijedi

zZ = 22z = 22z = 22 16 = 265 5 36 2 . 10 1 9 723 . Taj broj je daleko veći od l 080 , koji predstavlja procjenu za ukupan broj atoma u !( 5 )

4

�

cijelom vidljivom svemiru ! Ackermannova funkcija Ack (n, 3, 5) ima mnogo veću brzinu rasta od j(n) . Da bismo to vidjeli, pogledajmo najprije neke specijalne slučajeve. Ackermannova funk­ cija za = .l daje zbroj prve dvije varijable:

z

Ack (x, y,

-

l) = Ack (x, Ack (x, y l, l), O) l, l) + l = Ack (x, y = Ack (x, y = Ack (x, O, l ) + y = x + y, -

-

2,

l) + 2 = . . .

1 3 . SNBR-STROJ, IZRAĆUNLJIVE FUNKCIJE

266

za z = 2 dobivamo umnožak: Ack (x, y, 2) = Ack (x, Ack (x, y - 1 , 2) , l) = x + Ack (x, y l, 2) = x + x + Ack (x, y - 2, 2) = . . . = xy + Ack (x, O, 2) = xy, za z = 3 eksponencijalnu funkciju (po y kao varijabli): Ack (x, y, 3) = Ack (x, Ack (x, y - l, 3), 2) = x · Ack (x, y - l, 3) = x · x · Ack (x, y - 2, 3) = . . . = xY · Ack (x, O, 3) = xY, a za z = 4 ovu vrijednost: -

Ack (x, y, 4) = Ack (x, Ack (x, y -

Znači, prije

f(n)

�Ack (x,y-2,4)

l, 4), 3) = xAck (x,y - l,4) XAck (x,0,4) �· · .

�· .·

X

} y b ojeva

r = = =... = = Ack (2, n, 4) . Pogledajmo sada opet neke specijalne slučajeve. Naj­

Ack (x,

l , 5) = Ack (x, Ack (x, O, 5), 4) = Ack (x, l, 4) = x,

zatim Ack (x, 2, 5) = Ack (x, Ack (x,

l, 5), 4) = Ack (x, x, 4) = �

. ·

.x

}x

brojeva

,

Ack (x, 3, 5) = Ack (x, Ack (x, 2, 5), 4)

·x brojeva e x · broj va �- · ·x r· · brojeva �· · · . , 4) = = Ack (x, Vidimo da već i Ack (n, 2, 5) raste brže od f(n) , a pogotovo Ack (n, 3, 5) . Na sličan način je brojeva · .x x brojeva r � brojeva Act (x, 4, 5) = / '

}x

}..x

}

.

.

}

.

}x

}x

itd.

Važno je i općenito vrlo teško pitanje hoće li neki program za zadanu početnu konfiguraciju konvergirati ili ne. Bilo bi od interesa znati postoji li neki "efektivni postupak" koji bi za bilo koji program P i početnu konfiguraciju A = (a t , . . . , an ) odredio hoće li program konvergirati ili ne. To je tzv. halting problem, problem zaustavljanja. Točnije, definirajmo predikat H čija se domena D sastoji od skupa svih poredanih dvojaca (P, A) , gdje je P program, i A = (a 1 , , an ) neka početna konfiguracija. • • •

13.6. HALTING PROBLEM (PROBLEM ZAUSTAVLJANJA)

267

Nekaj e H(P, A) predikat P(ai, . . . , a11) L tj. "program P na konfiguraciji A završava u konačno mnogo koraka" (zaustavlja se) . Treba najprije vidjeti j e l i problem dobro definiran, dotično j e l i domena D preb­ rojiva. Skup svih programa čine zapravo konačni sljedovi četiri tipa instrukcija, a taj skup je prebrojiv (vidi Teorem 1 .4. 1 ) . Isto tako je i skup svih pripadnih instrukcija prebrojiv, jer se sastoji od svih konačnih sljedova brojeva iz skupa No . Prema tome je i Kartezijev produkt D skupa svih programa P i skupa svih početnih konfiguracija A prebrojiv skup. Uz pomoć postupka opisanog u dokazu Propozicije 1 .4.1 taj se skup može lako kodirati, tj. domena predikata H može se prenijeti na No , s odgovarajućim predikatom H* . Halting problem je očevidno ekvivalentan s problemom odlučivosti predikata H . Ako vrijedi P(A) .L onda je H(P, A) = l (istina), a ako P(A) i , onda H(P, A) = O (laž). Sada možemo iskazati teorem o neodlučivosti problema zaustavljanja. Teorem 1 . (Alan Turing) Halting problem je neodlučiv.

Drugim riječima, odgovarajući predikat H je neodlučiv, tj. ne postoji algoritam (program) koji bi efektivno testirao konvergira li P(A) ili ne za bilo koji izbor progra­ ma P i početne konfiguracije A . Ćini se prilično nevjerojatnim da se može dokazati nepostojanje programa koji bi mogao testirati konvergentnost ili divergentnost bilo kojeg zadanog programa na bilo kojoj početnoj konfiguraciji A . Dokaz te tvrdnje je međutim izvanredno jednostavan. Svodi se na to da bi u slučaju postojanja takva algoritma on morao biti u stanju testirati i samoga sebe, odakle se dobiva proturječje. SKICA DOKAZA. A) Pretpostavimo, suprotno tvrdnji teorema, da postoji program T koji rješava halting problem, tj. koji za svaki program P i početnu konfiguraciju A rješava problem konvergira li P(A) ili divergira: P(A) ! (P. A) � ' P(A) i . Točnije, izlaz programa T(P, A) je u prvom registru ili l ako P(A) i , ili O ako P(A) ! . B) Konstruiraj mo sada novi program T' malom izmjenom programa T . Neka za ulaznu konfiguraciju (P, A) program T' daje sljedeći izlaz: a) ako P(A) ! , onda program T' ulazi u beskonačnu petlju, tj. T'(P, A) i ; b) ako P(A) i , onda program T' zaustavljamo, tj. T'(P, A) ! Program T' dobiva se lako na taj način da se programu T jednostavno nadopiše beskonačna petlja ako P(A) ! (vidi Primjer 1 3. 1 .3), a ako P(A) i program zaustav­ ljamo s pomoću naredbe skoka. C) Sada dolazi nevjerojatna ideja. Konstruirajmo program Q čiji ulaz će biti samo program P (bilo koji, dakako kodiran kao ulazna konfiguracija za Q ). Program Q djeluje na ulaz P na sljedeći način: a) Najprije Q kopira ulaz P u poredani dvojac (P, P) . Ovdje prvi P gledamo kao program, a drugi P kao početnu konfiguraciju za program P (ta konfiguracija je dakako numerički kod za P ). b) Na takav par (P, P) djelujemo zatim gore opisanim programom T' . Prema tome program Q djeluje na ulaznu konfiguraciju P (kod bilo kojeg prog­ rama P ) na ovaj način:

{

·

268

1 3. SNBR STROJ, IZRAČUNLJIVE FUNKCIJE -

( 1 ) ako P(P) ! onda Q(P) j ; (2) ako P(P) i onda Q(P) ! . D) Program Q kao ulaznu konfiguraciju može imati bilo koji program, dakle i samog sebe: P = Q . U tom slučaju dobivamo ( 1 ) ako Q(Q) ! onda Q(Q) j ; (2) ako Q(Q) i onda Q(Q) ! . Drugima riječima, dobili smo da je Q(Q) ! = Q(Q) i , a to je očevidno protu­ slovlje. Do protuslovlja je dovela pretpostavka da postoji program T . Dakle takav Q.E.D. program ne postoji. PRIMJEDBA l . Vrijedi primijetiti sličnost dokaza neodlučivosti halting problema sa Russel ovim paradoksom kao i sa dokazom Cantorova teorema ( dijagonalni postu­ pak, Teorem 1 .5 . 1 ) . � PoviJESNA CRTICA � Zanimljivo j e da su početci modeme teorije au­ tomata povezani s desetim Hilbertovim problemom (vidi Odjeljak 1 3.4), jednim od 23 znamenita problema koje je 1 900. g. postavio njemački matematičar David Hilbert ( 1 862-1943) . Neki od Hilbertovih problema još i danas nisu riješeni. Prvi apstraktni računalni stroj uveo je engleski matematičar Alan Turing ( 1 9 1 21954), danas poznat kao Turingov stroj. Turingov stroj je ekvivalentan definiciji SNBR-stroja iz ovog poglavlja, u smislu da oba stroja vode do istih izračunljivih funk­ cija i istih odlučivih predikata. Turing je već 1936. g. došao do dubokih teorijskih rezultata o načinu rada računala - čak prije nego što je bilo koje takvo računalo stvore­ no u praksi. Važna je bila Turingova uloga u kripto-analizi njemačkih šifriranih kodova za vrijeme Drugoga svjetskoga rata, što je dovelo do razbijanja nacističkih šifriranih poruka slanih putem mehaničkog računala Enigma. Praćenje šifriranih poruka koje je odašiljala Enigma doprinjela je porazu Trećeg Reicha. Razvoj računalske tehnike u modernom smislu započinje u prvom redu s imenom Johna von Nemumann-a ( 1 903-1957), znamenitog američkog matematičara mađars­ koga podrijetla (Janos Neumann). Vodeći grupu inženjera on je 1946 . g. konstruirao računalo koje je bilo teško 20 tona, i zauzimalo površinu od 200 m 2 . Ovaj, s da­ našnjeg motrišta pomalo komičan podatak, čitatelj će možda popratiti sa smješkom. Treba međutim znati da bez ovakvih početnih napora istaknutih matematičara i drugih stručnjaka danas sigurno ne bismo raspolagali s računalnom tehnikom zapanjujućih mogućnosti koja nam je svakodnevno pri ruci. Bez sumnje će i današnja najbolja računala uskoro biti povijest. Pojam izračunljive funkcije pojavljuje se ne samo u matematičkoj logici i raču­ nalstvu, nego i u filozofiji. Teorija izračunljivih funkcija se među matematičarima tradicionalno zove i teorijom rekurzija, rekurzivnih funkcija (ne miješati s rekurzivnim jednadžbama, tj. rekurzivnim relacijama). Negativno rješenje halting problema dao je Alan Turing. Wilhelm Ackermann ( 1,896-1 962), učenik Davida Hilberta, uveo je 20tih godina 20. stoljeća funkciju koja nosi njegovo ime. Ona je važna ne samo u teoriji rekurzivnih funkcija, već i u analizi algoritama u kojima se pojavljuju unije skupova.

Znanost bez religije je §epava. Religija bez znanosti je slijepa.

Albert EINSTEIN ( 1879-1955)

14. 1 . KRATKI SAŽETAK

269

14.

Dodatak

Svaka struka ima svoj e nazivlje. Matematičko nazivlje ja na svoj način osebujno. i odražava �umjetničku slobodu' istraživača. Sjetimo se pojmova kao što su prsten, polje, transcendentan broj, a da ne govorimo o kičmi, vlaknu, šumi, stablu. . . u drugim područjima matematike. U ovom sažetku naći ćete pregled preko dvjesto pojmova koji su uvedeni na prethodnim stranicama, zatim razmjerno cjelovit popis oznaka, činjeni­ ca i metoda, razvrstanih po poglavljima. Valja ipak podsjetiti da neka hrpa činjenica predstavlja znanost ništa više nego što neka hrpa kamenja čini kuću (Henry Poincare).

l. Skupovi Pojmovi: prazan skup, univerzalan skup, partitivni skup nekog skupa, Kartezijev produkt skupova, funkcija, injekcija, surjekcija, bijekcija, inverzna funkcija, kardinalni broj skupa, ekvipotentni skupovi, prebrojiv skup, kontinuum, algebarski i transcen­ dentni brojevi. Oznake: 0 , A � B , A, 2x , A "' B , IAI = IBI , No , e . Činjenice: DeMorganove formule za skupove; algebra skupova; dualnost; preb­ rojivost skupova Z i Q ; neprebrojivost skupa realnih brojeva (Cantorov teorem); prebrojivost skupa algebarskih brojeva. Metode: Vennov dijagram skupova; kodiranje prebrojivih skupova; Cantorov di­ jagonalni postupak.

2. Uvod u logiku Pojmovi: sud, semantička (istinitostna) vrijednost, logička ekvivalentnost formu­ la algebre sudova, negacija suda, konjunkcija, disjunkcija, ekskluzivna disjunkcija, implikacija, ekvivalencija, Sheferova i Lukasiewiczeva operacija (NI i NILI), sis­ tem izvodnica algebre sudova, baza algebre sudova, poredak logičkih operacija po snazi vezivanja, nuždan i dovoljan uvjet, tautologija, logički posljedak, algebra sudo­ va, Booleova algebra, izomorfizam Booleovih algebara, Booleova funkcija, rninterm,

270

14. DODATAK

maksterm, logički sklopovi i njihova ekvivalentnost, predikat, kvantifikatori, vezane i slobodne varijable. Oznake: = , , V , 3 , 1\ , V , ':!. , ::::} , {::} , l , l , f= . Činjenice: obrat po kontrapoziciji; DeMorganove formule za sudove; prikaz for­ mula algebre sudova s pomoću baze algebre sudova; zakon dvostruke negacije; zakon isključenja trećeg; silogizam; modus ponens; modus tollens; disjunktivna i konjunk­ tivna normalna forma Booleove funkcije; DeMorganove formule za predikate. Metode: semantička tablica (tablica istinitosti); metoda dokazivanja od suprotnog (indirektni dokaz); skupovni prikaz algebre sudova; rješavanje problema ispunjivosti s pomoću Booleovih funkcija. ...,

3. Cijeli brojevi Pojmovi: najveća zajednička mjera, najmanji zajednički višekratnik, dijeljenje, kvocjent, ostatak, najveće cijelo, prost broj, Pitagorin trojac, kongruencija po modulu n , Mobiusova funkcija, Eulerova funkcija. Oznake: a l b , Nzm (a, b) , nzv (a, b) , a = bq + r , LxJ , a mod b , a = b (mod n) , Jl (n) , cp(n) . Činjenice: Osnovni teorem aritmetike; broj djelitelja prirodnog broja; Euklidov teorem o beskonačnosti skupa prostih brojeva; Mobiusova funkcija; teorem inverzije; multiplikativno svojstvo Eulerove funcije; Eulerova kongruencija; mali Fermatov sta­ vak. Metode: Euklidov algoritam za nalaženje Nzm (a, b) ; rastav prirodnog broja na proste djelitelje; Eratostenovo sito; svojstva kongruencije i primjene. 4. Binarne relacije Pojmovi: refleksivnost, simetričnost i antisimetričnost, tranzitivnost relacije, re­ lacija ekvivalencije, razred ekvivalencije, particija skupa, kvocjentni skup ostataka po modulu n , relacija parcijalnog poretka, totalno poredan skup (lanac), dobro poredan skup, infimum i supremum podskupa, minimum i maksimum podskupa, leksikografski poredak, Hasseov dijagram, izomorfizam parcijalno poredanih skupova, mreža (pot­ puna, distributivna, komplementirana), atom Booleove algebre, kompozicija relacija, inverzna relacija. Oznake: x p y , [x] , Xfp , � . sup{a, b } , max{a, b } , inf{a, b } , min {a, b} , a + b = sup{a, b} , ab = inf{a, b} , x . v Cinjenice: svojstva mreže; skupovni prikaz konačnih Booleovih algebara (par­ titivni skup skupa svih atoma); kardinalitet konačne Booleove algebre je oblika 211 ( n = broj atoma) ; Stoneov teorem o skupovnom prikazu Booleovih algebara. Metode: poistovjećivanje (identifikacija) kvocjentnog skupa s jednostavnijim skupom; zadavanje particije skupa s pomoću relacije ekvivalencije i obratno; primjeri parcijalno poredanih skupova i njihovi Hasseovi dijagrami; poistovjećivanje parcijalno poredanih skupova s pomoću izomorfizma; skupovni prikaz Booleove algebre. 5. Binarne operacije

Pojmovi: binarna operacija, grupoid, zatvorenost s obzirom na binarnu operaciju, polugrupa, monoid, jedinični (neutralni element), slobodna polugrupa, poljska i obr­ nuta poljska notacija. Oznake: poljska notacija: +ab, -ab, /ab, l ab; obrnuta poljska notacija: ab+, ab-, ab/, ab j .

14. 1 . KRATKI SAŽETAK

271

Činjenice: nepotrebnost zagrada u poljskom označavanju. Metode: prepoznavanje standardnih apstraktnih struktura na konkretnim primjeri­ ma skupova s binarnim operacijama; prevođenje algebarskih izraza s realnim brojevima u poljsku notaciju. 6. Uvod u kombinatoriku

Pojmovi: varijacija bez ponavljanja (s ponavljanjem), permutacija (bez ponavlja­ nja i s ponavljanjem), kombinacija bez ponavljanja (s ponavljanjem), binom, multi­ nom, binomni koeficijent, multinomni koeficijent, multiindeks, deranžman, injekcija, surjekcija, bijekcija, funkcija izvodnica. Oznake: IAI . BA , 2x , n! , (11k) , (IIJ , nz,11 ... ,nk ) , (ak ) , Sur (A, B) . Činjenice: produktno pravilo; broj funkcija iz A u B ; kardinalni broj partitivnog skupa; broj kombinacija; permutacija; varijacija (bez i sa ponavljanjem); kombina­ toričko značenje binomnog koeficijenta; mali Fermatov stavak; ciklička permutacija; MacMahonova formula; formula uključivanja i isključivanja (Sylvesterova formula) ; broj deranžmana; broj funkcija iz jednog skupa u drugi, broj injektivnih i surjektivnih funkcija među zadanim skupovima; ({J(n) ; Dirichletov princip. Metode: bijektivno poistovjećivanje skupova kod problema prebrojavanja (svo­ đenje problema prebroj avanja elemenatajednog skupa na prebroj avanje nekog drugog, jednostavnijeg); određivanje kardinalnog broj a nekog skupa sa zadanim svojstvom tako da se nade kardinalni broj njegova komplementa (tj. skupa opisanog suprotnim svojstvom) ; primjene formule uključivanja i isključivanja; metoda funkcija izvodnica; postojanje barem jednog elementa (ili k elementa) sa zadanim svojstvom primjenom (poopćenog) Dirichletova principa.

7. Rekurzivne relacije Pojmovi: Fibonaccijev slijed, zlatni prerez, oznaka veliki O, veliki theta - 8 , veli­ ki omega - Q , mali o, rast slijeda (logaritamski, liearni, polinomijalni, eksponencijalni, faktorijelni), harmonijski slijed, Eulerova supstitucija, karakteristična jednadžba, Ha­ nojske kule, diskretni dinamički sistem, stabilnost i nestabilnost stacionarne točke, linearizacija, logistička jednadžba. Oznake: Fn , b" = O(a11 ) , bn = 8(a11) , bn = Q(a11 ) , bn = o(an ) , Činjenice: de Moivreova formula za Fibonaccijev slijed, eksponencijalna brzina njegova rasta; logaritamska brzina rasta harmonij skog slijeda; tješavanje linearnih re­ kurzivnih relacija s konstantnim koeficijentima (homogenih i nehomogenih); teorem o stabilnosti dinamičkog sistema. Metode: procjena asimptotskog ponašanja (brzine rasta) slijeda odozgor i odoz­ dol; Eulerova supstitucija i metoda funkcija izvodnica za rješavanje homogenih line­ arnih rekurzivnih relacija; opće tješenje nehomogene linearne rekurzivne relacije kao zbroj općeg tješenja pripadne homogene i partikularnog rješenja pripadne nehomo­ gene jednadžbe; metoda linearizacije u ispitivanju stabilnosti diskretnog dinamičkog sistema. 8. Operatori diferencije i pomaka Pojmovi: n -ta diferencija, n -ti pomak, padajući faktorijeli, linearna diferencijska jednadžba, karakteristična jednadžba. Oznake: 11h , Eh , l , 11J: , e"D , (n)k .

14. DODATAK

272

Činjenice: veza operatora diferencije i operatora pomaka; veza s operatorom de­ riviranja; ekvivalentnost rekruzivne relacije s diferencijskomjednadžbom. Metode: nalaženje n -te diferencije funkcije u točki s pomoću odgovarajućih vrijednosti pomaka funkcije i obratno; rješavanje diferencijske jednadžbe uz pomoć pripadne rekurzivne relacije. 9. Grupe

Pojmovi: grupa, Abelova grupa, podgrupa, red grupe, ciklička grupa, generator cikličke grupe, red elementa u grupi, grupa n -tih korijena iz jedinice, primitivni n -ti korijen iz jedinice, normalna podgrupa, lijevi i desni susjedni razred, kvocjentna grupa, grupa razreda ostataka po modulu n , homomorfizam, izomorfizam, monomorfizam, epimorfizam, grupa automorfizama grupe G , Kartezijev produkt grupa, Kleinova gru­ pa, direktna suma Abelovih grupa, simetrična grupa (ili grupa permutacija), ciklus, transpozicija, parna i nepama permutacija, alternirajuća grupa stupnja n , izometrija, grupa simetrija skupa A . Oznake: (G, · ) , Cn , (z;, · ) , GfH , G � H , G x H , A EB B , Sn , k -ciklus (b 1 , bz , . . . , bk ) , transpozicija ili 2 -ciklus (b 1 , bz ) , GA (R2 ) . Činjenice: (z;, · ) je grupa onda i samo onda ako je p prost broj; Eulerova kon­ gruencija; broj primitivnih n -tih korijena iz jedinice; Lagrangeov teorem; teorem o izomorfizmu grupa; Cayleyev teorem. Metode: Cayleyeva tablica množenja (zbrajanja) u grupi; nalaženje inverznog elementa u z; s pomoću Euklidova algoritma; poistovjećivanje neke grupe s jedno­ stavnijom posredstvom izomorfizma; rastavljanje grupe u Kartezijev umnožak grupa; prikaz grupe kao podgrupe simetrične grupe; mjerenje "simetričnosti" skupa A u rav­ nini s pomoću pripadne grupe simetrija dotičnog skupa. 10. Prsteni i polja Pojmovi: prsten, potprsten, prsten ostataka Zn po modulu n , Booleov prsten, djelitelj nule, integralna domena, polje, potpolje, razlomak u polju, proširenje polja, homomorfizam i izomorfizam prstena i polja, karakteristika prstena, ideal, glavni ideal, prsten glavnih ideala, kvocjentni prsten.

Oznake: E , (a) , Rf! . Cinjenice: E + � == � ; ako je D integralna domena, onda je pripadna karak­ teristika ili prost broj ili O ; ako je n = pf1 . . . p�k , onda je Zn � Z a1 x . . . x Z ak ;

pl

pk

jezgra homomorfizma prstena je ideal; ako je l ideal u prstenu R , onda je Rf! prsten (kvocjentni prsten). Metode: konstrukcija novih prstena uz pomoć kvocjentnih prstena po idealu.

ll. Prsten polinoma Pojmovi: formalni polinom, nultočka (korijen) polinoma, kratnost nultočke, prs­ ten polinoma, kvocijent i ostatak pri dijeljenju polinoma, normaliziran polinom, naj­ veća zajednička mjera dvaju polinoma, reducibilan i ireducibilan polinom, algebarski zatvoreno polje, proširenje polja, jednostavno proširenje polja, transcendentna prošire­ nje, algebarski element, polje racionalnih funkcija, korijenska polje (polje razlaganja) polinoma, Galoisova (konačna) polja. Oznake: R[x] , F[x]f(p(x )) , F(a) , F(x) , F( ai. . . . , an) , GF(p") , Zp ( a) .

273

14. 1 . KRATKI SAŽETAK

Činjenice: Euklidov algoritam za polinome; faktorizacija polinoma nad poljem F ; kriterij ireducibilnosti polinoma drugog i trećeg stupnja, struktura Galoisova polja GF(p") . Metode: proširenje polja F kao kvocjentni prsten prstena polinoma F[.x] po idealu generiran om ireduciblnim polinomom nad F ; konstrukcija Galoi sova polja s pomoću ireduciblnog polinorna nad Zp .

12. Složenost algoritama Pojmovi: algoritam i njegove temeljne osobitosti, vremenska složenost algoritma, mjehuričasto sortiranje (bubble sort), brzo sortiranje (quick sort), sortiranje spajanjem ( merge sort). Omake: a := b , a f- b , Činjenice: složenost potenciranja; složenost Euklidova algoritma; Lameov teo­

rem; složenost mjehuričastog sortimja; brzog sortiranja i sortiranja spajanjem. Metode: analiza algoritma; nalaženje najgorih mogućih slučajeva za procjenu složenosti; metoda "podijeli pa vladaj" (svođenje problema na nekoliko lakših).

13. SNBR-stroj, izračunljive funkcije Pojmovi: SNBR-stroj , nul-instrukcija, instrukcija sljedbe, instrukcija transfe­ ra (prijenosa), instrukcija skoka, program, konvergencija i divergencija programa na nekoj početnoj konfiguraciji, spoj (konkatenacija) programa, SNBR-izračunljiva funk­ cija, kanikteristična funkcija predikata, SNBR--odlučiv predikat, primitivno rekurzivna funkcija, Ackermannova funkcija, halting problem.

Omake: Z(n) , S( n) , T(m, n) , J(m, n, q ) , P(a i , az, . . . an ) l , P(a . , az, . . . an ) i , kQ(xi, . . . , xn ) , Ack (x, y, z) . Činjenice: izračunljivost kompozicije izračunljivih funkcija; odlučivost predikata koji su "po dijelovima domene" odlučivi; izračunljivost primitivno rekurzivnih funk­ cija; neodlučivost halting problema. Metode: dijagram toka programa, spoj (konkatenacija) programa, kodiranje funk­ cija i predikata.

Po mojem mi�ljenju, matematičar - barem dokje matematičar, ne bi se trebao baviti filozofijom. Stovi�e. to su mi�ljenje izrazili i mnogi filozofi. - Henri Louis LEBESGUE ( 1 875-1941)

Najljep�e �to možemo iskustiti jest ono �to je tajanstveno. To je vrutak svake prave umjetnosti i znanosti. - Albert

EINSTEIN (1879- 1955)

14. DODATAK

274

Pismeni ispiti pokrivaju jedan dio ove knjige u okviru kolegija Diskretna matema­ tika na Fakultetu elektrotehnike i računalstva u Zagrebu. Zadatke koje su pripremili mr.

Andrea Aglić i doc. dr. Mario Pavčević, dijelom su originalni, a dijelom iz postojeće literature. Vrijeme rješavanja pojedine zadaće na ispitu je 1 20 min., i dozvoljena je uporaba džepnih računala. Nije dozvoljeno posuđivanje računala (niti uporaba mobi­ tela). Inače, što se tiče načina rješavanja problema - jedna metoda je univerzalna i neizbježna: metoda pokušaja i promašaja. Ne samo u matematici. . .

Bl. l. Zadana je Lukasiewiczeva binama operacija svojom tablicom istinitosti:

A B AlB

l.

l.

T

T

T

l.

l.

T

l.

l.

l.

T

Dokažite da je {l} jednočlana baza algebre sudova, tj. svaki sud može se zapisati samo s pomoću te binarne operacije. Prikažite formulu C => D u toj bazi. 2. Koliko se osmoslovnih riječi može načiniti od 30 slova ( 5 samoglasnika i 25 suglasnika), ako svaka riječ mora sadržavati: a) barem 3 samoglasnika i ne smije sadržavati ista slova; b) barem 3 samoglasnika i slova se smiju ponavljati. 3. Odredite broj h11 dijelova ravnine na koji je dijeli n pravaca uz pretpostavku da niti koja tri pravca ne prolaze istom točkom i niti koja dva nisu međusobno paralelna. Obrazloži ! 4. Dokažite da skup svih brojeva oblika x + y y'3, gdje su x, y E Q , čini polje s obzirom na uobičajeno zbrajanje i rnnoženje. S. Dokažite da je rnnoženje f : N2 -> N,

f(a, b) = ab, SNBR-izračunljiva funkcija. Definirajte početnu konfiguraciju.

B2.

ool eovu funkciju koja će za četverobitni ulaz koji predstavlja znamen­ ke binarnog broja (ABCD) 2 na izlazu dati l ako je taj broj kongruentan s O , l , 5 modulo 8 , a O inače. Minimizirajte broj operacija. 2. Odredite sve prirodne brojeve k E {2, 3, 4, 5, 6} , za koje vrijedi sljedeće: prirod­ ni broj je djeljiv s k onda i samo onda ako mu je zbroj znamenaka u sustavu s bazom 7 djeljiv s k . 3. Zadana j e standardna šahovska ploča 8 x 8 . Na koliko različitih načina može figura doći iz lijevog dolnjeg u desno gornje polje, tako da ne prođe poljem na presjeku trećeg retka i petog stupca, ako se figura u jednom potezu može pomicati samo za jedno polje u desno ili jedno polje gore. 4. Nađite opće rješenje rekurzivne relacije an+2 6an+ 1 9a11 + n311• l. Odredite B

=

-

14.2. ZADATCI S ISPITA S.

275

Je li skup svih brojeva različitih od nule oblika a) x + yy'1, gdje je x, y E Z , b) x + yy'1, gdje je x, y E Q , grupa s obzirom na standardno rnnoženje? Obrazložite! B3.

{l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, lO} . Zadani su predikati: P(x, y, z) = x + y > z, Q(x, y, z) = z (x + y), R(x, y ) = x = i , S(x ) = x je neparan. Za koliko trojaca (x, y, z) E D3 je sljedeća formula algebre predikata istinita: (P(3, z, y) A Q(y, l, z)) :::} ( -,R(x, 3) V -,S(y)) ? 2. Koliko različitih djelitelja ima broj 10! ( 10 faktorijela)? Koliko od toga ih je l. Neka je D =

l

"

3.

4.

parnih, a koliko neparnih? Zadana je standardna kvadratna šahovska ploča sa 64 polja. Na koliko različitih načina može figura doći iz lijevog dolnjeg u desno gornje polje, tako da ne prođe a) poljem na presjeku trećeg stupca i petog retka, niti poljem na presjeku petog stupca i sedmog retka, b) poljem na presjeku trećeg stupca i petog retka, niti poljem na presjeku petog stupca i četvrtog retka, ako se figura u jednom potezu može pomicati samo za jedno polje u desno ili jedno polje gore? Stupci su označeni brojevima od l do 8 s lijeva na desno, a redci odozdol prema gore. Nađite nehomogenu linearnu rekurzivnu relaciju s konstantnim koeficijentima čije je opće rješenje:

3nn + D SlO. 4' 3nn an = n2 + a + /3n + r cos 4

S.

gdje su a , /3, y , D E R bilo koje konstante. Zadana je grupa svih poredanih dvojaca realnih brojeva R zadano sa (a, b) * ( e, d) = (a + 3bc, b + d).

x

R , uz rnnoženje *

Odredite inverz elementa (a, b) . Jesu li Z x Z i Q x Q njene podgrupe? Odredite podgrupu generiranu elementom (l, O) . '

B4.

l. Odredite Booleovu funkciju koja će za četverobitni ulaz koji predstavlja znamen­

ke binarnog broja (ABCD)z na izlazu dati l ako je taj broj kongruentan s O , ±2 modulo 8 , a O inače. Minimizirajte broj operacija. 2. Ako prirodni broj n ima neparan broj različitih pozitivnih djelitelja, onda je on kvadrat nekog prirodnog broja. Dokažite! 3. Nađite broj cjelobrojnih rješenja jednadžbe X} + Xz + x3 = 28 uz uvjete Xt � -3 , - 5 � xz � 10 , x3 � 4 .

14. DODATAK

276

4. Neka je j( x) funkcija izvodnica slijeda j(x) funkciju izvodnicu g(x) za slijed odredite funkciju izvodnicu slijeda

5.

Zadani su elementi

a i f3

=

a11 , n O, l, 2, . . . Izrazite s pomoću b11 n2a11 • Rabeći dobiveni rezultat =

simetrične grupe S6 :

a = ( l , 3, 6)(2, 5, 4),

f3

=

( l , 2)(3 , 5)(4, 6) .

Izračunajte a2 f3 - 1 • Kojeg je reda taj element? Nađite sve netrivijalne podgrupe cikličke grupe generirane tim elementom. B5.

Isto kao prvi zadatak u B l . 2. Dokažite ovu tvrdnju: ako su p i 8p2 + l prosti brojevi, onda j e i 8p2 + 2p + l prost broj. (Naputak: pogledajte najprije za koje proste brojeve su ispunjeni uvjeti tvrdnje). 3. Koliko nenegativnih cjelobrojnih rješenja ima nejednakost l.

X]

+ Xz + X3 + X4 + XS + X6 �

17 ?

4. Zadana je grupa svih permutacija Ss skupa { l , 2, 3, 4, 5} . Koliko elemenata reda 2 sadrži ta grupa? Ćine li ti elementi podgrupu od Ss ? 5. Izračunajte Cayleyevu tablicu zbrajanja i množenja za konačno polje od 4 ele­ menta GF(4) . Navedite ireducibilni polinom korišten kod množenja! B6.

Koliki je ostatak pri dijeljenju broja 3 1 20 + 570 + 7SO s 12 ? Zadatak riješite bez uporabe računala! 2. Zadana je "povećana šahovska ploča" dimenzije 9 x 9 od 8 1 polja. Središnje polje je, dakako, ono na presjeku petog retka i petog stupca. Na koliko različitih načina može figura doći iz lijevog dolnjeg u desno gornje polje, tako da ne prođe !lredišnjim poljem, ako !le figum u jednom potezu može pomicati samo za jedno polje u desno ili za jedno polje gore? 3. Nađite broj cjelobrojnih rješenja jednadžbe x 1 + x2 + x3 = 1 9 uz uvjete x 1 � -3 , -5 � Xz � 10 , x3 � 4 . 4. Izračunajte determinantu matrice M reda 80 dane sa 2 -3 o o o l o o 2 -3 o l o o 2 l.

o o 5.

o o

o o

2 l

-3 2

Zadano je konačno polje GF( 16) i polinom p( t) = t4 + t3 + l koji je ireducibilan nad poljem Zz . Nađite aditivni i multiplikativni inverz elementa q( t) = t 2 +t+ l u tom polju.

277

14.2. ZADATCI S ISPITA B7.

Dokažite da u apstraktnoj Booleovoj algebri vrijedi: ako je y + x = z + x i y + x = z + x , onda je y = z . Nađite primjer iz algebre skupova koji dokazuje da ne vrijedi tvrdnja: ako je y + x = z + x , onda je y = z . 2. Koliki je ostatak pri dijeljenju broja Ei�1 � s brojem 13 ? Obrazložite odgo­ vor! 3. Koliko ima (3n) -znamenkastih brojeva koji sadrže n parnih i 2n neparnih zna­ menaka? Obrazložite odgovor! 4. Zadan je slijed realnih brojeva (an ) sa ao = a1 = 10 , a = 5 , a11 = 2 (n4 - 5n2 + 4) - 1 . Nađite funkciju izvodnicu za taj slijed. 5. Nađite tročlani podskup skupa realnih elementarnih funkcija koji uz operaciju komponiranja funkcija čini grupu. Napišite Cayleyevu tablicu množenja u toj grupi. l.

l,

BS.

Zadani su konačni skupovi X i Y, lXI = 5 , l Yi = 7 . Koliko ima injektivnih funkcija iz partitivnog skupa od X u skup svih funkcija iz Y u X ? 2. Koliko ima kvadrata na šahovskoj ploči dimenzije n x n ? 3. Pero želi kupiti stan od 40 m 2 . Trenutno je cijena kvadratnog metra stana 8 000 kuna. Perina ušteđevina iznosi l OO 000 kuna, a godišnji prihod 50 000 kuna. Ako odmah novac stavi u banku koja daje 7.5 % kamata godišnje (i kamata se ob­ računava nakon isteka svake godine štednje) te ako svake godine 20 % godišnjeg prihoda i stečenu kamatu pripiše glavnici, nakon koliko godina će Pero uštedjeti za željeni stan uz uvjet: a) da stanovi ne poskupljuju? b) Trend rasta cijena stanova je 5 % godišnje? 4. Nađite funkciju izvodnicu slijeda (a11 ) zadanog sa l.

( -l)k

a2k = , (Zk) ! 5.

l

a2k+ l = , Zk + 1

k ;;;?:

O.

Zadana je matrica

[ r! l � ] s elementima iz polja GF(4) od 4 elementa koje je konstruirano s pomoću ire­ ducibilnog polinoma q(t) t2 + t + l . Je li A invertibilna? Ako je, nađite joj -l

inverz A

=

nad tim poljem.

B9. l.

Zadana je binarna logička operacija * sljedećom tablicom istinitosti: A B A*B T .l .l .l .l T T T .l T T T Dokažite da je skup { ...,, *} sistem izvodnica algebre sudova. Prikažite operator logičke ekvivalencije u toj bazi.

14. DODATAK

278

2. Na koliko se načina 27 jabuka može podijeliti na desetero djece tako da barem 3.

jedno dijete ne dobije niti jednu jabuku? Nađite funkciju izvodnicu za slijed

n+ 1

4. 5.

C:Z

an = -- . n+ I ' n � l . n d Nađite opće rješenje rekurzivne relacije an+2 = 3an - Zan- I - 6n . Zadan je kvadar sa stranicama a , b i e . Nađite sve izometrije tog kvadra i zapišite ih kao permutacije njegovih vrhova. Ćine li oni grupu? Kojeg reda? Bl O.

Dokažite da u Booleovoj algebri vrijedi: ako je y · x = z · x i y · x = z x , onda je y = z . Nađite primjer koji dokazuje da ne vrijedi: ako je y · x = z · x , onda je y = z. 2. Dokažite da je za svaki m E N , m � 3 , broj oblika m5 - 5m3 + 4m djelj iv sa 1 20 . 3. Na koliko načina se iz skupa S = { 1 , 2, 3, . . . , 10} može izabrati četveročlani podskup koji ne sadrži dva uzastopna broja? n 4. Nađite funkciju izvodnicu za slijed an = n2 · 10 , n � l . 5. Vrhovi romba označeni su brojevima l , 2 , 3 i 4 u smjeru kazaljke na satu. Nađite sve izometrije tog romba i prikažite ih kao permutacije njegovih vrhova. Napišite tablicu djelovanja te grupe uz operaciju komponiranja. Je li grupa ko­ mutativna? Je li ciklička? Navedite sve njene netrivijalne podgrupe! l

·

Čovjek je kao razlomak, čiji brojnik je ono §to on jest, a nazivnik ono §to misli o sebi. Što je nazivnik veći, razlomak je manji.

- Lav TOLSTOJ ( 1828-1920)

U svakoj [znanstvenoj] disciplini treba pažljivo razlučiti tri aspekta teorije:

(a) formalno logički sadržaj, (b) intuitivnu pozadinu, (e) primjene. -

William (Vilim) FELLER ( 1906-1970)

Nemoj samo čitati; bori se! Postavljaj svoja vlastita pitanja, traži svoje vlastite prim _ jere, otkrij svoje vlastite dokaze. Je li pretpostavka nutna? Je Ii obrat istinit? Sto se dogada u specijalnom slučaju? Što je s degeneriranim slučajevima? Gdje dokaz rabi pretpostavke?

- Paul R. HALMOS (1916)

Entuzijazam nastavnika, i po§ten, uljudan i prijateljski odnos prema studentima, bitne su značajke uspje§nog poučavanja.

- Sibe MARDEŠIĆ ( 1927)

14.3. RJEŠENJA ZADATAKA

279

Za !leke zadatke, osobito kombinatoričke, mogući su vrlo različiti načini rješava­ nja. PAZNJA! Ova vrlo detaljna rješenja ima smisla konzultirati jedino ako ste učinili ozbiljan napor u pokušaju da zadatak riješite samostalno. Bl.

D t t t D) t t ) tt D) ; t t t

Vrijedi -.A ::: A A , dakle A V B ::: -.(A B) ::: (A B) (A B) , i odatle ( (e e ::: -.e V ::: ( (e e) 2. a) Prebrojavamo riječi s 3 ili 4 ili 5 različitih samoglasnika (uzmemo najprije bilo koja tri samoglasnika i pet suglasnika, i zatim permutiramo, itd.): (�)8! + (�) (:i) 8! + G) (Zji) 8! = 596850 8! � 2.4 10 1 0 . b) Prebrojavamo riječi s 3 ili 4 ili 5 ili 6 ili 7 ili 8 samoglasnika (koji se mogu ponavljati) : (�)53 255 + m54254 + m5 5 25 3 + (�)56252 + (�)57 25 + 58 . Drugi način j e da najprije riješimo suprotnu zadaću, tj. nađemo broj riječi koje nemaju željeno svojstvo, 2 dotično, imaju o ili l ili 2 samoglasnika: 258 + m 5 1 257 + 5 256 . ako je ukupan broj riječi 308 ' traženi broj iznosi 308 - 25 8 - m 5 1 25 7 - @52 256 . 3. Uz pomoć slike se uvjerimo da je h1 = 2 , h2 = 4 , h3 = 7'. Oda­ tle lako induktivno vidimo da ako n - l pravaca dijeli ravninu na hn- 1 dije­ lova, onda dodavanje još jednog pravca povećava broj dijelova ravnine za n , tj. hn = hn- l + n za n ;;:: 2 , h t = 2 . Rješenje ove rekurzivne relacije tražimo u obliku hn = h�O) + h}il = e · ln + (A + Bn)n , vidi Teorem 7.4. 1 . Iz (A + Bn)n = (A + B(n - l ) ) (n - l ) + n slijedi uspoređivanjemkoeficijenata uz n° , n i 2 2 n daje B = 1/2 , A = 1 /2 , dakle hn = e + !n + !n . Iz početnog uvjeta h1 = 2 , tj. 2 e+ i + i = 2 , dobijemo e = l , dakle hn = in + in+ l . Moguće je i izravno rješe­ nje: hn = n+hn-1 = n+(n- l ) +hn-2 = n+ (n- 1 ) + . . . +2+ht = ! (n+2)(n- 1 )+2 . U zadnjoj jednakosti smo rabili Gaussov trik, koji je mali Gauss otkrio kao školarac od samo 9 godina (usporedi s Primjerom 7.5. 1 ). 4. Označimo zadani skup sa G . Provjerimo da je (G, +) Abelova grupa: zatvo­ renost slijedi iz (at + b1 v'3) + (a2 + b2v'3) = (at +a2 ) + (b 1 + b2 ) v'3 , komutativnost i asocijativnost naslijeđeni su iz R , nul-element je O = O+ O · v'3 , suprotni element od a + bv'3 je -a - bv'3 . Provjerimo da je G* multiplikativna Abel ova grupa: zatvo­ renost slijedi iz (at + bt v'3)(a2 + b2 v'3) = (ata2 + 3btb2) + (a 1 b2 + a2bt ) v'3 E G , komutativnost i asocijativnost su naslijeđeni iz R* , neutralni element je l = l + O · v'3 , inverz od a + b v'3 i: O je (a + bv'3) 1 = a Z�JIJZ + aZ v'3 E G* , i nazivnik nije 2 nula, tj. a - 3� i: O , jer v'3 nije racionalan broj. Distributivnost je naslijeđena iz R. S. Računat ćemo ab kao zbroj a + a + . . . + a s ukupno b pribroj nika, i svaki a ćemo računati kao a = l + l + . . . + l s ukupno a pribrojnika. Nacrtajte dijagram toka s odgovarajućom dvostrukom petljom: prvu (nutarnju) za dodavanje jedinica a puta, i drugu (vanjsku) za obavljanje te operacije b puta. Konačni program prema tome uvodi dva brojača (npr. u četvrtom registru do a , i u petom do b ). Svakom povećanju petog registra za l odgovara dodavanje broja a prvom registru (u tu svrhu je radi testiranja broj a prenesen stalno u treći registar). Brojač u petom registaru l.

je e �

G)

D

·

·

m

f

=�bz

j

14. DODATAK

280

b

a

osigurava da se to dodavanje broja obavi točno puta: /6 Z(4) h T(l, 3) h 1(4, 3, 6) h S(5) ls 1(2, 5 , 10) /3 S( l ) /9 1( 1, l, 2) S(4) h Is 1( 1, l, 2)

l

_ . - . među-konfiguracija je . .. ,_ 1 ...,.0__,1 Početna konfiguracija je 1,.... O l l ... . l l k j . . . , a završna konfiguracija l · l

alb a

B2. l. Zbog

ovisi samo o

_,. l ...."..,.. o--.-a-.l-b__l-o,...

l l

a b blal

b

(ABeD) z = A · 23 + (BeD) z =: (BeD) z (mod 8) izlaz F(A, B, e, D) B , e i D . Izravnom provjerom dobivamo da je za A = O i A = l : B e D F(A, B, e, D)

o o o o o l o l o o l l l o o l o l l l o l

l

l

o l o o o l o o

Dakle, F(A, B, e, D) = B · C · D + B · C · D + B · C · D = C · (B · D + B · D + B · D ) = e . (B + BD) = C(B + D). Minimalan broj operacija je 4 : dva komplementiranja, po jedno zbrajanje i množenje. U prethodnom računu smo rabili zakon distribucije u Booleovoj algebri: B + BD = (B + B) · (B + D) = l · (B + D) = B + D . 2. Neka prirodni broj n u bazi 7 ima prikaz n = ( Cm c 1 co h , gdje su c; E {0, l, 2, 3, 4, 5, 6} , tj. definiramo li polinom p(x) = CmXm + . . . + c1x + c0 , vrijedi p(7) = n . Zbroj znamenaka iznosi Cm + . . . + ct + c0 = p( l ) . Kongruencija 7 = l (mod k) vrijedi za k = 2, 3, 6 . Onda zbog standardnih svojstava kongruencije vrijedi p(7) = p( l ) (mod 7) , vidi Korolar 3.4.3(iv). Odatle slijedi da je za takve k -ove p(7) je dj eljiv sa k onda i samo onda ako je p( l ) djeljiv sa k . Treba još ispitati slučaj k = 4, 5 . Za k = 4 kontraprimjer je n = 8 = ( l l h jer 4 1 8 , ali ne vrijedi 4 1 1 + l . Za k = 5 uz n = 10 = ( 13h vrijedi 5 j l0 , ali ne vrijedi 5 1 1 + 3 . Rješenje je k 2, 3, 6 . Usporedi s Primjerom 3.4.5. 3. Idemo od suprotnog: nađimo najprije na koliko načina možemo od lijevog dolnjeg do desnog gornjeg ugla ploče doći tako da uvijek prođemo kroz polje koje se nalazi u trećem retku i petom stupcu. Prvo, do tog mjesta na ploči treba nam ukupno četiri poteza u desno (D) i dva gore D . Za to imamo ukupno � načina (broj razm­ ještaja četiri D i dva G na 6 mjesta, vidi Teorem 6.3.1 i također Primjer 6.3.2). Ovo kombinir�mo s ukupno 3�J! načina na koji možemo zatim od tog mjesta doći do desnog gornjeg ugla ploče: trebamo bilo kojim redosljedom razmjestiti tri D i pet G na osam mjesta. Ukupan broj uspona bez ikakvog ograničenja iznosi J0', (sedam pomaka D i sedam G ). Dakle, traženi broj je i0', - 41i, · 3�J, = 3432 - 15 · 56 = 2592 . 4. Iz x2 - 6x + 9 dobivamo x ,2 = 3 , dakle (vidi Teorem 7.4. 1 ) : 1 • • •

=

a�O) = 3n (A + Bn), a�) = n23n (en + D),

281

14.3. RJEŠENJA ZADATAKA

Treba odrediti e i D u partikularnom rješenju. Uvrštavanjem a�) u rekurzivnu relaciju i uspoređivanjem koeficijenata, dobivamo e = l / 54 , D = - l / dakle a" = 3"(A + Bn + 5�n3 - An2) .

l! L

5. a) Nije grupa, jer O = O + O...ti nema multiplikativni inverz . b) Jest grupa, zatvorenost se lako provjeri, asocijativnost je naslijeđena iz R , neutral­ ni element je l = l + 0../7, a inverz od a + b../7 , gdje su a, b E Q , iznosi (a + b...ti) 1 = a2 1b2 + a2 2 ../7 . Nazivnik ne može biti O jer ../7 nije raci­

:!..

-

=�b

onalan broj (naime, u suprotnom bi imali ../7 = ±a/b E Q ). B3.

l. Krenimo od suprotnog. Da bi implikacija bila lažna, mora sud u prvoj velikoj zagradi biti istinit, a u drugoj lažan. Dakle oba suda u konjunkciji moraju biti istinita, a u disjunkciji oba lažna:

l

x = 32 , y je neparan. Izravnom provjerom dobiva se ovih devet mogućih vrijednosti za (x, y, z : 3 + z > y,

z y

9 l l, 2

X

y z

l,

+l

,

9 3 l , 2, 4

9 5

3, 6

9 7 8

)

9 9

10

tj. (9, l ) ' (9, l , 2) , (9, 3 , l ) , (9, 3 , 2) ' (9, 3, 4) , (9, 5 , 3) ' (9, 5 , 6) ' (9, 7, 8) ' (9, 9, 10) . Traženih trojaca ima 103 - 9 = 991 . 2. Broj lO! = 1 0 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = (5 · 2) · 32 - 23 · 7· (2 · 3) · 5 · 22 · 3 · 2 = 28 - 3 4 - 5 2 · 7 ima ukupno (8 + 1 )(4 + 1 )(2 + 1 ) ( 1 + l ) = 9 · 5 · 3 · 2 = 270 djelitelja, vidi Korolar 3.3.6. Kod parnih djelitelja broja 10! moguće potencije uz bazu 2 su u rasponu od l do 8 (njih 8 ) a uz baze 3 , 5 i 7 one su od nula do brojeva 4 , 2 i l respektivno, pa imamo ukupno 8 · 5 · 3 · 2 = 240 parnih djelitelja, i 5 · 3 · 2 = 30 neparnih. 3. Zadatak se rješava na sličan način kao i zadatak B2.3. 6! · 8! - 1 0 ! · 4! + 6! · 4! · 4! a) ( 174 - 4!2! 5!3! 6!4! 3!1! 4!2! 2!2! 3 ! 1 ! 2 1 1 2 4 b) 7 - 41i, . s�j, - 4;j, ili! = 1367 . ,

) e)

-

-

·

.

Zbog x 1 , 2 = l i x3, 4 = cos 3; ± i sin 3; = -Yf ± iYf karakteristična jednadžba glasi (x - 1 )2(x + Yf - i ) (x + + i ) = O , tj. x4 + ( v'2 - 2)x3 + (2 - 2v'2)x2 + ( v'2 - 2)x + = O . Prema tome rekurzivna relacija glasi 4.

l

'?

1 Yf

a11+4 + ( v'2 - 2)a11+3 + (2 - 2 v'2)an+ + (Vl - 2)an+ 1 + an = f(n). 2 Kako je jedno partikularno rješenje (stavi a = {3 = y = � = y = O u opće rješenje) oblika a';; = n2 = n21" , i l je dvostruki korijen, onda je j(n) oblika f(n) = e · l" . Broj e dobivamo uvrštavanjem partikularnog rješenja u rekurzivnu relaciju: (n+4) 2 + ( v'2 - 2)(n+ 3)2 + (2 - 2v'2)(n + 2)2 + ( v'2 - 2) (n+ 1 )2 +n2 = e ' odakle slijedi e = 1 6 + 9v'2 - 1 8 + 8 - 8v'2 + v'2 - 2 = 4 + 2v'2 . 5. Neutralni element je (0, O) . Inverz (e, d) od zadanog (a, b) dobiva se rje­ šavanjem jednadžbe (a, b) * (e, d) = (0, O) . Dobiveni sustav dvije jednadžbe s dvije nepoznanice ima rješenje e = -a3-b , d = -b , dakle (a, b) - 1 = (-a3 -b , -b) .

l

14. DODATAK

282

Skup Z x Z nije podgrupa, jer npr. (1, 1) - 1 Q x Q također nije podgrupa, jer npr. (l, 1/2) - 1 budući da ../3 nije racionalan broj.

= (-1/3, -1) nije u Z x Z . Skup = ( -1/../3, -1/2) nije u Q x Q ,

B4. l.

A = O, l

Kao i u zadatku B2.1 dobivamo da vrijedi:

F(A, B, e, D)

ne ovisi o

A , i za svaki

B e D F(A, B, e, D) o o o l o o l o o l o l o l l o o l o o o l o l l l l o o l l l dakle, F(A, B, e, D) = B · C · D + B · e - D + B · e - D+ = (B + B) · e - D+ B · C · D = e · D + B · C · D = (e + B) · D . Minimalan broj operacija je 4 . 2. Za prirodni broj n = pa 1 . . . p�k broj djelitelja iznosi ( a 1 + l) . . . (ak + l) , vidi Korolar 3.3.6. Ako je taj broj neparan, onda je svaki član u urnnošku neparan, J{k JZ . dakle svi ai su parni, tj. oblika ai = 2/3i . Stoga je n = [p�1 3. Funkcija izvodnica f(x) ovog problema je umnožak funkcija izvodnica koje odgovaraju varijablama X I , x2 i x3 : 2 0 J(x ) = (x -3 + x - + . . . ) · (x -5 + x -4 + . . . + x 1 ) · (x4 + x5 + . . . ) = x - 3 ( 1 + x + . . . ) · x- 5 ( 1 + x + . . . + x 1 5) · x4 ( l + x + . . . ) 3 x-4 (1 - x 1 6 )(1 - x) - 3 = x-4 (1 - x 16 ) . f � (-ll� k=O Koeficijent uz x18 je traženi broj rješenja (rabimo relaciju (6) u Odjeljku 6.6, i zatim svojstvo simetričnosti binornnih koeficijenata) : (2l) (-1) 22 - ((?) (-1) 6 = e+��-� ) - e+�-� ) = (�) - (�) = 276 - 28 = 248 . 4. Funkcija izvodnica slijeda n2 a11 je . • •

( )

=

oo

oo

oo

g(x) = L n2 a11x11 = L n(n - l)anX11 + L nanX11 n=O n=2 n=l = x2 L n(n - l)anx" -2 + x L na11xn- l n=2 n=1 2 (x). = x /'(x) + x · / (1 + x)m , f'(x) = Za zadani slijed j e f(x) = 2:�0 (�)x" = E:=o (�)x" m( l + x)m- l , f"(x) = m(m - 1)(1 + x) m-2 , dakle g(x) = m(m - l)x2 (1 + x)111 -2 + mx(l + x) m- 1 . oo

oo

=

283

14.3. RJEŠENJA ZADATAKA

= ( l , 6, 3)(2, 4, 5) , {3 - 1 {3 = ( l , 2)(3 , 5)(4, 6) , r = aZ/3- 1 = ( 1 , 4, 3 , 2, 6, 5) je reda 6 . Netrivijalne podgrupe od (y) su {id, y 3 } ( podgrupa reda dva) i {id, y z , y 4 } (podgrupa reda tri), pri čemu je y z = ( 1 , 3, 6)(4, 2, 5) i y3 = ( l , 2)(4, 6)(3 , 5 ) , y4 = ( l , 6, 3) (4, 5 , 2) .

az

5.

BS. 2. Ako je p > 3 i p prost broj, onda nije djeljiv niti sa 2 niti sa 3 , dakle niti sa Stoga je p oblika p = 6k ± l . Broj 8pz + l = 8 · (36kz ± 1 2k + l ) + l = 3 l nije 6. prost. Prema tome preostaju mogućnosti p = 2 i p = 3 . Za p = 2 broj 8pz + l = 33 također nije prost. Za p = 3 dobivamo 8pz + l = 73 (prost broj) i 8pz + 2p + l = 79 je također prost. 3. Uvodimo pomoćnu cjelobrojnu varijablu x7 � O . Broj rješenja je is­ ti kao i za jednadžbu x1 + xz + . . . + x6 + x1 = 1 7 , Xi � O , a taj iznosi ( 1 7i�- 1 ) = (�) = 100 947 , vidi Teorem 6.3.5. 4. Elementi reda dva su oblika ( , · )( · · ) ( ) ili ( ·, · )( · )( · ) ( ) Ima ih ukupno @ · G) ! + @ = lO + 1 5 = 25 . Ti elementi ne čine podgrupu jer ne sadrže neutralni element. Kao drugi razlog može se navesti da broj I S5 1 = 5 ! = 5 4 · 3 2 nije djeljiv s 25 , što bi po Lagrangeovu teoremu (Teorem 9.5.3) moralo biti. kad bi elementi parnog reda činili podgrupu. z 5. Uzmemo li polinom q(t) = t + t + l , on je ireduciblan nad Zz jer je q(O) = l =1- O , i q( l ) = l =1- O (vidi Propoziciju 1 1 .3 . 1 ). Tablica zbrajanja i množenja modulo q( t) glasi ·

- ,

·

·

·

.

·

+

o

l t t+ l

o o

l t t+l

l l

o

t+ l t

t t t+ l

o l

t+ l t+ l t l

o

l t t+ l

B6.

l l t t+ l

t t t+ l l

·

t+ l t+ l l t

,

l. Rabeći 33 = 3 (mod 1 2) u tri navrata (i dijeleći odgovarajući eksponent s 3 ) dobivamo 340 = 313 · 3+1 = 3 1 3 1 3 = 3 · 34·3+1 = 3 · 3 34 = 36 = 3Z = 9 (mod 12) . Iz s z := l (mod 12) dobivamo 570 := l (mod 1 2) , a iz 7z = l (mod 1 2) slijedi 750 = l (mod 12) . Prema tome je 31Z0 + 570 + 750 = 9 + l + l = l l (mod 1 2) . Ostatak iznosi l l . 2. Pogledajmo suprotnu zadaću: naći broj putanja koje prolaze središnjim poljem. Četiri pomaka u desno i četiri uspona do središnjeg polja možemo obaviti na ukupno načina. Svaki taj uspon treba kombinirati sa svakim od četiri pomaka u desno i četiri gore počevši od središnjeg polja, kojih ima također . Prema tome ukupan broj putanja za suprotnu zadaću je umnožak ta dva broja, a konačno rješenje je onda: ·

·

4�l,

4�l!

l�', -

( 4�l!) z , pri čemu prvi broj u razlici predstavlja ukupan broj svih mogućih

putanja (bez uvjeta prolaska kroz središte).

284

14. DODATAK

x19 u izrazu: J(x) = (x-3 +x-2 + . . . ) . (x-5 +x-4 + . . . +xlO) . (x4 +x5 + . . . ) = x-3(1 + x + . . . ) x-5(1 + x + . . . + x15) x4 (1 + x + . . . ) l l l - x16 · -= X_4 · 1 -x 1 -x 1 -x = X 4 (l -X 16 ) ( l - x) -3 = x-4 (1 -xt6 ) . t (�3) ( - l)kxk . =O k Rabeći relaciju ( 6) u Odjeljku 6.6, kao i svojstvo simetrije za binomne koeficijente, dobivamo da je koeficijent uz x19 u f(x) jednak: k = (;�) · (-1)23 _ (�3) · (-1)7 = e + �� - l ) - e + � - l ) = C}) - G) = 25 2. 24 - 9 2. 8 = 264. Označimo analognu deterrninantu reda sa Dn . Razvojem po prvom retku dobivamo 2 -3 lo 2l -3o2 ooo ooo Dn 2 -3 o o o l 2 o o o l -32 -3o oo oo o = 2 · Dn- l + 3 · o o o 2 -3 o o o l 2 Razvojem zadnje deterrninante po prvom stupcu dobivamo Dn = 2Dn - t + 3Dn - 2. Izravnim računom dobivamo ove početne vrijednosti: Dt = 2 , D2 = 7 . Rješenja karakteristične jednadžbe x2 - 2x - 3 = ove homogene rekurzivne relacije su x1 -l i x2 3 , odakle slijedi Dn A 3n + B (-l )n . Iz početnih uvjeta je DtD == 2 =n 3A - B, Dn2 = 9A + B, odakle slijedi A = 3/4, B = 1/4 . Stoga je · 3 + ! · (-l) , dakle Dso = i{381 + 1) . n 5.iSuprotni element od q(t) je -q(t) = -t2-t - l = t2 +t+ l . Multiplikativni inverz od q(t) je oblika q(t)-1 = At3 + Bt2 + Ct+ D, s koeficijentima A, B, C i D jednakim ili l (iz Z2 ) . Prema tome mora biti (t2 + t + l) "l6 (At3 + Bt2 + Ct + D) = l, Lijevu stranu računamo tako da nađemo najprije klasični umnožak polinoma, koji iz­ At5 + (A + B)t4 + (A + B + C)t3 + (B + C + D)t2 + (C + D)t + D, a zatim ga 3. Treba naći koeficijent uz

·

--

·

·

4.

n

O

=

=

O

·.

nosi

=

·

·

28S

14.3. RJEŠENJA ZADATAKA

reduciramo po modulu p( t) , tj. nađemo njegov ostatak pri dijeljenju t4 +t3 + I . Nakon malog računa dobijemo ostatak (A + e)t3 + (B + e + D)t2 + (A + e + D)t + B + D , koji mora biti jednak l . Uspoređivanjem koeficijenata uz potencije od t dobivamo sustav A + e = O, B + e + D = O, A + C + D = O, B + D = l .

Iz prve jednadžbe je A = -e = e Uer je - l = l u Zz ), zbrajanjem drugih dviju dobivamo A = B , jer e + e = ( l + l )e = O i D + D O . Zbog A = B e, iz druge dvije jednadžbe sustava slijedi D = O , dakle B = l , i zatim A B = l . Prema tome je q- 1 (t) = t3 + rZ + t .

=

=

=

B7.

- distt. l VOJ· edt· y = y +O = y +x - x = (y +x )(y+x ) = (z+x )( z+x ) distt. = z+x-x = z . Za odgovarajući primjer dovoljno je uzeti npr. algebru podskupova od X = { l , 2} , i definirati Y = { 1 } , Z = { 1, 2} . Tu je Y U X = Z U X , ali Y # Z . 2. Ako je Nzm (k, 13) = l , prema Malom Fermatovom stavku (vidi Propoziciju 6.3.3) dobivamo k1 2 = l (mod 13) , odakle potenciranjem kongruencije s 5 slijedi k60 = l (mod 13) . Između l i 30 svi su brojevi relativno prosti s 13 osim dva: 1 3 i 26 , čije 60 -te potencije su djeljive s 1 3 , tj. 1 360 = O (mod 13) i 2660 = O (mod 13) . Stoga je 2::��1 �o = 30 - 2 = 2 (mod 13) . 3. Imamo ukupno .5 parnih znamenaka: O , 2 , 4 , 6 , 8 , i pet nepamih: l , 3 , .5 , 7 , 9 . Pogledajmo dva slučaja s obzirom na parnost prve znamenke. (a) Neka je prva znamenka 3n -znamenkastog broja parna. Onda ona može pop­ rimiti samo 4 vrijednosti, jer mora biti # O . Na preostalih 3n - l mjesta možemo odabrati n - l položaja za parne znamenke na ukupno e.:=-l ) načina (vidi Teorem 6.2.2), i na svaku staviti neki od pet parnih brojeva, a neparne znamenke na preostalih 2n mjesta možemo staviti na s 2n načina. Ukupno imamo 4 sn - l 5 2n brojeva čija prva znamenka je parna. (b) Neka je prva znamenka 3n -znamenkastog broja neparna. Možemo je birati "; 1 ) · 511 s 2n - I brojeva 5 na načina. Dalje slično kao u (a) dobivamo ukupno 5 čija prva znamenka je nepama. Ukupno 3n -znamenkastih brojeva s traženim svojstvom ima •

·

_

_

o

·

4·

e:� )

l · 5n-1 . 52n + 5 · l

e:) n

l

·5"·52n- l = 4 ·53tl- 1

_

e:=-l )

e

o

•

e:� ) e : ) l + 5 3n l

nL�:2

n

l

.

Vrijedi f(x) = I::,0 a11x11 = l + lOx + 5x2 + 2:::,3 +4 . Rabimo rastav na parcijalne razlomke, znajući da je n4 - 5n2 + 4 = (nZ - l ) (n2 - 4) (n - l )(n + I )(n - 2)(n + 2) : l A B e D ---,---:;-- = -- + -- + -- + n- l n+ l n-2 n+2 n4 - 5n2 + 4 Množenjem sa zajedničkim nazivnikom i uspoređivanjem koeficijenata uz potencije od n dobivamo l = A (n + l )(n - 2)(n + 2) + B (n - l )(n - 2)(n + 2) + C(n ­ l )(n + l )(n + 2) + D(n - l ) (n + l )(n - 2) za sve n . Da bismo odredili nepoznate koeficijente, dovoljno je uvrstiti n = l , što odmah daje A = - l /6 , a uvrštava­ njem n = - l , -2 i n = - l dobivamo B = 1 /6 , e = 1 / 1 2 , D = - 1 /12 . 4.

-­

=

14. DODATAK

286

Znademo da je E:,0 _x�� = l �x , odakle formalnom integracijom od O do x slijedi = - ln l l - xl . Sada je E:,o oo oo oo n -1 xn+ 1 xn_ '"""' _x_ = x . '"""' _ = x . '"""' __ - x = -x · ln I I - xl - x2 , L..t n - 1 L..t n + l nL..t n=3 n=O =3 n - 1

�:;

�

� = � . '"""'

L

=

_x��+ 1 � = x L..t n + l x

L..t n + l n=3

n=3

[

.

l

[�

xn+ l _ _ x2 _ x3 x 2 3 L..t n + l

n=O

]

l l x x2 = - . ln I I - xl - � - 2 - 3' x2 00 xn 00 xn+ I -2 xn_ '"""' __ = x2 . '"""' _ = x2 . '"""' __ = -x · ln I I - xl , L..t n - 2 L..t n - 2 L..to n + l 3 n� � � 00 xn l l - l - x x2 ln I I - x - � 2 3 - 4 · · · x2 n=3 n + 2 ·

=

Prema tome je

·

f(x) = (l + lOx + 5x2 ) -

[

l

� [-x · ln I I - xl - x2]

l l l x - x2 + 6 - · ln I I - xl - � - 2 3 x2

]-

l x · ln I I - xl 12 2 II - x l - ! - ! - � - x + _!_ 12 x2 x 2 3 4 3 = ln l l - xi · -x4 + 2x - 2x + l + _I_ + � + 1 79 x + 739 x2 . 12x2 12x 8 180 144 x S . Uzmimo ft (x) = x , fz (x) = � l h (x) :; l . Cayleyeva tablica innoženja x , (tj. komponiranja) ovih funkcija izgleda ovako: o ft h !3 ft ft h h h h h ft h h ft h Grupa je komutativna, i izomorfna sa (Z3 , +) .

[-_!_ · ln

]

=

B8. l . Kako je 12x1 = 32 (vidi Teorem 6 . 1 .5), i IXY I = 57 (vidi Teorem 6.1 .3), onda je broj svih injektivnih funkcija iz skupa 2X u skup xY jednak (vidi Primjer 6.2.2): 57(57 - 1 )(57 - 2) . . . (57 - 3 1 ) . 2. Na šahovskoj ploči dimenzije n x n ima ukupno n2 kvadrata dimenzije l x l , zatim (n - l ) 2 kvadrata dimenzije 2 x 2 (zašto?), itd., do samo jednog kvadrata di­ menzije n x n . Ukupan broj svih kvadrata iznosi: n 2 + (n - 1 ) 2 + . . . + I = L t= l k2 . 3. Perina ušteđevina nakon n godina iznosi dn = dn -l · 1 .075 + 1 0 000 , do = l OO 000 . Riješimo ovu rekurzivnu relaciju. Karakteristična jednadžba je

14.3. RJEŠENJA ZADATAKA

287

- 1 .075 = O , tj. A = 1 .075 , pa je opće rješenje pripadne homogene jednadžbe O) d� = e · 1 .07511 • Partikularno rješenje tražimo u obliku konstante: d�p) = A . Uvršta­ vanjem u rekurzivnu relaciju dobivamo A = A · 1 .07 5 + 1 0 000 , dakle A = - 1 33 333 . Rješenje je d" = 233 333 · 1 .07511 - 1 33 333 . (a) Uvjet d11 � 40 · 8 000 = 320 000 je ekvivalentan sa 233 333 · 1 .07511 � 453 333 . Logaritrniranjem dobivamo n � 9 . 1 8 , tj. Pero će uštedjeti za stan nakon 10 go­ dina. {b) Ovdje tražimo najmanji n za koji je d11 � 320 000 ( 1 .05)11 , tj. 233 333 · 1 .07511 1 33 333 � 320 000 · 1 .05" . Rješenje dobivamo metodom 'pogađanja' sa n = l l , 12 , itd. Dobiva se n = 20 godina. 4. Funkciju izvodnicu rastavimo u dva reda s parnim i neparnim članovi11 2k "oo "oo ?J.+t "oo (-l 2k ma.. J(x ) - "oo L...t" = o a11x - L...tk=O a2kx + L...tk=O a2k+ 1x- = L...tk=O (2k , x + x _ 2k rx dt "oo 1 2k+I cos x + JrO ( "oo L...t k=O t ) dt - cos x + J O 1 _ ,2 = cosx + 2l ln l -x . L...tk=0 2I+fx 5. Zbog detA = t =l O je A regularna matrica, tj. postoji inverzna matrica A - I . 1 Uvjet A · A- = I glasi:

A

·

t ll±! l

_

_

_

[ t +t l

O l

J

·

[ aaJI1 t ++ bJbt

�

J.

Gledano po komponentama on se svodi na rješavanje sustava četiri jednadžbe s osam nepoznanica a; , b; , i = l, 2, 3, 4 , čije vrijednosti su u skupu Zz = {0, l} . Me­ dutim svaka jednadžba će sadržavati polinome prvog stupnja u t , tako da ćemo na koncu dobiti osam jednačaba. Množeći prvi redak i prvi stupac matrica na lijevoj strani, dobivamo a 1 tz + b1 t = l , pri čemu lijevu stranu još treba reducirati po modulu q( t) . Ostatak pri dijeljenju a 1 tz + b1 t sa rZ + t + l nakon malog računa iznosi {bt - at )t - a1 . Iz uvjeta {bt - at ) t - a 1 = l dobivamo bt - a 1 = O i -a l = l , odakle je a 1 = -l = l i bt = l . Postupajući na potpuno isti način za aziz - hz , dolazimo do jednadžbe (bz az)t - az = O , tj. bz - az = O , az = O , dakle az = hz = O . Množenjem drugog retka i prvog stupca u matričnoj jednadžbi, dobivamo a 1 rZ + a1 t + btt + bt + aJI + bJ = rZ + aJI + bJ + l {rabili smo a1 = b1 = l ). Ostatak pri dijeljenju sa rZ + t + l iznosi (aJ - l )t + bJ , i izjednačavanjem s O dobivamo

aJ = l , bJ = O .

Konačno, množeći drugi redak i drugi stupac dobivamo Izjednačavanjem s l dobivamo a4 = matrica je

a4t + b4 = a4t + b4 .

B9.

� + azt + bzt + hz + O , b4 = l .

Inverzna

l . Disjunktivna normalna forma glasi A * B = A V ·B , odakle je A V B = A * •B . Prema tome skup { ...,, *} predstavlja sistem izvodnica algebre sudova. Po DeMorganovoj formuli vrijedi A /1. B = •( •A V •B) = •( •A * B) . Stoga je A <=? B =: (A /1. B) V { •A /1. •B) =: {A /1. B) V • {A V B) =: (A /1. B) * (A V B) =: [•{•A * B)] * (A * •B) . 2. Nađimo broj mogućih raspodjela jabuka sa suprotnim uvjetom. Broj raspodjela gdje će svako dijete dobiti barem jednu jabuku (a taj broj je isti kao broj raspodjela

14. DODATAK

288

27 - 10 = 17 jabuka na 10 djece) iznosi e7+/�- 1 ) (vidi Teorem 6.3.5). Od ukupnog broja mogućih raspodjela 27 jabuka na 10 djece, koji iznosi e?+1�- l ) ' treba oduzeti prethodni broj. Rješenje je G�) - (i�) = e96) - e:) = 91 018 730 . ć' · · IZVO '\'= n+ l l '\'= e )'z · dmea · Je · J(X ) - L.m= 3 FUnkCIJa l -n- · dn+l · Xn - d L.... n=l ( dX + � 2::� 1 � ( �x) n . Označimo li zadnju sumu sa g(x) , zbog J; tn-l dt = �x111 je očevid­ no da g(x) nastaje integracijom funkcije g'(x) = 2:�1 ( � ) nxn - l = � · 1 _ -l:x = d�cx _

_

•

od O do x . Dakle g(x) � ln ld - cxl .

d

= J; J!:t = - ln ld - cxl , i konačno: f(x) = � · d�cx -

Karakteristična jednadžba je ). 3 - 3). + 2 = O , čiji korijeni su A.1, 2 = l , AJ = -2 . Stoga je = An + B + C( -2)'Z , n2(an + f3) , vidi Teorem 7.4. 1 . Uvrštavanjem partikularnog rješenja u početnu rekurzivnu relaciju, i uspoređivanjem koeficijenata uz potencije od n , dobivamo a = - l /3 , f3 = l /3 . Prema tome je an = An + B + C( -2yz - !n3 + !n2 • 4.

a�O)

a�) =

S. Označimo osam vrhova kvadra brojevima l , 2, . . . , 8 (i to vrhove dolnje baze kvadra redom sa l , . . . , 4 , a odgovarajuće vrhove gomjebaze istim redom sa 5 , . . . , 8 ). Onda sve izometrije kvadra možemo opisati s pomoću sljedećih permutacija vrhova (pogledajte što te izometrije 'rade ' s kvadrom) :

ft = ( 1 ) (2) . . . (8) = id., h = ( 1 , 2)(3 , 4)(5 , 6)(7, 8) , h = ( 1 , 4)(2, 3)(6, 7)(5 , 8) , /4 = ( 1 , 3)(2, 4)(5 , 7)(6, 8) , fs = ( 1 , 5)(2 , 6)(3 , 7)(4 , 8) , !6 = ( l , 6)(2, 5)(3 , 8)(4, 7) , h = ( 1 , 7)(2, 8)(3 , 5)(4, 6) , !s = ( 1 , 8)(4, 5)(2, 7)(3, 6). Ovaj skup čini grupu s obzirom na rnn oženje permutacija (grupa svih izometrija kva­ dra). Njen red je 8 , tj. ima 8 elemenata. Usput, nije teško vidjeti da je izomorfna s grupom Zz X Zz X Zz = z� . BIO.

l. Vrijedi y = y l = y(x +:X) = y · x + y · :X = z · x + z · :X = z(x + :X) = z · l = z . Primjer koji pokazujue da samo iz y · x = z · x u Booleovoj algebri općenito ne slijedi y = x je ovaj: S = { 1 , 2, 3} , = 2s , x = { l } , y = { l, 2} , z = { l , 3} . Ovdje je y U x = { l } kao i z U x = { l } , ali y f z . 2. Rastavimo na faktore: m5 - 5m3 + 4m = m( m4 - 5m + 4) = m(m2 - 4) (m2 l ) = (m - 2)(m - l)m(m + l ) (m + 2) . U ovom urnnošku pet uzastopnih prirodnih brojeva postoji barem jedan djeljiv s 3 i barem jedan djeljiv s 5 . Osim toga, barem jedan je djelj iv s 4 i još jedan djeljiv s 2 . Dakle umnožak je djeljiv s 3 · 5 · 4 · 2 = 1 20 . 3. Definirajmo četveročlane skupove u S koji će zadovaljavati uvjet da sadrže po ·

X

14.3. RJEŠENJA ZADATAKA

289

dva zadana uzastopna broja:

A1 A2

=

=

{svi četveročlani podskupovi od S koji sadrže l i 2}, {svi četveročlani podskupovi od S koji sadrže 2 i 3},

A9 = {svi četveročlani podskupovi od S koji sadrže 9 i 1 0 } . Traženi broj jednakje rx. n A2 n . . . n A9I · Prema formuli uključivanja i isključivanja (Teorem 6.5.l(b)) vrijedi

lAt n . . . n A9 I = N - L: IA; I + L: IA ; n Ajl - L IA; n Aj n Akl + . . . ij i iJ,k Ukupan broj četveraca brojeva koje možemo odabrati iznosi N = (�) . Kako u A 1 svaki četverac već sadrži l i 2 , onda j e lAt i jednak broju mogućih izbora dva broja među preostalih osam, dakle @ (vidi Teorem 6.2.2). Odatle je Li lA; l = 9 · @ . Imamo dva tipa presjeka po dva skupa: uzastopne i neuzastopne. Ako gledamo uzastopni presjek At n A2 , onda tu već imamo brojeve l , 2 i 3 , pa za izbor četvrtog imamo 7 mogućnosti. Isto tako i za A 2 n A 3 , do Ag n A9 , što daje ukupno 8 7 mogućnosti kod uzastopnih presjeka. Ako gledamo neuzastopni presjek A t n A3 , tu već imamo potpuno definiran jedan jedini četverac kojeg čine l , 2 , 3 , 4 , tj. skup A 1 n A 3 je jednočlan. Takvih jednočlanih skupova koji uključuju A 1 irna 7 , i slično za ostale kombinacije s neuzastopnim presjecima: ·

At A2

A 3 . . . A9 A 4 . . . A9

7 6

A6 A?

A7 . . . A9 Ag . . . A9

2 l

'

tj. ukupno 7+6+ . . . +2+ l = ! · 8 · 7 = 28 . Konačno, presjek od po tri skupa može biti četveročlanjedino u slučaju akoje uzastopan, kao npr. kod A1 nA2nA3 = { l , 2, 3, 4} . Takvih presjeka irna ukupno 7 : od netom spomenutog pa do A7 n As n A9 . Presjek po četiri različita skupa A; je očevidno prazan. Traženi broj je dakle:

lAt n . . . n A9 1 =

(�) - G) 9·

+ (8 · 7 + 28) - 7

=

35.

4. Ovdje ćemo funkciju izvodnicu pripremiti za prikaz s pomoću odgovarajućih derivacija: f(x) = L:� 1 n210"xn = I:�. [n(n - l ) + n](l Ox)n = 1 00x2 I:�1 n(n 1 )(10x)n -2 + lOx 2::� 1 n( lOx)n - l . Označimo li g(x) = I::, 1 ( 1 0x)n = ���ox , . l Ox - 200 . dOblVamO . g' (X ) - ( l - l 2 l g" (X ) - ( l - l 0x 3 ' /(X ) - X2g" (X) + X · g' (X ) KakO je Ox) ) . IOx(lOx+l) dobtvamo J(x ) _ - ( t - IOx)3 . •

290

14. DODATAK 5.

romb!):

Tražene permutacije su (nacrtaj sliku i pogledaj djelovanje perrnutacija na

ft = ( 1 )(2)(3)(4), h = ( 1 , 3)(2)(4) , h = ( 1 )(3)(2, 4), /4 = ( 1 , 3)(2, 4) .

Cayleyeva tablica množenja perrnutacija glasi:

ft h h /4

ft fi h h /4

h h ft !4 h

h hf 4 ft h

/4 /4 h h ft

ft

Iz tablice vidimo da je grupa komutativna, i nije ciklička. Neutralni element je Elementi ft , dakle su reda dva, tj. samima sebi su inverzi: npr. Netrivijalne podgrupe su Početna četveročla­ na grupa izomorfna je S Kleinovom grupom X a svaka netrivijalna podgrupa sa

h , h , /4 /2- 1 = h . z2 .

{ft , h } , {ft , h } , {ft , /4} . Z2 Z2 ,

/J: =

.

Kao za sve ostalo, tako i za matematičku teoriju:

ljepota se mole osjetiti, ali ne i objasniti. - Arthur CAYLEY ( 1 821-1895)

[uz uvođenje pojma grupe]

Sjetimo se daje sličan postupak apstrakcije, samo na "nitem nivou", kad smo tražili §to je zajedničko npr. skupini od tri kamena, tri čovjeka, tri §tapa itd., omogućio stvaranje apstraktnog broja tri.

- Vladimir DEVIDE ( 1925)

Srž matematike čine konkretni primjeri i konkretni problemi.

- Paul R. HALMOS ( 19 16)

291

LITERATURA

LITERATURA [l] Albertson M., Hutchinson J.: Discrete Mathematics with Algorithms, John Wiley & Sons, 1988, [2] Berlekamp E.R.: Algebraic Coding Theory, McGraw - Hill, 1986, [3] Ceranen T.H., Leiverson Ch.E., Rivest R.L.: Introduction to Algorithms, The MIT Press, McGraw-Hill, 1998, [4] Conway J. H., Guy R.K.: The Book of Numbers, Copernicus, Springer Verlag, 1996, [5] Cutland N.: Computability, An Introduction to Recursive Function Theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1980, [6] Cvitković M.: Kombinatorika, zbirka zadataka, ELEMENT, Zagreb, 1994., [7] Devide V.: Matematička čitanka, Školska knjiga, Zagreb, 1991., [8] Dujella A.: Fibonaccijevi brojevi, HMD Zagreb, 2000. , [9] Durbin J.R.: Modem Algebra, An introduction, John Wiley & Sons, 1992, [lOJ Elezović N.: Linearna algebra, Element, Zagreb, 1995., [ l l ] Fudzisava T., Kasarni T.: Matematika dlya radioinženerov, teoriya diskretnyh struktur, Moskva 1984 (prijevod s japanskog na ruski), [12] Graham R.L., Knuth D.E., Patashnik 0.: Concrete Mathematics, Addison - Wesley, 1995, [13] Grimaldi R.P.: Discrete and Combinatorial Mathematics, 3. izdanje, Addison - Wesley, 1994, (14] Hanjš Ž.: Konačne diferencije, MATEMATIKA, Zagreb, br. l, 19!!6_ (vidi takoder Dife�ndjske jednadžbe, br. 2, 1986., Inicijalni problem za linearne diferencijske jednadžbe, br. l, 1987., Problem svojstvenih vrijednosti za linearne diferencijskejednadžbe, br. 3, 1987.), [15] Horowitz E., Sahni S., Rajasekaran S., Compter Algorithms, Computer Science PMSS, 1998, (16] Knuth D.E.: The Art of Computer Programming, Volume l l Fundamental Algorithms, Volume 2 l Seminumerical Algorithms, Volume 3 l Searching and Sorting; Addison-Wesley, 1973, [17] Krnić M.: Dirićletovo pravilo, HMD Zagreb, 2001. (18] Liu C.L.: Elements of Discrete Mathematics, McGraw-Hill, New York, 1987, ( 19] Pavković B., Veljan D.: Elementarna matematika ll, Školska knjiga, 1995. [20] Pavković B., Dakić B., Mladinić P. : Elementarna teorija brojeva, HMD i Element, Zagreb, 1994., [21] Papić P.: Uvod u teoriju skupova, HMD Zagreb, 2000. , (22] Prusinkiewicz P., Lindenmayer A.: The Algorithmic Beauty of Plants, Springer Verlag, 1990, [23] Truss J.K.: Discrete Mathematicsfor Computer Scientists, Addison Wesley, 1992, (24] Tucker A.: Applied Combinatorics, John Wiley, 1995, (25] Veljan D.: Kombinatorna i diskretna matematika, Algoritam, Zagreb, 2001 . ,

INTERNET:

[26] [27] [28] [29] [30] [3 1] [32]

Diskretna matematika, arch ives . math . utk . edu/topics/discreteMath . html Diskretna matematika, mathforum. org/discrete Kombinatorika, arch ives . math . ut k . edu/topics/combinat orics . html The P versus NP Problem, WTiti claymath . org/prizeproblems/pvsnp . htm Center for Scientific Computing, Berlin, WTiti z i b. de Nastava matematike na MIT-u, ocw . mit . edu/ global/ department 18 . html Matematika za osnovne i srednje škole, WTiti . hr l darko/mat/matlink . html .

.

KAZALO IMENA

292

KAZALO IMENA A

Euklid, 43, 52, 53, 104, 230 Euler, Leonhard, 6, 54, 59, 61, 62, 62,

Abel, Niels, 163, 165, 226

Ackermann, Wilhelm, 265, 268

84, 109, 1 1 2 , 120, 121, 123,

Ahmes, 53

135, 173

al-Kaši, 104

F

al-Khwarizm, Muhamed ibn Musa, 248 Aristotel, 25

Feller, William (Vilim) , 85, 148

B

del Fero, 226

Babbage, Charles, 249

Ferrari, 226

Bachman, Paul, 138

Fibonacci, 128, 130

Fermat , Pierre, 42, 54, 62, 1 0 1 , 104

Bakšali, 165

Fidija, 131

Bell, Eric Temple, 90

Frege, Gottlieb, 25, 43

Bernoulli, Jakob, 104

G

Bhaskara, 53

Galilei, G alileo, 13

Blanuša, Danilo, jj, 34, 43, 76

Galois, Evariste, 223, 227

Boole, George, 25, 27, 35

Gauss, Carl Friedrich, 43, 54, 57, 60,

Brahmagupta, 53

62, 104, 206

Byron, Ada, 249

Gelfond, Aleksandar Osipovič, 222

e

Gi:idel, Kurt, 13, 263

Cantor, Georg, ll, 12, 13, 85

H

Cayley, Arthur, 1 7 1 , 186, 290 Chu Shi-Lie, 104

Hadamard, Jacques, 54 Halayndha, 104

Church, Alonzo, 262

Halmos, Paul, 278, 290

Cohen, Paul, 12

Hardy, G .H, 43

č

Harriot, T., 85 Hasse, Helmut, 74, 85

Čebišev, Pafnutij Ljvovič, 54

Heisenberg, Werner, 127

D

Herman Dalmatin, 249

D'Alambert, Jean, 206

Hermite, Charles, 13

Dedekind, Richard, 13, 59, 206

Hilbert, David, 13, 25, 54, 85 , 206, 261, 268

DeMorgan, Augustus, 13, 25, 27, 162 Devide, Vladimir, 155, 249, 290

Hoare, C.A.R., 244

Dirichlet, Peter Lejeune, 123, 125, 127

J

Diofant , 49, 53, 54, 261

Janko, Zvonimir, 165, 194

Duns Scottus, 26

K

E

Karp, Richard, 263

Einstein, Albert, 268, 273

Kepler, J ohannes, 130

Eratosten, 50, 53

Kleene, Stephen, 263

von Ettinghausen, Andreas, 104

Klein, Felix, 183, 194, 206

Eubolido, 43

Kovalevskaya, Sofia, 85

292

293

KAZALO IMENA

Kramp, Christian, 104

Post, Emil, 263

Kronecker, Leopold, 62

Puškin, Aleksandar, 249

Kummer, Ernst, 206

L

R

Raghunahta, 26

Lagrange, Joseph, 148, 175, 176

Ramsey, Frank, 127

Lambert, Johann, 13

Recorde, Robert, 785

Lame, Gabriel, 237, 238, 249

Rota, Gian Carlo, 59

Lanczos, Cornelius, 90

Ruffini, Paulo, 226

Landau, Edmond, 138

Russel, Bertrand, 13, 25, 42

Lebesgue, Henri Louis, 273 Leibniz, Gottfried Wilhelm, 6, 25, 84 Leonardo da Vinci, 129, 155 Leslie, Lamport, Ly Bu Vei, 162

ii

s

Schneider, Th., 222 Schroder, Ernst, 6 Shannon, Claude, 94, 225

Lindemann, Johann, 13, 228

Shepherdson, 263

Liouville, Joseph, 13

Sharp, Richard, 136

Lucas, Edouard, 148

Sheffer, 17 Sierpinski, Waclaw, 54

Lukasiewicz, Jan, 18, 89

M

Steinhaus, Hugo Dionizy, 67 Stirling, James, 1 1 1 , 112, 137, 138

MacLaurin, Colin, 112, 138

Stone, M.H., 82

MacMahon, 106, 107

Sturgis, 263

Mardešić, Sibe, 278

Sylvester, James, 108, 112, 127, 148

Markov , Andrei A., 263 Matej , sv., 127, 155 Matijasevič, Jurij V., 54, 262

T

Tales, 84

Mengoli, P., 138

Tartaglia, Niccolo, 226

Mobius, August Ferdinand, 57, 58, 59

Tolstoj, Lav, 278

de Moivre, Abraham, 1 1 2 , 123, 129,

Thring, Alan, 263, 268

148 de Montmort, Pierre, 109

v

N

Vandermonde, A.T., 148

von Neumann, John, 148, 247 New1on, Isaac, 104, 138 Noether, Emmy, 206 Novikov, P.S., 262

p

de la Valee Poussin, Charles, 54, 186 Venn, John, 6

w

Weierstrass, Karl, 249 Weil, Andre, 43, 54

Weyl, Henri, 43, 85

Pacioli, Luca, 129

Wiles, Andrew, 42

Pascal, Blaise, 97, 104

Wittgenstein, Ludwig, 43

Peano, Giuseppe, 6, 54 Peirce, Charles Sanders, 25, 43 Pitagora, 53 Poincare, Jules Henry, 85, 228, Polya, George, 107

294

KAZALO POJMOVA

KAZALO POJMOVA A

ciklička grupa, 169

Ackermannova funkcija, 265

cikličke permutacije, 104

aksiom matematičke indukcije, 54

ciklus, 187

alef nula No, 8 algebarski broj , 12, 218, 219 algebarski zatvoreno polje, 213 algebra - skupova, 6 - sudova, 2 1

D

DeMorganove formule, 5, 19, deranžmani, 109

27, 40

diferencijska jednadžba (rekurziyna relacija), 128, 161 diofantska jednadžba, 53, 261

algoritam, 229 antisimetrična relacija, 63 apsorpcija, 27 asimptotska dominiranost slijeda, 132, 133

direktna suma podgrupa, 184 Dirichletov princip, 123 disjunkcija sudova, 16 disjunktivna normalna forma Booleove funkcije, 32

atom, 79

disjunktni

automorfizam

- ciklusi, 188

- grupe, 180 - polja, 200, 227

B

- skupovi, 4 diskretni dinamički sistemi, 149 djelitelj - cijelog broja, 44

baza algebre sudova, 19

- nule u prstenu, 197

bijekcija, 3 binarna

- operacija,

15, 86

- relacija, 63

dobro poredan skup, 73 dolnja međa dobro poredana skupa, 72 domena

binomna formula, 97

- funkcije, 2

binomni

- predikata, 38

- koeficijent, 3, 104, 1 13

dualna Booleova funkcija, 33

- red, 114

dualnost, 5, 20, 27 duplikacija kocke, 227

bit, 94 Booleova

dvostruka negacija, 19, 20

- algebra, 27 - funkcija, 30 božanski omjer, 129

E

egzistencijalni kvantifikator, 39

brzo sortiranje (quick sort) , 241

ekskluzivna disjunkcija sudova, 16

b ubble sort (mjehuričasto sortiranje),

ekvipotentni skupovi, 7

e

Elementi (Euklid), 53

Cayleyeva tablica množenja u grupi,

Eratostenovo sito, 50

241

Cantorov dijagonalni postupak, l l 171, 183 Cayleyev teorem , 186

cijeli brojevi, 44

ekvivalencija sudova, l 7

ekvivalentni sklopovi, 37 epimorfizam, 180 Euklidov algoritam - za nalaženje Nzm 236

(a, b),

46, 230,

29S

KAZALO POJMOVA

- simetrija skupa,A , 190

- za polinome, 209 Eulerova - funkcija

cp(n),

- torusa, 185

·

grupoid, 87

59

- kongruencija, 61, 173

H

- konstanta "(, 135

halting problem, 266

- supstitucija, 139

Hanojski tornjevi, 145

F

harmonijski brojevi, 115,

faktorijeli, 3, 104

Hasseov dijagram, 74

faktorizacija (rastav) prirodnog broja,

hipoteza kontinuuma, 12

50, 51

1 35,

243

homomorfizam

Fermatov problem, 42, 54

- grupa, 178

Fibonaccijev slijed, 128, 236

- prstena (i polja), 200

fiktivna varijabla, 39

I

filotaksija, 130

ideal prstena, 204

formalni polinom, 207 formula predikatnog računa, 39

identiteta, 3

formula uključivanja i isključivanja,

I-sklop, 36 ILI-sklop, 36

108

�6

funkcija, 2

implikacija sudova,

funkcija izvodnica slijeda, 1 1 2

infimum parcijalno poredana skupa, 72 infix notacija, 89

- eksponencijalna, 112, 1 2 1 funkcija kodiranja, 260

inkluzija, 2

G

integralna domena, 198

instrukcije SNBR-stroja, 251

Galoisova grupa polja s obzirom na zadano potpolje, 227

invertor, 36 mver zna

- funkcija, 3

Galoisovo polje, 223

- relacija, 83

Gaussova formula, 60 generator cikličke grupe, 169

inverzni element u grupi, 163

glavni ideal prstena, 205

involutivnost, 33, 34, 188

Golbachova hipoteza, 14

injekcija, 3, 41 - kardinalni broj , 96

graf funkcije, 2

iracionalan broj, 1 2

grupa, 163

ireducibilni polinom, 2 1 1

- Abelova, 163 - alternirajuća, 189 - automorfizama grupe - ciklička 169

G,

izometrija, 189 181

izomorfizam - Booleovih algebara, 28

- jednostavna, 179

- grupa, 179

- Kleinova, 183, 193-194

- parcijalno poredanih skupova, 75

- kvocjentna, l 77

- n-tih korijena iz jedinice,

- prstena, 200 166

- permutacija (simetrična grupa), 185 - razreda ostataka modula

- rješiva, 226

n,

178

izračunljiva funkcija, 256, 261

J

jedinični element , 88, 163 jednakost

KAZALO POJMOVA

296

- funkcija, 2

korijen formalnog polinoma, 1 4 1

- skupova, 4

kratnost korijena polinoma, 1 4 1 , 207

jezgra homomorfizma

kvadratura kruga, 228

- grupa, 178

kvantifikatori, 39

- prstena, 204

kvocijent, - prirodnih brojeva, 45

K

- polinoma, 209

kanonski epimorfizam, 181

kvocjentna grupa, 177

karakteristična funkcija

kvocjentni prsten po idealu, 205

- skupa, 95

kvocjentni skup, 67

- predikata, 259 karakteristična jednadžba rekurzivne relacije, 139 karakteristični skup predikata, 38

- ostataka modulo

Lagrangeov teorem, 175 Lameov teorem, 237

kardinalni broj skupa, 6,

lanac, 72

8

leksikografski poredak, 73

- grupa, 183

logička ekvivalentnost

- parcijalno poredanih skupova, 73

- formula algebre sudova, 18

- skupova, 6

- predikata, 40

Kleinova grupa, 183, 193-194

logička operacija, 15, 30

kodiranje

logički posljedak , 21

- domene, 260 - skupa, 9

kodomena funkcije,

kombinacije, 95

logički sklopovi, 36

logistička jednadžba,

2

- s ponavljanjem , 102

31,

93,

95,

M

MacMahonova formula, 106 maksterm , 33

96, 232, 233

mali Fermatov stavak , 62, 101

komplement , - skupa, 3

mali o, 138

- u mreži , 78

matematička indukcija, 54

komplementirana mr eža, 78

merge sort (sortiranje spajanjem) 244

komp ozi cij a

minimum parcijalno poredana skupa,

- funkcija, 4

- relacija, 55

kongruencija po modulu konkatenacija, 88 e,

154

Lukasiewiczeva operacija, 18

kombinatorna eksplozija,

kontinuum

67, 68

L

karakteristika prstena, 203 Kartezijev produkt

n,

72

n,

minterm, 32 55

8

mjehuričasto sortiranje (bubble sort) , 232

Mobiusova funkcija

JL(n},

57

kontradikcija (protuslovlje) , 24

Mobiusov teorem inverzije, 57

kontrapozicija, 20, 24

modus

konvergentan slijed, 41 konzekvenca (zaključak), 21

- ponens, 22 - tollens, 23

konjunkcija sudova, 15

de Moivreova formula, 129, 148

konjunktivna normalna forma Booleove

monoid, 87

funkcije, 33

monomorfizam, 180

297

KAZALO POJMOVA

p

mreža, 76 multiindex, 101

padajući faktorijeli, 160

multinom , 100

paradoksi teorije skupova, 42, 43

multinomni koeficijent, 101

parcijalno poredan skup, 71

multiskup, 102

particija skupa, 66 partitivni skup, 4,

N

najmanji zajednički višekratnik, 44 najveća zajednička mjera

- prirodnih brojeva, 44

- normaliziranih polinoma, 210 najveći cijeli dio

lX J,

47

rXl , 246

najmanji cijeli dio

namatanje pravca na kružnicu, 185 negacija suda, 15 neodlučivi predikat, 259 neodlučivost ha.lting problema, 267 neprebrojiv skup,

7,

1 1-13

neprekinuta funkcija, 41

neutralni element , 88, 163 NI, 18, 37 NILI, 18, 37

normaliziran polinom, 210

- kardinalni broj, 94 Peanovi aksiomi, 54 permutacije, 3, 95, 169, 185 - cikličke, 104 - parne

i

neparne, 189

- s ponavljanjem, 98 Peirceov operator, 18 Pitagorin trojac, 53 podalgebra, 30 podgrupa, 165, 174 podskup, 2 polugrupa, 80 polje, 198

- konačno (ili G aloisovo), 222 - racionalnih funkcija, 219 - razlaganja, 221 poljska notacija, 89

normalna podgrupa, 177

postfix notacija, 90

NP-potpun problem , 262

potencija elementa u grupi, 164

o

potpolje, 200

obrat po kontrapoziciji, 20, 24 obrnuta poljska notacija, 90 odlučivi predikat , 259 operator - deriviranja, 160 - diferencije, 156 - pomaka, 158 - sumiranja, 1 1 5 osnovni teorem - algebre, 12, 139 - aritmetike, 51 ostatak pri dijeljenju - cijelih brojeva, 47 - polinoma, 209

potprsten, 195 potpuna mreža, 77 pravi podskup, 2 pravilo - isključenja trećeg, 23 - kontrapozicije, 20, 24

- pomaka, 114

- zbrajanja, 92

prazan skup, 2 prebrojiv skup, 6 predikat, 38 - odlučivi, 259 premisa (pretpostavka) , 21 preslikavanje, 2 primitivni n-ti korijeni iz jedinice, 172 primitivno rekurzivna funkcija, 263 problem - ispunjivosti Booleove funkcije, 34, 262

KAZALO POJMOVA

298

- diferencija skupova, 26

- šešira, 1 10 - trgovačkog putnika, 263 produktno pravilo, 92 program SNBR-stroja, 252

silogizam, 21 sistem izvodnica algebre sudova, 19

skup, l

- konvergentan, 254

skupovni prikaz Booleovih algebara, 79

- divergentan, 254

slobodna - Booleova algebra, 31

prost - broj, 49

- polugrupa, 88

- djelitelj (faktor), 50

- varijabla, 39

proširenje polja, 200, 217 - jednostavno, 217

složen broj, 49 složenost

- transcendentna, 21 8

- algoritma 231 - algoritma potenciranja, 235

prsten, 195 - glavnih ideala, 205

- brzog sortiranja (quick sort), 242

- ostataka po modulu n, 196

- Euklidova algoritma, 236

- polinoma, 208

- memorijska, 232, 248 - mjehuričastog sortiranja (bubble

- kao vektorski prostor, 216

sort), 239

R

- sortiranja spajanjem ( merge sort),

radikali, 165, 226

245

razlomak u polju, 198

SNBR-stroj

razred (klasa) ekvivalencije, 65

sortiranje - brzo, 241

red orupe, 1.05

reducibilan polinom, 2 1 1

- mjehuričasto, 239

reductio ad absurdum, 24 refleksivna relacija, 63 rekurzivna relacija ( diferencijska jed­ nadžba), 128, 161

relacija - ekvivalencije, 64

- inverzna, 83 - n-arna, 83 - parcijalnog poretka , 71

relativno prosti broj evi , 48

- spajanjem, 244 spajanje programa, 255 stabilnost stacionarne točke, 150 Stirlingova formula aproksimacije za n!, 137 Stirlingov broj druge vrste, 1 1 1 Stoneov teorem, 82 sud, 14 suprotni element u A belovoj grupi, 164 surjekcija, 2, 41

riječ, 88

Russelov paradoks, 42

- kardinalni broj, 1 1Q--1 11 susjedni razred po po dgrupi, 176 Sylvesterova formula, 108

s

seksagezimalni sustav, 52 semantička

- vrijednost suda, 14

- tablica, 1 5

Shefferova operacija, 1 7 :simetrična

- grupa, 185

- relacija, 63

T

tautologija, 20 teorem - inverzije, 58 - o izomorfizmu grupa, 181 tertium non datur, 20, 23 totalno poredan skup, 72 trajektorija, 149

299

KAZALO POJMOVA

transcendentan broj, 13, 2 18, 222

vektor kao razred ekvivalencije, 69

transpozicija, 188

veliki

tranzitivna relacija, 63

-

O

,

133

- omega, n, 133

trisekcija kuta, 228

- theta,

u

ulaganje grupe, 180 unarna operacija, 15 univerzalni - kvantifikator, 39

- skup, l

v

e,

133

vezana varijabla, 39

z

zakon - apsorpcije, 21 - dvostruke negacije, 21 - isključenja trećeg, 20 - neproturječnosti, 21

varijacije, 95 - s ponavljanjem, 102

zlatni prerez, 129