Das gelbe Rechenbuch. Für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker. Rechenverfahren der Höheren Mathematik in Einzelschritten erklärt: Das ... Naturwissenschaftler und Mathematiker.: BD 2

r4

I = 2r ·~ . 4 --t r-+0 0. $1

2. Möglichkeit: Benutzung der Definition.

CD

Wie oben berechnet man die partiellen Ableitungen im Ursprung: fx(O, 0) = fy(O, 0) = 0. Wenn f differenzierbar ist, ist also die Ableitung grad f = D f(O, 0) = (0, 0).

@ Es ist nachzurechnen : 1 [f(x) - f(O) - - grad f(O) - · (x- O) -] = liJ1!--::;---::;lx- Ol

x-+O

o,

also

0) ) = 0 lim - 1- [~ - 0 - (0 0) · (x,y)-+(0,0) l(x,y)l x2+y2 ' y-0

(x -

Wegen l(x, y)l =

Jx

2

+ y2

2 2

bleibt zu zeigen:

x

lim ( y ) / = 0. Das (x,y)-+(0,0) X2 + y 2 3 2

geht wieder mit Polarkoordinaten:

. x2y2 . r 4 cos 2
f im Nullpunkt differenzierbar.

65

4.2. DIFFERENZIERBARKElT

13. Richtungsableitungen I Ist f differenzierbar, so kann man Richtungsableitungen mit Hilfe der (totalen) Ableitung berechnen: Ist

f in a diff'bar, so ist

8 ~(a)

8

(A) und (C)

=

V

D J(a) · v.

~~(a) = D J(a).

(B)

: 1

1

.

Aus dieser Darstellung kann man sich mit Hilfe der Rechenregeln aus Abschnitt 3 weitere Regeln herleiten. Nimmt man Definition (C), so hat man auch diese Regeln:

Dv+v.;f = Dvf + D,nf,

Beispiel 5: Die Richtungsableitungen von f(x, y)

=

x 2 y2

Gerechnet wird nach (A) oder (C). Da f diff'bar ist, berechnen man zunächst so ist

f' = grad f =

(2xy 2 , 2x 2 y). Ist

v=

(~),

13. Beispiele I Beispiel 6: Die partiellen Ableitungen von

[(x, y)

). x2 y smx- xcosy

= ( .

Die partielle Ableitung wird nach der Grundregel komponentenweise vorgenommen: x2 ) ( .... ) 2xy ( .... jy = xsiny · fx = cosx- cosy '

Beispiel 7: Die Ableitungen von ]; (t)

= ( ~:t) und h(x, y, z) = x + 3y 2 z.

]; ist eine vektorwertige Funktion, die nach der Grundregel differenziert wird, die Ableitung von h ist der Gradient:

..

!J'(t) =

(2ezt) 2t ,

f~ = (1,6yz,3y 2 ).

66

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

Die Matrixfunktion wird komponentenweise abgeleitet:

, A (t)

(

(t + 2)et )

et

= -2e-t . 2(1 - t)e-t ·

x3

Beispiel 9: Untersuchung von f(x, y)

=

{

x2 +O y2

(x, y) =F (O, O) (x, y) = (0, 0)

IBild des Graphen I Das Bild links zeigt den Graphen der Funktion. Dabei sind die Werte auf Geraden durch den Nullpunkt un<~: auf Kreisen um den Nullpunkt hervorgehoben. Man erkennt daran, daß sich die Fläche aus Geraden durch den Punkt (0, 0, 0) zusammensetzt, die aber nicht in einer Ebene liegen. Dies spiegelt die Tatsache wieder, daß im Nullpunkt alle Richtungsableitungen existieren, f aber nicht differenzierbar ist, siehe unten.

IUntersuchung der Funktion außerhalb des Nullpunkts I Außerhalb des Nullpunkts ist f als Komposition unendlich oft diff'barer Funktionen auch unendlich oft diff'bar. Für (x, y) =j; (0, 0) ist

Damit ist

4.2. DIFFERENZIERBARKElT

67

Die Richtungsableitung in Richtung des Vektors

v=

( vv21) (nach Definition A

oder C) ist also ßj - x 4 + 3x2y2 - 2x3 y _(x,y)=gradf·v=( ) v1+( 2 2 2 2 )2v2= 2 av X +y X +y

Vt ( x 4

+ 3x2y2 ) ( 2 X

+y 2

2v2x3 y

)2

·

Es bleibt der Punkt (0, 0) gesondert zu untersuchen.

IStetigkeit im Nullpunkt I Mit Polarkoordinaten In Polarkoordinaten lautet die Funktionsgleichung f(rcos
r 3 cos 3

2 . 2

2

r cos

=

rcos 3
Wegen if(r cos
I 2x X

2

+y2

1

~~~ = lxl·l~l ~ ixi-+ Ofür (x,y)-+ {0,0). +y +y X

X

~ 1, da der Zähler immer kleiner als der Nenner ist.

Ipartielle Ableitungen im Nullpunkt I f ist in {0, 0) partiell differenzierbar:

~~,;:, :: :il{d?: ~·,.m; :::,:::~::: :::~:,;;~::·::.::.:: 0

x=O

ist fx(O, 0) = 1. Zur Bildung von jy betrachtet man f(O, y) und sieht, daß stets f(O, y) Daher ist auch jy(O, 0) = 0.

IRichtungsableitungen im Nullpunkt I Es wird nach Definition A oder C gerechnet. Sei

af

a v-

. 1

= hmo t-+

-t (J(tV) - f(O, 0))

.

= hmo t-+

v=

( v1 , v 2 ) T.

1 (tvt) 3 -t t2 v12 + t2 v 22

vr = v21 +

v22

= 0 ist.

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

68

Hier braucht man nicht einmal den Limes bilden. Das liegt daran, daß sich der Graph der Funktion aus Geraden durch den Nullpunkt zusammensetzt und jede dieser Geraden eine konstante Steigung in z-Richtung hat. Man kann auch hier bereits erkennen, daß ist. Sonst müßte gelten:

f im Nullpunkt nicht differenzierbar

j'(O, 0) = gradf(O, 0) = Ux(O, 0), jy(O, 0)) = (1, 0) und

~;(0,0) =

j'(O,O)

·v= (1,0) · (~:)

=

VJ.

Das widerspricht der oben berechneten Richtungsableitung.

IDifferenzierbarkeit im Nullpunkt I CD

f ist in ä = (0, 0) partiell diff'bar und es ist grad f(O, 0) = (1, 0).

@ f ist in (0, 0) diff'bar, falls !iiJ! -1~ 1

x--+a

X-

~I [f(x) -

a

f(ä) - grad f(ä) · (x- ä)] =

o

1( y)- f(O, 0)- (1, 0) · (x)] lim -X,[ Y y )[ [f(x, (x,y)--+(0,0) lim (x,y)--+(O,o) .Jx2

1

x3

-x] + y2 [x2-+- y2 x3

1

(x,y\~o,o) .Jx2 + y2 [

-

x3

x2

-

xy 2 ]

+ y2

2

] -xy (x,y)--+(0,0) (x 2 + y2) 3h . l Im

[

Jetzt verwendet man das Kriterium mit Polarkoordinaten aus Abschnitt 1: . -r cos

r3

- lim cos

Da dieser Limes nicht existiert (er hängt ja vom Wert von

f nicht

69

4.3. ABLEITUNGSREGELN

4.3

Ableitungsregeln

11. Definitionen I j1.

Das Differential!

Ist f : IR.n --+ IR eine differenzierbare Funktion, so ist das Differential df von f der Ausdruck _. 8! 8f 8! df = -8 dx1 + -8 dx2 ·· · -8 dxn = gradf · dx. Xn X2 X! Interpretation: Der Funktionswert von f an der Stelle ä = ( a1, a2, ... , an) T sei bekannt. Eine Näherung für den Wert von j(a1 + D.a 1, a2 + D.a 2, ... , an+ D-an) wird dann so gegeben:

f(ä + D.ä)

Differential

(ä)D.an ~ f(ä) + 881X1 (ä)D.a! + 881X2 (ä)D.a2 + ... + 881 Xn

ISatz über inverse Funktionen, Umkehrsatz I Ist f : M ~ IR.n --+ IR.n eine Funktion, so nennt man f an der Stelle ä E U lokal invertierbar, falls es Umgehungen U mit ä E U ~ M und V mit /(ä) E V ~ IR.n gibt, so daß die Einschränkung von feine bijektive Abbildung von U nach V ist. Satz über inverse Funktionen Ist f: M ~ IR.n --+ IR.n stetig diff'bar und ist an der Stelle ä E M die Jacobimatrix von f regulär, so ist /bei ä lokal invertierbar. Die Umkehrfunktion /- 1 ist ebenfalls differenzierbar, und für die Ableitung gilt

(/-1)'(/(x)) = (/'(x)rl Das bedeutet, daß die Jacobimatrizen von

f und /- 1 zueinander invers sind.

ISatz über implizite Funktionen I Gegeben sei ein System von n Gleichungen (*)

F;(x~,

... ,Xp,Y!, ... ,yn)=O für

i=l, ... ,n.

Bekannt sei die Lösung a= (x~, ... , xv, fh, ... , fin), d.h. am Punkt mit den Koordinaten (x 1, . .. , Xp, ii1, . .. , iin) sind die Gleichungen F;(X!, ... , Xp, ih, ... , Yn) = 0 für i = 1, ... , n erfüllt. Das Gleichungssystem heißt bei a lokal auflösbar nach y1 bis Yn, wenn es Funktionen y1(x 1 , ... , Xp) bis Yn(x 1, ... , Xp) gibt, so daß für alle x = (x 1, ... , xp) in einer Umgebung von (x 1 , ••• , xv) gilt

F;(XJ, ... ,xv,YI(XJ, ... ,xp), ... ,yn(x!, ... ,xp)) = 0 für i = l, ... ,n.

lokal invertierbar Satz über inverse Funktionen

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

70 Satz über implizite Funktionen

Satz über implizite Funktionen Sind die Funktionen F; in allen Variablen in einer offenen Umgebung des Punktes astetig differenzierbar und ist dien X n-Jacobimatrix der Ableitungen der F; nach den y; regulär, d. h. ist

det Fg( a) = det

m.(a) 8yl

m.(a) 8y2

ffi(a) 8yn

~(a) 8yl

~(a) 8y2

~(a)

~(a)

~(a)

~(a) 8yn

8yl

8yn

8y2

=.F 0,

so läßt sich das Gleichungssystem (*) lokal nach Y1 bis Yn auflösen. Die Auflösungen y 1 bis Yn sind differenzierbar nach x 1 bis -1

und es gilt

~ 8x1

~ 8x2

~ 8xp

ffi

ffi

ffi

ffi 8x1

ffi

ffi

8yn

!1111.

!1111.

!1111.

~

~

~

~

~

~

~ 8x1

~ 8x2

~ 8xp

~

~

~

~

~

~

8x1

Eselsbrücke

Xp

8x2

8yl

8xp

8yl

8yl

8y2 8y2

8y2

8x1

8yn

8yn

8x1

8x2

8x2

8x2

8xp 8xp

8xp

Eselsbrücke, um sich die Formel zu merken: Man differenziert wie im ersten Spezialfall auf Seite 74 die Gleichung F(x, y(x)) = Önach x und erhält

Fx + Fgfk = Ö => Yx = -(Fg)- 1 Fx Die drei wichtigsten Spezialfälle dieses schwierigen Satzes sind im Punkt Berechnung formuliert.

12. Berechnung! 11. Rechenregeln I Rechenregeln, die mit dem Nablaoperator '\1 formuliert sind, findet man in Abschnitt 8. (f

Sind

+ g)' = !' + g'

(af)' = af'

f und g reellwertige Funktionen, so ist auch (fg)' = f'g

+ fg'

bzw. grad (fg) = g grad f

+f

gradg

Das heißt, daß die Regeln für Summen und Vielfache wie bei einer Variablen gelten.

71

4.3. ABLEITUNGSREGELN

Kettenregel

Die Kettenregel sieht formal aus wie im Reellen: /o§

l

§

-

ä

Ist Rn

L

Rm

L Rk,

so ist

§(ä)

f(g(ä))

(l o §)' (ä) =

/'(§(ä)) · §'(ä).

Der Punkt im rechten Term ist dabei die Matrizenmultiplikation. Die Kettenregel besagt, daß man die Jacobimatrix (oder Funktionalmatrix) einer zusammengesetzten Abbildung o §berechnet, indem man die Jacobimatrizen von und§ miteinander multipliziert.

l

l

Ein wichtiger Spezialfall: Ist § : I ~ R ---+ Rn und f : Rn ---+ R, so ist die zusammengesetzte Funktion h = f o § : I ~ R ---+ R. Bezeichnet man die Koordinaten im Rn mit u 1 bis un, und ist §(x) = (9 1(x), ... , 9n(x)) ~ so ist

dh dx

= grad

f . §'

=

8 f 091 + 8 f 092 + ... + 8 f 09n aul ßx 8u2 ßx OUn ßx

Die eindimensionale Kettenregel sieht aus wie formales Erweitern mit der Variablen des mittleren Raumes. Im Gegensatz dazu muß man hier alle Variablen des mittleren Raumes dazwischenschieben und diese Terme addieren. Beispiel 1: Berechnung von h' mit h

= jo9, f(x, y) = ex+ ~' §(x) =

c~/:)

Um mehr Klarheit zu haben, werden als erstes die Variablen passend umbenannt: Setze (

~)

= §(x) =

(~~~~~) X

mit u 9

= lnx, v = (u,v)

~

und y

= f(u, v) = eu + ~·

f

R2 h = jo9 Jetzt wird auf drei Arten die Ableitung von h =

f o §berechnet:

IDirekte Rechnung Iist hier am einfachsten: h(x) = f(§(x)) = elnx

+ 1~x = x + 2x = 3x

=>

y'(x) = h' = 3.

72

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

IAnwendung der

Kettenregel: I

~'() _ (g;(x)) _ ( 1 g x - g~(x) - -lfx2 '

/x)

Jetzt muß man in der Ableitung von

f die Werte für u und v einsetzen:

f'(§(x)) = (elnx,- ul)2) = (x, -2x2). Berechnung des Matrixprodukts von f'(§(x)) und §'(x): h'

= f'(§(x)) · §'(x) = (x, -2x 2) · ( _'(fx 2 ) = 1 + 2 = 3.

IAnwendung der

Spezialfallregel: I

dy ayag, ayag2 dx OU OX OV OX Jetzt werden wieder u und v ersetzt:

u1 X

-2-1 v x2

- = - - + - - = e - + 2- -

= e1nx.!_ + -~-r_!_ = x.!. + 2x 2_!_ = 1 + 2 = 3. X

('/x) x 2

x

x2

12. Rechenregeln für Vektorfunktionen I Rechenregeln für Vektorfunktionen

Die folgenden Regeln betreffen den Fall vektorwertiger Funktionen einer reellen Variablen. Die Produktregel gilt auch für Skalar- und Kreuzprodukte und Produkte von Vektoren und Matrizen untereinander und mit reellwertigen Funktionen. Dabei werden nach der Grundregel Vektoren und Matrizen abgeleitet, indem jede Komponente abgeleitet wird. Für (reelle) Funktionen a(t), Vektorfunktionen f{t),§(t) E !Rn und Matrixfunktionen A(t) und B(t) passender Größe gilt:

(af)' = a'f + o]', (f~ ·g~)I =

~~I

(aA)' = a'A + aA',

·g~ + ~~ ·g~I

(!X g)' =!'X g+ 1 Xg' (Al)'= A'f + Af',

Skalarprodukt Kreuzprodukt

(AB)'= A'B +AB',

(A- 1 )' = -A- 1 A'A- 1

In der letzten Regel muß A natürlich eine invertierbare Matrix sein. Beispiel 2: Ableitung von Vektor- und Matrixfunktionen

73

4.3. ABLEITUNGSREGELN 13. Ableitung der Umkehrfunktion I

Ableitung der Umkehrfunktion

Hierbei benutzt man das Kriterium det

f' {a) =/:- 0 => l: U ~ lRn --+ lRn ist bei a E U lokal invertierbar. (/(i))- 1

(j\l-1(YJ)) -1

und

® @

@

Bei® bedeutet der Exponent -1 die Umkehrfunktion, bei@ die inverse Matrix. Beispiel3: Die Umkehrfunktion von /(x,y)

=~

(~~ =~~), x,y > 0.

Hier läßt sich die Inverse explizit bestimmen. Dazu führt man die Bezeichnung

(u)v ein, also u

~

f(x, y) =

x2

+ y2

= -2-

und v =

x2 _ y2

2

. Daraus berechnet man

x = .../u + v und y = .../u - v und damit

l-

1

(u,v) =

(~~=~)

und

~

(! - 1 )'(u, v) =

1

2

1

(

Vu+v 1

\Jü'=V

~)· ~

Ableitung der inversen Abbildung mit dem Umkehrsatz Y ) . J' berechnet: /'{x, y) = (x -y Wegen detf'(x,y) = -2xy ist J' invertierbar, wenn weder x noch y gleich 0 ist, also überall im Definitionsgebiet. Daher ist l dort überalllokal invertierbar. Achtung: betrachtet man l als Funktion auf dem ganzen lR so ist l außerhalb

Zunächst wird

X

2,

der Achsen lokal invertierbar, aber nicht (global) invertierbar: wegen l{±x, ±y) hat jeder Bildpunkt i.a. vier Urbilder. Die Inverse von

J'

/(x, y)

=

berechnet man am besten nach der Cramerschen Regel, die

für 2 x 2-Matrizen sagt: ( 1

~ ~) -

(f(x,y)r = _;xy

1

(=;

=

ad ~ bc (!c ~b). Hier erhält man

~Y) = ~ (~j: ~~~J

und damit

1 ( 1/x 1/x ) { 1 ~-1 )(fx,y))=2 1/y -1/y.

(f

Anwendung: der Punkt {1, 1) wird nach {1, 0) abgebildet, also /{1, 1) = {1, 0). Die Ableitung der inversen Abbildung an der Stelle {1, 0) ist daher

(/-1)'{1, 0)

= {f')-1(1, 1) = ~

c

!1).

74

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

Das läßt sich bestimmen, ohne die inverse Abbildung selbst zu kennen. Allgemein erhält man die Ableitung der Umkehrfunktion j-·- 1 , indem man in der Gleichung (j''- 1 )'(Y'J = f'(/- 1 (Y'J)- 1 den Ausdruck /- 1 (Y'J mit Hilfe der zu Anfang berechneten Umkehrfunktion ersetzt: mit iJ = (:) wird

k) -1

y'u- v

Ableitung impliziter Funktionen

14. Ableitung impliziter Funktionen I Hier werden nur die Rechenmethoden für die drei wichtigsten Fälle angegeben. Für den allgemeinen Fall, daß man eine Gleichung für n + 1 Variablen hat, kann man völlig analog zu den Punkten 4.1 und 4.2 unten vorgehen.

14.1. Eine Gleichung mit zwei Variablen I Eine Gleichung, zwei Variablen

So eine Gleichung definiert in der Regel eine Kurve im IR2 • Gegeben ist eine stetig differenzierbare Funktion F der zwei Variablen x und y. Ist F(x 0 , y0 ) = 0 und Fy(x 0 , y0 ) -:/:- 0, so ist die Gleichung F(x, y) = 0 bei (xo, Yo) lokal nach y auflösbar, d.h. y läßt sich so als Funktion von x schreiben, daß die Gleichung F(x, y(x)) = 0 für alle x in einer Umgebung von x 0 erfüllt ist. Analog gilt: Ist F(x 0 , y0 ) = 0 und Fx(xo, Yo)-:/:- 0, so ist die Gleichung F(x, y) = 0 bei (x 0 , y0 ) lokal nach x auflösbar, d.h. x läßt sich so als Funktion von y schreiben, daß die Gleichung F(x(y), y) = 0 für alle y in einer Umgebung von y0 erfüllt ist.

F(x 0 , y0 ) Berechnung der Ableitungen

=0

und

Fy(x 0 , xo) -:/:- 0 => F(x, y)

= 0 lokal nach y auflösbar

Berechnung der Ableitungen Die Gleichung F(x, y(x)) = 0 wird nach der Kettenregel abgeleitet. Dabei kommt bei der Ableitung von F nach der zweiten Variablen jedesmal ein Faktor y' dazu.

F(x, y(x)) = 0 => Fx(x, y(x)) + Fy(x, y(x))y'(x) = 0 => y'(x) = - ~:~:: ~~:~~

Höhere Ableitungen

Höhere Ableitungen werden berechnet, indem die mittlere Gleichung des Kastens weiter abgeleitet wird. Ab jetzt wird beim Aufschreiben das Argument von y weggelassen.

75

4.3. ABLEITUNGSREGELN

=?

Fx(x, y) + Fy(x, y)y' = 0 Fxx(x, y) + Fxy(x, y)y' + (Fyx(x, y) + Fyy(x, y)y')y' + Fy(x, y)y" = 0

y" erhält man jetzt durch Auflösen dieser Gleichung. Wenn man will, kann man auch noch die 1/-Terme ersetzen:

Höhere Ableitungen ermittelt man durch Weiterdifferenzieren der Gleichung des vorletzten Kastens. Alternativ ist es auch möglich (aber rechnerisch etwas schwieriger), die Gleichungen nach der Quotientenregel weiterzubehandeln. Benutzt man die Ableitungen, um Extrema einer implizit definierten Funktion zu ermitteln, so hat man in einem kritischen Punkt mit y' = 0 die einfachere Form y" =- F:z::z:

Fy

falls

y' = 0.

Beispiel4: F(x,y) = y 3 + y- x 3 + x = 0 y

In diesem Beispiel sieht man, daß sich Extrema implizit definierter Funktionen bestimmen lassen, ohne die F\mktionswerte zu berechnen. Die F\mktion y --t y 3 + y ist als F\mktion von IR nach IR surjektiv und streng monoton steigend (die Ableitung ist 3y 2 + 1 > 0) und daher bijektiv. Deshalb gibt es zu jedem x E IR genau ein y E IR mit y 3 + y = x3 - x und die implizite Gleichung F(x, y) = y 3 + y - x 3 + x = 0 definiert eine F\mktion auf IR.

Der Satz über implizite Funktionen garantiert wegen Fy = 3y 2 + 1 "I 0, daß die Auflösung y = y(x) an jeder Stelle differenzierbar ist mit

y'(x) = _ Fx(x, y) = _ -3x2 + 1. Fy(x, y) 3y 2 + 1 y hat höchstens dann ExtRema, wenn y' = 0 ist. Das ist für x Für diese x-Werte wird die zweite Ableitung berechnet:

=

wegen y' = 0.

±~

der Fall.

76

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

Damit ist y" (

~) =

y3

-

~ 6+x 1 IX=../3 > 0 und man hat bei x = ~ V~ 1

3y

ein Minimum.

Analog erhält man bei x =-~ein Maximum.

14.2. Eine Gleichung, drei Variablen

Eine Gleichung mit drei Variablen I

So eine Gleichung definiert in der Regel eine Fläche im IR3 . Die Rechenverfahren sind denen von Fall 4.1 analog: Gegeben ist eine stetig differenzierbare Funktion F der drei Variablen x, y und z. Ist F(x 0 , y0 , z0 ) = 0 und Fz(x 0 , y0 , z0 ) =/; 0, so ist die Gleichung F(x, y, z) = 0 am Punkt (x 0 , y0 , z0 ) lokal nach z auflösbar, d.h. z läßt sich so als Funktion von x und y schreiben, daß die Gleichung F(x,y,z(x,y)) = 0 für alle (x,y) in einer Umgebung von (x 0 , y0 ) erfüllt ist. Analoges gilt für die Auflösbarkeit nach den anderen Variablen.

F(xo, Yo, zo) = 0 und Fz(xo, yo, zo) =/; 0::} F(x, y, z) = 0 lokal nach z auflösbar Berechnung der Ableitungen Man differenziert nach den voneinander unabhängigen Variablen x und y:

Höhere Ableitungen erhält man wie oben durch Weiterdifferenzieren.

14.3. Zwei Gleichungen, drei Variablen

Zwei Gleichungen mit drei Variablen

I

So ein Gleichungspaar definiert in der Regel eine Kurve im IR3 . z y

X

Die Skizze nebenan zeigt eine durch zwei Gleichungen definierte Menge: der dick gezeichnete Kreis ist durch die beiden Gleichungen x 2 + y 2 + z 2 = 4 (Kugel) -y + z = 2 (Ebene)

definiert.

4.3. ABLEITUNGSREGELN

77

Gegeben sind zwei stetig differenzierbare FunktionenFund G der drei Variablen x, y und z. Sind die Gleichungen F(xo, Yo, zo) = 0 und G(xo, Yo, zo) = 0 erfüllt und ist die Determinate

I %:

%: I

an der Stelle (xo, Yo, zo) ungleich null, so sind

die Gleichungen bei (xo, Yo, zo) nach y und z lokal auflösbar, d.h. y und z lassen sich so als Funktionen von x schreiben, daß die Gleichungen F(x, y(x), z(x)) = 0 und G(x, y(x), z(x)) = 0 in einer Umgebung von x 0 erfüllt sind.

{ F(xo, Yo, zo) = 0 } G(xo, Yo, zo) = 0 '

I Fy(Xo, Yo, zo)

Fz(xo, Yo, zo) Gy(xo, Yo, zo) Gz(xo, Yo, zo)

I-:f; 0

F und G nach

=> (y, z)

auflösbar

Berechnung der Ableitungen: Die beiden Gleichungen F(x, y, z) = 0 und G(x, y, z) = 0 werden nach x differenziert. Aus dem entstehenden Gleichungssystem werden Y:c und Z:c mit der Gramersehen Regel berechnet.

Höhere Ableitungen werden berechnet, indem die Gleichungen weiter differenziert werden und mit Hilfe der Gramersehen Regel nach der gesuchten Ableitung aufgelöst wird. Dabei werden schon berechnete Ableitungen niedrigerer Ordnung eingesetzt. Beispiel 5: Auflösung nach (y, z) im Bild oben Mit F(x, y, z)

= x 2 + y2 + z 2 -

I GyFy

Fz Gz

4 und G(x, y, z)

I= I -12y

2z1

= -y + z- 2 berechnet man

.1 =2(y + z ) .

Man hat also nur dann keine lokale Auflösbarkeit nach y und z, falls y = -z ist. Setzt man das in-G(x,y,z) 0 ein, erhält man z 1 und y -1. Die Gleichung F(x, y, z) = 0 ergibt dann x = ±v'2.

=

=

=

Außerhalb der Punkte (±v'2, -1, 1) ist damit das Gleichungssystem lokal nach y und z auflösbar. Die X-Ableitungen der Auflösungen sind

78

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM

ffi.N

15. Fehlerrechnung I Fehlerrechnung

Diese Methode beruht auf der Formel f(ä + dx)

~

f(ä)

+ df.

Beispiel 6: Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche der Kantenlänge l = lm und Höhe h =3m hat ein Volumen von V(l, h) = ~l 2 h = 1m3 . Gesucht ist eine Näherung für das Volumen einer Pyramide mit den Daten l = 1.03m und h = 3.06m.

. ßV ßV 2 1 Es 1st V(l + t::.l, h + t::.h) ~ V(l, h) + ßtt::.l + ßh t::.h = V(l, h) + 3th t::.l + 3t 2 t::.h Mit l = lm, h = 3m und t::.l = 0.03m, t::.h = 0.06m wird

2 1 V ~ 1m3 + 3 · lm ·3m· 0.03m + 31m2 · 0.06m = 1m3 + 0.06m3 + 0.02m3 = 1.08m3 . Der exakte Wert ist 1.082118m3 .

13. Beispiele I . . I 7 : (A-1)'(0) f"ur A( t ) = (t3t3 + B msp1e + t24 1cos + t2t) Zunächst wird mit der Cramerschen Regel A- 1 berechnet.

A -1 _

1

- (t 3 + t 2)(1 + t 2)- (t3 + 4) cos t

(

1 + t2

- cos

t)

-(t3 + 4) t 3 + t 2

Man erkennt, daß die Determinante im Nenner für t = 0 den Wert -4 hat. Damit existiert A- 1 fürtinder Nähe von 0. Statt A- 1 abzuleiten, ist es hier günstiger, die Regel (A- 1)' = -A- 1A'A- 1 von S. 72 zu verwenden: wegen

Diese Regel ist von Vorteil, wenn A- 1 schlecht abzuleiten ist oder die Ableitung nur an einer festen Stelle benötigt wird. Beispiel 8: Punkte, an denen implizite Gleichungen nicht auflösbar sind. Der Satz über implizite Funktionen sagt aus, daß die Gleichung F(x, y) = 0 unter der Voraussetzung Fy =f. 0 nach y lokal eindeutig auflösbar ist und daß die Auslösungsfunktion y(x) differenzierbar ist. Die folgenden vier kleinen Beispiele haben gemeinsam, daß für (x, y) = (0, 0) Fy = 0 ist.

79

4.3. ABLEITUNGSREGELN

Im ersten und dritten Bild ist die Auflösung im Ursprung nicht eindeutig, d.h. hier schneiden oder verzweigen sich verschiedene Auflösungskurven. Im zweiten Bild ist die Auflösung nach y zwar eindeutig, aber nicht differenzierbar. Im vierten Bild ist die Auflösung als y = x beschreibbar und somit sogar beliebig oft differenzierbar, obwohl Fy = 0 ist. Im Beispiel F{x, y) = x 2 + y 2 = 0 besteht die gesamte Lösungsmenge nur aus dem Punkt {0, 0) und die Gleichung ist in keiner Umgebung nach y auflösbar. Beispiel 9: Die Ableitung vongofmit f(x,y) = e"'+ ~und §(x) = C1x). Der Definitionsbereich von f sei etwa JR+ x JR+. f und g sind die Abbildungen aus Beispiel 1 in der anderen Reihenfolge. Zunächst macht man eine Skizze und führt dabei neue Variablenbezeichnungen ein:

(~)

z g

f

JR2

IR h = gof

+

Man verwendet also z = f(x,y) = e"'

Direkte Rechnung ergibt (

und damit (g o J)' =

(Ux Vx

~)

Uy )

Vy

tund(~)=

= g(f(x, y)) =

=

-e

g(z) = C1z).

z) = (In ( e"'/

l

-~+ ~

e"' e"' + ~y

[

C1

t

e"'

y

2

X

;r

e"'

t))

+ ~y

(e"' + ~)2 (e"' +'~)2 Mit der Kettenregel ist es hier einfacher, da man "unangenehme" Ableitungen nur einmal berechnen muß:

g'(f(x,y))

~

g'(z)lz

~

f(x,y)

~

(

~ ( _~ ,) '

}_!_) z2 z

=

f(x,y))

(e"' + ~)

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

80

f'(x,y) = (ex,- : 2) Für (g o f)'(x) = g'(f(x, y)) · f'(x, y) (Matrizenprodukt einer 2 x 1 und einer 1 x 2-Matrix) erhält man wieder das obige Ergebnis.

I Beispiel 10: grad f in Polarkoordinaten Die Umrechnung geschieht mit Hilfe der KettenregeL Ist die Funktion larkoordinaten gegeben, so hat man so eine Situation: g j

(;)

f in Po-

f(r,cp)

f Wenn als Argument von f Polarkoordinaten eingesetzt werden, wird statt f die Bezeichnung j verwendet. Diese Unterscheidung zwischen f und j muß man treffen, da man sonst bei einem Ausdruck wie f(1, 1r) nicht unterscheiden könnte, ob der Funktionswert bei x = 1 und y = 1r oder bei r = 1 und cp = 1r, also bei (x, y) = ( -1, 0) gemeint ist. Es ist f(x,y) = j(r,cp) = j(g(x,y)). Die Kettenregel besagt

ßj ßcp ßj ßr af ßj ßcp ßj ßr af -=--+--und-=--+-ßr ßy ßcp ßy ßy ßr ßx ßcp ßx ßx oder kurz

fx = jr r x + j"' 'Px und fy = jr r y + j"' 'Py Es müssen also die partiellen Ableitungen von r und cp nach x und y bestimmt werden. 1. Möglichkeit: direkte Rechnung

Aus r =

Jx

rx=

2

+ y 2 und cp = arctan !!._ + k1r erhält man X

r cos cp x =--=coscp ' r yx2+y2

'Px =

ry =

. r sin cp y = - - = sm cp r yx2 + y2

sin cp -r sin cp -y -y = - -r= --- = r2 x2 + y2 x2

1

--2 · -

1 + 1L.. x2

x _ _ rcoscp _ coscp _ _1_. I_ ___ r r2 cpy - 1 + JC. x - x2 + y2 x2

Dabei ist nicht beachtet worden, daß die Darstellung von cp auf der y-Achse so nicht richtig ist (vgl. die Regeln für Polarkoordinaten in Kapitel 2.5).

4.3. ABLEITUNGSREGELN

81

2. Möglichkeit: über die Ableitung der Umkehrfunktion Im ersten Teil wurden die partiellen Ableitungen von g direkt berechnet. Viel einfacher ist es, die Ableitungen von g- 1 zu bestimmen und daraus mit der Regel über die Ableitung der Umkehrfunktion die von g zu berechnen: in Komponenten lautet die Funktion g- 1 : x=rcoscp und y=rsincp. Es ist (rx ry) = (Xr x"')- 1 = (c?scp -rsincp)- 1 = ~ (rc~scp rsincp) lpx
r

r

Diesmal stimmen die Berechnungen allerdings für alle Punkte außerhalb des Ursprungs und man braucht auf den Achsen keine Fallunterscheidungen zu treffen. Ergebnis Es ist

- sincp - coscp) grad f = ( fr cos cp- f"'-r-, fr sin cp + f"'-r- ·

Höhere Ableitungen: Will man z.B. fxx berechnen, kann man die Ersetzungsregel für die Ableitung nach x auf fx anwenden: a ( a 8r ax 1x = 8r8x

fxx =

a (-

a 8cp) ( - sin cp) fr coscp-f"'-r-

+ 8cp8x

-

a (-

sincp) fr COS cp - t -- •COS cp + - fr ßr "' r 8cp sin cp sin cp) ( frrCOS
-

COS

cp -

sincp) -sincp t-"' -· --r r

- sin cp - cos cp) (- sin cp) + ( f<prcoscp+ fr(-sincp)- f"'"'_r_- f"'-r- --r-

- sin cp cos cp 1- sin2 cp i sin2 cp 2 i sin cp cos cp 2 = f,rr COS
2

frr = 2 cos cp,

j"' =

-

.

fr

- 2r2 sin cp cos cp,

J"'"' =

-

2

fr = 2r cos cp,

2r 2 ( sin2 cp - cos 2 cp) und

fxx = 2 cos4 cp + 8 sin 2 cp cos 2 cp + 2 sin2 cp cos 2 cp +2{sin4 cp- sin 2 cpcos 2 cp)- 4sin2 cpcos 2 cp 2{cos~ cp + 2 cos 2 cpsin 2 cp + sin 4 cp) = 2(coscp 2 + sin2 cp) 2 = 2. In kartesischen Koordinaten ist f (x, y) = x 2 •

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM

82

Beispiel 12: Die größte Nullstelle von x 3 + 2(>. 2 + 1)x + 2Jß>. = 0,

ffi.N

>. E IR

Für jedes feste >. E IR hat das Polynom dritten Grades x 3 + 2(>. 2 + 1)x + 2Jß>. genau eine Nnilstelle in IR: Leitet man für festes >. die Funktion y(x, >.) = x 3 + 2(>. 2 + 1)x + 2Jß>. nach x ab, erhält man y'(x, >.) = 3x 2 + 2(>. 2 + 1) > 0. Daher ist die Funktion streng monoton steigend. Da es sich um ein Polynom dritten Grades handelt, hat andererseits das Polynom mindestens eine Nullstelle. Damit hat die Gleichung y(x, >.) = 0 für jedes >. E IR genau eine Lösung x(>.). Um zu bestimmen, für welchen Wert von >. x(>.) am größten wird, wird der Satz über implizite Funktionen verwendet. Wegen Yx = 3x 2 + 2(>. 2+ 1) ist die Gleichung y(x, >.) = 0 überall nach x auflösbar, d.h. es gibt eine Funktion x(>.), so daß y(x(>.), >.) = 0 ist. Wenn es lokale Extrema gibt, muß x' (>.) = 0 sein. Wegen x' (>.) = - y>. berechnet man Yx Y>. = 0 {:} 4x.A + 2Jß = 0 {:} >. =

-Vf~-

Die Division durch x ist erlaubt, da für x = 0 sicher kein kritischer Punkt vorliegt. Das Ergebnis wird nun in Gleichung y(x, >.) = 0 eingesetzt:

~!__)=0 x3 +2(~__!_+1)x+2v'6(V2x 2x 2 {:}

x 4 +2x 2 -3=0

{:}

{:}

x 3 +~+2x-Q=0 x x

(x 2 +3)(x 2 -1)=0

{:}

x=1Vx=-l.

Die zugehörigen >.-Werte sind >. 1,2 = =f ~Jetzt wird der Typ der Extrema bestimmt. Dazu wird verwendet, daß an kritischen Punkten (Y>. = 0) gilt x" (>.) = - Y>.>.. Yx

x"(>.) = _Y>.>. = _ Yx

4x 3x 2 + 2(>. 2 + 1) ·

Für >.1 =-~und x = 1 ist x"(.At) < 0 (Maximum), für >. 2 =~und x = -1 ist x"(.A2) > 0 (Minimum). Mit etwas zusätzlicher Überlegung erhält man sogar, daß es sich um absolute Extrema handelt: für >. > 0 muß x(>.) < 0, für >. < 0 muß x(.A) > 0 sein. Die Werte der Funktion -2 -4 4 >. r-t x(>.) sind für >. < 0 positiv und steigen bis>.= >. 1 auf den Wert 1 (Max.). Dann fallen sie bis zum Minimum bei >. = >. 2 und danach wieder, bleiben aber negativ. steigen -1 Damit hat y(x,>.) wirklich x = -1 als kleinSkizze von >. r-t x(>.) ste und x = 1 als größte Nullstelle.

83

4.4. TAYLORENTWICKLUNG

4.4

IL

Taylorentwicklung

Definitionen

I

f sei eine reellwertige m + 1-mal stetig differenzierbare Funktion der n Variablen x 1 bis Xn auf einem Gebiet M C JRi.n. Die Verbindungsgerade der Punkte ä und ä + h liege ganz in M. Dann gilt die Taylorformel

Taylorformel

f(ä + h) = Tmf(h) + Rmf(h)

=

'to ~!

( (\7 · h)k f) (ä)

+ (m ~ 1)! ( (\7 · h)m+l f) (ä + 1Jh),

{} E]O, 1[.

Wie in Kapitel 2.10 heißt Tmf (m-tes) Taylorpolynom (in denn Variablen h 1 bis hn) und Rmf m-tes Restglied. Das Taylorpolynom enthält die Werte von f und den partiellen Ableitungen bis zur m-ten Ordnung am Entwicklungspunkt ä, das Restglied die Werte der m + 1sten partiellen Ableitungen an einer Zwischenstelle ä + {}h, {} E]O, 1[. Dabei ist \7 der Nabla-Operator \7

= ( 88. , 88. , ... , 88 ) Xn X2 X1

und

h der

Vektor

(h 1 , h 2 , ..• , hn)T. \7 · h ist das (Matrix-)Produkt dieser beiden Vektoren, also

(\7 · h)k

Taylorpolynom Restglied

NablaOperator \7

= (_!__h1 + · · · + ~hnt

8xn 8x1 wegen des Satzes von Schwarz es kommt Ausdrucks dieses Ausmultiplizieren Beim an. In konkreten Fällen vernicht Ableitungsoperatoren der Reihenfolge auf die y usw. x, oft Xn bis x statt Variablennamen als man wendet 1

Andere übliche Schreibweise der Taylorformel: wenn man h = x - ä und man hat

x = ä + h setzt,

ist

Bei dieser Schreibweise muß man unbedingt beachten, daß der Nablaoperator in der Klammer nur auf f und nicht auf den Vektor x wirkt! Für den Entwicklungspunkt x = Ölautet die Formel

Achtung!

84

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

12. Berechnung I Fall

n=

IBerechnung im Fall n = 2j 2 Hier verwenden wir die Variablen x und y. Es ist \7 =

(!,

:y) und h = (h 1 , h 2 ) T.

... ... ß ß ... k Damit hat das Produkt \7 · h die Form \7 · h = ßx h 1 + ßy h 2 und die Potenz (V'· h)

läßt sich mit Hilfe der binomischen Formel auswerten: ... k

k

(k)

ßk

. k

.

(\i'·h) f(x,y)=L, . 0 .0 k_.f(x,y)h{h 2 - 1 • i=O J xJ Y J

Die Taylorformel hat also die Gestalt

fJ liegt wie immer zwischen Null und Eins. Daraus ergibt sich folgendes praktische Verfahren, daß beispielhaft für den Fall m = 2 (d.h. Taylorentwicklung bis zur zweiten Ordnung, das Restglied enthält

die dritten Ableitungen) aufgeschrieben ist:

CD

Man schreibt alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung m Schema auf, das wie das Pascalsehe Dreieck aufgebaut ist.

f

1. Dreieck

fx fv fxx fxy fvv fxxx fxxy fxyy jyyy

@

+-+-+-+--

+ 1 in einem

0. Zeile 1. Zeile m-te Zeile, hier 2. Zeile m + 1-ste, hier 3. Zeile

• In der ersten bis zur m-ten Zeile werden die Werte der Funktion und Ableitungen an der Entwicklungsstelle (a, b) notiert • in der letzten, also der m + 1-sten Zeile die Werte an einer Zwischenstelle (ii, b) mit ii = a + fJh 1 und b = b + fJh 2 :

2. Dreieck

f(a, b) fx(a, b) fv(a, b) fxx(a,b) fxy(a,b) jyy(a,b) fxxx(ii, b) fxxy(ii, b) fxyy(ii, b) jyyy(ii, b)

+-+-+-+--

0. Zeile 1. Zeile m-te Zeile m + 1-ste Zeile

4.4. TAYLORENTWICKLUNG

85

Darunter {oder daneben, wenn der Platz reicht), schreibt man in einem Pascalsehen Dreieck die Terme auf, die bei der Binomialentwicklung von (h 1 + h 2)k entstehen und daneben die Kehrwerte von k! 1 hl

h2

h21 2hlh2 h~

®

3h~h2

h22

3hlh~

h32

1

f-

0. Zeile

1 1 1 = m! 2 1 1 = 6 (m+ 1)!

f-

1. Zeile

f-

m-te Zeile

f-

m + 1-ste Zeile

Jeder Term des zweiten Dreiecks {das die Werte an der Entwicklungs- bzw. Zwischenstelle enthält) wird mit dem entsprechenden Term des dritten Dreiecks (mit den Teilen von {h 1+h 2)k) und mit dem in der entsprechenden Zeile stehenden Kehrwert von k! multipliziert. Alle diese Werte werden addiert.

In der Entwicklung bis zur zweiten Ordnung bedeutet das

0. Zeile 1. Zeile

+

2. Zeile

+

j(a+h1,b+h2) f(a, b) · 1 · 1 fx(a, b) · h1 · 1 + /y(a, b) · h2 · 1 21 () 1 21 fxx ( a,) b · h1 · 2 + fxy a, b · 2h1h2 · 2 + /yy 'h2 ' 2

3. Zeile

+

31 21 fxxx (a + iJhl, b + i)h2 ) . hl. 6 + fxxy (a + iJhl, b + iJh2). 3hlh2. 6

+

fxyy(a + iJhl! b + iJh2) · 3hlh~ · ~ + /yyy(a + iJh1, b + iJh2) · h~ · ~

Beispiel!: Taylorentwicklung bis zur zweiten Ordnung von f(x, y) = ::_ am y Punkt {a, b) = {2, 1). X

1

CD

y

-x

y

Alle Ableitungen bis zur dritten Ordnung: 0 0

y2 -1

0

-;;:2 y3

2x y3

-6x

7

3. Dreieck

86

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

® In den Zeilen 0 bis 2 des linken Dreiecks stehen die Werte für x = 2 und y = 1. In der dritten {der letzten) Zeile stehen die Werte der dritten Ableitungen an der Stelle ä = 2+'!9h1 und b = 1+'!9h2. Daneben stehen die Teile von {h1+h2)k und die Kehrwerte der Fakultäten. 2 1

-1

0 0

®

1 -2

0

hl h21

4 -6ä

2 b3

b4

h31

1

1

h2

3h~h2

1

h22

2h1h2

3h1h~

2 h32

1

6

Damit sieht die gesuchte Taylorentwicklung so aus:

{2·1·1) + {l·h1·1-2·h2·1) +

{-1·2h1h2·~+4·h~·~) 2 2

+

2 -6{2 + Dh1) 3 1 2 1 {1 + '!9h2)3 . 3h1h2 . 6 + {1 + '!9h2)4 . h2 . 6

=

2 + h1 - 2h2- h1h2 + 2h~ + R2(h~, h2) mit h1h~

{1 + '!9h2)3

{2 + Dhi)h~ {1 + '!9h2) 4

IAllgemeiner Fall (drei und mehr Variable) I allgemeiner Fall

Im allgemeinen geht man bei einer Taylorentwicklung bis zur m-ten Ordnung so vor:

CD

Der Ausdruck {V'· h)k = (!:'18 h 1 vX1

+ ·· · +

f'lf)

vXn

hn)k wird für k

= 2 bis

k = m ausmultipliziert. Wenn man auch das Restglied benötigt, muß man auch die m + 1-ste Potenz bilde11.

® ®

Die nötigen partiellen Ableitungen von

f

werden gebildet.

Das Taylorpolynom wird mit Hilfe der Ableitungswerteam Entwicklungspunkt ä aufgebaut, das Restglied mit Werten an einer Zwischenstelle

ä+Dh.

87

4.4. TAYLORENTWICKLUNG

Beispiel 2: Zweites Taylorpolynom von f(x, y, z) = e2x+yz im Nullpunkt.

®

Die ersten partielle Ableitungen sind fx ye2x+yz.

= 2e2x+yz,

/y

= ze 2x+yz

und fz

=

Es gibt 6 zweite partielle Ableitungen:

fxy

®

= 2ze 2x+yz,

fxz

= 2ye2x+yz,

/yz

= (1 + yz)e 2x+yz

Die Werte der Ableitungen am Entwicklungspunkt x

= y = z = 0 sind

f(O, 0,0) = 1

= fz(O, 0, 0) = 0 fxx(O, 0, 0) = 4, /yz(O, 0, 0) = 1 /yy(O, 0, 0) = fzz(O, 0, 0) = /xy(O, 0, 0) = fxz(O, 0, 0) = 0 fx(O, 0, 0)

= 2,

/y(O, 0, 0)

Damit hat das zweite Taylorpolynom die Form Td(ht. h2, ha)

= 1 + 2 · ht + ~ : 4hi + ~ · 2 · h2ha = 1 + 2ht + 2hi + h2ha.

Wenn man will, kann manjetzt auch h 1 , h 2 und h3 durch x, y und zersetzen: Td(x, y, z) = 1 + 2x + 2x2 + yz.

IVektorwertige Funktionen I Die oben angegeben Formel dient der Taylorentwicklung reellwertiger Funktionen. Ist 1eine JRk-wertige Funktion, so geht man nach der "Grundregel" aufS. 50 vor. Wichtig: Bei der Bestimmung des Restglieds muß man in jeder Komponente eine eigene Zwischenstelle nehmen. Das erste Restglied Rt}'(h 1 , h2 ) bei der Taylorentwicklung von

1 = (~~~~: ~0

an der Stelle (a, b) = (0, 0) ist 1 (ftxx(ßthl, iJ1h2)h~ hxx(iJ2hl, iJ2h2)h~

2

mit iJ 1 E]O, 1[ und iJ2 E]O, 1[.

+ 2/txy(ßlhl, iJ1h2)h1h2 + /tyy(ßlhl, iJ1h2)h~) + 2/2xy(iJ2hl, iJ2h2)h1h2 + /2yy(iJ2hl, iJ2h2)h~

Vektorwertige Funktionen

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

88

Analytische Funktionen

IAnalytische Funktionen I Analog zu Kapitel 2.12 heißt eine auf einem Gebiet G ~ !Rn definierte Funktion f analytisch, wenn man sie um jeden Punkt von G in eine konvergente Potenzreihe in den Variablen x 1 bis Xn entwickeln kann. Eigenschaften: • Alle Funktionen, die sich aus (eindimensionalen) analytischen Funktionen zusammensetzen, sind in ihrem Definitionsbereich analytisch. • Analytische Funktionen lassen sich stets in Taylorreihen entwickeln. Die Taylorreihe konvergiert in einer Umgebung des Entwicklungspunkts gegen die Funktion. • Das Taylorpolynom erhält man als den entsprechenden Abschnitt der Potenzreihe der Funktion. • Bei der Ermittlung der Potenzreihen darf man Reihen ineinander einsetzen und miteinander multiplizieren.

13. Beispiele I Beispiel 3: Taylorentwicklung von f(x, y)

=~bis zur zweiten Ordnung

1-y um (0, 0), Angabe des Restglieds.

CD

Da auch das Restglied berechnet wird, müssen alle Ableitungen bis zur dritten Ordnung berechnet werden:

e" e" 1-y

e" 1-y

e" 1-y

®

1-y

e"

e" (1- y)2

e" (1- y)2

2e" (1- y)3

(1- y)2

2e" (1- y)3

6e" (1- y)4

In Funktion, erster und zweiter Ableitung werden die Werteam Entwicklungspunkt (0, 0) aufgeschrieben, bei der dritten Ableitung die Werte an einer Stelle (ä, b) = (ßx, ßy) mit 'IJ E]O, 1[. Daneben stehen dieBinomialkoeffizienten und die Kehrwerte der Fakultäten. 1 1 1

eä 1-b

h1 h~

2

1

eä

1/1 1/1 1/2

1 1

2eä

6eä (1- b} 2 (1- b) 3 (1 - b) 4

h31

h2 h~

2h1h2 3h~h2

3h1h~

h~

1/6

4.4. TAYLORENTWICKLUNG

89

@ Damit wird das Taylorpolynom und das Restglied aufgebaut:

Jetzt kann man h 1 und h 2 durch x und y ersetzen:

1+x

f(x,y)

e{!x (

+ 6

x2

+ y + 2 + xy + y 2 1

3

1-ßyx

3

+ (1-ßy)2x

6

2

2

y+ (1-ßy)3xy

6

+ (1-19y)4y

3)

19 E]0,1[

f

Wird die gesamte Taylorreihe von

gesucht, kann man so vorgehen:

Da f sich aus analytischen Funktionen zusammensetzt und daher auch analytisch ist, ist die Taylorreihe mit der Potenzreihe identisch. Diese erhält man, wenn man die Potenzreihen der Faktoren miteinander multipliziert: 1

oo

1

oo

oo

1- Y

n=O

n!

m=O

n,m=O

ex

--=ex--=2:-xn LYm= L 1- Y

1

-xnym n!

Das zweite Taylorpolynom kann man aus dieser Darstellung erhalten, wenn man alle Glieder heraussucht, in denen n + m :S 2 ist. Damit erhält man natürlich wieder dasselbe Polynom wie oben:

Td(x, y) =

1 ............

+

n=m=O

Alle Ableitungen von

3(x

f

.___,

~

n+m=2

= (x + 2y) 3 um (a, b) = (-1, 1)

bis zur dritten Ordnung:

+ 2y)2

6(x + 2y) 6

+ y + 2 + xy + Y2

n+m=l

Beispiel 4: Entwicklung von f(x, y)

CD

x2

x

(x + 2y) 3 6(x

+ 2y) 2

12(x + 2y) 12

Alle weiteren Ableitungen sind Null.

24

24(x + 2y) 48

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM !RN

90

@ Jetzt werden die Werteam Entwicklungspunkt x

= -1, y = 1 aufgeschrieben. Daneben stehen die Binomialkoeffizienten und die Kehrwerte der Fakultäten.

1

1

3 6

6

6 12

12

ht

24 24

hf

48

hy

h2 h~

2hth2

3hth~

3hfh2

h~

@ Da alle höheren Ableitungen Null sind, sind auch die entsprechenden Restglieder Null und die Funktion stimmt mit dem Taylorpolynom überein:

f(-1+ht,1+h2)

= 1 + 3ht + 6h2 + 3hr + 12h1h2 + 12h~ + hr + 6hrh2 + 12h1h~ + sh~

Ersetzt man h 1 durch x + 1 und h 2 durch y- 1, so erhält man f( -1 + ht, 1 + h2) = f(x, y) = (x + 2y) 3 (x

+ 2y) 3

1 + 3(x+1)+6(y-1) + 3(x + 1) 2 + 12(x + 1)(y- 1) + 12(y- 1) 2 + (x + 1) 3 + 6(x + 1?(Y- 1) + 12(x + 1)(y- 1) 2 + 8(y- 1) 3

Alternative: In (x + 2y )3 ersetzt man x durch -1 + h 1 und y durch 1- h 2 • Dann multipliziert man die dritte Potenz aus und ersetzt h 1 wieder durch x + 1 und h 2 durch y- 1. Beispiel 5: Die Taylorreihe von sin(x + y)

Da die Funktion analytisch ist, stimmen Taylor- und Potenzreihe überein. Die Potenzreihe erhält man durch Einsetzen von x + y in die Sinusreihe: sin(x + y) =

oo (- 1 )n oo L I (x + y)2n+l = L n=O (2n + 1).

n=O

Ml' t (2n + 1) m

+ 1)! = m.1( 2(2n _ )I n+ 1 m. sin(x + y) =

(-1)n 2n+l (2n + I (2n + 1). m=O m

L

.. erhalt man

Loo 2n-l L

n=O m=O

( -1)n

m!(2n +1-m)!

xmy2n+l-m.

1)

xmy2n+l-m.

4.5. EXTREMA DIFFERENZIERBARER FUNKTIONEN

4.5

!)1

Extrema differenzierbarer Funktionen

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns ausschließlich mit Extrema von Funktionen, die auf offenen Mengen definiert sind. Extrema auf Rändern oder auf Mengen mit Rand werden im nächsten Abschnitt behandelt. Alle Funktionen seien zweimal stetig partiell differenzierbar, so daß die gemischten Ableitungen gleich sind, z.B. fxy = fyx·

11. Definitionen I Eine auf einer offenen Teilmenge M C !Rn definierte Funktion f hat in ii E M ein relatives Maximum, falls für alle x in einer Umgebung U von ii gilt: f(x) ~ f(ii). Gilt in U sogar f(x) < f(ii), so spricht man von einem strikten relativen Maximum. Der Begriff (striktes) relatives Minimum ist analog definiert.

relatives Maximum relatives Minimum

Gibt es in jeder Umgebung von ii Punkte mit kleinerem und Punkte mit größerem F\mktionswert, so liegt kein relatives Extremum vor (Sattelpunkt).

Sattelpunkt

ii heißt kritischer Punkt, wenn grad f(ii) = 0 ist. Für eine zweimal stetig differenzierbare F\mktion f ist die Hessematrix Hf die Matrix aller zweiten partiellen Ableitungen

kritischer Punkt Hessematrix

H j = ( Jij) i,j=l, ... ,n

Für eine F\mktion von zwei bzw. drei Variablen hat die Hessematrix die Gestalt

Hf= (fxx fxy) fxy jyy

bzw.

fxx fxy fxz) Hf= ( fxy jyy fyz fxz Jyz fzz

Unter den oben gemachten Differenzierbarkeitsvoraussetzungen an die Funktion

f ist die Hessematrix symmetrisch.

12. Berechnung! CD

Bilde grad f und bestimme alle Punkte ii mit grad j(ii) = 0 (kritische Punkte). Dies ist eine notwendige Bedingung fiir Extrema.

®

Um den Typ eines kritischen Punktes ii zu bestimmen, verwendet man der Reihe nach eines der folgenden Kriterien: 1. Untersuchung mit Hilfe der Hessematrix. (Standardmethode)

2. Höhenlinienmethoden 3. Untersuchung der Funktion auf Kurven dmch den kritischen Punkt.

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM ~N

92

11. Untersuchung der Hessematrix I Zunächst wird der Spezialfall einer Funktion f von zwei Veränderlichen diskutiert. Der allgemeine Fall mit beliebig vielen Variablen ist im Anschluß daran aufgeführt. !1.1 Sonderfall n

Sonderfall n=2

= 21

Hat man eine Funktion in zwei Variablen x und y, so kann man nach folgendem Schema vorgehen: Sind alle zweiten partiellen Ableitungen null, so hat man hier keine Aussage und kann man das Kriterium auf Seite 94 oder die Methoden von S. 98 und 99 verwenden.

D

<0 ja~nein

j~nein

~--M--in__~l

ax__ __ M

L I_ _ _

~

Sattelpunkt

IMin oder SP I IMax oder SP I

"SP" bedeutet "Sattelpunkt". Beispiel 1: ft (x, y) = x 2 + y 2, h(x, y) = x 2 - y 2, h(x, y) = x3 - y2, fs(x, y) = xy, vgl. Beispiel 2

Alle vier Funktionen haben als einzigen kritischen Punkt Ux = 0 und jy = 0) den Ursprung.

Hft(O,O) =

(~ ~)

Hh(O,O) =

(~ ~2 )

Hh(O,O) =

(~ ~2 )

Hfs(O,O) =

(~ ~)

Bei ft ist D > 0 und fxx > 0 =? Minimum.

h Bei h Bei

f 5 ist D < 0 =? Sattelpunkte. ist D = 0 und jyy < 0 =? Sattelpunkt oder Maximum. und

4.5. EXTREMA DIFFERENZIERBARER FUNKTIONEN

93

11.2 Allgemeine Definition der Definitheit I Definitheit Als erstes wird an einem kritischen Punkt die Hessematrix auf Definitheit untersucht. Die folgende Tabelle stellt die Definitheitsbegriffe für quadratische symmetrische Matrizen zusammen. xTAx ist dabei das Skalarprodukt des Vektors x mit dem Produkt der Matrix A mit x. Für Eigenwert wird die Abkürzung EW benutzt. Eine symmetrische Matrix A ist positiv definit

{:::}

alle EW >. > 0 {:::}

für alle

x =/:- 0 ist xTAx > 0

positiv semidefinit

{:::}

alle EW >. 2:: 0 {:::}

für alle

x =/:- 0 ist xTAx 2:: 0

negativ definit

{:::}

alle EW >. < 0 {:::}

für alle

x =/:- 0 ist xTAx < 0

negativ semidefinit {:::}

alle EW >. ~ 0 {:::}

für alle

x =1- 0 ist xTAx ~ 0

definit, semidefinit, indefinit

indefinit, wenn es sowohl positive wie auch negative Eigenwerte gibt bzw. wenn es x und y gibt mit xTAx > 0 und yTAy < 0. A ist genau dann positiv (semi-)definit, wenn-Anegativ (semi-)definit ist.

Für eine positiv definite (semidefinite) Matrix A wird auch die Schreibweise A > 0 (A 2:: 0) benutzt. Analog bedeutet A < 0 (A ~ 0) negative (Semi-) Definitheit.

11.3 Definitheit der Hessematrix und der Typ des kritischen Punktes I Aus der Definitheit der Hessematrix läßt sich der Typ des kritischen Punktes bestimmen: Ist ä kritischer Punkt von

f, so gilt:

• H f(ä) positiv definit => f hat Minimum bei ä. • Hj(ä) negativ definit=> f hat Maximum bei ä. • H f(ä) indefinit => f hat Sattelpunkt bei ä. • f hat Minimum bei ä => Hf(ä) positiv semidefinit. • f hat Maximum bei ä => Hf(ä) negativ semidefinit. Man beachte, daß z.B. aus "positiv semidefinit" nur folgt, daß kein Maximum vorliegt; d.h. es handelt sich um ein Minimum oder einen Sattelpunkt.

A > 0, A 2:: 0, A < 0, A ~0

Definitheit der Hessematrix und der Typ des kritischen Punktes

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

94

r-----------------------------~------------------------------------~

0

0 0

0 0

l

positiv definit

negativ definit

' o 0

0 0 0

0

0

i Minima 0

~-----------

llositiv

---------------

0

~

negativ

Maxima

: 0

---------------- ------------------1

semidefinit

semidefinit

indefinit

Sattelpunkte

Die Nullmatrix, die als einzige Matrix gleichzeitig positiv und negativ semidefinit ist, ist in dieser Übersicht nicht erfaßt.

Hessematrix = Nullmatrix

Ist die Hessematrix an einem kritischen Punkt die Nullmatrix, ist dieses Kriterium hilfreich: Ist ä kritischer Punkt, Hf(ä) = 0, also die Hessematrix die Nullmatrix und irgendeine dritte Ableitung von f an der Stelle ä von Null verschieden, so liegt ein Sattelpunkt vor. Kann man mit keinem dieser Kriterien eine endgültige Entscheidung über den Typ des kritischen Punktes herbeiführen, muß man auf die Methoden unter Punkt 2 und 3 (S. 98 und S. 99) zurückgreifen.

Einfache Definitheitskriterien

11.4 Einfache Definitheitskriterien I Im einfachsten Fall ist die Hessematrix eine Diagonalmatrix (d.h. nur in der Hauptdiagonale stehen von Null verschiedene Einträge). In diesem Fall geht man auf das bei der Definition angegebene Kriterium zurück, da in der Hauptdiagonale dann genau die Eigenwerte der Matrix stehen. Im allgemeinen ist es viel zu aufwendig, die Eigenwerte der Hessematrix zu bestimmen, insbesondere, weil ja nicht die Eigenwerte selbst, sondern nur ihre Vorzeichen interessieren. • Ahatauf der Hauptdiagonalen nur Nullen, aber A ist nicht die Nullmatrix =? A indefinit

• A hat auf der Hq,uptdiagonalen zwei Einträge mit verschiedenen Vorzeichen ::} A indefinit. • Ist A eine Diagonalmatrix, so ist sie positiv (semi- )definit, wenn alle Diagonalelemente a;; > 0 (a;; 2: 0) sind und negativ (semi-)definit, wenn alle a;; < 0 (a;; :::; 0) sind.

4.5. EXTREMA DIFFERENZIERBARER FUNKTIONEN

Beispiel 2: ft(x, y) = x 2 + y2 , h(x, y) = x 2 - y2 , !4(x,y)=x3 -y3, fs(x,y)=xy

95

fa(x, y) = x 3

-

y2 ,

Alle fünf Funktionen haben (0, 0) als einzigen kritischen Punkt. HJI(O,O) =

(~ ~)

Hh(O,O) =

Hj4(0, 0) =

(~ ~2 )

(~ ~)

H/3(0,0) =

Hfs(O, 0) =

(~ ~2 )

(~ ~)

Die ersten vier Hessematrizen sind Diagonalmatrizen und haben in der Hauptdiagonale die Eigenwerte stehen. Daher ist • H h ist positiv definit

=> Minimum bei (0, 0)

• H h hat in der Hauptdiagonale Einträge mit verschiedenen Vorzeichen H h ist indefinit => Sattelpunkt bei (0, 0)

=>

• H h ist negativ semidefinit => bei (0, 0) liegt ein Maximum oder ein Sattelpunkt vor. Dieses Beispiel wird mit Höhenlinienmethoden auf S. 98 weiteruntersucht.

• H f 4 ist die Nullmatrix. Weil fxxx = 6 oben ein Sattelpunkt vor.

=f

0 ist, liegt nach dem Kriterium

• Da auf der Hauptdiagonale bei H fs nur Nullen stehen, H f 5 aber nicht die Nullmatrix ist, ist H f 5 indefinit und es liegt ein Sattelpunkt vor.

j1.5 Hurwitz-Kriterium I I

Ist A eine symmetrische n x n-Matrix, so bildet man von der linken oberen Ecke ausgehend quadratische Teilmatrizen der Größe 1, 2, ... n. Die Determinanten dieser Teilmatrizen heißen D 1 bis Dn. Es ist also D1 = au, D2 = au a22 - a12a21· Dn ist schließlich die Determinante der Matrix A. Dann gilt:

~a12

a1a

· ··ain

'

a21 a22 a2a a31

a32

a33

\

I

i) D 1 > 0, D 2 > 0, D 3 > 0, D4 > 0 usw. {:} A pos. definit.

(Dk > 0)

ii) D 1 < 0, D 2 > 0, D 3 < 0, D4 > 0 usw. {:} A neg. definit.

((-l)kDk > 0)

iii) A pos. semidefinit => D 1 ~ 0, D2

~

0, D 3 ~ 0, D4 ~ 0 usw.

iv) A neg. semidefinit => D 1 ::::; 0, D2 ~ 0, D 3

::::;

0, D4 ~ 0 usw.(( -l)k Dk ~ 0)

v) falls weder iii) noch iv) zu trifft, ist A indefinit.

HurwitzKriterium

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

96

Insbesondere ist A indefinit, falls für eine gerade Zahl k Dk < 0 ist; Man beachte, daß A indefinit sein kann, auch wenn immer Dk 2: 0 oder immer ( -1)k Dk 2: 0 ist. Dann muß allerdings mindestens ein Dk = 0 sein. Wer das Kriterium für negative Definitheit zu schwierig findet, kann natürlich auch - A auf positive Definitheit untersuchen. r----------------------------------T----------------------------------~

'

'

Minima alle Dk > 0

'

'

Maxima

'

:

'

" =0 alle Dk ~----------------------------------·----------------------------------~

' ' ' '

'

weder stets Dk 2: 0 noch stets ( -1)k Dk 2: 0

Sattelpunkte "Alle Dk 2: 0" bedeutet dabei, daß mindestens für ein k die Zahl Dk > 0 ist (sonst müsste man auch den mittleren Fall nehmen); (-1)kDk 2:0 analog. Die Reihenfolge der Variablen ist willkürlich. Man kann daher die Variablen in beliebiger Reihenfolge anordnen. Für die Hessematrix bedeutet das, daß man Zeilen und Spalten gleichzeitig vertauschen darf, z.B. darf man die dritte Zeile und Spalte gegen die fünfte Zeile und Spalte austauschen. Einfachere Variante: die Dk werden nicht von der oberen linken Ecke, sondern von der unteren rechten Ecke ausgehend gebildet.

Beispiel für n = 6.

Für At ist Dt = -1 und D 2 = -11. Daher ist At indefinit. Für A2 ist Dt = -1 und D 2 = 0. Daher ist A 2 negativ semidefinit. Für A3 ist Dt = -1 und D 2 = 1. Daher ist A 3 negativ definit. Falls At bis A 3 Hessematrizen in einem kritischen Punkt sind, hat man im ersten Fall einen Sattelpunkt, im zweiten einen Sattelpunkt oder ein Maximum und im dritten ein Maxitmim.

4.5. EXTREMA DIFFERENZIERBARER FUNKTIONEN

97

11.6 Quadratische Ergänzung I Diese Methode der Feststellung der Definitheit beruht auf der Definition. Für einen Vektor x mit allgemeinen Komponenten wird der Ausdruck xTAx berechnet und durch quadratische Ergänzung als eine Summe von Quadraten geschrieben. Dann gilt:

• A ist positiv definit {::} es ergeben sich n Quadrate mit positiven Vorzeichen • A ist positiv semidefinit {::} es ergeben sich weniger als n Quadrate, die aber alle positives Vorzeichen haben. • A ist negativ definit {::} es ergeben sich n Quadrate mit negativen Vorzeichen • A ist negativ semidefinit {::} es ergeben sich weniger als n Quadrate, die aber alle negatives Vorzeichen haben. • A ist indefinit {::} es gibt Quadrate mit positiven und mit negativen Vorzeichen oder das Verfahren bricht ab, weil nur noch gemischte Terme da sind.

Hilfsmittel ist stets die Formel

I(a + b + c + · · ·?

CD

= a2

+ b2 + c2 + · · · + 2ab + 2ac + · · · + 2bc + · ·

·I

xTAx wird gebildet. Mit X= (xi, X2, .•• 'Xn) und A = (a;j) n erhält man xTAx als I: a;;x; + I: 2a;jXiXj. Die Elemente auf der DiagoDas Produkt

i>j i=I nale geben also die Koeffizienten der Quadrate, die anderen (wegen der Symmetrie doppelt vorkommenden) die Vorfaktoren der gemischten Glieder.

®

Eine Variable, die als Quadrat vorkommt, wird ausgewählt (etwa XI). Dann werden alle Terme mit XI zusammengestellt und zu einem vollständigen Quadrat ergänzt.

@ Durch Ausmultiplizieren wird festgestellt, welche Terme wieder abgezogen werden müssen.

@ Mit dem Rest des Ausdrucks wird das Verfahren wiederholt. @ Das Verfahren bricht ab, wenn entweder alle Terme verarbeitet worden sind oder nur noch gemischte Terme übrigbleiben.

Quadratische Ergänzung

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

98

@ Soll das Verfahren mit den gemischten Termen noch fortgesetzt werden, müssen neue Variablen eingeführt werden. Dazu wählt man einen der gemischte Terme aus, etwa x 1 x 2 • Es werden u und v gewählt mit x1 = u + v, x 2 = u - v. Nun werden alle x 1 und x 2 ersetzt und das Verfahren geht weiter.

~ ~)

Beispiel 4: A = (; 0 3 1

CD

Es wird mit X = (x, y, z) gerechnet. Dann ist xTAx 4xy

wird ausgewählt. xTAx = (x 2 + 4xy)

X

@

= (x

+ 2y) 2 -

4y 2

+ 4y 2 + z 2 + Gyz

+ 4y 2 + z2 + Gyz =

= (x

@ Jetzt wird das Verfahren wiederholt und (z 2 + Gyz) = (x + 2y) 2 + (z

Höhenlinienmethoden

lx 2

+ 4y 2 + lz 2 +

+ Gyz.

@

®

=

+ 3y) 2 -

(x

+ 2y) 2 + .. ·.

+ 2y) 2 + z 2 + Gyz. z ausgewählt .... = (x + 2y)2 +

9y 2 .

Das Verfahren bricht ab, da alle Terme verarbeitet sind. Da zwei positive und ein negatives Vorzeichen vorkommen, ist die Matrix indefinit.

12. Höhenlinienmethoden I Gegeben ist eine Funktion

CD

f mit einem kritischen Punkt ä.

Untersuche das Vorzeichen von f(x) - f(ä) in einer Umgebung von ä. Oft ist es dabei sinnvoll, den Ausdruck zu faktorisieren und das Vorzeichen der einzelnen Faktoren zu bestimmen.

@ Ist der Ausdruck stets positiv (negativ), liegt ein Minimum (Maximum) vor. Hat der Ausdruck in jeder Umgebung von ä verschiedene Vorzeichen, hat man einen Sattelpunkt.

®

Wenn der Ausclmck in der Nähe von ä keine weiteren Nullstellen hat, hat man ein striktes Extremum vorliegen.

Beispiel 5: h(x, y) Zunächst wird

h

= x3 -

untersucht.

y2 ,

f 6 (x, y) = 4 + x 4 + y4

4.5. EXTREMA DIFFERENZIERBARER FUNKTIONEN

CD

99

Kritischer Punkt ist ä = (0, 0). Betrachtet wird also !J(x, y) - !J(O, 0) = xa _ y2.

@ Alle Punkte mit !J(x, y)- !J(O, 0)

= 0 liegen also auf der Kurve y = ±x% (Neil'sche Parabel). Es ist !J(x, y)- !J(O, 0) ist negativ, falls y 2 größer ist als x3 , d.h. oberhalb des oberen und unterhalb des unteren Kurventeils (vgl. Skizze). Jetzt sieht man, daß in jeder Umgebung von (0, 0) Punkte mit positivem und Punkte mit negativem Funktionswert liegm1. Man hat also einen Sattelpunkt.

y

X

Beim zweiten Beispiel f 6 (x, y) = 4 + x 4 + y 4 ist (0, 0) einziger kritischer Punkt. Alle zweiten und dritten Ableitungen sind Null.

@ und @ Der Ausdruck f 6(x, y) - f 6(0, 0) = 4 + x4 + y 4 - 4 = x4 + y 4 hat außerhalb von (0, 0) keine weiteren Nullstellen und ist immer positiv. Daher hat die F\mktion hier ein striktes Minimum.

13. Funktionswerte auf Kurven I Als letztes Mittel betrachtet man die Funktionswerte auf Kurven durch den kritischen Punkt, oft zunächst auf achsenparallelen Geraden. Hat die F\mktion auf einer Kurve durch den kritischen Punkt einen Sattelpunkt, so liegt auch insgesamt ein Sattelpunkt vor. Achtung: damit läßt sich nur nachweisen, daß kein Extremum vorliegt.

Beispiel 6: !J(x, y)

= x3 -

y 2, h(x, y)

= x4 -

y4

Von h ist bereits bekannt, daß ein Sattelpunkt oder ein Maximum vorliegt. Betrachtet man nun die F\mktionwerte auf der x-Achse, also f(x, 0) = x 3 , so erkennt man, daß für x = 0 ein Sattelpunkt vorliegt (die Funktion hat ja für positive x positive und für negative x negative Werte). Damit hat !J auch insgesamt einen Sattelpunkt. Bei h sind alle Ableitungen bis zur dritten Ordnung Null. Die Werte längs der x-Achse sind f(x, 0) = x 4 • Damit hat f längs der x-Achse ein Minimum in (0, 0). Betrachtet man die Werte längs der y-Achse, so hat man f(O, y) = -y 4 , also ein Maximum im Ursprung. Damit liegt ein Sattelpunkt vor, da bei einer F\mktion mit einem Extrenuun auch jede Einschränkung auf eine Kurve durch den kritischen Punkt ein gleichartiges Extremmn vorliegen muß.

Funktionswerte auf Kurven

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

100

13. Beispiele I.

J

Beispiel7:f(x,y)=

CD

x

1 + x2

+ y2

Zur Bestimmung der kritischen Punkte werden die partiellen Ableitungen von f gebildet.

(1 fx

=

+ x 2 + y 2)- x · 2x (1 + x2 + y2)2

1- x 2 + y 2 = (1 + x2 + y2)2'

-2xy JY

= (1

+ x2 + y2)2

Kritische Punkte treten also genau dann auf, wenn die beiden Bedingungen und

2xy

=0

gleichzeitig erfüllt ist. Die zweite Bedingung ergibt x = 0 oder y = 0. Der Fall x = 0 ergibt in der ersten Gleichung 1 + y 2 = 0, also keine Lösung. Aus y = 0 erhält man 1 - x 2 = 0, also x = ±1. Damit hat man bei (1,0) und (-1,0) kritische Punkte.

@ Jetzt wird in den kritischen Punkten die Hessematrix bestimmt. Trick bei Brüchen

Da es sich um Brüche handelt, die abgeleitet werden müssen, kann man einen Trick benutzen: die partiellen Ableitungen haben die Gestalt mit einer Zählerfunktion Z, die an der kritischen Stelle a den Wert null hat. Leitet man diesen Ausdruck z.B. nach x ab, so erhält man unter Berücksichtigung von Z(x 0 , Yo) = 0

fl

ZNx Zx(xo, Yo) ( Z) (Xo,Yo) = ZxNN2 (xo,Yo) = N( )· N X ~>~

Man beachte, daß diese Formel nur an kritischen Stellen gilt. Allerdings wird man die Hessematrix auch nur dort berechnen. Hier erhält man

f xx (±1 ' 0) --

-2x (1 + x2 + y2)2

fxy(±1, 0)

f (±1 YY

0) '

-

I

2y

= (1 + x2 + y2)2

(1

-2x

+ x 2 + y 2 )2

- =f24 --

x=±1,y=O-

I

I

x=±1,y=O

-

x=±1,y=O -

~

T2'

= 0,

=f2 -

~

4 - T2

Damit hat die Hessematrix in den kritischen Punkten die Gestalt

Hf(1,0) =

( -1/2 0

_ 01/2 )

und

Hf(-1,0) =

0)

( 1/2 0 1/2

Hf ist bei (1,0) negativ und bei (-1,0) positiv definit. Damit liegt bei ( 1, 0) ein Maximum und bei ( -1, 0) ein Minimum vor.

101

4.5. EXTREMA DIFFERENZIERBARER FUNKTIONEN

Beispiel 8: Die relativen Extrema von f(x, y) = e"y 3 + 3xy2

CD

fx = e"y 3 + 3y 2 = y 2 (e"y + 3),

/y

= e" · 3y 2 + 6xy = 3y(e"y + 2x)

Zunächst wird fx = 0 ausgewertet und das Ergebnis dann in

/y

= 0 eingesetzt.

y = -3e-x

y=O

0·(0+2x)=0

x bel. y=O

®

X=

Berechnung der Hessematrix:

Für den Punkt x =

3/2, y =

3/2

y = -3e-lh

2))

3y(ye" + e"y 3 Hf(x,y)= ( 3y(ye"+2) 6(e"y+x)

-3e- 3h erhält man

Wegendet Hf= (27 · 9- 9 · 9)e- 3 > 0 und fxx < 0 liegt ein Maximum vor. An den Punkten (x, 0) (der x- Achse) ist Hf (x, 0) = ( ~

6~) . Diese Diagonalma-

trix ist positiv semidefinit für x > 0 und negativ semidefinit für x < 0. Daher hat man auf der positive x-Achse Minima oder Sattelpunkte und auf der negativen x-Achse Maxima oder Sattelpunkte. Der Funktionswert ist immer f(x, 0) = 0. Um den Typ dieser Punkte genauer zu bestimmen, skizziert man die Menge {(x, y)if(x, y) = 0}. Dazu zerlegt man f(x, y) = e"y 3 + 3xy 2 = y 2 (e"y + 3x). Dieser Ausdruck ist null, falls y = 0 ist (x-Achse) oder wenn y = -3xe-x ist. Oberhalb dieser Kurve sind die Funktionswerte positiv, darunter negativ. Der Skizze entnimmt man, daß man auf der positiven x-Achse Minima (allerdings keine strikten Minima) hat. Auf der negativen x-Achse hat man Maxima. Da in jeder Umgebung des Nullpunkts positive und negative Funktionswerte vorkommen und f(O, 0) = 0 ist, hat man im Nullpunkt einen Sattelpunkt.

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

102

Beispiel 9: f(x, y) = x 4

2x 2 + (2x 2 - 1)y 2

-

CD

Zunächst werden die kritischen Punkte von f bestimmt. fx

4x + 4xy 2

= 4x3 -

JY =

= 4x(x 2 -

2y(2x 2

-

1 + y2 )

1)

Wenn man sichergehen will, daß man bei der Bestimmung der gemeinsamen Nullstellen von fx und jy keine Punkte vergißt, empfiehlt es sich, die Lösung dieses nichtlinearen Gleichungssystems als Verzweigungsdiagramm aufzuschreiben. Dazu beginnt man mit der Gleichung, die sich am leichtesten in Fälle unterteilen läßt, hier jy = 0. Dann schreibt man die andere Gleichung {!" = 0) für jeden Einzelfall auf, wobei die bekannten Werte schon eingesetzt sind. Schließlich faßt man für jede Möglichkeit die x- und y- Werte zusammen. In der folgenden Skizze benutzt. wird die Abkürzung w =

jf

2y(2x 2 - 1) = 0

fx = 0 l4x(x 2

-

4w(y 2 - ~) = 0

1) = 0

-4w(y 2

-

~) = 0

~ x=O y=O

x=1

X= -1

X=W

y=O

y=O

y=w

X

=

W

X

y = -w

=

-W

y= w

X

=

-W

y = -w

Man hat also sieben kritische Punkte. Hf(x

,y

) = (12x 2

4 + 4y 2 8xy ) 8xy 4x 2 - 2

-

Für jeden kritischen Punkt wird nun die Hessematrix auf Definitheit untersucht. Dabei werden einige Fälle zusammengefaßt. H f(O, 0)

= ( ~4

Hf(±1, 0) =

~2 )

(~ ~)

ist negativ definit ist positiv definit

4.5. EXTREMA DIFFERENZIERBARER FUNKTIONEN Hf(w,w) = Hf(-w,-w) =

(!

103

~)ist wegen detHJ < 0 indefinit.

selben Grund sind auch Hj(w, -w)

= Hf(w, -w) = ( ~4

~4 )

Aus dem-

indefinit.

Damit hat man bei (0, 0) ein Maximum, bei (±1, 0) Minima und vier Sattelpunkte bei (±ji, ±ji).

Beispiel 10: Definitheit von A 1

=

(~ ~ ~)

und von A 2

0 1 2

=

(~ ~ ~) 2 0 0

Für A 1 liefert das Hurwitz-Kriterium D 1 = D 2 = D 3 = 0, also keine Aussage. Nimmt man die Variante, daß man die Determinanten von unten rechts ausgehend bildet, erhält man D 1 = 2, D2 = 1 und D3 = 0. Damit ist A 1 positiv semidcfinit oder indefinit. Genaueren Aufschluß erhält man z.B. durch die Berechnung des charakteristischen Polynoms von A 1 : es ist

p(>.)

=

->.

0

0

1->.

0

1

0 1 2->.

= ->.(>. 2 - 3>. + 1)

Da die Nullstellen von >. 2 - 3>. + 1 beide positiv sind (>. 1,2 = ~ ± J~- 1 = 3 ±20) und der dritte Eigenwert Null ist, ist A 1 positiv semidefinit. Bei A 2 liefert das Hurwitzkriterium D 1 semidefinit oder indefinit.

=

1, D 2

=

D3

=

1. Alternative: Die zugehörige quadratische Form ist mit

0. A 2 ist also positiv

x = (x, y, z) T

Daher ist A 2 indefinit. 2. Alternative: Das charakteristische Polynom von A 2 wird durch Entwicklung nach der zweiten Zeile bestimmt:

p(>.) =

1->. 0 2 0 ->. 0 2 0 ->.

= ->.(>.2- >.- 4) = ->.(>.- 1 + v'U)(>.2

1- v'U). 2

Da A 2 sowohl positive wie auch negative Eigenwerte hat, ist A 2 indefinit. 3. Alternative: Die zweite und dritte Zeile und Spalte werden vertauscht. Dann untersucht man Ä2

=

(~ ~ ~) 0 0 0

ist.

und erhält wegen D 2

=

-4, daß A2 indefinit

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

104

Beispiel 11: Die relativen Extrema von f(x, y)

CD

= -8x3 -12x2 +3xy 2 +y 3 +3y 2

Zunächst werden die partiellen Ableitungen bestimmt und faktorisiert: -24x 2

fx fv

=

-

24x + 3y 2

6xy + 3y 2 + 6y

= 3( -8x 2 - 8x + y 2 )

= 3y(2x +

y + 2)

Hier beginnt man am besten mit fv:

3y(y + 2x + 2) = 0 y

=

3( -8x 2

-2x- 2 -

8x + 4x 2 + 8x + 4) -12(x 2 - 1) = 0

-------------

x=1 y = -4

X=

-1

y=O

=0

- 8x) = 0 -24x(x + 1) = 0

3(-8x 2

-------------

-1 y=O

x=O y=O

X=

Es gibt also drei kritische Punkte. fCI\ I6J

. Hf( x, y ) . 1st D"1e Hessematnx

H f(O, 0) = ( -; 4

~)

24 ) 6y = (-48x6y 6x+6y+6 ·

ist indefinit, da auf der Haupdiagonale zwei verschiedene

Vorzeichen auftreten. Man hat also in (0, 0) einen Sattelpunkt.

H f(1, -4) 24 · 24

= ( =;~ =i~)

ist negativ definit wegen det H f(1, -4)

= 122 (6- 4) > 0 und fxx < 0.

Hf(-1,0) =

e ~) 4 0

= 72 · 12-

Daher ist in (1, -4) ein Maximum.

ist positiv semidefinit. Da man wenig Hoffnung hat, den

Ausdruck f(x, y)- f( -1, 0) = f(x, y)- 4 faktorisieren zu können, versucht man, eine Kurve durch den Punkt ( -1, 0) zu legen und die Funktionswerte darauf zu untersuchen. Längs der x-Achse hat man ein lokales Minimum (es ist ja fx = 0 und fxx > 0). Man legt nun eine Parallele zur y-Achse durch ( -1, 0) und betrachtet die Funktionswerte hierauf. Eine Parametrisierung ist (x(t), y(t)) = (-1, t). Einsetzen liefert

Das ist eine reellwertige Funktion der reellen Variablen t. Da diese Funktion für t = 0 keinExtremumhat (es ist ja für a > 0 g(-a) < g(O) = 4 < g(a)), kann auch f kein Extremumhaben und man erhält einen zweiten Sattelpunkt bei ( -1, 0).

4.6. EXTREMA MIT NEBENBEDINGUNGEN

4.6

105

Extrema mit Nebenbedingungen

11. Definitionen! Alle Funktionen in diesem Abschnitt seien hinreichend oft differenzierbar. f hat im Punkt ä E U ~ !Rn ein lokales Maximum (Minimum) unter den k Nebenbedingungen (NB) 91 (x)

= o, ... ,9k(x) = o,

wenn für alle x in einer Umgebung von ä, die die NB erfüllen, f(x) ~ f(ä) (f(x) ;::: f(ä)) ist. Sei ä ein Punkt, der die Nebenbedingungen erfüllt. Die Rangbedingung bei ä ist erfüllt, wenn die Gradienten von 91 bis 9k im Punkt ä linear unabhängig sind. Bei einer Nebenbedingungsfunktion 9 bedeutet das, daß 9 und der Gradient von 9 keine gemeinsamen Nullstellen haben. Ist die Rangbedingung erfüllt, gibt es an jeder Stelle der durch die Nebenbedingungen definierten Menge k Variablen, nach denen sich die Nebenbedingungsgleichungen lokal auflösen lassen. In der Sprache der Mathematik: die durch die NB definierte Menge ist einen- k-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit.

Extremum mit Nebenbedingungen

Rangbedingung

12. Berechnung! Wenn es möglich ist, führt man das Problem auf eine Extremwertaufgabe ohne Nebenbedingungen (Abschnitt 5) zurück. Dabei darfman in den NB "verborgene" Einschränkungen des Definitionsbereichs nicht vergessen, vgl. Beispiel 9.

CD

Durch Einsetzen oder Auflösen der Nebenbedingung(en) werden Variablen eliminiert, bis ein Extremwertproblem ohne NB übrigbleibt.

®

Dieses Problem wird gelöst.

@ Die restlichen Variablen werden nach

Beispiel 1: Die Extrema von f(x, y, z)

9(x, y, z) = z- 1 - y 2 = 0.

CD

CD

bestimmt.

1 +X+ y 2 - Z unter der NB x 2 +z

Einsetzen der NB als z = 1 + y 2 führt auf j(x, y) =

® j

~

1+x +y 2

= Extr!

hat in (1, 0) ein Maximum und in ( -1, 0) ein Minimum, vgl. S. 100

@ Die z- Werte berechnen sich durch z = 1 + y 2 • Damit erhält man für f ein Maximum in (1, 0, 1) und ein Minimum in ( -1, 0, 1).

Einsetzen der Nebenbedingungen

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM !RN

106

Extrema I

11.1 Bestimmung von Kandidaten für Bestimmung von

Kandidaten für Extrema

Lagrangesche Multiplikatoren

Wenn man eine NB weniger als Variablen hat {also eine NB im IR2 , zwei NB im IR3 usw.), nimmt man das weiter unten beschriebene Verfahren mit der Determinante. Die Standardmethode benutzt eine Hilfsfunktion h. Dazu schreibt man die NB in der Form 9 1 = 0 bis 9k = 0 und subtrahiert von der Funktion f die mit zunächst unbestimmten Faktoren ..\ 1 bis Ak {den Lagrangeschen Multiplikatoren) multiplizierten Funktionen 91 bis 9k:

CD

Überprüfung der Rangbedingung: Punkte, für die gleichzeitig rg ( -

grad91 - ) : grad9k-


und 9 1 = 0, . . . , 9k

=0

gilt, erfüllen die Rangbedingung nicht und kommen als Extrema in Frage.

®

Bilde die Hilfsfunktion

Mögliche Extrema sind Lösungen des Gleichungssystems grad h

= Ö,

9;=0, i=l, .. ·,k

Die Ableitungen von h nach x 1 bis

af OX)

Xn

ergeben dabei n Gleichungen

091

a9k

OXt

OX)

At-+ .. ·.Ak-

91

=

0

und

af ax,.

091 ax,.

a9k ax,.

At-+ .. ·.Ak-

9k

0

Eselsbrücke: man bildet die Ableitung von h nicht nur nach x 1 bis x,., sondern auch nach A1 bis Ak. Dabei ergeben sich noch einmal die Gleichungen 9; = 0. Kontrolle: es ergeben sich n x 1 bis x,. und A1 bis Ak.

@

+k

Gleichungen für die n

+k

Unbekannten

Alle möglichen Extrema sind unter folgenden Punkten zu finden:

CD , die die Rangbedingung nicht erfüllen Lösungen des Gleichungssystems ®

• Die Punkte aus •

Bei zwei und drei Variablen verwendet man statt x 1, x 2 , A1 , A2 usw. die Bezeichnungen :~:, y, .A, p. 11sw.

4.6. EXTREMA MIT NEBENBEDINGUNGEN

107

Das folgende Beispiel zeigt, daß man die Rangbedingungung nicht vergessen darf. Mit den Lagrange-Multiplikatoren in @ allein erhält man keine Lösung. Beispiel 2: Die Extrema von f(x,y) = x unter der NB 9(x, y) = y 2 - x 3 = 0 y

CD x

Überprüfung der Rangbedingung: rg ( -3x 2 , 2y) < 1 ist genau dann der Fall, wenn diese Matrix die Nullmatrix ist, also für x = y = 0. Da dieser Punkt die NB erfüllt, kommt er für Extrema in Frage.

@ h(x, y, >.) = x- >.(y 2

x 3 ). Kandidaten für Extrema müssen folgende drei

-

Gleichungen erfüllen:

1 + 3>.x 2 -2>.y y2- x3

0

0 0

Auswertung der zweiten Gleichung gibt die Fälle >. = 0 oder y = 0 und damit nach der dritten Gleichung x = 0. In beiden Fällen erhält man in der ersten Gleichung einen Widerspruch.

@ Hier erhält man als einzig möglichen kritischen Punkt (0, 0). j1.2 Sonderfall k = n- 1, Determinantenbedingung I Hat man die NB 91 = 0 bis 9n- 1 = 0, so findet man alle Kandidaten für Extrema als Lösungen von det

(= :::~~ =) .

-

= 0,

grad9n-1 -

die gleichzeitig die NB 91 (x1, . .. , Xn) = 0 bis 9n-1 (x1, .. . , Xn) Das ergibt n Gleichungen für dien Unbekannten x 1 bis Xn·

= 0 erfüllen.

Beispiel 3: Die Extrema von f(x, y) = x unter der NB 9(x, y) = y 2 - x 3 = 0 Bei dieser Rechenweise erhält man kritische Punkte, wenn

~-~x2

2oy

I=

o

und

ist. Auswertung der Determinante gibt y = 0 und damit den Punkt (x, y) als einzigen Kandidaten für ein Extremum.

= (0, 0)

Determ inanten bed ingu ng

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

108

12. Hinreichende Bedingungen für Extrema I Hinreichende Bedingungen für Extrema

Bis hierher hat man lediglich notwendige Bedingungen für Extrema, d.h. man weiß, an welchen Stellen Extrema vorkommen können, aber nicht, ob tatsächlich Extrema vorliegen, bzw. ob es sich um Minima oder Maxima handelt. Die nachfolgenden Bedingungen können darüber Aufschluß geben.

12.1 Kompakte Mannigfaltigkeiten, Satz v. Weierstraß I Kompakte Mannigfaltigkeiten Satz v. Weierstraß

Sind die die NB definierenden Funktionen g; stetig und ist die Menge der Punkte, die die NB erfüllen, beschränkt, so hat die (stetige) Funktion f mindestens ein Maximum und mindestens ein Minimum unter den NB. Der Punkt mit dem größten Funktionswert ist das absolute Maximum, der mit dem kleinsten Funktionswert das absolute Minimum. Das folgt aus dem Satz von Weierstraß (Abschnitt 1), da die Nebenbedingungsmenge dann kompakt ist. Gibt es insbesondere nur zwei Kandidaten, so sind dies Minimum und Maximum. In der Regel sind die Funktionen g; differenzierbar und damit auch stetig. Beispiel 4: Die Extrema von f(x, y) = x

+ y unter der

NB 4x 2 + y 2 = 20.

Da es sich um zwei Variable und eine NB handelt, kann man die Determinantenbedingung zur Bestimmung der kritischen Punkte verwenden. 1 2y

I=

0

y= 4x.

Einsetzen in die NB liefert

4x 2 + (4x) 2 = 20

<=?

x = ±1 => (x, y) = (1, 4) oder (x, y) = (-1, -4)

Die Funktionswerte sind f(1, 4)

= 5 und

f( -1, -4)

= -5.

Die Funktion g(x, y) = 4x 2 + y 2 - 20 ist stetig. Da die NB eine Ellipse beschreibt und diese Menge beschränkt ist, nimmt die stetige Funktion f ihr Minimum und ihr Maximum auf der Menge an. Da es nur zwei kritische Punkte gibt, hat f sein absolutes Minimum unter der NB x 2 + 4y 2 = 20 im Punkt (-1, -4) mit dem Funktionswert f( -1, -4) = -5 und sein absolutes Maximum in (1, 4) mit dem Funktionswert f(1, 4) = 5.

Kriterien mit der Hessematrix

12.2 Kriterien mit der Hessematrix I

Diese Kriterien lassen sich nur auf Punkte ä anwenden, in denen die Rangbedingung crfiillt ist.

109

4.6. EXTREMA MIT NEBENBEDINGUNGEN

Hierbei interessiert nicht die Hessematrix von J, sondern die der HUfsfunktion h, wobei für die >. die Lösungen des Gleichungssystems ® eingesetzt sind. Wenn man mit der Determinantenbedingung gerechnet hat, muß man nun das Gleichungssystem aus ® aufstellen und für den zu untersuchenden Punkt die >.; berechnen. Dabei werden für die x; die Koordinaten des zu untersuchenden Punktes eingesetzt. Sind die >.; nicht oder nicht eindeutig bestimmbar, ist an diesem Punkt die Rangbedingung verletzt und man kann die folgenden Kriterien nicht anwenden.

@ Falls nötig: Bestimmung der >.;

CD

Berechnung der Funktion h mit den zu ä gehörenden Werten >.; und der Hessematrix Hh(ä) von h im Punkt ä.

®

Untersuchung der Hessematrix Hh(ä) wie in Abschnitt 5. Ist Hh(ä) (positiv oder negativ) definit, so liegt ein Extremum vor, und zwar (wie gewohnt) bei positiver Definitheit ein Minimum und bei negativer ein Maximum.

Achtung! Auch bei indefiniter Hessematrix kann ein Extremtun vorliegen. Einen Sattelpunkt kann man höchstens mit den Kriterien aus dem Punkt 2.3 (s.n.) nachweisen. Beispiel 5: Der kritische Punkt {1, 4) aus Beispiel 4.

@ Die F\mktion h ist h(x, y)

= x+y- >.(4x2 +y 2 - 20). Das Gleichungssystem

zur Bestimmung der kritischen Punkte hat die Gestalt 1 - >.(Bx) 1- >.(2y) = Einsetzen von x = 1 und y

CD

0 0.

= 4 ergibt >. = I/s.

Für den zu untersuchenden Punkt {1, 4) ist h(x, y) = x+y- H4x 2 +y 2 -20). Die Hessematrix von h ist konstant:

Da diese Matrix negativ definit ist, liegt ein Maximum vor.

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

110

12.3 Weitere Untersuchungen mit Weitere Untersuchungen mit der Hessematrix

der Hessematrix

I

Ist der Typ der kritischen Stelle mit dem Kriterium aus 2.2 nicht zu bestimmen, kann man die Definitheit der Einschränkung der Hessematrix auf den Tangentialraum der durch die NB definierten Mannigfaltigkeit untersuchen.

®

Der Tangentialraum im Punkt ä der durch die NB beschriebenen Mannigfaltigkeit besteht aus den zu allen grad 9i(ä) senkrechten Vektoren. Man bestimmt also für den kritischen Punkt ä die Werte grad g1 ( ä) bis grad 9k(ä).

@ Um die Vektoren zu bestimmen, die auf allen Gradienten senkrecht stehen, kann man den Gauß-Algorithmus verwenden: Man bildet ein homogenes Gleichungssystem mit k Gleichungen und n Unbekannten, wobei die Zeilen der Matrix aus den Gradientenvektoren bestehen. Dieses Gleichungssystem hat n - k linear unabhängige Lösungen. Ist iJ1 bis Vn-k ein solches System von Lösungen, ist die allgemeine Lösung iJ = O:t Vt + · · · O:n-kVn-k· Bei zwei oder drei Variablen läßt sich oft direkt der allgemeine Tangentialvektor aus der Bedingung bestimmen, daß er auf den Gradienten senkrecht stehen soll. Er enthält stets n- k freie Parameter. Bei drei Variablen und zwei NB verwendet man das Kreuzprodukt.

®

Sonderfall

n=2 geränderte Matrix

Der Ausdruck F(iJ) = iJTAiJ wird berechnet. F ist quadratische Form in den Variablen o: 1 bis O:n-k· Mit quadratischer Ergänzung wird (S. 97) die Definitheit von F bestimmt. Bei positiv (negativ) definitem F liegt ein Minimum (Maximum) vor, bei indefinitem F ein Sattelpunkt, d.h. kein relatives Extremum.

ISonderfall n =

21

Bei zwei Variablen läßt sich das auch so bestimmen: Sei f(x, y) die zu untersuchende Funktion, g(x, y) = 0 die Nebenbedingung, ä der kritische Punkt und· >. E JR, so daß gradh(ä) = grad(f- >.g)(ä) = 0 ist. Berechne die Determinante der geränderten Matrix

0 9x 9y) D := det ( 9x hxx hxy (ä) 9y hxy hyy Bei D < 0 liegt ein Minimum vor, bei D > 0 ein Maximum und für D = 0 hat man keine Aussage.

4.6. EXTREMA MIT NEBENBEDINGUNGEN

111

Achtung! Die Vorzeichenregel nicht mit den Kriterien für Definitheit und Extrema aus Abschnitt 5 verwechseln! Analoge Kriterien gibt es auch für den Fall dreier oder mehrerer Variablen. Da man dabei relativ große Determinanten berechnen muß, sind sie hier nicht weiter aufgeführt. Beispiel 6: Die Extrema von f(x, y) = 2y unter der Nebenbedingung g(x, y) = y 2 - x 2 - 1 = 0 Diese Aufgabe läßt sich auch durch Auflösen der NB nach y lösen. Hier sollen aber die Methoden dieses Abschnitts angewandt werden. Y Zunächst läßt sich mit der Deteminantenbedingung arbeiten:

X

Auswertung der NB gibt dann die kritischen Punkte

ä1 = (0, 1) mit dem Funktionswert f(a"i.) = 2 und ä2 = (0, -1) mit dem Funktionswert f(ä 2 ) = -2. Da die durch g(x, y) = 0 definierte Menge nicht beschränkt ist, kann man den Satz von Weierstraß nicht verwenden, um ä 1 als Maximal- und ä2 als Minimalstelle zu identifizieren. Es wird sich im Gegensatz dazu im Lauf der Rechnung herausstellen, daß bei ä 1 ein lokales Minimum und bei ä2 ein lokales Maximum vorliegt. Skizze der Hyperbeln y2 = x2 + 1

Der nächste Schritt ist die Untersuchung der Hessematrix von f - >.g. Diese Untersuchung wird zunächst für den Punkt ä 1 = (0, 1) durchgeführt.

@ Es ist h(x, y)

= 2y- >.(y 2 - x2 -1). Das Gleichungssystem zur Bestimmung

von >. ist 2>.x 2- 2>.y

0 0

Daraus erhält man mit x = 0 und y = 1 den Wert >. = 1.

CD

Damit ist in ä 1 h(x, y) = 2y- (y 2

®

Die Hessematrix ist indefinit und muß daher weiter untersucht werden.

-

x2

-

1) und die Hessematrix ist

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

112

@ Da es sich um den Fall n = 2 handelt, kann man mit der geränderten Matrix und ihrer Determinante arbeiten: mit gradg(O, 1) = ( -2x, 2y)(O, 1) = (0, 2) erhält man 0 0

D := det ( 0 2

2 )

0 2 0 -2

= -8

Damit liegt ein lokales Minimum im Punkt (0, 1) vor.

Wenn man das Standardverfahren benutzt, geht das so vor sich:

@ und @ Mit gradg(ä)

= (0, 2) sucht man einen Vektor ii1 , der auf (0, 2) senkrecht steht. Dazu wählt man z.B. ii1 = (~) und erhält ii = (~)

®

Es ist

Die quadratische Form F ist damit positiv definit und es liegt ein Minimum vor. Mit denselben Methoden erhält man in ä2 = (0, -1) ein relatives Maximum.

J3. Gemischte Probleme J Gemischte Probleme

Bei gemischten Problemen handelt es sich um das Auffinden von Extrema auf Mengen, die ihren Rand (oder Teile davon) enthalten. Wesentliches Hilfsmittel ist das Zerlegen der Menge in Teile verschiedener Dimension. Z.B. zerlegt man den durch lxl :::; 1, IYI :::; 1 und lzl :::; 1 definierten Würfel in das dreidimensionale Innere, die sechs Flächen der Dimension 2, 12 eindimensionale Kanten und 8 nulldimensionale Eckpunkte. Mit der folgenden Methode findet man relative Extrema im Inneren und bei kompakten Mengen die nach dem Satz von Weierstraß vorhandenen absoluten Extrema. Das Bestimmen des Typs von kritischen Punkte auf dem Rand ist in der Regel schwierig.

CD

Die zu untersuchende Menge wird in das offene Innere (das soviele Dilnensionen hat wie der umgebende Raum) und den Rand zerlegt.

113

4.6. EXTREMA MIT NEBENBEDINGUNGEN

®

Im Inneren werden lokale Extrema mit den Methoden aus Abschnitt 5 gesucht. Dabei entstehen zwei Klassen von kritischen Punkten: Klasse 1: kritische Punkte in Inneren der Menge. • Ein so gewonnenes Extrem um ist auch ein Extremmn für das gemischte Problem. • Ein so gewonnener Sattelpunkt ist auch für das gemischte Problem ein Sattelpunkt. Klasse II: die Rechnung liefert einen kritischen Punkt auf dem Rand der Menge. • Wenn man so ein Extremum erhält, liegt auch für das gemischte Problem ein Extremum vor. • Erhält man einen Sattelpunkt, hat das gemischte Problem einen Sattelpunkt oder ein Extremum.

@ Auf dem Rand werden Extrema mit den Methoden aus diesem Abschnitt gesucht. Das sind die kritischen Punkte der Klasse 111. • Erhält man ein Extremum auf dem Rand, so hat das gemischte Problem ein (gleichartiges) Extremum oder einen Sattelpunkt. • Erhält man einen Sattelpunkt auf dem Rand, liegt sicher auch insgesamt ein Sattelpunkt vor. Einzelne Punkte (Endpunkte von Randkurven) sind Extremader Klasse III. Man hat also in folgenden zwei Fällen bei Randpunkten keine Information: bei nach Abschnitt 5 gewonnenen Sattelpunkten und bei nach den Methoden aus diesem Abschnitt gewonnenen Extrema. Typ Methode

Klasse I

Klasse II

grad f = Öund Hessematrix Inneres der Menge

Extr. SP

Klasse III Lagrangemultiplikatoren Rand der Menge

Extr.

Extr.

Extr. oder SP

SP

SP oder Extr.

SP

Dabei steht "grad f = Öund Hessematrix" stellvertretend für die Methoden aus Abschnitt 5 und "Lagrangemultiplikatoren" für die Verfahren aus diesem Abschnitt. Das bedeutet, daß z.B. ein Extremmn der Klasse III insgesamt ein Extremmn oder ein Sattelpunkt ist, ein Sattelpunkt der Klasse 111 auch insgesamt ein Sattelpunkt.

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM

114

~N

Beispiel 7: Die relativen und absoluten Extrema von f(x, y) = (x- 1) 2 + y 2 auf der Menge M = {(x, y)l x 2 + y 2 ::=; 4}. y

f

ist das Quadrat des Abstandes zum Punkt (1, 0).

CD

M besteht aus dem Inneren {(x, y)l x 2 + y 2 < 4} (das Inne-

M=

ren eines Kreises mit Radius 2 um den Nullpunkt) und der Randkurve C. f(x, y) < /(2, 0)

@ Untersuchung im Inneren:


grad f = (2(x- 1), 2y) hat nur in (1, 0) eine Nullstelle.

®

Aus

Hf=(~ ~)erhält man ein Minimum in (1,0) mit /(1,0) = 0.

Man hat also in (1, 0) ein Minimum der Klasse I.

@ Zum Auffinden von Extrema auf der Randkurve C wird die Determinantenmethode verwendet: mit g(x, y) = x 2 + y 2 1

2 (x : 1) 2

;~

-

4 ist die Bedingung

I= 0 <=> 4(x- 1)y- 4xy = 0 <=> y = 0.

Aus der NB erhält man die kritischen Punkte der Klasse III (±2, 0) mit den Funktionswerten f(2, 0) = 1 und f( -2, 0) = 9. Man hat also insgesamt drei kritische Punkte. Da M abgeschlossen und beschränkt ist, gibt es nach dem Satz von Weierstraß Extrema. Damit stehen (1, 0) und ( -2, 0) als die Stellen mit den absoluten Extremwerten fest. Zur Untersuchung von (2, 0) verwendet man zunächst das Kriterium mit der Hessematrix.

@ Mit h(x, y) = (x- 1) 2 + y 2 - >.(x 2 + y 2 - 4) erhält man für grad h = Ö 2(x- 1) - 2>.x = 0 und

2y- 2>.y = 0.

Setzt man x = 2 und y = 0 ein, erhält man aus der ersten Gleichung>.=

CD

!·

An der Stelle (2, 0) ist h also h(x, y) = (x- 1) 2 + y 2

@ Da Hh = ( ~

1

-

2(x 2 + y2 -

4)

x2

y2

= 2 - 2x + 2 + 3.

~) positiv definit ist, liegt ein Minimum oder ein Satt~lpunkt

vor. Eine endgültige Entscheidung kann man hier z.B. mit der Höhenlinienmethode herbeiführen. Wegen !(2,0) = 1 skizziert man die Menge {(x,y)if(x,y) = 1} (ein Kreis mit Radius 1 um (1, 0)) und erkennt, daß ein Sattelpunkt vorliegt.

4.6. EXTREMA MIT NEBENBEDINGUNGEN

115

13. Beispiele I Beispiel 8: Die Extrema von f(x,y,z) = x 2 + 4y 2 + 25z 2 unter der Nebenbedingung g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 = 100 Ermittlung der kritischen Punkte

CD

@

Zur Überprüfung der Rangbedingung bildet man grad g = (2x, 2y, 2z). Die Gleichung gradg = (0, 0, 0) ist nur für x = y = z = 0 erfüllt. Da dieser Punkt nicht auf der durch die NB beschriebenen Menge (einer Kugel um den Ursprung mit Radius 10) liegt, ist die Rangbedingung erfüllt. Ableiten von h(x, y, z) = x 2 + 4y 2 + 25z 2 zusammen mit der NB vier Gleichungen:

>.(x2

-

+ y2 + z 2 -

2x- 2.-\x = 0

{::}

8y- 2.-\y = 0

{::}

y(4->.)=0

50z- 2.-\z = 0

{::}

z(25- >.) = 0

x2

100) ergibt

x(1->.)=0

+ y2 + z2 =

100

Dieses Gleichungssystem wird gelöst, indem jeweils die erste Gleichung in Fälle unterschieden wird und dann die restlichen Gleichungen für diesen Fall hingeschrieben werden. x(1 - >.)

y(4->.)=0) ( z(25- >.) = 0 y 2 + z 2 = 100

=0

(

3y = 0 ) 24z = 0 x 2 + y 2 + z 2 = 100

~ ( z(25 - >.) = 0) z 2 = 100

( 2 21z2= 0 ) y + z = 100

I

I

y-00 )

X-

X= (

z = ±10 >. = 25

(

0 )

y = ±10

z=O >-=4

Man erhält damit sechs kritische Punkte.

X= ±10) (

y=O z=O >. = 1

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM !RN

116

@ Da die Rangbedingung stets erfüllt ist, kommen keine weiteren Punkte dazu. Man hat also die Punkte (±10, 0, 0) mit dem Funktionswert 100, (0, ±10, 0) mit dem Wert 400 und (0, 0, ±10) mit den Wert 2500. Ermittlung des Typs der kritischen Punkte Da die Kugel eine beschränkte Menge ist, läßt sich der Satz von Weierstraß anwenden: in (±10, 0, 0) liegen absolute Minima, in (0, 0, ±10) absolute Maxima vor. Die Punkte (0, ±10, 0) müssen noch untersucht werden. Aus Symmetriegründen (f(x, y, z) = j(±x, ±y, ±z)) wird nur der Punkt (0, 10, 0) betrachtet

CD

Einsetzen der Werte in die Hilfsfunktion liefert

@ Die Hessematrix von h ist Hj(O, 10, 0) =

(~6 ~ ~). Da diese Matrix

0 0 42 indefinit ist, hat man immer noch keine Entscheidung.

Man muß also weitere Untersuchungen mit der Hessematrix anstellen {2.3).

@ Der Gradient von

g ist an der kritischen Stelle (0. 20, 0).

@ Alle Vektoren, die auf gradg(O, 10,0) senkrecht stehen, sind iJ = (a,O,ß)T mit a, ß E IR.

®

(-6 0 0) (Q'ß) =

0 0 0 0 -Ga 2 + 42ß 2 . Da dieser Ausdruck 0 0 42 indefinit ist, liegt bei {0, ±10, 0) ein Sattelpunkt vor. F(v)

=

(a, 0, ß)

Deispiel 9: Der kleinste und größte Abstand des Punktes (1, 0, 0) zur Menge M := {(x, y, z) Ix 2 + z 2 - 4 = 0 und x 2 - y 2 = 0}.

Berechnung von

Abständen

Der Abstand d ist durch d := J(x- 1) 2 + y 2 + z 2 gegeben. Statt der Extrema von d berechnet man besser die Extrema von f = d 2 , da man so die ·wurzeln vemeiclet. Es sind also die Extrema von f(x, y, z) = (:r - 1) 2 + y 2 + z 2 unter den NB !]l(x, y, z) = x 2 + z 2 - 4 = 0 und g2 (x, y, z) = :r 2 - y 2 = 0 zu bestimmen.

117

4.6. EXTREMA MIT NEBENBEDINGUNGEN

IBestimmung der kritischen Punkte I Da es drei Variablen und zwei NB gibt, läßt sich die Determinantenmethode verwenden: det (

2z) = 8xyz- 8xyz + 8(x- 1)yz = 8(x- 1)yz

2(x- 1) 2y 2z 0 2x 0 -2y 2x

Es gibt damit drei Möglichkeiten für kritische Punkte: i) x = 1, ii) y = 0 und iii) z = 0. In jedem dieser Fälle werden nun die NB untersucht:

i) Aus x 2 - y 2 bis P4). ii) Mit y

= 0 folgt y = ±x = ±1, aus

= 0 ist wegen

92

= 0 auch

x

9I

= 0 erhält man z = ±J3 (PI

= 0. Aus

9I

= 0 erhält man

z

= ±2

(P5,6)· iii) Aus z

= 0 erhält man

x

= ±2 und damit y = ±2

(P7 bis P 10 ).

Insgesamt erhält man folgende kritischen Punkte und Funktionswerte:

X

y z f(x,y,z)

PI

p2

p3

p4

p5

p6

p7

Ps

Pg

Ho

1 1

1 -1

1 1

1 -1

-v'3 -v'3

y'3

4

4

0 0 2 5

0 0 -2 5

2 2 0 5

2 -2 0 5

-2 2 0 13

-2 -2 0 13

y'3 4

4

IBestimmung der absoluten Extrema I Hier kann man den Satz von Weierstraß verwenden: Aus x 2 + z 2 = 4 folgt, daß die x- und z- Werte beschränkt sind. Wegen x 2 - y 2 = 0 <=? Jxl = IYI sind dann auch die y- Werte beschränkt und M ist eine beschränkte Menge. Als Nullsteilenmenge stetiger Funktionen ist 1\1 auch abgeschlossen. Damit nimmt die stetige Funktion f ihr absolutes Minimum und absolutes Maximum auf der Menge 1\1 an. Der Tabelle oben entnimmt man, daß der Minimalwert f(1, ±1, ±J3) = 4 und der Maximalwert f( -2, ±2, 0) = 13 ist. Die gesuchten extremen Abstände sind daher dmin = 2 und dmax = JI3.

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM IR.N

118

IAlternative: Parametrisieren I Die Gleichung x 2 + z 2 = 4 beschreibt einen Zylinder mit Radius 2 um die yAchse, der sich mit Hilfe des Winkels t beschreiben läßt (vgl. Kapitel 5.3): x = 2cost,

z = 2sint,

y = y.

Die zweite Gleichung x 2 - y2 = 0 läßt sich als y = ±x lesen. Das sind zwei Ebenen durch die z-Achse, die aus dem Zylinder zwei kreisförmige Kurven ausschneiden. Daher ist M = M 1 U M2 mit den Parametrisierungen

x=2cost, y=2cost, z=2.sint

und

x=2cost, y=-2cost, z=2sint

In zwei getrennten Rechnungen werden nun die Extrema von M 1 erhält man

j(t) =

(;~~:!) -(~)0 2smt

und

f

ausgerechnet. Für

2

= (2cost- 1) 2 + (2cost? + (2sint?.

j'(t) = -8 sin tcos t + 4 sin t = 4 sin t(1- 2 cos t).

Damit erhält man kritische Punkte für sin t = 0, also t = 0 oder t = 1r (P1 und Pw) und fürcost = ~, alsot = ±~ (P1 und P 3 ). Aus 8(sin2 t-cos 2 t)+4cost erhält man Maxima in P1 und P10 und Minima in P 1 und P 3 .

i"=

Bei der Untersuchung von M2 erhält man dieselbe Funktion die Maxima in P8 und P9 und Minima in P2 und P4 •

j wie bei M1 und so

Die Punkte P5 und P6 tauchen hier gar nicht auf. Das liegt daran, daß in diesen Punkten lediglich die Rangbedingung nicht erfüllt ist: in P5 ,6 schneiden sich die beiden Kurven M 1 und M 2 und dort sind die Gleichungen 91 = 0, 92 = 0 nicht lokal eindeutig auflösbar.

IGefährliche Alternative: Einsetzen I Fehler!

Löst man die Gleichungen x 2 + z 2 - 4 = 0 nach z 2 und x 2 - y 2 = 0 nach y 2 auf und setzt das in f(x, y, z) = (x- 1) 2 + y 2 + z 2 ein, erhält man

f(x, y, z) = (x- 1? + (x 2 ) + (4- x 2 ) = x 2 Diese Funktion hat nur für x = 1 (z =

±J3 und y =

-

2x + 5.

±1) Extrema (Pl,2,3,4)·

Der Fehler liegt darin, daß die Gleichung x 2 + z 2 - 4 = 0 auch einen maximalen Definitionsbereich x E [-2, 2] enthält. Die Untersuchung der Randpunktex = ±2 ergibt die fehlenden vier Punkte P7 bis P 10 •

119

4.7. KURVEN UND FLÄCHEN

4.7

Kurven und Flächen

lt+2.

Definitionen und Berechnung!

Eine Ck-Kurve C im !Rn wird durch eine k-mal stetig differenzierbare Abbildung 4J (Parametrisierung) eines reellen Intervalls I= [a, b] in den Rn gegeben.

C = {f'E IRnl

r= i(t), a ~ t ~ b}.

Die Kurve C "erbt" von der Anordnung im Parameterbereich ihren Durchlaufsinn: i(a) heißt Anfangs- und i(b) Endpunkt von C. Wird die Kurve in umgekehrter Richtung durchlaufen, spricht man von der negativen Kurve -C. Ist C 1 eine zweite Kurve, deren Anfangspunkt mit dem Endpunkt von C zusammenfällt, so bilden C und C 1 zusammen die Summenkurve C + C 1 .

n r

Kurve Parametrisierung

Anfangs-, Endpunkt negative Kurve Summenkurve

-C

~ Eine C 1-Kurve heißt regulär, falls stets r'(t) =/:- Öist (dann hat die Kurve keine "Knicke", d.h. in der Skizze oben ist C + C 1 sicher nicht regulär.) Im folgenden werden nur reguläre Kurven betrachtet.

reguläre Kurve

~I

In Regularitätspunkten einer Kurve gibt es den Tangentialvektor

t=

I~' I, der

nicht von der gewählten Parametrisierung (wohl aber von der Durchlaufrichtung!) abhängt. Eine Kurve heißt nach der Bogenlänge parametrisiert oder normal, falls stets lf''l = 1 ist, vgl. Kapitel 5.3, wo auch das Rechenverfahren dazu zu finden ist. Dieser Begriff ist eher für theoretische Untersuchungen von Kurveneigenschaften nützlich.

11. Kurven im IR

2,

ebene Kurven

Tangentialvektor Normalenvektor nach der Bogenlänge parametrisiert normal

I

n,

Der Normalenvektor der senkrecht auf dem Tangentialvektor steht, ist wie in Kapitel 1.2 als orthogonales Komplement des Tangentialvektors definiert.

Achtung! Hier hat der Normalenvektor die entgegengesetzte Richtung wie der in Kapitel 5 betrachtete "äußere" Normalenvektor eines Gebiets, das von einer Kurve berandet wird!

Kurven im IR2 , ebene Kurven Normalenvektor

120 Darstellung von Kurven

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

Kurven im JR2 lassen sich auf verschiedene Weisen darstellen: • in parametrisierter Form wie oben. • Als Graph einer Funktion f: IR -t IR: C = {(x, y)l y = f(x), a ~ x ~ b}. Dies entspricht einer Parametrisierung mit x(t) = t, y(t) = j(t). Vorteil: Ableitungen lassen sich einfach berechnen. Nachteil: Weder dürfen für einen x-Wert mehrere y- Werte auftreten, noch sind senkrechte Tangenten zugelassen. • Implizite Darstellung: F(x, y) = 0 mit einer stetig differenzierbaren Funktion F. Der Satz über implizite Funktionen sagt aus, daß in Punkten mit F(x,y) = 0 und gradF(x,y) =f Öin einer Umgebung eine differenzierbare Kurve definiert wird. Übersicht: Tangenten- und Normalengleichungen, Krümmung

Tangentenund Normalengleichungen

Die Tabelle stellt die Tangenten und Normalengleichungen im Punkt (x0 , y0 ) (entsprechend dem Parameterwert t 0 ) zusammen. Die Tangenten- und Normalengleichungen im Punkt f'o

f= f'o + >.~

+ f'(xo)(x- xo)

bzw.

y = f(xo)

bzw.

Y = f(xo) - - - ( x - xo)

= (x 0 , y0 ) haben die Form (Tangentengleichung)

1

f'(xo)

(Normalengleichung)

Im folgenden sind stets die Tangenten- und Normaleneinheitsvektoren angegeben. ßei der Aufstellung der Tangenten- und Normalengleichungen kann der normierende Vorfaktor natürlich weggelassen werden.

Gleichung

Tangentenvektor

f= (x(t)) ~ y(t)

y = f(x)

(x') t = Vx'2 + y'2 y' 1

C)

~ 1 t = v1 + y'2 y'

Nonnalenvektor

~

( -y') n = Vx'2 + y'2 x'

~

1

( -y') n = V1 + y'2 1 1

Krümmung K-=

",-

x'y"- x"y' (x'2 + y'2) 3f2

- (1

y"

+ y'2)3f2

Kurven, die in der Form F(x, y) = 0 gegeben sind, haben keine ausgezeichnete Richtung. Daher gibt es zwei Möglichkeiten für Tangenten- und Normalenvektoren. Z.ß kann man wählen

4.7. KURVEN UND FLÄCHEN

Für die Krümmung erhält man

121

1

n,

= (Fx 2 + Fl) 312

Der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist

M = f'o + pii.

Dabei ist p (oder R)

1 der Krümmungsradius im Kurvenpunkt. Er ist durch p = - für K

> 0: linksgekrümmt,

n,

=J 0 definiert.

"'

(oder K) ist die Krümmung im Kurvenpunkt. K.

K

< 0: rechtsgekriimmt.

Der geometrische Ort der Krümmungsmittelpunkte

Krümmungskreis Krümmungsradius Krümmung

M heißt Evolute der Kurve.

Evolute

IFrenetsche Gleichungen: I f' = w~

Mit w = lf'l gilt

t' = wn,i'i,

i'i' = -wn,t

Ist die Kurve nach der Bogenlänge parametrisiert, hat man w

Beispiel 1: Für die Kurve f =

(~m)

Frenetsche Gleichungen

=

1.

mit x(t) = cosh t und y"(t) = sinh t

werden Tangente, Normale, Krümmung und Evolute berechnet Mit Hilfe der Beziehung y

cosh 2 t

X

sieht man, daß es sich bei der Kurve tun den Teil der Hyperbel y 2 = x 2 - 1 mit positiven x-Werten handelt. Man berechnet

Krünunungskreis

r=

= sinh 2 t + 1

x'(t)

= sinht,

y'(t)

= cosht

x"(t)

= cosht,

y"(t)

= sinht.

t)

1 (sinh Vsinh 2 t + cosh 2 t cosh t '

1 (- cosht) i'i = --;:.====== Jsiuh 2 t + cosh 2 t sinht

Bei der Tangenten- und Normalengleichung kann man die (normierenden) Vorfaktoren von t und ii weglassen. Die Tangente (T) und Normale (N) im Punkt f(t 0 ) haben die Gleichungen

i"" = (c?sh t0 ) smh t 0

+ A (sinh t 0 ) cosh t 0

(T)

und

r=

(c?shto) +A smh t 0

0) (-~osht smh t 0

(N)

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

122

-1 sinh 2 t- cosh 2 t x'y"- x"y' 2 2 3 2 2 - (x' 2 + y' ) h - (sinh t + cosh t) 3f2 - (sinh t + cosh 2 t) 3h

K,-

Mit p = ..!:. läßt sich der Mittelpunkt

M des Krümmungskreises bestimmen:

fi,

t) - (Sill. 1

. ( cosh sillh t

1

2t

+ COS h 2

t)

t) .

( cosh . t Sill11

- (Sillh2 t + cosh 2 t)

3f2

(- .cosh 1 Sillh t (sinh 2 t + cosh 2 t) 1h

t)

t) t) _( t -

.cosht Sill11

(-

t + (cosh 2 t- 1 + cosh 2 t) cosh ( cosh sinh t- (sinh2 t + 1 + sinh 2 t) sinh

2 cosh 3 t ) -2 sinh3 t

Hier läßt sich der Parameter t eliminieren und man erhält die Evolute als ( ~) 2/J = ( ~) % + 1.

12. Kurven im JR

3,

Kurven im JR3 , Raumkurven

Tangenteneinheitsvektor Hauptnormalenvektor Binormalenvektor begleitendes Dreibein Krümmung Krümmungsradius Windung, Torsion Darboux'scher Vektor

Raumkurven

I

Bei Raumkurven setzt man zunächst voraus, daß die Kurve nach der Bogenlänge parametrisiert ist und f' =f. 0. Dann definiert man • Der Tangenteneinheitsvektor ist

t = r' ...,

• Der Hauptnormalenvektor ist ii = _;_

it 'I

• Der Binarmalenvektor ist

b= t x ii

• Das begleitende Dreibein besteht aus ~ ii und b. Es handelt sich um ein Orthonormalsystem von Vektoren, d.h. die Vektoren haben die Länge eins und stehen paarweise senkrecht aufeinander. 1

• Die Krümmung"' ist "' = lf'l, der Krümmungsradius p ist durch p = /'\, definiert. Im Gegensatz zu ebenen Kurven ist hier die Krümmung immer positiv! • Die Windung

T

oder Torsion ist definiert durch

• Der Darboux'sche Vektor ist

T

=

b' · ii

d = T t + "'b.

Die Bezeichnungen sind uneinheitlich. Die Torsion wird gelegentlich mit ~ bezeichnet (statt wie hier mit T), manchmal mit T.

123

4. 7. KURVEN UND FLÄCHEN Im Kurvenpunkt f'0 seien lenvektor

fo, ii0

• Tangente im Kurvenpunkt • Normale in Kurvenpunkt

und

b0 Tangenten-,

f'o: r = f'o + .Afo

Tangente

f'o: r = f'o + .Aiio

• Die Normalebene wird aufgespannt von (r- ro) t~ = o.

Normale

ii

und

• Die rektifizierende Ebene wird aufgespannt von chung (f'- 1"'0) ii0 = 0. • Die Schmiegebene wird aufgespannt von

(r- f'o)

Haupt- und Binarma-

t

b und t

hat die Gleichung

b und

und

hat die Glei-

rektifizierende Ebene

und i'i und hat die Gleichung

Schmiegebene

bo = o. ii = b x t

b = i' x ii

und

Es gelten die Freuetsehen Formeln:

und mit dem Darboux'schen Vektor

t'=lx~

Frenetschen Formeln

b' = -7ii

ii' = -K,t+ 7b,

i''="'ii,

l = 7t+ "'b die Gleichungen

ii'=lxii,

b'=lxb

Ist stets "' = 0, so ist die Kurve eine Gerade. Ist stets 7 = 0, so liegt die Kurve in einer Ebene. Berechnung der Größen bei allgemeiner Parametrisierung: Wenn die Kurve nicht nach der Bogenlänge parametrisiert ist, berechnet man

-

_,

-

r

t = lf''l

-

ii=bxt=

1r-'12-// r - (-' r ·r_")_' r 1-'11-' r r x r-"1

(f'' x r") x r' l(f''

X

r")

X

det(f'', f'", f''") 7

1 + cos

Beispiel 2: Die Kurve f'(t)

=

t+ sin t)

= ( 2 + cos t- sin t 3 + sint

Zunächst werden die Ableitungen von

r'

Normalebene

- sin

t+- cos t) cos t ,

= ( - sin t

cos t

r"

r berechnet: - cos t - sin

t) ,

= ( - cos t .+ sin t

-smt

1-1·' x r" - 12

f''l

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM ~N

124 lf''l

= J(cos t- sin t)2 +

(cos t + sin t)2 + cos 2 t

= -./2 + cos2 t

Damit erhält man

~

(-s~nt+cost)

r'

1

lf''l

.../2 + cos 2 t

t=-=

-smt-cost cos t

K,-

-

(r' X r") X r' =

lf'' x r"l lf"'l 3

~

b=

'

r~1 x r~11 lf'' X r"l

=; ,

1 ( 1 )

= v'6

und

v'6

-

{2 + cos 2 t) 3/2

-

-3cost- 2sint) ( -3cost + 2sint :::} fi = -2sint

(-3cost- 2sint) -3cost + 2sint V12 +ßcos t -2sint 1

2

Wegen r 111 = -r' ist die Determinante det(r', r 11 ,T111 ) = 0 und damit T = 0. Das bedeutet, daß die Kurve in einer Ebene liegt, was man auch an der Darstellung

r=

1+cost+sint) (1) (1) (1) ( 2 + cos t .- sin t = 2 + cos t 1 + sin t -1 3+smt 3 0 1

direkt erkennen kann. Jetzt werden für t = 0 Normalebene, rektifizierende Ebene und Schmiegebene berechnet: Es ist für t = 0

t= ~ v'3

(~1) 1 ,

Damit erhält man die Ebenengleichungen

(T(T-

m) (~I) ~

m)(~:) ~ m)(~~) ~

(T-

0

0

Normalebene

rektili7ie<ende Ebene

0

Schmiegebenc

Die Schmiegeheue ist die Ebene, in der die Kurve verläuft.

Flächen Flächennormalenvektor

13. Flächen! Eigenschaften von Flächen, die mit Integration zusammenhängen, werden in Kapitel5.4 besprochen. Dort findet man auch Vorgehensweisen zur Parametrisierung gegebener Flächenstücke und weitere Beispiele. Der Flächennormalenvektor ii steht senkrecht auf der Tangentialebene der Fläche.

125

4. 7. KURVEN UND FLÄCHEN

IDarstellung von Flächenstücken I x(u, v)) ;j(u, v) = ( y(u, v) gegez(u,v) ben. u und v laufen dabei in einem Parametergebiet G in der u-v-Ebene. Die Vektoren iu und }v sp!Lnnen die Tangentialebene auf. Der Flächennormalenvektor ist ii = iflu X iflv. Die erste F\mdamentalform der Fläche hat die Gestalt

• Die Fläche ist durch eine Parametrisienmg

I(u, v) = E du 2 + 2F du dv

r=

+ G dv 2

mit

Darstellung von Flächenstücken

erste Fundamentalform E,F,G

Zur Berechnung von nichtorientierten Flächenintegralen kann man liil J EG - F 2 benutzen. Ist eine Kurve C auf der Fläche dadurch beschrieben, daß die Parameterwerte u und v in der Form u(t) und v(t) gegeben x(u(t), v(t))) sind, (dann hat die Kurve die Gestalt ( y(u(t), v(t)) ), so läßt sich die z(u(t), v(t)) Kurvenlänge durch folgendes Integral berechnen:

f Vl(u,v) = f c

12

L=

2 E ( dd~ ) +2F dd~ dd~ +G ( dd~ ) dt 2

tl

• Spezialfall: Die Fläche ist als Graph einer F\mktion gegeben: z = f(x, y) mit einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion f. In diesem Fall hat die Parametrisierung die Form ;j = (

~

f(x,y)

) und es ist ii = (

=~:) . 1

F = fx fv

• Die Fläche ist implizit in der Form F(x, y, z) = 0 gegeben. Punkte, an denen gleichzeitig grad F "I Öist, heißen reguläre Flächen punkte. In diesen Punkten läßt sich der Normalenvektor als i7 = grad F bereclmen. Eine Klassifizierung der singulären Punkte, d.h. der Punkte mit grad F findet man z.B. in [Ha2] oder [BHW4]. Ist ro ein Punkt der Fläche und die Tangentialebene die Gestalt

ii0

=

Ö

der Normalenvektor in diesem Punkt, so hat

(r-ro)iio=O.

Tangentialebene

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

126 J

Beispiel 3: Das Paraboloid z

x 2 + y2

=

Das Paraboloid wird auf drei verschiedene Weisen parametrisiert.

11. Parametrisierung als Drehfläche I r

COS!p)

Aus f'= (i(r,!p) = ( rs~~!{J

erhält man

!fJ)

- 2r 22 cos ii = if>r x if>'P = ( - 2r rsin !p ~

Die Tangentialebene in

ro cos !{Jo)

( f'- ( ro s~~ !{Jo

~

f'o in Parameter- und Normalenform:

( -2r5 cos !{Jo) )·

=0

- 2r5r:in !{Jo

12. Parametrisierung als Graph I Aus der Darstellung z = f(x, y) = x 2 + y 2 erhält man

E = 1 + 4x 2,

F = 4xy,

G = 1 + 4y 2,

Tangentialebene: f' = (

2

Xo

(r-

xo Yo

( x6

+ Y5

) ) ·

(-2xo) -2yo 1

~:

2

+ Yo

= 0

)

liil = + ..\ (

JEG- F 2 = J1 + 4x2 + 4y2

~)+

f..L (

2xo bzw. f'.

(-2x -2yo

0)

1

~

)

bzw.

2yo =

-x6- Y6

4. 7. KURVEN UND FLÄCHEN

127

j3. Implizite Beschreibung j Aus der Darstellung F(x, y, z) = x 2 + y 2 - z = 0 erhält man in einem Punkt = (x 0 , y0 , z0 ), der die Gleichung erfüllt, den Normalenvektor und die Tangentialebene:

f'o

13. Beispiele I Beispiel 4: Die größte Krümmung des Graphen von y = e"'. Die Krümmung "' berechnet sich als

'' '

''

''

Zur Berechnung von Extremaschreibt man das in der Form

''

Ii= X

1

und berechnet den größten Wert von

Damit erhält man als einzig mögliche Extremstelle x 0 = In

Die Krümmung "' ist an dieser Stelle Krümmungsradius p Kurvenpunkt ist ii =

=~

=

K

erhält man p

~ (-r) 1+e

1/2

(1 + 1/2) 3 =

= ~·

J

x=xo

=

1

1 ../2 mit y(x 0 ) = ..;2·

2 .. y/4 27 = 3 y'3. Fur den

Der Normaleneinheitsvektor im

0

1+

1/2

(-Y-12)

Damit ist der Krümmungskreismittelpunkt

1/-12) + ~J3. _1y'3 (-1) 1/-12 2 V2

M = (In

ii 2 •

~

(-1.846) 2.828

=

~ (-r.->

V3

1 2 )· V~

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

128

Beispie~ 5:

Die Raumkurve

r=

t)

cosh ( si~h t

Berechnung der Ableitungen:

r' =

sinh t) ( co~h t '

cosh t) ( si~l t und

r" =

Bei der Berechnung der Beträge wird sinh 2 t

+1=

lf''l = V'sinh t 2 + cosh t 2 + 1 = v'2 cosh t

f''

X

T"

~ ca:~1~

') '

Jetzt läßt sich fi aus fi =

(f'' x

r") x r'

Ii'' X f'"l

r

111

(sinh t) co~h t

=

cosh 2 t verwendet. 1

t= J22cosh t

=}

~ v'2 oosh t '*

~

b=

t)

(sinh cosht 1

1

v'2 cosht

(-sinht) cosh t _1

bx tberechnen. 2 cosh t

)

o

= (

, I(f'' X r")

X

f''l = 2 cosh 2 t

-2 sinh t cosh t

~ n

=

(f'' X f'") X f'' [(f'' x r") x f''[

1

(

1

= cosh t

_

s~nh t

)

Aus den Daten werden nun noch die Krümmung"' und die Windung T berechnet:

"' =

1 v'2 cosh t x f'"[ = (v'2 cosh t)3 = ----."-2 cosh 2 t [f''[3

lf''

det( f'', r", r'") = (r' x

r")f'

Die Tangente im Kurvenpunkt

111

f'o

=

1

det(f'',i"",i"'") [f'' X r"[ 2 -

T-

cosh t 0 )

= r(t 0 ) = ( si~~ t 0

cosh t0 )

r = f'o + .>. t(to) = ( si~~ to + .>.

-

-

1 2 cosh 2 t

----,,...-

hat die Gleichung

(sinh to) cos; to

129

4.8. VEKTORANALYSIS

4.8

Vektoranalysis

Die folgenden Verfahren zur Bestimmung von (Vektor)- Potentialen gelten auf sternförmigen GebietenG ~!Rn, insbesondere also, wenn alle (Vektor)Funktionen auf dem ganzen Raum definiert sind und alle Bedingungen überall gelten. Ab jetzt wird der Einfachheit halber davon ausgegangen, daß dieser Fall eintritt und alle auftretenden Funktionen mindestens zweimal stetig differenzierbar sind. Im folgenden werden die Begriffe "Gradient", "Rotation", "Divergenz" usw. für Funktionen und Vektorfelder im IR3 erklärt, obwohl alle Begriffe bis auf "Rotation" auch in anderen Dimensionen sinnvoll sind. Ein Grund dafür ist, daß es wegen der Existenz des Kreuzprodukts im IR3 mehr Rechenregeln gibt.

11. Definitionen I v: !Rn -+ !Rn, die jedem Punkt f' des !Rn einen Vektor v(f') zuordnet. Ein Vektorfeld im IR2 hat also die Form v(f') = ( ~~:: ~~), Ein Vektorfeld ist eine Abbildung

im IR3 die Form v(f') =

Vektorfeld

P(x, y, z)) ( Q(x, y, z) . R(x, y, z)

In diesem Zusammenhang ist für eine Funktion Skalarfeld gebräuchlich.

f : !Rn -+ IR die Bezeichnung Skalarfeld

Ist f: !Rn-+ IR eine Funktion, so ist der Gradient von f der (Zeilen-)Vektor

~

V

Gradient

(of of of) = grad f = Ux, fv, fz) = ox' oy' oz

f heißt dann Potential oder Stammfunktion zu v. Ein Vektorfeld v mit v = grad f heißt Gradientenfeld oder Potentialfeld. In Anwendungen gibt es hierfür auch die Bezeichnung konservatives Kraftfeld.

Potential Gradientenfeld Potentialfeld

v

Ist ein Vektorfeld im IR3 , so ist die Rotation (auch Rotor oder Wirbelstärke) von v = ( P, Q, R) T das Vektorfeld

Ry-

w= rot v = ( Pz -

Qz)

Rx Qx- Py

Ein Vektorfeld

e1 e2 e3 =

Bx p

oy

Bz

Q R

v heißt Vektorpotential zu w, falls w= rot v ist. 0,

Ist v ein Vektorfeld mit rot v =

Rotor Rotation

so nennt man v wirbelfrei.

"\

Achtung! Die Begriffe "Rotation" und "Vektorpotential" sind nur im dreidimensionalen Raum sinnvoll.

Vektorpotential wirbelfrei

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

130

Divergenz

Ist v = (P,Q,R)T bzw. v = (P,Q)T ein Vektorfeld im IR3 bzw. IR2 , so ist die Divergenz oder Quellenstärke von v definiert als

. _ oP oQ d1vv =Eh+ ay quellenfrei

Ist

{)R

+ 8z =

P.,

+ Qy + R"

. _ {)P oQ bzw. d1vv =Eh+ ay = P., + Qy

v ein Vektorfeld mit div v = 0, so nennt man v quellenfrei.

Der Nablaoperator V ist ein (Zeilen-)Vektor, der partielle Differentialoperatoren enthält und mit dem man wie mit einem "normalen" Vektor rechnen kann. Viele Rechenregeln der Vektoranalysis lassen sich damit in kurzer Form aufschreiben und merken. V= LaplaceOperator Potentialfunktion harmonische Funktionen

(a.,, oy, oz) =

/). = ::2

(fx, ~' :Z)

+ ::2 + ::2

im JR3 und V=

(a.,, oy) =

(fx, ~) im IR

2

heißt Laplace-Operator. Im IR2 fehlt natürlich wieder die

z-Ableitung. FUnktionen mit der Eigenschaft /).j = 0 heißen harmonische FUnktionen oder Potentialfunktionen. Mehr dazu findet man in Kapitel 7 {im Zusammenhang mit holomorphen, d.h. komplex differenzierbaren FUnktionen) und im Kapitel 9 {Lösungen der partiellen Dgl. /).j = g, Laplacegleichung).

12. Berechnung! Differentialoperatoren im Nablaschreibweise

11. Rechenregeln, Nahla-Kalkül f ist eine FUnktion und v ein Vektorfeld. (Vektor mal Skalar) grad f = V f

v divv=V·v rotv=V x

{Kreuzprodukt) {Skalarprodukt) (Skalarprodukt)

Hier wird (im Gegensatz zum Rest des Kapitels) mit gradf wie mit einem Spaltenvektor gerechnet. Der Vorteil des Nablakalküls liegt darin, daß man mit V wie mit einem Vektor rechnen kann und dabei die Rechenregeln für Skalar- und Kreuzprodukte aus Kapitel 1 benutzen kann. Aufpassen muß man allerdings bei der Anwendung auf Produkte: man muß bei der Produktregel beachten, auf welchen Faktor die Differentiation wirkt. Nachteilig ist, daß in der üblichen Schreibweise beim Gradienten nicht zwischen Spalten- und Zeilenvektor unterschieden wird, so daß die Nablaschreibweise mehr als Gedächnisstiitze als zur Herleitung von Regeln brauchbar ist.

4.8. VEKTORANALYSIS

131

Eine mathematisch saubere Zusammenfassung der Regeln ist mit Hilfe von Differentialformen möglich, vgl. [BHW 4]. Rechenregeln für Summen und Vielfache:

® ® ©

grad(a f + ßg)=agradf + ßgradg

Rechenregeln für Summen und Vielfache

\l(a f + ßg)=a \1 f + ß\lg

div(av+ ßw)=adivv + ßdivw

\1· (av+ ßw)=a\1· v+ ß\1· w

rot (av + ßw)=arotv + ßrotw

\1

X

(av+ßw)=a\1

X

v+ß\1

X

W

Für Hintereinanderausführungen hat man diese Regeln:

® ® ® ®

®

divrotv=O

\1 . (\1 x v) =

rotgradf=Ö

\1

X

o

(\1 /) =0

\1· \lf=ßJ

divgradJ=ßJ rot rot v = grad div v- ßv \1

Rechenregeln für Hintereinanderausführung

(\1

X

grad div v = ßv +rot rot v

X

V)=\1(\l·V)- ßv

\1(\1 . v) = ßv + \1 x (\1 x V)

Dabei ist ßv komponentenweise zu verstehen, d.h. ßv = (ßv1 , ßv2 , ßv3 )"':

Rechenregeln für Produkte

Rechenregeln für Produkte einer skalaren und einer Vektorfunktion:

® ® 0

grad (fg)

=f

gradg + g grad f

\l(fg)=f\lg+g\lf

div {!V)= fdiv v + v · grad f

\l(JV) = 1 \lv + v · (\1 f)

rot (!V) =/rot v + grad f x v \1

X

(!V)

=f

(\1

X

V) + (\1 f)

X

V

Die Rechenregeln für Vektorprodukte lassen sich nur im IR3 benutzen:

® © ® ® © ® v'

grad(v· w) =v X rotw +w

X

rotv+ V1W+w'v

div(vx w)=w·rotv-v·rotw rot (v X w) = (divw) V- (divV) w + V1W- w'v

\l(v. w) = v x (\1 x w) + w x (\1 x iJ) + v'w + w'v \1. (v x w) = w. (\1 x v) - v. (\1 x w) \1 x (v x w) = (\1· w) v- (\1· v) w + v'w- w'v

und w' sind die Jacobimatrizen der durch v und w definierten Abbildungen JR3 ~ JR3 . v' w ist dann das Produkt der Matrix v' mit dem Vektor w.

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

132

rot (V-

-) = (d'lV W-)(d'lV V;1\JW-+ V_,V W -

X W

2

2

yz) -0 · (xy2 ) + (0z 0z xy) (xy2 ) = 2(x + y + z) · ( xz xy z2 y x 0 z2

-

_,_

W V

(2x 0 0 2y 0

0

2xyz + 2y 2 z + 2yz2 + y2 z + yz 2 - 2xyz) = ( 2xyz + 2xz2 + 2x2 z + x 2 z + xz 2 - 2xyz = 3 2xyz + 2x2y + 2xy2 + xy 2 + x 2 y- 2xyz

IAndere Koordinatensysteme I Differentialoperatoren in Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten

In diesem Unterabschnitt werden die Formeln für partielle Ableitungen (woraus man Gradient, Rotation und Divergenz zusammensetzen kann) und den Laplaceoperator in den wichtigsten anderen Koordinatensystemen angegeben. Diese sind in Kapitel 5.1 ausführlich beschrieben. Das Rechenverfahren zur Herleitung der Formeln ist die KettenregeL In Beispiel 10 in Abschnitt 3 ist der Gradient in Polarkoordinaten berechnet worden. Im folgenden hat man es mit der Funktion f(x, y, z) zu tun, die in den neuen Koordinaten z.B. die Gestalt J(r, cp, '!?) = f(x, y, z) hat. Die Unterscheidung zwischen f und j muß gemacht werden, da z.B. bei f(1, 2, 0) sonst nicht klar ist, ob die Funktionswerte am Punkt x = 2, y = 2 und z = 0 oder am Punkt mit den Koordinaten r = 1, cp = 2 und'!?= 0 gemeint sind. Hier werden in Polar- und Kugelkoordinaten gegebene Funktionen nach den Variablen x, y und z abgeleitet. Das sollte nicht mit den z.B. in [BHW4] oder [Br] beschriebenen Rechnungen für Vektorfelder in orthogonalen Koordinaten verwechselt werden. Achtung! Die Differentialoperatoren grad, div, rot und ß beziehen sich immer auf kartesische (x-, y-, z-) Koordinaten! Das bedeutet, daß man z.B. bei einer in Polarkoordinaten gegebenen Funktion j = rcoscp den Gradienten nicht als ) = (coscp, -rsincp) angeben kann, sondern ihn nach der Formel unten berechnet als

J", =

sin cp - sin cp fr coscp- !"'-- = cos 2 cp- (-rsincp)-- = cos 2 cp + sin 2 cp = 1

r

r

;coscp . ( . )coscp f y= f-. rSmcp+Jv>--=smcpcoscp+ -rsmcp - - = 0.

r r Wegen f(x,y) = J(r,cp) = rcoscp = x ist das das erwartete Ergebnis: gradf = (1, 0).

133

4.8. VEKTORANALYSIS

• Zylinder- oder Polarkoordinaten: x = r cos t.p, y = r sin t.p, z = z. Will man mit Polarkoordinaten im IR2 rechnen, läßt man die Ableitungen nach z einfach weg.

- cos t.p

- .

- sin t.p

-

lz ly =Ir smt.p + 1"'--, lx =Ir cost.p- 1"'--, r r 1-

-

lz

-

1-

-

=

Irr+ 2r 1'1' 1' + lzz D.l = -Ir+ r • Kugelkoordinaten 1: x = r cos t.p cos '!9, y = r sin t.p cos '!9, z = r sin {} . cos t.p sin '!9 1sin t.p i •a i 11 cost.pcosvJr- - - J , r r cos '!9 "' _ - cos t.p i sin t.p sin {} 1. 11 smt.pcosv01r + --_aJ'Pr r cos·u cos'!9 sin '!9 Ir + --111 r ()2 j 1 {}{)j) {) ( 1 1 {) ( 2{)j) r 2 8r r 8r + r 2 cos {} {){} cos {){} + r 2 cos 2 {} 8t.p 1 sin '!9 1 2 2 {} 1'1' 1' 2 + l11 ~ /rJ11 2 + Irr+ -Ir r cos r cos v r r

lx

D.l

• Kugelkoordinaten II: x

= rcost.psin'19, y = rsint.psin'19, z = rcos'!9.

cos t.p cos '!9 sin t.p . l11 t.p sm '!9 Ir- --:--;J'P + r r smv sin t.p cos {} cos t.p . .

lx

COS

IY

smt.psm'!91r

lz =

COS

+ + ---.ai'P r s111 v

r

l11

sin {} -

-

{}Ir - --111 T

28 j)+-1 -~(sin'l9 8 j)+ 1 {) 2 j _.!_~(r r 2 sin 2 {} 8t.p {){} r 2 sin {} {){} 8r r 2 ar

D.l

-

2-

Irr+-r Ir+

Beispiel 2: divv für

v=

1 2r /rJ11

cos {} -

1

-

• 2 {} 1'1' 1' + 2-;--:ö./11 r smv + r 2 sm

1

Jx2 + y2 + z 2

(!!.x) 1

v1 bis v 3 werden in Kugelkoordinaten II aufgeschrieben:

v1

· .a · t.p Slll'll, · .a = Slll · t.p Slll = -1r Sill

r

lt

v2

· v.a = 1 cos t.p s111 = - -r

r

· .a v, cos t.p sm

1

V3

= -.

r

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

134 Die Divergenz von

v ist div v =

(vi).,

+ (v2)y + (v3)z =

sin cp cos r.p cos {) . (0 - - . - cos r.p sin {) + sm r.p cos tJ) r sm {) r

cos r.p •

•

+ (0 + -.-{) sm r.p sm {) r sm

sin r.p cos {) -1 cos {) cosr.pcostJ) + (costJ+ 0) = - -2r r2 r Wenn man das wieder in kartesische Koordinaten zuriickverwandelt, erweitert man am besten mit r, um im Zähler z zu erhalten: -

Beispiel 3: 6.f für f(x, y, z) = Jx2

+ y2 + z2.

In Kugelkoordinaten (I oder II) ist ](r, r.p, tJ) ßj =

Potential

frr

2-

1 -

+-r fr + 2,f.tHJr

sin {) 2 {)ftJ rcos

=r 1

und daher -

2

+ rcos 2 2 {)j'P'P =- = r

2 ,jx2 + y2

+ z2"

I Ein Vektorfeld v ist ein Gradientenfeld einer zweimal stetig diff'baren Funktion,

j2. Potential

. t : -8Vi . Int egrab"l"t••t wenn d1e 11 a sb ed"mgung erf""llt u 1s 8 Xj

. • = 1 .. .n. = -88Vj , z,J X;

Ein Potential erhält man, wenn man für einen festen Anfangspunkt fo und einen variablen Endpunkt r das orientierte Kurvenintegral v(T') dr' berechnet (wie

I

c

in Kapitel 5.3 beschrieben). Dabei ist C irgendeine Kurve von Methode 2 unten.

I

Potential im JR2

nach

r,

vgl.

Bestimmung eines Potentials im IR2 1

Die Integrabilitätsbedingung lautet hier:

v hat (auf einer sternförmigen Menge) ein Potential j, falls Py = Hinguckmethode

r0

Q., ist.

IMethode 1: Hinguckmethode I f muß einerseits die Form J P(x, y) dx und andererseits J Q(x, y) dy haben. Man schreibt beide Ausdrücke hin, streicht doppelt vorkommende Terme einmal heraus und addiert beide Ausdrücke. Hier ist unbedingt eine Probe erforderlich!

4.8. VEKTORANALYSIS

135

IMethode 2: Mehrfache Integration I CD

f(x, y) =

Mehrfache Integration

J P(x, y) dx + C(y)

@ Diese Gleichung wird nach y abgeleitet und mit fv = Q(x, y) kombiniert. Daraus wird C' (y) bestimmt.

@ C(y) wird bestimmt und in

CD

eingesetzt.

Diese Methode hat die Variante, daß die Rollen von x und y vertauscht werden: zunächst wird Q nach y integriert und man erhält f bis auf eine von x abhängende Konstante.

IMethode 3: Berechnung durch Kurvenintegrale I

®

f(x, y) =

®

f(x, y) =

©

f(x, y) =

rx P(t, Yo) dt + }yo[Y Q(x, t) dt rx P(t, y) dt + lvo[Y Q(xo, t) dt lxo

lxo

l

+ t(x- xo), Yo + t(y- Yo)) (x- xo) + Q(xo + t(x- xo), Yo + t(y- Yo)) (y- Yo)] dt P(xo + t(x- xo), Yo + t(y- Yo)) dt (x- xo) [P(xo

l

+ (y- Yo)

l

Q(xo + t(x- xo), Yo + t(y- Yo)) dt

Dabei entsprechen die drei Varianten jeweils einem Kurvenintegral:

®

von (xo,Yo) über (x,y0 ) nach (x,y),

@ von (x 0 ,y0 ) über (x 0 ,y) nach (x,y),

©

von (xo, Yo) direkt nach (x, y).

Ist ein Potential f mit f(x 0 , y 0 ) = 0 gesucht, so liefert diese Methode sofort die Lösung. Sonst wählt man den Startpunkt (x 0 , y 0 ) möglichst günstig, d.h. so, daß in einem Integral möglichst viele Terme wegfallen. Oft ist (x 0 , y 0 ) = (0, 0) eine gute Wahl. Falls man sich entschließt, mit allgemeinem x 0 und y 0 zu rechnen, läßt sich die Stammfunktion so zusammenfassen, daß sich eine Summe von zwei Termen ergibt, von denen der eine nur x und y und der andere nur x 0 und y 0 enthält.

Kurvenintegrale

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

136 I

Potential im JR3

Bestimmung eines Potentials im IR3 1

Integrabilitätsbedingung (auf sternförmigen Mengen):

v ist wirbelfrei, d.h.

v hat ein Potential j, falls rotv = 0 bzw. Py = Qx, Pz = Rx und Qz = Ry ist. Die Methoden zur Bestimmung eines Potentials entsprechen denen im IR2 : Hinguckmethode

IMethode 1: Hinguckmethode I J P(x, y, z) dx und andererseits J Q(x, y, z) dy und haben. Man schreibt die Ausdrücke hin, streicht mehrfach vorkommende Terme bis auf einen heraus und addiert die Ausdrücke. Hier ist unbedingt eine Probe erforderlich! f muß einerseits die Form

J R(x, y, z) dz

Mehrfache Integration

IMethode 2:

Mehrfache Integration I

CD

f(x, y, z) = J P(x, y, z) dx

®

Diese Gleichung wird nach y abgeleitet und mit fv niert. Daraus wird Cy(y, z) bestimmt.

+ C(y, z) Q(x, y, z) kombi-

@ Durch Integration nach y wird C(y, z) bis auf eine von z abhängende zweite Konstante D(z) bestimmt und in

@

CD

eingesetzt.

CD wird nach z abgeleitet und mit fz =

R(x, y, z) kombiniert. Daraus wird

Dz bestimmt.

@ Durch Integration nach z wird aus Dz die Funktion D bestimmt (bis auf eine reelle Konstante) und in CD eingesetzt. Damit ist f bestimmt. Kontrolle

Als Kontrolle verwendet man, daß sich C und D als nur von y und z bzw. nur von y abhängende Funktionen bestimmen lassen. Geht das nicht, ist entweder das Vektorfeld kein Potentialfeld oder man hat sich verrechnet. Diese Methode hat die Variante, daß die Rollen von x, y und z vertauscht werden und die Konstanten in anderer Reihenfolge bestimmt werden.

Kurvenintegrale

IMethode 3: Berechnung durch Kurvenintegrale I Hier wird nur eine Möglichkeit angegeben. Genau wie im IR2 kann man über irgendeine Kurve von f'o = (x 0 , y0 , z0 f nach f = (x, y, z) T integrieren.

f(x, y, z) =

r P(t, Yo, zo) dt + fw[Y Q(x, t, zo) dt + J~{z R(x, y, t) dt

ho

4.8. VEKTORANALYSIS

137

Vergleich der Methoden

I

Vergleich der Methoden

I Nachteil

Vorteil

Methode 1

Schnellste Methode bei einfach gebauten Vektorfeldern

Fehleranfällig bei komplizierteren Rechnungen

Methode 2

einfache Universalmethode

manchmal viel zu schreiben

Methode 3

liefert Potential mit vorgegebener Nullstelle

unnötig komplizierte Rechnungen durch Mitführen des Anfangspunkts

Beispiel 4: Ein Potential zu v(T) = (sin(yz) + y- z, xz cos(yz) Es ist P(x, y, z) = sin(yz) xy cos(yz) - 2z- x.

+ x, xy cos(yz) -

+ y - z, Q(x, y, z) = xz cos(yz) + x

2z- x) T

und R(x, y, z) =

Methode 1: Hinguckmethode Man schreibt die Integrale von P nach x, von Q nach y und von R nach z auf und vergleicht:

xsin(yz)+xy-xz} xsin(yz) + xy xsin(yz)- z 2 - xz

=>

f(x, y, z) = x sin(yz) + xy- z 2

-

xz

Die Probe geht auf. Methode 2: Mehrfache Integration

CD

Es ist f(x, y, z) =

f P(x, y, z) dx

= x sin(yz)

+ xy- xz + C(y, z).

<]) Vergleich von jy mit Q: xzcos(yz) + x + Cy(y, z)

=

xz cos(yz) + x.

@ Aus Cy(y, z) = 0 folgt C(y, z) = D(z) und f = x sin(yz) + xy- xz + D(z). @ Vergleich von fz mit R: xycos(yz) -x+Dz(z) = xycos(yz) -x-2z ergibt Dz = -2z.

@ Einsetzen von D(z) = -z 2 in f ergibt das Endergebnis f(x, y, z) = x sin(yz) + xy- z 2 - xz. Methode 3: Berechnung durch Kurvenintegrale Meist ist x 0 = y0 = z0 = 0 eine gute Wahl.

f(x, y, z) =

r

J~

P(t, Yo, zo) dt

+

[Y Q(x, t, zo) dt + {z R(x, y, t) dt J~

lw

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

138

Y

X

Z

jodt+ j(O+x)dt+ j(xycos(yt)-2t-x)dt 0

0

0

0 + xy + xsin(yz)- z 2

-

zx

13. Vektorpotentiall Vektorpotential

v

w, falls die Integrabilitätsbedingung div v =

hat ein Vektorpotential ist.

0 erfüllt

Es werden zwei Methoden zur Bestimmung eines Vektorpotentials zu einem Vektorfeld v = (P, Q, R) T angegeben. Beidesmal braucht man einen festen Punkt ro = (x 0 , y0 , z 0 ) E IR3 . Dann erhält man ein Vektorpotential wmit 1. Methode

z Wr

=J zo

z

y

Q(x, y, t) dt- J R(x, t, z0 ) dt, w 2 = - J P(x, y, t) dt und w3

=0

zo

YO

2. Methode: hier muß ein vektorwertiges Integralnach der Grundregel komponentenweise berechnet werden. I

w(r)= Jtv(ro+t(T-ro))dtx(r-ro ) oder 0 1

w(r) =

f

tv(tTJ dt

X

T für fo

= 0.

0

Mit der ersten Methode erhält man ein Vektorpotential mit z-Komponente Null, mit beiden eines, das am Punkt fo Null ist.

IAlle Vektorpotentiale erhält man als w+ grad f Beispiel 5: Ein Vektorpotential zu v

= (x 2 y -

mit

f

z, -xy 2 , x)

Da die Divergenz des Vektorfelds div v = 2xy - 2xy VektorpotentiaL Methode 1: Mit fo = 0 und Q(x, y, t) = -xy 2 , R(x, t, 0) = x und P(x, y, t) z

wr

=J 0

0

+0

=J 0

= 0 ist, gibt es ein

x 2 y- t erhält man

z

y

Q(x, y, t) dt- J R(x, t, 0) dt

=

beliebig.

y

( -xy 2 ) dt- J x dt 0

= -xy 2 z- xy,

4.8. VEKTORANALYSIS

-I

139

=I z

z

w2 =

P(x, y, t) dt

0

0

Damit ist ein Vektorpotential berechnet: Methode 2: mit

f'o

=

2

x 2y- t dt = -x2yz + ~

w=

-xy 2z- xy ) ( -x 2 yz + l/2z 2 . 0

Öerhält man

tz) dtx -t3xy2 I't (fx'ytx

w=

o

C'~'y/sxy'"z) - 1

2

x

/3x

1

m

n y z

'f,xy ) (•/3x-'/~y'z+ •/3z tj 2 2 5x 2yz - •/3yz + 2fsx2y2

=

4. Bestimmung eines Vektorfelds mit gegebener Divergenz Will man ein Vektorfeld v mit der Divergenz f(r) bestimmen, kann man z.B. in der ersten Komponente eine beliebige Stammfunktion bezüglich x nehmen und die restlichen Null setzen:

v= (I f(x,y, ... )dx, 0, 0 ... ) Natürlich kann man das auch mit den anderen Komponenten machen oder zunächst alle bis auf eine beliebig wählen und dann diese geeignet festlegen. Alle Vektorfelder mit gegebener Divergenz im IR3 erhält man, indem man zu einem solchen Vektorfeld eine beliebige Rotation eines Vektorfelds addiert. Sucht man zur Volumenberechnung in IR2 oder JR3 Vektorfelder mit divv = 1, so sind = (x,O)T bzw. = (x,O,O)T oder = Hx,y)T bzw. = Hx,y,z)T gebräuchlich. Beispiel 6: Vektorfelder 3

sind z.B.

v= (~

v

v

v

v

v im JR

3

mit div

v = x + 2y + z

+ 2xy + xz 2, 0,0) oder v=

2

2

(o, x 2y + y2 + yz 2, o).

Vektorfelds mit gegebener Divergenz

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRE CHNUNG IM JR.N

140

j3.

Beispiele I

® für

Beispiel 7: Anwendung der Rechenregeln@ bis

f(x, y, z) = exv,

(x) x2 _ y2) g(x,y,z)=x+y 2 +z 3,v= ( y2 -z 2 undw= y . z z2- x2 Durch Ableiten erhält man: divv=2x+2y+2z ,

rotv=

ßy (Ox)

x

Oz

diVW = 3,

rOtW = Ö,

(x

2

2

- y2 ) = z y2 2 z - x2

(2z) 2x, 2y

gradf = (yexy, XeXY, 0).

@ div rotV = 0 sieht man direkt. Bei der Berechnung von rot grad f (Regel braucht nur bei der letzten Komponente gerechnet werden: rot grad f =

) ~ x (;:::) = ( (~:) (1 + xy)exy- (1 + xy)exy 0 Oz

Berechnung von D.f = div grad f nach Regel

®)

= Ö.

®:

D.f = div (yexv, xexv, 0) = (y 2 + x 2)exY. Zur Bestätigung von @ (rot rot v = grad div v- D.iJ) berechnet man

rot(rotV)

®

~

m' ~adilivU~ m

und

M~

(ED ~ m.

ist im wesentlichen die Produktregel: mit fg = (x + y2 + z 3)exv hat man

grad (Jg) = exy (

2~) + (x + y2 + za) (;:::) = exy (2~: ~f: ::/:;:a) .

3z2

0

3z 2

141

4.8. VEKTORANALYSIS Für

®

und

®

berechnet man die Ableitungen von

v und w:

2x

v' =

®:

(

-2y 0 ) 2y -2z -2x 2z 0

o

und

w' =

1 0 0) (0 1 0 0 0 1

rotw+w X rotv+v'w+w'v=

grad(v·w) = VX

2 2y - 02z ) (x) (x) (2z) ( 2x x2- y ) y 0 -2y ( y 2 - z 2 x 0+ y x 2x + - 2x 2y z z 2z 0 z2 - x2

-) . (dIV V X W

= W- · ro t V- -

- (~: =~:) ·0 ( ~) · (;~) 2y z2

z

-

V- •

01 0) 0 0 0 1

+ ( 01

(x2y - zy2) 2 -

2

z 2 - x2

ro t W- =

= 2(xz + xy

+ yz)

x2

®: Hier werden die Produkte von ® gleich eingesetzt: rot (v X w) = (divw) V- (divV) w+ v'w- w'v =

Beispiel 8: 6.f, f ist durch ](r, cp) = r 2 + cp in Polarkoordinaten gegeben.

1 berechnet man D.f = -r · 2r + 2 + 0 = 4. Mit der Formel 6.f = !r fr + frr + ~~"'"' r In kartesischen Koordinaten ist die Funktion f(x, y) = x 2 + y 2 + arctan 1j; (jedenfalls für x > 0) und die Rechnung ist schwieriger. Beispiel 9: Für einen festen Vektor ä und r = (x, y, z)T sollen grad (ä · berechnet werden. und rot (a X div (a X

n

n

Es ist div ä = 0, rot ä = 0 und ä' die Nullmatrix. Es ist div r = 3, rot r = 0 und f'' die 3 X 3-Einheitsmatrix E3. Damit wird grad(a· div (a X rot (a X

n n n

rotf'+ TX rota+ a'f'+f''a= 0+ 0 + 0 + a= a r · rot a - a · rot T = 0 - 0 = 0 div na - (div a)f' + a1T- T 1a = 3a - 0- 0- a = 2a a

(

X

n,

KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG IM JRN

142

Beispiel 10: Zentralsymmetrische harmonische Funktionen zentralsymmetrisch

Eine Funktion f heißt zentralsymmetrisch, wenn ihr Wert nur vom Abstand vom Ursprung abhängt. Im JR3 heißt das, daß man die F\mktionswerte in Kugelkoordinaten als Funktion von r allein beschreiben kann. Da die partiellen Ableitungen nach