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[a(r)l ~ fla(t)l. T(t), o producto escalar de um campo vectorialf definido sobre C pelo vector unitário tangen-
Integrais de linha
371
te T(l) ~ (da/ds). Nesta hipótese o integral de linha fc'l'ds é o mesmo que o integral
Jd· da porque
f[ct(t))· ct'(t)
· dct ds = f[ct(t)) · - - = f[ct(t)) ds dt
· T(t)s'(t)
=
Quando f representa o campo das velocidades, o produto escalar f· T dá a componente tangencial da velocidade, e o integral de linha fcf- T ds é o chamado imegral do fluxo de f ao longo de C. Quando C é uma curva fechada o integral do fluxo diz-se a circulação de f ao longo de C. Estes termos· são usuais na teoria do fluxo de fluídos. 10.8. Outras aplicações dos integrais de linha Os integrais de linha com respeito ao comprimento de arco ocorrem também em problemas relacionados com a distribuição de massas ao longo de uma curva. Por exemplo, imaginemos uma curva C no espaço tridimensional materializada por um fio de arame de densidade variável. Admitamos que a densidade é definida por um campo escalar q>, sendo q>(x, y, t) a massa por unidade de comprimento no ponto (x, y, z) de C. ~- Então a massa total M do fio é dada pelo integral de linha de q> relativo ao comprimento de arco: M =
fc
O centro de massa do fio é o ponto (x, ji, z) cujas coordenadas são dadas pelas fór-
mulas li
,_: i i
~-
~
i ~
xM
=
fc x
jiM =
J0 y
iM =
fc
z
Um fio de densidade constante diz-se homogéneo. Neste caso o centro de maSsa chamase também o centroide.
EXEMPLO I. Determinar a massa M de uma espira completa de uma mola em forma de hélice cilíndrica de equação vectorial ct(t) =a cos ti+ asentj
+ btk
se a densidade em (x, y, z) for x' + y' + z'. Resolução. O integral que define M é
1·
M
=
fc (x' + y' + z') ds = J.'• (a' cos t + a'sen' t + b't')s'(t) dt. 2
Porque s'(t) ~ Ha'(t)ll e a'(t) ~ -a sen tlt+ a cos tj + bk, tem-se s'(t) ~ ;;onsequente
.j a'+ b'
e
372
Cálculo M =
.Ja' + b
2
rb
Jo (a
+bt
2 2
2
)
di=
.Ja + b 2
2
(2rra +. s3rr b ) 3 2
2
•
Neste exemplo a coordenada Z do centro de massa é dada por zM
=
t
z(x'
= b.J a2
+ y' + z
2
)
ds
= .Ja 2 + b2
J:• bt(a' + b't') dt
+ b2 (2rr a + 4rr b 2 2
4 2 ).
A determinação das c~ordenadas x e y é pedida no Exercício 15 da Secção 10.9. Os integrais de linha podem utilizar-se para definir o momento de inércia de um fio em reláção a um eixo. Se 8(x, y, z) representa a distância de um ponto (x, y, z) de C um eixo L, o momento de inércia I L define-se pelo integral IL =
fc ó'(x, y, z)
em que q>(x, y, z) é a densidade em (x, y, z). Os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados representam-se por I x• Yy e I z EXEMPLO 2. Calcular o momento de inércia /z da espira completa de mola helicoidal referida no Exemplo I.
Resolução. Aqui 8'(x, y, z) = x' + y' =a' e tp(x, y, z) = x' + y'+ z', pelo que se terr I,=
J (x + y )(x + y + z )ds = a J (x'+y + z )ds = Ma 2
2
2
2
2
2
0
2
2
0
2
,
onde M é a massa que se calculou no Exemplo I. 10.9. Exercícios I. Um campo de forças[, no espaço tridimensional, é definido porf(x,y, i)= xi + yj + (xz- y)k. Calcular o trabalho efectuado por esta força ao deslocar uma partícula de (0, O, O) para (I, 2, 4), ao longo do segmento de recta unindo estes dOis pontos. 2. Determinar o trabalho total efectuad6 pela força f(x, y) = (x 2 - yl)i + 2xyj ao deslocar uma partícula (no sentido directo) percorrendo uma vez o quadrado ·definido pelos eixos coordenados e pelas rectas x = a e y = a, a > O. 3. Um campo de forças bidimenslonal f é definido pela equação f(x. y) = cxyi + xt>flj, com c uma constante positiva. Esta força actua sobre uma partícula fazendo deslocá-la desde (0, O) até à recta x = I ao longo de uma curva definida por
y=a:Xb.
onde
a> O
e
b
>o.
Determinar um valor de a (em função de c) tal que o trabalhO efectuado por esta força seja independente de b.
•
~,Integrais de linha
373
4. Um campo de forças f, no espaço tridimensional, é dado pela fórmula f(x, y, z)
~
yzi
+
+xzj + x(y + l)k. Calcular o trabalho efectuado por f ao deslocar uma partícula perco-
rrendo uma vez o contorno do triângulo de vértices (0, O, 0), (I, I, I), (-I, I, -I) por
esta ordem.
·
' 5. Calcular o trabalho efectuado por um campo de forçasf{x,y, z) ~ (y- z)i + (z -x)i + (x- y)k ao longo da curva de intersecção da esfera X 2 +r+ z 2 = 4 e o plano z = y tg 8, com O < 8 < n/2. A trajectória é percorrida no sentido directo para um observador perpendicular a XOY Segundo OZ positivo. 6. Calcular o trabalho efectuado pelo campo de forças f(x, y, z) = yli + z 2j + x 2k ao longo da curva de intersecção da esfera x 2 + Jo2 + z 2 = a 2 e o cilindro x 2 + y = ax, com z f; O e a> O. A trajectória é percorrida no sentido retrógrado quando observada do semi-eixo positivo
oz. Calcular os integrais de linha, com respeito ao comprimento de arco, nos Exercícios 7 a 10. 7. fc(x
+ y)d>,onde
C é o triângulo de vértices (0, 0), (I, O) e (0, 1), percorrida no sentido di-
recto.
f
8. c ylds, onde C tem a equação vectorial Ct(t)~
a(/-sent)i
+ a(l- cost)j,
f
9. c\X2 + jl)ds, onde C tem a equação vectOrial cr;(t) = a(cos t
+ tsen t)i + a(sent
-
t
cos t)j.
o :<;;t
:<;;h .
. 10. f cz ds, onde C tem a equação vectorial «(t) = tcosti
+ tsentj + tk,
11. Considerar um fio homogéneo de forma'semicircular de raio a. (a) Provar que o centro de massa está situado sobre o eixo de simetria a uma distância de 2ohr do centro. (b) Provar que o momento de inércia em relação ao diâmetro passando pelas extremidades do fio é fMa 1 , onde M é a massa dO lio. 12. Um fio tem a forma do circulo x 2 -+ y = a 2 • Determinar a sua massa e o momento de inércia · em relação a um diâmetro. sabendo que a densidade em (x, y) e jxj + IYIIJ. Determinar a .massa de um fio cuj~l fl>rma é a da curva de intersecção da· esfera x 2 + y + z 2 = I pelo plano x + y + z = O, se a densidade do fio em (x, y, z) é x 2 • 14. Um fio homogêneo tem a forma da porção da curva de intersecção da supeJficie x 2 + Y =rcom a superficie X, comprendida entre os pontos (0, O, O) e (I, I, y'2). Determinar a cota Z do seu centro de massa. 15. Determinar as coordenadas X e y do centro de massa de uma espira completa da mola refe. rida no .Exemplo I da secção 10.8. 16. Para a espira completa da mola referida no Exemplo I da Secção 10.8, calcular os momentos de inércia I x e 1_1.- _
r=
374
Cá/cu/c
I 0.10. Conjuntos conexos abertos. Independência da linha SejaS um conjunto aberto de R". O conjuntoS diz-se conexo (por arcos) se cada par de pontos de S pode unir-se mediante uma linha seccional mente regular cujo gráfico esteja situado em S, isto é, para cada. par de pontos a e b em Sexista uma linha seccional mente regular a:, definida num intervalo [a, bl, tal que a:( I) E S para cada t de [a, bl, com a:(a)= a e a:(b) = b. Na figura 10.3 estão representados três exemplos de conjuntos abertos conexos no plano. Exemplos correspondentes a estes, no espaço tridimensional seriam (a) um elipsoide, (b) um poliedro, e (c) um toro; em cada caso só são considerados os pontos interiores. Um conjunto aberto S diz-se que é não conexo se Sé a união de dois ou mais con-
(a) 1-l(j_ 10.3.
(b)
Exemplos d..: ..:onjumos
conexos
(c) ~1hcrtos
FIG. 10.4. Um conjunto n:u) conno S. a união de dois discos circulares disjuntos.
juntos abertos não vazios e disjuntos, de que se apresenta um exemplo na figura 10.4. Pode mostrar-se que a classe de conjuntos abertos conexos é idêntica à dos conjuntos abertos não conexost. Seja f um campo vectorial contíriuo num conjunto aberto conexo S. Sejam a e b dois pontos de S e consideremos o integral de linha de f de a e b ao longo de certa linha de S, seccionalmente regular. O valor do integral depende, em geral, da linha unindo a a b. Para certos campos vectoriais, o ·integral depende unicamente dos pontos extremos a e b e nãO da linha que os une. Nest~ caso dizemos que o integral é independente da linha unindo a a b. Dizemos que.o integral de linha de f e independente da linha ao longo da qual se define em s se e independente da linha unindo a a b para todo o par de pontos de S. Para i{ue campos vectoriais s4o os integrais _de linha independentes da linha ao longo do qual se definem? Para responder a esta questão vamos generalizar o primeiro e segundo teoremas fundamentais do cálculo aos integrais de Iiílha. 10.11. O segundo teorema fundamental do cálcülo para os integrais de linha O segundo teorema fundamental para funções reais, como se demOnstrou no Volume I (Teorema 5.3), estabelece que · t Para um estudio mais profundo da conexão de conjuntos. ver o cap. 8 da obra do mesmo autor Mathemalical Analy.-;i.'i. Addison-Wesley (edição -spanhola Análisis matemáJico, Edilorial Reverté. S. A., Barcelona).
'·" . \·
''~tntegrais de linha
375
J: qi(t) dt = cp(b)- cp(a), _;desde que rp'seja contínua em algum intervalo aberto contendo a e b. Para generalizar ~tste resultado aos integrais de linha necessitamos de uma versão ligeiramente mais ':forte do teorema em que a continuidade de rp' se supõe unicamente no intervalo aberto
((a, b). ,>
TEOREMA 10.2. Se (pé uma função real contínua num interralo Fechado [a, h] e se se ad:fftite que o integral J~({J '(t)dt existe e
J: cp'(t) dt
= cp(b)- cp(a).
Demonstração. Para cada x em la, bi definimos J(x) = J~ cp'(t)dt. Pretendemos provar que (!0.2)
f(b) = cp(b) - cp(a).
·Pelo teorema 3.4 do Volume I, f é contínua num intervalo fechado la, b]. Pelo teorema 5.1 do Volume I, f é derivável no intervalo aberto (a, b) comf'(x)= tp'(x) para ·:todo x em (a, b). Deste modo, pelo teorema 5.2 do Volume I, a diferença f- tp é :constante no intervalo aberto (a, b). Devido à continuidade, f- tp é também cons. tante no intervalo fechado la, bl. Em particular, f(b)- cp(b) = f(a)- tp(a). Mas como .,·f(a)= O, fica demonstrada ( 10.2) .• TEOREMA 10.3. SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO PARA INTEGRAIS Se tp é um campo escalar diferenciável, com gradiente continuo V cp num con-
DE LINHA:
junto conexo aberto S de Rn, então para dois quaisquer pontos a e b ligados por uma · linha sect;ionalrnente regular a em S tem-se
J: Vcp · d« =
cp(b) - cp(a).
Demonstração. Escolhamos doi~ pontos quaisquer a e bem Se unamo-los por uma linha seccionalmente regular a em S definida num intervalo (a, bl. Suponhamos em primeiro lugar que a é regular em (a, bl. Então o integral de linha de v 'I' de a a b ao longo de a é dado por
J:
Vcp · d«
=f: Vcp[«(t)]· «'(t) dt.
Mas Vcp[«(t)]· «'(t) = g'(t),
376
Cá/cu/,
onde g é a funçüo composta definida em [a, h[ pela fórmula g{t) = q>[ct(t)].
A derivada g' é contínua no intervalo aberto (a, b) porque Vq> é contínuo em Se a é regular. Portanto podemos aplicar o teorema 10.2 a g obtendo
J: Vq> · dct = J: g'(t) dt = g(b)- g(a) = q>[ct(b)] ~ q>[ct(a)] = q;(b)- q;(a). Isto demonstra o teorema se a é regular. Quando a é seccionalmerite regular efectuamos uma partição· do: intervalo.[ a·, b] num número finito (por exemplo r,) de subintervalos [t._, tkl, em cada um dos quais a seja regular e aplicamos o que açabámos de demonstrar a cada l!ID dos subintervalos. Obtemos então ·
J.
b
a
V
=I '
k=l
f.
{t
l
a '
V
e<(tk-1)
=Ir {
q;[ct(lk-1)]}
k=1
=
cp(a),
Como pretendíamos demonstrar. Como uma consequência do teorema 103 vemos que o integral de linha de-um -gradiente é independente da linha em qualquer conjunto aberto conexo S no qual o gradiente seja contínuo. Para uma linha fechada temos b =a; pelo que q>(b) -- ç•(a) =O. Por outras palavras, o integral de linha de um gradiente contínuo é zero ao longo de toda a linha fechada secciona/mente regular situada em S. Na Secção 10.14 provare.;:;os·(teorema 10.4) que os gradientes são os únicos c~mpos vectoriais contínuos gozando desta propriedade.
10.12. Aplicações à mecânica Se um campo vectorial f é o gradiente de um campo escalar q>, então q> chama-se uma função potencial para f. No espaço tridimensional, os conjuntos de nível de q> chamam-se superficies equipotenciais; no espaço bidimensional dizem-se linhas equipotenciais. (Se t:p representa a temperatura, a palavra uequipotencial"' aparece substituída por "isotérmica"; se t:p representa a pressão aparece a palavra "isobárica".). EXEMPLO I. No espaço tridimensional, seja
t:p(x, y, z) = rn, com r= (x 2 + y 2 + z 2 ) 1'
2
•
Para cada inteiro n temos
onde r~ xi + yj + zk. (Ver Exercício. 18 da Secção 8.14.) Por conseguinte q> é um potencial do campo vectorial
f(x,y, z) =
nr"~'r.
Ji
377
}Integrais de linha
f,
superfícies equipàtenciais de cp são esferas centradas na origem.
v.•
EXEMPLO 2. O potencial newtoniano. A lei de gravitação de Newton estabelece que a força f que numa partícula de massa M exerce sobre outra partícula-de massa m é um vector de grandeza GmM!r 2 , sendo G uma constante e r a distância entre as duaS partículas. Definindo a origem na partícula de massa M ·e sendo r = xi + }j + zk o vector posicional, em relação àquela origem, da partícula de massa m, então r=llrll e -r/r é um vector unitário com o mesmo sentido que f, pelo que a lei de Newton toma a forma
/= -GmMr-'r. ( Fazendo n = -I no Exemplo I, vemos que a força gravitacional f é o gradiente do \• campo escalar dado por p(x,y, z) = GmMr-1 • Este é o potencial nel.Vtoniano. O trabalho efectuado pela força gravitacional ao deslocar uma partícula de massa m de(x,, y,, z,) a (x,, y,, z,) é p(x 1 , y 1 , z 1)
-
p(x 2 , y 2 , z 2) = GmM
(.!.rl - .!.) , r2
onde r 1 = (x~ + y~ +. z~V 12 e r2 = (x~ + y~ + zD 1 n. Se os dois pontos pertencem à mesma superfície equipotendal então r, = r 2 e o trabalho é nulo.
..7
EXEMPLO 3. O princípio da conservação da energia mecânica. Seja f um campo de forças contínuas admitindo um potencial cp num conjunto aberto conexo S. O teorema 10.3 diz-nos que o trabalho efectuado por f ao deslocar uma partícula de a para .r, ao longo de qualquer linha seccionalmente regular em S. é q>(x)-q>(a), a variação da função potencial. No Exemplo 2 da Secção 10.6 prová mos que este trabalho é igual a variação da energia cinética da partícula, k(x)-k(a), representando k(x) a energia cinética da partícula quando colocada em x. beste modo, temos
k(x) - k(a) = p(x) - p(a),
ou (10.3)
k(x) - p(x) = k(a) - p(a).
O escalar -q>(x) chama-se a energia potencialt da partícula. Se a se considera fixo e se faz variar x no conjuntoS, a-equação (10.3) diz-nos que a soma de k(x) com -q>(x) é constante. Quer dizer, se uma campo de forçãs f é um gra1
!:
li. 1
t Alguns autores referem-se a -tp como sendo a função potencial de {pelo que a energia potencial em x será igual ao valor da [unção potencial• em x.
378
Cálculo
diente, a soma das energias cinética e potencial de uma partícula movendo-se neste campo é constante. Em Mecânica este é o chamado princípio de conservação da energia (mecânica). Um campo de forças admitindo uma função potencial diz-se conservativo porque
a ene.rgia total, soma das energias cinética e potencial, se conserva. -Num campo conservativo não se realiza trabalho algum no movimento de uma partícula ao longo de uma curva fechada voltando ao ponto de partida. Um campo de forças não será conservativo se no sistema existirem atrito ou viscosidade, uma vez que estes tendem a transformar energia mecânica em energia calorífica. 10.13. Exercícios I. Determinar quais dos seguintes conjuntos abertos S de R2 são conexos. Para cada conjunto
conexo definir dois pontos arbitrários distintos de S e explicar como se poderia encontrar em S uma curva seccionalmente regular de S ligando os dois pontos. (a) S = {(x,y) I x' + y' :2: 0}. (c) S = {(x,y) I x' + y' < 1}. (b) S ={(x,y)l x' +y' >0). (d) S ={(x,y)ll <x' +y' <2). (e) S={(x,y)lx'+y 2 >1 e (x-3) 2 +y2 >1}. (f) S={(x,y)lx'+y'
=: P(x,y)l + Q(x,y)j,
no qual as derivadas parCiais .CP! iJy e aQ/ax são continuas num conjunto abertoS, se fé o gradiente de certo potencial rp, provar que · ·
c:=m todo o poilto de S. 3. Para cada um dos campos vectoriais seguintes, utilizar o resultado do Exercício 2 para provar que f não é um gradiente. Detérminar então uma curva fechada C tal que f cf=F O. (a) f(x,y) = yi- xj. · (b) f(x, y) = yi + (xy - x)j. 4. Dado· um campo vectorial tridimensional f(x,y, z) = P(x,y, z)i
+ Q(x,y, z)j + R(x,y, z)k,
em que as derivadas parciais ôP ôP ôQ
ôQ
ay • Tz • ax • a; são contínuas num conjunto aberto S, se provar que ôP ay em cada ponto de S.
f
ôR
ôR
· ax • ay •
é o gtadiente de alguma função potencial rp,
ôQ
ôQ
ôR
õx'
Tz
= ôy
~Integrais
de linha
379
cada um dos seguintes campos vectoriais. aplicar o resultado do Exerdcio 4 para llf~~, 5. Para provar que f não é um gradiente. Determinar. depois numa curva fechada C tal quefcf O. f(x, y, z) ~ yi + xj + xk. :f:.
,:•,
(a) (b) f(x, y, z) ~ xyi
+ (x' + 1ll + z'k. 6. No espaço tridimensional um campo de forças f define-se pela equação f(x,y, z)
~
yi
+ zj + yzk.
(a) Determinar sefé ou não conservativo (b) Calcular o trabalho realizado ao deslocar uma partícula ao longo da curva definida por cr;(t)_ = cos ti +sen tj quando ·t varia de O a n. 7. Um campo de.forças bidimensional F define-se por
F(x,y)
~
(x
+ etk
+ y)i + (x- y)j.
(a) Provar que o trabalho realizado por esta força ao deslocar uma partícula ao longo da curva ct(l) ~ J(t)i
+ g(t)j'
a
~
t ~ b,
depende unicamente def(a),f(h). !((a) e g(b). · (b) Determinar o trabalho total realizado quandof(a) ~ l,f(b) ~ 2, g(a) 8. Um campo de forças define-se em coordenadas polares pela eguação
~
3. g(b)
~
4.
F(r,O) ~ -4 sen e i + 4 sen 8j. Calcular o trabalho realizado no deslocamento de uma partícula do ponto (I ,-O) até à origem, ao longo da espiral de equação r= e- 8• 9. Um campo de forças "central" F no plano pode definir-se por F (x, y) = f(r)r, com r= xi + }j e r = llrll. Provar que tal campo de forças é conservativo. 10. Determinar o trabalho realizado pela força F (x, y) = (3y 2 + 2)i + l6xj no deslocamento de uma partícula de (-I, O) a (I, O) ao longo da semi-elipse superior de equação h 2 x 2 + y 2 =Ir Para que elipse (isto é, para que valor de b) será mínimo o trabalho realizado?
10.14. O primeiro teorema fundamental do cálculo para integrais de linha Na Secção 10.11 generalizámos o segundo teorema fundamental do cálculo a inte-
grais de linha. Aqui vamos igualmente generalizar o primeiro teorema fundamental.. Lembramos que o prinieiro teorema fundamental estabelece que todo o integral indefinido de uma função contínua/tem uma derivàda igual a f, isto é, se cp(x) =
J: /(t) dt,
então nos pontos de continuidade de f temos
cp' (x) = f(x).
380
Cálculo
Para obtermos a generalizaçãO deste teorema aos integfais de linha começamos com um campo vectorial f. Contínuo num conjunto conexo aberto S, e integramo-lo ao longo de uma curva C seccional mente .regular entre um ponto fixq a de S a um
ponto arbitrário x. Designemos então por
