Maitrise de l'eurocode 2

Guide d’application

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Maîtrise de l’eurocode 2

Guide d’application

Jean Roux

Jean Roux

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2

Appliquer les méthodes de calcul de l’eurocode 2

Maîtrise de l’eurocode 2 complète l’ouvrage Pratique de l’eurocode 2 qui traite notamment du dimensionnement des éléments de base d’une structure en béton armé (tirant, poteau, poutre, dalle) par l’étude des efforts normal et tranchant, et des moments fléchissant et de torsion.

Maîtrise de l’eurocode 2 présente, à partir des lois classiques de la résistance des matériaux et des méthodes d’analyse des structures préconisées par l’eurocode 2, les justifications complémentaires à faire vis-à-vis du poinçonnement et des états limites d’instabilité de forme, de maîtrise de la fissuration, de déformation et de fatigue. Chaque chapitre comporte des rappels théoriques suivis d’une ou plusieurs applications traitées en détail. Les applications sont accompagnées de nombreuses informations utiles pour les calculs.

Permettre une transition entre l’application des règles françaises BAEL 91 et de l’eurocode 2 L’organisation de l’ouvrage s’apparente à celle de l’ouvrage Maîtrise du BAEL 91 paru chez le même éditeur, ce qui permet d’assurer la transition entre les Règles françaises amenées à disparaître et l’eurocode 2 destiné à les remplacer, en y introduisant les spécificités propres à ces nouvelles règles (ouverture des fissures, corbeaux, dispositions constructives, etc.).

Guide d’application

Afin d’harmoniser les règles de conception des structures en béton entre les états membres de l’Union européenne, les règles de calcul ont été unifiées avec la publication de l’eurocode 2. La phase finale de la rédaction des Annexes françaises de la norme NF EN 1992-1-1, « Eurocode 2 : Calcul des structures en béton - Partie 1-1 : Règles générales et règles pour les bâtiments » publiée par AFNOR en octobre 2005, a été achevée en 2007.

Maîtrise de l’eurocode 2

EURO CODE

Chapitre 1 — Analyse structurale J. Roux

Chapitre 2 — Instabilité de forme - Flambement Chapitre 4 — État limite de service de déformation Chapitre 6 — Corbeaux Chapitre 7 — État limite ultime de fatigue

Les fichiers relatifs à certaines annexes (méthodes simplifiées pour la double intégration de la courbure, analyse non linéaire – diagramme contraintes – déformations du béton) au format pdf sont disponibles à l’adresse suivante : www.editions-eyrolles.com

Cet ouvrage s’adresse aux étudiants en bâtiment et génie civil, aux techniciens, ingénieurs et projeteurs désireux d’acquérir les mécanismes et ordres de grandeur couramment pratiqués en calcul des ossatures en béton armé ou de mettre à jour et approfondir leurs connaissances dans ce domaine.

www.boutique-livres.afnor.org

Code éditeur : Eyrolles : G12160 ISBN EYROLLES : 978-2-212-12160-5 Code éditeur : Afnor 3273212 ISBN AFNOR : 978-2-12- 273212-0

Chapitre 5 — Poinçonnement

barbary-courte.com | Photos : Patrice LEFEBVRE | Entreprise QUILLE (quille.fr)

Chapitre 3 — État limite de service de maîtrise de la fissuration

Maîtrise de l’eurocode 2

Dans la même collection Eurocode 2 J.-M. Paillé. – Calcul des structures en béton, G12043, 2009. J. Roux. – Pratique de l’eurocode 2, G12044, 2009.

Eurocode 5 Y. Benoit, B. Legrand, V. Tastet. – Calcul des structures en bois, 2e édition, G12481,

(à paraître en 2009).

Eurocode 6 M. Hurez, N. Juraszek, M. Pelcé. – Dimensionner les ouvrages de maçonnerie, G12280,

2009.

Eurocode 8 V. Davidovici. – Constructions parasismiques (à paraître en 2009).

Le programme des Eurocodes structuraux comprend les normes suivantes, chacune étant en général constituée d’un certain nombre de parties : EN 1990 Eurocode 0 : Bases de calcul des structures EN 1991 Eurocode 1 : Actions sur les structures EN 1992 Eurocode 2 : Calcul des structures en béton EN 1993 Eurocode 3 : Calcul des structures en acier EN 1994 Eurocode 4 : Calcul des structures mixtes acier-béton EN 1995 Eurocode 5 : Calcul des structures en bois EN 1996 Eurocode 6 : Calcul des structures en maçonnerie EN 1997 Eurocode 7 : Calcul géotechnique EN 1998 Eurocode 8 : Calcul des structures pour leur résistance aux séismes EN 1999 Eurocode 9 : Calcul des structures en aluminium Les normes Eurocodes reconnaissent la responsabilité des autorités réglementaires dans chaque État membre et ont sauvegardé le droit de celles-ci de déterminer, au niveau national, des valeurs relatives aux questions réglementaires de sécurité, là où ces valeurs continuent à différer d’un État à un autre.

Maîtrise de l’eurocode 2

Jean Roux

ÉDITIONS EYROLLES 61, bd Saint-Germain 75240 Paris Cedex 05 www.editions-eyrolles.com

AFNOR éditions 11, rue Francis-de-Pressensé 93571 La Plaine Saint-Denis Cedex www.boutique-livres.afnor.org

Le code de la propriété intellectuelle du 1er juillet 1992 interdit en effet expressément la photocopie à usage collectif sans autorisation des ayants droit. Or, cette pratique s’est généralisée notamment dans les établissements d’enseignement, provoquant une baisse brutale des achats de livres, au point que la possibilité même pour les auteurs de créer des œuvres nouvelles et de les faire éditer correctement est aujourd’hui menacée. En application de la loi du 11 mars 1957, il est interdit de reproduire intégralement ou partiellement le présent ouvrage, sur quelque support que ce soit, sans l’autorisation de l’Éditeur ou du Centre Français d’exploitation du droit de copie, 20, rue des Grands Augustins, 75006 Paris. © AFNOR et Groupe Eyrolles, 2009. ISBN AFNOR : 978-2-12-273212-0 ISBN Eyrolles : 978-2-212-12160-5

TABLE DES MATIÈRES

Avant-propos .......................................................................................... 1. 2. 3. 4. 5.

1

Présentation des eurocodes et de l’ouvrage .................................. Références règlementaires ............................................................ Numérotation des formules ........................................................... Couleurs des figures ...................................................................... Notations et symboles particuliers ................................................

1 2 3 4 4

Notations et symboles .........................................................................

7

1. Majuscules romaines ..................................................................... 2. Minuscules romaines .................................................................... 3. Majuscules ou minuscules grecques .............................................

7 10 14

1

Analyse structurale ....................................................................... 17 I. RAPPELS THÉORIQUES ........................................................... 1. Définition ...................................................................................... 2. Modélisation des structures ........................................................... 2.1

17 17 17

Éléments de structures .................................................................... 2.1.1 Poutre et poutre-cloison ..................................................... 2.1.2 Poteaux et voiles ................................................................ 2.1.3 Dalles .................................................................................. Largeur participante des poutres en T ............................................ Portées utiles des poutres et dalles .................................................. 2.3.1 Définitions – Principes ....................................................... 2.3.2 Portées à prendre en compte dans les calculs ..................... Imperfections géométriques ............................................................ 2.4.1 Cas des éléments isolés et des ponts .................................. 2.4.2 Cas des structures ............................................................... Moments sur appuis – Vérifications ...............................................

18 18 18 18 19 20 20 22 22 24 26 26

3. Méthodes de calcul .......................................................................

27

2.2 2.3

2.4

2.5 3.1

3.2 3.3 3.4

3.5

Types d’analyse structurale ............................................................ 3.1.1 Analyse vis-à-vis des états limites de service .................... 3.1.2 Analyse vis-à-vis de l’état limite ultime ............................ Analyse élastique linéaire ............................................................... Analyse linéaire avec redistribution limitée des moments ............. Analyse plastique ............................................................................ 3.4.1 Dispense de la vérification de la capacité de rotation ........ 3.4.2 Vérification de la capacité de rotation ............................... 3.4.3 Analyse par la méthode avec bielles et tirants ................... Analyse non linéaire ......................................................................

28 28 28 28 29 30 31 31 33 34

VI

4. Analyse structurale des poutres et des portiques .......................... 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

34 35 35 35 35 35 36

5. Analyse structurale des dalles .......................................................

36

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

2

34

Analyse élastique et linéaire .......................................................... Analyse linéaire avec redistribution limitée des moments ............. Analyse plastique ........................................................................... Analyse non linéaire ...................................................................... Dispositions constructives – Aciers en chapeau ............................ 4.5.1 Chapeaux sur appuis de rive .............................................. 4.5.2 Chapeaux sur appuis intermédiaires .................................. Analyse élastique et linéaire .......................................................... Analyse linéaire avec redistribution limitée des moments ............. Analyse plastique ........................................................................... Analyse non linéaire ...................................................................... Dispositions constructives ............................................................. 5.5.1 Armatures de flexion ......................................................... 5.5.2 Armatures d’effort tranchant .............................................

37 37 37 38 38 38 41

II. APPLICATIONS .......................................................................... Application n˚ 1 : analyse d’une poutre ........................................

42 42

–Énoncé– .................................................................................................. –Corrigé– .................................................................................................

42 43

Application n˚ 2 : analyse d’une poutre continue .........................

52

–Énoncé– .................................................................................................. –Corrigé– .................................................................................................

52 53

Instabilité de forme – Flambement ....................................... 69 I. RAPPELS THÉORIQUES ........................................................... 1. Rappels de résistance des matériaux ............................................. 1.1 1.2

69 69

Force critique d’Euler .................................................................... Amplification de la déformée d’une poutre comprimée ................ 1.2.1 Équation différentielle de la ligne moyenne déformée ..... 1.2.2 Solution de l’équation de la ligne moyenne déformée – Coefficient d’amplification ............................................ 1.2.3 Excentricités du premier et du second ordre .....................

71 73

2. Classification des structures et des éléments structuraux .............

75

2.1 2.2

69 70 71

Éléments contreventés et non contreventés ................................... Cas des poteaux isolés ................................................................... 2.2.1 Élancement ........................................................................ 2.2.2 Cas des sections rectangulaires ......................................... 2.2.3 Cas des sections circulaires ............................................... Cas des éléments de structure isolés ..............................................

75 75 75 76 76 76

3. Imperfections géométriques .......................................................... 4. Méthode générale ..........................................................................

78 78

2.3

4.1 4.2

4.3

Domaine d’application ................................................................... Hypothèses complémentaires ......................................................... 4.2.1 Hypothèses mécaniques .................................................... 4.2.2 Hypothèse géométrique supplémentaire ........................... Excentricité « externe » .................................................................

79 80 80 82 83

Table des matières

4.4 4.5 4.6

Excentricité « interne » ................................................................... Étude de l’équilibre ......................................................................... Méthode de l’équilibre – Méthode des déformations internes ....... 4.6.1 Méthode générale ............................................................... 4.6.2 Méthode simplifiée ............................................................. 4.6.3 Remarque ........................................................................... Cas des sections rectangulaires à deux nappes d’armatures ...........

84 85 87 87 87 88 88

5. Dispense de la vérification de l’état limite ultime de stabilité de forme (flambement) .................................................................

92

4.7

5.1 5.2

Cas des éléments isolés ................................................................... Cas des structures ...........................................................................

92 94

6. Méthodes ramenant la vérification de stabilité de forme à un calcul de section – Méthode de la rigidité .............................

95

6.1 6.2

Domaine de validité ........................................................................ Rigidité nominale ............................................................................ A 6.2.1 Cas où 0,002 ≤ ρ = ------s < 0,01 ......................................... Ac 6.2.2

6.3 6.4 6.5

A Cas où ρ = ------s ≥ 0,01 ...................................................... Ac

Principe de la méthode .................................................................... Cas des poteaux isolés avec excentricités du premier ordre différentes aux deux extrémités ...................................................... Processus d’application de la méthode de la rigidité ......................

95 95 96 96 97 99 99

7. Méthodes ramenant la vérification de stabilité de forme à un calcul de section – Méthode de l’estimation de la courbure ................................................................................ 101 7.1 7.2

7.3

Domaine de validité ........................................................................ Principe de la méthode .................................................................... 7.2.1 Introduction ........................................................................ 7.2.2 Moment de calcul de l’élément .......................................... 7.2.3 Courbure ............................................................................. Processus d’application de la méthode de l’estimation de la courbure .................................................................................

101 101 101 106 107 109

II. APPLICATIONS .......................................................................... 111 Application n˚ 1 : vérification au flambement par la méthode de l’équilibre (charges quelconques) ............................................ 111 –Énoncé– .................................................................................................. 111 –Corrigé– .................................................................................................. 112

Application n˚ 2 : dimensionnement des armatures par la méthode de la rigidité .................................................................................. 124 –Énoncé– .................................................................................................. 124 –Corrigé– .................................................................................................. 125

Application n˚ 3 : vérification au flambement par la méthode de l’estimation de la courbure ....................................................... 138 –Énoncé– .................................................................................................. 138 –Corrigé– .................................................................................................. 139

VII

VIII

Application n˚ 4 : dimensionnement des armatures par la méthode de l’estimation de la courbure .............................. 148 –Énoncé– .................................................................................................. –Corrigé– .................................................................................................

3

148 149

État limite de service de maîtrise de la fissuration ........... 161 I. 1. 2. 3.

RAPPELS THÉORIQUES ........................................................... Considérations générales ............................................................... Exigences ...................................................................................... Section minimale d’armatures ......................................................

161 161 162 163

3.1 3.2

163 165

Cas général ..................................................................................... Cas des sections rectangulaires ......................................................

4. Calcul des ouvertures de fissures .................................................. 166 4.1 4.2

4.3

4.4 4.5

Introduction .................................................................................... Principe du calcul ........................................................................... 4.2.1 Ouverture moyenne des fissures ........................................ 4.2.2 Distance moyenne srm entre fissures ................................. 4.2.3 Allongement relatif de l’armature par rapport au béton .... Espacement maximal des fissures sr, max ...................................... 4.3.1 Armatures tendues avec faible espacement ....................... 4.3.2 Armatures tendues avec espacement important ................ 4.3.3 Éléments armés dans deux directions orthogonales .......... Ouverture calculée des fissures ..................................................... Vérification ....................................................................................

166 169 169 170 170 174 174 175 176 176 178

5. Contrôle de la fissuration sans calcul direct .................................. 178 5.1 5.2

Cas des dalles de bâtiment ............................................................. Autres cas ....................................................................................... 5.2.1 Fissuration due principalement aux déformations gênées ... 5.2.2 Fissuration due principalement aux charges .....................

178 178 179 180

6. Armatures de peau ........................................................................ 181 6.1 6.2

Domaine d’application ................................................................... Armatures de peau supplémentaires ..............................................

181 181

II. APPLICATION ............................................................................ 182 Application : section rectangulaire – Maîtrise de la fissuration .... 182 –Énoncé– .................................................................................................. –Corrigé– .................................................................................................

4

182 182

État limite de service de déformation ................................... 197 I. RAPPELS THÉORIQUES ........................................................... 197 1. Généralités .................................................................................... 197 1.1 1.2 1.3

Influence de la fissuration sur la flèche ......................................... Influence de la durée d’application des charges sur la déformée .. Influence de l’inertie ...................................................................... 1.3.1 Rappels de résistance des matériaux ................................. 1.3.2 Particularités du béton armé ..............................................

197 198 198 198 199

Table des matières

2. Calcul des flèches à l’état limite de service de déformation ......... 200 2.1 2.2

2.3

Section entièrement comprimée ..................................................... Section partiellement tendue ........................................................... 2.2.1 Courbure dans l’état fissuré .............................................. 2.2.2 Courbure dans l’état non fissuré ........................................ 2.2.3 Déformations ..................................................................... 2.2.4 Méthode de la double intégration de la courbure ............... 2.2.5 Paramètres de déformation ................................................. 2.2.6 Calcul des flèches ............................................................... Méthodes simplifiées ...................................................................... 2.3.1 Méthode basée sur une variation linéaire de la courbure .. 2.3.2 Méthode basée sur une variation de la courbure identique à celle du moment fléchissant ............................................

200 200 200 203 205 205 208 209 210 210 212

3. Bâtiments courants ........................................................................ 217 3.1 3.2 3.3

Vérification de la flèche .................................................................. Vérification des flèches par le calcul .............................................. Dispense de la vérification .............................................................. 3.3.1 Rapports de base portée sur hauteur utile .......................... 3.3.2 Corrections des valeurs /d ................................................

217 218 218 218 224

4. Prise en compte du retrait et du fluage .......................................... 225 4.1 4.2

Module d’élasticité du béton .......................................................... 225 Effets du retrait ............................................................................... 226

II. APPLICATIONS .......................................................................... 227 Application n˚ 1 : poutre sur deux appuis simples – Flèche ......... 227 –Énoncé– .................................................................................................. 227 –Corrigé– .................................................................................................. 228

Application n˚ 2 : flèche d’une dalle de plancher ......................... 240 –Énoncé– .................................................................................................. 240 –Corrigé– .................................................................................................. 241

5

Poinçonnement ............................................................................ 245 I. RAPPELS THÉORIQUES ........................................................... 245 1. Contours de référence ................................................................... 247 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Définitions ...................................................................................... Aire chargée éloignée d’un bord libre ............................................ Aire chargée près d’une ouverture .................................................. Aire chargée proche de bords libres ............................................... Cas des poteaux avec chapiteaux (planchers-dalles) ...................... 1.5.1 Cas des poteaux circulaires ................................................ 1.5.2 Cas des poteaux rectangulaires ..........................................

247 248 249 249 250 250 251

2. Résistances au poinçonnement ..................................................... 253 2.1

Contraintes tangentes résistantes .................................................... 253 2.1.1 Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle ou d’une semelle de poteau sans armatures de poinçonnement .............................................................. 253

IX

X

2.1.2

2.2

2.3

2.4

Valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle ou d’une semelle de poteau avec ou sans armatures de poinçonnement ....... 2.1.3 Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle ou d’une semelle de poteau avec armatures de poinçonnement .............................................................. Vérification de la valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement .......................................................................... 2.2.1 Contrainte maximale de poinçonnement ........................... 2.2.2 Vérification ........................................................................ Dalles ou semelles de poteaux sans armatures de poinçonnement ..... 2.3.1 Contrainte maximale de poinçonnement ........................... 2.3.2 Vérification ........................................................................ Dalles ou semelles de poteaux avec armatures de poinçonnement ..... 2.4.1 Contrainte maximale de poinçonnement ........................... 2.4.2 Calcul des armatures de poinçonnement ........................... 2.4.3 Contour de la zone avec armatures de poinçonnement ..... 2.4.4 Dispositions constructives ................................................. 2.4.5 Section minimale d’armatures de poinçonnement ............ 2.4.6 Barres relevées utilisées comme armatures de poinçonnement ..............................................................

255

255 256 256 263 264 264 264 265 265 265 265 266 267 267

II. APPLICATIONS .......................................................................... 269 Application n˚ 1 : étude au poinçonnement d’une dalle – Aire chargée circulaire .......................................................................... 269 –Énoncé– .................................................................................................. –Corrigé– .................................................................................................

269 269

Application n˚ 2 : étude au poinçonnement d’une dalle – Aire chargée rectangulaire .................................................................... 272 –Énoncé– .................................................................................................. –Corrigé– .................................................................................................

6

272 273

Corbeaux ........................................................................................ 281 I. 1. 2. 3.

RAPPELS THÉORIQUES ........................................................... Définition ...................................................................................... Vérification de la compression des bielles de béton ..................... Armatures ......................................................................................

281 281 283 285

3.1 3.2 3.3

285 286 287 287 287

Armatures supérieures tendues ...................................................... Armatures horizontales de répartition ............................................ Armatures verticales ...................................................................... 3.3.1 Cas où ac ≤ 0,5.hc ............................................................. 3.3.2 Cas où ac > 0,5.hc .............................................................

4. Dispositions constructives ............................................................. 288 II. APPLICATION ............................................................................ 290 Application : console courte ......................................................... 290 –Énoncé– .................................................................................................. –Corrigé– .................................................................................................

290 291

Table des matières

7

État limite ultime de fatigue ..................................................... 297 I. RAPPELS THÉORIQUES ........................................................... 297 1. Introduction ................................................................................... 297 2. Combinaisons d’actions ................................................................ 297 2.1 2.2

Combinaison de base ...................................................................... 298 Combinaison de base plus action cyclique ..................................... 298

3. Calcul des contraintes ................................................................... 299 4. Vérification pour les armatures ..................................................... 299 4.1

4.2 4.3 4.4 4.5

Vérification explicite de l’endommagement .................................. 4.1.1 Principe de la vérification .................................................. 4.1.2 Caractéristiques de la courbe S-N ...................................... 4.1.3 Processus de vérification .................................................... 4.1.4 Remarque ........................................................................... Cas de cycles multiples d’étendue variable .................................... Méthode de l’étendue de contrainte équivalente ............................ Cas particuliers ............................................................................... Cas des armatures d’âme ................................................................ 4.5.1 Inclinaison des armatures d’âme à prendre en compte ...... 4.5.2 Vérification ........................................................................

299 299 300 301 302 303 303 303 304 304 305

5. Vérification pour le béton comprimé ............................................ 305 5.1 5.2

Éléments pour lesquels aucune armature d’âme n’est requise ....... 305 Éléments comportant des armatures d’âme .................................... 306

II. APPLICATION ............................................................................ 309 Application : section rectangulaire sans aciers comprimés .......... 309 –Énoncé– .................................................................................................. 309 –Corrigé– .................................................................................................. 310

Annexe ....................................................................................................... 317 Bibliographie............................................................................................ 333 Index........................................................................................................... 335

XI

Avant-propos 1.

Présentation des eurocodes et de l’ouvrage Le programme des eurocodes structuraux constitue un ensemble de textes cohérents dans le domaine de la construction. Il comporte les normes suivantes, chacune étant, en général, constituée d’un certain nombre de parties : EN 1990 eurocode 0 : Bases de calcul des structures, EN 1991 eurocode 1 : Actions sur les structures, EN 1992 eurocode 2 : Calcul des structures en béton, EN 1993 eurocode 3 : Calcul des structures en acier, EN 1994 eurocode 4 : Calcul des structures mixtes acier-béton, EN 1995 eurocode 5 : Calcul des structures en bois, EN 1996 eurocode 6 : Calcul des structures en maçonnerie, EN 1997 eurocode 7 : Calcul géotechnique, EN 1998 eurocode 8 : Calcul des structures pour leur résistance aux séismes, EN 1999 eurocode 9 : Calcul des structures en aluminium. L’eurocode 2, pour sa part, comporte les parties suivantes : Partie 1-1 : règles générales et règles pour les bâtiments, Partie 1-2 : règles générales – Calcul du comportement au feu, Partie 2 : ponts en béton – Calcul et dispositions constructives, Partie 3 : silos et réservoirs. Les eurocodes structuraux constituent des normes européennes transposables en normes nationales dans les pays suivants : Allemagne, Autriche, Belgique, Chypre, Danemark, Espagne, Estonie, Finlande, France, Grèce, Hongrie, Irlande, Islande, Italie, Lettonie, Lituanie, Luxembourg, Malte, Norvège, PaysBas, Pologne, Portugal, République Tchèque, Royaume-Uni, Slovaquie, Slovénie, Suède et Suisse. Les normes nationales transposant les eurocodes comprennent la totalité du texte des eurocodes (toutes annexes incluses). Ce texte peut être : • précédé d’une page nationale de titres et par un avant-propos national, • et eventuellement suivi d’une Annexe nationale. Ces normes nationales sont amenées à se substituer aux textes réglementaires correspondants en vigueur dans les pays européens cités ci-dessus. Ainsi, en France, l’eurocode 2 remplacera définitivement les Règles BAEL 91 pour le béton armé et BPEL 91 pour le béton précontraint en mars 2010.

2

Le présent ouvrage est établi à partir des normes européennes et de leurs Annexes nationales françaises suivantes : • EN 1992-1-1 : eurocode 2 : calcul des structures en béton – Partie 1-1 : règles générales et règles pour les bâtiments (décembre 2004), • EN 1992-2 : eurocode 2 : calcul des structures en béton – Partie 2 : ponts en béton – calcul et dispositions constructives (mai 2006), • NF EN 1992-1-1/NA : eurocode 2 : calcul des structures en béton – Partie 11 : règles générales et règles pour les bâtiments – Annexe nationale à la NF EN 1992-1-1 : 2005 (mars 2007), • NF EN 1992-2/NA : eurocode 2 : calcul des structures en béton – Partie 2 : ponts en béton – calcul et dispositions constructives – Annexe nationale à la NF EN 1992-2 (avril 2007). Le lecteur est invité à s’assurer que les documents de référence n’ont pas évolué depuis ces versions. Nous ne développerons, dans cet ouvrage que les parties de l’eurocode 2 relatives au béton armé, en laissant de côté celles applicables au béton précontraint. Certaines données et formules ont été volontairement répétées dans plusieurs chapitres pour éviter au lecteur d’effectuer des recherches dans le premier chapitre où elles ont été définies (c’est le cas par exemle de la longueur de flambement qui intervient dans le calcul des poteaux et dans la vérification au flambement). Le texte qui suit a été rédigé en adoptant les principes énumérés ci-après.

2.

Références règlementaires Les références réglementaires relatives à l’eurocode 2 (parties 1 ou 2), sont indiqués dans des notes de bas de page reprenant les numéros des articles de l’eurocode 2 après le sigle « EC 2 ». La différenciation entre les deux parties s’effectuant par le numéro entre parenthèses qui est supérieur à 100 pour la partie 2 relative aux ponts. Lorsque ces références ne concernent pas l’eurocode 2, elles sont indiquées de la même façon, sans le sigle « EC 2 ». Lorsque le texte réglementaire renvoie à une annexe nationale, la référence, portée en bas de page, est : « voir AN » après le sigle « EC 2 ».

Avant-propos

3.

Numérotation des formules Les numéros des formules figurant dans l’eurocode 2 (ou dans tout autre texte réglementaire) sont indiqués, entre parenthèses et en gras, en regard de la formule concernée. Pour les besoins de l’exposé, lorsqu’il a été nécessaire de numéroter des formules, cette numérotation est indiquée, en caractères normaux placés entre crochets, à la suite de la formule visée. Cette numérotation comporte deux nombres, séparés par un point : • le premier correspond au numéro du chapitre de l’ouvrage, • le second est un numéro d’ordre à l’intérieur de ce chapitre. Exemple :

60

2.

Disposition des armatures c o

o

o o

o o

c

2.1

Enrobage On appelle enrobage la distance du nu d’une armature à l’arrase de béton la plus proche (c = cover en anglais). L’« enrobage nominal » doit être spécifié sur les plans1 : c nom

c min

c dev

(7.8)

avec : c min = enrobage minimal,

Corps du texte

c dev = marge pour tolérances d’exécution. et formules

2.2

Références de la formule dans l’EC 2

Enrobage minimal L’« enrobage minimal » doit être assuré afin de garantir2 : • une transmission correcte des forces d’adhérence ;

Numéro de la formule du chapitre

• la protection de l’acier contre la corrosion ; • une résistance au feu convenable. c min, b , c min

Max c min, dur

c dur ,

c dur , st

10 mm.

1. 2. 3.

EC 2 – 4.4.1.1 EC 2 – 4.4.1.2 (1)P EC 2 – 4.4.1.2 (2)P

Références au texte de l’EC 2 en note de bas de page

c dur , add ,

3

[4.1]

3

4

Les annexes sont repérées de la façon suivante par des renvois situés en bas de page : • [Annexe A1] : pour celles relatives au texte de l’ouvrage (repérage par la lettre A suivi d’un chiffre arabe), • [Annexe 1] : pour celles disponibles en ligne sur www.editions-eyrolles.com sur la fiche de l’ouvrage (repérage par un chiffre arabe), • EC 2 – Annexe J 3.2 : pour celles figurant dans les textes règlementaires (repérage, après le sigle EC2, par la lettre de l’annexe suivie éventuellement de chiffres arabes renvoyant au paragraphe de la dite annexe).

4.

Couleurs des figures Les couleurs utilisées pour les figures illustrant cet ouvrage respectent autant que faire se peut les règles suivantes : 1/ pour la résistance des matériaux : – rouge : moment fléchissant, – bleu : effort tranchant, – vert : effort normal, centre de pression. 2/ pour le béton armé : – rouge : armatures longitudinales tendues, parties tendues des diagrammes des contraintes ou des déformations, – bleu : parties comprimées des diagrammes des contraintes ou des déformations, bielles de béton comprimé, – vert : armatures d’âme et armatures transversales.

5.

Notations et symboles particuliers Les symboles et notations utilisés dans cet ouvrage sont conformes aux symboles et notations utilisés dans l’eurocode 2. Néanmoins, pour plus de clarté, d’autres notations sont apparues nécessaires ; La symbolisation adoptée alors respecte les principes énoncés par ces Règles pour les notations. La terminologie employée a été parfois volontairement simplifiée pour éviter d’avoir des définitions trop longues. Par exemple, on utilise « section » (ou « aire ») pour désigner « l’aire d’une section droite » ; de même, les termes « moment d’inertie » ou même « inertie » sans autre précision, désignent le « moment d’inertie d’une section à plan moyen par rapport à l’axe perpendiculaire au plan moyen passant par le centre de gravité de celle-ci », etc. Les sigles ELU et ELS signifient respectivement « état-limite ultime » et « état limite de service ». Le sigle AN signifie « axe neutre ».

Avant-propos

Pour ne pas alourdir les formules, le signe multiplié (x) a été systématiquement remplacé par un point (.). Les symboles utilisés sont les suivants : • X valeur absolue de X, • cf confer, • Cste valeur constante, • O.K. vérification assurée, n

•

∑ Ak

• • • • • • • • • • • •

⇒

k =1

⇔

/ << >> >< ≈ ∀

≠ max min

n

∑ A k = A1 + A 2 + ... + A k + ... + A n ,

k =1

implique, équivalent à, pas inférieur à, pas supérieur à, très inférieur à, très supérieur à, comparé à, sensiblement égal à, quel que soit, différent de, maximal, minimal.

Le surlignage est utilisé pour distinguer une valeur limite (par exemple une contrainte) définissant un état limite de service.

5

Notations et symboles Dans le tableau ci-dessous : • la première colonne comporte les notations et symboles extraits des Règles eurocode 2 et utilisés dans le présent ouvrage, • la seconde colonne reprend les définitions attachées aux symboles précédents, • la troisième colonne indique les notations correspondantes des Règles françaises BAEL 91. Remarque Lorsqu’une grandeur figurant dans les Règles EC 2 n’est pas utilisée dans les Règles BAEL 91, la ligne correspondante ne comporte pas de symbole dans la troisième colonne.

1.

Majuscules romaines

Notations EC 2

Signification

Notations BAEL 91

A

surface totale d’une section délimitée par le périmètre extérieur, aires des parties creuses comprises (torsion),

Ac

aire de la section droite (béton seul),

A c , eff

aire de la section effective de béton autour des armatures tendues,

A cont

aire de contrôle de référence,

A ct

aire de la zone de béton éventuellement tendu, aire de la zone de béton tendu avant la formation de la pre- Bt mière fissure,

Ad

valeur représentative d’une action accidentelle,

FA

A Ed

valeur représentative d’une action sismique,

FA

Ak

aire du contour tracé à mi-épaisseur des parois d’une section Ω creuse,

A load

aire chargée,

AN

axe neutre = axe des déformations (ou des contraintes) nulAN les,

B0 ou B

8

A sf

aire totale des armatures longitudinales tendues, section des barres longitudinales situées dans le talon d’une A poutre à talon, section d’un cours d’armatures de liaison (jonction hourdisAs + A i nervure),

A s, inf

aciers inférieurs d’une dalle,

∑ Asl A s, min

section complémentaire d’armatures longitudinales nécessaire pour la torsion, section minimale d’armatures dans la zone tendue pour la maîtrise de la fissuration,

A s, prov

section d’armatures effectivement prévue,

A s, req

section d’armatures requise par le calcul,

A s, sup

aciers supérieurs d’une dalle,

A s, surf

section des armatures de peau,

A sw

section d’une nappe d’armatures d’âme, aire d’un cours d’armatures de poinçonnement sur un périmètre autour d’une aire chargée,

At

A swr

section d’une nappe de barres relevées,

Ar

As

∑ Al A min

A s1

aire d’une armature longitudinale, aire totale des armatures longitudinales tendues, section des barres longitudinales situées dans une saillie de table,

A s2

aire totale des armatures longitudinales comprimées,

A’

∑ As, ink

Section totale d’armatures de répartition d’une console courte : • horizontales, • ou verticales,

∑ Ar

A s, main

armatures supérieures tendues d’une console courte,

A

E cd

module d’élasticité de calcul du béton,

E c , eff

module d’élasticité effectif tangent du béton,

E vj

E cm

module de déformation instantanée du béton,

E bi

Es

module d’élasticité de l’acier,

Es

Fc

résultante des efforts de compression dans le béton,

Fbc

FEd

effort vertical ultime (consoles courtes),

Vu

A sl

A A1

∑ A tv

Notations et symboles

FEd, sup

réaction d’appui,

Fsc

résultante des efforts dans la zone comprimée d’une section, Fbsc

Fs1

résultante des efforts dans les armatures tendues,

Fs

Fs2

résultante des efforts dans les aciers comprimés,

Fsc

G kj, sup

valeur caractéristique de l’action permanente défavorable,

G max

G kj, inf

valeur caractéristique de l’action permanente favorable,

G min

H Ed

effort horizontal ultime (consoles courtes),

Hu

I ch

moment d’inertie de la section droite fissurée (section homogène réduite), moment d’inertie de la section droite non fissurée (section homogène non réduite),

Mcr

moment de fissuration,

Mf

Mlu

moment limite ultime,

Mlu

Mrc

moment résistant béton,

Mrb

I cf

I1

MTu

moment fléchissant de service de référence pour le calcul des MTser sections en T, moment fléchissant ultime de référence pour le calcul des MTu sections en T,

MEd

moment fléchissant ultime,

M0 e

moment du premier ordre équivalent,

MTser

Mu

NB

moment du premier ordre (à l’ELU) tenant compte des imperfections géométriques, moment de service du premier ordre sous la combinaison d’actions quasi permanente (ELS), charge de flambement évaluée sur la base de la méthode de la rigidité nominale,

N Ed

effort normal de compression à l’ELU,

Nu

Qk, i

valeur caractéristique d’une action variable, valeur caractéristique des actions variables « d’accompagnement »,

Qi

Q k, 1

valeur caractéristique de l’action variable « dominante »,

Q1

TEd

couple de torsion,

Tu

M 0 Ed MOEqp

9

10

Vccd

couple maximal de torsion auquel peuvent résister les bielles de béton comprimées, composante parallèle à VRd, s de la force de compression dans la membrure comprimée d’une poutre de hauteur variable,

VEd

effort tranchant de calcul à l’ELU dû aux charges appliquées,

TRd, max

effort tranchant résistant de calcul d’un élément sans armatures d’effort tranchant, effort tranchant de calcul maximal pouvant être supporté sans provoquer l’écrasement des bielles de béton comprimé, effort tranchant de calcul pouvant être supporté par un élément avec armatures d’effort tranchant travaillant à la limite d’élasticité, composante parallèle à VRd, s de la force de traction dans les armatures tendues d’une poutre de hauteur variable.

VRd , c VRd, max VRd , s Vtd

2.

Vu

Minuscules romaines

Notations EC 2

Signification

Notations BAEL 91

beff

distances libres verticale ou horizontale entre barres et/ou ev , eh paquets de barres, distance de la ligne d’application de FEd à la face la plus a proche du poteau (consoles courtes), distance de la face supérieure du dispositif d’appui à la ligne moyenne des armatures les plus proches de la face supérieure d’une console courte, largeur participante de la table de compression d’une section b en T,

bt

largeur moyenne de la zone tendue d’une section,

a ac aH

largeur d’une section rectangulaire, largeur de l’âme d’une section en T, diamètre d’un poteau, distance des barres longitudinales à la paroi la plus proche (torsion),

bw c

enrobage minimal,

c min c min,

b

c min, dur

enrobage minimal vis-à-vis des exigences d’adhérence, enrobage minimal vis-à-vis des conditions d’environnement,

b0 b0

Notations et symboles

c nom

enrobage nominal,

d

distance du centre de gravité des armatures tendues à la fibre la plus comprimée d’une section droite, d hauteur utile des armatures les plus proches de la face supérieure d’une console courte,

dg

grosseur maximale des granulats,

d’

distance du centre de gravité des aciers comprimés à la fibre d’ de béton la plus comprimée,

fb

contrainte d’adhérence moyenne,

τs

fbd

contrainte ultime d’adhérence,

τsu

cg

fck

contrainte de compression du béton correspondant à la partie fbu rectiligne du diagramme parabole-rectangle, résistance caractéristique à la compression du béton à 28 fc28 jours,

fcm

résistance moyenne à la compression du béton à 28 jours,

fctd

résistance de calcul en traction du béton,

fctk , 0 , 05

résistance caractéristique à la compression d’ordre 0,05,

fctk,

résistance caractéristique à la compression d’ordre 0,95,

fcd

0 , 95

fctm

résistance à la traction du béton à 28 jours,

ft28

fcu

contrainte uniforme de compression du béton,

fbu

ft

résistance à la traction,

fyd

résistance de calcul des armatures (limite d’élasticité),

fed

fyk

limite d’élasticité des aciers,

fe

fywd

résistance de calcul des armatures d’âme (limite d’élasticité), fetd

fywk

limite d’élasticité des aciers transversaux

f0 , 2 k h hc h c , ef

fet

limite caractéristique d’élasticité conventionnelle à 0,2 % d’allongement rémanant de l’acier, hauteur totale d’une section, h hauteur de la console au niveau de son encastrement dans le poteau, hauteur de la section effective de béton autour des armatures tendues pour le calcul de l’ouverture des fissures,

11

12

hf

épaisseur de la table de compression d’une section en T

h0

i

rayon de giration d’une section droite (béton non fissuré),

i

lb

longueur d’ancrage de référence,

l bd

longueur d’ancrage de calcul,

l b, eq

longueur d’ancrage équivalente (ancrages courbes),

l b, rqd

longueur d’ancrage requise,

l eff

portée utile (de calcul) d’une poutre, d’une travée,

l

ln

portée entre nus d’appuis,

l

l0

hauteur utile d’un poteau (longueur de flambement),

lf

l0

longueur de recouvrement,

lr

n

effort normal relatif,

1 r

courbure,

1 r

s

espacement des cours d’armatures d’âme

st

espacement des armatures transversales d’un poteau,

s t ou s 't

espacement maximal des armatures transversales d’un poteau,

s t , stmax

espacement des armatures transversales d’un poteau,

st

espacement des armatures de couture,

st

scl ,

t

scl ,

t max

scl ,

t

sf

smax

espacement longitudinal maximal des armatures d’effort tranchant, espacement longitudinal maximal des armatures d’effort tranchant ou des barres relevées dans une dalle,

smax, slabs

espacement des armatures de flexion d’une dalle,

sr

espacement radial des cours d’armatures de poinçonnement,

sr, max

espacement maximal des fissures,

sl, max

st s t, max

espacement tangentiel des cours d’armatures de poinçonnement, espacement transversal maximal des armatures d’effort tranchant,

la

Notations et symboles

u

écartement initial des armatures d’âme pour l’application de s t0 la méthode Caquot, écartement de départ des armatures d’âme pour l’application s t1 de la méthode Caquot, profondeur d’appui, épaisseur d’un tube creux, épaisseur équivalente du tube creux associé à une section e pleine, périmètre extérieur d’une section (torsion),

u1

périmètre du contour de contrôle de référence,

u1*

périmètre du contour de contrôle de référence réduit,

uk

périmètre de l’aire A k,

u

vR

contrainte tangente pour l’effort tranchant,

τR

s0 s1 t t ef , i

v

Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’un semelle sans armatures de poinçonnement, valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle sans armatures de poinçonnement, valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle avec armatures de poinçonnement, valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle, hauteur de la zone comprimée d’une section droite fléchie, hauteur de l’axe neutre à partir de la fibre la plus comprimée à l’ELU, hauteur de l’axe neutre à partir de la fibre la plus comprimée à l’ELS, contrainte tangente,

wk

ouverture calculée des fissures,

w max

valeur limite de l’ouverture calculée des fissures,

z

bras de levier des forces élastiques = distance entre Fsc et Fs1, distance du pied de la bielle à l’axe horizontal des aciers supérieurs tendus (consoles courtes), bras de levier de la résultante des contraintes de compression du béton par rapport aux aciers tendus à l’ELU = distance entre Fc et Fs1, bras de levier de la résultante des contraintes de compression du béton par rapport aux aciers tendus à l’ELS = distance entre Fc et Fs1.

v Rd v Rd , c v Rd , cs v Rd, max x xu x1

z0 zc

z c1

y yu y1 t

z z zb

z b1

13

14

3.

Majuscules ou minuscules grecques

Notations EC 2

Signification

Notations BAEL 91

α

inclinaison des armatures d’âme sur la ligne moyenne,

α

αe

coefficient d’équivalence,

n

αu

hauteur relative de l’axe neutre à l’ELU,

a

αθ

coefficient de dilatation thermique moyen du béton armé,

αθ

α1

hauteur relative de l’axe neutre à l’ELS,

α1

Δc dev

marge pour tolérances d’exécution,

Δc dur , add Δc dur , st

réduction de l’enrobage minimal dans le cas de protection supplémentaire, réduction de l’enrobage minimal dans le cas d’acier inoxydable,

Δc dur,

marge de sécurité sur l’enrobage,

γ

εc

raccourcissement de la fibre la plus comprimée d’une section,

ε cc ( t)

déformation unitaire de fluage,

ε cm

allongement unitaire moyen du béton sur sr, max ,

ε cs ou ε cs

déformation unitaire de retrait,

ε cu2

ε yd

raccourcissement relatif maximal en flexion du béton dans le diagramme parabole-rectangle, raccourcissement relatif maximal en flexion du béton dans le diagramme bi-linéaire, raccourcissement relatif maximal en compression simple du béton correspondant à la contrainte fcd dans le diagramme parabole-rectangle, raccourcissement relatif maximal en compression simple du béton correspondant à la contrainte fcd dans le diagramme bi-linéaire, déformation moyenne de l’armature de béton armé sous la combinaison de charges considérée, allongement des aciers tendus lorsque leur contrainte est εsl égale à leur limite d’élasticité,

εs1

allongement des aciers tendus,

ε cu3 ε c2 ε c3 εsm

ε bc

εs

Notations et symboles

εs2

raccourcissement des aciers comprimés,

ε ud

allongement maximal relatif de l’acier tendu dans le cas du diagramme σ−ε à palier incliné,

ϕ ( t, t 0 )

coefficient de fluage,

ϕ ef

coefficient de fluage effectif,

φ φeq

diamètre d’une barre d’acier, φ diamètre équivalent d’un groupe de barres pour le calcul de l’ouverture des fissures,

φlarge

diamètre maximal des barres de faible diamètre,

φm

diamètre du mandrin de cintrage,

φn

diamètre fictif équivalent d’un paquet de barres,

γc

λ

coefficient de sécurité affectant la résistance de calcul du béton, coefficient de sécurité affectant la résistance de calcul des aciers, hauteur relative de la zone de béton uniformément comprimée du diagramme rectangulaire simplifié en flexion simple, élancement,

λ lim

Elancement limite d’une pièce comprimée,

μ cu

moment fléchissant ultime réduit,

μ bu

μ lu

moment fléchissant limite ultime réduit,

μ lu

μ rc

moment résistant béton réduit,

μ rb

ψ 0, i .Q k , i

valeur de combinaison d’une action variable,

ψ 0, i .Q i

ψ1, i .Q k , i

valeur fréquente d’une action variable,

ψ1, i .Q i

ψ 2, i .Q k , i

valeur quasi permanente d’une action variable,

ψ 2, i .Q i

ρl

pourcentage d’armatures longitudinales,

ρp, eff

pourcentage d’armatures dans la section effective de béton autour des armatures tendues : A c , eff ,

ρw

pourcentage d’armatures transversales,

σc

contrainte limite de compression du béton à l’ELS,

σ bc

σs

contrainte limite de traction de l’acier à l’ELS,

σs

γs λ

εsc

ϕ

D

γb γs 0,8 λ

15

16

σ Rd, max

Contrainte maximale de compression d’une bielle de béton,

σs

valeur de la contrainte dans une armature métallique,

σs

τt, i

contrainte tangente due à la torsion.

τu

1

Analyse structurale

I.

RAPPELS THÉORIQUES

1.

Définition Le but de l’analyse structurale est de déterminer soit la répartition des sollicitations, soit celle des contraintes, déformations et déplacements, pour l’ensemble ou pour un élément d’une structure1. Lorsque l’hypothèse d’une distribution linéaire des déformations unitaires ne s’applique plus, une analyse locale complémentaire est à faire2 : • à proximité des appuis ; • au droit des points d’application des charges concentrées ; • aux nœuds entre poutres et poteaux ; • dans les zones d’ancrage ; • aux changements de section transversale. L’analyse peut être basée sur un modèle de comportement3 : • élastique linéaire (sollicitations proportionnelles aux actions) ; • élastique linéaire avec redistribution limitée ; • plastique (avec ou sans modélisation par bielles et tirants) ; • non linéaire. Pour les ponts, des méthodes d’analyse reconnues peuvent être utilisées pour les effets dépendants du temps4 :

2.

Modélisation des structures Les éléments constitutifs d’une structure sont normalement classés d’après leur nature et leur fonction en5 : poutres, poteaux, dalles, voiles, etc.

1. 2. 3. 4. 5.

EC 2 – 5.1.1 (1)P EC 2 – 5.1.1 (2) EC 2 – 5.1.1 (7) EC 2 – 5.1.1 (108) + annexe KK EC 2 – 5.3

18

2.1

Éléments de structures Dans le cas des bâtiments, on applique les dispositions énumérées ci-après6.

2.1.1

Poutre et poutre-cloison

Pour les poutres :  ≥ 3.h h

Pour les poutres-cloisons :  < 3.h

l

2.1.2

Poteaux et voiles7

 Pour les poteaux7 : --- ≥ 3 et h < 4.b h h

 Pour les voiles : --- < 3 ou h ≥ 4.b h l

A

A

COUPE AA b h (>b)

2.1.3

Dalles

Définition8 : x ≤ y  x ≥ 5.h

h

lx ( ly )

ly

6. 7. 8.

EC 2 – 5.3.1 (3) EC 2 – 5.3.1 (7) EC 2 – 5.3.1 (4)

Analyse structurale

Une dalle soumise en majeure partie à des charges uniformes porte dans un seul sens si9 : • La dalle est appuyée sur deux côtés avec deux bords libres sensiblement parallèles.

Sens de flexion

l

ou • La dalle est appuyée sur son contour lorsque : Sens de flexion

x ----- < 0,5 y

lx (≤ ly )

ly

2.2

Largeur participante des poutres en T Valable pour tous les états limites. La largeur participante de la table de compression (c’est-à-dire la partie de dalle associée à la nervure d’une poutre pour constituer une section en T) est définie comme indiqué ci-dessous. Dans les cas courants, la distance 0 entre points de moment nul est obtenue par10 :

l0 = 0,7 / 2

l0 = 0,85 / 1 l0 = 0,15 (l1 + l2 ) l1

9. EC 2 – 5.3.1 (5) 10. EC 2 – 5.3.2.1 (2)

l

l0 = 0,15 l2 + l3 l2

l3

19

20

avec : 2 1 3 --- ≤ ----- ≤ --- pour deux travées consécutives, 3 2 2  et  3 < ----2- pour les consoles. 2 Largeur participante de la table de compression des poutres en T (zone sur laquelle on peut admettre une distribution uniforme des contraintes11) : beff beff 1

beff 2

hf h

b1

b1

b2

b2

bw b

⎧⎪ ∑ beff , i + bw beff = Min ⎨ ⎩⎪ b

(5.7)

avec : b eff, i

⎧ 0,2.b i + 0,10. 0 ⎪ = Min ⎨ 0,2. 0 ⎪ ⎩ bi

(5.7a et 5.7b)

Lorsqu’une grande précision des calculs n’est pas exigée (poutres continues des bâtiments par exemple), l’analyse peut être faite en admettant une largeur de table beff constante sur toute la portée12 :

2.3

Portées utiles des poutres et dalles

2.3.1

Définitions – Principes

La portée utile (de calcul) eff est donnée par13 :

11. EC 2 – 9.3.2.1 3 12. EC 2 – 5.3.2.1 4 13. EC 2 – 5.3.2.2 (1)

Analyse structurale

ln

a1

a2

leff  eff =  n + a 1 + a 2

(5.8)

avec : n= portée entre nus d’appuis, t = profondeur de l’appui, a1 et a 2 = distances définies ci-dessous :

h ai

h ai

ln

t

ln

t

leff

leff

Éléments isostatiques

Éléments continus

1 1 a i = Min ⎡⎢ t ; h ⎤⎥ 2 ⎦ ⎣2

1 1 a i = Min ⎡⎢ t ; h ⎤⎥ 2 ⎦ ⎣2 Axe de l'appareil d'appui

h ai

ln

t ai

h

ln

t

leff Appuis considérés comme encastrements parfaits

1 1 a i = Min ⎡⎢ t ; h ⎤⎥ 2 ⎦ ⎣2

leff Cas d’appareils d’appui

21

22

h

ln

ai

t

leff

Extrémité en porte-à-faux

1 1 a i = Min ⎡⎢ t ; h ⎤⎥ 2 ⎦ ⎣2 Ces dispositions s’appliquent aussi bien aux bâtiments qu’aux ponts. 2.3.2

Portées à prendre en compte dans les calculs

Le calcul des sollicitations est effectué sur la base des portées utiles. Les sollicitations aux nus d’appui sont déduites des précédentes : • pour les vérifications à l’effort tranchant (sauf dans le cas de transmission directe des charges aux appuis lorsque les charges permanentes sont prédominantes où l’effort tranchant est calculé dans la section à la distance d du nu d’appui comme nous l’avons vu au § 2.3.1, chapitre 8 : « Effort tranchant », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) ; • pour le moment sur appui des poutres solidaires des appuis qui les supportent (voir § 2.5). Le calcul des sollicitations est effectué sur la base des portées entre nus d’appuis : • par simplification de calcul pour les travées isostatiques (absence des termes hyperstatiques ΔM/eff) ; • pour les moments d’encastrement parfaits sur appuis lors des vérifications sur appui des poutres solidaires des appuis qui les supportent (voir § 2.5).

2.4

Imperfections géométriques Il faut tenir compte des incertitudes sur la mise en œuvre et sur la position du point de passage de la force extérieure. Les imperfections géométriques ne sont à prendre en compte qu’à l’ELU dans les situations de projet durables et dans les situations de projet accidentelles14.

14. EC 2 – 5.2 (2)P & (3)

Analyse structurale

Elles concernent15 : • les éléments soumis à une compression axiale ; • les structures soumises à des charges verticales (bâtiments). Pour les bâtiments, les imperfections sont représentées par une inclinaison globale d’un angle θi défini par16 : θi = θ0 .α h .α m

(5.1)

avec : 1 = valeur de base recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale 200 française17, 2 α h = ------- = coefficient de réduction relatif à la longueur ou à la hauteur,  où :

θ0 =

2 ≤ αh ≤ 1 3  = longueur ou hauteur du bâtiment ou de l’étage (voir § 2.4.1 et 2.4.2) en mètres, 1 α m = 0, 5 ⎛ 1 + ⎞ = coefficient de réduction relatif au nombre d’éléments, ⎝ m⎠ où : m = nombre d’éléments verticaux contribuant à l’effet total. La définition de  et de m dépend de l’effet considéré18. • Effet sur un élément isolé (voir § 2.4.1) : –  = longueur réelle de l’élément, – m = 1. • Effet sur un système de contreventement (voir § 2.4.2) : –  = hauteur du bâtiment, – m = nombre d’éléments verticaux transmettant la force horizontale appliquée au système de contreventement. • Effet sur les planchers de contreventement ou les diaphragmes des toitures (voir § 2.4.2) : –  = hauteur de l’étage, – m = nombre d’éléments verticaux dans l’étage transmettant la force horizontale totale appliquée au plancher.

15. 16. 17. 18.

EC 2 – 5.2 (4) EC 2 – 5.2 (5) EC 2 – voir AN EC 2 – 5.2 (6)

23

24

Pour les ponts, les imperfections sont représentées par une inclinaison globale d’un angle θi défini par19 : θi = θ0 .α h

(5.101)

avec : θ0 =

1 = valeur de base recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale 200 française20,

⎧ 2 ⎪ ------α h = Min ⎨  = coefficient de réduction relatif à la longueur ou à la hauteur, ⎪ ⎩1  = longueur ou hauteur en mètres. 2.4.1

Cas des éléments isolés et des ponts

Il s’agit d’éléments effectivement isolés ou d’éléments d’une structure pouvant être traités comme tels pour les besoins du calcul. Ces éléments sont considérés comme21 : • contreventés, lorsqu’ils ne contribuent pas à la stabilité horizontale d’ensemble de la structure à laquelle ils appartiennent ; • non contreventés, dans le cas contraire. On a le choix entre les deux méthodes ci-dessous (qui conduisent au même moment extrême dans l’élément22) : • ajout d’une excentricité additionnelle à l’excentricité e1 (du premier ordre) de la force extérieure :  e i = θ i ----0(5.2) 2 où 0 = longueur efficace (de flambement) de l’élément (voir § 2.1, chapitre 6 : « Compression centrée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). • ou remplacement de l’inclinaison par une force transversale dans la position conduisant au moment maximal :

19. 20. 21. 22.

H i = θi .N : éléments non contreventés,

(5.3a)

H i = 2.θi .N : éléments contreventés,

(5.3b)

EC 2 – 5.2 (105) EC 2 – voir AN EC 2 – 5.8.1 EC 2 – 5.2 (7)

Analyse structurale

où N = effort normal.

ei

N

ei

N

N

N

Hi

ou

l = l0 /2

ou

Hi

l = l0

i

En pied :

À mi-travée :

 M = N.e i = N.θ i ----02

 M = N.e i = N.θ i ----02

  ou M = H i ----0- = N.θ i ----02 2

Hi 0  ----- = N.θ i ----0ou M = -----. 2 2 2

Élément isolé non contreventé

Élément isolé contreventé

Remarque Une solution alternative simplifiée, applicable aux voiles et aux poteaux isolés dans les structures contreventées consiste à prendre23 : αh = 1 ⎫ ⎬ ⇒ αm = m = 1⎭ ⇒

1 1 1  0,5 ⎛ 1 + -- ⎞ = 1 ⇒ θ i = --------- 1.1 ⇒ e i = --------- . ----0 ⇒ ⎝ 1⎠ 200 200 2

0 e i = --------400

Cette simplification ne s’applique pas aux ponts. Pour les ponts en arc, il convient d’établir la forme des imperfections dans les plans horizontal et vertical à partir de la déformée du premier mode de flambement horizontal et vertical respectivement. Chaque déformée modale peut être représentée par un profil sinusoïdal. Il convient de prendre l’amplitude  égale à a = θ i --- , où l est la demi-longueur d’onde24. 2

23. EC 2 – 5.2 (9) 24. EC 2 – 5.2 (106)

25

26

2.4.2

Cas des structures

On remplace l’inclinaison globale θi par une force transversale égale aux composantes horizontales des efforts normaux dans les éléments inclinés25 : H i = θi ( N b − N a ) : système de contreventement, H i = θi

(5.4)

N b + Na : plancher de contreventement, 2

(5.5)

H i = θi .N a : diaphragme de toiture.

(5.6)

Na Hi

Na Nb

Hi

l

l

Système de contreventement

θi / 2 Na Hi

l θi

Hi θi

l

Hi Nb

θi / 2

Plancher de contreventement

Na

Diaphragme de toiture

Remarque Pour les figures ci-dessus : H représente la réaction de la structure s’opposant à l’inclinaison θi , Na et Nb sont les forces action poteau sur nœud.

2.5

Moments sur appuis – Vérifications Dans certaines configurations d’appuis, une poutre (ou une dalle) continue peut être considérée comme simplement posée sur ses appuis. Dans ce cas, pour ne pas créer de gêne à la rotation, il faut « écrêter » la courbe des moments sur appuis, tracée en considérant les portées entre axes des éléments, de la quantité26 :

25. EC 2 – 5.2 (8) 26. EC 2 – 5.3.2.2 (4)

Analyse structurale

ΔM Ed =

FEd , sup t . 2 4

⇒

t ΔM Ed = F Ed, sup --8

avec : FEd, sup = réaction d’appui, t = profondeur de l’appui ou largeur de l’appareil d’appui, MEd = moment calculé à partir des portées entre axes des appuis. C’est le cas, par exemple, des poutres reposant : • sur des voiles ; • sur des poteaux métalliques ou en bois ; • sur des appareils d’appuis.

ΔM Ed FEd , sup 2

t 4

t

Dans le cas où la poutre (ou la dalle) est solidaire des poteaux (ou murs) qui la supportent, le moment critique de calcul peut être pris égal au moment du nu d’appui sans que la valeur retenue puisse être inférieure à 65 % du moment d’encastrement parfait de la même poutre (de portée n entre nus d’appuis27).

3.

Méthodes de calcul Toutes les méthodes d’analyse doivent satisfaire les conditions d’équilibre – ce qui, normalement, est à vérifier pour la structure non déformée (premier ordre). Si les conditions de compatibilité ne sont pas vérifiées directement pour les états limites considérés, il convient de prendre des mesures pour que : • à l’état limite ultime, l’ouvrage ait une capacité de déformation suffisante ; • dans les conditions de service, son comportement soit satisfaisant.

27. EC 2 – 5.3.2.2 (3)

27

28

3.1

Types d’analyse structurale

3.1.1

Analyse vis-à-vis des états limites de service

L’analyse est normalement faite sur la base de l’élasticité linéaire, en prenant en compte la rigidité initiale, correspondant à la section non fissurée28. Si la fissuration a un effet défavorable, elle doit être prise en compte. On peut aussi avoir recours à l’analyse non linéaire (voir § 3.5). 3.1.2

Analyse vis-à-vis de l’état limite ultime

Dans ce cas, l’analyse peut être29 : • élastique linéaire sans redistribution ; • élastique linéaire avec redistribution limitée ; • plastique (avec ou sans modélisation par bielles et tirants) ; • non linéaire. Pour l’application de la théorie élastique et linéaire, aucune mesure spécifique n’est à prendre pour assurer une ductilité convenable, sauf celle d’éviter les pourcentages élevés. Bien entendu, si l’on effectue une redistribution des moments, il convient de s’assurer que les sections critiques ont une capacité de rotation suffisante pour permettre la redistribution (angles des portiques précontraints par exemple30). Dans l’analyse non linéaire, on tient compte du comportement non linéaire des sections en béton armé ou en béton précontraint (ne pas confondre avec l’analyse au second ordre qui tient compte du comportement non linéaire dû à la déformation des éléments eux-mêmes). On ne peut recourir à l’analyse plastique que pour des éléments très ductiles, armés d’aciers eux-mêmes de haute ductilité31.

3.2

Analyse élastique linéaire Le calcul des éléments aux états limites de service comme aux états limites ultimes peut être effectué selon une analyse linéaire basée sur la théorie de l’élasticité32.

28. 29. 30. 31. 32.

EC 2 – 5.4 (1) EC 2 – 5.1.1 (7) EC 2 – 5.5 (5) EC 2 – 5.6.1 (2)P EC 2 – 5.4 (1)

Analyse structurale

L’analyse linéaire peut être utilisée pour la détermination des sollicitations, moyennant les hypothèses suivantes33 : 1/ sections non fissurées ; 2/ relations contraintes-déformations linéaires ; 3/ et valeurs moyennes du module d’élasticité. Pour les effets des déformations d’origine thermique, des tassements et du retrait à l’état limite ultime (ELU), on peut admettre une rigidité réduite, correspondant aux sections fissurées, en négligeant la participation du béton tendu mais en incluant les effets du fluage34. Pour l’état limite de service (ELS), il convient de considérer une évolution graduelle de la fissuration35.

3.3

Analyse linéaire avec redistribution limitée des moments Pour les calculs à l’état limite ultime, les moments de flexion déterminés par une analyse linéaire élastique peuvent être redistribués, c’est-à-dire que les moments dans les sections les plus sollicitées (sur appuis) sont alors multipliés par un coefficient réducteur δ, les moments dans les autres sections étant augmentés en conséquence pour assurer l’équilibre36. i Pour les dalles et les poutres continues telles que 0,5 ≤ ---------≤ 2 , un contrôle de i + 1 la capacité de rotation des sections critiques n’est pas nécessaire si37 : Mred vérifie les valeurs recommandées et à utiliser pour l’Annexe nationale Mcal française : δ=

⎛ 0, 0014 ⎞ x u 1 ≥ δ ≥ 0, 44 + 1, 25 ⎜ 0, 6 + si fck ≤ 50 MPa, ε cu 2 ⎟⎠ d ⎝ ⎛ 0, 0014 ⎞ x u 1 ≥ δ ≥ 0, 54 + 1, 25 ⎜ 0, 6 + si fck > 50 MPa , ε cu 2 ⎟⎠ d ⎝

33. 34. 35. 36. 37.

EC 2 – 5.4 (2) EC 2 – 5.4 (3) EC 2 – 5.4 (3) EC 2 – 5.5 (3) EC 2 – 5.5 (4) + (104)

xu AN d As

29

30

avec : ⎧ 0, 7 pour des aciers de classe B ou C (haute ou très haute ductilité), δ
x u = hauteur de l’axe neutre à l’ELU dans la section critique après redistribution, d = hauteur utile dans la section critique. Remarque Pour les ponts, les aciers de classe de ductilité A ne sont pas recommandés (voir § 1.3.1, chapitre 2 : « Matériaux », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles).

Toutes les conséquences de la redistribution supposée et de la dispersion possible doivent être prises en compte dans le calcul, à toutes les étapes de la vérification : • effort tranchant ; • ancrages et arrêt des barres ; • fissuration. En particulier, les longueurs des armatures doivent être suffisantes pour qu’aucune autre section ne devienne critique. Aux nus d’appuis d’une poutre ou d’une dalle formant un ensemble monolithique avec ses appuis, le moment pris en compte doit être au moins égal à 65 % du moment d’encastrement parfait38. Pour le calcul des poteaux (moments et réactions d’appuis), il n’y a pas lieu de tenir compte de la redistribution des moments39. Il convient de ne pas effectuer de redistribution pour les ponts courbes ou biais par exemple40.

3.4

Analyse plastique L’analyse plastique n’est utilisée qu’à l’ELU41. Pour les ponts, ce type d’analyse n’est à utiliser que si les autorités nationales le permettent. L’analyse plastique est basée42 : • soit sur le théorème de la borne inférieure (méthode statique) : – méthode des bandes pour les dalles ;

38. 39. 40. 41. 42.

EC 2 – 5.3.2.2 (3) EC 2 – 5.5.(6) EC 2 – 5.5.(105) EC 2 – 5.6.1 (1)P + (101)P EC 2 – 5.6.1 (3) P

Analyse structurale

– méthode des bielles et tirants pour les poutres-cloisons, consoles courtes, ancrages et voiles chargés dans leur plan ; • soit sur le théorème de la borne supérieure (méthode cinématique) : – rotules plastiques pour les poutres, portiques et dalles portant dans un seul sens ; – théorie des lignes de rupture pour les dalles. Les effets des chargements antérieurs peuvent généralement être négligés et on peut admettre une croissance monotone de l’intensité des actions43. 3.4.1

Dispense de la vérification de la capacité de rotation

La ductilité des sections critiques est suffisante, sans vérification explicite de la capacité de rotation, si44 : • l’aire de la section des armatures tendues est telle que, dans toute section : xu ≤ 0, 25 pour des bétons de classe inférieure ou égale à C50/60 (0,15 d pour les ponts en dehors des dalles pleines), αu =

xu ≤ 0, 15 pour des bétons de classe supérieure à C50/60 (0,10 pour les d ponts en dehors des dalles pleines) ; αu =

• seuls les aciers à haute ou très haute ductilité (classes B ou C) sont utilisés (vérification de la capacité de rotation non nécessaire) ; • les moments sur appuis intermédiaires et en travée doivent vérifier : 0, 5 ≤

3.4.2

Ma ≤2 Mt

Vérification de la capacité de rotation

Pour les poutres et les dalles continues portant dans un seul sens45 : • dans la région des rotules plastiques, il faut vérifier : xu ≤ 0, 45 pour des bétons de classe inférieure ou égale à C50/60 (0,30 d pour les ponts), αu =

43. EC 2 – 5.6.1 (4) 44. EC 2 – 5.6.2 (2) + (102)P 45. EC 2 – 5.6.3 + (102)P

31

32

xu ≤ 0, 35 pour des bétons de classe supérieure à C50/60 (0,23 pour les d ponts) ; αu =

• la rotation plastique θs calculée sous l’action considérée est mesurée sur une longueur 1,2.h et doit vérifier : θs ≤ k λ .θpl , d

0,6.h

0,6.h

avec : λ = élancement vis-à-vis de l’effort tranchant (c’est-à-dire distance entre le point de moment nul et le point de moment maximal après redistribution rapportée à la hauteur utile d),

θs

λ = coefficient multiplicateur 3 à prendre en compte lorsque λ ≠ 3,

kλ =

h

(5.11N)

h = hauteur de l’élément, θpl , d = rotation plastique admissible tirée du tableau ci-dessous (valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française46) : θpl,d (mrad) 35 30

≤ C 50/60

25 20

C 90/105

Classe C

15 Classe B

10

≤ C 50/60

5 0

C 90/105 0

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 (Xu/d)

Rotation plastique admissible θpl, d pour λ = 3

Pour les classes intermédiaires de béton comprises entre C50/60 et C 90/105, on opère par interpolation linéaire.

46. EC 2 – voir AN

Analyse structurale

Remarque Par simplification, on peut prendre pour les valeurs concomitantes de MSd et de VSd : M Sd λ = -------------. V Sd .d

3.4.3

(5.12N)

Analyse par la méthode avec bielles et tirants

Cette méthode est utilisée pour47 : • le dimensionnement à l’ELU des régions sans discontinuité dans lesquelles les sections droites restent planes (soit au-delà d’une distance à la discontinuité supérieure à la hauteur h de l’élément) ; • le dimensionnement et les dispositions constructives des régions présentant des discontinuités (nœuds des portiques par exemple). La méthode est basée sur la modélisation48 : • par des bielles représentant les zones où transitent les contraintes de compression ; • par des tirants qui représentent les armatures tendues ; • et par les nœuds qui assurent leurs liaisons. Les modèles bielles-tirants peuvent être définis49 : • à partir des isostatiques des contraintes et des répartitions de contraintes obtenues par la théorie de l’élasticité linéaire ; • ou en partant du cheminement des charges. Bielle Tirant

F

Fsd Hsd Ft

Fc

Fc

Fc 0

Fc

h=l Fsd

Ft F/2

l

Massif d'appui

47. EC 2 – 5.6.4 (1) 48. EC 2 – 5.6.4 (3) 49. EC 2 – 5.6.4 (5)

F/2

Console courte

33

34

3.5

Analyse non linéaire Méthodes utilisées aussi bien à l’ELU qu’à l’ELS, en admettant un comportement non linéaire adapté pour les matériaux. L’analyse peut être du premier ou du second ordre50. À l’état limite ultime, il convient de vérifier, pour les sections critiques localisées, leur capacité à résister à toutes les déformations inélastiques résultant de l’analyse, en tenant convenablement compte des incertitudes51. Pour des structures principalement soumises à des charges statiques52 : • les effets des chargements antérieurs peuvent généralement être négligés ; • et on peut admettre une croissance monotone de l’intensité des actions. Pour les structures élancées des bâtiments, dans lesquelles les effets du second ordre ne peuvent être négligés, il est possible d’utiliser une méthode générale de calcul incluant la non-linéarité géométrique53 (voir la méthode de l’équilibre ou des déformations internes au § 4, chapitre 2 : « Instabilité de forme – Flambement »). Pour les ponts, l’analyse non linéaire peut être utilisée à condition54 : • que le modèle puisse couvrir de manière appropriée tous les modes de ruine (flexion, effort normal, cisaillement, ruine par compression influencée par la réduction de la résistance effective du béton, etc.) ; • et que la résistance en traction du béton ne soit pas utilisée dans le schéma principal de résistance. En cas d’insuffisance de l’analyse pour vérifier tous les mécanismes de ruine, il convient d’effectuer des analyses complémentaires séparées.

4.

Analyse structurale des poutres et des portiques Toutes les méthodes énumérées au § 3 peuvent être utilisées.

4.1

Analyse élastique et linéaire Voir § 3.2.

50. 51. 52. 53. 54.

EC 2 – 5.7 (1) EC 2 – 5.7 (2) EC 2 – 5.7 (3) EC 2 - 5.7 (5) + 5.8.6 (1)P EC 2 – 5.7 (105)

Analyse structurale

Hormis les programmes de calcul sur ordinateurs, ce type d’analyse peut être réalisé à partir des méthodes usuelles de la résistance des matériaux : • théorème des trois moments ; • méthode des forces (formule de Bertrand de Fontviolant) ; • méthode des déplacements (méthode des rotations ou méthode de relaxation de Hardy-Cross pour les ossatures et portiques) ; • etc.

4.2

Analyse linéaire avec redistribution limitée des moments Voir § 3.3.

4.3

Analyse plastique Voir § 3.4. Hormis les programmes de calcul sur ordinateurs, ce type d’analyse peut être réalisé à partir des méthodes usuelles de la théorie de la plasticité (résistance des matériaux) : • théorème de la borne inférieure ; • théorème de la borne supérieure ; • méthode des lignes de rupture pour les dalles (méthode de Haas Jacobsen) ; • etc.

4.4

Analyse non linéaire Voir § 3.5.

4.5

Dispositions constructives – Aciers en chapeau Les armatures équilibrant les moments négatifs sur appuis sont dites « armatures en chapeau » ou plus simplement « chapeaux ».

4.5.1

Chapeaux sur appuis de rive

Lorsqu’une poutre forme une construction monolithique avec ses appuis (y compris lorsque, dans le calcul, on a adopté un appui simple), il faut disposer sur ceux-ci des aciers supérieurs calculés pour équilibrer un moment55 :

55. EC 2 – 9.2.1.2 (1)

35

36

As

Mt

M = β1 .M t avec : M t = moment maximal en travée, β1 = 0, 15 : valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française56). Il faut, de plus, vérifier que A s ≥ A s, min donné au § 7, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles. 4.5.2

Chapeaux sur appuis intermédiaires57

Répartition des aciers tendus sur appui intermédiaire sur la largeur participante beff pour les sections en T. Une partie de ces armatures peut être concentrée au droit de l’âme57 :

As hf beff 1

beff 2

bw

5.

Analyse structurale des dalles Toutes les méthodes énumérées au § 3 peuvent être utilisées.

56. EC 2 – voir AN 57. EC 2 – 9.2.1.2 (2)

Analyse structurale

5.1

Analyse élastique et linéaire Voir § 3.2. Les calculs manuels ne sont possibles que pour :  • les dalles rectangulaires isolées portant dans un seul sens ( ----x- < 0,5) ; y • les dalles rectangulaires continues dans le sens parallèle à leur petit côté et  portant dans un seul sens ( ----x- < 0,5) ; y • les dalles rectangulaires isolées portant dans un ou deux sens, soumises à des charges concentrées. Dans ce cas, pour des charges uniformément réparties, la dalle est découpée en bandes de largeur unité fléchissant dans le sens x et l’on peut utiliser les méthodes usuelles de la résistance des matériaux : • calcul en travée isostatique pour un panneau de dalle isolé ; • utilisation du théorème des trois moments pour les dalles continues ; • etc. Pour des charges concentrées appliquées sur des panneaux isolés, la dalle est découpée en bandes de largeur unité fléchissant dans chaque sens et l’on peut utiliser les abaques de l’inspecteur général Pigeaud, par exemple.

5.2

Analyse linéaire avec redistribution limitée des moments Voir § 3.3.

5.3

Analyse plastique Voir § 3.4. Hormis les programmes de calcul sur ordinateur, ce type d’analyse peut être réalisé à partir des méthodes usuelles de la théorie de la plasticité (résistance des matériaux) : • méthode des lignes de rupture pour les dalles isolées ou continues et de forme quelconque (méthode de Haas Jacobsen) ; • etc.

37

38

5.4

Analyse non linéaire Voir § 3.5.

5.5

Dispositions constructives

5.5.1

Armatures de flexion 5.5.1.1 Section minimale d’armatures

Pour les armatures disposées suivant la direction principale (c’est-a-dire parallèles au petit côté), il faut vérifier les limites suivantes recommandées et à utiliser par l’Annexe nationale française58 : A s1 ≥ A s, min

fct , eff ⎧ b t .d ⎪ 0, 26 f . = Max ⎨ yk ⎪ 0, 0013.b .d t ⎩

(9.1N)

avec59 :

fct , eff

⎧ fctm : si la maîtrise de la fissuration est requise, ⎪ ⎧⎛ h ⎞ ⎪ =⎨ f ⎪ ⎜ 1, 6 − 1 000 ⎟⎠ ctm : dans les autres cas, ⎪ fctm , fl = Max ⎨ ⎝ ⎪f ⎪ ⎩ ctm ⎩

(3.23)

h = hauteur de la section droite en mm, b t = largeur moyenne de la zone tendue = 1,00 m si l’on raisonne par bandes de dalle de largeur unité. En dehors des zones de recouvrement, il faut vérifier60 :61

AN

As 2

A s1 et A s2 ≤ 0,04.A c valeur recommandée et AN

à utiliser pour l’Annexe nationale française61. A c = aire de la section transversale de béton.

As 1

Lorsque la maîtrise de la fissuration est requise, la section effective des armatures longitudinales de traction ne doit pas être inférieure à la section

58. 59. 60. 61.

EC 2 – 9.3.1.1 (1) EC 2 – 7.1 (2) EC 2 – 9.2.1.1 (3) EC 2 – voir AN

Analyse structurale

nécessaire au contrôle de la fissuration (voir § 3.1, chapitre 3 : « État limite de service de maîtrise de la fissuration62 »). 5.5.1.2 Armatures transversales

Dans les dalles portant dans un seul sens, il y a lieu de prévoir une section d’armatures transversales au moins égale à 20 % de la section des armatures longitudinales63. Au voisinage des appuis, des armatures transversales aux barres principales supérieures ne sont pas nécessaires lorsqu’il n’existe aucun moment fléchissant transversal64. 5.5.1.3 Espacements maximaux

Dans la suite, nous désignerons par65 : h = épaisseur de la dalle, x (≤ y) = sens principal de flexion de la dalle, y (≥ x) = sens secondaire de flexion de la dalle. a) Cas des zones sollicitées par des charges concentrées et des zones de moment maximal : smax, slabs,

x

⎧ 2.h, ≤ Min ⎨ : armatures dans le sens lx, ⎩ 25 cm.

smax, slabs,

y

⎧3.h, : armatures dans le sens ly. ≤ Min ⎨ ⎩ 40 cm.

b) Autres cas : smax, slabs,

x

⎧3.h, : armatures dans le sens lx, ≤ Min ⎨ ⎩ 40 cm.

smax, slabs,

y

⎧3, 5.h, ≤ Min ⎨ : armatures dans le sens ly. ⎩ 45 cm.

5.5.1.4 Arrêts des barres

Le décalage de la courbe des moments est pris égal à66 :

62. 63. 64. 65. 66.

EC 2 – 9.2.1.1 (1) EC 2 – 9.3.1.1 (2) EC 2 – 9.3.1.1 (2) EC 2 – 9.3.1.1 (3) EC 2 – 9.3.1.1 (4) + 9.2.1.3

39

40

al = d Dans les dalles sur appuis simples, la moitié de la section d’aciers en travée est prolongée et ancrée sur appuis67. Aciers inférieurs sur appuis de rive68 : • voir § 9.1, chapitre 8 : « Effort tranchant », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles. Aciers inférieurs sur appuis intermédiaires69 : • voir § 9.3, chapitre 8 : « Effort tranchant », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles. 5.5.1.5 Aciers supérieurs sur appuis

Lorsqu’une dalle présente un encastrement partiel non pris en compte dans le calcul sur une ligne d’appuis, il faut disposer sur ceux-ci des aciers supérieurs calculés pour équilibrer un moment70 : As

Mt

M = β1 .M t avec : M t = moment maximal en travée, ⎧ 0, 25 : appui intermédiaire, : valeur recommandée et à utiliser pour β1 = ⎨ ⎩ 0, 15 : appui d'extréémité, l’Annexe nationale française71. Les armatures correspondantes doivent : • se prolonger, à partir du nu d’appui sur une longueur au moins égale à 0,2 fois la portée de la travée adjacente ; • être continues au droit des appuis intermédiaires ;

67. 68. 69. 70. 71.

EC 2 – 9.3.1.2 (1) EC 2 – 9.3.1.1 (4) + 9.2.1.4 EC 2 – 9.3.1.1 (4) EC 2 – 9.3.1.2 (2) EC 2 – voir AN

Analyse structurale

• ancrées aux appuis de rive. 5.5.1.6 Armatures de bords libres

Le long d’un bord libre, il convient de prévoir des armatures de rive particulières72 : h ≥ 2.h

Les armatures courantes peuvent jouer le rôle d’armatures de rive. 5.5.2

Armatures d’effort tranchant

Les armatures d’effort tranchant ne peuvent être disposées que dans des dalles telles que73 : h ≥ 200 mm Lorsque VEd ≤ 1 3.VRd , max, les armatures d’effort tranchant peuvent être entièrement constituées74 : • de barres relevées ; • ou de cadres, étriers ou épingles. L’espacement longitudinal maximal vaut75 : pour les cadres, étriers ou épingles : smax = 0, 75.d (1 + cotgα )

(9.9)

avec : α = inclinaison des armatures d’effort tranchant, pour les barres relevées : smax = d L’espacement transversal maximal vaut76 : s t, max = 1, 5.d

72. 73. 74. 75. 76.

EC 2 – 9.3.1.4 EC 2 – 9.3.2 (1) EC 2 – 9.3.2 (3) EC 2 – 9.3.2 (4) EC 2 – 9.3.2 (5)

(9.10)

41

42

II.

APPLICATIONS Application n˚ 1 : analyse d’une poutre –Énoncé– On considère la poutre à travées égales schématisée ci-dessous reposant sur des voiles de 30 cm d’épaisseur : COUPE AA

ÉLÉVATION q = 45 kN/m

A 0,50 m

A

0,30 m

6,00 m 0,30m

0,30m

• Matériaux : • béton : fck = 25 MPa ; • aciers : S 500 avec diagramme σ−ε à palier horizontal et de classe de ductilité B. Maîtrise de la fissuration non requise. Classe d’exposition : XC2. On se propose de tracer le diagramme des moments fléchissants à l’ELU résultant : 1/ d’une analyse linéaire sans redistribution ; 2/ d’une analyse linéaire avec redistribution ; 3/ d’une analyse plastique.

Analyse structurale

–Corrigé– 1. Analyse linéaire sans redistribution 1.1 Portée utile de calcul

⎧1 t ⎧ 1 0, 30 = 0, 15 m ⎪⎪ 2 ⎪⎪ 2 ⇒ a = Min ⎨ a = 0, 15 m = Min ⎨ ⎪1 h ⎪ 1 0, 50 = 0, 25 m ⎪⎩ 2 ⎪⎩ 2

Poutre continue

ef = n + a1 + a2 = n + 2.a

eff = 6,00 + 2.0,15 = 6,30 m

1.2 Moment fléchissant théorique sur appui

g = ϖ.bw .h

g = 25.0,3.0,5 = 3,75 kN/m

p u = 1, 35.g + 1, 5.q

p u = 1, 35.3, 75 + 1, 5.45 = 72, 56 kN/m

2

 eff M Edth, a = p u ------12

MEdth , a = 72, 56

6, 30 2 = 240 mkN 12

1.3 Écrêtage de la courbe des moments sur appui

Réaction d’appui (poutre multi-travées) : p u . eff - = p u . eff F Ed, sup = 2 -------------2

FEd, sup = 72, 56.6, 30 = 457, 13 kN

Réduction du moment sur appui : ΔMEd = FEd , sup

t 8

ΔM Ed = 457, 13

0, 30 = 17, 14 mkN 8

1.4 Diagramme des moments à l’ELU

En utilisant l’exposant « * » pour distinguer le moment « écrêté » du moment résultant des calculs RdM : M*Ed , a = MEdth , a − ΔMEd

M*Ed , a = 240 − 17, 14 = 222, 86 mkN

2

 eff M Ed, t = p u ------24 MEd 0 = M*Ed , a + M Ed ,

MEd , t = 72, 56 t

6, 30 2 = 120 mkN 24

MEd0 = 222, 86 + 120 = 342, 86 mkN

43

44

RdM

MEd (mkN)

240 222,86 RdM corrigée

MEd 0 = 342,86

l eff 2

= 3,15 m

120

1.5 Remarque 1

Si l’on considère que la poutre forme un ensemble monolithique avec ses appuis (ce qui n’est pas le cas ici), il faut faire la vérification ci-dessous. Moment au nu d’appui : MEd = MEdth , a − p u

a2 2

MEd = 240 − 72, 56

0, 152 = 239,18 mkN 2

Moment d’encastrement parfait pour la travée de portée ln : 2

 M Ed, enc = p u -----n12

MEd , enc = 72, 56

6, 00 2 = 217,68 mkN 12

Vérification : MEd >< 0, 65.MEd , enc MEd = 239, 18 mkN > 141, 49 mkN = 0, 65.217, 68 = 0, 65.M Ed , enc O.K. 1.6 Remarque 2

En considérant la portée entre nus d’appuis : 2

 M Ed = p u ----n8

MEd = 72, 56

6, 00 2 = 326, 52 mkN = MEd 0 à 5 % près. 8

2. Analyse linéaire avec redistribution 2.1 Caractéristiques des matériaux

fcd = α cc

fck γc

fcd = 1

25 = 16, 7 MPa 1, 5

Analyse structurale

fyd =

fyk

fyd =

γs

500 = 435 MPa 1, 15

2.2 Coefficient réducteur du moment sur appui

i --------->< 2 i + 1

 ⇒ 0,5 < -------i--- = 1 < 2 O.K. i + 1

Travées de portées égales

fck >< 50 MPa ⇒ δ ⎛ 0, 0014 ⎞ ⎛ x u ⎞ fck = 25 MPa ⇒ δ = 0, 44 + 1, 25 ⎜ 0, 6 + . ε cu 2 ⎟⎠ ⎝ d ⎠ ⎝

en posant : αu =

xu , d

⎧ λ, fck >< 50 MPa ⇒ ⎨ ⎩η

⎧ λ = 0, 8 fck = 25 MPa < 50 MPa ⇒ ⎨ ⎩η = 1

fcu = η.fcd

fcu = 1.16, 7 = 16, 7 MPa

μ cu ,

th

=

MEdth , a bw .d 2 .fcu

avec MEdth , a = moment sur appui : on obtient à l’ELU M 'Ed , a = δ.MEdth , a :

sous

μ cu ,

th

l’effet

0, 240 = 0, 237 0, 30.0, 452.16, 7 du moment « redistribué »77

=

μ cu = μ cu , th .δ, 1 α u = --- [ 1 – 1 – 2.δ.μ cu, th ] , λ d’où : ⎛ 0, 0014 ⎞ x u 0, 0014 ⎞ ⎛ δ ≥ 0, 44 + 1, 25 ⎜ 0, 6 + = 0, 44 + 1, 25 ⎜ 0, 6 + α u = 0, 44 + 1, 25.α u ⎝ ε cu 2 ⎟⎠ d 3, 5.10 −3 ⎟⎠ ⎝

77. Pour différencier les sollicitations (M, V) résultant de la redistribution limitée des moments des autres sollicitations, nous leur adjoignons une apostrophe (M’, V’).

45

46

2

5 δ ≥ 0, 44 + ⎛ ⎞ ⎡⎣1 − 1 − 2.δ.μ cu , ⎝ 4⎠ 16 [ δ − 0, 44 ] ≥ 1 − 1 − 2.δ.μ cu, 25

16 ------ δ – 0,44 – 25 -----25 16

≥–

th

⎤ ⎦

th

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

1 – 2.δ.μ cu, th

δ–2

et en supprimant le radical (en remarquant que δ – 2 < 0) : 2

⎛ 16 ⎞ ⎡ δ 2 − 4.δ + 4 ⎤ ≤ 1 − 2.δ.μ cu , ⎦ ⎝ 25 ⎠ ⎣

th

d’où l’inéquation du second degré en δ :

⎧ ⎨ ⎩

2 25 2 25 2 δ – 4.δ + 4 ≤ ⎛ ------⎞ – 2 ⎛ ------⎞ δ.μ cu, th ⎝ 16⎠ ⎝ 16⎠ 2,44

(

δ 2 − 4 1 − 1, 22.μ cu ,

th

) δ + 1, 56 ≤ 0

(

⇒

Δ ' = 4 1 − 1, 22.μ cu ,

⇒

δ = 2 1 − 1, 22.μ cu ,

(

th

th

)2 − 1, 56

) ± 4 (1 − 1, 22.μ cu, th )2 − 1, 56

⎧ 2, 101 δ = 2 (1 − 1, 22.0, 237 ) ± 4 (1 − 1, 22.0, 237 )2 − 1, 56 = ⎨ ⎩ 0, 743 Le trinôme étant du signe du coefficient multiplicateur de δ2 en dehors des racines, il est négatif si δ ∈[ 0, 743 2, 101]. ⇒ M 'Ed , a = δ.MEdth, a μ cu =

M 'Ed , a 2

bw .d .fcu

⎧ 0,7 pour aciers de classe B ou C, Prenons δ = 0,76 > ⎨ ⎩ 0,743 M 'Ed , a = 0, 76.240 = 182 mkN μ cu =

0, 182 = 0, 179 0, 30.0, 452.16, 7

Analyse structurale

αu =

1 ⎡1 − 1 − 2.μ cu ⎤⎦ λ⎣

αu =

1 ⎡1 − 1 − 2.0, 179 ⎤⎦ = 0, 248 0, 8 ⎣

On vérifie que : x fck = 25 MPa < 50 MPa ⇒ δ lim = 0, 44 + 1, 25 ⎛ u ⎞ = 0, 44 + 1, 25.α u ⎝ d⎠ δ lim = 0, 44 + 1, 25.0, 248 = 0, 75 δ >< δ lim

δ = 0, 76 > 0, 75 = δ lim O.K.

2.3 Diagramme des moments à l’ELU

Moment élastique théorique redistribué sur appui : M 'Ed , a = δ.MEdth , a

M 'Ed , a = 0, 76.240, 00 = 182, 00 mkN

Moment élastique redistribué réduit : M'*Ed , a = M 'Ed , a − ΔMEd

M'*Ed , a = 182, 00 − 17, 14 = 164, 86 mkN

et comme le moment sur appui est négatif, nous obtenons à mi-travée : M'*Ed , t = M'*Ed , a + M Ed 0

M Edth , a = 240,00

M'*Ed , t = −164, 86 + 342, 86 = 178, 00 mkN

RdM sans redistribution

MEd (mkN)

M*Ed, a = 222,86 M'*Ed, a = 164,86

RdM avec redistribution

MEd 0 = 342,86

MEd 0 = 342,86

MEd, t = 120,00 M'*Ed, t = 178,00

leff 2

= 3,15 m

47

48

2.4 Remarque

Si l’on considère que la poutre forme un ensemble monolithique avec ses appuis (ce qui n’est pas le cas ici), il faut faire la vérification ci-dessous. Moment au nu d’appui : MEd = M 'Ed , a − p u

a2 2

MEd = 182 − 72, 56

0, 152 = 181,18 mkN 2

Moment d’encastrement parfait pour la travée de portée ln : 2

 M Ed, enc = p u -----n12

MEd , enc = 217,68 mkN (voir § 1.5)

Vérification : MEd >< 0, 65.MEd , enc MEd = 181, 18 mkN > 141, 49 mkN = 0, 65.217, 68 = 0, 65.MEd , enc O.K.

3. Analyse plastique 3.1 Introduction – Moments à prendre en compte

Aciers

S500 classe B à haute ductilité O.K.

Moments fléchissants : 0, 5 ≤

Ma ≤2 Mt

Prenons MEd , a = MEd , t = 0,5. MEd0 ⇒ M Ed , a = 0, 5.342, 86 = 171, 43 mkN ⇒ M Edt = MEda = 171, 43 mkN

3.2 Armatures calculées sur appui

μ cu =

MEd , a bw .d 2 .fcu

μ cu =

171, 43.10 −3 = 0, 169 0, 30.0, 452.16, 7

fck = 25 MPa ⎫ MEd ⎪ S 500 : μ lu = μ ls = 0,33717 ⎬ ⇒ ∀γ = Mser ⎪ XC2 ⎭ μ cu >< μ lu

μcu = 0,169 < 0,3717 = μcu ⇒ As2 =

Analyse structurale

αu =

1 ⎡1 − 1 − 2.μ cu ⎤⎦ λ⎣

αu =

⎡ λ ⎤ z c = d ⎢1 − α u ⎥ 2 ⎦ ⎣ A s1,

u

=

1 ⎡1 − 1 − 2.0, 169 ⎤⎦ = 0, 233 0, 8 ⎣

0, 8 0, 233⎤⎥ = 0, 408 m z c = 0, 45 ⎡⎢1 − 2 ⎦ ⎣

MEd , a

A s1,

z c .fyd

u

=

0, 17143 10 4 = 9, 66 cm 2 0, 408.435

3.3 Section minimale d’armatures

fck ≤ 50 MPa ⇒ fctm = 0, 3 [ fck ]

2

3

2

fctm = 0, 3 [ 25]

3

= 2, 56 MPa

Maîtrise de la ⎫ ⎧⎛ h ⎞ ⎪ ⎜ 1, 6 − ⎪ ⎟⎠ fctm ⎝ 1 000 Max fissuration ⎬ ⇒ fct, eff = fctm , fl = ⎨ ⎪f non requise ⎪⎭ ⎩ ctm ⎧⎛ 500 ⎞ 2, 56 = 2, 82 MPa ⎪ 1, 6 − 1 000 ⎟⎠ fct , eff = 2, 82 MPa = Max ⎨ ⎜⎝ ⎪ f = 2, 56 MPa ⎩ ctm

A s, min

fct , eff ⎧ b t .d ⎪ 0, 26 f = Max ⎨ yk ⎪ 0, 0013.b .d t ⎩

A s, min

⎧ 0, 26 2, 82 30.45 = 1, 98 cm 2 ⎪ 500 = 1, 98 cm = Max ⎨ ⎪ 0, 0013.30.45 = 1, 76 cm 2 ⎩ 2

A s1 = 9, 66 cm 2 > 1, 98 cm 2 = A s, min

A s1 >< A s, min As1 et As2 >< 0,04.Ac

As1 = 9, 66 cm 2 < 54, 0 cm 2 = 0, 04.30.45 O.K.

3.4 Dispense de la vérification de la rotation des rotules plastiques

αu =

xu >< 0, 25 si fck ≤ 50 MPa d

Aciers de classe B ou C

α u = 0, 233 < 0, 25 O.K. S 500 B O.K.

49

50

0, 5 ≤

Ma ≤2 Mt

MEd , a = MEd ,

t

O.K.

⇒ Dispense de la vérification de la rotation des rotules plastiques. 3.5 Diagramme des moments à l’ELU MEd (mkN)

240,00 222,86 171,43

Analyse élastique linéaire

MEd 0 = 342,86

MEd 0 = 342,86 120 171,43 Analyse plastique

leff 2

= 3,15 m

3.6 Remarque – Contraintes à l’ELS dans la section sur appui

Sur la base des valeurs théoriques de A s1, u et d trouvées ci-dessus. En adoptant un coefficient d’équivalence moyen : α e =

Es E c, eff

= 15 .

3.6.1 Calcul en section non fissurée A w = bw .h + α e ( A s1 + A s 2 )

A ch = 30.50 + 15.9, 66 = 1 644, 9 cm 2

bw h 2 + α e ( A s1 .d + A s 2 .d ') v' = 2 A ch

30.50 2 + 15.9, 66.45 2 v' = = 26, 76 cm 1 644, 9

v = h - v’

v = 50 - 26,76 = 23,24 cm

I ch =

bw .h3 + α e A s1 .d 2 + A s 2 .d '2 − A ch v '2 3

(

)

Analyse structurale

I ch =

30.503 + 15.9, 66.452 − 1 644, 9.26, 762 3

I ch = 365 514 cm 4 pser = g + q

pser = 3, 75 + 45 = 48, 75 kN/m

MEd = M*Ed , a du § 1.4, le calcul à l’ELS n’étant pas conduit par analyse plastique. Mser = MEd

σ ct =

pser pu

Mser = 222, 86

Mser .v I ch

σ ct =

48, 75 = 149, 73 mkN 72, 56

149, 73.10 −3.0, 2324 = 9, 52 MPa 365 514.10 −8

Maîtrise de la fissuration non requise (pour la même contrainte de traction du béton que celle utilisée pour la section minimale d’armatures) : σ ct >< fct , eff

σ ct = 9, 52 MPa > 2, 82 MPa = fct , eff ⇒

Calcul en section fissurée.

3.6.2 Calcul en section fissurée bw .x12 + α e .A s1 .x1 − α e .A s1 .d = 0 2

15.x12 + 15.9, 66.x1 − 15.9, 66.45 = 0 x12 + 9, 66.x1 − 434, 7 = 0

Δ = 42, 80 2 I cf =

−9, 66 + 42, 80 = 16, 57 cm 2

bw .x13 2 + α e .A s1 ( d − x1 ) 3 I cf =

K=

⇒ x1 =

Mser I cf

σ c = K.x1

30.16, 573 + 15.9, 66 ( 45 − 16, 57 )2 = 162 613 cm 4 3 K=

149, 73.10 −3 = 92, 08 MN/m 3 162 613.10 −8

σ c = 92, 08.16, 57.10 −2 = 15, 3 MPa σ c = 15, 3 MPa ≈ 0, 6.fck = 0, 6.25 = 15 MPa

51

52

d’autant plus que la section d’aciers utilisée est la section calculée et non la section réelle (qui lui est supérieure). σ s = α e .K ( d − x1 )

σ s = 15.92, 08 ( 45 − 16, 57 ) 10 −2 = 393 MPa σ s = 393 MPa ≈ 0, 8.fyk = 0, 8.500 = 400 MPa

Application n˚ 2 : analyse d’une poutre continue –Énoncé– On considère la dalle constituée de deux panneaux ne portant que dans un seul sens, schématisée ci-dessous :

B

0,20 m C

A 0,185 m

4,81 m

0,24 m

5,00 m

3,81 m

0,185 m

4,00 m

Matériaux : • béton : fck = 20 MPa ; • aciers : S 500 A, diagramme à palier horizontal. Charges : • revêtements divers : 1,1 kN/m2 ; • exploitation : 5,0 kN/m2 ; Classe d’exposition : XC2. On se propose : 1/ de tracer le diagramme des moments fléchissants à l’ELU résultant d’une analyse linéaire sans redistribution ; 2/ de tracer le diagramme des moments fléchissants à l’ELU résultant d’une analyse linéaire avec redistribution limitée des moments ; 3/ de calculer les armatures longitudinales sur appuis et en travée dans le cas de l’analyse linéaire avec redistribution limitée des moments ; 4/ de faire les vérifications à l’effort tranchant.

Analyse structurale

–Corrigé– 1. Introduction 1.1 Portées à prendre en compte

⎧1 t ⎪⎪ 2 ⇒ a1 = Min ⎨ ⎪1 h ⎪⎩ 2

Appuis de rive :

⎧ 1 0, 185 = 0, 0925 m ⎪⎪ 2 a1 = 0, 0925 m = Min ⎨ ⎪ 1 0, 20 = 0, 10 m ⎪⎩ 2

Appui central :

⎧1 t ⎧ 1 0, 24 = 0, 12 m ⎪⎪ 2 ⎪⎪ 2 ⇒ a 2 = Min ⎨ a 2 = 0, 10 m = Min ⎨ ⎪1 h ⎪ 1 0, 20 = 0, 10 m ⎪⎩ 2 ⎪⎩ 2

Travée AB :  eff =  n + a 1 + a 2

eff = 4,81 + 0,0925 + 0,10 = 5,00 m

Travée BC :  eff =  n + a 1 + a 2

eff = 3,81 + 0,0925 + 0,10 = 4,00 m

1.2 Charges

Permanentes : • poids propre : • revêtements :

25 kN/m3.0,20 = 5,0 kN/m2 1,1 kN/m2 ____________

Total :

g = 6,1 kN/m2

Exploitation :

q = 5,0 kN/m2

53

54

2. Analyse linéaire sans redistribution 2.1 Rappels de RdM P1 P2 C

A x1

B

x2

l1

l2

Le théorème des trois moments appliqué à l’appui B s’écrit : 3

3

3

p 2 . 2 p 1 . 1 1 2 ------- + ------- M B = – -----------– -----------24EI 24EI 3EI 3EI

⇒

3

p .  + p2 . 2 M B = – ----1-------1-------------------8 ( 1 + 2 )

Les moments maximaux en travée s’obtiennent de la façon suivante : • pour la travée AB : ⎫  MB – MA V 1 = p 1 ⎛ ----1- – x 1⎞ + ---------------------= 0⎪ 1 MB ⎝2 ⎠ 1 ⎬ ⇒ x 1 = ----- + -----------2 p 1 . 1 ⎪ MA = 0 ⎭ p 1 .x 1 (  1 – x 1 ) x ⎫ x - + M A ⎛ 1 – ----1-⎞ + M B ----1- ⎪ M t1 = --------------------------------x p 1 .x 1 (  1 – x 1 ) ⎝ ⎠ 2  1 ⎬ ⇒ M t1 = --------------------------------1 - + M B ----11 2 ⎪ MA = 0 ⎭ • pour la travée BC : ⎫  MC – MB V 2 = p 2 ⎛ ----1- – x 2⎞ + --------------------- = 0⎪ 2 MB ⎝2 ⎠ 2 ⎬ ⇒ x 2 = ----- – -----------2 p 2 . 2 ⎪ MC = 0 ⎭ p 2 .x 2 (  2 – x 2 ) x ⎫ x - + M B ⎛ 1 – ----2-⎞ + M C ----2- ⎪ M t2 = --------------------------------⎝ ⎠ 2 2 ⎬ 2 ⎪ MC = 0 ⎭ p .x (  – x ) x ⇒ M t2 = ----2-------2--------2-----------2--- + M B ⎛ 1 – ----2⎞ ⎝ 2  2⎠

Analyse structurale

Remarque Pour les cas de charge faisant intervenir à la fois les charges per manentes et les charges variables, il n’est pas possible d’obtenir par superposition la position et la valeur des moments extrêmes en travée lorsque le chargement n’est pas symétrique.

2.2 Moments sur appuis

Les calculs sont conduits pour une bande de dalle de largeur unité portant sur les appuis A, B et C (sens de la petite portée). 2.2.1 Charges permanentes p

p

1

2

C

A x1

B

l1

p1 = p2 = g

x2

l2

p1 = p2 = 6,1 kN/m2 3

3

p 1 . 1 + p 2 . 2 6, 1.5, 003 + 6, 1.4, 003 - M B, g = − M B, g = – ------------------------------= −16, 01 mkN/m 8 ( 1 + 2 ) 8 ( 5, 00 + 4, 00 ) 2.2.2 Charge d’exploitation totale p1

p2 C

A x1

B

l1

p1 = p2 = q

x2

l2

p1 = p2 = 5,0 kN/m2 3

3

p 1 . 1 + p 2 . 2 5, 0.5, 003 + 5, 0.4, 003 - M B, q = − M B, q = – ------------------------------= −13, 12 mkN/m 8 ( 1 + 2 ) 8 ( 5, 00 + 4, 00 ) 2.2.3 Charge d’exploitation sur la travée AB p1 A

C x1

B

l1

x2

l2

55

56

p1 = q ; p2 = 0

p1 = 5,0 kN/m2 ; p2 = 0 3

3

p 1 . 1 + p 2 . 2 5, 0.5, 003 - M B, qw = − M B, qw = – ------------------------------= −8, 68 mkN/m 8 ( 1 + 2 ) 8 ( 5, 00 + 4, 00 ) 2.2.4 Charge d’exploitation sur la travée BC p2 C

A B

x1

l1

p1 = 0 ; p2 = q

x2

l2

p1 = 0 ; p2 = 5,0 kN/m2 3

3

p 1 . 1 + p 2 . 2 5, 0.4, 003 - M B, qe = − = −4, 44 mkN/m M B, qe = – ------------------------------8 ( 1 + 2 ) 8 ( 5, 00 + 4, 00 ) 2.3 Superposition des cas de charge

2.3.1 Travée AB ⎧1, 35.g + 1, 5.q : travées chargées, pu = ⎨ ⎩1, 35.g : travéées non chargées, ⎧⎪1, 35.6, 1 + 1, 5.5, 0 = 15, 735 kN/m 2 : travées chargées, pu = ⎨ 2 ⎩⎪1, 35.6, 1 = 8, 235 kN/m : travées non chargées,

A

A

A

l1

B

l1

x1

l1

1,35.g

x1

B

B

1,35.g + 1,5.q

x1

1,35.g + 1,5.q

Cas 1

Cas 2

l2

x2

Cas 3

1,35.g + 1,5.q

l2

x2

1,35.g

l2

x2

1,35.g + 1,5.q

Cas de charge

C

C

C

3

3

– 1,35.16,01 – 1,5.4,44 = – 28,27 mkN/m

– 1,35.16,01 – 1,5.8,68 = – 34,63 mkN/m

– 1,35.16,01 – 1,5.13,12 = – 41,29 mkN/m

p 1 . 1 + p 2 . 2 M B = – -------------------------------8 ( 1 + 2 )

x p 1 .x 1 (  1 – x 1 ) M t1 = --------------------------------- + M B ----11 2

1,813 5,00 28,27 (5,00 – 1,813) x 1 = ---------- – ------------------------- = 1,813 m M t1 = 8,235.1,813 ---------------------------------------------------------------- – 28,27 ------------- = 13,54 mkN/m 5,00 2 8,235.5,00 2

2,060 5,00 34, 63 (5,00 – 2,060) x 1 = ---------- – ---------------------------- = 2,060 m M t1 = 15,735.2,060 ------------------------------------------------------------------- – 34,63 ------------- = 33,38 mkN/m 5,00 2 15,735.5,00 2

1,975 5,00 41,29 (5,00 – 1,975) x 1 = ---------- – ---------------------------- = 1,975 m M t1 = 15,735.1,975 ------------------------------------------------------------------- – 41,29 ------------- = 30,69 mkN/m 5,00 2 15,735.5,00 2

MB  x 1 = ----1- + ------------2 p 1 . 1

Analyse structurale

57

A

A

A

l1

B

l1

x1

l1

1,35.g

x1

B

B

1,35.g + 1,5.q

x1

1,35.g + 1,5.q

Cas 1

Cas 2

l2

x2

C

C

C

Cas 3

1,35.g + 1,5.q

l2

x2

1,35.g

l2

x2

1,35.g + 1,5.q

Cas de charge

2.3.2 Travée BC

– 28,27 mkN/m

– 34,63 mkN/m

– 41,29 mkN/m

3

3

p 1 . 1 + p 2 . 2 M B = – -------------------------------8 ( 1 + 2 )

4,00 28,27 x 2 = ---------- + ---------------------------- = 2,456 m 2 15,735.4,00

4,00 34,63 x 2 = ---------- + ------------------------- = 3,051 m 2 8,235.4,00

4,00 41,29 x 2 = ---------- + ---------------------------- = 2,656 m 2 15,735.4,00

MB  x 2 = ----2- – ------------2 p 2 . 2

2,456 – 28,27 ⎛ 1 – -------------⎞ = ⎝ 4,00 ⎠

14,21 mkN/m

18,92 mkN/m

3,71 mkN/m

15,735.2,456 (4,00 – 2,456) M t2 = ------------------------------------------------------------------2

3,051 – 34,63 ⎛ 1 – -------------⎞ = ⎝ 4,00 ⎠

8,235.3,051 (4,00 – 3,051) M t2 = ---------------------------------------------------------------2

2,656 – 41,29 ⎛ 1 – -------------⎞ = ⎝ 4,00 ⎠

15,735.2,656 (4,00 – 2,656) M t2 = ------------------------------------------------------------------2

p 2 .x 2 (  2 – x 2 ) x M t2 = --------------------------------- + M B ⎛ 1 – ----2-⎞ ⎝ 2  2⎠

58

Analyse structurale

D’où le diagramme des moments fléchissants : Echelles : : cas 1

10 mkN/m

-41,29

: cas 2

-34,63 -28,27

: cas 3

A

+ 3,71 14,21 + + 18,92

B

13,54

1m

C

30,69 + + 33,38

l1

l2

3. Analyse linéaire avec redistribution 3.1 Caractéristiques des matériaux

fcd = α cc fyd =

fck γc

fyk γs

fcd = 1 fyd =

20 = 13, 33 MPa 1, 5

500 = 435 MPa 1, 15

3.2 Coefficient réducteur du moment sur appui

i --------->< 2 i + 1

i 5,00 0,5 < ---------= ---------- = 1,25 < 2 O.K. i + 1 4,00

⎛ 0, 0014 ⎞ ⎛ x u ⎞ fck >< 50 MPa ⇒ δ fck = 20 MPa ⇒ δ = 0, 44 + 1, 25 ⎜ 0, 6 + . ε cu 2 ⎟⎠ ⎝ d ⎠ ⎝

en posant : αu =

xu , d

59

60

⎧ λ, f ck >< 50 MPa ⇒ ⎨ ⎩η

⎧ λ = 0,8 f ck = 20 MPa < 50 MPa ⇒ ⎨ ⎩η = 1

fcu = η.fcd

fcu = 1.13, 33 = 13, 33 MPa

μ cu ,

=

th

MEd , a bw .d 2 .fcu

avec MEd , a = moment sur appui

μ cu ,

th

=

0, 04129 = 0, 107 1, 00.0, 172.13, 33

on obtient à l’ELU sous l’effet du moment « redistribué78 » M 'Ed ,

B

= δ.MEd , a :

μ cu = μ cu , th .δ 1⎡ 1 − 1 − 2.δ.μ cu , λ⎣

αu =

th

⎤, ⎦

d’où : 0,0014 x 0,0014 ⎞ δ ≥ 0,44 + 1,25 ⎛ 0,6 + ----------------⎞ ----u- = 0,44 + 1,25 ⎛ 0,6 + ------------------ α = 0,44 + 1,25.α u – 3⎠ u ⎝ ⎝ ε cu2 ⎠ d 3,5.10 5 2 δ ≥ 0, 44 + ⎛ ⎞ ⎡⎣1 − 1 − 2.δ.μ cu , ⎝ 4⎠ 16 [ δ − 0, 44 ] ≥ 1 − 1 − 2.δ.μ cu, 25

⎤ ⎦

th

≥ – 1 – 2.δ.μ cu, th

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

16 δ – 0,44 – 25 ----------16 25

th

δ–2

et en supprimant le radical (en remarquant que 2 – δ < 0) : 2

⎛ 16 ⎞ ⎡ δ 2 − 4.δ + 4 ⎤ ≤ 1 − 2.δ.μ cu , ⎦ ⎝ 25 ⎠ ⎣

th

78. Pour différencier les sollicitations (M, V) résultant de la redistribution limitée des moments des autres sollicitations, nous leur adjoignons une apostrophe (M’, V’).

Analyse structurale

d’où l’inéquation du second degré en δ :

⎧ ⎨ ⎩

2 25 2 25 2 δ – 4.δ + 4 ≤ ⎛ ------⎞ – 2 ⎛ ------⎞ δ.μ cu, th ⎝ 16⎠ ⎝ 16⎠ 2,44

(

δ 2 − 4 1 − 1, 22.μ cu ,

⇒ ⇒

th

) δ + 1, 56 ≤ 0

(

Δ ' = 4 1 − 1, 22.μ cu ,

(

δ = 2 1 − 1, 22.μ cu ,

th

th

)2 − 1, 56

) ± 4 (1 − 1, 22.μ cu, th )2 − 1, 56

⎧ 2, 949 δ = 2 (1 − 1, 22.0, 107 ) ± 4 (1 − 1, 22.0, 107 )2 − 1, 56 = ⎨ ⎩ 0, 529 Le trinôme étant du signe du coefficient multiplicateur de δ2 en dehors des racines, il est négatif si δ ∈[ 0, 529 2, 949 ] . ⇒ M 'Ed , μ cu = αu =

B

⎧ 0,8 pour aciers de classe A, Prenons δ = 0,85 > ⎨ ⎩ 0,529.

= δ.M Ed , a

M 'Ed ,

B

bw .d 2 .fcu 1 ⎡1 − 1 − 2.μ cu ⎤⎦ λ⎣

= 0, 85.41, 29 = 35, 10 mkN/m

M 'Ed ,

B

μ cu =

0, 0351 = 0, 091 1, 00.0, 172.13, 33

αu =

1 ⎡1 − 1 − 2.0, 091 ⎤⎦ = 0, 119 0, 8 ⎣

On vérifie que : x fck = 20 MPa < 50 MPa ⇒ δ lim = 0, 44 + 1, 25 ⎛⎝ ----u-⎞⎠ = 0,44 + 1,25.α u d δ lim = 0, 44 + 1, 25.0, 119 = 0, 589 δ >< δ lim

δ = 0, 85 > 0, 589 = δ lim O.K.

3.3 Diagramme des moments redistribués à l’ELU

3.3.1 Moment fléchissant maximal dans la travée AB Effort tranchant sur l’appui A lorsque M B = M 'Ed , § 2.3.1) :

B

(cas de charge  du

61

62

 M V’ Ed, A = p u ----1- + -------B2 1

V 'Ed ,

A

= 15, 735

5, 00 35, 1 − = 32,3 kN/m 2 5, 00

Abscisse de la section soumise au moment maximal en travée :  MB V’ Ed, A x 0 = ----1- + -----------= --------------2 p u . 1 pu

x0 =

5, 00 35, 1 − = 2,054 m 2 15, 735.5, 00

Moment maximal redistribué en travée : x p u .x 0 (  1 – x 0 ) M’ Ed, AB = --------------------------------- + M’ Ed, B ----01 2 15, 735.2, 054 ( 5, 00 − 2, 054 ) 2, 0544 − 35, 10 2 5, 00

M 'Ed ,

AB

=

M 'Ed ,

AB

= 33,19 mkN/m < 33, 38 mkN/m = M Ed ,

AB

⇒ M 'Ed , AB non retenu pour le calcul de la section d’aciers dans la travée AB. 3.3.2 Moment fléchissant maximal dans la travée BC Abscisse de la section soumise au moment maximal en travée (cas de charge  du § 2.3.2) :  MB x 0 = ----2- – -----------2 p u . 2

x0 =

4, 00 35, 1 + = 2,558 m 2 15, 735.4, 00

Moment maximal redistribué en travée : p u .x 0 (  2 – x 0 ) x M’ Ed, BC = --------------------------------- + M’ Ed, B ⎛ 1 – ----0-⎞ ⎝ 2  2⎠ 15, 735.2, 558 ( 4, 00 − 2, 558 ) 2, 558 ⎞ ⎛ − 35, 10 ⎜ 1 − ⎝ 2 4, 00 ⎟⎠

M 'Ed ,

BC

=

M 'Ed ,

BC

= 16,37 mkN/m < 18, 92 mkN/m = M Ed ,

BC

⇒ M 'Ed , BC non retenu pour le calcul de la section d’aciers dans la travée BC. 4. Armatures longitudinales 4.1 Caractéristiques des matériaux

Voir § 3.1.

Analyse structurale

4.2 Aciers sur appui B

4.2.1 Écrêtage des moments sur appui Efforts tranchants de part et d’autre de l’appui central (indices w = ouest pour gauche, et e = est pour droite) : p u = 1, 35.g + 1, 5.q

p u = 1, 35.6, 1 + 1, 5.5, 0 = 15, 735 kN/m 2

 M’ Ed, B V’ Ed, Bw = – p u ----1- + ---------------- V 'Ed , 2 1  M’ Ed, B V’ Ed, Be = p u ----2- – ---------------2 2

V 'Ed ,

Bw

Be

= −15, 735 = 15, 735

5, 00 35, 1 − = – 46,36 kN/m 2 5, 00

4, 00 35, 1 + = + 40,25 kN/m 2 4, 00

Réaction d’appui sur l’appui central : FEd , sup = V 'Ed ,

Be

− V 'Ed ,

Bw

FEd, sup = 40, 25 + 46, 36 = 86,61 kN/m

Écrêtage du moment sur l’appui central : t = profondeur d’appui : ΔMEd = FEd , sup

t 8

t = 0,24 m ΔM Ed = 86, 61

0, 24 = 2,60 mkN/m 8

Moment fléchissant à prendre en compte sur l’appui central : En utilisant l’exposant « * » pour distinguer le moment « écrêté » du moment résultant des calculs RdM : M'*Ed ,

B

= M 'Ed , B + ΔMEd

M'*Ed ,

B

= −35, 10 + 2, 60 = – 32,50 mkN/m

4.2.2 Vérification – Valeur minimale du moment en B Moment au nu d’appui : MEd = M'*Ed ,

B

− pu

a2 2

MEd = 32, 5 − 15, 735

0, 10 2 = 32,42 mkN 2

Moment d’encastrement parfait pour la travée de portée ln : 2

 M Ed, enc = p u -----n12

MEd , enc = 15, 735

4, 812 = 30,34 mkN 8

Vérification : MEd >< 0, 65.MEd , enc MEd = 32, 42 mkN > 19, 72 mkN = 0, 65.30, 34 = 0, 65.MEd , enc O.K.

63

64

Remarque Cette vérification est en fait inutile ici, car la dalle n’est pas solidaire de l’appui B.

4.2.3 Armatures μ cu =

M'*Ed ,

B

μ cu =

bw .d 2 .fcu

32, 5.10 −3 = 0, 085 1, 00.0, 172.13, 33

fck = 20 MPa ⎫ MEd ⎪ S 500 : μ lu = μ ls = 0,33717 ⎬ ⇒ ∀ γ= M ser ⎪ XC2 ⎭ μ cu >< μ lu αu =

μ cu = 0, 085 < 0, 3717 = μ lu

1 ⎡1 − 1 − 2.μ cu ⎤⎦ λ⎣

⎡ λ ⎤ z c = d ⎢1 − α u ⎥ 2 ⎦ ⎣ A s1,

u

=

M'*Ed ,

αu =

⇒ A s2 = 0

1 ⎡1 − 1 − 2.0, 085 ⎤⎦ = 0, 111 0, 8 ⎣

0, 8 0, 111⎤⎥ = 0,162 m z c = 0, 17 ⎡⎢1 − 2 ⎦ ⎣

B

A s1,

z c .fyd

u

=

32, 5.10 −3 4 10 = 4, 61 cm 2 /m 0, 162.435

4.2.4 Contrôle du coefficient de redistribution d i --------->< 2 i + 1

i 5,00 0,5 < ---------= ---------- = 1,25 < 2 O.K. i + 1 4,00

fck >< 50 MPa ⇒ δ x 0,0014 δ = 0,44 + 1,25 ⎛ 0,6 + --------------- ⎞ . ⎛ ----u⎞ ⎝ ε cu2 ⎠ ⎝ d ⎠

⎧ ⎨ ⎩

f ck = 20 MPa ⇒

αu

0, 0014 ⎞ ⎛ δ = 0, 44 + 1, 25 ⎜ 0, 6 + .0, 111 = 0, 579 ⎝ 0, 0035 ⎟⎠ ⎧ 0, 579 O.K. δ = 0, 85 > ⎨ ⎩ 0, 8 classe A

Analyse structurale

Remarque Du fait de l’« écrêtage » du moment sur appui, sa valeur absolue a diminué, donc α u aussi, et le contrôle du coefficient de redistribution est assuré sans qu’il soit nécessaire d’effectuer les calculs ci-dessus.

4.3 Armatures en travée

4.3.1 Travée AB Comme : M 'Ed , AB < M Ed , AB (voir § 3.3.1), nous retenons cette dernière valeur pour le calcul des armatures. μ cu =

MEd ,

AB

bw .d 2 .fcu

μ cu =

33, 38.10 −3 = 0, 087 1, 00.0, 172.13, 33

fck = 20 MPa ⎫ MEd ⎪ S 500 : μ lu = μ ls = 0,33717 ⎬ ⇒ ∀γ = Mser ⎪ XC2 ⎭ μ cu >< μ lu αu =

μ cu = 0, 087 < 0, 3717 = μ lu

1 ⎡1 − 1 − 2.μ cu ⎤⎦ λ⎣

⎡ λ ⎤ z c = d ⎢1 − α u ⎥ 2 ⎦ ⎣ A s1,

u

=

MEd ,

AB

z c .fyd

αu =

⇒ A s2 = 0

1 ⎡1 − 1 − 2.0, 087 ⎤⎦ = 0, 114 0, 8 ⎣

0, 8 0, 114 ⎤⎥ = 0,162 m z c = 0, 17 ⎡⎢1 − 2 ⎦ ⎣ A s1,

u

=

33, 38.10 −3 4 10 = 4, 74 cm 2 /m 0, 162.435

4.3.2 Travée BC Comme M 'Ed , BC < MEd , BC (voir § 3.3.2), nous retenons cette dernière valeur pour le calcul des armatures. μ cu =

MEd , 2

BC

bw .d .fcu

μ cu =

18, 92.10 −3 = 0, 049 1, 00.0, 172.13, 33

fck = 20 MPa ⎫ MEd ⎪ S 500 : μ lu = μ ls = 0,33717 ⎬ ⇒ ∀γ = M ser ⎪ XC2 ⎭ μ cu >< μ lu

μ cu = 0, 049 < 0, 3717 = μ lu

⇒ A s2 = 0

65

66

αu =

1 ⎡1 − 1 − 2.μ cu ⎤⎦ λ⎣

αu =

⎡ λ ⎤ z c = d ⎢1 − α u ⎥ 2 ⎦ ⎣ A s1,

u

=

MEd ,

1 ⎡1 − 1 − 2.0, 049 ⎤⎦ = 0, 063 0, 8 ⎣

0, 8 0, 063⎤⎥ = 0,166 m z c = 0, 17 ⎡⎢1 − 2 ⎦ ⎣

BC

A s1,

z c .fyd

u

=

18, 92.10 −3 4 10 = 2, 62 cm 2 /m 0, 166.435

5. Vérification à l’effort tranchant 5.1 Effort tranchant à prendre en compte

Effort tranchant maximum obtenu à gauche de l’axe de l’appui B, compte tenu du moment redistribué :  M’ Ed, B V’ Ed, Bw = – p u ----1- + ---------------2 1 V 'Ed ,

Bw

= −15, 735

5, 00 35, 10 − = – 46,36 kN/m 2 5, 00

Effort tranchant réduit pour transmission directe des charges aux appuis (à la distance d du nu d’appui pour des charges réparties) : V 'Ed 0 ,

Bw

= V 'Ed ,

Bw

t − pu ⎛ + d⎞ ⎝2 ⎠ V 'Ed 0 ,

Bw

0, 24 = 46, 36 − 15, 735 ⎛ + 0, 17⎞ = 41,80 kN/m ⎝ 2 ⎠

Effort tranchant résistant de calcul de l’élément sans armatures d’âme : A sl = aire de l’armature longitudinale dans la section distante de d + l bd A sl = 5, 03 cm 2 / m (TS HA ST 50 ADETS) de celle étudiée : ρl =

A sl >/ 2 % bw .d

N Ed = effort normal σ cp =

N Ed < 0,2.fcd Ac

ρl =

5, 03 = 0, 003 < 2 % 100.17

N Ed = 0 (flexion simple) σ cp = 0

Analyse structurale

Effort tranchant pouvant être supporté sans armatures d’âme :

VRd , c

⎧ ⎡ CRd , c .k. 3 100.ρl .fck + k1 .σ cp ⎤ bw .d = VRd , c1 ⎦ ⎪⎣ = Max ⎨ ⎪ ⎡⎣ v min + k1 .σ cp ⎤⎦ bw .d = VRd , c 2 ⎩

avec : CRd , c =

0, 18 γc

CRd , c =

⎧ 200 mm ⎪1 + k = Min ⎨ d ⎪2 ⎩

0, 18 = 0, 12 1, 5

⎧ 200 = 2, 08 ⎪1 + k = 2 = Min ⎨ 170 ⎪2 ⎩

k1 = 0,15 3/2

3/2

v min = 0,035.k . f ck

v min = 0,035.2 . 20 = 0,443

k1 = 0, 15

k31 = 0, 15 ⎧⎡ ⎤ 20 + 03 , 15.0 ⎥ 1, 00.0, 17 = 0, 074 MN/m ⎪ ⎢302, 12.2 3 100 2 1 000 Min V vRd .k⎣ . fck v min = 0, 035.2 . 20⎦ = 0, 443 min, c==0, 035⎨ ⎪ ⎩( 0, 443 + 0, 15.0 ) 1, 00.0, 17 = 0, 075 MN/m Remarque pour l’Annexe nationale française

v min

⎧ 0, 34 fck : dalles bénéficiant d'un effet de redistribution transversale ⎪ γ ⎪ c ⎪ e cas de charge considéré, sous le ⎪ = ⎨ 0, 053 3 2 ⎪ γ k . fck : poutres et autres dalles, ⎪ c ⎪ 0, 35 fck : voiles. ⎪ ⎩ γc

Dalle portant dans un seul sens : ⇒ v min =

0, 053 3 2 0, 053 3 2 2 . 20 = 0, 447 k . fck = 1, 5 γc

Soit sensiblement la même valeur que celle recommandée par l’EC 2. (

0, 053 0, 053 = = 0, 0353 ≈ 0, 035) γc 1, 5

5.2 Vérification

V 'Ed 0 ,

Bw

>< VRd , c

V 'Ed 0 , ⇒

Bw

= 0, 0418 MN/m < 0, 074 MN/m = VRd , c

armatures d’effort tranchant non nécessaires.

67

68

6. Vérifications à l’ELS

On trouvera ci-après la liste des vérifications complémentaires à effectuer pour que l’application soit complète. 6.1 Contraintes à l’ELS

Pour mémoire. 6.2 Fissuration

Pour mémoire. 6.3 Flèches

Pour mémoire. 7. Dispositions constructives

On trouvera ci-après la liste des calculs complémentaires à effectuer pour compléter cette application. 7.1 Longueurs d’ancrage

Pour mémoire. 7.2 Ancrages sur l’appui A

Pour mémoire. 7.3 Ancrages sur l’appui B

Pour mémoire. 7.4 Espacements des barres

Pour mémoire. 7.5 Armatures minimales

Pour mémoire. 7.6 Recouvrement des armatures

Pour mémoire.

2

Instabilité de forme – Flambement

I.

RAPPELS THÉORIQUES

1.

Rappels de résistance des matériaux

1.1

Force critique d’Euler Considérons une poutre G 0 G1 articulée à ses deux extrémités. 0 : longueur de la poutre, S : aire de la section droite supposée constante, G 0 xy : repère associé à la pièce de telle sorte que l’axe G 0 x supporte le segment G 0 G1, F : forces axiales de compression appliquées à chacune des extrémités de la poutre, y(x) : déplacement de la section d’abscisse x par rapport à la ligne d’action de F.

x

F G1

Pour que la déformée y(x) corresponde à une déformée stable, il faut que : dω d y M ⎫ = = ⎪ dx dx 2 EI ⎬ ⇒ ⎪ M = − F .y ⎭ 2

d2 y F + y=0 dx 2 EI

F et EI étant constants, posons γ 2 = ces

conditions,

nous

obtenons

F . Dans EI l’équation

⎧ d2 y 2 ⎪⎪ 2 + γ .y = 0 dx différentielle : ⎨ dont l’intégrale ⎪γ 2 = F ⎪⎩ EI

l0

(S)

y

y

x

G0 F

générale est : y = A.sin γx + B. cos γx Les constantes d’intégration A et B s’obtiennent en exprimant les conditions aux limites :

70

⎧ [ y ]x = 0 = 0 ⎨ ⎩ [ y ] x = 0 = 0

⇒

⎧B = 0 ⎨ ⎩ A.sin γ  0 = 0

La seconde relation conduit à : ⎧ A = 0 ⇒ forme rectiligne stable, ⎪ ⎨ ou ⎪ γ  = n π ⇒ forme non rectiligne stable. ⎩ 0 Nous en déduisons qu’il y a une infinité de déformées non rectilignes stables vérifiant : x y = A.sin ⎛⎝ nπ -----⎞⎠ 0 Les valeurs correspondantes de la force F sont données par : EI F = γ 2 EI ⇒ F = n 2 π 2 -----20 La forme rectiligne cesse d’être une forme d’équilibre stable lorsque l’intensité de la force F atteint la plus petite de ces valeurs soit : 2 EI F c = π -----2- = force critique d’Euler. 0

0 est appelée longueur de flambement de la poutre. Sa valeur dépend des liaisons aux deux extrémités de cette dernière (voir § 2.2 et 2.3).

1.2

Amplification de la déformée d’une poutre comprimée Considérons une poutre G 0 G1 articulée à ses deux extrémités : 0 : longueur de la poutre, S : section droite constante, F : forces axiales de compression appliquées à chacune des extrémités de la poutre, x y 0 = a.sin ⎛ π -----⎞ : défaut de rectitude initial, ⎝  0⎠ y(x) : déplacement de la section d’abscisse x par rapport à la ligne déformée initiale de la poutre.

Instabilité de forme – Flambement

1.2.1

Équation différentielle de la ligne moyenne déformée

Moment fléchissant dans la section d’abscisse x :

x

M ( x ) = −F ( y + y0 ) Pour que la déformée soit stable, il faut que :

F

d2 y M = dx 2 EI

G1

soit : d2 y F = − ( y + y0 ) EI dx 2 (S)

Équation que l’on écrit : ⎧ 2 x⎞ ⎪ d-------y- + γ 2 .y = – γ 2 a.sin ⎛ π ---⎝  0⎠ ⎪ dx 2 ⎨ ⎪ 2 F ⎪ γ = -----EI ⎩

y

y y0

l0 x

G0 F

Solution de l’équation de la ligne moyenne déformée – Coefficient d’amplification

L’intégrale générale de l’équation différentielle précédente s’écrit : x⎞ y = A.sin γx + B.cos γx + C.sin ⎛ π ---⎝  0⎠ y 1

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

1.2.2

y0

x La constante d’intégration C est déterminée en écrivant que y 0 = C.sin ⎛ π -----⎞ ⎝  0⎠ est solution de l’équation différentielle avec second membre : 2

2 2 π x x x – ----2- C.sin ⎛ π -----⎞ + γ C.sin ⎛ π -----⎞ = – γ a.sin ⎛ π -----⎞ ⎝  0⎠ ⎝  0⎠ ⎝  0⎠ 0

ce qui donne : a C = -----------------------π ⎞2 ⎛ ------- –1 ⎝ γ  0⎠

71

72

2 EI π -----2 F π π et, en remarquant que : ----------- = ----------- = -----------0- = -----c , on obtient : 2 2 2 F F F γ . 0 ------  0 EI 2

C=

2

aF Fc − F

Il en résulte que la solution de l’équation différentielle complète s’écrit : y = A.sin γx + B. cos γx +

aF x⎞ sin ⎛ π ---⎝  0⎠ Fc − F

Les constantes d’intégration A et B sont déterminées par les conditions aux limites : ⎧ [ y ]x = 0 = 0 ⎨ ⎩ [ y ] x = 0 = 0 d’où : 2 ⎧B = 0 2 2 π EI 2 ⇒ γ  0 = n π ⇒ F = EI γ = n -------2---- = n F c ⇒ F = F c ⎨ A.sin γ  = 0 0 ⎩ 0

Si l’on suppose que F < Fc , nous avons : sin λ0 ≠ 0 ⇒ A = 0 et la solution de l’équation différentielle de la ligne moyenne déformée s’écrit : F x F y = -------------- a.sin ⎛ π -----⎞ = -------------- y 0 ⎝  0⎠ Fc – F Fc – F Nous en déduisons : ⎤ ⎡ F Fc y + y0 = ⎢ + 1⎥ y 0 = y0 F − F F c −F ⎦ ⎣ c M = −F ( y + y0 ) = −F

Fc y0 Fc − F

d’où en posant M0 = − F.y 0 , moment résultant de la déformée initiale :

Instabilité de forme – Flambement

Fc - M ≥ M0 M = ------------Fc – F 0 Fc - ≥ 1 est appelé coefficient d’amplification K = ------------Fc – F Il en résulte qu’une déformation initiale de la ligne moyenne engendre, sous l’effet d’une compression : • une augmentation du moment fléchissant ; • une force critique de flambement inchangée. Remarque Dans le cas où la poutre est soumise à un moment variant sinusoïdalement, il suffit

de

remplacer,

dans

le

calcul

précédent,

x y 0 = a.sin ⎛ π -----⎞ ⎝  0⎠

par

M x y 0 = ------0- = a.sin ⎛ π -----⎞ , ce qui conduit au même coefficient d’amplification du ⎝  0⎠ F moment du premier ordre.

1.2.3

Excentricités du premier et du second ordre

Considérons une potence verticale soumise à l’action : • d’une force verticale P d’excentricité structurale e 0 en tête ; • d’une force horizontale H en tête. P

P

H e0 f

e0

l0

+

2

P.e0 H.l0 2 M1 Charges Déformations

=

P.f M2

M1 + M2

Moments fléchissants

Le moment du second ordre résulte du supplément d’excentricité provenant de l’apparition de la flèche f.

73

74

Sollicitations en pied de poteau avant déformation : ⎧N = P ⎪  ⎪ M 1 = P.e 0 + H ----02 ⎨ ⎪ H  ⎪e = M ------1- = e 0 + ---- . ----0⎩ 1 P 2 N Sollicitations du second ordre dues à la déformation : ⎧ ⎪N = P ⎪⎪ ⎨ M2 = P.f ⎪ M ⎪e 2 = 2 = f N ⎩⎪ Sollicitations totales (1er + 2e ordre) :

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

{

⎧N = P ⎪ 0 ⎪ ⎪ M = M 1 + M 2 = P [ e 0 + f ] + H ---2 ⎨ ⎪  ⎪e = M ----- = e 0 + H ---- . ----0- + f N P 2 ⎪ e2 ⎩ e1 On appelle : • excentricité du premier ordre : l’excentricité e1 évaluée sans tenir compte des déformations (résultat des calculs de RdM) ; • excentricité du second ordre : l’excentricité e 2 représentant les déformations de l’élément (influence des déformations sur le moment fléchissant). Remarque L’excentricité additionnelle ei et le supplément d’excentricité pour les sections droites avec ferraillage symétrique Δe0 (voir § 1.2.1, chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) doivent être ajoutées à l’excentricité du premier ordre.

Instabilité de forme – Flambement

2.

Classification des structures et des éléments structuraux

2.1

Éléments contreventés et non contreventés Voir § 2.4.1, chapitre 1 : « Analyse structurale » pour leur définition.

2.2

Cas des poteaux isolés Voir § 2.4.1, chapitre 1 : « Analyse structurale » pour leur définition.

2.2.1

Élancement

L’élancement est défini par1 :  λ = ----0i

(5.14)

avec : Ic = rayon de giration de la section droite, Ac I c = moment d’inertie de la section transversale (béton seul) dans le plan de flambement (c’est-à-dire par rapport à un axe perpendiculaire à celui-ci),

i=

A c aire de la section transversale (béton seul). La longueur efficace 0 d’un poteau est égale à sa longueur de flambement2 : a)

b)

c)

l0 = 2. l

l

l

d)

e)

f)

≃ 0,7.l

l 2

l
g)

l

1. 2.

EC 2 – 5.8.3.2 (1) EC 2 – 5.8.3.2 (2)

l 2

l0 > 2.l

75

76

2.2.2

Cas des sections rectangulaires

Il faut normalement envisager les deux possibilités : • flambement dans le plan parallèle au petit côté ; • et flambement dans le plan parallèle au grand côté. En désignant par 0b et 0h les longueurs efficaces (de flambement) correspondant aux liaisons d’extrémité dans le sens b (parallèle à la dimension b) et h (parallèle à la dimension h), on retiendra : ⎧  0b 12 ⎪ -----------------⎪ b λ = Max ⎨ b ⎪  0h 12 ⎪ -----------------⎩ h

h

2.2.3

3

b h ⎛ I = -h. -------- , B = h.b, i = ---------⎞ ⎝ 12 12⎠

Cas des sections circulaires 4 ⎫ π.a I c = ---------- ⎪ 64 ⎪ ⎬ 2 π.a ⎪ A c = ---------- ⎪ 4 ⎭

a

2.3

3

⎛ I = -h. ----b---- , B = h.b, i = ----b-----⎞ ⎝ 12 12⎠

⇒

a i = -- ⇒ 4

Cas des éléments de structure isolés

l

4.  λ = ---------0 a

Instabilité de forme – Flambement

Éléments de portiques non intégrés au contreventement (donc contreventés3) : k

k

1 2  0 = 0,5.1 ⎛⎝ 1 + ---------------------⎞ . ⎛ 1 + ---------------------⎞ 0,45 + k 1⎠ ⎝ 0,45 + k 2⎠

(5.15)

Éléments de portiques intégrés au contreventement (donc non contreventés) : ⎧ k 1 .k 2 ⎪ 1 + 10 ---------------k1 + k2 ⎪  0 = .Max ⎨ k1 ⎞ ⎛ k2 ⎞ ⎪⎛ - . 1 + ------------⎪ ⎝ 1 + ------------⎠ ⎝ 1 + k1 1 + k 2⎠ ⎩

(5.16)

avec : k1 , k 2 = coefficients de souplesse aux extrémités 1 et 2 respectivement tels que : EI θ k. θ = K.M = -------- M ⇒ k = ----- . --- M EI où : θ = rotation des éléments s’opposant à la rotation pour le moment fléchissant M, EI = rigidité à la flexion de la colonne,  = longueur libre de la colonne entre les liaisons d’extrémité. Remarque Pour un encastrement parfait : θ = 0 ⇒ k = 0, pour une extrémité libre : M = 0 ⇒ k →  , les encastrements parfaits n’existant pas dans la pratique, la valeur minimale à considérer pour les coefficients de souplesse est : k1 ou k 2 = 0,1.

Dans le cas où le nœud comporte un autre poteau pouvant influencer la rotation EI EI EI d’extrémité, il faut remplacer ------ par ⎛ ------⎞ + ⎛ ------⎞ , a et b désignant respec⎝  ⎠a ⎝  ⎠b  tivement le poteau supérieur et le poteau inférieur4. Dans le cas où l’effort normal et/ou la section du poteau n’est pas constant sur toute sa hauteur, la longueur efficace est obtenue par la théorie du flambement (RdM)5 : EI  0 = π ------NB

3. 4. 5.

EC 2 – 5.8.3.2 (3) EC 2 – 5.8.3.2 (4) EC 2 – 5.8.3.2 (6)

(5.17)

77

78

avec : N B = charge critique de flambement. Dans l’évaluation de la longueur efficace, il convient de tenir compte de la fissuration à moins que les éléments s’opposant à la déformation restent non fissurés à l’ELU6.

3.

Imperfections géométriques Voir § 2.4, chapitre 1 : « Analyse structurale ».

4.

Méthode générale La méthode générale, appelée méthode de l’équilibre ou méthode des déformations internes, est basée sur une analyse non linéaire, incluant7 : • la non-linéarité géométrique (effets du second ordre) ; • la non-linéarité des lois de comportement des matériaux (diagrammes σ−ε). La méthode de calcul peut être schématisée par l’organigramme ci-dessous :

6. 7.

EC 2 – 5.8.3.2 (5) EC 2 - 5.8.6 (1)P

Instabilité de forme – Flambement

On dispose également de méthodes simplifiées8 : • la méthode de la rigidité décrite au § 6 ; • la méthode de la courbure décrite au § 7.

4.1

Domaine d’application Poteaux chargés de façon excentrée et d’élancement géométrique élevé :  λ = ----0- > λ lim i

8.

EC 2 – 5.8.5

79

80

avec : 0 = hauteur efficace (longueur de flambement) de l’élément vertical généralement déduite de la théorie du flambement élastique (voir § 2), Ic = rayon de giration de la section droite, Ac A c = aire de la section droite (béton seul), I c = moment d’inertie de la section droite (béton seul) dans le plan de flambement (c’est-à-dire par rapport à un axe perpendiculaire à ce plan), λ lim = valeur limite de l’élancement du poteau (voir § 5.1). Poteaux de section constante (béton et armatures). La ligne moyenne est symétrique par rapport à la section médiane. Poteaux articulés à leurs deux extrémités ou en console (mâts). i=

l0 2

l0

Poteaux soumis à un effort normal constant. Poteaux soumis à un moment du premier ordre de signe constant dont la valeur maximale se produit dans la section à 0 / 2 du sommet.

4.2

Hypothèses complémentaires

4.2.1

Hypothèses mécaniques

Les sections droites restent planes. Il n’y a pas de glissement relatif entre l’acier et le béton. On néglige le béton tendu par sécurité. Les armatures sont caractérisées par leur diagramme contraintes-déformations de calcul (voir § 2.4.2.1, chapitre 3 : « Béton armé – Généralités », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). Dans le cas des ponts, fyk et k.fyk sont remplacés par les valeurs recommandées suivantes : 1, 1.fyk et 1, 1.k.fyk 9.

9.

EC 2 – 5.7 (105) – note 1

Instabilité de forme – Flambement

Le béton est caractérisé par le diagramme contraintes-déformations de calcul défini au § 2.4.2.3, chapitre 3 : « Béton armé – Généralités », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles, en corrigeant le coefficient k de la façon suivante10 : ⎧ fcd : bâtiments, γ avec γ cf = 1, 1 s 11, fcm est remplacé par ⎨ γc ⎩ γ cf .fck : ponts. E cm (5.20) γ cE avec : γ cE = 1, 2, valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française12. E cm est remplacé par E cd =

Prise en compte du fluage en effectuant sur un diagramme contraintes-déformations réaliste du béton une affinité parallèle à l’axe ε c, de rapport [1 + ϕ ef ] avec13 : ϕ ef = ϕ ( , t 0 )

MOEqp

(5.19)

= coefficient de fluage effectif,

MOEd

où : ϕ ( , t 0 ) = valeur finale du coefficient de fluage14 (voir § 2.3.3.4, chapitre 2 : « Matériaux », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). MOEqp = moment de service du premier ordre sous la combinaison de charges quasi permanente15 (ELS), moment ultime du premier ordre sous la combinaison de MOEd = charges de calcul (y compris imperfections géométriques16), Chargement de courte durée

c

Chargement de durée quelconque

Arctg Ecm

c

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

EC 2 – 5.8.6 (3) EC 2 – 5.7 (105) – note 1 EC 2 – voir AN EC 2 – 5.8.4 (2) EC 2 – 3.1.4 (4) EC 2 – 5.8.4 (2) EC 2 – voir A.NF

c

(1+ ) ef

c

81

82

Remarque 1 On peut négliger le fluage ( ϕ ef = 0 ) lorsque les trois conditions suivantes sont réunies17 : ϕ ( , t0 ) ≤ 2, λ ≤ 75, M0Ed ≥ h, NEd avec : h = hauteur de la section dans la direction correspondante. Remarque 2 Si le rapport

M0Eqp N0Ed

varie dans l’élément, on peut18 :

– soit utiliser le rapport correspondant au moment maximal ; – soit adopter une valeur moyenne représentative. Remarque 3 Pour les ponts, une méthode d’évaluation plus précise du fluage peut être appliquée19.

4.2.2

Hypothèse géométrique supplémentaire Cas général On se donne la déformée du poteau de façon arbitraire mais raisonnable. Cas de base On assimile la déformée à : • une demi-onde de sinusoïde pour un poteau bi-articulé ;

• un quart d’onde de sinusoïde pour un poteau en console.

l0 2

l0 2 f

17. EC 2 – 5.8.4 (4) 18. EC 2 – 5.8.4 (3) 19. EC 2 – 5.8.4 (105) + annexe KK

f

Instabilité de forme – Flambement

4.3

Excentricité « externe » Pour un poteau encastré en pied et libre en tête (mât) : P

(

P e0 + ei

H ei

P O

P

)

H

y

e0

l0

l0

2

2

(

)

M1 = P e0 + ei +H

l0 2 M1 P

= e1

f

x Chargement

Sollicitations du premier ordre

Total en pied

Dans le repère Oxy lié à l’extrémité libre du poteau, la déformée a pour équation : ⎧ π.x ⎪ y = f .sin -------0 ⎨ ⎪ ⎩ f = flèche maximale en tête La courbure est donnée par la relation : 1 y" = r 1 + y '2

(

)3 2

≈ y"

2

π π.x 1 --- = – f ----2- sin -------0 r 0 soit, en pied du poteau et en valeur absolue : 2

π 1 --- = f ----2r 0

2

⇒

 1 f = e 2 = ----02- . -π r

L’excentricité « externe » ou excentricité de l’effort normal N Ed dans la section la plus sollicitée (en pied de poteau) vaut donc : 2

 1 e ext = e 1 + e 2 = e 1 + ----02-. --π r 1 D’où sa représentation dans le repère (e, ) : r

[16.1]

83

84

e

eext

l2

0 2

e1

1 r

0

4.4

Excentricité « interne » Dans la section la plus sollicitée, tout état de déformation défini par sa courbure 1/r et une déformation relative ε en un point particulier de la section, conduit aux équations de compatibilité et d’équilibre (moments rapportés au centre de gravité G0 du béton seul) : b

Déformations

d+j

+

c

AN G0

(

x

x+

Aj

εsj 1 εc = = r x x − v '− d j

Ni =

x

v'

1 r

dj

) n

∫ 0 bξ .σ cξ .dξ +∑ A j .σ sj 1

Mi =

x

∫0

n

bξ .σ cξ . ( v '− ξ ) .dξ + ∑ A j .σ sj .d j = N i .e int 1

c c

c

sj

Contraintes

sj

+

Instabilité de forme – Flambement

D’après les diagrammes contraintes-déformations de l’acier et du béton, les contraintes sont fonction des déformations relatives, donc de la courbure 1/r d’après les relations de compatibilité. D’où, en éliminant les contraintes, puis les déformations, on obtient une relation de la forme : 1 Φ ⎛ N i , e int , ⎞ = 0 ⎝ r⎠

[16.2]

Cette relation se traduit, dans le plan (e, 1/r) par : e N = Cste

N1

i

N2 N3

N1
Limite de résistance par : - plastification des aciers ; - ou écrasement du béton. 1 r

0 Remarque

Dans ce cas, le diagramme des défor mations n’est pas tenu de passer par les pivots A, B ou C, sans toutefois que les défor mations limites puissent être dépassées.

4.5

Étude de l’équilibre Dans le plan (e, 1/r) : • la relation géométrique [16.1] est représentée par une droite ; • la relation mécanique [16.2] est représentée par un réseau de courbes correspondant à N i = Cste. D’où, ces deux types de courbes peuvent : • n’avoir aucun point commun

⇒

• avoir au moins un point commun peut être stable ou instable.

il n’y a pas d’équilibre possible ; ⇒

il y a une position d’équilibre qui

La charge critique de calcul N u , c correspond à celle des courbes N i qui est tangente à la droite e ext = e1 + f.

85

86

1 position d’équilibre 2 positions d’équilibre e

Ni = Cste

E2 instable N1

N2

Nu, c = charge critique de calcul N3

E1

fc

Pas d’équilibre

stable e1

1 r

1 rc

0

Il suffit de remarquer que si, en E1, on écarte le poteau de sa position d’équilibre par augmentation de la courbure 1/r : e

eint eext E1

0

1 r

⎛ 1⎞ 1 + Δ⎜ ⎟ ⎝r ⎠ r

1 r

e int croît plus vite que e ext, d’où la réaction du poteau à la déformation complémentaire tend à le ramener à la position d’équilibre E1 qui est par conséquent une position d’équilibre stable. C’est l’inverse qui se produit au point E 2 qui caractérise un équilibre instable.

Instabilité de forme – Flambement

4.6

Méthode de l’équilibre – Méthode des déformations internes

4.6.1

Méthode générale

Pour les poteaux dont la section a une forme quelconque, la stabilité est assurée, si l’on peut trouver dans chaque section, compte tenu de la déformée que l’on s’est donnée, un état de déformation tel que l’on ait simultanément : ⎧ ⎛ 1⎞ ⎪ N i ⎝ ε, r ⎠ ≥ N ext ⎪ ⎪ 1 ⎨ M i ⎛ ε, ⎞ ⎝ 1 r⎠ ⎛ ⎞ ⎪e = ε, ≥ e ext = e1 + f 1⎞ ⎪ int ⎝ r ⎠ ⎛ N i ε, ⎪ ⎝ r⎠ ⎩ avec : N ext = effort normal dû aux actions appliquées à la structure, 1 ⎫ M i ⎛ ε, ⎞ ⎪ ⎝ r⎠⎪ ⎬ = sollicitations internes, intégrales des contraintes développées par 1⎞ ⎪ ⎛ N i ε, ⎝ r ⎠ ⎪⎭

la déformation. 4.6.2

Méthode simplifiée

Dans le cas des poteaux articulés aux deux extrémités ou des mâts, l’étude de l’équilibre consiste à rechercher un point situé à l’intérieur de la zone colorée dans le plan (e, 1/r) pour la section la plus sollicitée (à mi-hauteur du poteau biarticulé ou à l’encastrement du mât), c’est-à-dire, à vérifier simultanément : ⎧ N ⎛ ε, 1---⎞ ≥ N ext ⎪ i ⎝ r⎠ ⎪ ⎪ 1 M i ⎛ ε, ---⎞ ⎨ 2 ⎝ r⎠ 0 1 1 ⎪ ⎛ ε, ---⎞ = ---------------------- ≥ e = e + ----. --e ext 1 ⎪ int ⎝ r ⎠ 2 r 1⎞ π ⎛ ⎪ N i ε, --⎝ r⎠ ⎩ avec : N i, N ext et Mi définis au § 4.6.1, 0 = longueur de flambement de la pièce.

87

88

e Nu Ni > Nu eint eext f e1 0

4.6.3

1 r

1 r

Remarque

La méthode de l’équilibre présente des avantages et des inconvénients. 4.6.3.1 Avantages

Elle est valable quelle que soit la forme de la section. Elle ne nécessite pas l’utilisation de tables. 4.6.3.2 Inconvénients

Le calcul est long car itératif, en particulier dans le cas où l’effort normal de calcul est proche de l’effort normal critique (réduction de l’aire colorée sur le diagramme, d’où la courbure d’équilibre est plus difficile à trouver. Il faut partir d’une valeur de 1/r fixée a priori et progresser avec un pas de variation très faible).

4.7

Cas des sections rectangulaires à deux nappes d’armatures 1/ On se donne, dans la section la plus sollicitée, un diagramme de déformations défini par : ⎧ ε c = ε c1 (1 + ϕ ef ) ⎪ fyd ⎨ ⎪ εs1 = E = ε yd s ⎩

Instabilité de forme – Flambement

avec : ϕ ef = ϕ ( , t 0 )

M0 Eqp M0 Ed

= coefficient de fluage effectif20,

(5.19)

où : ϕ ( , t 0 ) = valeur finale du coefficient de fluage21 (voir § 2.3.3.4, chapitre 2 : « Matériaux », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles), M 0 Eqp = moment de service du premier ordre sous la combinaison de charges quasi permanentes (ELS)22, moment ultime du premier ordre sous la combinaison de charges M 0 Ed = de calcul (y compris imperfections géométriques23), 2/ D’après l’hypothèse de la déformation plane : x

d' = '.d As2 AN d

xu =

c

G u

Fs2 .d u

s2

Fc

As1 bw

xu = d

s1

Fs1

εc ε c + εs1

εs 2 = ε c

xu − d ' ⇒ σ s 2 par le diagramme de calcul des aciers, xu

εs1 = ε yd ⇒ σ s1 = fyd que le diagramme contrainte-déformation des aciers soit à palier horizontal ou incliné. 3/ On en déduit la valeur de l’effort normal interne : N i = Fc + Fs 2 − Fs1 soit : N i = ψ .bw .x u .fcd + A s 2 .σ s 2 − A s1 .fyd

20. 21. 22. 23.

EC 2 – 5.8.4 (2) EC 2 – 3.1.4 (4) EC 2 – 5.8.4 (2) EC 2 – voir ANF

89

90

avec, compte tenu du fluage par le biais du coefficient ϕef : ψ=

εc 1 ⎤ 1 ⎤ 1 k ⎡ ⎡1 . − a + a 2 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ 1 − a.Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ − ⎢ ⎢ ⎝ ⎝ ⎠ a⎠⎦ k−2⎣ a ⎦ k − 2 ε c1 (1 + ϕ ef ) ⎣ 2

où : a=

1 ε c1 (1 + ϕ ef ) , . k−2 εc

k = 1, 05

E cm . ε c1 (1 + ϕ ef ) γ cE .fcd

avec γ cE = 1, 2, valeur recommandée et à utiliser

pour l’Annexe nationale française24. 4/ Si N i << N ext, on réduit εs1 en gardant : ε c = ε c1 (1 + ϕ ef ) et on recommence les étapes 2 et 3 (avec la même formule pour ψ et Fs1 = A s1 .E s .εs1) jusqu’à ce que N i > N ext mais avec N i ≈ N ext 5/ Si N i >> N ext , on réduit ε c en gardant εs1 = ε yd =

fyd Es

pour l’armature tendue

et on refait les calculs des étapes 2 et 3 jusqu’à ce que N i > N ext mais avec N i ≈ N ext, (avec la même formule pour ψ et Fs1 = A s1 .fyd). 6/ On calcule le moment Mi des forces Fc, Fs1 et Fs1 au centre de gravité du béton seul. D’où l’on obtient l’excentricité interne : e int =

Mi Ni

avec : pour les étapes 3 ou 5 : h h h Mi = ψ .bw .x u .fcd . ⎛ − δ G x u ⎞ + A s 2 .σ s 2 ⎛ − d '⎞ + A s1 .fyd ⎛ d − ⎞ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ 2⎠

24. EC 2 – voir AN

Instabilité de forme – Flambement

avec : δG = 1 − +

1 ⎤ k ⎡1 − a + a 2 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ ⎝ ψ ( k − 2 ) ⎢⎣ 2 a⎠⎦

⎡ 6.a 2 − 3.a + 2 εc 1 1 ⎤ . − a 3 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ ⎢ ⎝ ψ ( k − 2 ) ε c1 (1 + ϕ ef ) ⎣ 6 a⎠⎦

où :

a=

E . ε c1 (1 + ϕ ef ) 1 ε c1 (1 + ϕ ef ) . et k = 1, 05 cm avec γ cE = 1, 2, k−2 εc γ cE .fcd

pour l’étape 4 : h h Mi = ψ .bw .x u .fcd . ⎛ − δ G x u ⎞ + A s 2 .σ s 2 ⎛ − d '⎞ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ h + A s1 .E s .εs1 ⎛ d − ⎞ ⎝ 2⎠ 7/ On cherche à réaliser, puisque N i > N ext :

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

2 ⎧  ⎪ e int > e ext = ( e 0 + e i + Δe 0 ) + ----0-. 1--2 ⎪ π r e1 ⎨ ⎪1 ε c + ε s1 ⎪ --- = ---------------r d ⎩

S’il en est ainsi, l’équilibre du poteau est assuré. S’il n’en est pas ainsi ( e int < e ext) il faut explorer d’autres couples ⎛ 1--- , ε ⎞ ou ⎛ 1--- , ε ⎞ : ⎝ r c⎠ ⎝ r s1⎠ 8/ Si e1 est faible et 0 élevé (sans qu’il soit possible de quantifier les valeurs limites), on peut partir de : ⎧ ε c = ε c1 (1 + ϕ ef ) ⎪ ni suivant le diagramme σ − ε d'acier ⎨ εs1 croissant jusqu'à ε uk ou l'infin ⎪ utilisé ⎩

91

92

9/ Si e1 est élevé et 0 faible, on peut partir de : fyd ⎧ ⎪ εs1 = Es ⎨ ⎪ ε croissant jusqu'à ε cu1 ⎩ c

5.

Dispense de la vérification de l’état limite ultime de stabilité de forme (flambement) Il est inutile de vérifier la pièce au flambement et l’on peut se contenter d’un calcul en flexion composée (sans tenir compte des effets du second ordre) dans les cas ci-après.

5.1

Cas des éléments isolés Il faut vérifier25 :  20.A.B.C λ = ----0- < λ lim = ---------------------i n

(5.13N)

valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française, avec : 0 = longueur efficace (longueur de flambement de la pièce) définie aux § 2.2 et 2.3, i = rayon de giration de la section de béton non fissurée, 1 A= = 0,7 si ϕ ef est inconnu, 1 + 0, 2.ϕ ef B = 1 + 2.ω = 1,1 si ω est inconnu, C = 1, 7 − rm = 0,7 si rm est inconnu, N Ed n= = effort normal relatif, A c .fcd où : M OEqp - = coefficient de fluage effectif, ϕ ef = ϕ ( , t 0 ) --------------M OEd

(5.19)

ϕ ( , t 0 ) = valeur finale du coefficient de fluage26 (voir § 2.3.3.4, chapitre 2 : « Matériaux », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles),

25. EC 2 – 5.8.3.1 (1) + voir AN 26. EC 2 – 3.1.4 (4)

Instabilité de forme – Flambement

MOEqp = M0 Ed = ω=

A s .fyd A c .fcd

moment de service du premier ordre sous la combinaison d’actions quasi permanente (ELS27), moment ultime du premier ordre sous la combinaison de charges de calcul (y compris imperfections géométriques28),

= pourcentage mécanique d’armatures,

A s = aire totale des armatures longitudinales, A c = aire de la section droite (béton seul), fck ( α cc = 1 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe γc nationale française),

fcd = α cc

fyd =

fyk γs

,

⎧ ⎪1 : éléments non contreventés en général, ⎪ ments contreventés avec moments du premier ordre ⎪1 : élém ⎪ rm = ⎨ dus principalement à des imperfections ou à des ⎪ chaarges transversales, ⎪ ⎪ M 01 ⎪ M : autres cas. ⎩ 02 M01 et M02 = valeurs algébriques des moments du premier ordre aux deux extrémités de l’élément avec : M02 ≥ M01 . Remarque

λ lim

Dans les cas courants où A = 0,7, B = 1,1 et C = 0,7, on obtient en fonction des valeurs de n :

40 35 30 25 20 15 10 5 0 0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7 n

27. EC 2 – 5.8.4 (2) 28. EC 2 – voir AN

0,8

0,9

1

1,1

1,2

93

94

5.2

Cas des structures Les dispositions de ce paragraphe ne s’appliquent pas au cas des ponts29. Lorsque les conditions suivantes sont remplies30 : • la structure est raisonnablement symétrique (absence de torsion) ; • les déformations globales dues au cisaillement sont négligeables (contreventement assuré par des voiles sans grandes ouvertures) ; • les éléments de contreventement sont fixés rigidement à leur base ; • la rigidité des éléments de contreventement est raisonnablement constante sur toute leur hauteur ; • la charge verticale totale augmente approximativement de la même quantité à chaque étage ; il faut vérifier : FV , Ed ≤ k1

ns ∑ E cd .I c . ns + 1, 6 L2

(5.18)

avec : FV , Ed = charge verticale totale (sur les éléments contreventés et sur les éléments de contreventement), ns =

nombre d’étages,

L=

hauteur totale du bâtiment au-dessus du niveau d’encastrement du moment,

E cd =

valeur de calcul du module d’élasticité du béton (voir § 4.2.1),

Ic =

moment d’inertie de l’élément de contreventement (béton non fissuré),

k1 = 0, 31 : valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française31. Remarque Lorsque l’on peut montrer que les éléments de contreventement sont non fissurés à l’ELU, on peut prendre32 : k1 = k 2 = 0, 62 : valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française33.

29. 30. 31. 32. 33.

EC 2 – 5.8.3.3 (101) EC 2 – 5.8.3.3 (1) EC 2 – voir AN EC 2 – 5.8.3.3 (2) EC 2 – voir AN

Instabilité de forme – Flambement

6.

Méthodes ramenant la vérification de stabilité de forme à un calcul de section – Méthode de la rigidité

6.1

Domaine de validité La méthode de la rigidité consiste à tenir compte des effets du second ordre par amplification du moment du premier ordre34. Cette méthode s’applique aux ossatures et aux poteaux isolés à condition que leur rigidité soit estimée d’une façon appropriée35 (voir § 6.2). Pour les structures hyperstatiques, il faut tenir compte des effets défavorables de la fissuration des éléments adjacents à l’élément considéré. Pour simplifier, à défaut d’un calcul plus précis, on peut admettre36 : que les sections sont entièrement fissurées ; que le module du béton vaut : E cd , eff =

E cd 1 + ϕ ef

(5.27)

avec : E cd = valeur de calcul du module d’élasticité donnée au § 6.2, ϕ ef = coefficient de fluage effectif figurant au § 6.2. Cette méthode n’est à retenir que si l’Annexe nationale d’un pays l’autorise (ce qui est le cas de l’Annexe nationale française37).

6.2

Rigidité nominale La rigidité nominale d’un poteau ou d’un élément d’ossature est donnée par la formule38 : EI = K c .E cd .I c + K s .E s .I s

(5.21)

avec : E cd =

34. 35. 36. 37. 38.

E cm = valeur de calcul du module de déformation du béton, γ cE

EC 2 – 5.8.7.3 (1) EC 2 – 5.8.5 (2) EC 2 – 5.8.7.2 (4) C 2 – voir AN EC 2 – 5.8.7.2 (1)

(5.20)

95

96

où γ cE = 1, 2 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française39, I c = moment d’inertie de la section de béton, E s = valeur de calcul du module d’élasticité de l’acier, Is = moment d’inertie de la section des armatures par rapport au centre de gravité de la section de béton seul, K s = coefficient tenant compte de la contribution des armatures défini ci-après, K c = coefficient tenant compte de la fissuration et du fluage défini ci-après. 6.2.1

As Cas où 0,002 £ ρ = ----- < 0,01 40 Ac Ks = 1 Kc =

(5.22)

k1 . k 2 1 + ϕ ef

avec : k1 =

fck (MPa) = coefficient dépendant de la classe du béton, 20

⎧ λ ⎪n k 2 = Min ⎨ 170 = coefficient dépendant de l’effort normal et de l’élancement, ⎪⎩ 0, 20

(5.23)

(5.24)

où : n=

N Ed = effort normal relatif, A c .fcd

λ=

l0 = élancement géométrique (si λ est inconnu, on peut prendre i

⎧ n.0, 30 ), k 2 = Min ⎨ ⎩ 0, 20

(5.25)

ϕ ef = coefficient de fluage (voir § 5.1). 6.2.2

As Cas où ρ = ----- ≥ 0,01 Ac Pour une première itération, on peut partir de41 : Ks = 0

39. EC 2 – 5.8.6.(3) + voir AN 40. EC 2 – 5.8.7.2 (2) 41. EC 2 – 5.8.7.2 (3)

(5.26)

Instabilité de forme – Flambement

Kc =

0, 3 1 + 0, 5.ϕ ef

Les itérations suivantes sont conduites avec les coefficients correspondant au cas où 0, 002 ≤ ρ < 0, 01.

6.3

Principe de la méthode D’après les résultats du § 1.2.2, dans le cas d’un élément soumis à l’action d’un moment du premier ordre de forme sinusoïdale, l’augmentation du moment du premier ordre peut s’écrire : M = M0

Fc avec : Fc − F

M0 = moment du premier ordre, Fc = force critique d’Euler, F = effort normal appliqué.

Ce qui conduit à un moment total (premier + second ordre) : ⎡ ⎤ ⎡ ⎢ Fc − F + F 1 ⎥ F ⎤ M = M0 = M 0 ⎢1 + ⎥ ⇒ M = M 0 ⎢1 + F ⎥ Fc − F c ⎣ Fc − F ⎦ − 1⎥ ⎢ ⎣ ⎦ F Le moment de calcul total (premier et second ordre) proposé par l’EC 2 est pris égal à42 :

MEd

⎛ ⎞ ⎜ β ⎟ = M0 Ed ⎜ 1 + ⎟ NB ⎜ − 1⎟ N Ed ⎝ ⎠

(5.28)

avec : M 0 Ed = moment du premier ordre (à l’ELU) tenant compte des imperfections géométriques (dans le cas où l’élément n’est pas soumis au même moment en tête et en pied, on peut prendre le moment équivalent défini au § 6.4 ci-après43), N Ed = effort normal agissant à l’ELU, EI = charge de flambement évaluée sur la base de la méthode de la l 20 rigidité nominale,

N B = π2

42. EC 2 – 5.8.7.3 (1) 43. EC 2 – 5.8.8.2 (2)

97

98

β = coefficient relatif à la distribution des moments du premier et du second ordre44 : • pour des poteaux isolés, de section constante et soumis à un effort normal constant sur leur hauteur, l’allure de la déformée peut être assimilée à une sinusoïde et β =

π2 où : c0

(5.29)

⎧8 : moment du premier ordre constant , ⎪9, 6 : momentt du premier ordre parabolique , ⎪ c0 = ⎨ ⎪12 : moment du premier ordre triangulaire symétrique, ⎪⎩ etc. • pour les cas où la détermination de c 0 et/ou du moment équivalent ne serait pas possible, on prend β = 1 et l’expression (5.28) se réduit à45 : MEd =

M0 Ed N 1 − Ed NB

(5.30)

Remarque 1 L’augmentation du moment du premier ordre n’a de sens que si : NB β >0 ⇒ −1> 0 ⇒ NB NEd −1 NEd

NEd < NB

ce qui fournit une condition supplémentaire à vérifier pour l’application de la méthode des rigidités (à adjoindre aux conditions du § 6.1). Remarque 2 En écrivant la relation (5.28) sous la forme :

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

β M Ed = M 0Ed + M 0Ed ------------------ ⎫ NB ⎪ --------- – 1 ⎬ ⇒ M Ed = N Ed e 1 + e 1 --------β ---------N Ed N ⎪ ------B-- – 1 ⎭ N Ed M 0Ed = N Ed .e 1 e2

la méthode de la rigidité conduit donc à prendre une excentricité du second ordre donnée par la formule : e2 = e1

44. EC 2 – 5.8.7.3 (2) 45. EC 2 – 5.8.7.3 (4)

β NB −1 NEd

Instabilité de forme – Flambement

6.4

Cas des poteaux isolés avec excentricités du premier ordre différentes aux deux extrémités Pour des poteaux soumis à des moments du premier ordre différents à leurs extrémités, M01 et M02 , on peut considérer un moment du premier ordre équivalent M0 e constant défini par46 : ⎧ 0, 6.M02 + 0, 4.M01 M 0 e = Max ⎨ ⎩ 0, 4.M02

(5.31)

avec : M01 et M02 de même signe s’ils donnent des tractions du même côté de l’élément, de signe opposé dans le cas contraire, M02 ≥ M01 . Remarque Dans ce cas, pour rester cohérent avec l’hypothèse sur le moment du premier ordre équivalent, on peut, pour l’application de la for mule (5.29) du § 6.3, prendre47 : c0 = 8.

6.5

Processus d’application de la méthode de la rigidité Le mode opératoire est décrit ci-dessous. 1/ se fixer la section d’aciers : A s = 0 ou valeur estimée a priori si les armatures sont inconnues (détermination des armatures), A s = A s, prov si les armatures sont données (vérification au flambement), 2/ calculer l’élancement de l’élément :  λ = ----0i 3/ vérifier s’il est nécessaire de prendre en compte les effets du second ordre :  20.A.B.C λ = ----0- < λ lim = ---------------------- : élément isolé (voir § 5.1), i n

46. EC 2 – 5.8.8.2 (2) 47. EC 2 – 5.8.7.3 (3)

99

100

FV , Ed ≤ k1

ns ∑ E cd .I c : élément d’une structure (voir § 5.2), . ns + 1, 6 L2

4/ évaluer les sollicitations ultimes corrigées des imperfections géométriques : M 0 Ed (voir § 3), 5/ calculer la rigidité nominale de l’élément : EI = K c .E cd .I c + K s .E s .I s (voir § 6.2), 6/ en déduire le moment ultime de calcul total (premier + second ordre) par rapport au centre de gravité de la section de béton seul :

MEd

⎛ ⎞ ⎜ β ⎟ = M0 Ed ⎜ 1 + ⎟ (voir § 6.3 et éventuellement 6.4 si M01 ≠ M02), NB ⎜ − 1⎟ N Ed ⎝ ⎠

7/ calculer les armatures équilibrant ce moment en flexion composée : ⎧ A s1 (voir chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, As = ⎨ ⎩ As2 J. Roux, Éditions Eyrolles), 8/ si l’on cherche à déterminer la section d’armatures : recalculer à l’aide des étapes 3/ à 6/ et compte tenu de la section d’aciers déterminée à l’étape 7/ le moment ultime de calcul total (premier + second ordre) par rapport au centre de gravité de la section de béton seul :

M 'Ed

⎛ ⎞ ⎜ β ⎟ = M0 Ed ⎜ 1 + ⎟ et recommencer les étapes 3/ à 7/ jusqu’à ce que NB ⎜ − 1⎟ N Ed ⎝ ⎠

M 'Ed ≈ M Ed 9/ si l’on cherche à vérifier au flambement un élément dont les armatures sont connues, vérifier que : ⎧ A s1 As = ⎨ ⎩ As2

⎪⎧ A s1, prov . ≤ A s, prov = ⎨ ⎪⎩ A s 2, prov

Instabilité de forme – Flambement

7.

Méthodes ramenant la vérification de stabilité de forme à un calcul de section – Méthode de l’estimation de la courbure

7.1

Domaine de validité La méthode de la courbure consiste à tenir compte des effets du second ordre en se donnant la valeur de l’excentricité e 2 du second ordre de façon forfaitaire48. Cette méthode s’applique aux éléments isolés dans lesquels l’effort normal est constant sur toute leur hauteur et pour lesquels la longueur efficace est connue49. Cette méthode n’est à retenir que si l’Annexe nationale d’un pays l’autorise (ce qui est le cas de l’Annexe nationale française50).

7.2

Principe de la méthode Le principe de la méthode consiste à ramener la vérification au flambement à un calcul à l’ELU de résistance en se donnant la valeur de l’excentricité e 2 du second ordre de façon forfaitaire51.

7.2.1

Introduction 7.2.1.1 Excentricité du second ordre

Pour le poteau de section constante encastré en pied et libre en tête (mât) envisagé au § 4.3 : 2

π 1 --- = f ----2r 0

2

⇒

 1 f = e 2 = ----02- . -π r

7.2.1.2 Courbure correspondant à la charge critique de flambement

En faisant abstraction du fluage, on admet que la charge critique de flambement correspond au cas où les deux nappes d’armatures atteignent simultanément

48. 49. 50. 51.

EC 2 – 5.8.8 EC 2 – 5.8.5 (3) EC 2 – voir AN EC 2 – 5.8.8.2 (1)

101

102

leur résistance de calcul fyd, c’est-à-dire la même déformation unitaire ε yd =

fyd Es

.

La représentation graphique de P. Faessel (voir § 4.5) montre que, pour une section donnée, dans l’hypothèse de la déformée sinusoïdale du poteau, la charge critique de flambement est obtenue lorsque la droite représentative de 2

l’excentricité externe ( e ext

 1 = e 1 + e 2 = e 1 + ----02-. ---) est tangente à la ligne de π r

1 niveau de la surface définie par la relation Φ ⎛ N i , e int , ⎞ = 0. ⎝ r⎠ e

eext Nu, c = charge critique de calcul e1 0

1 r0

1 r

Du fait du changement de pente du diagramme contraintes-déformations de l’acier au point E de coordonnées (ε yd, fyd), la courbe correspondant à N u , c présente une brusque variation de pente avec un « genou » de raccordement. Le point de tangence de n’importe quelle droite Δ et de la courbe N u , c ne peut se trouver que sur le « genou », au voisinage de la courbure point E.

1 qui correspond au r0

Instabilité de forme – Flambement

σs

Palier incliné E

Palier horizontal

fyd

Es = 2.105 MPa Arctg Es

εs

εud

Cette courbure est d’autre part obtenue par la pente du diagramme des déformations qui vaut, dans le cas d’une section symétrique armée symétriquement : d = 0,10.h As2 = As1 h

= fyd / Es = 1 pente : r0 s2

0,80.h

d AN

c yd

As1 bw

0,10.h

s1

= fyd / Es =

yd

Diagramme déformations

ε yd 1 = r0 0, 4.h soit en prenant d = 0, 9.h ⇒ h ≈ 1, 1.d, lorsque la charge appliquée correspond à la charge critique de calcul, il vient : ε yd ε yd 1 = ≈ r0 0, 44.d 0, 45.d 7.2.1.3 Courbure correspondant à la charge de calcul

On pose : N Ed = effort normal agissant à l’ELU, N ud = effort normal centré maximal que peut équilibrer la section droite en pied de poteau :

103

104

N ud = A c .fcd + A s .fyd

nu =

⇒ nu =

A s .fyd N ud = 1+ , A c .fcd A c .fcd

A s .fyd N ud , = 1 + ω avec ω = A c .fcd A c .fcd

N bal = effort normal qui, appliqué à une section, maximalise sa capacité de moment ultime. Cet effort correspond au point A du diagramme d’interaction de la section qui correspond lui-même à ε c = 3, 5 ‰ (bétons tels que C < 50/60) et simultanément à εs1 =

fyd

que les Anglo-Saxons Es appellent « l’état de déformations balancées », d’où l’indice « bal ». L’examen d’un diagramme d’interaction (tel que celui figurant au § 5.8, chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) montre que la courbure prise sous l’effet de la force N Ed peut être déterminée par une règle de proportionnalité : 1 1 = Kr r r0 Nu Nud

Simplification

NEd

ϖtot

A

Nbal

1 r

1 Kr = r 1 r0

⇒

Kr =

N ud − N Ed ≤1 N ud − N bal

Mu max ⎛ 1⎞ ou ⎜ ⎟ ⎝ r0 ⎠

⎛ 1⎞ Mu ou ⎜ ⎟ ⎝r ⎠

Instabilité de forme – Flambement

7.2.1.4 Valeur de Nbal

Dans le cas d’une section rectangulaire à armatures symétriques, pour fck ≤ 50 MPa et des aciers S 500 à palier horizontal : ε c = 3,5 ‰

d′ As2 = As1

εs2

xu = αu .d

d AN

fcu λ.xu

σs2

λ.xu / 2 Fs2 Fc zc

As1 σs1

εs1 = fyd / Es

bw

Diagramme déformations

Diagramme contraintes

Fs1 = As1.σ s1 Forces internes

L’équilibre des forces s’écrit : N bal = λ.bw .x u .fcu + A s 2 .σ s 2 − A s1 .σ s1 les valeurs ε c = 3, 5 ‰ et εs1 = xu εc = = d ε c + εs1

3, 5.10 −3 3, 5.10

−3

+

fyd

fyd Es =

sont simultanément atteintes pour : 700 puisque Es = 200 000 MPa 700 + fyd

Es

La condition pour qu’alors l’acier comprimé atteigne aussi le raccourcissement fyd s’écrit : Es εs 2 = ε c

d' ≤

x u − d ' fyd ≥ xu Es

700 700 + fyd

fyd ⎤ ⎡ ⇒ d ' ≤ x u ⎢1 − ⎥ 5 ⎣ 2.10 .ε c ⎦

fyd ⎤ 700 − fyd ⎡ ⎢1 − 700 ⎥ d = 700 + f d ⎣ ⎦ yd

comme les armatures sont symétriques d + d’ = h et la condition s’écrit :

d' ≤

1−

fyd

700 ( h − d ') ⇒ d ' ≤ h ⎡1 − fyd ⎤ ou d ≥ h ⎡1 + fyd ⎤ fyd 2 ⎢⎣ 700 ⎥⎦ 2 ⎢⎣ 700 ⎥⎦ 1+ 700

105

106

les deux nappes d’armatures sont alors soumises − dans le cas du diagramme bilinéaire avec palier horizontal − à σ s 2 = σ s1 et : N bal = λ.bw .x u .fcu ⎫ 7000 ⎪ 700 ⇒ N bal = λ fcu .bw .d ⎬ xu = d ⎪ 700 + fyd 700 + fyd ⎭ pour d ≈ 0, 9.h, fck ≤ 50 MPa et des aciers S 500 : 500 = 435 MPa ⎫⎪ 1, 15 ⎪⎪ 700 A c = bw .h 1.fcd .0, 9.bw .h = 0, 444.fcd .A c ⎬ ⇒ N bal = 0, 8 700 + 435 ⎪ fcu = η.fcd = fcd ⎪ λ = 0, 8 ⎪⎭ fyd =

Les règles EC 2 adoptent par sécurité : N bal = 0, 4.A c .fcd

⇒

n bal =

N bal = 0, 4 A c .fcd

Remarque Pour le diagramme d’interaction du § 5.8, chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles, on a pour μmax = 0, 5 : nbal = νmax ≈ 0, 40

7.2.2

Moment de calcul de l’élément

Le moment de calcul de l’élément est défini par la relation52 : MEd = M0 Ed + M 2

(5.31)

avec : M 0 Ed = moment du premier ordre tenant compte des imperfections géométriques (dans le cas où l’élément n’est pas soumis au même moment en tête et en pied, on peut prendre le moment équivalent défini au § 6.4 ci-devant), M 2 = N Ed .e 2 = moment du second ordre, où53 : N Ed = effort normal agissant de calcul,

52. EC 2 – 5.8.8.2 (1) 53. EC 2 – 5.8.8.2 (3)

(5.33)

Instabilité de forme – Flambement

2

 1 e 2 = ----0- --- = excentricité du second ordre, c r 1 = courbure de l’élément (voir § 7.2.3), r 0 = longueur efficace54, c = coefficient dépendant de la distribution de la courbure totale (premier + second ordre) : ⎧8 : courbure constante , c=⎨ 2 ⎩ π ≈ 10 : autres cas.

7.2.3

Courbure

Dans le cas d’éléments de section droite symétrique (y compris armatures), elle est donnée par la relation55 : 1 1 = K r .K ϕ r r0

(5.34)

avec : K r = coefficient de correction dépendant de l’effort normal, K ϕ = coefficient de correction tenant compte du fluage, ε yd 1 , = r0 0, 45.d ε yd =

fyd Es

(5.35)

,

d = hauteur utile de la section. Remarque Dans le cas où les armatures ne sont pas disposées sur deux faces opposées, mais aussi, pour partie, sur les autres faces, on peut prendre56 : d=

h +i 2 s

où is = rayon de giration de la section totale des armatures.

54. EC 2 – 5.8.8.2 (4) 55. EC 2 – 5.8.8.3 (1) 56. EC 2 – 5.8.8.3 (2)

(5.35)

107

108

Le coefficient K r est donné par la relation57 : ⎧ nu − n ⎪ K r = Min ⎨ n u − n bal ⎪1 ⎩

(5.36)

avec : n=

N Ed = effort normal relatif, A c .fcd N Ed = effort normal agissant à l’ELU,

n bal = valeur de n correspondant au moment fléchissant résistant maximal. On peut prendre la valeur 0,4 (voir § 7.2.1.4), n u = 1 + ω (voir § 7.2.1.3), ω=

A s .fyd A c .fcd

= pourcentage mécanique d’armatures,

A s = aire totale des armatures longitudinales, A c = aire de la section droite (béton seul). Le coefficient K ϕ est donné par la relation58 : ⎧1 + β.ϕ ef K ϕ = Max ⎨ ⎩1

(5.37)

avec : fck λ , − 200 150 λ = élancement mécanique.

β = 0, 35 +

ϕ ef = ϕ ( , t 0 ) où :

57. 58. 59. 60.

MOEqp MOEd

= coefficient de fluage effectif,

(5.19)

ϕ ( , t 0 ) = valeur finale du coefficient de fluage59 (voir § 2.3.3.4, chapitre 2 : « Matériaux », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles), MOEqp = moment de service du premier ordre sous la combinaison d’actions quasi permanente (ELS)60,

EC 2 – 5.8.8.3 (3) EC 2 – 5.8.8.3 (4) EC 2 – 3.1.4 (4) EC 2 – 5.8.4 (2)

Instabilité de forme – Flambement

M 0 Ed =

moment ultime du premier ordre sous la combinaison de charges de calcul (y compris imperfections géométriques61),

Remarque On peut négliger le fluage ( ϕ ef = 0 ) lorsque les trois conditions de la remarque 1 faite au § 4.2.1 sont réunies.

7.3

Processus d’application de la méthode de l’estimation de la courbure Le mode opératoire est décrit ci-dessous. 1/ se fixer la section d’aciers : A s = 0 ou valeur estimée a priori si les armatures sont inconnues (détermination des armatures), A s = A s, prov si les armatures sont données (vérification au flambement), 2/ calculer l’élancement de l’élément :  λ = ----0i 3/ vérifier s’il est nécessaire de prendre en compte les effets du second ordre :  20.A.B.C λ = ----0- < λ lim = ---------------------- : élément isolé (voir § 5.1), i n FV , Ed ≤ k1

ns ∑ E cd .I c : élément d’une structure (voir § 5.2), . ns + 1, 6 L2

4/ évaluer les sollicitations ultimes corrigées des imperfections géométriques : M 0 Ed (voir § 3), 5/ calculer la courbure : 1 ⎫ r0 ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 = K r .K ϕ (voir § 7.2.3), Kr ⎬ ⇒ r r0 ⎪ ⎪ Kϕ ⎪ ⎭ 6/ en déduire le moment ultime de calcul total (premier + second ordre) par rapport au centre de gravité de la section de béton seul : MEd = M0 Ed + M 2 (voir § 7.2.2 et éventuellement 6.4 si M01 ≠ M02),

61. EC 2 – voir ANF

109

110

7/ calculer les armatures équilibrant ce moment en flexion composée62 : ⎧ A s1 As = ⎨ (voir chapitre 11 « Flexion composée », Pratique de l’eurocode ⎩ As2 2, J. Roux, Éditions Eyrolles), 8/ si l’on cherche à déterminer la section d’armatures : recalculer à l’aide des étapes 3/ à 5/ et compte tenu de la section d’aciers déterminée à l’étape 7/ le moment ultime de calcul total (premier + second ordre) par rapport au centre de gravité de la section de béton seul : MEd = M0 Ed + M 2 et recommencer les étapes 3/ à 6/ jusqu’à ce que M 'Ed ≈ MEd 9/ si l’on cherche à vérifier au flambement un élément dont les armatures sont connues, vérifier que : ⎧ A s1 As = ⎨ ⎩ As2

62. EC 2 – 5.8.8.1 (2)

⎪⎧ A s1, prov ≤ A s, prov = ⎨ . ⎪⎩ A s 2, prov

Instabilité de forme – Flambement

II.

APPLICATIONS Application n˚ 1 : vérification au flambement par la méthode de l’équilibre (charges quelconques) –Énoncé– NEd COUPE AA 5 ∅ 20 HA 5 ∅ 20 HA

HEd e

l = 6,00m

40 cm A

e

A

32 cm 40 cm

N

Ed

Sollicitations : N G = 333 kN ⎫ ⎬ excentrées de e = 6 cm, N Q = 100 kN ⎭ H = 8,3 kN, action variable d’accompagnement, avec ψ 0 H = 0, 77 , poids propre négligé, ψ 2i = 0 pour les valeurs quasi permanentes de N Q et H. Poteau isolé contreventé. Matériaux : • béton : fck = 25 MPa ; • aciers : S 400 à palier horizontal. On se propose de vérifier l’état limite ultime de stabilité de forme en utilisant la méthode de l’équilibre lorsque ϕ ( , t 0 ) = 2 .

111

112

–Corrigé– 1. Caractéristiques des matériaux 1.1 Béton

fcd = α cc

fck (α cc = 1) γb

25 f cd = 1 ------- = 16,7 MPa 1,5

fcm = fck + 8 ( MPa ) ⎡f ⎤ E cm = 22 000 ⎢ cm ⎥ ⎣ 10 ⎦

fcm = 25 + 8 = 33 MPa

0,3

33 E cm = 22 000 ⎡⎢ ⎤⎥ ⎣ 10 ⎦

( MPa )

0,3

= 31 476 MPa

1.2 Aciers

fyd =

fyk

fyd =

γs

400 = 348 MPa 1, 15

2. Nécessité du calcul au flambement 2.1 Longueur efficace

poteau ⎫ ⎬ ⇒ 0 = 2. mât ⎭

0 = 2.6,00 = 12,00 m

2.2 Élancement

Pour un poteau de section rectangulaire : ⎧ 0b 12 ⎪ ----------------⎪ b λ = Max ⎨ ⎪  0h 12 ⎪ -----------------⎩ h

 0 12 12,00 12 section carrée : λ = --------------= ------------------------- = 104 b 0,40

2.3 Excentricité à prendre en compte

La section la plus sollicitée est vérifiée en supposant une excentricité corrigée du premier ordre égale à : e tot = e 0 + e i + Δe 0 avec : e0 =

excentricité résultant des calculs de RdM,

Instabilité de forme – Flambement

ei =

excentricité due aux imperfections géométriques,

Δe 0 = supplément d’excentricité pour une section symétrique (béton et armatures). 2.3.1 Excentricité résultant des calculs de RdM N Ed = 1, 35.N G + 1, 5.N Q e0 = e +

N Ed = 1, 35.333 + 1, 5.100 = 600 KN

H Ed .l N Ed

avec H Ed = 1, 3.ψ 0 H .H

e0 = 6 +

1, 3.0, 77.8, 3.6, 00 2 10 = 14,3 cm 600

2.3.2 Excentricité due aux imperfections géométriques Les imperfections sont représentées par une inclinaison globale d’un angle θi défini par : θi = θ0 .α h .α m avec : θ0 =

1 = valeur de base recommandée : 200

θ0 =

1 200

2 α h = ------- = coefficient de réduction  relatif à la longueur ou à la hauteur :α h =

2 = 0, 816 6, 00

où :  = longueur ou hauteur du bâtiment ou de l’étage, 2 ≤ αh ≤ 1 3

2 < α h = 0, 816 < 1 O.K. 3

1 α m = 0, 5 ⎛ 1 + ⎞ = coefficient de réduction relatif au nombre d’éléments : ⎝ m⎠ où : m = nombre d’éléments verticaux contribuant à l’effet total : 1 α m = 0, 5 ⎛ 1 + ⎞ = 1 ⎝ 1⎠

113

114

θi =

1 .0, 816.1 = 0, 00408 200

Excentricité additionnelle pour l’élément isolé :  e i = θ i ----0- = θ i . 2

e i = 0, 00408.6, 00 = 0,024 m

2.3.3 Supplément d’excentricité pour une section symétrique ⎧ 20 mm ⎪ Δe 0 = Max ⎨ h ⎪⎩ 30

⎧ 20 mm ⎪ Δe 0 = 20 mm = Max ⎨ 400 ⎪⎩ 30 = 13, 33 mm

2.3.4 Excentricité du premier ordre corrigée en pied de poteau e1 = e 0 + e i + Δe 0

e1 = 14,3 + 2,4 + 2 = 18,7 cm.

2.4 Dispense de la vérification de l’état limite de stabilité de forme

 20.A.B.C Poteau isolé : λ = ----0- >< λ lim = ---------------------i n avec : A=

1 = 0,7 si ϕ ef est inconnu : 1 + 0, 2.ϕ ef

ϕ ef inconnu

⇒

A = 0, 7

B = 1 + 2.ω = 1,1 si ω est inconnu : ω=

A s .fyd

ω=

A c .fcd

2.5.3, 14.10 −4.348 = 0, 409 0, 40.0, 40.16, 7

⇒ B = 1 + 2.0, 409 = 1, 348 C = 1, 7 − rm = 0,7 si rm est inconnu : N Ed = 1, 35.N G + 1, 5.N Q : e = e 0 + e i + Δe 0 M01 = N Ed .e

N Ed = 600 kN (voir § 2.3.1) e = 6 + 2, 4 + 2 = 10,4 cm en tête de poteau M01 = 600.0, 104 = 62,4 mkN

M02 = N Ed .e + 1, 3.ψ 0 H .H.l M02 = 600.0, 104 + 1, 3.0, 77.8, 3.6, 00 = 112,25 mkN

Instabilité de forme – Flambement

rm =

M01 avec M02 > M01 M 02

rm =

62, 4 = 0, 556 112, 25

⇒ C = 1, 7 − 0, 556 = 1, 144 n=

N Ed = effort normal réduit : A c .fcd

n=

0, 600 = 0, 225 0, 40 2.16, 7

20.0, 70.1, 348.1, 144 0, 225 ⇒ nécessité de prendre en compte les effets du second ordre. λ = 104 > 45, 51 = λ lim =

3. Méthode de l’équilibre 3.1 Première itération

3.1.1 Déformations de départ (étapes 1 et 2) • Pour les aciers : fyd 348 εs1 = εs1 = = 1,74/1 000 200 000 Es • Pour le béton : ϕ ef = ϕ ( , t 0 )

MOEqp MOEd

= coefficient de fluage effectif,

ϕ ( , t 0 ) = coefficient final de fluage :

ϕ ( , t 0 ) = 2

MOEqp = moment de service du premier ordre sous la combinaison de charges quasi permanente (ELS) : ⎛ ⎞ MOEqp = M1L ⎜ G + ∑ ψ 2 i .Q i ⎟ ⎝ ⎠ i ≥1

MOEqp = 333.0, 06 = 19,98 mkN

MOEd = moment ultime du premier ordre tenant compte des imperfections géométriques : ⎛ ⎞ MOEd = M1L ⎜ 1, 35.G + γ Q1 Q1 + ∑ 1, 3.ψ 0 i .Q i ⎟ ⎝ ⎠ i≥2 MOEqp = 600 ( 0, 06 + 0, 024 + 0, 02 ) + 1, 3.0, 77.8, 3.6, 00 = 112,25 mkN ⇒ ϕ ef = 2

19, 98 = 0, 356 112, 25

115

116

εc1 = raccourcissement relatif correspondant à la contrainte maximale fcm du diagramme contrainte-déformation du béton utilisé pour l’analyse du second ordre (voir § 2.4.2.3, chapitre 3 « Béton armé – Généralités », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, 2, 1 Éditions Eyrolles) : fck = 25 MPa ⇒ ε c1 = 1 000 2, 1 ε c = ε c1 (1 + ϕ ef ) εc = (1 + 0, 356 ) = 2,85/1 000 1 000 3.1.2 Contrainte des aciers comprimés d'

c s2

xu

d

s1

2, 85 1 000 x u = 0, 36 = 0,224 m 2, 85 1, 74 + 1 000 1 000

εc xu = d ε c + εs1 εs 2 = ε c

xu − d ' xu

εs2 =

2, 85 0, 224 − 0, 04 . = 2,34/1 000 1 000 0, 224

⇒ σ s2 par le diagramme de calcul des aciers :

fyk

Diagramme caractéristique simplifié

fyd = fyk y s

Diagramme de calcul

Arctg Es fyd Es

Es = 2.105 MPa uk

Instabilité de forme – Flambement

εs 2 =

2, 34 1, 74 > = ε yd 1 000 1 000

⇒

σ s 2 = fyd = 348 MPa

3.1.3 Effort normal interne (étape 3) • Béton comprimé : k = 1, 05

E cm . ε c1 (1 + ϕ ef ) γ cE .fcd

avec γ cE = 1, 2

k = 1, 05

31 476.2, 1.10 −3 (1 + 0, 356 ) = 4, 70 1, 2.16, 7

a=

1 ε c1 (1 + ϕ ef ) . k−2 εc

ψ=

εc 1 ⎤ 1 ⎤ 1 k ⎡ ⎡1 . − a + a 2 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ 1 − a.Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ − ⎢ ⎢ ⎝ ⎝ ⎠ a⎠⎦ k−2⎣ a ⎦ k − 2 ε c1 (1 + ϕ ef ) ⎣ 2

ψ=

4, 70 ⎡ 1 ⎞⎤ ⎛ 1 − 0, 370.Log ⎜ 1 + ⎝ 4, 70 − 2 ⎢⎣ 0, 370 ⎟⎠ ⎥⎦ −

a=

1 2, 1.10 −3 (1 + 0, 356 ) = 0, 370 . 4, 70 − 2 2, 85.10 −3

⎡1 1 ⎞⎤ 1 2, 85.10 −3 ⎛ − 0, 370 + 0, 370 2.Log ⎜ 1 + . ⎝ 0, 370 ⎟⎠ ⎥⎦ 4, 70 − 2 2, 10.10 −3 (1 + 0, 356 ) ⎢⎣ 2 ψ = 0, 783

Fc = ψ.bw .x u .fcd

Fc = 0, 783.0, 40.0, 224.16, 7 = 1,172 MN

• Aciers comprimés : Fs 2 = A s 2 .σ s 2

Fs2 = 5.3, 14.10 −4.348 = 0,5464 MN

• Aciers tendus : − Fs1 = − A s1 .σ s1

− Fs1 = − 5.3, 14.10 −4.348 = − 0,5464 MN

• Effort normal interne : N i = Fc + Fs 2 − Fs1

N i = 1,172 + 0,5464 − 0,5464 = 1,172 MN

• Effort normal externe : N ext = 1, 35.N G + 1, 5.N Q

N ext = 600 kN (voir § 2.3.1) N i = 1,172 MN > N ext = 0,600 MN

117

118

3.1.4 Moment fléchissant interne (étape 6) x

d' = '.d As2 AN

d

G u

c

xu

.d

Fs2

s2

Fc

u

As1 bw

s1

Fs1

• Béton comprimé : 1 ⎤ k ⎡1 − a + a 2 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ ⎢ ⎝ ψ ( k − 2) ⎣ 2 a⎠⎦

δG = 1 − +

⎡ 6.a 2 − 3.a + 2 εc 1 ⎤ 1 . − a 3 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ ⎢ ⎝ ) 6 a⎠⎦ ψ ( k − 2 ε c1 (1 + ϕ ef ) ⎣

δG = 1 − +

⎡1 4, 70 1 ⎞⎤ ⎛ − 0, 370 + 0, 370 2.Log ⎜ 1 + ⎝ 0, 783 ( 4, 70 − 2 ) ⎢⎣ 2 0, 370 ⎟⎠ ⎥⎦

⎡ 6.0, 370 2 − 3.0, 370 + 2 1 ⎞⎤ 2, 85 1 ⎛ − 0, 3703.Log ⎜ 1 + . ⎢ ⎥ ⎝ 6 0, 370 ⎟⎠ ⎦ 0, 783 ( 4, 70 − 2 ) 2, 1 (1 + 0, 356 ) ⎣

δ G = 0, 416 h Mc = Fc ⎛ − δ G .x u ⎞ ⎝2 ⎠

0, 40 Mc = 1, 172 ⎛ − 0, 416.0, 224 ⎞ = 0,1252 mMN ⎝ 2 ⎠

• Aciers comprimés : h Ms 2 = Fs 2 ⎛ − d '⎞ ⎝2 ⎠

0, 40 Ms2 = 0, 5464 ⎛ − 0, 04 ⎞ = 0,0874 mMN ⎝ 2 ⎠

• Aciers tendus : h Ms1 = Fs1 ⎛ d − ⎞ ⎝ 2⎠

Ms1 = 0, 5464 ⎛ 0, 40 − 0, 04 − ⎝

0, 40 ⎞ = 0,0874 mMN 2 ⎠

• Total : Mi = Mc + Ms 2 + Ms1

Mi = 0,1252 + 0,0874 + 0,0874 = 0,3000 mMN

Instabilité de forme – Flambement

3.1.5 Excentricité interne e int =

Mi Ni

e int =

0, 3000 = 0,256 m 1, 172

3.1.6 Excentricité externe • Flèche ultime correspondant à la déformée en demi-onde de sinusoïde : 1 ε c + εs1 = r d f=

1 2, 85 + 1, 74 −3 −1 10 = 0,0128 m = r 0, 36

l 20 1 . π2 r

f=

12, 00 2 0, 0128 = 0,1868 m π2

• Excentricité externe en pied de poteau : e ext = e1 + f

e ext = 0,187 + 0,187 = 0,374 m

3.1.7 Conclusion L’équilibre est assuré si :

e Nu Ni > N u eint eext f e1 0

⎧ N i > N ext ⎨ ⎩ e int > e ext

1 r

1 r

⎧ N i = 1,172 MN > 0,600 MN = N ext ⎨ ⎩ e int = 0,256 m < 0,374 m = e ext eint < eext ⇒

Il faut augmenter Mi et

diminuer N i en diminuant ε c.

119

120

3.2 Seconde itération

3.2.1 Déformations de départ • Pour les aciers : εs1 inchangé

εs1 =

1, 74 (voir § 3.1.1) 1 000

⇒

Prenons ε c =

• Pour le béton : ε c diminué

1, 9 1 000

3.2.2 Contrainte des aciers comprimés d'

c s2

xu

d

s1

1, 9 1 000 x u = 0, 36 = 0,188 m 1, 9 1, 74 + 1 000 1 000

εc xu = d ε c + εs1

εs 2 = ε c

xu − d ' xu

εs2 =

1, 9 0, 188 − 0, 04 = 1,50/1 000 . 1 000 0, 188

⇒ σ s2 par le diagramme de calcul des aciers :

fyk

Diagramme caractéristique simplifié

fyd = fyk y s

Diagramme de calcul

Arctg Es fyd Es

Es = 2.105 MPa uk

Instabilité de forme – Flambement

εs 2 =

1, 50 1, 74 < = ε yd 1 000 1 000

⇒

σ s 2 = E s .εs2 = 2.105.1, 50.10 −3 = 300 MPa

3.2.3 Effort normal interne • Béton comprimé : ε c < ε c1 (1 + ϕ eff ) ⇒ le diagramme des contraintes est constitué par une fraction de sa partie croissante, d’où : k = 1, 05

E cm . ε c1 (1 + ϕ ef ) γ cE .fcd

avec γ cE = 1, 2

k = 4, 70 (voir § 3.1.3)

a=

1 ε c1 (1 + ϕ ef ) . k−2 εc

ψ=

εc 1 ⎤ 1 ⎤ 1 k ⎡ ⎡1 . − a + a 2 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ 1 − a.Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ − ⎢ ⎢ ⎝ ⎝ ⎠ a⎠⎦ k−2⎣ a ⎦ k − 2 ε c1 (1 + ϕ ef ) ⎣ 2

ψ=

4, 70 ⎡ 1 ⎞⎤ ⎛ 1 − 0, 555.Log ⎜ 1 + ⎢ ⎝ 4, 70 − 2 ⎣ 0, 555 ⎟⎠ ⎥⎦ −

a=

1 2, 1.10 −3 (1 + 0, 356 ) = 0, 555 . 4, 70 − 2 1, 9.10 −3

⎡1 1 ⎞⎤ 1 1, 90.10 −3 ⎛ − 0, 555 + 0, 5552.Log ⎜ 1 + . ⎝ 0, 555 ⎟⎠ ⎥⎦ 4, 70 − 2 2, 10.10 −3 (1 + 0, 356 ) ⎢⎣ 2 ψ = 0, 681

Fc = ψ.bw .x u .fcd

Fc = 0, 681.0, 40.0, 188.16, 7 = 0,8552 MN

• Aciers comprimés : Fs 2 = A s 2 .σ s 2

Fs2 = 5.3, 14.10 −4.300 = 0,4710 MN

• Aciers tendus : − Fs1 = − A s1 .σ s1

− Fs1 = − 5.3, 14.10 −4.348 = − 0,5464 MN

• Effort normal interne : N i = Fc + Fs 2 − Fs1

N i = 0,8552 + 0,4710 − 0,5464 = 0,7798 MN

• Effort normal externe : N ext = 1, 35.N G + 1, 5.N Q

N ext = 600 kN (voir § 2.3.1) N i = 0,780 MN > N ext = 0,600 MN

121

122

3.2.4 Moment fléchissant interne x

d' = '.d As2 AN

xu

d

G u

c

.d

Fs2

s2

Fc

u

As1 s1

bw

Fs1

• Béton comprimé : δG = 1 − +

ε ⎡ 6.a 2 − 3.a + 2 1 ⎤ 1 c . − a 3 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ ⎢ ⎝ a⎠⎦ 6 ψ ( k − 2 ) ε c1 (1 + ϕ ef ) ⎣

δG = 1 − +

1 ⎤ k ⎡1 − a + a 2 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ ⎝ a⎠⎦ ψ ( k − 2 ) ⎢⎣ 2

⎡1 4, 70 1 ⎞⎤ ⎛ − 0, 555 + 0, 5552.Log ⎜ 1 + ⎝ 0, 681 ( 4, 70 − 2 ) ⎢⎣ 2 0, 555 ⎟⎠ ⎥⎦

⎡ 6.0, 5552 − 3.0, 555 + 2 1 ⎞⎤ 1 1, 90 ⎛ − 0, 5553.Log ⎜ 1 + . ⎢ ⎥ ⎝ 6 0, 555 ⎟⎠ ⎦ 0, 681 ( 4, 70 − 2 ) 2, 1 (1 + 0, 356 ) ⎣

δ G = 0, 398 h Mc = Fc ⎛ − δ G .x u ⎞ ⎝2 ⎠

0, 40 Mc = 0, 8552 ⎛ − 0, 398.0, 188⎞ = 0,1071 mMN ⎝ 2 ⎠

• Aciers comprimés : h Ms 2 = Fs 2 ⎛ − d '⎞ ⎝2 ⎠

0, 40 Ms2 = 0, 4710 ⎛ − 0, 04 ⎞ = 0,0754 mMN ⎝ 2 ⎠

• Aciers tendus : h Ms1 = Fs1 ⎛ d − ⎞ ⎝ 2⎠

Ms1 = 0, 5464 ⎛ 0, 40 − 0, 04 − ⎝

0, 40 ⎞ = 0,0874 mMN 2 ⎠

• Total : Mi = Mc + Ms 2 + Ms1

Mi = 0,1071 + 0,0754 + 0,0874 = 0,2699 mMN

3.2.5 Excentricité interne e int =

Mi Ni

e int =

0, 2699 = 0,346 m 0, 7798

Instabilité de forme – Flambement

3.2.6 Excentricité externe • Flèche ultime correspondant à la déformée en demi-onde de sinusoïde : 1 ε c + εs1 = r d f=

1 1, 90 + 1, 74 −3 −1 10 = 0,0101 m = r 0, 36

l 20 1 . π2 r

f=

12, 00 2 0, 0101 = 0,1474 m π2

• Excentricité externe : e ext = e1 + f

e ext = 0,187 + 0,147 = 0,334 m

3.2.7 Conclusion L’équilibre est assuré si : e Nu Ni > N u eint eext f e1 0

⎧ N i > N ext ⎨ ⎩ e int > e ext

1 r

1 r

⎧ N i = 0, 780 mMN > 0, 600 mMN = N ext ⎨ ⎩ e int = 0, 346 m > 0, 334 m = e ext ⇒ la stabilité au flambement est assurée.

123

124

Application n˚ 2 : dimensionnement des armatures par la méthode de la rigidité –Énoncé– Pu

COUPE AA A?

e0 40 cm

l = 6,00 m

30 cm c 40 cm A

A

Sollicitations : Pu = 0, 300 MN et Pser = 0, 105 MN excentrées de e 0 = 9,6 cm, poids propre négligé. Poteau isolé contreventé. Matériaux : • béton : fck = 25 MPa, ϕ ef = 2 ; • aciers : S 500 à palier horizontal. On se propose : 1/ d’examiner la nécessité du calcul au flambement en supposant ϕ ef inconnu ; 2/ de calculer le moment total (premier ordre et second ordre) par la méthode de la rigidité ; 3/ de calculer les armatures longitudinales dans le cas où la section est armée symétriquement ; 4/ de vérifier le poteau au flambement.

Instabilité de forme – Flambement

–Corrigé– 1. Caractéristiques des matériaux 1.1 Béton

⎧ λ = 0, 8 fck = 25 MPa < 50 MPa ⇒ ⎨ ⎩η = 1

⎧ λ, fck >< 50 MPa ⇒ ⎨ ⎩η fcd = α cc

fck γc

fcu = η.fcd = η.α cc

fcd = 1 fck γc

fcu = 1.1

fcm = fck + 8 ( MPa ) ⎡f ⎤ E cm = 22 000 ⎢ cm ⎥ ⎣ 10 ⎦

25 = 16,7 MPa 1, 5 25 = 16,7 MPa 1, 5

fcm = 25 + 8 = 33 MPa

0,3

33 E cm = 22 000 ⎡⎢ ⎤⎥ ⎣ 10 ⎦

( MPa )

fck ≤ 50 MPa ⇒ fctm = 0, 3 [ fck ]

2

3

2

fctm = 0, 3 [ 25]

3

0,3

= 31 476 MPa

= 2,56 MPa

1.2 Aciers

fyd =

fyk γs

fyd =

500 = 435 MPa 1, 15

2. Nécessité du calcul au flambement 2.1 Section initiale d’armatures (étape 1)

A s1

Section d’armatures non encore déterminée : A s1 = 0, 00 cm 2

2.2 Élancement (étape 2)

Longueur efficace : poteau isolé ⎫ ⎪ encastré en pied ⎬ ⇒ 0 = 2.1 ⎪ libre en tête ⎭

0 = 2.6, 00 = 12,00 m

125

126

Pour un poteau de section rectangulaire : ⎧ 0b 12 ⎪ ----------------⎪ b λ = Max ⎨ ⎪  0h 12 ⎪ -----------------⎩ h

 0 12 12,00 12 section carrée : λ = --------------= ------------------------- = 104 b 0,40

2.3 Dispense de la vérification de l’état limite de stabilité de forme (étape 3)

 20.A.B.C Poteau isolé : λ = ----0- >< λ lim = ---------------------i n avec : A=

1 = 0,7 si ϕ ef est inconnu : ϕ ef inconnu 1 + 0, 2.ϕ ef

⇒

A = 0,7

B = 1 + 2.ω = 1,1 si ω est inconnu : ω=

A s .fyd A c .fcd

ω inconnu B = 1,1

C = 1, 7 − rm = 0,7 si rm est inconnu : rm inconnu n=

⇒ C = 0, 7

N Ed = effort normal réduit : A c .fcd

N Ed = Pu ,

N Ed = Pu = 0,300 MN n=

0, 300 = 0, 112 0, 40 2.16, 7

λ = 104 > 32, 21 = λ lim =

20.0, 7.1, 1.0, 7 0, 112

⇒ nécessité de prendre en compte les effets du second ordre.

Instabilité de forme – Flambement

3. Sollicitations du premier ordre en pied de poteau (étape 4) 3.1 État limite ultime

3.1.1 Sollicitations de calcul

∑ γ i .N i = N Ed = Pu ∑ γ j .M jG e1 =

0

= Pu .e 0

∑ γ j .M jG ∑ γ i .N i

∑ γ i .N i ∑ γ j .M jG e1 =

0

0

= 0,300 MN = 0, 300.0, 096 = 0,0288 mMN

0, 0288 = 0, 096 m 0, 300

3.1.2 Sollicitations ultimes corrigées des imperfections géométriques Puisque N Ed > 0 est une compression. Sollicitations corrigées pour le calcul en flexion composée poteau isolé d’une structure contreventée : ⇒ ei =

l0 400

⇒ ei =

12, 00 = 0,03 m 400

sollicitations au centre de gravité de la section de béton seul : ⎧ N Ed = ∑ γ i .N i ⎪⎪ ⎨ MEdG0 = N Ed ( e1 + e i ) ⎪ ⎪⎩ e 0 = e1 + e i

⎧ N Ed = 0, 300 MN ⎪ ⎨ MEdG0 = 0, 300 ( 0, 096 + 0, 03) = 0, 038 mMN ⎪ ⎩ e 0 = 0, 096 + 0, 03 = 0, 126 m

3.2 État limite de service

⎧N = N + N g q ⎪ ser ⎪ ⎪ ⎨ MserG0 = Mg + Mq ⎪ MserG0 ⎪e = ⎪ 0 ser N ser ⎩

⎧ N ser = 0, 105 MN ⎪ ⎪⎪ ⎨ MserG0 = N ser .e 0 ser = 0, 105.0, 096 = 0, 0101 mMN ⎪ 0, 0101 ⎪e = = 0, 096 m ⎪⎩ 0 ser 0, 105

On remarque que e 0 à l’ELU est différent de e 0 ser à l’ELS. 4. Sollicitations du second ordre par la méthode de la rigidité

La méthode de la rigidité est imposée par l’énoncé.

127

128

4.1 Rigidité nominale (étape 5)

4.1.1 Section d’armatures initiale La section d’armatures étant inconnue à ce stade de l’étude, nous prendrons une section de départ, symétrique, obtenue en négligeant les effets du second ordre à partir des diagrammes d’interaction (voir § 5.8, chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). Pour une section symétrique (béton et armatures), il convient de prendre en compte le supplément d’excentricité : ⎧ 20 mm ⎪ Δe 0 = Max ⎨ h ⎪⎩ 30

⎧ 20 mm ⎪ Δe 0 = 20 mm = Max ⎨ 400 ⎪⎩ 30 = 13, 3 mm

Arguments d’entrée dans les abaques : Md = MEdG0 + N Ed .Δe 0 μ=

Md = 0, 038 + 0, 300.0, 02 = 0,044 mMN

Md b.h 2 .fcd

μ=

N d = N Ed ν=

0, 044 = 0, 041 0, 40.0, 40 2.16, 7

N d = 0,300 MN

Nd b.h.fcd

ν = n = 0,112 (voir § 2.3)

Pourcentage d’armatures sorti des abaques : μ = 0, 041⎫ ⎬ ⇒ ϖ tot ≈ 0 ν = 0, 112 ⎭

ν

ϖtot

ν

μ

Section d’armatures :

μ

Instabilité de forme – Flambement

∑ A = As1 + As2 = ϖtot .b.h fcd ⎫⎪ f

yd

A s1 = A s 2

fcd 1 ⎬ ⇒ A s1 = A s 2 = ϖ tot .b.h 2 fyd ⎪ ⎭ A s1 = A s 2 = 0, 00 cm 2

4.1.2 Rigidité nominale correspondante EI = K c .E cd .I c + K s .E s .I s avec : E cm γ cE

E cd = où :

31 476 = 26 230 MPa 1, 2

γ cE = 1, 2

E cd =

I c = moment d’inertie de la section de béton :

Ic =

E s = valeur de calcul du module de déformation de l’acier :

E s = 200 000 MPa

0, 40 4 = 2, 133.10 −3 m 4 12

Is = moment d’inertie de la section des armatures par rapport au centre de gravité de la section de béton seul : ρ=

As Ac

ρ = 0, 00 < 0, 002 donc, pour rester dans les limites ρ ≥ 0, 002 permettant de calculer les coefficients K s et K c , nous retiendrons : ρ=

As = 0, 005, d’où : Ac

A s = ρ.A c = 0, 005.0, 40.0, 40 = 8, 0.10 −4 m 2 Is = 2

As 2

Ks = 1

⎛ h − c⎞ ⎝2 ⎠

2

Is = 2

8, 0.10 −4 ( 0, 20 − 0, 05)2 = 1, 80.10 −5 m 4 2 Ks = 1

129

130

Kc =

k1 . k 2 1 + ϕ ef

avec : fck (MPa) = coefficient 20 dépendant de la classe du béton : k1 =

25 = 1, 12 20

k1 =

⎧ λ ⎪n k 2 = Min ⎨ 170 = coefficient dépendant de l’effort normal et de l’élancement, ⎪⎩ 20 où : N Ed = effort normal relatif : n = 0, 112 (voir § 2.3) A c .fcd ϕ ef = coefficient de fluage : ϕ ef = 2

n=

⎧ 0, 112 104 = 0, 069 ⎪ k 2 = 0, 069 = Min ⎨ 170 ⎪⎩ 0, 20 Kc =

1, 12.0, 069 = 0, 026 1+ 2

EI = 0, 026.26 230.2, 133.10 −3 + 1.200 000.1, 80.10 −5 EI = 5, 055 MNm 2 Remarque NEd >< NB = π2

EI l20

NEd = 0, 300 MN < NB = π2

5, 055 = 0, 346 MN 12, 002

d’où le moment corrigé MEd sera supérieur au moment du premier ordre M0Ed = MEdG0.

4.2 Moment de calcul total (premier + second ordre) à l’ELU (étape 6)

Moment corrigé compte tenu des effets du second ordre :

M Ed

⎛ ⎞ ⎜ β ⎟ = M 0Ed ⎜ 1 + ------------------⎟ NB ⎜ -------- – 1⎟⎠ ⎝ N Ed

avec : N Ed = effort normal agissant à l’ELU : N Ed = 0,300 MN (voir § 2.3)

Instabilité de forme – Flambement

M 0 Ed = Md = 0,044 mMN (voir § 4.1.1)

M 0 Ed = moment du premier ordre :

5, 055 EI N B = π 2 -----2- = charge de flambement : N B = π 2 = 0,346 MN 12 , 00 2 0 β=

π2 où : c0

⎧8 : moment du premier ordre constant , ⎪9, 6 : momentt du premier ordre parabolique , ⎪ c0 = ⎨ ⎪12 : moment du premier ordre triangulaire symétrique, ⎪⎩ etc. Moment du ⇒ c0 = 8 β=

premier

ordre

constant

π2 = 1,234 8

MEd

⎛ ⎞ 1, 234 ⎟ ⎜ = 0, 044 ⎜ 1 + ⎟ = 0,398 mMN 0, 346 − 1 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0, 300

Moment de calcul à l’ELU par rapport aux aciers tendus : MG

N 0

eA

N G0

M Ed ⎧ ⎪e 0 = N Ed ⎪ h⎞ ⎪ ⎛ ⎨e A = e 0 + ⎝ d − ⎠ 2 ⎪ ⎪ MEdA = N Ed .e A ⎪ ⎩

e0

C G0

h/2

d

As1

⎧ e = 0, 398 = 1, 327 m ⎪ 0 0, 300 ⎪ 0, 40 ⎪ = 1, 477 m ⎨ e A = 1, 327 + 0, 35 − 2 ⎪ ⎪ MEdA = 0, 300.1, 477 = 0, 443 mMN ⎪ ⎩

131

132

5. Calcul des armatures (étape 7) 5.1 Introduction

Moment réduit de référence à l’ELU : Allongement Raccourcissement fcu 3,5 ‰ B h

xu = h

d As1

C

fcu λ.xu

2‰

λ x 2 u

Fc

zc O 0‰

λ h⎞ h⎛ μ BC = λ ⎜ 1 − . ⎟ d⎝ 2 d⎠

μ BC = 0, 8

35 ⎛ 35 1 − 0, 4 ⎞ = 0, 455 ⎝ 40 40 ⎠

Moment réduit agissant : μ cu =

MEdA bw .d 2 .fcu

μ cu =

0, 443 = 0, 541 0, 40.0, 352.16, 7

Conclusion : μ cu >< μ BC ⇒

μ cu = 0, 541 > 0, 455 = μ BC

Section entièrement comprimée.

La section étant entièrement comprimée, nous utiliserons les diagrammes d’interaction (voir § 5.8, chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). Nous supposerons donc que la section est armée symétriquement. 5.2 Armatures

5.2.1 Arguments d’entrée dans les abaques Md = MEd μ=

Md b.h 2 .fcd

Md = 0,398 mMN (voir § 4.2) μ=

0, 398 = 0, 372 0, 40.0, 40 2.16, 7

Nd = NEd ν=

Nd b.h.fcd

ν = n = 0,112 (voir § 2.3)

Instabilité de forme – Flambement

5.2.2 Pourcentage d’armatures sorti des abaques μ = 0, 372⎫ ⎬ ⇒ ϖtot = 0, 79 ν = 0, 112 ⎭

ν

ϖtot

ν

μ

μ

5.2.3 Section d’armatures

∑ A = As1 + As2 = ϖtot .b.h fcd ⎫⎪ f

yd

A s1 = A s 2

fcd 1 ⎬ ⇒ A s1 = A s 2 = ϖ tot .b.h 2 f yd ⎪ ⎭ A s1 = A s 2 =

1 16, 7 0, 79.40.40 = 24, 26 cm 2 2 435

comme As1 = As2 > As, prov = 0,00 cm2 (voir § 4.1.1), nous effectuons une vérification au flambement pour la section d’armatures que nous venons de déterminer et que nous adopterons comme section réelle. 6. Vérification au flambement 6.1 Section d’armatures de départ (étape 1)

A s1, prov = A s 2, prov = 24, 26 cm 2 6.2 Dispense de vérification au flambement (voir § 2.3) (étapes 2 et 3)

En ne mentionnant que les paramètres qui sont affectés par la donnée de la section d’armatures, il vient : A=

1 = 0,7 si ϕ ef est inconnu : 1 + 0, 2.ϕ ef ϕ ef = 2

⇒

A=

1 = 0, 714 1 + 0, 2.2

133

134

A s .fyd

ω=

ω=

A c .fcd

2.24, 26.435 = 0, 790 40.40.16, 7

B = 1 + 2.ω = 1,1 si ω est inconnu : B = 1 + 2.0, 790 = 1, 606 rm =

M01 avec M02 > M01 M 02

M01 = M02 = Pu .e 0

C = 1, 7 − rm = 0,7 si rm est inconnu : λ=

l0 20.A.B.C >< λ lim = i n

⇒ rm = 1

⇒ C = 1, 7 − 1 = 0, 7

λ = 104 > 47, 97 = λ lim =

20.0, 714.1, 606.0, 7 0, 112

⇒ nécessité de prendre en compte les effets du second ordre. 6.3 Sollicitations du second ordre par la méthode de la rigidité

6.3.1 Sollicitations ultimes corrigées des imperfections géométriques (étape 4) ⎧ N Ed = ∑ γ i .N i ⎪⎪ ⎨ MEdG0 = N Ed ( e1 + e i + Δe 0 ) ⎪ ⎪⎩ e 0 = e1 + e i + Δe 0 ⎧ N Ed = 0, 300 MN ⎪ ⎨ MEdG0 = 0, 300 ( 0, 096 + 0, 03 + 0, 02 ) = 0, 044 mMN ⎪ ⎩ e 0 = 0, 096 + 0, 03 + 0, 02 = 0, 146 m 6.3.2 Rigidité nominale (voir § 4.1.2) (étape 5) E cd =

E cm γ CE

E cd = 26 230 MPa (voir § 4.1.2)

I c = moment d’inertie de la section de béton : I c = 2, 133.10 −3 m 4 (voir § 4.1.2) E s = valeur de calcul du module de déformation de l’acier :

E s = 200 000 MPa (voir § 4.1.2)

Is = moment d’inertie des aciers par rapport au centre de gravité de la section de béton seul :

Is = 2.24, 26.10 −4.0, 152 = 1, 092.10 −4 m 4

Instabilité de forme – Flambement

ρ=

As Ac

ρ=

⎧K s = 0 ⎪ ρ > 0, 01 ⇒ ⎨ 0, 3 ⎪K c = 1 + 0, 5.ϕ ef ⎩

2.24, 26 = 0, 030 40.40

⎧K s = 0 ⎪ 0, 3 ⎨ ⎪⎩K c = 1 + 0, 5.2 = 0, 15

EI = K c .E cd .I c + K s .E s .I s EI = 0, 15.26 230.2, 133.10 −3 + 0.200 000.1, 092.10 −4 EI = 8,392 MNm2 6.3.3 Moment de calcul total (premier + second ordre) à l’ELU (étape 6) Moment corrigé compte tenu des effets du second ordre : N Ed = effort normal agissant à l’ELU : N Ed = 0,300 MN (voir § 6.3.1) M 0 Ed = moment du premier ordre : N B = π2

β=

EI 8, 392 = charge de flambement : N B = π 2 = 0,575 MN l 20 12, 00 2

π2 c0

M Ed

M 0 Ed = MEdG0 = 0,044 mMN

⎛ ⎞ ⎜ β ⎟ = M 0Ed ⎜ 1 + ------------------⎟ NB ⎜ -------- – 1⎟⎠ ⎝ N Ed

β=

π2 = 1,234 (voir § 4.2) 8

⎛ ⎞ 1,234 M Ed = 0,044 ⎜ 1 + ----------------------⎟ = 0,103 mMN ⎜ ⎟ 0,575 ------------- – 1⎠ ⎝ 0,300

Moment de calcul à l’ELU par rapport aux aciers tendus : M Ed ⎧ ⎪e 0 = N Ed ⎪ ⎪ h⎞ ⎛ ⎨e A = e 0 + ⎝ d − ⎠ 2 ⎪ ⎪ ⎪ MEdA = N Ed .e A ⎩

0, 103 ⎧ ⎪ e 0 = 0, 300 = 0, 343 m ⎪ 0, 40 ⎪ = 0, 493 m ⎨ e A = 0, 343 + 0, 35 − 2 ⎪ ⎪ ⎪ MEdA = 0, 300.0, 493 = 0, 148 mMN ⎩

135

136

6.4 Calcul des armatures (étape 7)

6.4.1 Introduction λ h⎞ h⎛ μ BC = λ ⎜ 1 − . ⎟ d⎝ 2 d⎠ μ cu =

μ BC = 0, 455 (voir § 5.1)

MEdA bw .d 2 .fcu

0, 148 = 0, 181 0, 40.0, 352.16, 7

μ cu =

μ cu >< μ BC

μ cu = 0, 181 < 0, 455 = μ BC ⇒

Section partiellement tendue.

La section étant partiellement tendue, pour une section armée symétriquement, nous utiliserons les diagrammes d’interaction (voir § 5.8, chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). 6.4.2 Arguments d’entrée dans les abaques Md = MEd μ=

Md = 0,103 mMN

Md b.h 2 .fcd

μ=

0, 103 = 0, 096 0, 40.0, 40 2.16, 7

Nd = NEd ν=

Nd b.h.fcd

ν = n = 0,112 (voir § 2.3)

6.4.3 Pourcentage d’armatures sorti des abaques μ = 0, 096⎫ ⎬ ⇒ ϖ tot = 0, 12 ν = 0, 112 ⎭

ν

ϖtot

ν

μ

μ

Instabilité de forme – Flambement

6.4.4 Section d’armatures f 1 A s1 = A s 2 = ϖ tot .b.h cd 2 fyd

A s1 = A s 2 =

1 16, 7 0, 12.40.40 = 3, 69 cm 2 2 435

6.4.5 Conclusion (étape 8) As1 et As2 >< A s, prov A s1 = A s 2 = 3, 69 cm 2 < A s1, prov = A s 2, prov = 24, 26 cm 2 Nous avons alors deux possibilités : 1/ si nous voulons affiner le ferraillage, il nous faut recommencer les calculs développés dans le présent § 6, en partant de A s1, prov = A s 2, prov > 3, 69 cm 2 ; 2/ si nous voulons vérifier la stabilité du poteau armé avec A s1, prov = A s 2, prov = 24, 26 cm 2 déterminées au § 5.2.3 ci-devant, il suffit de vérifier les conditions : ⎧⎪ A s1 ≤ A s1, prov ⎨ ⎩⎪ A s 2 ≤ A s 2, prov

⎧⎪ A s1 = 3, 69 cm 2 < 24, 26 cm 2 = A s1, prov O.K. ⎨ 2 2 ⎪⎩ A s 2 = 3, 69 cm < 24, 26 cm = A s 2, prov

137

138

Application n˚ 3 : vérification au flambement par la méthode de l’estimation de la courbure –Énoncé– Pu

COUPE AA A?

e0 40 cm

l = 6,00 m

30 cm 40 cm A

A

Sollicitations : Pu = 0, 300 MN et Pser = 0, 105 MN excentrées de e0 = 9,6 cm, poids propre négligé. Poteau isolé contreventé. Matériaux : • béton : fck = 25 MPa , ϕ ef = 2 ; • aciers : S 500 à palier horizontal. On se propose : 1/ d’examiner la nécessité du calcul au flambement en supposant ϕ ef inconnu ; 2/ de calculer le moment total (premier ordre et second ordre) par la méthode de l’estimation de la courbure ; 3/ de calculer les armatures longitudinales dans le cas où la section est armée symétriquement ; 4/ de vérifier le poteau au flambement.

Instabilité de forme – Flambement

–Corrigé– 1. Caractéristiques des matériaux 1.1 Béton

⎧ λ = 0, 8 fck = 25 MPa < 50 MPa ⇒ ⎨ ⎩η = 1

⎧ λ, fck >< 50 MPa ⇒ ⎨ ⎩η fcd = α cc

fck γc

fcu = η.fcd = η.α cc

fcd = 1 fck γc

fcu = 1.1

fcm = fck + 8 ( MPa ) ⎡f ⎤ E cm = 22 000 ⎢ cm ⎥ ⎣ 10 ⎦

25 = 16,7 MPa 1, 5 25 = 16,7 MPa 1, 5

fcm = 25 + 8 = 33 MPa

0,3

33 E cm = 22 000 ⎡⎢ ⎤⎥ ⎣ 10 ⎦

( MPa )

fck ≤ 50 MPa ⇒ fctm = 0, 3 [ fck ]

2

3

2

fctm = 0, 3 [ 25]

3

0,3

= 31 476 MPa

= 2,56 MPa

1.2 Aciers

fyd =

fyk γs

fyd =

500 = 435 MPa 1, 15

2. Nécessité du calcul au flambement 2.1 Section initiale d’armatures (étape 1)

A s1

Section d’armatures non encore déterminée : A s1 = 0, 00 cm 2

2.2 Élancement (étape 2)

Longueur efficace : poteau isolé ⎫ ⎪ encastré en pied ⎬ ⇒ 0 = 2. ⎪ libre en tête ⎭

0 = 2.6, 00 = 12,00 m

139

140

Pour un poteau de section rectangulaire : ⎧ 0b 12 ⎪ ----------------⎪ b λ = Max ⎨ ⎪  0h 12 ⎪ -----------------⎩ h

 0 12 12,00 12 section carrée : λ = --------------= ------------------------- = 104 b 0,40

2.3 Dispense de la vérification de l’état limite de stabilité de forme (étape 3)

 20.A.B.C Poteau isolé : λ = ----0- >< λ lim = ---------------------i n avec : A=

1 = 0,7 si ϕ ef est inconnu : ϕ ef inconnu 1 + 0, 2.ϕ ef

⇒

A = 0, 7

B = 1 + 2.ω = 1,1 si ω est inconnu : ω=

A s .fyd A c .fcd

C = 1, 7 − rm = 0,7 si rm est inconnu : n=

ω inconnu B = 1, 1 rm inconnu

⇒ C = 0, 7

N Ed = effort normal réduit : A c .fcd

N Ed = Pu ,

NEd = Pu = 0,300 MN n=

0, 300 = 0, 112 0, 40 2.16, 7

λ = 104 > 32, 21 = λ lim =

20.0, 7.1, 1.0, 7 0, 112

⇒ nécessité de prendre en compte les effets du second ordre. 3. Sollicitations du premier ordre en pied de poteau (étape 4) 3.1 État limite ultime

3.1.1 Sollicitations de calcul

∑ γ i .N i = N Ed = Pu

∑ γ i .N i

= 0,300 MN

Instabilité de forme – Flambement

∑ γ j .M jG e1 =

0

= Pu .e 0

∑ γ j .M jG ∑ γ i .N i

∑ γ j .M jG e1 =

0

0

= 0, 300.0, 096 = 0,0288 mMN

0, 0288 = 0, 096 m 0, 300

3.1.2 Sollicitations ultimes corrigées des imperfections géométriques Puisque N Ed > 0 est une compression. Sollicitations corrigées pour le calcul en flexion composée poteau isolé d’une structure contreventée : ⇒ ei =

l0 400

⇒ ei =

12, 00 = 0,03 m 400

sollicitations au centre de gravité de la section de béton seul : ⎧ N Ed = ∑ γ i .N i ⎪⎪ ⎨ MEdG0 = N Ed ( e1 + e i ) ⎪ ⎪⎩ e 0 = e1 + e i

⎧ N Ed = 0, 300 MN ⎪ ⎨ MEdG0 = 0, 300 ( 0, 096 + 0, 03) = 0, 038 mMN ⎪ ⎩ e 0 = 0, 096 + 0, 03 = 0, 126 m

3.2 État limite de service

⎧N = N + N g q ⎪ ser ⎪ ⎪ ⎨ MserG0 = Mg + Mq ⎪ MserG0 ⎪e = ⎪ 0 ser N ser ⎩

⎧ N ser = 0, 105 MN ⎪ ⎪⎪ ⎨ MserG0 = N ser .e 0 ser = 0, 105.0, 096 = 0, 0101 mMN ⎪ 0, 0101 ⎪e = = 0, 096 m ⎪⎩ 0 ser 0, 105

On remarque que e 0 à l’ELU est différent de e 0 ser à l’ELS. 4. Courbure (étape 5)

La méthode de l’estimation de la courbure est imposée par l’énoncé. La courbure est obtenue par la formule : 1 1 = K r .K ϕ r r0 4.1 Courbure correspondant à l’effort normal Nbal

ε yd =

fyd Es

ε yd =

435 = 2, 175.10 −3 200 000

141

142

1 2, 175.10 −3 = = 0, 0138 m −1 r0 0, 45.0, 35

ε yd 1 = r0 0, 45.d

4.2 Coefficient de correction dépendant de l’effort normal

⎧ nu − n ⎪ K r = Min ⎨ n u − n bal ⎪1 ⎩ où : n=

N Ed A c .fcd

n = 0,112 (voir § 2.3) n bal = 0,40

n bal n u = 1 + ω avec ω =

A s .fyd A c .fcd

A s inconnu

⇒ ω = 0 ⇒ nu = 1

⎧ 1 − 0, 112 = 1, 480 ⎪ K r = 1, 00 = Min ⎨ 1 − 0, 40 ⎪⎩1 Remarque Kr ≥ 1 ⇔

soit : n =

nu − n ≥ 1 ⇔ n ≤ nbal = 0, 40 nu − nbal

NEd ≤ nbal = 0, 40 A c .fcd

d’où : NEd ≤ 0, 40.A c .fcd

NEd = 0, 300 MN ≤ 0, 40.0, 402.16,7 = 1, 06 MN ce qui est le cas ici.

4.3 Coefficient de correction tenant compte du fluage

⎧1 + β.ϕ ef K ϕ = Max ⎨ ⎩1 avec : β = 0, 35 +

fck λ − 200 150

β = 0, 35 +

25 104 − = −0, 218 200 150

Instabilité de forme – Flambement

ϕ ef = ϕ ( , t 0 )

M0 Eqp M0 Ed

ϕ ef = 2 ⎧1 − 0, 218.2 = 0, 564 K ϕ = 1, 00 = Max ⎨ ⎩1

4.4 Courbure

1 1 = K r .K ϕ r r0

1 = 1, 00.1, 00.0, 0138 = 0, 0138 m −1 r

5. Moment ultime de calcul total (étape 6) 5.1 Excentricité du second ordre à l’ELU 2

 1 e 2 = ----0- . --- = excentricité du second ordre c r avec : 0 = longueur efficace

0 = 12,00 m

⎧8 : courbure constante , c=⎨ 2 ⎩ π ≈ 10 : autres cas.

c = 10

e2 =

12, 00 2 .0, 0138 = 0, 199 m 10

5.2 Moment corrigé compte tenu des effets du second ordre

MEd = M0 Ed + M 2 avec : M 0 Ed = moment du premier ordre :

M 0 Ed = MEdG0 =

0,038

mMN

(voir

§ 3.1.2) M 2 = N Ed .e 2 = moment du second ordre où : N Ed = effort normal agissant de calcul : N Ed = 0,300 MN M2 = 0, 300.0, 199 = 0,0597 mMN MEd = 0, 038 + 0, 0597 = 0,0977 mMN

143

144

6. Calcul des armatures (étape 7) 6.1 Moment par rapport aux aciers tendus à l’ELU N

MG

0

eA

N

C e0

G0

G0

h/2

d

As1

M Ed ⎧ ⎪e 0 = N Ed ⎪ ⎪ h⎞ ⎛ ⎨e A = e 0 + ⎝ d − ⎠ 2 ⎪ ⎪ ⎪ MEdA = N Ed .e A ⎩

0, 0977 ⎧ ⎪ e 0 = 0, 300 = 0, 326 m ⎪ 0, 40 ⎪ = 0, 476 m ⎨ e A = 0, 326 + 0, 35 − 2 ⎪ ⎪ ⎪ MEdA = 0, 300.0, 476 = 0, 143 mMN ⎩

6.2 Introduction

Moment réduit de référence à l’ELU : Allongement

Raccourcissement fcu 3,5 ‰

fcu

B

h

C

xu = h

d

.xu

2‰

2

xu Fc

zc As1

O 0‰

λ h⎞ h⎛ μ BC = λ ⎜ 1 − . ⎟ d⎝ 2 d⎠

μ BC = 0, 8

35 ⎛ 35 1 − 0, 4 ⎞ = 0, 455 40 ⎝ 40 ⎠

Moment réduit agissant : μ cu =

MEdA bw .d 2 .fcu

μ cu =

0, 143 = 0, 175 0, 40.0, 352.16, 7

Conclusion : μ cu >< μ BC

μ cu = 0, 175 < 0, 455 = μ BC ⇒

Section partiellement tendue.

Instabilité de forme – Flambement

La section étant partiellement tendue et armée symétriquement, nous utiliserons les diagrammes d’interaction (voir § 5.8, chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). Pour une section symétrique (béton et armatures), il convient de prendre en compte le supplément d’excentricité : ⎧ 20 mm ⎪ Δe 0 = Max ⎨ h ⎪⎩ 30

⎧ 20 mm ⎪ Δe 0 = 20 mm = Max ⎨ 400 ⎪⎩ 30 = 13, 3 mm

6.3 Armatures

6.3.1 Arguments d’entrée dans les abaques Md = MEd + N Ed .Δe 0 μ=

Md = 0, 0977 + 0, 300.0, 02 = 0,1037 mMN (voir § 5.2)

Md b.h 2 .fcd

μ=

0, 1037 = 0, 097 0, 40.0, 40 2.16, 7

Nd = NEd ν=

Nd b.h.fcd

ν = n = 0,112 (voir § 2.3)

6.3.2 Pourcentage d’armatures sorti des abaques μ = 0, 097⎫ ⎬ ⇒ ϖ tot = 0, 130 ν = 0, 112 ⎭

tot

145

146

6.3.3 Section d’armatures

∑ A = As1 + As2 = ϖtot .b.h fcd ⎫⎪ f

yd

A s1 = A s 2

fcd 1 ⎬ ⇒ A s1 = A s 2 = ϖ tot .b.h 2 fyd ⎪ ⎭ A s1 = A s 2 =

1 16, 7 0, 130.40.40 = 3, 99 cm 2 2 435

comme A s1 + A s 2 > A s, prov = 0, 00 cm 2 (voir § 2.1), nous effectuons une vérification au flambement pour la section d’armatures que nous venons de déterminer et que nous adopterons comme section réelle. 7. Vérification au flambement 7.1 Section d’armatures de départ (étape 1)

A s1, prov = A s 2, prov = 3, 99 cm 2 7.2 Dispense de vérification au flambement (étapes 2 et 3)

En ne mentionnant que les paramètres qui sont affectés par la donnée de la section d’armatures, il vient : 1 = 0,7 si ϕ ef est inconnu : 1 + 0, 2.ϕ ef

A=

ϕ ef = 2 A s .fyd

ω=

ω=

A c .fcd

⇒

A=

1 = 0, 714 1 + 0, 2.2

2.3, 99.435 = 0, 130 40.40.16, 7

B = 1 + 2.ω = 1,1 si ω est inconnu : B = 1 + 2.0, 130 = 1, 122 rm =

M01 avec M02 > M01 M 02

M01 = M02 = Pu .e 0

C = 1, 7 − rm = 0,7 si rm est inconnu : λ=

l0 20.A.B.C >< λ lim = i n

⇒ rm = 1

⇒ C = 1, 7 − 1 = 0, 7

λ = 104 > 33, 51 = λ lim =

20.0, 714.1, 122.0, 7 0, 112

⇒ nécessité de prendre en compte les effets du second ordre.

Instabilité de forme – Flambement

7.3 Sollicitations du second ordre par la méthode de l’estimation de la courbure (étapes 4, 5, 6 et 7)

Pour cette itération, la section d’armatures n’intervient que pour le calcul du coefficient K r où elle est prise en compte par le biais du coefficient n u = 1 + ω . Comme, d’après la remarque du § 4.2 : NEd = 0,300 MN ≤ 0,40.402.16,7 = 1,06 MN, K r et le moment de calcul total (premier + second ordre) sont inchangés et on peut conserver : A s1 = A s 2 = 3, 99 cm 2 . 7.4 Conclusion

As1 et As2 > < As, prov As1 = A s 2 = 3, 99 cm 2 = A s1, prov = A s 2, prov = 3, 99 cm 2 O.K.

147

148

Application n˚ 4 : dimensionnement des armatures par la méthode de l’estimation de la courbure –Énoncé– NG, NQ COUPE AA As 2

l = 6,50 m

e02 = 10

As 2

30 cm

x

A

A

24 cm

e01 = 0

30 cm

Sollicitations : N G = 600 kN ⎫ ⎬ excentrées de e 02 = 10,0 cm en tête de poteau et de e 01 = 0,0 cm N Q = 300 kN ⎭ en pied de poteau, poids propre négligé. Poteau isolé contreventé. Matériaux : • béton : fck = 35 MPa ; • aciers : S 500 à palier horizontal. On se propose : 1/ d’examiner la nécessité du calcul au flambement en supposant ϕ ef = 2 ; 2/ de calculer le moment total (premier ordre et second ordre) par la méthode de l’estimation de la courbure lorsque ϕ ( , t 0 ) = 2 ; 3/ d’en déduire les armatures longitudinales du poteau.

Instabilité de forme – Flambement

–Corrigé– 1. Caractéristiques des matériaux 1.1 Béton

fcd = α cc

fck (α cc = 1) γb

fcd = 1

35 = 23, 3 MPa 1, 5

1.2 Aciers

fyd =

fyk γs

fyd =

500 = 435 MPa 1, 15

2. Nécessité du calcul au flambement 2.1 Section initiale d’armatures (étape 1)

A s1

Section d’armatures non encore déterminée : A s1 = 0, 00 cm 2

2.2 Élancement (étape 2)

Longueur efficace poteau isolé ⎫ ⎬ ⇒ 0 =  bi − articulé ⎭

0 = 6,50 m

Pour un poteau de section rectangulaire : ⎧ 0b 12 ⎪ ----------------⎪ b λ = Max ⎨ ⎪  0h 12 ⎪ -----------------⎩ h

 0 12 6,50 12 section carrée : λ = --------------= ---------------------- = 75 b 0,30

2.3 Dispense de la vérification de l’état limite de stabilité de forme (étape 3)

 20.A.B.C Poteau isolé : λ = ----0- >< λ lim = ---------------------i n

149

150

avec : 1 = 0,7 si ϕ ef est inconnu : 1 + 0, 2.ϕ ef

A=

ϕ ef = 2

⇒

A=

1 = 0, 71 1 + 0, 2.2

B = 1 + 2.ω = 1,1 si ω est inconnu : A s .fyd

ω=

ω est inconnu

A c .fcd

⇒ B = 1, 1

C = 1, 7 − rm = 0,7 si rm est inconnu : rm =

M01 avec : M 02 > M 01 M 02 M01 = 0 M02

⎫ M01 =0 ⎬ ⇒ rm = = N u .e 02 ⎭ M02

⇒ C = 1, 7 − 0 = 1, 7 n=

N Ed = effort normal réduit : A c .fcd

N Ed = 1, 35.N G + 1, 5.N Q :

N Ed = 1, 35.600 + 1, 5.300 = 1 260 kN n=

1, 260 = 0, 601 0, 30 2.23, 3

λ = 75 > 34, 25 = λ lim =

20.0, 71.1, 10.1, 7 0, 601

⇒ nécessité de prendre en compte les effets du second ordre. 3. Sollicitations corrigées des imperfections géométriques (étape 4)

On suppose que le poteau est astreint à se déformer uniquement dans le sens x (voir coupe AA, figure de l’énoncé). 3.1 Excentricité à prendre en compte

La section la plus sollicitée est vérifiée en supposant, à l’ELU, une excentricité totale égale à : e tot = e 0 + e i + Δe 0 + e 2

Instabilité de forme – Flambement

avec : e0 =

excentricité résultant des calculs de RdM,

ei =

excentricité due aux imperfections géométriques,

Δe 0 = supplément d’excentricité pour une section symétrique (béton et armatures), e2 =

excentricité du deuxième ordre.

3.1.1 Excentricité résultant des calculs de RdM Les excentricités aux deux extrémités du poteau étant différentes, on prend une excentricité équivalente donnée par : ⎧ 0, 6.M02 + 0, 4.M01 M 0 e = Max ⎨ ⎩ 0, 4.M02

⎧ 0, 6.e 02 + 0, 4.e 01 ⇒ e 0 e = Max ⎨ ⎩ 0, 4.e 02 avec : e 02 ≥ e 01

⎧ 0, 6.0, 10 + 0, 4.0 = 0, 06 m e 0 e = 0, 06 m = Max ⎨ ⎩ 0, 4.0, 10 = 0, 04 m 3.1.2 Excentricité due aux imperfections géométriques Les imperfections sont représentées par une inclinaison globale d’un angle θi défini par : θi = θ0 .α h .α m avec : θ0 = αh =

1 = valeur de base recommandée : 200

θ0 =

1 200

2 = coefficient de réduction relatif à la longueur ou à la hauteur : l αh =

2 = 0, 784 6, 50

où : l = longueur ou hauteur du bâtiment ou de l’étage, 2 ≤ αh ≤ 1 3

2 < α h = 0, 784 < 1 O.K. 3

1 α m = 0, 5 ⎛ 1 + ⎞ = coefficient de réduction relatif au nombre d’éléments, ⎝ m⎠

151

152

où : m = nombre d’éléments verticaux contribuant à l’effet total : 1 α m = 0, 5 ⎛ 1 + ⎞ = 1 ⎝ 1⎠ θi =

1 .0, 784.1 = 0, 00392 200

Excentricité additionnelle pour l’élément isolé :  e i = θ i ----02

e i = 0, 00392

6, 50 = 0,0127 m 2

3.1.3 Supplément d’excentricité pour une section symétrique ⎧ 20 mm ⎪ Δe 0 = Max ⎨ h ⎪⎩ 30

⎧ 20 mm ⎪ Δe 0 = 20 mm = Max ⎨ 300 ⎪⎩ 30 = 10 mm

3.2 Sollicitations du premier ordre

e1 = e 0 + e i + Δe 0

e1 = 0, 06 + 0, 0127 + 0, 02 = 0, 0927 m

M 0 Ed = N Ed .e1

M 0 Ed = 1, 260.0, 0927 = 0,117 mMN

4. Courbure (étape 5)

La méthode de l’estimation de la courbure est imposée par l’énoncé. La courbure est obtenue par la formule : 1 1 = K r .K ϕ r r0 4.1 Courbure correspondant à l’effort normal Nbal

ε yd =

fyd Es

ε yd 1 = r0 0, 45.d

ε yd =

435 = 2, 175.10 −3 200 000

1 2, 175.10 −3 = = 0, 0179 m −1 r0 0, 45.0, 27

Instabilité de forme – Flambement

4.2 Coefficient de correction dépendant de l’effort normal

⎧ nu − n ⎪ K r = Min ⎨ n u − n bal ⎪1 ⎩ où : N Ed A c .fcd

n=

n = 0,601 (voir § 2.3)

n bal

n bal = 0,40

n u = 1 + ω avec ω =

A s .fyd A c .fcd

A s inconnu

⇒

prenons, quitte à faire une

itération ultérieure : A s = ω=

3 435 . = 0, 560 100 23, 3

3 Ac 100

⇒ n u = 1 + 0, 560 = 1, 560

⎧ 1, 560 − 0, 601 = 0, 827 ⎪ K r = 0, 827 = Min ⎨ 1, 560 − 0, 40 ⎪⎩1 Remarque Kr ≥ 1 ⇔

soit : n =

nu − n ≥ 1 ⇔ n ≤ nbal = 0, 40 nu − nbal

NEd ≤ nbal = 0, 40 A c .fcd

d’où : NEd ≤ 0, 40.A c .fcd

NEd = 1, 260 MN > 0, 40.0, 302.23, 3 = 0, 839 MN ce qui n’est pas le cas ici.

4.3 Coefficient de correction tenant compte du fluage

⎧1 + β.ϕ ef K ϕ = Max ⎨ ⎩1 avec : β = 0, 35 +

fck λ − 200 150

β = 0, 35 +

35 75 − = 0, 025 200 150

153

154

M 0 Eqp = N G .e 0

M 0 Eqp = 0, 600.0, 06 = 0,036 mMN

)

(

M 0 Ed = (1, 35.0, 600 + 1, 5.0, 300 ) 0, 0927

M 0 Ed = 1, 35.N G + 1, 5.N Q .e1

M 0 Ed = 0,117 mMN ϕ ef = ϕ ( , t 0 )

M0 Eqp

ϕ ef = 2

M0 Ed

0, 036 = 0, 615 0, 117

⎧1 + 0, 025.0, 615 = 1, 015 K ϕ = 1, 015 = Max ⎨ ⎩1 4.4 Courbure

1 1 = K r .K ϕ r r0

1 = 0, 827.1, 015.0, 0179 = 0, 0150 m −1 r

5. Moment ultime de calcul total (étape 6) 5.1 Excentricité du second ordre à l’ELU

e2 =

l 20 1 . = excentricité du second ordre c r

avec : 0 = longueur efficace

0 = 6,50 m

⎧8 : courbure constante , c=⎨ 2 ⎩ π ≈ 10 : autres cas.

c = 10 (déformée sinusoïdale)

e2 =

6, 50 2 .0, 0150 = 0, 0634 m 10

5.2 Moment corrigé compte tenu des effets du second ordre

MEd = M0 Ed + M 2 avec : M 0 Ed = moment du premier ordre :

M 0 Ed = MEdG0 = 0,117 mMN (voir § 3.2)

M 2 = N Ed .e 2 = moment du second ordre

Instabilité de forme – Flambement

où : N Ed = effort normal agissant de calcul : N Ed = 1,260 MN M2 = 1, 260.0, 0634 = 0,0799 mMN MEd = 0, 117 + 0, 0799 = 0,197 mMN

6. Détermination des armatures (étape 7)

La section étant armée symétriquement, nous utiliserons les diagrammes d’interaction (voir § 5.8, chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). 6.1 Arguments d’entrée dans les abaques

Md = MEd μ=

Md = 0,197 mMN (voir § 5.2)

Md b.h 2 .fcd

μ=

0, 197 = 0, 313 0, 30.0, 30 2.23, 3

N d = N Ed ν=

Nd b.h.fcd

ν = n = 0,601 (voir § 2.3)

6.2 Pourcentage d’armatures sorti des abaques

μ = 0, 313⎫ ⎬ ⇒ ϖ tot = 0, 67 ν = 0, 601 ⎭

tot

155

156

6.3 Section d’armatures

∑ A = As1 + As2 = ϖtot .b.h fcd ⎫⎪ f

yd

A s1 = A s 2

fcd 1 ⎬ ⇒ A s1 = A s 2 = ϖ tot .b.h 2 fyd ⎪ ⎭ A s1 = A s 2 =

1 23, 3 0, 67.30.30 = 16, 15 cm 2 2 435

en vérifiant (voir hypothèse faite au § 4.2) : As =

3 Ac 100

A s 2.16, 15 3 O.K. = = 0, 037 ≠ 30.30 100 Ac

7. Itérations suivantes 7.1 Dispense de la vérification de l’état limite de stabilité de forme (étape 3)

A = 0,71 (voir § 2.3) ω=

A s .fyd A c .fcd

B = 1 + 2.ω

2.16,15.435 ω = ---------------------------- = 0,670 30.30.23,3 B =

1 + 2.0,670 = 1,53

C = 1, 7 (voir § 2.3) n = 0,601 (voir § 2.3)  20.A.B.C λ = ----0- >< λ lim = ---------------------i n

20.0,71.1,53.1,7 λ = 75 > 47,64 = λ lim = --------------------------------------0,601 ⇒ nécessité de prendre en compte les effets du second ordre.

7.2 Sollicitations ultimes corrigées des imperfections géométriques (étape 4)

M 0 Ed = 0,117 mMN (voir § 3.2) 7.3 Courbure (étape 5)

7.3.1 Courbure correspondant à l’effort normal Nbal ε yd = 2, 175.10 −3 (voir § 4.1)

Instabilité de forme – Flambement

1 = 0, 0179 m −1 (voir § 4.1) r0 7.3.2 Coefficient de correction dépendant de l’effort normal n = 0,601 (voir § 6.1) n bal = 0,40 (voir § 4.2) ω=

A s .fyd

2.16,15.435 ω = ---------------------------- = 0,670 30.30.23,3

A c .fcd

nu = 1 + ω ⎧ nu − n ⎪ K r = Min ⎨ n u − n bal ⎪1 ⎩

n u = 1 + 0,670 = 1,670 ⎧ 1,670 – 0,601 ⎪ --------------------------------- = 0,842 K r = 0,842 = Min ⎨ 1,670 – 0,40 ⎪1 ⎩

7.3.3 Coefficient de correction tenant compte du fluage β = 0, 025 (voir § 4.3) ϕ ef = 0, 615 (voir § 4.3) K ϕ = 1, 015 (voir § 4.3) 7.3.4 Courbure 1 1 = K r .K ϕ r r0

–1 1 --- = 0,842.1,015.0,0179 = 0,0153 m r

7.4 Moment ultime de calcul total (étape 6)

7.4.1 Excentricité du second ordre à l’ELU 2

 1 e 2 = ----0- . --c r

2

6,50 e 2 = ------------.0,0153 = 0,0646 m 10

7.4.2 Moment ultime de calcul total M 2 = N Ed .e 2

M2 = 1,260.0,0646 = 0,0814 mMN

MEd = M0 Ed + M 2

MEd = 0,117 + 0,0814 = 0,198 mMN

157

158

7.5 Détermination des armatures (étape 7)

7.5.1 Arguments d’entrée dans les abaques Md = MEd

Md = 0,198 mMN

Md b.h 2 .fcd Nd = NEd

0,198 μ = ------------------------------------ = 0,315 2 0,30.0,30 .23,3

μ=

ν=

Nd b.h.fcd

ν = n = 0,601 (voir § 6.1)

7.5.2 Pourcentage d’armatures sorti des abaques μ = 0,315 ⎫ ⎬ ⇒ ϖ tot = 0,68 ν = 0,601 ⎭

tot

7.5.3 Section d’armatures A s1 = A s 2 =

f 1 ϖ tot .b.h cd 2 fyd

2 1 23,3 A s1 = A s2 = --- 0,68.30.30 ---------- = 16,39 cm 2 435

Instabilité de forme – Flambement

7.6 Schéma de ferraillage

En prenant deux nappes de 4 φ 20 HA et 2 φ 16 HA : As1 = As2 = 4.3,14 + 2.2,01 = 16,58 cm2

30 cm

24 cm 30 cm 4 ∅ 20 HA

4 ∅ 20 HA

2 ∅ 16 HA

2 ∅ 16 HA

159

3

État limite de service de maîtrise de la fissuration

I.

RAPPELS THÉORIQUES

1.

Considérations générales La fissuration doit être limitée de façon à1 : • ne pas porter préjudice au bon fonctionnement de la structure ; • ne pas rendre son aspect inacceptable. La fissuration est normale pour les ouvrages en béton armé soumis2 : • à la flexion ; • à l’effort tranchant ; • à la torsion ; • ou à la traction ; sous l’action d’un chargement direct ou de déformations gênées ou imposées. On peut admettre les fissures sans même tenter de contrôler leur largeur ou de les éviter en prenant des mesures (création de joints) pourvu qu’elles ne soient pas préjudiciables au bon fonctionnement de la structure3. Il convient d’établir, en accord avec le client, des limites appropriées tenant compte4 : • de la nature de la structure ; • de sa destination finale ; • du coût de la limitation de la fissuration. Les fissures résultant du retrait plastique ou des réactions chimiques expansives internes au béton ne sont pas couvertes par les règles ci-après5.

1. 2. 3. 4. 5.

EC 2 – 7.3.1 (1)P EC 2 – 7.3.1 (2) EC 2 – 7.3.1 (4) EC 2 – 7.3.1 (5) EC 2 – 7.3.1 (3)

162

2.

Exigences En l’absence d’exigences spécifiques (étanchéité par exemple), il faut vérifier6 : w k ≤ w max avec : w k = ouverture calculée des fissures, w max = valeur limite de l’ouverture calculée des fissures. À défaut de valeurs données par l’Annexe nationale, les valeurs recommandées pour w max sont les suivantes7 : Classes d’exposition

X0, XC1 XC2, XC3, XC4

Sous combinaison quasi permanente des charges

w max = 0, 4 mm(1) s’il y a une exigence vis-à-vis de l’aspect w max = 0, 3 mm(2)

XD1, XD2, XS1, XS2, XS3 w max = 0, 3 mm (0,2 mm pour l’Annexe nationale française) XD3

Dispositions particulières fonction de la nature de l’agent agressif impliqué(3).

L’Annexe nationale française apporte les compléments suivants : (1) : sauf demande spécifique des documents du marché, le calcul de w max n’est pas requis si les dispositions constructives autres que celles du présent chapitre sont respectées ; (2)

: comme précédemment pour les bâtiments des catégories d’usage A à D8 ;

(3)

: w max = 0, 2 mm en l’absence d’autres dispositions particulières9.

Dans le cas des ponts, à défaut de valeurs données par l’Annexe nationale, les valeurs recommandées pour w max sont les suivantes10 : Classes d’exposition

Sous combinaison quasi permanente des charges

X0, XC1

w max = 0, 3 mm

XC2, XC3, XC4

w max = 0, 3 mm

XD1, XD2, XD3, XS1, XS2, XS3

w max = 0, 3 mm

Lorsque la maîtrise de la fissuration est exigée, la méthode de calcul de w k est celle indiquée au § 4. Une option simplifiée consiste à limiter le diamètre ou l’espacement des barres11 (voir § 5).

6. 7. 8. 9. 10.

EC 2 – 7.3.1 (5) EC 2 – tableau 7.1N + voir AN EN 1991-1-1 EC 2 – 7.3.1 (7) EC 2 – 7.3.1 (105) + tableau 7.101N

État limite de service de maîtrise de la fissuration

Il y a lieu de respecter un pourcentage minimal d’armatures dans les zones tendues si la maîtrise de la fissuration est requise12.

3.

Section minimale d’armatures Si la maîtrise de la fissuration est requise (à moins d’un calcul plus rigoureux), la section minimale d’armatures à disposer dans les zones tendues des éléments est celle donnée ci-après13. Dans le cas des sections profilées (exemple : poutres en T et poutres-caissons), il faut déterminer séparément le ferraillage minimal pour les membrures et pour les âmes. Dans le cas des ponts, la décomposition suivante des sections en T est recommandée : A

A

A As2

As2 B B

As1

3.1

A = élément de section « membrure » As1

B = élément de section « âme »

Cas général A s, min = k c .k.fct , eff .

A ct σs

[14.1]

(7.1)

avec : A s, min = section minimale d’armatures dans la zone tendue, A ct =

11. EC 2 – 7.3.1 (9) 12. EC 2 – 7.3.2 (1)P 13. EC 2 – 7.3.2 (2)

aire de la zone de béton tendu avant la formation de la première fissure (section homogène non fissurée avec σ ct = fct , eff) :

163

164

AN Act

fct, eff

σ s = fyk ou valeur inférieure si l’on veut maîtriser la fissuration sans calcul direct, calculée après formation de la première fissure dans la section homogène fissurée (voir § 5.2.1, étape 3) ; l’Annexe nationale française préconise σ s = fyk14, fct , eff = fctm ou fctm ( t ) à l’âge où se produit la première fissure, ⎧ fctm ( t ) fct , eff = Max ⎨ à l’âge où se produit la première fissure pour les ⎩ 2, 9 MPa ponts15, k = coefficient prenant en compte l’effet des contraintes non uniformes autoéquilibrées conduisant à une réduction des efforts dus aux déformations gênées : k 1

h

0,65

bw

30

80

h (cm) : âmes bw (cm) : membrures

k c = coefficient prenant en compte la nature de la distribution des contraintes dans la section immédiatement avant la fissuration : • en traction pure : k c = 1 ;

14. EC 2 – voir ANF 15. EC 2 – 7.3.2 (105)

État limite de service de maîtrise de la fissuration

• en flexion simple ou composée : a) pour les sections rectangulaires et les âmes des caissons et des sections en T : ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ σc k c = 0, 4 ⎢1 − ⎥ ≤1 h ⎢ k1 * fct , eff ⎥ ⎣ ⎦ h

(7.2)

b) pour les membrures des caissons et des sections en T : k c = 0, 9

Fcr ≥ 0, 5 A ct .fct , eff

(7.3)

où : σc =

N Ed = contrainte moyenne du béton régnant dans la partie de section b.h (7.4) considérée,

N Ed = effort normal, à l’ELS dans la partie de section considérée (membrures, âmes des sections en T et des caissons), ⎧h h* = Min ⎨ ⎩1, 00 m ⎧1, 5 si N Ed est une compression, ⎪ = k1 ⎨ 2.h* si N Ed estt une traction, ⎪ ⎩ 3.h Fcr = valeur absolue de l’effort de traction dans la membrure juste avant la fissuration résultant du moment de fissuration calculé avec fct , eff.

3.2

Cas des sections rectangulaires Flexion simple : ⎫ ⎪ ⎪ fct , eff = fctm bw .h ⎪ ⎧A : h ≤ 30 cm s , min = 0, 4.1, 0.fctm ⎪ ⎪ 2 .fyk ⎧1 : h ≤ 30 cm ⎪ ⎪ k=⎨ ⎬ ⇒ ⎨ ⎩ 0, 65 : h ≥ 80 cm ⎪ ⎪ A , min = 0, 4.0, 65.fctm bw .h : h ≥ 80 cm ⎪ ⎪⎩ s 2.fyk k c = 0, 4 ( σ c = 0 ) ⎪ ⎪ b .h A ct = w ⎪ ⎭ 2 σ s = fyk

165

166

⇒

A s, min

⎧ 0, 20 fctm b .h si h ≤ 30 cm w ⎪ fyk ⎪ =⎨ ⎪ 0, 13 fctm b .h si h ≥ 80 cm w ⎪⎩ fyk

[14.2]

Remarque Cette section minimale est inférieure à celle exigée au titre des dispositions constructives pour les poutres (voir § 7, chapitre 7 « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles).

Traction simple : σ s = fyk

⎫ ⎪ fct , eff = fctm bw .h ⎧A ⎪ : h ≤ 30 cm s , min = 1.1.fctm ⎪ ⎪ fyk ⎧1 : h ≤ 30 cm ⎪ ⎪ k=⎨ ⎬ ⇒ ⎨ ⎩ 0, 65 : h ≥ 80 cm ⎪ ⎪ A s, min = 1.0, 65.fctm bw .h : h ≥ 80 cm ⎪⎩ ⎪ fyk k c = 1, 00 ⎪ A ct = bw .h ⎪⎭

⇒

A s, min

⎧ fctm b .h si h ≤ 30 cm w ⎪f ⎪ yk =⎨ ⎪ 0, 65 fctm b .h si h ≥ 80 cm w ⎪⎩ fyk

[14.3]

Remarque La prise en compte des aciers tendus préexistants dans le calcul des caractéristiques géométriques des sections droites non fissurées conduit à augmenter la profondeur x de l’axe neutre et corrélativement à diminuer l’aire A ct de la zone tendue, donc aussi la section minimale d’armatures A s, min .

4.

Calcul des ouvertures de fissures

4.1

Introduction Pour comprendre le mode opératoire, il est nécessaire de faire appel à quelques notions concernant la fissuration d’un tirant, auquel peut être assimilée localement, sur une distance comportant deux à trois fissures, la zone de béton entourant les armatures d’une poutre fléchie.

État limite de service de maîtrise de la fissuration

« Tirant » de section droite Ac Fissure f1

Fissure f2

F

F As

σct

{

< fct

σctx 0 σs1 σs2 σ s1x s rmoy

0

σs 2

σs1, moy

{

Contraintes dans les aciers

4

x

Contraintes dans le béton

s rmoy

1,8.s r 0 = s rmoy

2

Si l’on soumet un tronçon de tirant, comportant un pourcentage d’armatures supérieur au pourcentage minimal, à une force de traction axiale F progressivement croissante, pour une certaine valeur de F, une première fissure f1 apparaît dans une section (dont la position relève du hasard). À l’emplacement de f1, la contrainte de rupture par traction du béton fct a été atteinte. Dans cette section, l’acier doit donc équilibrer seul la force de traction ; sa contrainte y atteint sa valeur maximale. Les sections situées à proximité de la fissure sont dans un état intermédiaire entre : • l’état homogène non fissuré, encore appelé « état I » où l’effort de traction est équilibré à la fois par le béton et par les armatures tendues : F = A c .σ ct + A s .σ s1, • l’état totalement fissuré, encore appelé « état II nu » où l’effort de traction est équilibré par les seules armatures tendues : F = A s .σ s 2 (avec σ s 2 > σ s1). De part et d’autre de la fissure, du fait de la mise en jeu de l’adhérence, la part de l’effort équilibrée par l’acier diminue, tandis que celle équilibrée par le béton augmente, de sorte que l’on ait toujours : A c .σ ct + A s .σ s1 = F

⇒

A s .dσ s1 = A c .dσ ct si F = Cste.

avec : A c = aire de la zone de béton tendu entourant les armatures.

167

168

Comme entre deux sections A et B d’une barre infiniment voisines (voir § 3.5, chapitre 4 : « Dispositions constructives », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) : FB = FA + π.φ.fbd .dx On a donc, en partant de la fissure (section B de la barre pour l’application de la formule précédente) : dF = FB − FA = A s .dσ s1 = π.φ.fbd .dx soit : π.φ2 dσ s1 = π.φ.fbd .dx 4

⇒

dσ s1 =

4.fbd dx φ

Il vient donc : As

4.fbd dx = A c .dσ ct φ

As , on Ac obtient pour le béton, par intégration de la formule précédente à partir de la section où s’est produit la fissure f1 : ou, en supposant que fbd est constant le long des barres, et en posant ρ =

σ ctx =

4.ρ.fbd x φ

Ainsi, de part et d’autre des lèvres d’une fissure, l’hypothèse faite sur fbd entraîne que la contrainte de traction du béton croît linéairement et, en contrepartie, la contrainte de traction de l’acier décroît linéairement. La contrainte de traction du béton ne peut atteindre à nouveau la valeur fct (valeur moyenne) qu’à une distance sr0 de la première fissure telle que : x 0 = sr 0 =

φ fct . 4.ρ fbd

[14.4]

sr0 est la distance minimale entre deux fissures successives. Pour x 0 > sr 0, σ c = fct , et l’état mécanique du tirant est le même que si la fissure f1 ne s’était pas produite. De nouvelles fissures f2, f3… peuvent apparaître. Le béton du tirant se découpe en tronçons de longueur sr ≥ sr 0 , mais il ne peut y avoir de tronçon de longueur supérieure à 2sr 0. Quand la relation : sr 0 ≤ sr ≤ 2sr 0

État limite de service de maîtrise de la fissuration

est satisfaite pour tous les tronçons, il ne peut plus apparaître de nouvelles fissures et l’état de fissuration atteint est qualifié de fissuration complète . L’expérience montre qu’il y a davantage de fissures distantes de 2.sr0 que de fissures distantes de sr0 et que la distance moyenne entre deux fissures est de l’ordre de srmoy ≈ 1, 8.sr 0. La contrainte moyenne des aciers correspond à la contrainte à l’abscisse : x0 =

s rmoy 4

= 0, 45.sr 0.

Un tel développement de la fissuration ne s’observe que si l’effort de traction est suffisant pour provoquer la fissuration du béton par traction. C’est-à-dire si : A s .σ s1 ≥ A c .fct

⇒ ρ=

As f ≥ ct A c σ s1

avec : A s = section des aciers du tirant, A c = section du béton du tirant, F σ s1 = = contrainte de l’armature, As fct = résistance à la traction du béton. Si une fissure apparaît alors que cette condition n’est pas remplie, elle ne peut être qu’accidentelle (reprises de bétonnage, effets thermohygrométriques par exemple). Dans ce cas, on se trouve dans un état de fissuration non systématique, les barres se comportent comme si elles étaient scellées entre deux blocs de béton.

4.2

Principe du calcul

4.2.1

Ouverture moyenne des fissures

Les sections d’un élément tendu ou fléchi n’étant pas toutes fissurées, la présence de zones non fissurées d’une certaine longueur rend le comportement de l’élément considéré discontinu. Nous sommes donc conduits à nous référer à des valeurs moyennes. En désignant par : srm = distance moyenne finale entre fissures, εsm = allongement unitaire moyen de l’armature seule sur la distance srm, ε cm = allongement unitaire moyen du béton sur cette même distance, l’allongement unitaire moyen de l’armature par rapport à celui du béton adjacent vaut :

169

170

εsm , r = εsm − ε cm

[14.5]

L’ouverture moyenne w m des fissures est égale à l’allongement que subit l’armature par rapport au béton sur la distance srm : w m = srm .εsm , r = srm [ εsm − ε cm ]

[14.6]

Du point de vue pratique, seule la distance srm est directement mesurable. 4.2.2

Distance moyenne srm entre fissures

Les résultats des essais concernant la distance moyenne srm entre fissures montrent une grande dispersion dus aux paramètres affectant cette longueur : • diamètre φ des barres ; • enrobage c des armatures ; • pourcentage d’armatures ρr généralement rapporté à une section d’enrobage ; • espacement a entre axes des barres ; • etc. 4.2.3

Allongement relatif de l’armature par rapport au béton

On désigne par : σ s2 = contrainte de l’armature dans une section fissurée sous la combinaison d’actions considérée, σ sr = contrainte de l’armature au moment où le béton se fissure (calcul en section fissurée soumise au moment de fissuration correspondant à l’atteinte de la contrainte fct pour le béton tendu de la section non fissurée), εs1 = déformation relative de l’armature dans l’état I (section homogène non fissurée), εs2 = déformation relative de l’armature dans l’état II nu en négligeant la contribution du béton tendu entre les fissures (section homogène fissurée), εs1r et εs 2 r = déformations relatives de l’armature correspondant à la contrainte σ sr dans les états I et II nu respectivement. Dans l’exemple du tirant, l’effort de traction qui provoque la fissuration du béton est donné par la formule : Fr = A c .fct + A s .σ s1 Comme, par adhérence : ε c = εs1 ⇒

fct σ s1 = E c Es

⇒ σ s1 =

Es fct = α e .fct Ec

État limite de service de maîtrise de la fissuration

il vient : Fr = ( A c + α e .A s ) fct

[14.7]

avec : Es = coefficient d’équivalence. Ec

αe =

Il lui correspond, après apparition de la première fissure, dans l’acier tendu, une contrainte qui a pour valeur : ⎞ Fr ⎛ A c =⎜ + α e ⎟ fct As ⎝ As ⎠

σ sr =

[14.8]

Pour une force de traction F > Fr , l’allongement du tirant vaut Δl et la déformation relative moyenne de l’armature vaut : Δ ε sm = ------- = ε s2 – Δε s  avec : εs1 < εsm < εs 2 Δεs = contribution du béton tendu entre les fissures.

La représentation graphique de l’état de déformation, dans le repère ( εs , σ s ) est donc le suivant : • tant que le tirant n’est pas fissuré (état I avec σ s ≤ σ sr), le point représentatif décrit la droite εs1 passant par l’origine ; • lorsque le tirant est entièrement fissuré (état II nu, fissuration complète), le point représentatif décrit la droite εs2 de pente E s passant par l’origine ; • entre ces deux états, le point représentatif décrit une courbe admettant pour asymptote la droite εs2 de pente E s passant par l’origine. σs

εs1 Δεs εs2

Δεs max

σs2

« Acier nu »

σsr

Arctg Es εs1r

εs1

εs2r

εsm εs2

εs

171

172

Dans l’état intermédiaire entre les états I et II nu, la contrainte dans les armatures vaut σ s2 et la déformation relative εsm = εs 2 − Δεs. Le point représentatif de la déformation des armatures est décalé vers l’origine de Δεs sur l’horizontale d’ordonnée σ s2 par rapport à la droite de Hooke. On peut admettre (simplification plausible) que pour σ s > σ sr (ou F > Fr ) la courbe représentant la variation de εsm en fonction de σ s2 est un arc d’hyperbole asymptote à la droite représentant la variation de σ s2 pour l’acier nu. Cet arc d’hyperbole est défini par : Δεs = Δεs max

σ sr σs2

(il suffit de remarquer que : σ s 2 = σ sr

⇒ Δεs = Δεs max et lim Δεs = 0) σs 2 → 

On en déduit : εsm = εs 2 − Δεs = εs 2 − ( εs 2 r − εs1r ) εsm = εs 2 − εs 2 r

σ sr σs2

σ sr σ + εs1r sr σs2 σs2

[14.9]

Comme, d’après les relations entre triangles semblables, on a : εs1r ε = s1 σ sr σ s 2

⇒ εs1r = εs1

εs 2 r εs 2 = σ sr σ s 2

⇒ εs 2r = εs 2

σ sr σs2

[14.10]

σ sr σs2

[14.11]

on obtient, en fonction de εs1 et εs2 : 2

⎛σ ⎞ ⎛σ ⎞ εsm = εs 2 − εs 2 ⎜ sr ⎟ + εs1 ⎜ sr ⎟ ⎝ σs2 ⎠ ⎝ σs2 ⎠ εsm

2

2 ⎡ ⎛ σ ⎞2⎤ ⎛ σ sr ⎞ sr ⎢ ⎥ = εs 2 1 − ⎜ ⎟ + εs1 ⎜⎝ σ ⎟⎠ ⎢⎣ ⎝ σ s 2 ⎠ ⎥⎦ s2 2

⎛σ ⎞ En posant : ξ = 1 − ⎜ sr ⎟ ≤ 1, l’expression précédente s’écrit : ⎝ σs2 ⎠ εsm = (1 − ξ ) .εs1 + ξ.εs 2

[14.12]

État limite de service de maîtrise de la fissuration

Établie dans le cas d’un tirant, donc de la traction pure, cette expression demeure valable pour la flexion si l’on considère que la zone tendue de la poutre est assimilable à un tirant de section A c, eff. σ sr résulte de l’équilibre des forces au moment où le « tirant » de section A c, eff se fissure et où l’effort équilibré par la section homogène est transmis à l’acier :

)

(

A s .σ sr = A c, eff + α e .A s fctm En posant : ρp, eff =

As A c, eff

[14.13]

il vient :

(

)

(

)

ρp, eff .σ sr = 1 + α e .ρp, eff fctm d’où : σ sr =

fctm 1 + α e .ρp, eff . ρp, eff

[14.14]

Pour déterminer la différence εsm − ε cm à utiliser pour le calcul de l’ouverture des fissures, en ne prenant pas en compte le coefficient ξ et en considérant que l’allongement unitaire moyen du béton est proportionnel à εsr = εs 2 r , l’eurocode 2 donne la formule : εsm − ε cm = εs 2 − k t .εsr =

1 ( σ s2 − k t .σ sr ) Es

avec : k t = coefficient empirique permettant une évaluation de la déformation moyenne sur la distance maximale entre fissures en fonction de la durée du chargement. D’où : σs2 − k t εsm − ε cm =

(

fctm 1 + α e .ρp, eff ρp, eff

)

Es

Comme la contribution du béton tendu est donnée par : Δεs = εs 2 − εsm (voir figure précédente), Δεs = ε cm = k t .εsr (formule règlementaire de l’EC 2),

[14.15]

173

174

cela revient à substituer à la variation hyperbolique de la figure précédente une variation linéaire : σs

εs1 Δεs = kt ⋅ εsr εs2

σs2

« Acier nu »

σsr

Arctg Es εs1r

εs2r

εsm

εs2

4.3

Espacement maximal des fissures sr, max

4.3.1

Armatures tendues avec faible espacement

εs

φ Lorsque a + φ ≤ 5 ⎛ c + ⎞ (voir figure du § 2, chapitre 4 : « Dispositions ⎝ 2⎠ constructives », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles), l’espacement maximal des fissures est donné par l’expression16 : sr , max = k 3 .c + k1 .k 2 .k 4

φ ρp, eff

(mm)

[14.16] (7.11)

avec : φ = diamètre de la barre ou diamètre équivalent des barres en mm : ⎧φ : barre isolée ⎪ φ=⎨ n1 .φ12 + n 2 .φ22 ⎪φeq = n .φ + n .φ : n1 + n 2 barres ⎩ 1 1 2 2 c = enrobage des armatures longitudinales,

16. EC 2 – 7.3.4 (3)

(7.12)

État limite de service de maîtrise de la fissuration

⎧ 0, 8 : barres HA, k1 = ⎨ = facteur caractérisant l’adhérence des armatures, ⎩1, 6 : ronds lisses k 2 = coefficient tenant compte de la distribution des déformations : ⎧ 0, 5 : flexion, ⎪ ⎪ ε + ε2 k2 = ⎨ 1 : flexion + traction avec section entièrement tendue , ⎪ 2.ε1 ⎪1 : traction simple ( ε = ε ) . 1 2 ⎩

(7.13)

ε2

pour la section fissurée, ε1(≥ ε2)

k 3 = 3,4 valeur recommandée17, ⎧3, 4 si c ≤ 25 mm, ⎪ 2 k3 = ⎨ pour l’Annexe nationale française, 25 mm ⎞ 3 ⎛ sinon ⎪3, 4 ⎝ c ⎠ ⎩ k 4 = 0,425 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française18, ρp, eff =

4.3.2

As pour la section effective de béton définie au § 4.4. A c, eff

Armatures tendues avec espacement important

φ Lorsque a + φ > 5 ⎛ c + ⎞ (voir figure du § 2, chapitre 4 : « Dispositions ⎝ 2⎠ constructives », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles), l’espacement maximal des fissures est donné par l’expression19 : sr, max = 1, 3 ( h − x )

17. EC 2 – voir AN 18. EC 2 – voir AN 19. EC 2 – 7.3.4 (3)

[14.17] (7.14)

175

176

L’Annexe nationale française stipule que cette valeur n’est à retenir que si elle est supérieure à celle obtenue par la formule [14.16]20. 4.3.3

Éléments armés dans deux directions orthogonales

Lorsque l’angle entre les directions des contraintes principales et les directions des armatures est significatif (> 15˚), l’espacement maximal des fissures est donné par l’expression21 : sr , max =

1 cos θ sr , max,

+ y

sin θ

[14.18] (7.15)

sr , max, z

avec : θ = angle entre les armatures dans la direction y et la direction de la contrainte principale de traction, sr , max,

4.4

y

et sr , max, z = espacements des fissures calculés respectivement dans les directions y et z pour les valeurs de sr, max choisies suivant le cas comme indiqué aux § 4.3.1 ou 4.3.2.

Ouverture calculée des fissures L’ouverture calculée des fissures (différente de l’ouverture réelle des fissures) est obtenue par la formule22 : w k = sr , max ( εsm − ε cm )

[14.19] (7.8)

avec : wk =

ouverture calculée des fissures,

sr, max = espacement maximal des fissures calculé au § 4.3 ci-dessus,

20. 21. 22. 23.

ε cm =

allongement unitaire moyen du béton sur cette même distance,

εsm =

déformation moyenne de l’armature de béton armé sous la combinaison de charges considérée, incluant l’effet des déformations imposées et en tenant compte de la participation du béton tendu. Seul est pris en compte l’allongement relatif au-delà de l’état correspondant à l’absence de déformation du béton au même niveau23 :

EC 2 – voir AN EC 2 – 7.3.4 (4) EC 2 – 7.3.4 (1) EC 2 – 7.3.4 (2)

État limite de service de maîtrise de la fissuration

σs − k t εsm − ε cm =

fct , eff ρp, eff

(1 + α e .ρp, eff )

Es

≥ 0,, 6

σs Es

[14.20] (7.9)

où : σ s = contrainte dans les armatures de béton armé tendues, en supposant la section fissurée, αe =

Es = coefficient d’équivalence acier/béton, E cm

ρp, eff =

A s − ξ 21 .A 'p A c, eff

=

As en béton armé ( A 'p = 0), A c, eff

(7.10)

⎧ 0, 6 : chargement de courte durée, kt = ⎨ nt de longue durée, ⎩ 0, 4 : chargemen A c , eff = aire de la section effective de béton autour des armatures tendues (de hauteur h c, ef, grisée sur les figures ci-après) : x ε2 = 0

h d hc, ef

ε1

Poutre

x h

ε2 = 0

d hc, ef

ε1

Dalle

ε2

hc, ef h

d

d hc, ef Élément sollicité en traction

ε1

177

178

dans tous les cas :

h c , ef

4.5

⎧ ⎪ 2, 5 ( h − d ) ⎪ ⎪h − x = Min ⎨ ⎪ 3 ⎪h ⎪2 ⎩

avec x correspondant à σ s

Vérification Il faut s’assurer que24 : w k ≤ w max Cette méthode est également recommandée pour les ponts25 :

5.

Contrôle de la fissuration sans calcul direct

5.1

Cas des dalles de bâtiment Aucune disposition particulière n’est nécessaire pour la maîtrise de la fissuration lorsque26 : • l’épaisseur totale de la dalle est telle que : h ≤ 200 mm ; • les dispositions constructives de la dalle sont vérifiées (voir § 5.5, chapitre 1 : « Analyse structurale »).

5.2

Autres cas Les méthodes décrites ci-après, s’appliquent aussi bien aux ponts, qu’aux bâtiments27. Les largeurs de fissures ne sont en général pas considérées comme excessives ( w k ≤ w max) si28 : 1/ le pourcentage minimal d’armatures du § 3 est vérifié ;

24. 25. 26. 27. 28.

EC 2 – 7.3.1 (5) EC 2 – 7.3.4 (101) EC 2 – 7.3.3 (1) EC 2 – 7.3.3 (101) EC 2 – 7.3.3 (2)

État limite de service de maîtrise de la fissuration

2/ les diamètres et espacements des barres respectent des valeurs limites suivant que la fissuration est due principalement : – aux déformations gênées, ce qui limite le diamètre des armatures (voir § 5.2.1) ; – ou aux charges, ce qui limite l’espacement des barres (voir § 5.2.2) ou le diamètre des armatures (voir § 5.2.1). Dans la pratique, on a toujours les deux origines de fissuration. 5.2.1

Fissuration due principalement aux déformations gênées

Le diamètre maximal des armatures est déterminé en fonction29 : • de la contrainte des armatures tendues (calculée pour la section homogène fissurée à l’ELS) ; • de l’ouverture maximale des fissures. Diamètre maximal des barres q*s(mm)

Contrainte de l’acier

σ s (MPa)

w k = 0, 4 mm

w k = 0, 3 mm

w k = 0, 2 mm

160 200 240 280 320 360 400 450

40 32 20 16 12 10 8 6

32 25 16 12 10 8 6 5

25 16 12 8 6 5 4 –

La méthode est la suivante : 1/ déterminer la sollicitation immédiatement après fissuration dans la section homogène non fissurée lorsque la contrainte maximale de traction du béton vaut fctm ; 2/ en déduire la hauteur h cr de la zone tendue de la section ; 3/ calculer, dans la section homogène fissurée, la contrainte σ s de l’acier à l’ELS sous charges quasi permanentes ; 4/ tirer du tableau ci-dessus, par interpolation linéaire si nécessaire, le diamètre maximal φ*s correspondant à la contrainte σs obtenue à l’étape précédente ; 5/ corriger le diamètre maximal obtenu à l’étape précédente : ⎧ * ⎪ φs ⎪ φs = ⎨ ⎪φ* ⎪⎩ s

29. EC 2 – 7.3.3 (2)

fct , eff 2, 9 fct , eff

.

k c .h cr : section non entiièrement tendue, 8 (h − d)

h cr . : section entièrement tendue. 2, 9 8(h − d)

[14.21] (6.6N & 7.7N)

179

180

où : φs = diamètre maximal modifié de la barre, φ*s = diamètre maximal de la barre, tiré du tableau ci-dessus, k c = coefficient prenant en compte la nature de la distribution des contraintes dans la section immédiatement avant la fissuration donné au § 3.1, h = hauteur totale de la section, h cr = hauteur de la zone tendue, juste avant fissuration, d = hauteur utile du lit extérieur d’armatures, 6/ vérifier que : φréel ≤ φs avec : φréel = diamètre maximal des armatures utilisées ; 7/ vérifier que la section minimale d’armatures du § 3 est respectée en prenant la valeur de σ s trouvée à l’étape 3, au lieu de fyk . 5.2.2

Fissuration due principalement aux charges

L’espacement ou le diamètre maximal des armatures sont déterminés en fonction30 : • de la contrainte des armatures tendues ; • de l’ouverture maximale des fissures. Même méthode qu’au § 5.2.1 en utilisant : • soit le tableau du diamètre maximal des armatures ; • soit le tableau des espacements maximaux ci-dessous : Contrainte de l’acier

Espacement maximal des barres (mm)

σ s (MPa)

w k = 0, 4 mm

w k = 0, 3 mm

w k = 0, 2 mm

160 200 240 280 320 360

300 300 250 200 150 100

300 250 200 150 100 50

200 150 100 50 – –

30. EC 2 – 7.3.3 (2)

État limite de service de maîtrise de la fissuration

6.

Armatures de peau

6.1

Domaine d’application Poutres de grande hauteur (h ≥ 1, 00 m). Armatures tendues concentrées sur une petite portion de la hauteur31.

6.2

Armatures de peau supplémentaires En plus des armatures de peau (voir § 10, chapitre 4 : « Dispositions constructives », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles), il faut prévoir, sur chaque face de la section, une section d’armatures de peau supplémentaires régulièrement disposées entre l’axe neutre et les aciers tendus, à l’intérieur de cadres, telle que : x1 As, min (∅) bw

A s, min = k c .k.fct , eff .

A ct σs

[14.22]

(7.1)

avec les paramètres du § 3.1 modifiés comme suit : k = 0,5, σ s = fyk. Le diamètre et l’espacement des armatures de peau sont choisis comme indiqué aux § 5.2.1 et 5.2.2 : • avec σ s égal à la moitié de la contrainte des aciers tendus ; • et en se plaçant dans le cas d’une traction simple (voir § 5.2.1, étape 5 pour le calcul de φs ).

31. EC 2 – 7.3.3 (3)

181

182

II.

APPLICATION Application : section rectangulaire – Maîtrise de la fissuration –Énoncé– On considère la section droite rectangulaire figurée ci-contre. d = 60 cm

h = 65 cm

Classe structurale : S4 Classe d’exposition : XC2 Granulats : d g = 25 mm

4 ∅ 20 HA bw = 24 cm

Moment

de

service :

Matériaux : • acier : S 500 B ; • béton : fck = 30 MPa.

Mser = 160 mkN,

charges

de

longue

durée

(ϕ = ϕ ( , t 0 ) = 2). γ=

M Ed = 1, 45. Mser

Enrobage nominal : c nom = 35 mm. Ouverture maximale calculée des fissures : w max = 0,3 mm. On se propose : 1/ de vérifier que la section équilibre bien le moment appliqué ; 2/ de déterminer la contrainte dans les armatures : – dans le cas où la section n’est pas fissurée (béton tendu pris en compte) ; – dans le cas où la section est fissurée (béton tendu négligé) ; 3/ d’effectuer le contrôle de la fissuration sans calcul direct ; 4/ de déterminer l’ouverture calculée des fissures.

–Corrigé– 1. Vérifications 1.1 Conditions d’enrobage

Voir application n˚ 1, chapitre 4 : « Dispositions constructives », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles.

État limite de service de maîtrise de la fissuration

Enrobage nominal :

c nom = 35 mm.

1.2 Vérification de la résistance de la section

• Caractéristiques des matériaux : ⎧ λ = 0, 8 fck = 30 MPa < 50 MPa ⇒ ⎨ ⎩η = 1

⎧ λ, fck >< 50 MPa ⇒ ⎨ ⎩η fcu = η.α cc

fyd =

fck γc

fcu = 1.1

fyk

fyd =

γs

30 = 20 MPa 1, 5

500 = 435 MPa 1, 15

• Position de l’axe neutre : en écrivant l’égalité des forces dans la section, il vient : Fc = λ.bw .x u .fcu Fs = A s1, u .fyd Fs = Fc

⇒ A s1, u .fyd = λ.bw .x u .fcu

⇒ xu =

xu =

A s1, u .fyd λ.bw .fcu

4.3, 14.10 −4.435 = 0,142 m 0, 8.0, 24.20

• Moment ultime équilibré par la section : zc = d −

λ xu 2

MRd = A s1, u .fyd .z c

z c = 0, 60 −

0, 8 0, 142 = 0,543 m 2

MRd = 4.3, 14.10 −4.435.0, 543 = 0,297 mMN

• Vérification : γ=

M Ed Mser

⇒ M Ed = γ .Mser

MRd >< M Ed

MEd = 1, 45.0, 160 = 0,232 mMN MRd = 0, 297 mMN > 0, 232 mMN = MEd O.K.

183

184

2. Contrainte des aciers tendus 2.1 Section non fissurée immédiatement avant fissuration

2.1.1 Caractéristiques des matériaux fck ≤ 50 MPa ⇒ fctm = 0, 3 [ fck ]

2

3

2

fctm = 0, 3 [ 30 ]

3

= 2,9 MPa

Es

Es = 2.105 MPa

fcm = fck + 8 MPa

fcm = 30 + 8 = 38 MPa

⎡f ⎤ E cm = 22 000 ⎢ cm ⎥ ⎣ 10 ⎦ E c, eff =

0,3

(MPa)

38 E cm = 22 000 ⎡⎢ ⎤⎥ ⎣ 10 ⎦

0,3

= 32 837 MPa

E cm ( t ) 1 + ϕ ( , t 0 )

• Charges de courte durée d’application : αe =

Es E c, eff

ϕ = 0 ⇒ αe =

Es 2.105 = = 6, 09 E cm 32 837

⇒ αe = 6 • Charges de longue durée d’application : αe =

Es E c, eff

ϕ = 2 ⇒ αe =

Es 2.105 = 3 = 18, 27 E cm 32 837 1+ ϕ

⇒ α e = 18 2.1.2 Paramètres A s1 = 4.3, 14.10 −4 = 12, 56 cm 2 ρ=

A s1 bw .d

ρ=

12, 56 = 0, 0087 24.60

η=

h d

η=

65 = 1, 083 60

État limite de service de maîtrise de la fissuration

2.1.3 Hauteur de l’axe neutre (voir § 8.2.2, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles, les valeurs numériques correspondant au cas des charges de longue durée d’application figurent, entre parenthèses, dans les formules) : ⎫ bw .h 2 bw .h 2 + α e .A s1 .d ⎪ + α e .A s1 .d ⎪ x = v' = 2 ⇒ x = v' = 2 ⎬ A ch bw .h + α e .A s1 ⎪ ⎪⎭ A ch = bw .h + α e .A s1 ⎛ h2 A s1 ⎞ η2 bw .d 2 ⎜ 2 + αe + α e .ρ bw .d ⎟⎠ ⎝ 2.d = 2 d x= η + α e .ρ ⎛h A s1 ⎞ bw .d ⎜ + α e bw .d ⎟⎠ ⎝d 1, 0832 (18) + 6 .0, 0087 ( 35, 97 ) 2 x= 60 = 33, 75 cm 1, 083 + 6 .0, 0087 (18 )

2.1.4 Moment d’inertie de la section droite homogène par rapport à l’axe neutre (voir § 8.2.2, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) A ch = bw .h + α e .A s1 I ch =

(18 )

( 0 ,1786 )

A ch = 0, 24.0, 65 + 6 .12, 56.10 −4 = 0, 1635 m 2

bw .h3 + α e .A s1 .d 2 − A ch .x 2 3

( 0,1786.0,35972 )

I ch

0, 24.0, 653 (18) = + 6 .12, 56.10 −4.0, 60 2 − 0, 1635.0, 33752 3 ( 0 , 00700 )

I ch = 0, 00606 m 4 2.1.5 Moment fléchissant provoquant l’apparition de la première fissure fctm =

Mcr ( h − x ) I ⇒ M cr = ch fctm I ch h−x ( 0 , 00700 )

( 0 , 0699 ) 0, 00606 Mcr = 2, 9 = 0, 0562 mMN 0, 65 − 0, 3375 ( 0 , 3597 )

185

186

Remarque Plus rapidement, en négligeant les armatures, nous avons : Mcr =

bw .h2 f 6 ctm

Mcr =

0, 24.0, 652 2, 9 = 0,049 mMN 6

2.1.6 Contrainte de l’acier au moment de la fissuration

σ sr = α e

Mcr ( d − x ) I ch

( 0 , 0699 ) ⎛ ( 0 , 3597 ) ⎞ 0, 0562 ⎜ 0, 60 − 0, 3375⎟ ( 43, 2) ⎠ ⎝ = 14, 6 MPa σ sr = 6 0, 00606 (18 )

( 0 , 00700 )

2.2 Section fissurée sous chargement appliqué

2.2.1 Paramètres A s1 = 4.3, 14 = 12, 56 cm 2 ρ=

A s1 bw .d

ρ=

12, 56 = 0, 0087 24.60

η=

h d

η=

65 = 1, 083 60

2.2.2 Hauteur de l’axe neutre (voir § 8.3.2.3, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles, les valeurs numériques correspondant au cas des charges de courte durée d’application figurent, entre parenthèses, dans les formules) : bw .x12 + α e .A s1 .x1 − α e .A s1 .d = 0 2 ⇒ Δ = α 2e .A s21 + 2.bw α e .A s1 .d

⇒ x1 =

−α e .A s1 + α 2e .A s21 + 2.bw α e .A s1 .d (racine positive) bw

⇒ x1 =

⎡ ⎤ α e .A s1 ⎡ bw .d ⎤ 2 − 1⎥ ⎢ −1 + 1 + 2. ⎥ = α e .ρ.d ⎢ 1 + α e .ρ ⎦ bw ⎣ α e .A s1 ⎦ ⎣

État limite de service de maîtrise de la fissuration

⎡ ⎤ ( 0 ,165) 2 ⎢ ⎥ x1 = 18 .0, 0087.0, 60 1 + − 1 = 0, 255 m ⎢ ⎥ 18 .0, 0087 (6) ⎢⎣ ⎥⎦ (6)

2.2.3 Contrainte dans les armatures à l’ELS Bras de levier des forces élastiques : ( 0 ,165)

0, 255 ( 0 ,545) z c = 0, 60 − = 0, 515 m 3

x zc = d − 1 3 Contrainte de l’acier : Mser = A s1 .z c .σ s 2

⇒ σs2 =

( 234 ) Mser 0, 160 σ s2 = = 247 MPaa −4 A s1 .z c 12, 56.10 . 0, 515 ( 0 , 545)

Remarque En prenant une valeur forfaitaire du bras de levier, on trouve plus rapidement : z c = 0, 9.d σ s2 =

z c = 0, 9.0, 60 = 0,54 m

Mser A s1.z c

σ s2 =

0,160 = 236 MPa 12, 56.10 −4.0, 54

2.3 Conclusion

La contrainte des aciers tendus sous charges de longue durée est toujours plus élevée que celle obtenue sous charges instantanées. C’est par conséquent sous l’effet des charges de longue durée que nous effectuerons le contrôle de la fissuration (voir σ s maximal conduit au diamètre et à l’espacement minimaux dans les tableaux des § 5.2.1 et 5.2.2 des rappels théoriques). 3. Contrôle de la fissuration sans calcul direct 3.1 Diamètre maximal des armatures

L’ouverture maximale des fissures vaut : w k = w max = 0,3 mm. 1/ Sollicitation immédiatement après fissuration (section homogène non fissurée) : Mcr =

I ch fctm h−x

Mcr = 0,0699 mMN (voir § 2.1.5 pour α e = 18)

2/ Hauteur de la zone tendue correspondante dans la section droite : h cr = h − x

h cr = 65 − 35, 97 = 29, 03 cm (voir § 2.1.3 pour α e = 18)

187

188

3/ Contrainte des armatures, à l’ELS, sous charges quasi permanentes (section homogène fissurée) : σ s = σ s 2 = 247 MPa (voir § 2.2.3 pour α e = 18) 4/ Diamètre maximal φ*s correspondant à la contrainte σ s obtenue à l’étape précédente : le tableau du § 5.2.1 des rappels théoriques donne : σ s = 240 MPa ⎫ * ⎬ ⇒ φs = 16 mm w k = 0, 3 mm ⎭ σ s = 280 MPa ⎫ * ⎬ ⇒ φs = 12 mm w k = 0, 3 mm ⎭ 5/ Diamètre maximal φ*s corrigé (section rectangulaire non entièrement tendue) : φs = φ*s

fct , eff 2, 9

.

k c .h cr 8 (h − d) N Ed = 0 MN (flexion simple)

N Ed σc =

N Ed b.h

σc =

N Ed =0 b.h

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ σc k c = 0, 4 ⎢1 − ⎥ ≤1 h ⎢ k1 * fct , eff ⎥ ⎣ ⎦ h

k c = 0, 4 (section rectangulaire sollicitée en flexion simple)

fct , eff = fctm

fct , eff = fctm = 2,9 MPa

Pour σ s = 240 MPa : φs = 16

2, 9 0, 4.0, 2903 . = 4, 64 mm 2, 9 8 ( 0, 65 − 0, 60 )

φs = 12

2, 9 0, 4.0, 2903 . = 3, 48 mm 2, 9 8 ( 0, 65 − 0, 60 )

Pour σ s = 280 MPa :

État limite de service de maîtrise de la fissuration

D’où pour σ s = 247 MPa : φs = 4, 64 −

4, 64 − 3, 48 7 = 4, 44 mm 280 − 240

6/ Vérification : φréel >< φs

φréel = 20 mm
Condition non vérifiée.

La condition sur le diamètre maximal des armatures n’étant pas vérifiée et la fissuration étant due aux charges, on peut vérifier l’espacement maximal des armatures (au lieu de leur diamètre maximal). 3.2 Espacement maximal des armatures

L’ouverture maximale des fissures vaut : w k = w max = 0,3 mm. La contrainte des armatures vaut (voir § 2.2.3) : σ s = σ s 2 = 247 MPa sous charges de longue durée d’application dans la section de béton fissurée. Le tableau du § 5.2.2 des rappels théoriques donne : σ s = 240 MPa ⎫ ⎬ ⇒ a = 200 mm w k = 0, 3 mm ⎭ σ s = 280 MPa ⎫ ⎬ ⇒ a = 150 mm w k = 0, 3 mm ⎭ σ s = 247 MPa ⎫ 200 − 150 7 = 191 mm ⎬ ⇒ a = 200 − w k = 0, 3 mm ⎭ 280 − 240 L’espacement réel des armatures vaut :

cnom

a ∅

a ∅

∅ bw

cnom

a ∅

189

190

a réel =

bw − 2.c nom − 4.φ 3

a réel =

240 − 2.35 − 4.20 = 30 mm 3

Vérification : a réel >< a

a réel = 30 mm < 191 mm = a O.K. ⇒ Comme l’une ou l’autre des conditions (diamètre ou espacement) doit être vérifiée, le contrôle de la fissuration sans calcul direct est assuré.

3.3 Section minimale d’armatures

N Ed = 0 MN (flexion simple)

N Ed σc =

N Ed b.h

σc =

N Ed =0 b.h

pour une section rectangulaire sollicitée en flexion simple : ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ σc k c = 0, 4 ⎢1 − ⎥ ≤1 h ⎢ k1 * fct , eff ⎥ ⎣ ⎦ h

k c = 0, 4

⎧300 mm ⎪ h >< ⎨ et ⇒ k ⎪800 mm ⎩ 15 = 0, 76 50

800 mm > h = 650 mm > 300 mm

⇒ k = 0, 65 + 0, 35

fct , eff = fctm

fct , eff = fctm = 2,9 MPa

σs

σ s = 247 MPa (maîtrise de la fissuration sans calcul direct, voir § 3.1, étape 3, ou § 2.2.3),

A ct =

bw .h 2

A s, min = k c .k.fct , eff . A s1 >< A s, min

A ct = A ct σs

0, 24.0, 65 = 0, 078 m 2 (voir remarque ci-après) 2 A s, min = 0, 4.0, 76.2, 9.

0, 078 4 10 = 2, 78 cm 2 247

A s1 = 12, 56 cm 2 > A s, min = 2, 78 cm 2 O.K.

État limite de service de maîtrise de la fissuration

Remarque Compte tenu de la section d’aciers tendus en place dans la section, l’aire minimale de béton tendu juste avant la formation de la première fissure est obtenue en considérant la section droite homogène non fissurée (avec α e = 18 correspondant à la contrainte σ s prise en compte) : A ct = bw (h − x )

A ct = 0, 24 ( 0, 65 − 0, 3597) = 0, 070 m2 < 0, 078 m2

D’où le fait de négliger les aciers tendus préexistants va dans le sens de la sécurité.

4. Calcul de l’ouverture des fissures

Bien que la fissuration soit contrôlée sans calcul de l’ouverture des fissures (voir § 3), nous calculerons ci-après l’ouverture des fissures. 4.1 Espacement final maximal entre fissures

• Espacement latéral entre axes des armatures : φ a + φ >< 5 ⎛ c + ⎞ ⎝ 2⎠

avec c = c nom = 35 mm 20 a + φ = 30 + 20 = 50 mm < 225 mm = 5 ⎛ 35 + ⎞ ⎝ 2⎠

• Espacement maximal entre fissures : sr , max = k 3 .c + k1 .k 2 .k 4

φ ρp, eff

⎧φ : barre isolée ⎪ barres de même diamètre : φ = 20 mm φ=⎨ n1 .φ12 + n 2 .φ22 φ = : n1 + n 2 barres eq ⎪ n1 .φ1 + n 2 .φ2 ⎩ ⎧ 0, 8 : barres HA, k1 = ⎨ ⎩1, 6 : ronds lisses.

barres HA ⇒ k1 = 0, 8

⎧ 0, 5 : flexion, ⎪ ⎪ ε + ε2 k2 = ⎨ 1 : flexion + traction avec section entièrement tendue , ⎪ 2.ε1 ⎪1 : traction simple ( ε = ε ) . 1 2 ⎩ flexion simple ⇒ k 2 = 0, 5

191

192

h c , ef

⎧ ⎪ 2, 5 ( h − d ) ⎪ ⎪h − x = Min ⎨ ⎪ 3 ⎪h ⎪2 ⎩

x ε2 = 0

h d hc, ef

ε1

Poutre

x correspondant à σ s

x = x1 = 0,255 m pour σ s = 247 MPa à l’ELS (voir § 2.2.3 et 2.2.2, section homogène fissurée avec α e = 18)

h c , ef

⎧ ⎪ 2, 5 ( 650 − 600 ) = 125 mm ⎪ ⎪ h − x 650 − 255 = 132 mm = 125 mm = Min ⎨ = 3 ⎪ 3 ⎪ h 650 ⎪ 2 = 2 = 325 mm ⎩

A c , eff = bw .h c, ef

A c , eff = 0, 24.0, 125 = 0, 0300 m 2

c = c nom

c = 35 mm

k 3 = 3, 4

⇒ k 3 = 3, 4

k 4 = 0, 425

⇒ k 4 = 0, 425

ρp, eff =

As A c, eff

ρp, eff =

12, 56.10 −4 = 0, 0419 0, 0300

sr, max = 3, 4.35 + 0, 8.0, 5.0, 425

20 = 200 mm 0, 0419

• Pour l’Annexe nationale française : ⎧3, 4 si c ≤ 25 mm, ⎪ 2 k3 = ⎨ 25 mm ⎞ 3 ⎛ sinon ⎪3, 4 ⎝ c ⎠ ⎩

25 c = 35 mm ⇒ k 3 = 2, 72 = 3, 4 ⎛ ⎞ ⎝ 35 ⎠

sr, max = 2, 72.35 + 0, 8.0, 5.0, 425

23

20 = 176 mm 0, 0419

État limite de service de maîtrise de la fissuration

4.2 Allongement relatif des aciers

σs − k t εsm − ε cm =

fct , eff ρp, eff

(1 + α e .ρp, eff )

Es

≥ 0,, 6

σs Es

⎧ 0, 6 : chargement de courte durée, kt = ⎨ nt de longue durée, ⎩ 0, 4 : chargemen charges de longue durée cation ⇒ k t = 0, 4 fct , eff = fctm

fct , eff = fctm = 2,9 MPa

σs = σs2 αe =

d’appli-

σ s = 247 MPa (voir § 2.2.3 avec α e = 18)

Es

α e = 18 (voir § 2.3)

E c, eff

εsm − ε cm =

247 − 0, 4

2, 9 (1 + 18.0, 0419 ) 0, 0419 = 0, 99.10 −3 2.105

0, 99.10 −3 > 7, 41.10 −4 = 0, 6

247 O.K. 2.105

4.3 Ouverture calculée des fissures

w k = sr , max ( εsm − ε cm )

w k = 200.0, 99.10 −3 = 0, 198 mm

4.4 Vérification

w k ≤ w max

w k = 0, 198 mm < 0, 3 mm = w max O.K.

4.5 Section minimale d’armatures

N Ed = 0 MN (flexion simple)

N Ed σc =

N Ed b.h

σc =

N Ed =0 b.h

193

194

pour une section rectangulaire sollicitée en flexion simple : ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ σc k c = 0, 4 ⎢1 − ⎥ ≤1 h ⎢ k1 * fct , eff ⎥ ⎣ ⎦ h

k c = 0, 4

⎧300 mm ⎪ h >< ⎨ et ⇒ k ⎪800 mm ⎩ 15 = 0, 76 50

800 mm > h = 650 mm > 300 mm

⇒ k = 0, 65 + 0, 35

fct , eff = fctm

fct , eff = fctm = 2,9 MPa

σ s = fyk A ct =

σ s = fyk = 500 MPa (maîtrise de la fissuration avec calcul direct)

bw .h 2

A s, min = k c .k.fct , eff .

A ct = A ct σs

0, 24.0, 65 = 0, 078 m 2 2

A s, min = 0, 4.0, 76.2, 9.

A s1 >< A s, min

0, 078 4 10 = 1, 38 cm 2 500

A s1 = 12, 56 cm 2 > A s, min = 1, 38 cm 2 O.K.

Cette valeur est différente de celle établie dans le cas du contrôle de la fissuration sans calcul direct (voir § 3.3 avec σ s < fyk ). Remarque Compte tenu de la section d’aciers tendus en place dans la section, l’aire minimale de béton tendu juste avant la formation de la première fissure est obtenue en considérant la section droite homogène non fissurée (voir § 2.1.3 avec A ct maximum pour x minimum, soit pour α e = 6) : A ct = bw (h − x )

A ct = 0, 24 ( 0, 65 − 0, 3375) = 0, 075 m2 < 0, 078 m2

D’où le fait de négliger les aciers tendus préexistants va dans le sens de la sécurité.

4.6 Remarque

Bien que l’Eurocode 2 ne le demande pas, assurons-nous que la fissuration est bien systématique, c’est-à-dire vérifions (voir § 4.2.3 des rappels théoriques, formule [14.14] donnant σ sr) :

(

)

A s1 .σ s 2 ≥ A c , eff + α e .A s1 fctm,

État limite de service de maîtrise de la fissuration

soit en posant : ρp, eff =

A s1 A c, eff

vérifions :

)

(

ρp, eff .σ s 2 ≥ 1 + α e .ρp, eff fctm ⇒ σs2 ≥

1 + α e .ρp, eff ρp, eff

fctm

σ s2 ≥

1 + 18.0, 0419 2, 9 = 121 MPa 0, 0419

σ s2 = 247 MPa > 121 MPa O.K. et la fissuration est bien systématique.

195

4

État limite de service de déformation

I.

RAPPELS THÉORIQUES

1.

Généralités

1.1

Influence de la fissuration sur la flèche Avant fissuration, le béton armé se comporte comme un matériau homogène. Après fissuration, en négligeant le béton tendu, nous obtenons un matériau hétérogène. Les sollicitations provoquant la fissuration ( Mcr, N cr ) correspondent à l’atteinte de la contrainte de traction limite sur la fibre de béton la plus tendue dans la section homogène non fissurée (c’est-à-dire à l’apparition de la première fissure). Cette contrainte limite a pour valeur1 : ⎧ fctm en général, ⎪ ⎨ fctm , fl en l'absence de contraintes provoquées par le retrait ou les effets ⎪ thermiquues. ⎩ La flèche réelle − y − est, par conséquent, intermédiaire entre : • la flèche y I correspondant à la condition non fissurée, état dans lequel l’acier et le béton agissent ensemble de manière élastique en traction et en compression ; • la flèche y II associée à la condition entièrement fissurée, état dans lequel l’influence du béton tendu est négligée. y Condition entièrement fissurée yII

0

1.

EC 2 – 7.4.3 (4)

Mcr

y

yllyI pour M ≤ Mcr yllyII pour M > Mcr

Condition non fissurée yI

Charge ou moment

198

1.2

Influence de la durée d’application des charges sur la déformée Les déformations sous charges de longue durée d’application étant plus importantes que celles obtenues pour des charges de courte durée d’action, il faut envisager deux courbes de déformation. En tenant compte : • de la nature du matériau (fissuré ou non) ; • de la durée d’application des charges ; nous avons : y Charges de longue durée d'application Charges de courte durée d'application

Mcr

Section homogène Ac + αe. As

Charge ou Section homogène moment fissurée

1.3

Influence de l’inertie

1.3.1

Rappels de résistance des matériaux 1.3.1.1 Travée isostatique uniformément chargée 2

p B

A

p. M 0 = ---------8

(EI)

l

2

p. 2 2 ----------  5 8 1 M 0 . 5.p. f = ---------------- = ------ . ------------------ = ------- . --------------- ⇒ 48 EI 9,6 EI 384.EI 4

2

1 M0 .  f ≈ ----- . -------------10 EI

État limite de service de déformation

1.3.1.2 Travée isostatique soumise à l’action d’un couple sur appui C

A

3 C. 27 EI

2

1 C. 16 EI

2

B f = ------- . ----------- ⇒ f = ------ . ----------(EI)

l

1.3.1.3 Travée continue uniformément chargée Mi +1

Mi M0

p i

2

p. M 0 = ---------8

i +1

(EI)

Mt

l 2

2

2

M 0 . M i . M i + 1 . f = -------------- – ---------------- – ----------------------10.EI 16.EI 16.EI 2  5 Mi + Mi + 1 f = ------------- M 0 – --- . ------------------------------10.EI 4 2

or : M t = M0 −

M i + M i +1 5 M + M i +1 > M0 − . i 2 4 2

d’où : 2

1 M t . - (très peu inférieur à). f ≈ ------ . ------------10 EI

1.3.2

Particularités du béton armé

En béton armé, l’inertie n’est pas constante le long des travées des poutres du fait : • des arrêts de barres et de la hauteur de la zone comprimée des sections droites ; • de la prise en compte ou non du béton tendu suivant que M < Mcr ou non. Donc, les formules de la RdM ne sont pas directement applicables.

199

200

2.

Calcul des flèches à l’état limite de service de déformation

2.1

Section entièrement comprimée La détermination des flèches se fait par les méthodes classiques de la résistance des matériaux (double intégration de l’équation différentielle

d2 y M ( x ) = où EI dx 2

I = moment d’inertie de la section homogène non fissurée).

2.2

Section partiellement tendue La flèche réelle (et donc la courbure) est intermédiaire entre : • la flèche y II associée à la condition entièrement fissurée ; • la flèche y I correspondant à la condition non fissurée.

2.2.1

Courbure dans l’état fissuré 2.2.1.1 Équation de la courbure

Pour deux sections droites (Σ1) et (Σ2) distantes de dξ et soumises à l’action d’un moment fléchissant M : 0

dθ

εc. dξ d y

dθ r

M

x1

M dξ z

x

(Σ2) εs1. dξ

(Σ1)

As1

État limite de service de déformation

La section (Σ2) subit, vis-à-vis de la section (Σ1), une rotation dθ sous l’effet du moment fléchissant M. En désignant par r le rayon de courbure de la ligne moyenne, on a : dξ = r.dθ D’autre part, le diagramme des déformations de la section (Σ2) donne : ( ε + εs1 ) dξ dθ = c d D’où : dθ =

dξ ε c + εs1 = dξ r d

Ce qui donne l’équation de la courbure : 1 ε c + εs1 = r d Remarque Les déformations s’écrivent en fonction du moment fléchissant de service : M ser ---------- x 1 Ec ( t 0 ) σc  cf M ser .x 1 ε c = ------------ = --------------- = -------------------- avec : Ec, eff = E c, eff E c, eff E c, eff . cf 1 + ϕ ( , t0 ) ε s1

M ser ---------- ( d – x 1 ) σ s1  cf M ser ( d – x 1 ) E = ------- = -----------------------------= ----------------------------- avec : α e = s Es α e .E c, eff E c, eff . cf Ec, eff

d’où la courbure : ε c + ε s1 M ser x 1 + ( d – x 1 ) 1 --- = ----------------- = -------------------- . -------------------------------- ⇒ r d E c, eff . cf d

ε +ε M 1 y” = -- = ---c------------s1 --- = -----------ser ---------r d E c, eff .  cf

[15.1]

2.2.1.2 Cas des sections rectangulaires As 2 AN

d

d' x1 AN

αe =

Es Ec, eff

As1 bw

La position de l’axe neutre est fournie par l’équation des moments statiques (voir § 8.3.2.3, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) :

201

202

bw .x12 + α e .A s 2 ( x1 − d ') − α e .A s1 ( d − x1 ) = 0 2

⇒ x1

En l’absence d’aciers comprimés, le bras de levier s’obtient par : zc = d −

x1 3

[15.2]

D’où les contraintes : ⎫ ⎪⎪ 2.Mser ⎬ ⇒ σc = bw .x1 .z c 1 Fc = bw .x1 .σ c ⎪ ⎪ ⎭ 2 Mser zc

Fc =

A s1 =

Mser z c .σ s1

⇒ σ s1 =

Mser A s1 .z c

[15.3]

[15.4]

Puis les déformations : εc =

σc E c, eff

εs1 =

avec : E c , eff =

Ec ( t0 ) 1 + ϕ ( t, t 0 )

σ s1 Es

[15.5]

[15.6]

Et enfin la courbure : y" =

1 ε c + εs1 = r d

Remarque Que la section droite comporte ou non des aciers comprimés, la courbure peut également être obtenue par la formule : M ser 1 y” = --- = -------------------r E c, eff . cf

[15.7]

avec : Icf =

bw .x13 2 2 + α e .A s2 ( x1 − d ') + α e .A s1 (d − x1 ) 3

2.2.1.3 Cas des sections en T

La position de l’axe neutre est fournie par l’équation des moments statiques (voir § 8.3.2.1, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) :

État limite de service de déformation

beff d' hf

As2 h

d

AN

x1

AN

αe =

Es Ec, eff

As1 bw ⎡ ⎤ bw .x12 h2 + ⎡⎣( beff − bw ) h f + α e ( A s1 + A s 2 )⎤⎦ x1 − ⎢( beff − bw ) f + α e ( A s1 .d + A s 2 .d ')⎥ = 0 2 2 ⎣ ⎦

⇒ x1 Si x1 ≤ h f on se ramène à une section rectangulaire de largeur beff et il suffit d’appliquer la méthode du § 2.2.1.2 avec : bw = beff. Si x1 > h f, on a une section en T : • le moment d’inertie est obtenu par la formule :

( x − h f ) + α .A x − d ' 2 + α .A d − x 2 beff .x13 − ( beff − bw ) 1 ) e s2 ( 1 e s1 ( 1) 3 3 3

I cf =

• la courbure est donnée par : y" =

2.2.2

Mser 1 = r E c, eff .I cf

[15.8]

Courbure dans l’état non fissuré 2.2.2.1 Équation de la courbure

y" =

Mser 1 = r E c, eff .I ch

[15.9]

I ch = moment d’inertie de la section homogène non fissurée. 2.2.2.2 Cas des sections rectangulaires

Caractéristiques géométriques (voir § 8.2.2, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) :

203

204

d' As 2 AN

ν'

d

AN

αe =

h

Es Ec, eff

ν

As1 bw

A ch = bw .h + α e ( A s1 + A s 2 ) bw .h 2 + α e ( A s1 .d + A s 2 .d ') v' = 2 A ch I ch =

bw .h3 + α e A s1 .d 2 + A s 2 .d '2 − A ch .v '2 3

)

(

Courbure : y" =

Mser 1 = r E c, eff .I ch

[15.10]

2.2.2.3 Cas des sections en T

Caractéristiques géométriques (voir § 8.2.1 chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) : beff d' As2 h

d

hf

ν'

AN

AN As1

ν

bw

A ch = bw .h + ( beff − bw ) h f + α e ( A s1 + A s 2 ) 2 bw .h 2 ( beff − bw ) h f + + α e ( A s1 .d + A s 2 .d ') 2 v' = 2 A ch

αe =

Es Ec, eff

État limite de service de déformation

I ch =

3 bw .h3 ( beff − bw ) h f + + α e A s1 .d 2 + A s 2 .d '2 − A ch .v '2 3 3

)

(

Courbure : y" =

2.2.3

Mser 1 = r E c, eff .I ch

[15.11]

Déformations

Pour chaque condition (non fissurée ou entièrement fissurée), on obtient la flèche par double intégration de la courbure puisque : d 2 y Mser 1 = = E.I r dx 2 avec I = I ch ou I cf selon le cas. 2.2.4

Méthode de la double intégration de la courbure

On obtient successivement par double intégration sur la portée  de la poutre : 1/ à partir de la courbure : y" =

1 r

1 r x

l

x

0

2/ par intégration de la courbure 1/r (1re intégration) : y ' =θ = ∫

dξ r

x

0

0

x

dξ r l

x

205

206

3/ par intégration de la dérivée de la flèche y’ (2e intégration) : y = ∫ y '.dξ = ∫ θ.dξ A f x

y (l)

y’.dξ

0

l

y (l)

x

l

x

0

x

La droite OA d’équation y = ω 0 .x + y 0 permet de déterminer les constantes d’intégration résultant des calculs précédents : I

I +1 0

l • sur l’appui origine I (x = 0) : y=0 ⎫ ⎬ ⇒ y 0 = 0 ⇒ y = ω 0 .x ω 0 ≠ 0⎭ • sur l’appui extrémité I + 1 (x = ) : y (  ) = ω 0 .

⇒

y() ω 0 = ---------

• d’où la valeur de la flèche : y() f = y ( x ) – ----------- x  La première intégration numérique donnant les rotations peut être conduite par la méthode consistant à assimiler sur deux intervalles successifs de longueur a 1 la courbe y " = à des arcs de parabole : r

État limite de service de déformation

a

∫ i −1 y ".dx = 3 [1, 25.y "i −1 + 2.y "i − 0, 25.y "i +1 ]

y''

i

i +1

∫i y''i

1

y''i

y ".dx =

[α]

a [ −0, 25.y "i −1 + 2.y "i + 1, 25.y "i +1 ] [β] 3

y''i +1 x

a

a

On remarquera que : i +1

i +1

i

∫ i −1 y ".dx = ∫ i −1 y ".dx + ∫ i

y ".dx =

a [ y "i −1 + 4.y "i + y "i +1 ] 3

[γ]

C’est la formule dite des « trois niveaux ». La seconde intégration numérique donnant les flèches peut être menée en utilisant la formule des trapèzes complétée par le premier terme du développement d’Euler-Maclaurin :

y' = f (x)

i

∫ i −1

f ( x ) .dx =

a a2 fi −1 + fi ] + ⎡⎣ f ' ( x i −1 ) − f '( x i ) ⎤⎦ [ 2 12

soit : i

∫ i −1 y'i

y'

y'i + 1

y '.dx =

a a2 y 'i −1 + y 'i ] + [ y "i −1 − y "i ] [δ] [ 2 12

x a

a

La flèche devant être nulle sur les appuis, il convient de corriger les valeurs x trouvées à la fin de la seconde intégration en retranchant y (  ) --- pour trouver la  valeur de la flèche f dans chaque section de calcul : y() f = y ( x ) – ----------- x 

207

208

2.2.5

Paramètres de déformation

On désigne par paramètre de déformation2 : • la déformation ; • ou la courbure ; • ou la rotation ; • ou, dans le cas général, la flèche. Le paramètre de déformation correspondant à une condition intermédiaire entre les conditions entièrement fissurée et non fissurée est obtenu par la relation : α = ζ.α II + (1 − ζ ) .α I

[15.12] (7.18)

avec : α = paramètre de déformation, α I = paramètre dans la condition non fissurée, α II = paramètre dans la condition entièrement fissurée, 2 ⎧ ⎛σ ⎞ ⎪1 − β ⎜ sr ⎟ : section fissurée, ζ=⎨ = coefficient de distribution, ⎝ σs ⎠ ⎪ ⎩ 0 : section non fissurée,

(7.19)

où : ⎧1 : charge unique de courte durée, = β=⎨ ⎩ 0,5 : chargementt à long terme ou fréquemment répété, prenant en compte la durée de chargement,

paramètre

σ s = contrainte de l’acier tendu calculée en supposant la section fissurée sous l’effet du chargement appliqué, σ sr = contrainte de l’acier tendu calculée pour la section fissurée sous l’effet du chargement provoquant la première fissure dans la section. Remarque 1 σ sr Mcr en flexion simple, = σs M σ sr Ncr en traction simple, = σs N avec : M et N = sollicitations agissantes,

2.

EC 2 – 7.4.3 (3)

État limite de service de déformation

Mcr et Ncr = sollicitations provoquant la fissuration. Remarque 2 La formule donnant le paramètre de déformation correspondant à une condition intermédiaire est à rapprocher de la formule [14.12], chapitre 3 : « État limite de service de maîtrise de la fissuration ».

2.2.6

Calcul des flèches

Pour le calcul des flèches, la méthode de calcul rigoureuse par intégration de la courbure le long de l’élément compte tenu de l’équation : 1 ε c + εs1 = r d

1 ⇒ y = ∫ ⎡⎢ ∫ dx ⎤⎥ ⎣ r ⎦

est laborieuse. Il est admis d’opérer comme suit3 : • calculer la courbure totale sous chargement et retrait (voir § 4) en supposant la poutre non fissurée ; • calculer la courbure totale sous chargement et retrait (voir § 4) en supposant la poutre fissurée ; • en déduire la flèche y I par double intégration en supposant la poutre non fissurée ; • en déduire la flèche y II par double intégration en supposant la poutre fissurée ; • déterminer la flèche pour la condition intermédiaire : y = ζ.y II + (1 − ζ ) y I Remarque Il revient au même et il est plus simple d’opérer comme suit (on n’effectue qu’une seule double intégration) : 1) calculer la courbure totale sous chargement et retrait (voir § 4) en supposant la poutre non fissurée ; 2) calculer la courbure totale sous chargement et retrait (voir § 4) en supposant la poutre fissurée ; 3) déterminer la courbure totale par la condition intermédiaire : 1 1 1 = ζ + (1 − ζ ) r rII rI 4) en déduire la flèche y par double intégration.

Cette méthode n’est pas directement applicable aux sections fissurées soumises à un effort normal significatif.

3.

EC 2 – 7.4.3 (7)

209

210

2.3

Méthodes simplifiées

2.3.1

Méthode basée sur une variation linéaire de la courbure

Cette méthode permet de s’affranchir de la double intégration de la courbure 1/r. Elle suppose que, sur la base d’un découpage de la poutre en un nombre pair de tronçons, la variation de la courbure est linéaire sur chaque tronçon et, par suite, que l’équation correspondante de la flèche sur chacun des tronçons est un polynôme du troisième degré4. La flèche est obtenue par la formule : 2 n

 y i = – ----N

1

∑ k i, j --r-j

j=1

⎧ i = indice de la section où l'on calcule la flèche, ⎪ où ⎨ j = indice de la section dont on connaît la courbure, ⎪ n = nombre (impair) de sections du découpage. ⎩

[15.13]

avec :

( )

1 Mser x j et I = I ch ou I cf selon le cas. = rj E c , eff I Les valeurs de N et k i , j étant données ci-après. Le signe négatif provient du fait que la flèche est considérée comme positive dans le sens ascendant. Les coefficients donnés ci-après ont été déterminés à partir des conditions aux limites (continuité de la courbure, des rotations et des flèches) aux extrémités des tronçons successifs de poutre. 2.3.1.1 Découpage en 2 tronçons

l /2 1

N = 48 ; y1 = 0 , y3 = 0 ⎡1 r1 ⎤ y 2 = ⎡⎣1 4 1 ⎤⎦ . ⎢⎢1 r2 ⎥⎥ ⎢⎣1 r3 ⎥⎦

4.

Voir l’annexe 1 en fin d’ouvrage.

l /2 2

3

État limite de service de déformation

2.3.1.2 Découpage en 4 tronçons

l /4 1

l /4

l /4

2

l /4

3

4

5

N = 384 ; y1 = 0, y5 = 0 ⎡1 r1 ⎤ ⎡ y 2 ⎤ ⎡ 3 14 12 6 1 ⎤ ⎢⎢1 r2 ⎥⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ 2 12 20 12 2 ⎥ . ⎢1 r ⎥ ⎢ 3⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3⎥ ⎢⎣ y 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 6 12 14 3 ⎥⎦ ⎢1 r4 ⎥ ⎢⎣1 r5 ⎥⎦ 2.3.1.3 Découpage en 6 tronçons

l /6

l /6

1

l /6

2

3

l /6 4

l /6 5

l /6 6

7

N = 1 296 ; y1 = 0, y 7 = 0 ⎡ y2 ⎤ ⎡ 5 ⎢ y ⎥ ⎢4 ⎢ 3⎥ ⎢ ⎢ y4 ⎥ = ⎢ 3 ⎢ y ⎥ ⎢2 ⎢ 5⎥ ⎢ ⎢⎣ y6 ⎥⎦ ⎢⎣ 1

24 24 18 24 42 36 18 36 48 12 24 36 6 12 18

12

6

24 36 42 24

12 18 24 24

⎡1 r1 ⎤ 1 ⎤ ⎢1 r2 ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢1 r3 ⎥ ⎥ 3 ⎥ ⎢⎢1 r4 ⎥⎥ 4 ⎥⎥ ⎢1 r5 ⎥ ⎢ ⎥ 5 ⎥⎦ ⎢1 r6 ⎥ ⎣⎢1 r7 ⎥⎦

2.3.1.4 Découpage en 8 tronçons

l /8 1

l /8 2

l /8

l /8 3

4

N = 3 072 ; y1 = 0 , y9 = 0

l /8 5

l /8 6

l /8 7

l /8 8

9

211

212

⎡ y2 ⎤ ⎡ 7 ⎢ y ⎥ ⎢6 ⎢ 3⎥ ⎢ ⎢ y4 ⎥ ⎢ 5 ⎢ y ⎥ ⎢4 ⎢ 5⎥ = ⎢ ⎢ y6 ⎥ ⎢ 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ y7 ⎥ ⎢ 2 ⎢⎣ y8 ⎥⎦ ⎢⎣ 1

34 36 30 24 36 64 60 48 30 60 82 72 24 48 72 88 18 36 54 72 12 24 36 48 6 12 18 24

18 36 54 72 82 60 30

12 24 36 48 60 64 36

6 12 18 24 30 36 34

1 2 3 4 5 6 7

⎡1 r1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎤ ⎢1 r2 ⎥ ⎥ ⎢1 r ⎥ ⎥⎢ 3⎥ ⎥ ⎢1 r4 ⎥ ⎥ ⎢1 r ⎥ ⎥⎢ 5⎥ ⎥ ⎢1 r6 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢1 r7 ⎥ ⎥⎦ ⎢1 r8 ⎥ ⎢⎣1 r9 ⎥⎦

2.3.1.5 Découpage en 10 tronçons

l /10 1

l /10 2

l /10 3

l /10 4

l /10 5

l /10 6

l /10 7

l /10 8

l /10 9

l /10 10

N = 6 000 ; y1 = 0, y11 = 0 ⎡ y2 ⎤ ⎡9 ⎢ y ⎥ ⎢8 ⎢ 3⎥ ⎢ ⎢ y4 ⎥ ⎢ 7 ⎢ y ⎥ ⎢6 ⎢ 5⎥ ⎢ ⎢ y6 ⎥ = ⎢ 5 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ y7 ⎥ ⎢4 ⎢ y8 ⎥ ⎢ 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ y9 ⎥ ⎢ 2 ⎢⎣ y10 ⎥⎦ ⎢⎣ 1

44 48 42 36 30 24 18 12 6

48 42 36 30 24 18 12 6 86 84 72 60 48 36 24 122 84 116 108 90 72 54 36 18 72 108 134 120 96 72 48 24 60 90 120 140 120 90 60 30 48 72 96 120 1344 108 72 36 36 54 72 90 108 116 84 42 24 36 48 60 72 84 86 48 12 18 24 30 36 42 48 44

1 2 3 4 5 6 7 8 9

⎡ 1 r1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎤ ⎢ 1 r2 ⎥ ⎥ ⎢1 r ⎥ ⎥⎢ 3 ⎥ ⎥ ⎢ 1 r4 ⎥ ⎥ ⎢1 r ⎥ ⎥⎢ 5 ⎥ ⎥ ⎢ 1 r6 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 1 r7 ⎥ ⎥ ⎢ 1 r8 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 1 r9 ⎥ ⎥⎦ ⎢1 r10 ⎥ ⎢1 r ⎥ ⎣ 11 ⎦

Remarque Cette méthode s’applique aussi aux poutres continues, à condition de considérer que les courbures des sections soumises à des moments fléchissants négatifs sont elles aussi négatives.

2.3.2

Méthode basée sur une variation de la courbure identique à celle du moment fléchissant

Cette méthode permet de s’affranchir : • de la double intégration de la courbure 1/r ;

11

État limite de service de déformation

• du calcul de la courbure 1/r dans plusieurs sections le long de la travée considérée. Elle suppose que la forme du diagramme des courbures et celle du moment 1 M ( x) fléchissant sont les mêmes ( = ). r EI La flèche maximale est obtenue, à partir de la courbure dans la section soumise au moment maximal, par la formule : 21 f = – k. ---[15.14] r0 avec : k = coefficient fonction du diagramme des moments, 1 = courbure dans la section la plus sollicitée, r0  = portée de la poutre. Le signe négatif provient du fait que la flèche est considérée comme positive dans le sens ascendant. Le coefficient k dépend de la forme du diagramme des moments fléchissants. Il est donné par le tableau ci-après :

213

M0

M0

.l

l

l

l

Chargement

P

M0

M0

l

l

Mmax = P (1– )l

l

M0

P

Diagramme du moment fléchissant

2

0,0625

1 1 si α = --- : -----2 12

3 – 4.α -----------------------48 ( 1 – α )

0,125

k

214

MA

0

.l

P/2

p

p

l

l MB

MA

l

Mt

l

l

p

l

P.l 2 8

P. α . l 2

l

.l

l

P/2

p.l 2 15,6

MB

MA + MB avec : β = ---------------------Mt

β 0,104 ⎛ 1 – ------⎞ ⎝ 10⎠

0,102

0,104

2

α 0,125 – -----6

État limite de service de déformation

215

α.l

MA

p

l/2

α.l

α.l

P

l

p

l

P

l

l

α.l

MB

MA

p.α 2.l2 2

P. α.l

Mt

l

2 p.l (3 − 4.α ) 24

2

l

l

l

MB

2 2

1 ( 5 – 4.α ) ------ . -------------------------80 3 – 4.α 2

MA + MB avec : β = ---------------------Mt

β 0,083 ⎛ 1 – ---⎞ ⎝ 4⎠

1 si α = 1 : --4

α(4 – α) --------------------12

1 si α = 1 : --3

α(3 – α) --------------------6

216

État limite de service de déformation

3.

Bâtiments courants Les dispositions décrites dans ce paragraphe ne s’appliquent pas aux ponts5 :

3.1

Vérification de la flèche Les déformations ne doivent pas excéder les valeurs que peuvent supporter les éléments liés à la structure6 : • cloisons ; • vitrages ; • bardages ; • appareillages ; • finitions. Pour l’aspect et les conditions d’utilisation, il faut vérifier7 :  f ≤ --------250

[15.15]

f = flèche calculée sous charges quasi permanentes,  = portée de l’élément (poutre, dalle ou console). Une contreflèche peut être prévue pour compenser en totalité ou en partie les  déformations. Sa valeur ne doit pas excéder8 : --------- . 250 Pour les cloisonnements et autres éléments en contact avec l’élément fléchi, il faut vérifier9 :  f ≤ --------500

[15.16]

f = flèche calculée après construction. L’ELS de déformation peut être vérifié : • en comparant une déformation calculée à une valeur limite (voir § 3.2) ; • en limitant le rapport portée/hauteur (voir § 3.3).

5. 6. 7. 8. 9.

EC 2 partie 2 (ponts) – 7.4.1 et 7.4.2 EC 2 – 7.4.1.(2) & (3) EC 2 – 7.4.1.(4) EC 2 – 7.4.1.(4) EC 2 – 7.4.1.(5)

217

218

3.2

Vérification des flèches par le calcul Le calcul est alors conduit suivant les indications10 du § 2.

3.3

Dispense de la vérification

3.3.1

Rapports de base portée sur hauteur utile

Un élément dont le béton est faiblement sollicité est tel que11 : ρ=

As < 0, 5 % bw .d

Un élément dont le béton est fortement sollicité est tel que : ρ=

As > 1, 5 % bw .d

On peut admettre que les flèches des poutres et dalles ne dépassent pas les limites figurant au § 3.1 lorsque leur rapport portée/hauteur vérifie les conditions ci-dessous, corrigées suivant les indications du § 3.3.2 : 3⁄2 ρ f ck ⎛ ----0- – 1⎞ si ρ ≤ ρ0 ⎝ρ ⎠

 --- ≤ K 11 + 1,5 d

ρ f ck ----0- + 3,2 ρ

 --- ≤ K 11 + 1,5 d

ρ0 1 ρ’ f ck -------------+ ------ f . ----- si ρ > ρ0 ρ – ρ’ 12 ck ρ 0

[15.17a] (7.16a) [15.17b] (7.16b)

avec : fck en MPa,  = portée de l’élément, d = hauteur utile de l’élément, K = coefficient tenant compte des différents systèmes structuraux, fixé par l’Annexe nationale12 (voir tableaux ci-après), ρ0 = fck .10 −3 = pourcentage d’armatures de référence, ρ = pourcentage d’armatures de traction nécessaires : • à mi-portée (travées) ; • ou sur appuis (consoles) ;

10. EC 2 – 7.4.3 11. EC 2 – 7.4.2.(2) 12. EC 2 – voir AN

État limite de service de déformation

ρ’ = pourcentage d’armatures de compression nécessaires : • à mi-portée (travées) ; • ou sur appuis (consoles). Ces formules ont été établies en admettant que dans la section fissurée à miportée (dalles ou poutres) ou sur appuis (consoles), sous charges de calcul à l’ELS : • la contrainte de l’acier à l’ELS est égale à 310 MPa (ce qui correspond sensiblement à fyk = 500 MPa) ; • le béton est de la classe C30/35. Les correctifs à appliquer aux valeurs de /d trouvées ci-dessus, compte tenu : • du niveau de contrainte ; • de la forme de la section droite ; • etc. figurent au paragraphe 3.3.2. Les formules [15.17a] et [15.17b] conduisent aux valeurs recommandées du tableau ci-dessous13 :

13. EC 2 – tableau 7.4 N

219

Dalle sans nervures sur poteaux (planchers-dalles).

Travée intermédiaire : – d’une poutre ; – d’une dalle portant dans une ou deux directions.

Travée de rive : – d’une poutre continue ; – d’une dalle continue portant dans une direction ; – d’une dalle continue le long d’un grand côté portant dans deux directions.

Poutre sur deux appuis simples. Dalles sur appuis simples portant dans une ou deux directions.

Système structural

 = portée la plus longue

 = petite portée pour les dalles 1,2

l

 = petite portée pour les dalles 1,5

l

 = petite portée pour les dalles 1,3

l

1,0

K

1 Rapport portée sur hauteur : --d

17

20

18

24

30

26

20

As ⎛ ρ = ---------- = 0,5 %⎞ ⎝ ⎠ b w .d

As ⎛ ρ = ---------- = 1,5 %⎞ ⎝ ⎠ b w .d

14

Béton faiblement sollicité

Béton fortement sollicité

220

l

Système structural

14. Voir AN

Travée de rive d’une poutre continue.

Dalle sur appuis simples portant dans une direction.

l

 = petite portée pour les dalles 1,3

l

1,0

l

1,0

K

1 Rapport portée sur hauteur : --d

L’Annexe nationale française préconise les valeurs du tableau ci-dessous14 :

Poutre sur deux appuis simples.

Console.

0,4

18

25

26

30

20

As ⎛ ρ = ---------- ≤ 0,5 %⎞ ⎝ ⎠ b w .d

14

Béton faiblement sollicité

As ρ = ⎛ ---------≥ 1,5 %⎞ ⎝ b w .d⎠

8

Béton fortement sollicité

6

État limite de service de déformation

221

Dalle sans nervures sur poteaux (planchers−dalles).

Travée intermédiaire d’une dalle portant dans une ou deux directions.

Travée intermédiaire d’une poutre

Travée de rive – d’une dalle continue portant dans une direction ; – d’une dalle continue le long d’un grand côté portant dans deux directions.

 = portée la plus longue

 = petite portée pour les dalles 1,2

l

1,5

l

 = petite portée pour les dalles 1,5

l

1,3

17

35

20

30

24

40

30

35

222

Dalle en console.

Poutre en console.

l

0,4

l

0,4

10

6

12

8

État limite de service de déformation

223

224

Si le pourcentage d’armatures est connu, on peut interpoler entre les deux limites du tableau. Les valeurs de /d ainsi obtenues, même corrigées (voir § 3.2.2) sont souvent « conservatives », c’est-à-dire qu’un calcul précis montrerait que des éléments plus élancés donnent encore des flèches acceptables. 3.3.2

Corrections des valeurs /d

Le rapport portée sur hauteur utile à retenir est obtenu par correction de celui extrait des tableaux précédents ou des formules [15.17a] et [15.17b] de la façon suivante15 :   --- = β. --d d

[15.18] tableau

le coefficient β est donné ci-dessous. Dans le cas de plusieurs corrections, le coefficient résultant β est obtenu par multiplication des différents coefficients partiels β donnés ci-après. Cas des sections en T :

beff

beff >3 ⇒ bw

β = 0, 8

[15.19]

bw

Cas des poutres et des dalles supportant des cloisons susceptibles d’être endommagées : 7,00 m eff > 7,00 m ⇒ β = ---------------[15.20]  eff eff = plus petite portée pour une dalle. Cas des planchers-dalles supportant des cloisons susceptibles d’être endommagées : 8,50 m eff > 8,50 m ⇒ β = ----------------[15.21]  eff eff = plus grande portée de la dalle.

15. EC 2 – 7.4.2.(2)

État limite de service de déformation

Cas où la contrainte des aciers tendus dans la section de moment maximal (à mi-portée d’une poutre ou d’une dalle ou à l’encastrement d’une console), à l’ELS, est différente de 310 MPa (valeur de base pour l’établissement des tableaux du § 3.3.1) : β=

310 MPa σs

[15.22]

ou en prenant la valeur plus restrictive donnée par : 310 MPa 500 MPa A s, prov = . σs fyk A s, req

[15.23] (7.17)

avec, dans la section considérée : σ s = contrainte de traction de l’acier à mi-portée (ou sur appui pour les consoles) sous les charges de calcul à l’ELS, A s, prov = section d’acier prévue, A s, req = section d’aciers nécessaire à l’ELU.

4.

Prise en compte du retrait et du fluage Il y a lieu de prendre en compte, en plus des déformations produites par le chargement appliqué, les déformations résultant des effets du retrait et du fluage.

4.1

Module d’élasticité du béton Pour tenir compte du fluage, la déformation totale, fluage inclus, peut être calculée en utilisant le module d’élasticité effectif du béton16 : E c, eff =

E cm 1 + ϕ ( , t 0 )

[15.24] (7.20)

avec : 0,3

⎡f ⎤ E cm = 22 000 ⎢ cm ⎥ ( MPa ) (voir § 2.3.2.2, chapitre 2 : « Matériaux », ⎣ 10 ⎦ Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles), ϕ ( , t 0 ) = coefficient de fluage (voir § 2.3.3.4, chapitre 2 : « Matériaux », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles).

16. EC 2 – 7.4.3.(5)

225

226

4.2

Effets du retrait Le raccourcissement du béton est gêné par la présence des armatures. L’effet du retrait agissant seul peut être assimilé à un effort normal de traction (fictif) appliqué au centre de gravité de la section de béton seul et de valeur : N c = ε cs .E c .A c

[15.25]

avec : ε cs = déformation de retrait considérée, E c = module d’élasticité du béton, A c = aire de la section droite de béton seul. Les armatures, en s’opposant au retrait, exercent un effort égal et directement opposé à Nc dans la section homogène. D’où les éléments de réduction au centre de gravité de la section homogène :

h

Nc

h/ 2 h/ 2

Ncs Nc

dc AN

As

Ncs ds

bw

bw Section de béton seul

Section homogène

N cs = − N c : effort normal de compression, Mcs = N cs .d c : moment fléchissant positif, en désignant par d c la distance du centre de gravité du béton seul au centre de gravité de la section homogène. Par définition du centre de gravité de la section homogène, on a : A c .d c = α e .A s .ds

[15.26]

en désignant par ds la distance du centre de gravité des aciers tendus au centre de gravité de la section homogène. On en déduit : Mcs = ( ε cs .E c .A c ) .d c = ε cs .E c .α e .A s .ds = ε cs .E c .α e .S en posant S = A s .ds = moment statique des armatures tendues par rapport au centre de gravité de la section homogène.

État limite de service de déformation

D’où, la courbure due au retrait s’écrit17 : M 1 S = cs = ε cs .α e rcs E c .I I

[15.27] (7.21)

avec : ε cs = déformation de retrait considérée, I = moment d’inertie de la section droite homogène par rapport au centre de gravité de cette section, αe =

Es = coefficient d’équivalence, E c, eff

S = moment statique de la section d’armatures par rapport à l’axe passant par le centre de gravité de la section homogène. La courbure étant un paramètre de la déformation (voir § 2.2.5), le calcul de S et de I sont à faire deux fois18 : • pour la section homogène non fissurée ; • pour la section homogène totalement fissurée ; la courbure finale étant obtenue en appliquant la formule [15.12] : 1 1 1 =ζ + (1 − ζ ) . rcs rcsII rcsI

II.

(7.18)

APPLICATIONS Application n˚ 1 : poutre sur deux appuis simples – Flèche –Énoncé– COUPE AA

A

leff = 5,10 m

45 cm

A As = 4 ∅ 16 HA

50 cm As 30 cm

17. EC 2 – 7.4.3 (6) 18. EC 2 – 7.4.3 (7)

227

228

Actions uniformément réparties : • permanentes : g1 = 6,25 kN/m (hors poids propre) ; • variables : q = 10 kN/m ; • ϕ ( , t 0 ) = 2 ; • retrait : ε cs = 3 / 10 000 . Matériaux : • béton : fck = 20 MPa, ε cu 2 = ε cu 3 = 3, 5 ‰ ; • aciers : S 500 A. On se propose : 1/ dans la section à mi-travée : – de déterminer la courbure sous chargement appliqué ; – de calculer la courbure due au retrait ; 2/ de déterminer la courbure dans chacune des sections de la poutre (découpage en dix tronçons d’égale longueur) ; 3/ de calculer la flèche le long de la poutre en supposant que les 4 φ 16 HA sont conduits sur appuis ; 4/ de vérifier l’ELS de déformation vis-à-vis des conditions d’utilisation.

–Corrigé– 1. Caractéristiques des matériaux 1.1 Béton

fcm = 20 + 8 = 28 MPa

fcm = fck + 8 fck ≤ 50 MPa ⇒ fctm = 0, 3 [ fck ]

2

⎡f ⎤ E cm = 22 000 ⎢ cm ⎥ ⎣ 10 ⎦ E c, eff = αe =

0,3

E cm 1 + ϕ ( , t 0 )

Es E c, eff

3

2

fctm = 0, 3 [ 20 ]

= 2, 2 MPa

28 E cm = 22 000 ⎡⎢ ⎤⎥ ⎣ 10 ⎦ E c , eff = αe =

0,3

= 29 962 MPa

29 962 = 9 987 MPa 1+ 2

200 000 = 20, 07 ≈ 20 9 987

1.2 Aciers

fyk

3

fyk = 500 MPa

État limite de service de déformation

2. Sollicitations de flexion

Les calculs sont conduits à l’état limite de service. Actions au ml : 3

ϖ = poids volumique du béton armé

ϖ = 25 kN/m

g = g1 + ϖ.bw .h

g = 6,25 + 25.0,30.0,50 = 10,00 kN/m

pser = g + q

pser = 10 + 10 pser = 20 kN/m

Moment fléchissant maximal : Mser = pser

l 2eff 8

Mser = 20

5, 10 2 8

Mser = 65 mkN 3. Courbures dues au chargement 3.1 Section non fissurée

3.1.1 Caractéristiques géométriques de la section non fissurée 4 φ 16 HA A ch = bw .h + α e ( A s1 + A s 2 )

⇒ A s = 4.2,01= 8,04 cm2

A ch = 0, 30.0, 50 + 20.8, 04.10 −4 = 0,16608 m2

bw .h 2 + α e ( A s1 .d + A s 2 .d ') v' = 2 A ch 0, 30.0, 50 2 + 20.8, 04.10 −4.0, 45 2 v' = = 0,26936 m 0, 16608 v = h − v' I ch =

v = 0, 50 − 0, 269 = 0,231 m

bw .h3 + α e A s1 .d 2 + A s 2 .d '2 − A ch .v '2 3

)

(

I ch =

0, 30.0, 503 + 20.8, 04.10 −4.0, 452 − 0, 16608.00, 269362 3

I ch = 3, 70629.10 −3 m 4

229

230

3.1.2 Courbure y" =

Mser 1 = r E c, eff .I ch

y "I =

1 65.10 −3 = = 1, 756.10 −3 rI 9 987.3, 70629.10 −3

3.1.3 Sollicitation provoquant la fissuration σt =

Mcr .v = fctm I ch

⇒ Mcr = fctm

I ch v Mcr = 2, 2

3, 70629.10 −3 = 0,035 mMN 0, 231

Remarque Comme Mcr < Mser, nous sommes certains que la section médiane sera fissurée.

3.2 Section fissurée

3.2.1 Caractéristiques géométriques de la section fissurée bw .x 21 2

+ α e .A s 2 ( x1 − d ') − α e .A s1 ( d − x1 ) = 0 0, 30.x12 − 20.8, 04.10 −4 ( 0, 45 − x1 ) = 0 2 0, 15.x12 + 0, 01608.x1 − 0, 007236 = 0 Δ = 0, 016082 + 4.0, 15.0, 007236 = 0, 06782 x1 =

zc = d −

x1 3

− 0, 01608 + 0, 0678 = 0,172 m 2.0, 15

z c = 0, 45 −

0, 172 = 0,393 m 3

3.2.2 Courbure σc =

2.Mser bw .x1 .z c

εc =

σc E c, eff

σc =

2.65.10 −3 = 6,41 MPa 0, 30.0, 172.0, 393

εc =

6, 41 = 6, 42.10 −4 9 987

État limite de service de déformation

σ s1 =

Mser A s1 .z c

σ s1 =

65.10 −3 = 206 MPa 8, 04.10 −4.0, 393

εs1 =

σ s1 Es

εs1 =

206 = 1, 03.10 −3 200 000

1 6, 42.10 −4 + 1, 03.10 −3 = = 3, 71.10 −3 m −1 rII 0, 45

1 ε c + εs1 = r d 3.2.3 Remarque I cf =

bw .x13 2 2 + α e .A s 2 ( x1 − d ') + α e .A s1 ( d − x1 ) 3 I cf =

0, 30.0, 1723 + 20.8, 04.10 −4 ( 0, 45 − 0, 172 )2 3

I cf = 1, 752.10 −3 m 4 y" =

Mser 1 = r E c, eff .I cf y "II =

1 65.10 −3 = = 3, 71.10 −3 m −1 rII 9 987.1, 752.10 −3

valeur établie au § 3.2.2. 3.3 Courbure due aux charges

α = ζ.α II + (1 − ζ ) .α I α I = paramètre dans la condition non fissurée :

αI =

α II = paramètre dans la condition entièrement fissurée :

1 = 1, 756.10 −3 m −1 rI

α II =

1 = 3, 71.10 −3 m −1 rII

2

⎛σ ⎞ ζ = 1 − β ⎜ sr ⎟ = coefficient de distribution : ⎝ σs ⎠ ⎧1 : charge unique de courte durée, ⎪ β = ⎨ 0,5 : chargementt à long terme ou ⎪ fréquemment répété, ⎩

β = 0, 5

231

232

σ s = contrainte de l’acier tendu calculée en supposant la section fissurée :

σ s = σ s1 = 206 MPa (voir § 3.2.2)

σ sr = contrainte de l’acier tendu calculée pour la section fissurée sous l’effet du chargement provoquant la première fissure dans la section :

σ sr =

Mcr 0, 035 = 111 MPa = A s .z c 8, 04.10 −4.0, 393

111 ⎞ 2 ζ = 1 − 0, 5 ⎛ = 0, 85 ⎝ 206 ⎠ ⇒

1 = 0, 85.3, 71.10 −3 + (1 − 0, 85) .1, 756.10 −3 = 3, 42.10 −3 m −1 r

4. Courbure due au retrait 4.1 Section non fissurée

Distance du centre de gravité des armatures tendues au centre de gravité de la section homogène non fissurée : ds = d − v '

ds = 0, 45 − 0, 269 = 0,181 m

Moment statique des armatures tendues par rapport au centre de gravité de la section homogène : S = 8, 04.10 −4.0, 181 = 1, 46.10 −4 m 4

S = A s .ds Courbure due au retrait : 1 rcsI

=

M cs S = ε cs .α e E c .I I ch

1 rcsI

= 3.10 −4.20

1, 46.10 −4 = 0, 236.110 −3 m −1 3, 70629.10 −3

4.2 Section fissurée

Distance du centre de gravité des armatures tendues au centre de gravité de la section homogène réduite : ds = d − x1

ds = 0, 45 − 0, 172 = 0,278 m

Moment statique des armatures tendues par rapport au centre de gravité de la section homogène réduite : S = A s .ds

S = 8, 04.10 −4.0, 278 = 2, 24.10 −4 m 4

État limite de service de déformation

Moment d’inertie de la section homogène : I cf =

bw .x13 2 2 + α e .A s 2 ( x1 − d ') + α e .A s1 ( d − x1 ) 3 I cf =

0, 30.0, 1723 + 20.8, 04.10 −4 ( 0, 45 − 0, 172 )2 3

I cf = 1, 752.10 −3 m 4 Courbure due au retrait : 1 rcsII

=

Mcs S = ε cs .α e E c .I I cf

1 rcsII

= 3.10 −4.20

2, 24.10 −4 = 0, 767.10 −3 m −1 1, 752.10 −3

4.3 Courbure totale due au retrait

α = ζ.α II + (1 − ζ ) .α I α I = paramètre dans la condition non fissurée : α II = paramètre dans la condition entièrement fissurée :

–3 –1 1 α I = ------- = 0,236.10 m r csI

–3 –1 1 α II = -------- = 0,767.10 m r csII

2

⎛σ ⎞ ζ = 1 − β ⎜ sr ⎟ = coefficient de distribution : ζ = 0, 85 (voir § 3.3) ⎝ σs ⎠ ⇒

1 = 0, 85.0, 767.10 −3 + (1 − 0, 85) .0, 236.10 −3 = 0, 687.10 −3 m −1 rcs

5. Calcul de la flèche par double intégration numérique

Pour chaque condition (non fissurée ou entièrement fissurée), on obtient la flèche par double intégration de la courbure puisque : d 2 y Mser 1 = = E.I r dx 2 La poutre est découpée en dix intervalles de longueur 0,1..

233

234

5.1 Courbures dues au chargement

5.1.1 État non fissuré Données : I ch = 3, 70629.10 −3 m 4 (voir § 3.1.1) E c , eff = 9 987 MPa (voir § 1.1) Équations utilisées : p.x. (  – x ) M ( x ) = -------------------------2 Mser 1 = rI E c, eff .I ch

y" =

5.1.2 État fissuré Données : bw = 0,30 m A s1 = 8, 04.10 −4 m 2 d = 0,45 m E s = 2.105 MPa x1 = 0,172 m (voir § 3.2.1) z c = 0,393 m (voir § 3.2.1) Équations utilisées : 2.Mser bw .x1 .z c

σc =

εc =

σc E c, eff

σ s1 =

Mser A s1 .z c

εs1 =

σ s1 Es

État limite de service de déformation

1 ε c + εs1 = rII d 5.1.3 Courbure due aux charges Donnée : σ sr = 111 MPa (voir § 3.3) Équations utilisées : ⎛σ ⎞ ζ = 1 − β ⎜ sr ⎟ ⎝ σ s1 ⎠

2

avec β = 0,5

1 1 1 = ζ + (1 − ζ ) r rII rI 5.2 Courbures dues au retrait

5.2.1 État non fissuré Équation utilisée : 1 rcsI

=

M cs S = ε cs .α e E c .I I ch

1 rcsI

= 0, 236.10 −3 m −1 (voir § 4.1)

5.2.2 État fissuré Équation utilisée : 1 rcsII

=

Mcs S = ε cs .α e E c .I I cf

5.2.3 Courbure due au retrait Équation utilisée : 1 1 1 =ζ + (1 − ζ ) rcs rcsII rcsI

–3 –1 1 -------- = 0,767.10 m (voir § 4.2) r csII

235

0,000 0,023 0,042 0,055 0,062 0,065 0,062 0,055 0,042 0,023 0,000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0 74 132 173 198 206 198 173 132 74 0

(10-3) 0,000 0,231 0,411 0,539 0,616 0,642 0,616 0,539 0,411 0,231 0,000

εc

État fissuré

(Mpa)

σs1 (10-3) 0,000 0,370 0,659 0,864 0,988 1,029 0,988 0,864 0,659 0,370 0,000

εs1 0,000 1,337 2,377 3,119 3,565 3,714 3,565 3,119 2,377 1,337 0,000

(10-3 m-1)

1/rII 0,000 0,000 0,640 0,791 0,840 0,853 0,840 0,791 0,640 0,000 0,000

ζ 0,000 0,632 1,926 2,776 3,265 3,425 3,265 2,776 1,926 0,632 0,000

(10-3 m-1)

1/r

Courbure sous charges

1/rcsII

0,236 0,236 0,236 0,236 0,236 0,236 0,236 0,236 0,236 0,236 0,236

0,767 0,767 0,767 0,767 0,767 0,767 0,767 0,767 0,767 0,767 0,767

1/rcs

1/rtot

Total

0,236 0,236 0,576 0,656 0,682 0,689 0,682 0,656 0,576 0,236 0,236

0,236 0,868 2,502 3,432 3,947 4,114 3,947 3,432 2,502 0,868 0,236

(10-3 m-1) (10-3 m-1)

Retrait & Fluage

(10-3 m-1) (10-3 m-1)

1/rcsI

On retrouve bien, pour la section médiane, les résultats établis : – au § 3 pour l’effet du chargement ; – au § 4 pour l’effet du retrait.

Remarque 3

Les courbures obtenues sont symétriques par rapport à la section médiane.

Remarque 2

Pour x = 0,1.l et x = 0,9.l (cases grisées), on a M(x) = 0,023 mMN < 0,035 mMN = Mcr et la section n’est pas fissurée. On prend alors ζ = 0.

Remarque 1

(10-3 m-1)

x/l 0,00 2,31 4,10 5,39 6,16 6,41 6,16 5,39 4,10 2,31 0,00

(Mpa)

1/rI

M(x) (mMN)

0,000 0,632 1,124 1,476 1,686 1,757 1,686 1,476 1,124 0,632 0,000

σc

État non fissuré

Moment

Abscisse

5.3 Tableau récapitulatif des courbures

236

3.9468

4.1140

3.9468

3.4323

2.5022

0.8684

0.2360

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

5

6

7

8

9

10

11

i +1

∫i

y ".dx =

]

0.8170

1.8993

2.0697

1.5310

0.2391

a − 0, 25 . y" i −1 + 2 . y" i + 1, 25 . y" i +1 3

] (β)

(α)

0.2391

1.5310

2.0697

1.8993

0.8170

(β) intervalles pairs (10-3)

8.6258

6.5561

4.4863

2.5870

1.0560

0.2391

0.0000

y' i Cumul (10-3)

13.1121

12.8730

12.0561

10.5251

Première intégration (α) intervalles impairs (10-3)

a 1 , 25 . y " i − 1 + 2 . y " i − 0 , 25 . y " i + 1 3

[

3.4323

0.3

4

[

2.5022

0.2

3

=

0.8684

0.1

0.2360

2

∫ i − 1 y ". dx

i

-1

(10 m )

-3

y" i =1/r tot

Courbure

0

x/l

Abscisse

1

Sections

5.4 Tableau de calcul des flèches

i

a

a

2

25.9851

24.9291

22.5812

19.1509

15.1818

11.0424

7.0733

3.6430

1.2951

0.2391

(10 )

-3

y' i -1+y' i

6.6399

6.3923

5.7784

4.8946

3.8750

2.8122

1.7925

0.9088

0.2948

0.0473

(δ)

(δ) (10-3 m)

∫i −1 y.dx = 2 [y ' i −1 + y ' i ] + 12 [y " i −1 − y" i ]

0.6324

1.6338

0.9301

0.5145

0.1672

-0.1672

-0.5145

-0.9301

-1.6338

-0.6324

-1

(10 m )

-3

y" i-1 -y" i

Seconde intégration

33.4359

26.7959

20.4036

14.6252

9.7306

5.8556

3.0434

1.2509

0.3421

0.0473

0.0000

yi Cumul (10-3 m)

33.4359

30.0923

26.7487

23.4051

20.0615

16.7179

13.3743

10.0308

6.6872

3.3436

0.0000

y(l)/l*x (10-3 m)

0.0000

-3.2963

-6.3451

-8.7799

-10.3309

-10.8623

-10.3309

-8.7799

-6.3451

-3.2963

0.0000

y =f (10-3 m = mm)

Correction

État limite de service de déformation

237

238

Remarque 1 Les calculs conduisent bien à une déformée symétrique par rapport à la section médiane. Remarque 2 Pour la première intégration, la formule des trois niveaux donne dans la section d’extrémité (compte tenu de la symétrie) : y’i =

5,10 1 . {2 [1.0, 2360 + 4.0, 8684 + 2.2, 5022 + 4.3, 4323 + 2.3, 9468 ] + 4.4,1140} = 13,1120 10 3

Soit la valeur établie par double intégration.

5.5 Méthodes simplifiées

5.5.1 Méthode basée sur une variation linéaire de la courbure Nous avons (voir § 2.3.1 des rappels théoriques) pour le découpage de la poutre en dix intervalles égaux : 2 n

 y i = – ----N

1

∑ k i, j --r-j

j=1

⎧ i = indice de la section où l'on calcule la flèche, ⎪ où ⎨ j = indice de la section dont on connaît la courbure, ⎪ n = nombre (impair) de sections du découpage. ⎩ avec :

( )

1 Mser x j = rj E c , eff I

et I = I ch ou I cf selon le cas,

N = 6 000 ; y1 = 0 , y11 = 0 Soit, compte tenu de la symétrie : 2  ⎧ 1 1 1 1 1 1⎫ y 6 = – ------------- ⎨ 2 5 ---- + 30 ---- + 60 ---- + 90 ---- + 120 ---- + 140 ---- ⎬ 6 000 ⎩ r1 r2 r3 r4 r5 r6 ⎭

y6 = −

5, 10 2 {2 [5.0, 236 + 30.0, 8684 + 60.2, 5022 + 90.3, 4323 + 120.3, 9468] + 140.4,1140} 6 000

y6 = −10, 819 mm et on retrouve quasiment la valeur de la flèche établie par double intégration de la courbure : y6 = −10, 819 mm ≈ −10,862 mm à 4 ‰ près par défaut.

État limite de service de déformation

5.5.2 Méthode basée sur une variation de la courbure identique à celle du moment fléchissant Nous avons (voir § 2.3.2 des rappels théoriques) à partir de la courbure de la section à mi-portée de la poutre : 21 f = k. ---r0

avec : k = coefficient fonction du diagramme des moments : 1 = courbure dans la section r0 la plus sollicitée :

 = portée de la poutre :

chargement uniforme complet ⇒ k = 0, 104

1  = 4, 1140.10 −3 m −1 pour x = --- . 2 r0  = 5,10 m

Soit : f = −0, 104.5, 10 2.4, 1140.10 −3 = −0, 011129 m et on retrouve quasiment la valeur de la flèche établie par double intégration de la courbure : y6 = −11, 129 mm ≈ −10,862 mm à 2,4 % près par excès.

239

240

Application n˚ 2 : flèche d’une dalle de plancher –Énoncé– A

5 ∅ 12 HA pm

COUPE AA

l y = 13,00 m

A

lx = 5,00 m

5 ∅ 12 HA pm

20 cm

On considère le panneau intermédiaire rectangulaire de dalle représenté cidessus. Le panneau de dalle supporte des cloisons susceptibles d’être endommagées. Matériaux : • béton : fck = 25 MPa ; • aciers : S 500. On se propose de vérifier la flèche à l’ELS à partir des rapports portée/hauteur en utilisant : 1/ les valeurs tirées du tableau ; 2/ les formules.

État limite de service de déformation

–Corrigé– 1. Valeurs tirées du tableau

Sens de flexion de la dalle :  α = ----x- >< 0,5 y

α=

5, 00 = 0, 38 < 0, 5 13, 00

⇒ le panneau de dalle porte dans le sens x. Pourcentage d’armatures : ρ=

As bw .d

ρ=

5.1, 13 = 0, 33 % 100.17

ρ=

As >< 0, 5 % bw .d

ρ=

As = 0, 33 % < 0, 5 % bw .d

⇒ le panneau de dalle est faiblement sollicité. Rapport portée/hauteur sorti du tableau : ⎫ ⎪ ⎬ ⇒ système structural ⎪⎭

ρ=

As bw .d

 --d

tableau

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ dalle intermédiaire portant ⎪ ⎪ dans le sens  x ⎭ As ρ = ---------- = 0,5 % b w .d

⇒

-d

= 30 tableau

Corrections : • panneau de dalle supportant des cloisons susceptibles d’être endommagées avec : 7,00 m eff = x ≥ 7,00 m ⇒ β = ---------------- eff = x = 5,00 m < 7,00 m ⇒ β = 1  eff • contrainte des aciers tendus dans la section à mi-travée : β=

310 MPa σs

241

242

avec : 310 MPa 500 MPa A s, prov = . σs fyk A s, req fyk = 500 MPa ⎫⎪ ⎬ ⇒ β =1 A s, req inconnu ⎪⎭ Valeur du rapport portée/hauteur retenue :   --- = β. --d d

 --- = 1.1.30 = 30 d

tableau

⇒

 d ≥ ----- = 500 -------- = 16,7 cm 30 30

⇒ d = 17 cm > 16, 7 cm O.K. ⇒

dispense de calcul de la flèche.

Remarque pour l’Annexe nationale française ⎫ ⎪ ⎬ ⇒ système structural⎪⎭

ρ=

As bw .d

 --d

tableau

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ dalle intermédiaire portant ⎪ ⎪ dans le sens  x ⎭ As ρ = ----------- ≤ 0,5 % b w .d

⇒

 = 40 --d tableau

7,00 m eff = x ≥ 7,00 m ⇒ β = ----------------- eff eff = x ≥ 5,00 m < 7,00 m ⇒ β = 1 β=

310 MPa σs

avec : 310 MPa 500 MPa A s, prov . = σs fyk A s, req   --- = β. --d d

tableau

f yk = 500 MPa ⎫ ⎬ A s, req inconnu ⎭

⇒

β = 1

 --- = 1.1.40 = 40 d  500 ⇒ d ≥ ------ = --------- = 12,5 cm 40 40

État limite de service de déformation

Valeur plus favorable que celle recommandée par l’EC 2. ⇒ d = 17 cm > 12, 5 cm O.K. ⇒

dispense de calcul de la flèche.

α=

5, 00 = 0, 38 < 0, 5 13, 00

2. Utilisation des formules

Sens de flexion de la dalle :  α = ----x- >< 0,5 y

⇒ le panneau de dalle porte dans le sens x Pourcentage d’armatures : ρ=

As bw .d

ρ=

5.1, 13 = 0, 33 % 100.17

Pourcentage d’armatures de référence : ρ0 = fck .10 −3 (en MPa)

ρ0 = 25 .10 −3 = 0, 5 %

Coefficient tenant compte des différents systèmes structuraux tiré du tableau : ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⇒ K = 1,5 dalle intermédiaire portant ⎪ ⎪ dans le sens  x ⎭ As ρ = ---------- = 0,5 % b w .d

⎫ ⎪ ⎬ ⇒ K type de dalle ⎪⎭

As ρ= bw .d

Remarque pour l’Annexe nationale française La valeur du coefficient K est celle recommandée.

Rapport portée/hauteur obtenu par les formules : ρ >< ρ0 ρ < ρ0

⇒ ⇒

Formule à utiliser -≤ K 11 + 1,5 d

ρ = 0, 33 % < ρ0 = 0, 5 %

ρ f ck ----0- + 3,2 ρ

 --- ≤ 1,5 11 + 1,5 d

3⁄2 ρ f ck ⎛ ----0- – 1⎞ ⎝ρ ⎠

0,5 25 ---------- + 3,2 0,33

0,5 25 ⎛ ---------- – 1⎞ ⎝ 0,33 ⎠

3⁄2

= 42

243

244

Corrections : • panneau de dalle supportant des cloisons susceptibles d’être endommagées avec : 7,00 m eff = x ≥ 7,00 m ⇒ β = ---------------- eff = x = 5,00 m < 7,00 m ⇒ β = 1  eff • contrainte des aciers tendus dans la section à mi-travée : β=

310 MPa σs

avec : 310 MPa 500 MPa A s, prov = . σs fyk A s, req

fyk = 500 MPa ⎫⎪ ⎬ ⇒ β =1 A s, req inconnu ⎭⎪

Valeur du rapport portée/hauteur retenue :   --- = β. --d d

 --- = 1.1.42 = 42 d

tableau

⇒

 500 d ≥ ----- = -------- = 11,9 cm 42 42

⇒ d = 17 cm > 11, 9 cm O.K. ⇒

dispense de calcul de la flèche.

Remarque  --d

Tableau

 >< --d

Formules

 --d

Tableau

 = 30 ou 40 < 42 = --d

Formules

ce qui corrobore le fait que les valeurs extraites du tableau soient plus « conservatives » que celles obtenues par les formules (et, par suite, que celles résultant d’un calcul de la flèche par double intégration de la courbure).

5 I.

Poinçonnement

RAPPELS THÉORIQUES Le poinçonnement est un phénomène qui est susceptible de se produire au voisinage des zones d’application des charges concentrées sur les faces supérieures ou inférieures des dalles (ou des appuis des poteaux sur les semelles de fondation1). La transmission de la charge concentrée à la dalle (ou à la semelle) s’effectue par l’intermédiaire de bielles de béton : • partant du contour de l’aire chargée ; • formant un angle θ avec le feuillet moyen de l’élément. Si la charge concentrée est trop importante et/ou si l’aire d’application de cette charge est trop petite, il risque de se produire un « arrachement » d’une portion de la dalle entourant la zone de chargement par rapport au reste de la dalle : Aire chargée Pu Feuillet moyen

Revêtement h1 h

h 2 Bielle de béton

Ce phénomène peut se rencontrer dans les cas suivants : • Charge concentrée à la surface d’une dalle, Feuillet

Revêtement

moyen h 2

1.

EC 2 – 6.4.1 (2)P

h1 θ

θ

d

h

246

• Appui d’une dalle sur un poteau avec ou sans chapiteau,

h hH

θ

• Appui d’un poteau sur une semelle de fondation.

θ

d

θ

h

Il convient alors de vérifier la résistance au poinçonnement de la dalle2 : • à l’origine de la bielle de béton partant du contour de l’aire chargée ; • à l’extrémité de cette bielle, à son intersection avec le plan contenant les armatures tendues sur la face de la dalle opposée à l’aire chargée (soit en prenant θ = arctg1/2 : à la distance 2.d du contour de l’aire chargée) ; • éventuellement, au-delà de l’extrémité de la bielle, si la vérification précédente conduit à prévoir des armatures de poinçonnement, pour délimiter la zone où doivent être disposées ces armatures. Ce qui conduit à considérer trois contours de vérification : u 0 = contour confondu avec la limite de l’aire chargée, u1 = contour excentré de 2.d par rapport au contour de l’aire chargée, uout, ef ou uout = contour excentré par rapport au contour u1, délimitant la zone où sont disposées les armatures de poinçonnement éventuelles. Aire chargée

1 θ = Arctg 2

d θ u0

2.

EC 2 – 6.4.1 (4)

h

θ u1

uout, ef ou uout

Poinçonnement

1.

Contours de référence

1.1

Définitions On désigne par : • aire chargée ( A load) : l’aire d’application, à la surface d’une dalle, d’une charge concentrée (appliquée ou réaction d’appui) ; • contour de contrôle de référence (u1) : le contour entourant une aire chargée à une distance donnée de celle-ci. Cette distance est prise égale à 2.d ; • aire de contrôle de référence (A cont ) : l’aire délimitée par le contour de contrôle de référence3 ; • section de contrôle de référence : la section qui suit le contour de contrôle de référence et s’étend sur la hauteur utile d ; • contour de contrôle : un contour de même forme et parallèle au contour de contrôle de référence4. Aire chargée

h

Trace de la section de contrôle de référence d

θ

θ = Arctg

θ

1 ⇒ θ = 26,6° 2

As1y

2.d

As1z Aire de contrôle de référence

Aire de contrôle de référence: Acont Autre contour de contrôle

2.d

Contour de contrôle de référence : u1

Aire chargée : Aload

3. 4.

EC 2 – 6.4.1 (3) EC 2 – 6.4.2 (7)

247

248

La hauteur utile de la dalle est considérée comme constante et prise égale à5 : d eff =

d y + dz

(6.32)

2

avec : d y et dz = hauteurs utiles des armatures dans les deux directions perpendiculaires. Pour des dalles ou semelles de fondation de hauteur variable, mais pas à redans, la hauteur utile peut être prise égale à l’épaisseur le long du contour de l’aire chargée6 : d0 θ = Arctg

1 2

2.d

Aire chargée

Section de contrôle de référence

2.d

d θ

1.2

h

θ

Aire chargée éloignée d’un bord libre Il convient de minimiser la longueur du contour de contrôle de référence tout en respectant la distance 2.d à l’aire chargée7 : u1

2.d

u1

u1 2.d

2.d 2.d

5. 6. 7.

EC 2 – 6.4.2 (1) EC 2 – 6.4.2 (6) EC 2 – 6.4.2 (1)

Poinçonnement

1.3

Aire chargée près d’une ouverture8 l1 (≤ l2 )

≤ 6.d u1 2.d

l2

Aire chargée

1.4

La partie du contour de contrôle comprise entre les deux tangentes à la trémie issues du centre de l’aire chargée est considérée comme non participante8. Pour 1 > 2, remplacer 2 par :

Trémie

 1 . 2.

Aire chargée proche de bords libres Remplacer les contours de contrôle de référence obtenus au § 1.2 par ceux indiqués ci-dessous si le périmètre qui en résulte (bords libres déduits) est plus faible9 : Bord libre u1

u1

Bord libre 2.d

2.d u1

Bord libre

2.d Bord libre

2.d

2.d

2.d

Pour une charge située à une distance inférieure à d d’un bord libre, il convient de prévoir des armatures de rive particulières10 : ≤d

h ≥ 2.h

8. EC 2 – 6.4.2 (3) 9. EC 2 – 6.4.2 (4) 10. EC 2 – 6.4.2 (5) + 9.3.1.4

249

250

1.5

Cas des poteaux avec chapiteaux (planchers-dalles)

1.5.1

Cas des poteaux circulaires

On désigne par :

H = distance du nu du poteau au bord du chapiteau, h H = hauteur du chapiteau, c = diamètre du poteau. Suivant que la face latérale du chapiteau est située en deçà ou au-delà de la bielle de béton partant du contour de l’aire chargée, on distingue les deux cas ciaprès. 1.5.1.1 Cas où H < 2.hh

La vérification des contraintes de poinçonnement n’est exigée que pour une section de contrôle située à l’extérieur du chapiteau à la distance 2.d du contour du sommet du chapiteau, soit à une distance de la ligne moyenne du poteau telle que11 : r cont = 2.d +  H + 0,5.c .

(6.33)

θ

hH

θ

lH

lH c

A = section de contrôle de référence,

11. EC 2 – 6.4.2 (8)

d

θ θ

B = aire chargée.

A

rcont

rcont

B θ = Arctg

1 ⇒ θ = 26,6° 2

Poinçonnement

1.5.1.2 Cas où h ≥ 2.hH

La vérification des contraintes de poinçonnement est exigée pour les deux sections de contrôle situées12 : • à l’extérieur du chapiteau (ce qui correspond à la bielle de béton partant du sommet du chapiteau, comme pour le cas du § 1.5.1.1) ; • et à l’intérieur du chapiteau (ce qui correspond à la bielle de béton partant de la base du chapiteau) ; soit aux distances de la ligne moyenne du poteau suivantes13 : r cont, ext = 2.d +  H + 0,5.c (contour à l’extérieur du chapiteau),

(6.36)

rcont, int = 2 ( d + h H ) + 0, 5.c (contour à l’intérieur du chapiteau).

(6.37)

A

rcont, ext A

rcont, int

A

rcont, int

d

d

dH

dH

hH

A

rcont, ext

lH

lH c

hH B = Arctg

1 ⇒ = 26,6 2

A = sections de contrôle de référence, B = aire chargée. Pour la vérification des contraintes de poinçonnement à l’intérieur du chapiteau la hauteur utile à prendre en compte est égale à d H14. 1.5.2

Cas des poteaux rectangulaires

On désigne par : h H = hauteur du chapiteau, c1 et c 2 = dimensions du poteau,

12. EC 2 – 6.4.2 (9) 13. EC 2 – 6.4.2 (11) 14. EC 2 – 6.4.2 (10)

251

252

H1 et H2 = distances du nu du poteau au bord du chapiteau, parallèlement à c1 et c 2 respectivement. Les dimensions du chapiteau au niveau de la sous-face de la dalle sont obtenues par : 1 = c1 + 2.H1 = largeur parallèle à c1, 2 = c2 + 2.H2 = largeur parallèle à c 2, avec 1 ≤ 2.

lH1

(l )

lH1

H2

(l ) H2

c1

(c )

l1 (< l2 ) 2

(l ) 2

1.5.2.1 Cas des chapiteaux rectangulaires avec H < 2.hH

La vérification des contraintes de poinçonnement n’est exigée que pour une section de contrôle située à l’extérieur du chapiteau (voir figure § 1.5.1.1) à la distance de la ligne moyenne du poteau15 : ⎧ 2.d + 0,56  1 . 2 . r cont = Min ⎨ ⎩ 2.d + 0,69. 1

(6.34 & 6.35)

Remarque Pour les Règles EC 2, le domaine d’application de ce cas est : H < 2.d. Le cas où 2.d ≤ H ≤ 2.hH n’est, par conséquent, pas couvert lorsque d ≤ hH.

1.5.2.2 Cas où H > 2.hH

La vérification des contraintes de poinçonnement est exigée pour les deux sections de contrôle situées à l’extérieur et à l’intérieur du chapiteau16 (voir figure § 1.5.1.2).

15. EC 2 – 6.4.2 (8) 16. EC 2 – 6.4.2 (9)

Poinçonnement

2.

Résistances au poinçonnement

2.1

Contraintes tangentes résistantes Les valeurs de calcul des résistances au poinçonnement le long des sections de contrôle sont17 : v Rd , c = valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle sans armatures de poinçonnement, v Rd , cs = valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle avec armatures de poinçonnement, v Rd, max = valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle.

2.1.1

Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle ou d’une semelle de poteau sans armatures de poinçonnement 2.1.1.1 Cas des dalles

La valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle sans armatures de poinçonnement est donnée par la formule18 : v Rd , c

1 ⎧⎪ C 3 + k .σ 1 cp Rd , c .k. (100.ρl .fck ) (MPa) = Max ⎨ + k v .σ 1 cp ⎩⎪ min

(6.47)

avec : CRd , c =

0, 18 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale γc française19,

fck en MPa, ⎧ 200 ⎪1 + k = Min ⎨ d où d est en mm, ⎪2 ⎩ ⎧⎪ ρly .ρlz ρl = Min ⎨ , ⎩⎪ 0, 02

17. EC 2 – 6.4.3 (1)P 18. EC 2 – 6.4.4 (1) 19. EC 2 – voir AN

253

254

où : ρly et ρlz = pourcentages d’armatures tendues dans les directions y et z respectivement. Il s’agit des valeurs moyennes calculées pour une largeur de dalle égale à la largeur du poteau augmentée de 3.d de part et d’autre de celui-ci, 3

v min = 0, 035.k 2 . fck

(6.3N)

valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française20, k1 = 0 , 1 σ cp =

valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française21,

σ cy + σ cz 2

où : σ cy et σ cz = contraintes normales supportées par le béton dans la section critique suivant les directions y et z respectivement (MPa, positives en compression), N Ed , y N Ed , z σ cy = , σ cz = A cy A cz N Ed , A cy

et N Ed , z = efforts normaux agissant sur les largeurs de dalle participante associées aux poteaux, et A cz = aires des sections de béton qui correspondent aux efforts normaux N Ed , y et N Ed , z pris en compte. y

Remarque La formule de vRd, c est identique à celle figurant au § 3.2.1, chapitre 8 : « Effort tranchant », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles.

2.1.1.2 Cas des semelles de poteaux

La valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une semelle de poteau sans armatures de poinçonnement est donnée par la formule22 :

v Rd

1 2.d ⎧C 3. k f . . 100 . ρ . ( ) , Rd c ck ⎪⎪ a (MPa) = Max ⎨ ⎪ v min 2.d ⎪⎩ a

(6.49) et (6.50)

avec : a = distance du nu du poteau au contour de contrôle considéré,

20. EC 2 – voir AN 21. EC 2 – voir AN 22. EC 2 – 6.4.4 (2)

Poinçonnement

CRd , c =

0, 18 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale γc française23, 3

v min = 0, 035.k 2 . fck

(6.3N)

valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française24, ⎧ 200 ⎪1 + k = Min ⎨ d où d est en mm. ⎪2 ⎩ 2.1.2

Valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle ou d’une semelle de poteau avec ou sans armatures de poinçonnement

La valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle ou d’une semelle de poteau avec ou sans armatures de poinçonnement est donnée par la formule25 : v Rd , max = 0, 5.ν.fcd valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française26 où : f ν = 0, 6 ⎛ 1 − ck ⎞ ⎝ 250 ⎠

(6.6N)

valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française avec fck en MPa27. 2.1.3

Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle ou d’une semelle de poteau avec armatures de poinçonnement

La valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle ou d’une semelle de poteau avec armatures de poinçonnement est donnée par la formule28 : v Rd , cs = 0, 75.v Rd , c + 1, 5

23. 24. 25. 26. 27. 28.

EC 2 – voir AN EC 2 – voir AN EC 2 – 6.4.5 (3) EC 2 – voir AN EC 2 – voir AN EC 2 – 6.4.5 (1)

d 1 A sw .fywd , ef sin α (MPa) sr u1 .d

(6.52)

255

256

avec : A sw = aire d’un cours d’armatures de poinçonnement sur un périmètre autour du poteau ou du contour chargé en mm2, sr = espacement radial des cours d’armatures de poinçonnement en mm, d = hauteur utile moyenne en mm, fywd , ef = limite d’élasticité poinçonnement :

de

calcul

efficace

des

armatures

de

⎧ 250 + 0, 25.d fywd , ef = Min ⎨ en MPa, ⎩ fywd α = angle des armatures de poinçonnement avec le feuillet moyen de la dalle.

2.2

Vérification de la valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement

2.2.1

Contrainte maximale de poinçonnement 2.2.1.1 Cas d’une charge localisée centrée par rapport au contour de contrôle à la surface d’une dalle

La contrainte maximale de poinçonnement est la contrainte tangente sur le contour de contrôle considéré29 : v Ed =

VEd u i .d

(6.38)

avec : ui =

périmètre du contour de contrôle,

VEd = effort agissant (charge poinçonnante), d= d=

hauteur utile moyenne de la dalle : d y + dz 2

(6.32)

d y et dz = hauteurs utiles des armatures dans les deux directions perpendiculaires.

29. EC 2 – 6.4.3 (3)

Poinçonnement

2.2.1.2 Cas d’une semelle de fondation

La valeur nette de l’effort agissant vaut30 : VEd , red = VEd − ΔVEd

(6.48)

avec : VEd = effort tranchant appliqué, ΔVEd = valeur nette de la force de réaction verticale à l’intérieur du contour de contrôle considéré (réaction du sol moins poids propre de la fondation).  Cas d’une charge centrée

La contrainte maximale de poinçonnement est la contrainte tangente sur le contour de contrôle considéré31 : v Ed =

VEd , red u i .d

(6.49)

avec : u i = périmètre du contour de contrôle, d = hauteur utile moyenne de la semelle : d=

d y + dz 2

(6.32)

d y et dz = hauteurs utiles des armatures dans les deux directions perpendiculaires.  Cas d’une charge excentrée

La contrainte maximale de poinçonnement est la contrainte tangente sur le contour de contrôle considéré32 : v Ed =

VEd , red ⎡ M Ed .u ⎤ ⎢1 + k ⎥ u.d ⎢⎣ VEd , red .W ⎥⎦

(6.51)

avec : k = coefficient déterminé par le tableau du § 2.2.1.3, cas général W = coefficient W1 donné au § 2.2.1.3, cas général, 2.2.1.4 ou 2.2.1.5 ciaprès suivant la position du poteau considéré (courant, de rive ou d’angle) calculé sur le périmètre du contour de contrôle u.

30. EC 2 – 6.4.1 (5) + 6.4.4 (2) + 6.4.3 (8) 31. EC 2 – 6.4.3 (1) & 6.4.4 (2) 32. EC 2 – 6.4.4 (2)

257

258

2.2.1.3 Cas d’une charge localisée excentrée par rapport au contour de contrôle à la surface d’une dalle  Cas général

La contrainte maximale de poinçonnement est la contrainte tangente sur le contour de contrôle considéré33 : v Ed = β

VEd u i .d

(6.38)

avec : d = hauteur utile moyenne de la dalle, u i = périmètre du contour de contrôle considéré, β donné par la formule : β = 1+ k

MEd u1 . VEd W1

(6.39)

où : u1 = périmètre du contour de contrôle de référence, k = coefficient fonction des dimensions c1 et c 2 du poteau prenant en compte la proportion du moment non équilibré transmis par cisaillement non uniforme et par flexion et torsion :

W1 =

c1 ---c2

≤ 0,5

1,0

2,0

≥ 3,0

k

0,45

0,60

0,70

0,80

u

1 ∫0 e .d correspond à une répartition des contraintes de cisaillement

telle que représentée ci-dessous et dépend du périmètre du contour de contrôle de référence u1 :

33. EC 2 – 6.4.3 (3)

Poinçonnement

2.d

c1 e

MEd

dl

c2

2.d

d = longueur élémentaire du contour, e = distance de d à l’axe autour duquel le moment MEd agit.  Cas d’un poteau rectangulaire

La formule générale s’applique avec : W1 =

c12 + c1 .c 2 + 4.c 2 .d + 16.d 2 + 2.π.d.c1 2

(6.41)

où : c1 = dimension du poteau parallèle à l’excentricité de la charge, c 2 = dimension du poteau perpendiculaire à l’excentricité de la charge.  Cas d’un poteau circulaire intérieur

La formule générale s’applique avec : β = 1 + 0 , 6. π

e D + 4.d

(6.42)

où : D = diamètre du poteau circulaire.  Cas d’un poteau rectangulaire intérieur avec charge excentrée dans les deux directions

La formule générale s’applique avec : 2

⎛e ⎞ ⎛ ey ⎞ β = 1 + 1, 8 ⎜ ⎟ + ⎜ z ⎟ ⎝ bz ⎠ ⎝ by ⎠

2

(6.43)

259

260

où : e y et e z = excentricités de

MEd ,suivant les axes y et z respectivement, VEd

b y et bz = dimensions du contour de contrôle : z VEd

ez 2.d

bz

y

ey u1 by

2.2.1.4 Cas des poteaux de rive soumis à des moments fléchissants

On pose : e per = excentricité dans le sens perpendiculaire au bord libre, e par = excentricité dans le sens parallèle au bord libre, N Ed = effort normal à l’ELU. ⎪⎧1,5.d Min ⎨ ⎩⎪0,5.c1 u1*

Bord libre 2.d c2

epar NEd c1

2.d eper

Poinçonnement

 Poteau sollicité en flexion composée avec un moment fléchissant d’axe parallèle au bord libre de la dalle

Dans le cas où34 : e per est dirigée vers l’intérieur, e par = 0, l’effort de poinçonnement peut être considéré comme uniformément réparti le long du contour de contrôle réduit u1* défini sur la figure ci-dessus. La contrainte maximale de poinçonnement est obtenue par la formule : v Ed =

VEd u1* .d

Dans le cas où e per est dirigée vers l’extérieur, les formules (6.38) et (6.39) du § 2.2.1.3 s’appliquent : v Ed = β

VEd u1 .d

avec, pour l’évaluation du coefficient W1, l’excentricité e mesurée depuis l’axe du contour de contrôle (et non pas depuis l’axe du moment).  Poteau sollicité en flexion déviée

La formule (6.38) du § 2.2.1.3, cas général, donnant la contrainte maximale de poinçonnement s’applique avec35 : β=

u1 u + k 1 e par u1* W1

(6.44)

où : u1 = périmètre du contour de contrôle de référence (voir figures du § 1.4), u1* = périmètre du contour de contrôle de référence réduit (voir figure cidevant), k = coefficient déterminé par le tableau du § 2.2.1.3, cas général, en remplaçant c1 c 2 par c1 2.c 2, = W1 coefficient calculé sur le périmètre du contour de contrôle de référence u1. Dans le cas d’un poteau rectangulaire (voir figure ci-devant) : W1 =

c 22 + c1 .c 2 + 4.c1 .d + 8.d 2 + π.d.c 2 4

34. EC 2 – 6.4.3 (4) 35. EC 2 – 6.4.3 (4)

(6.45)

261

262

2.2.1.5 Cas des poteaux d’angle soumis à des moments fléchissants c1

Bord libre u1*

c2

Bord libre

⎪⎧1,5.d Min ⎨ ⎩⎪0,5.c2 2.d 2.d ⎧⎪1,5.d Min ⎨ ⎪⎩0,5.c1

La formule (6.38) du § 2.2.1.3, cas général, donnant la contrainte maximale de poinçonnement s’applique avec36 : • si l’excentricité est dirigée vers l’intérieur de la dalle : β=

u1 u1*

(6.46)

où : u1 = périmètre du contour de contrôle de référence (voir figure de droite au § 1.4), u1* = périmètre du contour de contrôle de référence réduit suivant lequel la répartition de l’effort de poinçonnement est uniforme (voir figure ci-devant), • si l’excentricité est dirigée vers l’extérieur de la dalle : β = 1+ k

MEd u1 . VEd W1

(6.39)

2.2.1.6 Cas des structures contreventées

Pour les structures37 : • dont la stabilité latérale ne dépend pas du fonctionnement en portique des dalles et des poteaux ; • et où les longueurs des travées adjacentes ne diffèrent pas de plus de 25 % :

36. EC 2 – 6.4.3 (5) 37. EC 2 – 6.4.3 (6)

Poinçonnement

i 0,8 ≤ ---------≤ 1,25 i + 1 on peut prendre en compte les valeurs approchées suivantes du coefficient β, recommandées et à utiliser pour l’Annexe nationale française38 : ⎧1, 5 : poteau d'angle, ⎪ β = ⎨1, 4 : poteau de rive, ⎪1, 15 : pooteau intérieur. ⎩

Bord libre

= 1,5

Bord libre

= 1,4

= 1,15

2.2.1.7 Cas des planchers-dalles

Lorsqu’une charge concentrée est appliquée au voisinage d’un poteau, il n’y a pas lieu de tenir compte de la réduction d’effort tranchant pour transmission directe des charges aux appuis39. 2.2.2

Vérification

Il convient de vérifier le long du contour de l’aire chargée ou du poteau la condition40 : v Ed = β

VEd ≤ v Rd , max u 0 .d

où : • pour une charge concentrée à la surface d’une dalle41 :

38. 39. 40. 41.

EC 2 – voir AN EC 2 – 6.4.3 (7) EC 2 – 6.4.3 (2) EC 2 – 6.4.3 (2a)

(6.53)

263

264

u 0 = contour de l’aire chargée, • pour une semelle de poteau42 : ⎧ ⎪ périmètre du poteau : poteau intérieur, ⎪ ⎪⎪ ⎧ c 2 + 3.d : poteau de rive, u 0 = ⎨ Min ⎨ ⎩ c 2 + 2.c1 ⎪ ⎪ 3.d ⎪ Min ⎧⎨ : poteau d'angle. ⎪⎩ ⎩ c1 + c 2 Si cette condition n’est pas satisfaite, il convient : • soit d’augmenter l’épaisseur de la dalle : v Ed = β

VEd ≤ v Rd , max = 0, 5.ν.fcd u 0 .d

⇒ u 0 .d ≥

β.VEd ; 0, 5.ν.fcd

• soit d’utiliser un béton de résistance supérieure ; • soit d’augmenter l’aire de chargement (interposition d’une plaque entre la charge et la dalle).

2.3

Dalles ou semelles de poteaux sans armatures de poinçonnement

2.3.1

Contrainte maximale de poinçonnement

Voir § 2.2.1 pour la contrainte maximale de poinçonnement et § 2.1.1 pour la valeur de calcul de la résistance au poinçonnement. 2.3.2

Vérification 2.3.2.1 Cas des dalles

Aucune armature de poinçonnement n’est requise si, pour la section de contrôle de référence (à l’intérieur ou à l’extérieur des chapiteaux pour les plancherschampignons43) : v Ed ≤ v Rd , c Si cette condition n’est pas satisfaite, il y a lieu de prévoir des armatures de poinçonnement calculées comme indiqué au § 2.4.

42. EC 2 – 6.4.5 (3) 43. EC 2 – 6.4.3 (2) + 6.4.2 (10)

Poinçonnement

2.3.2.2 Cas des semelles de poteaux

Aucune armature de poinçonnement n’est requise si, pour les contours de contrôle situés au plus à 2.d du nu du poteau44 : v Ed ≤ v Rd Si cette condition n’est pas satisfaite, il y a lieu de prévoir des armatures de poinçonnement calculées comme indiqué au § 2.4.

2.4

Dalles ou semelles de poteaux avec armatures de poinçonnement

2.4.1

Contrainte maximale de poinçonnement

Voir § 2.2.1 pour la contrainte maximale de poinçonnement. 2.4.2

Calcul des armatures de poinçonnement

La condition à vérifier pour une dalle avec armatures de poinçonnement s’écrit (voir § 2.1.3) : v Ed ≤ v Rd , cs = 0, 75.v Rd , c + 1, 5

d 1 A sw .fywd , ef sin α sr u1 .d

On en déduit la section des armatures de poinçonnement :

)

(

v Ed − 0, 75.v Rd , c u1 .d A sw .fywd , ef ≥ 1, 5.d.sin α sr avec : A sw = aire d’un cours d’armatures de poinçonnement sur un périmètre autour du poteau en mm2, sr = espacement radial des cours d’armatures de poinçonnement en mm. 2.4.3

Contour de la zone avec armatures de poinçonnement

Le contour de contrôle au-delà duquel aucune armature de poinçonnement n’est requise est défini par45 : v Ed = β

VEd uout, ef .d

44. EC 2 – 6.4.3 (2) + 6.4.4 (2) 45. EC 2 – 6.4.5 (4)

≤ v Rd , c

⇒

uout, ef = β

VEd v Rd , c .d

(6.54)

265

266

Il convient de placer la file périphérique extérieure des armatures de poinçonnement à une distance inférieure ou égale à k.d à l’intérieur de uout, ef ou de uout : u out, of

u out

> 2.d

≤ 2.d

k.d k.d

d

Contour uout

Contour uout, ef

k = 1,5 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française46. 2.4.4

Dispositions constructives

Les armatures de poinçonnement sont disposées entre l’aire chargée (ou le poteau support) et le contour à la distance k.d à l’intérieur du contour à partir duquel les armatures d’effort tranchant ne sont plus exigées47 : k = 1,5 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française48. Armatures de poinçonnement

A

x ≤ 0,75.d ≤ 0,75.d ≤ 0,75.d ≤ k.d 0,5.d > x > 0,3.d A B

46. EC 2 – voir AN 47. EC 2 – 9.4.5 (2) +9.4.3 (1) et (4) 48. EC 2 – voir AN

B

Poinçonnement

Espacement radial (2 cours au moins) : sr ≤ 0, 75.d Espacement tangentiel le long d’un contour (voir figure § 2.4.3) : ⎧1, 5.d : contour à l'intérieur du contour de référrence, ⎪ s t ≤ ⎨ 2.d : contour à l'extérieur du premier contour où les ⎪ armatures de poinçonnement sont nécessaaires. ⎩ 2.4.5

Section minimale d’armatures de poinçonnement

Elle est donnée par la formule49 : A sw , min sr .s t

(1, 5.sin α + cos α ) ≥ 0, 08

fck fyk

(9.11)

avec : A sw, min = aire du brin d’un étrier, α = angle entre les armatures de poinçonnement et les armatures principales (c’est-à-dire α = 90˚ pour des cadres verticaux), sr = espacement dans la direction radiale, s t = espacement dans la direction tangentielle, fck et fyk en MPa. 2.4.6

Barres relevées utilisées comme armatures de poinçonnement

Les barres relevées traversant l’aire chargée ou se trouvant à une distance de cette aire inférieure à 0,25.d peuvent jouer le rôle d’armatures de poinçonnement50. Pour des barres relevées disposées comme indiqué sur la figure ci-dessous, une seule file périphérique de cadres et étriers est suffisante51.

49. EC 2 – 9.4.3 (2) 50. EC 2 – 9.4.3 (3) 51. EC 2 – 9.4.3 (1)

267

268

0,25.d Barres relevées utilisées comme armatures de poinçonnement

A

< 0,5.d

A

2.d

A

Lorsqu’une seule file de barres relevées est prévue : • leur angle de pliage52 peut être réduit à 30˚ ; • l’expression (6.52) du § 2.1.3 donnant v Rd , cs s’applique en prenant53 d = 0, 67. sr

52. EC 2 – 9.4.3 (4) 53. EC 2 – 9.4.5 (1)

Poinçonnement

II.

APPLICATIONS Application n˚ 1 : étude au poinçonnement d’une dalle – Aire chargée circulaire –Énoncé– On considère la dalle supportant une charge concentrée P = 52 kN, éloignée des bords de la dalle, figurée ci-dessous : - VUE EN PLAN -

- ÉLÉVATION 20 cm P dz = 9 cm dy = 10 cm

h

As1y : 5 ∅ 12 HA p.m. As1z : 3 ∅ 8 HA p.m.

Matériaux : • acier : S 500 ; • béton : fck = 25 MPa. On se propose de vérifier la dalle au poinçonnement.

–Corrigé– 1. Contour de référence

La charge concentrée étant centrée et éloignée des bords de la dalle : u1 2.d

c = 20 cm

20 cm

269

270

Périmètre de l’aire chargée : u 0 = π.c

u 0 = π.0, 20 = 0,628 m

Hauteur utile de la dalle : d=

d y + dz 2

d=

10 + 9 = 9,5 cm 2

Périmètre du contour de référence : u1 = π ( c + 2.2.d )

u1 = π ( 0, 20 + 4.0, 095) = 1,822 m

2. Contrainte tangente de référence

Charge poinçonnante : VEd = 1, 5.Q

VEd = 1, 5.52 = 78 KN

Contrainte maximale de poinçonnement : v Ed =

VEd u1 .d

v Ed =

78.10 −3 = 0,451 MPa 1, 822.0, 095

3. Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement de la dalle sans armatures de poinçonnement

v Rd , c

1 ⎧⎪ C .k. (100.ρl .fck ) 3 + k1 .σ cp Rd , c = Max ⎨ ⎩⎪ v min + k1 .σ cp

avec : fck en MPa,

fck = 25 MPa

⎧ 200 ⎪1 + k = Min ⎨ d où d est en mm, ⎪2 ⎩

⎧ 200 = 2, 45 ⎪1 + k = 2 = Min ⎨ 95 ⎪2 ⎩

A s1y ρ ly = ---------------------1,00 m.d y

ρly =

5.1, 13 = 0, 00565 100.10

A s1z ρ lz = ---------------------1,00 m.d z

ρlz =

3.0, 5 = 0, 0017 100.9

Poinçonnement

⎪⎧ ρly .ρlz ρl = Min ⎨ ⎪⎩ 0, 02 σ cp =

⎧ 0, 00565.0, 0017 = 0, 0031 ρl = 0, 0031 = Min ⎨ ⎩ 0, 02

σ cy + σ cz

σ cp = 0 (dalle fléchie uniquement)

2 0, 18 γc

CRd , c =

CRd , c =

0, 18 = 0, 12 1, 5

k1 = 0 , 1 3

3

v min = 0, 035.k 2 . fck

v min = 0, 035.2 2. 25 = 0, 495 MPa ⎧⎪ 0, 12.2. (100.0, 0031.25) 13 + 0, 1.0 = 0, 475 v Rd , c = Max ⎨ ⎩⎪ 0, 495 + 0, 1.0 = 0, 495 v Rd , c = 0, 495 MPa

4. Nécessité d’armatures de poinçonnement 4.1 Au voisinage de l’aire chargée

Contrainte maximale de poinçonnement sur le contour de l’aire chargée : v Ed = β

VEd u 0 .d

v Ed = 1

78.10 −3 = 1,307 MPa 0, 628.0, 095

(β = 1 pour une charge localisée centrée par rapport au contour de contrôle). Valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle avec ou sans armatures de poinçonnement : vRd, max = 0,5.ν.fcd f ν = 0, 6 ⎛ 1 − ck ⎞ ⎝ 250 ⎠ fcd = α cc

fck γc

25 ⎞ ν = 0, 6 ⎛ 1 − = 0, 54 ⎝ 250 ⎠ fcd = 1

25 = 16,7 MPa 1, 5

v Rd, max = 0, 5.0, 54.16, 7 = 4,51 MPa

271

272

Vérification : v Ed >< v Rd , max

v Ed = 1, 307 MPa < 4, 51 MPa = v Rd , max

O.K.

4.2 Sur le contour de référence

Contrainte maximale de poinçonnement sur le contour de référence : v Ed =

VEd u1 .d

v Ed =

78.10 −3 = 0,451 MPa (voir § 2) 1, 822.0, 095

Vérification : v Ed >< v Rd , c

v Ed = 0, 451 MPa < 0, 495 MPa = v Rd , c ⇒ armatures de poinçonnement non nécessaires.

Application n˚ 2 : étude au poinçonnement d’une dalle – Aire chargée rectangulaire –Énoncé– On considère la dalle supportant une charge concentrée P = 75 KN, éloignée des bords de la dalle, figurée ci-dessous : - VUE EN PLAN -

- ÉLÉVATION 12 cm x 12 cm p dz = 9 cm dy = 10 cm

h

12 cm

As1y : 5 ∅ 12 HA p.m. As1z : 5 ∅ 8 HA p.m.

Matériaux : • acier : S 500 ; • béton : fck = 25 MPa. On se propose de vérifier la dalle au poinçonnement.

12 cm

Poinçonnement

–Corrigé– 1. Contour de référence

La charge concentrée étant centrée et éloignée des bords de la dalle : u1

2.d c1 = 0,12 m

0,12 m

Périmètre de l’aire chargée : u 0 = 4.c1

u 0 = 4.0, 12 = 0,48 m

Hauteur utile de la dalle : d=

d y + dz

d=

2

10 + 9 = 9,5 cm 2

Périmètre du contour de référence : u1 = 4.c1 + 4

2.π. ( 2.d ) 4

u1 = 4.0, 12 + 4

2.π. ( 2.0, 095) = 1,674 m 4

2. Contrainte tangente de référence

Charge poinçonnante : VEd = 1, 5.Q

VEd = 1, 5.75 = 112,5 KN

Contrainte maximale de poinçonnement : v Ed =

VEd u1 .d

v Ed =

112, 5.10 −3 = 0,707 MPa 1, 674.0, 095

3. Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement de la dalle sans armatures de poinçonnement

v Rd , c

1 ⎧⎪ C 3 + k .σ 1 cp Rd , c .k. (100.ρl .fck ) = Max ⎨ ⎩⎪ v min + k1 .σ cp

273

274

avec : fck en MPa,

fck = 25 MPa

⎧ 200 ⎪1 + k = Min ⎨ d où d est en mm, ⎪2 ⎩

⎧ 200 = 2, 45 ⎪1 + k = 2 = Min ⎨ 95 ⎪2 ⎩

A s1y ρ ly = ---------------------1,00 m.d y

ρly =

5.1, 13 = 0, 00565 100.10

A s1z ρ lz = ---------------------1,00 m.d z

ρlz =

5.0, 5 = 0, 00278 100.9

⎧⎪ ρly .ρlz ρl = Min ⎨ ⎩⎪ 0, 02 σ cp = CRd , c

⎧ 0, 00565.0, 00278 = 0, 0040 ρl = 0, 0040 = Min ⎨ ⎩ 0, 02

σ cy + σ cz

σ cp = 0 (dalle fléchie uniquement)

2 0, 18 = γc

CRd , c =

0, 18 = 0, 12 1, 5

k1 = 0 , 1 3

3

v min = 0, 035.k 2 . fck

v min = 0, 035.2 2. 25 = 0, 495 ⎧⎪ 0, 12.2. (100.0, 0040.25) 13 + 0, 1.0 = 0, 517 v Rd , c = Max ⎨ ⎩⎪ 0, 495 + 0, 1.0 = 0, 495 v Rd , c = 0, 517 MPa

4. Nécessité d’armatures de poinçonnement 4.1 Au voisinage de l’aire chargée

Contrainte maximale de poinçonnement sur le contour de l’aire chargée : v Ed = β

VEd u 0 .d

v Ed = 1

112, 5.10 −3 = 2,47 MPa 0, 48.0, 095

(β = 1 pour une charge localisée centrée par rapport au contour de contrôle). Valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle avec ou sans armatures de poinçonnement : v Rd , max = 0, 5.ν.fcd

Poinçonnement

f ν = 0, 6 ⎛ 1 − ck ⎞ ⎝ 250 ⎠ fcd = α cc

25 ⎞ ν = 0, 6 ⎛ 1 − = 0, 54 ⎝ 250 ⎠

fck γc

fcd = 1

25 = 16,7 MPa 1, 5

v Rd, max = 0, 5.0, 54.16, 7 = 4,51 MPa Vérification : v Ed >< v Rd , max

v Ed = 2, 47 MPa < 4, 51 MPa = v Rd , max

O.K.

4.2 Sur le contour de référence

Contrainte maximale de poinçonnement sur le contour de référence : v Ed =

VEd u1 .d

v Ed =

Vérification : v Ed >< v Rd , c

112, 5.10 −3 = 0,707 MPa (voir § 2) 1, 674.0, 095

v Ed = 0, 707 MPa > 0, 517 MPa = v Rd , c ⇒ armatures de poinçonnement nécessaires.

5. Armatures de poinçonnement 5.1 Armatures calculées

Armatures résistantes :

)

(

v Ed − 0, 75.v Rd , c u1 .d A sw .fywd , ef ≥ 1, 5.d.sin α sr ⎧ 250 + 0, 25.d fywd , ef = Min ⎨ (MPa, mm) ⎩ fywd fywd , ef

⎧ 250 + 0, 25.95 = 274 MPa ⎪ = 274 MPa = Min ⎨ 500 ⎪⎩ 1, 15 = 435 MPa

α = angle des armatures de poinçonnement avec le feuillet moyen de la dalle :

α = 90˚ (armatures droites) A sw ( 0, 707 − 0, 75.0, 517 ) 1, 674.0, 095 2 ≥ 10 1, 5.0, 095.1.274 sr A sw 1 ≥ cm 2 /cm de contour 7, 69 sr

275

276

Contour de la zone contenant les armatures de poinçonnement : uout, ef = β

VEd

uout, ef = 1

v Rd , c .d

uout, ef = 4.c1 + 4

112, 5.10 −3 = 2,291 m 0, 517.0, 095

2.π. ( 2.d ') 4

uout, ef = 4.c1 + 2.π. ( 2.d ') ⇒ 2.d ' =

uout, ef − 4.c1 2.π 2.d ' =

2, 291 − 4.0, 12 = 0,288 m 2.π

5.2 Dispositions constructives

5.2.1 Espacement radial des armatures de poinçonnement En disposant les nappes d’armatures de poinçonnement parallèlement aux côtés de l’aire chargée : Armatures de poinçonnement

x

100 = 20 cm 5

sr

B

A

sr

≤ k.d

sr

2.d

2.d'

20 cm 5 ∅ 12 HA p.m. ou 5 ∅ 8 HA p.m. st

12 cm

4 cm 2.d = 19 cm 2.d' = 28,8 cm

Poinçonnement

x >< 0, 3.d

x = 4 cm > 2, 85 cm = 0, 3.9, 5 O.K.

2.d '− 2.d >< k.d

28, 8 − 19 = 9, 8 cm < 14, 25 cm = 1, 5.9, 5 O.K.

Pour deux cours d’armatures de poinçonnement : sr = 2.d − x >< 0, 75.d

sr = 19 − 4 = 15 cm > 7, 125 cm = 0, 75.9, 5 ⇒ prenons 4 cours (ce qui imposera de prévoir des barres de montage, parallèles au feuillet moyen de la dalle et de faible diamètre) : sr =

15 = 5 cm < 7, 125 cm O.K. 3

⇒ vérification de la section d’armatures de poinçonnement calculée pour des épingles φ 6 HA, le long du contour uout, ef : A sw = 8.0,28 = 2,24 cm2 sr = 2,24.7,69 = 17,23 cm > 5 cm O.K.

19 2 = 26,87 cm > 19 cm = 2.9,5 = 2.d

k.d = 14,25 cm > 9,8 cm st = 12 cm

d = 9,5 cm 28,8

1914 9 4

5.2.2 Espacement tangentiel des armatures de poinçonnement ⎧ 1,5.d : contour à l’intérieur du contour de référence, ⎪ s t ≤ ⎨ 2.d : contour à l’extérieur du premier contour où les armatures ⎪ de poinçonnement sont nécessaires ⎩ st = 12 cm < 14,25 cm = 1,5.9,5 O.K.

277

278

5.2.3 Section minimale A sw , min sr .s t

(1, 5.sin α + cos α ) ≥ 0, 08

A sw , min ≥

0, 08 fck . ( sr .s t ) (1, 5.sin α + cos α ) fyk

fck fyk 2 0,08 25.5.12 A sw, min ≥ --------------------------------- = 0,032 cm ( 1,5 + 0 ).500

A sw = 0, 28 cm 2 > 0, 032 cm 2 = A sw , min

O.K.

6. Schéma de ferraillage

- COUPE AA 4

3

3 5

2

- VUE EN PLAN 1

1

3 2

4 5 A

A 3

3

3

4 5

Poinçonnement

Repère

Armature

Nombre

Observations

    

φ 12 HA φ8 Cadres φ 6 HA φ 6 HA φ 6 HA

5 pm 5 pm 4×4 2×2 2×2

Armatures inférieures dalle Armatures inférieures dalle Armatures de poinçonnement Aciers de montage supérieurs Aciers de montage inférieurs

279

6 I.

Corbeaux

RAPPELS THÉORIQUES L’eurocode 2 traite des corbeaux dans une annexe informative.

1.

Définition On désigne par1 : FEd = effort vertical ultime, H Ed = effort horizontal ultime, a c = distance horizontale de la ligne d’action de FEd à la face la plus proche du poteau, h c = hauteur de la console au niveau de son encastrement dans le poteau, d = hauteur utile des armatures les plus proches de la face supérieure de la console, a H = distance de la face supérieure du dispositif d’appui à la ligne moyenne des armatures les plus proches de la face supérieure de la console. Les consoles courtes peuvent être étudiées au moyen d’un modèle de « bielle – tirant » défini comme suit2 : • tirant = armatures les plus proches de la face supérieure de la console ; • bielle = élément de béton comprimé incliné d’un angle θ sur l’horizontale, partant de l’intersection de l’axe de l’effort vertical FEd avec l’axe horizontal des aciers supérieurs tendus et coupant le plan de la face verticale du poteau ; z 0 = distance du pied de la bielle à l’axe horizontal des aciers supérieurs tendus. Un corbeau ou console courte est une console telle que : a c < z0

[17.1]

et 1 ≤ tgθ ≤ 2, 5

1. 2.

EC 2 – annexe J 3 (1) EC 2 – 6.5

[17.2]

282

FEd ac aH H Ed As, main

θ

bw

z0

d hc

La hauteur du corbeau peut être constante ou variable le long de sa portée. L’équilibre des moments au droit de la face du poteau s’écrit : FEd ac Fs

aH

A θ

Tirant

z0

HEd Bielle bw

d

B

Fc

t

[17.3]

t

[17.4]

M B = F Ed .a c + H Ed ( a H + z 0 ) = F s .z 0 M A = F Ed .a c + H Ed .a H = F c .a c .sin θ Nous en déduisons :

[17.3 ] ⇒

[17.4 ] ⇒

Fs = FEd

⎛ ac a ⎞ + H Ed ⎜ 1 + H ⎟ z0 z0 ⎠ ⎝

FEd + H Ed Fc =

sinθ

aH ac

[17.5]

[17.6]

Corbeaux

Les consoles pour lesquelles a c ≥ z 0 sont considérées comme des poutres en console (portes-à-faux). Lorsque la charge est directement appliquée au niveau de l’extrados de la console, on a un « appui direct » ; dans le cas contraire, on a un « appui indirect ». C’est le cas par exemple, d’une console courte supportant une poutre, lorsque le volume de la console est noyé dans la poutre :

« Appui direct »

2.

« Appui indirect »

Vérification de la compression des bielles de béton Limitation de la contrainte de compression des bielles de béton (en l’absence de traction transversale3) : fc ≤ σ Rd , max = fcd = α cc

fck γc

[17.7] (6.55)

avec : α cc = 1, valeur recommandée et à utiliser par l’Annexe nationale française4 dans le cas des bâtiments, α cc = 0, 85 , valeur recommandée dans le cas des ponts. L’Annexe nationale française préconise αcc = 1 (voir § 2.4.2.2, chapitre 3 : « Béton armé – Généralités », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). Dans la section droite a.bw de la bielle, nous avons :

3. 4.

EC 2 – 6.5.2 (1) EC 2 – voir AN

283

284

a cos θ = 2 d − z0

FEd

ac

HEd

FEd + H Ed

aH A s , main

Fc =

θ

fc =

z0 bw

aH ac

sinθ Fc ≤ σ Rd , max a .b w

d

Fc

aν

π −θ 2

a

fc

d− z 0

θ ah

bp t

D’où la vérification de la compression de la bielle de béton : 1 ≤ tgθ ≤ 2, 5 ⇒

choix de l’angle θ d’inclinaison de la bielle

FEd + H Ed

aH ac

⇒

Fc =

⇒

a≥

⇒

a h = a.sin θ ≤ t (profondeur de l’appui)

sinθ

Fc bw .σ Rd , max

[17.8]

[17.9] [17.10]

a z 0 = d − 2 > a c sinon, la structure envisagée est à considérer comme ⇒ cos θ une poutre-console. D’où la condition à satisfaire pour avoir une console courte, en respectant la compression de la bielle de béton : z0 > a c

Corbeaux

a d − 2 > ac cos θ d−

Fc > ac 2.bw .σ Rd , max . cos θ

aH a FEd + H Ed H ac ac d− =d− > ac 2.bw .σ Rd , max . cos θ.sinθ bw .σ Rd , max .sin2θ FEd + H Ed

aH ac d − ac > bw .σ Rd , max .sin2θ FEd + H Ed

FEd + H Ed sin2θ >

aH ac

bw ( d − a c ) .σ Rd , max

⇒ θ

Remarque Contraintes sur le prisme à base triangulaire en pied de la bielle de béton comprimée : – sur la facette « verticale » : fc =

Fc .cos θ avec a v = a.cos θ et en désignant par bp l’épaisseur du poteau ; bp .a v

– sur la facette « horizontale » : fc =

Fc .sin θ avec ah = a.sinθ. bp .ah

3.

Armatures

3.1

Armatures supérieures tendues Elles peuvent être constituées5 : • de cadres horizontaux ; • de barres avec crochet d’extrémité, ancrées :

5.

EC 2 – annexe J 3 (4)

285

286

– dans l’élément porteur, sur la paroi opposée et à partir des armatures du poteau les plus proches de cette paroi ; – au voisinage du nez de la console, au-delà du bord intérieur de la zone chargée. FEd ac HEd A s, main Ancrage

Ancrage

Les armatures supérieures tendues équilibrent les efforts de traction dans le tirant avec une contrainte : fs ≤ fyd =

fyk γs

D’où leur section : Fs = FEd

ac + H Ed z0

A s, main =

3.2

⎛ aH ⎞ ⎜⎝ 1 + z ⎟⎠ 0

Fs fyd

[17.11]

Armatures horizontales de répartition Si a c < 0, 5.h c , elles sont constituées de cadres fermés horizontaux ou inclinés, de section donnée par6 :

∑ As, ink = k1.As, main

[17.12]

avec : k1 = 0, 25 , valeur recommandée et à utiliser par l’Annexe nationale française7.

6. 7.

EC 2 – annexe J 3 (2) EC 2 – voir AN

Corbeaux

As, main

∑ As, ink

Dans le cas contraire, les armatures horizontales de répartition ne sont pas imposées.

3.3

Armatures verticales Elles sont constituées de cadres et étriers verticaux non calculés pour8 : • équilibrer les efforts de torsion (décentrement accidentel des charges, ou décentrement de construction) ; • équilibrer les efforts de fendage lorsque les aciers horizontaux sont de diamètre relativement gros et ancrés par courbure en nez de console ; • maintenir les aciers horizontaux. Dans le cas « d’appuis indirects », ces armatures servent d’armatures de suspension et doivent donc être calculées en conséquence.

3.3.1

Cas où ac ≤ 0,5.hc

Aucune armature verticale n’est requise. 3.3.2

Cas où ac > 0,5.hc

Effort tranchant résistant de calcul d’un élément sans armatures d’effort tranchant (voir § 3.2.1, chapitre 8 : « Effort tranchant », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles)9 :

8. 9.

EC 2 – annexe J 3 (3) EC 2 – 6.2.2 (1)

287

288

⎧ ⎡ CRd , c .k. 3 100.ρl .fck + k1 .σ cp ⎤ bw .d = VRd , c1 ⎦ ⎪⎣ VRd , c = Max ⎨ ⎪⎩ ⎡⎣ v min + k1 .σ cp ⎤⎦ bw .d = VRd , c 2

[17.13]

(6.2.a) (6.2.b)

(MN, MPa, m) Si FEd > VRd , c, on dispose une section d’armatures verticales constituée de cadres fermés verticaux de section totale :

∑ As, ink = k 2

FEd fyd

[17.14]

avec : k 2 = 0, 5 , valeur recommandée et à utiliser par l’Annexe nationale française10. Si FEd ≤ VRd , c, les armatures verticales ne sont pas requises. As, main

∑ As, ink

4.

Dispositions constructives L’armature supérieure doit être amenée suffisamment près du nez de console pour éviter la rupture de l’angle supérieur de la console.

10. EC 2 – voir AN

Corbeaux

FEd

FEd

A s, main

A s, main bw

bw

hc

hc

OUI

NON

ou

De même, pour éviter les risques de désordre au voisinage du nez de la console par écrasement du béton ou par fissuration, il faut prévoir un décalage entre le dispositif d’appui et l’extrémité de la console.

Décalage d’appui H Ed

As, main bw

hc

289

290

Disposition des armatures : As, main

As, main

∑ As, ink si FEd > VRD, c = k 2.As, main

∑ As, ink = k1.As, main

∑ As, ink = k1.As, main

a c ≤ 0, 5.h c

a c > 0, 5.h c

Remarque Dans le cas où a c > 0, 5.hc, contrairement aux indications du § 3.2 et par sécurité, on disposera des armatures horizontales de répartition.

II.

APPLICATION Application : console courte –Énoncé– On considère les consoles d’appui de la poutre, figurée ci-dessous :

25

25

10 m

cm

cm 10 cm H 40 cm

2 cm

35 cm 15 cm

50 cm

Actions sur la poutre : • charges permanentes (poids propre compris) : g = 10 kN/m ; • charges d’exploitation : – composante verticale (assimilable à une charge uniforme) : q = 15 kN/m ; – résultante des composantes horizontales : H = + 24 kN. Matériaux : • béton : fck = 25 MPa ; • aciers : S 500 HA.

Corbeaux

On se propose : 1/ de vérifier le béton ; 2/ de calculer les armatures.

–Corrigé– 1. Sollicitations en tête de console

Réaction verticale : L = longueur totale de la poutre FEd = (1, 35.g + 1, 5.q )

L = 10,00 + 2.0,25 = 10,50 m

L 2

FEd = (1, 35.10 + 1, 5.15)

10, 50 = 189 kN 2

Réaction horizontale : H Ed = 1, 5.H

H Ed = 1, 5.24 = 36 kN = 0,036 MN

2. Vérification de la compression des bielles de béton 2.1 Type de console

d = 0, 9.h c

d = 0,9.0,35 = 0,315 m

σ Rd , max = fcd = α cc

fck γc

FEd + H Ed sin2θ >

aH ac

bw ( d − a c ) .σ Rd , max

σ Rd, max = 1

25 = 16,7 MPa 1, 5

⇒ θ 0, 02 0, 25 sin2θ > 10 −3 = 0, 442 < 1 0, 40 ( 0, 315 − 0, 25) .16, 7 189 + 36

⇒ 1 ≤ tgθ ≤ 2, 5 FEd + H Ed Fc =

sinθ

2.θ = 26, 23° ⇒

θ = 13, 12°

⇔ 45° ≤ θ ≤ 68, 20° θ = 13, 12° < 45° ⇒ aH ac

prenons θ = 45˚

0,02 189 + 36 ---------0,25 F c = ---------------------------------- = 271,36 kN sin 45°

291

292

a≥

Fc bw .σ Rd , max

a≥

271, 36 10 −3 = 0,0406 m 0, 40.16, 7

a h = a.sin θ >< t

a h = 0, 0406.sin 45 = 0, 0287 m < 0, 50 m = t O.K.

a z 0 = d − 2 >< a c cos θ

0,0406 ---------------2 z 0 = 0,315 – ----------------- = 0,286 m > 0,25 m = a c cos 45° ⇒ La vérification du béton de la bielle est assurée et on a une console courte.

2.2 Remarque : contraintes sur le prisme à base triangulaire en pied de la bielle de béton comprimé

• sur la facette « verticale » : a v = a. cos θ

av = 0,0406.cos 45° = 0,0287 m

bp = épaisseur du poteau bp = 0,40 m (en l’absence d’indication de l’énoncé) fc =

Fc . cos θ bp .a v

–3

271,36.10 .cos 45° f c = ------------------------------------------------ = 16,71 MPa 0,40.0,0287

fc >< σ Rd , max

fc = 16, 71 MPa ≈ 16, 7 MPa = σ Rd , max O.K.

• sur la facette « horizontale » : a h = a.sin θ fc =

ah = 0,0406. sin 45° = 0,0287 m

Fc .sin θ bp .a h

fc >< σ Rd , max

–3

271,36.10 .sin 45° f c = ----------------------------------------------- = 16,71 MPa 0,40.0,0287 fc = 16, 71 MPa ≈ 16, 7 MPa = σ Rd , max O.K.

Conclusion Pour pouvoir satisfaire la vérification du béton sur le prisme à base triangulaire en pied de la bielle de béton comprimé, il faut augmenter l’épaisseur du poteau (et éventuellement celle de la console). En partant de la plus grande contrainte fc (ici, θ = 45˚ et les contraintes sur les côtés de l’angle droit du prisme à base triangulaire sont égales) : fc =

Fc .sin θ ≤ σ Rd , max bp .a h

⇒ bp ≥

Fc .sin θ a h .σ Rd , max –3

271,36.10 .sin 45° b p ≥ ----------------------------------------------- = 0,4003 m 0,0287.16,7

Corbeaux

⇒ bp = 45 cm 3. Armatures 3.1 Armatures supérieures tendues

Section : fs ≤ fyd =

Fs = FEd

fyk

fs =

γs

⎛ ac a ⎞ + H Ed ⎜ 1 + H ⎟ z0 z0 ⎠ ⎝

A s, main =

Fs = 189

Fs fyd

500 = 435 MPa 1, 15 0, 25 0, 02 ⎞ ⎛ + 36 ⎜ 1 + = 203,73 kN ⎝ 0, 286 0, 286 ⎟⎠

A s, main = ⇒

203, 73.10 −3 4 10 = 4, 68 cm 2 435

2 boucles φ 14 HA :

A s, main = 2.2.1,54 = 6,16 cm2

1 U ∅ 14 HA 1 U ∅ 14 HA

Ancrages aux deux extrémités : pour mémoire. 3.2 Armatures horizontales de répartition

Cadres fermés horizontaux : a c >< 0, 5.h c

a c = 0, 25 m > 0, 175 m = 0, 5.0, 35 = 0, 5.h c ⇒ pas d’armatures horizontales de répartition requises. Néanmoins, nous garderons par sécurité, la section minimale requise :

k1 = 0, 25 , valeur recommandée et à utiliser par l’Annexe nationale française : k1 = 0, 25

∑ As, ink = k1.As, main

∑ As, ink = 0, 25.6,16 = 1, 54 cm 2

⇒

2.2 boucles φ 6 HA :

A s, ink = 2.2.0, 28 = 1, 12 cm 2

293

294

∑ As, ink = 2.1,12 = 2,24 cm2

1 U ∅ 6 HA 1 U ∅ 6 HA 1 U ∅ 6 HA 1 U ∅ 6 HA

3.3 Armatures verticales

a c >< 0, 5.h c

a c = 0, 25 m > 0, 175 m = 0, 5.0, 35 = 0, 5.h c ⇒

nécessité de comparer FEd à VRd , c.

Effort tranchant résistant de calcul d’un élément sans armatures d’effort tranchant : A sl = aire de l’armature longitudinale tendue dans la section distante de d + l bd de celle étudiée : A sl = 2.2.1, 54 = 6, 16 cm 2 (2 boucles supérieures). ρl =

A sl >/ 2% bw .d

N Ed = effort normal

ρl =

6, 16 = 0, 0049 < 2 % 40.31, 5

N Ed = 0 (flexion)

σ cp =

N Ed Ac

VRd , c

⎧ ⎡ CRd , c .k. 3 100.ρl .fck + k1 .σ cp ⎤ bw .d = VRd , c1 ⎦ ⎪⎣ = Max ⎨ ⎪ ⎡⎣ v min + k1 .σ cp ⎤⎦ bw .d = VRd , c 2 ⎩

σ cp = 0

avec : CRd , c =

0, 18 γc

CRd , c =

0, 18 = 0, 12 1, 5

Corbeaux

⎧ 200 mm ⎪1 + k = Min ⎨ d ⎪2 ⎩

⎧ 200 = 1, 8 ⎪1 + k = 1, 8 = Min ⎨ 315 ⎪2 ⎩

k1 = 0, 15

k1 = 0, 15 3

3

v min = 0, 035.k 2 . fck

v min = 0, 035.1, 8 2. 25 = 0, 423

⎡ ⎤ 4, 9 VRd , c1 = ⎢ 0, 12.1, 8 3 100 25 + 0, 15.0 ⎥ 0, 40.0, 315 = 0, 063 MN 1 000 ⎣ ⎦ VRd , c 2 = ( 0, 423 + 0, 15.0 ) 0, 40.0, 315 = 0, 053 MN ⎧⎪ 0, 063 MN = VRd , c1 VRd , c = 0, 063 MN = Max ⎨ ⎪⎩ 0, 053 MN = VRd , c 2 Nécessité d’armatures verticales : FEd >< VRd , c

FEd = 0, 189 MN > 0, 063 MN = VRd , c ⇒

nécessité d’armatures verticales.

Armatures verticales : k 2 = 0, 5, valeur recommandée et à utiliser par l’Annexe k 2 = 0, 5 nationale française :

∑ As, ink = k 2

FEd fyd

∑ As, ink = 0, 50 ⇒

189.10 −3 4 10 = 2, 17 cm 2 435

2.2 cadres φ 6 HA :

∑ As, ink = 2.2.2.0,28 = 2,24 cm2 1 cadre ∅ 6 HA 1 cadre ∅ 6 HA

295

296

4. Schéma de ferraillage

40 cm 2 U ∅ 14 HA horizontaux

40 cm

2 U ∅ 6 HA horizontaux 2.2 cadres ∅6 HA 2 U∅ 6 HA horizontaux

35 cm

7

État limite ultime de fatigue

I.

RAPPELS THÉORIQUES

1.

Introduction Il convient d’effectuer une vérification à la fatigue pour les structures et les éléments de structure soumis à des cycles de chargement réguliers comme par exemple1 : • les chemins de roulement des grues ; • les ponts soumis à des charges de trafic élevées. L’Annexe nationale française exclut de la vérification à la fatigue les ouvrages suivants2 : • bâtiments ; • fondations et murs de soutènement ; • structures enterrées avec une couverture minimale de 1,00 m de terre ; • piles et poteaux non rigidement reliés aux superstructures ; • culées de voûtes et ponts à l’exception des culées creuses. Pour les ponts, la liste précédente est complétée par3 : • les passerelles, à l’exception des éléments de structure très sensibles au vent ; • les structures enterrées avec couverture de terre minimale de 1,50 m pour les ouvrages ferroviaires ; • les piles et poteaux non rigidement liés au tablier. La vérification à la fatigue est effectuée séparément pour le béton et pour l’acier4.

2.

Combinaisons d’actions Les actions cycliques potentiellement génératrices de fatigue dans les structures sont définies par :

1. 2. 3. 4.

EC 2 – 6.8.1 (2) EC 2 – voir AN EC 2 – 6.8.1 (102) EC 2 – 6.8.1 (1)P

298

• une intensité maximale ; • une intensité minimale ; • un nombre de cycles (occurrences) pendant lequels elles agissent, sur une période donnée (un an en général pour les charges routières par exemple). Pour le calcul des étendues de contrainte, on doit faire la distinction entre5 : • les actions non cycliques ; • et les actions cycliques génératrices de fatigue.

2.1

Combinaison de base Cette combinaison d’action ne prend en compte que les actions non cycliques. Symboliquement, elle se formule de la façon suivante (c’est une combinaison fréquente à l’ELS telle que définie au § 1.3.4, chapitre 3 : « Béton armé – Généralités », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) :

∑ G k , j + ψ1, 1.Q k , 1 + ∑ ψ 2, i .Q k , i j ≥1

(6.67)

i >1

avec : Q k , 1 et Q k , i actions non cycliques et non permanentes. Bien que la combinaison d’actions précédente corresponde aux ELS, la fatigue est considérée comme un ELU.

2.2

Combinaison de base plus action cyclique Cette combinaison d’actions prend en compte toutes les actions (cycliques et non cycliques). Symboliquement, elle se formule de la façon suivante :

∑ G k , j + ψ1, 1.Q k , 1 + ∑ ψ 2, i .Q k , i + Q fat j ≥1

(6.69)

i >1

avec : Q fat = charge de fatigue considérée (charge de trafic telle que définie dans l’EN 1991 par exemple, ou tout autre charge cyclique6).

5. 6.

EC 2 – 6.8.3 EN 1991

État limite ultime de fatique

3.

Calcul des contraintes Le calcul des contraintes doit être conduit dans l’hypothèse des sections fissurées7 (voir § 8.3, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles, et § 2.4.3, 3.4 et 4.2.2, chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). On appelle étendue de contrainte, la différence de contrainte, dans l’acier ou le béton, entre les contraintes calculées sous les deux combinaisons d’actions définies au § 2.

4.

Vérification pour les armatures

4.1

Vérification explicite de l’endommagement

4.1.1

Principe de la vérification

Le principe de la vérification pour les armatures consiste à comparer l’étendue de contraintes agissante (entre les combinaisons de base et de base plus action cyclique) à une étendue de contraintes résistante correspondant au type de barres utilisées. L’étendue de contraintes résistante est obtenue pour un nombre N* de cycles défini à partir d’une courbe caractéristique de résistance en fatigue8 (aussi appelée courbe S-N) : log ΔσRsk A : armatures à la limite d’élasticité A

b = k1 1 b = k2

1

log N N*

Pour cette courbe : N* = nombre de cycles de référence, Δσ Rsk = étendue de contraintes résistante,

7. 8.

EC 2 – 6.8.2 (1)P EC 2 – 6.8.4 (1)

299

300

b = k1 ou b = k 2 caractérisent les pentes des segments inclinés de la courbe, A correspond au cas des armatures soumises à la limite élastique sous la combinaison de base plus action cyclique. Les valeurs recommandées et à utiliser par l’Annexe nationale française des paramètres de la courbe S-N des armatures de béton armé sont données dans le tableau ci-dessous : Exposant de la contrainte k1

k2

DsRsk(MPa) Pour N* cycles

106

5

9

162,52

Barres soudées et treillis soudé

107

3

5

58,5

Dispositifs de couplage

107

3

5

35

Type d’armatures

N*

Barres droites et barres pliées1

Note 1 Pour les barres pliées, il convient de multiplier Δσ Rsk par le coefficient de réduction :

ξ = 0, 35 + 0, 026

D φ

avec : D = diamètre du mandrin de cintrage, φ = diamètre de la barre. Note 2 L’Annexe nationale française préconise : ⎧ 160 MPa : φ ≥ 40 mm Δσ Rsk = ⎨ ⎩ 210 MPa : φ ≤ 16 mm avec interpolation linéaire pour 16 mm < φ < 40 mm

4.1.2

Caractéristiques de la courbe S-N

Notations : Δσ A = fyk − σ sb = ordonnée de A , avec :

log ΔσRsk log ΔσA

σ sb = contrainte des arma- log Δσ* Rsk tures sous combinaison de base, N B = nombre de cycles correspondant au point B, de Δσ *Rsk = étendue contrainte résistante correspondant à N* cycles, N = nombre de cycles de l’action cyclique considérée.

A

A : armatures à la limite d’élasticité B

b = k1 1

log NB

log N*

b = k2

1 log N

Ordonnée du point A correspondant à la limite d’élasticité des armatures :

(

log Δσ A = log fyk − σ sb

)

État limite ultime de fatique

Abscisse du point B : log N* − log N B k = 1 1 log Δσ A − log Δσ *Rsk ⎛ Δσ * ⎞ N B = N ⎜ Rsk ⎟ ⎝ Δσ ⎠

⇒

N* ⎛ Δσ A ⎞ = N B ⎜⎝ Δσ *Rsk ⎟⎠

k1

⇒

k1

*

A

Étendues de contraintes résistantes : Δσ Rsk = Δσ A 1/ N ≤ N B ⇒ 2/ N B < N ≤ N*

⇒

⎛ Δσ * ⎞ N = N* ⎜ Rsk ⎟ ⎝ Δσ ⎠

1

k1

Δσ Rsk

⇒

Rsk

3/ N > N*

⇒

N ⎛ Δσ *Rsk ⎞ = N* ⎜⎝ Δσ Rsk ⎟⎠ 4.1.3

log N − log N* k = 2 1 log Δσ *Rsk − log Δσ Rsk

⎛ N * ⎞ k1 = Δσ *Rsk ⎜ ⎝ N ⎟⎠

⇒ 1

k2

⇒

Δσ Rsk =

Δσ *Rsk

⎛ N* ⎞ k 2 ⎜⎝ N ⎟⎠

Processus de vérification

La vérification à la fatigue pour l’acier est réalisée de la façon suivante : 1/ déterminer les caractéristiques géométriques de la section la plus sollicitée considérée comme étant fissurée ; 2/ établir la combinaison de base et en déduire les contraintes σ sb des armatures ; 3/ établir la combinaison de base plus action cyclique et en déduire les contraintes σ sc des armatures ; 4/ en déduire, par différence, l’étendue de contraintes appliquée dans les armatures Δσ s = γ F , fat .σ sc − σ sb9 avec : γ F , fat = 1,0 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française10 ; 5/ déterminer les caractéristiques de la courbe S-N correspondant aux aciers utilisés ( k1, k 2, N* et Δσ *Rsk correspondant à N*) dans le tableau du § 4.1.1 et tracer la courbe S-N avec :

9. EC 2 – 6.8.4 (1) 10. EC 2 – voir AN

301

302

Δσ A = fyk − σ sb k

⎛ Δσ * ⎞ 1 N B = N* ⎜ Rsk ⎟ ; ⎝ Δσ A ⎠ 6/ en déduire sur cette courbe l’étendue de la contrainte résistante Δσ Rsk correspondant au nombre N de cycles de l’action cyclique appliquée : N ≤ NB

⇒

Δσ Rsk = Δσ A 1

N B < N ≤ N*

⇒

Δσ Rsk

⎛ N * ⎞ k1 = Δσ *Rsk ⎜ ⎝ N ⎟⎠ 1

N>N

⇒

*

Δσ Rsk =

7/ vérifier11 : Δσ s ≤

Δσ *Rsk

⎛ N* ⎞ k 2 ⎜⎝ N ⎟⎠

Δσ Rsk γ s, fat

avec : γ s, fat = 1,15 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française12. 8/ On appelle endommagement des armatures dû à la fatigue, le rapport : D Ed =

N N*

Il faut vérifier de plus13 : D Ed =

4.1.4

N ≤1 N*

Remarque

Pour évaluer la durée de vie résiduelle de structures existantes ou la nécessité d’un renforcement une fois la corrosion amorcée, l’étendue de contrainte peut être déterminée en réduisant l’exposant k 2 pour des barres droites ou pliées14 :

11. 12. 13. 14.

EC 2 – 6.8.4 (1) EC 2 – 2.4.2.4 (1) note et voir AN EC 2 – 6.8.4 (2) EC 2 – 6.8.4 (5)

État limite ultime de fatique

k 2 = 5 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française15.

4.2

Cas de cycles multiples d’étendue variable L’endommagement total des armatures dû à la fatigue est calculé en appliquant la règle de cumul de Palmgren-Miner et doit vérifier16 : D Ed = ∑ i

n ( Δσ i )

N* ( Δσ i )

≤1

(6.70)

avec pour l’étendue de contrainte ( Δσ i ) appliquée : n ( Δσ i ) = nombre de cycles,

N* ( Δσ i ) = nombre de cycles à la rupture.

4.3

Méthode de l’étendue de contrainte équivalente La résistance en fatigue est satisfaisante si l’on vérifie17 :

( )

γ F , fat .Δσ s, equ N* ≤ avec :

( )

Δσ Rsk N* γ s, fat

(6.71)

( ) ( )

Δσ Rsk N* = étendue de contraintes pour N* cycles, donnée par les courbes SN (voir § 4.1), Δσ s, equ N* = étendue de contraintes équivalente pour N* cycles, donnée par les procédures de l’EN 1992-2 pour les ponts routiers et ferroviaires18, * Δσ s, equ N = σ s, max = étendue de contraintes équivalente pour N* cycles, pour les bâtiments sous les combinaisons de charge appropriées.

( )

4.4

Cas particuliers La résistance en fatigue des barres d’armatures non soudées tendues est satisfaisante si19 : Δσ s ≤ k1

15. 16. 17. 18. 19.

EC 2 – voir AN EC 2 – 6.8.4 (2) EC 2 – 6.8.5 (3) EN 1992-2 EC 2 – 6.8.6 (1)

303

304

avec : k1 = 70 MPa valeur recommandée et k1 = 100 MPa valeurs à utiliser pour l’Annexe nationale française20, Δσ s = étendue de contrainte sous une charge cyclique fréquente. La résistance en fatigue des barres d’armatures soudées tendues est satisfaisante si21 : Δσ s ≤ k 2 avec : k 2 = 35 MPa valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française22, Δσ s = étendue de contrainte sous une charge cyclique fréquente.

4.5

Cas des armatures d’âme

4.5.1

Inclinaison des armatures d’âme à prendre en compte

L’inclinaison θ des bielles sur la ligne moyenne est choisie de telle sorte que23 : 1 ≤ cotgθ ≤ 2, 5

⇔ 21, 8° ≤ θ ≤ 45°

(6.7N)

ou valeur fixée par l’Annexe nationale24 L’Annexe nationale française préconise : 1 ≤ cotgθ ≤ 2, 5 1+

⇔ 21, 8° ≤ θ ≤ 45° (flexion simple ou compression), (6.7aNF)

σ ct σ ≤ cotgθ ≤ 2, 5 1 + ct (traction). fctm fctm

(6.7bNF)

avec : σ ct ( < 0 ) : contrainte de traction au niveau du centre de gravité de la section. L’inclinaison θfat des bielles à retenir pour la vérification à la fatigue est telle que25 : ⎧ tgθ tgθfat = Min ⎨ ⎩1, 0

20. 21. 22. 23. 24. 25.

EC 2 – voir AN EC 2 – 6.8.6 (1) EC 2 – voir AN EC 2 – 6.2.3 (2) EC 2 – voir AN EC 2 – 6.8.2 (3)

.

(6.65)

État limite ultime de fatique

4.5.2

Vérification

Les armatures d’effort tranchant26 doivent être telles que (voir § 4.4.3, chapitre 8 : « Effort tranchant », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) : VRd , s ⎧ A sw ⎪ s ≥ z.f ( cotgθ + cotgα ) .sin α ywd fat ⎪ ⎪ ⎨ VRd , s = VEd , VEd 0 ou V 'Ed 0 ⎪ ⎪z = 0, 9.d ⎪⎩

5.

Vérification pour le béton comprimé

5.1

Éléments pour lesquels aucune armature d’âme n’est requise On désigne par27 : VEd, max = valeur de calcul de l’effort tranchant agissant maximal sous la combinaison fréquente de charges, VEd, min = valeur de calcul de l’effort tranchant agissant minimal sous la combinaison fréquente de charges, VRd , c = effort tranchant résistant de calcul d’un élément sans armatures d’effort tranchant (voir § 3.2.1, chapitre 8 : « Effort tranchant », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) : VRd , c = ⎡⎣ CRd , c .k. 3 100.ρl .fck + k1 .σ cp ⎤⎦ bw .d (MN, MPa, m)

(6.2.a)

Le béton résiste à la fatigue due aux sollicitations d’effort tranchant si :

pour

VEd , min VEd , max

26. EC 2 – 6.2.3 (2) 27. EC 2 – 6.8.7 (4)

≥ 0 on vérifie :

VEd , max VRd , c

⎧ VEd , min ⎪ 0, 5 + 0, 45 VRd , c ⎪ ⎪ ⎪ ≤ Min ⎨ 0, 9 si fck ≤ 50 MPa ⎪ ⎪ ⎪ 0, 8 si fck > 50 MPa ⎪ ⎩

(6.78)

305

306

pour

VEd , min VEd , max

< 0 on vérifie :

VEd , max VRd , c

≤ 0, 5 −

VEd , min VRd , c

(6.79)

Remarque En général, le second cas correspond aux appuis des poutres continues (pour lesquelles VEd, min et VEd, max sont de signes contraires), alors que le premier cas relève des appuis des poutres droites isostatiques (pour lesquelles VEd, max et VEd, min ont le même signe).

5.2

Éléments comportant des armatures d’âme On désigne par28 : σ cd , max, equ = borne supérieure de l’étendue de contraintes pour N cycles, σ cd , min, equ = borne inférieure de l’étendue de contraintes pour N cycles, fcd , fat = résistance à la fatigue du béton ( fck en MPa), f fcd , fat = k1 .β cc ( t 0 ) .fcd ⎛ 1 − ck ⎞ ⎝ 250 ⎠

(6.76)

avec (voir § 2.2.2, chapitre 2 : « Matériaux », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) : k1 = 0, 85 pour N = 106 cycles, valeurs recommandées et à utiliser pour l’Annexe nationale française29, t 0 = date de début du chargement cyclique en jours, β cc ( t 0 ) = e

28 s 1 – -----t0

(3.2)

où : ⎧ 0,20 : ciment de classe R (CEM 42,5 R, CEM 52,5 N et CEM 52,5 R) ⎪ s = ⎨ 0,25 : ciment de classe N (CEM 32,5 R et CEM 42,5 N) ⎪ ⎩ 0,38 : ciment de classe S (CEM 32,5 N) fck ⎧1, 2 pour les situations accidentelles, 30 avec : γ c = ⎨ γc ⎩1, 5 danss les autres cas. = 1 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française31.

fcd = α cc α cc

28. 29. 30. 31.

EC 2 – 6.8.7 (1) & (2) EC 2 – voir AN EC 2 – 3.1.6 (1)P & 2.4.2.4 (1) EC 2 – voir AN

État limite ultime de fatique

On définit : E cd , min, equ =

E cd , max, equ =

R equ =

σ cd , min, equ fcd , fat σ cd , max, equ fcd , fat

E cd , min, equ E cd , max, equ

= niveau minimal des contraintes de compression,

= niveau maximal des contraintes de compression,

= rapport des contraintes.

On peut admettre une résistance en fatigue satisfaisante pour le béton travaillant en compression si : 1/ pour les contraintes de flexion32 : E cd , max, equ + 0, 43 1 − R equ ≤ 1

(6.72)

2/ pour les contraintes de flexion et pour la compression des bielles33 :

σ c, max fcd , fat

σ c, min ⎧ ⎪ 0, 5 + 0, 45 f cd , fat ⎪ ⎪⎪ ≤ Min ⎨ 0, 9 si fck ≤ 50 MPa ⎪ ⎪ ⎪ 0, 8 si fck > 50 MPa ⎪⎩

(6.77)

où, dans la même fibre, sous la combinaison fréquente de charges : σ c, max = contrainte de compression maximale, σ c, min = contrainte minimale (prise comme nulle s’il s’agit d’une traction), ⎪⎧ fcd , fat : contraintes de flexion, 34 fcd , fat = ⎨ ⎩⎪ ν.fcd , fat : compression des bielles. avec comme valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française35 : f ν = 0, 6 ⎛ 1 − ck ⎞ où fck en MPa, ⎝ 250 ⎠

32. 33. 34. 35.

EC 2 – 6.8.7 (1) EC 2 – 6.8.7 (2) & (3) EC 2 – 6.8.7 (3) EC 2 – voir AN

(6.6N)

307

308

Pour les ponts, la première vérification précédente est remplacée par36 : m

n

∑ Ni i =1

≤1

(6.105)

i

avec : m = nombre d’intervalles d’amplitude constante, ⎛ E cd , max, i ⎞ 14 ⎜ 1 − ⎟ 1− R i ⎠ ⎝

N i = 10

(6.106)

n i = nombre réel de cycles d’amplitude constante dans l’intervalle i, où : Ri =

E cd , min, i E cd , max, i

= rapport des contraintes,

E cd , min, i =

E cd , max, i =

σ cd , min, i fcd , fat σ cd , max, i fcd , fat

(6.107)

= niveau minimal des contraintes de compression,

= niveau maximal des contraintes de compression,

σ cd , max, i = contrainte maximale pour un cycle, σ cd , min, i = contrainte minimale pour un cycle, fcd , fat = résistance de calcul à la fatigue du béton (formule (6.76) ci-devant). Pour les ponts routiers et ferroviaires, une méthode simplifiée, basée sur des abaques, figure en annexe des Règles EC 2, partie 237.

36. EC 2 – 6.8.7 (101) 37. EC 2 – 6.8.7 (101) + annexe NN

État limite ultime de fatique

II.

APPLICATION Application : section rectangulaire sans aciers comprimés –Énoncé– leff

COUPE AA 3 ∅ 12 HA (montage)

Q

2

A

leff = 6,85 m

3 cm

g, q 60 cm

A

5 cm 1 ∅ 20 HA 2 ∅ 25 HA 18 cm

Actions uniformément réparties : • permanentes : g1 = 15,40 kN/m (hors poids propre) ; • variables : q = 3 kN/m avec ψ1, 1 = 0, 77 et ψ 2, 1 = 0, 77 ; • cycliques : 0 ≤ Q fat ≤ 20 kN avec N = 105 cycles, ψ 2, i = 0, 77 et t 0 = 28 jours, αe =

Es = 15. E c, eff

La poutre considérée comporte des armatures d’âme. Matériaux : • béton : fck = 40 MPa, ciment de classe N, ε cu 2 = ε cu 3 = 3, 5 ‰ ; • aciers : S 500 A. On se propose, pour la vérification à la fatigue : 1/ de déterminer les sollicitations dans la section médiane ; 2/ de vérifier la résistance des armatures longitudinales ; 3/ de vérifier la résistance du béton comprimé.

309

310

–Corrigé– 1. Sollicitations de flexion pour la vérification à la fatigue dans la section médiane 1.1 Combinaison de base

Actions au ml : ϖ = poids volumique du béton armé

ϖ = 25 kN/m3

g = g1 + ϖ.bw .h

g = 15,40 + 25.0,18.0,60 = 18,10 kN/m

p b = g + ψ1, 1 .q

p b = 18,10 + 0,77.3 p b = 20,41 kN/m

Moment fléchissant maximal : Mb = pb

l 2eff 8

M b = 20, 41

6, 852 8

M b = 119,71 mkN 1.2 Combinaison de base plus action cyclique

Actions : pc = g + ψ1, 1 .q

pc = 18,10 + 0,77.3 pc = 20,41 kN/m

Q fat

Q fat = 20 kN

Moment fléchissant maximal : 2

 eff  eff M c = p c ------+ Q fat ------8 4

Mc = 20, 41

6, 852 6, 85 + 20 8 4

Mc = 153,96 mkN 2. Vérification de la résistance à la fatigue des armatures tendues 2.1 Caractéristiques géométriques de la section droite fissurée

2.1.1 Position de l’axe neutre Pour la section d’armatures en place : A s1 = 12, 96 cm 2 = 2.4, 91 + 3, 14 bw .x12 + α e A s1 .x1 − α e .A s1 .d = 0 2

État limite ultime de fatique

0, 18.x12 + 15.12, 96.10 −4.x1 − 15.12, 96.10 −4.0, 55 = 0 2 0, 09.x12 + 0, 01944.x1 − 0, 01069 = 0 Δ = 0, 01944 2 + 4.0, 09.0, 01069 = 0, 0650 2 x1 =

−0, 01944 + 0, 0650 = 0, 253 m 2.0, 09

α1 =

0, 253 = 0, 4599 0, 55

2.1.2 Moment d’inertie de la section fissurée I cf =

bw .x13 2 + α e .A s1 ( d − x1 ) 3 I cf =

0, 18.0, 2533 + 15.12, 96.10 −4 ( 0, 55 − 0, 253)2 = 0, 002664 m 4 3

2.2 Contraintes des armatures sous la combinaison de base

K=

Mb I cf

σ c = K.x1 σ sb = α e .K ( d − x1 )

K=

0, 11971 = 44, 94 MN/m 3 0, 002664

σ c = 44, 94.0, 253 = 11, 37 MPa σ sb = 15.44, 94 ( 0, 55 − 0, 253) = 200 MPa

2.3 Contraintes des armatures sous la combinaison de base plus action cyclique

K=

Mc I cf

σ c = K.x1 σ sc = α e .K ( d − x1 )

K=

0, 15396 = 57, 79 MN/m 3 0, 002664

σ c = 57, 79.0, 253 = 14, 62 MPa σ sc = 15.57, 79 ( 0, 55 − 0, 253) = 257 MPa

2.4 Étendue de contraintes sous l’action cyclique considérée

Δσ s = γ F , fat .σ sc − σ sb

311

312

avec : Δσs = 1.0,257 – 200 = 57 MPa

γ F , fat = 1,0

2.5 Caractéristiques de la courbe S-N correspondant aux aciers utilisés

Δσ A = fyk − σ sb

Δσ A = 500 − 200 = 300 MPa

⎧ N* ⎪ Armatures⎫ ⎪ k1 ⇒ ⎬ ⎨ utilisées ⎭ ⎪k2 ⎪ Δσ * ⎩ Rsk

⎧ N* = 106 Barres ⎫ ⎪ ⎪ k1 = 5 ⎪ droites ⎬ ⇒ ⎨ ⎪k2 = 9 tendues⎪⎭ ⎪ Δσ * = 162, 5 MPa ⎩ Rsk

⎛ Δσ * ⎞ N B = N* ⎜ Rsk ⎟ ⎝ Δσ A ⎠

k1

162, 5 ⎞ 5 N B = 106 ⎛ = 0, 047.106 = 4, 7.10 4 ⎝ 300 ⎠

2.6 Étendue de la contrainte résistante DsRsk

N ≤ NB

⇒

Δσ Rsk = Δσ A

N = 105 > 4, 7.10 4 = N B 1

NB < N ≤ N

*

⇒

Δσ Rsk =

Δσ *Rsk

⎛ N * ⎞ k1 ⎜⎝ N ⎟⎠ 1

N = 10 < 10 = N 5

6

*

⇒

Δσ Rsk

⎛ 106 ⎞ 5 = 162, 5 ⎜ 5 ⎟ = 258 MPa ⎝ 10 ⎠

2.7 Vérification

Étendue de contrainte : Δσ s ≤

Δσ Rsk γ s, fat

avec : γ s, fat = 1,15

258 Δσ s = 57 MPa ≤ 224 MPa = ---------- O.K. 1,15

Endommagement des armatures dû à la fatigue : D Ed =

N >< 1 N*

D Ed =

105 = 0, 1 < 1 O.K. 106

⇒ la résistance en fatique des armatures est satisfaisante.

État limite ultime de fatique

2.8 Remarque

Pour des barres non soudées : Δσ s >< k1 avec : k1 = 70 MPa Δσ s = étendue de contrainte sous une charge cyclique fréquente : Δσ s = 57 MPa < 70 MPa et la résistance en fatigue des armatures est satisfaisante. 2.9 Cas de l’Annexe nationale française

2.9.1 Vérification ⎧ 160 MPa : φ ≥ 40 mm * Δσ Rsk = ⎨ ⎩ 210 MPa : φ ≤ 16 mm En prenant par sécurité : φ = φmax

φ = 25 mm

Il vient : * 25 – 16 Δσ Rsk = 210 – 50 ------------------ = 191,25 MPa 40 – 16 191,25 Δσ Rsk = 258 ---------------- = 303,65 MPa 162,5

303,65 Δσ s = 57 MPa < 264 MPa = ---------------- = O.K. 1,15 2.9.2 Vérification simplifiée k1 = 100 MPa

Δσs = 57 MPa < 100 MPa OK

3. Vérification de la résistance à la fatigue du béton

La poutre considérée comporte des armatures d’âme. 3.1 Première vérification

3.1.1 Caractéristiques des matériaux

313

314

⎧ λ, fck >< 50 MPa ⇒ ⎨ ⎩η fcd = α cc

⎧ λ = 0, 8 fck = 40 MPa < 50 MPa ⇒ ⎨ ⎩η = 1

fck γc

fcu = η.α cc

fcd = 1

fck γc

40 = 26,7 MPa 1, 5

fcu = 1.1

40 = 26,7 MPa 1, 5

f fcd , fat = k1 .β cc ( t 0 ) .fcd ⎛ 1 − ck ⎞ ⎝ 250 ⎠ avec : k1 = 0, 85 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française :

k1 = 0, 85

t 0 = date de début du chargement cyclique en jours : t 0 = 28 jours β cc ( t 0 ) = e

28 s 1 – -----t0

où : ⎧ 0,20 : ciment de classe R (CEM 42,5 R, CEM 52,5 N et CEM 52,5 R) ⎪ s = ⎨ 0,25 : ciment de classe N (CEM 32,5 R et CEM 42,5 N) ⎪ ⎩ 0,38 : ciment de classe S (CEM 32,5 N) Ciment de classe N β cc ( t 0 ) =

⎡ 28 ⎤ 0 , 25 ⎢1 − ⎥ 28 ⎦ ⎣ e

⇒

s = 0,25

=1

40 ⎞ = 19,06 MPa fcd , fat = 0, 85.1.26, 7 ⎛ 1 − ⎝ 250 ⎠ 3.1.2 Vérification Contraintes extrêmes et niveau de contraintes dans le béton comprimé : σ cd , max, equ = borne supérieure de l’étendue de contraintes : σ cd , max, equ = 14, 62 MPa (voir § 2.3) σ cd , min, equ = borne inférieure de l’étendue de contraintes : σ cd , min, equ = 11, 37 MPa (voir § 2.2)

État limite ultime de fatique

σ cd , max, equ

E cd , max, equ =

E cd , min, equ =

R equ =

fcd , fat σ cd , min, equ fcd , fat

E cd , min, equ E cd , max, equ

E cd , max, equ =

14, 62 = 0, 77 19, 06

E cd , min, equ =

11, 37 = 0, 60 19, 06

R equ =

0, 60 = 0, 78 0, 77

Vérification : E cd , max, equ + 0, 43 1 − R equ >< 1

0, 77 + 0, 43 1 − 0, 78 = 0, 97 < 1 ⇒ résistance à la fatigue satisfaisante.

3.2 Seconde vérification

3.2.1 Contraintes extrêmes de compression du béton On considère la section de béton fissurée. 3.2.1.1 Contrainte maximale Moment fléchissant maximal sous la combinaison fréquente : p b = g + ψ1, 1 .q

p b = 18,10 + 0,77.3 p b = 20,41 kN/m

ψ 2, i .Q max

ψ 2, i .Q max = 0,77.20 = 15,4 KN 2

 eff  eff M b = p b ------+ ψ 2, i .Q max ------8 4

M b = 20, 41

6, 852 6, 85 + 15, 4 8 4

M b = 146,08 mkN Contrainte maximale sous la combinaison fréquente (voir § 2.2) : K=

Mb I cf

σ c, max = K.x1

K=

0, 1461 = 54, 84 MN/m 3 0, 002664

σ c, max = 54, 84.0, 253 = 13, 87 MPa

3.2.1.2 Contrainte minimale Moment fléchissant minimal (obtenu sous l’effet du poids propre et des charges d’exploitation quasi permanentes) : p b = g + ψ 2, 1 .q

p b = 18,10 + 0,77.3

315

316

p b = 20,41 kN/m ψ 2, i .Q min

ψ 2, i .Q min = 0,77. 0 = 0 kN 2

 eff  eff M b = p b ------+ ψ 2, i .Q min ------8 4

M b = 20, 41

6, 852 6, 85 +0 8 4

M b = 119,71 mkN Contrainte minimale : K=

Mb I cf

K=

σ c, min = K.x1

0, 11971 = 44, 94 MN/m 3 0, 002664

σ c, min = 44, 94.0, 253 = 11, 37 MPa

3.2.2 Vérification

σ c, max fcd , fat

σ c, min ⎧ ⎪ 0, 5 + 0, 45 f cd , fat ⎪ ⎪⎪ >< Min ⎨ 0, 9 si fck ≤ 50 MPa ⎪ ⎪ ⎪ 0, 8 si fck > 50 MPa ⎪⎩ ⎧ 0, 5 + 0, 45 11, 37 = 0, 77 ⎪⎪ 19, 06 13, 87 = 0, 73 < 0, 77 = Min ⎨ 19, 06 ⎪ 0, 9 ⎪⎩ ⇒ résistance à la fatigue satisfaisante.

ANNEXE

A2 1.

Analyse non linéaire – Diagramme contraintesdéformations du béton

Préambule  Soit à rechercher les primitives des fonctions :

1 x x2 x3 , , et . a+x a+x a+x a+x

 Nous obtenons : 1

∫ a + x dx = Log (a + x ) + K1

a+x−a a ⎤ dx = ∫ ⎡⎢1 − dx = x − a.Log ( a + x ) + K 2 a+x ⎣ a + x ⎦⎥ x2 ( a + x )2 − 2.a.x − a 2 dx ∫ a + x dx = ∫ a+x x

∫ a + x dx = ∫

= a .x +

x2 − 2.a [ x − a.Log ( a + x )] − a 2 .Log ( a + x ) + K 3 2

x2 + a 2 .Log ( a + x ) + K 3 2 x3 ( a + x )3 − 3.a 2 .x − 3.a.x 2 − a 3 dx = dx ∫a+x ∫ a+x ⎡ x x2 a3 ⎤ = ∫ ⎢( a + x )2 − 3.a 2 − 3.a − ⎥ dx a+x a + x a + x⎦ ⎣ = − a .x +

= a 2 .x + 2.a

⎡ ⎤ x 2 x3 x2 + − 3.a 2 [ x − a.Log ( a + x )] − 3.a ⎢ −a.x + + a 2 .Log ( a + x )⎥ 2 3 2 ⎣ ⎦

− a 3 .Log ( a + x ) + K 4

= a 2 .x + a .x 2 +

x3 3 − 3.a 2 .x + 3.a 3 .Log ( a + x ) + 3.a 2 .x − a.x 2 − 3.a 3 .Log ( a + x ) 2 3

− a 3 .Log ( a + x ) + K 4 x3 1 = a 2 .x − a .x 2 + − a 3 .Log ( a + x ) + K 4 2 3 6.a 2 .x − 3.a.x 2 + 2.x3 = − a 3 .Log ( a + x ) + K 4 6

334

2.

Diagramme contraintes-déformations du béton  Pour le calcul des effets du second ordre et pour des charges de courte durée d’application, on utilise le diagramme de calcul défini de la manière suivante1 :

σc k.η − η2 = fcm 1 + ( k − 2 ) η

σc

(3.14) fcm

avec : εc où ε c et ε c1 sont pris ε c1 en valeur absolue,

k.fcm (k = 0,4)

η=

0 , 31 ε c1 = 0, 7.fcm = déformation correspondant au pic de la courbe σ−ε ,

εc

εcul

εcl

Classe de résistance du béton

C16/20

C20/25

C25/30

C30/37

C35/45

C40/50

C45/55

C50/60

C55/67

C60/75

C70/85

C80/95

C90/105

E cm . ε c1 fcm

C12/15

k = 1, 05

Arctg Ecm

fck

12

16

20

25

30

35

40

45

50

55

60

70

80

90

fctm

1,6

1,9

2,2

2,6

2,9

3,2

3,5

3,8

4,1

4,2

4,4

4,6

4,8

5,0

fctk 0 , 05

1,1

1,3

1,5

1,8

2,0

2,2

2,5

2,7

2,9

3,0

3,1

3,2

3,4

3,5

fctk 0 ,95

2,0

2,5

2,9

3,3

3,8

4,2

4,6

4,9

5,3

5,5

5,7

6,0

6,3

6,6

εc1 (‰)

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

2,25

2,3

2,4

2,45

2,5

2,6

2,7

2,8

2,8

εcu1 (‰)

3,5

3,2

3,0

2,8

2,8

2,8

εc2 (‰)

2,0

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

εcu2 (‰)

3,5

3,1

2,9

2,7

2,6

2,6

εc3 (‰)

1,75

1,8

1,9

2,0

2,2

2,3

εcu3 (‰)

3,5

3,1

2,9

2,7

2,6

2,6

 L’EC 2 laisse la possibilité d’utiliser un autre diagramme contraintesdéformations dans la mesure où celui-ci représente bien le comportement du béton2.

1. 2.

EC 2 – 3.1.5 EC 2 – 5.8.6 (2)P

Annexe

 Pour la méthode générale d’évaluation des effets du second ordre, le diagramme ci-dessus est modifié comme suit3 : • fcm est remplacé par fcd , • E cm est remplacé par E cd =

E cm 4 γ cE

avec : γ cE = 1, 2 valeur recommandée et à utiliser pour l’annexe nationale française.

3.

Coefficients de remplissage et de centre de gravité du diagramme contraintesdéformations du béton (analyse non linéaire)

3.1.

Diagramme contraintes-déformations envisagé  Le diagramme contraintes-déformations du béton pour une analyse non linéaire et des charges de courte durée d’application est celui figurant au paragraphe 2.4.2.3. du chapitre 3 : « Béton armé – Généralités »5.  Dans le cas d’une section rectangulaire, nous avons :

εc d AN

xu = αu.d ξ

As1

σ cξ fcd

Diagramme déformations =

k.η − η2 1 + ( k − 2) η

avec :

3. 4. 5.

εcξ = εc

εs1

bw

EC 2 – 5.8.6 (3) EC 2 – 5.8.4 (4) EC 2 – 3.1.5 + 5.8.6 (3)

δG.xu fcd ξ

xu

σs1

σcξ

fcd Fc = ψ.Fc0

σs1

Diagramme contraintes réelles de référence

Fc0

335

336

η=

ε cξ ε c1

=

εc ξ . , ε c1 x u

0 , 31 , ε c1 = 0, 7.fcm

k = 1, 05

Coefficient de remplissage  Résultante des efforts de compression dans le béton : Fc =

xu b .σ .dξ 0 w cξ

∫

=

2 xu k.η – η ----------------------------- .dξ b .f 0 w cd 1 + ( k – 2 )η

∫

εc ξ ⎛ εc ξ ⎞ ----- – ------. ----k. ------. ε c1 x u ⎝ ε c1 x u⎠ xu = ∫0 b w .f cd ---------------------------------------------- .dξ εc ξ ----1 + ( k – 2 ) ------. ε c1 x u

a

Fc = bw .x u .fcd ∫

{

ε ξ 2 ξ k. ----- – ------c ⎛ -----⎞ ⎝ ⎠ x ε x u c1 x u 1 ξ = b w .x u .f cd ∫0u ------------ . ------------------------------------------ .d ⎛ -----⎞ ⎝ ⎠ k–2 ε x 1 ξ c1 u ------------ . -----+ ----k – 2 εc xu ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

3.2.

E cm . ε c1 avec γ cE = 1, 2. γ cE .fcd

u

1 1 ε k u u2 . .du − bw .x u .fcd ∫ . c . .du 0 k−2 ε 0 k−2 a+u c1 a + u 1

 Compte tenu des primitives calculées au paragraphe 1, il vient : Fc = bw .x u .fcd

k [ u − a.Log (a + u ) + K 2 ] 10 k−2

− bw .x u .fcd

ε 1 . c k − 2 ε c1

1

⎡ ⎤ u2 + a 2 .Log ( a + u ) + K 3 ⎥ ⎢ − a .u + 2 ⎣ ⎦0

k [1 − a.Log (a + 1) + a.Loga ] k−2 ε 1 1 . c ⎡⎢ −a + + a 2 .Log ( a + 1) − a 2 .Loga ⎥⎤ − bw .x u .fcd k − 2 ε c1 ⎣ 2 ⎦

= bw .x u .fcd

Annexe

Fc = bw .x u .fcd

k ⎡ 1 ⎤ 1 − a.Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ ⎢ ⎝ k−2⎣ a⎠⎦ ε ⎡1 1 1 ⎤ . c ⎢ − a + a 2 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ ⎝ k − 2 ε c1 ⎣ 2 a⎠⎦

− bw .x u .fcd

 D’où le coefficient de remplissage : Fc = ψ .Fc 0 = ψ .bw .x u .fcd soit : ψ=

ε ⎡1 1 ⎤ 1 ⎤ 1 k ⎡ . c 1 − a.Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ − − a + a 2 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ ⎝ ⎝ a⎠⎦ k − 2 ⎢⎣ a ⎠ ⎦ k − 2 ε c1 ⎢⎣ 2

avec : a=

Coefficient de centre de gravité  Le moment des forces internes, pris par rapport à l’axe neutre, donne : ( x u – δ G .x u )F c =

2

xu xu k.η – η - .ξ.dξ ∫0 b w .σ cξ .ξ.dξ = ∫0 b w .f cd ----------------------------1 + ( k – 2 )η

εc ξ ⎛ εc ξ ⎞ ----- – ------. ----k. ------.

=

ε c1 x u ⎝ ε c1 x u⎠ xu - .ξ.dξ b .f --------------------------------------------0 w cd εc ξ

∫

1 + ( k – 2 ) ------. ----ε c1 x u

a

= bw .x u .fcd ∫

{

ε ξ 2 ξ k. ----- – ------c ⎛ -----⎞ x u ε c1 ⎝ x u⎠ x 1 ξ = b w .x u .f cd ∫0u ------------ . ------------------------------------------ .ξ.d ⎛ -----⎞ ⎝ ⎠ k–2 ε x 1 ξ c1 u ------------ . -----+ ----k – 2 εc xu ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

3.3.

1 ε c1 . k − 2 εc

u

1 xu k.x u u ε u3 . .du − bw .x u .fcd ∫ . c . .du 0 k−2 a+u 0 k−2 ε c1 a + u 1

2

337

338

 Compte tenu des primitives calculées au paragraphe 1, il vient : 1

⎤ k.x u ⎡ u2 + a 2 .Log g (a + u ) + K 3 ⎥ ⎢ − a .u + 2 k−2⎣ ⎦0

( x u − δ G .x u ) Fc = bw .x u .fcd

1

− bw .x u .fcd

k.x u ⎡ 1 − a + a 2 .Log ( a + 1) − a 2 .Loga ⎤⎥ k − 2 ⎢⎣ 2 ⎦

= bw .x u .fcd − bw .x u .fcd

Fc

{

( x u – δ G .x u )

ψ.b w .x u .f cd

⎤ x u ε c ⎡ 6.a 2 .u − 3.a.u 2 + 2.u3 . − a 3 .Log ( a + u ) + K 4 ⎥ ⎢ 6 k − 2 ε c1 ⎣ ⎦0

⎤ x u ε c ⎡ 6.a 2 − 3.a + 2 − a 3 .Log . g ( a + 1) + a 3 .Loga ⎥ ⎢ k − 2 ε c1 ⎣ 6 ⎦

k.x 1 2 1 = b w .x u .f cd -----------u- --- – a + a .Log ⎛ 1 + ---⎞ ⎝ k–2 2 a⎠ x u ε c 6.a 2 – 3.a + 2 3 - . ------ -------------------------------- – a .Log ⎛ 1 + 1---⎞ – b w .x u .f cd ----------⎝ k – 2 ε c1 6 a⎠

 D’où le coefficient de centre de gravité : ψ ( x u − δ G .x u ) =

k.x u ⎡ 1 1 ⎤ − a + a 2 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ ⎢ ⎝ k − 2 ⎣2 a⎠⎦ −

δG = 1 − +

4.

x u ε c ⎡ 6.a 2 − 3.a + 2 1 ⎤ . − a 3 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ ⎢ ⎝ 6 k − 2 ε c1 ⎣ a⎠⎦

1 ⎤ k ⎡1 − a + a 2 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ ⎢ ⎝ ψ ( k − 2) ⎣ 2 a⎠⎦

ε ⎡ 6.a 2 − 3.a + 2 1 1 ⎤ . c ⎢ − a 3 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ ⎝ ψ ( k − 2 ) ε c1 ⎣ 6 a⎠⎦

Remarque Pour les charges de durée d’application quelconque : • εc est remplacé par ε c (1 + ϕ ef ), • εc1 est remplacé par ε c1 (1 + ϕ ef ), • k = 1, 05

E cm . ε c1 (1 + ϕ ef ) γ cE .fcd

avec γ cE = 1, 2,

dans les expressions de ψ et de δ G.

A1 1.

Calcul numérique des déformations

Pose du problème Soit à rechercher l’aire limitée : • par l’axe des abscisses (x), • par la courbe y = f(x), • entre les abscisses x 0 et x 0 + 2 Δx.

y = f(x) y'

y0 x0

2.

y1

y2

x0 +  x x0 + 2 x

x

Arc de parabole circonscrit  En remplaçant la courbe réelle par un arc de parabole : • d’équation y = a.x 2 + b.x + c, • passant par les points ( x 0 , y 0 ) ; ( x 0 + Δx, y1 ) et ( x 0 + 2 Δx, y 2 ),

on obtient, en se plaçant dans le repère (x, y’), passant par le point ( x 0 , 0 ) : ⎧ y0 = c ⎪ 2 ⎨ y1 = a.Δx + b.Δx + c ⎪ 2 ⎩ y 2 = a. ( 2 Δx ) + b.2 Δx + c

320

 D’où les coefficients de l’équation de l’arc de parabole : y0 y1 y2 0

a=

0 1 Δx 1 2 Δx 1 y ( Δx − 2 Δx ) − y1 ( −2 Δx ) + y 2 ( − Δx ) y − 2.yy1 + y 2 = 0 ⇒ a= 0 0 1 2.Δx 2 2.Δx3 − 4.Δx3

( Δx )2

Δx

4 ( Δx )2

2 Δx 1

0

y0 1

( Δx ) b=

2

y1 1

(

)

(

− y 0 Δx 2 − 4 Δx 2 + y1 −4 Δx 2 − y 2 − Δx 2 y2 1 = 0 1 −2.Δx3

( Δx )2

Δx

4 ( Δx )

2 Δx 1

( Δx )

3.

)

(

4 ( Δx )2 0 2

0 2

4 ( Δx ) 0

c=

1

2

⇒ b=

4.y1 − 3.y 0 − y 2 2.Δx

1

0

y0

Δx

y1

)

(

y 0 2 Δx3 − 4 Δx3 − y1 ( 0 ) + y 2 ( 0 ) 2 Δx y 2 ⇒ c = y0 = 0 1 −2.Δx3

( Δx )2

Δx

4 ( Δx )

2 Δx 1

2

)

1

Calcul numérique des intégrales  La primitive de la fonction y = a.x 2 + b.x + c s’écrit dans le repère (x, y’) : Y = a.

x3 x2 + b. + c.x + d avec d = 0 3 2

 D’où, par intégration de y(x) sur l’intervalle [ x 0 , x 0 + Δx ] du plan (x, y) : x 0 + Δx

∫x

y( x).dx =

0

Δx

∫0

y( x).dx = a.

Δx3 Δx 2 + b. + c.Δx 3 2

 Soit, en remplaçant les constantes a, b et c par leurs valeurs : x 0 + Δx

∫x

0

y( x).dx =

y 0 − 2.y1 + y 2 Δx3 4.y1 − 3.y 0 − y 2 Δx 2 + y 0 .Δx + . . 2.Δx 2 3 2.Δx 2

Annexe

x 0 + Δx

∫x

y( x).dx =

0

y Δx ⎡ y 0 9 3 ⎤ − y 1 + 2 + 3.y1 − y 0 − y 2 + 3.y 0 ⎥ ⎢ 3 ⎣2 2 4 4 ⎦

⎡ ⎢ x 0 + Δx Δx ⎢ ⎛ 1 9 ⎞ ⎛1 ∫ x0 y(x).dx = 3 ⎢ ⎝ 2 − 4 + 3⎠ y 0 + ( −1 + 3) y1 + ⎝ 2 − ⎢ ⎢ 2 − 9 +12 = 5 ⎣ 4 4

⎤ ⎥ 3⎞ ⎥ y2 4 ⎠ ⎥⎥ ⎥ ⎦

[1]

 Et par intégration de y(x) sur l’intervalle [ x 0 , x 0 + 2 Δx ] du plan (x, y) : x 0 + 2 Δx

∫x

y( x).dx =

0

2 Δx

∫0

y( x).dx = a.

8 Δx3 4 Δx 2 + b. + c.2 Δx 2 3

 Soit, en remplaçant les constantes a, b et c par leurs valeurs : x 0 + 2 Δx

∫x

y( x).dx =

Δx [ 4.y 0 − 8.y1 + 4.y 2 + 12.y1 − 9.y0 − 3.y2 + 6.y0 ] 3

y( x).dx =

Δx [( 4 − 9 + 6) y 0 + ( −8 + 12) y1 + ( 4 − 3) y2 ] 3

y( x).dx =

Δx [ y 0 + 4.y1 + y 2 ] 3

0

x 0 + 2 Δx

∫x

y 0 − 2.y1 + y 2 8 Δx3 4.y1 − 3.y 0 − y 2 4 Δx 2 + y 0 .2 Δx + . . 3 2.Δx 2 2.Δx 2

0

x 0 + 2 Δx

∫x

y( x).dx =

0

x 0 + 2 Δx

∫x

0

[2]

Cette formule est appelée « formule des trois niveaux ».  Pour calculer l’intégrale de y(x) entre y 0 et y 2 n (le nombre d’ordonnées étant impair ⇔ le nombre d’intervalles étant pair), on considère les arcs de parabole successifs correspondant à y(x) sur les paires d’intervalles successives. On obtient ainsi de proche en proche :

y = f(x)

y0

y1

y2

y3

y4

y2n – 2

y2n – 1

y2n x

I

N II

321

322

y 0 + 4.y1 + y 2

I

y 2 + 4.y3 + y 4

II ...

……

y 2 n − 2 + 4. y 2 n − 1 + y 2 n

N

2n Δx ∫ 0 y ( x ) .dx = 3 [ y 0 + 4.y1 + 2y 2 + 4.y3 + ... + 2y 2n − 2 + 4.y 2n −1 + y 2n ]

Total :

[ x0 + Δx, x0 + 2Δx ]

 Remarque : l’intégration de y(x) sur l’intervalle s’obtient en écrivant : x 0 + 2 Δx

∫x

y( x).dx =

0

x 0 + Δx

∫x

0

y( x).dx + ∫

x 0 + 2 Δx x 0 + Δx

y( x).dx

D’où : x 0 + 2 Δx

∫x

0 + Δx

x 0 + 2 Δx

∫x

0

+ Δx

x 0 + 2 Δx

∫x

0

+ Δx

y( x).dx =

x 0 + 2 Δx

∫x

0

y( x).dx − ∫

x 0 + Δx x0

y( x).dx

y( x).dx =

Δx Δx [ y 0 + 4.y1 + y 2 ] − 3 [1, 25.y0 + 2.y1 − 0, 25.y 2 ] 3

y( x).dx =

Δx [ −0, 25.y 0 + 2.y1 + 1, 25.y 2 ] 3

 Soit une formule « symétrique » de celle relative à

x 0 + Δx

∫x

y( x).dx .

0

4.

Méthodes simplifiées pour la double intégration de la courbure

4.1.

Méthode basée sur une variation linéaire de la courbure

4.1.1.

Introduction

 Considérons une poutre sur deux appuis simples, de portée , découpée en deux tronçons de longueur /2 :

x

x'

/2 1

/2 2

3

Annexe

 Sur chacune des demi-travées, en supposant que la variation de la courbure est linéaire, nous pouvons poser : Demi-travée de gauche

y" = y' = θ = y=f=

Demi-travée de droite

1 = a .x + b r

y" =

1 2 a.x + b.x + c 2

y' = θ =

1 1 a.x3 + b.x 2 + c.x + d 6 2

y=f=

1 = α . x '+ β r 1 α.x '2 + β.x '+ γ 2

1 1 α.x '3 + β.x '2 + γ .x '+ δ 6 2

 Les conditions aux limites à respecter s’écrivent : • pour les courbures : y "( x = 0) = b =

1 r1

y "( x ' = 0) = β =

1 r3

1   y” ⎛ x = ---⎞ = y” ⎛ x’ = ---⎞ = ---⎝ ⎝ r2 2⎠ 2⎠

1 1 1 a. + b = α. + β = r2 2 2

⇒

⎧ 1 a. + 1 = 1 ⎪⎪ 2 r1 r2 ⇒ ⎨ ⎪ 1 α. + 1 = 1 ⎪⎩ 2 r3 r2

⇒

⎧ 2 1 1 ⎪ a = --- ⎛⎝ ---- – ----⎞⎠  r2 r1 ⎪ ⎨ 1 1⎞ ⎪ α = 2--- ⎛ --- – ---⎪  ⎝ r 2 r 3⎠ ⎩

• pour les flèches : y ( x = 0) = d = 0 ⇒

d=0

y ( x ' = 0) = δ = 0 ⇒

δ=0

  y ⎛ x = ---⎞ = y ⎛ x’ = ---⎞ ⎝ ⎝ 2⎠ 2⎠

⇒

1 1 1 1 1 1 a.3 + b.2 + c. + d = α.3 + β.2 + γ . + δ 48 8 2 48 8 2 2

2

2

2

 1 1 1  1  1 1 1  1 ⇒ ----- ⎛ --- – --- ⎞ + -- . ---- + -- c.  = ----- ⎛ --- – --- ⎞ + -- . ---- + -- γ .  24 ⎝ r 2 r 1⎠ 8 r 1 2 24 ⎝ r 2 r 3⎠ 8 r 3 2

323

324

2

2

2

2

2

  1  1  ⇒ c.  – γ .  = ----- ⎛ -1-- – -1-- ⎞ + -- ⎛ ---- – ---- ⎞ = – ---- . --- + ---- . --⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 12 r 1 r 3 4 r3 r1 6 r1 6 r3

[α]

• pour les rotations :   y’ ⎛ x = ---⎞ = y’ ⎛ x’ = ---⎞ ⎝ ⎝ 2⎠ 2⎠

1 2 1 1 1 a. + b. + c = − α.2 − β. − γ 8 2 8 2

⇒

⇒

-- ⎛ 1 1 ⎞ -- -1-  1 --- – --- + . + c = – -- ⎛ -1-- – -1-- ⎞ – -- . --- – γ 4 ⎝ r 2 r 1⎠ 2 r 1 4 ⎝ r 2 r 3⎠ 2 r 3

⇒

 c + γ = – -4

⎛ -2-- – -1-- – -1-- ⎞ – -- . -1-- – -- . -1--⎝ r 2 r 3 r 1⎠ 2 r 3 2 r 1

 1  1  1 ⇒ c+γ = − . − . − . 2 r2 4 r3 4 r1

[β]

• d’où les coefficients c et γ :

[ α ] ⇒ c. − γ . = −

[β ]

2 1 2 1 . + . 6 r1 6 r3

 1  1  1 ⇒ c+γ = − . − . − . 2 r2 4 r3 4 r1 2

2

2

2

  1 1    1 2.c.  = – ⎛ ---- + ---- ⎞ --- – -- . ---- + ⎛ ---- – ---- ⎞ --⎝ 6 4 ⎠ r1 2 r2 ⎝ 6 4 ⎠ r3

[ α ] + . [ β ]

⇒

⇒ 2.c. = −

5.2 1 2 1 2 1 . − . − . 12 r1 2 r2 12 r3

. [ β ] – [ α ]

  1  1   1 ⇒ 2. γ .  = ⎛ – ---- + ---- ⎞ --- – ---- . --- – ⎛ ---- + ---- ⎞ --⎝ 4 6 ⎠ r1 2 r2 ⎝ 6 4 ⎠ r3

⇒ 2.γ . = −

2 1 2 1 5.2 1 . − . − . 12 r1 2 r2 12 r3

2

2

⇒ c=− 2

⇒ γ=−

5. 1  1  1 . − . − . 24 r1 4 r2 24 r3 2

2

 1  1 5. 1 . − . − . 24 r1 4 r2 24 r3

 La flèche à mi-portée s’exprime alors en fonction des courbures par la relation : 3 2  1 1 1 y 2 = y ⎛ ---⎞ = f = ------ a. + --- b. + --- c. + d ⎝ 2⎠ 48 8 2

1 2 1 1 3 1 1 2 1 5. 1  1  1 y 2 = ------ . --- ⎛ ---- – ----⎞ . + --- . ---- . + --- ⎛ – -------- . ---- – --- . ---- – ------ . ----⎞ . + 0 48  ⎝ r 2 r 1⎠ 8 r1 2 ⎝ 24 r 1 4 r 2 24 r 3⎠

Annexe

y2 =

2 1 2 1 2 1 5.2 1 2 1 2 1 . − . + . − . − . − . 24 r2 24 r1 8 r1 48 r1 8 r2 48 r3 2

2

2

2

2

2

  1   5. 1  1 y 2 = ⎛ ------ – -----⎞ . ---- + ⎛ – ------ + ----- – ----------⎞ . ---- – ------ . ---⎝ 24 8 ⎠ r 2 ⎝ 24 8 48 ⎠ r 1 48 r 3 y2 = −

2 1 2 1 2 1 . − . − . 12 r2 48 r1 48 r3 2

 1 1 1 y 2 = – ------ ⎛ 1. ---- + 4. ---- + 1. ----⎞ 48 ⎝ r 1 r2 r 3⎠ sur les appuis extrêmes : y1 = y3 = 0  Cette méthode peut être généralisée au cas de poutres dont la portée a été découpée en n parties égales (avec n pair).  Remarque : dans le cas d’une poutre découpée en deux tronçons, on retrouve la formule des trois niveaux (cf. § 3). 4.1.2.

Généralisation

1  Nous pouvons évaluer la flèche à partir de la courbure , sans double r intégration, en utilisant la formule : yi = −

2 N

n

1

j =1

j

∑ k i, j r

⎧ i = indice de la section où l’on calcule la flèche, ⎪ où ⎨ j = indice de la section dont on connaît la courbure, ⎪ n = nombre (impair) de sections du découpage. ⎩ avec :

( )

1 Mser x j = rj E c , eff I

et I = I ch ou I cf selon le cas.

Les valeurs de N et k i , j étant donnés ci après.  Le signe négatif provient du fait que la flèche est considérée comme positive dans le sens ascendant.

325

326

4.1.2.1. Découpage en 2 tronçons

/2

/2

1

2

3

N = 48 ; y1 = 0 , y3 = 0 ⎡1 r1 ⎤ y 2 = [1 4 1] . ⎢⎢1 r2 ⎥⎥ ⎣⎢1 r3 ⎦⎥ 4.1.2.2. Découpage en 4 tronçons

/4 1

/4

/4

2

3

/4 4

5

N = 384 ; y1 = 0, y5 = 0 ⎡1 r1 ⎤ ⎡ y 2 ⎤ ⎡ 3 14 12 6 1 ⎤ ⎢⎢1 r2 ⎥⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ 2 12 20 12 2 ⎥ . ⎢1 r ⎥ 3 ⎢ 3⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ y 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 6 12 14 3 ⎥⎦ ⎢⎢1 r4 ⎥⎥ ⎢⎣1 r5 ⎥⎦ 4.1.2.3. Découpage en 6 tronçons

/6 1

/6 2

/6 3

/6 4

N = 1 296 ; y1 = 0, y 7 = 0 ⎡ y2 ⎤ ⎡ 5 ⎢ y ⎥ ⎢4 ⎢ 3⎥ ⎢ ⎢ y4 ⎥ = ⎢ 3 ⎢y ⎥ ⎢ ⎢ 5 ⎥ ⎢2 ⎢⎣ y6 ⎥⎦ ⎢⎣ 1

24 24 18 24 42 36 18 36 48 12 24 36 6 12 18

12

6

24 36 42 24

12 18 24 24

⎡1 r1 ⎤ 1 ⎤ ⎢1 r2 ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢1 r3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ 3 ⎥ ⎢1 r4 ⎥ 4 ⎥⎥ ⎢1 r5 ⎥ ⎢ ⎥ 5 ⎥⎦ ⎢1 r6 ⎥ ⎣⎢1 r7 ⎥⎦

/6 5

/6 6

7

Annexe

4.1.2.4. Découpage en 8 tronçons

/8

/8

1

/8

2

3

/8 4

/8 5

/8 6

/8 7

/8 8

9

N = 3 072 ; y1 = 0 , y9 = 0 ⎡ y2 ⎤ ⎡ 7 ⎢ y ⎥ ⎢6 ⎢ 3⎥ ⎢ ⎢ y4 ⎥ ⎢ 5 ⎢y ⎥ ⎢ ⎢ 5 ⎥ = ⎢4 ⎢ y6 ⎥ ⎢ 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ y7 ⎥ ⎢ 2 ⎢⎣ y8 ⎥⎦ ⎢⎣ 1

34 36 30 24 36 64 60 48 30 60 82 72 24 48 72 88 18 36 54 72 12 24 36 48 6 12 18 24

18 36 54 72 82 60 30

12 24 36 48 60 64 36

6 12 18 24 30 36 34

⎡1 r1 ⎤ 1 ⎤ ⎢1 r2 ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎥ ⎢1 r3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ 3 ⎥ ⎢1 r4 ⎥ 4 ⎥⎥ ⎢1 r5 ⎥ ⎢ ⎥ 5 ⎥ ⎢1 r6 ⎥ ⎥ 6 ⎥ ⎢1 r7 ⎥ ⎢ ⎥ 7 ⎥⎦ ⎢1 r8 ⎥ ⎢⎣1 r9 ⎥⎦

4.1.2.5. Découpage en 10 tronçons

/10 1

/10 2

/10 3

/10 4

/10 5

/10 6

/10 7

/10 8

/10 9

/10 10

N = 6 000 ; y1 = 0 , y11 = 0 ⎡ y2 ⎤ ⎡9 ⎢ y ⎥ ⎢8 ⎢ 3⎥ ⎢ ⎢ y4 ⎥ ⎢ 7 ⎢y ⎥ ⎢ ⎢ 5 ⎥ ⎢6 ⎢ y6 ⎥ = ⎢ 5 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ y7 ⎥ ⎢4 ⎢ y8 ⎥ ⎢ 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ y9 ⎥ ⎢ 2 ⎢⎣ y10 ⎥⎦ ⎢⎣ 1

44 48 42 36 30

48 42 36 30 24 86 84 72 60 48 84 116 108 90 72 72 108 134 120 96 60 90 120 140 120

24 18 12 6

48 36 24 12

72 54 36 18

96 72 48 24

18 36 54 72 90

12 24 36 48 60

6 122 18 24 30

120 1344 108 72 36 90 108 116 84 42 60 72 84 86 48 30 36 42 48 44

⎡ 1 r1 ⎤ 1 ⎤ ⎢ 1 r2 ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎥ ⎢ 1 r3 ⎥ ⎥ 3 ⎥ ⎢⎢ 1 r4 ⎥⎥ 4 ⎥⎥ ⎢ 1 r5 ⎥ ⎢ ⎥ 5 ⎥ ⎢ 1 r6 ⎥ ⎥ 6 ⎥ ⎢ 1 r7 ⎥ ⎢ ⎥ 7 ⎥ ⎢ 1 r8 ⎥ ⎥ 8 ⎥ ⎢ 1 r9 ⎥ ⎢ ⎥ 9 ⎥⎦ ⎢1 r10 ⎥ ⎢1 r ⎥ ⎣ 11 ⎦

11

327

328

4.1.3.

Exemples 4.1.3.1. Charge concentrée à mi-portée d’une poutre sur deux appuis simples

/2 x

P

 M ( x) =

P x 2

⇒

dω 1 M ( x ) P = = = x dx r EI 2EI

 Pour un découpage en quatre tronçons : 1 1 P. 1 P. 1 1 P. 1 1 ; = ; = = ; = =0 = 0; = r1 r2 8.EI r3 4.EI r4 r2 8.EI r5 r1  D’où la flèche à mi-portée (cf. § 4.1.2.b) : y3 =

2 ⎡ 1 1 1 1 1⎤ ⎢ 2 + 12 + 20 + 12 + 2 ⎥ r2 r3 r4 r5 ⎦ 384 ⎣ r1

y3 =

3 3 2 P. ⎡ 1 1 1 ⎤ = 8.P. = P. . . 2 0 + 12 + 20 + 12 + 20 ⎥⎦ 384.EI 48.EI 384 EI ⎢⎣ 8 4 8

4.1.3.2. Charge uniformément répartie sur une poutre sur deux appuis simples

P x M ( x) =

p.x (  − x ) 2

⇒



dω 1 M ( x ) p.x (  − x ) = = = dx r EI 2.EI

 Pour un découpage en dix tronçons : 1 1 p.2 1 1 p.2 1 1 ; = = 0, 16 ; = = 0; = = 0, 09 r1 r11 2.EI r2 r10 2.EI r3 r9

Annexe

1 1 p.2 1 1 p.2 1 1 p.2 = = 0, 21 ; = = 0, 24 ; = = 0, 21 r4 r8 2.EI r5 r7 2.EI r4 r8 2.EI  D’où la flèche à mi-portée (cf. § 4.1.2.e) : y6 =

2 ⎪⎧ ⎡ 1 1 ⎪⎫ 1 1 1 1⎤ ⎨ 2 ⎢5 + 30 + 60 + 90 + 120 ⎥ + 140 ⎬ par symétrie. r2 r3 r4 r5 ⎦ 6 000 ⎩⎪ ⎣ r1 r6 ⎭⎪

y6 =

2 p.2 . {2 [5.0 + 30.0, 09 + 60.0,16 + 90.0, 21 + 120.0, 24 ] + 140.0, 25} 6 000 2.EI

y6 =

77, 5 p.4 5.p.4 5.p.4 . = ≈ 6 000 EI 387.EI 384.EI

 Écart : 5 5 − Δy6 384 387 = = 8 ‰. 5 y6 384

4.2.

Méthode basée sur une variation de la courbure identique à celle du moment fléchissant

4.2.1.

Introduction

 Considérons une poutre sur deux appuis simples, de portée , uniformément chargée : M0 =

p.2 8

1 M0 = r0 EI 4

 5.p. f = y ⎛ ---⎞ = – ---------------⎝ 2⎠ 384.EI  On peut donc écrire, en se plaçant à mi-travée : f=−

5.p.4 5 M 1 = − . 0 2 = −0, 104 2 384.EI 48 EI r0

329

330

4.2.2.

Généralisation

 Nous pouvons évaluer la flèche maximale, à partir de la courbure dans la section soumise au moment maximal, par la formule : 21 f = – k. ---r0 avec : k = coefficient fonction du diagramme des moments, 1 = courbure dans la section la plus sollicitée, r0  = portée de la poutre.  Le signe négatif provient du fait que la flèche est considérée comme positive dans le sens ascendant.  Le coefficient k dépend de la forme du diagramme des moments fléchissants. Il est donné par le tableau ci-après : Chargement

Diagramme du moment fléchissant

k

M0 M0

M0 0,125



 .

P

Mmax = P(1 – )

P 3 − 4.α 2 48(1 − α ) si α = 1 : 1 2 12



 M0

M0 0,0625





Annexe

α.l

P/2

P/2

P.α.l 2

α.l

0, 125 −

l

l

p

p.l 8

α2 6

2

0,104

l

l P.l2 15,6

p 0

0,102

l MA

p

l Mt

MB

β⎞ ⎛ 0, 104 ⎜ 1 − ⎟ ⎝ 10 ⎠

avec :

l α.l

MA

l

MB

M + MB β= A Mt

P.α.l

P

α (3 − α ) 6

l

l

si α = 1 : 1 3

331

332

p.α2.l2 2

α.l P

α(4 – α) --------------------12 si α = 1 :

l l/2

1 4

l P

MA

MB

MB

MA

a.l

l

a.l P

avec :

Mt

l

β⎞ ⎛ 0, 083 ⎜ 1 − ⎟ ⎝ 4⎠

M + MB β= A Mt

p.l (3 − 4.α2) 24 2

(

)2

2 1 5 − 4.α . 80 3 − 4.α 2

l

l

Bibliographie J.-A. Calgaro et J. Cortade, Applications de l’eurocode 2 : calcul des bâtiments en béton, Presses des Ponts-et-Chaussées, 2005. J. Perchat, Le calcul plastique, cours ESTP 1973. J. Roux, Résistance des matériaux par la pratique, tomes 1 à 4, Éditions Eyrolles 1995, 1998 et 1999.

Index

Cette table alphabétique reprend les expressions courantes utilisées en béton armé en renvoyant à la page dans laquelle elles sont définies ou utilisées la première fois.

–A– Actions cycliques....................................................................................

297

Aire chargée............................................................................................

247

Aire de contrôle de référence..................................................................

247

Analyse élastique linéaire .......................................................................

28

Analyse linéaire avec redistribution limitée ...........................................

29

Analyse non linéaire ...............................................................................

34

Analyse plastique....................................................................................

30

Applui direct ...........................................................................................

283

Appui indirect .........................................................................................

283

Armatures de peau ..................................................................................

181

Armatures en chapeau ............................................................................

35

–B– Bielle.......................................................................................................

281

–C– Chapeaux ................................................................................................

35

Coefficient d’amplification .....................................................................

71

Condition entièrement fissurée ...............................................................

197

Condition non fissurée ............................................................................

197

Console courte ........................................................................................

281

Contour de contrôle de référence............................................................

247

Contour de contrôle réduit ......................................................................

261

Contour de contrôle ................................................................................

247

336

Corbeau..................................................................................................

281

Courbe caractéristique de résistance en fatigue .....................................

299

Courbe S-N ............................................................................................

299

–D– Dalles .....................................................................................................

18

–E– Endommagement des armatures dû à la fatigue ....................................

302

Étendue de contrainte.............................................................................

299

Étendue de contraintes résistante...........................................................

299

Excentricité du premier ordre ................................................................

74

Excentricité du second ordre..................................................................

74

–F– Fissuration complète ..............................................................................

169

Fissuration non systématique.................................................................

169

Force critique d’Euler ............................................................................

69

–L– Longueur de flambement .......................................................................

70

Longueur efficace...................................................................................

75

–M– Méthode de l’équilibre...........................................................................

78

Méthode de la courbure .........................................................................

79

Méthode de la rigidité ............................................................................

79

Méthode des déformations internes .......................................................

78

Moment du premier ordre équivalent ....................................................

99

–N– Nombre de cycles...................................................................................

298

Index

–O– Ouverture calculée des fissures............................................................... 162, 176

–P– Paramètre de déformation.......................................................................

208

Portée utile ..............................................................................................

20

Poteaux ...................................................................................................

18

Poutres ....................................................................................................

18

Poutres-cloisons......................................................................................

18

–R– Rigidité nominale ...................................................................................

95

–S– Section de contrôle de référence.............................................................

247

–T– Tirant.......................................................................................................

281

–V– Valeur limite de l’ouverture calculée des fissures...................................

162

Voiles ......................................................................................................

18

337