Aspetti fluodinamici del colaggio in colata continua

EUR 11.970 *

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Commissione delle Communità europee

ricerca tecnica acciaio

Produzione siderurgica

ASPETTI FLUIDODINAMICI DEL COLAGGIO IN COLATA CONTINUA

Rapporto EUR 11970 IT Ingrandimento derivato da originale in microscheda

Commissione delle Communità europee

ricerca tecnica acciaio

Produzione siderurgica

ASPETTI FLUIDODINAMICI DEL COLAGGIO IN COLATA CONTINUA

CENTRO SVILUPPO MATERIALI S.pA Via di Castel Romano, 100-102 1-00129 ROMA

Convenzione n. 7210-CA/417 (1.7.1985-30.6.1987) RAPPORTO FINALE

Direzione generale Affari scientifici, ricerca e sviluppo

1988

Pubblicato dalla COMMISSIONE DELLE COMUNITÀ EUROPEE Direzione generale Telecomunicazioni, Industrie dell'Informazione e Innovazione L-2920 LUSSEMBURGO

AVVERTENZA Né la Commissione delle Comunità europee, né alcuna persona che agisca per conto suo, è responsabile dell'uso che dovesse essere fatto delle informazioni che seguono

Numero di catalogo: CD - NA - 11970-IT-C

© CECA-CEE-CEEA, Bruxelles · Lussemburgo, 1988

ASPETTI FLUIDODINAMICI DEL COLAGGIO IN COLATA CONTINUA Centro Sviluppo Materiali S.p.A. Convenzione CECA nr. 7210-CA/H17 Sommario 1. Obiettivo del progetto di ricerca La qualità del prodotto, la resa delle aggiunte e la produttività di un processo siderurgico dipendono fortemente dalle condizioni fisico-chimiche in cui esso avviene. In colata continua le condizioni fluidodinamiche che si instaurano in paniera ed in lingottiera influiscono in maniera decisiva sulla decantazione delle inclusioni, sul buon rendimento delle polveri di copertura, sulle modalità di formazione del primo strato di pelle solidificata, ecc.. Una grossa parte ^del lavoro di ricerca in questo campo viene svolto mediante l'impiego di modelli a freddo; una limitazione all'uso di questi modelli é data dai tempi relativamente lunghi di costruzione e dalla scarsa flessibilità per quanto riguarda eventuali modifiche dettate dalla sperimentazione. E' sorta quindi l'opportunità di integrare l'impiego di questi modelli con degli adatti programmi di calcolo i quali, una volta messi a punto, sono in grado di simulare almeno qualitativamente una grande varietà di situazioni con semplici cambiamenti dei dati di ingresso. Scopo del presente lavoro é quello di realizzare un programma di calcolo in grado di descrivere il moto dell'acciaio in paniera ed in lingottiera di colata continua. 2. Descrizione delle attività In collaborazione con il Dipartimento di Meccanica ed Aeronautica dell'Università di Roma, sono stati esaminati diversi metodi di calcolo atti a risolvere le equazioni del moto dei fluidi di Navier-Stokes. Su questa base é stato impostato lo schema di un programma di calcolo in grado di risolvere tali equazioni nel campo laminare. Il programma così realizzato é stato verificato utilizzando una configurazione standard (Driven Cavity) ampiamente riportata in letteratura. Una volta messo a punto, il programma é stato applicato al campo fluidodinamico indotto in lingottiera dal flusso di acciaio in

IV

uscita dallo scaricatore. E' stato studiato il comportamento del programma in funzione di variazioni imposte al passo del reticolo di calcolo ed al numero di Reynolds. Questa attività ha permesso di verificare che esiste un numero di punti minimo sotto il quale la soluzione non é più significativa e che al crescere del numero di Reynolds é necessario infittire il reticolo. Poiché per motivi di spazio di memoria e di tempi di calcolo non é possibile aumentare a dismisura i punti del reticolo stesso, il programma non é in grado di simulare numeri di Reynolds maggiori di 3000. Un confronto qualitativo tra i flow-patterns generati dal calcolo e quelli ottenuti da un modello a freddo in scala 1:1, mostrano un accordo molto buono e quindi la capacità del programma nel ricavare rapidamente andamenti del flow-pattern in lingottiera. Considerando che nei sistemi reali che si vogliono rappresentare, lingottiera e paniera di colata continua, si é in presenza di flussi con numero di Reynolds dell' ordine di grandezza 50000+100000, si é ritenuto opportuno migliorare il metodo di soluzione affinché sia stabile anche per questi valori. Inoltre, poiché con numeri di Reynolds così alti il flusso é sicuramente turbolento, é stato necessario introdurre dei modelli che tengano conto delle perdite di energia dovute alla turbolenza. Questa parte del lavoro é stata suddivisa in due fasi: a) Studio e realizzazione di un nuovo sistema di soluzione avente alta stabilità, buona velocità di calcolo e buona accuratezza, capace di simulare flussi con numero di Reynolds fino a 100.000. b) Studio e realizzazione di un modello di turbolenza e del relativo metodo di soluzione che, accoppiato al sistema realizzato al punto a, fornisca dei risultati il più possibile vicini a quelli sperimentali. La validità del programma così ottenuto é stata provata con dati di letteratura, sia teorici che sperimentali, riguardanti la Driven Cavity. Si é quindi simulato il flow-pattern indotto in lingottiera da scaricatori con fori orizzontali od inclinati di 10° verso il basso, con numero di Reynolds fino a 50.OOO. Utilizzando il modello a freddo in scala 1:1, é stato fatto un confronto tra le velocità misurate sperimentalmente e quelle calcolate, in alcuni punti della lingottiera. Ne é risultato che, malgrado alcune discrepanze tra i valori di velocità a confronto, i dati calcolati seguono fedelmente l'andamento di quelli sperimentali. A meno di successive modifiche al modello di turbolenza, sempre possibili dato che si tratta di un campo ancora largamente in fase di studio, i risultati relativi al flow-pattern in lingottiera possono ritenersi soddisfacenti.

Si é così passati alla simulazione del flusso di acciaio in paniera. Opportune modifiche introdotte nella routine che determina il contorno fisico del campo entro cui si svolge il flusso, hanno permesso di rappresentare configurazioni anche in presenza di pareti deflettrici della corrente di acciaio all' interno della paniera. Un confronto con dati sperimentali di letterautra ottenuti da modelli a freddo bidimensionali, ha permesso di verificare che anche in questo caso si hanno buoni risultati. Infine, il programma é stato completato con la messa a punto di un nuovo modulo in grado di prevedere 1' andamento del campo termico all' interno del dominio in funzione di temperature e flussi termici imposti come condizioni al contorno. Ciò ha permesso di simulare le isoterme all' interno della paniera in presenza di una sorgente supplementare di energia, una torcia al plasma, posta in corrispondenza del pelo libero. 3. Conclusioni Il lavoro svolto ha permesso di realizzare uno schema numerico bidimensionale in grado di simulare, per le lingottiere e le paniere di colata continua, l'andamento delle linee di corrente e delle distribuzioni di temperature in presenza di flussi turbolenti con Reynolds fino a 100000.

-VII

FIGURE Fig. 1

Modello fisico tridimensionale della lingottiera Mould 3-D model

Fig. 2

Schema della lingottiera

Fig. 3

Schematizzazione bidimensionale lizzata per il calcolo 2-D

Fig. 4

Schema della driven cavity

Fig. 5

Andamento delle linee di corrente nella driven cavity con Re=l ed 11x11 punti

Fig. 6

Confronto dell'andamento delle velocità orizzontali per diverse discretizzazioni Re=l

Fig. 7

Confronto dell'andamento delle velcoità diverse discretizzazioni Re=l

Fig. 8

Schema funzionale del modello in scala 1:1

Fig. 9

Andamento delle linee di corrente con scaricatore orizzontale Re=l

Fig. 10

Andamento delle linee di corrente con scaricatore orizzontale Re=400

Fig. 11

Andamento delle linee di corrente con scaricatore orizzontale Re=2000

Fig. 12

Andamento delle linee di corrente con scaricatore inclinato verso il basso di 250 Re = 2000

Fig. 13

Andamento sperimentale delle linee di corrente con scaricatore orizzontale per due diverse larghezze di bramma

Fig. IM

Andamento sperimentale delle linee di corrente con scaricatore inclinato di 250 verso il basso

Fig. 15

Andamento delle linee di corrente nella driven cavity con Re=100

Fig. 16

Andamento delle linee di corrente nella driven cavity con Re = 400

Fig. 17

Andamento delle linee di corrente nella driven cavity con Re = 3300

Fig. 18

Confronto di andamenti della velocità orizzontale nella driven cavity Re = 10000

lingottiera

e

del

flusso della

di

acciaio

lingottiera

verticali

in

uti-

per

VIII -

Fig. 19

Andamento della velocità orizzontale nella driven cavity con e senza modello di turbolenza Re = 10000

Fig. 20

Andamento delle linee di corrente nella driven cavity con Re = 10000

Fig. 21

Andamento delle linee di corrente nella driven cavity con Re = 10000 e modello di turbolenza

Fig. 22

Andamento delle linee di corrente con scaricatore orizzontale, Re = 10000

Fig. 23

Andamento delle linee di corrente con scaricatore orizzontale, Re = 50000

Fig. 24

Andamento delle linee di corrente con scaricatore inclinato di 100 verso il basso, Re = 10000

Fig. 25

Andamento delle linee di corrente con scaricatore inclinato verso il basso di 10°, Re = 50000

Fig. 26

Punti di misura nel modello della lingottiera in scala 1:1

Fig. 27

Confronto dell'andamento della velocità sperimentale e calcolata nella lingottiera

Fig. 28

Andamento calcolato delle linee di corrente in paniera

Fig. 29

Andamento sperimentale delle linee di corrente su modello a freddo bidimensionale

Fig. 30

Andamento delle linee di corrente con ostacolo "basso" posto sul fondo

Fig. 31

Andamento delle linee di corrente con ostacolo "alto" posto sul fondo

Fig. 32

Traiettoria delle inclusioni in paniera

Fig. 33

Traiettoria delle inclusioni in paniera con ostacolo "alto" posto sul fondo

Fig. 34

Andamento delle linee di corrente nella driven cavity nel caso termico

Fig. 35

Andamento delle isoterme nella driven cavity

Fig. 36

Andamento delle isoterme in paniera in presenza della torcia al plasma in due diverse posizioni

-IX

Resume

1. But de project de recherche La qualité du produit, le rendement des additions et la productivité d'un procédé sidérurgique dépendent en grande partie des conditions physico-chimiques dans lesquelles se déroule ce procédé. En coulée continue, les conditions fluido-dynamiques qui s'établissent dans le répartiteur et dans la lingotière on une influence déterminante sur la décantation des inclusions, sur le rendement des poudres de lingotière, sur les modalités de formation de la première couche de croûte solidifiée, etc.. Dans ce domaine, une bonne partie du travail de recherche s'effectue au moyen de modèles à froid; l'emploi de ces modèles est limité par les délais de construction, relativement longs, et par leur manque de souplesse, au cas où des modifications seraient dictées par l'expérimentation. Il s'est donc avéré utile de compléter l'emploi de ces modèles par des programmes de calcul appropriés: une fois mis au point, ces programmes sont capables de simuler, au moins au plan qualitatif, une grande variété de situations: il suffit pour cela de changer simplement les données en entrée. On s'est fixé pour but, dans ce travail, de réaliser un programme de calcul apte à décrire le mouvement de l'acier dans le répartiteur et dans la lingotière de coulée continue. 2. Description des activités On a examiné, en collaboration avec le Department de Mécanique et d'Aéronautique de l'Université de Rome, différentes méthodes de calcul en mesure de résoudre les équations du mouvement des fluides de Navier-Stokes. On a fondé sur cette base le schéma d'un programme de calcul apte à résoudre ces équations dans le champ laminaire. Le programme ainsi réalisé a été vérifié à l'aide d'une configuration standard (Driven Cavity) largement traitée dans la littérature. Une fois rais au point, le programme a été appliqué au champ fluidodynamique créé dans la lingotière par l'écoulement de l'acier à la sortie de la busette. On a étudié le comportement du programme en fonction de variations imposée à la maille de la grille de calcul et au nombre de Reynolds. Grâce à cette activité, on a pu

­χ

vérifier qu'il existe un nombre de points minimum au­dessous du­ quel la solution n'est plus significative, et que lorsque le nom­ bre de Reynolds augmente, il faut rétrécir les mailles de la grille. Etant donné que, pour des raisons d'espace de mémoire et de temps de calcul, il n'est pas possible d'augmenter outre mesu­ re les points de la grille, le programme n'est pas en mesure de simuler des nombres de Reynolds supérieurs à 3000. Une comparaison qualitative entre les configurations d'écoulement générées par le calcul et celles qui sont obtenues au moyen d'un modèle à froid grandeur nature, révèle une excellent correspon­ dance, et par conséquent la capacité du programme de calculer rapidement l'évolution de la configuration d'écoulement dans la lingotière. Compte tenu du fait que, dans les système réels que l'ont veut représenter, lingotières et répartiteurs de coulée continue, les écoulements ont un nombre de Reynolds de l'ordre de grandeur de 50.000+100.000, on a jugé bon d'améliorer la méthode de résolu­ tion, afin qu'elle soit également stable pour ces valeurs. En outre, comme pour des nombres de Reynolds aussi élevés, l'écoulement est certainement turbolent, il a fallu introduire des modèles qui tiennent compte des pertes d'énergie dues à la turbolence. Cette partie du travail a été divisée en deux phases: a) Etude et réalisation d'un nouveau système de résolution, de grande stabilité, bonne vitesse de calcul et précision sati­ sfaisante, capable de simuler des écoulements dont le nombre de Reynolds atteint 100.000. b) Etude et réalisation d'une modèle de turbolence et de sa mét­ hode de résolution qui, joint au système réalisé au point (a), fournisse des résultats le plus proches possible des résultats expérimentaux. La validité du programme ainsi obtenu a été prouvée par les don­ nées de la littérature, théoriques et expérimentales, concernant la Driven Cavity. On a ensuite simulé la configuration d'écoulement produite dans la lingotière par des busettes à orifice horizontal ou incliné de 10° vers le bas, et de nombre de Reynolds atteignant 5O.OOO. En utilisant le modèle à froid grandeur nature, on a établi comparaison entre les vitesses mesurées expérimentalement et vitesses calculées, en certains points de­ la lingotière. résultats montrent que, malgré quelques différences entre valeurs des vitesses comparées, les donées calculées suivent dèlement l'évolution des données expérimentales.

une les Les les fi­

A moins que ne soit ultérieurement modifié le modèle de turbulen­ ce, ce qui est toujours possible, s'agissant d'un domaine encore

XI

largement en phase d'étude, les résultats relatifs à la configuration d'écoulement en lingotière peuvent être considérés comme satisfaisants. On est donc passé à la simulation de l'écoulement d'acier dans le répartiteur. Des modifications appropriées introduites dans la routine qui détermine le contour physique du champ à l'intérieur duquel se fait l'écoulement ont permis de représenter également cette configuration en présence de parois déflectrices de l'écoulement d'acier, à l'intérieur du répartiteur. Une comparaison avec les données expérimentales citées dans la littérature, obtenues à partir de modèles à froid bidimensionnels, a permis de vérifier que dans ce cas aussi les résultsts sont bons. Enfin, on a complété le programme par la mise au point d'un nouveau module, capable de prévoir l'évolution du champ thermique à l'intérieur du domaine en fonction de températures et de flux thermique imposés comme conditions au contour. On a pu ainsi simuler les isothermes à l'intérieur du creuset en présence d'une source supplémentaire d'énergie, une torche à plasma placed à l'endroit de la surface libre. 3. Conclusions Le travail effectué a permis de réaliser un schéma numérique bidimensionnel, capable de simuler, pour les lingotières et les creusets d'alimentation de coulées continues, l'évolution des configurations d'écoulement et des distributions de températures en présence d'écoulements turbolents dont le nombre de Reynolds peut atteindre 100.000.

XIII -

Liste des figures Fig. 1 Modèle physique tridimensionnel de la lingotière Fig. 2

Schéma de la lingotière et de l'écoulement dans la lingotière.

de l'acier

Fig. 3

Schématisation bidimensionnelle de la lingotière utilisée pour le calcul

Fig. k

Schéma de la driven cavity

Fig. 5

Configuration de l'écoulement dans la driven cavity. Re = 1 et 11x11 points de grille

Fig. 6

Comparaison de l'évolution des vitesses horizontales pour différentes densités de grille Re = 1.

Fig. 7

Comparaison de l'évolution des vitesses verticales pour différentes densités de grille Re = 1.

Fig. 8

Schéma fonctionnel du modèle grandeur nature

Fig. 9

Evolution de la configuration d'écoulement pour une busette horizontal. Re = 1.

Fig.10

Evolution de la configuration d'écoulement pour une busette horizontal. Re = 400.

Fig.11

Evolution de la configuration d'écoulement pour une busette horizontal. Re = 2000.

Fig.12

Evolution de la configuration d'écoulement pour une busette incliné de 25° vers le bas. Re = 2000.

Fig.13

Evolution expérimentale de la configuration d'écoulement pour une busette horizontal, avec deux largeurs de brame différentes.

Fig.m

Evolution expérimentale de la configuration d'écoulement pour une busette incliné de 25° vers le bas.

Fig.15

Evolution de la configuration d'écoulement dans la driven cavity, pour Re = 100.

Fig. 16 Evolution de la configuration d'écoulement dans la driven cavity, pour Re = 400. Fig. 17 Evolution de la configuration d'écoulement dans la driven cavity, pour Re = 3300. Fig. 18 Comparaison de l'évolution des vitesses horizontales dans la driven cavity. Re = 10000

-XIV

Fig. 19 Evolution de la vitesse horizontale dans la driven cavity avec et sans modèle de turbolence. Re = 10000. Fig. 20 Evolution de la configuration d'écoulement dans la driven cavity, pour Re = 10000 Fig. 21 Evolution de la configuration d'écoulement dans la driven cavity, pour Re = 10000 et modèle de turbolence. Fig. 22 Evolution de la configuration d'écoulement pour une busette horizontal. Re = 10000. Fig. 23 Evolution de la configuration d'écoulement pour une busette horizontal. Re = 50000 Fig. 24 Evolution de la configuration d'écoulement pour une busette incliné de 10° vers le bas, Re = 10000 Fig. 25 Evolution de la configuration d'écoulement pour une busette incliné de 10° vers le bas, Re = 50000. Fig. 26 Points de mesure dans le modèle de la lingotière grandeur nature. Fig. 27 Comparaison de l'évolution des vitesses expérimentale et calculée dans la lingotière. Fig. 28 Evolution calculée de la configuration d'écoulement dans le répartiteur. Fig. 29 Evolution expérimentale de la configuration d'écoulement sur un modèle à froid bidimensionnel. Fig. 30 Evolution de la configuration d'écoulement avec barrière "basse" placée sur le fond. Fig. 31 Evolution de la configuration d'écoulement avec barrière "haute" placée sur le fond. Fig. 32 Trajectoire des inclusions dans le répartiteur Fig. 33 Trajectoire des inclusions dans le répartiteur, avec barrière "haute" placée sur le fond. Fig. 34 Evolution de la configuration d'écoulement dans la driven cavity dans le cas théorique. Fig. 35 Evolution des lignes isothermes dans la driven cavity Fig. 36 Evolution des lignes isothermes dans le répartiteur en présence de la torche à plasma.

-XV-

FLUID DYNAMIC ASPECTS OF CONTINUOUS CASTING

Summary of the report 1. Objective of research project Product quality, additive yield and the productivity of a steelmaking process depend markedly on the the physical and chemical conditions in which it occurs. In continuous casting the fluid dynamics conditions in the tundish and the mould have a decisive influence in the removal of inclusions, the good yield of covering powders, the method of formation of the first layer of solidified skin, etc. Much of the research in this field is performed by means of cold models. However, one of the limitations here is the relatively long construction time involved and the poor flexibility as regards such changes as may be dictated by the experimentation. It has thus become evident that it would be advisable to supplement these models by means of appropriate computer programs which, once developped, are capable of simulating a great variety situations, at least qualitatively by simple changes in input data. The aim of the work reported here is to produce a computer program capable of describing the flow of steel in the tundish and mould during continuous casting. 2. Description of work In collaboration with the Department of Mechanics and Aeronautics at Rome University an examination was made of various calculation methods capable of resolving the flow equations of Navier-Stokes fluids, and the results were used to prepare a computer capable of resolving the relevant equations in the laminar flow field. The program was checked by means of the driven cavity configuration about which much has been written. Once the program had been perfected it was applied to the fluid dynamics field induced in the mould by the flow of steel leaving the nozzle. The behaviour of the program was studied as a function of variations imposed on the calculation mesh and the Reynolds number. This activity revealed that there exists a minimum number of points beneath which the solution is no longer significant and that as the Reynolds number increases, the mesh must be thickened up. Owing to memory space and computing time restrictions, the number of mesh points cannot be increased and lib and the program cannot therefore simulate Reynolds numbers greater than 3000.

-XVI -

Qualitative comparison of the flow patterns generated by the computer and those obtained on a 1:1 cold model reveals very good agreement, thus confirming the ability of the program to derive mould flow patterns rapidly. Considering that in the real systems it is wished to represent continuous casting tundish and mould - flows with Reynolds numbers in the 50000-100000 region are involved, it was obviously desirable to improve the method of solution to render it stable at these values too. Moreover, because flow is certainly turbolent at such high Reynolds numbers, it has been necessary to introduce models which take account of energy loss due to turbulence. This part of the work was broken down into two phases: a) Study and production of a new solution system endowed with high stability, good calculation speed and good accuracy, capable of simulating flows with Reynolds numbers of up to 100000. b) Study and production of a turbolence model and the relative method of solution which, when coupled with the Point (a) system, provides results as close as possible to those obtained experimentally. The validity of the program thus obtained was proved with published theoretical and experimental data concerning the driven cavity. The flow-patterns induced in the mould by horizontal and 10° downward nozzles, with Reynolds numbers of up to 50000, were then simulated. The full-scale model was used to compare experimentally measured and calculated velocities in some parts of the mould. It ensues that despite some discrepancies between the compared velocities, the computed data faithfully follow the experimental trend. The results concerning the mould flow pattern can be considered satisfactory even now, and it is possible that there may be further modifications in the turbulence model, because this is a field still largely in the study stage. The research thus moved on to simulation of steel flow in the tundish. Appropriate modifications made to the routine which determines the physical boundaries of the field within which flow occurs have permitted representation of this configuration even in the presence of baffles used to deflect steel flows in the tundish. Comparison with published experimental data obtained using cold two-dimensional models confirms that in this case, too, the results are good.

XVII

Finally the program was completed with the development of a new model that can predict the pattern of the thermal field within the domain as a function of temperatures of heat flows imposed as boundary conditions. This permits simulation within the tundish in the presence of a supplementary energy source, such as a plasma torch, positioned at the free surface. Conclusions The work performed has led to the development of a new twodimensional numerical scheme than can simulate the flow-pattern and temperature distribution in the presence of turbolent flows with Reynolds numbers up to 100000 in the continuous casting tundish and mould.

-XIX

Figure Fig. 1

Three-dimensional mould model

Fig. 2

Schematic view of mould and steel flow pattern

Fig. 3

Two-dimensional schematization used for the calculation

Fig. 4

Driven cavity scheme

Fig. 5

Driven cavity flow pattern. Re=l. Mesh points 11x11

Fig. 6

Comparison of horizontal velocities for various meshes Re=l

Fig. 7

Comparison of vertical velocities for various meshes Re=l

Fig. 8

Layout of full-scale model

Fig. 9

Horizontal nozzle flow pattern. Re = 1

Fig. 10 Horizontal nozzle flow pattern. Re = 400 Fig. 11 Horizontal nozzle flow pattern. Re = 2000 Fig. 12 25° downward nozzle flow pattern. Re = 2000 Fig. 13 Horizontal nozzle experimental flow pattern for two slab widths Fig. 14 25° downward nozzle experimental flow pattern Fig. 15 Driven cavity flow pattern. Re = 100 Fig. 16 Driven cavity flow pattern. Re = 400 Fig. 17 Driven cavity flow pattern. Re = 3300 Fig. 18 Horizontal velocity comparison for various authors. Re = 10000 Fig. 19 Driven cavity horizontal velocity with and without turbolence model Fig. 20 Driven cavity flow pattern. Re= 10000 Fig. 21 Driven cavity flow pattern with turbolence model. Re = 10000. Fig. 22 Horizontal nozzle flow pattern. Re =10000 Fig. 23 Horizontal nozzle flow pattern. Re = 50000 Fig.24

10° downward nozzle flow pattern. Re = 10000

XX

Fig.25

25° downward nozzle flow pattern. Re = 50000

Fig.26

Measuring points on full-scale mould model

Fig.27

Experimental and mould

Fig.28

Calculated tundish flow pattern

Fig.29

Experimental flow pattern in cold 3-D model

Fig.30

Flow pattern with low baffle on bottom of tundish

Fig.31

Flow pattern with high baffle on bottom of tundish

Fig.32

Inclusion trajectories in tundish

Fig.33

Driven cavity flow pattern in thermal case

Fig.34

Driven cavity isotherm pattern

Fig.35

Isotherm pattern in tundish with plasma torch

calculated velocity

comparison in CC

-XXI

Zusammenfassung 1. Zielvetzung Die Produktbeschaffenheit, die Zusatzansbente und die Leistungsfähigkeit eines VerhüttungsVerfahrens sind stark von den physikalisch-chemischen Bedingungen ab, in denen es erfolgt. Beim Strangguß beeinflussen die Strömungsbedingungen im Verteiler und in der Kokille entscheidend das Dekantieren der Einschlüsse, den Wirkungsgrad der Gießpulver, die Bildung der ersten erstarrte Schicht usw. Auf diesem Gebiet erfolgt ein Großteil der Forschungsarbeit anhand von Kaltmodellen, deren Verwendung durch die lange Bauzeit eingeschränkt wird sowie durch die geringe Anpassungsfähigkeit hinsichtlich eventueller, durch die Experimente bedingter Abänderungen. Daher hat geeignete Anpassung tiv durch vermögen.

sich die Eweckmäßigkeit angeboten, diese Modelle durch Rechnung sprogramme zu ergänzen, die nach erfolgter eine große Vielfalt von Situationen wenigstens qualitaeinfache Abänderungen der Eingangsdaten zu simulieren

Zweck der vorliegenden Arbeit ist, ein Rechnung sprogramm zu verwirklichen, das die Stahlbewegungen in Stranggieß Verteiler und in der Kokille zu beschreiben vermag. 2. Aktivitätsbeschreibung In Zusammenarbeit mit dem Mechanik - und Flugwesen-Institut der Universität Rom wurden verschiedene Berechnungsmethoden untersucht, die zur Lösung der Navier-Stokesschen Strömungsgleichungen geeignet sein sollten. Darauf wurde ein Rechnungsprogrammkonzept aufgebaut, das diese Gleichungen hinsichtlich der Laminatbewegungen zu lösen vermag. Das so erstellte Programm wurde unter Verwendung einer Standardkonfiguration (Driven Cavity) geprüft, die im Schrifttum erscheint. Nach erfolgter Anpassung wurde das Programm am Strömungsfeld angewandt, das in der Kokille durch den aus dem Ablauf austretenden Stahl erzeugt wird. Das Programmverhalten wurde in Abhängigkeit von Änderungen untersucht, die am Rechnungsraster und ander Reynoldsschen Zahl vorgenommen werden. Dadurch konnte ermittelt werden, daß es eine Mindestpunkteanzahl gibt, unter der die Lösung nicht mehr aussagekräftig ist und daß bei ansteigender Reynoldsschen Zahl der Raster dichter gestaltet werden muß. Da aus

XXII

Speicherraum - und Berechnungszeitgründen die Punktezahl des Rasters nicht übermäßig gesteigert werden kann, vermag das Programm nicht Reynoldsche Zahlen über 3000 zu simulieren. Der qualitative Vergleich zwischen so berechneten Strömungsmustern und solchen, die man anhand eines Kaltmodells im Maßstab 1:1 erhält, zeigt einen guten Ubereinstimmungsgrad und beweist somit, daß das Programm .Strömungsmusterentwicklungen in der Kokille rasch zu erfassen vermag. Da jedoch in den tatsächlich darzustellenden Systemen - Strangguß-Verteiler und - Kokille - Strömungen mit einer Reynoldschen Zahl von 50.000+100.000 anfallen, erachtete man es als zweckmäßig, die Lösungsmethode dahingehend zu verbessern, daß sie auch bei solchen Werten stabil ausfällt. Da außerdem bei so hohen Reynoldschen Zahlen die Strömung sicherlich turbulent ist, war es notwendig, Modelle einzuführen, die Energieverluste infolge der Turbulenz berücksichtigen. Dieser Teil der Arbeiten wurde in zwei Phasen geteilt: a. Untersuchung und Erstellung eines neuen Lösungssystems mit hoher Stabilität, befriedigender Rechnungsgescbwindigkeit und Genauigkeit, das Strömungen mit einer Reynoldschen Zahl bis zu 100.000 zu simulieren vermag. b. Untersuchung und Erstellung eines Turbulenzmodells und der entsprechenden Lösungsmethode, die mit dem unter (a) angeführten System gekoppelt, möglichst mit den experimentellen Ergebnissen übereinstimmende Ergebnisse zeitigen soll. Die Tüchtigkeit des Programms wurde sodann anhand von theoretischen und experimentellen Daten aus dem Schrifttum über Driven Cavity untersucht. Ferner wurde ein Strömungsverlauf simuliert, das in der Kokille durch Tanchröhre mit horizontalen oder um 10° nach unten gerichteten Löchern verursacht wird und eine Reynoldsche Zahl von bis zu 50.000 aufweist. Unter Verwendung des Kaltmodells im Maßstab 1:1 ein Vergleich zwischen versuchsmäßig gemessenen und berechneten Geschwindigkeiten an einigen kokillenstelleh angestellt. Es ergab sich, trotz einiger Abweichungen zwischen den verglichnen Geschwindigkeitswerten, eine gute Übereinstimmung zwischen den berechneten und experimentellen Daten. Bis auf einige spätere Änderungen am Turbulenzmodell, die angesichts der Tatsache, daß es sich um ein in der Untersuchungsphase stehendes Gebiet handelt, immer noch möglich sind, können die Ergebnisse hinsichtlich des Strömungsverlauf in der Kokille als befriedigend betrachtet werden.

-XXÌII

Daraufhin ging man auf die Simulierung der Stahlströmung in Verteiler über. Zweckmäßige Änderungen der Routine, die den tatsächlichen Umriß des Feldes bestimmen, in welchem die Strömung stattfindet, gestatteten eine Darstellung dieser Konfiguration auch in Anwesenheit von Flächen, die den Stahlstrom im Verteiler-Inneren ableiten. Ein Vergleich mit mit zweidimensionalen Kaltmodellen erhaltenen Versuchsdaten aus dem Schrifttum ermöglichte es festzustellen, daß auch in diesem Falle gute Ergebnisse gezeitigt wurden. Schließlich wurde das Programm durch die Fertigstellung eines neuen Moduls ergänzt, der die Entwicklung des Wärmefeldes in Abhängigkeit von Temperaturen und Wärmeströmungen vorauszusehen vermag, die dem Profil als Bedingungen auferlegt werden. Das ermöglichte die Simulation der Isothermen im Verteiler-Inneren in Anwesenheit einer zusätzlichen Energiequelle, d.h. eines en der Oberfläche angebrachten Plasmabrenners. SCHLUSSFOLGERUNGEN Die Arbeit ermöglichte die Verwirklichung eines zweidimensionalen Zahlenschemas, das bei Strangguß-Kokillen und Verteilern die Verlauf der Stromlinien und der Temperaturverteilungen bei Turbulenzströmungen von bis zu 100.000 Reynolds zu simulieren vermag.

XXV-

ABBILDUNGSVERZEICHNIS Abb. 1

- Dreidimensionales Modell der Kokille.

Abb. 2

- Schema der Inneren.

Abb. 3

- Schematisierung (zweidimensional) der für die Rechnung verwendeten Kokille.

Abb. 4

- Driven-Cavity-Schema.

Abb. 5

- Verlauf der Driven-Cavity-Stromlinien bei Re = 1 und 11x11 Punkte Raster.

Abb. 6

- Vergleich der horizontalen Geschwindigkeiten für verschiedene Rasterdichten. Re = 1.

Abb. 7

- Vergleich der Vertikalgeschwindigkeiten für verschiedene Rasterdichten. Re = 1.

Abb. 8

- Funktionsschema des Modells im Maßstab 1:1.

Abb. 9

- Verlauf der Stromlinien bei Horizontalauslauf.

Kokille

und

des

Stahlstroms

in

Abb. 10 - Verlauf der Stromlinien beu Horizontalauslauf. 400. Abb. 11 - Verlauf der Stromlinien bei Horizontalauslauf. 2000.

deren

Re = 1. Re = Re =

Abb. 12 - Verlauf der Stromlinien bei um 25° nach unten gerichtetem Auslauf. Re = 2000. Abb. 13 - Versuchsverlauf der Stromlinien bei Horizontalauslauf und zwei verschiedenen Brammenbreiten. Abb. in - Versuchsverlauf der Stromlinien bei um 25° nach unten gerichtetem Auslauf. Abb. 15 - Driven-Cavity-Stromlinienverlauf bei Re = 100. Abb. 16 - Driven-Cavity-Stromlinienverlauf bei Re = 400. Abb. 17 - Driven-Cavity-Stromlinienverlauf bei Re = 3300. Abb. 18 - Vergleich zwischen Driven-Cavity-Horizontalgeschwindigkeiten. Re = 10.000. Abb. 19 - Entwicklung der Driven-Cavity-Horizontalgeschwindigkeiten mit und ohne Turbulenzmodell. Re = 10.000.

XXVI

Abb. 20 - Verlauf der Driven-Cavity-Stromlinie bei Re = 10.000. Abb. 21 - Verlauf der Driven-Cavity-Stromlinien bei Re = 10.000 mit Turbulenzmodell. Abb. 22 - Stromlinienverlauf bei Horizontalauslauf, Re = 10.000. Abb. 23 - Stromlinienverlauf bei Horizontalauslauf, Re = 50.000. Abb. 24 - Stromlinienverlauf bei um 10° nach unten gerichtetem Auslauf, Re = 10.000. Abb. 25 - Stromlinienverlauf bei um 10° nach unten gerichtetem Auslauf, Re = 50.000. Abb. 26 - Meßpunkte im Kokillen-Modell im Maßstab 1:1. Abb. 27 - Vergleich zwischen experimentellen Geschwindigkeiten in der Kokille.

und

errechneten

Abb. 28 - Errechneter Stromlinienverlauf im Verteiler. Abb. 29 - Experimenteller Stromlinienverlauf im zweidimensionalen Kaltmodell. Abb. 30 - Stromlinienverlauf bei "niedriger" Bodenhürde. Abb. 31 - Stromlinienverlauf bei "hoher" Bodenhürde. Abb. 32 - Einschlußbahnen im Tundish. Abb. 33 - Einschlußbahnen im Tundish bei "hoher Bodenhürde. Abb. 3^ - Driven-Cavity-Stromlinienverlauf im Wärmefall. Abb. 35 - Driven-Cavity-Isothermenverlauf. Abb. 36 - Isothermenverlauf im Verteiler in Anwesenheit des Plasmabrenners .

­1

ASPETTI FLUIDODINAMICI DEL COLAGGIO IN COLATA CONTINUA: METODI DI CALCOLO Centro Sviluppo Materiali S.p.A. Convenzione CECA nr. 7210­CA/417 Rapporto Finale; periodo dal 1/7/1985 al 30/6/1987 1. INTRODUZIONE La qualità del prodotto, la resa delle aggiunte e la produttività di un processo siderurgico dipendono fortemente dalle condizioni fisico­chimiche in cui esso avviene. In colata continua le condizioni fluidodinamiche che si instaura­ no in paniera ed in lingottiera influiscono in maniera decisiva sulla decantazione delle inclusioni, sul buon rendimento delle polveri di copertura, sulle modalità di formazione del primo strato di pelle solidificata, ecc.. Una grossa parte del lavoro di ricerca in questo campo viene svolto mediante l'impiego di modelli a freddo; una limitazione all'uso di questi modelli é data dai tempi relativamente lunghi di costruzione e dalla scarsa flessibilità per quanto riguarda eventuali modifiche dettate dalla sperimentazione. E' sorta quindi l'opportunità di integrare l'impiego di questi modelli con degli adatti strumenti numerici i quali, una volta messi a punto, sono in grado di simulare almeno qualitativamente una grande varietà di situazioni con semplici cambiamenti dei dati di ingresso. Scopo del presente lavoro é quello di realizzare un programma di calcolo in grado di descrivere il moto dell'acciaio in paniera ed in lingottiera di colata continua. 2. IMPOSTAZIONE DEL MODELLO MATEMATICO La determinazione del campo fluidodinamico richiede la soluzione di un sistema di equazioni differenziali esprimenti la condizione di conservazione della massa e della quantità di moto del fluido. Sotto opportune ipotesi sulla forma del tensore delle tensioni cui é sottoposto il volume elementare di fluido, l'equazione del­ la conservazione della quantità di moto si riduce alla familiare equazione di Navier­Stokes; quest'ultima ha la forma finale: 9u 9u 9u 9u ΘΡ 1 9u 9v 9w ρ — + p(u — + ν — + w — ) = pfx ­ — + ­ u ( — + — + — ) + 9t 9x 9y 9z 9x 3 9x 9y 9z I

II

III

IV

V

32u U<—= 3x 2

+

32u 32u — + — ) 2 9y 3z 2 VI

(1)

ed analoghe per le componenti della velocità parallele agli assi y e ζ (rispettivamente v e w ) . Il significato dei simboli é riportato nella apposita lista. I diversi termini dell'equazione hanno il significato fisico se­ guente : I

forza necessaria per accelerare una massa unitaria di fluido in condizioni di flusso non stazionario

II

quantità di moto associata al fluido fluente attraverso una superficie unitaria

III

forza di massa agente sull'unità di volume del fluido

IV

gradiente di pressione statica agente sul fluido

V

resistenza viscosa alla variazione di volume del fluido (trascurabile per i liquidi)

VI

resistenza viscosa allo scorrimento

Nel caso di fluidi incompressibili, ai quali saremo normalmente interessati, il termine (V) é trascurabile. La equazione di conservazione della massa é data, per fluidi in­ compressibili, da : Su — 3x

3v + — 3y

3w + — 3z

= 0

(2)

Il sistema formato dalle equazioni sopra scritte, con le oppor­ tune condizioni al contorno, permette in linea di principio di determinare il campo cinematico del fluido in esame. Un descrizione completa del campo fluidodinamico richiede l'uso di una ulteriore equazione esprimente la conservazione dell'ener­ gia; per sistemi termicamente uniformi quest'ultima equazione non entra direttamente a determinare il comportamento fluidodinamico del sistema. L'integrazione analitica del sistema sopra scritto presenta, ec­ cettuati casi particolari, delle difficoltà attualmente insormon­ tabili. I casi di maggiore interesse pratico richiedono delle opportune tecniche di integrazione numerica. E' importante nota­ re che la trattazione numerica delle equazioni della fluidodina­ mica, pur se permette di ottenere in molti casi la soluzione del

sistema di equazioni sopra scritto, si presenta ancora, data la sua complessità, come una branca scientifica in via di perfezionamento e di approfondimento. La stessa vastità del problema tende a configurare il problema numerico in una disciplina autonoma ben precisa alla quale la letteratura scientifica fa riferimento sotto il nome di "simulazione numerica della fluido-dinamiAlle intrinseche difficoltà di tradurre in schemi numerici efficienti il sistema di equazioni sopra detto, si sovrappongono spesso oggettive limitazioni degli strumenti di calcolo disponibili. L'uso di macchine dotate di capacità di memoria e di velocità di calcolo particolarmente elevate é essenziale per ottenere soluzioni adeguate. La possibilità di sormontare, o comunque di ridurre la complessità di problemi di natura strettamente matematica o numerica posti dalla ricerca del campo fluidodinamico di un sistema fisico descrivibile con le equazioni precedenti, dipende a sua volta dalla capacità di riportare il sistema ad una opportuna schematizzazione. Questa deve essere sufficientemente semplice da poter essere trattata matematicamente, pur conservando le proprietà essenziali del sistema fisico. In altre parole, le difficoltà matematiche comportano l'esigenza di raffinata modellizzazione della fisica. E' bene precisare a questo punto che, quando si parla di campo fluidodinamico (ed in particolare cinematico) di un fluido, si sottintende "determinato in una ben determinata regione dello spazio fisico", spazio del quale si possa definire univocamente il contorno. Su questo contorno andranno imposte le condizioni per la soluzione del sistema differenziale sopra scritto. Ciò che é importante sottolineare, é che il contorno di questo spazio non é necessario che sia una "parete" fisicamente consistente, ma può essere rappresentato da un contorno puramente matematico sul quale però sia definibile il comportamento del fluido. Questa considerazione mostrerà la sua importanza nel capitolo successivo relativo alla stesura del modello fisico matematico della colata continua. 3. FORMULAZIONE DSL PROBLEMA Con riferimento alla fig.l si consideri una lingottiera di forma parallelepipeda entro la quale venga colato acciaio mediante uno scaricatore. Quest'ultimo é normalmente costituito da un cilindro dotato di due fori di efflusso posti sulla sua superficie in posizione diametralmente opposta l'uno all'altro. La congiungente il centro dei due fori giaccia su un piano parallelo alla faccia HL della lingottiera.

-4-

A causa della estrazione di calore attraverso le pareti della lingottiera, si forma una corteccia solidificata di acciaio, tale che, lungo l'asse y, in sezione con un piano xy, si ha la situazione di fig.2. Nella trattazione presente si studierå il campo fluidodinamico di una regione di spazio nella quale lo spessore della corteccia solidificata possa essere trascurato rispetto alle dimensioni geometriche della lingottiera. Sia h la dimensione lungo y di questa regione. Questa delimitazione spaziale del problema permette ancora di ottenere indicazioni significative sul moto reale del fluido e, semplificando notevolmente la geometria del contorno, rende più agevole la trattazione numerica delle condizioni su di esso. Data la geometria e le dimensioni geometriche dell'apparato, si può inoltre approssimare il problema trattandolo bidimensionalmente lungo gli assi xy. Evidenti condizioni di simmetria rispetto al piano ortogonale ad xy, passante per l'asse dello scaricatore, permettono di studiare il problema in uno solo dei due semispazi in cui tale piano divide il sistema. Considerata la dimensione diametrale dello scaricatore rispetto alla lunghezza L, possiamo senz'altro considerare il piano di simmetria tangente alla superficie dello scaricatore. Ciò detto il problema consiste nel determinare il campo cinematico in termini di linee di flusso e di distribuzioni di velocità nel fluido, in funzione delle specificate condizioni al contorno sullo scaricatore e sulle pareti della lingottiera. 'H. MODELLO FISICO MATEMATICO Per quanto detto nel paragrafo precedente il modello fisico della regione di spazio in cui é studiato il moto del fluido é rappresentabile come in fig.3· La regione é delimitata da contorni fisici e da contorni aventi solo individualità matematica. Sono contorni fisici i tratti AB, CD, HI, AI, rappresentanti rispettivamente le pareti dello scaricatore, la parete della lingottiera e la superficie libera del liquido. Contorni matematici sono rispettivamente: BC

: foro di efflusso dello scaricatore

DE

: piano di simmetria

FG

: bocca simulante l'uscita del fluido verso la zona inferiore nel sistema reale

EF, GH

: contorno matematico per la delimitazione dello spazio fisico in cui si studia il moto

5­

Nella formulazione del modello matematico la distinzione tra con­ torni fisici e non fisici perde significato e le diverse porzioni del contorno vengono caratterizzate solo dalle appropriate condi­ zioni al contorno delle equazioni differenziali. A seguito dell'ipotesi di bidimensionalità possiamo semplificare il sistema di equazioni descritto in precedenza (1), (2), che riscritto in forma adimensionale, per fluido incompressibile, e considerando non influenti le forze di massa si riduce a : Su Su Su 9P' 1 — +u — + v — = ­ — + — St 3x Sy Sx Re 3v

3v + u — St Sx Su _ Sx

Sv + _ Sy

Sv +v — Sy =

SP = ­ — Sy

72u 1 + — Re

(3)

V2v

(M)

0

(5)

dove Re é il numero di Reynolds e gli altri simboli hanno il si­ gnificato già visto. In definitiva quindi il problema fisico di partenza é stato ri­ dotto a quello matematico di risoluzione di questo sistema rela­ tivamente al dominio di integrazione indicato in fig. 3. Nella risoluzione numerica delle equazioni (3), (H), (5) (equa­ zioni relative ad un problema bidimensionale con fluido incompri­ mibile) é comodo riscrivere il sistema nelle variabili ψ, l^¿'. La funzione ψ (funzione di corrente) é definita tale che 3ψ

u

=

— 3y

(6)

3ψ

Sx L'equazione di soddisfatta.

continuità

(5)

ne

risulta

automaticamente

Considerando inoltre la funzione vorticità ζ definita come Sv

Su

Sx

Sy

ed esprimendola in funzione di ψ si ottiene

­6

ζ = ­ V2 ψ

(7)

Le equazioni (3) e (4), differenziando la prima rispetto ad y, la seconda rispetto ad χ e sommando, danno luogo alla equazione SC — 9t

9ζ 9ζ +u — + v — 3x 9y

1 = — Re

V2C

(8)

Questa equazione, assieme alla equazione (7) ed alle definizioni (6) costituisce il sistema differenziale da integrare con le op­ portune condizioni al contorno. Si nota che le equazioni scritte contengono quattro incognite : u, ν, ψ, ζ. 5. SCHEMA DI CALCOLO NUMERICO ADOTTATO PER LA SOLUZIONE DEL SISTEMA FONDAMENTALE Il sistema di equazioni differenziali costituito dalle (6), (7) ed (8)per poter essere integrato deve essere trasformato in modo univoco in un sistema consistente nel discreto. Vi sono diverse possibilità nella scelta del metodo discreto che va effettuata tenendo conto dei seguenti fattori discriminanti: ­

il grado di accuratezza richiesto; l'attitudine dello schema ad essere tradotto in un programma di calcolo; i limiti di stabilità; il tipo di condizioni specifico;

­

al contorno

richieste

dal problema

il grado di non linearità del sistema nel continuo.

L'equazione (8) del sistema fondamentale é di tipo parabolico e può essere integrata con metodi espliciti od impliciti. Gli schemi impliciti sono intrinsecamente più complessi di quelli espliciti, ma presentano rispetto a questi migliori caratteristi­ che di stabilità e complessivamente simulano meglio l'equazione nel continuo. A vantaggio degli espliciti é una maggiore semplicità ed un più prevedibile comportamento nei riguardi della non linearità e del­ le diverse condizioni al contorno. Data la sua maggiore semplicità abbiamo quindi utilizzato un me­ todo esplicito.

­7­

Questo metodo, a causa dei fenomeni di instabilità che si presen­ tano all'aumentare del numero di Reynolds (vedi Appendice II), ha richiesto l'introduzione dello schema "upwind" per i termini con­ vettivi. Questo metodo consiste nell'adottare uno schema non centrato nell'esprimere in forma discreta le derivate spaziali dei termini convettivi. La seconda equazione del sistema fondamentale, di tipo ellittico, é stata discretizzata con differenze centrate al secondo ordine. Il sistema di equazioni algebriche lineari, che si ottiene dal suo sviluppo, é stato risolto con un metodo iterativo del tipo G'auss­Seidel con la tecnica del sovrarilassamento. Quest'ultima consiste nell'introduzione di un opportuno parametro al fine di ridurre il numero di iterazioni necessarie per giungere a conver­ genza. La scrittura delle precedenti equazioni in forma discreta é impo­ stata nelle Appendici I e III. 6. RISULTATI DEL PROGRAMMA DI CALCOLO Con lo scopo di effettuare una prima taratura e controllo del programma di calcolo del modello matematico é stato simulato un sistema fisico del tipo "driven cavity". Questo consiste in un canale di lunghezza indefinita, a sezione parallelepipeda, riempito di fluido che, in corrispondenza di una delle quattro pareti, é animato da una velocità tangenziale alla parete stessa. La figura 4 mostra la schematizzazione bidimensionale. Le simulazioni sono state eseguite al fine di mettere in luce la risposta del modello al variare del passo reticolare prescelto. Questo perché il numero di suddivisioni deve essere il più pic­ colo possibile per abbreviare i tempi di calcolo e, nello stesso tempo, sufficientemente elevato per assicurare la convergenza e la precisione della soluzione. E' stata così definita una driven cavity di sezione quadrata, con lato la cui lunghezza adimensionale é pari ad 1, velocità di gui­ da e numero di Reynolds ancora uguali ad 1. Il flow­pattern ricavato, impiegando un reticolo di 11x11 punti é mostrato in fig.5· La diversa ombreggiatura delle linee di cor­ rente, ottenuta tramite una apposita routine, individua i vari canali in cui si indirizza il flusso generato dalla velocità im­ posta sul lato superiore. Questa rappresentazione grafica dà comunque solo una valutazione qualitativa della risposta del pro­ gramma. Nelle figg. 6 e 7 sono invece confrontati i valori delle velocità, rispettivamente orizzontali e verticali, in corrispon­ denza degli assi χ = 0,5, ottenuti con diverse discretizzazioni del campo studiato. Nella stessa^.figura sono riportati i valori delle velocità ottenute da W i f e ^ ) , Ü quale ha lavorato su una configurazione identica, ma con un reticolo molto più fitto

8-

(57x57 punti). Come si vede dalla figura, esiste una soglia limite sotto la quale i risultati diventano scadenti; nel nostro caso i due reticoli 11x11 e 21x21 danno dei valori confrontabili tra loro e con quelli di riferimento di Wife, il reticolo 5x5 fornisce invece dei valori inadeguati. Questo significa che, poiché non esistono dei criteri che a priori permettono di ottimizzare il passo reticolare, questo va definito per tentativi. Le prove effettuate con la driven cavity hanno permesso quindi di mettere a punto il funzionamento dell'algoritmo di calcolo e di provarne la validità rispetto ad una configurazione test. Successivamente é stata simulata una geometria del tipo di quella della lingottiera di colata continua, confrontando i risultati con gli andamenti sperimentali di un modello fisico, avente la geometria della colata continua. 7. APPARECCHIATURA SPERIMENTALE Il modello fisico é completamente realizzato in materiale trasparente in modo da visualizzare il movimento del fluido in lingottiera, in paniera e negli scaricatori. Lo schema funzionale del modello é riportato in fig.8. La visualizzazione del flow-pattern é stata realizzata impiegando un apposito tracciante. Un sistema di illuminazione in trasparenza permette di evidenziare le particelle di tracciante che appaiono scure sullo sfondo opalino dell'illuminatore rendendo così possibile seguirne il 'percorso. La documentazione dei flow-patterns é stata realizzata con fotografie e con riprese televisive registrate su videocassette. Nel presente rapporto, per ovvi motivi di semplicità, i flow-patterns ottenuti nelle varie condizioni sono mostrati in una serie di fot'o, parte delle quali sono state ottenute dalle registrazioni fotografando lo schermo televisivo. 8.

CONFRONTO TRA FLOW-PATTERN SPERIMENTALI E CALCOLATI

Questa fase del lavoro é stata iniziata facendo una serie di simulazioni, con numero di Reynolds via via crescente, imponendo le condizioni al contorno che identificano il modello fisico descritto nel paragrafo precedente. Anche in questo caso, come in quello della driven cavity, é risultata evidente la forte dipendenza dei risultati dal passo del reticolo di discretizzazione. Si é quindi dovuto cercare, per ciascun valore del numero di Reynolds, il massimo passo di discretizzazione in corrispondenza del quale la soluzione non dipende dal passo stesso.

Nella fig. 9 sono tracciate le linee di corrente ottenute con uno scaricatore orizzontale, Re=l ed un reticolo composto di 11x31 punti (il primo valore é riferito alla direzione orizzontale, il secondo a quello verticale). Il flusso all'uscita dello scaricatore subisce un brusco allargamento, poi le linee di corrente si dirigono in basso verso il foro di uscita. Nelle figure successive (10-11) é raffigurata l'evoluzione del campo fluidodinamico all'aumentare del numero di Reynolds e cioè rispettivamente per i valori di M00 e 2000. Dalle figure si vede che all'aumentare del numero di Reynolds si ha la comparsa di vortici. Queste simulazioni anche se per semplicità rappresentano soltanto metà della lingottiera, danno informazioni qualitativamente significative. Successivamente é stata simulata la lingottiera alimentata con un flusso inclinato di 25° verso il basso. Il campo fluidodinamico ottenuto, per Re=2000 con 31x31 punti, é riportato in fig. 12. L'inclinazione del getto rispetta sufficientemente l'angolo di 25° dello scaricatore ed il vortice nella zona superiore é più largo di quelli dei casi precedenti. Nella zona inferiore si ha sostanzialmente lo stesso andamento. Questo modello matematico, come detto, é limitato solo ai bassi numeri di Reynolds, (max 3000). E' importante notare che pur con questa limitazione fornisce ugualmente soluzioni significative per i nostri scopi. Infatti confrontando il flow-pattern calcolato con quello sperimentale, si vede come il moto previsto e quello osservato su grande scala siano molto simili. Dalle fig. 13 e 14, rispettivamente scaricatore orizzontale, ed inclinato di 25° verso il basso, risulta evidente la netta similitudine dei campi fluidodinamici con quelli calcolati (figg. 11 e 12) pur operando, nel modello fisico, con un numero di Reynolds pari a 50000. 9. METODI IMPLICITI PER LA SOLUZIONE DELLE EQUAZIONI PARABOLICHE L'equazione parabolica (8) é stata risolta finora con un metodo esplicito. Questo presenta però l'inconveniente di essere fortemente instabile all'aumentare del numero di Reynolds. Poiché i casi fisici reali che si vogliono simulare sono generalmente ad elevato numero di Reynolds é sorta la necessità di adottare metodi di integrazione che siano numericamente più stabili. Gli schemi impliciti presentano generalmente un elevato grado di stabilità ma hanno l'inconveniente di richiedere l'inversione della matrice dei coefficienti. Nel caso della equazione(8) questa matrice risulta pentadiagonale e la sua inversione piuttosto onerosa.

10

Questa difficoltà può essere superata adottando un metodo semi­ implicito del tipo ADI (implicito a direzioni alternate). L'intento primario di questa tecnica di integrazione é quello di ottenere uno schema implicito che richieda la soluzione di soli sistemi tridiagonali che possono essere risolti senza ricorrere ad alcuna inversione. Il metodo é basato sul raggiungimento del nuovo livello di tempo attraverso due passi intermedi. Nel primo passo vengono considerate esplicitamente le derivate spaziali in una direzione (ad es. χ) e implicitamente quelle nell'altra (y). Nel secondo passo, al contrario, sono considera­ te implicitamente le derivate in χ ed esplicitamente quelle in y. Nel nostro caso, usando differenze centrate (FTCS) applicate all'equazione di trasporto della vorticità (8) si avrà al primo passo (àti = At/2):

£

^i,J + u

+. ^i,J

t+At/2 «i.J + v

i,J

At1

(—4^ + Δχ

2

+

i,J

Δχ

X

Ay

— Re

± 1) ­0 Ay

(9)

2

At

Al secondo passo (Δΐ2 = —

): 2

t+Δΐ A^i.J

+ u

àt2

? (S

t+At C

^J

Δχ 2

rrt+àt »i,J — Δχ

prt+At/2 6t

£I

i,J

+ v

­i,J

i,J

Ay

1 +

Re

r2rt+At/2

♦

ϋ

^

—

> ­ 0

(10)

Ly¿

I sistemi di equazioni che si ottengono dalla (9) e (10) sono risolubili indipendentemente l'uno dall'altro e hanno forma tri­ diagonale; dal punto di vista del calcolo risulta quindi più conveniente la soluzione di Ν sistemi tridiagonali di M equazioni che un sistema pentadiagonale di MxN equazioni. In definitiva uno schema ADI richiede, per aggiornare la soluzio­ ne a un nuovo livello di tempo, due fasi:

­11

I) La scrittura e la soluzione del sistema tridiagonale (9) su ogni colonna interna al campo. Si otterrà così la soluzione al tempo intermedio (t+At/2). II)La scrittura e la soluzione del sistema (10) su ogni riga interna al campo; si otterrà così la soluzione al tempo t+At. In conclusione si può dire che il metodo ADI presenta il vantag­ gio di una maggiore velocità di calcolo ed una notevole accuratezza. La stabilità numerica può essere ulteriormente aumentata intro­ ducendo, come é stato fatto, lo schema upwind. 10. METODI DI TIPO PARABOLICO PER L'EQUAZIONE ELLITTICA DI DIFFUSIONE DELLA VORTICITA' Nell'Appendice III sono illustrati alcuni metodi iterativi per la soluzione dell'equazione di diffusione della vorticità: θ2ψ

92ψ +

3x

2

=

3y

­ ζ

2

Questa equazione ellittica può essere considerata come l'espres­ θψ

sione limite, per

— 9t

=

0

(condizione di

stazionarietà)

della più generale equazione parabolica: 9ψ

92ψ

92ψ

9t

θχ2

9y2

=

­C

La soluzione della precedente equazione, trascurando la fase transitoria che non é di nostro interesse, può essere effettuata con il metodo ADI; in pratica si sostituisce il procedimento di soluzione stazionaria finora adottato con una serie di iterazioni nel tempo estese sino al raggiungimento della stazionarietà. In questo caso, come nei metodi iterativi si cercava un fattore di rilassamento ottimale, nel metodo ADI si cercherà un àt otti­ male, con le usuali condizioni dì stabilità. Un vantaggio di tale metodo risiede nel fatto che la sua natura implicita fa risentire contemporaneamente su tutta la linea del dominio l'effetto delle condizioni al contorno. 10.1 Risultati ottenuti con il metodo ADI La correttezza dello schema numerico adottato é stata verificata simulando un sistema fisico del tipo driven cavity.

12-

E' stato scelto questo sistema fisico in quanto é più facilmente reperibile in letteratura materiale con cui confrontare i risultati ottenuti. Nelle figg.15-17 sono riportate le linee di flusso ottenute in una driven-cavity, con 11x11 punti di discretizzazione, all'aumentare del numero di Reynolds. Si noti come il vortice diventi sempre meno simmetrico e le linee di corrente si infittiscono e si avvicinano al lato verso cui é diretto il vettore velocità. Con questa configurazione il programma di calcolo si é dimostrato stabile fino a valori del numero di Reynolds pari a 100.000. In fig.18 é mostrato il confronto di diversi andamenti della velocità orizzontale, in funzione di y, in corrispondenza di x=0.5,per una driven-cavity con Re = 10.000; più precisamente: 1) Programma CSM con metodo ADI e reticolo 11x11 punti; 2) Programma ad elementi finiti di Ghia con reticolo di 257x257 3) Risultati sperimenţali con misure di velocità fatte con anemo­ metro Laser (LDA)^4^. La nostra curva si discosta da quella sperimentale soprattutto nella zona delle velocità negative prossime allo strato limite. Nel resto del campo i due profili sono piuttosto simili. Nello strato limite, sia inferiore che superiore, lo scostamento é do­ vuto al fatto che il nostro reticolo di discretizzazione, non essendo molto fitto, non ha sufficiente risoluzione per seguire gli elevati gradienti che si hanno in queste zone. Si noti infatti, come la soluzione di Ghia con 257x257 punti sia più vicina a quella sperimentale nello strato limite. 11. ESTENSIONE TURBOLENTO

DELLE

EQUAZIONI

DI

NAVIER­STOKES

AL

CASO

Le equazioni di Navier­Stokes sono state determinate con delle ipotesi che non fanno specifico riferimento al tipo o al regime di efflusso, quindi esse sono atte alla determinazione di un cam­ po fluidodinamico, indipendentemente dal particolare valore del numero di Reynolds. In regime turbolento, anche nel caso di condizioni apparentemente stazionarie, si ha la rapida ed irregolare variazione nel tempo e nello spazio delle grandezze legate al flusso, con frequenza che può essere anche molto elevata. Risulta chiaro, quindi, come la descrizione del campo istantaneo di velocità sia difficilmente ottenibile per via sperimentale ed ancor più per via numerica

13-

essendo richiesto un potere risolutore incompatibile con i mezzi di calcolo a disposizione. D'altro canto, per la gran parte delle finalità ingegneristiche é sufficiente avere una indicazione del valore medio delle grandezze fisiche di interesse, calcolato tenendo però in debito conto le componenti di fluttuazione, qualora il numero di Reynolds sia superiore a quello di transizione del regime laminare-turbolento. Si mostreranno nel seguito le modifiche da apportare alle equazioni di Navier-Stokes per studiare in quest'ottica un fenomeno turbolento, insistendo sul fatto che un'applicazione del sistema fondamentale, come quello finora adottato, a casi marcatamente turbolenti, comporterebbe un'errata interpretazione della realtà fisica, ma non per un limite intrinseco di tali equazioni. Il problema principale risiede nel fatto che le scale dei tempi e dello spazio del moto turbolento sono così piccole che il numero di punti richiesto dal reticolo di discretizzazione e la brevità degli intervalli di tempo per la soluzione numerica di un campo fluidodinamico turbolento é in pratica impossibile con gli attuali mezzi di calcolo. E' noto dalla letteratura (2) che é necessario un reticolo con almeno 10 punti per risolvere il movimento dei piccoli vortici turbolenti. La scala di tali vortici é circa 10"3 volte le dimensioni del flusso principale. Per un flusso come quello che si realizza dji una lingottiera di colata continua sarebbero necessari circa 10? punti per risolvere appena 1 cnw del campo fluidodinamico. Queste difficoltà vengono superate attraverso l'utilizzazione delle equazioni di Navier-Stokes mediate nel tempo; queste equazioni sono note anche come "equazioni di Reynolds". Il fatto di "mediare" nel tempo le equazioni del moto porta la nascita di nuovi termini che possono essere interpretati come sforzi apparenti (Reynolds stresses) associati al moto turbolento. Questo metodo introduce ulteriori ipotesi ed approssimazioni necessarie per "chiudere" il sistema di equazioni. Le equazioni di Reynolds si ottengono scindendo le variabili dipendenti nelle equazioni di conservazione in una componente media ed una fluttuante e poi mediando nel tempo l'intera equazione. Ad esempio per la velocità si ha: Uj_ = u¿ + u¿

essendo :

14

­ Ui

Γ to+T ~ u¿ dt to

1

=lim t ■+ 00

f

la componente media della velocità,

­

MA' la componente di fluttuazione della volontà, caratte­ rizzata dall'avere il valore medio u¿' = 0

­

u¿

la velocità istantanea

Espressioni analoghe valgono per le altre grandezze fisiche che compaiono nel sistema fondamentale. Sostituendo quindi in quest'ultimo le grandezze istantanee e facendo opportuni sviluppi si ottiene la seguente formulazione del sistema fondamentale del­ la fluidodinamica: Equazioni di trasporto della vorticità: θζ — 9t Yyy

3uÇ + — 9x + 2u

­ UX

9ζ — 9x

Βνζ 9ζ 1 + — ­ U y — = (— + UT> V2C + iíu ψ 9y 9y Re

yy *xx

+ 2u x x

<">

i pedici χ ed y delle grandezze ψ e μ stanno ad indicare le deri­ vate prime e/o seconde in quella direzione. Definizione della funzione di corrente: ν2ψ = ­ ζ

(12)

u = θψ θχ

Nella equazione di trasporto della vorticità compare il termine Um viscosità turbolenta che deve essere associato fisicamente alle grandezze di interesse per chiudere il sistema costituito dalle equazioni (11) e (12); quest'ultima non varia in quanto riferita a grandezze medie. Diverse ipotesi sono state fatte per esprimere la viscosità turbolenta con modelli più o meno comples­ si, in quanto costituiti da un numero diverso di equazioni. I più diffusi sono i modelli cosiddetti a zero, una e due equa­ zioni che vengono qui di seguito brevemente illustrati.

-15

12. MODELLI DI TURBOLENZA Prima di illustrare alcuni dei modelli di turbolenza attualmente più diffusi é necessario premettere alcune considerazioni sull'importanza relativa che hanno gli sforzi di Reynolds, nelle diverse zone del campo di integrazione, rispetto agli sforzi di origine viscosa. Da studi sperimentali e teorici risulta che, per un flusso turbolento, in prossimità di una parete solida, possono distinguersi tre zone in cui il fluido presenta diverse caratteristiche cinematiche e dinamiche. Si ha: un sottostrato viscoso, una regione intermedia, ed infine, più lontano dalla parete, una terza zona con carattere più decisamente turbolento. Nella prima di queste tre zone, di spessore molto piccolo, sono presenti le componenti di fluttuazione della velocità, ma gli effetti degli sforzi di Reynolds sono trascurabili rispetto a quelli di origine viscosa. Nella zona intermedia i due sforzi divengono paragonabili, infine nella zona più lontana si ha il predominio degli sforzi turbolenti. Tale andamento delle grandezze relative della viscosità fisica e turbolenta, aiuta a comprendere lo scambio di energia tra vortici di diverse dimensioni all'interno del campo fluidodinamico. Caratteristica tipica dei flussi turbolenti é la presenza di ricircolazioni locali che si creano e si distruggono continuamente; in particolare si hanno prevalentemente grandi vortici in lontananza della parete e piccoli nelle immediate vicinanze. Dal punto di vista energetico, al moto dei grandi vortici (larga scala) é associata l'energia cinetica del fluido mentre é trascurabile l'azione dissipativa, quindi l'energia é trasferita dai grandi ai piccoli vortici, ed é in questi che si ha il degrado energetico dovuto a dissipazione viscosa. Sono stati, così, messi in evidenza, seppur qualitativamente, gli andamenti relativi degli sforzi viscosi e turbolenti all'interno del campo fluido, questo permetterà di giustificare le espressioni di chiusura per la viscosità turbolenta, usate nei principali modelli matematici che verranno descritti. 12.1 Modello a zero equazioni Tale modello é uno dei più usati in virtù della sua semplicità; esso si basa sulla relazione:

­16

9 U

UT

■

l2

m

I —

I

(13)

9n in cui l m : lunghezza di mescolamento di Prandtl U : componente velocità parallela alla parete η : direzione normale alla parete La (13) che lega la distribuzione della viscosità turbolenta al gradiente locale della velocità media, presenta come parametro incognito la lunghezza di mescolamento l m , la cui distribuzione nel campo di integrazione, deve essere valutata con l'aiuto di informazioni sperimentali. Un metodo per il calcolo di l m é il seguente: ­

all'interno degli strati limite, si può adottare, per il cal­ colo di l m , la seguente relazione:

Imi « c o «i ti ­ (1 ­ Vi/δί)

1

]

y¿

= distanza dalla parete i­esima

6j_

=

spessore dello strato limite

Co=0,096 =

coefficiente sperimentale

Ci­4,16 = Lo spessore dello strato limite viene calcolato ricercando il punto in cui tende ad annullarsi il gradiente della velocità pa­ rallela alla parete in esame. Noti i valori delle lunghezze di mescolamento all'interno degli strati limite del dominio di integrazione é possibile calcolare l m nei restanti punti interpolando i valori delle lunghezze di mescolamento corrispondenti agli spessori δ^ degli strati limite. E' possibile così calcolare la viscosità turbolenta in ogni punto e risolvere l'equazione del trasporto della vorticità.

­17

12.2 Modello di turbolenza ad una equazione Un limite del modello a zero equazioni é costituito dal fatto che questa si basa sull'ipotesi implicita che la turbolenza é in e­ quilibrio locale, nel senso che in ogni punto deve essere prodot­ ta tanta energia turbolenta quanta ne viene dissipata. Nel mo­ dello a zero equazioni non si tiene quindi conto del trasporto nel tempo e nello spazio dell'energia turbolenta. Nello schema ad una equazione, invece, la viscosità turbolenta é associata proprio all'energia cinetica turbolenta R con la se­ guente relazione dovuta a Prandtl­Kolmogorof: μτ

R1/2

= Cu

lm

in cui C u é un coefficiente sperimentale con valore 0,22. L'energia cinetica turbolenta può essere determinata dalla se­ guente equazione di trasporto: a b c d 9k

ρ

9k 9 UT 9k 9u¿ 9u¿ 9uj +puj — = [(u + — ) ]+ u T ( + ) 9t 9xj 9xj σ^ 9xj 9xj 9xj 9x¿

+

k3/2 (IH)

­ CD ρ

Cp

=

costante sperimentale

ffk =

= 0,092

"

1,0

I termini della equazione 6.2.1 hanno il seguente significato: a = variazione dell'energia turbolenta nell'unità di tempo b = trasporto di k per convezione c = diffusione di k d = produzione di energia e = dissipazione di energia La equazione (IH) adimensionalizzata e opportunamente trasformata in termini di ψ e ζ diviene :

ml

18­

9k 3uk — + ­ μτ at 9x 1

­ (—

Re

U

9k 9vk _ + 9x 9y

k3/2

3k μτ y

+ cD 9y

= lm

T

+

) V 2 k + μ τ (1» ψ 2

σΚ

+ ζ2 _

M ψ

ψ

χ

(15)

yy

*

La (15) può essere integrata con i metodi numerici espliciti od impliciti; nel presente lavoro é stata adottata la tecnica ADI per i vantaggi precedentemente illustrati. Per poter risolvere la (15) bisogna però ancora definire le con­ dizioni al contorno e la lunghezza di mescolamento. Quest'ultima può essere calcolata con il metodo illustrato per i modelli a zero equazioni o, più semplicemente, con determinate ipotesi, adottando come lunghezza di mescolamento la distanza dalle pareti che delimitano il campo fluidodinamico. Le condizioni al contorno sulla energia cinetica sono date dalle seguenti condizioni: 1) Parete solida 1

9U

k =

.

in cui

9n

Re Jc^~

η : direzione normale alla parete U : componente della velocità parallela alla parete 2) Bocche d'ingresso od uscita con profilo della velocità imposta k

=

k0

cioè l'energia cinetica turbolenta resta costante. 3) Bocche con condizioni di flusso stabilizzato

9k

= 0

an w k) Asse di simmetria o superficie libera, essendo la superficie libera si intende una superficie sulla quale é diversa da zero solo la componente tangenziale della velocità.

19­

= O *n w 12.3 Modello di turbolenza a due equazioni Un modello di turbolenza, ancora più complesso é quello in cui si considera la viscosità turbolenta una funzione sia dell'energia cinetica k che del termine di dissipazione e. Occorrerà, quindi, introdurre una nuova equazione di trasporto per ε che in termini dimensionali é la seguente:

Se

9ε

ρ

+ 9t

3

ρ uj

= 9xj

d

9xj

μ«ρ 9 ε 3u¿ [(u+ — ) ] + C! ρ k σε 9xj 9xj

e

9uj dn A c2 ( + ) ­ C2 — θχ^ Sxj k

(16)

in cui ffc= 1,3

costante sperimentale

Cx = 1,H5 C 2 = 0,18 Il primo e secondo termine (a e b) del membro a sinistra dell'­ equazione rappresentano rispettivamente la variazione nell'unità di tempo e il trasporto per convezione della intensità della turbolenza. I termini c, d ed e rappresentano rispettivamente la diffusione, produzione e dissipazione della intensità della turbolenza. II sistema che si ottiene con il modello di turbolenza a 2 equa­ zioni risulta più complicato dei precedenti e richiede un maggior numero di informazioni sperimentali a causa del maggior numero di costanti. L'equazione di trasporto dell'intensità di turbolenza opportuna­ mente adimensionalizzata diviene: 9ε B ue Se 9νε 9ε ε2 1 Uj — + ­ ux — + ­ u y — + C 2 — = (— + — ) ν 2 ε 9t 9x 9x 9y 9y k Re ae

­20­

+

Ci k (ü ψ 2 χ ν ♦ ς2 ­ η Ψ Χ Χ ψ ν γ )

(17)

Per chiudere il sistema di equazioni si ha ancora bisogno per il calcolo della viscosità turbolenta della seguente relazione: uT

=

cu

k 1 / 2 /^

e per il calcolo della lunghezza di mescolamento della : lm ■

K3/2

°u

/£

Le condizioni al contorno per l'integrazione della equazione (17), in funzione del tipo di contorno fisico, sono le seguenti: 1) Parete solida:

= cu

cw

k3/ 2 /Ite

2) Bocche con profilo di velocità imposto c

=

w

e

o

3) Bocche con condizioni di flusso stabilizzato 8ε =

9n

0

w

¿i) Asse di simmetria o superficie libera, intendersi come alla solita convenzione =

quest'ultima

da

0

w Nel programma di calcolo da noi realizzato é stato introdotto il modello di turbolenza sia ad 1 che a 2 equazioni. »η

Allo stato attuale sono stati però ottenuti risultati soltanto con il modello ad 1 equazione.

21

13. RISULTATI OTTENUTI CON IL MODELLO DI TURBOLENZA AD UNA EQUAZIONE La prima configurazione simulata é stata la driven-cavity; i risultati ottenuti sono stati confrontati con quelli relativi al programma privo di modelli di turbolenza. In fig.19 é riportato il profilo della velocità orizzontale in funzione di y in corrispondenza della linea mediana (x - 0,5) per RE = 10000. I valori della velocità orizzontale risultano più elevati nel caso della soluzione con il modello di turbolenza. Nelle figure 20 e 21 si riportano le linee di flusso della driven cavity ottenute rispettivamente senza e con modello di turbolenza ad una equazione. Si noti la sostanziale differenza delle linee di flusso dovuta alla presenza della viscosità turbolenta. E' stato quindi simulato il sistema fisico costituito dalla lingottiera di colata continua con lo scaricatore orizzontale ed inclinato di 10° verso il basso. Nelle figg. 21, 22, 2M e 25 si riportano le linee di flusso calcolate per Re = 10000 e Re = 50000. Si noti come tra Re = 10000 e 50000 non vi sia molta differenza in termini di linee di flusso, infatti all'aumentare del numero di Reynolds, entro certi limiti, il flusso non cambia sostanzialmente. Nel caso dello scaricatore con fori inclinati verso il basso, é stato fatto un confronto quantitativo utilizzando misure sperimentali effettuate sul modello a freddo della lingottiera di colata continua in scala 1:1. I punti di misura sono riportati in fig. 26. Il confronto dei valori calcolati e quelli sperimentali, in forma adimensionale, é riportato in fig. 27. Si noti che i valori calcolati pur essendo diversi, in valore assoluto, da quelli sperimentali presentano un andamento analogo in relazione ai diversi punti di misura. La diversità dei valori assoluti é causata molto probabilmente dalle numerose costanti che compaiono nel modello e dal tipo di condizioni al contorno adottato per l'equazione dell'energia turbolenta; infatti sia le costanti che le condizioni a contorno sono state desunte da informazioni di letteratura su sistemi fisici diversi dal nostro. Una scelta opportuna di queste grandezze richiederebbe una specifica sperimentazione, non effettuabile in questa sede.

22­

14. ANDAMENTI DEL FLUSSO DI ACCIAIO E DELLE INCLUSIONI IN PANIERA Nei capitoli precedenti é stato descritto il lavoro di realizza­ zione del programma di calcolo in grado di rappresentare flussi turbolenti ad alto numero di Reynolds. Le simulazioni di prova sono state finalizzate al sistema scaricatore­lingottiera che rappresenta l'obiettivo principale del lavoro. Partendo da questa base, sono state modificate le condizioni al contorno in modo da poter applicare l'algoritmo di calcolo al caso della paniera. Successivamente sono state introdotte ulteriori modifiche che permettono di simulare la presenza di pareti deflettrici del flusso all'interno della paniera. Infine, é stata messa a punto una routine capace di descrivere il moto di inclusioni, aventi dimensioni e densità volute, traspor­ tate dal flusso presente in paniera. 14.1 Modello matematico per il calcolo della traiettoria delle inclusioni Il modello utilizza l'equazione fondamentale della dinamica ma = Σ F che sviluppate nei suoi termini fornisce la de de m s — = (ms ­ nifOg ­ c v m* — dt dt

1 ­ — 2

p# c ¿ Sen

ove : ­(ms ­'mf)g

é il termine dovuto al galleggiamento

de ­c v m f — dt

é il termine dovuto all'inerzia del fluido spostato

1 ­­ p f c 2 Sej) 2

é il termine dovuto all'attrito

Le inclusioni vengono considerate come particelle sferiche per cui

­23

4

? cv

S = π rp¿ ;

­ 1/2 ;

ms = ­

Ρ π rp¿

ps

Avremo quindi: de (irig+Cyinf) — dt

1 = (ms-mf)g - - p 2

f

c2 ScD

ovvero ^ J» (- nr3 p s + cv it r 3 p 3 3 * ¿ ¿ Pf c2 r2 p cD

f)

de 4 — = (- π r3 dt 3

da cui dividendo tutto per m s = 1 (1 + ­ Pp/f s ) 2

4 ir r 3 p

­ Γρ

si ha : 1 . p f /p s c ¿ c D

In termini vettoriali Ade =

B g

­

Cc/c/cn

dt ove A = 1 + .Pf/2ps Β = 1 ­ p f /p s c

3 " 8

1 — rp

Pf/Ss

Il modulo della velocità relativa ν é dato da |c|

=

ponendo

y7 (Xp­x) 2 + (yp­y)2 C α = — A

IcI

C

D

f)g

3

— TI r·3^ p s 3

de 3 — = (1 ­ p f /p s )g ­ ­ dt 8

p

-

ir 2

24

si ottiene per le due direzioni dx p = dt

­a(xD ­ x) *

dy p

Β =

dt

­ û(y Dv

­ y) ­ g ­

A

il segno "­" sta ad indicare che g é diretto in senso opposto al verso dell'asse y. Per quanto riguarda il valore delle quantità cp contenente nell'espressione del termine di attrito, esso varia in funzione di Re e per particelle di gomma sferica é data da :

R e U KRe«400 400
CD u

24 24/Re —n ­„, Re 0.646

O.5 '

Re=3­lo5

0.08

3. lo52.106

0.000366.,, ReO­5275

0.I8

Il numero di Reynolds é dato dalla 2r p

Pf

c

Re = Uf se la velocità relativa tra particella e fluido é pari a zero avremo Re = 2 r p p f /u f

csed

ove c­ej é la velocità di sedimentazione che può essere determi­ nata dall'equilibrio tra la spinta di galleggiamento e la forza di attrito: g(ps ­ da cui

Pf)

d3 π —£

l d^ = ­ c D p f π —­P

c2sed

­25­

c c2

8 ­ 3

,, sed

g — Cr

Pf

ι 8 g — — C D

­sed

(Ps­Pf)

r„

73

(P s ­Pf)

r.

Pf

1M.2 Soluzione analitica del sistema dXp ­

­ e(x D ­x) ove *

dt dy p ­ —­ dt

C 3 « ­ α ­ ­ ­ A

|c|

cD

Β = 0 (y p ­ y + r)= ­ g F

— A3

Avendo indicato con x

p0

β

ypO

=

x

p It=t0

yp

It = t0

superando le variabili ed integrando otterremo! Xp P

jxp0 x x

p~x p0"x 'Yp

ypo

't rt

dx p —— x p ­x

= 3

Jto

dt ;

3(t­t 0 )

x p ­x In (­± x x ) ­ β (t ­ t 0 ) ;

p0~

pAt

= e

x p = χ + (Xp 0 ­x)e

dy p

y D ­y+r ) In (—

+

y P -y p

- e

dt ;

Jt 0

= y­r + (ypo ­ y

ypo­y­r +

r) eß Ä t

= 3 (t­t 0 )

­26

14.2 Risultati del calcolo L'andamento delle linee di flusso in paniera Re=10000, é mostrato in figura 28. Il calcolo é stato condotto simulando metà, per ragioni di simmetria, di una paniera a due linee. Non é stato possibile inserire l'asta tampone in quanto il modello é bidimen­ sionale e quindi non in grado di tener conto del flusso intorno al tampone che si svolge fuori del piano considerato. La fig. 28 mostra che l'impulso posseduto dal getto proveniente dall'alto, porta il fluido a scorrere sul fondo sfruttando poco la zona superiore. Confrontando questo andamento con uno sperimentale^), fig. 29, ottenuto su un modello a freddo bidimensionale, si può notare come l'accordo sia molto buono. Nelle fig. 30 e 31 si può vedere come l'inserimento di dighe sul fondo della paniera modifichi il flusso convogliandolo in modo tale da sfruttare anche la parte alta del volume disponibile. La fig. 32 mostra le traiettorie seguite da due inclusioni aventi densità pari a 3000 kg/nw e diametro di 100 μ che entrano in pa­ niera in due punti diversi della bocca di ingresso. Il campo di flusso in cui vengono a trovarsi queste inclusioni é quello rela­ tivo alla fig. 28, ossia in assenza di pareti deviatrici. Risulta chiaramente dalla figura che le inclusioni che entrano in posizione centrale non riescono a galleggiare e vengono traspor­ tate sino al foro di uscita e quindi in lingottiera. Quelle che invece entrano in posizione più eccentrica iniziano un moto ini­ zialmente a spirale e quindi prendono a circolare su una traiet­ toria stazionaria; nella pratica ciò dovrebbe favorire la coagu­ lazione di queste inclusioni che, aumentando in questo modo la loro massa, rompono lo stato di equilibrio e galleggiano. Qualora si sia in presenza di una paniera con parete deflettrice, con linee di corrente come quelle di fig. 31» le traiettorie cal­ colate portano entrambe le inclusioni a galleggiare seguendo le traiettorie riportate nella fig. 33. 15) FLUSSI DI ACCOPPIAMENTO TERMICO E' ben nota, nell'ambito dei processi di produzione metallurgici, la rilevanza dei fenomeni termici e la mutua influenza tra questi ed i fenomeni cinetici. Le interazioni di nostro interesse tra distribuzione di tempera­ tura e campo meccanico possono essere così riassunte: a) influenze dello stato termico sul flusso a causa dei fenomeni convettivi;

27

b) dipendenza delle variabili di stato e delle caratteristiche del fluido dalla distribuzione di temperatura: in particolare effetti sul flusso dovuti alle variazioni di densità, viscosi­ tà, conducibilità termica. Il modello matematico adottato in precedenza può essere modi­ ficato per tenere conto di tali interazioni. Con riferimento alle ipotesi di bidimensionalità del flusso e incompressibilità (9p/9p = 0) del fluido potremo scrivere, in forma indicíale per le Variabili, la solita equazione di Navier­ Stokes: 3U4 p(T)( 9t

Su*

SP + uj ) = p(T)g± ­ 9Xj 9x¿

9 + 9Xj

9u4 9u< [ μ ( τ ) < — + —¿)](ifJ­l,2) 9Xj 9x¿ (18)

in cui é stata evidenziata la dipendenza dalla temperatura di viscosità e densità. Per completare il sistema risolvente alla equazione (18) e all'equazione di continuità occorre aggiungere una relazione che esprime lo stato termodinamico. Nelle ipotesi poste in precedenza, il principio di conservazione dell'energia può essere espresso in termini di temperatura da : 9T p(T) c (

ΘΤ + u« d

9t

9 )

9Xj

­ 9xj

9T [λ(Τ) 9Xj

]+ μ(Τ)0 (i,J«l,2) (19)

in cui: c

=

calore specifico

λ

=

conducibilità termica

=

termine di dissipazione

U0

9u 9v 9v 9u viscosa = 2 u [ ( — ) 2 + (—)2]+ (— + — ) 9x 9y 9x 9y

2

»0

Naturalmente il sistema risolvente deve essere completato con l'equazione di stato ρ = p(T)

(20)

e le relazioni costitutive: μ = u(T)

(21)

28

λ = λ(Τ)

(22)

Nel nostro caso, in prima approssimazione possiamo considerare μ e λ costanti, infatti: a) la variazione percentuale di viscosità e diffusività nel campo di temperature di interesse pratico non é in assoluto molto rilevante (< 10%); b) nei flussi del colaggio in colata continua, la prevalenza dei fenomeni di convezione su quelli di diffusione riduce ulte­ riormente l'influenza delle variazioni in questione. Per quanto riguarda la dipendenza della densità dalla temperatu­ ra, l'ipotesi più semplice considera per p(T) uno sviluppo in serie di Taylor arrestato al primo ordine (Boussinesq) : dp p(T) = p0(T0) + — | T = T dT

(T=T0) + 0 (ΔΤ)

(23)

in cui TQ é un'opportuna temperatura di riferimento. Introducendo il coefficiente di espansione termica 1 Po ■ — PO

dp ­ —

<24>

dT

avremo : P(T)

=

p 0 [1 ­ M

T

­ T 0>]

+

° (ΔΤ)

(25)

A rigore la (28) dovrebbe figurare in tutti i termini del sistema risolvente nei quali compare la densità; tuttavia per valori di ΔΤ non elevati, condizione essenziale per la validità delle pre­ cedenti approssimazioni, gli effetti della dipendenza di ρ dalla temperatura sono significativi solo per le forze di masse rappre­ sentate dal primo termine al primo membro della (18). Sostituendo in tale termine la (25) e considerando invece costan­ te la densità negli altri termini, si ottiene per la conservazio­ ne della quantità di moto: 3u<

9U4 ♦ uj

3t

1 = [1 ­ j30(T­T0)]gi ­ _ 9xj p0

9p 9x±

u + _ p0

V2 U i (i,j=i,2) (26)

­29

Sì osserva come le forze dì massa siano scindibili nelle due componenti: ­ PQgi

relative ad un flusso e densità costanti;

­ p0j3oAT6i

forze di galleggiamento dovute alle variazioni di densità

In funzione della componente dinamica della pressione avremo: 9u<

9u*

1

μ + uj = ­ 0ο(Τ­Το)ει + — ν 2 u ± (i.J­1,2) 9t 9Xj p0 9XÌ P0 (27) Applicando l'operatore rotore e posto gì = 0 eg2 = ­ g si otter­ rà in termini di trasporto della velocità : 9t; 9ζ 9T _ + uj — = β0 ε — 9t 9xj 9XÌ

μ —

+

72

9p

(28)

C

PQ

Questa é l'equazione per il trasporto delle vortìcìtà applicabile nel caso di flussi con accoppiamento termico. 15.1 Sistema risolvente completo Il sistema risolvente completo del problema generale termofluido­ dinamico, in un campo di integrazione bidimensionale, é dato dal­ le seguenti equazioni: a) Equazione dì trasporto della vortìcìtà θζ _

9uÇ +

9t +

θζ ­ μΤχ _

9x

9x

9νζ +

9ζ ­ μτ

9y

_

9y

Gr

9Θ

­ _

_

1 =

¿

Re θχ

(__

Re

^ Τ χ γ Yxy + 2μΤχχ Y y y + 2uTyy + 2 u T y y ψ χ χ

ove ì pedici χ ed y delle grandezze ψ e u stanno ad indicare le derivate prime e/o seconde in quella direzione; b) Definizione della funzione dì corrente 9ψ 2

νΨ = ­ ζ ;

u =—

9y

9ψ ;

ν =­

—

θχ

30

c) Equazione dell'energia in forma termica 9Θ 9u0 9Θ θνθ _ + -μΤχ — + 9t 9x 9x 9y

ΘΘ - uTy — 9y

1 uT = (— + ) V29 Pe Pr T

ove Pe

=

numero di Peclet = Re . P r

Pr T

=

numero di Prandtl turbolento = u T A c

d) Equazione di trasporto dell'energia cinetica turbolenta ΘΚ 9uK ΘΚ — + - Ujx — 9t 9x 9x

= (_

+

Re

θνΚ + 9y

K3/2

9K - UTy — 9y

+

cD lm

UE ) V2K + u T (4 Ψ 2 χ γ + ζ 2 - 4 Ψ χ χ Ψ γ ν ) σκ

e) Equazioni di trasporto dell'intensità della turbolenza 9c —

9uc +

St 1

- ( —

Re

9c -

9x

UŢ

X

—

θχ

9νε +

9e - Umv —

9y

' 3y

ε2 + Cp —

=

Κ

U

T o o o 2 2 + — ) V e + C X K (4i|> xy + ζ 2 - Ι4ψχχ ψ

)

ac

La seguente tabella mostra, infine, le possibili condizioni al contorno utilizzate nel nostro caso

31­

condi­ parete zioni solida gran­ dezze

inflow­outflow assegnati

flusso stabilizzato

Bu

u,v v

C

w

^w

=v

-1

"w^O v w=v0

0

Bn

parete di simm­ tria o superfi­ eie libera Bv 1^=0 — 3n

3v = 0 — | = 0 w Bn w

Bu

3v

Bu

3ζ

910

3x

By

Bn

=

1 - o

| = 0

w

Cw = 0

w

3ψ

Ψ Yw=§0udy-vdx

κ ΚW r,

1

1

Bn

c w =Cu K3/ 2 VRe

l w = l/>/Re

parete isoterma Θ GWw = θ 0

°

1 =o

*w = *udy~vdx

w

3K

Bu

t UI I' ReVcj) 3n

ε

\JJ w =§ 0 udy-vdx

Kw = K0 3n

3K

1 =o w

3e c

w

lw

= e

=

o

— 1w

^o

1 = U0 3n 'w 3ε

= 0

lw = l o

3n

1 =o w

lw = l o

parete diabatica

ae —

3n

Iw = cost

15.2 Risultati del calcolo con accoppiamento termico Come già in precedenza, anche in questo caso la prima applicazio­ ne del programma modificato per simulare il trasporto dell'ener­ gia termica é stata fatta sulla driven cavity. Le condizioni al contorno sono state imposte in modo da simulare una cavità in cui una parete viene scaldata e mantenuta a tempe­ ratura costante mentre le altre tre vengono tenute fredde. Il fluido a contatto con la parete calda tenderà a galleggiare pro­ vocando il movimento dell'intera massa di fluido contenuta nelle cavità. In fig. 3^ sono riportate le linee di corrente una volta raggiunta la situazione con Re=5000 e Gr=10 .

32

Le isoterme all'interno del campo sono mostrate in fig. 35; si nota come la massa liquida, nel suo movimento rotatorio, tenda a trasportare il calore verso l'alto in corrispondenza della parete calde. Proseguendo il suo percorso il fluido si trova a lambire le pareti a temperatura più bassa e quindi si raffredda; le isoterme di fig. 35 mostrano infatti come il punto più freddo sia a monte dell'angolo in basso a sinistra delle cavità. Dopo questa prima messa a punto del programma, si é pensato di simulare un caso di particolare interesse, ossia l'adozione di una torcia al plasma nella paniera di colata continua da impiegare come correttore della temperatura. In presenza di una paniera con parete deviatrice sul fondo, le cui linee di corrente sono riportate nella fig. 31, il diverso andamento delle isoterme per due diverse posizioni della torcia al plasma é riprotato nella fig. 36. Risulta evidente l'importanza del posizionamento delle torce rispetto alle linee di corrente al fine di ottenere una adeguata distribuzione della energia termica all'interno del bagno. 16

CONCLUSIONI

L'attività svolta nel corso del lavoro ha permesso di raggiungere l'obiettivo prefissato. Infatti il programma di calcolo messo a punto consente di : - simulare il flow-pattern che si instaura nella lingottiera e . nella paniera di colata continua, con flussi completamente turbolenti. E' quindi in grado di identificare le variazioni delle linee di corrente legate alla forma dello scaricatore, al suo angolo di efflusso, alla larghezza della bramma e, nel caso della paniera, alle dimensioni ed alla posizione delle barriere utilizzate per modificare i tempi di permanenza. -

Simulare il moto di inclusioni, aventi diversi volumi e densità, in corrispondenza al flow pattern che si instaura nel campo considerato. Ciò consente ad esempio di modificare l'assetto delle barriere al fine di favorirne la coagulazione ed il galleggiamento.

-

Ricavare le distribuzioni di temperatura all'interno del sistema considerato. Nel caso della paniera é stato mostrato un esempio che consente di trovare la migliore posizione per una sorgente di energia esterna utilizzata per controllare la temperatura di colaggio. Nel caso della lingottiera é possibile, ad esempio, determinare gli andamenti di temperatura in prossimità del pelo libero in funzione dell'angolo dello scaricatore.

-33

Allo stato attuale il modello é in grado di dare risultati di carattere qualitativo e di confronto tra situazioni diverse in quanto manca, per buona parte, di riscontri sperimentali che ne consentano la taratura. Questa potrà comunque essere realizzata, in presenza di problemi specifici da affrontare, in modo da poter "specializzare" il modello per categorie di impiego che presentino analogie nella forma del campo da studiare e delle relative condizioni al contorno.

Roma, 26 ottobre 1987 MTC/AF-DE/pp

34

LISTA DEI SIMBOLI ρ, u

=

densità e viscosità dinamica del fluido

u,v,w

=

componenti della velocità rispettivamente lungo x,y,z

Ρ

=

pressione

t

=

tempo

f

=

componente lungo χ della forza agente sul fluido (abitualmente la forza di gravità)

ψ

=

funzione di corrente

ζ

=

vorticità

Re

= numero di Reynolds

Κ

=

energia cinetica turbolenta

S*

=

operatore di discretizzazione

e

=

dissipazione energia turbolenta

μ

= viscosità dinamica

μτ

=

ρ ..

=

densità

C

=

calore specifico

m

= massa

a

=

accelerazione

cD

=

coefficiente di trascinamento

S c x,y

= superficie = velocità della particella relativa al fluido = componenti della velocità della particella rela­ tiva al fluido

"

turbolenta

Pedici w

=

condizione al contorno

χ

=

derivate secondo la direzione χ

35

y

=

»

s

=

solido

f

=

fluido

Ρ

=

particella

H

H

„

-36

BIBLIOGRAFIA 1) P.J. ROACHE Computational fluid dynamics Hermosa pubi., Albuquerque 1972 2) D.A. Anderson, J.C. Tonnehill, R.H. Pletcher Computational fluid mechanics and heat transfer Hemisphere publishing company, N.Y. 1984. 3) P. Bellomi Modelli di simulazione per flussi di colata continua con accoppiamento termico Tesi di laurea, Facoltà di Ingegneria, Università degli Studi di Roma, A.A. 1983-84. 4) J.R. Koseff, R.L. Street The Lid - Driven Cavity Flow: A Synthesis of Qualitative and Quantitative observations. Transactions of the ASME, Journal of Fluids Engineering vol. 106, 12/1984,. 390. 5) D. Sucker et al. 6th PTD Conference, 1986, Washington pag. 331.

37

APPENDICE I Equazione dl trasporto delle vorticità in forma discreta. L'equazione 8 é di tipo parabolico e può essere risolta con di­ versi metodi; nel presente lavoro é stato adottato uno schema esplicito per cui, scritta in forma discreta, diviene

^ n i,J

& n +

Ì J

At (

t i,J

u

=i^ ♦ Δχ

2

Δχ

^ni,J

+v i,J

Ay

.J; Re

=^> ­ 0 Ay

2

I termini convettivi della equazione precedente sono stati e­ spressi con uno schema alle differenze finite e, per migliorare la stabilità nei casi con alto numero di Reynolds, con lo schema upwind.

­38­

APPENDICE II Flussi ad alto numeri di Reynolds Nelle applicazioni pratiche é piuttosto raro avere a che fare con flussi in ogni punto dei quali siano paragonabili le sollecita­ zioni viscose e quelle di inerzia. Tali situazioni, caratteriz­ zate da un basso numerio di Reynolds, si incontrano ad esempio nei problemi di lubrificazione. Più frequente é il caso di flus­ si in cui il rapporto tra i due tipi di sollecitazione varia no­ tevolmente da punto a punto del campo . In questa circostanza, se sono fisicamente individuabili zone a comportamento omogeneo (ad esempio con predominanza delle componenti viscose o di iner­ zia) si può ricorrere a modelli matematii semplificati specifici per ogni zona e a criteri di assemblaggio della soluzione nelle regioni di confine (strati limite e soluzione asintotica). Quan­ do questo non é possibile, come nel modello fisico della colata continua, si debbono integrare le equazioni del sistema fondamen­ tale senza semplificazione su tutto il campo in studio. E ciò é numericamente tanto più complicato tanto più disomogeneo é il flusso (tanto maggiori sono le differenze tra Reynolds locali) e in ultima analisi, per un fissato contorno, quanto maggiore é il numero di Reynolds che definisce il fenomeno. I limiti di stabilità per gli algoritmi risolventi in forma e­ splicita le equazioni alle differenze finite in forma centrata (quali quelle da noi usate in un primo tempo) sono (Appendice Β della ref. 3): d

1 « — 2

At 1 con d = — (—­ Re Δχ 2

1 + —­) Ay 2

Rec « 2 dove Re p é il numero di Reynolds calcolato nella cella nella qua­ le si sta effettuando l'integrazione numerica. II limite di stabilità statica é in particolare molto gravoso ad esempio per Re = 50.000 in queste condizioni sarebbe richiesto un reticolo di 25.000 χ 25.000 punti con tempi di calcolo dell'ordi­ ne dell'anno. Né la situazione migliora di molto utilizzando gli algoritmi im­ pliciti usuali, i quali presentano caratteristiche di stabilità in campo non lineare a tutt'oggi non completamente chiarite: di fatto molti autori (ref.3, pagg. 39­^0­9^) hanno trovato diffi­ coltà nel calcolo di flussi ad alto Reynolds. E' comprensibile quindi come il superamento dei problemi legati alla instabilità dei metodi numerici sia uno dei punti cruciali della fluidodina­ mica numerica. Il primo storicamente e più diffuso artificio

39

mediante il quale superare i limiti di stabilità di schemi espli­ citi a differenze centrate é costituito dalla rappresentazione upwind dei termini convettivi dell'equazione (8); in pratica si adotta uno schema non centrato per le derivate spaziali dei ter­ mini convettivi, in particolare: Δ

U4 *

^ί j

J

+ 0 (Δχ)

se u < 0

' ­ax— 9C u

A2.1 9x uifJ

^i J — — Δχ

+ 0 (Δχ)

se

u >0

dove l'operatore Δ indica derivata in avanti e l'operatore 7 de­ rivata ali'indietro, entrambe rispetto ad x. Questo schema, nato per esigenze di studi meteorologici utilizza nella discretizzazione solo i punti del reticolo sopravvento a quello in esame. L'accuratezza dell'algoritmo é piuttosto scarsa come del resto é prevedibile dall'errore di troncamento 0 (Δχ) nella (A2.1); una riformulazione conservativa del metodo (upwind secondo), comunque permette un notevole miglioramento se non formale senz'altro pra­ tico, delle caratteristiche di accuratezza della soluzione. Vale la pena di osservare a questo proposito come in generale la scrittura in forma conservativa dell'algoritmo, porti nell'ambito degli alti Reynolds vantaggi sostanziali. Lo schema upwind secondo può essere schematizzato come :

J-i 3uC 9x

u R C R ­u L C L

UL

UR

JU

+ 0(Δχ,Δχ2)

con

¡

Δχ

uR

= (u j + 1 ­ uj)/2; u L =

ζκ

= Çj per u R > 0;

(uj + Uj.iJ/2

ζκ = C J + 1

per u R < 0

40­

^L

=

Cj­1

Per UL

>

°'

^L

=

tj P e r U L < °

é facile verificare che per Ç R centrato.

=

C L esso si riduce a uno schema

Per quanto riguarda l'accuratezza degli schemi upwind e upwind secondo si possono fare alcune considerazioni a priori non tanto sulla grandezza dell'errore di troncamento quanto sui suoi effet­ ti. Si dimostra facilmente (ref.3, pag.35) che gran parte dell'­ errore introdotto dallo schema discreto (schema peraltro consi­ stente con la (8)), può essere rappresentato dall'aggiunta di un termine diffusivo fittizio a

ex

32ζ Γ9x?¿

+

ö

ey

32ζ Γ9y?¿

nell'equazione al continuo. Tale diffusività artificiale a e può essere valutata a stazionario per uno schema upwind con : 1 1 Δχ α = ex ­ Μ 5 βν Μ Δν 2 2 per cui evidentemente cce é variabile nello spazio. a

=

Da notare che l'effetto di questo termine é sensibile e talvolta intollerabile: ad esempio per un reticolo 10x10 e un Re = 50000 avremmo in un punto in cui u = 0.5, v=0 un Reynolds locale nomi­ nale = 25000 e uno effettivo = 40. L'uso di un algoritmo upwind é quindi unito, nella pratica cor­ rente, all'adozione di reticoli fitti quando si vogliano ottenere soluzioni non solamente qualitative; inoltre é spesso limitato a quelle zone del campo per le quali sia localmente Re c » 2. L'integrazione nelle altre celle procede con i normali algoritmi centrati. Quest'ultima procedura, se da una parte riduce la vi­ scosità artificiale introdotta nel campo, dall'altra può ampli­ ficare dissimetrie accidentalmente presenti nel corso dei calco­ li.

41

APPENDICE III Equazione diffusiva per 11 calcolo della funzione di corrente in forma discreta L'equazione 7 é di tipo ellittico e scrivendola in forma discreta con uno schema centrato al secondo ordine diviene : *1,J*1 ­

2

*υ Δχ2

* *i,J­l +

*i+l,j ­ *»ltJ * » j ­ i j " Ay2

Cl

.J

I metodi di soluzione possono essere raggruppati essenzialmente in tre categorie ­ Metodi diretti iterativi Metodi diretti Sono quei metodi c he danno la soluzione esatta dell'algoritmo alle differenze finite usato per discretizzare.la soluzione ana­ litica, in un numero finito di passi. Gli svantaggi di tali me­ todi risiedono nel richiedere una elevata occupazione di memoria e lunghi tempi di calcolo. Metodi iterativi Si definiscono iterativi quei metodi c he ric hiedono la ripetuta applicazione di un algoritmo; la soluzione esatta, dell'algoritmo proposto al disc reto, sarà quindi il limite di una sequenza di iterazioni. In definitiva, nel nostro c aso di soluzione del sistema di equa­ zioni algebriche lineari c he si ottiene dallo sviluppo della e­ quazione 7» verranno scelti dei valori di primo tentativo, per le variabili in esame, che tenderanno alla soluzione esatta, in se­ guito ad una serie di successive correzioni. Tra i metodi iterativi, vedremo i metodi detti di Jacobi, Gauss Seidel e il metodo di rilassamento. Metodo di Jacobi Il sistema di equazioni algebriche é della forma a

i.j u j = b i * € 1,M ' J con a¿ « matric e di coefficienti

ε

1,N

-42-

u«

vettore soluzione

bi

vettore termini noti

L

NxM il numero di punti in esame

Supponendo di conoscere la soluzione Uj'^' ad un generico livello di iterazione k, la nuova approssimazione della soluzione al livello k+1 sarà data da :

b

N

(k) i - jJ^i.J U j W

u<(k+1> = Ú

— «ii

(A3.1)

ad ogni successiva iterazione, si avrà una più esatta rappresentazione della soluzione, ed il processo sarà arrestato quando, stabilito un parametro di convergenza e piccolo a piacere, sia verificata una condizione del tipo : ||x(k> - x(k-l)||

«

€

Metodo di Gauss-Seidel Tale metodo é una particolarizzazione del metodo di Jacobi, in quanto con riferimento all'espressione (A3.1), si useranno nella sommatoria a secondo membro quando kgià calcolati, dei valori u j » aggiornati rispetto agli u« che si usavano nel metodo di Jacobi.

U^k+l) J

=

(A3.2) a

i.i

Asintoticamente, il'Metodo di Gauss-Seidel, richiede all'incirca la metà delle iterazioni del metodo di Jacobi, ed operativamente, evita anche di k+1 dover utilizzare la doppia occupazione di memoria " U j W " e "uj( '", in quanto nella stessa area di memoria si vengono ora ad avere valori aggiornati o meno di u¿.

43

Tecnica di rilassamento La tecnica del sopra­rilassamento SOR, può essere considerata una estensione del metodo di Gauss­Seidel, volta ad ottenere una ri­ duzione nel numero di iterazioni necessario a raggiungere la so­ luzione. Detto ζ il secondo membro della equazione (A3.2) di Gauss­Seidel, l'espressione di u¿(k+l) nella nuova formulazione sarà : Ui (k+1)

= ωΖ

+

(χ_ω) U i (k)

(A3.3)

Il parametro ω é chiamato "Parametro di rilassamento", e la scel­ ta di tale parametro determinerà la rapidità di convergenza. Il parametro ω deve essere minore di 2 per problemi di stabilità: per ω=1 non si ha rilassamento

(Gauss­Seidel)

per 0<ω<1 si ha "under relaxation"

(rallentamento convergenza)

per 1<ω<2 si ha "over relaxation"

(accelerazione convergenza)

Il valore ottimale di ω dipende dal particolare tipo di ne, dominio di integrazione e condizioni al contorno; la nazione a priori del valore ottimale di ω, per un dato non é in generale possibile, ma esso andrà ricercato a sperimentazione numerica.

equazio­ determi­ problema mezzo di

In alcuni casi particolari la determinazione a priori di ω otti­ male é possibile, qui di seguito si riportano tali valori per il caso di equazioni differenziali che discretizzate conducono alla forma: A

l<Ti+l,j+Ti­l,j)+A2(Ti,j+l+Ti,j­l)+Bl(Ti+l.j "Ti­l,j) +

+ B

2< T i,j + l ­ Ti,j­1>

+ CT

i,j

+ D

i,j

­

(A3.*)

°

Tale espressione si riferisce ad un'equazione ellittica conte­ nente sia derivate prime che seconde; le condizioni al contorno dovranno inoltre essere del tipo alla Dirichlet. Posto allora: A

ρ = 2 ν

cos ( ) η­1

i « 2

|(—) C

B

l *2>

­ (—) | C

n

cos

(— + 2 m­1

A

2 «2

|(—) C

B

2 «

­ (­1)2 C

44

con m ed η numero dei punti di discretizzazione in direzione y ed x. Si possono presentare 3 casi : Caso 1 A

ol A22

> B fl > B 22

e

ω =

1 +

Õ­ 1­p2

in tal caso 1 « ω < 2 over relaxation

Caso 2 A2! A22

« <

B 2! B 22

e

ω = 1 +

1+P2

nel caso ω = 1 si ritorna al metodo di Gauss­Seidel. Caso 3 A2i <

B 2!

A22 >

B 22

e

non esiste metodo teorico per determinare ω. In generale, confrontando la convenienza nell'usare metodi itera­ tivi o diretti, si può vedere dalla struttura delle espressioni del tipo della (A3.1), che il numero di moltiplicazioni richiesto in ogni iterazione di un metodo iterativo é = L 2 (con L=MxN). Essendo, come detto, per il metodo eliminazione diretta di Gauss, il numero di moltiplicazioni pari a circa L^, si può concludere che indicativamente c'è convenienza (per quanto riguarda i tempi di calcolo) nell'usare un metodo iterativo, quando il numero di iterazioni richiesto per giungere a convergenza é decisamente minore di L.